авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |

«РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ ЗАДАЧИ И ЗАДАНИЯ Под редакцией проф. А.Н. Яковлева Рекомендовано Сибирским региональным отделением УМО высших ...»

-- [ Страница 6 ] --

Наиболее распространенные вещественные базисы конструи руются на основе производных функции Гаусса ( g0 (t ) = ) = exp(t 2 / 2). Это обусловлено тем обстоятельством, что функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во времен ной, так и в частотной областях.

298 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА Таблица 16. Аналитическая запись Спектральная плотность Вейвлеты (t ) () Вещественные непрерывные базисы Гауссовы:

– первого порядка или t exp(t 2 / 2) (i) 2 exp(2 / 2) WAVE –вейвлет, – второго порядка или MHAT-вейвлет “мек сиканcкая шляпа” – (1 t 2 )exp(t 2 / 2) (1) n (i)2 2 exp( 2 / 2) mexican hat), dn exp(t 2 / 2) (1)n (i)n 2 exp(2 / 2) (1) n – n -го порядка, dt n DOG – difference of 2 2 2 e t 0.5et 2 (e e2 ) 2 /8 / gaussians (2)1/ 2, t 2, (t ) 1 (sin 2t sin t ) LP-Littlewood & Paley 0, в противном случае Вещественные дискретные 1, 0 t 1/ 2, sin 2 / iei / 1, 1/ 2 t 1, HAAR – вейвлет / 0, t 0, t 0.

1, t 1/ 3, FHAT – вейвлет или 4 sin 3 / “французская шляпа” 1/ 2, 1/ 3 t 1, (French hat – похож на 3 / цилиндр) 0, t 1.

Комплексные () 2e (0 ) ei0t e t / Морле (Morlet) / Пауля (Paul) (чем боль in ше n, тем больше нуле () 2 ()n e Г ( n + 1) вых моментов имеет (1 n)n + вейвлет) На рис. 16.4 показаны вейвлеты первых четырех порядков и мо дули их спектральной плотности. При n = 1 получаем вейвлет пер вого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулю нуле вым моментом. При n = 2 получаем MHAT –вейвлет, называемый “мексиканская шляпа” (mexican hat – похож на сомбреро). У него нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разре шение, чем WAVE-вейвлет.

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ t 5. 1 S () g (t) 4. 1 g S () g (t) 0 3. 2 g S () g (t) 2. 3 g S () g (t) 1. 4 g 2 0. 3 4 32 1012 34 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 t Рис. 16. СВОЙСТВА ГАУССОВЫХ ВЕЙВЛЕТОВ:

• четность каждого вейвлета совпадает с четностью его номера;

• любой вейвлет g n (t ) имеет ровно n нулей и стремится к ну лю при возрастающем абсолютном значении аргумента t ± g n (t ) 0 ;

• вейвлеты более высокого порядка n имеют больше равных нулю моментов и позволяют извлечь из сигала информацию об особенностях более высокого порядка;

• из определения семейства вейвлетов (на основе производных функции Гаусса) видно, что производная вейвлета совпадает с точ ностью до знака с вейвлетом более высокого (на один) порядка dg n (t ) / dx = g n +1 (t ) ;

(16.8) • соотношение (16.8) позволяет заключить, что экстремумы га уссового вейвлета g n (t ) совпадают с нулями функции g n +1 (t ) ;

• учитывая (16.8), можно получить общее выражение для зна чения интеграла от g n (t ) на любом интервале t gn (t )dt = gn1 (t2 ) gn1 (t1 ) ;

t • относительная площадь вейвлета t w(t ) = g n (t ) dt gn (t ) dt (16.9) 0 достигает единицы практически при t = 5. В работе [*.26] показа но, что вейвлеты имеют приблизительно равную площадь на лю бом интервале t. Это позволяет выбрать общий для нескольких ВП 300 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА масштабный коэффициент C. При этом совместное использова ние g1 g 4 для ВП существенно повышает точность вейвлет анализа.

Наиболее простой пример дискретного вейвлета – это HAAR-вейвлет. Недостатком его является несимметричность фор мы и негладкость – резкие границы в t -области, вследствие чего возникает бесконечное чередование “лепестков” в частотной об ласти, хотя и убывающих как 1/.

LR - вейвлет, имеющий, наоборот, резкие границы в - области, можно считать другим предельным случаем.

Общий подход, учитывающий требования, предъявляемые к вейвлетобразующим функциям, известен под названием много масштабного анализа. Из ряда вещественных базисов этим требо ваниям удовлетворяют функции Добеши (Daubechies) [*.1, *.4, *.14, *.24], одна из которых ( db 2 ) используются, например, в каче стве встроенной для ВП в Mathcad (см. прил. П.13).

Среди комплексных вейвлетов наиболее часто используется ба зис, основанный на хорошо локализованном и во временной и в частотной областях вейвлете Морле. Характерный параметр позволяет изменять избирательность базиса. Вещественная и мни мая части (t ) – это амплитудно-модулированные колебания.

Выбор конкретного материнского вейвлета (будь то непрерыв ный или дискретный) целиком зависит от характера поставленной задачи и от конкретного анализируемого сигнала. Разные сигналы удается анализировать тем или иным способом, и критерием успеха обычно служит простота получаемого разложения. При этом ре шающим фактором оказываются интуиция и практический опыт исследователя.

СВОЙСТВА ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА Прямое ВП содержит комбинированную информацию об анали зируемом сигнале и анализирующем вейвлете. Несмотря на это, ВП позволяет получить объективную информацию о сигнале, потому что некоторые свойства ВП не зависят от выбора анализирующего вейвлета. Независимость от вейвлета делает эти простые свойства очень важными.

Так как вейвлет-спектр cmk связан со спектром Ws (a, b) НВП [см. выражение (16.7)], то ниже выпишем основные свойства лишь вейвлет-спектра Ws (a, b) сигнала S (t ). Будем использовать обо значения W [ S ] = W (a, b).

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Линейность. Она следует из скалярного произведения (16.2):

W [S1 (t ) + S2 (t )] = W [ S1 ] + W [ S2 ] = W1 (a, b) + W2 (a, b).

Инвариантность относительно сдвига:

W [ S (t b0 )] = W [a, b b0 ].

Инвариантность относительно изменения масштаба:

1 a b W [ S (t a0 ) ] = W,, a0 a0 a т. е. растяжение (сжатие) масштаба сигнала приводит также к рас тяжению (сжатию) его в плоскости W (a, b).

Дифференцирование:

S (t )dt W [dtm S ] = (1)m m [ ab (t )]dt, где dtm = d m [...]/ dt m, m 1. Из этого свойства следует, что проиг норировать, например, крупномасштабные составляющие и про анализировать особенности высокого порядка или мелкомасштаб ные вариации сигнала S (t ) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Если учесть, что час то сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий вейвлет-фор мулой, то это свойство весьма полезное.

Масштабно-временная локализация. Она обусловлена тем, что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.

За счет изменения масштаба (увеличение a приводит к суже нию фурье-спектра функции ab (t ) ) вейвлеты способны выявлять различие в характеристиках на разных шкалах (частотах), а за счет сдвига анализировать свойства сигнала в разных точках на всем исследуемом интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлетов получают суще ственное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализи руемого сигнала, так как используемая при этом система функций (комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном интервале.

302 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА Поэтому неслучайно многие исследователи называют вейвлет анализ “математическим микроскопом”. Это название хорошо отражает замечательные свойства метода сохранять хорошее раз решение на разных масштабах. Параметр сдвига b фиксирует точ ку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент a – уве личение, и, наконец, выбором материнского вейвлета определя ют оптические качества микроскопа. Способность этого микроско па обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднород ного процесса и изучать его локальные свойства продемонстриро вана на многих примерах (см., например, [*.10]).

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Аналог равенства Парсеваля:

1 dadb 2 Эs = S (t ) dt = W ( a, b). (16.10) a C Плотность энергии сигнала Э w ( a, b) = W ( a, b) (16.11) характеризует энергетические уровни анализируемого сигала S (t ) в области ( a, b).

Локальный спектр энергии. По плотности энергии Эw ( a, b) с помощью “окна” (b t0 ) / a можно определить локальную плот ность энергии в точке b = b0 = t b t Э ( a, t0 ) = Э w ( a, b ) db.

a Если в качестве окна использовать дельта-функцию (t ), то Э ( a, t0 ) = W ( a, t0 ).

Эта характеристика позволяет исследовать временную динамику передачи энергии сигнала по масштабам, т. е. обмен энергией меж ду составляющими сигнал компонентами разного масштаба в лю бой фиксированный момент времени t0.

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Глобальный спектр энергии. Он характеризует распределение энергии по масштабам a Эw (a ) = W ( a, b) db = Эw ( a, b) db.

Этот спектр называют также скалограммой (scalogram).

Мера локальной перемежаемости:

I w (a, t ) = Эw ( a, t ) / Эw ( a, t ) – это мера локальных отклонений от среднего поля спектра на каж дом масштабе. Угловыми скобками здесь обозначено усреднение.

Мера I w (a, t ) позволяет определить степень неравномерности распределения энергии по масштабам. Равенство I w (a, t ) =1 при всех a и t означает равномерность распределения энергии, т. е.

все локальные спектры энергии одинаковы.

Мера контрастности:

a= a Э w ( a, t ), Э'w (a, t ) = Э w ( a, t )da.

Cw ( a, t ) = Э'w (a, t ) a Она позволяет определить даже самые малые изменения в сигнале, если необходимо, например, выявить слабые вариации на фоне крупной структуры.

СОПОСТАВЛЕНИЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ Классическое преобразование Фурье (ПФ) является традицион ным математическим аппаратом для анализа стационарных процес сов. При этом сигналы разлагаются в базисе косинусов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисные функции простираются вдоль всей оси времени.

С практической точки зрения и с позиций точного представле ния произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недос татков. Обладая хорошей локализацией по частоте, оно не обла дает временным разрешением. ПФ даже для одной заданной часто ты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, а это является теоретической абстракцией. Обусловлено это тем, что базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармо ническое колебание, которое математически определено на вре 304 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА менном интервале от - до +. ПФ не учитывает, что частота ко лебания может изменяться во времени. Локальные особенности сигнала (разрывы, ступеньки, пики и т. п.) содержат едва заметные составляющие спектра, по которым обнаружить эти особенности, и тем более их место и характер, практически невозможно. В этом случае очень сложно и точное восстановление сигнала из-за появ ления эффекта Гиббса. Для получения о сигнале высокочастотной информации с хорошей точностью следует извлекать ее из относи тельно малых временных интервалов, а не из всего сигнала, а для низкочастотной спектральной информации наоборот. Кроме того, на практике не все сигналы стационарны, а для нестационарных сигналов трудности ПФ возрастают многократно, делая его прак тически невозможным.

