авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

«РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ ЗАДАЧИ И ЗАДАНИЯ Под редакцией проф. А.Н. Яковлева Рекомендовано Сибирским региональным отделением УМО высших ...»

-- [ Страница 5 ] --

c – скорость распространения колебаний в среде;

– коэффициент затухания этих колебаний;

t – время, являющееся эквивалентом дальности R до объекта ( R = ct / 2 );

Tп = 2 D / c – период повторе ния излучаемых (и эхо) сигналов, D – дальность действия локаци онной системы.

Определите требуемый закон изменения коэффициента усиле ния K ( t ) во времени и, следовательно, управляющего сигнала U x ( t ), подаваемого на вход X, для получения неизменной во вре мени (т. е. с расстоянием) амплитуды сигнала на выходе перемно жителя (критерий равносигнального приема). Изобразите графики K = f (t ) и U x (t ).

Примечание. Для классификации объектов локации необходимо, чтобы эхо сигналы от одного и того же объекта на разных расстояниях при поступлении на индикаторы и регистраторы оставались постоянными по амплитуде.

238 ГЛАВА 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ 3. На входе компрессора, содержащего АПС, ОУ и детектор (см.

рис. 12.3, а), подается сигнал, амплитуда которого изменяется в диапазоне от 0.05 В до 5 В.

Во сколько раз уменьшится динамический диапазон выходного сигнала, если U оп = 3 В, а k0 и m соответственно равны: а) 0.1 и 1;

б) 1 и 1;

в) 1 и 10.

4. Схема экспандера изображена на рис. 12.3, б. Динамический диапазон сигнала на входе составляет (0.01–1) В. Выведите выра жение для коэффициента расширения ( K p = K max / K min ) динами ческого диапазона сигнала на выходе экспандера, если известно, что а) U оп = 1.1 В, m = 1 ;

б) U оп = 1.2 В, m = 1 ;

в) U оп = 1.1 В, m = 0.9 ;

5. В некоторых системах (например, акустических) первона чально применяется сжатие динамического диапазона сигнала, а затем его расширение, т. е. последовательное использование ком прессора и экспандера (рис. 12.3).

Выведите общее выражение для выходного напряжения, пола гая, что напряжение компрессора непосредственно поступает на ' ' вход экспандера ( U вых.к = U вх = U x ), и частное выражение для слу ' чая, когда m = m, U оп = U оп.

6. На входы X и Y перемножителя сигналов, выполненного на базе микросхемы К140МА1, подаются соответственно напряжения U x = U 0 и U y = U m cos ( 0t ). Зависимость амплитуды выходного напряжения U вых от напряжения U x на входе X дана на рис. 12.5;

параметром семейства характеристик U вых = f (U x ) служит ампли туда U m сигнала U y.

Определите и постройте зависимость коэффициента усиления К от: а) смещения U 0 для U m = 50 мВ;

б) амплитуды U m входного сигнала для U 0 = 0.4 В.

7. По данным предыдущей задачи определите и постройте коле бательную характеристику усилителя для смещения U 0 : а) 0.2 В, б) 0.4 В, в) 0.8 В. Как влияет напряжение смещения на эту характе ристику?

8. На АПС (см. рис. 12.2) подаются напряжения:

U x = U 0 + U m cos(0t ) ;

U y = U m cos(0t ).

12.3. ЗАДАЧИ Изобразите временные и спектральные диаграммы выходного напряжения для напряжения смещения U 0 : а) 0, б) 0 U 0 U x.max, в) U 0 U x.max.

12.3.2. УМНОЖИТЕЛЬ И ДЕЛИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ 9. При умножении частоты на вход ФП подается колебание частоты 0, а на выходе требуется получить колебание частоты вых = n0. В основу построения схем таких умножителей частоты положены тригонометрические формулы кратных аргументов.

Используя сумматор (ОУ) и АПС, изобразите схемы умножите лей для различных n (при этом на выходе не должно быть побоч ных продуктов преобразования): а) 2, б) 3, в) 4, г) 5. Определите амплитуду выходного напряжения умножителя и весовые коэффи циенты сумматора.

10. Используя такие ФП, как сумматор и АПС, функционирую щий в режиме извлечения квадратного корня (рис. 12.2, г), изобра зите функциональные схемы деления частоты: а) в два раза, б) в четыре раза. Определите амплитуду выходного колебания, если на вход ФП подано напряжение U m cos ( 0t ).

11. По результатам решения задач 9 и 10 изобразите схему и опре делите амплитуду выходного напряжения для n: а) 0.5, б) 1.5, в) 2.5.

12.3.3. АМПЛИТУДНЫЙ МОДУЛЯТОР 12. АПС функционирует в режиме амплитудной модуляции, для чего на его входы X и Y подаются напряжения u x (t ) = U 0 + U cos(t ) ;

u y (t ) = U m cos(0t ).

Найдите выражение для напряжения uвых (t ) и коэффициента модуляции M. Изобразите временную и спектральную диаграммы выходного напряжения и график зависимости M = f (U 0 ).

13. Изобразите временную и спектральную диаграммы напря жения на выходе ПС, если смещение по ошибке подано не на тот вход, т. е. если u x (t ) = U cos(t ) ;

u y (t ) = U 0 + U m cos(0t ).

14. Амплитудный модулятор, выполненный на базе микросхемы К140МА1, описывается семейством статических модуляционных характеристик U вых = f (U 0 ) при U m = const, представленных на рис. 12.5.

240 ГЛАВА 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Uвых,В 2. 2.4 Um=400мВ 2. 2. 1. 1. 1. 1. 50 1. 0. 30 0. 20 0. Um=10мВ 10 0. -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 1.0 1. 0.8 1.4 Ux,В Рис. 12. Рассчитайте динамическую модуляционную характеристику M = F (U ) и изобразите график для: а) U 0 = 0.1 В, U m = 20 мВ;

б) U 0 = 0.2 В, U m = 20 мВ;

в) U 0 = 0.3 В, U m = 100 мВ;

г) U 0 = 0.25 В, U m = 200 мВ.

15. Пользуясь статической модуляционной характеристикой (рис. 12.5), определите и изобразите графически зависимость M = f (U 0 ) для U m = 50 мВ, U = 0.2 В.

12.3. ЗАДАЧИ 16. Спектральная диаграмма АМК, полученного с использова нием ПС, показана на рис. 12.6. Определите коэффициент модуля ции M и амплитуду модулирующего сигнала U, если смещение U 0 считается заданным. Запишите аналитическое выражение и изобразите временную диаграмму АМК.

uвых(t) Uам 0. Uн.б=Uн=Uв.б 0.2 Uн 0 t T 0 0 0 0+ Рис. 12.6 Рис. 12. 17. На перемножитель сигнала К140МА1 поданы напряжения u x (t ) = 0.02cos(0t ), u y (t ) = U 0 + U cos(t ), В.

Осциллограмма напряжения на выходе перемножителя дана на рис. 12.7. Используя статическую модуляционную характеристику (рис. 12.5), определите напряжение смещения U 0 и амплитуду на пряжения U низкой частоты. Определите также коэффициент модуляции M.

12.3.4. ДЕТЕКТОР. СИНХРОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ 18. АПС используется для квадратичного детектирования АМ сигнала, для чего на его объединенные входы X и Y подается на пряжение uAM (t ) = U x = U y = U m (t ) cos(0t + 0 ), В.

Покажите, что возможно детектирование этого сигналя;

каковы при этом требования к нагрузке детектора (т. е. фильтру – см.

рис. 12.1)? Вычислите коэффициент гармоник выходного сигнала детектора, если U m (t ) = U m (1 + M cos(t )), В.

19. АПС используется для синхронного детектирования АМ сигнала. При этом на один вход ( X ) подается сигнал, а на второй вход ( Y ) – опорное колебание, синхронизированное с сигналом, т. е. оп = 0 :

u x (t ) = uAM (t ) = U m (t )cos(0t + 0 ), u y (t ) = U оп cos(0t ). (12.9) Покажите, что синхронное детектирование в отличие от квадра тичного будет неискаженным.

242 ГЛАВА 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ 20. Докажите, что рассмотренный в предыдущей задаче син хронный детектор обладает фазовой и частотной избирательно стью.

21. Требуется показать, что в схеме с использованием АПС и ФНЧ возможно неискаженное синхронное детектирование колеба ний:

а) с подавленной несущей ( u x (t ) = U cos(t )cos(0t ) );

б) с одной боковой частотой ( u x (t ) = U cos[(0 + )t ] );

в) с фазовой манипуляцией ( u x (t ) = U cos(0t + ), где прини мает в определенные моменты времени значения либо 0, либо 180°).

22. На рис. 12.8, а изображена схема синхронного детектора.

Опорный сигнал U оп ( t ) формируется из входного АМ-сигнала U вх ( t ) с помощью компаратора и стабилитрона. На выходе стаби литрона образуется последовательность прямоугольных импульсов (рис. 12.8, б) 1 2 U ст ( t ) = U ст + cos ( 0t ) + cos ( 30t ) +... = 2 3 1 2 n = U ст + sin cos ( 0t ), 2 n =1 n 2 амплитуда U ст которых выбирается с таким расчетом, чтобы про изведение U ст и U вх.max было меньше максимального размаха вы ходного напряжения;

и = T / 2, T = 2 / 0.

uвх(t) +ЕП К521СА3 10к -ЕП 2 7 14 8 uвых t x1 uвх 2 10к y 7 6 К525ПС3 + uст(t) 90к T 14 u 3 10 10к 200пФ t а б Рис. 12. 12.3. ЗАДАЧИ Покажите, что в спектре выходного сигнала АПС имеется по лезное напряжение низкой частоты, которое может быть выделено ФНЧ.

23. АПС, функционирующий в режиме деления напряжений (рис. 12.2, в), используется в качестве синхронного детектора.

Покажите, что в этом случае детектируется без искажений (даже при отсутствии ФНЧ): а) амплитудно-модулированные колебания – u AM (t ) = U m [1 + MX (t ) ] cos(0t ), где X ( t ) – закон изменения мо дулирующего сигнала;

б) колебания с двумя боковыми полосами и подавленной несущей – uдбп (t ) = UX (t ) cos(0 t ).

12.3.5. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ЧАСТОТЫ 24. Схема преобразователя частоты с использованием АПС и последовательного колебательного контура показана на рис. 12.9.

X L uвых.ф uвых C Y Рис. 12. Определите и изобразите спектр напряжения на выходе АПС, если на его входы подаются напряжения:

u x (t ) = U m [1 + M cos(t )]cos 0t, u y (t ) = U г cos г t.

Запишите выражение для напряжения на выходе контура, если известны его параметры: L, C, Q и p = 0 г = пр.

25. На преобразователь частоты, схема которого изображена на рис. 12.9, подается ЧМ-колебание и колебание вспомогательного генератора u x (t ) = U m cos[2 106 t + 1.5sin(25 103 t )], В, u y (t ) = U г cos(2 1.465 106 t ), В.

Какую добротность должен иметь контур, чтобы ослабление крайних практически важных частот спектра ЧМ-колебания про межуточной частоты ( f пр = 465 кГц) не превосходило бы 30 %?

