авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ...»

-- [ Страница 2 ] --

На каждой итерации метода Ньютона для очередных приближений X и T значения компонент вектора S ' могут быть найдены из решения урав нений V1 X, S ', T = 0.

При этом в системе (1.43) AV =0 и вычислительный процесс перево дится из пространства переменных X, S ', T размерностью 2n в пространст во – X, T, размерностью n+1. Тем самым снимаются некоторые затрудне ния, описанные ниже и связанные с выбором начальных приближений для S'.

После исключения X' система (1.43) приводится к двум уравнениям относительно неизвестных xn, T b1 b3 xn b b b T = b, (1.45) 2 4 где b1 = An (A x, R n );

F2 F2 b2 =, R ;

xn X ' n b3 = (A x, R T ) + AT ;

F2 F2.

b4 =, R ;

T X' T b5 = V2 + (A x, R p );

F2 b6 = F2 + X', R p Векторы R n, RT, R p определяются по выражениям:

F1 F Rn = X э x ;

n F1 F RT = X' T ;

(1.46) F1 Rp = X' F1.

По найденным из решения системы (1.45) значениям xn и T опре деляются поправки:

X ' = R p - R n xn - R T T, и происходит переход к следующей итерации.

W1 F1 W F и X' имеют, в отличие от X' и X ', Матрицы X' большое число ненулевых элементов, для хранения которых требуются значительные объемы памяти ЭВМ. Эти затраты могут существенно со кращены при использовании методов триангуляции [40, 87], позволяющих F1 W1 V = представлять исходные cлабозаполненные матрицы и в X' S X ' виде произведений нижних L1, L2 и верхних H1, H2 треугольных матриц, также имеющих большое число ненулевых элементов, т.е.

F1 W1 V = L 1H 1 ;

= = L 2H 2 (1.47) S X' X' При этом выражения, включающие обратные матрицы, преобразуют ся следующим образом.

На основании (1.40) определение собственного вектора сводится к решению системы уравнений W1 ' W S =, xn X' которая с учетом (1.47) принимает вид W L 2 H 2S ' =.

x n Обозначив H 2S ' = B S получим W L 2B S = xn Поскольку L 2 – нижняя, а H2 – верхняя треугольная матрицы, то B S определяется методом прямой подстановки, а S ' – методом обратной подстановки.

Вектор T T 1 T V1 V1 V T B A = X ' S' S', определение компонент которого требуется для нахождения A x в (1.44), может быть представлен так V T BA = T ' CA, X где вектор C A определяется из решения системы V1 V T T CA = 2, S' S ' которая на основании (1.47) может быть записана в виде V T TT H 2 L 2C A = ' S или T V = S ;

HT BS T B S = L 2C A.

Векторы R n, R T, R p, входящие в (1.46), определяются из решения следующих систем уравнений F F L1B n = 1 ;

L1BT = 1 ;

L1B p = F1;

xn T H1R n = B n ;

H1RT = BT ;

H1R p = B p.

Форма 2. При использовании УПР, записанных в форме (1.26) ли неаризованная система уравнений будет иметь вид:

F X F F X T V V V x S = V (1.48) X S T T U 0 U S F U = Y (при линейной траектории утяжеления);

= 2ST ;

где T S V W* (S ).

= X X В сокращенном виде система (1.48) может быть записана так:

H Z = H, Z F X где H = V, Z = S U T Решение системы (1.48) можно осуществить следующим образом.

Представим (1.48) в виде:

V V V X + S + T = V ;

X S T F F X + T = F ;

X T U S = U. S С помощью первой группы уравнений исключим из этой системы неизвестные X :

~ ~ ~ ASS + ATT = AV ;

U (1.49) S = U, S где 1 1 F V V ~ F F V V ~ F V ~ AS = ;

AT = ;

AV = F + V.

X X S T X X T X X После исключения S система (1.49) приводится к виду:

~ bT T = ~T.

c Откуда ~T () () ~ 1 ~ ~ 1 ~ c T = ~ ;

S = AS AV AS ATT ;

bT 1 1 V V V V V X = V S X S T.

X X S При практической реализации алгоритма, также как описано выше, применяется треугольное разложение матриц.

Форма 3. Линеаризованная система уравнений в этом случае имеет вид F F X F X T R =, (1.50) V V V X R T T V T V W1 W1 W = ;

где – матрица без последней строки. Элементы R X X X V матрицы, входящей в эту систему, определяется по выражениям X F n f i n f i n f i T T v = R = ri ri... ri.

X X X X i =1 x1 i =1 x1 i =1 x Выполнив дифференцирование, можно записать n 2 fi 2 fi 2 fi n n i x x ri i x x ri... i x x ri =1 =1 = 1 1 1 2 1 n fi fi fi 2 2 V n ri n ri... n ri = x x x 2 x 2 x 2 x n.

X i =1 2 1 i =1 i =..........

n fi fi fi 2 2 n n ri ri...

ri i =1 xn x1 i =1 x x i =1 x x n 2 n n Отсюда V n = i ri, X i = где i – матрица Гессе от функции wi.

Исключение неизвестных из системы (1.50) производится по алго ритму, описанному применительно к форме 1.

Форма 4. Линеаризованная система при использовании этой формы записи УПР имеет вид:

F F X F X T T V F V S = V X X T T U 0 0 U R V n U X = i ri. Решение этой системы может осуществлять = 2R ;

T где R i = ся по алгоритму, применяемому для решения уравнений в форме 2.

1.4. Применение УПР для решения задач управления энергосистемами 1.4.1. Определение пределов передаваемой мощности и устойчивости и ввод режимов в область существования Для экспериментального исследования вычислительных характери стик решения УПР проведены многочисленные расчеты предельных ре жимов применительно к различным схемам энергосистем. На рис.

1.18…1.20 в качестве иллюстрации представлены результаты расчетов предельных режимов на основе решения уравнений предельных режимов применительно к схеме рис. 1.17, включающей 12 узлов 15 ветвей. Из рас смотрения представленных зависимостей изменения норм F= f12 + f 22 +... + f n2 ;

V = v12 + v2 +... + vn ;

U = U 2 векторов невязок отдельных групп уравнений видно, что предельный ре жим рассчитывается за 4-5 итераций, рис. 1.18. Приведенная зависимость H = ( N), det Z где N – число итераций, показывает, что в точке решения УПР не вырож H даются. Хотя величина определителя полной матрицы УПР в процес Z се итераций уменьшается, указанная матрица остается хорошо обуслов ленной, и потому вблизи решения обеспечивается надежная сходимость, о чем свидетельствуют приведенные на рисунках зависимости изменения невязок на итерациях. Из рис. 1.20 видно, что на первых итерациях якоби F ан det изменяется несущественно, затем начинает уменьшаться и на X последнем шаге расчета меняет знак, что свидетельствует о наступлении предельного режима. Расчеты выполнялись на основе экспериментальных программ, реализующих основные алгоритмы решения уравнений пре дельных режимов, описанные в предыдущем параграфе.

Экспериментальные исследования вычислительных характеристик численных методов решения УПР проводились для решения следующих вопросов:

• оценка влияния способа задания координат УПР на сходимость вы числительных процессов решения УПР;

• разработка методики оптимального выбора начальных приближе ний для неизвестных;

• анализ точности решения УПР;

• оценка возможности расчета параметров предельного режима из точек Y0, лежащих за пределами области существования.

Ниже приведены основные результаты, полученные при решении сформулированных задач на основе серии вычислительных экспериментов.

884. Б.У.

J 3.42 + j 60 0 81 7+ 5. 8+J 78. 4 j5 4.0 6 2.6+ j2 9.6 2.78 + j32. 1 10.9 7-j33. 1.72 + j 1 7 0.55 + j 7. 20 59.8 + j1 0.55 + j4.9 3.5 3+ j 29.3 3.31 + j 2 13 442.9 +j 66 0. 7 2 + j 1.79+ j 18. 8 7.1+ j 42.5 3.31 + j 2 6. 3 2 27+ j11 1.9 4 83.6 + j9 4. 03 21 0 +j 11 Рис. 1.17. Схема из 12 узлов и 15 ветвей сети 330-750 кВ F T F, V = V T V, U = U векторов Рис. 1.18. Изменение норм F = невязок на итерациях решения УПР, записанных в форме F T F, V = V T V, U = U векторов Рис. 1.19. Изменение норм F = невязок на итерациях решения УПР, записанных в форме а) б) F H Рис. 1.20. Изменение det и det на итерациях решения УПР, X Z записанных в форме Изменение невязок и определителей на итерациях для УПР, записан ных в форме (1.25) и (1.26), имеет аналогичный характер.

Применение УПР позволяет существенно повысить эффективность расчетов предельных режимов по сравнению с методами дискретного утя желения. Об этом свидетельствуют результаты сопоставительных расче тов, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1. Результаты сопоставительных расчетов Дискретное утяжеление УПР Сокращение времени Чис- Время Время Число Общее Общее расчетов, № ло Число счета счета ветвей число число ите- t узлов kt = шагов t1,C t2, с итераций раций t 1 3 3 24 356 9.1 8 0.05 182. 2 12 16 30 402 16.8 15 3.68 4. 3 33 46 25 380 73.1 16 7.12 10. Уравнения установившегося режима, входящие в УПР, могут быть ( ) записаны в декартовых U i',U i'' или полярных (U i, i ) координатах.

Применение полярных координат приводит к некоторым дополни тельным затратам процессорного времени, связанным с многократными вычислениями тригонометрических функций в процессе итерационного расчета. Тем не менее, полярные координаты успешно используются в программах расчета установившихся режимов [82, 282, 315], так как их применение обеспечивает в ряде случаев более стабильную сходимость итерационных процессов, чем применение декартовых координат.

Многочисленные расчеты, проведенные применительно к УПР, запи санных как в полярных, так и в декартовых координатах, показали, что способ записи УУР практически не влияет на сходимость вычислительных процессов решения УПР (рис. 1.21).

Применение УПР, записанных в полярных координатах, будет, оче видно, эффективным при решении задач противоаварийного управления, в которых часто вводится допущение о неизменности модулей напряжений узлов сети во всех рассматриваемых режимах. Вследствии этого размер ность УПР, записанных в полярных координатах, уменьшается вдвое по сравнению с уравнениями, записанными в декартовых координатах.

В состав вектора неизвестных для УПР входят следующие группы переменных:

X X S или Z = R.

