авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.Б. Сениченков

Численное моделирование

гибридных систем

Санкт-Петербург

Издательство Политехнического университета

2004

1

УДК 681.3.06

ББК 32.973.26-018.2

С 311

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, директор информационно аналитического центра ОАО «Аэрофлот» Е.П. Курочкин Доктор технических наук, профессор государственного университета аэрокосмического приборостроения Е.А. Крук Сениченков Ю.Б. Численное моделирование гибридных систем.

СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2004. 206 c.

В монографии рассматривается актуальная проблема разработки математического обеспечения для численного моделирования гибридных систем. Гибридные или сложные динамические системы - это иерархические, событийно-управляемые системы переменной структуры.

Для их моделирования создаются специальные программные комплексы, требующие сложно организованных численных библиотек и специализированного математического обеспечения для формирования, анализа и решения итоговых систем алгебро-дифференциальных уравнений различного вида. В монографии подробно описывается структура численной библиотеки семейства графических оболочек Model Vision, основой графического языка которых служат открытые гибридные автоматы.

Монография предназначена для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов, интересующихся проблемами современного компьютерного моделирования сложных динамических систем.

Табл. 35. Ил. 48. Библиогр.: 154 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт Петербурского государственного политехнического университета.

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, ISBN 5 -7422 – 0730 - 1 © Сениченков Ю.Б., ВВЕДЕНИЕ. Литература ГЛАВА 1. ГИБРИДНЫЕ СИСТЕМЫ КАК ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1.1 Гибридный автомат как обобщение таймированного автомата.

1.2 Гибридный автомат как обобщение классических динамических систем. 1.3 Современные подходы к компьютерному моделированию сложных динамических систем. 1.3.1 Математические пакеты. Однокомпонентные модели. 1.3.2 Многокомпонентные модели. 1.3.3 Графические оболочки на базе гибридных автоматов. 1.3.4 Автоматическое формирование итоговой системы. 1.3.5 Численные методы для решения гибридных АДУ. 1.3.6 Динамический графический образ. 1.3.7 Язык проведения вычислительного эксперимента. Литература Глава 2. Композиция открытых гибридных автоматов 2.1 Предпосылки. 2.2 Изолированный примитивный гибридный автомат. 2.3 Траектории примитивного гибридного автомата. 2.4 Вырожденное поведение. Автомат Зенона. 2.5 События, сигналы. 2.6 Примитивный гибридный автомат с несколькими переходами.

2.7 Гибридный автомат с несколькими длительными состояниями.

2.8 Композиция гибридных автоматов. 2.9 Открытый примитивный гибридный автомат 2.10 Блок-схемы открытых автоматов. 2.11 Открытый гибридный автомат с контактами. 2.12 Частичная синхронизация гибридных автоматов. 2.13 О практической ценности примитивных автоматов. Литература Глава 3. Формирование итоговой системы уравнений и продвижение модельного времени. 3.1 Структурный анализ уравнений. 3.2 Структура анализатора в пакете MVS. 3.2.1 Вычислимые последовательности формул. 3.2.1 Структурно невырожденные системы нелинейных алгебраических уравнений 3.2.3 Системы нелинейных алгебраических уравнений с подстановками. 3.3.4 Системы дифференциальных уравнений. 3.3 Поиск точки переключения 3.3.1 Поиск в условиях, когда можно вычислить только значение предиката в окрестности точки переключения. 3.3.2 Поиск в условиях, когда можно вычислить не только значение функции, определяющей точку переключения, но и ее производную. 3.3.3 Поиск в условиях, когда точка переключения определяется как корень уравнения на решении, описывающем поведение. 3.4 Построение графиков функций. 3.4.1 Проблемы, возникающие при построении графиков. 3.4.2 Аккуратные графики 3.4.3 Синхронное и асинхронное построение графиков Синхронный способ. Возможные алгоритмы Литература Глава 4. Библиотека пакета MVS 4.1 Организация библиотеки 4.2. Структура решателей Автоматические решатели. Решатели для задач конкретного типа Решатели для отладки. 4.3 Системы нелинейных алгебраических уравнений. Программы для решения нелинейных уравнений Программа автомат 4.4 Дифференциальные уравнения. Программы для решения нежестких уравнений. Программы для решения жестких уравнений. Программа автомат. Отладочные программы 4.5 Алгебро-дифференциальные уравнения Явный способ Неявный способ Программа - автомат для решения алгебро-дифференциальных уравнений 4.6 Об использовании тождеств при построении тестовых примеров. Проверочные примеры систем нелинейных алгебраических уравнений Системы линейных уравнений для оценки точностных характеристик. Системы линейных уравнений для оценки временных характеристик. Системы нелинейных уравнений. Нелинейное скалярное уравнение Системы нелинейных уравнений Литература ПРИЛОЖЕНИЕ Список сайтов и зарубежных публикаций по вопросам визуального моделирования и численного исследования гибридных систем Сайты Отечественные. Зарубежные Конференции и тематические сборники статей Истоки Обзоры ВВЕДЕНИЕ.

Компьютерное моделирование - это научное направление, связанное - с разработкой языков моделирования и проведения вычислительного эксперимента и поддерживающих их программных сред;

- созданием математического обеспечения, гарантирующего качественное воспроизведение поведения построенных моделей и обеспечивающего всестороннее исследование их свойств;

- построением новых способов визуализации трудно воспринимаемых человеком абстрактных моделей;

Разработка пакетов для численного моделирования и исследования сложных динамических систем является одним из направлений компьютерного моделирования.

Во многих пакетах, таких как Simulink, Stateflow, SimMechanics, SimPowerSystems, Dymola, Model Vision Studium, AnyLogic используются графические входные языки.

В последнее время интерес к графическим языкам моделирования настолько вырос, что их стали рассматривать независимо от реализующих их программных сред. Появились языки, претендующие на звание универсальных. Это – Универсальный Язык Моделирования (UML) [1] и язык физического моделирования Modelica [2].

UML позволяет создавать модели исследуемого объекта практически любого вида. Modelica ограничивает пользователя системой алгебро диффренциальных уравнений, называемой авторами языка «hybrid DAE» гибридной системой алгебро-диффренциальных уравнений.

Использование языков, приводящих к малоизученным математическим моделям, естественно отнести к искусству, в то время как применение языков с достаточно хорошо известными моделями является основой современных промышленных технологией.

Широко используемая сегодня технология визуального моделирование включает в себя не только легко воспринимаемый человеком графический входной язык, но и графические языки отладки, проведения и визуализации результатов вычислительного эксперимента.

Современный язык моделирования, позволяющий строить иерархические модели событийно-управляемых динамических систем переменной структуры, предоставляет пользователю возможность собирать модель в основном из библиотечных компонентов и разрабатывать только относительно небольшие, принципиально новые блоки. Совокупная система уравнений многокомпонентной модели строится автоматически. Построенная система передается «решателю» модулю, который автоматически выбирает подходящий для данного случая численный метод и настраивает его параметры на конкретную задачу. Найденное решение автоматически визуализируется выбранным пользователем способом. Процесс построения совокупной системы уравнений оказывается достаточно сложным, так как форма представления входной информации ориентирована на пользователя и существенно отличается от внутреннего, машинного представления, необходимого для работы численных методов. Для получения удовлетворительных результатов, приходится автоматически исследовать построенную математическую модель: определять конкретный тип решаемых уравнений и их совместность, возможно, преобразовывать уравнения до вызова решателя, анализировать их численные свойства, и только после этого выбирать подходящий метод решения.

На этапе проектирования новой программной среды визуального моделирования, желательно отчетливо представлять, с каким классом математических моделей придется столкнуться разработчикам численной библиотеки, поддерживающей среду. Однако, как это часто бывает, графические языки появляются раньше, чем у их авторов и пользователей возникает четкое представление о математических моделях, которые могут быть построены с их помощью. Так был создан знаменитый язык карт состояний Харела. Харел сначала предложил общую графическую схему языка [3], и лишь затем появилось его текстовое представление и описание семантики [4-5]. То же самое произошло и с гибридными автоматами [6].

Широко распространенный графический язык пакета Simulink предназначался для построения непрерывных, дискретных и непрерывно дискретных моделей, последние из которых рассматривались авторами языка как механическое объединение непрерывных и дискретных моделей.

Авторы языка, как представляется, также шли от языковых форм к моделям. Они сначала реализовали язык, а только много позже осознали какого типа модели лежат в его основе и какое математическое обеспечение необходимо для их поддержки. Начав с систем дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, правая часть которых записывалась в традиционной фортрановской форме, программы ODE45 и окна для построения графиков (Matlab), они перешли к графическим «схемам в переменных состояния» [7] (Simulink), и пришли к языку карт состояния Харела (Stateflow). В результате пользователь получил возможность графически представлять и решать с помощью современных численных методов системы уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, которая оказывается системой алгебро-дифференциальных уравнений (о чем он, скорее всего, и не догадывается). Пытаясь обеспечить совместимость новых и старых компонентов, авторы Matlab оказались в затруднительном положении. Язык новых компонентов оказался сложным и запутанным, что может служить дополнительным источником ошибок.

