авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный экономический университет ...»

-- [ Страница 4 ] --

Получим условие опрокидывания для малой (конечной) жидкой частицы, рассматриваемой в трехмерном сдвиговом потоке идеальной стратифицированной жидкости, не предполагая локальной изотропии пульсаций скорости. Очевидно, что локальная структура кинетической энергии поля скорости содержится в ряде i, e ij, ij, ij тензорных переменных для малой жидкой частицы. Формулы (5.1.3a) и (5.1.3b) констатируют, что существуют критические величины cr, dis,cr для генерации опрокидывающихся турбулентных вихрей в стратифицированном вязком потоке.

Мы можем также предположить, что некоторая критическая величина (макроскопической внутренней кинетической энергии единицы массы int ) int,cr существует для производства опрокидывающихся движений. Мы вывели ранее в главе 4 критическую величину скорости диссипации энергии единицы массы dis,cr 15 N 2. Тогда для жидкой частицы в вязкой жидкости существует критическая величина K int,cr (макроскопической внутренней кинетической энергии K int ) для инициации опрокидываний жидкой частицы в поле гравитации. Из этого следует, что условие опрокидывания для жидкой частицы может быть сформулировано следующим образом:

K int K int, cr. (5.1.4) K int,cr макроскопической внутренней Получим критическую величину K int для жидкой частицы, рассматриваемой в кинетической энергии идеальной жидкости. Мы предположим в соответствии с предположением Брезертона [Bretherton, 1969], что опрокидывания плотности возникают, “питаясь кинетической энергией сдвига”. Как было отмечено Греггом, вызванные сдвигом неустойчивости “затухают посредством вязкой и диффузионной диссипации, посредством излучения внутренних волн и посредством производства потенциальной энергии по мере того, как стратификация становится однородной” [Gregg, 1987]. Мы будем игнорировать вязкую и диффузионную диссипации, излучение внутренних волн и внутреннее перемешивание, а предположим, что вызванные сдвигом неустойчивости на начальной гидродинамической стадии генерации опрокидываний затухают посредством производства потенциальной энергии (жидкой частицы), связанной с поднятием центра масс жидкой частицы в поле гравитации.

Чтобы определить неустойчивое состояние (опрокидывание плотности) жидкой частицы мы вводим определение мгновенного геометрического центра G жидкой частицы. Мгновенный геометрический центр G определяется радиус-вектором r *, начинающимся в начале O системы координат K и заканчивающимся в геометрическом центре G (рис. 4):

rdV r* =. (5.1.5) dV Рис. 4. Схема жидкой частицы и систем координат K, K и K Ясно, что геометрический центр G, определяемый выражением (5.1.5), является инвариантом по отношению к различным декартовым системам координат K.

Рассмотрим теперь мгновенную координатную систему K, связанную с геометрическим центром G. Оси x1, x2, x3 системы координат K выбраны * * * параллельными осям X 1, X 2, X 3 системы координат K, соответственно.

Выразим радиус-вектор rc (начинающийся в точке G и кончающийся в точке C) центра масс C жидкой частицы в системе координат K. Радиус-вектор rc дается следующим выражением:

* r dV rc =, (5.1.6) dV * * где r = r r, - локальная плотность массы.

Мы имеем мгновенное неустойчивое состояние (опрокидывание плотности), если центр масс C расположен выше, чем положение геометрического центра G. Поэтому мы имеем неустойчивое состояние, если вертикальная компонента rc3 радиус-вектора rc положительна, т.е. если rc3 0 ;

мы имеем устойчивое состояние, если rc3 0 и мы имеем промежуточное состояние, если rc3 = 0. Используя разложение Тейлора поля плотности около центра масс C жидкой частицы в системе координат K :

(r ) (r * r ) O(r * r ) * = (r ) = (rc ) + * ci +, (5.1.7) i i ci i =1 ri * r = rc * мы получаем вертикальную координату rc3 центра масс C жидкой частицы в системе координат K :

1 3 (r * ) i 3, r * rc3 = r * r * dV (5.1.8) m i=1 i r * = r,K* c где ( r * ) = ri* r * = r X i r = r c c поскольку оси x1, x2, x3 системы координат K параллельны осям X 1,X 2,X * * * системы координат K, соответственно. Мы пренебрегли остаточным членом порядка O(d 3 ) в выражении (5.1.8), где d - диаметр жидкой частицы.

Предположим, что мы гипотетически получили детальную информацию о мгновенных полях скорости и плотности в некоторой области пространства в момент времени t. Поле плотности может быть разделено на локально устойчивые области (частицы) { d } и локально неустойчивые области { d }.

s u Поле скорости может быть также разделено на локальные области { e }, h характеризуемые большими макроскопическими внутренними кинетическими энергиями единицы массы int, и на локальные области { e }, характеризуемые w малыми макроскопическими внутренними кинетическими энергиями единицы массы int. Например, локальные области { e } с высокой макроскопической h внутренней кинетической энергией могут быть определены как локальные области, характеризуемые макроскопической внутренней кинетической int int,cr, где int,cr - критическая величина макроскопической энергией внутренней кинетической энергии единицы массы int. Неустойчивые по плотности области { d } могут частично совпадать или не совпадать с u областями { h }, характеризуемыми высокой макроскопической внутренней e кинетической энергией единицы массы int. Ясно, что неустойчивые по плотности области { d } в момент времени t могут вынуждаться в результате u временной эволюции (в течение некоторого временного интервала ( t o, t )) областей { e }, характеризуемых высокими макроскопическими внутренними h кинетическими энергиями единицы массы int в предыдущий момент времени t o t. Пульсации скорости в неустойчивой по плотности области затухают посредством вязкой и диффузионной диссипации, посредством излучения внутренних волн и турбулентного перемешивания.

Нас не интересует сейчас детальная эволюция турбулентных полей скорости и плотности. Наша цель сейчас состоит в том, чтобы получить для жидкой частицы (в идеальной жидкости) критическую величину K int,cr, которая макроскопической внутренней кинетической энергии достаточна для инициации опрокидывания жидкой частицы в гравитацион ном поле.

Мы показали в главе 2, что классическая формула для макроскопической кинетической энергии малой жидкой частицы [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] основывается на предположении локального термодинамичес кого равновесия. Однако, хорошо известно, что сдвиговый поток идеальной жидкости не находится в состоянии локального термодинамического равновесия [Ландау и Лифшиц, 1976;

Evans, Hanley and Hess, 1984]. Идеальное движение жидкости мыслится как невязкое, несжимаемое и нетеплопроводное.

Малая жидкая частица в потоке идеальной жидкости не находится в состоянии локального термодинамического равновесия из-за сдвига скорости. Движение идеальной жидкости может быть рассматриваемо как адиабатическое [Ландау и Лифшиц, 1988]. Энтропия S индивидуальной жидкой частицы постоянна для адиабатического движения идеальной жидкости [Ландау и Лифшиц, 1988].

Адиабатическое движение идеальной жидкости удовлетворяет уравнению [Ландау и Лифшиц, 1988]:

D S = 0, (5.1.9) Dt где оператор D = + v обозначает полную производную, следующую t Dt жидкому веществу [Batchelor, 1967]. Отметим, что Бетчелор [Batchelor, 1967] D S = 0.

определял изоэнтропические движения жидкой частицы условием Dt Для нас важно, что мы имеем выражение (5.1.9) для движений идеальной жидкости. Согласно принципу относительности Галилея [Ландау и Лифшиц, 1976], энтропия S жидкой частицы является функцией разности между 1 полной энергией E жидкой частицы и кинетической энергией K t = m Vc макроскопического поступательного движения жидкой частицы :

S = S E m Vc, (5.1.10) где Vc - скорость центра масс C жидкой частицы, Vc дается формулой (2.2.2). Полная энергия E жидкой частицы есть сумма [Gyarmati, 1970]:

E = K + U +, (5.1.11) где кинетическая энергия макроскопического движения K дается формулой (2.2.6), - макроскопическая потенциальная энергия, связанная с гравитационным полем, U - микроскопическая внутренняя тепловая энергия, которая представляется суммой микроскопической кинетической энергии хаотических поступательных движений молекул, микроскопической кинетической энергии хаотических вращений молекул, микроскопической кинетической энергии колебаний атомов в молекулах, микроскопической потенциальной энергии малых деформаций молекул, связанных с колебаниями атомов в молекулах и микроскопической потенциальной энергии межмолекулярных взаимодействий [Batchelor, 1967].

Объединяя формулы (5.1.9) и (5.1.10), мы имеем D E m Vc = 0. (5.1.12) Dt 2 Используя формулы (5.1.11), (5.1.12), формулу (2.2.6) для K и формулу (2.2.13) для K int, мы получаем D (K int + U + ) = 0. (5.1.13) Dt Поскольку мы имеем (для несжимаемой идеальной жидкости) следующее уравнение [Batchelor, 1967]:

D (U ) = 0 (5.1.14) Dt мы получаем, следовательно, выражение D (K int + ) = 0. (5.1.15) Dt Следовательно, мы имеем следующее интегральное соотношение K int + = const( ) (5.1.16) для движения индивидуальной малой жидкой частицы в физическом пространстве, где const() зависит от индивидуальной жидкой частицы.

Предположим, что неустойчивая по плотности, опрокинутая жидкая частица u трансформируется из устойчивой по плотности жидкой частицы s.

