авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
-- [ Страница 1 ] --

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ

ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

ЗАДАЧИ И ЗАДАНИЯ

Под редакцией проф. А.Н. Яковлева

Рекомендовано Сибирским региональным

отделением УМО высших

учебных заведений РФ

по образованию в области радиотехники,

электроники, биомедицинской техники и автома-

тизации для межвузовского использования

в качестве учебного пособия для студентов

радиотехнических специальностей

ББК 32.841-01я7

УДК 621.372(076.1)

Р 154 Авторский коллектив:

В.Я. Баскей, В.Н. Васюков, Л.Г. Зотов, В.М. Меренков, В.П. Разинкин, А.Н. Яковлев Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. (НГТУ) Т.Б. Борукаев, д-р техн. наук, проф. (СГГА) М.Я. Воронин, чл.-кор. МАИ, проф. (СибГУТИ) Б.И. Крук, д-р техн. наук, проф. (НГТУ) С.П. Новицкий, канд. техн. наук, проф. (СибГУТИ) Г.А. Чернецкий Работа подготовлена на кафедре теоретических основ радиотехники для студентов II–III курсов радиотехнических специальностей Р 154 Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания /Под ред. проф. А.Н. Яковлева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 348 с. (Серия «Учебники НГТУ»).

ISBN 5-7782-0311-X Пособие содержит задачи и задания по всем разделам одноименного курса. В каждой из 16 глав даны изучаемые вопросы (со ссылкой на ли тературу), краткие теоретические сведения (определения, расчетные формулы и т.п.) в объеме, необходимом для решения приводимых задач.

Затем предложены задачи для закрепления теоретического материала и выработки навыков творческого мышления, переноса знаний на решение более сложных ситуаций. Далее по каждой теме следует задание, которое может быть составной частью расчетно-графической и/или курсовой ра боты и содержит от 1 до 4 задач, составленных в 10 вариантах и 10 под вариантах. В приложении представлен обширный справочный материал.

Предлагаемое пособие, в котором обобщен многолетний опыт авто ров, предназначено для практических и самостоятельных занятий, для расчетно-графических заданий, для контроля знаний и умений, а также для занятий в рамках модульно-рейтинговой системы образования и мо жет быть полезно для студентов и преподавателей радиотехнических специальностей и для лиц, занимающихся самообразованием.

ББК 32.841-01я УДК 681.3.01 (076.1) © ISBN 5-7782-0311-X Новосибирский государственный технический университет, 2002 г.

Никто не обнимет необъятного.

Принимаясь за дело, соберись с духом.

Козьма Прутков ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие содержит задачи и задания по всем разделам одноименного курса. Оно может использоваться также для изучения дисциплин "Основы теории цепей и сигналов", "Тео ретические основы радиотехники", "Основы радиотехники", "Тео рия передачи сигналов", "Теория электрической связи" и других, включающих в свою программу теорию детерминированных и слу чайных процессов, методы исследования воздействия сигналов на линейные, нелинейные и параметрические цепи, а также элементы синтеза цепей и цифровой обработки сигналов.

Пособие состоит из основной части, приложений и библиогра фии.

Основная часть содержит 16 глав, в каждой из которых даны изучаемые вопросы в соответствии с программой курса (и ссылкой на литературу), краткие теоретические сведения (определения, обо значения, расчетные формулы и пояснения) в объеме, необходимом для решения рассматриваемых задач. Затем предложены задачи для закрепления теоретического материала курса и выработки навыков творческого мышления, использования знаний в более сложных ситуациях. Далее по каждой теме следует задание, которое может быть составной частью расчетно-графической и/или курсовой ра боты и содержит от 1 до 4 задач и используется для аттестации знаний и умений студентов.

Задачи составлены в 10 вариантах, каждый из которых, в свою очередь, включает в себя 10 подвариантов.

В приложениях представлен обширный справочный материал (формулы, таблицы, графики).

В пособии обобщен многолетний опыт авторов и использованы материалы других работ [5-9].

Работа между авторами была распределена следующим обра зом: В.Я. Баскеем написаны гл.3, 10 (пп.10.1, 10.2, задачи 10.3…10.6;

10.8…10.11,10.16…10.38, контр. задачи 10.1-10.3);

В.Н. Васюковым – гл.7 (кроме контр. задачи 7.1), гл. 14 (кроме контр. задачи 14.4.2 и 14.4.3);

Л.Г. Зотовым – гл.6 (кроме ряда за дач ), гл.15;

В.М. Меренковым – гл.1 (разделы 1.1…1.3), гл. (в соавторстве), гл.10 (пп.10.1, 10.2, 11.2, задачи 10.7, 10.39…10.42, 11.5-11.7);

В.П. Разинкиным – гл.5, 11 (пп.11.1, 11.2, задачи 11.1…11.4, 11.8…11.20, 11.30);

А.Н. Яковлевым – главы 1, 2 (в со авт.), 4, 5 (пп.5.2 в соавт. и задачи 5.20…5.23, 5.27,5.28, 5.30-5.38), 6 (пп. 6.2, 6.3.4, задачи 6.24…6.26, 6.28, 6.30, 6.31, 6.33…6.36, контр. задача 6.4.3), контр. задача 7.1, главы 8, 9, 10 (пп. 10.1, 10.2, задачи 10.1, 10.2, 10.12…10.15, контр. задача 10.4.4), 11 (пп. 11.1, 11.2, 11.21-11.29, контр. задание 11.4), 12, 13, 16, контр. задачи 14.4.2 и 14.4.3, все приложения, а также общее редактирование по собия.

Авторы выражают благодарность рецензентам проф. Т.Б. Бору каеву, проф. М.Я. Воронину, чл.-корр. МАИ Б.И. Круку, проф.

С.П. Новицкому и Г.А. Чернецкому за сделанные критические за мечания и полезные советы.

Учебники НГТУ Серия основана в 2001 году Дерзайте ныне ободренны, Раченьем вашим показать, Что может собственных Платонов И быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать.

Михаил Ломоносов ГЛАВА ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ 1.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Классификация и формы представления сигналов [2, 1.1…1.3;

3, B.2, 1.1…1.5;

1, 1.3, 2.1].

Математические модели сигналов. Представление произвольно го колебания посредством суммы элементарных колебаний. Дина мическое представление сигналов (с помощью функций включения и дельта-функций) [2, 1.2]. Геометрическое представление сигна лов: линейное, нормированное, метрическое и гильбертово про странства сигналов, ортогональные сигналы [2, 1.3, 1.4].

Обобщенная спектральная теория сигналов. Обобщенный ряд Фурье. Ортогональная и ортонормированная системы базисных функций. Аппаратурная реализация анализа и синтеза сигналов в базисе ортогональных функций. Равенство Парсеваля. Погреш ность аппроксимации сигналов обобщенным рядом Фурье. Краткий обзор некоторых наиболее распространенных базисных функций [1. 2.2, 14.1;

2, 1.1, 1.4;

3, 1.6].

Функции Уолша, их нумерация (упорядочение) и свойства.

Примеры спектрального анализа и синтеза сигналов в базисе функ ций Уолша. Применение несущего колебания в форме функций Уолша в радиотехнических системах [1, гл. 14;

3, 2.8;

14…16].

1.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Сигнал (лат. Signum – знак) – физический процесс или явление, несущие сообщение о каком-либо событии, состоянии объекта и его режиме либо передающие команды управлений и т. п.

1.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Модель сигнала. Для теоретического изучения реальные сиг налы идеализируют, ставят им в соответствие определенные функ ции времени S (t ), u (t ), …., которые называются математическими моделями сигналов.

Математическая модель может быть задана в виде аналитиче ских выражений, графиков, таблиц. При этом в качестве аналити ческих выражений наиболее часто используют комбинации задан ных элементарных функций.

Для практических приложений особый интерес имеет представ ление сигнала в виде суммы элементарных сигналов.

Динамическое представление сигналов. В этом случае модель сигнала – это сумма следующих во времени один за другим эле ментарных сигналов, например ступенчатых функций с интервалом t (рис. 1.1, а):

S (t ) = So (t ) + ( Sn Sn 1 )(t nt ), (1.1) n = либо прямоугольные импульсы длительностью t, примыкающие друг к другу (рис. 1.1, б):

(Sn / t )[(t tn ) (t tn t )] t S (t ) = (1.2) n = Точность представления возрастает при t 0. При этом сум мирование заменим интегрированием по формальной переменной, дифференциал которой d будет аналогичен t. Тогда форму лы (1.1) и (1.2) принимают вид dS () S (t ) = So (t ) + (t )d ;

(1.1') d S ()(t )d, S (t ) = (1.2') где 0, t 0, t ( x)dx (t ) = (t ) = 1/ 2, t = 0, (1.3) 1, t 0, 8 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ – единичная функция (Хевисайда), d (t ) 0, t 0, (t ) = (t ) = (1.4) dt, t = 0, – дельта-функция (Дирака).

S (t ) S (t ) Sn Sn S S S0 S t t nt nt t t 0 а б Рис. 1. Отметим следующие важные свойства дельта-функции:

(t )dt = 1, т. е. это бесконечно узкий импульс бесконечно 1) большой амплитуды, площадь которого равна 1;

S ()(t )d = S (t ) – фильтрующее свойство (t ).

2) Геометрическое представление сигналов. Оно базируется на функциональном анализе – разделе математики, обобщающем представления о геометрической структуре пространства и позво ляющем создать стройную теорию сигналов.

Пусть имеется некоторое множество сигналов M = {S0 (t ), S1 (t ),...., Sn (t ),....} = {S0, S1,...., Sn,....}.

Эти сигналы объединены некоторыми общими свойствами.

Множество M образует вещественное линейное пространство, если для его элементов (сигналов) выполняются следующие аксиомы.

1. Любой сигнал S k M при любых t принимает вещественные значения.

2. Если S k M и S n M, то S k + S n M, т. е. при суммирова нии общие свойства сохраняются. Операция суммирования коммута тивна: Sk + Sn = Sn + Sk и ассоциативна: Sk + (Sm + Sn ) = (Sk + Sm ) + Sn.

1.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 3. Для любого сигнала S k M и вещественного числа опре делен сигнал S k M.

4. Множество M содержит нулевой элемент, такой, что S k + = S k для всех S k M.

Если число n членов множества стремится к бесконечности, то принято говорить о бесконечном пространстве L.

В случае, когда математические модели являются комплексны ми функциями, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплекс ное число, приходим к комплексному линейному пространству.

Пространство L называется нормированным, если введено по нятие нормы, т. е. расстояния между началом координат и какой либо точкой пространства. Каждому вектору S k M однозначно ставится в соответствие число || S k ||. При этом должны выполнять ся следующие аксиомы нормированного пространства.

1. Норма положительна, т. е. || S k || 0 ;

нулю она равна тогда, когда S k =.

2. Для любого справедливо равенство || S k ||=| | || S k ||.

3. Если S k и S n – два вектора из L, то выполняется неравенст во треугольника: || S k + S n |||| S k || + || S n ||.