Часть указанных трудностей преодолевается при использовании оконного ПФ:

jt S (t )w(t b)e S (, b) = dt, в котором применяется предварительная операция умножения сиг нала на “окно” w(t b) ;

при этом окном является локальная во времени функция, перемещаемая вдоль оси времени для вычисле ния ПФ в разных позициях b. В результате получается частотно временное описание сигнала. Недостаток оконного ПФ состоит в том, что используется фиксированное окно и, следовательно, фик сированное разрешение по времени и частоте для всех точек плос кости преобразования (рис. 16.5, а), которое не может быть адапти ровано к локальным свойствам сигнала.

ВП имеет существенное преимущество перед ПФ прежде всего за счет свойства локальности у вейвлетов. В вейвлет преобразовании операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно (рис. 16.5, б): с ростом параметра a увеличивается разрешение по частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением этого параметра уменьшается разрешение по частоте и увеличива ется по времени. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочас тотные характеристики сигналов. Это свойство ВП дает ему боль шое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.

16.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ f f шab (t ) t t t t t а б Рис. 16. Возможно локально реконструировать сигнал: реконструиро вать только часть сигнала или выделить вклад определенного мас штаба. Если вейвлет-коэффициенты подвержены случайным ошиб кам, они будут действовать на реконструируемый сигнал локально вблизи положения возмущения, а ПФ распространяет ошибки по всему восстанавливаемому сигналу. ПФ также чувствительно к фа зовым ошибкам, а при ВП этого нет.

Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала, принципиально отсутствующему у ПФ, ВП нашло широкое приме нение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений, для их сжатия и очистки от шума, что важно и полезно в радиотехнике, электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других облас тях науки и техники.

При этом стоит отметить, что ВП ни в коем случае не является заменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет его достоинств и значимости при работе со стационарными процесса ми. ВП просто иное и позволяет посмотреть на исследуемый про цесс с другой точки зрения.

Выше были приведены основные термины, характеристики и свойства вейвлетов и вейвлет-преобразования.

За короткий срок теория ВП получила революционное развитие.

Причина успеха обусловлена тем, что новый аппарат пригоден для представления нестационарных и сложных сигналов, свойства ко торых меняются во времени или пространстве. Он давно ожидался теоретиками и практиками. Число текущих публикаций неук лонно растет и не поддается учету из-за огромного числа практиче ских применений. Из последних достижений следует отметить то, что новый Международный стандарт сжатия изображений JPEC-2000 предусматривает сжатие при помощи разложения по вейвлетам. Одним из вариантов ВП является анализ сигналов со многими уровнями;

параметры соответствующей системы приве дены в стандартах Экспертной группы по движущимся 306 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА изображениям MPEG-4, обеспечивается сжатие информации более чем в 300 раз [*.33].

Подтверждением значимости ВП является и тот факт, что алго ритмы ВП представлены в составе широко распространенных паке тов Mathcad, Mathlab и Mathematica;

кроме того, фирмой Analog Devices разработаны и выпускаются однокристальные дешевые микросхемы ADV6xx (ADV601, ADV601LC, ADV611, ADV612), основанные на ВП и предназначенные для сжатия и восстановле ния изображений в реальном масштабе времени.

Более углубленно ознакомиться с теорией и применением ВП читатель может по приводимому ниже списку литературы. Следует особо выделить книгу Воробьева В. И. и Грибушина В. Г. [*.4], в которой не только изложены вопросы теории ВП, но и разработа ны принципы построения вейвлет-фильтров, практические аспек ты преобразования, приведены технические данные о микросхе мах ADV6xx, осуществляющих сжатие изображений на осно ве ВП.

16.3. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ Выполняется в терминальном классе. Используется популяр ный математический пакет Mathcad-2001. Примеры вейвлет преобразований приведены в прил. П.13.

16.3.1. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ НА ОСНОВЕ MHAT-ВЕЙВЛЕТА Сигнал S (t ) представляет собой сумму двух гармонических колебаний, т. е.

S (t ) = U1 sin[2(t 1 ) / T1 ] + U 2 sin[2(t 2 ) / T2 ], где U i, Ti и i – амплитуда, период и задержка соответствующей гармоники.

За исходные следует принять такие значения параметров:

U1 = U 2 = 1 В, T1 = 50, T2 = 10, 1 = 2 = 0.

Требуется:

а) определить вейвлет-спектр и вывести графики: а) поверхно сти Ws (a, b) в трехмерном пространстве, б) линий уровня на плос кости ( a, b );

16.3. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ б) построить несколько сечений спектра Ws (a, b) для различных (характерных) значений a и b, т. е. Ws (a1`, b), Ws (a2, b), Ws (a, b1 ), Ws (a, b2 ) ;

проанализировать результаты;

в) изменяя параметры сигнала (амплитуды, периоды и задержки гармоник), проанализируйте их влияние на форму его вейвлет спектра.

16.3.2. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СМЕСИ СИГНАЛА И ШУМА Исследуемый сигнал x (t ) представляет собой аддитивную смесь x(t ) = S (t ) + n(t ) детерминированного сигнала S (t ) и белого нормального шума n(t ), описываемого плотностью вероятности ( ) exp u 2 / 2.

w(u ) = Сигнал S (t ) берется по указанию преподавателя из табл. 16.2.

Исходные значения параметров шума и сигнала: = 0.5 В и U = 5 В, T = 100, = 50, t0 = 10, 1 = 5, = 0.1, U1 = U 2 = 2 В, T1 = 50, T2 = 10, t01 = t02 = 0, k = 0.1.

Требуется:

а) дискретизировать сигнал x (t ) и представить его графически, аргумент t должен иметь ровно N = 2n0 элементов ( n0 – целое, например, 8);

б) определить коэффициенты cm,k на основе встроенного пря мого ВП ( wave( x) ) и представить графически семейства этих ко эффициентов;

в) исследовать влияние параметров сигнала и шума на структу ру семейств коэффициентов cm,k ;

% г) осуществить синтез сигнала x(t ) на основе встроенного об ратного ВП ( iwave( w) ) ;

д) принять w j = 0 для j := 2 L..N 1 и исследовать влияние па раметра L на форму синтезируемого сигнала и сглаживание (и по давление) шума.

308 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА Таблица 16. Название сигнала Вари- S (t ) Аналитическое выражение, ант 0 Отрезок синусоиды U sin[2(t t0 ) / T ], t0 t t0 + 1 Прямоугольный импульс U, t0 t t0 + 2 Колокольный импульс U exp (t t0 ) 2 / 3 Треугольный импульс (2U / )(t t0 ), t0 t t0 + / 2, (2U / )(t + t0 + ), t0 + / 2 t t0 + 4 Пилообразный импульс (U / )(t t0 ), t0 t t0 + 5 Экспоненциальный им- U exp[ (t t0 )], t to пульс 6 Пара знакопеременных U, t0 t t0 +, прямоугольных импуль- U, t0 + t t0 + сов 7 Сумма двух гармоничес- U1 sin[2(t t01 ) / T1 ] + ких сигналов + U 2 sin[2(t t02 ) / T2 ] 8 Два последовательно U1 sin[2(t t0 ) / T1 ], t0 t t0 +, включенных отрезка си U 2 sin[2(t t0 ) / T2 ], t0 + t t0 + нусоиды U sin[(2 / T )(1 + kt )t ] 9 ЛЧМ-импульс ЛИТЕРАТУРА *.1. Воробьев В. И., Грибушин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобра зования. –СПб.: Изд-во ВУС, 1999. – 208 с.

*.2. Новиков Л. В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие– СПб.:

Изд-во 000 “МОДУС”. 1999. – 152 с.

*.3. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд-во СПбГТУ. 1999. – 132 с.

*.4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Москва;

Ижевск: НИЦ “Регу лярная и хаотическая динамика”, 2001. – 464 с.

*.5. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. –М.: Высшая школа, 2000. Глава 2, раздел 2.6. “Вейвлет-анализ”. – С.65–68.

*.6. Бердышев В. И., Петрак Л. В. Аппроксимация функций. Сжатие числен ной информации. Приложения. – Екатеринбург, 1999. Глава 1, раздел 12. “Вспле ски”. – С.127-150.

*.7. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: АФЦ, 1999. Глава 7.

“Введение в теорию всплесков”, С.244-296.

*.8. Чуи Т. К. Введение в вейвлеты. – М.: Мир, 2001. – 412 с.

*.9. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB. Обработка сигналов и изо бражений. Специальный справочник. – СПб.: Питер. 2002. – 608 с.

ЛИТЕРАТУРА *.10. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук, – 1998. – Т.166. – № 11. – С. 1145-1170.

*.11. Будников Е. Ю., Кукоев И. Ф., Максимов А. В. Вейвлет- и фурье-анализ электрических флуктуаций в полупроводниковых и электрохимических системах // Измерительная техника. – 1999. – № 11. – С.40-44.

*.12. Гречихин В. А., Евтихиева О. А., Есин М. В., Ринкевичус Б. С. Примене ние вейвлет-анализа моделей сигналов в лазерной доплеровской анемометрии // Автометрия. – 2000. – № 4. – С. 51-58.

*.13. Дольников В. А., Стрелков Н. А. Оптимальные вейвлеты // Изв. Тульского гос. ун-та, серия математика, механика, информатика. – 1997. – т.4. – № 5 – С.62-66.

*.14. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использова ние // Успехи физических наук, 2001. – Т.171. – № 5. – С.465-501.

*.15. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Практическое применение вейвлет-анализа // Наука производству, 2000.– № 6. – С.13-15.

*.16. Желудев В. А. О цифровой обработке сигналов при помощи сплайн-вейв летов и вейвлет-пакетов // ДАН, 1997, Т. 356. – № 5. – С. 592-596.

*.17. Захаров В.Г. Разработка и применение методов вейвлет-анализа к нели нейным гидродинамическим системам. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.– Пермь, 1997. – 84 с.

*.18. Иванова Т. И., Шишенков В. А. Вейвлет-спектр – новый инструмент для диагностики / Сб. матер. Межд. научно-техн. конф. “Новые материалы и техноло гии на рубеже веков”. – Пенза, 2000. – Ч.2. – С.187-189.

