авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

А. А. БЕЛЫЙ

РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ

МИНСК

БГУ

2008

2

Часть 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ

Необходимо уметь мыслить абстрактно, чтобы

по-новому воспринимать окружающий нас мир.

Р.Фейнман

Лекция 1. ВВЕДЕНИЕ. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ Одним из направлений перестройки в высшем образовании является пре одоление недостатков узкой специализации, усиление междисциплинарных связей, развитие диалектического видения мира, системного мышления. В учебный план уже многих вузов введены общие и специальные курсы, реали зующие эту тенденцию: для инженерных специальностей — «методы проекти рования», «системотехника»;

для военных и экономических специальностей — «иcследование операций»;

в административном и политическом управлении — «политология», «футурология»;

в прикладных научных исследованиях — «имитационное моделирование», «методология эксперимента» и т.д. К числу таких дисциплин принадлежит и курс системного анализа — типично меж- и над дисциплинарный курс, обобщающий методологию исследования сложных технических, природных и социальных систем.

Системность не должна казаться неким нововведением, последним дости жением науки. Системность есть всеобщее свойство материи, форма ее сущест вования, а значит, и неотъемлемое свойство человеческой практики, включая мышление. Всякая деятельность может быть менее или более системной. Появ ление проблемы — признак недостаточной системности;

решение проблемы — результат повышения системности. Теоретическая мысль на разных уровнях абстракции отражала системность мира вообще и системность человеческого познания и практики. На философском уровне — это диалектический материа лизм, на общенаучном — системология и общая теория систем, теория органи зации;

на естественно-научном — кибернетика. С развитием вычислительной техники возникли информатика и искусственный интеллект.

В начале 80-х годов стало очевидным, что все эти теоретические и при кладные дисциплины образуют как бы единый поток, «системное движение».

Системность становится не только теоретической категорией, но и осознанным аспектом практической деятельности. Поскольку большие и сложные системы по необходимости стали предметом изучения, управления и проектирования, потребовалось обобщение методов исследования систем и методов воздействия на них. Должна была возникнуть некая прикладная наука, являющаяся "мос том" между абстрактными теориями системности и живой системной практи кой. Она и возникла — сначала, как мы отмечали, в различных областях и под разными названиями, а в последние годы сформировалась в науку, которая по лучила название «системный анализ».

Современный системный анализ является прикладной наукой, нацеленной на выяснение причин реальных сложностей, возникших перед «обладателем проблемы» и на выработку вариантов их устранения. В наиболее развитой форме системный анализ включает и непосредственное, практическое улуч шающее вмешательство в проблемную ситуацию.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Особенности современного системного анализа вытекают из самой приро ды сложных систем. Имея в качестве цели ликвидацию проблемы или, как ми нимум, выяснение ее причин, системный анализ привлекает для этого широкий спектр средств, использует возможности различных наук и практических сфер деятельности. Являясь по существу прикладной диалектикой, системный ана лиз придает большое значение методологическим аспектам любого системного исследования. С другой стороны, прикладная направленность системного ана лиза приводит к использованию всех современных средств научных исследова ний – математики, вычислительной техники, моделирования, натурных наблю дений и экспериментов.

В ходе исследования реальной системы обычно приходится сталкиваться с самыми разнообразными проблемами;

быть профессионалом в каждой из них невозможно одному человеку. Выход видится в том, чтобы тот, кто берется осуществлять системный анализ, имел образование и опыт, необходимые для опознания и классификации конкретных проблем, для определения того, к ка ким специалистам следует обратиться для продолжения анализа. Это предъяв ляет особые требования к специалистам-системщикам: они должны обладать широкой эрудицией, раскованностью мышления, умением привлекать людей к работе, организовывать коллективную деятельность.

Прослушав настоящий курс лекций, или прочитав несколько книг по дан ной теме нельзя стать специалистом по системному анализу. Как выразился У.Шекспир: «Если бы делать было бы столь легко, как знать, что надо делать — часовни были бы соборами, хижины — дворцами». Профессионализм при обретается в практике.

Рассмотрим любопытный прогноз наиболее быстро расширяющихся сфер занятости в США:

Динамика в % 2001 – 2006гг.

средний медицинский персонал — 70% специалисты по радиационным технологиям — 66% агенты бюро путешествий — 54% аналитики компьютерных систем — 53% программисты — 48% инженеры-электронщики — 40% Развитие системных представлений. Что означает само слово «система»

или «большая система», что означает «действовать системно»? Ответы на эти вопросы мы будем получать постепенно, повышая уровень системности наших знаний, в чем и состоит цель данного курса лекций. Пока же нам достаточно тех ассоциаций, которые возникают при употреблении в обычной речи слова «система» в сочетании со словами «общественно-политическая», «Солнечная», «нервная», «отопительная» или «уравнений», «показателей», «взглядов и убеж дений». Впоследствии мы будем подробно и всесторонне рассматривать при знаки системности, а сейчас отметим только самые очевидные и обязательные из них:

- структурированность системы;

- взаимосвязанность составляющих ее частей;

ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ - подчиненность организации всей системы определенной цели.

Системность практической деятельности. По отношению, например, к человеческой деятельности указанные признаки очевидны, поскольку каждый из нас легко обнаружит их в своей собственной практической деятельности.

Всякое наше осознанное действие преследует вполне определенную цель;

во всяком действии легко увидеть его составные части, более мелкие действия.

При этом составные части выполняются не в произвольном порядке, а в опре деленной их последовательности. Это и есть определенная, подчиненная цели взаимосвязанность составных частей, которая и является признаком системно сти.

Системность и алгоритмичность. Другое название для такого построе ния деятельности — алгоритмичность. Понятие алгоритма возникло вначале в математике и означало задание точно определенной последовательности одно значно понимаемых операций над числами или другими математическими объ ектами. В последние годы начинает осознаваться алгоритмичность любой дея тельности. Уже говорят не только об алгоритмах принятия управленческих ре шений, об алгоритмах обучения, алгоритмах игры в шахматы, но и об алгорит мах изобретательства, алгоритмах композиции музыки. Подчеркнем, что при этом делается отход от математического понимания алгоритма: сохраняя логи ческую последовательность действий, допускается, что в алгоритме могут при сутствовать неформализованные действия. Таким образом, явная алгоритмиза ция любой практической деятельности является важным свойством ее развития.

Системность познавательной деятельности. Одна из особенностей по знания — наличие аналитического и синтетического образов мышления. Суть анализа состоит в разделении целого на части, в представлении сложного в ви де совокупности более простых компонент. Но чтобы познать целое, сложное, необходим и обратный процесс — синтез. Это относится не только к индивиду альному мышлению, но и к общечеловеческому знанию. Скажем так, расчле ненность мышления на анализ и синтез и взаимосвязанность этих частей явля ются важнейшим признаком системности познания.

Системность как всеобщее свойство материи. Здесь нам важно выде лить ту мысль, что системность — это не только свойство человеческой прак тики, включающей и внешнюю активную деятельность, и мышление, но свой ство всей материи. Системность нашего мышления вытекает из системности мира. Современные научные данные и современные системные представления позволяют говорить о мире как о бесконечной иерархической системе систем, находящихся в развитии и на разных стадиях развития, на разных уровнях сис темной иерархии.

Подведем итог. В заключении, в качестве информации к размышлению, приведем схему изображающую связь вопросов, рассмотренных выше.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Понятие системы В настоящее время понятие "система" широко используется почти во всех областях науки и техники. Однако до сих пор оно еще не имеет достаточно чет кого определения. Почти каждый, кто пытается уточнить, что же следует пони мать под системой, прежде всего, стремиться создать некий умозрительный об раз. Некоторым удается дать словесное описание такого образа в виде множе ства элементов, сложное взаимодействие которых приводит к достижению не кой неосознанной цели. В ряде случаев такие индивидуальные умозрительные образы имеют так много общего, что оказывается возможным полное взаимо понимание, без которого немыслимы плодотворные дискуссии, не говоря уже о сотрудничестве. Чаще, однако, в силу тех или иных причин, такое взаимопони мание не достигается, несмотря на самое неподдельное стремление к общению.

Именно этим обстоятельством объясняется тот факт, что одной из главных проблем, которым посвящен настоящий курс лекций, является создание основы для обсуждения системно-теоретических вопросов. С этой целью на различных примерах системных задач демонстрируется возможность описания и анализа любой из них с помощью довольно ограниченного набора математических аб стракций. Естественно, что при этом возникает необходимость в использовании ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ определенного математического аппарата. Это и не удивительно, поскольку уровень знаний в области биологии, социологии, психологии, экономики (не говоря уже о таких науках, как физика или химия) настолько высок, что накоп ленные сведения невозможно осмыслить, не обращаясь к абстракции. К сча стью, однако, для понимания большинства фундаментальных понятий систем ного анализа вполне достаточно иметь общее представление об обычном диф ференциальном исчислении, геометрии и элементарной алгебре. В тех случаях, когда мы будем вынуждены прибегнуть к более сложному математическому аппарату, формальное математическое изложение будет сопровождаться соот ветствующими системно-теоретическими рассуждениями и поясняться с по мощью примеров. Пояснение основных положений с помощью примеров, а не экзотических теорий помогает студенту понять существо дела, не слишком вдаваясь в подробности.

