авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный экономический университет ...»

-- [ Страница 3 ] --

с. 50], как характеристику среднего размера этих наименьших вихрей. В монографии Хинце [Хинце, 1963] показано, что () u величина также определяет диссипацию кинетической энергии X 2 X 2 = турбулентности в тепловую энергию (тепло) вследствие молекулярной вязкости. Из этого, следуя Хинце [Хинце, 1963], можно заключить, что g является характеристикой среднего размера наименьших вихрей, посредством которых главным образом осуществляется диссипация кинетической энергии в тепло.

Для изотропной однородной турбулентности средняя скорость диссипации кинетической энергии в единице массы выражается через g следующим образом [Хинце, 1963;

с. 247]:

15 u =, (4.1.2.15) g где u 2 = v tur 3 = b tur, (4.1.2.16) здесь b tur - кинетическая энергия единицы массы турбулентных пульсаций скорости. Подставляя выражение u 2 в формулу (4.1.2.15), получим выражение g 2 (квадрата микромасштаба Тейлора g ) через и b tur 15 b tur 15 u 10 b tur = = = g. (4.1.2.17) Подставляя вместо b tur выражение, даваемое формулой (4.1.2.9), получим 10 g = (). (4.1.2.18) 24 Подставив в (4.1.2.18) вместо выражение (4.1.2.11), получим:

24(t t 0 ) 10 g = +. (4.1.2.19) () 1 24 2 0 Учитывая теперь, что членом в (4.1.2.19), начиная с некоторого ( ) 24(t t 0 ) момента времени t * можно пренебречь по сравнению с величиной, получим, что начиная с некоторого t * с большой степенью точности имеем выражение для g :

g 10 (t t 0 ), (4.1.2.20) которое совпадает с формулой для g, полученной Хинце [Хинце, 1963;

с.

250]. Таким образом, в общем случае g есть линейная функция времени t и определяется формулой (4.1.2.19), которая, начиная с некоторого t * переходит в формулу (4.1.2.20), совпадающую с формулой, полученной Хинце [Хинце, 1963;

с. 250]. Хинце отмечает [Хинце, 1963;

с. 258], что в начальной стадии вырождения однородной изотропной турбулентности ( ) 2 “величина U1 u 1, как и g, изменяются пропорционально t ”, то есть являются линейными функциями времени t.

Отметим, что Хинце приводит также [Хинце, 1963;

с. 247] для микромасштаба диссипации Тейлора формулу:

3 Bt g = 10 t 1 +, (4.1.2.21) 2 R где B и R - некоторые константы. Формула (4.1.2.21) выражает, вообще говоря, при B 0 квадратичную зависимость величины g от времени.

Принимая во внимание, что формула (4.1.2.21) выражает квадратичную зависимость от времени t, вместо наблюдаемой на опыте линейной зависимости (4.1.2.20), представляется целесообразным разобраться в истоках получения квадратичной зависимости (4.1.2.21).

Хинце [Хинце, 1963] берет уравнение 15 u = (4.1.2.22) g в качестве определения g и уравнение баланса турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur :

b tur =. (4.1.2.23) t Учитывая, что для однородной изотропной турбулентности выполняется соотношение 2 (v12 + v22 + v 2 ) u = b tur 2, 3 3 уравнение (4.1.2.23) запишется в виде 15 u 3 u =, (4.1.2.24) t 2 g или (после сокращений):

10 u u =. (4.1.2.25) t g Уравнение (4.1.2.25) отличается от уравнения (3.140), приведенного [Хинце, d 1963], только заменой полной производной частной. Это t dt несущественно, поскольку u 2 зависит только от времени t. Далее Хинце предполагает, что “вырождение полной энергии определяется, главным образом, вырождением энергосодержащих вихрей” и предлагает использовать соотношение [Хинце, 1963;

c. 247]:

t = const = R, (4.1.2.26) полученное из соображений размерности. Из (4.1.2.26) следует, что R =. (4.1.2.27) t Уравнение (4.1.2.25) тогда можно записать, используя (4.1.2.27), (4.1.2.22) и (4.1.2.24), в виде:

u 2 = R t 2. (4.1.2.28) t Результат интегрирования (4.1.2.28), приведенный Хинце [Хинце, 1963], есть 2 u2 = R + B, (4.1.2.29) 3 t где B - постоянная интегрирования. Уточним физический смысл постоянной интегрирования B, интегрируя уравнение (4.1.2.28) в интервале времени ( t 0, t ). Запишем результат интегрирования (4.1.2.28):

t t 2 = R u, (4.1.2.30) t0 3 t t или 1 u 2 (t ) u 2 (t 0 ) = R, (4.1.2.31) t t 3 откуда 2 12 u 2 (t ) = u 2 (t 0 ) R + R. (4.1.2.32) 3 t0 3 t Из (4.1.2.32) видно, что в качестве B в (4.1.2.29) можно взять значение 2 B = u 2 (t 0 ) R, (4.1.2.33) 3 t которое определяется начальным значением u 2 (t 0 ) и начальным временем t 0. Видно, что нельзя взять в качестве начального значения t 0 момент времени t 0 = 0, поскольку выражение (4.1.2.33) для B расходится при t 0 = 0, что противоречит основополагающему принципу относительности механики, согласно которому начальное условие любой механической переменной можно задавать в любой момент времени t. При этом из (4.1.2.32) можно получить выражение для турбулентной кинетической энергии единицы массы:

3 3 1 b tur = u 2 (t ) = u 2 (t 0 ) + R R, (4.1.2.34) 2 2 t t из которого видно, что выражение 1 = (4.1.2.35) b tur 32 1 u (t 0 ) R + R 2 t0 t не является линейной функцией времени t. При этом известно [Хинце, 1963], что именно линейная зависимость 1 b от времени t наблюдается на tur начальной фазе в экспериментах по затуханию турбулентности, генерируемой решетками. Линейная зависимость 1 b от времени t также tur следует из формулы (4.1.2.12), полученной выше. Поэтому представляется логичным проинтегрировать уравнение (4.1.2.28) с, которое дается формулой (4.1.2.11). Имеем 2 2 u (t ) = 2, t 24(t t 0 ) + () 1 2 0 или b tur (t ) =. (4.1.2.36) t 1 24(t t 0 ) + () 2 1 0 Результат интегрирования уравнения (4.1.2.36) есть t 1 2 1 db tur (t ) = b tur (t ) b tur (t 0 ) =. (4.1.2.37) 24(t t 0 ) 24 1 1 24 t + () () 2 12 1 0 0 Уравнение (4.1.2.37) можно записать в виде:

1 2 1 b tur (t ) = b tur (t 0 ) +, (4.1.2.38) 24 1 24(t t 0 ) 24 + () () 12 12 0 0 из которого можно заключить, что b tur (t 0 ) = (4.1.2.39) 24 () в силу того, что в пределе при t имеем:

0. (4.1.2.40) 1 24(t t 0 ) 24 + () 12 0 Если (4.1.2.39) не выполнено, то кинетическая энергия при t будет стремиться не к нулю (что является вполне обоснованным условием), а к константе не равной нулю, что абсурдно. Результат (4.1.2.39):

b tur (t 0 ) = (4.1.2.41) () находится в полном соответствии с формулой (4.1.2.12). Поэтому имеем также из (4.1.2.38) для b tur (t ) ту же формулу что и (4.1.2.12):

b tur (t ) =. (4.1.2.42) 24 (t t 0 ) + () 12 0 Таким образом, интегрирование уравнения эволюции турбулентной кинетической энергии (4.1.25, 4.1.30) с ранее рассчитанной средней скоростью диссипации кинетической энергии на единицу массы, даваемой формулой (4.1.2.11), снова дает тот же результат (4.1.2.42), совпадающий с ранее полученной формулой (4.1.2.12).

Покажем, что основание получения (квадратичной от времени t ) зависимости g, даваемой формулой (4.1.2.21), лежит в интегрировании уравнения баланса турбулентной кинетической энергии (4.1.25, 4.1.30) однородной изотропной турбулентности с неточно выбранной функцией (средней скоростью диссипации турбулентной кинетической энергии в единице массы), даваемой выражением (4.1.2.27), полученным из 2 соображений подобия. Используя выражение (4.1.2.29) для u = R + B и 3 t выражение (4.1.2.27) для, получаем из формулы (4.1.2.15) выражение для g :

15 u 2 3 Bt = 10 t 1 + =, g 2 R которое совпадает с формулой (4.1.2.21).

Выбор в качестве зависимости, которая дается формулой (4.1.2.11), b tur (t ).

дает ранее полученный результат (4.1.2.12) для Причем ранее мы убедились, что использование формулы (4.1.2.9):

() 1 12 b tur = и в качестве (t) формулы (4.1.2.11) приводит к линейной зависимости (4.1.2.19) квадрата масштаба диссипации g 2 от времени t, которая наблюдается в экспериментах в начальной фазе затухания однородной изотропной турбулентности [Хинце, 1963]. Следовательно, надо положить B = 0 в (4.1.2.21). Выражение (4.1.2.20) для g совпадает с выражением, полученным Хинце [Хинце, 1963;

с. 250] из решения уравнения Кармана Хауэрта в предположении, что выполняются два уравнения:

g d g = const, dt (4.1.2.43) u g = Re = const.

Ранее отмечалось Хинце [Хинце, 1963;

с. 586], что число Рейнольдса турбулентности, определяемое [Хинце, 1963;

с. 219] в виде g Re = L 15, (4.1.2.44) K остается постоянным на протяжении начальной стадии затухания турбулентности. Очевидно, что система дифференциальных уравнений (4.1.2.43) может быть переписана в эквивалентном виде:

1 d dt g = const, 2 (4.1.2.45) b tur g 3 = Re = const.

