авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р.В. ВЕДРИНСКИЙ

НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

(учебник)

Ростов-на-Дону

2008

2

Рецензенты:

1. Зав. кафедрой теоретической физики Педагогического института ЮФУ, доктор физ.-мат. наук, профессор Мясников Эдуард Николаевич 2. Профессор кафедры физики Донского государственного технического университета, доктор физ.-мат. наук Никифоров Игорь Яковлевич.

Ведринский Р.В.

Нерелятивистская квантовая механика: Учебник. Ростов-на Дону, 2008.

Аннотация Научная литература, посвященная фундаментальным проблемам квантовой физики, новым квантовым эффектам и их приложениям, широко использует математический аппарат и теоретические методы, не изучаемые на должном уровне в стандартных курсах квантовой теории и недостаточно описанные в типовых учебниках.

Данный учебник призван заполнить имеющийся пробел. Основное внимание в нем уделено не рассмотрению конкретных квантовых явлений, что легко найти в любом учебнике по квантовой механике, а подробному описанию физических основ квантовой механики, ее математического аппарата, необходимого для изучения современной литературы, методов использования этого аппарата для описания основных нерелятивистских микрообъектов и аксиоматики, устанавливающей связь между математическим аппаратом и характеристиками микрообъектов. Учебник рассчитан на аспирантов, студентов магистратуры и старших курсов бакалавриата, желающих вести научную работу в следующих областях современной физики: фундаментальные проблемы квантовой физики, физика наноструктур и квантовые компьютеры.

СОДЕРЖАНИЕ Введение ЧАСТЬ 1. Физические принципы, математический аппарат и аксиоматика нерелятивистской квантовой механики. Пространства состояний нерелятивистских квантовых систем Глава 1.1. Физические основы квантовой механики. 1.1.1. Качественное рассмотрение. 1.1.2. Принципы описания физических объектов в целостном микромире. 1.1.3. Принципы описания сложных нерелятивистских микросистем. Глава 1.2. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики 1.2.1. Пространство состояний и векторы состояний. 1.2.2. Наблюдаемые величины, операторы и базисные наборы. 1.2.3. Аксиоматика квантовой механики. 1.2.4. Операторы проецирования, условие полноты наборов, функции от операторов. 1.2.5. Построение пространств состояний сложных физических систем. 1.2.6. Краткая сводка аксиом квантовой механики. 1.2.7. Методы определения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов.

Глава 1.3. Динамика в квантовой механике. Правила квантования. 1.3.1. Представление Шредингера. 1.3.2. Представление Гейзенберга. Правила квантования. 1.3.3. Представление взаимодействия и нестационарная теория возмущений. Глава 1.4. Пространство состояний одной бесспиновой частицы. 1.4.1. Построение пространства состояний. 1.4.2. Собственные функции операторов координаты и импульса в координатном представлении. Импульсное представление. 1.4.3. Нахождение собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона в случае одномерного движения частицы. 1.4.4. Собственные векторы и собственные значения оператора Гамильтона гармонического осциллятора. 1.4.5. Соотношение неопределенности. 1.4.6. Полное пространство состояний одной бесспиновой частицы в трехмерном пространстве и основные операторы наблюдаемых величин. 1.4.7. Собственные векторы и собственные значения операторов проекций импульса, орбитального момента и квадрата орбитального момента. 1.4.8. Вычисление собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона в трехмерном случае. 1.4.9. Вычисление собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона со сферически-симметричным потенциалом. 1.4.10. Динамические процессы в пространстве состояний бесспиновой частицы. Глава 1.5. Пространство состояний одной частицы со спином. 1.5.1. Построение пространства спиновых состояний. 1.5.2. Построение полного пространства состояний частицы со спином.

Операторы Гамильтона для частицы со спином. Глава 1.6. Пространства состояний многочастичных систем. 1.6.1. Построение пространств состояний систем нетождественных частиц. 1.6.2. Построение пространств состояний систем тождественных частиц. 1.6.3. Представление чисел заполнения. Пространство Фока.

Метод вторичного квантования. ЧАСТЬ 2. Нерелятивистская квантовая теория рассеяния Глава 2.1. Постановка задачи рассеяния Глава 2.2. Стационарный подход к квантовой теории рассеяния 2.2.1. Постановка задачи рассеяния в стационарном подходе 2.2.2. Интегральное уравнение для волновой функции задачи рассеяния.

Борновские приближения для амплитуды рассеяния., - векторы.

Уравнения Липпмана-Швингера. 2.3. Свойства, - векторов. Полная функция Грина. Уравнение Дайсона. Глава 2.3. Описание процессов рассеяния в нестационарном подходе 2.3.1. Постановки задачи рассеяния в нестационарном подходе. 2.3.2. Описание процесса адиабатического включения и выключения взаимодействия в теории рассеяния. S-матрица. 2.3.3. Расчет сечения рассеяния в нестационарном подходе.

«Золотое правило» Ферми. 2.3.4. Общие свойства S-матрицы, оптическая теорема. 2.3.5. Применение «золотого правила» Ферми для описания процессов неупругого рассеяния. 2.3.6*. Реалистический подход к задаче рассеяния. Глава 2.4. Рассеяние сферически – симметричным потенциалом. 2.4.1. Постановка задачи. 2.4.2. Решение уравнения Шредингера в сферически-симметричном потенциале. 2.4.3. Решения задачи рассеяния на сферически-симметричном потенциальном центре. 2.4.4. Свойства сдвигов фаз рассеяния. Глава 2.5. Аналитические свойства S – матрицы, поведение фаз рассеяния при малых энергиях. 2.5.1. Аналитические свойства S – матрицы. 2.5.2. Физический смысл полюсов S – матрицы. 2.5.3. Поведение сдвигов s – фаз рассеяния при малых энергиях. Глава 2.6. Резонансные и квазистационарные состояния. Время рассеяния. 2.6.1. Квазистационарные и резонансные состояния в квантовой механике. 2.6.2. Распад квазистационарных состояний. 2.6.3. Время рассеяния. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. П.1.1. Определение обобщенной функции. -функция. П.1.2. Преобразования и свойства обобщенных функций.

Дифференцирование обобщенных функций. П.1.3. Некоторые важные соотношения теории обобщенных функций. П.1.4. Обобщенные функции, связанные с функцией 1/x. П.1.5. -функции в трехмерном случае. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ. П.2.1. Интегралы и преобразования Фурье. П.2.2. Вычисление интегралов Фурье. Заключение. Рекомендуемая литература. ВВЕДЕНИЕ.

Хотя квантовая механика возникла около ста лет назад, большой интерес к ее основам и имеющимся в ней нерешенным фундаментальным проблемам до сих пор не ослабевает. Выходит большое число научных статей, обзоров и монографий, посвященных этим вопросам. Выполняются новые, зачастую весьма нетривиальные, теоретические и экспериментальные исследования. Регулярно обнаруживаются новые квантовые эффекты, к примеру, квантовая телепортация, квантовый эффект Зенона. Открываются новые перспективы практического применения квантовых законов, к числу которых, прежде всего, относятся квантовые компьютеры и квантовая криптография.

Научная литература, посвященная как фундаментальным вопросам квантовой физики, так и новым квантовым эффектам и их приложениям широко использует математический аппарат и теоретические методы, которые не изучаются на должном уровне в стандартных курсах квантовой теории и недостаточно описаны в типовых учебниках. Данный учебник призван заполнить имеющийся пробел. Основное внимание в нем уделено не описанию конкретных квантовых явлений, что легко найти во всех типовых учебниках, а физическим основам квантовой механики, математическому аппарату, необходимому для изучения современной литературы, методам его использования при описании основных нерелятивистских микрообъектов и аксиоматике, устанавливающей связь между математическим аппаратом и характеристиками микрообъектов.

Учебник состоит из двух частей. Первая часть посвящена описанию физических основ, математического аппарата и аксиоматики современной нерелятивистской квантовой механики, а также построению пространств состояний нерелятивистских квантовых объектов и краткому рассмотрению методов решения основных квантовомеханических задач в этих пространствах.

В главе 1.1 обсуждаются предпосылки и физические принципы квантовой механики. Изложение основывается на предложенной Нильсом Бором концепции целостности микрообъектов и микропроцессов. Показано, что из этой концепции естественным образом вытекают все специфические особенности описания этих объектов и процессов, которые, как показывает опыт, вызывают большие трудности при изучении квантовой механики.

Глава 1.2 является основной в учебнике. В ней детально изложен математический аппарат и аксиоматика нерелятивистской квантовой механики, используемые при описании чистых состояний микрообъектов. В этой главе излагается именно тот математический аппарат, который широко используется в современной литературе, посвященной фундаментальным проблемам квантовой физики. Ввиду достаточной сложности материала, изложенного в этой главе, в ее шестом разделе дается краткая сводка основных результатов, содержащихся в главе, которую целесообразно использовать для того, чтобы лучше ориентироваться в излагаемом материале.