Пожалуй, лучше всего начать изложение материала с рассмотрения неко торых модельных ситуаций, или так называемых «типичных системных задач».

Анализ этих задач позволяет выявить некоторые общие системные проблемы, для изучения которых, как будет показано, может быть использовано несколько математических конструкций. При этом неоднократно подчеркивается, что не существует единственной модели этой системы: существует множество моде лей, каждая из которых пригодна для изучения определенного класса вопросов, связанных со структурой и функционированием системы. Поэтому важно, что бы исследователь имел в своем распоряжении как можно больше математиче ских методов для анализа принципов построения и работы созданной им моде ли.

Пример 1. Макроэкономика. Рассмотрим экономический комплекс, со стоящий из n секторов, выпускающих продукцию x1, x2,..., xn соответственно.

Предположим для определенности, что выпуск продукции измеряется в долла рах в год. Причем продукция, выпускаемая каждым сектором, используется как самим сектором, так и другими секторами комплекса и внешними потребите лями.

Пусть aij представляет собой часть продукции, выпускаемой i-м сектором, которая необходима для производства единицы продукции j -го сектора (i, j = 1, n ). Внешнее потребление продукции, выпускаемой i-м сектором, обо значим через yi. Тогда можно записать следующее уравнение материального n баланса: X i = aij x j + yi.

j = Данная элементарная модель может быть использована для определения объема продукции, необходимой для удовлетворения заданного спроса при су ществующей технологии, которая описывается с помощью коэффициентов aij.

Возможные обобщения и детализация этой модели образуют основу для так на зываемой модели «затраты-выпуск». Матрицу технологических коэффициентов A = aij часто называют леонтьевской матрицей.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Пример 2. Динамика водохранилищ. Упрощенный вариант системы во дохранилищ показан на рис. 1. Выходами системы являются сток y1 ( t ) и доля грунтовых вод y2 ( t ) в этом стоке, внешними входами — осадки r1 ( t ) и r2 ( t ).

Наполнение наземных водохранилищ в момент времени t обозначено через x1 ( t ), x2 ( t ) и x3 ( t ), наполнение подземного резервуара (с учетом просачива ния) — через x4 ( t ), а попуски воды из водохранилищ — через u1 ( t ) и u2 ( t ).

Учет связи между поверхностным стоком и грунтовыми водами осуществляет ся с помощью выражения l3 ( x4 x3 ) ;

коэффициент k характеризует поверхно стный сток, а коэффициенты l1 и l2 — грунтовый.

r1 ( t ) x1 ( t ) u1 ( t ) l1 x y2 ( t ) kx3 ( t ) x4 ( t ) x3 ( t ) l3 ( x4 x3 ) y1 ( t ) l2 x r2 ( t ) x2 ( t ) u2 ( t ) Уравнения неразрывности приводят к следующим динамическим соотно шениям:

x1 ( t + 1) = x1 ( t ) l1 x1 ( t ) u1 ( t ) + r1 ( t ) x2 ( t + 1) = x2 ( t ) l2 x2 ( t ) u2 ( t ) + r2 ( t ) x3 ( t + 1) = x3 ( t ) + l3 ( x4 ( t ) x3 ( t ) ) kx3 ( t ) + u1 ( t ) + u2 ( t ) x4 ( t + 1) = x4 ( t ) + l1 x1 ( t ) + l2 x2 ( t ) l3 ( x4 ( t ) x3 ( t ) ) Измеряемые выходы системы имеют вид:

y1 ( t ) = kx3 ( t ) y2 ( t ) = l3 ( x4 ( t ) x3 ( t ) ) Приведенное выше описание системы может оказаться полезным при изу чении ряда важных вопросов, связанных с управлением паводками, оптималь ной стратегией попусков (водосборов), точным определением уровня грунто вых вод и т.д.

Пример 3. Система «хищник-жертва». Одной из популярных проблем науки о живой природе является исследование взаимодействия сообществ «хищники-жертвы» в некоторой ограниченной среде обитания. Рассмотрим для простоты экосистему с одним трофическим уровнем, в котором хищники и жертвы разделяются на два непересекающихся множества. Пусть множество хищников состоит из следующих элементов:

Y=[люди, львы, слоны, птицы, рыбы, лошади], а множество жертв — X=[антилопы, зерно, кабаны, скот, трава, листья, насекомые, рептилии].

Определение точных количественных динамических связей, существую щих между хищниками и жертвами, является довольно, сложной задачей. Как ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ правило, с уверенностью можно утверждать только, что определенные хищни ки выбирают только определенные жертвы. В подобной ситуации описание системы в терминах отношения инцидентности может дать совершенно неожи данную информацию о фундаментальной структуре экосистемы.

Определим отношение между множествами X и Y следующим образом:

Отношение существует между хищником y и жертвой x тогда и только тогда, когда хищник y поедает жертву x. Отношение удобно описать с по мощью матрицы инциденций L, причем, если хищник y поедает жертву x, то = 1, в противном случае = 0.

Ант. Зрн. Кбн. Скт. Трв. Лст. Нск. Рпт.

Люди 1 1 1 1 0 0 0 Львы 1 0 1 0 0 0 0 Слоны 0 0 0 0 1 1 0 Птицы 0 0 0 0 0 0 1 Рыбы 0 0 0 0 0 0 1 Лошади 0 1 0 0 1 0 0 Анализируя матрицу инциденций, можно выявить совершенно неочевид ные структурные свойства системы «хищник-жертва».

Таким образом, даже в отсутствии очевидных динамических уравнений оказывается возможным построить содержательное математическое описание изучаемой системы.

Пример 4. Двоичный выбор. При анализе многих системных задач, пред ставляющих практический интерес, разумно предполагать, что система стре мится минимизировать некоторую (быть может, неизвестную) потенциальную функцию. Это означает, что в отсутствие внешних возмущений система стре мится к состоянию равновесия, которому соответствует минимум энергии не которого «силового поля», причем природа этого поля может быть различной.

Для иллюстрации этого положения рассмотрим случай, когда возможны два ва рианта выбора в зависимости от значений некоторой функции полезности U ( x, a, b ), где x — переменная, описывающая выбор;

a и b — параметры, от которых этот выбор зависит. Тогда можно определить функцию бесполезности как E ( x, a, b ) = U и построить модель, в которой эта функция минимизирует ся.

Допустим, что между двумя пунктами возможны два маршрута — A и B, стоимость которых соответственно C A и C B. Внешние параметры a и b явля ются функциями разности стоимостей C = CB C A. Предположим, что x 0 со ответствует маршруту A, а x 0 — маршруту B. Тогда можно построить функции a ( C ) и b ( C ), такие, что найдется такое число l, что:

- если C 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута A и, следовательно, x 0 ;

- если C 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута B и, следовательно, x 0 ;

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ - если 0 C l, то наиболее вероятным является выбор маршрута A, хотя возможен выбор и маршрута B ;

- если l C 0, то наиболее вероятным является выбор маршрута B, хо тя возможен выбор и маршрута A ;

-если C = 0, то вероятности выбора каждого маршрута одинаковы.

Для построения модели процесса выбора нам потребовалась всего лишь функция бесполезности. Другими словами, мы не испытывали необходимости в более подробном описании внутренней динамики процесса (которого для большинства социально-экономических систем просто нет). Более того, нам не нужно даже знать точного вида функции E ( x, a, b ). Единственное, что требует ся, наша готовность признать сам факт существования такой функции, а все ос тальное следует из абстрактных математических рассуждений и имеющихся численных данных (включая и точный вид кривой, представленной на рис.2, поскольку это необходимо для количественного моделирования данной систе мы). Для моделирования подобных ситуаций используется теория катастроф Тома.

x маршрут B l +l C маршрут A Лекция 2. СИСТЕМЫ. МОДЕЛИ СИСТЕМ Центральной концепцией теории систем, кибернетики, системного подхо да, всей системологии является понятие «системы». Поэтому очень многие ав торы анализировали это понятие, развивали определение системы до различной степени формализации.

Первое определение системы.

Начнем с рассмотрения искусственных, т.е. создаваемых человеком сис тем. Как уже отмечалось, любая деятельность человека носит целенаправлен ный характер. Наиболее четко это прослеживается на примере трудовой дея тельности. Цели, которые ставит перед собой человек, редко достижимы только за счет его собственных возможностей или внешних средств, имеющихся у него в данный момент. Такое стечение обстоятельств называется «проблемной си туацией». Проблемность существующего положения осознается в несколько «стадий»: от смутного ощущения что «что-то не так», к осознанию потребно сти, затем к выявлению проблемы и, наконец, к формулировке цели.

Цель — это субъективный образ (абстрактная модель) несуществующего, но желаемого состояния среды, которое решило бы возникшую проблему. Вся последующая деятельность, способствующая решению этой проблемы, направ лена на достижение поставленной цели, т.е. как работа по созданию системы.