Принимая во внимание выражения (4.1.2.19) и (4.1.2.12), мы видим, что каждое из соотношений системы (4.1.2.45) выполняется с g 2 и b tur, даваемыми выражениями (4.1.2.19) и (4.1.2.12). Находим из второго уравнения системы (4.1.2.45) значение числа Рейнольдса изотропного однородного турбулентного хаоса Колмогорова:

2 10 1 1 3 24 Re = = 0,1075. (4.1.2.46) 24 Рассчитаем число Рейнольдса Re согласно формуле (4.1.2.44). Для этого, исходя из определения внутреннего масштаба Колмогорова ( ) LK = [Колмогоров, 1941] и формулы (4.1.2.11) для (t), найдем зависимость от времени L K :

2 1 24(t t 0 ) LK = 3 +.

() 12 0 Тогда имеем 2 1 1 24(t t 0 ) 1 24(t t 0 ) () () 2, 1 LK = 3 + = 3 + () () 12 12 1 2 0 0 следовательно, учитывая формулу (4.1.2.19) для g, получаем g 10 1 100 1 Re = 15 = 15 = = 0,1075.

L 24 24 15 24 K Таким образом, мы получили для Re снова постоянную величину, 1 равную, как и ранее, числу.

24 Отметим, что число Рейнольдса у Хинце [Хинце, 1963;

с. 247] при B получено в виде:

20 B2 20 B Re = R + t + 15 2 t. (4.1.2.47) 3 R При разумном, как показано выше, значении B = 0, и значении R, взятом в соответствии с формулой (4.1.2.11) равным R = (поскольку Хинце 24 [Хинце, 1963] предполагает для (t) зависимость (4.1.2.27): (t) = R t ), 20 1 1 величина числа Рейнольдса Re находится равной Re = =, 3 24 24 т.е. именно тому же значению Re, которое было получено выше двумя независимыми способами.

Таким образом, тремя различными способами мы получили число 1 Рейнольдса Re =, которое характеризует изотропный однородный 24 турбулентный хаос Колмогорова с масштабом энергосодержащих вихрей ( ) равным внутреннему масштабу Колмогорова L k = / dis 3. Поскольку 1 полученное значение Re = существенно меньше, чем характерные 24 числа Рейнольдса Re, характеризующие [Хинце, 1963;

с. 239, с. 241] затухающую турбулентность на начальной стадии затухания (например в экспериментах [Sato, 1952] число Re было около 60), то можно сделать вывод, что максимальное значение диапазона энергосодержащих масштабов (в котором одновременно происходит вязкая диссипация кинетической энергии) значительно превосходит внутренний масштаб Колмогорова ( ) L k = / dis. Для того, чтобы теоретически прояснить и развить этот 3 вывод, в разделе 4.1.3 дано термодинамическое обоснование уравнения эволюции для трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим масштабом l, а затем в разделе 4.1.4 исследована временная эволюция свободно затухающей трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим масштабом L k.

4.1.3. Термодинамическое обоснование уравнения эволюции для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом l турбулентных вихрей (в несжимаемой однородной вязкой ньютоновской жидкости) Проделаем термодинамическое обоснование уравнения эволюции для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом l турбулентных вихрей. Цель этого раздела также состоит в том, чтобы проиллюстрировать практическое значение новой макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s. Чтобы проиллюстрировать практическое значение новой макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s в разбиении (2.2.15), мы выведем уравнение для турбулентной кинетической энергии единицы массы (средней макроскопической внутренней кинетической энергии единицы массы) свободно затухающей трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом длины l турбулентных вихрей. Используем классическую модель несжимаемой однородной вязкой ньютоновской жидкости. Чтобы моделировать трехмерную изотропную однородную мелкомасштабную турбулентность с энергосодержащим масштабом длины l, мы разделим евклидово пространство на бесконечное число совершенных кубов линейного размера равного l, рассматриваемых в дальнейшем как кубическое разбиение всего пространства. Материальное содержимое i-го пространственного куба рассматривается как жидкий куб i. Трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность с энергосодержащим масштабом длины l определяется как статистический ансамбль жидких вихрей, характеризуемых скоростями центров масс v c i для каждого жидкого куба i, случайно и изотропно ориентированными векторами завихренности v и случайно и изотропно распределенными тензорами скоростей деформаций e jk.

В соответствии с теорией Колмогорова [Колмогоров, 1941, Kolmogorov, 1962] будем рассматривать разложения Тейлора (2.2.4) для мгновенного локального поля скорости в каждом жидком кубе i линейного размера l как случайную функцию детермированных пространственных ( r ) и случайных тензорных переменных ( e jk и = v / 2 ) и также при детерминистических условиях v res = 0.

Форма и связанные с ней макроскопические моменты I ik и J jk инерции и центробежных тензоров, соответственно, флуктуируют во времени случайно для индивидуальной материально инвариантной жидкой частицы, рассматриваемой в турбулентном потоке. Мы имеем инвариантные моменты I ik = I ik и J jk = J jk инерции центробежных тензоров, i, соответственно, для каждого однородного жидкого куба характеризуемого инвариантной кубической формой и фиксированным размером l, в рассматриваемой стохастической модели трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l.

Импульс и поступательная кинетическая энергия K t центра масс обычно исключаются из рассмотрения в статистической физике, как это было отмечено Хиром [Heer, 1972]. Мы также исключим из нашего рассмотрения импульсы и поступательные кинетические энергии K t ( i ) центров масс жидких частиц i, рассматривая детерминистические начальные условия v c i 0 для скоростей центров масс каждого жидкого куба i в трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом длины l турбулентных вихрей.

Рассмотрим жидкий куб T линейного размера L l и разделим его на N = ( L / l ) жидких кубов линейного размера l. Мгновенное содержимое каждого жидкого куба i (i=1,..., N ) может быть рассмотрено как незамкнутая диссипативная неравновесная термодинамическая подсистема, которая состоит из большого числа молекул, рассматриваемых как материальный континуум в континуально-механическом теоретическом подходе. Кинетическая энергия K i каждого жидкого куба i затухает посредством вязкой диссипации, связанной с молекулярной вязкостью, и одновременно хаотически флуктуирует вследствие линейного взаимодействия с другими кубами. Кинетическая энергия K i жидкого куба i равна макроскопической внутренней кинетической энергии K int ( i ) (которая равна кинетической энергии турбулентных пульсаций K tur ( i ) ) i вследствие детерминистических начальных условий жидкого куба 0 для каждого куба i.

v ci N = (L / l ) Рассмотренный жидкий куб T содержит взаимодействующих открытых неравновесных термодинамических подсистем - жидких кубов i (i=1,..., N ). Суммарная макроскопическая внутренняя кинетическая энергия K int (T) жидкого куба T приближенно дается следующей суммой:

N N K int (T) K tur ( T) + K s ( T) = K tur ( i ) + K stur ( i ) tur = r r i=1 i= ( ( )) ( ) 1 i 1 i J e (rc i ).

N N 2 I rc i + = ij i=1 i= K int ( i ) Макроскопическая внутренняя кинетическая энергия i может быть рассмотрена как каждого однородного жидкого куба случайная переменная, поскольку и e jk распределены случайно, а временная эволюция K tur ( i ) хаотична. Эволюция макроскопической K int ( i ) может быть получена внутренней кинетической энергии статистически, т.е. как среднее по ансамблю: K int = K int ( i ). Таким образом, мы будем рассматривать статистические средние (средние по ансамблю) K int случайных переменных K int ( i ) для статистического ансамбля случайно и изотропно-ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей размера l. Мы не можем использовать каноническое распределение вероятности Гиббса [Gibbs, 1902, 1928] для статистического ансамбля неравновесных термодинамических подсистем, поскольку каждая термодинамическая подсистема из статистического ансамбля не находится в состоянии локального термодинамического равновесия вследствие сдвига скорости.

Макроскопическая внутренняя кинетическая энергия K int ( i ) каждого однородного жидкого куба i 1 K int ( i )= K rtur ( i ) + K s ( i ) = I ( ) 2 + J e jk e jk tur (4.1.3.1) 2 может быть рассматриваема как случайная переменная поскольку и e jk распределены случайно.

Выведем статистическое среднее K int макроскопических внутренних кинетических энергий K int ( i ), данных выражением (4.1.3.1), для статистического ансамбля случайно и изотропно ориентированных и сдвиговых мелкомасштабных турбулентных вихрей размера l. Мы имеем по определению ("per se"- «в чистом виде», лат.) статистический ансамбль незамкнутых диссипативных неравновесных термодинамических подсистем, связанных с жидкими вихрями в кубическом разбиении всего трехмерного евклидова пространства. Статистическое среднее случайной переменной определяется в неравновесной термодинамике [Nicolis and Prigogine, 1989] в соответствии с законом больших чисел [Hudson, 1964;

G.

Korn and T. Korn, 1968] следующим образом:

1N lim i, (4.1.3.2) N N i = где i обозначает величину в i-й реализации статистического ансамбля.

K s (, T) tur Мы имеем для пространственного среднего tur макроскопических внутренних сдвиговых кинетических энергий K s ( ) для жидкого куба T конечного размера L l, содержащего N = ( L / l ) малых жидких кубов :

N 24 V l 2 (e jk ( ) ), 1N K (, T) = K s ( ) = tur tur (4.1.3.3) s N =1 N = где V l 3 - объем каждого жидкого куба. Для N, т.е. в термодинамическом пределе [Ruelle, 1969], когда размер L при tur конечном l, K s (, T) стремится к статистическому среднему K s tur согласно закону больших чисел:

24 l 5 (e jk ( ) ).

1N K stur = lim (4.1.3.4) N N = Сумма в выражении (4.1.3.4) может быть переписана следующим образом (в терминах интегралов Римана):

(ej k ) dV 1 tur l (ej k ) 2 = K stur, (4.1.3.5) K s = l lim T = dV 24 L T где (ej k ) 2 -пространственное среднее величины e j k e j k для всего евклидова пространства, т.е. для всего жидкого куба T( ) бесконечного размера в соответствии с пространственным осреднением (3.1.1):

(eij ) dV T (e ) 2 = L lim, dV ij T где mT = dV - масса жидкого куба T конечного размера L l.

T tur Выражение (4.1.3.5) дает эквивалентность среднего по ансамблю K s и K stur ( i ).

K stur пространственного среднего функционала Эта эквивалентность аналогична соответствующей эквивалентности средних по ансамблю величин и пространственных средних для статистически однородного турбулентного поля скорости [Монин и Яглом, 1965].

