авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ

СООБЩЕНИЯ

А.В. Крюков

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Иркутск 2012

УДК 621.311

ББК 31.27-01

К 85

Представлено к изданию Иркутским государственным университетом путей сообщения Рецензенты:

доктор технических наук, проф. В. П. Закарюкин кандидат технических наук, проф. И.В. Игнатьев Крюков А.В.

К 85 Предельные режимы электроэнергетических систем. – Иркутск :

ИрГУПС. – 2012. – 236 с.

ISBN 978-5-98710-202-2 Монография посвящена методам и компьютерным технологиям для определения предельных по статической апериодической устойчивости режимов электроэнергетиче ских систем. Описан предложенный автором математический аппарат теории расчета и анализа предельных режимов сложных энергосистем, основанный на использовании и физической интерпретации собственных векторов матрицы Якоби уравнений устано вившегося режима, отвечающих нулевым собственным значениям.

В монографии получены уравнения предельных режимов энергосистем и даны методы их решения. На основе этих уравнений разработана методика определения пределов статической устойчивости. Сформулирован общий подход к решению задачи нахождения запасов статической апериодической устойчивости, с помощью которого получены обобщенные уравнения предельных режимов. Разработана методика выбора оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики.

На основе фазных координат и моделей элементов электроэнергетических сис тем, реализованных в виде решетчатых схем замещения, предложена методика опреде ления предельных по устойчивости режимов энергосистем, учитывающая продольную и поперечную несимметрию в электрической сети. Разработана методика моделирова ния предельных режимов для энергосистем, имеющих в своем составе компактные, трехцепные и управляемые самокомпенсирующиеся линии электропередачи.

Работа выполнена в рамках плана научных исследований по направлению «Ин теллектуальные сети (Smart Grid) для эффективной энергетической системы будуще го», проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования в соответствии с Постановле нием Правительства РФ № 220 от 09.04.2010 г. Договор № 11.G34.31.0044 от 27.10.2011.

Монография предназначена для инженерно-технических работников, занимаю щихся проектированием и эксплуатацией электроэнергетических систем, а также для аспирантов и студентов электроэнергетических специальностей.

Библиогр.: 326 назв.

УДК 621. ББК 31.27- © Крюков А.В., © Иркутский государственный университет путей сообщения, ISBN 978-5-98710-202- ОГЛАВЛЕНИЕ СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.................................................................................................. ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................................. 1. ЭКСПРЕСС-РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ СЛОЖНЫХ ЭНЕРГОСИСТЕМ............................................................................................................... 1.1. Предельные режимы энергосистем и анализ методов их определения................ 1.2. Уравнения предельных режимов.............................................................................. 1.3. Решение уравнений предельных режимов............................................................... 1.4. Применение УПР для решения задач управления энергосистемами.................... 1.4.1. Определение пределов передаваемой мощности и устойчивости и ввод режимов в область существования.............................................................................. 1.4.2. Аппроксимация границ области устойчивости............................................... Выводы............................................................................................................................... 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ СТАТИЧЕСКОЙ АПЕРИОДИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ........................................................................... 2.1. Особенности оценки запасов статической устойчивости при многокоординатных утяжелениях....................................................................................................................... 2.2. Оценка запасов статической устойчивости на основе модифицированных уравнений предельных режимов...................................................................................... 2.3. Определение запасов при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности.......................................................................................................................... Выводы............................................................................................................................. 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЖИМОВ, ОТВЕЧАЮЩИХ ТРЕБУЕМОМУ ЗАПАСУ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ, И ВЫБОР УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПРОТИВОАВАРИЙНОЙ АВТОМАТИКИ................................... 3.1. Определение допустимых по статической устойчивости режимов.................... 3.2. Выбор управляющих воздействий противоаварийной автоматики.................... 3.3. Учет изменений напряжений и частоты при выборе управляющих воздействий противоаварийной автоматики....................................................................................... 3.4. Определение допустимых режимов на основе сингулярных чисел матрицы Якоби уравнений установившегося режима................................................................. 3.5. Стохастический подход к оценке допустимой области управления режимами энергосистемы.................................................................................................................. 3.6. Определение допустимых режимов энергосистем на основе сферической логарифмической нормы................................................................................................ Выводы............................................................................................................................. 4. УЧЕТ ПРОДОЛЬНОЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ НЕСИММЕТРИИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ........................................................... 4.1. Использование метода симметричных составляющих......................................... 4.2. Моделирование элементов ЭЭС решетчатыми схемами замещения.................. 4.3. Применение фазных координат при расчетах предельных режимов электрических систем...................................................................................................... 4.4. Уравнения предельных режимов, учитывающие продольную и поперечную несимметрию.................................................................................................................... Выводы............................................................................................................................. 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ В ЭНЕРГОСИСТЕМАХ С ЛИНИЯМИ НОВЫХ ТИПОВ................................................................................................................................. 5.1. Предельные режимы в энергосистемах с компактными ЛЭП............................. 5.2. Предельные режимы энергосистем с трехцепными самокомпенсирующимися линиями............................................................................................................................ 5.3. Предельные режимы в энергосистемах с управляемыми самокомпенсирующимися ЛЭП..................................................................................... Выводы............................................................................................................................. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................................. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................................... Приложение А..................................................................................................................... Фрактальный характер областей устойчивости энергосистем................................... Приложение В..................................................................................................................... F Расчетные формулы, применяемые при формировании матрицы................ DY СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ АДО – аппроксимация допустимой области АРВ – автоматический регулятор возбуждения БрГУ – Братский государственный университет ДО – допустимая область ИВС – информационно-вычислительная система КВЛ – компактная воздушная линия ЛЭП – линия электропередачи ОУ – область устойчивости ОУПР – обобщенные уравнения предельных режимов ПАА – противоаварийная автоматика ПАР – послеаварийный режим ПАУ – противоаварийное управление ПК – программный комплекс ПР – предельный режим РПН – регулирование напряжения под нагрузкой САУ – статическая апериодическая устойчивость СЛУ – система линейных уравнений СМЭ – статический многопроводный элемент СУ – статическая устойчивость ТП – тяговая подстанция УВ – управляющее воздействие УПР – уравнения предельного режима УСВЛ – управляемая самокомпенсирующаяся линия УУР – уравнения установившегося режима ЭДС – электродвижущая сила ЭЭС – электроэнергетическая система ВВЕДЕНИЕ Расчеты предельных по статической апериодической устойчивости режимов актуальны при проектировании и эксплуатации электроэнергети ческих систем и имеют как самостоятельное значение, так и являются со ставной частью других электротехнических задач, связанных с обеспече нием требуемого уровня надежности и экономичности функционирования ЭЭС [4, 5, 25, 26, 34, 35, 57, 58, 94, 106, 107, 111, 115, 151, 152, 249, 272…274, 277, 283…285, 302, 303].

Значительный вклад в разработку различных аспектов многогранной проблемы исследования САУ ЭЭС внесли Андреюк В.А., Баринов В.А., Бартоломей П.И., Бушуев В.В., Васин В.П., Веников В.А., Гамм А.З., Го рев А.А., Жданов П.С., Идельчик В.И., Конторович А.М., Крумм Л.А., Ле винштейн М.Л., Лукашов Э.С., Манусов В.Э., Маркович И.Н., Рудницкий М.П., Совалов С.А., Строев В.А., Тарасов В.И., Ушаков Е.И., Фазылов Х.Ф., Цукерник Л.В., Щербачев О.В. и их коллеги [9, 12…14, 23…25, 27…33, 41, 44…55, 59…62, 71…79, 80, 81, 84, 85, 93, 105…109, 124…126, 143, 144… 146, 154, 155, 245, 249, 255, 256, 257, 275, 276, 279…281, 283…287, 291, 292, 293…296, 304…326].

В настоящее время актуальность вопросов, связанных с расчетами предельных режимов, оценкой запасов и построением областей САУ в пространстве регулируемых параметров существенно возросла. Это вызва но широким внедрением в электроэнергетику современных средств вычис лительной техники, созданием информационно-вычислительных систем и оперативных информационных комплексов для решения задач диспетчер ского и противоаварийного управления энергосистемами [3, 11, 19, 67, 68…70, 111, 243, 262, 266…268, 289]. Появились и новые задачи, обуслов ленные следующими обстоятельствами:

• необходимость ввода режимов в область устойчивости с мини мальным ущербом от отключения генераторов и нагрузок при выборе управляющих воздействий в централизованных системах противоаварий ного управления [56, 64, 65];

• требование выделения слабых звеньев по САУ при разработке ме роприятий по повышению устойчивости [1, 2, 6, 47, 51, 77, 86, 259];

• необходимость определения вероятности нарушения устойчивости при случайных колебаниях нагрузки [46].

Решение большинства из перечисленных выше задач непосредствен но в контуре управления энергосистемами и энергообъединениями на ос нове информации, получаемой по каналам телемеханики, требует разра ботки эффективных методов и алгоритмов, обеспечивающих высокую сте пень надежности получения решения и построенных на единой методоло гической базе.