Те же проблемы возникли и при реализации «физического подхода к моделированию», а именно компонентов SimMechanics и SimPowerSystems.

Разработчики языка «физического моделирования» Modelica [http://www.modelica.org] и поддерживающего его программного комплекса Dymola [http://www.Dynasim.se] оказались в более выгодном положении, так как к моменту создания языка был накоплен большой опыт компонентного конструирования электронных схем и механических систем. В качестве примера отечественных разработок смотри [8]. Методы построения и свойства совокупной системы алгебро-дифференциальных уравнений, полученной на основании топологических и компонентных уравнений, изучаются достаточно давно. Существуют надежно работающие программные реализации численных методов, способных справиться с такого сорта задачами. Как пишут авторы языка во введении, язык Modelica является объектно-ориентированным языком моделирования, унаследовавшим многие черты своих предшественников, языков ASCEND, Dymola, gPROMS, NMF, ObjectMath, Omola, SODOPS, Smile, U.L.M., VHDL-AMS. Тип модели в языке строго фиксирован – итоговая система представляет собой системы дифференциальных или алгебро-дифференциальных уравнений большой размерности.

Программные среды Simulink и Modelica показывают хорошие результаты при работе с моделями, чья структура практически не зависит от времени. Однако событийно-управляемые модели с переменной структурой являются отличительной чертой современных практически важных задач.

Потребность моделировать событийно-управляемые и меняющие во времени свою структуру объекты привела авторов Matlab к необходимости ввести еще один компонент - Stateflow. Следует отметить, что в среде Model Vision 2.1 на несколько лет раньше был реализован этот подход, но в последствии от него пришлось отказаться, именно из-за сложности входного языка, которой обладает и компонент Stateflow.

Первоначально авторы языка Modelica [Modelica 1.1. Language specification, http://www.modelica.org] предполагали, что в рамках физического моделирования удастся строить и решать системы, форма и размерность которых может меняться в процессе решения. Однако им не удалось справиться с трудностями, возникающими в этом случае при формировании совокупной системы, и возможности изменения уравнений были сильно ограничены [Modelica 2.0. Language specification, http://www.modelica.org].

Системы, форма и размерность которых может меняться в процессе решения, возникают при моделировании большинства современных реальных объектов. Примером являются программно-аппаратные комплексы, реализующие различные режимы управления в зависимости от внутренних или внешних условий. В таких системах естественно возникает разделение протекающих в них процессов на мгновенные, реализующие программное управление, и медленные, свойственные реакции объектов управления на воздействие. Такого типа устройства сейчас можно найти и в бытовых приборах, и системах военного и космического назначения. Именно они особенно трудны для моделирования в пакетах Simulink, Modelica и многих других, базирующихся на тех же принципах.

Для моделирования событийно-управляемых систем переменной структуры в 90-х годах прошлого столетия была предложена модель гибридной системы. Как это не удивительно, данный формализм давно широко используется в теории, и практически только сейчас стал воплощаться в программных продуктах. Первыми программными комплексами в нашей стране, где был реализован этот подход, стали продукты семейства Model Vision: Model Vision 2.X [9-10], Model Vision 3.X [11-12], а также AnyLogic [13]. За рубежом одновременно с семейством Model Vision появился пакет для моделирования дорожного движения SHIFT [http://wwww.path.berkeley.edu/shift], использующий гибридный автомат как основную математическую модель, а позже пакеты Ptolemy II [http://wwww.path.berkeley.edu/shift] и Charon [http://www.cis.upenn.edu/mobies/charon ].

Книга посвящена моделированию событийно-управляемых систем переменной структуры с помощью гибридных автоматов семейства графических оболочек Model Vision. В книге четыре главы и приложение.

Каждая глава имеет свою собственную нумерацию формул и рисунков и свой список цитированной литературы. В приложение вынесен список зарубежных статей, посвященных гибридным системам, а так же список сайтов, где можно найти программное обеспечение. Эти списки представляют самостоятельную ценность, так как, несмотря на обилие публикаций по гибридным системам, практически нет работ, где все необходимые для понимания основных проблем сведенья были бы собраны воедино.

В первой главе приводится обзор работ зарубежных и отечественных авторов, посвященных гибридным системам. Анализируются различные определения гибридных систем. Дается обзор современных программных средств для моделирования сложных динамических систем и предлагается классификация компьютерных моделей, положенная в основу последней версии пакета Model Vision 4.X.

Отмечается, что существуют два подхода к исследованию гибридных систем. Первый подход базируется на обобщении конечных автоматов, сводящемуся к оснащению гибридного автомата различными моделями непрерывного времени. Несмотря на существующие успехи на этом пути, его возможности пока еще ограничены и могут быть использованы для анализа достаточно простых систем.

Второй подход основан на обобщении классических динамических систем. Этот подход давно уже развивается отечественными учеными (Лурье, Цыпкин, Бромберг, Анронов, Уткин, Емельянов, Филлипов, Глушков, Бусленко) и пригоден для исследования практически важных, сложных динамических систем. Приводится краткий обзор основных отечественных работ в области гибридных систем, больше известных в нашей стране как непрерывно-дискретные системы. Ценность этого обобщения заключается, прежде всего, в том, что появляется возможность применять методы исследования, присущие непрерывным системам.

Помимо этого, графическое представление гибридных систем в виде гибридных автоматов, может быть положено в основу современных графических языков.

На сегодняшний день существует много различных программных средств для моделирования и исследования сложных динамических систем.

Среди пакетов можно выделить специализированные, направленные на решение конкретных прикладных задач, и универсальные, способные справиться практически с любой исследовательской задачей.

Универсальные пакеты обычно лишены уникальных численных методов и библиотек моделей, специальной графики и средств поддержки больших проектов, что и отличает их от специализированных.

Семейство Model Vision относится к универсальным пакетам.

Среди универсальных пакетов также существуют несколько групп, отличающиеся методами построения и типами моделей. Это математические пакеты, наиболее приспособленные для изучения изолированных классических динамических систем, и пакеты компонентного моделирования с блоками с входами выходами и с блоками с контактами, предназначенные для моделирования иерархических систем.

Новые пакеты семейства Model Vision объединяют свойства как математических пакетов, так и пакетов компонентного моделирования.

Программное обеспечение пакетов компонентного моделирования решает по сравнению с математическими пакетами другие математические и технические задачи. К новым математическим задачам относятся задачи:

- автоматического синтеза совокупной, итоговой АДУ из уравнений отдельных компонент с учетом связей блоков, проверки корректности итоговой системы и преобразования ее форме, необходимой численному решателю;

- автоматического выбора численного метода для воспроизведения поведения системы;

- достоверного автоматического воспроизведения численного решения на всем промежутке наблюдения.

К числу новых научно-технических задач относятся:

- разработка современных языков моделирования и проведения вычислительного эксперимента;

- создание новых средств визуализации поведения динамических систем;

- создания библиотек инструментов для исследования свойств динамических систем.

Блоки, или компоненты, из которых строится модель, в современных пакетах могут быть различного типа, и от их типа и способа объединения зависит тип итоговой системы и методы ее решения.

В последней версии пакета Model Vision используется следующая классификация моделей, с которыми он способен работать:

- однокомпонентные системы с непрерывным поведением, - однокомпонентные системы с гибридным поведением, - многокомпонентные системы с компонентами типа «вход-выход состояние», - многокомпонентные системы с компонентами, взаимодействующими через контакты, - многокомпонентные системы с переменным числом компонентов.

Основной проблемой компонентного моделирования является автоматическое построение итоговой системы из блоков заданного типа, а необходимым условием успешного численного исследования построенных моделей – обеспечение нахождения решения с заданной точностью систем ДАУ с изменяющейся во времени структурой.

Во второй главе строится модель открытого гибридного автомата с синхронизацией во временной щели по непрерывному типу.

В современной литературе, посвященной гибридным системам, в основном изучаются однокомпонентные изолированные системы.

Изолированные гибридные системы являются достаточно узким классом моделей, хотя и представляют большой теоретический интерес. Более широким является класс многокомпонентных моделей.

При моделировании многокомпонентных систем возникает несколько дополнительных проблем, не характерных для однокомпонентных.

Основная проблема связана с автоматическим формированием итоговой системы из уравнений компонентов, с учетом связей и преобразованием их к виду, пригодному для численного интегрирования. И здесь становится важным, что следует понимать под поведением параллельно функционирующих отдельных компонентов обменивающихся между собой информацией, или иными словами, что лежит в основе композиции открытых гибридных автоматов.