Используя соотношение dis = 2 e j k e j k для локальной скорости диссипации кинетической энергии единицы массы dis, выражение (4.1.3.5) можно переписать следующим образом [Simonenko, 2004;

2005;

2006]:

tur K s = l dis, (4.1.3.6) где dis - среднее пространственное значение величины dis по всему евклидову пространству. Мы имеем среднюю суммарную макроскопическую внутреннею сдвиговую кинетическую энергию K s ( T) в однородном жидком кубе линейного размера L 1 K s ( T) = K s ( L / l ) = tur l L dis. (4.1.3.7) Используя аналогичные рассуждения как при выводе соотношения (4.1.3.7), мы получим среднюю суммарную макроскопическую внутреннюю вращательную кинетическую энергию K r ( T) в однородном жидком кубе конечного размера L [Simonenko, 2004;

2005;

2006]:

( ) K r ( T) = K r ( L / l ) = l 2 L3 () 2, tur (4.1.3.8) ( ) где () 2 - пространственное среднее величины () 2 для всего евклидова пространства (для жидкого куба T( ) бесконечного размера) в соответствии с пространственным осреднением (3.1.1):

dV () lim T 2 = L.

dV T Используя классическое соотношение [Хинце, 1963;

Монин и Яглом, 1965]:

dis = (v ) 2 (4.1.3.9) для изотропной однородной турбулентности и соотношение = v / [Sommerfeld, 1949;

Gyarmati, 1970], соотношение (4.1.3.8) можно переписать в виде 1 l L dis.

K r ( T) = (4.1.3.10) Соотношение (4.1.3.9) верно в каждый момент времени для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом длины l турбулентных вихрей, поскольку трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность с энергосодержащим масштабом длины l (в данном выше определении) является мелкомасштабной диссипативной подсистемой изотропной однородной турбулентности.

Средняя суммарная макроскопическая внутренняя кинетическая энергия K int ( T ) изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l (в однородном жидком кубе T ) дается соотношением:

1 l L dis.

K int ( T ) = K s ( T) + K r ( T) = (4.1.3.11) Энергия K int ( T ) затухает только посредством вязкой диссипации.

Уравнение эволюции для K int ( T ) очевидно [Simonenko, 2004;

2005;

2006]:

2(ej k ) dV 1 l L dis =- 2 (ej k ) dV = dV =- dis,T mT, T dV t 24 T T T (4.1.3.12) где dis,T - пространственное среднее величины dis для жидкого куба T.

Разделив уравнение (4.1.3.12) на массу m T = L3 жидкого куба T и взяв термодинамический предел L / l, мы получим уравнение эволюции [Simonenko, 2004;

2005;

2006]:

b tur = int = l dis =- dis (4.1.3.13) t t t для средней макроскопической внутренней кинетической энергии единицы массы int изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l :

b tur = int int = s + rtur = tur l dis. (4.1.3.14) Переменная int эквивалентна турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur, рассматриваемой в динамике жидкостей [Хинце, 1963;

Монин и Яглом, 1965], поскольку int и b tur трактуется эквивалентно (см.

главу 3) как макроскопическая кинетическая энергия трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности. Уравнение эволюции (4.1.3.13) для int аналогично классическому уравнению эволюции [Хинце, 1963;

Монин и Яглом, 1965] для турбулентностной кинетической энергии единицы массы изотропной однородной турбулентности, b tur рассматриваемой под единственным воздействием вязкой диссипации.

Уместность и важность макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s в выражении (2.2.15) очевидна. В результате равенства K s ( T) = K r (T) (см. соотношения (4.1.3.7) и (4.1.3.10)), мы получили "сдвигово–вращательный" числовой коэффициент 1 / 24 в соотношении (4.1.3.14) для "сдвигово–вращательной" модели трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности вместо "вращательного" числового коэффициента 1/48, соответствующего твердотельной "вращательной" модели, основанной на предположении локального термодинамического равновесия.

Из формулы (4.1.3.14) получаем, что турбулентная кинетическая энергия единицы массы b tur (средняя макроскопическая внутренняя кинетическая энергия единицы массы) трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k (в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) дается выражением:

( L k ) 2 dis.

b tur = in t = (4.1.3.15) Из общего уравнения эволюции (4.1.3.13) мы получаем уравнение эволюции турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur = in t для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k :

( L k ) 2 dis =- dis, (4.1.3.16) t описывающее вязкое затухание трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом длины L k в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

Отметим, что при выводе уравнения эволюции (4.1.3.13) мы использовали модель однородной плотности, которая рассматривалась постоянной во всем объеме жидкости. Мы покажем в разделе 4.1.5, что уравнение эволюции (4.1.3.13) также описывает в приближении Буссинеска вклад в затухание турбулентной кинетической энергии за счет вязкой диссипации в неоднородной по плотности (слабо стратифицированной) несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

4.1.4. Временная эволюция свободно затухающей трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим масштабом L k Чтобы продемонстрировать практическую важность макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s, покажем (выведем), что турбулентная кинетическая энергия единицы массы b tur трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k затухает как (At + B) -1 :

b tur (At + B) - в рамках модели несжимаемой однородной ньютоновской вязкой жидкости.

Здесь t - время, A и B - некоторые постоянные. Эволюция турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur идентичной формы b tur ( t + ) была получена для изотропной однородной турбулентности из уравнения Кармана и Ховарда [Хинце, 1963] при некотором специальном предположении. Здесь и - некоторые константы.

(( )) Вспоминая выражение L k = 3 dis (t) 4 для внутреннего масштаба длины Колмогорова и предполагая самоподобное (автомодельное) вязкое затухания (т. e., автомодельное соотношение для размера l (t) турбулентных вихрей: l (t) = L k (t ) в момент времени t t o ) уравнение (4.1.3.16) можно переписать следующим образом ( ) = dis ( t).

( t) (4.1.4.1) 2 dis t Отметим, что средняя суммарная внутренняя кинетическая энергия единицы массы in t имеет значение (смысл) турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k :

2 2 ( ) dis = dis ( t) ( L k ) 2. (4.1.4.2) b tur = 24 Переменная int эквивалентна турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur, рассматриваемой в динамике жидкости [Хинце, 1963;

Монин и Яглом, 1965], поскольку int и b tur трактуется эквивалентно как макроскопическая кинетическая энергия трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k. Уравнение эволюции (4.1.3.16) для int аналогично классическому уравнению эволюции [Хинце, 1963;

Монин и Яглом, 1965] для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur изотропной однородной турбулентности при единственном влиянии вязкой диссипации.

Получим временную эволюцию средней скорости диссипации энергии единицы массы dis ( t), интегрируя дифференциальное уравнение (4.1.4.1).

Результат интегрирования (4.1.4.1) дается следующим выражением (t - t o ), dis ( t) = + 24 (4.1.4.3) ( ) ( ( t ) 2 2 dis o где t - время, dis ( t o ) - начальная величина функции dis ( t) в момент времени t o.

Согласно Монину и Озмидову [Monin and Ozmidov, 1985], средняя скорость диссипации энергии единицы массы dis изменяется в океане от Оценим (для = 1 ) влияние начальной величины 10 6 до 10 см 2 / с 3.

dis ( t o ) в формуле (4.1.4.3) для различных временных моментов в терминах параметра ( ) 24 ( t t o ) p p ( dis ( t o ), (t - t o )) dis ( t o ) 2.

Мы имеем p 759 для молекулярной вязкости = 0, 01 см 2 /c (чистой воды при T = 273 K ) одну секунду после начального момента времени t o t - t o = 1 с) dis ( t o ) = (т.e. для для начальной величины см 2 / с 3.

( ) Следовательно, первым членом (to ) в знаменателе выражения dis (4.1.4.3) можно пренебречь после одной секунды от начального момента времени t o. Мы имеем p = 24 для средней скорости диссипации энергии единицы массы dis ( t o ) =10 2 см 2 / с 3 после одной секунды от начального момента времени t o, т.e. первый член в знаменателе выражения (4.1.4.3) также несущественен для t - t o = 1 с. Мы имеем p = 240 для слабой (малой) начальной величины средней скорости диссипации энергии единицы массы dis ( t o ) =10 4 см 2 / с 3 для t - t o = 100 с. Следовательно, первый член в знаменателе выражения (4.1.4.3) несущественен спустя 100 секунд от начального времени t o.

Начальные величины dis ( t o ) для турбулентности, генерируемой решетками [Gad-el-Hak and Corrsin, 1974], намного больше, чем максимальная величина dis =10 см 2 / с 3 в океане. Например, величина dis ( t o ) была равной 3890 см 2 / с 3 для числа Рейнольдса решетки R e M = 48300 при X 1 / M = 30 в экспериментах Гад-эл-Хака и Коррсина [Gad-el-Hak and Corrsin, 1974] с турбулентностью, генерируемой решетками.

Следовательно, первый член в знаменателе формулы (4.1.4.3) так же пренебрежим одну секунду спустя начального турбулентного состояния.

Следовательно, мы получаем из формулы (4.1.4.3) следующее выражение (для t - t o 1 с):

dis ( t). (4.1.4.4) (24 ( t - t o ) ) Аналогичный степенной закон затухания dis ( t) t 2 / = const был получен Хинце ранее из размерных соображений [Хинце, 1963] для эволюции dis ( t) в изотропной однородной турбулентности.

Используя формулу (4.1.4.3), мы получаем следующее выражение (t - t o ) b tur (t) = + 24 (4.1.4.5) ( ) 2 dis (t o ) для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur (t) трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k.

Рассматривая (для = 1 ) любую начальную величину dis ( t o ), мы получаем момент времени 1 t = + to, ( ) (to ) dis определенный условием p = 1. Тогда первые члены в знаменателях формул (4.1.4.3) и (4.1.4.5) очень малы по сравнению со вторыми членами для t t.

