авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный экономический университет ...»

-- [ Страница 2 ] --

Ландау и Лифшиц [Ландау и Лифшиц, 1988] высказали важное замеча ние, что “строго говоря, в термодинамически неравновесной системе, како вой является жидкость при наличии в ней градиентов скорости и температу ры, обычные определения термодинамических величин теряют смысл и должны быть уточнены”. Ландау и Лифшиц [Ландау и Лифшиц, 1988] сдела ли заключение, что “разложение энтропии по степеням малых градиентов в окрестности термодинамического равновесия может содержать (помимо ну левого члена) лишь члены начиная со второго порядка”. Так как дифферен циал энтропии линейно связан с дифференциалом внутренней энергии в си лу соотношений Гиббса [de Groot and Mazur, 1962], поэтому из заключения, сделанного Ландау и Лифшицем [Ландау и Лифшиц, 1988], вытекает, что и разложение внутренней энергии по степеням малых градиентов скорости в окрестности термодинамического равновесия может содержать (помимо ну левого классического члена) лишь члены начиная со второго порядка. В ре зультате внутренняя энергия макроскопического сдвигового движения жид кости должна быть квадратичной функцией тензора скоростей деформаций e ij. Таким образом, из этого следует, что сдвиг скорости представляет допол нительный источник энергии.

При анализе эволюции стратифицированной турбулентности [Gibson, 1987] был сделан вывод, что вторичные турбулентные явления извлекают кинетическую энергию из окружающего сдвига скорости. Это означает, что сдвиг скорости представляет дополнительный источник кинетической энер гии. В работе [Simonenko, 1992] также постулировалось, что тангенциальный разрыв скорости на границе двух идеальных жидкостей с различными плот ностями содержит “внутреннюю сдвиговую энергию”.

Целью главы 2 является проверка гипотезы, что сдвиг скорости содер жит кинетическую энергию. Другими словами, мы проверим гипотезу о зави симости макроскопической кинетической энергии малой жидкой частицы в стратифицированном сдвиговом трехмерном потоке от тензора скоростей деформаций e ij.

2.2. Макроскопическая кинетическая энергия малой жидкой частицы Выведем аналитическую формулу для макроскопической кинетиче ский энергии на единицу массы k (малой жидкой частицы в стратифици рованном сдвиговом вихревом трехмерном потоке жидкости) на основе клас сического теоретического подхода механики сплошных сред [Ландау и Лиф шиц, 1953;

Batchelor, 1970;

Седов, 1994] и сравним ее с определением (1.1) данным в работах [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970]. Будем рассмат ривать малую но макроскопическую жидкую частицу с точки зрения ста тистической физики [Ландау и Лифшиц, 1976]. Будем считать, что есть ма лая жидкая частица, ограниченная замкнутой поверхностью в трехмерном евклидовом пространстве. Будем наблюдать движение жидкой частицы в инерциальной правой декартовой системе координат K с началом в точке O и с осями X 1, X 2, X 3. Единичная нормальная координатная триада векторов µ 1, µ 2, µ 3, образующих базис системы координат K, взята в направлениях осей X 1, X 2, X 3 соответственно. Вектор µ 3 взят ради простоты вертикально вверх в направлении, противоположном локальному вектору гравитационно го ускорения g (см. рис. 2).

Произвольная точка P в трехмерном физическом пространстве одно значно определяется радиус-вектором r = X i µ i (X1,X 2, X 3 ), начинаю щимся в точке O и заканчивающимся в точке P. Связанная с жидкой части цей лагранжева система координат K с осями x 1, x 2, x 3 помещается в цен тре масс C жидкой частицы. Берем оси x 1, x 2, x 3 параллельно осям X 1, X 2, X 3 : ось xi параллельна оси X i, соответственно, где i=1, 2, 3. Единич ная нормальная координатная триада векторов 1, 2, 3, образующих базис K, взята в направлениях осей x 1, x 2, x 3, соответственно. Дифференциал r x i i ( x1, x 2, x 3 ) радиус-вектора r, выраженный через декартовы ко ординаты x i (i=1, 2, 3) в системе координат K, начинается в центре масс C жидкой частицы и заканчивается в произвольной точке P жидкой частицы.

Точка центра масс C жидкой частицы в системе координат K зада ется радиус-вектором m rdV, rc = (2.2.1) где m = dV - масса жидкой частицы, dV = dX1dX 2 dX 3 - дифференци ал физического объема жидкой частицы, (r, t ) - локальная плотность распределения массы, r - радиус-вектор жидкого объема dV.

Рис. 2. Декартова система координат K инерциальной системы отсчета и связанная с центром масс C система координат K Лагранжа Скорость центра масс C жидкой частицы дается в виде vdV Drc = Vc =, (2.2.2) m Dt Dr где v = - локальный гидродинамический вектор скорости, t - время, опе Dt ратор D / Dt = / t + v обозначает субстанциональную производную [Gyarmati, 1970;

Batchelor, 1967;

Ландау и Лифшиц, 1988]. Предполагается, что трехмерные поля скорости и плотности массы изменяются непрерывно на протяжении всего жидкого объема. Также предполагается, что первые и вто рые производные этих полей изменяются непрерывно.

Макроскопическая кинетическая энергия жидкой частицы дается вы ражением [Седов, 1994]:

v K = dV. (2.2.3) Здесь и далее используется обычный интеграл Римана. Имеем разложение вектора гидродинамической скорости v (r ) в ряд Тейлора для анализа отно сительного жидкого движения в системе координат K для произвольного момента времени t, в окрестности радиус-вектора rc центра масс C жидкой частицы :

e ij (rc )r j v (rc + r ) = v (rc ) + (rc ) r + µi + i, j= 1 3 2 vi rjrk µi + v res, + (2.2.4) 2 i, j,k=1X j X k где v (r ) (v1 (r ), v 2 (r ), v 3 (r )) - вектор гидродинамической скорости;

r r rc (r1, r2, r3 ) (x1, x 2, x 3 ) - дифференциал радиус-вектора r ;

(r ) [ v (r ) ] = ( 1, 2, 3 ) - вектор угловой скорости внутреннего враще ния жидкого элемента (половина вектора завихренности v (r ) [ v (r ) ];

1 v i ( r ) v j ( r ) - тензор скоростей деформаций, где i, j = 1, 2, 3;

+ e ij (r ) = 2 X j X i wµ v res = - малая остаточная часть разложения Тейлора (2.2.4), где i i i= w i = O(d ), (i= 1, 2, 3), d = max rs2 - диаметр жидкой частицы, вектор rs A, B начинается в точке A и заканчивается в точке B поверхности. Члены раз ложения Тейлора (2.2.4) линейные относительно r представлены в класси ческой форме [Batchelor, 1967].

Подставив разложение Тейлора (2.2.4) вектора гидродинамической скорости v (r ) в интеграл (2.2.3), получим формулу, связывающую скорость Vc центра масс C жидкой частицы и скорость течения v (rc ) в точке цен тра масс C жидкой частицы vdV 2 vi 1 3 = v (rc ) + X X J jk µ i + O w i µ i. (2.2.5) Vc = m 2m i, j,k =1 j k i =1 где J jk - классический макроскопический центробежный тензор инерции [Айзерман, 1980] рассматриваемой жидкой частицы.

Подставляя (2.2.4) в (2.2.3), используя при этом (2.2.5), и интегрируя по частям, получим формулу для K [Simonenko, 2004;

2005;

2006]:

1 I ik i (rc ) k (rc ) K = K t + K r + Ks + K co u p = m Vc2 + + K res + s,r 2 i,k= 13 J jk e ij (rc )e ik (rc ) + ijk J jm i (rc ) e km (rc ) + K res, + (2.2.6) 2 i, j,k=1 i, j,k,m = где I ik - классический макроскопический тензор инерции [Айзерман, 1980], зависящий от распределения масс в рассматриваемой жидкой частице :

3 2 I ik = ik x j x i x k dV, (i,k =1,2,3) (2.2.7) j=,K здесь x i, x k - i, k - компоненты соответственно вектора r в системе коорди нат K, ik - символ Кронекера;

J jk (j, k =1, 2, 3) - классический макроскопи ческий центробежный тензор инерции [Айзерман, 1980], зависящий от рас пределения масс в рассматриваемой жидкой частице :

J jk = x j x k dV ;

(2.2.8), K ijk - антисимметричный по всем парам индексов тензор третьего ранга (ко сосимметричный символ Кронекера): ijk =0 если любые два индекса равны, ijk =1 если последовательность (i, j, k) - четная перестановка последователь ности (1, 2, 3), ijk = -1 если последовательность (i, j, k) - нечетная переста новка последовательности (1, 2, 3);

K res = O (d 7 ) - малая остаточная часть макроскопической кинетической энергии после подстановки разложения Тейлора (2.2.4) в (2.2.3).

Формула (2.2.6) показывает, что макроскопическая кинетическая энер гия K жидкой частицы является суммой макроскопической поступатель ной кинетической энергии K t жидкой частицы :

K t = m Vc2 ;

(2.2.9) макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии K r жид кой частицы :

13 K r = I ik i (rc ) k (rc ) I ik i (rc ) k (rc ) ;

(2.2.10) 2 i,k=1 макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии K s жидкой частицы :

K s = J jk e ij (rc )e ik (rc ) J jk e ij (rc )e ik (rc ) ;

(2.2.11) 2 i, j,k= и макроскопической внутренней кинетической энергии co u p сдвигово- s,r вращательного сцепления деформационного (сдвигового) и вращательного движений жидкости в жидкой частице :

J jm i (rc ) e km (rc ) ijk J jm i (rc )e km (rc ).

co u p = (2.2.12) ijk s,r i, j,k,m= Здесь и далее используется, если не оговорено, соглашение суммирования: по повторяющимся индексам производится суммирование.

