авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р.В. ВЕДРИНСКИЙ ...»

-- [ Страница 2 ] --

(1.2.22) В отличие от рассмотренного выше неймановского формализма, в котором принято, что оператор действует на вектор, стоящий справа от него, в формализме Дирака оператор действует направо на «кэт» векторы и налево на «бра» векторы: A, A. В этом случае матричный элемент оператора записывается в виде: A. Хотя в некоторых случаях такая форма записи оказывается удобной, в рамках дираковского формализма несколько сложнее определяется важное понятие эрмитово-сопряженного оператора. В этом - главная причина того, что дираковский формализм постепенно вытесняется из научной литературы и вместо него все шире используется неймановский формализм, традиционный для математической литературы, хотя вытеснение все же является далеко не полным и в ряде областей квантовой механики, в особенности – в литературе по ее основам, дираковский формализм до сих пор широко используется.

Среди разнообразных линейных операторов в квантовой теории чаще всего приходится иметь дело с эрмитовыми и унитарными операторами.

Определим их. Если:

A A, (1.2.23) линейный оператор A называется эрмитовым.

Если:

U U 1, (1.2.24) линейный оператор U называется унитарным.

Нетрудно доказать, что унитарные операторы сохраняют скалярные произведения векторов, т.е. для любых векторов и выполняется следующее равенство:

(U,U) (, ). (1.2.25) С учетом соотношения (1.2.25) унитарный оператор можно рассматривать как оператор совместного поворота всех векторов в пространстве состояний.

Исключительно важными для математического аппарата квантовой механики являются понятия собственных векторов (СВ) и собственных значений (СЗ) линейных операторов, которые находятся из уравнения:

A( A) An ( A), (1.2.26) n n где An – собственное значение оператора A с номером n, ( A) - собственный n вектор оператора A, отвечающий собственному значению An. Отметим, что здесь и в дальнейшем мы используем такие обозначения, из которых сразу ясно, какому именно оператору соответствуют данные СВ и СЗ. Отметим также, что уравнение (1.2.26) для краткости будет нередко называться в дальнейшем уравнением на собственные значения.

Множество всех собственных значений оператора называется его спектром. Спектры операторов, с которыми приходится иметь дело в квантовой механике, бывают как дискретными, так и непрерывными.

Вначале мы остановимся на более простом случае операторов, имеющих дискретные спектры и рассмотрим вопрос о том, что можно сказать о множестве СВ, отвечающих определенному СЗ.

Поскольку рассматриваемые операторы линейные, уравнение (1.2.26) является линейным однородным операторным уравнением. Вследствие этого при умножении собственного вектора на любое число мы снова получим собственный вектор того же оператора, отвечающий тому же СЗ. Изменяя произвольным образом это число, мы получим множество векторов, образующих одномерное линейное подпространство полного пространства состояний. Понятно, что все векторы в этом подпространстве являются коллинеарными и все они являются собственными векторами рассматриваемого линейного оператора A, отвечающими одному и тому же собственному значению An. Вполне возможен случай, когда за пределами такого одномерного подпространства нет векторов, являющихся собственными векторами оператора A, которые бы отвечали собственному значению An.

Очевидно, возможны и случаи, когда множество СВ оператора, отвечающих определенному СЗ, является множеством, которое содержит кроме коллинеарных также и неколлинеарные векторы. В таком случае это множество образует многомерное подпространство полного пространства состояний. Докажем это утверждение. Чтобы сделать это, возьмем любые два вектора из этого множество и образуем их произвольную линейную комбинацию. В силу линейности рассматриваемого оператора A любая линейная комбинация СВ, отвечающих определенному СЗ, будет СВ того же оператора, который отвечает тому же СЗ. Нулевой вектор, как мы сейчас увидим, также входит в это множество. Таким образом, это множество является линейным пространством, которое, очевидно, является подпространством полного пространства состояний.

Рассмотрим подробнее вопрос о нулевом векторе. Из соотношения (1.2.16) с очевидностью следует, что при действии любого линейного оператора на нулевой вектор мы снова получим нулевой вектор:

A. (1.2.27) Сопоставляя соотношения (1.2.27) и (1.2.26), легко убедиться в том, что нулевой вектор является тривиальным решением линейного однородного уравнения (1.2.26). При этом нулевой вектор отвечает любому собственному значению, поскольку при умножении нулевого вектора на любое число мы снова получаем нулевой вектор.

Если множество СВ, отвечающих некоторому СЗ, образует одномерное подпространство полного пространства состояний H, то это СЗ называют невырожденным, если это множество образует двумерное подпространство, то это СЗ называют двукратно вырожденным и т.д. В случае бесконечномерных пространств состояний возможны также случаи бесконечнократного вырождения СЗ.

Основной интерес для квантовой механики представляет задача на собственные значения в случае эрмитовых операторов. В этом случае легко доказать две важные теоремы.

Теорема 1 утверждает, что собственные значения эрмитовых операторов вещественны.

Для доказательства этого утверждения обратимся к уравнению (1.2.26) и будем считать, что оператор A эрмитов. Умножим скалярно левую и правую части уравнения (1.2.26) на вектор ( A) :

n ( ( A), A ( A) ) ( ( A), An ( A) ) n n n n (1.2.28) An ( ( A), ( A) ).

n n Преобразуем левую часть полученного соотношения с учетом эрмитовости оператора A и первой аксиомы скалярного произведения:

( ( A), A ( A) ) ( A ( A), ( A) ) n n n n (1.2.29) ( ( A), A ( A) )*.

n n Из соотношения (1.2.29) ясно, что левая часть в соотношении (1.2.28) вещественная. Заметим, что в правой части соотношения (1.2.28) стоит произведение собственного значения An на скалярное произведение собственного вектора на себя. Поскольку такое скалярное произведение в силу первой аксиомы скалярного произведения является вещественным, рассматриваемое собственное значение также должно быть вещественным.

Таким образом, первая теорема доказано.

Теорема 2 утверждает, что собственные векторы эрмитовых операторов, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.

Для доказательства этого утверждения запишем уравнение на собственные значения (1.2.26) для двух различных собственных значений An An рассматриваемого оператора A :

A( A) An ( A), (1.2.30) n n A( A) An( A). (1.2.31) n n Умножим скалярно правую и левую части уравнения (1.2.30) на вектор ( A) слева, а правую и левую части уравнения (1.2.31) - на вектор ( A) n n справа и вычтем правые и левые части полученных таким образом равенств друг из друга:

(( A), A( A) ) ( A( A), ( A) ) ( An An )(( A), ( A) ), n n n n n n где при выводе учтено, что собственные значения эрмитовых операторов согласно теореме 1 являются вещественными.

В силу эрмитовости оператора A, левая часть в последнем соотношении равна нулю. Поскольку по условию доказываемой теоремы рассматриваемые собственные значения различны, скалярное произведение (( A), ( A) ) при n n равно нулю, что и требовалось доказать.

n n Можно аналогичным образом также доказать, что собственные значения любого унитарного оператора по модулю равны единице, а его собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, как и в случае эрмитовых операторов, ортогональны друг другу.

Пусть рассматриваемый эрмитов оператор A имеет дискретный невырожденный спектр (т.е. все его СЗ не вырожденные). В таком случае каждому СЗ отвечает одномерное подпространство собственных векторов.

Выберем в каждом из этих подпространств вектор, нормированный на единицу, т.е. вектор единичной длины. В результате мы получим множество ортонормированных векторов {( A) } : (( A), ( A) ) nn, которые однозначно n n n нумеруются СЗ оператора A. Если пространство состояний конечномерное, используя методы линейной алгебры, нетрудно доказать, что в таком случае множество векторов {( A) } образует полный ортонормированный набор в n этом пространстве. В квантовой механике принимается без доказательства утверждение о том, что подобный результат сохраняет силу и в бесконечномерных пространствах состояний. Это утверждение широко используется в квантовой механике. При решении традиционных квантово механических задач, как показывает опыт, оно не приводит к ошибкам.

Таким образом, в рассматриваемом случае эрмитова оператора с дискретным невырожденным спектром можно утверждать, что этот оператор практически однозначно порождает ортонормированный базисный набор. Единственная неоднозначность в выборе векторов этого набора, возникающая в случае комплексных линейных пространств, обусловлена произволом в выборе фазовых множителей (множителей с единичным модулем) у этих векторов.

Именно, если мы умножим каждый вектор в множестве {( A) } на n коэффициент, равный единице по модулю, полученный набор вновь будет полным ортонормированным набором СВ рассматриваемого эрмитова оператора. Как выяснится в дальнейшем, эта неоднозначность снимается требованием того, чтобы матрицы важнейших эрмитовых операторов имели стандартный вид (см. главы 1.4 и 1.5).

В случае, если рассматриваемый эрмитов оператор имеет дискретный, но вырожденный спектр, уже нельзя считать, что этот оператор порождает полный ортонормированный набор в пространстве состояний, векторы которого однозначно нумеруются СЗ этого оператора. Напротив, по крайней мере, некоторым из этих СЗ отвечают многомерные подпространства полного пространства состояний. Введя в каждом таком подпространстве ортонормированный набор, можно построить полный ортонормированный набор в полном пространстве состояний, объединив наборы из каждого подпространства. Понятно, что все векторы в полученном полном наборе будут СВ рассматриваемого эрмитова оператора. Проблема состоит в том, что в данном случае эти СВ не могут быть однозначно пронумерованы СЗ рассматриваемого эрмитова оператора из-за вырожденности этих СЗ. Чтобы добиться важной для математического аппарата квантовой механики нумерации векторов базисного набора собственными значениями каких-либо эрмитовых операторов (см. подробнее следующий раздел 1.2.3), обычно требуют, чтобы векторы базисного набора были собственными векторами одновременно нескольких эрмитовых операторов, и это дополнительное требование определяет векторы базисного набора уже однозначно (естественно, также с точностью до выбора их фазовых множителей). Вопрос о том, какое минимальное число эрмитовых операторов должно быть включено в этот набор, решается для каждой микросистемы по-своему.

