авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р.В. ВЕДРИНСКИЙ ...»

-- [ Страница 7 ] --

Рассмотрим теперь вопрос о том, к каким реальным многочастичным системам применима описанная теория. Начнем рассмотрение с систем, построенных из составных частиц. Как было объяснено в разделе 1.1.3, свойства систем, состоящих из атомов гелия, могут быть адекватно описаны при достаточно низких температурах, если считать, что каждый атом гелия является «элементарной» частицей, из которых и состоит многочастичная система. Экспериментально исследуются многочастичные системы, состоящие из атомов He4, из атомов He3, а также из смеси этих атомов. Ясно, что атомы He4 и He3 не являются тождественными частицами, но атомы каждого из этих изотопов в отдельности – это уже тождественные, хотя и составные частицы. Возникает естественный вопрос о том, к какому классу тождественных частиц относятся рассматриваемые атомы. Чтобы ответить на него, надо обратиться к внутренней структуре атомов гелия и учесть, что каждый из них является сложной связанной системой, построенной из традиционных элементарных частиц. С такой точки зрения атом He4 состоит из двух электронов, двух протонов и двух нейтронов, а атом He 3 - из двух электронов, двух протонов и одного нейтрона. Чтобы ответить на вопрос о том, что происходит с волновой функцией системы атомов гелия при перестановке аргументов любых двух атомов из этой системы, такую перестановку следует представить себе как последовательную перестановку аргументов всех традиционных элементарных частиц, входящих в состав этих двух атомов. Учитывая, что, согласно экспериментальным данным, электроны, протоны и нейтроны являются ферми-частицами, нетрудно понять, что при полной перестановке координат всех частиц, составляющих два атома He4, волновая функция всей системы не изменяется, в то время, как в случае атомов He3 - она изменяет знак. Таким образом, атомы He4 – это бозе-частицы, а атомы He3 – это ферми-частицы. Известно, что спин атома He4 равен нулю, а спин атома He3 равен в полном соответствии с тем, что говорилось выше о связи спина и статистики. Из сказанного следует, что жидкий He4 – это бозе-жидкость, а жидкий He3 – это ферми-жидкость.

Следует отметить, что как жидкий He4, так и жидкий He3 являются квантовыми жидкостями, которые при нормальном давлении не кристаллизуются вплоть до температуры абсолютного нуля. Свойства этих жидкостей можно понять, если считать, что они состоят из соответствующих тождественных составных частиц. Известно, что взаимодействие между атомами гелия определяется исключительно электронной подсистемой атомов и межядерным кулоновым отталкиванием, которые одинаковы для всех атомов гелия, так что это взаимодействие практически одинаково и для атомов He4, и для атомов He3. Массы атомов He4 и He3 близки друг к другу.

Таким образом, разница свойств жидкого He4 и жидкого He3 в основном обусловлена тем, что эти атомы являются частицами различных классов:

бозе- и ферми-частицами. Эксперимент показывает, что жидкий He4 и жидкий He3 имеют при низких температурах радикально разные свойства:

жидкий He4 при температуре, ниже 2 К, становится сверхтекучим, а жидкий He3 остается нормальной жидкостью вплоть до температур, порядка милликельвинов, зато в этой жидкости при более низких температурах возникает сверхтекучесть более сложной природы, и жидкий He3 ведет себя в высшей степени нетривиальным образом.

Операторы Гамильтона в случае как жидкого He4, так и жидкого He3 в отсутствие внешних полей практически одинаковы. В отсутствие внешних полей эти операторы имеют вид:

H T W, (6.22) где W - оператор взаимодействия атомов гелия, которое является ванн-дер ваальсовым слабым взаимодействием притяжения на больших расстояниях между атомами и является сильным взаимодействием отталкивания атомов – на малых расстояниях.

Задача нахождения стационарных состояний многочастичных систем с оператором Гамильтона (6.22) является чрезвычайно сложной задачей. Легко, однако, найти основные и возбужденные состояния таких систем в простом случае, если они являются системами невзаимодействующих частиц, для которых W = 0.

Понятно, что в случае любой системы невзаимодействующих бозе частиц ее основным состоянием является такое состояние, в котором все частицы находятся в одном и том же одночастичном стационарном состоянии с минимальной энергией. В случае бозе-частиц такое состояние многочастичной системы вполне возможно, поскольку его волновая функция, очевидно, является функцией, симметричной относительно перестановки всех своих аргументов, как это и должно быть в случае бозе частиц. Коллектив бозе-частиц, находящихся в одном и том же одночастичном состоянии, называется конденсатом. Легко понять, что основное состояние системы невзаимодействующих бозе-частиц при отсутствии внешних полей – это конденсат частиц с нулевыми значениями импульса. Также ясно, что в таком конденсате бозе-частицы неподвижны друг относительно друга. Элементарными возбужденными стационарными состояниями такой системы являются состояния, в которых одна из частиц находится в возбужденном стационарном одночастичном состоянии, в то время как остальные частицы остаются в конденсате с нулевыми значениями импульсов.

Очевидно, что в случае ферми-частиц конденсат возникнуть не может, поскольку волновая функция конденсата автоматически симметрична относительно перестановки своих аргументов. Более того, никакие две ферми-частицы в многочастичной системе не могут находиться в одних и тех же одночастичных состояниях, поскольку в противном случае при перестановке аргументов волновых функций частиц, находящихся в этих состояниях, волновая функция всей системы останется неизменной, что невозможно в случае ферми-частиц, волновые функции которых должны быть антисимметричными относительно любой перестановки аргументов. О таком запрете на возможные состояния систем ферми-частиц говорят как о запрете, обусловленном принципом Паули. Из сказанного следует очевидный вывод о том, что система свободных ферми-частиц в основном состоянии построена таким образом, что все частицы занимают различные одночастичные стационарные состояния так, что при этом суммарная энергия системы частиц оказывается минимальной. Такие одночастичные состояния обычно считаются состояниями с определенными значениями импульса и проекции спина на ось z. Поскольку энергии свободных частиц пропорциональны квадратам их импульсов и не зависят от проекций спина, энергия системы ферми-частиц минимальна, когда частицы заполняют все состояния со значениями импульсов, лежащих внутри сферы в импульсном пространстве с центром в начале координат, которую называют сферой или поверхностью Ферми. Радиус этой сферы pF называется импульсом Ферми, а отвечающая ему энергия – энергией Ферми: E F p F / 2m. С использованием соотношения (1.4.129) легко понять, что число различных одночастичных состояний N(pF) с импульсами, лежащими внутри сферы Ферми, равно:

p F pF N ( pF ) 2 V (1.6.23), 3 (2) V где коэффициент 2 возникает из-за учета двух возможных значений проекции спина в каждом состоянии с определенным значением импульса.

Понятно, что элементарные возбужденные стационарные состояния системы невзаимодействующих ферми-частиц всегда можно считать состояниями, в которых одна из частиц с импульсом, лежащим внутри сферы Ферми, переходит в одночастичное стационарное состояние с импульсом, лежащим за пределами сферы Ферми.

Николаем Николаевичем Боголюбовым были решены сложные задачи описания основных и возбужденных состояний систем бозе- и ферми-частиц со слабым взаимодействием между частицами. О таких системах говорят как о почти идеальных бозе- и ферми-газах. Задачи решались с использованием следующего упрощенного потенциала межчастичного взаимодействия:

~ W W0 (ri r j ), 1 (1.6.25) 2 i j ~ где положительное значение параметра соответствует случаю W отталкивания частиц, а отрицательное – притяжения.

Было показано, что в случае притяжения между бозе-частицами система бозе-частиц в основном состоянии не может быть пространственно однородной, в то время как в случае отталкивания между бозе-частицами система остается однородной, но происходит существенная перестройка спектра элементарных возбуждений в области малых значений импульса:

энергия начинает линейно зависеть от модуля импульса, в то время как для системы свободных частиц эта зависимость квадратичная. Такая перестройка спектра, как было показано Л.Д. Ландау, ведет к возникновению сверхтекучести.

Исследование, выполненное Н.Н. Боголюбовым для систем ферми частиц, показало, что независимо от знака взаимодействия между частицами система остается однородной, но в случае отталкивания между ферми частицами свойства системы остаются качественно подобными свойствам идеального ферми-газа, в то время как в случае притяжения происходит перестройка спектра возбуждений, при которой энергия первого возбужденного состояния оказывается не равной нулю (в спектре возбуждений возникает запрещенная щель, ширина которой растет с ростом силы притяжения). Появление щели в спектре возбуждений системы ферми частиц ведет к возникновению сверхтекучести, но эта сверхтекучесть по своим свойствам существенно отличается от сверхтекучести в системе бозе частиц. Такого рода сверхтекучесть и возникает в жидком He3.

Очень важными в практическом отношении являются многоэлектронные системы. К числу таких систем относятся, например, электронные подсистемы многоэлектронных атомов, молекул и твердых тел.

Понятно, что в этих случаях мы имеем дело с системами электрически заряженных легких ферми-частиц. Полное описание свойств таких систем является очень сложной, до сих пор не решенной задачей. Часто, однако, главные свойства многоэлектронных подсистем можно понять в рамках так называемого одноэлектронного приближения. Рассмотрим кратко, в чем оно состоит, на примере электронной подсистемы многоэлектронного атома.

