авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ А. А. БЕЛЫЙ РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ МИНСК ...»

-- [ Страница 2 ] --

Задача реализации для линейных динамических систем состоит в отыска нии матриц F, G и H соответственно размером n n, n m, p m, удовле творяющих соотношению (4.1) и таких, что размерность внутреннего простран ства состояний n минимальна. Иными словами, задача состоит в построении по возможности более компактной модели, согласующейся с наблюдаемыми дан ными.

Существуют «хорошие» алгоритмы решения задачи реализации, если справедливо следующие предложение: последовательность { Ai } обладает конечномерной реализацией. Для нелинейных отображений «вход-выход» об щего вида подобных отработанных алгоритмов не существует, несмотря на по пытки решения отдельных классов задач с некоторой линейной или алгебраи ческой структурой.

В отличие от наиболее общих задач идентификации (типа от внешнего описания к внутреннему), так называемые задачи идентификации параметров исследовались более интенсивно. Эти задачи обычно возникают, когда имеется твердая уверенность в правильности определения внутренней структуры систе мы и невыясненными остаются только численные значения некоторых пара метров.

Предположим, что динамика системы описывается дифференциальным (или разностным) уравнением dx dt = f ( x, u, a ), y ( t ) = h ( x, a ) где a — вектор неизвестных параметров, которые следует определить, основы ваясь на значении наблюдаемого выхода системы y ( t ). В некоторых случаях входная функция u ( t ) выбирается таким образом, чтобы усилить влияние неиз вестных параметров. Подчеркнем, что в данной ситуации существенным явля ется предположение, что функции f и h, описывающие структуру системы, ЛЕКЦИЯ 4. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ известны, хотя относительно их линейности никаких предположений не делает ся.

В качестве иллюстрации задач этого класса рассмотрим задачу о динамике численности некоторой биологической популяции, описание которой может быть получено с помощью следующих логистических уравнений:

dx dt = rx {1 x K } Ex, x ( 0 ) = x Здесь x ( t ) — численность популяции в момент времени t, r — удельная скорость ее роста в отсутствии лимитирования, K — константа, характери зующая предельные трофические возможности среды обитания (уровень насы щения численности), и E — коэффициент интенсивности изъятия особей из популяции.

Предположим, что имеется возможность измерения численности популя ции в каждый момент времени, т.е.

y (t ) = x (t ), но численное значение параметра K неизвестно. В этом случае задача иденти фикации параметров состоит в определении K на основе измерения численно сти популяции:

r x K= (dx / dt ) + ( E r ) x для всех t 0. Таким образом, для определения параметра K достаточно знать (наблюдать) y ( t ) на любом интервале времени. Однако в более реальных си туациях, когда имеется лишь конечное число значений y ( t ), приходится ис пользовать различные приближенные методы.

Обобщение этой задачи с учетом неопределенности в измерении x ( t ), на личия различных видов в биологической популяции и т.д. представляют собой достаточно сложные в математическом плане задачи.

Задачи идентификации систем, описываемых с применением более общего аппарата, например, потенциальных функций или теоретико-множественных отношений, пока еще слабо изучены. В отличие от внутреннего или внешнего описания на языке дифференциальных уравнений описания данного типа в го раздо большей степени зависят от того, как сам исследователь представляет се бе существо изучаемого процесса. Поэтому в этом случае решение задачи иден тификации — больше искусство, чем наука, и состоит в основном в выделении таких множеств и отношений, которые приводят к содержательным результа там.

Ограничения. Системный анализ, как и политика, — прежде всего искус ство действовать в пределах "возможного". Рассматривая математическую формулировку той или иной задачи, исследователь (или лицо, принимающее решение) должен полностью представлять те внутренние и внешние факторы, которые могут ограничить его выбор стратегий управления. Различные обстоя тельства, связанные с объемом имеющихся ресурсов, способом, который необ ходимо удовлетворить, имеющейся технологией, наличием и возможностями ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ ЭВМ, людскими ресурсами, бюджетом времени и т.д., резко сужают круг воз можностей, доступных исследователю.

Выделим два принципиально различных типа ограничений:

- внутренние — ограничения, налагаемые структурой самой системы;

- внешние — ограничения, налагаемые на поведение системы внешними факторами. Рассмотрим эти ограничения несколько подробнее.

Внутренние ограничения возникают вследствие определенной ограничен ности возможностей измерять характеристики состояния системы и управлять течением процесса, т.е. они ограничивают взаимодействие системы с внешним миром. Вообще говоря, ограничения этого типа наиболее четко видны тогда, когда для внутреннего описания используют дифференциальные или разност ные уравнения. Для иллюстрации понятия «внутренние ограничения» рассмот рим пример из области биомедицины.

Пример. Фармакокинетика. Предположим, что пациент, страдающий за болеванием сердца, получает дигитоксин, который в результате процесса обме на веществ превращается в дигоксин. Поскольку последний имеет возможность накапливаться в организме, что в результате может привести к летальному ис ходу, то очень важно уметь точно определять его содержание в организме, прежде чем пациент примет очередную порцию дигитоксина. Многокомпо нентная модель, используемая для k описания кинетики и превращений X Y дигитоксина, изображена на k1 k4 k3 k рис.13.

Обычно принято считать, что S1 S3 S2 S если в организм вводится некото рая доза дигитоксина, то примерно Рис. 13 Многокомпонентная структура 92% этой дозы немедленно разно процесса обмена веществ сится по организму и около 85% от оставшихся 8% сразу превращается X содержание дигитоксина в организме, в дигоксин. Предполагается, что Y содержание дигоксина, динамика концентрации лекарств S1 и S2 мочевые выделения, S и S 4 немочевые выделения, X и Y может быть описана сле- k 3 коэффициенты диффузии, i = 1, 2,...,5.

дующим образом: i dX dt = ( k1 + k 2 + k 4 ) X, dY dt = k2 X ( k3 + k5 ) Y, dS1 dt = k1 X, dS 2 dt = k3 Y, dS3 dt = k4 X, dS 4 dt = k5 Y.

Начальные условия имеют вид ( D — введенная доза дигитоксина):

X ( 0 ) = 0,92 D, Y ( 0 ) = 0,85 0,08 D, S1 ( 0 ) = S2 ( 0 ) = S3 ( 0 ) = S4 ( 0 ) = 0.

Содержание дигитоксина и дигоксина можно измерить только в мочевых выделениях. Тогда выход системы имеет вид ЛЕКЦИЯ 4. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ y1 ( t ) = S1 ( t ), y2 ( t ) = S 2 ( t ).

Именно это весьма реалистическое с практической точки зрения ограниче ние и является тем, что называется внутренним ограничением системы. В силу этого ограничения не все внутренние переменные системы доступны для непо средственного измерения.

Имея в виду основную задачу, стоящую перед врачом, необходимо знать, достаточны ли измерения переменных y1 и y2 для определения неизвестной начальной дозы лекарства D. Эта задача является так называемой задачей на блюдаемости, обсуждение которой выходит за рамки настоящего примера.

Внешние ограничения имеют качественно иной характер. Как отмечалось выше, они обусловлены не физическими или структурными ограничениями са мого процесса, а "произволом" лица, принимающего решения, которое является "внешним" по отношению к системе. Вообще говоря, эти ограничения связаны с такими обстоятельствами, как ограниченность имеющихся ресурсов и произ водственных мощностей, наличие заданного спроса и т.д.

Существенным моментом здесь является то, что эти ограничения налага ются извне и не имеют никакого отношения к математическим ограничениям, содержащимся в самой модели. Типичные примеры внешних ограничений со держатся в задачах экономического управления, где требуется определить со ответствующее распределение фиксированных финансовых средств для дости жения определенных целей. Возьмем, к примеру, сотрудника некоторой компа нии, ответственного за рекламу ее продукции. Бюджет, который компания вы делила на рекламные цели, составляем M долларов. Это значит, что сотрудник может истратить M долларов на размещение рекламных объявлений, скажем, в газетах, журналах, на телевидении, радио и рекламных афишах. Предположим, что вложение xi долларов в i-тый способ рекламы (i — газеты, журналы и т.д.) приводит к сбыту партии объема fi ( xi ), причем функции f i считаются извест ными. Поскольку компания заинтересована в максимизации сбыта, рекламода тель сталкивается с решением задачи максимизации B fi ( xi ) по всем распределениям A { xгаз, xжурн, xрад, xтв, xаф } x при внешнем ограничении земля а) xi M. B Следовательно, внешнее ограничение возникло из-за ограниченности бюджета, а не из-за образа взаимодействия A системы с внешним миром.

В качестве другого примера внешнего ограничения рас- x земля смотрим задачу о пилоте, которому необходимо пролететь б) из пункта A в пункт B за минимальное время. В зависимо сти от характеристик самолета и других предположений, ма- Рис. 14. Траектория полета самолета тематическое решение этой задачи может привести к опти ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ мальной траектории, показанной на рис.14б. Очевидно, что такое решение не учитывает реальных ограничений, имеющихся в этой ситуации, которые долж ны быть наложены извне с тем, чтобы сделать задачу осмысленной с физиче ской точки зрения. Надлежащее внешнее ограничение ( y 0 ) привело бы толь ко к оптимальной траектории, представленной на рис.14а.

