авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный экономический университет ...»

-- [ Страница 6 ] --

1 ds 1 dq (div v ), + 2 (e ij ) 2 + = (8.2.6) T dt T dt T где dq - дифференциал внешнего тепла d e q (т.e., dq = dq e d e q ), сумма второго и третьего членов справа в соотношении (8.2.6) связана с "внутрен ним" теплом:

dq i = 2 (e ij ) 2 dt + (div v ) dt, (8.2.7) вызванным в течение времени dt вязко-сдвиговой необратимостью:

dq i,s = 2 (e ij ) 2 dt, (8.2.8) и вязко-сжимаемой необратимостью:

dq i,c = (div v ) dt, (8.2.9) соответственно. Ясно, что соотношение (8.2.6) может быть переписано в классической форме (8.1.2), взятой для единицы массы:

ds = d e s + d i s, (8.2.10) где d e s = dq e (8.2.11) T есть производство энтропии, связанное с бесконечно малым изменением внешнего тепла d e q через границу жидкого элемента в соответствии с клас сическим соотношением Клаузиуса (8.1.4), 1 d i s = dq i = dq i,s + dq i,c (8.2.12) T T T есть производство энтропии в единице массы внутри жидкого элемента вследствие необратимого влияния сдвига скорости и сжимаемости. Второй член ds i в полученном соотношении (8.2.10) находится в согласии с класси ческим подходом Больцмана, который идентифицирует энтропию с молеку лярным хаосом [Prigogine, 1980].

8.3. Обобщение классического соотношения Гиббса для неравновесных сдвиговых состояний движения жидкости Хотя большинство потоков, встречающихся в нашем окружении, сдви говые и, следовательно, они не могут быть рассмотрены в состоянии локаль ного термодинамического равновесия (вследствие наличия тензора скоростей деформаций e ij 0 ), соотношение (8.2.6) широко используется в океаногра фических и метеорологических исследованиях для расчета производства эн тропии, основываясь на экспериментальных океанских и атмосферных сери ях данных [Gregg, 1983;

Pauluis and Held, 2002]. Уместный вопрос может быть рассмотрен в этой связи: что является реальным основанием для ис пользования предположения локального термодинамического равновесия для реальных физических неравновесных систем, будь то в атмосфере или в океане. Было принято [de Groot and Mazur, 1962], например, что для нерав новесной системы существуют малые жидкие частицы (элементы массы), ко торые могут существовать в состоянии локального термодинамического рав новесия. Это предположение может быть верно, если малая жидкая частица может быть рассмотрена как изолированная неравновесная подсистема, мо нотонно эволюционирующая к равновесному недеформируемому состоянию, которое представляет аттрактор (характеризуемый максимумом энтропии [Planck, 1930;

Prigogine, 1977]) для всех неравновесных состояний изолиро ванной термодинамической системы. Однако, индивидуальные материально инвариантные жидкие частицы, рассматриваемые, например, в турбулентных потоках, подвержены вязкости, гравитации и силам плавучести и, следова тельно, не могут быть рассматриваемы как изолированные термодинамиче ские подсистемы.

Выведенное [Simonenko, 2004;

2005;

2006] в главе 2 аналитическое выражение (2.16) для макроскопической кинетической энергии k (малой макроскопической жидкой частицы ) может быть рассмотрено [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для обоснования обобщения [Evans, Hanley and Hess, 1984] классической формулировки (8.1.6) первого закона термодинамики для неравновесных деформационных (деформируемых) состояний dE = dQ - dW + de, (8.3.1) где e - скорость деформаций двумерного сдвигового потока, E - внутрен няя энергия, - термодинамический потенциал сдвига скорости. С другой стороны, установленное аналитическое выражение (2.16) ставит вопрос о достоверности распространения классического соотношения Гиббса (8.1.5) (полученного из классической формулировки (8.1.6) первого закона термо динамики) на неравновесные состояния.

Было отмечено ранее [Prigogine, 1980], что классический подход Больцмана предлагает идентифицировать энтропию с молекулярным беспо рядком. Применение соотношения Гиббса (8.1.5) для малой неравновесной несжимаемой ( dV = 0 ) жидкой частицы показывает, что увеличение энтро пии dS связано с увеличением внутренней тепловой энергии dU = TdS моле кулярного беспорядка. Мы видим, что энтропия в классическом соотношении Гиббса (8.1.5) для несжимаемой системы ( dV = 0 ) связана с молекулярным беспорядком в соответствии с классическим подходом Больцмана. Однако, анализируя активную, конструктивную роль необратимых процессов [Prigo gine, 1980], Пригожин заключил, что “отождествление энтропии с молеку лярным беспорядком может содержать только одну часть истины, если, как я настаиваю думать, необратимые процессы были наделены этой конструктив ной ролью, которую я никогда не перестану приписывать им”. Позднее было показано [Prigogine and Stengers, 1984;

Nicolis and Prigogine, 1989], что необ ратимые процессы играют конструктивную роль далеко от равновесия, т.е.

неравновесные состояния могут создавать порядок, ассоциируемый с “новым типом динамических состояний” [Prigogine, 1977], которые были названы [Prigogine, 1977;

Prigogine and Stengers, 1984;

Nicolis and Prigogine, 1989] как диссипативные структуры.

Было установлено [Simonenko, 2004] в разделе 2.3 главы 2, что макро скопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия единицы массы (для однородной жидкой сферы или куба) s = (e ij ) 2 пропорциональна скоро сти диссипации кинетической энергии (в единице массы) dis = 2 (e ij ) 2 в не сжимаемой вязкой ньютоновской жидкости. Было показано в разделе 6.2 гла вы 6, что пропорциональность s dis (для малых однородных жидких ку бов) может быть рассмотрена как физическая основа заметной связи между структурой (и связанной макроскопической кинетической энергией), с одной стороны, и необратимой диссипацией, с другой стороны, для локальных дис сипативных структур в вязких ньютоновских жидкостях. Вязкая диссипация обычно рассматривалась как источник потерь (бесполезной траты кинетиче ской энергии) или энергетических потерь. Однако вдалеке от равновесия вяз кая диссипация становится источником порядка, связанного с высокочастот ными внутренними гравитационными волнами, генерируемыми затухающей турбулентностью [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Принимая во внима ние, что макроскопическая внутренняя сдвиговая кинетическая энергия еди ницы массы s = (e ij ) 2 характеризует силу неравновесного состояния (или силу неравновесности), мы можем предположить, что энергия s = (e ij ) (связанная с локальной неравновесной деформацией) играет конструктивную роль для диссипативных структур турбулентности. Результаты детального анализа (проделанного в разделе 6.4 главы 6) процессов турбулентно волнового перехода показали, что разрушение "ориентационной" изотропии в начале коллапса турбулентности сопровождалось увеличением относитель ной роли средней макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s по отношению к средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r.

Твердотельное недеформированное макроскопическое вращательное равновесное состояние жидкой частицы, характеризуемое постоянной уг ловой скоростью внутреннего вращения и максимальной энтропией (и ну левым производством энтропии) есть аттрактор для всех неравновесных со стояний в соответствии с предположением Планка [Planck, 1930]. Следова тельно, сдвиговые деформируемые диссипативные состояния до равновесно го состояния характеризуются положительным производством энтропии и соответствующей энтропией, которая меньше, чем в равновесном состоянии.

Следовательно, мы можем заключить, что вынужденные отклонения (вы званные внешними силами) от локальных твердотельных равновесных со стояний движения жидкости (которые могут быть рассмотрены как локаль ные диссипативные структуры в соответствии с предложенной терминологи ей [Prigogine, 1977;

Prigogine and Stengers, 1984;

Nicolis and Prigogine, 1989]) связаны с локальным уменьшением энтропии в деформируемых жидких час тицах. Это значит, что сдвиговые деформируемые диссипативные состояния действительно наделены конструктивной, созидающей ролью [Prigogine, 1977;

Prigogine and Stengers, 1984;

Nicolis and Prigogine, 1989], связанной с созданием когерентного макроскопического движения супермолекулярного характера. Мы видим, что отклонения от твердотельных вращательных со стояний локального движения жидкости могут спонтанно уменьшить энтро пию малой жидкой частицы в результате создания диссипативных структур в локальном поле скорости. Важность сдвига скорости (и соответствующей средней макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s ) по отношению к внутренним вращениям (и соответст вующей средней макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии единицы массы r ) показана в разделе 7.3.3 для процессов турбу лентно-волнового перехода [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Мы можем предположить, что рассмотренные процессы турбулентно-волнового перехо да [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] были связаны с локальным (времен ным) уменьшением энтропии в начале коллапса турбулентности. Учитывая подтверждение вывода [Evans, Hanley and Hess, 1984] о преобладающем влиянии локальных деформаций по сравнению с локальными вращениями для рассмотренных (в разделе 6.4 главы 6) процессов турбулентно-волнового перехода, мы можем предположить, что энтропия уменьшалась в начале рас смотренных процессов турбулентно-волнового перехода [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986].

Мы имеем из соотношения (8.2.10-8.2.12) следующее выражение для производства энтропии в единице массы сжимаемой вязкой ньютоновской жидкости:

1 1 1 ds = d e s + d i s = dq e + dq i = dq e + dq i,s + dq i,c, (8.3.2) T T T T T где dq e - внешнее тепло для жидкого элемента вследствие молекулярной проводимости тепла (теплопроводности), dq i,s = 2 (e ij ) 2 dt - внутреннее тепло (нагревание) в течение интервала времени dt вследствие необратимой (вы званной сдвигом) трансформации макроскопической кинетической энергии во внутреннюю тепловую энергию молекулярного хаоса, dq i,c = (div v ) dt - внутренне нагревание в течение интервала вре мени dt вследствие необратимой сдвигово-сжимаемой трансформации мак роскопической кинетической энергии во внутреннюю тепловую энергию мо лекулярного хаоса. Знак выражения ds i = dq i / T всегда положительный в ре зультате необратимой трансформации макроскопической кинетической энер гии во внутреннюю тепловую энергию, связанную с молекулярным хаосом.

