авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р.В. ВЕДРИНСКИЙ ...»

-- [ Страница 6 ] --

Эксперименты показывают, что при прохождении пучка электронов, протонов или нейтронов (мы будем часто называть их в данной главе частицами, не конкретизируя их тип) с определенными значениями импульса через сильное неоднородное магнитное поле пучок расщепляется на два пучка, которые по-разному отклоняются от направления своего первоначального движения. (Во избежание недоразумений надо отметить, что здесь и в дальнейшем чаще всего речь идет не о реальных, а об идеализированных экспериментах, которые, в принципе, могут быть поставлены, но которые реально не ставились из-за технических сложностей.) Для определенности будем считать, что в одном пучке частицы отклоняются в положительном направлении, а в другом – в отрицательном вдоль оси z, ориентированной по направлению магнитного поля. Чтобы не усложнять рассмотрение, будем полагать, что вдоль этой оси и происходит основное изменение поля. Указанное свойство не всегда присуще пучкам рассматриваемых частиц. Чтобы убедиться в этом, надо пучок, отклоненный, например, в положительном направлении по оси z, пропустить еще раз через точно такое же магнитное поле. Мы обнаружим, что этот пучок уже не будет расщепляться на два, а будет только дополнительно отклоняться в том же направлении и на тот же угол. Аналогичным образом будет вести себя пучок, первоначально отклонившийся в отрицательном направлении по оси z. Такое поведение частиц в неоднородных магнитных полях невозможно понять, если предположить, как это было сделано в главе 1.4, что состояние частицы с определенным значением импульса является чистым состоянием. В самом деле, если бы это было так, то первоначальный пучок частиц и пучок частиц, отклоненный первым магнитным полем в положительном направлении по оси z, должны были бы вести себя при последующем прохождении через неоднородное магнитное поле идентичным образом, что, как мы видели, противоречит эксперименту. Остается признать, что фиксации определенного значения импульса недостаточно для того, чтобы состояние частиц стало чистым. Как минимум, частицы надо дополнительно пропустить через неоднородное магнитное поле и отобрать те из них, которые отклонились в этом поле идентичным образом. Таким образом, экспериментальные данные прямо указывают на то, что электронам, протонам, нейтронам, а также некоторым другим частицам, например, атомам He3, присущи какие-то внутренние наблюдаемые величины, не связанные с «пространственными» характеристиками этих частиц (координатами, импульсами и пр.). Во избежание недоразумений надо отметить, что существуют также частицы, к числу которых относятся, например, атомы He4 и -мезоны, которым такие внутренние наблюдаемые величины не присущи.

Если воспользоваться классической аналогией, то следует предположить, что отклонение пучка частиц на различные углы в неоднородном магнитном поле свидетельствует о том, что на разные частицы в таком поле действуют различные силы. В то же время, эксперимент показывает, что пучки заряженных микрочастиц, проходящие через однородное магнитное поле, не расщепляются в нем и, более того, вообще, никак не отклоняются вдоль направления поля, так что в этом случае силы, которые вызывают различное отклонение у разных частиц вдоль направления поля, не возникают. Хорошо известно, что подобная ситуация в классической физике имеет место в случае, если частицы имеют внутренние магнитные моменты. В однородном поле на такие частицы силы вдоль направления поля не действуют. Напротив, в неоднородном поле рассматриваемого нами типа силы возникают, и их величины зависят от проекции магнитного момента частицы на направление поля, вдоль которого, как мы предполагаем, поле в основном изменяется. В таком случае при различных значениях проекций магнитного момента частицы на направление магнитного поля частица после прохождения через поле будет отклоняться на разные углы вдоль направления поля. Есть все основания ожидать, что с учетом описанных выше экспериментальных фактов рассматриваемым микрочастицам следует приписать такие внутренние наблюдаемые величины как проекции магнитного момента на различные оси. Обнаружение частицы, испытавшей отклонение в положительном или отрицательном направлении по какой-либо оси за счет наложения вдоль этой оси неоднородного магнитного поля, следует рассматривать как процедуру измерения проекции магнитного момента частицы на эту ось. Из сказанного ранее также следует, что проекция магнитного момента на любую ось для рассматриваемых частиц может принимать только два значения.

Важно выяснить, являются ли проекции магнитного момента микрочастицы на различные оси одновременно измеримыми величинами или нет. Для ответа на этот вопрос надо обратиться к результатам других экспериментов. Они показывают, что если повернуть магнитное поле в направлении, например, оси x и пропустить через это поле пучок частиц, первоначально отклонившийся в положительном направлении по оси z в первом магнитном поле, ориентированном по этой оси, то пучок вновь расщепится на два: в положительном и отрицательном направлениях по оси x. Пропуская еще раз пучок, отклонившийся в положительном направлении по оси x, через поле, направленное по оси z, мы обнаружим, что пучок снова расщепится на два пучка. Этот результат с высокой степенью надежности говорит о том, что проекции магнитного момента частицы на различные направления в пространстве одновременно не измеримы. Действительно, если бы проекции магнитного момента на оси z и x были одновременно измеримыми величинами, то частица, отклоненная в положительном направлении по оси z первым магнитным полем, а потом – по оси x вторым полем, при повторном прохождении через первое магнитное поле снова бы отклонилась в положительном направлении по оси z, в то время как на самом деле, как показывает эксперимент, в этом поле пучок частиц расщепляется на два. По-другому можно сказать, что одновременная неизмеримость проекций магнитного момента частиц на различные оси означает невозможность существования таких пучков частиц, которые не испытывали бы расщепления при прохождении через различным образом ориентированные неоднородные магнитные поля.

Чтобы лучше понять соответствие между тем, что говорится сейчас и тем, что говорилось в разделе 1.2.3 об одновременной измеримости и неизмеримости наблюдаемых величин, надо принять во внимание, что типичные пучки частиц являются столь разреженными, что взаимодействием между частицами в пучках с высокой степенью точности можно пренебречь.

В таком случае пучок частиц можно рассматривать как ансамбль независимых одночастичных систем. Измерение проекции магнитного момента частицы на ось z проводится путем измерения направления отклонения частицы в неоднородном магнитном поле, ориентированном и изменяющимся вдоль этой оси. Понятно, что обсуждаемое измерение может быть проведено в случайно выбранном подансамбле частиц, которые пропускаются через такое поле. Аналогичным образом, в другом подансамбле частиц можно произвести измерение проекции магнитного момента частицы на ось x. Если бы существовал такой пучок (ансамбль) частиц, который бы отклонялся без расщепления в обоих указанных полях, это означало бы, что частицам, входящим в состав этого пучка, была бы одновременно присуща как проекция магнитного момента на ось x, так – и на ось z. Эксперимент говорит о том, что пучков с такими свойствами не существует.

Экспериментальные данные и их теоретический анализ показывают также, что внутренние наблюдаемые величины (проекции внутреннего магнитного момента частицы на различные оси) и «пространственные»

наблюдаемые величины (координаты, проекции импульса и др.) одновременно измеримы и независимы. В самом деле, при любом значении импульса или координаты частицы всегда можно измерить проекцию ее магнитного момента на любую ось в трехмерном пространстве, причем в результате такого измерения не могут быть обнаружены более двух значений этой проекции. Обратное утверждение также справедливо. В таком случае, с учетом того, что говорилось в разделе 1.2.5, пространство состояний для рассматриваемых частиц можно построить как прямое произведение описанного в предыдущей главе пространства «пространственных»

(r) состояний частицы H, полный ортонормированный набор в котором порождается операторами координат, и пространства внутренних состояний (s) частицы H, которое будет построено в данном разделе и которое называется пространством спиновых состояний.

Поскольку наблюдаемым величинам в квантовой механике соответствуют эрмитовы операторы, то проекциям внутреннего магнитного момента частицы на различные оси также соответствуют операторы этих проекций. Поскольку проекции магнитного момента на различные оси одновременно не измеримы, соответствующие им операторы не коммутируют друг с другом (см. раздел 1.2.3). Есть все основания считать, что нормированные собственные векторы оператора проекции магнитного момента частицы на какую-либо ось, например, - на ось z образуют полный ортонормированный набор в пространстве внутренних (спиновых) состояний частицы. Это предположение, которое подтверждено всем существующим набором экспериментальных данных и их теоретическим анализом, означает, что у рассматриваемых частиц нет таких внутренних наблюдаемых величин, которые бы не выражались через проекции их магнитного момента.

Поскольку на любую ось возможны только две проекции магнитного момента, пространство внутренних спиновых состояний частицы двумерно.

Мы займемся построением этого пространства состояний в данном разделе, используя при этом схему, описанную в начале раздела 1.4.1.

По аналогии со случаем классических частиц следует принять также предположение о том, что существование у микрочастиц таких наблюдаемых величин как проекции внутренних магнитных моментов свидетельствует о существовании у них также таких наблюдаемых величин как проекции внутренних моментов импульса. Последние и называются спиновыми моментами. Разумно ожидать, что проекции магнитного момента и соответствующие проекции момента импульса (спинового момента) пропорциональны друг другу.

