авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

«Самарский научный центр Российской академии наук В.К. СЕМЁНЫЧЕВ, Е.В. СЕМЁНЫЧЕВ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ: СТРУКТУРЫ, МОДЕЛИ, ЭВОЛЮЦИЯ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Колебательный характер социально-экономических процессов и явлений присущ практически всем СЭС. Среди основных факторов, по рождающих колебательные компоненты, следует назвать краткосроч ные, среднесрочные и долгосрочные изменения конъюнктуры финансо вых, сырьевых и товарных рынков. К ним относятся также объективные условия функционирования ряда базовых отраслей, в частности, сель ского хозяйства, строительства, промышленности стройматериалов и электроэнергетики, которые через механизм межотраслевых связей рас пространяют сезонные волны по другим сферам и секторам экономики.

Циклическая компонента проявляется на протяжении более дли тельного времени в результате действия факторов, обладающих боль шим последействием и циклически (либо апериодически) изменяющих ся во времени. Количество факторов, определяющих циклический ха рактер эволюции социально-экономических систем, весьма велико, их влияние на динамику показателей зачастую носит косвенный опосредо ванный характер, а дополнительная статистическая информация, позво ляющая достоверно оценить направление и интенсивность такого влия ния, обычно отсутствует.

Выделяют несколько видов циклов [25, 70, 99, 110, 114]:

двадцатилетние циклы, обусловленные сдвигами в воспроизвод ственной структуре сферы производства;

циклы Джанглера (от 7 до 10 лет), проявляющиеся как итог взаимодействия денежно-кредитных факторов;

циклы Китчина (от 3 до 5 лет), обусловленные динамикой обо рачиваемости запасов;

частные хозяйственные циклы (от 1 года до 12 лет), вызываемые колебаниями инвестиционной активности;

демографические «ямы»;

периоды экономического подъёма или спада;

циклы Кондратьева (от 30 до 65 лет);

строительные циклы С. Кузнеца с периодом 15-25 лет;

«электоральные» циклы, связанные с выборами в органы власти и имеющие период 4-5 лет, и другие.

Наиболее часто с сезонным фактором связывают погодные усло вия, соответствующие какому-либо времени года, но к ним относят и более короткие колебания: например, динамику спроса в магазинах в течение недели, колебания котировок на бирже в течение дня и др.

Погодные условия действительно влияют на объёмы производства в сельском хозяйстве, в отраслях легкой промышленности, обрабаты вающих сельскохозяйственную продукцию, в строительстве и в добы вающих отраслях. От них зависят объёмы услуг в бытовом обслужива нии, объёмы продаж потребительских товаров, перевозок пассажиров на транспорте. Даже продуктивность сельскохозяйственных животных за висит от времени года.

Сезонные колебания, возникшие в производственном секторе, пе редаются в финансовый сектор, где они изменяются, переплетаясь с действиями социально-экономических и юридических факторов.

Например, у хозяйствующих объектов, неравномерно производя щих свою продукцию, спрос на деньги в отдельные периоды повышает ся. Весной потребность в заёмных средствах у сельскохозяйственных предприятий резко возрастает, а осенью увеличивается потребность в дополнительных средствах у перерабатывающих предприятий, стремя щихся после уборки урожая обеспечить себя сырьём на перспективу.

Кредитные учреждения, учитывая хозяйственные и финансовые условия на местном рынке, должны предвидеть этот изменяющийся спрос и удовлетворять его в каждый конкретный момент времени. Осо бенно это относится к отраслевым банкам, ориентированным на креди тование предприятий соответствующей отрасли. На валютный рынок оказывают влияние экспортно-ориентированные отрасли и компании, многие из которых в своей деятельности испытывают влияние сезонных колебаний (автомобильная промышленность, нефтегазодобывающая, металлургическая), что, в свою очередь, отражается на состоянии пла тежного баланса страны. В расчётах конкретных сумм налоговых по ступлений в бюджеты различных уровней большое значение имеет про гнозирование роста и спада производства, товарооборота, в том числе и за счёт сезонных факторов.

Эти данные важны при очередном формировании бюджетов всех уровней, так как в них могут быть более достоверно отражены потреб ности регионов в федеральных ресурсах в виде субсидий, дотаций и трансфертного финансирования. Особенно это важно для регионов, имеющих сельскохозяйственную или иную сырьевую направленность.

Взносы во многие фонды перечисляются периодически (пенсионные фонды, фонды обязательного медицинского страхования, Государст венный фонд занятости и др.), что формирует сезонность в финансовом секторе экономики. Мощным «возбудителем» сезонности и других цик лических процессов служат также колебания спроса и потребительских предпочтений населения и хозяйствующих субъектов.

Сезонные эффекты могут быть обусловлены и неравномерной ди намикой занятости населения, подверженной влиянию политики еже годных отпусков работников и привлечения дополнительных кадров для выполнения сезонных работ, а также пиков и спадов временной не трудоспособности населения. Средняя заработная плата, доходы и рас ходы населения, остатки вкладов в банках, динамика численности без работных, индексы потребительских цен и оптовых цен промышленно сти содержат не только тренды, но и сезонные колебания.

Не во всех случаях сезонность является следствием действия не управляемых или почти неуправляемых факторов.

В настоящее время при исследовании динамики важнейших пока зателей развития промышленного комплекса РФ задача сезонной кор ректировки, мониторинг ее эволюции считается одной из наиболее ак туальных. Причем она возникает на микро-, мезо- и макроуровнях СЭС.

Корректировка осуществляется для индекса промышленного про изводства в целом, для индексов производства в отдельных отраслях и в отраслевых группах промышленности. Но даже в случаях, когда прямое воздействие на процессы, вызывающие сезонные колебания, невозмож но, их необходимо учитывать при совершенствовании технологических, организационно-экономических, социальных процессов и процессов управления.

Цикличность рынка связана и с ЖЦП. Различные этапы жизненно го цикла – выведение товара на рынок, рост, зрелость и упадок – могут быть смоделированы кривой соответствующей конфигурации.

Данное явление изучается в ходе маркетингового исследования, является также объектом статистического моделирования и прогнози рования, используется для принятия управленческих решений, напри мер, для продления этапов роста или зрелости.

В кривых ЖЦП, в свою очередь, могут присутствовать сезонные и циклические колебания, что в известных моделях и методах их иденти фикации, представленных в отечественной и зарубежной литературе, не нашло до настоящего времени аналитического отражения и идентифи кации.

Для того чтобы можно было «влиять» на сезонность, необходимо уметь определять её параметры с высокой точностью, уметь моделиро вать и прогнозировать развитие процессов, подверженных сезонным ко лебаниям.

Моделирование, прогнозирование и мониторинг эволюции C (t ) яв ляется не менее сложной задачей, чем моделирование тренда из-за не линейности, сложности и большей эволюции ее моделей и большего объема требуемой выборки в известных методах идентификации.

При моделировании колебательной компоненты используют, как и при моделировании тренда, непараметрический и параметрический подходы.

Непараметрический подход не определяет аналитического выра жения C (t ) и предполагает априорное знание её периода – наименьшего отрезка по оси ординат, через который значения ряда повторяются.

Его основными недостатками являются требование большого объ ема выборки (обычно от 4 до 10 периодов колебаний или от 48 до ежемесячных наблюдений) [4, 71]. Присутствие колебательной компо ненты в составе ряда динамики увеличивает требуемый объем выборки до 10 периодов колебаний, по сравнению с присутствием только тренда при той же точности моделирования и прогнозирования. Чаще всего не параметрический подход оформляют в виде таблиц модельных (сглаженных) и прогнозных значений. Другие непараметрические мето ды подразумевают вычисление будущих значений ряда динамики через известные значения. В последнем случае математическая запись, как правило, присутствует, но входящие в нее параметры не несут такого же смысла, как в параметрических моделях, и их значения находятся дру гими методами.

К простейшему варианту параметрического подхода можно отне сти метод фиктивных переменных, который использует значения квар тальных сезонных коэффициентов в рядах динамики с линейным трен дом и аддитивной стохастической компонентой [71]. Как следующее приближение периодическую колебательную компоненту моделируют с помощью гармонических функций синуса или косинуса (рис. 1.3) и ха рактеризуют тремя параметрами: амплитудой A, фазой и круговой частотой = 2 f = (где f – линейная частота, а T – период):

T C k = A sin ( k + ) = A1 sin k + A2 cos k, (1.8) где A1 = A cos, A2 = A sin – соотношения, позволяющие определить A A = A12 + A2, = arctg 2.

A T= A Рис. 1.3. Гармоническая функция, моделирующая колебательную компоненту Видим, что модель (1.8) линейна по параметру A, но нелинейна по параметрам и.

Обычно в модели (1.8) период T считают априори известным:

«привязывают» его к году, кварталу или месяцу. Кроме того, стремятся сделать ещё одно упрощение: осуществлять первое наблюдение в мо мент прохождения гармоники, моделирующей колебательную компо ненту, через нулевое значение, обеспечив тем самым = 0.

В тех случаях, когда колебательная компонента Ck имеет более сложную форму, но также обладает известным периодом, ее представ ляют чаще всего в виде ряда Фурье [4, 62]:

A + ( Ar cos r k + Br sin r k ), Ck = (1.9) 2 r = n n n Yk 2 Yk cos r k 2 Yk sin r k k =1 k =1 k =1 r = 1,2,3,..., где,,, A0 = Ar = Br = n n n причём значению r = 1 соответствует основная гармоника с периодом T, ( = – круговая частота), а остальным значениям r – высшие гармо T T ники с периодами.

r Параметры A0, Ar и Br в (1.9) определяются как линейные коэф фициенты множественной регрессии. Очевидно, что на больших выбор ках использование ряда (1.9) позволяет передать сложные формы коле бательной компоненты. В практических приложениях обычно ограни чиваются моделированием колебательной компоненты двумя-тремя членами ряда Фурье [4].