Оптимизация. Одна из наиболее злободневных проблем анализа систем, рассматриваемых в социально-экономических задачах, — это проблема выбора критерия, т.е. вопрос о том, каким образом следует сравнивать между собой различные реализации поведения систем. К счастью, динамические процессы, наблюдаемые в физических и биологических системах, часто протекают по вполне определенным законам, которые, как правило, являются следствием различных принципов минимума или законами сохранения. Однако перенос этих законов на объекты социальной природы в лучшем случае носит искусст венных характер и, более того, часто просто невозможен. Поскольку цель на шего курса состоит в изучении структуры систем независимо от вопросов оп тимизации, можно позволить себе роскошь оставить в стороне проблему выбо ра критерия. Тем не менее, для того, чтобы продемонстрировать значимость этой проблемы, рассмотрим простой пример, иллюстрирующий ситуацию, ко гда выбор различных критериев приводит к качественно различным стратегиям управления.

Предположим, что динамика системы описывается одномерным линейным дифференциальным уравнением dx dt = u ( t ), x ( 0 ) = c, где u ( t ) — вход, или функция управления. Предположим, далее, что доступные резервы управления ограничены следующим образом:

u ( t ) 1, для всех t Подобная ситуация возникает, например, при управлении автомобилем, и тогда функция u ( t ) есть скорость движения.

Одним из критериев для данного процесса может быть перевод системы из начального состояния c в некоторое заданное состояние, например, x = 0 за минимальное время. Хорошо известно, что решение этой задачи имеет вид { c u ( t ) = 1, 1, c т.е. релейное управление является оптимальным. Предположим теперь, что мы стремимся минимизировать квадратичный функционал вида T J = ( x 2 + u 2 ) dt Можно показать, что в этом случае оптимальный закон управления имеет вид u ( t ) = th (T t ) x ( t ), и он может быть реализован в виде обратной связи или синтеза.

ЛЕКЦИЯ 4. ОСНОВНЫЕ СИСТЕМНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Полученные результаты показывают, что изменение критерия качественно меняет характер решения. В первом случае мы имеем экстремальные управле ния, переключающиеся с одной границы на другую в зависимости от начально го состояния. Во втором случае оптимальный закон управления строится по хо ду развития самого процесса и не имеет никаких точек разрыва. Важно отме тить, что, хотя динамика системы остается неизменной, выбор иного критерия приводит к качественному изменению оптимального управления.

Управляемы и неуправляемые динамические системы. Первые шаги, положившие начало развитию системного анализа, были сделаны античными астрономами. Не обладая средствами, с помощью которых можно было бы вли ять на динамику изучаемых систем, они были вынуждены ограничить свой ана лиз лишь наблюдением, классификацией и возможно синтезом. Другими сло вами, их роль была пассивной: наблюдать. В аналогичном положении находят ся современные исследователи, работающие, например, в области астрофизики.

Они пока еще также вынуждены ограничиться только наблюдениями каких-то процессов, не имея возможности ими управлять.

В то же время, современный исследователь призван играть активную роль в развитии наблюдаемого процесса, поскольку именно он генерирует соответ ствующие внешние воздействия, гарантирующие удовлетворительное поведе ние системы. Разумеется, при таком подходе активного вмешательства возни кает множество проблем психологического и морального характера. Подобное разделение на активную и пассивную или управляемую и неуправляемую дина мику позволяет наиболее наглядно выявить отличие классического и современ ного взглядов на системный анализ.

“Кибернетический” или управленческий подход неизбежно приводит к изменению входов системы в зависимости от наблюдаемых ее выходов. При этом преследуется цель превратить некоторую первоначально независимую переменную в частично зависимую так, чтобы поведение системы в определен ном смысле приближалось к некоторой стандартной (или желаемой) траекто рии. Такой процесс может оказаться более сложным, если имеется еще и обрат ное преобразование. Подобная ситуация типична для имитационного модели рования развивающихся систем. Обратное преобразование заключается в изме нении и перестройке поведения системы по измеряемому выходу и является основой кибернетического регулирования и управления.

Стохастические системы. Несмотря на то, что основная направленность данного курса лекций такова, что не возникает необходимости в подробном об суждении вопросов, связанных с неопределенностью, тем не менее, следует иметь в виду, что при анализе большинства реальных системных задач практи чески ничего не известно достоверно. Независимо от выбранного математиче ского описания, неопределенности будут присутствовать в динамике, целях, ограничениях и т.п. При благоприятном стечении обстоятельств для неопреде ленных переменных будут известны с определенной достоверностью распреде ления вероятностей. Однако довольно часто неизвестны заранее даже распре деления вероятностей, поэтому возникает адаптивная ситуация. В любом слу ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ чае нельзя считать анализ законченным без тщательного исследования неопре деленностей, присущих выбранной модели.

В дальнейшем будем придерживаться довольно смелого предположения, что всеми неопределенными эффектами можно пренебречь, т.е. будем считать, что передаточные функции, динамика состояний и т.д. известны достоверно.

Такое допущение, естественно, должно быть оправдано полученными результа тами, что мы и попытаемся продемонстрировать в каждом отдельном случае.

Лекция 5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ Системно-теоретические построения "покоятся" на трех китах: связность, сложность и устойчивость. Попытаемся наглядно продемонстрировать важ ность этих представлений для понимания структуры и динамического поведе ния системы. В этой связи наша цель состоит в том, чтобы каталогизировать некоторые наиболее перспективные направления, включая вопросы связности, сложности и устойчивости.

Связность Структурная связность системы является, по-видимому, наиболее сущест венной ее качественной характеристикой. Кажется очевидным, что с исчезно вением структурной связности исчезнет и сама система, поскольку само поня тие системы подразумевает наличие "чего-то", находящегося в некотором от ношении (или как-то связанного) с "чем-то".

Анализ задачи построения математического описания связности может быть осуществлен с помощью различных подходов, причем наиболее удачные из них построены на использовании теории графов и алгебраической (комбина торной) топологии. Это является вполне закономерным, поскольку вопрос о ха рактере связности "простейших элементов" единого целого интересует алгебру в гораздо большей степени, чем любую другую математическую дисциплину.

Сущность исследования связности состоит в том, чтобы осознать и уяснить се бе те математические конструкции, которые описывают характер связи между отдельными компонентами системы.

Связность и графы. Если вообразить некоторую систему, в которой можно выделить n различных компонент (подсистем), то можно попытаться изобразить структуру (связную) графом: n вершин изображают n подсистем системы, а дуга, соединяющая подсистемы i и j, показывает, что эти две под системы находятся в некотором отношении или как-то связаны между собой.

Например, j -я подсистема может генерировать входы для i-й подсистемы, а i-я управлять j -й и т.д. Эту схему, естественно, можно развить. Так, например, можно ввести ориентацию на дугах и образовать ориентированный граф (орг раф). Такое представление системы позволит изучать ситуации, когда i-я сис тема влияет на j -ю, но не наоборот. Кроме того, можно учесть силу связности, сопоставив каждой направленной дуге некоторое число и т.д. Все это в конеч ном счете позволяет определить, какие компоненты системы влияют на другие компоненты и в какой степени. По существу теоретико-графовые модели по зволяют несколько лучше понять, как можно было бы осуществить декомпози цию системы на меньшие составляющие без потери тех основных свойств, в силу которых она и является системой.

Пример. Трофические структуры и экологические ниши. Рассмотрим эко логическую структуру, состоящую из пяти видов: птиц, насекомых, трав, анти лоп и лис. Трофическая структура этого сообщества изображается орграфом ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ (рис.15), вершины которого соответствуют видам. Дуга, проведенная от i-го вида к j -му, означает, что Птицы j -й вид является жертвой i-го вида.

По данному графу мож но построить матрицу смеж ности аналогичную матрице Лисы Насекомые Травы Антилопы инциденций в теоретико множественном описании, а также ряд других показате- Рис. 15. Орграф простой экологической системы лей, характеризующих важ ные аспекты системы.

Птицы Лисы Насекомые Травы Антилопы ij Птицы 0 0 1 1 Лисы 1 0 1 0 Насекомые 0 0 0 1 Травы 0 0 0 0 Антилопы 0 0 0 1 Отметим, что некоторые из компонент (например, травы) кажутся более важными для системы в целом, чем другие (например, птицы). По-видимому, это связано с такими экологическими понятиями, как трофический уровень и борьба видов. Важно подчеркнуть, что теоретико-графовое описание позволяет непосредственно увидеть некоторые геометрические свойства матрицы смеж ности.

Как бы ни были важны и удобны теоретико-графовые методы для зритель ного анализа связности, их использование неизбежно связано с трудностями геометрического и аналитического характера, если учитывается структура са мих компонент. Из общих соображений можно ожидать, что при попытке опи сать многомерную структуру планарным графом или, более обще, графом, изо браженным на плоскости (это не одно и то же!), многое из геометрической структуры системы будет утеряно или в лучшем случае скрыто. По этой причи не обратимся к другому возможному способу анализа связности, основанному на топологических идеях.

