авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. Ю. Пирковский Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов ...»

-- [ Страница 4 ] --

Забегая вперед, скажем, что вскоре нам предстоит познакомиться с «измеримыми аналогами» модулей `(Y i) | модулями «квадратично интегрируемых сечений измеримых полей гильбертовых пространств», или, по-другому, «прямыми интегралами гильбертовых пространств».

Пример 9.4. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое пространство, " w() | неотрицательная регулярная борелевская мера. Тогда пространство v2 (Y ") является гильбертовым g()-мо дулем относительно поточечных операций.

Пример 9.5. Предыдущий пример можно обобщить следующим об разом. Пусть по-прежнему | компактное хаусдорфово топологиче ское пространство, (X Y A Y ")|пространство с мерой, 9: X | из меримое отображение (относительно A и Bor()). Для каждой функ ции f g() и каждой функции g v2 (X Y ") определим f · g v2 (X Y ") формулой (f · g)(x) = f(9(x))g(x). Тогда, как нетрудно проверить (про верьте!), v2 (X Y ") становится гильбертовым g()-модулем. Мы будем обозначать его через v2 (X Y ")'.

Наша ближайшая цель | доказать, что других гильбертовых моду лей над g(), кроме описанных в примере 9.5, не бывает.

§ 9.2. Функциональная модель -циклического оператора Прежде чем приступать к решению задачи, сформулированной в конце предыдущего параграфа, мы разберемся с частным случаем | 132 9. Функциональные модели нормальных операторов примером 9.4. Оказывается, он также описывает весьма широкий класс гильбертовых g()-модулей.

Определение 9.4. Пусть e | банахова алгебра, w | левый банахов e-модуль, x w. Замкнутый подмодуль ex = { · x: e} называется циклическим подмодулем, порожденным элементом x. Ес ли существует такой элемент x w, что w = ex, то w называется циклическим модулем, а x | циклическим вектором для w.

Пример 9.6. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое пространство, " w() | неотрицательная регулярная борелевская мера. Стандартная теорема из теории меры утверждает, что кано нический образ пространства g() плотен в v2 (Y ") (см., напри мер, [15], где этот факт доказан в предположении метризуемости про странства ). Поэтому гильбертов g()-модуль v2 (Y "), описанный в примере 9.4, является циклическим: в качестве циклического вектора подойдет функция x 1.

Является ли циклическим гильбертов g()-модуль Упражнение 9.2.

v2 (Y ") v2 (Y ")?

Оказывается, пример 9.6 описывает все (с точностью до изометри ческого изоморфизма) циклические гильбертовы g()-модули. Чтобы доказать это, введем некоторые обозначения.

Пусть | компактное хаусдорфово топологическое пространство, и пусть r | гильбертов g()-модуль. Соответствующее -представле ние % : g() B(r) канонически продолжается до -представления % : f() B(r), непрерывного относительно слабо-мерной топологии ~ на f() и слабо-операторной топологии на B(r) (см. теорему 7.4).

Разумеется, оно будет непрерывно и по норме (как и любое -пред ставление инволютивной банаховой алгебры;

см. предложение 6.9). По этому r становится гильбертовым f()-модулем. Обозначим через i : Bor() PR(r) соответствующую регулярную спектральную ме ру (см. § 8.2);

напомним, что i(f)x = 1B · x для любого борелевского подмножества f и любого x r. Зафиксируем x r и определим меру "x w() формулой "x (f) = i(f)xY x (f Bor())X (9.2) Иными словами, "x | это в точности мера ix;

x из § 8.1. Отметим, что "x (f) = i(f)x 2, так что мера "x неотрицательна. Напомним также, § 9.2. Функциональная модель -циклического оператора что %(f)xY x = f d"x (f f()) ~ (9.3) X (см. теорему 8.1 и определение 8.3).

В следующем предложении для любой "x -измеримой функции f на символом [f] мы будем обозначать ее класс эквивалентности относи тельно "x.

Предложение 9.1. Существует единственный морфизм гильберто x : 2 (Y x ) g()-модулей j v " r, j x.

для которого x ([1]) = вых При j j g()x.

этом морфизм x изометричен и Im x = Легко видеть, что каноническое отображение Доказательство.

f() v2 (Y "x )Y f [f]Y | морфизм банаховых g()-модулей. Обозначим через f 2 (Y "x ) v2 (Y "x ) его образ. Ясно, что он является плотным подмодулем в v2 (Y "x ) (объясните почему).

Из формулы (9.3) следует, что %(f)xY %(g)x = %(f g)xY x = f g d"x ~ ~ ~— — (9.4) X для любых fY g f(). Полагая f = g, мы видим, что если f = 0 "x -п. в., то %(f)x = 0. Следовательно, оператор ~ f() rY f %(f)xY ~ «пропускается» через f 2 (Y "x ). Это означает, что существует един ственный линейный оператор jx : f 2 (Y "x ) r, удовлетворяющий 0 ([f]) = % (f)x для любой функции f f(). Очевидно, j 0 | условию jx ~ x морфизм g()-модулей;

кроме того, из формулы (9.4) следует, что он изометричен. Следовательно, jx продолжается до изометрическо го морфизма g()-модулей jx : v2 (Y "x ) r. Поскольку [1] является циклическим вектором для v2 (Y "x ), вектор x = jx ([1]) циклический для Im jx. Отсюда же следует утверждение о единственности морфиз ма jx.

В качестве следствия мы получаем теорему о функциональной мо дели циклического гильбертова g()-модуля.

Теорема 9.1. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое r g()-модуль.

пространство и | циклический гильбертов Тогда су " w(), " r 0, что модуль ществует такая мера изоморфен 2 (Y v ") g()-Hmod 1.

в 134 9. Функциональные модели нормальных операторов Перейдем теперь от гильбертовых модулей к нормальным операто рам.

Определение 9.5. Нормальный оператор B(r) называется -ци клическим, если существует такой вектор x r, что r = span{ n ( )m x: nY m Z+ }X Вектор x при этом называется -циклическим вектором для.

Замечание 9.2. Если в пространстве r существует такой оператор, то оно с необходимостью сепарабельно.

Упражнение 9.3. Докажите, что нормальный оператор B(r) является -циклическим r | циклический гильбертов g('( ))-мо дуль.

С учетом вышеупомянутого соответствия между нормальными опе раторами и гильбертовыми модулями мы получаем следующий резуль тат.

B(r) | -циклический нормальный опера Теорема 9.2. Пусть " w('( " )), 0, и унитарный опера тор. Тогда существуют мера : 2 (Y осуществляющий унитарную эквивалентность r v "), тор w t умножения на «независимую переменную» :

между и оператором T r r G U U  Mt G 2  v2 ('( )Y ") v ('( )Y ") wt (wt f)(x) = xf(x).

Здесь оператор действует по формуле Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремой 9.1 и уп ражнениями 9.1 и 9.3.

Посмотрим на некоторые примеры.

Пример 9.7. (Ср. пример 9.6.) Пусть u C | компакт, снабженный обычной мерой Лебега, wt B(v2 (u)) | оператор умножения на «не зависимую переменную». Тогда wt | -циклический оператор, а функ ция x 1 | -циклический вектор для wt. Соответствующая мера " совпадает с мерой Лебега.

Пример 9.8. Оператор двустороннего сдвига b B(2 (Z)) -цикли ческий. Вектор e0 2 (Z) (впрочем, как и любой другой вектор en из стандартного базиса пространства 2 (Z)) -циклический для b.

§ 9.3. Функциональная модель: общий случай В обозначениях предыдущего примера опишите Упражнение 9.4.

меру "e0.

Упражнение 9.5. Докажите, что если нормальный оператор B(r) является -циклическим, то все его собственные значения однократны;

если же пространство r конечномерно, то верно и обратное.

Замечание 9.3. По этой причине -циклические нормальные опера торы иногда называют операторами с простым спектром или опера торами со спектром кратности 1. Вскоре мы обсудим вопрос о крат ности спектра в более общей ситуации.

Упражнение 9.6. При каких условиях диагональный оператор w B(2 ) является -циклическим?

Упражнение 9.7. При каких условиях операторы сдвига в v2 (R) и v2 (T) являются -циклическими?

§ 9.3. Функциональная модель: общий случай Перейдем теперь к построению функциональной модели произволь ного (т. е. уже не обязательно циклического) гильбертова g()-модуля.

Напомним: мы хотим показать, что любой такой модуль изоморфен мо дулю, описанному в примере 9.5. Отсюда, в частности, будет следовать, что любой нормальный оператор в гильбертовом пространстве унитар но эквивалентен оператору умножения w', действующему в простран стве вида v2 (X Y ") по формуле (w' f)(x) = 9(x)f(x);

здесь (X Y ") | не которое пространство с мерой, а 9 | ограниченная измеримая функция на X. Основная идея построения будет такова: мы вначале разложим наш оператор (или гильбертов модуль) в сумму циклических, а затем «склеим» их функциональные модели в одну.

Отступление. Такой процесс построения функциональной модели | это применение следующего общего принципа: чтобы получше изучить какой-либо математический объект, надо разбить его на «элементар ные кирпичики». Вот несколько других классических примеров такого рода: теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (лю бая такая группа | прямая сумма циклических), теорема о жордано вой нормальной форме (любая матрица | прямая сумма жордановых клеток), теорема о представлениях конечных групп (любое предста вление | прямая сумма неприводимых),... (Можете продолжить этот список своими любимыми примерами.) Во всех перечисленных приме рах речь идет о разложении того или иного модуля в прямую сумму 136 9. Функциональные модели нормальных операторов подмодулей: в первом случае | над кольцом Z, во втором | над C[t], в третьем | над групповой алгеброй Cq. В первых двух случаях под модули циклические, а в третьем (благодаря некоторым хорошим свой ствам алгебры Cq) их удается выбрать даже неприводимыми. С гиль бертовыми модулями, как мы вскоре увидим, ситуация такова: любой гильбертов g()-модуль разлагается в прямую сумму циклических (но не неприводимых!) подмодулей. Для разложения на неприводимые под модули в следующей главе нам придется использовать уже не прямые суммы, а так называемые прямые интегралы.

Итак, мы хотим разложить произвольный нормальный оператор в прямую сумму циклических. Для начала придадим фразе «разложить в прямую сумму» строгий смысл.

xi, Замечание 9.4. Ниже нам придется иметь дело с рядами вида iI где s | множество произвольной мощности и xi C. Сделаем в связи с этим несколько замечаний. Мы будем говорить, что такой ряд абсо лютно сходится, если множество t = {i s : xi = 0} не более чем счетно и ряд |xi | сходится при какой-либо ( при любой) нумерации мно iJ жества t. При этом мы полагаем по определению xi = xi ;

эта iI iJ сумма также не зависит от нумерации множества t.

