авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный экономический университет ...»

-- [ Страница 5 ] --

exp tr Поэтому мы можем предположить, что степень "твердотельности" локального движения жидкости (и, соответственно, коэффициент "твердотельности" локального движения жидкости) выше для серии данных R 36, чем для серии данных R 37, чтобы получить почти равные экспериментальные величины критических скоростей диссипации энергии единицы массы tr = (21 ± 1,4) N, которые выше, чем величины "сдвигово exp вращательных" переходных (критических) скоростей диссипации энергии sr единицы массы tr (lcr ) = 15,26 7 N 2 и tr (lcr ) = 16,914 N 2, соответственно, sr для серий данных R 36 и R 37.

Мы предлагаем [Simonenko, 2005;

2006] для каждой серии данных следующую простую линейную интерполяционную формулу для средней критической скорости диссипации энергии единицы массы tr :

1 1 2 L Lt 121 + 1,2 t 121 + 1,2 3 3 Lo Lo ( ) N 2 + ( R 1) lcr, R = N 2, tr 2 Lt L 1,2 1,2 t Lo Lo (6.4.1.19) учитывая средний R коэффициент "твердотельности" R локального движения жидкости и средний критический размер турбулентных вихрей Lt l cr = 1,2 L o в каждой серии данных.

Lo Линейное интерполяционное соотношение (6.4.1.19) для tr ( lcr, R ) (зависящее от R ) вполне разумно. Коэффициент ( R 1) во втором члене справа соотношения (6.4.1.19) выбран, чтобы дать "вращательную" критическую скорость диссипации энергии единицы массы rtr (L o ) = 32 N при l cr = L o в соответствии с предыдущим результатом [Simonenko, 2004] для находящегося локально в твердотельном состоянии движения жидкости, характеризуемого средним коэффициентом "твердотельности" R = 2. Естественно предположить, что R = 1 в формуле (6.4.1.19) соответствует состоянию, характеризуемому равенством s = r средней макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s и средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r. Мы подтвердим это предположение далее на основе анализа экспериментальных данных, представленных в табл. 2 и 3 для серии данных R 52.

1 l Учитывая зависимость (6.4.1.15) коэффициента = cr, 3 Lo связанного со средним критическим размером турбулентных вихрей Lt l cr = 1,2 Lo в каждой серии данных, и коэффициент локальной Lo "твердотельности" R при каждой величине расстояния x / M вниз по потоку от решетки в каждой серии данных, формулу (6.4.1.19) можно переписать следующим образом для критической скорости диссипации энергии единицы массы tr :

1 l 2 1 l 1 + cr 121 + cr 12 L 3 Lo 3 o N + (R - 1) tr ( lcr, R) = N 2.

2 lcr lcr L L o o (6.4.1.20) Найдем соотношение между средним коэффициентом локальной "твердотельности" R и средним коэффициентом a анизотропии пульсаций скорости из анализа экспериментальных данных, представленных в табл. 1 для трех серий данных. Мы будем находить функцию R = f ( a ), которая удовлетворяет естественному требованию:

R 1,2 (6.4.1.21) в соответствии с экспериментально полученным [Itsweire, 1984;

Itsweire et al., 1986] соотношением (6.4.1.3) и нашим предыдущим определением коэффициента локальной "твердотельности" R. Здесь черта означает среднее арифметическое значение трех средних величин R, соответствующих всем трем сериям данных в начале коллапса турбулентности и генерации внутренних гравитационных волн. Мы рассматриваем модельное соотношение 1, R( a ) = f ( a )= (6.4.1.22) a в качестве первого приближения функции R = f ( a ) в диапазоне экспериментальных величин коэффициентов анизотропии пульсаций скорости a для трех серий данных. Числовой коэффициент 1,543 в соотношении (6.4.1.22) выбран, чтобы получить среднее арифметическое значение равное R = 1,2 для трех средних коэффициентов локальной a, "твердотельности" R, рассчитанных для трех величин представленных в седьмом столбце табл. 1 для трех серий данных.

Рассчитывая средние коэффициенты локальной "твердотельности" R из формулы (6.4.1.22) для средних коэффициентов анизотропии пульсаций скорости a, данных в седьмом столбце табл. 1, мы получаем из формулы (6.4.1.19) величины средних критических скоростей диссипации энергии единицы массы tr, которые представлены в девятом столбце табл. 1 для трех серий данных. Очевидно, что эти величины tr попадают в экспериментальные диапазоны критических величин exp, данных в десятом tr столбце табл. 1, если мы отбросим все десятичные цифры за исключением первой цифры после точки в числовой величине tr для серии данных R 52.

Уточним зависимость (6.4.1.22), чтобы получить из формулы (6.4.1.19) средние критические величины tr равные 15 N 2, 21 N 2 и 21 N 2, соответственно, для трех различных величин a, представленных в седьмом столбце табл. 1 для серий данных R 52, R 36 и R 37. Мы вводим для этой цели три неизвестных подгоночных параметра p, q и c и рассматриваем функцию:

r R( a ) = f ( a = +q a +c (6.4.1.23) a как второе приближение для среднего коэффициента локальной R. Учитывая числовые величины sr ( lcr ), "твердотельности" tr рассчитанные из формулы (6.4.1.17), мы получаем из соотношения (6.4.1.19) следующую систему трех линейных неоднородных алгебраических уравнений для нахождения трех неизвестных параметров r, q и c :

r 15 14, + q 1,417 + c - 1 = R( a1 ) 1 = = 0,0035592 ;

1,417 14, 21 15, r + q 1,174 + c -1= R( a2 ) 1 = = 0,3754887 ;

(6.4.1.24) 15, 1, 21 16, r + q 1,288 + c - 1 = R( a3 ) 1 = = 0,2415698, 16, 1, где средние коэффициенты анизотропии пульсаций скорости a1 = 1, (серия данных R 52 ), a2 = 1,174 (серия данных R 36 ) и a3 = 1, (серия данных R 37 ) взяты из седьмого столбца табл. 1. Правые члены уравнений системы (6.4.1.24) рассчитаны из уравнения (6.4.1.19), рассматривая последовательно (т.е. по порядку) средние экспериментальные критические величины tr = 15 N 2, tr = 21 N 2 и tr = 21 N 2, соответственно, (для серий данных R 52, R 36 и R 37 ) как числовые критические величины tr ( lcr, R ) в соотношении (6.4.1.19). Отметим, что численные значения теоретических "сдвигово-вращательных" критических скоростей диссипации энергии единицы массы 14,946 N, 15,267 N 2 и 16,914 N 2 (соответственно, для серий данных R 52, R 36 и R 37 ) дают правые члены (уравнений системы (6.4.1.24)), которые находятся в соответствии с наложенным условием (6.4.1.21) и с экспериментально полученным [Itsweire, 1984;

Itsweire et al., 1986] соотношением (6.4.1.3):

R = ( R( a1 ) + R( a2 ) + R( a3 ) ) / 3 = 1,2068 1,2.

Разрешив систему уравнений (6.4.1.24) относительно неизвестных параметров r, q и c, мы получаем [Simonenko, 2005;

2006] эмпирическое соотношение для R( a ) :

5, 5,0835503 a + 12,378145. (6.4.1.25) R( a ) = f ( a )= a Чтобы оценить корректность полученного выражения (6.4.1.25), мы рассчитываем численные величины tr из формулы (6.4.1.19) при выполнении соотношения (6.4.1.25) для соответствующих средних Lt критических отношений, данных в табл. 1 для трех серий данных.

Lo Рассчитанные величины tr равны 15,000012 N, 21,000058 N 2 и 21,000005 N 2, соответственно, для серий данных R 52, R 36 и R 37. Эти величины очень близки к средним экспериментальным величинам 15 N 2, 21 N 2 и 21 N 2 для серий данных R 52, R 36 и R 37, соответственно.

Оценим теперь разумность соотношения (6.4.1.25) между коэффициентами анизотропии пульсаций скорости a и коэффициентами локальной "твердотельности" R для всех разных величин a и R, L x и t в табл. 1 и 2. Для этой соответствующих различным величинам Lo M цели мы рассчитали по формуле (6.4.1.25) коэффициенты локальной "твердотельности" R (a ) для всех a (представленных в пятом столбце табл.

x 2 ), соответствующих различным величинам в табл. 2. Затем, используя M полученные величины R (a ) (представленные в шестом столбце табл. 2 ), мы рассчитываем по формуле (6.4.1.20) критические величины tr, представленные в восьмом столбце табл. 2. Средние величины tr, рассчитанные для всех величин tr в каждой серии данных, находятся в довольно хорошем согласии со средними экспериментальными величинами в каждой серии данных, причем эти соответствия лучше для серий данных R 36 и R 37. Рассеяние критических величин tr в восьмом столбце табл. для серий данных R 36 и R 37 попадает в экспериментальный диапазон exp = ( 21 ± 1,4) N 2 для этих серий данных. Рассчитанные величины tr при tr x x = 20 и = 60 для серии данных R 52 выпадают из экспериментального M M диапазона tr = (15 ± 1,2) N. Следовательно, можно предположить, что exp коллапс турбулентных вихрей происходил (имел место) в экспериментах с x x = 25 до = 45. Чтобы малой решеткой (серия данных R 52 ) от M M подтвердить это предположение, мы покажем сейчас, что соотношение замыкания (6.1.9), выведенное ранее [Simonenko, 2004] для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности, удовлетворяется с хорошей x = 20 для серии данных R 52. Отметим, что средняя точностью при M арифметическая величина R (рассчитанная для трех величин средних коэффициентов локальной "твердотельности" R, представленных в седьмом столбце табл. 2 ):

(0,9503 + 1,3744 + 1,2352) / 3 = 1,1866, R= находится в очень хорошем согласии с наложенным условием (6.4.1.21), причем рассчитанные величины R = 1,3744 и R = 1,2352 для серий данных R 36 и R 37, соответственно, очень близки к величинам R( a 2 ) = 1,3754 и R( a3 ) = 1,2415, полученным из второго и третьего уравнений системы (6.4.1.24). Рассчитанная величина R = 0,9503 (на основании четырех различных величин коэффициента локальной "твердотельности" R для серии данных R 52 ) меньше, чем величина R( a1 ) = 1,0035, полученная из первого уравнения системы (6.4.1.24).

