авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р.В. ВЕДРИНСКИЙ ...»

-- [ Страница 4 ] --

Как показано в дальнейшем, описанная выше процедура квантования позволяет полностью понять свойства квантовомеханических систем различных (в квантовой механике обычно говорят – нетождественных) нерелятивистских частиц. Эта процедура, однако, не может быть непосредственно применена для построения квантовой механики систем тождественных частиц, например, многоэлектронных систем. Дело здесь в следующем. Поскольку классические частицы различимы и мы, хотя бы, в принципе, можем проследить судьбу каждой частицы в отдельности, в классической физике всегда можно вести такую важную характеристику частицы как ее номер. Мы, естественно, также это сделали выше при построении теории Гамильтона системы материальных частиц. Чтобы подчеркнуть различимость частиц, мы указали также номер частицы (индекс i) у массы частицы, подчеркнув, тем самым, произвольность этой характеристики классической частицы. Напротив, в физике микромира, как это подчеркивалось выше, мы не в состоянии проследить судьбу каждой отдельной частицы в коллективе одинаковых (тождественных) частиц, изолированных от внешнего мира в КР на время эксперимента. Так, если в КР справа и слева влетают на начальной стадии микропроцесса два электрона и в результате их взаимодействия на финальной стадии эксперимента обнаружены снова два электрона, скажем, вверху и внизу КР, мы, в принципе, не в состоянии сказать, который из начальных электронов обнаружен сверху, а который – снизу. Сказанное означает, что в квантовом случае в качестве номера частицы можно использовать тип этой частицы, который всегда можно определить при регистрации частицы с помощью соответствующего ИП на финальной стадии эксперимента. Таким образом, перенумеровать можно только нетождественные частицы. Установлено, что тип частицы в ходе нерелятивистских квантовых процессов не меняется. К примеру, система, состоящая в начальный момент времени из протона и электрона с энергиями, намного меньшими внутренних энергий этих частиц (mc2), в течение всего времени изоляции от внешнего мира остается системой этих же двух частиц. Более того, как отмечалось ранее в разделе 1.1.3 главы 1.1, если одна или несколько частиц, входящих в систему, являются составными частицами, энергии внутреннего возбуждения которых намного меньше их кинетических энергий и потенциальных энергий взаимодействия с другими частицами, такие частицы могут рассматриваться как элементарные составляющие микросистемы. К примеру, если вначале система состояла из позитрона и атома гелия, энергии которых были много меньшими, чем энергии внутреннего возбуждения атома гелия, такую систему можно описывать как двухчастичную систему, состоящую из позитрона и атома гелия в течение всего времени изоляции этой системы от внешнего мира.

Напротив, в случае систем тождественных частиц эти частицы, в принципе, невозможно пронумеровать. Таким образом, для построения квантовой механики систем тождественных частиц требуются дополнительные усилия и новые идеи, так что описанная выше процедура квантования в этом случае прямым образом неприменима.

Задание 1.3. 1. Почему при преобразованиях (1.3.29) и (1.3.30) не изменяется физическое содержание квантовой механики?

2. Как зависят от времени векторы состояния и операторы наблюдаемых величин в представлении Гейзенберга?

Выполнить подробный вывод дифференциального уравнения для 3.

оператора наблюдаемых величин в представлении Гейзенберга.

4. Почему в случае, если оператор Гамильтона не зависит от времени, этот оператор не изменяется при переходе от представления Шредингера к представлению Гейзенберга?

5. Записать функцию Гамильтона и уравнения Гамильтона для свободной частицы и для гармонического осциллятора.

Используя определение скобок Пуассона (1.3.39) убедиться в 6.

справедливости уравнений (1.3.41).

Используя определение скобок Пуассона (1.3.39) убедиться в 7.

справедливости соотношений (1.3.40).

8. Подробно записать соотношения (1.3.42).

1.3.3. Представление взаимодействия и нестационарная теория возмущений.

Многие практически важные задачи квантовой механики можно успешно решить с использованием методов теории возмущений. Для их применения необходимо, чтобы оператор Гамильтона H исследуемой микросистемы можно было представить в виде суммы обычно не зависящего от времени невозмущенного оператора Гамильтона исследуемой микросистемы H 0 и «возмущающего» оператора W (t ), который в общем случае зависит от времени и который в каком-то смысле много меньше невозмущенного оператора. (Понятно, что зависимость от времени не является обязательной, все проводимое ниже рассмотрение может быть выполнено и для независящих от времени «возмущающих» операторов.) При этом предполагается, что оператор H 0 является настолько простым, что как стационарное, так и временное уравнение Шредингера для него можно решить аналитически. Если «возмущающий» оператор W не зависит от времени, возникает естественная задача поиска СВ и СЗ оператора H, который в этом случае также не зависит от времени, в виде рядов, члены в которых вычисляются с использованием оператора W, а также СВ и СЗ оператора H 0. Это – задача так называемой стационарной теории возмущений. Другая задача, которая рассматривается в данном разделе, – это задача описания квантовой динамики с использованием ряда теории возмущений по оператору W (t ), который ниже мы будем называть оператором взаимодействия. (Надо понимать, что получающиеся ниже результаты применимы как в случае, когда оператор W (t ) зависит от времени, так и в случае, когда он от времени не зависит.) Рассматриваемая задача называется задачей нестационарной теории возмущений. Самый удобный метод ее решения основан на использовании нового представления, называемого представлением взаимодействия или представлением Дирака, который впервые предложил ввести это представление. Чтобы перейти к нему, запишем уравнение Шредингера (1.3.17) в виде суммы невозмущенного, не зависящего от времени оператора H 0 и оператора взаимодействия W (t ), который может зависеть от времени:

d ( H 0 W (t )).

i (1.3.46) dt Как и при переходе к представлению Гейзенберга, будем считать, что соответствие между векторами и операторами с одной стороны и чистыми состояниями и наблюдаемыми – с другой изменяется с течением времени, но в качестве унитарного оператора V (t ), задающего преобразования (1.3.29), (1.3.30) в каждый момент времени, выберем вместо оператора (1.3.31) другой оператор:

V (t ) eiH 0 (t t1 ) /, (1.3.47) Понятно, что при таком выборе оператора преобразования векторы состояния в представлении взаимодействия:

(t ) I (t ) eiH 0 (t t1 ) / (t ) ~ (1.3.48) сохраняют зависимость от времени в отличие от векторов состояния в представлении Гейзенберга. Здесь и в дальнейшем индекс I указывает на представление взаимодействия (interaction). Понятно, что в представлении взаимодействия операторы наблюдаемых величин, как и в представлении Гейзенберга, зависят от времени:

~ A(t ) AI (t ) eiH 0 (t t1 ) / Ae iH 0 (t t1 ) /.

(1.3.49) Из уравнения (1.3.46) с учетом соотношений (1.3.47) – (1.3.49) несложно получить уравнение движения для вектора состояния в представлении взаимодействия:

d I WI (t ) I, i (1.3.50) dt где оператор:

WI (t ) eiH 0 t / W (t )e iH 0 t / (1.3.51) является оператором взаимодействия в представлении взаимодействия.

Отметим, что этот оператор зависит от времени даже в том случае, если оператор W от времени не зависит.

Представление взаимодействия и возникающее в этом представлении динамическое уравнение (1.3.50) являются более удачными, чем представление Шредингера, для рассматриваемой задачи описания динамических процессов по теории возмущений. Дело в том, что уравнение Шредингера (1.3.46) обеспечивает достаточно быстрое изменение вектора состояния с течением времени за счет сильного влияния на этот вектор со стороны «большого» оператора H 0. Напротив, предполагаемая «малость»

оператора W (t ) приводит, согласно уравнению (1.3.50), к медленному изменению с течением времени вектора состояния в представлении взаимодействия. Это и является предпосылкой для построения ряда нестационарной теории возмущений.

Рассмотрим, как строится нужный ряд. Для этого удобно перейти от уравнения (1.3.50) для вектора состояния к уравнению для оператора эволюции (оператора развития во времени) вектора состояния в S (t, t ) представлении взаимодействия. Этот оператор позволяет по начальному вектору состояния в представлении взаимодействия, заданному в произвольный начальный момент времени t найти вектор состояния в представлении взаимодействия в любой другой момент времени t:

I (t ) S (t, t ) I (t ). (1.3.52) Оператор развития во времени в представлении взаимодействия S (t, t ), как и оператор развития во времени в представлении Шредингера, введенный в разделе 1.3.1, является унитарным оператором:

S (t, t )S (t, t ) I.

(1.3.53) Следует обратить внимание на то, что оператор эволюции в представлении взаимодействия, как и оператор развития во времени в представлении Шредингера, позволяет не только находить векторы состояния в последующие моменты времени, но и определять, какие векторы состояния предшествовали данному вектору. Формально это означает, что оператор S (t, t ) определен как для t t, так и для t t. Нетрудно понять, что операторы S (t, t ) и S (t, t ) являются обратными друг относительно друга:

S (t, t )S (t, t ) I S (t, t ) S 1 (t, t ).

(1.3.54) Ясно, что существование оператора, обратного оператору S (t, t ), гарантируется его унитарностью, поскольку в этом случае обратный оператор легко находится с использованием операции эрмитова сопряжения по отношению к исходному оператору S (t, t ), как это было ранее в случае представления Шредингера:

S 1 (t, t ) S (t, t ).

