авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский государственный экономический университет ...»

-- [ Страница 7 ] --

Нижняя граница dis, p минимальной средней скорости вязкой диссипации d кинетической энергии в единице массы, необходимой, чтобы поднять центр тяжести жидкого куба с длиной ребра l из устойчивого нижнего 1 d состояния на расстояние h = l в процессе нетвердотельного вращения 12 dz в поле силы тяжести, в два раза меньше значения (9.2.12):

b p N 2. (9.2.13) d, p = = dis l Значения верхних и нижних границ вторых компонент dis, v и dis, vu p минимальной средней скорости вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы, связанных с работой вязких сил, согласно уравнению (9.2.10) в 1/ раз превосходят значения dis, p и d, p, данные выражениями u dis (9.2.12) и (9.2.13), т. е.

N 2, (9.2.14) dis, v = u 3Г N 2. (9.2.15) = d, v dis 6Г В результате имеем выражения для верхней dis,cr и нижней d,cr границ u dis средней критической скорости вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы стратифицированной вязкой жидкости (1 + Г) dis,cr = dis, p + dis, v = N 2, (9.2.16) u u u 3Г (1 + Г) d,cr = d, p + dis, v N 2. (9.2.17) = p dis dis 6Г Для максимального, согласно [Smith, Zavialov and Moum, 1997] для большинства исследований, параметра = 0,2 получим из (9.2.16) и (9.2.17) значения верхней dis,cr и нижней d,cr границ средней критической скорости u dis вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы стратифицированной вязкой жидкости:

2 dis,cr = N 2, d,cr = N 2.

u dis В результате получим теоретический диапазон средних критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы стратифицированной вязкой жидкости 1 N 2 N 2. (9.2.18) dis,cr = Значение dis,cr = 18N 2 является центральным в экспериментальном [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] диапазоне dis,cr = (15 21)N 2 средних критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы. Для того чтобы среднее значение критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы в теоретическом диапазоне (9.2.18) равнялось среднему экспериментальному значению dis,cr = 18N 2, полученному в работе [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986], необходимо и достаточно, чтобы коэффициент в выражениях (9.2.6), (9.2.9) и (9.2.18) был равен 1 / 12. Отметим, что критические диапазоны dis,cr = (15 25) N 2 и dis,cr = (10 25) N 2, которые приведены, соответственно, в работах [Gibson, 1987] и [Gregg, 1987] для океанской турбулентности, также дают в качестве среднего арифметического от центральных значений двух диапазонов величину 18,7 N 2, которая достаточно близка к центральному значению 18N 2 критического диапазона dis,cr = (15 21)N 2 в экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]. В результате из диапазона (9.2.18) при = 1 / 12 получим теоретический диапазон средних критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы стратифицированной вязкой жидкости dis,cr = 12N 2 24N 2. (9.2.19) Верхнее значение dis,cr = 24vN 2 в критическом диапазоне (9.2.19) является u достаточным для переворачивания жидкого куба единицы массы в потенциальном поле силы тяжести в стратифицированной вязкой жидкости.

Верхнее значение dis,cr = 24vN 2 в диапазоне (9.2.19) приблизительно равно u значению dis,cr = 25vN 2, при котором, согласно работам [Gibson, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992], прекращается способность океанской турбулентности к перемешиванию. Нижняя граница d,cr = 12N 2 в критическом диапазоне dis (9.2.19) близка к среднему значению d,cr = 12,5N 2 от указанных в [Gibson, dis 1987;

Gregg, 1987] значений нижних границ критических диапазонов.

Итак, используя для кинетической энергии (единицы массы) мелкомасштабной турбулентности выражение (9.2.9), выведенное из предположения о зависимости спектра (9.2.6) только от значащих параметров dis и (в соответствии с усовершенствованной гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981]), получена хорошая согласованность теоретического (9.2.19) и экспериментальных критических диапазонов в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] и в океане [Gibson, 1987;

Gregg, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992].

Использование соотношения замыкания (9.1.9) вместе с соотношением соотношением t = l b [Монин и Яглом, 1965] для (5.1.2) и коэффициента турбулентной вязкости t дает выражение t = l 2 ( 5 16 ) ( v 1 / X 3 )2, (9.2.20) практически согласованное с “полуэмпирической” формулой Прандтля [Монин и Яглом, 1965;

Ландау и Лифшиц, 1988].

Таким образом, проанализирована гипотеза [Монин и Озмидов, 1981] о возможности существования универсального энергетического пространственного спектра мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности в океане. Для значащих параметров, dis (в соответствии с уточненной гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] и волнового числа k получен, исходя из П - теоремы [Баренблатт, 1978], единственно возможный вид (9.2.6) энергетического пространственного спектра E(k ) dis k / мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности в диссипативной области.

Аналогичные зависимости энергетических пространственных спектров вида E(k ) k 3 ранее четко фиксировались в экспериментальных исследованиях [Шур, 1962;

Hall and Pao Yih-Ho, 1969;

Itsweire, Helland and Van Atta, 1986;

Taberlet and Fautrelle, 1985] для диссипативной области и в широком диапазоне чисел Прандтля. Частотные энергетические спектры пульсаций температуры вида E T (f ) f 3 также ранее были получены в лабораторных экспериментах (Gibson, 1968) при малых числах Прандтля Pr=0,02 (для ртути) и в экспериментальных исследованиях [Шур, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] турбулентности в свободной атмосфере. Также ранее отмечалось [Монин и Озмидов, 1981;

с. 196], что в экспериментальных исследованиях Лозовацкого [Лозовацкий, 1977] в Балтийском море спектральные кривые пространственных энергетических спектров температуры E T (k ) хорошо приближаются законом k в области масштабов l 0,7 м (не превосходящих масштаб Озмидова L o ).

Идентичный безразмерный коэффициент = 1 / 12 в выражениях (9.2.6) и (9.2.9) найден независимо, исходя как из представлений [Миропольский и Филюшкин, 1971;

Монин и Озмидов, 1981] о времени взаимодействия, так и из центральных значений в экспериментальных диапазонах критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] и в океане [Gibson, 1987;

Gregg, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992], c использованием уравнения эволюции модели [Smith, Zavialov and Moum, 1997] однородной изотропной турбулентности в стратифицированной жидкости. Рассматривая соотношение (9.2.9) при = 1 / 12 в качестве соотношения замыкания для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности с размером l энергосодержащих турбулентных вихрей, получен теоретический диапазон (9.2.19) средних критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы, согласованный с экспериментальным диапазоном в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986], а также с экспериментальным диапазоном в океане [Gibson, 1987;

Gregg, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992]. Это доказывает первую уточненную гипотезу Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] и показывает несущественность параметров и T для статистической динамики мелкомасштабной турбулентности в диссипативной области и, таким образом, указывает на универсальность энергетических спектров E(k ) dis k 3 / для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности в океане в диапазоне масштабов от внутреннего масштаба Колмогорова до масштаба плавучести Озмидова.

Поскольку вывод об универсальности полученного энергетического пространственного спектра (9.2.6) вида E(k ) dis k 3 / (в соответствии с первой уточненной гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] был сделан на основе соотношения (9.2.9), вытекающего из выражения (9.2.6), и экспериментальных данных [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986;

Gibson, 1987;

Gregg, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992], то есть основания полагать, что это косвенным образом обосновывает ранее постулированный принцип соответствия [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996].

9.3. Универсальная форма пространственных и временных энергетических спектров пульсаций температуры, обусловленных развитой мелкомасштабной однородной изотропной турбулентностью в океане Оценим время температурной релаксации (рассасывания) температурных неоднородностей по формуле (9.1.6). Время рассасывания температурных неоднородностей в морской воде при 20 С и солености промилле (число Прандтля для морской воды при 20 0 С и солености промилле равно Pr =7), вычисленное по формуле (9.1.6) для размера неоднородностей l =1 см, составляет около 10,6 мин, в то время как неоднородности температуры в океане наблюдаются в течение суток.

Использование в качестве эффективного коэффициента температуропроводности значения 50 см / с, характерного при наличии внутренних гравитационных волн на границе шельфа Японского моря [Navrotsky, Lazaryuk and Simonenko, 1992], на порядок уменьшает полученную оценку. Таким образом, если бы влияние коэффициента молекулярной температуропроводности на динамику мелкомасштабных структур температуры было решающим, то пространственные мелкомасштабные неоднородности температуры рассасывались бы за значительно более короткие временные периоды, чем они наблюдаются в океане [Монин, Федоров и Шевцов, 1973]. Все это указывает на то, что мелкомасштабные неоднородности температуры в океане имеют чисто динамическое происхождение, связанное с непрерывной генерацией и затуханием мелкомасштабной турбулентности [Монин и Озмидов, 1981;

Gibson, 1981] в результате обрушения внутренних гравитационных волн либо, в отсутствии турбулентности, с процессом теплопроводности [Navrotsky, Lazaryuk and Simonenko, 1992] при наличии сдвига скорости в случайном поле постоянно существующих внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости.

Представление о генерации турбулентностью тонкой структуры поля температуры [Монин и Озмидов, 1981] находится в соответствии с представлением работ [Gibson, 1981;

Gibson, 1987] о том, что тонкие структуры поля температуры могут наблюдаться как остатки ранее протекавших интенсивных турбулентных процессов. Для таких остаточных затухающих процессов в работе [Gibson, 1987] вводится термин “fossil turbulence”, переведенный Набатовым и Озмидовым [Набатов и Озмидов, 1992] как “ископаемая турбулентность”. О взаимосвязи тонкой структуры полей температуры, внутренних гравитационных волн и турбулентности указывалось также Миропольским [Миропольский, 1981].