Формула (2.2.6) подтверждает выдвинутую ранее гипотезу [Evans, Han ley and Hess, 1984;

Simonenko, 1992] о зависимости макроскопической кине тической энергии малой жидкой частицы от тензора скоростей деформа ций e ij. Mакроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергии K s выражает кинетическую энергию локальной термодинамической неравновес ности в малой жидкой частице вследствие сдвига скорости в терминах тензора скорости деформаций e ij. Mакроскопическaя внутренняя кинетиче ская энергия co u p сдвигово-вращательного сцепления выражает кинетиче s,r скую энергию локальной термодинамической неравновесности в малой жид кой частице вследствие сдвигово-вращательного сцепления деформацион ного (сдвигового) и вращательного движений жидкости в жидкой частице. Макроскопическая внутренняя кинетическая энергия co u p сдвигово s,r вращательного сцепления, определенная суммой (2.2.12), отлична от нуля для однородных жидких частиц любой формы, кроме шара и куба, а также при наличии градиента плотности для жидких частиц любой формы. Таким образом, макроскопическaя внутренняя кинетическая энергия co u p сдвигово s,r вращательного сцепления выражает кинетическую энергию локальной тер модинамической неравновесности в малой жидкой частице вследствие сдвига скорости, завихренности v v и градиента плотности, который является согласно [Ландау и Лифшиц, 1976] одним из условий локальной термодинамической неравновесности.

Mакроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия K r выражает кинетическую энергию локально равновесного твердотельного макроскопического вращательного движения в малой жидкой частице.

Мы добавляем дополнительное слово "внутренняя" для обозначений макроскопических кинетических энергий в соответствии с определением (Ландау и Лифшиц, 1976) внутренней энергии малой макроскопической тер модинамической системы и также учитывая введенное определение [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] члена r = 2 в формуле (2.2.1) как макроскопическую внутреннюю вращательную кинетическую энергию еди ницы массы.

Формула (2.2.6) подтверждает ранее сделанный вывод (из заключения [Ландау и Лифшиц, 1988, c. 275], что “разложение энтропии по степеням ма лых градиентов в окрестности термодинамического равновесия может со держать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго порядка”), что внутренняя энергия макроскопического сдвигового движения жидкости должна быть квадратичной функцией тензора скоростей деформации e ij. На ряду с классической макроскопической внутренней вращательной кинетиче ской энергией K r [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970], формула (2.2.6) содержит дополнительно макроскопическую внутреннюю сдвиговую кине тическую энергию K s и макроскопическую внутреннюю кинетическую энер гию co u p сдвигово-вращательного сцепления. Внутренние кинетические s,r энергии K r, K s, K coup и K res являются инвариантами Галилея по отношению к s,r различным инерциальным системам координат K так же, как и локальная скорость вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы dis = 2 (e ij ) 2 в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости с коэффициен том кинематической (молекулярной) вязкости.

В соответствии с определением [Ландау и Лифшиц, 1976] внутренней энергии малой макроскопической термодинамической системы определим макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию K int жидкой частицы :

K int = K r + K s + K s,r + K res, coup (2.2.13) и макроскопическую внутреннюю сдвигово-вращательную кинетическую энергию K s-r жидкой частицы :

K s-r = K r + K s + K s,r.

coup (2.2.14) Имеем следующие порядки: K r = O (d 5 ), K s = O (d 5 ), co u p = O (d 5 ), K int = s,r = O (d 5 ), K s-r = O (d 5 ), K res = O (d 7 ), когда диаметр жидкой частицы d 0.

Макроскопическая внутренняя сдвигово-вращательная кинетическая энергия K s-r дает главную составляющую макроскопической внутренней кинетиче ской энергии для достаточно малой жидкой частицы.

Имеем из формулы (2.2.6) выражение [Simonenko, 2004] для макроско K пической кинетической энергии единицы массы k = :

m k = t + r + s + s,r + res = t + s-r + res = t + int = coup 1 13 = Vc2 + ik i k + jk e ije ik + ijk jm i e km + res, (2.2.15) 2 i,k =1 2 i, j,k= 2 i, j,k,m= где ik = I ik / m - классический макроскопический тензор инерции жидкой частицы на единицу массы;

ik = J ik / m - классический макроскопический центробежный тензор инерции жидкой частицы на единицу массы;

K t = t = Vc2 (2.2.16) m - макроскопическая поступательная кинетическая энергия единицы массы;

Kr r = = ik i k (2.2.17) m - макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия единицы массы;

K s = s = jk e ije ik (2.2.18) m - макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы;

K coup s,r = s,r = ijk jm i e km coup (2.2.19) m - макроскопическая внутренняя кинетическая энергия сдвигово вращательного сцепления единицы массы;

1 s-r = r + s + s,r = ik i k + jk e ije ik + ijk jm i e km coup (2.2.20) 2 - макроскопическая внутренняя сдвигово-вращательная кинетическая энергия единицы массы;

1 int = r + s + s,r + res = ik i k + jk e ije ik + ijk jm i e km + res (2.2.21) coup 2 - макроскопическая внутренняя кинетическая энергия единицы массы.

Выведенная формула (2.2.15) для макроскопической кинетической энер гии на единицу массы k обобщает классическую формулу (2.1.1) за счет по лученной дополнительно новой макроскопической внутренней сдвиговой ки нетической энергии на единицу массы s = jk e ije ik, а также за счет получен ной дополнительно новой макроскопической внутренней кинетической энер гии сдвигово-вращательного сцепления на единицу массы coup = s,r = ijk jm i e km.

Имеем следующие порядки, когда диаметр жидкой частицы d 0 :

r = O (d 2 ), s = O (d 2 ), s, r = O (d 2 ), s-r = ( d ), int = O(d 2 ), res = O (d 4 ).

coup Следовательно, макроскопическая внутренняя сдвигово-вращательная кине тическая энергия на единицу массы s-r дает главную квадратичную состав ляющую макроскопической внутренней кинетической энергии на единицу массы int для достаточно малой жидкой частицы. Отметим, что формулы (2.2.6) и (2.2.15) верны для ламинарных и турбулентных полей скорости, по скольку не было сделано никаких специальных предположений о динамиче ской природе поля скорости.

Чтобы продемонстрировать существенность и значение новых макро скопических внутренних кинетических энергий в формулах (2.2.6) и (2.2.15), получим частные формулы для этих энергий для различных жидких частиц и для некоторых полей скорости.

2.3. Однородная жидкая частица в виде шара или куба Имеем для однородной жидкой частицы простой формы (шар или куб): I ik = I ik, J jk = J jk, где ik, jk - символы Кронекера. Макроскопиче ская внутренняя кинетическая энергия сдвигово-вращательного сцепления на единицу массы coup равна нулю для однородного по плотности жидкого ша s,r ра или куба. Для макроскопической кинетической энергии на единицу массы k однородного жидкого шара или куба формула (2.2.15) сводится к сле дующей формуле k = t + r + s + res = Vc + 2 + (e ij ) 2 + res, (2.3.1) 2 где t = Vc - макроскопическая поступательная кинетическая энергия еди ницы массы;

r = 2 - классическая макроскопическая внутренняя враща тельная кинетическая энергия единицы массы [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970], = I / m - макроскопический момент инерции на единицу массы однородного жидкого шара или куба ;

s = (e ij ) 2 - макроскопиче ская внутренняя сдвиговая кинетическая энергия на единицу массы, = J / m - макроскопический центробежный момент инерции на единицу массы однородного жидкого шара или куба.

Для макроскопической внутренней кинетической энергии на единицу массы int однородной жидкой частицы в виде шара или куба формула (2.2.21) сводится к формуле int = s + r + res = 2 + (e ij ) 2 + res. (2.3.2) Сравним полученную формулу (2.3.1) для макроскопической кинетиче ской энергии на единицу массы k с определением (2.1.1) в классической не равновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970].

Формула (2.3.1) сводится к формуле (2.1.1) при условии e ij = 0, (i, j =1,2,3).

Условие e ij = 0 является одним из условий локального термодинамического равновесия жидкости [Каменкович, 1973;

Ландау и Лифшиц, 1976]. Следова тельно, можно заключить, что определение (2.1.1) макроскопической кинети ческой энергии на единицу массы k в классической неравновесной термо динамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] основывается на пред положении твердотельного равновесного вращения жидкой частицы. Частная форма (2.3.1) формулы (2.2.15) для макроскопической кинетической энергии на единицу массы k однородной жидкой частицы в виде шара или куба (в произвольном сдвиговом вихревом трехмерном течении) обобщает класси ческую формулу (2.1.1), показывая значимость макроскопической внутрен ней сдвиговой кинетической энергии на единицу массы s = (e ij ) 2, выра жающей кинетическую энергию локальной термодинамической неравновес ности вследствие сдвига скорости в терминах тензора скоростей деформаций e ij.

Макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия на еди ницу массы s = (e ij ) 2 в формуле (2.3.1) пропорциональна локальной ско рости вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы dis = 2(e ij ) 2 [Ландау и Лифшиц, 1988] и скорости производства энтропии на единицу массы = 2(e ij ) 2 / T [de Groot and Mazur, 1962] в ньютоновской вязкой несжимаемой однородной по плотности жидкости с коэффициентом кинематической (молекулярной) вязкости и абсолютной температурой T.

Следовательно, макроскопическая кинетическая энергия будет рассеиваться (диссипироваться в тепловую энергию) за счет молекулярной вязкости наи меньшим образом, если будет иметь место наименьшая скорость диссипация кинетической энергии на единицу массы dis = 2(e ij ) 2 или наименьшая ско рость производства энтропии на единицу массы = 2(e ij ) 2 / T. Таким обра зом, формула (2.3.1) наглядно показывают прямую физическую связь между принципами Онсагера (наименьшего рассеяния энергии) и Пригожина (наи меньшего производства энтропии) в классической неравновесной термоди намике [Gyarmati, 1970].

