авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«Самарский научный центр Российской академии наук В.К. СЕМЁНЫЧЕВ, Е.В. СЕМЁНЫЧЕВ ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ: СТРУКТУРЫ, МОДЕЛИ, ЭВОЛЮЦИЯ ...»

-- [ Страница 3 ] --

модели авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA – autoregressive integrated moving average);

модели авторегрессии с условной гетероскедастичностью (ARCH – autoregressive conditional heteroscedasticity) и их расширения – обобщенные авторегрессионные условно гетероскедастические модели (GARCH – generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), ин тегрированные обобщенные авторегрессионные условно гетероскеда стические модели (IGARCH – integrated generalized autoregressive condi tional heteroscedasticity) [71, 104].

Применение AR-моделей уровней ряда динамики с постоянными коэффициентами было предложено около тридцати лет тому назад в теории и практике управления цифровыми системами, при анализе сиг налов на фоне шумов и при решении некоторых экономических задач.

Например, для уровней Yk в качестве регрессоров можно принять Yk 1, Yk 2, Yk 3 и др.:

p Yk = iYk i + k, (1.36) i = где i – коэффициенты авторегрессии, k – стохастическая компонента модели, для которой обычно считают выполненными условия Гаусса Маркова.

Коэффициенты i в (1.35) и i в (1.36) определятся обычно МНК или его расширениями. Модели авторегрессии предлагались или как со ответствующие решения разностных уравнений, описывающих объект управления, или исходя из условия адекватности порядка и коэффици ентов авторегрессии анализируемым данным.

В первом, достаточно редком для практики, случае коэффициенты авторегрессии функционально связывались с параметрами разностного уравнения, что позволяло, после их МНК-оценивания, провести расчёт параметров объекта управления.

Второй случай, более часто встречающийся и более адекватный практике анализа и управления, приводил к непараметрическим моде лям авторегрессий, которые позволяли осуществлять прогноз значений временного ряда, фиксировать его «разладку», не отвечая на вопрос о том, что было её причиной – смена параметров модели или смена её ви да.

При этом никоим образом не определялась связь между порядком авторегрессии, оценками коэффициентов AR-модели и видами, пара метрами моделей ряда, т.е. не осуществлялась структурная идентифика ция, не проверялась, не корректировалась модель процесса или явления, предлагаемая экономической теорией. Моделирование не носило эко нометрического характера. Структура анализируемых рядов динамики предполагалась, как правило, аддитивной: тренд достаточно простой модели, редко включалась сезонная или циклическая компонента.

Авторегрессионные модели, в общем-то, и не предназначались для описания нестационарных процессов с тенденцией. Их обычно приме няли для идентификации корреляционных или спектральных характери стик стохастической компоненты. Эти модели адекватны не очень рез ким колебаниям динамики компонент и, как показала практика, в этом случае дают довольно хорошие результаты для прогнозов (краткосроч ного и среднесрочного). Аналитические расчёты дисперсии коэффици ентов AR-моделей и ошибки прогноза оказываются относительно про стыми лишь для авторегрессий первого и второго порядков. Иногда AR моделью описывали не сам ряд Yk, а некоторые его функции, например, логарифмическую функцию уровней ряда – Ln Yk.

Для рядов динамики, содержащих экспоненциальные тренды и се зонную компоненту, известны модели авторегрессии Тейла-Вейджа, в которых перед их конструированием члены анализируемого ряда дина мики заменяли их логарифмами. Коэффициенты авторегрессии i при этом не соотносили с параметрами моделей компонент ряда динамики, а подбирали с помощью компьютера, вычисляя и сравнивая среднеквад ратические ошибки полученных прогнозов для наборов параметров.

Малая точность авторегрессий Тейла-Вейджа и невозможность их при менения к многокомпонентным моделям тренда экономических пара метров, в силу приведенных выше доводов, очевидны.

p q Известны и модели вида Yk = iYk i + µ j LnYk j + k, которые i =1 j = называют обобщенными авторегрессиями. Они образованы в результате действий над значениями уровней и функций (логарифмических функ ций в приведенном примере) значений уровней ряда.

Иногда переменная Yk характеризуется не только зависимостью от предшествующих значений этой переменной, но испытывает и влияние ряда факторов, которые представлены другой переменной X k. В этом случае говорят о смешанной авторегрессии:

p f Yk = iYk i + µ j X k + k.

i =1 j = Обычно параметры AR-моделей (за исключением известных слу чаев идентификации частоты одной гармоники [11] и разностного соот ношения для экспоненциальной функции [49, 70]) не связывают с ука занными выше классами и/или параметрами моделей трендов или коле бательных компонент. В этом смысле они являются непараметрически ми. Механизм получения «разностных соотношений» (они названы во многих публикациях именно так) не раскрыт, они получены, видимо, эвристическим путем.

Пятнадцать-двадцать лет тому назад произошло существенное расширение области применения AR-моделей. Они стали использовать ся для анализа динамических процессов и в экономике. В силу особен ностей моделирования экономической динамики СЭС, о которых гово рилось выше, существенно возросли требования к функциональным возможностям, точности методов моделирования и прогнозирования с помощью авторегрессионных моделей, потребовалась реализация их на малых выборках.

Поэтому в 90-е годы прошлого века и появились MA, ARMA, ARIMA, ARCH, GARCH, IGARCH и другие модели.

В MA-моделях значение Yk определяется линейной комбинацией значений стохастической компоненты в предыдущие моменты времени g Yk = i k i, (1.37) i = где g – порядок MA-модели, i – её коэффициенты.

ARMA-модели являются, по сути, объединением соотношений (1.36) и (1.37).

ARIMA-модели формируются из разностей уровней траекторий, разнесённых на период колебательной (как правило, сезонной) компо ненты. Очевидны недостатки ARIMA-моделей:

необходимо точное знание периода колебательной компоненты и условие её стационарности;

сама компонента принимается аддитивной в структуре траекто рии;

интервал наблюдения для обеспечения помехозащищенности моделирования должен составлять несколько периодов компоненты, т.е. требуемый объём выборки – десятки наблюдений, что в рамках принятой в монографии постановки делает их использование нецелесо образным.

Модели ARCH, GARCH и IGARCH состоят из суммы авторегрес сионной модели и модели условной дисперсии. Оценка параметров этих моделей довольно сложна, производится обычно с помощью метода максимального правдоподобия, требует большего количества наблюде ний, что также не позволяет включить их в наш инструментарий.

Авторегрессионные модели семейства Койка осуществляют, в ос новном, адаптивное прогнозирование [71], а не эконометрическое моде лирование. В них параметры сглаживания подбирают исходя из ошибки прогноза, а не из условий обеспечения точности спецификации или па раметризации модели.

Из проведенного анализа можно заключить, что математической основой для разработки методов идентификации многих моделей эко номической динамики, отвечающих условиям решения сформулирован ных выше задач, могут быть модели авторегрессии – скользящего сред него.

Привлекают такие их положительные свойства, как линейность вхождения коэффициентов i (свойство перепараметризации) в модели, что позволяет зачастую свести задачу их оценки при помощи МНК (или его расширений) к решению СЛАУ.

В отдельных случаях многокомпонентных рядов динамики систе мы нормальных алгебраических уравнений оказываются нелинейными, но и тогда их решение можно найти, а идентификацию – успешно вы полнить, применяя современные аналитические математические мето ды, например, такие базисы Гребнера [13, 24], метод Кублановской [27].

Основным недостатком известных моделей авторегрессии скользящего среднего является то, что они не являются параметриче скими и не могут в силу этого реализовать эконометрическое моделиро вание, не отражают величинами своих коэффициентов и порядком рег рессии многообразие и сложность реальных социально-экономических процессов и явлений.

Именно этот недостаток устранен предложенной двухэтапной процедурой идентификации с использованием на каждом этапе МНК (или его расширений), причем на первом этапе конструируются ARMA модели.

ARMA-модели осуществляют как бы линеаризацию нескольких параметров моделей: замену этих параметров в исходных нелинейных моделях другими параметрами, линейно входящими в модель и связан ными определенными нелинейными преобразованиями с параметрами исходной модели ряда.

Этот прием отличается от большинства известных приемов линеа ризации, заключающихся, например, в замене переменных в исходной модели тренда ряда обратными величинами определяющих или опреде ляемых переменных модели тренда, в выполнении логарифмирования исходной модели тренда.

Важно, что ARMA-моделирование можно осуществить не только для одно- и многокомпонентных моделей трендов, но и использовать на отдельных этапах показанного выше метода параметрической итераци онной декомпозиции, что позволит применять его для сложных нели нейных и многокомпонентных моделей экономической динамики.

Для моделирования инновационных процессов важным достоин ством авторегрессий является возможность оценки параметров авторег рессии на относительно малых выборках, как правило, всего в 3-4 раза превышающих порядок авторегрессии рядов динамики, как показано в [47-61].

Изложим более подробно предложенный подход к идентификации на основе ARMA-моделирования.

Конструирование обобщенных параметрических ARMA-моделей осуществляется с помощью Z -преобразования (преобразования Лора на) [17, 48, 57], которое является модификацией дискретного преобра зования Лапласа, сохраняет его основные свойства, исторически появи лось в теории цифровых систем управления.

Z -преобразованием детерминированной функции Dk дискретного действительного аргумента k (функции-оригинала) называется сле дующая функция комплексной переменной z (функции-изображения):

Z [ Dk ] = Dk z k.

k = Здесь под детерминированной (решетчатой) функцией Dk пони маются аналитические выражения или отдельных детерминированных компонент временного ряда, или их сумм и произведений.

Z -преобразование переводит функцию-оригинал Dk, удовлетво ряющую некоторым выполняемым для многих моделей экономической динамики условиям [17], в функцию-изображение Z Dk.

Обратное Z -преобразование (формула обращения) имеет вид Z [ Dk ] = 2 i Z [ Dk ] z dz = Dk, 1 k Z где k = 1, 2, 3,..., i 2 = 1, а интеграл берется по кривой, содержащей внутри себя все особые точки функции Z [ Dk ].