(1.3.55) Подставляя (1.3.52) в (1.3.50) и учитывая произвольность начального вектора состояния, получим уравнение движения для оператора эволюции в представлении взаимодействия S (t, t ) :

dS (t, t ) WI (t ) S (t, t ), i (1.3.56) dt Начальное условие для оператора S (t, t ) очевидно:

S (t, t ) I. (1.3.57) Проинтегрируем правые и левые части уравнения (1.3.56) по времени от t до t и с учетом начального условия (1.3.57) получим интегральное уравнение для оператора S (t, t ) :

t S (t, t ) I WI () S (, t )d. (1.3.58) i t Преимущество интегрального уравнения (1.3.58) перед дифференциальным уравнением (1.3.50) состоит в том, что в интегральном уравнении начальное условие (1.3.57) автоматически учтено и решение линейного неоднородного интегрального уравнения (1.3.58) легко получить в виде итерационного ряда. Если оператор взаимодействия в каком-то смысле мал, в полученном ряде можно ограничиться только первыми членами разложения, которые дают приближенное значение оператора эволюции в представлении взаимодействия. Если первых приближений недостаточно, разложение в бесконечный ряд все же имеет смысл, так как в некоторых случаях, как показано в части 2, важную информацию об операторе S (t, t ) можно получить на основе использования только всего бесконечного итерационного ряда. Опишем принцип построения такого ряда:

S 0 (t, t ) I, t S1 (t, t ) I WI ()d i t (1.3.59)..........

......

t S n 1 (t, t ) I WI () S n (, t )d.

i t Несложно понять, что ряд, полученный на n-ой итерации, содержит (n+1) член, а ряд, полученный на (n+1)-ой итерации отличается от ряда, полученного на n-ой итерации, добавлением дополнительного (n+2)-го члена, в то время как первые (n+1) членов ряда остаются такими же, как на предыдущей итерации.

С учетом сказанного легко понять, что бесконечный ряд теории возмущений для оператора эволюции записывается в виде:

t S (t, t ) I WI ()d....

i t (1.3.60) n t 1 d1 d2.... d nWI (1 )WI ( 2 )....WI (n )......

n (i) t t t Ряд (1.3.60) является искомым радом нестационарной теории возмущений. Его приложения для решения конкретных задач приводятся ниже в части 2.

Задание 1.3.3.

1. Провести подробный вывод уравнения (1.3.50).

2. Как находится оператор обратного развития во времени в представлении взаимодействия?

3. Дать подробный вывод разложения (1.3.60) для оператора развития во времени в представлении взаимодействия.

4. Как зависят от времени векторы состояния и операторы наблюдаемых величин в представлении взаимодействия?

5. Вывести уравнение (1.3.58).

1.4. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ ОДНОЙ БЕССПИНОВОЙ ЧАСТИЦЫ.

1.4.1. Построение пространства состояний.

За исключением пространств состояний систем тождественных частиц, которые будут рассмотрены отдельно в главе 1.6, все остальные пространства состояний, включая рассматриваемое в данной главе пространство состояний одной бесспиновой частицы, будут строиться идентичным образом.

На первом этапе будет вводиться полный набор одновременно измеримых независимых наблюдаемых величин. Согласно результатам, представленным в разделе 1.2.3, операторы, соответствующие этим наблюдаемым величинам, коммутируют друг с другом, так что в этом случае существует, по крайней мере, один полный ортонормированный набор, векторы которого являются собственными векторами одновременно всех таких операторов. Если введенный набор операторов полный, то такие операторы порождают полный ортонормированный набор векторов в строящемся пространстве состояний однозначно (с точностью до умножения этих векторов на числа с единичными модулями). Натягивая на полученный набор векторов линейную оболочку, мы и построим искомое пространство состояний. На следующем этапе работы мы рассмотрим основные наблюдаемые величины, свойственные исследуемой физической системе, и, пользуясь алгебраическими свойствами соответствующих им операторов, которые следуют из правил квантования, найдем матрицы этих операторов в том базисном наборе, который был построен на первом этапе. На этом построение пространства состояний будет завершено, и дальнейшая работа будет состоять в решении конкретных квантовомеханических задач в построенном пространстве состояний. Наиболее часто встречающимися здесь задачами являются задачи нахождения собственных функций и собственных значений операторов основных наблюдаемых величин для исследуемой микросистемы.

Как не раз отмечалось ранее, микрочастицы похожи на материальные частицы классической механики тем, что набор наблюдаемых величин для микрочастиц такой же, как и для частиц классической механики (координаты, импульсы, моменты импульсов, энергии и т.д.). Если все наблюдаемые величины для микрочастицы могут быть выражены через ее координаты и импульсы, это означает, что никаких внутренних наблюдаемых величин у частицы нет. Такая частица называется бесспиновой. В данной главе рассматривается именно этот случай. Согласно правилам квантования, описанным в разделе 1.3.2, операторы проекций радиуса-вектора частицы на координатные оси (операторы координат) коммутируют друг с другом, но они не коммутируют с операторами проекций импульса на эти оси.

Перепишем коммутационные соотношения (1.3.44) заново для рассматриваемого сейчас случая микросистемы, в состав которой входит только одна нерелятивистская бесспиновая частица:

[ x x ] 0, [ p p ] 0, [ x p ] i, (1.4.1) где – номер проекции радиуса-вектора (или импульса) частицы ( = x, y, z или 1, 2, 3).

Поскольку в рассматриваемом случае бесспиновой частицы операторы координат и проекций импульса являются основными операторами наблюдаемых величин, через которые выражаются все другие операторы, можно ожидать, что полным набором одновременно измеримых независимых наблюдаемых величин являются три проекции радиуса-вектора, которые одновременно измеримы друг с другом, но которые, согласно коммутационным соотношениям (1.4.1), одновременно не измеримы с проекциями импульса. Понятно, что три проекции импульса обладают таким же свойством, но, как мы увидим ниже, задача на собственные значения для оператора Гамильтона микрочастицы в импульсном представлении решается сложнее, чем в координатном представлении, вследствие чего координатное представление является предпочтительным, и оно используется на практике намного чаще, чем импульсное. Ниже мы также будем использовать в основном координатное представление.

Проекции радиуса-вектора (координаты) являются независимыми наблюдаемыми величинами. Физически это означает, что собственные значения оператора каждой координаты пробегают свойственное этому оператору множество вещественных значений, не зависящее от собственных значений других операторов координат. Каждый из трех операторов координат ( x, y, z ) имеет вырожденный спектр, и только при наложении требования, чтобы базисный вектор являлся собственным вектором одновременно трех указанных операторов координат, этот вектор определяется однозначно (естественно, с точностью до выбора его фазы, которая пока что считается произвольной):

x r x r, y y, r r (1.4.2) z r z r, r ( x, y, z ).

Ниже мы увидим, что операторы координат имеют непрерывные спектры, так что их собственные векторы должны нормироваться на функции, но пока мы не будем останавливаться на этом вопросе.

Набор должным образом нормированных векторов {r } и является с учетом сказанного выше полным ортонормированным набором векторов в пространстве состояний одной бесспиновой частицы. Это пространство можно рассматривать как линейную оболочку, натянутую на векторы {r }.

Следующая задача, которая, согласно сказанному в начале раздела, должна быть решена при построении пространства состояний, - это задача нахождения матриц операторов проекций импульса, через которые, а также через матрицы операторов координат выражаются матрицы других операторов наблюдаемых величин. Как мы убедимся в дальнейшем, эта задача может быть решена на основе использования коммутационных соотношений (1.4.1). Однако, если мы будем решать ее в построенном базисном наборе {r } микрочастицы в трехмерном пространстве, решение окажется излишне громоздким. Задачу можно решить гораздо проще, если воспользоваться методом построения пространств состояний, описанном в разделе 1.2.5, и учесть, что проекции радиуса-вектора являются не только одновременно измеримыми, но и независимыми наблюдаемыми величинами.

Принимая во внимание это обстоятельство, введем, как это было описано в (x), H (y), H (z). В разделе 1.2.5, вспомогательные пространства состояний H первом из этих пространств действует оператор x, во втором - y, а в третьем (x), H (y), H (z) - z, которые в соответствующих пространствах H имеют уже невырожденные спектры. Согласно соотношению (1.4.1) оператор px проекции импульса на ось x коммутирует с операторами y и z, но не коммутирует с оператором x. Аналогичными свойствами обладают (x) операторы p y и p z. Отсюда следует, что в пространстве H действует не (y) только оператор x, но и оператор p x. Соответственно, в пространстве H (z) действует также оператор p y, а в H - p z. В силу изотропии трехмерного (x) (y) (z) пространства, очевидно, что вспомогательные пространства H,H,H должны быть изоморфными друг другу. Отсюда следует, что достаточно (x) изучить только одно из них, скажем, пространство H, а два другие будут полностью идентичными ему. В рассматриваемом пространстве H (x) полный ортонормированный набор векторов порождается оператором x. Векторы этого набора {x} являются собственными векторами оператора координаты:

x x x x. Понятно, что в пространствах H (y) (z) могут быть введены,H аналогичные наборы {y} и {z}, изоморфные набору {x}. Согласно результатам раздела 1.2.5, искомое пространство состояний одной бесспиновой частицы H может быть построено как прямое произведение H H (x) (y) (z) трех вспомогательных пространств: H = H, а базисные векторы в пространстве H получаются путем внешнего перемножения базисных векторов из пространств-сомножителей: { x y z } {r }. Как это и должно быть, полученный набор векторов изоморфен набору, введенному в (1.4.2).

