авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
-- [ Страница 1 ] --

Самарский научный центр Российской академии наук

В.К. СЕМЁНЫЧЕВ, Е.В. СЕМЁНЫЧЕВ

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ

РЯДОВ ДИНАМИКИ: СТРУКТУРЫ, МОДЕЛИ, ЭВОЛЮЦИЯ

Монография

Самара

Издательство «СамНЦ РАН»

2011

УДК 330

ББК 65в6

С 30

Печатается по решению редакционно-издательского совета

СамНЦ РАН

Рецензенты:

Митрофанов А.Н. – д.т.н., профессор Гераськин М.И. – д.э.н., профессор С 30 Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В.

Параметрическая идентификация рядов динамики: структуры, модели, эволюция: монография. Самара: Изд-во «СамНЦ РАН», 2011. 364 с.

ISBN 978-5-93424-558-1 Монография посвящена оригинальным разработкам структур, моделей и методов идентификации нелинейных рядов динамики показателей социально-экономических систем на относительно коротких выборках для того, чтобы обеспечить возможность их эволюции.

Это относится, в первую очередь, к обобщенным параметрическим моделям авто регрессии-скользящего среднего.

Новым является предложение структур пропорционально-мультипликативного взаимодействия компонент ряда.

До настоящего времени не идентифицировались предложенные модели эволюции амплитуд колебательных компонент ряда.

Метод параметрической итерационной декомпозиции тренд-сезонных рядов и ис пользование базиса Гребнера для решения полиномиальных алгебраических уравнений при МНК-идентификации позволили существенно расширить класс рассматриваемых моделей.

Обстоятелен «атлас» моделей логистической динамики, оригинальны новые мо дели, приемы конструирования моделей мультилогистической динамики, компенсации автокоррелированности и гетероскедастичности стохастической компоненты.

Методика исследования точности моделей и методов идентификации в динамиче ском диапазоне параметров и соотношения мощностей помехи и полезного сигнала по зволила оценить область их возможного применения.

Многочисленные приложения в социально-экономических системах разного ие рархического уровня и предметной области позволят исследователям-аналитикам, ма гистрантам и бакалаврам экономических направлений понять и развить возможные приложения.

ISBN 978-5-93424-558- ББК 65в © Семёнычев В.К., Семёнычев Е.В., СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. ГЛАВА 1. ВЫБОР ИНСТРУМЕНТАРИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩЕЙ ДИНАМИКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СЭС................. 1.1. Особенности моделирования и прогнозирования динамики показателей СЭС.......................................................................................... 1.2. Характеристики точности моделирования, прогнозирования и адекватность моделей динамики.

............................................................... 1.3. Декомпозиционный подход к построению моделей динамики....... 1.4. Модели колебательной компоненты................................................... 1.5. Предложение пропорционально-мультипликативных структур взаимодействия компонент ряда динамики............................................... 1.6. Выбор периода дискретизации при моделировании детерминированных компонент ряда динамики....................................... 1.7. «Классический непараметрический» и предложенный «параметрический итерационный» методы тренд-сезонной декомпозиции................................................................................................ 1.8. Перепараметризация нелинейных моделей рядов динамики на основе моделей авторегрессии-скользящего среднего............................ ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РОСТА ЭКОНОМИКО-СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ И ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТОВ.............................. 2.1. Задача моделирования роста показателей СЭС и скоростей их изменения.................................................................................................... 2.2. Использование решений дифференциальных уравнений для моделирования кривых роста.................................................................... 2.3. Феноменологические модели логистических кривых роста.......... 2.4. Феноменологические импульсные модели ЖЦП............................ ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ ТРЕНДОМ И ЭВОЛЮЦИЕЙ ГАРМОНИК, МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ......................................................................................................... 3.1. Модели роста в виде суммы линейного тренда и гармоник........... 3.2. Методика оценки точности и области применения методов идентификации........................................................................................... 3.3. Модели роста в виде суммы полиномиальных трендов и колебательных компонент аддитивной и пропорционально мультипликативной по отношению к тренду структур......................... 3.4. Модели роста в виде суммы полиномиального тренда и гармоник с независимо эволюционирующими моделями амплитуды колебательной компоненты................................................... 3.5. Идентификация ряда динамики линейным трендом, колебательной компонентой и мультипликативной стохастической компонентой................................................................................................ 3.6. Моделирование компонент с мультипликативной стохастической компонентой при детрендировании и десезонализации........................ ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭКСПОНЕНТАМИ И ИХ СОЧЕТАНИЯМИ С ГАРМОНИКОЙ............................................................... 4.1. Использование модели в виде обобщенной экспоненциальной функции....................................................................................................... 4.2. Модели рядов динамики в виде квазиполиномов............................ 4.3. Квазиполиномы, сочетающие экспоненту с гармонической компонентой................................................................................................ ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТА И СОЦИАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ........................................................................................................ 5.1. Выбор метода идентификации логистической динамики моделью Верхулста.................................................................................... 5.2. Моделирование жизненного цикла продукта типа «фетиш»

моделью Верхулста.................................................................................... 5.3. ARMA-моделирование уровня годовой добычи нефти из пласта для оценки геологического риска инвестиций в нефтегазодобывающей промышленности............................................... 5.4. Идентификация моделей ЖЦП на основе суммы экспонент и колебательных компонент......................................................................... 5.5. Моделирование ЖЦП с повторным циклом.................................... 5.6. Пример моделирования ЖЦП с произвольной асимметрией для операционных систем семейства Windows............................................. 5.7. Примеры моделирования и прогнозирования социальной динамики..................................................................................................... ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................... ГЛОССАРИЙ...................................................................................................... БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................ ВВЕДЕНИЕ В настоящее время в РФ открываются перспективы для интенсивно го развития инновационной деятельности. При этом значительное внима ние уделяется организации и управлению инновационным процессом, ко торый характеризуется комплексностью, многоплановостью, высокой ди намикой и вероятностным характером, поскольку зависит от многих, за частую трудно поддающихся учёту факторов.

Создать конкурентоспособную экономику нельзя без широкого ис пользования современных достижений математики, экономики, социоло гии, т.е. становления и использования экономики знания. Не только в том смысле, что она основана на знаниях, но и в том, что в ней ярко прояви лась характерная для научного знания тенденция к постоянному измене нию и обновлению, позитивной эволюции, улучшению показателей не только используемой технологии и производимой продукции, но и соци ально-экономических процессов.

Современным и плодотворным методом исследования инновацион ного процесса является моделирование (model-building) и прогнозирование (forecasting) экономического эффекта от нововведений в масштабах от дельных предприятий, целых отраслей промышленности и регионов стра ны.

В монографии объектом исследования являются эволюционирую щие ряды динамики показателей экономических систем и их обобщений – социально-экономических систем (СЭС).

Экономическая система определяется обычно как сложная вероят ностная система, охватывающая процессы производства, обмена, распре деления и потребления материальных благ [29]. В СЭС, наряду с матери ально-вещественными потоками, учитываются и производственные отно шения людей в обществе, воспроизведенные и развитые экономической системой производственные отношения, социально-экономические, соци ально-политические, социокультурные и демографические процессы. В СЭС рассматривают и вопросы инвестиционной, финансовой, социальной и/или экологической политики, ценообразования на рынке как системы отношений купли-продажи между продавцами и покупателями, распреде лительных отношений, лагов и т.д.

СЭС могут иметь различный иерархический уровень: макроуровень – страна, мезоуровень – регион, муниципальное образование, отрасль на родного хозяйства, микроуровень – семья, конкретное предприятие.

Динамика СЭС полностью вмещает в себя проблемы статики: опти мальное распределение и использование имеющихся производственных ресурсов, максимальное удовлетворение сложившихся общественных и индивидуальных потребностей, анализ структуры и взаимосвязей хозяй ства страны, балансирование производства и потребления, изучение до пустимых и рациональных состояний и др. В рамках экономической ди намики осуществляется более общий анализ указанных проблем, включая и воспроизводственный подход к экономическому развитию. В динамике определяются возможные траектории деградации или развития, последо вательности состояний и переходы от одних состояний к другим.

Показатель динамики СЭС определим как ее обобщающую количе ственную характеристику, в общем случае вектор Y, в конкретных усло виях места и времени [14, 19, 29]. Показатель называют также траектори ей, результирующей, определяемой, объясняемой (explained variable), внутренней или эндогенной переменной СЭС. Такими переменными яв ляются, например, доход, потребление, оборот розничной торговли, уро вень безработицы, средняя заработная плата, объём инвестиций и др. Ди намика конкретных СЭС описывается десятками, а в отдельных случаях и сотнями показателей. Эндогенная переменная Y является принципиально случайной (стохастической), так как климатические и природные явления, структура материальных и духовных потребностей членов общества мо гут быть определены только с некоторой вероятностью. Сложность и ди намичность реальных социально-экономических процессов приводят к тому, что затраты на производство, экономический эффект, производи тельность труда, результаты научных исследований и разработок, эффек тивность новой техники и т.д. поддаются предварительному расчёту и экономическому анализу только с тем или иным уровнем достоверности.