Примем традиционное для теории атома и вполне обоснованное приближение, согласно которому атомное ядро считается тяжелой заряженной классической частицей. В таком случае можно считать, что электроны движутся в кулоновом поле, которое создается электрическим зарядом неподвижного потенциального центра. В рамках одноэлектронного приближения предполагается, что в атоме есть ортонормированный набор одноэлектронных спин-орбиталей, которые заселяются электронами с учетом принципа Паули. Считается, что основное электронное состояние атома (или иона) возникает в случае, если такие спин-орбитали заселяются по принципу «снизу-вверх» по шкале их энергий до тех пор, пока не будут расселены все электроны, которые есть в атоме (или ионе). Если рассматриваемый атом является достаточно легким, можно пренебречь спин-орбитальным взаимодействием. В таком случае электронные спин-орбитали нумеруются квантовыми числами nlms (см. раздел 1.5.2), причем по магнитному (m) и спиновому (s) квантовым числам имеет место вырождение, так что энергии спин-орбиталей определяются только главными (n) и орбитальными (l) квантовыми числами. Основное состояние многоэлектронного атома описывается простейшим образом в случае, если все подоболочки в атоме, нумеруемые квантовыми числами nl, можно разделить на занятые и свободные, а частично занятых подоболочек в атоме нет. Пусть n0l0 квантовые числа последней занятой подоболочки с максимальной энергией.

Поскольку все состояния в этой подоболочке, согласно принятому предположению, заняты, не возникает никакой неоднозначности в распределении электронов по одноэлектронным состояниям в этой подоболочке. Рассмотрим, как в таком случае выглядит волновая функция многоэлектронного атома. Заменим для упрощения выражений четыре квантовых числа nlms одной буквой q. Пусть для занятых состояний величина q пробегает набор значений q1, q2, … qN. Кроме того, как это часто делается, введем вместо координат и проекций спина электрона обобщенные величины: 1, 2, 3,…, N, считая, что каждая из них обозначает совместно радиус-вектор и проекцию спина электрона. Если бы электроны не были тождественными, волновая функция системы записывалась бы как произведение одноэлектронных спин-орбиталей q (i ) :

q1 (i1 ) q2 (i2 ).... q N (i N ), (1.6.26) где i1, i2,....i N - координаты тех электронов, которые заполняют спин орбитали с номерами q1, q2, … qN. Ясно, что координаты i1, i2,....i N получаются в результате какой-то перестановки координат 1, 2, 3,…, N.

Очевидно, что функция (1.6.26) не может быть волновой функцией системы электронов, поскольку она не является антисимметричной функцией своих аргументов. В то же время, из функции (1.6.26) легко получить антисимметричную функцию, произведя операцию антисимметризации этой функции:

(1)(i1,i2,...iN ) q1 (i1 ) q2 (i2 ).... q N (iN ), (1.6.27) i1,i2,...i N где суммирование ведется по всем возможным перестановкам номеров координат, величина (i1, i2, i3,…,iN), как и ранее в соотношении (1.6.15), четность перестановки.

Ясно, что функция (1.6.27) в отличие от функции (1.6.26) антисимметрична относительно перестановки координат частиц. Эта функция и является с точностью до нормировочного коэффициента волновой функцией системы электронов в атоме, полученной в одноэлектронном приближении. Нетрудно понять, что функция (1.6.27) - не нормированная, так что ее нормировочный коэффициент нам еще надо найти.

Чтобы сделать это, учтем, во-первых, что спин-орбитали образуют ортонормированный набор, а, во-вторых, что в сумме по всем перестановкам координат в (1.6.27) N! членов. Чтобы найти норму функции (1.6.27), мы должны записать слева комплексно-сопряженное значение этой функции, умножить его справа на исходную функцию и просуммировать по всем координатам (под суммированием здесь понимается суммирование по проекциям спина и интегрирование по координатам). Возьмем какой-либо один член из суммы, стоящей слева, умножим его последовательно на все члены из правой суммы и просуммируем полученные N! членов по координатам. Нетрудно понять, что после такого суммирования за счет ортонормированности спин орбиталей все члены в возникшей сумме, за исключением одного, обратятся в нуль, а один член, в котором и в левом, и в правом сомножителях у спин орбиталей с одинаковыми номерами фигурируют в качестве аргументов одни и те же координаты, даст единицу. Перебирая все возможные члены в сумме, стоящей слева в скалярном произведении, мы, с учетом сказанного, из каждого члена после суммирования по координатам получим единицу. Этих единиц будет столько, сколько членов в левой сумме, т.е. N!. Таким образом, для того, чтобы функция (1.6.27) стала нормированной, ее надо умножить на коэффициент (N!)-1/2, который и является искомым нормировочным коэффициентом:

(1)(i1,i2,...i N ) q1 (i1 ) q2 (i2 ).... q N (iN ) (1.6.28) N! i,i,...i 12 N Функцию (1.6.28) часто записывают в виде определителя, который традиционно называют слэтеровским детерминантом:

q1 (1 ) q1 ( 2 )..... q1 ( N ) 1 q 2 (1 ) q 2 ( 2 )..... q 2 ( N ) (1.6.29) N!.........

q N (1 ) q N ( 2 )..... q N ( N ) Нетрудно понять, что раскрывая определитель (1.6.29) по стандартным правилам, мы и получим функцию (1.6.28).

Аналогичные спин-орбитали можно ввести при описании электронной структуры молекул, где такие орбитали называют молекулярными орбиталями, а также при описании электронной структуры твердых тел, где такие орбитали называются блоховскими функциями.

Гораздо сложнее получить волновую функцию многоэлектронного атома в одноэлектронном приближении, если последняя подоболочка n0l0, на которой еще есть электроны, заполнена не полностью. Если пренебречь взаимодействием электронов в этой подоболочке, то основное состояние многоэлектронной системы будет сильно вырожденным из-за возможности различного расселения электронов по разным одноэлектронным состояниям в подоболочке. Из-за взаимодействия электронов вырождение снимается, по крайней мере, частично. Задача определения энергии и волновой функции основного состояния атома с учетом межэлектронного взаимодействия в частично заполненной подоболочке в настоящее время решена, но это решение в общем случае является весьма сложным и громоздким, и мы его приводить не будем. Наметим пути решения поставленной задачи в простейшем случае, когда в подоболочке n0l0 есть только два электрона.

Принципиальный шаг, который мы сделаем в рассматриваемом случае, следуя традиции, состоит в том, что мы не будем сейчас основываться, как раньше, на использовании электронных спин-орбиталей, а учтем, что в пренебрежении релятивистскими поправками оператор Гамильтона вообще не действует на спиновые координаты электрона. Это обстоятельство позволяет искать волновую функцию рассматриваемой двухэлектронной системы в виде произведения пространственной и спиновой функций.

Поскольку полная волновая функция должна быть антисимметричной относительно совместной перестановки пространственных и спиновых координат электронов, в случае двухэлектронной системы возможны лишь два варианта: пространственная функция симметрична относительно перестановки координат, а спиновая – антисимметрична и наоборот:

( m1 (r1 )m2 (r2 ) m2 (r1 )m1 (r2 )) ( a ) (1, 2 ), (1.6.30) ( m1 (r1 )m2 (r2 ) m2 (r1 )m1 (r2 )) ( s ) (1, 2 ), где m1, m2 – магнитные числа электронов в подоболочке n0l0, (a)(1,2), (s)(1,2) –антисимметричная и симметричная спиновые функции этих электронов, соответственно.

Проведя рассмотрение, почти дословно повторяющее рассмотрение, выполненное в разделе 1.5.2 при решении задачи о сложении орбитального и спинового моментов, можно доказать, что как симметричная, так и антисимметричная спиновые функции являются собственными функциями оператора квадрата суммарного спинового момента двух электронов, причем в случае симметричной спиновой функции суммарный спин S равен 1, а в случае антисимметричной функции S = 0. Из соотношения (1.6.30) следует, что в случае S = 1 пространственная функция является антисимметричной, а в случае S = 0 – симметричной. Очевидно, что в случае антисимметричной пространственной функции электроны в среднем находятся дальше друг от друга, чем в случае симметричной функции, ввиду чего силы межэлектронного отталкивания сильнее повышают энергию симметричных волновых функций, чем антисимметричных. Считается, что этот эффект обусловлен так называемым обменным взаимодействием, которое не является, естественно, каким-то новым типом взаимодействия, а является специфическим проявлением кулонова взаимодействия в системе тождественных ферми-частиц (в данном случае – электронов). Из сказанного можно заключить, что основное состояние двухэлектронной системы следует искать среди таких состояний, пространственные волновые функции которых антисимметричны, а спиновые, соответственно, симметричны и отвечают максимальному суммарному спину. Этот результат, как было показано (см.

учебник [3]), сохраняет силу и в случае, если в частично заполненной оболочке находится не два, а большее число электронов. Отсюда следует, что в случае, когда последняя подоболочка, в которой есть электроны, заполнена не полностью, она в основном состоянии имеет максимально возможный суммарный спиновый момент и, вследствие этого, также максимально возможный спиновый магнитный момент.

Мы видим, что одноэлектронное приближение приводит к важному результату. Если последняя подоболочка, в которой есть электроны, заполнена полностью, суммарные спиновые и орбитальные моменты электронов в этой подоболочке равны нулю, а вслед за ними равен нулю и магнитный момент атома в основном состоянии. В противном случае, когда последняя подоболочка заполнена не полностью, атом в основном состоянии, как правило, имеет отличный от нуля магнитный момент. Этот момент, на самом деле, определяется не спиновым, а полным механическим моментом атома, механизм формирования которого мы не рассматриваем.

Задание 1.6.2.

1. Что такое тождественные частицы? Какие классы тождественных частиц существуют и какими свойствами обладают системы многих тождественных частиц, принадлежащим разным классам?

2. Каков смысл волновой функции системы тождественных частиц в координатном представлении и чем эта функция отличается от волновой функции системы нетождественных частиц в этом представлении?

3. Что такое симметричные и антисимметричные функции? Что такое четность перестановки?

4. С использованием соотношения (1.6.12) дать подробное объяснение, почему волновая функция в импульсном представлении имеет ту же симметрию, какую она имеет в координатном представлении.

5. Как определяется одночастичная наблюдаемая величина в системах тождественных частиц?

6. Записать выражения для операторов импульса, кинетической энергии и потенциальной энергии во внешнем поле в координатном представлении для систем тождественных частиц. Есть ли разница между этими операторами в пространствах состояний бозе- и ферми-частиц?

