авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. Ю. Пирковский Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов ...»

-- [ Страница 3 ] --

По поводу дальнейшей информации о коммутативных банаховых алге брах см. книги [4, 39, 21] и в особенности [5].

Наиболее полное руководство по теории категорий | недавно пере веденная книга С. Маклейна [17];

см. также учебник И. Букура и А. Де ляну [3]. Одно из лучших введений, снабженное большим количеством 86 5. Преобразование Гельфанда примеров, | вторая глава книги С. И. Гельфанда и Ю. И. Манина [7], а также добавление к лекциям Ю. И. Манина [18]. О категориях, типич ных для функционального анализа, см. [30]. Основные сведения о ка тегориях и функторах есть также в любой книге по алгебраической топологии.

По поводу слабой и слабой* топологии см. [30] или какую-либо из книг о топологических векторных пространствах (см. литературные указания к гл. 4).

C -АЛГЕБРЫ И НЕПРЕРЫВНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 6. Теперь мы уже знаем достаточно о коммутативных банаховых алге брах и можем вернуться к нашему разговору о функциональном исчи слении от ограниченного оператора. Наша следующая цель | постро ить непрерывное функциональное исчисление, т. е. научиться приме нять к оператору непрерывные функции, определенные на его спектре.

На примерах мы убедились, что это возможно не всегда: произвольный ограниченный оператор может не обладать даже гладким исчислением (а уж непрерывным | и подавно). Тем не менее, существует важный класс операторов, к которым можно применять непрерывные (и да же некоторые разрывные) функции. Это так называемые нормальные операторы в гильбертовом пространстве, к изучению которых мы и пе реходим.

§ 6.1. Операторы в гильбертовом пространстве C и -алгебры Напоминание 6.1. Пусть r | гильбертово пространство. Существу ет каноническое отображение tH : r r Y tH (y) = fy Y где fy (x) = xY y для всех x rY которое антилинейно и, ввиду теоремы Рисса, биективно и изометрич но. Пусть теперь r1 и r2 |гильбертовы пространства, B(r1Yr2 )| ограниченный оператор, B(r2 Y r1 ) | его сопряженный. Эрмито во сопряженным к называется оператор + : r2 r1, определяемый при помощи коммутативной диаграммы T ry 1 o ry JH1 JH T + r1 o r Иначе говоря, +=tH1 tH2. Оператор + линеен, ограничен, и + = =. Эквивалентным способом оператор + может быть определен как единственное отображение из r2 в r1, удовлетворяющее тожде ству xY y = xY + y для всех x r1, y r2.

6. g -алгебры и непрерывное исчисление В дальнейшем, говоря об операторах между гильбертовыми про странствами, вместо + мы будем (как это обычно и делается) писать и называть этот оператор сопряженным к (опуская слово «эрми тово»). В оставшейся части лекций «обычные» сопряженные операторы нам больше не встретятся.

Рассматривая операторы, действующие в каком-то одном гиль бертовом пространстве r, мы получаем операцию : B(r) B(r),, на алгебре B(r). Посмотрим, какими свойствами она обла дает.

Y B(r) и !Y " C. Тогда Предложение 6.1. Пусть — 1) (! + " ) = ! + " ;

— 2) ( ) = ;

3) = ;

4) = ;

5) = 2.

Доказательство. Свойство 4 уже упоминалось выше, а доказатель ство свойств 1|3 | простое упражнение. Докажем свойство 5. С одной = 2 ввиду свойства 4. С другой стороны, стороны, x 2 = xY x = xY x x x x для всех x r. Отсюда следует противоположное неравенство.

Эти свойства операции «звездочка» служат мотивировкой для сле дующего определения.

Определение 6.1. Пусть e | алгебра. Отображение : ee,, называется инволюцией, если оно обладает свойствами 1|3 из предло жения 6.1. Алгебра, снабженная инволюцией, называется инволютив ной алгеброй. Инволютивная банахова алгебра | это банахова алгебра, снабженная инволюцией, обладающей свойством = для всех e. Инволютивная банахова алгебра называется g -алгеброй, если в ней выполняется тождество = 2 ( e). Само это тожде ство называется g -тождеством.

Сразу же введем отображения, уважающие инволюцию.

Определение 6.2. Гомоморфизм 9: e f между инволютивными алгебрами называется инволютивным (или -гомоморфизмом), если 9( ) = 9() для всех e.

Ясно, что класс всех инволютивных алгебр (инволютивных бана ховых алгебр, g -алгебр) и инволютивных (инволютивных ограничен ных) гомоморфизмов образует категорию.

Операторы в гильбертовом пространстве и g -алгебры § 6.1.

Вот несколько примеров.

Поле C становится g -алгеброй, если в качестве инво Пример 6.1.

люции взять комплексное сопряжение.

Как следует из предложения 6.1, B(r) | g -алгебра.

Пример 6.2.

Пример 6.3. Пусть | хаусдорфов компакт. Определим инволю цию на g() по формуле f (x) = f(x) (x ). Легко видеть, что g() становится g -алгеброй.

Пример 6.4. Аналогичным образом, если (Y A Y ") | пространство с мерой, то алгебра fA () A -измеримых ограниченных функций и алгебра v (Y ") являются g -алгебрами относительно инволюции f (x) = f(x) (x ).

Алгебра g n [Y ] | инволютивная банахова алгебра от Пример 6.5.

носительно инволюции f (x) = f(x) (x [Y ]).

Пример 6.6. Алгебра A (D) | инволютивная банахова алгебра отно сительно инволюции f (z) = f(—) (z D).

z Докажите, что если n 1, то Упражнение 6.1.

1) алгебра g n [Y ] не является g -алгеброй;

2) алгебра g n [Y ] не изоморфна никакой g -алгебре как инволю тивная банахова алгебра (т. е. не существует непрерывного биективно го -изоморфизма алгебры g n [Y ] ни на какую g -алгебру e);

3) алгебра g n [Y ] не изоморфна никакой g -алгебре как банахова алгебра;

4) алгебра g n [Y ] не изоморфна никакой g -алгебре как алгебра;

5) то же самое верно и для алгебры A (D).

между g -ал Приведем теперь типичный пример -гомоморфизма гебрами.

Пример 6.7. Пусть (Y ") | пространство с мерой, и пусть r = =v2(Y "). Отображение 9: v(Y ")B(r), переводящее f v(Y ") в оператор умножения wf B(r), является унитальным изометриче ским -гомоморфизмом. В самом деле, соотношение wf = wf— легко проверяется (проверьте!), а остальное следует из упражнения 3.2.

Таким образом, алгебра v (Y ") изометрически вкладывается (с сохранением инволюции) в алгебру B(r). Оказывается, то же са мое верно для любой g -алгебры.

6. g -алгебры и непрерывное исчисление Теорема 6.1 (вторая теорема Гельфанда|Наймарка). Для любой g -алгебры e существуют гильбертово пространство r и изометри ческий -гомоморфизм e B(r).

Мы не будем доказывать эту теорему, поскольку это увело бы нас в сторону от нашей основной темы и потребовало бы много времени, но все же знать о ней стоит.

Пусть теперь e | инволютивная унитальная алгебра.

Определение 6.3. Элемент e называется самосопряженным, ес ли =. Множество всех самосопряженных элементов в e обознача ется esa.

Следующее предложение показывает, что самосопряженные элемен ты играют роль «действительных чисел».

e существует единственная па Предложение 6.2. Для любого Y esa, удовлетворяющих условию ра самосопряженных элементов = + i. При этом = ( + ), = ( ).

1 2 2i Прямая проверка (убедитесь!).

Доказательство.

Элемент u e называется унитарным, если uu = Определение 6.4.

= u u = 1 (т. е. если он обратим и u = u1 ).

Элемент e называется нормальным, если = Определение 6.5.

=.

Отметим, что любой самосопряженный элемент нормален и любой унитарный элемент нормален.

Элемент p e называется ортопроектором, если Определение 6.6.

p = p2 = p.

Следующее упражнение объясняет геометрический смысл введен ных понятий.

Упражнение 6.2. 1. Докажите, что оператор B(r) унитарен он биективен и xY y = xY y для всех xY y r.

2. Докажите, что оператор B(r) | ортопроектор существу ет такое замкнутое линейное подпространство r0 r, что x = x для всех x r0 и x = 0 для всех x r0.

Упражнение 6.3. Докажите, что операторы сдвига на группах (см.

пример 3.4) в соответствующих v2 -пространствах унитарны.

Спектры элементов g -алгебр § 6.2. Пример 6.8. Пусть (Y ") | пространство с мерой, f v (Y "), wf B(v2 (Y ")) | оператор умножения на f. Из соотношения wf = = wf— (см. пример 6.7) легко следует, что 1) оператор wf нормален;

2) оператор wf самосопряжен f(x) R для почти всех x ;

3) оператор wf унитарен f(x) T для почти всех x ;

4) оператор wf | ортопроектор f(x) {0Y 1} для почти всех x.

Замечание 6.1. Вскоре мы увидим, что wf | это больше чем про сто пример нормального оператора;

окажется, что любой нормальный оператор в гильбертовом пространстве изометрически эквивалентен некоторому оператору wf (для подходящих (Y ") и f).

Упражнение 6.4. Исследуйте, какие из операторов, упоминавшихся в гл. 3, нормальны, а какие | нет.

C § 6.2. Спектры элементов -алгебр.

Первая теорема Гельфанда|Наймарка Наша ближайшая цель | доказать первую теорему Гельфанда| Наймарка, которая, говоря неформально, утверждает, что коммута g тивные унитальные -алгебры | это то же самое, что компакт ные топологические пространства. Попутно мы установим некоторые полезные спектральные свойства элементов g -алгебр, которые приго дятся нам впоследствии.

Предложение 6.3. Пусть e | унитальная инволютивная алгебра, e | ее элемент. Тогда 1) элемент обратим элемент обратим;

при этом ( )1 = = (1 ).

— 2) '( ) = {!: ! '()}.

Упражнение.

Доказательство.

e | унитальная g -алгебра, u e | уни Предложение 6.4. Пусть u = 1 и '(u) T.

тарный элемент. Тогда Поскольку u 2 = u u = 1 = 1, мы также име Доказательство.

ем u = 1. Поэтому если ! '(u), то |!| 1 (см. теорему 2.2). С другой стороны, !1 '(u1 ) (см. упражнение 2.21). Но элемент u1 тоже уни тарен, поэтому и |!1 | 1. Значит, |!| = 1, как и требовалось.

6. g -алгебры и непрерывное исчисление Упражнение 6.5. Пусть e | унитальная g -алгебра, p e | орто проектор. Найдите p и '(p).

e | унитальная g -алгебра, e | само Предложение 6.5. Пусть сопряженный элемент. Тогда элемент eia унитарен.

