авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«// Г. Н. Черкесов НАДЕЖНОСТЬ АППАРАТНО-ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве ...»

-- [ Страница 3 ] --

Использование в условиях задачи 2 результатов эксперимента, проведенного за ограниченное время для получения оценок показателей надежности при большем длительности испытаний, вообще говоря, неправомерно. Для этого не обходимы, по крайней мере, косвенные подтверждения того, что при увеличении длительности испытаний не изменится качественно вид функции распределения, например, к экспоненциальной составляющей функции распределения не доба вится нормальная составляющая (рис. 11.3). Таким косвенным подтверждением могут быть результаты длительных испытаний небольших партий изделий или результаты длительной эксплуатации аппаратуры, построенной из тех же элементов. Если не удается получить даже косвенного подтверждения, то ис пытания надо проводить в течение времени, равного времени эксплуатации t3.

Тогда вообще может.не возникнуть потребность в определении вида функции распределения.

Рис. 11.3. Суперпозиция распределений и планирование испытаний Задача 3. Вид функции F(t) неизвестен и статистические данные неоднород ны, то есть качественный вид эмпирической функции распределения и гисто грамма меняются от партии к партии. Например, в одной партии гистограмма имеет вид, представленный на рис. 11.2, а, в другой — на рис. 11.2, б. В этом случае прежде всего необходимо выяснить значимость расхождений, используя методы непараметрической статистики (например, критерий знаков или крите рий Вилкоксона).

Если проверка подтвердит значимость расхождений, тогда необходимо выяснить и устранить причины неоднородности, после чего обработка статистических дан ных проводится как в задаче 2. Далее для определительных испытаний будут рассмотрены преимущественно задачи первого типа, а из задач второго типа — лишь одна: оценка вероятности отказа при неизвестном законе распределения наработки.

11.4. Оценка вероятности отказа по биномиальному плану. Точечная оценка. Доверительные интервалы Пусть для некоторых изделий с неизвестной функцией распределения наработ ки до первого отказа определяющим показателем надежности является вероят ность отказа изделия Q(t) в течение времени t. Как было показано в предыдущем разделе, в таких условиях прогнозирование вероятности отказа в течение вре мени, превышающего время испытаний, невозможно. Поэтому выбираем план [N, Б, t], где длительность испытаний Т равна времени эксплуатации изделия L Устанавливая на испытания JV одинаковых изделий и проверяя их работоспособ ность через время t, определяем число отказавших изделий т. Тогда точечной оценкой вероятности отказа является частость Q(t) = m(t)/N.

Согласно закону больших чисел, при увеличении.V точечная оценка Q(t) схо / дится по вероятности к оцениваемой Q(t). Следует, однако, отметить, что при испытаниях надежности далеко не всегда удается установить большое число изделий. Кроме того, для высоконадежных изделий Q(f) обычно очень мало.

В этих условиях дисперсия оценки получается неприемлемо большой и точечная оценка становится неудовлетворительной. Наиболее ярко недостатки точечной оценки видны, когда т = 0 и Q(t) = 0, что является априорной нижней оценкой (3(0 и, таким образом, не несет никакой новой информации о надежности изде лий. Поэтому кроме точечной оценки используют доверительные интервалы.

Абсолютно достоверными границами для неизвестной вероятности Q{t) являют ся 0 и 1. Всякое сужение интервала (0, 1) связано с риском совершить ошибку, состоящую в неверном заключении о том, что Q(t) находится между новыми гра ницами. В зависимости от того, как происходит сужение интервала (0, 1), разли чают двусторонний и односторонние интервалы.

Двусторонним доверительным интервалом для неизвестной и неслучайной ве личины вероятности Q(t) называют интервал (Qw QB) со случайными границами, зависящими от исхода статистического эксперимента и такими, что вероятность покрытия этим интервалом неизвестного числа Q(t) не меньше заданной вероят ности 8, называемой доверительной вероятностью или коэффициентом доверия:

P(Q,,Q^Q,,) Вероятность противоположного события, то есть того, что Q(t) окажется в ин тервале (О, Q,,) или (Q,,, 1), называется уровнем значимости у и равна 1-8. Уро вень значимости можно представить в виде суммы вероятностей:

Обычно у' и у" выбирают одинаковыми, так что у ' = у " = у / 2 = ( 1 - ) / 2.

Односторонними (верхним и нижним) доверительными интервалами называют, соответственно интервалы (0, Qn) и (Q,,, 1) — такие, что Здесь уровень значимости у = 1 - 8 выражает вероятность того, что число Q(t) попадет в интервал при верхнем интервале ив и н т е р в а л — при нижнем.

Доверительную вероятность нельзя выбирать слишком малой, так как снижает ся доверие к полученным границам и увеличивается риск сделать неверное за ключение. Нельзя выбирать ее и слишком близкой к единице, так как чем ближе 8 к единице, тем шире границы для неизвестной вероятности. Опыт использо вания статистических методов показывает, что для практических целей доста точно брать 8 из диапазона 0,8...0,95. Иногда коэффициент доверия увеличивают до значения 0,98 или 0,99.

Правила вычисления Qn и QB были предложены в начале 30-х годов XX в. ан глийскими статистиками К. Клогшером и Э. Пирсоном [1]. Поскольку испытания различных образцов одного и того же изделия происходят независимо друг от друга, число т отказавших за время t изделий распределено по биномиальному закону с параметрами N и Q, то есть вероятность отказа ровно т изделий из N определяется формулой Вероятность же отказа не более т изделий равна (11-1) Здесь т — варианта, а N и Q — параметры распределения. Функция (11.1) являет ся ступенчатой функцией т, изменяющейся от нуля до единицы при увеличении т от нуля до N. Если построить семейство распределений у при одном и том же JV, но различных Q и для удобства изображения сгладить ступенчатые функции непре рывными кривыми, то получим семейство зависимостей, приведенное на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Определение доверительных границ параметра биномиального распределения с помощью принципа Клоппера—Пирсона В этом семействе параметр Q увеличивается в направлении, указанном стрел кой. Если теперь провести перпендикуляр через точку т, где т — наблюдаемое при испытаниях число отказов, и две горизонтальные прямые на уровне у' и 1 - у", а затем подобрать две кривые семейства, которые проходили бы через точки пе ресечения а и б, то параметры этих кривых и дают нижнюю и верхнюю дове рительные границы с коэффициентом доверия 5 = 1 - у' - у". Два уравнения, со ставленные для точек а и б, называют уравнениями Клоппера — Пирсона, они могут быть использованы для определения доверительных границ:

(11.2) (11.3) Учитывая, что вместо (11.3) можем записать:

(11.4) При т = 0 нижняя граница Q,, = О, а верхняя получается из (11.2):

A (i-a,,) '=Y'=i-8 Отсюда Qa = 1 - 5 / 1 ^ 5. (11.5) Пример 11.1. При испытаниях 10 комплектов аппаратуры в течение 1000 ч не было обнаружено ни одного отказа. Найти доверительные границы для веро ятности безотказной работы аппаратуры в течение 1000 ч при коэффициенте доверия 0,9.

Решение. Поскольку при испытаниях не предусмотрено восстановление работо способности, а время испытаний совпадает с интервалом времени эксплуатации, заключаем, что план испытаний является планом типа [N, Б, t]. Так как во время испытаний не возникло ни одного отказа, используем формулу (11.5) и находим 2„ = 1 - Ю-0'1 = 1 - ехр(-0,23) = 0,206.

Таким образом, при отсутствии отказов в 10 комплектах с гарантией 90% можно утверждать, что вероятность отказа не более 0,206.

Пример 11.2. Какое количество изделий необходимо поставить на испытания по плану типа [N, Б, t], чтобы с гарантией 90% утверждать, что вероятность безот казной работы не ниже 0,9?

Решение. Наименьшее количество изделий потребуется, когда т = 0. Тогда из (11.5) находим.V = lg(l - 5 ) / lgPH. Подставляя сюда 8= 0,9 и Рп = 0,9, находим / iV= 22. Если же 5= 0,95 и Р„ = 0,95, то N = 59, а при 5= 0,95 и Р„ = 0,99 необходи мое число изделий.V = 299.

/ Из примеров 7.1 и 7.2 видно, что подтвердить даже не очень высокие показатели надежности не так-то просто. Значительно проще иногда удовлетворить требова нию заказчика о 100% безотказности при наблюдении за небольшой группой изделий, чем доказать методами математической статистики, что фактическая вероятность безотказной работы не ниже 0,9.

При m 0 для решения уравнений (11.2) и (11.4) можно использовать табли цы биномиального распределения. Так, в [2] приводится (табл. 6.1) значений Р(,тп) д.ля N = 5(5)20(10)30 и Q = 0,01(0,01)0,10(0,10)0,50, а в [ 3 ] - таблица (табл. 5.1) значений Р(Ъ, = п) для N= 5(5)30 и Q = 0,01(0,01)0,02(0,02)0,1(0,1)0,5.

Кроме того, в [3] имеется таблица (табл. 5.2) доверительных границ для пара метра Q биномиального распределения с коэффициентом доверия 8= 0,95;

0, и 0,995 для значений тп и N - тп = 1(1)20(2)30(5)50(10)60(20)100, 200, 500. Ана логичная таблица (табл. 10) имеется и в [4].

Пример 11.3. При объеме партии, определенном для тп = 0, во время испытаний по плану [N, В, t] происходит один отказ. Найти доверительные границы для ве роятности отказа и определить, насколько необходимо увеличить размер партии, чтобы с гарантией в 95% подтвердить уровень вероятности безотказной работы не менее 0,9. Как изменяются доверительные границы и объем партии, если не обходимо подтвердить уровень P(t) 0,95?

Решение. Из табл. 5.2 в [3] для доверительной вероятности 5 = 0,95 и т - 0 нахо дим N = 29. Затем при N= 29 и т = 1 определяем границы: 0,002 Q 0,149. Для снижения Q необходимо увеличить N. По той же таблице находим, что при JV= 46 (N - т = 45 и т = 1) вероятность 0,001 Q 0,099, то есть необходимо увеличить размер партии на 17 изделий (на 59%). Если же при N = 46 откажут два изделия, то QB = 0,1 достигается при JV=59 + 2 = 61. Следовательно, необхо димо увеличить размер партии на 15 изделий (на 33%). Для подтверждения уровня P(t) = 0,95 при отсутствии отказов необходимо испытать 60 изделий, а при одном отказе — 98 изделий, то есть на 38 изделий (63%) больше.

