авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р.В. ВЕДРИНСКИЙ ...»

-- [ Страница 3 ] --

(1.2.80) Нетрудно понять, что соотношение (1.2.80) выполняется независимо от (n) того, какова размерность подпространства H. Оно может быть также и одномерным. Таким образом, соотношение (1.2.80) заменяет собой и обобщает соотношения (1.2.36) и (1.2.36а). Это соотношение дает общее правило определения вероятности получения дискретного значения An при измерении величины A в системах чистого ансамбля, описываемых вектором. Как видно, искомая вероятность может быть найдена либо как среднее по (n) состоянию от оператора проецирования на подпространство H собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению An, либо как квадрат нормы вектора (nA), являющегося ортогональной (n) проекцией вектора на подпространство H.

Несколько сложнее получить аналог соотношения (1.2.80) при условии, что оператор A имеет непрерывный и, в общем случае, вырожденный спектр.

Ясно, что при этом условии соотношение типа соотношения (1.2.60) написать без серьезных обобщений, которые мы делать не будем, нельзя, ибо по собственным значениям оператора A, спектр которого непрерывный, надо не суммировать, а интегрировать. Однако, и в таком случае, как об этом говорилось в разделах 1.2.2 и 1.2.3, в полном пространстве состояний можно ввести ортонормированный базисный набор, векторы которого являются собственными векторами оператора A. Как и в проведенном выше рассмотрении для случая оператора A, имеющего дискретный спектр, введем ~ два таких ортонормированных набора { }, { }, векторы которых будем A Ai нумеровать самими собственными значениями оператора A, пробегающими непрерывное множество значений, а также дополнительными индексами и i, которые для простоты будут считаться дискретными. (Обобщение на случай, когда эти индексы пробегают непрерывные множества значений, не представляет особого труда.) Как и выше, при рассмотрении операторов с дискретными спектрами, мы не будем сейчас заниматься поиском эрмитовых операторов, порождающих эти дополнительные индексы, довольствуясь тем, что нужные индексы всегда можно ввести. Условия ортонормированности для введенных наборов имеют стандартный вид:

( A, A ) ( A A), (1.2.81) ~~ (, ) ( A A).

Ai ii Ai Запишем также нужное в дальнейшем выражение для скалярного произведения векторов из первого и второго наборов:

~ ( A, Ai ) ( A A) w i, (1.2.82) где компоненты матриц w i являются уже конечными величинами в отличие от -функции, равной бесконечности при нулевом аргументе. Следует отметить, что величины w i, вообще говоря, могут зависеть от величины A, но этой зависимостью мы пренебрежем, поскольку, как неоднократно отмечалось выше, в типичных для квантовой механики ситуациях такой зависимости нет.

Рассмотрим следующие суммы операторов проецирования, аналогичные введенным выше суммам (1.2.70) и (1.2.72):

A A, (1.2.83) Ai Ai.

~ ~ (1.2.84) i Подействуем этими операторами на произвольный вектор u из полного пространства состояний и получим векторы, аналогичные векторам, полученным выше в соотношениях (1.2.71) и (1.2.73):

( A A )u ( A, u ) A, (1.2.85) ( Ai Ai )u ( Ai, u ) Ai.

~ ~ ~ ~ (1.2.86) i i Докажем, что векторы, фигурирующие в правых частях соотношений (1.2.85) и (1.2.86), равны друг другу. Для этого «вставим» в выражении, фигурирующем в правой части соотношения (1.2.85), векторы полного ~ набора { Ai } между базисными ортами набора { A } и вектором u.

Воспользуемся соотношением (1.2.82) и получим:

( A, u ) A ( A, Ai )( Ai, u) A dA ~ ~, i (1.2.87) ( Ai, u) w i A, ~ i где интеграл по переменной A снимается -функцией, присутствующей в (1.2.82). Отметим, что переменная A пробегает свойственное наблюдаемой величине A непрерывное множество значений, по которому и производится интегрирование в (1.2.87).

Рассмотрим вопрос о том, что представляет собой сумма по в правой части соотношения (1.2.87). Для этого учтем, что векторы из введенных ~ базисных наборов { A }, { Ai } можно разложить друг по другу:

Ai ( A, Ai ) A dA ~ ~ (1.2.88) w i A, где учтено, что в силу соотношения (1.2.82) в подынтегральном выражении в (1.2.88) возникает -функция, которая снимает интегрирование по переменной A.

С учетом соотношения (1.2.88) из соотношения (1.2.87) следует, что правые части в соотношениях (1.2.85) и (1.2.86) равны друг другу. Ввиду произвольности выбора вектора u, отсюда можно заключить, что операторы ~ (1.2.83) и (1.2.84) также равны друг другу. Поскольку наборы { }, { } A Ai были выбраны нами произвольно, ясно, что равные друг другу операторы (1.2.83) и (1.2.84) определяются только значением величины A. Таким образом, эти операторы можно считать операторами проецирования на линейную оболочку, натянутую, например, на векторы набора { A } :

c A. (1.2.89) Пользуясь полученными выше результатами, несложно доказать, что ~ линейная оболочка, натянутая на векторы набора { }, будет той же самой.

Ai Отметим, что сложности, возникающие при работе с такими линейными оболочками, обусловлены тем, что все векторы, входящие в эти оболочки, имеют бесконечные нормы, как это следует из условий нормировки (1.2.81).

Таким образом, оператор (1.2.82) является оператором проецирования на оболочку (1.2.89) и не зависит от того, как выбран базисный набор в этой оболочке:

( A) A A, (1.2.90) где ( A) - соответствующий оператор проецирования на линейную оболочку, отвечающую определенному значению наблюдаемой величины A, оператор которой имеет непрерывный спектр.

Обратимся к соотношению (1.2.37б) для плотности вероятности обнаружения значения А наблюдаемой величины А, имеющей непрерывный спектр, при измерениях, проводимых в системах чистого ансамбля, описываемых вектором, и преобразуем это соотношение аналогично тому, как это было сделано в (1.2.78) для случая наблюдаемой величины B, имеющей дискретный спектр:

( ) ( A) (( B ), ) (, ( B ) )(( B ), ) An An An n n (1.2.91) (, ( ( B ) ( B ) ) ) (, ( A) ), An An n где учтено, что набор векторов {(B ) }, по которому ведется суммирование в An (1.2.37б) и в (1.2.91), является одним из базисных наборов в линейной оболочке (1.2.89), так что сумма операторов проецирования по векторам этого набора является, согласно сказанному выше, оператором проецирования ( A) на эту оболочку.

Обратим внимание на то, что в случае наблюдаемых величин, которые имеют непрерывные спектры, соотношение (1.2.79) не выполняется, так что искомая плотность вероятности определяется, в отличие от (1.2.80), только одно выражением. Запишем его:

() ( A) (, ( A) ).

(1.2.92) Соотношение (1.2.92) позволяет найти плотность вероятности обнаружения определенного значения наблюдаемой величины, оператор которой имеет непрерывный спектр, независимо от того, является ли этот спектр вырожденным или невырожденным, а также от того, какова кратность этого вырождения.

Еще раз напомним, что в случае, если наблюдаемая величина может принимать непрерывное множество значений, нельзя говорить о вероятности получения определенного значения наблюдаемой величины, так как в этом случае такая вероятность, очевидно, всегда равна нулю. В этом случае можно говорить только о плотности вероятности, которая равна отношению вероятности обнаружения величины A в интервале ее изменения A к длине этого интервала.

Следует также подчеркнуть, что в случае величины, пробегающей непрерывное множество значений, для определения этой величины надо указывать масштаб ее измерения, причем при изменении масштаба изменяется соответствующим образом и плотность вероятности. Во избежание ошибок, отметим, что одновременно с изменением масштаба необходимо менять условия нормировки (1.2.81), (1.2.82), поскольку функция также изменяется с изменением масштаба измерения величины A.

Если изменить должным образом условия нормировки, соотношение (1.2.92) даст плотность вероятности в новом масштабе измерения величины A.

Задание 1.2.5.

1. Что такое линейная оболочка?

2. Доказать, что любая линейная оболочка является подпространством полного пространства состояний.

3. Как образовать прямую сумму двух пространств? Чему равна ее размерность, если «пространства-слагаемые» конечномерные?

4. Как образовать прямое произведение двух пространств? Чему равна его размерность, если «пространства-сомножители» конечномерные?

5. Доказать, что скалярное произведение в функциональных пространствах f1 ( x) f 2 ( x)dx ( f1, f 2 ) * удовлетворяет традиционным для квантовой механики аксиомам скалярного произведения.

6. Подробно обосновать соотношение (1.2.60).

Почему эрмитов оператор коммутирующий с эрмитовым 7. B, (n) оператором A, действуя на векторы из подпространства H, не выводит (n) эти векторы за пределы подпространства H ?

Что такое оператор одночастичной наблюдаемой величины в 8.

пространстве состояний двух частиц и какими свойствами обладает его матрица?

9. Как действует оператор одночастичной наблюдаемой величины на волновую функцию в пространстве состояний двух частиц?

10. Доказать соотношение (1.2.79).

11. Доказать, что оператор ( n), определенный соотношением (1.2.77) линеен и эрмитов.

12. Доказать, что векторы, входящие в линейную оболочку (1.2.89) имеют бесконечные нормы.