12.3.6. УПРАВЛЯЕМЫЙ НАПРЯЖЕНИЕМ RC-ГЕНЕРАТОР 26. На рис. 12.10 показана обобщенная схема управляемого на пряжением RC-генератора с фазобалансной цепью обратной связи.

244 ГЛАВА 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Управление частотой генератора осуществляется с помощью управляемого напряжением сопротивления “АПС+R” (см.

рис. 12.4).

Сформулируйте требования, предъявляемые к усилителю K ( j) для его самовозбуждения. Определите диапазон управления частотой. Параметры схемы: R1 = R2 = 1 кОм, C1 = C2 = 0.1 мкФ, k0 = 1, u y = ( 0.1 10 ) В.

R1 C R1.экв uУ K() C uвых R R2.экв Рис. 12. 27. По условию задачи 26 определите, как изменится диапазон частот генератора и минимальный коэффициент усиления, обеспе чивающий самовозбуждение генератора в этом диапазоне, если R1,экв = R1, т. е. если изъять первый АПС.

100К 0. Rэкв K() uУ Rос 2к ОУ Rт 10к 0.04 Uвых Рис. 12. 12.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 28. Схема управляемого напряжением RC-генератора показана на рис. 12.11. В каких пределах надо изменять управляющее на пряжение u y, чтобы частота генератора регулировалась в диапазо не от 20 Гц до 200 Гц?

12.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АПС Функциональный преобразователь выполнен на базе аналого вого перемножителя сигналов – микросхемы К525ПС3, параметры и характеристики которого даны в приложении, зависимость ам плитуды выходного напряжения U вых от напряжения U x на входе X – на рис. 12.12;

параметром семейства U вых = f (U x ) служит амплитуда U m гармонического колебания, подаваемого на вход Y :

u y (t ) = U m cos(0t ).

Исходные данные приведены в табл. 12.1. Здесь U огр – напря жение смещения (из графика рис. 12.12), при котором для заданно го U m выходное напряжение U вых достигает ограничения;

в част ности, U огр равно: 10 В при U m 0.6 В;

7.7 В при U m = 1 В и т. д.

Требуется определить и построить:

а) зависимость коэффициента усиления: от смещения U 0 для заданной амплитуды входного сигнала U m ;

от амплитуды U m гар монического колебания u y (t ) для заданного смещения U 0 ;

б) колебательную характеристику U вых = f (U m ) для заданного смещения U 0 ;

в) спектральную и векторную диаграммы выходного напряже ния, если на перемножитель подаются сигналы:

u x (t ) = U 0 + U m cos(0t ), u y (t ) = U m cos(0t ), где U 0, U m – задан ные параметры;

г) временную и спектральную диаграммы выходного напряже ния, если на входы X и Y подаются напряжения:

u x (t ) = U 0 + U cos(t ), u y (t ) = U m cos(0t ), где U 0,U и U m – заданные величины;

д) то же, но для U 0 = 0 ;

246 ГЛАВА 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ е) динамическую модуляционную характеристику M = f (U ) ;

ж) зависимость коэффициента модуляции M от напряжения смещения U 0 (при U 0 0 );

з) спектральную диаграмму выходного напряжения для преоб u x (t ) = U m [1 + M cos(t )]cos(0t ), разования частоты, когда u y (t ) = U оп cos(оп t ). Запишите выражение на выходе контура, ес ли известны его параметры L, C, Q и рез = 0 оп = пр ;

и) то же, но для случая синхронного детектирования, когда оп = 0, а вместо контура используется RC-фильтр нижних частот.

UВЫХ, В 2.5 2 4 2.5 2 1.5 1.25 1 0. 1.5 1. 0. 0. 4 0. 0. 0.4 0. 0.2 Uн=0.1В –4 –2 0 4 6 2 10 UX, В Рис. 12. Таблица 12. Номер 0 1 2 3 4 5 6 7 8 варианта Um, В 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,25 1,5 2,0 2, Номер под 0 1 2 3 4 5 6 7 8 варианта U 0 / U огр 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,10 –0,1 -0,2 -0,3 -0, U / U огр 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,80 0,7 0,6 0,5 0, 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, M U оп, В 10 9 8 7 6 5 4 3 2 В одном мгновенье – видеть вечность, Огромный мир – в зерне песка, В единой горсти – бесконечность И небо – в чашечке цветка.

У. Блейк ГЛАВА ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ 13.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Энергетические соотношения в цепи с параметрическими ре активными элементами. Вносимые сопротивления в режимах син хронной и асинхронной накачки. Физические процессы при пара метрическом усилении колебаний. Параметрические усилители, их достоинства и области применения [1, 10.5…10.7;

2, 12.2, 12.3;

21, 4.1…4.4].

Параметрическое возбуждение колебаний, дифференциальное уравнение контура с параметрической реактивностью. Результаты решения уравнения Матье, физические процессы при возбуждении параметрического контура. Стационарный режим генерации, нели нейные явления (механизмы) ограничения амплитуды. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения. Параметрические генераторы [1, 10.8;

2, 12.2;

22, 1…3].

Баланс мощностей в многоконтурных параметрических систе мах. Уравнения Мэнли-Роу [2, 12.3].

Указания. Большинство изучаемых вопросов нашло должное отражение в [21, 22], где достаточно подробно изложена физиче ская сторона рассматриваемых явлений и процессов при сохране нии строгости математического изложения.

По ряду изучаемых вопросов в руководствах [5, 6] приведены примеры и задачи с методическими указаниями, решениями и от ветами.

248 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 13.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ВНОСИМОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Известно [1, 2, 21, 22], что при периодическом изменении ре активного параметра ( C или L ) радиотехнической цепи в ней ме няются энергетические соотношения. Энергия периодически либо вносится («накачивается») в цепь от генератора накачки, изме няющего параметр, либо отбирается («откачивается») из цепи. Эти процессы можно рассматривать как внесение в цепь сопротивления rвн ;

при этом rвн 0, когда в цепь вводится дополнительная энер гия, и rвн 0, когда потери в цепи возрастают. Тогда эквивалент ная схема цепи с периодически изменяющейся емкостью C ( t ) или индуктивностью L ( t ) представляется в виде цепи с постоянной ем костью C0 или индуктивностью L0 и активным сопротивлением rвн.

На рис. 13.1 показана схема контура с периодически изменяю щейся емкостью (а) и его эквивалентная схема (б). На рис. 13.2 да ны пояснительные временные диаграммы.

Изменение энергетических соотношений описывается простыми Эc = CU 2 / 2 = q 2 /(2C ), dЭc = (q 2 / 2C 2 )dC.

выражениями:

Уменьшение емкости в момент t = t1 на 2C, когда q ( t ) = qm, приведет к максимальному приращению энергии в цепи Эc.т = (qm / 2C ) (2C / C ) и увеличению напряжения на u. Че рез полпериода ( t = t3 ) уменьшение параметра снова увеличит энергию и напряжение и т. д.

Режим, при котором параметр меняется с двойной частотой входного сигнала н = 20, называется синхронным. Вносимое со противление описывается выражением [21].

rвн = kmX cos(2), (13.1) где X = X c = 1/(0C0 ) – сопротивление параметрического элемента на частоте входного сигнала, m = mc = 2C / C0 – коэффициент ва риации (глубина модуляции) параметра, = 0t – начальный фазо вый сдвиг, а t – временной сдвиг сигнала (рис. 13.2, б);

если наи большая скорость уменьшения емкости соответствует максимуму заряда на конденсаторе, т. е.

dC / dt dq / dt =0 = max 0, (13.2) 13.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ t = 0, = то и вносимое сопротивление максимально rвн.max = kmX.

g(t) L uвх uC g gm а C(t) g 0 Tt t i C(t) C а 2C б uL u t1 t2 t3 Tt L r rвн u(t) в uвх С t1 t2 t3 t 0 T б Рис. 13.1 Рис. 13. Коэффициент пропорциональности k в формуле (13.1) зависит от закона изменения параметра. Для прямоугольного (скачкообраз ного) и гармонического законов соответственно имеем kп = 2 / ;

kг = 1/ 2. (13.3) При н = 20 ( 0 ) имеет место асинхронный режим накачки. В этом случае фазовый сдвиг (или t ) не остается по стоянным, а изменяется со временем, т. е. = t. Поэтому вноси мое сопротивление, определяемое по формуле [21], rвн ( t ) = kmX (sin x / x)cos(2 + x + t ), (13.4) где x = / 0, изменяется во времени с частотой ;

при этом из меняется как величина, так и знак вносимого сопротивления. В ча стном случае, когда = 0 и x = 0, формула (13.4) превращается в формулу (13.1).

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ Если выходное напряжение снимать с одного из реактивных элементов контура (рис. 13.1, а) то на резонансной частоте ( = p, p = 1/ LC, X = ) коэффициент передачи 250 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ I Q K = U вых / U вх = = = Qэ (13.5) I (r + rвн ) 1 + rвн / r будет зависеть от величины и знака вносимого сопротивления.

Коэффициент усиления K y, показывающий, во сколько раз уве личивается коэффициент передачи параметрического контура по сравнению с обычным, определяется как K y = K / Q = Qэ / Q = 1/ (1 + rвн / r ). (13.6) Подставляя в (13.6) значение rвн из (13.1) и (13.4), получаем для синхронного и асинхронного режимов накачки K y = 1/[1 + kmQ cos(2)] ;

(13.7) K y ( t ) = 1/ [1 kmQ(sin x / x) cos(2 + x + t ) ]. (13.8) Недостаток асинхронного режима – изменение коэффициента усиления во времени (с частотой ).

Так как вносимое сопротивление зависит от, то и коэффици енты передачи K и усиления K y зависят от. Поэтому парамет рическое усиление обладает свойством фазовой избирательности.

В синфазном режиме ( = 0 и н = 20 ) коэффициент усиления максимален K y.max = 1/ (1 kmQ ). (13.9) Из соображений устойчивости необходимо, чтобы kmQ 1. По этому глубина модуляции параметра не должна превышать крити ческого значения m mкр = 1/ ( kQ ). (13.10) На рис. 13.3, а дана схема параллельного параметрического кон тура, подключенного к источнику тока с проводимостью Gi = 1/ Ri, а на рис. 13.3, б – схема замещения, где Gнэ = Gp + Gн – проводи мость эквивалентной нагрузки, включающей в себя как проводи мость контура Gp = 1/ Z p, так и проводимость собственно нагрузки Gн = 1/ Rн, Gвн – вносимая проводимость 13.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Gвн = 1/ Rвн = rвн / 2, (13.11) в случае синхронной накачки равная Gвн = km0C0 cos(2). (13.12) i(t) Im GI Gвн С(t) L Gнэ Gнэ C(t) L а б Рис. 13. Напряжение на нагрузке и рассеиваемая в ней мощность равны:

U m = I m / ( Gг + Gн.э + Gвн ) ;

' PH = 0.5I mGн.э / ( Gг + Gн.э + Gвн ).