В главе 1.3 рассматривается вопрос об описании динамических процессов в нерелятивистской квантовой механике, а также вопрос о том, как устанавливается соответствие между теоретическим описанием классических объектов и квантовым описанием соответствующих микрообъектов.

Правила, устанавливающие такое соответствие, называются правилами квантования.

В главах 1.4 – 1.6 демонстрируется, каким образом математический аппарат и теоретические методы, описанные в главах 1.1 – 1.3, применяются при построении пространств состояний конкретных микросистем: одной бесспиновой частицы (глава 1.4), частицы со спином (глава 1.5), коллективов нетождественных и тождественных частиц (глава 1.6). Кратко рассматриваются основные квантовомеханические задачи, которые возникают в этих пространствах, и методы их решения.

В главе 1.7 рассмотрен вопрос о том, как описываются статистические свойства ансамблей микросистем, не находящихся в чистых состояниях.

Рассмотрены тесно связанные с этим вопросом принципиальные вопросы квантовой механики, а также работа Эйнштейна, Подольского и Розена.

Вторая часть учебника посвящена основам нерелятивистской квантовой теории рассеяния. Эта теория была детально разработана в 50- годы ХХ века и описана во многих монографиях, большинство из которых, однако, стало в настоящее время библиографической редкостью. Поскольку знание квантовой теории рассеяния важно для подготовки на современном уровне студентов-физиков, в учебник и включена вторая часть. Как и в первой части, основное внимание во второй части обращается не на решение конкретных задач, а на принципиальные вопросы квантовой теории рассеяния и методы их решения.

В главе 2.1 описывается постановка задачи нерелятивистской квантовой теории рассеяния и анализируются требования к экспериментальному исследованию процессов рассеяния. Глава 2. посвящена выводу основных уравнений стационарной теории рассеяния, включая уравнения Липпмана-Швингера. В главе 2.3 рассматриваются нестационарные подходы к описанию процессов рассеяния квантовых частиц, основанные как на традиционном методе адиабатического «включения» и «выключения» потенциала взаимодействия, так и на описании рассеяния волновых пакетов. В главе 2.4 описаны основы теории рассеяния на сферически-симметричных потенциалах. Глава 2.5 посвящена исследованию аналитических свойств S матрицы. Полученные результаты используются для описания поведения амплитуды и сечения упругого s рассеяния при малых энергиях. В главе 2.6 рассмотрены квазистационарные и резонансные состояния квантовых частиц. Изучено поведение сдвигов фаз рассеяния вблизи резонансных состояний, проанализирована связь между резонансными и квазистационарными состояниями и показано, как можно определить время рассеяния.

В учебник включены 2 математических приложения, первое из которых посвящено основам теории обобщенных функций, а второе – фурье преобразованиям. Приложения должны облегчить понимание математического аппарата, используемого в учебнике.

Учебник основан на материале спецкурса, который в течение многих лет читался автором для студентов физического факультета Ростовского государственного университета, специализирующихся по теоретической физике. Учебник рассчитан на подготовленного читателя, который уже знает квантовую механику в рамках традиционного курса, но хочет ее лучше понять и освоить математический аппарат и теоретические методы, необходимые для работы с современной литературой, посвященной фундаментальным проблемам квантовой физики и новым квантовым эффектам.

Рекомендуется следующая методика освоения материала, изложенного в учебнике. Вначале целесообразно прочесть математические приложения и уяснить, какие вопросы в них изложены, чтобы знать, к каким разделам приложений надо обращаться при изучении материала.

Изучение каждой главы следует начать с ее внимательного прочтения. После этого необходимо ознакомиться с вопросами для самопроверки, которые приведены в конце каждого раздела, и попробовать ответить на них и решить предлагаемые там задачи. При возникновении трудностей, надо внимательно прочесть соответствующий раздел еще раз, после чего попытаться вновь ответить на вопросы и решить задачи. В некоторых случаях, возможно, этот процесс придется повторить еще раз. В случае неудачи целесообразно перейти к следующему разделу и таким образом проработать первые три главы первой части. Далее надо перейти к главам 1.4, 1.5 и 1.6, которые несколько проще первых трех глав и в которых описанные в главах 1.1 – 1.3 методы применяются в конкретных ситуациях. После изучения глав 1.4 – 1.6 надо вернуться к главам 1.1 – 1.3, прочесть их вновь и попытаться решить те задачи, которые не удалось решить при первом чтении. Глава 1.7 несколько сложнее, чем главы 1.4 – 1.6. Материал, изложенный в этом главе, надо изучать как самостоятельный материал с использованием той же методики, которая была описана выше.

Вторая часть учебника, если не считать ее последних глав, проще, чем его первая часть. Для ее изучения нужен материал, изложенный в первых трех разделах главы 1.2, в главе 1.3 и в последних пяти разделах главы 1.4, а также материал, изложенный в математических приложениях.

ЧАСТЬ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ, МАТМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ И АКСИОМАТИКА НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ.

1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.

1.1.1. Качественное рассмотрение.

Каждый, кто серьезно начинает изучать квантовую механику, неизбежно сталкивается со значительными трудностями в понимании и внутреннем принятии ее основных представлений, что порождено, прежде всего, принципиальным отличием подходов к описанию состояния физических объектов в классической и в квантовой физике. Не случайно, что каждое новое поколение физиков заново открывает для себя проблемы и трудности квантовой физики и, стремясь разобраться в них, нередко выявляет новые аспекты этих проблем, на которые ранее не обращалось внимание. Конечно, можно научиться правильно решать конкретные квантово-механические задачи, игнорируя указанные трудности, но все же лучше попытаться понять их природу и убедиться в неизбежности нового подхода к описанию объектов микромира, свойственного квантовой физике.

Чтобы выяснить, в чем состоит принципиальная новизна квантового подхода к описанию состояния микрообъектов, радикально отличающая его от классического подхода, целесообразно вначале проанализировать базовые принципы описания физических объектов, свойственные классической физике, и понять, в чем их суть и в чем - ограниченность.

Базовые принципы классической, ньютоновой механики были впервые ясно осознаны и сформулированы выдающимся ученым ХVIII века Рожером Босковичем, ныне почти забытым. Именно Боскович понял, что согласно ньютоновой механике любой материальный объект можно адекватно описать как совокупность, в общем случае, взаимодействующих материальных частиц, каждая из которых в любой момент времени, независимо от тех взаимодействий, в которых частицы участвуют, находится в определенной точке пространства и имеет определенную скорость. Если известны силы взаимодействия между частицами, а также их координаты и скорости в начальный момент времени, то координаты и скорости частиц в последующие моменты времени можно предсказать с помощью законов Ньютона. Такой подход к описанию сложных материальных тел оказался исключительно плодотворным. Он позволил понять и количественно описать не только движение совокупностей конечного числа материальных частиц, например, планет в Солнечной системе, но также законы движения и свойства механических сплошных сред – жидкостей, газов и твердых тел, которые с макроскопической точки зрения воспринимаются как совокупности бесконечного числа материальных частиц.

Огромные успехи классической механики привели к тому, что в течение долгого времени описанная выше картина мира, свойственная этому разделу физики, считалась единственно возможной. Даже в начале ХХ века великий австрийский физик Людвиг Больцман говорил о том, что понять физическое явление для него – это дать его механическое описание. Вера в универсальность картины мира классической механики не была поколеблена открытием того, что свет обладает волновыми свойствами, а электромагнитные взаимодействия передаются через среду, заполняющую пространство между зарядами. До начала ХХ века считалось, что эти результаты, полученные в первой половине XIX века, свидетельствуют о том, что истинного вакуума в природе, на самом деле, нет, а все пространство заполнено механической средой – эфиром. Вначале предполагалось, что эфиров, по крайней мере, два: светоносный и электромагнитный, но после открытия во второй половине XIX века электромагнитной природы света стали считать, что эфир один. Вплоть до начала ХХ века, однако, не было никаких сомнений, что эфир должен описываться законами механики, неясным оставался лишь вопрос о том, какими свойствами должен обладать эфир, чтобы из уравнений теории упругости можно было бы вывести уравнения Максвелла. Было предпринято, в том числе и самим Максвеллом, немалое число попыток получить таким образом эти уравнения, ни одна из которых не была успешной. Поскольку эфир рассматривался как механическая среда, относительно которой можно двигаться или покоиться, в XIX веке предпринимались также попытки определить скорость движения Земли относительно мирового эфира, а также ответить на вопрос о том, что происходит с эфиром при движении в нем материальных тел: увлекается он полностью, частично или не увлекается вовсе. Оказалось, что результаты различных экспериментов противоречили друг другу и ответы на поставленные вопросы получены не были. Неясности были сняты после создания в 1905 году молодым немецким физиком Альбертом Эйнштейном специальной теории относительности, которая сделала эфир ненужным и показала, что уравнения Максвелла описывают на самом деле принципиально новый объект немеханического типа физическое электромагнитное поле, так что уравнения Максвелла являются столь же фундаментальными, как и уравнения Ньютона. В отличие от механической сплошной среды электромагнитное поле не может быть описано как совокупность материальных частиц. Поле следует рассматривать в целом как физический объект, распределенный в пространстве, так что физические поля являются принципиально делокализованными объектами в отличие от механических сплошных сред, которые описываются как совокупности пространственно локализованных материальных частиц. Таким образом, в начале ХХ века стало ясно, что картина мира классической физики, в действительности, значительно сложнее, чем считалось ранее. Любой объект (к примеру, классическую плазму) согласно новым представлениям следовало считать совокупностью взаимодействующих материальных частиц, описываемых законами Ньютона, и полей, описываемых в частном случае электромагнитного поля уравнениями Максвелла.