Точное решение задачи о доверительном интервале в некоторых случаях полу чить затруднительно. Это объясняется сложностью непосредственного решения уравнений Клоппера — Пирсона, а также ограниченностью опубликованных таб лиц биномиального распределения. В таких случаях для расчетов, не требующих высокой точности, можно находить приближенные решения, основанные на использовании распределения Пуассона и нормального распределения. Рассмот рим три такие возможности.

Пуассоновское приближение. Если Q мало, N велико и т « N, то справедливо выражение (11.6) С помощью (11.6) уравнения (11.2) и (11.4) преобразуются следующим образом:

(11.7) (11.8) Для определения ан и ав можно использовать таблицы распределения Пуассона (например, табл. 7 в [4], табл. 7.2 в [2]). Для входа в таблицу необходимо задать варианту т и вероятность у" и найти параметр распределения ав. Аналогично по значениям (т - 1, 1 - у") определяют ан, а затем делением на N вычисляют границы Q,, и QB. Вместо таблиц распределения Пуассона можно использовать таблицы квантилей %2 -распределения, используя тот факт, что квантиль %2 -рас пределения и по уровню вероятности р при числе степеней свободы k = 2т + связана с параметром а распределения Пуассона, найденным по значениям р и т, соотношением и(р, 2т + 2) = 2а(р, т). Учитывая (11.7) и (11.8), находим:

(11.9) Пример 11.4. При испытании 100 источников стабилизированного питания в те чение 2000 ч было зарегистрировано два отказа. Найти доверительные границы для вероятности отказа одного источника за время 2000 ч с коэффициентом до верия 0,9.

Решение. Поскольку здесь число отказов значительно меньше числа испыты ваемых изделий и точечная оценка Q = 0,02 свидетельствует о том, что веро ятность отказа мала, для решения задачи используем пуассоновское приближе ние. По исходным данным определяем у' = (1 - 0,9)/2 = 0,05, 1 - у" = 0,95. Из табл. 7 в [4] при й = т - 1 = 1 и а = 1 - у " = 0.95 находим аи = 0,35536, а при ?

d=m-2ua=y' = 0,05 находим ав = 6,29579. Отсюда 0,00355 Q 0,063. Тот же результат можно получить и с помощью табл. 2.2а в [3]. При 1 - у" = 0, и п = 1т = 4 имеем ии = 0,711, а при у" = 0,05 и п = Ъп + 2 = 6 имеем ив = 12,592.

Подставляя иц и иа в (11.9), вычисляем искомые границы. При 5= 0,95 можно сравнить результаты, полученные по таблицам биномиального и х2~распределе ния: 0,004 Q 0,062 (биномиальное) и 0,0024 Q 0,072 ^-распределение).

Точность оценок при пуассоновском приближении получается вполне удовле творительной.

Приближение Большева—Смирнова. Если Q мало, iV велико и тп (N - 1)/2, то при приближенных расчетах доверительных границ вместо биномиального рас пределения в уравнениях Клоппера—Пирсона (11.2) и (11.4) можно использо вать распределение Пуассона (11.7) и (11.8) со значениями параметров anJ2N'm^;

(^+Ш.,..) Й||= (11 " 2-Q. " 2-е,, Отсюда при m « N и Q « 1 получаем ап и NQB, ан » NQl{, то есть получаем выражения параметров при пуассоновском приближении. Решая (11.10) относи тельно Q,, и Q,,, находим:

2a. 2a,,(m-l, 1-y") п »(m,Y) Q 2N-m+ 1 + a M (m-l, 1-y" ) ' 2N~m+aB(m, у')' Если же используются таблицы х2-распределения, то Q.= ^!^00 И „(2т, 1-у") л 2Л^-7п + 0,5м„(2т + 2, у') " 2N-m+ 1 + 0,5м„(2т, 1-у") Пример 11.5. В условиях примера 11.4 найти доверительные границы с коэффи циентом доверия 0,95, используя приближение Большева—Смирнова.

Решение. Из табл. 2.2а из [3] находим м„(4;

0,95) = 0,484;

ив(6;

0,025) = 14,45. Под ставляя эти значения в (11.11), получаем 0,00234 Q 0,0705.

Нормальное приближение. При достаточно больших NQ при решении уравнений Клоппера—Пирсона можно использовать формулу Муавра—Лапласа:

(и.12) w(i-2)- ~ ~ ф { ^ М \ - ф [ ^ Щ ;

O(x) = - L ? e - " 2 / 2 ^, V2n о где Ф(х) — функция Лапласа. Поскольку формула (11.12) применяется при боль ших значениях NQ (NQ 9), вторым слагаемым можно пренебречь. Определяя квантиль нормального распределения zp, по уровню у" и используя симметрию этого распределения, получаем уравнение Отсюда нетрудно найти (11.13) Аналогично, (11.14) Достоинством этих формул является то, что они не требуют использования таб лиц. Квантили zp можно заготовить заранее для применяемых на практике уров ней значимости: 20,95 = 1,645;

z o g = 1,29;

Z0975 = 196.

Пример 11.6. При испытаниях 500 датчиков дискретной информации в системе централизованного контроля и управления в течение 1000 ч были зарегистриро ваны отказы в 12 из них. Необходимо найти доверительные границы для вероят ности отказа с коэффициентом доверия 5 = 0,9.

Решение. Согласно исходным данным, z 5 = 1,645. Подставляя эти значения в (11.13), находим: 0,0141 Q 0,0392. То чечная оценка Q = 0,024.

11.5. Оценка параметра экспоненциального распределения.

Точечная оценка. Доверительный интервал Пусть известно, что изделия имеют экспоненциальное распределение наработки до первого отказа F(t) - 1 - ехр(-А.). Необходимо оценить параметр этого рас пределения X, имеющий смысл интенсивности отказов. В математической стати стике предлагается несколько методов для' получения точечной оценки парамет ра А.. Одним из наиболее распространенных и эффективных методов является метод максимального правдоподобия, предложенный английским статистиком Р. А. Фишером в 1912 г. Сущность метода состоит в следующем [21].

Пусть в результате испытаний, проведенных по некоторому плану, зарегист рированы отказы в моменты th t2,..., tm. Число т может быть заранее заданным или случайным (в частности, т = 0), однако времена t: являются случайными величинами. Поэтому вектор X = (tt, t2,..., tm) можно рассматривать как реали зацию многомерной случайной величины. Если известна функция распределе ния наработки одного изделия F(t, А), зависящая от совокупности параметров А = (аи а2,..., (if.) (в частности, от одного параметра), постольку для каждого конкретного плана испытаний можно составить элемент вероятности того, что в испытаниях будут получены отказы в моменты t;

.

где p(tu tb..., tm, A) — многомерная плотность распределения случайного вектора (Г(, Т2,..., Тт). Если зафиксировать t, такими, какими они оказались на самом деле при испытаниях, и изменять значения параметров А в некотором интервале, то заметим, что плотность p(tt, t2,..., tm, А) имеет максимум. Согласно методу максимального правдоподобия, точечная оценка А =(ал, а2,..., щ) параметров аь а2,..., а^ должна обладать следующим свойством: обеспечивать максимальное значение плотности вероятности наблюдаемого исхода испытаний, то есть На практике удобнее отыскивать не максимум функции р(А), а максимум In p(A).

Такая замена допустима, так как оба максимума достигаются в одной и той же точке. Функция L = In p(A) называется функцией правдоподобия, и с ее помо щью задача определения точечной оценки ставится так: А должно обеспечивать максимальное значение функции L, то есть Точка ~А = (а,, а2,..., а,.) в области А, обеспечивающая maxl, находится методом (А) градиента, согласно которому А является решением системы уравнений правдо подобия В частности, в случае однопараметрического экспоненциального распределения необходимо решить только одно уравнение, Рассмотрим теперь некоторые конкретные планы испытаний и найдем точечные оценки [17].

План [N, В, Т\. Поскольку испытания проводятся с немедленной заменой отка завших изделий работоспособными и заканчиваются в момент Т, мы учитываем, что интервалы между отказами распределены по экспоненциальному закону с одним и тем же параметром NX, а в интервале (,„, 7) все изделия проработали безотказно. Составим выражение для элемента вероятности наблюдаемого исхо да испытаний:

Отсюда L = т ln(NX) - NXT.

Уравнение правдоподобия Отсюда точечная оценка (11.15) Из (11.15) следует, что достаточной статистикой испытаний является число от казавших изделий т. Это вовсе не означает, что в процессе испытаний не требу ется непрерывного контроля работоспособности. Он необходим для своевремен ной замены отказавших изделий, хотя в протоколы испытаний моменты отказов заносить не обязательно.

Исследуем следующие свойства полученной оценки: несмещенность, состоя тельность, эффективность. В математической статистике показывается, что при достаточно общих условиях, накладываемых на функцию распределения нара ботки на отказ одного изделия F(t, А), оценка максимального правдоподобия эф фективна независимо от плана испытаний. Поэтому остается проверить несме щенность и состоятельность.

Достаточная статистика т распределена по закону Пуассона с параметром NXT, поэтому ее математическое ожидание и дисперсия Mm = Dm = NXT. Тогда из формулы (11.15) находим:

где 5 В (7) — суммарная наработка всех изделий за время испытаний по плану типа В. Отсюда следует, что точечная оценка (11.15) является несмещенной и эффективной.

План [N, Б, 7]. Поскольку испытания проводятся без замены отказавших из делий, число работоспособных изделий после каждого отказа уменьшается на единицу и н а ! уменьшается суммарная интенсивность отказов. Согласно плану испытаний, элемент вероятности где ANm — число размещений из N элементов по т;

SE(T) — суммарная наработка всех изделий за время испытаний по плану типа Б, определяемая по формуле Функция правдоподобия Уравнение правдоподобия Точечная оценка Х = т/ SB(T). В достаточную статистику здесь входят уже две величины: число отказов т и суммарная наработка 5 Б (7). Чтобы определить сум марную наработку, необходимо точно фиксировать моменты всех отказов, то есть для получения точечной оценки здесь впервые потребовались моменты всех отказов.