Полигармоническое представление колебательной компоненты рядом Фурье не является единственно возможным. Во-первых, гармо ники могут иметь и некратные частоты. Во-вторых, может иметь место эволюция параметров одной или нескольких гармоник, различный ха рактер их взаимодействия с трендом, между сезонной и циклической компонентами и со стохастической компонентой.

Начнем с рассмотрения практически важных и допускающих от носительно простую идентификацию на коротких выборках моделей эволюции ряда динамики.

Простейший подход заключается в разбиении анализируемого ря да динамики на отдельные выборки, идентификации на каждой из от дельных выборок моделей тренда и колебательной компоненты, оцени вании точности моделирования и/или прогнозирования. Мониторинг эволюции будет состоять в сравнении параметров и точности моделей отдельных выборок.

Серьезным недостатком данного подхода, ограничивающим его применение в реальной экономической практике, является то, что дина мика современных социально-экономических рядов динамики высока, а известные методы параметрической идентификации требуют больших выборок, зачастую превышающих интервал стационарности моделей.

Выход, на наш взгляд, заключается в развитии известных моделей компонент ряда динамики путем включения в них параметров эволю ции, структур их взаимодействия и в разработке инструментария, иден тифицирующего их на выборках, меньших, чем требуют известные ме тоды.

При этом сезонные колебания чаще, чем тренд, в условиях рефор мируемой российской экономики демонстрируют эволюцию: в первую очередь – амплитуд, реже – фаз и еще реже – частот. Под воздействием различных факторов амплитуда колебательной компоненты может на растать или уменьшаться, уменьшаться и стабилизироваться, расти по сле уменьшения и т.д.

Можно предложить, например, такие достаточно часто встречаю щиеся в экономической практике законы изменения амплитуды гармо ники:

- линейный (рис. 1.4) C k = ( A0 + A1k ) sin ( k + ) ;

(1.10) - экспоненциальный (рис. 1.5) C k = Ae k sin ( k + ) ;

(1.11) - обобщенный экспоненциальный (рис. 1.6) ( ) C k = A0 + A1e k sin ( k + ). (1.12) Сk 0 k Рис. 1.4. Эволюция амплитуды гармоники по линейному закону Сk 0 k Рис. 1.5. Эволюция амплитуды гармоники по экспоненциальному закону Сk 0 k Рис. 1.6. Эволюция амплитуды гармоники по обобщенному экспоненциальному закону Возможно для отражения закона эволюции амплитуды использо вание и двух гармоник с одинаковыми частотами и фазами, но с различ ной динамикой амплитуды, отражающее постепенное замещение одной тенденции эволюции амплитуды другой эволюцией амплитуды, что де монстрирует рисунок 1.7:

C k = A1e 1k sin ( k + ) + A2 e 2 k sin ( k + ). (1.13) Обратим внимание на возможность назначения разных значений амплитуд и показателей экспонент в (1.13).

Сk 0 k Рис. 1.7. Смена направления эволюции амплитуды гармоники Могут быть предложены и другие законы изменения амплитуды гармоники, выбор которых определится сущностью социально экономических или технологических процессов или явлений в объекте анализа и объемом анализируемой выборки.

Известен и опыт моделирования эволюции амплитуды полигармо нической модели (1.9) путем введения в нее параметра времени в виде множителя (k)r [10, 70]:

A + ( Ar cos rk + Br sin rk )(k )r.

Ck = (1.14) 2 r = В принципе, возможно применение и амплитудной модуляции (с частотой W второй гармоники, обычно меньшей, чем частота первой гармоники, и глубиной модуляции m ) [62]:

Ck = A(1 + m sin Wk )sin ( k + ). (1.15) При этом (1.15) будет интерпретироваться как мультипликативное взаимодействие циклической компоненты с сезонной компонентой. Для региональных экономических систем это явление встречается довольно часто [10].

В формулах (1.10)-(1.13) введен параметр эволюции (функция времени) в модель амплитуды колебательной компоненты. В известной научной литературе такие модели эволюции колебательной компоненты и, главное, методы, позволяющие осуществлять их идентификацию на коротких выборках, не обнаружены.

В многокомпонентных рядах динамики существуют режимы эво люции ряда динамики определяемых показателей СЭС за счет эволю ции тренда со стационарной колебательной компонентой и режимы, ко гда модель колебательной компоненты C k также эволюционирует. В первом случае говорят о стационарной колебательности, а во втором случае – об эволюционирующей колебательности. Отмечают, что эво люционирующая колебательность особенно ярко проявляется в произ водстве строительных материалов и в пищевой промышленности.

Гармоники в ряде Фурье являются взаимосвязанными, поэтому их эволюция будет происходить одновременно. В качестве иллюстрации рассмотрим близкие по форме к «пилообразным» импульсам колебания динамики инвестиций в основной капитал по РФ (рис. 1.8), которые мо гут быть аппроксимированы рядом Фурье [62].

Рис. 1.8. Инвестиции в основной капитал по России (млрд руб.) На рисунке 1.8 отчётливо просматривается и эволюция трендовой компоненты: на локальных участках она визуально близка к линейной модели, а на всем интервале наблюдения будет иметь более сложный нелинейный характер.

Для большей наглядности на рисунке 1.9 представлен фрагмент динамики инвестиций в основной капитал по РФ, для которой можно использовать ряд Фурье с тремя гармониками с соотношением частот 1:3:5. Обратим внимание на то, что в этом случае, как и во многих дру гих рядах динамики, амплитуда колебательной компоненты растет при мерно пропорционально росту уровней тренда.

Рис. 1.9. Фрагмент динамики годовых инвестиций в основной капитал РФ (млрд руб.) На практике возможны случаи, когда каждая гармоника полигар монической колебательной компоненты соответствует своему периоду сезонности, например, году, месяцу или неделе. При этом частоты гар моник могут быть не обязательно пропорциональными друг другу и/или тренду, могут эволюционировать независимо. Примером таких колеба ний являются продажи шоколадных изделий, для которых характерно снижение объема продаж в летний период (годовая сезонная волна).

Распределение праздничных дней, например, формирует волну с пика ми в феврале-марте, мае, августе-сентябре и декабре, т.е. с периодом около 3 месяцев [46].

Изменение соотношения частот гармоник также может являться проявлением эволюции – в этом случае происходит смена формы сезон ных колебаний. Возможны и незначительные изменения частоты внутри каждого периода, характеризующие широту или узость сезонной волны в каждом случае.

Что же касается фазы сезонной компоненты, то она чаще меняется скачкообразно. Возможное изменение фазы по какому-либо функцио нальному закону фактически соответствует динамике частоты. Напри мер, при следующих простых законах изменения фазы получим модели:

Sk = Asin (k + ( 1k + 0 ) ) = Asin ( ( + 1 ) k + 0 ) = = Asin (k + 0 ), ( )) = Asin ((k + e ) + ), ( Sk = A sin k + 1ek + 0 k 1 где = + 1.

Модели частотной и фазовой модуляции, широко используемые в радиотехнике [62], не нашли до настоящего времени экономической ин терпретации, поэтому здесь не рассматриваются. Все вышесказанное принципиально может быть распространено и на моделирование эво люции полигармонических колебаний.

Существенные преобразования в СЭС порождаются значительны ми и быстрыми изменениями ситуации – экономическими или полити ческими кризисами, природными и техногенными катастрофами, вой нами, сменой формы хозяйствования и пр.

В общем случае нельзя наверняка отделить события, приводящие к изменению значений параметров модели, от событий, вызывающих изменения ее структуры.

Непосредственно при моделировании следует рассматривать обе гипотезы. При наличии «сломов» (структурных изменений) в развитии экономики и социальной сферы использование данных, относящихся к предшествующему периоду, бессмысленно. В то же время периоды раз вития между коренными сломами могут быть достаточно стабильными.

Таким образом, складывается последовательность сменяющих друг друга этапов эволюции и соответствующих им математических моделей. Однако любое, даже самое стремительное изменение не про исходит мгновенно из-за инерционности динамики СЭС. Поэтому дан ные, относящиеся непосредственно к периоду изменений, зачастую мо гут быть включены как в модель, описывающую ситуацию до «слома», так и в новую модель. Отыскание границ этапов эволюции становится в этих условиях нетривиальной задачей, особенно при недостатке наблю дений после произошедших изменений. При этом каждое добавленное наблюдение может существенно изменить модель или сделать ее не применимой.

Можно предположить, что в настоящий момент экономика РФ также описывается моделью переходного периода. Такие модели стро ятся на коротких выборках и не могут использоваться для долгосрочно го прогнозирования. При выборе их структуры приходится в большей степени опираться на мнение экспертов, чем на визуальный анализ тен денции.

Как уже отмечалось, смена модели может произойти не только в результате социально-экономической динамики, но и в связи с измене нием методики учета, территориальными преобразованиями, повыше нием точности сбора данных и т.п.

В таком случае уровни ряда до и после изменения несопоставимы и являются фактически разными величинами.

Естественно, они не могут описываться одной моделью, но это из менение совершенно иного рода, с четко очерченными границами.