(x) Будем оставаться пока в пространстве H и найдем в нем матрицу оператора импульса p x p в базисном наборе {x} (для упрощения записи мы убрали у оператора импульса нижний индекс x). Понятно, что мы ищем матрицу оператора импульса в базисе, порожденном оператором координаты, так что, согласно определениям, данным в разделе 1.2.3, мы ищем матрицу оператора импульса в координатном представлении. Согласно соотношению (1.4.1) коммутационное соотношение между операторами координаты и импульса в пространстве H (x) имеет совсем простой вид:

[ xp] i (1.4.3) Докажем сначала, пользуясь соотношением (1.4.3), что спектр оператора координаты непрерывен. Предположим противное, что этот спектр дискретен. Тогда в обозначениях главы 1.2 мы должны вместо x писать (x ), а уравнение на собственные значения в этом случае будет записываться n как x( x) xn ( x). Запишем и преобразуем соотношение (1.4.3) в таком n n дискретном ортонормированном базисном наборе {(x) } :

n (( x),[ xp]( x) ) i(( x), ( x) ) n n n n (1.4.4) ( xn xn )(( x), p( x) ) i nn.

n n Из второго уравнения в (1.4.4) очевидно, что матрица оператора импульса в базисе {(x) } является диагональной, но по ее главной диагонали n должны стоять бесконечные величины. Понятно, что такая матрица не может существовать, так что мы приходим к противоречию. Это противоречие, как мы сейчас увидим, снимается, если предположить, что спектр оператора координаты непрерывен и не имеет граничных точек, т.е. этот спектр непрерывно занимает, как этого и следовало ожидать, всю числовую ось. Как это всегда делается в случае оператора координаты и как мы это делали в более общем случае в главе 1.2, будем нумеровать собственные значения оператора координаты самой величиной этого собственного значения x.

Понятно, что вследствие непрерывности собственных значений оператора координаты его собственные векторы нормируются на -функцию:

( x, x ) ( x x), так что эти векторы имеют бесконечные нормы. В таком случае соотношение (1.4.4) принимает вид:

( x x)( x, p x ) i( x x).

(1.4.5) Соотношение (1.4.5) можно рассматривать как линейное неоднородное алгебраическое уравнение для определения искомых матричных элементов оператора импульса ( x, p x ) F ( x, x). Поскольку в правой части (1.4.5) стоит -функция, являющаяся обобщенной функцией, множество матричных элементов F ( x, x) также представляют собой обобщенную функцию. Как это всегда делается, общее решение линейного неоднородного уравнения можно представить в виде его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:

F ( x, x) F1 ( x, x) F0 ( x, x), (1.4.6) ( x x) F0 ( x, x) 0.

Можно показать, что общее решение однородного уравнения имеет вид:

F0 ( x, x) a( x)( x x), (1.4.7) где a(x) – произвольная вещественная функция.

То, что правая часть соотношения (1.4.7), действительно, удовлетворяет однородному уравнению (1.4.6), показано в приложении 1, вещественность функции a(x) обусловлена тем, что оператор импульса эрмитов, а диагональные значения эрмитовой матрицы должны быть вещественными.

Докажем, что обобщенная функция F1 ( x, x) i ( x x) (1.4.8) x является частным решением неоднородного уравнения (1.4.5). Для этого мы должны доказать равенство двух обобщенных функций:

i( x x) ( x x) i( x x). (1.4.9) x Согласно теории обобщенных функций (см. приложение 1) две обобщенные функции равны, если равны интегралы по x от произведений f (x).

этих функций и произвольной «хорошей» функции В рассматриваемом случае, таким образом, нужно доказать равенство:

( x x) f ( x)dx ( x x) ( x x) f ( x)dx x (1.4.10) d d x f ( x) ( xf ( x)) f ( x) dx dx Из (1.4.10) с очевидностью следует утверждение (1.4.9), и мы получаем, что общее решение уравнения (1.4.5) записывается в виде:

( x x) a( x)( x x).

( x, p x ) i (1.4.11) x С первого взгляда, кажется, что коммутационное соотношение (1.4.3), вопреки сказанному выше, не определило однозначно матрицу оператора импульса, поскольку эта матрица согласно (1.4.11) зависит от выбора произвольной вещественной функции a(x). Сейчас, однако, мы увидим, что эта неоднозначность легко устраняется. Чтобы убедиться в этом, примем во внимание то обстоятельство, на которое мы не раз обращали внимание ранее, а именно, что векторы {x} можно умножать на независимые друг от друга числа, равные по модулю единице. В самом деле, собственный вектор линейного оператора, умноженный на любое число, - это снова собственный вектор того же оператора, при умножении же собственного вектора на число, равное единице по модулю, не меняются также и условия нормировки:

x x ei( x) x ( x, x ) ~ ~~ (1.4.12) i ( ( x ) ( x )) ( x x) ( x x), e где (x) – произвольная вещественная функция координаты.

Рассмотрим вопрос о том, как меняется матрица оператора координаты ~ при переходе от векторов x к векторам x. Воспользовавшись соотношением (1.4.11), получим:

( x, p x ) ei ( ( x ) ( x )) (i ( x x) a( x)( x x)) ~ ~ x i ( x ) ie i ( x ) ( x x) a( x)( x x) (1.4.13) e x d( x) i ( x x) ( x x) a( x)( x x), x dx где при выводе использованы следующие два равенства обобщенных функций, доказательство которых проводится полностью аналогично тому, как это было сделано выше в (1.4.10):

i( x ) d( x) ie i( x) ( x x) i ( x x) ( x x), e x x dx ei (( x ) ( x)) a( x)( x x) a( x)( x x).

Очевидно, что, подобрав должным образом вещественную функцию (x), можно добиться того, чтобы второй и третий члены в правой части соотношения (1.4.13) компенсировали друг друга. Таким образом, за счет должного выбора фаз базисных векторов x всегда можно добиться того, чтобы матрица оператора импульса приобрела простейший вид:

( x x).

( x, p x ) i (1.4.14) x Понятно, что и в этом случае базисные векторы x определяются все еще неоднозначно: их можно умножать на произвольное число, равное по модулю единице, но это число должно быть уже одним и тем же для всех векторов x. Такая неоднозначность, понятно, ни на чем не сказывается, и в дальнейшем мы не будем принимать ее во внимание.

(x) Если разложить произвольный вектор из пространства H по базисному набору {x}, то коэффициенты такого разложения будут согласно определениям, данным в разделе 1.2.3, волновыми функциями, отвечающими разлагаемому вектору в координатном представлении:

( x) x dx, (1.4.15) где (x) = (x,).

Легко убедиться в том, что скалярное произведение произвольных (x) векторов, из пространства состояний H записывается в координатном представлении в следующем виде:

(, x )( x, )dx (, ) ( x) ( x)dx, (1.4.16) где, как обычно (см. раздел 1.2.4), между векторами, был «вставлен»

полный набор {x} и также было учтено определение волновой функции в координатном представлении (см. раздел 1.2.3).

Выясним теперь, как операторы координаты и импульса действуют на вектор в координатном представлении. Как показано в разделе 1.2.5, это действие осуществляется по следующим простым правилам:

( x, x ) x ( x), (1.4.16а) d ( x, p ) i ( x).

dx (x) Таким образом, построение пространства H полностью завершено:

мы ввели ортонормированный базис в этом пространстве, показали, как находятся волновые функции и их скалярные произведения во введенном базисе и нашли на основе использования коммутационного соотношения (1.4.3) матрицы основных операторов наблюдаемых величин. Далее нам надо рассмотреть вопрос о нахождении собственных функций и собственных значений этих операторов.

Задание 1.4.1.

1. Объяснить, почему из второго уравнения в (1.4.4) следует, что матрица оператора импульса в базисе {(x) } является диагональной, а по ее главной n диагонали должны стоять бесконечные величины.

2. Получить соотношение (1.4.5) непосредственно из коммутационного соотношения для операторов координаты и импульса.

3. Доказать, что функция, определенная соотношением (1.4.7), является решением однородного уравнения в (1.4.6).

4. Выполнить подробный вывод соотношений в (1.4.10).

5. Провести подробный вывод соотношений (1.4.12) и (1.4.13).

6. Объяснить, каким образом получены соотношения (1.4.16) и (1.4.16а).

1.4.2. Собственные функции операторов координаты и импульса в координатном представлении. Импульсное представление.

Найдем сначала собственную функцию оператора координаты в координатном представлении. Пусть искомая функция соответствует собственному вектору оператора координаты x0. Тогда, согласно общим правилам, собственная функция x0 ( x), отвечающая этому вектору, равна:

x0 ( x) ( x, x0 ) ( x x0 ). (1.4.17) Чтобы найти собственную функцию оператора импульса в координатном представлении, надо решить соответствующее уравнение на собственные значения в координатном представлении:

d i p ( x) p p ( x). (1.4.18) dx Уравнение (1.4.18) легко решается, и мы получаем:

p ( x) C p eipx /, (1.4.19) где Cp – нормировочные коэффициенты.

Поскольку число p - это собственное значение эрмитова оператора импульса, оно должно быть вещественным. Надо отметить, что формально уравнение (1.4.18) может быть решено также и в случае, если величина p – комплексная. В этом случае, однако, получится функция, экспоненциально растущая либо на «плюс», либо на «минус» бесконечности по x. Такие функции даже в рамках теории обобщенных функций не могут быть нормированы, и мы должны исключить их из рассмотрения. Если величина p – вещественная, функции (1.4.19) также имеют бесконечные нормы, однако, эти функции в рамках теории обобщенных функций (см. приложение 1) могут быть нормированы на -функцию:

( p, x )( x, p )dx ( p, p ) ipx / ip x / C C p dx C C p (2)( p p) e e (1.4.20) p p C p (2)( p p), где при выводе был «вставлен» полный набор оператора координаты и учтено соотношение (1.4.19).