Для аналоговых вещественных и комплексных сигналов норму соответственно запишем:

S S (t )S 2 * || S ||= (t ) dt = Эs ;

|| S ||= (t )dt = Эs, (1.5) где * – символ комплекно-сопряженной величины;

Эs – энергия сигнала S Эs =|| S ||2 = (t ) dt. (1.6) Пространство L, образованное множеством сигналов с конеч ной нормой (энергией), называется пространством L2. Если такие сигналы определены на интервале (0, T ), то используем обозначе ние L2 (0, T ) или L2 (T ), если определены на бесконечном интерва ле – то обозначение L2 (, ) или L2 ().

Пространство называется метрическим, если введен способ оп ределения метрики – расстояния d ( S k, S n ) (или d k,n ) между его 10 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ двумя точками, т. е. между парой элементов S k, S n L. Метрика – неотрицательное число d k,n, которое независимо от способа зада ния должно удовлетворять следующим аксиомам.

1. d ( S k, S n ) = d ( S n, S k ) – симметричность метрики.

2. d ( S k, S k ) = 0 при любых S k L.

3. Для любого элемента S m L всегда d ( Sk, Sn ) d ( Sk, Sm ) + d ( Sm, Sn ).

Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

d ( S k, S n ) =|| S k S n ||. (1.7) Кроме нормы и метрики вводится скалярное произведение:

Sk (t )Sn (t )dt, ( Sk, Sn ) = (1.8) позволяющее найти угол между векторами ( Sk, Sn ) cos k,n =. (1.9) || Sk || || S n || Скалярное произведение обладает свойствами:

1) ( S k, S n ) 0 ;

2) ( S k, S n ) = ( S n, S k ) ;

3) (S k, S n ) = ( S k, S n ), где – вещественное число;

4) ( S k + S n, S m ) = ( S k, S m ) + ( S n + S m ).

Линейное пространство со скалярным произведением называют унитарным или предгильбертовым. Полное пространство с ука занными свойствами называется вещественным гильбертовым пространством H.

Справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняков ского (иначе неравенство Шварца) | ( S k, S n ) | || S k || || S n ||. (1.10) 1.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Два сигнала S k (t ) и S n (t ) называются ортогональными, если их скалярное произведение, описываемое (1.8), равно нулю. При этом k,n = 90o.

Для комплексных сигналов можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение Sk (t )Sn (t )dt, ( 1.8' ) * ( Sk, Sn ) = * такое, что ( S k, S n ) = ( S n, Sk ).

Некоторые аналогии между элементарными геометрическими понятиями и соответствующими им понятиями в теории сигналов даны в таблице.

В геометрии В теории сигналов Норма сигнала S (t ) :

Длина ( l ) вектора S (модуль, норма):

Si2, l =| S |=|| S ||= S || S (t ) ||= (t )dt = Э s, i где Si – координата вектора по i -й оси где Эs – энергия сигнала Скалярное произведение векторов S, Скалярное произведение сигналов S (t ), U (t ) :

U:

( S,U ) =| S | | U | cos(s,u ), S (t )U (t )dt = Э s,u ( S (t ),U (t )) = где s,u – угол между векторами Э s,u – взаимная энергия сигналов, или энергия взаимодействия сигналов ) между векторами Метрика (расстояние) между сигналами Расстояние ( d s,u S (t ), U (t ) :

S, U :

( ( S U ), ( S U ) ) = d s, u = | S U |= [ S (t ) U (t )] || S (t ) U (t ) ||= dt ( Si U i ) = i Нормированный сигнал:

Вектор единичной длины (орт) l :

S (t ) S (t ) = S l= || S ( t ) || S 2 ( t ) dt |S| Ортогональные сигналы S (t ), U (t ) :

Ортогональные векторы S, U :

( S, U ) = 0, s,u = 90o ( S (t ), U (t )) = S (t )U (t ) dt = 12 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Обобщенный ряд Фурье. Пусть имеется гильбертово про странство сигналов, определенных на отрезке времени (t1, t2 ) ко нечном или бесконечном. Пусть также на этом отрезке задана бес конечная система (подмножество) функций 0 (t ), 1 (t ),...., n (t ),...., попарно ортогональных t || n ||2, k = n, ( k (t ), n (t ) ) = k (t )n (t )dt = (1.11) 0, k n, t t || n || = 2 (t )dt = Э где (1.12) n t – квадрат нормы или энергия базисной функции n (t ).

Говорят, что таким образом в гильбертовом пространстве сиг налов задан ортогональный координатный базис, т. е. система ор тогональных базисных функций.

Базисная функция n (t ), для которой квадрат нормы равен еди ) ( = 1, называется нормированной, а вся система функ нице n ций {n (t )} – ортонормированной или ортонормальной. В этом случае говорят, что задан ортонормированный базис.

Проецирование произвольного сигнала S (t ) H на оси коорди натного базиса называется разложением в обобщенный ряд Фурье.

Это разложение имеет вид S (t ) = C0 0 (t ) + C11 (t ) +....Cn n (t ) +.... = Cn n (t ). (1.13) n = Коэффициенты Сn, представляющие собой проекции сигнала S (t ) относительно выбранного базиса, определяются из соотношения t Cn = ( S (t ), n (t ) ) = S (t )n (t ) dt (1.14) t – для ортонормированных функций n (t ), или 1.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ t 1 ( S (t ), n (t ) ) = S (t )n (t ) dt Cn = (1.14') || n ||2 || n ||2 t – для ортогональных, но ненормированных функций n (t ).

Произведение вида Cn n (t ), входящее в ряд (1.13), представля ет собой спектральную составляющую сигнала S (t ), а совокуп ность коэффициентов (проекций сигнала) {C0,.., Cn,..} называется спектром сигнала. Графическое изображение Cn {C0,.., Cn,..} в виде вертикальных отрезков, C1 C называемое спектральной диаграммой, дает Ci C наглядное представление о спектре сигнала n (рис. 1.2).

i Суть спектрального анализа сигнала S (t ) Рис. 1. состоит в определении коэффициентов Cn (экспериментально или аналитически) в соответствии с (1.14').

На основе ряда (1.13) возможен синтез (аппроксимация) сигна лов при фиксированном числе N ряда N C n n (t ).

S (t ) = C0 0 (t ) +... + C N N (t ) = (1.15) n= При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе базисных функций {n (t )} и числе слагаемых N он обеспечивает наилучший синтез (аппрок симацию), давая минимум среднеквадратической ошибки, под которой понимается величина t t N = S (t ) S (t ) dt = S (t ) Cn n (t ) dt. (1.16) t1 n = t Ортогональная система называется полной, если увеличением N можно сделать сколь угодно малой. Ряд (1.13) называется в этом случае сходящимся в среднем.

Относительная ошибка синтеза определяется по формуле = / Эs, (1.17) где Э s – энергия сигнала (на сопротивлении 1 Ом), численно рав ная квадрату нормы сигнала [см. формулу (1.6)].

14 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Формула (1.6) с учетом ряда (1.13) может быть записана:

t2 [ S (t )] dt = Cn 2 n Эs =, (1.18) n = t а при использовании ортонормированной системы функций {n (t )} Э s = Cn.

n = Очевидно, что средняя за период T = t2 t1 мощность сигнала t Э [ S (t )] Cn n 2 Pсp = s = dt =. (1.19) ТТ Т n = t Выражение вида (1.18) или (1.19) называется равенством Пар севаля.

Выбор рациональной системы ортогональных функций. Он зависит от поставленной задачи.

Так при анализе и синтезе сигналов, воздействующих на линей ные цепи, наибольшее распространение получила система гармо нических функций. Во-первых, гармонические колебания в отли чие от других сохраняют свою форму при прохождении через эти цепи;

изменяются лишь амплитуда и начальная фаза. Во-вторых, широко используется хорошо разработанный в теории цепей сим волический метод. Представление сигналов в базисе гармониче ских функций будет рассмотрено в главе 2.

Из множества других задач наиболее важной является задача приближенного разложения сложных сигналов, при которой тре буемая точность обеспечивается при минимуме членов ряда. Для разложения непрерывных сигналов применяются полиномы и функции Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита и др. Системы этих функций рассмотрены в [1, 3], а задачи приведены в [5]. Для представления ступенчатых сигналов используются кусочно постоянные функции Уолша, Хаара, Радемахера.

В последние годы широко применяют базисные функции типа вейвлетов [31-34], которым специально посвящена глава 16.

Ниже рассмотрены функции Уолша (ФУ), которые также полу чили широкое применение [14-16].

Функции Уолша. Способ аналитического задания и нумерации (упорядочения) ФУ может быть различным [1]. Их можно сформи ровать, например, с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара 1.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ H N порядка N = 2n называется квадратная матрица размера N N с элементами ±1 такая, что 1, + 1 HN /2, HN / H1, H H1 = 1, H 2 = =,…, H N =. (1.20) H1, H1 1, 1 HN /2, HN / ФУ, упорядоченная по Адамару ( had( n, T ) с номером n ), является последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам n -й строки матрицы. Под длительностью подразумевается (1/ N )-я до ля интервала ортогональности [0, T ], или при введении безразмер ного времени = t / T, безразмерного интервала [0,1].

Упорядочение по Уолшу характерно тем, что номер k функции wal(k, ) равен числу перемен знака на интервале ее существова ния (рис. 1.3).

Основные свойства функций Уолша:

• ФУ ортонормированные.

• Перемножение двух ФУ дает также ФУ wal(k, )wal(l, ) = wal(m, ), где m = k l, символ поразрядного суммирования по модулю два: 1 1 = 0 0 = 0 ;

1 0 = 0 1 = 1.

• Умножение ФУ самой на себя дает (как следует из предыду щего) ФУ с нулевым номером wal(0, ).

• Умножение ФУ wal(k, ) на wal(0, ) не изменяет исходную функцию.

• Площадь ФУ на интервале ортогональности 1, k = 0, wal(k, )d = 0, k 0.

• Четным относительно середины интервала ( = 0.5 ) функци ям соответствуют четные значения k и наоборот.

• ФУ обладают свойством симметрии, проявляющимся в том, что все выводы относительно k справедливы также относительно и др.

16 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ wal ( k,и ) had( k,и) 0 2 3 5 6 7 8 11 13 Tt 1 = t /T 0. Рис. 1. 1.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Формулы (1.13) и (1.14) при использовании ФУ в качестве ба зисных функций примут вид:

S () = Bn wal(n, ), (1.21) n = T Bn = S (t )wal(n, T )dt = S ()wal(n, ) d. (1.22) T0 Вопросы использования ортогональных функций и, в частности ФУ, в радиотехнике подробно изложены в [14-16].

1.3. ЗАДАЧИ 1.3.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ 1. Изобразите графики следующих сигналов:

а) S1 (t ) = U (t 1 ) ;

б) S2 (t ) = U (1 t ) ;

в) S3 (t ) = U (t 1) ;

г) S4 (t ) = U (t + 1 ).

2. Как изменится вид сигналов S1 (t ) S 4 (t ) из задачи 1, если вместо U взять U ?