Обозначим оператор проекции магнитного момента частицы на направление n в трехмерном пространстве как n и будем считать, что если вектор n направлен по одной из координатных осей = x, y, z, то оператор проекции магнитного момента на эту ось записывается как. Введем, подобно тому, как в разделе 1.4.6 были введены безразмерные операторы проекций орбитального момента, безразмерный оператор проекции спинового момента частицы s на ось, через который с коэффициентом пропорциональности, равным постоянной Планка, выражается соответствующий оператор проекции внутреннего момента импульса частицы на эту ось. Тогда связь между операторами проекций магнитного момента частицы и ее спинового момента запишется в виде:

g B s, (1.5.1) где g – безразмерная величина, называемая g-фактором (для электронов она с высокой степенью точности равна 2, это значение мы и будем использовать), e B - так называемый магнетон Бора, e – модуль заряда электрона, m – 2mc его масса, знак минус в (1.5.1) введен для случая электронов, которые мы в основном и будем рассматривать (магнитные моменты и моменты импульса отрицательно заряженных частиц, понятно, должны быть противоположно направленными).

В случае протона в (1.5.1) стоит, как это и должно быть, знак «плюс» и в этом случае g 2,79. В случае нейтрона знак в (1.5.1) такой же, как у электрона и g 1,91. Существование магнитного момента у нейтрона свидетельствует о сложном распределении электрического заряда внутри этой частицы. Обратим внимание на то, что вследствие сравнительно небольших значений g-факторов для протона и нейтрона, а также их больших масс, фигурирующих в знаменателе в выражении для магнетона Бора, магнитные моменты этих частиц более, чем в тысячу раз меньше магнитного момента электрона. Соотношение (1.5.1) с точностью до g-фактора легко получить, если использовать модель вращающейся заряженной классической частицы. Строгий вывод (1.5.1) основан на использовании уравнения Дирака релятивистской квантовой механики, которую мы не рассматриваем.

Можно ожидать, что операторы проекций спинового момента частицы s должны быть подобны по своим свойствам операторам проекций орбитального момента l, которые были рассмотрены в разделе 1.4.6.

Операторы s, подобно операторам l, не коммутируют друг с другом. В случае операторов s это утверждение сразу следует из проведенного выше рассмотрения, так как операторы s, согласно соотношению (1.5.1), пропорциональны операторам проекций внутреннего магнитного момента частицы, которые, как мы видели, соответствуют одновременно не измеримым наблюдаемым величинам. Естественно предположить, что коммутационные соотношения для операторов аналогичны s l, коммутационным соотношениям для операторов которые были приведены ранее в соотношении (1.4.123):

[ s x, s y ] is z, [ s y, s z ] is x, (1.5.2) [ s z, s x ] is y, [ s, s 2 ] 0.

Надо отметить, что для такого подобия алгебраических соотношений, l которым удовлетворяют операторы и s, есть гораздо более фундаментальная причина, чем простая аналогия. Можно показать, что как операторы l, так и - s являются операторами бесконечно-малых преобразований волновых функций в соответствующих пространствах состояний, которые имеют место при бесконечно-малых поворотах системы координат в трехмерном пространстве. Этим, на самом деле, и определяется идентичность коммутационных соотношений (1.4.123) и (1.5.2), которым, соответственно, удовлетворяют операторы l и s.

Задачу о нахождении собственных векторов и собственных значений операторов s и s 2 можно решить алгебраически, полностью аналогично тому, как это было сделано для операторов орбитального момента в разделе 1.4.7. Однако, полезно и поучительно решить эту задачу другим способом, к описанию которого мы сейчас и перейдем.

Как уже говорилось, мы будем сейчас пользоваться схемой построения спинового пространства состояний, аналогичной схеме, использованной в разделе 1.4.1 при построении пространства состояний одной бесспиновой частицы. Первым вопросом, на который нам необходимо ответить согласно схеме, описанной в разделе 1.4.1, является вопрос о полном наборе операторов наблюдаемых величин, которые однозначно порождают полный ортонормированный набор в том пространстве состояний, которое нам надо построить. Как уже говорилось выше, пространство спиновых состояний двумерно, так что в искомый набор операторов входит только один оператор, в качестве которого обычно выбирают оператор s z. Спектр этого оператора невырожденный и включает два различные собственные значения s1 и s2.

Запишем уравнение на собственные значения для оператора s z, нумеруя, как это часто делают, собственные векторы s оператора s z соответствующими собственными значениями s этого оператора и опуская для упрощения записи номера этих значений:

s z s s s, (1.5.3) где s s1, s2, ( s, s ) ss. Будем для определенности считать, что s1 s2.

Отметим, что условие (1.5.3) совместно с требованием нормированности векторов s не определяют еще эти векторы однозначно.

Как на это неоднократно указывалось ранее, векторы s, как и собственные нормированные векторы любых других эрмитовых операторов, можно умножать на произвольные числа с единичными модулями. Ниже мы увидим, что за счет надлежащего выбора этих чисел можно добиться того, чтобы матрицы операторов проекций спиновых моментов на координатные оси принимали тот вид, который традиционно используется в литературе по квантовой механике.

Матричные элементы оператора в его собственном sz ортонормированном базисном наборе образуют квадратную диагональную матрицу с матричными элементами: ( s, s z s ) s ss, а собственные функции этого оператора s0 в том же наборе есть: s0 (s) ( s, s0 ) ss0.

Поскольку пространство спиновых состояний является двумерным, для записи матриц операторов и волновых функций в этом пространстве удобно использовать методы матричной алгебры. В этом случае множество матричных элементов любого оператора в пространстве спиновых состояний можно записать в виде квадратной матрицы 2х2, а множество значений любой волновой функции - в виде двухкомпонентного вектора-столбца. В частности:

s 0 1 ( s z ) ( z ) 1, ( s1 ) ( z ), ( s2 ) ( z ), (1.5.4) 0 0 s где круглые скобки в левых частях приведенных равенств указывают на то, что мы имеем дело с соответствующими матрицами, а верхние индексы z говорят о том, что эти матрицы определяются с использованием ортонормированного базисного набора, порожденного оператором s z, т.е.

они определяются в s z - представлении.

В дальнейшем, следуя традициям, мы будем обычно опускать круглые скобки в обозначениях спиновых волновых функций, отождествляя, тем самым, как этот часто делается, одностолбцовые матрицы и соответствующие векторы состояния.

Поскольку ортонормированный базисный набор нами найден, пространство спиновых состояний теперь можно построить как линейную оболочку, натянутую на векторы этого набора. Согласно сказанному в начале раздела 1.4.1, следующая задача состоит в нахождении матриц операторов основных наблюдаемых величин (в данном случае - проекций спиновых моментов на различные координатные оси) в s z - представлении. При решении этой задачи, как и в разделе 1.4.1 - при нахождении матрицы оператора импульса, мы будем основываться на коммутационных соотношениях, которым удовлетворяют операторы наблюдаемых величин. В данном случае – это соотношения (1.5.2). Матрица оператора s z в собственном представлении записана в (1.5.4), но мы пока еще не знаем собственные значения оператора s z. Будем искать матрицу оператора s x в s z - представлении в следующем виде:

a b, ( z) (s x ) (1.5.5) b c где диагональные элементы матрицы в силу эрмитовости оператора s x должны быть вещественными.

Воспользуемся третьим коммутационным соотношением в (1.5.2) и найдем из этого соотношения с использованием (1.5.4) и (1.5.5) матрицу оператора s y в s z - представлении:

( s y ) ( z ) i ((s x ) ( z ) ( s z ) ( z ) ( s z ) ( z ) ( s x ) ( z ) ) 0 b (1.5.6) i ( s1 s2 ).

b Воспользовавшись вторым коммутационным соотношением в (1.5.2), мы на следующем шаге уточним матрицу оператора s x в s z - представлении, используя информацию, содержащуюся в соотношениях (1.5.6) и (1.5.2):

( s x ) ( z ) i ((s z ) ( z ) ( s y ) ( z ) ( s y ) ( z ) ( s z ) ( z ) ) 0 b (1.5.7) ( s1 s2 ) 2.

b Сопоставляя соотношения (1.5.7) и (1.5.5), мы находим, что коммутационные соотношения (1.5.2) накладывают на искомые величины следующие условия: a, b = 0, (s1 - s2)2 = 1. Учитывая принятое выше неравенство s1 s2, получим, что s1 - s2 = 1. Отсюда мы приходим к следующему виду искомых матриц:

0 b ( s x ) ( z ), b (1.5.8) 0 ib (s y )( z).

ib Обратимся теперь к первому из коммутационных соотношений в (1.5.2) и получим:

( s z ) ( z ) i ((s y ) ( z ) ( s x ) ( z ) ( s x ) ( z ) ( s y ) ( z ) ) 2b 2 0 (1.5.9).

0 2b Сопоставляя соотношения (1.5.9) и (1.5.4), мы получаем, что s1 1/ 2, s2 1/ 2, b 1/ 4. Таким образом, из коммутационных соотношений (1.5.2) мы однозначно нашли собственные значения оператора s z и определили матрицы операторов проекций спина с точностью до фазы величины b, которая пока осталась неизвестной. Подобно тому, как это было сделано в разделе 1.4.1, учтем возможность произвольного изменения фаз у нормированных базисных векторов s и выясним, к каким последствиям приводит такое изменение и что при этом происходит с матрицей произвольного оператора проекции спина s :

s ei s s ( s, s s ) ei ( s s ) ( s, s s ), (1.5.10) где s – произвольные вещественные числа.

