авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ ЗАДАЧИ И ЗАДАНИЯ Под редакцией проф. А.Н. Яковлева Рекомендовано Сибирским региональным отделением УМО высших ...»

-- [ Страница 3 ] --

33. На вход резонансного усилителя с передаточной функцией K ( j) = K 0 /[1 + j ( p ) / 0.7 ] подаётся импульсный ЛЧМ сигнал uвх (t ) = U m cos(0t + t 2 / 2), 0 t и.

Параметры усилителя: K 0 = 100, p = 106 рад/с, 0.7 = 104 рад/с, параметры сигнала: U m = 0.1 B, 0 = p, = 107 рад/с2, и = 4 мс.

Определите закон изменения огибающей выходного импульса, а также закон изменения мгновенной частоты колебания в контуре усилителя, сопоставив его с вх (t ).

34. На вход последовательного колебательного контура под ключена ЭДС e(t ) = Ee t cos(0t + ), t 0, где E = 1 В, = 104 1/с, 0 = 2 106 рад/с, = 450. Параметры контура: р = 0, полоса пропускания 20,7 = 2104 рад/с.

Пользуясь приближённым спектральным методом, определите напряжение на конденсаторе (выходе) контура.

35. Определите ток в последовательном колебательном контуре с параметрами р = 106 рад/с, Q = 100, L = 1 мГн, на вход которо го подано напряжение e(t ) = 100 В, и / 2 t и / 2.

Для решения задачи используйте приближённый спектральный метод.

36. На одноконтурный резонансный усилитель воздействует фа зоманипулированное колебание со скачкообразным изменением фазы на 0 радиан при t = 0 :

6.3. ЗАДАЧИ cos( p t ) при t 0, uвх (t ) = U m cos( p t + 0 ) при t 0.

124 ГЛАВА 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Используя приближённый метод интеграла положения, опреде & лите комплексную огибающую U вых (t ) и физическую огибающую U вых (t ) выходного сигнала при двух значениях фазового сдвига 0 : 900 и 1800. Изобразите зависимость U вых (t / к ), где к – по стоянная времени контура.

6.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 6.4.1. ВОЗДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ НА АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В табл. 6.2 приведены входное воздействие и структура цепи.

Требуется определить:

а) передаточную функцию цепи и построить АЧХ и ФЧХ;

б) реакцию цепи на входное воздействие, построив график.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендуется использовать операторный метод. Для активной цепи задачу решить в общем виде, для пассивной – с подстановкой:

Е = 40 В, и = 10 мс.

Таблица 6. Номер Номер Цепь подва- Воздействие варианта рианта E C=10-5 Ф R=100 Ом 0 t ф E - C=10 Ф 1 R=100 Ом t ф E R=100 Ом 2 L=10-5 Гн t ф 2ф E L=10-5 Гн 3 R=100 Ом t 6.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Окончание табл. 6. E R R 4 C t ф E/ C R 5 ОУ 2ф ф t R E/ R1 R2 C 6 ОУ t ф 2ф E R2 E/ 7 ОУ R1 С t ф 2ф E R 2 C2 E/ 8 ОУ R1 С t ф 2ф R2 E R 9 C ОУ t C1 ф 2ф 6.4.2. ПРОХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ Постоянная ЭДС E = 20 В подключается к входу контура (рис. 6.16 и 6.17). Схема контура, его параметры и подлежащая оп ределению реакция контура приведены в табл. 6.3.

Требуется определить соответствующую реакцию на заданное входное воздействие.

126 ГЛАВА 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ R1 C i i1 R i i C i2 i E RE R2 L Рис. 6.16 Рис. 6. Таблица 6. Номер Номер Контур Реакция вари- подва- C,Ф R, Ом L, Гн анта рианта I1 10 –5 10 – 0 Рис. 6.16 0 I2 510 –6 510 – 1 " 1 I3 10 –6 10 – 2 " 2 UC 510 –5 510 – 3 " 3 UL 10 –5 10 – 4 " 4 I1 10 –4 10 – 5 Рис. 6.17 5 I2 510 –5 510 – 6 " 6 I3 10 –5 10 – 7 " 7 UC 510 –6 0,510 – 8 " 8 UL 10 –6 10 – 9 " 9 6.4.3. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОСИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ На колебательный контур (рис. 6.18) воздействует модулиро ванное колебание, параметры которого указаны в табл. 6.4 и 6.5.

Контур имеет следующие параметры: Q = 100, Z p = 10 кОм, p = 0, R = 100 Ом.

L C I(t) uвых(t) uвых(t) E(t) R L ZP C а б Рис. 6. 6.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Таблица 6. Номер Вид Схема Входной сигнал вари- модуля анта ции I (t ) = I m sin [ 0t + mx(t )] 0 Рис. 6.18, а ЧМ E (t ) = U m sin [ 0t + mx(t )] 1 Рис. 6.18, б ЧМ I (t ) = I m sin [ 0t + mx(t )] 2 Рис. 6.18, а ФМ E (t ) = U m sin [ 0t + mx(t )] 3 Рис. 6.18, б ФМ I (t ) = I m [1 + Mx(t )] cos 0t 4 Рис. 6.18, а АМ E (t ) = U m [1 + Mx(t )] cos 0t 5 Рис. 6.18, б АМ I (t ) = I m [1 + Mx(t )] cos 0t 6 Рис. 6.18, а АМ E (t ) = U m [1 + Mx(t )] cos 0t 7 Рис. 6.18, б АМ Режим I (t ) = I m (t ) cos 0t 8 Рис. 6.18, а несущей Режим E (t ) = U m (t ) cos 0t 9 Рис. 6.18, б несущей Таблица 6. Вариант Номер Модули Im, Um, f0, F, 0–3 4– подва- рующая кГц мА B MГц рианта функция m, рад M sin t 0 0.10 1.0 1.0 1.0 10.0 0. cos t 1 0.9 9.0 1.0 2.0 5.0 0. sin t 2 0.8 8.0 0.75 3.0 2.5 0. cos t 3 0.7 7.0 0.8 4.0 2.0 0. sin t 4 0.6 6.0 0.5 5.0 1.0 0. cos t 5 0.5 5.0 1.2 6.0 2.0 0. sin t 6 0.4 4.0 0.7 7.0 1.0 0. cos t 7 0.3 3.0 1.6 8.0 2.0 0. sin t 8 0.2 2.0 0.9 9.0 1.0 0. cos t 9 2.0 1.0 2.0 10.0 2.0 0. Требуется:

а) получить выражение для напряжения на контуре;

б) построить временную диаграмму огибающей напряжения на контуре и временную диаграмму огибающей входного сигнала;

128 ГЛАВА 6. ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ в) для АМ колебания определить величину демодуляции, рас считать спектр колебания на контуре и построить спектральные диаграммы амплитуд и фаз.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ При выполнении вариантов 0–3 целесообразно воспользоваться методом “мгновенной” частоты, а при выполнении вариантов 4–9 – спектральным методом или методом комплексной огибающей.

В действительности все не так, как на самом деле.

Станислав Ежи Лец ГЛАВА ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОЦЕПИ 7.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Спектральная плотность мощности (СПМ) и корреляционная функция стационарного случайного процесса на выходе линейной цепи. Средняя мощность колебаний на выходе. Корреляция между входным и выходным процессами в установившемся режиме. Воз действие белого шума на линейные цепи. Нормализация случайно го процесса в линейной цепи. Дифференцирование и интегрирова ние случайных процессов. Распределение огибающей гауссова процесса и смеси гармонического сигнала с гауссовым шумом [1, гл.7, 4.6;

2, гл.10, 7.3;

3, гл.19].

Указания. Вопросы анализа случайных процессов (СП) в линей ных цепях подробно рассмотрены в [1, 3,11]. Руководства [5…9] со держат большое количество задач с комментариями и решениями.

Большинство встречающихся на практике задач можно разде лить на два класса. К первому относят задачи, связанные с опреде лением динамических характеристик выходного процесса (его ав токорреляционной функции и спектральной плотности мощности), а также взаимной корреляции случайных процессов (на входе и выходе цепи, на выходах различных цепей при общем входном воздействии и т. п.). Задачи второго класса посвящаются определе нию плотностей распределения вероятностей мгновенных значений выходного процесса.

В настоящей главе будут рассмотрены задачи, связанные с ана лизом случайных процессов на выходах линейных стационарных 130 ГЛАВА 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ цепей, когда на входы цепей воздействуют стационарные в широ ком смысле случайные процессы. При этом обычно предполагает ся, что переходные процессы в цепи закончились (или, что эквива лентно, случайный процесс присутствует на входе цепи с момента времени t = ).

Задачи, связанные с плотностью распределения вероятностей мгновенных значений СП, будут рассматриваться лишь для частно го, хотя и важного, случая гауссова процесса.

7.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Если нестационарность СП X (t ) выражается лишь в непосто янстве математического ожидания mx (t ), то можно, имея в виду принцип суперпозиции, анализировать отдельно прохождение че рез линейную цепь детерминированной функции mx (t ) и флюк туационной составляющей случайного процесса. При этом mx () g (t )d, m y (t ) = где m y (t ) – математическое ожидание выходного процесса Y (t ) ;

g (t ) – импульсная характеристика цепи.

Если процесс X (t ) на входе цепи стационарен в широком смысле с автокорреляционной функцией K x ( ), то автокорреляци онная функция выходного процесса Y (t ) K y ( ) = g ( u )g ( v ) K x ( u v + ) dudv = K x ( t ) K g ( t )dt, g () g ( + t )d где K g (t ) = – автокорреляционная функция им пульсной характеристики цепи.

Взаимная корреляционная функция входного и выходного про цессов K xy ( ) = g ( t )K x ( t ) dt.

7.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Если один и тот же СП X (t ) воздействует на входы цепей с им пульсными характеристиками g1 (t ) и g 2 (t ), то для процессов Y1 (t ) и Y2 (t ) на их выходах взаимная корреляционная функция K y1 y2 ( ) = g1 ( u ) g2 ( v ) K x ( u v + ) dudv, Учитывая, что динамические свойства стационарного в широ ком смысле процесса могут быть описаны как корреляционной функцией, так и спектральной плотностью мощности, можно ана лиз прохождения таких процессов через линейные цепи проводить в частотной области. Так, СПМ процесса Y (t ) G y ( ) = K ( j ) Gx ( ), где Gx () – СПМ процесса X (t ) ;

K ( j) – передаточная функция цепи.

Целесообразный метод расчёта спектрально-корреляционных характеристик СП в линейной цепи с минимальным числом инте гральных преобразований можно выбрать при помощи схемы (гра фа), показанной на рис. 7.1.

Рис. 7. Взаимная СПМ входного и выходного процессов Gxy ( ) = K ( j) Gx ( ), а взаимная СПМ процессов Y1 (t ) и Y2 (t ) на выходах двух цепей, возбуждаемых одним и тем же процессом X (t ), 132 ГЛАВА 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ G y1 y2 ( ) = K1 ( j) K 2 ( j) Gx ( ).