' (13.13) При отсутствии параметрической модуляции (т. е. при Gвн = 0 ) имеем U m = I m / ( Gг + Gвн ), Pн = 0.5 I mGн.э / ( Gг + Gн.э ), следовательно, коэффициенты усиления напряжения и мощности ' Gг + Gн.э Um Ky = = ;

U m Gг + Gн.э + Gвн ( Gг + Gн.э ) Pn' Kp = =. (13.14) Pn ( Gг + Gн.э + Gвн ) На рис. 13.4 показана схема одного из практических вариантов одноконтурного параметрического усилителя на варикапе, где L, C ( t ) – собственно параметрический контур. Для согласования 252 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ источника сигнала используется частичное включение контура.

Выходное напряжение по той же причине может сниматься не со всей катушки (выводы 1-4), а только с ее части (выводы 1-3).

4 С(u) Cp Cп Lп L Сmax 3 С uн(t) L1 C(t) Сmin R –u Вход U0 Eп R Uн –+ 1 t Рис. 13. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ Общая теория возбуждения параметрического контура основана на исследовании решений дифференциального уравнения, описы вающего физические процессы в контуре [22].

Условие самовозбуждения параметрического контура rвн 0 и rвн rвн.кр = r. (13.15) Установление колебаний в реальном параметрическом контуре, как и в автогенераторе любого типа, происходит вследствие нели нейных механизмов (явлений). При этом во время переходного процесса характеристики автоколебательной цепи изменяются до тех пор, пока не наступит энергетический баланс, т. е. пока вноси мая в контур мощность Pвн (сопротивление rвн или проводимость Gвн ) не станет равной мощности потерь Pп ( rп или Gп = Gн.э ) Pвн = Pп, rвн = rп, Gвн = Gп. (13.16) В контуре, использующем варикап в качестве переменной емко сти, основными механизмами ограничения амплитуды являются два [22]: диссипативный и расстроечный.

Расстроечный механизм обусловлен нелинейностью зависи мости C ( u ) (рис. 13.5, а). С ростом амплитуды U генерируе мых колебаний и, следовательно, амплитуды напряжения на p-n-переходе варикапа увеличивается среднее значение емкости 13.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Cср = ( Cmax + Cmin ) / 2 C0, уменьшается характеристическое со противление и резонансная частота контура. В результате умень шается вносимое сопротивление.

При диссипативном механизме ограничение амплитуды проис ходит за счет увеличения потерь в контуре, что обусловлено нели нейностью вольт-амперной характеристики i ( u ) p-n-перехода (рис. 13.5, а). С ростом амплитуды генерируемых колебаний увели чивается I ср = ( imax imin ) / 2, уменьшается Rcp (U ) = (imax imin ) / и, следовательно, возрастает последовательное сопротивление rср (U ) = 2 / Rср (U ) и суммарное сопротивление потерь (рис. 13.6, а) rп = r + rср (U ). (13.17) R(u) Cmax Сср(U) Rmax R0 Rmin i(u) Rср(U) C(u) C0 б imax Cmin u rср(U) Cср(U) U в t a Рис. 13. С учетом изложенного эквивалентная схема генератора, пред ставленная на рис. 13.6, а, содержит активные сопротивления r, rср (U ), rвн. От сопротивлений можно перейти к проводимостям G = r / 2, Gср (U ) = rср (U ) / 2, Gвн = rвн / 2 (рис. 13.6, б).

Практические схемы параметрических генераторов (параметро нов) отличаются от изображенных на рис. 13.6 и построены по ба лансному принципу (рис. 13.7), что обеспечивает подавление на выходе генератора колебания с частотой накачки.

254 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ rr L G Gcp Ccp Gвн r rcp(U) rвн L U Ccр(U) I а б Рис. 13. Узкополосные фильтры С i L uвых L С i С(u) 0 Н К Uн н U Rн РС РН РК Рис. 13.7 Рис. 13. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ В МНОГОКОНТУРНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СХЕМАХ В схеме, изображенной на рис. 13.8, параллельно конденсатору C ( u ) включены три цепи, две из которых имеют источники сигна ла и накачки с соответствующими узкополосными фильтрами, пропускающими колебания с частотами c и н. Третья цепь – это сопротивление нагрузки и контур, настроенный на комбинаци онную частоту к = mc + nн, (13.18) где m и n – целые числа. Ток комбинационной частоты может за мыкаться только через цепь этого контура и выделять в нагрузке Rн некоторую мощность Pк.

13.3. ЗАДАЧИ Для рассматриваемой автономной системы в соответствии с за коном сохранения энергии для средних мощностей в цепях имеем Pc + Pн + Pк = 0.

Это равенство должно выполняться тождественно для любых f c и fк, что имеет место лишь при Pc / f c + mPк / ( mfc + nfн ) = 0, (13.19) Pн / f н + nPк / ( mf c + nf н ) = 0.

Уравнения (13.19), называемые уравнениями Мэнли-Роу, опре деляют перераспределение мощностей в многоканальной системе.

Отметим важную особенность такой системы – нечувствитель ность системы к соотношению фаз сигнала и накачки.

В схеме рис. 13.8 сигнал и комбинационное колебание функ ционируют в двух контурах, поэтому такую систему называют двухконтурной. Система может содержать несколько контуров, настроенных на различные комбинационные частоты.

13.3. ЗАДАЧИ 13.3.1. ВНОСИМОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 1. К зажимам параметрического конденсатора приложено uc (t ) = U c sin(0t + ) небольшое гармоническое колебание (рис. 13.9, а-в). Емкость конденсатора изменяется по закону C (t ) = C0 + C sin(н t ) (рис. 13.9, г) в режиме синхронной накачки, т. е. н = 20.

Определите характер (знак) вносимого сопротивления, если на пряжение на емкости имеет вид: а) рис. 13.9, а;

б) рис. 13.9, б;

в) рис. 13.9, в.

2. Напряжение сигнала на параметрической емкости C ( t ) изменяется по гармоническому закону uc (t ) = U c cos(0t + 0 ).

C (t ) = Емкость конденсатора изменяется во времени = C0 [1 + mc cos(20t + н )].

Определите наименьшее по модулю значение н, при котором:

а) rвн = rвн.max, если 0 = 45° ;

б) rвн = 0, если 0 = 30°.

256 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 3. Вольт-фарадная характеристика варикапа показана на рис. 13.10. К нему приложены смещение U 0 = 4 В, напряжение накачки uн (t ) = 0.5sin(2 107 t ) и сигнал uc (t ) = U c sin(0t + ), U c U н.

Определите максимальную величину вносимого сопротивления, а также параметры сигнала 0 и, при которых обеспечивается условие максимума, т. е. rвн = rвн.max.

С nФ uC a u C t1 t2 T t б t uC в t C г C0 t u –8 –6 –4 –2 Рис. 13.9 Рис. 13. 4. По данным предыдущей задачи определите вносимое сопро тивление, если частота 0 входного сигнала увеличилась на = 105 рад/с.

5. Вычислите наибольшее вносимое сопротивление rвн.max в контур, образованный емкостью C = 1 нФ и индуктивностью L(t ) = 1000 20cos(2 106 t ) мкГн.

13.3.2. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ 6. К параметрическому контуру, схема которого дана на рис. 13.1, приложено небольшое гармоническое напряжение с час тотой 0 = p = 1/ LC0. Возможные варианты напряжения на ем кости приведены на рис. 13.9, а, б, в. Емкость конденсатора изме няется по гармоническому закону в режиме синхронной накачки (рис. 13.9, г).

Какому напряжению на емкости (рис. 13.9, а, б, в) соответствует на графике рис. 13.11: а) точка А;

б) точка В;

в) точка С?

13.3. ЗАДАЧИ Qэ/Q A B 1.0 C rвн Рис. 13. 7. Параметрический контур образован емкостью C = 500 пФ и индуктивностью L(t ) = 500 + L cos(н t ) мкГн. Сопротивление по терь контура 20 Ом.

Определите, с какой частотой и в каких пределах надо изменять индуктивность контура, чтобы его эквивалентная добротность ста ла равной 400. Вычислите также коэффициент усиления напряже ния K у.

8. Вычислите эквивалентную добротность и коэффициент уси ления последовательного колебательного контура (рис. 13.1), обра зованного индуктивностью 1 мГн, емкостью C (t ) = 1000 + 70cos(2 106 t ) пФ;

сопротивление потерь контура 40 Ом. Определите также полосу пропускания контура при наличии и отсутствии модуляции емко сти.

9. Параметрический усилитель, схема которого приведена на рис. 13.1, предназначен для усиления сигналов в синхронном ре жиме на частоте 0 = p = 2 106 рад/с. Индуктивность и сопро тивление потерь контура соответственно равны: 160 мкГн и 25 Ом.

Определите смещение и амплитуду напряжения накачки на ва рикапе, вольт-фарадная характеристика которого приведена на рис. 13.10 (и может аппроксимироваться линейной зависимостью в окрестности U 0 ), для получения коэффициента усиления напряже ния K y = 10.

10. По данным предыдущей задачи определите максимально допустимое значение амплитуды вариации емкости и напряжения накачки, при которых усилитель сохраняет устойчивость.

258 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 11. На вход параметрического усилителя (рис. 13.2) подается сиг нал uвх (t ) = 0.01cos(2 106 t ) В. Параметры усилителя: C = 500 пФ, L(t ) = 500 + 10cos(4 106 t ) мкГн, r = 25 Ом.

Вычислите коэффициент усиления напряжения. Постройте вре менную диаграмму огибающей выходного напряжения.

12. Параметрический усилитель, представленный эквива лентной схемой рис. 13.3, б, имеет параметры: Gг = 2 103 Cм, Gн.э = 2.5 103 См, 0 = p. При какой величине вносимой прово димости Gвн коэффициент усиления мощности составит: а) 20 дБ б) 40 дБ;

в) бесконечно большую величину, т. е. усилитель окажет ся на пороге самовозбуждения.

13. Параллельный параметрический контур (рис. 13.3) функ ционирует в режиме синхронной синфазной накачки на резонанс ной частоте 0 = p = 107 рад/с. Найдите напряжение на нагрузке и рассеиваемую в ней мощность при наличии и отсутствии модуляции емкости, если известны: Rг = 40 кОм, Rн.э = 20 кОм, I m = 0.25 мА, C (t ) = 1000 + 10cos(2p t ) пФ. Определите также коэффициент уси ления мощности.

14. По данным предыдущей задачи определите добротность Qэ и полосу пропускания 20.7э при наличии и отсутствии модуля ции емкости.

15. Параллельный параметрический контур имеет параметры:

Gг = Gн.э = 104 См, p = 0 = 107 рад/с. Вольт-фарадная характе ристика варикапа, приведенная на рис. 13.10, аппроксимируется в окрестности рабочей точки U 0 = 2 В выражением C (u ) = 235 + +75(u + 2) пФ. Емкость изменяется по гармоническому закону в режиме синхронной синфазной накачки.

Определите амплитуду напряжения накачки U н, при которой:

а) коэффициент усиления мощности K p = 18 ;

б) усилитель теряет устойчивость.