Из соотношения (1.5.10) следует, что диагональные элементы матрицы рассматриваемого оператора s не изменяются при изменении фаз у базисных векторов, в то время как у не диагональных элементов изменяются фазы. Легко понять, что, меняя фазы базисных векторов должным образом, всегда можно добиться того, чтобы величина b стала вещественной. Тогда матрицы операторов проекций спина частицы на координатные оси в трехмерном пространстве примут традиционный вид:

1 0 i 1 0 (s x )( z), ( s y ) ( z ), 2 1 0 2 i (1.5.11) 1 1 (s z )( z).

2 0 Если у всех матриц в (1.5.11) отбросить коэффициенты, то возникнет три матрицы, которые называются матрицами Паули и которые часто встречаются в самых разнообразных задачах квантовой физики. Приведем их отдельно ввиду их важности:

0 i 0 x, y, 1 i 0 (1.5.12) 1 z.

0 Следуя существующей традиции, мы будем впредь обозначать матрицы Паули как операторы – со шляпками сверху и без скобок.

Легко убедиться в том, что, как это и должно следовать из коммутационных соотношений (1.5.2), эквивалентных соотношениям (1.4.123) (см. раздел 1.4.7), из соотношений (1.5.11) вытекает, что матрица:

0 ( s ) ( z ) ( s x ) ( z ) i ( s y ) ( z ) 0 0, (1.5.13) которую мы будем называть повышающим оператором, увеличивает на единицу собственные значения оператора s z, а матрица:

0 ( s ) ( z ) ( s x ) ( z ) i ( s y ) ( z ) 1 0, (1.5.14) которую мы будем называть понижающим оператором, понижает на единицу эти собственные значения.

В самом деле:

0 1 0 ( s ) ( z ) 1 / 0 0 1 0 1 / 2, (1.5.15) 0 0 1 ( s ) ( z ) 1 / 1 0 0 1 1 / 2.

Из рассмотрения, проведенного в разделе 1.4.7, также ясно, что при действии повышающего оператора на вектор с максимальной проекцией спина на ось z должен получиться нулевой вектор и, соответственно, при действии понижающего оператора на собственный вектор с минимальной проекцией спина также должен получиться нулевой вектор. С использованием приведенных выше матриц и базисных векторов этот результат очевиден. Надо заметить, что если использовать методику нахождения собственных векторов и собственных значений оператора проекции спина на ось z и оператора квадрата спинового момента, подобную методике, которая использовалась в разделе 1.4.7, то приведенные выше результаты являются обязательными, в то время как с точки зрения проведенного выше рассмотрения они, безусловно, имеют место, но выглядят случайными. Причина того, что в данном разделе мы использовали другой, более прямолинейный подход к построению пространства спиновых состояний, состоит в том, что при использовании этого подхода лучше прослеживается аналогия между построением пространства «пространственных» состояний, проведенным в модуле 1.4, и построением пространства спиновых состояний, которое проводится в данном разделе.

Тем не менее, важно понимать, что пространство спиновых состояний можно построить также и с использованием методов, описанных в разделе 1.4.7. С учетом того, как это можно было бы сделать с использованием таких методов, максимальную величину проекции спина на ось z следует назвать спином частицы s =, подобно тому, как величина l = m+ в разделе 1.4. называлась орбитальным моментом, а в случае дискретных стационарных состояний в разделе 1.4.6 – орбитальным квантовым числом. (Во избежание недоразумений отметим, что буквой s мы обозначали также и проекции спина. Какой смысл имеет эта буква в каждом конкретном случае, легко понять из контекста.) Собственное значение квадрата спинового момента тогда должно равняться: s(s + 1) = ( + 1) =. Этот результат легко получить непосредственно, если с использованием матриц (1.5.11) найти матрицу квадрата спинового момента в s z - представлении.

Надо обратить внимание на следующее обстоятельство. В разделе 1.4. мы видели, что коммутационные соотношения для проекций орбитального момента приводят к тому, что величина l может принимать либо целые, либо полуцелые значения. Лишь найдя собственные функции оператора lz в координатном представлении, мы получили, что величина l должна быть целым числом. Сейчас мы видим, что спиновый момент рассматриваемых частиц обязательно является полуцелым и равным. Если бы мы исследовали более сложный вопрос о том, как изменяются спиновые волновые функции при поворотах системы отсчета, что мы сейчас делать не будем, то обнаружили бы, что спиновые волновые функции частицы со спином при полном повороте системы координат на 360 0 меняют свой знак на противоположный. Поскольку спиновый момент является внутренней характеристикой частицы, такое изменение знака не ведет к противоречиям в отличие от того, что имело место в случае «пространственных» состояний.

Рассмотрение вопроса о преобразованиях спиновых волновых функций и операторов проекций спина при поворотах системы координат позволило бы нам также получить полезное соотношение, связывающее оператор проекции спина на произвольное направление n в трехмерном пространстве с операторами проекций спина на координатные оси. Это соотношение мы приводим без вывода:

sn n x s x n y s y n z s z, (1.5.16) где n x, n y, n z - проекции вектора n на координатные оси.

Понятно, что с использованием соотношения (1.5.11), легко найти матрицу оператора sn в s z - представлении. На этом задачу построения пространства спиновых состояний для частицы со спином можно считать полностью решенной.

Задание 1.5.1.

1. Какие эксперименты и почему доказывают существование у электрона спина, равного ?

2. Как экспериментально доказать, что проекции спина электрона на различные оси одновременно не измеримы?

3. Почему пространство состояний для частицы со спином можно описать, организуя прямое произведение пространств «пространственных» и спиновых состояний?

4. Как связаны друг с другом операторы проекций магнитного и спинового моментов?

5*. Решить задачу на собственные значения операторов s и s алгебраически, подобно тому, как это было сделано для операторов орбитального момента в разделе 1.4.7.

6. Вывести подробно соотношения (1.5.6) – (1.5.9).

7. Найти матрицы операторов x, y, z в x - представлении.

8. Найти матрицы операторов x, y, z в y - представлении.

9. Найти собственные функции и собственные значения операторов x, y в z - представлении. Прямым вычислением проверить, что собственные функции одного и того же эрмитова оператора, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны. Нормировать найденные функции.

Разложить по найденным нормированным собственным функциям оператора y вектор с компонентами {(1 + 2i), (1 – 2i)}.

10. Найти матрицы операторов sin( x ), cos( y ), ei x в z - представлении.

x, 3 y в z - представлении.

11. Найти все матрицы операторов Сколько таких матриц существует для оператора, являющегося кубическим корнем из оператора y ?

12. Доказать соотношение: 2.

13. Найти матрицу оператора sn в s z - представлении, если вектор n направлен по телесной диагонали первого октанта.

14. Доказать соотношение: ie ( ), где е – символ Леви Чивита.

1.5.2. Построение полного пространства состояний частицы со спином.

Операторы Гамильтона для частицы со спином.

С учетом сказанного выше ясно, что полное пространство состояний H частицы со спином можно построить как прямое произведение (r) пространства H «пространственных» состояний частицы, которое описано (s) в главе 1.4, и пространства спиновых состояний H, описанного в предыдущем разделе. Чтобы избежать возможной путаницы, возникающей из-за того, что буквой s мы обозначали как проекции спинового момента на ось z, так и спин частицы, будем в дальнейшем, как это часто делается, нумеровать проекции спина на ось z собственными значениями = ± z. Тогда ортонормированный базисный набор в оператора Паули пространстве H может быть построен путем организации всевозможных r и : {r r }, внешних произведений векторов условие ортонормированности для которых имеет вид:

(r, r ) (r r ).

(1.5.17) Воспользовавшись правилами, приведенными в разделе 1.2.5, найдем матрицы основных операторов наблюдаемых величин (проекции радиуса вектора, проекции импульса, проекции спинового момента) в построенном базисном наборе {r r } :

( r, x r ) x (r r ), ( r, p r ) i (r r ), (1.5.18) ( r, s r ) 1 / 2(r r )( ) (z.

) Понятно, что произвольный вектор из пространства H можно разложить по введенному ортонормированному базисному набору, причем коэффициентами разложения, как обычно, будут значения соответствующих волновых функций:

d 3r(r, )r, 1 (1.5.19) (r, ) ( r, ), где значения этих функций (r, ) имеют смысл амплитуд плотности вероятности обнаружить частицу со спином 1/2 в точке r с проекцией спина s = 1/2 на ось z.

В используемом представлении, порожденном операторами проекций координат и проекции спина на ось z, скалярное произведение векторов записывается в виде:

(r, ) (r, )d 3r.

(, ) (1.5.20) Следует обратить внимание на несколько непривычный характер функции (r, ). «Пространственные» аргументы этой функции (x,y,z) пробегают все значения на числовой оси, в то время как спиновый аргумент пробегает лишь два значения: = ± 1. В связи с этим нередко этот аргумент записывают как индекс соответствующей волновой функции:

(r, ) (r ). (1.5.21) Поскольку спиновый индекс принимает только два значения, волновую функцию зачастую записывают также с использованием методов матричной алгебры так, чтобы одновременно были видны обе ее составляющие, отвечающие двум возможным значениям проекции спина. Такую волновую функцию иногда называют спин-орбиталью. Для ее обозначения удобно воспользоваться символикой Дирака:

(r ) (r ) (r ) (r ) (r ), (1.5.22) 1 где :,.