Для доказательства нам понадобится следующий несложный факт.

Упражнение 6.6. Пусть e | унитальная банахова алгебра.

1. Докажите, что если Y e коммутируют, то ea+b = ea eb.

2. Докажите, что (ea )1 = ea для любого e.

Доказательство предложения. С учетом предыдущего упражнения получаем n n (eia ) = = eia = (eia )1 X = ((ia) ) (ia) n! n!

n n e | унитальная g -алгебра, e | само Предложение 6.6. Пусть сопряженный элемент. Тогда '() R.

Доказательство. Если ! '(), то ei '(eia ) по теореме об ото бражении спектра. Из предыдущих двух предложений следует, что |ei | = 1, а это возможно только при ! R.

e | унитальная g -алгебра.

Предложение 6.7. Пусть Тогда ка 1: e C | -гомоморфизм.

ждый ее характер Доказательство. Пусть вначале esa. Тогда '() R, поэто му и '(1()) R, т. е. 1() R. Если элемент e произволен, то = + i, где Y esa (см. предложение 6.2). Поэтому 1()Y 1() R и 1( ) = 1( i) = 1() i1() = (1() + i1()) = 1(), как и требова лось.

e | унитальная g -алгебра, e | нор Предложение 6.8. Пусть мальный элемент. Тогда = r().

Доказательство. Для любого esa имеем 2 = 2. Применяя это равенство к элементу = и пользуясь нормальностью элемен та, получаем 4 = 2 = ( )2 = (2 ) 2 = 2 2 X Следовательно, 2 = 2. По индукции отсюда легко выводится, что 2 = 2 для любого n. Поэтому r() = lim 2 2 =.

n n n n n Упражнение 6.7. Какие из предыдущих предложений сохраняют си лу для произвольных унитальных инволютивных банаховых алгебр?

Спектры элементов g -алгебр § 6.2. Теперь у нас все готово для доказательства первой теоремы Гель фанда|Наймарка. Еще один стандартный факт, которым мы будем пользоваться | это теорема Стоуна|Вейерштрасса. Приведем ее фор мулировку (без доказательства).

Теорема 6.2 (Стоун|Вейерштрасс). Пусть | компактное хаус f g() дорфово пространство, | подалгебра со следующими свой ствами:

1) 1 f;

— 2) если f f, то и f f;

3) f разделяет точки пространства (т. е. для любых xY y, x = y, существует такая функция f f, что f(x) = f(y)).

f g().

Тогда подалгебра плотна в e Теорема 6.3 (первая теорема Гельфанда|Наймарка). Пусть | g унитальная коммутативная -алгебра. Тогда преобразование Гель e g((e)) фанда `A : | изометрический -изоморфизм.

Доказательство. Для любого e и любого x (e) = X (e) с учетом предложения 6.7 имеем `A ( )(x) = x( ) = x() = `A ()(x) = `A () (x)X Это означает, что `A | -гомоморфизм. Если esa, то из предложе ния 6.8 и свойств преобразования Гельфанда следует, что `A () = = r() =. Если же элемент e произволен, то `A () 2 = `A () `A () = `A ( ) = = 2 X Следовательно, отображение `A изометрично и, в частности, имеет за мкнутый образ. Наконец, легко видеть, что подалгебра f = Im `A g((e)) удовлетворяет условиям теоремы Стоуна|Вейерштрасса (проверьте!) и поэтому плотна в g((e)). Дальнейшее очевидно.

Замечание 6.2. Итак, никаких других коммутативных унитальных g -алгебр, кроме алгебр вида g(), не бывает. А как же ? На са мом деле никакого противоречия здесь нет: алгебра изометрически изоморфна g(), где = ( ) = N | стоун-чеховская компактифи кация множества N, наделенного дискретной топологией (см. замеча ние 5.10).

Таким образом, если мы договоримся отождествлять гомеоморф ные компакты и изометрически -изоморфные g -алгебры, то, говоря несколько нестрого, соответствие g() | это биекция между ком пактными пространствами и коммутативными унитальными g -алге 6. g -алгебры и непрерывное исчисление брами. Но на самом деле можно сказать больше: это соответствие по зволяет отождествить не только объекты, но и морфизмы соответству ющих категорий. Такие ситуации встречаются в математике довольно часто, и для их описания существует специальный термин.

Определение 6.7. Пусть C и D | категории, p : C D | ковари антный функтор. Говорят, что p осуществляет эквивалентность (или является эквивалентностью) между C и D, если существует такой функтор q: D C, что функтор p q изоморфен 1D, а q p изомор фен 1C. При этом функтор q называется квазиобратным к p.

Если p : C D | контравариантный функтор, то говорят, что он осуществляет антиэквивалентность категорий C и D, если соответ ствующий ковариантный функтор p : C D | эквивалентность.

Сформулируем теперь первую теорему Гельфанда|Наймарка в бо лее полной и правильной форме. Обозначим через g A lg категорию унитальных g -алгебр и непрерывных унитальных -гомоморфизмов, а через gg A lg | ее полную подкатегорию, состоящую из коммута тивных унитальных g -алгебр.

теорема Гельфанда|Наймарка). Функтор Теорема 6.4 (первая g: gg A lg Comp является антиэквивалентностью категорий.

gg lg Квазиобратным к нему служит функтор : A Comp. При  g g этом : 1Comp и `: 1CC | функторные изомор A lg физмы.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 6.3 и упражне ний 5.24 и 5.25.

На первый взгляд может показаться, что в этой формулировке мы потеряли часть информации: ведь `A : e g((e))|это не просто не прерывный биективный -изоморфизм, а еще и изометрия. На самом де ле, как мы сейчас увидим, изоморфизм в g A lg (а значит, и в gg A lg) автоматически является изометрией.

e Предложение 6.9. Пусть | инволютивная унитальная банахова f g 9: e f | унитальная -алгебра, алгебра, | унитальный -гомо 9 = 1.

морфизм. Тогда гомоморфизм непрерывен и Доказательство. Пусть вначале esa ;

тогда 9() fsa, поэтому 9() = r(9()) r() (см. предложение 6.8). Если же элемент e произволен, то, применяя только что доказанное неравенство к элементу, мы получаем 9() 2 = 9() 9() = 9( ) = 2 X § 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства Следовательно, 9() для любого, т. е. 9 1. Противополож ное неравенство следует из того, что 9(1) = 1.

Следствие 6.1. Любой унитальный -изоморфизм между униталь g ными -алгебрами изометричен.

Замечание 6.3. Неформальный смысл первой теоремы Гельфанда| Наймарка состоит в том, что изучать компакты | это то же самое, что изучать унитальные коммутативные g -алгебры. Поэтому на про извольную (т. е. некоммутативную) унитальную g -алгебру можно смо треть как на «алгебру непрерывных функций на некоммутативном ком пактном пространстве» (или, выражаясь еще более вольно, как на «не коммутативное компактное пространство»). Идею рассматривать те орию g -алгебр как «некоммутативную топологию» первым система тически начал развивать А. Конн. Интересно, что такая точка зрения принесла (и продолжает приносить) большую пользу обеим наукам | как топологии, так и теории операторных алгебр. См. литературные указания в конце главы.

Вот еще одно полезное спектральное свойство g -алгебр, которое вскоре нам понадобится.

e | унитальная g -алгебра, f e | замкну Теорема 6.5. Пусть тая -подалгебра, содержащая единицу e. Тогда 'B () = 'A () для лю бого f.

Доказательство. Достаточно доказать, что f | наполненная под алгебра, т. е. что каждый элемент f, обратимый в e, обратим и в f. Итак, пусть f Inv(e);

тогда fsa Inv(e), поэто му 'B ( ) R (предложение 6.6). Значит, для любого t R эле мент + it1 обратим в f. Рассмотрим теперь ( + it1)1 f и ( )1 e как элементы алгебры e. Устремляя t к нулю и пользу ясь замкнутостью подалгебры f, мы видим, что ( )1 f. Поэтому элемент ( )1 f | левый обратный для. Применяя аналогичное рассуждение к элементу, мы получаем, что элемент обратим спра ва в f. Следовательно, Inv(f), как и требовалось.

§ 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства А теперь, как и было обещано, мы докажем, что нормальные опе раторы в гильбертовом пространстве (а на самом деле | нормальные элементы любых g -алгебр) обладают непрерывным исчислением.

6. g -алгебры и непрерывное исчисление Пусть e | унитальная инволютивная банахова алгебра, e | ее нормальный элемент, u C | компакт. Как и раньше, через t g(u) обозначим функцию t(z) = z.

Определение 6.8. Непрерывным исчислением от на u называется непрерывный унитальный -гомоморфизм c : g(u) e, удовлетворя ющий условию c (t) =.

u Предложение 6.10. Если непрерывное исчисление от на суще ствует, то оно единственно.

Доказательство. Пусть g(u) | унитальная подалгебра, поро — — жденная функциями t и t (т. е. множество всех полиномов от t и t).

Из теоремы Стоуна|Вейерштрасса следует, что подалгебра плот на в g(u);

с другой стороны, отображение c однозначно определено на.

Упражнение 6.8. Докажите, что если непрерывное исчисление от на u существует, то '() u.

Если не налагать на e никаких условий, то непрерывного исчисле ния может и не существовать. Чтобы в этом убедиться, сделайте сле дующее упражнение.

Упражнение 6.9. Приведите пример унитальной инволютивной ба наховой алгебры e и нормального элемента e, не обладающего не прерывным исчислением ни на каком компакте.

e | унитальная g -алгебра, e | нормаль Теорема 6.6. Пусть ный элемент. Тогда для любого компакта u C, содержащего '(), существует единственное непрерывное исчисление c : g(u) e от на u. Если u = '(), то отображение c изометрично.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай u = '() (по чему?). Пусть f e | унитальная g -подалгебра, порожденная эле ментом (т. е. f = span{m ( )n : mY n Z+ }). Очевидно, подалге бра f коммутативна. Пусть = (f) | ее максимальный спектр. В си лу первой теоремы Гельфанда|Наймарка преобразование Гельфанда `B : f g() | изометрический -изоморфизм. Рассмотрим отобра жение 9: 'B (), 9(x) = (x) для всех x. Из свойств преобразо ^ вания Гельфанда следует, что 9 | сюръекция;

кроме того, 'B () = '() ввиду теоремы 6.5. Из сюръективности отображения 9 вытекает, что индуцированный гомоморфизм 9• : g('()) g(), f f 9, изоме тричен. Определим теперь c : g('()) e как единственное отобра § 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства жение, делающее следующую диаграмму коммутативной:

 f e G y y c ` B g() o g('()) '• (здесь верхняя стрелка | вложение f в e). Из сказанного выше следу ет, что c | изометрический -гомоморфизм. Далее, для любого x мы имеем 9• (t)(x) = t(9(x)) = (x), поэтому c (t) = `1 9• (t) =. Сле ^ B довательно, c | непрерывное исчисление от на u = '().