В настоящую монографию включены основные результаты исследо ваний, выполнявшихся автором и под его научным руководством на про тяжении девяти лет в Восточно-Сибирском государственном технологиче ском университете, шести лет в Санкт-Петербургском государственном политехническом университете и тринадцати лет в Иркутском государст венном университете путей сообщения [90, 91, 94…102, 122, 123, 127…142, 156…239]. Они охватывают целый ряд вопросов, связанных с теорией и практикой расчета и анализа предельных по статической апе риодической устойчивости и передаваемой мощности режимов сложных энергосистем. Большое внимание уделено задачам оценки и особенностям нормирования запасов САУ при многокоординатных утяжелениях, опре делению режимов, отвечающих требуемому значению запаса устойчиво сти, построению стохастических моделей для оценки запасов САУ, выбору оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики ЭЭС из условия обеспечения статической апериодической устойчивости послеаварийных режимов. Кроме того, рассматриваются вопросы, связан ные с построением и аппроксимацией областей САУ в пространстве регу лируемых режимных параметров, применением сингулярного анализа для оценки допустимой области управления энергосистемами.

Основная часть разработанных математических моделей, методов и алгоритмов доведена до информационных технологий расчета и анализа предельных режимов, то есть реализована (или включена в состав) про мышленных, опытно-промышленных и экспериментальных программ для ЭВМ, эксплуатация которых подтвердила положительные результаты ап робации предлагаемых в монографии методик.

Работа выполнена в рамках плана научных исследований по направ лению «Интеллектуальные сети (Smart Grid) для эффективной энергетиче ской системы будущего», проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования в соответствии с Постановлением Правительства РФ № 220 от 09.04.2010 г., договор № 11.G34.31.0044 от 27.10.2011.

Вся работа построена на единой теоретической основе. Одно из главных методических отличий от многочисленных работ по теории и ме тодам анализа устойчивости и расчета предельных режимов состоит во введении и активном использовании собственных векторов матрицы Яко би уравнений установившегося режима, отвечающих нулевым собствен ным значениям1. Это позволило по новому сформулировать ряд задач, свя занных с управлением режимами сложных энергосистем, и дать более эф фективные методы их решения. В, частности, применение собственных векторов позволило избежать при расчете предельных режимов решения Актуальность этого направления подтверждается появлением в последние годы работ, также использующих собственные векторы матрицы УУР [20…22].

некорректных задач вычислительной математики, связанных с вырожден ностью системы УУР на предельной гиперповерхности. Другая отличи тельная особенность заключается в широком использовании свойств урав нений с квадратичной нелинейностью, что позволило разработать эффек тивные вычислительные алгоритмы, построенные на единой методической основе. Кроме того, отличительной особенностью предлагаемых в работе методов является возможность использования наиболее полных моделей элементов ЭЭС с их регулирующими устройствами, учета изменений час тоты в ЭЭС, что, однако, не ограничивает применение адекватно постро енных упрощенных моделей, которые в ряде случаев, как показано в рабо те [72], являются более предпочтительными.

Материал монографии состоит из пяти глав.

Первая глава посвящена методам расчета предельных по статиче ской устойчивости и передаваемой мощности (существованию) режимов ЭЭС в заданном направлении утяжеления. Основное содержание главы связано с рассмотрением уравнений предельных режимов и включает во просы их формирования, численного решения и применения для задач проектирования и эксплуатации энергосистем.

В первом параграфе детально проанализированы широко применяе мые методы расчета предельных режимов, основанные на дискретном (пошаговом) утяжелении, положительным качеством которых является простота алгоритма и легкость учета ограничений-неравенств, наклады ваемых как на регулируемые, так и на не регулируемые параметры режи ма. Конкретные реализации этих методов зависят от применяемых форм записи УУР [7, 12…14, 15…18, 36, 82, 88, 89, 94, 105…109, 120, 246, 247, 261, ] и численных методов их решения [87, 92, 244, 269, 278, 283…287, 300, 301]. Недостатки указанных методов состоят в необходимости расчета серий промежуточных режимов, которые, как правило, не интересуют рас четчика, а также в существенных вычислительных трудностях, связанных с тем, что в точке решения матрица Якоби УУР вырождена.

Для повышения эффективности расчетов были разработаны методы непрерывного утяжеления [283, 286], основанные на применении вычисли тельной процедуры Энеева-Матвеева. В дальнейшем были предложены аналогичные методы [144], основанные на дополнительном учете старших членов разложения в ряд Тейлора вектор-функции, обратной к вектор функции невязок УУР [89]. Однако, несмотря на существенное повышение эффективности расчетов, применение этих методов не снимает вычисли тельных трудностей, связанных с решением вырожденных систем нели нейных уравнений. Кроме того, они не применимы при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности.

Избежать указанных затруднений можно с помощью уравнений пре дельных режимов. Если рассматривать Якобиан УУР как функциональный определитель и условие равенства его нулю дополнить уравнениями уста новившегося режима, то полученная система будет описывать предельные по существованию (передаваемой мощности) режимы ЭЭС. Однако, пред ставление детерминантного равенства в развернутом виде практически не возможно. Трудности, связанные с непредставимостью детерминантного равенства в виде ряда, можно обойти заменой этого уравнения на эквива лентные соотношения – равенства нулю произведения матрицы Якоби (прямой или транспонированной) на ее собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению. При этом вектор зависимых перемен ных дополняется компонентами соответствующего собственного вектора.

Принципиальным свойством УПР является то, что они не вырождаются в точках решений. В работе приведено строгое доказательство этого поло жения и его экспериментальное подтверждение. Существенно также, что применение УПР, в отличие от методов непрерывного утяжеления, позво ляет определять не только предельные по передаваемой мощности режи мы, но и предельные по устойчивости. В последнем случае матрица Якоби УУР заменяется на матрицу, отвечающую свободному члену характери стического полинома системы дифференциальных уравнений, описываю щих переходные процессы в ЭЭС при малых возмущениях. Таким обра зом, применение УПР сводит задачу поиска предельного режима к реше нию уравнений с неособенной матрицей Якоби. При этом применимы все известные итерационные методы [87, 92, 119, 244, 271], не требующие, в отличие от методов дискретного и непрерывного утяжеления, вычисли тельной устойчивости при работе с плохо обусловленными матрицами вблизи решения.

В работе подробно рассмотрены вопросы, связанные с применением методов ньютоновского типа для решения УПР, записанных в различных формах. Показана возможность снижения размерности решаемых в про цессе итерации линейных уравнений. Приведены результаты подробных экспериментальных исследований, подтверждающих эффективность при менения предложенной методики поиска предельных режимов. В, частно сти, показано, что наряду с повышением эффективности расчетов приме нение УПР дает возможность получать решение в случаях, когда другие методы неприменимы. Это касается таких траекторий утяжеления, когда в процессе поиска предельного по устойчивости режима достигается точка вырожденности матрицы Якоби УУР, то есть предел передаваемой мощно сти наступает раньше предела устойчивости. Кроме того, на основе ре зультатов экспериментальных исследований показано, что УПР примени мы для решения задачи ввода режима в область существования (устойчи вости).

Наряду с поиском предельных режимов в заданном направлении утяжеления УПР могут быть использованы для построения и аппроксима ции гиперповерхностей предельных режимов и, особенно, их сечений ко ординатными плоскостями. Если собственный вектор S прямой матрицы Якоби УУР не имеет наглядной геометрической интерпретации, то вектор R транспонированной матрицы совпадает с направлением нормали к ги перповерхности предельных режимов в вычисленной точке. Использова ние этого факта позволило разработать эффективные методики кусочно линейной и нелинейной аппроксимации областей устойчивости и их сече ний.

Вторая глава посвящена методам определения запасов статической апериодической устойчивости на основе обобщенных уравнений предель ных режимов.

В первом параграфе детально проанализированы особенности оцен ки запасов статической устойчивости ЭЭС при многокоординатных утяже лениях и обоснована целесообразность оценки запаса САУ текущего ре жима ЭЭС по критерию близости отвечающей ему точки в масштабиро ванном пространстве независимых переменных к предельной гиперпо верхности [60, 64]. При этом весьма важен корректный выбор способа масштабирования пространства, так как применяемые способы нормиров ки могут приводить к существенным методическим и вычислительным за труднениям. На основе детальных исследований и многочисленных расче тов показано, что сформулированный критерий (при соответствующем способе масштабирования) дает большие преимущества с точки зрения по вышения надежности работы ЭЭС и уменьшения управляющих воздейст вий противоаварийной автоматики по сравнению с существующей практи кой нахождения предельных перетоков в сечениях на этапах планирования режимов.

Совпадение собственного вектора R транспонированной матрицы Якоби УУР с направлением нормали к предельной гиперповерхности по зволяет обобщить УПР на случай поиска предельного режима в наиболее опасном (критическом) направлении утяжеления, отвечающем кратчайше му расстоянию в метрике нормированных независимых переменных от точки рассматриваемого режима до предельной гиперповерхности, и тем самым получить объективную оценку запаса САУ.

В работе подробно рассмотрены вопросы формирования и решения обобщенных уравнений предельных режимов, приведены результаты вы числительных экспериментов, подтверждающих эффективность примене ния ОУПР для оценки запасов САУ, а также для ввода режимов в область существования по кратчайшему расстоянию в метрике регулируемых па раметров. Рассмотрены также стартовые алгоритмы и другие специальные приемы, существенно повышающие эффективность вычислительных про цедур решения ОУПР. Кроме того, в работе получена модификация ОУПР, позволяющая определять предельные режимы в критическом направлении утяжеления в наиболее общем случае, когда пределы передаваемой мощ ности и устойчивости не совпадают.

Третья глава посвящена вопросам определения режимов, отвечаю щих требуемому запасу САУ, а также выбору оптимальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики из условия обеспечения стати ческой устойчивости ПАР.