2.4. Двумерное плоскопараллельное сдвиговое ламинарное течение однородной жидкости Покажем теперь значимость новых энергий для однородных по плотно сти жидких частиц различной формы (шар, куб и прямоугольный паралле лепипед) в двумерном параллельном сдвиговом плавном (ламинарном) тече нии с вектором скорости v 0 = ( v1 (X 3 ), 0, 0), в котором горизонтальная компо нента скорости v1 ( X 3 ) направлена в направлении оси X 1 системы координат K. Имеем только две ненулевые компоненты e13 и e 31 тензора скоростей деформаций e ij и одну ненулевую компоненту 22 вектора завихренности v =2, направленного в направлении оси X 2 системы координат K :

1 v1 (X3 ) 1 v 1 ( X 3 ), 2 = e13 = e31 =. (2.4.1) 2 X 3 2 X Имеем из формул (2.2.6) и (2.4.1) следующие выражения для энергий K r, K s и co u p малой трехмерной жидкой частицы в виде шара, куба или прямо s,r угольного параллелепипеда:

1 v ( X ) K r = 1 3 I 22, 8 X 3 (2.4.2) 1 v (X ) K s = 1 3 (J11 + J 33 ), (2.4.3) 8 X 1 v (X ) = 1 3 (J 33 J11 ).

co u p (2.4.4) K 4 X s,r Для однородной жидкой частицы в виде шара или куба имеем I11 = I 22 = I 33 = I, J11 = J 22 = J 33 = J, в результате формулы (2.4.2-2.4.3) упрощаются, а макроскопическая внут ренняя кинетическая энергия co u p сдвигово-вращательного сцепления об s,r ращается в нуль. Макроскопическая внутренняя кинетическая энергия co u p s,r сдвигово-вращательного сцепления, выраженная формулой (2.4.4), отлична от нуля для однородного жидкого прямоугольного параллелепипеда.

Поскольку J11 + J 33 = I 22 имеем, следовательно, что макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия K r однородной по плотно сти жидкой частицы в виде шара, куба или прямоугольного параллелепи педа равна макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии Ks :

1 v (X ) K s = K r = 1 3 (x 12 + x 3 ) dV.

(2.4.5) X 8,K Имеем для макроскопической внутренней сдвигово-вращательной кинетиче ской энергии K s-r жидкой частицы в виде шара, куба или прямоугольного параллелепипеда:

1 v ( X ) 1 v (X ) K s-r = 1 3 J 33 = 1 3 x 3 dV. (2.4.6) X X 2,K Как видно из формулы (2.4.5), макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия K r жидкой частицы (в виде шара, куба или прямо угольного параллелепипеда) равна макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии K s для двумерного стратифицированного параллель ного сдвигового плавного (ламинарного) течения с вектором скорости v 0 = ( v1 (X 3 ), 0, 0). Поэтому неучет макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии K s и макроскопической внутренней кинетической энергии co u p сдвигово-вращательного сцепления (или s и coup ), то есть s,r s,r фактическое следование классической формуле (2.1.1) для макроскопической кинетической энергии на единицу массы k, может привести к существен ным погрешностям при расчете полной макроскопической кинетической энергии некоторой макроскопической области течения при расчетах с ис пользованием формулы (2.1.1).

Продемонстрируем это на простом примере течения однородной по плотности жидкости с линейным профилем скорости.

2.5. Линейный профиль скорости в однородной жидкости Рассмотрим двумерное параллельное плавное (ламинарное) сдвиговое течение однородной по плотности жидкости, задаваемое вектором скорости v 0 = ( v1 (X 3 ), 0, 0), в котором компонента скорости v1 ( X 3 ) вдоль оси X 1 зада ется в виде линейной функции v1 ( X 3 ) = X 3, где некоторый отличный от нуля размерный коэффициент. Рассмотрим течение жидкости в слое глу бин X 3, изменяющихся в диапазоне 0 X 3 H (см. рис. 3).

Рис. 3. Жидкий прямоугольный параллелепипед в двумерном параллельном ламинарном сдвиговом течении с линейным профилем скорости Вычислим макроскопическую кинетическую энергию K () жидкого прямоугольного параллелепипеда с высотой H и прямоугольным основа нием, расположенного в слое жидкости толщиной H. Жидкий прямоуголь ный параллелепипед имеет размеры по осям X 1, X 2 и X 3 равные, соот ветственно, 1,1 и H (см. рис. 3). Будем вычислять макроскопическую кине тическую энергию K () в инерциальной декартовой системе координат K с началом в точке O, совпадающей с центром прямоугольного основания жид кого прямоугольного параллелепипеда. Макроскопическая кинетическая энергия K () легко вычисляется аналитически, имеет следующее значение:

v o 2 12 H K () = d V=. (2.5.1) 2 Отметим, что в формулу (2.5.1) и в последующие формулы (2.5.4-2.5.15) вве дена размерная единица, имеющая значение длины прямоугольного основа ния жидкого прямоугольного параллелепипеда так, чтобы все приведен ные выражения являлись удовлетворительными как в численном значении, так и в смысле физической размерности.

Разобьем жидкий прямоугольный параллелепипед на N равных ма лых жидких прямоугольных параллелепипедов i (i =1,..., N ) с высотами H = H / N и размерами прямоугольных оснований по осям X 1 и X 2 равными единице. Номер i прямоугольного параллелепипеда i отсчитывается снизу вверх в положительном направлении оси X 3 системы координат K. Для рас сматриваемого линейного профиля скорости мы имеем согласно формуле (2.2.5), что скорость Vc ( i ) центра масс C ( i ) каждого жидкого прямо угольного параллелепипеда i равна скорости течения v (rc ( i ) ) в точке цен тра масс C ( i ) каждого жидкого прямоугольного параллелепипеда i. Ско рости течения жидкости v (rc ( i ) ) в точках центров масс C ( i ) жидких пря моугольного параллелепипедов i с номером i и вертикальной координатой точек центров масс C ( i ) H + H(i 1) X 3 ( i ) = (2.5.2) даются выражением v (rc ( i ) ) = X 3 ( i ) = H i. (2.5.3) Макроскопическая поступательная кинетическая энергия K t ( i ) жидко го прямоугольного параллелепипеда i вычисляется аналитически:

3 H K t ( i ) = 2 12 i. (2.5.4) N Следовательно, мы имеем для суммарной макроскопической поступательной кинетической энергии K t () всех жидких прямоугольных параллелепипедов { i, i = 1,..., N} следующее значение:

2 12 H 3 2 12 H H N K t () = K t ( i ) =.

- (2.5.5) 24 N i = Очевидно, что сумма (2.5.5) зависит от числа N жидких прямоугольных па раллелепипедов i, на которые разбит исходный жидкий прямоугольный па раллелепипед. При N сумма (2.5.5) стремится к выражению (2.5.1) макроскопической кинетической энергии K () жидкого прямоугольного параллелепипеда, в чем легко убедиться, найдя предел суммы (2.5.5) при N.

Теперь рассчитаем макроскопическую внутреннюю вращательную ки нетическую энергию K r ( i ), макроскопическую внутреннюю сдвиговую кинетическую энергию K s ( i ) и макроскопическую внутреннюю кинетиче скую энергию co u p ( i ) сдвигово-вращательного сцепления каждого жидко s,r го прямоугольного параллелепипеда i. Для этого вычислим сначала макро скопический тензор инерции I 22 ( i ) и макроскопические центробежные тен зоры инерции J11 ( i ), J 33 ( i ) для каждого жидкого прямоугольного паралле лепипеда i :

(1 + (H) ), H H ( x )dx dx dx )dV = (x = x 2 I 22 ( i ) = + x 2 2 + 3 1 1 H 1 i,K (2.5.6) H H ( x )dx dx dx = x dV = J11 ( i ) = 12, (2.5.7) 3 1 H 1 i,K H (H) x dV = (x )dx dx dx = J 33 ( i ) =. (2.5.8) 12 3 3 H 1 i,K Напомним, что I 22 ( i ), J 11 ( i ) и J 33 ( i ) вычисляются в системах координат K, связанных с центрами масс C ( i ) каждого жидкого прямоугольного па раллелепипеда i. В результате имеем для энергий K r ( i ), K s ( i ) и co u p ( i ) следующие выражения:

s,r H 2 H 1 +, K r ( i ) = K s ( i ) = 2 12 (2.5.9) N N H H 2 1.

s,r ( i ) = 1 co u p (2.5.10) N N В силу того, что мы рассматриваем линейный профиль скорости, энергии K r ( i ), K s ( i ) и co u p ( i ) не зависят от номера i жидкого прямоугольного s,r параллелепипеда i и имеют постоянные значения.

Имеем для макроскопической внутренней сдвигово-вращательной ки нетической энергии K s-r ( i ) каждого жидкого прямоугольного параллелепи педа i :

2 12 H K s -r ( i ) = K r ( i ) + K s ( i ) + ( i ) =.

co u p (2.5.11) s,r 24 N В силу того, что энергии K s-r ( i ) не зависят от номера i жидкого прямо угольного параллелепипеда i, мы имеем для суммарной макроскопической внутренней сдвигово-вращательной кинетической энергии K s-r () всех жид ких прямоугольных параллелепипедов { i, i = 1,..., N} следующее значение:

2 12 H H N K s-r () = K s-r ( i ) = NK s-r ( i ) =. (2.5.12) 24 N i = Итак, мы видим, что суммарная макроскопическая поступательная кине тическая энергия K t () (см. формулу (2.5.5)) всех жидких прямоугольных параллелепипедов i в совокупности с суммарной макроскопической внут ренней сдвигово-вращательной кинетической энергией K s-r () всех жидких прямоугольных параллелепипедов i абсолютно точно аппроксимируют макроскопическую кинетическую энергию K () жидкого прямоугольного параллелепипеда для линейного профиля скорости в однородной жидко сти и для любого конечного числа разбиений N жидкого прямоугольного параллелепипеда на малые жидкие прямоугольные параллелепипеды i :

2 12 H N N K t (i ) + K s-r (i ) = K () =. (2.5.13) i =1 i = В выражении (2.5.13) справа стоит выражение макроскопической кинетиче ской энергии K () жидкого прямоугольного параллелепипеда, получен ной аналитическим интегрированием по Риману локальной плотности кине тической энергии на единицу объема по интервалу глубин [0, H ] для линей ного профиля скорости в однородной жидкости. В выражении (2.5.13) слева стоят два члена, которые аппроксимируют макроскопическую кинетическую энергию K () жидкого прямоугольного параллелепипеда на основе ко нечного разбиения жидкого прямоугольного параллелепипеда на N эле ментарных конечных макрообъемов – равных малых жидких прямоугольных параллелепипедов i. Первая сумма слева в выражении (2.5.13) есть выраже ние суммарной макроскопической поступательной кинетической энергии K t () центров масс N элементарных конечных макрообъемов (жидких прямоугольных параллелепипедов i ) для конечного разбиения интервала глубин [0, H ] на N равных частей. Вторая сумма слева в выражении (2.5.13) есть суммарная макроскопическая внутренняя сдвигово-вращательная кине тическая энергия K s-r () всех N жидких прямоугольных параллелепипедов i. В выражении (2.5.13) суммарная макроскопическая внутренняя сдвигово вращательная кинетическая энергия K s-r () всех N жидких прямоугольных параллелепипедов i стремится к нулю при N, а суммарная макроско пическая поступательная кинетическая энергия K t () всех N жидких пря моугольных параллелепипедов i стремится при N к выражению (2.5.1) макроскопической кинетической энергии K () жидкого прямоугольного параллелепипеда. При этом суммарная макроскопическая поступательная кинетическая энергия K t () всех N жидких прямоугольных параллелепи педов i меньше макроскопической кинетической энергии K () жидкого прямоугольного параллелепипеда как раз на значение суммарной макро скопической внутренней сдвигово-вращательной кинетической энергии K s-r () всех N жидких прямоугольных параллелепипедов i (см.