Соотношение между функцией-изображением и функцией оригиналом зачастую записывают с помощью символа отображения «»: Z [ Dk ] Dk.

В приложениях обычно не применяют в каждом конкретном слу чае формулу обращения, а пользуются известными результатами для тех или иных функций–оригиналов (таблица 1.7) и свойствами Z -преобразования.

В предлагаемых ниже методах идентификации моделей достаточно использовать следующие три основных свойства.

1. Свойство смещения (первая теорема смещения):

z n Z [ Dk ] Dk n при n = 0,1,2,... и условии, что при k n 0 принимается Dk n = 0.

2. Свойство линейности:

1 2 1 Z AD k ± BD k = AZ D k ± BZ D k, 1 где A, B R, Dk, Dk – функции-оригиналы.

3. Свойство дифференцирования изображения:

dZ [ Dk ] z (k ) Dk.

dz Применяя свойство дифференцирования изображения, можно су щественно расширить класс функций–оригиналов, приведенных в таб лице 1.7, например, для функций ( k ) 2, (k )3,..., (k )e k, ( k ) 2 e k,..., (k )sin k, (k ) 2 sin k,..., ( k )e k sin k, ( k ) 2 e k sin k,..., ( k )cos k, ( k ) 2 cos k,..., ( k )e k cos k, ( k ) 2 e k cos k, а также для разного вида функций, полученных линейными операциями A0 + A1e k, над ними (свойство линейности), например, для A0 + A1 ( k ) + A3 sin k,....

Для функций вида sin ( k + ), cos ( k + ) можно применить соответствующие формулы синуса и косинуса суммы аргументов, а для показательной функции воспользоваться известным тождеством Dk = A ( k ) = e ( k ) Ln A, где A 0.

Важнейшим обстоятельством является то, что функции, имеющие известные изображения, описывают многие модели, применяемые на практике при моделировании неслучайных компонент рядов экономи ческой динамики.

Смысл перехода в область изображения Z Dk состоит в том, чтобы, выполнив там простые действия по приведению к общему зна менателю и группировке подобных членов, сконструировать при помо щи обратного Z -преобразования разностную схему (разностное урав нение) для Dk, линейную относительно своих коэффициентов i.

Выражая Yk из соотношения Yk = Dk + k (или Yk = Dk k, в зависи мости от того, как входит стохастическая компонента в ряд динамики), переходим к ARМА-модели в уровнях ряда динамики.

Таблица 1. Основные соответствия Z-преобразования Функция-оригинал Функция-изображение 1. Dk = 1 при k 0, Dk = 0 при k 0 – Z [ Dk ] = 1 z единичная функция Хэвисайда z Z [ Dk ] = 2. Dk = k ( ) 1 z 1 z 3. Dk = cos k, где 0 = cos, 1 = 2 cos Z [ Dk ] = 1 1z 1 + z 1 0 z Z [ Dk ] =, 4. Dk = e k cos k 1 1z 1 + 2 z где 0 = e cos, 1 = 2e cos, 2 = e 0 z Z [ Dk ] = 5. Dk = sin k, где 0 = cos, 1 = 2cos 1 1z 1 + z 0 z Z [ Dk ] =, 1 1z 1 + 2 z 6. Dk = e k sin k где 0 = e sin, 1 = 2e cos, 2 = e Z [ Dk ] = 7. Dk = e k, где = e 1 z Коэффициенты i, линейно входящие теперь в AR–часть исходной ARМА-модели, можно определять по выборке Yk при помощи МНК или его расширений.

Главное в предлагаемом подходе заключается в том, что коэффи циенты i ARMA-модели оказываются известными функциями от неко торого числа параметров A0, A1,..., Aq моделей, существенно нелинейных по этим параметрам моделей Dk = f ( k, A0, A1,..., Ad ), ( q d ).

Подход лишь внешне напоминает линеаризацию моделей, но он существенно шире по видам аналитических выражений, к которым мо жет быть применен. Отличается он и по механизму своей реализации:

включает в себя аналитическое конструирование ARMA-моделей и за тем два этапа вычислений.

Параметризируемые на первом этапе идентификации с помощью ARMA-модели оценки коэффициентов i позволяют рассчитать с их помощью на втором этапе идентификации МНК-оценки ( d q ) пара метров модели ряда динамики, «оставшихся» не найденными на первом этапе, при помощи МНК.

В общем случае конструируемые при реализации предложенного подхода параметрические ARMA-модели оправданно назвать обобщен ными, так как в качестве регрессоров могут выступать уровни опреде ляемой переменной в различные моменты времени, их суммы и/или произведения, произведения номеров наблюдений на уровни, их суммы и/или произведения уровней ряда динамики в различные моменты вре мени.

Проведём теперь детализацию предложенного подхода.

1. Вначале по выборке Y1, Y2,..., Yk,..., Yn выдвигается предположение о какой-либо модели ряда динамики, например, рассмотрение аддитивной структуры:

Yk = f (k, A1, A2,..., Ad ) + k, где d n, т.е. объём выборки n должен быть больше количества пара метров Ai ( i = 1,2,..., d ), как для принципиальной возможности их опре деления, так и для реализации сглаживания стохастической компонен ты.

Естественно, что однозначно выбрать адекватную модель сразу сложно. Обязательным является предварительный содержательный ка чественный и количественный анализ изучаемого процесса по сущест ву: попытка установить внутреннюю структуру и логику процесса, его взаимосвязей с внешней средой, ограничения, накладываемые внешней средой, и т.п.

В общем случае, чем больше знаний о возможной модели эконо мической динамики имеет исследователь (об асимптотах динамической траектории, о частотах и фазах гармоник колебательной компоненты, об аддитивном или мультипликативном характере колебательной и/или стохастической компоненты и т.п.), тем проще и точнее будет реализа ция подхода. Зачастую выбор модели осуществляется визуально, исходя из опыта исследователя и представлений о характере динамических процессов и явлений, а также – из положений экономической теории.

На этом этапе определенную помощь исследователю может ока зать наличие «атласа» распространенных моделей динамики, в том чис ле довольно сложных с различным сочетанием знаков и значений пара метров.

Именно поэтому созданию «атласов» моделей динамики уделим значительное внимание в монографии. Многообразие моделей при раз личии значений параметров велико и порой достаточно неожиданно. На конкретных примерах ниже продемонстрируем это утверждение.

Субъективизм исследователя может быть в последующем умень шен перебором других потенциально возможных моделей для данного динамического ряда.

При этом не требуется предварительная проверка наличия тренда по известным критериям (проверка разностей средних уровней, приме нение метода Фостера-Стьюарта, метода ранговой корреляции и др.), так как первоначально и не выдвигается гипотеза о наличии или отсут ствии тренда, а ищется модель, наиболее адекватная исходному ряду динамики.

2. Для предполагаемой модели детерминированной компоненты D конструируется ARMA-модель с помощью Z -преобразования. По k сле применения прямого и обратного Z -преобразований получается разностная схема порядка p, в которой коэффициенты i (их число зависит от вида и сложности модели, способов группирования подоб ных членов в области изображения) являются функциями (обычно не линейными) от параметров A0, A1,..., Aq исходной модели.

При выполнении обратного Z -преобразования используется свой ство смещения Z -преобразования, а при назначении условия k p сла гаемые, связанные с числителями изображений, обращаются в ноль.

Заметим, что при этом неправомерно записать полученную ARMA-модель в виде традиционного объединения (1.36) и (1.37), т.е. в виде p g Yk = iYk i + i k i.

i =1 i = Связано это с тем, что в полученной ARMA-модели авторегресси онная часть содержит члены вида Yk p, т.е. является авторегрессией p -го порядка, но она может включать в общем случае и различного ро да действия над уровнями Yk i, например, суммирование, умножение на коэффициенты, на номера наблюдений и т.д.

Далее приведём, применительно к различным конкретным моде лям динамики, соответствующие формулы, а здесь ограничимся неко торым обобщающим выражением ( ) Yk = i F Yk 1, Yk 2, Yk 2,..., Yk p + k, i = ( ) где запись F Yk 1, Yk 2, Yk 2,..., Yk p означает преобразования над уров нями ряда динамики, а k – обозначение «новой» стохастической ком поненты, которую можно представить через действия над уровнями k 1, k 2,..., k p и теми же коэффициентами i ARMA-модели.

Используя методы сглаживания, придём к «нормальной» системе алгебраических уравнений, в силу того, что i входят в ARMA-модель линейно.

Общим ограничением предлагаемого подхода является рекомен дация использовать не более 6-8 коэффициентов i, что обусловлено проведенными исследованиями по вычислительной погрешности мето дов при решении нормальных систем алгебраических уравнений, при различных соотношениях мощностей детерминированных и стохасти ческой компонент в рядах экономической динамики.

Вновь заметим, что использование метода итерационной парамет рической декомпозиции позволяет упростить получаемые системы ал гебраических уравнений и успешно работать в рамках упомянутых ог раничений.

3. Подставляя в исходную модель найденные на предыдущем эта пе оценки параметров, обозначим их A*, получим модель вида j ( ) Yk = f k, Ai, A* + k, которую обычно удаётся привести к линейной по j параметрам Ai (или по «новым» переменным, выраженным через пара метры Ai ) и получить при сглаживании нормальную СЛАУ. Число па раметров, оставшихся для определения, будет равно i = 1, 2,..., d q.

На первом этапе идентификации параметров ARMA-модели (это зависит от аддитивности или мультипликативности структуры вхожде ния стохастической компоненты) необходимо применять приемы ком пенсации автокоррелированности стохастической компоненты предва рительным сглаживанием выборки или ее прореживанием, а также приемы компенсации ее гетероскедастичности.

В отдельных случаях, нормальная система алгебраических урав нений, получаемая при применении МНК, может содержать зависимые коэффициенты. Но и в этом случае ее решение может быть найдено, на пример, с помощью базиса Гребнера или метода Кублановской.