Покажем строго (в дополнение к аргументам, приведенным в разделе 9.1), что использование соотношения замыкания (9.1.9) для кинетической энергии b tur турбулентных пульсаций (в единице массы) дает соотношение для времени t ( l ) вязкой релаксации некоторой турбулентной области с линейным размером l l t ( l ) =, (9.3.1) аналогичное соотношению (9.1.8) для времени вязкой релаксации, введенному ранее [Миропольский, 1981] для внутренних гравитационных волн. Записывая для этого уравнение эволюции однородной изотропной турбулентности [Монин и Яглом, 1965] в однородной по плотности жидкости b tur (9.3.2a) = - dis t и используя в качестве кинетической энергии турбулентности единицы массы b tur ( l ) выражение (9.1.9), а также считая, что размер l остается фиксированным по времени, получим в результате интегрирования (9.3.2a) экпоненциально затухающую временную зависимость (экспериментально наблюдаемую [Smith, Zavialov and Moum, 1997] в океане) средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis (t) от начального значения dis (0) при t=0:

t t l dis (t) = dis (0) e = dis (0) e, (9.3.2б) где параметр = l / 24 дает время затухания dis в e 2,718 раз.

Следовательно, в качестве времени вязкой релаксации (диссипации) кинетической энергии турбулентности в масштабе l необходимо рассматривать именно выражения (9.1.8) или (9.3.1). Только в этом случае выражение (9.3.1) дает время вязкой релаксации t ( L k ) для внутреннего 1 3 Lk tk масштаба Колмогорова равным внутреннему dis dis масштабу времени Колмогорова [Колмогоров, 1941] в соответствии с представлениями [Колмогоров, 1941;

Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 3 1981] о существенном влиянии вязкости для масштабов L k. Этот dis результат аналогичен тому, что время температурной релаксации t ( T ) 3 T =, внутреннего масштаба Корсина-Обухова вычисленное по dis формуле (9.1.6), равно внутреннему масштабу времени Корсина–Обухова tT =.

dis Используя соотношение замыкания (9.1.9) для кинетической энергии b tur ( l ) турбулентных пульсаций (в единице массы), получим выражение для времени t ( L o ) вязкой релаксации турбулизированной области с линейным размером l, равным масштабу плавучести Озмидова L o в стратифицированной по плотности вязкой ньютоновской несжимаемой жидкости. Используя для этого уравнение (9.2.10) эволюции однородной изотропной турбулентности в стратифицированной жидкости [Smith, Zavialov and Moum, 1997], а также предполагая автомодельность масштаба l = L o = dis по времени, получим в результате интегрирования уравнения N3 (9.2.10) линейно затухающую временную зависимость средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis (t) от начального значения dis (0) при t=0:

dis (t ) = dis (0 ) 12(1 + )N 3 t. (9.3.3) Следовательно, исходя из (9.3.3), получим, что в качестве времени вязкой релаксации (диссипации) кинетической энергии в масштабе l = L o можно рассматривать выражение:

dis -1 L2o 1 t ( L o )=. (9.3.4) N= 12(1 + Г) N 2 12(1 + Г) Оценка (9.3.4) показывает, что развитая (активная, в терминологии Гибсона [Gibson, 1987]) турбулентность с масштабами Озмидова при больших скоростях диссипации кинетической энергии в единице массы dis характеризуется большими временами вязкой релаксации t ( L o ) по сравнению с максимальными временными периодами турбулентных пульсаций ( L o ) N [Монин и Озмидов, 1981]. Это означает, что развитая (активная) турбулентность с масштабами Озмидова при значениях dis намного больше верхнего значения dis,cr = 24 N 2 в критическом u диапазоне (9.2.19) находится в чрезвычайно неравновесном термодинамическом состоянии, в котором предположение о твердотельном вращении вихрей заведомо неприемлемо. Этот вывод согласуется с проанализированными в главе 6 результатами лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] по затуханию стратифицированной турбулентности, генерируемой гидродинамическими решетками. Результаты анализа работы [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] показали, что даже на стадии вырождения турбулентности и перехода во внутренние гравитационные волны движения жидкости не являются твердотельными, как это видно из наличия численного коэффициента 1,2 (существенно меньшего значения 2, соответствующего локально твердотельному вращению жидкости) в выражениях (1.3.19) и (6.4.1.3).

Из выражений (9.1.6), (9.1.8) и (9.1.6), (9.3.4) следуют отношения времен температурной релаксации к временам вязкой релаксации, соответственно, для внутреннего масштаба Колмогорова L k и масштаба Озмидова L o t (L k ) = Pr, (9.3.5а) = t (L k ) t (L o ) = 12(1 + Г)Pr, (9.3.5б) t (L o ) которые показывают, что времена температурной релаксации масштаба Колмогорова L k и масштаба Озмидова L o значительно превосходят времена вязкой релаксации этих же масштабов для морской воды (число Прандтля для морской воды при 20 0 С и солености 35 промилле равно Pr =7).

Соотношения (9.3.5а, 9.3.5б) объясняют выводы (сделанные ранее на основе анализа экспериментальных данных) работы [Gibson, 1987] о том, что тонкие структуры поля температуры существуют по времени дольше, чем тонкие структуры поля скорости турбулентных пульсаций и поэтому могут указывать на существование ранее протекавших активных турбулентных процессов. Это является теоретическим указанием на то, что временная и пространственная динамики неоднородностей в пространственно-временном поле температуры, обусловленном мелкомасштабной турбулентностью, также должны описываться законами, соответственно, k 3 и f 3 также как и динамики (рассмотренные в разделе 9.2) пространственно-временных неоднородностей поля скорости мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности. Дальнейшей целью раздела 9.3 является рассмотрение этой гипотезы.

Получим соответствующие пространственному (9.1.9а) и временному (9.1.9б) спектрам (кинетической энергии мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности) эквивалентные пространственные E T (k ) и временные E T (f ) спектры вариаций температуры, обусловленных мелкомасштабной турбулентностью. Мы полагаем спектры (9.1.9а) и (9.1.9б) верными в диапазоне масштабов L k l L o от внутреннего масштаба 1 3 Колмогорова L k L o = dis,в до масштаба плавучести Озмидова N3 dis котором, как показано в разделах 9.1 и 9.2, влияние молекулярной теплопроводности (определяемой коэффициентом молекулярной температуропроводности ) сводится к рассасыванию температурных неоднородностей, вызванных неоднородностями сдвига скорости в турбулентном поле скорости.

Известно, что в инерционно-конвективном диапазоне зависимости пространственных энергетических спектров вариаций температуры и пространственных энергетических спектров от волнового числа k идентичны [Обухов, 1949;

Монин и Озмидов, 1981;

Ландау и Лифшиц, 1988, с. 300;

Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 600;

Sreenivasan, 1996, c.

189]:

( ) k E(k ) (9.2.4б), dis ( ) E T (k ) k.

(9.3.7) T dis Отметим, что аналогичная зависимость спектров E(k ) и E T (k ) от волновых чисел k в инерционно-конвективном диапазоне масштабов следует из полученных [Обухов, 1949;

Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 189, 191] аналогичных от рассматриваемых масштабов зависимостей пульсаций скорости v и пульсаций температуры T :

1 1 ( dis ), T ( dis ) (), (9.3.8) v 3 6 которые зависят идентично от в инерционно-конвективном диапазоне масштабов. При этом использовалось [Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 299] естественное предположение, что “существенное изменение средней температуры происходит на тех же расстояниях l (основной масштаб турбулентности), на которых меняется средняя скорость движения”. Это именно то предположение, которое ранее рассматривалось в разделе 9.1 при обосновании несущественности коэффициента молекулярной температуропроводности для динамики мелкомасштабных пульсаций температуры, обусловленных мелкомасштабной турбулентностью. По видимому это же предположение обосновывается идентичными от волновых чисел зависимостями (9.1.3) экспериментально полученных k пространственных спектров энергии и пространственных спектров пульсаций температуры для свободной атмосферной турбулентности [Шур, 1962;

Монин и Озмидов, 1981].

3 То, что времена температурной релаксации для масштабов L k dis L o = dis и (см. (9.3.5а) и (9.3.5б)) значительно больше времен вязкой N3 релаксации этих же масштабов казалось бы показывает значимость коэффициента молекулярной температуропроводности на динамику поля температурных пульсаций. Но, с другой стороны, в соответствии с тем, что показано в разделе 9.1, используя выше указанное предположение [Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 299], ясно, что поскольку времена вязкой релаксации масштабов L k и L o значительно меньше времен температурной релаксации этих же масштабов, то процессы вязкой релаксации протекают быстрей, и именно ими определяется динамика пространственно-временного распределения температуры. Поэтому приращения тепловой энергии du единицы массы за время dt определяется приближенным соотношением du = dTc p dis dt в силу доказанной в разделе 9.1 несущественности первого члена в уравнении теплопроводности (9.1.16) для развитой мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности. Эта несущественность первого члена в уравнении (9.1.16) также не вызывает сомнений, например, у Грегга [Gregg, 1983], который сразу выписывает уравнение теплопроводности при наличии турбулентности без первого члена в выражении (9.1.16) без всякого предварительного теоретического анализа.

Поскольку предположение [Ландау и Лифшиц, 1988;

с. 299], что “существенное изменение средней температуры происходит на тех же расстояниях l (основной масштаб турбулентности), на которых меняется средняя скорость движения” использовалось в разделе 9.1 и также будет использоваться здесь, покажем, что размер l энергосодержащих вихрей в соотношении замыкания (9.1.9) (т.е. фактически и само соотношение замыкания (9.1.9)) удовлетворяет накладываемому условию [Galperin, Rosati, Kantha and Mellor, 1989;

c. 903] на турбулентный масштаб l :

lN c, (9.3.9) q где N - частота Вяйсяля, q 2b tur, c - некоторая константа, которая получена равной c 0,6 из лабораторных экспериментов [Dickey and Mellor, 1980] на последней фазе затухания турбулентности. Подставляя соотношение замыкания (9.1.9) в условие (9.3.9) получим:

lN lN 24 lN 24 lN N, (9.3.10) = = = = Nc= dis,cr q dis 2b tur 2l 2 dis 2l 2 dis где dis,cr tr - некоторая критическая средняя скорость вязкой диссипации кинетической турбулентной энергии в единице массы жидкости.