Рассчитанное значение R = 1,0505 (на основе двух величин R, x x = 25 и = 45 в табл. 2 ) ближе к величине соответствующих M M R( a1 ) = 1,0035, чем величина R = 0,9503. Это поддерживает предположение, что коллапс турбулентных вихрей происходил для серии x x = 25 до = 45.

данных R 52 от M M Проанализируем для этой цели экспериментальную реализацию № серии данных R 52 (см. табл. 2 (c) в исследованиях [Itsweire et al., 1986]. Мы рассчитываем турбулентную кинетическую энергию единицы массы посредством формулы:

1 u2 + w 2 1 3 2 3 b exp = u 2 + w 2 + = u + w, (6.4.1.26) 2 tur 2 предполагая, что неизмеренная турбулентная кинетическая энергия единицы (v 2 ) в поперечном направлении равна средней арифметической массы величине, полученной из измеренных турбулентных кинетических энергий (u 2 ) (w 2 ) единицы массы и, соответственно, в продольном и вертикальных 2 направлениях. Турбулентная кинетическая энергия единицы массы b exp tur x = (рассчитанная по формуле (6.4.1.26) при M для экспериментальной реализации № 1 серии данных R 52 ) равна:

13 b exp = (0,897) + (0,737) = 1,0108 см 2 / с tur 22 2 и w = 0, для данных экспериментальных величин u = 0,897 см / с.

см / с Таблица u tr tr Lt Серия R x exp R Lt a= tr w N N Lo M N Lo 20 0,84 1,217 1,3347 19, 15 ± 1, R52 0,8725 0,9503 14, 25 0,86 1,407 1,0247 15, 45 0,93 1,381 1,0778 16, 60 0,86 1,665 0,3641 5, R36 12 0,825 0,86 1,191 1,3609 1,3744 22,1065 21, 21 ± 1, 18 0,895 1,157 1,3879 19, 12 0,805 1,253 1,2913 21, R37 0,8033 1,2352 20, 15 0,855 1,262 1,2792 19, 25 0,75 1,351 1,1353 21, Теоретическая величина турбулентной кинетической энергии единицы массы b th (рассчитанная по соотношению замыкания (6.1.9) для tur x = 20 ) равна:

экспериментальной реализации № 1 серии данных R 52 при M 0,406(1,02 0,715) 2 = 0,9997 см b tur = th 24 0,009 с для экспериментальных [Itsweire et al., 1986] величин dis = 0, 406 см 2 / с 3, L o = 0,715 см и экспериментальной средней кинематической вязкости = 0,009 см / с, и среднего энергосодержащего масштаба длины l = 1,02 L o, взятого по формуле (6.4.1.6). Теоретические величины турбулентной кинетической энергии единицы массы b th, рассчитанные по tur соотношению замыкания (6.1.9) для экспериментальной реализации № x = 20 находятся в диапазоне:

серии данных R 52 при M b th = (1,00465 ± 0,1411) см 2 / с 2, tur dis = 0,406 см 2 / с 3, полученном для экспериментальных величин L o = 0,715 см, = 0,009 см 2 / с, и для энергосодержащих масштабов длин l = lT = (1,02 ± 0,072) L o, данных соотношением (6.4.1.6). Средняя величина b th и теоретическое 1,00465 см 2 / с 2 в полученном диапазоне величин tur значение b tur = 0,9997 см 2 / с 2, рассчитанное для средней величины th l = 1,02 L o энергосодержащих масштабов длин, находятся в очень хорошем согласии с экспериментальным значением b exp = 1,0108 см 2 / с 2, tur полученным ранее. Мы видим, что соотношение замыкания (6.1.9) удовлетворяется с очень хорошей точностью для экспериментальной x реализации № 1 серии данных R 52 при = 20. Это значит, что локальное M x движение жидкости (при = 20 для экспериментальной реализации № M серии данных R 52 ) было в турбулентном (опрокидывающемся) слабо анизотропном режиме. Это поддерживает наше предположение, что коллапс x = 25 45 для турбулентных вихрей происходил в диапазоне M экспериментов с малой решеткой (серия данных R 52 ).

Таким образом, мы имеем для серии данных R 36 (характеризуемой теоретической "сдвигово-вращательной" критической скоростью диссипации sr энергии единицы массы tr (lcr ) = 15,26 7 N 2, представленной в пятом столбце табл. 1) больший вклад в среднюю критическую величину tr (данную формулой (6.4.1.19)), связанный с бльшим средним коэффициентом локальной "твердотельности" R = 1,3744, который выше, чем средний коэффициент локальной "твердотельности" R = 1, (представленный в седьмом столбце табл. 2 ) для серии данных R 37.

Следовательно, мы можем объяснить тот же самый экспериментальный критический диапазон tr = ( 21 ± 1,4) N для серий данных R 36 и R 37 (при exp теоретической "сдвигово-вращательной" критической скорости диссипации sr энергии единицы массы (для серии данных R 37 ) tr (lcr ) = 16,914 N 2, которая больше, чем теоретическая "сдвигово-вращательная" критическая sr скорость диссипации энергии единицы массы tr (lcr ) = 15,26 7 N 2 (для серии данных R 36 ) бльшим средним коэффициентом локальной "твердотельности" R = 1,3 744 (для серии данных R 36 ), чем средний коэффициент локальной "твердотельности" R = 1,2352 для серии данных R 37. Мы имеем для серии данных R 52 теоретическую "сдвигово вращательную" критическую скорость диссипации энергии единицы массы s r (lcr ) = 14,946 N 2, которая очень близка к средней величине tr tr = 15 N в экспериментальном критическом диапазоне = (15 ± 1,2) N exp для серии данных R 52. Очень хорошее согласие tr теоретической "сдвигово-вращательной" критической величины sr tr (lcr ) = 14,946 N для серии данных R 52 и экспериментального критического диапазона tr = (15 ± 1,2) N exp может быть объяснено наименьшим (из трех серий данных) вкладом в среднюю критическую величину tr (данную формулой (6.4.1.19)), связанным с наименьшими величинами коэффициента локальной "твердотельности" в полученном диапазоне R = 1,0247 1,0778. Учитывая наибольший коэффициент локальной "твердотельности" для серий данных R 36 и R 37, мы можем предположить наибольшую степень локальной термодинамической неравновесности турбулентных потоков в начале коллапса турбулентности для серии данных R 52.

6.4.2. Связь коэффициента локальной "твердотельности" R и коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e для мелкомасштабного турбулентного поля скорости Рассмотрим вопрос о связи анизотропии пульсаций скорости с локальной термодинамической неравновесностью турбулентных потоков в начале коллапса турбулентности в лабораторных экспериментах [Itsweire et al., 1986] Ясно, что мы имеем более локально равновесный термодинамический режим движения жидкости в турбулентном потоке, когда средняя величина коэффициента анизотропии пульсаций скорости a ближе к 1 поскольку (условие) a = 1 соответствует локальному термодинамическому равновесию, характеризуемому локально движением жидкости в твердоподобном состоянии, характеризуемом средним R = 2. Следовательно, коэффициентом локальной "твердотельности" поскольку (величина) a1 = 1,417 (соответствующая серии данных R 52 ) выше, чем величина a2 = 1,174 (соответствующая серии данных R 36 ) и величина a3 = 1,288 (соответствующая серии данных R 37 ), мы можем сделать заключение из анализа средних величин коэффициентов анизотропии пульсаций скорости a в седьмом столбце табл. 1, что турбулентные потоки в начале коллапса турбулентности, соответствующие серии данных R 52, более локально неравновесны, чем турбулентные потоки, соответствующие сериям данных R 36 и R 37.

Чтобы рассмотреть степень локальной термодинамической неравновесности турбулентных потоков в начале коллапса турбулентности для каждой экспериментальной серии данных, мы определяем коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e, задаваемый следующим образом ne = s. (6.4.2.1) r Чтобы оценить вклады различных степеней локальной термодинамической неравновесности (определяемые в терминах коэффициента n e ) в критическую скорость диссипации энергии единицы массы tr, мы предлагаем следующую простую линейно интерполирующую формулу для tr :

1 l 2 1 l 1 + cr 121 + cr 12 L 3 Lo 3 o N + (1 - n e ) tr (lcr, n e ) = N 2, 2 lcr lcr L L o o (6.4.2.2) которая учитывает средний критический размер l cr = 1,2 L t / L o L o турбулентных вихрей в каждой серии данных и коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e локального турбулентного поля скорости. Коэффициент (1 - n e ) во втором члене в правой части соотношения (6.4.2.2) выбран, чтобы интерполировать линейно критическую скорость диссипации энергии единицы массы tr ( lcr, n e ) в рассматриваемом 0 n e 1 значений n e между теоретической "сдвигово диапазоне вращательной" переходной (критической) скоростью диссипации энергии sr ( lcr ) (соответствующей коэффициенту n e = единицы массы tr [Simonenko, 2004;

2005;

2006]) и теоретической "вращательной" переходной (критической) скоростью диссипации энергии единицы массы sr rtr ( lcr ) = 2 tr ( lcr ), соответствующей коэффициенту ne= [Simonenko, 2004;

2005;

2006].

Приравнивая экспериментальные критические скорости диссипации exp и теоретические критические величины энергии единицы массы tr tr (lcr, n e ), данные формулой (6.4.2.2) для различных турбулентных потоков, мы находим [Simonenko, 2005;

2006] соотношение для коэффициентов локальной термодинамической неравновесности n e в начале коллапса турбулентности:

l exp cr tr Lo ne=2 -. (6.4.2.3) 1 l 12 N 2 1 + cr 3 Lo Коэффициенты локальной термодинамической неравновесности n e (с соответствующими погрешностями), рассчитанные по формуле (6.4.2.3) для трех серий данных, представлены в девятом столбце табл. 3 для соответствующих средних критических размеров турбулентных вихрей l cr, данных формулой (6.4.1.18) для каждой серии данных. Мы видим, что коэффициенты локальной термодинамической неравновесности n e для серий данных R 36 и R 37 меньше, чем коэффициент локальной термодинамической неравновесности для серии данных R 52. Это значит, что турбулентные поля скорости в начале коллапса турбулентности более неравновесны локально для серии данных R 52, чем для серий данных R и R 37. Мы видим, что средние коэффициенты анизотропии пульсаций скорости a (представленные в восьмом столбце табл. 3 ) разумно связаны с соответствующими коэффициентами локальной термодинамической неравновесности n e, представленными в девятом столбце табл. 3. Мы имеем наименьший средний коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e = 0,624 для наименьшего среднего коэффициента анизотропии пульсаций скорости a2 = 1,174 для серии данных R 36. Мы имеем наибольший средний коэффициент n e = 0, локальной термодинамической неравновесности для наибольшего среднего коэффициента анизотропии пульсаций скорости a1 = 1,417 в серии данных R 52. Эти соответствия соотносятся с нашими предыдущими выводами, что мы должны иметь более локально равновесный термодинамический режим движения жидкости, если средний коэффициент анизотропии пульсаций скорости a ближе к 1.