Связность и симплициальные комплексы. Приближенно симплици альный комплекс KY ( X, ) состоит из множества вершин X и множества сим плексов Y, образованных из этих вершин в соответствии с заданным бинарным отношением. Симплициальный комплекс образован множеством симплексов Y, связанных через общие грани, т.е. через общие вершины. Например, можно положить Y = X = {птицы, лисы, насекомые, травы, антилопы}. При этом от ношение таково: симплекс yi состоит из всех вершин x j таких, что x j явля ется жертвой yi. Таким образом:

- y1 = "птицы" — 1-симплекс, состоящий из вершин "насекомые" и "травы", ЛЕКЦИЯ 5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ - y2 = "лисы" — 1-симплекс, состоящий из вершин "птицы" и "насекомые" и т.д. Отметим, что n- симплекс состоит из n + 1 вершин и его размер на единицу меньше числа вершин.

Вообще говоря, p- симплекс представляется выпуклым многогранником с вершинами в евклидовом пространстве, а комплекс KY ( X ;

) совокупностью таких многогранников в евклидовом пространстве E. Размерность наверня ка не превышает суммы размерностей всех симплексов из KY ( X ;

). Однако, поскольку многие симплексы имеют общие грани, то размерность на самом деле окажется меньше. В действительности можно показать, что если dim KY ( X ;

) = n, то = 2n + 1. Так, если dim KY ( X ;

) = 1, то можно ожидать, что трехмерного пространства Газ Электричество E 3 будет достаточно, чтобы Точка неизбежного геометрически представить пересечения произвольный комплекс раз мерности 1. Это можно про Вода иллюстрировать следующим H1 H образом. На плоскости E 2 на до соединить непересе- H кающимися линиями три дома Рис. 16. Проблема пересечения в E H 1, H 2 и H 3 с источником газа, воды и электроэнергии.

Неразрешимость поставленной Вода задачи иллюстрирует наше ут- Электричество Газ верждение. Задача графически изображена на рис. 16, а ее ре шение в E 3 показано на рис.

17.

Основываясь на геометри H ческой интуиции, можно изу- H H чать многомерную связную структуру комплекса KY ( X ;

) различными способами с при- Рис. 17. Решение проблема пересечения в E влечением алгебраических ме тодов. В связи с этим рассмотрим некоторые важные понятия.

q — связность. Это понятие связано с изучением цепочек связи, таких, что каждый симплекс в цепи имеет общую вершину с соседними симплексами, q = 0,1,2,...,dim K 1. Геометрически эти цепи содержат достаточно много ло кальной информации относительно того, каким образом симплексы, состав ляющие комплекс, связаны друг с другом.

Если представить себе, что мы можем "видеть" только в пространстве раз мерности q (скажем с помощью специальных очков), то, рассматривая ком плекс KY ( X ;

), мы увидим, что он распадается на Qq несвязанных элементов.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ Подобное геометрическое представление порождает алгебраическую теорию q- связности, позволяющую гораздо лучше понять процессы обмена информа цией внутри комплекса KY ( X ;

).

Эксцентриситет. Для того, чтобы понять каким образом отдельные сим плексы "вложены" в комплекс, вводится понятие эксцентриситета. Это понятие отражает как относительную важность данного симплекса для комплекса в це лом (через его размерность), так и его значимость как связующего звена (через максимальное число его вершин, принадлежащих также любому другому сим плексу). Другими словами, эксцентриситет позволяет увидеть и оценить, на сколько "плотно" каждый симплекс вложен в комплекс.

Образ. Как мы уже отмечали в предыдущих лекциях для описания дина мики системы необходимо ввести отображение каждого симплекса из KY ( X ;

) в соответствующее числовое поле:

: ir K, i = 0,1,...,dim K, r = 1, 2,...,card K Образ отражает динамические изменения, происходящие в комплексе со временем. Поскольку каждый симплекс обладает характеристической гео метрической размерностью, то же справедливо и для связанных с ним числен ных величин. Следует иметь в виду, что геометрическая структура налагает различные ограничения на изменение образа, т.е. на динамику системы.

Гомотопия. Вопрос о том, насколько "близким" является данный сим плекс (цепь) к другому симплексу (цепи), представляет как теоретический, так и прикладной интерес. Если ввести понятие «гомотопия», то можно получить ответ не только на этот вопрос, но и на вопрос о том, можно ли непре A A рывным преобразованием транс формировать одну цепь в другую, B не нарушая геометрии системы.

Так, например, кривые A и A на B торе (рис. 18.) являются гомотоп ными, а кривые B и B нет, по Рис.18. Гомотопия на торе.

скольку наличие "дырки" в центре не позволяет непрерывно деформировать B в B.

Аналогичные понятия могут быть введены и для комплекса KY ( X ;

) и не исключено, что они могут быть полезными при анализе его структуры.

Изложенные геометрические понятия совершенно элементарны с матема тической точки зрения. Тем не менее, они все же дают весьма подробную ин формацию, необходимую для понимания статической геометрии данного би нарного отношения и возможной динамики связной структуры.

Сложность Нет сомнения, что наиболее употребительным прилагательным в литера туре по системному анализу является "сложный". Оно же является и наименее четко определенным. Чисто интуитивно мы ощущаем, что сложная система — ЛЕКЦИЯ 5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ это такая система, статическая структура или динамическое поведение которой "непредсказуемы", "запутаны", противоречат "здравому смыслу" и т.п. Короче говоря, сложная система — это нечто весьма сложное (одна из тавтологий сис темного анализа). Тем не менее, решение проблем, возникающих в вычисли тельной технике и теории алгоритмов, требовало разработки способов количе ственного описания этого понятия. В результате целый ряд исследователей бы ли вынуждены вплотную заняться вопросами сложности.

В основном сложность связана с двумя важными свойствами системы:

- математической структурой неприводимых компонент (подсистем) - способом, которым эти компоненты связаны между собой.

Отсюда с очевидностью следует, что сложность присуща самой системе, а тот факт, что сложность все же связана с отношением между наблюдателем и на блюдаемым объектом, при такой трактовке затушевывается и отступает на вто рой план. Однако, поскольку наш курс лекций носит в большей степени ввод ный характер, мы не будем затрагивать подобных релятивистских аспектов.

Первое свойство системы допускает возможность снижения видимой сложности системы путем объединения отдельных переменных в подсистемы.

Это, например, имеет место в блок-схеме радиоприемника, где различные эле менты системы (сопротивления, транзисторы и т.д.) сгруппированы в функцио нальные блоки, такие как цепь настройки или блок питания. Естественно, при такой декомпозиции преследуется цель позволить исследователю упростить анализ системы, рассматривая ее как слабо связанную совокупность взаимодей ствующих подсистем. Следует, однако, отметить, что хотя и предполагается, что взаимодействия между подсистемами будут слабыми, из этого вовсе не следует, что они действительно окажутся пренебрежимо малыми.

Второе свойство в значительной степени отражает сущность уже обсуж давшегося понятия связности и включает такие характеристики системы, как размерность, иерархия, длина цепей связи и т.п. Кроме того, очевидно, что во просы, касающиеся динамического поведения системы, тесно связаны как со структурой отдельных элементов, так и со способом их организации.

Одним из важных аспектов понятия сложности является ее двоякая приро да. Следует различать структурную, или статическую сложность, включаю щую связность и структуру подсистем, и динамическую сложность, связанную с поведением системы во времени. Тот факт, что эти свойства могут быть срав нительно независимыми, можно проиллюстрировать на простых примерах. Так, например, обычные часы обладают высокой степенью статической сложности, однако их динамическая сложность, по существу, равна нулю, если, конечно, часы исправны. Напротив, поведение нелинейного осциллятора, описываемого уравнением Ван дер Поля, && + ( x 2 1) + x = x может быть весьма сложным в зависимости от параметра, и именно из-за этого "сложного" поведения он представляет теоретический и прикладной ин терес. Со структурной же точки зрения осциллятор Ван дер Поля вовсе не явля ется сложной системой.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ Для иллюстрации непредсказуемого поведения, по-видимому, характерно го для сложных систем, рассмотрим идеализированный линейный процесс, изображенный на рис. 19. Это чисто условный пример, поэтому и его «содер жательная» интерпретация также условна.

Dm M G E De G P E M Предположим, что гипотетическая экономическая система включает два предприятия: механическую мастерскую и электростанцию, для которых тре буются рабочие двух специальностей: механики и электрики. Оба предприятия имеют фиксированное количество рабочих мест и стремятся работать с полной занятостью. Смена персонала происходит достаточно быстро, так что полное число занятых рабочих равно ежегодному выпуску училищ. Всего имеется три училища: два небольших частных училища (механиков и электриков) и одно крупное общественное училище, готовящее равное число тех и других. Обще ственное училище готовит двух рабочих за "1$". Частные училища готовят од ного рабочего на одно вакантное рабочее место, но так как частные училища более требовательны к абитуриентам, производительность труда их выпускни ков вдвое выше, чем у выпускников общественного училища. Как следствие, работающие предприятия отдают предпочтение выпускникам частных училищ.

Поскольку правительство субсидирует данные предприятия, они принимают на работу в первую очередь всех выпускников общественных училищ. Данная си туация описывается следующими уравнениями:

M = Dm + G $ P = Dm + G + De E = G $ + De где M — число механиков, E — число электриков, P — полные производи тельные силы (в терминах производительности труда выпускников частных ЛЕКЦИЯ 5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ училищ), Dm — спрос на механиков, De — спрос на электриков, G — ежегод ный выпуск общественных училищ.