Другими словами: система есть средство достижения цели.

Приведем несколько упрощенных примеров систем, предназначенных для реализации определенных целей.

Цель Система В произвольный момент указать время Часы Обеспечить выпечку хлеба в заданном ассорти- Пекарня менте для большого количества людей Передать зрительную и звуковую информацию на Телевидение большое расстояние практически мгновенно Обеспечить перемещение людей в городе Городской транспорт Отметим, что далеко не просто сформулировать цели так, чтобы имелось действительно очевидное соответствие между целями и системами. Например, только слова "практически мгновенно" в примере 3 отличает цель телевидения от цели кино или пересылки видеокассет. В то же время, между целью (абст рактной и конечной моделью) и реальной системой нет, и не может быть одно значного соответствия: для достижения заданной цели могут быть избраны раз ные средства — системы. С другой стороны, заданную реальную систему мож но использовать и для других целей, прямо не предусмотренных при ее созда нии.

В инженерной практике момент формулирования цели — один из важней ших этапов создания систем. Обычно цели уточняются итеративно, с много кратными изменениями и дополнениями.

Модель «черного ящика». Перейдем от первого определения системы к его визуальному эквиваленту. Во-первых, приведенное определение ничего не говорит о внутреннем устройстве системы. Поэтому ее можно изобразить в ви ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ де непрозрачного «ящика», выделенного из окружающей среды. Подчеркнем, что уже эта, максимально простая, модель по-своему отражает два следующих важных свойства системы: целостность и Окружающая обособленность от среды.

среда Во-вторых, в определении системы кос- Входы Выходы венно говорится о том, что хотя «ящик» и обособлен, выделен из среды, но не является X g g g g g Система g g g g g Y полностью от нее изолированным.

Иначе говоря, система связана со средой Рис. 3. Модель и с помощью этих связей воздействует на «черного ящика»

среду. Эти связи называются выходами сис темы. Подчеркнем еще раз, что выходы системы в данной графической модели соответствуют слову "цель" в словесной модели системы (в первом определе нии). Кроме того, система является средством, поэтому должны существовать и воздействия на нее, т.е. такие связи со средой, которые направлены извне в сис тему, которые называются входами системы.

В результате мы построили модель системы, которая получила название «черного ящика» (см. рис.3). Это название образно подчеркивает полное отсут ствие сведений о внутреннем содержании системы. В модели задаются только входные и выходные связи системы со средой, т.е. множество X и Y входных и выходных переменных. Такая модель, несмотря на внешнюю простоту и на отсутствие сведений о внутреннем строении системы, часто оказывается очень полезной.

Отметим, однако, что построение модели «черного ящика» не является тривиальной задачей, так как на вопрос о том, сколько и какие именно входы и выходы следует включать в модель, ответ не прост и не всегда однозначен.

Главной причиной множественности входов и выходов в модели «черного ящика» является то, что всякая реальная система, как и любой объект, взаимо действуют с объектами окружающей среды неограниченным числом способов.

Строя модель системы, мы из этого бесчисленного множества связей отбираем конечное их число для включения в список входов и выходов. Критерием отбо ра при этом является целевое назначение модели, существование той или иной связи по отношению к этой цели. Именно здесь возможны ошибки. Те связи, которые мы не учитываем в модели, не лишены их реальности, они все равно действую независимо от нас. И нередко оказывается, что казавшееся несущест венным или незначительным для нас на самом деле является важным и должно быть учтено.

Модель «черного ящика» часто оказывается не только очень полезной, но единственно применимой для изучения систем. Например, при изучении пси хики человека или влияния лекарства на живой организм мы лишены возмож ности вмешательства в систему иначе, как только через ее входы, и выводы де лаем только на основании наблюдения за ее выходами. Это относится к таким исследованиям, где следует специально заботиться о том, чтобы измерения как можно меньше влияли на саму систему, либо отсутствуют данные о внутреннем устройстве системы. Например, мы не знаем, как «устроен» электрон, но знаем, ЛЕКЦИЯ 2. СИСТЕМЫ. МОДЕЛИ СИСТЕМ как он взаимодействует с электрическим и магнитным полями, с гравитацион ным полем. Это и есть описание электрона на уровне модели «черного ящика».

Модель состава системы. При рассмотрении любой системы обнаружи вается, что ее целостность и обособленность, отображенные в модели черного ящика, выступают как внешние свойства. Внутренность же "ящика" оказывает ся неоднородной, что позволяет раз Система личать составные части самой систе мы. При более детальном рассмотре- Подсистема Элемент нии некоторые части системы могут Подсистема быть, в свою очередь, разбиты на со- Элемент Подсистема Элемент Элемент ставные части и т.д. Те части систе- Элемент Элемент мы, которые мы рассматриваем как Элемент неделимые, называются элементами. Элемент Части системы, состоящие более чем из одного элемента, называют под- Рис. 4. Модель состава системы системами. При необходимости мож но ввести обозначения или термины, указывающие на иерархию частей. В ре зультате получается модель состава системы, описывающая из каких подсис тем и элементов она состоит (см. рис.4).

Модель состава ограничивается снизу тем, что считается элементом, а сверху — границей системы. Как эта граница, так и границы разбиения на под системы определяются целями построения модели и, следовательно, не имеют абсолютного характера. Это не означает, что сама система или ее состав нере альны. Мы имеем дело не с разными системами, а с разными моделями систе мы.

Пример модели состава системы:

Система Подсистема Элементы Система те- Подсистема передачи Центральная телестудия левидения Антенно-передающий центр Канал связи Среда распространения радиоволн «Орбита»

Спутники-ретрансляторы Приемная подсистема Местные телецентры Телевизоры потребителей Построение модели состава системы только на первый взгляд кажется про стой задачей. Модели одной и той же системы, разработанные разными экспер тами, могут различаться между собой и даже значительно. Причины этого со стоят не только в различной степени знания системы: один и тот же эксперт при разных условиях также может дать разные модели. По крайней мере суще ствуют три разных причины этого факта.

Во-первых, разные модели состава получаются вследствие того, что поня тие элементарности можно определить по-разному. То, что с одной точки зре ния кажется элементом, с другой — оказывается подсистемой, подлежащей дальнейшему разделению.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Во-вторых, как и любые модели, модель состава является целевой, и для различных целей один и тот же объект потребуется разбить на разные части.

Например, модель состава самолета с точек зрения летчика, стюардессы, пас сажира и аэродромного диспетчера окажутся различными. То, что для одного обязательно войдет в модель, может совершенно не интересовать другого.

В-третьих, модели состава различаются потому, что всякое разделение целого на части, всякое деление системы на подсистемы является относитель ным, в определенной степени условным. Например, тормозную систему авто мобиля можно отнести к ходовой части, либо к подсистеме управления. Други ми словами границы между подсистемами условны, относительны, модельные.

Модель структуры системы. Несмотря на полезность рассмотренных выше моделей систем, существуют проблемы, решить которые с помощью та ких моделей нельзя. Например, чтобы получить велосипед, недостаточно иметь отдельные его детали (хотя состав системы налицо). Необходимо еще правиль но соединить все детали между собой, или, говоря обще, установить между элементами определенные связи — отношения.

Совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отно шений между элементами называется структурой системы.

Когда мы рассматриваем некую совокупность объектов как систему, то из всех отношений мы выбираем важные, т.е. существенные для достижения цели.

Точнее, в модель структуры (в список отношений) мы включаем только конеч ное число связей, которые существенны по отношению к рассматриваемой це ли. Например, при расчете механизмов не учитываются силы взаимного притя жения его деталей, хотя, согласно закону всемирного тяготения, такие силы объективно существуют. Зато вес деталей учитывается обязательно.

В заключение данного параграфа рассмотрим связь между понятиями «от ношение» и «свойство». В отношении участвуют не менее двух объектов, а свойством называют некий атрибут одного объекта. Это различие отражается и при их математическом описании.

Пусть E — множество. Любое свойство, которым может обладать элемент x E, задает в E подмножество A E всех элементов, обладающих этим свойством. Пусть задано некоторое отношение R, в котором могут находиться элементы x и y множества E, записанные в указанном порядке. Если они на ходятся в заданном отношении, то используется запись xRy, если нет — запись x Ry. Множество всех упорядоченных пар ( x, y ) (т.е. ( x, y ) и ( y, x ) — разные пары при x y ) называется произведением E E. Рассмотрим подмножество R E E всех пар, для которых xRy. Задание этого подмножества и является заданием отношения. Если теперь ввести понятие многоместного (а не только двуместного, бинарного) отношения, то свойство оказывается одноместным (унарным) отношением.

Говоря, что свойства объекта можно использовать в системе, мы имеем в виду установление некоторых отношений между данным объектом и другими частями системы, т.е. включение этих отношений в структуру системы.

Второе определение системы. Структурная схема системы.

ЛЕКЦИЯ 2. СИСТЕМЫ. МОДЕЛИ СИСТЕМ Объединяя все изложенное в предыдущих параграфах, можно сформули ровать второе определение системы: система есть совокупность взаимосвя занных элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как це лое.