Таким образом, мы видим, что спектр оператора импульса непрерывный и он, как и спектр оператора координаты, занимает всю вещественную ось. Это не случайно, так как операторы координаты и импульса входят в коммутационное соотношение симметрично. Если выбрать нормировочные коэффициенты Cp следующим образом:

e i ( p ) Cp (1.4.21), (2)1 / где (p) – произвольная вещественная функция импульса, то собственные векторы оператора импульса нормируются на -функцию по импульсу:

( p, p ) ( p p). (1.4.22) Как это и должно быть, волновые функции, отвечающие собственным векторам оператора импульса (как и сами эти собственные векторы) ei( p), равные определены с точностью до их умножения на коэффициенты единице по модулю. Традиционно такие коэффициенты не вводят, и мы будем также, следуя традиции, считать их равными единице. Тогда волновые функции, отвечающие собственным векторам оператора импульса в координатном представлении, окажутся равными:

eipx /.

p ( x) (1.4.23) (2)1 / Таким образом, собственная функция оператора импульса в координатном представлении – это плоская волна, у которой p/ k - (1.4.24) ее волновой вектор.

Следует отметить, что, аналогично тому, как это делалось в более общем случае в главе 1.2, мы нумеровали собственные значения оператора импульса самими этими значениями p. Сейчас, однако, целесообразно уже обратить внимание на то, что можно поступать и по-другому. Например, собственные значения и собственные векторы оператора импульса могут нумероваться величиной волнового вектора, который согласно (1.4.24) однозначно связан с импульсом. Понятно, что изменять нумерацию собственных векторов и собственных значений можно и в случае операторов, имеющих дискретные спектры, но там такое изменение ни на что не влияет.

Совершенно иная ситуация имеет место в случае операторов с непрерывными спектрами, поскольку разложение векторов состояния по собственным векторам таких операторов проводится путем интегрирования, а подынтегральные выражения при интегрировании по различным переменным отличаются друг от друга якобианом преобразования. Если же мы не хотим вводить такие якобианы, то, как мы сейчас увидим, одновременно с изменением нумерации собственных векторов и собственных значений операторов с непрерывными спектрами надо изменять также условие нормировки их собственных векторов:

( p, p ) ( p p) (1.4.25) (k, k ) (k k ).

Нетрудно понять, что в таком случае при разложении векторов состояния по векторам введенных наборов в подынтегральных выражениях не возникает никаких дополнительных коэффициентов:

( p) p dp, ( p) ( p, );

(1.4.26) (k )k dk, (k ) ( k, ).

Величина (p), согласно результатам раздела 1.2.3, является амплитудой плотности вероятности обнаружения частицы с импульсом p при измерении в ансамбле систем, находящихся в чистом состоянии, описываемом вектором состояния. Соответственно, величина (k) есть амплитуда плотности вероятности обнаружения частицы с волновым вектором k в этом же ансамбле. Понятно, что, поскольку шкалы импульса и волнового вектора – различные, соответствующие плотности вероятности также будут различными, а вместе с ними будут различными и амплитуды плотностей вероятности.

Аналогично тому, как мы получили выражение (1.4.23) для собственной функции оператора импульса, нумеруемой величиной импульса и нормируемой на -функцию по импульсу, мы легко получим выражение для собственной функции оператора импульса, нумеруемой величиной волнового вектора и нормируемой на -функцию по волновому вектору, как это сделано в (1.4.25):

eikx.

k ( x) (1.4.27) 1/ (2) Понятно, что функции (p) и (k), возникающие при разложении вектора по наборам (1.4.23) и (1.4.27). – это волновые функции, отвечающие вектору в импульсном представлении и в представлении волнового вектора.

Используя материал раздела 1.2.4, теперь легко выяснить, как связаны волновые функции в импульсном и в координатном представлениях:

( p, x )( x, )dx ( p ) ( p, ) (1.4.28) e ipx / ( x)dx.

1/ (2 ) Таким образом, волновая функция в импульсном представлении получается из волновой функции в координатном представлении путем ее фурье-преобразования (см. приложение 2). Понятно, что функция (x) связана с функцией (p) обратным преобразованием Фурье:

eipx / ( p)dp.

( x) (1.4.28а) 1/ (2) Найдем теперь матрицу оператора координаты в импульсном представлении:

( p, x )( x, x x )( x, p )dxdx ( p, x p ) (1.4.29) i i( p p) x / i( p p) x / e e ( p p).

xdx dx i 2 2 p p Эта матрица, как и следовало ожидать, очень похожа на матрицу оператора импульса в координатном представлении. То, что в (1.4.29) не возникло никакой дополнительной диагональной матрицы, какая возникала в соотношении (1.4.11), обусловлено специальным выбором фаз собственных функций оператора импульса в координатном представлении, сделанном нами, согласно существующей традиции, в (1.4.23).

Понятно, что собственные функции оператора импульса (1.4.23) или (1.4.27), не могут описывать никакие реальные состояния микрочастицы, поскольку эти функции занимают бесконечную область на оси x, что, безусловно, является идеализацией. В литературе часто используются, особенно при работе в пространствах состояний систем многих тождественных частиц, собственные функции оператора импульса, которые занимают большой, но, все же, конечный объем. Чтобы ввести такие функции, обычно требуют, чтобы они удовлетворяли периодическим условиям Борна-Кармана. В рассматриваемом одномерном случае эти условия выглядят следующим образом: во-первых, считается, что рассматриваемые функции (1.4.27) заданы на конечном интервале изменения координаты [-L/2 x L/2], который имеет большую, но конечную длину L, во-вторых, рассматриваемые функции согласно условию Борна-Кармана считаются периодическими функциями координаты с периодом L:

Ce ik ( x L) Ce ikx, (1.4.30) где C – новая нормировочная константа, которая будет определена ниже.

Очевидно, что условие (1.4.30) делает множество допустимых значений волновых векторов дискретным:

kn n, (1.4.31) L где n – любые целые числа, включая нуль.

Таким образом, наложение условий Борна-Кармана приводит к тому, что спектр оператора импульса становится дискретным. Как это и следовало ожидать, в таком случае собственные функции оператора импульса должны иметь конечные нормы, так что их надо нормировать не на -функцию, а на символ Кронекера:

L / ik n x (Ce ) (Ce ik m x )dx nm. (1.4.32) L / Как и ранее, будем считать нормировочную константу C вещественной.

Она, очевидно, равна 1/L, так что собственные функции оператора импульса в координатном представлении при наложении условий Борна-Кармана оказываются равными:

eik n x, k n ( x) (1.4.33) 1/ ( L) где значения kn находятся из соотношения (1.4.31). Следует иметь в виду, что в дальнейшем при наложении условий Борна-Кармана нижний индекс n у волнового вектора мы обычно записывать не будем, как это часто делается, но, естественно, будем его подразумевать.

Волновые функции реальных состояний частицы (x) всегда отличны от нуля в ограниченной области изменения координаты x, которая всегда, за счет выбора величины L, может считаться намного меньшей, чем введенный интервал периодичности [L/2, -L/2]. В таком случае функции (x) могут быть разложены по набору (1.4.33). Легко понять, что такое разложение является обычным разложением в ряд Фурье:

L / 1 ik n x ( x) (k n ) 1 ik n x, (k n ) ( x)dx.

e e (1.4.34) L L L / n Естественно, что сделав предельный переход L, мы вернемся к разложению в интеграл Фурье (1.4.28), (1.4.28а) по собственным функциям оператора импульса в бесконечном пространстве.

Задание 1.4.2.

1. Найти волновую функцию, соответствующую собственному вектору оператора координаты x0 в координатном представлении.

2. Используя матрицу оператора импульса в координатном представлении получить уравнение (1.4.18) и решить полученное уравнение. Почему число p в решении (1.4.19) должно быть вещественным?

3. Выполнить подробно вывод, кратко приведенный в (1.4.20).

4. Записать собственные функции оператора импульса в координатном представлении, нормированные на -функцию по импульсу и по волновому вектору.

5. Доказать соотношения (1.4.26).

6. Убедиться в справедливости соотношений (1.4.28), (1.4.28а).

7. Подробно повторить вывод (1.4.29).

8. Получить соотношения (1.4.31) и (1.4.32).

9. Доказать соотношения (1.4.34).

10*. Выполнить предельный переход от разложения (1.4.34) волновой функции в ряд Фурье к разложению в интеграл Фурье (1.4.28), (1.4.28а).

1.4.3. Нахождение собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона в случае одномерного движения частицы.