Хотя классические физические поля существенно отличаются от системы классических частиц, есть одно важное обстоятельство, которое роднит классическую механику и классическую теорию поля. Речь идет о способах описания состояния частиц и полей и законах, управляющих их движением. В самом деле, состояние частиц всегда, независимо от того, в каких взаимодействиях они участвует, наблюдаем мы за ними или нет, характеризуются координатами и скоростями (или импульсами), изменение которых с течением времени всегда подчиняется законам Ньютона. В свою очередь, состояние электромагнитного поля, опять же независимо от того, в каких взаимодействиях поле участвует, характеризуется распределением в пространстве напряженности электрического поля и магнитной индукции, изменение которых с течением времени всегда подчиняется уравнениям Максвелла.

Таким образом, фундаментальной основой классической физики является, на самом деле, представление о том, что любой сложный объект можно теоретически описать как совокупность элементарных объектов, фундаментальные свойства, способ описания и законы движения которых универсальны, т.е. не зависят от того, в каких взаимодействиях объекты участвуют, а также от того, наблюдаем мы за ними или нет. Сейчас известны два типа элементарных объектов классической физики: частицы и поля, но если бы возникла необходимость ввести какие-либо другие объекты, также обладающие указанными свойствами, базовые представления классической физики остались бы неизменными. Мир, устроенный указанным образом, естественно назвать делимым в классическом смысле. С учетом сказанного выше есть все основания считать делимый Мир, хотя и сложным, но механизмом, построенным из качественно неизменных составных частей.

Если предположить, что свойство делимости универсально и имеет место на всех уровнях познания Мира, трудно отделаться от ощущения того, что такое предположение слишком упрощает Мир. По крайней мере, несомненно, что утверждение об универсальном характере свойства делимости Мира невозможно строго доказать. Это обстоятельство указывает на то, что, на самом деле, нет принципиальных оснований считать свойство делимости универсальным, так что по мере проникновения в микромир можно было ожидать, что физика столкнется с объектами, свойства которых невозможно понять, если считать их делимыми в классическом смысле.

Антитезой делимости является целостность. В целостном Мире взаимодействие между объектами может быть столь существенным, что оно может повлиять не только на числовые значения величин, характеризующих состояние объектов, но и на сам способ описания состояния объектов. Более того, представление сложного объекта как системы элементарных вполне может оказаться условным и зависеть от характера взаимодействия в сложном объекте. Как мы убедимся в дальнейшем, способ описания сложных объектов микромира, предлагаемый квантовой физикой, полностью согласуется с тем, как должно выглядеть описание сложных объектов в целостном Мире. Так, хорошо известно, что состояние изолированной микрочастицы при определенных условиях, которые будут рассмотрены в дальнейшем, может быть описано волновой функцией, но, в то же время, согласно квантовой механике состояние отдельной частицы в коллективе взаимодействующих частиц никакой волновой функцией, в принципе, описано быть не может. Другой пример. Система нерелятивистских частиц (электроны в атоме, нуклоны в атомном ядре) может быть адекватно описана как совокупность фиксированного числа элементарных частиц. Напротив, в случае взаимодействующих релятивистских частиц их число может изменяться в ходе взаимодействия, так что в этом случае элементарные частицы уже нельзя считать элементарными объектами, из которых строится сложный микроскопический релятивистский объект.

Хотя логически строго это и нельзя доказать, есть серьезные основания считать, что законы квантовой физики, открытые в ХХ веке, свидетельствуют о глубоком фундаментальном свойстве нашего Мира – его целостности. Первым на это обратил внимание великий датский физик Нильс Бор, который всю свою жизнь занимался выяснением физического смысла квантовых законов. В одной из своих последних работ «Квантовая физика и философия» [1] Н. Бор писал: «С открытия Планком элементарного кванта действия началась новая эпоха в физических науках. Это открытие обнаружило свойственную атомным процессам черту целостности, идущую гораздо дальше старой идеи об ограниченной делимости материи». (Курсив Н. Бора.) Задание 1.1.1.

1. Как в классической физике описывается состояние механических систем?

2. Как в классической физике описывается состояние электромагнитного поля?

3. Чем принципиально отличается классическое физическое поле от механической сплошной среды?

4. Что общего в описании физических полей и механических систем в классической физике?

5. В чем состоит принцип делимости в классическом смысле?

6. Что имеется в виду под свойством целостности физического объекта?

1.1.2. Принципы описания физических объектов в целостном микромире.

Нетрудно понять, что предположение о том, что на микроскопическом уровне Мир обладает свойством целостности, делает физику микромира намного более сложной и непривычной по сравнению с классической физикой. Так, это предположение, в принципе, исключает возможность говорить о каком-либо определенном состоянии микрообъекта самого по себе без учета его взаимодействия с окружением. Кроме того, попытка осуществить непрерывный контроль за микрообъектом в ходе исследуемого процесса, вполне допустимая в классической физике, в целостном микромире должна неизбежно приводить к радикальному изменению процесса. В самом деле, для осуществления непрерывного контроля за микрообъектом он должен реально взаимодействовать с контролирующей аппаратурой, так что микропроцесс, идущий в условиях изоляции объекта от окружающего мира, и микропроцесс, за которым ведется непрерывный контроль, должны быть на самом деле существенно разными процессами. Любой акт измерения, проведенного над микрообъектом, формирует новую целостную систему, так что результат измерения нельзя считать характеристикой самого микрообъекта. К примеру, локализация микрочастицы в определенной точке пространства при взаимодействии ее с фотопластинкой, сцинтилляционным экраном, камерой Вильсона, пузырьковой камерой и т.д. не может считаться с учетом свойства целостности доказательством того, что микрочастица сама по себе в каждый момент времени находится в определенной точке пространства, а измерение лишь дает информацию о том, где частица находилась в момент измерения. Напротив, скорее следует считать, что локализация микрочастицы при измерении ее координаты происходит в силу специфики взаимодействия частицы с прибором, приспособленным именно для измерения координаты.

Сделав ряд вводных замечаний, свидетельствующих о серьезных трудностях, возникающих уже при самой постановке задачи проведения физических исследований в целостном микромире, перейдем к более последовательному рассмотрению того, как должна строиться физика целостных микросистем.

Анализируя ситуацию, складывающуюся в физике микромира, Нильс Бор обратил внимание на то важное обстоятельство, что любой физический эксперимент предполагает обязательное использование макроскопических приборов, состояние которых с большой точностью описывается методами классической физики. В работе «О понятиях причинности и дополнительности» [1] Бор писал: «Это есть простое логическое требование, поскольку слово «эксперимент», в сущности, применяется лишь для обозначения такой ситуации, когда мы можем рассказать другим, что мы сделали и что узнали в итоге». Учет этого обстоятельства и открывает реальные возможности для проведения физического исследования микрообъектов в целостном микромире. Рассмотрим подробнее, как должно проводиться такое исследование.

Для исследования определенного микрообъекта его надо сначала выделить из целостного окружающего мира или даже создать, как это имеет место при исследовании нестабильных элементарных частиц (мезонов, гиперонов и пр.), а затем перевести микрообъект в определенное квантовое состояние. Указанные операции всегда проводятся тем или иным макроскопическим прибором, который в дальнейшем будет называться приготавливающим прибором (ПП). В качестве ПП часто используются ускорители, создающие пучки заряженных частиц с хорошо определенными значениями импульса, ртутные лампы с монохроматизаторами или лазеры, создающие монохроматические пучки фотонов, источники, создающие пучки нейтральных атомов или молекул и т.д. ПП другого типа, которые часто используются при исследованиях коллективов микрочастиц, являются термостаты, в тепловой контакт с которыми вводится исследуемый коллектив. Если частицы, входящие в коллектив, как это нередко бывает, обладают внутренними магнитными моментами, за счет наложение сильного внешнего классического магнитного поля можно поляризовать частицы коллектива в термостате и исследовать в дальнейшем их реакцию на внешние переменные магнитные поля.

Если ставить важную задачу исследования свойств и законов движения микрообъектов, изолированных от внешнего мира, то эти объекты после действия ПП необходимо поместить в камеру реакций (КР), которая обычно представляет собой достаточно большой вакуумный объем. Часто в КР на начальном этапе эксперимента вводится два или большее число микрообъектов, взаимодействие которых предполагается исследовать и которые приготавливаются независимыми ПП. На микрообъекты в КР можно при желании накладывать внешние классические электромагнитные поля.