Показатель Y формируется в процессе и внутри функционирования СЭС под воздействием некоторого вектора x : числа i других процессов или явлений X i, называемых факторными, внешними, экзогенными (exogenous variable) или определяющими переменными, которые или часть из которых поддаются регистрации и планированию. Экзогенные пере менные описывают условия функционирования СЭС, могут задаваться извне анализируемой системы. Примерами экзогенных переменных могут быть физическое время, налоги, государственные закупки товаров, уста навливаемая цена на благо, рента, налоги, банковские ставки, официаль ный курс доллара, численность экономически активного населения и др.

Моделью динамики СЭС будем считать образ процесса, явления в форме математических соотношений, отражающий существенные свойст ва моделируемой СЭС и замещающий его в ходе исследования и управле ния. Модели могут быть различными в зависимости от формулировки це ли моделирования и прогнозирования, размера выборки, иерархического уровня СЭС и т.д. В качестве моделей траектории будут выступать конти нуальные (непрерывные) и дискретные аналитические выражения.

При декомпозиции динамической траектории, а это один из важ нейших подходов в моделировании динамики показателей СЭС, на от дельные компоненты к модели будем относить как аналитические выра жения и характеристики компонент, так и структуру (аддитивную и/или мультипликативную) их взаимодействия.

Декомпозиция представляет динамику траектории как суперпози цию медленного детерминированного процесса T (t ) (векового уровня, se cular trend, главной тенденции, эволюторной компоненты) тренда и более быстрых процессов – детерминированной колебательной C (t ) и стохас тической компонент (t ). Последнюю называют также нерегулярной компонентой, шумом, помехой (irregular component). Именно присутствие в структуре ряда стохастической компоненты делает траекторию принци пиально случайной.

В анализе динамики СЭС в сравнении с анализом статики повыша ются требования к точности моделирования и прогнозирования на корот ких интервалах наблюдения (на коротких выборках), так как эволюция процессов и явлений ведёт к нестационарности видов моделей (аналити ческих выражений и/или их параметров, характера их взаимодействия).

Огромное значение приобретает мониторинг эволюции моделей, ис пользование их для прогнозного моделирования возможных траекторий развития, для оценки эффективности принятых или возможных управлен ческих (в том числе технологических, маркетинговых) решений.

Эволюция выражается обычно в высоких темпах спада или роста показателей (неестественных с точки зрения стабильных экономик), появ лении или исчезновении колебательной компоненты, эволюции ее пара метров, изменении характера взаимодействия компонент ряда динамики показателей, увеличении мощности и/или появлении гетероскедастично сти (нестационарности дисперсии) помехи.

Известно, что модели динамики СЭС принципиально сложнее моде лей статики не только за счет введения в них дополнительного параметра – времени.

Становление экономики знаний предполагает и реализует создание новых технологий производимой продукции, социально-экономических процессов и явлений. Модели СЭС при этом, как правило, приобретают нелинейный характер по переменным и по параметрам.

Предметом исследований, представленных в монографии, являются математические модели и структуры траекторий динамики показателей СЭС, методы их идентификации и прогнозирования. Метод идентифика ции определим как последовательность определенных операций, приме нение которых приводит либо к достижению поставленной цели модели рования, прогнозирования и мониторинга эволюции СЭС, либо прибли жает к ней. Под приемом идентификации будем понимать отдельные комплексы действий в реализации метода, т.е. метод может включать в себя несколько различных приёмов и в целом представляет собой их упо рядоченную совокупность.

Математическое моделирование предполагает идентификацию мо дели (может быть, комплекса сравниваемых моделей) процесса или явле ния, которая может быть структурной, когда речь идет об определении вида моделей, или параметрической, когда определяются параметры вы бранной или сравниваемых моделей. В общем случае необходимо осуще ствлять идентификацию обоих видов, причем структурная идентификация (используют также термины «классификация», «спецификация»), как пра вило, сложнее.

К методике оценки точности, достигаемой моделями и методами их идентификации, отнесем совокупность используемых критериев точности моделирования и прогнозирования, методов декомпозиции траекторий, использования реальных и тестовых выборок, выбор применяемого мате матического аппарата, исследование диапазонов соотношения мощностей полезного сигнала и помехи при идентификации, влияние динамического диапазона параметров моделей.

Учет особенностей функционирования конкретных СЭС, измерений (дискретизации) их показателей, декомпозиционный подход при анализе траекторий показателей, предложение математических моделей, исходя из целей моделирования и прогнозирования, методы и приемы идентифика ции, выбор критериев точности и методики оценки достигаемой точности и области применения, соответствующее математическое и программное обеспечение образуют инструментарий математического моделирова ния.

Можно утверждать, что существующий инструментарий моделиро вания и прогнозирования динамики СЭС далеко не в полной мере соот ветствует требованиям экономики знания. Различают параметрический и непараметрический подходы к его развитию. Непараметрический (или ал горитмический) подход развития инструментария не связан с получением при идентификации какого-либо аналитического выражения, в принятом смысле оптимально описывающего статистические данные. Параметри ческий (или аналитический) подход предполагает выбор класса моделей и определение его параметров.

Каждый из подходов обладает своими достоинствами и недостатка ми, а также своей областью применения.

Достоинствами непараметрического подхода являются его универ сальность и, во многих случаях, простота, а к его недостаткам можно от нести отсутствие аналитического выражения, что не позволяет предло жить аналитическую модель для СЭС и, может быть главное, прогнозиро вать динамику СЭС. Непараметрический подход требует обычно для сво ей реализации больших выборок, что далеко не всегда имеется на практи ке при реализации инновационных управленческих и технологических решений, для «молодых» экономических, социокультурных траекторий.

При его использовании низка точность мониторинга эволюции.

Указанных недостатков лишен параметрический подход, однако его реализация зачастую сложнее как в плане выбора класса моделей, так и при их идентификации. Экономика знаний требует развития инструмента рия для сложных нелинейных моделей динамики на коротких выборках, для различных уровней иерархии СЭС, в широком динамическом диапа зоне параметров моделей, при высоком уровне помех.

Считаем, что для становления и развития экономики знания в боль шей мере адекватен параметрический подход.

В качестве параметрической модели динамики СЭС можно рассмат ривать зависимость вектора определяемых показателей Y от вектора оп ределяющих факторов x = { X i } и времени t :

Y = Y ( x, t ). (В.1) Будем исходить из того, что на практике далеко не всегда удается смоделировать формирование значений определяемой переменной под воздействием всех факторных переменных X i, количество которых может быть довольно большим, а влияние не всех из них может быть количест венно определено или даже просто выявлено в силу сложного, зачастую взаимосвязанного с другими переменными характера.

Именно поэтому от общей постановки (В.1) задачи моделирования может быть оправдан переход к более простым моделям. Так, например, показатель Y СЭС зачастую может быть скалярной (одномерной) вели чиной:

Y = Y ( x, t ). (В.2) Зачастую оправдан переход к еще более простой трендовой модели, когда определяемым фактором (переменной) является скаляр Y, а через единственную переменную время t как бы «интегрируется» действие век тора x всех определяющих факторов в виде функции (модели) f (.) от времени и некоторого набора параметров,,,..., :

Y = f (,,,...,, t ). (В.3) Следует сознавать, что сделанное упрощение позволяет получить, как бы ни казалось это парадоксальным, во многих случаях больше зна ний об анализируемой системе. Дело в том, что до настоящего времени наиболее распространены многомерные модели (В.2) в виде множествен ной линейной аддитивной регрессии, допускающие относительно высо кую точность моделирования при условии независимости факторов X i в векторе определяющих факторов x.

При наличии зависимости в (В.2) факторов X i между собой и при большой размерности x возникают проблемы определения вида этой за висимости и снижения размерности модели (уменьшения количества фак торных переменных X i ). Известно и практически всегда справедливо «проклятие размерности» для иллюстрации того, что переход от одномер ной задачи моделирования к двумерной задаче обуславливает увеличение сложности идентификации более чем в два раза, а переход от одномерной задачи к трехмерной – более чем в три раза и т.д. Надо учесть и присутст вие в модели (В.2) случайных компонент модели (помех) i (t ), которые неизбежно содержатся в реальных выборках измерений X i (t ). Необходи мо определить и структуру взаимодействия отдельных определяющих факторов X i (t ) и соответствующих им помех i (t ) (оно может быть адди тивным или мультипликативным). Следовало бы рассмотреть и возмож ность изменения характеристик и структур взаимодействия i (t ) с факто рами X i (t ) в процессе снижения размерности модели, в силу того, что многофакторные модели (В.1) и (В.2) могут привести, в конечном счете, к «мнимой точности».