Очевидно, что представленные определения охватывают модели "черного ящика", состава и структуры. Все вместе они образуют еще одну модель, кото рую будем называть структурной схемой системы. В структурной схеме ука зываются все элементы системы, все связи между элементами внутри системы и связи определенных элементов с окружающей средой (входы и выходы сис темы).

Рассмотрим систему «синхронизируемые часы». Считаем, что в состав та кой системы входят три элемента: датчик, индикатор и эталон времени. Струк тура часов определяется следующими отношениями между парами элементов:

Пара элементов Связь между ними Датчик и индикатор Однозначное соответствие Эталон и датчик Приблизительное соответствие Индикатор и эталон Периодическое сравнение и устранение расхождения Линейная структура Датчик 1 Индикатор времени Матричная структура 2 Эталон времени Рис. 5. Структурная схема системы синхронизируемые часы Вершина Сетевая структура Ребро Петля Изолированная вершина Рис. 6. Пример графа Описанные связи указаны стрелками Древовидная структура 1-3 между элементами на рис.5. Вход изображает поступление энергии извне, вход 5 соответствует регулировки индика тора, вход 6 — показанию часов.

Все структурные схемы имеют нечто общее, и это побудило математиков рас сматривать их как объект математических Рис. 7. Представление исследований. Для этого пришлось абст рагироваться от содержательной стороны систем в виде графов ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ структурных схем. В результате получилась схема, в которой обозначается только наличие элементов и связей между ними. Такая схема называется гра фом.

Граф состоит из обозначений элементов произвольной природы, называе мых вершинами, и обозначений связей между ними, называемых ребрами (либо дугами). На рис.6 изображен граф: вершины обозначены в виде кружков, ребра в виде линий.

Если направления связей не обозначаются, то граф называется неориенти рованным, при наличии стрелок — ориентированным. Данная пара вершин может быть соединена любым количеством ребер;

вершина может быть соеди нена сама с собой (тогда ребро называется петлей). Если в графе требуется от разить другие различия между элементами или связями, то либо приписывают ребрам различные веса (взвешенные графы), либо раскрашивают вершины или ребра (раскрашенные графы).

Для графов построена интересная и содержательная теория, имеющая мно гочисленные приложения. Разнообразные задачи этой теории связаны с различ ными преобразованиями графов, а также с возможностью рассмотрения раз личных отношений на графах: весов, рангов, цветов, вероятностных характери стик (стохастические графы) и т.д. Поскольку множества вершин и ребер формально можно поменять местами, получается два разных представления системы в виде вершинного или реберного графа.

Графы могут изображать любые структуры, если не накладывать ограни чений на пересекаемость ребер. Некоторые типы структур имеют особенности, важные для практики, они выделены из других и получили специальные назва ния. Так, в организационных системах часто встречаются (см. рис.7) линейные, древовидные (иерархические) и матричные структуры;

в технических системах чаще встречаются сетевые структуры;

особое место в теории систем занимают структуры с обратными связями, которые соответствуют кольцевым путям в ориентированных графах.

Структурная схема системы является наиболее подробной и полной моде лью любой системы на данном этапе нашего познания. При этом всегда остает ся актуальным вопрос об адекватности этой модели, разрешаемый только на практике.

Одной структурной информации, которая содержится в графах, для ряда исследований недостаточно. В таких случаях методы теории графов становятся вспомогательными, а главным является рассмотрение конкретных функцио нальных связей между входными, внутренними и выходными переменными системы.

Динамические модели систем.

До сих пор основное внимание было уделено понятию системы, ее составу и устройству. Были рассмотрены модели, которые являются как бы «фотогра фиями» системы, отображают ее в некоторый момент времени. В этом смысле рассмотренные варианты моделей могут быть названы статическими моделя ми. Следующий шаг в исследовании систем состоит в том, чтобы понять и опи ЛЕКЦИЯ 2. СИСТЕМЫ. МОДЕЛИ СИСТЕМ сать, как система «работает», что происходит с ней самой и окружающей сре дой в ходе реализации поставленной цели.

Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со вре менем называются динамическими, а модели, отображающие эти изменения, — динамическими моделями систем.

Для разных объектов и систем разработано большое количество динамиче ских моделей, описывающих процессы с различной степенью детализации. Од нако всегда развитие моделей происходит в той же последовательности, как это было изложено выше: от «черного ящика» к «белому».

Функционирование и развитие. Уже на этапе «черного ящика» различа ют два типа динамики системы: функционирование и развитие. Под функцио нированием подразумевают процессы, которые происходят в системе, стабиль но реализующей фиксированную цель. Функционируют, например, часы, го родской транспорт, радиоприемник и т.д.

«Развитием» называют то, что происходит с системой при изменении ее целей. Характерной чертой развития является тот факт, что существующая структура перестает соответствовать новой цели. Для обеспечения новой функ ции приходится изменять структуру, а иногда и состав системы, т.е. перестраи вать всю систему. Возможны и такие системы, для функционирования которых какие-то ее подсистемы должны быть постоянно в развитии.

Типы динамических моделей. При математическом моделировании не которого процесса его конкретная реализация описывается в виде соответствия между элементами множества входов системы X «возможных значений» x и элементов упорядоченного множества T «моментов времени» t, т.е. в виде отображения:

x (t ) X T, t T TX:

С помощью этих понятий строятся X T = { x ( t )} Y T = { y ( t )} математические модели систем.

t T Рассматривая выход y ( t ) системы y (t ) u (t ) как ее реакцию на входы x (t ) v (t ) x ( t ) = {u ( t ), v ( t )} (управляемые u ( t ) и неуправляемые v ( t ) ), можно предста Рис. 8. Динамическая модель вить модель "черного ящика" как со «черного ящика»: задание процесса вокупность двух процессов (см. рис.8):

на входах и выходах системы.

Если даже считать y ( t ) результа том некоторого преобразования процесса x ( t ), т.е. y ( t ) = x ( t ), то мо дель "черного ящика" предполагает, что это преобразование неизвестно. В том случае, когда имеем модель "белого ящика" соотношение между входом и вы ходом должно быть описано. Способ описания зависит от того, что нам извест но и в какой форме можно использовать эти знания. На практике наблюдая входы и выходы системы можно восстановить функцию y = ( x ). По существу это задача о переходе от модели "черного ящика" к модели "белого ящика" по наблюдениям входов и выходов при условии безинерционности системы.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Общая математическая модель динамики Класс систем, которые можно считать безинерционными, весьма узок. Не обходимо строить математические модели систем, выход которых определяется не только значением входа в данный момент времени, но и теми значениями, которые были на входе в предыдущие моменты. В наиболее общей модели это достигается введением понятия состояния системы как некоторой внутренней характеристики, значение которой в настоящий момент времени определяет те кущее значение выходной величины. Обозначим это состояние через z ( t ). Ска занное выше означает существование такого отображения : Z T Y, что y ( t ) = t, z ( t ), t T ( 2.1) Явная зависимость от t введена для учета возможности изменения зави симости выхода от состояния с течением времени. Это отображение называется отображением выхода.

Для завершения построения модели нужно описать связь между входом и состоянием, т.е. ввести параметрическое семейство отображений µ t : Z X ( g ) Z, заданных для всех значений параметров t T, T и t. Это означает при нятие аксиомы о том, что состояние в любой момент t однозначно опреде ляется состоянием z в момент и отрезком реализации входа x ( g ) от до t :

z ( t ) = µ t z, x ( g ) = t,, z, x ( g ) ( 2.2 ) Такое отображение называется переходным отображением.

Итак, математическая модель системы, соответствующая уровню "белого ящика", — это задание множества входов, состояний и выходов, и связей меж ду ними:

( 2.3) X Z Y Конкретизируя множества X, Z, Y и отображения и, можно перейти к содержательным моделям различных систем.

Говорят о дискретных или непрерывных по времени системах в зависи мости от того, дискретно или непрерывно множество T. Далее, если множества X, Z и Y дискретной по времени системы имеет конечное число элементов, то такую систему называют конечным автоматом. Это довольно простой класс систем в том смысле, что для исследования конечных автоматов необходимы лишь методы логики и алгебры. В то же время это широкий и практически важный класс, так как в него входят все дискретные (цифровые) измеритель ные, управляющие и вычислительные устройства.

Если X, Z и Y — линейные пространства, а и — линейные операто ры, то и система называется линейной. Если к линейной системе предъявить дополнительные требования, состоящие в том, чтобы пространства имели то пологическую структуру, а отображения и были непрерывны в этой топо логии, то мы приходим к гладким системам. Не вдаваясь в математические подробности, отметим, что задание топологической структуры множества по зволяет строго определить основные понятия анализа на этом множестве, на ЛЕКЦИЯ 2. СИСТЕМЫ. МОДЕЛИ СИСТЕМ пример сходимость последовательностей на нем, а так же вводить метрику (ме ру близости между элементами пространства).

Стационарные системы. Большой интерес на практике представляют стационарные системы, т.е. системы, свойства которых не изменяются со вре менем. Стационарность означает независимость от времени t функции и ин вариантность функции к сдвигу во времени:

h t, z ( t ) = h z ( t ), t, t0, z, x ( g ) = t + 0, t0 +, z, x ( g ) где x ( g ) есть x ( g ), сдвинутое на время.