Будем для простоты считать, что для однозначного задания базисного набора достаточно двух эрмитовых операторов: A, B, имеющих дискретные вырожденные спектры:

A( AB ) An ( AB ), n n (1.2.32) n B( AB ) B ( AB ).

n Уравнения (1.2.32) однозначно (с точностью до выбора фаз СВ) определяют, согласно сделанному предположению, набор базисных векторов {( AB ) }. Эти векторы образуют ортонормированный ( (( AB ), ( AB) ) nn ) n n n полный набор векторов, которые однозначно нумеруются двумя СЗ: An, B двух эрмитовых операторов A, B. Понятно, что в более общем случае для нумерации базисных векторов приходится указывать собственные значения большего числа эрмитовых операторов.

Нетрудно показать, что операторы A, B, которые могут фигурировать в уравнениях (1.2.32), должны коммутировать друг с другом. Чтобы доказать это, найдем матричные элементы коммутатора операторов A, B в базисном наборе {( AB ) } :

n (( AB ),[ AB]( AB) ) (( AB ), ( AB BA)( AB) ) n n n n (1.2.33) (( AB ), ( An B B An )( AB) ) 0.

n n Поскольку набор {( AB ) } - полный, обращение в нуль всех матричных n элементов оператора [ A B] означает, что сам этот оператор равен нулю.

Немного сложнее можно доказать обратное утверждение, состоящее в том, что если два эрмитовых оператора коммутируют, существует, по крайней мере, один ортонормированный полный набор, векторы которого являются собственными векторами одновременно двух этих операторов. Это утверждение доказывается ниже в разделе 1.2.5, где вопрос о построении базисов с помощью коммутирующих эрмитовых операторов, имеющих вырожденные спектры, исследуется более подробно.

Полученные выше результаты можно почти дословно обобщить на случай, когда спектры двух рассматриваемых эрмитовых операторов, однозначно порождающих полные ортонормированные наборы, непрерывны.

Будем для простоты, как это часто делается, нумеровать собственные векторы этих операторов самими собственными значениями, которые принадлежат соответствующим непрерывным участкам СЗ операторов на вещественной оси. Тогда уравнения, аналогичные уравнениям (1.2.32), приобретают вид:

A AB A AB, (1.2.34) B AB B AB, где верхние индексы у векторов не указываются, поскольку нижние индексы сами ясно указывают, собственными векторами каких операторов являются эти векторы.

Следует иметь в виду, что собственные векторы операторов, отвечающие непрерывным собственным значениям, не могут быть нормированы на единицу, так как их нормы всегда бесконечны. Нормировка в этом случае осуществляется на - функцию:

( AB, AB ) ( A A)( B B). (1.2.35) Повторяя почти дословно слова, которые были сказаны выше о собственных векторах, отвечающих дискретным собственным значениям, мы приходим к аналогичному заключению, согласно которому набор векторов { AB } является полным ортонормированным базисным набором в пространстве состояний. Векторы этого набора однозначно (опять же, с точностью до выбора фазовых множителей у базисных векторов) порождаются в рассматриваемом частном случае двумя эрмитовыми операторами A, B и нумеруются их собственными значениями A, B.

Понятно, что в общем случае минимальный набор взаимно коммутирующих эрмитовых операторов, который однозначно порождает ортонормированный базис, может включать в себя не два, а большее число операторов, в пределе – даже бесконечно большое число. Вопрос о выборе такого набора операторов, о котором говорят как о полном наборе операторов, в каждом конкретном случае решается по-своему. Этот важный вопрос будет более подробно рассмотрен в дальнейшем при изучении пространств состояний различных конкретных микрообъектов.

Следует отметить, что, рассматривая в данном разделе важнейшую для квантовой механики задачу определения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов, мы провели все рассмотрение на языке векторов состояния и операторов, не переходя к их разложениям, типа разложений (1.2.16) или (1.2.18), по каким-либо определенным ортонормированным базисным наборам векторов. Основная причина этого, прежде всего, в том, что теоремы о собственных значениях и собственных векторах операторов, играющие важную роль в математическом аппарате квантовой механики, гораздо легче доказываются на векторно-операторном языке без перехода к какому-либо базисному набору. В то же время для количественного определения собственных векторов и собственных значений операторов, как правило, целесообразно перейти от операторов и векторов к матрицам операторов и компонентам векторов. Чтобы этот важный вопрос не затерялся среди других, мы рассмотрим его отдельно в заключительном разделе 1.2.7 данной главы.

Задание 1.2.2.

1. Пользуясь соотношениями (1.2.13), (1.2.16), (1.2.17), (1.2.18) и (1.2.19), доказать, что матрица линейной комбинации операторов равна соответствующей линейной комбинации матриц:

(A B) () ( A) () ( B) ().

2. Пользуясь соотношениями (1.2.12), (1.2.16), (1.2.17), (1.2.18) и (1.2.19)), доказать, что матрица произведения операторов равна произведению матриц операторов-сомножителей: ( AB) () ( A) () ( B) ().

3. Пользуясь определениями (1.2.12) и (1.2.13), доказать, что произведение линейных операторов есть линейный оператор и линейная комбинация линейных операторов также является линейным оператором.

4. Дать подробный вывод соотношений (1.2.18) и (1.2.19).

5. Доказать, что оператор, эрмитово-сопряженный линейному оператору, также является линейным оператором.

6. Используя соотношения (1.2.20) и (1.2.12), доказать соотношение (1.2.22).

7. Доказать соотношение: ( A ) A.

8. Используя определение эрмитова сопряжения (1.2.20) и аксиомы скалярного произведения доказать, что: (, A ) ( A, ).

9. Доказать соотношение (1.2.25).

10. Доказать, что собственные значения унитарных операторов по модулю равны единице.

Доказать, что собственные векторы унитарных операторов, 11.

отвечающие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.

12. Доказать с использованием соотношения (1.2.33), что в случае, если операторы A и B имеют общий набор собственных векторов, матричный элемент коммутатора [ A B ], вычисленный по любым векторам из пространства состояний, равен нулю.

1.2.3. Аксиоматика квантовой механики.

Как уже говорилось в предыдущем разделе, в квантовой механике утверждается, что любой наблюдаемой величине отвечает эрмитов оператор и обратно. После введения в разделе 1.2.2 необходимого математического аппарата мы в состоянии теперь дать точный ответ на вопрос о том, какой смысл имеет слово «отвечает». Согласно аксиоматике квантовой механики имеют место следующие утверждения:

1. Возможные значения наблюдаемой величины А, т.е. те значения, которые могут быть получены при однократном измерении этой величины с помощью соответствующего измерительного прибора, - это собственные значения эрмитова оператора A, отвечающего этой наблюдаемой величине. Отсюда следует, что множество возможных значений наблюдаемой величины совпадает со спектром эрмитова оператора, соответствующего этой величине. Это утверждение поясняет, почему в квантовой механике используются именно эрмитовы операторы. В самом деле, СЗ эрмитовых операторов всегда являются вещественными, как это и должно быть в случае наблюдаемых величин.

У первой аксиомы есть еще вторая часть, которая состоит в следующем. Если микросистема находится в чистом состоянии, описываемом вектором состояния ( A), который является СВ оператора A, n отвечающим собственному значению Аn этого оператора, при измерении наблюдаемой величины А в этом состоянии, мы не можем получить никакого другого значения кроме значение Аn.

Вторую часть первой аксиомы можно сформулировать несколько по другому. Именно, если имеется чистый ансамбль, все микросистемы в ( A), то при измерении котором описываются вектором состояния n наблюдаемой величины А в системах этого ансамбля результат измерения может быть предсказан со стопроцентной вероятностью: при всех измерениях мы получим одно и то же значение Аn. Следуя терминологии И.

фон Неймана, можно сказать, что такой ансамбль является бездисперсным по наблюдаемой величине А. Если стремиться к большей наглядности, то можно сказать, что все системы рассматриваемого ансамбля находятся в состоянии с определенным значением Аn наблюдаемой величины А.

2. Две наблюдаемые величины A и B, которым отвечают операторы A, B, одновременно измеримы тогда и только тогда, когда отвечающие им операторы коммутируют. В противном случае наблюдаемые величины одновременно не измеримы. При совместном однократном измерении одновременно измеримых величин A и B мы можем получить одну из пар СЗ операторов A, B : An, B.