Обратимое изменение ds e = dq e / T в выражении (8.3.2) связано с потоком dq e внешнего тепла через поверхность жидкого элемента.

Формула (8.3.2) не выражает конструктивную роль сдвиговой необра тимости, она только констатирует, что изменение энтропии единицы массы ds есть сумма необратимого изменения ds i (вследствие необратимой транс формации макроскопической кинетической энергии в тепло внутри жидкого элемента) и обратимого изменения ds e = dq e / T вследствие обратимого обме на теплом через поверхность жидкого элемента. Следовательно, изменение энтропии единицы массы ds связано с суммарным изменением тепловой внутренней энергии молекулярного хаоса в соответствии с классическим подходом Больцмана. Однако, принимая во внимание рассмотренные аргу менты Пригожина [Prigogine, 1980], мы можем предположить существование дополнительного "сдвигового" аспекта изменения энтропии, связанного с из менением деформационного (сдвигового) состояния жидкого элемента в тер минах дифференциального изменения de ij внутри жидкого элемента в тече ние бесконечно малого интервала времени dt.

Мы ограничим теперь рассмотрение несжимаемыми жидкостями. При нимая во внимание установленную [Simonenko, 2004] пропорциональность s dis для малых однородных жидких кубов, которыми можно полностью заполнить все эвклидово пространство, мы можем заключить, что превраще ние макроскопической кинетической энергии во внутреннюю тепловую энер гию имеет место вследствие необратимой диссипации макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии K s (единицы массы s ) посред ством сил вязкости. Дифференциальное изменение ds для единицы массы несжимаемой жидкости может быть рассмотрено в классической форме ds = d e s + d i s, (8.3.3) где di s - необратимое производство энтропии в результате вызванных сдви гом (e ij 0 ), необратимых потерь макроскопической кинетической энергии в жидком элементе единицы массы, d e s = dq e / T - изменение энтропии в ре зультате обратимого обмена теплом через поверхность жидкого элемента.

Отметим, что дифференциальное изменение d s может быть вызвано не только необратимой диссипацией (вследствие установленной [Simonenko, 2004] пропорциональности s dis ), но также и посредством обратимых трансформаций энергий ( s r, s coup ), например, в течение процессов s,r турбулентно-волновой трансформации. Дифференциальное изменение d s (для жидкого элемента) может быть разложено (аналогично выражению (8.

23)) следующим образом:

d s = d i s + d e s, (8.3.4) где d i s - необратимые потери s (т.e., d i s 0 ) вследствие вызванной сдви гом вязкой диссипации, d e s - обратимое изменение s вследствие обрати мых трансформаций энергий ( s r, s coup ), связанных с различными s,r другими факторами, такими как гравитационные и электромагнитные поля в средах, проводящих электрический ток. Член d e s может быть положитель ным и отрицательным, т.е. дифференциальное изменение d e s может как увеличивать, так и уменьшать энтропию жидкого элемента. Мы видим, что если суммарный дифференциал d s в выражении (8.3.4) положительный ( d s 0 ), тогда это приводит к уменьшению энтропии ( ds 0 ) жидкого эле мента, поскольку мы имеем энтропию для неравновесных состояний (опре деляемых условием d s 0 ), которая меньше, чем энтропия в равновесном состоянии [Planck, 1930;

Ландау и Лифшиц, 1976;

Prigogine, 1977]. Это объ ясняет сдвиговый аспект бесконечно малого изменения энтропии, связанного с бесконечно малым изменением деформационного состояния, описываемого в терминах дифференциального изменения de ij тензора скоростей деформа ций e ij в течение дифференциального времени dt. Поскольку жидкий эле мент деформируется посредством внешних сил (давления, вязких и гравита ционных сил), дифференциальное изменение энтропии, связанное с диффе ренциальным изменением деформационного состояния, может быть ассоции ровано с членом d e s в соотношении (8.3.3).

Чтобы учесть дифференциальное изменение деформационного состоя ния ( de ij 0 ) жидкого элемента, мы должны расширить классическое соот ношение (8.3.2), полученное из классического соотношения Гиббса (8.1.5), для нестационарных состояний. Чтобы сделать, это мы должны расширить классическое соотношение Гиббса (8.1.5) на деформируемые неравновесные состояния (жидкого элемента) в рамках феноменологического макроскопиче ского подхода классической неравновесной термодинамики. Учитывая, что соотношение Гиббса (8.1.5) было использовано для описаний неравновесных состояний (в предположении локального термодинамического равновесия), мы расширим сейчас классическое соотношение Гиббса (8.1.5) на неравно весные сдвиговые состояния, не используя предположение локального тер модинамического равновесия e ij = 0 [Evans, Hanley and Hess, 1984], которое эквивалентно условиям s = 0 и coup = 0 [Simonenko, 2004]. Чтобы расширить s,r классическое соотношение Гиббса (8.1.5) на неравновесные сдвиговые со стояния (характеризуемые конечными макроскопическими неравновесными кинетическими энергиями: s 0 and coup 0 ) мы должны рассмотреть в вы s,r ражении (8.1.5) для du дифференциалы макроскопических внутренних кине тических и микроскопических (тепловых) энергий, которые приводят к диф ференциальному изменению энтропии в жидком элементе. Соотношение Гиббса (8.1.5) было постулировано [de Groot and Mazur, 1962] для жидкого элемента (жидкой частицы бесконечно малого физического размера), дви жущегося вдоль траектории центра масс жидкого элемента. Это значит, что мы можем использовать только внутренние энергии (макроскопические и микроскопические), чтобы расширить классическое соотношение Гиббса (8.1.5) на неравновесные сдвиговые состояния. Этот вывод находится в со гласии с ранее сформулированным утверждением [Ландау и Лифшиц, 1976], что энтропия макроскопической подсистемы является функцией состояния внутренних (макроскопических и микроскопических) энергий в соответст вии с принципом относительности Галилея.

Таким образом, условие du 0 приводит к увеличению энтропии жид кого элемента в соответствии с формулировкой Клаузиуса [Clausius, 1864, 1865] второго закона термодинамики и с классическим подходом Больцмана, связанным [Prigogine, 1980] с идентификацией энтропии с молекулярным хаосом. Условие d r 0 ведет к увеличению энтропии жидкого элемента в соответствии с рассмотрением макроскопического равновесного состояния (характеризуемого максимальной энтропией [Planсk, 1930;

Ландау и Лифшиц, 1976]) как аттрактора [Planck, 1930;

Prigogine, 1977] для неравно coup весных состояний. Условия d s 0 и d s,r 0 приводят к уменьшению эн тропии в соответствии с рассмотренной ранее формулировкой [Prigogine, 1977, Prigogine, 1980;

Prigogine and Stengers, 1984;

Nicolis and Prigogine, 1989] и наших предыдущих аргументов относительно созидающей роли не равновесных состояний. Следовательно, дифференциалы du и d r должны coup быть взяты со знаком “+”, в то время как дифференциалы d s и d s,r долж ны быть взяты со знаком “ ”в обобщенном соотношении Гиббса:

coup du + d r - d s - d s,r = Tds - pd, (8.3.5) где du = dq i,s + dq e - дифференциал классической внутренней тепловой энер гии вследствие необратимого (вызванного сдвигом скорости) внутреннего нагревания dq i,s = 2 (e ij ) 2 dt и внешнего потока тепла dq e вследствие обра тимого обмена теплом через поверхность жидкого элемента единичной мас сы. Поскольку макроскопические кинетические энергии (единицы массы) s, r и coup являются инвариантами Галилея [Simonenko, 2004] поэтому диффе s,r coup ренциалы d s, d r и d s,r и, следовательно, также и дифференциал ds (дан ный соотношением (8.3.5)) являются инвариантами Галилея в соответствии с требованиями классической и квантовой статистик [Ландау и Лифшиц, 1976].

8.4. Обобщение классического выражения для производства энтропии для неравновесных сдвиговых состояний в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости Мы получаем из обобщенного соотношения (8.3.5) следующее выра жение для дифференциального изменения энтропии в единице массы пере мещающегося жидкого вещества несжимаемой вязкой ньютоновской жидко сти:

1 1 1 1 1 coup ds = d e s + d i s = dq e + dq i,s + d r - d s - d s,r, (8.4.1) T T T T T где dq i,s = 2 (e ij ) 2 dt - внутренне нагревание в единице массы вследствие вы званных сдвигом вязких сил, символ d обозначает полный дифференциал.

Соотношение (8.4.1) обобщает на нестационарные неравновесные состояния классическое соотношение Клаузиуса (8.1.4) (при идентификации dQ с “об мененной энергией” [Ruelle, 2003]), которое использовалось [Ruelle, 2003] в качестве основной идеи, “чтобы расширить определение энтропии вне равно весия” в “статистической механике конечной физической системы (подвер женной неградиентным силам) и поддерживаемой в неравновесном стацио нарном состоянии при постоянной температуре” [Ruelle, 2003]. Соотношение (8.4.1) демонстрирует, что равновесная кинетическая энергия (единицы мас сы) r и неравновесные кинетические энергии (единицы массы) s, coup не s,r эквивалентны по отношению к вкладу в энтропию жидкого элемента. Нерав новесные кинетические энергии (единицы массы) s, coup могут быть всегда s,r превращены во "внутреннее" тепло, в то время как равновесная кинетическая энергия (единицы массы) r не всегда. Неравновесные ( s, coup ) и равно s,r весная ( r ) кинетические энергии (единицы массы) имеют разные степени coup когерентности: увеличения s и coup (т.e., d s 0 и d s,r 0 ) ведет к умень s,r шению энтропии, в то время как увеличение r (т.e., d r 0 ) ведет к увели чению энтропии жидкого элемента.