Отметим, что масштабирование уравнений несущественно, поскольку яв ления, которые мы опишем ниже, не зависят от выбранного масштаба.

Предположим, что существует возможность управлять числом механиков и электриков и производительными силами. При этом управляющими органами являются оба предприятия и правительство. Правительство управляет перемен ной P, изменяя G, мастерская управляет M через Dm, и электростанция кон тролирует E, варьируя De.

В описанной ситуации возможно следующее парадоксальное поведение.

Предположим, что на обоих предприятиях была полная занятость. Пусть прави тельство увеличивает G на единицу. Тогда предприятия в свою очередь уменьшают De и Dm на единицу, чтобы избежать превышения допустимой численности рабочих. Таким образом, изменение De и Dm приводит к умень шению P на две единицы. Итак, увеличение G на единицу приводит к умень шению P на две единицы. Этот вывод не зависит от деталей реализации стра тегий управления и определяется лишь структурой управления и целей.

Парадокс исчезает, если правительство может регулировать Dm и De, а не только G. Однако основная проблема возникает из-за влияния других управ ляющих воздействий на взаимосвязь между управляемыми ( M, P, E ) и управ ляющими ( Dm, G, De ) переменными.

Вывод, который можно сделать из анализа этого примера, состоит в том, что, казалось бы, даже в элементарных системах могут возникать совершенно неожиданные явления, если сложность взаимосвязей не изучена должным обра зом. Другой важный вывод состоит в том, что в отличие от обычных представ лений такое парадоксальное поведение вызвано вовсе не наличием нелинейно сти, стохастических эффектов и т.п., а порождается исключительно структурой системы, имеющимися связями и ограничениями, присущими компонентам системы.

Данный пример иллюстрирует еще один важный момент, присущий поня тию сложности системы, а именно различие между сложностью неуправляемой системы и сложностью управляемой системы. Грубо говоря, сложность не управляемой системы определяется совокупностью статической и динамиче ской сложности в отсутствие управления, или, более обще, процессом преобра зования, при котором полностью используется потенциал системы. Процесс преобразования, однако, может привести к возникновению неустойчивых кон фигураций. Так, например, неустойчивые конфигурации могут возникнуть из за разрыва между вычислительными потребностями системы в целом и вычис лительными возможностями составляющих ее подсистем.

Под сложностью управляемой системы понимается тот уровень сложно сти, который сопряжен с вычислениями, необходимыми для того, чтобы систе ма была полностью управляемой. В данном случае неустойчивые конфигура ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ ции могут появиться, если быстродействие некоторых подсистем недостаточно велико, чтобы вовремя реагировать на изменения входных воздействий.

Связь между этими двумя типами сложности называют эволюционной сложностью, и говорят, что система полностью сбалансирована, когда ее по тенциальные возможности используются полностью, т.е. когда сложность не управляемой и управляемой системы одинакова.

Пример. Генетическая модель Джекоба-Моно. Предположим, что функ ции клетки можно разделить на две группы: Обмен веществ M и генетическое управление G. Механизм работы клетки можно попытаться описать следую щим образом. G пытается регулировать M, воспринимая выходы M и гене рируя корректирующие входы для M (обычная обратная связь в теории регу лирования). Если G осуществляет свое воздействие сообразно со сложностью неуправляемой системы, то возникают устойчивые конфигурации и оба типа сложности совпадают. В противном же случае, т.е. когда воздействия G слиш ком слабы или чрезмерно велики, могут возникнуть различные нарушения.

В целом можно сказать, что сложность — многозначное понятие, вклю чающее как статические и динамические аспекты, так и элементы, связанные с управлением. Статическая сложность, по существу, связана со сложностью подсистем, составляющих данную систему, а динамическая включает вычисли тельные машины или микропроцессорные элементы, что объясняется необхо димостью выработки сигналов управления при наличии взаимосвязности под систем. Наконец, сложность управляемых систем, по существу, является мерой вычислительных возможностей, необходимых для реализации заданного пове дения. В идеале математическая теория сложности должна достигнуть уровня, аналогичного уровню развития теории вероятностей. В то время как вероят ность можно рассматривать как меру неопределенности в данной ситуации, сложность можно трактовать как меру понимания поведения системы.

Устойчивость К сожалению, термин «устойчивость» в высшей степени многозначен в литературе по системному анализу, будучи в постоянном употреблении для обозначения чего угодно, начиная с классической устойчивости по Ляпунову и кончая организационной жесткостью. Для всех возможных употреблений этого термина единственно общим моментом является интуитивное понимание того, что слово "устойчивый" обозначает, что нечто (может быть, система) способно реагировать на изменения в окружающей среде (например, возмущения, слу чайные помехи) и по-прежнему сохранять приблизительно то же самое поведе ние на протяжении определенного (возможно, беско нечного) периода времени. Совершенно ясно, что со столь нечетким и туманным "определением" устойчи вости всякие попытки математического анализа устой чивости заведомо безнадежны. Тем не менее, такое m «определение» создает некоторую интуитивную осно Рис. 20. Математический ву для более точных определений.

маятник Для большей ясности изложения удобно ввести ЛЕКЦИЯ 5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ две категории понятия устойчивости. Первую из них назовем «классической» и будем использовать ее для обозначения задач исследования результатов внеш них воздействий на фиксированные системы, т.е. таких задач, когда изменяется только окружающая среда, но не сама система. В качестве простого примера подобной ситуации рассмотрим классический маятник (рис. 20).

Задача формулируется следующим образом: если сместить маятник из по ложения равновесия = 0 на некоторый угол, то может ли маятник вновь вер нуться в положение = 0 за достаточно долгое, возможно бесконечное время?

Как из физических, так и из математических соображений, очевидно, что так оно и будет для всех возмущений 0.

Таким образом, = 0 является положением устойчивого равновесия (по Ляпунову). Положение = 180° есть положение неустойчивого равновесия, по скольку сколь угодно малое отклонение от него в коне концов приведет систе му в положение устойчивого равновесия. Важно отметить, что величина на чального смещения не влияет на динамику системы. Таким образом, налицо классическая ситуация, когда изменяется не структура системы, а лишь внеш няя среда.

Классическая теория устойчивости в основном изучает равновесные со стояния систем и динамику их поведения в малой окрестности этих состояний.

Для исследования таких задач разработаны весьма совершенные методы. По добные классические представления об устойчивости оказываются весьма пло дотворными в физических и технических приложениях. Что касается их приме нения к анализу систем, изучаемых биологией, экономикой и общественными науками, то оно должно быть тщательно продумано и обосновано. Дело в том, что обычный режим функционирования подобных систем, как правило, далек от равновесного. Кроме того, внешние воздействия постоянно изменяют само равновесное состояние. Короче говоря, постоянные времени таких систем на столько велики, что во многих случаях ценность классического анализа устой чивости практически незаметна.

В отличие от классического равновесного подхода, центральным элемен том современных взглядов на вопросы устойчивости является понятие струк турной устойчивости. Здесь основной задачей является выявление качествен ных изменений в траектории движения при и изменениях структуры самой сис темы. Таким образом, здесь изучается поведение данной системы по отноше нию к поведению всех "близких" к ней аналогичных систем. Если при струк турных изменениях в системе рассматриваемая система ведет себя "почти так же", как и "соседние", то говорят, что она «структурно устойчива»;

в противном случае — «структурно неустойчива». Для уточнения этого понятия необходимо четко определить, что такое "близкая" система, каков класс допустимых воз мущений и что значит "схожесть поведения". Тем не менее, основная идея ос тается прозрачной, достаточно малые изменения структурно устойчивой систе мы должны приводить к соответственно малым изменениям ее поведения.

Пример. Простой гармонический осциллятор без трения. Динамика та кой системы описывается уравнениями ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ && + C1 x + C2 x = & x x ( 0) = a x ( 0) = & Нас будет интересовать влияние параметров C1 и C2 на траекторию систе мы, причем из физических соображений ограничимся только случаями C1 0, C 0. Рассматривая траекторию осциллятора на фазовой плоскости ( X ;

X ), & легко видеть, что если C1 = 0, то все траектории являются концентрическими окружностями с радиусами a C2 и центром в & начале координат (рис. 21). X Если ввести в систему трение, то матема тически это означает, что C1 0. Если C12 4C &, то точка равновесия x = x = 0 на плоскости ( X ;

X ) есть узел (см.рис. 22а), в противном X & случае это фокус (рис. 22б).

В обоих случаях начало координат являет Рис. 21. Траектория ся положением устойчивого равновесия по от осциллятора без трения ношению к возмущениям в C1 или C2. Эта си туация резко контрастирует со случаем системы без трения ( C1 = 0 ), когда на чало координат есть центр и качественная картина поведения из меняется при сколь угодно малых измене ниях C1. Таким обра зом, при C1 0 система структурно устойчива в том смысле, что качест Рис. 22. Фазовый портрет траектории системы на венный характер поло плоскости.

жения равновесия (узел, фокус) сохраняется при малых изменениях структуры системы.

Поскольку идеи структурной устойчивости тесно связаны с поведением траекторий системы по мере приближения к ее состоянию равновесия, пред ставляет интерес рассмотреть те области пространства состояний, которые со ответствуют областям притяжения и отталкивания для данного состояния рав новесия.

