авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. Ю. Пирковский Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов ...»

-- [ Страница 2 ] --

Упражнение 3.18. Докажите, что оператор правого сдвига в 2 изо метрически эквивалентен оператору умножения wz (см. предложение 3.5 (1)) в r 2.

Что же касается оператора левого сдвига, то он, несмотря на кажу щуюся схожесть с оператором правого сдвига, никакой разумной функ циональной моделью не обладает. Но это уже гораздо более сложный факт, выходящий за рамки нашего курса.

Спектры операторов из примеров 3.3 и 3.4 (за исключением сдвига на окружности), а также части их спектров обладают одним любопыт ным свойством: они «круглые». Это означает, что если какая-то точка § 3.3. Еще несколько частей спектра попала в спектр или в одну из его частей, то туда же попадает и вся окружность с центром в нуле, проходящая через эту точку. Чтобы по нять, почему так происходит, введем еще одно общее понятие.

Определение 3.4. Пусть B(i) и B(p ) | ограниченные опе раторы в банаховых пространствах. Они называются слабо подобны ми (соответственно слабо изометрически эквивалентными), если су ществуют такие топологические изоморфизмы (соответственно изоме трические изоморфизмы) 1 Y 2 : i p, что диаграмма SG i i U1 U  T G p p коммутативна.

Разумеется, если операторы подобны, то они слабо подобны, и ана логичное утверждение справедливо для изометрической эквивалентно сти. Обратное, конечно, неверно: посмотрите на тождественный опе ратор 1E. Тот же пример показывает, что спектры слабо подобных операторов вовсе не обязаны совпадать. Тем не менее, легко проверить (проверьте!), что свойства «быть обратимым», «быть инъективным», «иметь плотный образ» и т. п. не меняются при замене оператора на слабо подобный.

Упражнение 3.19. Пусть | любой из операторов из примера 3. или 3.4, кроме сдвига на окружности, и пусть ! T. Докажите, что операторы 1 и !1 слабо подобны. Как следствие, установите, что ! '( ) 1 '( ) и то же самое верно для 'p, 'c и 'r.

§ 3.3. Еще несколько частей спектра Определение 3.5. Оператор B(iY p ) между банаховыми про странствами называется топологически инъективным, если : i Im | гомеоморфизм.

Упражнение 3.20. Докажите следующие утверждения.

1. Оператор топологически инъективен он ограничен снизу, т. е. существует такое b 0, что x x для всех x i.

2. Оператор топологически инъективен он инъективен и его образ Im замкнут.

Верны ли предыдущие утверждения для операторов в нормирован ных пространствах?

46 3. Части спектра линейного оператора опера Определение 3.6. Аппроксимативным точечным спектром тора B(i) называется множество 'ap ( ) = {! C : !1 не является топологически инъективным}X Спектром сюръективности оператора называется множество 'su ( ) = {! C : Im( !1) = i}X Спектром сжатия оператора называется множество 'com ( ) = {! C : Im( !1) = i}X Отметим несколько очевидных свойств этих частей спектра.

Предложение 3.6. Справедливы соотношения 1) 'p ( ) 'su ( ) = '( ), 2) 'ap ( ) 'com ( ) = '( ), 3) 'p ( ) 'ap ( ), 4) 'com ( ) 'su ( ).

Доказательство. В комментарии нуждается лишь второе из пере численных соотношений. Оно следует из того факта, что топологически инъективный оператор имеет замкнутый образ, поэтому топологиче ски инъективный оператор с плотным образом обратим.

Итак, у нас набралось уже шесть частей спектра. Чтобы понять, как все они связаны друг с другом, удобно нарисовать1 следующую картинку:

'ap 'com 'p ( ) = 1 'ap ( ) = 1 2 3 1 'com ( ) = 2 4 'r ( ) = 4 'c ( ) = 3 'su ( ) 2 3 4 Левый круг в этой картинке | это 'ap ( ), его верхняя половина | 'p ( ), а правый круг | 'com ( ). Остальные соотношения, указанные в правой части рисунка, вытекают непосредственно из определений.

1 По совету П. Халмоша;

см. [28].

§ 3.3. Еще несколько частей спектра Посмотрим теперь, как 'ap, 'com и 'su реагируют на переход к со пряженному оператору (ср. предложение 3.3). Для этого нам понадо бится следующий факт.

Пусть iY p | банаховы пространства, : i Упражнение 3.21.

p | ограниченный оператор. Докажите, что 1) оператор топологически инъективен сюръективен;

2) оператор сюръективен топологически инъективен;

3) верно и обратное утверждение.

Применяя результат последнего упражнения к оператору ! (где B(i)), получаем следующие соотношения.

B(i). Тогда Предложение 3.7. Пусть 1) 'ap ( ) = 'su ( );

2) 'su ( ) = 'ap ( );

3) 'com ( ) = 'p ( );

4) 'p ( ) 'com ( ).

i Если же пространство рефлексивно, то 5) 'p ( ) = 'com ( ).

Упражнение 3.22. Найдите 'ap, 'com и 'su для диагонального опера тора, операторов умножения и сдвига.

Мы уже знаем, что точечный спектр, непрерывный спектр и оста точный спектр оператора могут быть незамкнутыми, а могут быть и пустыми (см., в частности, предложения 3.2 и 3.4) | в отличие от всего спектра, который всегда компактен и непуст. А вот с аппрокси мативным точечным спектром, а также со спектром сюръективности таких неприятностей не бывает. Точнее, справедлив следующий резуль тат.

' Предложение 3.8. Аппроксимативный точечный спектр ap ( ) опе d'( ). То же B(i) замкнут и содержит границу спектра ратора ' самое верно и для спектра сюръективности su ( ). Как следствие, ' ' ap ( ) и su ( ) | непустые компактные подмножества в C.

(набросок). Вначале сделайте следующие упраж Доказательство нения.

Упражнение 3.23. Докажите следующие утверждения:

1) множество всех топологически инъективных операторов открыто в B(i).

2) аппроксимативный точечный спектр 'ap ( ) замкнут.

48 3. Части спектра линейного оператора Упражнение 3.24. Пусть e | унитальная банахова алгебра. Докажи те следующие утверждения:

1) если элемент e обратим и ` a1, то элемент обратим;

2) если e и ! '(), то ( !1) a, где &(!Y '()) | (;

(a)) расстояние от ! до '().

С учетом равенств '( ) = '( ) и 'su ( ) = 'ap ( ), нам осталось установить, что d'( ) 'ap ( ). Возьмем ! d'( ) и выберем после довательность {!n } так, чтобы !n ! и !n '( ) при всех n. Из a п. 2 упражнения 3.24 следует, что ( !n )1 при n. По этому существует такая последовательность {xn } i, что xn = и ( !n )1 xn при n. Положим n )1 xn yn = ;

(T n )1 xn (T тогда yn = 1 и ( !n )yn 0 при n. Отсюда получаем, что ( !)yn = ( !n )yn (! !n )yn 0 (n )X Следовательно, ! 'ap ( ), как и требовалось.

Упражнение 3.25. Докажите часть последнего предложения, касаю щуюся 'su ( ), не используя при этом результат п. 3 упражнения 3.21.

Указание. Вначале докажите, что множество всех сюръективных операторов открыто в B(i) и что 'ap ( ) 'su ( ).

Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть B(i) | ограни ченный оператор и p i | замкнутое подпространство, инвариант ное относительно (т. е. такое, что (p ) p ). Тогда ограничение |F | оператор в p. Что больше | '( |F ) или '( )? Несложные при меры (приведите их!) показывают, что в одних случаях '( |F ) '( ), а в других | наоборот. Напомним, однако, о полном спектре 'f ( ) (см. определение 2.17), который получается из '( ) «заклеиванием дыр». Оказывается, справедливо следующее утверждение.

Предложение 3.9. Пусть B(i) | ограниченный оператор и p i | замкнутое подпространство, инвариантное относительно.

Тогда '( |F ) 'f ( ).

Доказательство (набросок). Положим = C \ 'f ( );

из определе ния 'f ( ) следует, что это область (открытое связное множество) в C.

Если ! и |!| b, то !(n+1) n ( !1)1 = !1 (1 !1 )1 = n § 3.3. Еще несколько частей спектра !1)1 x p (см. теорему 2.1). Отсюда следует, что ( для всех ука занных ! и для любого x p.

Лемма 3.1 («векторнозначная теорема единственности»). Пусть i | банахово пространство, p i | замкнутое под C | область, пространство, f : i | голоморфная функция. Предположим, что f(w) p для некоторого подмножества w, имеющего предель ную точку в. Тогда f() p.

Докажите эту лемму.

Упражнение 3.26.

Чтобы завершить доказательство предложения, остается применить лемму к функции f(x) = ( !1)1 x (где x p | фиксированный век тор). Действительно, тогда ( !1)1 x p уже для всех !, поэто му оператор |F !1F обратим в B(p ) для всех !, т. е. для всех ! 'f ( ).

a Пример 3.5. Используя предложение 3.9, можно получить еще одно (уже третье) доказательство того, что спектр оператора двусторонне го сдвига b B(i) (где i {p Y 0 }) совпадает c единичной окружно стью T. В самом деле, положим p = {x i : xn = 0 n 0};

тогда оператор |F подобен оператору r правого сдвига, у которого '(r ) = D (см. предложение 3.4). Поэтому из предложения 3.9 следу ет, что D | это компонента связности множества C \ '(b ). С другой стороны, b | изометрический изоморфизм пространства i на себя, поэтому '(b ) T (см. упражнение 2.21). Сопоставляя последние два утверждения, получаем равенство '(b ) = T.

Литературные указания Конкретные примеры операторов, встречающиеся в этой главе, а также материал о точечном, непрерывном и остаточном спектрах содержатся в книге [30];

см. также учебник У. Рудина [26], в кото ром очень подробно изложена теория двойственности в банаховых про странствах. О пространстве Харди можно прочесть в книгах [5, 8].

Аппроксимативный точечный спектр, спектр сжатия и спектр сюръек тивности обсуждаются в недавней монографии К. Лаурсена и М. Ной манна [43];

там же рассматриваются спектры ограничений операторов на инвариантные подпространства. По поводу частей спектра см. так же книгу П. Халмоша [28].

4. ГОЛОМОРФНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Мы уже знаем, что от любого элемента любой унитальной алгебры можно «брать рациональные функции», определенные на спектре этого элемента (см. § 2.4). В общем случае, т. е. для произвольной алгебры, ни какого более содержательного функционального исчисления построить нельзя. Однако если e | банахова алгебра, то положение дел меняет ся: от любого ее элемента можно «брать» не только рациональные, но и голоморфные функции.

Чтобы придать строгий смысл выражению «голоморфная функция от элемента банаховой алгебры», нам придется ненадолго отвлечь ся от классической «банаховой» науки и поговорить о более общих вещах.

§ 4.1. Полинормированные пространства Многие векторные пространства, встречающиеся в различных обла стях математики, обладают естественной топологией, которая не за дается никакой нормой. Таковы, в частности, многие пространства гладких и голоморфных функций, а также пространства обобщенных функций (т. е. непрерывных функционалов на пространствах гладких функций), играющие важную роль в теории уравнений с частными про изводными. В теории операторов тоже не удается обойтись одними лишь банаховыми пространствами. Поэтому наша ближайшая цель | познакомиться с некоторыми ненормируемыми пространствами, кото рые нам вскоре понадобятся.

· : i [0Y +) на векторном про Определение 4.1. Функция странстве i называется полунормой (или преднормой), если она обла дает следующими свойствами:

1) !x = |!| x для всех ! C, x i;

2) x + y x + y для всех xY y i.

Таким образом, полунорма | это «почти норма», только ей разре шается обращаться в нуль на ненулевых векторах.

Определение 4.2. Векторное пространство i, снабженное семей ством полунорм { · i : i s} (где s | произвольное множество), на зывается полинормированным пространством.

§ 4.1. Полинормированные пространства Если i | полинормированное пространство, то на нем можно вве сти топологию примерно тем же способом, что и на нормированном пространстве. А именно, для каждых x i, 4 b 0 и i s рассмотрим «шар»

i (xY 4) = {y i : x y i ` 4}X (4.1) Определение 4.3. Самая слабая топология на i, в которой открыты все множества вида (4.1), называется топологией, порожденной семей ством полунорм { · i : i s}.

Замечание 4.1. Если | произвольное множество, а | произволь ное семейство его подмножеств, то на существует слабейшая топо логия, в которой открыты все множества из. Базой этой топологии являются всевозможные конечные пересечения множеств из, а само семейство при этом называется предбазой этой топологии.

Упражнение 4.1. Докажите, что топология на i, порожденная се мейством полунорм { · i : i s}, может быть определена любым из следующих эквивалентных способов:

1) это самая слабая топология, инвариантная относительно сдвигов, в которой все полунормы · i непрерывны;

2) базу этой топологии образуют всевозможные множества вида i1 ;

:::;

i (xY 4) = {y i : x y i ` 4 k = 1Y X X X Y n} (4.2) n k (где x i, n N, i1 Y X X X Y in s).

Следующее упражнение показывает, что топология, порожденная семейством полунорм, согласована с алгебраической структурой.

Упражнение 4.2. Докажите, что в полинормированном простран стве i операции сложения i i i и умножения на скаляр C i i непрерывны.

Замечание 4.2. Векторное пространство, снабженное топологией, в которой операции сложения и умножения на скаляр непрерывны, называется топологическим векторным пространством. Естественно спросить, все ли топологические векторные пространства получаются описанным способом, и если не все, то какие именно. Ответ на этот во прос таков: топология на топологическом векторном пространстве i порождается некоторым семейством полунорм тогда и только тогда, когда оно локально выпукло. Это означает, по определению, что в i существует база окрестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств.

Проверьте в качестве несложного упражнения, что все множества ви да (4.2) действительно выпуклы.

52 4. Голоморфное исчисление Важное свойство локально выпуклых пространств, выделяющее их из класса всех топологических векторных пространств, состоит в том, что на них (при условии хаусдорфовости;

см. ниже упражнение 4.4), благодаря теореме Хана|Банаха, имеется достаточно много непре рывных линейных функционалов. Поэтому при изучении локально вы пуклых пространств можно использовать соображения двойственно сти, что часто бывает весьма удобно. С другой стороны, на произволь ном топологическом векторном пространстве вообще может не суще ствовать ненулевых непрерывных линейных функционалов, даже если оно хаусдорфово.

Всюду далее (iY { · i : i s}) | полинормированное пространство, снабженное топологией по указанному выше рецепту.

Упражнение 4.3. Докажите, что последовательность {xn } i схо дится к x i тогда и только тогда, когда x xn i 0 для всех i s.

Упражнение 4.4. Докажите, что пространство i хаусдорфово тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого x i найдется такое i s, что x i b 0.

Примеры полинормированных пространств будут у нас появляться по мере необходимости. Вот пример, который нам понадобится в пер вую очередь.

Пример 4.1. Пусть C | открытое множество, O( ) | простран ство голоморфных функций на. Для каждого компакта u вве дем полунорму · K на O( ), полагая f K = sup |f (z)|. Топология, zK порожденная этим семейством полунорм, называется компактно-от крытой. Из упражнения 4.3 видно, что последовательность fn сходит ся к f в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится к f равномерно на каждом компакте в. Поэтому классическую теорему Рунге об аппроксимации голоморфных функций рациональными можно переформулировать так.

C Теорема (Рунге). Для любого открытого множества алге ()плотна в O( ).

бра Отображения между полинормированными пространствами, уважа ющие имеющиеся на этих пространствах алгебраическую и топологиче скую структуры, | это, конечно, непрерывные линейные отображения (операторы). Как и в случае операторов между нормированными про странствами, свойство непрерывности можно переформулировать «на языке неравенств» следующим образом.

§ 4.1. Полинормированные пространства Упражнение 4.5. Пусть (iY { · i : i s}) и (pY { · j : j t}) | по линормированные пространства, : i p | линейный оператор. До кажите, что следующие условия эквивалентны:

1) оператор непрерывен;

2) для каждого j t найдутся такое g b 0 и такой конечный набор i1 Y X X X Y in s, что x j g max{ x i1 Y X X X Y x i } для всех x i.

n Часто бывает так, что одну и ту же топологию на векторном про странстве можно задать несколькими разными семействами полунорм.

Определение 4.4. Семейства полунорм { · i : i s} и { · j : j t} на векторном пространстве i называются эквивалентными, если они порождают одну и ту же топологию.

Упражнение 4.6. Сформулируйте и докажите критерий эквивалент ности двух семейств полунорм «на языке неравенств».

Пример 4.2. Пусть DR = {z C : |z| ` } | круг радиуса. (При = мы полагаем DR = C.) Каждая функция f O(DR ) разлагается в DR в ряд Тейлора: f(z) = n z n. (Обратите внимание на то, что он n сходится в компактно-открытой топологии на O(DR ), описанной в при мере 4.1.) Для каждого 0 ` r ` положим f r = |n |rn ;

очевидно, n · r | полунорма на O(DR ).

Упражнение 4.7. Пусть {rn } | возрастающая последовательность положительных чисел, стремящаяся к. Докажите, что семейства по лунорм u DR | компакт}Y 0 ` r ` } и n N} { · K: { · r: { · rn :

на O(DR ) эквивалентны.

Из последнего упражнения видно, что компактно-открытая тополо гия на O( ), где = DR, может быть задана счетным набором полу норм (кстати, докажите, что это так для любого открытого множе ства ). А нельзя ли обойтись конечным набором?

Упражнение 4.8. Докажите, что хаусдорфово полинормированное пространство (iY { · i : i s}) нормируемо тогда и только тогда, ко гда существует такое конечное подмножество s0 s, что система по лунорм { · i : i s0 } эквивалентна исходной.

Упражнение 4.9. Докажите, что пространство O( ) ненормируемо.

Замечание 4.3. Можно показать (мы этим заниматься не будем), что для хаусдорфова пространства i наличие счетного (точнее, не более 54 4. Голоморфное исчисление чем счетного) подмножества s0 s, задающего ту же топологию, экви валентно метризуемости этого пространства.

Если на полинормированном пространстве введено умножение, пре вращающее его в ассоциативную алгебру, то естественно требовать, чтобы умножение было непрерывно. Однако по техническим причинам обычно требуют, чтобы оно было лишь раздельно непрерывно.

Определение 4.5. Полинормированная алгебра | это полинормиро ванное пространство e, снабженное структурой алгебры так, что для каждого e операторы va : e eY Y и a : e eY Y непрерывны. Если же непрерывно отображение e e e, (Y ), то e называется полинормированной алгеброй с совместно непрерыв ным умножением.

Впоследствии нам встретятся примеры полинормированных алгебр, умножение в которых не является совместно непрерывным (так что требование раздельной непрерывности | это вынужденная необходи мость). А пока сделайте следующее упражнение.

Упражнение 4.10. Докажите, что O( ) | полинормированная алге бра с совместно непрерывным умножением.

§ 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства Теперь мы в состоянии строго определить, что такое голоморфное исчисление в банаховой алгебре, и построить это исчисление. Итак, пусть e | унитальная банахова алгебра, e | ее элемент, C | открытое множество. Напомним, что через O( ) обозначается алгебра голоморфных функций на, снабженная компактно-открытой тополо гией. Через t O( ) обозначим функцию t(z) = z.

Определение 4.6. Голоморфным исчислением от на называется непрерывный унитальный гомоморфизм h : O( ) e, удовлетворяю щий условию h (t) =.

h Предложение 4.1. Предположим, что голоморфное исчисление на от существует. Тогда (т. е. h |R(U) = r );

1)оно является продолжением рационального 2) '() ;

3) голоморфное исчисление единственно.

§ 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства Первое утверждение следует из соотношения Доказательство.

h (t) =, а второе | из первого и из свойств рационального исчисления.

Наконец, утверждение о единственности вытекает из непрерывности h и теоремы Рунге.

Построить голоморфное исчисление проще всего в случае, когда | круг с центром в нуле или вся комплексная плоскость.

Предложение 4.2. Пусть DR = {z C : |z| ` } | круг радиуса, содержащий спектр '() элемента e. (При = мы полага ем DR = C.) Тогда голоморфное исчисление от на DR существует и единственно.

