авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р.В. ВЕДРИНСКИЙ ...»

-- [ Страница 5 ] --

) Используя выражение (1.4.74) для оператора a, мы можем записать этот оператор в координатном представлении и с использованием соотношений (1.4.75) и (1.4.72) найти волновые функции возбужденных состояний гармонического осциллятора в координатном представлении. Для справки приведем выражение для этих волновых функций, вывод которого можно найти в учебнике [3]:

mk x mk 1 / 4 1 2 H ( x mk ), n ( x) ( (1.4.76) ) e n n 2 n!

d ne z где H n ( z ) (1) n e z - полиномы Эрмита.

dz n Задание 1.4.4.

1. Вывести соотношения (1.4.59) и (1.4.61).

2. Доказать, что оператор a a является эрмитовым и неотрицательным оператором, независимо от вида операторы a.

3. Провести самостоятельно вывод соотношений (1.4.64) и (1.4.65).

4. Объяснить, почему собственные значения оператора a a должны быть целыми.

5. Провести самостоятельно вывод соотношений (1.4.67) и (1.4.68).

6. Решить уравнение (1.4.75) и найти нормировочную константу С.

7. Используя коммутационные соотношения для операторов a, a, найти коммутаторы: [a(a ) n ] для различных значений числа n.

8. Доказать, что оператор eia a является унитарным.

a, a, 9*. Используя коммутационные соотношения для операторов (a ) n 0 нормирован на единицу.

доказать «в лоб», что вектор n n!

1.4.5. Соотношение неопределенности.

В этом разделе мы докажем важное утверждение о том, что коммутационное соотношение для операторов координаты и импульса частицы (1.4.3) накладывает нетривиальное ограничение на распределения 2 (x) ( p) плотности вероятности координат и импульсов микрочастицы, находящейся в чистом состоянии, которое описывается нормированным вектором.

Известно, что интегральными характеристиками этих распределений, которые часто используются при их анализе, являются средние значения координаты и импульса частицы, которые находятся из следующих соотношений:

* x (, x ) ( x) x ( x)dx, * p (, p ) ( p ) p ( p )dp (1.4.77) d * ( x)(i ( x))dx.

dx При анализе этих распределений помимо средних значений координаты и импульса широко используются также их дисперсии:

( x x ) (, ( x x ) ) ( x)( x x ) 2 ( x)dx, 2 2 * ( p p ) 2 (, ( p p ) 2 ) ( p)( p p ) 2 ( p)dp * (1.4.78) d ( x)(i p ) 2 ( x)dx, * dx которые характеризуют среднеквадратичные отклонения этих наблюдаемых величин от их средних значений.

Сейчас мы получим точное неравенство, согласно которому произведение дисперсии координаты на дисперсию импульса для любого состояния ограничено снизу. Чтобы доказать это утверждение, вернемся к аксиомам скалярного произведения, приведенным в разделе 1.2.1, и докажем сначала на их основе неравенство Коши. Это неравенство в разделе 1.2. предлагалось доказать самостоятельно, но ввиду его важности для рассматриваемого вопроса мы проведем сейчас его краткое доказательство.

Рассмотрим два вектора 1 и 2 и, воспользовавшись второй аксиомой скалярного произведения, получим очевидное неравенство:

((1 ( x iy)2 ), (1 ( x iy)2 )) 0, (1.4.79) где x, y – вещественные числа.

Напомним, что согласно используемой аксиоме неравенство (1.4.79) становится равенством лишь в том случае, если (1 ( x iy)2 ).

Вскроем скобки в левой части (1.4.79) и получим:

( x 2 y 2 )(2, 2 ) 2 x Re( 2, 1 ) 2 y Im(2, 1 ) (1, 1 ) 0. (1.4.80) В левой части неравенства (1.4.80) фигурирует квадратичная форма.

Найдем значения x0, y0, при которых она достигает своего минимального значения:

Re( 2, 1 ) x0, ( 2, 2 ) (1.4.81) Im( 2, 1 ) y ( 2, 2 ) и подставим эти значения в левую часть неравенства (1.4.80). После элементарных преобразований получим искомое неравенство, называемое неравенством Коши:

(1, 1 )(2, 2 ) (1, 2 ). (1.4.82) С учетом сказанного выше об условии, при котором неравенство (1.4.79) становится равенством, легко понять, что неравенство (1.4.82) становится равенством тогда и только тогда, когда векторы 1 и коллинеарные. То, что в случае коллинеарности этих векторов неравенство (1.4.82) становится равенством, очевидно. Для доказательства обратного утверждения надо учесть, что вектор (1 ( x iy)2 ) может стать нулевым лишь в случае коллинеарности векторов 1 и 2.

Учитывая, что:

2 2 (1, 2 ) Im(1, 2 ) (1, 2 ) (2, 1 ) / 4, (1.4.83) мы видим, что неравенство Коши можно записать в виде более слабого неравенства, которое и потребуется нам в дальнейшем для получения нужного результата:

(1, 1 )(2, 2 ) (1, 2 ) (2, 1 ) / 4. (1.4.84) Из неравенства (1.4.83) следует, что неравенство (1.4.84) становится равенством, если вектор 1 пропорционален вектору 2 с чисто мнимым коэффициентом пропорциональности:

1 = iy 2, (1.4.85) где y – любое вещественное число.

Воспользуемся неравенством (1.4.84) и положим в нем:

1 ( x x ), (1.4.86) 2 ( p p ), где – нормированный вектор состояния частицы.

В таком случае неравенство (1.4.84) принимает вид:

(( x x ), ( x x ) )(( p p ), ( p p ) ) (( x x ), ( p p ) ) (( p p ), ( x x ) ) (1.4.87) (, ( x x ) 2 )(, ( p p ) 2 ) (, ( xp px) ) / 4.

Учитывая определение дисперсии координаты и импульса, данное в (1.4.78), коммутационное соотношение (1.4.3) и нормированность вектора, из неравенства (1.4.87) легко получается искомое неравенство:

( x x ) 2 ( p p ) 2 2 / 4. (1.4.88) Неравенство (1.4.88), называемое соотношением неопределенности, говорит о том, что произведение дисперсии координаты на дисперсию импульса, найденное для любого чистого ансамбля, не может быть меньше величины 2 / 4. Следует отметить, что соотношение (1.4.88) в том виде, в каком оно было получено выше, не имеет прямого отношения к вопросу об ошибках, возникающих при одновременном измерении координаты и импульса. Эти ошибки были подробно исследованы В. Гейзенбергом, показавшим на основе анализа процедуры такого измерения, что произведение ошибок, возникающих при попытке одновременно измерить координату и импульс микрочастицы, не может быть меньше, чем постоянная Планка. Напротив, в неравенстве (1.4.88) совершенно не предполагается, что измерения координаты и импульса производятся одновременно в одной и той же системе ансамбля. С учетом сказанного в разделе 1.1.2, для точного определения дисперсий координаты и импульса естественно воспользоваться процедурой измерения, предложенной И. фон Нейманом, и измерить распределение координаты и ее дисперсию в подансамбле, системы которого случайно выделены из рассматриваемого полного ансамбля, а распределение импульса и его дисперсию измерить в другом подансамбле, независимо и также случайно выделенном из того же полного ансамбля. В таком случае мы получим точные значения дисперсий координаты и импульса частицы в рассматриваемом ансамбле и убедимся в справедливости неравенства (1.4.88), не проводя при этом одновременных измерений координаты и импульса.

С использованием соотношения (1.4.85) легко понять, что произведение дисперсий координаты и импульса достигает своего нижнего предела при выполнении условия:

( x x ) iy( p p ), (1.4.89) где y – любое вещественное число.

Соотношение (1.4.89) в координатном представлении принимает вид дифференциального уравнения:

d ( x x ) ( x) iy(i p )( x). (1.4.90) dx Дифференциальное уравнение (1.4.90) является линейным однородным уравнением первого порядка, которое легко решить и получить функцию (x), гарантирующую минимально возможное значение произведения дисперсий координаты и импульса частицы:

( x x ) 2 i p x 2 y ( x) Ce e, (1.4.91) где С – нормировочная константа.

Отметим, что параметр y в (1.4.91) должен быть положительным, ибо в противном случае функция (x) будет иметь бесконечную норму и не может, тем самым, описывать какое-либо реальное состояние микрочастицы.

Отметим также, что волновая функция (1.4.91) представляет собой плоскую волну с импульсом, равным среднему импульсу микрочастицы p, модулированную гауссовой функцией, центрированной в средней точке x.

О такого рода функциях часто говорят как о волновых пакетах. Ясно, что в рассматриваемом случае ширина пакета в координатном пространстве тем больше, чем больше параметр y. Соотношение (1.4.88) говорит о том, что ширина пакета в импульсном пространстве уменьшается по мере возрастания его ширины в координатном пространстве, и наоборот.

Соотношение неопределенности (1.4.88) играет очень важную роль в квантовой механике. Во-первых, это соотношение в свое время сняло формальное противоречие, которое возникло в физике при обнаружении того, что микрочастицы проявляют как корпускулярные, так и волновые свойства, во-вторых, оно впервые продемонстрировало существование одновременно неизмеримых наблюдаемых величин у микрочастиц, в третьих, что немаловажно, соотношение неопределенности – один из не так уж многочисленных точных результатов квантовой механики, наконец, в четвертых, соотношение неопределенности позволяет получить простую оценку размеров области локализации волновой функции основного состояния частицы в потенциальной яме и качественно объяснить причину, по которой частица в основном состоянии не «ложится» на ее дно или не опускается на минус бесконечность по энергии в потенциале, не ограниченном снизу, например, в притягивающем кулоновом потенциале.