На втором этапе иногда также необходима компенсация гетеро скедастичности стохастической компоненты.

Обосновав принципиальный выбор инструментария моделирова ния и прогнозирования эволюционирующих рядов динамики, перейдем далее к его детализации и к приложениям полученных результатов, как на тестовых, так и на реальных статистических выборках.

ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРЕНДОВЫЕ МОДЕЛИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РОСТА ЭКОНОМИКО-СОЦИАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ И ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТОВ 2.1. Задача моделирования роста показателей СЭС и скоростей их изменения Во введении анализируемый показатель СЭС был определен как социально-экономическая, социально-политическая, социокультурная, политическая, демографическая характеристика.

Анализ динамики показателей СЭС предполагает не только моде лирование и прогнозирование их абсолютных уровней (уровней роста), но и слежение за скоростью их изменения [35]. Связь между ними за ключается не просто в реализации операции дифференцирования, но и в различной наглядности их моделей (классификационных или характе ристических возможностях), различной трудности идентификации их параметров.

К моделям роста будем относить экономико-математические мо дели, описывающие в математической форме изменение показателей, характеристик их развития [14].

В качестве показателей могут выступать, например, сбыт (в еди ницах продукта или в денежных единицах), спрос на продукт (или на отдельные характеристики продукта) в поисковых системах Интернета, данные социологических опросов, технические показатели развития се тей коммуникаций, показателей динамики численности различных ор ганизмов и популяций и т.д.

Отметим, что модель сбыта в денежных единицах в общем случае является менее точной, чем модель сбыта в единицах продукта, т.к. пер вая требует учета инфляции.

Модель спроса (обращений) в поисковых системах также принци пиально может быть использована, но отражает лишь возможный (за частую лишь предварительный или отложенный) спрос.

В качестве моделей кривых роста наиболее часто, в связи с про стотой идентификации их параметров, используют полиномы первого и второго порядков. При больших выборках при аддитивной структуре стохастической компоненты, удовлетворяющей классическим условиям Гаусса-Маркова, известны методы МНК-идентификации, методика по лучения точечных и интервальных оценок точности.

На эволюционирующих рядах динамики предположение о воз можностях использования таких простых полиномиальных трендов на относительно коротких выборках выполняется редко. Оно обычно всту пает в противоречие с условием стационарности моделей.

Корректное представление нелинейной модели ряда лишь двумя тремя членами ряда Тейлора может обусловить рассмотрение столь ма лой выборки, что снизит точность идентифицируемых параметров.

Широко распространено усложнение модели роста экспонентой (1.18). Однако уже отмечались недостатки «удобного» метода ее иден тификации: назначение мультипликативной структуры взаимодействия экспоненциального тренда со стохастической компонентой µk, имею щей логнормальное распределение вероятностей. Именно поэтому в четвертой главе монографии будут предложены новые методы иденти фикации:

для экспоненты, но с аддитивной стохастической компонентой;

для обобщенной экспоненциальной функции вида Yk = A0 + A1 exp(1k ) с аддитивной или мультипликативной стохастиче скими компонентами;

для случая дополнительного включения в модель, кроме экспо ненты, колебательной компоненты и/или дополнительных трендовых компонент, с которыми может аддитивно или мультипликативно взаи модействовать стохастическая компонента.

Общее количество используемых в СЭС трендовых моделей роста превышает в настоящее время сотню. Они различаются по сложности, по области и по истории применения. В современной экономике знаний проявилась характерная тенденция к постоянному изменению, обновле нию и усложнению моделей для реализации позитивной эволюции, улучшения показателей не только используемой технологии и произво димой продукции, но и социально-экономических процессов.

В экономике, в социологии, при анализе технологических процес сов многочисленны примеры частного случая моделей роста: так назы ваемых логистических траекторий, в которых тренд Tt I определяемого параметра сначала растет медленно, затем ускоряется, а после точки пе региба снова замедляет свой рост, стремясь к некоторому пределу («уровню насыщения»).

До уровня насыщения первая производная таких логистических траекторий положительна. Вторая производная до точки перегиба по ложительна, в ней – равна нулю, после нее – отрицательна. При дости жении уровня насыщения первая и вторая производные равны нулю. В ряде приложений аналогичный характер имеет не рост, а уменьшение уровней Tt II траектории показателя до «уровня спада».

Растущую и уменьшающуюся логистические траектории иллюст рирует рисунок 2.1.

Tt уровень насыщения уровень спада 0 t Tt I Tt II Рис. 2.1. Графики логистических траекторий Логистическую динамику не следует путать с логистикой, наукой о планировании, организации, управлении, контроле и регулировании движения материальных и информационных потоков в пространстве и во времени - от их первичного производства до конечного потребителя.

Приведем некоторые примеры логистических траекторий [4, 35, 37, 64, 67, 68, 75, 76]:

изменение спроса на товары, обладающие способностью дости гать некоторого уровня насыщения. Анализ такой динамики может про водиться как во времени, так и в функции пространственной перемен ной, например, в зависимости от объема средств, затрачиваемых на рек ламу товара (услуги);

рост систем разнообразной природы в зависимости от их возрас та или увеличения масштаба (доля жилищ в городах, имеющих горячее водоснабжение или центральное отопление);

доля неграмотных жителей среди населения;

доля насыщения рынка новыми товарами и услугами, в том числе описание числа пользователей российского или зарубежного Интернета;

оценка изменения числа семей, имеющих радио и телевидение;

рост населения страны в страховых исследованиях;

развитие разных биологических популяций;

развитие тех или иных показателей технологических нововведе ний;

динамика антисоциального поведения (коллективного протеста, тактики террористов, распространения наркотиков) и др.

Велико количество показателей банковской деятельности, имеющих логистическую динамику:

кредиты, выданные коммерческим организациям;

динамика средств юридических лиц;

валюта баланса;

суммарные обязательства;

чистые активы;

динамика средств частных лиц;

динамика гарантийных обязательств;

связь между объёмом привлекаемых банком денежных средств и используемой усредненной нормой затрат на привлечение единицы этих средств и др.

Приведем количественные примеры логистических траекторий [35].

На рисунке 2.2 показана динамика развития сетей транспорта и ком муникаций в США, подчиняющаяся логистическим закономерностям.

Рис. 2.2. Динамика развития инфраструктуры США В качестве другого примера можно привести данные движения протеста в Англии 1830 г., пытавшегося остановить процесс распро странения сельскохозяйственной техники.

Точки на рисунке 2.3 показывают общее количество разрушенных к данному моменту времени сельскохозяйственных машин, а гладкая кривая отражает логистическую тенденцию тренда.

Известен и любопытный пример моделирования процесса демо кратизации логистической кривой. По мнению американских политоло гов, демократия начала распространяться по земному шару с XV века, к 1990 году 40% населения избрало демократические формы правления, а к 2100 году её примет уже 90% населения.

Рис. 2.3. Динамика движения протеста в Англии Известно моделирование логистической кривой и относительного (в процентах) показателя эффективности интернет-рекламы, измеряемо го отношением числа нажатий на рекламное объявление (кликов) к чис лу показов этого объявления, называемого «откликом» или «коэффици ентом проходимости». При ограниченном числе пользователей с ростом числа показов (имеем пример пространственной динамики) коэффици ент проходимости уменьшается по логистической кривой. При этом по оси ординат откладывают значения коэффициента проходимости, а по оси абсцисс – число рекламных показов. Аппроксимация кривой позво лит определить число показов, после которых дальнейшие затраты на показ не имеют практического смысла с точки зрения окупаемости рек ламы. Таким образом, назначение цены баннерной рекламы за число показов (наиболее распространенный способ тарификации в интернет рекламе) приводит в заблуждение рекламодателей и не отражает её ре альной эффективности.

Возможной альтернативой может служить назначение цены бан нерной рекламы в зависимости от числа уникальных хостов (в данном случае – пользователей, просматривающих страницы), которым был по казан баннер необходимое число раз. Таким образом, ограничение чис ла показов для одного пользователя освобождает рекламное место для демонстрации новых рекламных обращений без увеличения общей по сещаемости сервера.

В качестве еще одного примера, уже отечественного, современного, в другом масштабе времени и другого иерархического уровня СЭС, на ри сунке 2.4 приведена динамика аудитории Рунета г. Москвы (и показан ными в пятой главе методами сглаженная детерминированная компо нента). Данные приведены помесячно в процентах от численности насе ления г. Москвы в возрасте от 12 лет и старше. Всего даны 52 наблюде ния с ноября 2005 года по февраль 2010 года, показана и сглаживающая (логистическая по своему характеру) детерминированная модель роста.

Рис. 2.4. Динамика аудитории Рунета г. Москва Можно, конечно, логистическую тенденцию тренда упрощенно считать объединением трёх разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной – на втором этапе и гиперболической с замедляющимся ростом – на третьем этапе.

Однако весомее доводы в пользу рассмотрения всего цикла логи стического развития как особого единого типа тенденции со сложными переменными свойствами, но с постоянным направлением изменений в сторону увеличения (или уменьшения) уровней.

Изменения тенденций нарастания или снижения ёмкости рынка в экономическом анализе принимают в большинстве случаев закономер ными и обосновывают посредством концепции ЖЦП.

Согласно данной концепции, конкретная группа товаров или ус луг, рынок которых нужно моделировать и прогнозировать, является средством удовлетворения определенной базовой потребности потреби телей. Вследствие научно-технического прогресса способы удовлетво рения базовой потребности обычно переходят на более высокий качест венный уровень, что влечет за собой вытеснение с рынка данной группы продукции новой группой, обладающей большей привлекательностью для потребителей.

Именно логистические модели для СЭС, функционирующих в ус ловиях инновационных и кризисных процессов, позволяют решить про блемы, связанные с возможной недооценкой или переоценкой уровня насыщения при выводе нового продукта на рынок и, соответственно, недополучением прибыли или убытками за счет перепроизводства.