Пусть {ri }iI | некоторое семейство гильбертовых пространств.

Определение 9.6. Гильбертова прямая сумма семейства {ri }iI оп ределяется следующим образом:

_ r = x = (x ) r : x 2` X i i i i iI iI iI Упражнение 9.8. Докажите, что гильбертова прямая сумма r = = _ ri является векторным подпространством в ri, для любых iI iI xY y r ряд xi Y yi абсолютно сходится и формула xY y = xi Y yi iI iI задает скалярное произведение в r, относительно которого r является гильбертовым пространством.

Замечание 9.5. Для каждого i s пространство ri очевидным обра зом вкладывается в r в качестве замкнутого подпространства. В даль нейшем мы будем отождествлять ri с его образом в r и считать, что ri r.

§ 9.3. Функциональная модель: общий случай Если s = N и ri = C для всех i s, то _ ri = 2. Для Пример 9.9.

iI произвольного s мы получаем пространство, которое по понятной при чине обозначается через 2 (s).

Теперь перейдем от пространств к операторам.

Упражнение 9.9. Пусть для каждого i s задан ограниченный опе ратор i B(ri ), причем sup i `. Докажите, что формула (x) = i = (i xi )iI (где x = (xi )iI _ ri ) задает ограниченный оператор iI в _ ri, и что при этом = sup i.

i iI Определение 9.7. Оператор, определенный в предыдущем упраж нении, называется гильбертовой прямой суммой семейства операторов {i }iI и обозначается через _ i.

iI Если s = N и ri = C для всех i s, то _ i | это про Пример 9.10.

iI сто диагональный оператор w в 2.

Прежде чем определять гильбертовы прямые суммы гильбертовых модулей, докажем простую лемму.

e Лемма 9.1. Пусть | унитальная инволютивная банахова алге r e-модуль. x бра, | левый унитальный гильбертов Тогда · x e, x r.

для любых Доказательство. Достаточно воспользоваться тем фактом, что представление унитальной инволютивной банаховой алгебры не увели чивает норму (см. предложение 6.9).

Объединяя эту лемму с упражнением 9.9, получаем следующее пред ложение.

e Предложение 9.2. Пусть | унитальная инволютивная банахо ва алгебра, {ri }iI | семейство левых унитальных гильбертовых _ ri e-модулей. Тогда их гильбертова прямая сумма является ле iI e-модулем вым унитальным гильбертовым относительно операции x · (xi )iI = ( · i )iI.

В случае, когда все модули ri лежат в одном общем гильбертовом модуле r, операция гильбертовой прямой суммы сводится к взятию замкнутой линейной оболочки. Чтобы в этом убедиться, сделайте сле дующее упражнение.

138 9. Функциональные модели нормальных операторов Упражнение 9.10. Пусть e|унитальная инволютивная банахова ал гебра, r | левый унитальный гильбертов e-модуль, {ri }iI | семей ство попарно ортогональных замкнутых подмодулей в r. Докажите, что существует единственный морфизм : _ ri r в e-Hmod, удо iI влетворяющий условию x = x для любого x ri и любого i s. По кажите, что морфизм изометричен, и Im = ri (замыкание ал iI гебраической суммы).

Приступим теперь к разложению гильбертова модуля в сумму ци клических. Ключевую роль здесь играет следующая простая лемма.

e | инволютивная банахова алгебра, r | левый Лемма 9.2. Пусть e-модуль, r0 r | замкнутый подмодуль. Тогда и r0 | гильбертов подмодуль.

Если x r0 и e, то для любого y r0 мы Доказательство.

имеем · xY y = xY · y = 0. Следовательно, · x r0.

e Предложение 9.3. Пусть | унитальная инволютивная банахова r e-модуль.

алгебра, | левый унитальный гильбертов Тогда суще ствует такое семейство {ri }iI замкнутых попарно ортогональных r, r r = i. Как следствие, мо циклических подмодулей в что _ ri iI r в e-Hmod1.

дуль изоморфен iI Доказательство. Пусть w | множество, состоящее из всевозмож ных наборов ненулевых попарно ортогональных замкнутых цикличе ских подмодулей в r. Это множество частично упорядочено по включе нию. Легко видеть, что w удовлетворяет условиям леммы Цорна. Дей ствительно, если подмножество g w линейно упорядочено, то на бор  = { :  g} является элементом множества w и мажорирует любой элемент из g. Следовательно, в w есть максимальный элемент  = {ri }iI. Положим r0 = ri и покажем, что r0 = r. Если это не iI так, то r0 = 0 и r0 | подмодуль в r по предыдущей лемме. Выберем произвольный ненулевой вектор x r0 ;

тогда ex r0 | ненулевой замкнутый циклический подмодуль, ортогональный всем модулям ri.

Это противоречит максимальности набора . Следовательно, r0 = r, как и требовалось.

Вместе с теоремой 9.1 это приводит к следующему результату.

Теорема 9.3. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое r g()-модуль.

пространство, | левый унитальный гильбертов То гда существует такое семейство {"i }iI неотрицательных регуляр § 9.3. Функциональная модель: общий случай, r ных борелевских мер на что модуль изоморфен гильбертовой прямой сумме _ 2 (Y ) в v " g()-Hmod.

i iI В качестве следствия мы получаем соответствующий результат об операторах.

B(r) | нормальный оператор. Тогда су Теорема 9.4. Пусть ществует такое семейство {"i }iI неотрицательных регулярных бо '( ), что оператор унитарно эквивалентен опе релевских мер на _ wt, i s оператор wt i i ратору где для каждого действует iI  в v2 ('( )Y "i ) по формуле (wt f)(z) = zf(z).

i Доказательство. Достаточно превратить пространство r в гиль бертов g('( ))-модуль (см. формулу (9.1)) и применить предыдущую теорему.

Теорема 9.4 дает важную информацию о строении нормального опе ратора. Однако у нее есть один существенный недостаток: разложение оператора в сумму операторов умножения wt, вообще говоря, не i единственно. В частности, один «элементарный кирпичик» wt вполне i может оказаться суммой двух других. Чтобы в этом убедиться, сде лайте следующее упражнение.

Упражнение 9.11. Постройте ненулевые регулярные борелевские ме ры ", #1, #2 на каком-нибудь компакте u C так, чтобы оператор wt B(v2 (u)Y ") был унитарно эквивалентен оператору wt1 wt2.

_ Замечание 9.6. Впоследствии мы увидим, что разложение, указан ное в теореме 9.4, все же единственно, если слагаемые должным обра зом сгруппировать и упорядочить.

Обсудим теперь одну общую алгебраическую конструкцию. Пусть e и f | банаховы алгебры, 2 : e f | непрерывный гомоморфизм.

Каждый левый банахов f-модуль w можно тогда рассматривать и как левый банахов e-модуль, полагая · x = 2() · x для e, x w. Если u: w x | морфизм в f-mod, то он же будет морфизмом и в e-mod относительно только что введенного действия алгебры e на w и x.

Тем самым определен ковариантный функтор 2# : f-mod e-mod. Он называется функтором отступления вдоль 2 или функтором прямого образа.

Название «функтор прямого образа» может показаться несколько неожиданным | ведь в то время как гомоморфизм 2 действует из e 140 9. Функциональные модели нормальных операторов в f, функтор 2# действует из f-mod в e-mod (а вовсе не наобо рот). Эта терминология оправдывается тем, что при переходе от про странств к алгебрам функций на них стрелки обращаются (т. е. функ тор «пространство алгебра функций» контравариантен;

см. § 5.5).

Вот типичный для дальнейшего пример.

Пример 9.11. Пусть (X Y A Y ") | пространство с мерой, | ком пактное хаусдорфово топологическое пространство, 9: X | из меримое отображение (относительно A и Bor()). Определим гомо морфизм 9• : g() v (X Y ") формулой 9• (f) = f 9. Он, в свою очередь, задает функтор (9• )# : v (X Y ")-mod g()-mod. Если при менить этот функтор к пространству v2 (X Y ") (которое очевидным образом наделяется структурой модуля над v (X Y ")), мы получим g()-модуль v2 (X Y ")' (см. пример 9.5).

Теорема 9.5 (о функциональной модели). Пусть | компактное r хаусдорфово топологическое пространство, | левый гильбертов g().

модуль над Тогда существуют такое пространство с мерой Y Y ") 9:, r (X A X и такое измеримое отображение что модуль изоморфен 2 (X v Y ") g()-Hmod 'в 1.

Доказательство. Представим r в виде, указанном в теореме 9.3, и рассмотрим дизъюнктное объединение X = i, где i = для iI всех i s. Определим '-алгебру A и меру ": A 2X [0Y +] следу ющим образом:

fi : fi Bor(i ) Y = A iI iI "i (fi )Y если этот ряд сходится, " fi = + иначе.

iI Наконец, определим измеримое отображение 9: X, полагая 9(x) = = x для любого x i и любого i s.

Чтобы построить изоморфизм между r и v2 (X Y ")', для каждого i s рассмотрим замкнутый подмодуль ri = {f v2 (X Y ")' : f = 0 почти всюду вне i }X Ясно, что ri rj при i = j. Кроме того, отображение i : v2 (Y "i ) ri, сопоставляющее каждой функции f v2 (Y "i ) ее продолже ние нулем вне i, является, очевидно, изоморфизмом в g()-Hmod1.

С учетом упражнения 9.10 мы получаем изометрический морфизм v -функциональное исчисление. Скалярная спектральная мера § 9.4.

: _ v2 (Y "i ) v2 (X Y ")', ограничение которого на каждое подпро iI странство v2 (Y "i ) совпадает с i, а образ есть ri. Осталось заме тить, что морфизм сюръективен. В самом деле, если f v2 (X Y ") iI и f ri, то f = 0 почти всюду на i. Если же это так для всех i s, то f = 0 почти всюду на X. Следовательно, (Im ) = 0, и | изоме трический изоморфизм.

На языке операторов последняя теорема звучит так.

B(r) | нор Теорема 9.6 (о функциональной модели). Пусть мальный оператор. Тогда существуют такое пространство с ме Y Y ") 9:

рой (X A X C, и такая измеримая ограниченная функция w ' что оператор унитарно эквивалентен оператору умножения B(v2 (X Y ")), f)(x) 9(x)f(x).

действующему по формуле (w' = Упражнение 9.12. Если пространство r сепарабельно, а оператор самосопряжен, то в качестве X можно взять R, а меру " выбрать ко нечной.

