авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ИНСТИТУТ ОКЕАНОЛОГИИ им. П.П. ШИРШОВА РАН

На правах рукописи

Шамин Роман Вячеславович

МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНО

БОЛЬШИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В

ОКЕАНЕ

специальность

25.00.28 океанология

Диссертация

на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Москва 2011

Оглавление

Введение 4 Глава I. Аномально большие поверхностные волны в оке ане: натурные данные и численные расчеты 33 1. Описания волн-убийц................... 33 2. Различные подходы к теоретическому изучению волн убийц............................ 37 3. Сравнение натурных данных и численного моделиро вания............................ Глава II. Исследование нелинейных уравнений, описы вающих волны на воде 4. Основные уравнения.................... 5. Корректность математической модели......... 6. Конструктивное исследование уравнений, описывающих волны на воде....................... Глава III. Вычислительные эксперименты в моделиро вании поверхностных волн 7. Численные методы..................... 8. Исследование различных режимов динамики поверх ностных волн на воде................... 9. Исследование волн-убийц с помощью вычислительных экспериментов....................... Глава IV. Качественные и статистические исследования волн-убийц в океане 10. Вероятности возникновения волн-убийц........ 11. Качественные характеристики волн-убийц....... 12. Вычислительная устойчивость решений, описывающих волны-убийцы....................... 13. Эвристические методы исследования волн-убийц... Заключение Литература Введение Актуальность темы Актуальность темы исследования поверхностных волн аномально боль шой амплитуды обусловлена тем, что поверхностные волны играют важнейшую роль для морского судоходства, морских и береговых со оружений. Волны аномально большой амплитуды, так называемые волны-убийцы представляют серьезную опасность на море. После получения неопровержимых свидетельств возникновения волн-убийц исследования этих волн стало отдельной и темой в физической океа нологии. Между тем, тема описания волн-убийц еще далека от своей завершенности. В настоящей работе поверхностные волны аномаль но большой амплитуды изучаются с помощью вычислительных экс периментов. Этот подход имеет большие преимущества, поскольку проведение лабораторных и, тем более, натурных экспериментов с целью изучения волн-убийц крайне затруднительно.

Под волнами-убийцами понимают внезапно возникающие одиноч ные волны огромной (до 30 м) амплитуды. Само название волна убийца происходит из того, что эти волны приводят к крушениям морских судов, в том числе и с человеческими жертвами, разруше ниям морских платформ, а также береговых сооружений. В англо язычной литературе такие волны обычно называют Freak waves или Rogue waves, чем подчеркивается нерегулярность и опасность этого явления в океане. Единого определения волн-убийц не суще ствует. В настоящей работе используется определение, общеприня тое в современных работах, посвященных волнам-убийцам [39]. Это определение основано на амплитудном критерии, согласно которому волна-убийца это такая волна, амплитуда которой более чем в два раза превышает значительную высоту волн в данном районе.

По нашему мнению, главной целью исследования волн-убийц яв ляется разработка методов прогноза аномально больших волн в оке ане. Изучение статистики возникновения этих волн позволит подойти к проблеме районирования акватории Мирового океана по уровню опасности возникновения экстремально больших волн. Необходимо также описать физические механизмы возникновения волн-убийц и построить адекватные модели, описывающие динамику этих волн.

Наличие динамического описания такого явления, как волны-убийцы, необходимо для вычисления количественных параметров аномаль ных волн, что является основным для разработки новых норм без опасности строительства кораблей и морских платформ.

Поскольку феномен волны-убийцы является относительно ред ким и непредсказуемым, то натурное изучение этих волн весьма за труднительно. С другой стороны, и лабораторные исследования ано мально больших волн тоже имеют большие ограничения. Поэтому в последнее время все более актуальным становятся теоретические исследования. Поскольку мы имеем дело с существенно нелинейным физическим процессом, то проведение аналитических исследований является крайне сложной задачей. Таким образом, основным сред ством изучения волн-убийц становится вычислительный экспери мент.