При моделировании компонентных систем, чья структура не меняется во времени, итоговая система оказывается системой алгебро дифференциальной и остается только указать решателю ее конкретный вид - система алгебраических, дифференциальных, или алгебро дифференциальных уравнений.

При моделировании систем, в которых происходит смена уравнений, и в эти моменты выполняются параллельные дискретные операции, композиция параллельно работающих компонентов может быть определена по-разному, в результате чего модель будет обладать различным поведением. Мгновенные процессы, происходящие во временной щели, можно считать последовательными и упорядочивать в произвольном порядке (синхронизация по дискретному типу), а можно считать одновременными (синхронизация по непрерывному типу).

В семействе Model Vision применяется последний тип синхронизации и только для компонентов со связями по вещественным переменным, так как в противном случае возникают системы уравнений, численное решение которых может вызывать значительные трудности. До сих пор во всех пакетах по умолчанию применялась синхронизация по дискретному типу.

Во второй главе строятся необходимые для дальнейшего изложения определения гибридных систем их композиции:

- примитивного гибридного автомата;

- открытого примитивного автомата «вход-выход-состояние»;

- композиции примитивных открытых гибридных автоматов;

- открытого примитивного автомата с обратной связью;

- открытого примитивного автомата c контактами;

композиции открытых примитивных автоматов с контактами;

В третьей главе рассматриваются проблемы предварительного анализа структуры совокупной системы и проблемы продвижения модельного времени. Для структурного анализа уравнений предлагаются методы, используемые для решения систем больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений. Приводятся используемые в пакете методы для поиска точки переключения для предикатов различного вида и предлагается формула, позволяющая строить различные модификации метода установления, применяемого для поиска точки переключения.

Обсуждаются стратегия выбора шага для визуализации поведения.

При блочном моделировании достаточно сложно предсказать заранее, какую форму примет и какого типа окажется итоговая система уравнений.

В тоже время от формы и типа уравнений во многом зависит эффективность решения. Анализом формы итоговой системы в MVS занимается блок предварительного анализа уравнений.

Требования к решению формируются при проведении вычислительного эксперимента - пользователь может потребовать максимально возможной скорости решения без визуализации поведения или детального графического воспроизведения решения. Эти задачи возложены на блок продвижения модельного времени, который содержит чрезвычайно важный для гибридных систем блок поиска точек смены поведения - точек переключения.

С практической точки зрения важно предоставить пользователю как можно больше свободы при описании поведения отдельных компонентов и не заставлять его использовать трудно воспринимаемые синтаксические формы, свойственные процедурным языкам программирования.

Под свободной формой, будем понимать форму, в которой уравнения первого порядка не разрешены относительно первых производных ds, s, t ) = 0. Ориентация на свободную форму оправдана еще и тем, что F( dt это не только удобная форма представления исходной информации, но и форма, естественным образом возникающая при «физическом»

моделировании.

Свободная форма редко используется в программных реализациях численных методов. Более распространенной является форма ds = f ( s, t ), с возможно вырожденной матрицей A(s ).

A( s ) dt В каждом конкретном случае систему, передаваемую решателю, следует автоматически проверять и приводить к наиболее простой форме.

Эту работу в Model Vision Studium выполняет блок предварительного, структурного анализа уравнений. Структурному анализу можно подвергать как системы отдельного блока, так и всю, совокупную систему уравнений. Пакетом анализируются и преобразуются к нужному виду:

- вычислимые последовательности формул;

- системы нелинейных алгебраических уравнений;

- системы нелинейных алгебраических уравнений с подстановками;

- системы дифференциальных уравнений.

Для структурного анализа все типов уравнений предлагается использовать методы, используемые для структурного анализа больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений.

Сформированная система передается решателю, задача которого найти численное решение в конкретной временной точке. Выбор этой конкретной точки определяется блоком продвижения модельного времени и зависит от режима работы пакета.

Таких режимов два – решение с визуализацией поведения и решение без визуализации. В первом случае требование качества визуализации накладывает ограничение на выбор возможной величины шага продвижения модельного времени, так как необходимо воспроизвести графики с учетом всех особенностей поведения, во втором – ограничений на величину шага не существует. Второй случай характерен для решения задач оптимизации и любых других расчетов большого числа вариантов с различными значениями параметров, когда нас интересуют не промежуточные, а конечные результаты. Особенность первого режима в пакете Model Vision заключается в том, что визуализация поведения осуществляется по ходу решения.

Как в первом, так и во втором случае возникает еще одно требование, связанное с моделированием гибридных систем – при численном интегрировании в любом режиме должны быть правильно определены точки смены поведения, или точки переключения.

К основным проблемам поиска точки переключения следует отнести:

- Построение надежного алгоритма локализации очередной точки переключения с заданной точностью (глобальный поиск).

- Построение быстрого алгоритма поиска локализованной точки (локальный поиск).

Первая проблема связана с выбором величины шага модельного времени.

Решение второй проблемы зависит от того, какая информация о свойствах решения доступна численному алгоритму.

В гибридных системах поиск точки переключения может осложняться тем, что точка смены поведения может лежать на границе множества допустимых значений фазового вектора:

Предлагается использовать различные алгоритмы для поиска точки переключения.

Поиск в условиях, когда можно вычислить только значение предиката в окрестности точки переключения.

В данном случае в семействе Model Vision применяется метод деления отрезка пополам и в качестве нового значения модельного времени выбирается значение правой точки окончательного локализующего интервала.

Поиск в условиях, когда можно вычислить не только значение функции, определяющей точку переключения, но и ее производную.

В этом случае, после того как точка переключения локализована, вместо предикатов формируются уравнения, и применяются различные модификации метода Ньютона.

Поиск в условиях, когда точка переключения определяется как корень уравнения на решении, описывающем поведение.

Здесь используются те же алгоритмы, что и в предыдущем пункте, только теперь уравнения уже заданы, и формировать их не нужно.

Одним из способов поиска в условиях непродолжаемости решения за точку переключения является переход от поиска корня нелинейного алгебраического уравнения к поиску стационарного режима дифференциального уравнения, для которого положение равновесия является корнем исходного алгебраического уравнения. В вычислительной математике такой прием называется поиском корня методом установления.

Очевидным достоинством этого приема является то, что автоматически обеспечивается невозможность перейти за точку переключения.

В четвертой главе приводится описание структуры библиотеки и структуры конкретных решателей.

Для решения каждой из основных задач (систем нелинейных алгебраических, дифференциальных и алгебро-дифференциальных уравнений), пользователю предлагается на выбор несколько программных реализаций численных методов. Указать заранее наиболее подходящий метод решения конкретной задачи удается редко, поэтому важной особенностью современных графических оболочек является простота процедуры смены численного метода. В MVS это можно делать даже в процессе решения. В тоже время существует значительная категория пользователей, которой безразлично, каким методом будет получено решение, лишь бы оно правильно отражало поведение объекта.

Аналогичное отношение к численным методам наблюдается и на этапе отладки. При отладке, когда модель демонстрирует "необъяснимое" поведение, бывает важно просто "двигать" время вперед любым доступным способом и смотреть, что произойдет с ключевыми переменными. Программные реализации численных методов, гарантирующие получение решения с заданной точностью, не способны, как правило, справиться с задачами, возникающими при отладке, и приходится применять очень примитивные решатели, вплоть до методов с постоянным шагом.

В Model Vision Studium, пользователю предлагаются три вида программных реализаций численных методов.

1. Автоматические решатели. Их назначение - автоматически осуществить подбор наименее трудоемкой программной реализации численного метода для решения конкретной задачи, а в случае неудачи, предоставить пользователю максимально подробную информацию о встреченных трудностях. Анализируя поведение автоматического решателя, пользователь может затем выбрать конкретный метод.

2. Программные реализации для решения задач конкретного типа. Если пользователю известен тип решаемой задачи, то достаточно просто выбрать один из предлагаемых на выбор методов соответствующего класса. Однако и в этом случае, пользователь имеет дело не непосредственно с программной реализацией из соответствующей систематизированной коллекции, а с управляющей программой, анализирующей коды завершения вызываемой подпрограммы и, в случае необходимости, меняющей ее параметры так, чтобы обеспечить получение решения на всем интервале моделирования. Например, если программная реализация не может обеспечить получение решения с указанной пользователем точностью, то управляющая программа сначала попытается изменить точность, а если это не поможет, то только тогда прекратит счет и выдаст аварийное сообщение.

3. Программные реализации для отладки. Цель этой группы методов продвигать модельное время вперед как можно дальше, чтобы дать возможность пользователю понять природу ошибок. К этой группе, для решения дифференциальных уравнений, относятся явный и неявный методы Эйлера с автоматическим выбором шага и метод Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом.