Мы имеем из соотношения (8.4.1) обобщенное выражение для произ водства энтропии в единице массы жидкого элемента:

coup ds dis 1 dq e 1 d r 1 d s 1 d s,r = + + -, (8.4.2) dt T T dt T dt T dt T dt где dis = dq i,s / dt = 2 (e ij ) 2 - диссипация кинетической энергии в единице массы несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости.

8.5. Обобщенное соотношение для производства энтропии мелкомасштабными анизотропными турбулентно волновыми пульсациями в несжимаемых вязких ньютоновских стратифицированных жидкостях Рассмотрим свободно затухающую мелкомасштабную турбулентность в течение процесса турбулентно-волнового перехода, характеризуемого ани зотропией локального поля скорости, вызванной коллапсом турбулентных вихрей. Мы моделируем мелкомасштабные анизотропные турбулентно волновые пульсации как статистический ансамбль жидких вихрей [Simonen ko, 2004;

2005;

2006], содержащихся в кубических областях евклидова про странства. Поскольку центры масс жидких вихрей рассматриваются как фик сированные в пространстве (т.e., скорости центров масс жидких вихрей бе рутся нулевыми), полная производная d / dt в соотношении (8.4.2) может быть заменена обыкновенной частной производной / t.

Усредняя энтропию единицы массы s по статистическому ансамблю жидких вихрей (т.е., по статистическому ансамблю незамкнутых термодина мических подсистем, содержащихся в кубических областях), мы получим (в термодинамическом пределе) из соотношения (8.4.2) следующее уравнение:

coup s dis 1 r 1 s 1 s,r = + (8.5.1) t t T t t T T T для статистически осредненной энтропии единицы массы s в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости. Используя равенства s s, s s, r r и dis = dis статистических ( s, s, r и dis ) и простран ственных ( s, s, r и dis ) средних для мелкомасштабной изотропной одно coup родной турбулентности [Simonenko, 2004;

2005;

2006] и условие s,r = 0 для каждого однородного жидкого куба [Simonenko, 2004;

2005;

2006], мы полу чим (в приближении Буссинеска) из уравнения (8.5.1) следующее классиче ское уравнение [Gregg, 1983] эволюции для средней энтропии единицы мас сы s мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности в несжи маемых вязких ньютоновских жидкостях:

s dis =. (8.5.2) t T Уравнение (8.5.2) описывает временную эволюцию средней энтропии еди ницы массы s в течение вязкого затухания мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности. Таким образом, неравновесные кинетические энергии s и coup вместе с классической равновесной кинетической энерги s,r ей r не дают вклада в среднюю энтропию единицы массы s для мелко масштабной изотропной однородной турбулентности в результате равенства coup s = r и условия s,r = 0 для каждого однородного жидкого куба. Это, очевидно, может объяснить приемлемость классического приближения ло кального термодинамического равновесия [de Groot and Mazur, 1962] для не равновесных гидродинамических режимов мелкомасштабной турбулентно сти, характеризуемых условием s r. В этом случае результирующий эффект сдвига скорости и поля завихренности может быть пренебрежим по сравнению с классическим членом в правой части уравнения (8.5.2) для слабо анизотропных режимов активной (опрокидывающийся) мелкомасштабной турбулентности.

Рассмотрим затухающую стратифицированную турбулентность в ре жиме турбулентно-волнового перехода, характеризуемого коллапсом турбу лентных вихрей. Предложенный (в главе 3) математический формализм (рас сматривающий внутренние гравитационные волны, турбулентность и турбу лентно-волновые пульсации в различных гидродинамических режимах в рамках одного и того же подхода) дает возможность исследовать термодина мические аспекты процессов турбулентно-волнового перехода. Уравнение (8.5.1) может быть использовано, чтобы получить производство энтропии, если коэффициент локальной термодинамической неравновесности n e = s / r и средняя кинетическая энергия единицы массы турбулентно волновых пульсаций b pul являются данными функциями времени t в течение процесса турбулентно-волнового перехода. Используя определения n e = s / r, b pul = b pul ( ) = s + r и условие s,r = 0 (для однородного coup жидкого куба), уравнение (8.5.1) может быть переписано (в приближении Буссинеска) следующим образом:

s dis 1 (1 n e ) b pul.

= + (8.5.3) T t (1 + n e ) t T 8.6. Поведение средней энтропии в течение процесса турбулентно-волнового перехода Мы сейчас продемонстрируем, что средняя энтропия единицы массы s может временно уменьшаться в начале коллапса турбулентности. Временное уменьшение величины s может иметь место в начале коллапса турбулентно сти, характеризуемого монотонным уменьшением средней кинетической энергии единицы массы турбулентно-волновых пульсаций b pul, достаточно малыми dis и монотонным увеличением коэффициента локальной термоди намической неравновесности n e поля скорости. В этом случае второй член справа в соотношении (8.5.3) должен иметь отрицательный знак в начале коллапса турбулентности. Мы используем здесь обозначение b pul вместо b tur, используемого в разделе 6.4 главы 6 для турбулентной кинетической энергии единицы массы, поскольку процесс турбулентно-волнового перехода характеризуется пульсациями скорости общей турбулентно-волновой приро ды.

Рассмотрим поведение средней энтропии единицы массы в начале кол лапса турбулентности в экспериментальной реализации № 1 серии данных R52 лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. Мы имеем dis = 0,406 см 2 / с 3 для x / M = 20 в экспериментальной реализации № 1 серии данных R 52 (см. табл. 2 (c) в исследованиях [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]). Мы рассчитываем экспериментальную среднюю кинетиче скую энергию единицы массы турбулентно-волновых пульсаций b exp, ис- pul пользуя формулу (6.4.1.26). Мы рассчитываем коэффициенты локальной термодинамической неравновесности n e, используя формулу (6.4.2.4) и ко эффициенты локальной твердотельности R, представленные в шестом столбце табл. 2 для различных безразмерных расстояний x / M вниз по пото ку от решетки. Мы получили соответствующие величины b pul = 1, 0108 см 2 / с 2, n e = 0,6653 для x / M = 20.

exp Мы имеем dis = 0,147 см 2 / с 3 для x / M = 30 в экспериментальной реа лизации № 1 серии данных R52. Используя экспериментальные величины u = 0,592 см / с, w = 0,414 см / с для x / M = 30, мы получаем из фор мулы (6.4.1.26) соответствующую величину b exp = 0,391 см 2 / с 2. Мы рас pul считываем величины b exp = 0,7009 см 2 / с 2 и dis = 0,2765 см 2 / с 3, соответст pul вующие x / M = 25, используя линейную интерполяцию между x / M = 20 и x / M = 30. Мы получаем коэффициент локальной термодинамической не равновесности n e = 0,9753 для x / M = 25, используя формулу (6.4.2.4) и ко эффициент локальной твердотельности R = 1,0247, представленный в шес том столбце табл. 2 для x / M = 25.

Вычислим производную s / t, аппроксимируемую отношением s / t конечных разностей для безразмерного диапазона расстояний x / M = 20 25 от x / M = 20 до x / M = 25 вниз по потоку от решетки. Мы используем для расчета s / t среднюю величину dis = 0,34125 см 2 / с (соответствующую x / M = 22,5 ) в безразмерном диапазоне x / M = 20 25.

Интервал времени t, который необходим среднему потоку, чтобы пересечь через размерный диапазон x = 20M 25M (от 20M до 25M ) дается выра жением 25M 20M 10M t = =, (8.6.1) ( U 1 + U 2 ) / 2 ( U1 + U 2 ) где M - размер ячейки решетки, U1 - средняя скорость потока при x / M = 20, U 2 - средняя скорость потока при x / M = 25. Используя формулу (8.6.1) для величин U 1 = 24,57 см / с (см. табл. 2 (c) для экспериментальной реализации № 1 серии данных R 52 ), U 2 = 24,545 см / с (полученной при помощи ли нейной интерполяции представленных данных скоростей U для x / M = 20 и x / M = 30 ) и M = 1,905 см, мы получили t = 0,387865 с. Используя вели n e = 0, b exp = 0,7009 см 2 / с 2, x / M = 25 ;

чины для pul b exp = 1, 0108 см 2 / с 2, n e = 0,6653 для x / M = 20 и dis = 0,34125 см 2 / с 3 для pul x / M = 22,5, мы имеем из формулы (8.5.3) отрицательную величину:

0,159 cм s 0,34125 1 (1 0,6653) (1 0,9753) + 1, 0,7009 = =, (1 + 0,6653) 0,387865 T2025 с (1 + 0,9753) t T2025 T2025 где T2025 - средняя абсолютная температура турбулентно-волнового потока в размерном диапазоне x = 20M 25M вниз по потоку от решетки. Используя экспериментальную реализацию № 1 серии данных R52 (см. табл. 2 (c) ис следований [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986];

табл. 2 раздела 6.4 главы 6), представленные величины R в табл. 2 и аналогичные вычисления, мы получаем из формулы (8.5.3) положительную величину s / t =( 0,181 / T2545 ) cм 2 / с 3 для размерного диапазона x = 25M 45M и отрицательную величину ( 0,328 / T4560 ) cм 2 / с 3 для размерного диапазона x = 45M 60M. Следова тельно, основываясь на экспериментальной реализации № 1 серии данных R 52, мы получили уменьшение средней энтропии единицы массы s в раз мерном диапазоне x = 20M 25M, увеличение s в размерном диапазоне x = 25M 45M и уменьшение s в размерном диапазоне x = 45M 60M.