Мы находим из формулы (4.1.4.5) следующее соотношение:

24 (t - to ) 1 = + 24. (4.1.4.6) 1 ( ) b tur 2 2 dis ( t o ) 2 2 Следовательно, 1 / b tur есть линейная функция времени t. Поэтому турбулентная кинетическая энергия единицы массы b tur (трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k ) затухает аналогичным путем как турбулентная кинетическая энергия изотропной однородной турбулентности, генерируемой решетками, на начальной стадии затухания (см., например, [Хинце, 1963]). Мы получили степенной закон эволюции dis ( t), данной выражением (4.1.4.4) для t t и линейное выражение (4.1.4.6) для 1 / b tur из замкнутого уравнения эволюции (4.1.4.1), не используя размерные соображения.

Рассмотрим вопрос о временной эволюции бокового микромасштаба Тейлора g трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k. Согласно Хинце [Хинце, 1963], g есть величина среднего масштаба наименьших турбулентных вихрей, которые реализуют основную часть диссипации турбулентной кинетической энергии вследствие вязких сил. Боковой микромасштаб Тейлора g определяется [Хинце, 1963] следующим выражением:

1 2g. (4.1.4.7) 2g 2 X 2 X = 2 Здесь g - коэффициент корреляции поперечной скорости в соответствии с обозначением Хинце. Согласно Хинце [Хинце, 1963], dis связано с g следующим алгебраическим соотношением (для изотропной однородной турбулентности):

15 v 1 dis =. (4.1.4.8) g Используя выражение (4.1.4.8) с изотропным динамическим соотношением v 1 2 = 2 b tur / 3, мы получаем соотношение g = b tur. (4.1.4.9) dis ( t ) Используя формулу (4.1.4.2) для b tur, мы получаем выражение для g в терминах dis ( t) :

10 g =. (4.1.4.10) 24 ( dis ( t )) Подставляя выражения (4.1.4.3) для dis ( t) в формулу (4.1.4.10), мы получаем следующее алгебраическое соотношение:

2 24 ( t t o ) 10 g (t) = +. (4.1.4.11) ( ) 1 24 (t ) 2 2 dis o Принимая во внимание, что для любого начального значения dis ( t o ) существует некоторый момент времени t, для которого первый член в формуле (4.1.4.11) очень мал по сравнению со вторым членом при t t, выражение (4.1.4.11) для t t может быть переписано следующим образом:

g = 10 ( t - t o ). (4.1.4.12) Мы видим, что величины g эволюционируют для t t идентично для трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k и для начальной стадии затухания изотропной однородной турбулентности, генерируемой решетками (за исключением короткого временного периода начальной эволюции, как отмечено Хинце [Хинце, 1963]).

Используя определение [Хинце, 1963] микромасштабного числа Рейнольдса Re ( v 1 ) 2 g / (4.1.4.13) для изотропной однородной турбулентности и соотношения (4.1.4.5) и (4.1.4.11), мы получаем алгебраическое соотношение для трехмерной изотропной однородной свободно затухающей турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k :

(20 / 3 ) 2 2, Re = (4.1.4.14) которое может быть использовано, чтобы определить эмпирически коэффициент для начальной стадии затухания изотропной однородной турбулентности, генерируемой решетками.

Таким образом, принимая во внимание идентичное выражение (4.1.4.12) для трехмерной изотропной однородной свободно затухающей турбулентности энергосодержащего масштаба длины L k и для ранней стадии затухания изотропной однородной турбулентности, генерируемой решетками, мы можем заключить, что мелкомасштабные диссипативные структуры турбулентности могут быть представлены как случайно и изотропно ориентированные и со случайным изотропным сдвигом мелкомасштабные турбулентные вихри энергосодержащего масштаба длины L k.

Экспериментальные исследования затухания турбулентности [Liepmann et al., 1951;

Sato, 1952], которые были проведены при числах Рейнольдса ( U1 - средняя скорость потока, M - размер ячейки решетки) Re М = U1M/, (4.1.4.15) соответственно, порядка 10 и равных 16700 и показали, как отмечалось Хинце [Хинце, 1963;

c. 240], что “спектр Колмогорова E 1 ( k 1 ) k 1 справедлив, вообще говоря, лишь в весьма ограниченном диапазоне волновых чисел”, за пределами которого располагается диапазон мелкомасштабных диссипативных структур турбулентности. Ясно [Хинце, 1963;

c. 242], что увеличение числа Рейнольдса решетки Re М должно расширять этот диапазон волновых чисел (в котором справедлив спектр Колмогорова E 1 ( k 1 ) k 1 3 ), о чем свидетельствуют экспериментальные результаты [Lin, 1948] при числе Рейнольдса решетки Re М = 3 10 5, при котором “получается намного лучшее согласие со спектром Колмогорова”, как отмечалось Хинце [Хинце, 1963;

c. 240].

Принимая во внимание полученное выражение (4.1.4.14) для Re и систему (4.1.2.43), следующую из уравнения Кармана–Хауэрта, видно, что второе уравнение системы (4.1.2.43) будет выполнено, если в процессе вязкого затухания турбулентности будет оставаться практически, характеризующий мелкомасштабные постоянным параметр диссипативные структуры турбулентности с энергосодержащим масштабом длины L k. Учитывая, что в экспериментах [Sato, 1952] величины Re практически при вырождении турбулентности оставались приближенно равными Re 60, это означает, что параметр практически остается также постоянным при затухании турбулентности. Используя формулу (4.1.4.14), мы можем найти реальное значение параметра трехмерной изотропной однородной свободно затухающей диссипативной мелкомасштабной турбулентности (энергосодержащего масштаба длины L k ), для которой известно экспериментальное значение микромасштабного числа Рейнольдса Re :

= 24Re. (4.1.4.16) Согласно Хинце [Хинце, 1963;

c. 241], величины Re в лабораторных опытах “ненамного превышают 100”. Используя значения Re 60 в экспериментах [Sato, 1952], можно по формуле (4.1.4.16) найти максимальное значение для диапазона энергосодержащих масштабов L k l L k (в котором происходит вязкая диссипация кинетической энергии):

:

= 24 60 = 23, 62. Для Re = 100 имеем максимальное значение = 24 100 = 30, 48. Полученные оценки показывают, что область масштабов вязкой диссипации турбулентности, генерируемой в лабораторных условиях, достаточно широка. Это дает объяснение экспериментальных результатов [Liepmann et al., 1951;

Sato, 1952], которые были проведены при числах Рейнольдса решетки Re М, соответственно, порядка 10 4 и равных 16700 и показали, как отмечалось Хинце [Хинце, 1963;

c. 240], что “спектр Колмогорова E 1 ( k 1 ) k1 справедлив, вообще говоря, лишь в весьма ограниченном диапазоне волновых чисел” для не очень больших чисела Рейнольдса решетки Re М = U1M/.

4.1.5. Термодинамическое обоснование эффекта вязкого затухания в уравнении эволюции турбулентной кинетической энергии для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба l в неоднородной (слабо стратифицированной) несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости В разделе 4.1.3 отмечалось, что при выводе уравнения эволюции (4.1.3.13) использовалась модель однородной плотности, которая рассматривалась постоянной во всем объеме жидкости. Покажем теперь, что уравнение эволюции (4.1.3.13) также описывает в приближении Буссинеска вклад в затухание турбулентной кинетической энергии за счет вязкой диссипации в неоднородной по плотности (слабо стратифицированной) несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

Вводная часть при рассмотрении неоднородной по плотности (слабо стратифицированной) несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости остается такой же, как при рассмотрении однородной жидкости в разделе 4.1.3.

tur Мы имеем теперь для пространственного среднего K s (, T) макроскопических внутренних сдвиговых кинетических энергий K s ( i ) tur для жидкого куба T (конечного размера L l ), содержащего N = ( L / l ) малых жидких кубов :

24 V L k (e ij (rc )), (4.1.5.1) 1N 1N K s (, T) = K stur ( ) = tur N =1 N = где - плотность массы жидкого куба (мы имели ранее = = const для =1,..., N в разделе 4.1.3 для модели однородной жидкости);

V V l - объем каждого жидкого куба ;

rc - радиус вектор центра масс C жидкого куба. Для N, т.e., в термодинамическом пределе [Ruelle, 1969], когда размер L для конечного l, K stur (, T) стремится к статистическому среднему K stur согласно закону больших чисел:

l 5 (e (rc )).

1N 1 tur K s = lim (4.1.5.2) ij N N = При рассмотрении формального предела N сумма в выражении (4.1.5.2) может быть переписана в терминах интегралов Римана:

L 2k V (e ) 2, tur Ks = (4.1.5.3) 24 ij где (e ) - пространственное среднее величины e e для всего евклидова ij ij ij пространства (для всего жидкого куба T( ) бесконечного размера) в соответствии с пространственным осреднением (3.1.1):

(eij ) dV dV m, = L T (e ) = L T lim T = L 3, (4.1.5.4) lim lim dV ij L dV T T - средняя плотность для всего евклидова пространства, mT = dV - масса T жидкого куба T конечного размера L l.

Используя соотношения dis = 2 e e между турбулентным тензором ij ij скоростей деформаций e и локальной скоростью диссипации кинетической ij энергии единицы массы dis (для несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости), мы получаем в соответствии с пространственным осреднением (3.1.1):

dis dV 1 ) = lim dis,T = lim 1 T dis, (e ij = (4.1.5.5) L 2 dV L T где dis,T - пространственное среднее величины dis для жидкого куба T конечного размера L l, dis - пространственное среднее величины dis по всему евклидову пространству.

tur Используя выражение (4.1.5.5), формулу (4.1.5.3) для K s можно переписать следующим образом L5k dis.

tur Ks = (4.1.5.6) Затем мы получаем среднюю суммарную макроскопическую tur внутреннюю сдвиговую кинетическую энергию K s ( T ) в жидком кубе T конечного размера L l :

1 K s ( T ) = K s (L/ l ) = l L dis.

tur tur (4.1.5.7) Используя аналогичное рассмотрение как для вывода выражения (4.1.5.7), мы получаем среднюю суммарную макроскопическую внутреннюю вращательную кинетическую энергию K tur ( T ) в жидком кубе T конечного r размера L l :

() K tur ( T ) = K rtur (L/ l ) = L k L 2, (4.1.5.8) r () где 2 - пространственное среднее квадратичной функции 2 для всего tur евклидова пространства. Формулы (4.1.5.7) и (4.1.5.8) для K s ( T ) и K tur ( T ), соответственно, верны для стратифицированной жидкости с r произвольной плотностью массы, не исключая случайных пульсаций плотности в турбулентных вихрях.