План [N, В, г]. Времена между соседними отказами (Z 1 ( Z2,..., Z,.) имеют экспо ненциальные распределения с параметром Л = NX. Поэтому многомерная плот ность распределения вектора (Z l 7 Z2,..., Zr) имеет вид Функция правдоподобия Уравнение правдоподобия Отсюда (11.16) Поскольку tr имеет распределение Эрланга с параметрами NX и г, нетрудно найти математическое ожидание оценки Поскольку оценка получается смещенной, необходимо устранить смещение и вме сто (11.16) принять Чтобы найти дисперсию несмещенной оценки максимального правдоподобия, надо сначала найти второй начальный момент Дисперсия несмещенной оценки Чтобы уменьшить дисперсию точечной оценки, надо назначить достаточно боль шое значение г.

План [N, Б, г]. Многомерная плотность распределения вектора (Zh Z2,..., Zr) име ет вид Функция правдоподобия Уравнение правдоподобия Оценка максимального правдоподобия Статистика SB(r) имеет распределение Эрланга с параметрами (г, X). Потому эта оценка также смещенная, как и (11.16). Несмещенная оценка Заметим, что полученные точечные оценки, как и любые другие точечные оцен ки, при малом объеме испытаний неустойчивы, обладают большой дисперсией и могут создать неверное представление о действительной интенсивности отказов.

Поэтому кроме них используют оценки с помощью доверительных интервалов.

Двусторонним доверительным интервалом для параметра X с коэффициентом доверия 8 называют интервал (Хи, Хв) со случайными границами, зависящими от исхода испытаний и такими, что вероятность покрытия этим интервалом неизвестного значения X не менее заданной вероятности: Р(ХИ X Хв) 5. Ве роятности (11.17) называются уровнями значимости при определении нижней и верхней гра ниц соответственно. Они связаны с доверительной вероятностью соотноше нием 5 + у' + у" = 1.

Уравнения (11.17) являются уравнениями, из которых находят доверительные границы Хн и Хв.

Нижним и верхним односторонними доверительными интервалами называют соответственно интервалы (0, X[t) и (Хи, со) такие, что Р(0 X Хк) 5;

Р(Хп X оо) 5. Здесь уровень значимости у = 1 - 5 выражает вероятность того, что параметр X попадет в интервал (Хъ, со) или (О, ХН) соответственно. Рассмотрим теперь некоторые конкретные планы испытаний.

План \N, В, Т]. Достаточная статистика m распределена по закону Пуассона с па раметром а = NXT. Если зафиксировать NT и построить зависимости от m при различных X, то получим семейство ступенчатых функций, которые после сгла живания имеют вид как на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Определение доверительных границ параметра экспоненциального распределения с помощью принципа Клоппера—Пирсона Параметр семейства а увеличивается в направлении, указанном стрелкой. Чтобы найти доверительные границы, необходимо, как и при оценке вероятности отка за, найти такие функции семейства, которые проходили бы через точки 1 и 2 пе ресечения перпендикуляра из точки m с горизонтальными прямыми на уровне у' и 1 - у". Составляя соотношения для точек 1 и 2, получаем уравнения Клоппе ра—Пирсона:

(11.18) Второе уравнение (11.18) преобразуется к виду Для решения уравнений можно использовать таблицы распределения Пуассона или х 2 -распределения. При использовании таблиц распределения Пуассона по следовательность действий следующая:

а при использовании таблиц х2 -распределения — При m = 0 нижняя граница Хп =0, а верхнюю находят из уравнения (11.18):

(11.19) где b = 2,3 при 8 = 0,9! b = 3 при 5 = 0,95 и Ъ = 3,68 при 5 = 0,975. Из формулы (11.19) следует, что для подтверждения заданного уровня интенсивности от казов даже при безотказной работе всех изделий необходима наработка, при близительно втрое превышающая среднюю наработку Гср „ = 1/Х,в. Если проана лизировать справочные данные о надежности логических элементов и типовых элементов радиоэлектронной аппаратуры, то можно заметить, что многие из этих элементов имеют интенсивности отказов 10~7 ч~! и меньше. Так, резисторы, конденсаторы и трансформаторы имеют Х = 10~8...10~9 ч"1, соединения паяные и микросхемы — до 10~10...10~11 ч"1, а сварные электрические соединения — до 10~и...10"12 ч"1. Из формулы (11.19) видно, насколько трудно экспериментально определить эти значения. При Хв = 10~7 ч~1 необходимо в течение года испыты вать 3500 элементов, при Хв = 10~8 ч^1 — 35 000 элементов, при Хв = 10~п ч"1 — десять миллионов элементов в течение 3,5 лет, или один миллион — в течение лет. Если же столь высокие значения интенсивности отказов задаются для сложных изделий, то практически не удается экспериментально подтвердить расчетные значения. Для серии из 1000 изделий практически предельной вели чиной X, о подтверждении которой может идти речь, является 10"7 ч"1, поскольку и в этом случае даже при безотказной работе для сбора сведений потребует ся эксплуатация в течение 3,5 лет, что для многих систем близко к периоду морального старения.

Пример 11.7. Из испытаний контрольно-измерительной аппаратуры получена следующая статистика: за 1000 ч в 20 приборах зарегистрированы 22 отказа.

Оценить интенсивность отказов с коэффициентом доверия 0,9, если известно, что закон распределения между соседними отказами одного прибора экспонен циальный.

Решение. Согласно (11.15), точечная оценка X = 22/(2 • 104) = 1,1 • 10~3 ч~'. Для вычисления доверительного интервала воспользуемся табл. 2.2а из [3]. Для 5i = 1 — у" = 95% и п = 14 находим и„ = 29,787, а для / = 5% и п = 46 имеем 4 3 ив = 62,83. Отсюда Хв = 29,787 / (4 • 10 ) = 0,745 • 10~ ч"', Хв = 62,83/(4 • 10 ) = 3 = 1,57 • 10" ч".

План [N, Б, Т\. Поскольку именно этот план рассматривался в разделе 11.4 при вычислении доверительных интервалов для вероятности отказа, можно восполь зоваться готовыми результатами, учитывая соотношение (11.20) Определяя Q,, и QB по формулам (11.2) и (11.4), из (11.20) находим:

(11.21) Из формул (11.2), (11.4) и (11.21) следует, что для вычисления доверительного интервала достаточно знать лишь количество отказов за время Т, тогда как для вычисления точечной оценки максимального правдоподобия необходимо знать также суммарную наработку за время испытаний, что существенно усложняет проведение испытаний.

Пример 11.8. Известно, что за первые 10 000 ч наблюдения за 650 генераторами постоянного тока (ГПТ) отказали 15 из них. Считая ГПТ невосстанавливаемыми изделиями, определить доверительные границы для средней наработки до пер вого отказа с уровнем значимости 0,05.

Решение. При таком количестве отказов можно использовать нормальное прибли жение для биномиального распределения. Подставляя в (11.13) и (11.14) т = и z5 = 1,96, находим Qu = 0,0135;

Q,( = 0,0386 (для сравнения отметим, что при ис пользовании приближения Большева—Смирнова Q,, = 0,01295, Q,, = 0,0377). От сюда Гер „ = 1Д В = -Г/1п(1 - QB) = 10У1п (1/0,9614) = 104/0,0392 = 2,55 • 105 ч;

Гср „ = 1Д, = 104/0,0135 = 7,4 • 105 ч.

План [N, В, г]. Уравнения Клоппера—Пирсона имеют вид (11.22) где FE(a, г) — распределение Эрланга с параметром формы г, а — варианта. Уравне ния следует решать с помощью таблиц распределения Эрланга [5, табл. VII], оп ределяя квантиль а„ по значениям (у', г) и квантиль ав — по значениям (1 - у", г).

Затем находят границы доверительного интервала:

(11.23) Удобнее использовать более распространенные таблицы распределения Пуассона U(m, а) [2], [4], [6], где т — варианта, а — параметр распределения, если учесть, что FE(a, г) = 1 - П(г - 1, а). Для этого надо записать уравнения Клоппера— Пирсона в виде Задавая вероятность 1 - у' и варианту г - 1, находят сначала соответствующий параметр ап, а затем по формуле (11.23) — нижнюю границу Хп. Аналогично на ходят и Хп. Тогда (11.24) В частности, при г = 1 имеем При использовании таблиц %2 -распределения доверительные границы находят по формулам где — квантили -распределения с k = 2r степенями свободы.

Пример 11.9. При испытаниях 50 экземпляров процессорной платы РШ до первого отказа получена наработка t\ = 1300 ч. Найти доверительный интер вал для средней наработки на отказ платы РШ с коэффициентом доверия 0,8.

Если относительная длина интервала 5( превысит значение 1,6, то продолжить испытания 50 экземпляров до второго отказа. Если и тогда 5, 16 то продол,, жить испытания до выполнения указанного условия.

Решение. Согласно условиям задачи, план испытаний относится к типу \N, В, г], JV= 50, г= 1. Согласно (11.23), Хи = 1,62 • 10~6 ч^1, Хв = 3,54 • 10~5 ч 1. Доверитель ные границы для средней наработки на отказ Г„ = 28 230 ч, 7j, = 616 930 ч, отно сительная длина интервала 8, = 2(ГВ - Г н ) / (Тв + Тн ) = 1,82. Продолжение испы таний до второго отказа приводит к суммарной наработке t2 = 2400 ч. Отсюда Г„ =^30 770 ч, Тв = 226 400 ч, 8, = 1,52 1,6. Середина доверительного интерва ла Т = 128 590 ч.