16. Схема параметрического усилителя показана на рис. 13.4, там же приведена зависимость C ( u ). Полагая, что усиление про исходит в синхронном синфазном режиме накачки, проиллюстри руйте характер зависимости коэффициента передачи К : а) от ам 13.3. ЗАДАЧИ плитуды напряжения накачки U н при постоянном смещении U 0 ;

б) от смещения U 0 при постоянной амплитуде накачки U н.

17. Входной сигнал частоты 0 = p поступает в контур пара метрического усилителя (рис. 13.4) через выводы 1-2 катушки L, т. е.

через L1. Выходной сигнал снимается со всей катушки L. Параметры контура: r = 10 Ом, L = 1 мкГн, C (t ) = 1000 + 10cos(2 106 t ) пФ.

Определите L1 и p = L1 / L, обеспечивающие согласование кон тура с источником сигнала, внутреннее сопротивление которого равно 50 Ом. Вычислите также коэффициенты передачи К, усиле ния напряжения K y и мощности K p.

13.3.3. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ 18. Схема параметрического генератора с использованием ва рикапов изображена на рис. 13.7, а;

при этом в каждом «плече»

схемы включены параллельно два варикапа, вольт-фарадная харак теристика которых приведена на рис. 13.10. Рассчитайте резонанс ную частоту контура и минимальное значение амплитуды модуля ции емкости Cmin и напряжения накачки U н.min, необходимое для возбуждения контура, если U 0 = 4 В, L = 160 мкГн, Q = 40.

19. Схема параметрического генератора дана на рис. 13.7, б. Па раметры схемы:

C = 500 пФ, r = 25 Ом и L(t ) = 500 + L cos(4 106 t ) мкГн.

Определите наименьшее значение амплитуды модуляции ин дуктивности ( Lmin ), при котором генератор самовозбудится.

20. На рис. 13.12 показаны амплитудно-частотные характери стики (АЧХ) параметрического генератора.

Какие из механизмов ограничения амплитуды генерируемых ко лебаний, иллюстрированных на рис. 13.13, соответствуют заданной АЧХ: а) рис. 13.12, а;

б) рис. 13.12, б;

в) рис. 13.12, в?

21. Пороговые характеристики генератора на варикапе (КВ105) показаны на рис. 13.14. Характеристика C (u ) аппроксимирована выражением:

C (u ) = C (0) k /(k + u ), где C (0) = 1470 пФ, k = 0.6 В.

260 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Определите, какой из пороговых характеристик соответствует смещение U 0 : а) – 5 В;

б) – 9 В.

mUн Ucт m а а 0.9 1.0 1.1 fн/2f0 1. 0.9 fн/2f m Ucт б б m 0.9 1.1 fн/2f 1.0 0.9 1.1 fн/2f m Ucт в m в 0.9 1.0 1.1 fн/2f0 0.9 fн/2f 1. Рис. 13.12 Рис. 13. Uн,B 2. 1.5 A B 1. 0. f,кГц 230 250 270 Рис. 13. 22. Определите минимальное значение глубины модуляции ем кости ( Cmin ) и добротности контура ( Qmin ) для пороговых харак теристик генератора, показанных линиями А и В на рис. 13.14, если известно: а) U 0 = 5 В, U н = 0.43 В;

б) U 0 = 9 В, U н = 0.71 В.

Зависимость C ( u ) вблизи рабочей точки аппроксимируется:

а) C (u ) = 470 + 50(u + 5) пФ;

б) C (u ) = 385 + 17.5(u + 9) пФ.

13.3. ЗАДАЧИ 23. По экспериментальным «топографическим» характеристи кам (рис. 13.15, а) и амплитудным характеристикам (рис. 13.15, б) генератора на стабилитронах Д809 определите, какая частота на качки соответствует графикам U ст = f (U н ) : а) 1;

б) 2;

в) 3.

24. Используя экспериментальные «топографические» характе ристики параметрического генератора, приведенные на рис. 13.15, постройте АЧХ для соответствующей амплитуды накачки U н :

а) 1.5 В;

б) 2.5 В.

Uн, B Uн,B Uст= 4 0. 0. 0. 0. 0. 2 2 0.8 0. fн Ucт 0 кГц 500 0.6 1. 400 450 2f0 0.2 B Рис. 13. 25. Условие задачи 23. Постройте амплитудные характеристики генератора для заданной частоты накачки fн : а) 450 кГц;

б) 480 кГц;

в) 490 кГц.

26. Изобразите характер зависимости стационарной амплитуды ( U ст ) генерируемых параметрическим контуром колебаний от смещения ( U 0 ) на варикапе при фиксированной амплитуде ( U н ) и частоте ( н ) колебания накачки;

воспользуйтесь для этого топо графическими характеристиками (рис. 13.15, а).

13.3.4. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ В МНОГОКОНТУРНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 27. Схема параметрической системы приведена на рис. 13.8.

Определите соотношения между мощностями сигнала ( P0 ), накач ки ( Pн ) и комбинационного колебания ( Pк ) для режима параметри 262 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ческого усиления с преобразованием частоты «вверх», когда m = n = 1, f c = 2 МГц, f н = 3 МГц, Pc = 1 Вт. Изобразите спектро грамму мощностей. Выведите выражение и рассчитайте коэффици ент усиления мощности ( K p ).

28. Схема та же. Проанализируйте частотно-энергетические со отношения и изобразите спектральную диаграмму мощностей для режима усиления с преобразованием частоты «вниз», когда m = 1, n = 1, f c = 1 МГц, f н = 5 МГц, Pc = 5 Вт.

29. Решите задачу 28 для случая преобразования «вниз»

без усиления, когда f к f н f c и, в частности, для f c = 5 МГц, f н = 4 МГц, Pc = 5 Вт.

30. Проанализируйте частотно-энергетические соотношения для случая преобразования «вниз» с усилением в одноконтурной сис теме при к = c ( m = 1 n = 1 );

для выделения комбинационного колебания используется тот же контур, что и для сигнала (т. е. в схеме рис. 13.8 отсутствует ветвь с контуром на частоте к ).

13.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 13.4.1. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ В табл. 13.1 и 13.2 заданы схемы параметрического усилителя и данные для расчета. Зависимость емкости от обратного напряже ния на p-n-переходе диода приведена на рис. 13.10 (для стабили трона КВ105). Зависимость индуктивности от управляющего тока (без учета гистерезиса) дана кривой 2 на рис. 13.16. Частота вход ного сигнала 0 совпадает с резонансной частотой p контура, а режим накачки синхронный, т. е. н = 2p.

Требуется:

а) рассчитать резонансную частоту контура и критическое зна чение амплитуды модуляции параметра ( Cкр или Lкр ), а также амплитуды накачки ( U н или I н ), при котором происходит возбуж дение усилителя;

б) определить эквивалентную добротность, а также полосу про пускания усилителя при наличии накачки (для заданного соотно шения rвн / r ) и при ее отсутствии;

13.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ в) вычислить коэффициенты передачи ( K ), усиления напряже ния ( Ku ) и мощности ( K p );

г) определить и графически изобразить зависимость коэффици ента усиления от смещения ( U 0 или I 0 ) при постоянной амплиту де накачки ( U н или I н ), полагая при этом, что режим накачки ос тается синхронным и синфазным;

д) рассчитать и построить временную диаграмму коэффициента усиления напряжения для асинхронного режима накачки (для за данного F ).

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Нелинейную зависимость C ( u ) или L ( i ) вблизи рабочей точки U 0 или I 0 можно аппроксимировать линейной зависимостью.

L, мГн С, пФ 0. 0. 2 0. U, B –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –2 –1 – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I, мА Рис. 13. Студенты, выполняющие варианты 4–6, могут принять равной нулю проводимость источника сигнала ( Gг = 1/ Ri = 0 ), а проводи мость эквивалентной нагрузки Gн.э – равной проводимости конту ра Gp.

При выполнении вариантов 6–9 следует определить также зна чения L1 и p = L1 / L, обеспечивающие согласование контура с ис точником сигнала, внутреннее сопротивление Ri которого задано.

264 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 13.4.2. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ Схема параметрического генератора показана на рис. 13.17.

В качестве переменной емкости использованы диоды с обратнос мещенным p-n-переходом: либо стабилитроны Д809 (рис. 13.10), либо варикапы КВ105 (рис. 13.16, кривая 1). В каждом «плече»

схемы включены параллельно два диода. Общая емкость C, обра зованная встречно-последовательным соединением двух пар дио дов, равна емкости одного диода. Общая индуктивность L контура образована последовательным соединением двух обмоток им пульсного трансформатора, т. е. L1 = L2 = L / 2. При симметрии схемы напряжение с частотой f н отсутствует на выходе (обмотке III), поскольку токи этой частоты протекают через обмотки I и II трансформатора навстречу друг другу.

Данные для расчета приведены в табл. 13.3.

T Uн I L1 III вых C(t) II U L VD1VD Рис. 13. Требуется:

а) рассчитать резонансную частоту контура и минимальное (критическое) значение глубины ( mкр ) и амплитуды ( Cкр ) моду ляции емкости, а также амплитуды ( U н.кр ) накачки, необходимое для возбуждения контура в синхронном режиме накачки (для за данного смещения U 0 );

б) определить, как изменится добротность контура и параметры, полученные в п. “а”, если абсолютное значение смещения увели чится на 2 В (при U 0 6 В или уменьшится на 2 В, если U 0 6 );

в) построить амплитудно-частотную и амплитудную характери стики генератора по заданным значениям U н и fн соответственно, используя при этом соответствующие экспериментальные «топо 13.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ графические» характеристики (рис. 13.15, а – для Д809 или рис. 13.18 – для КВ105);

г) рассчитать и построить зависимость резонансной частоты па раметрического контура от напряжения смещения на диодах;

д) изобразить характер зависимости стационарной амплитуды ( U ст ) генерируемых колебаний от смещения ( U 0 ) на диодах при фиксированных амплитуде ( U н ) и частоте ( fн ) колебаний накачки;

воспользуйтесь для этого соответствующими «топографическими»

характеристиками.