Рассмотрение нелинейных трендовых моделей (В.3) может быть оп равдано только в одномерной постановке. Однако именно с нее зачастую начинается анализ многомерной экономической динамики. Одномерный анализ может быть использован в качестве вспомогательного при анализе более сложных многомерных объектов, модели которых имеют несколько входов и выходов, и при формировании агрегированных показателей.

Большинство рассматриваемых трендовых моделей динамики (ря дов динамики) предполагают дискретизацию и эквидистантность на блюдений (постоянства периода дискретизации или опроса), но некоторые результаты могут быть применены и для неэквидистантных рядов, а также для параметрических моделей пространственных рядов, в которых аргу ментом является некоторая факторная переменная X i :

Y = f (,,,...,, X i ). (В.4) Использование показанных аналоговых форм записи моделей (В.1) (В.4) порой проще, делает запись лаконичной, позволяет использовать ап парат дифференциального исчисления, представляя многие модели рядов динамики как решения дифференциальных уравнений.

Однако ни непрерывное, ни дискретное представления переменных не могут претендовать на монополию. Выбор формы представления моде ли зависит от удобства, наглядности и «природы» анализируемых соци ально-экономических процессов и явлений. Одни показатели, скажем, ин тенсивность выпуска многих видов продукции, можно считать изменяю щимися непрерывно, а динамика других, например, изменения цен на то вары и услуги, имеет дискретный характер – как по их величине, так и по времени.

Реальной практике сбора первичных статистических данных о дина мике параметров СЭС, реализации методов идентификации моделей на компьютерах более адекватна дискретная запись моделей (В.1)-(В.4) в форме связи ряда динамики дискретных наблюдений определяемых и оп ределяющих переменных, например:

Yk = f (,,,...,, tk ), (В.5) где Yk, xk, t k обычно называют уровнями (количественными значениями) переменных или их наблюдениями, t k = k, k = 0,1,2,...n, – интервал (период) дискретизации, n – объем статистической выборки.

С термином «наблюдение» будем иногда связывать и момент t k взятия отсчётов – регистрации уровней. Интервал дискретизации в конкретных приложениях может быть разным, например, год, квартал, месяц, декада, день. В техническом и фундаментальном анализах коти ровок ценных бумаг фондового рынка, курсов валют и т.п. величина может быть меньше.

В трендовых моделях (их можно назвать и регрессиями) упорядо ченные (расположенные в хронологическом порядке) и равноотстоящие дискретные наблюдения Yk образуют динамический ряд или временной ряд (time-series data).

В определенной мере представленные в монографии материалы можно применить к пространственным, динамическим и пространст венно-динамическим моделям связи.

Пространственные модели связи строят по уровням показателей нескольких СЭС, взятым в определенный момент времени ti. Примером пространственной модели может быть описание эффективности прода жи какой-либо продукции в зависимости от рекламного бюджета на её продвижение, её цены или объёма затрат на НИОКР при различных эта пах жизненного цикла этой продукции. При моделировании простран ственной динамики следует иметь в виду, что и факторный показатель, определяемый обычно со случайной погрешностью, является также сто хастическим.

Динамические модели связи определяются по совокупности уров ней показателей одной СЭС в различные моменты времени, а про странственно-динамические – по уровням нескольких СЭС в различ ные моменты времени.

Если уровни временного ряда динамики агрегированы так, что от ражают состояние показателя за некоторые периоды времени (напри мер, объём производства за год, количество отработанных человеко дней по месяцам, кварталам, полугодиям и т.п.), то такой ряд называет ся динамическим интервальным (или накопленным, или кумулятив ным).

В моментных рядах динамики уровни Yk характеризуют состояние показателя в конкретный момент времени или на короткий промежуток времени (например, численность населения и объём основных фондов на начало года, доход, величина запаса какого-либо материала на нача ло анализируемого периода и т.д.).

Особыми свойствами обладают макроэкономические временные ряды, т.е. ряды показателей высокого уровня агрегирования макроуров ня управленческой иерархии. Во многом это обусловлено тем, что зна чения агрегированных показателей не могут быть получены путем не посредственной регистрации: их рассчитывают, обрабатывая большие объемы первичных (непосредственно регистрируемых) данных. В силу этого уровни макроэкономических рядов определяются не только сущ ностью социально-экономических процессов и явлений, но и методика ми расчета соответствующих показателей.

Примерами макроэкономических рядов являются ряды ВВП, объ ема промышленной продукции, продукции сельского хозяйства, грузо оборота транспорта, инвестиций в основной капитал, экспорта, импорта.

Близкий характер макроэкономические ряды имеют и для экономики многих стран мира в различные интервалы времени.

Для макропоказателей обстоятельная демонстрация приведена, например, в [6, 7]. Часто отмечается полиномиальная и экспоненциаль ная динамика трендов макропоказателей, во многих рядах динамики присутствует колебательная компонента, фиксируется смена моделей компонент и структур их взаимодействия в процессе эволюции процес сов и явлений в СЭС. При этом зачастую обнаружено, что колебатель ная компонента пропорциональна уровням тренда, а стохастическая – пропорциональна детерминированным компонентом и в силу этого ге тероскедастична (имеет непостоянную дисперсию). Данные свойства характерны для макро-, мезо- и микроэкономических рядов, но анали тическое выражение такого взаимодействия в известной литературе не отражено, не используется для идентификации.

Анализируемые в монографии показатели динамики СЭС по сво ему экономическому содержанию могут быть и натуральными, и стои мостными, и трудовыми.

В качестве показателей динамики могут выступать:

- базисный абсолютный прирост Yб, исчисляемый как разность между сравниваемым уровнем Yk и уровнем Y0, принятым за постоян ную базу сравнения ( Yб = Yk Y0 );

- цепной абсолютный прирост: разность между уровнем Yk и пре дыдущим уровнем Yk 1, который предшествовал ему ( Yц = Yk Yk 1 ).

Анализируемыми уровнями динамического ряда могут быть не только абсолютные показатели (численность совокупностей или объёмы их признаков), но они могут отражать развитие структуры совокупно сти, изменение со временем вариации показателя в совокупности, взаи мосвязи между показателями значений признака для разных объектов. В этих случаях уровни динамического ряда сами являются относительны ми показателями и нередко выражаются в процентах. Задачей исследо вателя может быть анализ темпа роста рядов динамики, который может быть базисным Y рб = Yk или цепным: Y рц = Yk. Возможно использо Y0 Yk вание и других показателей динамики: базисного темпа прироста, цеп ного темпа прироста, темпа наращивания, среднего темпа роста и др.

[7, 8, 14, 35].

По содержанию анализируемые в монографии показатели могут быть рядами частных и агрегированных показателей. Частные показа тели характеризуют изучаемое явление односторонне, изолированно.

Примерами частных показателей могут быть:

среднесуточный объём выпуска промышленной продукции, ко торый даёт возможность оценить динамику промышленного производ ства;

численность граждан, состоящих на учете в службе занятости, которая показывает эффективность социальной политики государства или муниципальных властей;

остатки наличных денег у населения и вклады в банках, отра жающие платежеспособность населения;

отдельные ресурсные или объёмные показатели отрасли и т.д.

Агрегированные показатели включают в себя частные, используя их при исследовании эффективности производства, технического уров ня предприятий, качества продукции, экологического состояния терри тории, являются, например, агрегированными показателями отрасли.

Как известно, моделирование зачастую осуществляют для после дующего прогнозирования. В условиях реформируемой и эволюциони рующей экономики России, мирового экономического кризиса особую актуальность приобретают задачи краткосрочного прогнозирования [6-8]. Именно поэтому моделирование на текущих относительно корот ких выборках определит прогноз эволюционирующей динамики.

Реализуемые в монографии прогнозы можно разделить по различ ным признакам классификации:

на частные (по одному показателю) и обобщающие (по системе показателей данного объекта);

на социальные (демографические, потребностей и уровня жизни, образования, здоровья, культуры);

на экономические (структуры и динамики производства, конъ юнктуры цен, эффективности управления и др.);

на научно-технические (развития науки, изобретательской дея тельности, инноваций);

на природно-экологические (динамика воспроизводства природ ных ресурсов, экологических процессов);

на внешнеэкономические и т.д.

Данные признаки классификации носят достаточно условный ха рактер, т.к. экономическая практика показывает, что между этими про гнозами, как правило, существует множество прямых и обратных свя зей.

Безотносительно к специфике предметной области речь может ид ти о прогнозе выхода динамики показателя на известную временную характеристику, о прогнозе времени наступления известного события или о прогнозе уровней динамических рядов на определенный «гори зонт» прогноза.

По субъектам прогнозирования и территориальному охвату можно различать локальные, региональные, национальные, отраслевые, меж дународные и глобальные прогнозы.