1.5. Предложение пропорционально-мультипликативных структур взаимодействия компонент ряда динамики В простейших случаях, которые обычно и приводят в известной литературе [1, 33, 85], считают, что компоненты образуют временной ряд или только аддитивным взаимодействием Yk = Tk + C k + k, (1.16) или только мультипликативным взаимодействием:

Yk = Tk C k µ k. (1.17) В (1.17) использовано для мультипликативной стохастической компоненты ряда другое обозначение µ k из-за существенного различия характеристик и роли стохастической компоненты в аддитивных и мультипликативных структурах.

Многие исследователи считают, что аддитивная структура ряда является основной, что она в большей мере отвечает механизму форми рования динамических траекторий.

Структура (1.17) используется существенно реже, в основном из за трудности идентификации таких моделей, хотя отмечается, что структура рядов стоимостных показателей СЭС чаще является мультип ликативной.

Структуры (1.16) и (1.17) можно назвать «классическими» (или «каноническими») по характеру взаимодействия компонент ряда.

Важным свойством модели с аддитивной структурой (1.16) явля ется то, что все слагаемые в ней независимы друг от друга: в этом слу чае причины (источники) их формирования различны, они не действуют друг на друга в регистрируемых уровнях показателя ряда, все компо ненты имеют одну размерность. При такой структуре ряда динамики очевидна возможность реализации параметрического подхода для моде лирования и прогнозирования: путем задания аналитических выраже ний для тренда, колебательной компоненты и их последующей иденти фикации.

В мультипликативной структуре (1.17) между всеми компонента ми имеется зависимость. Трудно определить ее причинный характер для детерминированных компонент ряда, но в силу неравенств (1.7) можно предположить, что от больших по своим значениям уровней тренда Tk зависят уровни колебательной компоненты C k, которая, в свою очередь, своими уровнями и своей динамикой определяет в определенной мере уровни стохастической компоненты k, конкретные значения которой, естественно, случайны.

Во всяком случае, два сомножителя из трех в (1.17) являются от носительными величинами и определяют доли (пропорции) изменения уровней компонент-сомножителей.

Мультипликативная структура (1.17) затрудняет реализацию па раметрического подхода при моделировании и прогнозировании рядов динамики из-за задания одной компоненты параметрической моделью, а других – пропорциями.

Возможное решение этой проблемы видится в преобразовании мультипликативной структуры в аддитивную структуру с некоторыми новыми свойствами, для которой можно будет реализовать параметри ческий подход идентификации.

Различные свойства имеют стохастические компоненты в сравни ваемых канонических структурах.

Считают, что для стохастической компоненты k в (1.16) выпол няются принятые условия Гаусса-Маркова для возможности примене ния МНК и получения оптимальных оценок параметров моделей.

В общем случае в (1.16) возможен и гетероскедастический характер k. При этом законы изменения дисперсии стохастической компоненты во времени могут быть различными. Однако в известной научной лите ратуре рассматривают лишь прямую пропорциональность k тренду, обратную пропорциональность k тренду, а также зависимость k по линейному закону от параметров тренда.

Свойство гетероскедастичности k может быть обусловлено и преобразованиями исходной нелинейной модели с гомоскедастической стохастической компонентой. Такими преобразованиями могут быть, например, логарифмирование исходной модели, переход в модели к об ратным величинам, конструирование в ряде случаев модели авторегрес сии-скользящего среднего для ряда наблюдений. Все указанные преоб разования нелинейны.

Относительно механизма формирования закона распределения µ k в мультипликативных структурах рядов динамики (1.17) каких-либо оп ределенных предположений в известной экономической литературе не обнаружено.

Казалось бы, и в этом случае многочисленные независимые (нет оснований предполагать какой-либо особый вид связи между неизвест ными факторами) и малые по величине нерегистрируемые факторные переменные должны формировать нормальный (или близкий к нему) или хотя бы симметричный (чтобы исключить систематическую ошибку в моделях) закон распределения стохастической компоненты.

Однако в известных методах идентификации моделей с мультип ликативной стохастической компонентой µ k она принимается неотри цательной и имеющей логнормальное распределение [1] вида 1 ln µ exp 2 f (µ ) = µ 2 с параметрами и, c математическим ожиданием m = exp +, 1) (2 + 2 ) с дисперсией D = e ( и положительным коэффициентом асим e ( )e2( +2)e1 2( 1), т.е. правый хвост логнормального + 2 2 2 метрии K A = e распределения длиннее левого (стохастическая компонента µ k имеет большую вероятность превышения помехи над средним значением) (рис. 1.10).

При небольших значениях, впрочем, логнормальное распреде ление стремится к нормальному распределению, имеющему среднее значение и дисперсию 2. Это обстоятельство и оправдывает в ка кой-то мере возможность предположения о логнормальности закона распределения при малых значениях мощности помехи.

Известно, что логнормальное распределение имеет произведение большого числа независимых логнормальных и неотрицательных слу чайных величин, что зафиксировано в ряде физических явлений.

Представляется, что выбор логнормального закона распределения µ k в известных мультипликативных структурах может быть объяснен лишь «удобством»: возможностью применения при таком предположе нии приема логарифмирования некоторых моделей для сведения их к парной линейной регрессии относительно параметров.

2,5 f(x) = = 1/ 1, = 1. = 1/ = 1/ 0, = x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Рис. 1.10. Логнормальное распределение вероятностей Продемонстрируем это на примере широко используемой в эко номических и технических приложениях экспоненциальной функции:

Yk = A1 exp( 1k ) µ k ln Yk = ln A1 1k + ln µ k. (1.18) Видим, что к полученной после логарифмирования парной линей ной регрессии можно применить МНК, приводящий ее к решению «нормальной» (после дифференцирования (1.18) по параметрам ln A1 и 1, последующего приравнивания частных производных к нулю) систе мы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Логарифмирование здесь является приемом линеаризации экспо ненциальной модели, преобразования мультипликативного взаимодей ствия стохастической компоненты µk с трендом в аддитивное взаимо действие.

Полученная после логарифмирования «новая» стохастическая компонента ln µ k будет иметь уже нормальное распределение (с мате матическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением ).

Причем наличие ненулевого математического ожидания в уров нях ln µ k нарушает одно из классических условий Гаусса-Маркова и должно привести к смещению оценки ln A1 и, соответственно, к смеще нию оценки A1 после выполнения операции потенцирования.

Кроме того, минимизация функции среднеквадратических потерь для ln µ k будет отличаться от минимизации функции среднеквадратиче ских потерь для µ k : получим не МНК-оценки параметров исходной мо дели Yk = A1 exp( 1k ) µ k, а оценки тех же параметров с другими свойст вами.

Таким образом, принятие гипотезы о логнормальности µ k приво дит к решению, но его точность является «сомнительной».

Для другой, еще более широко применяемой на практике модели тренда в виде обобщенной экспоненциальной функции Yk = ( A0 + A1 exp( 1k ) ) µ k с мультипликативной структурой вхождения стохастической логнор мальной компоненты прием логарифмирования вообще не позволяет осуществить МНК-идентификацию: логарифм суммы слагаемых в дан ной модели не равен сумме логарифмов, параметры идентифицируемой модели остаются «внутри».

Возможно применение в данном случае нелинейного МНК (НМНК), который приведет к системе нормальных уравнений, нелиней ных относительно параметров модели, аналитическое решение которой обычно невозможно, требует применения численных методов: Ньюто на-Гаусса, Левенберга-Марквардта, Хартли, градиентного, сопряжен ных градиентов, симплекса, генетического алгоритма и др. [5, 22, 16, 21, 117].

Однако оценка параметров по статистической выборке (не по де терминированной выборке, как это изначально предполагалось в конст руировании данных численных методах) для НМНК может или не су ществовать, или могут получаться несколько НМНК-оценок парамет ров, приводящих к одному и тому же значению среднеквадратической невязки [16].

Возможен и выход на локальный, а не на глобальный минимум.

Причем трудно будет распознать, какое из значений оценок является ложным, а какое – истинным. Может случиться, что ни один из указан ных методов не приведет к оценке параметров.

Добавим, что для НМНК характерны и проблемы со сходимостью численных методов, так как он зависит от выбора начального вектора параметров, шага итераций и т.д.

Исследование же статистических свойств НМНК-оценок парамет ров в нелинейной регрессии довольно сложно: при конечном объёме выборки для установления свойств НМНК-оценок необходимо знать конкретный вид регрессии. Отметим лишь, что НМНК-оценки могут быть несостоятельными, являются смещенными. Применение НМНК существенно зависит от вида модели.

Из численных методов наибольшее применение для рассматри ваемых задач получили метод Левенберга-Марквардта [9] и метод гене тического программирования [5, 22, 84].

Продолжим обзор известных методов идентификации модели тренда для обобщенной экспоненциальной функции.

Не выдерживает критики известное предположение о возможно сти априорного знания A0 и применения затем того же приема лога рифмирования к модели Yk A0 = A1 exp( 1k ) µ k. (1.19) Дело в том, что оценка параметра A0 представляет обычно само стоятельный интерес для экономической практики.

Не устраняет отмеченные выше недостатки, связанные с постули рованием логнормальности закона распределения µ k, и применение приема вариации параметра Койка [71]. В соответствии с этим приемом i производят назначения в (1.19) различных значений A0 с некоторым малым шагом. Затем, после логарифмирования и МНК-идентификации, осуществляется выбор того значения A0 из перебираемых, которое i обеспечит минимум среднеквадратической функции потерь.

Примеры подобных «удобных» позиционирований стохастической компоненты в структуре модели известны и для логистических трендов, для функций Торнквиста и для некоторых других моделей.

Общая идея таких позиционирований состоит в том, что модель тренда вначале преобразуют в удобный для МНК-идентификации вид, например, переходом к обратным величинам или логарифмированием.