Доказательство. Возьмем произвольную функцию f O(DR ) и раз ложим ее в ряд Тейлора: f(z) = n z n. Покажем, что ряд n n схо n n дится в e. Для этого зафиксируем любое & так, чтобы выполнялось не равенство r() ` & ` ;

тогда из формулы спектрального радиуса (см.

§ 2.5) следует, что найдется такое x N, что n 1=n ` & при n b x.

Следовательно, g := sup n a&n `. Поэтому n n |n |&n g (4.3) |n | n n и ряд n n абсолютно сходится. Обозначим его сумму через h (f).

n Простые вычисления со степенными рядами показывают, что постро енное отображение h : O(DR ) e является унитальным гомоморфиз мом, причем h (t) =. Наконец, из неравенства (4.3) следует, что h (f) g f  для всех f O(DR ) (см. пример 4.2), поэтому гомо морфизм h непрерывен.

Из предыдущего предложения следует, в частности, что от любо го элемента унитальной банаховой алгебры можно «брать целые функ ции». В частности, для любого e определена экспонента exp() = n an!.

= n= Если C | произвольное открытое множество, содержащее '(), то строить голоморфное исчисление от на тем же способом, что и выше, не получается: ведь не любая же голоморфная в функция разлагается в ряд Тейлора на. С другой стороны, для голоморф ных функций в существует удобное представление в виде интеграла Коши.

56 4. Голоморфное исчисление Напоминание 4.1. Пусть | ограниченное открытое подмно жество, содержащееся в вместе со своим замыканием и такое, что его граница d состоит из конечного числа гладких кривых. Тогда для любой функции f O( ) и любого z справедлива интеграль ная формула Коши f ( ) f(z) = d (4.4)  z @V 2i (интегрирование по d ведется, как положено, с учетом ориентации).

С учетом формулы Коши естественно попытаться построить голо морфное исчисление от элемента e следующим образом: подберем так, чтобы выполнялись включения '(), подставим вме сто z в правую часть формулы (4.4) и возьмем получившееся выражение в качестве определения элемента f() = h (f). Конечно, чтобы придать этому определению смысл, нужно сперва договориться, что называть интегралом от функции со значениями в банаховом пространстве.

Отступление: интегрирование векторнозначных функций Пусть i | банахово пространство, f : [Y ] i | функция. Инте Zb грал Римана a f(t) dt можно определить, как и для скалярных функ ций, как предел интегральных сумм. А можно сделать еще проще и по ступить следующим образом.

Определение 4.7. Элемент x i называется интегралом от f по Zb [Y ] (и обозначается через a f(t) dt), если для любого 3 i функ b ция 3 f : [Y ] C интегрируема по Риману и 3(x) = a 3(f(t)) dt.

Z Конечно, если интеграл от f существует, то он единственный (по чему?).

Упражнение 4.11. Докажите следующие утверждения.

1. Если функция f : [Y ] i непрерывна, то она интегрируема и b b f(t) dt f(t) dt f ( )Y a a где f = sup f(t).

t[a;

b] b b 2. Если B(iY p ), то a f(t) dt = a (f(t)) dt для любой не Z Z прерывной функции f : [Y ] i.

§ 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства Определение 4.8. Пусть ` | гладкая ориентированная кривая в C, параметризованная при помощи отображения  : [Y ] C класса g 1.

непрерывной функции f : ` i положим по опреде Для произвольной Z b лению ` f(z) dz = a f((t)) (t) dt.

Z Как и для скалярных функций, интеграл от f по кусочно гладкой кривой определяется как сумма интегралов по ее «гладким кускам». На конец, если C | ограниченное открытое множество, граница d которого состоит из конечного числа кусочно гладких кривых, то ин теграл от f по d определяется как сумма интегралов по этим кривым, ориентированным согласованно с ориентацией.

Перейдем к построению голоморфного исчисления в общем случае.

e e Теорема 4.1. Пусть | унитальная банахова алгебра, | ее '().

элемент, C | открытое множество, содержащее Тогда су  e ществует единственное голоморфное исчисление h : O( ) от.

на Доказательство. Выберем открытое ограниченное множество с границей d, состоящей из конечного числа кусочно гладких кри вых, так, чтобы выполнялись включения '(). Для каждой функции f O( ) положим h (f) = f()(1 )1 dX @V 2i Очевидно, отображение h : O( ) e корректно определено (посколь ку под знаком интеграла стоит непрерывная функция) и линейно. Кро ме того, легко видеть (проверьте!), что существует такое g b 0, что h (f) g f @V для любой функции f O( ). Следовательно, ото бражение h непрерывно.

Таким образом, нам остается показать, что h | унитальный гомо морфизм и что h (t) =. Заметим, что для этого достаточно проверить два тождества:

(1) h (1) = 1;

(2) h ((t !)f) = ( !1)h (f) для всех f O( ), ! C.

В самом деле, из этих тождеств по индукции легко следует, что h (f) = f() для любого многочлена f;

в частности, h (t) =. Далее, ес ли !, то ( !1)n h ((t !)n ) = h (1) = 1, поэтому h ((t !)n ) = a = ( !1)n для всех n N. Разлагая произвольную рациональную 58 4. Голоморфное исчисление функцию f () в сумму простейших дробей, мы видим, что h сов падает на () с рациональным исчислением r ;

в частности, h |R(U) | гомоморфизм. Отсюда с учетом теоремы Рунге и совместной непре рывности умножения в O( ) и e следует, что h | гомоморфизм. Дей ствительно, пусть fY g O( ), и пусть {fn } и {gn } | последовательно сти в (), сходящиеся к f и g соответственно. Тогда fn gn fg в O( ) и h (fn )h (gn ) h (f)h (g) в e, поэтому h (fg) = lim h (fn gn ) = lim h (fn )h (gn ) = h (f)h (g)Y n n так что h | гомоморфизм. Итак, нам остается проверить выполнение условий (1) и (2).

Для проверки условия (1) фиксируем произвольный функционал 3 e и возьмем такое b 0, что b и DR. Функция  3((1 )1 ) голоморфна в окрестности области DR \, поэто му ее интеграл по ориентированной границе этой области равен нулю.

Отсюда следует, что 3(h (1)) = 3((1 )1 ) d = 3((1 )1 ) dX (4.5) 1 @V @DR 2i 2i С другой стороны, при  dDR мы имеем  n1 n (1 )1 =  1 (1  1 )1 = n= (см. теорему 2.1), причем ряд сходится равномерно на dDR. Поэтому цепочку равенств (4.5) можно продолжить следующим образом:

3(n ) XXX =  n1 d = 3(1)X @DR 2i n= Ввиду произвольности функционала 3 e отсюда следует равен ство (1).

Теперь проверим равенство (2):

h ((t !)f) ( !1)h (f) = ( !)f()(1 )1 d ( !1) 2i f()(1 )1 d = = 2i 1 @V @V f()[( !)1 ( !1)](1 )1 d = = 2i @V f()(1 )(1 )1 d = f() d · 1 = 0Y = 2i 1 @V @V 2i § 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства поскольку функция f голоморфна в. Таким образом, равенство (2) доказано. Как уже было замечено выше, отсюда следует, что h | го моморфизм.

Следующее упражнение показывает, что голоморфные исчисления на разных открытых множествах согласованы.

Упражнение 4.12. Пусть '(), где Y | открытые подмно жества C. Обозначим через rUV : O( ) O( ) гомоморфизм, сопоста вляющий каждой голоморфной функции в ее ограничение на. Пусть U V h и h | голоморфные исчисления от на и соответственно. До кажите, что следующая диаграмма коммутативна:

O( ) y U yyh yyy oU e rU V ooo oo V  O( ) h Поскольку голоморфное исчисление является продолжением рацио нального и не зависит от выбора открытого множества, содержащего спектр, мы вправе вместо h (f) писать просто f() для любой голо морфной функции f, определенной в некоторой окрестности спектра '().

Довольно часто голоморфное исчисление от того или иного элемен та какой-нибудь «классической» банаховой алгебры удается описать «в явном виде», т. е. не прибегая к контурному интегрированию. Чтобы в этом убедиться, сделайте следующее упражнение.

Упражнение 4.13. Пусть e | унитальная банахова алгебра, e | ее элемент, f | голоморфная функция, определенная в окрестности спектра '(). В каждом из перечисленных ниже случаев укажите, что такое f():

1) e = g(), e | любой элемент;

2) e =, e | любой элемент;

3) e = v (Y "), e | любой элемент;

4) e = B(p ) или B(0 ), = w | диагональный оператор;

5) e = B(vp (Y ")), = wf | оператор умножения;

6) e = B(2 (Z)), = b | оператор двустороннего сдвига;

7) e = B(2 ), = r | оператор правого сдвига.

Вместо того чтобы говорить о «голоморфном исчислении в произ вольной окрестности спектра», удобно говорить о «голоморфном ис числении на спектре». Для этого нам понадобится еще одна полинор 60 4. Голоморфное исчисление мированная алгебра, а именно алгебра ростков голоморфных функций.

Определяется она следующим образом.

Пусть u | компакт в C. Рассмотрим множество всех пар (Y f), где u | открытое множество и f O( ). На этом множестве введем отношение эквивалентности, полагая (Y f) (Y g), если существует такая окрестность u, что и f|W = g|W. Класс эквива лентности называется ростком голоморфной функции на u, а множе ство всех ростков обозначается через O(u). Нетрудно проверить, что O(u) становится алгеброй, если определить алгебраические операции над ростками как поточечные операции над их представителями.

Как и в случае алгебры рациональных функций (w) (см. § 2.4), каждому ростку f O(u) можно приписать значение f(z) в произволь ной точке z u, взяв в качестве f(z) значение в точке z любого его ~ ~ представителя. Получаем функцию f : u C, f(z) = f(z). Отображе ~ ние O(u) CK, f f, является, очевидно, унитальным гомоморфиз мом. Отметим, что он инъективен тогда и только тогда, когда u не содержит изолированных точек (почему?). Тем не менее, как показыва ет следующее упражнение, этот гомоморфизм всегда сохраняет спектр (ср. замечание 2.10).

Упражнение 4.14. 1. Докажите, что элемент f O(u) обратим то ~ гда и только тогда, когда элемент f CK обратим, т. е. f(z) = 0 для любого z u.

~ 2. Докажите, что 'O(K) (f) = 'C (f) = f(u) для любого элемента K f O(u).