Z= T T Рис. 1.21. Влияние координат, применяемых для записи УУР, на сходимость вы числительных процессов решения УПР:

Для обеспечения надежной сходимости итерационного процесса ре шения УПР методом Ньютона начальные приближения Z 0 для Z должны быть достаточно близки к решению [92].

При решении задач оперативного управления в условиях полного ис пользования пропускной способности основных связей выбор начальных приближений, как правило, не вызывает затруднений. Действительно, в этом случае точка исходного режима X0 располагается «вблизи» предель ной гиперповерхности, а параметры X0, которые можно использовать в качестве начальных приближений для вектора X, периодически рассчиты ваются в рамках системы АСДУ по программам оценивания состояния ЭЭС [72, 75].

Несколько более сложным является выбор начальных приближений для вектора S (или R). Однако многочисленные расчеты применительно к различным схемам ЭЭС показали, что при выполнении условия близости точки X0 к предельной гиперповерхности LW начальные приближения для собственных векторов могут быть заданы весьма произвольно, например, все компоненты этих векторов могут быть принятыми равными единице.

Сказанное иллюстрируются рис. 1.22, на котором приведены графики из менения невязок на итерациях при расчете предельных режимов для схе мы, показанной на рис. 1.17.

Если исходная точка Y0 соответствует «легкому» режиму, достаточ но удаленному от гиперповерхности LW, то для обеспечения надежной сходимости вычислительных процессов решения УПР необходимо приме нение стартовых алгоритмов, обеспечивающих получение начальных при ближений «вблизи» предела устойчивости.

Рис. 1.22. Ход итерационного процесса при использовании единичных начальных приближений для векторов R и S В качестве эффективного стартового алгоритма можно использовать методику «выстреливания» на предельную поверхность [143], основанную на решении уравнений F V (X ) = S = 0;

(1.51) X или T F V (X ) = X R = 0;

(1.52) при заданном векторе S (или R).

При использовании для записи УУР декартовых координат узловых напряжений и задании нагрузок постоянными мощностями (что вполне допустимо для стартового алгоритма, не требующего большой точности моделирования) уравнения (1.51) и (1.52) линейны относительно неизвест ных X и их решение требует весьма малых вычислительных ресурсов.

Сказанное иллюстрируется на рис. 1.23, на котором показан ход вычисли тельного процесса определения предельного режима для схемы рис. 1. при использовании описанного стартового алгоритма.

Кроме того, на рис. 1.24 показано построение точек сечения предель ной гиперповерхности координатной плоскостью. При этом начальная точка вычислена с использованием описанного стартового алгоритма, а последующие точки Y (i +1) рассчитывались с использованием в качестве начальных приближений параметров X(i ), S (i ), T (i ) полученных при расчете предыдущей точки сечения. При достаточной близости точек i и i+1 расчет осуществляется за 3…6 итераций.

Рис. 1.23. Ход вычислительного процесса решения УПР при использовании стар тового алгоритма для УПР, записанных в форме Рис. 1.24. Построение фрагмента предельной гиперповерхности (в скобках дано количество итераций) Система УПР состоит из двух групп уравнений. В первую входят уравнения установившегося режима, точность решения которых может быть задана на основании известных соображений.

Вторую группу образуют уравнения vi (X,S,T ) = или vi (X,R,T ) = 0, i = 1...n, невязки которых определяют погрешность Y нахождения параметров YL = Y0 + TL Y.

Непосредственная физическая интерпретация этих уравнений за труднена и потому не удается связать max vi с Y, т. е. с точностью расчета параметра TL.

Указанного затруднения можно избежать, если в ходе итерационного процесса наряду с проверкой точности решения УПР контролировать из менение параметра T. В общем случае небольшие изменения этого пара метра еще не являются достаточным условием достижения YL. Так, на пример, известно, что применение методов простой итерации и Зейделя для определения режимов, близких к предельным по существованию, мо жет приводить к небольшим изменениям зависимых переменных на итера циях, хотя сбалансированный режим еще не достигнут [107].

Однако, как показывает опыт расчета режимов, при использовании метода Ньютона малые и быстро уменьшающиеся изменения зависимых переменных свидетельствуют о подходе к решению. Сказанное иллюстри руется на рис. 1.25, где показан характер изменения параметра T на итера циях при определении X L, YL с помощью УПР.

Рис. 1.25. Изменение параметра Т на итерациях Для дополнительного контроля достижения предельного режима можно вычислять на каждой итерации значение якобиана F W det J = det X X и следить за его изменением. Аппроксимация на каждой итерации зависи (K ) мости J = J(T) и сравнение точек T* ее перехода через нуль с текущим значением T ( K ) даст полную уверенность в том, что предельный режим найден с заданной точностью. Характер изменения J и T в процессе реше ния УПР показан на рис. 1.26.

F Рис. 1.26 Изменение det и T в процессе итераций для трехузловой модели X ЭЭС F Определение det на итерациях не связано с дополнительными X вычислительными затратами и легко осуществляются в процессе исключе ния неизвестных из системы (1.42), (1.48), (1.50).

В процессе решения задач выбора управляющих воздействий проти воаварийной автоматики и при оптимизации режимов ЭЭС возникает за дача ввода режима в область существования. В этом случае точка Y0 не принадлежит области, ограниченной LW и необходимо найти ближайший существующий режим в заданном направлении Y. Ясно, что такой ре жим будет соответствовать LW. Методика, основанная на применении УПР, позволяет решить сформулированную задачу. Сказанное иллюстри руется рис. 1.27, где показан ход итерационного процесса решения УПР при начальных приближениях, не соответствующих сбалансированному режиму.

Наряду с повышением эффективности расчетов применение УПР по зволяет получать решение в случаях, когда существующие методы не при менимы. Например, если автоматические регуляторы поддерживают неиз менным напряжение на шинах при малых возмущениях, а в процессе утя желения реактивная мощность генератора достигает технического ограни чения и в дальнейшем не меняется, то с увеличением PG предельный по передаваемой мощности режим наступает раньше, чем предельный по ус тойчивости [273]. При этом точка X L лежит в области «вторых» решений УУР и ее определение требует применения специальных приемов. На практике в этих случаях производят замену вектора утяжеляемых парамет ров, переходя, как правило, от утяжеления по мощности к утяжелению по углу [63]. Сказанное иллюстрируется рис.1.28, где сплошная линия соот ветствует «основным», а пунктирная – «вторым» решениям УУР.

Рис. 1.27. Ввод режима в область существования Рассмотрим этот случай более подробно применительно к схеме, изображенной на рис. 1.16 (с учетом активных сопротивлений). Уравнения режима рассматриваемой ЭЭС при задании в узле 1 мощностей PG 0 и QG имеют вид:

( ) f1 = QG 0 b U 12 U 1U 2 + gU 1'U 2 = 0;

' ' ( ) (1.53) f 2 = PG 0 g U 12 U 1U 2 bU1'U 2 = 0.

' ' На основании этих уравнений построены характеристики PG ( ) и U 1' ' PG (U 1 ), = arcsin U, полученные при условии QG = QG 0 = const (рис.

1.29 и 1.30). Они понадобятся в дальнейшем для анализа результатов рас чета предельного режима.

Точки, обозначенные как (L ) на этих характеристиках, отвечают предельному по передаваемой мощности режиму, в котором f1 f U '' U ' F = det 1 = 0, det f2 f X U 1' U ' ' W Рис. 1.28. Изменение det в процессе утяжеления режима X где f1 f = 2bU1 + bU 2 ;

= 2bU1' + gU 2 ;

' ' U1 U ' '' (1.54) f2 f = 2 gU1 + gU 2 ;

2' = 2 gU1' bU 2.

' ' U1 U ' ' Точки предельных режимов, отвечающие различным значениям QG, определяют на плоскостях PG, и PG, U1 линии, приведенные на рис. 1. и 1.30.

в процессе Рис. 1.29. Изменение P и Рис. 1.30. Изменение P и U G G итераций в процессе итераций Уравнения режима, записанные с учетом характеристик рассматри ваемой ЭЭС при малых возмущениях, имеют вид () () '2 ' w1 = U 1 + U 1' U 1З = 0;

( ) w2 = PG 0 g U 12 U 1U 2 bU1'U 2 = 0.

' ' С учетом выражений (1.53) и (1.54) можно прийти к следующей сис теме уравнений предельных режимов:

( ) f1 = QG 0 + TQG b U 12 U 1U 2 + gU 1'U 2 = 0;

' ' g (U ) bU U f 2 = PG 0 + TPG U 1U 2 = 0;

2 ' '' 1 1 v1 = 2U 1' s1 + 2U 1 s 2 = 0;

' ' ( )( ) v2 = 2 gU 1 bU 2 s1 + gU 2 2 gU1 s 2 = 0, ' ' где s 2 =1.

На рис. 1.31 и 1.32 показан ход вычислительного процесса решения этих уравнений. Полученные на первых трех итерациях значения PG,, U 1 практически соответствуют характеристикам мощности PG ( ) и F PG (U 1 ). Пройдя на четвертой итерации через границу det =0, расчетные X точки PG, и PG, U1 приближаются к поверхности предельных по устой чивости режимов и затем располагаются вблизи этой поверхности.

В процессе итераций происходит переход через поверхность, отве чающую точкам вырожденности матрицы Якоби УУР, и через границу ус W тойчивости, соответствующую нулевому значению det (рис. 1.31).

X Возможность такого перехода обеспечивается невырожденностью матри H в точках (L ) характеристик PG ( ) и PG (U 1 ) (рис..28). Этим же цы Z объясняется достаточно быстрое изменение небалансов на итерациях (рис.

1.32).

F W H Рис. 1.31. Изменение det в процессе итераций, det, det X X Z Рис. 1.32. Изменение нормы вектора H = F T F + V T V на итерациях При расчетах предельных режимов необходимо учитывать ограни чения-неравенства, устанавливающие технически допустимые пределы изменения режимных параметров. Покажем, как осуществляется такой учет при решении УПР на примере наиболее часто встречающегося на практике вида ограничений QGi QGi QGi, min max (1.55) min max где QGi, QGi – технически допустимые пределы изменения генерируемой реактивной мощности в узлах P U типа, определяемые параметрами и системами возбуждения подключенных к этим узлам генераторов.