*.19. Кобелев В. Ю. Поиск оптимальных вейвлетов для сжатия цифровых сиг налов / Сб. тез. Докл. Научно-техню конф. “Современные проблемы естествозна ния. Физика”. – Ярославль, 1999. – С.38-39.

*.20. Кноте Карстен. Разработка и исследование быстрых параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах “wavelet”-функций.

Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук. – СПб., 2000.– 16 с.

*.21. Кравченко. В. Ф., Рвачев В. А. “Wavelet”-системы и их применение в об работке сигналоа // Зарубежная радиоэлектроника. – 1996. – № 4. – С.3-20.

*.22. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Сравнительное изучение двух вейв летных базисов // Проблемы передачи информации. – 2000, Т. 36. – вып. 2. – С.27-37.

*.23. Малоземов В. Н., Певный А. Б., Третьяков А. А. Быстрое вейвлетное пре образование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи информации. – 1998. – Т. 34. – Вып. 2. – С.77-85.

*.24. Новиков Л. В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Науч ное приборостроение. – 2000. – Т.10. – № 3. – С. 70-76.

*.25. Новиков Л. В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное приборо строение. – 1999. – Т.9. – № 2. – с. 30-37.

*.26. Осоков Г. А., Шитов А. Б. Применение вейвлет-анализа для обработки дискретных сигналов гауссовой формы / Сообщ. Объед. Ин-та ядерных иссл., Дубна. – 1997. – 22 с. Р-11-97-347.

*.27. Перепелица Н. И., Козьмин В. А. Системы анализа-синтеза на основе вейвлет-преобразования / 6-я Межд. научно-техн. конф. “Радиолокация, навига ция, связь”. – Воронеж. – 2000. – Т.1. – С. 157-163.

*.28. Стаховский И. Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов // ДАН. – 1996. – Т. 350. – № 3. – С. 393-396.

*.29. Стрелков Н. А. Универсально оптимальные всплески // Математический сборник. – 1997. – Т, 188. – № 1. – С.147-160.

*.30. Умняшкин С. В. Компрессия цифровых изображений на основе кодиро вания древовидных структрур вейвлет-коэффициентов с прогнозированием стати стических моделей // Известия вузов. Электроника. – 2001. – № 5. – С, 86-94.

310 ГЛАВА 16. ОСНОВЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА *.31. Чуб А. А. О различении сигналов с использованием вейвлет- преобразо вания наблюдений // Радиотехнические системы и устройства / Моск. Техн. ун-т связи и информ. – М., 1999. – С.21-37. Деп. В ЦНТИ “Информсвязь”, 27.04.1999, № 2145-св.99.

*.32. Шишенков В. А., Любимов В. В., Иванова Т. И. Повышение эффективно сти обработки сигналов на основе вейвлет-преобразования. – Тула, Тульский гос.

ун-т, 2001, 15 с. Рук деп. В ВИНИТИ 07.06.2001, № 1419-В2001.

*.33. Sletmann R. Komprimierung mit Wavelet // Funkschau, 1998, №16, S. 60-63.

*.34. Яковлев А.Н. Применение вейвлет-преобразования для обработки гидро акустических сигналов. Труды VI Межд. научно-техн. конф. "Актуальные про блемы электронного приборостроения. АПЭП–2002". – Новосибирск, 2002, том 4, с.47-52.

В настоящее время самым мощным источником информации является Интер нет. Поэтому полезно знакомство с Интернет-сайтами, посвященными вейвлетам.

Ниже приведены некоторые сайты по рассматриваемым вопросам:

• www. wavelet. org. – на этом сайте можно познакомиться с самыми послед ними книгами, статьями и диссертациями, узнать о предстоящих конференциях, задать вопрос по интересующей проблеме.

• http://www. mathsoft. com/wavelet. html – сайт содержит огромный список публикаций по теории и приложениям вейвлетов.

• http://playfair. stanford. edu/~wavelab – на этом сайте имеется обширная биб лиотека программ для Mathlab, которые распространяются бесплатно.

• www. math. spbu. ru/~dmp – сайт Санкт-Петербургского семинара “Всплески и их применения”, на котором можно получить сведения о русскоязычных публи кациях и о российских конференциях по данной тематике.

Подробный список Интернет-адресов имеется в [*.1].

ПРИЛОЖЕНИЯ П.1. НЕКОТОРЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ cos(90o ± ) = m sin, sin(90o ± ) = + cos, tg(90o ± ) = m ctg, cos(180o ± ) = cos, sin(180o ± ) = m sin, tg(180o ± ) = ± tg, cos(270o ± ) = ± sin, sin(270o ± ) = cos, tg(270o ± ) = m ctg, cos(360o ) = + cos, sin(360o ) = sin, tg(360o ) = tg.

ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ УГЛОВ И ФУНКЦИЙ cos( ± ) = cos cos m sin sin, sin( ± ) = sin cos ± cos sin, cos + cos = 2cos[( + ) / 2]cos[( ) / 2], cos cos = 2sin[( + ) / 2]sin[( ) / 2], sin + sin = 2sin[( + ) / 2]cos[( ) / 2], sin sin = 2cos[( + ) / 2]sin[( ) / 2].

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ cos cos = 0.5[cos( ) + cos( + ), sin sin = 0.5[cos( ) cos( + ), sin cos = 0.5[sin( ) + sin( + ).

ФОРМУЛЫ КРАТНЫХ АРГУМЕНТОВ cos 2 = 0.5(1 + cos 2 ), cos3 = (3/ 4) cos + (1/ 4) cos3, cos 4 = 3/ 8 + (1/ 2)cos 2 + (1/ 8)cos 4, cos5 = (5 / 8) cos + (5 /16) cos3 + (1/16)cos5, 312 ПРИЛОЖЕНИЯ sin 2 = 0.5(1 cos 2 ), sin 3 = (3/ 4)sin (1/ 4)sin 3, sin 4 = 3/ 8 (1/ 2) cos 2 + (1/ 8) cos 4, sin 5 = (5 / 8)sin (5 /16)sin 3 + (1/16)sin 5.

ФОРМУЛЫ ДВОЙНЫХ, ТРОЙНЫХ И ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ sin 2 = 2sin cos, cos 2 = cos 2 sin 2 = 1 2sin 2 = 2cos 2 1, cos3 = 4cos3 3cos, sin 3 = 3sin 4sin 3, cos( / 2) = ± 0.5(1 + cos ), sin( / 2) = ± 0.5(1 cos ).

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ shx = (e x e x ) / 2, sin x = jsh( jx) = (e jx e jx ) / 2 j, chx = (e x + e x ) / 2 cos x = ch( jx) = (e jx + e jx ) / 2, e jt = cos t + j sin t, e jt = cos t j sin t.

П.2. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Функция Производная Функция Производная x cos x sin x n n cos x – sin x x nx – 1/ x 2 1/ cos 2 x = sc 2 x tgx 1/ x – n / x n + 1/ x n – 1/ sin 2 x = csc 2 x ctgx 1/ 1 x 1/(2 x ) arcsin x x (n ) x n n n 1 – 1/ 1 x x arccos x 1/(1 + x 2 ) e ax ae ax arctgx – 1/(1 + x 2 ) ax a x ln x arcctgx ln x 1/ x shx chx 1/ ch 2 x log a x l/( x ln a ) thx – 1/ sh 2 x (lg e) / x 0.43/ x lg x cthx П.2. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ П.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. x n dx = x n +1 /(n + 1) ( n 1 ) 2. dx / x = ln x 3. eax dx = (1/ a )eax 4. xeax dx = (1/ a 2 )eax (ax 1) 5. x 2 eax dx = eax ( x 2 / a 2 x / a 2 + 2 / a3 ) 6. x p eax dx = (1/ a) x p eax ( p / a) x p 1eax dx 2 7. xe ax dx = (1/ 2a) e ax 2 2 8. x 2 e x dx = x e x + e x /2 /2 / dx 9. a x dx = a x / ln a 10. sin xdx = (1/ ) cos x 11. cos xdx = (1/ )sin x 12. sin 2 xdx = x / 2 (1/ 4)sin 2x 13. sin 3 xdx = (1/ )cos x + (1/ 3)cos3 x 14. cos 2 xdx = x / 2 + (1/ 4)sin 2x 15. cos3 xdx = (1/ )sin x (1/ 3)sin 3 x 16. x sin xdx = (1/ 2 )sin x ( x / )cos x 17. x cos xdx = (1/ 2 )cos x + ( x / )sin x 18. sin x cos xdx = (1/ 2)sin 2 x 19. eax cos bxdx = (a 2 + b 2 )1 e ax (a cos bx + b sin bx) X = a2 + x ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ 20. dx / X = Y / a, здесь и ниже Y = arctg( x / a ) 21. dx / X 2 = x /(2a 2 X ) + Y /(2a3 ) 314 ПРИЛОЖЕНИЯ 22. dx / X 3 = x /(2a 2 X 2 ) + 3x /(8a 4 X ) + 3Y /(8a5 ) 23. ( x 2 / X )dx =x aY 24. ( x 2 / X 2 )dx = (x / 2 X ) + Y /(2a) ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ sin 2 ax sin x dx = / 2 dx = a / 2.

1.

x x 0 sin 2 x a dx dx = = при a 3. 4.

2 2 +x 2a x (a (a dx dx = = 5. 6.

2 22 3 2 16a +x ) +x ) 4a 0 x 2 dx x 2 dx a (a = = 7. 8.

2 2 2 +x +x ) 4a 0 (a dx = ( a 0, b 0 ) 9.

2ab(a + b) 2 2 2 + x )(b + x ) x 2 k dx (k 1)!(2n k 3)!

(ax = 10.

2(2n 2)!a k c n k 2 n + c) ac 11. e x dx = 1/ ( 0 ) 12. xex dx = 1/ 13. x n e x dx = n ! n1 ( 0 ) П.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ e x dx = / 2a 14.

2 2 x x e dx = / 4a 15.

x e cos(mx)dx = /( 2 + m2 ) 16.

2 m x xe cos(mx)dx = 17.

( 2 + m 2 ) b 2 / 4 18. e x cos(mx)dx = e ma a cos(mx) dx = e 19. 2 +x 2a cos( mx) (1 + ma )e ma 20. dx = 2 22 (a + x ) 4a e ma n (2n k 2)!(2ma) k cos(mx) k !(n k 1)!