Важно лишь, чтобы исследуемый микрообъект не оставлял во внешнем мире следов своей жизни в КР, т.е. взаимодействие объекта с внешним миром было упругим, в противном случае об изолированном микрообъекте говорить уже нельзя, а можно говорить, в лучшем случае, лишь о новой целостной системе, включающей микрообъект и тот объект внешнего мира, с которым микрообъект взаимодействовал неупругим образом. В КР микрообъект остается изолированным от внешнего мира на время, определяемое желанием экспериментатора. Подчеркнем, что КР, как и ПП, является, очевидно, макроскопическим устройством.

На конечной стадии исследуемого процесса проводится измерение, которое дает сведения о финальном состоянии исследуемого микрообъекта.

Измерение осуществляется с помощью специально сконструированных, также макроскопических приборов, которые в дальнейшем, следуя существующей традиции, будут называться измерительными приборами (ИП). При взаимодействии микрообъекта с ИП, в результате которого меняется состояние ИП, формируется новая целостная система: микрообъект + измерительный прибор, так что микропроцесс, происходивший в КР до акта измерения в условиях изоляции от внешнего мира, в результате измерения необратимым образом прерывается. При этом, однако, мы получаем только одно показание ИП. Понятно, что получаемая в таком одиночном эксперименте информация явно недостаточна для полного исследования процесса. Для получения более полной информации можно попытаться на финальной стадии процесса одновременно использовать несколько ИП, однако, с учетом свойства целостности систем, возникающих в результате работы этих ИП, далеко не очевидно, можно ли это сделать и не будут ли различные ИП мешать работе друг друга. Таким образом, в физике целостных систем должен возникнуть важный и нетривиальный вопрос об одновременной измеримости или неизмеримости наблюдаемых величин, значения которых даются ИП. Хорошо известно, что этот вопрос, в самом деле, является одним из важных вопросов квантовой физики. Вполне ожидаемый с учетом свойства целостности и, действительно, имеющий место факт существования одновременно неизмеримых наблюдаемых величин делает, очевидно, невозможным проведение полного измерения характеристик микрообъекта на финальной стадии его изоляции в КР. С учетом всего сказанного выше, единственным путем исследования процессов в целостном микромире оказывается путь статистического исследования, предполагающий многократное повторение эксперимента в заданных макроскопических условиях.

При проведении статистического исследования каждый акт приготовления с помощью ПП и изоляции в КР исследуемого микрообъекта должен быть многократно повторен в полностью идентичных макроскопических условиях, включая фиксацию времени жизни микрообъекта в КР. В результате на финальной стадии исследуемого процесса перед началом работы ИП мы получаем множество копий исследуемого микрообъекта, прошедших идентичную макроскопическую обработку в ПП и КР. Такой набор копий в физике называют ансамблем. В идеале ансамбль А содержит бесконечное число копий. В замечательной книге выдающегося математика и физика ХХ века Иоганна фон Неймана «Математические основы квантовой механики» [2] введено важное понятие статистических свойств ансамбля. Опишем алгоритм нахождения статистических свойств ансамбля А по фон Нейману. Выделим из этого бесконечного ансамбля случайным образом подансамбли А1, А2 и т.д., каждый из которых составляет ничтожно малую долю всего ансамбля А, но сам в то же время содержит огромное (в идеале – бесконечное) число копий.

В подансамбле А1 с помощью ИП 1 измерим наблюдаемую величину а(1), в подансамбле А2 – величину а(2) и т.д. Ясно, что при проведении указанных измерений не возникает никаких проблем с одновременной измеримостью или неизмеримостью наблюдаемых величин, поскольку разные наблюдаемые величины измеряются в различных экспериментах. Каждая из наблюдаемых величин может принимать какое-либо значение из множества значений, свойственных этой величине. Как показывает квантовая механика, эти множества могут быть непрерывными (координата, импульс и пр.), а могут быть – дискретными (проекция орбитального момента, спина и т.д.). Будем пока считать для простоты эти множества дискретными. (Обобщение на случай непрерывных множеств не вызывает особых трудностей и будет сделано ниже.) Тогда возможные значения наблюдаемых величин пусть будут: а(1): {а(1)i};

a(2): {a(2)j} и т.д. Многократно измеряя величину а(1) в системах подансамбля А1, мы получим частоты обнаружения различных возможных значений этой величины: а(1)i. Поскольку подансамбль А1 выбран из полного ансамбля А случайным образом, есть все основания считать, что найденные частоты, в действительности, характеризуют свойства полного ансамбля А. В предельном случае, когда число копий в подансамбле А стремится к бесконечности, найденные частоты становятся вероятностями w(A)(а(1)i) обнаружения в ансамбле А при измерении величины а(1) ее i – ого значения. Множество таких вероятностей {w(A)(а(n)i)}, найденных для всех значений всех наблюдаемых величин а(n), по И. фон Нейману и определяет статистические свойства ансамбля А. Понятно, что в случае, если какая-либо наблюдаемая величина может принимать непрерывное множество значений, надо определять не вероятности, а плотности вероятности получения тех или иных значений этой наблюдаемой величины.

Из всего сказанного выше ясно, что статистическое исследование является единственно возможным исследованием в целостном микромире, а статистические свойства ансамбля микросистем, полученных в идентичных макроскопических условиях, является максимально полной информацией о конечном состоянии микрообъекта в исследуемом микропроцессе.

Если создать с использованием различных ПП и/или различного времени жизни объекта в КР различные ансамбли A(m), то из них можно организовать путем случайного смешивания систем, входящих в различные ансамбли, новый ансамбль A, который по понятным причинам называют смешанным. Понятно, что статистические свойства смешанного ансамбля определяются тем, какие ансамбли смешиваются, а также тем, в какой пропорции производится смешивание. Пусть pm – доля ансамбля A(m) в смеси.

pm 1. Тогда статистические свойства ансамбля A находятся Ясно, что m из очевидного соотношения:

w( A ) (ai( n) ) pm w( A ( m) (ai( n) ).

) (1.1.1) m Следуя идеям И. фон Неймана [2], введем важное понятие чистого ансамбля. Под чистым ансамблем мы будем понимать ансамбль с такими статистическими свойствами, которые, в принципе, невозможно получить в результате какого-либо смешивания ансамблей с различными статистическими свойствами. С учетом этого определения нетрудно понять, что все копии микросистем, входящих в чистый ансамбль, должны считаться полностью идентичными друг другу. В самом деле, предположение о том, что различные копии систем в чистом ансамбле могут чем-то отличаться друг от друга, фактически означает, что мы считаем ансамбль смешанным, что противоречит определению чистого ансамбля. Понятно, что для создания чистого ансамбля надо иметь такой ПП, который обеспечивает максимально полное задание состояния приготавливаемых систем. К примеру, ускоритель, создающий пучок электронов с почти фиксированным значением импульса, как было установлено, не создает еще, на самом деле, чистый ансамбль одноэлектронных систем. (Во избежание недоразумений отметим, что, во первых, в типичных ускорителях расстояния между ускоряемыми частицами столь велико, что ускоритель в ходе своей работы, в действительности, создает множество копий независимых частиц, т.е. соответствующий ансамбль, во-вторых, множество значений импульса является непрерывным, так что точное задание импульса невозможно и можно обеспечить лишь его приближенную фиксацию. Таким образом, утверждение о том, что электрон или другая микрочастица находится в состоянии с определенным импульсом, является, безусловно, идеализацией. Эта идеализация, однако, очень удобна, и она часто используется.) Как показали исследования, чтобы создать чистый ансамбль одноэлектронных систем, необходимо кроме импульса зафиксировать также проекцию спина электронов на какую-либо ось.

Сделать это, в принципе, возможно, пропустив пучок электронов через сильное неоднородное магнитное поле. В результате прохождения пучка через это поле он расщепляется на два. В каждом из возникших пучков электроны уже будут находиться в (почти) чистых состояниях. В общем случае ответить на вопрос о том, каким требованиям должен удовлетворять ПП, чтобы он в ходе многократных актов работы создавал чистый ансамбль, не просто. Для получения ответа на этот вопрос требуется подробное совместное экспериментальное и теоретическое исследование рассматриваемого микрообъекта. Такие исследования в квантовой механике были проведены, и в настоящее время хорошо известно, каким образом можно создавать чистые ансамбли микрообъектов.

В случае чистого ансамбля есть все основания считать, что копии микросистем, входящих в этот ансамбль, находятся в одном и том же квантовом состоянии. Такое состояние мы будем в дальнейшем называть чистым состоянием. Возникает естественный вопрос о том, какую математическую величину надо ввести для количественного описания чистого состояния. Понятно, что в отличие от классической физики, где в качестве величин, характеризующих состояние объектов, выступают непосредственно наблюдаемые величины (координаты, импульсы, напряженности поля, индукции и т.д.), в физике микромира в качестве характеристик состояния микрообъекта наблюдаемые величины заведомо не могут быть использованы, поскольку, как уже говорилось выше, значение наблюдаемой величины в физике микромира не может быть характеристикой микрообъекта самого по себе, так как это значение формируется в результате целостного акта реального неупругого взаимодействия микрообъекта с ИП.