Полученное поведение средней энтропии единицы массы s в рассмат риваемом процессе турбулентно-волнового перехода может быть проинтер претировано с термодинамической точки зрения. Генерация интенсивных неустойчивых высокочастотных внутренних гравитационных волн свободно затухающей стратифицированной турбулентностью (в начале перехода тур булентности во внутренние волны) связано с уменьшением средней энтропии турбулентно-волновых пульсаций скорости. Разрушение вынужденных ин тенсивных неустойчивых внутренних гравитационных волн и производство вторичной мелкомасштабной турбулентности (на второй стадии процесса турбулентно-волнового перехода) связано с положительным производством средней энтропии. Генерация устойчивых внутренних гравитационных волн (в результате "вытягивания" внутренней тепловой энергии и трансформации макроскопической внутренней вращательной кинетической энергии зату хающей вторичной турбулентности в более когерентную макроскопическую внутреннюю сдвиговую кинетическую энергию) связана с уменьшением средней энтропии.

Глава СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗВИТОЙ МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ДИССИПАТИВНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В НЕСЖИМАЕМЫХ ВЯЗКИХ НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЯХ 9.1. Относительное влияние коэффициентов молекулярной кинематической вязкости и температуропроводности на статистическую динамику мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности в океане Согласно первоначальной первой гипотезе Колмогорова [Колмогоров, 1941], на статистические свойства мелкомасштабной локально изотропной турбулентности оказывают влияние коэффициент кинематической молекулярной вязкости и математическое ожидание (статистическое среднее) скорости диссипации кинетической энергии турбулентности в единице массы dis = 2(e ij ) 2. Согласно уточненной первой гипотезе Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981], статистические свойства мелкомасштабной локально изотропной турбулентности определяются коэффициентом кинематической молекулярной вязкости и средней скоростью диссипации кинетической энергии турбулентности в единице массы G, полученной осреднением dis = 2(e ij ) 2 по некоторой небольшой области G пространства-времени. Это уточнение “заключается в том, что при рассмотрении мелкомасштабных статистических характеристик турбулентности, определяемых значениями поля скорости на некотором конечном множестве точек M 1,..., M n пространства-времени, принимается фиксированным среднее значение G поля dis (x, t ) в некоторой малой области G пространства-времени, содержащей все точки M 1,..., M n ;

условные статистические характеристики при фиксированном значении G рассчитываются при помощи гипотез подобия Колмогорова, безусловные же характеристики могут быть получены из указанных условных осреднением по распределению вероятности для G ” [Монин и Озмидов, 1981].

Рассматривая двухточечные пространственные статистические характеристики между точками на расстоянии r, Обухов [Obuchov, 1962] выбрал в качестве G сферу с диаметром r, взяв в качестве G пространственное среднее величины dis (x, t ) по сфере диаметра r. Отмечено [Монин и Озмидов, 1981], что “конкретная форма области G при этом не должна быть существенной”. Также отметим, что при строгом рассмотрении в рамках статистической теории турбулентности Колмогорова величина G, полученная осреднением случайного поля dis (x, t ) по некоторой малой области G пространства-времени, является случайной величиной. В работе [Ландау и Лифшиц, 1988] отмечается, что существующие попытки ввести поправки, связанные с фактором флуктуации случайного поля dis (x, t ), в закон Колмогорова-Обухова “основаны на гипотезах о статистических свойствах диссипации, степень правдоподобности которых трудно оценить”.

В соответствии с уточненной первой гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981], используемой для рассмотрения статистических свойств (определенной в главе 4) изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины l, можно предположить (учитывая, что G, строго говоря, является случайной величиной), что статистические свойства развитой изотропной однородной мелкомасштабной турбулентности энергосодержащего масштаба длины определяются только l коэффициентом кинематической молекулярной вязкости и средней скоростью диссипации кинетической энергии турбулентности в единице массы dis, которая определяется формулой (4.1.2.6) и есть фиксированное среднее значение от всех случайных значений G n для статистического ансамбля счетного числа жидких кубов G n размера l, которыми можно заполнить все евклидово трехмерное пространство.

Для малых чисел Прандтля Pr = / в работе [Batchelor, Howells and Townsend, 1959] теоретически предсказывался энергетический пространственный спектр E T (k ) пульсаций температуры, обусловленных турбулентностью, вида:

3 T dis 3 k E T (k ), (9.1.1) полученный в предположении гауссовской статистики, где T = 2(T )2 скорость выравнивания неоднородностей температуры в единице массы теплопроводности, T - поле пульсаций вследствие молекулярной температуры, - коэффициент молекулярной температуропроводности (определяемый формулой =/ c p [Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 292], коэффициент молекулярной теплопроводности [Ландау и Лифшиц, 1988;

с.

271], c p - удельная теплоемкость при постоянном давлении, - плотность жидкости, dis - скорость вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы вследствие молекулярной вязкости, k - волновое число.

В работе [Gibson, 1968] показано экспериментально, что при малых числах Прандтля Pr =0,02 (при большом коэффициенте температуропроводности ) вместо спектра (9.1.1) имеет место частотный энергетический спектр пульсаций температуры E T (f ) f 3, или, учитывая пропорциональность ( k f ) волнового числа k временной частоте f турбулентных пульсаций [Ландау и Лифшиц, 1988], имеем пространствен ный спектр пульсаций температуры:

E T (k ) k 3. (9.1.2) Это означает, в соответствии с гипотезой Колмогорова [Колмогоров, 1941;

Kolmogorov, 1962], что даже большой коэффициент молекулярной температуропроводности и связанный с ним параметр T (называемый “the rate of dissipation of temperature variance ” в работе [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 600] и “the thermal dissipation rate” в работе [Gibson, 1987;

с. 5384]) не влияют на статистические свойства мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности и могут быть отброшены. Ясно, что пространственный спектр (9.1.1) пульсаций температуры (выведенный в работе [Batchelor, Howells and Townsend, 1959] в предположении малых чисел Прандтля) не должен иметь место для статистического описания пульсаций температуры, обусловленных развитой мелкомасштабной турбулентностью в морской воде.

Пространственные спектры энергии E(k ) и пульсаций температуры E T (k ) вида E (k ) k 3 и E T (k ) k 3, рассчитанные по измерениям турбулентности в свободной атмосфере (согласно работе [Ландау и Лифшиц, 1988], число Прандтля для воздуха при 20 0 С равно Pr = 0,733) имеют вид [Шур, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] T 3 T E (k ) k, E T (k ) k 3, (9.1.3) g z z где - коэффициент термического расширения, g - ускорение силы тяжести, T - градиент средней температуры T, z вертикальная координата.

z Используя уравнение состояния [Монин и Яглом, 1965] в дифференциальной форме d = dT в приближении основного влияния температуры T на g d плотность, а также определение квадрата частоты Вяйсяля N 2 =, dz получим из (9.1.3) выражение E(k ) N 2 k 3 для спектра E (k ), аналогичное теоретически предсказанному [Миропольский, 1981] универсальному энергетическому пространственному спектру E(k ) N 2 k 3 случайного поля слабо взаимодействующих коротких внутренних гравитационных волн, или с некоторым безразмерным числовым коэффициентом q :

E (k ) = qN 2 k 3. (9.1.4) Рассчитанный в работе [Hall and Pao Yih-Ho, 1969] для областей разрушения внутренних гравитационных волн частотный энергетический спектр мелкомасштабной турбулентности вида E(f ) f 3 указывает на зависимость энергетического пространственного спектра E(k ) от волнового числа k (учитывая пропорциональность волнового числа k временной частоте f ) вида E (k ) k 3, (9.1.5) которая показывает, что для больших чисел Прандтля (число Прандтля для пресной воды при 20 0 С равно Pr = 6,75) в экспериментах [Hall and Pao Yih Ho, 1969] параметры и T также не имеют существенного влияния на статистические свойства мелкомасштабной турбулентности, генерируемой в результате обрушения внутренних гравитационных волн (для экспериментального моделирования которых использовалась вода и масло).

В качестве оценки времени температурной релаксации (рассасывания) температурных неоднородностей размера l в работах [Ландау и Лифшиц, 1988;

Миропольский, 1981;

Gregg, 1987;

Gibson, 1987;

Пригожин и Николис, 1984] используется выражение для времени температурной релаксации l t (l ) =, (9.1.6) причем в работе [Gibson, 1987] в формуле (9.1.6) используется знак ( ) приближенного равенства, а в монографии Ландау и Лифшица [Ландау и Лифшиц, 1988] использован знак () порядка величины. Гибсон [Gibson, 1987;

с. 5383] уточняет, что тепловая константа времени t максимального времени жизни (возраста) для величины l наименьших температурных градиентов равна l t=, D где D есть “the thermal diffusivity of the fluid” [Gibson, 1987;

с. 5383], т.е. по смыслу D - коэффициент “тепловой диффузии жидкости”, тождественный с коэффициентом молекулярной температуропроводности, рассматриваемым в монографии [Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 292]. Эта тождественность становится очевидной, если принять во внимание определение Гибсоном числа Прандтля в работе [Gibson, 1968;

с. 2318] в виде Pr = / D, аналогичном определенному в монографиях [Монин и Яглом, 1965;

Ландау и Лифшиц, 1988] числу Прандтля:

Pr =.

Найдем время температурной релаксации t (co ) масштаба Корсина-Обухова 3 co [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 603], где dis представляет температурную проводимость (“the thermometric conductivity”), определенную на с. 600 отмеченного выше источника, и тождественную с введенным выше коэффициентом молекулярной температуропроводности [Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 292]. Из формулы (9.1.6) имеем 1 3 2 ( co ) 2 t ( co ) = = = t co, (9.1.7) dis dis где t co - масштаб времени Корсина–Обухова [Canuto, Dubovikov, dis Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 603]. Таким образом, масштаб времени t co Корсина–Обухова соответствует (равен) времени температурной релаксации 1 3 co за масштаба Корсина–Обухова счет молекулярной dis dis теплопроводности, характеризуемой коэффициентом молекулярной температуропроводности. Отметим, что в монографии [Монин, Озмидов, 3 1981;

с. 82] вводится масштаб T =, называемый “внутренним dis масштабом поля примеси”, который (учитывая уточнение Колмогорова [Kolmogorov, 1962], согласно которому вместо неосредненных значений dis необходимо рассматривать осредненные значения dis ) эквивалентен 3 при замене dis на dis. Поэтому масштабу Корсина – Обухова co dis 3 мы далее будем называть масштаб T = внутренним масштабом dis 3 в формуле T = Корсина–Обухова, предполагая, что вместо dis dis используется средняя величина dis в соответствии с уточнением гипотезы Колмогорова [Kolmogorov, 1962].