3. Изобразите графики функций Дирака:

а) S1 (t ) = U (t 1 ) ;

S 2 (t ) = U ( 1 t ) ;

б) в) S3 (t ) = U ( t 1 ) ;

г) S 4 (t ) = U (t + 1 ).

4. Изобразите график сигнала, математическая модель которого имеет вид:

0, t u / S (t ) = (1.23) 2U m t / u, t u / 2.

Запишите математическую модель сигнала с помощью суммы и произведений функций Хевисайда.

5. Импульсы напряжения изображены на рис. 1.4. Запишите ма тематическую модель сигналов двумя способами: а) на временных интервалах аналогично выражению (1.23), б) с помощью комбина ций функций Хевисайда.

18 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ S 2 (t ) S 3 (t ) S1 (t ) U U U 1 t 2 1 0 1 t t 0 а б в Рис. 1. 6. Изобразите графически сигналы, полученные дифференциро ванием видеоимпульсов, изображенных на рис. 1.4. Запишите ма тематические модели.

7. Представьте графики радиоимпульсов, образованных произ ведением соответствующих видеоимпульсов S1 (t ) S3 (t ) (рис. 1.4) и гармонического колебания 1cos 0t.

8. Запишите математическую модель видеоимпульса рис. 1.4, а в виде суммы четной и нечетной частей (графически и аналити чески).

9. Составьте математическую модель для описания бесконечной последовательности одинаковых импульсов прямоугольной (рис. 1.4, а) и треугольной (рис. 1.4, б) формы с периодом T = 2u.

10. Изобразите график сигнала S (t ) = U (1 et ) [ (t ) (t 1 )] + Ue (t 1 ) (t 1 ), где = 1/ t0, t0 1 / 3.

1.3.2. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ 11. Вычислите [(t 1 ) (t 2 )]dt ;

I1 = (t 1 )(2 t )dt ;

I2 = [(t 1) (t 2 )] I3 = dt ;

[(t 1 ) (2 t )] (2 t )dt.

I4 = 1.3. ЗАДАЧИ 12. Найдите [(t 1 ) (t 2 )] dt ;

I1 = [(t 1 )(2 t )] dt ;

I2 = et (t ) dt ;

t e I3 = I4 = ( t ) dt.

13. Вычислите et (t ) dt ;

t (t )dt, I1 = I2 = где (t ) = d (t ) / dt.

14. Запишите математическую модель и дайте динамическое представление сигнала рис. 1.4, а, воспользовавшись функциями (t ) и (t ).

15. Воспользовавшись формулой (1.1), дайте динамическое представление экспоненциального видеоимпульса:

u (t ) = U exp(t )(t ).

16. Изобразите графики функций и дайте динамическое пред ставление сигналов, используя функции (t ) и (t ) :

S1 (t ) = (t )U m cos 0t ;

S 2 (t ) = (t )U m e t.

1.3.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ 17. Множество М образовано сигналами вида S n (t ) = An cos(n t + n ) – гармоническими колебаниями, отличающимися своими амплиту дами An, частотами n и начальными фазами n ;

при этом ам плитуды колебаний не превосходят 20 В. Найдите амплитуду сум марного колебания S (t ) = 15cos 1t + 10cos 3t, где 3 = 31. Мож но ли считать заданное множество линейным пространством?

18. Множество М образовано прямоугольными видеоимпуль сами напряжения на интервале времени (0, 50 мкс). Амплитуды импульсов не превышают 15 В. Покажите, что данное множество не является линейным пространством сигналов.

20 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ 19. Вычислите энергию и норму сигнала с амплитудой U и длительностью u. Форма импульса (рис. 1.5):

а) прямоугольная S1 (t ) = U1, 0 t u ;

б) треугольная S 2 (t ) = (U 2 / u )t, 0 t u ;

в) экспоненциальная S3 (t ) = U 3 exp( t ), t 0, 0 ;

г) синусоидальная S 4 (t ) = U 4 sin( t / u ), 0 t u.

S 2 (t ) S1 (t ) U U u u t t 0 S 3 (t ) S4 ( t ) U3 U u t t Рис. 1. 20. Определите энергию и норму экспоненциального видеоим пульса u (t ) = 50e 10 t (t ), В.

21. Определите метрику сигналов: а) S1 (t ) и S 2 (t ) ;

б) S1 (t ) и S 4 (t ). Сигналы S1 (t ), S 2 (t ) и S 4 (t ) заданы в задаче 19.

22. По данным предыдущей задачи вычислите амплитуду U прямоугольного импульса так, чтобы было минимальным расстоя ние между ним и: а) треугольным импульсом S 2 (t ) ;

б) синусои дальным импульсом S 4 (t ). Найдите в каждом случае это мини мальное расстояние.

23. По данным задачи 19 найдите величину параметра, при ко торой метрика d ( S1 (t ), S3 (t ) ) минимальна. Параметры U1 = U 3 = U 0, u и – положительные вещественные числа. Амплитуда U 0 и дли тельность u импульса считаются фиксированными.

1.3. ЗАДАЧИ 24. Сигнал u1 (t ) = 1t 2, 0 t 1 аппроксимирован линейной функцией u2 (t ) = at + b. Найдите коэффициенты a и b, потребовав наименьшей метрики d (u1 (t ), u2 (t )).

25. Заданы два экспоненциальных видеоимпульса, смещенных на величину t u1 (t ) = Ue t (t ), u2 (t ) = Ue (t t0 ) (t t0 ).

Найдите зависимость угла 1,2 между векторами от параметра t0.

Найдите значение t0, при котором 1,2 = 89o, т. е. видеоимпульсы практически ортогональны.

26. Покажите, что комплексные экспоненциальные функции n (t ) = exp j nt, n = 0, ± 1, ± 2,...

T T на интервале T / 2 t T / 2 образуют ортонормированный базис.

27. Докажите, что в вещественном гильбертовом пространстве, содержащем сигналы U и V, справедливо равенство параллело грамма:

2 2 2 U +V + U V = 2 U + 2 V.

28. Докажите, что в комплексном гильбертовом пространстве, содержащем сигналы U и V, имеет место тождество 2 2 2 4(U,V ) = U + V + U V + j U + jV j U jV.

1.3.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛША 29. Сформируйте с помощью матриц Адамара функции Уолша (ФУ) при базисе: а) N = 4, б) N = 8, в) N = 16. Упорядочите функции по Адамару и Уолшу.

30. Перемножение двух ФУ дает также ФУ:

wal(k, ) wal(i, ) = wal(m, ).

Определите номер m результирующей функции, если: а) k = 3, i = 7 ;

б) k = 8, i = 5 ;

в) k = 6, i = 12.

31. Дана периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой S 0, длительностью u и периодом повто рения Т 22 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ S (t ) = So, 0 t u.

Определите спектр в базисе ФУ на интервале [0, T] для следующих значений скважности ( q = T / u ): а) 2;

б) 4;

в) 8.

32. Сигнал S1 () имеет спектр {B1,n } = B0,1,...., B1,n. Чем отлича ется спектр сигнала S 2 (), связанного с сигналом S1 () соотноше нием: а) S2 () = S0 S1 () ;

б) S2 () = S0 + S1 () ;

в) S2 () = S0 S1 () ?

33. Как изменится спектр меандра ( u = T / 2 ) при задержке на з = и / 2 ?

34. Один период Т колебания треугольной формы S () = S0, при 0 = t / T 1 аппроксимируется пятью членами ряда:

S S % S () = 0 wal(0, ) 0 wal(1, ) 2 S0 So S wal(3, ) wal(7, ) 0 wal(15, ) 8 16 % Определите энергию и среднюю мощность колебания S () (на со противлении 1 Ом) и сравните полученные значения с энергией и мощностью исходного колебания S (). Sо = 1 В, Т = 1 мс.

35. По данным предыдущей задачи изобразите аппроксимиро % ванный (синтезированный) сигнал S () и определите относитель ную среднеквадратическую ошибку аппроксимации для случаев, % когда S () содержит: а) два члена ряда ( N = 2), б) три члена ( N = 4), в) четыре члена ( N = 8), г) пять членов ( N = 16). Ампли туду S 0 принять равной 32 В.

36. Определите спектр и постройте спектральную диаграмму сигнала S (), приведенного в табл. 1.1, в базисе 4 (8 или 16) ФУ.

37. По результатам предыдущей задачи синтезируйте сигнал на интервале [0,1] и постройте на одном графике исходный S () и % синтезированный S () сигналы.

38. По данным задач 36 и 37 рассчитайте норму и энергию (при R = 1 Ом) исходного и синтезированного сигналов и определите относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации (синтеза).

1.3. ЗАДАЧИ Таблица 1. Сигнал S () Номер вари График Аналитическая запись анта 1 S S0, 0 и 1/ 4, 1.0 S0, 3/ 4 и 1. 0. 0 и S0и, 0 и 0.5, S0/ o 1.0 S0 (и 1), 0.5 и 1. и 0. 3 S0/ и S0 (и 0.5), 0 и 0 1. 0. S So 2S0, 0 и 0.5, 2S0 (1 и), 0.5 и 1. 1. и 0 0. S0 (0.5и 2), 0 и 0.5, S0/2 0.5 S0 (2и 1.5), 0.5 и 1. 1. и 6 S (1 4и), 0 и 0.25, So 0, 0.25 и 0.75, 1. и 0. 0 4 S0 (и 0.75), 0.75 и 1. А A sin(2), 0 1. и 0 0. 8 А A sin(2), 0 0.5, 0, 0.5 1. 1. и 0 0. 9 А A cos(2), 0 1. и 0. A cos(2), 0 0.25, А 0, 0.25 0.75, 1.0 A cos(2), 0.75 1. и 0 0.5 24 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Окончание табл. 1. Сигнал S () Номер вари График Аналитическая запись анта 11 4 S0 и, 0 и 0.25, So S S0, 0.25 и 0.75, S [1 4(и 0.75)],0.75 и 1. 1.0 и 0. 0 12 S0o S S0 (1 и), 0 и 1. 1. и 0 0. 13 S 0, 0 и 0.25, S0, 0.25 и 1. и 0 0.5 1. 14 So S S0, 0 и 0.25, 0, 0.25 и 0.75, S, 0.75 и 1. 1.0 и 0 0.5 15 So S S0, 0 и 0.125, 0.25 и 0.375, 1.0 и 0 0. 0, вне этих интервалов 16 S0 S0, 0 и 1/ 8, 2 / 8 и 3/ 6 / 8 и 1/ 0, и 0 0.5 1.0 0, вне этих интервалов 17 S0 S0, 0 и 1/ 4, 5 / 8 и 6 / 7 / 8 и 1/ 0, и 0 0.5 1.0 0, вне этих интервалов 18 So 2S0, 0 и 0.5, S0, 0.5 и 1. и 0 0.5 1. 19 So S0 (1 2и), 0 и 0.5, 0, 0.5 и 1. и 0 0.5 1. 1.3. ЗАДАЧИ 20 So S0, 0 и 1/ 8, 3/ 8 и 5 / 7 / 8 и 1.0, и 0 0.5 1.0 0, вне этих интервалов 26 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ 1.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1.4.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛА В табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсного сигнала.