В настоящее время существуют фотографии и инструментальные записи фактов возникновения поверхностных волн аномально боль шой амплитуды волн-убийц. Однако наше представление об этих волнах базируется в основном на отдельных случаях [21, 22, 40]. В то же время, по данным С.К. Гулева и В.Г. Григорьевой (2004) [105], существует значительная межгодовая изменчивость ветрового волне ния. В частности, в некоторых районах Мирового океана обнаружи вается рост интенсивности штормовых волн. В связи с этим вопрос о связи вероятности таких аномальных событий, как волны-убийцы, с характеристиками поля ветрового волнения приобретает большое значение.

Изучение поверхностных ветровых волн сопряжено с известными трудностями, связанными со сложностью и большой разнообразно стью физических явлений на поверхности океана. Изучению ветро вых волн посвящено большое количество фундаментальных работ та ких авторов, как И.Н. Давидан, В.Е. Захаров, С.А. Китайгородский, В.П. Красицкий, И.В. Лавренов, М.С. Лонге-Хиггинс, А.С. Монин, О.М. Филлипс, К. Хассельман и др. Современные теории ветрового волнения, основанные на статистических подходах, позволяют полу чить закономерности развития волнения в среднем. Важную роль при этом играют и эмпирические зависимости роста волнения (Г.С.

Голицын (2010) [16]), связь которых с современными теоретическими представлениями удалось установить совсем недавно (С.И. Бадулин, А.В. Бабанин, Д. Ресио, В.Е. Захаров (2007) [90]). Однако при ста тистическом описании волнения не учитывается информация о кон кретной форме поверхности, а волны-убийцы представляют собой ин дивидуальное событие с нехарактерным профилем волны. Поэтому аномально большие волны (волны-убийцы), очевидно, не могут быть описаны в рамках статистического подхода. Необходимо обращение к нелинейным уравнениям, описывающим динамику поверхностных волн.

Для решения принципиальной проблемы прогноза волн-убийц необ ходимо иметь строгое обоснование нелинейных математических мо делей, описывающих поверхностные волны на больших временных интервалах вплоть до обрушения, и эффективные численные мето ды расчета динамики волн на воде. В настоящей диссертации предло жена целостная математическая теория на основе нелинейных урав нений, позволяющая вычислять вероятности возникновения волн убийц в зависимости от параметров начального волнения и вопросы устойчивости волн-убийц относительно внешних воздействий. В рам ках этой теории разработаны эффективные численные методы для расчета поверхностных волн в океане. Дано доказательство сходи мости этих методов, а также получены важные для практического применения результаты о регуляризации вычислительных процедур в условиях машинной точности. Полученные математические резуль таты применяются для организации масштабных вычислительных экспериментов по моделированию поверхностных волн с целью по лучения большого массива расчетных данных необходимых для изу чения волн-убийц.

Новизна результатов Научная новизна состоит в том, что волны убийцы изучаются на основе полных нелинейных уравнений с использованием строго до казанных математических методов.

В математической теории нестационарных уравнений, описываю щие динамику поверхностных волн на воде, научная новизна состоит в том, что уравнения были систематически исследованы не на малых временных интервалах, а на максимальных временных интервалах, на которых существует решение. В области построения и обоснования численных методов научная новизна состоит в том, что вычислитель ные процедуры, рассматриваются в условиях машинной точности, а также эти процедуры проектируются таким образом, чтобы служить основой для проведения доказательных вычислений в области моде лирования динамики поверхностных волн экстремальной амплиту ды. В исследовании качественных и статистических характеристик волн-убийц новизна состоит в оригинальных постановках задачи и проведении масштабных экспериментов на основе полных уравнений с большой точностью. Новыми являются теоретико-игровые методы интерпретации возникновения волн-убийц.

Структура диссертации Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и спис ка используемой литературы.

Первая глава является вводной. В этой главе приводятся наибо лее известные описания волн-убийц в Мировом океане. Дается обзор различных подходов к изучению волн-убийц.

Результаты численного расчета сравниваются с известными ин струментальными записями волн-убийц. Одним из наиболее извест ных случаев инструментальной записи волны-убийцы является реги страция на норвежской нефтяной платформе 1 января 1995 года в Северном море (56.5 с.ш., 3.2 в.д.) аномальной волны, получившей название Новогодней волны. На рис. 1 приведем волнограмму этой волны из работы [112], график 1.4.(b). А на рис. 2 приведем волно грамму из одного численного опыта входившего в серию вычисли тельных экспериментов, описанную в четвертой главе диссертации.

