авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р.В. ВЕДРИНСКИЙ ...»

-- [ Страница 8 ] --

1/ 2 (z ) U ( z). (1.7.25) ( z) Поскольку используемый набор является полным ортонормированным набором в пространстве спиновых состояний электрона, то из соотношения (1.2.46) раздела 1.2.4 следует, что оператор U кратен единичному оператору с коэффициентом пропорциональности. Понятно, что точно такой же статистический оператор мы получили бы, если бы считали наш ансамбль равновероятной смесью собственных векторов (n ) оператора проекции спина электрона на любое направление n в трехмерном пространстве. С учетом того, что ось z выбирается произвольным образом, такое свойство смешанного ансамбля, построенного указанным способом, является обязательным, и, если бы его не было, то исходная гипотеза, согласно которой ансамбль электронов, построенный без полного задания их спиновых состояний, можно считать равновероятной смесью состояний ( z ), была бы заведомо неверной.

Ансамбль спиновых состояний, статистический оператор которого равен (1.7.25), называется ансамблем, неполяризованным по спину.

Используя уравнение Неймана, можно описать изменение с течением времени статистического оператора спиновых состояний электрона, считая, что в начальный момент времени этот оператор равен (1.7.25). Если считать, что электрон, первоначально неполяризованный по спину, влетает в камеру реакций, где он упруго рассеивается на тяжелом атоме, изменяя направление своего движения, то спин-орбитальное взаимодействие (см. раздел 1.5.2) может изменить спиновый статистический оператор. В связи с этим становится актуальным вопрос о свойствах такого оператора в общем случае.

Пусть оператор U есть статистический оператор спиновых состояний электрона в произвольном смешанном ансамбле. Согласно сказанному, этот оператор должен обладать свойствами 1 – 3. Понятно также, что этот оператор является оператором, действующим в двумерном пространстве спиновых состояний. В таком случае оператор U имеет два вещественные неотрицательные собственные значения: u1, u2, сумма которых равна 1 и которые в случае их вырождения могут совпадать:

Un un n, n 1,2. (1.7.26) Рассмотрим частные случаи.

А) u1 = u2 = 1/2. В этом случае мы имеем дело с ансамблем, полностью неполяризованном по спину, который был рассмотрен выше.

Б) u1 = 1, u2 = 0. Понятно, что в этом случае статистический оператор записывается в виде:

U 1 1, (1.7.27) где 1 – собственный вектор оператора U, отвечающий единичному собственному значению.

Сопоставляя соотношения (1.7.27) и (1.7.17), мы видим, что в случае Б ансамбль спиновых состояний является чистым. Можно доказать, что для любого ортонормированного набора 1, 2 в двумерном спиновом пространстве состояний можно указать такое направление n в трехмерном пространстве, что векторы 1, 2 являются собственными векторами оператора проекции спина на это направление s( n ). По понятным причинам, ансамбль спиновых состояний, удовлетворяющий условию Б, называется полностью поляризованным по спину, а вектор n, определяющий направление спиновой поляризации, часто называется осью поляризации.

В) u1 u2 0. Этот случай является общим. (Если u2 u1 0, мы вернемся к рассматриваемому случаю за счет изменения нумерации собственных значений.) В случае В нормированные векторы 1, 2 определяются однозначно (конечно, с точностью до их умножения на коэффициенты, равные 1 по модулю). Как и в предыдущем случае, можно найти такое направление n в трехмерном пространстве, что векторы 1, 2 являются собственными векторами оператора проекции спина на это направление s n, т.е. 1 ( n ), 2 ( n ). Направление n называют, как и в случае Б, осью поляризации, а величину (u1 - u2) – степенью поляризации. Оператор U в рассматриваемом случае можно записать в виде:

U u1 ( n ) ( n ) u2 ( n ) ( n ). (1.7.28) Таким образом, в случае В ансамбль является частично поляризованным, и по своим статистическим свойствам он эквивалентен (n ) смеси состояний с весами u1 и u2.