Поясним эту аксиому. Пусть имеются две наблюдаемые величины A и B. Согласно аксиоме 1 возможные значения этих величин – это собственные значения An, B операторов A, B, которые отвечают этим наблюдаемым величинам. В квантовой механике считается, что величины A и B одновременно измеримы лишь в том случае, если для любой пары возможных значений этих величин An, B всегда существует такой чистый ансамбль, при измерении величины A в системах которого мы со стопроцентной вероятностью получим одно и то же значение An, а при измерении величины B опять же со стопроцентной вероятностью получим одно и то же значение B. Иными словами, одновременная измеримость означает, что для любых значений An, B наблюдаемых величин A и B существует такой чистый ансамбль, системам которого одновременно присуще значение An наблюдаемой величины A и значение B наблюдаемой величины B. Очевидно, что это возможно лишь в том случае, если вектор состояния микросистем в таком чистом ансамбле является собственным вектором одновременно двух операторов A, B, отвечающим собственным значениям An, B этих операторов. Перебирая все возможные значения величин An, B, мы придем к заключению о существовании множества векторов, являющихся СВ одновременно двух операторов A, B. Понятно, что такие векторы, отвечающие разным СЗ операторов A, B, ортогональны друг другу. Векторы в этом множестве СВ нумеруются всеми возможными СЗ An, B операторов A, B, так что это множество векторов образует полный набор в пространстве состояний. Как показано в разделе 1.2.2, такое множество векторов может существовать лишь в том случае, если операторы A, B коммутируют друг с другом.

Обратно, если операторы A, B коммутируют друг с другом, то согласно сказанному выше (это утверждение будет строго доказано ниже в разделе 1.2.5) существует по крайней мере один полный ортонормированный набор, все векторы которого являются СВ одновременно двух операторов A, B. Построив чистые ансамбли, системы в которых описываются такими векторами, мы получим ансамбли, обладающие оговоренными выше свойствами, т.е. ансамбли, бездисперсные и по наблюдаемой A, и по наблюдаемой B. Ясно, что системы таких ансамблей можно охарактеризовать определенными значениями двух наблюдаемых величин A и B.

Следует подчеркнуть, что использованное выше определение одновременной измеримости двух наблюдаемых величин не затрагивало вопрос о том, можно ли в ходе одного эксперимента реально измерить две наблюдаемые величины, операторы которых коммутируют. В квантовой механике считается, что если две наблюдаемые величины одновременно измеримы с точки зрения приведенного выше определения, такие величины, в самом деле, могут быть одновременно измерены в ходе одного измерения.

Ниже мы обсудим этот вопрос подробнее с несколько другой точки зрения.

Понятно, что в случае, если операторы A, B не коммутируют друг с другом, то обязательно найдутся такие собственные значения An, B этих операторов, что не существует ансамбля, во всех системах которого наблюдаемая величина A принимает значение An, а наблюдаемая величина B – значение B. (Если бы таких значений не было, операторы A, B согласно сказанному выше должны коммутировать.) 3. Если полный ортонормированный набор {( A) } однозначно (с точностью n до выбора фаз векторов) порождается эрмитовым оператором A, имеющим дискретный спектр, вероятность w()(An) (см. раздел 1.1.2) получения значения An наблюдаемой величины А при многократном повторении измерений в системах чистого ансамбля равна:

w( ) ( An ) (( A), ), (1.2.36) n где - вектор состояния, который описывает рассматриваемое чистое состояние исследуемого микрообъекта.

Понятно, что для получения искомых вероятностей w()(An) измерения должны быть многократно повторены в системах чистого ансамбля, состояние которых описывается вектором. Напомним, что вектор нормирован на единицу и определяется макроскопическими условиями приготовления соответствующего чистого состояния. Учитывая нормированность вектора и ортонормированность набора {( A) }, нетрудно n доказать важное и естественное свойство, которому обязательно должны w() ( An ) 1.

удовлетворять найденные вероятности w()(An):

n Если же СЗ оператора A вырождены, но если при этом полный {( AB ) } ортонормированный набор однозначно порождается двумя n эрмитовыми операторами A, B, имеющими дискретные спектры, то вероятность w()(An) получения значения An наблюдаемой величины А при многократном повторении измерений в системах чистого ансамбля, которые описываются вектором состояния, равна:

w( ) ( An ) (( AB ), ), (1.2.36а) n Обратим внимание на то, что из соотношений (1.2.36) и (1.2.36а) можно вывести утверждение, содержащееся во второй части аксиомы 1. Проведем вывод для более общего случая соотношения (1.2.36а). Пусть ( AB).

n Тогда из (1.2.36а) следует, что w( ) ( An ) nn в полном согласии с утверждением второй части аксиомы 1. С другой стороны, если вектор является суперпозицией векторов {( AB ) } с различными значениями n, то при n измерении наблюдаемой величины А в разных системах чистого ансамбля, которые описываются таким вектором состояния, мы будем получать разные значения этой наблюдаемой величины, несмотря на то, что в силу чистоты ансамбля, системы которого описываются определенным нормированным вектором состояния, все системы, входящие в него, должны считаться идентичными друг другу (см. раздел 1.1.2). Это еще раз подчеркивает тот факт, что значение наблюдаемой величины не является характеристикой микросистемы самой по себе, а формируется в результате целостного акта взаимодействия микросистемы и макроприбора. Ансамбль же характеризуется своими статистическими свойствами, которые с использованием соотношений (1.2.36) и (1.2.36а) можно полностью определить по известному вектору состояния микросистем, входящих в ансамбль. Обратим еще раз внимание на то, что выше рассматривался частный случай, когда наблюдаемые величины имеют дискретные спектры.

Понятно, что обобщение соотношения (1.2.36а) на случай, когда полный ортонормированный набор определяется не двумя, а большим числом наблюдаемых величин, делается очевидным образом. В разделе 1.2. будет выяснено, как искомые вероятности w()(An) могут быть найдены в самом общем случае.

(( AB ), ) Величины называются амплитудами вероятности n обнаружения при измерении величин A и B в состоянии собственных значений операторов, соответствующих этим наблюдаемым An, B величинам. Аналогично, величины (( AB ), ) являются соответствующими n вероятностями. Мы видим, таким образом, что с точки зрения математического аппарата квантовой механики процедура измерения – это процедура проецирования вектора состояния микросистемы на базисный вектор, который является нормированным собственным вектором соответствующего оператора наблюдаемой величины или в более общем случае - соответствующих операторов, если такие операторы коммутируют.

Согласно аксиоматике квантовой механики за всякой операцией проецирования векторов состояния на базисные векторы должна стоять реальная процедура измерения. Коммутативность операторов наблюдаемых величин гарантирует существование, по крайней мере, одного полного общего ортонормированного набора их собственных векторов, что открывает возможность для проецирования любого вектора состояния на векторы этого набора и делает необходимым существование измерительного прибора, осуществляющего такое проецирование.

4. В случае, если полный ортонормированный набор { A } однозначно определяется оператором A, имеющим непрерывный невырожденный спектр, то тогда плотность вероятности ( ) ( A) получения значения A наблюдаемой величины А при многократном повторении измерений в чистом ансамбле, системы в котором описываются вектором состояния, находится из следующего соотношения:

( ) ( A) ( A, ).

(1.2.37) Если же оператор A имеет вырожденный непрерывный спектр, а полный ортонормированный набор { AB } однозначно определяется двумя операторами A, B, имеющими непрерывные вырожденные спектры, то тогда соответствующая плотность вероятности ( ) ( A) оказывается равной:

( ) ( A) ( AB, ) dB, (1.2.37а) где интегрирование ведется по непрерывному множеству возможных значений В наблюдаемой величины В.

Отметим, что в случае наблюдаемых величин, имеющих непрерывные спектры, невозможно говорить о вероятности получения в ходе измерения строго определенного значения этих величин: такая вероятность, естественно равна нулю. В этом случае можно говорить только о плотности вероятности, которая равна отношению вероятности получить значение наблюдаемой величины, лежащее в малом интервале ее изменения A, к длине этого интервала.

Нетрудно доказать, что в любом случае плотность вероятности ( ) ( A) () ( A)dA 1, удовлетворяет очевидному условию нормировки: где интегрирование ведется по множеству возможных значений наблюдаемой величины A.

Замечание: понятно, что возможны также случаи, когда наблюдаемая А имеет дискретный спектр, а наблюдаемая В – непрерывный и наоборот. В первом случае в соотношении (1.2.36а) надо не суммировать по возможным значениям наблюдаемой величины В, а интегрировать, в то время как во втором случае в соотношении (1.2.37а) надо не интегрировать, по возможным значениям наблюдаемой величины В а суммировать. В этом случае соотношение (1.2.37а) принимает вид:

( ) ( A) (( B), ). (1.2.37б) An n Условие ортонормированности базисных векторов при этом записывается как:

(( B), ( Bn ) nn( A A).

) (1.2.38) A An В первом из указанных выше случаев условие ортонормированности записывается аналогичным образом, и мы не будем его приводить.

На основе введенных аксиом можно доказать очень важное для квантовой механики утверждение о том, что в случае, если микросистема описывается вектором состояния, то среднее значение наблюдаемой величины A в этом состоянии равно (, A) A, где A - оператор, отвечающий наблюдаемой величине A. Докажем это утверждение для более {( AB ) } общего случая, когда полный ортонормированный набор n порождается двумя эрмитовыми операторами A, B, имеющими дискретные вырожденные спектры. Используя соотношение (1.2.36а), получим для искомого среднего значения:

A ( ) An w( ) ( An ) An (( AB ), ) n n, n (, (nAB) ) An ((nAB), ) (, A(nAB) )((nAB), ) n, n, (, A( (( AB ), )( AB ) )) (, A ), n n n где при выводе использована первая аксиома квантовой механики, а также первая аксиома скалярного произведения.

Аналогичный результат можно получить, если операторы A, B или один из них имеют непрерывные спектры или же, если число операторов, порождающих базисный набор, более двух.