Следует осознавать, что прогнозирование с помощью динамиче ских рядов является лишь одним из возможных методов статистическо го прогнозирования. Использование трендовых моделей для прогнози рования оправдано при недостаточности или отсутствии знаний о при роде изучаемого процесса.

Следует также иметь в виду, что далеко не во всех случаях дан ные, полученные в результате моделирования и прогнозирования трен довыми моделями, могут использоваться как готовые управленческие решения. Они скорее могут рассматриваться как «консультирующие»

средства, а принятие управленческих решений остаётся за человеком, опирающимся на свой опыт и использующим вычислительную технику.

Сегодня, как правило, вычислительная техника на предприятиях и в органах управления применяется в большей мере для проведения бух галтерских расчётов, ведения справочно-информационных систем и осуществления электронного документооборота. Бесспорно, эти виды деятельности позволяют освободиться управленческим работникам от массы рутинных процессов, связанных с обработкой больших массивов информации, получением всякого рода справок, написанием писем, от чётов и т.д.

Однако до настоящего времени далеко не всегда экономисты, фи нансисты, аналитики-маркетологи, социологи, руководители предпри ятий и организаций выполняют с помощью компьютера анализ данных и тенденций, необходимый для принятия решений. Нечасто проводят аналитические расчёты, связанные с исследованием рынков, далеко не всегда анализируют тенденции в общественной жизни и возможности разрешения конфликтных ситуаций, редко осуществляется моделирова ние деятельности предприятия с учётом влияния внешних и внутренних факторов и т.д. [12, 23].

Авторы стремились уйти от «наивности» многих известных мето дов идентификации, в которых модели динамики линейны и просты, анализируемые статистические выборки велики, стохастические компо ненты «удобны» (по своим вероятностным характеристикам и по месту вхождения в структуру ряда динамики показателей для осуществления идентификации моделей) и т.п. Формат монографии можно определить скорее как научный, чем учебный, так как общие сведения о СЭС, мо делях и методах их идентификации даны скорее для понимания сути и области применения полученных результатов.

Излагаемый материал является развитием публикаций авторов [48, 50, 51, 57]. К основным новым результатам можно отнести:

методы идентификации моделей на основе предложенного в [57] подхода на основе обобщенных параметрических моделей авторегрес сии-скользящего среднего (далее ARMA-моделей) распространены на новые модели компонент динамики и структуры их взаимодействия.

Это относится и к новым моделям, предложенным для эволюции ам плитуды колебательной компоненты и, кроме того, к предложенному расширению известных аддитивной и мультипликативной структур взаимодействия тренда, сезонной и циклической компонент ряда дина мики на случай важного для практики аддитивного и прямо пропорцио нального взаимодействия;

при идентификации моделей предложено использование базисов Гребнера для точного решения систем нормальных алгебраических уравнений в случаях, когда метод наименьших квадратов (МНК) приво дил к нормальным системам с зависимыми между собой коэффициен тами уравнений (к нелинейным системам нормальных алгебраических уравнений). Определены ограничения возможного использования бази сов Гребнера по отношению к ARMA-моделям;

предложенная методика исследования точности моделирования и прогнозирования позволила определить область их возможного ис пользования при широком динамическом диапазоне значений их пара метров и соотношении мощностей помехи и полезного сигнала до 30%.

С использованием данной методики оценены эффекты компенсации предложенными при идентификации приемами автокоррелированности и гетероскедастичности стохастической компоненты. Проведено срав нение точности, достигаемое использованием ARMA-моделей и мето дом генетической оптимизации;

представляется оправданным для понимания возможностей ис пользования предложенным инструментарием создание «альбома моде лей» и приведение численных примеров для СЭС различного иерархи ческого уровня и разной предметной области;

найден компромисс между условием применения трендовых моделей, заключающимся в определенном постоянстве условий процес сов и явлений функционирования СЭС, и явлением эволюции моделей.

Решение предложено как в моделях колебательных компонент ряда ди намики, содержащих параметр (закон) эволюции, так и в обстоятельном рассмотрении логистических моделей трендов (моделей со сложной ди намикой изменения) трендов динамики. Последнее относится к новому классу параметрических моделей жизненного цикла продукта (товаров, услуг, организаций) – ЖЦП;

параметрические модели ЖЦП до настоящего времени практи чески не были рассмотрены в известной литературе при учете возмож ной многокомпонентности рядов их показателей (при присутствии до полнительной трендовой и/или колебательной компонент, мультилоги стичности кривых ЖЦП). Тем самым вместо «качественных характери стик в виде графиков» предложен комплекс параметрических моделей;

впервые, на наш взгляд, в известной отечественной литературе выполнен столь обстоятельный обзор почти пятидесяти известных мо делей ЖЦП и предложены новые модели для логистической динамики, в том числе мультилогистические.

Авторы опирались в своих исследованиях на работы отечествен ных учёных, в первую очередь С.А. Айвазяна, В.Н. Афанасьева, И.И. Елисеевой, Г.Б. Клейнера, Ю.П. Лукашина, В.С. Мхитаряна, Ю.М. Плотинского, Н.П. Тихомирова, Г.Р.Хасаева.

В библиографическом списке монографии представлены и многие работы зарубежных ученых, работавших в данном направлении.

Отдельные результаты монографии получены при аналитической и программной поддержке аспирантов Кожуховой Варвары (разделы 2.2;

2.3;

2.4;

5.1;

5.2), Коробецкой Анастасии (разделы 2.4;

3.5;

3.6;

4.1;

4.3;

5.5;

5.6, 5.7), Куркина Евгения (3.3;

5.3;

5.4;

5.5).

ГЛАВА 1. ВЫБОР ИНСТРУМЕНТАРИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩЕЙ ДИНАМИКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СЭС 1.1. Особенности моделирования и прогнозирования динамики показателей СЭС При организации моделирования и прогнозирования динамики показателей будем учитывать особенности СЭС как объекта моделиро вания, а также требования к параметрическим методам моделирования и прогнозирования, обусловленные задачей мониторинга эволюции [8, 14, 19, 23, 35, 39].

Во-первых, на практике объёмы доступных статистических выбо рок обычно невелики: не превышают двух-трёх десятков наблюдений.

Это может быть связано с отсутствием статистических выборок в силу организационных или экономических обстоятельств их сбора. Кроме того, для реформируемой экономики РФ длинные выборки в принципе непригодны, т.к. описывают хозяйствование в различных условиях. Со стояние современной российской экономики требует использования ин новаций и новых технологий, предложение и реализация которых пред полагает анализ и оценку перспектив динамики показателей инноваци онно-активного развития, что делает актуальной задачу моделирования и прогнозирования социально-экономических процессов на начальных участках их развития, т.е. по малым выборкам. Устаревшие данные при моделировании могут оказаться бесполезными и даже вредными.

Наличие малых выборок (в статистике понятие малости выборки обычно связывают с пятнадцатью-двадцатью и менее наблюдениями) делает зачастую невозможным использование многих известных стати стических процедур и методов идентификации для рядов экономиче ской динамики. Таким образом, одним из главных требований к инст рументарию моделирования и прогнозирования социально экономических процессов является возможность учета и анализа эво люции временных рядов, разделения этапов эволюции.

Во-вторых, на малых выборках следует учитывать еще одно весь ма важное обстоятельство, необходимое для правильного отражения ря дом динамики реального процесса или явления: сопоставимость уров ней ряда, которую можно трактовать как погрешность экономических измерений. При инновационном характере развития СЭС может быть низка степень сопоставимости исходных данных во временной области, сравнимой с продолжительностью инновационного периода [39, 40, 65].

Эволюция свойств СЭС означает, что одни и те же измеренные данные, относящиеся к разным этапам развития системы, могут подчи няться разным законам за счёт изменения эндогенных и экзогенных факторов.

Несопоставимость уровней может быть вызвана и изменением ме тодики расчёта показателя, изменением классификаций, терминологии и т.д. Чаще всего несопоставимость встречается в стоимостных показате лях из-за изменения цен в анализируемом периоде. Несопоставимость может возникнуть и вследствие изменения границ области, района, страны, а также в результате укрупнения нескольких ведомств путем слияния их в единое целое или укрупнения производства за счет объе динения нескольких предприятий.

Можно привести ряд примеров. При введении новых систем и правил налогового учёта в России («упрощенная» система налогообло жения, введение «налога на вменённый доход», возможность выбора предприятием учётной политики в плане списания затрат, амортизации, наличие льготного периода налогообложения для инновационных пред приятий и т.п.) происходит вполне объяснимое с точки зрения миними зации налогообложения предприятий смещение макроэкономических показателей. В силу того, что процесс перехода предприятий на новые условия растягивается на несколько лет, смещение происходит не од номоментно, а постепенно, ограничивая преемственность соответст вующих данных.