Теорема о функциональной модели | чрезвычайно мощное средство, позволяющее «задаром» получать содержательную информацию о нор мальных операторах. Например, чтобы определить борелевское исчи сление от нормального оператора, достаточно представить в виде 1 w' (где | оператор, осуществляющий эквивалентность между и w' ) и положить f( ) = 1 wf'. Точно так же можно построить разложение единицы (см. упражнения 7.15 и 8.7).

Вот еще одно приложение.

Упражнение 9.13. Пусть B(r) | нормальный необратимый опе ратор.

1. Докажите, что образ Im замкнут 0 | изолированная точка спектра '( ).

2. Верно ли предыдущее утверждение для ненормальных операто ров? Верна ли хотя бы одна из импликаций или ?

L § 9.4. -функциональное исчисление.

Скалярная спектральная мера Вернемся теперь к нашему основному вопросу о функциональных исчислениях. Мы уже убедились на многочисленных примерах, что чем больше запас функций, которые можно применять к линейному опера тору, тем больше можно сказать о его строении. Как мы уже знаем, 142 9. Функциональные модели нормальных операторов от нормального оператора в гильбертовом пространстве можно брать любые ограниченные борелевские функции, определенные на его спек тре (см. гл. 7). По сути дела, именно этот факт и позволил нам до казать спектральную теорему в ее различных формулировках. Есте ственно теперь поинтересоваться, можно ли от нормального операто ра брать неограниченные борелевские функции. Оказывается, действи тельно можно, но если мы при этом хотим оставаться в рамках теории ограниченных операторов, то наши функции должны быть существен но ограниченными по отношению к некоторой специальной мере. Наша ближайшая цель | определить эту меру и построить соответствующее v -функциональное исчисление.

Пусть (Y A Y ")|пространство с мерой. Напомним, что существует изометрический изоморфизм v (Y ") (v1 (Y ")) Y f pf Y где pf (g) = fg d" g v1 (Y ")X X Как следствие, на v (Y ") возникает слабая* топология '(v Y v1 ) (см. § 5.2).

Упражнение 9.14. Пусть | компактное хаусдорфово топологиче ское пространство, " w() | неотрицательная регулярная борелев ская мера.

1. Покажите, что образ канонического гомоморфизма g() v (Y "), переводящего каждую функцию в ее класс эквивалент ности относительно ", плотен в слабой* топологии.

2. Покажите, что канонический гомоморфизм f() v (Y ") не прерывен относительно слабо-мерной топологии на f() и слабой* то пологии на v (Y ").

Пусть теперь B(r) | нормальный оператор, u C | компакт ное подмножество, " w(u) | неотрицательная регулярная борелев ская мера. Как обычно, через t v (uY ") мы обозначаем функцию t(z) = z (z u), точнее, ее класс эквивалентности.

Определение 9.8. v -функциональным исчислением от на (uY ") называется унитальный -гомоморфизм  : v (uY ") B(r), непре рывный относительно слабой* топологии на v (uY ") и слабо-опера торной топологии на B(r) и такой, что  (t) =.

Упражнение 9.15. Предположим, что v -функциональное исчисле ние от на (uY ") существует. Докажите, что 1) оно единственно;

2) '( ) u;

v -функциональное исчисление. Скалярная спектральная мера § 9.4.

3) диаграмма b f(u) G B(r) W ss ss s s s sss  v (uY ") коммутативна (здесь b | борелевское исчисление от, а вертикальная стрелка | канонический гомоморфизм;

см. упражнение 9.14).

Если про меру " ничего не известно, то соответствующего v -функ ционального исчисления может и не существовать (приведите пример!).

Наша задача будет состоять в том, чтобы по заданному оператору по строить некоторую специальную меру " на '( ), для которой v -функ циональное исчисление от существует. Она называется скалярной спектральной мерой оператора. Строить ее мы будем в более общем контексте гильбертовых модулей.

Итак, пусть | компактное хаусдорфово топологическое про странство, r | унитальный гильбертов g()-модуль, % : g()B(r) и % : f() B(r) | соответствующие представления, i : Bor() ~ PR(r) | соответствующая спектральная мера (см. теорему 8.3).

мера " w() называется ска Определение 9.9. Неотрицательная r, если для f Bor() условия лярной спектральной мерой для i(f) = 0 и "(f) = 0 эквивалентны.

Для дальнейшего нам понадобятся некоторые факты из теории меры.

Отступление: напоминания из теории меры Пусть | множество, A | '-алгебра его подмножеств.

Определение 9.10. Пусть "Y # | '-аддитивные комплексные меры на A, # 0.

1. Говорят, что мера " абсолютно непрерывна относительно #, если из условий #(e) = 0, e A следует, что "(e) = 0. При этом пишут " #.

2. Если " 0, то говорят, что меры " и # эквивалентны (и пишут " #), если одновременно выполняются условия " # и # ", т. е. если для e A условия #(e) = 0 и "(e) = 0 эквивалентны.

144 9. Функциональные модели нормальных операторов "Y # '-аддитивные Теорема 9.7 (Радон, Никодим). Пусть | ком '-алгебре # 0. Тогда следующие условия A, причем плексные меры на эквивалентны:

(1) " #;

(2) существует такая #-интегрируемая функция &: C, что "(e) = A & d# для любого e A (т. е., в обозначениях гл. 7, " = & · #);

Z (3) для любого 4 b 0 найдется такое  b 0, что для любого множе e #(e) ` , A, удовлетворяющего условию ства выполнено неравен ` 4.

ство |"|(e) " & #-п.

0, то и При этом если в. Класс эквивалентности функ & #) & (относительно определен однозначно. Функция обознача ции d " # и называется производной Радона|Никодима меры ется по d " #).

(или плотностью меры относительно Замечание 9.7. На самом деле теорема Радона|Никодима | это им пликация (1) (2) в предыдущем утверждении. Импликация (2) (3) | это так называемое свойство абсолютной непрерывности ин теграла, а импликация (3) (1) очевидна.

Вернемся к гильбертовым модулям. Прежде чем строить скалярную спектральную меру, заметим, что если эта мера существует, то она определена однозначно с точностью до эквивалентности.

Для построения скалярной спектральной меры нам будет удобно воспользоваться следующим общим понятием.

Определение 9.11. Вектор x r называется отделяющим для пред ставления %, если для f f() из условия %(f)x = 0 следует, что ~ ~ %(f) = 0.

~ x r "x Предложение 9.4. Если вектор отделяющий, то мера r.

(см. формулу (9.2)) является скалярной спектральной мерой для Напомним, что "x (f) = i(f)x 2 для любого Доказательство.

борелевского множества f. Поэтому "x (f) = 0 i(f)x = i(f) = 0.

Докажите, что верно и обратное утверждение.

Упражнение 9.16.

Итак, вопрос о существовании скалярной спектральной меры свелся к вопросу о существовании отделяющего вектора.

v -функциональное исчисление. Скалярная спектральная мера § 9.4.

r Предложение 9.5. Если модуль сепарабелен, то в нем существу ет отделяющий вектор. Как следствие, существует скалярная спек r.

тральная мера для Представим r в виде r = ri, где ri | попар Доказательство.

iI но ортогональные циклические подмодули в r (см. предложение 9.3).

Из сепарабельности модуля r следует, что s не более чем счетно, по этому мы можем считать, что s = N или s = {1Y X X X Y n}. Для каждо го i s выберем циклический вектор xi ri, xi = 1, и положим x = xii. Легко видеть, что x | отделяющий вектор. Действительно, i если %(f)x = 0 для некоторой функции f f(), то из ортогонально ~ сти подмодулей ri следует, что %(f)xi = 0 для всех i s. Поскольку ~ xi | циклический вектор для ri, отсюда следует, что %(f)|H = 0 для ~ i всех i s, т. е. %(f) = 0. Следовательно, x | отделяющий вектор.

~ Естественно спросить: а существуют ли какие-нибудь другие ска лярные спектральные меры для r, кроме тех, которые указаны в пред ложении 9.4? Проще всего ответить на этот вопрос в случае сепара бельного модуля r.

Упражнение 9.17. Предположим, что в r существует отделяющий вектор x (это заведомо так, если модуль r сепарабелен).

1. Докажите, что если # w(), # 0 и # "x, то # = "y для некоторого y r.

2. Докажите, что любая скалярная спектральная мера для r име ет вид "y для некоторого (возможно, другого) отделяющего вектора y r.

Воспользуйтесь теоремой Радона|Никодима.

Указание.

На самом деле в условии предыдущего упражнения можно и не тре бовать наличия отделяющего вектора. Дело в том, что справедлив сле дующий результат.

Упражнение 9.18. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1) в r существует отделяющий вектор;

2) существует скалярная спектральная мера для r.

При этом любая скалярная спектральная мера для r имеет вид "y для некоторого отделяющего вектора y r.

Указание. Ключевой момент | следующее утверждение из теории меры: если некая мера " эквивалентна семейству мер {"i : i s} в том смысле, что "(f) = 0 "i (f) = 0 i s, то она эквивалентна не более чем счетному его подсемейству.

146 9. Функциональные модели нормальных операторов Так или иначе, но в общем случае (т. е. для несепарабельного мо дуля r) предложение 9.5 перестает быть верным. Попробуйте в этом убедиться.

Упражнение 9.19. Постройте нормальный оператор в несепарабель ном гильбертовом пространстве, не обладающий скалярной спектраль ной мерой.

Указание. Если '-аддитивная мера " 0 такова, что "({x}) b 0 для любого x, то "( \ ) = 0 для некоторого не более чем счетного подмножества.

Перейдем теперь к построению v -функционального исчисления.

" | скалярная спектральная мера для r.

Предложение 9.6. Пусть Тогда Ker % = {f f(): f = 0 "x -п. в. x r} = {f f(): f = 0 "-п. в.}X ~ f имеем Доказательство. Для любого борелевского множества 2 = 0 x r " (f) = 0 x rX "(f) = 0 i(f) = 0 i(f)x x Отсюда следует совпадение второго и третьего множеств. Совпадение первых двух множеств следует из равенства %(f)x 2 = X |f |2 d"x.

~ Z Прежде чем формулировать и доказывать основную теорему, сде лаем одно несложное наблюдение об инволютивных алгебрах.

Определение 9.12. Пусть e | инволютивная алгебра. Двусторонний идеал s e называется -идеалом, если для любого s выполнено включение s.

