авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Тихоокеанский государственный экономический университет

С.В. Симоненко

НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕРМОГИДРОДИНАМИКА.

ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ МЕЛКОМАСШТАБНОЙ

ТУРБУЛЕНТНОСТИ И ТЕОРИИ ДОПУСКОВ

Монография

Владивосток

Издательство ТГЭУ

2006 УДК 532.5+536.7+517.97+519.2 С 37 Симоненко С.В. Неравновесная статистическая термогидродина мика. Обоснование теории мелкомасштабной турбулентности и теории допусков: Монография.- Владивосток: Изд-во ТГЭУ, 2006. - 336 с.

В монографии развит новый подход в теории изотропной и слабо ани зотропной мелкомасштабной турбулентности, а также новый корреляцион ный подход в теории допусков. С учетом установленного энергетического фактора локального сдвига скорости, обосновано соотношение замыкания и универсальные формы спектров мощности для трехмерной изотропной мел комасштабной турбулентности (в несжимаемой вязкой ньютоновской жидко сти). Раскрыт феномен производственного ноу-хау, связанного с достижени ем американского стандарта качества в концепции “шести сигм” при сборке точных изделий из произвольного числа составляющих компонентов для нормативных российских допусков в методе неполной взаимозаменяемости.

Книга рассчитана на специалистов в области неравновесной термоди намики, механики сплошных сред, статистической физики, гидродинамики, физической океанологии, а также на специалистов по качеству, студентов и аспирантов соответствующих специальностей.

Печатается по решению ученого совета ТГЭУ.

Научный редактор: доктор ф.-м. наук, проф. Г.Ш. Цициашвили (ДВО РАН) Рецензенты: доктор ф.-м. наук И.О. Ярощук (ДВО РАН);

доктор ф.-м. наук, проф. В.П. Дзюба (ДВО РАН) © Симоненко С.В., 2006 г.

ISBN 5-93362-285- © Изд-во ТГЭУ, 2006 г.

ВВЕДЕНИЕ Хорошо известно, что проблема турбулентности “обычно считается последней большой нерешенной проблемой классической физики” [Saffman, 1997]. Несомненно, что решение проблемы турбулентности имеет практическое значение для человечества, в частности, для акустической томографии океана [Акуличев, Безответных, Каменев, Кузьмин, Моргунов и Нужденко, 2001;

Akulichev, Dzyuba, Gladkov, Kamenev and Morgunov, 2001;

Makarov, Uleysky and Prants, 2003;

Budyansky, Uleysky and Prants, 2004;

Будянский, Улейский и Пранц, 2004], связанной с определением в реальном времени пространственно-временных вариаций океанической среды, основываясь на акустических данных;

для развития лазерно интерференционных методов в исследованиях океана и геофизических исследованиях [Долгих, Валентин, Долгих, Ковалев, Корень, Овчаренко и Фищенко, 2002;

Долгих, Долгих, Ковалев, Корень, Новикова, Овчаренко, Окунцева, Швец, Чупин и Яковенко, 2004;

Dolgikh, 2004];

для обоснования численных методов в динамике жидкости [Hunt, Sandham, Vassilicos, Launder, Monkewitz and Hewitt, 2001;

Белоцерковский, Опарин и Чечеткин, 2003] и для уменьшения неопределенности в предсказании изменения климата [Syun-Ichi Akasofu, 2004;

Пермяков, Тархова и Сергиенко, 2005].

Существуют различные подходы к этой проблеме [Saffman, 1997].

Непревзойденными вкладами в эту проблему являются идея Таунсенда [Townsend, 1951] и Бетчелора [Batchelor, 1953], что мелкомасштабные диссипативные структуры турбулентности могут быть хорошо представлены случайными распределениями вихревой пелены и вихревых трубок, статистическая теория Колмогорова [Колмогоров, 1941;

Колмогоров 1942;

Kolmogorov, 1962] и гидродинамические подходы [Hinze, 1959;

Batchelor, 1953;

Monin and Yaglom, 1975], использующие уравнение Навье-Стокса для осреднения по статистическому ансамблю различных турбулентных потоков.

Эта монография посвящена развитию нового синтетического подхода [Simonenko, 2004;

2005;

2006] к мелкомасштабной турбулентности. Мы обобщаем классическое выражение в классической неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] для макроскопической кинетической энергии малой жидкой частицы, учитывая необратимую сдвиговую компоненту макроскопического поля скорости, связанную с тензором скоростей деформаций e ij. Затем мы используем статистическое осреднение обобщенного функционала для макроскопической кинетической энергии по статистическому ансамблю случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом скорости мелкомасштабных турбулентных вихрей, чтобы получить соотношение замыкания для трехмерной мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности. Используется классический континуально механический теоретический подход [Batchelor, 1967].

Мы начинаем c раздела 1.1 главы 1, представляя некоторые классические результаты теории сдвиговой устойчивости [Miles, 1961;

Howard, 1961], критерий Гибсона [Gibson, 1980;

1981] активной, опрокидывающейся турбулентности в терминах средней скорости диссипации энергии и параметра скорости деформаций. Мы рассматриваем классическое определение макроскопической кинетической энергии турбулентных пульсаций единицы объема, анализируем уравнение Рейнольдса для осредненного поля скорости и уравнение эволюции Колмогорова [Колмогоров, 1942] для макроскопической кинетической энергии турбулентных пульсаций. Мы рассматриваем также проблему замыкания для уравнения эволюции Колмогорова [Колмогоров, 1942] и классические техники осреднения в теории турбулентности [Hinze, 1959;

Monin and Yaglom, 1975]. Объединяя концепцию вихревой вязкости Буссинеска [Boussinesq, 1897] и гипотезы замыкания Колмогорова и Таунсенда [Колмогоров, 1942;

Townsend, 1956], мы выводим аналитические формулы для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur и единицы объема k tur. Полученные аналитические формулы констатируют, что турбулентная кинетическая энергия пропорциональна квадрату среднего сдвига скорости, что подтверждает постулат [Evans, Hanley and Hess, 1984] о том, что сдвиг скорости (e ij 0 ) представляет дополнительный источник макроскопической внутренней кинетической энергии. В разделе 1. проанализировано применение аксиомы непрерывности классической неравновесной термодинамики [Gyarmati, 1970] для теоретического моделирования турбулентности. В разделе 1.3 с учетом экспериментальных данных [Stillinger, Helland and Van Atta, 1983;

Itsweire, 1984;

Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] по затуханию стратифицированной турбулентности проанализирована корректность применения условия локального термодинамического равновесия (e ij = 0 ) для описания локальных движений континуума, находящегося в турбулентном движении.

В начале главы 2 анализируется физическая несостоятельность классического выражения [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] для макроскопической кинетической энергии единицы массы k, определенной (в классической неравновесной термодинамике) как сумма макроскопической поступательной кинетической энергии единицы массы t = v 2 центра масс жидкой частицы и макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r = 2, где v – скорость центра масс малой жидкой частицы, - угловая скорость внутреннего вращения [Gyarmati, 1970], - момент инерции единицы массы малой жидкой частицы [de Groot and Mazur, 1962]. Классическое выражение де Гроота и Мазура имеет внутренне присущую физическую неполноту, связанную с сомнительным предположением о "твердотельном" вращении малой жидкой частицы. Классическое выражение де Гроота и Мазура [de Groot and Mazur, 1962] не рассматривает неравновесную компоненту макроскопического поля скорости, связанную со сдвигом скорости, определенным тензором скоростей деформаций e ij.

Мы неопровержимо доказываем необходимость развития нового понятия макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии, введенного ранее Евансом, Хенли и Гессом [Evans, Hanley and Hess, 1984] и Симоненко [Simonenko, 1992]. В главе 2 определяется новая физическая концепция макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии, выражающей макроскопическую кинетическую энергию неравновесного (необратимого) диссипативного сдвигового движения около центра масс малой макроскопической жидкой частицы. Мы определяем также новую физическую концепцию макроскопической внутренней кинетической энергии сдвигово-вращательного сцепления, выражающей кинетическую энергию локального сцепления между необратимым диссипативным сдвиговым и обратимым вращательным "твердотельным" макроскопическими движениями жидкости около центра масс малой макроскопической жидкости частицы. Основываясь на анализе относительного движения жидкости в евклидовом пространстве в инерциальной декартовой системе координат K, мы выводим аналитическую формулу для макроскопической кинетической энергии малой макроскопической жидкой частицы в стратифицированном сдвиговом трехмерном потоке.