Конкретизация моделей динамических систем на этом, конечно, не закан чивается. Приведенные модели скорее всего являются просто примерами, кото рые можно рассматривать отдельно. Но на одном свойстве реальных динамиче ских систем следует остановиться. Речь идет о подчинении реальных систем принципу причинности. Согласно этому принципу, отклик системы на неко торое воздействие не может начаться раньше самого воздействия. Это усло вие, очевидное для реальных систем, совсем не автоматически выполняется в рамках их математических моделей. При этом модель, в которой нарушается принцип причинности, совсем не является "плохой", бесполезной. Примером служит модель фильтра с конечной полосой пропускания. Отклик такой систе мы на короткий импульс имеет вид sin t t, т.е. начинается в минус беско нечности. Несмотря на явное нарушение принципа причинности, такую модель широко используют в радиотехнике. Однако, как только возникает вопрос о практической реализации такого фильтра, используются различные допущения.

В связи с этим одна из проблем теории динамических систем состоит в выясне нии условий физической реализуемости теоретических моделей, т.е. конкрет ных ограничений, которые приходится накладывать на модель при соблюдении принципа причинности.

Подведем итог. Оказывается, что при всем многообразии реальных систем принципиально различных типов моделей систем очень не много: модель типа "черный ящик", модель состава, модель структуры, а также их разумные соче тания и прежде всего объединения всех трех типов моделей, т.е. структурная схема системы. Это относится как к статическим моделям, отображающим фиксированное состояние системы, так и к динамическим моделям, отобра жающим характер временных процессов, которые происходят с системой.

Все указанные типы моделей являются формальными, относящимися к любым системам и, следовательно, не относящимися ни к одной конкретной системе. Чтобы получить модель заданной системы, нужно придать формаль ной модели конкретное содержание, т.е. решить, какие аспекты реальной сис темы включать как элементы модели, а какие — нет. Этот процесс обычно не формализуем, поскольку признаки существенности не удается формализовать.

Столь же слабо формализованными являются признаки элементарности и раз граничения между подсистемами.

В силу сказанного, процесс построения содержательных моделей является процессом интеллектуальным, творческим. Тем не менее, эксперту, разрабаты ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ вающему содержательную модель, помогают формальная модель и рекоменда ции по ее наполнению конкретным содержанием.

Обсуждение вопроса о соотношении формальных и эвристических прие мов в процессе построения моделей завершим словами Р.Шэннона:

«Искусством моделирования могут овладеть те, кто обладает оригинальным мышлени ем, изобретательностью и находчивостью, равно как и глубокими знаниями систем и физи ческих явлений, которые необходимо моделировать. Не существует твердых и эффективных правил относительно того, как надо формулировать задачу в самом начале процесса модели рования, т.е. сразу после первого знакомства с ней. Не существует и магических формул для решения при построении модели таких вопросов, как выбор переменных и параметров, соот ношений, описывающих поведение системы, и ограничений, а также критериев оценки эф фективности модели. Помните, что никто не решает задачу в чистом виде, каждый оперирует моделью, которую он построил, исходя из поставленной задачи. Все эти соображения долж ны помочь читателю правильно разобраться в особенностях моделей и в некоторых вопросах искусства моделирования».

В заключении заметим, что практически любое определение понятия «мо дель», которое существует сегодня, вполне можно заменить кратким эквива лентом: модель есть системное отображение оригинала.

Лекция 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Рассмотренные на предыдущей лекции примеры свидетельствуют о том, что абстрактная характеристика данной системы может быть получена с помо щью полезных типов математического описания. Однако при этом естественно возникает вопрос: а для чего вообще нужно какое-либо математическое описа ние? Ответ на этот вопрос в значительной степени связан с нетривиальностью современных научных результатов и необходимостью уметь выделять сущест венные свойства описательных моделей. Кроме того, использование именно математического описания обусловлено следующими важными соображения ми:

— Компактность. Словесное (или вербальное) описание системы (или процесса), как правило, представляет собой нагромождение нечетких высказы ваний, которые лишь затуманивают существо дела. Избавиться от таких нечет ких и не до конца продуманных соображений помогает компактная математи ческая символика. Математическое описание дает нам аналог знакомой карти ны и оказывается информативнее любого словесного описания.

— Ясность. Использование математического описания позволяет каждому аспекту изучаемого процесса поставить в соответствие определенный матема тический символ, в результате чего становится нагляднее взаимосвязь, сущест вующая между различными параметрами процесса. Более того, подобное со поставление позволяет гораздо проще, чем словесное описание, установить, не были ли упущены какие-либо существенные переменные, или, напротив, не были ли внесены какие-либо дополнительные несущественные сложности при построении описания.

— Возможность численного анализа. Как только сделан выбор какого либо математического описания, последнее "начинает жить" собственной жиз нью, более или менее независимой от самого исследуемого процесса. Другими словами, математическим описанием можно манипулировать в соответствии с обычными законами логики в надежде получить нетривиальное представление о самой системе. Кроме того, математическая модель дает основу для числен ного анализа, с помощью которого могут быть получены данные не только опи сательного, но и прогностического характера.

Рассмотрим кратко некоторые типы математического описания, которые чаще других используются в математических конструкциях больших систем.

Внутреннее описание Со времен Ньютона динамические процессы описывали на языке диффе ренциальных или разностных уравнений, т.е. в терминах некоторых естествен но выбранных переменных, таких как положение, температура, скорость и т.д.

В общем виде такое описание может быть представлено как dz dt = f z ( t ), x ( t ), t, z ( 0 ) = z0, y ( t ) = h z ( t ), x ( t ), t, где z ( t ) — n-мерный вектор, компоненты которого описывают состояние сис темы в момент времени t ;

y ( t ) — p-мерный вектор наблюдаемых выходов сис ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ темы;

x ( t ) — m-мерный вектор входов системы и z0 — начальное состояние системы.

В дискретном времени динамика системы может быть описана с помощью разностных соотношений z ( k + 1) = F z ( k ), x ( k ), k, z ( 0 ) = z0, y ( k ) = H z ( k ), x ( k ), k.

Наиболее важным свойством такого описания является то, что оно дает нам представление о поведении системы в некоторой локальной окрестности текущего состояния. При этом неявно предполагается, что локальная информа ция может быть каким-то образом "собрана воедино", что позволит понять гло бальное (во времени или пространстве) поведение системы. Такой подход ока зался достаточно обоснованным для анализа многих физических и технических задач. Простые примеры локального описания можно найти в элементарной физике. Известно, например, что колебательное движение груза (маятника) единичной массы, подвешенного на нерастяжимой и невесомой нити единич ной длины, описывается уравнением d 2 z dt 2 + a dz dt + sin z = x ( t ) ( 3.1) где a — коэффициент трения, x ( t ) — внешняя сила, действующая на груз, z ( t ) — отклонение груза от положения равновесия.

Таким образом, уравнение (3.1) описывает мгновенное изменение положе ния и скорости маятника как функцию его текущего состояния (положения) и скорости. Мы имеем локальное описание в координатах «положение-скорость», что характерно для всех описаний динамических процессов на языке диффе ренциальных или разностных уравнений.

Интересно отметить, что математические описания такого типа начали ис пользовать только со времен Ньютона. Галилей высказал точку зрения, которая впоследствии была обоснована Ньютоном: целое объясняется свойствами его элементарных (локальных) составляющих, так называемый «редуционистский»

подход. До этого на протяжении многих столетий при описании физических процессов господствовали взгляды Аристотеля, согласно которым важность целого превыше важности его составляющих. Другими словами, значимость элементов, составляющих некоторое множество, трактовалась через значимость самого множества как целого, так называемый «холистский» подход. Слож ность современной жизни, проявляющаяся в политике, экономике, социологии стимулирует возрождение интереса к Система холистским теориям.

Внешнее описание Внутреннее Тип математического описания, с Входы описание Выходы которым чаще всего приходится системы иметь дело ученому Внешнее описание экспериментатору, — это связь «вход системы выход». Во многих отношениях такое описание диаметрально противопо Рис. 9. Внешнее и внутреннее ложно частному, локальному описа описание системы нию, поскольку оно не содержит де ЛЕКЦИЯ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ талей и единственным доступным источником информации является законо мерность (отображение), связывающая выходы системы с ее входами. При этом ничего не известно о внутреннем механизме преобразования входов в выходы.


По этой причине связь вход-выход часто называют «внешним описанием» сис темы в отличие от «внутреннего» (или локального) описания (см. рис.9).

Внутреннее и внешнее описания позволяют рассматривать систему как устройство, образующее входы и выходы в соответствии с правилами, опреде ленными внутренним описанием. Иными словами, система является инфор мационным процессом в некотором обобщенном смысле. Очевидно, что внут реннее описание говорит нам гораздо больше о способе действия системы, по скольку каждое такое описание порождает внешнее описание. Тем не менее, построение модели системы часто связано с решением диаметрально противо положного вопроса: может ли внутренняя модель «объяснить» каждое внешнее описание? Ответом на этот вопрос по существу является решение так называе мой «задачи реализации», которая представляет собой один из важнейших ас пектов теории систем.