0 Рассмотрим вопрос о том, как записывается оператор Гамильтона электрона с учетом того, что у него есть спин. Пренебрежем релятивистскими эффектами, имеющими место при взаимодействии электрона с атомными ядрами, и будем считать, что магнитное поле отсутствует (вообще говоря, взаимодействие электрона с магнитным полем – тоже релятивистский эффект, но этот эффект учитывается, как это уже делалось в модуле 1.4, в рамках нерелятивистского подхода феноменологически путем введения соответствующих вкладов в оператор Гамильтона). В таком случае спиновые вклады в оператор Гамильтона вообще отсутствуют, вследствие чего имеет место двукратное вырождение энергии по проекциям спина. Волновая функция электрона при этом может быть записана в виде спин-орбитали, пространственная часть которой от проекции спина не зависит, в то время как спиновая функция может быть произвольной и определяться тем, как приготовлено состояние.

Если же на электрон наложено внешнее постоянное однородное классическое магнитное поле, вырождение по энергии, как мы сейчас увидим, снимается, поскольку к оператору Гамильтона в этом случае добавляется приведенный ниже оператор, являющийся квантовым аналогом классического гамильтониана взаимодействия макроскопической частицы, имеющей внутренний магнитный момент, с магнитным полем. С учетом сказанного, а также соотношения (1.5.1) этот оператор имеет вид:

H B g B s B B B, (1.5.23) где учтено, что для электрона g – фактор практически равен 2.

Поскольку ось z без ограничения общности рассмотрения можно направить по внешнему однородному магнитному полю, вклад в оператор Гамильтона электрона, обусловленный взаимодействием его внутреннего магнитного момента с внешним однородным постоянным магнитным полем, можно записать в виде:

H B z B.

(1.5.24) Отсюда ясно, что к собственным значениям энергии электрона добавляются величины B B. Эти поправки к энергии при типичных значениях магнитной индукции очень малы, что позволяет с хорошей точностью пренебречь изменением «пространственной» части (r ) стационарной волновой функции электрона за счет взаимодействия его внутреннего магнитного момента с рассматриваемым магнитным полем. В таком приближении стационарные спин-орбитали (r ) и собственные значения энергии электрона записываются в виде:

( r ) ( r ), (1.5.25) E E B B, где знак «плюс» отвечает случаю, когда спин электрона ориентирован по направлению магнитного поля, а знак «минус» - в противоположном направлении.

Таким образом, как это и следовало ожидать, состояние с минимальной энергией возникает в случае, когда спин электрона направлен против поля, а его магнитный момент, согласно соотношению (1.5.1), – по полю.

Во избежание недоразумений отметим, что мы рассматриваем сейчас только вопрос о дополнительном влиянии магнитного поля на волновую функцию и энергию частицы, обусловленном существованием у нее внутреннего магнитного момента. Понятно, что при нахождении «пространственной» волновой функции в (1.5.25) надо учесть, что магнитное поле согласно сказанному в разделе 1.4.6 оказывает непосредственное влияние на эту функцию.

Рассмотрим теперь вопрос о том, к каким изменениям в теории дискретных стационарных состояний электрона в сферически-симметричной потенциальной яме приводит существование спина электрона при учете релятивистских поправок к оператору Гамильтона. Как мы видели в разделе 1.4.9, дискретные состояния без учета спина характеризуются тремя квантовыми числами: n (главное число), l (орбитальное число) и m (магнитное число). Если мы пренебрегаем релятивистскими поправками к оператору Гамильтона и нет внешнего магнитного поля, то, как мы видели выше, учет спина электрона не меняет собственные значения оператора Гамильтона, но мы должны учесть, что волновые функции стационарных состояний становятся спин-орбиталями, которые записываются как произведения пространственных и спиновых волновых функций, так что для того, чтобы охарактеризовать спин-орбиталь, к указанному множеству квантовых чисел надо добавить еще спиновое квантовое число s - проекцию спина электрона на ось z. Тогда спин-орбиталь запишется в виде:

nlm (r ) nlm (r ),. (1.5.26) где в соответствии с принятой договоренностью величина s при нумерации спиновых состояний заменена на величину.

Подобно тому, как это делалось при наложении магнитного поля, в рамках нерелятивистского подхода можно также ввести и поправки в оператор Гамильтона электрона, обусловленные релятивистскими эффектами. Наиболее важной и интересной из них является поправка, обусловленная так называемым спин-орбитальным взаимодействием:

H ls F (r )(l s ) F (r ) l s, (1.5.27) где явный вид функции F(r) для нас не существенен, и мы его не будем приводить, чтобы не загромождать выкладки. Важно лишь то, что этот член зависит только от расстояния до ядра и что он положителен.

Нетрудно понять, что спин-орбитальная поправка к оператору Гамильтона не нарушает его сферической симметрии. Ясно также, что при добавлении этой поправки оператор Гамильтона перестает коммутировать с операторами проекций орбитального и спинового моментов, вследствие чего стационарные состояния электрона с учетом спин-орбитального взаимодействия нельзя более характеризовать магнитными и спиновыми квантовыми числами. В то же время операторы квадратов орбитального и спинового моментов коммутируют с операторами проекций моментов, так что эти операторы коммутируют также и с оператором Гамильтона. Таким образом, стационарные состояния электрона в сферически-симметричной потенциальной яме, даже если учитывать спин-орбитальное взаимодействие, характеризуются орбитальными квантовыми числами. Возникает естественный вопрос, какие квантовые числа надо ввести вместо магнитных и спиновых чисел для того, чтобы полностью охарактеризовать стационарные состояния электрона в рассматриваемой яме. Ответ на этот вопрос несложно получить, если с учетом того, что операторы проекций орбитального и спинового моментов коммутируют друг с другом, провести следующее простое алгебраического преобразование правой части соотношения (1.5.27):

F ( r ) 2 2 H ls F (r )(l s ) (l s ) l s. (1.5.28) 2 Операторы (l s ) естественно назвать операторами проекций j полного механического момента электрона, а оператор (l s ) 2 2 j оператором квадрата его полного механического момента. Используя коммутационные соотношения для операторов проекций орбитального (1.4.123) и спинового (1.5.2) моментов, а также то обстоятельство, что операторы орбитального и спинового моментов коммутируют друг с другом, можно убедиться в том, что операторы и 2 удовлетворяют аналогичным j j соотношениям:

[ x, y ] i z, jj j [ y, z ] i x, jj j (1.5.29) [ z, x ] i y, jj j [, 2 ] 0.

jj Учитывая, что операторы z и 2 с учетом соотношений (1.5.29) j j коммутируют друг с другом и, следовательно, - с оператором спин орбитального взаимодействия и оператором Гамильтона, ясно, что величинами, которые характеризуют собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона в рассматриваемом случае, являются собственные значения операторов z и 2. Полностью аналогично тому, как j j это делалось в разделе 1.4.7, можно ввести операторы повышения собственных значений оператора z : x i y и операторы понижения j j j j этих собственных значений: x i y. С их использованием нетрудно j j j доказать, что собственные значения jz оператора z могут быть либо целыми, j либо полуцелыми числами, изменяющимися через единицу от jzmax = j до jzmin = - j, а собственные значения оператора 2 равны j(j + 1). Оказывается, что j возможные значения величины j можно найти по значению орбитального числа l. Чтобы сделать это, докажем сначала, что спин-орбиталь, отвечающая максимально возможному значению величины jz, является произведением «пространственной» функции, отвечающей максимальному значению l величины lz, и спиновой функции, отвечающей максимальному значению проекции спина на ось z, т.е +1/2. Для доказательства этого воспользуемся следующим тождеством, которое без особого труда может быть получено на основе коммутационных соотношений (1.5.29) с учетом приведенных выше выражений для операторов повышения и понижения собственных значений оператора z :

j 2.

j j j j z j z (1.5.30) Учтем также, что имеет место очевидное, но важное для решаемой задачи соотношение:

l s.

(1.5.31) j на Из (1.5.31) сразу следует, что при действии оператора j рассматриваемую спин-орбиталь, которая отвечает максимально возможным значениям как орбитального, так и спинового квантовых чисел, получается нулевая функция. С другой стороны, эта спин-орбиталь является собственной функцией оператора z, отвечающей собственному значению (l + 1/2). С j учетом сказанного, из (1.5.30) вытекает, что построенная указанным образом спин-орбиталь является собственной функцией оператора квадрата полного момента 2, которая отвечает его собственному значению (l + 1/2) (l + 3/2).

j Отсюда следует, что в данном случае j = j1 = (l + 1/2).