Упражнение 9.20. Докажите, что если s | двусторонний -идеал в инволютивной алгебре e, то факторалгебра eas является инволю тивной алгеброй относительно инволюции ( + s) = + s. В случае, когда e | инволютивная банахова алгебра, покажите, что факторалге бра eas, снабженная факторнормой и только что введенной инволюци ей, тоже является инволютивной банаховой алгеброй.

Теорема 9.8. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое r пространство, | сепарабельное гильбертово пространство. Пусть, % g() % далее, : B(r) | унитальный -гомоморфизм, ~ | его кано f(), " w() ническое продолжение на | соответствующая ска лярная спектральная мера. Тогда существует единственный -гомо % v ") морфизм : (Y B(r), делающий следующую диаграмму ком v -функциональное исчисление. Скалярная спектральная мера § 9.4.

мутативной:

 ~ f() G B(r) W ss ss ss s sss  v (Y ") При этом гомоморфизм % инъективен и непрерывен относительно слабой* топологии на v (Y ") и слабо-операторной топологии на B(r).

Доказательство. Единственность гомоморфизма % очевидна;

до кажем его существование. Положим s0 = Ker %;

ясно, что это замкнутый ~ -идеал в f(). Рассмотрим линейный оператор % : f()as0 B(r)Y f + s0 %(f)X~ Легко видеть, что этот оператор ограничен, инъективен и является -гомоморфизмом. С учетом предложения 9.6 существует изометриче ский -изоморфизм f()as0 v (Y "), переводящий f + s0 в класс эквивалентности функции f относительно " (см. упражнение 2.11).

Отождествляя алгебры f()as0 и v (Y "), получаем искомый гомо морфизм % : v (Y ") B(r).

Для доказательства непрерывности гомоморфизма % относитель но указанных топологий достаточно по заданным xY y r подобрать & v1 (Y ") так, чтобы выполнялось условие % (f) x;

y f  для любой функции f v (Y ")X (9.5) Итак, пусть xY y r. Тогда % (f) x;

y = | %(f)xY y | = f dix;

y ~ (9.6) X (здесь мы, как обычно, использовали один и тот же символ f для обозначения функции и ее класса эквивалентности). Из определения скалярной спектральной меры легко следует, что ix;

y ". Положим & = dix;

y ad";

тогда из равенств (9.6) получаем, что % (f) f& d" = f  Y x;

y = X что доказывает неравенство (9.5). Тем самым теорема доказана.

Упражнение 9.21. Докажите, что отображение % изометрично.

Предыдущее упражнение нетрудно сделать «в лоб», но можно и вы вести его из следующего более общего утверждения.

148 9. Функциональные модели нормальных операторов Пусть eY f | унитальные g -алгебры, 9: e Упражнение 9.22.

f | инъективный унитальный -гомоморфизм. Тогда гомоморфизм 9 изометричен.

Естественно поинтересоваться: а нельзя ли вместо скалярной спек тральной меры в предыдущей теореме взять какую-нибудь другую?

Упражнение 9.23. Какой должна быть мера " w(), " 0, чтобы для нее было справедливо заключение теоремы 9.8? (Найдите необхо димое и достаточное условие.) В применении к операторам теорема 9.8 дает следующий результат.

B(r) | нормальный оператор в сепара Теорема 9.9. Пусть r, u бельном гильбертовом пространстве C | компакт, содержа '( " w(u) ), щий | скалярная спектральная мера оператора. То v ") на (uY гда -функциональное исчисление от существует и един ственно. Кроме того, оно изометрично.

Посмотрим теперь на свойства v -функционального исчисления.

Естественно ожидать, что v -функциональные исчисления на разных компактах должны быть согласованы (ср. упражнение 7.17). Чтобы это утверждение имело смысл, согласованы должны быть и скалярные спек тральные меры. Для точной формулировки этого результата введем следующее понятие.

Определение 9.13. Пусть | компактное хаусдорфово топологи ческое пространство. Носитель меры " w() | это подмножество supp ", определяемое следующим образом:

x supp " окрестность x: "() = 0X a Очевидно, supp " | замкнутое множество.

Замечание 9.8. Существует понятие носителя меры, заданной на произвольной '-алгебре подмножеств любого множества, однако в этом случае носитель определен, вообще говоря, неоднозначно («носитель с неопределенным артиклем»). Носитель, определенный выше, есте ственно называть «топологическим носителем».

Упражнение 9.24. Пусть B(r) | нормальный оператор в сепа рабельном гильбертовом пространстве r, "|его скалярная спектраль ная мера, определенная на некотором компакте u '( ). Докажите, что supp " = '( ).

Следствие 9.1. Пусть uY u1 C | компакты, '( ) u1 u, и " w(u) | скалярная спектральная мера для B(r). Тогда ее огра v -функциональное исчисление. Скалярная спектральная мера § 9.4.

"| w(u1 ) также является скалярной спектральной ничение Bor(K1 ) мерой для.

Упражнение 9.25. В условиях предыдущего следствия обозначим че K K рез  и 1 v -исчисления от на u и u1 соответственно, а через rKK1 : v (uY ") v (u1 Y ") | гомоморфизм ограничения. Докажите, что следующая диаграмма коммутативна:

v (uY ") K A rKK1 B(r) kkkS kkkk  K v (u1 Y ") Поскольку v -функциональное исчисление согласовано с борелев ским (см. упражнение 9.15) и не зависит от выбора компакта u '( ), мы можем вместо  (f) использовать традиционное обозначение f( ), как и для других встречавшихся нам ранее функциональных исчисле ний.

Еще одно важное свойство v -функционального исчисления, кото рого нет у борелевского исчисления, | это теорема об отображении спектра.

Упражнение 9.26 (теорема об отображении спектра). Пусть B(r) | нормальный оператор в сепарабельном гильбертовом про странстве r, " | его скалярная спектральная мера, определенная на некотором компакте u '( ). Докажите, что для любой функции f v (uY ") справедливо равенство '(f( )) = {множество существенных значений функции f на '( )}X Литературные указания О банаховых и гильбертовых модулях можно прочитать в книге [29].

Язык гильбертовых модулей широко используется в современной тео рии операторов;

см. по этому поводу монографию Р. Дугласа и В. Пол сена [36]. Упомянутая мимоходом теорема Серра|Суона доказана, на пример, в лекциях М. Атьи [1]. Теорему о функциональной модели са мосопряженного оператора в гильбертовом пространстве можно найти в книгах [30, 14, 23];

на случай нормальных операторов и гильбертовых g()-модулей она обобщается без труда. Доказательство теоремы Ра дона|Никодима содержится в книгах [15, 14, 9]. По поводу скалярных спектральных мер и v -исчисления см. учебник Дж. Конвея [35].

10. ТЕОРИЯ КРАТНОСТИ Вы, конечно, знаете, что кратностью собственного значения ! ли нейного оператора называется размерность ядра оператора !1.

Что следует называть кратностью точки спектра в общем случае? Те ория кратности, с которой мы познакомимся в этой главе, дает ответ на этот вопрос для ограниченных нормальных операторов в гильберто вом пространстве. Впрочем, основное достоинство этой теории даже не в том, что она придает смысл слову «кратность», а в том, что она позво ляет полностью классифицировать нормальные операторы с точностью до унитарной эквивалентности. Это означает, что каждому оператору сопоставляется некая совокупность объектов, которая является пол ным набором унитарных инвариантов в том смысле, что два оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им наборы унитарных инвариантов совпадают. Таким образом, теория кратности позволяет отвечать на вопросы о том, являются ли два дан ных нормальных оператора унитарно эквивалентными или нет. Кроме того, теория кратности сопоставляет каждому нормальному оператору некую красивую геометрическую модель (по ряду причин более удоб ную, чем функциональная модель из предыдущей главы), которая пред ставляет и самостоятельный интерес.

Чтобы лучше понимать смысл дальнейших построений, давайте вна чале посмотрим на конечномерный случай. Итак, пусть r | конечно мерное гильбертово пространство, B(r) | оператор, который мы для простоты будем предполагать самосопряженным. Тогда, как из вестно из линейной алгебры, r разлагается в ортогональную прямую сумму собственных подпространств оператора :

r = _ r(!)Y где r(!) = Ker( !1 )X (10.1) H (T ) Следовательно, сам оператор записывается в виде = _ !1 X (10.2) H() (T ) Определим функцию кратности mT на спектре '( ) формулой mT (!) = = dim r(!). Тогда пара ('( )Y mT ) является полным набором унитар ных инвариантов оператора :

и унитарно эквивалентны '() = '( ) и mS = mT (10.3) 10. Теория кратности Упражнение 10.1. Если вы раньше не встречались с этим утвержде нием, то докажите его.

Основные результаты теории кратности, грубо говоря, представля ют собой обобщения разложений (10.1) и (10.2) и утверждения (10.3) на бесконечномерный случай. Конечно, r(!) уже не будут собственны ми подпространствами (как вы знаете, собственных подпространств у вообще может не быть);

более того, они, вообще говоря, не бу дут подпространствами в r. А разложения (10.1) и (10.2) будут уже не обычными разложениями в прямую сумму, а разложениями в так называемый «прямой интеграл».

На интуитивном уровне основной геометрический объект, сопоста вляемый оператору в теории кратности, выглядит следующим образом.

Из предыдущей главы мы помним, что «строительным материалом» для функциональной модели нормального оператора (или гильбертова мо дуля) служат циклические гильбертовы модули ri (i s), каждый из которых изоморфен модулю вида v2 ('( )Y "i ) для некоторой меры "i на '( ) (см. теоремы 9.3 и 9.4). Для построения функциональной модели (теорема 9.5) мы, говоря неформально, «склеили» друг с другом про странства с мерой ('( )Y "i ) и на каждом из них рассмотрели функцию f(t) = t (см. приведенный ниже рисунок).

...

('( )Y "1 ) ('( )Y "2 ) ('( )Y "3 ) (X Y ") В результате этой конструкции получаются пространство с мерой (X Y ") и ограниченная измеримая функция 9 на нем;

при этом ис ходный оператор оказывается унитарно эквивалентным оператору умножения w' в v2 (X Y ").

Можно, однако, не «приклеивать» пространства ('( )Y "i ) друг к другу, а расположить их «друг над другом» так, чтобы они про 152 10. Теория кратности · · · · · · ·... · · · · ((T );

3 ) · · · · ((T );

2 ) · · · ((T );

1 ) · · · · · · · (T ) ·  ектировались на '( ), см. рисунок. Геометрический объект, который при этом возникает, называется измеримым гильбертовым расслоени ем или измеримым полем гильбертовых пространств. Обратите вни мание на то, что горизонтальные отрезки на этой картинке имеют разрывы;

это означает, что «на i-м этаже» изображена не вся i-я ко пия пространства '( ), а только носитель меры "i. Число точек на вертикальной прямой, т. е. размерность «слоя» над точкой ! '( ), | это и есть кратность этой точки. Гильбертово пространство, в кото ром действует оператор, следует представлять себе как «непрерыв ную прямую сумму» слоев над точками спектра '( );

сам же оператор «склеен» из операторов , каждый из которых действует в слое над ! '( ) умножением на число !.

