авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 27 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Сибирское отделение Институт математики им. С. Л. Соболева УДК 51:33 ББК 65.23 К19 Серия ...»

-- [ Страница 23 ] --

С другой стороны, теория линейного программирования и, особенно, теория связи между двойственной и прямой задачами способствовала прояснению многих центральных экономических проблем, как, например, в теории общего равновесия и международной торговли. Теория игр, являющаяся, по моему мнению, одним из Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку наиболее значительных новшеств, связанных с экономической наукой, развивалась в постоянном взаимодействии с линейным программированием.

Общепринятая история развития линейного программирования гласила, что первые шаги были сделаны группой математиков и экономистов, работавших над проблемой распределения ресурсов для ВВС США во время Второй мировой вой ны. Членом этой группы был Дж. Данциг. Он сформулировал общую задачу линейного программирования и разработал метод ее решения в 1947 г. (симплекс метод). Его работа была представлена в виде лекций, прочитанных в разных ме стах, распространялся также предварительный отчет, но до 1951 г. она не была опубликована. В тот год она была включена в работу [1]. В этот том вошли также и многие другие работы по теории линейного программирования. С точки зрения экономической теории особое место занимает работа Т. Купманса.

С тех пор теория линейного программирования развивалась во многих направ лениях: были составлены новые алгоритмы, особенно с использованием специаль ных структур;

мы знаем о большом числе важных и ценных практических прило жений;

были дальше развиты и теоретические вопросы. Что касается последних, то чрезвычайно стимулирующее значение имела книга Дорфмана, Самуэльсона и Солоу [2], помимо упомянутой работы Купманса.

Конечно, можно найти предшественников линейного программирования. Ра боты Дж. фон Неймана по теории игр и его ранняя модель экономического роста содержат элементы, которые до некоторой степени предвосхищают линейное про граммирование. В работах Р. Фриша 1930-х годов также можно найти идеи и ма тематические методы, которые были некоторыми шагами в направлении линейного программирования. В работе 1941 г. Ф. Хичкок сформулировал и решил оптими зационную транспортную задачу, которая является специальным случаем задачи линейного программирования, и независимо от него сходную задачу решил Т. Куп манс в 1947 г. Были и другие, менее известные математики и экономисты, которые формулировали задачи и разрабатывали аналитические средства, предвосхищав шие некоторые элементы линейного программирования. Однако ни один из этих предшественников не дал общей трактовки, которая охватывала бы все три выше упомянутые аспекта, и, по-видимому, ни один из них не видел общего значения теории линейно-программного типа.

Вышеизложенное в большей или меньшей мере было общепризнанной исто рией развития линейного программирования до тех пор, пока не стало широко из вестным, что Л. В. Канторович еще в 1939 г. построил математическую модель «организации и планирования производства», которая по существу была линейно программной моделью, внеся вклад во все три направления, перечисленные в на чале раздела. Работа Канторовича 1939 г. стала известна и доступна коллегам из западных стран в 1960 г., когда в журнале «Management Science» появился ан глийский перевод этой работы [а]. Инициатива этого перевода и публикации при надлежала Т. Купмансу, который до конца прояснил некоторые невнятные ссылки на работы Канторовича, относящиеся к транспортной задаче, и наладил контакт с ним. (Упомянутая работа Канторовича была опубликована также в другом англий ском переводе [b] на основе позднейшего русского издания. В целом, публикация в «Management Science» представляется лучшей.) Л. Йохансен 4. Первоначальная формулировка линейного программирования Канторовичем Работа Канторовича 1939 г. ограничивается рассмотрением задач планиро вания на низовом уровне главным образом в пределах отдельного предприятия.

Первую и наиболее простую из рассмотренных задач производственного планиро вания можно схематически описать следующим образом. На предприятии имеется определенное число станков, которые можно использовать для производства опре деленных изделий, каждое из которых состоит из определенного числа деталей.

Технические коэффициенты показывают, какое количество штук каждой детали станок может произвести в день. (Конечно, некоторые из этих коэффициентов мо гут иметь нулевое значение, показывая, что данный станок нельзя использовать для производства рассматриваемой детали.) Задача состоит в таком распределе нии производства различных деталей по имеющимся станкам, при котором будет получен максимальный выпуск целых изделий. Эта проблема сформулирована на математическом языке. Она принимает форму максимизации линейной функции, которая выражает общее число целых изделий как функцию переменных, обознача ющих то время, в течение которого каждый станок используется для производства деталей каждого вида. Максимизация производится при определенных условиях в виде уравнений, которые показывают, что общее время использования станка для производства различных деталей должно быть равно общему наличному фонду времени, и в виде неравенств, показывающих, что время использования станка для производства определенной детали не может быть отрицательным.

В дальнейших разработках Канторович вводит дополнительные ограничения, так что в формулировке проблемы достигается бльшая общность. Например, он о вводит условие, при котором все станки в совокупности не должны использовать большее количество электроэнергии, чем заданное ограниченное ее количество. Это условие становится линейным ограничением более общего вида, чем те, что упоми нались в первой и более простой задаче. В самой общей формулировке Канторович учитывает возможность выполнения станком нескольких операций с целью одно временного производства различных деталей.

Канторович дает ряд примеров конкретных задач, которые можно математи чески сформулировать вышеописанным способом. Задачи частично заимствова ны из практики. Он также дает решение этих проблем. Кроме описанного выше непосредственного планирования производства, рассматриваются, например, зада чи определения наилучших способов использования различных типов материалов с тем, чтобы избежать отходов;

наилучшего из возможных способов использова ния энергии, когда определенные наличные количества различных видов энергии распределяются по различным видам деятельности;

планирования строительства с учетом транспортировки строительных материалов;

использование участков земли для выращивания различных сельскохозяйственных культур;

задачи, связанные с планированием перевозок и размещением экономической деятельности. Хотя автор по своей подготовке — математик, описание и обсуждение задач свидетельствуют о близком знакомстве с конкретными обстоятельствами и о тонком понимании эко номических аспектов задач.

Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку При рассмотрении формулировок данных задач Канторовича, на первый взгляд, они кажутся частными случаями того, что теперь называется общей за дачей линейного программирования. Вопрос относительно общности формулиро вок Канторовича немного обсуждался. В предисловии [3] к публикации работы Канторовича в «Management Science» Т. Купманс приводит объяснение, за кото рое выражает благодарность Г. Скарфу. Скарф, в свою очередь, основывает свою трактовку на предложении, выдвинутом самим Канторовичем. Там показано, что задача, которая в настоящее время рассматривается как общая задача линейного программирования, может быть преобразована в наиболее общую из формулиро вок Канторовича. (Обратное, т. е. то, что задачи Канторовича можно выразить в том же виде, что и стандартную задачу линейного программирования, следует непосредственно.) В соответствии с этим Купманс утверждает, что наиболее общая задача Канторовича, «хотя и кажется имеющей некоторую специальную структуру, в действительности эквивалентна общей задаче линейного программирования».

Касаясь областей приложений, которые Канторович приводит в качестве при мера, Купманс пишет, что «широкая область приложений, охваченная автором, делает его работу ранней классикой в науке управления при любой экономической системе».

Утверждение Купманса относительно общности формулировки Канторовича было поставлено под вопрос в работе А. Чарнса и В. Купера [4]1). Они указали на некоторую неполноту доказательства Купмансом эквивалентности общей зада чи линейного программирования и наиболее общей формулировки Канторовича.

Купманс ответил на эту критику в заметке [5]. Итоговый вывод состоит в том, что эквивалентность справедлива для класса задач линейного программирования, имеющих оптимальное решение, каковой класс, безусловно, наиболее интересен для практических приложений. Для задач, не имеющих оптимального решения, возни кают определенные трудности.

Для задач, рассмотренных Канторовичем, его способ их формулирования очень часто был весьма удобным. Однако в целом, вероятно, следует сказать, что фор мулировки, данные в позднейшей литературе, более эффективны и удобны, чем формулировка Канторовича. С этими оговорками можно с уверенностью заклю чить, что Канторович — первый ученый, точно сформулировавший задачу линейно го программирования и представивший обширную и разнообразную совокупность примеров практических задач, которые можно рассматривать и решать с помощью данного подхода.

Можно добавить, что Д. Данциг в классической работе «Линейное программи рование, его применения и обобщения» следующим образом характеризовал вклад Канторовича [6, с. 22]: «Канторовичу следует отдать первенство в распознании того, что обширные классы определенных производственных проблем имеют ярко выраженные математические структуры, которые, как он считал, поддаются прак тическому численному расчету и могут быть численно решены... Доклад содержит замечательное собрание потенциальных приложений».

1) Подробный ответ Л. В. Канторовича на замечания Чарнса и Купера, написанный в 1960 г.

и тогда же направленный этим авторам, был опубликован в 1999 г. в журнале Экономика и математические методы. — Т. 35, № 3. — С. 36–39. См. также «Леонид Витальевич Канторович.

Том 2». — С. 375–380. (Прим. ред.) Л. Йохансен 5. Вычислительные методы Переходя к вычислительным методам, следует указать, что главный момент в методе Канторовича в 1939 г. — введение некоторых переменных, названных «разре шающими множителями», с интерпретацией, аналогичной множителям Лагранжа в классических задачах определения экстремума. Это, однако, нечто гораздо боль шее, чем тривиальная модификация классического анализа, поскольку линейность и ограничения в виде неравенств выдвигают совершенно новые математические проблемы. Канторович показал, что если значения этих множителей известны для некоторой задачи, то значения первоначальных неизвестных — переменных, кото рые характеризуют производственные, транспортные планы и т. п. в натуральных единицах — можно найти сравнительно просто. Как правило, число таких мно жителей будет намного меньше числа переменных, характеризующих физический план. Поэтому многообещающим должен быть подход, состоящий в попытке най ти значения этих множителей как средства нахождения неизвестных переменных, описывающих оптимальный план в натуральных показателях. Для этой цели Кан торович разработал метод пошаговой аппроксимации (итеративный метод). Начи нают с задания предварительных оценок множителей и вычисляют, каким должен быть соответствующий физический план. Затем проверяют, удовлетворяет ли фи зический план всем ограничениям (уравнениям и неравенствам). В той мере, в какой наблюдаются расхождения, множители корректируются. Проводятся новые расчеты соответствующих физических планов и новые испытания выполнения или нарушения ограничений и т. д. Если расхождения используются надлежащим спо собом как индикаторы того, как следует корректировать множители, то такой по шаговый подход даст в конце оптимальный план или очень хорошее приближение к нему.