Примером более сложной структурно неустойчивой системы может слу жить антисимметричная система «хищник-жертва». Предположим, что m ви дов взаимодействуют с популяцией i-го вида, численность которой N i ( t ).

Пусть ai — коэффициент рождаемости i-го вида, а ij — коэффициент, харак теризующий скорость уничтожения i-го вида j -м видом. Тогда динамика сис темы описывается уравнением Лотка-Вольтерра:

ЛЕКЦИЯ 5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ dN i ( t ) m = N i ( t ) ai ij N j ( t ) dt j = m N = ai ij j j = Нетривиальные равновесные популяции должны удовлетворять линейной системе алгебраических уравнений m Q = N i ( t ) N i log Ni ( t ) i = При неочевидном предположении, что матрица A = ij является анти симметричной, можно показать, что при смещении системы из любого равно весного состояния, ее поведение будет чисто колебательным, поскольку собст венные значения кососимметрической матрицы чисто мнимые. Следует отме тить, что данное предположение означает, что коэффициент биохимического преобразования одного грамма жертвы j -го вида одинаков для всех хищников i-го вида, т.е. этот коэффициент не зависит от вида поедаемых особей. Можно показать, что величина постоянна вдоль любой траектории системы.

Этот закон сохранения есть следствие колебательного характера поведения системы, и является аналогом закона сохранения механической энергии про стого гармонического осциллятора, рассмотренного выше. Однако, как только кососимметричность матрицы A нарушается, состояния равновесия системы становятся узлами или фокусами (устойчивыми или неустойчивыми). В этом случае введение в систему сколь угодно малых изменений нарушает качествен ный характер траекторий, поэтому данная система структурно неустойчива. Бо лее того, антисимметрические модели применимы только к системам с четным числом видов, поскольку из антисимметричности следует, что собственные значения матрицы A есть комплексно сопряженные числа. Если m нечетно, то действительное собственное значение матрицы A должно быть равным нулю, что приводит к вырожденности матрицы взаимодействий. Таким образом, дан ная система является структурно неустойчивой и в смысле вариации ее размер ности.

Катастрофы и адаптируемость. Положение равновесных состояний и соответствующих областей притяжения зависит от динамики изучаемой систе мы, поэтому важно знать, как они изменяются при небольшом изменении самой системы. Вопрос относительно того, приведет ли такое изменение к смещению данного состояния системы в другую область притяжения, представляет боль шой практический интерес, поскольку это привело бы к резким качественным изменениям в дальнейшем поведении системы. В качестве одного из инстру ментов исследования таких вопросов может быть использована теория катаст роф.

Обычно в теории катастроф предполагается, что поведением изучаемого процесса управляет некоторая потенциальная функция, локальные минимумы которой соответствуют равновесным состояниям. Очень важно иметь в виду, что при таком подходе не обязательно точно знать эту функцию — достаточно ЧАСТЬ 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СИСТЕМ признать лишь сам факт ее существования. Предположим, далее, что можно измерять значения некоторых выходных переменных, генерируемых системой в ответ на входные воздействия. В «элементарной» теории катастроф предпола гается, что все равновесные выходы фиксированы, т.е. фиксируют значения входных параметров и ждут пока не наступит равновесное состояние. Затем изменяют значения входных параметров и снова ждут и т.д. Поступая таким образом, получают поверхность равновесных состояний в пространстве выхо дов, которую можно изобразить как многозначную функцию входов. В первом приближении можно сказать, что "катастрофа" происходит тогда, когда возни кает скачкообразное изменение выходных параметров при непрерывном изме нении входов.

В заключение коснемся кратко понятия «адаптивности». Признано (в осо бенности экологами), что одним из наиболее желательных свойств системы яв ляется ее способность воспринимать внешние воздействия (ожидаемые или не ожиданные) без необратимых фатальных изменений в ее поведении. Иными словами, адаптируемость в некотором смысле является мерой жизнеспособно сти или выживаемости системы. Естественно, для формулировки этого понятия в математических терминах необходимо точно определить, какие воздействия считаются «допустимыми» и что следует понимать под «выживаемостью». Тем не менее, даже такое интуитивное описание адаптируемости показывает, что это понятие тесно связано с понятием области притяжения и со смещением этих областей под действием естественных или искусственных возмущений.

Если эти возмущения перемещают данное состояние системы в область притя жения "фатального состояния", то ясно, что система не обладает свойством адаптируемости по отношению к данному классу возмущений. В противном случае она в той или иной степени обладает этим свойством.

Часть 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ Лекция 6. СИГНАЛЫ В СИСТЕМАХ Современное понимание того, что такое информация и какую роль она иг рает в системном анализе, системах, сложилось не сразу. Оно представляет со бой совокупность знаний, полученных разными науками: физикой, биологией, философией, теорией связи и т.д.

Известно, что физика старается изучать явления природы в максимально объективной форме, т.е. не связанной с человеком и его воздействием на окру жающий мир. Однако ей (физике) не удается полностью исключить "человече ский фактор". Во-первых, при экспериментальном исследовании физических явлений невозможно обойтись без процедуры измерения ряда величин, пара метров и процессов. Во-вторых, занимаясь изучением и разработкой техниче ских (т.е. созданных человеком) устройств, физика не может обойтись без субъективного вмешательства человека. Впервые это произошло в термодина мике — науке, изучающей процессы в тепловых машинах. Оказалось, что без введения специального понятия энтропии невозможно дать исчерпывающего описания их действия. Скачок в понимании природы этой величины произо шел, когда Л.Больцман дал ей статистическую интерпретацию (1877): энтропия характеризует недостающую информацию.

После построения К.Шэнноном теории информации (1948), обнаружилось, что формула Шэннона для информационной энтропии и формула Больцмана для термодинамической энтропии тождественны. Разгорелись споры о том, яв ляется ли это совпадение чисто формальным или оно выражает глубокую связь термодинамики и теории информации. Дискуссии привели к современному по ниманию этой неразрывной связи.

Таким образом, ясно, что роль информации в самом существовании систем (искусственных и естественных) огромна. Для системного анализа понятие ин формации столь же фундаментально, как понятие энергии для физики. Более того, понятие информации, обладая всеобщностью, приобрело смысл философ ской категории. В настоящее время информация рассматривается как фунда ментальное свойство материи.

Понятие сигнала.

Для того чтобы два объекта содержали информацию друг о друге необхо димо, чтобы между их состояниями существовало соответствие. Только при этом условии по состоянию одного объекта можно судить о состоянии другого.

Такое соответствие может установиться только в результате физического взаи модействия между этими объектами. Соответствие между состоянием двух объектов может устанавливаться и с помощью взаимодействия с промежуточ ными объектами, например, сигналами.

Сигнал есть материальный носитель информации, средство перенесения информации в пространстве и времени.

Утверждая, что объекты выступают в качестве сигналов, мы должны сде лать уточнение. Один и тот же объект может выступать в качестве разных сиг налов. Например, колебания воздуха могут нести звуки музыки, речь лектора, ЧАСТЬ 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ пение птиц и шум самолета;

с магнитной ленты можно стереть одну запись и сделать другую и т.д. Следовательно, в качестве сигналов используются не са ми по себе объекты, а их состояния.

Далее, не всякое состояние имеет сигнальные свойства. Точнее говоря, данный объект взаимодействует не только с тем объектом, информацию о ко тором мы хотели бы получить, но и с другими, не интересующим нас объекта ми. В результате соответствие состояния ослабевает, разрушается. Условия, обеспечивающие установление и способствующие сохранению сигнального со ответствия состояний, называются кодом. В искусственных системах кодом на зывают комплекс правил образования сигнала. При более подробном рассмот рении этого процесса в технических системах кодом называют условные, варь ируемые правила, а диктуемые техникой условия называют модуляцией. Мы же пока будем использовать самое общее употребление слова «код». Посторонние воздействия, нарушающие это соответствие, называются помехами или шума ми. Нарушение соответствия может происходить не только вследствие помех, но из-за рассогласования кодов взаимодействующих объектов. В искусствен ных системах, где такое согласование организуется специально, это явно видно на примере криптографии, основанной на засекречивании кодов. В природных системах согласование кодов происходит в самой структуре систем через есте ственный отбор различных вариантов.

Типы сигналов. Поскольку сигналы служат для переноса информации в пространстве и времени, для образования сигналов могут использоваться толь ко объекты, состояния которых достаточно устойчивы по отношению к тече нию времени или к изменению положения в пространстве. С этой точки зрения сигналы делятся на два типа.


К первому типу относятся сигналы, являющиеся стабильными состояния ми физических объектов. Например, книга, фотография, магнитофонная запись, состояние памяти ЭВМ и т.д. такие сигналы называются статическими.

Ко второму типу относятся сигналы, в качестве которых используются ди намические состояния силовых полей. Такие поля характеризуются тем, что изменение их состояния не может быть локализовано в неизолированной части поля и приводит к распространению возмущения. Конфигурация этого возму щения во время распространения обладает определенной устойчивостью, что обеспечивает сохранения сигнальных свойств. Примерами таких сигналов мо гут служить звуки (изменение состояния поля упругости в газе, жидкости или твердом теле), световые и радиосигналы (изменения состояния электромагнит ного поля). Сигналы указанного типа называются динамическими.