формулу (2.5.5)). Если же при вычислении макроскопической кинетической энергии K () жидкого прямоугольного параллелепипеда на основе конечного разбиения жидкого прямоугольного параллелепипеда на N элементарных конечных макрообъемов (жидких прямоугольных параллелепипедов i ) мы не будем учитывать макроскопическую внутреннюю сдвиговую кинетиче скую энергию K s ( i ) и макроскопическую внутреннюю кинетическую энер гию co u p ( i ) сдвигово-вращательного сцепления каждого жидкого прямо s,r угольного параллелепипеда i, то есть фактически будем следовать класси ческому определению (2.2.1) для макроскопической кинетической энергии на единицу массы k, то для суммарной макроскопической внутренней враща тельной кинетической энергии K r () всех жидких прямоугольных паралле лепипедов i будем иметь выражение 2 H N K r () = K r ( i ) = NK r ( i ) = 2 12 H 1 +, (2.5.14) N i = которое при N не стремится к нулю. Поэтому сумма суммарной макро скопической поступательной кинетической энергии K t () всех жидких пря моугольных параллелепипедов i и суммарной макроскопической внутрен ней вращательной кинетической энергии K r () заведомо не дает точного значения (2.5.1) макроскопической кинетической энергии K () жидкого прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом, суммарная макроскопическая поступательная кинети ческая энергия K t () всех жидких прямоугольных параллелепипедов i в совокупности с суммарной макроскопической внутренней вращательной ки нетической энергией K r () всех жидких прямоугольных параллелепипедов i не аппроксимируют удовлетворительно макроскопическую кинетическую энергию K () жидкого прямоугольного параллелепипеда для линейного профиля скорости в однородной жидкости и для любого конечного числа разбиений N на малые жидкие прямоугольные параллелепипеды i исход ного жидкого прямоугольного параллелепипеда. Т. е., если вместо сум марной макроскопической внутренней сдвигово-вращательной кинетической энергии K s-r () всех N жидких прямоугольных параллелепипедов i в вы ражение (2.5.13) подставить только суммарную макроскопическую внутрен нюю вращательную кинетическую энергию K r () всех жидких прямо угольных параллелепипедов i, то будем иметь в этом случае следующую погрешность K аппроксимации макроскопической кинетической энергии K () жидкого прямоугольного параллелепипеда :

2 14 H 1 H N N K = K t ( i ) + K r ( i ) - K () = - 2 12 H, (2.5.15) 96 N i =1 i = которая является конечной даже при N. Это доказывает, что даже для линейного профиля скорости необходимо учитывать макроскопическую внутреннюю сдвиговую кинетическую энергию K s ( i ) и макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию co u p ( i ) сдвигово-вращательного сцеп s,r ления каждого жидкого прямоугольного параллелепипеда i для точного вы числения макроскопической кинетической энергии K () макроскопическо го жидкого прямоугольного параллелепипеда при его разбиении на N ма лых жидких прямоугольных параллелепипедов i.

2.6. Заключение Выведенная формула (2.2.15) для макроскопической кинетической энергии на единицу массы k обобщает формулу (2.1.1) для k в классиче ской неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962] за счет введе ния новой макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s, выражающей кинетическую энергию локальной термоди намической неравновесности вследствие сдвига скорости, а также за счет введения новой макроскопической внутренней кинетической энергии сдвиго во-вращательного сцепления единицы массы coup, выражающей кинетиче s,r скую энергию локальной термодинамической неравновесности вследствие сдвигово-вращательного сцепления. Выведенная формула (2.2.15) для мак роскопической кинетической энергии единицы массы k показывает, что в общем случае макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s является квадратичной функцией тензора скоростей де формаций e ij, а макроскопическая внутренняя кинетическая энергия сдвиго во-вращательного сцепления единицы массы coup является квадратичной s,r функцией тензора скоростей деформаций e ij и вектора завихренности v.

Наличие в выведенной формуле (2.2.15) дополнительной макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s и макроско пической внутренней кинетической энергии сдвигово-вращательного сцеп ления единицы массы подтверждает выдвинутую гипотезу [Evans, Hanley and Hess, 1984;

Simonenko, 1992] о зависимости макроскопической кинетической энергии малой жидкой частицы в стратифицированном сдвиговом трехмер ном потоке от тензора скоростей деформаций.

Следующее из формулы (2.2.15) для макроскопической кинетической энергии единицы массы k выражение (2.2.21) для макроскопической внут ренней кинетической энергии единицы массы int (в соответствии с опреде лением [Ландау и Лифшиц, 1976] внутренней энергии малой макроскопиче ской термодинамической системы) подтверждает вывод, сделанный во вве дении работы (исходя из заключения [Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 275] о раз ложении энтропии по степеням малых градиентов скорости в окрестности термодинамического равновесия), что разложение внутренней энергии мак роскопического сдвигового движения жидкости в окрестности термодинами ческого равновесия по степеням малых градиентов скорости может содер жать (помимо классического равновесного члена) лишь члены начиная со второго порядка тензора скоростей деформаций e ij.

Частная формула (2.3.1) для макроскопической кинетической энергии единицы массы k, вытекающая из формулы (2.2.15) для однородной жидкой частицы в виде шара или куба в произвольном сдвиговом вихревом трех мерном течении, также обобщает формулу (2.1.1) для k в классической не равновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970], учи тывая дополнительно новую макроскопическую внутреннюю сдвиговую ки нетическую энергию единицы массы s. Формула (2.3.1) наглядно раскрыва ет физическую связь между принципами наименьшего рассеяния энергии (Онсагера) и наименьшего производства энтропии (Пригожина) в классиче ской неравновесной термодинамике [Gyarmati, 1970].

Используя формулы (2.2.6) и (2.2.15), мы показали, что макроскопиче ская внутренняя вращательная кинетическая энергия K r (на единицу массы r ) однородного жидкого шара или куба равна макроскопической внут ренней сдвиговой кинетической энергии K s (на единицу массы s ) для одно родного по плотности двумерного параллельного сдвигового ламинарного течения v 0 = ( v1 (X 3 ), 0, 0), что показывает значимость введенной новой мак роскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии K s (на единицу массы s ).

Чтобы показать значимость введенных новых макроскопической внут ренней сдвиговой кинетической энергии K s и макроскопической внутренней кинетической энергии co u p сдвигово-вращательного сцепления, рассмотрено s,r двумерное параллельное плавное (ламинарное) сдвиговое течение однород ной по плотности жидкости, задаваемое вектором скорости v 0 = ( v1 (X 3 ), 0, 0), в котором компонента скорости v1 ( X 3 ) вдоль оси X 1 задается в виде линей ной функции v1 ( X 3 ) = X 3. Существенность новых макроскопических энер гий K s и co u p продемонстрирована на примере аналитического вычисления s,r макроскопической кинетической энергии K () макроскопического жидкого прямоугольного параллелепипеда при его разбиении на N малых жидких прямоугольных параллелепипедов i.

2.7. Выводы главы Выведена аналитическая формула для макроскопической кинетической энергии на единицу массы k малой макроскопической жидкой частицы в стратифицированном сдвиговом вихревом трехмерном потоке на основе классического подхода механики сплошных сред. Макроскопическая кинети ческая энергия единицы массы k представляется как сумма макроскопиче ской поступательной кинетической энергии единицы массы t и трех основ ных вкладов, обладающих природой инвариантов Галилея, а именно: класси ческой макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r и двух полученных дополнительных энергий: макроско пической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s и макроскопической внутренней кинетической энергии сдвигово– вращательного сцепления единицы массы s,r и малого остаточного члена.

coup Выведенная формула для k обобщает формулу для k в классической неравновесной термодинамике [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] за счет введения дополнительной макроскопической внутренней сдвиговой ки нетической энергии единицы массы s, выражающей кинетическую энергию локальной термодинамической неравновесности вследствие сдвига скорости, а также за счет введения дополнительной макроскопической внутренней ки нетической энергии сдвигово-вращательного сцепления единицы массы coup, s,r выражающей кинетическую энергию локальной термодинамической нерав новесности вследствие сдвигово-вращательного сцепления.

Полученная формула для макроскопической кинетической энергии единицы массы k малой макроскопической несжимаемой жидкой частицы подтверждает постулат [Evans, Hanley and Hess, 1984;

Simonenko, 1992) и сделанный вывод (из заключения [Ландау и Лифшиц, 1988] о разложении внутренней энергии по степеням малых градиентов скорости в окрестности термодинамического равновесия), что сдвиг скорости, определяемый тензо ром скоростей деформаций, e ij представляет дополнительный источник кине тической энергии.