Легко понять, что не может быть стационарных состояний со значениями j, которые превышают значение j1. В самом деле, если бы такие значения полного момента были бы возможны, обязательно существовали бы состояния, отвечающие таким значениям jz, которые превышали бы величину (l + 1/2), чего, очевидно, не может быть. В то же время при l 0 должны существовать значения j, меньшие, чем j1. Об этом свидетельствует следующее соображение. Полное число различных состояний со всевозможными значениями проекций орбитального и спинового моментов при заданном значении орбитального числа l равно: 2(2l + 1) = 4l +2. В то же время полное число различных состояний со всевозможными значениями проекций jz для полного момента j1 равно 2(l + ) + 1 = 2l + 2. Поскольку волновые функции состояний с различными значениями квантовых чисел j, jz должны являться суперпозициями волновых функций с различными значениями квантовых чисел m, s, то число различных состояний, нумеруемых числами j, jz, должно равняться числу различных состояний, нумеруемых числами m, s. Как ясно из сказанного выше, при l 0 число состояний с разными значениями jz при j = j1 недостаточно для обеспечения нужного равенства. Это число меньше числа различных состояний, нумеруемых числами m, s на величину 2l. Число 2l в точности равно числу состояний с различными значениями jz при j = j2 = (l - ). Докажем, что состояние с таким полным механическим моментом, действительно, существует. Чтобы сделать это, рассмотрим такие состояния, нумеруемые квантовыми числами m, s, которые являются собственными состояниями оператора z, отвечающими его собственному значению (l - ). Понятно, что j таких состояний только два: m = l, s = -;

m = l - 1, s = +. Из волновых функций этих состояний можно построить одно собственное состояние операторов 2, z, отвечающее собственным значениям этих операторов:

j j j1(j1 + 1), (l - ). Нетрудно понять, что из волновых функций этих двух состояний можно построить и другое собственное состояние операторов 2, j z, отвечающее собственным значениям этих операторов j2(j2 + 1), (l - ), где j j2 = (l - ). Таким образом, каждому значению l 0 соответствует только два возможные значения полного механического момента j = (l ± ). Этот результат является частным случаем общего квантовомеханического правила сложения моментов, которое подробно описано в учебнике [3].

Итак, с учетом спин-орбитального взаимодействия, спин-орбитали электрона в сферически-симметричной потенциальной яме нумеруются четырьмя квантовыми числами: n, l, j, jz. Понятно, что в силу сферической симметрии оператора Гамильтона его собственные значения от величины jz не зависит. При фиксированных значениях квантовых чисел l, j спин орбитальная поправка к оператору Гамильтона становится равной:

F (r ) j ( j 1) l (l 1) 3 / 4.

H ls (1.5.32) Поскольку, как было отмечено выше, F(r) 0, из (1.5.32) следует, что большему значению полного момента j при фиксированном значении орбитального числа l отвечает большее значение энергии, а меньшему – меньшее. Отсюда, например, следует, что состояние электрона в атоме со значением полного момента j1 = l + имеет меньшую энергию ионизации, чем состояние со значением j2 = l -.

Задание 1.5.2.

1. С использованием соотношения (1.5.18) записать действие операторов проекций радиуса-вектора частицы, ее проекций импульса и проекций спина на волновую функцию частицы, записанную в r, z представлении.

2. Вывести коммутационные соотношения (1.5.29).

x i y и x i y являются 3. Доказать, что операторы j j j j j j операторами повышения и понижения, соответственно, собственных значений оператора z.

j 4. Вывести соотношение (1.5.30).

5. Дать развернутый вывод утверждения о том, что волновая функция спин-орбитали, отвечающей максимальным значениям проекций орбитального и спинового моментов, является собственной функцией операторов 2, z, отвечающей собственным значениям {(l + 1/2) (l + 3/2), j j (l + 1/2)}.

6. Какие квантовые числа нумеруют стационарные состояния электрона в водородоподобном атоме при учете его спин-орбитального взаимодействия?

7. Объяснить, почему при сложении орбитального и спинового моментов возникают только два значения полного механического момента j = (l ± ).

1.6. Пространства состояний многочастичных систем.

1.6.1. Построение пространств состояний систем нетождественных частиц.

Используя соответствующие приборы-приготовители, в камеру реакций можно поместить не одну микрочастицу, а несколько, для чего можно, например, использовать несколько приборов-приготовителей, каждый из которых вводит в камеру реакций одну частицу. Образовавшаяся в результате этого многочастичная система изолируется от внешнего мира в камере реакций на время, заданное условиями проведения эксперимента. На финальной стадии процесса проводится измерение, которое чаще всего осуществляется так, что оно дает информацию о финальных характеристиках каждой из частиц в отдельности. Если исключить релятивистские эффекты (рождение новых частиц за счет взаимодействия исходных, распады нестабильных частиц), число частиц каждого типа в камере реакций в ходе любого нерелятивистского процесса остается неизменным. Для исключения релятивистских эффектов надо, во-первых, ограничиться при проведении экспериментов частицами с энергиями, намного меньшими их внутренних энергий (mc2), а, во-вторых, при работе с нестабильными частицами надо ограничить времена исследуемых процессов временами, намного меньшими, чем времена жизни частиц. Как не раз отмечалось ранее, в качестве частиц, составляющих сложную систему, можно использовать не обязательно частицы, традиционно считающиеся элементарными, но и составные частицы. В этом случае кинетические энергии таких частиц и их энергии взаимодействия должны быть намного меньше, чем энергии их внутреннего возбуждения. В противном случае надо учитывать внутреннее строение составных частиц. В дальнейшем мы будем считать, что все необходимые ограничения соблюдены, так что число частиц каждого типа, составляющих многочастичную систему, в ходе исследуемых процессов не изменяется.

Естественно возникает вопрос о построении пространств состояний многочастичных систем, нахождении матриц операторов основных наблюдаемых величин и описании динамических процессов в таких системах.

Наблюдаемые величины, относящиеся к отдельным частицам (координаты, импульсы, проекции спинов и др.), называются одночастичными наблюдаемыми величинами (см. раздел 1.2.5). Опыт показывает, что такие величины для различных частиц одновременно измеримы. Понятно, что в ходе измерения, проводимого над каждой частицей, в принципе, можно одновременно установить также и ее тип (электрон, позитрон, протон, нейтрон и пр.). Если в состав многочастичных систем входят только частицы разных типов (электрон и протон, электрон и позитрон и т.д.), такие системы называются системами нетождественных частиц. В таких системах частицы всегда можно пронумеровать, используя в качестве номера частицы ее тип. Понятно, что пронумеровать микрочастицы, отслеживая их траектории, как это можно сделать в классической физике, в квантовой физике сделать нельзя, поскольку попытка непрерывного контроля за микропроцессом в ходе его протекания приводит к тому, что процесс будет идти совершенно по-другому по сравнению с процессом, происходящим в условиях изоляции исследуемой микросистемы от окружения (см. главу 1.1).

В случае систем нетождественных частиц одночастичные наблюдаемые величины удобно характеризовать номерами частиц. Например, r 1, p1 радиус-вектор и импульс первой частицы, r 2, p2 - второй частицы и т.д.

Аналогичным образом естественно пронумеровать и операторы, соответствующие таким наблюдаемым величинам: r 1, p1, r 2, p2 и т.д.

Первым вопросом, на который надо ответить при построении пространства состояний системы нетождественных частиц, как и в ранее рассмотренных случаях, является вопрос о полном наборе операторов одновременно измеримых наблюдаемых величин, порождающих ортонормированный базисный набор векторов в этом пространстве. Как уже говорилось в разделе 1.2.5, нужный набор операторов можно получить, объединив коммутирующие друг с другом операторы одночастичных наблюдаемых величин, с использованием которых могут быть построены соответствующие одночастичные пространства состояний. В качестве таких операторов одночастичных наблюдаемых величин чаще всего используются, как мы видели в предыдущих главах, операторы проекций радиусов-векторов частиц и проекций спинов (в случае, если спины частиц отличны от нуля).

Будем для упрощения дальнейшего рассмотрения в данном разделе считать, что частицы, входящие в состав многочастичной системы, являются бесспиновыми. Тогда полным набором искомых операторов наблюдаемых величин для системы, состоящей из N нетождественных частиц, является набор операторов радиусов-векторов всех частиц, входящих в систему:

r 1, r 2, r 3,...,r N. Радиусы-векторы различных частиц являются не только одновременно измеримыми, но и независимыми наблюдаемыми величинами, поскольку каждый из них, независимо от значений других, пробегает один и тот же набор значений, а именно - все трехмерное пространство. В таком случае, в силу сказанного в разделе 1.2.5, полное пространство состояний H системы N нетождественных частиц можно построить как прямое произведение N пространств состояний частиц, из которых состоит рассматриваемая многочастичная система:

(1) (3) (N) …H H H (2) H =H, (1.6.1) (1) (2) где H … - пространства состояний частиц с соответствующими,H номерами (типами частиц): 1, 2….

Базисные орты в полном пространстве состояний H системы N нетождественных частиц можно построить, организуя внешние произведения базисных ортов из пространств-сомножителей: {(1) (2) (3)...( N ) }, где r1 r2 r3 rN нижние индексы радиусов-векторов нумеруют частицы, входящие в состав многочастичной системы. Понятно, что для построения полного набора надо потребовать, чтобы каждый из этих радиусов-векторов независимо от других пробегал все трехмерное пространство. Следует отметить, что верхние индексы у одночастичных ортов так же, как и нижние, нумеруют частицы.

Такую двойную нумерацию можно было бы и не вводить, но она полезна при переходе к пространствам состояний систем тождественных частиц, которые будут рассмотрены в следующем разделе. Условие ортонормированности для введенных базисных векторов в полном пространстве состояний H имеет стандартный вид:

(1) ( 2) (3) (N ) (1) ( 2) (3) (N ) ( r r r... r, r r r... r ) 1 2 3 N 1 2 3 N (1.6.2) (r 1 r 1 )(r 2 r )(r 3 r 3 )...(r N r ).