В частности, если пространство r конечномерно, то спектр '( ) ко нечен и над каждой его точкой ! «висит» соответствующее собственное подпространство r(!). Типичный бесконечномерный пример | опера тор умножения wt, действующий в v2 [0Y 1] по правилу (wt f)(t) = tf(t).

Пространство v2 [0Y 1] при этом оказывается «непрерывной прямой сум мой» одномерных пространств C (по всем ! [0Y 1]), а оператор wt | «непрерывной прямой суммой» операторов умножения на ! в простран стве C.

Перейдем теперь к строгим формулировкам.

§ 10.1. Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы Пусть | множество, A | '-алгебра его подмножеств, и пусть ! } | некоторое семейство гильбертовых пространств. Пря {r(!) :

r(!) назовем пространством сечений этого се мое произведение X мейства. Напомним в этой связи, что r(!) = u: r(!): u(!) r(!) ! X X X Пространство r(!) будем называть слоем над !.

§ 10.1. Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы Говоря неформально, измеримое гильбертово расслоение | это се мейство гильбертовых пространств {r(!) : ! } вместе с выделен ным подпространством пространства его сечений, элементы которого мы хотим объявить измеримыми.

Определение 10.1. Измеримое гильбертово расслоение (говорят так же: измеримое поле гильбертовых пространств) над (Y A ) | это пара H = ({r(!): ! }Y F ), состоящая из семейства гильбертовых про странств {r(!) : ! } и векторного подпространства F r(!), X удовлетворяющего следующим условиям:

(1) для каждых uY v F функция ! u(!)Y v(!) измерима на ;

(2) если сечение u r(!) таково, что функция ! u(!)Y v(!) X измерима для любого v F, то u F ;

(3) существует такое счетное семейство {un } F, что n= span{un (!)} = r(!)X n= Элементы подпространства F называются измеримыми сечениями рас слоения H.

Замечание 10.1. Заметим, что из последнего условия следует, что все пространства r(!) сепарабельны. Это ограничение может на пер вый взгляд показаться довольно искусственным, но в дальнейшем мы увидим, что оно играет весьма существенную роль. Впрочем, в преды дущей главе нам уже пришлось один раз налагать условие сепарабель ности | а именно, тогда, когда мы строили скалярную спектральную меру оператора. Теория кратности для операторов в несепарабельных пространствах также существует, но имеет заметно более сложный вид, и мы ею заниматься не будем.

Пример 10.1. Простейший пример измеримого гильбертова рассло ения получится, если положить r(!) = C для всех ! и взять в ка честве F множество всех измеримых функций на.

Пример 10.2 (постоянное расслоение). Пусть r | сепарабельное гильбертово пространство. Будем говорить, что функция u: r измерима, если для любого x r измерима функция ! u(!)Y x. По ложим r(!) = r для всех ! и возьмем в качестве F множество всех измеримых функций на со значениями в r.

Упражнение 10.2. Проверьте выполнение аксиом (1)|(3).

Пример 10.3 (локально постоянное расслоение). Пусть предста влено в виде = n, где n A. Для каждого n зафиксируем се nN парабельное гильбертово пространство rn и положим r(!) = rn для 154 10. Теория кратности каждого ! n. Пусть = u r(!): функция u|X : n rn измерима n N X F n X Проверьте выполнение аксиом (1)|(3).

Упражнение 10.3.

Оказывается, других измеримых гильбертовых расслоений, кроме описанных в предыдущем примере, не бывает. Чтобы сформулировать это более строго, надо ввести понятие морфизма измеримых гильбер товых расслоений.

Определение 10.2. Пусть даны измеримые гильбертовы расслоения H = ({r(!): ! }Y F ) и H = ({r (!): ! }Y F ) над (Y A ). Мор физм (или измеримое поле операторов) : H H | это такое семей ство операторов { (!) B(r(!)Y r (!)): ! }, что для любого u F сечение u r (!), определяемое равенством ( u)(!) = (!)u(!), X принадлежит F.

Если " | '-аддитивная неотрицательная мера на A, то морфизм : H H называется "-существенно ограниченным, если функция ! (!) "-существенно ограничена.

Морфизм : H H называется унитарным изоморфизмом, если (!) | унитарный изоморфизм для всех !.

Пример 10.4 (диагональный морфизм). Пусть f : C | измери мая функция. Диагональный морфизм hf : H H определяется фор мулой hf (!) = f(!)1H() (убедитесь, что это на самом деле морфизм гильбертовых расслоений). Ясно, что морфизм hf существенно огра ничен тогда и только тогда, когда функция f существенно ограниче на, и является унитарным изоморфизмом тогда и только тогда, когда |f (!)| = 1 для всех !.

Определение 10.3. Измеримое гильбертово расслоение называется тривиальным, если оно унитарно изоморфно постоянному расслоению (см. пример 10.2).

В дальнейшем через N мы будем обозначать «расширенное множе ство натуральных чисел» N {0} {}.

H | измеримое гильбертово расслоение над Теорема 10.1. Пусть (Y A ). Для каждого n N положим n = {! : dim r(!) = n}. То гда n A и ограничение H |Xn тривиально. Как следствие, H изо морфно локально постоянному расслоению (см. пример 10.3). В част ности, измеримое гильбертово расслоение постоянной размерности тривиально.

§ 10.1. Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы Замечание 10.2 (для любителей топологии). С точки зрения тополо гии, формулировка теоремы выглядит несколько неожиданной: ведь не все же локально тривиальные векторные расслоения тривиальны! Но теория меры | наука гораздо более «мягкая», чем топология;

напри мер, отрезок и окружность, конечно, не гомеоморфны друг другу как топологические пространства, но как измеримые пространства они ни чем друг от друга не отличаются. Примерно то же самое происходит и с расслоениями...

Доказательство (набросок). Выберем счетное семейство измери мых сечений {un }, удовлетворяющее условию (3) определения 10.1. Для каждого конечного подмножества s N и каждого n N определим функции I и n на формулами I (!) = | det( ui (!)Y uj (!) )i;

jI |Y n (!) = sup{I (!): s NY Card s = n}X Ясно, что I, а следовательно, и n являются A -измеримыми. При этом из условия (3) определения 10.1 следует, что dim r(!) ` n в точ ности тогда, когда n (!) = 0. Для каждого n N множество n = = {! : n (!) = 0} принадлежит A. Следовательно, множества n = n+1 \ n, 0 = 1 и = \ n также лежат в A.

n= При доказательстве того, что расслоение H тривиально на каждом множестве n, мы можем считать, что = n.

Лемма 10.1. Пусть H | измеримое гильбертово расслоение, при r(!) n ! n чем dim = для всех (здесь N). Тогда существует та кое семейство измеримых сечений {ei }n, что {ei (!)}n | ортонор i=1 i= r(!) !.

мированный базис в для всех Упражнение 10.4. Докажите эту лемму.

Указание. Доказательство напоминает процесс ортогонализации Грама|Шмидта. А именно, возьмите такое семейство {ui }, как вы ше, и подправьте u1 : вначале добавьте к нему сумму вида fi ui (где i fi | подходящие измеримые функции) так, чтобы полученное сечение u1 нигде не обращалось в нуль, а затем положите e1 = u1 a u1. Далее замените каждое ui (при i 2) на ui = ui ui Y e1 e1 ;

полученные сече ния будут в каждой точке ортогональны e1. Отбросьте тождественно нулевые сечения и проделайте с оставшимися ту же процедуру, что и с сечениями ui ;

это даст e2, и т. д. На выходе получится нужное се мейство {ei }.

156 10. Теория кратности Для завершения доказательства теоремы остается взять гильбер тово пространство rn с ортонормированным базисом {ei }n и опре i= делить унитарный изоморфизм n из постоянного расслоения над n со слоем rn в H |X формулой (!)ei = ei (!). Наконец, пусть H | n локально постоянное расслоение, построенное по разбиению {n } со слоем rn на каждом множестве n. Тогда морфизм : H H, совпа дающий с n на каждом множестве n, является, как легко убедиться (убедитесь!), унитарным изоморфизмом.

В качестве следствия мы получаем следующий результат о един ственности семейства измеримых сечений.

Упражнение 10.5. Пусть {r(!) : ! } | семейство гильбертовых пространств, F и F | семейства его сечений, удовлетворяющие усло виям (1)|(3) определения 10.1. Докажите, что F = F.

Теперь мы готовы ввести понятие прямого интеграла. Пусть да ны пространство с мерой (Y A Y "), и измеримое гильбертово расслое ние H над (Y A ). Обозначим через F пространство измеримых сече ний этого расслоения.

Определение 10.4. Положим по определению L 2 (Y H ) = {u F : функция ! u(!) 2 "-интегрируема}X Элементы множества L 2 (Y H ) будем называть квадратично инте грируемыми сечениями расслоения H.

Легко видеть, что L 2 (Y H ) | векторное подпространство в F.

Определим на нем полуторалинейную форму uY v = u(!)Y v(!) d"(!)X (10.4) X Факторпространство Определение 10.5.

L 2 (Y H )a{u: u = 0 "-п. в.} Z обозначается символом X r(!) d"(!) или `2 (Y H ) и называется пря мым интегралом семейства {r(!) : ! } по мере ".

Замечание 10.3. Как и в случае обычных v2 -пространств, мы часто будем допускать определенную вольность в речи и обозначениях и на зывать элементы из `2 (Y H ) «сечениями» (хотя, строго говоря, речь при этом всегда будет идти о классах эквивалентности).


Формула (10.4), как нетрудно видеть, задает скалярное произведе ние на `2 (Y H ) и превращает его в предгильбертово пространство.

§ 10.1. Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы Докажите, что `2 (Y H ) | гильбертово прост Упражнение 10.6.

ранство.