В работах Канторовича метод иллюстрируется рядом относительно небольших задач (хотя и более объемных, чем, например, примеры, приводимые в стандартных современных элементарных введениях в линейное программирование).

Этот метод имеет определенную слабость с алгоритмической точки зрения, особенно в связи с программированием для современных ЭВМ (конечно, это сооб ражение более уместно в настоящее время, чем в 1939 г.). В оригинальной работе Канторовича метод был сформулирован таким образом, что на некоторых шагах требовались специальные проверки и решение на основе суждения, т. е. метод не был полностью механическим и требовал дальнейших уточнений. С этой точки зрения метод, позднее разработанный Данцигом (симплекс-метод), более полон и легче программируется для ЭВМ. В соответствии с этим именно данный метод, а не первоначально предложенный Канторовичем, стал стандартным методом реше ния задач линейного программирования.

(Существует множество его вариантов, ориентирующихся на использование особенностей ЭВМ или на задачи со специаль ной структурой.) Два эти различных метода обладают определенным сходством в том, что они — итеративные методы, в которых приближение к правильному реше нию идет последовательными шагами, и в обоих множители типа Лагранжа играют важную роль. В обоих методах такие множители используются для описания оп тимума. Вероятно, можно сказать, что в шагах, ведущих к оптимуму, эти множи Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку тели играют более заметную роль в методе Канторовича, чем в симплекс-методе, поскольку изменения, которые делаются на каждом шаге по методу Канторови ча, включают в первую очередь корректировку множителей, за которой следует корректировка переменных, характеризующих план в натуральных показателях, тогда как в симплекс-методе на каждом шаге сначала корректируют переменные, характеризующие план, а затем производят соответствующую корректировку мно жителей. Выше изложены только очень грубые и неопределенные соображения, но рассмотрение технических подробностей выходит за рамки настоящей работы.

Однако этот момент представляет некоторый интерес в связи с рядом дальнейших заключений относительно организации планирования и управления, которые Кан торович выводит из своего анализа линейного программирования. Мы коснемся этого позднее в настоящей статье.

Я видел ссылки на дальнейшие разработки метода Канторовича, выполнен ные как самим Канторовичем, так и другими русскими математиками, в других довольно ранних изданиях, но эти работы были недоступны для меня.

В западной литературе обсуждался вопрос о вкладе Канторовича в методы вычислений, сделанном в его первой работе. Данциг указывает [6, с. 22–23], что объяснение, данное Канторовичем, как корректировать множители — неполно, и что это — сложная проблема. Это является главным моментом в критическом рассмотрении метода Канторовича у Чарнса и Купера [4]. Я думаю, что моя ха рактеристика и сравнение, приведенные выше, дают приблизительно верное пред ставление.

Интересно также рассмотреть некоторые соображения Чарнса и Купера [4].

В заключительном параграфе они отмечают, что Канторович и другие русские математики работали с вычислительными методами, предназначенными для спе циальных структур в пределах класса задач линейного программирования, и что позднее это стало очень важной областью западных исследований по математиче скому программированию. Цитирую их заключения: «Может оказаться, что Кан торович предвидел некоторые из этих работ, или же может оказаться, что его раз решающие множители очень важны в таких задачах. Едва ли можно переоценить важность этой работы по специальным структурам и эффективным алгоритмам, если требуется прогресс в области крупномасштабных приложений и связанных с ними теоретических исследований. Поэтому было бы несчастьем, если бы любые такие возможности для успешного продвижения, которые могли бы вытекать из ранней работы Канторовича, были бы упущены просто из-за неправильного пони мания его действительных достижений и того, в каком отношении они до сих пор отличались или дополняли работы, проводимые с тех пор другими». Хотя западные исследования по линейному программированию, по-видимому, привели к разработ ке более эффективных алгоритмов, тем не менее в соответствии с вышеизложенным возможно, что эти ранние методы, предложенные Канторовичем, но которые, ка жется, никогда полностью не были доработаны2), содержат идеи, которые все еще могут оказаться весьма важными.

2) Вероятно,автор не обратил внимания на Приложение II разбираемой ниже книги [f], где подробно описан весь алгоритм. Отметим, что проводилось сравнение эффективности симплекс метода и метода Канторовича, которое показало преимущество последнего (см. van de Panne C., Л. Йохансен 6. «Разрешающие множители» Канторовича Как было указано в связи с третьим аспектом развития линейного программи рования, упомянутого в начале разд. 3, линейное программирование имеет некото рые дальнейшие теоретические следствия, которые тесно связаны с общей теорией оптимального распределения ресурсов. Ключом к этим дальнейшим теоретическим толкованиям и выводам является введение того, что Канторович назвал «разреша ющими множителями».

В оптимальном решении указанные разрешающие множители — то же самое, что двойственные переменные, появляющиеся в общей теории линейного програм мирования в ныне хорошо известном виде. Как уже указывалось, Канторович по казал, как их можно использовать в качестве критерия того, оптимально или нет найденное решение. С теоретической точки зрения именно в этом состоит фунда ментальная функция множителей. Полезность разрешающих множителей в алго ритмах вытекает из этого их теоретического свойства.

Множители, однако, полезны еще и в том отношении, что они указывают, как значение целевой функции (функции, которую мы желаем максимизировать или минимизировать) изменяется в результате небольших изменений в условиях зада чи, например, в результате изменения имеющихся ограниченных ресурсов. Други ми словами, множители представляют предельные значения ценности ограничива ющих факторов в задаче. Канторович выявил эту функцию множителей в своей работе и придает ей большое значение. Между прочим, он утверждает, что реше ние, полученное с помощью разрешающих множителей данного типа, гораздо более ценно, чем решение, полученное без использования множителей, так как вопрос о малых вариациях в программе, вызываемых модификацией условий задачи, может быть непосредственно разрешен на основе этих множителей, без проведения заново полного цикла расчетов для каждого изменения ограничений. Фактически, пред лагаемый Канторовичем алгоритм строится именно на этой интерпретации разре шающих множителей.

В западной литературе проходила также дискуссия относительно того, на сколько Канторович продвинулся в направлении интерпретации своих множителей как теневых цен или эффективных цен. Купманс в своем предисловии к перево ду работы Канторовича в «Management Science» [3] пишет, что «наибольший инте рес для экономистов представляет интерпретация — в линейном программировании двойственных переменных, которые автор назвал разрешающими множителями и которые среди прочих названий были названы в западной литературе эффектив ными ценами», — и дает дальнейшее подтверждение этому моменту.

И в этом пункте Чарнс и Купер также придерживаются более критической позиции [4]. Однако я не вижу, чтобы они сообщили о чем-то, что может вызвать сомнения в характеристике, которую я дал выше и которая, по моему мнению, отно сится к решающему пункту концепции. Купманс развил свои замечания в кратком ответе указанным авторам [5]. Суть дела здесь в том, что Купманс в своих выска зываниях вовсе не имел в виду утверждать, что Канторович еще в 1939 г. открыл Rahmana F. The First Algorithm for Linear Programming: An Analysis of Kantorovich’s Method. The University of Calgary. Discussion Papers Series. — May, 1977. — No. 45. (Прим. ред.) Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку все теоретические аспекты эффективных цен или что он полностью предвосхитил формулировку теоремы двойственности, в том виде, как она ныне известна, но что он тем не менее прояснил важные теоретические свойства и интерпретацию мно жителей.

История линейного программирования, возможно, заслуживает большего вни мания. Чарнс и Купер думают, что было бы весьма интересным проведение ис торического исследования истоков и развития различных идей, относящихся к ли нейному программированию. Они завершают свой обзор следующим замечанием:

«когда это будет сделано, тогда окажется возможным определить истинное место идей Канторовича. Мы считаем, что яркость его достижений нисколько не потуск неет, если эта работа будет выполнена точно и тщательно».

7. Оптимизация транспорта В связи с работой 1939 г., рассмотренной выше, я упомяну, не входя в дета ли, другую очень раннюю работу Канторовича, опубликованную в СССР в 1942 г.

«О перемещении масс» [с]. Это весьма сжатая и довольно абстрактная математиче ская работа, но в ней в общем виде сформулирован широкий класс задач, которые автор с помощью примера сводит к задаче планирования транспорта, а именно к задаче такого прикрепления пунктов потребления к пунктам производства товаров, при котором минимизируются общие транспортные издержки. Для такого класса задач автор сформулировал необходимые и достаточные условия оптимальности, но не разработал эффективных вычислительных методов для нахождения такого оптимума3). В предисловии [7] к английскому переводу работы в «Management Science» А. Чарнс характеризует работу как «важную в области линейного про граммирования». Другие называли ее «классической» абстрактной транспортной задачей.

Были и другие работы Канторовича и некоторых советских математиков, в которых развиты вычислительные аспекты, связанные с этой статьей.