Показана значимость новой макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s для произвольного сдвигового вих ревого трехмерного поля скорости в однородной по плотности жидкости на примере жидкой частицы в виде шара или куба. На примере плоскопарал лельного течения однородной по плотности жидкости с линейным профилем скорости продемонстрировано практическое значение макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s и макроско пической внутренней кинетической энергии сдвигово–вращательного сцеп ления единицы массы coup.

s,r Глава КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТУРБУЛЕНТНО-ВОЛНОВЫХ ПУЛЬСАЦИЙ СКОРОСТИ 3.1. Кинетическая энергия мелкомасштабных турбулентно-волновых пульсаций Получим аналитическую формулу для мгновенной турбулентной кине тической энергии в трехмерном стратифицированном турбулентном сдвиго вом потоке. При теоретическом рассмотрении естественных потоков жидко сти формально может быть сделано разделение на течения, волны и турбу лентность. Течения, внутренние гравитационные волны и турбулентность сосуществуют в устойчиво стратифицированных потоках жидкости, как в океане, так и в атмосфере. Обычно применяется трехчленное разложение [Fua, Chimonas, Einaudi and Zeman, 1982], посредством которого каждая по левая переменная f разлагается как сумма средней составляющей f, волно ~ вой компоненты f и турбулентной компоненты f. Взаимодействие между внутренними гравитационными волнами и турбулентностью часто использу ется, чтобы объяснить разнообразие феноменов в океане и атмосфере. Одна ко в общем волновая и турбулентные компоненты нелинейно взаимодейст вуют и поэтому не могут быть четко разделены [Stewart, 1969]. В работе [Stewart, 1969] на основе статистического анализа наблюдений в стратифици рованной атмосфере сделан вывод, что “чрезвычайно важно осознать, что по - видимому не существует реально четкого различия между турбулентностью и волнами”. В работе [Gargett and Holloway, 1984] сделано заключение, что разложение Рейнольдса на турбулентную и волновую компоненты, строго говоря, неверно для океанской турбулентности, поскольку масштабы и вре менные частоты во внутренних гравитационных волнах и турбулентности частично перекрываются. Поэтому будем использовать двухкомпонентное разложение, посредством которого каждая полевая переменная f разлагает ся как сумма среднего значения f и пульсационной компоненты f pul. Мы не будем раскладывать формально пульсационную компоненту f pul на сумму волновой и турбулентных компонент в силу отмеченной особенности внут ренних волн и турбулентности в океане.

Определим среднее значение f от функции f по пространству, заня тому жидкой частицей, следующим образом:

f ( X1, X 2, X 3, t)(X1, X 2, X 3, t)dV f=, (3.1.1) ( X1, X 2, X 3, t)dV где f - среднее по пространству, занятому жидкой частицей, f - скаляр ная или векторная функция (кроме локальной плотности массы ). Следова тельно, для определения средней скорости v жидкой частицы мы усредня ем поле векторной скорости v с весовой функцией, удовлетворяющей ус ловию: = / m, если точка пространства (X1,X 2,X 3 ), и = 0, если точка пространства (X1,X 2,X 3 ), в соответствии с формулами (1.1.4а) и (1.1.4б). Из определения (3.1.1) имеем, что средняя скорость v жидкой час тицы равна скорости центра масс жидкой частицы, Vc, даваемой форму лой (2.2.2):

v(X1, X 2, X 3, t) (X1, X 2, X 3, t)dV v= = Vc. (3.1.2) (X 1, X 2, X 3, t)dV Видно, что для неравновесного сдвигового потока средняя скорость v опре деляется как импульс единицы массы в соответствии с предложением Ландау и Лифшица относительно определения гидродинамической скорости в не равновесных условиях (см. обсуждение сдвига скорости в [Ландау и Лиф шиц, 1988;

§ 49]).

Записывая поле скорости v в жидкой частице как сумму средней ве личины v и пульсационной компоненты v pul, т. е.

v = v + v pul, (3.1.3) получим выражение для кинетической энергии K жидкой частицы :

( v + v pul ) 2 ( v pul ) ( v ) dV + ( v v pul )dV + dV = K = dV, (3.1.4) 2 (a) (b) (с) где символом ( v v pul ) обозначено скалярное произведение векторов v и v pul. Очевидно, что кинетическая энергия K pul пульсаций скорости, обычно называемая “турбулентной кинетической энергией” [Монин и Яглом, 1965], состоит не только из третьего члена (с) в формуле (3.1.4), но и второго члена (b). Вследствие использования определения средней скорости по пространст ву (3.1.2) с весовой функцией = / m, второй член (b) в (3.1.4) в результате тривиального следствия v pul = 0 определения (3.1.1), а также в результате следующей последовательности математических преобразований:

( v v pul )dV = ( v v pul dV) = ( v v pul ) m = 0. (3.1.5) Следовательно ясно, что кинетическая энергия пульсаций pul для введенно го осреднения по пространству (3.1.1) дается только третьим членом (с) вы ражения (3.1.4):

m v pul.

K pul ( ) = (3.1.6) Замечая, что пульсационная скорость есть v pul = v v = v Vc, можно за ключить, что кинетическая энергия пульсаций pul для жидкой частицы есть кинетическая энергия жидкой частицы в системе координат K, свя занной с центром масс C жидкой частицы. Используя формулу (3.1.4), ки нетическая энергия пульсаций pul может быть записана как () m v K pul ( ) = K. (3.1.7) Используя равенство (3.1.2) между скоростью центра масс Vc жидкой части цы и средним вектором скорости v, а также формулу (2.2.6) для K, фор мулу (3.1.7) можно переписать в виде coup K pul () = K r + K s + K s, r + K res = K int = 1 = I ik i k + J jk e ije ik + ijk J jm i e km + K res, (3.1.8) 2 где - вектор внутреннего вращения;

e ij - тензор скоростей деформаций;

I ij - классический тензор инерции, J ij - классический центробежный тензор инерции (определения которых даны в главе 2);

res = ( d 7 ) - малая поправ ка;

повторяющиеся индексы суммируются. Отметим, что кинетическая энер гия пульсаций pul равна макроскопической внутренней кинетической энер гии K int, определяемой формулой (2.2.13). Следовательно, согласно опреде лению, даваемому формулой (2.2.13), кинетическая энергия пульсаций pul эквивалентна макроскопической внутренней кинетической энергии K int. От метим, что тождественные энергии pul и K int являются инвариантами Гали лея по отношению к различным инерциальным системам координат K. Заме тим, что условие v pul =0 (которое принимается как постулат в формализме осреднения Рейнольдса [Монин и Яглом, 1965] является тривиальным след ствием определения (3.1.1):

v pul (X1, X 2, X 3, t)(X1, X 2, X 3, t)dV ( v v)(X1, X 2, X 3, t)dV = = 0.

v pul = (X1, X 2, X 3, t)dV (X1, X 2, X 3, t)dV Используя формулу (2.2.15), получим из (3.1.6) формулу [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для кинетической энергии единицs массы b pul = pul / m трехмерных мелкомасштабных турбулентно-волновых пульсаций скорости:

v pul = r + s + s,r + res = int = coup b pul = 1 = ik i k + jk e ije ik + ijk jm i e km + b res, (3.1.9) 2 где b res = res = O(d 4 ) - малая поправка, = ( 1, 2, 3 ) = ( v ) - угловая скорость внутреннего вращения, равная половине вектора завихренности v = ( v ) общего (неразделяемого) турбулентно-волнового поля скорости, 1 v i v j - тензор скоростей деформаций общего турбулентно e ij = + 2 X j X i волнового поля скорости, повторяющиеся индексы суммируются. Видим, что внутренняя сдвигово-вращательная кинетическая энергия единицы массы s-r r + s + s,r жидкой частицы дает главную часть кинетической coup энергии единицы массы b pul трехмерных мелкомасштабных турбулентно волновых пульсаций скорости. Отметим, что кинетическая энергия единицы массы b pul трехмерных мелкомасштабных турбулентно-волновых пульсаций есть инвариант Галилея по отношению к разным инерциальным системам координат K. Поэтому кинетическая энергия единицы массы b pul трехмер ных мелкомасштабных турбулентно-волновых пульсаций логично рассмат ривалась в работах [Simonenko, 2004;

2005;

2006] как макроскопическая внутренняя кинетическая энергия единицы массы int трехмерных мелко масштабных турбулентно-волновых пульсаций. Отметим, что определение кинетической энергии единицы массы трехмерных мелкомасштабных турбу v pul лентно-волновых пульсаций в виде формулы b pul = в (3.1.9) совпадает с определением Монина и Яглома [Монин и Яглом, 1965] “средней кинетиче v v ской энергии пульсационного движения единицы массы b = ”, выра жающей интенсивность турбулентных движений. При осреднении квадрата пульсационной скорости в (3.1.9) по жидкой частице получено явное ана литическое выражение, представленное в (3.1.9) для кинетической энергии единицы массы b pul трехмерных мелкомасштабных турбулентно-волновых пульсаций.

При введенном осреднении (3.1.1) строго выполняются все аксиомы осреднения, представленные Мониным и Ягломом [Монин и Яглом, 1965]:

f + g = f + g ;

af = a f, если a = const ;

a = a, если a = const ;

f g = f g, так как f = f = const для жидкой частицы, здесь угловые скобки экви валентны везде черте сверху;

lim f n = lim f n, n n так как выполняется соотношение f n dV (lim f n )dV n = lim lim f n = = lim f n.

dV dV n n n Также справедливы тождества:

f = f, f = f f = 0, f g = f g, f g = f g = 0.

Используя то, что v есть постоянная величина для жидкой частицы, получим путем дифференцирования разложения (3.1.3) по координатам Xi, X j:

1 v ipul v j pul = ( v pul ), e ij = e ij 1.

+ pul pul X i 2 X j 2 Так что формула (3.1.9) может быть переписана в виде v 1 pul = ik ipul pul + jk e ij e ik + ijk jm ipul e pul + b res.

pul pul b pul () = (3.1.10) k km 2 2 Получим формулу для кинетической энергии единицы объема = pul / V трехмерных мелкомасштабных турбулентно-волновых пуль k pul саций:

v 1 = ( ik i k + jk e ij e ik + ijk jm i e km + k res ), (3.1.11) pul k pul ( ) = 2 2 где = m / V - средняя плотность массы в жидкой частице. Отметим, что кинетические энергии на единицу массы b pul и единицу объема k pul являются инвариантами Галилея по отношению к различным системам координат так же, как и скорость вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы dis = 2 (e ij ) 2 несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости.

Таким образом, получены аналитические формулы (3.1.9) и (3.1.11), соответственно, для мгновенной кинетической энергии единицы массы b pul и единицы объема k pul трехмерных мелкомасштабных пульсаций турбу лентно-волновой природы.