Напомним, что СПМ стационарного в широком смысле СП свя зана с его автокорреляционной функцией парой преобразований Фурье (теорема Винера-Хинчина). То же справедливо для взаим ных корреляционных функций и взаимных СПМ.

Числовыми характеристиками, дающими некоторое представ ление о динамике случайного процесса, являются эффективная ши рина спектра и интервал корреляции.

Иногда употребляют числовую характеристику цепи, называе мую шумовой полосой. По определению шумовая полоса линейной цепи с передаточной функцией K ( j) – это полоса пропускания такого идеального ФНЧ (с прямоугольной АЧХ), который при воз действии белого шума обеспечивает такую же дисперсию выходно го процесса, как и данная цепь 1 K ( j ) ш = d, K max где K max – максимальное значение АЧХ цепи.

Анализ распределения вероятностей выходного СП в общем случае весьма сложен. Достаточно просто эта задача решается в случае узкополосной цепи. Тогда при любом распределении вход ного СП распределение вероятностей выходного процесса сходится к нормальному и гауссово приближение тем точнее, чем более справедливо допущение о некоррелированности значений входного СП (или чем ближе СПМ входного процесса к константе в полосе пропускания цепи). Если же входной процесс гауссов, то и СП на выходе линейной цепи гауссов независимо от формы СПМ и ха рактеристик цепи. В указанных случаях для нахождения полного вероятностного описания СП на выходе цепи достаточно найти ма тематическое ожидание и автокорреляционную функцию выходно го процесса.

Практическое значение имеет нахождение распределения оги бающей узкополосного гауссова процесса. Эта задача возникает, например, при анализе вероятности превышения некоторого порога процессом на выходе амплитудного детектора (нелинейного уст ройства!), когда на его вход поступает процесс с выхода полосово го фильтра.

Если гауссов процесс является чисто шумовым, т. е. его квадра турные компоненты представляют собой некоррелированные гаус совы СП с нулевыми средними и одинаковыми СКО, то огибаю щая А имеет рэлеевскую плотность распределения вероятностей 7.3. ЗАДАЧИ ( )( ) w ( A ) = A 2 exp A 2 2, A 0, а если рассматриваемый процесс есть сумма гармонического сиг нала амплитуды U m c гауссовым шумом, то огибающая имеет обобщённую рэлеевскую плотность (плотность Рэлея-Райса) ( )I A2 + U m ( ) Um A w ( A ) = A exp, 22 где I 0 () – бесселева функция мнимого аргумента нулевого поряд ка. При больших отношениях сигнал/шум (ОСШ) q = U m рас пределение Рэлея-Райса сходится к нормальному распределению с математическим ожиданием U m [1 + 1/(2q 2 )] и дисперсией 2 [1 1/(2q 2 )].

7.3. ЗАДАЧИ 1. На вход цепи с импульсной характеристикой K 0 sin 0t g (t ) = 0t действует шум с АКФ G0 1 sin K x ( ) =.

Докажите, что АКФ процесса на выходе цепи G sin K y ( ) = 1 2, где 2 = min ( 1, 0 ), а G1 = k 2G0.

2. Транзисторный усилитель с резонансной нагрузкой в виде параллельного контура ( Q 1) имеет АЧХ K K ().

1 + 2Q 134 ГЛАВА 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ Найдите СПМ, АКФ, дисперсию выходного процесса, если на входе действует белый шум с СПМ N 0 2.

3. Найдите в общем виде выражение для взаимной корреляци онной функции процессов на выходах двух цепей с импульсными характеристиками g1 ( t ) и g 2 ( t ), когда на их входы воздействует один и тот же белый шум с СПМ N 0 2.

4. Найдите взаимную корреляционную функцию процессов на выходах интегрирующих RC-цепей с постоянными времени 1 и 2, на входы которых воздействует белый шум с СПМ N 0 2.

5. Найдите значение взаимной корреляционной функции про цессов на входе и выходе идеального дифференциатора, соответст вующее нулевому аргументу.

6. Предложите критерий дифференцируемости СП, учитывая, что процесс на выходе идеального дифференциатора при воздейст вии на его вход дифференцируемого процесса должен иметь огра ниченную мощность.

7. Найдите значение взаимной корреляционной функции про цессов на входе и выходе идеального интегратора, соответствую щее нулевому аргументу.

8. Докажите, что если случайный процесс X (t ) воздействует на цепь с передаточной функцией K ( j) = jsign(), то процесс на выходе цепи (называемый сопряжённым по Гильберту) не корре лирован с X (t ) в совпадающие моменты времени.

9. Докажите, что два узкополосных процесса, сформированных из белого шума двумя полосовыми фильтрами с неперекрывающи мися полосами пропускания, некоррелированны.

10. Наблюдение стационарного СП X (t ) сопровождается слу чайными ошибками, что эквивалентно наблюдению СП Y (t ) = X (t ) + n(t ), где n(t ) – стационарный шум наблюдения, не коррелированный с X (t ).

Выразите АКФ процесса Y (t ) через АКФ процессов X (t ) и n(t ).

11. В условиях предыдущей задачи выразите СПМ G y ( ) про цесса Y (t ) через СПМ Gx ( ) и Gn ( ) процессов X (t ) и n(t ). По известным G y ( ) и Gn ( ) можно найти Gx ( ).

Означает ли это, что таким способом можно избавиться от оши бок наблюдения?

12. а) Предложите схему устройства для экспериментального определения импульсной характеристики цепи с использованием источника белого шума.

7.3. ЗАДАЧИ б) Предложите аналогичную схему для определения АКФ им пульсной характеристики цепи K g ( ).

13. Полосовой фильтр с АЧХ вида 1 K ( ) = K 0 exp 2 находится под воздействием белого шума с СПМ N 0 2. Найдите АКФ процесса на выходе.

14. На вход линейной цепи с импульсной характеристикой g ( t ) действует белый шум с СПМ N 0 2.

Определите в общем виде дисперсию выходного процесса.

15. Линейная стационарная цепь описывается дифференциаль ным уравнением dn d ( t ) + …+ a1 ( t ) + a0 (t ) = an n dt dt dm d ( t ) + …+ b1 ( t ) + b0 ( t ), = bm m dt dt где ( t ) – стационарный процесс с математическим ожиданием m.

Найдите математическое ожидание m процесса (t ).

16. На вход линейной цепи с АЧХ K ( ) = 1/ 1 + 2 2 воздей ствует белый шум с СПМ N 0 2.

Найдите вероятность того, что мгновенное значение выходного процесса превысит пороговый уровень С.

17. Процесс Y (t ) равен сумме процессов X (t ) и его производ ной X (t ).

Найдите автокорреляционную функцию процесса Y (t ), если ав токорреляционная функция СП X (t ) ( ) K x ( ) = exp 2 2.

18. Определите эффективную ширину спектра и интервал кор реляции СП на выходе интегрирующей RC-цепи с постоянной вре мени, если на её вход воздействует белый шум.

19. Найдите произведение эффективной ширины спектра на ин тервал корреляции для процесса на выходе интегрирующей RC-цепи при воздействии на её вход белого шума. Зависит ли оно 136 ГЛАВА 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ от параметров цепи? Сохраняется ли это свойство для произволь ной цепи?

20. Найдите в общем виде шумовую полосу простейшего RC-фильтра нижних частот.

21. Найдите шумовую полосу двух каскадно-соединённых RC-фильтров НЧ при условии идеальной развязки.

22. На вход детектора огибающей поступает смесь гармониче ского сигнала амплитуды 1 В и гауссова шума с СКО 0.1 В.

Считая отношение сигнал-шум большим, найдите вероятность того, что мгновенное значение СП на выходе детектора превысит пороговый уровень 0.5 В.

23. Превышение порогового уровня шумом (“ложная тревога”) и непревышение его смесью сигнала и шума (“пропуск”) представ ляют собой ошибки обнаружения сигнала.

Найдите по графикам распределения Рэлея-Райса [2] такой по роговый уровень для последетекторного обнаружения, при котором сумма вероятностей указанных ошибок минимальна (примите ам плитуду сигнала равной 5 В, СКО шума на входе детектора 1 В).

24. При тех же параметрах сигнала и шума найдите оптималь ный (в смысле минимума суммарной вероятности ошибки) порог в предположении, что шум описывается нормальным распределени ем с нулевым средним, а смесь сигнала с шумом имеет математи ческое ожидание, равное амплитуде сигнала (эта ситуация соответ ствует обнаружителю на выходе синхронного детектора). Оцените изменение суммарной вероятности ошибки.

7.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 7.4.1. ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА ЛИНЕЙНУЮ РАДИОЦЕПЬ На линейную цепь с коэффициентом передачи K ( j) или им пульсной характеристикой g (t ) действует стационарный случай ный процесс с известной СПМ Gвх () или корреляционной функ цией K вх () (см. табл. 7.1 и 7.2).

В табл. 7.1 и 7.2 приняты следующие обозначения: G0 – спек тральная плотность мощности “белого” шума на входе;

Dвх = вх – дисперсия входного случайного процесса;

– постоянная, харак теризующая скорость убывания корреляционной функции;

– временной сдвиг;

K0 – наибольшее значение коэффициента переда чи линейной цепи;

ф – постоянная времени линейной цепи (фильт 7.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ра), при этом ф = 1/ ;

0 = 2 /T0 – центральная частота спектра случайного процесса или радиоцепи.

Требуется:

а) определить спектральную плотность мощности на выходе Gвых ( f ) и построить нормированные графики gвх ( f ) = Gвх ( f ) Gmax, k 2 ( f ) = K 2 ( f ) K o и g вых ( f ) = Gвых ( f ) Gmax ;

б) вычислить полосу пропускания цепи и ширину спектра на уровне 0.5 (по формулам и графикам п.“а”);

в) найти шумовую полосу f ш линейной цепи и эффективную ширину спектра f э входного и выходного процессов;

г) рассчитать дисперсию Dвых = вых 2 выходного процесса;

д) определить автокорреляционную функцию на выходе Квых () и построить нормированный график Rвых () = K вых () K вых (0) ;

е) вычислить интервал корреляции к выходного процесса.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ При решении задачи следует воспользоваться теоремой Винера Хинчина и спектральным методом анализа прохождения случай ных процессов через линейные цепи. Нахождение преобразований Фурье и определение дисперсии можно проводить с использовани ем справочного материала (см. прил. П.3 [1]) или теоремы о выче тах.

Для вариантов 0 и 2 значение вх из табл. 7.2 не используйте, так как в этом случае вх. Для вариантов 5, 6, 8 и 9 следует считать, что ф =. При построении корреляционной функции на выходе линейной цепи в вариантах 1, 4, можно считать, что ф =.