В разделе 4.3 приведена оценка [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для верхней границы rtr (L o ) = 32N 2 (теоретическая "вращательная" переходная (критическая) скорость диссипации кинетической энергии на единицу массы) переходного диапазона критических скоростей вязкой диссипации кинетической энергии на единицу массы для размера турбулентных вихрей l = L o = dis на фазе коллапса турбулентных вихрей и перехода N3 турбулентности во внутренние гравитационные волны. Начиная со значений dis = 32N (средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы), согласно работам [Simonenko, 2004;

2005;

2006], происходит переход турбулентности во внутренние гравитационные волны в гидродинамическом режиме локально-твердотельного (термодинамически равновесного) движения жидкости. Значение tr (L o ) = 32N примерно равно среднему r 2 арифметическому от значений 35 N и 30 N верхних границ критических диапазонов скоростей диссипации кинетической энергии в единице массы, указанных, соответственно, Гибсоном [Gibson, 1987] и Хопфингером [Hopfinger, 1987]. Подставляя верхнее теоретическое "вращательное" критическое (переходное) значение tr (L o ) = 32N r в правую часть выражения (9.3.10), получим максимальное значение константы c в выражении (9.3.9): c = 12 / 32 0,61, которое практически совпадает со значением c 0,6, полученным ранее в лабораторных экспериментах [Dickey and Mellor, 1980] на последней фазе затухания турбулентности. Если значение средней скорости диссипации кинетической энергии в единице массы dis rtr (L o ) = 32N 2, когда турбулентность находится в активном состоянии, то значение константы c, как видно из выражения (9.3.10), будет меньше, чем 0,61 в соответствии с тем, что значение c = 0,53, меньшее, чем 0,61, использовалось в работах [Аndre, De Moor, Lacarrere, Therry and du Vachat, 1978;

Hassid and Galperin, 1983;

Galperin, Kantha, Hassid and Rosati, 1988] при моделировании процесса турбулентного вовлечения в спокойную стратифицированную жидкость.

Учитывая возможное максимальное критическое теоретическое tr = sdis,cr (L o ) strr (L o ) = 37,3 N 2, рассчитанное из формулы r значение (6.3.14а) раздела 6.3 при возможном [Gibson, 1987] размере энергосодержащих турбулентных вихрей l = 0,6L o, получим, что константа c в переходном гидродинамическом режиме может принимать значение c = 12 / 37,3 0,56, которое практически близко к используемому значению c = 0,53 в перечисленных выше работах [Аndre, De Moor, Lacarrere, Therry and du Vachat, 1978;

Hassid and Galperin, 1983;

Galperin, Kantha, Hassid and Rosati, 1988]. В качестве константы c в (9.3.9) в работе [Galperin, Rosati, Kantha and Mellor, 1989] при численном моделировании турбулентности также использовалось значение c = 0,53, соответствующее dis,cr tr = 42,7 N в выражении (9.3.10). Для значений dis 42,7 N 2 численное значение N dis,cr в выражении (9.3.10) принимает значения меньшие, чем значение c = 12 / 37,3 0,56.

Таким образом, мы показали, что размер l энергосодержащих турбулентных вихрей, вычисленный из соотношения замыкания (9.1.9) для мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности, удовлетворяет экспериментальному условию (9.3.9), накладываемому на турбулентный масштаб длины в работе [Galperin, Rosati, Kantha and Mellor, 1989;

c. 903].

Это дает разумное основание (помимо всех ранее представленных доводов, в том числе в разделах 9.1 и 9.2) не сомневаться в применимости соотношения замыкания (9.1.9) для описания мелкомасштабной изотропной однородной турбулентности в диссипативном диапазоне масштабов L k l L o от внутреннего масштаба Колмогорова L k до масштаба плавучести Озмидова L o. Этот результат в совокупности с возможностью распространения предположения Ландау и Лифшица [Ландау и Лифшиц, 1988, с. 299] (о том, что “существенное изменение средней температуры происходит на тех же расстояниях l (основной масштаб турбулентности), на которых меняется средняя скорость движения”) на диссипативные масштабы (с той лишь разницей, что в этом случае под средней температурой и средней скоростью движения стоит теперь понимать средние величины температуры и скорости для малых жидких частиц по сравнению с масштабом l энергосодержащих вихрей в вязком диапазоне) дает основание предположить, что универсальный закон зависимости энергетического пространственного спектра E(k ) k 3 от волнового числа k (или эквивалентный универсальный закон зависимости энергетического частотного спектра E(f ) f 3 от временной частоты f ) для мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности (в диссипативном диапазоне) должен приводить к аналогичным универсальным зависимостям пространственных и частотных спектров пульсаций температуры вида E T (k ) k 3 и E T (f ) f 3, соответственно, от волнового числа k и временной частоты f. Покажем верность этой гипотезы, используя аргументы П-теоремы теории размерностей [Баренблатт, 1978].

Для этого, используя выражение (9.1.4), перепишем выражения (9.1.3) для пространственных спектров энергии E(k ) и пульсаций температуры E T (k ), рассчитанных по измерениям турбулентности в свободной атмосфере [Шур, 1962;

Монин и Озмидов, 1981], в виде выражений:

T E (k ) qN 2 k 3, (9.3.11а) g k z N g T T 1 T E T (k ) E (k ) = E (k ) = E (k ), k= (9.3.11б) g (g ) z z g z которые не показывают зависимости от удельной теплоемкости при постоянном давлении c p, фигурирующей в качестве определяющего параметра в уравнении теплопроводности (9.1.16), определяющем динамику поля температуры в теплопроводной и вязкой жидкости [Ландау и Лифшиц, N 1988;

c. 277]. Найдем размерность множителя в формуле (9.3.11б).

g Учитываем для этого, что спектры E(k ) и E T (k ) определяются в виде:

+ E(k)dk v tur = b tur, (9.3.12) + (T )2, E (9.3.13) (k)dk T где v tur - пульсация турбулентной скорости [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 604], T -турбулентная пульсация температуры [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 600, 605]. Находим из выражений (9.3.12) и (9.3.13) отношение размерностей [E T (k)] и [E(k)] в классе систем MLT ( размерность температуры, [Баренблатт, 1978, с. 35]):

[E T (k)] = [(T )2 ] = 2T, (9.3.14) [E(k)] [v 2 ] L tur N что и является размерностью множителя в выражении (9.3.11б):

g N 2T =. (9.3.15) L g Можно утверждать, что размерный множитель r между спектрами E T (k ) и E (k ) :

E T (k) r= (9.3.16) E(k) всегда (при учете или без учета стратификации) должен иметь размерность [r ] = = 2 T 2 / L2, даваемую выражением (9.3.15). В этом легко убедиться, найдя размерность [E T (k)] из (9.3.14). Имеем для размерности [E T (k)] (учитывая размерность [E(k)], приведенную в разделе 9.2):

2T 2 L3 2 T [E T (k)] = [E(k)] 2 = 2 2 = L 2, L T L которая соответствует единице измерения 1 см ( 0 С) 2 спектральной плотности E T (k ) в системе СГС (см., например, [Монин и Озмидов, 1981;

c. 206] или [Миропольский и Филюшкин, 1971;

c. 787]).

Учитывая, что второй член в уравнении (9.1.16) существенно превосходит первый член, найдем вид пространственного спектра E T (k ) температурных турбулентных пульсаций в однородной по плотности g d =0) несжимаемой ( div v = 0 ) жидкости. Будем считать, что в ( N2 = dz качестве определяющих параметров этого спектра помимо волнового числа k могут быть средняя (в соответствии с уточненной гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981]) скорость диссипации кинетической энергии в единице массы dis и удельная теплоемкость при постоянном давлении c p (фигурирующие в качестве определяющих параметров в уравнении теплопроводности (9.1.16)), а также коэффициент кинематической вязкости. Для этого, предполагая пока, что пространственный энергетический спектр E(k ) определяется универсальной формой (9.1.9а), найдем размерность размерного множителя r между спектрами E T (k ) и E(k ) в выражении (9.3.16), исходя из размерностей определяющих параметров dis, c p и. Учитывая определение c p, согласно которому c p есть Q(m t), где Q - приращение (при постоянном давлении) внутренней тепловой энергии жидкой частицы массы m при приращении на t ее температуры, имеем, что возможной единицей измерения удельной теплоемкости при постоянном давлении c p может быть см 2 с 2 ( 0 С) (помимо Дж г 1 ( 0 С) 1, эрг г 1 ( 0 С) 1 ) и др.). Следовательно, легко определяется размерность [cp ] в классе систем MLT :

[c ] = T 2 - p L в соответствии с определением размерности [c p ] [Сена, 1969;

c. 141].

Используя в качестве определяющих параметров только dis и c p, которые фигурируют ( dis вместо dis ) в качестве параметров в уравнении теплопроводности (9.1.16)) помимо несущественного коэффициента молекулярной температуропроводности, попытаемся только из dis и c p составить размерный комплекс с такой же размерностью, как размерность [r ] = = 2 T 2 / L2 в выражении (9.3.16). Для этого имеем уравнение:

[ dis ] [c p ] = 2 T 2 / L2, которое, учитывая известные размерности [ dis ] и [c ], перепишем для p нахождения степеней и в виде:

L2 L2 2T 3 2=, T T L из которого имеем систему линейных алгебраических уравнений:

= -2, 2 + 2 = -2, -3 - 2 = 2, которая не имеет решений. Следовательно, двух параметров dis и c p явно недостаточно, чтобы получить пространственный спектр E T (k ) турбулентных пульсаций температуры.

Используя все три определяющих параметра dis, c p и, составим из этих параметров размерный комплекс с такой же размерностью, как [r ] = 2 T 2 / L2 в выражении (9.3.16). Имеем для нахождения степеней, и уравнение:

[ dis ] [c p ] [] = 2 T 2 / L2, которое перепишем, учитывая известные размерности [ dis ], [c p ] и [ ], в виде:

L2 L2 L2 2T 3 2 =, T T T L из которого составим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения, и :

= -2, 2 + 2 +2 = -2, 3 + 2 + = -2, из которой получим: = -2, = 1/2, =1/2. Следовательно, представим r в выражении (9.3.16) в виде:

() r = S dis 2 2 c p с точностью до безразмерного коэффициента S. В результате пространственный спектр E T (k ) турбулентных температурных пульсаций находится в виде:

() E T (k ) E (k ) dis 2 2 c p.