Остановимся подробнее на том, как получить такие оценки.

Рассмотрим, каким образом с использованием соотношения неопределенности оценить размер области локализации волновой функции основного состояния и его энергию в случае микрочастицы в потенциальной яме. На качественном уровне дисперсию функции (x) для частицы в потенциальной яме, фигурирующую в соотношении неопределенности, можно оценить, если яма центрирована в начале координат, как квадрат радиуса x0 волновой функции (x). Понятно, что средний импульс частицы, находящейся в связанном состоянии в потенциальной яме равен нулю. С учетом сказанного соотношение (1.4.88) можно переписать следующим образом:

x0 p 2 2 / 4.

(1.4.92) Отсюда легко получить важную оценку для средней кинетической энергии частицы:

p2 (1.4.93).

2m 8mx Это соотношение является чрезвычайно важным для качественного понимания того, как формируется основное состояние частицы в потенциальной яме. Из (1.4.93) следует, что уменьшение размера области локализации частицы ведет к быстрому росту ее средней кинетической энергии. Ясно, что среднюю полную энергию частицы E, которая складывается из ее средней кинетической и средней потенциальной энергии, можно оценить следующим образом:

p E W ( x) ~ 2m (1.4.94) W ( x0 ).

8mx Понятно, что, когда частица находится в основном состоянии в E потенциальной яме, ее средняя полная энергия должна быть минимальной. Очевидно, что этот минимум не достигается, когда частица «ложится» на дно потенциальной ямы, где величина x0, характеризующая размер области, где локализована частицы, становится равной нулю, поскольку в таком случае согласно соотношению (4.93) неограниченно возрастает средняя кинетическая энергия частицы. Для нахождения величин, характеризующих основное состояние частицы в яме, необходимо найти величину x0, которая обеспечивала бы минимум средней полной энергии E. Найденная таким образом величина x0 даст оценку размера области локализации основного состояния частицы в яме, а определенная по ней величина E даст оценку энергии этого состояния.

Например, в случае одномерного гармонического осциллятора мы получим следующие оценки:

2 k x E ~ 2 8mx0 (1.4.95) x0, E 0.

4mk Сопоставляя полученные оценки с точными результатами (1.4.66) и (1.4.75), мы видим, что, несмотря на грубость выполненных оценок, результат в конечном итоге оказался весьма неплохим. Как это и должно быть, в основном состоянии частица не опускается на дно потенциальной ямы, а занимает область конечного размера. Размер этой области x называется амплитудой нулевых колебаний частицы. Из-за существования нулевых колебаний атомы в кристаллах даже при нулевой температуре не занимают свои точные положения равновесия, которые часто называют узлами кристаллической решетки, а распределены около них в областях конечного размера. Если массы атомов относительно малы, а потенциал медленно нарастает при отклонении атомов от их положений равновесия (мала величина k), амплитуды нулевых колебаний могут даже при комнатной температуре вносить основный вклад в амплитуды колебаний атомов около узлов кристаллической решетки, что имеет место, например, в кристалле фторида лития LiF.

Описанный метод оценок также дает важный результат в случае кулонова потенциала. Если пренебречь размерами атомного ядра и считать, что оно, ввиду его большой массы по сравнению с массой электрона, является бесконечно тяжелым потенциальным центром нулевого размера, то можно считать, что электрон в водородоподобном атоме находится в классическом кулоновом потенциальном поле: (- Ze2/x), где Z – атомный номер ядра, x – расстояние между ядром и электроном. Надо заметить, что в таком случае решать задачу надо, вообще говоря, в трехмерном пространстве, но оценки вполне можно выполнить и в рассматриваемом одномерном случае. Как и ранее, введем величины: x0 – средний размер области локализации электрона и E - его средняя полная энергия. С учетом сказанного выше, из соотношения (1.4.94) величину E можно оценить следующим образом:

2 Ze E ~. (1.4.96) 2 x 8mx Найдем величину x0, которая обеспечивает минимум средней полной энергии электрона E, и вычислим эту минимальную энергию по полученной величине x0. Определенные таким образом величины будут характеризовать радиус волновой функции и энергию электрона, находящегося в основном состоянии в водородоподобном атоме. Понятно, что эти величины, найденные из соотношения (1.4.96), будут конечными, поскольку при малых значениях x0 первый положительный член в (1.4.96), дающий вклад в среднюю полную энергию электрона от его средней кинетической энергии, будет нарастать быстрее, чем убывает второй член, дающий вклад в среднюю полную энергию электрона от его средней потенциальной энергии в кулоновом поле. Искомые величины легко вычисляются из соотношения (1.4.96):

2 2Z 2 me x0, E (1.4.97).

4Zme 2 Как мы увидим в дальнейшем, полученные оценки так же, как и в случае гармонического осциллятора, хорошо согласуются с точными характеристиками основного состояния электрона в водородоподобном атоме.

Таким образом, соотношение неопределенности позволяет получить качественный ответ на один из важнейших вопросов физики микромира:

почему электрон в атоме не падает на ядро, хотя с точки зрения классической физики это термодинамически выгодно, поскольку при этом выделяется большая энергия, обеспечивающая рост энтропии Мира. Ответ на поставленный вопрос с точки зрения проведенного рассмотрения очевиден:

при уменьшении области локализации электрона при его падении на ядро начинает резко расти его средняя кинетическая энергия, что и обеспечивает существование устойчивого основного состояние электрона в атоме с конечными значениями радиуса области локализации электрона и его полной энергии.

Соотношение неопределенности позволяет также дать ответ на практически не очень актуальный, но интересный вопрос: при каких зависимостях потенциальной энергии от расстояния между частицей и потенциальным центром притяжения начинается падение частицы на центр.

Пусть потенциал такого центра имеет вид (B/x), где 0. Повторяя оценки, проведенные выше для кулонова потенциала ( = 1), мы легко убедимся в том, что при 2 частица не падает на потенциальный центр, а при система неустойчива и частица на центр падает, поскольку при этом не существует минимального значения полной энергии, как это следует из соотношения (1.4.94). Вопрос о том, что происходит при = 2, требует более точного рассмотрения. Такое рассмотрение проведено, например, в учебнике [3].

Задание 1.4.5.

1. Вывести самостоятельно соотношение неопределенности и найти волновую функцию, для которой в соотношении неопределенности возникает знак равенства.

2. Решить уравнение (1.4.90).

3. Найти нормировочную константу С в соотношении (1.4.91).

4. Провести полный вывод соотношений (1.4.95) и (1.4.97).

5. Найти средний размер области локализации частицы и ее среднюю энергию в потенциале (B/x) при 0 2.

1.4.6. Квантовые состояния бесспиновой частицы в трехмерном пространстве. Основные операторы наблюдаемых величин.

С учетом сказанного в разделах 1.4.1 и 1.2.5, полное пространство состояний H одной бесспиновой частицы можно построить как прямое (x) (y) (z) произведение вспомогательных пространств H, введенных в,H,H разделе 1.4.1, которые можно рассматривать как пространства одномерного движения частицы вдоль соответствующих осей. Как было отмечено в разделе 1.4.1, в силу изотропии трехмерного пространства эти вспомогательные пространства состояний изоморфны друг другу. Выше мы (x) подробно изучили пространство H. Ясно, что два других пространства идентичны ему. Для получения базисного набора в полном пространстве H H (x) (y) (z) состояний H = H надо организовать всевозможные внешние произведения базисных векторов из пространств-сомножителей. В качестве таких векторов, согласно сказанному в разделе 1.4.1, естественно использовать собственные векторы соответствующих операторов координат:

{ x y z } {r }.

Запишем условия ортонормированности для таких векторов:

(r, r ) ( x, x )( y, y )( z, z ) (1.4.98) ( x x)( y y )( z z ) (r r ).

Основываясь на материале раздела 1.2.5, в частности, на соотношении (1.2.67), легко найти матрицы операторов проекций радиусов-векторов и проекций импульсов в координатном представлении:

(r, xr ) x( x x)( y y )( z z ) (1.4.99) x(r r ), ( x x)( y y )( z z ) ( r, p r ) i x (1.4.100) (r r ), i x где – номер соответствующей проекции радиуса-вектора или импульса.

Используя введенные базисные векторы, порожденные операторами координат, легко записать волновую функцию в координатном представлении для одной бесспиновой частицы в трехмерном пространстве:

( x, y, z) (r ) (r, ), (1.4.101) где – вектор состояния частицы.

Условия нормировки векторов состояния и их скалярные произведения в координатном представлении имеют вид:

(, ) * (r ) (r )d 3r 1, (1.4.102) * (, ) ( r ) ( r ) d 3 r, где соотношения (1.4.102) получены путем «вставления» полных наборов операторов координат, интегрирование ведется по всему трехмерному пространству.

Как это делалось ранее в одномерном случае, в рассматриваемом трехмерном случае также легко записать результат действия операторов координат и проекций импульса на произвольный вектор в координатном представлении:

( r, x ) x (r ), (1.4.103) ( r, p ) i (r ) i ( x).

x Если микрочастица находится во внешнем не зависящем от времени потенциальном поле, то оператор Гамильтона имеет вид:

p2 W (r ). (1.4.104) H 2m Матрица этого оператора в координатном представлении записывается следующим образом:

, H ) ( W (r ))(r r ), ( r (1.4.105) r r 2m где индекс r у оператора Лапласа указывает, по какой переменной производится дифференцирование.