Упражнение 6.10. Докажите, что на самом деле отображение 9:

'(), участвующее в доказательстве теоремы, не просто сюръектив но, а является гомеоморфизмом (ср. упражнение 5.18). Следовательно, 9• : g('()) g() | изометрический -изоморфизм.

Теорему 6.6 можно переписать в следующем виде (ср. теоремы 2. и 4.3).

e | унитальная g -алгебра, u C | непустой Теорема 6.7. Пусть компакт. Существуют канонические биекции нормальные унитальные e: X элементы -гомоморфизмы '() u g(u) e Здесь стрелка, действующая слева направо, сопоставляет элементу e u, его непрерывное исчисление на а стрелка, действующая спра % g(u) e %(t), ва налево, сопоставляет гомоморфизму : элемент t(z) z z u.

= для любого где Итак, непрерывное исчисление построено. Посмотрим теперь на его свойства. Всюду далее e|унитальная g -алгебра, e|нормальный элемент.

Во-первых, непрерывное исчисление, как и следовало ожидать, со гласовано с голоморфным.

Упражнение 6.11. Пусть h и c | голоморфное и непрерывное ис числения от на '(). Докажите, что следующая диаграмма коммута тивна:

O('()) h @ mT e mmm mm c  g('()) 6. g -алгебры и непрерывное исчисление (здесь вертикальная стрелка | канонический «гомоморфизм ограниче ния», определяемый очевидным образом).

Упражнение 6.12. Сформулируйте и докажите согласованность не прерывных исчислений на разных компактах (ср. упражнение. 4.12).

Благодаря результатам двух последних упражнений мы можем, ко гда удобно, вместо c (f) писать просто f() для любой непрерывной функции f на любом компакте, содержащем '() (как мы и делали раньше для полиномиального, рационального и голоморфного исчисле ний).

Упражнение 6.13 (теорема об отображении спектра). Докажите, что для любой функции f g('()) справедливо равенство '(f()) = = f('()).

Упражнение 6.14 (теорема о композиции). Докажите, что если f g('()) и g g('(f())), то g(f()) = (g f)().

Упражнение 6.15 (перестановочность с гомоморфизмами). Пусть 9: e f | унитальный -гомоморфизм g -алгебр. Докажите, что 9(f()) = f(9()) для любой функции f g('()).

Следствие 6.2 (согласованность с преобразованием Гельфанда). Ес e f() = f f ^ ли алгебра коммутативна, то для любой функции g('()).

Доказательство. Достаточно применить результат предыдущего упражнения, взяв в качестве 9 любой характер алгебры e.

Как и в случае голоморфного исчисления (см. упражнение 4.18), естественно спросить, верна ли теорема об отображении спектра для его частей. Впрочем, как видно из следующего упражнения, у спектра нормального оператора этих частей не так уж и много.

Упражнение 6.16. Пусть B(r) | нормальный оператор. Дока жите, что 'r ( ) = Y 'ap ( ) = 'su ( ) = '( )Y 'p ( ) = 'com ( )X Указание. Вначале докажите следующее:

1) Ker = Ker для любого оператора B(r);

2) если оператор нормален, то Ker = Ker = (Im ).

Упражнение 6.17. Пусть B(r) | нормальный оператор, f g('( )). Верно ли, что 'p (f( )) = f('p ( ))? Ответьте на тот же во прос для 'c.

§ 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства Теперь разберитесь с «модельным примером» нормального операто ра (ср. замечание 6.1).

Упражнение 6.18. Пусть (Y ") | пространство с мерой, и пусть f v (Y "). Опишите непрерывное исчисление от оператора умно жения wf, действующего в v2 (Y ").

Интересно, что многое из того, что было только что доказано (или предложено в качестве упражнения), переносится на случай «несколь ких переменных». Чтобы в этом убедиться, сделайте следующее упраж нение.

Упражнение 6.19 («научно-исследовательское»). Пусть e | униталь ная g -алгебра, 1 Y X X X Y n e | попарно коммутирующие нормальные элементы. Придумайте определение совместного спектра '(1 Y X X X Y n ) так, чтобы он был непустым компактом в Cn и для n = 1 превращал ся в обычный спектр элемента. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывном функциональном исчислении от 1 Y X X X Y n и теорему об отображении спектра.

Литературные указания Одно из лучших введений в теорию g -алгебр, недавно переведенное на русский язык, | книга Дж. Мёрфи [20]. Более глубокие результаты о представлениях g -алгебр содержатся в монографии Ж. Диксмье [12].

См. также [29, 30, 26, 21]. В частности, в любой из этих книг (кроме [30]) можно найти доказательство второй теоремы Гельфанда|Най марка (теорема 6.1). О физических приложениях операторных алгебр (в частности, g -алгебр) см. монографию У. Браттели и Д. Робинсо на [2]. Теорема Стоуна|Вейерштрасса (теорема 6.2) доказана в учеб никах [26] и [23].

С некоммутативной геометрией можно познакомиться по осново полагающей книге А. Конна [34];

более доступные источники | книга Дж. Ланди [42] или лекции Н. Хигсона и Дж. Роу [41].

7. БОРЕЛЕВСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В предыдущей главе мы выяснили, что любой нормальный элемент унитальной g -алгебры обладает непрерывным исчислением на любом компакте в C, содержащем его спектр. Наша очередная задача | про должить непрерывное исчисление с алгебры непрерывных функций на более широкую алгебру, состоящую из всех ограниченных борелевских функций на этом компакте. В произвольной g -алгебре сделать это, вообще говоря, нельзя;

тем не менее, мы покажем, что в нашей «глав ной» g -алгебре | алгебре B(r) | любой нормальный элемент обла дает борелевским исчислением. Для этого нам понадобится некоторая подготовка. Для начала мы установим несколько общих фактов об опе раторах в гильбертовом пространстве.

§ 7.1. Операторы и полуторалинейные формы Пусть r | векторное пространство (как всегда, над C).

: r r C называется полуто Определение 7.1. Отображение !Y " C и любых xY yY z r выпол ралинейной формой, если для любых нены равенства 1) (!x + "yY z) = !(xY z) + "(yY z);

— 2) (xY !y + "z) = !(xY y) + "(xY z).

— Полуторалинейная форма называется эрмитовой, если (xYy)=(yYx) для любых xY y r.

Отображение r C, x (xY x), называется квадратичной фор.

мой, ассоциированной с Следующая полезная формула показывает, что полуторалинейная форма полностью восстанавливается по своей квадратичной форме.

Упражнение 7.1. Докажите, что если | полуторалинейная форма, то справедливо тождество поляризации ik (x + ik yY x + ik y)X (xY y) = k= Упражнение 7.2. Докажите, что полуторалинейная форма эрми това тогда и только тогда, когда (xY x) R для любого x r.

§ 7.1. Операторы и полуторалинейные формы Пусть теперь r | гильбертово пространство. Каждому линейно му (не обязательно ограниченному) оператору : r r сопоста вим полуторалинейную форму T на r по правилу T (xY y) = xY y (xY y r).

Следующее упражнение показывает, что как форма T, так и соот ветствующая ей квадратичная форма полностью определяют оператор.

Упражнение 7.3. Докажите, что если Y : r r | линейные опе раторы, то = S = T xY x = xY x для всех x r.

Замечание 7.1. Обратите внимание на то, что над R это не так: до статочно рассмотреть поворот на 90 на плоскости.

Упражнение 7.4. Докажите следующие утверждения:

1) оператор B(r) самосопряжен форма T эрмитова xY x R для всех x r;

2) оператор B(r) изометричен = 1;

3) оператор B(r) унитарен он изометричен и сюръективен.

Замечание 7.2. Конечно, п. 2 и 3 из последнего упражнения справед ливы и для операторов, действующих между двумя разными гильберто выми пространствами. Напомним в этой связи об отношении изометри ческой эквивалентности операторов (см. гл. 3). Поскольку изометриче ский изоморфизм гильбертовых пространств автоматически унитарен (т. е. сохраняет скалярные произведения), для операторов, действую щих в гильбертовых пространствах, вместо термина «изометрическая эквивалентность» обычно употребляют термин «унитарная эквивалент ность».

Мы уже видели, что такие свойства оператора, как «быть унитар ным», «быть ортопроектором», «быть изометрией», могут быть опреде лены как в геометрических терминах, так и в алгебраических. Вот еще два таких свойства.

Определение 7.2. 1. Оператор B(r) называется коизометрией, если = 1.

2. Оператор B(r) называется частичной изометрией, если ( )2 =.

Упражнение 7.5. Дайте геометрическое определение коизометрии и частичной изометрии.

Итак, каждому оператору в r соответствует полуторалинейная форма T. Посмотрим теперь, какие формы соответствуют ограничен ным операторам.

102 7. Борелевское исчисление Определение 7.3. Полуторалинейная форма на гильбертовом про странстве r называется ограниченной, если существует такое g b 0, что |(xY y)| g x y для всех xY y r. Точная нижняя грань таких g называется нормой формы и обозначается.

Нетрудно проверить, что так определенная норма действительно является нормой на пространстве всех ограниченных полуторалиней ных форм на r. Впрочем, это будет легко следовать из доказанной ниже теоремы 7.1.

Пример 7.1. Легко видеть, что для любого ограниченного операто ра в r форма T ограничена и T.

Следующая теорема показывает, что других ограниченных полуто ралинейных форм не бывает.

Теорема 7.1. Отображение пространство ограниченных r Y T Y B(r) полуторалинейных форм на | изометрический изоморфизм.

Доказательство. Инъективность отображения T следует из упражнения 7.3.

Пусть | ограниченная полуторалинейная форма. Зафиксируем y r и рассмотрим функционал y : r C, x (xY y). Ясно, что y r и y y. Поэтому существует единственный век тор (y) r, удовлетворяющий условию (xY y) = xY (y) для лю бого x r. Из полуторалинейности формы и скалярного произ ведения следует, что : r r | линейный оператор;

кроме того, (y) = y y для любого y r, т. е. оператор ограни чен и. Положим = ;

тогда = T, так что отображе ние T | сюръекция. Наконец, изометричность этого отображе ния сразу следует из цепочки неравенств = T.