7. Обязательно ли волновая функция, симметричная в начальный момент времени остается симметричной в последующие моменты времени?

Почему?

8. К частицам каких классов относятся атомы He4 и He3? Дать объяснение.

В каком случае эти атомы можно считать элементарными частицами, составляющими сложную систему?

9. Как строится волновая функция основного состояния свободных бозе частиц?

10. Как строится волновая функция основного состояния свободных ферми частиц? Почему? Что такое поверхность Ферми?

11. Как связана плотность свободных ферми-частиц с импульсом Ферми?

Дать объяснение.

12. Доказать, что функция (1.6.27) является антисимметричной.

1.6.3. Представление чисел заполнения. Пространство Фока. Метод вторичного квантования.

В предыдущем разделе мы построили пространства состояний систем N тождественных бозе- и ферми-частиц частиц, используя на начальном этапе построения пространство состояний системы N нетождественных частиц и последовательно исключая из рассмотрения номера частиц. В рамках такого подхода пространство состояний системы бозе-частиц оказывается подпространством пространства состояний системы нетождественных частиц, векторам которого соответствуют симметричные волновые функции в координатном представлении (или в любом другом представлении, порожденном операторами одночастичных наблюдаемых величин, например, в представлении волнового вектора, которое мы в основном и будем использовать в данном разделе). В свою очередь, пространство состояний системы ферми-частиц представляет собой подпространство пространства состояний системы нетождественных частиц, векторам состояния в котором соответствуют антисимметричные волновые функции в представлении, порожденном операторами волновых векторов и проекций спина. Выполненное построение, однако, было неполным, так как мы не построили базисные ортонормированные наборы векторов во введенных пространствах состояний бозе- и ферми-частиц. Несложно показать, что для построения нужных наборов можно использовать базисные векторы в пространстве состояний системы нетождественных частиц (например, {( ) (2) (3)...(N ) } в случае бесспиновых бозе-частиц) и k1 k 2 k3 kN организовать их симметризованные линейные комбинации при построении пространства состояний системы бозе-частиц и антисимметризованные линейные комбинации (добавив к обозначениям состояний проекции спина) при построении пространства состояний системы ферми-частиц. Для упрощения возникающих выражений введем, как и в предыдущем разделе, обобщенные величины: 1, 2, 3,…, N, обозначающие волновые векторы частиц для бозе-частиц с нулевым спином и волновые векторы частиц и их проекции спина для ферми-частиц со спином. Отметим, что мы используем сейчас базисные векторы, порожденные не операторами координат, а операторами волновых векторов для того, чтобы введенные наблюдаемые величины можно было сделать дискретными (и в результате перенумеровать величины ) за счет наложения на собственные функции операторов волновых векторов условий Борна-Кармана. Как мы увидим, введение такой нумерации крайне полезно. С использованием введенных обозначений базисные векторы в пространстве состояний системы N нетождественных частиц запишутся в виде: {(1) (2) (3)...( N ) }, где верхние 1 2 3 N индексы нумеруют частицы, а нижние, как и в предыдущем разделе, нумеруют значения наблюдаемых величин. Проведем симметризацию и антисимметризацию этих базисных векторов по номерам частиц:

(i ) (i ) (i ) (i ) 1 2 3... N, (1.6.31) 1 2 3 N i1,i2,i3,...i N ( i ) ( i ) (i ) (i ) (1) (i1,i2,i3,...i N ) 1 2 3... N, (1.6.32) 1 2 3 N i1,i2,i3,...i N где суммирование в (1.6.31) и в (1.6.32) ведется по всем возможным перестановкам номеров частиц i1, i2, i3,…,iN, а величина (i1, i2, i3,…,iN), как и ранее, - четность перестановки.

Несложно убедиться в том, что, натянув на множество векторов (1.6.31) линейную оболочку, мы получим множество векторов, волновые функции которых будут автоматически симметричными относительно перестановок координат 1, 2, 3,…, N, т.е. эта линейная оболочка и будет пространством состояний системы N тождественных бозе-частиц. Аналогично, натянув линейную оболочку на множество векторов (1.6.32), мы получим множество векторов, волновые функции которых будут автоматически антисимметричными относительно перестановок координат 1, 2, 3,…, N, т.е. - пространство состояний системы N тождественных ферми-частиц.

Таким образом, базисные наборы в пространствах состояний бозе- и ферми частиц построены, но остаются проблемы с условиями ортонормированности этих наборов. Чтобы преодолеть эту трудность, нужно изменить нумерацию базисных ортов (1.6.31) и (1.6.32). Пока что эти орты нумеровались наборами значений 1, 2, 3,…, N наблюдаемой величины, которые независимо друг от друга пробегали все возможные значения. Чтобы ввести новую нумерацию ортов, введем сначала нумерацию в бесконечном множестве: 1, 2, 3,…, m,… возможных значений величины, которое мы назовем множеством М. Поясним, в чем состоит отличие множества М от использованного выше множества 1, 2, 3,…, N. Величина 1 в последнем множестве - это одно из возможных значений наблюдаемой величины, которому мы присвоили номер 1, чтобы отличить его от других значений.

При этом считается, что величина 1 независимо от других величин пробегает все множество значений М, доступных для наблюдаемой величины, которое в рассматриваемом случае является бесконечным множеством дискретных значений волнового вектора в случае бозе-частиц или волнового вектора и проекции спина - в случае ферми-частиц. Напротив, в множестве М величина m – это определенное значение наблюдаемой величины, которому присвоен номер m. Таким образом, введенное множество М: 1, 2, 3,…, m… - это бесконечный упорядоченный набор значений наблюдаемой величины, каждому из которых присвоен свой номер. (Чтобы элементы множества М можно было пронумеровать, мы и сделали их дискретными, наложив на собственные функции оператора волнового вектора условия Борна-Кармана.) Теперь векторы (1.6.31) и (1.6.32) можно перенумеровать по-новому, задав для этого бесконечный набор чисел: n1, n2, n3,…, nm,…, где nm – это натуральное число или нуль, определяющее, сколько раз значение m из множества М входит в множество значений 1, 2, 3,…, N, нумерующее векторы в (1.6.31) и (1.6.32). Числа n1, n2, n3,…, nm,… называются числами заполнения. Понятно, что как в случае пространства состояний системы N бозе-частиц, так и - N ферми-частиц на числа заполнения накладывается очевидное условие:

nm N. (1.6.33) m 1,2,3...

В случае бозе-частиц на числа заполнения нет никаких других ограничений, кроме (1.6.33). Напротив, в случае ферми-частиц числа заполнения могут равняться либо нулю, либо единице, поскольку, если какие-либо значения в множестве 1, 2, 3,…, N совпадают (что обязательно имеет место в случае, если числа заполнения превышают единицу), то в результате проведения процедуры антисимметризации в (1.6.32) мы получим нулевой вектор.

С учетом сказанного, вектор (1.6.31) целесообразно переписать следующим образом:

(i ) (i ) (i ) (i ) ( 1 2... n1 n1 1 n1 2... n1 n2....), (1.6.34) (i ) ( i ) 1 1 1 2 2 i1,i2,i3,...i N где симметризация, естественно, должна проводиться по номерам только тех частиц, которым соответствуют различные значения наблюдаемой величины, поскольку вектор (1.6.34) автоматически симметричен по номерам частиц, которым соответствуют одинаковые значения этой наблюдаемой величины.

Штрих у произведения «одночастичных» векторов-сомножителей в (1.6.34) говорит о том, что обращение в нуль какого-либо числа заполнения nm ведет к отсутствию среди сомножителей в (1.6.34) векторов одночастичных состояний, отвечающих значению m.

Понятно, что вектор (1.6.34) не является нормированным. Для определения коэффициента нормировки надо использовать правила вычислений скалярных произведений векторов, построенных как внешние произведения векторов, порожденных одночастичными операторами (см.

раздел 1.2.5), и учесть, что такие «одночастичные» векторы образуют ортонормированные наборы: ((i ), (i ) ) m m. Поскольку в дальнейшем m m вводимые базисные векторы не будут явным образом использоваться, мы не будем проводить детальное вычисление нормировочного коэффициента, а приведем без вывода выражение для искомых нормированных базисных векторов:

n1!n2!....

(i ) (i ) (i ) (i ) ( 1 2... n1 n1 1 n1 2... n1 n2....), (1.6.35) (i ) (i ) N! 1 1 1 2 2 i1,i2,i3,...i N где учитывается, что 0! = 1.

Понятно, что векторы (1.6.35) однозначно нумеруются числами заполнения, которые мы и введем для обозначения построенных векторов:

n1n2 n3...nm...

n1!n2 !.... (1.6.36) (i ) (i ) (i ) (i ) ( 1 2... n1 n1 1 n1 2... n1 n 2....), (i ) (i ) N! 1 1 1 2 2 i1,i2,i3,...i N где введенные векторы n1n2 n3...nm... удовлетворяют, в отличие от векторов (1.6.31), (1.6.32), простому условию ортонормированности:

n1n2 n3...nm... n1n2 n3...nm... n1n1 n2 n2 n3n3... nm nm... (1.6.37) Понятно, что векторы при наложении на числа n1n2 n3...nm...

заполнения условия (1.6.33) образуют полный ортонормированный набор в (B,N) пространстве состояний N тождественных бозе-частиц H, а само это пространство можно рассматривать как линейную оболочку, натянутую на векторы (1.6.36). Любые нормированные векторы состояния из введенного пространства H (B,N) можно разложить по базисным ортам n1n2 n3...nm... :

(n1, n2, n3,...,nm,...) n1n2n3...nm..., (1.6.38) n1n2 n3...nm...

где суммирование ведется по всем наборам чисел заполнения, которые удовлетворяют условию (1.6.33).