Ясно, что перечисленные выше аксиомы полностью решают сформулированную в главе 1.1 важнейшую задачу квантовой механики:

каким образом, используя математическую величину, описывающую чистое состояние микросистемы (как мы видели, это – нормированный вектор состояния), определить статистические свойства соответствующего чистого ансамбля.

С учетом результатов данного раздела целесообразно вновь вернуться к разложениям (1.2.3) и (1.2.6) векторов состояний по ортонормированным базисным наборам и переписать эти разложения заново. В соотношениях (1.2.3) и (1.2.6) мы не конкретизировали используемые наборы векторов, а сейчас, учитывая полученные выше результаты, будем считать, что эти наборы порождаются определенными эрмитовыми операторами. Как и ранее, будем для простоты предполагать, что ортонормированный полный набор {( AB ) } порождается двумя коммутирующими операторами A, B, которые n имеют дискретные вырожденные спектры, но которые совместно определяют полный ортонормированный набор {( AB ) } однозначно с точностью до n выбора фазовых множителей у векторов этого набора. Запишем теперь разложение, аналогичное разложению (1.2.3), вектора состояния по набору {( AB ) } в виде:

n ( An, B )( AB ), (1.2.39) n n, где ( An, B ) (( AB ), ) - коэффициенты разложения (компоненты вектора n в базисе {( AB ) } ), из вида которых сразу ясно, какой вектор состояния n разлагается, и какие наблюдаемые величины породили набор, по которому ведется разложение.

Как уже говорилось ранее, величина ( An, B ) является амплитудой вероятности обнаружения при измерении одновременно измеримых величин А и В их значений An, B, а квадрат модуля этой величины – это соответствующая вероятность. С другой стороны, множество амплитуд ( An, B ) вероятности можно рассматривать как комплекснозначную функцию, заданную на спектрах операторов A, B. Функция ( An, B ) в квантовой механике называется волновой функцией, отвечающей вектору состояния в АВ - представлении. Обратим внимание на то, что в отличие от функций, с которыми обычно приходится иметь дело в математическом анализе, волновая функция в общем случае задана не на всей числовой оси, а на спектрах операторов наблюдаемых величин, которые в данном случае пробегают дискретный набор значений.

Аналогичная ситуация возникает в случае, если операторы A, B, отвечающие одновременно измеримым величинам, имеют непрерывные спектры. Как и раньше, будем считать, что эти операторы порождают непрерывный ортонормированный базисный набор { AB }, по которому можно разлагать любые векторы из пространства состояний. Тогда соотношение (1.2.6) может быть переписано в виде:

( A, B) AB dAdB, (1.2.40) где величины (А,В) с учетом соотношения (1.2.37а) естественно называть амплитудами плотности вероятности получения при измерении одновременно измеримых величин А, В их значений А, В. Понятно, что с учетом сказанного выше квадраты модулей величины (А,В) - это соответствующие плотности вероятности.

Функция (А, В), заданная на непрерывных спектрах операторов A, B также называется волновой функцией, отвечающей вектору состояния в АВ - представлении. В зависимости от типа операторов их спектры могут занимать как всю числовую ось, так и ее отдельные участки.

В дальнейшем мы в ряде случаев не будем противопоставлять разложения по дискретным и непрерывным базисным наборам, а будем писать при разложении векторов по базисным наборам знак суммы, условно обозначающий суммирование по дискретной части спектра соответствующего оператора и интегрирование - по непрерывной части этого спектра, так что формально при разложении векторов состояния по базисным наборам мы будем пользоваться соотношением, внешне имеющим вид соотношения (1.2.39).

Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики, описанные в предыдущих разделах, дают исчерпывающие ответы на вопросы, поставленные в главе 1.1. Чтобы прийти к этим результатам, потребовалось около 30 лет интенсивной работы большого коллектива крупнейших физиков ХХ века, начиная с работ 1900 года выдающегося немецкого физика Макса Планка, который открыл существование кванта действия (постоянной Планка), и заканчивая работами конца 20-х годов П.

Дирака и начала 30-х годов И. фон Неймана, которые поняли, что математическим аппаратом, адекватным квантовой механике, является хорошо разработанная к этому времени в математике теория бесконечномерных векторных комплексных пространств и операторов в этих пространствах. Математический аппарат, разработанный П. Дираком и И.

фон Нейманом, с момента его создания не претерпел принципиальных изменений и до сих пор широко используется при решении задач квантовой механики. Основной заслугой П. Дирака и И. фон Неймана в разработке математического аппарата и аксиоматики квантовой механики было все же не получение принципиально новых результатов, а систематизация и математически наиболее адекватная формулировка результатов, полученных ранее Нильсом Бором, Луи де Бройлем, Эрвином Шредингером, Вернером Гезенбергом, Максом Борном и многими другими физиками. Надо все же отметить, что выявление важнейшей роли операции проецирования векторов состояния на векторы базисных наборов было сделано И. фон Нейманом, который разработал также математический аппарат описания статистических свойств ансамблей, которые не являются чистыми. Этот аппарат будет описан в дальнейшем в главе 1.7.

Завершая раздел, нельзя не остановиться на следующем важном обстоятельстве. И в этом разделе, и в предыдущих мы не рассматривали вопрос о том, как описываются динамические процессы в микросистемах (законы, описывающие такие процессы, будут рассмотрены ниже в главе 1.3): выше обсуждались только вопросы описания состояния микрообъектов в фиксированный момент времени и процедура измерения. Такого рада вопросы в любом разделе классической физики почти не затрагиваются, настолько очевидными они там являются. Напротив, в квантовой механике эти вопросы, как мы видели в предыдущих разделах, являются в высшей степени нетривиальными, и они потребовали разработки очень необычного, с точки зрения классической физики, математического аппарата. Отметим, что появление такого аппарата, на что было обращено внимание в главе 1.1, является естественным следствием рассмотренного в этой главе свойства целостности микрообъектов.

Задание 1.2.3.

1. Как связаны возможные значения наблюдаемых величин и собственные значения эрмитовых операторов, соответствующих этим величинам?

2. Если вектор состояния микросистемы является одним из собственных векторов эрмитова оператора, какие значения наблюдаемой величины, соответствующей этому оператору, могут быть получены при многократном измерении этой величины в чистом ансамбле, системы которой описываются таким вектором состояния?

3. Каковы условия одновременной измеримости и неизмеримости двух наблюдаемых величин?

4. Если измерения наблюдаемой величины А, оператор которой имеет дискретный невырожденный спектр, проводятся в чистом ансамбле, системы которого описываются вектором состояния, чему равна вероятность получить значение An этой наблюдаемой величины?

5. Доказать, что сумма этих вероятностей равна единице.

6. Если измерения наблюдаемой величины А, оператор которой имеет непрерывный невырожденный спектр, проводятся в чистом ансамбле, системы которого описываются вектором состояния, чему равна плотность вероятности получить значение A этой наблюдаемой величины?

7. Доказать, что интеграл от этой плотности вероятности по спектру оператора наблюдаемой величины равен единице.

w() ( An ) 1, где величины w()(An) определены 8. Доказать соотношение n в соотношении (1.2.36а).

9. Доказать соотношение ( ) ( A)dA 1, где величина ( ) ( A) определена в соотношении (1.2.37а).

10. Записать соотношение, аналогичное соотношению (1.2.36а) в случае, если спектр оператора В непрерывен.

11. Записать соотношение, аналогичное соотношению (1.2.37а) в случае, если спектр оператора В дискретен.

12. Какая величина называется амплитудой вероятности обнаружения n – ого значения наблюдаемой величины А, имеющей дискретный невырожденный спектр? Как выражается соответствующая вероятность через амплитуду вероятности?

13. Какая величина называется амплитудой плотности вероятности обнаружения А – ого значения наблюдаемой величины А, имеющей непрерывный невырожденный спектр? Как выражается плотность вероятности через амплитуду плотности вероятности?

14. Провести подробный вывод выражения для среднего значения наблюдаемой величины в случае, если ее оператор имеет дискретный спектр.

15. Провести подробный вывод выражения для среднего значения наблюдаемой величины в случае, если ее оператор имеет непрерывный спектр.

16. Что такое волновая функция, отвечающая вектору в А – представлении?

17. На каком множестве значений определена волновая функция?

18. Записать условие нормировки волновой функции.

1.2.4. Операторы проецирования, условие полноты наборов, функции от операторов.

Преобразование выражений, с которыми приходится иметь дело в квантовой механике, во многих случаях можно заметно упростить, если ввести в рассмотрение специальные операторы, называемые операторами проецирования или проекторами. Оператором проецирования на вектор единичной нормы называется оператор, переводящий любой вектор u из пространства состояний в вектор, коллинеарный вектору, длина которого равна ортогональной проекции вектора u на вектор. Легко понять, что такой оператор действует на вектор u по правилу:

u (, u ). (1.2.41) Нетрудно доказать, что оператор линеен и эрмитов. Поскольку оператор проецирования эрмитов, его собственные значения вещественны.

Этих значений два: 0 и 1. Собственному значению 1 отвечает собственный вектор, собственному значению 0 – любой вектор, ортогональный.