Требуется:

Записать математическую модель сигнала S (t ) через временные интервалы и на непрерывной оси времени с помощью комбинаций (суммы и произведений) функций Хевисайда.

Таблица 1. Ва- Ва Сигнал S (t ) Сигнал S (t ) риант риант 0 U U ф/ t ф/ ф/ 2 t ф/ 2 1 6 U U ф/ ф/ ф/ 2 t ф/ 2 t -U 2 7 U U ф/ ф/ 2 ф/ 2 t ф/ 2 t 0 U U 3 ф/ t ф/ 2 ф/ 2 ф/ 2 t -U 4 U U ф/ 2 ф/ ф/ 2 t ф/ 0 t -U -U Таблица 1. Подвариант 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 8 4 2 1 10 8 4 2 U, B,мс 1 2 3 4 5 5 4 3 2 3 6 9 12 15 20 16 12 8 Т, мс 1.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 1.4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛША Аппроксимируйте сигнал S () в базисе 8 ФУ wal (n, ), n = 0,...,7. Форма сигнала задана в табл.1.4, а параметры приведены в табл.1.5.

Требуется:

а) определить спектр и построить спектральную диаграмму для заданного o и o = 0 ;

б) синтезировать сигнал на интервале [0, 1] и построить на одном графике заданную и аппроксимированную функцию для o = 0 ;

в) рассчитать норму и энергию (на сопротивлении 1 Ом) исход ного и аппроксимированного сигнала;

г) определить относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации.

Таблица 1. Сигнал S () Ва риант График Аналитическая запись 0 А A cos[2( 0 )] и 0 и0 0.5 1. 1 А и A sin[2( 0 )] 1.0 и 0 0. 2 S0 ( + 1 0 ), 0 0, S S0 ( 0 ), 0 1. и и 0 0.5 1. 3 S0 (0 ), 0 0, S S0[1 ( 0 )], 0 1. и 0 и0 0.5 1. 4 2 S0 (0 ), 0 0, S 2 S0 ( 0 ), 0 0 + 0.5, 2 S [1 ( )], 0.5 + 1. 1.0 и 0 и0 0.5 0 0 5 S0 (1 2(0 )], 0 0, S S0 (1 2( 0 )], 0 0 + 0.5, S [2( ) 1], 0.5 + 1. 1.0 и 0 и0 0.5 0 0 Окончание табл. 1. 28 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Сигнал S () Ва риант График Аналитическая запись 6 S0 S0, 0 0 + и, и = 1/ 4, 0, вне этого интервала 1.0 и 0 и0 0. 7 S0 0, 0 0 + и, и = 1/ 4, S0, вне этого интервала 1.0 и 0 и0 0. 8 S0 S0, 0 0 + и, и = 1/ 8, S0, 0 + 2u 0 + 3и, и 0, вне этих интервалов 0 и0 0.5 1. 9 S0/2 S0 / 2, 0 0 + и, и = 1/ 8, S0 / 2, 0 + 2u 0 + 3и, и 0 0.5 S / 2, вне этих интервалов 1. и Таблица 1. Подвариант 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1/16 2/16 3/16 4/16 5/16 6/16 7/16 8/16 9/16 10/ А или 10 9 8 7 6 5 4 3 2 S0, В О сколько нам открытий чудных Готовят просвещенья дух И опыт, сын ошибок трудных, И гений парадоксов друг … Александр Пушкин ГЛАВА СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 2.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Гармонический анализ периодических колебаний. Тригономет рическая и комплексная форма ряда Фурье. Спектр периодического колебания. Амплитудные и фазовые спектральные диаграммы.

Связь тригонометрических и комплексных коэффициентов ряда Фурье. Энергетические характеристики периодических сигналов.

Распределение энергии и мощности в спектре периодического сиг нала [1, 2.3…2.5;

2, 2.1;

3, 1.1, 1.2, 2.1].

Спектральное представление непериодических колебаний. Пре образование Фурье. Спектральная плотность. Связь между спек тральной плотностью непериодического колебания и спектральны ми коэффициентами периодического колебания. Теоремы о спек трах. Энергетические характеристики непериодического колеба ния. Энергетический спектр. Равенство Парсеваля. Обобщенная формула Релея. Понятие активной (эффективной) длительности и ширины спектра непериодического сигнала;

соотношение между ними [1, 2.6…2.14;

2, 2.2-2.5;

3, 2.1…2.6].

Корреляционные функции детерминированных сигналов. Авто корреляционная функция (АКФ). Свойства АКФ, связь с энергети ческим спектром сигнала. Взаимная корреляционная функция (ВКФ) и ее связь со взаимным энергетическим спектром [1, 2.18, 2.19;

2, 3.2;

3, 1.3, 2.2…2.4].

Представление сигналов рядом Котельникова. Теорема Котель никова. Дискретизация непрерывных сигналов. Интервал Найкви ста. База сигнала. Спектр дискретизированного сигнала [1, 2.15…2.17;

3, 2.7;

2, 5.2].

30 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 2.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Представление периодического сигнала S (t ) = S (t + nT0 ) или сигнала с ограниченной областью определения ( t1 Tonp t2 ) обобщенным рядом Фурье (1.13) в базисе основных тригонометри ческих функций ( sin 2nt / T ;

cos 2 nt / T ) называется гармониче ским. Такое представление возможно, если T = T0 или T = Tonp и имеет вид:

S (t ) = a0 + (an cos n0t + bn sin n0t ) = n = (2.1) = A0 + An cos(n0t n ), n = где 0 = 2 / T ;

n = 1,2,3,... ;

T T 1 S (t )dt ;

an = T S (t ) cos(n0t )dt ;

a0 = T0 T T bn = S (t )sin(n0t )dt ;

(2.2) 2 Ao = ao ;

An = an + bn ;

n = arctg (bn / an ).

Совокупность коэффициентов An и n образуeт дискретный спектр периодического колебания. Изображение коэффициентов в координатах амплитуда – частота и фаза – частота называется со ответственно амплитудными и фазовыми спектральными диа граммами или амплитудным и фазовым спектром (рис. 2.1, а).

Кроме тригонометрической формы записи ряда Фурье часто ис пользуют комплексную форму. Она соответствует разложению сигнала S (t ) в обобщенный ряд Фурье (1.13) по системе ортого нальных функций e jnot = cos no t + j sin no t ;

n = 0, ±1, ±2,...

и имеет вид Ce jnot, & S (t ) = (2.3) n = где 2.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ T Cn = S (t )e jnot dt = Cn e jn.

& & (2.4) T & Между коэффициентами Cn и An, а также n и n существу ет простая связь & C0 = A0 ;

Cn = Cn = An / 2, ( n 0 );

(2.5) n = n ( n 0 );

n = n ( n 0 ).

На рис. 2.1, б приведен пример спектральных диаграмм ком плексного ряда Фурье.

Cn An A A2 C1 C C C A0 C 3 C A3 2 C щ 2щ0 3щ0 щ 3щ щ0 щ0 3щ0 щ 0 0 n n 2 1 щ 30 щ 3щ0 щ 20 щ 0 щ 2 3 а б Рис.2. & Важно! Коэффициенты An и Cn могут быть вычислены двумя способами:

• непосредственно по (2.2) и (2.4);

• с использованием спектральной плотности (2.10).

Для периодических сигналов, а также для сигналов с ограни ченной областью определения в качестве энергетической характе ристики используется средняя мощность, которую можно вычис лить по формулам:

• для временной области T P = S 2 (t )dt ;

(2.6) T 32 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ • для частотной области & P = A0 + An / 2 = 2 Cn. (2.7) n =1 n = 2 & Совокупность коэффициентов An / 2 и Cn = Cn образует дис кретный спектр мощности периодического сигнала (рис. 2.2).

2 An / 2 Cn A1 / A2 / 2 2 2 A3 / 2 C1 C0 C1 C A0 2 C C 3 2щ0 3щ0 щ щ щ0 3щ 0 щ0 2щ0 3щ0 щ Рис.2. Важно! При переходе к спектру мощности теряется информа ция о фазе спектральных составляющих.

В отличие от периодического сигнала, одиночный импульс, за данный на всей бесконечной оси времени ( T0 ), включающей область определения сигнала ( Tопp ), не может быть записан как ряд Фурье. Логическим распространением спектральных представле ний на одиночные импульсы является интегральное преобразова ние.

Прямое преобразование Фурье – это переход от описания сигна & ла во времени S (t ) к описанию в частотной области S () jt dt = S () e j().

S (t )e & & S () = S ( j) = (2.8) Обратное преобразование Фурье – это восстановление времен ной модели сигнала по его спектральной плотности 1 jt S ()e d.

& S (t ) = (2.9) Таким образом, одиночный импульс, заданный на всей беско нечной оси времени, имеет сплошной спектр в виде непрерывной & функции частоты S (), которая называется спектральной плотно стью. Размерность спектральной плотности [Ампл / Гц].

2.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ На рис. 2.3 приведен пример спектральных диаграмм модуля (б) и фазы (в) спектральной плотности для одиночного прямоугольно го импульса (а).

S( f ) S (t ) Uф U ф/ 2 0 ф/ 2 t f 2 / ф 0 1/ф 2/ф 3/ а б ( f ) 2р 2/ф 3/ф р f 2 / ф р 2р в Рис.2. Спектральная плотность связана простым соотношением с ком S (t + nT0 ), плексными амплитудами периодического сигнала n = полученного повторением с периодом T0 одиночного импульса S(t).

. 1.

Cn = S (n0 ), 0 = 2 / T0. (2.10) T Соотношение (2.10) позволяет легко перейти от сплошного спектра одиночного импульса к дискретному спектру периодиче & ской последовательности импульсов. Расчет Сn по соотношению (2.10) рекомендуется проводить еще и потому, что • спектральная плотность большинства простейших одиночных импульсов широко представлена [1-3];

• при расчете спектра сложных импульсных последовательно стей можно воспользоваться основными теоремами о спектре (прил. П.4).

Полная энергия одиночного импульса может быть вычислена либо во временной области, либо в частотной в соответствии с ра венством Парсеваля:

34 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 1& S () d.

S 2 (t ) dt = Эс = (2.11).

Спектральная диаграмма | S () |2, как функция частоты, называется энергетическим спектром одиночного импульса.

Для оценки эффективной (практической или активной) дли тельности сигнала ( эф ), имеющего бесконечно протяженную во времени математическую модель, можно воспользоваться энерге тическим критерием:

эф S 2 (t ) dt = kэ Эс.

Эс ( эф ) = (2.12) В частотной области аналогичным способом определяют эф фективную ширину спектра сигнала ( эф ) эф.

| S () |2 d = kэ Эс.

Эс (эф ) = (2.13) Таким образом, эффективная длительность эф (и ширина спек тра эф ) – это такой временной (и частотный) интервал, в котором сосредоточена подавляющая часть ( kэ ) полной энергии сигнала.