Макроскопическая кинетическая энергия малой жидкой частицы (в стратифицированном сдвиговом трехмерном потоке) представляется как сумма макроскопической поступательной кинетической энергии, классической макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии [de Groot and Mazur, 1962], макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии [Simonenko, 2004;

2005;

2006] и макроскопической внутренней кинетической энергии сдвигово-вращательного сцепления [Simonenko, 2004;

2005;

2006] с малой коррекцией порядка O (d 7 ), где d диаметр жидкой частицы. В главе 2 выводится также аналитическая формула для макроскопической кинетической энергии единицы массы малой макроскопической жидкой частицы, рассматриваемой в стратифицированном сдвиговом трехмерном потоке. Макроскопическая кинетическая энергия единицы массы k представляется как сумма макроскопической поступательной кинетической энергии единицы массы t = v 2 центра масс жидкой частицы, классической макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970], новой макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s [Simonenko, 2004;

2005;

2006] и новой макроскопической внутренней кинетической энергии сдвигово вращательного сцепления единицы массы coup [Simonenko, 2004;

2005;

2006] s,r с малой коррекцией. В главе 2 мы определяем макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию (малой жидкой частицы), которая может рассматриваться как макроскопическая кинетическая энергия в системе координат K, которая связанна с центром масс жидкой частицы. Мы определяем также макроскопическую внутреннюю сдвигово-вращательную кинетическую энергию (малой жидкой частицы) как сумму макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии, макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии и макроскопической внутренней кинетической энергии сдвигово вращательного сцепления. Показывается, что макроскопическая внутренняя сдвигово-вращательная кинетическая энергия дает главную часть макроскопической внутренней кинетической энергии для малой жидкой частицы. Мы рассматриваем следствия полученных формул для макроскопической кинетической энергии и макроскопической внутренней кинетической энергии однородных жидких сферы и куба. Полученное выражение для k и его частная форма для однородных жидких частиц сферической и кубических форм обобщают классическое выражение де Гроота и Мазура в классической неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970], учитывая новую макроскопическую внутреннюю сдвиговую кинетическую энергию единицы массы s, которая выражает кинетическую энергию необратимого диссипативного сдвигового движения, и также учитывая новую макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию сдвигово-вращательного сцепления единицы массы s,r, которая выражает кинетическую энергию локального сцепления между coup необратимым диссипативным сдвиговым и обратимым "твердотельным" вращательным макроскопическими движениями жидкости. Выведенное выражение для k подтверждает постулат [Evans, Hanley and Hess, 1984], что сдвиг скорости (e ij 0 ) представляет дополнительный источник энергии в расширенной формулировке [Evans, Hanley and Hess, 1984] первого закона термодинамики для неравновесных деформируемых состояний движения жидкости.

Мы используем в главе 3 двухкомпонентное разложение, посредством которого каждая полевая переменная представляется как сумма средней и пульсационной компонент (не разлагая пульсационную компоненту на сумму волновой и турбулентных компонент). Пространственное среднее гидродинамического поля скорости определяется для малой жидкой частицы как скорость центра масс жидкой частицы в соответствии с предложением Ландау и Лифшица [Ландау и Лифшиц, 1988] для определения средней скорости для неравновесных сдвиговых потоков.

Мы выводим аналитическую формулу для мгновенной кинетической энергии мелкомасштабных трехмерных пульсаций скорости общей турбулентно волновой природы, не разлагая пульсационную компоненту скорости в виде суммы волновой и турбулентных компонент. Показывается (при предложенном пространственном среднем для поля скорости), что кинетическая энергия мелкомасштабных пульсаций скорости (малой жидкой частицы) равна макроскопической внутренней кинетической энергии (малой жидкой частицы), определенной в главе 2. Мы выводим аналитические формулы для мгновенных макроскопических кинетических энергий единицы массы и единицы объема для мелкомасштабных пульсаций скорости общей турбулентно-волновой природы, турбулентных и волновых пульсаций скорости. Предложен общий математический формализм, который не делает формального отличия между внутренними гравитационными волнами, турбулентностью и пульсациями турбулентно-волновой природы. В рассматриваемой теории мы имеем дело с внутренними гравитационными волнами, турбулентностью и турбулентно-волновыми пульсациями скорости, используя один и тот же математический формализм, что дает идентичные на вид формулы для мгновенной макроскопической кинетической энергии (единицы массы и единицы объема) волновых, турбулентных и турбулентно волновых мелкомасштабных пульсаций скорости.

Мы вводим в рассмотрение в разделе 4.1.1 главы 4 стохастическую модель трехмерной изотропной однородной турбулентности внутреннего масштаба длины Колмогорова, определяемую как статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей, размера равного внутреннему масштабу длины Колмогорова L k. Мы даем в разделе 4.1.2 гидродинамическое обоснование уравнения эволюции для турбулентной кинетической энергии единицы массы трехмерной изотропной однородной турбулентности внутреннего масштаба длины Колмогорова L k. В разделе 4.1.3 дается термодинамическое обоснование уравнения эволюции для турбулентной кинетической энергии единицы массы (определенной в разделе 4.1.3) трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l. В разделах 4.1.2 и 4.1.3 используется классическая частная формулировка [Гнеденко и Хинчин, 1961;

Колмогоров, 1974;

Николис и Пригожин, 1990] закона больших чисел без специальных предположений о распределениях вероятности для макроскопической кинетической энергии турбулентных пульсаций (каждого однородного жидкого куба), рассматриваемой как случайная переменная. Мы выводим аналитически в разделе 4.1.4 выражения (в рамках модели несжимаемой однородной вязкой ньютоновской жидкости) для временной эволюции средней скорости диссипации энергии единицы массы dis ( t), турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur (t) и бокового микромасштаба Тейлора (t) для трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k ( - безразмерное число). Затем дается анализ полученных аналитических выражений для dis ( t), b tur (t) и (t) в связи с классическими экспериментальными результатами [Hinze, 1959] по временной эволюции средней скорости диссипации энергии единицы массы, турбулентной кинетической энергии единицы массы и бокового микромасштаба Тейлора на ранней стадии затухания турбулентности.

Мы вводим в разделе 4.2 понятие трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L FK, определяемой как статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей линейного размера равного L FK, где L FK - ископаемый масштаб длины Колмогорова [Gibson, 1987]. Выводится экспоненциальное затухание средней скорости диссипации энергии единицы массы из аналитического интегрирования замкнутого уравнения эволюции для скорости диссипации энергии единицы массы.

Используя предложенную модель трехмерной изотропной однородной турбулентности постоянного энергосодержащего масштаба длины (в рамках модели несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости), мы даем объяснение экспоненциального затухания осредненной по глубине скорости диссипации кинетической энергии единицы массы в наблюдениях [Smyth et al., 1997] после шквала в западной части Тихого Океана в декабре 1992 г. Анализируя экспериментальные результаты [Smith, Zavialov and Moum, 1997], мы рассматриваем практический вопрос о физической природе энергосодержащего масштаба длины l в предложенном соотношении замыкания [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l. Показано, что энергосодержащий масштаб длины l в предложенной модели [Simonenko, 2004;

2005;

2006] пропорционален ископаемому масштабу длины Колмогорова L FK [Gibson, 1987], что дает основание рассматривать океаническую турбулентность в наблюдениях [Smith, Zavialov and Moum, 1997] как ископаемую турбулентность согласно терминологии Гибсона [Gibson, 1987]. Демонстрируется последовательность двух различных подходов [Brainerd and Gregg, 1993;

Simonenko, 2004;

2005;

2006], описывающих превращения турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию в турбулентных опрокидывающихся вихрях в изотропной однородной турбулентности.

Мы вводим в разделе 4.3 понятие трехмерной изотропной однородной турбулентности инерционно-плавучего масштаба длины Озмидова L o, определяемой как статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей линейного размера, равного инерционно-плавучему масштабу длины Озмидова L o. Анализируем важный вопрос о физической природе критической (переходной) величины средней скорости диссипации энергии единицы массы, которая может быть рассмотрена как переходная между хаотическим турбулентным (опрокидывающимся) и волновым гидродинамическими режимами свободно затухающей стратифицированной турбулентности, генерируемой решетками. Превращение турбулентной кинетической энергии (трехмерной изотропной однородной турбулентности масштаба длины Озмидова) в потенциальную энергию в турбулентных опрокидывающихся вихрях учитывается, используя теоретический подход Брайнерда и Грегга [Brainerd and Gregg, 1993]. В рамках модели несжимаемой стратифицированной вязкой ньютоновской жидкости получена теоретическая величина критической (переходной) скорости диссипации кинетической энергии единицы массы dis,cr (Lo ) = 14,4 N 2 и для максимального коэффициента = 0,2 [Smith, Zavialov and Moum, 1997], описывающего превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию в турбулентных опрокидываниях плотности.

В разделе 4.4 вводится масштаб длины Бетчелора-Таунсенда L BT и рассматривается трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность с масштабом длины L BT Бетчелора-Таунсенда в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости. Показано, что масштаб длины Бетчелора-Таунсенда может рассматриваться как энергосодержащий масштаб длины, который характеризует вязкую диссипацию на конечной (вязкой) гидродинамической стадии затухания турбулентности в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

В разделе 4.5 из соображений размерности получен промежуточный энергосодержащй масштаб l ( ) турбулентных вихрей, который характеризует промежуточные режимы (характеризуемые безразмерным параметром в диапазоне 1 / 7 1 / 4 ) затухания изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности в однородных несжимаемых вязких ньютоновских жидкостях. Получены аналитические зависимости от времени для средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis (t) и турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur, которые характеризуют затухание изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом l ( ) турбулентных вихрей в однородных несжимаемых вязких ньютоновских жидкостях.

В разделе 5.1 главы 5, рассмотрев классические теоретические и экспериментальные результаты, мы анализируем важный вопрос [Thorpe, 1987] о формальном оправдании для принятия числа 1/4 в качестве универсальной критической величины градиентного числа Ричардсона в стратифицированной идеальной жидкости. Мы определяем мгновенный геометрический центр и центр масс малой жидкой частицы и выводим условие опрокидывания для малой жидкой частицы, рассматривая жидкое движение идеальных жидкостей в адиабатическом приближении [Ландау и Лифшиц, 1988] и используя концепцию макроскопической внутренней кинетической энергии (малой жидкой частицы), определенной в главе 2.