Выбор конкретного метода осуществляется пользователем в диалоговом режиме, простейший вариант которого сводится к использованию "метода по умолчанию". В качестве "метода по умолчанию" предлагается автоматический решатель. Автоматический решатель в заданной последовательности перебирает включенные в него методы, чтобы обеспечить получение решения на всем временном промежутке.

Аварийная остановка любого метода сопровождается диагностическим сообщением. В случае аварийного завершения работы, можно попытаться сменить метод, но лучше устранить причину прекращения счета. "Плохие" численные задачи, конечно же, существуют, но практика показывает, что плохо сформулированных задач гораздо больше.

В приложении приводится список зарубежных работ и программного обеспечения для моделирования и исследования гибридных систем.

Литература 1. Буч Г., Рамбо Д., Джекобсон А. Язык UML. Руководство пользователя. М.: ДМК, 2000.

2. Introduction to physical modeling with Modelica. Edited by M. Tiller.

The Kluwer international series in engineering and computer science, V. 615.

2001, 368 pp.

3. D. Harel. Statecharts: a visual formalism for complex systems. Sci.

Comput. Prog. 8 (1987), pp. 231-274.

4. Harel, D., A. Pnueli, J.P. Schmidt and R. Sherman. On the formal semantics of Statecharts. Proc. 2nd IEEE Symp. On Logic in Computer Science, IEEE Press, New York, 1987, pp.54-64.

5. D. Harel and A. Naamand. The STATEMATE semantics of statecharts.

ACM Trans. Soft. Eng. Method. 5:4(Oct. 1996).

6. Y. Kesten, A. Pnueli. A. Timed and hybrid statecharts and their textual representations. Technical report. Department of Applied Mathematics, Weizmann Institute, Rehovot, Israel, 1993.

7. Ю.Ту. Современная теория управления. М.: Машиностроение, 1971.

8. Е.А. Арайс, В.М. Дмитриев. Автоматизация моделирования многосвязных механических систем. М.: Машиностроение, 1987, 238 стр.

9. Model Vision. Руководство пользователя./М. А. Инихова, Д.Б.

Инихов, Ю.Б. Колесов, Ю.Б. Сениченков. Спб., 1995.

10. Веселова И.Ю., Сениченков Ю.Б. Моделирование. Вычислительный практикум. 1999. Изд. СПбГТУ. С.-Петербург. 107 стр.

11. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Визуальное моделирование сложных динамических систем. СПб, Изд «Мир и Семья&Интерлайн», 2000, 234 стр.

12. Е.С. Бенькович, Ю.Б Колесов, Ю.Б. Сениченков. Практическое моделирование сложных динамических систем. С. Петербург, БХВ, 2001.

ISBN: 5-94157-099-6, 441 стр.

13. A. Borshchev, Yu. Kolesov, Yu. Senichenkov. Java engine for UML based hybrid state machines./In Proceedings of Winter Simulation Conference, Orlando, California, USA, 2000. p. 1888-1897.

14. R. Alur and D.L. Dill. Automata for modeling real-time systems. ICALP 90: Automata, Languages, and Programming. LNCS 443, 1990, p 322-335.

15. Yu. Kolesov, Yu. Senichenkov. A composition of open hybrid automata.

EUROCON 2003. IEEE Catalog Number: 03EX665, ISBN: 0-7803-7763-X, Library of Congress: 2002117046.

16. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Синхронизация событий при использовании гибридных автоматов для численного моделирования сложных динамических систем. Научно-Технические ведомости, 1’ 2004, стр. 202-207.

17. Visual Specification language intended for event-driven hierarchical dynamical systems with variable structure. /Yu. Kolesov, Yu. Senichenkov.

ICI&C’97. International conference on Informatics and Control. St.

Petersburg, 1997. pp. 704- 18. Библиотека программ для решения ОДУ. / Ю.Б. Колесов, Ю.Б Сениченков./ В сб. Труды ЛПИ 462, 1996, стр. 116-122.

19. Model Vision’s 3.0 ODE Solver. / Yu. Kolesov, E. Pariajskaj, Yu.

Senichenkov. Differential equations and applications. The second International conference. St. Petersburg, 1998. pp. 122-124.

20. Model Vision 3.0 for WINDOWS 95/NT - graphical environment for complex dynamic systems modeling. / Yu. Kolesov, Yu. Senichenkov.

COLOS’98. Maribor 1998, pp.34-41.

21. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Программная поддержка активного вычислительного эксперимента. Научно-Технические ведомости, 1’ 2004, стр. 177-182.

ГЛАВА 1. ГИБРИДНЫЕ СИСТЕМЫ КАК ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Термин «гибридные системы» много лет использовался как синоним названия аналогово-цифровых аппаратных систем и в некоторых случаях сохранил это значение и до сих пор. Например, в словарях [1] можно встретить словосочетание «hybrid computer» в качестве названия цифровых компьютеров, в которых одновременно используются и аналоговые устройства. Сейчас термин используется и для обозначения любых непрерывных систем, управляемых компьютерами, или систем со встроенными цифровыми регуляторами, и класса моделей, в которых одновременно моделируется как дискретное, так и непрерывное поведение объекта. Именно последнее значение и будет использоваться в дальнейшем.

При исследовании систем с дискретным и непрерывным поведением, в зависимости от сложности непрерывных и дискретных компонентов и возможности максимально упростить одну из них, можно построить несколько типов моделей:

- модель в виде динамической системы с дискретным временем и явными зависимостями для описания непрерывного поведения («простая динамика») – полет и отскок мячика от поверхности, уравнения движения которого выписаны в виде явных формул;

- модель в виде динамической системы с непрерывным временем и кусочно-непрерывными правыми частями («простые дискретные процессы») - полет и отскок мячика от поверхности, моделируемых с помощью дифференциальных уравнениях, в которых в момент отскока скачком меняются значения скоростей;

- или же совместить дискретное и непрерывное время в рамках одной модели и получить гибридную систему, в которой сложное дискретное поведение сопутствует сложному непрерывному (сложные дискретные и непрерывные процессы) – движение ракеты за целью, когда получение информации о цели и изменение характеристик полета осуществляется только в дискретные моменты времени.

Исторически, к определению гибридных систем подходили с двух сторон – в процессе оснащения конечных автоматов различными моделями непрерывного времени:

• O. Maler, Z. Manna, and A. Pnueli. From timed to hybrid systems. In J.W. de Bakker, K. IIuizing, W.-P. de Roever, and G. Rozenberg, editors, Real Time:

Theory in Practice, Lecture Notes in Computer Science 600, pages 447-484.

Springer-Verlag, 1992.

• X. Nicollin, J. Sifacis, and S. Yovine. From ATP to timed graphs and hybrid systems. In J.W. de Bakker, K. IIuizing, W.-P. de Roever, and G. Rozenberg, editors, Real Time: Theory in Practice, Lecture Notes in Computer Science 600, pages 549-572. Springer-Verlag, 1992.

и поиска ответа на вопрос, как анализировать и что следует считать решением динамических систем с разрывными правыми частями:

• А.А. Андронов, Е. А. Леонтович, М.И. Гордон, А. Г. Майер.

Качественная теория динамических систем 2-го порядка. М.: Наука, 1966. 568 стр.

• П. В. Бромберг. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. 323 стр.

• Филлипов А.Ф. Дифференциальные уравнения разрывной правой частью. Математический сборник, т.51, № 1, 1960»

Долгое время эти два подхода развивались практически независимо, хотя очевидно, что речь идет об исследовании одной и той же модели различными способами:

• Ю.Б Колесов, Ю.Б. Сениченков. Визуальное моделирование сложных динамических систем. С. Петербург, «Мир и семья и Интерлайн», 2000.

ISBN: 5-9212-0018-2, 240 с.

• Е.С. Бенькович, Ю.Б Колесов, Ю.Б. Сениченков. Практическое моделирование сложных динамических систем. С. Петербург, БХВ, 2001. ISBN: 5-94157-099-6, 441 с.

• A.S. Matveev and A.V. Savkin. Quality theory of hybrid dynamical systems.

Birkauser Boston, 2000.

Хотя термины гибридные системы и гибридные автоматы пришли к нам из-за рубежа в результате развития теории автоматов, неоспорим вклад отечественных ученых в разработку теории гибридных автоматов, рассматривавших гибридные автоматы как особый класс динамических систем с непрерывным временем.

1.1 Гибридный автомат как обобщение таймированного автомата.

Автоматный подход привел к выделению гибридных систем в отдельный класс динамических систем сразу же несколькими группами авторов:

• Alur, Rajeev, Costas Courcoubetis, Thomas A. Henzinger, and Pei-Hsin Ho.

1993. Hybrid automata: An algorithmic approach to the specification and verification of hybrid systems. In Lecture notes in computer science, edited by R. L. Grossma, A. Nerode, A. P. Ravn, and H. Rischel, vol. 736, pp. 209 29. New York: Springer-Verlag.