Затем к преобразованному виду модели «удобно» добавляют стохасти ческую компоненту: аддитивно или мультипликативно, в зависимости от модели.

Например, в известной модели логистического тренда Верхулста [118] Tk = A0 + A1 exp( k ) для идентификации параметров предлагают вначале перейти к обратной величине 1T = A0 + A1 exp( k ), затем умножить A0 + A1 exp( k ) на k стохастическую компоненту µ k с логнормальным законом распределе ния и получить выражение Z k = ( A0 + A1 exp( k )) µ k, которое указан ными выше действиями с логарифмированием приводят к модели (1.18).

По сути, предполагается для идентификации другая («диковин ная») модель ряда динамики, как бы содержащая изначально стохасти ческую компоненту с логнормальным законом распределения в виде множителя в знаменателе логистической функции:

Yk =.

( A0 + A1 exp( k ))µk Для другой широко распространенной модели логистического тренда Гомпертца [106] предлагается дважды логарифмировать исход ную формулу для приведения преобразованной модели к аддитивной структуре с аддитивной стохастической компонентой с нормальным за коном распределения, последующего применения МНК для парной ли нейной регрессии, как и в (1.18). Тем самым постулируется следующее «удобное» место µ k в модели Гомпертца с параметрами A0 и A0 :

k Yk = A0 µk A1.

При этом в одних моделях выбирают только «удобное» мультип ликативное взаимодействие стохастической компоненты с моделью, а в других – только «удобное» аддитивное.

Между тем следовало бы рассмотреть возможность существования обеих структур взаимодействия, разработать соответствующие методы идентификации для каждой из них и выбрать структуру, для которой точность моделирования и/или прогнозирования окажется выше.

В настоящее время в силу целого ряда причин осознана актуаль ность поиска альтернативы МНК при моделировании и прогнозирова нии моделей динамики или хотя бы дополнения МНК приемами иден тификации, зависящими от рассматриваемой модели ряда.

Во-первых, представляется неоправданным то, что МНК исполь зует стохастическую невязку каждого из наблюдений выборки с одина ковым весовым коэффициентом. Естественно предположить, что зави симость в рядах динамики постепенно ослабевает с увеличением «рас стояния» между наблюдениями. Очевидно, что при прогнозировании в условиях быстро изменяющихся социально-экономических явлений информация более поздних временных периодов является более важ ной, более существенной, чем информация ранних периодов. В эконо мике такие изменения обусловлены, например, технологическими сдви гами, изменениями цен на ресурсы, покупательной способностью насе ления, потребительскими предпочтениями, внешними событиями (вой нами, природными катаклизмами и т.п.), изменениями в законодатель стве и рядом других объективных и субъективных причин. Вместе с тем зачастую даже по чисто вычислительным причинам без устаревшей ин формации порой бывает затруднительно построить эконометрическую модель (например, из-за малого объёма исходных данных). Кроме того, «новые» взаимосвязи обычно образуются на фоне «старых», являются закономерным итогом эволюции отношений в социально-экономи ческой, технологической и других сферах общественной жизни. Вслед ствие этого информация более ранних периодов также может представ лять определенную ценность с точки зрения адекватного отображения рассматриваемых явлений и процессов. Эти причины в совокупности вы двигают проблему сопоставительного представления в модели разно временной информации, которая обычно решается взвешиванием ис ходных данных, относящихся к различным моментам времени анализи руемого периода. Весовые коэффициенты в такой модели прогноза должны выражать степень важности, ценности разновременной исход ной информации, полноты ее учёта при формировании модели. Весовые дисконтирующие коэффициенты сглаживания могут назначаться на ос нове субъективных суждений относительно ценности исходной инфор мации, относящейся к разным моментам времени (что оправдано в зада че прогнозирования, когда наиболее важными являются последние на блюдения). Коэффициенты могут быть заданы в числовой форме или в виде функциональной зависимости таким образом, чтобы по мере про движения в «прошлое» веса убывали.

Одной из таких моделей являются авторегрессии [11, 70], другой – генетические алгоритмы оптимизации [5, 84] при построении парамет рических моделей, в которых взвешивание осуществляется запуском специального стохастического механизма, а результат практически не зависит от выбора начальной точки.

Во-вторых, при гетероскедастичности стохастической компоненты анализируемой траектории последствия применения МНК будут сле дующими [12]: оценки параметров по-прежнему останутся несмещен ными и линейными, но они не будут даже асимптотически эффектив ными, а дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением, так как необъясненная уравнением регрессии дисперсия остатков не является более несмещенной.

Вследствие этого интервальные оценки параметров помехи, даже для тех немногих случаев, когда они могут быть определены аналитиче ски, ненадежны, как и статистические прогнозы по моделям неслучай ных компонент. Именно поэтому приему компенсации гетероскеда стичности стохастической компоненты в предлагаемых методах иден тификации моделей будем уделять большое значение.

Третьим является то обстоятельство, что принимаемый обычно постулат о нормальности закона распределения k далеко не в полной мере соответствует реальной эконометрической практике. Он скорее удобен для применения МНК, чем реально доказан. Методов, позво ляющих надежно проверить, следуют ли ошибки нормальному распре делению или нет, особенно на коротких выборках, в настоящее время не существует. Более того, в научной литературе убедительно показана не обоснованность принимаемого обычно утверждения о преимуществен ности нормального закона распределения стохастической компоненты в эконометрических моделях. Часто вообще не удаётся указать какое либо параметрическое семейство, в рамках которого находится кон кретное распределение ошибок, что также оправдывает в принятых на ми условиях Гаусса-Маркова ограничение условием симметричности закона распределения стохастической компоненты.

При декомпозиции и анализе точностных характеристик методов моделирования уже учитывалось, что часть уровней ряда динамики, формируемая случайными факторами, существенно меньше долей дру гих компонент.

Значения k меньше в сравнении с уровнями ряда динамики Yk и других компонент, а её размах ограничен. Наряду с относительно не большими «эволюционными» изменениями определяемой переменной, которые могут моделироваться симметричным законом распределения ошибок, в рядах экономической динамики могут присутствовать и вы бросы в механизме формирования значений k и пропуски в данных, которые можно рассматривать как выброс с нулевым значением. Про пуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так и происходившими изменениями в системе отчётности, в системе фик сирования данных.

Появление аномальных значений может быть вызвано каким-то «мешающим» механизмом, отличным от свойств исследуемой СЭС: на пример, сдвигом запятой при перенесении информации из документа, занесением данных в другую графу и т.д.

Выявление и исключение таких значений, замена их истинными или обоснованными расчётными является первым и необходимым эта пом первичной обработки данных, так как идентификация по «засорен ной» выборке приводит к погрешностям. Использование известных в статистике методов проверки выборки на однородность и последующее отбрасывание аномальных наблюдений из рядов динамики, содержащих упорядоченные данные, при анализе рядов динамики принципиально неприемлемо.

Можно, в принципе, воспользоваться приёмом определения ано мальных значений, как превышающих в некоторое, экспертно опреде ленное, число раз среднеквадратическое значение остатков k или как аномальное значение первых разностей исходного ряда. После этого выявленному аномальному значению можно присвоить допустимое по экспертной оценке значение – тем самым выборка «цензурируется».

Можно использовать так называемые робастные (robustness) про цедуры, нечувствительные к «засорениям» выборки, не требующие ап риорных знаний закона распределения k (оценки Хьюбера, Андрюса, Мешалкина, Рамсея, Нэсбурга-Кашьяпа и др. [77, 95, 105, 112]) или ге нетического алгоритма [5].

Более «тонкого» анализа динамики эволюционирующих рядов ди намики, чем в известных структурах (1.16) и (1.17), можно достичь за счет предложения следующих возможных четырех аддитивно мультипликативных (смешанных) структур [58]:

Yk = (Tk + C k ) µ k, (1.20) Yk = Tk C k + k, (1.21) Yk = Tk µ k + C k, (1.22) Yk = Tk + C k µ k. (1.23) Из аддитивно-мультипликативных структур (1.20)-(1.23) известна лишь структура (1.21), причем только в непараметрической форме [19].

Ее довольно широкое использование (например, вместо (1.20)) можно объяснить тем, что детерминированная компонента ряда дина мики при малости уровней k (при выполнении условий (t ) T (t ) и (t ) C (t ) в (1.7)) на практике незначительно зависит от k. Во всяком случае, методы, которые могли бы «почувствовать» такую зависимость, не были применены.

Когда в структуре ряда динамики, в частности для экономических показателей СЭС мезоуровней, присутствуют сезонная S k и цикличе ская Ц k компоненты, то известно и применение (также в форме непара метрического подхода и по той же причине, что и в (1.21)) аддитивно мультипликативной структуры [19]:

Yk = Tk Ц k + S k + k. (1.24) Однако можно решать и «еще более тонкую» задачу: рассмотреть различные по структуре взаимодействия стохастических компонент с детерминированными компонентами. Таким примером может быть структура ряда динамики, в которой на тренд действует мультиплика тивная стохастическая компонента µ k, а на колебательную компоненту – аддитивная k (или наоборот), что, по сути, предлагалось делать в [78, 89, 90]:

Yk = Tk µ k + C k + k. (1.25) В предложенном ниже методе параметрической итерационной де композиции тренд-сезонных рядов такая возможность смешанного ха рактера присутствия стохастических компонент имеется [59].

Рассмотрим прием трансформации мультипликативной структуры ряда динамики в аддитивную структуру.