Рис. 1. Волнограмма Новогодней волны из работы [112].

высота (м) 600 700 800 900 1,0001,1001,2001,3001,4001,5001,6001, время (с) Рис. 2. Волнограмма численного эксперимента В цитированной выше работе также приведен подробный график волнограммы этой волны, который мы воспроизводим на рис. 3. При ведем аналогичный график из результатов численного эксперимента на рис. 4.

Рис. 3. Подробная волнограмма Новогодней волны [112].

высота (м) 780 785 790 795 800 805 810 815 820 825 830 835 время (с) Рис. 4. Подробная волнограмма численного эксперимента Сравнивая эти графики, мы видим качественное совпадение ре зультатов численного моделирования и натурных данных. В тексте диссертации также приведены и другие примеры качественного сов падения результатов численного моделирования и известных инстру ментальных записей волн-убийц.

Во второй главе исследуются нелинейные уравнения, описыва ющие поверхностные волны в океане. В этой главе строятся осно вы математической теории для проведения вычислительных экспе риментов по моделированию волн-убийц. Рассматриваются эволю ционные уравнения, описывающие динамику идеальной жидкости со свободной границей в конформных переменных. Использование конформных преобразований в задачах гидродинамики идеальной потенциальной жидкости является традиционным, однако в данной работе используется конформные переменные для нестационарных уравнений. Эти уравнения могут быть записаны в виде (1) Rt = i(U Ru Uu R), (2) Vt = i(U Vu Bu R) + g(R 1), где U = P(V R + V R), B = P(V V ), P = сингуляр (I + iH), H ный интегральный оператор Гильберта, g ускорение свободного падения. Система (1)–(2) представляют собой систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Неизвестными в этой систе ме являются функции R(t, u), V (t, u), знание которых позволяет в точности восстановить профиль свободной поверхности и потенциал скоростей.

При рассмотрении вопросов развития морского волнения необ ходимо учитывать внешнее воздействие на свободную поверхность.

Согласно физическому смыслу функций R и V, учесть внешнее воз действие можно с помощью дополнительных слагаемых в правой ча сти уравнений (1)–(2). При этом не только воздушные потоки воз действуют на морскую поверхность, но и движение жидкости также воздействует на окружающие воздушные массы. Однако рассмотре ние совместных уравнений для описания динамики жидкости и воз дух является довольно сложным, такие уравнения рассматривались, например, в работе Д.В. Чаликов, С.Е. Раинчик (2010) [97]. В настоя щей работе в качестве правых частей уравнений (1)–(2) используют ся функционалы, зависящие от значений функций R и V в предше ствующие моменты времени. Такой подход позволяет теоретически охватить большое количество вариантов взаимодействия жидкости и воздуха. В итоге получается система функционально-дифферен циальных уравнений с последействием.

Доказано существование решений на максимальном временном интервале, на котором это решение удовлетворяет таким естествен ным физическим условиям, как непрерывность и отсутствие само пересечения свободной поверхности. Этот результат позволяет отве тить на вопрос о том, как разрушаются решения уравнений, опи сывающих поверхностные волны идеальной жидкости. Решения за канчивают свою жизнь после наступления одного из следующих об стоятельств: профиль свободной поверхности теряет свойство непре рывности и/или образуется самопересечение профиля свободной по верхности.

Для построения методов конструктивного исследования поверх ностных волн в океане при наличии внешних ветровых воздействий предложена методика аппроксимации исходных уравнений эволюци онными дифференциальными включениями.

Третья глава посвящена методам проведения вычислительных экспериментов в моделировании поверхностных волн в океане. Наи более эффективным методом решения этой системы эволюционных уравнений является проекционный или спектральный метод, осно ванный на редукции уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказана сходимость численных схем, а также решена сложная задача о преодолении вы числительной неустойчивости, возникающей при решении систем диф ференциальных уравнений большой размерности. Предложен новый эффективный метод регуляризации вычислительной процедуры в усло виях машинной арифметики. Показано, что этот метод является од ним из видов регуляризации некорректных задач, и доказана его схо димость. Суть метода состоит в том, чтобы обрезать бесконечные ряды Фурье не по номеру гармоник, а обнулять те коэффициенты Фурье, которые по модулю меньше некоторого порогового значения.