Рассмотрим закон сохранения (5.1.16) для перехода из устойчивого состояния s в неустойчивое состояние u :

() () () () K int s + s = K int u + u. (5.1.17) Мы имеем из формулы ( 5.1.17) следующее выражение:

() () () () K int s = u s + K int u. (5.1.18) Предположим, что макроскопическая внутренняя кинетическая энергия жидкой частицы в неустойчивом состоянии неотрицательна, т.е. K int ( ) 0, u следовательно, мы имеем () () () K int s u s. (5.1.19) Мы видим, что для инициации опрокидывания плотности в жидкой частице необходимо, чтобы макроскопическая внутренняя кинетическая энергия K int в устойчивом положении была больше, чем увеличение потенциальной энергии () () u s в неустойчивом и устойчивом состояниях. Мы сейчас оценим () максимальную величину потенциальной энергии u в неустойчивом состоянии, чтобы получить критическую величину K int,cr макроскопической внутренней кинетической энергии K int в условии опрокидывания (5.1.4):

(( ) ) ( s ), u K int,cr = max (5.1.20) u где максимум берется по всем возможным неустойчивым состояниям u, когда устойчивая жидкая частица s трансформируется в неустойчивую жидкую частицу u. Следовательно, мы гипотетически предполагаем (для получения критической величины K int,cr ), что неустойчивое состояние u ранее s устойчивой жидкой частицы обладает максимальной потенциальной энергией из всех возможных виртуальных состояний в соответствии с законом сохранения энергии (5.1.17).

Жидкая частица s в устойчивом состоянии трансформируется в неустойчивое состояние u в результате вращения (как целого), связанного с вектором завихренности v v, и вследствие сдвига скорости, связанного с тензором скоростей деформаций e ij. Из физических соображений ясно, что сдвиг скорости не влияет существенно на поднятие центра масс жидкой частицы в гравитационном поле. Ранее было показано оптическими и зондирующими методами [Chashechkin, 1991], что тонкая структура и сила взаимодействия концентрированных вихрей со стратифицированным окружением “зависит от геометрии и направления завихренности” и “динамика эволюции зависит от появляющейся тонкой вертикальной структуры градиента плотности”. Мы будем иметь максимальное поднятие центра масс жидкой частицы, когда жидкая частица вращается (из устойчивого по плотности состояния s ) как твердое тело с угловой скоростью внутреннего вращения (r ) ( v (r )) / 2 v (r ) / 2, связанной с тензором скоростей деформаций e ij 0. K int,cr Поэтому, чтобы получить критическую величину макроскопической внутренней кинетической энергии K int мы предположим, что неустойчивое состояние u ранее устойчивой жидкой частицы s достигается при помощи "твердотельного" вращения устойчивой жидкой частицы s как v v, целого вокруг вектора завихренности пересекающего геометрический центр G жидкой частицы. Ясно, что если начальные s жидкой частицы s положения геометрического G и центра масс C расположены на вертикальной линии, которая параллельна вектору g локального ускорения силы тяжести, тогда мы будем иметь максимальное поднятие центра масс C жидкой частицы s. Следовательно, максимальная () потенциальная энергия u (связанная с гравитационным полем) может быть достигнута, когда жидкая частица вращается как твердое тело вокруг виртуального направления, которое перпендикулярно локальному вектору g гравитационного ускорения. В этом случае мы имеем, что разность между вертикальными координатами центров масс неустойчивой по плотности жидкой частицы u и устойчивой по плотности жидкой частицы s равна 2rc3, где rc3 разность между вертикальными координатами центра масс C и геометрического центра G устойчивой по плотности жидкой частицы s, вертикальная координата rc3 центра масс C жидкой частицы в системе координат K дается выражением (5.1.8). Следовательно, критическая величина макроскопической внутренней кинетической энергии дается выражением K int,cr = 2m grc3. Таким образом, условие опрокидывания для малой жидкой частицы (рассматриваемой в идеальной жидкости) может быть сформулировано следующим образом:

13 K s-r = K r + K s + K s,r = I ik i (rc ) k (rc ) + J jk e ij (rc )e ik (rc ) + coup 2 i,k =1 2 i, j,k = ijk J jm i (rc ) e km (rc ) 2m grc3, + (5.1.21) i, j,k,m = где тензор I ik дается выражением (2.2.7), а тензор J ik дается выражением (2.2.8).

Полученное условие опрокидывания (5.1.21) содержит диаметр d жидкой частицы посредством тензоров I ik и J ik. При делении двух частей условия опрокидывания (5.1.21) на массу m жидкой частицы и использовании определения (2.2.20) условие опрокидывания может быть выражено следующим образом:

13 s-r = r + s + s,r = ik i (rc ) k (rc ) + jk e ij (rc )e ik (rc ) + coup 2 i,k =1 2 i, j,k = jm i (rc ) e km (rc ) 2grc3.

+ (5.1.22) ijk i, j, k, m = Локальная структура кинетической энергии потока жидкости содержится в наборе случайных тензорных переменных i, e ij, ij, ij. Мы можем предположить, что формула (2.2.21) выражает макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию единицы массы турбулентных пульсаций скорости в сдвиговом потоке идеальной жидкости на активной опрокидывающейся стадии, характеризуемой опрокидываниями плотности, когда удовлетворяется условие опрокидывания (5.1.22). Мы вывели условие опрокидывания (5.1.22) из энергетических рассмотрений для трехмерного сдвигового потока идеальной жидкости, не предполагая локальной изотропии турбулентного движения. Далее мы получим классическое критическое число Ричардсона Ri cr = 1 / 4 из условия опрокидывания (5.1.22), рассматривая бесконечно малые жидкие частицы в параллельном двумерном стратифицированном сдвиговом потоке идеальной жидкости.

5.2. Двумерный параллельный сдвиговый поток идеальной стратифицированной жидкости 5.2.1. Условие опрокидывания малой жидкой частицы в двумерном параллельном сдвиговый потоке идеальной стратифицированной жидкости Получим частную форму условия опрокидывания (для одного практического случая геофизических потоков) для жидкой частицы в двумерном стратифицированном параллельном сдвиговом плавном (ламинарном) потоке v o = ( v1 (X 3 ),0,0), где горизонтальная компонента скорости v1 ( X 3 ) направлена по направлению оси X 1 системы координат K, а локальная плотность является функцией вертикальной координаты X 3, т.е.

= ( X 3 ). Мы имеем две ненулевые компоненты e13 и e 31 тензора скоростей деформаций e ij и одну ненулевую компоненту 22 вектора завихренности v = 2, направленного в направлении оси X 2 системы координат K :

v ( X ) 1 v1 (X 3 ) e13 = e 31 =, 2 = 1 3. (5.2.1.1) 2 X 3 2 X Мы имеем следующие выражения для малой трехмерной жидкой частицы, ограниченной замкнутой поверхностью (или для единицы длины двумерной цилиндрической жидкой частицы, ограниченной цилиндрической поверхностью () C, образованной прямой образующей линией lC, которая параллельна оси X 2 системы координат K ):

1 v (X ) (5.2.1.2) K r = 1 3 I 22, 8 X 1 v (X ) K s = 1 3 (J11 + J 33 ), (5.2.1.3) 8 X 1 v (X ) = 1 3 (J 33 J11 ).

K s,r u p co (5.2.1.4) 4 X Поскольку J11 + J 33 = I 22, мы имеем равенство K s = K r. Мы получаем, таким образом, следующее выражение для внутренней сдвигово-вращательной кинетической энергии K s-r жидкой частицы :

2 1 v (X ) 1 v (X ) K s-r = 1 3 J 33 = 1 3 (x 3 ) dV.

(5.2.1.5) X X 2,K 3 Мы имеем в системе координат K следующее соотношение для вертикальной координаты rc3 центра масс C жидкой частицы :

(x 3 ) dV.

1 * rc3 = (5.2.1.6) m X 3 r = r,K* c Следовательно, условие опрокидывания (5.1.21) для двумерного потока идеальной жидкости может быть сформулировано следующим образом:

1 v1 (rc ) (rc ) () (x 3 ) dV 2g x * dV.

3 (5.2.1.7) 2 X 3 X 3,K*, K Условие опрокидывания (5.2.1.7) может быть сформулировано в терминах классического градиентного числа Ричардсона Ri (rc ), связанного с центром масс C жидкой частицы, следующим образом:

g (rc ) (x 3 ) dV (r ) X 3 1,K Ri (rc ) = c Ri cr =. (5.2.1.8) () 4(rc ) v1 (rc ) 2 * x 3 dV X,K* Очевидно из условия опрокидывания (5.2.1.8), что Ri (rc ) стремится к классической критической величине 1 / 4 линейной теории устойчивости (Howard, 1961;

Miles, 1961) для бесконечно малой трехмерной жидкой частицы, ограниченной замкнутой поверхностью, для которой ее диаметр d стремится к нулю, (т.е. d 0). Классическая критическая величина 1 / 4 числа Ричардсона Ri была ранее получена [Должанский, Крымов и Манин, 1990] из аналогичных энергетических рассмотрений для бесконечно малой жидкой частицы. Мы получаем также классическое критическое значение 1 / 4 из условия опрокидывания (5.2.1.8) для цилиндрической жидкой частицы конечной длины (вдоль оси X 2 системы координат K ), когда диаметр d цилиндрической жидкой частицы стремится к нулю.

Таким образом, величины критических чисел Ричардсона Ri cr (полученные для двумерной жидкой частицы бесконечно малого объема и для бесконечно малой трехмерной жидкой частицы) равны классической критической величине 1 / 4 линейной теории устойчивости [Howard, 1961;

Miles, 1961], рассматривающей двумерные бесконечно малые возмущения волнового типа. Условие опрокидывания (5.2.1.8) обобщает условие (5.1a) Майлса и Ховарда, учитывая малую жидкую частицу конечного размера в трехмерном сдвиговом потоке идеальной жидкости.