Наиболее "сырая" возможная ситуация, при которой возникает необходи мость в описании типа «вход-выход», имеет место, когда мы располагаем всего лишь таблицей элементов (часто чисел), характеризующих реакцию (выходы) системы на различные внешние воздействия (входы). В этом случае внешнее описание системы эквивалентно отображению f : X Y, где через X обозначено множество возможных входов, а через Y множество возможных выходов системы. Как отмечалось во многих задачах (в частности, психологии, экономики и общественных наук) множества X и Y представляют собой конечный набор элементов, связь между которыми описывается с помо щью функции f.

Пример. Предположим, что эксперт, изучающий "черный" ящик не имеет ни малейшего представления ни о его природе, ни о его содержимом. Вместе с тем эксперт может производить над ним некоторые действия (входы) и наблю дать их результаты (выходы). Предположим для определенности, что элемен тами множества X и множества Y являются показания различных измеритель ных приборов. Тогда описание эксперимента типа «вход-выход» могло бы быть таким:

Время Вход Выход Эксперт не производит никаких Прибор издает звуковой сигнал частотой 10.05 действий 240 Гц Эксперт нажал на кнопку «А» Частота тона возросла до 480 Гц 10. Ящик нагрелся на 20°C и начал вибри Эксперт случайно нажал на кнопку 10. ровать «В»

Этот довольно тривиальный пример показывает, что входы и выходы сис темы являются функциями времени, т.е. нельзя один и тот же эксперимент про вести дважды! Единственное, что можно сделать, — это провести следующий эксперимент, который хотя и незначительно, но будет отличаться от предыду щего.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Менее тривиальный пример внешнего описания системы дает «бихевиори стская» школа психологов, для которой характерным является проведение экс перимента и запись его результатов в формате «воздействие-реакция». По мне нию представителей этой школы, такое внешнее описание системы дает макси мум информации, которую вообще можно получить о ее структуре и функцио нировании. В то же время "познавательная" школа придерживается другой точ ки зрения, утверждая, что единственно удовлетворительным описанием систе мы может быть только внутренняя модель.

Основываясь на довольно общих результатах теории систем, можно пока зать, что это спор ни о чем. Обе школы, в сущности, утверждают одно и то же, и с точки зрения теории систем эти дебаты столь же содержательны, как и дис куссия относительно того, какая сторона монеты наиболее полно отражает ее стоимость.

Описание систем с конечным числом состояний В тех случаях, когда предположение конечномерности пространства со стояний заменяется предположением о конечности числа его элементов, мы имеем дело с классом систем, анализ которых возможен с помощью чисто ал гебраических методов. Важность такой замены трудно переоценить, поскольку совокупность систем с конечным числом состояний включает все последова тельные цифровые вычислительные машины.

Математическое описание системы с конечным числом состояний включает:

- множество допустимых входов X, - множество допустимых выходов Y, - множество состояний Z, - функцию перехода : Z X Z, - функцию выхода : Z X Y, При этом предполагается, что множества X, Y и Z конечны. Это позво ляет представить описание сис Таблица 3. темы в виде = ( X, Y, Z,, ). Z1 Z2 Z В литературе такое пред- a ставление часто называют схе [ a, b, c ] матическим. 0 Как отмечалось, ограниче c b ния вычислительного характера c с неизбежностью вынуждают нас явно или неявно сводить ка [ c, a, b ] ждую системную задачу к виду, указанному выше. Поэтому не- a b обходимо тщательное изучение b и понимание алгебраической [ b, c, a ] структуры подобных "конечных" описаний, которая основывается c a ЛЕКЦИЯ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ на теории конечных полугрупп. Рассмотрение этой теории выходит за рамки настоящего курса лекций.

Пример. Пусть система состоит из симметрий вращения правильного треугольника. Тогда некоторые возможные конечные пространства состояний могут иметь вид, показанный в таблице 3. Для описания системы достаточно любого из этих пространств состоя ний, однако, только некоторые из них удобнее использовать для вычислений результата воздействия на состояние системы. Следовательно, пространство состояний вовсе не обязательно должно быть непосредственно привязано к ре альному физическому процессу. Это чисто математическая условность, введен ная для упрощения проблемы определения реакции системы на заданные внешние воздействия.

Пусть имеются два возможных отображения 1 и 2, переводящие одно состояние системы в другое и соответствующие повороту треугольника вокруг центра тяжести на 120 и 240 градусов соответственно. Результаты применения этих отображений к различным пространствам состояний можно представить в виде таблицы:

1 ( zi ) 2 ( zi ) zi [a, b, c] [c, a, b] [b, c, a] z1 [c, a, b] [b, c, a] [a, b, c] [b, c, a] [a, b, c] [c, a, b] 0 2/3 4/ z2 2/3 4/ 4/3 2/ 0 1 z3 1 2 2 0 Пространство z1 на первый взгляд излишне сложное, оказывается вполне пригодным для более сложных систем, например в случае симметрий более общего вида, где могут присутствовать отображения типа. В то же время пространства z2 и z3 не допускают очевидных обобщений на более сложные случаи с сохранением простоты вычислений.

Способ выбора конкретного пространства состояний системы называется ее координатизацией. При этом важно установить, всегда ли существует коор динатизация, которую можно считать "хорошей" с точки зрения описания по ведения системы. Ключевым моментом проблемы координатизации является алгебраическая структура модели системы в пространстве состояний.

Описание систем с помощью энтропии и потенциальной функции При изучении систем с информационно-теоретической точки зрения часто ее описание дается на языке энтропии и потенциальных функций. По аналогии с классической механикой и теорией поля можно рассматривать реакцию сис темы на внешнее воздействие как динамическое изменение состояния системы, в процессе которого она стремится минимизировать некоторую потенциальную функцию. В зависимости от конкретного вида системы и принятых допущений ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ такая динамика может быть локальной в смысле движения системы к относи тельному минимуму, ближайшему к текущему состоянию, или глобальной в смысле движения к абсолютному (глобальному) минимуму соответствующей потенциальной функции.

Описание динамического процесса на языке потенциальных функций включает следующие составляющие:

- пространство состояний (фазовое пространство) Z ;

- набор входных функций X ;

- гладкое отображение f : Z X R ;

где R есть пространство действительных чисел.

При этом предполагается, что система ведет себя так, что при фиксирован ном входе x X ее наблюдаемое состояние соответствует локальному либо глобальному минимуму потенциальной функции.

f ( z, a ) f ( z, a ) z (a) z (a) z ( a ) z ( a ) z ( a ) z (a) а) — движение к локальному минимуму;

б) — движение к глобальному минимуму;

f ( z, a ) — потенциальная функция;

z ( a ) — начальное положение системы, где a — внешний параметр. Замена параметра a на a приводит к изменению положения минимума функции f ( z, a ).

Использование потенциальной функции для описания хорошо изученных физических систем оказалось весьма удачной альтернативой внутренних опи саний. Успешное применение такого подхода в классической физике обуслов лено существованием незыблемых вариационных принципов, таких как прин ципы Гамильтона, Ферма и Даламбера. В большинстве случаев внутреннее описание физического процесса на языке потенциальных функций естествен ным образом вытекает из описания с помощью потенциальных функций в силу уравнений Гамильтона-Якоби и Эйлера-Лагранжа.

В системах, которые являются предметом изучения общественных наук, возможность использования такого описания не столь обоснована из-за слож ности применения вариационных принципов. Однако в ряде случаев при анали зе устойчивости или в теории катастроф знание точного вида потенциальной функции не является необходимым для определения важных качественных свойств системы — важен лишь сам факт ее существования.

С описанием системы на языке потенциальных функций тесно связана идея описания поведения систем с помощью энтропии. Как известно из класси ЛЕКЦИЯ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ ческой термодинамики, энтропия является мерой беспорядка, существующего в данной физической системе. Мерой упорядоченности системы является отри цательная энтропия или негэнтропия.

В основе описания динамического процесса с помощью энтропии лежит предположение о преобразовании негэнтропии входа в информацию. Это озна чает, что все замкнутые системы изменяются таким образом, что минимизиру ют изменение энтропии. Таким образом, становится очевидной связь между описанием на языке потенциальных функций и энтропии.


Чтобы показать общность описаний в терминах энтропии, перечислим ос новные аксиомы релятивистской теории информации, развитой Джюмэри для динамических процессов.

Аксиома 1. Система является частью некоторой вселенной и развива ется только постольку, поскольку она преследует некоторую цель v.

Аксиома 2. Для достижения цели v система воспринимает информацию I из окружающей среды и использует эту информацию для перестройки собст венной организации (внутренней структуры) A, в результате которой увеличи лась бы негэнтропия n, и для оказания воздействия L на окружающую среду.

Аксиома 3. (Принцип эволюции). Структурная энтропия E системы оп ределяется соотношением dE = dI n и является неубывающей функцией эволюции.