Таким образом, в качестве величины, характеризующей состояние микросистемы, входящей в чистый ансамбль, должна быть использована математическая величина нового типа, которую невозможно получить в ходе однократного измерения, но, зная которую, можно предсказывать статистические свойства чистого ансамбля. В квантовой механике в качестве такой величины выступает волновая функция или в более формальном подходе – вектор состояния. Эти величины будут подробно рассмотрены в главе 1.2. Понятно, что с учетом сказанного выше приписывать волновую функцию микрообъекту самому по себе в общем случае невозможно, она может быть приписана микрообъекту лишь в том случае, если он был специально приготовлен в чистом состоянии с использованием соответствующего ПП и изолирован в КР от внешнего мира.

Задание 1.1.2.

1. К каким следствиям приводит предположение о целостности объектов в физике микромира?

2. Какова роль макроприборов в физике микромира?

Какова задача приготавливающего прибора при исследовании 3.

микрообъектов? Привести примеры приготавливающих приборов.

4. Почему микропроцесс, протекающий в условиях изоляции от внешнего мира в камере реакций, принципиально отличается от микропроцесса, протекающего в условиях контроля за ним в ходе протекания процесса?

5. Какова роль измерительных приборов в микрофизике? Чем отличается эта роль от роли измерительных приборов в классической физике?

6. Почему есть основания ожидать, что различные измерительные приборы в физике микромира могут быть несовместимыми друг с другом?

7. Что такое статистический метод исследования и почему такой метод является единственно возможным при проведении исследований микрообъектов?

8. Что такое ансамбль?

9. Что такое статистические свойства ансамбля? Как их можно определять с учетом существования одновременно неизмеримых наблюдаемых величин?

10. Что такое чистый ансамбль?

11. Что такое смешанный ансамбль? Как находить статистические свойства смешанного ансамбля по известным статистическим свойствам смешиваемых исходных ансамблей?

12. Почему непосредственно наблюдаемые величины не могут быть использованы для описания состояния микрообъектов?

1.1.3. Принципы описания сложных нерелятивистских микросистем.

Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, выполненные в XIX и XX веках, показали, что при исследовании нерелятивистских процессов в микромире свойства микросистем можно полностью понять и теоретически описать, если считать эти системы совокупностями микрочастиц, число которых не изменяется в ходе рассматриваемых процессов. (Во избежание недоразумений отметим, что здесь и в дальнейшем вместо слова микрообъект мы будем часто использовать слово микросистема.) Первыми микрочастицами, с которыми физики столкнулись еще в середине XIX века, были атомы и молекулы. В конце XIX века был открыт электрон. Понятно, что в то время перечисленные частицы, без всякого сомнения, считались материальными частицами, которые полностью описываются методами классической механики. Такое представление просуществовало вплоть до 20-х годов ХХ века, хотя ряд важных и очевидных свойств электрона, атомов и молекул находились в явном противоречии с традиционной классической физикой.

Так, с момента их открытия было известно, что каждая микрочастица – это частица определенного типа. Электрон, независимо от того, в каком эксперименте он получен, имеет одинаковую массу, заряд и все другие характеристики, то же самое можно сказать и об атоме или молекуле определенного типа. Напротив, в классической механике массы, заряды и другие характеристики материальных частиц могут принимать любые значения. Классической механике вообще глубоко чуждо само понятие типа частицы. В течение долгого времени, однако, на это важное обстоятельство не было обращено должного внимания.

Открытие квантовых законов в 20-ые годы ХХ века и их последующее развитие показали, что классическая механика на самом деле непригодна для описания состояния микрочастиц, но представление о том, что в случае нерелятивистских микросистем их можно теоретически описать как совокупности фиксированного числа квантовых микрочастиц сохраняет силу. Нерелятивистскими называются такие микросистемы, в которых кинетические энергии и энергии потенциального взаимодействия микрочастиц, составляющих систему, намного меньше внутренних энергий этих частиц: mc2. Теория, описывающая нерелятивистские микросистемы, называется квантовой механикой. В отличие от релятивистской квантовой физики квантовая механика является практически завершенным разделом современной физики, хотя и в ней есть еще недостаточно разработанные важные вопросы. Одним из таких вопросов является вопрос о том, как описывать микропроцессы, протекающие в условиях не полной изоляции микрообъектов от внешнего мира. Разработка методов теоретического описания таких процессов очень важна, в частности, для создания квантовых компьютеров. Дело в том, что процессорами в этих компьютерах являются сложные квантовые системы, которые для идеальной работы компьютера должны быть полностью изолированы от внешнего мира на все время проведения вычисления. К сожалению, чем большее число микрочастиц входит в состав квантового процессора и чем большее время он должен работать в условиях изоляции для решения более трудоемких задач, тем сложнее обеспечить такую изоляцию практически. Ясно, что очень важно научиться описывать процессы, происходящие в квантовых компьютерах в условиях их неполной изоляции от внешнего мира, и на основе полученных результатов научиться бороться с внешним влиянием или как-то учитывать, или компенсировать его. Эти проблемы в настоящее время интенсивно разрабатываются, но задачи, возникающие в этой области, очень сложны и до создания завершенной теории здесь еще далеко. К проблемам подобного типа тесно примыкает еще одна фундаментальная проблема, которая, быть может, не столь актуальна в прикладном отношении, но чрезвычайно интересна с принципиальной точки зрения. Речь идет о том, чтобы понять, как с учетом квантовых законов можно объяснить причину того, что для описания макроскопических систем с высокой точностью применима классическая физика. Нельзя не отметить в связи с последней проблемой одну удивительную черту квантовой механики, которая хорошо охарактеризована в книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица «Квантовая механика» [3]: «…квантовая механика занимает очень своеобразное положение в ряду физических теорий – она содержит классическую механику как свой предельный случай и в то же время нуждается в этом предельном случае для самого своего обоснования».

Развитие квантовой механики показало, что при описании сложных нерелятивистских микросистем зачастую возможно рассматривать их как совокупности микрочастиц, которые не являются традиционными элементарными частицами (электронами, протонами, нейтронами и пр.), а сами включают в себя то или иное число этих частиц, т.е. являются частицами составными. Так, при рассмотрении термодинамических и кинетических свойств жидкого или твердого гелия, эти системы вполне можно описывать как совокупности атомов гелия, забывая о внутренней структуре этих атомов;

при описании свойств атома незачем включать в рассмотрение внутреннюю структуру его ядра, которое при решении задач физики атома вполне может считаться отдельной «элементарной»

микрочастицей со своим зарядом, дипольным магнитным и электрическим квадрупольным моментами;

при описании ядерно-физических процессов можно пренебречь сложной внутренней структурой нуклонов, считая ядро совокупностью протонов и нейтронов, число которых не меняется в ходе ядерных процессов и т.д. Установлено, что составные частицы (атомы гелия, атомные ядра, нуклоны в ядре и др.) могут рассматриваться как «элементарные» составляющие сложного микрообъекта при выполнении следующих условий, которые должны быть наложены на процессы, в которых участвуют исследуемые объекты: во-первых, энергии внутреннего возбуждения таких «элементарных» частиц должны быть намного больше, чем их кинетические энергии и потенциальные энергии их взаимодействия, во-вторых, размеры таких «элементарных» частиц должны быть заметно меньше расстояния между ними. В случае, например, атома гелия энергия его внутреннего возбуждения порядка 20 эВ, в то время как кинетические энергии атомов гелия и потенциальные энергии их взаимодействия в жидком или твердом гелии порядка тысячных долей электрон-вольта. Размеры атомов гелия в жидком и твердом гелии, в свою очередь, существенно меньше межатомных расстояний. Типичные энергии внутренних возбуждений атомного ядра порядка нескольких миллионов электрон-вольт, в то время как энергии взаимодействия ядра с электронами в атоме на несколько порядков меньше, а размеры ядер, как правило, существенно меньше радиусов электронных оболочек в атомах. В случае нуклонов в ядре энергии их взаимодействия (порядка нескольких миллионов электрон-вольт) существенно меньше энергий внутреннего возбуждения нуклонов (порядка сотни миллионов электрон-вольт).

Понятно, что возможность использования составных частиц в качестве «элементарных» частиц в составе сложной микросистемы зависит от того, какие процессы с участием этой системы мы рассматриваем. Так, если рассматривать процессы взаимодействия с жидким или твердым гелием электронов с энергиями, большими нескольких электрон-вольт, пренебрегать сложной внутренней структурой атома гелия уже нельзя. Аналогично, нельзя пренебрегать внутренней структурой ядра, если энергии частиц, например, электронов, сталкивающихся с атомом, превышают несколько миллионов электрон-вольт и т.д. В то же время, возможность использования составных частиц в качестве «элементарных» частиц, из которых состоит более сложный микрообъект, может не только резко упростить теоретическое описание этого объекта, но, вообще, сделать такое описание принципиально возможным. В самом деле, если бы при описания свойств атома было необходимо учитывать строение ядра, а также составляющих его нуклонов, никакой теории атома не могло бы существовать.