Коэффициенты разложения (n1, n2, n3,...,nm,...) в (1.6.38) являются значениями волновой функции, отвечающей вектору в представлении, которое по понятным причинам называется представлением чисел заполнения. Эта волновая функция имеет смысл амплитуды вероятности обнаружения в ходе измерения, проведенного над системой N бозе-частиц, n частиц со значением 1 из множества М значений наблюдаемой величины, n2 частиц со значением 2 и т.д. Понятно, что квадрат модуля этой волновой функции является соответствующей вероятностью.

Совершенно аналогичным образом можно поступить в случае ферми частиц. В этом случае вместо соотношения (1.6.34) с учетом соотношения (1.6.32) мы запишем базисные орты в виде:

) (i ) (i ) (i (1) (i1,i2,i3,...i N ) ( n1 n1 n2 n1 n2 n3....), (1.6.39) 1 2 i1,i2,i3,...i N где числа заполнения удовлетворяют соотношению (1.6.33) и каждое из них может принимать только два значения: 0 и 1. Как и ранее, штрих у произведения «одночастичных» векторов-сомножителей говорит о том, что обращение в нуль какого-либо числа заполнения nm приводит к отсутствию среди сомножителей в (1.6.39) векторов одночастичных состояний, отвечающих соответствующему значению m.

Поскольку различным ферми-частицам не могут соответствовать одни и те же значения наблюдаемой величины, нормировочный коэффициент перед вектором (1.6.39) упрощается, и аналогом выражения (1.6.36) в случае ферми-частиц будет следующее выражение для базисных векторов в пространстве состояний H (F,N) системы N тождественных ферми-частиц:

n1n2 n3...nm...

(1)(i1,i2,i3,...i N ) (1n1 2n1 n2 3n1 n2 n3....), 1 ) (i ) ( i ) (i (1.6.40) N! i,i,i,...i 123 N где, как и в (1.6.36), на числа заполнения наложено условие (1.6.33), но, в отличие от случая бозе-частиц, каждое число заполнения может принимать только два значения: 0 и 1.

Условие ортонормированности для базисных ортов n1n2 n3...nm... в случае ферми-частиц имеет тот же вид, что и условие (1.6.37) для бозе частиц, но мы должны при этом иметь в виду ограничения на возможные (F,N) числа заполнения. Разложение векторов состояния из пространства H по базисным ортам n1n2 n3...nm... производится точно так же, как это делалось в случае бозе-частиц в соотношении (1.6.38). Мы не будем вновь приводить эти соотношения для случая ферми-частиц. Такой же смысл, как и в случае бозе-частиц, имеет волновая функция (n1, n2, n3,...,nm,...) в представлении чисел заполнения.

Анализируя проведенное выше рассмотрение, нельзя не отметить, что в представлении чисел заполнения условие (1.6.33), фиксирующее число частиц в рассматриваемых системах, выглядит несколько искусственно.

Чтобы исключить это условие, целесообразно ввести в рассмотрение (B) (F) расширенные пространства состояний H иH, которые строятся путем (B,N) (F,N) организации прямых сумм пространств H иH по числам частиц в этих пространствах N:

H (B) = H (B,0) H (B,1) H (B,2) … H (B,N) …., (1.6.41) H (F) = H (F,0) H (F,1) H (F,2) … H (F,N) …., (1.6.42) где суммирование как в случае бозе-, так и ферми-частиц ведется по всем значениям чисел частиц N от 0 до бесконечности.

Пространства состояний H (B) и H (F) называются пространствами Фока.

Понятно, что такие пространства совершенно необходимы при описании релятивистских квантовых процессов, в ходе которых числа частиц за счет их взаимодействия могут изменяться. Однако, даже в нерелятивистской квантовой механике, где числа частиц сохраняются, пространства Фока оказываются весьма полезными при решении задачи построения пространств состояний систем тождественных частиц без использования на промежуточных этапах пространств состояний систем нетождественных частиц. Дело в том, что, как будет показано ниже, такое построение основывается на использовании операторов рождения и уничтожения частиц, которые, естественно, не могут быть определены в пространстве состояний с фиксированным числом частиц. Для их определения нужны пространства Фока. В то же время, введение операторов рождения и уничтожения частиц никак не противоречит закону сохранения числа нерелятивистских частиц, так как существование этого закона обусловлено видом оператора Гамильтона, который в нерелятивистской квантовой механике всегда коммутирует с оператором полного числа частиц, что и ведет к закону сохранения их числа. Более того, нужные операторы Гамильтона, коммутирующие с оператором полного числа частиц, всегда можно построить, как показано ниже, из операторов рождения и уничтожения частиц.

(B) Рассмотрим вначале, как можно построить пространство Фока H для бозе-частиц, не вводя при этом на начальном этапе построения какие либо пространства состояний нетождественных частиц. Введем нормированный вектор состояния 0 в строящемся пространстве состояний, отвечающий нулевому числу частиц. Такой вектор по понятным причинам называют вакуумным. Введем операторы a, при действии которых на m вектор 0 возникают векторы состояния с одной частицей в одночастичном m a 0. Такие состоянии операторы, естественно, называются m операторами рождения. Разумно ожидать, что при повторном действии оператора рождения возникает двухчастичное состояние и т.д. Заметим, что ни о какой нумерации частиц сейчас речь не идет: нумеруются только состояния. Естественно, что в случае бозе-частиц порядок, в котором рождаются частицы, не должен играть никакой роли, вследствие чего операторы рождения бозе-частиц должны коммутировать:

[a, a ] 0, (1.6.43) m m где номера состояний m, m’ – любые. Это соотношение аналогично требованию симметричности волновой функции системы бозе-частиц.

Понятно, что любой вектор состояния, отвечающий ненулевому числу частиц, должен быть ортогонален к вектору 0. Возьмем произвольный вектор из пространства H (B) и подействуем на него каким-либо оператором рождения. В таком случае при любом исходном векторе мы получим состояние с ненулевым числом частиц, так что должно выполняться соотношение: (a, 0 ) 0 (, a m 0 ) 0. Отсюда следует, что, ввиду m произвольности вектора, для любого m должно иметь место равенство:

a m 0.

(1.6.44) Иными словами, при действии любого оператора a m на вакуумный вектор мы получаем нулевой вектор.

Поскольку одночастичные состояния должны образовывать ортонормированный набор, мы получим:

(a 0, a 0 ) mm ( 0, a m a 0 ) mm m m m ( 0,[a m a ] 0 ) ( 0, a a m 0 ) mm (1.6.45) m m ( 0,[a m a ] 0 ) mm, m где при выводе учтено соотношение (1.6.44), квадратные скобки, как всегда, обозначают коммутатор операторов.

Если принять основное предположение, согласно которому возникший коммутатор в случае бозе-частиц является числовой (а не операторной) величиной, подобно тому, как числовой величиной является коммутатор (1.6.43) операторов рождения, мы получим:

[a m a ] mm. (1.6.46) m Из коммутационного соотношения (1.6.46) несложно прийти к полезному следствию:

[a m (a ) n ] n mm (a ) n 1.

(1.6.47) m m Чтобы вывести соотношение (1.6.47) надо последовательно переставлять операторы с операторами a. В ходе первой a m m перестановки мы получим переставленные операторы a m и a и m дополнительно оператор: mm (a ) n 1. Поскольку нам надо сделать n m перестановок для полного переноса оператора a m направо, мы в результате и получим правую часть соотношения (1.6.47).

В соответствии со сказанным выше, следует ожидать, что, подействовав нужное число раз операторами рождения на вакуумный вектор, мы должны получить вектор, пропорциональный введенному ранее базисному вектору n1n2 n3...nm... :

n1n2 n3...nm... ~ (a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0. (1.6.48) 1 2 m Чтобы подтвердить возможность такого сопоставления векторов, надо доказать, что векторы, фигурирующие в (1.6.48) справа, ортогональны, как это и должно быть, для различных наборов чисел заполнения, и найти нормировочные коэффициенты для них так, чтобы эти векторы удовлетворили соотношению (1.6.37). На первом шаге доказательства запишем какое-либо скалярное произведения векторов, фигурирующих в правой части соотношения (1.6.48):

((a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0, (a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0 ). (1.6.49) 1 2 m 1 2 m Пусть n1 n1. Начнем последовательно переносить операторы a из левой части соотношения (1.6.49) - в правую. После переноса первого из этих операторов направо мы получим с использованием коммутационного соотношения (1.6.47):

a1 (a ) n1 n1 (a ) n1 1 (a ) n1 a1. (1.6.50) 1 1 С учетом соотношений (1.6.47) и (1.6.49) оператор a1, фигурирующий во втором члене в правой части соотношения (1.6.50), перекоммутирует с остальными операторами рождения в правом сомножителе (1.6.49) и, подействовав на вектор 0, даст, согласно соотношению (1.6.44), нулевой вектор и, соответственно, нулевой вклад в скалярное произведение (1.6.49).

Перенесем из левой части скалярного произведения (1.6.49) в правую часть еще один оператор a, который станет в правой части оператором a1. Этот оператор будет действовать на первое слагаемое в правой части (1.6.50). Еще раз используя коммутационное соотношение (1.6.47), мы получим:

n1a1 (a ) n1 1 n1 (n1 1)(a ) n1 2 n1 (a ) n1 1 a1.

(1.6.51) 1 1 Второй член в правой части (1.6.51) не даст вклада в скалярное произведение (1.6.49) по той же причине, по которой не давал вклада в это произведение второй член в правой части в (1.6.50). С первым членом в (1.6.51) мы повторим ту же операцию, которую только что описали, и будем ее повторять до тех пор, пока в правой части не исчерпаются все операторы a. Понятно, что в левой части эти операторы либо также исчерпаются, если n1 n1, либо останутся, если n1 n1. Если в левой части они останутся, то, перенося их в правую часть скалярного произведения (1.6.49), мы получим с учетом (1.6.44), что это произведение равно нулю. В первом же случае в левой и правой частях скалярного произведения операторы a уйдут, а появится коэффициент n1!. (Ясно, что в случае, если n1 n1 операторы a надо переносить из правой части скалярного произведения в левую, и по тем же причинам, которые рассмотрены выше, скалярное произведение обратится в нуль.) Таким образом, ненулевой результат возникает лишь в случае, когда n1 n1. Проводя аналогичное рассмотрение для других состояний m, мы получим, что исследуемое скалярное произведение, как мы и хотели, равно:

((a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0, (a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0 ) 1 2 m 1 2 m (1.6.52) n1!n1!.... m !... n1n1 n2 n2.... nm nm....

n Отсюда следует, что гипотеза, высказанная в соотношении (1.6.48), подтверждается и имеет место соотношение:

n1n2 n3...nm...