Действие оператора (1.4.105) на вектор в координатном представлении можно представить как действие линейного дифференциального оператора в частных производных на соответствующую волновую функцию:

, H ) ( W (r )) (r ).

( r (1.4.106) 2m В отличие от одномерного случая в трехмерном случае на заряженную микрочастицу помимо внешнего классического потенциального поля может действовать также внешнее классическое магнитное поле, которое, как известно, не является потенциальным. Поскольку оператор Гамильтона микрочастицы получается из функции Гамильтона соответствующей классической частицы путем замены координат и импульсов соответствующими операторами, запишем функцию Гамильтона частицы с зарядом q во внешнем, для простоты не зависящем от времени, магнитном поле и внешнем, также не зависящем от времени, потенциальном поле W (r ) :

1 q H (r, p) ( p A(r )) W (r ), (1.4.107) 2m c где A(r ) - вектор-потенциал магнитного поля, с – скорость света (здесь и в дальнейшем используется гауссова система электродинамических единиц).

Учитывая градиентную инвариантность классической электродинамики, вектор-потенциал всегда можно выбрать так, чтобы выполнилось условие:

divA(r ) 0. (1.4.108) Запишем оператор Гамильтона, соответствующий функции Гамильтона (1.4.107), заменив координаты и импульсы в (1.4.107) на соответствующие операторы:

1 q H ( p A(r )) W (r ). (1.4.109) 2m c Действие этого оператора на волновую функцию в координатном представлении с учетом сказанного выше, очевидно, записывается как:

q (i A(r ))2 W (r )}(r ).

(r, H ) { (1.4.110) 2m c До этого мы все время подчеркивали, что операторам наблюдаемых величин для микрочастицы в координатном представлении соответствуют матрицы. В рассматриваемых случаях эти матрицы, однако, оказываются, как мы видели, либо диагональными, либо квазидиагональными, что ведет к тому, что действие операторов наблюдаемых величин на волновые функции в координатном представлении сводится или к умножению волновых функций на некоторые функции координат, или к дифференцированию волновых функций. В связи с этим в дальнейшем, как это принято в литературе по квантовой механике, мы не будем вводить матрицы операторов в координатном представлении, а будем считать эти операторы либо операторами умножения волновой функции на числовые функции x x, W (r ) W (r ) и т.д., либо операторами дифференцирования i, H.

p kin 2m Помимо оператора Гамильтона заряженной частицы во внешнем магнитном поле, аналога которого нет в одномерном случае, в трехмерном случае есть еще ряд важных операторов наблюдаемых величин, у которых в одномерном случае также нет аналога. Речь идет, прежде всего, об операторах проекций момента импульса микрочастицы и операторе квадрата момента импульса. В классической физике эти наблюдаемые величины выражаются через координаты и импульсы частицы следующим хорошо известным образом: L r p, где крестик обозначает векторное произведение. (Мы не будем использовать квадратные скобки для обозначения векторных произведений, чтобы не путать их с коммутаторами.) При переходе к квантовому случаю, согласно правилам квантования, наблюдаемые величины заменяются соответствующими операторами:

L r p L e x p, (1.4.111) где по повторяющимся векторным индексам здесь и в дальнейшем предполагается суммирование, e – символ Леви-Чивита, представляющий собой антисимметричный псевдотензор третьего ранга, компоненты которого можно полностью восстановить по одному значению: exyz = 1.

Найдем коммутаторы операторов проекций момента импульса, используя при этом приведенные в (1.4.1) коммутаторы операторов координат и проекций импульса:

[e x p, e x p ] (1.4.112) e e ( x p x p x p x p ) Чтобы вычислить коммутатор, стоящий в скобках в правой части (1.4.112), надо поменять местами операторы x p и x p. При такой перестановке надо учесть, что из-за присутствия в (1.4.112) символов Леви Чивита достаточно ограничиться случаем, когда индексы и, а также ’ и ’ не совпадают друг с другом, вследствие чего соответствующие операторы координат и проекций импульса коммутируют друг с другом. С учетом этого обстоятельства, а также коммутационных соотношений (1.4.1) начнем преобразование первого произведения операторов в правой части (1.4.112), стремясь получить из него второе произведение и коммутационные добавки:

x p x p x ( x p i ) p x ( p x i ) p i x p (1.4.113) x p x p i x p i x p.

После сокращения первого члена в правой части (1.4.113) со вторым членом в правой части (1.4.112), мы получаем:

[e x p, e x p ] ie e ( x p x p ) (1.4.114) i(e e x p e e x p ) i(ee x p e e x p ), где при перестановке индексов в символах Леви-Чивита было учтено, что они при этом меняют знак.

Для дальнейшего преобразования соотношения (1.4.114) учтем следующее важное свойство символов Леви-Чивита:

e e. (1.4.115) Тождество (1.4.115) легко доказать, если принять во внимание, что символ Леви-Чивита e равен смешанному произведению соответствующих ортов в трехмерном пространстве: (e (e e )).

С использованием тождества (1.4.115) соотношение (1.4.114) переписывается следующим образом:

[e x p, e x p ] i(ee x p e e x p ) i(( ) x p (1.4.116) ( ) x p ) i( x p x p ).

Используя тождество (1.4.115), докажем, что скобку в правой части соотношения (1.4.116) можно переписать в следующем виде:

( x p x p ) ( ) x p e e x p (1.4.117) (e L ).

Из соотношений (1.4.116) и (1.4.117) следует искомое соотношение для коммутатора оператора проекций момента импульса микрочастицы:

[ L, L ] ie L. (1.4.118) Ввиду важности полученного соотношения, запишем его для частных случаев, которые обычно и приводятся в большинстве учебников по квантовой механике:

[ L x, L y ] i L z, [ L y, Lz ] iLx, (1.4.119) [ Lz, Lx ] iL y.

Учитывая, что оператор квадрата момента импульса можно записать как: L2 L L, с использованием соотношения (1.4.118) нетрудно доказать, что операторы проекций момента импульса коммутируют с оператором квадрата момента импульса:

[ L L2 ] ( L L L L L L ) ( L L L ie L L L L L ) (1.4.120) ( L ie L ie L L ) 0.

Запишем выражение для операторов проекций момента импульса в координатном представлении, учитывая, что ранее мы ввели, согласно существующим традициям, следующие выражения для операторов координат и проекций импульса в координатном представлении:

x x, p i. Тогда из (1.4.111) получим:

L e x p (e x (i )) l, (1.4.121) где безразмерные операторы l L / называются операторами проекций орбитального момента на соответствующие оси.

Запишем ввиду их важности коммутационные соотношения для операторов проекций орбитального момента, полностью аналогичные соотношениям (1.4.118):

[l, l ] iel. (1.4.122) Соответственно, соотношения, аналогичные соотношениям (1.4.119), (1.4.120), запишутся в виде:

[lx, ly ] ilz, [ly, lz ] ilx, (1.4.123) [lz, lx ] ily, [l, l 2 ] 0.

Задание 1.4.6.

1. Как и почему записываются операторы координат, проекций импульса и момента импульса в координатном представлении.

2. Что такое символ Леви-Чивита и каковы его свойства. Найти все отличные от нуля значения символа Леви-Чивита.

3. Вывести в общем виде коммутационные соотношения для операторов проекций орбитального момента.

4. Провести подробное доказательство того, что оператор квадрата орбитального момента коммутирует с операторами проекций орбитального момента.

5. Доказать соотношение (1.4.115).

6*. Найти коммутаторы операторов координат и проекций импульса с операторами проекций орбитального момента и квадрата орбитального момента.

1.4.7. Собственные векторы и собственные значения операторов проекций импульса, орбитального момента и квадрата орбитального момента.

Поскольку операторы проекций импульса частицы в трехмерном пространстве согласно соотношениям (1.4.1) коммутируют друг с другом, эти проекции одновременно измеримы, так что в полном пространстве состояний существует такой базисный набор, векторы которого являются собственными векторами одновременно трех операторов p x, p y, p z. Поскольку эти операторы действуют в изоморфных друг другу вспомогательных (x), H (y), H (z) пространствах H одномерных движений частицы, мы можем воспользоваться результатами раздела 1.4.2 и заключить, что собственные значения операторов проекций импульса в бесконечном трехмерном пространстве непрерывно пробегают всю вещественную ось, а соответствующие собственные функции в координатном представлении получаются перемножением собственных функций операторов проекций (x), H (y), H (z). Как и в разделе 1.4.2, мы можем импульса в пространствах H нумеровать собственные функции операторов проекций импульса самими значениями этих проекций (px, py, pz) или значениями проекций волнового вектора (kx, ky, kz). Согласно сказанному в разделе 1.4.2, в этих двух случаях мы должны по-разному нормировать соответствующие собственные функции:

ipr *. p ( r ) p ( r ) d r ( p p), p (r ) e, (2)3 / 2 (1.4.124) *. (r ) k (r )d 3r (k k ), ik r (r ) k e, (2)3 / 2 k где импульсы и волновые векторы имеют компоненты:

p( p x, p y, p z ), k (k x, k y, k z ), интегрирование ведется по всему трехмерному бесконечному пространству.

Понятно, что волновые функции (1.4.124) являются плоскими волнами в трехмерном пространстве. Как и в одномерном случае, любую волновую функцию в координатном представлении можно представить в виде суперпозиции этих плоских волн. Такое разложение волновой функции по плоским волнам является разложением в трехмерный интеграл Фурье.