При этом использовалось определение среднего по пространству (3.1.1) с весовой функцией = / m для вектора скорости v, и не делалось предположение о локальном термодинамическом равнове сии. Хорошо известно [Ландау и Лифшиц, 1976], что сдвиговые потоки жид костей не находятся в локальном термодинамическом равновесии вследствие сдвига скорости, описываемого тензором скоростей деформаций e ij. Полу ченные формулы (3.1.9) и (3.1.11) выражают плотности трехмерных мелко масштабных пульсаций турбулентно-волновой природы для неравновесных стратифицированных потоков жидкости, поскольку мы используем разложе ние Тейлора (2.2.4) для поля скорости v, содержащее неравновесный член, связанный с тензором скоростей деформаций e ij. Отметим, что тензоры ik, jk содержат интегральную информацию о распределении масс в страти фицированной жидкой частице. Члены s и coup в формулах (3.1.9) и s,r (3.1.11) выражают энергию локальной термодинамической неравновесности (необратимости) вследствие сдвига скорости.

Хотя в общем случае среднее, волновое и турбулентные движения сильно взаимодействуют, в некоторых частных случаях могут доминировать взаимодействия между двумя компонентами [Fua, Chimonas, Einaudi and Ze man, 1982]. Например, для взаимодействия между турбулентностью и сред ним течением, когда v pul = v и для взаимодействия между внутренними гра витационными волнами и средним течением, когда v = ~, формулы (3.1.8), v pul (3.1.9) и (3.1.11) дают, соответственно, выражения для кинетической энергии K tur ( ) турбулентных пульсаций и кинетической энергии K w ( ) волновых пульсаций, кинетической энергии, соответственно, единицы массы b tur и единицы объема k tur трехмерных мелкомасштабных турбулентных пульса ций и кинетической энергии, соответственно, единицы массы b w и единицы объема k w волновых пульсаций. В частности, мы имеем для турбулентной кинетической энергии K tur ( ) жидкой частицы, турбулентной кинетиче ской энергии единицы массы b tur трехмерных мелкомасштабных турбулент ных пульсаций и волновой кинетической энергии единицы массы b w трех мерных мелкомасштабных волновых пульсаций:

m K tur ( ) = v 2 = K tur + K s + K s,r + K tur = tur tur,coup r res 1 = I ik k + J jk e e + ijk J jm ekm + K res,tur (3.1.12) i ij ik i 2 где K rtur = I ik k, K s = J jk e e, K s,r tur = ijk J jm ekm, K tur = O( d 7 ) ;

coup, tur i res i ij ik v2 1 + tur = ik i k + jk eije + e ijk jm i ekm + b res ;

b tur = = tur + s + s,r tur coup,tur ik r res 2 2 (3.1.13) ~ 1 ~ ~ v ~e = w + s + s,r + w = ik i k + jk ~ij ~ik + e ijk jm i ~km + b res ;

bw = w coup,w ee 2 r res 2 (3.1.14) где ( v )= (1, 2, ) - угловая скорость внутреннего вращения, рав ная половине вектора завихренности v турбулентного поля скорости v, 1 v vj e i + - тензор скоростей деформаций турбулентного поля ско 2 X j X i ij ~ рости v (в формулах (3.1.12) и (3.1.13);

( ~ ) - угловая скорость v внутреннего вращения, равная половине вектора завихренности волнового ~ ~ ~, ~ 1 vi + v j - тензор скоростей деформаций волно поля скорости v eij 2 X j X i ~ (в формуле (3.1.14));

вого поля скорости v 1 ~~ 1 tur = ik, tur = jk e e, coup,tur = ijk jm e km, rw = ik i k, i s,r r i k s ij ik 2 () sw = jk ~ij ~ik, coup,w = ijk jm i ~km, b res = O(d 4 ), K res = O d 7.

~e (3.1.15) ee s,r Мы видим, что введенный математический формализм не делает фор мального отличия между внутренними гравитационными волнами, турбу лентностью и пульсациями общей турбулентно-волновой природы. Предло женная теория рассматривает внутренние гравитационные волны, турбулент ность и пульсации скорости турбулентно-волновой природы одним и тем же формальным математическим способом: формулы (3.1.9), а также (3.1.13) и (3.1.14) формально математически идентичны. Формулы (3.1.8), (3.1.9) и (3.1.11), соответственно, для pul, b pul, k pul верны для ламинарных и турбу лентных полей в различных гидродинамических стадиях, поскольку при их выводе не было сделано никаких специальных предположений о динамиче ской природе пульсаций скорости. В частности, формулы (3.1.8), (3.1.9) и (3.1.11) справедливы для турбулентных полей в различных гидродинамиче ских стадиях. Локальная энергетическая структура поля скорости для любой жидкой частицы содержится в наборе тензорных величин: i, e ij, ij, ij.

Согласно критерию Гибсона (1.1.3) активной турбулентности, выра женного в терминах средней скорости вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы dis, активная турбулентность может существо вать в стратифицированном сдвиговом потоке только если dis dis,cr = 30N, где N - частота Вяйсяля (плавучести), - коэффициент кинематической вязкости. Критическая (переходная) скорость вязкой дисси пации кинетической энергии dis,cr = 30N 2 была впервые предсказана Гиб соном [Gibson, 1980;

1981]. Лабораторные эксперименты [Stillinger, Helland and Van Atta, 1983] по переходу турбулентности, генерируемой гидродина мическими решетками в устойчиво стратифицированной жидкости во внут ренние гравитационные волны, показали, что критическая (переходная) ско рость вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы близка к 25N 2. Лабораторные эксперименты [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] по эволюции турбулентности, генерируемой гидродинамическими решетками в устойчиво стратифицированной жидкости, показали, что критическая (пере ходная) скорость вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы изменялась от значения 15N 2 (для решетки с малыми размерами ячеек) до значений 21N 2 (для решетки с большими размерами ячеек).

Гибсон [Gibson, 1987] рассматривал экспериментальный диапазон (15 35) N 2 для критической скорости вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы, Хопфингер [Hopfinger, 1987], соответственно, рассматривал экспериментальный диапазон (15 30) N 2. Грегг [Gregg, 1987] рассматривал переходную вязкую диссипацию энергии на единицу массы tr = (10 25) N 2. Поэтому можно принять величину 35N 2 в качестве верх ней границы критической скорости вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы в стратифицированной жидкости, то есть dis 35N 2 достаточное условие для существования активной турбулентности, характе ризуемой наличием опрокидывающихся турбулентных вихрей [Gregg, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992]. Следовательно, формула (3.1.9) для мгновенной кинетической энергии единицы массы b pul трехмерных мелкомасштабных пульсаций турбулентно-волновой природы выражает кинетическую энергию чисто турбулентных пульсаций при условии, когда dis dis,cr = 35N 2 в стратифицированном сдвиговом вязком потоке.

Кинетическая энергия K малой жидкой частицы для сдвигового турбулентного стратифицированного потока дается следующей формулой в соответствии с формулами (3.1.2), (3.1.4) и (3.1.13) () 1 1 1 K = m v + K tur ( ) = m Vc2 + I ik + J jk e e + ijk J jm e + K res, ik ij ik i km 2 2 2 (3.1.16) где поступательная кинетическая энергия K t = m Vc2 жидкой частицы зависит от инерциальной системы координат K, а K tur ( ) - инвариант Гали лея по отношению к разным инерциальным системам координат K так же, как и вязкая скорость диссипации кинетической энергии в единице массы dis = 2 (e ij ) 2 несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости.

Отметим, что турбулентная кинетическая энергия K tur ( ) тождественна макроскопической внутренней кинетической энергии (малой жидкой части цы ), определенной ранее в главе 2 формулой (2.2.13). Следовательно, энер гия K tur в определении (3.1.12) может быть названа макроскопической внут r ренней вращательной турбулентной кинетической энергией в соответствии с определением K r, данным ранее в главе 2, как макроскопической внутренней tur вращательной кинетической энергии;

K s может быть названа макроскопи ческой внутренней сдвиговой турбулентной кинетической энергией в соот ветствии с определением K s как макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии, данным в главе 2;

K s,r tur может быть названа макро coup, скопической внутренней турбулентной кинетической энергией сдвигово вращательного сцепления в соответствии с определением K coup как макро s,r скопической внутренней кинетической энергии сдвигово-вращательного сце пления, данным в главе 2.

Турбулентная кинетическая энергия K tur ( ) жидкой частицы в нашем определении (3.1.12) есть кинетическая энергия только мелкомасштабных турбулентных пульсаций, K tur ( ) имеет инвариантную физическую природу по отношению к разным инерциальным системам отсчета K. Ясно, что для развитой гидродинамической турбулентности при очень больших числах Рейнольдса Re Re cr [Колмогоров, 1941;

Levich, 1987] поступательная ки нетическая энергия K t = m Vc2 является кинетической энергией крупно масштабных турбулентных пульсаций.

3.2. Турбулентная кинетическая энергия единицы объема k tur однородного жидкого куба в турбулентном поле скорости Рассмотрим в однородной по плотности жидкости макроскопический жидкий куб линейного размера l равного характеристическому линейному масштабу ltur энергосодержащих турбулентных вихрей. Предположим, что формула (2.2.4) для поля скорости является корректной аппроксимацией для поля скорости в однородном жидком кубе, что дает предположенную ма лую погрешность K res = O ( l tur ) в формуле (2.2.6) для кинетической энер гии K жидкого куба, рассматриваемого как жидкая частица. Следова тельно, мы имеем для турбулентной кинетической энергии на единицу объе ма k tur для однородного жидкого куба линейного размера l, равного харак теристическому линейному масштабу ltur энергосодержащих турбулентных вихрей v2 12 = b pul ( ) = ( ltur + ltur e e + O(ltur ) ), (3.1.17) pul k pul ( ) = 2 ii ij ij 12 ( )( ) 1,, где r 23 - вектор угловой скорости внутреннего вращения c жидкого элемента в точке, определяемой в системе координат K радиус вектором rc центра масс C жидкой частицы, e (rc ) e - тензор скоро ij ij стей деформаций в системе координатной K в точке, определяемой радиус вектором rc центра масс C жидкой частицы. Формула (3.1.17) для турбу лентной кинетической энергии единицы объема k tur объясняет появление размерного множителя ltur в полуэмпирической аналитической формуле (1.1.12) для кинетической энергии единицы объема k tur.