(1.6.53) (a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0.

n1!n2 !.... m !... n 2 m Следует отметить, что соотношения (1.6.52), (1.6.53) получены с существенным использованием предположения о том, что коммутатор (1.6.46) является числовой величиной. Если бы он был оператором, мы не смогли бы провести тот вывод, который привел нас к полученным результатам.

Используя соотношение (1.6.53) и коммутационное соотношение (1.6.50), несложно получить полезные равенства:

a n1n2 n3...nm... nm 1 n1n2 n3...(nm 1)..., m (1.6.54) a m n1n2 n3...nm... nm n1n2 n3...(nm 1)....

Из соотношения (1.6.54) ясно, что оператор a - это, действительно, m оператор рождения частицы в состоянии m, а оператор a m - это оператор уничтожения частицы в этом состоянии. Из (1.6.54) легко получить также, что:

a a m n1n2 n3...nm... nm n1n2 n3...nm.... (1.6.55) m Из соотношения (1.6.55) следует важное утверждение о том, что оператор n m a a m (1.6.56) m имеет смысл оператора числа частиц в состоянии m, поскольку векторы n1n2 n3...nm..., согласно (1.6.55), являются собственными векторами этого оператора, отвечающими собственным значениям, равным числу частиц в этом состоянии (числу заполнения). Понятно, что оператор:

N a a m (1.6.57) m m является тогда оператором полного числа частиц в системе.

Ввиду важности полученных результатов, дадим их краткую сводку, вернувшись при этом от обобщенных обозначений наблюдаемых величин к исходным величинам, которые мы использовали для описания одночастичных состояний бесспиновых бозе-частиц, а именно, - к волновым векторам. Введенное выше множество М принимает тогда вид:

k1, k 2, k3,...k m,..., где смысл номеров значений волновых векторов тот же, что был раньше при введении множества М величин. Операторы рождения и a, ak, уничтожения бозе-частиц записываются теперь как а k коммутационные соотношения для них представляются следующим образом:

[a, a ] 0, k k (1.6.58) [ak, a ] k k, k где набор значений волновых векторов k является, как не раз отмечалось, дискретным.

Соотношение (1.6.44) принимает сейчас вид:

ak 0. (1.6.59) В свою очередь соотношения (1.6.53) и (1.6.56) записываются как:

n1n2 n3...nm...

(1.6.60) (a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0, 1 n1!n2 !.... m !... k1 k2 km n nk a ak.

(1.6.61) k Таким образом, задача построения фоковского пространства состояний (B) для системы бозе-частиц полностью решена без использования на H промежуточных этапах построения каких-либо пространств состояний систем нетождественных частиц. Примененный при этом метод, базирующийся на использовании операторов рождения и уничтожения частиц, традиционно называется методом вторичного квантования. Чтобы быть уверенным в том, что проведенное формальное построение является внутренне непротиворечивым, надо найти какую-либо простую модель, в которой очевидно непротиворечивым образом возникали бы операторы с требуемыми свойствами операторов рождения и уничтожения. Легко понять, что именно такая модель возникала, когда в разделе 1.4.4 мы находили алгебраическим методом собственные векторы и собственные значения оператора Гамильтона гармонического осциллятора.

Следующий вопрос, на который нам необходимо ответить, - это вопрос о том, как выразить операторы одночастичных наблюдаемых величин через операторы рождения и уничтожения частиц. Поскольку пути получения необходимых соотношений в случае пространств состояний бозе- и ферми частиц почти идентичны, а с системами ферми-частиц в нерелятивистской квантовой механике приходится иметь дело намного чаще, чем с системами бозе-частиц, мы рассмотрим этот вопрос после того, как будет построено пространство Фока для ферми-частиц.

Построение пространства Фока H (F) для ферми-частиц начинается, как и в случае бозе-частиц, с введения вакуумного вектора 0. Далее вводятся операторы рождения ферми-частиц a (мы пока вернулись к обобщенным m обозначениям одночастичных состояний m, заменяющих собой волновые векторы и проекции спина ферми-частицы). Разумно принять предположение о том, что антисимметричность волновых функций в системах ферми-частиц на языке операторов рождения означает изменение знака вектора состояния при изменении порядка действия операторов рождения. Такое изменение знака просто обеспечить, потребовав, чтобы операторы рождения ферми частиц удовлетворяли антикоммутационному соотношению:

[a a ] {a a } a a a a 0, (1.6.62) m m m m m m m m где приведены два способа обозначения антикоммутаторов (с помощью квадратных скобок с плюсом внизу и с помощью фигурных скобок), которые используются в литературе. Ниже мы будем использовать первый способ.

Если считать, что соотношение (1.6.62) имеет место также и в случае, когда m m, что вполне естественно, из этого соотношения автоматически следует принцип Паули: если мы пытаемся создать в одном и том же одночастичном состоянии две частицы, мы получим при этом нулевой вектор, так как из (1.6.62) следует, что a a 0. Обратим внимание на то, m m что из последнего соотношения вовсе не следует, что оператор рождения равен нулю. (Как мы видели из соотношений (1.5.13) и (1.5.14), существуют ненулевые матрицы, квадраты которых равны нулю.) Примем во внимание, что в случае ферми-частиц, как и в случае бозе частиц, любой вектор состояния, отвечающий ненулевому числу частиц, должен быть ортогонален к вакуумному вектору 0. Возьмем произвольный вектор из пространства H (F) и подействуем на него каким-либо оператором рождения a. В таком случае при любом исходном векторе мы получим m либо состояние с ненулевым числом частиц, либо нулевой вектор (если частица в состоянии m уже есть), так что в любом случае:

(a, 0 ) 0 (, a m 0 ) 0.

(1.6.63) m Отсюда, как и в случае бозе-частиц, следует, что, ввиду произвольности вектора, в случае ферми-частиц для любого значения m имеет место равенство, аналогичное (1.6.44):

a m 0.

(1.6.64) Учитывая, что, как и в случае бозе-частиц, вектор, возникший в результате действия оператора рождения частицы на вакуумный вектор, является вектором соответствующего одночастичного состояния ферми частицы: m a 0, мы получим, принимая во внимание соотношение m (1.6.64) и ортонормированность набора таких векторов состояний, что:

(a 0, a 0 ) mm ( 0, a m a 0 ) mm m m m ( 0,[a m a ] 0 ) ( 0, a a m 0 ) mm (1.6.65) m m ( 0,[a m a ] 0 ) mm.

m Если принять предположение о том, что в случае ферми-частиц числовой величиной является антикоммутатор операторов уничтожения и рождения, как это было в случае двух операторов рождения в (1.6.62), мы получим для этих операторов антикоммутационное соотношение:

[a m a ] mm. (1.6.66) m Отметим, что из сопоставления соотношений (1.6.43) и (1.6.46) для бозе-частиц и (1.6.62) и (1.6.66) для ферми-частиц следует, что характер коммутационных соотношений для двух операторов рождения согласуется с характером коммутационных соотношений для операторов рождения и уничтожения как в случае бозе-частиц, так – и ферми-частиц.

Понятно, что в случае ферми-частиц соотношение, аналогичное соотношению (1.6.48) для бозе-частиц, выглядит совершенно идентичным образом, и мы его не будем приводить еще раз, но числа заполнения в случае ферми-частиц, очевидно, могут равняться либо 0, либо 1. В противном случае из-за соотношения a a 0, имеющего место для ферми-частиц, m m мы получим нулевой вектор.

Вопрос об ортонормированности векторов, фигурирующих в правой части соотношения, аналогичного соотношению (1.6.48), решается в случае ферми-частиц проще, чем в случае бозе-частиц. С учетом соотношений (1.6.64) и (1.6.66) легко увидеть, что введенные векторы без всяких нормировочных коэффициентов образуют ортонормированный набор. Таким образом:

n1n2 n3...nm...

(1.6.67) (a1 ) n1 (a 2 ) n 2....(a m ) n m... 0, где числа nm равны либо 0, либо 1.

Натягивая на ортонормированный набор векторов (1.6.67) линейную оболочку, мы и получим пространство Фока для ферми-частиц. Таким (F) образом, пространство H также построено без использования на промежуточных этапах пространств состояния систем нетождественных частиц.

Рассмотрим, как действуют операторы a и a m на векторы (1.6.67).

m С учетом антикоммутационных соотношений (1.6.62) и (1.6.66) мы получим:

a n1n2 n3...nm... n1n2 n3...(nm 1)..., if nm 0, m a n1n2 n3...nm..., if nm 1, (1.6.68) m a m n1n2 n3...nm... n1n2 n3...(nm 1)..., if nm 1, a m n1n2 n3...nm..., if nm 0, где знак «плюс» отвечает случаю, когда для достижения нужной позиции с номером m операторы рождения или уничтожения были переставлены через операторы рождения в базисных векторах (1.6.67) четное число раз, а «минус» - нечетное.

Из (1.6.68) нетрудно понять, что, как и в случае бозе-частиц, оператор:

n m a a m (1.6.69) m является оператором числа частиц в состоянии m. В полной аналогии с соотношением (1.6.57) для бозе-частиц можно ввести также и оператор полного числа ферми-частиц в исследуемой системе.

Подобно тому, как мы поступили в случае бозе-частиц, приведем краткую сводку полученных результатов, вернувшись от обобщенных обозначений наблюдаемых величин к волновым векторам и проекциям спина. Введенное выше множество М принимает тогда вид:


k1s1, k2 s2, k3s3,...km sm,..., где смысл номеров значений волновых векторов и проекций спина тот же, что был раньше в случае множества М величины.