Как ясно из материала главы 1.3, задача нахождения собственных векторов и собственных значений не зависящих от времени операторов Гамильтона является одной из важнейших задач квантовой механики, поскольку собственные векторы таких операторов описывают стационарные состояния микросистемы, а их собственные значения – это возможные значения энергии микросистемы. Как было показано в разделе 1.2.6, задача на собственные значения для оператора Гамильтона в координатном (x) представлении в случае пространства H сводится к нахождению собственных функций и собственных значений обыкновенного линейного дифференциального оператора второго порядка:

2 d ( W ( x)) E ( x) E E ( x), (1.4.35) 2m dx где W(x) – потенциальная энергия микрочастицы во внешнем классическом постоянном поле. (Величина W(x) в дальнейшем нередко будет называться для краткости потенциалом.) В реальных случаях функция W(x) является непрерывной функцией координаты, но уравнение (1.4.35) вполне можно решать также и в идеализированных случаях, когда эта функция имеет разрывы. Разрывы в функции W(x) можно вводить, например, для моделирования ее поведения в областях, где эта функция быстро меняется с изменением координаты. Надо понимать, что, независимо от того, является ли функция W(x) непрерывной или разрывной, решение уравнения (1.4.35) должно быть непрерывной функцией координаты вместе со своей первой производной. Дело в том, что производная разрывной функции содержит -функции в точках разрыва (см.

приложение 1), а вторая производная разрывной функции содержит в этих точках первые производные -функции. В уравнении (1.4.35) такие особенности ничем не могут быть скомпенсированы, что и приводит к сделанному утверждению. Если же потенциал W(x) имеет очень острый и высокий максимум (или минимум), такие особенности в идеализированном подходе можно аппроксимировать -функциями с соответствующими коэффициентами. В этом случае решение уравнения (1.4.35) остается все равно непрерывным, но его первая производная должна стать разрывной.

Тогда вторая производная решения будет содержать -функцию, присутствие которой необходимо для компенсации -функции в потенциале.

Следует отметить, что согласно результатам раздела 1.4.1 матрицы операторов координаты и импульса в координатном представлении однозначно получаются из коммутационного соотношения (1.4.3), так что уравнение (1.4.35) также является, на самом деле, прямым следствием этого соотношения. Как мы увидим ниже на примере оператора Гамильтона одномерного гармонического осциллятора, бывают случаи, когда для решения задачи на собственные значения для оператора Гамильтона можно не переходить к какому-либо представлению, а получить решение чисто алгебраически на основе использования соотношения (1.4.3). Такой путь, однако, в большинстве случаев наталкивается на большие математические трудности, что делает, чаще всего, целесообразным переход к координатному представлению.

Интересно и поучительно рассмотреть также вопрос о том, как выглядит задача на собственные значения для оператора Гамильтона частицы в импульсном представлении. Для того, чтобы сделать это, надо сначала записать в этом представлении матрицу оператора Гамильтона. В результате простых преобразований получим:

p2 ( x)) p ) p ( p p) ( p,W ( x) p ) ( p, ( W 2m 2m p ( p, x )W ( x)( x, p )dx ( p p) (1.4.36) 2m p2 i( p p) x / W ( x )e ( p p) dx, 2m где при выводе был использован непрерывный набор (1.4.23) собственных функций оператора импульса, был «вставлен» полный набор собственных векторов оператора координаты и было учтено, что собственные векторы оператора координаты являются также собственными векторами оператора потенциальной энергии с собственными значениями W(x) (см. раздел 1.2.4).

Запишем с использованием выражения (1.4.36) для матрицы оператора Гамильтона частицы в импульсном представлении уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона в этом представлении:

p ( p, ( W ( x)) E ) E ( p, E ) 2m p ( p,( W ( x)) p )( p, E )dp E E ( p) (1.4.37) 2m p2 i( p p) x ( W ( x )e dx) E ( p)dp E E ( p ).

E ( p) 2m Как видно из последней строки в (1.4.37), уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона в импульсном представлении является линейным однородным интегральным уравнением. Методы решения таких уравнений обычно существенно сложнее, чем методы решения дифференциальных уравнений типа (1.4.35), что и делает координатное представление предпочтительным. Заметим, однако, что интегральное уравнение в (1.4.37) с учетом того, что ядро интегрального оператора зависит ( p p), от разности аргументов может быть решено методом преобразования Фурье, но при этом мы вновь получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (1.4.35).

Вернемся к уравнению (1.4.35) и обратим внимание на то, что величина E в этом уравнении – это полная энергия микрочастицы, а величина W(x) – ее потенциальная энергия. С точки зрения классической механики разность этих величин (E - W(x)) является кинетической энергией частицы, которая в классическом случае не может быть отрицательной. Таким образом, область разрешенных классической механикой значений координаты определяется неравенством:

(E - W(x)) 0. (1.4.38) Соответственно, область изменения координаты, определяемая противоположным неравенством:

(E - W(x)) 0 - (1.4.39) является областью, недоступной для классической частицы.

Для дальнейшего рассмотрения удобно несколько упростить уравнение (1.4.35), умножив его правую и левую части на коэффициент 2m / 2, а также введя определения:

2m 2mE W ( x) U ( x);

. (1.4.40) 2 Тогда уравнение (1.4.35) перепишется в более простом и компактном виде, удобном для качественного анализа:

E ( x) (U ( x) ) E ( x).

(1.4.41) К сожалению, уравнение (1.4.41) в подавляющем большинстве случаев не имеет аналитического решения. Такое решение, однако, может быть получено в ряде частных, но порой важных случаев, например, когда U(x) является потенциалом гармонического осциллятора или кулоновым потенциалом. Чтобы понять, что происходит в общем случае, проведем качественный анализ поведения функций E(x), удовлетворяющих уравнению (1.4.41).

Уравнение (1.4.41) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка. Чтобы однозначно получить решение такого уравнения, надо в некоторой начальной точке x задать значение искомой функции и ее первой производной. Заметим, что коэффициенты в уравнении (1.4.41) вещественные, следовательно, задавая вещественные граничные условия, мы всегда будем получать вещественные решения. Поскольку мы можем задать в качестве начальных условий только два набора вещественных значений функции и ее производной, линейно независимых друг от друга, то при любой величине вещественного параметра таким наборам отвечают два линейно-независимые вещественные решения уравнения (1.4.41). Какие из этих решений являются собственными функциями оператора Гамильтона, и, вообще, будут ли среди них нужные решения, определяется поведением этих решений при x. Собственные функции оператора Гамильтона должны либо стремиться к нулю при x (в этом случае следует ожидать, что такие нормируемые функции должны соответствовать дискретным собственным значениям этого оператора), либо вести себя на бесконечности так, чтобы их можно было нормировать на функцию (тогда эти собственные функции должны соответствовать собственным значениям оператора Гамильтона, лежащим в области непрерывного спектра).

Пусть в достаточно большой области изменения координаты x выполняется неравенство (1.4.39), т.е. эта область недоступна для классической частицы. Без ограничения общности рассмотрения будем считать, что в начальной точке этой области (эта область может тянуться и до «плюс» бесконечности по x) значение функции E(x) положительно.

Согласно уравнению (1.4.41) вторая производная функции E(x) в начальной точке рассматриваемой области также будет положительной, так что ее первая производная будет расти с ростом координаты. Если заданное значение первой производной в начальной точке положительное, то искомая функция будет неограниченно возрастать с ростом координаты в области выполнения неравенства (1.4.39). Если же эта производная будет отрицательной, то возможны два варианта. В первом из них рост первой производной приведет к тому, что на некотором расстоянии от начальной точки эта производная обратится в нуль без изменения знака функции, после чего убывание функции сменится при дальнейшем возрастании координаты неограниченным ростом функции. Во втором случае на некотором расстоянии от начальной точки обратится в нуль сама функция, в то время как ее первая производная останется еще отрицательной. Как только при дальнейшем росте координаты сама функция станет отрицательной, то согласно уравнению (1.4.41) изменится и знак второй производной, что приведет к неограниченному дальнейшему убыванию рассматриваемого решения. Из сказанного следует, что в области выполнения неравенства (1.4.39) решения уравнения (1.4.41) ведут себя неустойчиво с изменением координаты. Если неравенство (1.4.39) выполняется от начальной точки до «плюс» бесконечности по x, то рассмотренные варианты решения уравнения (1.4.41), очевидно, не могут представлять интереса при поиске собственных функций оператора Гамильтона, поскольку эти решения ни в каком смысле не могут быть нормируемыми. В этом случае, однако, возможна особая промежуточная ситуация, когда функция вместе со своей первой производной обращаются в нуль на «плюс» бесконечности по x. Такая ситуация возможна в случае, когда в начальной точке функция положительна, первая производная отрицательна (или наоборот) и эта производная вместе с функцией стремятся к нулю в асимптотической области при x, причем функция все время остается положительной, а ее первая производная - отрицательной. В таком случае найденная функция может оказаться собственной функцией оператора Гамильтона, если эта функция будет также «правильно» вести себя и на «минус» бесконечности по x. Заметим, что, если функция ведет себя в этой области «правильно», то она должна стремится к нулю при x, имея один и тот же знак вместе со своей первой производной, т.е. из «минус» бесконечности функция вместе со своей первой производной совместно возрастают (или убывают). Если неравенство (4.39) выполняется на всей координатной оси, ясно, что такое невозможно. В самом деле, если принять, что функция E(x) и ее первая производная являются бесконечно малыми положительными величинами на «минус» бесконечности по x, то, согласно сказанному выше, такая функция может только неограниченно возрастать на «плюс» бесконечности, и в нуль на «плюс» бесконечности она обратиться никак не сможет. Таким образом, в достаточно распространенном случае, когда неравенство (1.4.39) выполняется в асимптотических областях при x, искать собственные функции оператора Гамильтона целесообразно лишь тогда, когда в области промежуточных значений координаты выполняется неравенство (1.4.38), т.е.

эта область является областью, разрешенной для классической частицы.

Рассмотрим сначала, как ведет себя решение уравнения (1.4.41) в такой области.

Пусть неравенство (1.