Топология на O(u) вводится следующим образом. Для каждой окрестности компакта u обозначим через rUK : O( ) O(u) го моморфизм «ограничения», определяемый очевидным образом. Назо вем полунорму · на O(u) допустимой, если для любой окрестно сти u полунорма f rUK (f) непрерывна на O( ). Превратим O(u) в полинормированное пространство, снабдив его семейством всех допустимых полунорм.

Замечание 4.4. Указанный способ введения топологии встречается довольно часто;

по-научному он называется «индуктивный предел». При этом используется следующее обозначение: O(u) = O( ). При по lim UK мощи той же конструкции вводится топология, например, на простран стве D гладких функций с компактным носителем на прямой, играю щем важную роль в теории обобщенных функций.

Упражнение 4.15. Пусть i | полинормированное пространство. До кажите, что линейный оператор : O(u) i непрерывен тогда и толь § 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства ко тогда, когда для любой окрестности u оператор rUK : O( ) i непрерывен.

На самом деле указанное в последнем упражнении свойство полно стью характеризует топологию на O(u). Точнее, справедлив следую щий результат.

Упражнение 4.16. Пусть O(u) снабжено каким-либо семейством по лунорм таким образом, что выполнено свойство, указанное в предыду щем упражнении. Докажите,что топология, порожденная этим семей ством, совпадает с топологией, порожденной семейством всех допусти мых полунорм на O(u).

Докажите, что O(u) | хаусдорфова полинорми Упражнение 4.17.

рованная алгебра с совместно непрерывным умножением.

e e Теорема 4.2. Пусть | унитальная банахова алгебра, | ее u '().

элемент, C | компакт, содержащий Существует един K  e, ственный непрерывный унитальный гомоморфизм h : O(u) удо K (t) = .

влетворяющий условию h Доказательство. Пусть f O(u) | произвольный росток, и пусть g O( ) (где u) | некоторый его представитель. Положим по K U определению h (f) = h (g). Из упражнения 4.12 легко выводится, K | корректно определенный унитальный гомоморфизм, причем что h K K U h (t) = и h rUK = h для любой окрестности u. Непрерыв K следует из упражнения 4.15, а единствен ность гомоморфизма h ность | из единственности голоморфного исчисления в окрестности спектра (см. предложение 4.1, п. 3).

K Гомоморфизм h : O('()) e, описанный в пре Определение 4.9.

дыдущем предложении, называется голоморфным исчислением от эле мента e на компакте u '().

Утверждения теорем 4.1 и 4.2 удобно переформулировать следую щим образом (ср. теорему 2.7).

e Теорема 4.3. Пусть | унитальная банахова алгебра, C | не u пустое открытое множество, C | непустой компакт. Суще ствуют канонические биекции унитальные непрерывные e : '() e гомоморфизмы O( ) унитальные непрерывные e : '() u e гомоморфизмы O(u) 62 4. Голоморфное исчисление Здесь стрелки, действующие слева направо, сопоставляют элементу e u), его голоморфное исчисление на (соответственно а стрел % ки, действующие справа налево, сопоставляют гомоморфизму эле %(t), t(z) z z = для любого (соответственно любого мент где z u).

Разумеется, наименьший компакт, для которого справедлива теоре ма 4.2, | это сам спектр '(). В этом случае говорят о голоморфном (a) исчислении на спектре. В дальнейшем вместо h (f) мы будем, когда это удобно, писать f().

f Теорема 4.4 (об отображении спектра). Для любой функции '(f()) = f('()).

O('()) справедливо равенство С учетом упражнения 4.14 эту теорему можно переформулировать так.

(a) : O('()) e сохраняет спектр.

Теорема 4.4. Гомоморфизм h (a) Достаточно доказать, что гомоморфизм h Доказательство.

(обозначаемый далее просто ) переводит необратимые элементы в не обратимые. Пусть элемент f O('()) необратим;

тогда f(!) = в некоторой точке ! '(). Из свойств голоморфных функций сле дует, что f = (t !)g для некоторого g O('()). Следовательно, (f) = ( !1)(g). Но элемент !1 необратим, поэтому и элемент (f) необратим (см. лемму 2.3).

Следствие 4.1. Для любого e элемент exp() обратим.

Естественно поинтересоваться, справедлив ли аналог теоремы об отображении спектра для его частей. Чтобы ответить на этот вопрос, сделайте следующее упражнение.

Упражнение 4.18. Пусть B(i) | ограниченный оператор. Верно ли равенство 'p (f( )) = f('p ( )), если 1) f C[t];

2) f (w) (где w '( ));

3) f O( ) (где '( ) | область);

4) f O( ) (где '( ) | открытое множество).

Ответьте на тот же вопрос для 'c ( ), 'r ( ), 'ap ( ), 'su ( ), 'com ( ).

Вот еще два важных свойства голоморфного исчисления.

Упражнение 4.19 (перестановочность с гомоморфизмами). Пусть 9: e f | унитальный гомоморфизм банаховых алгебр, и пусть e.

Докажите, что 9(f()) = f(9()) для любой функции f O('()).

§ 4.3. О неаналитических функциональных исчислениях Упражнение 4.20 (теорема о композиции). Пусть e, f O('()) и g O('(f ())). Докажите, что g(f()) = (g f)().

Обсудим теперь некоторые полезные применения голоморфного ис числения.

Упражнение 4.21. Пусть '() не пересекается с некоторым лучом, выходящим из начала координат. Докажите, что 1) для любого n N существует такой элемент e, что n = ;

2) существует такой элемент e, что exp() =.

Поскольку спектр любой (n n)-матрицы конечен, мы получаем сле дующий результат.

Следствие 4.2. Если wn (C) | обратимая матрица, то = exp() для некоторой матрицы wn (C). Иными словами, отображение exp: wn (C) Inv(wn (C)) | сюръекция.

Упражнение 4.22. Справедлив ли аналог предыдущего утверждения в алгебрах B(i)? g[Y ]? g(T)? ? v (Y ")?

Чтобы получить более подробную информацию об образе экспо ненциального отображения exp: e Inv(e), обозначим через Inv0 (e) связную компоненту единицы группы Inv(e) и заметим, что exp(e) Inv0 (e) ввиду связности алгебры e.

Упражнение 4.23. Пусть e | унитальная банахова алгебра. Докажи те, что 1) Inv0 (e) | нормальная подгруппа в Inv(e);

2) exp(e) порождает Inv0 (e) как группу;

3) Inv0 (e) = exp(e), если алгебра e коммутативна.

Упражнение 4.24 (для любителей топологии). Пусть e = g() | алгебра непрерывных функций на компакте. Докажите, что фактор группа Inv(e)a exp(e) изоморфна первой группе когомологий r 1 (Y Z).

§ 4.3. О неаналитических функциональных исчислениях Теорема о голоморфном исчислении применима, в частности, к ал гебре B(i) ограниченных операторов в банаховом пространстве. Та ким образом, полиномиальное исчисление p : C[t] B(i) от любо го оператора B(i) продолжается до рационального исчисления r : ('( )) B(i), а рациональное | до голоморфного исчисления h : O('( )) B(i). Естественно спросить, нельзя ли расширить го ломорфное исчисление на какую-нибудь бльшую алгебру, состоящую о 64 4. Голоморфное исчисление из функций (или ростков функций) на спектре:

G ('( )) lG e G O('( )) C[t] gg ll ww gg h wwww l l l gg gg r l w p gg ww l ?

g3  {www l l vl B(i) С точки зрения теории операторов желательно, чтобы алгебра e была достаточно большой для того, чтобы допускать разбиения единицы.

Это позволило бы лучше понять «устройство» оператора, в частности построить для него большое семейство инвариантных подпространств.

Следующее упражнение показывает, что для некоторых операторов такое исчисление действительно существует.

Упражнение 4.25 («научно-исследовательское»). На какие функцио нальные алгебры можно продолжить голоморфное исчисление от сле дующих операторов:

1) диагональный оператор w B(p );

2) оператор умножения wf B(vp (Y "));

3) оператор двустороннего сдвига b B(2 (Z))?

Пожалуй, «самая маленькая» из «классических» функциональных ал гебр на каком-либо открытом множестве C, допускающая разбие ния единицы, | это алгебра гладких функций g (). На этой алгебре есть каноническая топология, задающая равномерную сходимость на компактах со всеми частными производными. Эту топологию можно описать при помощи полунорм следующим образом.

Пусть Rn | открытое множество. Для каждого набора (мульти индекса)  = (1 Y X X X Y n ) Zn положим, как обычно, || = 1 + X X X + n + | | и h = @x 1 @ : : @x . Для каждого компакта u и мультииндекса  n 1:

n Zn введем полунорму · K;

на g (), полагая f K;

= sup |h f(x)|.

+ xK Система всех полунорм указанного вида превращает g () в полинор мированное пространство. Очевидно, оно хаусдорфово (почему?).

Упражнение 4.26. 1. Докажите, что g () | полинормированная алгебра с совместно непрерывным умножением.

2) Докажите, что если C, то компактно-открытая топология на алгебре голоморфных функций O( ) совпадает с топологией, унасле дованной из g ().

Следующее определение принадлежит Ч. Фойяшу.

§ 4.3. О неаналитических функциональных исчислениях Определение 4.10. Оператор B(i) называется обобщенным ска лярным оператором, если существует непрерывный унитальный гомо морфизм  : g (C) B(i), удовлетворяющий условию (t) = (где, как обычно, t(z) = z | «независимая переменная»).

Замечание 4.5. Раз уж есть обобщенные скалярные операторы, то, конечно, есть и «просто» скалярные. Но определяются они несколько сложнее, и их мы рассматривать не будем.

Упражнение 4.27. Пусть B(i) | обобщенный скалярный опера тор. Верно ли, что гомоморфизм  из предыдущего определения един ственный?

Приятное свойство обобщенных скалярных операторов состоит в том, что их поведение можно «локализовать» следующим образом.

Упражнение 4.28. Пусть B(i) | обобщенный скалярный опера тор. Докажите, что для любого покрытия C = двумя открыты ми множествами Y существуют замкнутые -инвариантные подпро странства pY q i, удовлетворяющие условиям '( |F ), '( |G ) и p + q = i.

Указание. Воспользуйтесь разбиением единицы, подчиненным это му покрытию.