Таблица 7. Номер Характеристика Характеристика вари- входного процесса линейной цепи анта Gвх () = Go q(t ) = ( K 0 ф ) exp( t / ф ), t 0 ф K ( j) = K 0 /(1 + jф ) K вх () = D exp( ) q (t ) = ( K 0 ф )exp( t / ф )cos 0t, t Gвх () = Go K вх () = D exp( )cos o K ( j) = K 138 ГЛАВА 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ Окончание табл. 7. q(t ) = (1 ф ) exp( t / ф ), t 2 Gвх () = D ( + ) K ( j) = 1 (1 + jф ) K вх () = D(1 + )exp( ) q (t ) = (1 ф ) exp( t / ф ), t Gвх () = D3 ( 2 + 2 ) K вх () = D(1 + )exp( ) K ( j) = K q (t ) = (t ) (1 ф ) exp( t / ф ), t Gвх () = D ( 2 + 2 ) K ( j) = ( jф ) (1 + jф ) K вх () = D exp( ) Таблица 7. Номер ф, мкс вх, В G0, В2 Гц 104,1 с подва- K0 f 0, МГц рианта 0 0.10 10 1.0 10 1.0 1 0.01 1 10.0 1 0.1 2 0.02 2 6.0 2 0.2 3 0.03 3 4.0 3 0.3 4 0.04 4 3.0 4 0.4 5 0.05 5 2.0 5 0.5 6 0.06 6 1.75 6 0.6 7 0.07 7 1.50 7 0.7 8 0.08 8 1.25 8 0.8 9 0.09 9 1.00 9 0.9 7.4.2. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛА И ШУМА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНУЮ РАДИОЦЕПЬ На вход цепи, показанной на рис. 7.2, воздействует стационар ный белый шум n ( t ) с двусторонней спектральной плотностью мощности N 0 2.

Рис. 7. 7.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Устройство А представляет собой фильтр, формирующий про цесс n ( t ) со спектральной плотностью мощности требуемого ви да. В сумматоре этот процесс складывается с детерминированным сигналом S ( t ) и поступает на фильтр В.

Вид фильтров А и В определяется номером варианта (табл. 5.1 и 5.2), параметры – номером подварианта (табл. 5.3).

Требуется:

а) найти СПМ Gn () процесса n ( t ). Определить параметр N 0, при котором процесс n ( t ) имеет единичную дисперсию;

б) определить АКФ K n () процесса n ( t ) ;

в) вычислить эффективную ширину спектра f эф.n и интервал корреляции к n процесса n ( t ) ;

г) рассчитать эффективную ширину спектра f эф и интервал корреляции к шумовой составляющей процесса y (t ) ;

д) определить отношение сигнал/шум на выходе фильтра В.

При выполнении п. 5 в качестве S ( t ) следует рассмотреть гар монический сигнал с единичной амплитудой и частотой, равной 3/ эффективной ширины спектра шума на выходе фильтра В.

Теория производит тем большее впечатле ние, чем проще ее предпосылки. С тех пор, как на теорию относительности навалились математики, я сам перестал ее понимать.

Альберт Эйнштейн ГЛАВА НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ И ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 8.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Общие сведения. Задачи и критерии аппроксимации. Аппрок симирующие функции. Определение коэффициентов аппроксима ции [1, 8.1, 8.2;

2, 11.1].

Спектральный состав выходного колебания в нелинейном эле менте при гармоническом воздействии (гармонический анализ).

Методы анализа с использованием: классических формул, формул трех и пяти ординат, тригонометрических формул кратных аргу ментов, функций Бесселя, угла отсечки и функций Берга. Спек тральный анализ при бигармоническом и полигармоническом воз действии. Комбинационные частоты [2, 11.2, 11.4;

1, 8.3, 8.4;

3, 6.2].

8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Характеристики нелинейных элементов (НЭ) в большинстве случаев задаются графически (из справочника) или таблично (в хо де эксперимента), поэтому при анализе и расчете схем с НЭ перво степенной стоит задача аппроксимации, т. е. приближенного ана литического представления характеристики НЭ.

Общая задача аппроксимации включает в себя две самостоя тельные задачи:

8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ • выбор класса подходящей функции;

• определение коэффициентов аппроксимации.

Выбор класса аппроксимирующей функции. Решая эту зада чу, необходимо соблюдать требования, в значительной степени противоречивые: 1) простоту функции;

2) достаточную точность (ошибка аппроксимации должна быть одного порядка с разбросом параметров отдельных элементов в партии);

3) наглядность, позво ляющую судить об изменении коэффициентов аппроксимации при изменении положения рабочей точки и т. п.;

4) ясность понимания процессов в схеме и выявления свойств схемы, представляющих интерес в конкретном случае. Например, для выявления и объясне ния особенности работы автогенератора, надо аппроксимировать характеристику НЭ полиномом различной степени, вплоть до пя той. Поэтому часто приходится по-разному аппроксимировать одну и ту же характеристику в зависимости от режима работы НЭ, на значения схемы, исследуемых вопросов.

В теории радиотехнических цепей (и вообще в радиотехнике) для аппроксимации характеристик НЭ наиболее часто используют следующие функции.

1. Степенной полином:

n ak x k y = f ( x) = a0 + a1 x +... + an x n =. (8.1) k = Для окрестности с рабочей точкой X 0 полином (8.1) можно за писать в виде ряда Тейлора y = a0 + a1 ( x X 0 ) +... + an ( x X 0 ) n = n bk x k, = b0 + b1 x + b2 x 2 +... + bn x n = (8.2) k = где b0 = y ( x = X 0 ) = a0 + a1 X 0 + a2 X 0 +..., b1 = b0 = y ( x = X 0 ) = a1 + 2a2 X 0 + 3a3 X 0 +..., b2 = b1 / 2! = y ( x = X 0 ) / 2! = a2 + 3a3 X 0 +..., 1 dny bn =. (8.3) n ! dx n x= X 142 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ Обычно n 5, при этом в ряде случаев характеристика может со держать только четную или только нечетную часть.

Полиномом первой степени аппроксимируют линейные участки характеристик НЭ только при изучении линейных явлений. Пара болу используют для аппроксимации начальных участков характе ристик НЭ при действии малых входных сигналов. Укороченный полином третьей степени (без члена a2 x 2 ) применяют в том слу чае, если надо передать замедление роста функции (усилительных свойств НЭ) с увеличением входного сигнала, при этом a3 0.

2. Экспоненциальный полином:

n y = A0 + A1e a1x +... + An e an x = Ak e ak x. (8.4) k = В ряде случаев используют лишь одну экспоненту. Например, ха рактеристика вакуумного диода представляется выражением i = Aeau, ( 8.4 ) а полупроводникового диода i = A0 + A1e a1u = A(e au 1), ( 8.4 ) где A0 = A1 = A, a1 = a.

3. Степенная функция:

y = Ax a, (8.5) где a – дробное число.

4. Кусочно-линейная и кусочно-нелинейная функции. Реальная плавно изменяющаяся зависимость y = f ( x) заменяется прибли женной, состоящей из отрезков прямых и кривых.

На рис. 8.1 в качестве примера приведены характеристики, ап проксимированные двумя отрезками: а) прямых линий;

б) прямой и параболы.

Наиболее широкое использование получила кусочно-линейная аппроксимация. Она обеспечивает достаточную точность только при больших амплитудах воздействующих сигналов, а потому применяется при расчетах мощных усилителей, генераторов, ум ножителей частоты, некоторых схем модуляторов, детекторов и др.

5. Трансцендентные функции: гиперболические тангенс и синус, функция Гаусса, тригонометрические функции и др. В первую оче 8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ редь следует отметить функцию, содержащую гиперболический тангенс y = A(1 + th( gx)), (8.6) предложенную Н. И. Крыловым, которая хорошо описывает сим метричные характеристики и изменения производной (крутизны) и второй производной (кривизны) ряда вольт-амперных характери стик (ВАХ) ламп и транзисторов.

y y 1. y = 0, x X н, 1. y = 0, x 0, 2. y = ax 2, x 0.

2. y = a( x X н ), при x X н.

2 1 0 x x Xн а б Рис. 8. Аппроксимация реактивных (индуктивных и емкостных) НЭ ничем не отличается от аппроксимации резистивных НЭ – ламп, транзисторов и др. Используются как упомянутые функции, так и другие. Например, вольт-фарадная характеристика p-n-перехода полупроводникового элемента аппроксимируется выражением:

C (u ) = C (0) n k /(k + u ), (8.7) где u – напряжение (обратное) на переходе;

k – высота потенци ального барьера (контактная разность потенциалов);

C (0) – ем кость перехода при отсутствии внешнего напряжения ( u = 0 );

n = 2 3 – постоянная, зависящая от распределения примесей.

Определение коэффициентов аппроксимации. Оно тесно свя зано с требуемой точностью. Точность определяется критериями приближения. Обычно применяют критерии равномерного, средне квадратического и интерполяционного (точечного) приближений.

Последний используют наиболее часто. Согласно этому критерию аппроксимируемая функция f ( x) и аппроксимирующая функция % f ( x) (или их производные) должны совпадать в выбранных (за данных) точках с координатами ( x1, y1 ),...,( xn, yn ) (рис. 8.2). Число 144 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ таких исходных точек и, следовательно, уравнений, должно быть равным числу подлежащих определению коэффициентов аппрок симации.

y f ( x) yn ~ f ( x) y y 0 x x1 x2 xn Рис. 8. В частности, при аппроксимации степенным полиномом получаем систему уравнений:

y1 = a0 + a1 x1 +... + an 1 x1 1;

n (8.8) yn = a0 + a1 xn +... + an 1 xn 1, n решение которой и позволит найти коэффициенты a0, a1,..., an 1.

Для определения коэффициентов аппроксимации можно вво дить нелинейные масштабы для приведения заданной зависимости к более простому виду, в частности, к линейному. В последнем случае говорят о методе приведения к линейному виду. После нане сения на график экспериментальных точек в новой системе коор динат, можно легко установить границы линейной области и, сле довательно, правомерность использования принятой аппроксима ции;

коэффициенты находят по этой области графика. Следует от метить, что нелинейные масштабы можно вводить как по каждой переменной, так и по их комбинации (например, произведению).

Если число заданных точек превышает число определяемых ко эффициентов аппроксимации, то можно использовать метод наи меньших квадратов, при котором среднеквадратическая ошибка минимальна (см. математические справочники).

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Задача анализа заключается в нахождении гармонических со ставляющих на выходе НЭ, аппроксимируемого зависимостью y = f ( x), при воздействии на его вход гармонического колебания x(t ) = X m cos(0t + 0 ). В этом случае выходное колебание y (t ) = f [ X m cos(0t + 0 )] (8.9) 8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ будет периодической, но негармонической функцией времени (угла 0t ), которую можно представить рядом Фурье y (t ) = Y0 + Y1 cos(0t + 0 ) +... + Yn cos n(0t + 0 ), (8.10) где T 1 T y(0t )d (0t );

Y0 = y (t ) dt = 0 (8.11) T 2 Yn = y (t ) cos(n0t )dt = y(0t ) cos(n0t )d (0t ).

T0 Совершенно аналогично вычисляются синусоидальные состав ляющие.

Соотношения (8.10) и (8.11) остаются справедливыми и тогда, когда амплитуда X m, частота 0 и начальная фаза 0 являются медленными функциями времени, т. е. X (t ), (t ) и (t ), относи тельные приращения которых весьма малы за период колебания T = 2 / 0, что важно при рассмотрении амплитудной модуляции, детектирования, преобразования частоты и др.