4.38) выполняется в достаточно широкой области изменения координаты и пусть, как и ранее, в начальной точке с минимальной координатой в этой области значение функции x положительное. Тогда, согласно уравнению (1.4.41), вторая производная в этой точке будет отрицательной, так что первая производная функции будет убывать с ростом координаты. Такое убывание неизбежно приведет к тому, что рано или поздно первая производная станет отрицательной (это может произойти и сразу, если в начальной точке первая производная уже отрицательная), после чего функция начнет убывать с ростом координаты, пока она не обратится в нуль при отрицательной первой производной. Как только функция по мере дальнейшего роста координаты станет отрицательной, ее вторая производная согласно уравнению (1.4.41) станет положительной, что рано или поздно приведет к росту функции, так что в результате функция снова обратится в нуль, после чего процесс повторится.

Таким образом, при выполнении неравенства (1.4.38) в достаточно широкой области изменения координаты искомая функция в этой области осциллирует с ростом координаты.

Пусть неравенство (1.4.39) выполняется в асимптотических областях при x, а в области промежуточных значений координаты выполняется неравенство (1.4.38). Выберем такое решение уравнения (1.4.41), которое на «минус» бесконечности по координате начинается с бесконечно малого положительного значения функции и ее первой производной. (Отметим, что проведенное выше рассмотрение гарантирует существования такого особого решения, промежуточного между решениями, стремящимися к «минус» и к «плюс» бесконечности в области больших по модулю отрицательных значений координаты.) Рассматриваемое решение будет возрастать с ростом x до тех пор, пока мы остаемся в области, где выполняется неравенство (1.4.39). Как только мы выходим за пределы этой области и попадаем в область, где выполняется неравенство (1.4.38), характер решения становится другим, и оно начинает осциллировать с ростом координаты до тех пор, пока мы не попадаем вновь в недоступную для классической частицы область, где выполняется неравенство (1.4.39). Если на границе этой области значение искомой функции и ее первой производной оказываются положительными, при дальнейшем росте координаты функция будет неограниченно возрастать, и, следовательно, она не может быть нормируемой, так что она не может быть собственной функцией оператора Гамильтона. Аналогичная ситуация возникает также в случае, если на границе области (1.4.39) значение искомой функции и ее первой производной будут отрицательными. Напротив, если первая производная оказывается отрицательной при положительном значении функции (или наоборот), возможен случай, когда искомая функция вместе со своей первой производной обратятся в нуль на «плюс»

бесконечности по x. Понятно, что такой особый промежуточный случай может реализоваться только при определенном значении величины E, от которой зависит коэффициент в уравнении (1.4.41). Стоит только чуть изменить это значение, как искомая функция на «плюс» бесконечности по координате начнет либо неограниченно расти, либо неограниченно убывать.

Таким образом, то значение энергии E, при котором искомое решение равно нулю и на «минус», и на «плюс» бесконечности по x, является дискретным, что полностью согласуется с нормируемостью найденного решения. При этом найденное решение, по его построению, является единственным, так что соответствующее ему собственное значение оператора Гамильтона является невырожденным.

Вернемся к уравнению (1.4.41) и рассмотрим несколько типичных зависимостей U(x). Во всех рассматриваемых случаях будем для простоты считать, что потенциалы ограничены снизу, т.е.: U(x) U0.

Первый тип потенциала: U(x) + при x.

В таком случае, если U0, неравенство (1.4.39) выполняется при всех значениях координаты и, согласно полученным выше результатам, в этой области не может быть собственных значений оператора Гамильтона. Если же U0, то при промежуточных значениях координаты возникает область изменения x, в которой выполняется неравенство (1.4.38), причем по мере роста величины эта область расширяется, но в силу принятого ограничения, согласно которому U(x) + при x эта область никогда не может стать бесконечно протяженной. Таким образом, согласно сказанному выше, в области U0 лежат дискретные невырожденные собственные значения оператора Гамильтона, а соответствующие им собственные функции могут быть нормированы на единицу.

Второй тип потенциала: U(x) + при x - и U(x) = С при x x0, где С – константа.

Поскольку потенциальная энергия требует выбора начала отсчета, совместим его с константой С, т.е. будем считать, что в области x x потенциал U(x) = 0. При этом возможны два случая: 1. U0 0 и 2. U0 = 0. Как в первом, так и во втором случаях в области значений параметра, где он меньше, чем значение U0, собственные значения оператора Гамильтона располагаться не могут. Доказательство здесь точно такое же, как и для потенциалов первого типа, и мы его повторять не будем. В первом из указанных случаев существует область энергий, в которой выполняется неравенство U0 0. В этой области значений неравенство (1.4.39) всегда имеет место при x, как и в рассмотренном выше случае для потенциалов первого типа, в то время как в области промежуточных значений координат выполняется неравенство (1.4.38). На основе анализа, проведенного для потенциалов первого типа, можно заключить, что в этой области значений могут возникать дискретные невырожденные собственные значения оператора Гамильтона. Поскольку эта область занимает конечный интервал изменения, дискретные собственные значения в ней могут и не появиться.

Новая ситуация, по сравнению с рассмотренными возникает в области, где величина положительна. В этой области при достаточно больших по модулю отрицательных значениях координаты всегда выполняется неравенство (1.4.39), но в большей части остальной области выполняется неравенство (1.4.38), а при x x0 уравнение (1.4.41) принимает уже совсем простой вид:

E ( x) E ( x).

(1.4.42) Общее вещественное решение уравнения (1.4.42) может быть записано следующим образом:

E ( x) c cos(kx (k )), (1.4.43), величина (k) определяется где с – нормировочная константа, k = величиной k и поведением потенциала при x x0.

Поскольку при x - выполняется неравенство (1.4.39), при нахождении собственных функций оператора Гамильтона необходимо потребовать, чтобы искомая функция вместе с ее первой производной стремилась к нулю при x -, сохраняя при этом свой знак. Это требование однозначным образом (конечно, с точностью до нормировочной константы) определяет решение уравнения (4.41) при всех значениях x. При x x найденное решение принимает вид (1.4.43). Как мы увидим ниже, полученные таким образом решения уравнения (1.4.41) могут быть нормированы на -функцию. Отсюда следует, что область 0 – это область непрерывного спектра оператора Гамильтона. Будем нумеровать. Понятно, что, собственные функции в этой области величиной k = поскольку найденные функции являются собственными функциями оператора Гамильтона, они обязательно ортогональны при различных значениях параметра k. Также понятно, что функции с асимптотическим поведением (1.4.43) при x + заведомо имеют бесконечные нормы, но такие функции, как мы увидим ниже, могут быть нормированы на функцию. При принятой нумерации собственных функций с помощью величины k, мы будем требовать, чтобы выполнялось условие:

k ( x)k ( x)dx (k k ), (1.4.44) где комплексное сопряжение в выражении для скалярного произведения отсутствует, поскольку рассматриваемые функции по построению являются вещественными. (Ясно, что искомые функции можно нумеровать и по другому, например, величиной. В этом случае, однако, надо изменить условие нормировки и потребовать, чтобы в правой части (1.4.44) стояла бы другая -функция, а именно: ( – ’).) Наша задача состоит в определении такой нормировочной константы у искомой функции, чтобы выполнилось соотношение (1.4.44). Нетрудно понять, что для этого достаточно правильно найти константу с в правой части соотношения (1.4.43). Дело в том, что нам незачем проверять еще раз, k k что скалярное произведение (1.4.44) равно нулю при - это гарантируется эрмитовостью оператора Гамильтона, нам нужно только правильно найти бесконечный вклад в интеграл (1.4.44) при k k.

Поскольку рассматриваемые функции стремятся к нулю при x - и они нигде не обращаются в бесконечность, единственной причиной, по которой интеграл в (1.4.44) может расходиться при k k, является то, что эти функции, согласно соотношению (1.4.43) не стремятся к нулю при x +.

Таким образом, для того, чтобы выделить нужный нам бесконечный вклад в интеграл (1.4.44), достаточно рассмотреть аналогичный интеграл, в котором точные решения заменены их асимптотическими значениями (1.4.43), а в качестве нижней границы области интегрирования выбрано любое конечное значение величины x. Это значение без ограничения общности удобно выбрать равным нулю:

cos(kx (k )) cos(k x (k ))dx.

c (1.4.45) Нетрудно понять, что бесконечный вклад в интеграл (1.4.45), возникающий при k k, должен быть таким же, как и бесконечный вклад в интеграл (1.4.44), конечными же составляющими на фоне этого бесконечного вклада, очевидно, можно пренебречь. Преобразуем интеграл (1.4.45), отбрасывая по ходу преобразования те члены, которые не стремятся к бесконечности при k k :

cos(kx (k )) cos(k x (k ))dx c e i ( kx )(ei ( k x ) e i ( k x ) )dx i ( kx ) c (e (1.4.46) i (( k k ) x ( )) e i ((k k ) x ( )) )dx c (e ei ( k k ) x dx c 2 (k k ), c 4 где при выводе было учтено, что бесконечный вклад в интеграл идет только от точки, где k k, так что разность ( ), фигурирующую в показателе степени в (1.4.46), можно положить равной нулю. Во избежание недоразумений отметим, что знаки равенства, фигурирующие в (1.4.46), на самом деле, означают равенства только бесконечных вкладов в рассматриваемые интегралы.

Таким образом, при c мы обеспечиваем требуемую нормировку собственных функций оператора Гамильтона.