Операторы рождения и уничтожения записываются теперь как: a, ak s, а ks антикоммутационные соотношения для них представляются следующим образом:

[ak s, ak s ] 0, (1.6.70) [ak s, ak s ] k k ss, где набор волновых векторов является дискретным.

Соотношение (1.6.64) принимает вид:

ak s 0. (1.6.71) В свою очередь соотношения (1.6.67) и (1.6.69) записываются как:

n1n2 n3...nm...

(1.6.72) (a ) n1 (a ) n2....(a ) nm... 0, k1s1 k 2 s2 k m sm nk s a ak s.

(1.6.73) ks где числа nm равны либо 0, либо 1.

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, какой вид имеют операторы одночастичных наблюдаемых величин в пространствах состояний тождественных частиц. Как мы видели в предыдущем разделе, такие наблюдаемые величины являются суммами одночастичных наблюдаемых величин, полученных для всех частиц, входящих в систему. К примеру, такая одночастичная величина как импульс в случае систем тождественных частиц является суммарным импульсом системы частиц. Понятно, что оператор суммарного импульса системы ферми-частиц P можно легко выразить через определенные в (1.6.73) операторы чисел частиц с определенными значениями волновых векторов и проекций спина:

P k nk s k a ak s, (1.6.74) ks k,s k,s где суммирование ведется по всем дискретным значениям волновых чисел (номера которых мы для краткости опускаем) и проекций спина, а операторы рождения и уничтожения удовлетворяют антикоммутационным соотношениям (1.6.70).

Понятно, что для системы бесспиновых бозе-частиц выражение будет аналогичным, только исчезнет суммирование по проекциям спина и под операторами рождения и уничтожения надо будет понимать соответствующие операторы для бозе-частиц, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (1.6.58).

Возникает естественный вопрос о том, как получить аналогичные выражения для операторов других одночастичных величин. Пусть нас интересует некоторая наблюдаемая величина, которая может пробегать дискретное множество М своих возможных значений: 1, 2, 3,…., m,….

Каждому значению этой наблюдаемой величины мы можем, аналогично тому, как это делалось ранее, сопоставить операторы рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационным соотношениям в случае бозе-частиц и антикоммутационные соотношения для ферми частиц.

Выпишем в явном виде последние соотношения:

[a a ] 0, m m (1.6.75) [a m a ] mm.

m Для того, чтобы установить связь между операторами a, a и a, ak s, обратим внимание на то введенными выше операторами ks обстоятельство, что при действии на вакуумный вектор как операторов a рождения a, так и мы получаем соответствующие векторы ks одночастичных состояний:

m a 0, m (1.6.76) ks a 0.

ks Учитывая связь, существующую между такими одночастичными векторами состояний:

m (k s, m )k s, (1.6.77) ks мы, с учетом соотношения (1.6.76), получим аналогичную связь между операторами рождения частиц a и a в соответствующих одночастичных ks состояниях m и k s :

a (k s, m ) a.

(1.6.78) ks m ks С учетом соотношения (1.6.74) можно записать аналогичное соотношение для одночастичного оператора в пространстве состояний ферми-частиц:

m a a m.

(1.6.79) m m Подставляя в соотношение (1.6.79) соотношение (1.6.78) и эрмитово сопряженное по отношению к нему соотношение, после простого преобразования получим:

(ks, m ) m ( m, ks ) aks ak s k s, k s, m (1.6.80) (, k s ) a ak s, ks ks k s, k s где - оператор наблюдаемой величины в пространстве состояний одной ферми-частицы. Отметим, что при выводе соотношения (1.6.80) учтена ортонормированность и полнота (в пространстве состояний одной частицы) набора { m }, а также то, что векторы m являются собственными векторами оператора, отвечающими собственным значениям m.

Используя аналогичные идеи, можно ввести операторы, подобные операторам рождения и уничтожения, которые порождаются наблюдаемыми величинами, имеющими непрерывные спектры, прежде всего, такими важными наблюдаемыми величинами как координаты. В последнем случае операторы, подобные операторам рождения и уничтожения, порождаются следующим ортонормированным полным набором в пространстве состояний одной ферми-частицы: r s. Возникающие при этом операторы, которые аналогичны операторам рождения и уничтожения, но, строго говоря, не являются таковыми, часто называются полевыми операторами:

r s s (r ), (r ).

s (1.6.81) Полевые операторы разлагаются по операторам рождения a подобно ks тому, как это делалось в соотношении (1.6.78):

( r ) ( k s, r s ) a s ks ks (1.6.82) (r ) (r ) a, s k ks k где учтено, что (k s, r s ) (r ) ss.

k Принимая во внимание, что на собственные функции оператора волнового вектора наложены условия Борна-Кармана в параллелепипеде периодичности с объемом V, соотношение (1.6.82) и родственные ему соотношения записываются в виде:

(r ) 1 ik r s a, e ks Vk 3 ik r d r e s (r ), a ks V (1.6.83) 1 ik r s (r ) e ak s, Vk 1 d 3 r e ik r (r ), s ak s V где суммирование ведется по соответствующему дискретному множеству значений волнового вектора, а интегрирование – по объему параллелепипеда периодичности V. Отметим, что, как и ранее, мы для упрощения записи не указываем, но, естественно, подразумеваем, номера дискретных значений волновых векторов.

Чтобы выяснить смысл полевых операторов, выразим через них оператор полного числа частиц в системе. С использованием соотношений (1.6.83) получим:

N a a k s ( r ) s ( r ) d 3 r.

s (1.6.84) ks s ks Из полученного соотношения можно сделать заключение о том, что оператор (r ) s (r ) имеет смысл оператора плотности вероятности s обнаружения частицы в точке r с проекцией спина s. Среднее значение этого оператора по вектору состояния системы : (, (r ) s (r )), понятно, s является соответствующей плотностью вероятности. Такая величина часто называется одночастичной функцией распределения. Одночастичную функцию распределения можно записать несколько в другом виде:

( s (r ), s (r )). Из последней записи ясно, что одночастичную функцию распределения можно считать также квадратом нормы вектора s (r ), который возникает в результате уничтожения в состоянии частицы в точке r с проекцией спина s. Аналогично, квадрат нормы вектора s (r ) s (r ), естественно, должен иметь смысл плотности вероятности обнаружения в состоянии одной частицы в точке r с проекцией спина s, а другой - в точке r с проекцией спина s. Такая функция называется двухчастичной функцией распределения. Ясно, что оператором двухчастичной функции распределения, т.е. оператором плотности вероятности обнаружения одной частицы в точке r с проекцией спина s, а другой - в точке r с проекцией спина s является оператор (r ) (r ) s (r ) s (r ).

s s Теперь мы легко напишем важные выражения для операторов кинетической энергии системы ферми-частиц T, оператора U потенциальной энергии этой системы во внешнем классическом постоянном потенциальном поле и оператора W потенциальной энергии взаимодействия частиц. Первые два оператора, естественно, являются операторами одночастичных наблюдаемых величин, и они выражаются через оператор одночастичной функции распределения (r ) s (r ) :

s k a a T k s s (r )( ) s (r )d 3r, 2m k s 2m s ks (1.6.85) (r )U (r ) s (r )d 3r.

U s s Обратим внимание на структуру оператора потенциальной энергии системы ферми-частиц во внешнем потенциальном поле U (r ), где U (r ) потенциальная энергия частицы, находящейся в точке r. Чтобы построить оператор U, мы взяли в (1.6.85) оператор одночастичной функции распределения (r ) s (r ), умножили его на значение потенциальной s энергии в точке r, которая считается не зависящей от проекции спина, просуммировали по всем спинам и проинтегрировали по r.

Третий из операторов, который нам нужно построить, – это оператор потенциальной энергии взаимодействия частиц W. Его легче всего построить по аналогии с оператором U, взяв оператор двухчастичной функции распределения (т.е. оператор плотности вероятности обнаружения одной частицы в точке r с проекцией спина s, а другой - в точке r с проекцией спина s ): (r ) (r ) s (r ) s (r ), умножив его на s s потенциальную энергию W ( r r ) взаимодействия частиц, находящихся в этих точках, просуммировав полученное выражение по спинам и проинтегрировав по координатам. (Мы рассматриваем сейчас случаи кулонова и ванн-дер-ваальсова взаимодействия, когда энергия взаимодействия частиц зависит только от расстояния между ними и не зависит от их проекций спина.) Построенное указанным образом выражение имеет вид:

W W ( r r ) (r ) (r ) s (r ) s (r )d 3rd 3r.

1 s s (1.6.86) 2 s, s Как и ранее, в (1.6.19), мы поделили на 2 выражение, полученное после суммирования по спинам и интегрирования по координатам, поскольку каждая пара точек при независимом интегрировании по координатам возникает в (1.6.86) дважды, но от каждой пары точек должен идти только один вклад в полную потенциальную энергию взаимодействия частиц.

Теперь мы легко можем записать выражение для полного оператора Гамильтона H системы взаимодействующих друг с другом тождественных ферми-частиц, находящихся во внешнем классическом потенциальном поле.

Именно такой вид в методе вторичного квантования будет иметь, например, оператор Гамильтона электронов в атоме, если считать, как это часто делается, что кулоново поле атомного ядра является классическим стационарным потенциальным полем. Складывая операторы T, U и W, приведенные в соотношениях (1.6.85) и (1.6.86), получим искомый полный оператор Гамильтона:


H s ) s (r )d 3r (r )U (r ) s (r )d 3r (r )( s 2m s s (1.6.87) W ( r r ) (r ) (r ) s (r ) s (r )d 3rd 3r.

s s 2 s, s Представляет интерес переписать выражение для полного оператора Гамильтона, перейдя от полевых операторов, фигурирующих в (6.87), к операторам рождения и уничтожения, которые порождены набором одночастичных состояний электрона в сферически-симметричном поле атома. Будем нумеровать эти состояния, как это делалось в предыдущем разделе, главным, орбитальным, магнитным и спиновым квантовыми числами: Тогда векторы ортонормированного набора nlms qs.