Другим случаем, когда теория смешанных ансамблей находит важное применение в физике, является случай, когда на системы ансамбля не наложены никакие внешние переменные поля и эти системы находятся в тепловом равновесии с термостатом при заданной температуре T. Если рассматриваемые системы занимают большие объемы и включают в себя большое число частиц, то при описании динамических процессов в таких системах с хорошей точностью можно пренебречь их взаимодействием с термостатом и считать, что динамика этих систем описывается их внутренним оператором Гамильтона H, который в отсутствие внешних переменных полей не зависит от времени. При выполнении указанных условий, как установлено в квантовой статистической физике, ансамбли рассматриваемых систем можно считать смешанными ансамблями, статистический оператор которых равен:

H T e U. (1.7.29) Z где температура T выражается в энергетических единицах, величина Z называется статистической суммой. Эта величина выбирается так, чтобы обеспечить единичность шпура оператора U :

H Z Sp(e T (1.7.30) ).

Следует отметить, что соотношения (1.7.29) и (1.7.30) применимы не только к макроскопическим термодинамическим системам, для которых процессами взаимодействия с термостатом, которые происходят на поверхностях систем, можно пренебречь при описании объемных свойств систем, но также и к микроскопическим системам в случае, если термостат представляет собой сильно разреженный газ, так что большую часть времени системы остаются в свободном состоянии, когда их динамика описывается их внутренним оператором Гамильтона.

Завершая раздел, покажем, что статистический оператор смеси можно ввести другим способом по сравнению с тем, который был использован при выводе соотношения (1.7.8). Проведенный ранее вывод был основан на вычислении вероятности получения при измерениях в системах смешанного ансамбля любого значения любой наблюдаемой величины. Альтернативным методом получения статистического оператора смешанного ансамбля, который будет удобно использовать в следующем разделе, является метод вычисления для этого ансамбля среднего значения любой наблюдаемой величины A. Пусть, как и в начале раздела, смешанный ансамбль получается из чистых ансамблей с векторами состояния 1, 2,…n, имеющими единичные нормы, которые смешиваются с весами p1, p2,….pn. Ясно, что среднее значение наблюдаемой величины A по смешанному ансамблю получается усреднением соответствующих средних значений для каждого смешиваемого состояния:

A pk A ( k ) pk ( k, A k ), (1.7.31) k k где использовано хорошо известное соотношение для среднего значения наблюдаемой величины, приведенное, в частности, в разделе 1.2.3 на стр. 68.

Преобразуя соотношение (1.7.31) практически так же, как это было сделано при выводе соотношения (1.7.6), мы получим аналогичное соотношение:

A Sp( AU ), (1.7.32) где оператор U - тот же статистический оператор, который был введен ранее в соотношении (1.7.8).

Задание 1.7.1.

1. Выполнить максимально подробный вывод соотношений (1.7.4) и (1.7.5).

2. Доказать, что шпур оператора (1.7.8) равен 1.

3. Доказать, что статистический оператор (1.7.8) неотрицателен.

4. Объяснить, почему ансамбль, описываемый статистическим оператором со свойствами 1 – 3, эквивалентен смеси собственных векторов статистического оператора с коэффициентами смешивания, равными собственным значениям этого оператора.

5. Прямым расчетом проверить, что оператор (1.7.25) равен.

6. Дать подробный вывод соотношения (1.7.19).

7. На основе определения операции эрмитова сопряжения, данного в разделе 1.2.2, доказать соотношение (1.7.20).

8. Объяснить, почему в произведении операторов, стоящих под знаком шпура, можно делать циклическую перестановку без изменения шпура.

9. Дать подробный вывод соотношения (1.7.22).

10. Подробно вывести соотношение (1.7.32).

11. Найти квадрат оператора (1.7.15).

Вычислить статистическую сумму (1.7.30) для одномерного 12.

гармонического осциллятора.

1.7.2. Описание статистических свойств ансамблей, которые не являются чистыми, но которые заранее также нельзя считать смешанными.

Рассмотрим простой пример ансамбля, удовлетворяющего требованиям, указанным в заголовке. Пусть имеется чистый ансамбль, описываемый нормированным вектором, системы которого содержат две нетождественные бесспиновые взаимодействующие друг с другом частицы.

Рассмотрим ансамбль систем, являющихся одночастичными подсистемами этих двухчастичных систем. Пусть эти подсистемы включают частицы с номером (типом) 1 (см. раздел 1.6.1). Согласно разделу 1.6.1, построенный таким образом ансамбль не может быть чистым, так как частица в системе взаимодействующих частиц своего вектора состояния не имеет. С другой стороны, также нет никаких оснований считать рассматриваемый ансамбль смешанным. Статистические свойства этого ансамбля найти легко, поскольку исходный ансамбль двухчастичных систем является чистым, и эти системы описываются определенным вектором состояния.