21. dx = (2a)2 n 1 (n 1)! k = (a 2 + x 2 )n ( a 0, m 0 ) x 2 cos(mx) (1 ma )e ma 22. dx = 2 (a + x ) 4a e mb e ma cos(mx) 23. dx = ab 2(a 2 b 2 ) b a 2 2 2 0 ( a + x )(b + x ) x 2 cos(mx) ma be mb ) (a 2 + x2 )(b2 + x2 ) dx = 2(a 2 b2 ) (ae 24.

25. e x / = 2 ( z ), где ( z ) = 1 ( z ), z 316 ПРИЛОЖЕНИЯ z x2 / e ( z) = 1 dx – табулированный интеграл вероятности 26. x 2 exp( x 2 / 22 )dx = / 2 x x П.5. ОБ АКТИВНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ И ШИРИНЕ СПЕКТРА П.4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ № & S (t ) S () Название теоремы п/п 1 Теорема о спектре сигнала, & aS (t ) aS ( ) умноженного на константу 2 Теорема о спектре суммы S1 (t ) +... + S n (t ) & & S1() +... + Sn () сигналов 3 Теорема о спектре сигнала, S ()e m j S (t m ) & смещенного во времени () 4 Теорема о смещении спектра S (t )em jt & S ( ± ) сигнала 1 & 5 Теорема о спектре сигнала при S (at ) S изменении масштаба времени a a 6 Теорема о спектре сигнала при S ( t ) & S () инверсии оси времени 7 Теорема о спектре производ d ( n) S /( dt ) n ( j) n S () & ной от сигнала 8 Теорема о спектре сигнала, t S (t )dt & (1/ j) S () проинтегрированного по вре мени 9 Теорема о спектре произведе- & & S (t )U (t ) S () U () ния сигналов 10 Теорема о произведении спек- S (t ) U (t ) & & S ()U () тров сигналов – знак интеграла свертки:

S ()U ( )d ;

& && & S () U () = S ()U (t )d S (t ) U (t ) = П.5. ОБ АКТИВНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ И ШИРИНЕ СПЕКТРА ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА Вычисления выражений (2.13) и (2.14) для некоторых им пульсных сигналов приведены в книге А. А. Харкевича “Спектры и анализ” (М.: Физматгиз, 1962. – 236 с.). Выбирая kэ = 0.9, получим результаты, приведенные в табл. П.1. Здесь = э f э.

318 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П. э f э Импульс S (t ) & S () Прямоугольный sin( / 2) S0 0. 0. S (t ) = S0, t / 2 / 2 Экспоненциальный S0 1. 1. 0. S (t ) = S0e t, t 0 + j Треугольный 2 0. S0 sin( / 4) 2S 0. 0. S (t ) = 0 t, t / 2 2 / 2 Косинусоидальный 2 S0 cos( / 2) 0. S (t ) = S0 cos 0t, t / 2, 0. 0. 1 ( / ) 2 = T / 2, T = 2 / Колокольный 0. S0 2 / 0.26 0. e S (t ) = S0e t Значение = э f э оказывается наибольшим у импульсов, ха рактеризующихся разрывом функции S (t ) (экспоненциальный и прямоугольный импульсы), меньшим – у импульсов с разрывом первой производной S (t ) (треугольный и косинусоидальный) и самым малым – у колокольного импульса, характеризующегося непрерывностью как функции S (t ), так и всех ее производных.

Из рассмотренного следует, что эффективная ширина спектра импульса связана с его длительностью зависимостью f э = / э, где – коэффициент, зависящий от формы импульса и принятого уровня kэ полной энергии, а следовательно, и уровней и f.

Выбирая kэ = 0.95 (95 %), получаем результаты, приведенные в табл. П.2, взятой из книги Я.С. Ицхоки “Импульсные устройства” (М.: Советское радио, 1959. – 728 с.

Оценку эффективной ширины спектра импульса можно произ вести также с помощью графика рис. П.1. На нем и в табл. П.2 при няты обозначения: 0.5 – длительность импульса, измеряемая на половинном уровне от амплитуды ( 0.5U );

tфа – активная длитель ность фронта, определяемая разностью соответствующих моментов времени достижения импульсом значений 0.9U и 0.1U.

П.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЕМ ПО ЛАПЛАСУ Таблица П. f э = f 0. Импульс 2/ Прямоугольный С экспоненциальными фронтами фа / 0.5 = 0.2 0.9 / С экспоненциальными фронтами фа / 0.5 = 0.1 1.37 / 0.9 / Трапецеидальный 0.94 / Треугольный 1/ Косинусоидальный Колокольный 0.31/ f0.95 ф0. 1. 1. 0. 0. 0.8 tфа ф 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0. Рис. П. П.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЕМ ПО ЛАПЛАСУ И ОРИГИНАЛОМ F ( p) f (t ) 1 (t ) (t ) 1/ p t ;

t 2 / 2 ;

t3 / 1/ p 2 ;

1/ p 3 ;

1/ p 1/( p + a ) e at p /( p + a) (t ) ae at 1/[ p ( p + a )] (1/ a )(1 e at ) (1/ a 2 )(1 e at ate at ) 1/[ p ( p + a ) 2 ] ch(at ) p /( p 2 a 2 ) 1/[( p + a )( p + b)] [1/(b a )](e at e bt ) 320 ПРИЛОЖЕНИЯ p /[( p + a )( p + b)] [1/( a b)]( ae at be bt ) te at 1/( p + a ) (1 at )e at p /( p + a ) (t 2 / 2)e at 1/( p + a) t (1 at / 2)e at p /( p + a ) (1 2at + a 2t 2 / 2)e at p 2 /( p + a ) (t 3 / 6)e at 1/( p + a ) (t 2 / 2)e at (at 3 / 2)e at p /( p + a ) sin t /( p 2 + 2 ) cos t p /( p 2 + 2 ) e at sin t /[( p + a) 2 + 2 ] e at cos t ( p + a ) /[( p + a ) 2 + 2 ] (1/ a 2 )(e at + at 1) 1/[ p 2 ( p + a )] [1/( a 2 + 2 )][1 e at (cos t + (a / )sin t )] 1/{ p[( p + a ) 2 + 2 ]} [1/(a 2 + 2 )][ ae at + a cos t + sin t )] p /[( p + a )( p 2 + 2 )] [1/( a 2 + 2 )][a 2e at a sin t + 2 cos t )] p 2 /[( p + a )( p 2 + 2 )] ( ) 1/[( p + a )2 ( p + b) 2 ] 1/(a b)2 e at t + 2 /(a b)) + ebt (t 2 /(a b) П.7. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ Этот закон широко используется не только в радиотехнике [1–3, 8–11], но и практически во всех областях знаний, так как большое число различных по своей природе случайных величин имеет рас пределение, близкое к нормальному (рис. П.2) 1 1 1 x2 / 2 2 e (u a ) / 2 = w(u ) = = w( x), (П.1) e 2 где x = (u a ) / – относительное отклонение случайной величины U ;

следовательно, u = x + a ;

w( x) – плотность вероятности с единичной дисперсией (табл. П.3).

П.7. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

w(u) F(u) 1. 1/ 2ру 0. a a u u Рис. П. Таблица П. Значения функции w( x) x x x x x x w( x ) w( x ) w( x ) w( x ) w( x ) w( x ) 0.0 0.3989 0.6.3332 1.2.1942 1.8.0790 2.4.0224 3.0. 0.1.3970 0.7.3123 1.3.1714 1.9.0656 2.5.0175 3.2. 0.2.3910 0.8.2897 1.4.1497 2.0.0540 2.6.0136 3.4. 0.3.3814 0.9.2661 1.5.1295 2.1.0440 2.7.0104 3.6. 0.4.3838 1.0.2420 1.6.1109 2.2.0355 2.8.0079 3.8. 0.5.3521 1.1 2179 1.7.0940 2.3.0283 2.9.0060 4.0. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [, x] равна интегралу от плотности вероятности w( x) в пределах от до x, т. е.

x w( z )dz = ( x), P( X x) = F ( x) = (П.2) где x 1 z2 / e dz, Ф( x) = 1 Ф( x) Ф( x) = (П.3) – табулированный интеграл вероятности (табл. П.4).

Таблица П. Значения интеграла вероятности Ф( x) x x x x x x Ф( x ) Ф( x) Ф( x ) Ф( x ) Ф( x) Ф( x ) 0.0 0.5000 0.6.7257 1.2.8849 1.8.9641 2.4.9918 3.0. 0.1.5598 0.7.7580 1.3.9032 1.9.9713 2.5.9938 3.2. 0.2.5793 0.8 7881 1.4.9192 2.0.9772 2.6.9953 3.4. 322 ПРИЛОЖЕНИЯ Окончание табл. П. x x x x x x Ф( x ) Ф( x) Ф( x ) Ф( x ) Ф( x) Ф( x ) 0.3.6179 0.9.8159 1.5.9332 2.1.9821 2.7.9965 3.6. 0.4.6554 1.0.8413 1.6.9452 2.2.9861 2.8.9974 3.8. 0.5.6915 1.1.8643 1.7.9554 2.3.9893 2.9.9981 4.0. Характеристическая функция (v) = e jva v / (П.4) ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:

m=a;

математическое ожидание................................

;

среднеквадратическое отклонение...................

E = 0.66 ;

срединное отклонение.......................................

D = 2 = 2 ;

второй центральный момент (дисперсия)........

3 = 0 ;

третий центральный момент.............................

коэффициент асимметрии................................. 1 = 3 / 3 = 0 ;

четвертый центральный момент...................... 4 = 3 4 ;

коэффициент эксцесса....................................... 2 = 4 / D2 3 = 0 ;

энтропия.............................................................. H = ln( 2e ).

П.8. ПРИМЕРЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО И СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА НЭ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ СТЕПЕННЫМ ПОЛИНОМОМ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ниже представлены значения амплитуд и фаз составляющих на выходе безынерционного нелинейного элемента в случае, когда y = f ( x ) = a0 + a1 x1 + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4, x = x (t ) = X 0 + X m cos(0t + 0 ).