Если вычисление интегралов не приводит к громоздким вы кладкам, можно пользоваться точными (классическими) формула ми (8.11). Однако в целом ряде случаев расчет можно провести значительно проще и быстрее, если воспользоваться другими из вестными методами, каждый из которых так или иначе базируется на классических формулах (8.11) и является оптимальным для со ответствующего вида аппроксимации.

1. Методы с использованием формул трех и пяти ординат.

Эти методы применимы как для графических, так и аналитических расчетов. Последнее особенно важно в случае аппроксимации трансцендентными функциями.

Число задаваемых ординат на характеристике НЭ обусловлено числом определяемых составляющих в ряде Фурье (8.10).

Формулы трех ординат служат для расчета приближенных зна чений постоянной составляющей Y0 и амплитуд первой Y1 и вто рой Y2 гармоник колебания y (t ) на выходе НЭ 1 Y0 = ( ymax + ymin + 2 y0 ), Y1 = ( ymax ymin ), 4 Y2 = ( ymax + ymin 2 y0 ) (8.12) 146 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ по трем ординатам (рис. 8.3): максимальному ymax и минимально му ymin значениям и значению y0, которому соответствует отсут ствие гармонического колебания на входе ( X m = 0 ).

y f (x ) ymax y y2 y ymin x р/ р 2р щ0t Рис. 8. Формулы пяти ординат позволяют вычислить значения посто янной составляющей Y0 и амплитуд первых четырех гармоник Y1, Y2, Y3, Y [( ymax + ymin ) + 2( y1 + y2 )] ;

Y0 = Y1 = [ ( ymax ymin ) + ( y1 y2 )] ;

Y2 = [ ( ymax + ymin ) 2 y0 ) ] ;

(8.13) Y3 = [ ( ymax ymin ) 2( y1 y2 ) ] ;

Y4 = [ ( ymax + ymin ) 4( y1 + y2 ) + 6 y0 ].

Значения y1 и y2 соответствуют значениям аргумента (напри мер, 0t = / 3 и 0t = 2 / 3 ), при которых входной сигнал равен половине амплитуды.

8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 2. Метод с использованием тригонометрических формул кратных аргументов. Характеристика НЭ в этом случае аппрок симируется степенным полиномом * y = f ( x) = b0 + b1 x +... + bn x n.

Подставив в полином входной сигнал x = x(t ) = X m cos 0t, полу чим y (t ) = b0 + b1 X m cos 0t + b2 X m cos 2 0t +... + bn X m cos n 0t.

2 n Воспользовавшись известными формулами тригонометрических функций кратных аргументов (прил. П.1), получим:

1 2 Y0 = b0 + b2 X m + b4 X m +...;

2 3 3 Y1 = b1 X m + b3 X m + b5 X m +...;

4 (8.14) 1 2 Y2 = b2 X m + b4 X m +...;

2 1 3 Y3 = b3 X m + b5 X m +....

4 3. Метод с использованием модифицированных функций Бесселя. Характеристика НЭ аппроксимируется экспонентой, и разложению в ряд Фурье должны быть подвергнуты выражения вида y = Ae aX m cos 0t y = Ae aX m sin 0t.

или Экспоненты в этих выражениях разлагаются в ряды:

eaX m cos 0t = B0 (aX m ) + 2B1(aX m )cos 0t +... + 2Bn (aX m )cos n0t ;

eaX m sin 0t = B0 (aX m ) + 2B1(aX m )sin 0t + 2B2 (aX m )cos20t + (8.15) + 2B3 (aX m )sin30t + 2B4 (aX m )cos40t +..., где Bn (aX m ) – модифицированная функция Бесселя n -го порядка от аргумента aX m. Таблица значений и графики этих функций приведены в прил. П.11.

* Случай аппроксимации относительно начала координат рассмотрен в прил. П. 148 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ Используя, например, первое из соотношений (8.15), получаем y = AeaX m cos 0t = AB0 ( aX m ) + 2 AB1 (aX m )cos 0t +...

+ ABn (aX m ) cos n0t.

Из сопоставления этого выражения с формулой (8.10) следует Y0 = AB0 (aX m ) ;

Yn = 2 ABn ( aX m ). (8.16) 4. Метод с использованием угла отсечки и функций Берга.

Этот метод применим для аппроксимации характеристик НЭ ку сочно-линейной зависимостью и разработан акад. А. И. Бергом.

Сущность метода поясняется на рис. 8.4.

Основные расчетные соотношения:

cos = ( X н X 0 ) / X m ;

(8.17) ymax = SX m (1 cos ) ;

(8.18) Yn = SX m n () = ymax an (), (8.19) где n () и an () – функции Берга (коэффициенты гармоник), расчетные формулы, численные значения и графики для которых приведены в прил. П.9. Эти функции имеют максимальные значе ния n max и an max при соответствующем оптимальном угле иopt.г = 180° / n, иopt.б = 120° / n, n = 1, 2,... (8.20) y (t ) ш y yн ymax р xн xн. x 0 0 и 2р 0t X x (t ) и р 2р t Xm Рис. 8. 8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Если X 0 – vario, а X m const, то максимум амплитуды n -й гармоники на выходе НЭ рассчитывается с использованием значе ния n max Yn max = SX m n max, (8.21) если же ymax = const, а X 0 и X m варьируются, то Yn max = ymax an max. (8.22) Совершенно аналогично вводится понятие верхнего угла отсеч ки (см. кривые 2 на рис. 8.4) для тех случаев, когда необходимо учитывать характерный верхний изгиб (насыщение yн ) характери стики НЭ.

5. Метод с использованием функций Бесселя. Применяется в тех случаях, когда аппроксимирующее выражение содержит триго нометрические или гиперболические функции синуса и косинуса, которые разлагаются по бесселевым (цилиндрическим) функциям.

Соответствующие формулы приведены в прил. П.10. Например, при аппроксимации вида y = A + B sin( gx) имеем y (t ) = A + B sin( gX m cos 0t ) = A + B 2 J1 ( gX m )cos 0t B 2 J 3 ( gX m ) cos30t +..., Yn = 2 BJ n ( gX m ), (8.23) где J n ( gX m ) – функции Бесселя первого рода n -го порядка.

Таблица значений и графики нескольких функций приведены в прил. П.10.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. КОМБИНАЦИОННЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ Это случай воздействия на НЭ сложного колебания, состоящего из двух и более синусоидальных колебаний. При этом на выходе НЭ будут иметь место как гармонические, так и комбинационные составляющие. Задача спектрального анализа состоит в определе нии амплитуд и фаз этих составляющих.

С точки зрения простоты спектрального анализа используют лишь два класса аппроксимирующих функций: степенной полином и экспоненту.

150 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ 1. Степенной полином. В этом случае для нахождения спектра нужно пользоваться тригонометрическими формулами кратных аргументов и формулами произведений синусов и косинусов (см.

прил. П.1).

Например, при подаче на вход НЭ бигармонического колебания с частотами 1 и 2 на выходе будет ряд составляющих y (t ) = b0 + b1 ( X1 cos 1t + X 2 cos 2t ) +...

+bn ( X1 cos 1t + X 2 cos 2t )n с частотами k m = k 1 + m2, (8.24) где k и m – целые числа натурального ряда, включая нули. Если k или m равны нулю, то имеют место гармонические составляю щие выходного сигнала, а если они не равны нулю, то – комбина ционные, обозначаемые символом Ykm (также с двойным индек сом).

Пример спектра при воздействии трехкомпонентного входного сигнала на НЭ, характеристика которого аппроксимирована поли номом третьей степени, дан в прил. П.8.

Спектральный анализ при относительно большом числе состав ляющих входного сигнала и/или высокой степени аппроксими рующего полинома становится громоздким. Поэтому такой путь анализа непродуктивен и следует обращаться к аппроксимации экспонентой.

2. Экспонента: y = Ae ax. Пусть входной сигнал состоит перво начально из двух составляющих x(t ) = X1 cos 1t + X 2 cos 2t. Тогда y (t ) = Ae ax1 cos 1t e ax2 cos 2t.

С учетом формул (8.15) имеем y (t ) = A B0 (aX1 ) + 2 Bk (aX1 ) cos k 1t k = B0 (aX 2 ) + 2 Bm (aX 2 ) cos m2t.

m = Перемножение этих рядов дает постоянную составляющую и со ставляющие с частотами вида (8.24) 8.3. ЗАДАЧИ Y00 = AB0 (aX1 ) B0 (aX 2 ), Ykm = 2 ABk (aX1 ) Bm (aX 2 ). (8.25) В случае воздействия на НЭ входного сигнала с большим чис лом синусоидальных составляющих аналогичным путем можно получить следующие формулы:

kmn = k 1 ± m2 ±... ± n j ;

(8.26) Ykmn = 2 ABk (aX1 ) Bm (aX 2 )...Bn (aX j ). (8.27) 8.3. ЗАДАЧИ 8.3.1. АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 1. Характеристика НЭ изображена на рис. 8.5.

Аппроксимируйте эту характеристику полиномом второй сте пени, потребовав совпадения в трех точках (включая крайние). Со поставьте расчетные и экспериментальные значения тока для на пряжения 6 В и 2 В.

2. То же, но характеристика смещена вправо на 8 В (рис. 8.6).

i,мА i,мА 16 12 8 4 8 6 4 2 2 0 u, B 0 6 8 u, B Рис. 8.5 Рис. 8. 3. При снятии характеристики НЭ были получены следующие данные:

u, В 0 2 4 6 8 i, мА 0 1 2 4 6 Представьте характеристику полиномом второй степени исходя из требований совпадения в точках u1 = 0 В, u2 = 4 В, u3 = 8 В.

152 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ 4. При снятии зависимости тока стока ic от напряжения на за творе u з (проходной характеристики) полевого транзистора КП103Ж были получены следующие данные:

uз, В –1.6 –1.4 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.0 1.2 1.4 1. ic, мА 4.0 3.9 3.65 3.2 2.6 2 1.4 0.8 0.55 0.35 0.1 0. График этой зависимости показан на рис. 8.7.

Аппроксимируйте эту характеристику неполным полиномом третьей степени (мА):

i = a0 + a1u + a3u 3. (8.28) Указание. Рекомендуется рассчитать значения тока по аппрок симирующей функции (8.28) и сопоставить их с эксперименталь ными.

5. Проходная характеристика полевого транзистора (КП303Е) дана на рис. 8.8.

Аппроксимируйте ее полиномом вида (8.28), потребовав совпа дения в точках u1 = 0 В, u2 = 1 В, u3 = 2.5 В.

ic мА ic мА 1,5 1,0 0,5 3 2 0,5 1, 0 1,5 0 uз, B uз, B Рис. 8.7 Рис. 8. 6. При снятии вольт-амперной характеристики НЭ получены следующие данные:

u,В 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1. i, мкА 0.5 1.2 3.0 7.5 18 45 110 350 Аппроксимируйте эту характеристику экспонентой i = Aeau. (8.29) 8.3. ЗАДАЧИ Рекомендуется воспользоваться методом приведения к линейному виду. Постройте графически зависимость a = f (u ) и определите область применимости аппроксимирующей функции.