Вместе с тем логистические закономерности динамики следует обобщать с определенной осторожностью, для относительно коротких интервалов значений определяющей переменной. Можно (как видно из рис. 2.2-2.4) допускать возможность её дополнения другими трендами, колебательными компонентами, а также рассматривать структурные изменения динамики. Дополнительный тренд может, например, отражать инфляцию при принятии цены в качестве определяемого параметра.

Компоненты логистической траектории, в том числе и стохастиче ская компонента, могут взаимодействовать между собой аддитивно, муль типликативно или аддитивно-мультипликативно.

Известны и так называемые длинные волны экономической дина мики, появление которых объясняется неравномерностью инновацион ной активности. Инновационный цикл обычно начинается с ликвидации отставания фирмы в развитии ее потенциала, снижающего конкурент ный статус.

Особое внимание отводится технологическим инновациям. Ос новной характеристикой процесса здесь служит так называемый «тех нологический разрыв» (рис. 2.5).

Он характеризует различие в эффективности P новой и старой технологий: P = P2 P1, а также в объемах средств K = K 2 K1, тре буемых для вложения в новую технологию с целью достижения ею ре зультативности, которую не имеет на сегодня старая технология.

Рис. 2.5. Демонстрация технологического разрыва После того как технологический разрыв P преодолен, наступает момент, когда вкладывать средства в совершенствование новой техно логии выгоднее, чем в сохранение старой. Поэтому процесс замещения одной технологии другой приобретает необратимый характер.

Базисные нововведения, связанные с радикальной перестройкой производства, внедряются неравномерным или случайным образом, «впрыскиваясь» в экономику и диффундируя в ней. Они самоорганизуют ся в кластеры, конституирующие новые технологические направления.

Большинство исследователей склоняются к тому, что именно на периоды депрессий приходятся основные инновации – технологические и организационные новшества. В условиях благоприятной конъюнкту ры предприниматели предпочитают избегать чрезмерного риска, свя занного с коренной перестройкой производства, пытаются ограничиться рационализацией и усовершенствованием существующих технологиче ских процессов. В периоды депрессий, когда само существование ог ромного количества хозяйствующих единиц ставится под угрозу, пред приниматели вынуждены рисковать, понимая, что незначительные усо вершенствования не приведут к кардинальному улучшению ситуации.

Через 10-15 лет после базисных нововведений начинается повы шение экономической конъюнктуры, создаются благоприятные условия для дополняющих нововведений. Вторичные инновации, частичные усовершенствования доводят до совершенства то фундаментально но вое, что возникло в фазе депрессии. Формируется новый технологиче ский уклад, жизненный цикл которого составляет от 100 до 130 лет.

Технологические уклады доминируют в экономике, последовательно сменяя друг друга, вызывая тем самым колебания траектории экономи ческого развития.

Обычно в экономике одновременно действуют несколько (как правило, два) технологических укладов с периодом жизни 100-150 лет.

Кривая на рисунке 2.6 (ее можно назвать «мультилогистической») носит в значительной мере качественный и иллюстративный характер. Зарож дение нового технологического уклада по времени совпадает с началом падения эффективности доминирующего уклада, в результате суммарная траектория экономической эволюции испытывает колебания вокруг по вышающегося тренда.

Yt 0 t Рис. 2.6. Траектория экономической эволюции В большинстве теорий экономической эволюции исходят из чисто экономических предпосылок, однако ряд экономистов уделяет большое внимание и социальным факторам. Некоторые зарубежные ученые (К.Перес, И.Миллендорфер) являются сторонниками интегрированного подхода, объясняющего явление периодичности взаимодействием технико экономических и социальных сфер. При этом одной из причин кризисов называют рассогласование скоростей инноваций в экономической и соци альных областях, что говорит об актуальности моделирования и прогнози рования динамики инновации. Динамика показателей, представленных на рисунках 2.5 и 2.6, может быть использована для моделирования государ ственного «антициклического» регулирования. Подобного рода «мультило гистические» кривые могут иметь место и для других приложений, напри мер, при моделировании сбыта в зависимости от маркетинговых приемов, разнесенных во времени и заданных своими бюджетами.

Уникальным свойством логистического тренда является его способ ность прогнозировать качественные (структурные) изменения в развитии динамики, характеризующиеся сменой знака производной. Решение этой задачи позволило бы уже на начальном этапе (он может включать и точку перегиба) экономического наблюдения рассчитать всю траекторию разви тия. Возможно и определение сроков перехода от ускоренного роста к за медленному росту, прогнозирование уровня насыщения, что чрезвычайно важно при планировании производства и оценке эффективности иннова ций, маркетинговой программы реализации нового вида продукта.

В качестве моделей ЖЦП в известной научной литературе обычно предлагают набор из нескольких графиков, которые отражают различную динамику (рис. 2.7).

К ним относятся: «долгое обучение», «обучения нет», «фетиш» (или «всплеск»), «всплеск с остаточным рынком», «модель с повторным цик лом» или «двугорбый цикл», «провал», «длинный цикл», «новые подъемы»

и т.д. [28].

Рис. 2.7. Графическая иллюстрация моделей ЖЦП До настоящего времени основное внимание уделялось кумулятив ным (накопленным к определенному моменту времени или значению про странственной переменной) моделям логистической динамики, которые называют также интегральными, логистами, S-образными, сигмоидаль ными.

Для моделирования и прогнозирования возможного многообразия эволюционирующих траекторий ЖЦП требуются, конечно, не графики, а гибкий по своим функциональным возможностям комплекс параметриче ских моделей, способных описать как модели, приведенные на рисунке 2.7, так и другие модели динамики.

В известной отечественной научной литературе обычно ограничи ваются рассмотрением лишь двух наиболее известных кумулятивных мо делей трендов.

Первая из них – модель Верхулста (в другой транскрипции Фер хюльста). Ее называют еще и моделью Перла-Рида.

Вторая наиболее известная кумулятивная траектория – модель Гом пертца (Гомперца).

На самом деле число кумулятивных моделей, описанных в большей мере в зарубежной литературе, существенно больше (его можно оценить в несколько десятков). Они предлагаются чаще всего как аналитические или численные решения соответствующих дифференциальных уравнений.

Реже используют импульсные (или дифференциальные) модели рос та трендов динамики. Они задаются обычно путем аналитического (или численного) дифференцирования кумулятивных моделей на определен ный момент времени или на конкретный уровень пространственной пере менной.

Достоинством импульсных моделей являются лучшие характери стические (классификационные) свойства по сравнению с визуально по хожими друг на друга кумулятивными моделями. Здесь, возможно, допус тима аналогия с различным представлением вероятностных характеристик случайных величин в теории вероятностей: интегральными функциями распределения и плотностями распределения.

Вместе с тем известен и другой источник появления моделей логи стических траекторий: феноменологические модели, под которыми будем понимать эмпирически устанавливаемые закономерности между малым числом входных и выходных переменных по выборкам малого объема [63]. Некоторые из них получены в результате действий (например, сло жений, перемножения и т.п.) над аналитическими решениями дифферен циальных уравнений, другие предложены эмпирически.

Поставим задачу сравнения известных моделей роста, логистиче ских траекторий и их производных, учитывая, что в отечественных и даже в зарубежных источниках немногочисленны исследования по их анализу и возможности их идентификации. Остается актуальной задача определения аналитических характеристик (например, координат точек перегиба, вели чин уровней насыщения) моделей. В известной литературе не рассмотре ны модели роста с дополнительными детерминированными (трендовыми и колебательными) компонентами, хотя экономическая практика указыва ет на их присутствие в уровнях траектории. Целесообразно в сравнитель ном анализе уделить особое внимание логистическим моделям с произ вольной точкой перегиба, которая не соответствует середине интервала по оси ординат между началом логистического процесса и уровнем насыще ния. Как показала практика, именно такие логистические траектории имеют в настоящее время наибольшее прикладное значение.

Целесообразно, на наш взгляд, анализируемые модели объединить в альбом графиков, с тем чтобы дать исследователю графическое представ ление о возможностях и альтернативах их применения.

2.2. Использование решений дифференциальных уравнений для моделирования кривых роста На рисунке 2.8 представлена логистическая кумулятивная модель ЖЦП с выделением точки перегиба и укрупненных этапов развития:

1 – рост, 2 – зрелость, 3 – насыщение.

T Точка перегиба N t Рис. 2.8. Логистическая кумулятивная модель ЖЦП с выделением точки перегиба и укрупненных этапов развития В импульсной модели тренда ЖЦП обычно выделяют этапы, пока занные на рисунке 2.9: внедрение, рост, зрелость, насыщение и спад.

При этом существенный интерес для приложений представляют координаты пика импульса или точки перегиба логисты.

Пик импульса Yt (точка перегиба логисты) 0 t рост зрелость насыщение спад внедрение Рис. 2.9. Импульсная модель ЖЦП На практике вид обеих моделей ЖЦП, особенно на этапах внедре ния, зрелости и спада, может быть весьма разнообразным, зависящим не только от внешних причин, но и от принимаемых в СЭС маркетинго вых, технологических решений.

Общей основой конструирования многих кривых роста, логисти ческой и импульсной моделей можно считать [37, 63, 75, 76, 88] реше ние дифференциальных уравнений относительно тренда T (t ) :

dT = f (,,,..., t ), (2.1) dt где,,,... – параметры (обычно их число не превышает четырех шести).

Аналитическим решением дифференциального уравнения (2.1) будем называть то решение, которое может быть использовано для идентификации его параметров без выполнения таких специальных действий, как логарифмирование или потенцирование, переход к разно стным схемам или применение численных методов.

Если предположить в (2.1) равной нулю скорость роста (уменьше ния) тренда продукта T (t ), то получим случай динамики без роста:

dT = 0 T (t ) =. (2.2) dt Если скорость роста тренда определяемого параметра продукта определить постоянной, то получим линейную двухпараметрическую модель динамики роста:

dT = T (t ) = + t. (2.3) dt Свойства моделей (2.2) и (2.3) очевидны. Первая из них тривиаль на, а вторая относится к простейшим моделям динамики.