№ Член Частота и фаза Амплитуда составляющей полинома составляющей п/п a0 a 1 a1x a1 X 2 0, 0 a1 X m П.8. ПРИМЕРЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО И СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА № Член Частота и фаза Амплитуда составляющей полинома составляющей п/п a2 x 2 2 a2 X 0 + a2 X m / 4 0, 0 2a2 X 0 X m 20, 20 6 (a2 / 2) X m a3 x3 3 a3 X 0 + (3/ 2)a3 X 0 X m 7 0, 0 2 3a3 X 0 X m + (3/ 4)a3 X m 20, 20 9 (3/ 2)a3 X 0 X m 30, 30 10 (1/ 4)a3 X m a4 x 4 4 a4 X 0 + (3/8)a4 X m 11 o, o 3 4a4 X 0 X m + 3a4 X 0 X m 20, 20 22 3a4 X 0 X m + (1/ 2)a4 X m 30, 30 14 a4 X 0 X m 40, 40 15 (1/ 8)a4 X m y (t ) = Y0 + Y1 cos(0t + 0 ) + Y2 cos 2(0t + 0 ) + Y3 cos 3(0t + 0 ) + + Y4 cos 4(0t + 0 ) 2 Y0 = b0 + (1/ 2) a2 X 0 + (3/ 2) a3 X 0 X m + (3/ 8) a4 X m, где 3 3 2 Y1 = b1 X m + (3/ 4) a3 X m + 3a4 X m, Y2 = (1/ 2)b2 X m + (1/ 2) a4 X m, 3 Y3 = (1/ 4)b3 X m, Y4 = (1/ 8)b4 X m ;

здесь 1 dny 2 3 bn =, b0 = a0 + a1 X 0 + a2 X 0 + a3 X 0 + a4 X 0, n ! dx n x = X b1 = b0 = a1 + 2a2 X 0 + 3a3 X 0 + 4a4 X 0, 2 b2 = b1 / 2 = a2 + 3a3 X 0 + 6a4 X 0, 324 ПРИЛОЖЕНИЯ b3 = b2 / 3 = a3 + 4a4 X 0, b4 = b3 / 4 = a4.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Ниже представлены значения амплитуд и фаз спектральных со ставляющих в случае, когда y = f ( x ) = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x3, x = x (t ) = X 1 cos(1t + 1 ) + X 2 cos(2t + 2 ) + X 3 cos(3t + 3 ).

№ Член Частота и фаза Амплитуда составляющей п/п полинома составляющей b0 b 1 1, 1, b1x a1 X 2, 2, a1 X 3, 3, a1 X 2 2 2 a2 ( X1 + X 2 + X 3 ) 5 b2 x 21, 21 6 a2 X1 / 22, 22 7 a2 X 2 / 23, 23 8 a2 X 3 / 1 m 2, 1 m 2 a2 X1 X 1 m 3, 1 m 3 a2 X1 X 2 m 3, 2 m 3 a2 X 2 X 1, 1, b3 x3 2 2 (3/ 4)a3 X1( X1 + 2 X 2 + 2 X 3 ) 2, 2, 2 2 (3/ 4)a3 X 2 ( X 2 + 2 X 3 + 2 X1 ) 3, 3, 2 2 (3/ 4)a3 X 3 ( X 3 + 2 X 2 + 2 X1 ) 21 m 2, 21 m 2 15 (3/ 4)a3 X1 X 21 m 3, 21 m 3 16 (3/ 4)a3 X1 X 22 m 3, 22 m 3 17 (3/ 4)a3 X 2 X П.9. ФУНКЦИИ БЕРГА (КОЭФФИЦИЕНТЫ ГАРМОНИК) № Член Частота и фаза Амплитуда составляющей п/п полинома составляющей 1 m 22, 1 m 22 18 (3/ 4)a3 X1 X 1 m 23, 1 m 23 19 (3/ 4)a3 X1 X 2 m 23, 2 m 23 20 (3/ 4)a3 X 2 X 1 m 2 m 3, (3/ 4)a3 X1 X 2 X 1 m 2 m 31, 31 22 (1/ 4)a3 X 32, 32 23 (1/ 4)a3 X 33, 33 24 (1/ 4)a3 X П.9. ФУНКЦИИ БЕРГА (КОЭФФИЦИЕНТЫ ГАРМОНИК) sin cos sin cos I0 I, 1 () = 1 = 0 () = =, SU m SU m 2 sin(n) cos n cos(n)sin In, n = 2,3, 4,....

n () = = SU m n(n 2 1) n () In n () = =, I max = SU m (1 cos ), 1 cos I max cos = (U н U o ) / U m при S 0, cos = (U o U н ) / U m при S 0.

326 ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П. 0 1 2 10 3 10 4 0 1 2 10 3 10 5.0001.0001.0001.0014.0014.0185.0370.0369.3678. 10.0006.0011.0011.0109.0107.0370.0738.0731.7203. 15.0019.0038.0037.0355.0388.0555.1102.1080 1.0430. 20.0045.0088.0085.0798.0730.0739.1461.1408 1.3229 1. 25.0086.0170.0160.1452.1258.0923.1811.1710 1.5494 1. 30.0148.0288.0265.2297.1857.1106.2152.1980 1.7147 1. 35.0233.0449.0400.3280.2423.1288.2482.2214 1.8138 1. 40.0344.0655.0564.4317.2842.1469.2799.2409 1.8454 1. 45.0483.0908.0750.5305.3001.1649.3102.2562 1.8113 1. 50.0653.1210.0954.6132.2822.1828.3388.2671 1.7166. 55.0855.1560.1166.6690.2272.2005.3658.2735 1.5689. 60.1090.1955.1378.6892.1378.2180.3910.2757 1.3783. 65.1359.2392.1580.6676.0226.2353.4143.2736 1.1563. 70.1661.2866.1761.6022 -.1050.2524.4356.2676.9153 -. 75.1996.3371.1912.4950 -.2288.2693.4548.2580.6678 -. 80.2363.3900.2027.3520 -.3320.2860.4720.2453.4259 -. 85.2759.4446.2098.1828 -.4005.3023.4870.2298.2003 -. 90.3183.5000.2122.0000 -.4244.3183.5000.2122.0000 -. 95.3631.5554.2098 -.1828 -.4005.3340.5109.1930 -.1682 -. 100.4099.6100.2027 -.3520 -.3320.3493.5197.1727 -.2999 -. 105.4584.6629.1912 -.4950 -.2288.3642.5266.1519 -.3932 -. 110.5081.7134.1761 -.6022 -.1050.3786.5316.1312 -.4488 -. 115.5585.7608.1580 -.6676.0226.3926.5348.1110 -.4693. 120.6090.8045.1378 -.6892.1378.4060.5363.0919 -.4594. 125.6591.8440.1166 -.6690.2272.4188.5364.0741 -.4252. 130.7081.8790.0954 -.6132.2822.4310.5350.0581 -.3733. 135.7554.9092.0750 -.5305.3001.4425.5326.0439 -.3108. 140.8004.9345.0564 -.4317.2842.4532.5292.0319 -.2445. 145.8424.9551.0400 -.3280.2423.4631.5250.0220 -.1803. 150.8808.9712.0265 -.2297.1857.4720.5204.0142 -.1231. 155.9150.9830.0160 -.1452.1258.4800.5157.0084 -.0762. 160.9442.9912.0085 -.0798.0730.4868.5110.0044 -.0411. 165.9678.9962.0037 -.0355.0338.4923.5068.0019 -.0181. 170.9854.9989.0011 -.0109.0107.4965.5033.0005 -.0055. 175.9963.9999.0001 -.0014.0014.4991.5009.0001 -.0007. 180 1.000 1.000.0000 0.0000 0.0000.5000.5000.0000 0.0000 0. П.10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ г n (и) 0. 0. 0. 0. 1 0. 0. 2 0. 0. 3 0. и, град –0.1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 n (и) 0. 0. 0. 0. 0. 3 0. 5 и, град -0. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 Рис. П. П.10. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ sin( x sin ) = 2 J1 ( x)sin + 2 J 3 ( x)sin 3 +..., sin( x cos ) = 2 J1 ( x) cos 2 J 3 ( x) cos3 +..., cos( x sin ) = J 0 ( x) + 2 J 2 ( x) cos 2 + 2 J 4 ( x) cos 4 +..., cos( x cos ) = J 0 ( x) 2 J 2 ( x) cos 2 + 2 J 4 ( x)cos 4..., 328 ПРИЛОЖЕНИЯ где J n ( x) – функция Бесселя первого рода n -го порядка. Значения функций Бесселя приведены в табл. П.6, а графики представлены на рис. П.4. В табл. П.7 даны значения x для нулевых значений J n ( x).

Таблица П. x J 0 ( x) J1 ( x) J 2 ( x) J 3 ( x) J 4 ( x) J 5 ( x) J 6 ( x) J 7 ( x) J 8 ( x) J 9 ( x) 0.0 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000. 0.5.938.242. 1.0.765.440.115.019.002.000.000.000.000. 1.5.512.558. 2.0.224.577.353.129.034.007.001.000.000. 2.5 -.048.497. 3.0 -.260.339.486.309.132.043.011.002.000. 3.5 -.380.137. 4.0 -.397 -.066.364.430.281.132.049.015.004. 4.5 -.320 -.231. 5.0 -.178 -.328.047.365.391.261.131.053.018. 5.5 -.007 -.341 -.117.252.396.320.187.087.034. 6.0.151 -.277 -.243.115.358.362.246.129.056. 6.5.260 -.154 -.307 -.035.274.373.300.180.088. 7.0.300 -.005 -.301 -.168.158.348.339.234.128. 7.5.266.135 -.230 -.257.024.283.353.283.175. 8.0.172.235 -.113 -.291 -.105.186.338.320.223. 8.5.042.273.022 -.261 -.206.067.286.337.269. 9.0 -.090.245.145 -.181 -.265 -.055.204.327.305. 9.5 -.194.162.228 -.065 -.268 -.160.099.268.323. 10.0 -.246.043.254.058 -.220 -.234 -.014.217.318. 10.5 -.237 -.079.222.162 -.128 -.260 -.120.123.283. 11.0 -.171 -.177.139.227 -.015 -.238 -.202.018.225. 11.5 -.068 -.228.028.237.096 -.170 -.244 -.084.142. 12.0.048 -.223 -.085.195.182 -.073 -.244 -.170.045. 12.5.147 -.165 -.173.110.225.035 -.198 -.224 -.054. 13.0.207 -.070 -.218.003.219.132 -.118 -.241 -.141. 13.5.215.038 -.209 -.103.164.197 -.018 -.213 -.203 -. 14.0.171.133 -.152 -.177.076.220.081 -.151 -.232 -. 14.5.088.193 -.061 -.209 -.026.195.160 -.062 -.220 -. 15.0 -.014.205.042 -.194 -.119.130.206.034 -.174 -. П.11. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Таблица П. x для соответствующего номера нуля Значение J n ( x) 1 2 3 4 5 6 7 8 J0 2.40 5.52 8.65 11.79 14.93 18.07 21.21 24.35 27. J1 3.83 7.01 10.17 13.32 16.47 19.62 22.76 25.90 29. J2 5.14 8.41 11.62 14.80 17.96 21.12 24.27 27.42 30. J3 6.38 9.76 13.02 16.22 19.41 22.58 25.75 28.91 32. J4 7.59 11.06 14.37 17.62 20.83 24.02 27.20 30.37 33. J5 8.77 12.34 15.70 18.98 22.22 25.43 28.63 31.81 34. J6 9.94 13.59 17.00 20.32 23.59 25.82 30.03 33.23 36. J7 11.09 14.82 18.29 21.64 24.93 28.19 31.42 34.64 37. J8 12.22 16.04 19.55 22.95 26.27 29.55 32.80 36.03 39. Jn(x) 0. J 0. 0. J 0. J 0. J4 J 0. J 0. 0. 0. 0. 0. 0. J J 0. 0. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Рис. П. П.11. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ В математической литературе эти функции обозначаются сим волом I n ( x). Но ввиду того, что амплитуда тока также обозначает ся символом I, то обозначим модифицированные функции Бесселя 330 ПРИЛОЖЕНИЯ символом Bn ( x). Они могут быть представлены степенным рядом [11]:

( x 2 / 4) k Bn ( x) = ( x / 2)n, k = 0 k ! Г ( n + k + 1) где Г (n + k + 1) = ( n + k )! – гамма-функция.