Результаты экспериментальных исследований показали, что при ис пользовании УПР наиболее эффективным является пост-итерационный способ учета ограничений. Учет же ограничений непосредственно в про цессе итераций мало приемлем в виду того, что требует искусственного ограничения шага, что существенно увеличивает время расчета. Кроме то го, эксперименты показали, что при поитерационном способе учета огра ничений возможно нарушение сходимости вычислительного процесса.

При пост-итерационном учете ограничений решение УПР выполня ~ ется в два этапа. На первом – определяются параметры X L предельного режима без учета ограничений, рассчитываются мощности QGi и проверя ются условия (1.55). Нарушенные ограничения фиксируются на верхних или нижних пределах. При этом в соответствующих узлах уравнение (U ) + (U ) '2 '' U kZ = k k заменяется уравнением баланса реактивной мощности QGk QHk U k2 Bk U k Ak + U k Ak = 0, max где n n g kj ;

Bk = bkj ;

Gk = j =0 j = jK jK Ak = (g kjU j + bkjU j ) ;

Ak = (g kjU j bkjU j ), n n j =1 j = g kj, b kj – активная и реактивная проводимости ветви, соединяющей k-й и j-й узлы;

QHk – реактивная мощность нагрузки;

U kZ – заданный модуль напряжения.

Осуществляется повторный расчет предельного режима, при этом в ~ качестве начальных приближений можно использовать параметры X L, найденные на первом этапе. Расчеты, выполненные для схем ЭЭС, приве денных в данном параграфе, показали применимость описанной методики max min При достижении нижнего предела вместо QGi подставляется QGi.

учета ограничений-неравенств при расчетах предельных режимов на осно ве УПР.

1.4.2. Аппроксимация границ области устойчивости Полученные выше уравнения предельных режимов могут использо ваться для решения других задач, возникающих при управлении энерго системами, в частности, для построения и аппроксимации границ области устойчивости. Области статической устойчивости, построенные в про странстве регулируемых параметров режима, используются при проекти ровании ЭЭС, а также для настройки некоторых типов устройств автома тической дозировки управляющих воздействий ПАА [18, 37, 44…55, 103, 104, 143, 276]. Построение указанных областей на основе широко приме няемых методов определения пределов устойчивости требует значитель ных затрат времени ЭВМ из-за необходимости расчета серии последова тельно утяжеляемых режимов для поиска точки, принадлежащей границе LW этой области. Получение аналитических выражений для LW методами [44, 49] также достаточно трудоемко. В работе [276] предлагается заменить поиск LW для сложной ЭЭС определением границы области экстремаль ных передаваемых мощностей ее упрощенной модели. Однако при полу чении упрощенных моделей ЭЭС возможна потеря значительной инфор мации о реальных характеристиках ее схемы и режима.

Более общий подход к решению рассматриваемой задачи, исполь зующий достаточно точные модели ЭЭС, может быть реализован на осно ве УПР. Границы LW являются гиперповерхностями в многомерном про странстве Y и лишены наглядности. Поэтому их, как правило, определяют с помощью сечений координатными плоскостями Y (обычно в координа тах активных мощностей Pi, Pj ). Рассмотрим применение УПР для по строения границы сечения LW в плоскости параметров ( yi, y j ). Зададимся направлением утяжеления [ ] Y = 00...0yi 0...0y j 0... T и путем решения УПР найдем точку ( yi1, y j1 ) границы сечения LW в плос кости параметров ( yi, y j ). Изменяя направление утяжеления на yi( 1 ), y (j1 ), определим следующую точку предельного режима ( yi 2, y j 2 ).

При этом в качестве начальных приближений для расчета каждой новой точки могут использоваться значения параметров предельного режима, полученные на предыдущем этапе. Это возможно благодаря невырожден H ности матрицы в точках LW. Так, например, путем решения УПР бы Z ли найдены точки границы LW для схемы, приведенной на рис. 1.9. Ре зультаты расчетов приведены на рис. 1.30.

Кроме того можно использовать методику построения границы LW, основанную на непосредственном использовании соотношений [143]:

W V (X,S ) = S=0 (1.56) X или T W V (X, R ) = X R=0 (1.57) для определения точек X L, принадлежащих поверхности LW. Рассмотрим, в качестве примера последнюю систему. Задавшись вектором R = R1 из решения уравнений V (X, R1 ) = можно найти соответствующие значения X L1. Поворот R1 в положение R обеспечивает определение следующей точки X L 2 (рис.1.31). Таким обра зом можно «обойти» всю предельную поверхность. Аналогично можно ис пользовать и систему уравнений (1.56). Рассмотренный метод наиболее эффективен при использовании декартовых координат U i',U i'' узловых на пряжений и задании нагрузок постоянными мощностями. В этом случае [ ] W 'T содержит переменные X = U 1,U 1'...U i',U i''...U n,U n' в степени ' ' ' матрица X не выше первой и, следовательно, при заданных значениях собственных векторов S и R уравнения (1.38) или (1.39) могут быть легко переформиро ваны к линейным относительно X:

A1 (S )X = B1 (S ) ;

A 2 (R )X = B 2 (R ).

С помощью УПР можно также получить приближенное описание LW. Для этого воспользуемся методикой аппроксимации границ областей устойчивости [41], основанной на замене LW выпуклым многоугольником.

Покажем вначале, что вектор R совпадает с направлением нормали к пре дельной гиперповерхности, рис. 1.33. Для этого можно воспользоваться результатами, полученными в работах [44...55]. В этих работах показано, что линейная форма L(X ) = W T (X ) достигает экстремальных значений ( max L или min L ) в точках гиперпо верхности LW (LF ). При этом уравнения W T (X ) = min L или W T (X ) = max L определяют гиперплоскости, касательные к LW (LF ), и, следовательно, век тор является нормалью к этой гиперплоскости.

Предполагается, что уравнения W(X,Y)=0 представимы в виде Y=W(X).

Рис. 1.33. Определение точек предельной гиперповерхности на основе соотношения (1.39) Экстремум L( X) достигается при условии L (X ) W T = X = 0.

X Сравнивая это выражение с уравнением (1.57), можно сделать вывод о том, что вектор R совпадает с направлением нормали к предельной гиперповерхности.

Можно показать, также, что гиперплоскость, касательная к поверх ности LW (LF ) в точке XL, натянута на вектор-столбцы W W W W,,...,...

x1 x2 xi xn W матрицы. Уравнения (1.39) можно представить в виде:

X W,R = 0;

x 1 W x,R = 0;

... W, R = 0.

x n Отсюда следует, что вектор R ортогонален к каждому вектор W W столбцу, i=1...n, и потому лежат в касательной гиперплоскости.

xi xi Зная направление нормали в точке yi( k ), y(j k ), можно найти уравнение прямой, касательной к LW :

( ) ( ) ri( k ) yi yi( k ) + rj( k ) yj y(j k ) = 0.

Составим аналогичные уравнения для ряда точек LW и получим ее кусочно-линейную аппроксимацию. Координаты вершин многоугольника определяются из совместного решения уравнений для смежных точек LW.

Например, для вершины “m” аппроксимирующего многогранника (рис.

1.34) координаты yi, y j определяются из системы уравнений:

( ) ( ) ri( 1 ) yi yi( 1 ) + r j( 1 ) yj y (j1 ) = 0;

( ) ( ) (1.58) ri( 2 ) yi yi( 2 ) + r j( 2 ) yj y (j 2 ) = 0, Рис. 1.34. Кусочно-линейная аппроксимация границ области устойчивости Откуда j yi = i ;

yj =, 0 0 = ri(1) r j( 2 ) ri( 2 ) r j(1) ;

i = 1r j( 2 ) 2 r j(1) ;

j = 1ri ( 2 ) + 2 ri(1) ;

где 1 = ri (1) yi(1) + r j(1) y (j1) ;

2 = ri ( 2) yi( 2 ) + rj( 2) y (j2 ).

W При использовании для записи УПР матрицы компоненты век X тора R определяются непосредственно в результате решения этих уравне ний. Если же применять не транспонированную матрицу, то они могут быть найдены после окончания процесса итераций следующим образом.

Представим (1.57) в виде:

W1 W T X' x R = 0.

n (1.59) W2 W X' xn W1 W W где – матрица без последнего столбца и строки;

– послед xn X X ' W ний столбец матрицы.

X Полагая rn = 1, из первых n–1 уравнения системы (1.59) получим W T T W2 R' R = ;

R=.

X' ' X' Рис. 1.35. Пример аппроксимация области устойчивости Рассмотренная методика аппроксимации реализована в виде экспе риментальной программы для персональной ЭВМ, которая позволяет строить границу области устойчивости и аппроксимирующий многоуголь ник. В качестве иллюстрации на рис. 1.35 показана область устойчивости и аппроксимирующий многоугольник для схемы, приведенной на рис. 1.17.

Методы аппроксимации границ LW сложных ЭЭС, использующие кривыe второго порядка (квадрики) [18], являются более точными. Пока жем, что использование УПР позволяет достаточно быстро определять ко эффициенты этих квадрик и строить аппроксимирующую поверхность для LW.

В настоящем параграфе предлагается методика аппроксимации сече ний гиперповерхности LW с помощью квадрик, описываемых уравнениями (Y ) = a11 yi2 + a 22 y 2 + 2a12 yi y j + c = 0 (1.60) j Запишем уравнение касательной к сечению, проходящей через точку ( ) M 0 yi0, y 0 (рис. 1.36):

j (Y ) (yi yi0 ) + (Y ) (y j y 0j ) = 0, K (Y ) = (1.61) yi Y =Y0 y j Y=Y где (Y ) = 2a11 yi0 + 2a12 y 0 ;

yi Y =Y j (1.62) (Y ) = 2a22 y 0 + 2a12 yi0 ;

y j Y =Y0 j Рис. 1.36. К аппроксимации сечения LW С учетом (1.62) уравнение (1.61) можно записать в виде (2a11 yi0 + 2a12 y 0j )(yi yi0 ) + (2a22 y 0j + 2a12 yi0 )(y j y 0j ) = или [ ] (a 11 y i + a12 y j ) y i + (a 22 y j + a12 y i ) y j a11 ( y i ) + 2 a12 y i y j + a 22 ( y j ) = 0.

2 0 0 0 0 0 00 Из уравнения (1.60) можно получить следующее:

[ ] c = a11 ( yi0 ) + 2a12 yi0 y 0 + a22 ( y 0 ).