Условие опрокидывания для малой жидкой частицы выводится из закона сохранения (суммы макроскопической внутренней кинетической энергии и потенциальной гравитационной энергии), полученного из принципа относительности Галилея. В разделе 5.2.1 мы получаем частную форму условия опрокидывания для малой жидкой частицы, рассматриваемой в двумерном стратифицированном параллельном сдвиговом ламинарном потоке идеальной жидкости. Частная форма условия опрокидывания для малой жидкой частицы дает простое физическое объяснение универсальной природы критического числа 1 / 4 [Miles and Howard, 1961] и проанализированным в разделе 5.2.2 результатам двумерной и трехмерной теорий линейной устойчивости [Миропольский, 1981].

В главе 6 показана практическая значимость макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для мелкомасштабной стратифицированной турбулентности. Мы даем в разделе 6.1 гидродинамическое обоснование соотношения замыкания для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l [Simonenko, 2004;

2005;

2006], используя подход, приемлемый для последующего анализа в разделе 6. относительных вкладов средней макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s и средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r в турбулентную кинетическую энергию единицы массы b tur для мелкомасштабных диссипативных структур турбулентности (вихревой пелены, вихревых трубок и сильно диссипативных сдвиговых структур, характеризуемых “невращательной диссипацией”), обнаруженных [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994] в трех различных сериях данных (прямых численных моделирований турбулентности). Мы проанализировали вопрос относительно того, как классическая макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] и установленная макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия [Simonenko, 2004;

2005;

2006] представлены в классических диссипативных структурах (вихревой пелене и вихревых трубках), предложенных Таунсендом [Townsend, 1951] и Бетчелором [Batchelor, 1953] для моделирования тонких структур изотропной турбулентности.

В разделе 6.3 мы, следуя развитому математическому формализму [Simonenko, 2004;

2005;

2006], выводим выражение для теоретической "сдвигово-вращательной" критической (переходной) скорости диссипации кинетической энергии единицы массы sdis,cr (L o ), которая характеризует r начало коллапса трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности (коллапса турбулентных вихрей в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) и перехода стратифицированной турбулентности во внутренние гравитационные волны для изотропных турбулентных режимов, характеризуемых равенством s = r и критическим размером l cr турбулентных вихрей. Также выводится критическая скорость диссипации кинетической энергии единицы массы в рамках модели [Smyth et al., 1997], описывающей превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию (в результате турбулентного перемешивания в опрокидывающихся турбулентных вихрях) посредством коэффициента Г, явное выражение для которого находится синтезом двух отмеченных выше подходов. Мы показываем практическую важность макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии для реалистического предсказания теоретической "сдвигово-вращательной" переходной скорости диссипации энергии единицы массы strr (L o ) =16N 2, которая находится в довольно хорошем согласии с экспериментальным диапазоном измеренных переходных величин, полученных в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Для стратифицированной вязкой ньютоновской жидкости выводится также диапазон критических скоростей диссипации кинетической энергии единицы массы, согласующийся с океаническими экспериментальными данными [Gibson, 1987;

Gregg, 1987].

В разделе 6.4 главы 6 выводятся выражения для критических скоростей диссипации кинетической энергии единицы массы для трехмерной анизотропной мелкомасштабной турбулентности в несжимаемой вязкой ньютоновской стратифицированной жидкости. Мы определяем в разделе 6.4.1 коэффициент локальной "твердотельности" R локального движения жидкости и коэффициент анизотропии пульсаций скорости a.

Выведены выражения для средней критической скорости диссипации tr ( l cr, R ) кинетической энергии единицы массы и критической скорости диссипации кинетической энергии единицы массы tr ( l cr, R ), учитывая, соответственно, средний коэффициент локальной "твердотельности" R и коэффициент локальной "твердотельности" R локальных движений жидкости и средний критический размер l cr турбулентных вихрей. Получено эмпирическое соотношение между средним коэффициентом локальной "твердотельности" R (a ) и средним коэффициентом анизотропии пульсаций скорости a c использованием экспериментальных серий данных лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] в начале коллапса турбулентности. Показана разумность полученного эмпирического выражения для серий данных R 52, R 36 и R 37 лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Доказана корректность соотношения замыкания (6.1.9) для экспериментальной реализации № 1 серии данных R 52 [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. В разделе 6.4.2 мы определяем коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e = s / r и выводим соотношение для критической скорости диссипации кинетической энергии единицы массы tr ( l cr, n e ), учитывая коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e и средний критический размер l cr турбулентных вихрей. Мы находим численные коэффициенты локальной термодинамической неравновесности n e турбулентных полей скорости в начале коллапса турбулентности в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Мы выводим соотношение n e = 2 - R (a ) (между коэффициентом локальной "твердотельности" R (a ) и коэффициентом локальной термодинамической неравновесности n e ), разумность которого показана для трех серий данных ( R 52, R 36 and R 37 ) лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] в начале коллапса турбулентности. Мы проанализировали в разделе 6.5 бескомпромиссный антагонизм ([Cheng, Canuto and Howard, 2002, 2003], с одной стороны, и [Kantha, 2003], с другой стороны) между двумя оценками для критического градиентного числа Ричардсона, связанного с переходом от турбулентного в ламинарное (волновое) движение жидкости в стратифицированных жидкостях. Выводено условие опрокидывания для деформируемых неравновесных движений жидкости, характеризуемых коэффициентом локальной "твердотельности" R, который согласован с коэффициентом R в полученном эмпирическом соотношении [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Выведено выражение для критического градиентного числа Ричардсона Ri cr, которое характеризует переход от турбулентного в ламинарное (волновое) движение жидкости. Показано, что переход от турбулентного в ламинарное (волновое) движение жидкости в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] соответствовал среднему критическому градиентному числу Ричардсона Ricr = 0,416, которое соответствует средней критической скорости диссипации энергии единицы массы tr = 18N 2, согласующейся со средним значением 18N 2, полученным из средних критических скоростей диссипации энергии единицы массы в экспериментальных критических диапазонах exp = (15 ± 1,2) N 2 и tr tr = (21± 1,4)) N для серий данных R 52 и ( R 36, R 37 ), соответственно, exp лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986].

Продемонстрировано, что оценка Кантхи Ri cr = 0,52 [Kantha, 2003a, 2003b] критического градиентного числа Ричардсона находится в хорошем согласии с рассматриваемой обычно [Gibson, 1987;

Hopfinger, 1987] наименьшей переходной скоростью диссипации энергии единицы массы 15N 2 для океанических стратифицированных вязких турбулентных потоков, а также Ri cr = 0,52 находится в хорошем согласии с показано, что оценка максимальной величиной = 0,2 [Smith, Zavialov and Moum, 1997] для большинства исследований океанической турбулентности и с максимальным океаническим опрокидывающимся масштабом длины L o [Набатов и Озмидов, 1992] турбулентных вихрей.

В разделе 7.1.1 главы 7 изложено обобщение [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] классической частной формулировки [Гнеденко и Хинчин, 1961;

Колмогоров, 1974;

Николис и Пригожин, 1990] закона больших чисел с учетом взаимной статистической коррелированности различных случайных величин в последовательности случайных величин x1, х2,….,хn. В разделе 7.1.2 приводится пример нарушения условий выполнимости обобщенной частной формулировки закона больших чисел. В разделе 7.1.3 получены условия сходимости n a по вероятности среднего арифметического n случайных величин х1, х2,……, хn относительно доли случайных величин с сильными положительными корреляциями. В разделе 7.2 обобщение частной формулировки закона больших чисел используется для получения соотношения замыкания для трехмерной слабо анизотропной мелкомасштабной турбулентности с размером l энергосодержащих турбулентных вихрей в несжимаемой вязкой ньютоновской однородной жидкости. Показано, что экспериментально установленная [Хинце, 1963] универсальная временная зависимость микромасштаба диссипации Тейлора g на конечной (вязкой) анизотропной стадии затухания турбулентности (ранее обоснованная теоретически для изотропной однородной турбулентности [Хинце, 1963]) обосновывается теоретически для слабо анизотропной турбулентности, которая характерна для реальных условий [Хинце, 1963;

Simonenko, 2005;

2006].

В разделе 8.1 главы 8 изложено авторское видение взаимоотношений классического соотношения Гиббса [Gibbs, 1928] и второго закона термодинамики [Clausius, 1864;

1865;

Prigogine, 1977] в классической неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962, Gyarmaty, 1970;

Nicolis and Prigogine, 1989]. В разделе 8.2 анализируется классическое выражение [de Groot and Mazur, 1962, Gyarmaty, 1970] для производства энтропии в вязкой ньютоновской жидкости. В разделе 8.3 представлено обобщение классического соотношения Гиббса [Gibbs, 1928] для неравновесных сдвиговых состояний движения континуума с учетом неравновесных макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии и макроскопической внутренней кинетической энергии сдвигово вращательного сцепления [Simonenko, 2004;

2005;

2006]. В разделе 8. представлено обобщение классического выражения [de Groot and Mazur, 1962, Gyarmaty, 1970] для производства энтропии с использованием сделанного обобщения классического соотношения Гиббса [Gibbs, 1928] для неравновесных сдвиговых состояний в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости. В разделе 8.5 получено обобщенное соотношение для производства энтропии в мелкомасштабном анизотропном турбулентно волновом пульсационном поле в несжимаемых вязких ньютоновских стратифицированных жидкостях. В разделе 8.6, основываясь на экспериментальных данных [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986], проанализировано поведение осредненной (по статистическому ансамблю) энтропии в течение процесса турбулентно-волнового перехода в вязкой ньютоновской стратифицированной жидкости.