По-видимому, Канторович продолжает серьезно интересоваться проблемами транспорта и размещения производства и после публикации своей математической работы в этой области. Ряд расчетов, к которым приводят его идеи, по-видимому, в широких масштабах осуществляется в СССР. В одной из последних статей [d] (на писанной совместно с А. Журавелем) Канторович авторитетно обсуждает «роль транспортного фактора в размещении производства». В этой работе указывается на большое значение транспортного сектора в рациональном использовании эконо мических ресурсов и соответственно на важность правильной структуры грузовых тарифов. В этой, связанной с практикой дискуссии, Канторович и Журавель в значительной степени опираются на эмпирическую работу по структуре издержек, оптимизации перевозок и размещения предприятий и т. п. и приводят доводы в пользу реформы системы грузовых транспортных тарифов в СССР. При оценке 3) Это утверждение повторяет ошибку, содержащуюся в предисловии Чарнса. Метод решения с очевидностью вытекает из приведенного в этой работе доказательства упоминаемой теоремы.

Он был подробно изложен в написанной в 1940 г. совместно с М. К. Гавуриным статье, на которую есть ссылка. (Прим. ред.) Л. Йохансен работ Канторовича очень интересно сравнить весьма абстрактную статью 1942 г. с исключительно прикладной статьей 1974 г. Для Канторовича характерно, что он может внести важный вклад в обе указанные сферы и, более того, умеет сохранить связь и плодотворное взаимодействие двух этих сфер.

8. Последующие работы Канторовича В позднейших работах Канторович дальше развил свои идеи исследования 1939 г. Особенно я имею в виду его статью [е] и очень важную и оказавшую боль шое влияние книгу «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов»

[f], опубликованную в СССР в 1959 г.

Что касается этих работ, то вопросы приоритета здесь несколько сложнее, чем в случае работы 1939 г., частично потому, что, очевидно, прошло значительное вре мя между развитием этих идей и официальной публикацией в СССР, а частично и потому, что за это время линейное программирование уже значительно развилось как в США, так и в Западной Европе. Однако, по-видимому, ясно, что основные идеи вышеупомянутых работ вполне были развиты уже в начале 1940-х годов как продолжение работы, начатой в статье 1939 г. Канторович во многих местах упо минает, что он работал над этими проблемами в начале 1940-х годов. Р. В. Джуди [8, с. 220] безоговорочно утверждает, что эти работы были написаны в 1941 или 1942 г., но, вероятно, это слишком упрощенное понимание. Что, по-видимому, яс но, так это то, что автор сообщал о части содержания и выводах из этих работ в Ленинградском политехническом институте в 1940 г., в Математическом институте АН СССР в 1942 г. (тогда находившемся в Казани) и в Институте экономики АН СССР в 1943 г. В указанных работах идеи статьи 1939 г. развивались в нескольких направлениях.

В первую очередь, теперь в этих работах даются формулировки, которые есте ственным образом охватывают общую задачу линейного программирования без вся ких преобразований, которые были необходимы для формулировки из статьи 1939 г.

Фактически Канторович теперь дает формулировку, которая может показаться да же более общей, чем общепринятая формулировка задачи линейного программиро вания, и формулировка Канторовича для многих целей (особенно для тех, которые он сам использует в качестве иллюстраций) является весьма полезной и удобной.

С помощью соответствующих перестановок и преобразований стандартную задачу линейного программирования все же можно переформулировать таким образом, чтобы она охватывала и формулировку Канторовича. Различие, следовательно, касается формулировки, а не области реальных задач, которые могут быть ими охвачены.

Примером применения теории линейного программирования, в котором оказа лось удобным исходить из формулировки Канторовича, служит работа Д. Мицель ского, К. Рея и В. Тржесьяковского, которые построили модель оптимизации пла новой экономики с особым учетом экспорта и импорта [9]. Ими показано, как можно на основе сформулированной по Канторовичу задачи и с помощью его способа обо значений условий оптимума естественным путем прийти к методу декомпозиции, т. е. к методу, в котором общая задача оптимизации разлагается на несколько мень Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку ших задач, связанных определенным образом между собой, и в котором оптималь ное решение общей задачи получается с помощью итеративной процедуры, состоя щей в повторном решении меньших задач. Это очень важно для обеспечения воз можности частично децентрализованного согласования оптимальных планов для хозяйства в целом или для его крупных секторов. Данный «Восточный» подход к декомпозиции, по-видимому, начал разрабатываться независимо и параллельно ныне хорошо известному принципу декомпозиции Д. Данцига и П. Вулфа [10], ко торый был первым значительным вкладом в теорию разложения крупных задач линейного программирования в западной литературе. В упомянутой выше работе декомпозиция появляется как естественное следствие и распространение подхода Канторовича. Мне неизвестно, насколько сам Канторович формализовал подобные методы декомпозиции, но представляется очевидным, что он должен был работать с такими методами, проводя расчеты в вычислительном центре в Новосибирске.

Подобный способ составления децентрализованного плана полностью соответству ет общим идеям, высказанным Канторовичем, например, в конце статьи [е] и в нескольких местах книги [f]. Декомпозиция оказалась очень важной идеей и име ет большое значение для применения вычислительных методов к решению задач эффективного распределения ресурсов в больших системах.

Чрезвычайно важное направление распространения исследований Канторови ча, которое появилось как в работе [е], так и [f], а потом было разработано и выделе но особо в работах [g] и [i], — это разработка динамических моделей. С формально математической точки зрения — это «всего лишь» вопрос наличия большего числа датированных переменных и определенных специальных структур в матрице ко эффициентов, описывающей задачу. Поэтому с математической точки зрения не потребовалось большой новой теории. Однако с точки зрения интерпретации и применения динамическое расширение очень важно. Особое значение имеет появ ление в этом случае датированных теневых цен (разрешающих множителей, двой ственных переменных) для различных ресурсов и товаров. За исключением весьма специальных случаев этим ценам свойственно развитие во времени, т. е. один вид ресурса или товара получает различные теневые цены в различные периоды вре мени. В этом случае система динамических рядов цен содержит всю информацию, заключенную в теневых ценах, о задаче перспективного планирования, но для при менений и теоретической интерпретации представляет особый интерес разделение двух аспектов подобной динамической системы цен. Первый аспект относится к изменению относительных цен различных товаров, второй — к изменению уровня цен с течением времени. Конечно, это не имеет никакого отношения к инфляции или дефляции — рассматриваемые теневые цены выражают предельные значения ограниченных ресурсов в различные периоды времени, т. е. уровень этих цен в раз ные периоды выражает ценность, измеренную потенциальным влиянием на целевую функцию наличия ресурсов в ближайшем или более далеком будущем. Канторо вич провел такое отделение (см., например, [f, С. 284–287]), записав каждую цену как произведение нормализованной цены фактора и множителя, зависящего только от времени. Эти нормализованные цены привязаны к определенному постоянному уровню в предположении, что определенный, основанный на этих ценах индекс Л. Йохансен должен оставаться неизменным во времени. В этом случае изменения фактиче ских теневых цен окажутся комбинацией изменения относительных цен и изменения уровня цен. Введение фактора времени, представленного в качестве индекса цен, делает его интерпретацию, близкой к процентной ставке, и Канторович использует его для выражения того, что он обозначает как «нормальную эффективность капи таловложений при переходе от периода t к следующему периоду времени». Такая интерпретация полностью аналогична точкам зрения и концепциям, используемым в других современных теориях процента и оптимальных инвестиционных решений.

9. Государственное планирование хозяйства и система цен Это приводит нас к возможно наиболее важному аспекту работ [e–g] и наиболее подробно обсуждается в [f] (см. также [h]). Кроме дальнейших работ над проблема ми, относящимися к микроуровню, или над такими, как оптимальное планирование перевозок и размещения, Канторович делает широкие выводы относительно путей такой организации социалистической экономики, которая приводит к достижению высокой эффективности использования ресурсов.

Он представляет себе плановую систему, основанную на линейном программировании, в которой составляется цен трализованный план, касающийся основных аспектов развития, в значительной сте пени на основе рассмотренных выше методов декомпозиции с координацией сово купности менее крупных задач и итерации. На основе этих расчетов в дополнение к основным «физическим» аспектам плана получают также теневые цены для наи более важных продуктов и ресурсов. Канторович предлагает использовать их в качестве основы для системы цен в народном хозяйстве. Он очень убедительно ар гументирует как с практической, так и с теоретической точек зрения, что эти цены могут составить рациональную основу решений, относящихся к большому числу ак тов выбора в экономике, которые имеют намного более детальный характер, чем те решения, которые можно определять посредством расчета более формализованного и централизованного плана. В этой связи Канторович обсуждает вопрос, который по моим сведениям не очень широко явно обсуждался в западной литературе. Это то, что Канторович назвал «относительной устойчивостью» теневых цен. Суть со стоит в том, что теневые цены, найденные в результате решения оптимизационной задачи, логически связаны только с теми элементами плана, которые явно входи ли в проводимые вычисления. Детализированные решения, которые приходится принимать в менее крупных подразделениях экономики, суть решения, относящи еся к таким вопросам, как, например, ввести или нет определенные новые методы работы, некоторые новые или модифицированные производственные процессы и т. д., которые были неизвестны или по другим причинам (особенно ввиду их много численности) не могли быть учтены при формализованных расчетах плана. Идея Канторовича в данном вопросе состоит в том, что в той мере, в какой эти обсто ятельства, находящиеся за пределами формализованных расчетов плана, имеют меньший порядок величины в сравнении с аспектами, включенными в расчеты, по лученные теневые цены не будут очень сильно отклоняться от правильных теневых цен, которые можно было бы получить, если бы оказалось возможным проведение полного расчета, охватывающего все аспекты, т. е. включающего модификации ме Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку тодов работы, производственных процессов и т. п., упомянутых выше. Вследствие этого рассчитанные теневые цены могут образовать основу для решений, которые касаются обстоятельств, не охваченных формальной моделью.