Обычно kэ = 0.9 (90%) или 0.95 (95 %).

Между эффективной длительностью и шириной спектра про стейших видеоимпульсов имеется связь, которая называется соот ношением неопределенности для сигналов эф f эф =, (2.14) где f эф = эф / 2 ;

– небольшое число (см. прил. П.5).

Одной из важных временных характеристик детерминирован ных сигналов, устанавливающих энергетическую связь сигнала S (t ) с его сдвинутой на величину копией S (t ), является ав токорреляционная функция (АКФ). Для сигналов с ограниченной областью определения АКФ вычисляется по формуле S (t )S (t )dt.

K s () = (2.15) 2.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Для периодических сигналов ST (t + nT0 ) АКФ вычисляется:

T0 / ks () = ST (t ) ST (t )dt. (2.16) T0 T0 / В теории сигналов доказывается, что АКФ и энергетический спектр связаны парой преобразований Фурье.

K s () | S () |2. (2.17) Основные свойства АКФ:

1) K s ( ) = K s ( ) – четность;

2) K s (0) = Э с – полная энергия сигнала;

k s (0) = P – средняя за период мощность сигнала;

3) K s (0) K s ( ) – максимум в начале координат;

4) k s ( ) = k s ( + nT0 ) – АКФ периодического сигнала –периоди ческая функция с периодом T0 ;

5) K s ( ) и k s ( ) – не несут информации о начальном поло жении сигнала.

Энергетическую связь двух различных сигналов, сдвинутых друг относительно друга на величину, характеризует взаимная корреляционная функция (ВКФ):

S (t )U (t )dt.

K s,u () = (2.18) ВКФ отображается в частотную область как взаимный энерге тический спектр:

.

K s,u () S ()U () = S ()U (), & & & (2.19) где “*” – знак комплексного сопряжения.

ВКФ связана с интегралом свертки следующим соотношением:

S ()U ( + )d.

K s,u () = S () U () = (2.20) Дискретные сигналы могут быть получены из аналоговых (не прерывных) дискретизацией. Простейшая математическая модель 36 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ дискретного сигнала Sд (t ) – это счетное множество точек {ti } (i = 0,1, 2,...,) на оси времени, в каждой из которых известно значе ние Si сигнала S (t ).

На основании теоремы Котельникова непрерывный сигнал S (t ), спектр которого не содержит частот выше f max, полностью опре деляется дискретной последовательностью своих мгновенных зна чений, отсчитываемых через интервалы времени T :

T= =, (2.21) 2 f max max где T – интервал дискретизации (интервал Найквиста).

Такой ограниченный по частоте сигнал можно выразить обоб щенным рядом Фурье в базисе функций (sin x) / x :

S (t ) = S (kT )k (t ), (2.22) k = sin[ max (t kT )] где k (t ) = – при k = 0, 1, 2, … система ортого max (t kT ) нальных базисных функций;

S (kT ) – значения функции S (t ) в мо менты времени kT.

Для представления сигналов конечной длительности ( Tопр ) в дискретной форме потребуется N отсчетов N = Tопр / T = 2 f maxToпp, (2.23) где N – база сигнала. Обратим внимание, что при этом частота f max определяется приближенно, так как сигналы, ограниченные во времени, имеют бесконечно протяженный спектр.

Спектр дискретизированного сигнала отличается от спектра не прерывного сигнала тем, что он периодичен по частоте. Если за дискретизирующую последовательность принята система дельта функций k (t ) = (t kT ), k = то спектр дискретизированного сигнала имеет вид:

2.3. ЗАДАЧИ 1.

.

S ( k д ), S д () = (2.24) T k =.

где S () – спектр непрерывного сигнала;

д = 2 / T = 2max – час тота дискретизации, являющаяся “периодом” повторения по частоте.

Для дискретизированного сигнала можно ввести дискретную функцию автокорреляции K S (n) = Sk Sk n, (2.25) k = где S k = S ( kT ), n =0, ±1, ±2, ….

2.3. ЗАДАЧИ 2.3.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 1. Вычислите спектр сигналов S1 (t ) S 4 (t ), используя триго нометрическую форму ряда Фурье. Постройте графики сигналов во времени и соответствующие им спектральные диаграммы в частот ной области S1 (t ) = U 0 + U m cos(н t + 0 ) ;

S 2 (t ) = U 0 + U m sin(н t + 0 ) ;

S3 (t ) = U 0 + U m1 cos(н t ) + U m 2 sin(2н t ) ;

S 4 (t ) = U 0 + U m cos(н t ) cos(2н t ).

2. Рассчитайте спектр сигналов S1 (t ) S 4 (t ) из задачи 1 и по стройте спектральные диаграммы, используя комплексную форму ряда Фурье.

3. Изобразите спектры мощности сигналов S1 (t ) S 4 (t ) из зада ния задачи 1. Определите среднюю за период мощность, используя временное и спектральное представление сигналов. Сравните ре зультаты.

4. Как изменится спектр сигнала S1 (t ) из задачи 1, если сигнал сдвинуть по оси времени на величину, - ? Как изменится его спектр мощности?

38 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 5. Чем отличается спектр сигнала S1 (t ) от спектра сигнала S1 (t ), если = const?

6. Рассчитайте спектр и изобразите спектральную диаграмму сигнала S (t ) = dS 2 (t ) / dt, где S 2 (t ) – сигнал из задачи 1.

7. Вычислите спектр и изобразите спектральные диаграммы сигнала t S(t)= S1 (t )dt, при U0=0, 0=0, где S1 (t ) – сигнал из задачи 1.

8. Изобразите спектр сигнала S (t ) = S1 ( t ) ;

= const.

9. Запишите аналитическое выражение математической модели сигнала (рис. 2.4). Определите период сигнала. Вычислите сред нюю за период мощность.

An U n 3р/ р U0 U / U /3 р/ щ0 2щ0 3щ0 щ щ0 2щ0 3щ0 0 Рис.2. 10. Математическая модель сигнала имеет вид U m j ( n0t + n / 2) S (t ) = e.

n =3 2n Изобразите амплитудный спектр и спектр мощности сигнала. По ясните разницу.

11. Выведете выражение для расчета постоянной составляющей и амплитуды n-й гармоники последовательности однополярных импульсов S1 (t ) (рис. 2.5, а).

12. Какие гармоники будут отсутствовать в спектре сигнала S1 (t ) (рис. 2.5, а), если его скважность ( q = T / ) равна 10?

2.3. ЗАДАЧИ 13. Решите задачу 11 для частного случая, когда сигнал S1 (t ) представляет собой периодическую последовательность знакопе ременных прямоугольных импульсов S 2 (t ) (см. рис.2.5, б) с ам плитудой U m = S0 / 2 и со скважностью 2 (так называемый меандр).

14. По данным предыдущей задачи запишите ряд Фурье в три гонометрической форме и изобразите сумму первых трех состав ляющих (с частотами, 2 и 3 ). Определите относительную среднеквадратическую ошибку (см. (1.10)) такой аппроксима ции.

15. Как изменятся спектры амплитуд и фаз меандра (рис. 2.5, б), если S 2 (t ) переместить: а) по оси ординат вверх на U m ;

по оси абсцисс (времени) вправо на / 2 ?

16. Для периодической последовательности импульсов S1 (t ) (рис. 2.5, а), скважность которых равна 2, определите долю мощно сти, которая заключена в постоянной составляющей и первой гар монике (т. е. в первом “лепестке” огибающей спектра сигнала), от средней за период мощности сигнала. Какова доля мощности сиг нала в двух “лепестках” его спектра?

S1 (t ) S2 (t ) S Um t ф/ 2 0 ф/ 2 t T T ф/ 2 ф/ Рис.2. 17. Найдите постоянную составляющую и амплитуду первой гармоники периодического сигнала S1 (t ), изображенного на рис.2.6, а.

S1 (t ) = U m cos 0t, / 2 t / 2, = T / 2 = / 0.

18. Рассчитайте постоянную составляющую и амплитуду первой гармоники последовательности импульсов S 2 (t ), представленной на рис. 2.6, б и образованной гармоническим колебанием U m cos o t, ограниченным на уровне U o :

S 2 (t ) = U m cos 0t U 0, / 2 t / 2 или 0t, где – так называемый угол отсечки, определяемый из соотноше ния 40 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ U m cos = U 0, откуда = arccos(U 0 / U m ) ;

при этом 0 / 2 = или = 2 / o.

Найдите ao и A1 для частного случая, когда U 0 = 0 ( = / 2 ) и сопоставьте с результатом задачи 17.

U и и р 2р щ0t ф/ 2 ф/ 2 ф/ ф/ а б Рис. 2. 19. Выведите выражение для расчета амплитуды n-й гармоники периодического колебания пилообразной формы S1 (t ) (рис. 2.7, а).

S1 (t ) S2 (t ) Um S 0 t T T / 2 0 T /2 t T U m а б Рис.2. 20. По данным предыдущей задачи запишите ряд Фурье в три гонометрической форме. Вычислите амплитуды первых трех гар моник и относительную среднеквадратическую ошибку аппрок симации для этого случая, т. е. когда S 1 (t ) равно сумме трех со ставляющих.

21. Определите постоянную составляющую и амплитуду n-й гармоники последовательности униполярных треугольных импуль сов S 2 (t ) (рис. 2.7, б).

22. По результату решения предыдущей задачи определите от носительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации S 2 (t ) суммой постоянной составляющей и трех первых гармоник.

2.3. ЗАДАЧИ 2.3.2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 23. Вычислите спектр дельта-функции S (t ) = (t зад ).

Постройте диаграмму спектральной плотности. Запишите одно из определений дельта-функции, используя обратное преобразование Фурье.

24. Вычислите спектр сигналов, не являющихся абсолютно ин тегрируемыми S1 (t ) = U m cos н t ;

S 2 (t ) = U m sin н t.

Постройте спектральные диаграммы Указание. Воспользуйтесь определением дельта-функции из за дачи 23.

25. Получите аналитическое выражение и постройте спектральную диаграмму S3 ( j) сигнала постоянного уровня S3 (t ) = U 0 = const.

Указание. Воспользуйтесь спектром сигнала S1 (t ) из задачи 24.

26. Вычислите спектр функции Хевисайда S 4 (t ) = (t ). По стройте спектральные диаграммы.

Указание. Представьте (t ) как сумму сигнала постоянного уровня и двух сигма-функций;

воспользуйтесь связью (t ) и (t ).

27. Получите спектр произвольной периодической последова тельности S5 (t ) = S (t + nT0 ), n = 0, ± 1, ± 2,....

28. Вычислите спектр и постройте спектральную диаграмму сигнала S6 (t ) = (t + nT0 ), n = 0, ± 1, ± 2,....

29. Рассчитайте спектр сигнала, изображенного на рис.2.8. По стройте спектральные диаграммы.

Указание. 1. Преобразуйте сигнал в сумму (t ). 2. Воспользуй тесь основными теоремами о спектрах (прил. П.4).