2 N Стандартным образом записываются также и матрицы основных одночастичных операторов наблюдаемых величин: проекций радиусов векторов и проекций импульсов:

((1) ( 2) (3)...( N ), xi (1) ( 2) (3)...( N ) ) r r r r1 r2 r3 rN rN 1 2 xi (r1 r1 )(r 2 r 2 )(r 3 r 3 )...(r N r ), N (1.6.3) ((1) ( 2) (3)...( N ), pi (1) ( 2) (3)...( N ) ) r 1 r2 r r1 r2 r3 rN rN i i (r1 r1 )(r 2 r 2 )(r 3 r 3 )...(r N r ).


N Здесь и в дальнейшем латинские индексы (i) нумеруют частицы, а греческие индексы () – проекции их радиусов-векторов, импульсов и др.

Полное пространство состояний можно рассматривать как линейную оболочку, натянутую на введенные базисные орты. Любой вектор из пространства состояний можно разложить по базисным ортам.

H Коэффициентами такого разложения будут волновые функции, отвечающие этому вектору в координатном представлении:

(r1, r2, r3,...,rN )(1) ( 2) (3)...( N ) d 3r1d 3r2 d 3r3...d 3rN, rr r r 1 2 3 N (1.6.4) (r1, r2, r3,...,rN ) ((1) ( 2) (3)...( N ), ).

rr r r 1 2 3 N Волновая функция в координатном представлении имеет, как обычно, физический смысл амплитуды плотности вероятности обнаружить в ходе одновременного измерения координат всех частиц первую частицу в точке r1, вторую – в точке r2 и т.д. Скалярные произведения векторов выражаются через волновые функции в координатном представлении по стандартному правилу:

(, ) (r1, r2, r3,...,rN )(r1, r2, r3,...,rN )d 3r1d 3r2 d 3r3...d 3rN. (1.6.5) Оператор Гамильтона многочастичной системы согласно правилам квантования, описанным в разделе 1.3.2, в простейшем случае, когда магнитное поле отсутствует, а внешние потенциальные поля не зависят от времени, записывается в виде суммы операторов полной кинетической и полной потенциальной энергии рассматриваемой системы:

p2 H W (r1, r2, r3,...,rN ), (1.6.6) 2mi i где mi – масса частицы с номером i, оператор потенциальной энергии в случае многочастичных систем с парными взаимодействиями частиц (что имеет место, например, в важном случае электростатического взаимодействия частиц) записывается в виде:

W (r1, r2, r3,...,rN ) Wij (ri, r j ) U i (ri ), (1.6.7) 2 i j i где первый член справа является оператором полной потенциальной энергии взаимодействия частиц друг с другом, а второй член является оператором полной потенциальной энергии взаимодействия частиц с внешним стационарным (по принятому упрощающему предположению) классическим потенциальным полем. В первом члене суммирование должно проводиться по всем парам частиц, которые входят в многочастичную систему. Поскольку каждая пара частиц встречается в сумме в правой части (1.6.7) дважды, чтобы не учитывать два раза одинаковые вклады, правую часть в (1.6.7) мы разделили на два. Иногда вместо этого проводят суммирование по упорядоченному набору пар, когда считается, что i j.

В координатном представлении действие оператора Гамильтона на волновую функцию записывается следующим образом:

2 ( i W (r1, r2, r3,...,rN )) (r1, r2, r3,...,rN ), (1.6.8) 2mi i где i – оператор Лапласа, действующий на координаты частицы с номером i.

То, что оператор Гамильтона в координатном представлении в случае многочастичных систем, как и в случае пространства состояний одной частицы, является дифференциальным оператором, обусловлено следующими причинами: выполнением соотношения (1.6.3), определением функции от оператора, данном в разделе 1.2.4, и коммутативностью операторов радиусов-векторов различных частиц. При выполнении этих условий оператор потенциальной энергии в координатном представлении локален, а оператор кинетической энергии – квазилокален, что и приводит к тому, что оператор Гамильтона является дифференциальным оператором.

При описании квантовых динамических процессов в рамках представления Шредингера волновая функция многочастичной системы изменяется с течением времени согласно временному уравнению Шредингера, которое в рассматриваемом случае имеет вид:

(r1, r2, r3,...,rN, t ) i t (1.6.9) 2 ( i W (r1, r2, r3,...,rN )) (r1, r2, r3,...,rN, t ).

2mi i На принципиальном уровне уравнение (1.6.9) легко решается. Для его решения надо найти собственные функции оператора Гамильтона и разложить по ним начальную волновую функцию, подобно тому, как это делалось в разделе 1.3.1, соотношение (1.3.23). Мы не будем рассматривать эти вопросы подробно, поскольку при их рассмотрении новые идеи не возникают, а с задачами описания систем нетождественных частиц в квантовой механике приходится иметь дело достаточно редко. Гораздо более интересными и важными являются проблемы фундаментального характера, которые не возникают в случае одночастичных систем, но которые возникают, когда мы начинаем анализировать принципы теоретического описания квантовых состояний многочастичных систем. К рассмотрению этих проблем мы сейчас и переходим.

Пусть начальное состояние многочастичной системы приготавливается так, что каждая из частиц, входящих в систему, на начальной стадии процесса находится в чистом состоянии, описываемом своей волновой функцией. В таком случае волновая функция многочастичной системы представляется в виде произведения одночастичных волновых функций:

(r1, r2, r3,...,rN,0) (1.6.10) ( ( 1 0) (r1 ) 20) (r2 ) 30) (r3 )... N ) (rN ).

( ( Из соотношения (1.6.10) следует, что плотность вероятности обнаружения частиц, входящих в многочастичную систему, в точках r1, r2, r3,...,rN равна произведению плотностей вероятности обнаружения первой частицы в точке r1, второй – в r2 и т.д. Физически это означает, что события, состоящие в обнаружении в начальный момент времени каждой частицы в своей точке пространства, являются в данном случае независимыми, что вполне согласуется с предлагаемым способом приготовления начального состояния системы. Нетрудно понять, что в случае, если между частицами есть взаимодействие, то спустя короткое время после начала процесса, согласно уравнению Шредингера (1.6.9), волновая функция многочастичной системы становится такой, что ее уже невозможно представить в виде произведения одночастичных волновых функций. Экспериментально в этом можно убедиться следующим образом.

Если в ансамбле систем, которые описываются волновой функцией (r1, r2, r3,...,rN, t ), многократно измерить координаты всех частиц, а затем отобрать из всей совокупности результатов измерений те, в которых, например, радиусы-векторы r2, r3,...,rN всех частиц, кроме первой, принимают заданные значения, то в начальный момент времени распределение в пространстве первой частицы, согласно соотношению (1.6.10) не зависит от того, где были обнаружены другие частицы, т.е. не зависит от величин r2, r3,...,rN, в то время как в последующие моменты времени пространственное распределение первой частицы начинает зависеть от положения других частиц. Иными словами, события, состоящие в обнаружении каждой частицы в своей точке пространства, становятся при t 0 зависимыми друг от друга в случае взаимодействующих частиц. О существовании такого рода зависимостей говорят как о существовании квантовых корреляций между частицами. Надо отметить, что последнее время о состояниях, в которых имеют место квантовые корреляции, говорят как о запутанных состояниях (entangled states). Следует понимать, что дело здесь не только в том, что между частицами есть взаимодействие. Просто в пространстве состояний систем многих частиц есть такие состояния (и они составляют подавляющее большинство состояний в этом пространстве), волновые функции которых, в принципе, не могут быть представлены как произведения каких-либо одночастичных волновых функций. Безусловно, в этом пространстве есть также и состояния, волновые функции которых могут быть представлены как произведения одночастичных волновых функций, но такие состояния составляют ничтожно малую часть всех возможных состояний.

Существование запутанных состояний многочастичных систем является самым ярким свидетельством принципиально неклассического характера описания сложных микроскопических систем, свойственного квантовой механике. В самом деле, при поверхностном знакомстве с квантовой механикой может возникнуть представление о том, что волновая функция является характеристикой микрочастицы, которая всегда ей присуща, подобно тому как координата и импульс, являющиеся характеристиками классической частицы, всегда присущи этой частице.

Радикальное отличие между классическим и квантовым случаем состоит в том, что координата и импульс, действительно, присущи классической частице всегда, независимо от того, в каких взаимодействиях частица участвует, в то время как в случае подавляющего числа квантовых состояний многочастичных микросистем, как мы только что выяснили, у каждой из частиц, входящей в состав таких систем, никакой своей волновой функции нет, причем в случае систем взаимодействующих микрочастиц каждая частица при t 0 своей волновой функции вообще иметь не может. Таким образом, способ описания состояния отдельной микрочастицы, основанный на использовании ее волновой функции, применим далеко не всегда: если частицы в многочастичной системе не взаимодействуют, такое описание в некоторых случаях возможно, для чего система должна быть приготовлена соответствующим образом, но в случае взаимодействующих частиц при t такое описание невозможно в принципе. Этот результат можно рассматривать как прямое проявление свойства целостности, присущего микрообъектам, в самом математическом аппарате квантовой механики.

Задание 1.6.1.

1. Как строятся пространства состояний систем нетождественных частиц?

2. Какие частицы называют нетождественными и почему?

3. Выполнить подробный вывод соотношения (1.6.5).

4. Выполнить подробный вывод соотношения (1.6.8).