одночастичных состояний, которые порождают операторы рождения и уничтожения электронов запишутся в виде: qs aqs, aqs. В связи со сказанным надо сделать две оговорки. Во-первых, надо понимать, что введенные векторы qs определены пока неоднозначно, поскольку они зависят от того, в каком одночастичном потенциальном поле мы их вычисляем. Разумно ожидать, что это поле является кулоновым полем атомного ядра, которое частично экранируется электронами. Вопрос о поиске такого поля может быть поставлен и решен, но сейчас мы это делать не будем, а будем считать, что нужное поле существует и мы нашли в нем базисный набор одночастичных состояний однозначно. Во-вторых, надо понимать, что для построения полного набора одночастичных состояний нам потребуются не только состояния дискретного спектра, но и состояния непрерывного спектра. Чтобы упростить дальнейшую работу, будем считать, что атом помещен во внешний сферически-симметричный потенциал, который равен нулю в области r R и является бесконечно большим положительным потенциалом при r R, где величина R велика. Понятно, что в таком случае все рассматриваемые состояния будут состояниями дискретного спектра. Запишем теперь для введенного ортонормированного базисного набора соотношения, аналогичные соотношениям (1.6.83):

(r ) (r ) aqs, s q q (1.6.88) s (r ) q (r ) aqs, q где q (r ) (r, q ).

Подставляя (1.6.88) в (1.6.87), получим:

Tqqaqs aqs H q, q, s U qqaqs aqs Wqq1q1 qaqs aq1saq1 saqs.

1 (1.6.89) 2 q, q q, q, s q1, q s, s где:

Tqq (r )( ) q ( r ) d 3 r, q 2m U qq (r )U (r ) q (r )d 3r, (1.6.90) q Wqq1q1q (r )1 (r )W ( r r ) q1 (r ) q (r )d 3rd 3r q q Отметим, что из вида оператора Гамильтона (1.6.89) с очевидностью следует, что этот оператор, как это и должно быть, сохраняет число частиц в системе, так как каждый член в нем содержит одинаковое число операторов уничтожения и операторов рождения.

Заключая данный раздел, запишем с использованием метода вторичного квантования выражение для оператора Гамильтона системы тождественных взаимодействующих ферми-частиц в отсутствии внешнего поля. В этом случае в качестве базисного набора одночастичных состояний разумно использовать плоские волны. Будем считать, что на них, как и ранее, наложены периодические условия Борна-Кармана. Подставляя соотношения (1.6.83) в соотношение (1.6.87), получим для оператора Гамильтона:

k H a a 2m k s k s k,s k k1k1k k s k s k1s k s W a a a a.

1 (1.6.91) k, k k1, k s, s где:

1 ei ( k1 k1 )W ()d 3, Wk k k k ( k k1 ), ( k1 k ) (1.6.92) V r r.

Ясно, что величина (k k ),(k k ), фигурирующая в соотношении 1 (1.6.92), обусловливает выполнения закона сохранения импульса при взаимодействии частиц, поскольку эта величина указывает на то, что суммарный импульс частиц, которые «уничтожаются» в (1.6.91) за счет действия оператора W, равен суммарному импульсу частиц, «рожденных»

под действием того же оператора.

Задание 1.6.3.

1*. Доказать, что при организации произвольных линейных комбинаций базисных векторов (1.6.31), (1.6.32) возникают векторы, волновые функции которых автоматически симметричны относительно перестановки аргументов (при разложении по набору (1.6.31)) и антисимметричны (при разложении по набору (1.6.32)).

2. Объяснить, что представляет собой множество М.

3. Почему в случае, когда в множестве координат в (1.6.32) есть две одинаковые координаты, соответствующий базисный вектор обращается в нуль?

4. Объяснить соотношение (1.6.34). О чем говорит фигурирующий в нем штрих?

Доказать, что множество векторов (1.6.36) образует 5.

ортонормированный набор.

6. Какой смысл имеет волновая функция (1.6.38) в представлении чисел заполнения?

7. Доказать, что набор векторов (1.6.40) является ортонормированным набором.

8. Что такое пространства Фока и как они строятся?

9. Дать подробный вывод соотношения (1.6.47).

10. Дать подробное доказательство соотношений (1.6.52), (1.6.54) и (1.6.65).

11. Доказать соотношение (1.6.68).

12. Доказать, что векторы (1.6.67) образуют ортонормированный набор.

13. Доказать соотношение (6.77).

14. Вывести соотношение (1.6.80).

15. Вывести соотношения (1.6.82), (1.6.83).

16. Объяснить, как были получены соотношения (1.6.85), (1.6.86).

17. Объяснить, как получается соотношение (1.6.88).

18. Вывести соотношения (1.6.89) и (1.6.90).

19. Вывести соотношения (1.6.91) и (1.6.92).

1.7. ОПИСАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ АНСАМБЛЕЙ МИКРОСИСТЕМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР И ЕГО СВОЙСТВА.

1.7.1. Смешанные ансамбли.

До сих пор мы рассматривали ансамбли микросистем, находящихся в чистых состояниях, которые описываются нормированными векторами состояния. Неоднократно подчеркивалось, что микросистемы сами по себе не находятся в чистых состояниях, они переводятся в такие состояния лишь в результате обработки в соответствующих макроскопических приборах приготовителях (ПП) (см. раздел 1.1.2). Ясно, что важным является вопрос о том, как описывать статистические свойства ансамблей, не являющихся чистыми. Рассмотрим сначала простейший ансамбль такого типа. Чтобы его построить, приготовим с использованием соответствующих ПП набор чистых ансамблей рассматриваемой микросистемы, которые описываются векторами состояния из пространства состояний этой системы 1,2,…n, имеющими единичные нормы, но в общем случае не ортогональными друг другу. Смешав системы приготовленных ансамблей с весами p1, p2,….pn, мы получим новый ансамбль, который называется смешанным. Понятно, что по смыслу введенных весов их сумма должна быть нормированной на 1:

1.

pk (1.7.1) k 1, 2,...n Найдем вероятность w(Am) того, что при измерении наблюдаемой величины А в ансамбле, построенном указанным образом, мы получим m – ое значение этой величины Am, считая для простоты, что спектр возможных значений этой наблюдаемой величины дискретный. Используя соотношение (1.2.78) (раздел 1.2.5), найдем сначала соответствующую вероятность для каждого из смешиваемых ансамблей:

w( k ) ( Am ) ( k, (m ) k ).

A (1.7.2) где k – вектор состояния, описывающий системы рассматриваемого A ансамбля, (m ) - оператор проецирования на подпространство собственных векторов оператора A, отвечающих его собственному значению Am.

Понятно, что для того, чтобы получить искомую вероятность для смешанного ансамбля, величину (1.7.2) надо усреднить по множеству смешиваемых ансамблей с весами p1, p2,….pn:

pk ( k, (m ) k ).

A w( Am ) (1.7.3) k 1, 2,...n Чтобы привести полученное соотношение к стандартному виду, докажем сначала простое, но важное для дальнейшего утверждение о том, что сумма диагональных матричных элементов любого линейного оператора не зависит от того, какой ортонормированный набор используется для вычисления этих матричных элементов. Пусть C - произвольный линейный ~ оператор, а {i }, { j } - какие-либо полные ортонормированные наборы.

Тогда, используя описанный в разделе 1.2.4 метод «вставки» полных ортонормированных наборов, получим:

(i, Ci ) (i, j )( j, C j )( j, i ) ~ ~ ~ ~ i, j, j i ( j, C j )( j, (i, j )i ) ~ ~ ~ ~ (1.7.4) j, j i ( j, C j )( j, j ) ( j, C j ).

~ ~ ~ ~ ~ ~ j, j j Учитывая, что используемые полные ортонормированные наборы ~ {i }, { j } выбираются произвольным образом, рассматриваемую сумму диагональных матричных элементов традиционно записывают следующим образом, не конкретизируя используемый набор:

(i, Ci ) Sp(C ).

(1.7.5) i где величина, стоящая справа называется шпуром (или следом) оператора C.

С учетом полученного результата, выражение (1.7.3) можно записать следующим образом:

pk k A w( Am ) Sp((m ) k ) k 1, 2,...n (i, (m ) i )(i, pk k A k i ) (1.7.6) i,i k 1, 2,...n pk ( k, i )(i, (m ) i )(i, k ) pk ( k, (m ) k ), A A k 1, 2,...n i, i k 1, 2,...n где мы «вставляли» и «убирали» полные наборы по мере необходимости.

Ввиду важности полученного соотношения запишем его еще раз, введя при этом новый оператор U, называемый статистическим оператором:

pk k A A w( Am ) Sp((m ) k ) Sp((m )U ), (1.7.7) k 1, 2,...n где U k k.

pk (1.7.8) k 1, 2,...n Ясно, что оператор U определяется тем, какие состояния и с какими весами смешиваются при образовании смешанного ансамбля. Как видно из (1.7.7) этот оператор может быть использован для определения любого заданного значения любой наблюдаемой величины, т.е. согласно определению И. фон Неймана (см. раздел 1.1.2) оператор U позволяет полностью определить статистические свойства построенного ансамбля, откуда и следует название этого оператора. Матрицы статистического оператора, полученные в том или ином базисном наборе, называют статистическими матрицами или матрицами плотности.

Нетрудно убедиться в том, что любые операторы, удовлетворяющие соотношению (1.7.8), обладают тремя важными свойствами:

k k 1. Поскольку операторы проецирования являются линейным эрмитовыми операторами (см. раздел 1.2.4), а веса p1, p2,….pn – вещественные числа, оператор U является линейным и эрмитовым.