Ранее Миропольским [Миропольский, 1981] в качестве времени t ( l ) вязкой релаксации некоторой области вязкой жидкости (характеризуемой коэффициентом кинематической молекулярной вязкости и линейным размером l ) в поле внутренних гравитационных волн предлагалось использовать соотношение l t ( l ) =. (9.1.8) В главе 4 получено соотношение замыкания (4.1.3.14) для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности с размером l энергосодержащих турбулентных вихрей в ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости:

1 dis b tur ( l ) = l, (9.1.9) которое допускает эквивалентный непрерывный энергетический пространственный спектр E(k ) мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности ( k -волновое число):

E (k ) = dis k 3, (9.1.9a) в чем легко убедиться:

E(k)dk b tur ( l ) =.

1l Можно показать, что энергетическому пространственному спектру (9.1.9a) соответствует эквивалентный энергетический частотный спектр, представляемый формулой E (f ) = b tur dis f 3, (9.1.9б) dis в которую, как и в формулу (9.1.9a), входит комбинация. Спектры (9.1.9a) и (9.1.9б) должны иметь место для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности в ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости в диссипативной области с масштабами турбулентных вихрей в диапазоне Lk l Lo.

Соотношение, аналогичное (9.1.8), для времени t ( l ) вязкой релаксации некоторой области вязкой турбулентной жидкости (характеризуемой коэффициентом кинематической молекулярной вязкости и линейным размером l ) может быть получено из соотношения замыкания (9.1.9). Действительно, по физическому смыслу отношение b tur (l ) dis является временем вязкой релаксации кинетической энергии турбулентности в масштабе l, в котором есть неравновесное распределение турбулентной (пульсационной) кинетической энергии, связанное с наличием нетвердотельного сдвигового движения жидкости за счет тензора скоростей l деформаций e ij 0. Отношение b tur (l ) dis пропорционально t ( l ) = :

1 l2 l b tur (l ) dis = t ( l ) =, (9.1.10) 24 как это видно из соотношения замыкания (9.1.9).

Рассчитаем, следуя формуле (9.1.8), время t ( L k ) вязкой релаксации неравновесных неоднородностей турбулентной энергии в пространственной области с размером, равным внутреннему масштабу Колмогорова 3 Lk. (9.1.11) dis Имеем из выражения (9.1.8):

1 3 2 t ( Lk ) = = tk, (9.1.12) dis dis где t k – внутренний масштаб времени Колмогорова [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 601]. Соотношение (9.1.12) для t k отличается от выражения = dis для внутреннего масштаба времени, рассматриваемого в монографии [Монин и Озмидов, 1981;

с. 78] с той лишь разницей, что вместо dis используется осредненное значение dis в соответствии с уточнением Колмогорова [Kolmogorov, 1962]. Таким образом, неравновесные неоднородности с масштабом длины внутреннего масштаба Колмогорова 1 3 4 Lk tk должны релаксировать за характерное время dis dis внутреннего масштаба времени Колмогорова.

Рассмотрим неравновесный объем жидкости, в котором есть неоднородности температуры и неравновесное распределение турбулентной (пульсационной) кинетической энергии. Для понимания относительного влияния параметров и для динамики мелкомасштабной океанской турбулентности с размерами l вихрей в диапазоне L k l L o найдем, используя соотношения (9.1.6, 9.1.8), отношение времен температурной релаксации к временам вязкой релаксации для одного и того же масштаба l:

t (l ) = Pr, (9.1.13) = t (l ) которое показывает, что время t (l ) температурной релаксации масштаба l для морской воды значительно (в Pr раз) превосходит время t (l ) вязкой релаксации этого же масштаба l (число Прандтля Pr для морской воды при 20 0 С и солености 35 промилле равно 7).

Используя выражения для внутреннего масштаба Корсина – Обухова T и внутреннего масштаба Колмогорова L k 3 3, Lk, T = (9.1.14) dis dis получим отношение внутреннего масштаба Колмогорова L k к внутреннему масштабу Корсина–Обухова T Lk = = (Pr) 4, (9.1.15) T которое показывает, что внутренний масштаб Колмогорова L k в (7) 4,3 раза превосходит внутренний масштаб Корсина–Обухова T для морской воды при 20 0 С и солености 35 промилле, для которой Pr = 7. Внутренний масштаб Корсина–Обухова T имеет смысл размера мельчайших неоднородностей в поле температуры (напомним, что Монин и Озмидов [Монин и Озмидов, 1981;

с. 82] называют T при использовании dis вместо dis в формуле (9.1.14) “внутренним масштабом поля примеси”).

Следовательно, имеем из выражения (9.1.15), что в одной кубической ячейке с длиной ребра L k (и с объемом L3k ) находится в среднем (Pr) 4 79, мельчайших температурных неоднородностей размера T для морской воды при 20 0 С и солености 35 промилле.

Отношение времени t ( L k ) вязкой релаксации во внутреннем масштабе Колмогорова L k к времени t ( T ) температурной релаксации для внутреннего масштаба Корсина-Обухова T :

t (L k ) t k = = Pr, (9.1.15а) = t ( T ) t co показывает, что время t ( T ) температурной релаксации внутреннего масштаба Корсина - Обухова T меньше в Pr раз времени t ( L k ) вязкой релаксации внутреннего масштаба Колмогорова L k. Следовательно, мельчайшие пространственные температурные неоднородности масштаба T, создаваемые за счет пространственных неоднородностей скорости вязкой диссипации кинетической энергии dis (в процессе вязкой диссипации и релаксации неравновесностей турбулентной кинетической энергии в масштабах L k ), будут успевать рассасываться (релаксировать в масштабах T за время t co = t k / Pr более короткое, чем время t k = t ( L k ), за которое происходит вязкая релаксация в масштабах L k. Поэтому мельчайшие пространственные температурные неоднородности масштаба T не должны сказаться на динамике турбулентной кинетической энергии в масштабах L k.

Молекулярная теплопроводность, описываемая коэффициентом молекулярной температуропроводности, будет перераспределять тепловую энергию (е неоднородности) в пространстве и не будет никакого "эффективного" механизма диссипации тепловой энергии в жидкости за счет коэффициента молекулярной температуропроводности, предполагавшегося в работе [Batchelor, Howells and Townsend, 1959] для малых чисел Прандтля.

Поэтому ясно, что коэффициент молекулярной температуропроводности не должен влиять на баланс кинетической энергии мелкомасштабной турбулентности и, соответственно, на форму энергетического пространственного спектра E(k ) турбулентной кинетической энергии в диссипативной области, а также на форму пространственного спектра E T (k ) вариаций температуры, обусловленных мелкомасштабной турбулентностью.

Вид спектров E(k ) и E T (k ) для мелкомасштабной развитой турбулентности должен определяться только коэффициентом кинематической молекулярной вязкости и средней скоростью вязкой диссипации кинетической энергии турбулентности в единице массы dis в соответствии с уточненной гипотезой подобия Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] о зависимости статистических свойств мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности только от параметров и dis [Монин и Озмидов, 1981;

с. 78].

Воспользовавшись для вычисления турбулентной кинетической энергии b tur ( L k ) масштабов l L k соотношением замыкания (9.1.9) при l = L k можно показать, что масштабы L k могут рассматриваться как находящиеся статистически в квази-релаксированном гидродинамическом состоянии, характеризуемом локально-твердотельным вращением жидкости (Ландау и Лифшиц, 1976). Для этого, следуя работе [Ландау и Лифшиц, 1988], получим из формулы (9.1.15б) (L K ) = L K / u(L K ) значение временного периода ( L k ) внутреннего масштаба Колмогорова L k равное: ( L k ) = 6t k, если в качестве характерной скорости u(L k ) масштабов L k, следуя монографии [Hinze, 1959], взять среднеквадратическую скорость турбулентных пульсаций u(L K ) = (u 1 ) 2 = b tur (L K ) при наличии изотропии турбулентности. Значение ( L k ) = 6t k больше t ( L k )= t k – времени вязкой релаксации в масштабе L k, что показывает квази-релаксированность масштабов L k. В то же время, поскольку вязкая диссипация, согласно работам [Колмогоров, 1941;

Hinze, 1959;

Монин и Озмидов, 1981;

Ландау и Лифшиц, 1988] и результатам главы 4, происходит именно в масштабах ~ L k, то это означает, что в масштабах ~ L k скорость диссипации кинетической энергии должна быть чрезвычайно перемежающейся величиной, сконцентрированной в основном в сравнительно небольших пространственных областях. Этот вывод согласуется с аналогичными заключениями в монографии [Ландау и Лифшиц, 1988].

Даже если в качестве масштаба наименьших температурных неоднородностей взять L k (вместо положенного T ), то полученное из соотношения (9.1.13) для масштаба l = L k время t (L k )= t k Pr температурной релаксации масштаба L k (с учетом t k = t ( L k ) будет для морской воды примерно равняться ранее полученному временному периоду ( L k )= 6t k, соответствующему внутреннему масштабу Колмогорова L k. Поэтому (несмотря на то, что период времени t ( L k ) вязкой релаксации масштаба L k равен внутреннему масштабу времени Колмогорова t k ) за временной период ( L k )= 6t k, соответствующий масштабу L k, температурные неоднородности будут рассасываться в масштабе L k и не должны влиять на турбулентные пульсации скорости (собственно на гидродинамическую турбулентность) и, соответственно, на динамику турбулентной кинетической энергии.