План [N, Б, г]. Поскольку суммарная наработка всех изделий до окончания испыта ний Sb(r) имеет распределение Эрланга с параметрами (г, X), постольку уравне ния Клоппера—Пирсона имеют вид (11.22), а границы доверительного интервала При длина доверительного и н т е р в а л а м и н и мальна среди других значений, когда 11.6. Постановка задачи контроля надежности В процессе производства изделия подвергаются различным видам контроля, предусмотренным программой обеспечения качества и надежности. Так, входно му контролю подлежат многие комплектующие изделия. На промежуточных этапах технологического цикла контролируется качество функциональных узлов и блоков. Наиболее полная комплексная проверка качества изделий осуществля ется при выходном контроле производства [16]. Каждое изделие проверяется на соответствие техническим условиям (ТУ), испытывается на работоспособность в граничных режимах (проводятся температурные испытания, испытания на вибрацию, при повышенном и пониженном давлении и др.). При массовом про изводстве, когда нет возможности тщательно проверить каждое изделие, про водится выборочный контроль качества (дефектности), при котором по малой партии (выборке) делают заключение о качестве большой партии (генеральной совокупности) и принимают решение о ее приемке или браковке. Выборочный контроль в некоторых специальных режимах может проводиться и при малосе рийном производстве.

Перечисленные виды контроля имеют целью установить уровень качества. Изде лия, благополучно прошедшие все виды контроля качества, объявляются конди ционными. Однако этого недостаточно для успешной работы изделий на местах эксплуатации. Необходимо установить, насколько устойчиво качество изделий во времени. С этой целью и проводятся контрольные испытания надежности.

Они осуществляются по окончании всех других видов контроля и предназначе ны для того, чтобы определить, удовлетворяет ли данная партия изделий задан ным требованиям к надежности.

Конечным результатом контроля, как правило, является одно из двух решений:

считать партию хорошей, то есть удовлетворяющей требованиям к надежности, или забраковать ее как ненадежную. Важная особенность контроля надежности заключается в том, что решение о приемке и браковке принимается по отноше нию не к отдельным изделиям, как при выходном контроле качества, а к целой партии, однородной в смысле начального уровня качества (все изделия в партии кондиционные), причем не только к той партии, которая испытывается, но ко всем партиям большего объема. В этом его отличие от статистического контроля дефектности, где, строго говоря, решение распространяется на вполне опреде ленную партию большего объема.

Как и в случае определительных испытаний, для проведения контрольных испы таний необходимо составить план, называемый планом контроля [14]. Он пред ставляет собой совокупность условий испытания и правил принятия решения о приемке или браковке. Состав исходной информации для расчета параметров плана контроля определяется критерием надежности. В зависимости от выбора контролируемой характеристики надежности все планы контроля делятся на две группы: планы контроля вероятности отказа и планы контроля параметров зако на распределения. Далее для определенности будем рассматривать планы пер вого типа, хотя почти все рассуждения справедливы и для планов второго типа.

При контроле вероятности отказа требования к надежности задаются с помощью двух чисел и, имеющих следующий смысл: партия считается кондицион ной («надежной»), если вероятность отказа Q Qo, и некондиционной («нена дежной»), если Q Q,. При контроле надежности выносится решение о конди ционности или некондиционности партии (в первом случае она принимается, во втором — бракуется). Следует обратить внимание на то, что при проведении оп ределительных испытаний и при теоретических расчетах требования к надежно сти часто задаются с помощью одного числа (}„ и изделие считается надежным, если верхняя оценка Q,, Q,3, и ненадежным в противоположном случае. При контроле надежности принципиально нельзя ограничиться заданием только одного числа, так как в этом случае не удается обеспечить равные условия по уровням рисков принять неверное решение для обеих заинтересованных сторон, участвующих в контроле надежности. Промежуточная зона (Qo, Qi), называемая расстоянием между основной и конкурирующей гипотезами, вводится для хоро шего различения двух основных уровней (кондиция и брак), и чем она шире, тем проще принять статистическое решение. Контрольные испытания заканчивают ся принятием одной из следующих конкурирующих гипотез: Я о — партия конди ционная (0 Q Qo), Н{ — партия некондиционная (Q) Q 1). Поскольку ста тистическое решение принимается на основе неполной информации, существует конечная вероятность совершить ошибку первого (хорошая партия бракуется) или второго (плохая партия принимается) рода.

Вероятность ошибки первого рода называется риском поставщика и представля ет собой вероятность того, что будет принята гипотеза Hit хотя на самом деле верна гипотеза Но (вероятность отказа Q QQ). Решение о верности гипотезы Но или Hi принимается на основе критерия и. Если значение критерия, полученного на основании выборки, попадает в область So, то принимается гипотеза Но. Если же это значение попадает в критическую область 5^ то гипотеза Я о отвергается и принимается гипотеза Н^. Поэтому ошибку первого рода (риск изготовителя, по ставщика) рассчитывают как условную вероятность (11.25) Вероятность ошибки второго рода называется риском заказчика и представляет собой вероятность того, что будет принята гипотеза Но, хотя вероятность отказа Q Qj. При использовании критерия и ошибку второго рода рассчитывают как условную вероятность того, что значение критерия окажется в области 5 0 при условии, что на самом деле верна гипотеза Н{.

(11.26) Исследование зависимостей а и р от Q показывает, что они достигают максимума на границе указанного в (11.25) и (11.26) диапазона и планирование контроль ных испытаний ведется в расчете на максимальные значения риска потребителя и заказчика:

(11.27) (11.28) Значения Qo, Qit а и р являются исходной информацией для расчета парамет ров плана контроля. В процессе планирования находят объем контролируемой партии и приемочные нормативы. Приемочными нормативами называются некоторые постоянные числа, которые являются границами области 5 0 или St и при сравнении которых с числом отказавших изделий т принимается одна из конкурирующих гипотез. Правила принятия решения определяются методом контроля.

В настоящее время используются три основных метода статистического контро ля надежности: однократной выборки, двукратной выборки и последовательного контроля.

При однократной выборке существует один приемочный норматив с. Если при испытании партии из N изделий отказали т из них, то решение принимается со гласно правилу: тс — партия кондиционная (верна гипотеза Я о );

т с — пар тия некондиционная (верна гипотеза //,).

Контроль по однократной выборке легче спланировать и осуществить. Однако он наименее экономичен и требует сравнительно большого объема испытаний, особенно для партий с высокой надежностью.

При двукратной выборке существует два этапа. На первом этапе по результа там испытаний П\ изделий с помощью двух приемочных нормативов сх и с выносится одно из трех решений: т{ с{ — принять партию (верна гипотеза Я о );

т{с2 — забраковать партию (верна гипотеза Я,);

Cj Wj с2 — произвести вто рую выборку.

В последнем случае испытывается еще N2 изделий, определяется число отка завших изделий т2 и выносится решение: т2 с3 — принять партию (верна гипо теза Я о );

т2 с3 — забраковать партию (верна гипотеза Н^.

Метод двукратной выборки более экономичен. Но это его главное преимущест во проявляется лишь при контроле больших партий с очень высокой или очень низкой надежностью. При промежуточном уровне надежности выигрыша в объ еме испытаний почти нет. Расчеты же, связанные с таким контролем, сложнее, чем при однократной выборке. Кроме того, увеличивается время контроля. По этому метод двукратной выборки применяется сравнительно редко.

При последовательном контроле приемочные нормативы рассчитываются не в виде отдельных чисел, а в виде двух функций, с, = C\(N) и с2 = c2(N). Для каждо го конкретного N определяется число отказавших изделий m{N) и сравнивается с граничными значениями Cj и с2. По результатам сравнения выносится решение:

m(N) ct(N) — принять партию (верна гипотеза Я о );

m(N) c2(N) — забрако вать партию (верна гипотеза Я,);

c{(N) m(N) c2(N) — продолжить испытания.

Объем контролируемой партии Л^ изменяется от некоторого минимума до такого значения, когда будет принята одна из гипотез: Я о или Hb Таким образом, объем контролируемой партии и, как следствие, время контроля случайны. Этот метод является самым экономичным. Техническое его осуществление не связано с осо быми трудностями. Недостатком метода является возможное, хотя и маловеро ятное увеличение времени контроля. Однако рациональной организацией испы таний такое увеличение можно свести к минимуму.

Далее рассмотрим методику расчета планов контроля при однократной выборке и при последовательном контроле.

11.7. Контроль надежности по однократной выборке Пусть необходимо проконтролировать надежность некоторой партии изделий.

Требования к надежности каждого изделия заданы в следующем виде: изделие надежно, если вероятность его отказа Q в течение заданного времени t не превы и шает Qo(O ненадежно, если Q(t) Q\(t). В процессе контроля требуется при нять статистическое решение о том, являются изделия данной партии надежными или нет, и на этом основании принять или забраковать всю партию, обеспечив риск поставщика не более а, а риск заказчика не более р. Так как закон распреде ления наработки изделия Q(t) неизвестен, то, как и в случае определительных испытаний (см. 11.4), выбираем план [N, Б, t], где длительность испытаний Гсов падает со временем t работы изделия в нормальной эксплуатации. Для проведения испытаний и принятия решения кроме Qo и Qi необходимо знать еще четыре числа: риски а и р, объем партии JV и приемочный норматив с. Если два из них задать, то два других можно определить по уравнениям (11.27) и (11.28).

Если задаются N и с, а определить нужно риски а и р, то получаем прямую зада чу планирования контроля. Если же задаются а и р, а определяются N и с,то по лучаем обратную задачу планирования.

Найдем теперь явный вид уравнений (11.27) и (11.28). Поскольку число отказов изделий m за время испытаний t распределено по биномиальному закону, мы вме сто (11.27) и (11.28) можем записать:

(11.29) (11.30) В частности, при с = 0 имеем:

(11.31) При с 0 уравнения (11.29) и (11.30) можно решать с помощью таблиц биноми ального распределения. Если же N велико, a Q мало, то можно воспользоваться пуассоновским приближением или приближением Большева—Смирнова для биномиального распределения. При пуассоиовском приближении уравнения (11.27) и (11.28) заменяются следующими:

(11.32) (11.33) При использовании приближения Большева—Смирнова значения а0 и а, вычис ляются по формуле (11.34) С помощью уравнений (11.29)—(11.34) легко решить прямую задачу планиро вания контроля, задавая с и N и определяя а и р. Значительно сложнее решить обратную задачу, так как не удается получить в аналитическом виде выражение для с, входящего в пределы сумм формул (11.23) и (11.24). Поэтому с подбирают путем расчета достаточно большого числа вариантов. Прямое вычисление воз можно лишь тогда, когда удается воспользоваться нормальным приближением биномиального распределения.

При малом Q, большом N и достаточно большом NQ справедлива формула Муав ра—Лапласа, с помощью которой уравнения (11.29) и (11.30) записываются в следующем виде:

где Ф(х) — функция Лапласа, определяемая по формуле (11.12).