Коэффициентами в этом разложении являются соответствующие волновые функции в импульсном представлении (или в представлении волнового вектора):

i pr ( p )e d 3 p, (r ) (2 ) 3 / i pr ( r )e d 3 r, ( p) (2 ) 3 / 2 (1.4.125) ik r ( k )e d k, (r ) (2) 3 / ik r ( r )e d r.

(k ) (2) 3 / Так же, как и в одномерном случае, собственные функции оператора импульса в координатном представлении можно искать, накладывая на них периодические граничные условия Борна-Кармана. Для этого надо на каждой из координатных осей указать свой интервал периодичности: (Lx, Ly, Lz). В этом случае проекции импульсов или волновых векторов станут дискретными. В частности, для волновых векторов мы получим:

kx = 2nx/Lx, ky = 2ny/Ly, kz = 2nz/Lz, (1.4.126) где (nx, ny, nz) – любые, независимые друг от друга целые числа.

Разложение волновой функции по собственным функциям оператора импульса в этом случае будет разложением по дискретному набору плоских волн, т.е. разложением в трехмерный ряд Фурье. Это разложение записывается обычно следующим образом:

ik r ( k )e (r ), Vk ik r e (r )d 3r, (k ) (1.4.127) V V V Lx L y Lz, где сумма по вектору k означает суммирование по дискретному множеству значений этого вектора, компоненты которого находятся из соотношений (1.4.126).

Важно обратить внимание на то, что одно значение вектора k в рассматриваемом случае приходится на конечный объем 3k k – пространства, равный:

3k = (2)3/V. (1.4.128) С учетом соотношения (1.4.128) можно ответить, например, на такой важный и часто возникающий вопрос: сколько различных состояний частицы, характеризующихся волновыми векторами, приходится на единицу объема трехмерного пространства, если модули волновых векторов частицы не превышают величину k0? Понятно, что все интересующие нас волновые векторы в рассматриваемом случае лежат внутри сферы с радиусом k0.

Понятно также, что число N(k0) различных значений волнового вектора, удовлетворяющих заданному условию, равно отношению объема такой сферы к величине 3k - объему k – пространства, на который приходится одно значение волнового вектора:

k 3 0 V k0.

N (k0 ) (1.4.129) (2)3 6 V Поделив найденную величину на объем V, мы найдем искомое число состояний частицы, удовлетворяющих поставленному условию и приходящихся на единицу объема координатного пространства, которое для краткости мы будем называть r - пространством:

N (k0 ) k (1.4.130).

V Обратим внимание еще на одно важное обстоятельство, связанное с наложением условий Борна-Кармана. Произведение объема – V r пространства, в котором находится частица с определенным значением волнового вектора, на объем k – пространства, на который приходится одно значение волнового вектора, равно:

(2) V 3k V (2)3. (1.4.131) V Если мы учтем, что произведение объемов r и k – пространств пропорционально объему фазового пространства, мы получим важный результат, согласно которому фазовое пространство, если учесть законы квантовой механики, квантуется. Квант объема равен (2)3 в случае r - k – пространства и равен (2)3 в случае обычного фазового r - p – пространства. Этот результат важен для статистической физики при подсчете числа микросостояний, приходящихся на заданное макроскопическое состояние системы частиц.

Перейдем к вопросу о нахождении собственных векторов и собственных значений операторов проекций орбитального момента l и квадрата орбитального момента l 2. Как показано в предыдущем разделе, операторы различных проекций орбитального момента не коммутируют друг с другом, но все они коммутируют с оператором l 2. С учетом этого обстоятельства обычно ищут собственные векторы одновременно двух операторов l 2 и lz. Понятно, что собственные значения оператора l 2 не могут быть отрицательными. Пусть 0 –собственное значение оператора l 2, а m – собственное значение оператора lz и пусть m - нормированный собственный вектор операторов l и lz :

l 2 m m, (1.4.132) l m.

z m m Мы предполагаем в (1.4.132), что спектры операторов l 2 и lz дискретные. В дальнейшем это предположение подтвердится.

Запишем очевидное операторное равенство:

l 2 lx ly l z l 2 lz2 lx ly 2 2 2 2 (1.4.133) и найдем средние значения левой и правой части (1.4.133) по состоянию m :

(m, (l 2 lz2 )m ) (m, (lx ly )m ) 2 (1.4.134) m 0, где последнее неравенство получено с учетом того, что оператор lx ly 2 является неотрицательным.

Из (1.4.134) сразу следует, что модули собственных значений оператора lz не превышают величины. Отметим, что физически это достаточно очевидный результат, так как проекция орбитального момента не может по модулю превысить корень квадратный из квадрата этого момента.

Докажем, что операторы (lx ily ) и (lx ily ), подобно операторам a и a в теории гармонического оператора, являются операторами, повышающими и понижающими на единицу собственные значения оператора lz. Проведем доказательство для оператора (lx ily ) :

lz (lx ily )m {(lx lz ily ) i (ly lz ilx )}m (1.4.135) (lx ily )mm (lx ily )m (m 1)(lx ily )m, где при доказательстве были использованы коммутационные соотношения (1.4.123).

Доказательство аналогичного утверждения для оператора (lx ily ) полностью идентично, и мы его приводить не будем, предоставив это читателю.

Ясно, что вследствие того, что операторы квадрата орбитального момента и его проекций, согласно (1.4.123), коммутируют друг с другом, операторы (lx ily ) и (lx ily ), действуя на вектор m, дают векторы, также являющиеся собственными векторами оператора l 2 с тем же собственным значением, которое, естественно, считать конечным. Мы видим, таким образом, что в рассматриваемом случае возникает проблема, аналогичная той, с которой мы сталкивались в теории одномерного гармонического осциллятора. В самом деле, в силу конечности величины, согласно неравенству, полученному в (1.4.134), собственные значения m оператора lz должны быть ограничены как сверху, так и снизу. В то же время операторы (lx ily ) и (lx ily ) могут, казалось бы, при многократном их действии неограниченно уменьшать и увеличивать величину m. Как и в разделе 1.4.3, мы можем устранить противоречия, предположив, что есть максимальные и минимальные значения величины m: m, m такие, что при действии оператора (lx ily ) на вектор m мы получим нулевой вектор, а при действии оператора (lx ily ) на вектор m мы также получим нулевой вектор. Рассмотрим подробно первый случай:

((lx ily )m, (lx ily )m ) (m, (lx ly lz2 lz2 ilx ly ily lx )m ) 2 (1.4.136) ( m m ) Полностью аналогичное рассмотрение проводится для второго случая, и мы получаем:

m (m 1), (1.4.137) m (m 1).

Обозначим m l. Тогда:

l (l 1), (1.4.138) m l, (l 1).

Понятно, что в силу определения величин m, m, должно выполняться неравенство:

m m, m m n, (1.4.139) где n – натуральное число.

Отсюда следует, что:

m l, m l, 2l n, l (l 1). (1.4.140) Таким образом, число l может быть либо целым, либо полуцелым.

Чтобы доказать, что в рассматриваемом случае оно может быть только целым, запишем оператор lz в координатном представлении в сферической системе координат. Учитывая, что декартовы и сферические координаты связаны друг с другом соотношением:

x r sin cos, y r sin sin, z r cos, (где – полярный угол, – азимутальный угол), мы получим следующее выражение для оператора lz в координатном представлении:

x y ilz y x x y x y (1.4.141) lz i.

Таким образом, уравнение на собственные значения для оператора lz в координатном представлении и его решение в сферической системе координат имеют вид:

i m (r ) mm (r ) (1.4.142) m (r ) Ce im, где С – нормировочная константа.

Полученная в (1.4.142) собственная функция оператора lz, очевидно, должна быть непрерывной, что возможно лишь в случае, если числа m – целые, а вместе с ними целыми будут, согласно (1.4.140), и числа l.

Нормированные собственные функции операторов l 2 и lz, записанные в координатном представлении в сферической системе координат, называются сферическими функциями Ylm (, ) :

l 2Ylm (, ) l (l 1)Ylm (, ), (1.4.143) l Y (, ) mY (, ).

z lm lm Сферические функции образуют полный ортонормированный набор на поверхности сферы. Они подробно описаны в учебнике [3] и мы на них более останавливаться не будем.

Помимо оператора lz в координатном представлении в сферической системе координат, выражение для которого полученного выше, приведем без вывода вид оператора l 2 в координатном представлении в сферической системе координат (см. [3]):

2 1 l (sin ), (1.4.144) sin sin 2 где, как и выше в данном разделе, мы отождествляем оператор и его вид в координатном представлении, как это часто делается в литературе по квантовой механике и как мы часто будем делать в дальнейшем.

Задание 1.4.7.

1. Проверить путем прямого вычисления справедливость соотношений, приведенных в (1.4.124).

2. Доказать соотношения (1.4.126).

3. Найти приходящееся на единицу объема число различных волновых векторов, лежащих внутри параллелепипеда со сторонами k x0), k (0), k z0).

( ( y 4. Доказать, что собственное значение оператора квадрата орбитального момента больше или равно квадрату собственного значения оператора проекции орбитального момента на заданную ось.

5. Провести подробный вывод соотношения (1.4.135).

6. Доказать, что оператор (lx ily ), действуя на собственный вектор операторов квадрата орбитального момента и его проекции на ось z, дает собственный вектор этих операторов, отвечающий неизменному собственному значению оператора квадрата орбитального момента и уменьшает на 1 собственное значение оператора проекции орбитального момента на ось z. Найти норму полученного вектора.

7. Провести подробный вывод соотношения (1.4.136).

8. Провести подробный вывод соотношения (1.4.140).