Рассмотрим уместный вопрос: разумно ли средние арифметические коэффициенты локальной "твердотельности" R (представленные в восьмом столбце табл. 2 ) коррелируют для каждой серии данных с коэффициентами локальной термодинамической неравновесности n e (представленными в девятом столбце табл. 3 )? Приравнивая величины tr, данные формулами (6.4.1.20) и (6.4.2.2), мы получаем Таблица u u Lt ne Се- strr (lcr ) rtr (lcr ) x exp Lt tr w w M Lo N 2 N 2 N Lo рия 20 0,84 1, 0,996 ± 0,080 15 ± 1, R52 0,8725 14,946 29,892 1, 25 0,86 1, 45 0,93 1, 60 0,86 1, 0,624 ± 0, R36 12 0,825 0,86 15,267 30,534 1,191 1, 18 0,895 1, 21 ± 1, 12 0,805 1, 0,758 ± 0, R37 0,8033 16,914 33,828 1, 15 0,855 1, 25 0,75 1, соотношение между коэффициентом локальной термодинамической неравновесности n e и коэффициентом локальной "твердотельности" R (a ) для анизотропных режимов турбулентного движения [Simonenko, 2005;

2006]:

n e = 2 - R (a). (6.4.2.4) Мы имеем из соотношения (6.4.2.4) выражение:

R (a) = 2 - n e. (6.4.2.5) Рассчитаем теперь R (a ) для каждой экспериментальной серии данных по формуле (6.4.2.5), используя коэффициенты n e, данные в девятом столбце табл. 3. Мы имеем R (a ) = 1,004 ± 0,08 для серии данных R 52.

Ошибка для R (a ) (также как и для n e ) получена на основе ошибки exp = (15 ± 1,2) N экспериментальной критической величины для tr экспериментальной серии данных R 52. Средняя арифметическая величина коэффициентов локальной "твердотельности" R = 0,9503 (рассчитанная для четырех величин R в шестом столбце табл. 2 ) попадает в полученный диапазон R (a ) = 1,004 ± 0,08. Величины 1,0247 и 1,0778 значений R в x x = 25 и = 45, шестом столбце табл. 2 (соответствующие M M соответственно, для серии данных R 52 ) попадают в полученный диапазон R (a ) = 1,004 ± 0,08. Это дополнительный аргумент в пользу предположения (сделанного в разделе 7.3.1), что коллапс турбулентных вихрей происходил в x = 25 45 для серии данных диапазоне R 52. Мы имеем диапазон M R (a ) = 1,376 ± 0,091, рассчитанный по формуле (6.4.2.5) для серии данных R 36. Средняя величина коэффициента локальной "твердотельности" R = 1,3744 (рассчитанная для двух величин R в шестом столбце табл. для серии данных R 36 ) попадает в полученный диапазон R (a ) = 1,376 ± 0,091, который содержит две величины R (a ), соответствующие x x = 12 и = 18 в шестом столбце табл. 2. Для серии данных R 37 мы M M имеем диапазон R (a ) = 1,242 ± 0,082, полученный по формуле (6.4.2.5).

Средняя величина коэффициента локальной "твердотельности" R = 1,2352 (рассчитанная для трех величин R в шестом столбце табл. 2 ) R (a ) = 1,242 ± 0,082. Диапазон попадает в полученный диапазон R (a ) = 1,242 ± 0,082 содержит величины 1,2913 и 1,2792, соответствующие x x = 12 и = 15, соответственно, для серии данных R 37. Величина 1, M M x = 25 ) слегка меньше, чем нижняя величина 1, (соответствующая M диапазона R (a ) = 1,242 ± 0,082. Таким образом, формула (6.4.2.5) дает разумную связь между коэффициентом локальной термодинамической неравновесности n e и коэффициентом локальной "твердотельности" R (a ) для каждой экспериментальной серии данных лабораторных экспериментов [Itsweire et al., 1986] в начале коллапса турбулентности.

Используя пятый и шестой столбцы табл. 3, мы получаем из формул tr = (14,946 29,892) N 2, (7.32, 7.40) критические диапазоны tr = (15,267 30,534) N 2 для серий данных R 52, R 36 и tr = (16,914 33,828) N 2 для серии данных R 37, соответственно, для Lt средних величин критических отношений (представленных в Lo четвертом столбце табл. 3 для серий данных R 52, R 36 и R 37 ) и для разных гидродинамических режимов, характеризуемых различными коэффициентами локальной термодинамической неравновесности n e в диапазоне n e = 0 1, связанном формулой (6.4.2.5) с диапазоном R = 1 коэффициентов локальной "твердотельности" R. Средний критический диапазон tr = (15,709 31,418) N 2 (полученный нахождением средних арифметических величин для верхних и нижних величин в полученных критических диапазонах для серий данных R 52, R 36 and R 37 ) находится в очень хорошем согласии с оцененным критическим диапазоном (6.4.1.7) для турбулентных вихрей критического размера L o [Simonenko, 2004].

Таким образом, экспериментальные критические диапазоны tr = (25 ± 10) N 2 (Gibson, 1987) и tr (15 30) N 2 (Hopfinger, 1987) могут быть объяснены различными средними критическими размерами Lt турбулентных вихрей l cr = 1,2 L o и, главным образом, различными Lo коэффициентами анизотропии пульсаций скорости a, различными коэффициентами локальной "твердотельности" R и различными коэффициентами локальной термодинамической неравновесности n e в начале коллапса турбулентности в стратифицированной вязкой жидкости.

6.4.3. Поведение коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e для процессов турбулентно-волновой трансформации Используя определение (6.4.2.1) коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e и эквивалентность b tur int [Simonenko, 2004;

2005;

2006] средней макроскопической внутренней кинетической энергии единицы массы int и турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur (рассматриваемой в динамике жидкостей [Hinze, 1959;

Monin and Yaglom, 1975]), турбулентная кинетическая энергия единицы массы b tur (для анизотропных неравновесных турбулентных режимов локального движения жидкости в слабо стратифицированных жидкостях) может быть переписана следующим образом:

b tur = s + r = s + s / n e. (6.4.3.1) Рассмотрим теперь формулу (6.4.2.4). Согласно формуле (6.4.2.4), уменьшение коэффициента локальной "твердотельности" R (a ) связано с увеличением коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e. Поэтому общее уменьшение коэффициента локальной "твердотельности" x (см. табл. 2 ) для серии R (a ) в целом для увеличивающихся величин M данных R 52 связано с увеличением коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e (в целом). Согласно формуле (6.4.3.1), это соответствует увеличению относительного вклада средней макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s в турбулентную кинетическую энергию единицы массы b tur по сравнению со средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергией единицы массы r.

Учитывая величины коэффициентов локальной "твердотельности" x x = 20 и = 60 в табл. 2, мы получаем (согласно формуле R (a ) при M M (6.4.2.4)), что коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e растет в целом в серии данных R 52 от значения n e = 2 - 1,3347 = 0,6653 до величины n e = 2 - 0,3641 = 1,6359. Рассматривая величины коэффициентов x = 25 и локальной "твердотельности" R (a ), соответствующие величинам M x = 45, мы получаем (согласно формуле (6.4.2.4)), что коэффициент M локальной термодинамической неравновесности n e уменьшался локально в x x = 45 от величины n e = 2 - 1,0247 = 0,9753 до = 25 до диапазоне от M M величины n e = 2 - 1,0778 = 0,9222. Это изменение величин n e находится в соответствии с рассчитанным диапазоном n e = 0,996 ± 0,08 величин n e, данным в табл. 3 для серии данных R 52. Таким образом, мы имеем (согласно формуле (6.4.2.4) и рассчитанным коэффициентам локальной "твердотельности" R (a ), представленным в шестом столбце табл. 2 для серии данных R 52 ), что процесс турбулентно-волнового перехода связан (в целом) с общим увеличением коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e, сопровождаемым локальным уменьшением n e (т.e., локальным минимумом) для серии данных R 52.

Учитывая формулу (6.4.2.4) для серии данных R 36, мы получаем несущественное увеличение коэффициента локальной "твердотельности" x = 12 18 (смотри табл. 2 ). Коллапс турбулентных R (a ) в диапазоне M вихрей сопровождался (для серии данных R 36 ) малым уменьшением коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e от величины n e = 2 - 1,3609 = 0,6391 до величины n e = 2 - 1,3879 = 0,6121 в соответствии с полученным диапазоном n e = 0,624 ± 0.091 величин n e для серии данных R 36 в табл. 3. Однако, учитывая величины u = 1,018 см/с и x w = 0,886 см/с при = 10 в экспериментальной реализации № 1 серии M данных R36 (см. табл. 2 (a) в исследованиях [Itsweire et al., 1986]), мы получаем из формулы (6.4.1.25) коэффициент локальной "твердотельности" x R = 1,393 для a = 1,018/0,886 = 1,1489 при = 10. Используя формулу M x = 10 коэффициент n e = 0,6069 в (6.4.2.4), мы находим при M экспериментальной реализации № 1 серии данных R36. Поскольку полученная величина n e = 0,6069 попадает в полученный диапазон n e = 0,624 ± 0,091 величин n e для серии данных R36 и величина n e = 0,6069 меньше, чем полученные величины n e = 0,6391 и n e = 0,6121, x x = 12 и = 18, мы можем подтвердить общее малое соответственно, для M M x = 10 18 ), сопровождаемое увеличение коэффициента n e (в диапазоне M x = 12 18.

малым уменьшением коэффициента n e в диапазоне M Мы имеем из формулы (6.4.2.4) для серии данных R 37 (см. табл. 2 ), что уменьшение коэффициента локальной "твердотельности" R (a) в x = 12 25 связано с монотонным увеличением коэффициента диапазоне M локальной термодинамической неравновесности ne от величины n e = 2 - 1,2913 = 0,7087 2 - 1,1353 = 0,8647, ne = до величины x x = 12 до = 25. Это изменение величин n e слегка соответственно, от M M выше, чем верхняя величина в полученном диапазоне 0,676 n e 0, величин n e для серии данных R 37 в табл. 3.