Я считаю, что это очень важная идея. В теоретической литературе часто встречается идея, что централизованные расчеты цен, которые должны служить в качестве сигналов для децентрализованных решений, относящихся к объемам, неосуществимы из-за того, что цены и объемы производства в оптимальном ре шении взаимообусловлены. Невозможно рассчитать оптимальное решение как для сферы цен, так и для сферы объемов, не вычислив в то же время планов для другой сферы, а если это так, то зачем децентрализовать решения об объемах производ ства, после того как цены рассчитаны централизованно? Мне представляется, что подход Канторовича позволяет далеко продвинуться в ответе на этот вопрос.

Точка зрения Канторовича в ходе обсуждения системы цен в СССР нашла серьезную поддержку, но не была принята в качестве единственной базы для рас чета цен. Было выдвинуто также много возражений против этого предложения.

Несомненно, это было связано с тем, что система цен в экономике имеет много различных функций. Предложение Канторовича относится главным образом к ре шению проблемы оптимального распределения ресурсов, выбора способа производ ства и т. д. Однако, кроме того, имеются такие функции цен, как воздействие на распределение доходов, выполнение целей администрации и управления, формиро вание основы системы учета и т. д. Этим другим целям не обязательно наилучшим образом служит система цен, наилучшая с точки зрения эффективного распреде ления ресурсов, которая к тому же включает движение во времени, как это свой ственно упомянутой выше динамической системе. Хотя предложение Канторови ча в первую очередь касается роли цен в связи с эффективностью использования ресурсов и способа производства, ему не чуждо рассмотрение и других функций цен. Например, Канторович считает, что вычисленные теневые цены можно непо средственно использовать для определения взаимных платежей государственных предприятий без учета влияния их на распределение доходов, в то время как фак тические розничные цены, по которым платят потребители, во многих случаях и по разным причинам должны отклоняться от таких теневых цен. Более того, Кан торович явно указывает, что если расчет дает весьма различающиеся теневые цены рабочей силы различных типов и квалификации, то это не должно автоматически отразиться на фактически выплачиваемой заработной плате и жаловании. Тем не менее Канторович считает, что такие теневые цены можно было бы учесть в планах, касающихся организации производства, выбора альтернативных капиталовложений и т. д.

Канторович подробно рассматривает роль, которую должна играть рента на землю и ограниченные природные ресурсы в системе цен. Это естественно вытекает из анализа теневых цен и оптимизации. Данный вопрос имеет большое значение для СССР, и он обсуждался весьма широко, а работы Канторовича, очевидно, весьма способствовали прояснению вопроса.

Обзоры ряда основных точек зрения в дискуссии о системе цен в СССР были даны М. Борштейном [11], Л. Йохансеном [12] и Р. В. Джуди [8].

Л. Йохансен 10. Инвестиционные критерии Рассмотрение Канторовичем критериев для определения капиталовложений тесно связано с системой цен. Канторович очень квалифицированно критикует длинный список предлагавшихся критериев, которые в прежнее время выдвигались при обсуждении этой проблемы в СССР и которым до некоторой степени следовали на практике, и приводит убедительные аргументы в пользу критериев, основанных на разрешающих множителях или теневых ценах. В связи с этим на сцену выходит вся система динамических рядов цен, которая была описана выше, а «нормальная эффективность капиталовложений» играет ту же роль, что и процентная ставка при расчете текущей стоимости.

Вопрос относительно инвестиционных критериев также весьма интенсивно об суждался в западной литературе. В ней этот вопрос часто запутывают в некоторых аспектах, между прочим, потому, что инвестиционные критерии зачастую рассмат риваются изолированно от всеобъемлющей точки зрения на проблемы оптимизации экономики в целом. По моему мнению, рассмотрение Канторовичем вопроса об ин вестиционных критериях весьма прозрачно и конструктивно также и в сравнении с современной западной литературой именно потому, что он выводит предлагаемые им критерии из концепции оптимизации экономики в целом.

При обсуждении инвестиционных критериев Канторович непосредственно за трагивает несколько спорных вопросов в советской экономической науке и эконо мической политике. В первую очередь вся эта область тесно связана с проблемами системы цен. По этой причине Канторович критикует некоторые предложения, которые выдвигались в СССР и которые по форме довольно близки к его собствен ным предложениям. Суть в том, что другие авторы не видели так ясно тесной связи критериев капиталовложений с системой цен в целом, и критерии, которые формально довольно близки критериям Канторовича, будут приводить к неверным результатам, если их применять на основе структуры цен, которая не согласуется с идеей оптимизации. Таким же образом Канторович критикует сходные формально критерии, которые используют показатель процентной ставки, полученный из рас смотрения системы денежного обращения, а не с помощью оптимизации. Далее, Канторович критикует длинный список критериев, которые опять-таки подобны его собственному, но которые отличаются тем, что в них предлагается использо вать различные нормы «эффективности капиталовложений» в различных отрас лях производства. Из рассмотрения экономики в целом вытекает, что такая норма должна быть одинаковой для всех отраслей. (Здесь практика сделала несколько шагов в направлении сближения с точкой зрения Канторовича, но не приняла еще ее целиком.) В качестве примера проблемы инвестиционных критериев Канторович обсуж дает также более конкретно такие аспекты развития экономики СССР, как упор на тяжелую промышленность на ранних этапах индустриализации. Официальная точка зрения в СССР состояла в том, что такое распределение средств в пользу тя желой промышленности оказалось бы неприбыльным согласно экономическим рас четам, но одно из преимуществ советской системы в том и состоит, что, несмотря на это, эти крупные капиталовложения были сделаны. Канторович придерживает Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку ся мнения, что эта главная стратегия оказалась бы прибыльной при правильных расчетах, основанных на теневых ценах и правильно определенной норме «эффек тивности капиталовложений».

Важная проблема, связанная с критериями капиталовложений, — это, без условно, вопрос о возможности численной оценки нормы эффективности капитало вложений, которую следует использовать в расчетах. Одним из подходов к этому является предложенный Канторовичем и экспериментально опробованный в СССР, который состоит в расчете этой нормы на основе укрупненных моделей, сформули рованных как динамические задачи линейного программирования, описанные вы ше (см., в частности, [i]). Однако Канторович не придерживается догматически этой процедуры. Он придерживается мнения, что к вопросу об оценке нормы эф фективности капиталовложений следует подходить под разными углами, поскольку линейно-программная формулировка не охватывает всех относящихся к делу аспек тов экономики. Канторович вдумчиво и основательно рассматривает эту проблему в нескольких статьях. Он также попытался рассчитать норму с помощью макро экономических моделей. Ряд работ в этой области имеется в английских переводах [j–n]. В этих статьях определение числового значения нормы эффективности ка питаловложений рассматривается при различных допущениях относительно вида производственных функций и типа технического прогресса, с различением роли фондов и предметов потребления. Что касается вида производственных функций и типа технического прогресса, то кажется (см., в частности, [n]), что Канторо вич считает представление «putty-clay» более реалистичным, чем «putty-putty», но, рассмотрев случай «putty-clay», он предлагает также модифицированную мо дель «putty-clay», в которой ограничена сфера фактической замены.

В связи с инвестиционными критериями и динамической нормой эффективно сти капиталовложений интересно также сослаться на широкое обсуждение Канто ровичем «цены времени» [m]. Это довольно-таки популярное сочинение, в котором весьма убедительно и прозрачно с помощью многочисленных практических и кон кретных примеров объясняется необходимость более действенного учета временного аспекта в планировании и управлении экономикой в СССР.

11. Заключение Мне представляется, что вышеприведенный обзор охватывает основные аспек ты вклада Л. В. Канторовича в экономическую науку, хотя изложение, конечно, было кратким и обобщенным.

Как уже говорилось, у Канторовича есть работы, которых я не имел возможно сти изучить. Некоторые из них указаны в советской библиографии по математико экономическим методам и моделям, которая была опубликована Ленинградским отделением АН СССР в 1968 г. Некоторые упоминаются и кратко излагаются в работах [7, 13, 14], а также в тех работах Канторовича, на которые были сделаны ссылки. Насколько я могу судить, большинство этих статей касаются вычислитель ных аспектов и дальнейшей детализации рассмотренных выше работ. По-видимому, в последующем Канторович интенсивно работал над проблемами амортизации фон дов в связи с техническим прогрессом. Предложения на этот счет можно найти в Л. Йохансен [m], где, между прочим, рассматривается вопрос о правильности применения уско ренной амортизации в начальный период срока службы фондов. Канторович до казывает, что такая система амортизации может быть подтверждена анализом мо делей оптимального использования, ремонта и замены станков. Можно сослаться также на статью [h] и на несколько других статей, в которых рассматривается этот вопрос, но они, однако, имеются только на русском языке.

Кроме работ, опубликованных под его именем, Канторович, несомненно, внес большой вклад в науку, руководя научными исследованиями и расчетами, особенно в научно-исследовательском центре в Новосибирске.

Если бы было нужно собрать все работы Л. В. Канторовича под одним назва нием, таким подходящим заголовком было бы: оптимизация использования огра ниченных ресурсов, т. е. самая главная из всех экономических проблем. Его вклад в линейное программирование относится к этой области. Математические и вы числительные аспекты важны, но не меньшее значение имеет то, что Канторович понял, какой широкий класс конкретных и довольно разнообразных задач мож но привести к этой форме, и что он увидел огромное значение теории линейного программирования для решения намного более общих проблем управления и плани рования экономики, включая систему цен и критерии капиталовложений. Система цен и критериев капиталовложений служит также полезным инструментом опти мального использования ограниченных ресурсов. В эти области Канторович внес вклад также и с других сторон, иных, чем линейное программирование.

По прочтении книг и статей Канторовича становится ясно, что он достиг глу бокого понимания экономических проблем и многие его объяснения отличаются проницательными экономическими соображениями и реалистическим рассмотрени ем практических проблем. Л. В. Канторович — знаменитый математик, но, несо мненно, мы с полным правом можем включить его в ряд наиболее выдающихся экономистов последних десятилетий.