5.2.2. Условие опрокидывания малой стратифицированной жидкой сферы и прямого кругового цилиндра в двумерном параллельном сдвиговый потоке идеальной стратифицированный жидкости Получим критические значения градиентных чисел Ричардсона Ri s и cr Ri c для сферической жидкой частицы sp малого конечного радиуса R и для cr цилиндрической жидкой частицы c в форме прямого кругового цилиндра радиуса R и единичной длины (образованного прямой образующей линией lC, которая параллельна оси X 2 системы координат K ). Рассмотрим сферическую жидкую частицу sp, вписанную в круговой цилиндр c радиуса R в рассматриваемом двумерном потоке. Мы получаем из формулы (5.2.1.8) критическую величину градиентного числа Ричардсона Ri c для прямого cr кругового жидкого цилиндра:

2 1 R 2 () 1 1 R Ri c = 1 + o R4, () ( ) ( ( )) 4 2 c rcc X 3 r = r c 16 2 r c 2 X 3 r = r c cr c c c c (5.2.2.1) где c = mc / R - средняя плотность жидкости прямого кругового цилиндра () c c радиуса R, rc - плотность в точке, определяемой радиус-вектором rc центра масс цилиндрической жидкой частицы c, m c - масса единицы длины цилиндрической жидкой частицы c. Из формулы (5.2.2.1) очевидно, что для конечной жидкой частицы в форме прямого кругового жидкого цилиндра мы имеем, что критическая величина Ri c 1 / 4.

cr Мы получаем из формулы (5.2.1.8) критическую величину градиентного числа Ричардсона Ri s для сферической жидкой частицы sp радиуса R, cr вписанной в цилиндр радиуса R :

2 2 R 2 + o(R 4 ), 1 1 R Ri s = 1 4 5 s (rcs ) X 3 r = r s () 25 2 ((r s ))2 X 3 r = r s cr c c s c (5.2.2.2) где s = 3m s / (4R ) - средняя плотность массы сферической жидкой частицы sp, m s - масса сферической жидкой частицы, (rc )- плотность массы в центре s s масс сферической жидкой частицы sp, определяемом радиус-вектором rc.

Из формул (5.2.2.1) и (5.2.2.2) видно, что критические числа Ричардсона Ri cr и Ri s должны быть меньше, чем классическое критическое значение 1 / c cr для опрокидывания двух жидких частиц (прямого кругового жидкого цилиндра c малого конечного радиуса R и сферической жидкой частицы sp малого конечного радиуса R ), рассматриваемых в двумерном стратифицированном параллельном сдвиговом плавном (ламинарном) потоке идеальной жидкости.

Этот результат находится в соответствии с лабораторными исследованиями Купа и Брованда [Koop and Browand, 1979], которые показали, что сдвиговая неустойчивость Кельвина-Гельмгольтца генерирует высокоорганизованные валы, когда числа Ричардсона Ri (0,125 - 0,15). Мы видим из формул (5.2.2.1) и (5.2.2.2), что поскольку Ri c Ri s, то возможно опрокинуть трехмерную cr cr сферическую жидкую частицу радиуса R при помощи сдвига скорости, sp характеризуемого числами Ричардсона Ri c Ri Ri s, но невозможно cr cr опрокинуть круговой жидкий цилиндр радиуса R сдвигом скорости, c характеризуемым числами Ричардсона Ri c Ri Ri s. Этот результат находится cr cr в соответствии с линейной теорией устойчивости (рассматривающей двухмерные бесконечно малые волнообразные возмущения), поскольку трехмерные возмущения "более неустойчивы", чем двухмерные возмущения [Миропольский, 1981].

Глава ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ВНУТРЕННЕЙ СДВИГОВОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МАЛОЙ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ 6.1. Обоснование соотношения замыкания для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l в несжимаемой однородной вязкой ньютоновской жидкости Чтобы продемонстрировать относительную важность макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s и макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r выведем соотношение замыкания между средней диссипацией кинетической энергии единицы массы dis и средней макроскопической внутренней кинетической энергией единицы массы int для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l в несжимаемой однородной ньютоновской вязкой жидкости. Мы выведем соотношение замыкания для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l, используя подход, пригодный для последующего анализа в разделе 6.2 относительных вкладов энергий s и r в турбулентную кинетическую энергию единицы массы b tur для мелкомасштабных диссипативных структур турбулентности.

Чтобы смоделировать трехмерную изотропную однородную мелкомасштабную турбулентность энергосодержащего масштаба длины l разделим все евклидово пространство на бесконечное число совершенных кубов (с линейным размером равным l ), рассматриваемое далее как кубическое разбиение всего пространства. Трехмерная изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность энергосодержащего масштаба длины l определяется [Simonenko, 2004] как статистический ансамбль мелкомасштабных жидких вихрей, занимающих наши кубические области, со скоростями центров масс v c 0 каждого жидкого куба i, со случайно и i изотропно ориентированными векторами завихренности v и со случайно и изотропно распределенными тензорами скоростей деформаций e jk. Эта модель находится в соответствии с трактовкой турбулентности [Prigogine and Stengers, 1984;

Nicolis and Prigogine, 1989] как организованного ансамбля жидких вихрей, характеризуемых высококогерентными локальными структурами скорости.

Тензор градиента скорости v i / X j может быть разложен [Gyarmati, 1970;

Saffman, 1992] на симметричный "неравновесный" тензор скоростей деформаций e ij и антисимметричный "равновесный" тензор скорости вращения w ij :

v i /X j = e ij + w ij, (6.1.1) где e ij - тензор скоростей деформаций, описывающий локальное сдвиговое турбулентное поле скорости, w ij (v i / X j v j / X i ) / 2 - тензор вращения, связанный в трехмерном евклидовом пространстве с турбулентной завихренностью v = v соотношением [Saffman, 1992]:

w ij = ijk vk, (6.1.2) здесь vk - k компонента завихренности v, ijk - перестановочный символ третьего порядка.

Было отмечено Хинце [Хинце, 1963] в § 5.4, что теорема Гельмгольтца может быть полезна, чтобы проанализировать локальное турбулентное движение в конечной жидкой области, рассматриваемой как большое число малых жидких частиц. Мы будем рассматривать разложение Тейлора [Simonenko, 2004;

2005;

2006] (находящееся в соответствии с теоремой Гельмгольтца [Helmholtz, 1858;

Sommerfeld, 1949]) в декартовой системе координат K системы отчета Галилея:

1 3 2 vi (rc + r ) = v i (rc ) + ijk j (rc ) rk + e ij (rc )r j + rjrk + ( v res ) i vi 2 j,k =1 X jX k j= j,k = (6.1.3) для мгновенного локального гидродинамического поля скорости v (r, t ) = ( v1, v 2, v 3 ) в каждом жидком кубе линейного размера l (для каждого момента времени t) как случайные функции детерминистических пространственных ( r ) и случайных тензорных переменных e jk и = v / [Gyarmati, 1970;

Sommerfeld, 1949] в соответствии с теоретическим подходом Колмогорова [Колмогоров, 1941], и при детерминистических условиях v res (( v res )1, (v res ) 2, (v res ) 3 ) = 0. Здесь v (r ) ( v (r )) - локальная завихренность;

rc - радиус-вектор центра масс каждого жидкого куба;

r r rc (r1, r2, r3 ) ;

(r ) v / 2 - угловая скорость внутреннего вращения, определяемая вектором (1, 2,3 ) ;

X1, X 2, X 3 - пространственные координаты;

e ij (r ) -тензор скоростей деформаций.

Моделируя трехмерную изотропную однородную мелкомасштабную турбулентность "крупнозернистыми" диссипативными структурами поля скорости, мы исходим из предположения [Белоцерковский, Опарин и Чечеткин, 2003], что энергосодержащие большие масштабы турбулентности энергетически преобладают по отношению к малым масштабам, связанным с тонкими структурами поля скорости в турбулентных вихрях. Мы будем рассматривать это предположение в качестве нашей гипотезы.

Идея, что диссипативные структуры турбулентности могут быть хорошо представлены случайным распределением вытянутой вихревой пелены и вихревых трубок, восходит к Таунсенду [Townsend, 1951] и Бетчелору [Batchelor, 1953], как отмечалось Саффманом [Saffman, 1997], (смотри, например, обсуждение в § 7.4 монографии [Batchelor, 1953]).

Однако прямые численные моделирования турбулентности (например, [Jimenz and Wray, 1994]) обнаружили локально трубкообразные “столбиковые” структуры завихренности, что “предлагает, что они более распространенные, чем пелена”, как было отмечено Саффманом [Saffman, 1997]. Спиральные структуры скорости “были рассмотрены как кандидаты для типичных диссипативных структур турбулентности [Lundgren, 1982;

Moffatt, 1993], но ясное доказательство для (существования) спиральных структур из прямых численных моделирований турбулентности еще не имеется” [Moffatt, Kida and Ohkitani, 1994]. Поскольку не существует реального обоснования некоторых определенных структур скорости, чтобы моделировать мелкомасштабную турбулентность, мы рассматриваем статистический ансамбль различных структур скорости, данных стохастическим разложением (6.1.3) со случайными тензорными коэффициентами e jk и = v / 2.

Мы имеем [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для макроскопической внутренней кинетической энергии единицы массы int ( i ) однородного жидкого куба i линейного размера l :

1 int ( i ) = r ( i ) + s ( i ) = l 2 2 + l 2 e jk e jk. (6.1.4) 12 Макроскопическая внутренняя кинетическая энергия единицы массы int ( i ) может быть рассмотрена как случайная переменная для каждого жидкого куба i, поскольку и e jk распределены случайно.