9. Провести подробный вывод выражения для оператора проекции орбитального момента на ось z в координатном представлении в сферической системе координат.

10*. Провести подробный вывод соотношения (1.4.144).

1.4.8. Вычисление собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона в трехмерном случае.

С учетом соотношения (1.4.106) уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона в трехмерном случае в координатном представлении имеет вид:

HE (r ) ( W (r ))E (r ) EE (r ), (1.4.145) 2m где, как и в одномерном случае, собственные значения оператора Гамильтона могут пробегать либо дискретное, либо непрерывное, либо частично дискретное, а частично непрерывное множество значений.

Таким образом, математически поставленная задача сводится к нахождению собственных значений и собственных функций линейного дифференциального оператора второго порядка в частных производных.

Такая задача намного сложнее, чем аналогичная задача (1.4.35) в одномерном случае. Дело в том, что как уравнение (1.4.35), так и уравнение (1.4.145) в общем случае аналитических решений не имеют, но обыкновенное дифференциальное уравнение (1.4.35) легко, быстро и надежно может быть решено численно, в то время как аналогичных алгоритмов в случае уравнения (1.4.145) в общем случае пока нет, хотя вполне возможно они могут появиться в сравнительно недалеком будущем благодаря быстрому развитию вычислительной техники и методов численного решения дифференциальных уравнений в частных производных.

В учебниках по квантовой механике решение уравнения (1.4.145) в общем случае не рассматривается. Однако, есть немалое число практически важных и интересных случаев, когда уравнение (1.4.145) можно решить важным и широко используемым методом разделения переменных.

Простейший случай, когда такой метод может быть реализован, - это случай, когда потенциальная энергия разбивается на сумму вкладов:

W (r ) W1( x) W2 ( y) W3 ( z ). (1.4.146) Очевидно, что в таком случае задача решения трехмерного уравнения (1.4.145) сводится к решению системы трех одномерных дифференциальных уравнений в обычных производных, которые решаются независимо друг от друга:

2 d ( W1 ( x)) E x ( x) E x E x ( x), 2m dx 2 d ( W2 ( y )) E y ( y ) E y E y ( y ), (1.4.147) 2m dy 2 d ( W3 ( z )) E z ( z ) E z E z ( z ).

2m dz Решив эти уравнения, мы легко найдем собственные значения и собственные функции трехмерного оператора Гамильтона по собственным значениям и собственным функциям одномерных операторов (1.4.147):

E Ex E y Ez, (1.4.148) E (r ) E x ( x) E y ( y ) E z ( z ).

Практически важным случаем, когда такой метод может быть эффективно применен, является случай трехмерного гармонического осциллятора общего вида. В этом случае в произвольно выбранной декартовой системе координат ( x, y, z ), начало которой совмещено с точкой равновесия осциллятора, уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона записывается в виде:

k x x, )E ( x, y, z ) EE ( x, y, z ), ( (1.4.149) 2m где - оператор Лапласа в системе координат ( x, y, z ), k x тензор силовых констант трехмерного осциллятора,, – номера проекций радиуса-вектора частицы на координатные оси.

Как хорошо известно, за счет поворота координатных осей всякую квадратичную форму, в частности, форму, фигурирующую в уравнении (1.4.149), можно диагонализировать. При этом вид оператора Лапласа, который инвариантен относительно поворотов системы координат, не изменится. Пусть (x, y, z) - система координат, в которой квадратичная форма в (1.4.149) диагонализируется. Тогда оператор Гамильтона в этой системе координат принимает следующий вид:

k1x 2 k 2 y 2 k3 z 2 ( )E (r ) EE (r ), (1.4.150) 2m 2 2 где, естественно, k1, k2, k3 0.

Понятно, что уравнение (1.4.150) может быть решено таким же образом, как это было описано выше в (1.4.148).

Уравнение (1.4.150) возникает, например, при нахождении стационарных состояний атомов в кристалле, колеблющихся около положений равновесия, при использовании модели Эйнштейна, в рамках которой считается, что каждый атом движется независимо от других атомов в своем гармоническом потенциале. Уравнение, близкое к уравнению (1.4.150), как мы сейчас увидим, возникает также при нахождении стационарных состояний квантовой заряженной частицы во внешнем постоянном однородном магнитном поле. Как показал Л.Д. Ландау, такая задача может быть просто решена, если выбрать вектор-потенциал магнитного поля в виде: A( x, y, z )( By, 0, 0) в случае, если вектор магнитной индукции B не зависит от координат и направлен по оси z. Легко понять, что при таком выборе вектора-потенциала выполнятся все наложенные на него требования: B rotA, divA 0 (1.4.108). Отметим, что условие (1.4.108) не определяет вектор-потенциал однозначно: к нему можно прибавить градиент любого скалярного поля, которое удовлетворяет условию: = 0. Таким образом, в зависимости от того, какая задача решается, вектор-потенциал можно выбрать по-разному. Указанный выше выбор вектора-потенциала наиболее удобен для решаемой сейчас задачи. С его использованием уравнение (1.4.107) принимает вид:

qB 2 2 2 2 (i x y) )E ( x, y, z ) ( 2m y 2 2m z 2 (1.4.151) 2m c EE ( x, y, z ), где q – заряд частицы.

Нетрудно понять, что переменные в уравнении (1.4.151) разделяются, если искать функцию E ( x, y, z ) в виде:

E ( x, y, z ) E y ( y)ei (k x x k z z ). (1.4.152) E y ( y ) Тогда уравнение для функции после элементарных алгебраических преобразований принимает вид:

2 d 2 q2B ( y y0 ) 2 )E y ( y ) ( 2 2m dy 2mc (1.4.153) 2k z (E )E y ( y ), 2m где:

ck x y0. (1.4.154) qB При естественной замене переменных y y y0 уравнение (1.4.153) превращается в стандартное уравнение (1.4.57) для одномерного гармонического осциллятора:

2 d 2 q2B2 y ) n ( y ) ( 2m dy 2 2mc 2 (1.4.155) En n ( y ).

Коэффициент жесткости и частота этого осциллятора, соответственно, равны:

q2B2 qB k, (1.4.156).

2 mc mc Поскольку уравнение (1.4.155) является уравнением на собственные значения для одномерного гармонического осциллятора, его собственные функции находятся из соотношения (1.4.76), а собственные значения – из (1.4.66). Тогда собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона частицы в однородном магнитном поле запишутся в виде:

2k z E (n 1 / 2), (1.4.157) 2m E ( x, y, z ) Ce i ( k x x k z z ) n ( y y0 ), где величины, y0 определены выше в (1.4.154), (1.4.156), С – нормировочная константа.

Из (1.4.157) ясно, что спектр оператора Гамильтона в рассматриваемом случае непрерывный, поскольку второй член в выражении для энергии меняется непрерывным образом с изменением волнового вектора kz. Другое интересное следствие соотношения (1.4.156) состоит в том, что этот спектр является бесконечнократно вырожденным, поскольку энергия не зависит от волнового вектора kx, в то время, как волновая функция от этого вектора зависит. Понятно, что если мы организуем любую линейную комбинацию найденных собственных функций, отвечающих различным значениям величины kx, то мы снова получим собственную функцию оператора Гамильтона, отвечающую тому же самому собственному значению этого оператора. Такие собственные функции будут более сложными, чем функция, приведенная в (1.4.157). Понятно, что всегда можно организовать такую суперпозицию функций (1.4.157), что полученные новые собственные функции будут занимать конечный интервал не только на оси y, но и на оси x.

Обсудим соответствие между найденными собственными функциями (1.4.157) и представлениями классической физики о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле. В классическом случае проекция импульса частицы на направление магнитного поля сохраняется. В квантовом случае это свойство также имеет место, поскольку оператор проекции импульса на ось z: i z коммутирует с оператором Гамильтона (1.4.151). В плоскости, перпендикулярной оси z, классическая частица qB равномерно движется по окружности с частотой вращений mc (циклотронной частотой), в квантовом случае энергия, согласно (1.4.157), складывается из энергии движения частицы по оси z и энергии qB гармонического осциллятора с той же частотой, что и в классическом mc случае. При этом волновая функция частицы на плоскости (x, y) отлична от нуля на ограниченном участке по оси y, но не убывает вдоль оси x, однако с учетом того, что было сказано в конце предыдущего абзаца, за счет организации суперпозиции функций (1.4.157) можно получить собственную функцию оператора Гамильтона, занимающую ограниченную область и по оси y, и по оси x. Таким образом, полученное решение квантовой задачи о движении заряженной частицы в магнитном поле вполне согласуется с классическими представлениями о таком движении.

При решении ряда задач важно знать, сколько квантовых состояний частицы в однородном магнитном поле, ориентированном по оси z, приходится на единицу площади на плоскости (x, y). Рассмотрим макроскопически большой прямоугольник, заданный следующими неравенствами (- Lx/2 x Lx/2, - Ly/2 y Ly/2), и наложим на функцию (1.4.157) периодические граничные условия по оси x. Понятно, что в этом случае вектор kx станет дискретным и одно значение этого вектора будет приходиться на интервал kx = (2)/Lx. С учетом соотношений (1.4.153), (1.4.154) возможные значения величины kx определяются из условия:

ck x L y / 2 y0 L y / 2 L y / 2 Ly / qB (1.4.158) qBLy qBLy kx.