Мы видим, что формула (6.4.2.4) дает разумную связь между коэффициентом локальной термодинамической неравновесности n e и коэффициентом локальной "твердотельности" R (a ) для всех величин этих x коэффициентов при различных величинах в каждой серии данных M лабораторных экспериментов [Itsweire et al., 1986]. Таким образом, согласно представленным расчетам, коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e возрастал в целом в начале коллапса турбулентности для серии данных R 52, практически оставался постоянным для серии данных R 36 и возрастал монотонно для серии данных R 37.

Таким образом, мы видим, что необратимый процесс турбулентно волнового перехода приводит к увеличению относительной роли деформаций (связанных с s ) по отношению к вращениям (связанным r ) в соответствии с общей формулировкой [Evans, Hanley and Hess, 1984], что деформации имеют преобладающее влияние на поведение жидкости в линейных режимах движения.

Общее увеличение коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e в начале коллапса турбулентности физически естественно, поскольку локальная структура скорости свободно затухающей стратифицированной турбулентности становится (все) более и более анизотропной в целом и одновременно уменьшается локальная "твердотельность" локального движения жидкости. Это связано с разрушением "ориентационной" изотропии направлений локальных вращений жидкости для свободно затухающей стратифицированной турбулентности ниже критической скорости диссипации энергии вследствие сил плавучести и вязкости. Разрушение хаотически распределенных турбулентных вихрей в начале коллапса турбулентности сопровождается общим увеличением коэффициента локальной термодинамической неравновесности n e (сопровождаемым локальным минимумом n e для серий данных R 52 и R 36 ) для трех серий данных лабораторных экспериментов [Itsweire et al., 1986]. Разрушение "ориентационной" изотропии приводит к волновому гидродинамическому режиму движения жидкости, связанному с появлением когерентных волновых структур в среднем поле скорости в результате вызванного сдвигом сужения диапазона возможных направлений вращений жидкости в каждой точке пространства.

6.5. Условие опрокидывания для малой жидкой частицы в идеальной стратифицированной жидкости и критическое градиентное число Ричардсона, характеризующее переход турбулентных режимов в волновые режимы движения жидкости Вспомним, что Гибсон [Gibson, 1980, 1981] получил “критерий для существования активной, опрокидывающейся турбулентности” (5.1.3b) для стратифицированного вязкого сдвигового потока из критического градиентного числа Ричардсона Ri cr = 1 / 4 в соотношении (5.1.1) (для параллельного двумерного стратифицированного сдвигового потока) и используя соотношение (5.1.2) для изотропной турбулентности. Мы рассматривали виртуальное "твердотельное" вращение жидкой частицы, чтобы получить классическое критическое число Ричардсона Ri cr = 1 / 4 из условия опрокидывания (5.2.1.8) для бесконечно малых цилиндрических и трехмерных жидких частиц. Рассмотрение виртуального твердотельного вращения является теоретическим методом, чтобы получить максимальную величину потенциальной энергии для опрокидываемого состояния u в гравитационном поле и критическую величину K int,cr макроскопической внутренней кинетической энергии K int. Некоторые натурные наблюдения и лабораторные эксперименты показывают, что "твердотельные" вращения имеют место в начальной стадии неустойчивостей, вызванных сдвигом скорости. Наблюдения [Woods, 1968, 1969] в океаническом термоклине показали, что волнообразные возмущения (так называемые “wavelets” в терминологии Вудса) растут на тонких устойчиво стратифицированных сдвиговых прослойках (“sheets” в терминологии Вудса) вследствие сдвиговой неустойчивости, индуцированной внутренними волнами. Волнообразные возмущения опрокидываются, и в конечном итоге, трансформируются в подобные свертку (“roll-like” в терминологии Вудса в его работе [Woods, 1969]) валы (так называемые “буруны” – “breakers” в терминологии Вудса), которые генерируют в конечном итоге локальные области турбулентности.

Вудс отмечал, что “валы имеют примерно 2 мин, чтобы свертываться, затем развиваются вторичные неустойчивости, и первоначально регулярное построение валов разрушается в нерегулярное "турбулентное" движение, содержащее каскад более мелких вихрей...” [Woods, 1969]. Промежуточная стадия динамически устойчивого движения, характеризуемого циркуляцией, усиливающейся наружу из центра, также имеет место в воздушных вихрях, образованных вследствие сдвиговой неустойчивости [Scorer, 1969].

Используя результаты океанических наблюдений, Вудс вывел [Woods, 1969], что конечное критическое градиентное число Ричардсона Ri cr для перехода из турбулентных в ламинарные (волновые) движения жидкости находится около 1:

Ri cr 1. (6.5.1) С другой стороны Меллор и Ямада [Mellor and Yamada, 1974, 1982] предсказывали, что турбулентность переставала существовать (прекращалась) при локальном градиентном числе Ричардсона Ri данном Ri cr = 0,19, (6.5.2) в то время как Ченг, Кануто и Ховард отмечали [Cheng, Canuto and Howard, 2003], что “большое разнообразие данных указывало, что истинная величина примерно в 5 раз больше:

Ri cr ~1” (6.5.3) в соответствии с теоретической оценкой Вудса (6.5.1).

Было показано Мартином [Martin, 1985], что оценка (6.5.2) генерировала нереалистически мелкий перемешанный слой океана, в то время как оценка (6.5.3) давала намного более реалистичные глубины перемешанного слоя океана (см. также в [Cheng, Canuto and Howard, 2003]).

Было показано в разделе 4.3, что величина 15N 2 рассматривалась обычно [Gibson, 1987;

Hopfinger, 1987] в качестве самой нижней (наименьшей) переходной (критической) скорости диссипации энергии единицы массы для океанических стратифицированных вязких турбулентных потоков. Учитывая наименьшую переходную скорость диссипации энергии единицы массы tr =15N 2 для средней скорости диссипации энергии единицы массы dis в соотношении (5.1.2), мы получаем из соотношений (5.1.1) и (5.1.2) критическое градиентное число Ричардсона (для перехода из турбулентных в ламинарные (волновые) движения):

Ri cr = 0,5, (6.5.4) которое находится в хорошем согласии с оценкой Кантхи [Kantha, 2003a;

Cheng, Canuto and Howard, 2003]:

Ri cr = 0,52, (6.5.5) полученной из модели Ченга, Кануто и Ховарда [Cheng, Canuto and Howard, 2002] при ограничении [Kantha, 2003a;

Kantha, 2003b] 2b tur l 0,53 (6.5.6) N на масштаб длины l турбулентных вихрей. С другой стороны, решение Ченга, Кануто и Ховарда [Cheng, Canuto and Howard, 2002] есть (6.5.3), т.е.

Ri cr ~ 1.

Учитывая наименьшую переходную скорость диссипации энергии единицы массы tr = 10 N 2 (предложенную Греггом [Gregg, 1987]) для океанических стратифицированных вязких турбулентных потоков, мы получаем из соотношений (5.1.1b, 5.1.2) критическое градиентное число Ричардсона (для перехода из турбулентного в ламинарное (волновое) движение жидкости):

Ri cr = 0,75, (6.5.7) которое есть среднее от величин 1 и 0,5, данных оценками (6.5.1) и (6.5.4), соответственно. Оценка (6.5.7) находится в соответствии с указанием Банты, Пичугиной и Ньюсома [Banta, Pichugina and Newsom, 2003] об относительно высоких величинах турбулентной кинетической энергии при струйном числе Ричардсона Ri J 0,7, связанном с условиями “в течение события сдвиговой неустойчивости” в турбулентной струе в ночном устойчивом пограничном слое атмосферы.

Чтобы уменьшить бескомпромиссный антагонизм (см. исследования [Cheng, Canuto and Howard, 2003] с одной стороны и [Kantha, 2003a] - с другой стороны) между оценками (6.5.3) и (6.5.5), данными Ченгом, Кануто и Ховардом, а также Кантхой, соответственно, мы покажем сейчас, что оценки (6.5.3) и (6.5.5) могут быть рассмотрены как реалистичные неконфликтующие оценки для различных турбулентных анизотропных режимов, характеризуемых различными степенями "твердотельности" локального движения жидкости. Чтобы сделать это, перепишем условие опрокидывания (5.1.22), предполагая, что локальное движение жидкости не является состоянием твердого вращения, характеризуемого коэффициентом локальной "твердотельности" R = 2 (локального движения жидкости) в правой стороне условия опрокидывания (5.1.22).

Максимальный размер наибольших опрокидывающихся турбулентных вихрей в турбулентных стратифицированных потоках, генерированных гидродинамическими решетками, был определен Итсвейре, Хелландом и Ван Аттой [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] выражением (6.4.1.1), где скалярный фактор 2 представляет “простую модель твердотельного вращения для турбулентных вихрей” [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986].

Реальный максимальный размер наибольших опрокидывающихся турбулентных вихрей (масштаб длины Торпа lT ) дается выражением (6.4.1.3) “пока поток содержит некоторые опрокидывающиеся турбулентные масштабы и интенсивность поля внутренних волн остается малой” [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Учитывая отличие соотношения (6.4.1.3) от соотношения (6.4.1.1), основанного на "вращательной" модели турбулентных вихрей в твердом состоянии, мы можем заключить, что “простая модель твердотельного вращения для турбулентных вихрей” неприемлема для реальной стратифицированной турбулентности, генерированной решетками.