UH, B 3. 2. 3. 2. 2.5 1. 1. 2. 1. 0. U0=-4 B 1.0 Ucm= 0. 160 180 200 220 240 260 280 f, кГц Рис. 13. Таблица 13. Параметры варианта рисунка модулируемый постоянные Номер Номер C (u ), L (i ) C (t ) L, C, Закон R, номер L ( t ) номер модуляции Q мГн нФ Ом рисунка рисунка 0 13.1 + 13.10 – – Гармонич. 1.0 – 100 – 1 13.1 + 13.16 – – Скачкообр. 0.9 – 55 – 2 – – + 13.16 Гармонич. – 0.5 60 – 266 ГЛАВА 13. ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Окончание табл. 13. Параметры варианта рисунка модулируемый постоянные Номер Номер C (u ), L (i ) C (t ) L, C, Закон R, номер L ( t ) номер модуляции мГн нФ Q Ом рисунка рисунка 3 13.3 + 13.10 – – Скачкообр. 0.8 – 65 – 4 13.3 + 13.16 – – Гармонич. 0.7 – 70 – 5 – – + 13.16 Скачкообр. – 1.0 75 – 6 13.4 + 13.10 – – Гармонич. 0.6 – 80 7 13.4 + 13.10 – – Скачкообр. 0.5 – 85 8 13.4 + 13.16 – – Гармонич. 0.4 – 90 9 13.4 + 13.16 – – Скачкообр. 0.3 – 95 Таблица 13. Номер под- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 варианта –0,5 –1,0 –1,5 –2 –2,5 –3 –4 –5 –6 – U0, В.900.875.850.825.800.775.750.725.700. rвн / r 10 9 8 7 6 5 4 3 2 I 0, мА * Gвн / Gн.э **.675.700.725.750.775.800.825.850.875. *) для вариантов 2 и 5;

**) для вариантов 6-9.

Таблица 13. Варианты 0-4 Варианты 5- Номер, Номер вариан- U 0 C ( u ) подва, Uн, fн, Uн, fн, L, L, Q Q В рис. рианта та мГн мГн В кГц В кГц 0 –1 13.10 0 4,8 23 0,75 410 3,48 43 0,8 1 –2 13.10 1 4,0 30 1,00 420 3,41 53 1,0 2 –3 13.10 2 4,3 40 1,25 430 3,53 47 1,2 3 –4 13.10 3 5,4 27 1,50 440 4,60 26 1,4 4 –5 13.10 4 4,4 22 1,75 450 4,18 29 1,7 5 –3 13.16 5 4,8 18 2,00 460 4,70 23 2,0 6 –4 13.16 6 5,1 26 2,25 470 2,17 32 2,3 7 –5 13.16 7 4,2 18 2,50 480 4,3 38 2,6 8 –6 13.16 8 4,5 25 2,75 490 4,01 31 2,9 9 –7 13.16 9 5,2 19 3,00 500 4,12 28 3,2 Должен быть почитаем, как бог, тот, кто хорошо может определять и разделять.

Платон ГЛАВА ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ 14.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Взаимосвязь аналоговых и дискретных сигналов. Линейные стационарные цепи. Импульсная характеристика. z-преобра зование. Трансверсальные и рекурсивные цепи. Дискретное преоб разование Фурье. [1, 12.5…12.8,12.13;

2, 15.1…15.6;

3, 10.1…10.5;

25, 2.4, 2.5, 3.1…3.4, 4.1…4.5].

14.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Аналоговый сигнал x (t ) со спектральной плотностью X (), такой, что X ( ) = 0 при B может быть без потери информации заменен импульсным сигналом xим (t ) = x(t ) (t nT ) = x(nT )(t nT ), n = n = где T / в, или последовательностью отсчетов x[n] = x( nT ) ;

n =,.

268 ГЛАВА 14. ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Спектральная плотность последовательности x [ n ] определяется преобразованием Фурье X (e j ) = x[n]e jn.

n = Обратное преобразование Фурье 1 j jn X (e )e d x[n] = задает представление последовательности x [ n ] в “сплошном” ба зисе комплексных экспоненциальных последовательностей 1 jn n =,, (, ) e, 2 со спектральной плотностью амплитуд X (e j ).

При = T справедлива связь спектральных плотностей X (e j ) = X им () = X ().

Tд Функция X (e j ) периодична по с периодом 2 ;

функция X им () периодична по с периодом 2 /T.

Линейная стационарная (инвариантная к сдвигу) цифровая цепь однозначно описывается последовательностью g[n], называемой импульсной характеристикой (ИХ), причем если цепь устойчива, то g[ n].

ИХ абсолютно суммируема, т. е.

n = Импульсная характеристика представляет собой реакцию циф ровой цепи на -последовательность, описываемую выражением n= 1, [n] = n 0.

0, Последовательность “скачка” n 1, u[n] = n 0, 14.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ используется для описания последовательностей, равных нулю при отрицательных n (такие последовательности называются каузаль ными).

Выходная последовательность y[ n] связана с входной последо вательностью x[n] и импульсной характеристикой g[n] выраже нием дискретной свертки y[n] = x[k ]g[n k ] = g[k ] x[n k ].

n = n = Передаточная (системная) функция цепи определяется z-преобразованием импульсной характеристики g[ n] z n.

H ( z) = n = Соотношением Y ( z) = H ( z) X ( z) связаны z-образы входной и выходной последовательностей и им пульсной характеристики.

Обратное z-преобразование 1 n H ( z) z g[ n] = dz, 2j c где интеграл берется по контуру С, лежащему в области существо вания (сходимости) z-образа H ( z ) ;

направление обхода положи тельно (против часовой стрелки).

Если z-образ имеет вид полинома N an z n, X ( z) = n = то, очевидно, x[n] = an, n = 0, N 1.

Если z-образ представляет собой дробно-рациональную функ цию, т. е. частное двух полиномов X ( z ) = B ( z ) / A( z ), то при делении полиномов получается бесконечный ряд, причем коэффициенты ряда равны соответствующим отсчетам x[n].

Основные свойства z-преобразования приведены в табл. 14.1.

270 ГЛАВА 14. ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Подстановка z = exp ( j) в выражения z-образов входной и вы ходной последовательностей и импульсной характеристики дает соответственно спектральные плотности последовательностей и комплексную частотную характеристику (КЧХ):

= X (e j ) ;

X ( z) z = e j = Y (e j ) ;

Y ( z) z = e j = H (e j ), H ( z) z = e j так что Y ( e j ) = H ( e j ) X (e j ).

Цифровая каузальная цепь конечного порядка описывается раз ностным уравнением M N y[n] = ak y[ n k ] + br x[ n r ], k =1 r = где выходной отсчет не зависит от «будущих» значений входа и выхода.

Импульсная характеристика такой цепи h[ n] = 0 при n 0.

Передаточная функция:

N br z r B( z ) r = H ( z) = =.

M A( z ) 1 ak z k k = Числитель дроби описывает трансверсальную, а знаменатель – рекурсивную части схемы, поэтому трансверсальная цепь умножа ет z-образ входной последовательности на полином B ( z ), а рекур сивная – делит на полином A( z ).

Для последовательности x[n], n = 0, N 1 конечной длины N существует дискретное преобразование Фурье (ДПФ) N 1 j kn x[n]e = X (e j ) X [k ] = = X ( z) N, z = e j 2 k / N = 2k / N n = 14.3. ЗАДАЧИ определяющее N отсчетов X [ k ], k = 0, N 1 спектральной плот ности или N отсчетов z-образа, взятых равномерно по окружности единичного радиуса в z-плоскости.

Обратное ДПФ N 1 j kn X [k ] =, n = 0, N 1.

N X [k ]e N k = Таблица 14. Последовательность z-образ z A x[n] X ( z ), zB y[n] Y ( z ), x[n] + y[n] X [n] + Y [n], z C = A B x[ n + n0 ] z n0 X ( z ), zA z X (a 1z ), A a n x[n] |a| dX ( z ) z zA nx[n], dz X * ( z ), x*[ n] zA x[n] y[n] z C A B X ( z )Y ( z ), 14.3. ЗАДАЧИ 1. Случайный сигнал имеет спектральную плотность мощности G G () =, 1 + 2 где – постоянная.

Определите частоту дискретизации так, чтобы на этой частоте СПМ составляла 0.01G0. Оцените мощность ошибки представления этого сигнала последовательностью. Как уменьшить эту ошибку?

2. Сигнал представляет собой импульс прямоугольной формы длительностью 10 мкс. Сигнал дискретизируется с шагом 1 мкс.

Запишите формулу для вычисления энергии ошибки дискрети зации.

3. Цифровая цепь описывается разностным уравнением 272 ГЛАВА 14. ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ y[ n] = 2nx[ n].

Проверьте инвариантность к сдвигу.

4. Цифровая цепь описывается разностным уравнением y[n] = 12 x[ n] + 11x[ n 1].

Проверьте инвариантность к сдвигу.

5. Цифровая цепь описывается разностным уравнением y[n] = 3 x[ n 2] + 3 x[ n + 2].

Проверьте каузальность.

6. Цифровая цепь описывается разностным уравнением y[ n] = 3 x[ n 1] 3 x[ n 2].

Проверьте каузальность.

7. Реакция цифровой цепи y[ n] на воздействие x[n] описывает ся выражением y[n] = 3 x 2 [n 1].

Проверьте линейность цепи.

8. Реакция цифровой цепи y[ n] на воздействие x[n] описывает ся выражением y[n] = n 2 x[n + 1].

Проверьте линейность цепи.

9. Цифровая цепь описывается разностным уравнением y[n] = x[n]] + 2 x[n 1] + 3 x[ n 2] + 2 x[ n 2] + x[ n 4].

Найдите реакцию цепи на скачок u[ n].

10. Цифровая цепь описывается разностным уравнением y[ n] = x[ n] + ex[ n 1].

Найдите импульсную и переходную характеристики цепи.

11. Найдите реакцию цепи (рис.14.1) на воздействие вида 0 n 4, 1, x[n] = 0 в противном случае.

12. Запишите разностное уравнение цепи (рис.14.2).

14.3. ЗАДАЧИ x[n] y[n] z- x[n] y[n] a1 b - z - z a a2 b Рис.14.1 Рис.14. 13. Найдите z-преобразования следующих последовательностей:

в) u[n]a n, а) u[ n], б) u[ n 1], д) u[n]sin(0 n).

г) u[ n]exp( an), 14. Найдите z-преобразования следующих последовательностей:

а) u[ n](2 + 3e 2 n ), б) u[ n] [ n], в) u[n k ].

15. Найдите последовательность, z-образ которой равен X ( z) = при | b || a || z |, (1 az )(1 bz 1 ) при помощи разложения на простые дроби.

16. Найдите путем деления последовательность, z-образ которой X ( z) = при | z || a |.

1 az 17. Найдите последовательность, соответствующую z-образу X ( z) = при | z || a |.

1 az 18. Запишите разностные уравнения и передаточные функции для цепей, изображенных на рис.14.3.

19. а) Постройте каузальный фильтр, выполняющий «цифровое дифференцирование»: если x[n] = u[ n], то y[n] = [n]. Найдите его ИХ и КЧХ.

б) Постройте каузальный фильтр, выполняющий обратную опе рацию – «цифровое интегрирование». Найдите его ИХ и КЧХ.

Охарактеризуйте этот фильтр.

274 ГЛАВА 14. ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ x[n] m x[n] a z-1 y[n] z- m y[n] m b z- z- m c m а б Рис.14. 20. Найдите АЧХ и ФЧХ цепи с передаточной функцией H ( z) =.

1 az 14.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 14.4.1. ЦИФРОВЫЕ ЦЕПИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1. По заданным разностным уравнениям цифровых цепей про верьте их физическую реализуемость (каузальность), стационар ность, линейность и устойчивость:

Таблица 14. Номер варианта Разностное уравнение y[n] = x[n k ]exp( nk ) y[ n] = ax[n k ] ax[n k ], x[ n], c y[ n] = bx[n k ], x[n] c y[n] = ( n + a ) x[n k ] y [ n] = a n x 2 [ n] y [ n ] = bx [ n + k ] y [ n ] = x [ n ] sin ( an ) y [ n ] = ax [ n + k ] x [ n ] y [ n ] = bx [ n ] cx [ n k ] y[n] = x[ n + k ]exp ( nk ) 14.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Таблица 14. c b Номер подварианта a k 1 1 4 3 2 3 2 4 3 2 3 1 4 4 1 2 5 2 1 3 6 3 2 4 7 2 1 4 8 3 1 2 9 5 2 1 0 3 4 6 2. Составьте структурную схему и постройте график импульс ной характеристики (первые 10 значений) цифровой цепи, описан ной разностным уравнением:

a1 y[ n 2] + a2 y[ n 1] + a3 y[n] = b1 x[n 2] + b2 x[n 1] + b3 x[n].