(9.3.17) Подставляя в формулу (9.3.17) выражение (9.1.9а) для E(k ), получим E T (k ) выражение для пространственного спектра турбулентных температурных пульсаций в однородной по плотности и несжимаемой жидкости ( ) E T (k ) k 3, (9.3.18) dis cp 1/ которое дает правильную размерность для [E T (k)] :

3 L2 2 T L (L ) = [E T (k)] = L 2.

-1 3 T L T Используя условие равенства энергий в спектральных диапазонах, соответственно, по временной частоте f и волновому числу k :

E T (f)df = E T (k)dk, а также соотношение k ~ f/u [Ландау и Лифшиц, 1988] при условии, что для характерной скорости u используется среднеквадратичная пульсация турбулентной скорости u = u = (u 1 ) 2 ~ b tur, запишем соответствующий выражению (9.3.18) эквивалентный частотный энергетический спектр пульсаций температуры ( ) E T (f ) b tur f 3. (9.3.19) dis cp 1/ Учитывая, что масштаб l энергосодержащих турбулентных вихрей всегда может быть представлен как некоторое число a, умноженное на внутренний 3 : l = a L k, выражение (9.3.19) для E T (f ) масштаб Колмогорова L k dis можно переписать, используя связь (следующую из соотношения замыкания (9.1.9) при l = a L k ):

() 1 / 2 dis 2, b tur в виде:

( ) E T (f ) 2 f 3.

(9.3.20) cp dis Соотношения (9.3.18) и (9.3.20), соответственно, для спектров E T (k ) и E T (f ) дают физически разумную зависимость: чем больше средняя скорость диссипации кинетической энергии в единице массы dis, тем выше спектральные плотности E T (k ) и E T (f ) пульсаций температуры.

Действительно, такие зависимости E T (k ) и E T (f ) от dis вполне допустимы в силу соотношения dis dt = 2 (e ij ) dt = c p dT, (9.3.21) следующего из уравнения теплопроводности (9.1.16) в силу (доказанного в разделе 9.1) преобладания второго члена в уравнении (9.1.16) для развитой мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности. Соотношение (9.3.21) показывает, что чем больше скорость диссипации кинетической энергии в единице массы dis в жидкой частице, тем больше приращение dT температуры T (за малое время dt ), которое и является пульсацией температуры в жидкой частице, движущейся в турбулентном потоке.

Соотношения (9.3.18) и (9.3.20) показывают, что чем больше удельная теплоемкость при постоянном давлении c p, тем меньше спектральные плотности E T (k ) и E T (f ). Такая зависимость также физически разумна в силу соотношения (9.3.21). Соотношение (9.3.21) показывает, что чем больше удельная теплоемкость при постоянном давлении c p, тем меньшие пульсации dT температуры могут генерироваться при заданном значении dis.

Наконец, зависимость от коэффициента кинематической молекулярной вязкости в соотношении (9.3.18) также представляется физически разумной, поскольку, чем меньше коэффициент кинематической молекулярной вязкости, тем большие турбулентные пульсации температуры и скорости могут генерироваться в турбулентном потоке, так как вязкость является сдерживающим фактором при развитии турбулентности, как это видно, в частности, из определения числа Рейнольдса Re = U l /, из которого следует, что чем меньше коэффициент кинематической молекулярной вязкости при заданных характерных скоростях U и масштабах l, тем больше число Рейнольдса Re = U l / и, следовательно, турбулентность более активна, что связано с большими пульсациями гидротермодинамических полей.

Отметим, что соотношение (9.3.21), используя установленную в главе пропорциональность s = (e ij ) 2 dis = 2(e ij ) (макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s = (e ij ) 2 (см. формулу (2.3.1)) и локальной скорости вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы dis = 2 (e ij ) ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости), можно переписать в виде:

1 dT s = (e ij ) 2 dis = 2(e ij ) 2 c p (9.3.21a), 2 dt который показывает пропорциональность макроскопической внутренней сдвиговой кинетической энергии единицы массы s = (e ij ) 2 пульсациям dT в движущейся жидкой частице в турбулентном поле скорости, что, таким образом, дает физическое обоснование идентичных зависимостей от волнового числа k пространственных спектров кинетической энергии E(k ) k 3 и пространственных спектров турбулентных пульсаций температуры E T (k ) k 3, данных, соответственно, выражениями (9.1.9а) и (9.3.17). Для дополнительного доказательства идентичности зависимостей от волнового числа k в пространственных спектрах кинетической энергии (9.1.9а) и в пространственных спектрах турбулентных пульсаций температуры (9.3.17) (а также соответствующей идентичности зависимостей от временной частоты f энергетических частотных спектров (9.1.9б) и энергетических частотных спектров пульсаций температуры (9.3.19)) рассмотрим дополнительные аргументы, прямо связанные с П - теоремой теории размерностей [Баренблатт, 1978].

Рассмотрим возможность получения универсальной зависимости E T (k ) k 3, даваемой выражением (9.3.18), непосредственно из П - теоремы теории размерностей. Для этого сначала выясним следующий вопрос: можно ли получить соотношение (9.3.18) единственным образом только из одних соображений размерности, не используя аргументы П - теоремы. Имеем для этого следующие размерности определяющих параметров:

[ ] = T [] L2 T L, [ ] =, c p = 2 -1.

dis T L Найдем из произведений некоторых степеней,, и µ определяющих параметров dis, c p, и волнового числа k такую же размерность, как [E T (k)] = L 2 :

L2 L2 T 2 - 2 (L1 ) [E T (k)] = L = 3 µ (9.3.22) T T L Из выражения (9.3.22) сразу получаем = -2 и следующую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения, и µ :

1 = 2 + 2 + 2 - µ, 0 = 3 + + 2, из которой находим = (3 - µ )/4, = 4 - 3(3 - µ )/ и соответствующее однопараметрическое семейство (определяемое параметром µ ) пространственных спектров турбулентных пульсаций температуры E T (k, µ ) :

(3 µ) () E T (k, µ ) dis 4 (4 3(3µ)/4) c p kµ.

(9.3.23) В частности, при µ = -3 из выражения (9.3.23) следует выражение (9.3.18).

Таким образом, сразу (только применением соображений размерности) нельзя получить выражение (9.3.18) единственным образом. Из соображений размерностей получается однопараметрическое семейство (9.3.23) пространственных спектров турбулентных пульсаций температуры E T (k, µ ), определяемое безразмерным параметром µ. Универсальная зависимость E T (k ) k 3, даваемая выражением (9.3.18), ранее получена постулированием универсальной зависимости (9.1.9а) для энергетического пространственного спектра E(k ). Поэтому, если из анализа экспериментальных данных (на основе рассчитанных зависимостей спектральных кривых E T (k ) или E T (f ), зависящих, соответственно, от волнового числа k и временной частоты f ) будет показано, что спектральные кривые E T (k ) и E T (f ) хорошо аппроксимируются зависимостями E T (k ) k 3 и E T (f ) f 3, то это будет косвенным образом указывать в силу однопараметрического семейства спектров (9.3.23), что энергетические пространственные и частотные спектры также должны хорошо аппроксимироваться зависимостями E(k ) k 3 и E(f ) f 3.

Получим, наконец, универсальную зависимость (9.3.18) от волнового числа k пространственных спектров турбулентных пульсаций температуры E T (k ) из П- теоремы, рассматривая в качестве определяющих параметров среднюю (в соответствии с уточненной гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981]) скорость диссипации кинетической энергии в единице массы dis, удельную теплоемкость при постоянном давлении c p, а также коэффициент кинематической вязкости.

Параметры dis, и c p являются независимыми, поскольку очевидно, что никакие степени и двух размерностей: [ dis ] = L2 L и [ ] = не могут T3 T дать размерность [c p ] = T 2 - в классе систем MLT :

L T 2 -1 = L L2.

L2 T T Поэтому П- теорема записывается в виде:

( )=Ф E T k, dis,, c p k, (9.3.24) П= (П 1 ), П 1 = ( ) c ( ) c T p q r dis p dis p где Ф T (П1 ) - некоторая универсальная функция безразмерного аргумента П 1.

Находим сразу из очевидных соображений:

3 r = 0, П1 = kL K = k.

dis Для нахождения численных значений, и имеем соотношение:

[E T (k)] = L = L3 L2 T 2 - 2, T T L из которого сразу получаем = -2 и систему алгебраических линейных уравнений:

1 = 2 + 2 + 2, 0 = 3 + + 2, из которой находим степени: = 3/4, =7/4. Следовательно, выражение (9.3.24) перепишется в виде:

( )( ) 3 c -p2 Ф T (kL K ). (9.3.25) E T k, dis,, c p = dis 4 Для того, чтобы из выражения (9.3.25) получить экспериментально наблюдаемые [Шур, 1962;

Gibson, 1968;

Лозовацкий, 1977;

Монин и Озмидов, 1981] зависимости E T (k ) k 3 для широкого диапазона чисел Прандтля, а также получить почти аналогичную зависимость E T (k ) k 3,17, полученную путем численного статистического моделирования [Canuto, Dubovikov, Cheng and Dienstfrey, 1996;

с. 604], необходимо, чтобы универсальная функция Ф T (kL K ) имела универсальный вид Ф T (kL K ) = T (kL K ) -3 (9.3.26) в диапазоне волновых чисел 1/ L o k 1/ L k (от внутреннего масштаба 1 3 Колмогорова L k до масштаба плавучести Озмидова L o = dis ). Для N3 dis развитой гидродинамической турбулентности (с большими числами Рейнольдса Re ) безразмерный коэффициент T в (9.3.26) являетcя универсальной константой.