Учитывая (из физических соображений) эквивалентность коэффициента 2 в правой части условия опрокидывания (5.1.22) и фактора в соотношении (6.4.1.1), условие опрокидывания (5.1.22) может быть переписано (для деформируемых неравновесных вращений жидкой частицы ) следующим образом:

13 ik i (rc ) k (rc ) + jk e ij (rc )e ik (rc ) + s-r = r + s + s,r = coup 2 i,k =1 2 i, j,k = jm i (rc ) e km (rc ) Rgrc3, + (6.5.8) ijk i, j, k, m = где R - коэффициент локальной "твердотельности" (характеризуемый локальным движением жидкости), находящийся в соответствии с коэффициентом R в соотношении (6.4.1.3). Локальная структура кинетической энергии поля потока (скорости) содержится в наборе тензорных переменных i, e ij, ij, ij. Условие опрокидывания (5.2.1.8) может быть переписано (для деформируемых неравновесных жидких вращений в жидкой частице, рассматриваемой в двумерном стратифицированном параллельном сдвиговом потоке идеальной жидкости) в форме g (rc ) (x 3 ) dV (r ) X 3 Ri (rc ) = c,K Ri cr =, (x *3 )2 dV (6.5.9) 2R(rc ) v1 (rc ) X, K* которая дает критическое градиентное число Ричардсона Ricr для перехода из турбулентного в ламинарное (волновое) движение (малых двухмерных и трехмерных жидких частиц):

Ri cr = 1 / 2R (6.5.10) для коэффициента локальной "твердотельности" R, связанного с переходной величиной R от турбулентного в ламинарное (волновое) движение жидкости.

Рассматривая вращательные (в состоянии твердого вращения) локально равновесные переходные движения жидкости, характеризуемые коэффициентом локальной "твердотельности" R = 2, мы получаем из соотношения (6.5.10) классическое критическое градиентное число Ричардсона Ri cr =1 / 4 и затем мы получаем из соотношений (5.1.1) и (5.1.2) соответствующую критическую (переходную) скорость диссипации энергии единицы массы tr dis,cr = 30N [Gibson, 1980, 1981], которая находится в хорошем согласии с теоретической "вращательной" переходной скоростью диссипации энергии единицы массы rtr (L o ) = 32N 2 [Simonenko, 2004;

2005;

2006], характеризующей начало коллапса турбулентности и переход во внутренние гравитационные волны в равновесном вращательном термодинамическом режиме локального движения жидкости, связанного с критическим размером l cr = L o турбулентных вихрей.

Рассматривая деформируемые неравновесные переходные движения жидкости, характеризуемые коэффициентом локальной "твердотельности" R =1, мы получаем [Simonenko, 2005;

2006] из соотношения (6.5.10) критическое градиентное число Ричардсона Ri cr =1/ 2 (находящееся в соответствии с оценкой (6.5.5) Кантхи), и затем мы получаем из соотношений (5.1.1) и (5.1.2) соответствующую критическую (переходную) скорость диссипации энергии единицы массы tr = 15N (находящуюся в соответствии с обычно рассматриваемой [Gibson, 1987;

Hopfinger, 1987] наименьшей переходной скоростью диссипации энергии единицы массы 15N 2 для океанических стратифицированных вязких турбулентных потоков), которая находится в хорошем согласии с теоретической "сдвигово вращательной" переходной скоростью диссипации энергии единицы массы s r (L o ) =16N [Simonenko, 2004;

2005;

2006], находящейся в хорошем tr согласии с экспериментальной переходной скоростью диссипации энергии единицы массы exp = (15 ± 1.2) N 2 для малой решетки в лабораторных tr экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Это значит, что оценка Кантхи Ri cr = 0,52 находится в хорошем согласии с рассматриваемой обычно [Gibson, 1987;

Hopfinger, 1987] наименьшей (самой нижней) переходной скоростью диссипации энергии единицы массы 15N 2 (характеризуемой коэффициентами локальной "твердотельности" R 1 ) для океанических стратифицированных вязких турбулентных потоков. Коэффициент локальной "твердотельности" R =1 статистически соответствует подъему rc3 (данному соотношениям (5.2.1.6)) центров масс опрокидывающихся жидких частиц (связанных с опрокидывающимися турбулентными вихрями) в поле гравитации. Отметим, что коэффициент локальной "твердотельности" R = статистически связан с перестановкой положений геометрических центров G и центров масс C опрокидывающихся жидких частиц (так называемых “турбулентных опрокидываний в поле плотности” [Simonenko, 2004;

2005;

2006]), вызванных неравновесными деформируемыми локальными движениями жидкости.

Анализируя экспериментальную серию данных R 52 лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] в разделе 6.4, мы показали, что критическая скорость диссипации энергии единицы массы tr dis,cr = 15N 2, действительно, соответствует коэффициенту локальной "твердотельности" R = 1 (см. табл. 2 для серии данных R 52 ). Рассматривая неравновесное деформируемое турбулентное движение жидкости, характеризуемое коэффициентом локальной "твердотельности" R = 1, (см. табл. 2 для серии данных R 52 в разделе 6.4), соответствующим x = 25 вниз по потоку от решетки в начале безразмерному расстоянию M коллапса турбулентности, мы получаем из соотношения (6.5.10) переходное Ri cr = 0,4879 и соответствующую градиентное число Ричардсона (полученную из соотношений (5.1.1) и (5.1.2)) критическую скорость диссипации энергии единицы массы tr = 15,37 N, которая находится в хорошем согласии с критической скоростью диссипации энергии единицы массы tr = 15,316 N, представленной в восьмом столбце табл. 2 для x = 25 в серии данных R 52. Рассматривая неравновесное деформируемое M турбулентное движение жидкости, характеризуемое коэффициентом локальной "твердотельности" R = 1,0778 (см. табл. 2 для серии данных R в разделе 6.4), соответствующим безразмерному расстоянию x/M = 45 вниз по потоку от решетки, мы получаем из соотношения (6.5.10) критическое Ri cr = 0, градиентное число Ричардсона и соответствующую (полученную из соотношений (5.1.1) и (5.1.2)) критическую скорость диссипации энергии единицы массы tr = 16,167 N 2, которая находится в хорошем согласии с критической скоростью диссипации энергии единицы массы tr = 16,109 N 2, представленной в восьмом столбце табл. 2 для x/M = 45 в серии данных R 52. Следовательно, мы имеем диапазон Ri cr = 0,4639 0,4879 переходных градиентных чисел Ричардсона, x = 25 45 безразмерных расстояний вниз по соответствующих диапазону M потоку от решетки для серии данных R 52. Анализируя переход от турбулентного в ламинарные (волновые) движения жидкости в начале коллапса турбулентности для серий данных R 36 и R 37 (используя табл. 2 ), мы получаем из формулы (6.5.10) для серии данных R 36 диапазон Ri cr = 0,36 0,367 переходных градиентных чисел Ричардсона, x = 12 18 безразмерных расстояний вниз по соответствующих диапазону M потоку от решетки. Мы получаем из формулы (6.5.10) для серии данных R диапазон переходных градиентных чисел Ричардсона Ri cr = 0,387 0,44, x = 12 25 безразмерных расстояний вниз по соответствующих диапазону M потоку от решетки.

Используя среднее арифметическое значение R сr R сr = (1,0778 + 1,3879 + 1,1353) / 3 = 1,2003 (6.5.11) (находящиеся в соответствии с экспериментальным соотношением (6.4.1.3) и полученное из трех крайних переходных величин R cr коэффициентов локальной "твердотельности" R, соответствующих безразмерным x = 45,18, 25, соответственно, для серий данных R 52, R 36 и расстояниям M R 37 в табл. 2 раздела 6.4), мы получаем из соотношения (6.5.10) соответствующее среднее критическое градиентное число Ричардсона Ri cr = = 0,416. (6.5.12) 2R сr Затем мы получаем [Simonenko, 2005;

2006] из соотношений (5.1.1b, 5.1.2) Ri cr = 0, для соответствующую среднюю критическую скорость tr = 18N 2, которая находится в диссипации энергии единицы массы соответствии со средней величиной 18N средних критических скоростей tr = 15N 2 и tr = 21N 2 в диссипации энергии единицы массы экспериментальных диапазонах критических скоростей диссипации энергии единицы массы tr = (15 ± 1,2) N и tr = (21 ± 1,4) N для серий данных exp 2 exp R 52 и R 36, R 37, соответственно.

Рассматривая неравновесное сильно деформируемое турбулентное движение жидкости, характеризуемое коэффициентом локальной "твердотельности" R = 2 / 3, мы получаем [Simonenko, 2005;

2006] из соотношения (6.5.10) критическое градиентное число Ричардсона Ri cr = 0, и соответствующую (полученную из соотношений (5.1.1b, 5.1.2)) критическую скорость диссипации энергии единицы массы tr = 10N (предложенную Греггом [Gregg, 1987] для океанических стратифицированных вязких турбулентных потоков), которая находится в хорошем соответствии с линейной интерполяционной оценкой (для критической скорости диссипации энергии единицы массы tr, соответствующей коэффициенту локальной "твердотельности" R = 2 / 3 ):

(16,109 5,442) (2 / 3 0,3641) N 2 = 9,965N 2, tr = 5,442 N 2 + (6.5.13) (1,0778 0,3641) полученной (оценкой) из величин коэффициента локальной "твердотельности" R и критической скорости диссипации энергии единицы x массы tr для соответствующих безразмерных расстояний = 45, 60 (см.

M табл. 2 для серии данных R 52 в разделе 6.4) вниз по потоку от решетки в начале коллапса турбулентности в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Это значит, что критическая скорость диссипации энергии единицы массы tr = 10N 2 (предложенная Греггом [Gregg, 1987] для океанических стратифицированных вязких турбулентных потоков) соответствует критическому градиентному числу Ричардсона Ri cr = 0,75, которое есть средняя величина величин 1 и 0,5, данных оценками (6.5.1) и (6.5.4), соответственно.

Мы получаем [Simonenko, 2005;

2006] из соотношений (5.1.1b, 5.1.2) для оценки Кантхи Ri cr = 0,52 соответствующую критическую скорость диссипации энергии единицы массы tr = 14,42 N, которая находится в соответствии с теоретической переходной скоростью диссипации энергии единицы массы dis,cr (L o ) = 14,4 N 2, полученной в разделе 4.3 для максимальной величины = 0,2 [Smith, Zavialov and Moum, 1997] для большинства исследований океанической стратифицированной турбулентности и для максимального океанического опрокидывающегося масштаба длины L o [Набатов и Озмидов, 1992] турбулентных вихрей.

Таким образом, мы продемонстрировали, что критические градиентные числа Ричардсона для перехода из турбулентных в ламинарные движения жидкости различаются для разных гидродинамических режимов, характеризуемых разными коэффициентами локальной "твердотельности" R локального движения жидкости. Возможно, что этот вывод может уменьшить бескомпромиссный антагонизм между оценками (6.5.3) и (6.5.5) для критических градиентных чисел Ричардсона для перехода из турбулентных в ламинарные движения жидкости.