§ 7.2. Комплексные меры Для построения борелевского исчисления нам понадобятся некото рые факты из теории меры. Некоторые из них совсем простые (и будут предложены в качестве упражнений);

остальные мы приведем без до казательства.

Пусть | множество, A 2X | '-алгебра его подмножеств.

§ 7.2. Комплексные меры ": A Определение 7.4. Отображение C называется комплексной мерой, если для любого конечного набора попарно не пересекающихся множеств e1 Y X X X Y en A справедливо равенство n n " ei = "(ei )X i=1 i= Если аналогичное равенство выполнено и для счетных семейств, то ме ра " называется '-аддитивной.

Определение 7.5. Говорят, что мера " имеет ограниченную вариа цию, если существует такое g b 0, что для любого конечного набора {ei }n попарно не пересекающихся множеств из A выполнено нера i=1 n венство |"(ei )| g.

i= Очевидно, любая неотрицательная мера имеет ограниченную вари ацию.

'-аддитивная Утверждение 7.1. Любая мера имеет ограниченную вариацию.

" Определение 7.6. Пусть | мера ограниченной вариации на A. Ее вариацией называется функция |"| : A [0Y +), заданная формулой n n e= ei Y ei A X |"|(e) = sup |"(ei )|:

i=1 i= |"| является мерой на A.

Утверждение 7.2. Функция Обозначим через MA () множество всех комплексных мер ограни ченной вариации на A. Очевидно, MA () | векторное пространство.

Утверждение 7.3. Функция " " = |"|() является нормой на MA (). Относительно этой нормы MA () является банаховым пространством.

Напомним (см. пример 2.10), что через fA () мы обозначаем ба нахову алгебру всех ограниченных A -измеримых функций на. Для каждого подмножества e через 1A обозначим его характеристи ческую функцию (индикатор). Положим A () = span{1A : e A } fA ()X Функции из A () будем называть A -простыми. Легко убедиться (убедитесь), что A () | подалгебра в fA ().

Упражнение 7.6. Докажите, что подалгебра A () плотна в fA ().

104 7. Борелевское исчисление Упражнение 7.7. Докажите, что для любой меры " MA () суще ствует единственный функционал s fA (), удовлетворяющий усло вию s (1A ) = "(e) для любого e A.

Для любой функции f fA () величина s (f) на Определение 7.7.

зывается интегралом функции f по мере " и обозначается X f(x) d"(x).

Z Теорема 7.2 (Хильдебрандт, Канторович). Отображение MA () fA () Y " s Y | изометрический изоморфизм банаховых пространств.

Пусть теперь | компактное хаусдорфово топологическое про странство, A = Bor() | '-алгебра его борелевских подмножеств.

В этом случае вместо fA (), A () и MA () мы будем писать f(), () и M() соответственно.

| это комплексная мера на Определение 7.8. Борелевская мера на Bor().

Определение 7.9. Борелевская мера " на называется регулярной, если для каждого f Bor() и каждого 4 b 0 найдутся такое откры тое множество f и такой компакт u f, что |"|( \ u) ` 4.

'-ад Утверждение 7.4. Регулярная борелевская мера на компакте дитивна.

Замечание 7.3. Для метризуемых компактов верно и обратное: лю бая '-аддитивная борелевская мера регулярна.

Обозначим через w() M() подмножество, состоящее из регу лярных мер.

w() Утверждение 7.5. Подмножество | замкнутое векторное подпространство в M() (и, следовательно, является банаховым пространством).

Вот ключевая теорема, которой мы в дальнейшем будем неодно кратно пользоваться.

Теорема 7.3 (Рисс, Марков, Какутани). Отображение w() g() Y " s Y | изометрический изоморфизм банаховых пространств.

Слабо-мерная топология на f() § 7.3. Замечание 7.4. Обозначим через jM : w() M() и jC : g() f() тождественные вложения. В силу теорем Хильдебрандта|Кан торовича и Рисса|Маркова|Какутани сопряженный оператор jC дей ствует из M() в w(). Можно показать, что jC jM = 1M(X). Отсю да следует, что w() | дополняемое подпространство в M(), а jC | проектор из M() на w(). (Этот проектор в некотором смысле «ре гуляризует» произвольную борелевскую меру ограниченной вариации.) B(X) § 7.3. Слабо-мерная топология на Пусть по-прежнему | компактное хаусдорфово топологическое пространство. Каждой функции f f() сопоставим функционал pf w(), действующий по формуле pf (") = X f d". Полученное Z отображение f() w() обозначим через. Если отождествить w() с g(), то легко видеть, что : f() g() | продолжение канонического вложения iC(X) : g() D g(). С другой стороны, мы можем отождествить M() с f(), и тогда pf w() | это огра ничение на w() функционала iB(X) (f) M(), где iB(X) : f() D D f() = M() | каноническое вложение (см. диаграмму):

iB(X) f() G f() M() y jC j M  iC(X) C g() g() w() G f для любой функции f f().

Из сказанного следует, что (f ) На самом деле, как видно из следующего упражнения, можно сказать больше.

Упражнение 7.8. Докажите, что : f() w() | изометрия.

Указание. Примените (f ) к мере, сосредоточенной в одной точке.

Упражнение 7.9. Найдите ошибку в следующем «доказательстве»

изометричности отображения :

«Для любой функции f f() имеем (f ) g(), а g() изо метрически вкладывается в f(), поэтому (f ) лежит в f() и, очевидно, совпадает с образом функции f при каноническом вложе нии f() D f(). Поскольку последнее изометрично, мы получаем (f ) = f ».

Итак, инъективно отображает f() в w(). Это позволяет дать следующее определение.

106 7. Борелевское исчисление Определение 7.10. Слабо-мерной топологией на f() называется прообраз слабой* топологии '(w() Y w()) при вложении : f() w().

Слабо-мерную топологию на f() мы будем обозначать симво лом wm. По определению эта топология задается семейством полунорм { ·  : " w()}, где f  = f d".

Z X Докажите, что последовательность fn f() Упражнение 7.10.

сходится к f f() в wm она равномерно ограничена и сходится к f поточечно.

Напомним, что для любого банахова пространства i его образ при каноническом вложении iE : i i замкнут в i по норме (и уж подавно не плотен там, если только i не рефлексивно). Однако в i есть и другая топология, а именно, '(i Y i ). Оказывается, верно сле дующее.

Упражнение 7.11. Докажите, что образ Im iE плотен в i относи тельно топологии '(i Y i ).

Следовательно, образ Im iE плотен и в любом «промежуточном» под пространстве p i, его содержащем. В применении к g() это при водит к следующему результату.

g() f() Следствие 7.1. Подпространство плотно в относи тельно слабо-мерной топологии.

Напомним, что на g() и на f() есть инволюция, заданная фор мулой f (x) = f(x). Относительно этой инволюции g() и f() явля ются инволютивными банаховыми алгебрами (и даже g -алгебрами;

см. примеры 6.3 и 6.4).

Определение 7.11. Инволютивная полинормированная алгебра | это полинормированная алгебра, снабженная непрерывной инволюцией.

f() Предложение 7.1. Алгебра | инволютивная полинормирован ная алгебра относительно слабо-мерной топологии.

Доказательство. Зафиксируем функцию f f() и покажем, что оператор умножения vf : f() f(), g fg, непрерывен в сла бо-мерной топологии. Для произвольной меры " w() определим бо релевскую меру f · " формулой (f · ")(e) = A f d". Из регулярности Z меры " и очевидной оценки |(f · ")(e)| |"|(e) f следует регуляр ность меры f · ". Далее, для любой простой функции g () мы имеем § 7.4. Слабо-операторная топология на B(r) fg d" = X g d(f · "). Поскольку обе части последнего равенства не Z Z X прерывно зависят от g f() (по равномерной норме), а () плотно в f(), мы видим, что это равенство выполнено и для любой функ ции g f(). Отсюда следует, что fg  = g f· для любой функции g f(), поэтому оператор vf : g fg непрерывен в слабо-мерной то пологии (см. упражнение 4.5). Следовательно, (f()Y wm) | полинор мированная алгебра. Непрерывность инволюции следует из равенства f  = f .

— Упражнение 7.12. Докажите, что если пространство бесконечно, то умножение в (f()Y wm) не является совместно непрерывным. По кажите, что оно, тем не менее, является секвенциально совместно не прерывным (т. е. если fn f и gn g в wm, то fn gn fg в wm).

§ 7.4. Слабо-операторная топология на B(H) Пусть r | гильбертово пространство. Для каждых xY y r опреде лим полунорму · x;

y на B(r), полагая x;

y = | xY y | для каждого оператора B(r).

Определение 7.12. Топология на B(r), задаваемая системой полу норм { · x;

y : xY y r}, называется слабо-операторной топологией и обозначается через wo.

Упражнение 7.13. Обозначим через F (r) пространство всех огра ниченных операторов в r с конечномерным образом. Постройте изо морфизм (B(r)Y wo) F (r).

= Предложение 7.2. Алгебра B(r) | инволютивная полинормирован ная алгебра относительно слабо-операторной топологии.

Доказательство. Для любых Y B(r) и любых xY y r спра ведливы равенства x;

y = | xY y | = T x;

y. Отсюда следует, что оператор правого умножения T : B(r) B(r),, непрерывен в слабо-операторной топологии. С другой стороны, x;

y =| xY y |= = x;

S y, поэтому и оператор левого умножения vS : B(r) B(r),, непрерывен в слабо-операторной топологии. Наконец, непре рывность инволюции вытекает из равенства x;

y = y;

x.

Упражнение 7.14. Докажите, что если пространство r бесконечно мерно, то умножение в (B(r)Y wo) не является совместно непрерывным.

Теперь, наконец, у нас все готово для построения борелевского ис числения от нормального оператора.

108 7. Борелевское исчисление § 7.5. Борелевское исчисление: построение и свойства Пусть r | гильбертово пространство, B(r) | нормальный ограниченный оператор, u C | компактное подмножество. Как и раньше, через t f(u) обозначим функцию t(z) = z (z u).

Определение 7.13. Борелевское исчисление от на u | это не прерывный унитальный -гомоморфизм b : (f(u)Y wm) (B(r)Y wo), удовлетворяющий условию b (t) =.

Вот простейшие свойства борелевского исчисления.

u Предложение 7.3. Пусть борелевское исчисление от на суще ствует. Тогда (1) оно единственно;

(2) u '( );

(3) b |C(K) = c (т. е. борелевское исчисление продолжает непре рывное);

b : f(u) B(r) непрерывно по норме и b = 1.

(4) отображение Доказательство. Утверждение (4) следует из того, что b | -го моморфизм между g -алгебрами (см. предложение 6.9).