Понятно, что динамические сигналы используются преимущественно для передачи, а статические — для хранения информации. Однако можно указать и на противоположные примеры — динамические запоминающие устройства, письма, газеты.

Сигналы играют в системах особую, очень важную роль. Если энергетиче ские и вещественные потоки, образно говоря, питают систему, то потоки ин формации, переносимые сигналами, организуют все ее функционирование, управляют ею. Н.Винер, например, подчеркивал, что общество простирается до ЛЕКЦИЯ 6. СИГНАЛЫ В СИСТЕМАХ тех пределов, до каких распространяется информация. Пожалуй, это следует отнести к любой системе.

Первое и, быть может, главное отличие подхода к изучению объекта как системы и состоит в том, что мы не ограничиваемся только рассмотрением и описанием вещественной и энергетической его сторон, но и (прежде всего) проводим исследование его информационных аспектов: целей, сигналов, ин формационных потоков, управления, организации и т.д.

Случайный процесс — математическая модель сигналов. Казалось бы, по сле того, как мы установили, что сигналами служат состояния физических объ ектов, никаких проблем с их математическим описанием не должно быть. На пример, можно зафиксировать звуковые колебания, соответствующие конкрет ному сигналу, в виде зависимости давления x от времени t и изобразить этот сигнал функцией x ( t ). Такой же функцией можно изобразить и статический сигнал, например, запись этого звука на магнитной ленте, поставив параметру t в соответствие протяженность (длину) записи. Однако имеется существенное различие между просто состоянием x ( t ) объекта и сигналом x ( t ). Оно состоит в том, что единственная функция x ( t ) не исчерпывает всех важных свойств сигналов. Ведь понятие функции предполагает, что нам известно значение x (либо правило его получения) для каждого t. Если же это известно получателю сигнала, то отпадает необходимость в его передаче: функция x ( t ) может быть и без того воспроизведена на приемном конце.

Следовательно, единственная однозначная функция вещественного аргу мента не может служить моделью сигнала. Такая функция приобретает сиг нальные свойства только тогда, когда она является одной из возможных функ ций. Другими словами, моделью сигнала может быть набор (ансамбль) функ ций параметра t. Причем до передачи неизвестно, какая из них будет отправле на;

это становится известным получателю только после передачи. Каждая такая конкретная функция называется реализацией. Если теперь еще ввести вероят ностную меру на множество реализаций, то мы получим математическую мо дель, называемую случайным процессом.

Имеется несколько различных подходов к тому, как вводить вероятност ную меру на множестве реализаций. Для большинства инженерных приложе ний оказывается удобным определение случайного процесса как такой функции времени x ( t ), значение которой в каждый момент времени является случайной величиной. Случайная величина полностью характеризуется распределением вероятностей, например, плотностью p1 ( x1, t1 ). Однако чтобы охарактеризовать случайный процесс, нужно знать, как связаны значения реализации, разделен ные некоторыми интервалами времени. Для этих целей вводят распределения второго p2 ( x1, t1;

x2, t2 ), третьего,..., n-го порядков pn ( x1, t1,..., xn, tn ). В конкрет ных задачах обычно ясно, до какого порядка следует доходить в описании про цесса.

Классы случайных процессов. Необходимость моделирования различных сигналов приводит к построению частных моделей случайных процессов, кото ЧАСТЬ 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ рые отличаются наложением дополнительных ограничений на параметры рас пределений и на сами распределения. Перечислим наиболее важные классы случайных процессов.

Непрерывные и дискретные по времени процессы. Случайный процесс с непрерывным временем характеризуется тем, что его реализации определяются для всех моментов из некоторого (конечного или бесконечного) интервала T параметра t. Дискретный по времени процесс задается на дискретном ряде то чек временной оси (обычно равноотстоящих).

Непрерывные и дискретные по информативному параметру процессы.

Эти процессы различаются в зависимости от того, из какого (непрерывного или дискретного) множества принимает значение реализация x случайной величи ны X.

Стационарные и нестационарные процессы. Так называются процессы в зависимости от постоянства или изменчивости их статистических характери стик. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для любого n конечномерные распределения вероятностей не изменяются со вре менем, т.е. при любом выполняется условие pn ( x1, t1;

x2, t2 ;

...;

xn, tn ) = pn ( x1, t1 + ;

x2, t2 + ;

...;

xn, tn + ).

Если же условие независимости от времени выполняется только для пер вых двух моментов (среднего и функции автокорреляции), процесс называется стационарным в широком смысле (или в смысле Хинчина).

Эргодические или неэргодические процессы. На практике для описания случайных величин вместо рассмотрения их распределений часто ограничива ются их числовыми характеристиками, обычно моментами. В тех случаях, ко гда распределение неизвестно, моменты (и другие числовые характеристики) можно оценить статистически.

Перенос такой практики на произвольные случайные процессы требует не только учета зависимости отстоящих друг от друга (разнесенных) во времени значений, но и наложения дополнительных требований. Требование совпадения статистических параметров и характеристик, полученных при усреднении по ансамблю (т.е. при фиксированном времени) и при усреднении по времени (точнее, по одной реализации), и называется условием эргодичности. Это тре бование можно трактовать и как совпадение результатов усреднения по любой реализации (эргодический ансамбль может содержать реализации, не удовле творяющие этому условию, но суммарная вероятность таких реализаций долж ны быть сколь угодно близка к нулю). Как и для стационарности, можно разли чать эргодичность в узком и широком смысле.

Математические модели реализаций случайных процессов.

Для рассмотрения конкретных свойств систем бывает необходимо учесть особенности сигналов, циркулирующих по каналам связи этих систем. Такие особенности можно описать по-разному: просто перечислить возможные реали зации (если число их конечно), либо задать в той или иной форме общие свой ства реализаций, входящих в ансамбль. Рассмотрим в качестве примеров неко торые модели реализаций непрерывных сигналов, с которыми часто имеют де ло в теории сигналов.

ЛЕКЦИЯ 6. СИГНАЛЫ В СИСТЕМАХ Гармонические сигналы. Обозначим через Ac множество всех синусои дальных сигналов:

Ac = { x : x ( t ) = A cos (t + ) ;

t ;

A, +, [ 0,2 ]} ( 6.1) здесь + — множество всех положительных действительных чисел;

A — ам плитуда, — круговая частота, — фаза гармонического колебания.

Модулированные сигналы. В технических системах полезная информация может переноситься каким-нибудь одним параметром «гармонического» коле бания. Конечно, при изменении этого параметра во времени колебание переста ет быть гармоническим. Процесс изменения параметра колебания называется модуляцией, а выделение этого изменения в "чистом виде" — демодуляцией.

Само колебание называется несущим. Различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции в зависимости от того, на какой из параметров несущего колебания "накладывают" полезную информацию (параметры с индексом «0»

считаются постоянными):

Aам = { x : x ( t ) = A ( t ) cos (0t + 0 )} ;

{ } Aчм = x : x ( t ) = A0 cos ( ( t ) + 0 ) ;

( 6.2 ) = { x : x ( t ) = A cos ( t + ( t ) )}.

Aфм 0 Необходимо отметить, что физический смысл модуляции сохраняется лишь в том случае, когда модулирующий сигнал является "медленно меняю щимся" по сравнению с несущим колебанием. Только при этом условии можно говорить о гармоническом сигнале с переменной амплитудой, частотой либо фазой. Однако удобнее все-таки говорить о не о «переменной амплитуде», а об «огибающей, как это принято в радиотехнике.

Сигналы с ограниченной энергией. О сигналах из множества 2 Aэ = x : x ( t ) dt K ( 6.3) говорят, что их энергия ограничена величиной K. Происхождение этого назва ния связано с тем, что если x ( t ) есть напряжение, то интеграл представляет со бой энергию, выделяемую сигналом x ( t ) на единичном сопротивлении.

Сигналы с ограниченной длительностью. Интервал T называется длитель ностью сигнала x ( t ), если Am = { x : x ( t ) 0, t T }. ( 6.4 ) Конечно, предполагается, что внутри этого интервала x ( t ) не везде обра щается в ноль.

Особую роль среди сигналов с ограниченной длительностью играют им пульсные сигналы. Их отличие состоит в «кратковременности» T, которую трудно формализовать, но которая проявляется в практике. В таких случаях x ( t ) обычно называют «формой импульса». На практике широко распростра нены периодические последовательности импульсов — радиолокация, электро кардиография. Не менее важны и непериодические импульсные последователь ЧАСТЬ 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ ности — телеграфия, цифровая телеметрия. В реальности все импульсные по следовательности, в свою очередь, имеют ограниченную длительность.


Сигналы с ограниченной полосой частот. Фурье-преобразование X ( f ) сигнала x ( t ) называют его спектром:

X( f )= x ( t ) exp ( j 2 ft ) dt. ( 6.5) Физический смысл спектра состоит в том, что колебание x ( t ) представля ется в виде суммы (в общем случае в виде интеграла) составляющих его гармо нических колебаний с определенными амплитудами X ( f ), частотами f и со ответствующими фазами. Между x ( t ) и X ( f ) имеется взаимно однозначное соответствие, так как x (t ) = X ( f ) exp ( j 2 ft ) df ( 6.6 ) Условием существования и обратимости Фурье-преобразования является ограниченность энергии сигнала (интегрируемость в квадрате функций x ( t ) и X ( f ) ) и его непрерывность.