• Xavier Nicollin, Alfredo Olivero, Joseph Sifakis, Sergio Yovine: An Approach to the Description and Analysis of Hybrid Systems. In R.L.

Grossman, A. Nerode, A. P. Ravn, and II. Rischel, editors, Hybrid Systems I, Lecture Notes in Computer Science 736, pages 149-178. Springer-Verlag, 1993.

• Maler, Z. Manna, and A. Pnueli. A formal approach to hybrid systems. In Proceedings of REX workshop: Real Time: Theory in Practice, Lecture Notes in Computer Science 600, Springer-Verlag, 1992.

Как пишут авторы первой из перечисленных работ [Alur, Rajeev,…], предложенный ими «гибридный автомат можно рассматривать как обобщение таймированного автомата [3], в котором изменение переменных в каждом состоянии описывается системой дифференциальных уравнений». В работе неявно введено понятие j = { 0j, 1j,....} = { 0, 1,...}, как реализации гибридного времени покрытия неотрицательной полуоси + конечной или бесконечной последовательностью упорядоченных открытых, полуоткрытых или замкнутых интервалов. Активностями называются элементы конечного F = { f k, k = 1, N }, множества гладких вещественных функций определенных на +. Каждая реализация j = { 0j, 1j,....} гибридного времени связана с кусочно-непрерывной траекторией гибридной системы, f 0 ( 0j ), f1 ( 1j ), f 3 ( 3j )...., f l F.

заданной в виде последовательности Заданное множество траекторий определяет гибридную систему, которая может быть представлена в виде гибридного автомата. Гибридный автомат или графическое представление гибридной системы - это конечное множество состояний, с каждым из которых связана правая часть системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, с решениями из множества F, и множество переходов, между состояниями. Каждому переходу поставлены в соответствие условие завершения активности и функция инициализации новых начальных условий.

Примером гибридного автомата может служить граф, представленный на Рис. 1.

На рисунке 2 представлен гибридный автомат, с помощью которого описан алгоритм поддержания температуры x некоторого объекта в заданных пределах m x M.

Во второй работе [Xavier Nicollin,…] предложено определение композиции двух гибридных автоматов, каждый из которых снабжен своими независимыми часами и имеет общие переменные. Выбор моделей активностей авторами статьи в виде линейных дифференциальных уравнений связан с попыткой разработать алгоритмы верификации гибридных автоматов, отвечающих на вопрос, существует ли для заданных начальных условий – начального состояния и начальных значений переменных, допустимое поведение, или иными словами траектория, на которой определен инвариант, характеризующий заданные свойства системы.

Авторы второй статьи дают практически такое же определение автомата, но при этом обсуждают различные стратегии покидания текущего узла, в случае если ему приписано несколько исходящих переходов. Автоматы в обеих работах совпадают, если узел покидается немедленно, как только стал истинным предикат на одном из исходящих переходов («асинхронные гибридные автоматы»). Приводится пример недетерминированного автомата, у которого предикаты становятся истинными одновременно. Графическая нотация для гибридного автомата ближе к современной, чем в первой работе.

Рисунок 1. Пример гибридного автомата из статьи [2] Рисунок 2. Пример гибридного автомата из статьи [2] На рисунке 3 приведен гибридный автомат для задачи о кошке и мышке.

Кошка следит за пробегающей с постоянной скоростью мышкой и в некоторый момент бросается ей наперерез по прямой линии. Требуется выяснить, успеет ли кошка, находящаяся в заданной точке, догнать мышь, прежде чем та спрячется в норе, если скорости обеих постоянны.

Рисунок 3. Пример гибридного автомата из статьи [4] Авторы третьей из перечисленных статей [Maler, Z. Manna…] используют модифицированную графическую нотацию Харела для карт состояния, что позволяет им сразу же поставить вопрос о композиции гибридных автоматов. Графическое представление задачи о кошке и мышке, рассматриваемых как два независимых параллельных процесса с общими переменными показано на Рисунке 4.

В 1994 году появляется совместная статья [6], где уточняется определение детерминированного гибридного автомата, приспособленное для решения задач верификации линейных гибридных автоматов.

Итоги исследований в период с 1991 по 1995 год подведены в работе [7]. Основные результаты, полученные в эти годы, связаны с поиском таких гибридных автоматов, которые можно исследовать методами, применимыми к конечным или таймированным автоматам. Объектом исследования оказываются линейные и прямоугольные автоматы, для которых строятся символьные методы исследования. Символьные методы используются в различных программных комплексах для символьной верификации гибридных систем, наиболее известным из которых является HyTech. В работе дается определение композиции гибридных автоматов, синхронизированных по общим событиям, и упоминается о возможности взаимодействия параллельно работающих автоматов через общие переменные. Формулируется задача о проверке условия, является ли данный автомат автоматом Зенона, иными словами имеет ли гибридное время конечную предельную точку, и задача достижимости заданного состояния, как проблема поиска начального состояния гибридного автомата, приводящего его к заданному. Это направление продолжает развиваться и сейчас, однако трудности сведения гибридного автомата к таймированному или прямоугольному делают этот подход практически мало применимым.

В современной редакции [8] определение гибридного автомата, предлагавшееся в цитированных статьях, выглядит так:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гибридным автоматом H называют кортеж H=(Q, X, Init, f, Inv, E, G, R), где • Q - конечное множество дискретных переменных.

• X - множество непрерывных переменных.

• Init Q X - множество начальных состояний.

• f : Q X X - вектор функция, являющаяся правой частью системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно x X, зависящая от дискретных переменных.

• Inv : Q 2 X множество инвариантов, связанных с каждым значением переменной q Q.

• E Q Q - множество дискретных переходов.

• G : E 2 X - множество предохраняющих предикатов, присвоенных каждому переходу e = (q, q ' ) E.

• R : E X 2 X - множество правил переопределения начальных условий, заданных на каждой дуге e = (q, q' ) E для непрерывных переменных x X.

Переменные x X называются непрерывными, так как они являются qQ решением дифференциальных уравнений, а переменные – дискретными, определяющими конечное множество режимов работы или состояний автомата. Под состоянием гибридного автомата H понимается пара (q, x) Q X. Предполагается, что правая часть дифференциальных уравнений удовлетворяет условиям Липшица по x X.

Ни в одной из работ «автоматного» направления этого периода не рассматривалась возможность численного моделирования гибридных систем.

1.2 Гибридный автомат как обобщение классических динамических систем.

В тоже время в теории динамических систем и теории управления модели, описываемые различными уравнениями в различных областях фазового пространства известны очень давно. Не ставя своей целью указать первые работы1, где исследуются такие системы, сошлемся только на две книги, появившиеся в середине прошлого столетия, где уже не только формулируются основные проблемы, но и делается попытка построить методы исследования гибридных систем. Это уже упоминавшиеся монографии [9] и [10], в которых можно найти ссылки на более ранние работы:

• Лурье А.М. Некоторые нелинейные задачи в теории автоматического регулирования. Гостехиздат, 1951.

• Цыпкин Я. З. Теория релейных систем автоматического регулирования.

Гостехиздат, 1955.

• Цыпкин Я. З. Теория импульсных систем. Гостехиздат, 1958.

Можно сказать, что гибридные системы выделились в особый класс динамических систем благодаря невозможности получить в явном виде (замкнутой форме) и исследовать решение многих практически важных В работе В.И. Уткина [12] отмечается, что «в интересной работе Бернштейна [13], посвященной применению методов теории колебаний для исследования вибрационных регуляторов, приводится краткий обзор и анализ первых публикаций в этой области».

нелинейных дифференциальных уравнений. Однако это можно сделать, Рисунок 4. Автомат для задачи о кошке и мышке из работы [5] если нелинейные функции аппроксимировать кусочно-линейными или кусочно-постоянными, построить решения получившихся, обычно линейных, систем (аппроксимация уравнений) и «склеить» их в единое целое на всем интервале, обеспечив возможную степень гладкости (припасовывание). Бромберг [10] отмечает, что в России метод припасовывания использовался еще Жуковским Н.Е. [11].

В первой книге [А.А. Андронов,..], в главе 3, «Неконсервативные системы», ставится вопрос о существовании автоколебаний в нелинейных моделях, в частности в моделях:

1. Осциллятора с сухим трением 2 dx + a 0, dx dt + 02 x = a 2, dx dt dt k / m = 0 f 0 / m = a где f 0 - трение Кулона, m - масса тела, k - жесткость пружины.

2. Лампового генератора с кусочно-постоянной зависимостью анодного тока от напряжения на сетке 2 dx 0 I s, dx dx dt + 2h + 0 x = dt 2 dx dt 0, dt h = R / L;

1 / LC = 0 ;

I s = M 2 3. Часов с различными типами мгновенного удара спускового механизма dx + f 0, dx dt +x= dx dt f, dt где f 0 - постоянная сила трения, отнесенная к единице массы. Удар либо подчиняется предположению о постоянстве количества движения v1 v0 = const, либо предположению, что кинетическая энергия системы mv 21 mv 2 = const. Здесь при ударе изменяется на одну и туже величину 2 v1,v0 скорости после и до удара.