Показано, что на основе ОУПР возможно получение точек, принад лежащих границе допустимой области, отстоящей в метрике масштабиро ванных независимых переменных на заданное расстояние от границы су ществования режимов (устойчивости). В работе подробно рассмотрены вопросы формирования и особенности численного решения этой модифи кации ОУПР на основе вычислительных процедур ньютоновского типа.

Приведены результаты расчетов, подтверждающих эффективность пред ложенной методики оценки допустимой области управления режимами ЭЭС.

Кроме того, предложены уравнения, на основе которых могут быть определены предельные режимы, отвечающие экстремальным значениям функционалов, зависящих от регулируемых и нерегулируемых параметров режима. На основе этих уравнений реализована методика выбора опти мальных управляющих воздействий противоаварийной автоматики из ус ловия обеспечения статической устойчивости послеаварийных режимов.

Целевой функцией оптимизации является ущерб, вызванный отключением источников и потребителей электрической энергии при выполнении про тивоаварийных мероприятий. В работе показано, что возможен также учет ущерба от изменения уровней напряжения в узловых точках сети и часто ты в энергосистеме. Отличительной особенностью предлагаемой методики выбора оптимальных УВ является отсутствие многошаговых оптимизаци онных процедур и численного дифференцирования. Поиск оптимального решения осуществляется путем решения методом Ньютона системы урав нений с квадратичной нелинейностью.

Также в данной главе рассмотрены вопросы, связанные с примене нием минимальных сингулярных чисел матрицы Якоби УУР (или матри цы, отвечающей свободному члену характеристического полинома) и со ответствующих им векторов для оценки допустимой области управления режимами ЭЭС. Показано, что на этой основе могут быть реализованы ал горитмы определения точек границы допустимой области, а также алго ритмы расчета режима с одновременным вычислением минимального син гулярного числа и отвечающих ему векторов. Кроме того, эти вектора мо гут использоваться для выявления сенсорных узлов электрической сети.

В заключительной части главы предложен стохастический подход к оценке допустимой области управления режимами на основе разработан ной системы уравнений, описывающих предельный режим в критическом направлении утяжеления с учетом случайных колебаний нагрузок.

Эффективность всех предложенных в данной главе методов и алго ритмов подтверждена вычислительными экспериментами.

В четвертой главе предложены методы определения предельных режимов ЭЭС с учетом продольной и поперечной несимметрии в электри ческой сети. Задача определения предельных режимов и построения об ластей устойчивости в пространстве регулируемых параметров при нали чии продольной и поперечной несимметрии может быть решена на основе использования фазных координат [95…102]. При их применении электри ческая сеть может описываться трехлинейной схемой или представляться в виде компаунд-сети. В первом случае каждый трехфазный элемент задает ся тремя сопротивлениями с электромагнитными связями или соответст вующими схемами замещения. Число узлов расчетной схемы по отноше нию к однолинейной сети при этом утраивается. Во втором случае трех фазная сеть рассматривается как однолинейная, в которой каждая ветвь представляется матрицей размерности 3x3, а токи и напряжения – векто рами размерности 3. Первый способ позволяет рассматривать любые мно гофазные элементы, например, линии электропередачи с тросами. При втором способе учет таких элементов существенно затрудняется.

Проведенный теоретический анализ показал, что для расчета слож нонесимметричных режимов ЭЭС, вызванных однофазными, например, тяговыми нагрузками и неравенством продольных параметров, наиболее приемлемым является первый способ представления электрической сети в фазных координатах. При этом элементы системы замещаются решетча тыми схемами, что позволяет использовать хорошо разработанные алго ритмы расчета режимов ЭЭС.

На основе программного комплекса FLOW3 [96] были проведены многочисленные расчеты предельных режимов реальных и эквивалентных схем ЭЭС с учетом продольной и поперечной несимметрии. Анализ полу ченных результатов позволяет сделать вывод о том, что при несимметрич ном утяжелении пределы передаваемой мощности существенно уменьша ются. Этот факт необходимо учитывать при планировании перспективных режимов работы ЭЭС, питающих мощные электротяговые нагрузки.

На основе фазных координат может быть предложена новая форма записи уравнений предельных режимов, учитывающая продольную и по перечную несимметрию. Предложенная математическая модель открывает новое направление в исследовании предельных режимов сложных электро энергетических систем [99]. В частности, на ее основе могут определяться предельные режимы при продольной несимметрии в ЭЭС, которая возни кает при обрыве одной или двух фаз на линиях электропередачи высокого и сверхвысокого напряжений. Кроме того, могут анализироваться пре дельные режимы при многократной поперечной несимметрии, что весьма актуально для энергосистем, питающих тяговые подстанции железных до рог переменного тока.

В пятой главе предложены методы определения предельных режи мов в энергосистемах с воздушными линиями электропередачи новых ти пов [99]: компактных, трехцепных, управляемых самокомпенсирующихся.

Повышение передаваемых мощностей в электроэнергетических сис темах приводит к необходимости разработки новых типов ЛЭП с нетради ционным расположением проводов. В частности, предлагаются ЛЭП с ли нейным и концентрическим расположением проводов, обладающие повы шенной пропускной способностью. Анализ предельных режимов систем с такими линиями осложняется из-за возникновения несимметрии и сущест венного взаимного электромагнитного влияния проводов.

Для анализа были приняты три типа линий следующего вида:

• традиционная воздушная ЛЭП;

• компактная воздушная линия с плоским расположением проводов;

• КВЛ с концентрическим расположением проводов.

Решение задачи расчета режимов электрических систем, имеющих в своем составе ЛЭП с нетрадиционным расположением проводов, наиболее эффективно может быть проведено в фазных координатах. При этом ис пользуются решетчатые схемы замещения с RLC-элементами, что позволя ет получать эффективные модели многопроводных ЛЭП и трансформато ров. На основе проведенных исследований показано, что наличие КВЛ су щественно увеличивает пределы передаваемых мощностей и, соответст венно, расширяет области устойчивости. КВЛ с плоским расположением проводов вносит заметную несимметрию, а линия с концентрическим рас положением характеризуется еще большой несимметрией, приводящей к циркуляции потоков мощности при холостом ходе и дополнительным по терям в линии.

Для повышения передаваемых мощностей в электроэнергетических системах предлагается использование трехцепных линий электропередачи с разными напряжениями цепей, что должно повышать пропускную спо собность комбинированной линии по сравнению с разнесенными ЛЭП.

Анализ предельных режимов систем с такими линиями осложняется из-за значительной несимметрии, возникающей вследствие сильного взаимного электромагнитного влияния проводов. В главе представлены результаты сопоставительного анализа предельных режимов в простой ЭЭС с трех цепными линиями и с разнесенными традиционными ЛЭП. Показано, что трехцепная воздушная линия с расположением проводов по типу ACBcba BAC характеризуется более высокой симметрией параметров и пропуск ной способностью по сравнению с одноцепными линиями. Предельные режимы трехцепных линий с разным расположением проводов отличаются друг от друга на 13 %.

Для количественной проверки пропускной способности управляемых линий электропередачи выполнены расчеты предельных режимов для эк вивалентной схемы ЭЭС. Области устойчивости построены при углах ме жду напряжениями цепей 0, 90, 180. Показано, что наличие УСВЛ позво ляет повысить пределы устойчивости ЭЭС.

Основные научные результаты, полученные автором и отражен ные в монографии, заключаются в следующем.

Разработан математический аппарат теории расчета и анализа пре дельных режимов сложных энергосистем, основанный на использовании и физической интерпретации собственных векторов матрицы Якоби УУР, отвечающих нулевым собственным значениям. На основе этого аппарата созданы эффективные и высоконадежные методы и алгоритмы, позволяю щие решать следующие актуальные задачи, возникающие при управлении режимами ЭЭС:

• экспресс-расчет предельных по статической апериодической ус тойчивости и передаваемой мощности режимов энергосистем в заданном направлении утяжеления;

• определение предельных режимов в критическом (наиболее опас ном) направлении утяжеления;

• ввод режимов в область существования (устойчивости) по задан ным траекториям изменения регулируемых параметров;

• ввод режимов в область существования по траектории, отвечающей кратчайшему расстоянию до предельной гиперповерхности;

• определение режимов, отвечающих требуемой величине запаса статической апериодической устойчивости;

• расчет предельных режимов, отвечающих минимальным значениям функционалов ущербов от выполнения противоаварийных мероприятий;

• определение предельных режимов в критическом направлении утяжеления с учетом случайных колебаний нагрузок;

• построение и аппроксимация границ области устойчивости (суще ствования) и кусочно-линейная и нелинейная аппроксимация сечений этих областей координатными плоскостями.

Практическая ценность научных результатов, изложенных в моно графии, состоит в решении технических проблем, связанных с созданием автоматизированных систем диспетчерского и противоаварийного управ ления ЭЭС и централизованных систем противоаварийной автоматики.

Полученные результаты позволяют повысить скорость принятия решений, точность оперативного управления ЭЭС, снизить ущерб при отключении генераторов и нагрузок при проведении режимных ограничений потреби телей, упростить алгоритмы выбора управляющих воздействий, полнее ис пользовать резервы энергосистем по пропускной способности.

Разработанные методы оценки запасов устойчивости обеспечивают обоснованный подход к решению проблемы нормирования запасов стати ческой апериодической устойчивости.