5. Записать решение уравнения (1.6.9) через собственные функции оператора Гамильтона.

6. Каким образом экспериментально доказать существование квантовых корреляций между частицами в многочастичной системе.


1.6.2. Построение пространств состояний систем тождественных частиц.

Специфической особенностью физики микромира (см. главы 1.1 и 1.3) является существование типов микрочастиц (электроны, позитроны, протоны, нейтроны и т.д.). Частицы, принадлежащие одному и тому же типу, имеют полностью идентичные параметры (масса, заряд, спин и пр.).

Учитывая, кроме того, отсутствие траекторий у микрочастиц, изолированных от окружения в камере реакций, можно заключить, что частицы, принадлежащие одному и тому же типу, неразличимы в принципе.

Однотипные частицы традиционно называют тождественными. В нерелятивистской квантовой механике существование тождественных частиц является экспериментальным фактом. Глубокий смысл существования таких частиц выявляется в квантовой теории поля. Из сказанного выше с необходимостью следует, что тождественные частицы невозможно пронумеровать. Это обстоятельство приводит к трудностям при построении пространств состояний систем многих тождественных частиц, поскольку в этом случае, в отличие от случая нетождественных частиц, рассмотренного в предыдущем разделе, для каждой из частиц, входящих в состав многочастичной системы, невозможно ввести свои операторы одночастичных наблюдаемых величин, которые мы характеризовали ранее номерами частиц, например: r 1, r 2, r 3,...,r N. В то же время на любой стадии процесса, происходящего в системе тождественных частиц, всегда можно измерить, например, координаты всех частиц, входящих в систему, и их проекции спина, причем, как и в случае нетождественных частиц, эти величины являются одновременно измеримыми и независимыми. (Такой вывод следует из аксиоматики квантовой механики, согласно которой набор наблюдаемых величин для квантовых частиц такой же, как и для классических частиц, независимо от того, принадлежат эти частицы разным типам или одному и тому же типу (см. главы 1.1 и 1.3).) В результате выполненного измерения мы получим множество значений радиусов векторов r1, r2, r3,...,rN тех точек пространства, в которых были обнаружены частицы, а также проекций спинов частиц. Экспериментальные данные и их теоретический анализ показали, что существует два широких класса тождественных частиц: бозе-частицы, спины которых целые (для простоты будем считать, что они равны нулю), и ферми-частицы, спины которых полуцелые (также для простоты будем считать, что они равны 1/2). Надо заметить, что бозе- и ферми-частицы с указанными значениями спина встречаются в задачах нерелятивистской квантовой механики намного чаще других, что оправдывает принятые упрощающие ограничения. Таким образом, в случае полного измерения, проведенного, например, над системой N ферми-частиц, мы получим следующие значения наблюдаемых величин:

r1, s1;

r2, s2 ;

r3, s3 ;

...;

rN, s N, где, как и в главе 1.5, si – проекция на ось z спина частицы, обнаруженной в точке ri. Важно еще раз подчеркнуть, что в случае тождественных частиц индекс i не может быть номером частицы, поскольку тождественные частицы принципиально неразличимы. Этот индекс нумерует ту точку пространства, где была обнаружена частица. Понятно, что вместо координат на финальной стадии процесса можно измерить любые другие одночастичные наблюдаемые величины, например, импульсы.

Существует три подхода к построению пространств состояний систем многих тождественных частиц. Поскольку все эти подходы находят применение при решении задач нерелятивистской квантовой механики, то все они будут рассмотрены ниже.

Простейший и наиболее прямой подход основан на использовании пространства состояний систем нетождественных частиц на начальном этапе построения пространств состояний систем тождественных частиц. Проведем сперва рассмотрение для более простого случая системы тождественных бозе-частиц с нулевым спином и будем на первом шаге построения нужного пространства состояний считать, что, хотя эти частицы имеют одинаковые параметры (масса, заряд и т.д.), но они, тем не менее, различимы. Тогда, как это делалось в предыдущем разделе, ортонормированный набор базисных векторов можно записать в виде: {(1) (2) (3)...( N ) }, однако, в отличие от r1 r2 r3 rN случая, рассмотренного в предыдущем разделе, нижние индексы у радиусов векторов будем сейчас считать не номерами частиц, а номерами тех точек пространства, где эти частицы обнаруживаются. Разложение векторов состояния по введенным базисным векторам в рассматриваемом случае будет внешне иметь тот же вид, что и в соотношении (1.6.4):

(r1, r2, r3,...,rN )(1) ( 2) (3)...( N ) d 3r1d 3r2 d 3r3...d 3rN, rr r r 1 2 3 N (1.6.11) (r1, r2, r3,...,rN ) ((1) ( 2) (3)...( N ), ), rr r r 1 2 3 N однако, волновая функция должна интерпретироваться несколько по другому. Дело в том, что ее аргументами сейчас являются не радиусы векторы частиц с определенными номерами, как это было в разделе (1.6.4), а радиусы-векторы точек пространства, где обнаруживаются частицы. В то же время надо учесть, что пока мы еще считаем частицы различимыми (их номера фигурируют в верхних индексах базисных ортов), так что необходимо выяснить, где в волновой функции (1.6.11) содержится информация о номерах частиц. Нетрудно понять, что эта информация присутствует в волновой функции следующим неявным образом: радиус вектор, стоящий на первом месте среди векторных аргументов волновой функции – это радиус-вектор первой частицы, на втором месте - второй частицы и т.д., однако, нумерация радиусов-векторов не связана сейчас с нумерацией частиц, а является нумерацией точек пространства. Например, (r3, r1, r2,...,rN ) - это амплитуда плотности вероятности обнаружения первой частицы в точке r3, второй частицы – в точке r1, третьей – в точке r и т.д. Квадрат модуля волновой функции дает нам плотность вероятности:

(r1, r2, r3,...,rN ) обнаружения первой частицы (первый векторный аргумент в строке) в первой точке пространства и т.д. Как и в случае волновой функции, векторные аргументы в функции (r1, r2, r3,...,rN ) сейчас можно переставлять. Если, однако, при этом окажется, что плотность вероятности не меняется при любой перестановке аргументов: (ri1, ri2, ri3,...,ri N ) = (r1, r2, r3,...,rN ) (где i1, i2, i3,…, iN – произвольным образом переставленные номера точек пространства 1, 2, 3,…,N), то возникшая на начальной стадии построения нумерация частиц становится фактически ненаблюдаемой, поскольку рассматриваемая плотность вероятности оказывается просто плотностью вероятности обнаружения частиц в определенных точках пространства, и на вопрос, какая из частиц в какой точке обнаруживается, ответить уже невозможно. Функции, обладающие указанным свойством, называются симметричными относительно перестановки своих аргументов или просто симметричными. Очевидно, что перестановка векторных аргументов у волновой функции, ввиду неизменности при этом ее квадрата модуля, может приводить только к умножению этой функции на число, равное единице по модулю. Поскольку обратная перестановка аргументов должна с одной стороны приводить к умножению волновой функции на это же число еще раз, а с другой стороны - при обратной перестановке аргументов волновая функция должна вернуться к своему исходному значению, то квадрат числа, на которое умножается волновая функция при перестановке аргументов, должен быть равен единице. Таким образом, искомое число может равняться либо 1, либо (-1). Первый случай соответствует бозе-частицам, второй – ферми-частицам. Понятно, что такое утверждение о связи спина частицы и ее статистики, сделанное в рамках нерелятивистской квантовой механики, никак не обосновывается и его следует рассматривать как эмпирический факт. Этот факт, как и факт существования типов частиц, находит свое объяснение в квантовой теории поля. Поскольку мы рассматриваем сейчас случай бозе-частиц, надо считать, что волновые функции таких частиц, как и соответствующие им плотности вероятности, не изменяются при любой перестановке их аргументов:

(ri1, ri2, ri3,...,ri N ) = (r1, r2, r3,...,rN ), т.е. эти волновые функции являются симметричными функциями.

Нетрудно понять, что множество векторов состояния, волновые функции которых в координатном представлении симметричны, образуют подпространство полного пространства состояний введенного в H, предыдущем разделе. В самом деле, любая линейная комбинация векторов из множества векторов, обладающих рассматриваемым свойством, есть снова вектор из того же множества (любая линейная комбинация симметричных функций – снова симметричная функция), волновая функция, отвечающая нулевому вектору, все значения которой, естественно, равны нулю, также может считаться симметричной функцией своих аргументов. Есть все основания предположить, что построенное указанным образом подпространство полного пространства состояний H и является искомым пространством состояний системы тождественных бозе-частиц. Понятно, что приведенные выше соображения делают такое предположение правдоподобным, но не доказывают его строго, так что это предположение является на самом деле одной из аксиом квантовой механики.