Таблица 14. Номер Номер a1 b1 b a2 a3 b варианта подварианта 1 3 0 1 1 0 2 2 0 4 4 2 2 0 3 6 0 3 2 3 2 4 2 3 1 4 0 5 5 5 0 3 5 2 0 6 0 4 2 6 0 0,5 2, 7 3 0 2 7 6,5 0 8 0 2 1 8 0 2 9 5 0 2 9 0 2 0 0 3 4 0 3 0 3. По заданному сигнальному графу цифровой цепи найдите разностное уравнение и передаточную функцию цепи:


для четных вариантов для нечетных вариантов c c b1 b z - z - a1 b2 a1 b z-1 z - a2 a 276 ГЛАВА 14. ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Таблица 14. Номер a1 b a2 b2 c подварианта 1 0,5 –0,3 1,4 2,5 3, 2 1,2 2,5 –0,5 –4,0 1, 3 2,0 –3,2 4,0 1,2 2, 4 3,5 –5,2 –2,5 -0,4 2, 5 –1,2 3,5 1,4 2,5 2, 6 2,4 –1,2 3,0 3,6 -1, 7 –2,5 –2,4 1,0 3,2 4, 8 –0,4 2,5 3,2 2,8 2, 9 3,5 –0,4 2,0 1,2 3, 0 –2,5 3,5 8,25 2,8 2, 14.4.2. ЦИФРОВАЯ НЕРЕКУРСИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ На вход полосно-пропускающего (ПП) цифрового нерекур сивного фильтра (ЦНФ) воздействует сигнал x[nT ] x[nT ] = S [nT ] + [ nT ], (14.1) состоящий из аддитивной смеси белого гауссова шума [nT ] и ра диоимпульса с прямоугольной огибающей S [nT ] = A sin[2(n nэ )( f 0 / f д ) ], nэ nэ nэ + и / T, (14.2) где A, f 0, и, и nэ – соответственно амплитуда, несущая час тота, длительность, начальный фазовый сдвиг и начальная задерж ка (число отсчетов) радиоимпульса;

f д и T – частота и период дискретизации.

Параметры сигнала и шума приведены в табл. 14.6. Здесь ОСШ=А/б – отношение сигнал-шум;

k1 = 2f 0.7 и ;

k2 = 2f з и ;

2f 0.7 – полоса пропускания;

2f з – полоса задержания фильтра.

A = 1 В.

Расчет параметров и характеристик ЦНФ и параметров выход ного сигнала следует провести на компьютере с помощью про граммы “DNF” [26] или “DF”.

Требуется:

а) произвести расчет порядка фильтра (N), характеристик ЦНФ (импульсной, АЧХ, ФЧХ). Зарисовать с экрана дисплея эти харак теристики и весовую функцию, а по таблице АЧХ определить от клонение ( 1 / 2 ) от единицы в полосе пропускания и минимальное 14.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ значение затухания ( з ) в полосе задержания (т. е. относительный максимум бокового лепестка Б, дБ);

б) исследовать зависимости A = f1 ( и ), = f 2 ( и ) и ОСШ = f э ( и ), уменьшая и увеличивая длительность радиоим пульса в широких пределах от заданного значения (т. е. k1 от 0. до k2 );

в) исследовать влияние величины расстройки входного сигнала на форму и амплитуду выходного сигнала и на ОСШ;

г) произвести оценку ОСШ на выходе ЦНФ для всех других ве совых функций при неизменных параметрах входного сигнала и фильтра.

Таблица 14. Номер Номер fд,, f0, и, Весовая k nз k вари- ОСШ m подва- функция кГц мкс град МГц анта рианта Прямо 0 465 30 90 2.79 16 5 0.1 0 0.6 угольная Тре 1 400 35 30 2.4 6 10 1 1 0.7 угольная Ханна 2 350 40 45 2.8 8 6 2 2 0.8 Хеммин- 0. 3 300 45 135 2.4 12 7 3 3 га Блекма- 1. 4 200 70 -30 1.2 6 8 4 4 на Прямо 5 150 80 18 1.5 1 4 5 5 1.1 угольная Тре 6 100 100 -54 1.0 10 9 6 6 1.2 угольная Ханна 7 50 200 135 0.4 20 3 7 7 1.3 Хеммин- 1. 8 25 500 90 0.25 14 7 8 8 га 103 Блекма- 1. 9 10 -90 0.1 30 11 9 9 на Здесь m – число, определяющее запуск формирователя шума.

14.4.3. ЦИФРОВАЯ РЕКУРСИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ На вход цифрового рекурсивного фильтра (ЦРФ) воздейству ет сигнал x[nT ] вида (14.1), состоящий из аддитивной смеси бело го гауссовского шума [nT ] и радиоимпульса s[nT ] с прямоуголь ной огибающей вида (14.2).

Тип фильтра и параметры входного сигнала приведены в табл.14.7 и 14.8 и задаются преподавателем. Здесь приняты обозна 278 ГЛАВА 14. ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ чения: ФНЧ – фильтр нижних частот, ФВЧ – фильтр верхних час тот, ППФ – полосно-пропускающий фильтр (иначе полосовой), ПЗФ – полосно-задерживающий фильтр (иначе режекторный), Tзад – время задержки сигнала, – СКО шума, f з.1 и f з.2 – нижняя и верхняя частоты задержания, f с.1 и f с.2 – нижняя и верхняя час тоты среза, Е = 20lg(1 1 ), 1 – допустимое отклонение АЧХ от единицы в полосе пропускания. A = 1 B.

Кроме того, преподаватель указывает каждому студенту вид ап проксимирующей функции частотной характеристики фильтра (Баттерворта, Чебышева, Чебышева 1, т. е. инверсного Чебышева, Кауэра-Золотарева, Бесселя) и объем индивидуального задания.

Все расчеты и исследования проводятся с помощью пакета про грамм “DF”.

Таблица 14. Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 варианта Параметры входного сигнала 465 10 100 200 0 150 300 0 50 f 0, кГц.05 1.2 0.5 0.4 0.45 0.1 0.3 1 0.15 и, мс, град 60 70 30 40 0 90 50 80 20 1860 50 400 800 100 750 1500 100 200 f д, кГц 0.35 0 0.5 0.2 0.1 0 0.2 0.3 0.35 1. Tзад, мс, B 0.50 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.30 0.20 0. Тип и параметры фильтра Тип фильтра ППФ ФВЧ ППФ ПЗФ ФНЧ ППФ ПЗФ ФНЧ ФВЧ ФНЧ Вид ЧХ К.–З. К.–З. Бат. Чеб.1 К.–З. Бес. Чеб. Бат. Чеб.1 Чеб.

330 5 60 190 5 90 295 2 40 f з.1, кГц 455 15 90 160 3 140 250 1 50 f c.1, кГц 475 - 110 240 - 160 350 - - f c.2, кГц 600 - 140 210 - 210 305 - - f з.2, кГц 50 70 40 10 60 30 20 40 30 E, дБ Требуется:

а) произвести расчет фильтра, наблюдая его характеристики. По результатам работы программы определите полосу пропускания ( f = f c.2 f c.1 ) ( f п.1 = f c.1 f з.1, и переходные полосы f п.2 = f з.2 f с.2 ) фильтра;

14.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ б) проанализировать влияние порядка N фильтра на форму его АЧХ;

для чего записать в память предыдущую АЧХ, повторить расчет фильтра, увеличив N в несколько раз, и воспроизвести все АЧХ на одном графике;

в) проанализировать влияние округления/усечения коэффици ентов фильтра на его частотные характеристики. При этом также рекомендуется совмещать характеристики на одном графике;

г) осуществить фильтрацию входного сигнала и оценить ОСШ на входе и выходе фильтра;

д) исследовать влияние величины расстройки входного сигнала на форму и амплитуду выходного сигнала и на ОСШ;

A = f1 (и ), = f 2 ( и ) е) получить зависимости и ОСШ = f3 (и ) при прочих равных условиях;

ж) исследовать зависимость ОСШ = f 4 (f0.7 ).

Таблица 14. Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 варианта Параметры входного сигнала f 0, кГц 10 30 50 80 90 100 150 200 300 и, мс 1.0 1.2 0.5 0.4 0.45 0.1 0.3 0.2 0.15 0., град 10 70 30 40 90 0 50 80 20 f д, кГц 60 150 200 320 270 500 450 600 1200 Т0 = Tзад, мс 1.0 0 0.5 0.2 0.1 0 0.2 0.3 0.35 0., B 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.30 0.20 0. Вид и параметры ППФ Тип Бат. Чеб. К.–З. Бес. Чеб.1 Бат. Чеб. Чеб.1 К.–З. Бес.

фильтра f з.1, кГц 2 15 30 60 60 50 100 100 200 f c.1, кГц 9 25 48 75 85 90 145 195 280 f c.2, кГц 11 35 52 85 95 110 155 205 320 f з.2, кГц 20 45 100 100 150 200 200 300 450 E, дБ 20 30 50 10 40 30 20 40 50 Наука изощряет ум;

Ученье вострит память.

Козьма Прутков ГЛАВА ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ 15.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Синтез аналоговых двухполюсников [2, 13.1, 13.2]. Синтез стационарных четырехполюсников по заданной АЧХ. Фильтры Баттерворта и Чебышева [2, 13.3…13.5;

1, 15.1, 15.4…15.8;

24, 2.11, 2.01…4.06, 7.07, 8.04, 8.14].

Указания. При изучении вопросов необходимо четко уяснить неоднозначность решения задачи синтеза двухполюсников и кон кретные пути решения задачи по Фостеру и Кауэру, а также приоб рести умение определить возможность реализации той или иной функции входного сопротивления двухполюсника. При синтезе электрических фильтров на основе фильтров-прототипов важно понимать преимущества и недостатки аппроксимации характери стик затухания по Чебышеву и Баттерворту. Необходимо уметь бы стро с помощью формул частотных преобразований рассчитывать параметры элементов любых типов фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ППФ).

15.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В теории цепей принято говорить о структурном и параметри ческом синтезе. Главной задачей структурного синтеза является выбор структуры (топологии) цепи, удовлетворяющей наперед за данным свойствам. При параметрическом синтезе определяются лишь параметры и тип элементов цепи, структура которой извест на. Далее речь пойдет только о параметрическом синтезе.