Пример 10.5. Пусть = {1Y X X X Y n}, где n N, и пусть "({k}) = 1 для всех k («считающая» мера). Тогда _ r(!) d"(!) r(k)X = X 1kn Пусть H | постоянное расслоение со слоем C. Тогда Пример 10.6.

r(!) d"(!) v2 (Y ")X = X Пример 10.7. Пусть H | постоянное расслоение со слоем r. Обо значим через v2 (Y ") множество классов эквивалентности "-измери H мых функций u: r, для которых функция ! u(!) 2 интегриру ема, и введем на нем скалярное произведение формулой (10.4). Тогда, как нетрудно видеть, r(!) d"(!) v2 (Y ")X =H X Пусть представлено в виде = n, где n A Пример 10.8.

n для всех n, и пусть r(!) = rn для всех ! n и всех n N (см. при мер 10.3). Тогда r(!) d"(!) _ v2 (n Y ")X = H n X nN Следующее предложение часто принимают в качестве определения прямого интеграла.

Теорема 10.2 (координатное описание прямого интеграла). Пусть H | измеримое гильбертово расслоение над (Y A Y "). Для каждого n N положим n = {! : dim r(!) = n}. Пусть r | бесконечно мерное сепарабельное гильбертово пространство с ортонормирован nN r YXXXYe положим n =span{e ным базисом {ek }kN. Для каждого n} r и 0 = {0}. Тогда r(!) d"(!) = X {u v2 (Y "): u(!) rn ! n n N}X = для почти всех H 158 10. Теория кратности Доказательство. Достаточно объединить теорему 10.1 и пример 10.8.

В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное поня тие.

Определение 10.6. Мы будем называть измеримое гильбертово рас слоение H над (Y A Y ") приведенным, если "({! : r(!) = 0}) = 0.

Каждое гильбертово расслоение можно сделать приведенным, не из менив его прямой интеграл. Для этого положим + = {! : r(!)=0}, и введем новую меру " на по формуле " ( ) = "( + ) для всех A.

Упражнение 10.7. Докажите, что расслоение H является приведен ным над (Y A Y " ) и r(!) d"(!) r(!) d" (!)X = X X Итак, каждому измеримому гильбертову расслоению поставлено в соответствие гильбертово пространство | его прямой интеграл. Как и следовало ожидать, эта конструкция естественна. Точнее, справедлив следующий результат.

Предложение 10.1. Пусть : H H | существенно ограничен ный морфизм измеримых гильбертовых расслоений над (Y "). То гда для любого u L 2 (Y H ) сечение u лежит в L 2 (Y H ). Как — следствие, определен оператор : `2 (Y H ) `2 (Y H ), переводя u в класс эквивалентности сече щий класс эквивалентности сечения Оператор — ограничен, и — u. ess sup (!).

ния X Положим g = ess sup (!). Тогда для любого Доказательство.

X u L 2 (Y H ) мы имеем (!)u(!) 2 g 2 u(!) 2 для почти всех !, так что u L 2 (Y H ). Интегрируя последнее неравенство, получаем u 2 g 2 u 2, как и требовалось.

— Упражнение 10.8. Покажите, что на самом деле = ess sup (!).

X Таким образом, мы получаем функтор из категории измеримых гильбертовых расслоений и существенно ограниченных морфизмов в категорию гильбертовых пространств и ограниченных операторов.

— Определение 10.7. Оператор, построенный в предложении 10.1, называется прямым интегралом семейства операторов ={ (!): !} § 10.1. Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы Z и обозначается X (!) d"(!). Операторы из `(Y H ) в `(Y H ), име ющие указанный вид, называются разложимыми (по фон Нойманну).

Пример 10.9. В ситуации, описанной в примере 10.5, мы имеем = _ (k). Таким образом, в «дискретном» случае, когда (Y ") | — 1kn это счетное или конечное множество со «считающей» мерой, прямой интеграл | это то же самое, что гильбертова прямая сумма (см. пре дыдущую главу).

Следующий пример, как мы вскоре увидим, является в определенном смысле «модельным».

Пример 10.10. Пусть H | измеримое гильбертово расслоение над (Y "). Каждая существенно ограниченная измеримая функция f : C задает оператор — hf = f(!)1H() d"(!)Y X Z действующий в пространстве r = X r(!) d"(!). Этот оператор ассо циирован с диагональным морфизмом hf (см. пример 10.4). Операто ры в r, представимые в указанном виде, называются диагонализиру емыми.

Пример 10.11. Если в предыдущем примере взять в качестве (Y ") множество N со считающей мерой и положить r(n) = C для всех n, то получится наш старый знакомый | диагональный оператор в (см. пример 3.1). Если же (Y ") произвольно, а H | постоянное рас — слоение со слоем C, то hf | это оператор умножения wf : v2 (Y ") v2 (Y ") (см. пример 3.2).

— Легко видеть, что оператор hf зависит только от класса "-экви валентности функции f, т. е. от соответствующего элемента v (Y ").

Кроме того, диагонализируемые операторы обладают следующими оче видными свойствами:

— 1) h1 = 1;

— — — 2) h f+g = hf +  hg (fY g v (Y "), Y  C);

— fg = hf hg (fY g v (Y "));

—— 3) h — — 4) hf— = hf (f v (Y ")).

Иными словами, справедлив следующий результат.

Предложение 10.2. Отображение — v (Y ") B r(!) d"(!) Y f hf Y (10.5) X 160 10. Теория кратности является унитальным -гомоморфизмом. Таким образом, гильбертово Z r(!) d"(!) становится левым унитальным гильбер пространство X товым v (Y ")-модулем.

Гильбертов модуль, описанный в предыдущем предложении, явля ется в определенном смысле «модельным примером» гильбертова моду ля над алгеброй v (Y "). Мы не будем строго формулировать и до казывать соответствующее утверждение, поскольку алгебра v (Y ") играет для нас скорее вспомогательную роль. Напомним, что основной алгеброй, представления которой ( = гильбертовы модули над кото рой) нас интересуют, является алгебра g() непрерывных функций на компакте (см. теорему 8.4).

Если | компактное хаусдорфово топологическое пространство, а " | регулярная положительная борелевская мера на, то алге бра g() канонически отображается в v (Y "), так что каждый гильбертов v (Y ")-модуль может рассматриваться и как гильбертов g()-модуль (см. предыдущую главу). Поэтому из предложения 10. вытекает такой результат.

Следствие 10.1. Пусть | компактное хаусдорфово топологиче " ское пространство, | регулярная положительная борелевская мера, ! }Y H = ({r(!): F ) | измеримое гильбертово расслоение на ").

над (Y Bor()Y Тогда отображение (10.5) превращает гильбер Z r(!) d"(!) тово пространство в левый унитальный гильбертов X g()-модуль.

Упражнение 10.9. Докажите, что если расслоение H приведенное, Z то " является скалярной спектральной мерой для X r(!) d"(!).

C(X)-модуля § 10.2. Разложение гильбертова в прямой интеграл Наша следующая цель | показать, что любой унитальный сепара бельный гильбертов g()-модуль имеет вид `2 (Y H ) для некоторого измеримого гильбертова расслоения H над (см. следствие 10.1). Это и есть та самая «геометрическая модель» гильбертова g()-модуля, о которой упоминалось в начале главы.

Теорема 10.3. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое r g()-мо пространство, | унитальный сепарабельный гильбертов " w() дуль, | скалярная спектральная мера этого модуля. То Разложение гильбертова g()-модуля в прямой интеграл § 10.2.

гда существует приведенное измеримое гильбертово расслоение H = ! }Y "), = ({r(!): F ) над (Y Bor()Y для которого имеет место изоморфизм r r(!) d"(!) g()-Hmod1 X = в X Прежде чем доказывать теорему, договоримся о терминологии.

Пусть H | измеримое гильбертово расслоение над произвольным про странством с мерой (Y A Y "), r = `2 (Y H ) | его прямой интеграл, w L 2 (Y H ) | некоторое множество квадратично интегрируемых сечений. Рассмотрим подмодуль n rM = i · ui : i g()Y ui wY n N r;

i= ясно, что это наименьший подмодуль в r, содержащий классы эквива лентности всех сечений из w. Мы будем говорить, что подмодуль rM порожден семейством сечений w.

Лемма 10.2. Пусть w = {ui : i s} L 2 (Y H ) | конечное или счетное семейство сечений, rM `2 (Y H ) | порожденный этим се !

мейством подмодуль. Предположим, что для почти всех под i s} r(!). r пространство span{ui (!): Тогда подмодуль M плотно в плотен в `2 (Y H ).

Пусть v rM. Тогда для любых i s и f g() Доказательство.

мы имеем 0 = fui Y v = f(!) ui (!)Y v(!) d"(!)X (10.6) X Определим функцию &i : C и комплексную борелевскую меру #i на формулами &i (!) = ui (!)Y v(!) и #i = &i · ". Поскольку мера " регулярна, а мера #i абсолютно непрерывна относительно нее, ме ра #i также регулярна (см. теорему 9.7 (3)). Продолжая цепочку ра венств (10.6), мы видим, что X f(!) d#i (!) = 0 для любой функции Z f g(). Следовательно, #i = 0, т. е. &i = 0 "-п. в. Это, в свою очередь, означает, что ui (!) v(!) "-п. в. Поскольку это так для любого i s, а множество s не более чем счетно, мы заключаем, что v = 0 "-п. в., т. е. что rM = 0, как и требовалось.

Доказательство теоремы. Представим r в виде гильбертовой сум мы циклических модулей: r = _ rn. Пусть xn rn | циклический n вектор, "n = "x | соответствующая мера. Поскольку "n ", суще n ствует борелевская "-интегрируемая функция &n 0, удовлетворяю 162 10. Теория кратности щая условию "n = &n · ". Положим n = {! : &n (!) = 0} и введем функцию кратности m: N, полагая m(!) = Card{n N : ! n }.

Наконец, для каждого p N положим p = {! : m(!) = p}. Тогда, очевидно, = p.

pN Докажите, что множества p борелевские.

Упражнение 10.10.

Теперь построим искомое гильбертово расслоение. Зафиксируем бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство u с ор тонормированным базисом {en }nN, для каждого n N положим un = = span{e1 Y X X X Y en };

пусть также u0 = 0. Для каждого ! положим r(!) = um() и обозначим через H соответствующее локально посто янное гильбертово расслоение на (см. пример 10.3);

таким образом, на каждом множестве p (p N) расслоение H постоянно и имеет слой up. Отметим, что H | приведенное расслоение;


в самом деле, из равенства "n (0 ) = 0, справедливого для всех n N, легко следует (объясните как), что "(0 ) = 0. Рассмотрим прямой интеграл u= r(!) d"(!) = X = {u v2 (Y "): u(!) up для почти всех ! p Y p N}X K (см. теорему 10.2). Наша задача | построить изометрический изомор физм r и u как g()-модулей.