БИБЛИОГРАФИЯ Работы Л. В. Канторовича В этом списке ссылки даны на переводы публикаций Л. В. Канторовича, которые я по боль шей части использовал в работе. Год оригинальной публикации приводится в скобках. Были издания некоторых из работ в переводах на другие западные языки иные, чем указанные ниже.

Для интересующихся ими есть библиография, включающая и ссылки на оригиналы, см. Ellman [13, P. 198–199]. См. также The Use of Mathematics in Economics [b, P. 302].

[a] Mathematical Methods of Organizing and Planning Production // Management Sci. — July 1960. — N 4. (Оригинальная публикация в Ленинграде, 1939 г.) [b] Mathematical Methods of Production Planning and Organization, Published in The Use of Mathe matics in Economics, edited by A. Nove, Oliver & Boyd, Edinburgh & London, 1964. (Это перевод наиболее важных частей книги, опубликованной в СССР в 1959 г. под редакцией В. С. Нем чинова. Статья Канторовича воспроизводит его работу 1939 г. (см. [a]) с небольшими изменениями.) [c] On the Translocation of Masses // Management Sci. — October 1958. — N 1. (Оригинальная публикация в СССР в 1942 г.) Вклад Л. В. Канторовича в экономическую науку [d] The Role of the Transport Factor in the Location of Production // Problems of Economics. — 1974. (Соавтор А. Журавель. Оригинальная публикация в СССР в 1974 г.) [e] Further Development of Mathematical Methods and Prospects of Their Application in Economic Planning. Опубликована в The Use of Mathematics in Economics, см. [b].

[f] The Best Use of Economic Resources. — London;

New York: Pergamon Press, 1965. (Оригиналь ная публикация в СССР в 1959 г.) [g] Ein dynamisches Modell der optimalen Planuing. Sowjetwissenschaft. Gesellshaftswessenshaftliche Beitrge (Berlin). — 1964. — Heft 7. (Оригинальная публикация в СССР в 1964 г. Англ. пере a вод “A Dynamic Model of Optimum Planning.” Mathematical Studies in Economics and Statistics in the USSR and Eastern Europe. Winter 1964–65. — Vol. I, N 2.) [h] Optimal Mathematical Models in Planning the Development of a Branch and in Technical Policy // Contemporary Soviet Economics. — New York International Arts and Sciences Press, 1969. — Vol. I. (Оригинальная публикация в СССР в 1967 г.) [i] Estimating the Eectiveness of Capital Expenditures // MATEKON. — Fall 1971. — N 1. (Сов местно с В. Н. Богачевым и В. Л. Макаровым. Оригинальная публикация в СССР в 1970 г.) [j] A Singlo-Product Dynamical Model with Instantaneous Convertibility of Funds // Soviet Mathe matics. — 1967. — N 3. (Совместно с И. Г. Глобенко. Оригинальная публикация в СССР в 1967 г.) [k] A Dynamical Model of Economics // Soviet Mathematics. — 1967. — N 5. (Совместно c И. Г. Гло бенко. Оригинальная публикация в СССР в 1967 г.) [l] Once Again on Calculating the Norm of Eectiveness on the Basis of a One-Product National Economic Development Model // MATEKON. — Winter 1970–71. — N 2. (Совместно с А. Л. Вайн штейном. Оригинальная публикация в СССР в 1970 г.) [m] Der Preis der Zeit. Sowjetwissenschaft. Gesellshaftswessenshaftliche Beitrge (Berlin). — 1970. — a Heft 1. (Совместно с В. Н. Богачевым. Оригинальная публикация в СССР в 1969 г.) [n] Dynamic Models of Technological Changes // G. I. Marchuk (ed.), Optimization Techniques. IFIP Technical Conference. — Berlin: Springer-Verl., 1975. (Lecture Notes in Computer Science;

N 27.) Ссылки на других авторов Работы, помещенные ниже с [1] по [12], используются в тексте. Ссылки с [13] по [20] сделаны на другие книги и статьи, которые использовались при подготовке этого очерка.

[1] T. C. Koopmans (ed.), Activity Analysis of Production and Allocation. Cowles Commission Monograph. N 13. John Wiley & Sons, New York, 1951. (Особенно см. G. B. Dantzig “The Programming of Interdependent Activities” and “Maximization of a Linear Function of Variables Subject to Linear Inequalities”, кроме того, T. C. Koopmans “Analysis of Production as an Ecient Combination of Activities”.) [2] Dorfman R., Samuelson P. A., Solow R. M. Linear Programming and Economic Analysis. — New York: McGraw-Hill Book Co., 105S.

[3] Koopmans T. C. A Note about Kantorovich’s Paper, Mathematical Methods of Organizing and Planning Production // Management Sci. — July 1960. — N 4. (Введение к L. V. Kantorovich [a].) [4] Charnes A., Cooper W. W. On Some Works of Kantorovich, Koopmans and Others // Management Sci. — 1962.

[5] Koopmans T. C. On the Evaluation of Kantorovich’s Work of 1939 // Management Sci. — 1962.

[6] Dantzig G. B. Linear Programming and Extensions. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1963.

[7] Charnes A. Foreword // Management Sci. — October 1958. — N 1. (Ведение к L. V. Kantorovich [c].) [8] Judy R. W. The Economists. Chapter VII // H. G. Skilling, F. Griths (eds.). Interest Groups in Soviet Politics. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1971.

[9] Mycielski J., Rey K., Trzeciakowski W. Decomposition and Optimization of Shortrun Planning in a Planned Economy // T. Barna (ed.), Structural Interdependence and Economic Development. — London: MacMillan & Co., 1963.

Л. Йохансен [10] Dantzig G. B., Wolfe P. Decomposition Principle for Linear Programs // Operations Research. — 1960. — N 1.

[11] Bornstein M. The Soviet Price Reform Discussion // Quarterly Journal of Economics. — 1964.

[12] Johansen L. Prissystemets Rolle i de Osteuropeiske Land. Statsohonomiek Tidskrift. — 1966.

[13] Ellman M. Planning Problems in the USSR. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1973.

[14] Mathematics and Computers in Soviet Economic Planning / J. P. Hurdt et al. (eds.). — New Haven: Yale Univ. Press, 1967.

[15] Isbell J. H., Marlow W. H. On an Industrial Programming Problem of Kantorovich // Management Sci. — 1962.

[16] Johansen L. Soviet Mathematical Economics // The Economic J. — 1966.

[17] Johansen L. Review of L. V. Kantorovich: The Best of Use of Economic Resources ([f]) // The Economic J. — 1967.

[18] Zauberman A. Aspects of Planometrics. — The Athlone Press. Univ. of London, 1967.


[19] Ward B. Kantorovich on Economic Calculation // J. Polit. Economy. — 1960.

[20] Pro and Con — Compare Conclusions // Contemporary Soviet Economics. — New York: Internat.

Arts and Sciences Press, 1969. — Vol. I. (Перевод отчета из Экономической газеты, № 10, 1965 г.

о дискуссии, состоявшейся в связи с выдвижением Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова и В. В. Новожилова на Ленинскую премию 1965 г.) Работы Л. В. Канторовича (советские издания, цитированные автором в переводах) [а] Математические методы организации и планирования производства. — Л., Изд-во Ленингр.

ун-та, 1939.

[b] Математические методы организации и планирования производства // Применение матема тики в экономических исследованиях. — М., 1959.

[с] О перемещении масс // Докл. АН СССР. — 1942.

[d] Роль транспортного фактора в размещении производства (совм. с А. Журавлем) // Вопросы экономики. — 1974.

[e] Дальнейшее развитие математических методов и возможности их применения в планирова нии хозяйства // Применение математики в экономических исследованиях. — M., 1959.

[f] Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. — М., 1959.

[g] Динамическая модель оптимального планирования // Планирование и экономико-математи ческие методы. — М., 1964.

[h] Оптимальные математические модели в планировании развития отрасли и в технической политике. — 1967.

[i] Об оценке эффективности капитальных затрат (совм. с В. Н. Богачевым и В. Л. Макаро вым) // Экономика и мат. методы. — 1970. — Т. 6, № 6.

[j] Однопродуктовая динамическая модель с мгновенной превращаемостью фондов (совм. с И. Г. Глобенко). — 1967.

[k] Динамическая модель экономики (совм. с И. Г. Глобенко). — 1967.

[l] Еще об исчислении нормы эффективности на основе однопродуктовой модели развития на родного хозяйства (совм. с А. Л. Вайнштейном) // Экономика и мат. методы. — 1970. — Т. 6.

[m] Цена времени (совм. с В. Богачевым) // Коммунист. — 1969.

[n] Динамические модели технического прогресса. — 1975.

Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Lusin Nicolas. Lecons sur les ensembles analytiques et leurs applications. — Paris, Gauthier-Villars et Cie, Editeurs, 1930. — P. 289, 320. [см. также 1953].

Наука в СССР за пятнадцать лет. Математика. — М.;

Л.: ГТТИ, 1932. — С. 46, 47, 52, 91, 98.

Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3. — М.;

Л.: ГТТИ, 1933. — С. 363–364.

Славентатор Л. Созвездие молодых // Вечерняя Красная газета. — Л., 1934. — 29 июня [см. также 2004].

В ряды передовых ВТУЗов // Фундамент (орган ЛИИПС). — 1935. — 21 сент. — Портр.

Мой путь в науке // Ленинградский университет. — 1938. — 23 сент. [см. также 2002].

Натансон И. П. Советская молодежь и математика // Природа. — 1938. — № 10. — С. 25–28.

Панов Д. Ю. Рец.: Канторович Л. В. и Крылов В. И. Методы приближенного решения уравнений // Успехи мат. наук. — Л., 1938. — Вып. V. — С. 263–265.