Доказать, что множество собственных значения оператора проецирования содержит только два элемента 0 и 1 несложно на основании простого, но полезного соотношения:

2. (1.2.42) При записи операторов проецирования очень удобным является формализм Дирака. В рамках этого формализма действие оператора проецирования можно представить в виде:

u ( ) u u. (1.2.43) В связи с этим ниже мы будем пользоваться дираковской формой записи для операторов проецирования:

. (1.2.44) Пользуясь дираковской системой обозначений, можно также ввести обобщенные операторы проецирования, где векторы и не обязательно нормированы. Обобщенный оператор проецирования действует на произвольный вектор u по правилу:

( )u (, u). (1.2.45) Следует заметить, что в соотношении (1.2.45) мы используем смешанные обозначения. Если пользоваться чисто дираковскими обозначениями, соотношение (1.2.45) запишется аналогично соотношению (1.2.43) в следующем виде:

( ) u u. (1.2.45а) Пусть полный ортонормированный набор {( AB ) } в пространстве n состояний порождается операторами A, B. Введем в рассмотрение оператор:

(nAB) (nAB) n, и докажем, что он равен единице:

(nAB) (nAB) 1. (1.2.46) n, Соотношения типа (1.2.46) в математике нередко называют разложением единицы.

Для доказательства (1.2.46) рассмотрим действие введенного оператора на произвольный вектор u:

( ( AB ) ( AB ) )u (( AB ), u )( AB ). (1.2.47) n n n n n, n, Ясно, что в правой части равенства (1.2.47) записано разложение вектора u по ортонормированному базисному набору {( AB ) }, ввиду чего n правая часть (1.2.47) равна исходному вектору u, что и доказывает соотношение (1.2.46) вследствие произвольности выбора вектора u.

Соотношение (1.2.46) позволяет сформулировать простое и очень полезное правило. Сделаем это на примере вычисления скалярного произведения векторов:

(, ) (,1) (, ( ( AB ) ( AB ) )) n n n, (1.2.48) (, ( AB ) )(( AB ), ).

n n n, где, согласно соотношению (1.2.46), единица заменена суммой проекторов на векторы ортонормированного полного набора {( AB ) }.

n Соотношение (1.2.48) можно истолковать как мнемоническое правило, позволяющее при вычислении скалярного произведения векторов «вставлять» между векторами-сомножителями любой полный ортонормированный набор векторов. Понятно, что совершенно аналогично можно доказать, что полный набор векторов можно «вставлять» между оператором и вектором, на который этот оператор действует. Этому правилу, очевидно, соответствует также и обратное правило: если в некотором выражении фигурирует «вставленный» полный ортонормированный набор векторов, то при необходимости его можно убрать. Такие правила полезны как в случае, если мы проводим вычисления в векторно-операторной форме и на некотором этапе работы хотим перейти к определенному представлению, т.е. к определенному базисному набору, так и в случае, если мы хотим перейти от выражения, записанного в определенном представлении, к соответствующему векторно-операторному выражению.

Выведенные правила очень удобны, если мы хотим перейти от одного представления к другому. Пусть в некотором пространстве состояний эрмитов оператор A порождает полный ортонормированный набор {( A) }, а n эрмитов оператор B порождает полный ортонормированный набор {(B ) }.

Во избежание недоразумений отметим, что сейчас мы для простоты рассматриваем случай, когда и оператор A, и оператор имеют B невырожденные спектры и каждый из них однозначно (с точностью до выбора фаз базисных векторов) порождает свой ортонормированный набор.

Обобщение на случай, когда операторы имеют вырожденные спектры, достаточно очевидно, и мы его делать не будем. Мы хотим, зная волновую функцию, отвечающую вектору в А представлении, найти волновую функцию этого вектора в В представлении. Согласно определению, которое было дано в конце предыдущего раздела (см. соотношение (1.2.39) и пояснение к нему), значения волновой функции, отвечающей вектору в В представлении, находятся из соотношения:

( B ) (( B ), ). (1.2.49) «Вставляя» в правой части (1.2.49) между сомножителями в скалярном произведении полный ортонормированный набор {( A) }, порождаемый n оператором A, мы получим:

( B ) (( B ), ) (( B ), ( A) )(( A), ) n n n (1.2.50) (( B ), ( A) ) ( An ) U BA) ( An ), ( n n n n где матрицу с матричными элементами U n ), осуществляющую требуемое (BA преобразование, часто называют матрицей преобразования.

Аналогичным образом можно перейти от матрицы любого линейного оператора C, записанной в А представлении, к матрице этого оператора в В представлении. Для этого вычислим матричный элемент C) линейного (B оператора C в В представлении через матричные элементы этого оператора в А представлении, пользуясь введенными правилами:

CB ) (( B ), C( B ) ) (( B ), ( A) )(( A), C( A) )(( A), ( B ) ) ( n n n n n, n (1.2.51) U BA) Cnn ) ((U ( BA) ) ) n, (A ( n n, n где (U (BA) ) - матрица преобразования с матричными элементами U n ).

(BA (Отметим, что в силу определения операции эрмитова сопряжения матриц строки эрмитово-сопряженной матрицы преобразований нумеруются так же, как столбцы исходной матрицы и – наоборот.) В связи с последним замечанием обратим внимание на то, что индексы и n в случае бесконечномерных пространств могут пробегать существенно разные множества значений: например, индекс может пробегать непрерывное множество, а n – дискретное. Ввиду этого матрица преобразований в бесконечномерных пространствах может быть, вообще говоря, аналогом неквадратной матрицы. Тем не менее, несложно доказать, что эта матрица унитарна. Докажем это. Рассмотрим произведение эрмитово сопряженной матрицы преобразований на саму матрицу и найдем матричные элементы произведения этих матриц:

((U BA ) ) n (U BA )n ((nA), (B) )((B), (nA) ) ((nA), (nA) ) nn Для более компактной записи соотношения (1.2.51) полезно воспользоваться правилами записи матриц операторов, предложенными в разделе 1.2.2, и определить матрицы оператора C в А и в В представлениях как (C ) ( A) и (C ) ( B ). В таком случае соотношение (1.2.51) может быть записано более компактно в виде следующего матричного соотношения:

(C ) ( B) (U ( BA) )(C ) ( A) (U ( BA) ).

(1.2.51а) Пользуясь операторами проецирования, можно также получить компактные аналитические выражения для функций от эрмитовых операторов. Такие функции широко используются в квантовой механике.

Функция от эрмитова оператора F ( A) определяется по аналогии с полиномом от соответствующего оператора:

m Pm ( A) ck Ak.

(1.2.52) k Очевидно, что согласно определениям произведений операторов и линейных комбинаций операторов, которые даны в соотношениях (1.2.12) и (1.2.13), полином от любого линейного оператора – это также линейный оператор. Пусть эрмитов оператор A совместно с некоторым эрмитовым B порождает полный ортонормированный набор {( AB ) }.

оператором n Очевидно, что полином от оператора A действует на любой вектор из набора {( AB ) } по правилу:

n Pm ( A)( AB ) Pm ( An )( AB ). (1.2.53) n n Это правило можно естественным образом обобщить на произвольную функцию F ( A) от линейного эрмитова оператора A. Именно, F ( A) - это также линейный оператор, действующий на любой вектор из набора {( AB ) } n по правилу, аналогичному (1.2.53):

F ( A)( AB ) F ( An )( AB ). (1.2.54) n n Несложно понять, что правило (1.2.54) позволяет выразить оператор через операторы проецирования на векторы полного F ( A) ортонормированного набора {( AB ) } :

n F ( A) F ( An ) ( AB ) ( AB ).

(1.2.55) n n n, Чтобы убедиться в справедливости равенства (1.2.55), надо подействовать оператором из правой части этого равенства на произвольный вектор из набора {( AB) } и показать, что в результате этого действия мы, n действительно, получаем правило (1.2.54). Проверка этого вывода осуществляется очень просто, и мы не будем делать этого.

Завершая третий раздел, вернемся к определению обобщенных операторов проецирования и покажем, как находить матрицы этих операторов. Будем находить матричные элементы рассматриваемых операторов в базисе {( A) } оператора A, имеющего для упрощения n рассмотрения дискретный невырожденный спектр. Тогда согласно соотношениям (1.2.17) и (1.2.45) искомые матричные элементы имеют вид:

( ( A), ( ) ( A) ) n n (1.2.56) (( A), )(, ( A) ) ( An ) ( An ).

n n n, n Как видно, матричный элемент обобщенного оператора проецирования равен произведению n - ой компоненты волновой функции, отвечающей вектору в А представлении на комплексно сопряженную n компоненту волновой функции, отвечающей вектору в этом же представлении. Этот результат допускает очень простую интерпретацию на языке линейной алгебры. Именно, чтобы получить матрицу обобщенного оператора проецирования в рассматриваемом базисе надо одностолбцовую матрицу с элементами {(An)} умножить на однострочную матрицу с элементами { *(An’)}, стоящую справа:

( A1 ) ( A2 ) ( A ) ( * ( A ) * ( A ) * ( A )..) (1.2.57) 3 1 2.

.

Ясно, что по правилам перемножения матриц такие матрицы перемножать можно и в результате их перемножения возникает квадратная матрица с нужными матичными элементами. Эта матрица и будет искомой матрицей обобщенного оператора проецирования в используемом представлении. Надо понимать, что если поменять местами матрицы сомножители в соотношении (1.2.57), перемножать их все равно можно, но в результате их перемножения возникает одноэлементная матрица, равная скалярному произведению векторов-сомножителей:

( A1 ) ( A2 ) ( ( A1 ) ( A2 ) ( A3 )..) ( A3 ) * * *. (1.2.58).

* ( An )( An ).

n Задание 1.2.4.

1. Доказать, что оператор проецирования линеен и эрмитов.

2. Доказать соотношение (1.2.42) и на его основе показать, что оператор имеет два собственных значения – 0 и 1.


3. Доказать соотношение (1.2.46).

4. Доказать, что обобщенный оператор проецирования линеен.