Определяя квантили нормального распределения по уровням 1 - а и (3 и исполь зуя свойство мр = -м,_ р, получаем два уравнения:

Пренебрегая здесь под корнем величиной Q, по сравнению с единицей, имеем:

(11.35) Складывая эти уравнения и обозначая ц = Q, / Qo, находим:

откуда (11.36) По известным а, Риг) находим сначала Nno формуле (11.36), а затем с по форму ле (11.35).

Пример 11.10. Определить объем однократной выборки и риск заказчика в пла не контроля надежности по вероятности с приемочным нормативом с = 0 и рис ком изготовителя а =0,15 если известно, что Qo = 0,01, a Q{ = 0,1.

Решение. Используя пуассоновское приближение, из формулы (11.32) получаем а0 = —1п(1 - а) = 0,162. Отсюда N = а о /Оо « 1 6. Теперь по формуле (11.34) нахо дим р = 2,202. Уточнение рисков по формулам (11.31) дает а = 1 - 0,99 6 = 1 - Ю-°'0704 = 0,1496;

р = 0,916 = Ю- 0 ' 7 3 2 8 = 0,185.

Пример 11.11. Определить объем однократной выборки и приемочный норма тив в плане контроля надежности партии изделий с риском изготовителя и за казчика, не превышающим 10%, если известно, что вероятность отказа изделий из кондиционной партии за время t = 200 ч не должна превышать 0,01 и что пар тия признается некондиционной, если эта вероятность превышает 0,05.

Решение. Используя таблицу квантилей пуассоновского распределения (табл. в [4]), находим, что квантили для уровней вероятностей 0,9 и 0,1 различаются в 23 раза при с = 0, в 7,3 раза при с = 1 и в 4,85 раза при с = 2. Поскольку здесь Л = Qi/Qo = 5, выбираем с = 2. Тогда а0 - 1,102, ак = 5,322, откуда получаем J V = 110;

р = 0,09 0,1.

Пример 11.12. Контролю надежности методом однократной выборки подлежит большая партия изделий с граничными значениями вероятности отказа за время t = 500 ч: Qo = 0,05, Qj = 0,1. Необходимо выбрать объем партии и приемочный норматив так, чтобы обеспечить риск изготовителя и риск заказчика а = р = 0,05.

Решение. Используя нормальное приближение биномиального распределения, из формулы (11.25) при 1 - а =1 - р = 0,95, мо,95 = 1,645, ц =5 находим а 0 = 15,8.

Отсюда N= CIQ/QQ = 316. Теперь по формуле (11.35) определяем с = 1,645 • 3,97 + + 15,8 - 0,5 и 22. Так как а0 = NQ^ получилось довольно большим, применение нормального приближения правомерно и найденные параметры планов контро ля имеют приемлемую погрешность.

При решении обратной задачи, когда приходится выбирать N и с перебором ряда вариантов, полезно иметь в виду следующее. С увеличением объема партии N и неизменном с увеличивается риск изготовителя а, но зато снижается риск потребителя р. При увеличении же с и неизменном N, напротив, увеличивает ся р, но уменьшается а. При одновременном пропорциональном росте N и с риск потребителя всегда снижается, причем весьма быстро, а риск изготовителя а может даже сначала возрасти, но затем, начиная с некоторых значений N и с, также уменьшается, хотя и медленнее, чем р. Об этом можно судить по данным табл. 11.2.

В некоторых планах контроля по ряду причин, не связанных с расчетами, не уда ется обеспечить приемлемые для обеих сторон риски. Например, такая ситуация возникает, когда объем партии ограничен и не допускается повышенный риск за казчика или, напротив, когда в целях сокращения времени контроля требуется принять с = 0 и одновременно не превысить заданное значение риска изготовите ля. Тогда контроль планируется в интересах только одной стороны (изготовите ля или потребителя), и рассчитываются два норматива: с 0 — приемочное число, c t — браковочное число. При контроле в интересах изготовителя используется число с 0 и решение принимается согласно следующему правилу: тс0 — партия кондиционная, т с0 — партия некондиционная.

Таблица 11.2. Риски изготовителя и заказчика при изменении объема партии и приемочного норматива Р а р N с NQo NQi a NQx 0, 15 1 0,75 1,50 0, 0,173 0, 1, 0, 30 2 1,50 3,00 0, 0,191 0, 1,50 3, 0, 75 5 3,75 7,50 0,168 0, 3, 0, 0, 150 10 7, 7,50 15,0 0,138 0, 0, 300 20 15, 15,0 30,0 0,083 0, 30, При контроле в интересах потребителя решение принимается с помощью с{ со гласно правилу: т ct — партия некондиционная (брак), т сх — партия конди ционная. При с 0 = с1 - 1 оба правила объединяются в одно, сформулированное ранее. В общем же случае может быть с 0 = с, и даже со с^.

Пример 11.13. На заводе изготовлена партия из 100 устройств индикации дан ных. Необходимо провести контроль надежности этих устройств в интересах из готовителя и в интересах потребителя, полагая, что вероятность отказа кондици онных изделий в течение 1000 ч не должна превышать 0,01, а некондиционными являются те изделия, вероятность отказа которых за то же время превышает 0,03.

Риск изготовителя и риск потребителя не должны превышать 5%.

Решение. Поскольку число контролируемых изделий довольно велико, a Qo и Qi малы, пользуемся пуассоновским приближением. Выбираем сначала N к с так, чтобы а = 0,05, a N 100. По табл. VII, приведенной в [5], находим, что а 0, обеспечивается при (JV, с) = (5;

0), (36;

1), (86;

2) и (136;

3). Выбираем N = 82, с = 2. По формуле (11.24) вычисляем, что р= 0,583 » 0,05, то есть при задан ных ограничениях не удается удовлетворить одновременно требования изго товителя и потребителя. Поэтому составим два плана. При контроле в интере сах изготовителя примем N = 82 и с0 = с = 2. Выясним, можно ли при таком объеме партии обеспечить р 0,05. Полагая с\ = 1, вычислим р = ехр(-0,03 • 82) = = ехр(-2,46) = 0,085 0,05, то есть даже при безотказной работе всех 82 уст ройств риск потребителя больше заданного. Увеличим число контролируе мых изделий до максимально возможного N= 100. Тогда при q = 1 риск р = = ехр(-З) = 0,0498 0,05. Принимаем сх = 1. Однако при N = 100 и с0 = 2 риск а = 0,0803. Поэтому увеличим с0 на единицу и найдем при с0 = 3, что а = 0,019.

Итак, выбираем N = 100, с0 = 3, = 1. При этом риск а = 0,019, риск р = 0,0498.

11.8. Последовательный контроль надежности Последовательный контроль не предусматривает предварительного определения объема испытаний [15]. Информация о надежности накапливается при последо вательно возрастающем объеме испытаний. В зависимости от плана испытаний объем V выражается числом контролируемых изделий N, временем испытаний Т, суммарной наработкой tc и т. д. При планировании контроля на каждом из по следовательных этапов составляется так называемое отношение правдоподобия где тп — число отказов к моменту проверки;

Go и Gx — граничные значения кон тролируемого показателя надежности для кондиционных и некондиционных из делий соответственно (это могут быть Qo и Qlt Хо и Xh Гср0 и Гср1 и др.). Число уm сравнивается с оценочными нормативами: А = а / (1 - а), В = (1 - Р)/ а, где а и р — риски поставщика и заказчика соответственно. Число А есть отношение вероятностей принять плохую и хорошую аппаратуру;

В — отношение вероятно стей забраковать плохую и хорошую аппаратуру.

На каждом этапе контроля решение может быть вынесено на основании пер вичного правила: ут А — партия принимается;

у,„ В — партия бракуется;

А ут В — испытания продолжаются.

Вместо величин ут,АиВ можно использовать их логарифмы, и тогда первичные правила приобретают следующий вид: In In A — партия принимается;

In ym \пВ — партия бракуется;

In A In In В — испытания продолжаются.

Однако это правило не всегда удобно, так как требует для принятия решения не только логической операции сравнения, но и некоторых вычислений. Поэтому из первичного правила выводится вторичное, основанное на сравнении на каждом этапе числа отказавших изделий т с приемочными нормативами с0 и с ь являющи мися функциями объема испытаний V. Эти функции co(V) и Cj(V) определяют границы между зонами приемки, продолжения испытаний и браковки и нахо дятся из уравнений 1п 7,. 0 =1пЛ;

lny, : 1 =lnfl. (11.37) Рассмотрим теперь отдельно методику планирования последовательного контро ля вероятности отказа и интенсивности отказов.

Контроль вероятности отказа по биномиальному плану. Поскольку вид функ ции распределения наработки до отказа неизвестен, будем, как и при однократ ной выборке, использовать план [N, Б, t]. Тогда число отказов т имеет биноми альное распределение, и отношение правдоподобия равно Подставляя (11.38) в (11.37), находим:

сo l n - ^ + ( J V - c o ) h J — ^ ! - = 1пЛ;

c1\nQ- + (N-c.)ln?-Q- = ]nB.

Отсюда s = \n1~^-/D;

(11.39) co(N) = ho +sN, ho=\nA/D, 1 C2i / А,=1п/Д (11.40) cl(N) = ht+sN, D = ln^- + \n^—^-.

Нетрудно убедиться, что число h0 всегда отрицательно, a hi и 5 — положительны.

Функции (11.39) и (11.40) являются уравнениями двух параллельных прямых линий, пересекающих координатные оси в точках (h0, - ho/s) и (h0, - Пц/s). Нано ся эти прямые на графики, получаем графическую форму плана контроля. Пря мые линии разбивают первый квадрант на три зоны: приемки, продолжения ис пытаний и браковки (рис. 11.6, а). В процессе испытаний строится реализация случайного процесса m(N) и выясняется ее принадлежность одной из зон. Испы тания заканчиваются тогда, когда m(N) достигнет одной из границ промежуточ ной зоны 2 или пересечет ее.