1.2.6. Краткая сводка аксиом квантовой механики.

В данном разделе дается итоговая сводка аксиом и основных математических методов квантовой механики с указанием тех разделов, в которых рассматриваемые вопросы изложены более подробным образом. Эта сводка должна помочь читателю лучше ориентироваться в материале, представленном в данной и в предыдущей главах.

В основе квантовомеханического метода описания микрообъектов лежат следующие положения.

1. Каждой нерелятивистской микросистеме в квантовой механике соответствует линейное векторное комплексное пространство, называемое пространством состояний. В таком пространстве определены операции линейной комбинации векторов (суперпозиции векторов) и их скалярного произведения. Пространства состояний могут быть конечномерными, но чаще всего в квантовой механике приходится иметь дело с бесконечномерными пространствами состояний. (Раздел 1.2.1.) 2. Нерелятивистская микросистема характеризуется числом микрочастиц каждого типа, входящих в состав системы. Микросистема является нерелятивистской, если энергии микрочастиц и энергии их взаимодействия много меньше внутренних энергий частиц (mc2). (Раздел 1.1.3.) 3. В роли «элементарных» частиц, из которых считаются составленными сложные микросистемы, могут выступать не только истинно элементарные, с точки зрения нерелятивистской квантовой физики, частицы (электроны, протоны, нейтроны и пр.), но и составные частицы (атомы, атомные ядра и др.) в случае, если в исследуемых микропроцессах энергии таких «элементарных» частиц и энергии их взаимодействия много меньше энергий их внутреннего возбуждения, а размеры – много меньше расстояний между частицами. В таком случае число «элементарных» частиц, входящих в микросистему, не изменяется в ходе исследуемых микропроцессов. (Раздел 1.1.3.) 4. Определенный микропроцесс – это процесс, протекающий в определенных макроскопических условиях, для задания которых надо указать устройство макроскопического приготавливающего прибора, выделяющего микрообъект из окружения и переводящего его в определенное квантовое состояние, устройство макроскопической камеры реакций, в которой микрообъект изолируется от окружения на все время протекания исследуемого микропроцесса, и тип макроскопического измерительного прибора, дающего информацию о конечном состоянии микрообъекта. (Раздел 1.1.2.) 5. Акт измерения необратимым образом прерывает исследуемый микропроцесс, вследствие чего единственный возможный путь исследования микропроцессов – это путь статистического исследования, предполагающий многократное повторение исследуемого микропроцесса в заданных макроскопических условиях его протекания. Задачей теории в таком случае является определение вероятностей (или плотностей вероятности) всех возможных значений всех наблюдаемых величин. (Раздел 1.1.2.) 6. Если приготавливающий прибор обеспечивает максимально полное задание состояния микрообъекта, то полученное в результате действия приготавливающего прибора состояние называется чистым. Чистые состояния описываются векторами состояния с единичными нормами ((,) = 1), принадлежащими пространству состояний исследуемого микрообъекта.

Микросистемы, входящие в чистый ансамбль, полностью идентичны друг другу. (Разделы 1.1.2, 1.2.1.) 7. В пространствах состояний всегда можно выбрать, причем бесконечным числом способов, полные ортонормированные наборы векторов, по которым можно однозначно разложить любой вектор из пространства состояний. Эти векторы могут нумероваться как дискретными, так и непрерывными индексами. В первом случае наборы называют дискретными, во втором – непрерывными. Векторы непрерывных наборов всегда имеют бесконечные нормы и нормируются на -функции. Непрерывные наборы могут быть только в бесконечномерных пространствах состояний. (Раздел 1.2.1.) 8. Наблюдаемые (измеримые) величины – это величины, значения которых могут быть получены с помощью соответствующих измерительных приборов. Наблюдаемым величинам в квантовой механике ставятся в соответствие эрмитовы операторы, действующие в пространстве состояний микросистемы. Собственные значения таких операторов всегда вещественные – это возможные значения соответствующих наблюдаемых величин, которые получаются в ходе их однократного измерения. Множество собственных значений оператора называется его спектром. Эрмитовы операторы могут иметь полностью дискретные спектры, могут иметь полностью непрерывные спектры, а могут иметь частично непрерывные, частично дискретные спектры. Собственные векторы эрмитовых операторов, отвечающие различным собственным значениям, всегда ортогональны друг другу. (Разделы 1.2.2, 1.2.3.) 9. Для каждого эрмитова оператора существует, по крайней мере, один полный ортонормированный набор, все векторы которого являются собственными векторами этого оператора. Если векторы этого набора определяются однозначно (с точностью до их умножения на константы, по модулю равные единице), то спектр соответствующего оператора называется невырожденным, в противном случае – он вырожденный. Множество собственных векторов эрмитова оператора, отвечающих его определенному собственному значению, образует подпространство полного пространства состояний. Если это подпространство одномерно, соответствующее собственное значение является невырожденным, в противном случае оно является вырожденным. Кратность вырождения может быть конечной, а может быть – бесконечной. Множество подпространств собственных векторов, отвечающих всевозможным собственным значениям эрмитова оператора, образует полный набор взаимно ортогональных подпространств полного пространства состояний. Это означает, что любой вектор из полного пространства можно однозначно представить в виде линейной комбинации векторов из указанных подпространств. (Раздел 1.2.2.) 10. Среднее значение A ( ) наблюдаемой величины A по состоянию микросистемы, которое описывается нормированным вектором состояния, равно матричному элементу оператора A, отвечающего этой наблюдаемой A ( ) (, A).

величине, по рассматриваемому вектору состояния:

(Разделы 1.2.2, 1.2.3.) 11. Вероятность: w()(An) обнаружения дискретного значения An наблюдаемой величины в случае, если состояние микросистемы описывается A нормированным вектором состояния, равно среднему значению по вектору ( n) состояния оператора ортогонального проецирования на подпространство собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению An. Эта вероятность также может быть найдена как квадрат нормы вектора, равного ортогональной проекции вектора состояния на указанное подпространство: w() ( An ) (, (n) ) ((n), (n) ).

Если не использовать такой оператор проецирования, искомая вероятность может быть найдена из соотношений (1.2.36), (1.2.36а). (Разделы 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5.) 12. Плотность вероятности обнаружения непрерывного значения A наблюдаемой величины A: ()(A) в случае, если состояние микросистемы описывается нормированным на единицу вектором состояния, равно среднему значению по вектору состояния оператора проецирования ( A) на подпространство собственных векторов оператора A, отвечающих собственному значению A: () ( A) (, ( A) ). Если не использовать такой оператор проецирования, искомая плотность вероятности может быть найдена из соотношений (1.2.37), (1.2.37а), (1.2.37б). (Разделы 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5.) 13. Две наблюдаемые величины A и B одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им операторы A, B коммутируют друг с другом: [ AB] 0. При этом существует, по крайней мере, один ортонормированный полный набор, векторы которого являются собственными векторами одновременно двух эрмитовых операторов A, B, отвечающих рассматриваемым наблюдаемым величинам. В частном случае, когда эти два оператора порождают ортонормированный полный набор векторов в полном пространстве состояний исследуемой микросистемы однозначно (с точностью до умножения этих векторов на числа, по модулю равные единице), а также при условии, что операторы A, B имеют полностью дискретные спектры, такой набор векторов записывается в виде: {( AB ) }, где n вверху указываются наблюдаемые величины, порождающие данный набор, а внизу – номера их значений (собственных значений соответствующих этим наблюдаемым величинам операторов). При этом собственные значения операторов A, B : An, B считаются независимыми друг от друга, что имеет место в наиболее важном для квантовой механики случае независимых одновременно измеримых наблюдаемых величин. В аналогичном случае, когда рассматриваемые операторы имеют полностью непрерывные спектры, полный ортонормированный набор собственных векторов операторов A, B записывается в виде: { AB }. В этом наборе векторы, как это нередко делается, нумеруются самими значениями A, B наблюдаемых величин, порождающих данный набор. (Разделы 1.2.2, 1.2.3.) 14. В рамках ограничений, принятых в пункте 13, величины ( An, B ) (( AB ), ) являются амплитудами вероятности обнаружения при n однократном измерении, проведенном над микросистемой в состоянии, значений An, B одновременно измеримых, независимых наблюдаемых величин A и B, имеющих дискретные спектры. Квадраты модулей этих амплитуд вероятности являются соответствующими вероятностями.

Множество, в общем случае, комплекснозначных амплитуд вероятности ( An, B ) называется волновой функцией, отвечающей вектору в AB представлении. Эта функция задана на множестве пар значений An, B наблюдаемых величин A и B, имеющих в данном случае дискретные спектры.

(Раздел 1.2.3.) 15. В рамках ограничений, принятых в пункте 13, величины ( A, B) ( AB, ) являются амплитудами плотностей вероятности обнаружения при однократном измерении, проведенном над микросистемой в состоянии, значений A, B независимых, одновременно измеримых наблюдаемых величин A и B, имеющих непрерывные спектры. Квадраты модулей амплитуд плотностей вероятности являются соответствующими плотностями вероятностями. Множество, в общем случае, ( A, B) комплекснозначных величин называется волновой функцией, отвечающей вектору в AB представлении. Эта функция задана на множестве пар значений A, B наблюдаемых величин A и B, имеющих в данном случае непрерывные спектры. (Раздел 1.2.3.) 16. Утверждения, содержащиеся в пунктах 13, 14, 15, очевидным образом обобщаются на случаи, когда ортонормированные полные наборы порождаются не двумя, а одним, тремя или большим числом операторов наблюдаемых величин, а также на случаи, когда спектры одних операторов являются непрерывными, а других – дискретными, а, может быть, частично дискретными, а частично – непрерывными.