Некоторые первые функции представлены графически на рис. П.5, а их значения даны в табл. П.8.

Bn ( x ) 20 B B I0( x) I1( x) B ( 2, x) In B In( 3, x) 10 B In( 4, x) B In( 5, x) x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 0 x Bn ( x ) 0. I1( x) 0. ( 2, x) In 0. In( 3, x) B2 B3 B4 B5 B B1 B 0. In( 4, x) 0. In( 5, x) In( 6, x) 0. In( 7, x) 0. B In( 8, x) 0. 0. x 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Рис. П. П.12. ПАРАМЕТРЫ И СХЕМЫ Таблица П. x x B0 ( x ) B1 ( x) B2 ( x) B3 ( x ) B4 ( x) B0 ( x ) B1 ( x) B2 ( x) B3 ( x ) B4 ( x) 0.0 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 – – – – – – 0.2 1.01 0.10 0.01 0.00 0.00 3.2 5.75 4.73 2.79 1.25 0. 0.4 1.04 0.20 0.02 0.00 0.00 3.4 6.78 5.67 3.45 1.61 0. 0.6 1.09 0.31 0.05 0.00 0.00 3.6 8.03 6.79 4.25 2.07 0. 0.8 1.17 0.43 0.08 0.01 0.00 3.8 9.52 8.14 5.23 2.63 1. 1.0 1.27 0.57 0.14 0.02 0.00 4.0 11.3 9.76 6.42 3.34 1. 1.2 1.39 0.71 0.20 0.04 0.01 4.2 13.4 11.7 7.87 4.21 1. 1.4 1.55 0.89 0.29 0.06 0.01 4.4 16.0 14.0 9.63 5.30 2. 1.6 1.75 1.08 0.39 0.10 0.02 4.6 19.1 16.9 11.8 6.64 3. 1.8 1.99 1.32 0.53 0.15 0.03 4.8 22.8 20.3 14.4 8.29 3. 2.0 2.28 1.59 0.69 0.21 0.05 5.0 27.2 24.3 17.5 10.3 5. 2.2 2.63 1.91 0.89 0.30 0.08 5.2 32.6 29.3 21.3 12.8 6. 2.4 3.05 2.30 1.13 0.41 0.11 5.4 39.0 35.2 26.0 15.9 8. 2.6 3.55 2.76 1.43 0.55 0.17 5.6 46.7 42.3 31.6 19.7 10. 2.8 4.16 3.30 1.80 0.73 0.23 5.8 56.0 50.9 38.5 24.4 13. 3.0 4.88 3.95 2.25 0.96 0.33 6.0 67.2 61.3 46.8 30.2 16. П.12. ПАРАМЕТРЫ И СХЕМЫ АНАЛОГОВЫХ ПЕРЕМНОЖИТЕЛЕЙ СИГНАЛОВ Основные параметры аналоговых перемножителей сигналов (АПС) приведены в табл. П.9 [7,8].

На рис. П.6 даны схемы АПС типа К140МА1: электрическая (а), включения (б) и преобразователя сигналов (в), используемого в ла боратории РТЦиС [20].

На рис. П.7 приведены схемы включения АПС типа К525ПС3, а на рис. П.8 – зависимость U вых = f (U x, U y ) для схемы рис. П.7, а.

Таблица П. Тип Параметр К140МА1 К526ПС1 К525ПС1 К525ПС2 К525ПС Масштабный коэффици 0.1*) ент k0 3.5 0.4 0.1 0. Погрешность перемноже ния ош, % – – 2 1 0. 332 ПРИЛОЖЕНИЯ Окончание табл. П. Тип Параметр К140МА1 К526ПС1 К525ПС1 К525ПС2 К525ПС Нелинейность перемно жения н, %: по входу Х 2 0.5 0. по входу Y – – 2 0.5 0. Максимальное входное напряжение U вх.макс, В ±3 ±10 ± ± – Коэффициент подавления опорного/управляющего сигнала K пo / K пy, дБ 50/50 40/20 – – – Остаточное напряжение U ост, мВ:

по входу Х 1.5 50 80 по входу Y 4.0 – 100 60 Входное сопротивление Rвх, МОм 0.04 0.05 35 10 Скорость нарастания выходного напряжения v, В/мкс – – 10 45 Полоса пропускания f 0.7, МГц 2 80 1.5 1 Входной ток I вх, мкА 20 – 8 2 Разность входных токов I p, мкА 5 – 1 0.3 0. Потребляемый ток I п, мкА 5 4 5 4 Напряжение питания Un, В ±6 ±12 ±6 ±16 ±12 ±18 ±10 ± Для получения k0 = 1 вместо 0.1 необходимо между выводами 11, 12 и 10 включить резистивный делитель: 90 кОм, 10 кОм со средней точкой, подключаемой к выводу 11. При этом резистор 10 кОм шунтируется емкостью 200 пФ, чтобы не уменьшилась по лоса пропускания (рис. П.7, а).

П.12. ПАРАМЕТРЫ И СХЕМЫ 7 4к 4к 4к 4к 500 500 500 а +12 В 3.6к 3.6к 3.6к Uвых Y(t) 0. 6 7 51 0. 9 К140МА1 X(t) 51 5 0. 500 4 2 12 2.4к 51 56к R4, Rсм -12 В б +12 В -12 В 0. ЕП Q 3.6к 3.6к 2к UУ 0.68 41к SA1 Вых 0. “умн” 51к UX 0.68 К140МА Вых 51к 11 2 12 4 51к +U SA2 SA 5.6к -U в Рис. П. 334 ПРИЛОЖЕНИЯ 2 7 10 UВЫХ |UX|10 в |UX|10 в 1 12 6 К525ПС3 6 К525ПС 90к |UY|10 в |UY|10 в 11 11 12 RГ 10к 200пФ IВЫХ а) UВЫХ=UXUY б) IВЫХ=UXUY/10RГ UY 6 11 2 11 UВЫХ UX0 UZ0 К525ПС 10 К525ПС RН0.4к UВЫХ |UZ|10 в 7 12 62 12 |UX|10 в 10 U Z + U X г) UВЫХ= в) UВЫХ=10UZ/UX+UY 10к 30к |UX|10 в1 7 10 2 |UX|10 в К525ПС3 К525ПС3 12 UВЫХ UВЫХ 1к 6 10 11 12 1к Umsin0t |UY|10 в 2 е) UВЫХ= (U X U Y )/ д) UВЫХ=(1+UX/10)Umsin0t uВЫХ 10 1.5 uY=1.0 в 5 3 2 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 12 uX, в Рис. П. П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-СПЕКТРА НА ОСНОВЕ “МЕКСИКАНСКОЙ ШЛЯПЫ” (MHAT-ВЕЙВЛЕТА) Программирование ВП базируется на соотношениях (16.2) – (16.7).


Один из примеров программы вейвлет-анализа приведен в книге Кирьянова Д. В. “Самоучитель МathCAD-2001.” – Спб: БХВ Петербург, 2001. – 544 с. Воспользуемся им.

На основе использования MHAT-вейвлета (“мексиканская шля па”) проанализируем сигнал s (t ), состоящий из суммы двух гар монических колебаний, т. е.

1. 1. 0. f ( t) 0. 1. 1.3 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 0 t t t s (t ) := sin(2) + 0.3sin(2 ) 50 d MHAT(t ) := 2 et / dt N:= t b (a, b, t ) := MHAT a N (a, b, t ) f (t )dt W (a, b) := N (i + 10) N ai := i:= 0.. 13 b:= 0, 1..

2 N Ni,b := W (ai ), 2b 336 ПРИЛОЖЕНИЯ График двухпараметрического спектра c( a, b) выведен на рис. П.8 в виде поверхности в трехмерном пространстве, а на рис.

П.9 в виде привычных для ВП изоуровней на плоскости (a, b).

NT Рис. П. NT Рис. П. На рис. П.10 приведены “сечения” вейвлет-спектра для двух значений параметра а (индекса i ). При i = 0, т. е. при относитель но небольшом параметре временного масштаба a сечение спектра несет информацию только о высокочастотной составляющей сиг нала, отфильтровывая (подавляя) его низкочастотную компоненту.

С ростом i увеличивается параметр a, происходит растяжение базисной функции [(t b) / a ] и, следовательно, сужение ее спек тра, т. е. уменьшение полосы частотного “окна”. В результате при П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ i = 7 сечение спектра представляет собой лишь низкочастотную компоненту сигнала. При дальнейшем увеличении i полоса окна еще уменьшается и уровень этой низкочастотной компоненты убы вает до постоянной составляющей (при i 13 ), равной нулю для анализируемого сигнала.

1. 1. 0. N0, b 0. 1. 1.967 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 0 b а 25 N7, b 25 2025 0 2.5 5 7.5 10 12. 15 17. 20 22. 0 b б Рис. П. 2. ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МАТЕРИНСКОГО ВЕЙВЛЕТА ДОБЕШИ Компьютерный пакет MathCAD-2001 позволяет производить вейвлет-преобразование (ВП) на основе встроенной вейвлетобра зующей функции Добеши:

wave (x) – вектор прямого ВП;

iwave (w) – вектор обратного ВП;

x – вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;

w – вектор данных вейвлет-спектра.