15.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В качестве исходного при синтезе двухполюсников обычно ис пользуют входное сопротивление an p n + an 1 p n 1 +... + a1 p + a Z ( p) = = bm p m + bm 1 p m 1 +... + b1 p + b a0 ( p z1 )( p z2 )...( p zn ) =.

b0 ( p p1 )( p p2 )...( p pm ) Если задана функция Z ( p ), то она может быть реализована пас сивной цепью при выполнении следующих условий: 1) все коэф фициенты многочленов числителя и знаменателя вещественны и положительны;

2) все нули и полюсы находятся либо в левой полу плоскости, либо на мнимой оси, причем полюсы и нули на мнимой оси простые;

данные точки всегда либо вещественны, либо обра зуют комплексно-сопряженные пары;

3) высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу. Следует отметить также, что процедура синтеза не явля ется однозначной, т. е. одну и ту же входную функцию можно реа лизовать несколькими способами.

В качестве исходных структур синтезируемых двухполюсников обычно используют цепи Фостера, представляющие собой после довательное либо параллельное соединение относительно входных зажимов соответственно нескольких комплексных сопротивлений и проводимостей, а также лестничных цепей Кауэра [2].

Метод синтеза двухполюсников основан на том, что заданная входная функция Z ( p ) или Y ( p ) подвергается ряду последова тельных упрощений. При этом на каждом этапе выделяется выра жение, которому ставят в соответствие физический элемент синте зируемой цепи. Если все компоненты выбранной структуры иденти фицированы с физическими элементами, то задача синтеза решена.

Синтез четырехполюсников базируется на теории фильтров прототипов нижних частот [2]. Возможные варианты прототипа ФНЧ показаны на рис. 15.1.

При расчете может быть использована любая из схем, так как их характеристики идентичны. Обозначения на рис. 15.1 имеют сле дующий смысл: qk =1,n – индуктивность Lk последовательной ка тушки или емкость Сk параллельного конденсатора;


q0 – сопро тивление генератора R0, если q1 = Ck, или проводимость генерато ра G0, если q1 = L1 ;

qn +1 – сопротивление нагрузки Rn +1, если qn = Cn или проводимость нагрузки Gn +1, если qn = Ln.

282 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ L2=g2 Ln=gn R0=g0 Gn+1=gn+1 Rn+1=gn+ C1=g1 C3=g3 Cn=gn а L1=g1 L3=g3 Ln=gn Rn+1=gn+1 Gn+1=gn+ G0=g Cn=gn C2=g б Рис. 15. Величины элементов прототипов нормируют так, чтобы q0 = и частота среза 1 = 1. Переход от нормированных фильтров прототипов к другому уровню сопротивлений и частот осуществ ляется с помощью следующих преобразований элементов цепи:

R G R = 0 R ' или G = 0 G ' ;

R ' G' 0 R ' G ' ' L = 0 1 L' = 0 1 L' ;

R' G 0 1 0 R ' ' G ' C = 0 1 C' = 0 1 C'.

R G' 0 1 0 Величины со штрихами относятся к нормированному прототи пу, а без штриха – к преобразованной цепи. Исходной величиной при синтезе является рабочее затухание мощности, выраженное в децибелах:

() LA ' = 10 lg х[ Pm / Pвых ()], дБ, Pm = Eвх 2 / 4 R0 – максимальная мощность генератора с внутренним сопротивлением R0 и ЭДС Eвх, Pвых ( ) – выходная мощность в нагрузке.

15.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ () Обычно частотную зависимость LA ' аппроксимируют мак симально плоской (баттервортовской) характеристикой (рис. 15.2, а) () LA ' = 10 lg[1 + ( / 1 ) 2 n ], дБ, где = 10( Ar ) 1.

L / Lа, дБ Lа, дБ Lar Lar 1 1 а б Lа, дБ Lа, дБ Lar Lar 1 0 2 0 в г Рис. 15. Величину рабочего затухания LAr, соответствующую частоте ' среза 1, обычно выбирают равной 3 дБ. При этом = 1. Параметр n равен числу активных элементов цепи и определяет порядок фильтра.

Величины элементов максимально плоских фильтров, нагру женных на активное сопротивление на входе и выходе и имеющих ' LAr = 3 дБ, q0 = 1 и 1 = 1, определяют из выражений 284 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ q0 = qn +1 = 1 ;

( 2k 1) qk = 2sin, k = 1, 2,..., n.

2n Широкое распространение получила также равнопульсирующая аппроксимация Чебышева (см. рис. 15.2, б) ' () LA ' = 10lg 1 + Tn2 ', где Tn ( x ) = cos ( n arccos ( x ) ) – полином Чебышева n-го порядка для x 1, T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = x, T2 ( x ) = 2 x 2 1, T3 ( x ) = 4 x3 3 x и т. д., Tn ( x ) = ch ( narch ( x ) ) для x 1 ;

x = / 1.

Полиномы n-го порядка могут быть найдены с помощью рекур рентного соотношения. Основное преимущество чебышевских фильтров по сравнению с максимально плоскими (Баттерворта) – меньшее число элементов, требующееся для обеспечения одинако вого затухания на заданной частоте вне полосы пропускания.

Для чебышевских фильтров, нагруженных с двух сторон и имеющих характеристики вида рис. 15.2, б при условии, что ' = и q0 = 1, а LAr задано в децибелах, величины элементов могут быть рассчитаны следующим образом. Сначала определяются вспомогательные параметры по формулам:

L = ln cth Ar ;

= sh ( / 2n ) ;

17. ( 2k 1) k = sin, k = 1, 2,..., n, 2n k bk = 2 + sin 2, k = 1, 2,..., n, n затем находят величины элементов 2 a q1 = ;

15.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 4ak 1ak qk =, k = 1, 2,..., n ;

bk 1qk 1, если n нечетное, qn +1 = cth ( / 4 ), если n четное.

С помощью прототипа ФНЧ можно рассчитать полоснопропус кающие фильтры (ППФ), структуры которых показаны на рис. 15.3.

C2 Cn n – четн. n – нечетн.

L2 Ln Ln R0 Gn+1 Rn+ L1 L C1 C3 Cn а n –четн. n – нечетн.

C1 Cn C L1 Ln L Rn+1 Gn+ R0 L2 Ln Cn C б Рис. 15. Переход от структур прототипов ФНЧ рис. 15.1, а, б к соответ ствующим ППФ рис. 15.3, а, б выполняют с помощью частотного преобразования ' 1 ' =.

W Полосу пропускания и ее среднюю частоту определяют из вы ражений 2 W= ;

0 = 12.

286 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ Параметры последовательных и параллельных резонаторов рас считывают по формулам ' q = 1 i – для параллельных резонаторов;

0Ci = 0 Li WR ' q R = 1 k 0 – для последовательных резонаторов.

0 Lk = 0Ck W В этих выражениях qi – значения параметров элементов прото типа, а частоты 1, 0, 2 показаны на характеристике ППФ (см.

рис. 15.2, в).

Переход от прототипа ФНЧ к структуре фильтра верхних частот (ФВЧ) (рис. 15.4) происходит с помощью частотного преобразова ния ' ' =, здесь 1 – частота среза (см. рис. 15.2, г).

n – четн. n – нечетное C C1 Cn R0 Rn+1 Rn+ L2 L4 Ln Рис. 15. При этом расчет параметров элементов ФВЧ производится по формулам:

Ci = ' ;

11qi R Lk = R0 ;

' 11qk R Rn +1 = 0 qn +1.

q 15.3. ЗАДАЧИ 15.3. ЗАДАЧИ 15.3.1. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ 1. Осуществите реализацию двухполюсника по Фостеру в виде последовательного соединения элементов по заданной функции входного сопротивления p 4 + 10 p 2 + Z ( p) =.

p3 + 4 p 2. Реализуйте функцию Z ( p ) предыдущей задачи по второй форме Фостера в виде параллельного соединения проводимостей.

3. Получите различные варианты реализации по Кауэру двухпо люсника, обладающего входным сопротивлением задачи 1.

4. Реализуйте в виде лестничной цепи Кауэра двухполюсник с входным сопротивлением ( ).

p p2 + Z ( p) = p + 5. Определите, может ли данное выражение быть функцией входного сопротивления некоторой электрической цепи:

2 p2 5 p + 1 9p а) ;

б) ;

( 2 p + 1) ( p 2 + p + 1) p + p + ( p + 1)( p + 3) ;

p в) ;

г) p ( p + 2) 5p + p 4 + 26 p 2 + 25 p2 + p + д) ;

е) ;

p3 + 4 p 1 + p p 4 + 10 p 2 + ж).

p3 + 4 p 15.3.2. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ 6. Рассчитайте параметры элементов ФНЧ с максимально пло ской характеристикой затухания, с числом элементов цепи n = 5 и 288 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ частотой среза 1 = 2f1 = 2 105 рад/с и внутренним сопротивле нием генератора R0 = 50 Ом.

7. Определите величину затухания ФНЧ (задача 6) на частоте f1 = 1.2 105 Гц.

8. Определите порядок ФНЧ с плоской характеристикой и час тотой среза 1 = 2 105 рад/с, имеющего затухание не менее 30 дБ на частоте = 2 1.25 105 рад/с.

9. Докажите, что при одинаковых исходных данных фильтры с чебышевской характеристикой имеют большее затухание за поло сой пропускания по сравнению с фильтрами, имеющими плоскую характеристику затухания.

10. Сколько элементовов должен иметь ФВЧ с чебышевской харак теристикой затухания LAr = 1.0 дБ и частотой среза 1 = 2 104 рад/с, LAr чтобы обеспечить затухание дБ на частоте 1 = 2 0.8 104 рад/с?

11. Сколько резонаторов должен содержать ППФ с максимально плоской характеристикой затухания, 1 = 104 рад/с, 2 = 1.6 рад/с, чтобы обеспечить затухание на частоте = 0.8 104 рад/с не менее 20 дБ?

12. Чему равна мощность в нагрузке фильтра, если амплитуда ЭДС генератора на входе Eвх = 20 В, внутреннее сопротивление генератора R0 = 50 Ом, а затухание фильтра LA = 1;

2;

3;

10;

20 дБ?

15.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА По исходным данным, приведенным в табл. 15.1 и 15.2, произ вести синтез четырехполюсника (фильтра) на основе фильтра прототипа НЧ. Осуществить расчет параметров фильтра.

Таблица 15. Номер 0 1 2 3 4 5 6 7 8 варианта Тип ФНЧ ФНЧ ФВЧ ФВЧ ФВЧ ППФ ППФ ППФ ППФ ППФ фильтра 15.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Таблица 15. Номер Исходные данные фильтра подва LAr, дБ f1, кГц f 2, кГц R0 Ом рианта Аппроксимация n 0 4 0,1 10 12,5 50 Чебышева 1 4 0,2 20 25 75 Чебышева 2 5 3.0 30 35 50 Баттерворта 3 5 0,5 40 45 75 Чебышева 4 6 3.0 50 60 75 Баттерворта 5 6 1,0 60 70 50 Чебышева 6 7 3.0 80 100 50 Баттерворта 7 7 1,0 100 120 75 Чебышева 8 8 3.0 150 200 50 Баттерворта 9 8 2.0 200 250 75 Чебышева Я думаю, нет большей ненависти в мире, чем ненависть невежд к знанию.