1.2.7. Методы определения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов.

В данном разделе рассматривается вопрос о практическом нахождении собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов. Этот вопрос является важным вопросом квантовой механики, в связи с чем он и вынесен в отдельный заключительный раздел.

Задача нахождения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов обсуждалась в разделе 1.2.2, где мы рассматривали ее, не переходя от уравнения (1.2.26), записанного в векторно-операторной форме, к какому-либо определенному базисному набору. Такое рассмотрение позволило нам получить в наиболее общем виде и достаточно простым образом ряд существенных результатов, прежде всего, утверждения о том, что собственные значения эрмитовых операторов вещественные, а их собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны друг другу. В то же время, проведенное рассмотрение не давало ответа на вопрос о том, как практически находить собственные векторы и собственные значения эрмитовых операторов.

Ниже, в главе 1.4, будет показано, что в ряде практически важных случаев задача нахождения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов может быть точно решена без перехода к какому-либо определенному базисному набору только за счет учета алгебраических свойств этих операторов. К сожалению, такой путь приводит к успеху в сравнительно малом числе частных случаев. В большинстве случаев задача нахождения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов в бесконечномерных пространствах состояний аналитически не решается, и ее решение приходится искать приближенно с использованием тех или иных численных методов или по теории возмущений. В этих случаях необходимым первым шагом является запись уравнения на собственные значения (1.2.26) в определенном базисном наборе, который может быть как дискретным, так и непрерывным.

Рассмотрим вначале случай, когда разложение искомых собственных векторов проводится по дискретному набору линейно-независимых векторов {i}. На практике при этом используются как ортонормированные, так и не ортонормированные наборы, причем вопрос о полноте используемых наборов не обсуждается, поскольку для практического решения задачи важно, чтобы используемый набор был либо конечным, либо сводимым к конечному, как это имеет место, например, в методе сильной связи в физике твердого тела. Причина этого понятна. Как мы сейчас убедимся, разложение по конечному набору линейно-независимых векторов сводит задачу нахождения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов к решению конечной системы линейных однородных алгебраических уравнений, которое может быть легко получено с использованием стандартных методов линейной алгебры. При использовании бесконечных наборов линейно-независимых векторов, мы бы получили бесконечную систему линейных однородных алгебраических уравнений, стандартных методов решения которой не существует. Понятно, что разложение векторов из бесконечномерного пространства состояний по наборам, которые содержат конечное число векторов, точно произвести нельзя, так что рассматриваемый метод, примененный к решению задачи на собственные значения в бесконечномерных пространствах, всегда является приближенным, а используемые наборы, очевидно, не являются полными.

При удачном выборе конечного набора векторов {i} можно приближенно найти только некоторую конечную группу близких друг к другу собственных значений рассматриваемого эрмитова оператора и соответствующие им собственные векторы, но полного решения задачи, понятно, получить невозможно.

Рассмотрим, как практически реализуется описанный метод на примере решения уравнения (1.2.26). Запишем это уравнение еще раз, введя дополнительный индекс, который указывает на возможное вырождение собственного значения An:

A( A) An ( A), (1.2.26а) n n где индекс предназначен для нумерации базисных векторов в подпространстве собственных векторов оператора A, соответствующих его собственному значению An.

Разложим искомые собственные векторы по векторам введенного набора {i}:

( A) (( A) )i i, (1.2.93) n n i где (( A) )i – коэффициенты разложения, которые нам нужно определить.

n Понятно, что если мы их найдем, то с использованием соотношения (1.2.93) мы приближенно найдем также и искомые собственные векторы. Надо подчеркнуть, что в случае, если набор {i} не является ортонормированным, коэффициенты (( A) )i, очевидно, не являются ортогональными проекциями n векторов ( A) на векторы i, как это имело место в соотношениях (1.2.3), n (1.2.4) в разделе 1.2.1.

Подставим разложение (1.2.93) в правую и левую части уравнения (1.2.26а) и умножим скалярно левые и правые части полученного равенства слева на вектор j. Тогда с учетом линейности рассматриваемого оператора A и описанных в разделе 1.2.1 свойств скалярного произведения мы получим следующие уравнения:

( j, A (( A) ) i i ) An ( j, (( A) )i i ) n n i i A ji ((nA) )i An S ji ((nA) )i (1.2.94) i i ( A ji An S ji )(( A) )i 0, n i где:

A ji ( j, Ai ), (1.2.95) S ji ( j, i ).

Величины Aji по аналогии с величинами, введенными в (1.2.17), называют матричными элементами оператора A, хотя между величинами, фигурирующими в соотношениях (1.2.17) и (1.2.95), есть заметная разница, так как в (1.2.95), в отличие от (1.2.17), векторы набора { i} в общем случае не являются ортонормированными. Величины Sji называются интегралами перекрытия или интегралами неортогональности. Понятно, что в частном случае, когда набор {i} является ортонормированным, интегралы перекрытия становятся равными соответствующим символам Кронекера, как это имело место в (1.2.17). Нетрудно убедиться в том, что даже в более общем случае использования не ортонормированных наборов базисных векторов матрицы с матричными элементами Aji и Sji являются эрмитовыми матрицами.

Рассмотрим последнее из трех уравнений, приведенных в соотношении (1.2.94):

( A ji An S ji )((nA) )i 0. (1.2.96) i Поскольку это уравнение сохраняет силу для любого значения индекса j, оно фактически представляет собой систему уравнений, которая содержит столько уравнений, сколько векторов в используемом наборе {i}. Пусть это число будет для определенности N. Система (1.2.96) является системой линейных однородных алгебраических уравнений, из которой могут быть найдены коэффициенты (( A) )i. Понятно, что эта система всегда имеет n тривиальное решение (( A) )i = 0, которое не представляет для нас интереса.

n Очевидным условием существования нетривиальных решений системы (1.2.96) является равенство нулю ее определителя:

A ji An S ji 0. (1.2.97) Ясно, что в случае, когда задача на собственные значения решается в конечномерном пространстве состояний, система уравнений (1.2.96) позволяет получить точное решение. В этом случае, однако, нет никакого смысла использовать не ортонормированные наборы {i}, так что интегралы перекрытия становятся символами Кронекера и уравнения (1.2.96) и (1.2.97) приобретают вид:

( A ji An ji )((nA) )i 0, (1.2.96а) i A ji An ji 0. (1.2.97а) Понятно, что точно такие же уравнения возникают и в случае бесконечномерных пространств состояния, если при решении задачи на собственные значения используется конечный ортонормированный набор {i}. Однако, в этом случае уравнения (1.2.96а) и (1.2.97а), очевидно, могут дать только приближенное решение рассматриваемой задачи.

Уравнения (1.2.96а) и (1.2.97а) представляют собой известные из линейной алгебры уравнения для определения собственных значений и собственных векторов эрмитовых матриц с компонентами Aji. Собственные значения таких матриц, как и соответствующих операторов, всегда являются вещественными. Чтобы найти их, надо раскрыть определитель в левой части уравнения (1.2.97а) и получить алгебраическое уравнение для определения величин An, которое называют характеристическим уравнением. Степень этого уравнения равна N - числу векторов в наборе {i}. Понятно, что полученное уравнение имеет N вещественных корней, среди которых, однако, могут быть совпадающие друг с другом корни. Подставляя один из найденных корней An в уравнения (1.2.96а), мы получим систему линейных однородных алгебраических уравнений с нулевым определителем. В таком случае одно или несколько уравнений из полученной системы являются следствием остальных уравнений и уравнения, зависимые от остальных уравнений, можно не учитывать при решении системы (1.2.96а). Число оставшихся независимых друг от друга уравнений равно рангу матрицы ( A ji An ji ) системы уравнений (1.2.96а). В линейной алгебре показывается, что в случае, если корень An характеристического уравнения является однократным, ранг матрицы системы уравнений (2.96а) равен N – 1, так что не учитывать в этой системе уравнений надо только одно уравнение.

В таком случае мы получим систему из (N – 1) уравнения для определения N коэффициентов (( A) )i. Понятно, что при этом один из коэффициентов n выбирается произвольно, а остальные находятся по нему однозначно. Если произвольно выбранный (но, естественно, не нулевой) коэффициент умножить на произвольное число, то в силу линейности системы уравнений (1.2.96а) остальные коэффициенты умножатся на то же число. Отсюда с учетом соотношения (1.2.93) следует, что таким же свойством обладают собственные векторы ( A), соответствующие однократному корню An n характеристического уравнения (1.2.97а), так что эти векторы образуют одномерное подпространство полного пространства состояний. Таким образом, однократные корни характеристического уравнения являются невырожденным, в общем случае – приближенным, собственным значениям рассматриваемого оператора A. Аналогичным образом можно убедиться в том, что двукратным корням характеристического уравнения отвечают двукратно вырожденные собственные значения оператора и т.д.