Найдем среднее значение произвольной наблюдаемой величины A1, относящейся к первой частице. Будем для определенности вычислять это среднее в координатном представлении, считая, что в таком представлении волновая функция двухчастичной системы есть ( x1, x2 ), где индексы 1, 2 – это номера частиц. Тогда искомое среднее значение с учетом соотношения (1.2.69) запишется в виде:

A 1 * ( x1, x2 ) A 1( x1, x1 ) ( x1, x2 )d 3 x1d 3 x1d 3 x (1.7.33) A1 ( x1, x1 )U ( x1, x )d 3 x1d 3 x1, где A 1( x1, x1) - матрица оператора, отвечающего наблюдаемой величине A1 в пространстве состояний первой частицы, U ( x1, x1 ) * ( x1, x2 )( x1, x2 )d 3 x2.

(1.7.34) Несложно понять, что при использовании какого-либо другого представления, порожденного одночастичными наблюдаемыми величинами, структура полученных формул будет аналогичной, при этом матрица оператора будет преобразовываться по стандартным правилам A преобразования матриц. Поскольку переход к другому представлению не может изменить среднее значение наблюдаемой величины, то по таким же правилам должна преобразовываться введенная в (1.7.34) матрица (U).

Отсюда следует, что эта матрица является матрицей некоторого линейного оператора, записанной в координатном представлении:

U ( x1, x1 ) ( x1,U x1 ). (1.7.35) Поскольку матрица (1.7.34) эрмитова, оператор U также эрмитов.

Легко доказать, что шпур матрицы (1.7.34) равен 1. В самом деле, этот вывод непосредственно следует из того, что волновая функция ( x1, x2 ) является нормированной:

Sp(U ) U ( x1, x1 ) d 3 x1 * ( x1, x2 )( x1, x2 ) d 3 x2 d 3 x1 1. (1.7.36) Докажем теперь, что оператор U неотрицателен. Чтобы убедиться в этом, заметим, что, во-первых, структура соотношений (1.7.33), (1.7.34) не зависит от того, в каком представлении они записаны, а, во-вторых, диагональные матричные элементы матрицы оператора U в любом представлении неотрицательные. Запишем соотношение (1.7.34) в собственном представлении оператора U. Ясно, что возникающая при этом матрица будет диагональной с неотрицательными диагональными элементами, являющимися собственными значениями оператора U. Таким образом, утверждение доказано. Описанный подход к построению статистического оператора ансамблей рассматриваемого типа впервые был предложен Л.Д. Ландау и Ф. Блохом.

Проведем аналогичное рассмотрение для системы N тождественных частиц, описываемой нормированным вектором. Для определенности будем считать эти частицы ферми-частицами со спином. Будем, как и ранее, интересоваться статистическими свойствами ансамбля одночастичных подсистем рассматриваемой многочастичной системы. Для выявления этих свойств рассмотрим среднее значение любой одночастичной наблюдаемой величины. Как это следует из материала разделов 1.6.2 и 1.6.3, одночастичный оператор, соответствующий любой одночастичной наблюдаемой величине А, можно выразить через полевые операторы (r ), s (r ) следующим соотношением:

s (r ) Ass (r, r ) s (r )d 3rd 3r, A s (1.7.37) s, s где Ass (r, r ) - матрица оператора, отвечающего наблюдаемой величине А в пространстве состояний одной частицы со спином.

Как не раз подчеркивалось в разделах 1.6.2, 1.6.3, оператор A в соотношении (1.7.37) соответствует суммарному значению рассматриваемой одночастичной величины, например, суммарному импульсу. Поскольку нас интересует среднее значение наблюдаемой величины А в расчете на одну частицу, полученный с использованием (1.7.37) результат надо разделить на число частиц:

1 (, A ) (, (r ) Ass (r, r ) s (r )d 3 rd 3 r ) A s N N s, s Ass (r, r )(, (r ) s (r ) )d 3rd 3r s (1.7.38) N s, s Ass (r, r )U s s (r, r )d 3rd 3r, s, s где:

U s s (r, r ) (, (r ) s (r ) ).

s (1.7.39) N Далее надо провести анализ полученных соотношений, подобный анализу, выполненному выше для ансамбля одночастичных подсистем в системе двух нетождественных частиц. В ходе этого анализа необходимо воспользоваться описанным в разделе 1.6.3 методом перехода от полевых операторов к операторам рождения и уничтожения частицы в произвольном одночастичном состоянии (см. соотношения (1.6.83), (1.6.77) и (1.6.78)). С использованием этого метода несложно доказать, что введенной в (1.7.39) матрице U ss (r, r ) соответствует эрмитов оператор U, связанный с этой матрицей соотношением:

U s s (r, r ) (r s,Ur s ) (1.7.40) где векторы {r s } являются собственными векторами операторов координат и проекций спина в пространстве состояний одной частицы со спином, которые были введены в разделе 1.5.2.