Начнем со случая моделирования детерминированной компоненты одним трендом. Экономическая практика показала, что между уровнями стохастической компоненты ряда динамики и уровнями его тренда за частую существует прямо пропорциональная зависимость [6, 7, 65], что может быть отражено следующей формулой Yk = Tk µ k = Tk (1 + k ) = Tk + Tk k, (1.26) где принято µ k = 1 + k, Tk k – «новая» гетероскедастическая стохастиче ская компонента.

Логично условие для гетероскедастической стохастической ком поненты k в (1.26): из k = 0 Yk = Tk.

Условие Yk = Tk будет выполнено при µ k = 1. Уровни стохастиче ской компоненты могут быть знакопеременными (а не только положи тельными, как в логнормальном распределении). Само распределение по характеру своего формирования должно быть симметричным и, воз можно, близким к нормальному распределению в соответствии с цен тральной предельной теоремой или предельной теоремой теории веро ятностей.

В силу приведенного выше условия декомпозиции k Tk в (1.7) следует ожидать, что присутствие k не должно менять знак Yk в (1.26).

Отсюда следует, что при и, следовательно, при Tk Yk 0 Tk + Tk k 0 k 1.

Условие симметричности закона распределения стохастической компоненты k определит возможный диапазон значений стохастиче ской компоненты: 1 k 1. К аналогичному условию для k придем и при Tk 0.

Таким образом, не определяя общий характер связи между этими компонентами, предложенная формула (1.26) отражает частный, но практически важный вид взаимодействия.

При этом свойство мультипликации (зависимости) тренда от сто хастической компоненты сохраняет стохастическая компонента Tk k, гетероскедастичность которой необходимо компенсировать (умень шать) при разработке и реализации метода идентификации модели, что бы обеспечить выполнение принятого условия Гаусса-Маркова. Форму ла (1.26) справедлива для любых моделей трендов.

Распространим прием, реализованный в (1.26) для тренда, на ряды, содержащие кроме тренда и колебательную компоненту.

Для (1.20) получим:

Yk = (Tk + C k )(1 + k ) = Tk + C k + (Tk + C k ) k. (1.27) Для (1.23), будем иметь:

Yk = Tk + C k (1 + k ) = Tk + C k + C k k. (1.28) Для (1.22) можно принять:

(1.29) Yk = Tk (1 + k ) + C k = Tk + C k + Tk k.

Можно модель (1.21) рассматривать в параметрической записи тренда Tk и в параметрической записи колебательной компоненты C k и затем осуществлять ее идентификацию детерминированной компоненты Tk C k при помощи ARMA-моделирования.

Другим решением является представление колебательной компо ненты в виде C k = C kp + 1, что дает возможность анализа и тренда Tk и «новой» (пропорциональной тренду) мультипликативной колебательной компоненты Tk Ckp :

Yk = Tk (1 + Ckp ) + k = Tk + Tk Ckp + k, (1.30) где Ckp - параметрическая модель колебательной компоненты.

Подстановка знакопеременных уровней моделей колебательной компоненты Ckp в (1.30) без какого-либо ограничения на амплитуду компоненты может привести к знакопеременному характеру уровней детерминированной компоненты ряда динамики Tk + Tk Ckp, что обычно лишено экономического смысла при положительных уровнях тренда.

Найдем ограничение на уровни колебательной компоненты.

Очевидно, что при значении C k = 1 в (1.21) будем иметь в (1.30) Ckp = 0 Yk = Tk.

Из уже рассмотренного условия декомпозиции Yk Tk формулы (1.7) следует назначить ограничение применения (1.30) в виде неравен ства 1 Ckp 1 или Ckp 1, что означает для параметрических моделей колебательных компонент ограничение на амплитуды моделей. Напри мер, для гармоники (1.8) потребуется выполнение неравенства A 1.

Величина параметра A выполняет, по сути, роль коэффициента пропор циональности.

Модель означает возможность по-другому взглянуть на возможно сти взаимодействия компонент в ряде динамики, выделив колебатель ную компоненту, пропорциональную тренду, и, что может быть важно при разработке метода идентификации такой модели, применить метод параметрической итерационной декомпозиции таких тренд-сезонных рядов, используя для декомпозиции факт разной динамики Tk и Tk Ckp [59].

Аналогично можно преобразовать и мультипликативную структу ру (1.17) в аддитивную структуру:

Yk = Tk Ck µ k = Tk (1 + C kp )(1 + k ) = Tk + Tk C kp + Tk (1 + C kp ) k. (1.31) В (1.30) и (1.31) размах Tk Ckp определяется произведением тренда и колебательной компоненты, а стохастическая компонента Tk (1 + C k ) k в (1.31) аддитивна и гетероскедастична, в то время как в (1.16) стохас тическая компонента k аддитивна и в зависимости от ее природы мо жет быть гомоскедастичной или гетероскедастичной.

Детерминированная компонента в (1.31) использует для модели рования параметрические модели тренда Tk и Tk Ckp, в отличие от (1.7), в которой только одна из них может быть параметрической, а вторая мо жет быть моделирована только пропорциями.

Проблемным вопросом идентификации будет компенсация гете роскедастичности Tk (1 + C kp ) k.

Показанный тип эволюционирующей сезонности (модель тренда определяет закон эволюции) на практике встречается довольно часто и в англоязычной научной литературе даже получил собственное название trend-conditioned moving seasonality.

Сведем теперь вместе все структуры рядов с трендом и колеба тельной компонентой, учитывая предложенные формы представления пропорционально-мультипликативного вхождения стохастической и колебательной компонент и введенные обозначения:

(1.16) Yk = Tk + C k + k, (1.17) (1.31) Yk = Tk Ck µ k = Tk (1 + C kp )(1 + k ) = Tk + Tk C kp + Tk (1 + C kp ) k, (1.20) (1.27) Yk = (Tk + C k ) µ k = Tk + C k + (Tk + C k ) k, (1.21) (1.30) Yk = Tk (1 + Ckp ) + k = Tk + Tk Ckp + k, (1.22) (1.29) Yk = Tk (1 + k ) + C k = Tk + C k + Tk k, (1.23) (1.28) Yk = Tk + C k (1 + k ) = Tk + C k + C k k.

Приведенные структуры временного ряда из трех компонент от ражают и возможность эволюции и характера взаимодействия компо нент: например, перехода от мультипликативного взаимодействия к ад дитивному или к смешанному взаимодействию, в котором две компо ненты из трех могут быть мультипликативны, а третья – быть аддитив ной.

Общим для предложенного комплекса моделей является то, что он реализует параметрический подход для детерминированных компонент, а стохастическая компонента k неавтокоррелирована, гомоскедастич на, центрирована, имеет симметричный закон распределения.

Из близких по постановке задачи преобразования структур можно упомянуть лишь [78, 109].

1.6. Выбор периода дискретизации при моделировании детерминированных компонент ряда динамики Как известно, детерминированные траектории моделей компонент ряда могут быть периодическими: будут повторяться через некоторый интервал времени T, который называется периодом. Простейшей фор мой периодической траектории является гармоническая функция (1.8), изображенная на рисунке 1.3.

Все остальные траектории будут негармоническими. На примере сезонной компоненты S k покажем известную методику исследования периодических негармонических траекторий, основанную на разложе нии сигналов в ряд Фурье. Ряд Фурье (1.9) здесь целесообразно пред ставить в преобразованном виде:

Sk = C0 + Cr Cos(r k + r ), (1.32) r = где – основная гармоника, а C r, k – амплитуды и начальные фазы, соответственно, вспомогательных гармоник.

В (1.32) параметры C 0, C r образуют дискретный спектр амплитуд, а r – спектр фаз. Для многих приложений достаточно знать спектр ам плитуд. Он применяется настолько часто, что когда говорят просто «спектр», то подразумевают обычно именно амплитудный спектр. В ос тальных случаях делают соответствующие оговорки.

Спектр принято изображать совокупностью ординат амплитуд C r отдельных гармоник в точках абсциссы r. Спектр амплитуд состоит из равноотстоящих спектральных линий, а частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Отдельные гармоники, иногда даже первая, могут отсутствовать, т.е. амплитуды их могут равняться нулю, что, однако, не нарушает гармоничности спектра.

Существуют и другие системы ортогональных функций, в которых можно представить периодический сигнал на больших выборках: Уол ша, Лагерра, Котельникова, Вейвлет-разложение и др., но они предпо лагают использование длинных выборок.

Не следует думать, что только периодическая функция обладает дискретным спектром. Предположим, например, что сложное колебание есть результат сложения двух гармонических колебаний с несоизмери мыми частотами, скажем 1 и 21. Это колебание заведомо неперио дическое, однако спектр его дискретен и состоит из двух спектральных линий.

Функция, обладающая дискретным спектром из произвольно рас положенных на шкале частот спектральных линий, называется почти периодической.

Возможности известных методов параметризации модели (1.32) для моделирования эволюционирующей колебательной компоненты ог раничены, так как форма колебаний и все параметры (амплитуды, пе риоды и фазы гармоник) на всем интервале наблюдений в этих случаях принимаются неизменными, а период основной гармоники в ряде Фурье – известным. Рассмотрим возможности устранения этих ограничений.


Непериодическую траекторию, к которой можно отнести тренды и/или циклическую компоненту, их суммы и произведения, можно так же рассматривать как периодические, но с бесконечным периодом и ну левой разностью частот соседних гармоник. В этих случаях говорят уже не о ряде, а о преобразовании (интеграле) Фурье и не о дискретном спектре траектории, а о непрерывной спектральной плотности. Прини мают, что наивысшая частота спектра f max, которая определяет выбор периода дискретизации таких траекторий, имеет амплитуду, являю щуюся малой долей от наибольшей амплитуды спектра (в качестве та кой доли принимают, например, 0,1%;

0,05% от нее).