Полученные результаты позволяют предложить еще один путь определения собственных значений и собственных векторов эрмитовых операторов при использовании конечных ортонормированных наборов векторов {i}. Проведенное рассмотрение показывает, что с использованием уравнений (1.2.96а) и (1.2.97а), а также соотношения (1.2.93) можно точно найти собственные векторы эрмитовых операторов, действующих в конечномерных пространствах, и приближенно – в бесконечномерных.

(Нетрудно понять, что в последнем случае мы фактически ищем точные собственные векторы и собственные значения эрмитова оператора A A ji j i, действующего в конечномерной линейной оболочке, j,i натянутой на ортонормированные векторы {i}.) В результате мы находим собственные векторы {( A) } оператора A в конечномерных пространствах и n оператора A - в бесконечномерных. Легко понять, что матрицы этих операторов в базисах их собственных векторов являются диагональными и на их главных диагоналях стоят их собственные значения. Покажем это в простейшем случае конечномерного пространства состояний. В этом случае мы находим указанным способом все собственные векторы {( A) } оператора n A. Матрица оператора A в этом базисе, очевидно, является диагональной:

(( A), A( A) ) An nn (1.2.98) n n Отсюда следует, что задача нахождения собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов в конечномерных пространствах может быть сформулирована как задача диагонализации матриц этих операторов, методы численного решения которой также хорошо разработаны в линейной алгебре.

Понятно, что точность решения задачи на собственные значения для эрмитовых операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, можно повысить за счет увеличения числа векторов в ортонормированном наборе {i} или за счет более удачного выбора этого набора. Другой путь повышения точности лежит в использовании не ортонормированных базисных наборов, которые выбираются на основе физических соображений.

Именно так, например, удается повысить точность нахождения молекулярных электронных орбиталей за счет использования в качестве базисных наборов наборы атомных электронных орбиталей, которые, строго говоря, не ортогональны друг другу, если эти орбитали принадлежат разным атомам. Соответствующий метод расчета молекулярных электронных орбиталей, который носит название метода линейной комбинации атомных орбиталей, является основным методом современной квантовой химии.

Метод, основанный на разложении собственных векторов эрмитовых операторов по конечным не ортогональным базисным наборам, целесообразно использовать лишь при решении задач на собственные значения в бесконечномерных пространствах, так что результаты, полученные с использованием этого метода, всегда приближенные.

Возникает естественный вопрос, в какой мере эти результаты согласуются с общими требованиями, которым должны удовлетворять собственные значения (требование вещественности) и собственные векторы (требование ортогональности собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям). Учитывая, что матрицы с матричными элементами Aji и Sji являются эрмитовыми матрицами, аналогично тому, как это было сделано в разделе 1.2.2, пользуясь системой уравнений (1.2.96), несложно доказать, что собственные значения, получающиеся из этой системы линейных однородных алгебраических уравнений, всегда вещественные.

Чтобы их найти, надо раскрыть определитель в левой части уравнения (1.2.97) и получить характеристическое уравнение, решение которого дает конечную группу приближенных собственных значений рассматриваемого эрмитова оператора. Соответствующие им приближенные собственные векторы находятся из системы уравнений (1.2.96), аналогично тому, как это делалось выше для уравнения (1.2.96а). К сожалению, собственные векторы, получаемые для различных собственных значений с использованием системы уравнений (1.2.96) и соотношения (1.2.93), не являются строго ортогональными друг другу в случае, если конечный набор векторов { i}, по которому разлагаются искомые собственные векторы, не является ортонормированным.

Перейдем теперь к случаю, когда при нахождении собственных векторов и собствнных значений эрмитовых операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, искомые собственные векторы разлагаются по непрерывным базисным наборам. Мы не будем сейчас проводить рассмотрение в общем случае, так как с ним практически не приходится сталкиваться при решении задач квантовой механики. Ниже мы рассмотрим только частный, но зато часто встречающийся случай, когда в качестве базисного набора выступает ортонормированный набор собственных векторов оператора координаты. При этом мы ограничим себя пространством состояний одной бесспиновой частицы, совершающей одномерные движения во внешнем, не зависящем от времени, потенциальном поле. Более общие случаи будут рассмотрены в дальнейшем, в главах 1.4 и 1.5. В рассматриваемом простейшем случае полный ортонормированный набор векторов {x} однозначно (с точностью до умножения векторов этого набора на коэффициенты, равные по модулю единице) порождается оператором координаты x : x x x x. Как мы увидим в дальнейшем в главе 1.4, множество {x} собственных значений оператора координаты пробегает непрерывно всю вещественную ось. С учетом сказанного в разделах 1.2.2 и 1.2.3, в таком случае собственные векторы оператора x должны нормироваться на -функцию, так что нормы этих векторов бесконечны:

( x, x ) ( x x). (1.2.99) Важнейшими операторами наблюдаемых величин в рассматриваемом частном случае, кроме введенного выше оператора координаты микрочастицы x, являются операторы: импульса p и полной энергии p W ( x), где W ( x) - оператор потенциальной энергии микрочастицы H 2m во внешнем классическом потенциальном поле, который является в рассматриваемом простейшем случае функцией только от оператора координаты.

Легко понять, что матрица оператора координаты в координатном представлении является диагональной матрицей, причем по ее главной диагонали стоят собственные значения оператора координаты. В самом деле, учитывая, что векторы {x} являются собственными векторами этого оператора, а также условие нормировки (1.2.99), получим:

( x, x x ) x( x x).

(1.2.100) Поскольку оператор потенциальной энергии W ( x) является функцией оператора координаты, согласно сказанному в разделе 1.2.4, собственные векторы оператора потенциальной энергии являются также и собственными векторами оператора координаты, а собственные значения оператора потенциальной энергии являются соответствующими функциями от собственных значений оператора координаты: W (x). Отсюда следует, что, оператор потенциальной энергии в координатном представлении является, как и оператор координаты, диагональной матрицей, а по ее главной диагонали стоят собственные значения оператора W ( x) :

( x,W ( x) x ) W ( x)( x x). (1.2.101) Теперь легко понять, как действуют в координатном представлении операторы x и W ( x) на произвольный вектор. Рассмотрим этот важный вопрос на примере оператора W ( x) :

( x,W ( x) x )( x, )dx ( x,W ( x ) ) (1.2.102) W ( x)( x, ) W ( x) ( x), где при выводе был «вставлен» полный непрерывный набор оператора координаты, учтено соотношение (1.2.101) и принято во внимание, что проекция любого вектора состояния на собственный вектор оператора координаты есть соответствующее значение волновой функции, отвечающей этому вектору в координатном представлении.

Таким образом, если мы работаем в координатном представлении, то действие на произвольный вектор любого оператора, матрица которого в этом представлении диагональная, сводится к умножению волновой функции, отвечающей рассматриваемому вектору в координатном представлении, на соответствующее диагональное значение рассматриваемого оператора. Легко понять, что аналогичный результат имеет место для любого эрмитова оператора, действующего на произвольный вектор, если мы работаем в представлении, которое порождено этим оператором. При этом не важно, является ли спектр рассматриваемого оператора непрерывным или дискретным.

Соответствующий результат для конечномерных пространств состояний можно легко получить из соотношения (1.2.98).

Перейдем к рассмотрению операторов импульса и полной энергии частицы, матрицы которых не являются диагональными в координатном представлении. В главе 1.4 будет показано, что при определенном выборе фаз векторов {x} матрица оператора импульса в координатном представлении имеет вид:

( x x), ( x, p x ) i (1.2.103) x где - постоянная Планка.

Хотя матричные элементы такой матрицы отличны от нуля лишь на ее главной диагонали, эту матрицу, как мы сейчас убедимся, диагональной считать нельзя. Будем называть подобные матрицы, не имеющие аналога в дискретных базисных наборах, квазидиагональными. Рассмотрим, как действует в координатном представлении оператор импульса на произвольный вектор состояния. Аналогично тому, как это делалось в соотношении (1.2.102), с использованием соотношения (1.2.103) получим следующий результат:

( x, p x )( x, )dx ( x, p ) (1.2.104) d d i ( x, ) i ( x).

dx dx Таким образом, оператор импульса в координатном представлении пропорционален оператору дифференцирования волновой функции по координате и не сводится к умножению функции на число, как это имеет место в случае истинно диагональных матриц. Существенно, что перед оператором дифференцирования стоит чисто мнимый коэффициент. Полезно напрямую убедиться в том, что полученный оператор эрмитов. Чтобы доказать это утверждение, надо убедиться в том, что для любых векторов и 2 из рассматриваемого пространства состояний выполняется соотношение:

(1, p2 ) ( p1, 2 ).