2c 2c Число различных значений величины kx, которое при фиксированном значении величин kz и n, определяет число состояний частицы, приходящихся на площадь Lx.Ly, получается делением интервала допустимых значений kx, который находится из (1.4.158), на величину kx. Как это и должно быть, полученная величина оказывается пропорциональной площади рассматриваемого прямоугольника: Lx.Ly. Тогда искомое число состояний на единицу площади на плоскости (x, y) оказывается равным:


dN qB. (1.4.159) dS 2c Задание 1.4.8.

1. Проверить, что при выборе вектора-потенциала магнитного поля в виде:

A( x, y, z )( By, 0, 0) выполняются равенства: B rotA, divA 0.

2. Проверить, что при выборе волновой функции в виде (1.4.152) из уравнения (1.4.151) следует уравнение (1.4.153).

3. Выполнить подробный вывод соотношения (1.4.159).

4. Найти собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона для потенциала, равного нулю внутри куба со стороной а и равного бесконечности за пределами этого куба.

5*. Найти кратности вырождений собственных значений оператора Гамильтона сферически-симметричного гармонического осциллятора.

1.4.9. Вычисление собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона со сферически-симметричным потенциалом.

Еще один часто встречающийся случай, когда задача на собственные значения для оператора Гамильтона в трехмерном пространстве может быть решена методом разделения переменных – это случай сферически симметричного потенциала W(r). Ввиду важности этого случая мы рассматриваем его в отдельном разделе.

Понятно, что в случае, когда потенциал W(r) сферически-симметричен, т.е. он зависит только от расстояния до начала координат r и не зависит от угловых переменных, уравнение Шредингера в координатном представлении разумно записать в сферической системе координат:

2 1 2 ) 2 l 2 W (r ) E (r,, ) 2 (r 2m r r r (1.4.160) r EE (r,, ), 1 где: l 2 (sin ).

sin sin 2 С использованием соотношений (1.4.141) и (1.4.144) легко понять, что и lz коммутируют с оператором Гамильтона в операторы l рассматриваемом случае сферически-симметричного потенциала. Эта коммутативность не случайна. Она означает, что квадрат орбитального момента и его проекции являются сохраняющимися величинами, что и должно быть в таком случае.

Учитывая соотношения (1.4.143), из сказанного следует вывод о том, что собственные функции оператора Гамильтона разумно искать методом разделения переменных в виде произведений радиальных функций, зависящих от r, и сферических функций, зависящих от углов и :

E (r,, ) RE (r )Ylm (, ). (1.4.161) Введем для упрощения уравнения (1.4.160) обозначения, использованные в (1.4.40), и получим следующее уравнение для радиальной функции:

l (l 1) 1 d 2 d Rl (r ) )( U (r ))Rl (r ) Rl (r ), (1.4.162) (r r2 d r r dr где в индекс радиальной функции добавлено значение орбитального момента l, от которого зависят коэффициенты уравнения (1.4.162).

Дифференциальный оператор, действующий на радиальную функцию в уравнении (1.4.162), имеет особенность при r = 0, что вызывает необходимость тщательного рассмотрения окрестности этой точки. Удобнее всего сделать это, перейдя от радиальной функции Rl (r ) к вспомогательной, но очень полезной функции Pl (r ), которая вводится соотношением:

Pl (r ) Rl (r ). (1.4.163) r Подставив соотношение (1.4.163) в уравнение (1.4.162), мы придем к очень простому уравнению для функции Pl (r ) :

l (l 1) d 2 Pl ( U (r ))Pl Pl. (1.4.164) 2 dr r Полученное уравнение имеет хорошо знакомый вид одномерного стационарного уравнения Шредингера, в котором в качестве искомой функции фигурирует функция Pl (r ), а к потенциалу U(r) добавлен l(l+1)/r2, дополнительный потенциал отталкивающего типа который стремится к «плюс» бесконечности при r 0. Этот потенциал, который «не подпускает» частицы с большими значениями l к началу координат, называют центробежным потенциалом. Роль центробежного потенциала в квантовой механике близка к роли аналогичного потенциала в классической механике, который возникает при описании движения классических частиц в центрально-симметричном поле.

Расходимость центробежного потенциала в начале координат, которая остается в уравнении (1.4.164), также требует тщательного анализа. Понятно, что при малых значениях величины r доминирующий вклад в уравнение (1.4.164) вносит член, содержащий центробежный потенциал, так что обеспечить равенство правой и левой частей в уравнении (1.4.164) может только вторая производная функции Pl (r ), которая в состоянии скомпенсировать вклад от центробежного потенциала. Более детальный анализ показывает, что удовлетворить уравнению (1.4.164) возможно лишь в том случае, если функция Pl (r ) ведет себя степенным образом при малых значениях r:

Pl (r ) ~ r. (1.4.165) Подставив соотношение (1.4.165) в уравнение (1.4.164), мы получим следующее необходимое условие того, что функция Pl (r ) удовлетворяет этому уравнению вблизи начала координат:

( 1) l (l 1). (1.4.166) Легко убедиться в том, что квадратное уравнение (1.4.166) имеет два решения: 1 = l + 1, 2 = - l. Понятно, что первое решение дает функцию Pl (r ) быстро стремящуюся к нулю при r 0, а второе решение дает функцию, стремящуюся при l 0 к бесконечности в начале координат. Такие расходящиеся в нуле функции не могут быть решениями стационарного уравнения Шредингера, но они нередко используются для вспомогательных целей, как будет ясно из материала части 2. Эти решения называют сингулярными. Если l 0, расходимости у функции P0 (r ) нет, но радиальная функция R0 (r ), согласно (1.4.163), расходится в начале координат, что также неприемлемо. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что при любом значении l искомые функции Rl (r ) и Pl (r ) при r могут вести себя только следующим образом:

Rl (r ) ~ r l, (1.4.167) l Pl (r ) ~ r.

Через ограниченные в начале координат функции Rl (r ), которые называют регулярными решениями, с использованием соотношений (1.4.151), (1.4.163) легко численно найти искомые собственные функции оператора Гамильтона частицы в сферически-симметричном потенциале.

Понятно, что по асимптотическому поведению (1.4.167) функции Pl (r ) при r 0 с помощью уравнения (1.4.164) можно найти эту функцию при любых значениях радиуса. Чтобы убедиться в этом, надо вспомнить, как численно решаются обыкновенные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с использованием методов Рунге-Кутта. В этих методах по значениям искомой функции в нескольких начальных точках, которые в нашем случае можно найти с использованием известного из соотношения (1.4.167) асимптотического поведения этой функции вблизи нуля, однозначно находятся значения искомой функции в последующих точках.

Методы Рунге-Кутта широко используются на практике при вычислении радиальных функций с использованием уравнения (1.4.164). Поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения (1.4.162) и (1.4.164) для функций Rl (r ) и Pl (r ) являются линейными однородными уравнениями второго порядка, решения этих уравнений, получающиеся с использованием граничных условий (1.4.167), находятся однозначно с точностью до нормировочных констант. Иными словами, если умножить найденные решения уравнений (1.4.162) и (1.4.164) на любую константу, полученные новые функции также будут решениями этих уравнений, других же решений не существует.

Таким образом, если задать величины l и m, то собственные функции оператора Гамильтона (если, конечно, они существуют) определяются однозначно с точностью до нормировки. С точки зрения классификации потенциалов, введенной в разделе 1.4.2, потенциал в уравнении (1.4.164) относится либо к первому, либо ко второму типу (более сложные случаи поведения потенциала на бесконечности мы пока не рассматриваем). В случае потенциалов первого типа ( U (r ) при r ) спектр энергий, который дается уравнением (1.4.164), является дискретным и невырожденным. В случае потенциалов второго типа ( U (r ) 0 при r r0 ) этот спектр может содержать отрицательные дискретные невырожденные U (r ) 0 при r r0, значения, если и он является непрерывным и невырожденным в области положительных значений энергии.

Собственные значения оператора Гамильтона (1.4.160) для E сферически-симметричного потенциала всегда вырождены по собственным значениям m оператора проекции орбитального момента (которые называют магнитными квантовыми числами), кроме, понятно, случая, когда l = 0.

Независимость энергии от m очевидна, поскольку при поворотах системы координат энергия в сферически-симметричном случае измениться не может, а проекция орбитального момента для большей части поворотов меняется. В области дискретного спектра оператора Гамильтона (1.4.160) набор собственных значений E, чаще всего, различен для различных значений l (которые в случае дискретных собственных значений называют орбитальными квантовыми числами). Есть, однако, частный, но важный случай, когда одни и те же собственные значения E имеют место при различных значениях l. Это – хорошо известный и описанный во всех учебниках по квантовой механике случай кулонова потенциала Ze2/r.

Уравнение (1.4.164) в этом случае имеет точное решение, которое мы приводить не будем, отсылая читателя к учебнику [3]. Приведем для справки получающиеся в этом случае дискретные значения энергий:

mZ 2 e En, (1.4.168) 2 2 n где n – любое натуральное число, которое называют главным квантовым числом.

Показано, что каждое собственное значение En может возникать для конечного набора орбитальных чисел: 0 l (n – 1). Таким образом, дискретные собственные значения оператора Гамильтона в случае кулонова потенциала вырождены как по магнитным, так и по орбитальным квантовым числам. Причина вырождения по l нетривиальна: это вырождение обусловлено скрытой симметрией оператора Гамильтона с кулоновым потенциалом.

Из (1.4.168) ясно, что в кулоновом потенциале, стремящемся к «минус»

бесконечности при r 0, есть состояние с минимальной энергией. Такое состояние называется, как говорилось выше, основным состоянием. Его энергия и радиус его волновой функции, соответственно, равны:


mZ 2e 4 E0, x0 (1.4.169).