Аналогичная ситуация возникает и при внедрении новых правил управленческого учета: может появиться несопоставимость данных для рядов динамики показателей. Интенсивные изменения потребительских доходов населения, изменение структуры потребления также могут де лать многие данные (например, цену) несопоставимыми во времени.

Например, в практике фирм, занимающихся мониторингом рекламного рынка, могут происходить изменения как методики, так и круга учиты ваемых рекламных носителей, что может привести к неверным выводам относительно динамики роста рынка рекламы.

Сопоставимость во временной области требует в качестве уровней ряда динамики использовать только адекватные индикаторы. Например, отношение значений какого-либо экономического показателя к значе ниям того же показателя в соответствующем месяце предыдущего года непригодно для моделирования инновационных и нестационарных (эволюционирующих) процессов.

Аналогичная ситуация возникает и при известных методах исклю чения сезонной компоненты эволюционирующих (с изменением вида и параметров сезонной компоненты) рядов динамики: попытка исключить сезонный фактор именно таким образом приведет к искажению текущих значений индикаторов за счет эволюции сезонной волны. Впрочем, к вопросу о недостатках известных методов «десезонализации» и спосо бах их устранения мы вернемся ниже.

Индикатор, показывающий для каждого месяца процентное отно шение экономического показателя с начала соответствующего года до данного месяца нарастающим итогом к такому же показателю прошлого года, тоже не адекватен в условиях высокой динамики процессов. Сред ние значения несопоставимы между собой, так как они получены путем усреднения за разные периоды (за разные годы). Сезонная компонента при таком способе моделирования не устраняется, а деформируется, что может также приводить к неадекватным выводам. Причиной указанных проблем с индикаторами является отсутствие эффективных методик для моделирования нестационарных процессов. Аналогичные ситуации мо гут возникать и при работе с «производными» динамическими рядами, полученными преобразованием каких-либо первичных данных. Необ ходимо учитывать возможные последствия таких преобразований.

Следует иметь в виду и календарную компоненту временного ря да: несопоставимость, например, различие количества дней в месяцах года, количества праздничных дней в месяцах и т.п. В большинстве случаев все же удается устранить или уменьшить несопоставимость, вызванную указанными причинами, путем пересчёта с помощью фор мальных методов.

Неточность в рыночных данных всегда будет присутствовать и из за наличия в любых странах и на любых рынках теневой экономики.

Степень точности информации в контролируемых государством секто рах экономики выше: в банковской отрасли, в торговле медикаментами и т.п. до 90%. В отдельных сферах (розничная торговля, сфера потреби тельских услуг, торговля алкоголем) она очень низка – от 10 до 50%.

Даже в развитых странах по оценке [20] точность государственной ста тистики не превышает 85%. Не весь рынок можно охватить даже при менением совершенных методик его мониторинга. Не весь объём про даж товарной категории можно будет учесть, используя выборочные (т.е. основанные на теории вероятностей) методы полевых маркетинго вых исследований. Используя полевые методы сбора информации (на пример, опросы), мы вынуждены полагаться на ответы респондентов, которые могут быть неточными из-за социально-психологических фак торов (например, из-за желания респондентов выглядеть лучше, чем они есть на самом деле) или просто по причине их забывчивости (кто из обычных людей достоверно помнит объём покупки какого-то конкрет ного товара в прошлом?).

В-третьих, при моделировании большинства производственных систем основные закономерности их протекания и развития известны, а любой недостаток априорной информации для анализа их точности мо жет быть восполнен экспериментальными данными. Принципиально иная ситуация возникает при моделировании СЭС. Здесь зачастую от сутствует априорная информация о количественных закономерностях, присущих причинно-следственным (казуальным) связям между показа телями, необходимая для формирования моделей. К тому же анализ су щественно осложняется многообразием динамических свойств СЭС и, как следствие, возможных динамических моделей. Многообразие дина мических свойств проявляется в виде сложной структуры рядов дина мики (наличия нескольких компонент, сочетающихся аддитивно и/или мультипликативно), в виде запаздываний (лагов) реакции объекта моде лирования на внешнее воздействие, пренебрежение которыми заметно снижает точность анализа.

В-четвертых, при моделировании и прогнозировании показателей СЭС практически исключается (или крайне затруднена) возможность проведения активных экспериментов для получения информации о по ведении изучаемых переменных, проявлениях тех или иных отклонений в ходе процесса, обусловленного его динамикой. Это относится и к экс периментам, связанным с надлежащим образом выбранными вариация ми тех или иных условий, с их многократным повторением для выясне ния уровня, при котором влияние вариаций становится заметным.

В-пятых, определяющим в проблеме точности моделей инноваци онной динамики показателей является уровень отражения в них соот ношения детерминированных и стохастических свойств. Соотношение характеристик устойчивости и изменчивости, а также их удельный вес в общей характеристике развития за определенные интервалы времени определяет степень инерционности СЭС и возможность прогнозирова ния её показателей. Признаками эволюции ряда могут быть увеличение (или уменьшение) мощности стохастической компоненты в ряде дина мики, смена аддитивного характера ее вхождения в структуру ряда на мультипликативную (или наоборот), появление гетероскедастичности (или возврат к гомоскедастичности).

В-шестых, следует иметь также в виду, что на участках эволюци онного развития достаточно грубые (простые) модели рядов динамики показателей могут давать приемлемые по точности результаты, а для описания переходного состояния потребуется более полная система па раметров и более подробная структуризация модели.

В-седьмых, следует учесть, что динамика СЭС может быть описа на с помощью линейных или нелинейных дифференциальных или ко нечно-разностных уравнений. Детерминированные непрерывные функ ции или разностные уравнения, моделирующие явления и процессы в СЭС, являются зачастую решениями этих уравнений, но иногда могут быть предопределены, исходя из положений экономической теории или просто уже исторически сложившейся практикой моделирования. При этом использование непрерывного времени удобно для аналитического моделирования, позволяет применить аппарат дифференциального ис числения. Математическая экономика в большей мере рассматривает непрерывные модели, в то время как эконометрика, оперирующая ста тистическими данными, использует результаты дискретизации этих мо делей. Однако в известной эконометрической литературе процедура дискретизации траекторий рассматривается довольно поверхностно, без анализа тех погрешностей, которые при этом могут возникнуть, а также выполнения условий, которые следует соблюсти.

В лучшем случае ограничиваются ссылкой на теорему Котельни кова (теорему дискретизации), в соответствии с которой непрерывная функция времени Y (t ) будет полностью определена последовательно стью (рядом) своих значений, отстоящих друг от друга не более чем на f max шаг (период) опроса (sample time) =, где f max – наивысшая часто та в спектре дискретизируемой функции. Данные вопросы требуют бо лее обстоятельных комментариев, приведенных ниже.

В-восьмых, для пространственных рядов динамики имеем регрес сии со стохастическими факторными переменными, идентификация ко торых сложнее, имеет свою специфику [21, 71, 73, 81, 104].

1.2. Характеристики точности моделирования, прогнозирования и адекватность моделей динамики Точность определяется степенью приближения истинных уровней исследуемых показателей к их модельным значениям.

Адекватность предполагает воспроизведение моделью с необхо димой полнотой всех характеристик процесса, существенных для цели моделирования. Иными словами, точность лишь характеризует близость реальных и модельных величин, а адекватность требует, чтобы модель отражала свойства исследуемого процесса.

Если модель не является точной, то она не будет и адекватной.

С другой стороны, наиболее точная модель не обязательно будет наибо лее адекватной. Точность модели не зависит от целей моделирования, а адекватность определяется тем, какие характеристики и свойства про цесса интересуют исследователя в конкретном случае.

Можно сказать и так: если при идентификации структуры модели исследователь руководствуется множеством факторов, определяющих ее адекватность, то при идентификации параметров модели с заданной структурой на первое место выступает точность описания ряда динами ки.


Таким образом, точность получаемых моделей является необхо димым, но не единственным требованием к инструментарию моделиро вания. При оценке точности идентифицированной модели речь идет о соответствии (близости) значений аналитической модели ряда динами ки Yk реальным значениям Yk выборки ряда динамики в конечном чис ле n точек выборки по выбранному критерию соответствия.

Наиболее простыми можно считать среднее абсолютное (mean absolute error) отклонение 1n MAE = Yk Yk (1.1) n k = и относительное отклонение (mean absolute percentage error) 1 n Yk Yk MAPE = 100%. (1.2) n k =1 Yk Критерий (1.1) является размерным, выражается в тех же единицах измерения, что и моделируемый ряд динамики. Размерность критерия, с одной стороны, позволяет оценить «физическое содержание» погреш ности моделирования, но, с другой стороны, малая величина этого кри терия при малых значениях Yk и Yk не гарантирует высокой точности моделирования.