Галилео Галилей ГЛАВА ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ 16.1. ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ Вейвлеты. Непрерывное и дискретное вейвлет-преобразование (ВП). Характерные отличия от преобразования Фурье. Признаки, свойства и примеры материнских вейвлетов. Свойства вейвлет анализа и возможности ВП [31..34].

Указания. В конце настоящего раздела приведен обзор литера туры по теории и практическому использованию ВП. Самые крат кие общие сведения даны в учебнике [*.5], для более углубленного изучения возможностей ВП следует обратиться к одной из книг [*.1…*.4]. Подробные обзоры по ВП для тех, кто собирается при менять это преобразование в практических расчетах и приложени ях, приведены в работах [*.10, *.14];

при этом список литературы в [*.14] содержит 92 названия.

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В последние годы возникло и успешно развивается новое и важное направление в теории и технике сигналов, получившее на звание вейвлет-преобразования (ВП), которое хорошо приспособ лено для изучения структуры неоднородных процессов. Это на правление еще не так хорошо известно широкому кругу отечест венных исследователей и инженеров, поскольку применяется срав нительно недавно и математический аппарат его находится в ста дии активной разработки.

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Термин “вейвлет” (wavelet) ввели в своей статье Гроссман (Grossmann) и Морле (Morlet) в середине 80-х годов в связи с ана лизом свойств сейсмических и акустических сигналов. Их работа послужила началом интенсивного развития вейвлетов в последую щее десятилетие рядом таких исследователей, как Добеши (Daube chies), Мейер (Meyer), Фарж (Farge), Чуи (Chui) и др.

Из анализа литературы и, в частности, приводимой в конце гла вы, следует, что ВП широко применяется для исследования неста ционарных сигналов, неоднородных полей и изображений различ ной природы, распознавания образов и для решения многих других задач в радиотехнике, связи, электронике, ядерной физике, сейс моакустике, метеорологии, медицине, биологии и других областях науки и техники.

Вопросы обработки сигналов в базисе вейвлетов лишь только начали освещаться в отечественной учебной литературе [*.2, *.4, *.6, *.7]. В то же время, в западных университетах читаются мно гочасовые курсы по теоретическим и практическим аспектам ВП, издаются монографии и уже много лет проводятся семинары и на учные конференции.

Все изложенное выше послужило причиной включения основ ВП в программу курса и настоящей главы.

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ Вейвлеты. Английское слово wavelet (от французского “onde lette”) дословно переводится как “короткая (маленькая) волна”. В различных переводах зарубежных статей на русский язык встреча ются еще термины: “всплеск”, “всплесковая функция”, “маловол новая функция”, “волночка” и др.

ВП одномерного сигнала – это его представление в виде обоб щенного ряда (1.13), (1.14) Фурье по системе базисных функций 1 t b ab (t ) =, (16.1) a a сконструированных из материнского (исходного) вейвлета (t ) за счет операций сдвига во времени ( b ) и изменения временного масштаба ( a ) (рис. 16.1). Множитель 1/ a обеспечивает незави симость нормы этих функций от масштабирующего числа a.

Малые значения a соответствуют мелкому масштабу ab (t ) или высоким частотам ( ~ 1/ a ), большие параметры a – крупно му масштабу ab (t ), т. е. растяжению материнского вейвлета (t ) 292 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА шab (t ) шab (t ) ш(t ) a 1, a 1, b b t t 0 0 t Рис. 16. и сжатию его спектра. При этом в соответствии с принципом неоп ределенности произведение эффективной длительности ( э ) и эф фективной ширины спектра ( э ) функции ab (t ) (площадь пря моугольников на рис. 16.2) остается неизменной. Кроме того, из-за масштабирования и временного сдвига ( b / a = = const ) сохраня ется относительная “плотность” расположения базисных функций по оси t.

a a a2 Дщэ фэ a bo b Рис. 16. Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование (НВП или СWT – continuous wavelet transform). Сконструируем базис функ ционального пространства ( L2 ) с помощью непрерывных масштаб ных преобразований и переносов материнского вейвлета (t ) с произвольными значениями базисных параметров a и b в форму ле (16.1).

Тогда по определению прямое (анализ) и обратное (синтез) HВП (т. е. ПНВП и ОНВП) сигнала S (t ) запишутся:

t b Ws (a, b) = ( S (t ), ab (t )) = S (t ) dt, (16.2) a a 16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 1 dadb Ws (a, b) ab (t ) S (t ) =, (16.3) a C где C – нормирующий коэффициент С = () d, () – фурье-преобразование вейвлета (t ). Для ортонормиро ванных вейвлетов C = 1.

Из (16.2) следует, что вейвлет-спектр Ws (a, b) (wavelet spectrum или time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргу ментов: первый аргумент a (временной масштаб) аналогичен пе риоду осцилляций, т. е. обратен частоте, а второй b – аналогичен смещению сигнала по оси времени.

Следует отметить, что Ws (a1, b) характеризует временную зави симость (для временного масштаба a1 ), тогда как зависимости Ws (a, b1 ) можно поставить в соответствие частотную зависимость (для смещения b1 ).

Если исследуемый сигнал S (t ) представляет собой одиночный импульс длительностью u, сосредоточенный в окрестности t = t0, то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрест ности точки с координатами a = u, b = t0.

Способы представления (визуализации) Ws (a, b) могут быть различными. Спектр Ws (a, b) является поверхностью в трехмерном пространстве (см. рис. П.8). Однако часто вместо изображения по верхности представляют её проекцию на плоскость ab с изоуров нями (рис. П.9), позволяющими проследить изменение интенсив ности амплитуд ВП на разных масштабах ( a ) и во времени ( b ).

Кроме того, изображают картины линий локальных экстремумов этих поверхностей, так называемый скелетон (sceleton), который выявляет структуру анализируемого сигнала.

Разложение сигнала в ряд по вейвлетам. При непрерывном из менении параметров a и b для расчета вейвлет-спектра необходи мы большие вычислительные затраты. Множество функций ab (t ) избыточно. Необходима дискретизация этих параметров при со хранении возможности восстановления сигнала из его преобразо 294 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА вания. Дискретизация как правило осуществляется через степени двойки [*.1, *.2, *.4]:

1 t b (2 m t k ), a = 2m, b = k 2m, mk (t ) = = (16.4) a a m где m и k – целые числа. В этом случае плоскость ab превращает ся в соответствующую сетку mk.

Рис. 16.3 на примере вейвлета Хаара иллюстрирует дискретиза цию ab : для различных значений m ширина mk (t ) различна и выбор b = k 2m гарантирует, что растянутые вейвлеты на уровне m “покрывают” ось времени так же, как это делают исходные вейвле ты на уровне m = 0.

ш30 (t ) t 0 2 4 6 ш20 (t ) ш21(t ) t 0 2 4 6 ш (t ) ш11(t ) ш (t ) 10 t 0 2 4 6 ш01(t ) ш(t ) ш07 (t ) 1.

t 0 2 4 6 1.

Рис. 16. 16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Прямое и обратное дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) непрерывных сигналов запишутся в виде:

cmk = ( S (t ), mk (t ) ) = S (t ) mk (t )dt, (16.5) S (t ) = cmk mk (t ). (16.6) m,k Проводя аналогию с преобразованием Фурье, коэффициенты cmk разложения (16.5) можно определить через НВП Ws (a, b) ( ) cmk = Ws 2m, k 2m. (16.7) Обращаясь к (16.5) и (16.7), видим, что вейвлет-спектр cmk можно представить как “лес” из вертикальных отрезков, размещен ных над mk - плоскостью (сеткой);

при этом целочисленные коор динаты m и k указывают соответственно на скорость изменения сигнала и положение вдоль оси времени.

Из (16.6) следует, что сигнал S (t ) может быть представлен суммой “вейвлетных волн” с коэффициентами cmk. Формально обобщенный ряд Фурье (16.6) отличается от рассмотренного ранее ряда (1.13) тем, что суммирование проводится не по одному, а по двум индексам. Однако это несущественно, так как обе системы индексации принадлежат одному классу бесконечных счетных множеств.

Примечания. 1. Статьи, касающиеся практического использования ВП, со держат в основной своей массе результаты компьютерных расчетов, в которых использовано дискретное вейвлет-преобразование (ДВП). При этом не только параметры a и b, но и сигналы также дискретизируются во времени. Если число отсчетов составляет N = 2n0, то максимальное значение m в формулах (16.4) будет равно n0 1. Наибольшее значение k для текущего m определяется:

k = 2n0 m 1. В частности, для m = 0 (т. е. a = 1) число сдвигов k базисного вейвлета составит 2 n0 1 = N 1 ;

с каждым последующим значением m (1, 2, …) вейвлет mk (t ) расширяется в два раза, а число сдвигов k уменьшается в два раза. Для максимального значения m = mmax, равного n0 1, k = 0, т. е. один вейвлет mmax, 0 (t ) “накрывает” весь интервал сигнала (рис. 16.3;

N = 8 ).

296 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА 2. В некоторых публикациях параметры a, b и базисные функции задаются в виде a = 1/ 2 j, b = k / 2 j, jk (t ) = 2 j (2 j t k ), (16.4’) т. е. с ростом j параметр a уменьшается, что соответствует сжатию функции jk (t ). Согласно формулам (16.4) с ростом m увеличивается и коэффициент a, т. е. функция mk (t ) растягивается.

3. Вейвлет-коэффициенты cmk (или c jk ) можно вычислить с помощью итера ционной процедуры, известной под названием быстрого вейвлет-преобразования БВП [*.16, *.24]. Алгоритм БВП приведен в прил. П.13. При этом, если необходи мо, можно сжать полученные данные, отбросив некоторую несущественную часть закодированной таким образом информации. Осуществляется это квантова нием, в процессе которого приписываются разные весовые множители различным вейвлет-коэффициентам. Аккуратно проведенная процедура позволяет не только удалить некоторые статистические флюктуации и повысить роль динамических характеристик сигнала, но и существенно сократить компьютерную память и тре бования к передаче информации и, следовательно, снизить расходы.

ГЛАВНЫЕ ПРИЗНАКИ ВЕЙВЛЕТА В качестве базисных функций, образующих ортогональный ба зис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практиче ского применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом. При ведем здесь основные из них.

Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конеч ным:

2 = (t ) dt.

Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использу ет локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте.

Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

(t ) C (1 + t ) 1 и S () C (1 + )1, при 0.

Например, дельта-функция (t ) и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализа ции во временной и частотной областях.

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллиро вать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см.

рис. 16.1) и иметь нулевую площадь (t )dt = 0.

Из этого условия становится понятным выбор названия “вейвлет” – маленькая волна.

Равенство нулю площади функции (t ), т. е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование S () этой функции равно нулю при = 0 и имеет вид полосового фильтра. При раз личных значениях a это будет набор полосовых фильтров.

Часто для приложений бывает необходимым, чтобы не только нулевой, но и все первые n моментов были равны нулю:

t n (t )dt = 0.

Вейвлеты n -го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изме няющиеся его составляющие.

Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства ab (t ) имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет (t ), по скольку получены из него посредством масштабных преобразова ний ( a ) и сдвига ( b ).

ПРИМЕРЫ МАТЕРИНСКИХ ВЕЙВЛЕТОВ Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 16.1.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.