В этой главе показано также, что с помощью численных схем воз можно конструктивно определять временной интервал, на котором существует решение, обладающее заданными свойствами.

Теоретические результаты продемонстрированы на примерах раз личных режимов динамики поверхностных волн на воде. Рассматри ваются бегущие волны, пример обрушивающейся волны, волны Фа радея, а также режим неустойчивости Рэлея-Тейлора.

Четвертая глава полностью посвящена поверхностным волнам аномально большой амплитуды, так называемым волнам-убийцам.

Рассмотрим постановку основных вычислительных эксперимен тов. Начальные условия для задачи (1)–(2) определялись как ан самбль бегущих в одну сторону волн со средним значением волно вого числа K0 = 25. Мы предполагали, что начальное возмущение поверхности задается суммой гармоник со случайными фазами K 2 max (3) 0 (x) = (k k0 ) cos(kx k ), 1 Kmax где Kmax полное число спектральных мод, k случайная величи на, равномерно распределенная на интервале 1 Kmax k 1 Kmax.

2 Начальные значения поля скоростей предполагались связанными с формулами линейной теории. Функция (k) определялась по форму ле k, |k| Kw ;

(4) (k) = exp (k ) + k, |k| Kw.

Здесь k независимые случайные параметры, равномерно распре деленные на интервале 1 Kmax k 1 Kmax. Число 1 Kw 2 определяло спектральную ширину,, внутренние параметры спектра, определенные так, чтобы внешние параметры квадрат Kw k2 ek dk средней крутизны µ2 = x dx и дисперсия D = 2 Kw 2 Kw ek2 dk Kw принимали заданные значения. Вклад в полную энергию случайного шума составлял не более трех процентов.

Было проделано 5000 элементарных экспериментов. В каждом эксперименте время менялось до 104, что соответствовало приблизи тельно 500 периодам волн. Если происходило обрушение волн, счет прекращался досрочно. В расчетах полное число гармоник было Kmax = 2048 или Kmax = 4096 в зависимости от квадрата средней крутизны.

Регистрация волн-убийц производилась с помощью амплитудного Hmax критерия 2.1, где Hmax амплитуда самой высокой волны, а Hs существенная высота волн, т.е. средняя амплитуда одной трети Hs самых высоких волн. Требовалось также, чтобы локальная крутиз на волны |x | превышала критическое значение, т.е. было выполнено условие max |x | 0.3. Это требование вызвано физическими сооб 0x ражениями и является весьма существенным.

Также проводились аналогичные вычислительные эксперименты, когда в исходные уравнения были добавлены диссипативные члены Rt = i(U Ru Uu R) Ruuuu, Vt = i(U Vu Bu R) + g(R 1) Vuuuu, где достаточно малый параметр.

На рис. 5 изображен характерный профиль волны-убийцы, а на рис. 6 приведена плотность импульса в момент образования волн убийцы. На рис. 7 представлена эмпирическая функция вероятности времени возникновения волны-убийцы.

Y (м) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 X (км) Рис. 5. Профиль волны-убийцы. Время t = 3360 с;

крутизна 0. 0. 0. 0. 0. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 X (км) Рис. 6. Плотность импульса в момент образования волны-убийцы вероятность 0. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 · время (с) Рис. 7. Вероятность возникновения волн-убийц от времени Поскольку волна-убийца представляет собой экстремальное явле ние, то возникает вопрос будет ли эта волна устойчивой по отноше нию к возмущениям начального волнения и внешним возмущениям.

Доказано, что эти решения являются устойчивыми к возмущению начального волнения и внешним воздействиям в функциональных пространствах, в которых рассматриваются решения уравнений. На рис. 8 приведены профиль волны-убийцы без возмущений (сплош ная линия) и профиль возмущенной волны (точечная линия) в мо мент образования волны-убийцы. В этом эксперименте возмущение было случайной внешней силой, действующей на поверхность волны.