В последней модели особенно хорошо видно, что она наделена как дискретным, так и непрерывным временем. В ней явно различимы мгновенные (удар) и длительные (колебания) действия.

В модели с часами, наблюдается разбиение фазовой плоскости на две области: в первой постоянные колебания не возможны и осциллятор, совершив несколько колебаний, приходит в область неустойчивых точек равновесия (численное поведение показано на Рисунке 5), а во второй возможно установление устойчивых колебаний различного типа, в зависимости от типа удара (Рис. 6).

Рис. 5. Численное поведение часов в области неустойчивых точек равновесия (точек «застоя»).

Предположение о бесконечно большой мощности спускового механизма в момент мгновенного удара хоть и является явной идеализацией, свойственной всем гибридным системам, однако позволяет построить качественно верную модель часов.

Рис. 6 Устойчивые колебания часов Однако наиболее интересным является описание «разрывных» колебаний и изучение условий их возникновения в дифференциальных уравнениях.

Авторы приходят к выводу, что колебания возможны, если а) в модели в заданные моменты времени принудительно скачком меняются значения переменных (колебания шарика между двумя абсолютно упругими ограничителями) или б) функция правой части становится неоднозначной (релаксационные колебания). Первый случай и представляет, как и модель часов, гибридный автомат с одним длительным состоянием и одним переходом, приводящим к смене начальных условий (примитивный гибридный автомат).

Таким образом, мы видим, что авторы исследуют модели, которые описываются гибридными автоматами.

Вторая книга [10] может быть названа введением в теорию линейных гибридных автоматов.

Бромберг рассматривает системы вида:

dx = P x + h ( ) + g dt = x h, x, g, n ;

P nn где вещественная функция ( ) вещественного аргумента является кусочно-постоянной периодической функцией периода T=T1+T2, где T1 и T2 временные отрезки, на которых функция ( ) принимает не нулевое и нулевое значение соответственно (импульсная функция).

Замечая, что на каждом отрезке, где функция ( ) постоянна, можно построить решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в явном виде (возмущение g ( x, t ) в этом случае полагается нулевым) и перейти к разностному уравнению первого порядка, позволяющему исследовать устойчивость решения:

x(mT ) = P * x((m 1)T ) P* = KM (T ) K 1 + KM (T2 ) N (T1 ) K 1 h Здесь M (t ) - каноническая форма матричного экспоненциала e Pt = Ke Jt K 1 = KM (t ) K 1, J - жорданова форма матрицы P, а N (t ) = J 1 ( M (t ) E )), где E – единичная матрица.

Это позволяет автору сформулировать различные критерии устойчивости импульсных систем (читай линейных гибридных автоматов).

Примером может служить приводимая им система стабилизации курса нейтрального самолета ([10] -автопилот прерывистого действия, стр. 170):

d 2 d N = M dt dt d 2 d + h ( ) 2 = dt dt d d = + 1 +2 dt dt где функция ( ) определяется графиком, приведенным на Рис. 7.

Анализ этой системы позволяет в пространстве параметров ( 1, 2 ) в зависимости от значений M,h, выделить области устойчивости системы (Рис. 8).

Рассматривая поведение релейных систем:

dx = P x + h sign( ) dt = x Бромберг описывает три вида поведения фазовых траекторий в непосредственной близости от плоскости переключения = x = 0 :

• Нормальное переключение – по обе стороны плоскости переключения фазовые траектории имеют одинаковое направление, и скорость & может меняться скачком ± 2h (жесткое переключение, в отличие от мягкого, когда h = 0 ).

• Режим скольжения - когда по обе стороны плоскости переключения фазовые траектории направлены к плоскости переключения.

• Неустойчивое равновесие - когда по обе стороны плоскости переключения фазовые траектории уводят точку от плоскости в разные стороны.

( ) t Рис. 7. Импульсное управление Рис. 8. Поведение автопилота в области устойчивости Примером существования всех видов переключений в зависимости от значения параметров может служить модель автопилота с релейным сервомотором:

d 2 d h ( ) + g = M dt dt d = + dt g = cont Ее поведение при 1 = 0 показано на Рис. 9.

Рис. 9. Поведения автопилота с сервомотором в области линии переключения Отмечается, что явление скольжения для функции sign приводит к бесконечной скорости переключения реле (автомат Зенона), и чтобы избежать этого явления предлагается доопределить специальным образом уравнения в зоне скольжения dx = Px hPx.

h dt Указывается, что конечные скорости переключения реле наблюдаются при переключениях, имеющих форму петли гистерезиса (стр. 186).

Благодаря использованию матричного аппарата, Бромбергу удается ответить на вопрос о возникновении собственных периодических движений и автоколебаний (Рис. 10) в релейных системах – с идеальной релейной характеристикой (функция sign), люфтом и зоной нечувствительности и колебаниях, возникающих под внешним воздействием.

Фактически работа Бромберга является первой, где применен, выражаясь сегодняшним языком, символьный подход к анализу гибридных систем.

Дальнейшее развитие теории гибридных систем связано с решением задач стабилизации и слежения с помощью регуляторов, структура которых зависит от времени. Этому подходу посвящены работы:

• Е. А. Барбашин. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967, стр.

• Е. А. Барбашин, В.А. Табуева. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством М.: Наука, 1969, 299 стр.

• Е.С. Емельянов. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967, 335 стр.

• Теория систем с переменной структурой./ Под редакцией Е. С.

Емельянова. М.: Наука, 1970, 590 стр.

Рис. 10. Появление автоколебаний при релейном управлении автопилотом.

В этих книгах можно найти ссылки на более ранние работы:

• Ю.В. Долголенко. Скользящие режимы релейных систем непрямого регулирования. Тр. Второго Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования, 1, М.-Л., АН СССР.

• Ю.И. Неймарк. О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования. Авт. и телемех., 1957 18, 1, 27-33.

• А.М. Летов. Условно устойчивые регулируемые системы (об одном классе оптимальных регулируемых систем) Авт. и телемех., 1957 18, 7.

В указанных работах вводится понятие системы переменной структуры (тот же гибридный автомат) и исследуются свойства возникающих в них особых режимов, названных скользящими2 режимами.

В работе В.И. Уткина [12] находим: «необходимо отметить, что скользящие движения были обстоятельно исследованы для конкретных случаев систем Системы переменной структуры описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами.

Возможности применения систем переменной структуры в теории управления в работе [14] иллюстрируются на примере линейной системы второго порядка:

dx = x dt dx = a2 x2 a1 x1 bu dt u = x, x1 s =, x1 s s = x2 cx a1, a2, b = const, b 0;

c 0, Если при = система оказывается колебательно неустойчивой, а при = - апериодически неустойчивой, то в зависимости от величины коэффициента c в системе возможны три типа движения – режим движения по вырожденным траекториям, режим постоянного переключения и скользящий режим (Рис. 11).

Как отмечают авторы, основное достоинство скользящего режима заключается в том, что его свойства не зависят от характеристик управляемого объекта. Таким образом, если в системе переменной структуры существуют скользящие режимы, и удается обеспечить выход на прямую (гиперплоскость) скользящего режима из любой начальной точки, то система попадает в точку устойчивого равновесия.

В работе подробно рассмотрены методы управления линейными системами с постоянными и перемеренными коэффициентами второго регулирования в работах [15-16] в довоенный период. Работа Никольского Г.Н.[15], по видимому, является первой публикацией по этому вопросу».

порядка и особенности применения линейных регуляторов для нелинейных объектов специального вида.

Рис 11. Режим движения по вырожденным траекториям (верхний правый), скользящий режим (верхний левый) и режим постоянного переключения (нижний).

Практически такую же структуру имеет и работа [17].

В работе [18] наиболее полно изложены результаты, достигнутые в теории систем переменной структуры. Рассмотрены вопросы управления линейными объекты переменной структуры с постоянными и переменными коэффициентами произвольной размерности, их устойчивость, исследованы вопросы, касающиеся их вынужденных движений. Сформулированы теоремы, указывающие при каких условиях возникают скользящие режимы, и как обеспечить выход на них из любой точки фазового пространства. Дальнейшее развитие этого подхода можно найти в работе [19]. В работе • В.И. Уткин Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974, 272 с.

а также в работах:

• В.И. Уткин. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления.

М.: Наука, 1981, 368 с.

• В.И. Уткин, Ю.В. Орлов. Теория бесконечномерных систем управления на скользящих режимах. М.: Наука, 1990, 133 с.