Резюмируя, можно заключить, что любая микроскопическая нерелятивистская физическая система в заданных условиях ее существования определяется числом микрочастиц каждого типа, входящих в ее состав.

Число таких частиц в ходе рассматриваемых процессов не изменяется. С точки зрения таких свойств физических систем, используемых в квантовой механике, квантовая механика похожа на классическую механику.

Принципиальное отличие между ними возникает лишь при описании состояния физических систем. Этот вопрос рассматривается в следующей главе, где также подробно описан математический аппарат, необходимый для построения нерелятивистской квантовой механики.

Задание 1.1.3.

1. Почему существование типов микрочастиц (электронов, атомов, молекул) плохо согласуется с классической физикой?

2. Каким образом можно охарактеризовать сложные нерелятивистские микросистемы?

3. При каких условиях составные частицы (атомы гелия, атомные ядра, нуклоны и т.д.) могут считаться «элементарными» частицами, составляющими сложный микрообъект? Привести примеры.

4. В каком случае необходимо учитывать сложную внутреннюю структуру составных частиц в сложном нерелятивистском микрообъекте?

5. Какие микропроцессы изучает квантовая механика?

1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ И АКСИОМАТИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.

1.2.1. Пространство состояний и векторы состояний.

Одним из основных утверждений квантовой механики является утверждение о том, что каждой нерелятивистской физической системе соответствует пространство H, которое является многомерным (чаще всего – бесконечномерным) линейным векторным комплексным пространством.

Такие пространства в квантовой механике называются пространствами состояний. Второе утверждение, конкретизирующее первое, состоит в том, что чистые состояния физической системы описываются векторами, принадлежащими ее пространству состояний, которые имеют единичные нормы. Такие векторы называют векторами состояния. Сделанные утверждения конкретизируются в данном разделе.

Кратко рассмотрим сначала вопрос о том, что такое линейное векторное комплексное пространство и каковы его свойства. Линейное векторное комплексное пространство H - это множество элементов, называемых векторами, которые удовлетворяют ряду аксиом, перечисленных ниже.

1. Любым двум элементам из H :, H и любым двум комплексным числам, отвечает линейная комбинация этих векторов (которая в квантовой механике часто называется суперпозицией векторов), также принадлежащая H :

H. (1.2.1) 2. В пространстве H есть единственный вектор, называемый нулевым вектором, который обладает следующим свойством: при сложении вектора и любого вектора из H получается тот же вектор : + =.

3. Сумма векторов в (1.2.1) удовлетворяет всем обычным алгебраическим правилам: эта сумма коммутативна, ассоциативна, дистрибутивна, коэффициенты, могут записываться как слева от векторов, на которые они умножаются, так и справа, при умножении суммы коэффициентов на вектор можно стандартным образом вскрывать скобки и т.д.

Для обозначения векторов используются различные буквы греческого и латинского алфавитов как строчные, так и заглавные:,,,, u, v, w и т.д.

Отметим, что векторные пространства, используемые в квантовой механике, называются комплексными в силу комплексности чисел,, с помощью которых строятся линейные комбинации векторов. В дальнейшем для краткости, говоря о векторных пространствах, слово «комплексные» мы будем часто опускать.

Нетрудно понять, что используемые в квантовой механике пространства состояний являются обобщением линейных вещественных векторных пространств, изучаемых в линейной алгебре. Между этими пространствами есть два очевидных отличия: во-первых, числа,, используемые для организации линейных комбинаций векторов в линейной алгебре, считаются вещественными, во-вторых, что более существенно, в линейной алгебре рассматриваются только конечномерные пространства, а в квантовой механике чаще приходится иметь дело с бесконечномерными пространствами состояний. Однако, если для строгой математики последнее отличие - принципиальное, при работе на физическом уровне строгости, что мы и будем делать, это отличие не так существенно, и мы будем работать с бесконечномерными пространствами так, как будто они конечномерные.

Накопленные в настоящее время опыт использования математического аппарата квантовой механики показывает, что такое достаточно вольное обращение с бесконечномерными пространствами состояний не приводит в типичных ситуациях к ошибкам.

Перечисленным аксиомам линейных векторных пространств может удовлетворять не только все пространство состояний H, но и различные подмножества векторов из этого пространства, если эти подмножества удовлетворяют указанным выше требованиям, предъявляемым к векторным пространствам. Такие подмножества H ’ называют подпространствами пространства H : H ’ H.

Указанный способ обозначения векторов в пространствах состояний традиционен для математической литературы и широко используется последнее время также и в литературе по квантовой механике. В физическую литературу он был впервые введен И. фон Нейманом. Некоторым недостатком этого способа обозначения векторов является то, что читатель должен из контекста понимать, какие из величин являются числовыми, а какие – векторными.

Другой способ обозначения векторов, который также широко используется в физической литературе, был предложен раньше, чем неймановский способ, великим английским физиком Полем Дираком в его замечательной книге «Принципы квантовой механики» [4]. В формализме Дирака вводятся два пространства состояний: пространство состояний «кэт»

векторов, которое почти полностью аналогично описанному выше пространству состояний, но векторы в котором в отличие от введенных векторов помечаются треугольными скобками, и сопряженное пространство «бра» векторов, которое не имеет аналога в проведенном выше рассмотрении. «Кэт» векторы обозначаются следующим образом:,,..., а в «бра» векторах скобки перевернуты:,,..... Внутри треугольных скобок могут фигурировать те же буквы, что и в неймановских обозначениях.

В некотором смысле «кэт» и «бра» векторы соответствуют ко- и контравариантным векторам в афинной геометрии. Ниже мы будем чаще использовать неймановские обозначения, но в ряде случаев, когда это удобно и отвечает традициям, мы будем также пользоваться и дираковскими обозначениями, как это нередко делается в современной физической литературе.

Кроме операции линейной комбинации векторов, в пространстве состояний H вводится также важная для математического аппарата квантовой механики операция вычисления скалярного произведения векторов. Считается, что каждой паре векторов, H отвечает, в общем (, ).

случае, комплексное число, обозначаемое как: Скалярные произведения векторов в рассматриваемых комплексных пространствах состояний должны удовлетворять трем аксиомам, которые выполняются для любых векторов-сомножителей:

1. (, ) (, )*, 2. (,) 0, причем (,) = 0 тогда и только тогда, когда =, 3. (,(1 + 2)) = (,1) + (,2).

Важным следствием аксиом 3 и 1 является следующее утверждение, которое будет очень широко использоваться в дальнейшем (см. вопросы для самоконтроля к данному разделу):

3*. ((1 + 2), ) = *(1, ) + *(2, ).

В отличие от неймановского формализма, где можно скалярно перемножать любые два вектора из пространства H, в формализме Дирака.

скалярно перемножать можно только «бра» и «кэт» векторы:

Перечисленные три аксиомы скалярного произведения в дираковском формализме имеют полностью аналогичный вид, и мы их еще раз приводить не будем.

Введем полезное для дальнейшего определение. Ненулевые векторы, скалярное произведение которых равно нулю, по аналогии с евклидовой геометрией трехмерного пространства называют ортогональными.

Теперь мы можем точнее сформулировать второе, из приведенных в начале данного раздела, утверждение квантовой механики. Согласно этому утверждению, чистым состояниям микросистемы соответствуют векторы из пространства состояний этой системы H, нормированные на единицу.

Последнее означает, что: (,) = 1. Такие векторы часто называют нормированными или имеющими единичную норму. (Нормой вектора называется арифметическое значение корня квадратного из произведения (, ). С использованием первой и второй аксиом вектора на себя:

скалярного произведения легко доказать, что норма любого вектора вещественна, не отрицательна и равна 0 только в случае нулевого вектора.

Норма является аналогом длины вектора в трехмерном евклидовом пространстве.) Важным понятием теории многомерных векторных пространств является понятие размерности. Чтобы определить его, введем сначала определение линейной независимости векторов. Множество ненулевых векторов {n} называется линейно-независимым, если единственным n n решением уравнения является тривиальное решение, т.е.

n единственным решением этого уравнения является решение, в котором все коэффициенты n равны нулю. Перейдем к определению размерности пространства. Размерностью многомерного векторного пространства называется максимальное число ненулевых линейно-независимых векторов в этом пространстве. Множество таких векторов в квантовой механике часто называют полным набором векторов или кратко – полным набором или базисом. Понятно, что в силу того, что число векторов в полном наборе является максимально возможным числом линейно независимых векторов в H, любой вектор из H может быть представлен как линейная комбинация векторов полного набора. В противном случае вектор, который, таким образом, оказывается линейно независимым от векторов исходного набора, надо включить в этот набор, что приведет к его расширению и, следовательно, к противоречию с исходным предположением. Размерности пространств состояний, используемых в квантовой механике, иногда могут быть конечными, как это имеет место, например, в пространстве спиновых состояний, но чаще приходится иметь дело с бесконечномерными пространствами.