30. Вычислите энергетический спектр сигнала рис. 2.8. По стройте диаграмму энергетического спектра. Как изменится спектр и энергетический спектр сигнала:

42 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ а) если домножить U m на (–2);

б) если изменить масштаб времени ( t = 2t ;

t = t / 2 );

в) если инвертировать ось времени ( t = t );


г) если сместить сигнал во времени на ( ±и / 2 );

д) если изменить длительность импульса ( = 2и ;

= и / 2 )?

и и 31. Вычислите эффективную ширину спектра сигнала рис. 2. по энергетическому критерию kэ =0.9. Определите из соотноше ния неопределенности, если = 2и ;

= и / 2.

и и 32. Вычислите спектр и постройте спектральную диаграмму ра диоимпульса t S7 (t ) = e cos нt.

33. Вычислите спектральную плотность и постройте спектраль & ные диаграммы S () и () экспоненциального импульса:

S (t ) = So e t, при t 0, 0.

& 34. Вычислите спектральную плотность S () и постройте гра & фик S () пары экспоненциальных импульсов S (t ), представлен ных на рис. 2.9. Штриховой линией на рисунке показан одиночный импульс Sод (t ) = S0et, t 0, 0.

Воспользуйтесь теоремами о свойствах спектров.

S (t ) S (t ) S S0 / ф/ t 0 ф/ 2 t t0 t S S0 / Рис.2.8 Рис.2. 35. Показанный на рис. 2.10 треугольный импульс определяется выражением:

2.3. ЗАДАЧИ S0 (1 + 2t / ), / 2 t 0, S (t ) = S0 (1 2t / ), 0 t / 2.

& Найдите выражение для спектральной плотности S () и постройте & график S ().

S (t ) S (щ) S рS ф/ 2 0 щ щ t ф/ Рис. 2.10 Рис. 2. 36. Найдите и изобразите графически S (t ), если спектральная плотность имеет вид (рис. 2.11):

S () = So e.

2.3.3. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 37. Вычислите АКФ ограниченных во времени сигналов:

S1 (t ) = U m (t ) ;

S 2 (t ) = U m [(t ) (t u )] ;

S3 (t ) = U m cos(0t )[(t ) (t u )] ;

0 = 2 / T0, T0 = и / 2.

Постройте графики K().

38. Рассчитайте АКФ периодических сигналов;

S 4 (t ) = U m cos 0t ;

S5 (t ) = U m [(t nT0 ) (t и nT0 )].

39. Сравните АКФ сигналов S 2 (t ) и S5 (t ) ;

S3 (t ) и S 4 (t ). Пояс ните различие АКФ периодических и финитных сигналов.

40. Как изменится АКФ сигналов S1 (t )...S5 (t ), если вместо взять – ?

44 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 41. Вычислите, используя АКФ, полную энергию сигнала и среднюю мощность сигналов S1 (t )K S5 (t ).

42. Рассчитайте энергетический спектр сигналов S1 (t )K S5 (t ), используя их АКФ.

43. Найдите и изобразите АКФ пары прямоугольных импульсов (рис. 2.12).

S (t ) S t0 t0 + ф 0 ф t и и Рис. 2. 44. Определите и постройте АКФ экспоненциального импульса:

S (t ) = S0 e t при t 0, 0.

45. По найденному в предыдущей задаче выражению АКФ определите энергетический спектр импульса.

46. Что такое интервал корреляции? Как связан интервал корре ляции k сигнала S 2 (t ) с шириной первого лепестка энергетиче ского спектра?

47. По условию задачи 44 определите интервал корреляции k.

48. Вычислите ВКФ и взаимный энергетический спектр сигна лов S1 (t ) и S 2 (t ) из задачи 37. Поясните разницу между энергети ческим спектром и взаимным энергетическим спектром.

49. Определите ВКФ сигналов: u1 (t ) = U1e t и u2 (t ) = U 2 (t ).

50. Вычислите свертку сигналов S 2 (t ) и S1 ( t ) из задачи 37.

Сравните результат с ВКФ этих сигналов.

51. Вычислите ВКФ и взаимный энергетический спектр сигналов S6 (t ) = U m cos 0t ;

S 7 (t ) = U m sin 0t.

Определите, при каком временном сдвиге обеспечивается наи большее сходство S 6 (t ) и S 7 (t ).

u1 (t ) = U1e t 52. Определите свертку двух сигналов: и u2 (t ) = U 2 (t ).

2.3. ЗАДАЧИ 2.3.4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ 53. Вычислите шаг дискретизации сигналов sin 0t S1 (t ) =, S 2 (t ) = cos 0t.

0t Какое количество отсчетов необходимо для дискретизации этих сигналов?

54. Запишите ряд Котельникова для сигналов S1 (t ) и S 2 (t ) из задачи 37. Графически восстановите S1 (t ) и S 2 (t ) по их разложе нию в ряд Котельникова.

55. Вычислите интервал Найквиста для сигнала S3 (t ) = [(t + u / 2) (t u / 2)].

Определите базу сигнала N. Запишите ряд Котельникова. Поясни те противоречие, возникающее при расчете N.

56. Разложите сигнал в ряд Котельникова S 4 (t ) = e t (t ).

57. Как выбрать период повторения T базисной системы функций к (t ) = (t kT ) k = для дискретизации сигналов S1 (t )K S 4 (t ) ?

58. Как выбрать длительность u прямоугольного импульса, дискретизирующей последовательности t kT k (t ) = rect ?

u k = 59. Что можно сказать о временном представлении сигнала, спектр которого периодичен по частоте?

60. Вычислите спектр сигналов S1 (t )K S 4 (t ), дискретизирован ных с помощью системы дельта-функций. Изобразите спектраль ные диаграммы.

61. Вычислите АКФ дискретизированного сигнала S3 (t ) (из за дачи 37). Определите max, используя энергетический критерий ( k э = 0.9 ).

46 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 2.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 2.4.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ В табл.1.2 заданы варианты импульсных сигналов S (t ), а в табл.1.3 – их параметры.

Требуется:

& а) определить спектральную плотность S ( f ) сигнала S (t ). По & строить спектральные диаграммы модуля S ( f ) и фазы ( f ), диа & грамму энергетического спектра S ( f ) ;

б) найти ширину “лепестка” спектра сигнала;

для вариантов 1, 3…9 также ширину “лепестка” спектра одиночного импульса, вхо дящего в состав сигнала;

в) вычислить энергию сигнала;

& & г) рассчитать коэффициенты Cn и An комплексного и тригоно метрического ряда Фурье для периодического сигнала ST (t ), полу ченного путем повторения заданного сигнала S (t ) с периодом Tn.

& Построить соответствующие спектральные диаграммы C, и n n & Аn, n.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ При выполнении первого пункта задания следует иметь в виду, что непосредственное применение прямого преобразования Фурье для некоторых вариантов приводит к сложному и громоздкому интегрированию. Поэтому для получения результата наиболее простым путем целесообразно использовать теоремы о спектрах (см. прил. П.4), например теоремы о спектре суммы и производ ной сигналов. После n-кратного дифференцирования сигнала, описываемого кусочно-линейными функциями времени, резуль тат выражается с помощью различных комбинаций функций Хе висайда (t ) и Дирака (t ), спектральные плотности которых хо рошо известны [1]. Кратность дифференцирования n следует вы бирать такой, чтобы не потребовалось дифференцировать функ цию (t ).

2.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ При выполнении четвертого пункта следует учесть известную связь между спектральной плотностью одиночного импульса и спектром периодического сигнала (см. формулы (2.10) и (2.5)).

2.4.2. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсных сигналов S(t).

Требуется:

а) вычислить автокорреляционную функцию (АКФ) и построить график K();

& б) рассчитать энергетический спектр импульса S ( f ) с помо щью АКФ.

2.4.3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ В табл.1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсных сигналов S(t).

Требуется:

а) вычислить максимальную частоту f max в спектре сигнала (воспользоваться энергетическим критерием);

б) определить интервал дискретизации (Найквиста);

в) построить график дискретизированного сигнала, если за дис кретизирующую систему функций принята последовательность дельта- импульсов (t);

& г) определить спектр Sд ( f ) дискретизированного в соответст вии с п. “в” сигнала. Построить диаграмму спектральной плотности & Sд ( f ).

Наблюдать, изучать, работать … Истина должна быть главной целью исследований ученого Майкл Фарадей ГЛАВА МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 3.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Общие определения. Амплитудно-модулированные колебания (АМК). Временное, спектральное и векторное представления АМК.

Мощность АМК. Колебания с угловой модуляцией (УМК). Коле бания с частотной и фазовой модуляцией (ЧМК и ФМК). Спектр колебания при гармонической УМК. Спектр радиоимпульса с ли нейной частотной модуляцией (ЛЧМ). База сигнала [1, 3.1…3.7;

2, гл. 4;

3, 3.1…3.4].

Аналитический сигнал, его временные и спектральные характе ристики. Характеристики сопряженного (по Гильберту) колебания.

Понятие “комплексной огибающей” узкополосного сигнала и его значение для представления модулированных колебаний. Автокор реляционная функция (АКФ) модулированных колебаний. Особен ность АКФ колебания с большой базой (сжатие сигнала). Дискре тизация (по Котельникову) узкополосного сигнала [ 3, 3.5…3.7;

1, 3.8…3.12;

2, 5.3, 5.4].

Указания. В разделе АМК предложены задачи на модуляцию гармоническими, бигармоническими и полигармоническими сиг налами и на распределение мощности в спектре сигнала. В разделе УМК рассмотрены задачи на понятие мгновенной частоты, фазы и базы сигнала, на определение спектра ЧМК и ФМК. Задачи на ана литический сигнал включают вопросы: понятие “комплексной оги бающей”, ее спектральной плотности и физической огибающей;

спектральные и временные характеристики сигнала;

преобразова ния по Гильберту.

3.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 3.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Мгновенное значение амплитудно-модулированного коле бания S (t ) = A(t ) cos(0t + 0 ). (3.1) При модуляции гармоническим сигналом S (t ) = Sm [1 + M cos(t + )]cos(0t + 0 ) = Sm cos(0t + 0 ) + + Sб cos[(0 + )t + 0 + ] + Sб cos[(0 - )t + 0 ], (3.2) где Sб = Sm M / 2 – амплитуда составляющих верхней ( 0 + ) и нижней ( 0 ) боковых частот. Максимальная и минимальная амплитуда АМК равны: Smax = Sm (1 + M ), Smin = Sm (1 M ).

Выражение (3.2) удобно для представления АМК в спектраль ном и векторном виде.

Коэффициент глубины модуляции, или просто коэффициент модуляции может быть найден по известным временной и спек тральной диаграммам соответственно по формулам S max S min 2 Sб M= M= ;

.

Smax + Smin Sm Средняя мощность АМК при модуляции гармоническим сигна лом (на единичном сопротивлении) P = Pн (1 + M 2 2), где Pн = S m / 2 – мощность немодулированного (несущего) колебания.


Ширина спектра АМК 2 = 2max, где max – максимальное значение частоты модуляции.