2 2 Zme Сопоставляя точные результаты (1.4.169) с оценкой (1.4.97), грубо полученной на основе использования соотношения неопределенности, мы видим, что в случае кулонова потенциала, как и в случае потенциала гармонического осциллятора, подобные оценки позволяют найти энергию и радиус основного состояния частицы в потенциальной яме в достаточно хорошем согласии с точными результатами.

Заслуживает внимания также то обстоятельство, что из-за медленного убывания кулонова потенциала при r число дискретных состояний в этом потенциале бесконечно велико, причем разность соседних значений энергии быстро убывает, когда эти значения стремятся к нулю. В потенциальных ямах конечного радиуса число дискретных состояний конечно, причем возможны случаи, когда их нет вообще.

Поскольку для освобождения частицы, находящейся в дискретном состоянии с отрицательной энергией, требуется затратить работу, такие состояния часто называют связанными. Минимальная энергия, которая нужна для освобождения частицы из потенциальной ямы, называется энергией связи. Поскольку энергия часто отсчитывается от значения потенциала на бесконечности, которое мы, как обычно, считаем равным нулю, энергия связи равна и противоположна по знаку энергии соответствующего уровня.

Отметим, что часто вместо того, чтобы указывать значения орбитального квантового числа l используют заменяющие их буквенные обозначения. Традиционно используемое соответствие между значениями орбитального числа l и буквами показано в таблице 1.4.1.

Таблица 1.4.1.

l 0 1 2 3 4 буквы s p d f g h Подводя итоги сказанному, можно заключить, что дискретные собственные значения и соответствующие им собственные функции оператора Гамильтона бесспиновой частицы в сферически-симметричной потенциальной яме определяются: главным квантовым числом n, орбитальным квантовым числом l и магнитным квантовым числом m.

Последние являются собственным значением оператора проекции орбитального момента на ось z. При этом собственные значения оператора Гамильтона не зависят от величины m. В случае водородоподобного атома эти собственные значения определяются только главным квантовым числом n, а по орбитальному числу имеет место вырождение.

Отметим, что мы не рассматриваем сейчас собственные функции сферически-симметричного оператора Гамильтона в области непрерывного спектра. Дело в том, что эта задача обычно рассматривается в квантовой теории рассеяния, которая будет изложена во второй части.

Задание 1.4.9.

1. Вывести уравнение (1.4.160).

2. Убедиться в том, что операторы квадрата орбитального момента и его проекций коммутируют со сферически-симметричным оператором Гамильтона.

3. Провести подробный вывод уравнение (1.4.163) из уравнения (1.4.161) и соотношения (1.4.162).

4. Объяснить соотношение (1.4.166).

5. Найти собственные функции и собственные значения при l = 0 для сферически-симметричного оператора Гамильтона, потенциал в котором равен нулю при r R и равен (- U0 ) при r R. Выяснить, при каких параметрах ямы в ней не будет связанных состояний и при каких условиях в ней будет только одно связанное состояние. Сопоставить полученные результаты с результатами для одномерной потенциальной ямы.

1.4.10. Динамические процессы в пространстве состояний одной бесспиновой частицы.

Как мы видели в главе 1.3, в представлении Шредингера операторы наблюдаемых величин считаются не зависящими от времени, а волновые функции подчиняются временному уравнению Шредингера. Рассмотрим наиболее общий случай заряженной микрочастицы, движущейся во внешних классических потенциальном и магнитном полях, зависящих от времени. В этом случае, временное уравнение Шредингера в координатном представлении записывается в следующем виде:

(r, t ) H (r, t ) i t (1.4.170) q (r, t ) { (i A(r, t ))2 W (r, t )} (r, t ).

i t 2m c где навектор-потенциал традиционно накладывают упрощающее ограничение: divA(r, t ) 0.

Из уравнения (1.4.170) следует важное точное дифференциальное соотношение, выражающее закон сохранения числа частиц. Чтобы получить это соотношение, запишем еще раз уравнение Шредингера (1.4.170) и уравнение, комплексно-сопряженное по отношению к нему, учитывая, что вектор-потенциал и потенциальная энергия вещественные:

q (r, t ) { (i A(r, t ))2 W (r, t )} (r, t ), i t 2m c (1.4.171) (r, t ) q { (i A(r, t ))2 W (r, t )} (r, t ).

i t 2m c Умножим первое из уравнений в (1.4.171) на (r, t ), а второе – на (r, t ) и вычтем из первого полученного таким образом уравнения второе.

После простых преобразований получим:

(r, t ) t (1.4.172) q i ( (r, t ) (r, t ) (r, t ) (r, t )) A(r, t ) (r, t ), 2m mc где при выводе учтено, что в силу наложенного ограничения divA(r, t ) оператор «набла» можно переставлять с вектором-потенциалом.

Понятно, что соотношение (1.4.172) является дифференциальным соотношением, выражающим закон сохранения числа частиц. Квадрат модуля волновой функции – это плотность частиц в соответствующей пространственно-временной точке, величина, стоящая в правой части под знаком дивергенции (знаком «набла»), является вектором плотности потока частиц:

j (r, t ) q (1.4.173) i ( (r, t ) (r, t ) (r, t ) (r, t )) A(r, t ) (r, t ).

2m mc Если ввести обозначение (r, t ) для фазы волновой функции:

i(r,t ) (r, t ) (r, t ) e, то выражение для плотности потока частиц (1.4.173) можно существенно упростить:

q 2 j (r, t ) (r, t ) ((r, t ) A(r, t )). (1.4.174) c m Как видно из полученных выше соотношений, в случае, если частица является электрически заряженной, присутствие внешнего магнитного поля существенно изменяет выражение для вектора плотности потока частиц, в котором появляется вклад от вектора-потенциала. Если учесть, что плотность потока частиц является наблюдаемой величиной (при ее умножении на заряд частицы, получается плотность тока), то она не должна меняться при градиентных преобразованиях вектора-потенциала: A A, где скалярная функция с учетом ограничения divA(r, t ) 0 должна удовлетворять уравнению = 0. Отсюда следует, что одновременно с градиентным преобразованием вектора-потенциала фаза волновой функции q должна преобразовываться по закону:. Только в этом случае c выражение для плотности потока частиц, как это и должно быть, остается неизменным. Можно показать, что такие совместные преобразования вектора-потенциала и фазы волновой функции оставляют неизменным также и уравнение Шредингера (1.4.170). Инвариантность относительно указанных преобразований законов квантовой механики, управляющих движением заряженной частицы во внешнем магнитном поле, называют калибровочной инвариантностью.

Рассмотрим теперь вопрос о том, как практически можно описать изменение волновой функции с течением времени. Поскольку временное уравнение Шредингера (1.4.170) является уравнением первого порядка по времени, для его решения достаточно задать волновую функцию в начальный момент времени. Однако, в случае, если внешние поля зависят от времени, решить уравнение (1.4.170) весьма сложно. Чаще всего такого рода задачи решаются по теории возмущений, если внешние переменные поля являются в каком-то смысле слабыми. Если же внешние поля не зависят от времени, то формально точное решение динамической задачи может быть получено с использованием соотношения (1.3.23). Перепишем его в координатном представлении, считая, что начальный момент времени совмещен с его началом отсчета:

iE n t (r, t ) cn e ( E ) (r ), (1.4.175) n n, где ( E ) (r ) - собственные функции не зависящего от времени оператора n Гамильтона, отвечающие собственному значению En, индекс учитывает возможное вырождение этих собственных значений, знак суммирования по индексам n, означает суммирование по их дискретным значениям и интегрирование – по непрерывным, коэффициенты cn определяются по начальной волновой функции 0 (r ) соотношением:

cn ( E ) (r )0 (r )d 3r. (1.4.176) n где 0 (r ) (r,0).

В общем случае находить собственные функции трехмерного оператора Гамильтона и осуществлять суммирование (или интегрирование) в (1.4.176) технически также весьма непросто. Эта задача сильно упрощается в случае движения свободной частицы, а также в случае одномерного гармонического осциллятора. Эти два частных, но интересных случая мы и рассмотрим ниже.

В случае свободной частицы оператор Гамильтона является оператором кинетической энергии частицы. В трехмерном случае этот оператор записывается в виде:

p2 0. (1.4.177) H 2m 2m Собственные значения оператора кинетической энергии бесконечнократно вырождены, но он коммутирует с операторами всех трех проекций импульса, которые, как мы видели выше, однозначно определяют 1 ik r ортонормированный базисный набор плоских волн: {k (r ) e }, (2)3 / являющийся также и полным ортонормированным набором оператора Гамильтона (1.4.177):

2 k (r ) Ek k (r ), (1.4.178) 2m k.

где Ek 2m Следует подчеркнуть, что вследствие вырожденности собственных значений оператора Гамильтона в рассматриваемом случае существует бесконечное число ортонормированных наборов собственных функций этого оператора. Набор плоских волн – один из таких наборов, но этот набор чаще всего используется.

Перепишем соотношения (1.4.175) и (1.4.176) с использованием векторов полного ортонормированного набора плоских волн:

iE k t ( r, t ) c ( k )e k ( r ) d 3 k, (1.4.179) c(k ) (r )0 (r )d 3r.

k С учетом (1.4.179) ясно, что искомая волновая функция (r, t ) в любой момент времени является волновым пакетом, который представляет собой суперпозицию плоских волн. Пусть в начальный момент времени этот пакет локализован около средней точки r 0 и имеет ширину r, в то время как амплитудная функция c(k ) локализована около среднего значения k 0 и имеет ширину k. Ясно, что с учетом соотношения неопределенности имеет место неравенство r.k 1, но для оценок мы будем считать, что r.k ~ 1.