В разделе 9.1 главы 9 проведено исследование относительной роли коэффициента молекулярной кинематической вязкости и коэффициента молекулярной температуропроводности на статистическую динамику мелкомасштабной турбулентности в океане. В разделе 9.2 получены универсальная форма энергетического пространственного спектра развитой мелкомасштабной турбулентности в океане и универсальные формы пространственных и временных энергетических спектров пульсаций температуры, обусловленных развитой мелкомасштабной турбулентностью в океане.

В главе 10 изложена математическая теория [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] статистических допусков в методе неполной взаимозаменяемости [Никифоров, 2000], необходимая для управления качеством сборки точных механизмов. В разделе 10.1 главы 10 представлена формула для допуска размера замыкающего звена ТА в методе неполной (частичной) взаимозаменяемости [Никифоров, 2000] при заданных допусках отдельных звеньев. На основе данных в подразделах 10.1.1 10.1. определениях математического ожидания, дисперсии и производящих функций начальных и центральных моментов в разделе 10.1.3 доказана классическая центральная предельная теорема, необходимая для изучения проблем взаимозаменяемости. В разделе 10.2 математически формулируется проблема взаимозаменяемости при сборке точных механизмов. В разделе 10.2.1 дано доказательство формулы для допуска размера замыкающего звена в методе неполной взаимозаменяемости, предполагая статистическую некоррелированность различных случайных величин x1, х2,….,хn, под которыми рассматриваются случайные размеры собираемых деталей. В разделе 10.2.2 из доказанной формулы для допуска замыкающего звена в методе неполной взаимозаменяемости выводится практический вывод, что никакое конечное не может быть допуском при неограниченном возрастании числа деталей n при условии, что отклонения размеров деталей статистически независимы. В разделе 10.3 исследуется влияние статистической зависимости отклонений размеров деталей от средних (номинальных) значений на относительная ошибку длины собираемого механизма. В разделе 10.3.1 дано математическое обоснование метода избранных комбинаций [Кумэ, 1990] для двух деталей. В разделе 10.3. изложено математическое обоснование метода избранных комбинаций для трех деталей [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б]. В разделе 10.3.2 рассмотрены возможные механизмы чрезмерного увеличения вариабельности длин собираемых механизмов из n деталей, связанные с нарушением условий (7.1.1.10а) и (7.1.1.10б) выполнимости обобщенной частной формулировки [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] закона больших чисел. В разделе 10.3.4 изложено обоснование метода избранных комбинаций для произвольного числа деталей n в собираемом механизме [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б]. В разделе 10.3.5 доказана обобщенная формулировка центральной предельной теоремы для статистически зависимых случайных величин, необходимая для практического использования метода избранных комбинаций для произвольного числа деталей в собираемом механизме. В разделе 10. приводятся возможные теоретические способы уменьшения вариабельности длин собираемых механизмов. В разделе 10.5 проанализированы результаты [Симоненко, 2005б] компьютерного выбора оптимальных комбинаций для механизма, составленного из двух деталей. В разделе 10.6 формулируется математическая детерминистическая постановка задачи минимизации относительной ошибки длины собираемого механизма когда собирается ограниченное число N механизмов, каждый из которых состоит из n деталей.

В главе 11 дано краткое изложение синтетического статистического термогидродинамического подхода к мелкомасштабной турбулентности, основанного на обобщении классического выражения де Гроота и Мазура в классической неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] и на статистическом осреднении классической макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] и макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии [Simonenko, 2004;

2005;

2006] по статистическому ансамблю случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом мелкомасштабных турбулентных вихрей.

В главе 11 представлено краткое обобщенное изложение результатов [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б], направленных на обоснование математической теории статистических допусков в методе неполной взаимозаменяемости [Никифоров, 2000] для случайной величины X = x 1 + x 2 +... + x n, которая есть сумма n статистически независимых случайных величин x1, x 2,..., x n и предложены возможные теоретические способы минимизации дисперсии случайной переменной X = x 1 + x 2 +... + x n, которая есть сумма n статистически зависимых случайных величин x1, x 2,..., x n произвольной физической природы. Также отмечен глубокий методологический аспект связи между техническим (технологическим) и фундаментальным теоретическим знанием, рассмотренный ранее в работе [Пригожин и Стенгерс, 1986].

В главе 12 констатировано, что предложенный синтетический подход к мелкомасштабной турбулентности может быть определен как неравновесная статистическая термогидродинамика турбулентности (Simonenko, 2006), принимая в соображение определение де Гроота и Мазура [de Groot and Mazur, 1962] термогидродинамической теории как синтетической теории, объединяющей гидродинамические и термодинамические теоретические подходы.

Глава ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ В КЛАССИЧЕСКИХ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И В КЛАССИЧЕСКОЙ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ 1.1. Турбулентная кинетическая энергия в классических полуэмпирических теориях В согласии с классическим пониманием [Монин и Яглом, 1965;

Levich, 1987] рассматриваем гидродинамическую турбулентность как макроскопическое физическое явление. Левичем отмечается, что когда число vL Рейнольдса Re cr = o существенно больше, чем некоторая критическая величина Re cr, тогда поле скорости “начинает проявлять очевидно вихревую нестационарную хаотическую природу поведения, называемую турбулентностью” [Levich, 1987], здесь v o - типичная скорость потока, L характерный масштаб длины рассматриваемого однородного по плотности потока, - коэффициент молекулярной (кинематической) вязкости.

Известно, что активная опрокидывающаяся (overturning) турбулентность в океанском термоклине обычно генерируется пульсационным сдвигом скорости вследствие сдвиговой неустойчивости, индуцируемой внутренними гравитационными волнами [Озмидов, 1965, Woods, 1968, 1969;

Gregg, 1987;

Gibson, 1987]. Хорошо известное условие сдвиговой устойчивости для параллельного стратифицированного потока со сдвигом скорости [Miles, 1961;

Howard, 1961] состоит в выполнении условия g X 2 Ri cr = Ri = (1.1.1) v1 (X 3 ) X везде внутри слоя жидкости, где Ri есть градиентное число Ричардсона, g ускорение силы тяжести, - локальная плотность массы, v 1 ( X 3 ) горизонтальная скорость, X 3 - вертикальная координата. Сдвиговая неустойчивость может возникать только когда градиентное число Ричардсона Ri в сдвиговом слое меньше, чем 1 / 4. Когда градиентное число Ричардсона Ri становится меньше, чем Ri cr = 1 / 4, турбулентность может инициироваться вследствие сдвиговой неустойчивости. Из натурных наблюдений [Woods, 1968;

1969] и лабораторных исследований [Koop and Browand, 1979] известно, что когда локальное градиентное число Ричардсона Ri становится меньше, чем Ri cr = 1 / 4, могут генерироваться локальные инверсии плотности, приводящие непосредственно к генерации зон турбулентного движения. Согласно критерию активной турбулентности [Gibson, 1980;

1981], активная турбулентность может существовать в стратифицированном сдвиговом потоке, если выполняются условия cr = 5,5N, (1.1.2) или dis dis,cr = 30N 2, (1.1.3) где N - локальная частота Вяйсяля, dis = 2 (e ij ) 2 - скорость вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы в несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости, dis - средняя скорость вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы, cr - критическая величина dis,cr 2 dis / = 2(e ij ) 2, параметра сдвигового напряжения критическая скорость вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы. Гибсон [Gibson, 1980;

1981] получил критерий (1.1.2-1.1.3) активной турбулентности из критического градиентного числа Ричардсона Ri cr = 1 / для параллельного двухмерного стратифицированного сдвигового потока и предполагая связь dis = 2 (e jk e jk ) между средней скоростью вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы dis и тензором скоростей деформаций e ij для изотропной и однородной турбулентности.

Формулы (1.1.2) и (1.1.3) показывают, что существуют определенные критические значения cr и dis,cr для существования активной турбулентности. Отметим, что существование критической скорости вязкой диссипации турбулентной энергии dis,cr N 2 впервые отмечалось Озмидовым [Озмидов, 1965]. Чтобы описать перенос энергии в турбулентном потоке, Колмогоров [Колмогоров, 1942] вывел уравнение баланса для макроскопической кинетической энергии k tur турбулентных пульсаций единицы объема k tur = v v, (1.1.4) где v = v - v есть пульсационная компонента вектора скорости v ( = =1, 2, 3) в направлении оси X, v есть - компонента вектора средней скорости, повторяющиеся индексы суммируются, осреднение берется по времени или по статистическому ансамблю. Вследствие нерегулярности турбулентных полей скорости во времени и в пространстве используются различные операции осреднения, которые являются нетривиальным моментом в теории турбулентности.