Плотность внешней силы была следующая:

Fx (t, x) = Ax (t) sin(K(t)x), Fy (t, x) = Ay (t) sin(K(t)x), где x (t), y (t) независимые случайные процессы, равномерно рас пределенные на [0.5, 0.5], K(t) случайный процесс, принимающий значения {1, 2, 3, 4, 5} с одинаковой вероятностью, A положитель ный параметр. Хотя возмущенное решение заметно отличается от Y (м) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 X (км) Рис. 8. Возмущение волны-убийцы исходного решения, но профили максимальной волны весьма похо жи, и время образование волны-убийцы совпадает. Данная вычис лительная устойчивость была подтверждена большим количеством вычислительных опытов.

На рис. 9 приведены вероятности возникновения волн-убийц в вы числительных экспериментах в зависимости от параметров началь ного волнения. В этих экспериментах использовались уравнения без диссипации. Из этого графика видно, что вероятность возникновения волны-убийцы уменьшается с ростом спектральной ширины началь ного волнения. Однако даже для умеренных крутизн начального вол нения вероятность возникновения аномально больших волн остается значительной.

Рассмотрены методы краткосрочного оперативного прогноза воз µ2 = 1.54 · 0.8 µ2 = 2.06 · Вероятность µ2 = 2.56 · 0. µ2 = 3.08 · 0. 0. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Дисперсия Рис. 9. Вероятности возникновения волн-убийц никновения волны-убийцы. Метод основан на анализе изменения ве личин Hmax (t) H(t) =, µmax (t), Hs (t) где Hmax (t) максимальная амплитуда в момент времени t, а Hs (t) существенная высота волн, µmax (t) максимальная крутизна сво бодной поверхности в момент t. Следующие условия являются кри терием для прогноза возникновения волны-убийцы:

H(t + ) H(t) µmax (t + ) µmax (t),, где 0, 0, 0 параметры метода. На основе анализа дан ных вычислительных экспериментов наилучший выбор параметров этого метода показал точность прогноза в 68.94%.

Факт возникновения волны-убийцы в ходе нелинейной динами ки можно трактовать с помощью теории игр. Введем определение формальной игры в нашем случае. Пусть рассматривается динамика цуга волн при t [0, T ]. Будем считать, что на этом временном от резке количество отдельных волн конечно и постоянно. Пусть у нас есть N волн. Соответственно, можно рассматривать игру N игроков, где под каждым игроком мы будем понимать отдельную волну. В начальный момент времени каждая волна имеет заданное значение энергии Ei (0) = Ei и амплитуды Ai (0) = Ai, где Ei (t) и Ai (t) суть энергия и амплитуда i-ой волны в момент времени t. Допустимыми стратегиями игроков являются конкретный вид начального профи ля и начальной скорости волны, с учетом ограничений на энергию и амплитуду. В вычислительных экспериментах по этим параметрам случайным образом выбирается профиль волны, что соответствует некоторым смешанным стратегиям игроков. Функция выигрыша i ой волны в рассматриваемой игре определяется как амплитуда волны Ai (T ) в конечный момент t = T.

Введем понятие справедливости игры. Будем использовать обо Hmax (t) значение: (t) =. Пусть пороговое значение этой функции, при Hs (t) котором мы регистрируем волну-убийцу, равно f w (в наших экспе риментах f w = 2.1). Игра называется справедливой, если выполнено условие: (0) f w, (T ) f w. В случае, когда выполнено условие (T ) f w, мы будем говорить, что игра несправедли (0) f w, вая.

Несправедливость игры означает, что из относительно равных начальных условий используемые смешанные стратегии могут при водить к тому, что единичные игроки получают выигрыши, значи тельно превосходящие выигрыши остальных игроков. Таким образом факт возникновения волны-убийцы означает, что рассматриваемые вычислительные эксперименты приводят к несправедливой игре.

В Заключении приведены основные результаты диссертацион ной работы.

Апробация результатов Результаты диссертационной работы излагались: на Ученом совете в Институте океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Ученом совете Физического направления Института океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Научных сессиях Совета РАН по нелинейной динамике;

в Институте вычислительных технологий СО РАН (Ново сибирск) под руководством академика Ю.И. Шокина, В.М. Ковеня;

в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Ново сибирск) под руководством В.В. Пухначева;

в Институте Альфре да Вегнера полярных и морских исследований (Бремергафен, Герма ния);

на семинаре в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлин ского РАН под руководством С.Ю. Доброхотова, в Институте вы числительной математики РАН на семинаре под руководством Г.М.