При задании относительной скорости роста траектории постоян ной будем иметь двухпараметрическую модель в виде экспоненты:

1 dT dT = = T T (t ) = exp( t ). (2.4) Td dt На рисунке 2.10 показаны графики экспоненциальных кривых рос та при изменении величин и знаков параметров. Здесь и далее стрелка ми показан рост величин соответствующих параметров моделей.

Двухпараметрическая модель роста (2.4) не относится напрямую к моделям ЖЦП в силу того, что не имеет точки перегиба (пика), но, тем не менее, широко используется на ранних этапах моделирования дина мики траектории ЖЦП.

12 T(t) 20 T(t) = – 0,2 8 6 4 =0 2 =1 t t 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 Рис. 2.10. Вид двухпараметрической экспоненциальной кривой роста при изменении знаков и величин параметров Расширением экспоненциальной модели является обобщенная трехпараметрическая экспоненциальная функция, известная как обоб щенная экспоненциальная модель (или модель роста Броди [82]), T (t ) = (1 exp ( t ) ). (2.5) Графики модели (2.5), полученные при изменении величин и зна ков параметров, представлены на рисунке 2.11.

7 T(t) 20 T(t) 0, 0, 6 0, 0, 4 0, 0, 1 0, 0, 0 t t 0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 20 T(t) 0, 0, 5 0, 0, t 0 1 2 3 4 5 Рис. 2.11. Вид трехпараметрической обобщенной экспоненциальной кривой роста тренда при изменении знаков и величин параметров Частным случаем трехпараметрической обобщенной экспоненциаль ной кривой является двухпараметрическая экспоненциальная модель вида [100]:

T (t ) = (1 exp ( t ) ). (2.6) Очевидно, что модели (2.4)-(2.6) могут быть применены для социаль но-экономических и технических систем до тех пор, пока не вступили в си лу факторы, подавляющие (ограничивающие) рост определяемого показа теля СЭС. Примерами отсутствия учета таких факторов могут служить:

модель оптимального размножения Мальтуса (1798 г.) в демографии;

пер вый этап развития организмов в биологии (при определенных условиях);

годовые мировые отборы нефти в 1900-1940 гг.;

динамика числа сайтов мировой сети Интернет в 1980-2001 гг. и др. На практике ограничения рос та показателя присутствуют всегда. Они «включаются» в процессе разви тия динамики (например, ограничение фонда скважин при добыче нефти и газа, ограничение числа людей условиями проживания, питанием, экологи ей и т.д.).

Ограничение относительной скорости роста T(t) можно моделировать различными способами. Начнем с самой простой и широко известной мо дели ограничения в виде падающей линейной зависимости. В этом случае решением дифференциального уравнения будет трехпараметрическая ло гиста Верхулста [118]:

1 dT dT = T T 2 T (t ) = = T, (2.7) 1 + exp( t ) T dt dt вид которой при изменении параметров представлен на рисунке 2.12.

6 6 T(t) T(t) 5 4 4 0, 0, 0, 0, 0, 3 0, 3 0, 0, 2 0 1 t t 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 024 6 T(t) 0, 0, 0, 0, t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Рис. 2.12. Вид логисты Верхулста при изменении знаков и величин параметров Точка перегиба ( t*, T ( t *) ) логисты Верхулста, определяемая соотноше ниями t* = 1 ln 1 ;

T ( t *) =, соответствует половине уровня насыще ния. В этом смысле логиста Верхулста является симметричной.

Известно и расширение логисты Верхулста [36] - обобщенная ло гистическая кривая T (t ) =, (2.8) m 1 + exp( i it ) i = которая используется обычно при m 3. На рисунке 2.13 представлен вид обобщенной пятипараметрической логистической кривой при m = 2.

3 T(t), 0, 10 T(t) 1, 1 0, 2, 2 0 2, 2 8 2. 1, 2, 1, 2 6 1. 4 1. 1, 2, 0. 1, 2 0 t t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 3 T(t) 1, 1 0, 10 1, 1 0, T(t) 2, 2 0 2, 2 8 1, 2, 2. 1, 2 6 1. 1, 2, 1, 2 0 1.2 2 0. t t 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 T(t) 1, 1 0, 10 T(t) 1, 1 0, 2, 2 0 2, 2 8 1, 2, 2. 1, 2, 1, 2 0 1, 2 6 1. 4 1. 2 0. t t 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 Рис. 2.13. Обобщенная логистическая кривая ( m = 2 ) при изменении знаков и величин параметров ( 0 ) Относительную скорость роста определяемой переменной ЖЦП можно моделировать и трехпараметрической функцией, обратно про порциональной времени [37, 102] (рис. 2.14):

dT t = T (t ) =. (2.9) Tdt t 6 6 T(t) T(t) 5 0 1 0 4 3 3 1 2 2 1 1 t t 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 01 2 3 4 5 6 7 8 9 6 T(t) 0 3 t 01 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 2.14. Графики кривой (2.9) при изменении знаков и величин параметров Модель (2.9) называют аллометрической («непропорциональной»).

Неравномерный рост добычи во времени, например, имеет место для начальных периодов разработки нефтяных и газовых месторождений, а также для конечных периодов, связанных с закачкой сухого газа [63].

Если же относительную скорость роста тренда определить обратно пропорциональной времени в положительной системе роста, то полу чим трехпараметрический закон Кольрауша или модель «растянутой во времени» экспоненты [63]:

dT ( 1) = T (t ) = exp 1. (2.10) t Tdt t На рисунке 2.15 представлен вид изменения «растянутой во вре мени экспоненты» при различных значениях параметров.

60 T(t) 100 T(t) 30 t t 01 2 3 4 567 8 9 10 01 2 3 4 5 6 7 8 9 80 T(t) 10 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Рис. 2.15. Вид изменения «растянутой по времени экспоненты» (2.10) при изменении знаков и величин параметров ( 0, 0, 0 1) Модель Кольрауша хорошо описывает промысловые данные по отборам газа на отдельных участках и может быть рекомендована как адекватная и проверенная модель для прогнозов в случае разработки залежей [63]. Кроме того, модель Кольрауша позволяет взглянуть на разработку залежей с позиций анализа надежности технических сис тем, при котором весь интервал «жизни» системы разбивается на три периода. Первый период, когда «коэффициент смертности» велик из за дефектов сборки, некондиционности отдельных элементов и т.д., принято называть периодом «приработки». Второй период характери зуется сравнительно низким уровнем «смертности» элементов (в ос новном из-за аварий или несчастных случаев), независимых от воз раста системы, и называется периодом нормальной эксплуатации.

И, наконец, последний период «жизни» (или эксплуатации) – период старения и износа. Природа отказов здесь – ухудшение качества эле ментов системы.

Если относительная скорость роста тренда пропорциональна оп ределяемому параметру, то закон эволюции примет вид трехпарамет рической гиперболы [22, 63] dT = T T (t ) =, (2.11) 1 Tdt + t 1 где 0, + = t – момент «катастрофы» (точка разрыва кривой роста).

Гиперболический рост является приемлемой моделью, напри мер, для моделирования динамики кумулятивных и импульсных мо делей отборов газа.

Модификацией гиперболической модели, используемой также для моделирования отбора нефтяных и газовых месторождений, для долгосрочного прогнозирования численности населения на Земле и т.д., является четырехпараметрическая модель [22] T (t ) = +g (2.12) (t ) + и модель Капицы-Баренблата с использованием пяти параметров [63]:

T (t ) = + g. (2.13) [(t ) + ] На рисунках 2.16, 2.17 и 2.18 представлены графики изменения моделей трендов гипербол (2.11), (2.12) и (2.13) соответственно.


1 T(t) T(t) 0. 0. 0. 0. 0.4 0. 0. 0. t t 03 6 9 12 15 18 21 24 27 03 6 9 12 15 18 21 24 27 1 T(t) 0. 0. 0. 0. t 03 6 9 12 15 18 21 24 27 Рис. 2.16. Вид изменения трехпараметрической гиперболы (2.11) при изменении знаков и величин параметров (,, 0 ) 10 T(t) 10 T(t) 8 6 4 2 t t 0 1 2 3 4 5 0 0.4 0.8 1.2 1.6 12 T(t) 10 T(t) g 2 t t 0 0.4 0.8 1.2 1.6 0 0.4 0.8 1.2 1.6 Рис. 2.17. Графики четырехпараметрической гиперболы (2.12) при изменении знаков и величин параметров ( 0, 0, 0 1, g 0 ) 10 T(t) t 0 1 2 3 4 5 Рис. 2.18. График пятипараметрической модели Капицы-Баренблата ( 0, 0, 0 1, g 0, 0 ) Видим, что на последних трех типах кривых роста точка перегиба отсутствует, что несколько снижает их ценность при эконометрических приложениях аллометрической кривой, моделей Кольрауша и гипербо лических.

Для моделей роста (2.11)-(2.13) отметим, что в известной литера туре не найдены сведения по методам их идентификации и достигаемой точности моделирования и прогнозирования. Приближение модельных и реальных данных иллюстрировалось в них лишь рисунками, указы вающими на их сходство без приведения числовых характеристик точ ности.

Известна и модель с тремя параметрами при экспоненциальном ограничении относительного роста тренда из решения следующего дифференциального уравнения.

A dT = ln T (t ) = A exp e t. (2.14) T Tdt Тренд (2.14) называется моделью Гомпертца [88, 106] (рисунок 2.19), которая, в отличие от модели Верхулста, асимметрична (смещена влево) в своей точке перегиба относительно половины уровня насыще A ния: в данном случае T (t*) =.

e 12 12 T(t) T(t) 10 10 A 8 6 4 2 t t 0 3 9 12 6 0 9 12 3 12 T(t) t 0 3 9 12 Рис. 2.19. Вид логисты Гомпертца при изменении знаков и величин параметров ( A 0, 0, 0 1) Модель Гомпертца широко используется в экономической практи ке, например, для потребительских товаров длительного пользования.