7. Характеристика полупроводникового диода приведена на рис. 8.9.

Получите простые соотношения для расчета коэффициентов ап проксимации, полагая, что характеристика описывается функцией i = A(e au 1). (8.30) 8. Характеристика полупроводникового диода аппроксимирова на выражением (8.30). A = i0н = 2 106 А – обратный ток насыще ния, a = 1/ uт, uт = 0.02 В – температурный потенциал перехода.

Определите напряжение u, при котором крутизна ( S ) характе ристики составляет 10 мА/В.

i i i Iн i i Iн / u u 0u а б Рис. 8.9 Рис. 8. 9. Характеристика лампы или полевого транзистора (рис. 8.10) может быть аппроксимирована выражением с гиперболическим тангенсом (формулой Н. Н. Крылова):

i = A + B th( qu ). (8.31) Найдите значения коэффициентов A, B и q для случаев ап проксимации:

а) симметричной характеристики (рис. 8.10, а);

б) лишь левой части характеристики (рис. 8.10, б). Крутизна характеристики в точке u = 0 равна S.

10. Аппроксимируйте характеристики, приведенные на рис. 8.7 и 8.8, выражением (8.31).

11. Вольт-амперная характеристика НЭ аппроксимирована вы ражением (8.31). Приведите его к линейному виду и изобразите соответствующий график.

154 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ 12. Для характеристик, изображенных на рис. 8.7 и рис. 8.8, ис пользуйте аппроксимирующую функцию вида i = A + B sin(qu ). (8.32) Выразите коэффициенты A, B и q только через два параметра:

ток в начале координат i0 (при u = 0 ) и начальное напряжение uн (при i = 0 ).

8.13. Характеристики, изображенные на рис. 8.11, в первом квадранте (при u 0 ) описываются соответственно как: а) Su, б) au 3, в) au 2.

Дайте аналитическое выражение всей функции (справедливое для u 0 и u 0 ).

i i i u u u а б в Рис. 8. 14. На рис. 8.12 приведена ВАХ туннельного диода (ЗИ101Г).

Значения u и i, соответствующие графику рис. 8.12, приведены ниже.

u,В 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0. i, мА 0 1.0 1.8 2.0 1.8 1.4 1.0 0.6 0. u,В 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1. i, мА 0.28 0.3 0.35 0.5 0.7 0.9 1.2 1.55 1. i, мА 2. 1. 1. 0. 0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 u, В Рис. 8. 8.3. ЗАДАЧИ Аппроксимируйте эту характеристику неполным полиномом пятой степени, т. е.

i = a1u + a3u 3 + a5u 5, (8.33) потребовав совпадения крутизны в трех точках: u1 = 0 В, u2 = 0.15 В, u3 = 0.6 В.

15. ВАХ туннельного диода, изображенную на рис. 8.13, а, можно аппроксимировать суммой двух функций i = Aue u + B (eu 1) = iт + iд. (8.34) Первая из них передает туннельный ток iт, а вторая – диффузион ный iд (рис. 8.13, б). Выведите приближенные формулы для расче та коэффициентов A, B, и по характерным точкам ВАХ рис. 8.13, а.

i i i i iд iт i i u3 u u3 u 0 u1 0 u u2 u а б Рис. 8. 16. По результатам задачи 15 определите коэффициенты A, B, и, если известно, что для туннельного диода ЗИ101Г u1 = 0.15 В, u2 = 0.6 В, u3 = 1.5 В, i1 = 2 мА, i2 = 0.3 мА, S = 3 мА/В – крутиз на в точке u = u3.

17. При снятии вольт-фарадной характеристики C = f (u ) крем ниевого диффузионно-сплавного варикапа (КВ105А) были получе ны следующие данные:

u, В 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –8 – C, пФ 1470 900 710 600 525 470 435 385 График этой зависимости приведен на рис. 8.14.

156 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ Получите аппроксимацию этой характеристики полиномом вто рой степени на интервале 8 B u 2 B относительно рабочей точки U 0 = 5 В:

C = a0 + a1 (u + 5) + a2 (u + 5) 2 пФ. (8.35) C, пФ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 u, В Рис. 8. 18. По данным задачи 17 представьте характеристику C = f (u ) формулой C = C (0) n k /(k + u ). (8.36) Пояснение входящих в эту формулу параметров дано в п. 8. [см.(8.7)]. Считая постоянную n известной ( n = 2 ), приведите вы ражение (8.36) к линейному виду, с тем чтобы по эксперименталь ным данным можно было определить k. Вычислите значение k.

19. Экспериментально снятая зависимость C = f (u ) (задача 17) аппроксимирована формулой (8.36).

Методом приведения к линейному виду определите зависимость n = f (u ). k = 0.6 В.

20. Характеристика C = f (u ), по-прежнему, описывается выра жением (8.36).

Требуется определить обе константы k и n по эксперимен тальным данным C (u ). Для приведения к линейному виду реко мендуется ввести переменную y = C / Sc, где Sc = dC / du – крутиз на характеристики C (u ).

8.3. ЗАДАЧИ 8.3.2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 21. На НЭ, характеристика которого приведена на рис. 8.5, по дано напряжение u (t ) = U 0 + U m cos 0t, (8.37) где U 0 = 4 В, U m = 4 В.

Найдите значения составляющих тока, используя формулы трех и пяти ординат.

22. Условие задачи 21, но известна аппроксимация характери стики НЭ i = 16 + 4u + 0.25u 2 мА.

Найдите значения I 0, I1 и I 2, используя тригонометрические формулы кратных аргументов, и объясните совпадение с результа том задачи 21 при использовании формул трех ординат.

23. К НЭ, характеристика которого аппроксимирована кусочно линейной зависимостью S (u U н ), u U н, i= 0, u U н, где S = 4 мА/В, U н = 4 В, приложено напряжение u (t ) (8.37) с U 0 = 4 В и U m = 4 В. Определите составляющие тока I 0, I1 и I и сравните с результатом решения задач 21 и 22.

24. Условие задачи то же, что и 23, но U 0 vario.

Определите, при каком смещении U 0 функция Берга a2 () максимальна;

найдите амплитуду тока второй гармоники и сопос тавьте ее с соответствующим результатом задачи 23.

25. На вход полевого транзистора (КП103Ж), проходная характе ристика которого показана на рис. 8.7 (задача 4), действует напряже ние, описываемое выражением (8.37) с U 0 = 0.8 В и U m = 0.8 В.

Определите составляющие тока, используя формулы трех и пя ти ординат.

26. Решите задачу 25 при условии, что проходная характеристи ка транзистора аппроксимируется:

а) степенным полиномом i = 2 1.54u + 0.11u 3, мА;

б) кусочно-линейной зависимостью i = S (U н u ) при u U н и i = 0 при u U н, где S = 1.5 мА/В, U н = 1.35 В.

Сопоставьте результаты.

158 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ 27. По условию задачи 25 определите первые пять составляю щих тока, считая, что характеристика НЭ аппроксимирована функ цией с гиперболическим тангенсом i = A[1 + th(qu ) ], где A = i0 = 2 мА, q = S / i0 1/В, S = 1.54 мА/В. Сопоставьте ре зультаты.

28. То же, но характеристика полевого транзистора аппрокси мирована выражением i = A[1 sin(qu ) ], где A = 2 мА, q = / 2U н, U н = 1.6 В – начальное напряжение, u = 0.8cos 0t.

29. К затвору полевого транзистора КП303Е, проходная харак теристика которого приведена на рис. 8.8, подается напряжение u (t ) = 1.25 + 1.25cos 0t, В.

Определите составляющие тока стока I 0, I1 и I 2 для графиче ски и аналитически заданной характеристики транзистора. В каче стве аппроксимирующих используйте следующие функции:

а) i = 4 + 3u 0.22u 2, мА;

б) i = 3.3(u U н ), мА, при u U н = 1.2 В;

в) i = 4 [1 + th(0.83u ) ], мА;

г) i = 4 [1 + sin(0.628u )], мА.

30. На диод, характеристика которого аппроксимирована кусоч но-нелинейной зависимостью – прямой i = 0 при u 0 и параболой i = au 2 при u 0, действует напряжение: а) U m (1 + cos 0t ) ;

б) U m cos 0t.

Найдите значение постоянной составляющей и амплитуды пер вой гармоники тока диода.

31. К диоду, характеристика которого аппроксимирована экспо нентой (задача 6) i = 0.59u мкА, подведено напряжение, описывае мое выражением (8.37), при этом U 0 = 0.4 В, U m = 0.4 В.

Найдите составляющие тока I 0, I1 и I 2 методами с использо ванием формул трех ординат и модифицированных функций Бес 8.3. ЗАДАЧИ селя. Что произойдет с составляющими тока при увеличении:

а) смещения U 0 ;

б) амплитуды сигнала U m ?

32. На полупроводниковый диод, ВАХ которого аппроксимиро вана выражением (см. задачу 8):

i = 2 106 (e50u 1), мА, подается напряжение u (t ) (8.37) с U 0 = 0.1 В и U m = 0.1 В.

Найдите первые пять составляющих тока диода.

33. ВАХ туннельного диода (ЗИ101Г) приведена на рис. 8.12. К диоду подведено напряжение u (t ) = U 0 + 0.2cos 0t, В.

Применив метод с использованием формул трех ординат, опре делите смещение U 0, при котором будет отсутствовать первая гармоника тока.

34. К туннельному диоду, характеристика которого аппрокси мируется неполным полиномом пятой степени i = a1u + a3u 3 + a5u 5, подведено напряжение u (t ) = U 0 + U m cos 0t.

Найдите выражение для тока третьей гармоники I 3 ;

определите напряжение смещения U 0, при котором I 3 = 0.

35. К варикапу (КВ105А), характеристика которого (рис. 8.14) аппроксимирована относительно рабочей точки U 0 = 5 В выра жением C = 470 + 54.2(u + 5) + 8.6(u + 5) 2 пФ, подано напряжение u (t ) = 5 + U m cos 0t, В.

Определите зависимость постоянной составляющей C0 (т. е.

средней за период емкости) от амплитуды U m входного сигнала и постройте ее графически для U m = 0...5 В. Изобразите также, как должна выглядеть характеристика C = f (u ), чтобы емкость C уменьшалась бы с ростом амплитуды U m поданного напряжения.

36. Характеристика варикапа (рис. 8.10) описывается формулой C = 1470 0.6 /(0.6 + u ), пФ.

К варикапу приложено напряжение u (t ) = 5 + 4cos 0t. Опре делите первые три составляющие в характере изменения емкости C (t ), т. е. C0, C1 и C2.

160 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ 37. По данным задачи 35 получите выражение для тока через емкость. Изобразите спектральную диаграмму, полагая, что U m = 5 В и 0 = 106 рад/с.


8.3.3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. КОМБИНАЦИОННЫЕ ЧАСТОТЫ 38. На нелинейный элемент, ВАХ которого (рис. 8.6) аппрок симируется выражением i = 0.25u 2 мА, подается сигнал u (t ) = U 0 + U1 cos 1t + U 2 cos 2t, (8.38) где U 0 = 4 В, U1 = 1 В, U 2 = 2 В.