Рис. 11.6. Графическая форма плана последовательного контроля Кроме графической, существует еще табличная форма плана контроля. В плос кости (т, N) образуются сечения, параллельные оси абсцисс и проходящие через точки т = 0, 1, 2..., и вычисляются те значения N, при которых пересекаются гра ницы зон. В таблицу заносятся значения т и соответствующие им граничные значения объема испытаний NOm и JVlra, определяемые согласно (11.28) и (11.29) по формулам (11.41) Область N NQm является областью приемки, N Л^,„ — областью браковки, a Nlm N NOm — областью продолжения испытаний.


Пример 11.14. Построить план последовательного контроля вероятности безот казной работы невосстанавливаемых изделий, в котором хорошей считается пар тия с вероятностью P(t) 0,99, а плохой — партия с P(t) 0,88. Риск поставщика а = 0,08, риск заказчика р= 0,06. План представить в графической и табличной формах до т = 10 и принять решение для (т;

N) = (1;

46), (4;

60), (5;

100).

Решение. Сначала находим In А = 1п(0,06/0,92) = -2,73;

In В = 1п(0,94/0,08) = = 2,464;

ln(Q,/Qo) = 2,485;

ln[(l - С2о)/(1 - Qi)] = 0,1177;

h0 = -1,049, Л, = 0,947, 5 = 0,0452. Отсюда точки пересечения координатных осей —hjs = —21;

-/%/s= 23,2, по ним строятся границы зон (рис. 11.6, б). Результаты расчетов по формуле (11.41) приведены в табл. 11.3.

Таблица 11.3. Табличная форма представления плана последовательного контроля вероятности отказа 1 т 0 44 67 78 89 9 1 Ш 0 1 55 6 N^m N^m 23 45 68 90 112 134 200 45 68 90 112 134 156 178 200 222 156 178 m -- 11 23 45.

23 45 68 90 112 134 156 178 Noom 68 90 112 134 156 178 На основании составленного плана выносим решение: при (т;

N) = (1;

46) при нять партию, при (4;

60) забраковать партию, при (5;

100) продолжить испытания.

Контроль интенсив7юсти отказов по суммарной наработке. Пусть контролю под вергается партия изделий с экспоненциальным распределением наработки одно го изделия между отказами F(t) = 1 - exp(-Xt). Партия считается хорошей, если X А.о, и плохой, если KXV В 11.5 было показано, что в планах типов В я Б количество отказов всех изделий контролируемой партии до получения суммарной наработки tc распределено по закону Пуассона. Поэтому отношение правдоподобия приобретает вид (11.42) Подставляя (11.42) в (11.37), находим:

Отсюда (11.43) (11.44) Как и раньше, партия принимается при т с0, бракуется при т С] и испытания продолжаются при с 0 т с1. Вместо этого правила иногда удобнее пользо ваться другим правилом, в котором участвуют граничные значения суммарной наработки tc0 и tci, соответствующие точкам пересечения прямых (11.43) и (11.44) с горизонтальными прямыми т = 0, 1, 2... Принимая в (11.43) и (11.44) с 0 = т и c t = m, получаем:

Партия принимается, если tc tcl, бракуется, если tc tcl, и испытания продолжа ются, если tc\ tc tc0.

Пример 11.15. В опытной эксплуатации находятся 100 непрерывно и одновре менно работающих восстанавливаемых устройств. Необходимо построить план последовательного контроля их надежности, обеспечивая риск поставщика не более 10%, риск заказчика не более 3% и полагая, что устройства восстанавлива ются практически мгновенно, а закон распределения наработки одного устрой ства экспоненциальный. Хорошими считаются устройства со средней наработ кой Гср 400 ч, плохими — устройства со средней наработкой Тср 200 ч. План представить в табличной форме до m = 10.

Решение. По исходным данным находим: Хо = 2,5 • 10~3 ч" 1, 7^ = 5 • 10~3 ч" 1, In А = 3,4, In В = 4,57, 1п(^., / Х о ) = 0,693. Поскольку восстановление мгновенное, вместо суммарной наработки tc можно контролировать время t = гс/100. Тогда t'o = c0/100 = 13,6 + 2,772m;

t\ = c,/100 = -9,09 + 2,772m. Результаты расчетов t] приведены в табл. 11.4.

Таблица 11.4. Табличная форма представления плана последовательного контроля средней наработки до отказа т 00 11 22 33 4 5 66 77 88 9 1 4 5 9 m « 13,6 16,4 19,14 21,92 24,69 27,46 30,23 33,00 35,78 38,55 41, о 13,6 16, « к* 4 - - - - 2,00 4,77 7,54 10,32 13,09 15,86 18, 2,00 4,77 7,54 10,32 13,09 15,86 18, Экономичность планов оценивают по среднему числу испытываемых изде лий. Для метода однократной выборки объем партии — неслучайная величина, определяемая по формуле No = ao/Qo г Д е ао ~ параметр распределения Пуас сона, вычисленный по уровню вероятности 1 - а при значении варианты т = с.

Для. последовательного контроля средний объем партии вычисляется по форму ле, заимствованной из [6, с. 135] и приводимой здесь без доказательства:

Расчеты по этой формуле показывают, что последовательный контроль дает в сред нем экономию от 30 до 50% по сравнению с контролем по однократной выборке.

Причем отношение Ncp/N0 уменьшается при сближении границ о и Qi и П Р И уменьшении риска поставщика и заказчика. Так, при а = р = 0,1 и л = Qt / Qo =2, отношение Ncp/N0 = 0,64, при а = (3 = 0,05 и том же г) оно уменьшается до 0,59, а при а =р = 0,1 и л = 1,25 - д о 0,56.

Выигрыш в среднем вовсе не означает, что выигрыш будет при каждом испыта нии, так как количество испытываемых изделий до принятия решения о приемке или браковке не ограничено сверху. Поэтому выигрыш в среднем иногда обра щается в большой проигрыш в некоторых испытаниях. Чтобы устранить этот не достаток, применяют усеченный последовательный контроль.

Усеченный последовательный контроль заключается в том, что одновременно составляются два плана: план последовательного контроля и план контроля по однократной выборке. В первом плане определяются параметры прямых линий, являющихся границами зон, во втором плане — объем партии JV0 и приемочный норматив с. Если представить оба плана графически, то образуется ограниченная со всех сторон зона продолжения испытаний с двумя границами: с зоной прием ки и зоной браковки (рис. 11.7, а).

Рис. 11.7. Графическая форма плана усеченного последовательного контроля Согласно процедуре усеченного последовательного контроля, испытания прохо дят в соответствии с обычным планом последовательного контроля до тех пор, пока.V No. Если ко времени достижения значения No испытания еще не за / кончены, тогда в силу вступает решающее правило контроля по однократной вы борке и партия принимается или бракуется в зависимости от соотношения тис.

Таким образом, объем испытаний становится случайной величиной с известной верхней границей JVmax = JV0.

Следует отметить, что риск поставщика и риск заказчика в усеченном контроле отличаются от вероятностей а и (3, по которым параметры плана рассчитываются отдельно при последовательном контроле и при контроле по однократной вы борке. Однако при изложенном способе усечения такое отличие невелико и им можно пренебречь.

Пример 11.16. Построить план усеченного последовательного контроля веро ятности отказа невосстанавливаемых изделий при а = р = 0,1;

Qo = 0,1, Ql = 0, и представить его графически.

Решение. По исходным данным определяем: In В = -In A = In 9 = 2,1972;

л = = Qi /Qo = 2 ;

Ь л =0,693;

ln[(l - Qo)/(\ - Q,)] = 0,1177;

A, = -h0 = 2,71;

s = = 0,1447. Кроме того, по формуле (11.25) находим Ja^ = 1,29 • 2,414 = 3,12, откуда No = 97. Теперь по формуле (11.35) определяем с = 13. Результаты расчетов представлены на рис. 11.7, б.

Список литературы 1. Pearson E. S., Clopper C.J. The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial // Biometrica. — 1934. — № 26. — P. 404.

2. Шор Я. Б., Кузьмин Ф. И. Таблицы для анализа и контроля надежности. — М.

Сов. радио, 1968. - 284 с.

3. Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М. Наука, 1965. - 464 с.

4. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. — М. Наука, 1965. — 524 с.

5. Справочник по вероятностным расчетам / Г. Г. Абезгауз, А. П. Тронь, Ю. Н. Ко пенкин, И. А. Коровина. — М. Воениздат, 1970. — 528 с.

6. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежно сти. — М.: Сов. радио, 1962. — 564 с.

7. ГОСТ 16504-79. Качество продукции. Контроль и испытания. Основные тер мины и определения. — М.: Изд-во стандартов, 1979. — 22 с.

8. ГОСТ 17510-79. Надежность изделий машиностроения. Система сбора и об работки информации. Планирование наблюдений. — М.: Изд-во стандар тов, 1979. - 23 с.

9. ГОСТ 17509-72. Надежность изделий машиностроения. Система сбора и об работки информации. Методы определения точечных оценок показателей на дежности по результатам наблюдений. — М.: Изд-во стандартов, 1972. — 52 с.

10. ГОСТ 18049-72. Надежность в технике. Испытания ограниченной про должительности с заменой отказавших изделий. — М.: Изд-во стандартов, 1972. - 13 с.

11. ГОСТ 18333-73. Надежность в технике. Испытания ограниченной про должительности без замены отказавших изделий. — М.: Изд-во стандар тов, 1973. - 10 с.

12. ГОСТ 17572-72. Надежность в технике. Испытания с ограниченным числом отказов. — М.: Изд-во стандартов, 1974. — 15 с.

13. ГОСТ 27.504-84. Надежность в технике. Методы оценки показателей надеж ности по цензурированным выборкам. — М.: Изд-во стандартов, 1984. — 41 с.

14. ГОСТ 27.410-87. Надежность в технике. Методы контроля показателей и планы контрольных испытаний на надежность. — М.: Изд-во стандартов, 1988. - 109 с.

15. ГОСТ 17331-71. Надежность в технике. Метод последовательных испыта ний. — М.: Изд-во стандартов, 1971. — 27 с.

16. ГОСТ 20736-75. Качество продукции. Статистический приемочный кон троль по количественному признаку при нормальном распределении контро лируемого параметра. — М.: Изд-во стандартов, 1975. — 91 с.

17. ГОСТ 11.005-74. Прикладная статистика. Правила определения оценок и до верительных границ для параметров экспоненциального распределения и рас пределения Пуассона. — М.: Изд-во стандартов, 1974. — 29 с.