Ее записывают иногда и в другой форме:

t T (t ) = AB C, (2.15) В эквивалентности форм (2.14), (2.15) логисты Гомпертца можно убедиться, прологарифмировав их и сравнив результаты (с учетом обо значений).

e t ln t A+ e = eln ln(ln T ln A) = ln t.

T (t ) = Ae T (t ) = AB C ln ( ln T ln A ) = ln ln B + t ln C.

t = ln B = ln C Следовательно:.

= ln B ln C ln C = Точка перегиба для модели (2.14) та же, что и для модели (2.15), с учетом переобозначений параметров:

ln ln( B ).

A T (t*) =, t* = ln C e Известна и еще одна модель логистической динамики, близкая по форме записи с логистой Гомпертца:

T (t ) = A1 exp{ A2 (1 exp( 1t ))}. (2.16) Для модели (2.16) можно выполнить преобразования:

( ) = e A +ln A +e A2 1e1t ln ( A2 ) 1t ln ( ln T A2 ln A1 ) = ln ( A2 ) 1t.

T (t ) = A1e 2 Тогда координаты точки перегиба определят соотношения:

ln A T (t*) = 11 2, t* = 2.

A eA Данная модель будет симметричной при значении A2 = 1 ln(2) 0,307. При значении A2 0,307 модель будет смещена вле во, а при A2 0,307 – вправо в своей точке перегиба относительно поло вины уровня насыщения. Уровень насыщения будет равен e A2 + ln A1, а на чальное значение T (0) = A1.

На рисунке 2.20 представлены графики функции (2.16).

150 T(t) T(t) A A t t 03 6 9 12 15 18 21 24 27 03 6 9 12 15 18 21 24 27 T(t) t 03 6 9 12 15 18 21 24 27 Рис. 2.20. Графики функции (2.16) при изменении величин параметров ( A1 0, A2 0, 0 1 1 ) Свойство асимметричности моделей ЖЦП является практически важным: многие процессы реальной логистической динамики обладают этим свойством, причем асимметрия может быть как левой, так и пра вой.

Симметрия ЖЦП в большей мере характерна для явлений и про цессов из неживой природы и техники. Асимметрия преимущественно относится к живой природе, а также к социальным (в широком смысле понимаются не только сообщества людей, но и растений, животных) яв лениям и процессам.

Существуют и модели логист, задаваемые дифференциальными уравнениями, не имеющими аналитического решения. При этом непре рывный случай заменяется дискретным по схеме Эйлера:

Tk +1 = H (Tk, ), (2.17) где H – нелинейная в общем случае функция, – вектор параметров модели.

В такой постановке очевидно, что параметром является и началь ное значение T0, на основе которого и осуществляется пересчет дис кретного ряда.

К таким моделям относится и двухпараметрическая логиста Флой да с другим законом ограничения относительного роста тренда [96] (рис. 2.21), получаемая из решения следующего уравнения T dT = 1. (2.18) Tdt A 10 T(t) T(t) 8 A 6 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 T(t) T t 0 10 20 30 40 50 60 70 Рис. 2.21. Вид модели Флойда при изменении параметров ( T0 0, A0 0, 0 1 ) A Ордината перегиба логисты Флойда равна T (t*) =, т.е. модель Флойда асимметрична влево относительно половины уровня насыще ния.

Решение дифференциального уравнения T dT = ( T + p ) 1, 1 (2.19) dt A дает четырехпараметрическую логисту Джеуланда-Долана [87] с левой точкой перегиба (рис. 2.22):

p A0 1 T (t*) =.

1 + 10 T(t) T(t) A0 6 T t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 T(t) T(t) 8 6 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 T(t) 8 p t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Рис. 2.22. Графики логисты Джеуланда-Долана при изменении величин параметров ( T0 0, A0 0, 0 1, 0, p 0 ) Более общим случаем является трехпараметрическая кривая Ша рифа-Кабира, представленная на рисунке 2.23:

T A = dT, (2.20) Tdt 1 T () A в которой ордината точки перегиба определяется соотношением ( ), где A0 3 + 1 + 0 1. При = 1 модель Шарифа-Кабира T (t *) = 4 ( 1) становится моделью Флойда.

10 T(t) 10 T(t) 8 A 6 T 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 10 T(t) 10 T(t) 8 6 6 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 Рис. 2.23. Вид модели Шарифа-Кабира при изменении параметров Известна из решения дифференциального уравнения Ричардса T M dT (2.21) = TM 1 dt A0 функция Ричардса [102], имеющая вид ) ( M T (t ) = A0 1 + A1e ( 0 ) t t, (2.22) которая носит логистический характер при M 0, A1 0 или M 1, A1 0.

Ее вид представлен на рисунке 2.24.

Точка перегиба модели (2.22) определяется соотношениями e t0 M 1 t = ln, T (t ) = A0 1.

A1M M 12 T(t) 12 T(t) 10 A 8 6 A 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 12 T(t) 12 T(t) 8 6 4 4 t 2 t t 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 Рис. 2.24. Вид модели Ричардса при изменении параметров Модель Ричардса подходит для многих явлений роста, чаще применялась в онкологии для моделирования роста опухолей.

Значительный интерес для приложений, конечно, представляют модели, точка перегиба которых определяется не только параметром, отвечающим за уровень насыщения, что может быть привлекательно для многих приложений.

Из анализа соотношения (2.22) можно заключить, что функция Ричардса в зависимости от сочетания параметров может быть сим A метричной относительно точки перегиба с ординатой, а может иметь или левую, или правую симметрию. Таким образом, можно для модели Ричардса говорить о произвольной точке симметрии.

Таковыми являются также кривые Джеуланда, кривые Шарифа Кабира, а также класс моделей диффузии инноваций GRM (genera lized rational innovation diffusion models) [93].

Приведем для примера две логистические кривые этого класса, представленные следующими формулами.

Трехпараметрическая (GRM1):

T 1 A dT =, (2.23) Tdt 1 T () A A, = 1 (частный случай симметричной логисты), а в общем где T (t*) = случае будем иметь логисту с произвольной асимметрией ( ), 1.

A T (t*) = Графики трехпараметрической кривой GRM1 представлены на рисун ке 2.25.

Четырехпараметрическая GRM1g:

T (T + g ) A dT, (2.24) = dt T 1 + (T + g ) A0 A A0 + 2 A0 g + g 2 A0 g где T (t*) =, а графики представлены на рисунке 2.26.

10 T(t) 10 T(t) 8 A 6 T 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 10 T(t) 10 T(t) 8 6 6 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 Рис. 2.25. Вид трехпараметрической модели диффузии инноваций GRM при изменении параметров В четырех- и пятипараметрических GRM логистах точки перегиба располагаются в общем случае произвольно по отношению к значению половины уровня насыщения, поскольку определяются двумя или даже тремя параметрами моделей.

Одной из наиболее популярных для приложений является модель фон Берталанффи [119] (рис. 2.27):

( ) T = A0 1 + A1e ( 0 ) t t (2.25) с левой асимметрией T ( t *) = A0.

10 T(t) 10 T(t) 8 A 6 T 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 10 T(t) 10 T(t) 8 6 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 10 T(t) g t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Рис. 2.26. Вид четырехпараметрической модели диффузии инноваций GRM1g при изменении параметров 12 T(t) 12 T(t) 10 A0 A 8 6 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 12 12 T(t) T(t) 8 8 t 6 4 2 t t 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 Рис. 2.27. Вид модели фон Берталанффи при изменении параметров ( A0 0, A1 0, 0 1, t0 0 ) Отметим, что некоторые из логистических функций являются ча стными случаями функции Ричардса. Так, для функции Верхулста M = 1, для функции Гомпертца M, а для модели фон Берталанффи M = 3. Характер зависимости логисты Ричардса от параметра M пред ставлен на рисунке 2.28.

T(t) A0 0, A1 0, 0 1, t0 0, 12 T(t) A0 0, A1 0, 0 1, M M 9 M=1 M M = – 6 M= M M= M = –5 t M = – 0 10 20 30 40 50 t 60 - 0 10 20 30 40 Рис. 2.28. Характер зависимости логисты Ричардса от параметра M Еще одной кумулятивной логистической моделью является кривая Изингвуда [97] T ( ) dT = T + p 1, (2.26) dt A графики которой при изменении величин параметров представлены на рисунке 2.29.


10 T(t) T(t) A 8 6 6 T 4 2 t t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 10 T(t) T(t) 8 p 6 4 2 t t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 10 T(t) t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Рис. 2.29. Графики кривой Изингвуда при изменении величин параметров ( T0 0, A0 0, 0 1, 0, p 0 ) Отметим, что точку перегиба кривой Изингвуда аналитически оп ределить нельзя. Ордината точки перегиба T * = T (t*) есть решение сле дующего уравнения:

(1 + )(T * ) A0 (T * ) + p = 0.

Значительный интерес для приложений могут представить и фе номенологические модели логистической динамики [63, 67].

2.3. Феноменологические модели логистических кривых роста Начнем с модели в виде суммы двух логист Верхулста, что дает из вестную би-логистическую аддитивную шестипараметрическую модель:

1 T (t ) = +. (2.27) 1 + exp(1 1t ) 1 + exp(2 2t ) Модель в виде суммы двух логист может соответствовать случаю параллельного развития двух логистических процессов в СЭС.

Например, второй логистический процесс чаще начинается в мо мент достижения первым логистическим процессом 50% и более про центов роста, или когда они начинаются практически одновременно, но динамика роста различна.