(1.2.105) «Вставляя» в этих скалярных произведениях полные непрерывные наборы оператора координаты и используя соотношение (1.2.104), из соотношения (1.2.105) получим следующее соотношение, которое и необходимо доказать:

1 ( x)) 2 ( x)dx.

d d 1 ( x)(i 2 ( x))dx (i (1.2.106) dx dx Это соотношение легко доказывается методом интегрирования по частям, но при этом следует обратить внимание на одно важное обстоятельство. Если рассматриваемые векторы 1 и 2 имеют конечные нормы, соответствующие им волновые функции в координатном представлении стремятся к нулю на бесконечности, так что вклады от бесконечно удаленных точек при интегрировании по частям оказываются равными нулю. Если, однако, эти векторы имеют бесконечные нормы (а мы, как не раз отмечалось выше, рассматриваем также и такие векторы в пространствах состояний), то при интегрировании по частям в (1.2.106), казалось бы, должны возникнуть вклады от бесконечно удаленных точек, что приведет к нарушению соотношения (1.2.106). На самом деле, эти вклады не надо учитывать даже в случае векторов с бесконечными нормами, поскольку в теории обобщенных функций, которая обосновывает возможность работы с векторами, имеющими бесконечные нормы, такие векторы рассматриваются как результат предельного перехода от векторов с конечными нормами, и те соотношения, которые выполняются на промежуточных этапах еще до предельного перехода, сохраняются и в предельном случае.

Используя полученные выше результаты, легко найти также матрицу оператора полной энергии микрочастицы в координатном представлении.

Для этого надо между двумя операторами импульса, фигурирующими в выражении для оператора кинетической энергии, «вставить» полный набор оператора координаты и, воспользовавшись свойствами -функции, «снять»

интегрирование по промежуточной координате:

p 1 ( x, p x )( x, p x )dx ( x,W ( x) x ) ( x, ( W ( x)) x ) 2m 2m (1.2.107) 2 2 ( x x) W ( x)( x x) W ( x) ( x x).

2m x 2 2m x x где m – масса микрочастицы.

Точно так же, как это делалось в случае оператора импульса, легко убедиться в том, что оператор полной энергии действует на волновую функцию в координатном представлении по правилу:

2 d ( x, H ) ( W ( x)) ( x). (1.2.108) 2m dx Теперь легко сформулировать задачу на собственные значения в координатном представлении для операторов импульса и полной энергии.

Используя уравнение на собственные значения (1.2.26) и соотношения (1.2.104) и (1.2.108), получим:

d p ( x) i p p ( x), (1.2.109) dx 2 d ( W ( x)) E ( x) E E ( x), (1.2.110) 2m dx где p, E – собственные значения оператора импульса и полной энергии частицы, p(x), E(x) – соответствующие им собственные функции этих операторов в координатном представлении.

Как видно, в рассматриваемом случае задача на собственные значения для наиболее важных эрмитовых операторов, действующих в пространстве состояний микрочастицы, совершающей одномерные движения, сводится к нахождению собственных функций и собственных значений обыкновенных линейных дифференциальных операторов. В главе 1.4 будет показано, что аналогичная задача для соответствующих операторов, действующих в пространстве состояний микрочастицы, совершающей трехмерные движения, сводится в координатном представлении к нахождению собственных функций и собственных значений линейных дифференциальных операторов в частных производных. Мы отложим более подробное обсуждение методов решения этих задач до главы 1.4, а пока обратим внимание на то, что как теория дифференциальных операторов, так и методы численного определения их собственных функций и собственных значений разработаны в настоящее время очень хорошо. Отметим также, что задача на собственные значения для операторов основных наблюдаемых величин, действующих в пространстве состояний микрочастицы, сводится к нахождению собственных функций и собственных значений дифференциальных операторов только в координатном представлении, что делает это представление выделенным и наиболее удобным по сравнению с другими представлениями. Вследствие этого координатное представление чаще всего используется в литературе по квантовой механике.

Задание 1.2.7.

1. Найти собственные векторы и собственные значения матриц:

0 1 0 i 1 V,.

1 0, i 0 V 2. Являются ли эти матрицы эрмитовыми? Если не всегда, то при каких условиях?

3. В случае, когда рассматриваемые матрицы эрмитовы, найти их собственные значения и собственные векторы. Доказать прямым вычислением, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Нормировать полученные векторы.

4. Разложить по полученным ортонормированным наборам заданные векторы, например, вектор с компонентами:

1 i 2i.

5. Найти матрицы операторов проецирования на найденные в задании собственные векторы рассматриваемых матриц.

0 1 Найти матрицу, которая соответствует матрице в 6. 0 i ортонормированном базисе, порожденном матрицей.

i 7. Доказать, что определенные соотношением (1.2.95) матрицы с матричными элементами Aji и Sji являются эрмитовыми матрицами.

8. Провести подробный вывод соотношения (1.2.94).

9. Доказать, что матрица оператора A A ji j i, найденная в j,i ортонормированном базисном наборе {i}, совпадает с матрицей Aji оператора A в этом наборе.

10. Дать подробное доказательство соотношений (1.2.101) и (1.2.102).

11. Почему матрицу оператора импульса в координатном представлении нельзя считать диагональной?

12. Подробно вывести равенство (1.2.106) из равенства (1.2.105).

13. Выполнить подробный вывод соотношения (1.2.107).

14. Выполнить подробный вывод соотношений (1.2.108), (1.2.109) и (1.2.110).

1.3. ДИНАИМИКА В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ.

1.3.1. Представление Шредингера.

Теперь мы располагаем необходимым аппаратом, позволяющим описать изменение состояния микросистемы в течение того времени, пока она остается изолированной от внешнего мира в камере реакций (КР).

Рассмотрим ситуацию, в которой приготавливающий прибор (ПП), воздействуя на микросистему, переводит ее в чистое состояние, описываемое вектором состояния. Есть все основания считать (и это подтверждается опытом, накопленным в нерелятивистской квантовой механике), что на все время изоляции от внешнего мира в КР микросистема остается в чистом состоянии, если она первоначально, в момент времени t0, была приготовлена в чистом состоянии в результате воздействия ПП. Естественно, что состояние микросистемы с течением времени может изменяться, так что вектор состояния следует считать функцией времени: (t). Можно ожидать, что для любой микросистемы существует закон, позволяющий по ее начальному состоянию (t0) определять ее состояние (t) в последующие моменты времени, пока система изолирована от внешнего мира. (Следует подчеркнуть, что такой закон, на самом деле, имеет место только в нерелятивистской квантовой теории, в релятивистском случае ситуация намного сложнее.) Сделанное утверждение об изменении волновой функции с течением времени математически означает, что существуют операторы, позволяющие по начальному вектору состояния системы находить ее векторы состояния в последующие моменты времени:

(t ) U (t, t0 )(t0 ), (1.3.1) где оператор U (t, t0 ) называется оператором развития во времени.

Установлено, что оператор развития во времени является линейным унитарным оператором. Линейность этого оператора означает, что суперпозиция векторов начального состояния переходит в аналогичную суперпозицию векторов конечного состояния:

U (t, t0 )(1 (t0 ) 2 (t0 )) U (t, t0 )1 (t0 ) U (t, t0 )2 (t0 ) (1.3.2) 1 (t ) 2 (t ).

Унитарность оператора развития во времени означает, что скалярное произведение любых двух векторов в начальном состоянии равно скалярному произведению соответствующих им векторов в конечном состоянии:

(1 (t ), 2 (t )) (U (t, t0 )1 (t0 ),U (t, t0 )2 (t0 )) (1.3.3) (1 (t0 ), 2 (t0 )).

Отметим, что соотношение (1.3.3) гарантирует, в частности, неизменность нормы вектора состояния с течением времени.

Еще одним важным общим свойством оператора развития во времени является то, что этот оператор можно ввести для любых промежуточных моментов, принадлежащих тому интервалу времени, в течение которого микросистема изолирована от внешнего мира: U (t 2, t1 ). Унитарность оператора развития во времени позволяет также легко определить оператор обратного развития во времени. В самом деле, унитарность оператора U (t 2, t1 ) гарантирует существование оператора U 1 (t 2, t1 ), обратного этому оператору:

U (t 2, t1 )U (t 2, t1 ) 1 U 1 (t 2, t1 ) U (t 2, t1 ).

(1.3.4) U 1 (t 2, t1 ) Обратный оператор естественно считать оператором обратного развития во времени: U 1 (t 2, t1 ) U (t1, t 2 ), поскольку по своему смыслу обратный оператор U 1 (t 2, t1 ), действуя на вектор конечного состояния, позволяет восстановить вектор начального состояния:

U (t 2, t1 )(t1 ) (t 2 ) (t1 ) U 1 (t 2, t1 )(t 2 ).

(1.3.5) Важным и достаточно естественным свойством оператора развития во времени является то, что он предполагает последовательное развитие микросистемы с течением времени, т.е.:

U (t 2, t1 ) U (t 2, t )U (t, t1 ), (1.3.6) где моменты времени t1, t2, t могут быть любыми на интервале времени, в течение которого исследуемая система изолирована от внешнего мира.

Рассмотрим случай, когда t2 = t + t, и будем считать интервал времени t малым. Сделаем еще одно достаточно естественное предположение о том, что оператор развития во времени является столь гладкой функцией времени, что ее можно разлагать в ряд. Тогда при малых значениях величины t можно приближенно записать:


dU (t, t1 ) U (t t, t1 ) U (t, t1 ) t, (1.3.7) dt где:

U (t t, t1 ) U (t, t1 ) dU (t, t1 ) lim.

t dt t Рассмотрим теперь первый оператор в правой части соотношения (1.3.6). В рассматриваемом случае он равен U (t t, t ). Ясно, что этот оператор является оператором развития во времени на малом интервале его изменения от t до t + t. Этот оператор также можно разложить в ряд, ограничившись, как и в (1.3.7), первым порядком разложения:

U (t t, t ) 1 P(t )t, (1.3.8) где учтено, что:

U (t, t ) 1, (1.3.9) а оператор:

P(t )t (1.3.10) является оператором, обусловливающим изменение состояния системы на малом интервале изменения времени t.