Для того чтобы определить морфизм из r в u, достаточно задать его на каждом прямом слагаемом rn ;

далее, из цикличности моду лей rn следует, что любой морфизм из rn однозначно определен своим значением на циклическом векторе xn. Таким образом, для каждого n мы должны указать некий вектор un u, а потом отправить в не го xn. При этом мы должны обеспечить попарную ортогональность векторов un. Сделать это можно следующим образом.

Зафиксируем n N и для каждого ! n положим q(nY !) = Card{k N : k nY ! k }X Очевидно, q(nY !) m(!). Определим функцию un v2 (Y ") фор K мулой &n (!)eq(n;

) Y ! n Y un (!) = ! n X a 0Y Из неравенства q(nY !) m(!) = dim r(!) следует, что un (!) r(!) для всех !, т. е. функция un (точнее, ее класс эквивалентности) принад лежит u.

Разложение гильбертова g()-модуля в прямой интеграл § 10.2.

n Лемма 10.3. Для каждого N существует единственный мор g()-модулей 9 r u, n: n физм гильбертовых удовлетворяющий 9(x u ) = n. Этот морфизм изометричен.

n условию Доказательство. Единственность морфизма 9n следует из того, что xn | циклический вектор. Для доказательства существования за метим, что для любой функции f g() справедливы равенства 2 |f (!)|2 d"n (!) = |f (!)|2 &n (!) d"(!) = f · xn = Hn X X |f (!)|2 un (!) 2 d"(!) = (f · un )(!) 2 d"(!) = f · un 2 X = K K() X X Отсюда следует, что отображение g()xn u, f · xn f · un, кор ректно определено и изометрично. Очевидно, оно также является мор физмом g()-модулей. Поскольку подпространство g()xn плотно в rn, построенный морфизм однозначно продолжается на весь мо дуль rn. Дальнейшее очевидно.

Лемма 10.4. При i = j выполняется условие Im 9i Im 9j.

Доказательство. Пусть для определенности i ` j. Нам достаточно доказать (объясните почему), что ui (!) uj (!) для почти всех !.

Если ! i j, то из условия i ` j следует, что q(iY !) ` q(jY !), и, значит, ui (!) uj (!). А для всех остальных ! мы имеем либо ui (!) = 0, либо uj (!) = 0. Тем самым лемма доказана.

Im 9j плотен в u.

Лемма 10.5. Подмодуль j Доказательство. Указанный подмодуль порожден семейством се чений {ui }. Поэтому с учетом леммы 10.2 нам достаточно проверить, что для любого ! подпространство u = span{ui (!): i N} плот но в r(!). Возьмем то единственное p N, для которого ! p ;

пусть для определенности p `. Тогда существует единственный на бор натуральных чисел n1 ` n2 ` X X X ` np, удовлетворяющий условиям ! n1 X X X n и ! k при k {n1 Y X X X Y np }. Из определения сече a a p ний ui следует, что un1 (!) = &n1 (!)e1 Y un2 (!) = &n2 (!)e2 Y X X X Y un (!) = &n (!)ep Y p p и, кроме того, &n (!) = 0 для всех j = 1Y X X X Y p. Отсюда следует, что j e1 Y X X X Y ep u, т. е. u = r(!). Если же p =, то, применяя аналогич ные рассуждения (с той лишь разницей, что набор n1 ` n2 ` X X X будет бесконечным), мы видим, что en u для всех n N, т. е. u плотно в r(!). Тем самым лемма доказана.

164 10. Теория кратности Для завершения доказательства теоремы остается рассмотреть тот единственный морфизм 9: rn u, у которого 9|H = 9n для n n всех n. Из трех предыдущих лемм следует, что морфизм 9 изометричен и имеет плотный образ. Следовательно, он единственным образом про должается до изометрического изоморфизма 9: _ rn = r u. Тео — n рема доказана.

В терминах операторов доказанная теорема приобретает такой вид.

r Теорема 10.4. Пусть | сепарабельное гильбертово простран " B(r) | нормальный оператор, ство, | его скалярная спек тральная мера. Тогда существует такое измеримое приведенное гиль !'( "), бертово расслоение H =({r(!): )}Y F ) над ('( )Y Bor('( ))Y Z !1H() d"(!), что оператор унитарно эквивалентен оператору X Z r(!) d"(!).

действующему в X § 10.3. Теорема о классификации Как уже упоминалось в начале главы, теория кратности позволяет дать полную классификацию нормальных операторов в сепарабельных гильбертовых пространствах с точностью до унитарной эквивалентно сти. Для этого нам понадобится утверждение, обратное к лемме 10.2.

Лемма 10.6. Пусть H | измеримое гильбертово расслоение над = `2 (Y H ) | его прямой инте Y "), r пространством с мерой (Y A 2 (Y H ) | некоторое множество квадратично интегри w L грал, r r w.

руемых сечений, M | подмодуль, порожденный множеством r r.

M плотен в Предположим, что подмодуль Тогда подпростран u w} r(!) !.

ство span{u(!): плотно в для почти всех Доказательство. Пусть {un }nN F | счетное семейство измери мых сечений, удовлетворяющее условию (3) определения 10.1. Заменяя при необходимости каждое un на un (!) = un (!)a un (!) (для тех !, где un (!) = 0), мы можем считать, что сечения un квадратично ин  тегрируемы. Для каждого ! положим rM = span{u(!): u w}  и предположим, что заключение леммы неверно, т. е. что rM = r(!) на множестве положительной меры. Для каждого n N положим a n = {! : un (!) rM }. Из сделанного предположения следует, что "(n ) b 0 для некоторого n. Зафиксируем такое n и рассмотрим функ  цию dn : [0Y ), dn (!) = &(un (!)Y rM ). Мы имеем dn (!) b 0 для лю бого ! n ;

следовательно, существуют такое 4 b 0 и такое множество § 10.3. Теорема о классификации n, что "( ) b 0 и dn (!) b 4 для любого !. Тогда для любого v rM справедлива оценка v un 2 = v(!) un (!) 2 d"(!) d2 (!) d"(!) 42 "( )X n X Y Следовательно, un rM, а это противоречит условию. Тем самым лем a ма доказана.

Теорема 10.5. Пусть | компактное хаусдорфово топологическое "Y " w() | неотрицательные меры, H и H | пространство, ") приведенные измеримые гильбертовы расслоения над (Y Bor()Y " r r и (Y Bor()Y ) соответственно, = `(Y H ) и = `(Y H ) | их прямые интегралы. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

rr g()-Hmod (1) в 1;

= "" r(!) r "-п.

(2), и dim = dim (!) в.

(2) (1). Представим r и r так, как это ука Доказательство.

зано в теореме 10.2, и положим & = d и & = d. Легко убедить d d ся (убедитесь), что && = 1 почти всюду. Далее, как и в доказатель стве леммы 10.3, проверяется, что оператор : r r, действующий по формуле ( u)(!) = &(!)u(!), корректно определен, изометричен и является морфизмом гильбертовых g()-модулей. С другой стороны, оператор : r r, действующий по формуле (u)(!) = & (!)u(!), является, очевидно, обратным к. Следовательно, | изоморфизм в g()-Hmod1.

(1) (2). Эквивалентность мер " и " следует из упражнения 10.9.

Положим m(!) = dim r(!)Y m (!) = dim r (!) и = {! : m(!) = m (!)}X Допустим, что "() b 0. Тогда существует борелевское подмножество, для которого "( ) b 0 и на котором функции m и m постоян ны. Из того, что r и r изоморфны в g()-Hmod1, очевидным обра зом следует, что их замкнутые подмодули 1Y r и 1Y r изоморфны в g()-Hmod1, или, что эквивалентно, в g( )-Hmod1. Поэтому в даль нейшем мы, не ограничивая общности, можем считать, что =.

Пусть для определенности m(!) = p ` q = m (!) для любого !, и пусть 9: r r | изоморфизм в g()-Hmod1. С учетом теоре мы 10.2 мы можем считать, что r = v2 (Y ") и r = v2 (Y " ), где H H rp и rq | гильбертовы пространства размерностей p и q соответствен p q но. Возьмем ортонормированный базис e1 Y X X X Y ep в rp и для каждого k = 1Y X X X Y p рассмотрим постоянную функцию ek : rp, ek (!) = ek.

— — 166 10. Теория кратности Из леммы 10.2 следует, что подмодуль в r, порожденный e1 Y X X X Y ep, пло — — тен в r. Для каждого k = 1Y X X X Y p выберем функцию vk : rq, класс эквивалентности которой есть 9(—k ). Из того, что 9 | изоморфизм, e легко следует, что v1 Y X X X Y vp порождают плотный подмодуль в r. Но тогда из леммы 10.6 следует, что span{v1 (!)Y X X X Y vp (!)} = rq для почти всех !, а это невозможно ввиду условия p ` q. Тем самым теорема доказана.

Объединяя теоремы 10.3 и 10.5, мы получаем следующий результат, который, по-видимому, представляет собой наиболее полную (по срав нению с ранее обсуждавшимися) формулировку спектральной теоремы.

Теорема 10.6 (спектральная теорема). Пусть | компактное хаус дорфово топологическое пространство. Тогда справедливы следую щие утверждения.

g()-мо I. Для любого унитального сепарабельного гильбертова r " w() дуля существуют такая неотрицательная мера и такое "), приведенное измеримое гильбертово расслоение H над (Y Bor()Y `2 (Y H ) в r g()-Hmod " = 1. При этом что является скалярной r.

спектральной мерой для rr II. Пусть и | унитальные сепарабельные гильбертовы модули g(), " " | соответствующие меры, H и H | соответству над и ющие приведенные измеримые гильбертовы расслоения. Тогда следую щие утверждения эквивалентны:

rr g()-Hmod (1) в 1;

= "" r(!) r "-п.

(2) и dim = dim (!) в.

Теорема 10.6 позволяет дать следующее определение.

Определение 10.8. Пусть r | сепарабельный унитальный гильбер тов g()-модуль, " | его скалярная спектральная мера, и пусть H = = ({r(!): ! }Y F ) | приведенное измеримое гильбертово расслое ние, удовлетворяющее условию r `2 (Y H ) (см. п. I теоремы 10.6).

= Борелевская функция mH : N называется функцией кратности модуля r, если mH (!) = dim r(!) "-п. в. Функцией кратности mT нормального оператора B(r) в сепарабельном гильбертовом про странстве r назовем функцию кратности пространства r как гиль бертова g('( ))-модуля.

Из теоремы 10.6 следует, что функция кратности корректно опреде лена и ее класс "-эквивалентности однозначно определен классом изо морфизма модуля r.