Очевидно, что выбор периода дискретизации должен опреде ляться задачей передачи формы наиболее динамичной (наиболее быст рой) из компонент ряда, т.к. форма менее динамичной компоненты бу дет при этом, естественно, передана. Величина, обратная периоду дис кретизации, называется линейной частотой дискретизации (sample frequency): f Д =.

Для каждой модели динамической траектории (для тренд-сезонной модели временного ряда и для случая ряда пространственной динамики) можно рассчитать её спектр и частоту f max [62], выбрать соответствую щий период дискретизации.

Отметим, что частота дискретизации для многих временных рядов экономической динамики складывалась исторически, прошла проверку практикой в течение длительного времени и после этого назначалась директивно: например, час, день, неделя, год. Частота дискретизации может исследователем варьироваться лишь в определенных пределах (например, путём перехода от годовых наблюдений к месячным или на оборот).

Порой такое изменение частоты дискретизации (переход от мо ментных рядов к интервальным или от ежемесячных наблюдений к квартальным) можно трактовать как предварительное сглаживание ис ходной выборки, что будет показано ниже на одном из примеров.

Экономическая практика обычно сама отбирает более или менее оптимальные периоды дискретизации. Например, вряд ли прижилась бы практика только ежегодных наблюдений для измерения количества вве денных в эксплуатацию метров жилья в городе вместо применяемых в настоящее время ежемесячных наблюдений.

Приведенное условие дискретизации справедливо и для простран ственной динамики. Например, для передачи характера зависимости спроса на благо от его цены допустим большой шаг изменения цены, если изменение спроса незначительно (спрос не зависит от цены или изменяется по линейному закону с малым углом наклона). А вот при высокой динамике зависимости спроса на благо от цены (описываемой полиномами второго, третьего порядка и т.п.) шаг должен быть мень шим. Соответствующие формулы расчета периода дискретизации для временных и пространственных траекторий известны.

Проведём обстоятельную иллюстрацию правильности выбора пе риода дискретизации на примере одной гармоники, которая может быть простой моделью сезонной компоненты ряда динамики или составной частью более сложной (негармонической, но периодической) сезонной или циклической компоненты. В соответствии с теоремой Котельникова гармоническое колебание с периодом T может быть адекватно пред ставлено своими наблюдениями при условии, что частота гармоники не превышает половины частоты дискретизации (эта частота f N называет fД ся частотой Найквиста (Nyquist frequency)): f N = =. Какие по 2 следствия могут вызвать те или иные соотношения между реальной час тотой дискретизации, применяемой при регистрации показателя, и час тотой Найквиста?

Возможны случаи правильной передачи (восстановления) гармо ники и случаи существенного искажения частоты, амплитуды и фазы.

На рисунке 1.11 показан для примера случай использования 13 на блюдений на 1 период гармоники, т.е. частота гармоники f = 1T суще ственно меньше частоты Найквиста f N.

Рис. 1.11. Частота гармоники меньше частоты Найквиста Видим, что наблюдения позволяют правильно восстановить траек торию. Практически достаточно обеспечить от 5 до 10 наблюдений на T период гармоники, т.е. должно выполняться соотношение 5 10.

Часто точное значение периода гармоники неизвестно (оно со ставляет предмет измерения), но какие-то априорные знания о диапазо не её значений имеются. Во всяком случае, попасть в указанный диапа зон соотношения частоты дискретизации в 5-10 раз больше частоты гармоники не представляется сложной задачей.

В то же время излишне завышать частоту дискретизации нецеле сообразно, так как число наблюдений окажется избыточным для моде лирования (излишние затраты на сбор, хранение, анализ и передачу данных).

Кроме того, слишком частые наблюдения будут по значениям уровней ряда близки друг к другу (малоразличимы), что может привес ти к вычислительным погрешностям при их обработке, неустойчивости решения задачи идентификации: явлению мультиколлинеарности (mul ticollinearity).

На рисунке 1.12 показано, что если частота гармоники равна час тоте Найквиста, то дискретные наблюдения позволяют восстановить гармонику с той же частотой, но амплитуда и фаза смоделированной по данным наблюдениям гармоники могут быть существенно искажены.

В худшем случае все наблюдения могут оказаться равными нулю.

Рис. 1.12. Частота гармоники равна частоте Найквиста На рисунке 1.13 (а, б, в) показаны случаи получения в качестве анализируемой выборки «маятниковой» колеблемости (имеет место че редование знаков в последовательных наблюдениях гармоники) при вы боре частоты дискретизации гармоники больше частоты Найквиста.

а) б) в) Рис. 1.13. Частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста При присутствии в наблюдениях дополнительно аддитивной или мультипликативной стохастической компонент неправильный выбор периода дискретизации может привести к получению труднообъясни мых с экономической точки зрения видов случайных «маятниковых»

колебаний [4].

Рисунок 1.14 показывает, что для суммы линейной функции и гармоники при частоте дискретизации меньше частоты Найквиста мож но также получить «маятниковую» колеблемость.

В модели (1.8) иногда период T = 2 / априори известен - «при вязан» к году, кварталу или месяцу (например, в бухгалтерской отчет ности), а фаза равна нулю.

При этом надо отдавать себе отчет в том, что в этот момент вре мени возможны существенные ошибки измерений параметров гармони ки, так как уровень полезного сигнала (гармоники) равен нулю, а уро вень помехи (стохастической компоненты) может существенно отли чаться от нуля.

Рис. 1.14. Изменение вида суммы линейной функции и гармоники при частоте дискретизации меньше частоты Найквиста На практике колебательная компонента зачастую имеет более сложную форму, чем гармоника (1.8).

Многообразие форм колебательной компоненты заслуживает осо бого внимания, в частности и потому, что во многих приложениях от мечается импульсный характер компоненты: «пилообразный», «тре угольный», «прямоугольный», «куполообразный» и др. Такие импульсы часто моделируют сезонную компоненту ряда динамики.

Допустимо в этих случаях использовать для моделирования с при емлемой точностью сумму нескольких гармоник с кратными частотами (несколько первых членов ряда Фурье) и определенным законом фор мирования амплитуд гармоник.

На рисунке 1.15 показана аппроксимация «пилообразной» колеб лемости S (t ) (будем использовать для простоты аналоговую форму за писи) рядом Фурье (1.9) следующего вида:

1 1 1 S (t ) = sin t sin 2t + sin3t sin 4t + sin5t... (1.33) 2 3 4 в зависимости от числа используемых членов разложения.

Рис. 1.15. Точность аппроксимации «пилообразной» колебательной компоненты в зависимости от количества членов разложения в ряде Фурье Видим, что для удовлетворительной точности аппроксимации «пилообразных» импульсных колебаний достаточно ограничиться пер выми тремя членами разложения.

В тригонометрические функции модели (1.33) можно ввести и на чальную фазу или использовать в них постоянное дополнительное слагаемое, что позволит «передвигать» график пилообразной компонен ты по осям координат «влево – вправо» и «вверх – вниз».

Смена знаков в (1.33) сделает возможным замену «участков роста»

на «участки убывания» и наоборот.

В таблицах 1.1, 1.2, 1.3 приведены разложения «пилообразных», «треугольных», «прямоугольных» и «куполообразных» импульсных ко лебательных компонент в ряд Фурье при бесконечном числе слагаемых ряда.

Таблица 1. «Пилообразная» колебательная компонента Идеальное разложение в ряд Фурье 1 S ( t ) = sin t sin 2t + sin 3t...

2 Три гармоники ряда Фурье с други ми значениями коэффициентов S ( t ) = A sin t B sin 2 t + C sin 3 t А=1 В=1.0 С=4. А=1 В=0.4 С=0. Общая форма записи модели S (t ) = A2sin( t + ) A3sin(2 t + 2 ) + A4sin(3 t + 3 ) Используя лишь три члена разложения, можно, как и для «пилооб разных» импульсных колебаний, получить удовлетворительное при ближение к идеальным импульсам.

Интерес могут представлять случаи, когда коэффициенты перед гармониками отличаются от коэффициентов ряда Фурье (1.9). Это отли чие может быть случайным за счёт ошибок идентификации, обуслов ленных присутствием стохастической компоненты в уровнях Yk, а мо жет быть и сознательным для передачи других, отличных от рассматри ваемых в монографии идеальных «пилообразных», «треугольных», «прямоугольных» и «куполообразных» импульсов, но приближенных к реальным колебаниям. Если, например, рисунок 1.15 демонстрировал точность аппроксимации «пилообразной» колебательной компоненты несколькими наборами частот, то в верхней половине таблицы 1.1 пока зано идеальное представление рядом Фурье с соответствующими коэф фициентами и частотами, 2, 3,... «пилообразной» колебательной компоненты.

В нижней половине таблицы 1.1 показано, к каким видам коле бательных компонент может привести использование тех же трёх гармоник, но с другими значениями коэффициентов перед ними.


Отчетливо выраженный негармонический «пилообразный» ха рактер имеет, например, колебательная компонента в тиражах печат ных СМИ, что связано с периодичностью проведения подписных компаний [55].

К таким колебаниям экономических показателей могут приво дить и установленные сроки бухгалтерской отчетности, когда фикси руются изменения значений финансовых показателей, моменты от крытия бирж, сдача объектов в эксплуатацию и т.п.