Эрмитовость матрицы (1.7.39), а вслед за ней – и оператора U сразу следует из (1.7.39). Докажем, что шпур матрицы (1.7.39) равен 1:

Sp(U ) U ss (r, r )d 3 r (, (r ) s (r )d 3 r ) s N s s (1.7.41) 1 (, N ) 1, N где N - оператор полного числа частиц в системе (см. соотношение (1.6.84)).

Аналогично тому, как это было сделано выше, доказывается также неотрицательность оператора U, так что описание статистических свойств ансамбля одночастичных подсистем в коллективе тождественных частиц производится так же, как и в случае системы нетождественных частиц.

Мы видим, таким образом, что рассмотренные ансамбли, которые, очевидно, заранее никак не могут считаться смешанными, оказываются по своим статистическим свойствам эквивалентными смесям собственных векторов соответствующих статистических операторов U с весами, равными собственным значениям этих операторов. С учетом сказанного в предыдущем разделе, существует, кроме того, бесконечно большое число различных смесей неортогональных векторов, дающих те же самые операторы U. Ниже мы убедимся в том, что полученный результат имеет глубокий физический смысл.

Рассмотрим, как это часто делается в литературе, посвященной принципиальным проблемам квантовой физики, сложную систему, состоящую из двух подсистем I и II, и будем считать, что пространство состояний сложной системы можно представить как прямое произведение пространств состояний подсистем I и II. Пусть {i( I ) }, {(jII ) } - какие-либо ортонормированные базисные наборы в пространствах состояний этих {i( I ) (jII ) } подсистем, а ортонормированный базисный набор в пространстве состояний полной системы. Для простоты будем считать эти наборы дискретными. Пусть полная система (I + II) находится в чистом состоянии, которое описывается нормированным вектором. Найдем среднее значение любой наблюдаемой величины АI, относящейся к подсистеме I, воспользовавшись для этого соотношениями (1.7.32) и (1.7.27):

AI Sp( AI ( )) (1.7.42) (i( I ) (jII ), AI ( )i( I ) (jII ) ), i, j где AI - оператор, соответствующий наблюдаемой величине АI в полном пространстве состояний системы (I + II), шпур вычисляется по базисному набору в этом же пространстве состояний.

Как мы видели в разделе 1.2.5, операторы, типа оператора AI действуют только на переменные «своей» подсистемы I. Это обстоятельство позволяет преобразовать соотношение (1.7.42) следующим образом:

AI (i( I ) (jII ), AI ( )i( I ) (jII ) ) i, j (1.7.43) (i( I ), AI ((jII ),( )(jII ) )i( I ) ), i j где в правой части (1.7.43) оператор AI приобретает несколько иной смысл оператора, действующего уже в пространстве состояний подсистемы I (см.

раздел 1.2.5).

Рассмотрим величину, фигурирующую в правой части (1.7.43):

((jII ),( )(jII ) ). (1.7.44) j Эту величину можно рассматривать как «частичный» шпур оператора, вычисленный по переменным, относящимся ко второй подсистеме.

Чтобы понять, чему равен такой «частичный» шпур, рассмотрим сначала вопрос о том, как раскладывается вектор по базису {(II ) }. Ясно, что это j разложение можно записать следующим образом:

c j (jI ) (jII ), (1.7.45) j где векторы (I ) являются по определению нормированными, но в общем j случае не взаимно ортогональными векторами из пространства состояний первой подсистемы.

Чтобы лучше понять, что собой представляют векторы (I ), запишем j разложение (1.7.45) в координатном представлении, введя координаты первой и второй подсистем. В этом случае вектору отвечает волновая ({x}( I ),{ y}( II ) ), где величины {x}( I ) - множество координат, функция относящихся к подсистеме I, а { y}( II ) - аналогичное множество для подсистемы II. Базисным векторам {(II ) } соответствуют волновые функции j {(jII ) ({y}( II ) )}. Тогда согласно общим правилам разложения по базисным наборам:

({x}( I ),{ y}( II ) ) c j (jI ) ({x}( I ) ) (jII ) ({ y}( II ) ), j (1.7.46) c j (jI ) ({x}( I ) ) (jII )* ({ y}( II ) ) ({x}( I ),{ y}( II ) )d{ y}.