Получим статистическое среднее int макроскопических внутренних кинетических энергий единицы массы int ( i ) для статистического ансамбля случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом мелкомасштабных турбулентных вихрей размера l, занимающих наши кубические области кубического разбиения всего трехмерного int евклидова пространства. Статистическое среднее случайной переменной int ( i ) определяется из закона больших чисел [Nicolis and Prigogine, 1989]:

1N lim N int ( i ).

int (6.1.5) N i = Мы имеем по определению статистический ансамбль жидких вихрей для нашего кубического разбиения всего трехмерного евклидова пространства и начального поля скорости. Классические соотношения для изотропной однородной турбулентности в несжимаемой однородной ньютоновской вязкой жидкости даются следующими выражениями [Хинце, 1963;

Монин и Яглом, 1965]:

dis = 2 = 2 (e jk e jk ), (6.1.6) v где dis - средняя скорость диссипации кинетической энергии единицы массы в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости для всего евклидова пространства, пространственные средние квадратичных функций 2 иv e jk e jk взяты по всему евклидову пространству.

Рассматривая статистическое осреднение макроскопических внутренних кинетических энергий единицы массы r ( i ) и s ( i ) в выражении (6.1.4) и используя зависимости (6.1.6) и эквивалентность среднего по ансамблю и пространственного среднего, мы получаем следующее выражения для изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l :

r r = l 2 2, (6.1.7) s s = l 2 (e jk e jk ). (6.1.8) Рассматривая статистическое осреднение макроскопических внутренних кинетических энергий единицы массы int ( i ) в выражении (6.1.4) и используя зависимости (6.1.6, 6.1.7, 6.1.8), зависимость = v / [Sommerfeld, 1949;

Gyarmati, 1970] и эквивалентность среднего по ансамблю int и пространственного среднего int, мы получаем соотношение замыкания для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l :

b tur = int int = s + r = l dis. (6.1.9) Средняя макроскопическая внутренняя кинетическая энергия единицы массы int является эквивалентом турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur, рассматриваемой в динамике жидкостей [Хинце, 1963;

Монин и Яглом, 1965], т.е. int b tur поскольку int выражает кинетическую энергию единицы массы трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l.

Мы получаем [Simonenko, 2004;

2005;

2006] из соотношений (6.1.7-6.1.8), что средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s s равна средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r r :

r r = s s = l dis (6.1.10) для изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l. Равенство r = s демонстрирует, что изотропная однородная мелкомасштабная турбулентность далека от состояния локального термодинамического равновесия, характеризуемого условием s = 0.

Хорошо известно [Moffatt, Kida and Ohkitani, 1994], что существует тенденция (“статистический уклон” [Moffatt, Kida and Ohkitani, 1994]) в изотропной однородной турбулентности образовывать локальную вихревую пелену (т.е. жидкие области, характеризуемые двумя положительными главными компонентами локального тензора скоростей деформаций e jk ), описываемую в исследовании [Moffatt, Kida and Ohkitani, 1994] как “области биаксиальной деформации”. Следовательно, мы можем предложить, что r = s (для равенство изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l ) детерминируется основным вкладом жидких областей, характеризуемых биаксиальной деформацией (т.е. локальной вихревой пелены) в изотропном однородном турбулентном поле скорости. Следовательно, мы можем вывести заключение о равенстве r = s для случайного распределения локальной вихревой пелены. Мы подтвердим достоверность этого вывода в разделе 6.2, используя результаты детальных исследований [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994] прямых численных моделирований турбулентности.

6.2. Относительная важность макроскопических внутренних вращательной и сдвиговой кинетических энергий для мелкомасштабных диссипативных структур турбулентности Детальные исследования [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994] различных серий данных (прямых численных моделирований турбулентности) посредством метода построения инвариантов открыли, что точки в потоке с высокими и почти равными инвариантами e ij e ij / 2 и w ij w ij / 2 (см. рис. 3. в исследовании [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994]) “находятся в соответствии с физической картиной локальной вихревой пелены”. Используя выражение (6.1.2), мы имеем соотношение w ij w ij / 2 = 2 / 4. (6.2.1) v Следовательно, мы получаем (согласно исследованиям [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994]) для локальной вихревой пелены следующее соотношение:

e ij e ij 2. (6.2.2) v 2 В результате, используя соотношение = v / 2 [Sommerfeld, 1949;

Gyarmati, 1970] и соотношение (6.2.2), мы получаем из соотношений (6.1.7 6.1.8), что средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s почти равна средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r, т.е.

s r для локальной вихревой пелены в исследованиях [Soria et al., 1994].

С другой стороны, локальные вихревые трубки представлены в исследованиях [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994] точками в потоке жидкости “с высокой энстрофией, но малой диссипацией, как это бы имело место при вращении твердого тела около центра вихревой трубки”.

Был сделан вывод в исследованиях [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994], что локальные вихревые трубки имеют высокий инвариант w ij w ij / 2 и малый инвариант e ij e ij / 2 (см. рис. 3 в исследованиях [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994]). В результате мы получим из соотношений (6.1.7-6.1.8), что средняя макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия единицы массы r существенно больше, чем средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s, т.е. r s для локальных вихревых трубок в исследованиях [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994]. Мы видим, что локальные вихревые трубки недалеки от состояния локального термодинамического равновесия.

Также в исследованиях [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994] были обнаружены точки в потоке жидкости с высокой “невращательной диссипацией”, связанной с высоким инвариантом e ij e ij / и малым инвариантом w ij w ij / 2 (см. рис. 3 в исследованиях [Soria, Sondergaard, Cantwell, Chong and Perry, 1994]). Мы получаем из соотношений (6.1.7-6.1.8), что средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s существенно больше, чем средняя макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия единицы массы r, т.е. s r для областей с высокой “невращательной диссипацией” в исследованиях [Soria et al., 1994]. Мы видим, что области с высокой “невращательной диссипацией” являются термодинамически необратимыми диссипативными сдвиговыми структурами турбулентности.

Эти диссипативные структуры существенно далеки от состояния локального термодинамического равновесия.

Таким образом, анализ мелкомасштабных диссипативных структур турбулентности (обнаруженных в исследованиях [Soria et al., 1994]) демонстрирует, что средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s существенно больше, чем средняя макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия единицы массы r для сильно диссипативных сдвиговых структур, характеризуемых высокой “невращательной диссипацией”. Анализ исследований [Soria et al., 1994] показывает, что средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s примерно равна средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r, т.е. s r для локальной вихревой пелены. Мы продемонстрировали, что средняя макроскопическая внутренняя r существенно вращательная кинетическая энергия единицы массы больше, чем средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия s, т.е. r s для локальных вихревых трубок в исследованиях [Soria et al., 1994]. Мы видим, что средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы s существенно выше, чем средняя макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергия единицы массы r для сильно диссипативных сдвиговых структур турбулентности, характеризуемых высокой сдвиговой (“невращательной” [Soria et al., 1994]) диссипацией. Это подтверждает достоверность установленной [Simonenko, 2004;

2005;

2006] пропорциональности s dis между макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергией единицы массы s и скоростью диссипации кинетической энергии единицы массы dis для энергичных локальных диссипативных турбулентных структур в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

6.3. Критическая скорость диссипации кинетической энергии для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости Чтобы осознать практическое значение макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s, выведем (в рамках модели несжимаемой стратифицированной вязкой ньютоновской жидкости) критическое значение средней скорости диссипации энергии единицы массы dis,cr, которое характеризует переход хаотического опрокидывающегося турбулентного режима в волновой гидродинамический режим движения жидкости для свободно затухающей стратифицированной турбулентности, генерируемой решетками. Этот переход с макроскопической точки зрения аналогичен фазовому переходу [Nicolis and Prigogine, 1989] парамагнитного вещества (характеризуемого изотропной ориентацией магнитных моментов молекул) в ферромагнитное вещество (характеризуемое "ориентационной" анизотропией, связанной с преобладающей ориентацией магнитных моментов молекул вдоль направления внешнего магнитного поля) посредством охлаждения парамагнитного вещества ниже точки (температуры) Кюри. Хаотический опрокидывающийся турбулентный режим движения жидкости рассматривается как состояние “активной, опрокидывающейся турбулентности”, определенное Гибсоном [Gibson, 1981] как “случайное, вращательное, изотропное движение”, содержащее “опрокидывающиеся турбулентные вихри”, не подверженные стратификации. Выше критической величины dis,cr все направления вращений жидкости и деформаций жидкости предполагаются хаотически и изотропно распределенными, что приводит [Simonenko, 2004;

2005;

2006] к равенству stur = rtur в соотношении (6.3.10) для средних по ансамблю в изотропных турбулентных полях скорости. Ниже критической величины dis,cr "ориентационная" изотропия направлений вращения жидкости разрушается вследствие сил плавучести и вязкости.