Таким образом, мы получили аналитические формулы (3.1.9) и (3.1.11), соответственно, для мгновенной кинетической энергии единицы массы b pul и единицы объема k pul для трехмерных мелкомасштабных пульсаций турбу лентно-волновой природы, используя определение (3.1.1) средней скорости для среднего по пространству вектора скорости v без использования пред положения о локальном термодинамическом равновесии (состоящего, в част ности, в выполнении условия e ij =0). Полученные формулы (3.1.9) и (3.1.11) выражают плотности кинетической энергии (соответственно, единицы массы и единицы объема) трехмерных мелкомасштабных пульсаций скорости тур булентно-волновой природы для неравновесных стратифицированных сдви говых потоков жидкости. Формулы (3.1.9) и (3.1.11) выражают плотности кинетической энергии (соответственно, единицы массы и единицы объема) трехмерных мелкомасштабных пульсаций скорости турбулентно-волновой природы в виде нелинейных функционалов от тензора скоростей деформаций e ij, вектора завихренности v и макроскопических тензоров инерции еди ницы массы ik, jk, определенных в главе 2.

Плотности кинетической энергии (соответственно, единицы массы и единицы объема) b pul и k pul трехмерных мелкомасштабных пульсаций тур булентно-волновой природы являются инвариантами Галилея по отношению к различным инерциальным системам координат K аналогично скорости вязкой диссипация кинетической энергии в единице массы dis = 2 (e ij ) 2 не сжимаемой ньютоновской вязкой жидкости.

Локальная структура поля скорости, согласно разложению Тейлора (2.2.4), в общем случае определяется тензором скоростей деформаций e ij и завихренностью v v. Ранее указывалось [Ландау и Лифшиц, 1988], что турбулентность определяется локально градиентом скорости. Получен ные формулы (3.1.9) и (3.1.11) выражают плотности кинетической энергии (соответственно, единицы массы и единицы объема) трехмерных мелкомас штабных пульсаций скорости турбулентно-волновой природы через характе ристики (e ij и v v ) локальной структуры макроскопического поля скорости в точке пространства.

Полученная аналитическая формула (3.1.11) для мгновенной кинетиче ской энергии единицы объема k pul трехмерных мелкомасштабных пульсаций скорости турбулентно-волновой природы и ее частная форма (3.1.17) для од нородного жидкого куба объясняют физическую природу размерного ко эффициента ltur, фигурирующего в аналитической формуле (1.1.12) для тур булентной кинетической энергии единицы объема k tur, полученной в разделе 1.1 главы 1 путем объединения концепций Буссинеска [Boussinesq, 1897], Та унсенда [Townsend, 1956] и Колмогорова [Колмогоров, 1942].

Глава СВОБОДНО ЗАТУХАЮЩАЯ ТРЕХМЕРНАЯ ИЗОТРОПНАЯ ОДНОРОДНАЯ МЕЛКОМАСШТАБНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 4.1. Трехмерная изотропная однородная турбулентность с энергосодержащим масштабом L k 4.1.1. Стохастическая модель трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим внутренним масштабом Колмогорова L k Было заключено [Колмогоров, 1941;

Townsend, 1951;

Ландау и Лифшиц, 1988], что масштабы длин l ~ L k характеризуют основную часть энергетической диссипации кинетической энергии турбулентных пульсаций.

Этот вывод означает, что большие масштабы ( l L k ) движения жидкости не влияют на диссипацию энергии в турбулентном потоке при больших числах Рейнольдса в соответствии с предложением Колмогорова [Колмогоров, 1941]. С нашей точки зрения существует общий консенсус [Колмогоров, 1941;

Scorer, 1978;

Monin and Ozmidov, 1985], что внутренний масштаб длины L k является масштабом длины наименьших турбулентных вихрей. Мы примем это как первую нашу гипотезу.

Чтобы определить трехмерную изотропную однородную турбулентность (хаос) внутреннего масштаба длины Колмогорова, рассмотрим все евклидово пространство и разделим его на бесконечное число совершенных кубов линейного размера, равного L k, рассматриваемых далее как кубическое разбиение всего пространства. Материальное содержимое i-го пространственного куба рассматривается как жидкий куб i. Трехмерная изотропная однородная турбулентность внутреннего масштаба длины Колмогорова определяется как статистический ансамбль жидких вихрей, характеризуемых скоростями центров масс v c 0 для i каждого жидкого куба i, случайно и изотропно ориентированными векторами завихренности v и случайно и изотропно распределенными тензорами скоростей деформаций e jk. Поскольку эллипсоид представляет геометрический образ симметричного тензора e, мы предположим, что ij главные оси тензоров скоростей деформаций e распределены случайно и ij изотропно для рассматриваемого кубического разбиения всего пространства.

То есть начальное поле скорости в трехмерном пространстве разложено на бесконечное число случайно и изотропно-ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом мелкомасштабных турбулентных вихрей, называемых как трехмерная изотропная однородная турбулентность внутреннего масштаба длины Колмогорова. Трехмерную изотропную однородную турбулентность с энергосодержащим внутренним масштабом Колмогорова L k будем называть трехмерным изотропным однородным турбулентным хаосом Колмогорова.

Отметим, что идея, будто диссипативные структуры турбулентности могут быть хорошо представлены случайным распределением вытянутой вихревой пелены и вихревых трубок, восходит к Таунсенду и Бетчелору [Townsend, 1951;

Batchelor, 1953], как отмечалось Моффаттом, Кида и Охкитани [Moffatt, Kida and Ohkitani, 1994], (см., например, обсуждение в исследовании [Batchelor, 1953;

§ 7.4]). Однако прямые численные моделирования турбулентности (например, [Jimenez and Wray, 1994]) открыли локально компактные трубкоподобные "столбиковые" структуры завихренности, что “предполагает, что они более распространены, чем пелена”, как отмечено Саффманом [Saffman, 1997]. Спиральные структуры скорости “рассматривались как кандидаты для типичных диссипативных структур турбулентности [Lundgren, 1982;

Moffatt, 1984;

1993], но ясно доказательство для (существования) спиральных структур из прямых численных моделирований турбулентности еще не получено” [Moffatt, Kida and Ohkitani, 1994]. Таким образом, мы видим, что не существует реального обоснования некоторых определенных структур скорости, чтобы моделировать мелкомасштабную турбулентность. Поэтому мы рассматриваем статистический ансамбль различных структур скорости, данный стохастическим разложением (2.2.4) со случайными тензорными коэффициентами.

В соответствии с теорией Колмогорова [Колмогоров, 1941], мы будем рассматривать разложения Тейлора (2.2.4) для мгновенного локального поля скорости в каждом кубе i линейного размера равного L k как случайную функцию детерминистических пространственных ( r ) и случайных тензорных переменных ( e jk и = v / 2 ) и также при детерминистических условиях v res = 0. Мы принимаем эту идею для моделирования мелких масштабов турбулентного поля скорости как статистического ансамбля случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом мелкомасштабных турбулентных вихрей размера L k. Различные возможные локальные элементарные структуры скорости, данные линейными членами разложений Тейлора (2.2.4), и их интерпретации рассмотрены в исследованиях [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994].

Отметим, что осознание, что турбулентность может быть адекватно интерпретирована только статистически, восходит к Тайлору и Карману, как отмечалось Зоммерфельдом [Sommerfeld, 1949;

§ 38], например, смотри [Taylor, 1935;

Krmn and Howarth, 1938]. Они рассматривали случайные (стохастические) изотропные распределения завихренности v и случайные изотропные распределения тензора скоростей деформаций e в статистических моделях изотропной однородной турбулентности. Тензор градиента скорости v может быть разложен [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] на симметричный "неравновесный" тензор (v ) и s антисимметричный "равновесный" тензор (v ) :

a v = (v ) + (v ), s v a X v (v )s = 1 v где = e - тензор скоростей деформаций, + X 2 X v v (v ) = - a описывающий локальный сдвиг скорости, 2 X X вращательный тензор, связанный в трехмерном евклидовом пространстве с v = v вектором завихренности посредством зависимости v = (v ), здесь v - компонента вектора завихрености v, a перестановочный символ третьего порядка. Мы видим, что тензор скоростей деформаций e и завихренность v составляют один тензор градиента скорости v.

Таким образом, чтобы моделировать трехмерную изотропную однородную турбулентность внутреннего масштаба длины Колмогорова, мы объединили стохастический подход Тейлора, Кармана и Ховарда [Taylor, 1935;

Krmn and Howarth, 1938], основанный на случайных распределениях завихренности и сдвига скорости, со статистическим подходом Колмогорова [Колмогоров, 1941], основанным на рассмотрении локального случайного поля скорости.

Чтобы протестировать первую нашу гипотезу и рассматриваемую стохастическую модель трехмерной изотропной однородной турбулентности (хаоса) внутреннего масштаба длины Колмогорова (принятую как вторая наша гипотеза для моделирования мелких масштабов турбулентного поля скорости), рассмотрим свободно затухающую трехмерную изотропную однородную турбулентность внутреннего масштаба длины Колмогорова.

Примем также третье предположение, что выражение (2.2.4) является корректной аппроксимацией для локального поля скорости в каждом жидком кубе из кубического разбиения всего пространства, что дает полученную малую коррекцию K res = O (L7k ) в форме (2.2.6) для макроскопической кинетической энергии K i каждого жидкого куба i :

m i ( v c i ) + K tur ( i ), K i = (4.1.1.1) где m i - масса жидкого куба i, v c i - скорость центра масс жидкого куба i. Если рассмотренные предположения верны, тогда боковой микромасштаб Тейлора g (см., например, [Хинце, 1963]) должен эволюционировать идентично для трехмерной изотропной однородной турбулентности (хаоса) внутреннего масштаба длины Колмогорова и для изотропной однородной турбулентности, генерируемой решетками, на ранней стадии затухания.