Замечание 4.6. Операторы, обладающие свойством, указанным в предыдущем упражнении, называются разложимыми (по Фойяшу).

Вот простейший пример.

Упражнение 4.29. Докажите, что любой оператор в конечномерном пространстве является обобщенным скалярным.

Для следующего примера нам понадобится алгебра g (T) глад ких функций на единичной окружности T C. Топология на этой ал dn гебре вводится при помощи системы полунорм f n = sup dtn f(eit ) tR (n Z+ ). Нетрудно проверить (проверьте!), что гомоморфизм ограни чения g (C) g (T), f f|T, непрерывен.

Упражнение 4.30. Пусть B(i) | сюръективный изометриче ский оператор. Докажите, что существует непрерывный унитальный гомоморфизм  : g (T) B(i), удовлетворяющий условию (t) =.

Как следствие, | обобщенный скалярный оператор.

Указание. Любая функция f g (T) разлагается в ряд Фурье по степеням независимой переменной t.

66 4. Голоморфное исчисление А вот и контрпример.

Упражнение 4.31. Докажите, что операторы правого и левого сдвига в 2 не являются обобщенными скалярными.

Литературные указания По поводу полинормированных пространств см. книгу [30]. От метим, что как сам термин «полинормированное пространство», так и представленный в книге [30] подход к этому понятию (которому мы следуем в этих лекциях) не является самым распространенным. Как правило, в литературе по топологическим векторным пространствам первичной структурой является именно топология на векторном про странстве, а не система полунорм, задающая эту топологию. В соот ветствии с этим и термин «полинормированное пространство» встреча ется в литературе существенно реже, чем термин «локально выпуклое пространство» (см. замечание 4.2). Более подробно о топологических векторных пространствах можно почитать в учебниках У. Рудина [26], Р. Эдвардса [32] и двух Робертсонов [25].

Теорема о голоморфном исчислении в окрестности спектра содер жится в книге [29];

см. также [26]. Алгебра ростков голоморфных функций и голоморфное исчисление на спектре обсуждаются в лекциях А. Гишарде [39]. Про обобщенные скалярные и разложимые операторы можно прочитать в книге [43];

кое-что об этом есть в третьем томе монографии Н. Данфорда и Дж. Шварца [11].

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕЛЬФАНДА В предыдущей главе мы убедились, что любой ограниченный опера тор обладает голоморфным исчислением в произвольной окрестности спектра. Для некоторых классов операторов удается добиться больше го и научиться применять к ним не только голоморфные, но и гладкие, непрерывные, а иногда и некоторые разрывные функции (см. упражне ние 4.25). В ближайшем будущем мы познакомимся с несколькими важ ными результатами о существовании неаналитических функциональ ных исчислений для «хороших» операторов. Для этого нам придется на время отвлечься от операторов и поговорить об алгебрах, состоящих из функций.

Преобразование Гельфанда, о котором пойдет речь ниже, | это не кий универсальный способ «превратить» коммутативную банахову ал гебру в алгебру, состоящую из непрерывных функций на некотором компакте.

§ 5.1. Максимальные идеалы и характеры Пусть e | (пока произвольная) унитальная алгебра.

Определение 5.1. Левый идеал s e называется максимальным, ес ли он собственный (т. е. s = e) и не содержится ни в каком другом собственном левом идеале.

s e содержится в некото Предложение 5.1. Любой левый идеал ром максимальном левом идеале.

Доказательство. Рассмотрим множество w, состоящее из всевоз можных собственных левых идеалов в e, содержащих s. Это множество (частично) упорядочено по включению: t1 t2, если t1 t2. Легко про верить, что оно удовлетворяет условиям леммы Цорна. В самом деле, пусть g w | линейно упорядоченное подмножество;

тогда, очевид но, t = {u : u g} | левый идеал в e. Поскольку 1 u для всех a u g, мы также имеем 1 t, а значит, t | собственный идеал. Сле a довательно, t | верхняя грань для g. Таким образом, условия леммы Цорна выполнены, и в w есть максимальный элемент. Это и есть мак симальный идеал, содержащий s.

Замечание 5.1. Для неунитальных алгебр указанное свойство, вооб ще говоря, не выполняется (попробуйте привести пример). Ситуацию 68 5. Преобразование Гельфанда удается исправить, если рассматривать не все, а только так называе мые модулярные идеалы. Нам же для наших целей вполне хватит и уни тальных алгебр.

e Предложение 5.2. Пусть | унитальная банахова алгебра. Тогда e любой максимальный левый идеал в замкнут.

Доказательство. Если s e | левый идеал, то и его замыкание s тоже левый идеал. Поэтому если идеал s максимален и s = s, то s = e.

Это значит, что s пересекается с любым непустым открытым подмно жеством в e, в частности с множеством Inv(e) всех обратимых элемен тов (см. теорему 2.1). Отсюда следует, что s = e. Противоречие.

Верно ли предыдущее утверждение в алгебрах Упражнение 5.1.

g ()? O(u)?

O( )?

Разумеется, все, что говорилось выше, переносится на правые иде алы и на двусторонние идеалы.

Упражнение 5.2. Пусть e | унитальная коммутативная алгебра.

Докажите, что идеал s e максимален факторалгебра eas | поле.

Начиная с этого момента и до конца главы мы будем рассматривать только коммутативные алгебры. Каждой коммутативной унитальной алгебре e можно сопоставить следующие два важных множества.

Определение 5.2. Максимальным спектром (далее | просто спек тром) алгебры e называется множество (e) всех ее максимальных идеалов. Пространством характеров алгебры e называется множе ство X (e) всех ее ненулевых характеров.

Между (e) и X (e) имеется тесная взаимосвязь. А именно, рас смотрим отображение : X (e) (e), 1 Ker 1.

Докажите, что отображение инъективно.

Упражнение 5.3.

Часто оказывается биекцией. Вот простейший пример такой си туации.

Упражнение 5.4. Пусть e = C[t] | алгебра многочленов. Каждой точке zC сопоставим «вычисляющий» характер z X (e), z (f)=f(z).

Докажите, что полученное отображение  : C X (e) и отображе ние | биекции.

Впрочем, «часто» | это еще не «всегда». Чтобы в этом убедиться, сделайте следующее упражнение.

§ 5.1. Максимальные идеалы и характеры Упражнение 5.5. 1. Придумайте пример коммутативной унитальной алгебры e, для которой не биекция.

2. Опишите X (e), (e) и для алгебр C(t), C[[t]], (w), g (T) и C[t]a(t2 ).

3. Сделайте то же самое для алгебры O(u).

4. Опишите X (e) для алгебр O( ) и g ().

А теперь от алгебр, не снабженных топологией (или снабженных ненормируемой топологией), перейдем к банаховым алгебрам.

e Предложение 5.3. Пусть | унитальная коммутативная банахо 1Ker 1,|биекция.

ва алгебра. Тогда отображение : X (e)(e), Доказательство. Пусть s (e) | максимальный идеал. Ввиду предложения 5.2 он замкнут, поэтому eas | банахово поле (см. упраж нение 5.2). По теореме Гельфанда|Мазура, eas C. Композиция фак = торотображения e eas и изоморфизма eas C | это характер 1 X (e), у которого Ker 1 = s. Следовательно, | сюръекция, и оста ется применить результат упражнения 5.3.

e Следствие 5.1. Пусть | унитальная коммутативная банахова e 1() = 0 для любого X (e).

алгебра. Элемент обратим Импликация тривиальна.

Доказательство.

Докажем импликацию : если элемент e необратим, то главный идеал e, будучи собственным, содержится в некотором максимальном идеале s, а он является ядром характера.

А теперь, как и было обещано, изготовим из e алгебру функций.

Определение 5.3. Пусть e | унитальная коммутативная алгебра.

Преобразованием Гельфанда элемента e называется функция : X (e) C, определяемая формулой (x) = x() для любого x X (e).

^ ^ Непосредственно проверяется (проверьте), что отображение e CX (A),, | унитальный гомоморфизм алгебр.

^ Определение 5.4. Гомоморфизм `A : e CX (A), `A () =, называ ^ ется преобразованием Гельфанда алгебры e.

Замечание 5.2. Из определения следует, что {Ker 1: 1 X (e)}X Ker `A = Итак, преобразование Гельфанда сопоставляет каждой унитальной коммутативной алгебре e алгебру функций Im `A на множестве X (e).

Эта конструкция, а также некоторые ее разновидности, оказалась чрез 70 5. Преобразование Гельфанда вычайно полезной, и не только в функциональном анализе, но и в других науках. Если «забыть» про ядро преобразования Гельфанда, то мож но сформулировать следующий принцип (строго говоря, неверный, но полезный): коммутативные алгебры | это алгебры функций на неко торых «пространствах». Этому утверждению можно придать полную строгость, только для этого нужно заменить X (e) на некоторое боль шее множество, а также несколько расширить смысл понятия «функ ция». Это делается в теории схем А. Гротендика.

Развитие и осмысление этих идей привело к появлению новой идео логии | некоммутативной геометрии. В широком понимании неком мутативная геометрия | это не область математики, а, скорее, точка зрения, согласно которой произвольные (некоммутативные) алгебры или кольца следует представлять себе как «кольца функций на некомму тативных пространствах»(пространствах, которых на самом деле нет).

При этом в зависимости от того, какие именно алгебры и какие их «гео метрические» свойства изучаются, возникает целая серия наук | неком мутативная алгебраическая геометрия, некоммутативная дифференци альная геометрия, некоммутативная топология, некоммутативная тео рия меры... В некотором смысле к некоммутативной геометрии можно отнести алгебраическую u-теорию и теорию квантовых групп. Мы еще вернемся к этой теме, когда будем говорить о g -алгебрах.

Упражнение 5.6. Опишите преобразование Гельфанда для алгебр C[t], C[[t]], (w), O( ), g (), O(u) и C[t]a(t2 ).

Отметим, что для произвольной унитальной коммутативной алге бры e пространства X (e) и (e) | это «всего лишь» множества. Ока зывается, если e | банахова алгебра, то существует канонический спо соб ввести топологию на множестве X (e) (которое в этом случае со впадает с (e);

см. предложение 5.3) так, что преобразования Гельфан да элементов из e будут непрерывными функциями относительно этой топологии. Чтобы описать эту топологию, вернемся ненадолго к поли нормированным пространствам.