обсуждается, чрезвычайно важный вопрос об идеальном и неидеальном скольжении, и утверждается, что идеальное скольжение может быть получено в результате предельного перехода в моделях с учетом любого вида неидеальных релейных элементов.

Основной математической моделью, как для гибридного автомата, так и релейного и импульсного управления, являются дифференциальные уравнения с разрывными коэффициентами. В таких системах, если решение принадлежит поверхности разрыва, то после попадания на нее изображающей точки дальнейшее движение может оказаться невозможным, так как правая часть не определена на поверхности разрыва.


В этом случае правая часть требует доопределения. В работе Филлипова А.Ф. «дифференциальные уравнения разрывной правой частью.

Математический сборник, т.51, № 1, 1960» было предложено формально доопределять правую часть способом, который сейчас носит название доопределение Филлипова. Доопределение Филлипова, предполагает, что для скалярного уравнения с разрывной правой частью ds = f ( s, t ) dt движение вдоль линии скольжения sl (s ) определяется вектором f 0 = f + + ( 1) f, 0 1, направленным по касательной к ней и равным в каждой точке сумме векторов f + и f фазовой скорости в ds 0 и рассматриваемой точке, принадлежащим полуплоскостям, где dt ds 0 соответственно. Если sl ( s ) = 0 - линия скольжения и движение dt осуществляется по касательной к ней, то коэффициент выбирается из d sl ( s ) = grad ( sl ) f 0 = 0, что приводит к уравнению идеального условия dt скольжения grad ( sl ) f grad ( sl ) f ds f+ f, = + + dt grad ( sl ) ( f f ) grad ( sl ) ( f f ) или в нашем случае к уравнению ds = 0, s (t*) = c, dt где t* - момент прихода изображающей точки на линию скольжения.

Уткин в своей работе ставит вопрос об обоснованности именно такого доопредеделения и его соотношения с реальным поведением объектов. Предложенный им самим способ доопределения, названный методом эквивалентного управления, носит конструктивный характер, и может быть использован для получения уравнений движения на поверхности разрыва.

Его суть поясняется в работе Уткина на примере системы, линейной по управлению:

ds = f ( s, t ) + B( s, t ) u;

x, f n, B ( s, t ) nm, u m, dt в которой управление u претерпевает разрывы на поверхности sl ( s ) = + ui, sli ( s ) u i ( s, t ) =, ui, sli ( s ) Для нахождения уравнения скольжения используется уравнение d sl ( s ) = 0, которое в силу исходной системы принимает вид dt ~ Gf + GBu = 0, где G - матрица размерности m n, строки которой ~ являются векторами-градиентами функций sli (s). Находя значение u ~ u = (GB) 1 Gf и подставляя его в исходное уравнение, получаем уравнение идеального скольжения ds = f B(GB) 1 Gf.

dt Таким образом, изучение идеального скольжения требует нахождения поверхностей, на которых возможно скольжение, и построения тем или иным способом уравнений скольжения.

С точки зрения Уткина, реальные режимы скольжения или вынужденные движения на поверхности разрыва, описываемые дифференциальными уравнениями с непрерывными правыми частями, должны быть сколько угодно близки к идеальным, при предельном переходе от реальных движений к идеальным. Более того, использовать уравнения идеальных движений для практических нужд можно только тогда, когда они являются предельными для любого вида неидеальностей, то есть определяются однозначно при предельном переходе для заданного класса неидеальных элементов.

Уткин анализирует различные способы доопределения, вводит понятие эквивалентного управления как конструктивного метода доопределения, показывает в каких случаях оно совпадает с доопределением Филлипова, доказывает, что идеальное скольжение является предельным для любого вида неидеальностей при определенных, но весьма общих ограничениях, и применяет его для анализа скользящих режимов при скалярном и векторном управлении.

Таким образом, для создания систем управления со скользящими режимами, необходимо обеспечить выход системы на поверхность скольжения, а дальше воспользоваться построенными уравнениями вынужденного движения. Предложенный Уткиным способ относится к аналитическим методам исследования гибридных систем, и впрямую не применим для их численного исследования, так как движение по поверхности скольжения сопровождается эффектом Зенона.

Необходимость доопределения поведения гибридного автомата на поверхности разрыва отмечается и в работе [21-22]. Введение нового состояния, с уравнениями движения, подсказанными реальным поведением объекта, часто устраняет причину возникновения эффекта Зенона в окрестности линии скольжения при численном интегрировании.

Численный метод ведет себя как звено с запаздыванием – условия переключения находятся не точно, что позволяет изображающей точке переходить из одной плоскости в другую. В гибридном автомате это происходит независимо от скорости движения изображающей точке в окрестности поверхности скольжения. В реальных объектах, при уменьшении скорости движения из-за изменения, например, характера сил трения, меняются уравнения движения. Учет этого и может помочь избежать появления эффекта Зенона.

Отдельно следует выделить работу А.Ф. Филлипова [20]. В этой работе дается определение, что считать решением системы уравнений с разрывной правой частью, определяются условия существования решения, и выясняется какие свойства классических динамических систем сохраняются, при появлении разрывов в правой части, а какие нет.

Особенно важной с точки зрения понимания поведения гибридных автоматов, является глава, посвященная динамическим системам с разрывными правыми частями на плоскости.

В заключение можно сказать, что мы имеем дело с весьма типичным случаем, когда один и тот же объект изучается с помощью различных подходов. К сожалению, приверженцы автоматного подхода, а это в основном это зарубежные авторы, практически не используют опыт отечественных ученых. Справедливости ради надо отметить, что и в нашей стране практически никто не пытается установить связь между двумя подходами, унифицировать терминологию, и использовать все то лучшее, что есть в обоих направлениях исследований.

1.3 Современные подходы к компьютерному моделированию сложных динамических систем.

Существующие программные среды для моделирования динамических систем, или для краткости пакеты в дальнейшем, сегодня уже представляют собой повседневный, достаточно развитый и мощный инструментарий инженера, научного работника и педагога. Они естественным образом пришли на смену «ручным» технологиям исследования сложных динамических систем, рассмотренных в предыдущих параграфах и ранним пакетам, когда вычислительные машины не могли работать с графическими операционными системами и входными языками.

Среди пакетов можно выделить специализированные, направленные на решение конкретных прикладных задач, и универсальные, способные справиться практически с любой исследовательской задачей.

Универсальные пакеты обычно лишены уникальных численных методов и библиотек моделей, специальной графики и средств поддержки больших проектов, что и отличает их от специализированных. Существующие подходы и наиболее важные проблемы, возникающие при разработке и использовании всех типов пакетов, хорошо видны уже на примере универсальных программных средств.

Среди универсальных пакетов также существуют несколько групп, отличающиеся методами построения и типами моделей.

1.3.1 Математические пакеты. Однокомпонентные модели.

Прежде всего, это математические макеты MAPLE, MATHEMATICA, MathCAD, MATLAB и любые другие, позволяющие решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и алгебро дифференциальных уравнений (АДУ). Именно системы АДУ в основном и характеризуют современные сложные динамические системы, однако не во всех перечисленных пакетах имеется возможность решать их. В тоже время возможность решения и визуализации решений ОДУ предусматривается в таких пакетах всегда. Математические пакеты лучше всего приспособлены для решения систем небольшой размерности, с достаточно гладкой правой частью, уравнения которые можно написать вручную. Такие системы можно классифицировать как изолированные, однокомпонентные динамические системы, с заданной в явном виде системой уравнений. Моделировать системы с разрывными правыми частями или переменной структуры, когда меняются не только правые части, но и число уравнений, в математических пакетах затруднительно по двум причинам. Во-первых, входные языки математических пакетов не имеют выразительных средств для описания систем этого типа, поэтому описание становится очень трудоемким процессом. Применяемые способы описания приводят к громоздким и трудно воспринимаемым пользователями текстам, что является потенциальной причиной многих ошибок. Во-вторых, что более важно, при наличии разрывов в системе или изменении структуры решаемого уравнения, точки, где это происходит, принято предварительно находить с разумной точностью и отдельно решать две системы – до точки разрыва и после нее. Чаще всего решать эти системы приходится различными численными методами, если при переходе через поверхность разрыва существенно меняются свойства системы. Реализовать такой подход в математических пакетах сложно, так как отсутствуют встроенные механизмы локализации разрывов, заданных уравнениями или предикатами, и автоматической смены численных методов. В тоже время математические пакеты прекрасно справляются с традиционными задачами моделирования: созданием и изучением новых моделей, базирующихся на системах ОДУ, и новых численных методов для их решения, если только пользователь обладает достаточными математическими знаниями и опытом программирования.

1.3.2 Многокомпонентные модели.