Глава ОБОСНОВАНИЕ СООТНОШЕНИЯ ЗАМЫКАНИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ СЛАБО АНИЗОТРОПНОЙ МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ЭНЕРГОСОДЕРЖАЩЕГО МАСШТАБА ДЛИНЫ l В НЕСЖИМАЕМОЙ ОДНОРОДНОЙ ВЯЗКОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ 7.1. Обобщенная частная формулировка закона больших чисел 7.1.1. Обобщение классической частной формулировки закона больших чисел Закон больших чисел в его классической формулировке [Гнеденко и Хинчин, 1961] нашел широкое применение в физике, в частности, при теоретическом анализе неравновесных процессов в классической неравновесной термодинамике [Prigogine, 1978;


Николис и Пригожин, 1990].

Классические формулировки [Гнеденко и Хинчин, 1961;

Колмогоров, 1974;

Николис и Пригожин, 1990] закона больших чисел не учитывают взаимной статистической коррелированности различных случайных величин в последовательности случайных величин x1, x 2,..., x n. В работах [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] дано обобщение классической частной формулировки [Гнеденко и Хинчин, 1961;

Колмогоров, 1974;

Николис и Пригожин, 1990] закона больших чисел с учетом взаимной статистической коррелированности различных случайных величин в последовательности случайных величин x1, х2,….,хn. В работе [Simonenko, 2006] намечено использование обобщения [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] классической частной формулировки закона больших чисел для теоретического статистического моделирования анизотропной мелкомасштабной турбулентности.

В этом разделе мы, следуя работам [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б], сформулируем установленное обобщение классической частной формулировки закона больших чисел, учитывающее взаимные коэффициенты корреляции между различными случайными величинами в счетной последовательности случайных величин x 1, x 2,...., x n, каждая из которых имеет одно и тоже среднее статистическое значение а. Мы докажем математическую теорему, которая формулирует достаточное условие (для взаимных коэффициентов корреляции), гарантирующее, что вероятность отклонения среднего арифметического случайных величин x 1, x 2,...., x n от а стремится к единице при n. Установленное обобщение использовано в разделе 7.2 для строгого математического обоснования соотношения замыкания для трехмерной слабо анизотропной мелкомасштабной турбулентности в несжимаемой вязкой ньютоновской однородной жидкости.

Cформулируем, следуя работе [Гнеденко и Хинчин, 1961], “простейший частный случай одной из самых основных теорем теории вероятностей, так называемого закона больших чисел, открытого в середине прошлого столетия великим русским математиком Чебышевым”. “Если случайные величины x1, х2,….,хn взаимно независимы и если все они имеют одно и тоже среднее значение а и одно и то же среднее квадратическое уклонение, то величина x 1 + x 2 +... + x n (7.1.1.1) n = n при достаточно большом n будет с вероятностью, как угодно близкой к единице (практически достоверно), как угодно мало отличаться от а ” [Гнеденко и Хинчин, 1961]. В работе [Гнеденко и Хинчин, 1961] отмечается “глубокое содержание этого замечательного закона”: “в то время как отдельная случайная величина может (как мы знаем) часто принимать значения, далекие от ее среднего значения (иметь значительное рассеяние), среднее арифметическое большого числа случайных величин ведет себя в этом отношении совершенно иначе: такая величина очень мало рассеяна, с подавляющей вероятностью она принимает лишь значения, очень близкие к ее среднему значению”.

Сформулируем обобщение [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] данной выше частной формулировки классического закона больших чисел [Гнеденко и Хинчин, 1961;

Колмогоров, 1974;

Николис и Пригожин, 1990].

Имеем неравенство Чебышева [Гнеденко и Хинчин, 1961;

Колмогоров, 1974] для оценки вероятности попадания случайной величины n в заданный диапазон n а при известной дисперсии ( n ) :

( n ) P{ n а } 1. (7.1.1.2) Рассмотрим в качестве n случайную величину, заданную формулой (7.1.1.1), в которой хi- случайная величина, соответствующая целому номеру i, I = 1, 2, …., n. Будем считать, что случайные величины x1, х2,…., хn попарно коррелированны с заданными коэффициентами корреляции (x i, x k ) между случайными величинами xi и хк:

(x i a )(x k a ) (x i, x k ) =, ik где черта означает математическое ожидание, i2 и 2 - дисперсии k случайных величин x i и x k, соответственно. Нас интересует вероятность попадания случайной величины n, определенной выражением (7.1.1.1), в заданный интервал n a, т.е. вероятность P{ n a }. (7.1.1.3) Эта вероятность дается выражением (7.1.1.2), в котором надо найти ( n ). Найдем дисперсию ( n ) для случайной величины n, заданной выражением (7.1.1.1) при условии наличия корреляций между случайными величинами хi и хк при i k. Имеем для случайной величины:

x=x + x2 + K + xn соответствующую ей дисперсию s [Simonenko, 2004;

Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б]:

(x i, x k ) i k.

n n s = i + 2 (7.1.1.4) i =1 i, k =1;

i k Выражение (7.1.1.4) при равных дисперсиях i перепишется в виде:

(x i, x k ).

n s = n 2 + (7.1.1.5) i, k =1;

i k Дисперсия 2 ( n ) случайной величины n = X / n дается формулой [Гнеденко и Хинчин, 1961]:

( n ) = 2 s, (7.1.1.6) n при получении которой не подразумевается, что случайные величины х1, х2,……, хn статистически независимы. Подставляя выражение 2 ( n ), данное формулой (7.1.1.6), в формулу (7.1.1.2), получим искомую оценку вероятности:

P{ n a } 1 2 s 2.

(7.1.1.7) n Подставляя выражение (7.1.1.5) для дисперсии s в правую часть неравенства (7.1.1.7), имеем обобщенное выражение для оценки вероятности:

2 2 n + 2 (x i, x k ) n P{ n а } 1, n i, k =1;

i k (7.1.1.8) учитывающее наличие корреляций между различными случайными величинами в последовательности случайных величин х1, х2,….., хn.

Таким образом, используя неравенство Чебышева (7.1.1.2), выражение (7.1.1.5) для дисперсии s случайной величины x = x1 + x 2 + K + x n, и формулу (7.1.1.6), мы получили обобщенную оценку (7.1.1.8) вероятности (7.1.1.3), учитывающую всевозможные взаимные корреляции между случайными величинами хi и хk при i k в последовательности случайных величин х1, х2,……, хn. Неравенство (7.1.1.8) дает обобщенную оценку вероятности, учитывающую наличие статистических корреляций между случайными величинами (х1, х2,…..,хn), которые заданы посредством ( ) взаимных коэффициентов корреляций x i, x k между случайными ( ) величинами xi и хk при i k. При x i, x k =0 для всех возможных сочетаний i и k (i k ) неравенство (7.1.1.8) переходит в классическое неравенство [Гнеденко и Хинчин, 1961]:

P{ n a } 1, (7.1.1.9) n из которого следует сформулированная во введении простейшая частная формулировка закона больших чисел [Гнеденко и Хинчин, 1961], т.е.

сходимость n a по вероятности при n среднего арифметического n случайных величин х1, х2,……, хn к среднему статистическому значению а каждой случайной величины х1, х2,……, хn.

Возникает естественный вопрос относительно того, при каких допустимых коэффициентах корреляции (x i, x k ) вероятность (7.1.1.3) события n а стремится к 1 при n для любого 0, т.е. имеет место сходимость n a по вероятности ( P{ n а } 1 ) при n для любого 0. На поставленный вопрос отвечает следующая теорема, формулирующая обобщенную частную формулировку закона больших чисел, учитывающую наличие ненулевых коэффициентов корреляций (x i, x k ) между различными случайными величинами xi и хk (i k ) в последовательности случайных величин.

Теорема, устанавливающая условия сходимости n a по вероятности среднего арифметического n случайных величин х1, х2,……, хn при наличии корреляций между различными случайными величинами.

Для того, чтобы при наличии корреляций между различными случайными величинами последовательности случайных величин х1, х2,……, хn имела место сходимость n a по вероятности:

P{ n а } при n для любого 0 достаточно, чтобы выполнялись следующие эквивалентные между собой условия для коэффициентов корреляций:

( ) n lim 2 x i, x k = 0 (7.1.1.10а) n n i, k =1;

i k или ( ) x i, x k = О(n 2 ), n (7.1.1.10б) i, k =1;

i k при n, где 0 ( строго больше 0).

Доказательство.

При наличии условий (7.1.1.10а) или (7.1.1.10б) правая часть неравенства (7.1.1.8) стремится к 1, поэтому имеем, используя неравенство (7.1.1.8), оценку:

( ) 2 n + 2 xi,x k P{ n a } 1, n n i, k =1;

i k 1 (7.1.1.11) из которой следует, что при n и выполнении условий (7.1.1.10а) или (7.1.1.10б) имеет место сходимость n a по вероятности P{ n a } 1 (7.1.1.12) при n для любого 0, что и требовалось доказать.

Будем считать сходимость n a по вероятности при n для любого 0 при наличии коэффициентов корреляции, удовлетворяющих условиям (7.1.1.10а-7.1.1.10б), выполнением обобщенного закона больших чисел. Таким образом, обобщенная формулировка закона больших чисел, сформулированная в виде теоремы, доказана. Обобщенная формулировка закона больших чисел обобщает частную классическую формулировку [Гнеденко и Хинчин, 1961].

7.1.2. Нарушение условий выполнимости обобщенного закона больших чисел Рассмотрим случайные величины х1, х2, ……, хn, изображенные на рис.

5, где условно изображена антикорреляция случайной величины х1 со случайными величинами х2, ……, хn. Отклонения случайных величин х1, х2, ……, хn от одного и того же среднего статистического значения a показаны условно на рис. 5. Под случайными величинами х1, х2, ……, хn в этой главе рассматриваются случайные макроскопические внутренние кинетические энергии K int, i [Simonenko, 2004;

2005;

2006] малых жидких кубов i, составляющих большой жидкий куб T в турбулентном поле скорости. Все случайные величины х1, х2,……, хn имеют одну и ту же дисперсию и нарисованы "разными" на рис. 5 только условно. При этом задаются следующие коэффициенты корреляции между случайными величинами х1, х2, ……, хn:

(x 1, x 2 ) = (x 1, x 3 ) =... = (x 1, x n ) = 1, ( )( ) () x 2, x 1 = x 3, x 1 =... = x n, x1 = 1, (7.1.2.1) (x, x ) =1, при любых k 1 и i 1.

i k Хотя у всех случайных величин х1, х2, ……, хn одно и тоже среднее статистическое значение a (математическое ожидание), но сходимость n a по вероятности случайной величины n = (x + x +... + x )/n к a, как 1 2 n это не странно с точки зрения банальных соображений, отсутствует при n. Основная причина связана с наличием корреляций между случайными величинами хi и хk при i k.