Введение скалярного произведения позволяет определить очень важное для квантовой механики понятие полного ортонормированного набора. В простейших случаях наборы такого типа включают в себя дискретные множества векторов состояний: {n}. Эти наборы могут быть либо конечными, либо бесконечными в зависимости от размерности пространства состояний. Ортонормированность набора означает, что скалярное произведение любой пары векторов из этого набора равно либо нулю, если векторы различны, либо единице, если векторы одинаковы:

(n, n ) nn, (1.2.2) где nn - символ Кронекера.

Ясно, что с учетом соотношения (1.2.2) все векторы рассматриваемого набора {n} нормированы на единицу. Обратим внимание также на то, что любое множество ортогональных векторов автоматически является линейно независимым.

Полнота набора { n } означает, что любой вектор из пространства состояний H может быть представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора { n } :

cn n. (1.2.3) n Используя соотношение (1.2.2) и аксиомы скалярного произведения, легко показать, что коэффициенты разложения в (1.2.3) могут быть найдены из соотношения:

cn (n, ). (1.2.4) Отметим, что разложение (1.2.3) является обобщением на случай многомерных комплексных векторных пространств хорошо известного из геометрии трехмерного евклидова пространства разложения вектора по ортонормированной системе ортов. Соотношение (1.2.4) также является обобщением хорошо известного из трехмерной геометрии факта:

коэффициенты разложения любого вектора по системе ортов равны ортогональным проекциям разлагаемого вектора на эти орты. Эти проекции cn часто называют компонентами или координатами вектора в заданном ортонормированном базисе. Из соотношения (1.2.4) очевидно, что все компоненты нулевого вектора в любом ортонормированном базисном наборе равны нулю.

Кроме дискретных базисных наборов, аналогичных наборам, используемым в векторной и линейной алгебре, в квантовой механике часто используются не имеющие аналога в конечномерных пространствах полные ортонормированные наборы, базисные векторы в которых нумеруются индексами, пробегающими непрерывные множества значений { ()}, где вещественная переменная принимает множество значений, характерное для используемого набора. Условие ортонормированности для таких векторов имеет более сложный вид по сравнению с (1.2.2):

( (), ()) ( ), (1.2.5) где ( ) - - функция (см. приложение 1).

{ ()} Условие полноты набора определяется аналогично предыдущему, но вместо суммы, фигурирующей в разложении (1.2.3), в данном случае возникает интеграл:

c() ()d, (1.2.6) где интегрирование проводится по области изменения переменной, которая, еще раз подчеркнем, захватывает те или иные участки вещественной оси, свойственные используемому набору.

В зависимости от рассматриваемого набора эти участки могут быть различными: они могут захватывать как всю числовую ось, так и ее отдельные части. Однако, сколь бы ни был мал участок числовой оси, на котором задано непрерывное множество значений, это множество значений, очевидно, содержит бесконечное число элементов, так что в рассматриваемом случае множество базисных векторов { ()} всегда является бесконечным, что возможно, в отличие от рассмотренного в (1.2.3) случая, только в бесконечномерных пространствах.

Обратим внимание на то важное обстоятельство, что с учетом соотношения (1.2.5), а также того, что (0) =, векторы () имеют бесконечные нормы. Это обстоятельство стоит обсудить подробнее. Легко понять, что векторы из H, имеющие конечные нормы, всегда можно нормировать на единицу: / (, ) 1, где вектор 1 является уже нормированным вектором. Понятно, что вектор, имеющий бесконечную норму, нормировать на единицу невозможно. Математика бесконечномерных векторных пространств, существовавшая в то время, когда разрабатывался аппарат квантовой механики, не допускала включения в бесконечномерные векторные пространства векторов с бесконечными нормами. Векторы типа рассматриваемых сейчас векторов () ввел в математический аппарат квантовой механики П. Дирак в конце 20-х годов. С точки зрения аксиоматики квантовой механики, согласно которой реальные состояния микросистемы описываются нормированными векторами состояния, введение в пространство состояний векторов с бесконечными нормами может показаться нелогичным. Тем не менее, оказалось, что введение таких векторов как вспомогательных объектов, как это ни удивительно, существенно упрощает математический аппарат квантовой механики и делает его более похожим на математический аппарат конечномерных векторных пространств. И. фон Нейман в 30-ые годы показал, как можно построить математический аппарат квантовой механики без введения векторов с бесконечными нормами, но для этого ему пришлось использовать значительно более сложные математические методы. Строгое математическое обоснование корректности дираковского подхода было дано только в 50-60-ые годы ХХ века после разработки теории обобщенных функций. С точки зрения этой теории векторы с бесконечными нормами являются формальными пределами последовательностей векторов с конечными нормами. Мы не будем более вдаваться в достаточно сложные детали этого обоснования, а будем действовать, как уже говорилось, в рамках так называемого физического уровня строгости, который при решении традиционных задач квантовой механики, как показывает накопленный опыт работы, не приводит к ошибкам.

С учетом соотношения (1.2.5), соотношение, аналогичное соотношению (1.2.4), записывается в случае разложения по непрерывному набору базисных векторов похожим образом:

c() ( (), ). (1.2.7) В ряде задач квантовой механики приходится иметь дело с полными ортонормированными наборами, часть векторов в которых нумеруются дискретными индексами, а часть – непрерывными. Условия ортонормированности имеют в случае таких наборов тот же вид, что и записанные ранее в соотношениях (1.2.2), (1.2.5), но надо иметь в виду, что векторы, нумеруемые непрерывными и дискретными индексами, всегда ортогональны друг другу. Разложение в таком случае содержит сумму по дискретным индексам и интеграл – по непрерывным.

Пользуясь аксиомами скалярного произведения и соотношениями, приведенными выше, легко выразить скалярное произведение векторов через коэффициенты их разложения по ортонормированным базисным наборам. В более простом случае разложения по дискретным базисным наборам скалярное произведение векторов записывается в виде:

(, ) ( cn n, a n n ) n n (1.2.8) * * c n a n ( n, n ) cn a n, n, n n где коэффициенты находятся из соотношения (1.2.4). Эти cn, an коэффициенты, естественно, являются компонентами разлагаемых векторов и в используемом базисном наборе { n }. Заметим, что при выводе (1.2.8) учтено следствие 3* из аксиом скалярного произведения.

Обратим внимание на стандартный для линейной алгебры вид правой части в соотношении (1.2.8). Комплексность компонентов cn, an обусловлена тем, что в квантовой механике используется комплексные векторные пространства.

Следует подчеркнуть, что в случае конечномерных пространств состояний скалярные произведения векторов, компоненты которых конечны, очевидно, всегда являются конечными величинами, в то время как в бесконечномерных пространствах сумма конечных величин в правой части (1.2.8) может оказаться бесконечной, включая случай вычисления квадрата нормы вектора, когда вектор умножается на себя. Поскольку, как уже было сказано выше, мы допускаем существование в пространстве состояний векторов с бесконечными нормами (но с конечными компонентами), эта возможность нас беспокоить не будет.

В случае разложения по ортонормированным полным наборам, векторы которых нумеруются непрерывными индексами, соотношение, аналогичное соотношению (1.2.8), записывается в виде интеграла:

(, ) c* ()a()d, (1.2.9) где коэффициенты c(), a() находятся из соотношения (1.2.7), а индекс пробегает положенное ему непрерывное множество значений на вещественной оси.

Если в базисном наборе часть векторов нумеруется дискретными, а часть – непрерывными индексами, то при разложении векторов по такому набору в правой части соотношения, аналогичного соотношениям (1.2.8) и (1.2.9), необходимо проводить суммирование по дискретным индексам и интегрирование – по непрерывным.

Задание 1.2.1.

1. В каком случае множество радиус-векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве, образуют двумерное подпространство этого трехмерного пространства?

2. Доказать, что в линейном векторном пространстве может быть только один нулевой вектор.

3. Доказать, что при умножении вектора на нулевое число получается нулевой вектор.

4. Пользуясь аксиомами скалярного произведения, доказать, что имеет место соотношение: ((1 + 2),) = *(1, ) + *(2, ). (Таким образом, при вынесении коэффициентов из левых частей скалярного произведения они выносятся комплексно-сопряженными. Говорят, что скалярное произведение линейно по своему правому сомножителю и антилинейно – по левому. Отметим, что такая ситуация традиционна для математического аппарата квантовой механики. В комплексных линейных пространствах, используемых в математике, ситуация обратная – скалярное произведение считается линейным по левому сомножителю и антилинейным – по правому.) 5. Пользуясь первой аксиомой скалярного произведения, доказать, что скалярное произведение вектора на себя обязательно вещественно.

6. Пользуясь аксиомами скалярного произведения, доказать, что имеет (, )(, ) (, ), называемое неравенством место неравенство:

Коши.