Пакеты компонентного моделирования, зарубежные: семейство надстроек над пакетом Matlab – Simulink, StateFlow, SimMechanics, SimPowerSystems, пакеты Dymola, Vissim, и отечественные: MBTY, AnyLogic, Model Vision Studium, Stratum, позволяют автоматически создавать и исследовать иерархические модели. Учитывая, что исследуемые реальные объекты обычно имеют иерархическую структуру и, чаще всего, переменную, зависящую от происходящих событий, то основным инструментом их исследования становятся пакеты компонентного моделирования.

Системное программное обеспечение пакетов компонентного моделирования решает по сравнению с математическими пакетами другие математические и технические задачи. К новым математическим относятся задачи:

- автоматического синтеза совокупной, итоговой АДУ из уравнений отдельных компонент с учетом связей блоков, проверки корректности итоговой системы и преобразования ее форме, необходимой численному решателю;

- автоматического выбора численного метода для воспроизведения поведения системы;

- достоверного автоматического воспроизведения численного решения на всем промежутке наблюдения.

К числу новых научно-технических задач относятся:

- разработка современных языков моделирования и проведения вычислительного эксперимента;

- создание новых средств визуализации поведения динамических систем;

- создания библиотек инструментов для исследования свойств динамических систем.

Блоки, или компоненты, из которых строится модель, в современных пакетах могут быть различного типа, и от их типа и способа объединения зависит тип итоговой системы и методы ее решения.

Таким образом, основной проблемой компонентного моделирования становится автоматическое построение итоговой системы из блоков заданного типа, а необходимым условием успешного численного исследования построенных моделей – обеспечение нахождения решения систем ДАУ с изменяющейся во времени структурой с заданной точностью.

В современных пакетах используются блоки:

1) Предопределенные и произвольные блоки «вход-выход-состояние или блоки с направленными связями. Графический язык функциональных схем и предопределенные блоки «вход-выход-состояние» пакетов Simulink, Vissim, МВТУ, восходит к схемам, применявшимся еще на аналоговых машинах. Использовать предопределенные блоки это типа выгодно, если структура модели проста и все необходимые блоки уже присутствуют в базовом наборе. Набирать же произвольную сложную систему уравнений с помощью интеграторов, сумматоров и усилителей подобно тому, как это делалось на аналоговой машине, неудобно.

Графический образ модели становится ненаглядным и, главное, не отражает естественной структуры моделируемого объекта. Еще одна трудность возникает при создании новых базовых блоков, которые приходится конструировать, используя операторы «низкого уровня»

традиционных процедурных языков, что, как показывает практика, оказывается непосильной задачей для большинства пользователей.

Однако, несмотря на отмечаемые всеми недостатки, это подход развивается и его совершенствование связано, прежде всего, с моделированием гибридных систем. Примером может служить Simulink, который в последних версиях Matlab дополнен подсистемой Stateflow, позволяющей использовать карты состояния совместно с традиционными непрерывными блоками, и моделировать событийно-управляемые системы.

Трудности, связанные с формированием новых, не базовых блоков, и достаточно низкий уровень абстракции блоков пакета Simulink, привел к тому, во многих современных пакетах «блочного типа» появился блок «вход-выход-состояние», предусматривающий задание произвольных уравнений самим пользователем, что позволяет создавать новые блоки, не выходя за рамки входного языка.

2) Блоки-компоненты с ненаправленными связями (язык Modelica), позволяющие собирать устройства из компонент, аналогично тому, как собирается электрическая схема из сопротивлений, конденсаторов, индуктивностей и источников питания. Авторы этого подхода справедливо утверждают, что не для всех компонентных моделей удобно использовать ориентированные связи между компонентами. Для «физического моделирования» (термин авторов языков Modelica), когда связи между компонентами отражают реальные электрические или механические соединения узлов, предположение об отсутствии обратного влияния приемника на источник оказывается нереалистичным. Подход «физического моделирования» весьма привлекателен, имеет много сторонников, но его обобщение на произвольные системы наталкивается на две трудности – трудности численного интегрирования и отсутствие эффективных алгоритмов построения системы в случае, когда структура объекта меняется во времени. Наиболее полно и последовательно этот подход реализован в языке Modelica, поддерживаемом пакетом Dimola. К числу достоинств языка можно отнести то, что новые компоненты модели описываются с помощью только языка Modelica, что используются также неориентированные связи наряду с ориентированными и разрешается запись систем уравнений в произвольной форме. Язык моделирования Modelica претендует на роль стандарта в области моделирования «физических» систем. Привлекательность этого подхода и прикладная значимость электрических, механических, гидравлических систем, заставила авторов пакета Simulink создать еще две надстройки SimMichanicks и SimPowerSystems, для моделирования объектов этого класса.

Блоки с ненаправленными связями, так и блоки с направленными связями рассмотренных пакетов плохо приспособлены для воспроизведения поведения гибридных систем. Поведение гибридных систем достаточно наглядно описывается в терминах состояний и событий, приводящих к смене поведения. Под состоянием в гибридных системах понимаются отрезки фазовых траекторий, соответствующие системе уравнений с неизменной по структуре правой частью, а событиями называют значения фазового вектора, в которых происходят изменения в правых частях. В динамических системах с дискретным временем для описания событийно-управляемых систем давно применяют карты состояний, предложенные Харелом. Их обобщение, приспособленное для описания гибридных систем, получило название гибридных автоматов. В современных пакетах используются, как и модификации карт поведения, так и гибридные автоматы (карты поведения).

1.3.3 Графические оболочки на базе гибридных автоматов.

Графическая форма гибридной системы в виде графа – гибридного автомата (карты поведения) – используется для описания поведения гибридных систем в графических языках пакетов Model Vision Studium, AnyLogic, Ptolemy II. Она же лежит в основе описания поведения в языке UML.

Наиболее простой формой гибридного автомата является примитивный гибридный автомат (дифференциальный автомат) – автомат с одним узлом и приписанной ему классической динамической системой, у которой при возникновении событий меняются только начальные условия.

Уже он демонстрирует достаточно сложное поведение, отличное от поведения классических динамических систем. В пакетах чаще всего используются гибридные автоматы со многими узлами, и сейчас идет активное изучение свойств этого типа динамических систем, таких как устойчивость, достижимость произвольного узла, сохранение инвариантов на решении.

К числу достоинств гибридного автомата относится наглядность, что чрезвычайно важно при моделировании сложных систем. К числу достоинств относится также и то, что с помощью гибридного автомата можно описать как «чисто дискретные» динамические системы с дискретным, так и «чисто непрерывные» - с непрерывным временем.

Действительно, если исследуемая система входит в новое состояние и мгновенно его покидает (предикат, позволяющий покинуть состояние, становится истинным уже в начальной точке), гибридный автомат ведет себя как обычная карта состояний, являющаяся стандартной формой задания дискретного поведения в языке UML. С другой стороны, при отсутствии событий, приводящих к смене поведения, карта состояния вырождается в единственный узел, которому приписана система АДУ – традиционная форма задания непрерывного поведения. Все это вместе дает описание непрерывно-дискретных систем. Эти свойства гибридного автомата чрезвычайно важны, например, для моделирования современных технических систем, со встроенными ЭВМ и микропроцессорами. В этом случае программное обеспечение и аппаратура разрабатываются одновременно, и на ранних этапах разработки обе составляющих могут быть представлены очень похожими компьютерными моделями – дискретными для программного обеспечения и гибридными - для аппаратуры.

Давно известно, что большинство самых трудно устранимых ошибок при проектировании систем делается именно на ранних этапах разработки и только тщательный анализ функциональных спецификаций позволяет их избежать, поэтому крайне важным является совместное моделирование программного обеспечения и аппаратуры на ранних этапах разработки.

Это можно сделать с помощью языка UML, ставшим стандартом de-facto для описания программного обеспечения и вычислительных систем на ранних стадиях проектирования. Несовместимость с UML в части описания дискретного поведения является одним из недостатков языка Modelica.

1.3.4 Автоматическое формирование итоговой системы.

Задача синтеза совокупной системы успешно решается всеми пакетами, если блоки пакета представляют собой блоки «вход-выход-состояние» и общая структура системы не изменяется во времени. Если используются блоки «вход-выход-состояние» и система меняет свою структуру, то возникают проблемы с формированием совокупной системы для пакетов компилирующего типа, когда необходимо заранее формировать код для всего множества возможных систем, порождаемых выключением или включением работающих блоков (отдельных ветвей схемы). Если отказаться от требования формировать весь, часто и не реализуемый в конкретном эксперименте, код заранее (статический подход), и формировать нужную систему только в момент возникновения соответствующего события (динамический подход), то удается найти приемлемое решение, если изменение структуры описывать различными модификациями карт состояния, предложенных Харелом. И, наконец, все пакеты, использующие блоки с контактами и моделирующие динамические системы переменной структуры испытывают различные трудности при формировании совокупной системы – в первую очередь это связано с необходимостью автоматического преобразования системы, подразумевающего символьные вычисления.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.