Введем обозначение:

k k0 k (1.4.180) и перепишем с его использованием первое из соотношений (1.4.179):

i ( k 0 k ) 2 t i ( k 0 k ) r c(k )e (r, t ) 2m e d k. (1.4.181) (2)3 / Преобразуем соотношение (1.4.181):

2 ik 0 t ik 2 t k ik ( r e ik 0 r e 2 m t) c(k )e m d 3k.

(r, t ) 2m e (1.4.182) (2)3 / Эффективная область интегрирования в правой части (1.4.182) ограничена величиной k, за пределами которой коэффициентная функция c(k ), согласно сделанному предположению, мала. С учетом этого при выполнении неравенства:

2m t (1.4.183) (k ) ik 2 t первой экспонентой e в подынтегральном выражении в (1.4.182) можно 2m пренебречь.

Чтобы выяснить физический смысл неравенства (1.4.183), учтем, что:

k ~ 1/ r, k / m ~ v, где v – средний разброс скоростей частиц, входящих в состав пакета. С учетом этих соотношений неравенство (1.4.183) можно переписать в виде:

tv r. (1.4.184) Неравенство (1.4.184) физически означает, что мы рассматриваем времена движения пакета настолько малыми, что средняя разность расстояний tv, на которые перемещаются частицы, входящие в состав пакета, за рассматриваемое время его движения t, намного меньше, чем размер пакета r. Это означает, что пакет за рассматриваемое время не расплывается.

Легко понять, что при выполнении неравенства (1.4.183) интеграл в правой части (1.4.182) существенно упрощается, в результате чего с учетом соотношения, следующего из (1.4.181) при t = 0, мы приходим к очень простому результату:

2 ik 0 t k ik ( r e ik 0 r e 2 m t) c(k ) e m d 3k (r, t ) (2)3 / 2 (1.4.185) ik 0 t k e 2m 0 (r t ).

m Из соотношения (1.4.185) следует, что при достаточно малых значениях времени волновой пакет перемещается без изменения формы со скоростью, равной средней скорости плоских волн в этом пакете v0 k0 / m.

По мере дальнейшего возрастания времени пакет за счет влияния отброшенной экспоненты в соотношении (1.4.182) будет помимо перемещения также расплываться.

Рассмотрим теперь вопрос о движении волновых пакетов в одномерном гармоническом потенциале. Этот вопрос подробно рассматривается в литературе для разнообразных пакетов частного вида, которые называют когерентными состояниями, состояниями «сжатого» вакуума и пр. Мы не будем сейчас останавливаться на этих интересных и существенных вопросах, заслуживающих самостоятельного обсуждения, а ограничимся доказательством одного простого и важного свойства, присущего движению произвольных волновых пакетов. В рассматриваемом случае одномерного гармонического осциллятора спектр оператора Гамильтона является дискретным и невырожденным, так что соотношения (1.4.175) и (1.4.176) принимают следующий вид:

iE n t ( x, t ) cn e n ( x), n (1.4.186) n ( x)0 ( x)dx, cn Используя соотношение (1.4.66), запишем выражение для зависящей от времени экспоненты в (1.4.186):

iE n t e e i(n 1 / 2)t. (1.4.187) Из (1.4.187) очевидно, что рассматриваемая экспонента, а вместе с ней, как это следует из (1.4.186), – и волновая функция (x,t) являются периодическими функциями времени с периодом, равным периоду колебаний рассматриваемого гармонического осциллятора: T = 2/.

Понятно. что это свойство присуще пакетам произвольного вида, движущимся в одномерном гармоническом потенциале.

Рассмотрим теперь вопрос о том, какие результаты можно получить при описании динамических процессов в представлении Гейзенберга. В этом представлении, согласно сказанному в разделе 1.3.2, векторы состояния от времени не зависят, но от времени зависят операторы наблюдаемых величин.

Если с использованием базисных наборов, не зависящих от времени, перейти к определенному представлению, то аналогичными свойствами будут обладать также волновые функции и матрицы операторов наблюдаемых величин в этом представлении. Уравнение (1.3.36), определяющее зависимость операторов наблюдаемых величин от времени, превращается тогда в уравнение для бесконечномерных, в общем случае, матриц, причем получающиеся уравнения для этих матриц, как мы увидим ниже, могут оказаться нелинейными. Понятно, что решение таких уравнений представляет собой очень трудную математическую задачу, алгоритмов численного решения которой в настоящее время не существует. Конечно, если уравнения окажутся линейными, их можно решить, даже не переходя к какому-либо базисному набору, а непосредственно в операторном виде.

Рассмотрим, какой вид имеют уравнения движения для операторов координаты и импульса в простейшем одномерном случае. В этом случае оператор Гамильтона в представлении Гейзенберга записывается как:

H (t ) p H (t ) W ( x H (t )), H (1.4.188) 2m а коммутационное соотношение для операторов координаты и импульса, согласно результатом раздела 1.3.2, имеет в каждый момент времени такой же вид, как и в представлении Шредингера:

[ xH (t ) pH (t )] 1.

(1.4.189) Уравнение (1.3.36) в рассматриваемом случае записывается как система уравнений:

dx H (t ) [ x H (t ) H H (t )], i dt (1.4.190) dp (t ) [ p H (t ) H H (t )].

i H dt Используя коммутационное соотношение (1.4.189) и учитывая вид оператора Гамильтона (1.4.188), нетрудно убедиться в том, что первое из уравнений (1.4.190) может быть записано в виде:

dx H (t ) p H (t ) (1.4.191).

dt m В самом общем случае получить аналогичное выражение для второго уравнения в (1.4.190) не представляется возможным. Это можно сделать, если принять, что оператор потенциальной энергии может быть представлен в виде ряда, который чаще всего является бесконечным:

un x n.

W ( x) (1.4.192) n 0...

Тогда с учетом коммутационного соотношения (1.4.189), где тоже можно для простоты записи не конкретизировать представление, мы получим:

(n 1)un 1x n [ pW ( x)] i n 0...

(1.4.193) H dW ( x) i i, x dx где производная оператора по оператору понимается формально: эта производная вычисляется в пренебрежении тем, что дифференцируется оператор, а в уже полученном алгебраическом выражении операторный характер величин вновь учитывается.

Понятно, что соотношение (1.4.191) можно записать в виде, аналогичном (1.4.193), в результате чего мы получим систему уравнений (1.4.190) практически повторяющую, только в операторном виде, систему уравнений Гамильтона классической механики:

dp H (t ) H H (t ), x H (t ) dt (1.4.194) H H (t ) dx H (t ), p H (t ) dt где мы вновь записываем у операторов индекс представления Гейзенберга и указываем на их зависимость от времени.

Понятно, что в случае свободной частицы и в случае частицы в гармоническом потенциале уравнения (1.4.194) являются системами линейных операторных уравнений:

dp H (t ) 0, dt (1.4.195) dx H (t ) p H (t ).

dt m dp H (t ) k x H (t ), dt (1.4.196) dx H (t ) p H (t ).

dt m Системы линейных операторных уравнений (1.4.195), (1.4.196) легко решаются аналитически. Так, в случае системы (1.4.196), описывающей в представлении Гейзенберга движение одномерного квантового гармонического осциллятора, мы получим:

p H (0) p x H (t ) x H (0) cos( t ) sin( t ) x cos( t ) sin( t ), m m (1.4.197) p H (t ) m x H (0) sin( t ) p H (0) cos( t ) m x cos( t ) p sin( t ), где x, p - операторы координаты и импульса в представлении Шредингера, которые совпадают с соответствующими операторами в представлении Гейзенберга в начальный момент времени.

Переходя к координатному представлению, порожденному оператором x в представлении Шредингера, мы можем записать в этом представлении матрицы операторов координаты и импульса в представлении Гейзенберга для любого момента времени:

i sin( t ) )( x x), ( x, x H (t ) x ) ( x cos( t ) m x (1.4.198) ( x, p H (t ) x ) (m x cos( t ) i sin( t ) )( x x).

x Понятно, что в случаях более сложных выражений для оператора потенциальной энергии, система уравнений (1.4.194) будет системой операторных нелинейных дифференциальных уравнений, хороших алгоритмов решения которой в настоящее время не существует. С этой точки зрения представление Гейзенберга обычно не является удачным для решения динамических задач.

Задание 1.4.10.

1. Провести подробный вывод соотношений (1.4.173) и (1.4.174).

2. Что такое калибровочная инвариантность в квантовой механике и как она связана с градиентной инвариантностью классической электродинамики?

3. Как решается динамическая задача для частицы в трехмерном пространстве в случае, если оператор Гамильтона не зависит от времени?

4. Провести подробный вывод соотношений (1.4.182).

5. Объяснить, как выводится соотношение (1.4.185) и при каких условиях оно имеет место?

6. Какое общее свойство присуще процессы движения произвольных волновых пакетов в потенциале одномерного гармонического осциллятора?

7. Вывести коммутационное соотношение (1.4.189) для оператора координаты и импульса в представлении Гейзенберга.

8. Провести подробный вывод соотношений (1.4.191) и (1.4.193).

9. Решить уравнения движения (1.4.195) для операторов координаты и импульса в представлении Гейзенберга для свободной частицы и получить выражение для зависящих от времени матриц этих операторов в координатном представлении.

1.5. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2.

1.5.1. Построение пространства спиновых состояний.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.