Осреднения по времени и по пространству часто используются на практике [Hinze, 1959]. Монин и Яглом [Монин и Яглом, 1965] рассмотрели формальное осреднение f по пространству-времени скалярной функции f, определяемой в четырехмерном пространстве-времени. Осреднение f производится следующим образом [Монин и Яглом, 1965]:

f = f (X1 1, X 2 2, X 3 3, t - t ) ( 1, 2, 3, t )d1d 2 d 3dt, (1.1.4а) где интеграл берется по всему пространству-времени, t - время, X i - i-я компонента пространственных координат в системе координат K, специальная весовая (фильтрующая) функция, удовлетворяющая интегральному условию:

(1, 2, 3, t )d 1d 2d 3dt = 1. (1.1.4б) Записывая ( 1, 2, 3, t ) = ( 1, 2, 3 ) ( t ), где ( t ) - дельта-функция, а ( 1, 2, 3 ) - постоянная функция в некоторой области пространства, мы получим осреднение по пространству, зависящее от весовой функции.

Применяя (при известных аксиомах осреднения;

см. Монин и Яглом, 1965) к уравнениям Навье-Стокса операцию осреднения, мы имеем уравнение Рейнольдса для осредненных полей скорости и давления vi vi v 1 p ( i v v ), + v = Fi - + (1.1.5) i t X X i X X где Fi есть i-я компонента массовых сил на единицу массы, v i есть i-я компонента осредненной скорости жидкости, p - осредненное давление, R i =- v v - тензор напряжений Рейнольдса. Для трехмерных сдвиговых i турбулентных потоков несжимаемой жидкости уравнение баланса [Колмогоров, 1942] турбулентной кинетической энергии может быть записано в виде [Монин и Яглом, 1965]:

k tur ( k tur v + v v v + p v - v ) = R e + gv - dis, + 2 t X (1.1.6) где R = - v v -тензор напряжений Рейнольдса, p - пульсация давления, e - среднее значение тензора скоростей деформаций, - пульсация плотности, g - ускорение силы тяжести, - символ Кронекера, пульсационный тензор вязких напряжений, dis = 2(e ) 2 есть средняя ij скорость вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы пульсационным движением. Член k pr = R e в правой части уравнения (1.1.6) имеет смысл производства турбулентной энергии в единице объема в единицу времени. Обычно считают [Монин и Яглом, 1965], что этот член описывает перенос энергии между средним и пульсационным движениями.

Уравнения Рейнольдса (1.1.5) и Колмогорова (1.1.6) недостаточны для описания турбулентности без предварительного решения проблемы замыкания [Монин и Яглом, 1965]. Чтобы решить уравнение Колмогорова (1.1.6), необходимо знать напряжения Рейнольдса как функцию средней скорости потока v и турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur = k tur /.

В классической концепции Буссинеска вихревой вязкости [Boussinesq, 1897] предполагается по аналогии с вязким напряжением в ламинарной жидкости, что тензор турбулентного напряжения Рейнольдса есть линейная комбинация среднего значения тензора скоростей деформаций e ij и турбулентной кинетической энергии на единицу массы b tur [Rodi, 1987]:

R ij = v v j = 2 t e ij - b tur ij, (1.1.7) i где t - коэффициент вихревой вязкости. Заметим, что величина b tur в соотношении замыкания (1.1.7) может быть проинтерпретирована как среднее турбулентное давление p tur [Монин и Яглом, 1965, с. 332].

Действительно, если рассмотреть аналогичное соотношение связи между тензором скоростей деформаций и тензором напряжений для ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости то такая интерпретация оказывается вполне логичной. Как правило t должна быть определена эмпирически, чтобы описать реальные турбулентные потоки. Для модели Буссинеска (1.1.7) мы имеем для производства турбулентной энергии k pr посредством среднего значения тензора скоростей деформаций e ij в несжимаемой вязкой жидкости k pr = t (e ij ).

(1.1.8) Невозможно получить формулу для турбулентной кинетической энергии единицу массы b tur для трехмерного потока из выражения (1.1.7) без решения уравнений Рейнольдса (1.1.5) и Колмогорова (1.1.6). Существует возможность получить полуэмпирическую аналитическую формулу для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur для двухмерного сдвигового потока, в котором интенсивность турбулентности изменяется только в вертикальном направлении оси X 3. В этом случае имеет надежное экспериментальное обоснование [Bradshaw, Ferris and Atwell, 1967] гипотеза замыкания Таунсенда [Taundsend, 1956]:

- v1 v = 2b tur, 3 (1.1.9) или ( ) = v1 v = q 2 = v1 + v2 + v, 3 2 2 v где = 0 sign 1. Ляпидевский [Овсянников, Макаренко, Налимов, X Ляпидевский и др., 1985;

с. 142] также отмечает, что “в течениях со сдвигом скорости хорошую экспериментальную проверку получила гипотеза Таунсенда”. Числовая величина эмпирической константы 0 слабо зависит от геометрии потока и дается в диапазоне 0 = 0,15 0,17. Из размерных соображений вихревая вязкость t связана с b tur посредством соотношения [Колмогоров, 1942;

Rodi, 1987]:

t = c b tur ltur, (1.1.10) µ где ltur - характерный масштаб длины энергосодержащих турбулентных движений, т.е. энергосодержащих турбулентных образований (вихрей), c µ эмпирическая константа. Отметим, что соотношение (1.1.10) восходит к Колмогорову [Колмогоров, 1942], это соотношение является выражением знаменитой гипотезы замыкания Колмогорова [Баренблатт, 1978]. Объединяя частную форму модели Буссинеска (1.1.7) для двухмерного потока и гипотезу Таунсенда (1.1.9) с вихревой вязкостью t, даваемой выражением (1.1.10), имеем для b tur и k tur :

l tur = 2 c (e13 ), (1.1.11) b tur µ l tur = 2 c (e13 ), k tur (1.1.12) µ 1 v где e13 = - среднее значение компоненты e13 (средний вертикальный 2 X сдвиг скорости) тензора скоростей деформаций e ij. Полученные формулы (1.1.11) и (1.1.12) показывают, что турбулентная кинетическая энергия единицы массы b tur и единицы объема k tur пропорциональны квадрату среднего вертикального сдвига скорости. Таким образом, объединение концепций Буссинеска [Boussinesq, 1897], Таунсенда [Taundsend, 1956] и Колмогорова [Колмогоров, 1942] приводит к полуэмпирическим аналитическим формулам (1.1.11) и (1.1.12) для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur и единицы объема k tur. Следовательно, мы можем заключить из формул (1.1.11) и (1.1.12), что классическая полуэмпирическая теория турбулентности приводит к выводу, что сдвиг скорости содержит турбулентную кинетическую энергию.

1.2. Дифференциальное уравнение баланса массы Пусть - скалярная функция пространственно–временных координат (r, t ) : = (r, t ). Рассмотрим интеграл по (объему) жидкой частицы :

( t ) = dV = (r, t )dV.

Воспользуемся определением жидкого объема, которое приводится у Кочина [Кочин, 1961;

с. 256]: “мы называем объем жидким, если он во все время движения сплошной среды состоит из одних и тех же частиц этой среды”. Очевидно, что “жидкий объем с течением времени будет деформироваться” [Кочин, 1961;

с. 256]. Из определения жидкого объема ясно, что вопрос о трансформации жидкого объема на несвязанные части Кочиным [Кочин, 1961] не рассматривается. Показано [Кочин, 1961], что субстанциональная производная от ( t ) вычисляется по формуле:

d ( t + t ) ( t ) d = dV = ( dV + div (v)dV). (1.2.1) = lim = lim dt t 0 t t 0 t t dt Выражение (1.2.1), используя тождество div(v ) = div v + v grad, можно переписать в виде (предполагая тождественность обозначения Dd субстанциональной производной по жидкому объему):

Dt dt D dV = t dV + ( div v + v grad )dV. (1.2.2) Dt D + v grad, перепишем (1.2.2) в виде Используя тождество = Dt t D D dV = + div v dV. (1.2.3) Dt Dt Воспользуемся тождеством (1.2.3) для = (r,t ) - локальной плотности жидкости:


D D dV = Dt + div v dV. (1.2.4) Dt Так как масса жидкой частицы dV = m остается постоянной в силу определения жидкой частицы как состоящей при движении из одной и той же D dV = 0, следовательно, мы имеем субстанции, то Dt D Dt + div v dV = 0 (1.2.5) для любого жидкого объема в любой момент времени t, следовательно необходимо, чтобы было выполнено условие, называемое уравнением неразрывности [Batchelor, 1967]:

D + div v = 0. (1.2.6) Dt Пусть жидкость несжимаема, т.е. при движении любого жидкого элемента D жидкой частицы, его плотность остается неизменной, т.е. = 0, тогда в Dt силу уравнения (1.2.6) имеем условие несжимаемости div v = 0.

Выведем полезное тождество:

D D dV = Dt dV, (1.2.7) Dt которое будет использоваться ниже. Для вывода (1.2.7) положим формально в (1.2.4) вместо величину, получим D D dV = Dt () + div v dV. (1.2.8) Dt Имеем D D D () = +.

Dt Dt Dt Тогда в правой части (1.2.8) получим:

D D D Dt + Dt + div v dV = Dt dV, в силу использования уравнения неразрывности, называемого также уравнением сохранения массы.