2 j j Тогда ( ) ( ) a11 yi0 + a12 y 0 yi + a 22 y 0 + a12 yi0 y j + c = 0. (1.63) j j Так как вектор R совпадает с направлением нормали к гиперповерх ности предельных режимов, уравнение касательной K (Y ) = 0 может быть записано в виде:

( ) ( ) K (Y ) = ri0 yi yi0 + r j0 y j y 0 = j или ( ) K (Y ) = ri0 yi + r j0 y j ri0 yi0 + r j0 y 0 = 0. (1.64) j Сравнивая (1.60) и (1.64) можно записать следующее:

a11 yi0 + a12 y 0 = ri j a22 y 0 + a12 yi0 = r j j ( ) c = ri0 yi0 + r j0 y j Составив аналогичные уравнения для других точек LW можно полу чить расширенную систему уравнений относительно неизвестных коэффи циентов a11, a22, a12, c, которую можно записать в виде G A = B, где yi0 0 y 0 0 ri j r j 0 y 0 yi0 0 ( ) j ri yi + r j y j 0 0 0 G =............ ;

A = [a11 a 22 a12 c ] ;

B = T.

...

yn 0 yn 0 n ri i j r jn n n 0 y j yi ( ) r n y n + r n y n 0 0 0 ii j j Используя метод наименьших квадратов, можно получить [ ] A = GT G GT B На рис. 1.37 в качестве иллюстрации приведены результаты аппрок симации сечения гиперповерхности LW координатной плоскостью P P2 для схемы, показанной на рис. 1.17.

Рис. 1.37. Пример аппроксимации сечения LW Выводы 1. Предложена форма записи условия нарушения статической апе риодической устойчивости сложных ЭЭС, основанная на использовании собственных векторов матрицы Якоби уравнений установившегося режи ма, записанных с учетом характеристик элементов ЭЭС при малых возмущениях. Не представимое аналитически условие равенства нулю оп ределителя матрицы, отвечающей свободному члену характеристического полинома, сведено к аналитическим выражениям. На этой основе получе ны уравнения предельных режимов (УПР) и даны методы их решения.

2. Невырожденность матрицы Якоби УПР позволяет свести расчеты предельных режимов к задаче с неособенной матрицей и применить для ее решения известные итерационные методы.

3. На основе уравнений предельных режимов разработана методика определения пределов передаваемой мощности и устойчивости, не тре бующая расчета серии промежуточных режимов и применимая как в об щем случае, когда указанные пределы различны, так и в частном – при их совпадении.

4. Использование разработанной методики эффективно при проекти ровании и эксплуатации электрических систем и, в особенности, при ре шении задач оперативного управления, связанных с многочисленными расчетами предельных режимов.

5. На основе вычислительных экспериментов показано, что приме нение уравнений предельных режимов позволяет существенно повысить эффективность расчетов пределов устойчивости и передаваемой мощно сти. При этом не возникает трудностей, связанных с решением систем ли нейных уравнений с плохо обусловленными матрицами.

6. Уравнения предельных режимов могут эффективно применяться для построения и аппроксимации (кусочно-линейной и нелинейной) облас тей устойчивости и их сечений координатными плоскостями.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ СТАТИЧЕСКОЙ АПЕРИОДИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭНЕРГОСИСТЕМ 2.1. Особенности оценки запасов статической устойчивости при многокоординатных утяжелениях В соответствии с требованиями «Руководящих указаний по устойчи вости энергосистем» [277] запас статической устойчивости характеризует ся коэффициентами запаса по активной мощности, передаваемой по дан ному контролируемому сечению электрической сети P P0 P kP = L, (2.1) P где P0 – значение передаваемой активной мощности через сечение в анали зируемом сечении энергосистемы;

PL – переток через это же сечение в предельном по устойчивости режиме;

P – амплитуда нерегулярных ко лебаний перетока.

При отсутствии измеренных данных о величине P она может быть определена по выражению P P P = k n1 n 2, P +P n1 n где Pn1 и Pn2 – суммарные мощности нагрузки с каждой из сторон рассмат риваемого сечения. Коэффициент k принимается равным 1.5 при ручном регулировании мощности и 0.75 при автоматическом регулировании час тоты и перетоков мощности.

В [277] детально оговариваются группы расчетных (нормативных) коэффициентов, при которых должны определяться коэффициенты запаса для характерных режимов (нормальный, утяжеленный, послеаварийный) в зависимости от наличия или отсутствия противоаварийной автоматики.

При анализе такого нормирования запасов СУ необходимо оценить, на сколько правильно определяется допустимость режимов энергосистемы при ограничении перетоков в контролируемых сечениях на уровне норма тивных значений, а также выяснить, каким образом учитывать многообра зие схемно-режимных ситуаций и возможных траекторий утяжеления при расчете предельно допустимых перетоков.

Для объективной оценки необходимо введение иного определения понятия запаса СУ, которое было бы связано со строгим описанием пре дельной поверхности и использовало бы понятие кратчайшего расстояния от точки рассматриваемого режима до этой поверхности. Использование понятия «наиболее опасного» направления утяжеления в свою очередь уст раняет погрешности, вызываемые неоднозначностью выбора направления утяжеления при определении запаса. Введение вектора критического на правления утяжеления позволяет легко найти путь наиболее быстрого уда ления от предельной поверхности при недопустимых значениях коэффи циента запаса. Благодаря этому данный критерий носит конструктивный характер.

В работе [60] предложено именно такое обобщение понятия запаса на случай многокоординатных утяжелений. Для этой цели используется переход из исходного пространства регулируемых параметров yi в про странство коэффициентов запаса ki. При этом используется вектор K = [k1k2...ki...km ], T компонентами которого являются масштабированные значения коэффици ентов запаса по отдельным регулируемым параметрам режима Y Y0i = µ i (YLi Y0 i ) ki = Li (2.1а) k iH Y0i где YLi, Y0 i – значения i-го регулируемого параметра в предельном и ис ходном режимах;

kiH – нормативный коэффициент.

Критическое направление утяжеления предлагается определять в хо де решение одной из задач минимизации:

min = min max ki (X L ) (2.2) XL i или min = min ki2 (X L ) (2.3) XL i j где X L – вектор зависимых переменных в точках предельной поверхности;

– величина запаса.

Использование нормы K m = max k i не в полной мере характеризует близость режима к границе устойчивости [61], так как при этом не учитываются изменения других переменных y j, входящих в вектор утяжеления.

В отличие от m-нормы критерий запаса, определенный через геомет рическую норму (2.3), соответствует кратчайшему расстоянию от точки анализируемого режима до предельной поверхности в координатах коэф фициентов запаса K. Это с очевидностью следует из самой постановки за дачи минимизации (2.3).

Однако определение запаса статической устойчивости в виде гео метрической нормы (2.3) также имеет ряд недостатков и противоречий, ко торые следует учитывать как при создании алгоритмов определения пре дельных режимов, так и в практических расчетах. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Представим задачу минимизации в виде min (X L ) = min K T (X L )K (X L ) (2.4) XL XL где K (X L ) – вектор коэффициентов ki. Условия достижения экстремума (максимума или минимума) будут следующими T K = K( X ) = 0 (2.5) X X Можно доказать, что условия (2.5) соответствуют всем нормалям, которые можно провести из точки анализируемого режима к предельной поверхности. Количество таких нормалей определяется топологическими особенностями границы области устойчивости (существования режимов) и положением точки анализируемого режима в этой области. Как известно, области существования режимов имеют весьма сложную многослойную структуру [49]. В результате количество нормалей, определяющих наибо лее близкие и далекие точки до границы области относительно точки ис следуемого режима, может быть очень значительным.

Для примера рассмотрим трехузловую позиционную модель энерго системы (рис. 2.1) с параметрами r12=r13=r23=20 Ом, х12=х13=х23=40 Ом, U1=110 кВ, U2=115 кВ, U3=110 кВ. Для удобства получения и анализа ре зультатов расчеты проводятся в относительных единицах. За базисные ве личины приняты: Uб=110 кВ и Pб=100 МВт, при этом Zб=121 Ом. U1=1 о.е., U2=1,045 о.е.

Рис. 2.1. Схема замещения исследуемой ЭЭС:

ШБМ – шины бесконечной мощности На рис. 2.2 построена область существования решений в координатах Y и проведены нормали, соответствующие текущему режиму. Естествен но, что из всего множества нормалей и соответствующих им точек пре дельной поверхности интерес представляет только одна – определяющая запас. Очевидно, что эта нормаль должна быть минимальной.

На рис. 2.2 точка пересечения минимальной из нормалей (опреде ляющей критический путь утяжеления) с предельной поверхностью обо значена как Yп*р. В работе [145] было показано, что для определения имен но критического пути утяжеления при решении системы нелинейных уравнений (2.5) принципиальное значение имеют начальные приближения переменных X, а также используемый численный метод. Там же изложены способы «отсечения» тривиальных решений системы (2.5), соответствую щих уравнению K(X) = 0.

F = Рис. 2.2. Возможные направления нормалей к поверхности det X С учетом данного определения вектора K условия экстремальности (2.5) приводятся к виду T F X M (Y0 )[Y(X ) Y0 ] = (2.6) где M (Y0 ) = diagµ ( yi 0 ) – диагональная матрица коэффициентов преобра i зования. Коэффициенты µ i зависят от положения точки Y0 :

µ i ( yi 0 ) = (2.7) k iH yi Эта зависимость приводит к существенным искажениям критическо го пути утяжеления как в координатах независимых переменных, так и ко эффициентов K [208]. Кроме того, функция запаса (2.3) нелинейно зави сит от Y0 и имеет разрывы в точках y j 0 = 0.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы.

1. Величина запаса, определяемая как расстояние по критической траектории в виде (2.3), является нелинейной разрывной функцией, что противоречит идее введения запаса как метрики евклидова пространства.

2. Причиной этого нежелательного свойства является нелинейность коэффициентов преобразования µ i ( yi 0 ). Эта нелинейность весьма затруд няет оценку запаса в общем случае, когда отдельные параметры y j 0 малы или равны нулю.