Таким образом, температурные неоднородности в масштабах L k не могут в силу своего быстрого "рассасывания" приводить в масштабах L k к макроскопическим движениям типа конвекции вследствие невозможности создания локальных перегревов жидкости, приводящих к неустойчивости и конвекции. Это, в совокупности с ранее полученными результатами для масштаба Озмидова L o, обосновывает гипотезу Колмогорова [Колмогоров, 1941;


Монин и Озмидов, 1981] о несущественности параметров и T для статистической динамики мелкомасштабной турбулентности в океане в диапазоне масштабов от внутреннего масштаба Колмогорова L k до масштаба плавучести Озмидова L o.

Обоснуем теперь строго математически предыдущий вывод, исходя из уравнения теплопроводности. Динамику поля температуры в теплопроводной и вязкой жидкости описывает уравнение теплопроводности [Ландау и Лифшиц, 1988;

c. 277]:

dT = T + dis, (9.1.16) dt cp (1) (2) где первый член описывает эффект молекулярной теплопроводности, второй член описывает эффект вязкости, связанный с выделением внутреннего тепла вследствие термодинамической неравновесности (при наличии сдвига скорости ( e ij 0)) и соответствующей диссипации кинетической энергии в единице массы dis, c p удельная теплоемкость при постоянном давлении. В соответствии с уравнением теплопроводности (9.1.16), за счет термодинамической неравновесности (связанной со сдвигом скорости) и соответствующей диссипацией кинетической энергии в единице массы dis = 2 (e ij ) 2 (в несжимаемой ньютоновской вязкой жидкости) локально (в пространстве - времени) увеличивается тепловая внутренняя энергия и соответствующая ей температура T. За счет молекулярной теплопроводности (определяемой первым членом с в (9.1.16)) локальные градиенты температуры, создаваемые сдвигом скорости ( e ij 0), должны рассасываться в морской воде (для которой Pr = 7 при 20 0 С и солености 35 промилле) и не оказывать влияния на динамику мелкомасштабной турбулентности в соответствии с первой гипотезой подобия Колмогорова [Колмогоров, 1941;

Монин и Озмидов, 1981]. При отсутствии градиентов средней температуры ( T =0) теплопроводность только перераспределяет равномерно тепловую энергию, полученную за счет диссипации кинетической энергии турбулентности, по всему пространству, занятому турбулентностью, так, чтобы оставался нулевым градиент средней температуры при одновременном возрастании средней температуры. Таким образом, энергетический спектр температурных пульсаций, обусловленных мелкомасштабной турбулентностью в диссипативном диапазоне, не должен зависеть от коэффициента молекулярной теплопроводности, поскольку время t (T ) рассасывания мельчайших неоднородностей температуры масштаба T (внутреннего масштаба Корсина–Обухова) меньше времени t ( L k ) вязкой релаксации мельчайших неоднородностей масштаба L k (внутреннего масштаба Колмогорова) в локальном поле скорости.

Покажем, что в уравнении теплопроводности (9.1.16) первый член, описывающий эффект необратимой молекулярной теплопроводности, несущественен по сравнению со вторым членом, описывающим эффект необратимой диссипации кинетической энергии, при наличии развитой турбулентности в водной среде (в том числе и в морской воде, для которой числа Прандтля, согласно оценкам [Монин и Озмидов, 1981], только на 30 % отличаются от чисел Прандтля для пресной воды).

Пусть l - характерное расстояние, равное масштабу l энергосодержащих вихрей, на котором происходит характерное изменение T температуры в поле температуры, обусловленном только изотропной однородной турбулентностью (при отсутствии средних градиентов температуры, поля средней скорости и градиентов среднего поля скорости).

Тогда имеем [Ландау и Лифшиц, 1988;

c. 300] для порядка первого члена справа в уравнении (9.1.16):

T T ~. (9.1.17) ( l ) Это выражение может быть преобразовано с использованием соотношения ( l ) t ( l ) =, следующего из соотношения (9.1.6), к виду:

T T =. (9.1.18) t ( l ) ( l ) Найдем теперь отношение (9.1.18) ко второму осредненному (в соответствии с уточнением Колмогорова [Kolmogorov, 1962]) члену (2) справа в уравнении теплопроводности (9.1.16):

cp T T T ( l ) : dis = =.

cp t ( l ) cp t ( l ) t ( l ) dis ( l ) dis Это отношение с использованием соотношения (9.1.8) и соотношения замыкания (4.1.3.14) для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности (полученного в главе 4 и приведенного выше под номером (9.1.9)):

1 dis b tur ( l ) = l, взятого для размера энергосодержащих вихрей l = l, может быть приведено к виду t ( l ) Tc p T =. (9.1.19) c p t ( l ) 24b tur t ( l ) t ( l ) 24b tur Учитывая соотношение (9.1.13), а также соотношение Tc p = u = q для вариации внутренней тепловой энергии u единицы массы в жидкой частице размера l = l, преобразуем (9.1.19) к виду:

t ( l ) Tc p 1 u =. (9.1.20) 24 Pr b tur t ( l ) 24b tur Чтобы оценить вариацию внутренней тепловой энергии u в соотношение (9.1.20), рассмотрим уравнение эволюции однородной изотропной турбулентности в однородной по плотности жидкости b tur =- dis, (9.1.21) t из которого следует, что db tur =- dis dt =- d u, (9.1.22) т.е. увеличение внутренней энергии единицы массы d u = dis dt равно уменьшению кинетической энергии единицы массы - db tur турбулентности:

d u =- db tur. (9.1.23) В результате из соотношения (9.1.20), если использовать связь (9.1.23), следует выражение для отношения 1 b tur 1 b tur 1 u = =, (9.1.24) 24 Pr b tur 24 Pr b tur 24 Pr b tur которое показывает, что при наличии развитой (активной) турбулентности в морской среде (Pr 7 ), когда вариации кинетической энергии турбулентности на единицу массы b tur b tur, первый член справа в уравнении теплопроводности (9.1.16) существенно меньше второго члена.

Следовательно, для мелкомасштабной турбулентности коэффициент молекулярной температуропроводности не должен влиять существенно на динамику поля турбулентных пульсаций температуры и может быть отброшен из значащих параметров, определяющих статистические характеристики мелкомасштабных турбулентных пульсаций температуры.

Отметим, что сделанный вывод также должен иметь силу для мелкомасштабной турбулентности в атмосфере, поскольку для воздуха число Прандтля при 20 0 С: Pr = 0,733 [Ландау и Лифшиц, 1988] и при наличии развитой (активной) турбулентности в атмосфере, когда вариации кинетической энергии единицы массы турбулентности удовлетворяют условию b tur b tur, отношение (9.1.24) также много меньше 1, показывая, что для мелкомасштабной турбулентности в атмосфере коэффициент молекулярной температуропроводности также не должен существенно влиять на динамику поля турбулентных пульсаций температуры и может быть также отброшен (как и для морской воды) из значащих параметров, определяющих статистические характеристики мелкомасштабных турбулентных пульсаций температуры в атмосфере.

9.2. Универсальный энергетический пространственный спектр развитой мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности в океане В монографии [Монин и Озмидов, 1981] указывалось на возможность существования универсального энергетического пространственного спектра мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности в океане в диапазоне масштабов L k l L o от внутреннего масштаба Колмогорова 1 3 Lk до масштаба плавучести Озмидова L o = dis [Озмидов,1965], N3 dis характеризующего наибольшие опрокидывающиеся турбулентные вихри в поле скорости [Набатов и Озмидов, 1992].

Энергетические пространственные спектры E(k ) в диссипативной области, полученные в лабораторных экспериментах [Stillinger, Helland, Van Atta, 1983] для стратифицированной турбулентности, также хорошо приближаются зависимостями вида E(k ) k 3, приведенными на рис. 18(a d) в работе [Stillinger, Helland, Van Atta, 1983]. Ранее полученные пространственные энергетические спектры (9.1.3, 9.1.5) на основе экспериментальных исследований [Шур, 1962;

Hall and Pao Yih-Ho, 1969] для широкого диапазона чисел Прандтля также указывают на возможность существования универсального энергетического пространственного спектра вида E(k ) k 3 для океанской мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности. В пользу существования универсального энергетического E(k ) пространственного спектра (развитой мелкомасштабной турбулентности) конкретного вида E(k ) также говорит тот факт, что k для того, чтобы получить экспериментально подтвержденную форму энергетического пространственного спектра Колмогорова-Обухова E(k ) k в инерционном диапазоне, ранее постулировался принцип соответствия [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996], согласно которому любой случайной генерирующей силе заранее ставился в соответствие энергетический пространственный спектр вида k 3 без теоретического и экспериментального обоснования. Авторы работы [Белоцерковский, Опарин и Чечеткин, 2003] также склоняются к выводу в пользу существования универсального поведения развитой мелкомасштабной турбулентности.

Целью раздела 9.2 главы 9 является рассмотрение гипотезы о возможности универсального энергетического пространственного спектра вида E(k ) k для океанской развитой (однородной и изотропной) мелкомасштабной турбулентности.

Согласно работе [Ландау и Лифшиц, 1988], локально турбулентность определяется градиентом скорости. Тензор градиента скорости v в общем случае разлагается на две компоненты [Gyarmati, 1970]:

v = (v ) + (v ), a s X где (v ) = e - симметричный тензор скоростей деформаций, описывающий s 1 v v сдвиг скорости;

(v ) = - - антисимметричный a локальный 2 X X вращательный тензор, связанный с вектором завихренности v v в трехмерном евклидовом пространстве соотношением v = (v ), здесь a v - компонента вектора завихренности v, - антисимметричный по всем парам индексов тензор третьего ранга (кососимметричный символ Кронекера). Средняя скорость диссипации кинетической энергии в единице массы dis для изотропной однородной турбулентности в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости записывается в виде [Ландау и Лифшиц, 1988]:


dis = 2 = 2 (e jk e jk ), (9.2.1) v где осреднение квадратичных функций 2 и e jk e jk производится по всему v пространству. Следовательно, из соотношения (9.2.1) можно предположить, что статистические свойства мелкомасштабной однородной изотропной dis турбулентности определяются отношением.