Доказать, что оператор, эрмитово-сопряженный обобщенному 5.

оператору проецирования, находится из следующего соотношения:

( ).

6. Как преобразуются компоненты волновой функции при переходе от одного представления к другому?

7. Как преобразуются матрицы операторов при переходе от одного представления к другому?

8. Написать матрицу оператора проецирования в трехмерном евклидовом пространстве на единичный вектор с заданными компонентами.

9. Записать в двумерном комплексном пространстве матрицу оператора проецирования на вектор с компонентами (1/2, i/2). Доказать, что норма этого вектора равна 1.

10. В двумерном комплексном пространстве заданы два вектора с компонентами (1/2, i/2);

(1/2, -i/2). Доказать, что они образуют ортонормированный набор в этом пространстве. Используя соотношение (1.2.46), доказать, что этот набор полный.

11. Доказать соотношение (1.2.55).

1.2.5. Построение пространств состояний сложных физических систем.

Хотя описанный в предыдущих разделах математический аппарат вполне достаточен для решения большинства типовых квантово механических задач, все же для понимания современной литературы, в особенности, литературы, посвященной фундаментальным проблемам квантовой механики, необходимо освоить ряд важных дополнительных вопросов математического аппарата квантовой механики, которые рассматриваются в данном разделе.

Начнем с определения линейной оболочки, натянутой на систему векторов. Рассмотрим дискретное множество линейно-независимых векторов {n} из пространства H и организуем всевозможные линейные комбинации этих векторов:

cn n, (1.2.59) n где cn – произвольные комплексные числа, включая нуль.

Легко понять, что, в силу своего определения, множество векторов (1.2.59) образует линейное векторное пространство, являющееся в общем случае подпространством пространства H. Такое подпространство часто называют линейной оболочкой, натянутой на векторы {n}. Понятно, что в случае, если введенные векторы образуют полный набор в пространстве H, линейная оболочка, натянутая на эти векторы, совпадает со всем пространством H.

Описанную процедуру можно обобщить на случай, когда с самого начала не требуется, чтобы рассматриваемые элементы {n} были векторами из некоторого пространства состояний. Эти элементы можно объявить ортонормированным набором векторов в новом пространстве состояний, которое еще предстоит определить, ввести в этом пространстве операцию линейной комбинации векторов и, рассматривая все возможные линейные комбинации типа (1.2.59), натянуть на введенный таким образом набор векторов линейную оболочку, которая, очевидно, уже и будет искомым линейным векторным пространством, причем набор векторов {n} будет полным ортонормированным набором в этом пространстве. Как мы увидим в дальнейшем, такая процедура построения новых пространств состояний широко, хотя порой и неявно, используется в квантовой механике.

Рассмотрим два часто встречающихся варианта построения новых пространств состояний. Пусть имеются два исходные пространства и пусть {(1) } - какой-либо ортонормированный состояний: H иH 1 2 n дискретный полный набор базисных векторов в пространстве H 1, а {( 2) } аналогичный набор в H 2.

Объединим эти два набора векторов в единый набор, добавляя к векторам первого набора векторы второго набора: {{(1) },{( 2) }}. Будем n считать полученный таким образом набор элементов ортонормированным набором векторов в новом пространстве и натянем на эти векторы линейную оболочку. Построенное таким образом новое пространство состояний (sum) называется прямой суммой H пространств H и H 2. Операция организации прямой суммы традиционно записывается следующим образом:

(sum) = H 1 H 2. Очевидно, что если «пространства-слагаемые» H 1 и H H (sum) конечномерные, размерность полученного пространства H равна сумме размерностей исходных пространств.

Например, организуя описанным образом прямую сумму двумерного пространства векторов на плоскости (x, y) и одномерного пространства векторов на оси (z), мы получим трехмерное евклидово пространство. Для доказательства этого утверждения введем базисный набор ортов (e1, e2 ) на плоскости (x, y) и базисный орт e3 в одномерном пространстве векторов на оси z. Объединим эти базисные наборы (e1, e2, e3 ), как это следует сделать при организации прямой суммы пространств. Ясно, что если натянуть на такой ортонормированный набор трех ортов линейную оболочку с вещественными коэффициентами, мы получим трехмерное векторное евклидово пространство.

Рассмотрим другой часто встречающийся вариант организации нового пространства из исходных пространств H H 2. В этом случае запишем 1и множество всевозможных пар векторов из множеств векторов {(1) } и {( 2) } :

n {(1) ( 2) }. В дираковском формализме такой набор векторов записывается в n виде: { (1) ( 2) }. Будем считать эти формальные (чаще говорят – внешние n или тензорные) произведения векторов ортонормированным набором в некотором новом пространстве и натянем на это множество векторов линейную оболочку. Полученное таким образом пространство называют (p) прямым (или тензорным) произведением H пространств H H 2.

1и Операцию организации прямого произведения пространств состояний (p) = H 1 H 2. Понятно, записывают традиционно следующим образом: H что в случае, если пространства-сомножители конечномерны, размерность прямого произведения равна произведению размерностей пространств сомножителей. Отметим, что при организации прямых произведений дираковские обозначения обладают некоторым преимуществом, так как при их использовании уже невозможно перепутать внешнее и скалярное произведения векторов, хотя и в неймановских обозначениях перепутать такие произведения непросто, так как при внешнем перемножении векторов нет круглых скобок, обязательных в обозначении скалярных произведений в математическом аппарате квантовой механики.

К сожалению, наглядных геометрических примеров организации прямых произведений пространств не существует. Даже прямое произведение двух двумерных пространств дает четырехмерное пространство. Хороший пример прямого произведения дают функциональные пространства. Пусть H - множество комплекснозначных функций на оси x: {f(x)}, а H 2 – аналогичное множество функций на оси y:

{(y)}. Каждую функцию в этих множествах можно рассматривать как один вектор в соответствующих пространствах. В самом деле, любая линейная комбинация таких функций есть функция из того же самого множества, нулевой вектор – это функция с нулевыми значениями и т.д. Такого рода векторные пространства называют функциональными. В функциональных пространствах скалярное произведение векторов традиционно вводится f1 ( x) f 2 ( x)dx ( f1, f 2 ).

* соотношением: Легко проверить, что такой интеграл, действительно, удовлетворяет всем аксиомам, которым должно удовлетворять скалярное произведение векторов. В рассматриваемых функциональных пространствах удобно ввести следующие базисные наборы:

{(2)-1/2exp(ikx)} в H и {(2)-1/2exp(ipy)} в H 2. Векторы этих наборов нумеруются вещественными величинами k и p, независимо и непрерывно пробегающими всю числовую ось. Скалярные произведения векторов в этих наборах являются – функциями. В самом деле, как показано в приложении [(2) 1 / exp(ikx)]*[(2) 1 / 2 exp(ik x)]dx (k k ). Любые векторы из H 1:

иH можно разложить по введенным наборам плоских волн и получить обычное разложение функций в интеграл Фурье (см. приложение 2). Таким образом, введенные наборы векторов являются непрерывными ортонормированными полными наборами в соответствующих функциональных пространствах. Поскольку экспоненты не убывают на бесконечности, базисные векторы из введенных наборов имеют, как это и должно быть, бесконечные нормы. Для организации прямого произведения рассматриваемых функциональных пространств H 1 и H 2 сопоставим каждой паре введенных базисных векторов из этих пространств новый вектор, построенный путем внешнего перемножения этой пары базисных векторов:

{(2)-1/2exp(ikx) (2)-1/2exp(ipy)} = {(2)-1exp(i(kx + py))}, и натянем на эти c(k, p)(2) exp(i(kx py))dkdp, где новые векторы линейную оболочку:

c(k, p) – произвольные коэффициенты. Полученный интеграл является двумерным интегралом Фурье, который представляет собой функцию двух переменных на плоскости (x, y). Таким образом, прямое произведение линейных пространств функций, определенных на осях x и y, есть пространство функций {f(x, y)}, определенных на плоскости (x, y).

После введения математических методов, необходимых для дальнейшего рассмотрения, вернемся к задаче исследования пространств состояний в квантовой механике. Пусть A - эрмитов оператор с дискретным (для простоты) спектром {An}. Как показано в разделе 1.2.2, каждому СЗ An оператора A отвечает множество СВ этого оператора, которые образуют (n) подпространство H полного пространства состояний H. Введем в каждом таком подпространстве полный (в этом подпространстве) ортонормированный набор векторов {( A) }. (Сейчас мы не стремимся n нумеровать векторы этого набора собственными значениями какого-либо дополнительного к оператору A эрмитова оператора, коммутирующего с ним, а просто довольствуемся тем, что нужный набор можно ввести.) Объединим введенные таким образом наборы, принадлежащие разным (n) подпространствам H, и натянем на полученную систему векторов cn (nA).

линейную оболочку В силу высказанного в разделе 1.2. n, предположения, традиционно принимаемого в квантовой механике, эта оболочка совпадает с полным пространством состояний H, поскольку по принятому предположению любой вектор из H всегда можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов эрмитова оператора. С учетом определений, введенных выше в данном разделе, мы видим, что полное пространство состояний H можно представить как прямую сумму (n) подпространств H собственных векторов рассматриваемого эрмитова оператора A, причем каждое из этих подпространств нумеруется соответствующим собственным значением An оператора A :


(n) H H … H …..