Работы молодых ученых: [О Всесоюзном конкурсе молодых ученых] // Ленингр. правда. — 1938. — 15 июня. — Портр. [см. также 2004].

Настольный календарь на 1940 год. — М.: Соцэкгиз, 1939. — С. 117: портр.

Гутерман М. Н. Рец. на кн.: Канторович Л. В. Математические методы организации и планирования производства. [Л.], 1939 // Механ. обработка древесины. — 1940. — № 8. — С. 53– 55.

Либерман И., Белянкин А., Лавров В. Выдающийся математик нашей страны // Фортифи катор (орган ВИТУ). — 1940. — Июнь.

Birkho G. Lattice theory. — New York, 1940. — [Pt] 4. — P. 104–121. — (Amer. Math. Soc.

Coloquim publications;

Vol. 25).

Ленинградский университет за советские годы 1917–1947. Очерки. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1948.

672 Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Математика в СССР за тридцать лет, 1917–1947. — М.;

Л., 1948. — С. 124, 245, 250, 251, 261, 280, 291, 292, 323, 524, 593, 600, 606, 612, 617, 620–622, 625, 626, 761–763, 766, 770, 771, 774, 775, 777, 778, 793–797, 799–801.

Birkho G. Lattice theory. — 2nd ed., rev. — New York, 1948. — [Pt] 3. — P. 238–258.

Институты Академии наук помогают промышленности // Вечерний Ленинград. — 1949. — 12 мая.

Кафтанов С. Новые выдающиеся успехи советской науки // Правда. — 1949. — 11 апр.

Кряжев И., Певзнер С. Математик пришел в цех // Вечерний Ленинград. — 1949. — 15 апр.

[см. также 2003].

О присуждении Сталинских премий за выдающиеся работы в области науки и изобретатель ства за 1948 год // Правда. — 1949. — 4 апр.;

Ленингр. правда. — 1949. — 4 апр.

Фихтенгольц Г. М. Во славу советской науки // Ленинградский университет. — 1949. — апр. — Портр.

Фихтенголъц Г. М. Лауреат Государственной премии СССР 1949 г. проф. Л. В. Канторо вич // Вестн. ЛГУ. — 1949. — № 4. — С. 160–161.

Михлин С. Рец. на кн.: Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — 3-е изд. — Л.;

М., 1949;

Успехи мат. наук. — 1950. — Т. 5, вып. 4. — С. 183–185.

Мысовских И. П. О сходимости метода Л. В. Канторовича решения функциональных урав нений и его применениях // Докл. АН СССР. — 1950. — Т. 70, № 4. — С. 565–568. — Библиогр.:

5 назв.

Боев Г. П. Рец. на кн.: Канторович Л. В. Теория вероятностей // Успехи мат. наук. — 1951. — Т. 6, вып. 4. — С. 232.

Екимов А. А. Рец. на кн.: Канторович Л. В., Залгаллер В.А. Расчет рационального раскроя промышленных материалов. — Л., 1951 // Вестн. ЛГУ. — 1951. — № 10. — С. 101–105.

Фихтенгольц Г. М. Рец. на кн.: Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функцио нальный анализ в полуупорядоченных пространствах. — М., 1950 // Сов. книга. — 1951. — № 3. — С. 38–42: рис.

Кордемский Б. А., Руслаев Н. В. Удивительный квадрат. — М.;

Л.: ГИТТЛ, 1952. — 160 с.

(о рациональном раскрое).

Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. — М.: Гостехиздат, 1952.

Лузин Н. Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. — М.: Гостехиздат, 1953. — С. 291, 319 [см. также 1930].

Колмогоров А. Н. Выступление на пленарном заседании Сессии АН СССР по научным про блемам автоматизации производства // Сессия Академии наук СССР по научным проблемам автоматизации производства, 15–20 окт. 1956 г.: Пленар. заседания. — М., 1957. — С. 159–161.

Канторович Леонид Витальевич // БСЭ. — 2-е изд. — 1958. — Т. 51. — С. 140. — Библиогр.:

3 назв.

Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Ленинградцы будут работать в новом научном центре в Сибири // Вечерний Ленинград. — 1958. — 31 марта.

Лузин Н. Н. Собрание сочинений. Том 2. — М.: Изд-во АН, 1958. — С. 241, 266.

Charnes A. Foreword // Management Science. — 1958. — N 1, Oct. (Предисловие к переводу [1942, 1].) Герчук Я. П. Линейное программирование в операционных исследованиях. — М., 1959. — С. 8, 23–27, 39, 57.

Канторович Леонид Витальевич // Биографический словарь деятелей естествознания и тех ники. — М., 1959. — Т. 2. — С. 433.

Канторович Леонид Витальевич // МСЭ. — 3-е изд. — 1959. — Т. 4. — С. 481.

Канторович Леонид Витальевич // Математика в СССР за сорок лет, 1917–1957. — М., 1959. — Т. 2: Биобиблиография. — С. 292–295;

Библиогр: 114 назв.

Математика в СССР за сорок лет, 1917–1957. — М., 1959. — Т. 1: Обзорные статьи. — С. 34, 180, 302, 351, 366, 505, 584, 588, 598, 637, 653, 676, 688–693, 811, 816, 818–825, 830, 832, 833, 847–850, 854, 859, 862, 868, 883.

О применении математики в экономических исследованиях и об отношении к эконометрике.

Материалы совещания, созванного редакцией журнала // Вестн. статистики. — 2 июля 1959 г. — М.: Госстатиздат, 1959. — 47 с.

Четыркин Е. М. Практическая интерпретация разрешающих множителей Канторовича. — М.: ВИНИТИ, 1959. — 14 с.: рис. — Ротапр.

Greub W., Rheinboldt W. On a generalization of an inequality of L. V. Kantorovich // Proc.

Amer. Math. Soc. — 1959. — Vol. 10, N 3. — P. 407–415. — Bibliogr.: 3 ref.

Leontief W. Interview // Business Week. — 1959. — 13 June.

Бирман И. Я. Научное совещание по применению математических методов в экономических исследованиях и планировании. Москва, апрель 1960 г. // Вестн. статистики. — 1960. — № 7. — С. 41–52.

Боярский А. О математических методах и требованиях марксистской экономической науки:

[Рец. на кн.: Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М., 1959] // Плановое хозяйство. — 1960. — № 1. — С. 92–96.

Булавский В. А., Рапопорт Э. О., Солдатов В. Е. Разработка и обоснование новых тарифов на такси (Доклад на заседании Ленинградского математического общества 24.05.1960) // Успехи мат. наук. — 1960. — Т. XV, вып. 6 (96). — С. 188–189.

Гатовский Л., Саков М. О принципиальной основе экономических исследований // Комму нист. — 1960. — № 15. — С. 79–90.

Дадаян В., Черняк Ю. Математические методы в экономике (Совещание по применению математических методов в экономических исследованиях и планировании. 4–8 апреля 1960 г.) // Научные доклады высшей школы. Экономические науки. — 1960. — № 3. — С. 140–151.

Железняк П. Научное совещание по применению математических методов в экономических исследованиях и планировании (апрель 1960 г.) // Плановое хозяйство. — 1960. — № 5. — С. 88–90.

Кац А. О неправильной концепции экономических расчетов: [Рец. на кн. Канторовича:


Экономический расчет наилучшего использования ресурсов (1959) и ст.: Об исчислении произ водственных затрат (1960)] // ВЭ. — 1960. — № 5. — С. 107–118.

Кац А. Экономическая теория и применение математики в экономике // ВЭ. — 1960. — № 11. — С. 92–103.

Корбут А. А., Романовский И. В. Первое всесоюзное математико-экономическое научное совещание // Успехи мат. наук. — 1960. — Т. 15, вып. 6. — С. 191–204.

Красносельский М. А., Чечик В. А. Об одной теореме Л. В. Канторовича // Труды семинара по функциональному анализу [Ростовского-на-Дону и Воронежского гос. ун-тов]. — Воронеж, 1960. — Вып. 3–4. — С. 50–53.

674 Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Математические методы в экономике (Научное совещание по применению математических методов в экономических исследованиях и планировании) // ВЭ. — 1960. — № 8. — С. 100–128.

О математических методах в экономических исследованиях и планировании (Краткая ин формация о научном совещании в ИЭ АН в апреле 1960 г.) // Речной транспорт. — 1960. — № 5. — С. 153–154.

Применение математики в экономических исследованиях и планировании // ВЭ. — 1960. — № 5. — С. 153–154.

Campbell Robert W. Рец.: Л. В. Канторович. Экономический расчет наилучшего использова ния ресурсов // Amer. Econ. Rev. — 1960. — Vol. 50, N 4. — P. 729–731. [cм. также 2004].

Dobb M. The Revival of Soviet Economic Discussion // Science and Society. — 1960. — Vol. XXIV, N 4. — P. 289–311.

Koopmans T. C. A Note About Kantorovich’s Paper Mathematical Methods of Organizing and Planning Production // Mgmt. Sci. — 1960. — N 4. — P. 363–365 [cм. также 2004].

Leontief W. W. The Rise and Decline of Soviet Economic Science // Foreign Aairs. — 1960. — Vol. 38, N 2.

Montias G. М. Рец.: Л. В. Канторович. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов // Econometric. — 1960.

Ward Benjamin. Kantorovich on economic calculation // J. Political Economy. — 1960. — Vol. LXVIII, N 6. — P. 545–556.

Zieber Paul. Sowjetunion entdect Oconometrie. Das Planungsinstrumentarium der UdSSR wird exakter // Der Volkswirt. Wirtshafts und Planinz-Zeitung. Fr.a/M. — 1960. — N 43, Okt. 22. — S. 2380–2382.

Боярский А. Я. К вопросу о применении математики в экономике // ВЭ. — 1961. — № 2. — С. 59–72.