2. Шпур оператора U равен 1. Докажем это:

Sp(U ) (i,Ui ) (i, pk k k i ) k 1, 2,...n i i (1.7.9) p k ( k, i )( i, k ) pk 1, k 1, 2,...n k 1, 2,...n i где учтено, что векторы 1, 2,…n являются нормированными, а сумма весов согласно (1.7.1) равна 1.

3. Оператор U неотрицателен. Это означает, что для любого вектора из пространства состояний рассматриваемой микросистемы выполняется неравенство:

(,U) 0. (1.7.10) Неравенство (1.7.10) легко доказывается:

(,U) (, ( k k ) ) pk k 1, 2,...n (1.7.11) pk (, k ) 0.

k 1, 2,...n Из этих свойств оператора U вытекают важные и интересные следствия. Во-первых, поскольку оператор U эрмитов, он порождает полный ортонормированный набор собственных векторов (см. раздел 1.2.2):

Un un n, (1.7.12) где индекс введен для учета возможного вырождения собственных значений оператора U.

Во-вторых, из неотрицательности оператора U и равенства 1 его шпура, вытекает, что собственные значения этого оператора также не отрицательные и их сумма с учетом возможного вырождения равна 1:

un 0, (1.7.13) un 1. (1.7.14) n, Из (1.7.14) следует вывод о том, что кратность вырождения собственных значений оператора U может быть только конечной. Надо отметить, что такой вывод справедлив, лишь когда индекс дискретен. В противном случае необходимо отдельное рассмотрение.

Перепишем теперь соотношение (1.2.55) раздела 1.2.4 для частного случая, когда функция от оператора совпадает с самим оператором и будем считать, что этим оператором является статистический оператор U :

U u n n n.

(1.7.15) n, Сопоставим соотношения (1.7.15) и (1.7.8), приняв при этом во внимание соотношения (1.7.13), (1.7.14) и (1.7.1). Проанализировав вывод соотношения (1.7.8), нетрудно понять, что смешанный ансамбль со статистическими свойствами, идентичными свойствам построенного выше смешанного ансамбля, можно создать, смешивая чистые состояния {n } с весами un. Таким образом, мы видим, что возможны случаи, когда по статистическим свойствам смешанного ансамбля, которые однозначно определяются оператором U, в принципе, невозможно ответить на вопрос о том, какие состояния и с какими весами смешивались. Если не требовать, чтобы векторы смешиваемых состояний были взаимно ортогональными, можно доказать, что всегда существует бесконечное число разных смесей, имеющих идентичные статистические свойства, т.е. одинаковые статистические операторы [5]. Если все же потребовать, чтобы смешиваемые состояния образовывали ортонормированный набор (что с учетом сказанного выше, вообще говоря, нелогично), то такой набор смешиваемых состояний будет определяться однозначно лишь в том случае, если оператор U имеет невырожденный спектр. Если же у этого оператора есть вырожденные собственные значения, ортонормированные наборы собственных векторов, которые отвечают таким собственным значениям, как мы видели в разделе 1.2.2, можно выбирать бесконечным числом различных способов, т.е. мы опять сталкиваемся с ситуацией, когда смешанный ансамбль с заданными статистическими свойствами можно построить, смешивая различные чистые, теперь уже взаимно ортогональные, состояния:

U un n n un n n, ~ ~ (1.7.16) n, n, ~ где набор векторов {n }, как и набор {n }, является полным ортонормированным набором собственных векторов оператора U, имеющего вырожденные собственные значения un.

Полученные результаты выявляют еще одно нетривиальное свойство квантовой механики, которое состоит в следующем: при смешивании нескольких чистых ансамблей необратимо теряется информация о том, какие именно ансамбли смешивались, и никакие измерения, проведенные над системами смешанных ансамблей не могут дать ответ на этот вопрос. Эти измерения, в принципе, позволяют определить оператор U, но как было показано выше, зная этот оператор, его невозможно однозначно представить в виде суммы операторов проецирования (1.7.8), (1.7.16) с положительными коэффициентами, нормированными на 1 (1.7.1). Причина возникновения этого результата такая же, как и та, которая в разделе 1.1.2 привела нас к утверждению о том, что с учетом свойства целостности Мира исследования микропроцессов можно проводить только статистическим методом, поскольку каждое измерение, проведенное над изолированной микросистемой, необратимым образом прерывает происходящий в ней микропроцесс, но при этом измерение дает только одно значение наблюдаемой величины, которого, очевидно, недостаточно для определения состояния микросистемы, т.е. ее вектора состояния.

Следует обратить внимание на то, что полученные выше соотношения могут быть использованы и в случае чистого ансамбля. Пусть системы этого ансамбля описываются нормированным вектором 1. Нетрудно понять, что такой ансамбль можно рассматривать как частный случай смешанного ансамбля, в котором все веса, кроме одного, равны 0: pk = 0 при k 1, а p1 = 1.

Тогда статистический оператор такого ансамбля согласно сказанному выше равен:

U 1 1 (1.7.17) Таким образом, статистический оператор чистого ансамбля равен оператору проецирования на нормированный вектор состояния, описывающий системы этого ансамбля. И. фон Нейман показал [2], что отмеченная выше неоднозначность выбора смешиваемых состояний, из которых строится истинно смешанный ансамбль с заданным статистическим оператором U, в случае чистого ансамбля отсутствует. Иными словами, оператор (1.7.17) невозможно представить в виде суммы (1.7.8) нескольких операторов проецирования с весами, нормированными на 1 (1.7.1).

Интересно отметить, что есть свойство, существенно отличающее операторы U для чистого и смешанного ансамблей. Именно, согласно соотношению (1.2.42) раздела 1.2.4 квадрат оператора (1.7.17) равен ему самому, в то время как квадрат оператора (1.7.15), который представляется в виде суммы нескольких операторов проецирования, таким свойством не обладает.

Важным для теории смешанных ансамблей является вопрос о законе изменения их статистических операторов с течением времени. Нетрудно понять, что в случае, если системы смешанного ансамбля изолированы от внешнего мира, каждое из смешиваемых состояний изменяется с течением времени по закону (1.3.1):

k (t ) V (t, t0 ) k (t0 ), (1.7.18) где V (t, t0 ) - оператор развития во времени в представлении Шредингера.

Подставляя (1.7.18) в (1.7.8), получим:

pk V (t, t0 ) k U (t ) V (t, t 0 ) k k 1, 2,...n pk k k V (t, t 0 ) V (t, t 0 ) (1.7.19) k 1, 2,...n V (t, t 0 )U (t 0 )V (t, t 0 ).

Соотношение (1.7.19) позволяет доказать важное утверждение о том, что статистический оператор, обладающий свойствами 1 – 3 в начальный момент времени, сохраняет эти свойства и в последующие моменты времени.

Выполнив эрмитово сопряжение правой части (1.7.19) и учтя, что операторы сомножители при эрмитовом сопряжении не только сопрягаются, но подвергаются циклической перестановке:

( ABC ) C B A, (1.7.20) легко понять, что оператор U, являющийся эрмитовым в начальный момент времени, остается эрмитовым и в последующие моменты времени. Учитывая, что под знаком шпура операторы можно циклически переставлять, легко понять, что оператор U, имеющий единичный шпур в начальный момент времени, будет иметь такой же шпур в последующие моменты времени:

Sp(V (t, t0 )U (t0 )V (t, t0 )) Sp(V (t, t0 )V (t, t0 )U (t0 )) (1.7.21) Sp(U (t0 )) 1, где учтено, что оператор развития во времени согласно (1.3.4) унитарен.

Докажем, что соотношение (1.7.19) гарантирует также сохранение свойства неотрицательности статистического оператора:

pk k k V (t, t 0 ))) (,U (t )) (, (V (t, t0 ) k 1, 2,...n (1.7.22) pk (V (t, t0 ), k ) 0.

k 1, 2,...n Доказав, что соотношение (1.7.19) обеспечивает сохранение с течением времени свойств 1 – 3 статистических операторов, получим дифференциальное уравнение движения для этих операторов. Используя уравнения движения для оператора развития во времени (1.3.15) и оператора, эрмитово сопряженного по отношению к нему (1.3.36), легко получить искомое дифференциальное уравнение, описывающее изменение во времени статистического оператора смеси, системы которой изолированы от внешнего мира в камере реакций на все время протекания исследуемого процесса:

d U (t ) i dt d V (t, t 0 ) (t 0 )V (t, t0 ) V (t, t 0 )U (t 0 )i dV (t, t 0 ) i U (1.7.23) dt dt H (t )V (t, t 0 )U (t0 )V (t, t0 ) V (t, t 0 )U (t 0 )V (t, t0 ) H (t ) H (t )U (t ) U (t ) H (t ), где H (t ) - оператор Гамильтона системы, который для большей общности полученного уравнения считается зависящим от времени.

Уравнение (1.7.23), впервые полученное И. фон Нейманом, часто называют уравнением Неймана. Ввиду его важности перепишем его еще раз, учтя, что в правой части (1.7.23) фигурирует коммутатор оператора Гамильтона системы и статистического оператора.

d U (t ) [ H (t )U (t )].

i (1.7.24) dt Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом теория смешанных ансамблей может быть использована для решения задач квантовой механики.

Идея описания ансамблей квантовых систем, не находящихся в чистом состоянии, как смешанных ансамблей, естественно возникает в случае, когда ПП, используемый при приготовлении систем ансамбля, устроен так, что он не переводит эти системы в чистое состояние. К примеру, пусть с помощью ускорителя задается импульс электронов, но их проекции спина остаются неопределенными. Естественно предположить, что в таком случае статистические свойства ансамбля спиновых состояний можно описать, считая этот ансамбль равновероятной смесью состояний, описываемых, например, собственными векторами ( z ) оператора проекции спина частицы на ось z. Ясно, что веса, с которыми смешиваются эти векторы, должны быть равными. Запишем соответствующий такой гипотезе статистический оператор электрона, действующий в его спиновом пространстве состояний:



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.