Найдите спектр тока.

39. По результату предыдущей задачи определите мощность Pк комбинационных колебаний и мощность Pг вторых гармоник, а также зависимость Pг / Pк = f (U1 / U 2 ).

40. Проходная характеристика полевого транзистора (рис. 8.7) аппроксимирована выражением i = 2 1.54u + 0.11u 3 мА.

К затвору подведено напряжение, описанное выражением (8.38), где U 0 = 0.5 В, U1 = 0.2 В, U 2 = 0.3 В.

Определите спектр тока транзистора.

41. На нелинейный элемент с характеристикой i = 0.5e9u пода ется колебание u (t ) (8.38);

при этом U 0 = 0.4 В, U1 = 0.4 В и U 2 = 0.2 В.

Найдите амплитуду комбинационного колебания с частотой:

а) 1 m 2 ;

б) 31 m 22.

42. По условию предыдущей задачи найдите амплитуду комби национного колебания с частотой 1 m 2, а также отношение I1.2 / I1.1.

8.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ ТОКА В НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕМЕНТЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Заданы вольт-амперная характеристика (ВАХ) безынерционно го нелинейного элемента (НЭ) и вид аппроксимирующей функции 8.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ этой характеристики (табл.8.1 и табл.8.2). На вход НЭ подано на пряжение u = u (t ) = U 0 + U m cos 0t, параметры которого приведе ны в табл. 8.3.

Требуется:

а) изобразить графически заданную ВАХ НЭ;

б) определить коэффициенты аппроксимирующей функции;

в) сравнить аппроксимированную характеристику с заданной, построив их на одном графике;

г) изобразить на одном графике временные диаграммы входного напряжения и тока через НЭ;

д) найти спектральный состав тока НЭ: I 0, I1, I 2, I 3, I 4 ;

е) построить спектральные диаграммы входного напряжения и тока через НЭ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Вопросы аппроксимации нелинейных элементов и гармониче ского анализа при простом воздействии подробно изложены в ра ботах [1…3].

Определение коэффициентов аппроксимации для степенных функций целесообразно проводить методом выбранных точек. При этом неполный полином третьей степени (табл. 8.1) описывает ВАХ с началом координат в центре симметрии (рис. 8.15). Коэф фициенты для экспоненциальных функций следует находить мето дом приведения к линейному виду. Для кусочно-ломаной прямой параметры аппроксимации определяются графическим путем. Рас чет гармоник тока следует провести соответственно с использова нием тригонометрических формул кратных аргументов (для сте пенной аппроксимации), функций Бесселя (при аппроксимации си нусом), модифицированных функций Бесселя (для экспоненциаль ной аппроксимации) и функций Берга (для кусочно-линейной ап проксимации). Значения функций Берга, обычных и модифициро ванных функций Бесселя приведены в прил. П.9…П.11.

a1 i ic ic a3 a1 0 a1 a0 a a a3 0 a3 u 0 0 uз uз Рис. 8. 162 ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ Таблица 8. НЭ, Номер Номер НЭ, номер Аппроксимирующая номер Аппроксимирующая вари- вари из табл.8.2 функция из функция анта анта табл.8. I = a0 + a1u + a2u 2 I = A exp(au ) 0 6 5 I = A[1 + sin(qu ) ] I = a0 + a2u 2 + a4u 4 6 1 I = A[1 sin(qu )] I = a0 + a1u + a3u 2 8 7 I = a0 + a1u + a3u 3 9 8 8 Кусочно-линейная I = A exp(au ) 4 2 9 9 Кусочно-линейная Таблица 8. Номер Тип Вольт-амперная характеристика НЭ НЭ u,B 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0. 0 ПД i, мA 0 0.2 0.5 0.9 1.5 2.5 4.0 6.2 9. u,B 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0. 1 ПД i, мA 0 0.5 1.0 1.75 4.0 10 20 u,B 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0. 2 ПД i, мA 0 1.0 2.5 5.5 12 27 61 u,B 0.05.075.1.15.2.3.4.5.6.7.8.9 1. 3 ТД i, мA 0 1.5 2. 2.1 2. 1.6.9.4.15.15.3.9 1.3 1. uб, B 0 0.1.15.20.25.30.35.40.45.50.55. 4 Т 0 0.0 0.5 1.0 2.5 4.5 8 12 18 25 34 iк, мA uб, B 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. 5 Т 0 0.6 1.4 2.0 4.0 9.0 20 34 50 73 iк, мA uб, B 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. 6 Т 0 0.1 0.5 1.3 3.0 6.0 11 17 25 36 iк, мA u3, В –2.0 –1.5 –1.0 –0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2. 7 ПТ 4.0 3.9 3.5 2.7 2.0 1.3 0.6 0.1 0. ic, мА u3, В –2.5 –2.0 –1.5 –1.0 –0.75 –0.5 –0.25 8 ПТ 0 0.15 0.4 1.0 1.5 2.25 3.0 ic, мА u3, В –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 9 ПТ 0 5 20 45 75 130 190 255 ic, мА Здесь: ПД – полупроводниковый диод, ТД – туннельный диод, Т – транзистор, ПТ – полевой транзистор.

8.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Таблица.8. Подварианты Варианты 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0, 0.20 0.20 0.25 0.25.275.275 0.30 0.30 0.40 0. U0, В 1, 0.10 0.15 0.10 0.15.125.175.125 0.15 0.20 0. Um, В 4, 2 –0.50 –1.00 –1.50 –2.00 –0.75 –1.00 –1.25 –1.00 –1.50 –1. U0, В 0.50 0.50 0.50 0.50 0.75 0.75 0.75 1.00 1.00 1. Um, В 3 –2 –3 –4 –5 –6 –2 –3 –4 –5 – U0, В 2 2 2 2 2 3 3 3 3 Um, В 6 U 0, В –4 –5 –5 –4 –4 –3 –3 –3 –2 – 4 3 2 3 2 5 4 3 3 Um, В 7 0.00 0.50 0.50 0.75 0.75 1.00 1.00 1.00 1.25 1. U0, В 1.50 1.50 1.00 1.00 0.75 1.00 0.75 0.50 0.75 1. Um, В 8 –1.50 –0.50 –0.50 –0.75 –0.75 –1.00 –1.00 –1.00 –1.25 –1. U0, В 1.50 1.50 1.00 1.00 0.75 1.00 0.75 0.50 0.75 0. Um, В 9 –4 –9 –10 –5 –5 –6 –6 –7 –7 – U0, В 4 9 50 5 4 6 5 7 6 Um, В 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0. f 0, MГц Все радости жизни – в творчестве.

Творить – это значит убивать смерть.

Виктор Гюго ГЛАВА ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ 9.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Одномерные законы распределения вероятностей случайного процесса на выходе безынерционного НЭ. Моменты (числовые ха рактеристики). Действие стационарного случайного процесса (СП) на нелинейный преобразователь, односторонний и двухсторонний ограничитель, компаратор (пороговое устройство), квантователь, односторонний и двусторонний квадратор (квадратичный детек тор) [3, 20.1…20.4;

1, 11.1…11.3;

2, 11.6].

Указания. Наиболее полно вопросы темы изложены в [3]. Ру ководства и учебные пособия [8, 9, 7, 5] содержат задачи с реше ниями, указаниями или комментариями.

Большинство практических задач можно подразделить на два класса. Первый – это задачи по определению плотности вероятно сти мгновенных значений выходного стационарного случайного процесса и/или первых моментов распределения: математического ожидания, усредненного квадрата (средней мощности на R = 1 Ом) и дисперсии. Именно задачи этого класса рассматриваются ниже.

Ко второму классу относятся задачи, связанные с определением динамических характеристик выходного процесса: автокорреляци онной функции и спектральной плотности мощности. Задачи этого класса, решаемые для нелинейных цепей, намного сложнее, чем 9.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ для линейных, в большом количестве приведены в работах [8, 9], причем с решениями или указаниями к решению.

9.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ На вход безынерционного НЭ, описываемого характеристикой y = f ( x), воздействует стационарный случайный процесс X (t ). По известной плотности вероятности w( x) входного процесса X (t ) требуется определить плотность вероятности w( y ) выходного про цесса Y (t ).

Если зависимость y = f ( x) однозначна то вероятность того, что случайная величина Y заключена в интервале [ y, y + dy ], должна быть равна вероятности пребывания случайной величины X в со ответствующем интервале [ x, x + dx] (рис. 9.1), т. е.

P( y Y y + dy ) = P( x X x + dx) (9.1) или w( y )dy = w( x)dx. (9.2) Из (9.2) следует, что dx = w[( y )] ( y ), w( y ) = w( x) (9.3) dy где x = ( y ) – функция, обратная аппроксимирующей функции y = f ( x), ( y ) = d ( y ) / dy. При этом производная берется по аб солютному значению (модулю), так как функция ( y ) может быть отрицательной, а плотность вероятности отрицательной быть не может.

Если обратная функция x = ( y ) в явном виде не выражается или выражение весьма громоздкое (например, при аппроксимации f ( x) степенным полиномом), а по условию задачи требуется изо бразить w( y ), то поступают следующим образом. Из выражения (9.1) находится плотность вероятности 166 ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ w( x) w( y ) = = wy ( x), (9.4) dy dx которая зависит в явном виде от аргумента x. Задаются значения x, т. е. x1,..., xn и по известной зависимости y = f ( x) и найденной зависимости wy ( x) определяются соответствующие значения [ y1, wy ( x1 ) = w( y1 ),..., yn, wy ( xn ) = w( yn )]. Полученные таким обра зом значения yn, w( yn ) откладываются в координатах y, w( y ). При необходимости эту графическую зависимость можно аппроксими ровать.

y y y(x ) y + dy y y x + dx x w( y) x3 x x x1 x w ( x) w ( x) x x + dx x x1 x x2 x Рис. 9.1 Рис. 9. Если зависимость y = f ( x) и, следовательно, обратная зависи мость x = ( y ) неоднозначна (см. рис. 9.2), то w( x) w( x) +... + w( x) =, (9.5) dy dy dx dx x = x1 i x = xi где x1,..., xi – значения входной величины x, соответствующие рассматриваемому значению y.

Если зависимость y = f ( x) на некотором расстоянии постоян на, то в выражение вида (9.3) – (9.5) должно быть введено слагае 9.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ мое с дельта-функцией. Это слагаемое должно учитывать вероят ность пребывания входной случайной величины X ниже (выше) определенного порогового значения xп, до которого (или с которо го) зависимость y = f ( x) постоянна.

На рис. 9.3, а, б показано воздействие стационарного случайно го процесса на двусторонний ограничитель. Характеристика огра ничителя описывается 0, x xп1, y = a( x xп1 ), x п1 x xп2 (линия 1 на рис. 9.3, а).

y, x x.