О технической приемлемости того или иного режима энергосистемы можно судить на основании взаимного расположения в пространстве регу лируемых параметров Y отвечающей ему точки Y0 и границы допустимой области. Поэтому к правильности определения границ этой области предъ являются весьма жесткие требования. Действительно, неоправданное «су жение» допустимой области ведет к избыточности управляющих воздейст вий, что снижает эффективность управления из-за излишнего уменьшения генерации, ограничения потребителей, отключения линий и т.д. Наоборот, при слишком оптимистичной аппроксимации границ возрастает опасность аварий с серьезными последствиями.

На практике, как правило, границы допустимой области определя ются через ограничения на перетоки в выделенных сечениях и линиях. Та кие ограничения на перетоки зависят как от условий термической стойко сти сетевого оборудования, так и от условий, связанных с обеспечением нормативных запасов устойчивости. Для энергосистем со слабыми связями характерна ситуация, когда ограничения «по устойчивости» уже ограниче ний «по нагреву». Таким образом, во многих контролируемых сечениях ограничения на перетоки являются аппроксимацией границ области допус тимых по устойчивости режимов. Указанная аппроксимация неточно от ражает истинные границы допустимой по условиям устойчивости области.

Причиной этого являются следующие обстоятельства.

1. Неэквивалентность условий нарушения апериодической устойчи вости и условий поддержания заданного «экстремального» перетока через сечение.

2. Зависимость полученной «экстремальной» величины перетока от выбранного направления и траектории поиска предельного по устойчиво сти режима.

3. Зависимость получаемого «экстремального» перетока от выбора исходного режима (начального для процедуры направленного утяжеле ния).

4. Невозможность охвата аппроксимацией всей области устойчиво сти путем ограничения перетоков в ограниченном количестве сечений.

5. Неконструктивность критериев ограничения перетоков в сечениях с точки зрения получения информации о направлении изменения парамет ров для ввода режима в допустимую область.

Неэквивалентность условий устойчивости и ограничений на перето ки в сечениях приводит к существенной погрешности при аппроксимации границы области допустимых режимов. Причина этого состоит в том, что поверхности, определяемые «экстремальными» перетоками в координатах регулируемых параметров, не располагаются вдоль границ области устой чивости. Одна их часть может находиться внутри области, а другая – за ее пределами. Соответственно, и те поверхности, которые находятся от «экс тремальных» на расстоянии, определяемом нормативным запасом устой чивости, могут пересекать истинную ДО. Таким образом, при аппроксима ции имеются как случаи необоснованного «сужения» границ ДО в некото рых направлениях, так и случаи их «расширения» за пределы допустимого.

Проиллюстрируем эти рассуждения на примере эквивалентной трех узловой модели ЭЭС (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Расчетная схема ЭЭС для исследования аппроксимации границы допустимой области По методике, предложенной в третьей главе, можно построить ОУ и допустимую область с 20 %-м запасом в координатах независимых пара метров (рис. 2.4). Пусть рассматривается некоторый допустимый режим (точка Y0), имеющий место в энергосистеме. Как это принято на практике при определении экстремальных перетоков, можно задать направление утяжеления Y и найти точку на предельной поверхности YL в этом на правлении. Экстремальные перетоки PSmax, PSmax, PSmax в сечениях S1, S2, S 1 2 могут быть найдены следующим образом:

PSmax = P L ;

PSmax = P2 L ;

PSmax = P1L + P2 L.

1 1 2 Рис. 2.4. Границы допустимой области ДО для трехмашинной ЭЭС и ее аппроксимация АДО Опираясь на эти значения можно выполнить аппроксимацию грани цы области устойчивости (рис. 2.4). Очевидно, что экстремальным значе ниям PSmax и PSmax будут соответствовать прямые, параллельные осям P1 и 1 P2. Что же касается значений PSmax, то ему отвечает прямая: P2 = PSmax P.

3 3 Отступив от прямых PSmax, PSmax и PSmax на 20 %, можно получить аппрок 1 2 симацию границы допустимой области. Нетрудно заметить, что граница «истинной» допустимой области и ее аппроксимация значительно отлича ются. Рассматриваемый пример носит иллюстративный характер. Чтобы экспериментально подтвердить приведенные рассуждения, рассмотрим расчетную схему более сложной ЭЭС, представленную на рис. 2.5. Узел представляет собой эквивалент, объединяющий группу из 4-х станций об щей мощностью 420 МВт. Основное потребление сосредоточено в узлах и 4, через сечение S1 передается мощность от узла 1 к узлам 3 и 4 линиями 220 кВ длиной 150 км (1-3) и 300 км (1-4). Параметры исходного режима данной ЭЭС приведены в табл. 2.1.

Рис. 2.5. Эквивалентная схема сложной ЭЭС Таблица 2. Исходные данные текущего режима эквивалентной схемы ЭЭС i Номер Ui P Hi Q Hi P Gi Q Gi узла кВ град МВт Мвар МВт Мвар 1 231 22.6 20.0 12.6 420 2 208 20.2 5.0 3.1 0 3 230 13.9 126 81.6 9 4 230 0.9 294.0 250.0 35 5 231 -4.5 42.0 24.4 220 6 231 -3.9 100 61.2 2 7 231 0 80 49.6 130 При аварийном отключении одной из цепей (например, 1-4) наруша ется устойчивая работа ЭЭС вследствие перегрузки остающихся связей, из-за чего происходит каскадное отключение линий 1-4, 3-4, 1-2 и аварий ное погашение районов энергопотребления. Поэтому правильная настрой ка противоаварийной автоматики в сечении S1 принципиально важна для надежной работы данной энергосистемы.

В связи с этим можно оценить правильность аппроксимации границы ДО путем ограничения перетока в сечении S1 при отключении одной из цепей ЛЭП 1-4.

С этой целью выполняется следующая последовательность действий.

1. Задается вектор изменения нагрузки в узлах 4 и P a P = H 4 = 4 1, PH a где a4, a3 – коэффициенты, определяющие относительные изменения соот ветствующих нагрузок в процессе изменение режима;

1 – параметр, оп ределяющий положение точки режима на пути утяжеления.

Значения коэффициентов a4, a3 принимаются равными соответствен но 0.7 и 0.3, что примерно отвечает соотношению нагрузок в узлах 4 и 3.

Задается изменение мощности эквивалентного генератора в узле 1:

P2 = a1 2, причем a1= 1, а параметр 2 играет ту же роль, что и 1.

Таким образом, при 1 = 2 можно получить модель реального утя желения в период максимальных нагрузок. Изменяя 2 и 1 при неизмен ных величинах a4, a3 и a1, можно получать режимы в некотором сечении.

2. В координатах 1 и 2 строится граница ДО с запасом 8 % при одной отключенной цепи линии 1-4 (рис. 2.6). Результаты сводятся в табл.

2.2 и 2.3.

Таблица 2. Предельные режимы для ЭЭС (рис. 2.10) № 1 PG1 PH 4 PH 3 PSmax расчета 1 100 126 54 872 891 2 100 98 42 1026 1147 3 100 70 30 1315 1336 4 100 56 24 1250 1270 5 100 28 12 1165 1186 636, Таблица 2. Допустимые режимы для ЭЭС ( k iH =0,8) № 1 PG1 PH 4 PH 3 max PD• расчета 1 100 126 54 807 625 2 100 98 42 980 1062 3 100 70 30 1218 1237 4 100 56 24 1134 1237 5 100 28 12 1078 1098 3. Рассчитывается предельный по устойчивости переток PSmax в сече нии S1 на основе задания характерных перетоков, определяемых условия ми:

a4 = 0.7;

a3 = 0.3;

a1=1, 1 = 2 =var.

Для получения искомого значения PSmax используется программа ПАУЭР, реализующая пошаговое утяжеление. При значениях параметров 1 = 2 =1324.5 МВт и величине PSmax = 1304.64 МВт находится допус D тимая величина перетока PS 1 из условия обеспечения нормативного запаса устойчивости ( k H = 0.8) PSmax = 1 = 1209.2 МВт.

PSD 1 + kH Результаты расчетов сводятся в табл. 2.4.

Таблица 2. max Допустимые режимы для ЭЭС при PD =const № 1 PG1 PH 4 PH 3 max PD• расчета 1 100 126 54 1218 1345 2 100 98 42 1218 1362 3 100 70 30 1218 1237 4 100 56 24 1218 1237 5 100 28 12 1218 1240 Рис. 2.6. Аппроксимация границ допустимой области при фиксированной величине перетока PS 1 = PS max 4. Строится АДО при фиксированной величине перетока PS 1 = PSD Для этого, задаваясь определенной величиной параметра 1 в ходе после довательных расчетов, подбирается такое значение 1, при котором пере ток равен PS 1. Затем берется новое значение 1 и т.д. (табл. 2.5).

Таблица 2. Экспертная оценка и реальное значение перетоков в сечениях P i i 1-2 1-3 1-4 2-5 3-4 4-6 5-6 6- PE МВт –25.5 –91.9 –307 –19 –12 –50 3.4 0. PT МВт –26.3 –59.0 –314 –19.6 –21.5 –54.1 3.9 49. Анализируя результаты аппроксимации, выполненной по тем же принципам, что используются в практических расчетах, можно сделать следующие выводы.

1. Погрешность аппроксимации существенна, при этом имеет место как неоправданное сужение, так и расширение границ ДО.

2. В некоторых точках получить аппроксимацию не удается, так как итерационный процесс расходится. Это связано с нарушением условий существования режима в этих точках.

Таким образом, подтверждается вывод о неэквивалентности условий нарушения апериодической устойчивости и выдерживания заданного «экс тремального» перетока в сечении. Существующая практика выбора на правления и траектории утяжеления режима связана, в основном, с экс пертными оценками специалистов. Опираясь на свой опыт и знание осо бенностей схемы и режимов конкретной энергосистемы, эксперты опреде ляют те характерные утяжеления, которые следует использовать для нахо ждения предельно допустимых перетоков в выбранных сечениях. Однако реальные изменения потокораспределения, приводящие к нарушению кри териев допустимости режимов, могут значительно отличаться от тех, кото рые определены экспертами. Из-за этого расчетные и реальные перетоки, предельно допустимые в сечениях, могут существенно отличаться.

Пояснить это можно на примере схемы ЭЭС, приведенной на рис.

2.3. На рис. 2.7 изображены построенные границы ОУ и допустимой об ласти, а также точка исходного режима. При изменении направления утя желения от экспертного Y1 и реальному Y2 происходит фактическое уменьшение предельно-допустимой величины перетока в сечении ( ) S1 Ps1, Ps2. Если при анализе допустимости режима опираться на «старые»

1 значения Ps1, то выводы о допустимости и недопустимости режима оказы ваются неверными.