Герчук Я. П. Проблемы оптимального планирования: Линейное программирование. — М., 1961. — С. 26–28.

Герчук Я. П., Минц Л. Е. Научное совещание о применении математических методов в эконо мических исследованиях и планировании (4–8 апреля 1960 г.) // Ученые записки по статистике. — 1961. — Т. 6. — С. 248–261.

Мстиславский П. О количественном выражении экономических связей и процессов // ВЭ. — 1961. — № 2. — С. 95–106.

Новожилов В. В. Исчисление затрат в социалистическом хозяйстве // ВЭ. — 1961. — № 2. — С. 82–94.

Общие вопросы применения математики в экономике и планировании. — М., 1961. — (Тр.

научн. совещ. о применении мат. методов в экон. исслед. и планир., 4–8 апр. 1960 г.;

Т. 1).

Соболев С. Л. С математической точностью решать экономические задачи // Экономическая газета. — 1961. — 11 июля.

Campbell Robert W. Marks, Kantorovich and Novozhilov. — Stoimost — versus Reality // Slavic Revue. — 1961. — N 20 (3), Okt. — P. 402–418. [cм. также 1992].

Campbell Robert W. Исследования советской экономики — достижения и перспективы // Study of the Soviet Economy. — Indiana Univ., 1961. — P. 137–138.

Montias G. М. Советская экономическая модель и слаборазвитые страны // Ibid. — P. 67–77.

Zauberman A. New Winds in Soviet Planning // Soviet Studies. — 1961. — Vol. XII, N 1.

Акилов Г. П., Вулих Б. З., Гавурин М. К., Залгаллер В. А., Натансон И. П., Пинскер А. Г., Фаддеев Д. К. Леонид Витальевич Канторович: (К 50-летию со дня рождения) // Успехи мат.

наук. — 1962. — Т. 17, вып. 4. — С. 201–215.: портр. — Библиогр.: 155 назв.

Боярский А. Я. Значение методов оптимального планирования // Тезисы докладов на тео ретической конференции МГУ: Проблемы оптимального планирования и управления производ ством. — М., 1962. — C. 13–30.

Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Боярский А. Я. Математико-экономические очерки. — М.: Госстатиздат, 1962.

Леонид Витальевич Канторович: (К 50-летию со дня рождения) // Сиб. мат. журн. — 1962. — Т. 3, № 1. — С. 5–6: портр.

Островитянов К. В. Строительство коммунизма и товарно-денежные отношения. — М.:

Госполитиздат, 1962. — С. 113–123.

Петрашень Г. И., Гусев В. Гривенник и миллиард // Известия. — 1962. — 13 июля.

Рапопорт Э. О., Солдатов В. Е. Опыт использования эластичности при построении тари фов // Определение потребности населения в товарах (Материалы научной конференции Укра инского НИИ торговли и общественного питания 8–12 мая 1961 г.). — Киев: Изд-во АН УССР, 1962. — C. 222–226.

Charnes A., Cooper W. W. On Some Works of Kantorovich, Koopmans and Others // Mgmt.

Sci. — 1962. — Vol. 8, N 3. — P. 246–263. — Bibliogr.: 27 ref.

Isbell J. H., Marlow W. H. On an Industrial Programming Problem of Kantorovich // Mgmt.

Sci. — 1962.

Koopmans T. C. On the Evaluation of Kantorovich’s Work of 1939 // Ibid. — P. 264–265.

Kantorovich Leonid Vital evich // Who’s who in the USSR, 1961–1962. — Montreal, 1962. — P. 313–314. — Bibliogr.: 4 ref.

Zauberman A. Ревизионизм в советской экономической теории // Ревизионизм: под ред.

Л. Лебедца. — Лондон, 1962. — С. 268–280.

Вирченко М., Максимова Т., Кардаш В. Оптимальное планирование — в сельское хозяй ство // За науку в Сибири. — 1963. — 18 окт.

Колмогоров А. Н. Выступление на методологическом семинаре МГУ 25.05.1961 г. // Пробле мы оптимального планирования. — М., 1963. [см. также 1991].

Котов И. В. Применение математических методов в экономике и политическая экономия социализма // Применение математики в экономике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. — Вып. 3. — С. 3– 26.

Котов И. В., Серебряков Б. Г. Закон стоимости и цены оптимального плана // Там же. — С. 27–48.

Математико-экономические методы и модели: Применение математических методов и элект ронно-вычислительных машин в планировании и технико-экономических задачах: Библиографи ческий указатель. Июнь 1963 г. — дек. 1966 г. — Л., 1968. — С. 9–10, 15, 53, 90, 104, 159, 223, 260.

Молчанов В. Кибернетика — помощник хлебороба // Правда. — 1963. — 20 ноября.

Новожилов В. В. К дискуссии о принципах планового ценообразования // Применение ма тематики в экономике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. — Вып. 1. — С. 46–56.

Новожилов В. В. Спорные вопросы применения метода вспомогательных множителей в пла нировании // Экономико-математические методы. — М.: Наука, 1963. — Вып. 1.

Barrire R. P. Prface a l’dition francaise // Kantorovitch L. V. Calcul — conomique et ‘utilisation e e e des ressources. — Paris, 1963. — P. VIII–XVI. — (Finance et conomic applique;

Vol. 15).

e e Dantzig G. B. Linear programming and extensions. — Princeton, New Jersey, 1963. — P. 12–13, 22–23, 65, 299.

Mycielski J., Rey K., Trzeciakowski W. Decomposition and Optimization of Short-run Planning in a Planned Economy // Structural Interdependence and Economic Development / ed. T. Barna. — London: MacMillan & Co., 1963.

Nove A. The Changing Role of Soviet Prices // Economic of Planning (Oslo). — 1963. — № 3.

Аганбегян А. Г. Оптимальное планирование и управление народным хозяйством // За науку в Сибири. — 1964. — 6 апр.

Аганбегян А., Вайнштейн А., Олейник Ю. Первооткрыватели // Правда. — 1964. — 22 апр.

[cм. также 2004].

676 Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Барсов А. С. Линейное программирование в технико-экономических задачах. — М., 1964. — С. 7.

Воробьев Н., Корбут А. Математическая экономика [Выдвинуты на соискание Ленинской премии] // Ленингр. правда. — 1964. — 12 апр.

Выступления на конференции «Круглого стола» «Кибернетика, планирование и социальная система», организованной журналами «USSR. Soviet life today», «Вопросы экономики» и «Эко номической газетой» в редакции журнала «Вопросы экономики», март 1964 г. Кр. излож.: // «Cybernetics, Economic Planning and the Social System. The Round Table Conference». — USSR.

Soviet life today. — 1964. — Sept. — P. 8–17;

ВЭ. — 1964. — № 9. — С. 63–110;

Экономическая газета. — 1964. — № 16.

Высшее военное инженерно-техническое краснознаменное училище (исторический очерк) 1939–1964. — Л.: ВВИТКУ, 1964. — С. 10, 11, 26, 49, 60.: портр.

Колганов М. Политическая экономия и математика // ВЭ. — 1964. — № 12. — С. 111–125.

Математико-экономические методы и модели: Применение математических методов и элект ронно-вычислительных машин в технико-экономических вопросах: Библиографический указа тель. — М.;

Л., 1964. — (С. 11, 15, 16, 18, 20, 26, 43, 48, 72, 73, 87, 141).

Новожилов В. В. Математический анализ социалистической экономики как важнейший фак тор роста производительных сил // Планирование и экономико-математические методы. — М.:

Наука, 1964.

Bornstein Morris. The soviet price reform discussion // Quart. J. Economics. — 1964. — Vol. LXXVIII, N 1. — Р. 15–48.

Dobb M. Some Further Comments on the Discussion About Socialist Price Policy // On Political Economy and Econometrics: Essays in Honor of O. Lange. — Warszawa, 1964.

Kantorovich Leonid Vitalievich // Who’s who in Soviet science and technology. — 2nd ed., rev.

and enl. — New York, 1964. — P. 86.

«За» и «Против» — сравните доводы! // Экономическая газета. — 1965. — 10 марта. — С. 9–10.

[cм. также 2004].

Кац А. О так называемой «народнохозяйственной себестоимости» // ВЭ. — 1965. — № 2.

Келдыш М. В. Лауреаты Ленинской премии 1965 года // Вестн. АН СССР. — 1965. — № 5. — С. 4–5, 6: портр.

Котов И. В. Некоторые вопросы применения математических методов в экономике и поли тическая экономика социализма // ВЭ. — 1965. — № 11. — С. 99–111.

Л. В. Канторович, В. С. Немчинов, В. В. Новожилов — лауреаты Ленинской премии 1965 г. // ЭММ. — 1965. — Т. 1, № 3. — С. 463–465.

Немчинов В. С. Экономико-математические методы и модели. — 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1965. — С. 77–78, 301, 372, 438.

Новые академики в семье советских математиков // Математика и современность. — 1965. — № 6. — С. 87–89. — (на эст. яз.) Скотникова М. Рец. на статью: Канторович Л. На основе математических методов. 1965 // Вычислительная и оргтехника в строительстве и проектировании. — 1965. — Вып. 5. — С. 42.

Соболев С. Л. Математика, кибернетика, практика // Лит. газета. — 1965. — 10 апр.

Тихомиров Ю. М. 25 лет линейного программирования // ЭММ. — 1965. — Т. 1, № 1. — С. 146–147.

Присуждение Ленинских премий за работы в области математики // Успехи мат. наук. — 1965. — Т. ХХ, вып. 4 (124). — С. 221.

Экономисты и математики за «Круглым столом»: [Выступления на конференции «Круглого стола» «Кибернетика, планирование и социальная система», организованной журналами «USSR.