Учтем, что оператор U (t t, t ) как и любой оператор развития во времени унитарен. Запишем условие унитарности, заменив этот оператор его приближенным выражением (1.3.8):

(1 P(t )t ) (1 P(t )t ) 1.

(1.3.11) Приближенный характер равенства в (1.3.11) обусловлен тем, что в соотношении (1.3.8) мы пренебрегли членами второго и более высокого порядка малости по величине t. Ясно, однако, что с точностью до членов первого порядка малости по величине t равенство (1.3.11) должно выполняться точно. Для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор P(t ) удовлетворял условию:

P (t ) P(t ).

(1.3.12) Чтобы автоматически удовлетворить условию (1.3.12), вместо оператора P(t ) традиционно вводят другой оператор, который в отличие от оператора P(t ) является эрмитовым:

i P(t ) H (t ), (1.3.13) где постоянная Планка в знаменателе вводится для того, чтобы новый оператор H (t ) имел размерность энергии.

Используя соотношения (1.3.6), (1.3.7), (1.3.8) и (1.3.13), получим соотношение:

dU (t, t1 ) i U (t, t1 ) t (1 H (t )t )U (t, t1 ), (1.3.14) dt выполняющееся с точностью до членов, линейных по величине t.

После элементарного преобразования, мы приходим к дифференциальному уравнению для оператора развития во времени:

dU (t, t1 ) H (t )U (t, t1 ).

i (1.3.15) dt Подчеркнем, что соотношение (1.3.15), полученное из (1.3.14) в первом порядке по величине t, является в силу этого точным, в отличие от соотношения (1.3.14).

Как видно, уравнение (1.3.15) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, которое для получения однозначного решения требует задание одного начального условия. Это условие очевидно и аналогично соотношению (1.3.9):

U (t1, t1 ) 1. (1.3.16) Таким образом, уравнение (1.3.15) совместно с начальным условием (1.3.16) полностью решают поставленную задачу описания изменения состояния микрообъекта в течение времени, пока он изолирован в КР от окружающей среды. Для решения этой задачи мы должны положить t1 = t0, решить уравнение (1.3.15) и с использованием соотношения (1.3.1) найти вектор состояния системы в любой момент времени по начальному вектору состояния в течение того времени, пока система изолирована от окружения.

При действии в таком случае операторов, фигурирующих в левой и правой частях уравнения (1.3.15) на вектор начального состояния системы (t0) мы получим с учетом соотношения (1.3.1) уравнение для вектора состояния (t) системы в произвольный момент времени:

d (t ) H (t ) (t ).

i (1.3.17) dt Уравнение (1.3.17) называется временным уравнением Шредингера.

Очевидно, что для решения этого уравнения необходимо знать оператор H (t ). Поскольку этот оператор позволяет описать развитие микросистемы во времени, его иногда называют основным динамическим оператором микросистемы. Нетрудно понять, что в случае, если на микросистему в КР не наложены внешние классические поля или эти поля не зависят от времени, законы квантовой динамики, как и законы динамики классической, должны быть инвариантными относительно сдвигов во времени. Говорят, что в таком случае для рассматриваемой системы время однородно. Математически это означает, что оператор развития во времени может зависеть только от разности конечного и начального моментов времени, но от того, как выбирается начальный момент времени, он зависеть не может:

U (t 2, t1 ) U (t 2 t1 ). (1.3.18) В свою очередь, основной динамический оператор микросистемы в этом случае от времени вообще не зависит:

H (t ) H. (1.3.19) Статус оператора H (t ) в квантовой механике и его независимость от времени в случае однородного времени (т.е. трансляционной инвариантности во времени законов квантовой динамики) роднит оператор H (t ) с функцией Гамильтона в классической физике. Ниже мы убедимся в том, что это родство имеет глубокие корни. В связи со сказанным оператор H (t ) обычно называется в квантовой механике оператором Гамильтона.

Рассмотрим вначале случай, когда оператор Гамильтона не зависит от времени. Этот случай чаще встречается при решении динамических задач квантовой механики, чем случай, когда такая зависимость есть. Поскольку оператор Гамильтона эрмитов, ему отвечает согласно аксиоматике квантовой механики некоторая наблюдаемая величина. По причине, которая будет ясна из дальнейшего, эта величина в случае, когда оператор Гамильтона не зависит от времени, называется энергией микросистемы. Понятно, что согласно аксиоматике квантовой механики возможные значения энергии микросистемы – это собственные значения оператора Гамильтона:

n H( E ) En ( E ), (1.3.20) n где, следуя существующим традициям, СЗ оператора Гамильтона обозначены как En, эта же буква помечает СВ оператора Гамильтона (E ). Индекс n введен в нумерацию СВ для учета возможного вырождения СЗ оператора Гамильтона.

Уравнение (1.3.20) часто называют стационарным уравнением Шредингера.

Если в начальный момент времени вектор состояния системы совпадает с одним из собственных векторов не зависящего от времени оператора Гамильтона: (t0) = (E ), то временное уравнение Шредингера n (1.3.17) решается очень легко:

iE n (t t 0 ) (t ) e ( E ).

(1.3.21) n Таким образом, если вначале система находилась в состоянии, которое описывается одним из собственных векторов ее оператора Гамильтона, не зависящего от времени, то и в последующие моменты времени система описывается этим же вектором, который отличается от исходного только множителем, по модулю равном единице. Ввиду этого говорят, что СВ оператора Гамильтона описывают стационарные состояния системы. Легко убедиться в том, что средние значения любой наблюдаемой величины A в системе, находящейся в стационарном состоянии, не зависят от времени. В самом деле:

iE n (t t 0 ) iE (t t 0 ) n ( ( E ) ) (E) A(t ) (e n, Ae ( E ) ) n n (1.3.22) (( E ), A( E ) ), n n iE n (t t 0 ) где учтено, что множитель e – это число, которое можно вынести как из-под линейного оператора, так и из скалярного произведения, причем, когда мы выносим это число из левого сомножителя в скалярном произведении, оно выносится комплексно-сопряженным.

Решение временного уравнения Шредингера с оператором Гамильтона, не зависящим от времени, легко находится. Чтобы получить его для произвольного начального вектора состояния (t0), этот вектор надо разложить по СВ оператора Гамильтона:

(t0 ) cn ( E ), n n, после чего с учетом линейности оператора развития во времени можно воспользоваться соотношением (1.3.21) и получить:

iE n (t t 0 ) (t ) (E).

cn e (1.3.23) n n, Нетрудно понять, что в этом случае средние значения наблюдаемых величин, вообще говоря, будут зависеть от времени.

Воспользовавшись соотношением (1.3.23), с учетом определения функции от оператора (1.2.53) легко получить полезное равенство:

iH (t t 0 ) (t ) e (t (1.3.24) 0 ).

Из соотношений (1.3.24) и (1.3.1) следует, что оператор развития во времени в случае, когда оператор Гамильтона от времени не зависит, имеет вид:

iH (t t1 ) U (t, t1 ) e. (1.3.25) В справедливости соотношения (1.3.25) полезно также убедиться другим способом, подставив его правую часть в уравнение (1.3.15) и учтя при этом, что оператор Гамильтона не зависит от времени. Тогда, принимая во внимание, что функцию от одного оператора можно дифференцировать и интегрировать по параметру, от которого зависит эта функция, по стандартным правилам (что несложно доказать, если воспользоваться соотношением (1.2.55)), мы и придем к соотношению (1.3.25).

Нетрудно понять, что в случае, если оператор Гамильтона зависит от времени, но операторы H (t ) для различных моментов времени коммутируют друг с другом, решение уравнения (1.3.15) также можно получить в аналитическом виде. Чтобы убедиться в этом, учтем, что совокупность коммутирующих эрмитовых операторов всегда имеет хотя бы один общий базисный набор. Пусть (E ) будут векторами этого набора, а СЗ оператора n будут Покажем, что решением уравнения (1.3.15), En(t).

H (t ) удовлетворяющим начальному условию (1.3.16), будет оператор:

t i H ( ) d t U (t, t1 ) e (1.3.26).

Перепишем оператор (1.3.26), согласно соотношению (1.2.55), через (E ) операторы проецирования на векторы и продифференцируем n полученный оператор по времени согласно уравнению (1.3.15):

t i E n ( ) d t i e dU (t, t1 ) d ( E ) ( E ) i n n dt dt n, (1.3.27) t i E n ( ) d t En (t ) e ( E ) ( E ) H (t )U (t, t1 ).

n n n.

где учтено, что En (t ) ( E ) H (t ) ( E ), а линейный оператор можно вынести n n за знак суммы.

К сожалению, в реальных случаях операторы H (t ) в разные моменты времени никогда не коммутируют друг с другом, что делает задачу квантовой динамики в таких случаях более сложной. Нередко все же оказывается так, что добавка в оператор Гамильтона, зависящая от времени, является малой и ее можно учесть по теории возмущений, что, как показано ниже в разделе 1.3.3, существенно упрощает решение задач квантовой динамики.