Итак, при выводе формулы (1.2.2) для субстанциональной производной от интеграла ( t ) предполагалось, что жидкий объем в процессе деформации во время движения сплошной среды состоит из одних и тех же частиц этой среды. Содержание этого предположения является следствием аксиомы непрерывности, которая гласит: “Любая деформация может быть описана лишь однозначными преобразованиями, имеющими непрерывные производные нужного порядка”, [Дьярмати, 1974;

с. 31]. Действительно, “Из аксиомы непрерывности следует, что при движении непрерывной среды область всегда переходит в область, поверхность в поверхность, а кривая - в кривую. Другое следствие аксиомы непрерывности состоит в том, что если материя, заключенная в бесконечно малом элементе объема непрерывной среды, рассматривается как "частица", то отдельные "частицы", участвующие в движении согласно (1.6), всегда остаются отдельными и сохраняют свою индивидуальность” [Дьярмати, 1974;

с. 32]. Поэтому, из этого следует, что жидкий объем в процессе деформации во время движения сплошной среды состоит из одних и тех же частиц этой среды и является жидким объемом в смысле определения Кочина [Кочин, 1961].

Теперь выделим мысленно жидкую частицу в потоке жидкости и будем следить за ней, т.е. рассмотрим подход Лагранжа. Жидкая частица может включать в себя несколько вихрей в поле скорости. Возникает вопрос: можно или нет однозначно ответить на вопрос первостепенной важности: если мы в данный момент выделили некоторый достаточно гладкий объем жидкости в трехмерном пространстве, то при его движении и деформации сохранит ли он свою индивидуальность в смысле определения Дьярмати [Дьярмати, 1974, с. 32] или нет? Под сохранением индивидуальности выделенного объема понимаем такое изменение его структуры, которое не меняет содержимое этого объема. Для этого необходимо, чтобы трансформация объема происходила на основе аксиомы непрерывности, когда “область всегда переходит в область, поверхность в поверхность, а кривая в кривую” [Дьярмати, 1974, с. 32]. Для сохранения индивидуальности объема при движении необходимо, чтобы не происходило превращения объема в некоторую "амебу" с отрыванием ножек в процессе трансформации объема, т.е. необходимо, чтобы один выделенный объем не разделялся в процессе эволюции на два несвязанных так, чтобы частицы, первоначально входящие в один объем, не разошлись по двум другим несвязанным объемам. Для ответа на вопрос о сохранении или несохранении индивидуальности некоторого выделенного объема жидкости недостаточно решать задачу Коши для уравнения Навье-Стокса с некоторыми начальными данными. Ответ на этот вопрос не может решаться на основе численного решения уравнения Навье Стокса, которое само вытекает из предположения о сохранении индивидуальности некоторого выделенного жидкого объема на небольших интервалах времени. Если превращения топологической структуры жидких объемов возможны, то, чтобы оставить в силе классический вывод уравнений Навье-Стокса (основанный на анализе баланса сил, действующих на жидкую частицу), необходимо рассматривать жидкую частицу достаточно больших размеров, чтобы можно было пренебречь на некотором интервале времени неравновесными процессами, которые разрушают индивидуальность некоторого выделенного жидкого объема.

В качестве времени жизни некоторой области вязкой жидкости (характеризуемой коэффициентом кинематической молекулярной вязкости ) с линейным размером l Пригожиным и Николисом [Пригожин и Николис, 1990] предлагается использовать соотношение l t (l ) =, (1.2.9) аналогичное соотношению для времени вязкой релаксации, введенному Миропольским [Миропольский, 1981] для внутренних гравитационных волн.

Вопрос о сохранении индивидуальности некоторого выделенного объема жидкости тесно связан с проблемой турбулентности. Согласно Ландау и Лифшицу [Ландау и Лифшиц, 1988], локально турбулентность определяется градиентом скорости. Локальная структура поля скорости в общем случае определяется тензором скоростей деформаций e и v v. Фактически движение жидкости в завихренностью турбулентном потоке можно представить как взаимодействие поля завихреннности v v с тензорным полем скоростей деформаций e в жидких частицах, которые своими перифериями взаимодействуют друг с другом, выбрасывая "протуберанцы" в окружающую их жидкость [Овсянников, Макаренко, Налимов, Ляпидевский и др. 1985]. Выбрасывание "протуберанцев" приводит к изменению топологической структуры выделенного объема и к турбулентному перемешиванию, когда частицы, первоначально находящиеся в одной жидкой частице, со временем распределяются (рассеиваются) по окружающему пространству.

Здесь прослеживается аналогия с "перемешиванием", которое может осуществляться, как отмечалось Пригожиным и Стенгерс [Пригожин и Стенгерс, 1986], в динамических системах с перемешиванием, когда, наблюдая за эволюцией ячейки, мы “увидим, как она начинает деформироваться и изгибаться, испуская, подобно амебе, "псевдоножки" по всем направлениям и распространяясь в виде волокон, которые постепенно становятся все тоньше, пока, наконец, не заполнят все пространство. Ни один самый искусный рисунок не может по достоинству передать всей сложности реальной ситуации”. Возможно, две точки, расположенные первоначально в одном жидком объеме сколь угодно близко, могут разойтись в разные стороны аналогично, как в ходе эволюции системы с перемешиванием две точки, сколь угодно близкие в начальный момент времени, могут разойтись в разные стороны. Пригожин и Стенгерс [Пригожин и Стенгерс, 1986] пишут о динамических системах с перемешиванием: “Даже если бы мы располагали столь обширной информацией о системе, что начальная ячейка, образованная представляющими ее точками, была бы очень мала, динамическая эволюция превратила бы эту миниатюрную область в настоящее геометрическое "чудовище", пронизывающее фазовое пространство своими нитями щупальцами”. Так, в “преобразовании пекаря”, приводящемся Пригожиным и Стенгерс [Пригожин и Стенгерс, 1986] как пример преобразования, которое переводит каждую точку квадрата в однозначно определенную новую точку, начальная ячейка А, каковы бы ни были её размеры и расположение в квадрате, распадется на отдельные несвязанные части после достаточного числа преобразований. На этом примере Пригожин и Стенгерс [Пригожин и Стенгерс, 1986] показывают, что “несмотря на то, что эволюция каждой ячейки в отдельности обратима и детерминирована, описание эволюции любой, даже сколь угодно малой области, носит, по существу, статистический характер”.

Понятно, что для турбулентных движений аксиома непрерывности, требующая сохранения индивидуальности некоторого выделенного объема жидкости, не выполняется. Этот вывод согласуется с выводом работы [Белоцерковский, Опарин, Чечеткин, 2003] об отсутствии лагранжевых переменных для турбулентного движения жидкости. Поэтому для рассмотрения турбулентных потоков жидкости в главах 4, 6, 7, 8 и 9 будут применяться статистические методы. Применение статистических методов обусловлено статистической природой турбулентности. В параграфе (посвященному турбулентности) своей монографии [Зоммерфельд, 1954] Зоммерфельд отмечает, что “такие знатоки этого вопроса, как Карман и Тейлор, в своих работах в ряде мест склонялись к мнению, что турбулентность, подобно теории газов, может быть истолкована только с помощью статистических методов”. Анализируя применение методов теории вероятностей, Пуанкаре “заметил, что когда мы бросаем игральные кости и прибегаем к теории вероятностей, то это отнюдь не означает, будто динамика неверна. Применение вероятностных соображений означает нечто другое.

Мы используем понятие вероятности, потому что в любом диапазоне начальных условий, сколь бы малым он ни был, существует "много" траекторий приводящих к выпадению каждой из граней кости” [Пригожин, Стенгерс, 1986].

1.3. Внутреннее вращение и сдвиг скорости в классической неравновесной термодинамике и проблема турбулентности Дьярмати [Дьярмати, 1974] приводит вывод обобщенного уравнения Навье-Стокса, в котором содержится помимо постоянных коэффициентов сдвиговой и объемной v вязкости, также и постоянный (не зависящий от пространственных координат) коэффициент вращательной вязкости r :

( ) Dv + p - F v 1 + grad div v - r [ (2 - v )] = 0, (1.3.1) Dt где “ обозначает вектор средней угловой скорости, относящейся к внутреннему вращению” [Дьярмати, 1974;

с. 227]. Переменная также называется “средней внутренней угловой скоростью составляющих частиц” [Дьярмати, 1974;

с. 228]. Это же уравнение (1.3.1) приводится в монографии Де Гроота и Мазура [Де Гроот и Мазур, 1964;

с. 283], и под ими также понимается “средняя угловая скорость частиц в каждой точке жидкости (газа)”. Таким образом, переменная в уравнении (1.3.1) означает среднюю угловую скорость частиц жидкости в точке пространства dV, = = (1.3.2) N dV где осреднение производится по некоторой области трехмерного пространства, которую можно разбить на N макроскопических подобластей, в каждой из которых переменная имеет среднее значение (рис. 1).


Рис.1. Осреднение угловой скорости вращения по области В обобщенное уравнение Навье-Стокса (1.3.1) входит дополнительная сила Fr = r [ (2 - v )], (1.3.3) определяемая коэффициентом вращательной вязкости r и “вихрями гидродинамического поля скоростей ( rot v ) и средней внутренней угловой скоростью составляющих частиц ( )” [Дьярмати, 1974;

с. 228].

Рассмотрим физические эффекты вязкости. Известно, что сдвиговая вязкость сглаживает градиенты скорости при первоначальном движении слоев с разной скоростью. Вращательная вязкость r приводит к вращательному движению частиц жидкости как одного твердого целого, то есть к твердотельному вращению. Де Гроот и Мазур [Де Гроот и Мазур, 1964;

с. 286], а также Дьярмати [Дьярмати, 1974;

с. 232] получили дифференциальное уравнение = 2r ( v - 2 ), (1.3.4) & “которое описывает эволюцию во времени величины ” [Дьярмати, 1974;

с.