где коэффициенты cj выбираются с тем расчетом, чтобы выполнялось соотношение:

j ({x}( I ) ) (jI ) ({x}( I ) )d{x} 1.

( I )* (1.7.47) {(jII ) ({y}( II ) )}, а также Учитывая ортонормированность набора требуемую нормированность функций (jI ) ({x}( I ) ), найдем нормировочный интеграл для вектора, проводя вычисление в координатном представлении:

({x},{ y} ) ({x},{ y} )d{x}d{ y} * (I ) ( II ) (I ) ( II ) c j j ({x} ) j ({y} ) c j j ({x} ) j ({y} ) d{x}d{ y} * ( I )* ( II ) * (I ) ( II ) (I ) ( II ) (I ) ( II ) j j ({x}( I ) ) (jI ) ({x}( I ) )d{x} c j 2 j 1.

( I )* cj j j Таким образом, сумма квадратов модулей коэффициентов cj равна 1.

Вернемся к соотношению (1.7.44) и преобразуем его с учетом соотношения (1.7.45):

((jII ),( c j (jI ) (jII ) c j (jI) (jII ) )(jII ) ) j j j (1.7.48) cj (jI ) (jI ) U.

j Ясно, что, согласно его определению, оператор U, возникший в соотношении (1.7.48), с учетом того, что квадраты модулей коэффициентов cj нормированы на 1, имеет все свойства статистического оператора.

Подчеркнем также, что оператор U из соотношения (1.7.48) является оператором, действующим в пространстве состояний подсистемы I. С учетом всего сказанного, соотношение (1.7.43) может быть переписано в стандартном вид:

A1 Sp( A1U ), (1.7.49) где шпур, в отличие от соотношения (1.7.43), вычисляется сейчас в пространстве состояний подсистемы I.

Полученный результат, с первого взгляда, лишь обобщает результаты, полученные ранее для одночастичных подсистем многочастичных систем, находящихся в чистых состояниях. Однако, как мы сейчас увидим, проведенное рассмотрение открывает новые возможности для выяснения физического смысла полученных результатов. Пусть использованный выше базисный набор {(II ) } таков, что при проведении соответствующих j измерений над подсистемой II мы получим в качестве результатов таких измерений, в каких именно состояниях (II ) мы обнаруживаем подсистему II.


j С другой стороны, согласно соотношению (1.7.45) состояния {(II ) } j подсистемы II однозначно коррелируют с состояниями (I ) подсистемы I.

j Таким образом, после проведения указанных измерений над подсистемами II полных систем (I + II), находящихся в чистом состоянии с нормированным вектором состояния, мы получим смешанный ансамбль подсистем I, статистические свойства которого описываются статистическим оператором U, введенным соотношением (1.7.48). При этом, зная результаты измерений, выполненных над каждой подсистемой II, мы будем точно знать состояние каждой соответствующей подсистемы I. Отсюда следует, что полученный выше, казалось бы, странный результат, состоящий в том, что подсистемы систем, находящихся в чистом состоянии, по своим статистическим свойствам эквивалентны смесям, является обязательной предпосылкой, обеспечивающей возможность проведения косвенных измерений над подсистемами I, основанных на измерениях, проведенных над подсистемами II. Такие косвенные, по терминологии Л.И. Мандельштама, измерения являются важным классом измерений в квантовой механике. Они широко используются при построении теории квантовых измерений, развитой И. фон Нейманом [2] и Д. Бомом [6].

Из проведенного рассмотрения вытекает удивительный, с первого взгляда, вывод о том, что на основе результатов измерений, проведенных только над подсистемой II, мы получаем полную информацию о квантовом состоянии подсистемы I (т.е. о ее векторе состояния (I ) ), на которую в ходе j измерения, вроде бы, никакого воздействия не оказывалось. Нетрудно понять, что ничего удивительного в этом выводе, на самом деле, нет, поскольку, как мы видели, он получается в случае, когда мы заранее знаем вектор состояния всей системы в целом, т.е. мы знаем, как было приготовлено чистое состояние всей системы (I + II). При этом, согласно сделанному предположению, вектор состояния не распадается на произведение векторов состояния первой и второй подсистем, что обеспечивает существование квантовых корреляций между состояниями этих подсистем. Существование таких корреляций, о которых последнее время чаще говорят как о запутанности состояний подсистем I и II, и ведет к тем результатам, которые были получены выше.