Аксиома 4. Вселенная не может наблюдать собственную эволюцию.

В силу этих аксиом уравнение состояния системы имеет вид:

f ( He, Hi,v) = 0, где H e — внешняя энтропия системы по отношению к фиксированному на блюдателю R, H i — внутренняя энтропия системы по отношению к наблю дателю R, v — цель системы с точки зрения наблюдателя R. При таком подходе к описанию системы наблюдатель (или лицо, принимающее решение) играет особую роль, причем особый упор делается на кинематический подход, основанный на аналогах преобразования Лоренца для двух наблюдателей R и R.

Анализируя уравнение состояния, можно заметить, что знание функции f позволяет вычислить структурную энтропию E c помощью соотношения, опи сывающего обмен информацией:

dI = dH e + dH i, где и — некоторые постоянные.

Пример. Одномерная динамика. Рассмотрим простую динамическую сис тему x (t ) = u (t ), где x ( t ) и u ( t ) — скалярные функции. Поскольку внешняя энтропия H e обла дает теми же свойствами, что и время t, произведем замену: t H e. Более то го, имеет смысл отождествить внутреннее состояние x с внутренней энтропией H i. Тогда динамика системы эквивалентным образом описывается уравнением ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ dH i u ( H e ) dH e = 0.

Попытаемся теперь построить функцию состояния f в соответствии с приведенным выше ее определением. Из равнения состояния следует, что f f f dH e + dH i + d = 0.

H e H i Не имея дополнительной информации о системе, можно предположить, что ее цель не меняется, и, следовательно, dv = 0. Интегрируя уравнение дина мики, получаем He f ( H i, H e, ) = H u (s)ds = 0, H eo где H e 0 — внешняя энтропия в начальный момент времени t0.

Проведенный анализ показывает, что система x = u не определена с точки зрения обмена информацией с окружающей средой. Более того, такой обмен вообще не имеет места.

Пример. Стационарная динамика. Рассмотрим систему, описываемую уравнением x (t ) = [ X (t ) ] которое способом, аналогичным рассмотренному в примере 1, можно привести к виду dH i ( H i ) dH e = Чтобы получить уравнение состояния, следует записать f f = Hi + ( He ) =1 H i f = ( Hi ) ( Hi ) = ( H e ) H e Однако эти уравнения противоречивы и уравнение динамики следует рас сматривать не как уравнение состояния, а как уравнение обмена информацией dI = dH i ( H i ) dH e = Следовательно, система не обменивается информацией с окружающей средой и развивается с постоянной структурной энтропией, что находится в со ответствии с автономным характером системы.

В целом можно сказать, что «энтропийный» подход к анализу систем ос нован на трактовке системы, как некоторого единого целого. Отсюда следует, что понять сущность системы можно, лишь изучая ее взаимодействие с окру жающей средой, т.е. с некой "вселенной".

Описание систем с помощью множеств и отношений Взгляд на систему как на единое целое можно развить, введя понятие «связь». Весь комплекс связей и их характеристик приводит к понятию «струк тура» и «сложность» системы. Рассмотрим теперь тип описания систем, кото рый оказывается особенно эффективным при таких структурных исследовани ях. Принято считать, что математическими абстракциями в основном оперирует теория множеств и отношений между их элементами. Поэтому целесообразно ЛЕКЦИЯ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ попытаться определить понятие системы в терминах этой теории. От конструк тивного определения, естественно, можно потребовать, чтобы элементы соот ветствующих множеств и связывающие их отношения определялись специфи кой конкретной системы. Тем не менее, если мы построим даже такое «специа лизированное» описание системы, оно даст весьма широкие возможности для анализа не только структуры системы, но и ее поведения в динамике.

В общем случае можно предположить, что существуют два конечных множества X и Y, элементы которых как-то связаны с системой. Это могут быть множества хищников и их жертв, множества типов автомобилей и дорог или множества предприятий службы быта и предлагаемых услуг. Для описания связи, существующей между двумя элементами ( x, y ), x X, y Y, введем на прямом произведении X и Y бинарное отношение, X Y.

Рассмотрим тривиальный пример, в котором X есть множество товаров, а Y — множество предприятий службы быта. Пусть для определенности X = { x1 ( хлеб ), x2 ( молоко ), x3 ( марки ), x4 ( обувь )} Y = { y1 ( гастроном ), y2 ( универмаг ), y3 ( банк ), y4 ( почта )} Определим отношение на прямом произведении X Y следующим об разом: отношение существует между xi и y j тогда и только тогда, когда xi можно купить в y j. В этом случае = {( x1, y1 ), ( x2, y1 ), ( x3, y4 ), ( x4, y2 )}.

Отношение удобно представить матрицей инциденций:

y1 y2 y3 y X1 1 0 0 = X2 1 0 0 0, X3 0 0 0 X4 0 1 0 причем [ ]ij = 1, если ( xi, yi ), либо 0, в противном случае С геометрической точки зрения отношение определяет симплициальный комплекс K X (Y ;

), в котором элементы множества Y рассматриваются как вершины, а элементы множества X являются симплексами. Так элемент x (хлеб) является 0-симплексом, состоящим из вершины y1 (гастроном). Если комплекс K не содержит r-симплексов ( r 3), его можно изобразить на плос кости. Для предыдущего примера множество K имеет вид y1 y2 y g g g Хотя такая геометрическая структура не представляет особого интереса, тем не менее она все же показывает, что комплекс не содержит связных компо нент и что вершина y3 (банк) не играет никакой роли в анализе комплекса K X (Y ;

).

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Определив по-другому множества X и Y и отношение, можно перейти еще к одному отношению, порождаемому. Это так называемое сопряженное отношение. Оно получается, если поменять местами множества X и Y, т.е.

Y X. Это отношение строится в соответствии с правилом: отношение существует между yi и x j тогда и только тогда, когда между x j и yi существу ет отношение.

Матрица инциденций для получается транспонированием матрицы ин циденций для, т.е. = 1. В результате получим геометрический комплекс KY ( X ;

), в котором X — множество вершин, а Y — множество симплексов.

Тогда для рассмотренного выше примера комплекс KY ( X ;

) имеет вид x1 x2 x3 x который конечно же более содержателен, чем полностью несвязная структура K X (Y ;

) : вершины x1 (хлеб) и x2 (молоко) связаны 1-симплексом (гастроном).

Продемонстрируем общность описания систем на языке множеств и би нарных отношений еще на одном примере.

Пример. Шахматы. Чемпион мира по шахматам Эммануил Ласкер как то заметил: "Если из 64 клеток шахматной доски вы контролируете 33, то пре имущество на вашей стороне". Для нас данное высказывание представляет осо бый интерес, так как оно свидетельствует о том, что главное для шахматиста — это «стратегическое» содержание игры, которое мы можем выразить непосред ственно в виде отношения между множеством фигур и множеством клеток шахматной доски.

Рассмотрим два отношения W и B, где W определяет связь между бе лыми фигурами и клетками доски, а B — та же связь для черных фигур.

Определим множества X и Y как X = {фигуры} X = {QR, QN, QB, Q, K, KB, KN, KR, QRP, QNP, QBP, QP, KP, KBP, KNP, KRP}, Y = {клетки}.

Мы здесь использовали стандартные международные обозначения для фи гур: король — K, ферзь — Q, слон — B, конь — N, ладья — R, пешка — P.

При этом предполагается, что клетки доски также упорядочены соответствую щим образом. Имеются в виду также следующие обозначения: буква Q в двух буквенных символах означает ферзевый фланг, а K — королевский. Средняя буква в трехбуквенных символах (для пешек) обозначает фигуру, перед кото рой стоит данная пешка в начальной позиции.

Пусть заданы xi и y j ;

определим отношение W следующим образом:

( x, y ) тогда и только тогда, когда фигура xi атакует клетку y j. Под тер i j W мином «атакует» понимается одна из следующих ситуаций:

ЛЕКЦИЯ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ - Если ход белых и если фигура xi не пешка и не король, то ход xi y j — пра вильный (разрешенный) ход.

- Если фигура xi пешка, то клетка y j находится под боем со стороны фигуры xi - Если клетка y j занята белой фигурой, то фигура xi защищает эту фигуру.

- Если фигура xi — белый король, то клетка y j является соседней клеткой по отношению к клетке, занимаемой фигурой xi.

- Если клетка y j занята черной фигурой (но не королем) и если ход белых, то взятие данной черной фигуры фигурой xi — правильный ход.

- Черный король занимает клетку y j и находится под шахом фигуры xi.

Аналогично определяется отношение B.

Отметим, что W зависит от состояния игры (от расположения фигур на доске и от того, чей ход).

На этом рассмотрения настоящего примера заканчивается. Слушателю предоставляется возможность самостоятельно построить матрицы инциденций W и B.

Внимательный слушатель, несомненно, заметил некоторое сходство между теоретико-множественным описанием системы и более привычным описанием в терминах теории графов на языке узлов и дуг (или вершин и ребер). По суще ству, данное выше определение совпадает с описанием на языке теории графов, если определить X, Y как множества вершин, соединенных ребрами в соот ветствии с отношением. Хотя при таком переходе в значительной степени утрачивается его гибкость, так при этом исчезает (в лучшем случае затушевы вается) универсальность отношения, введенное при теоретико множественном описании.