Чтобы выразить соотношение (4.1.5.8) в терминах dis, мы используем классическое соотношение [Хинце, 1963;

Ландау и Лифшиц, 1988] для изотропной однородной турбулентности:

v2, dis = (4.1.5.9) где v - локальная завихренность, пространственное осреднение квадратичной функции 2 берется по всему евклидову пространству.

Используя формулу (4.1.5.9) и формулу = / 2 [Sommerfeld, 1949;

v Graymail, 1970], среднюю суммарную макроскопическую внутреннюю вращательную кинетическую энергию K tur ( T ) можно переписать r следующим образом 1 l L dis.

K tur ( T ) = (4.1.5.10) r Мы видим, что с учетом стратификации жидкости средняя суммарная макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия K tur ( T ) r также равна средней суммарной макроскопической внутренней сдвиговой tur кинетической энергии K s ( T ) жидкого куба T конечного размера L l.

Средняя суммарная макроскопическая внутренняя кинетическая энергия K int ( T ) в стратифицированном жидком кубе T (конечного размера L l ) дается соотношением 1 l L dis. (4.1.5.11) K int ( T ) = K s ( T ) + K tur ( T ) = tur r Формула (4.1.5.11) дает корректную аппроксимацию турбулентной кинетической энергии (средней макроскопической внутренней кинетической энергии) трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба l в стратифицированном жидком кубе T конечного размера L l для слабой стратификации плотности, наблюдаемой в океане. Это верно в приближении Буссинеска, в котором член ускорения D v D t в уравнении Навье-Стокса берется с постоянной плотностью o, а макроскопическая кинетическая энергия жидкой частицы, данная формулой (2.2.3), рассматривается также в приближении Буссинеска при постоянной плотности o. Было показано в главе 2, что макроскопическая внутренняя кинетическая энергия сдвигово вращательного сцепления K coup исчезает для однородного жидкого куба.

s,r Следовательно, сумма K s ( T ) + K tur ( T ) в приближении Буссинеска дает tur r среднюю суммарную макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию K int ( T ) трехмерной изотропной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба l в стратифицированном жидком кубе T конечного размера L l.

Уравнение эволюций для средней суммарной макроскопической внутренней кинетической энергии K int ( T ) очевидно:

2(eij ) dV 1 () l L dis = - 2 e 2 dV = dV =- dis,T T mT, t 2 4 ij dV T T T (4.1.5.12) dis для жидкого куба T в где dis,T - пространственное среднее соответствии с осреднением (3.1.1). Разделив уравнение (4.1.5.12) на массу m T = L3 T жидкого куба T и взяв термодинамический предел L / l, мы получим уравнение эволюции:

b tur = int = l dis =- dis, (4.1.5.13) t t t которое по внешнему виду совпадает с уравнением (4.1.3.13) и в приближении Буссинеска описывает эффект вязких сил при затухании трехмерной изотропной мелкомасштабной турбулентности энергосодержа щего масштаба l в слабо стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

Теоретический анализ, представленный далее в разделе 6.3 главы 6, превращения турбулентной кинетической энергии (средней макроскопи ческой внутренней кинетической энергии) в потенциальную энергию в турбулентных пульсациях плотности (для трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим размером длины l ) дает справа от знака равенства в уравнении (4.1.5.13) дополнительный член l (1 / 3) dis, который выражает необратимое превращение турбулентной L o кинетической энергии в потенциальную энергию в турбулентных пульсациях плотности, обусловленных опрокидыванием турбулентных вихрей при их вращательном движении.

4.2. Трехмерная изотропная однородная турбулентность энергосодержащего масштаба длины L FK (ископаемый масштаб длины Колмогорова) Расширим рассмотренный математический формализм стохастической модели трехмерной изотропной однородной турбулентности внутреннего масштаба длины Колмогорова L k для случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей размера l L k. Получим эволюцию средней скорости вязкой диссипации энергии единицы массы в этом случае.

Рассмотрим в начальный момент времени t o статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей размера l L k. Предположим, что после скорости в каждом жидком вихре есть функция, данная линейным и квадратичным членами разложения Тейлора (2.2.4). По аналогии с предыдущим случаем это дает предположенную малую коррекцию K res = O ( l 7 ) в формуле (2.2.6) для макроскопической кинетической энергии K i каждого жидкого куба i линейного размера l из кубического разбиения всего пространства. Все пространство может быть разделено в этом случае на кубы линейного размера l. Аналогичные доводы как для вывода уравнения (4.1.3.16) верны также в этом случае. Рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, мы получаем эволюционное уравнение для средней диссипации энергии единицы массы dis :

dis = - dis, (4.2.1) l t которое аналогично уравнению (4.1.3.16): l 2 содержится в эволюционном уравнении (4.2.1) вместо ( L k ) 2 в уравнении (4.1.3.16). Предположим, что l не зависит от dis. Результат интегрирования эволюционного уравнения (4.2.1) есть экспоненциальное затухание:

( t -t o ) 24 ( t -t o ) dis ( t) = dis ( t o ) e dis ( t o ) e, (4.2.2) l l 24, (4.2.3) где dis ( t o ) есть начальное значение dis (t) в момент времени t o, есть время экспоненциального вязкого затухания в e раз. Наблюдения Смита, Завьялова и Моума [Smyth, Zavialov and Moum, 1997] показали экспоненциальное затухание осредненной по глубине скорости диссипации кинетической энергии единицы массы dis в диапазоне глубин 15 30 м после шквала в течение западных порывов ветра, которые имели место в теплом бассейне западного района Тихого океана в декабре 1992 г. Смит и др. заключили [Smyth, Zavialov and Moum, 1997], что их наблюдения “имеют тенденцию предложить экспоненциальное затухание (например, рис. 4 с)” в контрасте со степенным законом затухания dis ~ t -2 со временем t.

Мы предполагаем, что нет противоречия наблюдений Смита и др. со степенным законом затухания dis ~ t -2, который имеет экспериментальное подтверждение [Хинце, 1963] для ранней стадии затухания турбулентности, генерируемой решетками. Смит и др. заметили в разделе 4 (отклик термоклина к шквалам), что “вследствие постоянных сильных ветров океан был обыкновенно хорошо перемешан вниз до глубин ~ 70 м, т.е. до верхней части главного термоклина [Smyth et al., 1996b]”.

Чтобы получить теоретически экспоненциальное затухание dis Смит и др. [Smyth et al., 1997] использовали модель Брайнерда и Грегга [Brainerd and Gregg, 1993] затухания турбулентности в устойчиво стратифицированной жидкости, пренебрегая временной вариабельностью частоты плавучести N и предполагая, что “масштаб длины энергосодержащих вихрей l ( ) пропорционален масштабу Озмидова L o = N 3 2...”, т.е. l = aL o, где a константа пропорциональности, - средняя скорость диссипации кинетической энергии единицы массы, которая есть dis в нашем обозначении. Было отмечено Смитом и др., что “изменение в N было мало по сравнению с изменением в ”.

Предположение Смита и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997] относительно отсутствия временной вариабельности в частоте плавучести N довольно сомнительно вследствие следующих доводов. Смит и др.

исследовали достоверность предположения l = aL o “используя масштаб Торпа L T [Thorpe, 1977] как заместитель для l ” и приняли величину a = 1, в представленных вычислениях. Они заметили, что “приближенная пропорциональность между L T и L o ясна на примере, показанном на рис. е”. Мы можем заключить из установленной пропорциональности L T и L o, что энергосодержащие масштабы l являются опрокидывающимися.

Следовательно, мы можем предположить существенную вариабельность, зависящую от времени, в неосредненной частоте плавучести N.

Действительно, рис. 4d [Smyth et al., 1997] показывает существенные вариации, зависящие от времени, в осредненной по глубине частоте плавучести N.

Оценим масштаб длины l в формуле (4.2.3), принимая в расчет экспериментальное значение Смита и др. времени = 41 мин.

экспоненциального вязкого затухания в е раз (см. рис. 4c). Принимая в расчет молекулярную вязкость = 0, 01 см2/c чистой воды при температуре T = 273 K, формулу (4.2.3) и равенство =, мы получаем масштаб длины l= 24 = 24, 298 см. Принимая в расчет из рис. 4 c временное среднее значение dis, равное dis t = 0, 001 см2/с3, мы получаем средний внутренний масштаб длины Колмогорова ( ) = 0,177 см, L k t = 3 dis t согласующийся с нашим предположением ( l L k ), сделанным выше для вывода уравнения эволюции (4.2.1). Масштаб Торпа L T и масштаб Озмидова L o (рассчитанные Смитом и др.) находятся в диапазонах: 1 м L T 10 м, 1 м L o 10 м, согласно рис. 5a [Smyth et al., 1997]. Это подтверждает также наше предположение (связанное с рассмотрением статистического ансамбля случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей размера l L k ), что масштабы длины l являются опрокидывающимися, поскольку l = 24,3 см L T, L o.

Мы ограничиваем анализ экспериментальных результатов Смита и др.

Наша цель в разделе 4.2 состоит в том, чтобы продемонстрировать предложенный математический формализм сдвига скорости и внутреннего вращения в жидком континууме. Предполагая, что энергосодержащие масштабы l не зависят от скорости диссипации кинетической энергии единицы массы dis и частоты плавучести N, предложенный математический формализм дает экспоненциальное затухание (4.2.2) и время экспоненциального вязкого затухания в е раз в рамках модели несжимаемой однородной вязкой ньютоновской жидкости. Теоретическая dis ( t) есть основа экспоненциального затухания (4.2.2) для пропорциональность между dis и b tur, как это очевидно из уравнения эволюции (4.2.1).


Мы можем предположить, что масштабы длин L k l 24,3 см реализуют основную часть вязкой диссипации турбулентной кинетической энергии в наблюдениях Смита и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997] турбулентного затухания после шквала в течение западных порывов ветра.