Указание: рассмотреть неотрицательное (почему?) выражение ( ( x iy), ( x iy)) 0, где х, у – вещественные числа, и найти его минимальное значение.

7. В каком случае в неравенстве Коши достигается равенство?

8. Какой смысл неравенство Коши имеет в трехмерном евклидовом пространстве?

9. Записать соотношения, аналогичные соотношениям (1.2.2) - (1.2.4) в трехмерном евклидовом пространстве.

10. Доказать неравенство: (, )(, ) (, ) (, ) / 4.

11. Для каких векторов это неравенство становится равенством?

12. Доказать неравенство: (, )(, ) (, ) (, ) / 4.

13. Для каких векторов это неравенство становится равенством?

14. Сопоставить систему аксиом скалярного произведения в линейной алгебре с системой аксиом, в пространстве состояний квантовой механики.

15. Доказать, что ортогональные векторы всегда являются линейно независимыми.

16. Пользуясь соотношениями (1.2.5) и (1.2.6) доказать соотношение (1.2.7).

17. Дать развернутый вывод соотношений (1.2.8) и (1.2.9).

18. Доказать, что коэффициенты в разложениях (1.2.3) и (1.2.6) определяются единственным образом.

1.2.2. Наблюдаемые величины, операторы и базисные наборы.

Введенные в предыдущем разделе определения и полученные там результаты не дают еще ответа на один из основных вопросов квантовой механики - вопроса о том, как находить вероятности получения тех или иных значений тех или иных наблюдаемых величин в ходе измерения, проведенного над микросистемами, входящими в чистый ансамбль, состояние которых описывается, как указано в предыдущем разделе, нормированным на единицу вектором состояния. Иными словами, нам необходимо ответить на вопрос о том, каким образом, зная вектор, теоретически предсказать статистические свойства ансамбля, системы в котором описываются этим вектором. Ответ на этот вопрос дается в следующем разделе, а в данном разделе рассматривается необходимый для понимания этого ответа математический аппарат.

Чтобы получить ответ на этот важнейший для квантовой механики вопрос, необходимо ввести математические величины, которые в математическом аппарате квантовой механики соответствуют наблюдаемым величинам. Установлено, что такими математическими величинами являются эрмитовы операторы, действующие в пространстве состояний H рассматриваемой микросистемы, определение которых дается ниже.

Определим сначала более общее понятие оператора, используемое в квантовой механике. Будем понимать под оператором A правило, которое ставит в соответствие любому вектору из пространства состояний другой вектор из этого же пространства:

A. (1.2.10) Оператор иногда называют также вектор-функцией, поскольку аргумент этой функции - является вектором и значение ее - также является вектором. Функция же, как известно, является правилом, которое устанавливает соответствие между ее аргументами и значениями.

В квантовой механике для обозначения операторов используются чаще всего прописные и заглавные буквы латинского алфавита, но бывает, что используются и буквы греческого алфавита. Признаком оператора всегда является традиционная для квантовой механики «шляпка» над соответствующей буквой.

Обратим внимание на то, что умножение вектора на число, согласно определению (1.2.10), также является оператором. В связи с этим мы в дальнейшем не будем противопоставлять числа, являющиеся частным случаем операторов, и операторы, но будем при этом писать числа, понимаемые как операторы, все же без традиционной «шляпки».

Квантовая механика чаще всего имеет дело с линейными операторами, действующими на любую линейную комбинацию векторов по следующему правилу:

A(1 2 ) A1 A2. (1.2.11) Операторы можно перемножать, складывать и умножать на комплексные числа. Правило, согласно которому оператор, равный произведению операторов A и B, действует на произвольный вектор состояния, имеет вид:

( AB) A( B), (1.2.12) т.е. сначала на вектор действует оператор B, а на полученный в результате этого вектор B действует оператор A. Отсюда легко получить, что оператор, являющийся произведением линейных операторов, линеен.

Ясно, что произведение операторов в общем случае не является коммутативным, т.е. результат действия на какой-либо вектор операторов A и B зависит от порядка их действия. Если все же оказывается, что результат действия на любой вектор операторов A и B не зависит от порядка их действия, такие операторы называют коммутирующими. Понятно, что в этом случае можно считать, что A B = B A, или A B - B A = 0. Разность произведений операторов A B - B A = [ A B ] называется коммутатором операторов A и B. Коммутатор коммутирующих операторов, понятно, равен 0, т.е. является нулевым оператором.

Уместно сказать несколько слов о свойствах нулевых операторов.

Линейный оператор A называется нулевым, если при его действии на любой вектор из пространства состояний получается нулевой вектор. Иными словами, линейный нулевой оператор обладает теми же свойствами, что и операция умножения вектора на нуль. В силу этого ниже нулевые операторы будут отождествляться с числом 0. Обратим внимание на существование простого, но полезного признака того, что линейный оператор A является нулевым. Легко убедиться в том, что нет нужды выяснять, каков результат действия этого оператора на любой вектор из пространства состояний, достаточно убедиться в том, что при действии этого оператора на любой вектор n из ортонормированного полного набора {n} мы получаем нулевой вектор. Чтобы доказать это, рассмотрим действие нулевого оператора A на произвольный вектор из пространства состояний, разложим этот вектор по базису {n} и учтем линейность оператора A:

A A cn n cn An cn.

n n n Аналогично рассмотренному выше произведению операторов можно ввести также и правило действия линейной комбинации операторов на вектор:

(A B) A B. (1.2.13) Нетрудно понять, что линейная комбинация линейных операторов является также линейным оператором.

Рассмотрим теперь, как записать соотношение (1.2.10) в определенном базисном наборе для случая линейного оператора A. Начнем рассмотрение с дискретного ортонормированного набора { n } и разложим векторы из левой и правой частей соотношения (1.2.10) по векторам этого набора:

A cn n amm.

(1.2.14) m n Учитывая, что оператор A линеен, получим:

cn An amm.

(1.2.15) m n Скалярно умножая правую и левую части соотношения (1.2.15) на вектор m и учитывая третью аксиому скалярного произведения, мы приходим к нужному результату:

Amn cn am, (1.2.16) n где величины:

Amn (m, An ) (1.2.17) называются матричными элементами оператора A в базисе { n }.

Соотношение (1.2.16) можно рассматривать как результат стандартного для линейной алгебры действия квадратной матрицы с матричными элементами Amn на вектор-столбец с элементами cn, причем в результате этой операции возникает вектор-столбец с элементами am. В связи с этим ниже матрицы с матричными элементами Amn иногда будут обозначаться как ( A) (), где будет указываться как оператор, порождающий матрицу, так и базисный набор, в котором вычисляются матричные элементы оператора. В данном случае он указан вверху буквой. Круглые скобки, как обычно в линейной алгебре, используются для обозначения матриц.

Легко понять, что матрица оператора, являющегося линейной комбинацией нескольких операторов, может быть получена стандартным образом из матриц этих операторов с помощью вычисления такой же линейной комбинации этих матриц: (A B) () ( A) () ( B) (). Немного сложнее, но можно также доказать, что матрица произведения операторов равна стандартному для линейной алгебры произведению матриц операторов-сомножителей: ( AB) () ( A) () ( B) (). Таким образом, матрицы операторов удовлетворяют стандартным правилам матричной алгебры, но при этом надо иметь в виду, что матричные элементы операторов, используемых в квантовой механике, в общем случае являются комплексными числами.

При разложении векторов в правой и в левой частях соотношения (1.2.10) по векторам непрерывного базисного набора { ()} получаются соотношения, аналогичные (1.2.16) и (1.2.17), в которых вместо сумм фигурируют интегралы:

A(, )c()d a(), (1.2.18) где:

A(, ) ( (), A ()), (1.2.19) а интегрирование ведется по множеству значений, которое свойственно используемому набору { ()}.

Введем очень важное для математического аппарата квантовой механики понятие эрмитово-сопряженного оператора A, который, как мы сейчас увидим, может быть определен для любого линейного оператора A.

Оператор A называется эрмитово сопряженным оператору A, если для любых векторов, H выполняется равенство:

(, A) ( A, ).

(1.2.20) Нетрудно доказать, что оператор A, как и оператор A, является линейным оператором. Нетрудно доказать также, что матрица оператора A эрмитово сопряжена матрице оператора A, т.е. она получается из матрицы оператора A путем транспонирования и последующего комплексного сопряжения. Проверим последнее утверждение для случая дискретного базисного набора { n }. Положим в соотношении (1.2.20) m, n и с использованием приведенных выше определений и аксиом скалярного произведения получим:

Amn ( m, A n ) ( A m, n ) (1.2.21) (, A ) * ( A ) *.

n m nm Соотношение (1.2.21) доказывает сделанное утверждение.

Отметим, что с использованием соотношений (1.2.20) и (1.2.12) легко доказать простое и важное правило вычисления эрмитово-сопряженного оператора в случае, когда этот оператор является произведением операторов:

( AB) B A.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.