Из исследований американской экономики последних лет следу ет, что после 2001 года существуют постоянные «пилообразные» ко лебания потребительского спроса, объемов продаж, запасов и тому подобных показателей.

Крупные розничные торговцы сначала создают товарные запасы на несколько месяцев вперед (страхуясь от возможного роста цен).

Потом они постепенно реализуют запасы потребителям, не делая при этом никаких новых заказов и доводя, таким образом, склады и мага зинные прилавки до полного «оголения», чтобы застраховаться уже от возможного падения покупательского спроса.

Убедившись, что падения спроса не происходит, розничные сети делают крупные заказы производителям и склады снова наполняются товаром.

При подобной неравномерности размещения заказов динамика основных показателей, описывающих экономику США, имеет пило образный характер – вслед за ростом заказов происходит рост произ водства, занятости, доходов и спроса.

Ну, а после того, как заказы выполнены, наоборот, производст во, занятость и доходы снижаются.

То есть показатели низких объемов спроса за первый квартал ровным счетом ничего не значат, пока они не продублированы ин формацией о высоких товарных запасах.

Хуже, если на низкий спрос наложатся высокие запасы, а если низкий спрос имеет место одновременно с низкими товарными запа сами, можно ждать роста заказов, увеличения выпуска товаров и по явления новых доходов, но уже только во втором квартале.

Во всех этих случаях в качестве модели может быть использова на периодическая колебательная компонента пилообразной формы.

«Треугольная» колебательная компонента тоже достаточно часто встречается на практике и её характеристики представлены в таблице 1.2.

Таблица 1. «Треугольная» колебательная компонента Идеальное разложение в ряд Фурье 1 S ( t ) = sint sin3t + 2 sin5t...

32 Три гармоники ряда Фурье с дру гими значениями коэффициентов S ( t ) = A sin t B sin 3 t + C sin 5 t А=1 В=20 С= А=1 В=0.4 С= Общая форма записи модели S (t ) = A2sin( t + ) A3sin(3 t + 3 ) + A4sin(5 t + 5 ) «Прямоугольная» колебательная компонента, характеристики ко торой приведены в таблице 1.3, также часто используется для описания динамики социально-экономических процессов и явлений в СЭС.

Например, она применяется как некоторая идеальная характери стика резкого перехода продажи путевок (дохода от этой продажи) в сфере туризма от периода «низкого» сезона к периоду «высокого» сезо на (летний период отпусков) с относительно стабильными показателями внутри каждого из этих сезонов.

Таблица 1. «Прямоугольная» колебательная компонента Идеальное разложение в ряд Фурье 1 S ( t ) = sin t + sin3t + sin5t +...

3 Три гармоники ряда Фурье с дру гими значениями коэффициентов S ( t ) = A sin t + B sin 3 t + C sin 5 t A=1 B=0.3 C=0. A=1 B=0.2 C=0. Общая форма записи модели S (t ) = A2sin( t + ) + A3sin(3 t + 3 ) + A4sin(5 t + 5 ) Для классической «прямоугольной» колебательной компоненты, описываемой рядом Фурье вида S ( t ) = A2 sin t + A3 sin 3 t + A4 sin 5 t с «идеальными» коэффициентами A2 = 1 ;

A3 = 0,33 ;

A4 = 0, 2, получим ко лебательную компоненту вида, представленного на рисунке 1.16, а.

При назначении величин коэффициентов трёх гармоник, сущест венно отличающихся от значений коэффициентов Фурье, например, при значениях A2 = 1 ;

A3 = 0,33 ;

A4 = 12, будем иметь фигуру, показанную на рисунке 1.16, б.

При задании значений коэффициентов A2 = 1 ;

A3 = 3 ;

A4 = 0, 2 по лучим фигуру, приведенную на рисунке 1.16, в.

а) б) в) Рис. 1.16. Влияние вариации значений коэффициентов ряда Фурье при прямоугольной колебательной компоненте В таблицах 1.4, 1.5 и 1.6 приведены аналитические выражения и графическая иллюстрация для трёх других типов колебательных компо нент, объединенных за счет их внешнего вида условным названием «ку полообразные».

Таблица 1. «Куполообразная» колебательная компонента (1 тип) Идеальное разложение в ряд Фурье 2 cos2t cos4t S ( t ) = + sint + +...

2 1 3 3 Три гармоники ряда Фурье с другими значениями коэффициентов S ( t ) = A sin t Bcos2 t C cos4 t A=1 B=0.45 C=0. A=1 B=0.8 C=0. Общая форма записи модели S (t ) = A2sin(1t + 1 ) A3sin(2t + 2 ) A4sin(3t + 3 ), где 2 = 21, 3 = 41, 2 = 21 +, 3 = 41 +.

2 Таблица 1. «Куполообразная» колебательная компонента (2 тип) Идеальное разложение в ряд Фурье 2 cos2t cos4t cos6t S (t ) =...

12 22 Три гармоники ряда Фурье с другими значениями коэффициентов S ( t ) = A cos2 t B cos4 t C cos6 t А=1 B=0.6 C=0. A=-1 B=-0.15 C=-0. Общая форма записи S (t ) = A2sin 2t + 2 + A3sin 4t + 4 + A4sin 6t + 6 + 2 2 Можно рассмотреть еще один (третий) тип «куполообразной» ко лебательной компоненты (таблица 1.6).

Отметим, что колеблемость «маятникового» типа может быть об разована и «особенными» сочетаниями величин коэффициентов в «пря моугольной» или «куполообразной» колебательных компонентах.

Общую форму записи для всех указанных в таблицах 1.1, 1.2 и 1. видов колебательных компонент S (t ) можно представить в виде суммы трех гармоник с амплитудами Ф1, Ф2, Ф3 :

S (t ) = Ф1sin (1t + 1 ) + Ф2sin (2t + 2 ) + Ф3sin (3t + 3 ). (1.34) Можно использовать и совокупность трех гармоник с некратными частотами и другими законами формирования значений амплитуд у гармоник.

Таблица 1. «Куполообразная» колебательная компонента (3 тип) Идеальное разложение в ряд Фурье 2 cos2t cos3t S (t ) = + 4 cost +...

22 3 Три гармоники ряда Фурье с другими значениями коэффициентов S ( t ) = A cos t Bcos2 t + C cos3 t A=1 B=0.8 C=0. A=1 B=0.2 C=0. Общая форма записи S (t ) = A2sin t + + A3sin 2t + 2 + + A4sin 3t + 3 + 2 2 Итак, модель (1.34) определяет актуальность параметрической идентификации инструментарием параметров i, Фi и i.

После параметризации частот можно специфицировать, если это необходимо, колебательную компоненту по группам рассматриваемых моделей, а с учетом определенных значений фаз и амплитуд – и по мо делям. Можно ожидать и частных случаев экономической практики, ко гда частоты компонент (хотя бы одной) известны, а в параметризации нуждаются только амплитуды и начальные фазы.

1.7. «Классический непараметрический» и предложенный «параметрический итерационный» методы тренд-сезонной декомпозиции Выше уже отмечена важная роль декомпозиции ряда динамики для его идентификации. Различают параметрические и непараметриче ские методы декомпозиции.

Статистический метод учета сезонности («классический метод тренд-сезонной декомпозиции», или метод Census I) является непара метрическим. Он весьма широко распространен и реализован в пакетах прикладных программ.

На первом этапе классического метода тренд-сезонной декомпо зиции осуществляется выравнивание исходного ряда каким-либо из вестным методом. В результате получают ряд сглаженных уровней Tk.

На втором этапе реализуется оценка значений сезонных отклоне ний S k с помощью детрендирования. При аддитивной структуре ряда динамики [71] вычисление S k осуществляется вычитанием из уровней исходного ряда соответствующих уровней тренда:

Sk = Yk Tk.

При мультипликативной структуре ряда динамики [71] сезонная компонента S k определяется делением значений исходного ряда на по лученные ранее значения уровней сглаженного ряда Y Sk = k.

Tk В обоих случаях значения S k помимо сезонной компоненты со держат и случайные остатки модели. Выбор мультипликативной либо аддитивной структуры обычно осуществляется на основе визуального анализа графика: если с ростом основного показателя увеличивается и размах сезонных колебаний, то структура считается мультипликатив ной, в противном случае – аддитивной.

На третьем этапе формируется таблица сглаженных значений се зонной компоненты S k методом усреднения уровней ряда S k для одно именных моментов наблюдений (например, уровней одинаковых меся цев в нескольких годах).

На четвертом этапе осуществляется корректировка полученных усредненных значений сезонных отклонений S k в соответствии с пред положением о нейтральности суммарного воздействия сезонности.

Для аддитивной структуры ряда динамики сумма значений сезон ной составляющей за период сезонности должна быть равна нулю. В случае мультипликативной структуры ряда динамики нулю будет равна сумма значений индексов сезонности, уменьшенных на единицу.

Полученная таблица сезонных отклонений S k используется для корректировки прогноза по тренду. Иногда их записывают в виде фик тивных переменных, чтобы получить простейшую аналитическую фор му модели.

Данный подход основывается на предположении, что на всем рас сматриваемом периоде влияние сезонности было неизменным и значения ~ S k для одноименных моментов наблюдений можно считать реализа циями одной и той же случайной величины. Другими словами, класси ческая тренд-сезонная декомпозиция не учитывает возможности эволю ции сезонной компоненты. Вопрос об эволюции тренда в этом методе также не рассматривается.

Еще один недостаток классического метода тренд-сезонной де композиции заключается в необходимости использования достаточно большого объема исходной выборки для получения статистически зна чимых оценок средних уровней сезонности.