Утверждения (3) и (2) следуют из утверждения (4) и свойств непре рывного исчисления.

Утверждение (1) следует из утверждения (3) и плотности подалге бры g(u) в (f(u)Y wm) (см. следствие 7.1).

Для доказательства существования борелевского исчисления мы сперва докажем более общее утверждение о продолжении представле ний коммутативных g -алгебр, а потом применим его к непрерывному исчислению от заданного оператора.

Теорема 7.4. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое % g() пространство, : B(r) | унитальный -гомоморфизм. Тогда существует единственный непрерывный унитальный -гомоморфизм % wm) wo), %:

~ : (f()Y (B(r)Y продолжающий G g() B(r) vY v jC v v~ v  f() Доказательство. Зафиксируем произвольные xY y r и зададим функционал px;

y на g() формулой px;

y (f) = %(f)xY y. По теоре § 7.5. Борелевское исчисление: построение и свойства ме Рисса|Маркова|Какутани существует единственная мера "x;

y w(), удовлетворяющая условию %(f)xY y = f d"x;

y для каждой функции f g()X (7.1) X При этом "x;

y = px;

y % x y = x y (см. предложение 6.9).

Кроме того, легко видеть, что — " x+y;

z = "x;

z + "y;

z и "x;

y+z = "x;

y + "x;

z — (7.2) для любых xY yY z r и любых Y  C.

Теперь воспользуемся тем, что правая часть равенства (7.1) имеет смысл не только для непрерывной, но и для любой борелевской огра ниченной функции f. А именно, возьмем любую функцию f f() и положим f (xY y) = f d"x;

y (xY y r)X X Из тождеств (7.2) следует, что f | полуторалинейная форма на r.

Кроме того, для любых xY y r выполнены неравенства |f (xY y)| f "x;

y f x yY поэтому форма ограничена. Следовательно, ввиду теоремы 7.1 суще ствует единственный оператор %(f) B(r), удовлетворяющий усло ~ вию %(f)xY y = f (xY y) = f d"x;

y (xY y r)X ~ (7.3) X Правая часть последнего равенства линейно зависит от f f(), поэтому построенное отображение % : f() B(r) линейно. Да ~ лее, из формулы (7.3) видно, что для любых xY y r мы имеем %(f) x;

y = f . Следовательно, отображение % непрерывно отно ~ ~ x;

y сительно слабо-мерной топологии на f() и слабо-операторной топо логии на B(r).

Чтобы доказать, что % | -гомоморфизм, воспользуемся следующей ~ леммой.

eY f Лемма 7.1. Пусть | инволютивные полинормированные алге e e 9: e f бры, 0 | плотная подалгебра, | непрерывное линейное e 0 является -гомоморфиз отображение, ограничение которого на мом. Тогда | -гомоморфизм.

Доказательство. Как обычно, для каждого e обозначим через va Y a : e e операторы левого (соответственно правого) умножения 110 7. Борелевское исчисление на. Мы знаем, что 9() = 9()9() для любых Y e0 X Это означает, что (9 va )|A0 = (v'(a) 9)|A0 для любого e0 X Поскольку оба отображения из последнего равенства непрерывны на e, а e0 плотно в e, эти отображения должны совпадать всюду на e. Итак, 9 va = v'(a) 9 для любого e0 Y или, эквивалентно, 9() = 9()9() для любого e0 и (уже!) любого eX Последнее равенство можно переписать так:

(9 b )|A0 = ('(b) 9)|A0 для любого eX Как и выше, отсюда следует, что участвующие в последнем равен стве отображения совпадают на всей алгебре e, а это и означает, что 9() = 9()9() для любых Y e, как и требовалось. Итак, 9 | го моморфизм алгебр. Наконец, отображения 9( ) и 9() из e в f по условию совпадают на e0, а значит (ввиду их непрерывности), и на всей алгебре e. Следовательно, 9 | -гомоморфизм.

Применяя только что доказанную лемму к нашей ситуации, мы по лучаем, что % | -гомоморфизм. Его единственность следует из плот ~ ности g() в (f()Y wm). Тем самым теорема доказана.

Замечание 7.5. Чтобы лучше уяснить суть доказательства послед ней теоремы, полезно взглянуть на следующие картинки:

jC g() G f() If IIff |  II fff  | |  jC ~ g() f() G ff II f |  a II ff | aa  3 }| aa II a Fx;

y II B(r)  Fx;

y F aaa ~ ~ F II  a0 II "x;

y  II C I$   C § 7.5. Борелевское исчисление: построение и свойства Левая картинка показывает, что любой непрерывный функционал p на g() продолжается (единственным образом) до wm-непрерывно го функционала на f(). А именно, мы берем меру " w(), соот ~ ветствующую p, и полагаем по определению p (f) = X f d" для лю Z бой функции f f(). В доказательстве теоремы, проиллюстрирован ном на правой картинке, аналогичная процедура применяется уже не к функционалам, а к представлениям. В этой картинке через 4x;

y обо значен функционал на B(r), сопоставляющий оператору B(r) его «матричный элемент» 4x;

y ( ) = xY y. Процедура продолжения пред ставления % устроена так: по заданному представлению % строится функционал px;

y = 4x;

y на g(), затем он продолжается до функ ~ ционала px;

y на f() (см. левую картинку), а потом все функционалы ~x;

y «склеиваются» в представление % при помощи соответствия между p ~ операторами и полуторалинейными формами.

По-другому теорему 7.4 можно переформулировать так.

Теорема 7.5. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое пространство. Существуют канонические биекции унитальные унитальные непрерывные X -гомоморфизмы -гомоморфизмы g() B(r) (f()Y wm) (B(r)Y wo) Здесь отображение, действующее справа налево, сопоставляет ка &: f() g(), B(r) его ограничение на ждому гомоморфизму а отображение, действующее слева направо, сопоставляет каждо % g() % му гомоморфизму : B(r) его каноническое продолжение ~ f().

на В качестве следствия мы получаем теорему о существовании боре левского исчисления от нормального оператора.

B(r) | нормальный оператор в гильбер Теорема 7.6. Пусть r, u '( ). Тогда товом пространстве C | компакт, содержащий  f(u) существует единственное борелевское исчисление b : B(r) u.

от на Доказательство. Достаточно применить предыдущую теорему, взяв в качестве % непрерывное исчисление c : g(u) B(r) от на u.

С учетом теорем 6.7 и 7.5 мы можем переформулировать теорему о борелевском исчислении следующим образом.

112 7. Борелевское исчисление r u C | не Теорема 7.7. Пусть | гильбертово пространство, пустой компакт. Существуют канонические биекции унитальные нормальные B(r) : -гомоморфизмы '( ) u g(u) B(r) унитальные непрерывные X -гомоморфизмы (f(u)Y wm) (B(r)Y wo) Здесь стрелки, действующие между первым и вторым множествами те же, что и в теореме 6.7, а между вторым и третьим множества ми | те же, что и в теореме 7.5.

Замечание 7.6. Последняя теорема | это еще одна «вариация на те му» простейшего алгебраического принципа (см. гл. 1): линейные опе раторы | это представления алгебры многочленов C[t]. С этой точки зрения, «хорошие» линейные операторы | это «хорошие» представления алгебры C[t], которые продолжаются на ту или иную алгебру функций, содержащую C[t]. В частности, ограниченные операторы в банаховом пространстве i | это в точности непрерывные представления в i алге бры целых функций O(C), а ограниченные операторы в i со спектром в компакте u | это непрерывные представления в i алгебры рост ков O(u) (см. гл. 4). Что же касается теоремы 7.7, то она показывает, представлениям каких алгебр отвечают нормальные ограниченные опе раторы в гильбертовом пространстве.

Чтобы лучше понять, как устроено борелевское исчисление, попро буйте описать его для следующих «конкретных» операторов.

Упражнение 7.15. Пусть (Y ") | пространство с мерой, 9: C | ограниченная измеримая функция. Опишите борелевское исчисление для оператора умножения w', действующего в v2 (Y "). При этом обратите внимание на следующие частные случаи:

1) диагональный оператор w в 2 ;

2) оператор умножения на «независимую переменную» wt в v2 [Y ], действующий по правилу (wt f)(x) = xf(x).

Опи Упражнение 7.16 (для любителей гармонического анализа).

шите борелевское исчисление для операторов сдвига в пространствах 2 (Z), v2 (T) и v2 (R).

Указание. Сдвиг | это свертка с -функцией.

§ 7.5. Борелевское исчисление: построение и свойства Посмотрим теперь, какими общими свойствами обладает борелев ское исчисление. Первое из следующих свойств вполне предсказуемо (ср. упражнения 4.12 и 6.12).

Упражнение 7.17. Пусть uY v C | компакты и '( ) u v. Обо K L значим через b и b борелевские исчисления от на u и v соот ветственно, а через rLK : f(v) f(u) | гомоморфизм ограничения.

Докажите, что следующая диаграмма коммутативна:

f(v) L b@ rLK B(r) mmT mmK mm  f(u) b Поскольку борелевское исчисление продолжает непрерывное и не за висит от выбора компакта, содержащего '( ), мы в дальнейшем будем вместо b (f) использовать уже привычное обозначение f( ) (для любой ограниченной борелевской функции f на '( )).

Напомним, что как для голоморфного, так и для непрерывного ис числения справедливы две важные теоремы: теорема об отображении спектра и теорема о композиции (см. § 4.2 и 6.3). Кроме того, непре рывное исчисление на спектре изометрично (теорема 6.6). Естественно поинтересоваться, справедливы ли аналогичные утверждения для боре левского исчисления.

Упражнение 7.18. 1. Является ли изометричным борелевское исчи сление b : f('( )) B(r)?

2. Верно ли, что '(f( )) = f('( )) для любой f f('( ))?

3. Пусть u '( ) | компакт, f f(u), v f(u) | другой ком пакт, и g f(v). Верно ли, что g(f( )) = (g f)( )?

Замечание 7.7. Левая часть последнего равенства имеет смысл, по скольку '(f( )) = '(b (f)) '(f) = f(u) v.

Вот еще одно полезное приложение борелевского исчисления (ср.

упражнение 4.21).

Упражнение 7.19. Пусть B(r) | унитарный оператор. Докажи те, что существует такой самосопряженный оператор B(r), что = exp(i ).

Следующее упражнение показывает, что для обратимых неунитар ных операторов аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно.

114 7. Борелевское исчисление Упражнение 7.20. Докажите, что существуют гильбертово про странство r и обратимый оператор B(r), не представимый в виде exp( ) ни для какого B(r).