Подставляя формулу (9.3.26) в выражение (9.3.25), получим зависимость универсального пространственного спектра E T (k, dis,,c p ) пульсаций температуры, обусловленных развитой мелкомасштабной (однородной и изотропной) турбулентностью в несжимаемой однородной ньютоновской вязкой жидкости ( ),,c )= ( ) ( 3 E T (k ) E T k, dis -2 - c (kL k ) = T c -p2 k 3. (9.3.27) dis dis p p T Зависимость (9.3.27) совпадает (с точностью до безразмерного универсального коэффициента T ) с ранее полученным спектром (9.3.18).

Аргументы, основанные на физических соображениях, в пользу допустимости зависимости (9.3.27) спектра E T (k ) от значащих параметров, dis и c p приведены выше.

9.4. Выводы главы 1. Проанализирована гипотеза [Монин и Озмидов, 1981) о возможности существования универсального энергетического пространственного спектра мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности в океане. Для значащих параметров, dis (в соответствии с уточненной гипотезой Колмогорова [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] и волнового числа получен, исходя из П - теоремы [Баренблатт, 1978], единственно k возможный вид (9.2.6) энергетического пространственного спектра E(k ) мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности. Безразмерный коэффициент = 1 / 12 в формулах (9.2.6, 9.2.9) найден исходя из экспериментального диапазона средних переходных (критических) скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы dis,cr = (15 21) N (для двух серий экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986]) c использованием уравнения эволюции [Smith, Zavialov and Moum, 1997] однородной изотропной турбулентности в стратифицированной жидкости.

Получен теоретический диапазон (9.2.19) средних переходных (критических) скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы, согласованный с экспериментальным диапазоном dis,cr = (15 21)N 2 для двух серий экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986], а также с экспериментальным диапазоном средних переходных (критических) скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы dis,cr = (10 25)N 2 в океане [Gregg, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992]. Это доказывает гипотезу Колмогорова [Колмогоров, 1941;

Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981] о несущественности параметров и T для статистической динамики мелкомасштабной турбулентности и, таким образом, указывает на универсальность спектров (9.2.6) для мелкомасштабной турбулентности. Энергетические пространственные спектры E(k ) в диссипативной области в лабораторных экспериментах [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] хорошо приближаются зависимостями вида E(k ) k 3, приведенными на рис. 18(a-d). То, что теоретический диапазон (9.2.19), полученный из предположения наличия (9.2.6, 9.1.9), хорошо соответствует экспериментальному диапазону средних переходных (критических) скоростей вязкой диссипации кинетической энергии в единице массы dis,cr = (10 25)N 2 в океане [Gregg, 1987;

Gibson, 1987;

Набатов и Озмидов, 1992], дает основание допустить возможность (в соответствии с гипотезой [Монин и Озмидов, 1981]) существования универсального энергетического пространственного спектра (9.2.6) мелкомасштабной однородной изотропной турбулентности в океане в диапазоне масштабов от внутреннего масштаба Колмогорова до масштаба плавучести Озмидова.

2. Показано, что использование соотношения замыкания (9.1.9) для кинетической энергии b tur турбулентных пульсаций (в единице массы) вместе с уравнением эволюции однородной изотропной турбулентности [Монин и Яглом, 1965] в однородной по плотности жидкости дает для времени вязкой релаксации t ( l ) некоторой турбулентной области с линейным размером l соотношение (9.1.10), которое дает время вязкой 3 релаксации t ( L k ) для внутреннего масштаба Колмогорова L k dis внутреннему масштабу времени Колмогорова t k = равным в dis соответствии с представлениями [Колмогоров, 1941;

Batchelor, Howells and Townsend, 1959;

Монин и Озмидов, 1981] о существенном влиянии вязкости для масштабов L k.

3. Показано, используя для вычисления кинетической энергии b ( L k ) масштабов l L k соотношение (9.1.9) при l = L k, что значение временного периода () = / u() = 6 t k внутреннего масштаба Колмогорова L k больше времени t ( L k )= t k вязкой релаксации в масштабе L k, что говорит о квази-релаксированности масштабов L k. В силу того, что вязкая диссипация, согласно классическим представлениям [Монин и Озмидов, 1981;

Ландау и Лифшиц, 1988], происходит именно в масштабах ~ L k, то это означает, что в масштабах ~ L k скорость диссипации кинетической энергии должна быть чрезвычайно перемежающейся в пространстве величиной, сконцентрированной в основном в сравнительно небольших пространственных областях в соответствии с аналогичными заключениями в работах [Kolmogorov, 1962;

Монин и Озмидов, 1981;

Ландау и Лифшиц, 1988].

4. Используя уравнение эволюции однородной изотропной турбулентности в стратифицированной жидкости [Simonenko, 2004;

2005;

2006] для стратифицированной турбулентной области с линейным размером равным масштабу плавучести Озмидова L o, получено выражение (9.3.4) для времени t ( L o ) вязкой релаксации, из которого следует, что развитая (активная) турбулентность (с масштабами Озмидова при значениях dis намного больше верхнего значения dis,cr = 24N 2 в критическом диапазоне u (9.2.19)) находится в чрезвычайно неравновесном термодинамическом состоянии, в котором предположение о твердотельном вращении вихрей заведомо неприемлемо, что согласуется с результатами лабораторных экспериментов [Itsweire, Helland and Van Atta, 1986] и теоретического анализа этих экспериментов [Simonenko, 2004;

2005;

2006], представленных в разделе 6.4 главы 6.

5. Получены отношения (9.3.5а - 9.3.5б) времен температурной релаксации к временам вязкой релаксации, соответственно, для внутреннего масштаба Колмогорова L k и масштаба Озмидова L o, которые показывают, что времена температурной релаксации для морской воды значительно превосходят времена вязкой релаксации для внутреннего масштаба Колмогорова L k и масштаба Озмидова L o, что объясняет выводы работы [Gibson, 1987] (сделанные на основе анализа экспериментальных данных) о том, что тонкие структуры температуры существуют по времени дольше, чем тонкие структуры скорости турбулентных пульсаций и поэтому могут указывать на существование ранее протекавших активных турбулентных процессов.

Глава ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ И РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ДОПУСКОВ, СВЯЗАННОЙ С ОПТИМАЛЬНЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ УПРАВЛЕНИЕМ ВАРИАБЕЛЬНОСТЬЮ 10.1. Математическая теория и теоретические основы В методе неполной (частичной) взаимозаменяемости [Никифоров, 2000] допуск размера замыкающего звена ТА при заданных допусках ТА j = 6 j звеньев (j = 1, 2, …, m – 1 = n) дается формулой:

m (TA ), (10.1.1) ТА = j j = из которой при равных допусках ТА j = 6 1 6 звеньев (j = 1, 2, …, m – 1 = n) следует выражение:

ТА = 6 n, (10.1.2) которое приводится, в частности, в работе [Суриков, 2000]. В работе [Суриков, 2000] делается вывод, что реально допуск размера замыкающего звена не дается формулой (10.1.2), а начиная с n = 415 он вовсе остается постоянным.

В главе 10 сначала обосновывается формула (10.1.2) для больших n, а затем показывается, что допуск может быть сделан существенно меньше значения, даваемого формулой (10.1.2), о возможности чего при n = отмечалось в работе [Кумэ, 1990].

10.1.1. Математическое ожидание и дисперсия Наше доказательство формулы (10.1.2) будет основано на центральной предельной теореме (ЦПТ). Поэтому вначале рассмотрим, следуя работе [Худсон, 1967], теоретические моменты, позволяющие коротко воспроизвести доказательство ЦПТ в удобном для нас виде.

Определение Для непрерывной случайной величины х, задаваемой плотностью f(x) распределения вероятностей имеем [Худсон, 1967] выражения, соответственно, для математического ожидания E(x ):

+ E (х ) = xf (x )dx = µ, (10.1.1.1) и дисперсии D(x) :

( ) (х µ ) f(x)dx.

+ D(x) = E (х µ ) = 2 (10.1.1.2) В частности, для нормального (гауссовского) распределения:

( x µ ) 1 f= (10.1.1.3) e из (10.1.1.1), (10.1.1.2) и (10.1.1.3) получаем [Худсон, 1967]:

E (х ) = µ, D ( х ) = 2.

Начальный момент n - го порядка µ n случайной непрерывной величины x определяется в виде [Худсон, 1967]:

+ ( ) = x f (x )dx.

µ n = E x (10.1.1.4) n n В частности, имеем: µ 0 = 1, µ = µ.

Центральный момент n -го порядка µ n случайной непрерывной величины x определяется в виде [Худсон, 1967]:

( ) (x µ ) f(x)dx.

+ µ n = E (х µ ) = n n (10.1.1.5) В частности, имеем: µ 0 = 1, µ 1 = 0, µ 2 = 2.

10.1.2. Производящие функции начальных и центральных моментов Определение Для введенной вспомогательной действительной переменной t определим, следуя работе [Худсон, 1967], производящую функцию начальных моментов (ПФНМ) непрерывной случайной величины х в виде:


+ ( )= e M x (t ) = E e xt xt f(x)dx. (10.1.2.1) Разлагая в (10.1.2.1) экспоненту в ряд Тейлора получим [Худсон, 1967] выражение для M х (t ):

(xt )2 + (xt )3 +... = 1 + µ t + µ t 2 + µ t 3 +..., М х (t ) = E 1 + xt + (10.1.2.2) 1 2 2! 3! 2! 3!

tn так что µ n есть коэффициент при.

n!

Для введенной вспомогательной действительной переменной t определим [Худсон, 1967] производящую функцию центральных моментов (ПФЦМ) непрерывной случайной величины х в виде:

+ ( )= e( М х (t ) = E e ( x µ )t x µ )t f(x)dx. (10.1.2.3) Разлагая в ряд Тейлора экспоненту в (10.1.2.3), получим [Худсон, 1967] выражение для М x (t) :

t2 t 2t М x (t) = E 1 + (x µ )t + (x µ) +... = 1 + 0 + µ 2 + µ 3 +..., (10.1.2.4) 2! 2! 3!

tn так что µ n коэффициент при.

n!