18. ГОСТ 11.004-74. Прикладная статистика. Правила определения оценок и до верительных границ для параметров нормального распределения. — М.: Изд во стандартов, 1974. — 20 с.

19. ГОСТ 27.411-81. Надежность в технике. Одноступенчатые планы контроля по альтернативному признаку при распределении времени безотказной рабо ты по закону Вейбулла. — М.: Изд-во стандартов, 1981. — 20 с.


20. ГОСТ 11.009-79. Прикладная статистика. Правила определения оценок и до верительных границ для параметров логарифмически нормального распреде ления. — М.: Изд-во стандартов, 1979. — 52 с.

21. Фишер Р. А. Статистические методы для исследователей. — М.: Госстатиздат, 1958. - 3 4 2 с.

Вопросы для самоконтроля 1. В чем состоит назначение испытаний на надежность? Приведите пример пла нов испытаний.

2. В чем заключаются задачи определительных испытаний?

3. Перечислите свойства точечных оценок показателей надежности.

4. Перечислите точечные оценки средней наработки на отказ и их характери -стики.

5. В чем заключается принцип Клоппера—Пирсона интервального оценивания показателей надежности?

6. В чем состоит постановка задачи контрольных испытаний на надежность?

Прямая и обратная задачи.

7. Как выбирается объем испытаний по рискам заказчика и изготовителя при однократной выборке?

8. Каковы табличная и графическая формы плана последовательного контроля надежности?

9. Каковы табличная и графическая формы плана усеченного последовательно го контроля надежности?

Математическое приложение П 1. Преобразование Лапласа— Карсона и Лапласа—Стилтьеса Преобразование Лапласа—Карсона функции F(t) осуществляется с помощью интеграла а преобразование Лапласа—Стилтьеса — с помощью интеграла (П1.1) Интегрированием по частям в формуле (П1.1) можно убедиться, что при ДО) = О оба преобразования дают один и тот же результат:

В теории вероятностей и теории надежности таким свойством обладают функции распределения непрерывных случайных величин. Поэтому для них без особых ого ворок можно пользоваться любым из указанных преобразований. По этой же при чине далее приводятся формулы только для преобразования Лапласа — Карсона.

Основные функциональные соотношения:

(П1.2) Знак означает операционное соответствие оригинала во временной области и изображения в комплексной частотной области. Он заменяет интеграл, отра жающий интегральное преобразование Лапласа.

Формулы преобразования некоторых функций:

П2. Вычисление вычетов Вычет в простом полюсе вычисляется по формуле (П2.1) а вычет в полюсе s^ т-то порядка — по формуле (П2.2) Формулы (П2.1) и (П2.2) можно использовать для обратного операционного преобразования. Если F*(s) — дробно-рациональная функция 5, имеющая корни знаменателя s,, s2,..., sk кратности mb m2,..., mh соответственно и не равная нулю при s = 0, то оригинал этой функции находится по формуле (П2.3) Как видно из (П2.3), функция/(s) в круглых скобках имеет нулевой корень s0 = О, так как F*(0) Ф 0. Если же F*(0) = 0, то такой корень отсутствует.

ПЗ. Тауберовы теоремы Теорема П3.1. Для любого операционного соответствия F(t) + F'(s) имеем:

то есть из существования предела при 5 — оо в области изображений следует суще ствование предела при ^ - + 0 в области оригиналов, причем эти пределы равны.

Теорема П3.2 (для действительной области). Для операционного соответствия F(t) + F'(s) (Re s 0) достаточным условием справедливости соотношения (П3.1) является существование положительной постоянной К, при которой В (П3.1) 5 — +0 только вдоль действительной оси. Если функция F(t) оказывает »

ся монотонной для t 0, то допустимо преобразование правой части (П3.1) по правилу Лопиталя, и тогда Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема ПЗ.З. Для операционного соответствия F(t) + F"(s)(Re s 0) достаточ ным условием справедливости соотношения является условие монотонности F(t) при t 0.

Теорема П3.4 (для комплексной области). Для того чтобы вместе с операцион ным соответствием F(t) + F(s) было справедливо соотношение достаточно, чтобы одновременно: 1) произведение el F{t) было положитель ным и неубывающим при t 0;

2) существовала постоянная А — такая, чтобы при Re s — +0 разность (F(s) - A)/s равномерно стремилась к некоторой ограни ченной функции g(Im s) на любом конечном интервале -а Im s a.

П4. Вывод формул для потоков случайных событий П4.1. Вывод формул для простейшего потока Пусть известно, что поток событий является стационарным ординарным потоком без последействия. Найдем явные выражения для распределений P{N(t) = п}, Р{Тп t), ведущей функции потока H(t) и интенсивности потока событий, где N(t) — число событий в интервале (0, t), Т„ — время до п-го события. Вывод излагается по работе А. Я. Хинчина [3.6].

Рассмотрим промежуток времени длительностью 1 и обозначим через р = Ро( 1) вероятность того, что за этот срок не произойдет ни одного события. Разбивая промежуток на п равных частей, по формуле умножения вероятностей найдем:

(П4.1) где Ро(т' 11 0,..., 0) — вероятность отсутствия событий в интервале (т, х + t) при ус ловии, что до этого интервала событий не было. В силу отсутствия последей ствия вместо (П4.1) можно записать:

(П4.2) Если же учесть еще и стационарность, то исчезает зависимость вероятностей в (П4.2) от первого аргумента, и тогда Отсюда Повторяя практически без изменений приведенные рассуждения для отрезка k/n, получим:

Пусть теперь t — любое число из единичного отрезка времени. Подбирая k так, чтобы (П4.3) и учитывая, что Р 0 (0 ~ невозрастающая функция времени, имеем:

Устремляя п -» оо и k — оо так, чтобы условие (П4.3) по-прежнему выполнялось, получим:

Полагая теперь имеем:

(П4.4) Отсюда следует, что при стационарном потоке без последействия время до пер вого события имеет экспоненциальное распределение. Так как справедливо вы ражение то (П4.5) Используя теперь свойство ординарности потока событий и разлагая экспоненту в ряд, при достаточно малом t имеем:

Рассмотрим теперь вероятность того, что в промежутке длительностью t + At произойдет п событий (п 1). В силу стационарности вероятность не зависит от начала отсчета t. В указанном промежутке п событий могут произойти следую щими несовместными способами: п событий наступает за время t и 0 событий — за время At;

п - 1 событие наступает за время t и одно событие — за время At, и т. д.;

О событий за время t и п событий — за время Д. Используя свойства стационарности и отсутствия последействия и суммируя вероятности несовмест ных событий, получаем:

Поскольку мы в силу ординарности и с учетом (П4.4) и (П4.5) находим:

Отсюда Переходя к пределу при At -» 0, имеем:

(П4.6) Присоединяя сюда уравнение (ПАЛ) решением которого является функция (П4.4), получим замкнутую систему дифференциальных уравнений. Решим ее при начальных условиях:.Ро(О) = 1, Р„(0) = 0, п 0. Подстановка в (П4.6) и (П4.7) выражения (П4.8) дает v'0(t) = 0, v'n (t) - Xvn^(t), vQ(0) = 1, vn(0) =0, n 1. Непосредственным ин тегрированием в этих уравнениях получим:

(П4.9) Из (П4.8) и (П4.9) находим окончательно:

(П4.10) Таким образом, число событий за заданное время имеет распределение Пуассо на. Наличия трех указанных свойств достаточно для справедливости формулы (П4.10). Можно доказать и необходимость этих свойств. Для этого надо прове рить выполнение трех свойств, считая, что формула (П4.10) верна.

П4.2. Вывод формул нестационарного пуассоновского потока Пусть известно, что поток событий ординарный без последействия. Получим уравнения для вероятностей Pn(x,t) того, что в промежутке (т,т + t) произойдет ровно п событий. Обозначим (П4.11) По свойству ординарности при любом t Мгновенный параметр и интенсивность потока событий (П4.12) Используя свойство отсутствия последействия, для вероятности отсутствия со бытий в промежутке (т, т + t + At) получим:

Из (П4.11) и (П4.12) следует:

откуда при At — 0 получаем дифференциальное уравнение (П4.13) Повторяя в точности рассуждения, используемые при выводе уравнений (П4.6), для вероятностей Рп(х, t) при п 1 находим:

Отсюда при At — 0 получаем дифференциальное уравнение (П4.14) Начальные условия для уравнений (П4.13) и (П4.14) следующие:

(П4.15) Решим систему уравнений (П2.20)—(П4.15) методом производящих функций.

Примем (П4.16) Умножая (П4.14) на х„ и суммируя по всем п, получим:

Меняя здесь порядок суммирования и дифференцирования, находим:

(П4.17) или Отсюда Начальные условия для (П4.17) следующие: Ф(т, 0, х) = Р0(х, 0) = 1. Поэтому Окончательно получаем:

Разлагая второй сомножитель в ряд по степеням х и сравнивая его с рядом (П4.16), получим окончательно:

П4.3. Теоремы об асимптотическом поведении функции интенсивности и ведущей функции рекуррентного потока Теорема П4.1. Для рекуррентного потока событий выполняются равенства (П4.18) где H(t) и a(t) — решение уравнений (3.32) и (3.3347);

Т — средний интервал ме жду событиями.

Доказательство. Представим изображение F*(s) функции распределения F(t) в виде разложения в ряд по степеням s:

(П4.19) Подставим (П4.19) в знаменатель выражения (3.31):

(П4.20) Согласно тауберовой теореме, предельному переходу при t - оо в формуле (П4.18) соответствует переход в области изображений при s - 0. Из (П4.20) следует:

Отсюда Вторая часть равенства (П4.18) доказана. Первая часть равенства доказывается путем раскрытия неопределенности по Лопиталю — дифференцированием по t в числителе и знаменателе дроби. Из (П4.18) следует, что при достаточно боль ших t для расчета среднего числа событий можно использовать приближенное выражение- -^ (П4.21) Теорема П4.2 (Блекуэлла). Для любого рекуррентного потока событий справед ливо предельное соотношение (П4.22) Доказательство. По теореме упреждения операционного исчисления При малых 5 с учетом (П4.21) имеем:

Отсюда непосредственно следует (П4.22).