Аргумент y функции wave( x) ВП, т. е. вектор x, должен иметь ровно N = 2n0 элементов ( n0 – целое число). Результатом функции wave( x) является вектор, скомпонованный из коэффициентов двухпараметрического вейвлет-спектра cmk.

338 ПРИЛОЖЕНИЯ Пример. Исследуемый сигнал x (t ) представляет собой адди тивную смесь x(t ) = S (t ) + n(t ) прямоугольного видеоимпульса S (t ) и белого нормального шума n (t ) :

U if t0 t t0 + s (t ) := 0 otherwise U = 5 В, t0 = 40 = Представление сигнала и шума в дискретном виде:

n0 = 8, N = 2no, N = 256, i := 0..N si := s(i ) := 0.3 ni := 2ln(rnd (1)) sin(2rnd (1)) xi 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 i xi := si + ni Вейвлет-анализ, т. е. прямое ВП:

i := 0..N 1 y := x w := wave( y ) z := n0 1 z = 7 m := 1, 2..z coeffs(level ) := submatrix( w, 2level, 2level 1,0,0) ci, z m := coeffs( m) i flor N m П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Семейства коэффициентов вычисленного вейвлет-спектра пока заны на рис. П.11, а весь спектр – на рис. П.12.

2. () ci ( c1)i 1.

0 50 100 150 200 0 i (c2 ) i (c3 ) i (c4 ) i 6.

0 50 100 150 200 0 i 20 (c5) i (c6) i (c7) i 0 50 100 150 200 0 i Рис. П. () m Примечание. У коэффициентов c нижний индекс i означает номер те i кущего отсчета времени и принимает N значений от 0 до N – 1, а верхний m име ет тот же смысл, что и у вейвлет-коэффициентов cmk, определяемых по формуле (16.5). Напомним, что параметры m и k (которым соответствуют индексы вейв лет-коэффициентов) характеризуют дискретные изменения временного масштаба 340 ПРИЛОЖЕНИЯ ( a = 2m ) вейвлета и его сдвига (b = k 2m ) во времени. Для текущего масштаба m параметр k имеет 2 n0 m значений от 0 до 2 n0 m 1. В частности, для m = ( a = 1 ) вейвлет 0 k ( x ) смещается N раз (включая нуль), т. е. индекс k в cmk и ( ) совпадают. При m = 1 вейвлет индекс i в c расширяется по сравне 1k ( x ) i нию с вейвлетом 0 k ( x) в два раза и общее число сдвигов будет в два раза мень ше;

при этом значение k будет изменяться через два отсчета i. Для наибольшего временного масштаба, когда m = n0 1 (в данном случае 7), k = 0 и один вейвлет () 7,0 ( x ) “накроет” весь временной интервал;

при этом значение c будет по i стоянным и равным c7,0 при всех значениях i от 0 до N – 1.

c Рис. П. Вейвлет-синтез, т. е. обратное ВП.

x1i := iwave( w).

Синтезируемый сигнал:

Осуществим синтезирование сигнала с подавлением коэффици ентов cm,k при быстрых (высокочастотных) слагаемых обобщенно го ряда Фурье (16.6):

j := 2 L..N 1 w j := 0.

Результаты представлены на рис. П.13. Очевидно, что при L = n0 = 8 синтез происходит без подавления составляющих и ис следуемый xi и синтезируемый x1i сигналы полностью совпадают.

С уменьшением параметра L расширяется полоса подавления составляющих в вейвлет-спектре, что эквивалентно пропусканию сигнала через фильтр низких частот с уменьшающейся полосой пропускания фильтра и, следовательно, росту подавления шума и П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ относительно высокочастотных компонент сигнала;

последнее приводит к искажению (затягиванию) фронтов импульса.

7 xi x1i 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 i L = no = 7 xi x1i 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 i L := 7 xi x1i 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 i L := 7 xi x1i 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 i L := Рис. П. 342 ПРИЛОЖЕНИЯ 3. MATLAB С ПАКЕТОМ WAVELET Пакет Wavelet, прилагаемый к MatLAB, представляет пользова телю полный набор программ для исследования с помощью вейв летов многомерных нестационарных процессов. Пакет весьма по лезен для таких приложений, как обработка речевых сигналов и аудиосигналов, телекоммуникация, локация, геофизика, финансы, медицина и др.

Основные свойства пакета 1 :

– усовершенствованный графический пользовательский интер фейс и набор команд для анализа, синтеза, фильтрации сигналов и изображений;

– преобразование многомерных непрерывных сигналов;

– дискретное преобразование сигналов;

– декомпозиция сигналов и изображений;

– широкий выбор базисных функций, включая коррекцию гра ничных эффектов;

– пакетная обработка сигналов и изображений;

– анализ пакетов сигналов, основанный на энтропии;

– фильтрация с возможностью установления жестких и нежест ких порогов;

– оптимальное сжатие сигналов.

Пакет позволяет анализировать такие особенности, которые упускают другие методы анализа сигналов, а именно, тренды, вы бросы, разрывы в производных высоких порядков. Пользуясь паке том, можно сжимать и фильтровать сигналы без явных потерь даже в тех случаях, когда нужно сохранить и низко- и высокочастотные компоненты сигнала. В пакет включены следующие материнские наборы вейвлетов: “материнская шляпа”, Хаара, Мейера, биорто гональный и др. Обширное руководство пользователя поясняет принципы работы с пакетом, сопровождая их многочисленными примерами и ссылками.

4. ВЕЙВЛЕТЫ ДОБЕШИ. БВП Существуют алгоритмы быстрого вейвлет-преобразования (БВП), разработанные в соответствии с концепцией кратномасштаб ного анализа (КМА) [33, 34]. В них используются компактно задан ные вейвлеты и, в частности, вейвлеты Добеши (Daubechies) [34].

Материнский вейвлет Добеши описывается уравнениями:

2 n ( x) = 2 g k (2 x k ), (П.13.1) k = Дьяконов В. П. MatLAB. Учебный курс. СПб.: Питер. – 2001. – 592 с.

П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 2 n ( x) = 2 hk (2 x k ), (П.13.2) k = где g k = ( 1)k h2 n 1 k, hk = ( ( x), (2 x k ) ). (П.13.3) Функция ( x), получаемая из решения уравнения (П.13.2), на зывается масштабирующей (её часто называют также “отцовским” вейвлетом). Коэффициенты hk принято называть вейвлет коэффициентами. Они образуют дискретный фильтр ВП и полно стью характеризуют саму функцию ( x), т. е. эта функция может быть получена с любой точностью. Число n – это порядок вейвлета.

Вейвлеты n -го порядка существуют только на интервале длиной (2n 1) и имеют 2n отличных от нуля вейвлет-коэффициентов hk.

Решение уравнения (П.13.2) дает 2 :

• для n = 2 (четырехточечный фильтр Добеши):

h0 = (1 + 3) /(4 2) = 0.482963, h1 = (3 + 3) /(4 2) = 0.836516, h2 = (3 3) /(4 2) = 0.224144, h3 = (1 3) /(4 2) = - 0.129409, g0 = h3, g1 = h2, g 2 = h1, g3 = h0 ;

для n = 3 (шеститочечный фильтр):

• h0 = 0.332670, h1 = 0.806891, h2 = 0.459877, h3 = – 0.135011, h4 = – 0.085441, h5 = 0.035227.

• для n = 4 (восьмиточечный фильтр):


h0 = 0.230377, h1 = 0.714847, h2 = 0.630881, h3 = – 0.027984, h4 = – 0.187035, h5 = 0.030841, h6 = 0.032883, h7 = – 0.010597.

Функции Добеши первого порядка ( n = 1 ) совпадают с функциями Хаара.

344 ПРИЛОЖЕНИЯ На рис. П.14 приведены отцовский (сплошной линией) и мате ринский вейвлеты второго, третьего и четвертого порядков, кото рые задаются приведенными выше коэффициентами фильтров.

Простейший вейвлет четвертого порядка (восьмиточечный фильтр D 4 или db 4 ) используется в вейвлет-преобразованиях, осуществляемых системой МаthCAD. Очевидно, что вейвлеты вы сокого порядка ( n = 3 и n = 4) более гладкие по сравнению с D 2 ;

все функции n и n непрерывны и несимметричны. Порядок вейвлета определяет число нулевых моментов. В главе 16 отмеча лось, что чем большее число нулевых моментов содержит вейвлет (т. е. чем выше его порядок), тем более тонкую структуру сигнала он позволяет анализировать.

2.0 0.2 0. n= n=2 n= 1. 1.0 0.1 0. 0. 0 -0. -1.0 -0. -0. -1. 0 1 2 4 6 2 0 Рис. П. С использованием вейвлетов Добеши осуществлен один из ал горитмов быстрого вейвлет-преобразования. Расчет вейвлет коэффициентов cmk выполняется итерационной процедурой от “тонкого” масштаба к “грубому” [гл.6, *20, *24]. На самом “тон ком” значении масштаба ( m = 0, a = 1 ) за коэффициенты прини маются сами отсчеты сигнала xi, т. е. c0 k = s0 k = xi. При переходе от текущего масштаба m к следующему m + 1 число вейвлет коэффициентов уменьшается в два раза и они определяются по ре куррентным соотношениям:

sm +1,k = hl 2 k sml, cm +1,k = gl 2 k sml.

l l При восстановлении сигнала по его вейвлет-коэффициентам процесс идет от крупных масштабов к мелким и на каждом шаге f km = ( hk 2l sml + g k 2l sml ).

l П.13. ПРИМЕРЫ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Число операций умножения при прямом БВП будет 2LN, L = 2n, где n – порядок вейвлета [*24]. Столько же операций не обходимо для восстановления (реконструкции) сигнала. Таким об разом, для анализа-синтеза сигнала в базисе вейвлетов необходимо выполнить 4LN операций, что не превышает (и даже меньше) чис ла операций для БПФ ( N log 2 N ).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 512 с.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник. – 2-e изд. – М.:

Высшая школа, 1988. – 448 с.

3. Радиотехнические цепи и сигналы. Учеб. пособие для вузов / Под ред.

К.А. Самойло. – М.: Радио и связь, 1982. – 528 с.

4. Радиотехнические цепи и сигналы. Рабочая программа и контрольные задания / Сост. А.Н. Яковлев, В.П. Разинкин, В.М. Меренков;

Новосиб. электротехн.

ин-т. – Новосибирск, 1992. – 46 с.

5. Радиотехнические цепи и сигналы: Примеры и задачи / Под ред.