1. ЭКСПРЕСС-РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ СЛОЖНЫХ ЭНЕРГОСИСТЕМ 1.1. Предельные режимы энергосистем и анализ методов их определения Положение равновесия автономной системы дифференциальных уравнений dxi = wi ( x1, x2,..., xn ) ;

i = 1...n (1.1) dt является асимптотически устойчивым по Ляпунову, если устойчива линеа ризованная система (система первого приближения):

w n dxi = i xk ;

i = 1...n, (1.2) dt k =1 xk x = x k k где xk = xk xk 0 ;

xk 0 – координаты точки равновесия, удовлетворяющие уравнениям wi ( x10, x20,..., xn 0 ) = 0 ;

i = 1...n.

Процедура линеаризации выполняется на основе разложения функ ций wi ( x1, x2,..., xn ),i = 1...n в ряд Тэйлора w n wi ( x1, x2,..., xn ) = wi ( x10, x20,..., xn 0 ) + i xk + x k X= X k = 1 n n 2 wi + xk x j +...

2! k =1 j =1 xk x j и отбрасывания нелинейных членов.

Устойчивость решения уравнений (1.2) имеет место, если отрица тельны действительные части всех корней характеристического уравнения W D( p ) = det pE = 0, (1.3) X W – матрица Якоби от W(X ) где X w1 w...

x x n W =........., X wn... wn x1 x n вычисленная в точке равновесия;

E = diag1 – единичная матрица порядка n. Положение равновесия будет неустойчивым, если уравнение (1.2) имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью. Если таких корней нет, но среди корней есть чисто мнимые, то по системе первого приближения нельзя судить об устойчивости. В этом случае требуются до полнительные исследования.

Применительно к установившимся режимам электрических систем устойчивость по Ляпунову носит название статической устойчивости, ко торую по характеру нарушения обычно разделяют на апериодическую и колебательную. Первый вид неустойчивости связывают с появлением дей ствительных положительных корней, второй – с появлением комплексных корней с положительной вещественной частью (рис. 1.1). Практические методы определения апериодической и колебательной устойчивости раз личаются между собой. Ниже рассматриваются только методы и критерии определения апериодического нарушения устойчивости.

Для того, чтобы характеристическое уравнение (1.3), которое можно представить в следующем развернутом виде относительно символа р D( p ) = p n + a n 1 p n 1 +... + a0 = 0, (1.4) не имело вещественных положительных корней p k, необходимо и доста точно, чтобы все коэффициенты (1.4) были больше нуля. Однако, если оп ределять предел устойчивости в процессе утяжеления исходного устойчи вого режима, то нет необходимости следить за знаками всех коэффициен тов, так как первым изменит знак на отрицательный свободный член ха рактеристического уравнения a0.

а) б) Рис.1.1. Характер нарушения устойчивости:

а) – расположение корней на комплексной плоскости;

б) – зависимость x = x(t ) Действительно, из (1.3) и (1.4) следует, что W a0 = ( 1) det n (1.5) X и a0 = 0 при p k = 0.

Поэтому при изменении значения вещественного корня с отрица тельного на положительный неизбежно изменение знака a0. На контроле знака свободного члена характеристического уравнения основаны основ ные методы определения предельных по устойчивости режимов.

Установившиеся режимы электроэнергетических систем описывают ся нелинейными уравнениями вида:

F(X, Y ) = 0, (1.6) где F = [ f1 f 2...f n ] T – n-мерная вектор-функция, отвечающая уравнениям баланса мощностей или токов в узлах сети;

Y = [ y1 y 2...y m ] – заданный век T тор регулируемых параметров (независимых переменных);

X = [x1x2...xn ]T – искомый вектор нерегулируемых параметров (зависимых переменных) [155].

В качестве регулируемых параметров обычно используются актив ные и реактивные мощности генераторов и нагрузок, а также зафиксиро ванные в отдельных узлах сети модули напряжений. Зависимыми пере менными считаются действительные и мнимые составляющие или модули и фазы узловых напряжений. Также, в состав вектора зависимых перемен ных X может входить значение частоты в энергосистеме.

Режимами, предельными по статической апериодической устойчиво сти, можно считать режимы ЭЭС, соответствующие точкам X L, YL пространства параметров Z = X U Y, в которых выполняются уравнения (1.1) и условие:

W a0 = ( 1) det = n (1.7) X где W – n-мерная вектор-функция, отвечающая правым частям дифференциальных уравнений dX = W(X, Y ), (1.8) dt описывающих переходные процессы в ЭЭС при малых возмущениях;

а0 – свободный член характеристического полинома W det pE = 0.

X В работе [78] показано, что выражение для а0 может быть получено без составления дифференциальных уравнений, а непосредственно из УУР W(X, Y ) = 0, (1.9) записанных с учетом характеристик элементов электрической системы при малых возмущениях.

Точки YL образуют в пространстве Y дискриминантную гиперповерхность LW (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Области устойчивости и существования режимов в пространстве параметров Y для трехузловой модели ЭЭС Режимами, предельными по существованию (передаваемой мощно сти), можно считать режимы, отвечающие точкам X LP, YLP пространства параметров Z = X U Y, в которых выполняются уравнения установившего ся режима (1.6) и соотношение:• F = det (1.10) X F где – матрица Якоби УУР (1.6).

X Точки YLP образуют в пространстве Y дискриминантную гиперповерхность LF (рис. 1.2). Фрагменты областей устойчивости и су • При строгом рассмотрении условие (1.5) является необходимым, но недостаточным.

Подробно данный вопрос рассмотрен в работе [107].

ществования для трехузловой модели ЭЭС показаны на рис. 1.3 и 1.4.

а) б) Рис. 1.3. Фрагменты областей устойчивости для трехузловой модели ЭЭС:

а) – пространство Y = [P P2 ] ;

P1, P2 – активные мощности генераторов T электростанций;

б) – пространство X = [ 1 2 ] ;

1, 2 – угловые сдвиги T векторов напряжений узлов 1 и 2 относительно базисного узла Рис. 1.4. Фрагменты областей существования для трехузловой модели ЭЭС:

а) – схема ЭЭС;

б) – область существования F В общем случае, матрицы Якоби используемые при, X W определении параметров установившегося режима, и матрицы, X применяемые для анализа устойчивости, могут не совпадать по следующим причинам.

1. Уравнения установившегося режима (1.6) могут быть записаны при различных допущениях и в разных формах, в общем случае не совпадающих с принятыми при записи дифференциальных уравнений (1.8).

2. Исходя из предположения о том, что астатическое регулирование напряжения U G на шинах генераторов производится соответствующим & изменением уставок автоматических регуляторов возбуждения, модуль UG при расчетах режимов принимается, как правило, заданным. Если такое регулирование осуществляется диспетчером дискретно, то предположение о неизменности напряжения на шинах генераторов, вполне приемлемое при расчете режимов, будет неудовлетворительным при определении ус тойчивости. В этом случае правильней принимать неизменной э.д.с. гене ратора за некоторой реактивностью, определяемой в зависимости от типа и значений коэффициентов усиления АРВ, или полностью учитывать мате матическую формулировку закона регулирования возбуждения. Если АРВ имеет достаточно большие коэффициенты усиления, то оба способа моде лирования генераторов приводят к одним и тем же результатам [107].

3. При наличии на питающих потребителей подстанциях трансфор маторов с регулированием напряжения под нагрузкой мощность электро приемников в расчетах режимов можно считать неизменной (рис. 1.5а). В отличие от этого, при проверке устойчивости мощность нагрузки следует принимать изменяющейся по статической характеристике, так как указан ное регулирование имеет дискретный характер и не действует при малых возмущениях (рис. 1.5б).

б) а) Рис. 1.5. Статические характеристики нагрузки:

а) при отсутствии РПН;

б) при наличии РПН Пределы устойчивости и передаваемой мощности будут равными то гда, когда характеристики генераторов и нагрузок, используемые для рас чета режимов и для исследования устойчивости, будут совпадать. В этом случае при одинаковых формах записи уравнений (1.6) и (1.9) матрицы F W и будут тождественны.

X X Сказанное можно пояснить на основе упрощенных уравнений уста новившегося режима генератора без учета активных сопротивлений стато ра и различия сопротивлений xd и xq по продольной и поперечной осям (рис. 1.6). Последнее упрощение касается гидрогенераторов, так как для турбогенераторов xq = xd. При описании автоматического регулятора воз буждения учитывается только канал регулирования по отклонению напря жения.

Рис. 1.6. Схема замещения При указанных допущениях уравнения, описывающие установив шийся режим работы генератора, могут быть представлены в следующем виде:

EqU sin ;

PG = xq E qU U cos ;

QG = + (1.12) xq xq Eq E q 0 = CU (U U 0 ), где – внутренний угол между ЭДС Eq и напряжением шин;

CU – коэф фициент усиления АРВ.

Первое уравнение отражает равенство механической PG и электро магнитной мощности генератора в установившемся режиме. Второе – уравнение баланса реактивной мощности. Третье уравнение относится к АРВ, осуществляющему регулирование ЭДС возбуждения Eq относитель но величины Eq 0, заданной в некотором исходном режиме из условия U = U 0, где U 0 напряжение уставки регулятора.

Для составления матрицы Якоби, соответствующей свободному чле ну характеристического уравнения, можно воспользоваться уравнениями (1.12). При этом все производные, за исключением производных от реак тивных мощностей генератора, найдутся прямым дифференцированием.