Еще одной причиной отличия значений экстремального и допусти мого перетоков в сечениях от заранее запланированных величин является отклонение текущего режима от плана. Это можно показать также на при мере схемы, показанной на рис. 2.3. В координатах P1 и P2 построены об ласть устойчивости и допустимая область (рис. 2.8). Пусть при определе нии экстремального перетока в сечении S1 путем направленного утяжеле ния от точки планируемого режима P01 получено экстремальное значение перетока Ps1. Реальный режим энергосистемы P02 может отличаться от за планированного. По этой причине реальное значение экстремального пере тока Ps2 (при том же направлении утяжеления) будет отличаться от Ps1 на 1 величину Ps1. Вследствие этого использования ограничения Psn при от клонении режима от точки P01 может приводить к ошибкам при определе нии допустимости текущего режима.

Рис. 2.7. Изменение предельно Рис. 2.8. Зависимость экстремального допустимого перетока в сечении S1 при перетока от выбора исходного режима вариации направления утяжеления При проектировании и эксплуатации энергосистем допустимость режимов их работы определяют через ограничение перетоков в ряде выде ленных сечений. Каждому ограничению соответствует своя гиперповерх ность, аппроксимирующая границу области допустимых режимов в коор динатах независимых параметров. Однако, как правило, количество кон тролируемых сечений значительно меньше, чем общее число сечений, ко торое можно определить в энергосистеме. Вследствие этого возможны та кие траектории утяжеления, при которых достигается опасная близость к пределу без нарушения ограничений в контролируемых сечениях.

Информация о перегрузке неконтролируемых сечений сама по себе дает возможность оценить наиболее рациональные мероприятия по вводу режима в допустимую область, который может быть выполнен различны ми способами:

• за счет изменения мощностей генерации;

• коммутацией сети;

• подключением или отключением в узлах отдельных элементов;

• ограничением нагрузки.

Однако нет уверенности, что эти мероприятия являются наиболее эффективными. В связи с этим желательно разработать такие критерии до пустимости режима, которые давали бы конструктивную информацию о тех параметрах режима, изменяя которые можно осуществить ввод в до пустимую область наиболее рациональным образом.

К построению границ области устойчивости и области допустимых режимов предъявляются весьма жесткие требования.

1. Метрика пространства, в котором строится область, должна отра жать величину запаса, взятую либо непосредственно, либо через линейный множитель.

2. Каждый анализируемый режим должен отображаться своей точ кой пространства, причем расстояния от точки до границ области должны отражать реальные запасы устойчивости в соответствующих направлени ях.

3. Конфигурация границ области может изменяться только при из менениях коммутационного состояния и параметров сети, но должна оста ваться неизменной при изменении регулируемых параметров (узловых мощностей).

4. Граница ДО должна быть эквидистантной по отношению к грани це области устойчивости (существования режимов).

Оказывается, что перечисленные требования не могут быть удовле творены при введении вектора запаса. Показать это можно, рассмотрев особенности построения допустимой области в пространстве регулируе мых параметров Y [208]. Приближенно координаты точек границ ДО мож но найти из соотношения [ yi (X ) yiD ]2, n H = (2.8) ( ) k iH yiD i = где yiD – координаты точек границы ДО, H – нормативная величина за паса в координатах K.

Последнее выражение можно представить в виде 2 = 2 (i 1), n (2.9) H i =1 k iH y (X ) где i = i.

yiD Уравнения (2.9) описывают n-мерный эллипсоид с центром в точке с единичными координатами i = 1,i = 1...n. Этот эллипсоид можно назвать образующим, так как его поверхность определяется только коэффициента ми kiH, H и не зависит от Y(X).

Для определения yiD достаточно вычислить y (X ) yiD = i (2.10), i при i, удовлетворяющих (2.9). Причем преобразование (2.10) непрерывно отображает поверхность эллипсоида в некоторую эллипсоидоподобную поверхность с крайними точками y (X ) T = y1 (X ) y2 (X )... i... yn (X ) D ymin (2.11) 1 ± H kiH max Внутренняя огибающая семейства эллипсоидоподобных поверхно стей, взятых для различных точек предельной поверхности YL(X), образует границу ДО. Из (2.10) следует, что размеры таких фигур определяются как значениями kiH, так и координатами точек предельной поверхности. По этому расстояние между границами областей в координатах регулируемых параметров получается переменным. Для трехузловой схемы ЭЭС при H = 1 и k iH =0,2 уравнение образующей поверхности будет иметь вид (1 1)2 + (2 1)2 = 0.04. (2.12) Эта поверхность имеет центр в точке (1,1) и радиус r = 0,2. Для лю бой точки поверхности YL(X) можно определить по значениям 1 и точки эллипсоподобной фигуры:

y (X ) y (X ) y1D = 1, y2 D = 2. (2.13) 1 Преобразование предельной поверхности при переходе в простран ство K связано не только с ее смещением, но и сжатием-растяжением в µ раз по каждой i-й координате. Причем совокупность таких сжатий растяжений границы областей по различным пространственным координа там происходит при каждом изменении точки текущего режима Y0. Такая «нестабильная» деформация границы ДО создает существенные трудности при решении задачи оперативного управления энергосистемы.

Общей причиной перечисленных недостатков является нелинейная зависимость коэффициентов преобразования µi от параметров текущего режима. Поэтому при определении коэффициентов µi в знаменателе вме сто переменной величины yi 0 целесообразнее использовать постоянное значение параметра yi, например, его номинальное значение yiH.

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

1. Регламентируемое понятие запаса устойчивости [277], исполь зующее величины предельных перетоков в контролируемых сечениях, об ладает рядом принципиальных недостатков. Во-первых, поверхности, со ответствующие фиксации перетока в сечении на уровне допустимого зна чения, весьма грубо аппроксимируют границу допустимой области. Во вторых, сама величина предельно допустимого перетока сильно зависит от выбранного направления и траектории утяжеления режима. В-третьих, для охвата аппроксимацией всей допустимой области требуется определение предельных перетоков в очень большом количестве сечений. В-четвертых, критерий ограничения перетока в сечении не дает конструктивной инфор мации о наиболее эффективном управлении для разгрузки этого сечения.

2. Весьма перспективным является определение понятия запаса как наименьшего расстояния от точки анализируемого режима до предельной поверхности в координатах запаса K [61]. Однако из-за нелинейной зави симости µi от параметров текущего режима граница ДО является неэкви дистантной области устойчивости (существования). Поэтому при опреде лении µi целесообразно в его знаменателе использовать постоянное значе ние параметра yi.

3. Анализ запаса устойчивости текущего режима необходимо прово дить в самом процессе оперативного диспетчерского управления по крите рию его близости к предельной поверхности.

2.2. Оценка запасов статической устойчивости на основе модифицированных уравнений предельных режимов На основании анализа, проведенного в предыдущем параграфе, запас статической устойчивости можно определять как евклидову норму вектора K 1 2 ( ) m m 2 k = µ ( yiL yi 0 )2, µi = = K K =T.

i =1 i i kiH yiHOM i =1 характеризующую его длину.

В такой постановке запас статической устойчивости представляет собой расстояние (в метрике, задаваемой коэффициентами µi ) от точки Y до гиперповерхности LW (рис. 2.9). Каждому направлению утяжеления Yi будет соответствовать свое значение i и для достоверной оценки за паса устойчивости необходим поиск критического направления утяжеле ния Y* (T ) = Y0 + TY*, соответствующего наименьшей длине min вектора K.

На основе УПР, описанных в предыдущей главе, может быть реали * зована методика определения параметров YL, необходимых для достовер ной оценки запасов устойчивости [142, 148, 225].

Рис. 2.9. К определению запаса устойчивости Задача оценки запаса устойчивости в критическом направлении утя желения может быть сформулирована следующим образом:

определить ( ) min = min DY T M 2 DY 2 (2.14) при ограничениях F(X,Y0 + DY ) = 0, (2.15) где Y0 – значение вектора регулируемых параметров в режиме, для кото рого определяется запас;

DY = [dy1 dy 2... dy n ] – вектор приращений пере T Формально кроме условия (2.14) необходимо было бы ввести ограничение det F = 0.

X Однако, как будет показано ниже, это ограничение уже заложено в уравнения (2.14) и (2.15).

менных Y0, обеспечивающих «вывод» режима на гиперповерхность LF M = diagµi.

Для решения сформулированной задачи (в предположении, что пре делы устойчивости и передаваемой мощности совпадают) записывается функция Лагранжа ( ) L(X, Y0 + DY, ) = DY M DY + F T (X, Y0 + DY ) T 2 где – вектор неопределенных множителей.

Минимуму L соответствуют условия ( ) L T F 1 = M DY DY M DY 2 + = 0;

2 T DY DY T L F = = 0;

(2.16) X X L = F (X, Y0 + DY ) = 0.

Эта система имеет два решения.

1. Тривиальное, отвечающее исходному режиму с параметрами X0, Y0, когда = [0... 0 ], D Y = [0...0 ].

T T 2. Искомое, когда хотя бы одна из компонент векторов и DY не равны 0. В этом случае уравнение T F = X соответствует условию T F X = 0.

det Следовательно, такое решение отвечает гиперповерхности предель ных режимов LF. Первое уравнение системы обеспечивает в заданной матрицей М метрике кратчайшее расстояние от точки Y0 до гиперповерх ности LF. Второе уравнение системы обеспечивает «вывод» режима на ги перповерхность LF при ненулевом. Третье уравнение системы отвечает сбалансированности режима.


Геометрически решение системы (2.16) представляет собой точку касания гиперповерхности LF и эллипсоида с центром в точке Y0 (рис.

2.10), описываемого уравнением:

DY T M 2 DY 2 = 0 (2.17) min Уравнения (2.16) можно представить в виде L (DY M DY )2 = 0 ;

T F = M DY + 2 T DY DY T L F = =0;

(2.18) X X L = F(X, Y0 + DY ) = 0.