Целесообразнее использовать относительный критерий, который был бы не зависим от абсолютных величин сравниваемых (модельного и реального) рядов и был бы нормирован в некотором диапазоне, гра ницы которого позволили бы говорить о высокой или низкой точности моделирования.

Критерий (1.2) безразмерный, что является его положительным свойством. Однако его значение во многом зависит от уровней ряда ди намики. Если значения ряда динамики велики по отношению к своему приращению, то среднее относительное отклонение будет мало, а если они близки к нулю, то величина (1.2) будет большой вне зависимости от точности модели. Если же имеются наблюдения, строго равные нулю, то использовать относительные величины вообще невозможно.

Иногда используют сумму квадратов отклонений (unexplained sum n ( ) of squares): USS = Yk Yk. Именно эта величина минимизируется k = в МНК, уже более двухсот лет используемом в разных приложениях и хорошо поддержанном программно. Однако USS измеряется в едини цах, равных квадрату единиц измерения самого ряда динамики, что в определенной мере имеет «энергетическую» интерпретацию в технике, но не в экономике.

Наиболее широкое применение [1, 2] на практике нашел безраз мерный коэффициент детерминации (coefficient of determination) R 2 :

n n ( ) (Yk Yk ) 2 M [Yk ] Yk R2 = k =1 k =, (1.3) = n n (Yk M [Yk ]) (Yk M [Yk ]) 2 k =1 k = где M – оператор математического ожидания.

В числителе формулы (1.3) стоит сумма квадратов отклонений, которая интерпретируется как мера остаточного, не объясненного моде лью разброса. Знаменатель дроби является мерой общего рассеивания Yk относительно линии математического ожидания M [Yk ]. Коэффици ент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная модель дает лучший результат для объяснения ис следуемой динамики, чем горизонтальная прямая M [Yk ], соответст вующая стационарности показателя.

У коэффициента детерминации есть очевидные достоинства: он легко вычисляется, интуитивно понятен, имеет четкую интерпретацию, т.к. его значения в общем случае лежат в диапазоне от нуля до единицы (от 0% до 100%), т.е. он имеет нормированный диапазон. Если, напри мер, мы получим в результате моделирования, что R 2 = 0, 7, то это озна чает, что предложенная модель объясняет 70% имеющихся реальных данных. Нижним допустимым пределом точности моделирования, оце ниваемым коэффициентом детерминации, обычно считают 70-75%.

И все же роль коэффициента детерминации как меры точности при выборе модели не нужно абсолютизировать, т.к. его использование по рождает и ряд проблем:

R 2 никогда не уменьшается при усложнении модели, например, при добавлении новых компонент ряда динамики, что может создать у исследователя стимул необоснованно её усложнять. Впрочем, данный недостаток можно устранить использованием скорректированного ко эффициента детерминации [12];

при оценке качества моделей временных рядов значение R 2 за частую достигает значения 0,9 и выше, в результате чего осуществление различия моделей на основании данного коэффициента, особенно в ус ловиях малых выборок, является трудновыполнимой (практически не выполнимой) задачей;

при отсутствии постоянного слагаемого в модели ряда, невер ном выборе структуры модели ряда, значительных вычислительных ошибках в процессе идентификации R 2 может принимать и отрицатель ные значения [12].

Тем не менее, указанные достоинства коэффициента детермина ции заставляют отдать ему предпочтение вместо более сложных, тре бующих длинных выборок тестов Ф. Диболда, Р. Мариано и В. Ендерса [31, 86, 98].

Будем исходить и из того, что современная вычислительная техни ка при соответствующем математическом обеспечении может в корот кие сроки идентифицировать несколько моделей для одного и того же ряда динамики (предлагаемых из визуальных предположений, из пред посылок экономической теории, из предыдущего опыта), а затем для каждой из них вычислить критерии точности моделирования и/или про гнозирования.

Известны рекомендации делать выбор в пользу более простой мо дели, с меньшим количеством параметров.

Нужно учитывать, что МНК дает оптимальные оценки Ai парамет ров Ai модели не всегда, а лишь при соблюдении условий Гаусса Маркова (Gauss–Markov conditions) для оценок параметров при иденти фикации [1, 69, 71]. Условия оптимальности МНК-оценок параметров модели следующие:

1. Несмещенность (unbiased estimator): отсутствие систематиче ских погрешностей в оценках параметров, т.е. должно выполняться ус ловие M { Ai} = Ai. В этом случае каждая отдельная оценка Ai на кон кретной выборке объёмом n наблюдений лишь в редких случаях совпа дает с соответствующей характеристикой генеральной совокупности (population) объемом выборки N. При многократном повторении выбо рок среднее значение оценок, рассчитываемых по ним, совпадёт с ис тинным значением оцениваемого параметра.

2. Эффективность (efficient estimator) – обеспечивается мини мальное значение дисперсии оценки в применяемом методе сглажива ния среди других возможных методов при фиксированном объёме вы борки N, т.е. D{ Ai} min, где D {...} – оператор дисперсии. Каждая от дельная эффективная оценка не гарантирует того, что она даст более точное значение параметра, чем менее эффективная. Оценка называется асимптотически эффективной, если с увеличением объёма выборки её дисперсия стремится к нулю. Наибольшее внимание в «статистике ма лых выборок» принято уделять обеспечению эффективности оценок Ai параметров, т.е. минимизации дисперсий оценок (поскольку с возраста нием объёма выборки n несмещенность и состоятельность оценок га рантируются).

3. Состоятельность (consistent estimator) – оценки параметров сходятся по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. для { } выполняется lim P Ai Ai = 1, 0. Состоятельной будет та n оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объё ме выборки вне зависимости от значений входящих в неё конкретных наблюдений. В большинстве случаев несмещенная оценка является и состоятельной. Состоятельные оценки, смещенные при малых объёмах выборки, при увеличении объёмов выборок становятся асимптотически несмещенными.

Перейдем теперь к формулированию условий Гаусса-Маркова, обеспечивающих оптимальность МНК-оценок параметров моделей.

1. Компонента k должна являться случайной величиной. Обыч но это условие дополняют ещё одним: распределение k не должно за висеть от значений определяющих переменных в регрессии. Данное ус ловие обычно выполняется автоматически, если объясняющие перемен ные не являются стохастическими, например, для временных рядов ди намики. Однако трудно себе представить нестохастические переменные в «пространственной» динамике.

2. Компонента k должна являться центрированной случайной ве личиной, т.е. M { k } = 0. Данное условие означает, что случайная компо нента не должна иметь систематического смещения. Если постоянный член модели (параметр) включен в уравнение регрессии, то разумно предположить, что это условие выполняется автоматически, так как роль постоянного члена состоит в отражении любой систематической, но постоянной составляющей в уровнях Yk.

3. D { k } = 2 – дисперсия должна быть одинаковой для всех зна чений k и независимой от значений определяющих переменных X i в модели регрессии, т.е. стохастическая компонента должна обладать свойством гомоскедастичности: равноточности (стационарности) ошиб ки различных наблюдений уровней ряда. При невыполнении указанного условия стохастическая компонента k гетероскедастична, а МНК оценки параметров будут неэффективными, хотя и несмещенными. Эф фективности оценок в эконометрике уделяется наибольшее внимание, поэтому и вопрос обеспечения гомоскедастичности, или хотя бы ком пенсации гетероскедастичности, является одним из главных при эконо метрическом моделировании. При этом следует осознавать, что величи на 2, конечно, неизвестна. Одна из основных задач регрессионного анализа и состоит в оценке величины и стационарности дисперсии сто хастической компоненты.

4. M { k l } = 0 при k l, т.е. значения k и l должны быть не коррелированны. Отсутствие автокорреляции означает отсутствие связи (во всяком случае, линейной) в уровнях помехи. Зачастую данное усло вие нарушается для временных рядов динамики. Автокорреляция остат ков означает, что существуют такие наблюдения k и l, при которых M { k l } 0. Невыполнение условия некоррелированности приводит к неэффективности оценок параметров. Чаще рассматривают корреляцию между остатками уровней исходного ряда и остатками, сдвинутыми на один шаг во времени, т.е. l = k + 1. Известно несколько тестов, опреде ляющих автокорреляцию остатков k : серий, Льюинга-Бокса и, чаще всего, Дарбина-Уотсона [1]. Последний тест имеет, однако, определен ные ограничения: выявляет лишь корреляцию между соседними значе ниями остатка, в то время как может быть корреляция на других интер валах. Кроме того, для его применения в регрессии должен обязательно присутствовать свободный (без факторных переменных) член. Имеется и область неопределенности, в которой вопрос о наличии автокорреля ции остаётся открытым. Регрессоры должны быть нестохастическими (для временных рядов это условие выполняется) и, главное, необходимо использовать выборки не менее чем из пятнадцати наблюдений.