Так как активная мощность генератора, выдаваемая в сеть, равна ме ханической мощности и, следовательно, не зависит от напряжения на ши P QG нах, то G = 0. Производную можно получить из уравнений (1.12), U U записав их в приращениях:

Eq E qU U sin dEq + sin dU + cos d = 0;

xq xq xq Eq EqU U 2U dQG = cos dEq cos dU sin d ;

(1.13) dU + xq xq xq xq dEq = СU dU, E qU EqU cos и учитывая, что PG = sin, Обозначив через N = xq xq можно получить Eq U sin dEq + sin dU + N d = 0;

xq xq Eq U 2U dQG = cos dEq cos dU PG d ;

dU + (1.14) xq xq xq dEq = СU dU, Выразив d из первого уравнения U sin Eq d = sin dU dEq Nxq Nxq и подставив во второе, можно получить U sin Eq Eq U 2U dU + cos dU + PG sin dU.

dQG = cos dEq dEq + Nx xq xq xq Nxq q После преобразований можно записать U P U sin E PE dEq + 2U + q cos + G q sin dU, dQG = cos + G x N xq x xq Nxq q q или N PG 2U N PG 2 dQG = dEq + dU.

+ ++ E NE q x U UN q q Обозначив через EqU QG + U, B= = +N = + 2 2 PG PG xq xq можно записать B 2 2U B dEq + dU.

dQG = (1.15) NU x NE q q С помощью третьего уравнения в (1.14) можно исключить из (1.15) приращения Eq и после несложных преобразований прийти к следующе му выражению для dQG B 2 2U B CU dU dQG = NU x NEq q или B 2 2U BU dQG = CU dU.

NU x Nxq q Так как Q dQG = G dU, U то искомая производная равна QG B 2 2U BU = CU. (1.16) U NU xq Nxq С помощью (1.16) можно оценить влияние регулирования возбужде QG ния на величину. Для этого необходимо найти эквивалентное сопро U QG тивление xq, при котором производная без учета регулирования воз U буждения совпадает с полученной при учете регулирования. Исходя из этого, можно записать B 2 2U BU B 2 2U CU = NU xq Nxq NU xq и найти xq xq xq = =. (1.17) BCU CU 1+ 1+ 2 cos 2N Из (1.17) видно, что регулирование возбуждения эквивалентно уменьшению сопротивления генератора. Зависимость xq = xq (CU ) приве дена на рис. 1.7. Так как значения CU достигают нескольких десятков еди ниц, то влияние регулирования на величину эквивалентного сопротивле ния очень заметное.

Рис. 1.7. Зависимость x q = xq (CU ) В качестве примера можно рассмотреть режимы генератора, рабо тающего через линию на шины бесконечной мощности (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Генератор, работающий на шины бесконечной мощности Угловую характеристику мощности можно представить в виде E qU sin( + 12 ), P= xq + x где x12 – сопротивление линии;

– внутренний угол генератора;

12 – угол вектора напряжения генератора относительно напряжения U 2 шин бесконечной мощности.

При отсутствии АРВ, т.е. при Eq = const, предел устойчивости на ступает в точке максимума угловой характеристики, когда 12 + =. При этом величина угла на линии достигает некоторой величины 12. Для оценки влияния сопротивления генератора на величину предела устойчи вости, следует реактивную мощность Q у приемного конца линии выра зить двумя способами:

E qU 2 U cos( + 12 ) Q= ;

xq + x12 xq + x (1.18) UU U Q = 1 2 cos 12 2. x12 x Из последнего выражения следует, что в предельном режиме при + 12 = U 2 xq cos 12 = U 1 (xq + x12 ). (1.19) Из полученной формулы можно сделать вывод о том, что предель ный угол на линии тем больше, чем меньше отношение сопротивления ге нератора к суммарному сопротивлению генератора и линии (рис. 1.9).

x 12L = f q Рис. 1.9. Зависимость x +x q Поэтому регулирование возбуждения генератора приводит к увели чению предела устойчивости: при значениях CU, равных десяткам единиц, эквивалентное сопротивление генератора мало по отношению к сопротив лению линии и в этой случае предел устойчивости и предел передаваемой мощности, который достигается при 12 =, практически совпадают. Та ким образом, только при отсутствии регулирования возбуждения или ма лых коэффициентах усиления предел устойчивости наступает заметно раньше предела передаваемой мощности.

Для получения зависимости 12 = (CU ) можно записать уравнения, ПР аналогичные (1.12), для активной мощности E qU sin( + 12 );

P= xq + x12 (1.20) U 1U sin 12.

P= x12 После преобразований можно получить Eq x sin 12 = (xq + x12 )U1. (1.21) Из (1.20) и (1.21) следует, что E q x tg 12 =.

U 1 xq Подставив в последнюю формулу выражение для эквивалентного сопротивления (1.17), можно записать CU E q x12 1 + 2 cos ( / 2 12 ).

tg 12 = U 1 xq Зависимость 12 = (CU ) представлена на рис. 1.10.

ПР 12 = (CU ) ПР Рис. 1.10. Зависимость Сделанные выводы относительно влияния регулирования на устой чивость и взаимосвязи пределов устойчивости и передаваемой мощности (существования режима) справедливы и для сложных энергосистем.

Широко применяемые методы определения предельных режимов [23, 83, 109, 124, 147, 149, 267, 279, 281, 291], которые можно назвать методами дискретного утяжеления, включают следующие этапы.

1. Рассчитывается некоторый заведомо устойчивый режим.

2. Для этого режима вычисляется значение свободного члена W a0 = ( 1) det n X или какoго-либо практического критерия устойчивости W det X ij =, ( 1) M ij i+ j W где M ij – минор, полученный из det вычеркиванием i-ой строки и j-го X столбца2.

3. Производится изменение регулируемых параметров Y (рис. 1.11) в соответствии с выбранным законом утяжеления Y = Y(T ), где T – скалярный параметр, и рассчитываются новые режимы.

Рис. 1.11. Произвольная траектория утяжеления режима. Трехузловая модель ЭЭС В работах [298, 299] в качестве косвенного критерия наступления предельного режима ис пользуются производные потерь активной мощности.

Обычно траектория Y(T ) в пространстве Y принимается линейной (рис. 1.12), Y(T ) = Y 0 +TY, где Y 0 соответствует исходному режиму, а Y определяет направление утяжеления в пространстве Y. Утяжеление продолжается до тех пор, пока на k-том шаге Yk =Y 0 +Tk Y1 не произойдет изменение знака a 0 или ij (рис. 1.13) или пока решение уравнений F(X,Yk ) = 0 не перестанет сущест вовать (рис. 1.14).

Рис. 1.12. Линейная траектория утяжеления. Трехузловая модель ЭЭС Рис. 1.13. Изменение знака a0 в процессе утяжеления режима Рис. 1.14. Выход режима за пределы области существования в процессе утяжеления Расчет последовательно утяжеляемых режимов требует больших вы числительных затрат, но он необходим потому, что детерминантные урав нения (1.7) или (1.10) представить в развернутом виде практически невоз можно.

Для сокращения вычислений и повышения точности поиска пара метров X L применяют дробление шага утяжеления. Это делается следую щим образом. Начальный шаг выбирается достаточно большим, а после первого пересечения LW происходит деление первоначального шага утя желения пополам. Такой процесс дробления завершается после того, как длина шага утяжеления будет меньше заданной точности поиска пара метров YL.

Повышение эффективности расчетов может быть достигнуто также путем использования предложенных в работах [23, 24, 257] специально организованных вычислительных процессов решения УУР, сходящихся только к статически устойчивым режимам. При этом отпадает необходимость определения на каждом шаге утяжеления значения a0 или ij.


Конкретная реализация рассматриваемых методов зависит от форм записи УУР, применяемых численных методов и используемых критериев СУ [4, 57, 58. 257, 277, 295, 298, 299].

Преимущества методов дискретного утяжеления состоит в простоте реализации, возможности изменения параметров утяжеления на любом шаге процесса. Это позволяет учитывать действия противоаварийной ав томатики [253, 300] и технические эксплуатационные ограничения. К не достаткам данных методов можно отнести значительную трудоемкость, связанную с необходимостью расчета большого числа промежуточных ре жимов, которые, как правило, не интересуют расчетчика. Кроме того, су щественные трудности возникают при совпадении пределов передаваемой мощности и устойчивости, или при определении режимов, предельных по F существованию. В этом случае матрица Якоби УУР становится выро X жденной в точке решения X L, которая соответствует предельному режиму.

При этом возникает необходимость решения плохо обусловленных систем линейных уравнений.

Для повышения эффективности расчетов предельных режимов были разработаны методы непрерывного утяжеления [144, 283, 285…287], не требующие применения многошаговых вычислительных процедур, связанных с расчетом серии промежуточных режимов. Эти методы основаны на свойстве особо надежных методов численного решения урав нений установившегося режима, заключающемся в том, что если по ходу вычислений встречаются точки, в которых F = 0, det X то благодаря искусственному ограничению шага, итерационный процесс «зависает» вблизи этих точек. Поэтому, если задать величину утяжеления настолько большой, чтобы она соответствовала несуществующему режи му, то в конечном итоге будет достигнута одна из точек предельной по верхности (о чем можно судить, например, по резко убывающей величине шага).

В основе способа непрерывного утяжеления, предложенного в рабо тах [283…287], лежит метод В.А. Матвеева, итерационная формула кото рого имеет вид:

( ) ( ) F (k ) ( k +1) =X (k ) k X F X (k ) X (1.22) X где k – корректирующий коэффициент, определяемый по выражению:

, если Bk = Bk k ;

1, если Bk Область применения указанных методов ограничивается условием совпадения преде лов устойчивости и передаваемой мощности.