DY Рис. 2.10. Геометрическая интерпретация поиска критического направле ния утяжеления Так как вектор определяется с точностью до множителя, можно сделать замену переменных:

( ) R = min = DYT M 2 DY тогда L T = M 2 DY + F R = 0 ;

DY DY T L F = R = 0;

(2.19) X X L = F(X, Y0 + DY ) = DY Определив из первого уравнения T F R DY = M -2 (2.20) DY и, подставив в третье уравнение, можно получить систему, представляю щую собой модификацию УПР, предназначенную для поиска предельного режима в критическом направлении утяжеления:

T X, Y M -2 F R = 0.

F DY (2.21) T F R = 0;

X Если компоненты вектора DY входят в первую группу уравнений (2.21) линейно, то T F = E.

DY Это имеет место тогда, когда УУР, записанные в декартовой системе координат, представимы в виде:

( ) f 2i-1 (X, Y ) = Pi 0 + dP P U1U1...U 'pU '' = 0;

' '' p i ci ( ) (2.22) f 2i (X, Y ) = Qi 0 + dQi Qci U1U1...U pU p = ' '' ' '' где Pi0, Qi0 – инъекции мощностей в исходном режиме;

U i',U i'' – действи тельные и мнимые составляющие узловых напряжений;

dPi, dQi – компо ненты вектора DY ;

p – число узлов сети, кроме балансирующего. При не T F является блочно явной зависимости Y от X, матрица DY диагональной и ее элементы определяются по формулам, приведенным в приложении А.

Рассмотрим применение метода Ньютона для решения уравнений (2.21). При этом на каждой итерации решается следующая система линей ных уравнений (СЛУ):

F F X F X R =, (2.23) V V X R R V T T F F V F = M DY ;

R = X.

где R F Матрица в общем случае отличается от аналогичной матрицы в X F (2.21), так имеет место зависимость элементов матрицы DY от парамет ров X.

На основе описанной методики были разработаны алгоритмы и экс периментальная программа для ЭВМ. Многочисленные расчеты подтвер дили эффективность использования уравнений (2.21) для оценки запасов устойчивости и расчета допустимых режимов. На рис. 2.12...2.14 в качест ве иллюстрации приведены результаты расчетов предельных режимов в критическом (наиболее опасном направлении утяжеления) для схемы из узлов (рис. 2.11).

Рис. 2.11.Схема ЭЭС При решении уравнений (2.21) необходимо учитывать следующее обстоятельство. Наряду с нетривиальными решениями X = X*, отвечаю L щими точкам предельной гиперповерхности LF, уравнения имеют триви альное решение X = X0, R = 0. Поэтому требуется специальные приемы выбора начальных приближений, обеспечивающих сходимость к нетриви альному решению.

Рис. 2.12. Предельный режим в критическом направлении утяжеления для схемы из 16 узлов Рис. 2.13. Изменение невязок на итерациях при расчете критического режима для схемы из 16 узлов Рис. 2.14. Изменение невязок на итерациях при расчете критического режима для схемы из 16 узлов Систему (2.21) можно записать в виде одного векторного уравнения H(Z ) = 0 (2.24) Этому уравнению будут отвечать два решения:

1. Z 0 = {Xo, R = 0} { }.

2. Z* = X*, R L L Если УУР представимы в виде Y = F (X ), нагрузки представлены квадратичными статическими характеристиками, а генераторы – постоян ными мощностями, то уравнения (2.21) обладают квадратичной нелиней ностью и в соответствии с теоремой, приведенной в работе [108], точка Z в середине отрезка, соединяющего точки Z 0 и Z*, отвечает условию L H = 0.

det Z Точки Z1 образуют гиперповерхность LZ, которая делит пространст во X, Y на области G и D, конфигурация которых применительно к трехуз ловой эквивалентной модели ЭЭС (рис. 2.3) показана на рис. 2.15 и 2.16.

Выбор начальных приближений Z (0) в области G обеспечивают притяже ние к тривиальному решению, а в области D – к нетривиальному Z*.

L Следует отметить, что наряду с нетривиальными решениями Z*, от L вечающими глобальному экстремуму функции [( )], ) ( Т min = Y0 M Y * 2 * YL YL (2.25) возможен выход в точки (рис. 2.17) локальных экстремумов этой функции.

Рис. 2.15. Области G и D в пространстве Y Рис. 2.16. Области G и D в пространстве X Для обеспечения надежной сходимости к точке нетривиального ре шения Z*, отвечающей глобальному экстремуму YL, задание начальных * L ~ приближений Z ( 0 ) должно производиться в окрестности, хотя и достаточ * но широкой, гиперповерхности LF, отвечающей точке YL. При этом мо жет применяться следующая методика. Выбирается направление утяжеле ~ ния Y, находящееся в секторе области существования решений УУР, от ~ вечающем глобальному экстремуму YL (рис. 2.18). Выбор Y может осу * ~ ществляться на основе следующих соображений. В качестве Y может F быть принято направление градиента det = J, вычисленного в исход X ной точке Y0 по методике, предложенной в работе [60] и основанной на разностной аппроксимации частных производных J по вектору K. При этом J (K ) Y J Y y grad J = = = diag i, i = 1...m, (2.27) ;

k K KY K i K Y J J (1 ) J ( 0 ) = M 1 ;

= где ;

yj K y j J ( 0 ) = J ( y10, y20,..., y j 0,..., y m 0 ) ;

J ( 1 ) = J ( y10, y 20,..., y j + y j,..., y m 0 ).

Рис. 2.17. Экстремумы функции для схемы, приведенной на рис. 2. Величина y j задается так, чтобы разностная аппроксимация не приводила к превышению разумного предела представления чисел в раз J рядной сетке ЭВМ. Расчетные исследования по определению, прове Y денные в [60], показали, что наиболее целесообразной следует признать аппроксимацию (2.27) на интервалах y j = (0,005...0,01) y j, если параметр утяжеления – мощность генератора или нагрузки, и y j = (0,0025...0,005) y j, если y j – фиксированный модуль напряжения.

~ µi = µ j = Рис. 2.18. Выбор направления Y.

~ При найденном направлении утяжеления Y рассчитывается пре дельный режим и определяются параметры X(L0 ), которые используются в качестве начальных приближений для X при решении уравнений (2.21).

При вычисленных X (L0 ) компоненты вектора R 0 могут быть опреде лены из решения уравнений T F1 ' F R0 = 1 ;

X' xn (2.28) [ ], R 0 = R '0, F1 F F где – матрица без последнего столбца и строки;

– послед xn X X ' F ний столбец матрицы без последнего элемента.

X { } Использование параметров Z = X0, R 0 в качестве начальных при L ближений обеспечивает, как правило, надежную сходимость к нетривиаль ному решению, отвечающему экстремуму ‚min.

Эффективный способ определения начальных приближений для ре шения системы (2.21) может быть основан на использовании уравнений предельных режимов, записанных в форме (1.12). В результате решения этих уравнений даже с «грубой» точностью легко получить хорошие на чальные приближения для X и R, обеспечивающие надежную сходимость * * к точке XL, YL. Сказанное иллюстрируется результатами расчета (рис.

2.19, 2.20) предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, показанной на рис. 1.17.

Другим способом определения начальных приближений для решения уравнений (2.21) является метод «выстреливания», использующий способ получения точек предельной гиперповерхности, основанный на решении системы уравнений T F X RZ = 0, (2.29) где R Z – заданный вектор [143].

Для получения начальных приближений перед решением уравнений (2.29) следует примерно оценить критическое направление утяжеления, за дать коллинеарный ему вектор R и найти из (2.29) вектор зависимых пере менных Х. Сказанное иллюстрируется на рис. 2.21, где показаны точки предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, приведенный на рис. 1.17. Следует отметить, что решение системы (2.29) не требует значительных вычислительных затрат. Действительно, если УУР представимы в явном виде, то уравнения (2.29) линейны относитель но Х, и получить их решение не требует особых затрат.

Эффективный способ преодоления затруднений, связанных с нали чием тривиального решения уравнений (2.21), может быть реализован пу тем включения в эти уравнения условия, требующего, чтобы вектор R в точке решения не был нулевым [138].

Рис. 2.19. Изменение нормы F вектора невязок F при определении предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, показанной на рис. 1. а) б) Рис. 2.20. Изменение нормы V (а) и невязки U (б) при определении предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, показанной на рис. 1. Рис. 2.21. Расчет предельного режима в критическом направлении утяжеления при использовании начальных приближений, полученных методом «выстреливания»

Это можно сделать, если ввести фиктивную переменную, пред ставив систему (2.21) в виде:

T 2 F R (1 + ) = 0;

F X, Y0 M DY T F V (X, R ) = X R = 0;

(2.30) T F 2 F T U (R ) = R DY M DY R 1 = 0, где 1 0 – фиктивная величина запаса.

В этом случае СЛУ, решаемая на каждой итерации, будет иметь вид:

F F F X F X R R V V V 0 = (2.31) X R U U 0 R T F F = M DY R.

где В сокращенном виде последняя система может быть записана так:

H Z = H.

Z Величина запаса устойчивости определяется после окончания процесса итераций по формуле:

T F 2 F T (1 + ) = R DY M DY R.

Описанный метод иллюстрируется рис. 2.22…2.25, где показан ха F H рактер изменения невязок и определителей det и det на итерациях X Z при расчете предельного режима в критическом направлении утяжеления для схемы, приведенной на рис. 1.17.

Рис. 2.22. Изменение нормы F вектора невязок F на итерациях при использовании фиктивной переменной V Рис. 2.23а. Изменение нормы при использовании фиктивной переменной Рис. 2.23б. Изменение невязки U при использовании фиктивной переменной F Рис. 2.24. Изменение det на итерациях X H Рис. 2.25. Изменение det на итерациях Z 2.3. Определение запасов при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности В предыдущем параграфе была рассмотрена методика решения зада чи поиска критического направления утяжеления Y* в предположении, что предельные по устойчивости режимы совпадают с предельными по существованию (передаваемой мощности), т.е.

W F =.

X X Однако, как было показано выше, в общем случае пределы устойчи вости и передаваемой мощности не совпадают. Поэтому задача определе ния критического режима, соответствующего min, при отличии пределов устойчивости и передаваемой мощности представляется достаточно акту альной.

Математически эту задачу можно сформулировать следующим обра зом: определить ( ) min = min DYT M2 DY при ограничениях F(X,Y0 + DY ) = 0 ;

T W V (X, R ) = X R = 0, где DY – вектор приращения переменных Y, обеспечивающих вывод ре W = 0 ;

R – соб жима на гиперповерхность LW, отвечающей условию det X T W ственный вектор матрицы X, отвечающий нулевому собственному значению.