Докажем, что при переходе от координатного представления к любому другому представлению, порожденному операторами одночастичных наблюдаемых величин, например, к импульсному представлению, свойство симметричности волновых функций сохраняется. В самом деле, при переходе к любому такому представлению мы преобразуем каждый одночастичный аргумент волновой функции независимо от других с использованием одних и тех же матриц преобразования, так что свойство симметричности волновой функции нарушиться при этом не может. Рассмотрим для примера переход от координатного представления к представлению волнового вектора:

(k1, k 2, k3,...,k N ) (1.6.12) i ( k1r1 k 2 r2 k 3 r3... k N rN ) Ce (r1, r2, r3,...,rN )d 3r1d 3r2 d 3r3...d 3rN, где C – нормировочная константа, равная C 1/(2)3N / 2 (1.6.13) в случае, если плоские волны, описывающие состояние частиц с определенными значениями импульсов: p k, заданы во всем бесконечном пространстве и:

C 1/(V ) N / 2, (1.6.14) если на эти плоские волны наложены условия Борна-Кармана и они занимают конечный объем V, на границах которого и накладываются эти периодические граничные условия. (См. соотношения (1.4.126) и (1.4.127) в разделе 1.4.7.) Из соотношения (1.6.12) совершенно очевидно, что волновая функция в представлении волнового вектора является симметричной, если соответствующая ей волновая функция в координатном представлении симметрична. Понятно также, что при использовании нормировки (1.6.13), отвечающей случаю, когда плоские волны заполняют все бесконечное пространство, каждый волновой вектор, подобно радиусу-вектору, пробегает непрерывно все бесконечное пространство волновых векторов. Напротив, в случае нормировки (1.6.14), когда плоские волны занимают конечный объем V, волновые векторы пробегают дискретное, хотя и бесконечное, множество значений (см. раздел 1.4.7).

Рассмотрение для ферми-частиц проводится почти аналогичным образом, хотя мы должны с самого начала учесть, что у ферми-частиц обязательно есть спин, равный согласно принятому упрощающему предположению. Волновая функция системы N ферми-частиц записывается в виде: (r1, s1;

r2, s2 ;

r3, s3 ;

...;

rN, s N ), где на первом месте в строке аргументов стоят радиус-вектор и проекция спина первой частицы, на втором – второй и т.д. В то же время, как и ранее, нижние индексы у радиусов-векторов и у проекций спина нумеруют сейчас не частицы, а координаты, так что эти координаты, как и в случае бозе-частиц, вполне можно менять местами. При этом надо учесть, что пространственные и спиновые координаты частиц при перестановке аргументов волновой функции, очевидно, должны переставляться совместно. Как говорилось выше, в случае систем многих ферми-частиц волновые функции изменяют знак при однократной перестановке любой пары координат. Так, например:

(r1, s1;

r2, s2 ;

r3, s3 ;

...;

rN, s N ) = (r2, s2 ;

r1, s1;

r3, s3 ;

...;

rN, s N ). Волновые функции, обладающие указанным свойством, называются антисимметричными. Алгебра доказывает, что произвольная перестановка координат антисимметричной функции является либо четной, либо нечетной.

Перестановка называется четной, если для ее достижения требуется четное число парных перестановок, и нечетной в случае, если число парных перестановок оказывается нечетным. Очевидно, что в случае любой четной перестановки волновая функция сохраняет знак, а в случае нечетной – меняет его:

(ri1, si1 ;

ri2, si2 ;

ri3, si3 ;

...;

ri N, si N ) = (1) (i1,i2,i3,...i N ) (r1, s1;

r2, s2 ;

r3, s3 ;

...;

rN, s N ), (1.6.15) где (i1, i2, i3,…,iN) = 0 в случае четной перестановки и: (i1, i2, i3,…,iN) = 1 – в случае нечетной. Величину (i1, i2, i3,…,iN) часто называют четностью перестановки.

Векторы состояния системы ферми-частиц, волновые функции которых являются антисимметричными относительно перестановки координат, образуют подпространство соответствующего пространства состояний нетождественных частиц со спином. Причина, по которой мы говорим о подпространстве, здесь та же, что и в случае симметричных функций: любая линейная комбинация антисимметричных функций является снова антисимметричной функцией, нулевая функция может считаться также антисимметричной. В случае антисимметричных функций, как и в случае симметричных функций, номера частиц, которые определяются положением координат в строке, становятся несущественными, поскольку максимальное изменение, которое может произойти с функцией при перестановке координат, - это изменение ее знака. Понятно, что изменение знака волновой функции никак не сказывается на плотностях вероятности.

Рассмотрим теперь основные наблюдаемые величины и их операторы в системах тождественных частиц. Будем, как и раньше, основываться на использовании вначале пространства состояний системы нетождественных частиц и будем последовательно исключать из рассмотрения номера частиц.

Понятно, что такая наблюдаемая величина как радиус-вектор частицы с определенным номером должна быть, безусловно, исключена из рассмотрения при переходе к системам тождественных частиц, поскольку в таких системах, в принципе, невозможно ответить на вопрос, радиус-вектор которой из частиц мы измерили. Однако, сумму радиусов-векторов всех частиц, входящих в систему, вполне можно измерить и в системах тождественных частиц. Полученная величина имеет смысл радиуса-вектора центра масс системы частиц, умноженного на число частиц в системе. В рамках используемого сейчас подхода к построению пространств состояний систем тождественных частиц оператор R, отвечающий сумме радиусов векторов частиц, входящих в систему, является суммой операторов радиусов векторов всех частиц, которые должны характеризоваться, хотим мы этого или нет, номерами частиц:

R ri, (1.6.16) i где индекс i пока что нумерует частицы.

Действие оператора R на вектор состояния в координатном представлении в случае системы бозе-частиц выглядит следующим образом:

R ri (r1, r2, r3,...,rN ), (1.6.17) i где в правой части в случае симметричной волновой функции сумму по всем номерам частиц вполне можно считать суммой всех радиусов-векторов точек, где обнаруживаются частицы.

Аналогичным образом можно записать действие оператора R на волновые функции в пространстве состояний систем ферми-частиц, только в этом случае аргументами волновой функции будут как пространственные, так и спиновые координаты и волновая функция будет антисимметричной относительно совместной перестановки этих ее аргументов.

Сходным образом для системы тождественных частиц можно ввести операторы полного импульса P, полной кинетической энергии T и полной потенциальной энергии во внешнем поле U. В координатном представлении эти операторы запишутся в виде:

P (ii ), T ( i ), U U (ri ), (1.6.18) 2m i i i где, как и в (1.6.17), индекс i сейчас нумерует уже не частицу, а точку пространства, в которой частица находится. Отметим, что, в отличие от соотношений (1.6.6) и (1.6.7), как массы частиц, так и выражение для потенциальной энергии взаимодействия частиц с внешним потенциальным полем не зависят от индекса i ввиду тождественности частиц. Это обстоятельство и дает возможность осуществить переход в соотношениях (1.6.17) и (1.6.18) от первоначально введенных номеров частиц к номерам точек пространства, где эти частицы обнаруживаются.

Рассмотренные операторы называют одночастичными операторами в пространствах состояний систем тождественных частиц. В выражении для оператора Гамильтона системы частиц помимо одночастичных операторов полной кинетической энергии и полной потенциальной энергии взаимодействия с внешним потенциальным полем может присутствовать также оператор потенциальной энергии взаимодействия частиц W. Если это взаимодействие является, например, кулоновым, что имеет место в наиболее важном случае многоэлектронных систем, то оператор потенциальной энергии взаимодействия частиц не зависит от их проекций спинов. С учетом соотношения (6.7) оператор W записывается тогда в виде:

W W ( ri r j ).

1 (1.6.19) 2 i j где, как и ранее, номера i, j являются уже не номерами частиц, а номерами точек пространства, в которых частицы находятся. Такой переход к новой нумерации возможен в силу того, что энергия взаимодействия между тождественными частицами, в отличие от случая нетождественных частиц, определяется только тем, где находятся взаимодействующие частицы.

Аналогичным образом можно записать выражение для оператора взаимодействия, имеющего место, например, между атомами гелия или других инертных газов. Такое взаимодействие является ванн-дер-ваальсовым взаимодействием слабого межатомного притяжения на больших расстояниях, которое сменяется сильным взаимодействием межатомного отталкивания на малых расстояниях.

По понятным причинам оператор W называется двухчастичным оператором в пространстве состояний систем тождественных частиц. С учетом приведенных выше соотношений оператор Гамильтона рассматриваемых систем частиц записывается в виде:

H T W U. (1.6.20) Ясно, что независимо от того, имеем ли мы дело с системой тождественных бозе-частиц или системой ферми-частиц, оператор Гамильтона в координатном представлении симметричен относительно перестановки своих векторных аргументов. Запишем уравнение Шредингера для волновой функции в координатном представлении. Чтобы не загромождать запись спиновыми аргументами, приведем это уравнение для случая системы тождественных бозе-частиц с нулевым спином:

(r1, r2, r3,...,rN, t ) H (r1, r2, r3,...,rN, t ).

i (1.6.21) t Поскольку оператор Гамильтона является симметричной функцией относительно перестановки своих векторных аргументов, из (1.6.21) следует, что волновая функция, симметричная относительно перестановки аргументов в начальный момент времени, останется симметричной функцией и в последующие моменты времени. Идентичный результат имеет место и для систем тождественных ферми-частиц. Дело в том, что действие симметричного оператора Гамильтона на антисимметричную волновую функцию дает, согласно (1.6.21), антисимметричную производную этой функции по времени и, следовательно, антисимметричное приращение волновой функции за малое время. Поскольку аналогичное свойство сохраняется на любом шаге по времени, мы и приходим к выводу о том, что антисимметричность волновой функции в начальный момент времени обеспечивает, согласно уравнению Шредингера, антисимметричность этой функции во все последующие моменты времени.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.