Существование в стратифицированной вязкой жидкости критического масштаба длины l cr L o ( dis N 3 ) 2 и критической скорости диссипации dis,cr N энергии единицы массы было рассмотрено Озмидовым (Озмидов 1965), как отмечалось Гибсоном [Gibson, 1987]. Здесь N - частота стабильности (плавучести или Вяйсяля), L o - масштаб длины (инерционно плавучий) Озмидова [Stillinger, Helland and Van Atta, 1983;

Itsweire, Helland and Van Atta, 1986;

Gibson, 1983]. Согласно “критерию существования активной, опрокидывающейся турбулентности” в стратифицированной среде [Gibson, 1981], активная, опрокидывающаяся турбулентность, характеризуемая “опрокидывающимися турбулентными вихрями”, может только существовать в стратифицированном вязком сдвиговом потоке, если dis dis,cr tr = 30N 2. (6.3.1) Было найдено из лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] по переходу турбулентности, генерируемой решетками, во внутренние гравитационные волны в устойчиво стратифицированной жидкости, что экспериментальные величины переходной скорости диссипации энергии единицы массы exp (“ниже которой не может tr поддерживаться опрокидывающееся движение” [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]) изменялись от exp = (15 ± 1,2) N 2 для малой решетки до tr N 2 для большой решетки. Было показано [Itsweire et al., exp = (21 ± 1,4) tr 1986], что среднее критическое отношение L t / L o статистического опрокидывающегося (вертикального) турбулентного масштаба длины ( )( ) L t / /X 3 к масштабу длины Озмидова L o в начале коллапса турбулентности (коллапса турбулентных вихрей вследствие сил плавучести и вязкости) находится в диапазоне:

Lt = (0,85 ± 0,06). (6.3.2) Lo Здесь X 3 - вертикальная координата, - средняя плотность, = - пульсация плотности. Было найдено из измерений стратифицированной турбулентности, генерируемой решетками [Itsweire, 1984], что вертикальный размер lT наибольшего опрокидывающегося турбулентного вихря (масштаб Торпа lT ) дается соотношением:

lT 1,2L t (6.3.3) “пока поток содержит некоторые опрокидывающиеся турбулентные масштабы и интенсивность поля внутренних волн остается малой” [Itsweire et al., 1986]. Мы получаем из соотношений (6.3.2) и (6.3.3) диапазон среднего критического опрокидывающегося размера lT турбулентных вихрей в начале коллапса турбулентности:

lT = (1,02 ± 0,072 ) L o, (6.3.4) который находится в довольно хорошем согласии с соответствующей оценкой lT = (1,0 ± 0,08) L o, данной Греггом [Gregg, 1987]. Следовательно, масштаб длины L o может быть рассмотрен как критический (переходный) размер длины l cr, т.е. l cr L o в соответствии с теоретическими подходами [Озмидов, 1965;

Gibson, 1981].

Чтобы вывести теоретические критические величины средних скоростей диссипации кинетической энергии единицы массы для стратифицированной трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной l = L o в турбулентности с размером энергосодержащих вихрей несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости, рассмотрим статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей размера l = L o в качестве начального условия в начальный момент времени t o и рассмотрим (самоподобно) автомодельно [Баренблатт, 1978] затухающую трехмерную изотропную однородную мелкомасштабную турбулентность с l = L o, т.е. мы предположим энергосодержащим масштабом длины автомодельное [Баренблатт, 1978] соотношение для размера l (t) турбулентных вихрей: l (t) = L o ( t), когда t t o.

Теоретический анализ (основанный на условии опрокидывания (5.1.22) главы 5) превращения макроскопической внутренней кинетической энергии в потенциальную энергию в турбулентных опрокидываниях (инверсиях) плотности для трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим размером длины l дает дополнительный член (1 / 3) l dis (в правой части уравнения эволюции (4.1.3.13)), который L o выражает превращение макроскопической внутренней кинетической энергии в потенциальную энергию в турбулентных опрокидываниях плотности.

Действительно, предположим, что поле скорости в каждом турбулентном вихре из рассматриваемого ансамбля турбулентных вихрей дается линейными и квадратичными членами разложения Тейлора (2.2.4).

( ) Это дает предполагаемую малую коррекцию K res = O 7 L7o в формуле (2.2.6) для кинетической энергии K i каждого жидкого куба i линейного размера L o из пространственного разбиения физического пространства, которое в этом случае может быть разбито на подобласти - кубы линейного размера L o = ( dis N 3 ) 2. Мы имеем из (4.1.3.13) уравнение эволюции для средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis в отсутствии гравитационного поля для трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим размером турбулентных вихрей l = L o :

2 L o dis =- dis. (6.3.5) t ( ) Подставляя формулу для масштаба длины Озмидова L o = dis N 3 в уравнение (6.3.5), мы получаем уравнение эволюции () 2 dis = dis. (6.3.6) t 24N Рассматривая частоту плавучести N постоянной, т.e. пренебрегая временной изменчивостью частоты плавучести N, имеем результат интегрирования уравнения (6.3.6):

dis ( t ) = dis ( t o ) 12 N 3 ( t t o ) / 2, (6.3.7) где dis ( t o ) - начальная величина dis (t) в момент времени t o. Формула (6.3.7) дает линейную зависимость от безразмерного времени N( t t o ).

Рассмотрим один период устойчивости внутренних гравитационных волн от начального момента t o, т.e. ( t t o ) = 1 / N, где размерность N есть с -1.

Соответствующее уменьшение dis (t) в течение одного периода устойчивости 1/ N есть 12 N 2 / 2, как это очевидно из формулы (6.3.7). Следовательно, начальное "турбулентное" значение dis ( t o ) должно быть больше, чем 12 N 2 / 2. То есть начальная величина dis ( t o ) для трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом вихрей L o (в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) должна быть больше, чем 12 N 2 / 2, т.e. необходимо dis ( t o ) 12 N 2 / для существования турбулентности, не учитывая превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию при турбулентном перемешивании.

Учтем превращение турбулентной кинетической энергии (трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом вихрей L o ) в потенциальную энергию.

Чтобы рассмотреть затухание стратифицированной турбулентности, следуя работе [Smyth et al., 1997], необходимо включить дополнительный член dis с правой стороны уравнения (6.3.5). Было отмечено Смитом и др.

[Smyth et al., 1997], что коэффициент в дополнительном члене - dis справа в классическом уравнении эволюции для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur (см. уравнение (4.1.3.13) для int b tur ) “не больше, чем 0,2 ” для большинства исследований, поэтому дополнительный член dis не учитывался в работе [Smyth et al., 1997]. Мы сейчас не будем пренебрегать дополнительным членом - dis справа в уравнениях (6.3.5 6.3.6). Отметим, что переменная () 2 b tur = dis (6.3.8) 24N в уравнении (6.3.6) имеет смысл турбулентной кинетической энергии единицы массы трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом вихрей L o в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости. Мы имеем результат интегрирования уравнения (6.3.6) с дополнительным членом - dis справа:

dis ( t ) = dis ( t o ) 12(1 + ) N 3 ( t t o ) / 2. (6.3.9) Следовательно, начальная величина dis ( t o ) для существования изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом вихрей L o (в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) должна быть больше, чем 12(1 + ) N 2 / 2, т.e.

dis (t o ) dis,cr (L o ) = 12(1 + ) N 2 / 2, если мы учитываем превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию при турбулентном перемешивании.

Оценим теперь в рамках предложенного математического формализма превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию в процессе турбулентного перемешивания (в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) в изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом вихрей L o. Для этого рассмотрим следующие аргументы. Минимальная начальная средняя скорость диссипации энергии единицы массы dis ( L o ) =12 N 2 / v необходима, чтобы преодолеть вязкие силы в течение одного периода стабильности. Чтобы оценить дополнительную скорость диссипации кинетической энергии в единице массы жидкости dis, которая необходима, p чтобы преодолеть гравитационное поле в поднятии центров масс вращающихся жидких частиц, рассмотрим жидкий куб T линейного размера L L o в поле мелкомасштабной турбулентности и разделим его на N = (L/(L o )) равных жидких кубов i линейного размера L o. Далее рассмотрим условие опрокидывания (5.1.22) для каждого жидкого куба i в идеальной жидкости:

13 s-r = r + s + s,r = ik i (rc ) k (rc ) + jk e ij (rc )e ik (rc ) + coup 2 i,k=1 2 i, j,k= jm i (rc ) e km (rc ) 2grc3.

+ (6.3.10) ijk i, j,k,m= Член coup в условии (6.3.10) исчезает в приближении Буссинеска для s,r однородного жидкого куба i, а для rc3 мы берем максимальное значение, данное формулой (5.2.1.6) для двумерного стратифицированного параллельного сдвигового потока. Используя приближенное равенство для компоненты J33 центробежного тензора инерции жидкого куба i :

() J 33 = (x 3 ) dV (rc ) x * dV, (6.3.11) i, K i, K * условие опрокидывания (6.3.10) жидкого куба i в идеальной жидкости может быть переписано следующим образом g v + e ij e ij - = N2. (6.3.12) X 8 Отметим, что условие (6.3.12) для двумерного стратифицированного параллельного сдвигового потока дает классическое критическое значение 1 / 4 градиентного числа Ричардсона. Умножая обе части условия (6.3.12) на коэффициент молекулярной вязкости и усреднив левую часть условия (6.3.12) по статистическому ансамблю случайно и изотропно ориентированных и со случайным и изотропным сдвигом турбулентных вихрей линейного размера L o, мы получаем в термодинамическом пределе ( L ) условие опрокидывания для идеальной жидкости в терминах idis (с введенным для идеальной жидкости формально коэффициентом ):

( ) ( ) idis = 2 = 2 e ije ij dis = 4 N 2, p (6.3.13) v а также компоненту скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis = 4 N (для вязкой жидкости), которая связана с преодолением p гравитационного поля при поднятии центров масс вращающихся жидких частиц в турбулентном поле скорости. В силу использования приближенного соотношения (6.3.11) компонента dis оказалась не зависящей от линейного p размера L o турбулентных вихрей в предположении, что он достаточно мал.