232). Рассматривая случай, когда “ rot v = v имеет во всех точках приближенно одинаковое значение, а скорость (угловая) в начальный момент времени равна нулю”, Де Гроот и Мазур [Де Гроот и Мазур, 1964], а также Дьярмати [Дьярмати, 1974;

с. 232] получили из уравнения (1.3.4) следующее выражение, описывающее эволюцию во времени:

t 1 1 - e r, = rot v (1.3.5) 2 где время вращательной релаксации определяется выражением:

r =. (1.3.6) 4 r Выражение (1.3.5) показывает, что гидродинамический вектор завихренности rot v стремится к удвоенной угловой скорости внутреннего вращения при стремлении к нулю экспоненциального члена, т.е. rot v 2 при t.

При t стремится к нулю также сила Fr = r ( (2 v )) в уравнении (1.3.1), т.е. стремится к нулю “взаимодействие между вихрями макроскопического поля скоростей и внутренним вращательным движением частиц”, [Дьярмати, 1974;

с. 233). При rot v 2 антисимметричная часть П a = r (2 v ) (1.3.7) тензора давлений также стремится к нулю [Де Гроот и Мазур, 1964;

с. 286] и тензор давления становится симметричным.

Итак, выбрасывание члена Fr = r ( (2 v )) с вращательной вязкостью из обобщенного уравнения движения гидродинамики (1.3.1) и переход к классическому уравнению Навье-Стокса означает, что мы рассматриваем только симметричный тензор гидродинамического давления [Де Гроот и Мазур, 1964;

с. 286]. Формально этот переход означает, что мы фактически убираем член Fr = r ( (2 v )) в уравнении (1.3.1). Это можно сделать, если в любой момент времени выполняется соотношение rot v = 2, означающее, что исчезает взаимодействие между вихрями макроскопического поля скоростей ( rot v ) и внутренним вращательным движением жидких частиц ( ). Или, что то же самое, исчезает взаимодействие между вихрями макроскопически осредненного поля угловых скоростей внутреннего вращения и локальным вращательным движением жидких частиц с угловой скоростью rot v / 2. Это означает, что жидкие частицы локально вращаются как одно твердое целое, находясь в состоянии локального термодинамического равновесия [Ландау и Лифшиц, 1976]. Это фактически обосновывает определение макроскопической кинетической энергии единицы массы k в классической неравновесной термодинамике [Де Гроот и Мазур, 1964;

Дьярмати, 1974] как суммы поступательной (трансляционной) кинетической энергии единицы массы v t = центра масс жидкой частицы и макроскопической внутренней 1 вращательной кинетической энергии единицы массы r = 1 k = t +r = v2 + 2, (1.3.8) 2 где v - вектор скорости центра масс элемента жидкости, есть “средняя угловая скорость частиц в каждой точке жидкости (газа)”, “есть (средний) момент инерции на единицу массы частиц, составляющих систему” [Де Гроот и Мазур, 1964, с. 283]. Определение (1.3.8) Де Гроота и Мазура [Де Гроот и Мазур, 1964] и Дьярмати [Дьярмати, 1974] макроскопической кинетической энергии единицы массы k основано на предположении локального термодинамического равновесия, поскольку это определение не учитывает неравновесную сдвиговую компоненту гидродинамической скорости v, связанную с тензором скоростей деформаций e ij. Формула для полной удельной кинетической энергии (1.3.8) является приближенной, так как она фактически является выражением кинетической энергии для твердого тела. Известно, что только твердотельное вращательное движение и макроскопическое поступательное движение могут находится в состоянии термодинамического равновесия [Ландау и Лифшиц, 1976]. Де Гроот и Мазур [Де Гроот и Мазур, 1964] отмечали, что предположение о локальном термодинамическом равновесии может быть оправдано только разумным соответствием экспериментальных результатов и теоретических выводов, основанных на этом предположении. Отметим, что Де Гроот и Мазур [Де Гроот и Мазур, 1964], а также Дьярмати [Дьярмати, 1974] вводят чисто феноменологически коэффициент вращательной вязкости r. Время вращательной релаксации r определяется выражением (1.3.6). Де Гроот и Мазур [Де Гроот и Мазур, 1964], а также Дьярмати [Дьярмати, 1974] предполагают, что время вращательной релаксации достаточно мало, что может осуществиться, если коэффициент вращательной вязкости достаточно велик.

Учет кинетической энергии вращения в гидродинамике происходит в форме энстрофии Э, определяемой как интеграл по всему трехмерному евклидовому пространству R 3 :

Э= 2 dV (1.3.9) v 2R от квадрата гидродинамической завихренности v. Действительно, рассмотрим кинетическую энергию вращения твердого тела [Савельев, 1991;

с. 102]:

K r = i k I ik. (1.3.10) 2 i,k = Если оси, связанные с телом x1, x2, x3, совпадают с главными осями инерции, то имеем 1 K r = I11 + I 2 2 + I 3 3.

2 (1.3.11) 2 Если I1 = I 2 = I 3, то имеем K r = (1 + 2 + 3 )I1 = 2 I1.

12 (1.3.12) 2 Просуммируем вращательную кинетическую энергию K r по всем кубическим ячейкам пространства. Вращательная кинетическая энергия течения в кубической области, содержащей N ячеек, есть 1 N N K R = i m i i2 = i m i i2. (1.3.13) i =1 2 2 i = Полная вращательная кинетическая энергия течения во всем трехмерном евклидовом пространстве R 3 есть 1 1 N K R = i m i lim i2 = i m i dV. (1.3.14) 2 N i =1 2 2 R Очевидно, что K R 0. Все моменты инерции единицы массы i и массы ячеек m i равны в приближении Буссинеска, когда изменением плотности в жидкой частице можно пренебречь. Квадрат угловой скорости вращения для каждой ячейки i есть i = i21 + i22 + i23. Учитывая, что v = 2 [Дьярмати, 1974], получим 1 1 K R = i m i ( v / 2) 2 dV = i m i v dV = i m i Э. (1.3.15) 2 8 3 R R Мы видим, что полная вращательная кинетическая энергия K R течения во всем трехмерном евклидовом пространстве R 3 пропорциональна полной энстрофии Э. Если в невязком классическом (описываемом уравнением Эйлера) случае энстрофия v dV = const, т.е. является инвариантом, то при учете вязкости суммарная энстрофия будет уменьшаться как за счет сдвиговой вязкости, так и вращательной. Таким образом, один из способов учета вращательной кинетической энергия состоит в использовании энстрофии. Сохранение энстрофии 2 dV и полной вращательной v кинетической энергии K R эквивалентно в идеальной жидкости при отсутствии вязкости. Можно предположить, что в теории гидродинамической турбулентности макроскопическая вращательная кинетическая энергия также учитывается другим неявным образом (помимо энстрофии Э) в форме “энергии пульсаций”, “пульсационной энергии” или “кинетической турбулентной энергии”. Это предположение соответствует пониманию Скорера [Скорер, 1980] “механизма турбулентности как хаотического вихревого движения”, которое “несет в себе энергию” [Скорер, 1980;

с. 278]. Пульсации гидродинамических и термодинамических полей возникают благодаря прохождению через точку пространства вихрей различных масштабов. Турбулентные вихри, согласно Ландау и Лифшицу [Ландау и Лифшиц, 1988], вызывают пульсации гидродинамических полей. В принципе, если исходить из уравнений Рейнольдса, то возникает задача (проблема) замыкания. Замыкание уравнения Рейнольдса вида [Баренблатт, 1978]:

u u w = K (1.3.16) z есть фактически учет кинетической энергии турбулентных вихрей, включив ее в неявном виде в корреляцию u w в выражение (1.3.16), в котором u, w являются соответственно пульсациями продольной и вертикальной компонент скорости, K t - коэффициент турбулентного обмена импульсом (вихревая вязкость). Выражение (1.3.16) показывает, что градиент средней гидродинамической скорости является источником пульсаций гидродинамической скорости. Более того, согласно уравнению (1.1.6) баланса турбулентной кинетической энергии [Колмогоров, 1942] именно градиент средней скорости, выраженный через усредненный тензор скоростей деформаций e, является источником производства турбулентной энергии в единице объема в единицу времени k pr = R e.

Определение (1.3.8) Де Гроота и Мазура [Де Гроот и Мазур, 1964] и Дьярмати [Дьярмати, 1974] макроскопической кинетической энергии единицы массы k и предположение локального термодинамического равновесия обосновывает моделирование вихрей в виде "твердых образований" в некоторых ранних работах по теории турбулентности, в частности, в работе Николаевского [Николаевский, 1984;

с. 274]. Именно твердотельным вращением турбулентных вихрей Николаевский моделировал турбулентность. Такой подход явно не учитывает то, что турбулентные вихри взаимодействуют и происходит их слияние. В турбулентном потоке существует среднее поле завихренности v, а завихренности отдельных вихрей различны. Вихри взаимодействуют своими границами друг с другом, за счет этого происходит изменение поля средней завихренности v = 2, перераспределяются завихренности vi отдельных вихрей (см. рис. 1) и происходит их слияние. Можно рассматривать турбулентность как ансамбль турбулентных вихрей с некоторым распределением rot v и div v. Зная поле завихренности rot v и дивергенции вектора скорости eii div v для каждого момента времени, можно теоретически рассчитать поле скорости v, следуя методу, изложенному у Кочина [Кочин, 1961], Бетчелора [Batchelor, 1967] и Седова [Седов, 1994]. Для несжимаемой жидкости ( div v = 0 ) можно в принципе предположить, что динамика турбулентного поля скорости определяется только rot v, не завися от дивергенции вектора скорости.