Soviet life today», «Вопросы экономики» и «Экономической газетой» в редакции журнала «Вопро сы экономики», март 1964 г.]. — М.: АПН, 1965. — 207 с.

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: [Курс высшей математики и математической физики. Вып. 3]. — М.: Наука, 1965. — С. 395, 406–412.

Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича New Light on Russian Economics. Рец.: Kantorovich L. The Best Use of Economic Resources. — Oxford etc.: Pergamon Press, 1965;

The Use of Mathematics in Economics. — Edinburgh;

London, 1964;

The Economist. — 1965. — July 3. — P. 42.

Nove A. The Soviet Economy. — London: George Allen & Unwin Ltd, 1965. — 356 p. — (P. 217, 224, 232, 233, 255, 290–293, 295, 298, 312).

Pro and Con — Compare conclusions: пер. на англ. // Problems of economics. — 1965. — Vol. VIII, N 5. — Р. 16–22.

Вайнштейн Альб. Л. Возникновение и развитие применения линейного программирования в СССР: К 25-летию линейного программирования // Экономико-математические методы. — М., 1966. — Вып. 3: Экономико-математические модели народного хозяйства. — С. 9–40: рис. — Библиогр.: 47 назв.

Виноградов В. Земля, вода и математика: [Значение математических работ Л. В. Канторо вича и П. Я. Кочиной для решения ирригационных проблем] // Сибирские огни. — 1966. — № 9. — С. 114–119.

Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения: пер. с англ. — М., 1966. — С. 29–30, 69, 295.

Дидерихс Ф., Корбут А. Математическая экономика // Научно-технические общества СССР. — 1966. — № 2. — С. 19–21: рис.

[К присуждению Л. В. Канторовичу Ленинской премии 1965 г. за работы в области мате матической экономии] // Один раз в жизни: О лауреатах Ленинской премии 1965 года. — [М., 1966]. — С. 59–60: портр.

Мицкевич А. Экономические проблемы и математика // Там же. — С. 72–75.

Лурье А. Л. Абстрактная модель оптимального хозяйственного процесса и объективно обу словленные оценки // ЭММ. — 1966. — Т. 2, вып. 1. — С. 12–30.

Питер Темпест рассказывает о Сибири // Советская Сибирь. — 1966. — 30 окт.

[Список трудов Л. В. Канторовича] // Мировая математика за 10 лет (1953–1963). — М., 1966. — Т. 1. — С. 271.

Сыроежин И. Ответ дает математика // Ленингр. правда. — 1966. — 27 янв.

Bell D. The “End of Ideology” in the USSR // Marxist Ideology in Contemporary World. Its Appeal and Paradoxes. — New York, 1966.

Dobb Maurice. Kantorovich on optimal planning and prices. Рец.: The best use of economic resources. Harvard Univ. Press. 1965 // Science and Society. — 1966. — N 1. — Р. 186–202.

Johansen L. Soviet mathematical economics // Inst. of economics University of Oslo, 1966. — Reprint series N 28 (Reprinted from “The economic journal”, London, 1966).

Johansen L. Some problems of pricing and optimal choice of factor proportions in a dynamic setting // Proc. of European Meeting of the Econometric Society, Warsaw, Sept. 1966.

Johansen L. Prissystemets Rolle i de steuropeiske Land // Statsohonomiek Tidskrift. — 1966.

SOAN La ruche de la science // France — URSS magazine. — 1966. — N 235, jnr. — Р. 16–21.

Soviet Economic Performance and Reform: Some Problems of Analysis and Prognosis // Slavic Rev. — 1966. — Vol. 25, N 2.

Tempest P. Science plans the best use of their vast resources // Morning Star. — 1966. — 12 July.:

портр.

Аганбегян А. Г. Коммунистическая убежденность и экономика // За науку в Сибири. — 1967. — 16 мая.

Вирченко М. И., Пузанова Г. Г. О возможностях применения объективно обусловленных оценок в экономических исследованиях // ВЭ. — 1967. — № 2. — С. 111–121.

Католин Лев. Кибернетические путешествия. — М.: Знание, 1967. — С. 147–178.

Леонид Витальевич Канторович // Наука и человечество: Международный ежегодник, 1967. — М., 1967. — С. 346: портр.

678 Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Лурье А. Л. Оптимальные оценки и норма эффективности // ЭММ. — 1967. — Т. 3, вып. 2. — С. 171–185.

Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планирова нии. — М.: Экономика, 1967. — 376 с.

Терехов Л. Л. Оценки в оптимальном плане. — М.: Экономика, 1967. — 133 с.

Fels E., Tintner G. Mathematical economics in the Soviet Union // Communist Aairs. — 1967. — Vol. 5. — P. 3–8.

Johansen L. Some problems of planning and optimal choice of factor proportions in a dynamic setting // Univ. Oslo. Institute of Economics, 1967. — Reprint Series № 33. — P. 131–152.

Johansen L. Review of L. V. Kantorovich: The Best Use of Economic Resources // Econ. J. — 1967.

Kantorovich Leonid Vitaliyevich // The International who’s who [31 — 49 ed.: 1967–1986]. — London, 1967–1987.

Zauberman A. Aspects of Planometrics. — London: The Athlone Press, 1967. (Univ. London.) Дискуссия об оптимальном планировании / Сост.: Л. Я. Казакевич и Л. В. Левшин. — М.:

Экономика, 1968. — 192 с.

История отечественной математики. — Киев, 1968. — Т. 3. — С. 24, 72–74, 100, 109, 110, 129, 131, 169–170, 172, 173, 180, 181, 365, 533, 576, 585, 641, 646, 655, 662, 678, 686: портр.

Кац А. И. Динамический экономический оптимум. Т. 1: Критерий динамического оптимума.

Кр. излож. // ИМЭМО. — М., 1968 (ДСП).

Немчинов В. С. Избранные произведения. — М.: Наука, 1968. — Т. 5: Планирование и народнохозяйственные балансы. — (С. 231, 233, 315).

Соболев С. Л. Мосты математики // Неделя. — 1968. — № 29. — 14 июля. — С. 2–3.

Черников С. Н. Линейные неравенства. — М., 1968. — С. 15, 366, 367.

Kantorovich Leonid Vitalevich’ // Prominent personalities in the USSR. — Metuchen, New Jersey, 1968. — P. 235. — Bibliogr.: 4 ref.

Kantorovich Leonid Vitalyevich // World who’s who in science: A biographical dictionary of notable scientists from antiquity to the present. — Ist ed. — Chicago, 1968. — P. 905.

Глобенко И. Г. Об одной модели Л. В. Канторовича // Изв. вузов. Математика. — 1969. — № 4. — С. 14–16.

Канторович Леонид Витальевич // Математика в СССР, 1958–1967. — М., 1969. — Т. 2:

Биобиблиография. Вып. 1. А — Л. — С. 568–569.

Лурье А. Л. О расчетах нормы эффективности и об однопродуктовой модели народного хозяйства // ЭММ. — 1969. — Т. 5, вып. 3. — С. 366–394.

Немчинов В. С. Избранные произведения. — М.: Наука, 1969. — Т. 6: Общественная стои мость и плановая цена. — (С. 100–102, 157, 159, 310, 363, 365, 366, 382–384, 405, 440).

Немчук Т. Экономист и математика // Пути в незнаемое: Писатели рассказывают о науке. — М., 1969. — Сб. 7. — С. 60–61, 66–67.

Dano J. Predslov k slovensk — mu vydaniu // Kantorovi L. V. Optima — alne vyu — itie c c sdrojov. — Bratislava, 1969. — S. 7–12.

Pro and Con — Compare Conclusions: пер. на англ. // Contemporary Soviet Economics, Vol. I. — New York: International Arts and Sciences Press, 1969.

Аганбегян А. Г. Через три столетия — к истине: [О «техн. кибернетике»] // За науку в Сибири. — 1970. — 3 июня: портр.

Вертгейм Б. А. Оптимальное чередование основного и модифицированного процессов Нью тона — Канторовича // Оптимальное планирование. — Новосибирск, 1970. — Т. 17. — С. 10–31.

Литература о жизни и трудах Л. В. Канторовича Вулих Б. З. Функциональный анализ // Математика в Петербургском — Ленинградском университете: под ред. акад. В. И. Смирнова. — Л., 1970. — С. 112–133.

Романовский И. В. Работы по оптимальному программированию // Там же. — С. 261–267.

Иванов Ю. «Магистрали» экономики [о симпозиуме в Новосибирске по моделированию на родного хозяйства] // Советская Сибирь. — 1970. — 1 июля.

История отечественной математики. — Киев, 1970. — Т. 4, кн. 2. — (С. 64–68, 86, 115, 116, 121, 123, 133, 134, 142, 146–149, 247, 335, 355, 357, 388, 389, 401, 402, 404, 506, 508, 529, 542, 580).

Лурье А. Л. О формулах для расчета нормы эффективности: [Замечания по статье Л. В. Кан торовича и Альб. Вайнштейна «Еще об исчислении нормы эффективности на основе однопродук товой модели развития народного хозяйства». 1970] // ЭММ. — 1970. — Т. 6, вып. 3. — С. 416– 421. — Библиогр.: 4 назв.

Финн Э. А. ЭВМ на службе земледелия. — М.: Знание, 1970. — 48 с.

Рубинштейн Г. Ш. Конечные модели оптимизации: курс лекций. — Новосибирск, 1970. — С. 8.

Kantorovich Leonid Vitalyevich // Dictionary of international biography. 1971. — London, [1970]. — Pt 1. — P. 606.

Леонид Витальевич Канторович: (К шестидесятилетию со дня рождения) // Оптимизация:

сб. тр. [Ин-та математики СО АН СССР]. — Новосибирск, 1971. — Вып. 3. — С. 7–9, 1 л. портр. — Посвящается Л. В. Канторовичу в связи с его шестидесятилетием.



Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 27 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.