(1) (2) (3) H =H (1.2.60) где верхние индексы, нумерующие подпространства, – это номера СЗ An оператора A, собственные векторы которого, отвечающие этим СЗ, и составляют соответствующие подпространства. Понятно, что векторы из подпространств, которые нумеруются различными СЗ оператора A, в силу его эрмитовости, ортогональны друг другу.

Таким образом, любой эрмитов оператор с дискретным спектром разбивает пространство состояний на прямую сумму взаимно H ортогональных подпространств собственных векторов этого оператора, отвечающих его различным собственным значениям. Следует отметить, что обобщение проведенного рассмотрения на случай операторов с непрерывными спектрами наталкивается на определенные трудности.

Обсуждение того, что делать в этом случае, проводится в конце данного раздела.

Перейдем теперь к обещанному в разделе 1.2.2 доказательству теоремы о том, что два коммутирующих эрмитовых оператора всегда имеют, по крайней мере, один полный ортонормированный набор общих собственных векторов. Пусть эрмитов оператор B коммутирует с эрмитовым оператором A. Рассмотрим результат действия коммутатора операторов A, B, имеющих (для простоты) дискретные спектры, на любой СВ оператора A, который (n) принадлежит одному из подпространств H и учтем, что по условию доказываемой теоремы этот коммутатор равен нулю:

AB BA. (1.2.61) Учитывая, что согласно сделанному предположению есть СВ оператора A, отвечающий СЗ An, с использованием соотношения (1.2.61) получим:

A( B) An ( B). (1.2.62) (n) Из (1.2.62) следует, что вектор B H, поскольку этот вектор, согласно соотношению (1.2.62), есть СВ оператора A, отвечающий СЗ An.

Таким образом, эрмитов оператор B, действуя на векторы из подпространств (n), не выводит векторы, принадлежащие этим подпространствам, за H пределы этих подпространств, т.е. мы можем рассматривать каждое такое подпространство как отдельное пространство состояний, в котором, независимо от других подпространств, действует эрмитов оператор B.

Согласно соотношению (1.2.60), примененному независимо к каждому из (n) подпространств H, оператор должен разбивать каждое такое B подпространство на прямую сумму ортогональных подподпространств, векторы которых являются собственными векторами не только оператора A, но также и оператора B. Векторы в каждом из этих подподпространств отвечают определенному собственному значению оператора B, которые мы будем считать для простоты дискретными и обозначать B, считая для простоты, что индекс пробегает одно и то же множество значений во всех (n) подпространствах H :

(n) (n) H H … H …..

(n1) (n2) (n3) H =H (1.2.63) (n) (n) где H – подподпространство подпространства H.

Из сказанного выше ясно, что все векторы в каждом (n) подподпространстве H являются СВ одновременно двух коммутирующих эрмитовых операторов A, B. Эти векторы отвечают соответствующим собственным значениям An, B операторов A, B. Надо обратить внимание на то, что множество значений {B}, вообще говоря, может зависеть от значения (n) An, т.е это множество может быть разным в разных подпространствах H, что следовало бы учесть в нумерации величин B, но чаще всего в квантовой механике приходится иметь дело с простейшим частным случаем, когда такой зависимости нет (см. об этом ниже в данном разделе), ввиду чего мы не будем усложнять запись. Полученные выше результаты сохраняют силу и для операторов с непрерывными спектрами. Доказательство в этом случае является более сложным, и мы его не приводим.

(n) Если все подподпространства H - одномерные, из каждого из них можно однозначно (как и ранее, - с точностью до фаз базисных векторов) выбрать нормированный базисный вектор ( AB ) и получить, объединяя эти n векторы, полный ортонормированный набор векторов {( AB ) } в полном n пространстве H. Векторы этого набора являются СВ одновременно двух эрмитовых операторов: и B. Если же все или некоторые A (n) подподпространства H не являются одномерными, в них всегда можно выбрать (уже бесконечным числом различных способов) ортонормированные наборы { i( n )}, все векторы в которых являются СВ одновременно двух эрмитовых операторов: A и B, а индекс i нумерует ортонормированные (n) базисные векторы в подподпространстве H. Объединяя все такие векторы, мы снова получим полный ортонормированный набор в полном пространстве состояний H, векторы в котором по построению являются СВ одновременно двух эрмитовых операторов A и B, но таких наборов уже можно построить бесконечно много. Таким образом, теорема доказана.

Понятно, что во втором случае, когда все или некоторые (n) подподпространства H не являются одномерными, векторы полученного ортонормированного набора { i( n )}, являющиеся СВ одновременно двух эрмитовых операторов A и B, не нумеруются однозначно СЗ этих операторов, и для того, чтобы обеспечить такую нумерацию, важную для использования, согласно результатам раздела 1.2.3, базисных наборов в квантовой механике, нам придется вводить другие эрмитовы операторы, коммутирующие с операторами A и B, как об этом уже говорилось в разделе 1.2.2. Эта операция проводится полностью аналогично рассмотренной выше, и мы не будем на ней еще раз останавливаться.

Рассмотрим случай, когда двух эрмитовых операторов A и Bс дискретными вырожденными спектрами достаточно для однозначной нумерации векторов ортонормированного базисного набора в полном пространстве состояний. Существенным вопросом, возникающим в связи с проведенным выше рассмотрением, является вопрос о том, каковы спектры (n) оператора B в различных подпространствах H СВ оператора A. Если (n) спектры оператора B во всех подпространствах H одинаковы, т.е. между этими спектрами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то (n) все подпространства H можно также считать одинаковыми, точнее говоря, – изоморфными друг другу. (Во избежание недоразумений, отметим, что с учетом исходного упрощающего предположения спектры оператора B во (n) всех подпространствах H невырожденные.) В таком случае мы будем говорить о том, что наблюдаемые величины A и B являются не только одновременно измеримыми, но и независимыми величинами. Такой случай, понятно, является частным случаем, но с ним чаще всего, как уже говорилось выше, приходится иметь дело в квантовой механике. В (n) рассматриваемом случае все изоморфные пространства H можно изоморфно отождествить одному новому вспомогательному пространству H, в котором действует оператор B, соответствующий оператору B в этом (B) (B) подпространстве, который имеет в пространстве H уже невырожденный спектр, совпадающий со спектром оператора B во всех подпространствах H (n). В дальнейшем, следуя традициям квантовой механики, мы не будем различать операторы B и B. Обозначим ортонормированный набор (B) как {(B ) }. По собственных векторов оператора B в пространстве H построению эти векторы однозначно нумеруются СЗ оператора B. Введем (A) теперь в рассмотрение еще одно новое вспомогательное пространство H, в котором действует оператор A, имеющий в этом пространстве также невырожденный спектр, совпадающий со спектром оператора A в полном пространстве H. Так же, как и ранее, мы не будем отличать в дальнейшем операторы A и A. Обозначим СВ оператора A в H как ( A). Эти векторы (A) n однозначно нумеруются СЗ оператора и они образуют полный A (A) ортонормированный набор {( A) } в пространстве H, векторы которого n однозначно нумеруются СЗ оператора A. Организуем все возможные пары СВ {( A) } оператора A и СВ {(B ) } оператора во введенных B n (A) (B) вспомогательных пространствах и H H :

{( AB ) } {( A) ( B ) } { ( A) ( B) }. Будем считать, что полученные таким n n n образом векторы образуют ортонормированный базисный набор в новом пространстве. Натянем на векторы этого набора линейную оболочку и получим искомое новое пространство состояний, которое, очевидно, является (A) (B) прямым произведением вспомогательных пространств H иH.

Поскольку возникший полный ортонормированный набор в этом новом пространстве {( AB ) } изоморфен набору аналогичных векторов в исходном n полном пространстве H, мы можем считать построенное указанным образом пространство состояний эквивалентным пространству H. Таким образом, исходное пространство состояний можно представить как прямое (A) (B) произведение вспомогательных пространств H иH :

(A) H (В) H = H (1.2.64) Описанный способ построения новых пространств состояний широко используется в квантовой механике. К примеру, пусть оператор A - оператор какой-либо наблюдаемой величины, относящейся к «пространственному»

состоянию частицы (оператор координаты, импульса, момента импульса и др.), а оператор B - это оператор спиновой наблюдаемой величины (оператор проекции спина на какое-либо направление в трехмерном пространстве). Как установлено, спиновые и «пространственные» наблюдаемые величины одновременно измеримы, а спектры спиновых операторов не зависят от «пространственного» состояния частицы и обратно. Таким образом, «пространственные» и спиновые наблюдаемые величины не только одновременно измеримы, но и независимы. В связи с этим на основе сказанного выше можно ввести в рассмотрение пространство (r) «пространственных» состояний частицы H и пространство ее спиновых (s) (r) состояний H. Ясно, что пространство «пространственных» состояний H может быть реальным пространством состояний одной частицы, если ее спин равен нулю, что имеет место, например, для – мезона или атома He4.

Понятно также, что поскольку частиц без «пространственных»

характеристик нет, то не существует микрообъектов, состояние которых описывалось бы только векторами из пространства спиновых состояний, так что это пространство играет исключительно вспомогательную роль. Однако, если мы захотим построить пространство состояний H частицы со спином, например, электрона, что будет сделано в главе 1.5, то мы можем (r) (s) сконструировать его как прямое произведение пространств H иH :

(r) H (s) H = H (1.2.65) (r) (s) Понятно, что изучать свойства пространств H иH по отдельности проще, чем изучать свойства полного пространства состояний частицы со спином H, что и делает целесообразным использование соотношения (1.2.65) для построения этого пространства состояний. Мы воспользуемся этой возможностью в главе 1.5.