2 f i (X ( k ) ) ( k ) ( k ) Bk = x j x i.

max ( ) (i ) ( j ) x i x j 2 max F X ( k ) Второй сомножитель для Bk представляет собой максимальный по модулю элемент вектора, полученного в результате умножения матрицы вторых производных вектор-функции F(X ) на компоненты вектора попра вок X, найденные на k-й итерации. Доказано, что если не происходит вырождения матрицы Якоби УУР, итерационная процедура (1.22) обеспе чивает сходимость вычислительного процесса для любых существующих режимов, а при расчете несуществующих режимов процесс вычислений сходиться к точке предельной гиперповерхности, где якобиан системы УУР равен нулю.

Суть способа непрерывного утяжеления можно проиллюстрировать на прмере расчета предельного режима в направлении Y = [0 0... 0 yi 0... 0].

T Начальная величина параметра Т выбирается таким образом, чтобы выйти за пределы области устойчивости (существования решения). После первой итерации вследствие неучета нелинейных членов разложения функции F(X,Y ) в ряд Тейлора, кроме невязки Ty i по утяжеляемому па раметру появляются невязки по другим координатам. По этой причине на второй итерации направление утяжеления несколько изменяется, осущест вляется переход в следующую точку, где также имеет место отклонение от выбранной траектории Y(T ).

При достижении предельной поверхности LW (LF ) из-за наличия ре зультирующих невязок по параметрам, не являющимся утяжеляемыми, по лученная точка не будет лежать на заданной траектории утяжеления. По этому появляется необходимость в уточнении решения. При этом вычис лительный процесс, на каждой итерации которого невязка по утяжеляемо му параметру полагается нулевой, проходит вблизи предельной поверхно сти, где матрица плохо обусловлена.

Можно обойтись без процесса уточнения одним из следующих спо собов. Первый основан на дополнительной балансировке неутяжеляемых параметров на каждой итерации при выходе их за пределы допустимых значений. Другой способ связан с дополнительным, по сравнению с вы бранным, уменьшением шага. Этим обеспечивается требуемая степень со ответствия результирующей точки вычислительного процесса и искомой предельной точки. Однако обе рассмотренные модификации приводят к нежелательному увеличению количества итераций. Общей причиной ука занных осложнений является линеаризация УУР при использовании ите рационной процедуры (1.6). Указанный недостаток можно устранить с по мощью применения вычислительных методов [124], которые позволяют увеличить шаг в выбранном направлении при обеспечении заданной точ ности по неутяжеляемым параметрам.

Они основаны на дополнительном учете старших членов разложения в ряд Тейлора вектор-функции X = (Y ), обратной к F(X ).

В результате разложения X представляется в виде () () X = X0 + X1 (F ) + X 2 F 2 +... + X F r +... (1.22а) k () где X F r – векторы поправок, зависящие от произведений компонент k вектора F = F (X ) F(X0 ) с суммой степеней, равной r. Причем в точке решения X p следует принять F = F(X0 ).

Поправки X p вычисляются по рекуррентным выражениям:

( ) ( ) F (k ) (k ) X F X (k ) ;

X1 = X ( ) F (k ) (k ) X B (k ) ;

X 2 = X ( ) dF ( k ) (k ) (k ) X3 = X B3, dX...

где k – номер итерации;

X(k ) – вектор r-х поправок;

r = 1...3....

r Компоненты векторов [ ] B (k ) = b r(1 )b r(k )... b rik )... b rnk ), ( ( T k r входящих в выражения для второй и третьей поправок, вычисляются по формуле [ ] [ ] b2k ) = X1k ) i(k )X1k ) ;

b3ik ) = X1k ) i(k )X (k ), ( (T ( ( (T i – матрица Гессе от функции fi (X ), вычисленная в точке X (k ).

где (k) i Первая поправка совпадает с определенной по методу Ньютона и со ответствует линейной аппроксимации X от F. Вторые и последующие поправки соответствуют аппроксимации X полиномами более высокой степени, что и объясняет ускорение итерационного процесса при увеличе нии числа учитываемых поправок.

В представленном виде рассматриваемый метод вследствие плохой сходимости ряда X( k ) = X0 + X r r при начальных приближениях, выбранных «вдали» от решения, не обеспе Предполагается, что УУР представимы в виде Y=F(X).

чивает большей надежности расчета «тяжелых» режимов, чем метод Нью тона. Повышение надежности метода связано с улучшением сходимости указанного ряда, и с этой целью производится ввод корректирующих ко эффициентов, заключающийся в следующем. Вместо поиска точки реше ния X p, в которой F (X p ) = 0, определяется промежуточная точка X* со значением функции невязок () F X* = (1 )F(X0 ), 1.

Подстановка () F = F X* F(X0 ) = F(X0 ) в (1.22а) показывает, что ввод корректирующих коэффициентов приводит к изменению поправок в r раз, где r – номер поправки.

Таким образом, X* = X 0 + r X r.

r Подбором всегда можно обеспечить сходимость ряда и, найдя промежуточную точку X*, перейти к поиску решения X P или следующей промежуточной точки, если ряд недостаточно хорошо сходится. В резуль тате или будет получено решение, или процесс поиска «зависнет» над не которой предельной точкой X L, если решение отсутствует. Последнее проявляется в том, что коэффициенты, обеспечивающие сходимость промежуточных рядов, начинают стремиться к нулю, а последовательность промежуточных точек – к точке X L, в которой якобиан УУР обращается в нуль.

В работе [144] показано, что надежная сходимость ряда обеспечива ется при выборе по условию X1 k ) ( =, X(pk ) где 0 1 – коэффициент, обеспечивающий заданную скорость сходи мости ряда;

1 [ ] [ ] n n 2 (k ) 2 (k ) X 1 k ) = X ;

X p = X ( (k ) 1i pi i =1 i = – нормы векторов первой и старшей поправок.

Очередное приближение вектора зависимых переменных вычисляет ся следующим образом:

p X ( k ) = X ( k ) + r X (rk ).

r =1 r!

Благодаря учету старших нелинейных членов разложения функции решения X = (Y ) в ряд Тейлора удается обеспечить такой ход итераци онного процесса, при котором невязки по параметрам, не входящим в чис ло утяжеляемых, всегда остаются в пределах допустимых значений.

Для дополнительного уменьшения отклонений от заданного направ ления Y, вызванных ограничением числа вычисляемых членов ряда, ис F пользуется аппроксимация зависимости якобиана det от переменной Т, X определяющей величину утяжеления. Изменяясь по ходу итерационного процесса, прогнозируемая величина будет стремиться к предельному зна чению утяжеляемого параметра. Это обеспечивает компенсацию всех не вязок по мере приближения к предельному режиму.

Для реализации алгоритмов непрерывного утяжеления могут также использоваться эффективные методы второго порядка, описанные в работе [11], и усовершенствованные методы последовательных интервалов, учитывающие нелинейные члены разложения вектор-функции F(X) в ряд Тэйлора [4, 11].

Достоинство методов непрерывного утяжеления состоит в сущест венном сокращении вычислительных затрат по сравнению с методами дискретного утяжеления. Недостатки их заключаются в неприменимости при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности, а также в необходимости решения плохо обусловленных систем линейных уравне ний при подходе к решению.

1.2. Уравнения предельных режимов Проведенный выше анализ показывает, что несмотря на разработку целого ряда эффективных алгоритмов проблема экспресс-расчета предельных по статической устойчивости и передаваемой мощности режимов остается актуальной. Поэтому в настоящей работе предпринята попытка создания более общей методики определения предельных режи мов, не требующая многошаговых вычислительных процедур и примени мая как при совпадении, так и при отличии пределов передаваемой мощ ности и устойчивости, а также позволяющая избежать затруднений, свя занных с решением плохо обусловленных СЛУ [105, 109, 270].


Эта методика основана на замене условия (1.23) эквивалентным со отношением, которое может быть представлено в двух видах:

W V= S =0 (1.23) X T W V = X R= 0 (1.24) где V – n-мерная вектор-функция;

S = [s1... sn ], R = [r1 r2... rn ] T T s T W W,, отвечающие нулевому собст – собственные вектора матриц X X венному значению.

Так как (1.7) и (1.8) определяют собственные вектора с точностью до постоянного множителя, одна из их компонент может быть принята произ вольной, отличной от нуля. Например, rn = s n = 1. Другой способ доопреде ления уравнений (1.7) и (1.8), впервые предложенный в работе А.З. Гамма, состоит в задании длины, например единичной, для векторов R и S, т.е. в дополнении этих систем уравнениями:

U (S ) = ST S 1 = 0 или U (R ) = R T R 1 = 0.

Элементы матрицы Якоби являются функциями зависимых парамет ров Х, и поэтому, в отличие от (1.7), условия (1.23) и (1.24) дают аналити ческое описание гиперповерхности предельных режимов Lw.

При этом определение предельных по статической устойчивости ре жимов сводится к совместному решению следующей системы уравнений, называемой в дальнейшем уравнениями предельных режимов:

F[X, Y(T )] = 0;

W (1.25) V[X, S, Y(T )] = S = 0, s n = 1, X или F[X, Y(T )] = 0;

W V[X, S, Y(T )] = S = 0;

(1.26) X U (S ) = S S 1 = 0. T При использовании транспонированной матрицы вторые векторные уравнения в системах (1.25) и (1.26) заменяются соотношением (1.24).