Если функция X ( f ) на оси f имеет ограниченный носитель F, то гово рят, что сигнал x ( t ) имеет ограниченную полосу частот шириной F :

AF = x : X ( f ) = x ( t ) exp ( j 2 ft ) dt = 0 для всех f F ( 6.7 ) Некоторые модели ансамбля реализаций. Случайный процесс широко ис пользуется в качестве модели шума. Рассмотрим некоторые наиболее распро страненные модели.

Нормальный шум. Удобной моделью помех и некоторых полезных сигна лов является стационарный нормальный случайный процесс. Нормальный (га уссов) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для канала связи. Такое на звание вызвано тем, что случайные мгновенные значения величины x ( t ) пред полагаются подчиненными нормальному закону с нулевым средним, т.е. плот ность распределения первого порядка выражается формулой 1 p1 ( x1, t1 ) = ( 6.8) exp x 2 N 2N Использованные здесь обозначения таковы: N = M ( x 2 ) — мощность шума (дисперсия мгновенных значений), где M (...) — символ математического ожи дания.

На основе функции p1 ( x ) можно найти относительное время пребывания величины сигнала x ( t ) в определенном интервале уровней, отношение макси мальных значений к среднеквадратическому (пик фактор). Отношение времени ЛЕКЦИЯ 6. СИГНАЛЫ В СИСТЕМАХ пребывания ( t ) в заданном интервале к общему времени наблюдения (доста точно большому для эффективного усреднения) можно трактовать как вероят ность попадания в заданный интервал. На такой трактовке основан принцип по строения различных приборов, используемых для экспериментального нахож дения одномерной плотности вероятности случайного процесса.

Необходимо отметить, что приведенные выше данные о распределении ве роятностей не дают никаких представлений о поведении функции x ( t ) во вре мени. Для описания временных характеристик функции x ( t ) необходимо при лечь двумерную плотность вероятности, позволяющую найти корреляционную функцию. Для плотности распределения второго порядка справедлива формула p2 ( x1, t1 ;

x2, t2 ) = p2 ( x1, x2 ;

= t2 t1 ) = ( 6.9 ) 1 = exp [ x12 2 ( ) x1 x2 + x2 ] 2(1 ( )) N 2 N 1 ( ) где p ( ) = N 1M ( X t X t + ) — нормированная функция автокорреляции.

Замечательной особенностью нормального процесса является то, что его распределение любого порядка полностью определяется только первыми двумя моментными функциями: средним (которое в формулах (6.8) и (6.9) принято равным нулю) и ковариационной функцией N p ( ).

Другой способ получить представление о поведении функции x ( t ) во вре мени — нахождение спектра мощности случайного процесса. Он будет рас смотрен ниже.

Сигнал как колебание со случайной огибающей и фазой. Понятия амплиту ды и фазы, введенные первоначально для гармонических сигналов, с помощью модуляции были обобщены на сигналы, которые уже не являются гармониче скими. Легко обобщить их на произвольные сигналы. Пока чисто формально можно задать такие функции R ( t ) и ( t ), чтобы для заданной функции x ( t ) было выполнено равенство x ( t ) = R ( t ) cos 0t + ( t ), ( 6.10 ) и, сравнивая его с соотношениями (6.1) и (6.2), можно интерпретировать R ( t ) и ( t ) как «огибающую» и «фазу» колебания с частотой 0.

Возникает вопрос: соответствуют ли эти функции чему-нибудь реальному?

Оказывается, свобода выбора в задании функций R ( t ) и ( t ) при определен ных условиях весьма ограничена. Эти условия мы уже упоминали как «медлен ность» R ( t ) cos 0t и ( t ) по сравнению с 0t. В целом это комплекс условий в силу причин (которые мы здесь не будем обсуждать) получил название узко полосности сигнала x ( t ).

Очень наглядным является векторный вариант модели (6.10). В этом слу чае R и можно рассматривать как полярные координаты некоторого вектора.

Тогда всякое гармоническое колебание x ( t ) = A cos (0t + ), имеющее частоту ЧАСТЬ 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ 0, можно изобразить как постоянный вектор с амплитудой A и углом к на правлению, принятому за ось Ox.

Если гармонический сигнал имеет частоту, например, 1, отличную от 0, то в рассматриваемой системе координат соответствующий ему вектор будет cos 1t = cos 0t + ( t ), 1 0, вращаться с частотой поскольку ( t ) = (1 0 ) t. Негармонический сигнал изобразится как вектор, совершаю щий вращения или колебания (изменяется угол) и изменяющий свою длину R.

При всей простоте такая модель позволяет легко описывать различные преобразования сигналов. Например, сумма двух колебаний с частотой изобра зится как сумма двух соответствующих векторов (при этом автоматически учи тываются фазовые соотношения).

Пусть, например, принимаемый сигнал является суммой полезного сигнала s ( t ) и шума n ( t ) :

x (t ) = s (t ) + n (t ) ( 6.11) Рассмотрим случай, когда полезный сигнал есть гармоническое колебание s ( t ) = A cos 0t, а шум является нормальным с дисперсией 2 и нулевым сред ним. Будем считать, что 0 значительно превышает ширину полосы частот, за нимаемую сигналом x ( t ), так что такая узкополосность обеспечивает физиче ский смысл понятиям его огибающей и фазы (см.(6.10)). Направив ось Ox вдоль вектора сигнала s ( t ), находим его координаты x = A и y = 0. Вектор шума случаен, обе его компоненты нормальны с нулевым средним и дисперси ей 2. Сложение векторов сигнала и шума приводит к вектору с нормальными компонентами, у одной из которых среднее равно A, а другой — нулю:

1 p ( x, y ) dxdy = exp 2 ( x A ) + y 2 dxdy ( 6.12 ) 2 Рассмотрим статистические свойства огибающей и фазы принимаемого сигнала. Перейдем от декартовых координат ( x, y ) к полярным ( R, ). Исполь зуя очевидные соотношения x = R cos, y = R sin, dxdy = RdRd, из равенства (6.12) сразу получим распределение 1 R p ( R, ) dRd = ( 6.13) exp 2 R 2 2 RA cos + A2 dRd 2 2 Легко установить, что если A = 0 (т.е. имеется только шум), то R R p ( R, ) = 2 exp 2 dR ( 6.14 ) d, 2 т.е. огибающая распределена по закону Рэлея, фаза — равномерно в интервале [0, 2 ], R и независимы, так как их совместное распределение факторизова лось.

Распределение вероятностей отдельно для огибающей R и фазы полу чаются при интегрировании совместного распределения (6.13) по переменной, которую нужно исключить. Например, распределение огибающей имеет вид ЛЕКЦИЯ 6. СИГНАЛЫ В СИСТЕМАХ R 2 + A2 1 2 RA RdR p ( R ) dR = dR p ( R, ) d = 2 exp exp 2 cos d = 2 2 0 ( 6.15) R + A RA 2 R = 2 exp I0 dR, 2 2 где через I 0 обозначена модифицированная функция Бесселя первого рода ну левого порядка (так называется трансцендентная функция, выражаемая полу ченным интегралом). Это распределение называется распределением Рэлея Райса или обобщенным распределением Рэлея, поскольку при A = 0 оно обра щается в обычное распределение Рэлея.

Распределение фазы выражается формулой p ( ) d = d p ( R, ) dR, ( 6.16 ) Мы не приводим здесь аналитические выражения для p ( ) из-за их гро моздкости.

Таким образом, в данном параграфе приведено несколько наиболее упот ребительных моделей сигналов. Следует помнить, что в ряде случаев эти моде ли достаточно хорошо отображают реальные сигналы, но абсолютно точными они не бывают никогда.

Некоторые свойства непрерывных сигналов.

Мы излагаем лишь элементы теории сигналов, преследуя при этом озна комительные цели. В то же время представляется интересным рассмотреть два основных ее аспекта, относящихся к свойствам непрерывных сигналов.

Частотно-временная неопределенность сигналов.

Как мы уже отметили, сигнал x ( t ) и его спектр X ( f ) однозначно выра жаются друг через друга. Следовательно, сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений — временном или частотном. При этом масштабные параметры этих представлений связаны обратно пропорциональ ной зависимостью. Допустим, что изменили масштаб по оси времени в k раз (например, воспроизведем запись x ( t ) с другой скоростью) и найдем спектр функции x ( kt ) :

f x ( kt ) exp [ j 2 ft ] dt = k X k Xk ( f ) = ( 6.17 ) Как видим, масштаб по частотной оси изменился в 1 k раз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длитель ностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной по лосой частот длятся бесконечно долго. Этот математический результат нахо дится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по дли тельности и ограничены по спектру. Тот факт, что аналитическая функция вре мени не может быть одновременно ограниченной и по длительности и по ши рине спектра является, как видим, не свойством реальных сигналов, а свойст вом данной модели сигналов.

ЧАСТЬ 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ Говорить об одновременной ограниченности сигналов по времени и по спектру оказывается возможным при использовании энергетического критерия точности: сигнал считается имеющим конечную длительность T, если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функции x ( t ). В то же время и ширина спектра F сигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектра X ( f ) :

x ( t ) dt = X ( f ) df = µ x ( t ) dt = µ X ( f ) df. ( 6.18) 2 2 T F Здесь величина µ меньше T f f единицы, хотя достаточно близка к ней, а величина (1 µ ) характеризует косвен ным образом точность, о кото рой шла речь.