Указание. В качестве r подойдет пространство v2 ( ) O( ) для некоторой классической области C. (См. также более простое упражнение 4.22.) Литературные указания Материал о соответствии между операторами и полуторалинейны ми формами стандартен и есть почти в любом учебнике по функцио нальному анализу;

мы следовали, в основном, книге [30]. Про комплекс ные меры можно прочитать, например, в книгах [9, 31];

мы пользова лись также лекциями Р. Эдвардса [37]. Термин «слабо-мерная тополо гия» принадлежит А. Я. Хелемскому;

см. [30]. Слабо-операторная топо логия | одна из стандартных топологий, давно используемых в теории операторных алгебр. Отметим, что, кроме нее, на B(r) есть еще по крайней мере пять важных ненормируемых топологий. О некоторых из них см. [29, 30, 20, 2]. При изложении теоремы о борелевском исчислении мы следовали, в основном, книге [29]. Несколько другое доказательство (для случая самосопряженного оператора) приведено в учебнике [30].

См. также [14, 23, 26, 10].

8. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Спектральная теорема | это, в сущности, не одна теорема, а не сколько тесно взаимосвязанных утверждений, описывающих строение произвольного нормального оператора в гильбертовом пространстве.

Какое именно из этих утверждений следует называть «спектральной теоремой» | дело вкуса1. Чтобы лучше понять смысл спектральной те оремы, полезно вначале выяснить, как она выглядит в конечномерном случае.

В курсе линейной алгебры обычно доказывают, что каждая эрмито ва матрица диагонализируется в подходящем ортонормированном ба зисе. На языке операторов это означает, что каждый самосопряженный оператор B(r) в конечномерном гильбертовом пространстве r имеет вид m = !k i k Y k= где ik | проекторы на попарно ортогональные подпространства.

Спектральная теорема является обобщением этого утверждения на бес конечномерный случай. Она утверждает, говоря неформально, что лю бой самосопряженный (и, более общим образом, любой нормальный) оператор в гильбертовом пространстве r можно в некотором смысле «разложить по проекторам». Существенное отличие от конечномерного случая состоит в том, что это разложение уже не является конечной линейной комбинацией проекторов и даже не является суммой ряда.

Дело в том, что если какой-то оператор представим в указанном вы ше виде, то проектор ik обязан быть проектором на его собственное подпространство, отвечающее собственному значению !k. Но, как мы уже знаем, у может вообще не быть собственных значений.

Выход из этой ситуации таков. Вспомним доказательство теоремы о борелевском исчислении (см. предыдущую главу). В доказательстве участвовали некоторые комплексные меры "x;

y, занумерованные пара ми векторов xY y r. Напомним (см. формулу (7.3)), что для любой ограниченной борелевской функции f на '( ) оператор f( ) однознач но определяется равенством f( )xY y = f(!) d"x;

y (!)X (T ) 1 См. по этому поводу обсуждение в книге [23].

116 8. Спектральная теорема В частности, при f(!) ! мы имеем xY y = ! d"x;

y (!)X (T ) Эта формула наводит на следующую мысль: а нельзя ли сам оператор представить в виде некоторого (на этот раз | операторнозначного) интеграла = ! d(?)(!) (T ) (понимаемого в каком-либо разумном смысле, например как предел ин тегральных сумм)? Оказывается, можно. В этом как раз и состоит спектральная теорема (точнее, один из ее вариантов). Чтобы придать смысл последней формуле, нужно сперва определить, что в ней долж но стоять вместо вопросительного знака, т. е. по какой мере берется интеграл. Меры, участвующие в формулировке спектральной теоре мы, принимают значения в множестве проекторов и называются спек тральными мерами.

§ 8.1. Спектральные меры Пусть r | гильбертово пространство. Обозначим через PR(r) мно жество всех ортопроекторов в r. Очевидно, имеется биекция между PR(r) и множеством всех замкнутых векторных подпространств в r, сопоставляющая каждому проектору его образ. При этом оказывает ся, что многие геометрические соотношения между подпространства ми можно переписать в виде алгебраических соотношений между про екторами. Вот несколько иллюстраций.

говорить, что проекторы Y PR(r) ор Определение 8.1. Будем ), если Im Im.

тогональны (и писать Докажите, что =0 =0 + Упражнение 8.1.

и что при этом Im( + ) = Im Im.

PR(r), Упражнение 8.2. Пусть Y PR(r). Докажите, что PR(r) =, и что при этом Im( ) = Im Im.

В дальнейшем нам также понадобится следующее свойство ортого нальных проекторов.

§ 8.1. Спектральные меры Пусть 1 Y X X X Y n PR(r) и i j при i = j. До Упражнение 8.3.

кажите, что n !k k = 1maxn |!k | k k= !1 Y X X X Y !n C.

для любых Пусть теперь | множество, A | '-алгебра его подмножеств.

Определение 8.2. Отображение i : A PR(r) называется спек тральной мерой, если 1) i() = 0;

2) i() = 1H ;

n n 3) i ek = i(ek ) при условии, что ei ej = при i = j;

k=1 k= 4) i(e f) = i(e)i(f) для любых eY f A.

Заметим, что из последнего свойства следует, что i(e) i(f) при e f =. Ясно также, что свойство 1 следует из свойства 3.

Упражнение 8.4. Докажите, что свойство 3 в определении спек тральной меры следует из свойства 4.

Упражнение 8.5. Пусть '-алгебра A содержит все одноэлемент ные подмножества множества. Опишите все спектральные меры A PR(C).

Предложение 8.1. Пусть i : A PR(r) | спектральная мера. Для любых xY y r и любого e A положим ix;

y (e) = i(e)xY y. Тогда ix;

y MA () и ix;

y x y.

Доказательство. Очевидно, ix;

y | мера на A. Чтобы доказать, что она имеет ограниченную вариацию, возьмем любой конечный на бор {ei }n A попарно не пересекающихся множеств и для ка i= ждого k = 1Y X X X Y n подберем !k C так, чтобы выполнялись условия | i(ek )xY y | = !k i(ek )xY y и |!k | = 1. С учетом упражнения 8.3 полу чаем n n n i(ek )xY y | = !k i(ek )xY y = !k i(ek )xY y | k=1 k=1 k= n !k i(ek ) x y x yX k= Иначе говоря, ix;

y имеет ограниченную вариацию, и |ix;

y |(e) xy для любого e A. Дальнейшее очевидно.

118 8. Спектральная теорема Пример 8.1. Пусть (Y A Y ") | пространство с мерой, и пусть r = = v2 (Y "). Для каждого e A положим i(e) = w (оператор умно A жения на характеристическую функцию множества e). Тогда, очевид но, i | спектральная мера на A. Если мера " конечна, то функция, тождественно равная 1, лежит в v2 (Y ") и " = i1;

1.

Вот чуть более общий пример.

Пример 8.2. Пусть &: fA () B(r) | унитальный -гомомор физм. Тогда i  : A PR(r)Y i  (e) = &(1A )Y | спектральная мера на A.

Оказывается, других спектральных мер и не бывает. Точнее, спра ведлив следующий результат.

Теорема 8.1. Пусть i : A PR(r) | спектральная мера на '-ал гебре A 2X. Тогда существует единственный унитальный -гомо морфизм sE : fA ()B(r), удовлетворяющий условию sE (1A )=i(e) e A. При этом для любого sE (f)xY y = f dix;

y (8.1) X f fA () и любых xY y r.

для любой функции Доказательство. Зафиксируем f fA () и для любых xY y r по ложим f (xY y) = f dix;

y X X Их определения меры ix;

y следует, что f | полуторалинейная форма на r. Кроме того, с учетом предложения 8.1 получаем |f (xY y)| f ix;

y f x yY поэтому форма f ограничена и f f. Следовательно, суще ствует единственный оператор sE (f) B(r), удовлетворяющий усло вию (8.1). Легко видеть, что полученное отображение sE : fA () B(r) линейно и sE (f) = f f для любой функции f fA ().

Из равенства (8.1) следует также, что sE (1A ) = i(e) для любого e A, поэтому sE (1A 1B ) = sE (1AB ) = i(e f) = i(e)i(f) для любых eY f A. Следовательно, ограничение отображения sE на алгебру A () простых функций | гомоморфизм. Из непрерывности § 8.1. Спектральные меры отображения sE и плотности подалгебры A () в fA () мы за ключаем, что sE : fA () B(r) | гомоморфизм. Отсюда же следует утверждение о единственности гомоморфизма sE. Наконец, поскольку iy;

x = ix;

y для любых xY y r, мы получаем — — sE (f)xY y = f dix;

y = f diy;

x = X X = sE (f)yY x = xY sE (f)y = sE (f) xY y X Следовательно, sE | -гомоморфизм. Теорема доказана.

Определение 8.3. Для любой функции f fA () оператор sE (f) на зывается интегралом функции f по спектральной мере i и обознача ется через f(!) di(!)X X Замечание 8.1. Вы, наверное, заметили, что доказательство послед ней теоремы похоже на доказательство теоремы 7.4 о продолжении представлений с g() на f(): в обоих случаях применяется один и тот же прием «склеивания» при помощи полуторалинейных форм.

С учетом примера 8.2 последнюю теорему можно переформулиро вать следующим образом.

Теорема 8.2. Пусть | множество, A 2X | '-алгебра его под множеств. Существуют канонические биекции спектральные меры унитальные -гомоморфизмы X A PR(r) fA () B(r) Здесь отображение, действующее справа налево, сопоставляет гомо  (см. пример 8.2), &: f i A () B(r) спектральную меру морфизму а отображение, действующее слева направо, сопоставляет спек i s f : A PR(r) гомоморфизм E : A () B(r).

тральной мере Применяя эту теорему к борелевскому исчислению от нормального оператора, получаем следующий результат.

u B(r) | нормальный оператор, Следствие 8.1. Пусть C| '( ). Тогда существует такая спектральная компакт, содержащий i : Bor(u) PR(r), что мера = ! di(!)X (8.2) K 120 8. Спектральная теорема f f(u) справедлива формула При этом для любой функции f( ) = f(!) di(!)X (8.3) K § 8.2. Регулярные спектральные меры и представления C(X).

алгебры Спектральная теорема Следствие 8.1 можно рассматривать как некий «суррогат» спек тральной теоремы. Почему «суррогат»? Дело в том, что спектральная мера, о которой здесь идет речь, определяется соотношением (8.2) не однозначно (хотя, конечно, более сильное условие (8.3) влечет за собой равенство i(e) = 1A ( ) и полностью определяет меру i). Однако бо релевское исчисление | это не просто унитальный -гомоморфизм из f() в B(r), он еще и непрерывен относительно слабо-мерной топо логии wm на f() и слабо-операторной топологии wo на B(r). По этому, чтобы добиться желаемого взаимно однозначного соответствия между операторами и спектральными мерами, естественно попытаться выяснить, какие спектральные меры отвечают гомоморфизмам, непре рывным относительно этих «ослабленных» топологий.