§ 5.2. Слабая и слабая* топологии Пусть i |банахово пространство. Для каждого функционала f i введем полунорму · f на i, полагая x f = |f (x)| для каждого x i.

Определение 5.5. Топология на i, задаваемая системой полунорм { · f : f i }, называется слабой топологией на i и обозначается '(iY i ).

§ 5.2. Слабая и слабая* топологии А теперь применим двойственную конструкцию: возьмем вектор x i и введем полунорму · x на i по правилу f x = |f (x)| для каждого f i.

Топология на i, задаваемая системой полунорм Определение 5.6.

x : x i}, называется слабой* топологией на i и обозначается {· '(i Y i).

Замечание 5.3. Отметим, что последовательность {xn } i сходит ся к некоторому элементу x i в топологии '(iY i ) тогда и толь ко тогда, когда f(xn ) f(x) для любого f i (см. упражнение 4.3).

В этом случае говорят, что {xn } слабо сходится к x. Точно так же по следовательность {fn } i сходится к некоторому f i в топологии '(i Y i) тогда и только тогда, когда fn (x) f(x) для любого x i.

Упражнение 5.7. Докажите, что топологии '(iY i ) и '(i Y i) хаус дорфовы.

Следующее упражнение объясняет, почему слабые топологии так называются.

Упражнение 5.8. 1. Докажите, что слабая топология '(iY i ) не сильнее, чем исходная топология на i, и совпадает с ней при dim i `.

2. Докажите, что слабая* топология '(i Y i) не сильнее, чем топо логия на i, задаваемая нормой f = sup |f (x)|, и совпадает с ней x при dim i `.

Более того, справедливо следующее утверждение.

Упражнение 5.9. Докажите, что топологии '(iY i ) и '(i Y i) не нормируемы, если i бесконечномерно. Как следствие, в этом случае топология '(iY i ) строго слабее, чем исходная топология на i, а топо логия '(i Y i) строго слабее, чем топология на i, задаваемая нормой f = sup |f (x)|.

x Следующее свойство пригодится нам в дальнейшем.

Упражнение 5.10. Пусть | топологическое пространство.

1. Докажите, что отображение 9: (iY '(iY i )) непрерыв но тогда и только тогда, когда для каждого f i отображение f 9: C непрерывно.

2. Докажите, что отображение 9: (i Y '(i Y i)) непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого y i отображение C, x 9(x)(y), непрерывно.

72 5. Преобразование Гельфанда Замечание 5.4 (необязательное). Полезно сравнить результат пре дыдущего упражнения с упражнением 4.15: там имела место «двой ственная» ситуация. Дело в том, что слабая и слабая* топологии | это частные случаи так называемой проективной топологии, а топология на O(u) | частный случай индуктивной топологии. Более подробно об этом можно прочитать, например, в книге [25].

Итак, слабая топология на i, как правило, слабее, чем исходная. По этому и функционалов на i, непрерывных в слабой топологии, должно быть меньше или, по крайней мере, не больше, чем в исходной. На самом деле, как показывает следующее упражнение, их ровно столько же.

Упражнение 5.11. Докажите, что линейный функционал f : i C непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в слабой топо логии;

иными словами, (iY '(iY i )) = i.

Так что слабая топология хоть и слабее исходной, но «не намного».

Вот еще одна иллюстрация того же явления.

Упражнение 5.12. Докажите, что линейное подпространство p i замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто в слабой топологии.

Справедливы ли аналогичные утверждения про слабую* топологию?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним некоторые стандартные факты из функционального анализа.

Напоминание 5.1. Каноническое вложение iE : i i задается формулой iE (x) = px Y где px (f) = f(x) для любого f i X Каноническое вложение всегда изометрично. Если оно сюръективно (а значит, является изометрическим изоморфизмом между i и i ), то пространство i называется рефлексивным.

Примеры-упражнения. 1) Докажите, что пространства p и vp (Y ") рефлексивны при 1 ` p `, и что гильбертово пространство рефлек сивно, 2) Докажите, что пространства 0, 1,, g[Y ], v1 [Y ], v [Y ] нерефлексивны.

Теперь мы можем описать функционалы на i, непрерывные в сла бой* топологии.

Упражнение 5.13. Докажите, что линейный функционал p : i C непрерывен в слабой* топологии тогда и только тогда, когда он име § 5.2. Слабая и слабая* топологии ет вид px для некоторого (единственного) x i;

иными словами, (i Y '(i Y i)) = Im iE.

i Следствие 5.2. Следующие свойства банахова пространства эк вивалентны:

i 1) рефлексивно;

pi 2) линейный функционал : C непрерывен по норме тогда и только тогда, когда он непрерывен в слабой* топологии.

Упражнение 5.14. Докажите, что банахово пространство i нере флексивно тогда и только тогда, когда в i существуют замкнутые по норме, но не слабо* замкнутые линейные подпространства.

Вот полезное применение слабой* топологии. Пусть B(iY p ) | ограниченный оператор между банаховыми пространствами. Напо мним, что в общем случае утверждения «оператор инъективен»

и «оператор имеет плотный образ» неэквивалентны (см. упражне ние 3.9). Тем не менее, справедлив следующий результат.

Упражнение 5.15. Докажите, что оператор B(iY p ) инъективен тогда и только тогда, когда его образ Im слабо* плотен в i.

Пожалуй, наиболее для нас важным свойством слабой* топологии будет следующее.

Теорема 5.1 (Банах|Алаоглу). Для любого банахова пространст i E = ва замкнутый единичный шар сопряженного пространства = {f i : f 1} компактен в слабой* топологии.

(набросок). Рассмотрим множество DU, состоя Доказательство E щее из всевозможных отображений из замкнутого единичного шара E = {x i : x 1} в замкнутый единичный диск D C. Это мно жество | компакт в тихоновской топологии. Рассмотрим отображение E DU, сопоставляющее каждому функционалу его ограничение E на E. Нетрудно проверить (проверьте!), что оно топологически инъ ективно и имеет замкнутый образ. Следовательно, шар E гомеомор фен замкнутому подмножеству компактного пространства и поэтому компактен.

Замечание 5.5. Для сравнения напомним, что единичный шар в бес конечномерном нормированном пространстве некомпактен в исходной топологии.

E Следствие 5.3. Замкнутый единичный шар замкнут и в слабой* топологии.

74 5. Преобразование Гельфанда Упражнение 5.16. Докажите, что замкнутый единичный шар E i компактен в слабой топологии '(iY i ) тогда и только тогда, когда пространство i рефлексивно.

§ 5.3. Топология на спектре и преобразование Гельфанда Теперь мы в состоянии определить топологию на спектре униталь ной коммутативной банаховой алгебры e. Напомним (см. предложе ние 5.3), что существует каноническая биекция между пространством (ненулевых) характеров X (e) и максимальным спектром (e), кото рая сопоставляет каждому характеру его ядро. Поэтому в дальнейшем мы будем отождествлять X (e) и (e).

Ограничение слабой* топологии '(e Y e) на мно Определение 5.7.

жество X (e) e называется гельфандовой топологией на X (e) = = (e).

(e) | компакт Предложение 5.4. Спектр в гельфандовой топо логии.

Напомним, что X (e) A (см. следствие 2.2).

Доказательство. Ввиду теоремы Банаха|Алаоглу нам достаточно доказать замкну тость X (e) в A. Возьмем произвольный функционал f X (e) (где замыкание берется в слабой* топологии) и покажем, что он является характером. Для этого фиксируем Y e и 4 b 0 и подберем харак тер 1 X (e) так, чтобы он лежал в слабой* окрестности a;

b;

ab (fY 4) функционала f. Напомним: это означает, что значения f и 1 на ка ждом из элементов, и отличаются друг от друга менее чем на 4.

Следовательно, |f () f()f()| |f () 1()| + |1()1() 1()f()| + + |1()f () f()f()| ` 4 + 4 + 4X В силу произвольности 4 b 0 получаем f() = f()f(), т. е. f | ха рактер. Осталось показать, что f = 0. Для этого подберем 1 X (e) так, чтобы выполнялось неравенство |1 (1) f(1)| ` 1a2. Поскольку 1 (1) = 1, отсюда следует, что f(1) = 0. Следовательно, f | ненулевой характер, т. е. элемент множества X (e).

Итак, топология на (e) введена. Следующая теорема показывает, что преобразование Гельфанда (см. определения 5.3 и 5.4) замечатель ным образом с ней согласовано.

§ 5.3. Топология на спектре и преобразование Гельфанда e Теорема 5.2. Пусть | унитальная коммутативная банахова ал гебра. Справедливы следующие утверждения:

g((e)) e;

(1) ^ для любого e g((e)) (2) `A : | унитальный гомоморфизм нормы 1;

r() e;

(3) ^ = для любого ' e (4) A () = ^() для любого (т. е. `A сохраняет спектр);

(5) Ker `A = {s : s (e)} = { e: '() = 0}.

Доказательство. (1) Из определения функции следует, что она ^ является ограничением на X (e) e функционала pa = iA () e, который непрерывен в слабой* топологии (см. упражнение 5.13).

(4) Если элемент e необратим, то (1) = 1() = 0 для некото ^ рого 1 X (e) (см. следствие 5.1), так что | необратимый элемент ^ в g((e)). Таким образом, `A переводит необратимые элементы в не обратимые, а значит, сохраняет спектр.

(3) Утверждение следует непосредственно из п. (4) и определения sup-нормы на g((e)).

(2) Из п. (3) следует, что = r() для любого e.

^ (5) Утверждение следует из п. (3), замечания 5.2 и предложе ния 5.3.

Ядро преобразования Гельфанда, описанное в п. (5) предыдущей теоремы, носит специальное название.

e Определение 5.8. Пусть | унитальная коммутативная алгебра. Ее e s радикалом Джекобсона называется множество Rad = {s : (e)}.

e e Алгебра называется полупростой, если Rad = {0}.

Замечание 5.6. На самом деле радикал Джекобсона можно опреде лить для произвольных (неунитальных и некоммутативных) колец. По дробности см., например, в книге [16].

Таким образом, из предыдущей теоремы следует, что каждую по лупростую унитальную банахову алгебру можно реализовать как алге бру, состоящую из непрерывных функций на некотором компакте | ее максимальном спектре.