F Теперь можно говорить о том, какую "площадь" на плос кости "частота-время" занима ет тот или иной сигнал. Если строго следовать теории Фу X(f) t рье-преобразований, то полу чим, что эта площадь для всех x (t ) сигналов бесконечна. Но для большинства из них энергети ческий критерий позволит ог t раничить ее естественным об Рис. 23. Иллюстрация частотно-временной разом.

неопределенности сигнала.

Меняя форму сигнала, можно изменить и площадь на плоскости «время-частота», которую он занимает. Оказывается, что уменьшать эту площадь можно лишь до некоторого предела. Этот предел достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по ам плитуде гауссовым импульсом. Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости "частота-время", и назы вается (по аналогии с принципом неопределенности в квантовой механике) принципом частотно-временной неопределенности сигналов:

( 6.19 ) F T = const 0.

Дискретное представление сигналов.

Вторым важным аспектом теории сигналов является проблема дискретного представления непрерывных сигналов. Вопрос формулируется так: существуют ли условия (и если да, то каковы они), при которых любой непрерывной функ ции x ( t ) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел ЛЕКЦИЯ 6. СИГНАЛЫ В СИСТЕМАХ {C ( x )}, k =..., 2, 1,0,1, 2,....

k Положительный ответ на этот вопрос имел бы как теоретическое, так и практическое значение. Во-первых, рассмотрение случайных величин вместо реализации непрерывного случайного процесса существенно упрощает реше ние многих задач, теория становится проще и может быть продвинута дальше.

Во-вторых, соответствие x ( t ) {Ck ( x )} можно использовать в технических устройствах, работающих с непрерывными сигналами.

Ограничимся более конкретной формулировкой поставленной задачи и рассмотрим условия выполнения равенства x ( t ) = Ck ( x ) k ( t ) ( 6.20 ) k Функции { k ( t )} называются координатными функциями, они не должны зависеть от x ( t ), более того, они заранее известны. Ряд в правой части равенст ва называется разложение x ( t ) по координатным функциям. Числовые коэф фициенты {Ck ( x )} содержат всю информацию об x ( t ), необходимую для вос становления этой функции по формуле (6.20), следовательно, {Ck ( x )} являются функционалами от функции x ( t ) (функционалом называется отображение множества функций в множество чисел).

Наиболее известны разложения по системе ортогональных и нормирован ных функций. Это означает, что функции { k ( t )} удовлетворяют условиям ( t ) ( t ) dt = {0,при i k 1, при i = k i k Умножим обе части равенства (20) на i ( t ) и проинтегрируем ( t ) x ( t ) dt = C ( x ) ( t ) ( t ) dt = C ( 6.21) i k i k i k Такое представление называют рядом Фурье, а {C ( x )} — коэффициента k ми Фурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции x ( t ) подробно исследо ваны и, кратко говоря, сводятся к тому, чтобы были оправданы все необходи мые математические операции, а коэффициенты Фурье убывали достаточно быстро.

Значительный интерес привлекли разложения реализаций случайного про цесса с ограниченной полосой частот. Для таких сигналов Котельников доказал (1946г.) следующую теорему (теорему отсчетов):

«Любая функция со спектром, находящимся в интервале [ 0, F ], полно стью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих друг от друга на 1 2F единиц времени».

Пусть x ( t ) имеет спектр X ( f ), причем X ( f ) равна нулю вне интервала [0, F ]. Тогда в интервале [0, F ] применимо разложение ЧАСТЬ 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ C ( X ) exp j 2 f ( k X( f )= 2 F ) k k = Коэффициента Фурье этого разложения таковы:

1 k F Ck ( x ) = X ( f ) exp j 2 f ( k 2 F ) df = 2 F x 2F 2F F Следовательно, k 1 k x 2 F exp j 2 f 2 F.

X( f )= ( 6.22 ) 2 F k = Это соотношение уже доказывает теорему отсчетов в силу однозначной связи X ( f ) и x ( t ). Чтобы показать в явном виде, как восстанавливать x ( t ) для значений t между точками отсчетов, воспользуемся формулой 1 k k F F x x ( t ) = X ( f ) exp ( j 2 ft ) dt = exp j 2 f t dt 2 F k = 2 F F 2F ( 6.23) F k sin ( 2 Ft k ) x (t ) = x 2 Ft k k = 2 F Т.е. мы имеем разложение реализации координатными функциями вида sin u u, сдвинутые относительно друг друга на интервалы времени 1 2F, с ко эффициентами, равными отсчетам самой реализации, взятые в моменты t = k 2F.

Иногда говорят, что эта теорема является теоретическим обоснованием возможности на практике восстанавливать x ( t ) по отсчетам x ( k 2 F ). Однако дело в том, что координатные функции имеют неограниченную длительность и, следовательно, физически нереализуемы. Кроме того, ряд (6.23) имеет неогра ниченное число членов. Все это снова возвращает нас к проблеме точности фиксации сигналов, проблеме, пока не получившей точного освещения.

Подведем итог.

Из многочисленных результатов теории сигналов мы выделяем два, как существенно проясняющих природу непрерывных сигналов.

Первый состоит в том, что сигналы обнаруживают своеобразную «упру гость» занимаемой ими площади на плоскости «время-частота». Это явление называется частотно-временной неопределенностью сигналов.

Второй результат заключается в том, что определенный класс непрерыв ных сигналов допускает взаимно однозначное соответствие между любой реа лизацией из этого класса и дискретным набором отсчетов данной реализации.

Лекция 7. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) реализа ций, необходимо иметь в виду, что реализациям, обладающим различной фор мой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение ком плексной спектральной плотности по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса (при среднем, равном нулю) из-за случайности и независимо сти фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной величи ны, поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотношения фаз сум мируемых гармоник. Если под случайной функцией x ( t ) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от меха низма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте. Введенную таким образом спектральную плотность S ( ) в дальнейшем будем называть энергетическим спектром функции x ( t ). Смысл такого названия определяется размерностью функции S ( ), являющейся от ношением мощности к полосе частот:

S ( ) = [ мощность полоса частот ] = [ мощность время ] = [ энергия ], Энергетический спектр можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Здесь же мы ограничимся некоторыми определениями общего характера.

Методы вычисления СПМ Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами, которые мы рассмотрим ниже:

- с помощью ковариационных функций;

- с помощью финитного преобразования Фурье;

- с помощью фильтрации, возведения в квадрат и усреднения.

Определение спектров с помощью корреляционных функций.

Исторически первый способ определения спектральной плотности появил ся в математике. Он состоит во взятии преобразования Фурье от предваритель но вычисленной корреляционной функции. После вычитания средних значений такие (бесконечные) преобразования Фурье обычно существуют, даже если (бесконечное) преобразование Фурье исходного процесса не существует. Этот подход дает двустороннюю спектральную плотность, определенную для частот f от до + и обозначаемую S ( f ).

Пусть существуют корреляционные и взаимная корреляционная функции Rx ( t ), Ry ( t ) и Rxy ( t ). Предположим также, что конечны интегралы от их абсо лютных величин ЧАСТЬ 3. ИНФОРМАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ R ( ) d На практике эти условия всегда выполняются для реализаций конечной длины. Тогда ПФ функций R ( t ) существуют и определяются формулами S x ( f ) = Rx ( ) exp ( j 2 f ) d m S y ( f ) = Ry ( ) exp ( j 2 f ) d ( 7.1) m S xy ( f ) = R ( ) exp ( j 2 f ) d xy Такие интегралы по конечным реализациям существуют всегда. Функции S x ( f ) и S y ( f ) называют функциями спектральной плотности процессов x ( t ) и y ( t ) соответственно или просто спектральными плотностями, а функцию S xy ( f ) называют взаимной спектральной плотностью двух процессов x ( t ) и y (t ).

Обратные ПФ от формул ( 7.1) дают Rx ( ) = S x ( f ) exp ( j 2 f ) df m ( 7.2 ) Ry ( ) = S y ( f ) exp ( j 2 f ) df m Rxy ( ) = S ( f ) exp ( j 2 f ) df xy Соотношения ( 7.1) и ( 7.2 ) называют формулами Винера-Хинчина, кото рые в 30-е годы независимо установили связь между корреляционными функ циями и спектральной плотностью через ПФ. При решении практических задач приходится допускать в R ( t ) и S ( f ) наличие дельта-функций.

Из свойств симметрии стационарных ковариационных функций следует S x ( f ) = S x ( f ), S xy ( f ) = S yx ( f ) Следовательно, спектральная плотность S x ( f ) — действительная четная функция, a S xy ( f ) — комплексная функция от f.

Тогда спектральные соотношения из ( 7.1) можно преобразовать к виду Sx ( f ) = Rx ( ) cos 2 f d = 2 Rx( )cos 2 f d ( 7.3) ЛЕКЦИЯ 7. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Односторонние спектральные плотности Gx ( f ), где f изменяется Gx ( f ) только в пределах интервала ( 0, ), оп ределяются формулами Sx ( f ) 2S ( f ), 0 f ;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.