Приведем некоторые известные примеры би-логистических про цессов, представленные в западной научной литературе, источниками которых названы как внутренние, так и внешние причины [15]:

средний рост мальчиков (второй процесс запускается после 10- летнего возраста);

рост числа американских университетов (первый импульс на чался с 1700 г., второй с 1950 года, когда первый достиг 95% уровня на сыщения);

число испытаний США ядерного оружия (первый процесс на чался в 1945 г., а второй в 1983 году и близок в настоящее время к на сыщению);

генерация электрической мощности в США. Первый процесс начался примерно в 1910 г., пришел к практическому насыщению в 1926 г., а второй начался в 1940 г., оказался короче и существенно выше по уровню насыщения, но идет с большей динамикой и достиг к на стоящему времени более 90% от уровня насыщения и подготовил осно вания для третьей логисты.

В качестве суммируемых логист могут, видимо, выступать и дру гие рассмотренные выше логистические модели: вопрос в значительной мере зависит от возможности идентификации параметров таких моде лей с требуемой точностью. При этом условии можно согласиться и с утверждением в [15] о том, что сложные системы могут моделироваться и более чем двумя логистами.

Можно, видимо, рассчитывать и на использование модели, фор мируемой перемножением логист Верхулста. Ее можно по аналогии с предыдущей моделью назвать и би-логистической мультипликативной шестипараметрической моделью:

1 T (t ) = = {1 + exp( 1 1t )}{1 + exp( 2 2t )} (2.28) 1 =.

1 + exp( 2 2t ) + exp( 1 1t ) + exp{( 2 + 1) ( 2 + 1)t} Представляет интерес сравнение графиков исходной логисты Вер хулста, би-логистических аддитивной и мультипликативной кривых при одинаковых значениях параметров.

Графики, приведенные на рисунках (2.30), (2.31), (2.32) показыва ют большое разнообразие получающихся при этом моделей ЖЦП и возможность использования их, особенно мультипликативной на рис. (2.30) и аддитивной на рис. (2.31).

Две точки перегиба образуются от взаимодействия двух логист:

1 абсциссы остаются прежними t1 =, t =, а ординаты изменяются 1 2 следующим образом (неравны половине уровня насыщения каждой из логист):

в случае би-логистической аддитивной модели будем иметь:

1 2 2 T (t1 ) =, T (t2 ) = + +, 2 2 2 1 11 1 e e а для би-логистической мультипликативной модели получим:

1 2 1 T (t1 ) =, T (t2 ) =.

1 2 e 1 + 1 2 e 2 + 1 1 T(t) мультипликативная модель аддитивная модель t Рис. 2.30. Случай взаимодействия растущей и падающей логист Верхулста T(t) мультипликативная модель аддитивная модель t Рис. 2.31. Случай взаимодействия двух растущих логист Верхулста T(t) мультипликативная модель аддитивная модель t Рис. 2.32. Случай взаимодействия двух падающих логист Верхулста Отметим, что на практике используют и модификации функции Верхулста с другими основаниями показательной функции в знаменате ле (в частности с основанием 10), (рис. 2.33):

A T (t ) =, 1 + A1a t где a 0, a 1.

6 T(t) 5 a = 10 a= a= 4 a=e a A0, A1, a, t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 Рис. 2.33. Изменение основания показательной функции Проблемной представляется точность идентификации при попыт ке использования шестипараметрической прямо пропорциональной мультипликативной модели на основе модели Верхулста:

1 T (t ) = 1 + = 1 + exp( 1 1t ) 1 + exp( 2 2t ) 1 1 = + 1 + exp( 1 1t ) {1 + exp( 1 1t )}{1 + exp( 2 2t )} и известного [63] обобщения модели Капицы-Баренблата, содержащего 14 параметров:

1 + q1 1 + + q2 2.

T (t ) = 1 1 2 [(t 1 ) + d1 ] [(t 2 ) + d 2 ] Вместе с тем, достаточно простой, но интересной для приложений представляется трехпараметрическая логистическая кривая Басса [79], определяемая результатом деления двух экспоненциальных функций:

1 exp( t ) T (t ) =. (2.29) 1 + exp( t ) Ее вид при изменении параметров модели представлен на рисунке 2.34:

10 T(t) T(t) 8 8 6 4 0, 0, 0 0, 0, 0 2 t t 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 T(t) 8 0, 0, 0 t 0 6 12 18 24 30 Рис. 2.34. Вид трехпараметрической логистической кривой Басса при изменении величин параметров Координаты точки перегиба для данной асимметричной модели логистического тренда определяются соотношениями 1 T ( t *) =, t* = ln.

2 Известна и «классическая» запись модели Басса (2.30), в которой q приняты обозначения = 1, q + p =, = :

p 1 exp( ( q + p ) t ) T (t ) = (2.30).

q 1 + exp( ( q + p ) t ) p Существенно новыми свойствами по отношению к рассмотренным выше моделям в своем развитии обладает асимметричная «задержан ная» двухпараметрическая логистическая кривая Рамсея [112]:

T (t ) = {1 (1 + t )exp( t )}, (2.31) вид которой при изменении параметров представлен на рисунке 2.35.

Видим, что логиста Рамсея (2.31) имеет точку перегиба с коорди натами t * =, T (t*) = 1 0,27, т.е. обладает левой асимметри e ей: 0,27 0,5.

Отметим, что логиста в этом случае выходит из начала координат, т.е. реализация (спрос) продукта в начальный момент времени равна нулю, что не всегда адекватно практике.

Двухпараметрическая модель (2.31) не позволяет рассчитывать на широкие функциональные возможности для моделирования реального многообразия кривых ЖЦП.

12 T(t) T(t) 8 8 4 0, 0 1 0, 0 t t 0 5 10 15 20 5 10 15 Рис. 2.35. Логистическая кривая Рамсея при изменении ее параметров Из (2.31) видим, что принципиально новым свойством кривой Рамсея, в отличие от всех рассмотренных выше кумулятивных логисти ческих моделей, является отсутствие нелинейных операций над экспо ненциальной функцией: деления, как в функциях Верхулста и Басса, или возведения в степень, как в функции Ричардса, или взятия лога рифма, как в функции Гомпертца.

Это свойство представляется весьма перспективным для разработ ки методов ее идентификации, в частности для возможности учета в мо дели логистической динамики дополнительных компонент, например, полиномиальных и/или колебательных, которыми можно существенно расширить возможности передачи многообразия логистических тенден ций, имеющих место в экономической практике.

Можно, например, предложить трехпараметрическую модель Рам сея в виде суммы (2.32) с параметром B, чтобы снять ограничения, свя занные с условием ненулевой реализации продукта в начальный момент времени:

T (t ) = C (1 (1 + t )e t ) + B. (2.32) Свойства кумулятивной логистической кривой при этом сохраня ются, а координаты точки перегиба логистической кривой (2.32) будут следующими:

t * =, T (t*) = C 1 + B 1,736C + B.

e Видим, что модель (2.32) асимметрична, так как в точке перегиба ордината в общем случае не равна половине уровня насыщения:

1,736C + B 0,5( C + B ).

Увеличение порядка аддитивного полинома в (2.32) с нулевого до первого ( B + B1t ) или второго ( B + B1t + B2t 2 ) и т.д. может существенно изменить форму логисты.

Вторым предложением по расширению функциональных возмож ностей модели (2.31) является четырехпараметрическая модифициро ванная модель Рамсея, в которой третий параметр B0 перемножается с экспонентой (как бы выступает ее весом):

T (t ) = C + ( B0 t )e t. (2.33) На рисунке 2.36 показано изменение параметров модифицирован ной функции Рамсея (2.33) при вариации величин ее параметров.

Для (2.33) можно найти точку перегиба, в которой вторая произ водная по времени равна нулю:

2 + B t* =.

Заметим, что при условии B0 2 точка перегиба модифицирован ной логисты Рамсея будет находиться в отрицательной области, а сама кривая приобретает характер кривой роста, а не кумулятивной логисти ческой модели. При условии B0 0 функция имеет характер импульс ной модели ЖЦП.

При B0 = 2 ордината точки перегиба равна нулю.

12 T(t) T(t) C 8 8 B 6 4 C 0, B0 0, 0 1 C 0, B0 0, 0 t t 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 12 T(t) 8 C 0, B0 0, 0 t 0 2 4 6 8 Рис. 2.36. Вид модифицированной кривой Рамсея при изменении ее параметров На рисунке 2.37 показано сравнение функции Рамсея (2.31) и мо дифицированной функции Рамсея (2.33).

T(t) модифицированная функция Рамсея при B0 – функция Рамсея t 0 модифицированная функция Рамсея при B0 Рис. 2.37. Сравнение функции Рамсея и модифицированной функции Рамсея в зависимости от величины B Рисунок 2.38 демонстрирует изменение характера модифициро ванной функции Рамсея при изменении величины B0.

B0 = 0 T(t) C 0, 0 B0 = - B0 = - B B0 = -3 t - 10 -5 0 5 B0 = -4 - Рис. 2.38. Графики модифицированной функции Рамсея при изменении величины B Существует еще один вариант возможного расширения модели (2.33): предложение обобщенной логисты Рамсея, в которой количество параметров также равно четырем (при этом показатель в (2.34) заме нен на параметр B1 ), но функциональные возможности существенно шире:

T (t ) = C + ( B0 + B1t )e t. (2.34) В этом случае сохраняется характер кумулятивной логистической функции (рис. 2.39) и появляется возможность управления координатой 2 B B точки перегиба t * = 1.

B T(t) 6 B C 0, B0 0, B1 0, 2 t 0 2 4 6 8 Рис. 2.39. Изменение обобщенной кривой Рамсея при изменении параметра B Можно видеть, что обобщенная модель Рамсея (2.34) соответст вующим выбором параметра C может перемещаться и по оси ординат, что вновь показывает ее гибкость (вариативность) и позволяет рассчи тывать на ее широкое применение.

Известно и применение модели Чантера [37, 49] (рис. 2.40):

A T (t ) = (2.35), ( ) A2 t 1 + A1 exp 1 e A в которой уровень насыщения определяется соотношением, 1 + A1e A а координаты точки перегиба равны 1 t = ln 1 ln ( A1 ), T (t ) = A0.