§ 10.3. Теорема о классификации Таким образом, теорема 10.6 дает полную классификацию сепара бельных унитальных гильбертовых g()-модулей с точностью до изо метрического изоморфизма. При этом фактически можно обойтись без использования измеримых расслоений. Чтобы увидеть это более от четливо, введем некоторые обозначения. Если r | гильбертово про странство, B(r) | ограниченный оператор, то для каждого p N через pr (соответственно p ) будет обозначаться гильбертова прямая сумма p экземпляров пространства r (соответственно оператора ).

Упражнение 10.11. Пусть p N, rp | сепарабельное гильбертово пространство размерности p, " w() | неотрицательная мера. По кажите, что гильбертовы g()-модули v2 (Y ") и pv2 (Y ") изоме H p трически изоморфны.

Теперь рассмотрим множество всех пар ("Y m), где " w() | нео трицательная мера и m: N | борелевская функция. Пару ("Y m) будем называть приведенной, если m(!) b 0 "-п. в. Две приведенные пары ("Y m) и (" Y m ) будем называть эквивалентными, если " " и m(!) = m (!) "-п. в. Для заданной борелевской функции m: N m и каждого p N положим p = {! : m(!) = p}. Наконец, опреде лим меру "p w() формулой "p (f) = "(f p ).

Теорема 10.7 (о классификации). Существуют биекции множеств классы изометрического изоморфизма сепарабельных унитальных g()-модулей гильбертовых m), где классы эквивалентности приведенных пар ("Y " w() X | неотрицательная мера, m: N | борелевская функция Отображение, действующее слева направо, сопоставляет каждому модулю его скалярную спектральную меру и функцию кратности.

m) Отображение, действующее справа налево, сопоставляет паре ("Y g()-модуль гильбертов _ pv2 (Y " ) _ pv2 ( m Y ")X p= p pN pN Доказательство. Достаточно объединить теорему 10.6, теорему 10.2 (см. также пример 10.8) и упражнение 10.11.

Для полноты картины сформулируем аналоги теорем 10.6 и 10. в терминах операторов. В дальнейшем символ в применении к опе = раторам будет обозначать унитарную эквивалентность.

168 10. Теория кратности r Теорема 10.8 (спектральная теорема). Пусть | сепарабельное гильбертово пространство. Тогда справедливы следующие утвержде ния.

B(r) существуют та I. Для любого нормального оператора " w('( )) и такое приведенное изме кая неотрицательная мера ! '( римое гильбертово расслоение H = {r(!) : )} над простран "), ством с мерой ('( )Y Bor('( ))Y что !1H() d"(!)X = (T ) " При этом является скалярной спектральной мерой для.

B(r ) | нормальные операторы в сепа B(r) и II. Пусть r r " рабельных гильбертовых пространствах и соответственно, " | их скалярные спектральные меры, H и H | соответствую и щие приведенные измеримые гильбертовы расслоения. Тогда следую щие утверждения эквивалентны:

(1) и унитарно эквивалентны;

'( '( "" r(!) r "-п.

(2) )= ), и dim = dim (!) в.

Таким образом, если "T | скалярная спектральная мера операто ра, а mT | его функция кратности, то тройка ('( )Y "T Y mT ) является полным набором унитарных инвариантов оператора. Это и есть обе щанное обобщение классической теоремы из линейной алгебры (10.3) на бесконечномерный случай. Соответствующая классификационная тео рема для операторов выглядит следующим образом.

Теорема 10.9 (о классификации). Существуют биекции множеств классы унитарной эквивалентности нормальных операторов в сепарабельных гильбертовых пространствах "Y m):

тройки вида (uY u C | компакт, m) ("Y | класс эквивалентности m), X приведенной пары ("Y где " w(u) | такая неотрицательная " u, мера, что supp = m: u N | борелевская функция Отображение, действующее слева направо, сопоставляет каждо му оператору его спектр, скалярную спектральную меру и функцию кратности. Отображение, действующее справа налево, сопоставля p p оператор _ "Y m) pw w ет тройке (uY t. Здесь через t обозначен pN § 10.3. Теорема о классификации m v2 (uY "p ) v2 (up Y "), = оператор в гильбертовом пространстве дей f zf(z)).

ствующий по формуле (z Утверждение следует из теорем 10.7 и 10.8 и уп Доказательство.

ражнения 9.24.

Представление оператора в виде _ pwt, ука- p Замечание 10.4.

pN занное в последней теореме, | это и есть то «упорядоченное разложе ние» оператора в сумму операторов умножения, которое упоминалось в замечании 9.6.

Чтобы лучше понять, как «работает» теорема о классификации и ка кая от нее польза, сделайте следующие упражнения.

Упражнение 10.12. Для следующих операторов B(r) и B(u) выясните, являются ли они унитарно эквивалентными. В тех случаях, когда это так, постройте унитарную эквивалентность в явном виде.

1) r = u = v2 [0Y 1], (f)(t) = tf(t), ( f)(t) = t2 f(t);

2) r = v2 [0Y 1], u = v2 [1Y 1], (f)(t) = tf(t), ( f)(t) = t2 f(t);

3) r = v2  Y , u = v2 (R), (f)(t) = tf(t), ( f)(t) = arctg t · f(t).

2 Упражнение 10.13. Найдите скалярную спектральную меру и функ цию кратности диагонального оператора в 2.

Упражнение 10.14. Найдите скалярную спектральную меру и функ цию кратности операторов сдвига в v2 (T) и v2 (R).

Упражнение 10.15. Пусть B(r) | нормальный оператор в сепа рабельном гильбертовом пространстве r, "|его скалярная спектраль ная мера, m | функция кратности. Докажите, что оператор является -циклическим тогда и только тогда, когда m = 1 "-п. в.

Кстати, полезно сопоставить результат предыдущих трех упражне ний с упражнениями 9.6 и 9.7;

см. также замечание 9.3.

Упражнение 10.16. Пусть B(r) | нормальный оператор в сепа рабельном гильбертовом пространстве r, "|его скалярная спектраль ная мера, m | функция кратности. Докажите, что следующие утвер ждения эквивалентны:

1) m = "-п. в.;

2) ;

= 3) X X X для некоторого -циклического оператора = B(r ).

170 10. Теория кратности Упражнение 10.17. Пусть | компактное хаусдорфово топологи ческое пространство, "1 Y "2 w() | неотрицательные меры, которые взаимно сингулярны, т. е. существует такое разбиение = 1 2 про странства на два борелевских подмножества такое, что "1 (2 ) = и "2 (1 ) = 0. Рассмотрим гильбертовы g()-модули ri = v2 (Y "i ) (i = 1Y 2). Опишите все морфизмы из r1 в r2.

Иногда унитарно эквивалентные операторы выглядят на первый взгляд совсем непохожими друг на друга. Чтобы в этом убедиться, сделайте следующее упражнение.

Упражнение 10.18. Пусть s = [0Y 1] [0Y 1] | квадрат с мерой Ле бега, r = v2 (s), u = v2 (R). Рассмотрим операторы B(r) и B(u), действующие по формулам (f)(xY y) = xy f(xY y) и ( f)(x) = = 2 (sin x + 1) f(x). Докажите, что и унитарно эквивалентны.

Замечание 10.5. Из предыдущих упражнений напрашивается такой вывод: функция кратности оператора умножения wf B(v2 (Y ")) на существенно ограниченную измеримую функцию f : C сопоставля ет каждому ! '(wf ) число точек в прообразе f 1 (!). Строго говоря, это не совсем так: нужно брать не прообраз, а так называемый су щественный прообраз. О том, что это такое, можно прочитать в ста тье [33].

Литературные указания Геометрическая модель гильбертова g()-модуля, обсуждавшаяся в этой главе, описана в ряде книг по операторным алгебрам (на русском языке см. [2]), однако изложение обычно ведется в терминах алгебр фон Нойманна. Для случая одного самосопряженного оператора см. также классическую монографию И. М. Гельфанда и Н. Я. Виленкина [6]. Под ход, принятый в данных лекциях, наиболее близко соответствует кни ге [39]. Используемая нами терминология заимствована из нескольких недавних статей (по-видимому, термин «измеримое гильбертово рас слоение» постепенно вытесняет собой термин «измеримое поле гиль бертовых пространств»). Теорема о классификации самосопряженных операторов доказана в учебниках [30, 35] без использования языка гиль бертовых расслоений (см. теорему 10.9). По поводу несколько иного подхода (в духе теории меры) см. [33]. Приведенное нами доказатель ство теоремы о классификации несколько отличается от традиционных и представляет собой попытку их «геометризации».

В несепарабельном случае теория кратности выглядит заметно сложнее и описана в книге П. Халмоша [40].

ЛИТЕРАТУРА Лекции по u-теории. | М.: Мир, 1967.

[1] Атья М.

[2] Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая ста тистическая механика. | М.: Мир, 1982.

[3] Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. | М.: Мир, 1972.

[4] Бурбаки Н. Спектральная теория. | М.: Мир, 1972.

[5] Гамелин Т. Равномерные алгебры. | М.: Мир, 1973.

[6] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармониче ского анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. | М.: Го сударственное издательство физико-математической литературы, 1961. | (Серия «Обобщенные функции», вып. 4).

[7] Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. I.

Введение в теорию когомологий и производные категории. | М.:

Наука, 1988.

[8] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. | М.:

ИЛ, 1963.

[9] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория. | М.: ИЛ, 1962.

[10] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. II. Спектральная теория. | М.: Мир, 1966.

[11] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. III. Спектральные операторы. | М.: Мир, 1974.

Диксмье Ж. g -алгебры и их представления. | М.: Наука, 1974.

[12] [13] Келли Дж. Общая топология. | М.: Наука, 1981.

[14] Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функциональ ного анализа. | М.: Наука, 1988.

[15] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ ционального анализа. | М.: Наука, 1976.

[16] Ламбек И. Кольца и модули. | М.: Мир, 1971.

[17] Маклейн С. Категории для работающего математика. | М.: Физ матлит, 2004.

[18] Манин Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. I. Аффинные схемы. | М.: МГУ, 1970.

172 Литература g -гильбертовы модули. | М.:

[19] Мануйлов В. М., Троицкий Е. В.

Факториал, 2001.

Мёрфи Дж. g -алгебры и теория операторов. | М.: Факториал, [20] 1997.

[21] Наймарк М. А. Нормированные кольца. | М.: Наука, 1968.

[22] Постников М. М. Основы теории гомотопий. | М.: Наука, 1984.

[23] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.

1. Функциональный анализ. | М.: Мир, 1977.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.