Рассмотренный в предыдущем абзаце вопрос в наиболее остром виде был поставлен в работе Эйнштейна, Подольского и Розена «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным»

[7], которую часто называют работой ЭПР. Впоследствии Д. Бом показал, что наиболее наглядным и естественным образом проблема, сформулированная в работе ЭПР, может быть рассмотрена на примере волновой функции спинового состояния двух частиц со спинами. Пусть эти частицы возникают в результате распада нестабильной частицы с нулевым спином и пусть распад происходит так, что образовавшиеся частицы имеют в системе центра масс относительный нулевой орбитальный момент. Тогда по закону сохранения полного механического момента спиновая волновая функция возникших частиц должна быть собственной функцией оператора полного спина двух частиц, которая отвечает нулевому собственному значению. Как отмечалось в разделе 1.6.2, спиновый вектор состояния двух частиц с суммарным нулевым спином антисимметричен относительно перестановки индексов, нумерующих координаты частиц. Известно [3], что этот вектор можно записать в виде:

1 (1) ( 2) ( ( 2) (1) ), (1.7.50) где (1, 2) - векторы спинового состояния частиц, находящихся в точках пространства с номерами 1, 2, и имеющих положительную (+) или отрицательную (-) проекции спина на какое-либо направление n в трехмерном пространстве, от выбора которого вид функции (1.7.50) не зависит, 1/ 2 - нормировочный коэффициент.

Используя описанный выше метод вычисления «частичного» шпура, легко найти статистические операторы для частиц, находящихся в точках 1 и 2. Найдем этот оператор для частицы в точке 1:

1 (1) ( 2) 1 (1) ( 2) U 1 ( ( 2 ), ( (1) ( 2) ) ( (1) ( 2) ) ( 2) ) 2 (1.7.51) 1 (1) (1) ( (1) (1) ).

Как видно, ансамбль спиновых состояний частицы в точке 1 является полностью неполяризованным, так что его можно рассматривать как равновероятную смесь состояний с проекциями спина ±1 на любое направление в пространстве. Если, однако, мы обратимся к полному спиновому вектору состояний (1.7.50), то увидим, что существует однозначная корреляция между спиновыми состояниями частиц в точках 1 и 2. Именно, если при измерении проекции спина частицы в точке 2 на некоторое направление в пространстве мы получили положительную проекцию спина, то частица в точке 1 может иметь только отрицательную проекцию на это направление и – наоборот. Поскольку при таком измерении мы, вроде бы, никак не воздействуем на частицу в точке 1, в работе ЭПР утверждается, что проекцию спина на любую ось в трехмерном пространстве следует считать «элементом физической реальности». По мнению авторов этой работы, из сказанного следует вывод о неполноте квантовой механики, согласно которой частица сама по себе никакой проекции спина не имеет.

В том же 1935 г., когда появилась работа ЭПР, Н. Бор опубликовал одноименную статью [1], в которой он, в частности, обратил внимание на двусмысленность утверждения, сделанного в работе ЭПР, об измерении «без какого-либо возмущения системы». В самом деле, рассматриваемая двухчастичная система находится до момента измерения, проведенного над частицей в точке 2, в целостном чистом состоянии, описываемом определенным вектором состояния. Измерение, проведенное над одной из частиц изолированной системы, необратимым образом прерывает микропроцесс, происходящий во всей системе. Это измерение можно также рассматривать как процесс приготовления частицы в точке 1 в чистом спиновом состоянии с определенной проекцией спина на заданную ось, выбор которой определяется выбором той оси, для которой измеряется проекция спина частицы в точке 2. Понятно, что важным этапом такой процедуры приготовления является этап приготовления исходной нестабильной частицы с нулевым спином. Без этого этапа описанная процедура приготовления чистого спинового состояния частицы в точке была бы невозможна.

Задание 1.7.2.

1. Основываясь на соотношении (1.2.69), провести подробный вывод (1.7.33).

Записать соотношение (1.7.37) через операторы рождения и 2.

уничтожения частиц с определенным значением волнового вектора.

3. Записать статистическую матрицу (1.7.39) в импульсном представлении.

4. Провести подробный вывод соотношений (1.7.43), (1.7.48), (1.7.49) и (1.7.51).



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.