Дивергенция вектора скорости есть след тензора скоростей деформаций, а пренебречь недиагональными компонентами тензора скоростей деформаций по-видимому нельзя при моделировании турбулентности на что есть веские экспериментальные доводы. В работе [Stillinger, Helland and Van Atta, 1983] определили максимальный размер опрокидывающихся турбулентных вихрей в турбулентном течении генерируемом гидродинамическими решетками как lT = 2L t, (1.3.17) где число 2 возникает из простой твердотельной модели вращения турбулентных вихрей, L t есть статистический опрокидывающийся (overturning) турбулентный масштаб ( ) L t 2 / / X 3, (1.3.18) который был введен Эллисоном [Ellison, 1957], здесь X 3 - вертикальная координата, - средняя плотность, = - - пульсация плотности. Однако в работе [Itsweire, 1984] получено из лабораторных экспериментов с турбулентностью, генерируемой решетками, что максимальный размер вращающихся турбулентных вихрей (средний вертикально измеренный опрокидывающийся (overturning) размер Торпа) lT существенно меньше, чем 2L t. Существенная поправка дается следующим соотношением (смотри также [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]):

lT 1,2L t (1.3.19) “пока поток содержит опрокидывающиеся (overturning) турбулентные вихри и интенсивность поля внутренних волн остается малой”. Это говорит о том, что модель твердотельного вращения турбулентных вихрей явно непрактична для моделирования турбулентности, генерируемой решетками.

Отличие соотношения (1.3.19) от соотношения (1.3.17), основанного на твердотельной модели вращения турбулентных вихрей, говорит о важности сдвига скорости и недиагональных компонент тензора скоростей деформаций e ij в турбулентном течении, генерируемом гидродинамичес-кими решетками.

В принципе это вполне понятно, так как в выражении (1.3.16) фигурирует 1 u, являющаяся именно недиагональная осредненная компонента e13 = 2 z источником пульсаций гидродинамической скорости. Нет никаких оснований предполагать, что недиагональные неосредненные компоненты тензора скоростей деформаций e ij не важны в динамике турбулентных течений.

Большинство течений жидкости в океане и потоков воздуха в атмосфере имеет сдвиг скорости. При этом известно, что сдвиговые потоки невязкой жидкости не находятся в состоянии термодинамического равновесия [Ландау и Лифшиц, 1976]. Рассматривая динамические эффекты сдвига скорости в работе [Ka-Kit Tung et al., 1981] было предположено, что “сдвиг представляет дополнительный источник энергии”. Рассматривая эволюцию стратифицированной турбулентности Гибсон [Gibson, 1987] заключил, что турбулентные явления “выделяют кинетическую энергию из окружающего сдвига” скорости. Это также означает, что сдвиг скорости представляет дополнительный источник энергии. Симоненко [Simonenko, 1992] также предполагал, что сингулярный сдвиг скорости (тангенциальный разрыв скорости) на границе раздела двух идеальных жидкостей с различными плотностями содержит “внутреннюю сдвиговую энергию”.

На основании изложенного можно заключить, что сдвиг скорости, определяемый тензором скоростей деформаций e ij, является источником макроскопической кинетической энергии и существенен, как и вектор завихренности, для реальной динамики турбулентных движений в океане, атмосфере и различных технических устройствах.

На основании изложенного можно заключить, что сдвиг скорости, определяемый тензором скоростей деформаций e ij, является источником макроскопической кинетической энергии и существенен, как и вектор завихренности, для реальной динамики турбулентных движений в океане, атмосфере и различных технических устройствах. Сдвиг скорости (e ij ) определяет ньютоновский тензор напряжений Т с компонентами [Gyarmati, 1970]:

2 Tij = p + - v div v ij + 2 e ij, (1.3.20) 3 подстановка которых в общее уравнение движения [Gyarmati, 1970]:

Dv (1.3.21) = div T + g Dt приводит к уравнению Навье-Стокса. Турбулентные “взрывы” со дна [Баренблатт, 1978;

c. 181] в ядро сдвигового потока проясняют физический механизм турбулентности, связанный с коллективным движением отдельных жидких частиц, а не отдельных молекул. Соотношение замыкания (1.1.9) Таунсенда показывает, что в образовании турбулентных напряжений Рейнольдса в турбулентном потоке ответственны коллективные эффекты перескока не отдельных молекул, а отдельных жидких частиц. Поэтому, при очень больших числах Рейнольдса турбулентное движение жидкости бесполезно моделировать, решая численно уравнение Навье-Стокса, основанное на молекулярном механизме: баланс напряжений определяется турбулентными коллективными процессами. В соответствии с этим выводом приведем точку зрения Лаврентьева и Шабата, что “турбулентное движение вязкой жидкости, как известно, не описывается замкнутой системой уравнений – в каждом конкретном случае для получения такой системы приходится выдвигать дополнительные гипотезы, т. е. рассматривать какую либо модель движения” [Лаврентьев и Шабат, 1977;

c. 334]. К аналогичной точке зрения приводят результаты численных экспериментов [Белоцерковский, Опарин, Чечеткин, 2003;

c. 17], на основании которых делается заключение, что “структура уравнений Навье-Стокса приводит к большим численным эффектам при численном моделировании турбулентности при больших числах Рейнольдса”, из чего делается вывод, “что в прямой постановке задача о детальном изучении на основе модели Навье-Стокса развитых крупномасштабных турбулентных структур при очень больших числах Рейнольдса, вероятно, трудновыполнима даже при использовании самых мощных ЭВМ” [Белоцерковский, Опарин, Чечеткин, 2003;

c. 18]. На основании этого заключения О.М. Белоцерковский, А.М.

Опарин и В.М. Чечеткин предполагают (в соответствии с тем, “как справедливо отмечается В.В. Струминским” [Белоцерковский, Опарин, Чечеткин, 2003;

c. 18]), что “основная форма движения материи – турбулентная – должна описываться законами механики и физики без привлечения дополнительных гипотез и предположений … Из уравнений механики и статистики получено уравнение Больцмана, а из уравнения Больцмана, как было показано, вытекают уравнения Навье-Стокса, непосредственно описывающие только ламинарные течения. Основной класс турбулентных движений, по-видимому, где-то потерян, из чего следует необходимость проведения более тщательных исследований” [Кочин, Кибель, Розе, 1963;

Тихонов, Арсенин, 1986].

На основании изложенного мы не используем далее уравнение Навье Стокса при теоретическом моделировании коллективных процессов в мелкомасштабной развитой турбулентности.

Глава НОВЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МАЛОЙ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ 2.1. Макроскопическая кинетическая энергия в классической неравновесной термодинамике Большинство течений в атмосфере и океанах обладают сдвигом скоро сти. Хорошо известно, что сдвиговые потоки невязкой жидкости не находят ся в локальном термодинамическом равновесии [Ландау и Лифшиц, 1976] вследствие сдвига скорости, определяемого тензором скоростей деформаций e ij. Волновые боры, образующиеся вверх по течению от подводных банок [Farmer and Smith, 1980;

Коган и Cимоненко, 1992] внутренние гидравличе ские прыжки [Holloway, 1987;

Navrotsky, Lazaryuk and Simonenko, 1992], и внутренние приливные волны [Baines, 1973, 1982;

Новотряcов и Cимоненко, 1989], генерирующиеся около границ шельфов, являются естественными не равновесными процессами вследствие сдвига скорости. В локальном термо динамическом равновесии могут находиться только твердотельное враща тельное и макроскопическое поступательное движения жидкости [Ландау и Лифшиц, 1976]. Хорошо известно также, что классическая неравновесная термодинамика [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] основывается на предположении локального термодинамического равновесия.

Макроскопическая кинетическая энергия единицы массы k была оп ределена в классической неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] как сумма поступательной кинетической энергии еди ницы массы t = Vc2 центра масс жидкой частицы и макроскопической внутренний вращательной кинетической энергии единицы массы 1 r = :

1 k = t + r = Vc2 + 2, (2.1.1) 2 где Vc v - вектор скорости центра масс жидкой частицы, - “средняя угловая скорость частиц в каждой точке жидкости”, - “(средний) момент инерции частиц на единицу массы” [de Groot and Mazur, 1962;

с. 283]. Внут ренняя энергия малой макроскопической термодинамической системы опре деляется [Ландау и Лифшиц, 1976] как разность между общей энергией E и макроскопической поступательной кинетической энергией K t термодинами ческой системы. Член 2 в формуле (2.1.1) является внутренней энерги ей макроскопического гидродинамического движения в соответствии с опре делением в монографии [Ландау и Лифшиц, 1976]. Следовательно, определе ние члена 2 в классической неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962] находится в соответствии с определением [Ландау и Лифшиц, 1976] внутренней энергии малой термодинамической системы. Однако фор мула (2.1.1) не учитывает неравновесную сдвиговую компоненту макроско пического движения жидкости, связанную с тензором скоростей деформаций e ij. Определение (2.1.1) фактически основывается на предположении локаль ного термодинамического равновесия, поскольку оно не учитывает неравно весную сдвиговую компоненту макроскопического движения жидкости, свя занную с тензором скоростей деформаций e ij.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.