Минимальная длина ряда динамики должна составлять 4 периода сезонности, однако рекомендуется использовать до 10 периодов. Зачас тую таких длинных выборок просто нет в наличии, а если они есть, то на столь продолжительном периоде, скорее всего, возможна эволюция, что необходимо учитывать при моделировании.

Известная модификация классического метода тренд-сезонной де композиции (Census II) существенно не изменяет процедуру выделения сезонной компоненты и лишь указывает на некоторые детали: необхо димость исключения случайных выбросов, учета разной продолжитель ности месяцев и т.п.

Лучшими характеристиками обладает «метод параметрической итерационной тренд-сезонной декомпозиции», предложенный в [59]. В отличие от классической тренд-сезонной декомпозиции, он позволяет получить аналитические формулы компонент модели, предполагая от дельные построения моделей тренда Tk и гармоники S k с последующим их пошаговым уточнением.

Процедура параметрической итерационной тренд-сезонной де композиции включает в себя выполнение следующих этапов:

Этап 1. Выбор вида моделей тренда и сезонной составляющей.

Этап 2. Предварительная параметрическая идентификация модели тренда на исходном ряде динамики. В результате получают модель тренда и сглаженные уровни ряда Tk.

Этап 3. Детрендирование исходного ряда динамики и построение приближенного ряда сезонных колебаний S k.

Этап 4. Параметрическая идентификация модели сезонных колеба ний и построение сглаженного ряда S k.

Этап 5. Десезонализация исходного ряда динамики и построение приближенного ряда тренда Tk.

Этап 6. Идентификация уточненной модели тренда на основе ряда Tk.

Если произошло улучшение точности модели, то найденные пара метры принимаются как новые оценки и осуществляется возврат к 3 этапу. В противном случае происходит возврат к последнему набору значений и завершение процедуры идентификации.

Формулы десезонализации и детрендирования ряда динамики за висят от его структуры.

Для аддитивной структуры Sk = Yk Tk и Tk = Yk Sk, а при мультипликативной структуре Y Y Sk = k 1 и Tk = k.

Tk 1 + Sk Идентификация каждой из моделей тренда и сезонной компоненты может быть осуществлена различными методами – МНК, методом мо ментов, методом максимального правдоподобия, моделями авторегрес сии-скользящего среднего и др.

Для различных моделей необходимо выбирать метод, наилучшим образом идентифицирующий конкретную модель. На этапе детрендиро вания можно рассматривать структуру с аддитивной стохастической компонентой, а на этапе десезонолизации – с мультипликативной, и на оборот.

Можно на простых примерах продемонстрировать, как обеспечи вается точность предложенной итерационной процедуры. Для этого ис следуем свойства стохастической компоненты k, входящей в предва рительную модель тренда на 2-м этапе декомпозиции. При аддитивной структуре модели используется формула Yk = Tk + k, где k = S k + k.

Строго говоря, k представляет собой нестационарный процесс, поэтому, в отличие от k, ее наблюдения нельзя рассматривать как реа лизации случайной величины.

Однако, учитывая, что истинные параметры сезонной компоненты неизвестны, а их оценки являются случайными величинами, S k можно условно считать реализациями некоторой случайной величины и про анализировать вероятностные характеристики k. Поскольку предпола гается центрированность сезонной и стохастической компонент, мате матическое ожидание k равно нулю. Однако выборочное среднее мо жет иметь смещение.

На рисунках 1.17 и 1.18 показаны примеры, когда среднее значе ние ряда оказывается смещенным в силу наличия дробного числа пе риодов сезонности и переменной амплитуды гармоники в анализируе мой выборке.

0, 0 5 -0, - S[k] M[S]=0, Рис. 1.17. Смещение выборочного среднего сезонной компоненты из-за наличия дробного числа периодов в выборке 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0, - S[k] M[S]=0, Рис. 1.18. Смещение выборочного среднего сезонной компоненты из-за переменной амплитуды колебаний Переменная амплитуда сезонной компоненты обуславливает гете роскедастичность k : ее дисперсия изменяется вместе с амплитудой ко лебаний. Кроме того, включение сезонной компоненты любой формы приводит к увеличению дисперсии k по сравнению с k. Гармониче ские колебания в составе k приводят к наличию автокорреляции тем большей, чем больше величина S k по отношению к k.

Пример коррелограммы k для случая, когда сезонные колебания включают одну гармонику, показан на рис. 1.19. При этом проявляется автокорреляция не только первого, но и более высоких порядков.

Рис. 1.19. Коррелограмма k с одной гармоникой и 10%-м уровнем шума Таким образом, по своим свойствам k может существенно отли чаться от условий Гаусса-Маркова, следовательно, применение МНК на втором шаге декомпозиции дает в общем случае смещенные, неэффек тивные и несостоятельные оценки параметров. Однако сглаживание бу дет произведено, пусть и не лучшим образом, и можно будет оценить уровни сезонной компоненты.

В качестве меры корректировки нецентрированности ряда S k, причины которой обсуждались выше, предлагается в модель S k вклю чить свободную константу C, выражающую смещение выборочного среднего:

Sk = C + Sk + k, что приводит к незначительному усложнению модели, но позволяет по высить точность оценок. Таким образом, получаем возможность оце нить и элиминировать сезонную компоненту, после чего тренд может быть найден более точно.

Ряд Tk будет содержать уже не компоненту k, а оценки k :

Tk = Yk Sk = Tk + k.

На каждом шаге итерационного процесса оценки параметров бу дут улучшаться. Как показала практика, число итераций обычно неве лико и находится в пределах 5-10 шагов.

Итерационный характер процесса параметрической декомпозиции определяет и его основной недостаток – он может не сойтись. Если раз мах сезонных колебаний велик по отношению к тренду, то может воз никнуть ситуация, когда на 2-м этапе декомпозиции не удается найти оценки параметров тренда. В этом случае стоит попытаться сначала идентифицировать сезонную компоненту на исходном ряде динамики, осуществить десезонализацию, затем перейти к идентификации тренда.

Параметрическую итеративную декомпозицию можно использо вать не только для выделения тренда и сезонной составляющей, но и для циклической компоненты и даже отдельных гармоник, если колеба тельная компонента содержит их несколько.

По сравнению с классическим методом тренд-сезонной декомпо зиции, параметрическая итерационная декомпозиция обладает следую щими преимуществами:

учитывается эволюция тренда и сезонной компоненты при вы боре их структуры;

не требуется заранее знать период колебаний;

имеется возможность использования малых выборок – как пока зывает практика, для идентификации гармоники с постоянной амплиту дой достаточно 1-2 периодов сезонности, с переменной – 3-4 периодов;

осуществляется адаптация модели при появлении каждого ново го наблюдения, а не только целых периодов сезонности;

находится аналитический вид моделей.

Еще одним достоинством метода итерационной параметрической декомпозиции является возможность применения его к структуре ряда, в котором можно предположить аддитивное взаимодействие стохасти ческой компоненты с одной из детерминированных компонент и муль типликативное взаимодействие другой стохастической компоненты со второй детерминированной компонентой, например как это показано формулой (1.25).

В отличие от численных методов решения НМНК для многоком понентной модели не требуется задавать начальное приближение пара метров извне, оно определяется на 2-м этапе декомпозиции. Это не только уменьшает трудоемкость разработки новых моделей, но и со кращает время вычислений. С другой стороны, для получения макси мальной точности можно использовать оценки параметров, полученные в ходе декомпозиции, в качестве начальных приближений для числен ного решения.

1.8. Перепараметризация нелинейных моделей рядов динамики на основе моделей авторегрессии-скользящего среднего Продолжим формирование (после определения особенностей мо делирования и прогнозирования эволюционной динамики СЭС, после предложения метода параметрической итерационной декомпозиции, новых моделей эволюции амплитуд колебательной компоненты и новых аддитивно-мультипликативных структур модели ряда) инструментария идентификации.

Раскроем возможность использования уже анонсированного под хода на «основе обобщенных параметрических моделей авторегрессии скользящего среднего (ARMA-моделей)» [48-51] для реализации приема «перепараметризации» (термин предложен С.А. Айвазяном) нелиней ных моделей динамики, рассматриваемых в монографии.

Обычно модели авторегрессии подразделяют на два основных класса [11, 70]:

1. Модели с распределенными лагами – модели, содержащие в качестве лаговых (смещенных во времени) лишь объясняющие пере менные:

Yk = + 0 X k + 1 X k 1 +... + p X k p + k, (1.35) где p – порядок лага, i – параметр модели, i = 0,1, 2,..., p, X k – наблю даемые уровни объясняющей переменной, k p, k – стохастическая компонента модели, для которой обычно считают выполненными усло вия Гаусса-Маркова.

2. Авторегрессионные модели – общее название моделей, уравне ния которых в качестве объясняющих переменных включают (не огра ничиваясь только ими) значения объясняемых переменных, т.е. Yk i, где i = 1, 2,..., p, а p – порядок авторегрессии.

Главная идея авторегрессионных моделей состоит в том, что бу дущие значения ряда динамики не могут произвольно отклоняться в большую или меньшую сторону от предшествующих значений ряда ди намики, какими бы причинами ни были вызваны эти отклонения.

Можно авторегрессионные модели интерпретировать и как подбор из имеющихся значений последовательных наблюдений динамического ряда Yk i модели-аналога, наиболее адекватно описывающей этот про цесс.

Известно несколько типов авторегрессионных моделей:

модели авторегрессии (AR – auto regressive);

модели скользящего среднего (MA – moving average);

модели авторегрессии-скользящего среднего (ARMA – autore gressive moving average);



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.