Найдем ПФНМ для непрерывной случайной величины х, распределенной по нормальному распределению (10.1.1.3). Имеем [Худсон, 1967]:

( x µ )2 t + М x (t) = E (e )= 1 µt + e dx = e xt xt e 2. (10.1.2.5) В частности, ПФНМ М x (t) для непрерывной гауссовской случайной величины х с нулевым средним (µ = 0) и дисперсией 2 дается выражением [Худсон, 1967]:

t M x (t) = e. Найдем ПФНМ для случайной величины у, зависящей линейно относительно случайной величины х:

y = ax + b, где a и b – некоторые постоянные действительные числа. Имеем [Худсон, 1967]:

My = E (e yt ) = E (e bt e axt ) = e bt E(e xat ), (10.1.2.6) следовательно, получаем My (t ) = e bt, Mx (at ).

Для непрерывной случайной величины х, имеющей нормальное распределение (10.1.1.3) со средним значением µ и дисперсией 2 значение М x (t) дается формулой (10.1.2.5). Следовательно [Худсон, 1967]:

t µat + 2 a Мx (аt ) =e, (10.1.2.7) и тогда:

t2 t µat + 2 a 2 ( aµ + b)t + a 2 + bt M y (t ) = e =e.

2 (10.1.2.8) Следовательно (см. формулу (10.1.2.5)), переменная y распределена по нормальному закону со средним значением (aµ + b ) и дисперсией а 2 2.

Воспользовавшись тем, что плотность вероятности f(x 1, x 2,..., x n ) распределения n статистически независимых случайных величин x 1, x 2,..., x n в общем случае распадается [Худсон, 1967] на произведение плотностей вероятностей g(x i ) отдельных случайных величин x i :

n f(x1, x 2,..., x n ) = g(x i ), (10.1.2.9) i = найдем, следуя работе [Худсон, 1967], производящую функцию начальных n x :

моментов (ПФНМ) суммы i i = t x n M (t) = E e.

i (10.1.2.10) i = n x i i Имеем [Худсон, 1967]:

n xi n n n n t ( g(x i ))dx i =... e tx i g(x i ) = e tx i g(x i )dx i = M x i (t ).

M n (t) =... e i = xi i =1 i =1 i =1 i = i = (10.1.2.11) Таким образом, выражение (10.1.2.11) можно переписать [Худсон, 1967] в эквивалентной форме:

n n ПФНМ x i = ПФНМ(x i ), (10.1.2.12) i =1 i = n x т.е. производящая функция начальных моментов (ПФНМ) суммы i i = независимых случайных величин x 1, x 2,... x n может быть представлена как произведение ПФНМ отдельных слагаемых x i этой суммы. Если все случайные величины x i (как, например, отклонения от средних длин для всех n прикладываемых друг к другу деталей) имеют одинаковое распределение, то их ПФНМ также будут одинаковы, поэтому в этом случае из (10.1.2.12) имеем [Худсон, 1967]:

ПФНМ x i = [ПФНМ(x i )].

n n (10.1.2.13) i = 10.1.3. Центральная предельная теорема Пользуясь предыдущими результатами, приведем доказательство [Худсон, 1967] центральной предельной теоремы (теоремы Ляпунова) в удобной для нас формулировке (несколько отличной от классической формулировки [Худсон, 1967]), необходимой для изучения проблем взаимозаменяемости.

Теорема Рассмотрим счетный набор случайных статистически независимых величин x1, x 2,..., x n …, каждая из которых имеет одно и тоже среднее статистическое значение µ (математическое ожидание) и одну и ту же конечную дисперсию 2. Тогда распределение среднего арифметического 1n значения x (n ) = x i стремится при n к нормальному распределению, n i = обладающему средним значением µ и дисперсией.

n Доказательство Рассмотрим для каждой случайной величины x i производящие функции центральных моментов. Поскольку предполагается, что все x i имеют одинаковые плотности распределения вероятностей, то все ПФЦМ(x i ) тождественно равны, поэтому, опуская индекс i в x i, т. е. рассматривая просто х, имеем [Худсон, 1967] из (10.1.2.4):

t2 t x (t) = 1 + 0 + + µ 3 +....

(10.1.3.1) 2! 3!

Введем случайную переменную:

w = (x µ) (10.1.3.2) n для каждой случайной переменной. Запишем ПФНМ для w, следуя (10.1.2.1):

x µ t t M w (t) = Е e n t = M x (10.1.3.3) n Учитывая (10.1.3.1), Мw (t) можно записать в виде [Худсон, 1967]:

t2 t3 t2 t w (t) = 1 + + µ3 +... = 1 + + µ3 3 +.... (10.1.3.4) 2! 2 n 6 n n 2n 3! 3 n n Введем непрерывную случайную переменную z, являющуюся линейной функцией от x = x (n) :

(x µ ) = (x µ ) 1 n (x i µ ) n n n = wi.

z= = (10.1.3.5) (x ) n i =1 i = Найдем ПФНМ Mz (t) для случайной переменной z, которая является, согласно (10.1.3.5), суммой n одинаково распределенных случайных величин w i. Учитывая для этого формулы (10.1.2.13) и (10.1.3.4), получим [Худсон, 1967]:

n [ ] µ3t t 1 + +....

M z (t) = M w i (t) n = +3 (10.1.3.6) 2n 6 n n t Выражение (10.1.3.6) при n стремится к функции e. В разделе 10.1.2 было найдено выражение ПФНМ Mz (t) для гауссовской случайной величины х с нулевым средним µ = 0 и дисперсией 2 :

2t Mx (t) = e.

Следовательно, случайная величина z в пределе ( n ) обладает нормальным (гауссовским) распределением с нулевым средним ( µ = 0 ) и дисперсией равной единице ( 2 =1). Из (10.1.3.5) имеем [Худсон, 1967] для x:

z x= +µ. (10.1.3.7) n перед z и предыдущих В силу наличия в (10.1.3.7) коэффициента n результатов раздела 10.1.2 заключаем [Худсон, 1967], что х распределена в пределе ( n ) по нормальному закону со средним значением µ и дисперсией.

n t Отметим, что скорость стремления в (10.1.3.6) к е при n нами не исследуется, хотя от этой скорости зависят многие практические результаты как при решении проблем взаимозаменяемости так и при теоретическом обосновании различных видов контрольных карт, рассмотренных в работе [Кумэ, 1990]. Это может быть объектом отдельного независимого исследования.

10.2. Проблема взаимозаменяемости Рассмотрим применение результатов раздела 10.1 к проблемам 1n взаимозаменяемости. Вместо случайной переменной x = x i нас теперь n i = будет интересовать непрерывная случайная переменная:

X = x 1 + x 2 +... + x n = xn, (10.2.1) которая (на первом этапе исследования) является суммой n статистически независимых случайных величин x i, под которыми будем понимать размеры n прикладываемых друг к другу деталей. Используя (10.1.3.7) перепишем (10.2.1) в виде:

X = n z + µn, (10.2.2) из которого, учитывая результаты раздела 10.1.2, следуют выражения для среднего статистического значения X = µn, а также дисперсии s = (X X) 2 = 2 n.

Эти результаты сами по себе довольно тривиальны, так как они бы могли быть получены сразу из (10.2.1) при условии статистической независимости случайных величин x i, обладающих дисперсиями 2 = (x i µ )2. Практическим ценным моментом, который далее будет использован, является то, что величина Х при достаточно больших n (асимптотически при n, вновь здесь мы не исследуем скорость сходимости) обладает нормальным законом распределения со средним значением X = µn и дисперсией s = n.

2 10.2.1. Доказательство формулы для допуска в методе неполной взаимозаменяемости Учитывая нормальный закон распределения случайной величины Х, сделаем оценку вероятности n P x i nµ i 1 того, что при прикладывании друг к другу n деталей с размерами x i (которые рассматриваются как непрерывные случайные статистически независимые n случайные величины) их общая длина L = x i попадает в поле допуска:

i = n x nµ, (10.2.1.1) i i = задаваемое допуском = 2.

Согласно работе [Никифоров, 2000], размеры всех деталей описываются распределением Гаусса ( x a ) f (x ) = 2 e, где f(x) – функция, которая определяет вероятность f(x)dх для отдельной конкретной детали попасть в диапазон (х, х +dх) значений длин при заданном среднем статистическом (нормативном) значении а и заданной дисперсии 2, характеризующей статистический разброс относительно а.

Интервал длин (с длиной в 2), заданный условием х - а, согласно работе [Никифоров, 2000], задает поле допуска для каждой отдельной детали.

Будем задавать поле допуска неравенством х - а, где а – среднее (нормативное) значение, а – полуширина допуска.

В работе [Микулик и Рейзина, 1991] отмечается, что при n 10 сумма независимых случайных величин x i уже приближенно имеет нормальный закон распределения вероятностей. Для большого числа деталей n с произвольными законами распределения (либо при условии, что их длины являются непрерывными статистически независимыми случайными величинами) оценка вероятности n P x i nµ i 1 тривиальна [Гнеденко и Хинчин, 1961] :

n P x i nµ = 2Ф 0 2, (10.2.1.2) 2 s i где Ф 0 - функция Лапласа:

x 0 (х ) = t e dt.

2 В качестве допуска = ТА на замыкающее звено в методе неполной (частичной) взаимозаменяемости в работе [Никифоров, 2000] предлагается значение = 6 n для числа n прикладываемых друг к другу деталей. В результате для = 6 n и s = n получаем оценку (10.2.1.2) по таблицам:

6 n 2Ф 0 2 n = 2Ф 0 (3) 0,9973, (10.2.1.3) что означает, что выбранный в работе [Никифоров, 2000] допуск = 6 n как раз соответствует предполагаемому [Суриков, 2000] риску 0,27% и соответствующему проценту 0,27% бракованных сочетаний из n прикладываемых друг к другу деталей.

Если допуск ТА размера замыкающего звена положить меньше значения = ТА = 6 n, то количество брака в процентном отношении будет больше, чем 0,27%, при условии статистической независимости размеров деталей.