Положительную и отрицательную автокорреляцию остатков мож но продемонстрировать на примере ряда последовательных значений курса ценной бумаги. Если в какой-то момент времени курс окажется завышенным по сравнению с реальным курсом, то, скорее всего, он бу дет завышен и на следующих торгах, т.е. имеет место положительная автокорреляция, которая встречается чаще. При отрицательной авто корреляции наблюдения действуют друг на друга по принципу «маят ника» – завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в последующих наблюдениях. Известно несколько мето дов исключения или уменьшения (компенсации) автокорреляции остат ков, например, переход к моделированию не уровней ряда динамики, а их разностей (первых, вторых и т.д.);

метод авторегрессионных преоб разований [1, 11, 26]. Компенсации автокорреляции в предложенных методах идентификации будет уделено значительное внимание, в част ности будут предложены приемы прореживания выборки и предвари тельного сглаживания.

5. Часто приведенные выше условия Гаусса-Маркова дополняют требованием и нормальности закона распределения k. Однако пред ставляется, что условие нормальности закона распределения k не явля ется в рассматриваемых задачах строго обязательным. Дело в том, что в статистике больших выборок условие нормальности закона распределе ния стохастической компоненты используется, в основном, для опреде ления доверительных интервалов (confidence interval) оценок парамет ров линейных, квадратичных и экспоненциальных (после логарифмиро вания для преобразования их к линейным моделям) регрессий.

Однако аналитическое определение доверительных интервалов для оценок параметров других, нелинейных моделей регрессии, которые и встречаются на практике, отсутствует. Более того, расчет доверитель ных интервалов корректен лишь при условии достаточно больших ста тистических выборках определяемого показателя, которые в эволюцио нирующей динамике практически не встречаются. Оправданно в усло виях малых выборок ограничиться условием симметричности закона распределения и центрированности k, что означает, по сути, отсутст вие систематической составляющей в помехе (или учет моделью всех закономерностей реальной выборки).

Именно эти условия (первые четыре и пятое – с требованием сим метричности распределения стохастической компоненты) и будем на зывать принятыми условиями Гаусса-Маркова.

При моделировании статистической выборки адекватной моделью случайный остаток k должен быть отделен от уровней определяемой переменной модели Yk. Расположение остатков k (точнее их оценок) k, показанное на рисунке 1.1 в виде горизонтальной полосы, говорит о том, что модельные значения Yk хорошо аппроксимируют фактические значения Yk, а остатки представляют собой случайные величины.

k Y k Рис. 1.1. Случайные (гомоскедастические) остатки в функции оценки уровня определяемой переменной Приведем иллюстрацию и свойства гетероскедастичности в силу его большого значения для определения точности и выбора метода сглаживания при моделировании рядов экономической динамики. В ка ждом наблюдении стохастическая компонента имеет только одно зна чение k, поэтому, говоря о её дисперсии и гетероскедастичности, име ют в виду возможное поведение k до того, как проведено наблюдение.

При гомоскедастичности нет оснований априори ожидать появления особенно больших отклонений в любом наблюдении, а вероятность то го, что величина k примет какое-то данное значение, будет одинакова для всех наблюдений k. На рисунке 1.2, а оценки остатков k имеют систематический характер и постоянную дисперсию. На рисунке 1.2 б изображена переменная дисперсия в функции уровня определяемой пе ременной (номера наблюдения), т.е. оценки остатков обладают свойст вом гетероскедастичности.

Гетероскедастичность может иметь место не только для времен ных рядов, но и для «пространственной» динамики. Например, если ис следуется зависимость расходов на питание в семье от ее общего дохо да, то можно ожидать, что разброс данных будет выше для семей с бо лее высоким доходом. Это означает, что дисперсии зависимых величин – расходов на питание (а следовательно, и случайных ошибок) не посто янны для отдельных значений объясняющей переменной (дохода), так как в этом случае исследуемый объект неоднороден.

k 0 Y k а) k 0 Y k б) Рис. 1.2. Гетероскедастические остатки в функции оценки уровня определяемой переменной На практике обычно не удается уверенно определить причину и вид гетероскедастичности: например, она может появиться из-за непра вильного выбора модели, т.е. определяться самим фактом выбора той или иной модели или методом её идентификации. Чаще она обнаружи вается экспериментально с помощью тестов, в которых делаются раз личные предположения о зависимости случайной компоненты от тренда или номера наблюдений, например, тесты Спирмена, Голдфельда Квандта, Глейзера, применение которых, заметим, предполагает исполь зование объёмов выборок в 30 и более наблюдений [2].

Устранение или хотя бы частичная компенсация (уменьшение) ге тероскедастичности k является в эконометрике, как правило, непро стой задачей. Для её решения применяют, например, обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК), требующий знания ковариационной матрицы остатков k или его более простой вариант – взвешенный МНК, в котором постулируется некий закон изменения дисперсии (например, в виде геометрической прогрессии, линейной или экспонен циальной функции) и осуществляется соответствующее весовое сумми рование невязок.

Если значения k автокоррелированы, а её ковариационная матри ца известна, то веса в ОМНК назначают обратно пропорциональными значениям дисперсии для k -го наблюдения.

Для представления общей картины следует упомянуть, что в отно сительно длинных рядах динамики могут встретиться ещё два других вида изменения дисперсии стохастической компоненты k.

В рядах с условной гетероскедастичностью, характеризующих, например, процессы инфляции или уровень инвестиций, условная дис персия ряда динамики зависит от времени. В долгосрочном периоде, на протяжении нескольких десятков лет, дисперсия таких рядов постоянна, но в рамках данного периода могут быть более короткие отрезки време ни продолжительностью в несколько лет, на которых дисперсия явления относительно высока. При этом ряд динамики может быть гомоскеда стичен, несмотря на условную гетероскедастичность [12, 73].

Известны и ряды динамики с волатильностью (например, обмен ные курсы валют и доходностей фондового рынка, цены на опционы, динамические соотношения для цен активов), в которых чередуются пе риоды малых значений k и периоды больших значений k [71].

Перейдем теперь к оценке точности прогнозирования (forecasting), т.к. моделирование обычно предназначено для обоснования и построе ния прогнозов, а в конечном итоге – для принятия управленческих и маркетинговых решений.

Прогноз предполагает существование в сфере социально экономических взаимодействий общества неких объективных законов развития, что выражается в наличии свойства инерционности, т.е. неиз менности ряда параметров развития. Рассматриваемые в монографии трендовые модели также связаны с предположением инерционности, которая может проявлять себя двояко: через инерционность характера динамики процесса (направления, темпов развития, колеблемости ряда показателей и т.д.), а также через инерционность взаимосвязей, т.е. ме ханизма формирования явления.

Прогноз значений экономических показателей различают по ин тервалу упреждения: «горизонту» прогноза динамики показателя по эк зогенной переменной.

Для эволюционирующих временных рядов различают оператив ные (обычно с «горизонтом» прогноза до одного периода дискретиза ции) и краткосрочные (от одного до трех-пяти периодов дискретизации) прогнозы [7, 19].

Например, при прогнозировании урожая или цен на отдельные сельскохозяйственные культуры «горизонтом» прогноза обычно назна чают год. Именно краткосрочное прогнозирование является основной задачей при мониторинге эволюции ряда динамики.

Перспективные (среднесрочные или долгосрочные) прогнозы на основе трендовых моделей для стационарной динамики не принято на значать на период больше 1 3 интервала наблюдения (выборки).

Для оценки точности прогноза выборка объемом n наблюдений разбивается на рабочую часть из n1 наблюдений, по которой осуществ ляется идентификация модели, и контрольную (прогнозную) часть из l наблюдений («горизонт прогноза»). На контрольную часть выборки осуществляется прогноз уровней определяемого показателя путем под становки в идентифицированную модель номеров наблюдений кон трольной части. Естественно, что n1 + l = n.

Идея разбиения выборки на рабочую и контрольную части, после дующего сравнения прогнозных модельных значений и известных ре альных значений на контрольной части состоит в следующем. Если раз личие прогнозных и известных значений по принятому критерию точ ности прогноза на контрольной части выборки невелико, то, исходя из свойства принятого допущения инерционности процессов и явлений в СЭС, нет оснований считать, что оно будет другим и для будущих неиз вестных значений. Таким образом, точность прогноза на контрольной части выборки «переносится» (экстраполируется) на будущие значения ряда динамики.

При структурных изменениях (при структурных сдвигах) в СЭС данный метод прогнозирования неприменим.

Для оценки точности прогнозов по контрольной части выборки можно использовать MAE- и MAPE-оценки, рассчитанные на прогноз 1 n+l ной части выборки: MAE = Yk Yk и, более часто, l k =n+ 1 n+l Yk Yk MAPE = 100%. (1.4) l k =n+1 Yk К уже указанным недостаткам MAE- и MAPE-оценок можно доба вить, что MAPE-оценка прогнозирования довольно чувствительна к от дельным «плохим» прогнозам. Кроме того, расчет MAPE-оценки про гнозирования затруднен, если значения уровней ряда динамики близки к нулю.