F[X, Y(T )] = 0;

T W (1.27) V[X, R, Y(T )] = R = 0,rn = X или Методы решения задач реального времени в электроэнергетике/ А.З. Гамм, Ю.Н. Ку черов, С.И. Паламарчук и др. Новосибирск: Наука, 1990, с. 205-207.

F[X, Y(T )] = 0;

T W V[X, R, Y(T )] = X R = 0;

, (1.28) U (R ) = R R 1 = 0.

T где Y = Y 0 +TY – вектор регулируемых параметров.

При совпадении пределов устойчивости и передаваемой мощности, а также при расчете режимов, предельных по существованию, системы уравнений (1.25)...(1.28) преобразуются к виду:

– для прямой матрицы F[X, Y(T )] = 0;

F V[X, S, Y(T )] = S = 0, s n = X F[X, Y(T )] = 0;

F V[X, S, Y(T )] = S = 0;

X U (S ) = S S 1 = 0. T – для транспонированной матрицы F[X, Y(T )] = 0;

T F V[X, R, Y(T )] = R = 0,rn = 1, X F[X, Y(T )] = 0;

T F V[X, R, Y(T )] = X R = 0;

U (R ) = R R 1 = 0.

T При использовании той или иной формы записи УПР необходимо учитывать следующие обстоятельства.

1. В [136] показано, что некоторые компоненты векторов R и S могут быть равны и близки к нулю и закрепление такой компоненты может привести к несовместности уравнений. Поэтому при использовании форм (1.25) и (1.27) необходимо применять специальные приемы, обеспечивающие правильный выбор закрепленной компоненты, что несколько усложняет алгоритм формирования и решения УПР. При использовании форм (1.26), (1.28) подобная проблема не возникает. С другой стороны, УПР в формах (1.26), (1.28) линейны относительно неизвестных компонент векторов R и S, что позволяет исключить эти неизвестные из числа переменных, участвующих в итерациях, и тем самым снять некоторые затруднения, связанные с выбором начальных приближений для этих неизвестных.

2. Собственный вектор R, входящий в состав УПР, записанных в формах (1.27), (1.28), совпадает с направлением нормали к предельной поверхности [142], что позволяет получать дополнительную информацию о характеристиках рассчитываемого предельного режима. Например, оценивать близость выбранной траектории утяжеления к критической (наиболее опасной), отвечающей кратчайшему расстоянию в пространстве Y от исходной точки Y 0 до предельной гиперповрхности LW. С другой стороны, ниже будет показано, что применение прямой матрицы (УПР в формах (1.25), (1.26)) существенно упрощает алгоритм формирования V W S уравнений V[X,Y(T ),S] = 0.

= матрицы Якоби X XX Для решения УПР можно применить метод Ньютона, каждой итера ции которого соответствует следующая система линейных уравнений (на пример, для системы УПР, записанной в форме (1.25)):

F F X F X T ' S' S =, S =.

V V V ' T T V X S Существенным свойством УПР является невырожденность отве чающей им матрицы в точке X L. Покажем это на примере формы записи УПР, использующей вектор S. При этом справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.

F F X T V V V H = det det X S T Z 0 U S [ ] = Z L = [X L S TL ] ;

H = FT T 1 1 T VT для Z U.

Теорема 2.

F F H T = det X det V V V Z X S T [ ] T для Z = Z L = X L S' 2 TL, где S' представляет собой вектор S без по следней компоненты.

Когда пределы передаваемой мощности и устойчивости различны, W матрица, отвечающая свободному члену характеристического поли X F нома, не совпадает с матрицей Якоби уравнений режима. Следова X тельно, в точках, соответствующих пределам статической устойчивости, F матрица будет неособенной, что в общем случае обеспечивает невы X H H 1 рожденность и.

Z Z 1 H Доказательство невырожденности матрицы при совпадении Z F W = пределов передаваемой мощности и устойчивости проведем X X F при допущении о том, что вектор в предельных точках не является ли T F нейной комбинацией столбцов матрицы. Можно показать, что приня X тое допущение выполняется при реальных направлениях утяжеления прак тически всегда, так как равенство F F F F F ;

i 0, = 1 + 2 +... + i +... + n T x1 x2 xi xn будет справедливым только в том случае, когда изменение режима идет «вдоль» предельной гиперповерхности LW, т.е. вектор Y лежит в гипер плоскости, касательной к ней. Изменение режима «вдоль» предельной ги перповерхности возможно при движении из точки Y0, лежащей вне ука занной области, рис. 1.15. Однако задание такого направления утяжеления ( Y1 ) не имеет практического смысла, так как при вводе режимов в об ласть существования или определении управляющих воздействий проти воаварийной автоматики вектор Y = Y2 совпадает с направлением нор мали к LW или близок к нему.

H Доказательство невырожденности матрицы проведем от про Z H тивного. Предположим, что в точке решения матрица вырож ZL Z дена. Тогда должен существовать ненулевой собственный вектор K, отве Для упрощения выкладок положим, что УУР представимы в виде Y = F ( X ).

чающий нулевому собственному значению этой матрицы.

Рис. 1.15. Изменение режима «вдоль» гиперповерхности LW При этом должны выполняться уравнения:

F F KI + K III = 0;

X T V V V KI + K II + K III = 0, X S T 2S' K II = 0, где KI K = K II K I = [k1 k2... kn ] ;

K II = [kn +1 kn + 2... k2 n ] ;

T T K III K III = k2 n+1.

Первое векторное уравнение этой системы выполняется при сделан ном выше допущении только при условии K I = S ;

K III = 0.

Тогда второе и третье матричные уравнения принимает вид V V S+ K II = 0;

X S (1.29) 2S' K II = 0. Второе равенство в (1.29) выполняется только при условии K II = 0, при этом первое равенство V S= X выполняется только тогда, когда S=0, так как S не является собственным V вектором матрицы.

X Таким образом, все компоненты вектора K нулевые и вырождения H матрицы в точках решения, отвечающих предельной гиперповерх Z ности, не происходит.

H Доказательство невырожденности матрицы также проведем от Z противного.

H Предположим, что в точке решения Z L матрица вырождена.

Z Тогда должен существовать ненулевой собственный вектор K, отвечающий нулевому собственному значению этой матрицы. При этом должны вы полняться уравнения:

F F KI + K III = 0;

X T V V V K I + ' K II + K III = 0, X T S где KI K = K II K I = [k1 k2... kn ] ;

K II = [kn +1 kn + 2... k2 n1 ] ;

T T K III K III = k 2 n.

Первое векторное уравнение этой системы выполняется только при условии K I = S ;

K III = 0. Тогда второе матричное уравнение принимает вид V V S + ' K II = 0. (1.30) X S Рассмотрим вначале случай K II = 0. Равенство V S= X выполняется только тогда, когда S=0, так как S не является собственным V вектором матрицы.

X V F = Учитывая, что, представим (1.30) в виде:

S ' X ' F W1 (S, S ) + K II = 0, (1.31) X' V F F F где W1 (S, S ) = S= S S ;

– матрица, полученная из вы X X X X X' черкиванием последнего столбца.

F Столбцы матрицы в точке X L лежат в гиперплоскости, касатель X ной к предельной гиперповерхности, поэтому условие (1.31) будет выпол няться в том случае, если вектор W1 (S, S ) будет лежать в той же гиперпло скости.

Разложим функцию F(X ) в ряд Тэйлора относительно X в направле нии, совпадающем с собственным вектором S :

F F (X 0 + S ) = F (X 0 ) + W1 (S, S ).

S+ (1.32) X Второй член в этом разложении равен нулю, и при достаточно малом движению вдоль вектора S в координатах X будет соответствовать движение вдоль вектора W1 (S, S ) в координатах Y. Так как в координатах Y вектор W1 (S, S ) лежит в гиперплоскости, касательной к гиперповерхно сти предельных режимов, то в соответствии с (1.32) вектор S располагает ся в гиперплоскости, касательной к этой гиперповерхности в координатах X. Собственный вектор S является касательным к гиперповерхности пре дельных режимов только в точках ветвления решений УУР, являющихся особыми точками. Таким образом, за исключением указанных точек выро H ждения матрицы на предельной гиперповерхности не происходит.

Z H Возможность вырождения матрицы в некоторых особых точ Z ках гиперповерхности LW ограничивает область применения УПР, запи санных в виде (1.25), (1.27). Поэтому более рациональным является способ записи, использующий для доопределения векторов S и R задание их дли ны. Сформулированные утверждения распространяются и на формы запи T T W F си УПР, использующие транспонированные матрицы или.

X X H Проиллюстрируем невырожденность матрицы Якоби уравнений Z предельных режимов на примере двухузловой схемы электрической системы (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Двухузловая схема ЭЭС Уравнения установившегося режима при задании в узле 1 активной мощности PG 0 и неизменного модуля напряжения U1 можно записать так:

()()2 f1 = w1 = U1' + U1' U12 = 0;

' f 2 = w2 = PG 0 bU1''U 2 = 0;

b=.

x Предел устойчивости определяется условием:

w1 w 2U ' ' 2U ' U '' U ' W 1 = 2U 1'bU 2 = = det = det 1 det w2 w X bU 2 U 1' U ' ' т.е. U ' = 0.

Уравнения предельных режимов при утяжелении за счет изменения активной мощности генератора запишутся так:

()() f1 = w1 = U1 + U1' U12 = 0;

'2 ' f 2 = w2 = PG 0+TPG bU1U 2 = 0;

'' v1=2U1 s1 + 2U1s2 = 0;

'' ' v2 = bU 2 s1 = 0. Положив s2 = 1, можно получить выражение для определителя матрицы Якоби УПР:

f1 f1 f U T U '' ' f2 f2 f H T U 1' U 1' ' = det = det v v1 v1 v Z T U 1 U 1' s '' v2 v2 v2 v U '' T U 1' s 2U 1'' 2U 1' bU 2 PG = = PG bU 2 (4U 1'' 4U 1' s1 ).