Теорема П4.3 (Смита). Для любой монотонно не возрастающей и интегрируе мой на (0, оо) функции Q(t) и любого рекуррентного потока событий Доказательство. Согласно тауберовой теореме и теореме о свертке функций (П1.2), Теорема доказана.

П4.4. Вывод формул обобщенного пуассоновского потока Пусть известно, что вероятность (П4.23) где Ф(А.) — функция распределения случайного параметра стационарного пуас соновского потока событий. Найдем выражение для вероятностей Pn(t) через функцию P0(t). Используя правило дифференцирования интеграла по парамет ру, преобразуем (П4.23) к виду (П4.24) Начальные моменты распределения числа событий потока в интервале (0, t) Отсюда следует, что начальные моменты ОПП можно получить путем осредне ния по плотности (рандомизации) соответствующих начальных моментов СПП.

Отсюда, в частности, находим среднее значение и дисперсию числа событий:

(П4.25) Из (П4.25) следует, что параметр потока событий (П4.26) есть величина постоянная, что свидетельствует о стационарности потока. Срав нивая (П4.26) и (П4.23), видим, что параметр потока связан с функцией Po(t) со отношением Введем нулевую функцию Пальма—Хинчина:

(П4.27) Интегрируя здесь справа и слева по интервалу (0, со), находим:

Подставляя (П4.27) в (П4.24), получим выражение вероятностей Pn(t) через функцию Пальма—Хинчина:

(П4.28) Из формул (П4.23), (П4.24) и (П4.28) следует, что существует три эквивалент ных способа задания ОПП: через функции Ф(А.), P0(t) или фо()- Во многих слу чаях второй и третий способы оказываются более предпочтительными, так как функции P0(t) и ср0(О легче измерить.

Заметим, что обобщенный поток является ординарным по построению, так он получается путем рандомизации ординарного стационарного пуассоновского по тока, а рандомизация не может изменить свойство ординарности. Что касается последействия, то ОПП имеет сложное последействие, то есть он не может быть отнесен ни к потокам без последействия, ни к потокам с ограниченным после действием. Покажем это. Введем для потока типа Пальма, который является по током с ограниченным последействием, нулевую функцию Пальма—Хинчина в соответствии с (П4.27). Используя (3.38), найдем:

Вероятность наступления ровно одного события за время t (П4.29) Для обобщенного пуассоновского потока, согласно (П4.28), (П4.30) Приравнивая вероятности из (П4.29) и (П4.30), получим интегральное уравнение, решение которого определяет те функции ф 0 (t), когда ОПП будет иметь ограни ченное последействие:

Единственное решение этого уравнения po(t) = ехр (= Xt). Это значит, что про стейший поток является частным случаем и потока типа Пальма, и обобщенного пуассоновского потока. В этом случае ОПП является потоком без последейст вия. Во всех остальных случаях он имеет сложное последействие.

П5. Модифицированный логико вероятностный метод. Основные теоремы Логико-вероятностный метод, изложенный в главе 6 и применяемый для анализа надежности двухполюсных сложных структур, содержит три этапа: запись логи ческой функции работоспособности (ЛФРС), преобразование логической функ ции к форме перехода к полному замещению ( Ф П П З ) и полное замещение всех логических переменных вероятностями и логических операций — арифметиче скими операциями. Модифицированный логико-вероятностный метод содержит еще один промежуточный этап — частичное замещение логических переменных вероятностями [6.3]. Поэтому вместо Ф П П З логическая функция преобразуется к форме перехода к частичному замещению ( Ф П Ч З ), а в результате частичного замещения появляется так называемая смешанная форма функции вероятно стей, содержащая одновременно и вероятности, и логические переменные, ариф метические и логические операции. После некоторых преобразований в С Ф Ф В выполняется постепенное (многошаговое) замещение остальных логических переменных с целью перехода к искомой развернутой форме функции вероят ностей ( Р Ф Ф В ). Запись С Ф Ф В по заданной функции алгебры логики (ФАЛ) проводится на основании следующих теорем.

Теорема П5.1. Пусть:

1. задана функция алгебры логики вида (П5.1) где v и & — логические операции дизъюнкции и конъюнкции;

X пХ{ — век торные аргументы логических функций / и / ;

соответственно;

а, — постоян ные коэффициенты, равные нулю или единице: х° = х при a, = 0 H I " = I при а, = 1;

Xj — бесповторные логические переменные, j е К - (J" = o #,•;

/• — функции алгебры логики произвольного вида;

2. события Xj = Oj независимы в совокупности, причем вероятности Р{х} = 1) = Pj.

Т о г д а / ( X ) есть форма перехода к частичному замещению, и ей соответству ет С Ф Ф В (П5.2) где Доказательство теоремы можно найти в [7.2, с. 206—207].

Пример Ш. Пусть — беспо вторные переменные. Надо найти вероятность Р(/(Х) = 1 ).

Решение. Согласно (П5.2), бесповторные логические переменные заменяем ве роятностями pi = Р(х/ - 1), а логические операции конъюнкции и отрицания — арифметическим операциями умножения и вычитания. Поскольку здесь а, = 1, то а, = qx: = 1 - ph a поэтому (П5.3) Дальнейшая развертка (П5.3) к Р Ф Ф В проводится путем разрезания по незаме щенным логическим переменным в соответствии с теоремой разложения.

Теорема П5.2. (первая теорема разложения). Пусть задана некоторая С Ф Ф В Р(хи х2,..., х„), зависящая от логических переменных хь х2,..., хп, и пусть события Л = (Xj = о,) независимы в совокупности. Тогда Утверждение теоремы следует непосредственно из формулы полной вероятности.

Теорема П5.3. Пусть заданы две логические функции:

Составим третью функцию:

(П5.4) Тогда:

1) если fj и g, ортогональны, то есть fi gt = 0 для i = \...n, то (П5.4) является фор мой перехода к частичному замещению и ей соответствует СФФВ 2) если если / ;

и g, не ортогональны, то формой перехода к частичному замеще нию является выражение и ему соответствует СФФВ (П5.5) Доказательство теоремы можно найти в [7.2, с. 208—209].

Пример П2. Пусть Найти P(f(X) = 1).

Решение. Здесь Функции / 2 и g2 ортогональ ны. Поэтому ортогонализация необходима лишь для /, и gx. Используя (П5.5), получим:

Здесь проведем разрезание сначала по х4, а затем по х3:

Теорема П5.4. Дизъюнкция и конъюнкция ФАЛ где As(X) — логические функции вида (П5.1), в которых х, — бесповторные пере менные для всех — являются формой перехода к частичному замещению, и им соответствуют СФФВ Вероятности P(AS(X) = 1) находят по формуле (П5.2). Если в дизъюнкции все слагаемые ортогональны, то достаточна бесповторность лишь в пределах одной функции ЛЛ.(Х).

Данная теорема является обобщением теоремы П5.1. При ее доказательстве ис пользуется основной прием — сведение рассматриваемой задачи к схеме независимых событий путем замещения бесповторных переменных и перевода логических функций с повторяющимися переменными в показатели степени вероятностей.

В следующих трех теоремах рассматриваются производящие полиномы дискрет ных распределений, содержащие в качестве коэффициентов смешанные формы функции вероятностей.

Теорема П5.5. (вторая теорема разложения). Пусть — производящий полином некоторого дискретного распределения с коэффици ентами, записанными в смешанной форме и зависящими от логических перемен ных хи х2,.... х„. Тогда Данная теорема является одним из следствий теоремы П5.1.

Пример ПЗ. Пусть Необходимо найти производящий полином распределения.

Решение. Составим формулу (П5.6) Проведем сначала разрезание по х{:

В каждом из слагаемых проведем разрезание по х2 и получим окончательно:

Теорема П5.6. (третья теорема разложения). Пусть Тогда Доказательство теоремы можно найти в [7.2, с. 211—212].

Пример П4. Пусть полином определен формулой (П5.6), а полином Надо найти Ф(г, 1, 1).

Решение. Возведение в степень полинома (П5.6) дает (П5.7) Непосредственно из (П5.7) имеем:

С другой стороны, по теореме П5.6 имеем Ф(г, 1, 1) = (q + pqz + pz2 ) 2. Нетрудно убедиться, что обе формулы совпадают.

Теорема П5.7. (четвертая теорема разложения). Пусть Тогда Теорема легко доказывается путем изменения порядка суммирования.

Пример П5. Пусть Надо найти Ф(г).

Решение. Разрезанием по х{ и х2 непосредственно из (П5.8) находим:

С другой стороны, по теореме П5.7 имеем:

Нетрудно убедиться в том, что обе формулы дают одинаковый результат.

П6. Методы математической статистики П6.1. Точечное оценивание параметров распределений Точечной оценкой а параметра а распределения F(x, а) называют скалярную ве личину, зависящую от выборки (хь х2,..., х„) и удовлетворяющую установлен ным требованиям.

454 Математическое приложение П 6. 1. 1. Свойства точечных оценок Состоятельность. Оценка а параметра а называется состоятельной, если она схо дится по вероятности к оцениваемому параметру:

(П6.1) С использованием второго неравенства Чебышева практически состоятельность устанавливается по поведению дисперсии оценки а. Вместо сходимости по вероятности (П6.1) устанавливается сходимость в сред неквадратическом Несмещенность. Оценка а называется несмещенной, если математическое ожи дание оценки равно оцениваемому параметру при любом конечном, в том числе малом, объеме выборки:

Свойство несмещенности позволяет устранить систематическую ошибку в оцен ке параметра, оставляя только статистическую ошибку. Если оценка смещенная, но величина смещения известна, то следует устранить смещение введением по правочного коэффициента.

Эффективность. Точечная оценка а параметра а называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех возможных точечных оценок.

Определение трудно применить непосредственно для установления свойства эффективности, так как оно требует знания всех возможных оценок, вычисле ния дисперсий всех оценок и выбора одной из них с минимальной дисперсией.

Решение задачи о свойстве эффективности существенно упрощается благодаря неравенству Рао — Крамера. Согласно этому неравенству, дисперсия любой точечной оценки не менее априорно вычисляемой величины, называемой дис персией эффективной оценки:

где N — число испытаний;



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.