Именно поэтому для оценки качества прогнозов через сумму квадратов отклонений также используют коэффициенты несоответствия (коэффициенты Тейла) [12, 115]:

n +l (Y ) Yk k k =n + KT 1 =, n +l Yk k = n +l n +l (Y ) Yk k k =n + KT 2 = T2 =. (1.5) n +l n +l ( ) Yk Yk 2 + k = n +l k = n +l Вторая форма коэффициента Тейла (1.5) более распространена на практике, особенно для случаев, когда уровни ряда малы по своим зна чениям. Нетрудно увидеть, что чем меньше коэффициенты Тейла, тем точнее прогноз, а «совершенный прогноз» имеет коэффициент Тейла, равный нулю. Приведенные оценки точности прогноза правильнее на зывать ожидаемыми значениями ошибки прогноза.

Обычно считают ожидаемую точность прогнозирования в диапа зоне значений 10-15% по оценкам MAPE и K T 2 хорошей.

Не всегда модель, имеющая высокое значение точности моделиро вания (например, коэффициента детерминации), обеспечивает высокую точность прогноза, особенно для эволюционирующих процессов. Для таких процессов можно отдавать предпочтение тем моделям, которые дают большую точность прогноза при меньшей (во всяком случае, не значительно) точности моделирования.

Можно предложить и комплексный критерий моделирования и прогнозирования MF, заключающийся в расчете максимального значе ния для каждой i -й из сравниваемых по точности моделей ряда дина мики:

( ) MFi = max Ri2 MAPEi. (1.6) В (1.6) можно ввести веса для ошибок моделирования и прогнози рования, отражающие их важность для исследователя в конкретном приложении.

Критерии точности моделирования и прогнозирования, приведен ные выше, довольно просты, но в условиях малых выборок именно их применение представляется достаточным. Если моделирование и про гнозирование рядов динамики не предполагает последующего анализа сложившейся динамики показателей, то можно считать, что адекват ность модели фактически сводится к точности получаемых прогнозов.

1.3. Декомпозиционный подход к построению моделей динамики Декомпозиционный подход к построению системы моделей (decomposition approach in model-building) динамики является частью системного подхода к анализу рядов динамики и основан на разделении сложной модели на отдельные более простые компоненты с последую щим их согласованием для получения общей модели. Его назначение – упростить идентификацию предлагаемой модели ряда и обеспечить, тем самым, возможно большую точность моделирования и прогнозирова ния.

Декомпозицию можно применить как к определяемым показате лям динамики СЭС при многокомпонентной структуре ряда, так и к мо делям отдельных компонент ряда.

При декомпозиции ряда могут быть предложены различные набо ры компонент ряда и разные структуры взаимодействия между ними.

Выбор декомпозиции неоднозначен и оправдан в пользу той моде ли, которая даст большую точность моделирования (1.3) или прогнози рования ((1.4) или (1.5)) или лучший комплексный критерий (1.6).

Наиболее часто предметом исследований является такая компо нента ряда при декомпозиции, как тренд T (t ) показателя СЭС. Тренд порождают в СЭС, например, такие факторы, как изменение состава на селения, структуры потребления, инфляция, технологические иннова ции, рост производства, динамика цен на благо и др.

Взятые в отдельности, эти факторы могут оказывать разнонаправ ленные и различные по динамике воздействия на анализируемый эко номический показатель. В совокупности они формируют некоторую бо лее «гладкую» зависимость, чем исходные данные – тренд. Применяют в экономической практике более сотни различных моделей тренда T (t ).

Перед моделированием тренда ряда динамики известными мето дами рекомендуют при больших объемах выборки осуществлять на имеющихся наблюдениях проверку статистической гипотезы о самом факте существовании тенденции. Наиболее часто реализуют проверку гипотезы о равенстве средних двух совокупностей, на которые разби вают анализируемый ряд динамики, или метод Фостера-Стюарта. Пер вый метод рекомендуют применять к рядам с монотонной и значимой относительно значений уровней тенденцией. Второй метод считают бо лее простым и дающим более надежные результаты. Следует иметь в виду, что оба метода достаточно точны только в тех случаях, когда объ ем выборки велик, а распределение помехи подчинено нормальному за кону.

Наиболее распространенными методами моделирования тренда являются укрупнение интервалов, сглаживание скользящей средней, модель Хольта-Уинтерса и аналитическое (параметрическое) выравни вание [30, 40, 64, 83, 92].

Исходя из задачи моделирования и прогнозирования эволюциони рующей динамики СЭС, следует считать большинство из названных ме тодов моделирования трендов неподходящими из-за больших объемов требуемой выборки, неадекватными из-за простоты используемых мо делей реальной нелинейности моделей современных социально экономических и технологических процессов.

Для колебательной компоненты ряда C (t ) динамика изменения уровней существенно выше, чем у тренда. При этом эволюция C (t ) про является на более коротких интервалах времени, а точность моделиро вания и, особенно, прогнозирования уровней обычно ниже.

Колебательная компонента C (t ) может быть, в свою очередь, деком позирована на две другие компоненты: сезонную S (t ) (seasonal component), которая описывает внутригодовые колебания, и многогодо вую циклическую Ц (t ) (cycle component) компоненту.

На коротком интервале наблюдения в качестве колебательной компо ненты обычно принимают более динамичную сезонную компоненту S (t ), так как циклическая компонента меняется в этом случае незначительно.

Параметрическая модель сезонной компоненты обычно проще, чем параметрическая модель циклической компоненты.

Детерминированные компоненты T (t ), S (t ) и Ц (t ) образуют детер минированную компоненту D (t ) временного ряда Y (t ).

Взаимодействие между всеми компонентами T (t ), S (t ), Ц (t ) и (t ) обычно рассматривают только как аддитивное или только как мультипли кативное.

В структуре ряда динамики можно дополнительно учитывать и другие компоненты:

календарную компоненту, происхождение которой уже поясне но выше. Методы учета календарной компоненты известны [18, 85, 92];

выбросы: аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, которые резко и кратковременно от клоняют ряд от общего закона движения, например, авария на атомной станции в Японии, выброс нефти в Мексиканском заливе и др.;

структурные сдвиги: аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями (например, с изменением ставок налогов, ставок акцизных сборов, существенным изменением климатических условий), имеющие скачкообразный характер и изме няющие тенденцию;

инфляционную компоненту.

Обычно анализируемые выборки перед моделированием и прогно зированием «очищаются» от календарной компоненты и выбросов.

В силу того, что наблюдаемыми являются только уровни Y (t ) опре деляемой переменной ряда, а T (t ), S (t ) и Ц (t ) ненаблюдаемы (unob served components), их выбор в общем случае, повторимся, неоднозна чен и является в определенной мере искусством.

Те или иные компоненты (кроме стохастической) ряда динамики могут отсутствовать как принципиально, в силу причинно следственных связей, так и в зависимости от длины интервала наблюде ния (объёма выборки). Считается, что чем короче интервал наблюдения, тем проще может быть модель, адекватная выборке.

Декомпозиция ряда динамики зачастую осуществляется на основе самых общих предположений и условий. Критерием декомпозиции мо жет быть, например, уровень компонент ряда. При этом можно, с опре деленными оговорками, руководствоваться следующей системой нера венств [33, 92]:

(t ) T ( t ), C ( t ) T ( t ), ( t ) C ( t ). (1.7) Соотношение уровней сезонной и циклической компонент на практике может изменяться в широком диапазоне значений, поэтому оно обычно не является критерием декомпозиции. Из (1.7) видим, что детерминированные компоненты при декомпозиции ряда играют опре деляющую роль и представляют, как правило, основной интерес для приложений.

Декомпозицию можно проводить и исходя из свойства периодич ности и цикличности выделяемых компонент.

Под цикличностью понимают повторяемость явления в общих чертах, а под периодичностью – частный случай цикличности, когда яв ление повторяется в деталях на каждом следующем цикле.

Трендовая компонента не обладает свойствами цикличности и/или периодичности.

В первом приближении обычно считают, что колебательная (во всяком случае, сезонная) компонента периодична.

Ряды динамики, состоящие из тренда, сезонной и стохастической компонент, принято называть тренд-сезонными, а ряды, состоящие из тренда, циклической и стохастической компонент, тренд-циклическими.

1.4. Модели колебательной компоненты Колебательную компоненту ранее рассматривали лишь для эли минирования (десезонализации) из исходного динамического ряда.

Сейчас ситуация существенно меняется. Колебательная компонен та ряда динамики C (t ) во многих приложениях, особенно при прогнози ровании, представляет уже самостоятельный интерес, является равно правным информативным признаком после устранения тренда из ряда (детрендирования) или наряду с ним.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.