Итак, в рамках предложенного математического формализма для наличия трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом вихрей L o (в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) необходимо, чтобы скорость диссипации кинетической энергии в единице массы была больше критической скорости диссипации кинетической энергии в единице массы sr (L o ) str r (L o ) = dis ( L o ) + dis =12 N 2 / 2 + 4 N 2, p (6.3.14а) v dis,cr в то время как рассмотренное выше использование модели [Smyth et al., 1997] для описания превращения турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию дает, что для наличия трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с энергосодержащим масштабом вихрей L o (в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) необходимо, чтобы скорость диссипации кинетической энергии в единице массы была больше критической скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis,cr (Lo ) :


dis,cr (Lo ) tr (Lo ) = dis ( L o ) + dis = 12(1 + )N 2 / 2.

p,(S) (6.3.14б) v Приравнивая выражения, даваемые формулами (6.3.14а) и (6.3.14б), мы получаем выражение для коэффициента Г :

l Г = (1 / 3). (6.3.15) L o Мы видим, что формулы (6.3.14а) и (6.3.14б) дают разные численные l значения, если коэффициент Г (1 / 3). Если взять в качестве l в L o формуле (6.3.15) масштаб длины Озмидова L o, который является [Набатов и Озмидов, 1992] размером наибольших опрокидывающихся турбулентных вихрей в океанических стратифицированных турбулентных потоках, то мы получим максимальное значение коэффициента Г = 1/ 3 для изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с размером энергосодержащих вихрей равным масштабу длины Озмидова L o. Если учесть, что коэффициент в дополнительном члене - dis “не больше, чем 0,2 ” для большинства исследований турбулентности [Smyth et al., 1997] в океане, то полученное теоретическое максимальное значение коэффициента Г = 1/ 3 видится вполне разумным, а максимальное экспериментальное значение 0,2 коэффициента для большинства океанских исследований турбулентности говорит о том, что турбулентность не является вполне изотропной и однородной для большинства исследований турбулентности в океане. Таким образом, мы видим, что формула (6.3.15) дает разумное выражение для коэффициента Г, характеризующего в рамках предложенного математического формализма (в стратифицированной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) превращение турбулентной кинетической энергии в потенциальную энергию для изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности с размером энергосодержащих вихрей l = L o. Мы воспользуемся ниже формулой (6.3.15) для вычисления коэффициента для лабораторных экспериментов [Itsweire et al., 1986], в которых масштаб длины Озмидова L o, как показано выше, может быть рассмотрен как критический (переходный) размер длины l cr, т.е. l cr L o в соответствии с теоретическими подходами [Озмидов, 1965;

Gibson, 1981].

Мы имеем для l = L o следующее уравнение эволюции, описывающее самоподобное (автомодельное) свободное затухание трехмерной изотропной однородной турбулентности с энергосодержащим масштабом длины Озмидова L o :

L2o dis =- dis - (1/ 3) dis. (6.3.16) t Интегрируя уравнение (6.3.16), используя аппроксимацию N = const (рассматриваемую Смитом и др. [Smyth et al., 1997] для частоты устойчивости N ), мы находим:

dis (t ) = dis (t o ) 121 + N 3 (t t o ), (6.3.17) где dis ( t o ) - начальная величина в момент времени t = t o.

dis (t) Уменьшение dis (t) в течение одного периода устойчивости 1/ N (размерность N есть с -1 ) равно 16N 2, как это очевидно из выражения dis ( t o ) на (6.3.17). Следовательно, начальное "турбулентное" значение 16N 2, т.е.

начальной турбулентной стадии должно быть выше, чем dis ( t o ) 16N 2. Минимальная начальная средняя скорость диссипации энергии единицы массы dis (L o ) = 12 N 2 необходима, чтобы преодолеть v вязкие силы в течение одного периода стабильности. Дополнительная минимальная начальная средняя скорость диссипации энергии единицы массы dis = 4N 2 необходима, чтобы p произвести необратимое перемешивание в течение одного периода стабильности, поднимая центры масс опрокидывающихся турбулентных вихрей в гравитационном поле.

Отсюда следует, что dis + dis есть критическая величина v p s-r cr (L o ) s-r (L o ) = dis + dis =12(1 + 1 / 3)N 2 =16N v p (6.3.18) dis, tr средней скорости диссипации энергии единицы массы для существования трехмерной изотропной однородной турбулентности масштаба длины Озмидова L o. Если средняя скорость диссипации кинетической энергии единицы массы dis ( t o ) выше, чем критическое значение strr (L o ) =16N 2, т.е., если dis ( t o ) strr (L o ) =16N 2, (6.3.19) тогда возможны случайно и изотропно ориентированные и со случайным и изотропным сдвигом опрокидывающиеся турбулентные вихри размера L o.

Условие (6.3.19) может рассматриваться как критерий для существования трехмерной изотропной однородной турбулентности с масштабом длины Озмидова. Ясно, что трехмерная изотропная однородная турбулентность с масштабом длины Озмидова L o должна резко коллапсировать при достижении критической величины strr (L o ) =16N 2 и трансформироваться во внутренние гравитационные волны в соответствии с лабораторными экспериментами [Itsweire et al., 1986].

Теоретическая критическая величина strr (L o ) =16N 2, которая основана на равенстве K s ( T) = K r ( T) (или stur = rtur ), может быть названа "сдвигово-вращательной" переходной скоростью диссипации strr (L o ) =16N 2, которая находится в хорошем согласии с экспериментальной переходной скоростью диссипации exp = (15 ± 1,2) N tr для малой решетки. Это означает, что средняя макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы stur приближенно равна средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы rtur для турбулентного потока, генерированного малой решеткой (серия данных R 52 в лабораторных экспериментах [Itsweire et al., 1986]) в начале коллапса турбулентности. "Сдвигово-вращательная" переходная скорость диссипации strr (L o ) = 16N 2 находится в довольно хорошем согласии с экспериментальным диапазоном tr = ((15 ± 1,2) (21± 1,4)) N exp измеренных переходных величин в лабораторных экспериментах [Itsweire et al., 1986].

Версия уравнения эволюции (6.3.16), связанная с "вращательным" числовым коэффициентом 1/ 48 (основанным на предположении локального термодинамического равновесия e ij = 0 или s = 0 ) дает [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для турбулентных вихрей критического размера L o следующую теоретическую "вращательную" переходную скорость диссипации энергии единицы масс:

rtr (L o ) = 24(1 + 1 / 3)N 2 = 32N 2, (6.3.20) которая характеризует начало коллапса турбулентности и переход во внутренние гравитационные волны в равновесном вращательном термодинамическом режиме локального движения жидкости.

"Вращательная" переходная скорость диссипации tr (L o ) = 32N в два раза r больше, чем экспериментальное переходное значение exp = (15 ± 1,2) N для tr малой решетки, причем существенно больше, чем экспериментальное переходное значение exp = (21 ± 1,4) N для большой решетки.

tr Таким образом, практическое значение макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s очевидно для теоретического предсказания переходной скорости диссипации энергии.

Посредством рассмотрения макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s наряду с классической [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmati, 1970] макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r можно получить более реалистичную "сдвигово-вращательную" переходную скорость диссипации strr (L o ), чем вращательная переходная скорость диссипации rtr (L o ), основанная на предположении локального термодинамического равновесия.

Было отмечено Набатовым и Озмидовым [Набатов и Озмидов, 1992], что масштаб длины L o является размером наибольших опрокидывающихся турбулентных вихрей в океанических стратифицированных потоках.

Теоретические переходные скорости диссипации strr (L o ) и rtr (L o ) получены для вихрей критического размера L o. Следовательно, экспериментальные переходные величины скорости диссипации энергии единицы массы exp (L o ) для вихрей критического размера L o могут tr существовать в возможном диапазоне значений exp (L o ) между "сдвигово tr strr (L o ) вращательной" переходной скоростью диссипации и "вращательной" переходной скоростью диссипации (L o ) : r tr exp (L o ) (16N 2, 32 N 2 ). (6.3.21) tr Величина 15N 2 рассматривается обычно как наименьшая скорость диссипации энергии единицы массы в океанических стратифицированных вязких турбулентных потоках. Например, экспериментальные переходные диапазоны tr = (25 ± 10) N 2 и tr (15 30) N 2 рассматривались Гибсоном и Греггом соответственно [Gibson, 1987;

Gregg, 1987]. "Вращательная" переходная скорость диссипации rtr (L o ) = 32N 2 близка к среднему от максимальных переходных величин, рассмотренных Гибсоном [Gibson, 1987] и Греггом [Gregg, 1987].

Таким образом, показано хорошее соответствие между предсказанным диапазоном (6.3.21) переходных скоростей диссипации энергии единицы массы и экспериментальными диапазонами [Gibson, 1987;

Gregg, 1987] переходных величин для океанических стратифицированных потоков.

6.4. Критическая скорость диссипации кинетической энергии в несжимаемой вязкой ньютоновской стратифицированной жидкости для трехмерной анизотропной мелкомасштабной турбулентности 6.4.1. Зависимость критической скорости диссипации кинетической энергии от коэффициента локальной "твердотельности" R локального движения жидкости, коэффициента локальной анизотропии a турбулентных пульсаций скорости и от критического размера l cr энергосодержащих турбулентных вихрей Максимальный размер наибольших опрокидывающихся турбулентных вихрей в турбулентных стратифицированных потоках, генерируемых гидродинамическими решетками, был определен [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] выражением lT = 2L t, (6.4.1.1) где фактор 2 возникает (как это было отмечено в [Itsweire et al., 1986]) из простой модели вращения турбулентных вихрей (вращения в "твердотельном" состоянии), L t статистический опрокидывающийся (вертикальный) турбулентный масштаб длины:


L t 2 / (/X 3 ), (6.4.1.2) который был введен Эллисоном [Ellison, 1957], X 3 - вертикальная координата, - средняя плотность, = - - пульсация плотности. Однако было найдено [Itsweire, 1984] из лабораторных экспериментов со стратифицированной турбулентностью, генерируемой решетками, что максимальный размер наибольших опрокидывающихся турбулентных вихрей (масштаб длины Торпа lT ) меньше, чем 2L t. “Пока поток содержит некоторые опрокидывающиеся турбулентные масштабы и интенсивность поля внутренних волн остается малой” [Itsweire et al., 1986] существенная поправка дается следующим соотношением [Itsweire et al., 1986]:

lT = R L t 1, 2 L t. (6.4.1.3) Очевидно, что это значит, что "вращательная" модель локального движения жидкости в твердом состоянии (основанная на предположении локального термодинамического равновесия) непригодна для описания стратифицированной турбулентности, генерируемой решетками. Отличие соотношения (6.4.1.3) от соотношения (6.4.1.1), основанного на "вращательной" модели турбулентных вихрей в твердом состоянии, показывает, что вращение турбулентных вихрей не является состоянием твердого вращения. Это демонстрирует важность сдвига скорости для турбулентных стратифицированных потоков, генерируемых гидродинамическими решетками.