A2 10 T(t) T(t) A 6 6 A 4 A0, A1, A2 0, A0, A1, A2 0, 01 2 t t 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 T(t) T(t) 8 A 6 4 A0, A1, A2 0, A0, A1, A2 0, 01 2 t t 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 Рис. 2.40. График логисты Чантера В отдельных приложениях использовалась и модель Андрюса [49], определяемая соотношением (2.36) и показанная на рисунке 2.41:

t t C C 1 cos, (2.36) T (t ) = C 2C, t C T(t) 24 С t 0 10 20 30 40 Рис. 2.41. График логисты Андрюса Параметры логисты Андрюса: уровень насыщения равен 2C, а ко C ординаты точки перегиба t =, T (t ) = C.

Известная кумулятивная модель Джонсона (2.37) требует перехода к обратной величине аргумента, является несимметричной [49]:

a2 t T (t ) = Ae (2.37) и имеет следующие характеристики точки перегиба t = 2, A T (t ) =.

e Ее графики представляет рисунок 2.42.

10 T(t) T(t) 8 A 6 4 A 0, 1, 2 0 A 0, 1, 2 2 t t 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 T(t) A 0, 1, 2 t 0 10 20 30 40 Рис. 2.42. Графики модели Джонсона Нашли свое применение и феноменологические модели трендов, предложенные Близдейлом и Нелдером [80]:

, (2.38) T (t ) = ( + t ) Холидеем [101]:

, (2.39) T (t ) = ( + t + t 2 ) Фараздаши и Харрисом [91]:

. (2.40) T (t ) = ( + t ) О модели Близдейла и Нелдера (2.38) можно сказать, что она явля ется по характеру гиперболической и может быть применена для кри вых роста без точек перегиба, что иллюстрирует рисунок 2.43.

5 T(t) T(t) 4 3 3 2 1 t t 02 46 8 10 12 14 16 18 20 02 46 8 10 12 14 16 18 T(t) 3 t 02 46 8 10 12 14 16 18 Рис. 2.43. Графики кривой Близдейла и Нелдера при изменении величин параметров в диапазоне 0, 1 На рисунке 2.44 представлена динамика кривой гиперболы Холи дея при изменении величин его параметров в указанных диапазонах значений.

10 T(t) T(t) 8 6 2 t t 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1. T(t) t 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1. Рис. 2.44. Графики кривой Холидея при изменении величин параметров в диапазоне 0 1, 1, Областью применения кривых роста Фараздаши и Харриса явля ется моделирование роста без точек перегиба. Их графическое пред ставление дает рисунок 2.45.

Известны также логистические модели Моргана-Мерсера Флодина [111]:

+ t T (t ) = (2.41) ( + t ) и Вейбулла [120]:

T (t ) = exp( t ), (2.42) где – в общем случае нецелые числа.

Для (2.41) – рисунок 2.46 и, соответственно, для (2.42) – рисунок 2.47:

5 T(t) T(t) 4 3 2 1 t t 02 46 8 10 12 14 16 18 20 02 46 8 10 12 14 16 18 T(t) t 02 46 8 10 12 14 16 18 Рис. 2.45. Графики кривой Фараздаши и Харриса при изменении величин параметров в диапазоне 0, 1 10 T(t) T(t) 8 6 4 2 t t 01 23 45 67 8 9 10 01 23 45 67 8 9 10 T(t) T(t) 8 8 6 4 2 t t 01 23 45 67 8 9 10 01 23 45 67 8 9 Рис. 2.46. Графики кривой Моргана-Мерсера-Флодина при изменении величин параметров (,, 0, 1) 12 12 T(t) T(t) 10 8 6 4 2 t t 01 23 45 67 8 9 10 01 23 45 67 8 9 12 T(t) T(t) t t 01 23 45 67 891 01 23 45 67 Рис. 2.47. Графики кривой Вейбулла при изменении величин параметров (,, 0, 1) О предпочтении тех или иных кривых роста или кумулятивных логи стических моделей даже при таком достаточно проработанном «атласе»

моделей в каждом конкретном приложении судить трудно.

Выбор модели может быть обусловлен уже сложившейся историей применения модели, сравнением критериев точности моделирования и/или прогнозирования, обращением к комплексному критерию точности MFi.

Эконометрическая практика показала, что большее применение име ют в настоящее время логистические модели с тремя параметрами, пред ложенные методы идентификации позволяют рассчитывать на использова ние моделей с четырьмя-пятью параметрами, а метод параметрической итерационной идентификации позволит анализировать мультилогистиче ские модели и «включать» в модель роста дополнительные трендовые и ко лебательные компоненты.

Критерием выбора может быть также адекватность воспроизведения моделью с необходимой полнотой всех характеристик траектории, сущест венных для цели моделирования, предполагаемое наличие точки перегиба (точки «нерасширяемого спроса»), ее возможная симметрия или асиммет рия.

В ряде случаев (покажем это ниже на примере ЖЦП типа «фетиш») оправдан для повышения возможности классификации или повышения точности идентификации переход от импульсных моделей к кумулятив ным. Возможен, видимо, и обратный переход.

2.4. Феноменологические импульсные модели ЖЦП Известный способ получения импульсных моделей дифференцирова нием кумулятивных логист может быть дополнен рассмотрением феноме нологических моделей.

Феноменологической кумулятивной модели (2.39) можно придать и импульсной характер Холидея [101], показанный на рисунке 2.48.

Он является симметричным и формируется знаменателем выражения (2.39) при определенном наборе значений параметров.

35 35 T(t) T(t) 28 21 14 7 t t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 35 T(t) t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Рис. 2.48. Графики импульсной модели Холидея при назначении ее величин параметров в диапазоне 0, 0, Заметим, что это свойство знаменателя выражения (2.39) будет использовано ниже при конструировании дробно-рациональной им пульсной модели ЖЦП (2.53) с асимметричным характером динамики.

Импульсной моделью может быть асимметричная кинематическая функция (2.43) [3], показанная на рисунке 2.49:

T (t ) = At e t. (2.43) 25 T(t) T(t) A 20 15 10 10 A 0, A 0, 5 t t 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 Рис. 2.49. Кинематическая функция (2.43) Особенностью импульсной модели (2.43) является наличие двух точек перегиба на растущем и падающем участках своей динамики:

t *1, T * (t *1 ) = Ae =, ( ) +.

+ + t *2 =, T * (t *2 ) = Ae Координаты точки пика: tmax =, T (tmax ) = A. Слож e ность аналитической идентификации (2.43) обусловлена нецелым ха рактером показателем в (2.43).

Другой широко известной импульсной моделью является модель Хабберта [103, 113, 116], которая широко и довольно успешно применя ется для описания динамики добычи нефти.

Модель Хабберта имеет в своей теоретической основе кривую нормального распределения и используется в двух формах: симметрич ной и более интересной для приложений асимметричной.

Симметричная модель Хабберта описывается выражением:

(t T *) e T (t ) = Pmax, (2.44) а для асимметричной модели Хабберта используется формула:

( t T *) 2 f (t ) T (t ) = Pmax e, (2.45) где Pmax – ордината пика импульса, T – абсцисса пика импульса, – среднеквадратическое отклонение кривой Гаусса, f (t ) = dec dec k (t Tinc *) 1+ e – логистическая функция, позволяющая, в случае необходимости, «формировать» асимметрию, dec, inc – конечные (decreasing) и на чальные (increasing) границы изменения уровней импульсной кривой (2.45), k – скорость, с которой изменяется от inc до dec, t – аргу мент функции Хабберта.

Заметим, что для формирования асимметрии, например ЖЦП, возможно и использование других кумулятивных моделей, изменение уровней dec, inc. Очевидна большая возможность практического при ложения модели (2.45) в сравнении с (2.44) (рис. 2.50).

10 T(t) Pmax dec = inc dec inc 4 dec inc T* t 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 Рис. 2.50. Вид импульсной модели Хабберта при изменении ее параметров Широко применяются для описания динамики добычи нефти и другие, более простые (естественно, менее точные в силу присутствия в них искусственной вносимой точки «излома») импульсные модели ЖЦП.

К ним относится симметричная линейная модель с параметром S :

S (t T0 ), t T P(t ) = (2.46) P S (t T ), t T и симметричная экспоненциальная модель с параметром r :

er (t T0 ), t T P(t ) =. (2.47) Pe r (t T ), t T Модели (2.46) и (2.47) могут быть использованы и в асимметрич ных формах:

асимметричная линейная модель (2.48):

Sinc (t T0 ), t T P(t ) = (2.48) P Sdec (t T ), t T и асимметричная экспоненциальная модель (2.49):

erinc (t T0 ), t T P(t ) =. (2.49) Pe rdec (t T *), t T На рисунке 2.51 показаны примеры описания данных добычи неф ти в различных регионах мира рассмотренными моделями - как симмет ричными, так и асимметричными. Отмечено, что иногда разные модели практически с одинаковой точностью описывали одни и те же ряды ди намики.

На рисунке 2.52 приведен пример, в котором и модель Хабберта, и кусочно-линейная модель имеют довольно высокий коэффициент де терминации (80%) и почти одинаковую дисперсию.

Как положительное свойство линейной модели отмечают мень шую ошибку нахождения пика, а модели Хабберта – лучшее описание числовых данных и «сглаженность».

В данном случае для достижения целей исследования выбрана мо дель Хабберта.

а) б) в) г) д) е) Рис. 2.51. Результаты применения моделей к реальным данным добычи нефти: а) модели Хабберта к данным добычи нефти в Вайоминге;

б) линейной модели к данным добычи нефти в Южной Европе;

в) экспоненциальной модели к данным добычи нефти на Карибских островах;

г) асимметричной модели Хабберта к данным добычи нефти в Алабаме;

д) асимметричной линейной модели к данным добычи нефти в Камеруне;



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.