И.С. Гоноровского. – М.: Радио и связь, 1989. – 128 с.

6. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Руководство к решению задач. – М.: Высшая школа, 1987. – 207 с.

7. Жуков В.П., Карташов В.Г., Николаев А.М. Задачник по курсу радиотех нические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 1986. -192 с.

8. Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника:

Примеры и задачи. Учеб. пособие для вузов. – М.: Сов. радио, 1980. – 544 с.

9. Заездный А.М. Основы расчетов по статистической радиотехнике. – М.:

Связь, 1969. – 448 с.

10. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. – М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

11. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. – М.:

Радио и связь, 1989. – 656 с.

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Д. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Физматгиз, 1986. – 544 с.

13. Янке Е., Эмне Ф., Леш Ф. Специальные функции, формулы, графики, таблицы. – М.: Наука, 1977. – 342 с.

14. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями. – М.:

Связь, 1975. –272 с.

15. Хармут Х.Ф. Теория секвентного анализа: Основы и применения. – М.:

Мир, 1980. –575 с.

16. Хармут Х.Ф. Несинусоидальные волны в радиолокации и радиосвязи. – М.: Мир, 1985. – 376 с.

17. Тетельбаум И.Н., Шнейдер Ю.Р. Практика аналогового моделирования динамических систем. Справочное пособие. – М.: Энергоиздат, 1987. – 384 с.

18. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовича и С. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с.

19. Тимонтеев В.Н., Величко Л.М., Ткаченко В.А. Аналоговые перемножители сигналов в радиоэлектронной аппаратуре. – М.: Радио и связь, 1982. – 112 с.

20. Коломбет Е.А. Микроэлектронные средства обработки аналоговых сигналов. – М.: Радио и связь, 1991. –376 с.

21. Яковлев А.Н. Физические явления в колебательном контуре с нелинейной реактивностью: Учеб. пособие / Новосиб. электротехн. ин-т;

Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск, 1978. – 120 с.

22. Яковлев А.Н. Параметрическая генерация в контуре с нелинейной реактивно стью. Дополнительные материалы к учеб. пособию [21] / Новосиб. электротехн. ин-т. – Новосибирск, 1978. – 40 с.

23. Яковлев А.Н. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие. – Новоси бирск: Изд-во НГТУ, 1992. – 96 с.

24. Маттей Г.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. – М.: Связь, 1971. – 450 с.

25. Васюков В.Н. Введение в теорию цифровой обработки сигналов: Учеб.

пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. – 67 с.

26. Яковлев А.Н., Андреюк И.А. Цифровая нерекурсивная фильтрация: Учеб.

пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. –24 с.

27. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. – М.: Радио и связь, 1990. –256 с.

28. Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания: Учеб. пособие / В.Я. Баскей, В.Н. Васюков, Л.Г. Зотов, В.М. Меренков, В.П. Разинкин, А.Н. Яковлев;

Под ред. проф. А.Н. Яковлева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.

– Ч.1. – 120 с.

29. Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания: Учеб. пособие / В.Я. Баскей, В.М. Меренков, В.П. Разинкин, А.Н. Яковлев;

Под ред. проф.

А.Н. Яковлева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. – Ч.2. – 100 с.

30. Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания: Учеб. пособие / В.Н. Васюков, Л.Г. Зотов, А.Н. Яковлев;

Под ред. проф. А.Н. Яковлева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1997. – Ч.3. – 64 с.

31. Воробьев В.И., Грибушин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования.

– СПб.: Изд-во ВУС, 1999. – 208 с.

32. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учеб. пособие. – СПб.:

Изд-во 000 «МОДУС». 1999. – 152 с.

33. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.– 132 с.

34. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регуляр ная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................................................ ГЛАВА ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ........................................................ 1.1. Изучаемые вопросы................................................................................ 1.2. Краткие теоретические сведения........................................................... 1.3. Задачи..................................................................................................... 1.3.1. Математические модели сигналов................................................ 1.3.2. Динамическое представление сигналов....................................... 1.3.3. Геометрическое представление сигналов..................................... 1.4. Контрольное задание............................................................................ 1.4.1. Математические модели сигнала.................................................. 1.4.2. Представление сигнала в базисе Функций Уолша........................................................................ ГЛАВА СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ......................... 2.1. Изучаемые вопросы................................................................................ 2.2. Краткие теоретические сведения........................................................... 2.3. Задачи....................................................................................................... 2.3.1. Гармонический анализ периодических сигналов..................... 2.3.2. Спектральное представление непериодических сигналов....... 2.3.3. Элементы корреляционного анализа детерминированных сигналов................................................. 2.3.4. Дискретизация непрерывных сигналов..................................... 2.4. Контрольное задание.............................................................................. 2.4.1. Спектральный анализ сигналов................................................. 2.4.2. Элементы корреляционного анализа детерминированных сигналов.................................................. 2.4.3. Дискретизация непрерывных сигналов..................................... ГЛАВА МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.................................................................. 3.1. Изучаемые вопросы................

................................................................ 3.2. Краткие теоретические сведения........................................................... 3.3. Задачи....................................................................................................... 1.1.1. Амплитудно-модулированные колебания............................. 1.1.2. Колебания с угловой модуляцией........................................... 1.1.3. Аналитический сигнал............................................................. 3.4. Контрольное задание.............................................................................. 3.4.1. Многоканальная система радиосвязи........................................ 3.4.2. Амплитудно-модулированное колебание................................. 3.4.3. Частотно-модулированное колебание....................................... ГЛАВА ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ................................................................................ 4.1. Изучаемые вопросы.................................................................................. 4.2. Краткие теоретические сведения............................................................. 4.3. Задачи........................................................................................................ 4.3.1. Вероятностные характеристики................................................. 4.3.2. Моментные функции и моменты.

Стационарные и эргодические процессы............................................ 4.3.3. Характеристические функции. Энтропия................................. 4.3.4. Спектральный и корреляционный анализы.............................. 4.3.5. Узкополосные случайные процессы.......................................... 4.4. Контрольное задание................................................................................ 4.4.1. Вероятность превышения заданного уровня............................ 4.4.2. Закон распределения................................................................... 4.4.3. Моментные функции. Стационарность и эргодичность.......... ГЛАВА ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ................................................................................................ 5.1. Изучаемые вопросы.................................................................................. 5.2. Краткие теоретические сведения............................................................. 5.3. Задачи........................................................................................................ 5.3.1. Характеристики и параметры ЛЦ 5.3.2. Цепи с обратной связью 5.3.3. Гребенчатые фильтры 5.4. Контрольное задание.............................................................................. 5.4.1. Расчет частотных характеристик............................................. 5.4.2. Расчет временных характеристик............................................ 5.4.3. Устойчивость цепи с обратной связью.................................... ГЛАВА ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ.................................................................................. 6.1. Изучаемые вопросы................................................................................ 6.2. Краткие теоретические сведения........................................................... 6.3. Задачи...................................................................................................... 6.3.1. Воздействие импульсных сигналов на апериодические цепи.... 6.3.2. Интегрирование и дифференцирование импульсных сигналов......................................................................... 6.3.3. Прохождение импульсных сигналов через избирательные цепи.................................................................. 6.3.4. Прохождение модулированных сигналов через избирательные цепи.................................................................. 6.4. Контрольное задание.............................................................................. 6.4.1. Воздействие импульсных сигналов на апериодические цепи......................................................... 6.4.2. Прохождение импульсных сигналов через избирательные цепи..................................................... 6.4.3. Прохождение радиосигналов через избирательные цепи...... ГЛАВА ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОЦЕПИ..................................................................... 7.1. Изучаемые вопросы................................................................................ 7.2. Краткие теоретические сведения........................................................... 7.3. Задачи...................................................................................................... 7.4. Контрольное задание.............................................................................. 7.4.1. Воздействие стационарного случайного процесса на линейную радиоцепь......................................... 7.4.2. Прохождение сигнала и шума через линейную радиоцепь.................................................... ГЛАВА НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ И ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ..................................................... 8.1. Изучаемые вопросы................................................................................ 8.2. Краткие теоретические сведения........................................................... 8.3. Задачи...................................................................................................... 8.3.1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов....................................................................... 8.3.2. Гармонический анализ.............................................................. 8.3.3. Спектральный анализ. Комбинационные частоты................. 8.4. Контрольное задание............................................................................. Спектральный состав тока в нелинейном элементе при гармоническом воздействии................................................................. ГЛАВА ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ......................................................................................... 9.1. Изучаемые вопросы................................................................................ 9.2. Краткие теоретические сведения........................................................... 9.3. Задачи...................................................................................................... 9.4. Контрольное задание.............................................................................. Воздействие стационарного случайного сигнала на безынерционный нелинейный элемент..................................... ГЛАВА НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ......................................... 10.1. Изучаемые вопросы.............................................................................. 10.2. Краткие теоретические сведения......................................................... 10.3. Задачи.................................................................................................... 10.3.1. Нелинейное резонансное усиление и умножение частоты........................................................................ 10.3.2. Амплитудная модуляция........................................................ 10.3.3. Детектирование сигналов....................................................... 10.3.4. Преобразование частоты........................................................ 10.4. Контрольное задание............................................................................ 10.4.1. Нелинейное резонансное усиление и умножение частоты............................................................ 10.4.2. Амплитудная модуляция сигналов........................................ 10.4.3. Детектирование АМ сигнала.................................................. 10.4.4. Нелинейные преобразования сигналов в радиоцепях.......... ГЛАВА ГЕНЕРИРОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.................................. 11.1. Изучаемые вопросы.............................................................................. 11.2. Краткие теоретические сведения......................................................... 11.3. Задачи.................................................................................................... 11.3.1. LC-автогенераторы с внешней обратной связью.................. 11.3.2. RC-автогенераторы с внешней обратной связью.................. 11.3.3. LC-автогенераторы с внутренней обратной связью............. 11.4. Контрольное задание............................................................................ Расчет LC-генератора гармонических колебаний........................................ ГЛАВА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ............................................... 12.1. Изучаемые вопросы.............................................................................. 12.2. Краткие теоретические сведения......................................................... 12.3. Задачи.................................................................................................... 12.3.1. Усилитель с регулируемым коэффициентом передачи........ 12.3.2. Умножитель и делитель частоты............................................ 12.3.3. Амплитудный модулятор........................................................ 12.3.4. Детектор. Синхронное детектирование.................................. 12.3.5. Преобразователь частоты........................................................ 12.3.6. Управляемый напряжением RC-генератор............................ 12.4. Контрольное задание.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.