Итак, пусть теперь | компактное хаусдорфово топологическое пространство.

Говорят, что спектральная мера i : Bor() Определение 8.4.

если для любых xY y r комплексная мера ix;

y PR(r) регулярна, регулярна.

i : Bor() PR(r) регу Предложение 8.2. Спектральная мера s f() лярна гомоморфизм E : B(r) непрерывен относительно f() слабо-мерной топологии на и слабо-операторной топологии на B(r).

Доказательство. () Если мера i регулярна, то для любых xY y r и любой f f() выполнены равенства sE (f) x;

y = | sE (f)xY y | = f dix;

y = f Ex;

y X X Отсюда следует непрерывность гомоморфизма sE относительно ука занных топологий.

() Зафиксируем произвольные xY y r. Из wm-wo-непрерывности гомоморфизма sE следует, что найдутся "1 Y X X X Y "n w() и g b 0, Регулярные спектральные меры и представления g() § 8.2.

удовлетворяющие условию sE (f) x;

y g 1maxn f (8.4) k k n для любой функции f f(). Положим " = |"k |;

тогда " w() k= и " 0. Подставляя в неравенство (8.4) вместо f функцию 1B, получаем |ix;

y (f)| = | i(f)xY y | g max |"k (f)| g"(f)X 1kn m Следовательно, для любого разбиения f = fk мы имеем k= m m g "(fk ) = g"(f)Y |ix;

y (fk )| k=1 k= |ix;

y |(f) g"(f) для любого борелевского множества f. Из поэтому этого неравенства и регулярности меры " немедленно следует регуляр ность меры ix;

y.

Подведем итоги.

Теорема 8.3. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое пространство. Существуют канонические биекции унитальные унитальные непрерывные -гомоморфизмы -гомоморфизмы g() B(r) (f()Y wm) (B(r)Y wo) регулярные X спектральные меры Bor() PR(r) Биекции между первым и вторым множествами описаны в теоре ме 7.5, а биекции между вторым и третьим множествами | в те ореме 8.2.

Наконец, объединяя последнюю теорему с теоремой 7.7, мы получа ем следующее утверждение.

r u C | не Теорема 8.4. Пусть | гильбертово пространство, пустой компакт. Существуют канонические биекции унитальные нормальные операторы B(r) : -гомоморфизмы '( ) u g(u) B(r) унитальные непрерывные регулярные X спектральные меры -гомоморфизмы (f(u)Y wm) (B(r)Y wo) Bor(u) PR(r) 122 8. Спектральная теорема Вот, наконец, и спектральная теорема в ее традиционной формули ровке.

Теорема 8.5 (спектральная теорема для нормального оператора).

r B(r) | нормальный опе Пусть | гильбертово пространство, u '( ). Тогда существует един ратор, C | компакт, содержащий i ственная регулярная спектральная мера : Bor(u) PR(r), удовле творяющая условию = ! di(!)X (8.5) K f f(u) При этом для любой функции справедлива формула f( ) = f(!) di(!)X K Доказательство. Достаточно воспользоваться биекцией между пер вым и последним множествами в предыдущей теореме.

Упражнение 8.6. В условиях теоремы 8.5 докажите, что i(f) = = i(f '( )) для любого борелевского множества f u (иначе гово ря, мера i «сосредоточена» на '( )).

Определение 8.5. Спектральная мера i, фигурирующая в формули ровке спектральной теоремы, называется разложением единицы опе ратора, а проекторы i(f) (для всевозможных борелевских подмно жеств f u) | его спектральными проекторами. Формула (8.5) на зывается спектральным разложением оператора.

Упражнение 8.7. Опишите разложение единицы для операторов ум ножения и сдвига из упражнений 7.15 и 7.16.

В заключение посмотрим, как в терминах разложения единицы мож но описать собственные подпространства и точечный спектр нормаль ного оператора.

Предложение 8.3. Пусть B(r) | нормальный оператор, и пусть i : Bor(u) PR(r) | его разложение единицы. Тогда 1) Ker( !1) = Im i({!}) для любого ! '( );

2) 'p ( ) = {! '( ): i({!}) = 0}.

Доказательство. Очевидно, в алгебре f(u) справедливо равен ство (t !)1{} = 0 (здесь, как и прежде, через t обозначена функ ция t(z) = z). Применяя борелевское исчисление b, получаем, что ( !1)i({!}) = 0, т. е. Im i({!}) Ker( !1). Докажем противо положное включение.

§ 8.3. Спектральная теорема в терминах интеграла Стилтьеса Упражнение 8.8. Докажите что для любого B(r) справедливо равенство Ker = Ker. Как следствие, если оператор нормален, то Ker = Ker.

— Из этого упражнения следует, что Ker( !1) = Ker( !1). Сле довательно, для любого x Ker( !1) и любых mY n Z+ выполнено равенство — n ( )m x = !n !m xX (8.6) Обозначим через f(u) унитальную подалгебру, порожденную — функциями t и t. Тогда из равенства (8.6) следует, что f( )x = f(!)x для любой функции f.

Теперь зафиксируем произвольный вектор y r. Из свойств боре левского исчисления следует, что отображения f f( )xY y и f f(!) xY y являются непрерывными линейными функционалами на полинормиро ванном пространстве (f(u)Y wm). Как было отмечено выше, они совпа дают на подалгебре f(u). Но эта подалгебра плотна в (f(u)Y wm) (почему?), так что эти функционалы совпадают на всей алгебре f(u).

Ввиду произвольности y r мы заключаем, что f( )x = f(!)x для лю бой функции f f(u) и любого x Ker( !1). Полагая в последней формуле f = 1{}, мы получаем i({!})x = x, т. е. x Im i({!}). С уче том сказанного выше это доказывает утверждение 1. Утверждение 2 | это прямое следствие утверждения 1.

§ 8.3. Спектральная теорема в терминах интеграла Римана|Стилтьеса Обсудим теперь несколько иной подход к спектральной теореме, основанный на понятии операторнозначного интеграла Римана|Стил тьеса. Хотя этот подход менее общий, чем предыдущий, и дает менее сильные результаты, у него есть и определенные достоинства | в пер вую очередь конструктивность. Кроме того, он технически проще, по скольку не опирается на общую теорию меры.

Напомним вначале классическое определение интеграла Римана| Стилтьеса. Пусть 9: [Y ] R | некоторая неубывающая функция.

Возьмем какое-либо разбиение = !0 ` !1 ` X X X ` !n = отрезка [Y ] и на каждом отрезке разбиения [!i1 Y !i ] выберем точ ку $i. Полученное размеченное разбиение обозначим через (!Y $);

его 124 8. Спектральная теорема диаметром называется число d = max (!i !i1 ). Возьмем функцию 1in f : [Y ] C и каждому размеченному разбиению (!Y $) сопоставим интегральную сумму n (fY (!Y $)) = f($i )(9(!i ) 9(!i1 ))X i= По определению число s C называется интегралом Римана|Стил тьеса функции f по отрезку [Y ] относительно 9, если для любого 4 b существует такое  b 0, что для любого размеченного разбиения (!Y $) с диаметром меньше  выполнено неравенство |(fY (!Y $)) s| ` 4.

При этом пишут b s= f(!) d9(!)X a Если 9(!) !, то мы получаем обычное определение интеграла Римана.

Как и в случае интеграла Римана, можно показать, что любая непре рывная на [Y ] функция интегрируема по Риману|Стилтьесу.

Аналогичное определение можно дать и в том случае, когда 9 | неубывающая функция со значениями в PR(r). Конечно, для того что бы слово «неубывающая» имело смысл, надо сперва ввести отношение порядка в PR(r).

Упражнение 8.9. Пусть r | гильбертово пространство, и пусть Y PR(r) | проекторы. Докажите, что следующие условия экви валентны:

1) Im Im ;

2) = = ;

3) xY x xY x для любого x r;

4) PR(r).

Определение 8.6. Если проекторы Y PR(r) удовлетворяют этим условиям, то говорят, что не превосходит, и пишут.

Упражнение 8.10. Пусть i : [Y ] PR(r), i(!) = i | неубываю щая функция, удовлетворяющая условиям ia = 0, ib = 1H.

1. Пусть f : [Y ] C. Дайте определение интеграла Римана|Стил Zb тьеса a f(!) di как ограниченного оператора в r и докажите, что он существует, еслиZфункция f непрерывна.

b 2. Положим = a ! di. Докажите, что =, '( ) [Y ] и для b любой функции f g[Y ] выполнено равенство f( ) = a f(!) di.

Z § 8.3. Спектральная теорема в терминах интеграла Стилтьеса Таким образом, каждой неубывающей функции i : [Y ] PR(r) Zb соответствует самосопряженный оператор = a ! di B(r). Опи шем теперь обратную конструкцию, которая по заданному самосопря женному оператору B(r) выдает такую функцию i.

Итак, пусть = B(r). Напомним, что '( ) R (см. предложе ние 6.6), и возьмем какой-нибудь полуинтервал (Y ], содержащий '( ).

Рассмотрим функции !Y ! 0Y ! 0Y !Y t+ (!) = t (!) = и 0Y ! ` 0Y ! b 0X 0Y Для каждого ! [Y ] положим r = Ker(t !)+ ( ) и обозначим че рез i ортопроектор на r.

Определение 8.7. Построенная выше функция i : [Y ] PR(r) на зывается спектральной функцией оператора.

Упражнение 8.11. Пусть i : Bor([Y ]) PR(r) | разложение еди ницы оператора. Докажите, что i = i ([Y !]) для любого ! [Y ].

Замечание 8.2. Благодаря этому свойству спектральной функции ее саму часто называют разложением единицы оператора.

Упражнение 8.12 (спектральная теорема). Докажите, что 1) ia+ = 0 для некоторого  b 0 и ib = 1H ;

2) i : [Y ] PR(r), i(!) = i | неубывающая функция;

3) для каждого x r функция [Y ] r, ! i x, непрерывна справа;

Z b 4) = a ! di ;

5) функция i : [Y ] PR(r) со свойствами 1)|4) единственна;

Zb 6) f( ) = a f(!) di для любой функции f g[Y ].

Указание к п. 5. Пусть i | какая-то функция со свойствами 1, и 4, и пусть i | разложение единицы оператора из п. 4. Вначале докажите, что i i ([Y !]) i при ! ` ", а затем воспользуйтесь п. 3.