Учитывая наблюдаемую экспериментально [Gibson, 1968] несущественность влияния параметров и T для малых чисел Прандтля Pr на вид частотных спектров температуры E T (f ) f 3 турбулентных пульсаций температуры, логично считать параметры и T не оказывающими влияния на вид спектров E T (k ) и E(k ) для больших чисел Прандтля Pr, соответствующих морской воде ( Pr = 6,75 - для пресной воды при 20 0 С, числа Pr для морской воды отличаются на 30% согласно работе [Монин и Озмидов, 1981]).

Рассмотрим вопрос о виде универсального пространственного энергетического спектра E(k ) развитой мелкомасштабной турбулентности (“с достаточно большим числом Рейнольдса” [Монин, 1988;

с. 230]) в диссипативной области спектра, где, в соответствии с первой уточненной гипотезой подобия Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981], статистические характеристики мелкомасштабных компонент гидродинамической скорости (локальных компонент гидродинамической скорости в локальной системе координат в соответствии с работой Колмогорова [Колмогоров, 1941]) в некоторой четырехмерной области G пространства-времени и для набора n точек однозначно определяются величинами коэффициента кинематической молекулярной вязкости и средней диссипации кинетической энергии турбулентности в единице массы dis, полученной осреднением локальной величины dis = 2 (e ij ) по всему евклидову пространству. Отметим, что Монин и Озмидов [Монин и Озмидов, 1981] используют при формулировке первой гипотезы подобия Колмогорова [Колмогоров, 1941] эквивалентное по смыслу выражение “статистические характеристики мелкомасштабных компонентов развитой турбулентности”.

Под статистическими характеристиками Колмогоров [Колмогоров, 1941] понимает “3n – мерный условный закон распределения вероятностей Fn для величин W = W (P (k) ), = 1, 2, 3;

k = 1, 2,..., n ”, (k) рассматриваемых как компоненты локальных скоростей W (P) = U (P) U (P ( 0) ), заданных в новых координатах для n различных точек P (k) ( k = 1, 2,..., n ) некоторой четырехмерной области G пространства-времени, где U (P) случайные компоненты скорости течения в точке P = (X1, X 2, X 3, t) области G четырехмерного пространства-времени, P (0) = (X1, X (0), X 3, t (0) ) - “некоторая (0) (0) фиксированная точка из области G ” [Колмогоров, 1941]. В соответствии с первой уточненной гипотезой подобия Колмогорова [Колмогоров, 1941], пространственный энергетический спектр E(k ) развитой мелкомасштабной турбулентности однозначно определяется помимо волнового числа k только коэффициентом кинематической молекулярной вязкости и средней скоростью диссипации кинетической энергии турбулентности в единице массы dis.

Монин и Озмидов [Монин и Озмидов, 1981;

с. 78] констатируют, что согласно сформулированной первой гипотезе подобия Колмогорова [Колмогоров, 1941] должен иметь место универсальный пространственный спектр кинетической энергии турбулентности E(k ) = ( dis ) 4 4 (k), (9.2.2а) 3 где =.

dis Для использования формализма П - теоремы [Баренблатт, 1978] в целях подтверждения универсального вида (9.2.2а) пространственного энергетического спектра E(k ) развитой мелкомасштабной турбулентности рассмотрим сначала вопрос о единицах измерения некоторых характеристик турбулентности в системе СГС, принадлежащей к классу MLT, и о размерностях этих же характеристик турбулентности в классе MLT в соответствии с определением размерностей физических величин, приведенном в монографии Баренблатта [Баренблатт, 1978].

В соответствии с определением [Ландау и Лифшиц, 1988], величина “ E(k )dk есть кинетическая энергия (единицы массы жидкости), заключенная в пульсациях со значениями (волнового числа) k в заданном интервале dk ”.

Интеграл [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 604] + E(k)dk v tur = b tur представляет суммарную кинетическую энергию турбулентности в единице массы жидкости. Следовательно, в системе единиц измерения СГС, в которой за единицу длины принят 1 сантиметр (см) и за единицу времени – секунда (с), единицей измерения энергетического пространственного спектра является:

см см =1 2, с 1 с см а размерность [E(k )] спектральной плотности E(k ) в классе MLT есть L [E(k )] = T в соответствии с определением размерности, приведенным в монографии Баренблатта [Баренблатт, 1978]. Исходя, например, из уравнения эволюции кинетической энергии однородной изотропной турбулентности в однородной жидкости b tur = - dis t легко устанавливается, что в системе СГС единицей измерения скорости диссипации кинетической энергии единицы массы является см 2 см 1 2 =1 3, с c с [ ] [ ] L а размерность в классе MLT есть = в соответствии с dis dis T определением размерности физической величины, приведенным в монографии Баренблатта [Баренблатт, 1978]. Также известно (и может быть проверено, например, из соотношения замыкания (9.1.9)), что в системе СГС см единицей измерения коэффициента кинематической вязкости является 1, с L а размерность [ ] в классе MLT есть [ ] = в соответствии с данным T [Баренблатт, 1978] определением размерности.

Легко устанавливается, что все величины dis, и k, которыми однозначно определяется вид энергетического пространственного спектра E (k, dis, ) мелкомасштабной развитой (однородной и изотропной) турбулентности, имеют зависимые размерности, т. е. размерность [ dis ], например, может быть представлена в виде произведения некоторых степеней размерностей [k ] и [ ] величин k и : [ dis ] = [] [k ].

Для нахождения и имеем уравнение:

[ ] L2 L2 1 L2 () = 3 = L, = T dis T T из которого получим систему двух линейных алгебраических уравнений:

2 = 2 - и 3=, из которой находим, что = 3 и = 4, что показывает зависимость размерностей величин dis, и k. В качестве величин, имеющих независимые размерности, могут быть выбраны, например, и k, размерности которых, соответственно, есть L2 T -1 и L1 в классе MLT.

Выберем для применения П - теоремы величины и dis в качестве величин, имеющих независимые размерности L2 T -1 и L2 T -3. Очевидно, что в данном случае число определяющих параметров n = 3, а число параметров, имеющих независимые размерности, k = 2, так что n - k = 1 и П - теорема дает ( ) = Ф(П ), E k, dis, k. (9.2.3) П= П1 = ( ) ( ) µ p q dis dis Для нахождения степеней µ и уравнение [E(k, )] [( )] [] µ, = dis dis µ L3 L2 L2 дает выражение 2 = 3, из которого имеем систему двух линейных T T T алгебраических уравнений 2 = 3µ +, 3 = 2µ + 2, из которой находим µ = 1 / 4 и = 5 / 4.

Для нахождения степеней p и q можно сразу сообразить, что размерность величины ( dis ) q должна быть такой же как размерность -p 3 внутреннего масштаба Колмогорова L k. Следовательно сразу имеем dis 3 П1 = k L k = k. В результате перепишем (9.2.3) в виде dis ( )( ) (9.2.2б) E k, dis, = dis Ф(kL K ), где Ф(kL K ) должна быть универсальной функцией безразмерного аргумента kL K в соответствии с первой уточненной гипотезой подобия Колмогорова [Колмогоров, 1941]. Полученный из П - теоремы вид (9.2.2б) универсального пространственного спектра E(k, dis, ) кинетической энергии турбулентности аналогичен виду (9.2.2а) с той лишь разницей, что в формуле (9.2.2б) используется dis вместо dis в формуле (9.2.2а), в выражении (9.2.2б) использовано стандартное [Баренблатт, 1978] обозначение Ф для универсальной функции вместо в формуле (9.2.2а), а также используется 3 общепринятое сейчас обозначение L k [Stillinger, Helland, Van Atta, dis 1983;

Gregg, 1987;

Gibson, 1987] для внутреннего масштаба Колмогорова в 3 = формуле (9.2.2б) вместо в формуле (9.2.2а). Отметим, что dis Колмогоров [Колмогоров, 1941] использовал математическое среднее значение скорости диссипации кинетической энергии в единице массы 3 при определении масштаба длины =, для которого мы используем 3 общепринятое сейчас обозначение L k.

dis Вид универсальной функции (k) в выражении (9.2.2а) находится Мониным и Озмидовым [Монин и Озмидов, 1981;

с. 78] так, чтобы удовлетворить предположение второй гипотезы подобия Колмогорова [Колмогоров, 1941], состоящей в том, что статистические характеристики локальных компонент гидродинамической скорости развитой турбулентности (распределения вероятностей для всевозможных разностей W (P) = U (P) U (P ( 0) ) ( = 1, 2, 3 ) на масштабах длины много больше 3 Lk ( k (L k ) 1 ) определяются единственным параметром dis (и dis в dis формуле (9.2.2б)). В этом случае зависимость от в формулах (9.2.2а) и - (9.2.2б) должна выпадать, “для чего должно быть (k) ( k ) 3 ” в (9.2.2а) и - в (9.2.2б). Поэтому в инерционном диапазоне спектр (kL K ) Ф(kL K ) кинетической энергии представляется [Монин и Озмидов, 1981] в виде 2 E(k ) = C1 ( dis ) 3 k 3, (9.2.4а) где C1 1,4 [Монин и Озмидов, 1981], или (учитывая уточненную формулировку Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] второй гипотезы подобия, в которой фигурирует среднее значение скорости диссипации кинетической энергии на единицу массы dis :

( )k E(k ) = Ko dis (9.2.4б).

Закон Колмогорова (9.2.4б) в инерционной области спектра с константой Колмогорова Ko = 5 / 3 обосновывается в работе [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 600] на основе динамической модели спектра турбулентности. Экспериментальные данные, приведенные в работе [Praskovsky and Oncley, 1994] указывают, что константа Колмогорова Ko в выражении (9.2.4б) лежит в пределах 1,59 Ko 1,88.