( ) n Чтобы показать это, вычислим сумму при заданных xi, xk i, k =1;


i k коэффициентах корреляции (7.1.2.1):

( ) n x i, x k = n 2 n 4n + 4. (7.1.2.2) i, k =1;

i k В результате имеем, что условие (7.1.1.10а) не выполнено и, следовательно, нет сходимости n a по вероятности при n для любого 0.

X X X Xn Рис. 5. Условное изображение антикорреляции случайной величины х со случайными величинами х2, ……, хn Рассмотренный пример показывает, что слишком большое количество сильных положительных корреляций между случайными величинами приводит к отсутствию сходимости n a по вероятности при n. Этот пример весьма показателен для практических приложений. Он показывает, что просто бесполезно для нахождения некоторого среднего параметра вычислять среднее арифметическое случайных величин х1, х2,……, хn, не исследовав между этими величинами статистические корреляции, которые также могут зависеть и от времени. С этим обстоятельством связана ошибочность прогнозов, которая “часто обусловлена тем, что их составители опираются на некий зафиксированный в прошлом базовый уровень” [Оуэн, 2003].

7.1.3. Условия сходимости n a по вероятности среднего арифметического n случайных величин х1, х2,……, хn относительно доли случайных величин с сильными положительными корреляциями Рассмотрим естественный вопрос относительно допустимой доли случайных величин с положительными сильными корреляциями, при которой выполнено условие (7.1.1.10а), достаточное для сходимости n a по вероятности при n. Для рассмотрения поставленного вопроса (для n=2k+1, где k - любое целое положительное) будем считать, что число больше, чем на целое число p = n n "верхних" случайных величин n (0 1), а число "нижних" случайных величин меньше, чем 2 + 1 на целое число p = n (0 1), как это изображено на рис. 6. Для взаимных сочетаний только "верхних" и только "нижних" случайных величин взаимные коэффициенты корреляции равны 1, а для сочетаний "верхних" и "нижних" случайных величин взаимные коэффициенты корреляции равны 1.

n 2 + p n 2 +1 p n Рис. 6. Условное изображение антикорреляции + p "верхних" n случайных величин с + 1 p "нижними" случайными величинами Имеем при n=2k+1 (k- целое положительное число) выражение для суммы:

( ) = 2 + 4 p2 4p, n n (7.1.3.1) xi, xk i, k =1;

i k которое при p=0 и p=1 равно 2. Наличие при n=2k+1 двух возможных n значений p=0 и p=1 очевидно: "верхние" и "нижние" случайные величины введены условно, смысл не изменится, если их поменять местами. Используя формулу (7.1.1.5), имеем выражение (при n=2k+1) для дисперсии s n случайной величины x = x1 + x 2 + K + x n (у которой m= + p "верхних" n случайных величин х1,…,хm антикоррелируют с n-m= + 1 p "нижними" случайными величинами хm+1,…,хn):

2 n s = n + 4p 4p 2. (7.1.3.2) 2 При p=0 и p=1 (т.е., когда, соответственно, число "верхних" случайных величин х1,…,хm меньше либо больше на одну, чем число "нижних" случайных величин хm+1,…,хn ) выражение (7.1.3.2) имеет минимальное значение (n=2k+1):

s = n + ( 2[n / 2] ). (7.1.3.3) 2 Когда n=2k (k- целое положительное число) и число m=[n / 2] + p "верхних" случайных величин х1,…,хm больше на 2p, чем число [n / 2] p "нижних" случайных величин хm+1,…,хn, имеем выражение 2 + 4 p2 суммы n ( ) n и соответствующую дисперсию s случайной величины xi,x k i, k =1;

i k x=x + x2 + K + xn :

( ) s = n + 4p 2[n / 2], (7.1.3.4) 2 2 которая при p=0 принимает минимальное значение, данное формулой (7.1.3.3). Таким образом, формула (7.1.3.3) дает минимальное значение дисперсии s2 случайной величины x = x1 + x 2 + K + x n при произвольном n (n=2k и n =2k +1).

При n=2 получаем из формулы (7.1.3.3) результат s = 0, который был ранее получен в работе [Кумэ, 1990]. При n=3 из формулы (7.1.3.3) следует результат s = 2 [Simonenko, 2005;

Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б].

В общем случае из формулы (7.1.3.3) следует, что s2 = 0 при n=2k и s2 = при n=2k+1.

Можно показать, что когда из n случайных величин (при n ) только конечное число p 0 отличает "верхние" случайные величины, которые антикоррелируют c "нижними" случайными величинами (см. рис. 6), то условие (7.1.1.10а) выполняется при любом n и, следовательно, имеет место сходимость n a по вероятности при n. Когда p = n (0 1) при n, то условие (7.1.1.10а) не выполняется для 0, и, следовательно, нет и сходимости n a по вероятности при n. Также легко показывается при любом n отсутствие сходимости n a по вероятности при n, когда р на конечное число меньше, чем количество n всех случайных величин.

Наконец, при p = n легко показывается, что в этом случае имеет место сходимость n a по вероятности при n для любого и 0 1.

7.2. Моделирование затухания трехмерной слабо анизотропной мелкомасштабной турбулентности в несжимаемой вязкой ньютоновской однородной жидкости Обобщение частной формулировки закона больших чисел позволяет обосновать соотношение замыкания для трехмерной слабо анизотропной мелкомасштабной турбулентности с размером l энергосодержащих турбулентных вихрей и показать, что экспериментально установленная [Хинце, 1963] универсальная временная зависимость микромасштаба диссипации Тейлора g на конечной (вязкой) стадии затухания турбулентности (ранее обоснованная теоретически для изотропной однородной турбулентности [Хинце, 1963]) может быть обоснована теоретически и для слабо анизотропной турбулентности, которая характерна для реальных условий [Simonenko, 2005, 2006].

Будем рассматривать разложение Тейлора локального поля скорости v (r ) в окрестности радиус-вектора rc центра масс C каждого малого жидкого куба размера l как случайные функции [Колмогоров, 1941] детерминированных пространственных ( r ) и случайных тензорных переменных ( e jk и ):

1 3 2 vi v (rc + r ) = v (rc ) + (rc ) r + e ij (rc )rj µ i + rjrk µi + v res, 2 i, j,k=1X j X k i, j= (7.2.1) где r = r rc, [ v ] - локальная угловая скорость вращения жидкого элемента, v (r ) [ v ] - завихренность, e jk - тензор скоростей деформаций, µ1,µ 2,µ 3 - единичная нормальная координатная триада векторов, образующих базис декартовой системы координат, v res - малая остаточная часть. Воспользуемся обобщенной формулой [Simonenko, 2004;

Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006] для макроскопической кинетической энергии единицы массы k :

1 13 k = Vc2 + ik i k + jk e ije ik + ijk jm i e km + res, (7.2.2) 2 i,k =1 2 i, j,k= 2 i, j,k,m= где r = ik i k - классическая макроскопическая внутренняя вращательная кинетическая энергии единицы массы [de Groot and Mazur, 1962], s = jk e ije ik - макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы [Simonenko, 2004;

Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006], coup = ijk jm i e km - макроскопическая внутренняя кинетическая энергия s,r сдвигово-вращательного сцепления единицы массы [Simonenko, 2004;

Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006], Vc - скорость центра масс, ik - тензор инерции единицы массы жидкой частицы, ik - центробежный тензор инерции единицы массы жидкой частицы, res = o (d ) - малый остаточный член, d - диаметр жидкой частицы, ijk - кососимметричный символ Кронекера.

Разделим все пространство, занятое мелкомасштабной анизотропной турбулентностью, характеризуемой размером энергосодержащих l турбулентных вихрей, на счетное число правильных кубов с длиной ребра и рассмотрим статистический ансамбль мелкомасштабных жидких l турбулентных вихрей размера l, занимающих разбиение всего пространства.

Будем рассматривать макроскопическую внутреннюю кинетическую энергию единицы массы int ( i ) каждого однородного жидкого куба i с длиной ребра l [Simonenko, 2004;

Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006]:

1 int ( i ) = r ( i ) + s ( i ) = l 2 2 + l 2 e jk e jk, (7.2.3) 12 как случайную переменную для каждого жидкого куба i поскольку и e jk - случайные величины. Для рассматриваемого большого куба T с длиной ребра L имеем значение N = ( L /l ) 3 статистически зависимых случайных величин int (1 ),..., int ( N ) в каждом кубе с длиной ребра l. Предполагая, что коэффициенты корреляции (x i, x k ) между случайными величинами xi= int ( i ) и хк= int ( k ) удовлетворяют условию (7.1.1.10а), имеем в силу доказанной теоремы сходимость по вероятности случайной величины int,T = ( int ( 1 ) +... + int ( N ))/N, представляющей собой пространственное среднее (по кубу T с длиной ребра L ) значение N = ( L /l ) 3 статистически зависимых случайных величин int ( i ), характеризуемых одними и теми же статистическими средними значениями int и дисперсиями 2. Величина пространственного среднего значения int,T сходится по вероятности при N к статистическому среднему значению int при выполнении условия (7.1.1.10а) для любых частных законов распределения.

Рассматривая статистическое усреднение кинетической энергии int ( i ), данной выражением (7.2.3) и используя соотношение dis = 2 (e jk e jk ) (Ландау и Лифшиц, 1988) для вязкой несжимаемой жидкости с коэффициентом кинематической вязкости, а также определение [Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006] коэффициента n e = s / r локальной термодинамической неравновесности, получим соотношение замыкания для трехмерной анизотропной мелкомасштабной турбулентности с размером l энергосодержащих турбулентных вихрей b tur int int = s + r / n e = l dis (1+1/ n e ), (7.2.4) где dis - средняя диссипация кинетической энергии в единице массы, b tur турбулентная кинетическая энергия единицы массы, эквивалентная [Simonenko, 2004;

Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006] средней макроскопической внутренней кинетической энергии единицы массы int.