Две серии данных R 36 и R 37 для большой решетки (с размером ячейки решетки M = 3,81 см) и одна серия R 52 для малой решетки (с размером ячейки решетки M = 1,905 см) были получены из лабораторных экспериментов [Itsweire et al., 1986] по переходу турбулентности, генерированной решетками, во внутренние гравитационные волны в устойчиво стратифицированной жидкости. Было обнаружено, что экспериментальные величины переходной скорости диссипации энергии единицы массы exp (“ниже которой никакого опрокидываемого движения не tr может быть поддерживаемо” [Itsweire et al., 1986] изменялись от tr = (15 ± 1,2) N для малой решетки до tr = (21 ± 1,4) N 2 для большей exp 2 exp решетки.

exp Экспериментальные переходные величины показывают tr незначительное увеличение exp с числом Рейнольдса решетки Re M = UM /, tr как отмечалось в [Itsweire et al., 1986]. Относительное различие между экспериментальным переходным значением tr = (21 ± 1,4) N для большой exp решетки и теоретической "сдвигово-вращательной" переходной величиной strr (L o ) =16N 2 (полученной в исследованиях [Simonenko, 2004]) достигает 31%. Теоретически наличие двух различных экспериментальных переходных величин скорости диссипации энергии единицы массы exp может быть tr объяснено различными условиями генерации турбулентности: малая решетка против большой решетки с той же однородной средней скоростью U = 25 см/с вверх по потоку от решеток (как отмечалось в [Itsweire et al., 1986]) и в результате некоторых различных количеств (степеней) анизотропии турбулентного поля, проявляемых турбулентностью, генерируемой решетками, а также слегка различными средними критическими отношениями L t / L o статистического опрокидывающегося турбулентного масштаба длины L t и инерционно плавучего масштаба длины Озмидова L o для трех различных серий данных ( R 52, R 36 и R 37 ).

Чтобы проанализировать вклад некоторых различных количеств анизотропии турбулентной скорости в экспериментальные переходные величины скоростей диссипации энергии единицы массы exp для каждой tr a серии данных, мы определяем коэффициент анизотропии пульсаций скорости следующей формулой u ( v1 ) a=, (6.4.1.4) w ( v ) где u и w - среднеквадратичные значения горизонтальных ( v1 ) и вертикальных ( v ) пульсаций скорости, соответственно. Учитывая, что “вертикальная флуктуация скорости всегда меньше, чем горизонтальная флуктуация скорости” [Itsweire et al., 1986], мы имеем всегда, что коэффициенты анизотропии пульсаций скорости a удовлетворяют условию a 1. Теоретически мы имеем равенство w = u ( a = 1) для вращательного локального равновесного термодинамического режима в твердоподобном (твердотельном) состоянии движения жидкости в отсутствии поля гравитации. Следовательно, идеальная локальная изотропия поля турбулентной скорости соответствует коэффициенту анизотропии a = для вращательных локально равновесных термодинамических режимов в твердоподобном состоянии движения жидкости в отсутствии поля гравитации. Ясно, что мы имеем более локально равновесный термодинамический режим анизотропного турбулентного движения, если a ближе к 1.

Чтобы проиллюстрировать относительные вклады различных критических отношений L t / L o и различных коэффициентов a анизотропии пульсаций скорости в экспериментальные переходные величины скорости диссипации энергии единицы массы exp, мы приводим табл. 1 для трех tr различных серий данных. Табл. 1 суммирует экспериментальные критические отношения L t / L o статистического опрокидывающегося турбулентного масштаба длины L t и инерционно плавучего масштаба длины Озмидова L o в начале коллапса турбулентности для трех различных серий данных. Различные экспериментальные критические отношения L t / L o для соответствующих безразмерных расстояний x / M вниз по потоку от решеток взяты из табл. 4 на с. 312 в [Itsweire et al., 1986]. В четвертом столбце мы приводим средние критические отношения L t / L o, посчитанные для трех различных серий данных из различных величин L t / L o, представленных в третьем столбце. Коэффициенты анизотропии a мы рассчитали для соответствующих безразмерных расстояний x / M и величин L t / L o, используя числовые величины u and w, представленные в таблицах 2(a ), 2(b) и 2(c) на страницах 307, 308, 309 и 310 в исследованиях [Itsweire et al., 1986]. Мы использовали линейную интерполяцию, чтобы получить коэффициенты анизотропии a для x / M = 45 в серии данных R 52, для x / M = 12 и x / M = 18 в серии данных R 36, и для x / M = 12 в серии данных R 37. Средние коэффициенты анизотропии a для каждой серии данных представлены в седьмом столбце табл. 1. Средние коэффициенты анизотропии a пульсаций скорости демонстрируют различные средние степени локальной термодинамической неравновесности движения жидкости в турбулентных вихрях для каждой серии данных в начале коллапса турбулентности. Мы видим, что средние коэффициенты анизотропии a = 1,174 ;

1,2886 для серий данных R 36 и R 37 (большая решетка), соответственно, меньше, чем средний коэффициент анизотропии a = 1, для серии данных R 52 (малая решетка). Это значит, что поля турбулентной скорости в начале коллапса турбулентности проявляли большие степени анизотропии турбулентной скорости в экспериментах с большой решеткой (серии данных R 36 и R 37 ), чем в экспериментах с малой решеткой (серия данных R 52 ). Ясно, что более большие коэффициенты анизотропии пульсаций скорости соответствуют более меньшим физическим степеням "твердотельности" локального турбулентного поля скорости.

Чтобы характеризовать количественно степень "твердотельности" R локального движения жидкости в турбулентном поле скорости, мы определяем коэффициент локальной "твердотельности" R локального движения жидкости как числовой коэффициент справа соотношения (6.4.1.3).

Мы будем обозначать далее R просто как коэффициент локальной "твердотельности". В формуле (6.4.1.1) число 2 соответствует абсолютной (максимальной) "твердотельности" локального вращательного движения жидкости в турбулентных вихрях. Естественно предположить, что R изменяется от 0 до 2. Ясно, что более большие коэффициенты анизотропии пульсаций скорости a соответствуют более малым коэффициентам локальной "твердотельности" R локального турбулентного поля скорости Было найдено [Itsweire et al., 1986], что среднее критическое отношение L t / L o статистического опрокидывающегося (вертикального) турбулентного ( )( ) масштаба длины L t / /X 3 к масштабу длины Озмидова L o в начале коллапса турбулентности находится в диапазоне (здесь X 3 вертикальная координата):

Lt = (0,85 ± 0,06). (6.4.1.5) Lo Было показано [Simonenko, 2004;

2005;

2006] из соотношений (6.4.1.3) и (6.4.1.5), что диапазон среднего критического опрокидывающегося размера lT турбулентных вихрей в начале коллапса турбулентности есть lT = (1,02 ± 0,072) L o. (6.4.1.6) Следовательно, это значит [Simonenko, 2004;

2005;

2006], что масштаб длины L o может быть рассмотрен как критический масштаб длины l cr L o в соответствии с предложенной оценкой максимального опрокидывающегося масштаба длины для океанических стратифицированных турбулентных потоков [Набатов и Озмидов, 1992].

Анализируя коэффициенты анизотропии пульсаций скорости в лабораторных экспериментальных данных [Itsweire et al., 1986] для различных безразмерных расстояний x / M (вниз по потоку от решетки), соответствующих критическому размеру турбулентных вихрей l cr L o, мы видим (см. табл. 1), что средние коэффициенты анизотропии пульсаций скорости a для серий данных R 36 и R 37 (большая решетка) меньше, чем a для серии данных R 52 (малая решетка). Следовательно, большая решетка, (соответствующая сериям данных R 36 и R 37 ) создавала лучшую изотропию пульсаций скорости (при критических отношениях L t / L o ), чем малая решетка (соответствующая серии данных R 52 ). Мы имеем более высокое значение критической скорости диссипации энергии единицы массы exp = (21 ± 1,4) N 2 для большой решетки, соответственно, в сравнении с tr более малой величиной критической скорости диссипации энергии единицы массы tr = (15 ± 1,2) N для малой решетки. Из анализа табл. 1 возможно exp вывести заключение, что более малые степени анизотропии пульсаций скорости (т.