н п Плотность вероятности выходного процесса определяется по формуле (9.3) с добавлением двух дельта-функций w( y ) = S1(0) + w[( y )] ( y ) + S2( y yн ), 0 y yн, (9.6) учитывающих соответственно вероятности пребывания x ниже порога xп1 и выше порога xп2, т. е.

xп w( x)dx, P ( X xп1 ) = S1 = P ( X xп2 ) = S2 = w( x)dx.

xп Значения коэффициентов S1 и S2 при дельта-функциях ( y = 0) и ( y = yн ) зависят как от параметров сигнала – смещения X 0 и дисперсии Dx = 2, так и от крутизны характеристики x a = tg НЭ.


168 ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ y(t ) y y S2 ( y yн ) y S yн yн 2 F ( y ) xп1 xп2 x t 0 t1 t 0 S1 w( y) S1д( 0) x(t ) x б t t2 y y y(t ) (1 S1 ) ( y yн ) yн t w( x) S1 S F ( y) w ( y ) S1д( 0 ) t 0 t1 t2 S1 x0 x а в Рис. 9. В частности, при a (линия 2 на рис. 9.3, а), пороги xп1 и xп2 “сливаются” в один xп1 = xп2 = xп, а выходной процесс Y (t ) может принимать только одно из двух квантованных значений (логический “0”) или yн (логическую “1”) соответственно с веро ятностью P(0) = S1 и P( yн ) = S2 = 1 S1 (рис. 9.3, в). В этом заклю чается принцип функционирования порогового устройства, а также квантователя на два уровня "1", x xп, y= (9.7) "0", x xп.

Аналогичным образом можно обобщить рассмотрение на слу чай ограничения и квантования с n уровнями.

МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Наиболее важными для практического использования являются моменты первых двух порядков: математическое ожидание m y, среднее значение квадрата m2 y и дисперсия D y ;

при этом они мо гут быть вычислены двумя эквивалентными способами:

ymax xmax my = Y = yw( y )dy = f ( x) w( x)dx, (9.8) ymin xmin 9.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ymax xmax m2 y = Y 2 = y 2 w( y )dy = f 2 ( x) w( x) dx, (9.9) ymin xmin D y = 2 y = m2 y m 2. (9.10) y Смешанные начальный и центральный моменты второго поряд ка, характеризующие взаимосвязь мгновенных значений в двух произвольных сечениях (быстродействие процесса) и называемые соответственно автоковариационной и автокорреляционной функ циями, описываются выражениями:

B y (t1, t2 ) = Yt1Yt2 = y1 y2 w( y1, y2 )dy1dy2 = = f ( x1 ) f ( x2 ) w( x1, x2 )dx1dx2. (9.11) K y (t1t2 ) = Yt1Yt2 Y1Y2, (9.12) здесь w( x1, x2 ) и w( y1, y2 ) = J 2 ( x1, x2 ) w( x1, x2 ) – двумерная плот ность вероятности процессов X (t ) и Y (t ), J 2 ( x1, x2 ) – якобиан преобразования переменных [2, 3].

Примечание. Определение названных функций по формулам (9.11) и (9.12) представляет собой довольно сложную задачу ввиду трудности вычисления инте гралов, содержащих двумерные плотности. В случае линейных цепей задача су щественно упрощается, так как по корреляционной функции входного процесса (а ее для эргодических процессов можно определить, минуя использование дву мерной плотности) легко определить спектральную плотность мощности (СПМ), а затем согласно принципу суперпозиции – выходную СПМ и автокорреляционную функцию. Для нелинейных цепей принцип суперпозиции не применим, и невоз можно избежать использования двумерной плотности даже для эргодических про цессов.

9.3. ЗАДАЧИ 1. Характеристика нелинейного элемента аппроксимирована квадратичной параболой и прямой (задача 8.2):

au 2, u 0, i= (9.13) 0, u 0.

170 ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ На вход НЭ подан стационарный случайный процесс – напряжение u (t ) с плотностью вероятности:

w(u ) =, U0 b u U0 + b. (9.14) 2b Определите и изобразите плотность вероятности w(i ) тока НЭ.

Изобразите (качественно) функцию распределения F (i).

2. Решите задачу 1 для случая, когда a = 0.25 мА/В2, U 0 = 4 В, b = 2 В.

3 Проанализируйте результат решения задачи 1: а) при умень шении смещения U 0 ;

при этом изобразите графики w(i ) для слу чаев: 1) U 0 = 0, 2) U 0 = b ;

б) при увеличении величины b (и не изменном исходном значении U 0 ), включая случай, когда U min = U 0 b 0.

4. По условию задач 1 и 2 определите основные моменты рас пределения тока НЭ: математическое ожидание mi, второй началь 9.3. ЗАДАЧИ ный момент m2i, дисперсию Di. Решение проведите сначала в об щем виде, а затем – с подстановкой численных значений. Найдите также мощность постоянной составляющей P0, мощность флюк туаций Pфл и полную среднюю мощность Pср на сопротивлении нагрузки Rн = 1 кОм.

5. Найдите одномерную плотность вероятности w(i ) случайного процесса i (t ), получаемого на выходе НЭ с характеристикой (см.

рис. 8.1) (мА) i = a0 + a1u + a2u 2, (9.15) где a0 = 16 мА, a1 = 4 мА/В, a2 = 0.25 мА/В2, при воздействии на его вход стационарного случайного процесса u (t ) с плотностью вероятности вида (9.14) с U 0 = 4 В, b = 2 В.

6. По данным задачи 5 найдите математическое ожидание mi, второй начальный момент m2i и дисперсию Di тока i (t ).

7. На двусторонний квадратор с характеристикой i = au 2 (на пример, на схему с двухтактным включением диодов) действует процесс u (t ) с плотностью вероятности w(u ) (9.14);

при этом b U0.

Определите плотность вероятности w(i ) тока i (t ) ;

изобразите график w(i).

8. Характеристика НЭ аппроксимирована экспонентой i = Aeau, (9.16) где A = 0.5 мкА, a = 9 В-1 (задача 8.6). На НЭ воздействует слу чайный процесс u (t ) с плотностью вероятности (9.14) с U 0 = 0.25 В и b = 0.25 В. Найдите плотность вероятности w(i) и изобразите график. Проанализируйте влияние изменения параметров сигнала ( U 0 и b ) и характеристики НЭ ( A и a ) на форму графика.

9. Определите плотность вероятности тока на выходе НЭ, ха рактеристика которого аппроксимирована кусочно-линейной зави симостью a(u U н ), u U н, i= (9.17) 0, u U н, 172 ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ где U н = 3 В, a = 4 мА/В. На вход НЭ подается нормальный слу чайный процесс u (t ) с плотностью вероятности ( ) w(u ) = 1/ 2u exp (u mu ) 2 / 2u, (9.18) и заданными математическим ожиданием mu = U н и дисперсией Du = u = 1 В2. Изобразите графики w(i ) и F (i ).

10. Используя результат, полученный при решении задачи 9, определите математическое ожидание mi, второй начальный мо мент m2i и дисперсию Di тока i (t ).

11. На НЭ с характеристикой вида (9.16) ( A = 0.5 мкА, a = 9 В-1) действует нормальный (см. формулу (9.18)) случайный процесс u (t ) с нулевым математическим ожиданием и дисперсией u = 0.25 В2. Найдите плотность вероятности w(i) тока i (t ).

12. На односторонний квадратор с характеристикой (9.13) при a = 0.25 В-2 действует нормальный процесс с нулевым математиче ским ожиданием и дисперсией u = 4 В2.

Определите плотность вероятности w(i) и математическое ожидание mi тока i (t ).

13. Нормальный случайный процесс u (t ) с нулевым математи ческим ожиданием и дисперсией u = 16 В2 действует на нелиней ный преобразователь с характеристикой (9.15), при этом a0 = 16 мА, a1 = 4 мА/В, a2 = 0.25 мА/ В2.

Найдите плотность вероятности w(i ) тока i (t ).

14. На затвор полевого транзистора КП103Ж, проходная харак теристика (рис. 8.7) которого аппроксимирована выражением i = A[1 th( gu )], мА, где A = 2 мА, g = 0.77 1/В, подается случайный сигнал u (t ) с рав номерной плотностью вероятности (9.14).

Определите плотность вероятности w(i ) тока стока i (t ).

15. Проходная характеристика полевого транзистора КП303Е описывается кусочно-нелинейной зависимостью 0, u U н = 2.5 В, i = i0 [1 + sin( u / 2U н )], U н u U н, 2i, u U = 2.5 В, i = 4 мА.

0 н 9.3. ЗАДАЧИ На затвор транзистора действует случайный сигнал u (t ) с равно мерной плотностью вероятности (9.14).

Определите плотность вероятности w(i) тока транзистора.

16. Характеристика полупроводникового диода (см. рис. 8.9) аппроксимируется выражением i = A(e au 1).

Определите плотность вероятности w(i) и математическое ожидание mi тока диода, если к нему приложено случайное на пряжение u (t ) с равномерной плотностью вероятности (9.14).

17. Характеристика y = f ( x) типового безынерционного нели нейного устройства приведена в табл. 9.1. Входной стационарный случайный процесс X (t ) характеризуется симметричным законом распределения w( x) с нулевым математическим ожиданием:

а) w( x) = 1/(2b), b x b ;

( ) ( ) exp x 2 / 22.

б) w( x) = 2 x x Определите плотность вероятности w( y ) процесса Y (t ) на вы ходе устройства.

Таблица 9. Аппроксимирующая функция y = f ( x) № Тип устройства п/п Выражение График y 1 Нелинейный a0 + a1x + a2 x 2, усилитель а при x X н 0 x Xн y 2 Нелинейный ax Ae, a усилитель A 0 x y A[1 + th( qh)] 3 Нелинейный усилитель A 0 x y 4 Односторонний ax 2, x 0, a 0, квадратичный 0, x детектор (квадра- 0 x тор) y 5 Двусторонний ax, a квадратичный детектор 0 x 174 ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Окончание табл. 9. Аппроксимирующая функция y = f ( x) № Тип устройства п/п Выражение График y 6 Односторонний S ( x X н ), x X н, Ограничитель 0, x X н 0 x Xн y 7 Двусторонний y1, x x1, y ограничитель Sx, x1 x x2, 0 x1 x x y, x x 2 y y 8 Компаратор yн = "1", x xп, (пороговое yн 0 = "0", x xп устройство) 0 xп x y 9 Квантователь на b, x 0, a два уровня a, x 0 x b y 10 Квантователь на b, x x1, a три уровня 0, x1 x x2, a, x x x1 x2 x b 9.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА НА БЕЗЫНЕРЦИОННЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ На вход нелинейного безынерционного элемента действует стационарный случайный процесс u ( t ) с одномерной плотностью вероятности w ( u ). Характеристика нелинейного элемента, вид ап проксимирующей функции и смещение такие же, что и в задании 8.

Среднеквадратическое значение напряжения u случайного про цесса взять равным U m из задания 8 (табл.8.3).

Закон распределения вероятностей входного случайного про цесса:

• равномерный – для вариантов 0– w ( u ) = 1/ ( 2b ) при b + U 0 u b + U 0, где b = 3u ;

9.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ • нормальный (гауссов) – для вариантов 8– )( ) ( w(u ) = 1/ 2u exp (u U 0 )2 / 2u.