10.2.2. Практические выводы из доказанной формулы для допуска в методе неполной взаимозаменяемости В работе [Суриков, 2000] делается заключение, что, начиная с количества деталей n = 415, допуск остается постоянным: = сonst. В рамках рассматриваемого подхода, если задать конечное 0 в (10.2.1.2), то при n (при достаточно большом n) получаем 2Ф 0 2 n при конечной дисперсии 2. Следовательно вероятность Р в (10.2.1.2), что n х сумма лежит в пределах допуска (10.2.1.1), также стремится к нулю, т.

i i = е., P 0 при n. Это означает, что никакое конечное не может быть допуском при неограниченном возрастании числа деталей n при условии, что отклонения размеров деталей статистически независимы. Так как в реальности статистической независимости достичь, по-видимому, нельзя, то если предположить (в соответствии с заключением в работе [Суриков, 2000]), что = соnst может быть конечным допуском при достаточно больших n, то это возможно (в принципе) только при условии наличия корреляций в отклонениях размеров деталей от средних значений. Однако развитый математический формализм в предыдущих разделах, на основе центральной предельной теоремы, не позволяет учесть такие корреляции.

Рассматривая далее возможные способы уменьшения вариабельности (дисперсии s2 ) полной длины Х, даваемой (10.2.1), прикладываемых n деталей, составляющих некоторый механизм (или уменьшения вариабельности полной массы из n компонентов некоторого продукта), мы не будем предполагать, что случайные величины x i в (10.2.1) статистически независимы. Таким образом, нас интересует теперь не задача уменьшения нормативно установленных допусков (которая рассматривалась в работе [Суриков, 2000]), а вопрос, как при нынешних допусках (стандартах) добиться более качественной сборки точных механизмов за счет метода оптимальных комбинаций, предложенного Кумэ [Кумэ, 1990] на примере двух деталей. Одновременно с рассмотрением этой задачи мы вскроем некоторые механизмы появления довольно большого брака (намного больше 0,27%) на производстве, связанном со сборкой механизмов из n деталей.

10.3. Влияние статистической зависимости отклонений размеров деталей от средних (номинальных) значений на относительную ошибку длины собираемого механизма Согласно современной концепции автоматизированных систем в производстве, изложенной Никифоровым [Никифоров, 2000], применение компьютеров является одним из ключевых моментов в улучшении качества и повышении уровня взаимозаменяемости различных изделий. В данном разделе сделано обобщение для трех деталей метода избранных комбинаций Кумэ [Кумэ, 1990] (изложенного для двух деталей). Для выбора оптимальных комбинаций предполагается использование персонального компьютера.

Рассмотрим задачу о сборке некоторого точного механизма, состоящего из n деталей, прикладываемых вплотную одна к другой вдоль некоторой оси и охватываемых с концов некоторой объемлющей деталью. Фактическая длина каждой детали несколько отличается от соответствующего стандарта и поэтому является случайной величиной. Ранее Гнеденко и Хинчиным [Гнеденко и Хинчин, 1961] была получена формула для относительной ошибки длины цепи (составной детали), состоящей из n составных деталей, предполагая, что длины деталей x 1, x 2,...., x n являются статистически независимыми непрерывными случайными величинами. Для любого числа n прикладываемых друг к другу деталей, если средние длины деталей, а также дисперсии их длин равны, относительная ошибка длины дается выражением [Гнеденко и Хинчин, 1961]:

1, (10.3.1) = n a X которое убывает пропорционально.

n Мы существенно усложним задачу, решенную ранее [Гнеденко и Хинчин, 1961], рассматривая вопрос о влиянии коэффициентов корреляции отклонений от средних значений длин для n деталей на относительную ошибку длины составного механизма и на допуск размера замыкающего звена. Будем считать, что длины деталей (как это и есть в реальности) являются статистически зависимыми непрерывными случайными величинами. Считая длину Х = x 1 + x 2 +.... + x n составного механизма непрерывной случайной величиной, получим выражение для дисперсии (Х X ) 2 = s длины цепи из n деталей при условии заданных дисперсий (x i x i ) 2 = i2 отдельных деталей (1 i n ). Рассматривая задачу о сборке некоторого точного механизма, состоящего из n деталей, прикладываемых вплотную одна к другой вдоль некоторой оси и охватываемых с концов некоторой объемлющей деталью, предполагаем, что длины деталей x 1, x 2,...., x n являются статистически зависимыми непрерывными случайными величинами.

Найдем среднее квадратическое уклонение случайной величины Х, представляющей длину собираемого механизма. В силу теоремы о среднем значении суммы случайных величин x 1, x 2,...., x n имеем для математического ожидания (статистического среднего):

Х = x 1 + x 2 +.... + x n, где x i - статистическое среднее значение длины i-й детали. Следовательно имеем Х - Х = (x 1 x 1 ) + (x 2 x 2 ) +... + (x n x n ), в результате получаем выражение для квадрата отклонения длины собираемого механизма от статистического среднего размера (длины) Х :

( ) ( ) ( ) ) n n n n Х Х = x i x i = x i x i + (x i x i )(x k x k.

2 i =1 i =1 i =1 k =1;

i k Используя стандартные определения для дисперсии длин s2 собираемого механизма и дисперсий длин i2 отдельных деталей (Х X ) 2 = s, ( x i x i ) 2 = i2, (1 i n ), а также считая, что случайные величины x 1, x 2,...., x n при ik статистически зависимы, имеем выражение для дисперсии (Х X) 2 = 2 длины цепи из n деталей [Simonenko, 2004;

2005]:

n n = + (x, x ) i k, 2 (10.3.2) s i i k i =1 i, k =1;

i k где (x i, x k ) - коэффициент корреляции (между отклонениями i-й детали от средней статистической длины x i и отклонениями k-й детали от средней статистической длины x k ), определяемый выражением [Г. Корн и Т. Корн, 1984]:

( ) 1 (x i x i ) xk xk, (x i, x k ) = i k где черта означает статистическое усреднение. С помощью выражения (10.3.2) для дисперсии (Х X ) 2 = s длины цепи из n деталей можно получить обобщение результата Кумэ [Кумэ, 1990] на случай произвольного числа n деталей.

Если средние статистические длины деталей и дисперсии этих длин равны (соответственно):

a1,a2....,a n и 12, 2,..., 2, 2 n то среднее значение длины цепи из n деталей равно n a Х=, k k = а относительная ошибка длины цепи, состоящей из n составных деталей, вычисляется по формуле. (10.3.3) = a1 + a 2 +... + a n При отрицательных коэффициентах корреляции (x i, x k ) в (10.3.2) относительная ошибка длины цепи уменьшается. Следовательно, относительная ошибка длины цепи может быть минимизирована при отрицательных коэффициентах корреляции (x i, x k ) при условии, если удается все коэффициенты корреляции (x i, x k ) сделать отрицательными. В частности, для любого числа деталей n, если a1 = a 2 =.... = a n и 1 = 2 =... = n, то при отрицательных коэффициентах корреляции (x i, x k ) относительная ошибка длины цепи может быть сделана меньше величины 1, (10.3.4) n a соответствующей условию [Гнеденко и Хинчин, 1961] статистической независимости длин деталей.

10.3.1. Обоснование метода избранных комбинаций для двух деталей Из полученной формулы (10.3.2) при n = 2 следует формула Кумэ [Кумэ, 1990] для дисперсии полной длины двух деталей (имеющих дисперсии длин 1 и 2 и коэффициент корреляции (x, y ) = 1 ):

s = 1 + 2 2 1 2 = ( 1 - 2 ) 2. (10.3.1.1) 2 При n = 2 и коэффициенте корреляции (x 1, x 2 ) = 1 возможные отклонения длин деталей x i от средних x i показаны условно на рис. 7.

x 1x j x 2 x Рис. 7. Отклонения длин деталей xi от средних значений x i при n= Формула (10.3.1.1) показывает, что дисперсия (Х X ) 2 = s может быть теоретически сделана нулевой при коэффициенте корреляции (x, y ) = 1 и равных дисперсиях длин отдельных деталей: 12 = 2. Этот результат может использоваться [Кумэ, 1990] для фактического снижения вариаций полной длины собираемого механизма и служит основой метода [Кумэ, 1990] избранных комбинаций для двух деталей.

Компьютерное вычисление [Симоненко, 2005б] коэффициентов корреляции для двух численных реализаций (детерминированных числовых последовательностей) x 1 = x, x 2 = y показывает, что коэффициент корреляции (x, y ) можно сделать практически равным единице при условии, что отклонения ( x 1 x 1 и x 2 x 2 ) длин деталей от средних (номинальных) размеров ( x 1 и x 2 ) удовлетворяют линейному условию:

( x 1 x 1 )= ( x 2 x 2 ) (10.3.1.2) с положительным коэффициентом, и отклонениями ( x 1 x 1 ) и ( x 2 x 2 ), распределенными по гауссовскому закону. При этом используется известный [Никифоров, 2000] факт, что отклонения длин деталей от средних значений распределены по гауссовскому закону.

Кумэ отмечал недостаток метода [Кумэ, 1990] избранных комбинаций, связанный с необходимостью измерения и физического перебора большого количества деталей. Однако, если достаточно точно измерить размеры деталей каждого сорта и занумеровать, то составить избранные комбинации на компьютере не составляет особого труда (не используя физический трудоемкий перебор, который при достаточно большом количестве собираемых деталей осуществить практически невозможно в силу огромного количества возможных комбинаций). Расположив, используя компьютер, заранее отклонения размеров деталей от заданных стандартных размеров деталей в виде двух распределений Гаусса можно существенно уменьшить реальную вариабельность (X X )2 общей длины Х двух составляемых деталей.

Обсуждению результатов такого перебора (с использованием компьютера) для составления оптимальных комбинаций посвящен раздел 10.5.

10.3.2. Обоснование метода избранных комбинаций для трех деталей Обобщим метод избранных комбинаций для трех деталей.