Из проведенного рассмотрения следует вывод о том, что для потенциалов второго типа спектр оператора Гамильтона в области отрицательных значений параметра может быть только дискретным, а в области положительных значений этого параметра спектр оператора Гамильтона непрерывный и любое положительное значение величины E является собственным значением оператора Гамильтона. Поскольку собственные функции оператора Гамильтона однозначно определяются их стремлением к нулю вместе с первой производной при x -, то собственные значения оператора Гамильтона, как дискретные (если они есть), так и непрерывные являются невырожденными.

Третий тип потенциала: U(x) = С 0 при x x1, U(x) = 0 при x x0. (x1 x0) Рассмотрение здесь очень похоже на то, которое проводилось ранее за исключением случая, когда C, который будет рассмотрен ниже. Понятно, что в области отрицательных значений возможны лишь дискретные собственные значения оператора Гамильтона, которые могут существовать (но не обязательно существуют), если только U0 0. В области положительных значений при C спектр оператора Гамильтона является непрерывным и невырожденным, как и в случае потенциалов второго типа.

Если же C, то и на «плюс», и на «минус» бесконечности по координате выполняется неравенство (1.4.38) и, поскольку потенциал как в области x x1, так и в области x x0 постоянен, решения уравнения (1.4.41) в этих областях являются линейными комбинациями соответствующих синусов и косинусов:

x x1 : E ( x) a1 cos(k1x) b1 sin( k1x), k1 C, (1.4.47) x x0 : E ( x) a0 cos(k0 x) b0 sin( k0 x), k0.

В области x x1 искомую функцию можно выбрать без ограничения общности либо в виде синуса, либо косинуса, тогда в области x x0 в этих двух случаях мы получим разные значения коэффициентов a0, b0. Понятно, что в области x x0 искомую функцию можно представить также и в виде (1.4.43), где величины с и, естественно, будут разными при различном выборе поведения функций в области x x1. В обоих случаях полученные функции можно нормировать на -функцию, так что эти функции являются функциями непрерывного спектра. Поскольку с задачей нормировки таких функций обычно не приходится иметь дело при решении задач квантовой механики, мы не будем ее рассматривать. Ясно, что при каждом значении величины мы получаем описанным способом две линейно-независимые собственные функции оператора Гамильтона. (Это максимальное число линейно независимых решений уравнения (1.4.41), которое является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.) Таким образом, собственные значения оператора Гамильтона в рассматриваемой области энергий являются двукратно вырожденными.

Линейно-независимые собственные функции оператора Гамильтона 1, 2, отвечающие одному и тому же значению параметра, удовлетворяют простому и полезному соотношению, вывод которого приводится ниже.

Чтобы получить нужное соотношение, запишем уравнение (1.4.41) для этих двух функций:

1 ( x) (U ( x) )1 ( x), (1.4.48) ( x) (U ( x) )2 ( x).

Умножим первое из двух уравнений (1.4.48) на функцию 2, второе – на функцию 1 и вычтем из первого уравнения второе. Понятно, что правые части при таком вычитании сокращаются, а левые можно преобразовать следующим образом:

d (1 2 1 ) (1.4.49) dx 12 2 1 const.

Выберем функции 1, 2 в виде, который обсуждался выше:

x x1 x x 1 cos(k1x) c1 cos(k0 x 1 ), (1.4.50) 2 sin( k1x) c2 cos(k0 x 2 ).

Применяя второе из равенств, приведенных в (1.4.49) к функциям (1.4.50) в областях x x1 и x x0 и приравнивая полученные результаты, получим искомое соотношение:

k1 c1c2 k0 sin(1 2 ). (1.4.51) Если собственные значения оператора Гамильтона являются вырожденными, имеет смысл рассматривать также его комплекснозначные собственные функции, поскольку такие функции в общем случае уже нельзя получить из вещественных функций за счет их умножения на комплексные числа, как это всегда можно сделать в случае собственных функций, соответствующих невырожденным собственным значениям. Например, в рассматриваемом случае потенциалов третьего типа в области С важный физический смысл имеют функции, которые в областях x x1 и x x0 ведут себя следующим образом:

x x1 x x (1.4.52) ik1 x ik 0 x ik1 x E e re de.

Поскольку область x x1 тянется до - по x, то в области очень больших по модулю отрицательных значений координаты функции eik1 x, e ik1 x можно рассматривать как собственные функции оператора k1 0, k1 импульса с собственными значениями (согласно соотношению (1.4.47) величины k1 и k0 - положительные). Таким образом, волна eik1 x описывает частицы, движущиеся в области x x1 с импульсом k1 в направлении возрастания координаты, а волна e ik1 x описывает частицы, движущиеся в этой области в противоположном направлении.

Аналогично, волна eik 0 x описывает частицы, движущиеся в области x x0 с импульсом k0 в направлении роста координаты. Таким образом, функция (1.4.52) описывает процесс отражения и прохождения частиц при их падении из «минус» бесконечности по x с импульсами k1 на область изменяющегося потенциала, лежащую в интервале от x1 до x0. Величину r в (1.4.52) следует рассматривать как амплитуду отражения, а величину d - как амплитуду прохождения волны. Используя соотношение (1.4.49), легко показать, что эти амплитуды не являются независимыми. Для доказательства этого утверждения в качестве линейно-независимых функций 1, 2 в (1.4.49) надо использовать функции E, *. Следует отметить, что использование E соотношения (1.4.49) в этом случае дает нетривиальный результат лишь тогда, когда вещественная и мнимая части комплексной функции E 1 i2 являются линейно-независимыми. Таким свойством и в самом деле обладают вещественная и мнимая части функции (1.4.52). Применяя к этой функции и ее комплексно-сопряженной соотношение (1.4.49), аналогично тому, как это делалось при выводе соотношения (1.4.51), получим:

2 k1 k1 r k0 d. (1.4.53) Физический смысл соотношения (1.4.53) легче выяснить, если умножить правую и левую части соотношения (1.4.53) на коэффициент / m и учесть, что k / m - это скорость частицы в соответствующей области пространства с постоянным потенциалом. Тогда соотношение (1.4.53) можно переписать следующим образом:

2 v1 re ik1 x v0 deik 0 x.

v1 eik1 x (1.4.54) Чтобы понять физический смысл соотношения (1.4.54), надо учесть, ik 0 x ik1 x 2 ik1 x что величины - это плотности вероятности e, re, de обнаружения частицы в точке x для случаев: падающей, отраженной и прошедшей волн. Если мы умножим эти плотности вероятности на соответствующие скорости, мы получим плотности потоков частиц в соответствующих волнах. Таким образом, соотношения (1.4.54) и (1.4.53) выражают закон сохранения числа частиц, который формулируется сейчас следующим образом: сколько частиц в единицу времени падает на область изменяющегося потенциала, столько же отражается назад плюс проходит вперед.

Поскольку уравнение (1.4.41) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, оно не может иметь более двух линейно-независимых решений. Таким образом, любую собственную функцию оператора Гамильтона в области, где C, можно представить как линейную комбинацию функции, заданной соотношением (1.4.52), и функции, комплексно-сопряженной по отношению к ней. В частности, таким образом можно представить также функцию, имеющую следующий вид в областях x x1 и x x0:

x x1 x x (1.4.55) ik 0 x E d1e ik1 x ~ ik 0 x r1e e.

~ Нетрудно понять, что функция E описывает процесс взаимодействия с изменяющимся потенциалом волны, падающей на него из + по x с импульсом k0. Тогда r1 – коэффициент отражения, а d1 – коэффициент ~ прохождения такой падающей волны. Учитывая, что функцию E можно представить в виде линейной комбинации функций E, *, определенных E соотношением (1.4.52), мы можем получить соотношения, связывающие ~ амплитуды отражения и прохождения r1, d1 для функции E, определенной соотношением (1.4.55) с аналогичными амплитудами r, d в соотношении (1.4.52).

В заключение данного раздела отметим, что разработанные в настоящее время алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и существующая вычислительная техника позволяют надежно, быстро и сравнительно легко получать численные решения стационарного уравнения Шредингера в одномерном случае и находить как собственные значения оператора Гамильтона, так и соответствующие им собственные функции в координатном представлении.

Задание 1.4.3.

1. Получить уравнение (1.4.35), используя матрицу оператора Гамильтона (1.2.107).

2. Выполнить подробный вывод соотношения (1.4.36).

3. Пользуясь методом фурье-преобразования, перейти от интегрального уравнения (1.4.37) к дифференциальному уравнению (1.4.35).

4. Найти собственные функции и собственные значения уравнения (1.4.41) в потенциальном поле, равном 0 при -a x a и равном бесконечности за пределами этой области. К какому классу потенциалов, рассмотренных в данном разделе, относится этот потенциал? Сопоставить полученные результаты с результатами качественного анализа, выполненного в данном разделе.

5. Найти собственные функции и собственные значения уравнения (1.4.41) в потенциальном поле, равном 0 при -a x a и равном U1 0 за пределами этой области. К какому классу потенциалов, рассмотренных в данном разделе, относится этот потенциал? Сопоставить полученные результаты с результатами качественного анализа, выполненного в данном разделе.

6. Провести подробный вывод соотношения (1.4.46).

7. Найти коэффициент с в правой части (1.4.43), который обеспечивает нормировку собственной функции оператора Гамильтона на (-’) в области 0.

8. Выполнить подробный вывод соотношения (1.4.51) и (1.4.53).

9. Найти амплитуды прохождения и отражения волны для потенциала, ~ равного U 0( x).