Другой важный пример. Пусть мы хотим построить пространство состояний двух различных частиц, например, пространство состояний протон-электронной системы. В квантовой механике установлено, что все наблюдаемые величины, относящиеся к различным частицам, одновременно измеримы и независимы. Введем в рассмотрение пространства состояний (1) (2) первой и второй частиц H иH. В силу всего сказанного выше (1+2) пространство состояний двух частиц H можно построить как прямое (1) (2) произведение пространств состояния первой и второй частицы H иH, что очень удобно делать при построении пространств состояний нескольких различных (нетождественных) частиц:

(1+2) (1) H (2) H =H (1.2.66) Следует обратить внимание на то, что в пространствах состояний двух или большего числа различных частиц есть наблюдаемые величины разной природы. Понятно, что всегда есть наблюдаемые величины, относящиеся к каждой отдельной частице, как то: координата, импульс, кинетическая энергия, потенциальная энергия во внешнем классическом поле, проекция спина и т.д. Такие наблюдаемые величины называются одночастичными, и с ними чаще всего приходится иметь дело в квантовой механике многочастичных систем. Важным примером наблюдаемой величины другого типа двухчастичной величины является потенциальная энергия взаимодействия двух частиц. Тречастичные и более сложные наблюдаемые величины встречаются в задачах квантовой механики намного реже.

Понятно, что если мы имеем дело с системой двух частиц, такие наблюдаемые величины вообще возникнуть не могут.

Рассмотрим структуру матричных элементов эрмитова оператора, отвечающего какой-либо одночастичной наблюдаемой величине в (1+2) пространстве состояний двух частиц H. Пусть для простоты полный (1) : {( A) } ортонормированный набор векторов в пространстве H n порождается эрмитовым оператором A, который имеет в этом пространстве невырожденный дискретный спектр, а аналогичный набор векторов в {(B ) } порождается эрмитовым оператором B, который (2) пространстве H (2) имеет в пространстве H также невырожденный дискретный спектр. Тогда (1+2) базисный набор в пространстве состояний двух частиц H строится как внешнее произведение векторов из этих наборов: {( A) ( B ) }. Пусть C1 какая n либо одночастичная наблюдаемая величина, относящаяся к первой частице.

Тогда в пространстве состояний двух частиц этой величине должен отвечать соответствующий эрмитов оператор C1. В квантовой механике часто говорят, что этот оператор действует только на переменные, относящиеся к первой частице. Рассмотрим, какой более точный математический смысл можно придать этому утверждению. Матричные элементы оператора C1 во введенном базисном наборе {( A) ( B ) } находятся по следующему правилу, n принятому в квантовой механике:

(( A) ( B ), C1( A) ( B ) ) n n (1.2.67) ( ( (( A), C11) ( A) )(( B ), ( B ) ) (( A), C11) ( A) ), n n n n ( где C11) - эрмитов оператор, отвечающий рассматриваемой одночастичной (1), где и действует оператор C1(1).

наблюдаемой величине в пространстве H Рассмотрим теперь, как действует оператор C1 на волновую функцию в A, B - представлении. Пусть эта функция отвечает вектору из пространства (1+2) состояний двух частиц H. Значения такой волновой функции согласно определениям, введенным в разделе 1.2.3, находятся из следующего соотношения:

( An, B ) (( A) ( B), ). (1.2.68) n Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, нам надо найти отвечающую вектору C1 волновую функцию в A, B - представлении.

Найдем эту функцию по стандартному правилу, (см. соотношение (1.2.39) и пояснение к нему):

(( A) ( B ), C1 ) n ((nA) (B), C1(nA) (B ) )((nA) (B ), ) (1.2.69) n, ((nA), C1(1) (nA) )( An, B ), n где при выводе соотношения (1.2.69) был вставлен полный набор векторов {( A) ( B ) } между оператором C1 и вектором, а также учтены соотношения n (1.2.68) и (1.2.67).

Мы видим, что, действительно, если рассмотреть действие оператора C1 на вектор в A, B - представлении, то при этом затрагиваются только переменные An, относящиеся к первой частице, в то время как переменные B, относящиеся ко второй частице, не преобразуются. Ясно, что обратная, но принципиально похожая ситуация возникает в случае, если мы рассмотрим действие на вектор оператора C 2, отвечающего какой-либо наблюдаемой величине для второй частицы.

В заключение данного раздела остановимся еще на одном важном вопросе, для ответа на который у нас уже есть необходимый математический аппарат и необходимые математические понятия. Это – вопрос о том, как находить вероятность получения значения An наблюдаемой величины A:

w()(An) с учетом того, что значение An может быть вырожденным СЗ оператора A, отвечающего наблюдаемой величине A. При этом будем считать для простоты, как и ранее, что СЗ значения An оператора A являются дискретными. При ответе на этот вопрос в разделе 1.2.3 (см. соотношение (n) (1.2.36а)) мы строили базисные наборы в подпространстве H, используя для этого эрмитов оператор другой наблюдаемой величины В, B одновременно измеримой с величиной A и независимой от нее. Сейчас мы увидим, что искомую вероятность можно просто получить, не вводя никаких дополнительных эрмитовых операторов для однозначного построения базисного набора.

Выше в данном разделе в соотношении (1.2.60) показано, что любой эрмитов оператор A, имеющий дискретный спектр, разбивает полное пространство состояний H на прямую сумму взаимно-ортогональных (n) подпространств H СВ этого оператора, отвечающих его различным собственным значениям. Понятно, что эти подпространства могут быть одномерными, если соответствующие им СЗ оператора A являются невырожденными, но они могут быть многомерными или даже бесконечномерными, если соответствующие им СЗ вырожденные. В любом (n) случае мы можем ввести в подпространствах H ортонормированные базисные наборы {( A) }, не интересуясь при этом тем, какие операторы n наблюдаемых величин обусловливают номера векторов этих наборов.

(n) Понятно, что каждое подпространство H можно рассматривать как линейную оболочку, натянутую на векторы {( A) } :

n c (nA).

Рассмотрим следующую сумму операторов проецирования:

(nA) (nA) (1.2.70) и проанализируем, какой смысл имеет построенный таким образом оператор.

Подействует для этого оператором (1.2.70) на произвольный вектор u из полного пространства состояний H :

( ( A) ( A) )u (( A), u )( A). (1.2.71) n n n n Очевидно, что полученный в результате этого действия вектор, фигурирующий в правой части соотношения (1.2.71), принадлежит (n) подпространству H.

(n) Выберем в том же подпространстве H какой-либо другой полный ~ ортонормированный набор {( A) } и построим на нем оператор, аналогичный ni оператору (1.2.70):

(niA) (niA).

~ ~ (1.2.72) i Подействуем этим оператором на тот же вектор u:

( ( A) ( A) )u (( A), u )( A).

~ ~ ~ ~ (1.2.73) ni ni ni ni i i Очевидно, что полученный вектор, так же, как и вектор в правой части (n) соотношения (1.2.71), принадлежит подпространству H. Нетрудно доказать, что эти векторы совпадают. Для доказательства этого воспользуемся методикой «вставки» полных наборов, описанной в разделе 1.2.4:

((ni ), u)(ni ) ((ni ), (nA) )((nA), u)(ni ) ~A ~A ~A ~A i, i (1.2.74) ((ni ), (nA) )(ni ) ((nA), u)(nA), ~A ~A (( A), u )( n i где при выводе учтено, что вследствие ортонормированности и полноты в ~ (n) набора {( A) } выполняется соотношение:

подпространстве H ni ((niA), (nA) )(niA) (nA).

~ ~ (1.2.75) i Ввиду произвольности выбора вектора u, из равенства (1.2.74) следует равенство операторов (1.2.70) и (1.2.72):

(nA) (nA) (niA) (niA).

~ ~ (1.2.76) i Поскольку эти операторы получены для двух произвольно выбранных (n) ортонормированных базисных наборов в подпространстве H ;

поскольку оба они переводят произвольный вектор u из полного пространства H в (n) подпространство H и поскольку эти операторы равны друг другу, их можно считать оператором проецирования (nA) произвольного вектора из (n) собственных полного пространства состояний в подпространство H векторов оператора A :

(nA) ( A) ( A), (1.2.77) n n {( A) } где набор векторов произвольно выбранный полный n (n) ортонормированный набор векторов в подпространство H.

Понятно, что с учетом сказанного выше, от выбора векторов {( A) } n оператор (nA) не зависит. Возьмем в качестве такого набора векторов использованный в разделе 1.2.3 набор {( AB ) }, который однозначно n порождается двумя эрмитовыми операторами A, B, имеющими дискретные вырожденные спектры и который так же, как и рассмотренные выше наборы, (n) является полным ортонормированным набором в подпространстве H при фиксированном значении его номера n. Преобразуем с учетом этого обстоятельства соотношение (1.2.36а):

w( ) ( An ) (( AB ), ) (, ( AB ) )(( AB ), ) n n n (1.2.78) (, (nA) ).

где учтено, что, с учетом сказанного выше: (nA) ( AB ) ( AB ).

n n Соотношение (1.2.78) можно записать также в другом виде, если воспользоваться простым и важным свойством оператора (nA), которое легко получается из соотношения (1.2.77) и которое аналогично соотношению (1.2.42) из раздела 1.2.4:

((nA) ) 2 (nA). (1.2.79) С учетом этого соотношения, а также эрмитовости оператора (nA) можно получить следующие два выражения для искомой вероятности:

w( ) ( An ) (, (nA) ) ((nA), (nA) ).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.