Требуется:

а) определить одномерную плотность вероятности w ( i ) на вы ходе НЭ;

б) построить графики w ( u ) и w ( i ) ;

в) найти математическое ожидание mi, дисперсию Di = i2 и среднюю мощность Pi случайного процесса на выходе безынерци онного НЭ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Вопросы преобразования случайных процессов в безынерцион ных нелинейных цепях даны в [1…3], а примеры и задачи – в [7…9].

При нахождении одномерной плотности вероятности w(i ) для НЭ, аппроксимированного кусочно-линейной зависимостью, про верьте условие нормировки w(i)di = 1.

Для выполнения этого условия ввести при необходимости в вы ражение w(i ) слагаемое в виде дельта-функции (Дирака) (i ) с со ответствующим коэффициентом K, т. е. K (i ).

Для вариантов 8 и 9 следует воспользоваться справочными дан ными, приведенными в прил. П.3 и П.7.

Наука и теория преследуют истину, а техника преследует пользу.

П. Энгельмейер ГЛАВА НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ 10.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Общие сведения, обобщенные схемы. Нелинейное резонансное усиление. Квазилинейный метод. Колебательная характеристика.

Требования к НЭ и фильтру. КПД [1, 8.5;

2, 11.3].

Умножение частоты: методы умножения, синтез идеального умножителя, оптимальный режим работы НЭ, факторы ограниче ния коэффициента умножения [1, 8.6;

2, 11.3;

3, 6.4].

Модуляция. Постановка задачи. Амплитудная модуляция изме нением смещения на управляемом НЭ. Модуляционная характери стика. Требования к НЭ, нелинейные искажения. Требования к фильтру, линейные искажения [3, 8.1;

2, 11.5;

1, 8.12]. Модуляция с использованием перемножителя сигналов.

Детектирование сигналов. Постановка задачи. Детектирование АМС с использованием управляемых НЭ. Детекторная характери стика (для “слабых” и “сильных” сигналов). Требования к режиму работы НЭ, нелинейные искажения. Диодный детектор: принцип функционирования, коэффициент передачи, детекторная характе ристика, входное сопротивление. Синхронное детектирование (с использованием перемножителя сигналов) [3, 9.1, 9.2;

1, 8.8, 8.9;

2, 11.5].

Транспонирование спектра, преобразователи частоты [1, 8.1;

3, 9.5].

10.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 10.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ Преобразователь сигналов, характеризуемый оператором L(), r осуществляет над входным сигналом x(t, a ) математическую опе рацию L(), в результате которой формируется выходной сигнал (рис. 10.1, а) r r y (t, a ) = L( x(t, a )). (10.1) В настоящей главе рассматриваются преобразования сигналов, осуществляемые в нелинейных цепях, для которых оператор L яв ляется нелинейной функцией.

Если в результате преобразования функциональная структура r сигнала сохраняется, а изменяется значение параметров a, то это преобразование параметров сигнала;

если функциональная струк тура изменяется, то будет иметь место преобразование функцио нальной структуры сигнала.

Нелинейные преобразования подразделяются на информацион ные и безынформационные. Первые связаны с введением или из влечением информации, т. е. с преобразованием параметров сигна ла – модуляция и детектирование. Преобразования функциональ ной структуры сигналов, как правило, являются безынформацион ными. К ним относятся: нелинейное резонансное усиление, умно жение и деление частоты, транспонирование спектра, ограничение и др.

Обобщенная структурная схема многих преобразований пред ставляет собой соединение нелинейного преобразователя (НП) и линейного преобразователя (ЛП) (рис. 10.1, б). На вход НП подает ся один или несколько сигналов, а на его выходе получается слож ный спектр, состоящий из комбинационных составляющих исход ных сигналов. Методы определения этого спектра рассмотрены в главе 8. Назначение ЛП состоит в выделении полезного продукта преобразования, т. е. той части спектра сигнала y (t ), которая соот ветствует требуемому преобразованию.

Полезный x(t) y(t) x(t) y(t) продукт НП ЛП L() (НЭ) (Фильтр) U I Uвх вых а б Рис. 10. 178 ГЛАВА 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ На рис. 10.2, а изображена принципиальная схема преобразова теля сигналов. Здесь НЭ – нелинейный безынерционный элемент (транзистор, лампа, ИМС);

Z ( j) – комплексное сопротивление ЛП, т. е. частотно-избирательного фильтра. Наиболее часто ис пользуются две основные схемы фильтров: параллельный колеба тельный контур (рис. 10.2, б) – в тех случаях, когда полезным про дуктом является колебание высокой (или промежуточной) частоты;

параллельный RC-фильтр (рис. 10.2, в) – для случаев выделения составляющих низкой частоты.

CР uВЫХ CР НЭ L R C C Z(j) Z(j) Z(j) RР uвх U0 EП а б в Рис. 10. Выделение полезных составляющих с помощью фильтров пока зано на рис. 10.3;

при этом чтобы уменьшить возможные линейные (частотные) искажения должна быть правильно обеспечена поло са пропускания фильтра.

I Iщ I щ+ I I щ+ 2 2щ0 щ щ0 Щ щ0 +Щ Z Z ( ) Z ( щ) R р/ k ( ) Дщ0.7 щ щ р/ ( ) 2Дщ0. а б Рис. 10. Качество нелинейного преобразования оценивается с помощью целевой функции Y = f ( X ) – характеристики преобразования, 10.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ которая связывает определенный (информативный) параметр Y полезного продукта с соответствующим параметром X входного сигнала. В зависимости от вида (назначения) преобразования эта характеристика имеет уточняющее название: колебательная (ам плитудная), модуляционная, детекторная и др.

Так как вредные продукты преобразования могут быть не по давлены полностью фильтром Z ( j), то имеют место нелинейные искажения преобразованного сигнала. В этом случае характери стика преобразования является нелинейной функцией. Качество преобразования тем выше, чем линейнее функция Y = f ( X ), т. е.

чем меньше паразитных составляющих в выходном сигнале и чем больше изменяется Y при единичном изменении X (чем больше крутизна S xy характеристики преобразования).

Количественно нелинейные искажения оцениваются, например, коэффициентом n Yвр.i K н.и = Yп, (10.2) i где Yвр.i – амплитуда i – го вредного продукта (составляющей);

Yп – амплитуда полезной составляющей.

В заключение отметим, что выше рассмотрена ситуация с “раз вязанными” НП и ЛП, когда отсутствует обратная реакция выход ного напряжения на ток в НЭ.

И, наконец, следует подчеркнуть, что решение функционально го уравнения (10.1) для задачи синтеза обычно намного сложнее, чем для задачи анализа. Серьезные трудности встречаются как в нахождении оператора L(), так и в его технической реализации.

Задача синтеза доведена до конца лишь в немногих частных случа ях (например, при умножении частоты).

НЕЛИНЕЙНОЕ РЕЗОНАНСНОЕ УСИЛЕНИЕ Одной из основных задач в радиотехнике является получение неискаженного сигнала заданной мощности при высоком КПД. По вышение КПД обеспечивается переводом НЭ (рис. 10.2, а) в прин ципиально нелинейный режим – с отсечкой тока. Для сохранения структуры сигнала используется нагрузка в виде резонансного кон тура (рис. 10.2, б), выделяющая из всего спектра тока составляю щую гармонику I1 (при Q 1 ). Пусть ВАХ НЭ аппроксимирована кусочно-ломаной линией (рис. 10.4).

180 ГЛАВА 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ uвх U н, 0, I = S (uвх U н ), uвх U н, uвх = U 0 + U m cos 0t.

НЭ может работать в следующих режимах:

1) класс А, если = 180° ;

2) класс АВ, если 90° 180° ;

3) класс В, если = 90° ;

4) класс С, если 0° 90°.

I I A AB B C щ0t u 0 Uн щ0t Рис. 10. Получение того или иного режима зависит от угла отсечки, который определяется U 0, U н, U m (см. (8.17)).

Режим класса А – линейный режим работы НЭ. Форма и спектр сигнала на выходе НЭ соответствуют входным: I = I 0 + I m cos нt.

В нелинейных режимах АВ, В, С импульсы выходного тока можно представить в виде iвых = I 0 + I1 cos(0t ) + I 2 cos(20t ) +... + I n cos(n0t ) +..., (10.4) где I 0 – постоянная составляющая;

I1,..., I n – амплитуды гармоник на выходе НЭ, которые можно рассчитать по формулам прил. П.9.

В частности, амплитуда тока первой гармоники (полезного продукта) I1 = SU m ( sin cos ) / = SU m 1 () = I max 1 (), (10.5) где I max = SU m (1 cos ), cos = (U н U 0 ) / U m.

10.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Основные характеристики и параметры резонансного усилителя:

1. Колебательная (амплитудная) характеристика (рис. 10.5, а):

I1 = f (U m ) [или U вых = F (U m ) ], при U 0 = const – зависимость амплитуды первой гармоники тока (напряжения) на выходе НЭ от амплитуды входного напряжения при постоянном смещении.

Для кусочно-линейной аппроксимации и аппроксимации сте пенным полиномом соответственно имеем:

I1 = SU m ( sin cos ) / = SU m 1 () I1 = b1U m + (3/ 4)b3U m3 + (5 / 8)b5U m5 +...

I1 S cp " AB" " AB" " A" " A" " B" " B" "C" "C" Um 0 Um а б Рис. 10. 2. Средняя по первой гармонике крутизна НЭ (рис. 10.5, б) Scp = I1 / U m. (10.7) 3. Амплитуда выходного напряжения U вых = I1Z р.э, (10.8) где Z р.э = Z p Ri /( Z p + Ri ), Z p = Q, Ri – внутреннее сопротивле ние НЭ.

4. Коэффициент усиления K = U вых / U m = I1Z р.э / U m = Scp Z р.э. (10.9) 5. Коэффициент гармоник (используя формулу (10.2)) 182 ГЛАВА 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ 2 2 K г = K н.и = I 2 + I 3 +... + I n ) / I1. (10.10) 6. Коэффициент полезного действия = P~ / P0 = ( I1U вых / 2) /( I 0 Eп ) = 0.51 () / 0 (), (10.11) где P~ – колебательная (полезная) мощность на выходе усилителя;

P0 – мощность (постоянной составляющей), потребляемая от ис точника питания;

= U вых / Eп – коэффициент использования на пряжения источника питания ( 1 ).

Из рис. 10.6 видно, что КПД резонансного усилителя при стремится к 100 % ( = 1 ). Однако при этом K 0 и P~ 0. Для = 90° (класс B), при = 1, = 78 %. На основании (10.5) полу чим I1 = SU m / 2, т. е. колебательная характеристика линейна (рис. 10.5, а). Это важно при усилении АМК, которое будет проис ходить без искажения огибающей.

В случае, когда требуется получить максимум полезной мощно сти ( P~ ) на выходе усилителя, угол отсечки доводят до 120°, что соответствует максимуму функции 1 (), а это при I max = const обеспечивает I1 = max.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.