Это предположение вполне разумно, поскольку существует общая тенденция уменьшения масштабов длин в результате нелинейных эффектов, отмеченных Стевартом [Stewart, 1969].

Таким образом, мы видим, что два различные подхода, т.е. модель Смита и др. [Smyth et al., 1997] и предложенная здесь модель дают экспоненциальное затухание dis. Было предположено в модели Смита и др.

[Smith, Zavialov and Moum, 1997], что масштаб длины l энергосодержащих ( ) L o = dis N 3 вихрей пропорционален масштабу Озмидова, и пренебрегалось вариабельностью в частоте плавучести N. Предложенная dis, здесь модель дает экспоненциальное затухание предполагая постоянный энергосодержащий масштаб длины l, который не зависит от dis. Ясно, что необходимо это проанализировать, поскольку вопрос нетривиальный. Поэтому, чтобы исследовать это состояние, мы должны рассмотреть детально вопрос о физической природе энергосодержащего масштаба длины l в экспоненциальном затухании (4.2.2).

Как мы отмечали выше, физическая природа экспоненциального затухания в двух различных подходах (т.е. в подходе Смита и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997] для изотропной однородной турбулентности и в предложенной модели трехмерной изотропной однородной турбулентности постоянного энергосодержащего масштаба l) основана на пропорциональности между средней скоростью диссипации энергии единицы массы dis и турбулентной кинетической энергией единицы массы 3 u 2 2, связанной с моделью Брайнерда и Грегга [Brainerd and Gregg, 1993], с одной стороны, и турбулентной кинетической энергией единицы массы b tur, связанной с предложенной моделью трехмерной изотропной однородной турбулентности постоянного энергосодержащего масштаба l, с другой стороны. Эта пропорциональность достигается в модели Брайнерда и Грегга [Brainerd and Gregg, 1993] посредством использования “невязкого масштабного соотношения”:

= C u3 / l, (4.2.4) в котором l - масштаб длины энергосодержащих вихрей, C - эмпирическая константа, - средняя скорость диссипации кинетической энергии единицы массы, u - “мера величины флуктуаций турбулентной скорости”, т.е.

u = v1 согласно определению [Хинце, 1963]. Смит и др. [Smyth et al., 1997] предположили, что масштаб длины энергосодержащих вихрей ( ), т.е. l = aL o, и L o = dis N 3 l пропорционален масштабу Озмидова также пренебрегли изменчивостью частоты плавучести N. Отметим, что соотношение (4.2.4) восходит к Колмогорову [Колмогоров, 1942]. Это соотношение является соотношением замыкания Колмогорова [Колмогоров, 1942] для турбулентной кинетической энергии в эволюционном уравнении (1.1.6).

Использование соотношения (4.2.4) и выражения l = aL o дает упомянутую выше пропорциональность C = Nu. (4.2.5) a l = L o (т.е., условия Отметим, что использование a = 1) дает соотношение = C 3Nu2, которое противоречит формуле Смита и др. (на с. 815 ):

= C Nu 2, где есть dis в нашем обозначении.

Используя соотношение замыкания (4.2.5), уравнение эволюции (4.1.2.3) для турбулентной кинетической энергии единицы массы (изотропной однородной турбулентности) при единственном влиянии вязкой диссипации (в обозначениях Смита и др.):

3 u = (4.2.6) t можно переписать следующим образом 3 a =. (4.2.7) t 2 C N Результат интегрирования уравнения эволюции (4.2.7) есть экспоненциальное затухание (t t o ) 2 C N(t t o ) (t) = (t o )e (t o )e 3 a, (4.2.8) 3a = - время экспоненциального вязкого затухания в е раз в где 2N C соответствии с формулой Смита и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997].

Следовательно, мы имеем простую опечатку на с. 815 статьи Смита и др.

[Smith, Zavialov and Moum, 1997].

Мы видим, что формула (4.2.8) аналогична формуле (4.2.2). Приравнивая времена затухания в е раз и, данные формулами (4.2.3) и (4.2.8), соответственно, мы получаем следующее выражение 1 a 3 a l = 6 6 L FK. (4.2.9) C N C где L FK ( / N ) 2 - ископаемый масштаб длины Колмогорова согласно терминологии Гибсона в теории ископаемой турбулентности [Gibson, 1987].

Оценим коэффициент 6 ( a / C )1/3 в формуле (4.2.9). Ясно, что C - не универсальная константа. Числовые величины C различны в различных изданиях. Согласно Баренблатту [Баренблатт, 1978], численное значение находится около 0,5 (т.е., 0,5 ) в соотношении замыкания Колмогорова:

dis = 4 b 3/2 / l, tur которое аналогично формуле (4.2.4). Используя изотропное динамическое соотношение b tur = ( 3 / 2 ) u 2, мы получаем константу Колмогорова C = ( 3 / 2 ) = 0,1148, которая 3/2 K согласуется с оценкой Смита и др. C = 0,12 на с. 817 [Smith, Zavialov and K Moum, 1997]. Для a = 1 и константы Колмогорова C = 0,1148 мы K получаем безразмерную числовую константу 6( a /C ) 3 = 12,34.

Чтобы продемонстрировать согласованность двух различных подходов (т.е. модели Брайнерда и Грегга [Brainerd and Gregg, 1993] затухания изотропной однородной турбулентности в стратифицированной жидкости и нашей модели затухания трехмерной изотропной однородной турбулентности постоянного энергосодержащего масштаба длины l, мы должны показать, что численная величина масштаба длины l, данного формулой (4.2.9), находится около численной величины l = ( 24 ) 2 = 24, 298 см, данной формулой (4.2.3) для = = 41 мин и для молекулярной (кинематической) вязкости = 0, 01 см 2 /с чистой воды при T = 273 K. Используя приближенное осредненное по времени значение частоты плавучести N t = 10 2, 75 с -1, взятое из рис. 4d [Smith, Zavialov and Moum, 1997], мы получаем осредненное по времени значение ископаемого масштаба длины Колмогорова L FK t = ( / N t ) = 2,371 см.

Используя a = 1 и константу Колмогорова C = 0,1148, мы получаем K осредненное по времени значение энергосодержащего масштаба длины l t изотропной однородной турбулентности:

l t = 6( a /C ) 3 (/ N t ) 2 = 29, 275 см, K которое находится в довольно хорошем согласии с числовой величиной = 24, 298 см. Используя l = ( 24 ) a =1 и предписанную величину CS = 0,2 Смита и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997] константы C, мы получаем (для трехмерной изотропной однородной турбулентности) среднюю по времени величину энергосодержащего масштаба длины l t :

( / N t ) 2 = 24,329 см, l t = 6( a /C S ) = 24, 298 см, данной которая очень близка численной величине l = ( 24 ) формулой (4.2.3) для = = 41 мин. Следовательно, мы видим, что вязкая диссипация в наблюдениях Смита и др. может быть объяснена масштабом длины l = 24 6( a /C S ) 3 L FK t 24,3 см.

Следовательно, турбулентность в наблюдениях Смита и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997] может быть рассмотрена как ископаемая согласно терминологии Гибсона [Gibson, 1987]. Следовательно, важный вопрос о физической природе энергосодержащего масштаба длины l в экспоненциальном затухании (4.2.2) объяснен c использованием терминологии Гибсона теории ископаемой турбулентности [Gibson, 1987].

Отметим, что масштаб длины l = ( / N) = L FK (где - безразмерная константа) дает экспоненциальное затухание (4.2.2) для dis, поскольку такой масштаб длины l не зависит от dis. Отметим, что переменная:

( L FK ) 2 dis b tur = (4.2.10) в уравнении (4.2.1) имеет значение турбулентной кинетической энергии единицы массы трехмерной изотропной однородной турбулентности энергосодержащего масштаба длины:

l = ( / N) = L FK. Таким образом, мы видим, что предложенный математический формализм дает экспоненциальное затухание dis для трехмерной изотропной однородной турбулентности (энергосодержащего масштаба длины l = ( / N) = L FK ), рассматриваемой как случайное распределение случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом скорости мелкомасштабных турбулентных вихрей энергосодержащего размера l = ( / N ) 2 = L FK. Начальное поле скорости рассматривается в этом случае как статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей энергосодержащего размера равного l = ( / N ) = L FK, где L FK ( / N ) 2 - ископаемый масштаб длины Колмогорова согласно терминологии Гибсона теории ископаемой турбулентности [Gibson, 1987].

4.3. Трехмерная изотропная однородная турбулентность энергосодержащего инерционно-плавучего масштаба длины Озмидова L o Рассмотрим важный вопрос о физической природе критической величины средней скорости диссипации энергии в несжимаемой стратифицированной вязкой ньютоновской жидкости. Существование критической скорости диссипации энергии единицы массы dis,cr N 2 и критического масштаба длины ( ) l cr L o dis N 3 в стратифицированной вязкой жидкости обсуждалось Озмидовым [Озмидов, 1965], как отмечалось Гибсоном [Gibson, 1987]. Здесь N - частота ( ) стабильности. Физическое значение масштаба длины L o = dis N 3 как размера наибольших опрокидывающихся турбулентных вихрей в стратифицированной вязкой жидкости было обсуждено Набатовым и Озмидовым [Набатов и Озмидов, 1992]. Критическая (переходная) скорость вязкой диссипации единицы массы dis,cr tr = 30N 2 была предсказана Гибсоном [Gibson, 1980]. Согласно “критерию существования активной, опрокидывающейся турбулентности” в стратифицированной среде Гибсона [Gibson, 1980, 1981], активная, опрокидывающаяся турбулентность, характеризуемая “опрокидывающимися турбулентными вихрями”, может только существовать в стратифицированном вязком сдвиговом потоке, если dis dis,cr tr = 30N 2, где dis = 2(eij ) 2 - средняя скорость диссипации энергии единицы массы в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости, e - турбулентный тензор ij скоростей деформаций.