Если огибающая A(t ) представляет собой импульсное колеба ние, то практическая ширина спектра АМК будет 2пp = 2эф, здесь эф – эффективная (практическая) ширина спектра огибаю щей A(t) (см. п.2.2).

50 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Мгновенное значение колебания с угловой модуляцией S (t ) = Sm cos (t ). (3.3) Если по закону модулирующего сигнала изменяется частота мо дулированного колебания – это ЧМК, если фаза – то ФМК. Связь между мгновенной угловой частотой и фазой:

t d (t ) (t ) = (t )dt + 0.

(t ) = ;

(3.4) dt При гармоническом ЧМК мгновенная частота модулированного колебания может быть представлена в виде (t ) = 0 д cos(t ), д = 2fд – амплитуда частотного отклонения или девиация час тоты.

Мгновенная фаза ЧМК t (t ) = [0 д cos(t )]dt + 0 = 0t + m sin(0t ) + 0, где m = д/ – индекс модуляции, т. е. амплитуда фазового откло нения.

Мгновенное значение модулированного колебания S (t ) = Sm cos[0t + m sin(t ) + 0 ].

Если по гармоническому закону изменяется мгновенное значе ние фазы (t ) = max cos(t ) + 0, то мгновенное значение ФМК S (t ) = Sm cos[0t + m cos(t ) + 0 ].

При ЧМК девиация частоты д пропорциональна амплитуде модулирующего колебания и не зависит от частоты, а m = д/.

При ФМК величина m пропорциональна амплитуде модули рующего колебания и не зависит от частоты, а девиация частоты д = max = m.

Практическая ширина спектра колебания с угловой модуляцией 3.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 2пp = 2 ( m + 1) = 2(д + ). (3.5) Для модуляции с малым индексом модуляции ( m 1, т. е. для быстрой угловой модуляции, когда д ) ширина спектра мо дулированного колебания близка к значению 2 ;

для модуляции с большим индексом модуляции ( m 1, т. е. для медленной угло вой модуляции, когда д ) ширина спектра близка к значе нию 2д.

В локации нашли широкое применение радиоимпульсы с линей ной частотной модуляцией, или ЛЧМ-импульсы. Мгновенная час тота изменяется в течение импульса по линейному закону (t ) = 0 + t, где = 2д / и – скорость изменения частоты во времени, д = и / 2 – девиация частоты за длительность импульса и ;

при 0 частота растет внутри импульса, а при 0 – убывает.

Прямоугольный ЛЧМ-импульс можно представить следующей математической моделью:

U cos( 0t + t 2 / 2), и / 2 t и / 2, uЛЧМ (t ) = m 0, вне этого интервала.

Произведение полной девиации частоты на длительность им пульса 2 f д и = B (3.6) служит основным параметром ЛЧМ-импульса. В п.2.2 аналогичный параметр (см. (2.23)) был назван базой сигнала. Так как f д опреде ляет ширину спектра рассматриваемого сигнала, то параметр B можно трактовать как базу ЛЧМ-сигнала. В практически важных случаях B 1 и модуль спектральной плотности ЛЧМ-импульса с прямоугольной огибающей с хорошим приближением описывается выражением [1]:

U /(2), 0 д 0 + д, U () = m 0, вне этого интервала.

52 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Энергетический спектр такого сигнала 2 U () = U m /(2) также постоянен в интервале частот ( 0 д, 0 + д ) и обраща ется в нуль вне этого интервала.

Комплексная огибающая узкополосного колебания S (t ) = A(t ) cos[0t + (t )] (3.7) равна A(t ) = A(t )e j(t ).

& (3.8) Комплексное представление узкополосного колебания S (t ) € S (t ) = A(t )e jщ0 t или S (t ) = S (t ) + jS(t ), & & & (3.9) € & & где S (t ) = Re[ S (t )] – реальная составляющая, S (t ) = Im[ S (t )] – мни мая составляющая комплексного сигнала, связанные парой преоб разования Гильберта:

€ S () S ( ) 1 € S (t ) = d ;

S (t ) = d. (3.10) -t -t & Спектральная плотность комплексного представления S (t ) уз кополосного сигнала S (t ) 2 S ( j), 0, S S ( j) = S A [ j ( 0 )] = & & 0, 0, где S A ( j) – спектральная плотность комплексной огибающей & & (t ) ;

S ( j) – спектральная плотность колебания S (t ).

A Колебание на выходе квадратурного фильтра с характеристиками j, 0, 1 t, t 0, g (t ) = или K ( j) = + j, 0, t = 0, 0, = 0, связано с входным колебанием преобразованием Гильберта.

3.3. ЗАДАЧИ 3.3. ЗАДАЧИ 3.3.1. АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Однотональный АМ-сигнал характеризуется тем, что U max = 130 B, U min = 20 B (рис. 3.1.). Найдите коэффициент моду ляции М, а также амплитуду U m несущего колебания.

2. Задано аналитическое выражение двухтонального АМК u (t ) = 12[1 + 0.6cos(t ) + 0.2cos(2t )]cos(0t ) В.

Найдите наибольшее и наименьшее значения огибающей U (t ) данного сигнала.

Рис. 3.1 Рис. 3. 3. Задано аналитическое выражение однотонального АМК u (t ) = 20[1 + 0.8cos(104 t + / 4)]cos(106 t + / 3), В.

Изобразите векторную диаграмму этого АМК для моментов време ни t0 = 0 мс и t1 = 0.1 мс.

4. На рис. 3.2 изображена осциллограмма однотонального АМК при M 1, когда имеется явная перемодуляция. Определите коэффи циент модуляции M на основании известных значений U max и U min.

5. Спектральная диаграмма АМК, имеющего две модулирую щие частоты F1 = F и F2 = 2 F, показана на рис. 3.3.

На основании этой диаграммы определите парциальные коэф фициенты модуляции и запишите аналитическое выражение данно го колебания.

6. Задано аналитическое выражение для АМК U (t ) = U [1 + 0.5cos(2 102 t + / 6) +.

+0.5cos(2 75t + )]cos(2 105 t + / 3) Определите начальную фазу, при которой коэффициент моду ляции M н (модуляции вниз) равен единице.

54 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 7. Изобразите векторные диаграммы АМК, аналитическое вы ражение для которого приведено в задаче 6, при г = 600 для сле дующих моментов времени: t0 = 0 мс и t1 = 2.5 мс.

8. Источник ЭДС с АМ u (t ) = U [1 + M cos(t )]cos(0t ) нагружен резистивным сопротивлением R.

Получите выражение для составляющих мгновенной мощности в нагрузке на частоте и 2.

9. Радиопередающее устройство с АМ в режиме “молчания”, т. е. при отсутствии модулирующего сигнала, излучает мощность Pн = 4 кВт.

Найдите пиковое значение мощности Pmax однотонального АМК, если M = 0.8.

10. Амплитудно-модулированный ток (мА) i (t ) = 200[1 + 0,8cos(4 103 t )]cos(6 106 t ) протекает по резистивной нагрузке R = 75 Ом. Найдите: а) макси мальную (пиковую) мощность ( Pmax ) в нагрузке, развиваемую ис точником;

б) среднюю мощность ( Pcp ) в нагрузке;

в) относитель ную долю мощности, сосредоточенную в несущем колебании ( Pнес / Pcp ).

50 B U,B р/ 20 B 20 B р / 4 5р / 5B 5B р ЩЩ Щ Щ F F F F щ щ f f Рис. 3.3 Рис. 3. 11. Спектральная диаграмма напряжения приведена на рис. 3.4.

На ее основании определите парциальные коэффициенты моду ляции, найдите среднюю мощность, выделяемую на резисторе R = 1 Ом.

Определите, какую долю мощности немодулированного несу щего колебания составляет мощность боковых колебаний, если 0 = 106 рад/с, = 103 рад/с.

12. На рис. 3.5 задано АМК в виде периодической последова тельности радиоимпульсов с прямоугольной огибающей при сле 3.3. ЗАДАЧИ дующих данных: = 1 мкс, T = 2 мкс, f 0 = 10 МГц и U m = 10 В.

Найдите и изобразите спектр этого колебания.

13. По условию предыдущей задачи определите выражение для расчета парциальных коэффициентов модуляции M n.

14. Найдите выражение и постройте АКФ для сигнала, показан ного на рис. 3.5. Данные сигнала те же, что и в задаче 12.

15. Оцените ширину полосы частот 2f, занимаемую теле графным радиоканалом, работающим по принципу АМ со скоро стью 300 знаков/мин. Для упрощения положите, что передаваемый сигнал является периодической последовательностью точек кода Морзе. Длительность паузы равна длительности передаваемого ра диоимпульса (рис. 3.5).

3.3.2. КОЛЕБАНИЯ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ 16. Временная диаграмма модулирующего сигнала приведена на рис. 3.6. Изобразите временные диаграммы мгновенной частоты и сдвига фаз при частотной и фазовой модуляции.

u (t ) u (t ) Um t t 0 T Рис. 3.5 Рис. 3. 17. Максимальная частота частотно-модулированного колеба ния f max = 2.01 107 Гц, несущая частота f 0 = 2 107 Гц, частота модуляции F = 104 Гц.

Определите девиацию частоты и индекс модуляции.

18. Найдите максимальное max и минимальное min значения мгновенной частоты (t ) ЧМ-сигнала, представляемого выражением u (t ) = U cos[3 109 t + 2sin(107 t ) + / 6].

19. Однотональный ЧМ-сигнал имеет несущую частоту f 0 = 50 МГц и частоту модуляции F = 7 кГц.

Вычислите, в каких пределах должна изменяться мгновенная частота этого колебания [ f min, f max ] для того, чтобы индекс моду ляции m был равен 40.

56 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 20. Колебание с угловой модуляцией описывается выражением u (t ) = 15cos[108 t + 3sin(106 t ) + 1.4sin(105 t ) + 4].

Найдите величину мгновенной частоты (t ) данного сигнала в момент времени t = 1 мкс.

21. Однотональный ЧМ-сигнал имеет частоту модуляции F = 12 кГц и индекс модуляции m = 25.

Вычислите практическую ширину спектра 2f np данного коле бания.

22. Задано аналитическое выражение ЧМК u (t ) = 5cos[2 105 t + 6cos(2 102 t ) + 3].

Определите девиацию частоты, практическую ширину спектра и число гармонических составляющих в пределах этой ширины.

23. Мгновенная частота ЧМК изменяется по закону (кГц) f (t ) = 5cos(2Ft + 6).

Модулирующая частота F принимает значения в пределах от 200 Гц до 2,5 кГц.

Определите значение частоты F, при которой в спектре ЧМК будет отсутствовать составляющая с частотой f 0.

24. Вычислите, при каком наибольшем значении модулирую щей частоты Fmax в спектре однотонального ЧМ-сигнала, имею щего девиацию частоты f д = 40 кГц, будут отсутствовать компо ненты на частотах f 0 ± Fmax, где f 0 – частота несущего колебания.

25. Вычислите спектры ЧМК и ФМК при одинаковых несущих частотах 100 МГц и амплитудах 10 В. При ФМК задан индекс мо дуляции m = 5, а при ЧМК задана девиация частоты f д = 50 кГц.