Для теории систем наиболее существенным является описание динамики систем. Поэтому, чтобы понять, каким образом динамические переходы учиты ваются при теоретико-множественном описании системы, введем понятие «об раз». Вообще говоря, образ есть отображение, которое каждому симплексу из комплекса ставит в соответствие определенное число, т.е.

: i k, где i — симплекс из K, а k — определенная система чисел (действительных, целых и т.д.). Поскольку каждый симплекс из K обладает некоторой геометри ческой размерностью, которая определяется числом его вершин, то образ является ранжированным образом = 0 1... N, где N = dim K — размерность наибольшего симплекса из комплекса K. Здесь каждое i является отображением, определенным только на множестве i мерных симплексов из K.

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПИСАНИЕ СИСТЕМ Поясним понятие образа на примере «хищник-жертва». Напомним, что мы ввели два множества X — множество жертв и Y — множество хищников с матрицей инциденций:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x y1 1 1 1 1 0 0 0 y2 1 0 1 0 0 0 0 = y3 0 0 0 0 1 1 0 y4 0 1 0 0 1 0 1 y5 0 0 0 0 0 0 1 y6 0 1 0 0 1 0 0 Таким образом, y1 (люди) — это 3-симплекс, y4 (птицы) — 3-симплекс и т.д.

Образ при этом ставит в соответствие каждому симплексу некоторое число, скажем численность популяции в данный момент. Поскольку симплексы ранжированы по их размерности, то и i также ранжированы, поэтому в каж дый момент:

0 : { y5 (рыбы)} — численность рыб — численность львов { y2 (львы)} 1 : { y3 (слоны)} — численность слонов — численность лошадей { y6 (лошади)} 2 : — пусто 3 : { y1 (люди)} — численность народонаселения — численность птиц { y4 (птицы)} Полный образ для данной экосистемы имеет вид = 0 1 Динамику системы можно теперь описать изменениями образа в каж дый момент времени.

Часть 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ Лекция 4. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В предыдущем разделе мы рассмотрели некоторые основные способы опи сания систем и их взаимодействия с человеком и окружающей средой. Вообще говоря, математическое описание позволяет выделить важные свойства рас сматриваемой системы и формально определить взаимосвязи между ее различ ными компонентами. Поскольку использование тех или иных математических абстракций, которыми оперирует теория систем, зависит от поставленной зада чи, то мы рассмотрим различные вопросы, такие как глобальные свойства сис тем, идентификация, оптимизация систем, стохастические процессы, управляе мые динамические системы (процессы) и т.д. Их изучение дает важные систем но-теоретические результаты и на них в определенной степени, базируется из ложение многих основных проблем теории больших систем.

Глобальные свойства системы. В настоящее время существенно увеличилось число проблем, реше- x ние которых не может быть получено редукционист- l = скими методами, что, в свою очередь, возродило инте рес к изучению и развитию холистских (или глобаль m = ных) подходов.

Для иллюстрации фундаментального различия Рис. 11. Математический между локальным и глобальным описанием системы маятник рассмотрим простой пример — математический маят ник.

Если отклонение маятника от вертикали обозначим через x ( t ), то в ло кальной окрестности любого такого положения можно записать динамические уравнения движения d 2 x dt 2 + sin x = 0, x ( 0 ) = x0, x ( 0 ) = в безразмерных единицах. Это уравнение описывает локальное поведение ма ятника в (бесконечно малой) окрестности положения x ( t ). Редукционист попы тался бы "склеить" подобные локальные описания для последовательных точек в надежде достичь понимания глобального поведения. Иногда такой подход оказывается успешным, однако, непредвиденные проблемы, возникающие при его использовании, существенно снижают его эффективность.

Холист, приступая к решению этой же задачи, прежде всего заметил бы, что должны соблюдаться определенные глобальные свойства системы, и по этому любое локальное поведение должно удовлетворять ограничениям, нала гаемым глобальными свойствами. Если к тому же эти ограничения достаточно жестки, то можно ожидать, что любые локальные движения ими определяются однозначно.

В случае движения маятника эти глобальные ограничения определяются принципом Гамильтона-Якоби, согласно которому, глобальное движение сис темы соответствует минимуму полной энергии системы. Вводя гамильтониан ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ H = Кинетическая энергия + Потенциальная энергия видим, что движение системы должно быть таким, что гамильтониан dx 1 dx H x, = + 1 cos x dt 2 dt достигает минимума. Это уравнение, очевидно, может быть сведено к уравне нию движения маятника, приведенному выше. Другими словами, локальные уравнения движения могут быть получены как следствие глобального принци па, а не выведены на основе рассуждений локального характера и использова ния второго закона Ньютона. С концептуальной точки зрения такое различие является фундаментальным.

В качестве еще одного примера использования глобального подхода для решения системных задач рассмотрим ситуацию с заторами на транспортной магистрали. Учитывая наличие множества факторов, влияющих на дорожную ситуацию, можно попытаться склеить локальные ситуации, полученные мето дом Монте-Карло или методами теории очередей и т.д. Такой подход позволяет выявить множество деталей, однако в большинстве случаев остается неясным, как можно использовать полученные результаты для анализа других дорожных ситуаций. Холистский подход в этом случае предполагает использование мето дов статистической физики. Можно описать подобную ситуацию одним урав нением, пренебрегая дистанцией между машинами, причинами заторов и т.д.

Главным для него было бы значение параметра q — плотности потока машин (число машин в час на километр пути). Время TA (минуты), необходимые для преодоления 1 км дороги, можно представить как сумму двух слагаемых TA = TA 0 + kn A, где TA 0 — время, необходимое для преодоления участка дороги длиной A = без учета помех со стороны других машин ( q = 0, TA 0 = 0,5 мин км соответст вует скорости свободного движения 120 км/час);

knA — дополнительное время, необходимое для преодоления участка A = 1 км, пропорциональное числу ма шин n A, находящихся на участке A в течение времени TA (т.е. задержка в усло виях заторов является линейной функцией числа торможений и ускорений, или числа n A машин, участвующих в движении). Число n A является произведением плотности потока машин (транспорта) q и длительности периода времени TA :

n A = qTA 60.

Учитывая предыдущие соотношения, получаем TA TA = 1 kq ЛЕКЦИЯ 4. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Функция TA = f ( q ) является выпуклой: каждая дополнительная машина, приводящая к росту TA, мин плотности потока q, не только задерживается на участке А, но и является 1, причиной задержки дру 1, гих машин. При значени ях TA = 0,5 и k = 0, 1, имеется хорошее согла сие между кривой и экс- 1, периментальными дан ными (см.рис. 12). 0, Полученное уравне ние дает значение для q, маш час плотности потока q, ле- 600 800 1000 1200 1400 жащие гораздо ниже тео- Рис. 12. Задержки, вызванные транспортными ретического значения заторами q = 2,255 маш час, соот ветствующей "параличу дороги". Таким образом, глобальный (а не локальный) подход позволяет построить содержательную модель временных задержек в транспортной магистрали с заторами.

Для систем, рассматриваемых в социально-экономических приложениях, не существует подобных общих законов (по крайней мере, сегодня). В таком случае мы вынуждены ограничиться рассмотрением ряда локальных свойств системы и методов работы с ними, рассчитывая на то, что освещение различ ных аспектов задачи поможет понять ее структуру в целом.

Идентификация систем. Начальный этап построения математической мо дели данной системы состоит в идентификации существенных переменных и их взаимосвязей. В зависимости от конкретного типа выбранного математического описания идентификация может включать:

§ определение размерности пространства состояний;

§ описание внутренней динамики системы и содержательных связей меж ду множествами объектов;

§ распределение вероятностей для случайных воздействий.

Поскольку идентификация зависит от типа математического описания, ко торое в свою очередь зависит от того, насколько удачно проведена идентифи кация, то процесс построения модели является итерационным;

сначала выби рают математическое описание, которое затем модифицируют в зависимости от результатов идентификации, что приводит к новому описанию, и процесс по вторяют.

Наиболее глубоко разработанной проблемой идентификации систем явля ется задача построения внутреннего описания линейного отображения вход выход с постоянными коэффициентами. Для простоты изложения предполо жим, что данная система развивается в дискретном времени с начальным со ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ стоянием x0 = 0 соответствующим начальному моменту времени t0 = 0. Можно показать, что вход u ( t ) и выход y ( t ) системы связаны следующим соотноше нием A u ( ), y (t ) = t t где все матрицы { Ai } имеют размер p m. Тогда описание типа «вход-выход»

системы определяется последовательностью матриц { A1, A2,...}. Если внут реннее описание системы, заданное соотношениями x ( t + 1) = F ( x ) + G u ( t ) y (t ) = H x (t ) согласуется с приведенным выше внешним описанием, то связь между матри цами F, G, H и { Aj } имеет вид ( 4.1) At = H F t 1 G, t = 0,1, 2,...



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.