В качестве упражнения докажите еще один результат об «автома тической непрерывности» (ср. следствие 2.2).


Упражнение 5.17. Пусть e и f | унитальные коммутативные бана ховы алгебры, причем алгебра f полупроста. Докажите, что любой унитальный гомоморфизм из e в f непрерывен.

76 5. Преобразование Гельфанда § 5.4. Преобразование Гельфанда: примеры Посмотрим теперь, как выглядят спектр и преобразование Гельфан да для некоторых «классических» банаховых алгебр. Начнем с алгебры g() непрерывных функций на компакте. Для этого напомним вна чале один стандартный факт из общей топологии, утверждающий, что на любом компакте имеется «достаточно много» непрерывных функ ций.

Теорема 5.3. Пусть | хаусдорфов компакт. Тогда для любых xY y, x = y, найдется такая функция f g(), что f(x) = f(y).

Доказывать эту теорему мы не будем;

отметим, впрочем, что для метризуемых компактов она очевидна: достаточно взять функцию z &(xY z).

Свойство алгебры g(), указанное в теореме 5.3, обычно формули руют так: алгебра g() разделяет точки пространства.

Предложение 5.5. Пусть | хаусдорфов компакт, e = g() | ал. Тогда отображение гебра непрерывных функций на X : (e)Y x X;

x Y X;

x (f) = f(x)Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Утверждение об инъективности отображения X является переформулировкой теоремы 5.3. Сюръективность вытекает из следующей ключевой леммы.

s g()|собственный идеал. Тогда Лемма 5.1 («о нулях»). Пусть x, что f(x) = 0 для любой f s.

существует такая точка Доказательство. Предположим противное;

тогда для любого x найдется такая функция fx s, что fx (x) = 0. Ввиду непрерывности функции fx существует такая окрестность x x, что fx (y) = 0 для любого y x. Пользуясь компактностью пространства, подберем x1 Y X X X Y xn так, чтобы выполнялось условие x1 X X X x =, n n n — и положим f = |fx |2 = fx fx. Тогда f s и f(x) = 0 ни в одной i i i i=1 i= точке x. Таким образом, идеал s содержит обратимый элемент f и поэтому совпадает со всей алгеброй. Противоречие.

Из леммы 5.1 следует, в частности, что каждый максимальный идеал s e содержится в Ker X;

x для некоторого x, а значит, совпадает с Ker X;

x ввиду максимальности. Тем самым X | сюръекция.

§ 5.4. Преобразование Гельфанда: примеры Непрерывность отображения X вытекает из упражнения 5.10. В са мом деле, для любого f e отображение C, x X (x)(f), совпа дает с f и потому непрерывно.

Итак, X | непрерывная биекция между компактными простран ствами и (e). Следовательно, X | гомеоморфизм.

Замечание 5.7. Обратите внимание на сходство предложения 5. и упражнения 5.4. На самом деле довольно часто оказывается, что максимальный спектр той или иной алгебры функций на каком-либо множестве совпадает с. Из доказательства предложения 5.5 вид но, что для этого нужно: во-первых, алгебра должна разделять точки пространства, а во-вторых, для нее должен быть справедлив ана лог «леммы о нулях». Кстати, эта лемма справедлива и для алгебры многочленов C[t1 Y X X X Y tn ] от нескольких переменных;

соответствующее утверждение | это слабая форма знаменитой теоремы Гильберта о ну лях (Nullstellensatz). С ее доказательством (которое заметно сложнее, чем для g() или C[t]) можно познакомиться, например, по книжке [24].

Опишем теперь преобразование Гельфанда алгебры g(). Оказы вается, при отождествлении и (g()) оно становится тождествен ным отображением. Чтобы сформулировать это более строго, введем следующие обозначения.

Пусть и | компактные топологические пространства, 9:

| непрерывное отображение. Рассмотрим отображение 9• : g( ) g()Y 9• (f) = f 9 (f g( ))X Легко видеть, что 9• | унитальный гомоморфизм нормы 1. Будем го ворить, что гомоморфизм 9• индуцирован отображением 9.

Вот некоторые простейшие свойства индуцированных гомоморфиз мов.

Предложение 5.6. (1) Если 9: и 2 : | непрерывные отображения компактных пространств, то (29)• = 9• 2 •.

(2) Справедливо равенство (1X )• = 1C(X).

(3) Если 9 | гомеоморфизм, то 9• | изометрический изоморфизм.

Доказательство. Прямая проверка (убедитесь!).

С помощью понятия индуцированного гомоморфизма легко описать преобразование Гельфанда алгебры g().

Предложение 5.7. Пусть | компактное хаусдорфово простран e g().

= ство, | алгебра непрерывных функций на Тогда преобра 78 5. Преобразование Гельфанда e g((e)) | изометрический зование Гельфанда `A : изоморфизм X.

• и обратным к нему является Покажем, что композиция отображений Доказательство.

X ` • e g((e)) g() (5.1) A | тождественное отображение e = g() в себя. В самом деле, [X `A (f)](x) = `A (f)(X;

x ) = X;

x (f) = f(x) • для всех f g(), x. Следовательно, X `A = 1A. Кроме того, X | • гомеоморфизм (см. предложение 5.5), поэтому X | изометрический • изоморфизм (см. предложение 5.6). Отсюда следует, что `A тоже изо метрический изоморфизм и `A = (X )1.

• Замечание 5.8. Из доказательства видно, что если e | это какая-ли бо подалгебра в e = g(), снабженная не менее сильной нормой, чем равномерная, то композиция X `A | это тождественное вложение e • в g(). Поэтому если X | гомеоморфизм на (e) (а мы уже вы яснили, когда это так), то образ преобразования Гельфанда `A алге бры e | это сама алгебра e.

Итак, с алгеброй g() все ясно. Чтобы находить спектр и преобра зование Гельфанда некоторых других банаховых алгебр, полезно вы яснить, как понятие гельфандова спектра связано с понятием спектра элемента алгебры.

Упражнение 5.18. Пусть e | унитальная коммутативная банахова алгебра, порожденная (как банахова алгебра) элементом e (это означает, что e совпадает с замыканием линейной оболочки мно жества {1Y Y 2 Y X X X}). Докажите, что множество значений функции : (e) C совпадает с '() и осуществляет гомеоморфизм (e) ^ ^ на '().

В качестве иллюстрации сделайте следующее упражнение.

Опишите спектр и преобразование Гельфанда ал Упражнение 5.19.

гебр g n [Y ] и A (D).

Из приведенных примеров видно, что довольно часто спектр функ циональной алгебры совпадает, с точностью до гомеоморфизма, с обла стью определения функций из алгебры (см. замечание 5.8). Но иногда область определения приходится немного «подправить». Вот пример та кой ситуации.

§ 5.5. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда Упражнение 5.20. Пусть u C | компакт, u | объединение ком пакта u и всех ограниченных компонент связности его дополнения.

Докажите, что спектр алгебры P(u) (см. пример 2.12) совпадает с u.

Указание. Кроме некоторых стандартных фактов из комплексного анализа можно воспользоваться, например, векторнозначной теоремой единственности (лемма 3.1).

В предыдущем примере область определения функций из алгебры пришлось расширить. А иногда ее бывает нужно «склеить» | например, как в следующем упражнении.

Упражнение 5.21. Пусть e | алгебра всех непрерывных 2%-перио дических функций на прямой, снабженная sup-нормой. Опишите (e).

Замечание 5.9. В § 2.2 мы сделали следующее неформальное наблю дение: спектр функции как элемента функциональной алгебры | это множество значений функции на «подправленной» области определе e ния. Теперь понятно, что это означает: если алгебра состоит из функ ций на каком-нибудь множестве, то спектр функции e совпада ет с множеством значений функции на гельфандовом спектре (e) ^ (см. теорему 5.2, п. 4).

Замечание 5.10. Спектры алгебр вида v (Y ") | это, как правило, нечто довольно экзотическое. Например, спектр алгебры (который, как нетрудно проверить, содержит множество N с дискретной тополо гией) совпадает с так называемой стоун-чеховской компактификацией N пространства N.

Еще одно полезное свойство преобразования Гельфанда | его согла сованность с голоморфным исчислением.

Упражнение 5.22. Пусть e | унитальная коммутативная банахо ва алгебра, e | ее элемент, C | окрестность спектра '() и f O( ) | голоморфная функция. Докажите, что f() = f.

^ § 5.5. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда У понятий гельфандова спектра и преобразования Гельфанда есть одно чрезвычайно важное свойство: они носят естественный харак тер (причем не только в житейском смысле, но и в математическом).

Для того чтобы говорить о «естественных» математических явлениях, существует очень удобный язык | язык категорий и функторов.

80 5. Преобразование Гельфанда Реклама. Понятия категории и функтора носят фундаментальный общематематический характер и относятся к разряду понятий из серии «Это должен знать каждый» (математик). Они помогают воспринимать математику как единую систему, а не как совокупность изолированных наук.

Определение 5.9. Говорят, что задана категория C, если 1) задан класс Ob C (элементы которого называются объектами ка тегории C );

2) для каждой пары объектов Y категории C задано множество hC (Y ) (элементы которого называются морфизмами из в );

вме ' сто 9 hC (Y ) часто пишут 9: или ;

3) для каждых Y Y Ob C задано отображение hC (Y ) hC (Y ) hC (Y );

образ пары (2Y 9) при этом отображении обозначается 2 9 и называ ется композицией морфизмов 2 и 9.

При этом требуется, чтобы закон композиции морфизмов обладал сле дующими свойствами:

'  а) для любых морфизмов, и выполнено соот ношение (1 2) 9 = 1 (2 9);

б) для каждого Ob C существует такой морфизм 1X (назы ваемый локальной единицей или тождественным морфизмом), что для любых морфизмов 9: и 2 : выполнены равенства 9 1X = 9 и 1X 2 = 2.

Определение 5.10. Морфизм 2 : называется обратным к мор физму 9: (и обозначается через 91 ), если 2 9=1X и 92 =1Y.

Морфизм, обладающий обратным, называется изоморфизмом.