Эксперименты по переходу однородной турбулентности, генерируемой решетками, во внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости [Stillinger, Helland and Van Atta, 1983] показали, что критическая скорость вязкой диссипации единицы массы была около 25N 2. Было найдено из лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] по переходу турбулентности, генерируемой решетками, во внутренние гравитационные волны в устойчиво стратифицированной жидкости, что экспериментальные величины переходной скорости диссипации энергии единицы массы exp (“ниже которой никаких опрокидывающихся движений tr не может быть поддерживаемо” [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]) изменяется от exp = (15 ± 1,2) N 2 для малой решетки до exp = ( 21 ± 1,4) N tr tr для большой решетки. Величина 15N обычно рассматривается как наименьшая переходная скорость диссипации энергии единицы массы в океанических стратифицированных вязких турбулентных потоках.

Например, экспериментальные переходные диапазоны tr = (25 ± 10)N и tr (15 30)N были рассмотрены Гибсоном [Gibson, 1987] и Хопфингером [Hopfinger, 1987], соответственно. Таким образом, существует частичный консенсус, что величина 15N 2 является наименьшей величиной переходной скорости диссипации энергии единицы массы в стратифицированных вязких жидкостях.

Чтобы вывести теоретические критические величины средних скоростей диссипации энергии единицы массы рассмотрим статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей размера l = L o (определенный как трехмерная изотропная однородная турбулентность инерционно плавучего масштаба длины Озмидова L o ), как начальное условие в начальный момент времени t o и рассмотрим самоподобное (автомодельное) вязкое свободное затухание, т.е. автомодельное [Баренблатт, 1978] соотношение для размера l (t) турбулентных вихрей: l (t) = L o (t), когда t t o. Мы определяем трехмерную изотропную однородную турбулентность инерционно-плавучего масштаба длины Озмидова L o как статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей размера l, который равен масштабу длины Озмидова L o. Евклидово пространство может быть разделено в этом случае на подобласти – кубы линейного размера ( ) L o = dis N 3. Мы предполагаем, что поле скорости в каждом вихре из статистического ансамбля есть функция, даваемая линейными и квадратичными членами разложения Тейлора (2.2.4). В соответствии с теорией Колмогорова [Колмогоров, 1941], мы будем рассматривать разложение Тейлора (2.2.4) для мгновенного локального поля скорости в каждом жидком кубе i линейного размера L o как случайную функцию детерминистических пространственных ( r ) и случайных тензорных переменных ( e jk и = v / 2 ), а также при детерминистическом условии v res =0. Различные возможные локальные элементарные структуры скорости, данные линейными членами разложений (2.2.4) и их физические интерпретации рассмотрели Сориа и др. [Soria et al. 1994]. Как и в предыдущих случаях это дает малую коррекцию K res = O (L7o ) в формуле (2.2.6) для макроскопической кинетической энергии K i каждого жидкого куба i линейного размера L o из кубического разбиения всего евклидова пространства. Аналогичные доводы, которые ранее использовались для вывода уравнений (4.1.3.15) и (4.2.1), верны также в этом случае. Мы имеем уравнение эволюции для кинетической энергии единицы массы b tur в трехмерной изотропной однородной турбулентности инерционно-плавучего масштаба длины Озмидова L o :

L2o dis =- dis.

b tur = (4.3.1) t t ( ) Подставляя формулу L o = dis N 3 2 для масштаба Озмидова в уравнение (4.3.1), мы получаем в этом случае уравнение эволюции для средней скорости диссипации единицы массы dis () 1 dis = dis. ( 4.3.2) t 24N Рассматривая частоту плавучести (стабильности) N как постоянную, т.е. пренебрегая вариабельностью, зависящей от времени, в частоте плавучести N, результат интегрирования (4.3.2) дается следующим выражением dis ( t ) = dis ( t o ) 12 N 3 ( t t o ), (4.3.3) где dis ( t o ) - среднее значение dis (t) в момент времени t o. Формула (4.3.3) дает линейную функцию безразмерного времени N( t t o ). Рассмотрим один период стабильности полностью насыщенных внутренних гравитационных волн, т.е. ( t t o ) = 1 / N, где t o - начальный момент времени, размерность N есть с -1. Соответствующее уменьшение dis ( t o ) в течение одного периода стабильности есть 12 N 2, как это очевидно из формулы (4.3.3).

Следовательно, начальное "турбулентное" значение dis ( t o ) в начальной турбулентной стадии должно быть выше, чем 12 N 2, поскольку dis ( t ) 0, dis (t), данного функционалом (4.7).

как это ясно из определения Следовательно, необходимо, чтобы начальное значение dis ( t o ) (в трехмерной изотропной однородной турбулентности масштаба длины Озмидова) было выше, чем 12 N 2, т.е. необходимо, чтобы dis ( t o ) 12 N для существования трехмерной изотропной однородной турбулентности масштаба длины Озмидова.

Учтем сейчас превращения турбулентной кинетической энергии (трехмерной изотропной однородной турбулентности масштаба длины Озмидова) в потенциальную энергию в турбулентных опрокидываниях плотности. Чтобы рассмотреть затухание стратифицированной турбулентности, Смит и др. [Smyth et al., 1997] включили дополнительный член - dis в правой части эволюционного уравнения (4.2.6). Было отмечено Смитом и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997], что “большинство исследований указывают, что коэффициент не больше, чем 0,2, так что мы пренебрежем этим членом”. Мы рассмотрим сейчас член - dis с правой стороны эволюционных уравнений (4.3.1) и (4.3.2). Отметим, что переменная b tur = L2o dis (4.3.4) в уравнении (4.3.1) имеет значение турбулентной кинетической энергии единицы массы трехмерного изотропного однородного турбулентного хаоса масштаба длины Озмидова L o. Принимая в соображение, что уравнение (4.2.6) аналогично уравнению (4.3.1), мы можем предположить, что необходимо включить дополнительный член - dis в правую часть эволюционных уравнений (4.3.1) и (4.3.2), чтобы описать превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию в турбулентных опрокидываниях плотности трехмерной изотропной однородной турбулентности масштаба длины Озмидова Lo. С дополнительным членом - dis - в правой стороне эволюционного уравнения (4.3.2) результат интегрирования дается следующим выражением dis ( t ) = dis ( t o ) 12(1 + ) N 3 ( t t o ). (4.3.5) Следовательно, начальное "турбулентное" значение dis (t o ) в начальной 12(1 + ) N 2, т.е.

турбулентной стадии должно быть выше, чем dis (t o ) 12(1 + ) N 2, если мы принимаем во внимание превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию в турбулентных опрокидываниях плотности. Используя максимальную величину = 0,2 Смита и др. [Smith, Zavialov and Moum, 1997], мы получаем критическую величину dis,cr (L o ) = 14,4N 2. Теоретическая величина переходной скорости диссипации энергии единицы массы dis,cr (L o ) = 14,4N (полученная для максимальной величины = 0,2 Смита и др.) приближенно равна наименьшей экспериментальной величине exp = (15 ± 1,2) N 2 переходной скорости диссипации энергии единицы массы tr в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986].

Таким образом, рассмотрение трехмерной изотропной однородной турбулентности масштаба длины Озмидова L o (в рамках модели несжимаемой стратифицированной вязкой ньютоновской жидкости) дает теоретическую величину переходной скорости диссипации энергии единицы массы dis,cr (L o ) = 14,4 N 2 (для максимальной величины Смита и др. = 0, [Smith, Zavialov and Moum, 1997]), которая приближенно равна exp = (15 ± 1,2) N (наименьшей экспериментальной величине [Itsweire, tr Helland and Van Atta, 1986] по переходу однородной турбулентности, генерируемой решетками, во внутренние гравитационные волны в стратифицированной жидкости).

4.4. Трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность масштаба длины L BT Бетчелора-Таунсенда Определим масштаб длины L BT энергосодержащих турбулентных вихрей, которые характеризуют вязкую диссипацию на конечной вязкой гидродинамической стадии затухания изотропной однородной турбулентности в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

Рассматривая мелкомасштабную изотропную однородную турбулентность с l = A( dis ) энергосодержащим масштабом длины и интегрируя дифференциальное уравнение эволюции (4.1.3.13), мы получаем следующее выражение для средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis (t) :

1/ ( ) dis (t) = dis (t o ) 2 (t t o ). (4.4.1) A (2 + 1) Мы имеем из соотношения (4.4.1) выражение для турбулентной кинетической энергии единицы массы:

2 + ( ) A 1 b tur (t) = dis (t) l 2 = (t t o ) dis (t o ). (4.4.2) 24 A (2 + 1) 24 Соотношение (4.4.2) дает для = -1/4 и A = () 3/4 полученное ранее выражение (4.1.2.12) для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur трехмерной изотропной однородной турбулентности внутреннего масштаба длины Колмогорова L k.

Рассматривая следующую асимптотическую аппроксимацию соотношения (4.4.2) для t t o 2 + A 48 2 2 + [(t t o )] b tur ( t ) = (t t o ), (4.4.3) 24 A (2 + 1) мы находим = -1/7, предполагая степенной закон b tur [(t t o )] 2, который характеризует конечную стадию затухания турбулентности [Batchelor and Townsend, 1948].

В соответствии с гипотезой Колмогорова [Колмогоров, 1941] мы предполагаем, что коэффициент кинематической (молекулярной) вязкости является основным параметром, который характеризует статистические свойства трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом длины L BT.