Для решения сформулированной задачи запишем функцию Лагран жа ( ) L(X, DY,R,1, 2 ) = DYT M 2 DY 2 + FT (X, Y0 + DY )1 + V T (X, R ) 2, где 1, 2 – векторы неопределенных множителей.

Минимуму функции L соответствуют условия T = M 2 DY (DY T M 2 DY ) 2 + L F 1 = 0;

DY DY T T L F V = 1 + X 2 = 0;

X X L = F(X, Y0 + DY ) = 0;

1 T L W = V (X, R ) = X R = 0;

2 T L V = 2 = 0. R R На основе непосредственного дифференцирования можно убедиться, что T V W R = X.

Для упрощения системы из второй группы уравнений найдем вектор T 1 T F V 1 = X X и подставим в первое векторное уравнение.

Тогда система примет вид:

T T = M DY (DY M DY ) L F F V X 2 = 0;

DY X 2 T DY L = F (X, Y0 + DY ) = 0;

1 T L W = R = 0;

2 X L W = 2 = 0. R X Обозначив (DY M DY ) = T, min первую группу уравнений можно записать так:

T T T M 2 DY F F V X 2 = DY X min или T T T F F V M DY DY X X min 2 = 0.

Так как в уравнениях W = X длина вектора 2 не определена, можно сделать замену:

S = min2.

При этом система приобретает следующий вид:

T T T F F V M DY S = 0;

DY X X F(X, Y0 + DY ) = 0;

T W R = 0;

X W S = 0. X Из первой группы уравнений этой системы определим DY и подста вим во второе векторное уравнение:

T T T F F V DY = M 2 DY X X S, следовательно:

T 1 V T 2 F F T F X, Y0 + M S = 0;

DY X X T W R = 0;

X W S = 0. X Чтобы избавиться от необходимости умножения на обратную матри цу, в первом векторном уравнении введем вспомогательный вектор С:

T 1 T F V C= X X S.

Следовательно, этот вектор может быть найден из решения следую щей системы линейных уравнений:

T F V T C= X S.

X Поэтому окончательно можно написать:

T 2 F F X, Y0 + M DY C = 0;

T T F V ) U(X, R, C, S ) = C S = 0;

X X (2.32) W U(X, S ) = ~ S = 0;

X T W V (X, R ) = X R = 0.

Из решения этой системы определяются параметры X* L, Y * L пре дельного по устойчивости решения в критическом направлении утяжеле ния, отвечающем min, при отличии пределов устойчивости и передавае мой мощности.

Решение системы (2.32) возможно осуществить на основе метода Ньютона. При этом на каждой итерации решается следующая СЛУ:

F F X F 0 X C ) ) ) ) U U U U ) S U X S R C =, U U ~ ~ ~ 0 R 0 U X S V V V 0 C 0 X R Путем непосредственного дифференцирования легко убедиться в том, что ) T T F F U F = M DY ;

C = X ;

C ( T U W V W = = ;

.

R X S X ) U Компоненты матрицы определятся из выражений:

X ) T U F W T T = C R S.

X X X X X X Если функции wi, i=1...n, представимы полиномами не выше второй степени, то второе слагаемое в последнем выражении равно нулю, тогда ) U F n ~ T X X X i i = C = c, i = ~ где i – матрица Гессе от функции fi.

) U Элементы матрицы можно найти так:

S ) T W T T T U V n X = X X R = i ri, = S i =1 где i – матрица Гессе от функции wi.

~ U Компоненты матрицы вычисляются с помощью выражения X ~ U W n w1 n w2 n wn X X X X xi i xi i xi i = S = s s... s.

i =1 i =1 i =1 Тогда n 2 w1 2 w1 2 w n n x1 xi i x2 xi i s...

s s xn xi i i =1 2 i =1 i = w2 w2 w ~ 2 U n si n si... n s xn xi i, = x1 xi x2 xi X i =1 i =1 i =.........

n 2w wn wn 2 n n si si... si n i =1 x1 xi x2 xi xn xi i =1 i = или 11S 12S... 1nS ~ U 21S 22S... 2 nS =, X............

n1S n 2S... nnS где ij – j-я строка матрицы i.

При квадратичной зависимости Y от X последняя матрица может быть найдена на основе соотношения ~ U W* (S ).

= X X ) U Для матрицы можно записать:

R T 11S 12S... 1n S ) 21S 22 S... 2 n S n V T T U X S = R i ri S =...

, = R R...

i =1......

n1S n 2S... nn S или при квадратичной зависимости Y от X ) T W * U (S ).

= R X H Окончательно выражение для полной матрицы Якоби примет Z вид F F T M DY 0 0 X n T T T W* F n (S ) ~ H i i i ri c X X i =1 = i =.

Z W (S ) W * 0 X X n T W r i i X 0 i =1 На основании изложенного можно сделать вывод о том, что все под H матрицы, входящие в, являются слабозаполненными, а также могут Z быть сформированы по унифицированным алгоритмам.

Процесс определения параметров предельного режима в критиче ском направлении утяжеления иллюстрируется на примере схемы, пока занной на рис. 1.7. Для этой схемы уравнения (2.32) примут вид f1 = PG 0 + µ bU1'U 2 = 0;

' 1 c ( ) f 2 = QG 0 + µ2 c2 b U1 U1 U 2 = 0;

2 © ) f1 f2 v1 v s = 0;

u1 = c+ c s+ U1 U1 U1 U '1 '2 '1 ' f1 f2 v1 v ) s = 0;

u2 = c+ c s+ U1 U1 U1 U '' 1 '' 2 '' 1 '' ( w1 w1 u1 = s+ s = 0;

U1 U '1 '' ( w2 w u2 = s1 + s2 = 0;

U1 U1' ' ' w1 w v1 = r1 + r2 = 0;

U1 U1' ' ' w1 w v1 = r1 + r2 = 0, U1' U1' ' ' или f1 = PG 0 + µ1 c1 bU1 U 2 = 0;

" ( ) f 2 = QG 0 + µ2 c2 b U1 U1 U 2 = 0;

2 ' ( ) ) u1 = 2bU1 + U 2b c2 2r2 s1 = 0;

' ) u2 = bU 2c1 2U1 c2 2r2 s2 = 0;

" (2.33) ( u1 = bU 2 s2 = 0;

( u2 = 2U1s1 + 2U1 s2 = 0;

" ' v1 = 2U1r2 = 0;

' v2 = bU 2 r1 + 2U1 r2 = 0.

" Последняя система имеет тривиальное решение s1=s2=r1=r2= c1=c2=0, U 1' = U 10,U 1'' = U 1'' ' ' '' в точке исходного режима U10,U10. Поэтому для надежной сходимости не обходим выбор начальных приближений вблизи предельной поверхности.

Нетрудно также убедиться, что система удовлетворяет искомому предель ному режиму, в котором U 1 = 0.

' Структура матрицы Якоби уравнений (2.33) будет иметь вид ' U1' ' s1 s2 r1 r2 c1 c U µ f1 0 –bU2 0 0 0 2bU ' µ2 –b U1 `` ' f2 0 0 0 0 bU 2bU ) ' u1 –2bс2 0 –2r2 0 0 –2s1 bU –2b U1' ' ) u2 0 –2bc2 0 –2r2 0 –2s2 –bU ( u1 0 0 0 -bU2 0 0 ( ' 2 U1' ' u2 2s1 2s2 0 0 2 U ' v1 2r2 0 0 0 0 2 U 2 U1' ` ' v2 0 2r2 0 0 –bU2 Из приведенной таблицы видно, что полная матрица состоит из бло ков, которые либо равны друг другу, либо подобны, кроме того все они яв ляются слабозаполненными, а поэтому решение этой системы известными методами не доставит больших затруднений. Рассмотренный алгоритм ре ализован в виде экспериментальной программы для ЭВМ. На рис. 2. приведены результаты расчетов предельных режимов для схемы ЭЭС, по казанной на рис. 1.16. Для отсечения тривиальных решений начальные приближения выбирались вблизи предельной поверхности LW. Проведен ные расчеты для этой и других схем ЭЭС показали, что при соответст вующем выборе начальных приближений обеспечивается надежная схо димость за 8-10 итераций метода Ньютона. Использование стартовых алго ритмов позволяет существенно сократить число итераций.

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы.

1) Предложенная система нелинейных уравнений обеспечивает вы ход на гиперповерхность предельных по устойчивости режимов W = det X минуя предел передаваемой мощности F = 0.

det X 2) Выход происходит по кратчайшему расстоянию (т.е. по нормали) при µ1 = µ 2 = 1. При µ1 µ 2 1 выход будет происходить по кратчайшему расстоянию в метрике, задаваемой матрицей М.

Рис. 2.26. Результаты расчета предельного режима Системы уравнений, используемые для определения критического направления утяжеления при отличии пределов устойчивости и переда ваемой мощности, имеют размерность, существенно превышающую раз мерность УУР. Однако это не является препятствием для практического использования методики по следующим причинам.

1. Ресурсы современных ЭВМ вполне позволяют решать задачи та кого порядка за приемлемое для практических целей время.

2. Матрицы Якоби представленных в данном разделе уравнений яв ляются слабозаполненными, что позволяет применять эффективные алго ритмы исключения действий с нулевыми элементами, позволяющими су щественно сократить требуемые объемы памяти ЭВМ и повысить быстро действие.

3. При использовании декартовых координат U ',U " узловых напря жений все основные блоки матрицы Якоби этих уравнений могут быть сформированы на основе единого алгоритма, что позволяет упрощать про граммную реализацию алгоритмов.

Выводы 1. Проанализированы методологические особенности оценки запасов устойчивости при многокоординатных утяжелениях и показано, что наи более целесообразным является определение запаса САУ текущего режима ЭЭС по критерию близости отвечающей ему точки в пространстве регули руемых параметров к предельной поверхности.

2. Получена модификация уравнений предельных режимов, позво ляющая определять предельный по устойчивости (существованию) режим в критическом направлении утяжеления, соответствующем кратчайшему расстоянию в пространстве регулируемых параметров от точки исследуе мого режима до предельной гиперповерхности.

3. Проанализированы особенности предложенных уравнений и раз работаны эффективные численные методы и алгоритмы их решения. Пока зана невырожденность указанных уравнений на предельной гиперповерх ности.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.