0 = det 2s1 '' 2 2U 0 bU 0 При U 1 = ' H = 4PG bU 2U1' 0.

' det Z Таким образом, в соответствии с приведенным доказательством H определитель матрицы Якоби отличен от нуля. Экспериментальное Z подтверждение невырожденности УПР для схем общего вида приведнено ниже.

Таким образом, задача определения параметров предельного режима может быть сведена на основе УПР к задаче с неособенной матрицей. Это позволяет избежать затруднений, связанных с решением плохо обусловленных СЛУ, с которыми приходится сталкиваться при определении предельных режимов методами дискретного и непрерывного утяжеления.

1.3. Решение уравнений предельных режимов Ниже рассмотрены особенности решения УПР, записанных в формах, приведенных в предыдущем параграфе, методом Ньютона.

Форма 1. При использовании формы записи (1.25) линеаризованная система уравнений, решаемая на каждой итерации имеет вид:

F F X F X T ' S = (1.33) V V V T V X S' T или H Z = H, Z F V F V где – матрицы размерностью nn;

, F, V – n-мерные,, T T X X V H – матрица размерностью n (n 1) ;

векторы;

– матрица Z S' размерностью 2n 2n.

Расчетные формулы, применяемые для определения элементов F матрицы, приведены в [157]. Путем непосредственного дифферен X цирования легко убедиться в том, что V W = S X' W W где представляет собой матрицу без последнего столбца.

X X ' F При совпадении пределов мощности и устойчивости матрицы и X V W тождественны и элементы определяются по формулам, X S ' приведенным в [157].

При различии в способах моделирования генераторов и нагрузок для F W расчетов режимов и для определения устойчивости матрицы и не X X совпадают по следующим причинам. В режимных расчетах мощность нагрузки в диапазоне действия устройств регулирования напряжения под PH QH нагрузкой (РПН) принимается постоянной и производные и в U U F матрице равны нулю. При соблюдении ограничений по реактивной X мощности генераторов, напряжение на их шинах в расчетах режимов F принимается низменным. Поэтому элементы, отвечающие X генераторным узлам, вычисляются по формулам, приведенным в работе [157].

При определении же устойчивости мощность нагрузки принимается PH изменяющейся по статической характеристике и производные и U QH не равны нулю, а определяются по выражениям (10) работы [157].

U Генераторы в расчетах устойчивости моделируются неизменными э.д.с.

EG за реактансами xG, величина которых зависит от характеристик системы регулирования возбуждения. Кроме того, используются более сложные модели генераторов, учитывающие полную формулировку АРВ QG [124]. При этом отлична от нуля. Для определения этой производной U запишем уравнения генераторной ветви:

U 2 EGU QG = + cos ;

xG xG EU PG = G sin ;

xG PG = PT = const, где – угол между векторами EG и U;

РТ – механическая мощность тур бины.

QG Выражения для можно получить, составив полные дифферен U циалы для PG и QG:

2U 2 dU dQG = + N U PG d ;

(1.34) x G dU dPG = PG + Nd = 0, (1.35) U где U EU N= cos = + QG.

xG xG Определив из (1.35) P dU d = G NU и подставив в (1.34), можно записать 2U 2 P 2 dU dQG = +N+ G x NU G Отсюда dQG 2U N PG = ++.

dU xG U NU V Элементы матрицы представляют собой частные производные X от функций невязок уравнений (1.7). Определение элементов этой матрицы можно выполнить по выражениям, приведенным в работе [157]. Для уни фикации алгоритмов формирования УПР предлагается использовать сле дующий прием.

Возможно применение и более сложных моделей, учитывающих регулятор возбужде ния в явном виде [124].

V Обозначив через D S (S,X ) произведение матрицы на вектор X X, можно записать V W D S (S,X ) = X = S X (1.36) X X X где D S (S,X ) = [d S1d S 2...d Si...d Sn ] ;

T d Si = (S, i X ).

При этом i есть матрица Гессе от составляющей wi вектор функции W:

2 wi 2 wi...

x1 x1 x1 xn i =......

...

wi 2 wi...

x x xn xn n1 Если функции wi, i=1...n, представимы полиномами не выше второй степени, что имеет место при задании нагрузок квадратичными статиче скими характеристиками и генераторов постоянными мощностями, то век тор D S (S,X) может быть записан в виде [124] W * D S (S, X) = (S)X (1.37) X W W * (S) – матрица где, в которой xi заменены на si, а члены при нуле X X вой степени – на нули.

Так как равенства (1.36) и (1.37) справедливы при любых X, то V W * (S) = (1.38) X X В более общем случае вектор-функция W непредставима в виде по линомов второго порядка. Тем не менее, можно воспользоваться преобра зованием (1.38), записав W следующим образом:

W = W (1) + W ( 2 ), где элементы W ( 2 ) представимы полиномами не выше второго порядка.

Соответственно:

V V V ( 1) (2) = +.

X X X V (2) Для вычисления можно использовать (1.38), а в матрицу X V (1) W (1) S = X X X войдут только вторые производные от мощностей генераторов и нагрузок по составляющим напряжений узлов, к которым они относятся. Эти произ водные вычисляются по выражениям, приведенным в работе [157].

Таким образом, все матрицы, входящие в (1.16), могут быть получе ны по алгоритму формирования матрицы Якоби УУР, что облегчает про граммную реализацию рассматриваемой методики определения предель ных режимов.

V W V W* (S ) следует, что все = = Кроме того из равенств и S X' X X матрицы, входящие в УПР, являются слабозаполненными и при решении этих уравнений могут использоваться эффективные алгоритмы исключе ния действий с нулевыми элементами [40].

При использовании транспонированной матрицы для записи УПР произведение W T V D R (R,X ) = R X X = X X X становится не представимым в виде (1.21), что, однако, не ограничивает применение транспонированной формы записи.

При формировании и решении уравнений (1.25) необходимо учитывать следующие обстоятельства.

1. Уравнения V[X,Y(T ),S] = 0 линейны относительно неизвестных si, i=1...n–1, поэтому эти неизвестные могут быть исключены из числа переменных, участвующих в итерациях. Действительно, вторую группу уравнений (1.25) можно представить в виде:

w1 w1 w1 w s1 + s 2 +.... + s n1 = 1 s n ;

x1 x2 xn 1 xn w2 w2 w2 w2 s1 + s 2 +... + s n1 = sn ;

x1 x2 xn 1 xn (1.39)..................................................................

wn wn1 wn1 wn s1 + s 2 +... + s n1 = s n ;

x1 x2 xn 1 xn wn wn wn wn s1 + s 2 +... + s n 1 = sn, x1 x2 xn 1 xn или в матричной форме W1 ' W S = ;

xn X', (1.40) W2 ' W S =, xn X' где W1 – первые n–1 уравнений системы (1.39);

W2 – n-е уравнение (1.39).

Для очередных приближений параметров X значения si, i = 1...n– могут быть найдены из первого матричного уравнения системы (1.40):

W1 W S = X' x.

' (1.41) n 2. При совпадении пределов мощности и устойчивости матрица F X в точке решения является особенной, поэтому непосредственное исключение неизвестных X из уравнений (1.25) и приведение их к виду 1 V ' V V F F VF S + T = V + F X X T X X T S' невозможно.

Исходя из сказанного предлагается следующий порядок решения.

Система уравнений (1.9) представляется в виде:

F1 (X,T ) = 0;

( ) V1 X,S',T = 0;

( ) V2 X,S',T = 0, F2 (X,T ) = 0, где в F1, V1 входят первые n–1 компоненты, а в F2, V2 – последние компо ненты вектор-функций F и V.

При этом линеаризованная система запишется так:

F1 F1 F1 X ' F 0 X' x T n V1 V1 V1 V1 x n V T xn S X ' ' = V V2 V2 V2 (1.42) S' 2' V xn S T X ' F 2 F 2 F 2 X' x T T F n F1 V1 V где – матрицы размерностью (n–1)(n–1);

,, X' X' S' F1 F1 V1 V1 V2 F2 V – k-мерные векторы;

k=n–1;

,,,,,, xn T xn T X' X' S' V2 V2 F2 F – скаляры.

,,, xn T x n T В результате исключения из системы (1.42) неизвестных S ' можно записать:

F1 F1 F1 X' F X' T xn AT xn = V2 - AV Ax An (1.43) F2 F2 F2 F X' T T xn где V V2 V2 V1 Ax = ;

S' X ' S' X' V2 V2 V1 V An = ;

S' xn xn S' (1.44) V2 V2 V1 V AT = ;

T S' T S' V2 V1 V1.

AV = S' S' V V Вычисление A x связано с умножением матриц 1' и, ко S X ' торого можно избежать, используя равенство:

T V 1 V T T 1 T V2 V1 V1 V1 = X' S' S'.

1 S' S' X ' V При этом вначале обращается матрица, затем вектор S ' V T умножается на обратную транспонированную матрицу, и полу ' S При практической реализации алгоритма обращение матриц не используется, а при меняется их треугольное разложение (см. ниже).

V T ченный вектор умножается на '. Вычисление An, AT, AV можно X проводить как в прямой, так и в транспонированной форме.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.