Вернемся к случаю не зависящего от времени оператора Гамильтона и докажем важное и полезное утверждение, согласно которому среднее значение любой наблюдаемой величины C, которая одновременно измерима с энергией, не зависит от времени. Введем оператор C этой наблюдаемой величины и учтем, что по принятому условию оператор C коммутирует с оператором Гамильтона. Запишем выражение для среднего значения наблюдаемой величины C в произвольный момент времени и преобразуем его с использованием соотношения (1.3.24):

iH (t t 0 ) iH ( t t 0 ) C ( (t )) ( (t ), C (t )) (e (t (t 0 )) 0 ), Ce (1.3.28) iH ( t t 0 ) iH ( t t 0 ) ( (t 0 (t 0 )) ( (t 0 ), C (t 0 )), ), Ce e iH (t t 0 ) где вывод основан на следующем: во-первых, экспонента e из левой части скалярного произведения перенесена в правую часть с одновременным ее эрмитовым сопряжением, что изменяет знак перед мнимой единицей в показателе, во-вторых, учтено, что операторы C и H по принятому условию коммутируют.

Обратим внимание на то, что полученный результат сохраняет силу и в том случае, когда в роли оператора C выступает сам оператор H.

В заключение отметим, что, хотя мы специально это не оговаривали, но подразумевалось как само собой разумеющееся, что операторы наблюдаемых величин в рамках рассмотренного выше подхода к описанию квантовой динамики не зависят от времени. Вся зависимость от времени лежит на величинах, описывающих состояние микросистемы – векторах состояния.

Такой подход к построению квантовой динамики традиционно называется представлением Шредингера, хотя этот термин не совсем удачен, поскольку, как мы видели, слово «представление» в квантовой механике чаще обозначает разложение векторов и операторов по определенному базисному набору, порожденному операторами наблюдаемых величин. В следующих разделах мы увидим, что возможны также и другие подходы к описанию динамических процессов в квантовой механике.

Задание 1.3.1.

1. Как определяется и какими свойствами обладает оператор развития во времени в представлении Шредингера?

2. Как описывается квантовая динамика в представлении Шредингера?

3. Как определяется оператор обратного развития во времени в представлении Шредингера? Почему его всегда можно ввести?

4. Объяснить физический смысл соотношения (1.3.6).

5. Как выражается оператор P(t ), введенный в соотношении (1.3.8), через производную по времени оператора развития во времени?

6. Почему из приближенного соотношения (1.3.11) следует точное соотношение (1.3.12)?

7. Объяснить, почему в случае инвариантности законов квантовой динамики относительно сдвигов во времени должно выполняться соотношение (1.3.18).

8. Почему собственные векторы оператора Гамильтона, не зависящего от времени, называют стационарными состояниями?

Показать, что суперпозиция собственных векторов оператора 9.

Гамильтона, отвечающих его различным собственным значениям, не является стационарным состоянием.

10. Дать подробный вывод соотношения (1.3.24).

iH (t t1 ) 11. Дать подробное доказательство того, что оператор U (t, t1 ) e удовлетворяет уравнению (1.3.15).

12. Дать подробный вывод соотношения (1.3.28).

1.3.2. Представление Гейзенберга. Правила квантования.

Обратим внимание на то обстоятельство, что описание динамики микросистем в квантовой механике, проводимое в рамках рассмотренного в предыдущем разделе представления Шредингера, принципиально отличается от описания динамики макроскопических систем в классической механике.

Уравнения динамики в классической механике записываются для наблюдаемых величин – координат и импульсов, которые являются также величинами, описывающими состояние систем материальных частиц.

Напротив, при использовании представления Шредингера в квантовой механике, эрмитовы операторы, отвечающие наблюдаемым величинам, считаются не зависящими от времени. От времени зависят векторы состояния – величины, не имеющие аналога в классической механике, которые, как отмечалось ранее, не являются непосредственно наблюдаемыми величинами, но с использованием которых можно теоретически предсказывать статистические свойства чистых ансамблей, системы в которых описываются векторами состояния.

Возникает естественный вопрос о том, нельзя ли так переформулировать законы динамики микросистем в квантовой механике, чтобы они стали более похожими на законы динамики в классической механике. Сейчас мы увидим, что это можно сделать, если перенести зависимость от времени с векторов состояния на операторы наблюдаемых величин. В результате мы получим другую формулировку законов динамики микросистем в квантовой механике, более близкую к классической механике, которая называется представлением Гейзенберга. Переход к представлению Гейзенберга открывает также возможность для того, чтобы сформулировать правила квантования, которые дают алгоритм перехода от теории классических макроскопических систем к квантовой теории соответствующих микросистем.

Прежде, чем непосредственно переходить к тому, как описывается динамика квантовых систем в различных представлениях, в том числе - в представлении Гейзенберга, следует обратить внимание на одно важное общее обстоятельство, состоящее в том, что при установлении соответствия между математическими объектами квантовой механики и физическими характеристиками микросистем имеет место определенная неоднозначность.

Именно, как мы сейчас увидим, физическое содержание квантовой механики остается неизменным, если при установлении соответствия между основными математическими величинами теории (векторами состояния и эрмитовыми операторами) и основными теоретическими объектами квантовой физики микросистем (чистыми состояниями и наблюдаемыми величинами) все векторы состояния из пространства состояний микросистемы заменить на векторы, преобразованные по следующему правилу:

~ V, (1.3.29) а операторы наблюдаемых величин – на соответствующим образом преобразованные операторы:

~ A A VAV, (1.3.30) где V - произвольный унитарный оператор ( VV V V 1).

В самом деле, легко убедиться в том, что при такой замене не меняются ни скалярные произведения векторов, через которые выражаются амплитуды вероятности, ни уравнения на собственные значения, ни величины этих собственных значений, которые, как мы видели, определяют возможные значения наблюдаемых величин. В самом деле:

~~ (, ) (V, V ) (, V V ) (, ), ~~ A An (VAV )V VAn A An.

~ При таком преобразовании не изменяются также и алгебраические соотношения между операторами, которые, как мы увидим ниже, играют важную роль в квантовой механике. Например:

~ ~~ A B C VAV VBV VCV A B C, ~~ ~ AB C VAV VBV VCV AB C.

С учетом сказанного легко понять, что при описании динамических процессов в квантовой механике есть возможность изменять соответствие между математическими и физическими характеристиками микросистем с течением времени. Это можно сделать, если принять, что введенный выше оператор V зависит от времени. Таким образом, ясно, что законы динамики в квантовой механике можно математически описать бесконечным числом различных способов. Способ, ведущий к описанию динамики в представлении Гейзенберга, состоит в следующем. Будем считать, что в некоторый случайно выбранный момент времени t1 (понятно, что этот момент времени должен лежать внутри того интервала времени, на котором микросистема изолирована от окружения) оператор V равен единице.

Примем, что в другие моменты времени этот оператор равен:

V (t ) U (t, t1 ), (1.3.31) где U (t, t1 ) - введенный в предыдущем разделе оператор развития микросистемы во времени.

Учитывая соотношения (1.3.1), (1.3.29) и (1.3.31), легко понять, что в таком случае векторы состояния вообще перестают зависеть от времени:

~ (t ) U (t, t1 )(t ) U (t, t1 )U (t, t1 )(t1 ) (t1 ), (1.3.32) где при выводе учтено, что оператор U (t, t1 ) унитарен.

Полученные таким образом не зависящие от времени преобразованные векторы состояния называют векторами состояния микросистемы в представлении Гейзенберга:

~ (t ) (t1 ) H, (1.3.33) где нижний индекс H является первой буквой в фамилии Гейзенберг на немецком языке.

Ясно, что, перейдя к преобразованным векторам состояния, мы обязательно должны перейти также и к преобразованным операторам наблюдаемых величин:

~ A(t ) AH (t ) U (t, t1 ) AU (t, t1 ).

(1.3.34) Отдельно следует рассмотреть, как выглядит в представлении Гейзенберга оператор Гамильтона, который по своему статусу основного динамического оператора микросистемы, в отличие от других операторов наблюдаемых величин, сам может зависеть от времени:

~ H (t ) H H (t ) U (t, t1 ) H (t )U (t, t1 ).

(1.3.35) Интересно отметить, что в частном случае, когда оператор Гамильтона не зависит от времени, операторы Гамильтона в представлении Шредингера и в представлении Гейзенберга совпадают. В этом легко убедиться, если учесть, что, во-первых, согласно соотношению (1.3.25) операторы Гамильтона и развития во времени коммутируют, а, во-вторых, оператор развития во времени унитарен.

Из соотношения (1.3.34) и уравнения (1.3.15) для оператора развития во времени можно получить дифференциальное уравнение для операторов наблюдаемых величин в представлении Гейзенберга. Чтобы сделать это, получим вначале полезное вспомогательное соотношение, применив операцию эрмитова сопряжения к уравнению (1.3.15) и получив его эрмитово-сопряженный вариант:

dU (t, t1 ) i U (t, t1 ) H (t ), (1.3.36) dt где при выводе использовано соотношение (1.2.21а), а также то, что оператор Гамильтона эрмитов.