Рассмотрим соображения относительно вида функции Ф(kL K ) в формуле (9.2.2б) при значениях аргумента kL k от 1 до L k /L o ( L k l L o ). В работе [Taberlet and Fautrelle, 1985] экспериментально показано, что при малых числах Прандтля (для ртути) в диссипативной области (при больших значениях волновых чисел k ) имеет место энергетический пространственный спектр E(k ) k 3 мелкомасштабной турбулентности.

Энергетические пространственные спектры в диссипативной области E(k ), рассчитанные в работе [Stillinger, Helland, Van Atta, 1983;

рис. 18 (a-d), c. 114] по измерениям турбулентности в стратифицированном водном растворе хорошо приближаются зависимостями E(k ) k 3. Число Прандтля для пресной воды при 20 0 С равно Pr =6,75, числа Прандтля Pr для морской воды отличаются на 30% [Монин и Озмидов, 1981]. Эти и экспериментальные результаты для свободной атмосферы [Шур, 1962], согласно которым имеет место энергетический пространственный спектр E(k ) k 3 мелкомасштабной атмосферной турбулентности, указывают на универсальную форму энергетического пространственного спектра E(k ) в диссипативной области вида E(k ) k 3 в широком диапазоне чисел Прандтля.

Для того, чтобы зависимость (9.2.2б) от волнового числа k имела экспериментально обнаруженный вид E(k ) k 3 необходимо (и достаточно, поскольку коэффициент перед Ф(kL k ) в (9.2.2б) не зависит от k ), чтобы функция Ф(kL k ) имела универсальный вид Ф(kL k ) = (kL k ) -3, (9.2.5) где - некоторая универсальная постоянная (в силу П - теоремы и первой уточненной гипотезы подобия Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] для развитой турбулентности). Подставляя выражение (9.2.5) 3 и Lk в формулу (9.2.2б), будем иметь для области диссипации dis универсальный пространственный спектр вида:

3 ( )() () 5 1 = dis k 3, (9.2.5а) E k, dis, = dis (kL K ) -3 = (k) -3 dis 4 4 dis dis который показывает, что параметры и dis входят в отношение.

Следовательно, если искать (в соответствии с видом (9.2.1)) вид спектра E (k, dis, ) в предположении, что значащие параметры и dis входят в dis отношение, то тогда из П - теоремы следует единственно возможный вид (9.2.5а) универсального пространственного спектра кинетической энергии турбулентности в диссипативной области. В этом случае функция Ф в классической формулировке П - теоремы [Баренблатт, 1978] превращается в универсальную постоянную в выражении (9.2.5а) в силу П- теоремы и первой гипотезы подобия Колмогорова [Колмогоров, 1941] для развитой турбулентности. Действительно, составим всего из двух значащих ( ) dis параметров и k комбинацию с такой же размерностью, как у E k, dis,.

Для этого используем размерности отношения dis и k в классе MLT :

dis LT 1 = 3 2 = 2, [k ] =, L TL T поэтому ищем такие m и y при которых удовлетворяется уравнение m y L 1 2 = 2.

T L T В результате имеем линейную систему уравнений 2m = 2, 3 = - y, из которой находим y = -3, m = 1. Следовательно, единственным образом можно получить из П - теоремы ( ) E k, dis, = dis k.

Итак, если принять в соответствии с (9.2.1), что спектр E(k, dis, ) ( ) dis должен зависеть от отношения и k, то спектр E k, dis, определяется из П - теоремы единственным образом в виде (9.2.5а), где - некоторая универсальная константа.

Универсальная зависимость (9.2.5а) представляется вполне логичной.

dis Действительно, отношение определяет среднее значение 2 (e jk e jk ) квадратичной функции от тензора скоростей деформаций e jk. Величина (e jk e jk ) определяет (для изотропной однородной турбулентности в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости) среднее значение макроскопической сдвиговой кинетической энергии единицы массы жидкой частицы кубической формы (см. раздел 2.3 главы 2):

s = (e ij ) 2 = dis, которое согласовано со спектром (9.2.5а): для изотропной однородной турбулентности в несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости имеем :

1 1 dis b tur = s + r = 2 s = dis = (9.1.9) l 2 в силу того, что = l 2 для жидкой частицы кубической формы с размером ребра l (см. главу 4).

Запишем, исходя из П - теоремы [Баренблатт, 1978] для значащих параметров, dis (в соответствии с уточненной гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] и волнового числа k, единственно возможный вид энергетического пространственного спектра E(k ) мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности, не предполагая заранее зависимость спектра E(k ) от волнового числа k вида k 3, а считая (в соответствии с формулой (9.2.1)), что параметры и dis dis входят только в отношение :

dis k E(k ), (9.2.6) где – некоторый безразмерный коэффициент.

Исходя из центрального значения d,cr 12N 2 нижних границ ( d,cr = dis dis = 15N 2 и d,cr = 10N 2, указанных, соответственно, в работах [Gibson, 1987] и dis [Gregg, 1987], средней переходной (критической) скорости вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы, найдем численное значение параметра, при котором энергетический пространственный спектр (9.2.6) можно считать энергетическим пространственным спектром мелкомасштабной турбулентности в соответствии с представлениями работ [Миропольский и Филюшкин, 1971;

Монин и Озмидов, 1981] о времени взаимодействия i, которое определяется через E(k ) в виде:

( ) i = k 3 E(k ) (9.2.7) и должно [Миропольский и Филюшкин, 1971;

Монин и Озмидов, 1981] удовлетворять условию i N 1, чтобы E(k ) можно было считать энергетическим пространственным спектром турбулентности. Значение d,cr = 15N 2 нижней границы средней критической (переходной) скорости dis вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы в критическом диапазоне dis,cr = (15 25) N 2, согласно работе [Gibson, 1987], разграничивает затухающую турбулентность и внутренние гравитационные волны в стратифицированной вязкой жидкости. В работе [Gregg, 1987] приводится критический диапазон dis,cr = (10 25) N 2 средних критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы. Взяв в качестве нижней границы средней критической скорости вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы значение d,cr 12N 2, которое dis является средним от указанных в работах [Gibson, 1987;

Gregg, 1987] нижних значений, получим, что для наличия турбулентности необходимо выполнение условия dis d,cr 12N 2. Подставляя соотношение (9.2.6) в dis выражение (9.2.7) получаем выражение для i, (9.2.8) i = dis которое удовлетворяет требуемому в работах [Миропольский и Филюшкин 1971;

Монин и Озмидов, 1981] условию i N 1 при наличии турбулентности (когда dis d,cr 12N 2 ) только при 1 / 12 в выражении (9.2.6).

dis Найдем безразмерный коэффициент = 1 / 12 в зависимости (9.2.6) другим способом, исходя из экспериментального диапазона (в котором происходил переход затухающей турбулентности в короткие внутренние гравитационные волны) средних критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы dis,cr = (15 21) N 2 [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986], а также учитывая критические диапазоны dis,cr = (15 25) N и dis,cr = (10 25) N, которые приведены, соответственно, 2 в работах [Gibson, 1987] и [Gregg, 1987] для океанской турбулентности.

Интегрируя для этого E(k ) в выражении (9.2.6) по волновым числам k от k = 1/ l до k = +, получим кинетическую энергию b tur ( l ) турбулентных пульсаций (в единице массы), обусловленных турбулентными вихрями со всевозможными размерами от 0 до максимальных размеров, равных l :

dis b tur ( l )= E(k )dk = l. (9.2.9) l Полученное выражение (9.2.9) с точностью до безразмерного коэффициента совпадает с полученным в главе 4 и используемым в разделе 9.1 главы 9 соотношением замыкания 1 dis b tur ( l )= (9.1.9) l для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности с размером l энергосодержащих вихрей в ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости.

Будем использовать для нахождения безразмерного коэффициента в выражениях (9.2.6) и (9.2.9) уравнение эволюции однородной изотропной турбулентности в стратифицированной жидкости [Smith, Zavialov and Moum, 1997] b tur =- dis - dis, (9.2.10) t в котором дополнительный член - dis описывает превращение кинетической энергии турбулентности в потенциальную энергию вследствие турбулентного перемешивания.

Используя соотношение (9.2.9) для кинетической энергии b tur турбулентных пульсаций (в единице массы), а также уравнение (9.2.10) модели [Smith, Zavialov and Moum, 1997], найдем диапазон средних критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы dis,cr, характеризующих резкую границу между турбулентностью и внутренними гравитационными волнами в стратифицированной вязкой жидкости. Рассматривая для этого в стратифицированной жидкости кубическую жидкую частицу с длиной ребра l L o, массой m = l 3 и с верхними и нижними гранями параллельными изопикническим поверхностям, получим, что центр тяжести рассматриваемого жидкого куба смещен вниз относительно его геометрического центра на расстояние 1 d l. Поэтому для того, чтобы (под действием внутренних h= 12 dz гравитационных волн или турбулентности) перевернуться твердотельно в поле силы тяжести, рассматриваемый стратифицированный жидкий куб должен иметь достаточную минимальную турбулентную кинетическую энергию Е P = 2 m gh, необходимую, чтобы поднять центр тяжести из устойчивого нижнего положения на расстояние 2h в процессе твердотельного вращения в поле силы тяжести. В результате получим выражение для минимальной турбулентной кинетической энергии единицы массы N 2l ЕP, (9.2.11) = bp = m необходимой для твердотельного переворачивания единицы массы стратифицированной жидкости в поле силы тяжести (без учета сил вязкости).

Воспользовавшись соотношением (9.2.9) для кинетической энергии b tur турбулентных пульсаций (в единице массы), получим соответствующую b tur = b p верхнюю границу dis, p минимальной средней скорости вязкой u диссипации кинетической энергии в единице массы 2b p N 2, (9.2.12) dis, p = = u l необходимую только для твердотельного переворачивания единицы массы стратифицированной жидкости в потенциальном поле силы тяжести.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.