4.1.2. Гидродинамическое обоснование уравнения эволюции для трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим внутренним масштабом Колмогорова L k. Временная эволюция свободно затухающего трехмерного изотропного однородного турбулентного хаоса Колмогорова Макроскопические моменты I iki тензора инерции для однородного жидкого куба i даются в виде I iki = I i ik ;

макроскопические моменты J iki центробежного тензора для однородной жидкой частицы i даются в виде J jk = J i jk, где ik и jk - дельта-тензоры Кронекера. Макроскопическая i K tur ( i ) кинетическая энергия турбулентных пульсаций (равная макроскопической внутренней кинетической энергии K int ( i ) однородного жидкого куба i ) дается следующим выражением (для макроскопического однородного жидкого куба i размера L k ):

K tur ( i ) = K int ( i ) = K tur ( i ) + K s ( i ) = tur r ( ( )) ( ( )) 1 2 + J i e rc i = I i rc i + O (L7k ), (4.1.2.1) ij 2 () где rc i - угловая скорость внутреннего вращения при радиус-векторе rc i () центра масс C i (в системе координат K ) жидкого куба i, e rc i - тензор ij скоростей деформаций при радиус-векторе rc i центра масс C i (в системе координат K ) жидкого куба i. Мы получаем из выражения (4.1.2.1) макроскопическую кинетическую энергию единицы масс турбулентных пульсаций ( ( )) ( ( )) 1 2 b tur ( i )= K tur ( i ) / m i = i rc i + i e rc i + O (L4k ), (4.1.2.2) ij 2 где 12 i = I i / m i = cube = = L k, i = J i / m i = cube = = Lk.

6 Для совершенно изотропной однородной турбулентности [Taylor, 1935] уравнение эволюции очевидно [Хинце, 1963;

Ландау и Лифшиц, 1988]:

b tur = dis, (4.1.2.3) t где b tur - классическая турбулентная кинетическая энергия единицы массы.

Поскольку эволюция b tur и dis хаотична, эволюция b tur и dis в уравнении (4.1.2.3) может быть получена статистически, то есть как b tur = b tur ( i ) и dis, при эволюция статистических средних расширении математического формализма средних по ансамблю для полевых случайных тензорных переменных [Монин и Яглом, 1965] на случайные функционалы. Статистическое среднее (среднее по ансамблю) случайной переменной определяется в динамике жидкостей [Monin and Yaglom, 1975;

Liljegren and Foslein, 1996] в виде 1 N lim, = j N N j= где i обозначает величину в i-й реализации статистического ансамбля.

Среднее по ансамблю мы достигаем в динамике жидкостей, повторяя эксперимент N раз, суммируя результаты по всем испытаниям, деля на N и взяв предел для очень большого числа N, теоретически для N.

Принимая в соображение соотношение Lk cube = cube / 2 = для каждого однородного жидкого куба i, соотношение dis = 2 e e ij ij [Sommerfeld, 1949;

Ландау и Лифшиц, 1988] для несжимаемой ньютоновской () () вязкой жидкости, а также соотношение v rc i = 2 rc i [Sommerfeld, (r ) i 1949;

Gyarmati, 1970] для вектора завихренности при радиус vc i векторе rc, уравнение (4.1.2.3) может быть переписано следующим образом:

( ) 2 + 2 e e = 2 e e. (4.1.2.4) v ij ij ij ij t Поскольку эволюция v2 и e e хаотична, решение уравнения ij ij (4.1.2.4) может быть получено статистически, т. e. посредством осреднения по ансамблю [Monin and Yaglom, 1975] двух частей уравнения (4.1.2.4) для очень большого числа (теоретически - бесконечного числа) различных турбулентных потоков, рассматриваемых как различные реализации.

Поскольку изотропное однородное турбулентное поле скорости статистически однородно, мы имеем эквивалентность средних по ансамблю величин и пространственных средних [Monin and Yaglom, 1975]. Усредняя две части уравнения (4.1.2.4) (согласно формуле (3.1.1) с =const) по кубическому объему жидкого куба T (конечного размера L L k ), который содержит очень большое число N = ( L / L k ) 3 кубических жидких частиц i (i=1,..., N ), мы получаем (в термодинамическом пределе [Ruelle, 1969]) уравнение эволюции для средней скорости диссипации кинетической dis в трехмерной изотропной однородной энергии единицы массы турбулентности внутреннего масштаба длины Колмогорова:

1 2 dis = dis, (4.1.2.5) LK t 24 где dis - средняя величина в соответствии с пространственным осреднением (3.1.1) по всему евклидову пространству. Мы используем классические соотношения [Хинце, 1963;

Ландау и Лифшиц, 1988]:

dis = v2 = 2 e e ij ij для пространственного среднего dis скорости диссипации кинетической энергии единицы массы dis = 2 e e для изотропной однородной ij ij турбулентности. Мы используем (в получении уравнения (4.1.2.5) из уравнения (4.1.2.4)) формальное определение (3.1.1) для пространственных средних скорости диссипации кинетической энергии единицы массы dis = 2 e e (в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) по всему ij ij евклидову пространству:

dV dis dis L dis, T = L T. (4.1.2.6) lim lim dV T Уравнение (4.1.2.5), если использовать определение внутреннего ( ) масштаба Колмогорова L k = / dis, может быть представлено в другом 3 эквивалентном виде:

( ) 1 12 dis (t ) 2 = dis (t ). (4.1.2.7) t 24 Таким образом, величина ( ) 1 L2K 1 1 12 dis (t ) = dis (t ) = dis (t ) b tur = 4 24 имеет смысл кинетической энергии однородного изотропного случайного поля завихренности v и сдвига скорости (задаваемого тензором скоростей деформации e ij ) с размером энергосодержащих вихрей равным L K.

Перейдем к решению дифференциального уравнения (4.1.2.7). Опуская (для простоты записи) далее подиндекс dis в dis (t ), перепишем уравнение (4.1.2.7) заново в виде:

() 1 12 (t ) 2 = (t ), (4.1.2.8) t где () 1 12 b tur =. (4.1.2.9) Преобразуем дифференциальное уравнение (4.1.2.8) к виду:

() 1 12 1 =.

( ) (4.1.2.10) t 24 Интегрирование уравнения (4.1.2.10) дает:

24(t t 0 ) () 1 1 = = () () ;

.

1 24(t t 0 ) 1 1 2 0 + () 12 0 В результате имеем выражение для средней скорости вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы (однородного изотропного турбулентного хаоса Колмогорова) (t ) = 2, (4.1.2.11) 1 24(t t 0 ) + () 12 0 где 0 = (t = t 0 ) – начальное значение (при t = t 0 ) средней скорости вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы. Имеем из (4.1.2.9) с использованием (4.1.2.11) выражение для кинетической энергии единицы массы однородного изотропного турбулентного хаоса Колмогорова:

1 12 b tur =. (4.1.2.12) 1 24(t t 0 ) + () 12 0 (t = t 01 ) = (t 01 ) Получим из (4.1.2.11) значение при заданном значении времени t 01 t 0 :

(t 01 ) =.

1 24 (t 01 t 0 ) + () 12 0 Теперь возьмем (t 01 ) за начальное значение при t = t 01 и от момента времени t = t 01 будем отсчитывать время. Тогда при t t 01 (где t - то же время, что и в (4.1.2.11)) имеем выражение для (t ) :

1 (t ) = = = 2 24(t t 01 ) 1 24(t 01 t 0 ) 24(t t 01 ) + + + ( ) () (t ) 1 2 12 1 1 2 2 0 =, 1 24(t t 0 ) + () 2 1 0 которое совпадает с (4.1.2.11). Следовательно, в формуле (4.1.2.11) в качестве 0 можно взять (t ) в любой момент времени t 01 t 0 и отсчитывать время от него, т.е. от t 01. Формула (4.1.2.11) от этого не изменится, т.е. она инвариантна относительно выбора начального момента времени t 0 в соответствии с принципом инвариантности Галилея относительно преобразования времени. Показанная инвариантность Галилея будет использована далее.

Согласно Монину и Озмидову, величина в открытом океане изменяется в диапазоне 10 6 10 см2/с3 [Монин и Озмидов, 1981;

Monin and Ozmidov, 1985]. Оценим влияние начального значения 0 в формуле (4.1.2.11), взяв максимальное значение 0 = 10 см2/с3 в приведенном выше диапазоне. Имеем:

см 2 10(0,01м ) 2 1 с 3 м,, = 0 = 10 3 = = 10 ( ) c3 с м с ( ) см 2 0,01 10 2 м 1 м2 1 1 с2 с, 12 =.

= 0,01 = = 10 = 10 = 10 с с с м м м 10 с Возьмем t t 0 = 1 с. Тогда имеем численную оценку 24(t t 0 ) 24 1c 10 3 c.

= 1 м 24(t t 0 ) Следовательно, имеем, что член превосходит в ( ) 1 24 10 = 24 10 3 раз, что приближенно равно 759. Таким образом, второй член в знаменателе (4.1.2.11) через 1 с после условного начала процесса вязкого затухания турбулентной кинетической энергии намного превосходит первый член, учитывающий начальное значение скорости диссипации турбулентной кинетической энергии в единице массы жидкости.

Поэтому с большей степенью точности при t-t0 1 с формула (4.1.2.11) сводится к следующей (t ) = 2. (4.1.2.13) 2 (t t 0 ) Оценим влияние начального значения 0 для умеренного значения 0 = 10 2 cм 2 с 3. Имеем при t-t0 = 1 с:

(t t 0 ) 24 1c p = 24, = 1 cм 2 см ( ) 10 0, с с o т.е. также вклад первого члена в знаменателе (4.1.2.11) незначителен.

( ) Для начального значения 0 = 10 см 2 с 3 имеем при t-t0 = 1 с:

24 p= = 2,4, 10 0, т.е. вклад первого члена в знаменателе (4.1.2.11) при t-t0 = 1 с уже существенен. Для (t-t0)= 100 с имеем p=240 и первым членом в знаменателе (4.1.2.11) можно уже пренебречь.

Рассмотрим следующий важный вопрос о временной зависимости микромасштаба Тейлора g при затухании однородного изотропного турбулентного хаоса Колмогорова. Как известно [Хинце, 1963;

с. 49], величина микромасштаба Тейлора g определяется для однородной изотропной турбулентности в виде:

1 u 1 =, (4.1.2.14) g 2u1 X X2 = где черта означает осреднение по времени или по координате X 2.

Предполагаем, что локальное изменение u 1 обусловлено турбулентными вихрями наименьшего размера, тогда величину g можно также рассматривать [Хинце, 1963;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.