е. более высокие степени изотропии турбулентных пульсаций скорости) и, следовательно, более малые средние коэффициенты анизотропии пульсаций скорости a (для серий данных R 36 и R 37 ) соответствуют более высокой экспериментальной критической величине скорости диссипации энергии единицы массы tr = (21 ± 1,4) N. Принимая в exp расчет, что более малая степень анизотропии пульсаций скорости и, следовательно, более малый коэффициент анизотропии пульсаций скорости a соответствует более высокой степени "твердотельности" локального движения жидкости, мы получаем, что более высокая степень "твердотельности" локального движения жидкости соответствует более высокой экспериментальной критической величине скорости диссипации энергии единицы массы tr. Это заключение находится в соответствии с ранним теоретическим выводом [Simonenko, 2004], что более высокая степень "твердотельности" локального движения жидкости соответствует более высокой величине критической скорости диссипации энергии единицы массы tr.

Таблица a a tr exp R Lt Серия sr x Lt tr tr N 2 M Lo N N Lo 20 0,84 1, 15 ± 1, R52 0,8725 14.946 1,4175 1.0885 16, 25 0,86 1, 45 0,93 1, 60 0,86 1, R36 12 0,825 0,86 15,267 1, 1,174 1.3143 20, 18 0,895 1, 21 ± 1, 12 0,805 1, R37 0,8033 16,914 1,2886 1.1974 20, 15 0,855 1, 25 0,75 1, Было показано [Simonenko, 2004;

2005;

2006], что абсолютная (идеальная) степень локальной "твердотельности" (для локально равновесного термодинамического переходного режима в твердоподобном состоянии локального движения жидкости, характеризуемого критическим размером энергосодержащих вихрей L o ) дает "вращательную" критическую rtr (L o ) = 32 N.

скорость диссипации энергии единицы массы Неравновесный "сдвигово-вращательный" термодинамический переходный режим (связанный с равенством средних по ансамблю s = r макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s и макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r в турбулентном потоке) характеризуется "сдвигово-вращательной" переходной скоростью диссипации энергии единицы массы strr (L o ) = 16N 2. Было сделано заключение [Simonenko, 2004;

2005;

2006], что экспериментальные переходные величины скорости диссипации энергии единицы массы exp (L o ) для вихрей критического tr размера L o могут существовать в теоретическом переходном диапазоне:

exp (L o ) (16 N 2, 32 N 2 ), (6.4.1.7) tr находящимся в соответствии с экспериментальными переходными диапазонами tr = (25 ± 10) N 2 [Gibson, 1987] и tr (15 30) N 2 [Hopfinger, 1987] для океанических стратифицированных турбулентных потоков.

Используя соотношение замыкания (6.1.9) для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur ( l ) int трехмерной изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности, выведем "сдвигово вращательную" переходную скорость диссипации энергии единицы массы strr (lcr ), которая характеризует (для критического размера энергосодержащих турбулентных вихрей l cr = L o ) переход изотропного хаотического опрокидывающегося турбулентного режима (связанного с равенством s = r [Simonenko, 2004;

2005;

2006]) в анизотропный волновой гидродинамический режим движения жидкости. Рассматривая в стратифицированной жидкости кубическую жидкую частицу линейного размера равного l L 0 и характеризуемую массой m = l 3, c нижними и верхними сторонами (поверхностями) параллельными поверхностям постоянной плотности массы, мы получаем, что центр масс рассматриваемого жидкого куба смещен вниз относительно его 1 d геометрического центра на расстояние h = l. Поэтому минимальная 12 dX турбулентная кинетическая энергия Е P = 2m gh (рассматриваемого стратифицированного жидкого куба ) необходима, чтобы поднять центр масс опрокидывающегося жидкого куба из устойчивого нижнего состояния на расстояние 2h в неустойчивое состояние посредством "твердотельного" вращения в гравитационном поле. Следовательно, мы получаем выражение для минимальной турбулентной кинетической энергии единицы массы N2 l ЕP = bp =, (6.4.1.8) m которая необходима для "твердотельного" опрокидывания единицы массы стратифицированной жидкости в гравитационном поле (без учета сил вязкости). Используя соотношение замыкания (6.1.9) для кинетической энергии турбулентных пульсаций (в единице массы) b tur, мы находим величину dis минимальной средней скорости вязкой диссипации на единицу p массы (соответствующей b tur = b p ):

24b p dis = = 4N 2, (6.4.1.9) p l которая необходима для "твердотельного" опрокидывания единицы массы стратифицированной жидкости в гравитационном поле (без учета вязких сил).

Чтобы найти минимальную среднюю скорость диссипации энергии единицы массы dis ( l cr ), которая необходима, чтобы преодолеть вязкие силы v турбулентных вихрей с критическим размером l cr = L o в течение одного периода плавучести, мы рассмотрим статистический ансамбль случайно и изотропно ориентированных и со случайным изотропным сдвигом мелкомасштабных турбулентных вихрей с размером l cr = L o в момент времени t o и предположим автомодельное вязкое затухание, т.е автомодельное соотношение для размера l (t) турбулентных вихрей:

l (t) = L o (t) при t t o. Используя аналогичные рассмотрения, как в исследовании [Simonenko, 2004] для вывода минимальной начальной средней скорости диссипации энергии единицы массы dis (L o ) = 12N 2, которая v необходима, чтобы преодолеть вязкие силы турбулентных вихрей с кинетическим размером l cr = L o в течение одного периода стабильности, мы получаем [Simonenko, 2005;

2006] выражение для dis ( l cr ):

v dis ( l cr ) = 12N 2 / 2.

v (6.4.1.10) В результате мы находим выражение для "сдвигово-вращательной" критической (переходной) скорости диссипации энергии единицы массы strr (lcr ) :

strr (lcr ) = dis ( l cr )+ dis = 12N 2 / 2 + 4N 2 = 12(1 + 2 / 3 )N 2 / 2. (6.4.1.11) v p Формула (6.4.1.11) обобщает выражение для "сдвигово-вращательной" критической (переходной) скорости диссипации энергии единицы массы s r (L o ) = 16N [Simonenko, 2004], учитывая критический размер l cr = L o tr турбулентных вихрей в начале коллапса турбулентности.

Используя соотношение замыкания (6.1.9) для кинетической энергии турбулентных пульсаций единицы массы энергосодержащего масштаба длины l (для "сдвигово-вращательной" модели изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности [Simonenko, 2004;

2005;

2006]), уравнение эволюции (описывающее свободно затухающую изотропную однородную стратифицированную турбулентность) для турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur [Smith, Zavialov and Moum, 1997]:

b tur = - dis - dis (6.4.1.12) t с дополнительным членом - dis, описывающим превращение турбулентной кинетической энергии (эквивалентной макроскопической внутренней кинетической энергии [Simonenko, 2004;

2005;

2006]) в потенциальную энергию в турбулентных опрокидываниях плотности и аналогичное рассмотрение, как для вывода выражения (6.4.1.10), мы находим выражение для "сдвигово-вращательной" критической (переходной) скорости sr диссипации энергии единицы массы tr (lcr ) :

strr (lcr ) = 12(1 + Г)N 2 / 2. (6.4.1.13) Сравнивая выражения (6.4.1.11) и (6.4.1.13) для strr (lcr ), мы получаем [Simonenko, 2005;

2006] явное выражение неизвестного (в модели [Brainerd and Gregg, 1993;

Smith, Zavialov and Moum, 1997]) коэффициента в уравнении (6.4.1.12):

1 2 1 l = ( ) = cr, (6.4.1.14) 3 Lo 3 который зависит от критического размера l cr = L o турбулентных вихрей в начале коллапса турбулентности. Мы получаем коэффициент = 1/ [Simonenko, 2004] из теоретического выражения (6.4.1.14) для l cr = L o.

Lt Используя средние величины критических отношений (для Lo каждой серии данных, представленной в табл. 1) и экспериментально установленное [Itsweire, 1984;

Itsweire et al., 1986] соотношение (6.4.1.3), мы получаем из выражения (6.4.1.14) соотношение для средних коэффициентов для каждой серии данных:

1 Lt = 1,2 (6.4.1.15) Lo 3 Среднее арифметическое значение Г, рассчитанное из коэффициентов (для серий данных R 52, R 36 и R 37 лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]), равно величине 1 Lt Г = 1,2 = (1,014) / 3, (6.4.1.16) Lo 3 которая находится в довольно хорошем согласии с величиной 1/ используемой ранее [Simonenko, 2004] для анализа лабораторных экспериментальных данных [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986].

В пятом столбце табл. 1 даны теоретические "сдвигово-вращательные" переходные (критические) скорости диссипации энергии единицы массы strr (которые основываются на равенстве s = r ), рассчитанные по формуле:

1 1 + 1,2 L t 3 Lo Lt s r 1,2 = N 2, tr ( l cr ) = tr (6.4.1.17) sr Lo Lt 1,2 Lo учитывающей средний критический размер турбулентных вихрей l cr в каждой серии данных Lt l cr = 1,2 Lo. (6.4.1.18) Lo Теоретическая величина "сдвигово-вращательной" переходной (критической) скорости диссипации энергии единицы массы sr tr (lcr ) = 16,914 N (рассчитанная из формулы (6.4.1.17) для серии данных R 37 и представленная в пятом столбце табл. 1) выше, чем "сдвигово вращательная" переходная (критическая) скорость диссипации энергии sr единицы массы tr (lcr ) = 15,26 7 N 2 (рассчитанная из формулы (6.4.1.17) для серии данных R 36 и представленная в пятом столбце табл. 1). Средний коэффициент анизотропии пульсаций скорости a = 1,2886 для серии данных R 37 выше, чем a = 1,174 для серии данных R 36 (см. табл. 1) в начале коллапса турбулентности и генерации внутренних гравитационных волн. Эксперименты [Itsweire et al., 1986] дают для серий данных R 36 и R примерно равные экспериментальные величины критических скоростей диссипации энергии единицы массы exp в диапазоне tr = (21 ± 1,4) N.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.