Сравнение спектров ЧМК и ФМК проведите для модулирующих частот F1 = 10 кГц и F2 =5 кГц.

26. Частота ФМК изменяется по закону (рад/с) (t ) = 2 106 [1 + 0,1cos(2 104 t )].

Напишите аналитическое выражение этого колебания, если его амплитуда равна 20 В.

27. Радиостанция, работающая с несущей частотой f 0 = 80 МГц, излучает ФМ-сигнал, промодулированный частотой 15 кГц. Индекс 3.3. ЗАДАЧИ модуляции m = 12. Найдите пределы, в которых меняется мгновен ная частота сигнала.

Определите практическую ширину спектра ФМ-сигнала.

28. Рассчитайте суммарную мощность спектральных состав ляющих в пределах практической ширины спектра и сравните со средней мощностью ЧМК (В) u (t ) = 10cos[2 106 t + m cos(2 103 t + 2)], выделяемой на сопротивлении 1 Ом. Индекс модуляции принимает значения: а) m = 0.5;

б) m = 5.

29. Оцените коэффициент паразитной амплитудной модуляции в колебании, рассмотренном в задаче 25, при m = 0.5 и удержании в спектре только трёх составляющих.

30. Прямоугольный ЛЧМ-импульс длительностью и = 40 мкс имеет значение базы В = 500.

Определите девиацию частоты f д в данном импульсе.

31. ЛЧМ-импульс с огибающей прямоугольной формы имеет длительность и = 15 мкс.

Определите базу В данного сигнала и скорость нарастания час тоты, если девиация частоты за время импульса f д = 25 МГц.

32. Частотно-модулированный радиоимпульс с прямоугольной огибающей имеет длительность 1 мс, амплитуду 5 В при измене нии мгновенной частоты по закону (t ) = min + t, 0 t 1 1 мc, min = 2 5 104 рад/с где – начальное значение частоты;

7 = 2 2 10 рад/с – скорость изменения частоты.

Определите базу этого сигнала и запишите его аналитическое выражение, если начальная фаза колебания /6.

33. Вычислите величину энергетического спектра U () пря моугольного ЛЧМ-импульса, имеющего девиацию частоты д = 109 рад/с, базу B = 5 103 и амплитуду U m = 50 мкВ.

34.* Задано аналитическое выражение ЛЧМ радиоимпульса с колокольной огибающей:

u (t ) = Ae t cos(0t + t 2 ), t.

Определите энергию и базу этого сигнала при A = 10 В, f 0 = 1 МГц, = 10 4 рад/с, = 10 9 рад/с 2. Постройте зависимость 58 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ эффективной ширины спектра от при заданном и при измене нии в пределах 0…10 8 рад/с 2.

35. Для колебания с амплитудно-фазовой модуляцией, заданно го аналитическим выражением u (t ) = 5[1 + 0.8cos(2103 t )]cos[2106 t + 0.2cos(2103 t )], рассчитайте и постройте спектральную диаграмму.

3.3.3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ 36. Дан сигнал 2exp(103 t )sin(30 103 t ), t 0, u (t ) =.

t 0, & Найдите комплексную огибающую A(t ) сигнала u (t ) и спек тральную плотность S A ( j) комплексной огибающей.

& 37. Получите выражения для комплексных огибающих следую щих сигналов:

U m cos(0t ), t 0, а) u (t ) = U m cos ( 0t + ), t 0;

U m cos(0t ), t 0, б) u (t ) = U m cos[(0 + 0 )t ], t 0.

В обоих случаях считайте, что опорная частота равна 0.

38. Узкополосный сигнал U (t ) имеет вид U ( t ) = 10cos t cos 0t + 30sin t + 5sin ( 2t + 4 ) sin 0t.

& Найдите выражение для комплексной огибающей A(t ) данного колебания.

39. Исходный сигнал является радиоимпульсным с прямоуголь ной огибающей амплитуд:

U cos(0t ), u / 2 t u / 2, U (t ) = t u / 2, t u / 2.

0, 3.3. ЗАДАЧИ Найдите спектральную плотность S A ( j) комплексной оги & & (t ) аналитического сигнала U (t ).

& бающей A & 40. Комплексная огибающая A(t ) сигнала U (t ) имеет спек тральную плотность S A ( j) = 100e j 4 /(103 + j).

& Найдите сигнал U (t ), имея в виду, что 0 = 10 6 рад/с.

41. Найдите физическую огибающую A(t ), соответствующую идеальному низкочастотному сигналу U (t ), спектральная плот ность которого постоянна и равна S0 в интервале частот b b, а на других частотах обращается в нуль.

& 42.* Спектральная плотность комплексного представления U (t ) сигнала U (t ) равна ( ) SU () = 103 exp 103 106.

&& Найдите сигнал U (t ), а также его огибающую A(t ) и мгновен ную частоту (t ). Постройте временную диаграмму U (t ).

& 43.* Определите комплексную огибающую A(t ) пачки из 10 ра диоимпульсов с частотой заполнения 1 = 0 + доп, где доп – доплеровское приращение частоты, Fдоп =100 Гц. Период повто рения импульсов T = 1 мс, амплитуда 10 В. Изменением фазы ко лебания внутри радиоимпульса можно пренебречь.

44. При настройке фортепьяно настройщик одновременно слу шает звучащую струну и камертон.

Определите и постройте огибающую суммарного сигнала в предположении, что оба колебания узкополосные и имеют одина ковые экспоненциальные огибающие, равные максимальные зна чения, а частоты заполнения отличаются на 2 Гц. Выражение для огибающей каждого сигнала A(t ) = Ae0.3t.

45. Спектральная плотность сигнала U (t ) равна (Вс/рад) 103, 0 103 ;

& ( ) = S 0, 0 10.

& Найдите соответствующий аналитический сигнал U (t ), а также € сигнал U (t ) и сопряженный сигнал U (t ).

60 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 46. Спектральная плотность сигнала U (t ) задана выражениями:

B, 0, S () = U 0 exp( ), B B, 0, B, где U 0,, B – положительные числа. Найдите соответствующий & аналитический сигнал U (t ).

47. Сигнал U (t ) имеет вещественную спектральную плотность S (), график которой при 0 показан на рис. 3.7.

Вычислите аналитический сигнал U ( t ) и определите закон из & менения во времени мгновенной частоты (t ) рассматриваемого сигнала.

S ( ) u (t ) U S S 0 0 0 + u /2 u /2 t Рис. 3.7 Рис. 3. 48. Сигнал U (t ) при 0 имеет спектральную плотность S () = S e b. Найдите соответствующий аналитический сигнал U (t ).

& € 49. Вычислите преобразование Гильберта S (t ) сигнала S (t ) = д(t), используя фильтрующие свойства -функции.

€ 50. Учитывая, что мнимая составляющая U (t ) аналитического & сигнала U (t ) (т. е. сопряженный сигнал) может быть представлена как результат прохождения исходного сигнала U (t ) через квадра & турный фильтр, выразите спектральную плотность S1 () сопря € & женного сигнала U (t ) и спектральную плотность S & () аналити U & & ческого сигнала U (t ) через спектральную плотность S () исход ного сигнала U (t ).

51. Покажите, что импульсная характеристика квадратурного фильтра имеет вид:

3.3. ЗАДАЧИ 1 ( t ), t 0, g кв ( t ) = t = 0.

0, € 52. Покажите, что колебание на выходе U (t ) квадратурного фильтра связано с входным колебанием U (t ) преобразованием Гильберта 1 U () € U (t ) = d.

t 53. Докажите, что если U (t ) – сигнал с ограниченной энергией, € то он ортогонален по отношению к сигналу U (t ), сопряженному по Гильберту, т. е.

€ U (t )U (t )dt = 0.

54. Докажите, что двукратное применение преобразования Гильберта к сигналу U (t ) равносильно перемене знака сигнала, т. е.

€ € U (t ) = - U (t ).

55. Прямоугольный видеоимпульс u (t ), симметричный относи тельно начала отсчёта времени (рис. 3.8), поступает на вход систе мы, состоящей из идеального дифференциатора и квадратурного фильтра, выполняющего операцию преобразования Гильберта. Оп ределите сигнал uвых (t ) на выходе системы.

€ 56. Вычислите преобразование Гильберта U (t ), отвечающее прямоугольному видеоимпульсу t t0, 0, U (t ) = U 0, t 0 t t0, 0, t t0.

57. Докажите, что мгновенная частота (t ) узкополосного сиг нала U (t ), которому соответствует преобразование Гильберта € U (t ), вычисляется по формуле € € U U U U (t ) =.

€ U 2 +U 62 ГЛАВА 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 3.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Каждая задача в третьем задании также содержит 10 вариантов и 10 подвариантов. Номер подварианта определяется так же, как и в других заданиях, а номер варианта определяется иначе. Он сов падает с порядковым номером фамилии студента в списке группы, причем, если номер нечетный, то студент решает задачу под пунк том “А”, а если четный – то “Б”.

3.4.1. МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА РАДИОСВЯЗИ А Определите относительную полосу частот f max f min и длины волн max и min, в пределах которых могут работать без взаим ных помех телевизионные, радиовещательные с АМ и ЧМ, теле фонные и телеграфные каналы.

Вид и количество каналов многоканальной радиостанции возь мите из табл. 3.1 в соответствии со своим номером варианта, а зна чения ее средней частоты f 0 и индекс модуляции m для ЧМК – из табл. 3.2 в соответствии с номером подварианта.

Для устранения перекрестных искажений между каналами связи предусмотрите защитные интервалы шириной 10 % от максималь ной частоты спектра сообщения. Значения максимальных частот в спектрах передаваемых сообщений для всех каналов указаны в примечании.

Таблица 3. Номер варианта Вид канала 1 3 5 7 9 11 13 15 17 Телеграфный 100 200 25 200 20 50 150 100 30 Телефонный 10 20 100 30 50 20 25 10 20 Радиовеща 50 30 10 20 10 15 8 40 50 тельный Радиовеща 5 4 4 3 2 5 2 2 3 тельный ЧМ Телевизион 1 2 3 3 4 2 4 5 4 ный Таблица 3. Номер подварианта Параметр 0 1 2 3 4 5 6 7 8 100 500 250 450 200 300 150 350 250 f 0, МГц m 30 40 50 60 20 50 30 40 20 3.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Б Задана средняя частота f 0 и относительная полоса частот 2f отн = 2f / f 0 в процентах. Определите, какое количество кана лов каждого вида радиосвязи может разместиться в заданной поло се частот. Для устранения перекрестных искажений между канала ми связи предусмотрите защитные интервалы шириной 10 % от максимальной частоты спектра сообщения.

Относительную полосу частот 2f отн и индекс модуляции для ЧМК m возьмите из табл. 3.3 в соответствии со своим номером варианта, значение средний частоты f 0 – из табл. 3.4 в соответст вии с номером подварианта, а виды каналов радиосвязи для всех вариантов перечислены в примечании.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.