Определение 5.11. Категория A называется подкатегорией катего рии B, если Ob A Ob B, для любых Y Ob A выполнено включе ние hA (Y ) hB (Y ) и закон композиции, а также локальные еди ницы в A те же, что в B. Если к тому же hA (Y ) = hB (Y ) для любых Y Ob A, то говорят, что A | полная подкатегория.

Приведем несколько примеров.

Пример 5.1. Категория множеств Set. Ее объекты | множества, морфизмы | отображения, композиция | обычная композиция отобра жений, локальная единица | тождественное отображение. Изоморфиз мы в Set | это биективные отображения.

§ 5.5. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда Многие важные категории состоят из «множеств с дополнительной структурой»;

в качестве морфизмов при этом берутся те отображения, которые эту структуру сохраняют.

Пример 5.2. Категория групп G r: объекты | всевозможные группы, морфизмы | гомоморфизмы групп.

Аналогичным образом строятся и другие алгебраические катего рии: категория колец, векторных пространств, ассоциативных алгебр, алгебр Ли,... (список продолжите сами).

В топологии | свои категории.

Пример 5.3. Категория T op: объекты | топологические простран ства, морфизмы | непрерывные отображения. Особенно важной для нас будет ее полная подкатегория Comp, объекты которой | ком пактные хаусдорфовы пространства. Отметим, что изоморфизмы как в T op, так и в Comp | это в точности гомеоморфизмы.

Пример 5.4. Одна из основных категорий функционального ана лиза | категория Bn, объекты которой | банаховы пространства, а морфизмы | ограниченные ( = непрерывные) линейные операторы.

Изоморфизмы в Bn | это топологические изоморфизмы, т. е. линей ные операторы, являющиеся гомеоморфизмами (ввиду теоремы Банаха это то же самое, что биективные ограниченные операторы).

Пример 5.5. Наряду с категорией Bn удобно также рассматри вать ее (неполную) подкатегорию Bn1, объекты которой те же, что и в Bn, а морфизмы | линейные сжатия, т. е. линейные операторы, норма которых не превосходит 1. Изоморфизмы в Bn1 | это изоме трические изоморфизмы, т. е. биективные линейные операторы, сохра няющие норму.

Пример 5.6. Банаховы алгебры и их непрерывные гомоморфизмы также образуют категорию, обозначаемую через BA. Ее подкате горию, состоящую из унитальных коммутативных банаховых алгебр и непрерывных унитальных гомоморфизмов, мы будем обозначать че рез CBA.

Пример 5.7. Приведем теперь пример категории, не являющейся категорией «множеств со структурой». Пусть C | произвольная ка тегория. Эндоморфизмом объекта Ob(C ) называется произволь ный морфизм. Категория эндоморфизмов End(C ) определяет ся следующим образом: ее объекты | это пары (Y 9), где Ob(C ) и 9 hC (Y ), а морфизм из (Y 9) в (Y 2) | это такой морфизм 82 5. Преобразование Гельфанда u: в C, что диаграмма 'G (5.2) u u   G коммутативна. Как нетрудно проверить, диаграмма (5.2) задает изо морфизм в End(C ) тогда и только тогда, когда u | изоморфизм в C.

В этом случае говорят, что эндоморфизмы 9 и 2 подобны. В частности, для C = Bn мы получаем отношение подобия линейных операторов, а для C = Bn1 | их изометрическую эквивалентность (см. определе ние 3.2).

Пример 5.8. Для каждой категории C ее дуальная категория C определяется так: Ob C = Ob C и hC (Y ) = hC (Y ). Композиция морфизмов в C | это композиция морфизмов в C, взятых в обратном порядке.

В разных областях математики часто возникает понятие «индуци рованного отображения». Это происходит в тех ситуациях, когда не которая общая конструкция определена не только на объектах, но и на морфизмах между ними. Формальное определение таково.

Определение 5.12. Пусть C и D | категории. Говорят, что задан ковариантный функтор p : C D, если 1) каждому объекту Ob(C ) сопоставлен объект p () Ob(D);

2) для каждых объектов Y Ob(C ) задано отображение p : hC (Y ) hD (p ()Y p ( ))Y удовлетворяющее условиям а) p (92)=p (9)p (2) для любых морфизмов 2 : и 9: ;

б) p (1X ) = 1F (X) для любого объекта.

Иногда бывает так, что «индуцированное отображение» p (9) смо трит в противоположном направлении. В такой ситуации говорят, что задан контравариантный функтор.

Определение 5.13. Контравариантный функтор из C в D | это ко вариантный функтор из дуальной категории C в D.

Чтобы получить прямое определение, нужно в п. 2 из определения ковариантного функтора заменить фигурирующее там отображение на отображение hC (Y ) hD (p ( )Y p ()), а условие а) заменить на условие p (9 2) = p (2) p (9).

§ 5.5. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда Вот простейшее, но очень важное свойство функторов.

Предложение 5.8. Если p : C D | функтор (ковариантный или контравариантный), а 9 | изоморфизм в C, то p (9) | изоморфизм D.

в Функторы встречаются в математике буквально на каждом шагу.

Довольно часто взаимосвязи, существующие между различными обла стями математики, выражаются при помощи того или иного функтора;

при этом свойство функторов сохранять изоморфизмы (см. предыду щее предложение) дает удобный способ сводить задачи из одной обла сти математики к задачам из другой области. Это широко использует ся, например, в алгебраической топологии, которая изучает топологи ческие пространства при помощи разнообразных функторов, действу ющих из топологических категорий в алгебраические. Более подробно об этом написано во введении к книге [22].

Из-за недостатка времени и места мы не будем задерживаться на многочисленных примерах функторов (см. литературные указания в конце главы). Приведем лишь несколько примеров, необходимых нам для дальнейшего.

Пример 5.9. Контравариантный функтор сопряжения : Bn Bn сопоставляет каждому банахову пространству i его сопряжен ное пространство i, а каждому ограниченному оператору : i p | сопряженный оператор : p i. Этот же функтор можно рассма тривать как функтор из Bn1 в Bn1.

А теперь опишем два функтора, имеющих непосредственное от ношение к коммутативным банаховым алгебрам. Первый из них уже встречался нам в § 5.4.

Пример 5.10. Контравариантный функтор g : Comp CBA сопо ставляет каждому компакту банахову алгебру g(), а непрерывному отображению 9: | гомоморфизм 9• : g( ) g(), f f (см. предложение 5.6).

Пример 5.11. Контравариантный функтор : CBA Comp, назы ваемый функтором спектра, сопоставляет каждой унитальной комму тативной банаховой алгебре e ее гельфандов спектр (e), а каждому унитальному непрерывному гомоморфизму 2 : e f | непрерывное отображение (2): (f) (e), переводящее характер 1 (f) в ха рактер 1 2 (e). Иными словами, (2) | это просто ограничение сопряженного оператора 2 : f e на (f).

Упражнение 5.23. Как (2) действует на максимальные идеалы?

84 5. Преобразование Гельфанда Итак, у нас есть два функтора g и, действующие во встречных направлениях. Мы уже знаем (см. предложение 5.5), что если подейство вать на какой-нибудь компакт функтором g, а потом применить, то получится, с точностью до гомеоморфизма, исходный компакт. На самом деле можно сказать больше: гомеоморфизмы (g()), рас = смотренные для всевозможных компактов, согласованы друг с дру гом. Чтобы сформулировать это более строго, введем еще одно важное понятие.

Пусть C, D | категории и pY q: C D | ковариантные функторы.

(или функторный Определение 5.14. Естественное преобразование : p q X : p () q() | это семейство морфизмов морфизм) в D, заданных для каждого Ob(C ), обладающее тем свойством, что для любого морфизма 9: в C диаграмма F (') G p () p ( ) X Y   G(') G q() q( ) коммутативна.

Если X | изоморфизм для любого Ob(C ), то  называется естественной эквивалентностью (или функторным изоморфизмом).

Пример 5.12. Рассмотрим два ковариантных функтора, действую щих в категории Bn банаховых пространств: тождественный функ тор 1Ban и функтор «двойного сопряжения» : Bn Bn, определя емый как композиция функтора сопряжения (см. пример 5.9) с самим собой. Для каждого банахова пространства i рассмотрим канониче ское вложение iE : i i. Нетрудно проверить (проверьте!), что се мейство {iE : i i : i Ob(Bn)} | морфизм функторов 1Ban. Если ограничить наши функторы на полную подкатегорию RBn, состоящую из рефлексивных про странств, то мы получаем естественную эквивалентность между то ждественным функтором и функтором «двойного сопряжения». (Это объясняет, почему естественный изоморфизм между конечномерным линейным пространством и его вторым сопряженным, о котором обыч но рассказывают в курсе линейной алгебры, называется «естествен ным».) § 5.5. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда Замечание 5.11. Интересно, что язык категорий и функторов был придуман специально для того, чтобы ввести понятие естественной эквивалентности, т. е. чтобы математически строго описать многочи сленные ситуации, когда «что-то естественно изоморфно чему-то». Все эти понятия (категория, функтор, естественное преобразование, есте ственная эквивалентность,...) ввели С. Эйленберг и С. Маклейн в 1945 г.

(см. [38]).

А теперь вернемся к функторам g и.

Упражнение 5.24. Докажите, что семейство гомеоморфизмов {X : (g()): Ob(Comp)} является естественной эквивалентностью тождественного функтора 1Comp и функтора g : Comp Comp.

Упражнение 5.25. Докажите, что семейство гомоморфизмов {`A : e g((e)): e Ob(CBA )} | естественное преобразование из тождественного функтора 1CBA в функтор g : CBA CBA.

Можно пойти еще дальше и установить следующий факт.

Упражнение 5.26. Докажите, что для каждой унитальной комму тативной банаховой алгебры e и каждого компакта существует би екция hComp (Y (e)) hCBA (eY g()). Эта биекция естественна по = e и (придайте строгий смысл последней фразе и докажите).

Замечание 5.12. Свойство функторов и g, указанное в предыду щем упражнении, означает, что эти функторы сопряжены друг другу.

Литературные указания Базовая информация о преобразовании Гельфанда содержится во многих учебниках по банаховым алгебрам и теории операторов (см. ли тературные указания к гл. 2). Мы следовали в основном книге [29];

в частности, оттуда взята категорная интерпретация преобразования Гельфанда. Теорема 5.3 доказана, например, в учебнике Дж. Келли [13].



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.