10. Найти амплитуды отражения и прохождения волны для потенциала, равного нулю при x 0 и равного U1 0 при x 0.

11*. Выразить коэффициенты d1, r1 в соотношении (1.4.55) через коэффициенты d, r в соотношении (1.4.52).

1.4.4. Собственные векторы и собственные значения оператора Гамильтона гармонического осциллятора.

Согласно стандартной процедуре квантования, описанной в разделе 1.3.2, оператор Гамильтона квантового одномерного гармонического осциллятора имеет вид:

2 p kx, H (1.4.56) 2m где коэффициент k определяет силу гармонического потенциала и часто называется силовой константой.

Понятно, что задача на собственные значения для оператора (1.4.56) может быть решена в координатном представлении:

H n En n 2 d 2 kx2 (1.4.57) ( ) n ( x) En n ( x).

2m dx 2 Согласно материалу предыдущего раздела мы имеем дело в данном случае с потенциалом первого типа, так что собственные значения оператора Гамильтона одномерного гармонического осциллятора являются дискретными и невырожденными, что и было учтено в обозначениях в (1.4.57). Оказывается, что обыкновенное дифференциальное уравнение (1.4.57) можно аналитически решить и найти, тем самым, точные собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона гармонического осциллятора в координатном представлении. Такое решение, однако, описано во всех учебниках по квантовой механики, и мы на нем останавливаться не будем. Мы сейчас увидим, что уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона гармонического осциллятора можно решить чисто алгебраически на основе использования только коммутационного соотношения (1.4.3). Такое решение также нередко описывается в учебниках по квантовой механике, но мы приведем его, поскольку оно нам понадобится в дальнейшем при построении пространств состояний систем тождественных частиц. Кроме того, это решение весьма поучительно в свете того, что говорилось ранее о роли коммутационных соотношений при построении пространств состояний.

Введем для упрощения дальнейшей работы безразмерные операторы импульса и координаты:

p k k P, X, (1.4.58).

m m Тогда оператор Гамильтона (1.4.56) и коммутационное соотношение (1.4.3) примут вид:

( P 2 X 2 ), H (1.4.59) [ XP] i.

Введем новый оператор:

1 a ( P iX ), (1.4.60) который является линейным, но не является эрмитовым.

Перепишем соотношения (1.4.59), используя при этом введенный оператор a и оператор a, эрмитово-сопряженный по отношению к оператору a :

H (a a ), 2 (1.4.61) [aa ] 1.

Обратим внимание на то, что оператор a a, фигурирующий в выражении для оператора Гамильтона, является эрмитовым, независимо от вида оператора a. Отсюда следует, что собственные значения оператора a a обязательно являются вещественными. С другой стороны, оператор a a является, опять же независимо от вида оператора a, неотрицательным оператором. Это означает, что среднее значение оператора a a по любому вектору не отрицательное. Доказать это очень просто:

(, a a) (a, a) 0.

(1.4.62) При выводе соотношения (1.4.62) оператор a был перенесен в левую часть скалярного произведения с одновременным его эрмитовым сопряжением, была также учтена вторая аксиома скалярного произведения, согласно которой произведение вектора на себя больше нуля и оно равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.

Обратим внимание на важный для дальнейшего факт, согласно которому собственные значения неотрицательного оператора больше или равны нулю. Убедиться в этом несложно. Для этого надо взять в (1.4.62) в качестве вектора любой собственный вектор эрмитова оператора a a и учесть, что слева в (1.4.62) при этом возникнет произведение соответствующего собственного значения этого оператора на неотрицательное скалярное произведение (, ).

Запишем теперь уравнение на собственные значения для эрмитова оператора a a :

(a a) n n n, (1.4.63) где мы предполагаем, что собственные значения оператора a a дискретные, поскольку этот оператор пропорционален, согласно (1.4.61), оператору Гамильтона гармонического осциллятора.

Введем вектор a n и докажем, что он, как и вектор n, является собственным вектором оператора a a. Воспользуемся для доказательства этого утверждения коммутационным соотношением (1.4.61), согласно которому a a aa 1. Получаем:

(a a)a n (aa 1)a n a(a a) n a n (1.4.64) ( n 1)a n, где при выводе учтено, что вектор n является собственным вектором оператора a a с собственным значением n.

Соотношение (1.4.64) доказывает сделанное утверждение. Из него также следует, что вектор a n отвечает собственному значению (n - 1) оператора a a, так что оператор a является оператором, уменьшающим на единицу собственные значения оператора a a при действии на его собственные векторы. Этот результат кажется противоречащим тому, что aa оператор является неотрицательным. В самом деле, действуя оператором a на вектор n достаточно большое число раз, мы каждый раз будем на единицу уменьшать собственное значение оператора a a и в результате должны, вроде бы, получить отрицательное собственное значение этого оператора, что, как мы видели, невозможно. Чтобы ответить на вопрос о том, в каком случае ситуация все же оказывается непротиворечивой, надо выяснить, какова норма вектора a n. Это легко сделать:

(a n, a n ) ( n, a a n ) n ( n, n ).

(1.4.65) Из (1.4.65) ясно, что в случае, если собственное значение n, которому отвечает вектор n, равно нулю, то вектор a n оказывается нулевым. При действии же на нулевой вектор любым линейным оператором, в том числе оператором a, мы снова получим нулевой вектор. Таким образом, процесс понижения собственного значения оператора a a при действии оператора a на собственный вектор оператора a a с нулевым собственным значением заканчивается и при последующем действии оператора a на нулевой вектор мы не получим собственный вектор оператора a a с собственным значением на единицу меньшим, а получим вновь нулевой вектор. Таким образом, для того, чтобы процесс непрерывного понижения собственных значений оператора a a при действии на собственные векторы этого оператора оператором a где-то заканчивался и не приводил к отрицательным собственным значениям, что вело бы к противоречию, необходимо, чтобы эти собственные значения были целыми. В этом случае в результате последовательных действий оператора a мы рано или поздно получим собственный вектор оператора a a с нулевым собственным значением и при последующем действии оператора a мы получим нулевой вектор.

Таким образом, собственными значениями оператора a a должны быть числа 0, 1, 2,…., n,…. Число 0 – это минимальное собственное значение, отвечающее состоянию гармонического осциллятора с минимальной энергией. Такое состояние часто называют основным. Возвращаясь к соотношению (1.4.61), мы видим, что чисто алгебраическим способом без перехода к какому-либо определенному представлению мы нашли собственные значения оператора Гамильтона одномерного En гармонического осциллятора:

En (n 1/ 2), n 0, 1, 2, 3.... (1.4.66) Теперь надо выяснить, как найти собственные векторы этого оператора. Докажем, что оператор a, действуя на любой собственный вектор n оператора a a, дает вновь собственный вектор этого оператора, отвечающий собственному значению на единицу большему. Проведем доказательство, аналогично тому, как это делалось в (1.4.64):

(a a)a n a (aa ) n a (a a 1) n (1.4.67) (n 1)a n, где при выводе учтено коммутационное соотношение (1.4.61), а также то, что, как уже доказано выше, собственные значения оператора a a натуральные число и нуль.

Если 0 – нормированный на единицу собственный вектор оператора a a, отвечающий минимальному (нулевому) собственному значению, то из (1.4.67) следует, что вектор, отвечающий n – ому собственному значению можно получить из вектора 0 n - кратным действием оператора a :

(a ) n 0. Полученный вектор, однако, в отличие от вектора 0 не является нормированным. Конечно, нормировочный коэффициент перед ним можно найти и «в лоб», но проще рассмотреть, что происходит с нормировочным коэффициентом при последовательном действии оператора a. Пусть n нормированный собственный вектор оператора a a, отвечающий его n – ому собственному значению. Найдем теперь норму вектора a n :

(a n, a n ) ( n, aa n ) (4.68) ( n, (a a 1) n ) n 1, где при выводе учтено, что вектор n - нормированный.

n Если ввести следующее обозначение: - нормированный a a, отвечающий его (n + 1)–ому собственный вектор оператора собственному значению, то из соотношения (1.4.68) легко получить выражение, связывающее вектор n 1 и вектор n :

a n n 1 n 1.

(1.4.69) Полезно привести также аналогичное соотношение для оператора a, которое следует из соотношения (1.4.65):

a n n n 1.

(1.4.70) Из соотношения (1.4.69) вытекает очевидное, но заслуживающее упоминания следствие:

n a n 1.

(1.4.71) n Соотношение (1.4.71) позволяет очень простым образом получить выражение, связывающее произвольный нормированный на единицу вектор n с нормированным вектором основного состояния 0, отвечающего нулевому собственному значению оператора a a :

(a ) n 0.

n (1.4.72) n!

Важно обратить еще раз внимание на то, что вектор 0, согласно сказанному выше, удовлетворяет соотношению:

a 0.

(1.4.73) Многие задачи квантовомеханической теории гармонического осциллятора удобно решать чисто алгебраически, используя введенные операторы a, a и их коммутационные соотношения, не переходя при этом к какому-либо представлению, но в некоторых случаях все же бывает удобно перейти к координатному представлению. Чтобы сделать это, надо воспользоваться соотношениями (1.4.58) и (1.4.60) и выразить операторы a и a через операторы координаты и импульса:

a ( p i kmx), 2m (1.4.74) a ( p i kmx).

2m Соотношение (1.4.73) в координатном представлении тогда примет вид:

d kmx) 0 ( x) ( dx (1.4.75) kmx 0 ( x) Ce 2, mk 1 / где С = ( – нормировочная константа.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.