Следовательно, мы находим из размерных соображений A = (lo ) 3/7, где lo есть размерный параметр, который может быть найден эмпирически, чтобы "подогнать" затухание реального турбулентного потока к теоретическим зависимостям. Тогда мы имеем следующее выражение для масштаба длины Бетчелора-Таунсенда L BT = ( dis ) -1/7 (lo ) 3/7. (4.4.4) Мы имеем из соотношений (4.4.1, 4.4.2) для = -1/7 следующие выражения:

7 / 2/ 1 + 48 1/ 7 lo 6 / 7 (t t o ) dis (t) =, (4.4.5) (t o ) 5 / 2/ 1 6 / 7 1/ 7 1 + 48 1/ 7 lo 6 / 7 (t t o ) b tur (t ) = lo. (4.4.6) (t o ) 24 Определим временную эволюцию масштаба длины Бетчелора Таунсенда L BT для t t o на конечной гидродинамической стадии затухания изотропной однородной турбулентности. Используя асимптотическое приближение соотношения (4.4.5) для t t o :

7 / 48 dis (t) = 1/ 7 lo 6 / 7 (t t o ), (4.4.7) 5 мы получаем для t t o масштаб длины Бетчелора-Таунсенда L BT на конечной гидродинамической стадии затухания изотропной однородной турбулентности:

1/ 48 3/ -1/ L BT = ( dis ( t )) (lo ) = (t t o ). (4.4.8) 5 Это соотношение находится в согласии с соотношением l ~ (t )1/ [Миллионщиков, 1939;

Ландау и Лифшиц, 1988] для энергосодержащего масштаба длины l на конечной гидродинамической стадии вязкого затухания изотропной однородной турбулентности в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

Используя соотношение (4.1.4.9) для бокового микромасштаба Тейлора g, асимптотическую аппроксимацию (4.4.7) функции dis (t) и следующее асимптотическое приближение b tur (t ) для t t o :

5/ b tur (t ) = lo 1/ 2 (t t o ) 5 /, (4.4.9) 24 мы находим следующее выражение для конечной гидродинамической стадии затухания изотропной однородной турбулентности (в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) g = 4 ( t - t o ). (4.4.10) Это соотношение для g находится в согласии с аналогичным выражением, полученным эмпирически из лабораторных экспериментов [Batchelor and Townsend, 1948] на конечной гидродинамической стадии вязкого затухания турбулентности.

Таким образом, масштаб длины Бетчелора-Таунсенда L BT = ( dis ) -1/7 (lo ) 3/7 может рассматриваться как энергосодержащий масштаб длины, который характеризует вязкую диссипацию на конечной (вязкой) гидродинамической стадии затухания турбулентности в однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

4.5. Трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность энергосодержащего масштаба длины l ( ) Мы имеем из соображений размерности промежуточный энергосодержащий масштаб l ( ) турбулентных вихрей:

(1+ 4 ) l ( ) = ( dis ) lo -, (4.5.1) который характеризует промежуточные режимы затухания изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности в однородных несжимаемых вязких ньютоновских жидкостях. Здесь - безразмерный параметр в диапазоне 1 / 7 1 / 4. Мы получаем для = 1 / 4 внутренний масштаб длины Колмогорова L k, т.e. l ( 1 / 4 ) = L k. Мы получаем для = 1 / 7 масштаб длины Бетчелора-Таунсенда L BT, т.e. l ( 1 / 7 ) = L BT.

Покажем, что трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность промежуточного энергосодержащего масштаба длины l ( ) представляет мгновенный гидродинамический режим вязкого затухания, характеризуемый показателем степени n = (2 + 1)/2 в степенном законе затухания b tur (t t o ). Рассматривая свободно затухающую трехмерную n изотропную однородную мелкомасштабную турбулентность -3 (1+ 4 ) энергосодержащего масштаба длины l ( ) = ( dis ) lo, мы получаем, интегрируя уравнение эволюции (4.1.3.13), следующие выражения для средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis (t) и турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur 1 / ( ) dis (t) = dis (t o ) - 6 2 (1+ 4 ) (t t o ), (4.5.2) lo (2 + 1) 2 + ( ) - 6 lo (1+ 4 ) b tur (t) = dis (t o ) - 6 2(1+ 4 ) (t t o ). (4.5.3) (2 + 1) 24 lo t t o следующие Мы получаем из соотношений (4.5.2, 4.5.3) для асимптотические выражения:

1/ dis (t) = -6 2(1+ 4 ) (t t o ), (4.5.4) lo (2 + 1) 2 + -6 lo (1+4 ) 48, (4.5.5) b tur (t) = -6 2(1+4 ) (t t o ) (2 + 1) 24 lo которые являются точными решениями уравнения эволюции (4.1.3.13) для свободно затухающей трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом длины -3 (1+ 4 ) l ( ) = ( dis ) lo. Мы получаем, что трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность энергосодержащего масштаба длины l ( ) описывает мгновенный гидродинамический режим вязкого затухания, характеризуемый показателем степени n = (2 + 1)/2 (4.5.6) в асимптотическом степенном законе b tur (t t o ) n вязкого затухания.

Используя соотношение (4.1.2.17), мы получаем, что 5 / 2 n 1, если 1 / 7 1 / 4. Величины = 1 / 4 и n = 1 соответствуют внутреннему масштабу длины Колмогорова L k, т.e. l ( 1 / 4 ) = L k.

Величины = 1 / 7 и n = 5 / 2 соответствуют масштабу длины Бетчелора-Таунсенда L BT, т.e. l ( 1 / 7 ) = L BT.

Используя соотношение (4.31) для бокового микромасштаба Тейлора g и асимптотики (4.5.4, 4.5.5) соответствующие = 1 / 7, мы находим следующее соотношение g = 4 ( t - t o ), (4.5.7) которое находится в согласии с аналогичным выражением, полученным эмпирически из лабораторных экспериментов [Batchelor and Townsend, 1948] на конечной гидродинамической стадии вязкого затухания турбулентности.

Используя асимптотическое соотношение (4.5.4) и выражение (1+ 4 ) l ( ) = ( dis ) lo - для = 1 / 7, мы находим зависимость l ( 1 / 7 ) от времени t :

1/ 48 3/ -1/ l ( 1 / 7 ) = ( dis ( t )) (lo ) = (t t o ). (4.5.8) 5 Эта зависимость находится в согласии (для t t o ) с выражением l ~ (t )1/ [Милионщиков, 1939;

Ландау и Лифшиц, 1988] энергосодержащего масштаба длины l на конечной гидродинамической стадии вязкого затухания изотропной однородной турбулентности в однородных несжимаемых вязких ньютоновских жидкостях. Это значит, что масштаб длины Бетчелора Таунсенда L BT = l ( 1 / 7 ) = ( dis ) -1/7 (lo ) 3/ может быть рассмотрен как энергосодержащий масштаб длины, который характеризует вязкую диссипацию на конечной (вязкой) гидродинамической стадии затухания турбулентности в однородных несжимаемых вязких ньютоновских жидкостях.

Глава УСЛОВИЕ ОПРОКИДЫВАНИЯ МАЛОЙ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ В СДВИГОВОМ ЗАВИХРЕННОМ ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 5.1. Обобщение классического условия сдвиговой стабильности для малой жидкой частицы конечного размера в трехмерном сдвиговом завихренном потоке идеальной жидкости Чтобы продемонстрировать практическое значение установленной макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии и новой макроскопической внутренней кинетической энергии сдвигово-вращательного сцепления, выведем условие опрокидывания для малой (конечной) жидкой частицы, рассматриваемой в трехмерном сдвиговом завихренном потоке идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости. Известно, что опрокидывания в океанском термоклине обычно производятся пульсирующим сдвигом скорости, связанным со сдвиговой нестабильностью, вызванной внутренними гравитационными волнами [Woods, 1968, 1969;

Gregg, 1987;

Gibson, 1987]. Хорошо известное условие сдвиговой стабильности для параллельного стратифицированного потока идеальной жидкости [Miles, 1961;

Howard, 1961] дается выражением (1.1.1). Сдвиговая нестабильность может только иметь место, когда градиентное число Ричардсона Ri в сдвиговом слое меньше, чем 1 / 4. Когда число Ричардсона Ri становится меньше, чем Ri cr = 1 / 4, может генерироваться турбулентность вследствие сдвиговой нестабильности. Было показано в натурных наблюдениях [Woods, 1968, 1969] и в лабораторных исследованиях [Koop and Browand, 1979], что, когда локальное число Ричардсона Ri становится меньше, чем критическая величина Ri cr = 1 / 4, тогда опрокидывания плотности могут возникать локально, приводя в конечном итоге к областям турбулентных движений.

Гибсон получил критерий [Gibson, 1980, 1981] существования “опрокидывающейся турбулентности” из критерия для статистического критического числа Ричардсона:

N Ri = Ri cr = 1 / 4, (5.1.1) v X и учитывая соотношение для средней скорости диссипации энергии единицы массы dis от сдвига скорости для изотропной турбулентности:

15 v dis = 1. (5.1.2) 2 X Согласно “критерию существования активной, опрокидывающейся турбулентности” [Gibson, 1980, 1981] в стратифицированной среде, активная, опрокидывающаяся турбулентность, характеризуемая "опрокидывающимися турбулентными вихрями", может только существовать в стратифицированном вязком сдвиговом потоке, если cr = 5,5 N, (5.1.3а) или, если dis dis,cr = 30 N 2, (5.1.3b) где N - частота плавучести (стабильности), - коэффициент молекулярной вязкости, dis = 2(e ij ) 2 - средняя скорость диссипации кинетической энергии единицы массы, 2 dis / = 2(e ij ) - параметр скорости деформаций, cr критическая величина параметра скорости деформаций, dis,cr - критическая величина средней скорости диссипации кинетической энергии единицы массы.

Существование критической скорости диссипации (кинетической) энергии единицы массы dis,cr N 2 и критического масштаба длины ( ) l cr L o dis N 3 для стратифицированной вязкой жидкости обсуждалось Озмидовым [Озмидов, 1965], как отмечено Гибсоном [Gibson, 1987]. Здесь N - частота стабильности, L o - инерционно плавучий масштаб длины Озмидова [Stillinger et al., 1983;

Itsweire et al., 1986;

Gibson, 1987].

Мы можем предположить, что формула (2.23) выражает макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию единицы массы турбулентных пульсаций для сдвиговых турбулентных полей скорости на cr = 5,5N, активной опрокидывающейся стадии, если или dis dis,cr = 30N, т.е. если критерии (5.1.3a, 5.1.3b) верны. Однако, Торп [Thorpe, 1987] отметил, что “не существует формального подтверждения для принятия Ri cr = 1 / 4 как универсальной критической величины”. Важно получить условие опрокидывания для трехмерных движений идеальной жидкости, не предполагая локальной изотропии пульсаций скорости для поля скорости.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.