Рассматривая для этого формулу (10.3.2) для трех деталей, получаем, что при следующих коэффициентах корреляции:

(x 1, x 2 ) = 1, (x 1, x 3 ) = 1 (x 2, x 3 ) = 1, (10.3.2.1) и при равных дисперсиях:

2 = 2 = 1 2 дисперсия длин составных деталей равна:

2 = 1, (10.3.2.2) s что в три раза меньше дисперсии s = 3 1, полученной из формулы (10.3.2) при 2 условии статистической независимости отклонений длин деталей от средних статистических (номинальных) размеров. Тогда для допуска TА при реализации метода избранных комбинаций для трех деталей получим значение (полагая, что ТА = 6s в соответствии с работой [Никифоров, 2000]) равное:

TА = 61, (10.3.2.3) которое меньше значения допуска TА =10,391, полученного из нормативной формулы [Никифоров, 2000]:

(TA ) n (10.3.2.4) TA = j j = для допуска размера замыкающего звена TА в методе неполной (частичной) взаимозаменяемости при заданных равных допусках TА j = 6 1 (согласно работе [Никифоров, 2000]) звеньев j = 1, 2, 3.

Практически реализовать коэффициенты корреляции (10.3.2.1) :

(x 1, x 2 ) = 1, (x 1, x 3 ) = 1, (x 2, x 3 ) = не составляет труда, используя персональный компьютер. Для этого нужно отклонения от средних значений длин трех деталей расположить в виде трех распределений Гаусса, показанных условно на рис. 8.

x 1 x j x 3x x 2x Рис. 8. Отклонения длин деталей x i от средних значений x i при n= При условии, что длина составной детали является гауссовской случайной величиной со средним значением l = x 1 + x 2 + x 3 и дисперсией 2 = (10.3.2.5) s оценим вероятность L x 1 x 2 x 3 / 2 (10.3.2.6) попадания длины L составных деталей в поле допуска L x 1 x 2 x 3 /2 = 5 1, определяемое допуском TА = 10,391 101 :

L x 1 x 2 x 3 / 2 = 2Ф 2 (10.3.2.7) где Ф 0 (x ) - функция Лапласа, которая принимает значение Ф 0 (5) = =0,999994/2. Это означает, что вероятность попадания в поле допуска (задаваемое методом неполной взаимозаменяемости) при нашей вычисленной дисперсии s = 1 равна 2 L x 1 x 2 x 3 51 = 0,999994.

В результате имеем количество бракованных сочетаний из трех деталей на миллион:

(1-0,999994)106 = 6, (10.3.2.8) которое близко к американскому стандарту качества при реализации концепции “шести сигм”, согласно которой [Панде и Холп, 2004] допускается 2 - 3 бракованных изделия на миллион. Если незначительно увеличить нормативный допуск с TА =10,391 до = 121 и использовать метод оптимальных комбинаций, который для трех деталей дает дисперсию 1, то можно добиться американского стандарта качества (2 - 3 бракованных изделия на миллион) в концепции “шести сигм”. Таким образом, применение метода избранных комбинаций для трех деталей может дать значительное увеличение точности сборки механизмов из трех деталей по сравнению с методом частичной взаимозаменяемости, примерно соответствуя американскому стандарту качества при реализации концепции “шести сигм”.

Перед тем как рассмотреть возможные способы (при n 3) уменьшения вариабельности (дисперсии s ) покажем, что если к этому заведомо не стремиться, то вполне вероятны такие значения отклонений длины собираемого механизма от средней длины, что вместо положенного уровня дефектности 0,27% уровень дефектности при сборке может быть значительно больше 0,27% в некоторых неблагоприятных комбинациях, несмотря на то, что допуски отдельных деталей TA j = 6 i выдержаны в соответствии с нормативными документами неполной (частичной) взаимозаменяемости при допускаемом уровне дефектности 0,27% бракованных сочетаний [Суриков, 2000].

10.3.3. Возможные варианты чрезмерного увеличения вариабельности длин собираемых механизмов Рассмотрим возможные неблагоприятные комбинации, следуя методу раздела 10.3 для n 4. Задавая для n = 4 коэффициенты корреляции (x 1, x 2 ) = 1, (x 2, x 4 ) = 1, (x 1, x 4 ) = 1, (x 2, x 3 ) = 1, (x 1, x 3 ) = 1, (x 3, x 4 ) = 1 получим из (10.3.2) выражение для дисперсии длины цепи из 4-х деталей s (при 1 = 2 = 3 = 4 ):

2 2 2 s (4) = 4 1, 2 (10.3.3.1) которое соответствует статистически независимым отклонениям длин деталей x i (i = 1, 2, 3, 4) от средних длин x i, условно показанным на рис. 9.

Задавая следующие коэффициенты корреляции при n = 5:

(x 1, x 2 ) = 1, (x 1, x 3 ) = 1, (x 1, x 4 ) = 1, (x 1, x 5 ) = 1, ( x 2, x 3 ) = 1, ( x 2, x 4 ) = 1, (x 2, x 5 ) = 1, (x 3, x 4 ) = 1, (x 3, x 5 ) = 1, (x 4, x 5 ) = 1, и используя формулу (10.3.2), получим выражение для дисперсии длины цепи из пяти деталей:

s2 (5) = 912, (10.3.3.2) которое почти в два раза превосходит значение 51, соответствующее статистической независимости случайных длин деталей x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. В этом случае отклонения длин деталей x i от средних значений x i показаны условно на рис. 10.

x 1 x x 2 x j x 3 x x 4 x Рис. 9. Отклонения длин деталей x i от средних значений x i при n = x1 x x2 x x3 x x4 x x5 x Рис. 10. Отклонения длин деталей x i от средних значений x i при n = Используя метод математической индукции, можно показать, что для произвольного числа деталей n при заданных коэффициентах корреляции (x 1, x 2 ) = 1, …, (x 1, x n ) = 1 (10.3.3.3) (x i, x k ) =1, при любых k 1 и i 1.

дисперсия s2 (n) длин n прикладываемых друг к другу деталей дается выражением:

s2 (n) = 12 (n 2 ), (10.3.3.4) которое растет квадратично от числа деталей n, вместо линейного закона s2 (n) = 12 n, (10.3.3.5) соответствующего условию статистической независимости случайных длин деталей Поскольку случайные сочетания деталей с x 1, x 2,..., x n.

коэффициентами корреляции, близкими к (10.3.3.3), возможны на практике, то значительное увеличение дисперсии s2 (n) длин n прикладываемых друг к другу деталей вместо величины 2 (n) = n12 можно объяснить случайным преобладающим влиянием положительных корреляций (x i, x k ) по сравнению с отрицательными корреляциями (при i=1, k= 2,…,n). При этом уровень дефектности может быть значительно больше 0,27%.

При заданной выражением (10.3.3.4) дисперсии s получаем из неравенства (7.1.1.7), что нет сходимости выражения:

(n 2) 1 n к 1 при n для заданного 0, из чего следует, что нет сходимости n a по вероятности при n, поскольку не выполнены условия (7.1.1.10а) и (7.1.1.10б). Таким образом, хотя у всех случайных величин х1, х2, ……,хn (под которыми рассматриваются случайные длины x i прикладываемых друг к другу деталей вида i в собираемом механизме) одно и то же среднее статистическое значение a (математическое ожидание), но сходимость по вероятности случайной величины n = (x + x +... + x )/n к a отсутствует при 1 2 n n. Основная причина отсутствия сходимости n к a по вероятности связана, как это показано в разделе 7.1.2, с преобладающим влиянием положительных корреляций между случайными величинами хi и хk при i k.

Таким образом, можно сделать вывод, что возможные механизмы чрезмерного увеличения вариабельности длины собираемых механизмов при большом числе деталей n связаны с нарушением условий (7.1.1.10а) и (7.1.1.10б) выполнимости обобщенной частной формулировки [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] закона больших чисел.

10.3.4. Обоснование метода избранных комбинаций для произвольного числа деталей n в собираемом механизме Обоснование метода избранных комбинаций для произвольного числа деталей n в собираемом механизме основано на формуле (7.1.3.3). При n=2 получаем из формулы (7.1.3.3) результат s = 0, который был ранее получен в работе [Кумэ, 1990], в которой под случайными переменными х1 и х2 рассмотрены изменяющиеся размеры прикладываемых к друг другу деталей, составляющих некоторый механизм. При n=3 из формулы (7.1.3.3) следует результат s = 2 [Simonenko, 2005;

Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б], который использовался в работах [Simonenko, 2005;

Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] для обоснования метода избранных комбинаций, состоящего в том, что реальные размеры деталей первого сорта при помощи компьютера выстраиваются в линейную последовательность так, чтобы они антикоррелировали с реальными размерами деталей второго и третьего сортов.

В общем случае из формулы (7.1.3.3) следует, что s2 = 0 при n=2k и s = при n=2k+1. Полученный теоретический результат является обоснованием метода избранных комбинаций [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] для произвольного числа деталей в собираемом механизме. Учитывая, что размеры отдельных деталей распределены по нормальному закону [Никифоров, 2000], необходимо составить избранные комбинации длин [Симоненко, 2005а;

Симоненко, 2005б] для каждого вида деталей так, чтобы при четном числе собираемых деталей выстроенные длины половины их видов антикоррелировали с выстроенными длинами другой половины видов. Когда же число собираемых деталей нечетно, то необходимо разбить все виды деталей на "верхние" и "нижние" (см. раздел 7.1.3 главы 7), число которых отличается на 1. При этом необходимо размеры деталей выстроить так, чтобы коэффициенты корреляции были равны 1 для взаимных сочетаний выстроенных длин "верхних" деталей с "верхними" и "нижних" с "нижними", а коэффициенты корреляции для взаимных сочетаний выстроенных длин "верхних" деталей с "нижними" равны -1. В общем случае такую задачу уменьшения вариабельности полной длины собираемого механизма не решить без использования компьютера. Это объясняет основополагающую роль компьютерных технологий и статистических методов контроля в концепции “шести сигм” [Панде и Холп, 2004].

10.3.5. Обобщенная формулировка центральной предельной теоремы для статистически зависимых случайных величин Пользуясь предыдущими результатами, дадим обобщенную формулировку центральной предельной теоремы для статистически зависимых случайных величин. Данная ниже формулировка центральной предельной теоремы (необходимая для дальнейшего углубленного изучения проблем взаимозаменяемости) отлична от классической формулировки [Худсон, 1967], в которой рассмотрен счетный набор случайных независимых величин x1, x 2,..., x n.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.