Перейдем теперь к выводу дифференциального уравнения для операторов наблюдаемых величин в представлении Гейзенберга:

dU dU dAH (t ) (i ) AU U A(i ) i dt dt dt U H (t )(UU ) AU U A(UU ) H (t )U H H (t ) AH (t ) AH (t ) H H (t ) [ AH (t ) H H (t )], где при выводе учтены уравнения (1.3.15) и (1.3.36), временные аргументы у операторов развития во времени для упрощения записи опущены, вставлены единичные операторы (UU ) и учтено соотношение (1.3.34). Учтено также то обстоятельство, что произведение операторов можно дифференцировать по обычному правилу, нельзя только переставлять при этом операторы.

Ввиду его важности, запишем полученное уравнение для операторов наблюдаемых величин еще раз отдельно:

dAH (t ) [ AH (t ) H H (t )].

i (1.3.36) dt Уравнение (1.3.36) естественно считать квантовым аналогом уравнений Гамильтона классической механики, в которых полные производные по времени наблюдаемых величин – координат и импульсов выражаются через функцию Гамильтона динамической системы. В свою очередь, в уравнении (1.3.36) полные производные по времени операторов наблюдаемых величин выражаются через оператор Гамильтона. Если воспользоваться стандартными правилами квантования, к описанию которых мы сейчас переходим, уравнение (1.3.36) для операторов координат и импульсов становится еще более похожим на уравнения Гамильтона классической механики.

Правила квантования впервые были предложены В. Гейзенбергом в середине 20-х годов. В окончательном виде они были сформулированы П.

Дираком. Эти правила дают алгоритм перехода от классической теории, описывающей объекты макромира, к квантовой теории, описывающей аналогичные объекты микромира. Хотя правила квантования применимы и к более сложным объектам, например - физическим полям, сейчас мы будем рассматривать только объекты механики. Как известно, существуют различные формулировки классической механики: формулировка Ньютона, формулировка Лагранжа и формулировка Гамильтона. Правила квантования предполагают использование формулировки Гамильтона. Любая механическая система может быть описана как совокупность материальных частиц, состояние каждой из которых в рамках гамильтонова подхода задается координатой и импульсом. Для описания динамических процессов в системе частиц необходимо ввести функцию Гамильтона, которая в отсутствие магнитного поля и диссипативных процессов записывается в виде суммы кинетической энергии системы частиц и ее потенциальной энергии, включая потенциальную энергию взаимодействия частиц с внешними потенциальными полями, в том числе, - с полями, зависящими от времени.

Опишем кратко классическую теорию Гамильтона. Пусть {xi} – совокупность координат материальных частиц, где i –номер частицы, – номер проекции радиус-вектора частицы на соответствующую ось, аналогично {pi} - совокупность импульсов частиц, где нижние индексы имеют тот же смысл. Функция Гамильтона записывается в виде:

pi H ({ pi },{xi }, t ) W ({xi }, t ), (1.3.37) i, 2mi где первый член в правой части – кинетическая энергия системы частиц, функция W ({xi }, t ) - потенциальная энергия этой системы.

Уравнения Гамильтона для координат и импульсов имеют вид:

H dxi, pi dt (1.3.38) H dpi.

xi dt Важную роль в теории Гамильтона играют так называемые скобки Пуассона. Определим их. Пусть имеется две функции координат и импульсов 1 и 2. Величина:

1 2 1 {12 } ( (1.3.39) ) xi pi pi xi i, называется скобкой Пуассона функций 1 и 2. Пользуясь соотношением (1.3.39), легко убедиться в том, что в частном, но весьма важном случае, когда введенные функции 1 и 2 совпадают с проекциями радиусов векторов или импульсов, имеют место следующие равенства:

{x j x j } 0, { p j p j } 0, {x j p j } jj. (1.3.40) Нетрудно понять, что с использованием скобок Пуассона, уравнения Гамильтона (1.3.38) можно записать в другом виде, более похожем на уравнение (1.3.36):

dxi {xi H }, dt (1.3.41) dpi { pi H }.

dt Обратим внимание на то важное обстоятельство, что координаты и импульсы в теории Гамильтона, очевидно, являются функциями времени.

Временные аргументы в предыдущих и последующих соотношениях мы не указываем, чтобы не загромождать запись, но они, естественно, подразумеваются. При этом временные аргументы всех координат и импульсов, фигурирующих в правых и левых частях приведенных выше соотношений (1.3.37) - (1.3.41) и последующих соотношений, должны быть одинаковыми.

Ясно, что пока мы имеем дело с обычными координатами и импульсами, уравнения Гамильтона мало чем отличаются от уравнений Ньютона. Эффективность теории Гамильтона обусловлена тем, что она полностью сохраняет свою структуру, а уравнения Гамильтона (1.3.41) – свой вид при переходе от обычных координат и импульсов частиц к обобщенным координатам Qm = f1m({xi},{pi}) и обобщенным импульсам Pm = f2m({xi},{pi}) механической системы в случае, если скобки Пуассона, вычисленные для обобщенных координат и обобщенных импульсов как функций исходных координат и импульсов удовлетворяют соотношению, аналогичному соотношению (1.3.40):

{QmQm } 0, {Pm Pm } 0, {Qm Pm } mm. (1.3.42) Такие преобразования координат и импульсов называют каноническими. Возможность перехода к самым разнообразным обобщенным координатам и импульсам делает теорию Гамильтона одним из наиболее гибких и эффективных методов исследования динамических процессов в классической механике.

Очевидно, что теория Гамильтона никак не отрицает основное свойство объектов классической механики: возможность описания этих объектов как совокупности материальных частиц. Именно это свойство роднит макрообъекты классической механики и нерелятивистские микрообъекты, которые, как надежно установлено, могут быть адекватно описаны как системы микрочастиц. Микрочастицы аналогичны материальным частицам классической механики, прежде всего, потому, что набор основных наблюдаемых величин для микрочастиц (координаты, импульсы, моменты импульсов, кинетические и потенциальные энергии и пр.) точно такой же, как и для материальных частиц классической механики. Конечно, с учетом всего, сказанного выше, способ описания состояния микрочастиц разительно отличается от способа описания объектов классической механики. Процедура квантования предполагает замену зависящих от времени координат и импульсов классических частиц зависящими от времени операторами координат и импульсов квантовых частиц. В свою очередь, функция Гамильтона заменяется оператором Гамильтона, который является такой же функцией от зависящих от времени операторов координат и импульсов, что и функция Гамильтона – от координат и импульсов. Выпишем соотношения, устанавливающие соответствие между зависящими от времени наблюдаемыми величинами в классической механике и зависящими от времени соответствующими операторами в квантовой механике, считая, что временные аргументы классических координат и импульсов совпадают с временными аргументами соответствующих операторов:

{xi } {xi }, { pi } { pi }, pi H ({ pi },{xi }, t ) W ({xi }, t ) (1.3.43) i, 2mi p H ({ pi },{xi }, t ) i W ({xi }, t ).

2mi i, Ясно, что операторы координат и импульсов, возникающие в ходе квантования, проведенного указанным образом, являются зависящими от времени операторами соответствующих наблюдаемых величин в представлении Гейзенберга. Мы не записываем нижний индекс H у этих операторов, чтобы не загромождать запись, но, естественно, что этот индекс подразумевается.

Учитывая, что обычные числа – это частный случай операторов, соответствие (1.3.43) может, вообще говоря, не привести ни к какой новой физике, если не потребовать дополнительно, чтобы операторы координат и импульсов были не коммутирующими операторами, которые соответствуют одновременно не измеримым наблюдаемым величинам. П. Дирак первым обратил внимание на то, что коммутационные условия, накладываемые на операторы наблюдаемых величин в квантовой механике, можно получить из скобок Пуассона в классической механике. При этом скобки Пуассона в классической механике заменяются коммутаторами соответствующих операторов в квантовой механике, которые делятся на величину i.

Применяя это правило к соотношению (1.3.40), мы получаем:

[ x j x j ] 0, [ p j p j ] 0, [ x j p j ] i jj, (1.3.44) где правые и левые части соотношений умножены на величину i, так что эта величина оказалась фигурирующей в итоге в правых частях равенств.

Если применить правило П. Дирака к уравнениям (1.3.41), мы сразу получим уравнения (1.3.36), описывающие изменение во времени соответствующих операторов наблюдаемых величин в представлении Гейзенберга. Запишем полученные таким образом из уравнений (1.3.41) квантовые уравнения движения для операторов координат и импульсов:

dxi [ xi H ], i dt (1.3.45) dp i i [ pi H ], dt где, как и в соотношении (1.3.44), правые и левые части уравнений умножены на коэффициент i.

Еще раз обратим внимание на то важное обстоятельство, что временные аргументы операторов всех координат и импульсов в правых и в левых частях уравнений (1.3.45) одни и те же.

Квантовые условия (1.3.44), наложенные на операторы координат и импульсов в представлении Гейзенберга, являются важнейшими алгебраическими соотношениями квантовой механики, которые, как мы увидим ниже, полностью определяют матрицы этих операторов. Поскольку, согласно сказанному выше, алгебраические соотношения между операторами не зависят от того, в каком представлении эти операторы записаны, условия (1.3.44) сохраняет силу также и в представлении Шредингера, в котором операторы координат и импульсов от времени не зависят.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.