126 8. Спектральная теорема Упражнение 8.13. Докажите, что для любой неубывающей функ ции i : [Y ] PR(r) свойство 3, указанное в предыдущем упраж нении, эквивалентно непрерывности справа отображения i : [Y ] (PR(r)Y wo).

Полученные результаты удобно переформулировать следующим образом.

Теорема 8.6. Существуют канонические биекции неубывающие функции i : [Y ] PR(r):

самосопряженные B(r) :  b 0: ia+ = 0, ib = 1H, X операторы '( ) (Y ] и функция ! i x непрерывна справа x Здесь стрелка, действующая из первого множества во второе, сопо ставляет оператору его спектральную функцию, а стрелка, дей i ствующая из второго множества в первое, сопоставляет функции b ! di.

Z оператор a Следующее упражнение объясняет происхождение термина «непре рывный спектр».

Упражнение 8.14. Пусть B(r) | самосопряженный оператор, i : [Y ] PR(r) | его спектральная функция, !0 '( ). Докажите, что !0 'c ( ) функция ! i x непрерывна в точке ! для любого x rX Литературные указания Спектральная теорема | одна из вершин классического функцио нального анализа, и в том или ином виде она присутствует в большин стве учебников по функциональному анализу и операторным алгебрам.

Мы следовали главным образом книгам [29, 30, 20] (в первой и тре тьей из них спектральная теорема доказана в терминах спектральных мер, а во второй | еще и в терминах интеграла Римана|Стилтьеса;

ср. § 8.3). См. также [14, 10, 23, 26].

9. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Мы уже упоминали, что спектральная теорема представляет собой совокупность близких друг к другу результатов о строении нормаль ных операторов. Сейчас нам известны два таких результата | теорема о борелевском исчислении и теорема о спектральном разложении. На ша следующая цель | доказать еще одну разновидность спектральной теоремы, утверждающую, что любой нормальный оператор в гильбер товом пространстве унитарно эквивалентен оператору умножения w' на измеримую ограниченную функцию 9, действующему в простран стве v2 (Y "). Иными словами, у любого нормального оператора есть функциональная модель. Напомним, что пользу от функциональных мо делей мы уже почувствовали, исследуя спектры операторов сдвига на группах (см. гл. 3).

§ 9.1. Модули, банаховы модули, гильбертовы модули Вначале напомним несколько алгебраических определений. Мы уже много раз убеждались, что говорить об операторах | это все равно, что говорить о представлениях тех или иных функциональных алгебр. Вы, вероятно, знаете, что представления какой-либо алгебры | это при мерно то же самое, что модули над этой алгеброй. В дальнейшем язык модулей для нас будет более удобен, чем язык представлений, поэтому напомним вкратце, что это такое.

Пусть e | алгебра (как всегда, над C), w | векторное простран ство. Говорят, что на w задана структура левого e-модуля, если задано билинейное отображение e w w, (Y x) · x, удовлетворяющее условию () · x = · ( · x) для всех Y e, x w. Если алгебра e уни тальна и 1 · x = x для всех x w, то модуль w называется унитальным.

Пусть w | левый e-модуль. Для каждого e рассмотрим опера тор va : w w, x · x. Легко видеть, что отображение e L (w), va, | гомоморфизм алгебр, т. е. представление алгебры e в век торном пространстве w. Обратно, если w | векторное простран ство, а % : e L (w) | представление алгебры e в w, то w стано вится левым e-модулем относительно операции · x = %()x ( e, x w). Очевидно, эти две конструкции («модуль представление»

и «представление модуль») обратны друг к другу. При этом если ал 128 9. Функциональные модели нормальных операторов гебра e унитальна, то унитальным модулям соответствуют униталь ные представления, и наоборот.

Определение 9.1. Пусть e | банахова алгебра. Левый банахов e-мо дуль | это банахово пространство w, снабженное структурой левого e-модуля так, что отображение e w w, (Y x) · x, непрерывно.

Напомним (см. упражнение 2.8), что непрерывность в этом опре делении эквивалентна существованию такой константы g b 0, что · x g x для любых e и x w. Это, в свою очередь, означает, что все операторы va L (w) ограничены и va g для всех e. Таким образом, получаем непрерывный гомоморфизм e B(w ), va, т. е. непрерывное представление алгебры e. Обрат но, если задано непрерывное представление % : e B(w ) алгебры e в банаховом пространстве w, то w становится левым банаховым e-мо дулем относительно операции · x = %()x ( e, x w).

Определение 9.2. Если wY x | левые банаховы e-модули, то мор физмом из w в x называется непрерывный оператор 9 B(wY x), удовлетворяющий условию 9( · x) = · 9(x) для всех e, x w.

(Иными словами, морфизм банаховых e-модулей | это их морфизм как e-модулей, который непрерывен.) Очевидно, левые банаховы e-модули и их морфизмы образуют ка тегорию;

она обозначается e-mod. Через e-mod1 обозначается подка тегория в e-mod, объекты которой те же, что в e-mod, а морфизмы | только те морфизмы банаховых модулей, норма которых не превосхо дит 1:

hA-mod1 (wY x) = {9 hA-mod (wY x): 9 1}X Изоморфизмы в e-mod1 | это в точности изометрические изоморфиз мы модулей (ср. пример 5.5).

Предположим теперь, что e | инволютивная банахова алгебра.

В этом случае разумно выделить класс банаховых e-модулей, которые являются гильбертовыми пространствами и должным образом реаги руют на инволюцию.

Определение 9.3. Пусть e | инволютивная банахова алгебра. Левый гильбертов e-модуль | это гильбертово пространство r со структу рой левого e-модуля, превращающей его в банахов e-модуль, в котором выполнено тождество · xY y = xY · y для всех xY y r, e.

Легко видеть, что последнее равенство в этом определении означает в точности, что e B(r), va, | -гомоморфизм. Обратно, если § 9.1. Модули, банаховы модули, гильбертовы модули r | гильбертово пространство, то каждый непрерывный -гомомор физм e B(r) превращает r в левый гильбертов e-модуль.

Замечание 9.1. Мы используем термин «гильбертов модуль» в том смысле, в каком это обычно принято в теории операторов (см. [36]). Не следует путать это понятие с понятием гильбертова g -модуля. Грубо говоря, гильбертов g -модуль | это банахов модуль w над g -алге брой e, норма которого порождается e-значным скалярным произведе нием ·Y · : w w e. Как правило, гильбертов g -модуль не являет ся гильбертовым пространством. Гильбертовы g -модули играют важ ную роль в некоммутативной геометрии, но в нашем курсе они нам не встретятся. О них можно почитать в книгах [19] и [27].

Гильбертовы модули над инволютивной банаховой алгеброй e обра зуют полную подкатегорию в e-mod, обозначаемую через e-Hmod. Ана логично определяется полная подкатегория e-Hmod1 e-mod1.

Поскольку нам предстоит иметь дело в основном с унитальными модулями над унитальными алгебрами, мы не будем вводить специаль ных обозначений для категорий унитальных модулей. В дальнейшем для унитальной алгебры e символы e-mod, e-Hmod и т. д. будут обо значать категории левых унитальных банаховых (гильбертовых) e-мо дулей;

к путанице это не приведет.

С точки зрения теории операторов язык гильбертовых модулей удо бен, в частности, по следующей причине. Напомним (см. теорему 6.7), что нормальные операторы в гильбертовых пространствах со спек тром в заданном компакте u C | это то же самое, что инволютив ные унитальные представления алгебры g(u), т. е. объекты категории g(u)-Hmod:

операторы нормальные в гильбертовых пространствах, у которых '( ) u Ob(g(u)-Hmod) = Ob(g(u)-Hmod1 )X (9.1) Помимо объектов, в категориях гильбертовых g(u)-модулей есть мор физмы и, в частности, изоморфизмы. Следующее упражнение показы вает, что изоморфизмы гильбертовых g(u)-модулей нам уже встреча лись «под другим соусом».

Упражнение 9.1. Пусть B(r1 ) и B(r2 ) | нормальные опе раторы, u C | компакт, содержащий их спектры, : r1 r2 | 130 9. Функциональные модели нормальных операторов ограниченный оператор. Докажите, что следующие условия эквива лентны:

1) оператор унитарен и осуществляет унитарную эквивалент ность и, т. е. диаграмма SG r1 r U U  TG r2 r коммутативна;

2) | изоморфизм в g(u)-Hmod1.

Таким образом, нормальные операторы B(r1 ) и B(r2 ) r1 r2 в g(u)-Hmod = унитарно эквивалентны Посмотрим теперь на некоторые примеры банаховых и гильберто вых модулей.

Пример 9.1. Если e | (банахова) алгебра, то она очевидным обра зом является левым (банаховым) e-модулем относительно операции · =.

Пример 9.2. Для любой алгебры e пространство en = e X X X e является левым e-модулем относительно операции · (1 Y X X X Y n ) = = (1 Y X X X Y n ). Любой e-модуль, изоморфный en, называется свобод ным конечно порожденным e-модулем. Если e | банахова алгебра, то n en | банахов e-модуль относительно нормы (1 Y X X X Y n ) = i i= (разумеется, вместо можно брать max | получится эквивалентная i i норма). Отметим, что если | компактное хаусдорфово топологи ческое пространство и e = g(), то модуль en изоморфен модулю g(Y Cn ) непрерывных функций на со значениями в Cn.

Пример 9.3 (для любителей топологии). Пусть по-прежнему | компактное пространство, % : i | векторное расслоение над.

Пространство его сечений `(Y i) = {f : i : f непрерывно и % f = 1X } является g()-модулем относительно поточечных операций. Известная теорема из топологии утверждает, что для любого расслоения i над § 9.2. Функциональная модель -циклического оператора найдется такое расслоение p над, что расслоение i p тривиально, т. е. изоморфно расслоению вида CN для некоторого x. Поэтому `(Y i) `(Y p ) `(Y CN ) g(Y CN ) g()N X = = = Модуль над произвольной алгеброй e называется проективным конечно порожденным модулем, если он изоморфен прямому слага емому свободного конечно порожденного e-модуля. Таким образом, `(Y i) | проективный конечно порожденный g()-модуль. Знамени тая теорема Серра|Суона утверждает, что любой проективный ко нечно порожденный g()-модуль имеет такой вид;

более того, функ тор сечений ` осуществляет эквивалентность категории векторных и категории конечно порожденных проективных расслоений над g()-модулей. Эта теорема несет примерно ту же «идеологическую»

нагрузку, что и первая теорема Гельфанда|Наймарка;

в свое время (в 60-х гг. прошлого века) она послужила стимулом для появления но вой дисциплины | алгебраической u-теории.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.