Рассматривая свободно затухающую трехмерную анизотропную (1+ 4 ) мелкомасштабную турбулентность с размером l (, ) = ( dis ) -3 lo энергосодержащих турбулентных вихрей (характеризуемым двумя безразмерными параметрами и и размерным параметром lo для однородной несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости), получим, интегрируя уравнение эволюции [Simonenko, 2004;

Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006] турбулентной кинетической энергии единицы массы b tur :

1 l dis (1 + 1/n e ) =- dis, b tur = (7.2.5) t t аналитические выражения для dis (t) и b tur (t ) :

1/ ( ) 96 6 +1n e dis (t) = dis (t o ) 2(1+ 4 ) (t t o ), (7.2.6) (2 + 1)(n e + 1) lo 2 + ( ) 2( 1+ 4 ) 6 + (n e + 1) l 96 n e 2 b tur (t) = dis (t o ) 2(1+4 ) (t t o ) o, (7.2.7) 6 + (2 + 1)(n e + 1) 48n e lo где dis ( t o ) - начальное значение dis ( t) при t = t o.

Используя асимптотики выражений (7.2.6, 7.2.7) при t t o, получим, что трехмерная анизотропная мелкомасштабная турбулентность с размером l (, ) = ( dis ) -3 lo (1+ 4 ) энергосодержащих турбулентных вихрей описывает гидродинамический режим вязкого затухания, характеризуемый степенью n = (2 + 1)/(2 ) в асимптотическом степенном законе затухания b tur (t t o ) n. Имеем экспериментальный диапазон степеней 5 / 2 n 1 [Хинце, 1963] для диапазона 1 / 7 1 / 4 параметра. Значения = 1 и = 1 / 4 дают внутренний масштаб Колмогорова L k : l (1, 1/4) = L k [Колмогоров, 1941].

Используя соотношение (4.1.4.9) для микромасштаба диссипации [Хинце, 1963] Тейлора g и асимптотики выражений (7.2.6) и (7.2.7), соответствующие t t o и значению = 1 / 7, получим для любых, n e и lo универсальную зависимость g = 4 ( t - t o ), которая наблюдается в лабораторных экспериментах [Хинце, 1963] по затуханию турбулентности на конечной (вязкой) стадии затухания.

Таким образом, используя обобщенную частную формулировку закона больших чисел, мы обосновали соотношение замыкания (7.2.4) для трехмерной анизотропной мелкомасштабной турбулентности и показали, что экспериментально наблюдаемая универсальная временная зависимость g = 4 ( t - t o ) микромасштаба диссипации Тейлора g на конечной (вязкой) стадии затухания турбулентности может быть обоснована для целого ряда режимов анизотропной турбулентности, характеризуемых произвольным коэффициентом локальной термодинамической неравновесности n e и любыми параметрами и lo, описывающими размер l (,-1/7) = ( dis ) -1/7 (lo ) 3/7 энергосодержащих турбулентных вихрей на конечной (вязкой) стадии затухания анизотропной турбулентности.

Полученный результат представляет практический интерес с учетом того, что турбулентность на заключительной стадии вязкого затухания является существенно анизотропной [Хинце, 1963].

Таким образом, в главе 7 сформулировано и доказано в виде теоремы обобщение классической частной формулировки [Гнеденко и Хинчин, 1961;

Колмогоров, 1974;

Николис и Пригожин, 1990] закона больших чисел, учитывающее наличие корреляций между различными случайными величинами в последовательности случайных величин х1, х2,…..,хn. В терминах коэффициентов корреляции получены достаточные условия (7.1.1.10а-7.1.1.10б) выполнимости обобщенного частного закона больших чисел. В качестве случайных величин х1, х2,…..,хn для использования обобщенной классической частной формулировки закона больших чисел [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] рассмотрены случайные макроскопические внутренние кинетические энергии K int,i малых жидких кубов i, составляющих большой жидкий куб T в турбулентном поле скорости. Использование соотношения замыкания (7.2.4) для трехмерной анизотропной мелкомасштабной турбулентности (при необходимости) дает возможность строгого обобщения результатов работ по вычислению критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в анизотропной стратифицированной турбулентности [Simonenko, 2005;

Simonenko, 2006], представленных в разделе 6.4.

Глава ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО СООТНОШЕНИЯ ГИББСА ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СДВИГОВЫХ СОСТОЯНИЙ.

ОБОБЩЕННОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВА ЭНТРОПИИ ДЛЯ МЕЛКОМАСШТАБНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 8.1. Классическое соотношение Гиббса и второй закон термодинамики “Второй закон термодинамики играл фундаментальную роль в истории науки” [Prigogine, 1977] с тех пор как он был сформулирован Клаузиусом [Clausius, 1864, 1865] для изолированных термодинамических систем. Клас сическая формулировка Клаузиуса второго закона термодинамики рассмат ривала изолированные термодинамические системы “не обменивающиеся ни энергией, ни материей с внешним миром” [Prigogine, 1977]. Классическая формулировка Клаузиуса второго закона термодинамики устанавливала су ществование функции состояния термодинамической системы, энтропии S [Prigogine, 1977], “которая увеличивается монотонно до тех пор как она дос тигает своего максимума в состоянии термодинамического равновесия, dS 0 ”. (8.1.1) dt Классическая формулировка Клаузиуса второго закона термодинамики расширена на незамкнутые термодинамические системы [Prigogine, 1945;

Prigogine, 1977;

de Groot and Mazur, 1962, Gyarmaty, 1970;

Nicolis and Prigo gine, 1989], обменивающиеся массой и энергией через границы системы.

Дифференциал изменения энтропии dS представлен [Prigogine, 1945;

Prigogine, 1977;

de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmaty, 1970;

Nicolis and Prigogine, 1989] как сумма двух членов dS = d eS + d iS, (8.1.2) где d eS - бесконечно малый поток энтропии через границу системы, d iS бесконечно малое производство энтропии внутри термодинамической систе мы.

Согласно классической формулировке [Clausius, 1864, 1865;

Prigogine, 1945;

Prigogine, 1977;

de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmaty, 1970;

Nicolis and Prigogine, 1989] второго закона термодинамики производство энтропии внут ри термодинамической системы d iS положительно для необратимых процес сов и ноль для обратимых процессов, что выражает фундаментальное отли чие [Planck, 1930] между необратимыми и обратимыми процессами. Класси ческая формулировка второго закона термодинамики предполагает, что толь ко необратимые процессы (такие, как теплопроводность, диффузия, вязкая диссипация, химические реакции...) приводят к производству энтропии d iS 0 (8.1.3) внутри системы, в то время как обратимые процессы не вносят вклада в про изводство энтропии [Prigogine, 1977]. Таким образом, классическая форму лировка второго закона термодинамики для незамкнутых систем формулиру ет существование функции состояния термодинамической системы, энтропии S, которая только для изолированной системы увеличивается монотонно до ее максимальной величины в состоянии термодинамического равновесия [Prigogine, 1977].

Используя выражение Клаузиуса [Clausius, 1864, 1865]:

dQ dS =, (8.1.4) T Гиббс вывел термодинамическое соотношение [Gibbs, 1873] для обратимых процессов:

dU = TdS - pdV (8.1.5) из первого закона термодинамики:

dU = dQ - dW (8.1.6) при дифференциальных условиях:

dW = pdV (8.1.7) для дифференциальной работы dW, произведенной термодинамической сис темой над внешним миром. Здесь U - классическая внутренняя тепловая энергия термодинамической системы, V - объем термодинамической сис темы, p и T - равновесное термодинамическое давление и абсолютная тем пература, соответственно, выраженные классическими соотношениями [Gibbs, 1873;

de Groot and Mazur, 1962]:

U U p =-,T =. (8.1.8) V S S V Расширение соотношения Гиббса (8.1.5) на неравновесные процессы было достигнуто “предполагая, что даже вне равновесия энтропия зависит только от тех же самых переменных как в равновесии” [Prigogine, 1977] в со ответствии с предположением локального термодинамического равновесия.

Предположение локального термодинамического равновесия не принимает в расчет фундаментальное “различие между обратимыми и необратимыми процессами” [Prigogine, 1977], отмеченное ранее Планком [Planck, 1930].

Достоверность этого предположения ранее широко обсуждалось [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmaty, 1970;

Evans, Hanley and Hess, 1984;

Simonenko, 2004;

2005;

2006]. Было отмечено [de Groot and Mazur, 1962], в частности, что предположение локального термодинамического равновесия может быть подтверждено только разумным соответствием экспериментальных результа тов теоретическим выводам, основанным на этом предположении.

8.2. Классическое выражение для производства энтропии в вязкой ньютоновской жидкости Хотя предположение локального термодинамического равновесия не учитывает фундаментальное различие между обратимыми и необратимыми процессами, это предположение рассматривалось [de Groot and Mazur, 1962;

Gyarmaty, 1970] как фундаментальный постулат классической неравновес ной термодинамики для вывода производства энтропии в неравновесных со стояниях движения жидкости. Используя классическое соотношение Гиббса для дифференциала ds энтропии единицы массы s :

du = Tds - pd (8.2.1) и первый закон термодинамики [de Groot and Mazur, 1962] для полной про du изводной, следующий жидкому веществу (внутренней тепловой энергии dt единицы массы u ):

d du dq p - П : Grad v = (8.2.2) dt dt dt как начальные постулаты для однокомпонентной жидкости без химических реакций, любой может получить классическое выражение [de Groot and Ma zur, 1962]:

ds 1 dq П : Grad v /T = (8.2.3) dt T dt ds для производства энтропии в единице массы и за единицу времени для dt малого жидкого элемента, т.е. для жидкой частицы физически бесконечно d малого (макродифференциального размера. Здесь - полная производная, dt следующая жидкому веществу, = 1 / - объем единицы массы, П - вязкий тензор напряжений. Дифференциальное изменение тепла единицы массы dq, связанное с тепловой (молекулярной) проводимостью тепла, описывается уравнением теплопроводности [de Groot and Mazur, 1962]:

dq = div J q, (8.2.4) dt где J q - поток тепла.

Используя модель сжимаемой вязкой ньютоновской жидкости, харак теризуемой коэффициентами кинематической вязкости и объемной вязко сти v / с соответствующим тензором вязких напряжений П, характери зуемым компонентами [Gyarmati, 1970] 2 П ij = = - v div v ij -2e ij, (8.2.5) 3 мы можем получить из соотношения (8.2.3) выражение для производства эн тропии за единицу времени в единице массы:



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.