Кобелькова, В.И. Лебедева, А.В. Фурсикова, на семинарах механико математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руко водством М. С. Аграновича и М. И. Вишика и семинаре под руковод ством академика В.В. Козлова и член-корреспондента Д.В. Трещева;

в Московском авиационном институте на семинаре под руководством Г. А. Каменского и А. Л. Скубачевского, а также на семинаре под руководством П. С. Красильникова;

на семинаре в Российском уни верситете дружбы народов под руководством А. Л. Скубачевского;

на семинаре в Московском энергетическом институте под руковод ством Ю.А. Дубинского;

в Свободном университете Берлина (Бер лин, Германия);

в Университете Гумбольдта (Берлин, Германия);

в Институте Вейерштраса прикладного анализа и стохастики (Берлин, Германия).

А также на конференциях: Асимптотические методы и матема тическая физика, Москва, 2010;

Современные проблемы математи ки, механики и их приложений. Материалы международной конфе ренции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садов ничего, 2009;

The Fifth International Workshop SOLITONS, COL LAPSES AND TURBULENCE: Achievements, Developments and Pers pectives CHERNOGOLOVKA, Moscow region, 2009;

International Con ference Control and Optimization of Dynamical Systems CODS-2009, Tashkent, Uzbekistan, 2009;

Итоговой конференции по результатам ре ализации Программы фундаментальных исследований Президиума РАН Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология Москва, 2008;

The Fifth International Conference on Dierential and Functional Dierential Equations. Abstracts. Moscow, 2008;

3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных уче ных, Бийск, 2008;

Дифференциальные уравнения и топология: Меж дународная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва 2008;

Воронежская зимняя математиче ская школа С.Г. Крейна-2008. Воронеж, 2008;

Современные мето ды математического моделирования природных и антропогенных ка тастроф. Барнаул, 2007;

International Conference Nonlinear partial dierential equations. Yalta, Crimea, Ukraine, 2007;

Международная конференция Дифференциальные уравнения, теория функций и при ложения. Москва, 2007;

International Conf. Dierential Equations and Related Topics dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow 2007;

IUTAM Symposium Hamiltonian dynamics, Vortex structures, Turbulence. Mos cow, 2006;

International Conference Tikhonov and contemporary mathe matics Moscow, Russia, 2006;

International Conference Mathematical Hydrodynamics Moscow 2006;

Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2006;

International Conference Nonlinear partial dierential equations. Alushta, 2005;

Fourth International Conference on Dierential and Functional-Dierential Equations, Moscow, Russia, 2005.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 42-х научных ра ботах. В том числе в монографии в издательстве Наука, 15-ти ре цензируемых журналах (из них 13 из списка ВАК), 4-х статьях в рецензируемых сборниках, 22-х тезисах конференций.

В работах [2] и [3] автору принадлежит частично постановка вы числительных экспериментов, полностью численная реализация про граммных комплексов, а также проведение экспериментов и обра ботка результатов экспериментов. В работах [15], [18], [19] автору принадлежит идея статей, математическое обоснование применяе мых методов, а также интерпретация результатов экспериментов. Все остальные работы выполнены без соавторов.

1. Шамин Р.В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане. М.: Наука, 2008. 133 с.

2. Захаров В.Е., Шамин Р.В. О вероятности возникновения волн убийц // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91. Вып. 2. С. 68-71.

3. Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Shamin R.V. How probability for freak wave formation can be found // THE EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL - SPECIAL TOPICS. 2010. Vol. 185. N 1. P. 113-124.

4. Шамин Р.В. Поверхностные волны на воде минимальной глад кости // Современная математика. Фундаментальные направ ления. 2010. Т. 35. С. 126-140.

5. Шамин Р.В. Разрешимость уравнений, описывающих волны ми нимальной гладкости // Доклады Академии наук. 2010. Т. 432.

N 4. С. 458-460.

6. Шамин Р.В. Аппроксимация эволюционных дифференциаль ных уравнений в шкалах гильбертовых пространств // Мате матические заметки. 2009. Т. 85. N 2. С. 318-320.

7. Шамин Р.В. Динамика идеальной жидкости со свободной по верхностью в конформных переменных // Современная мате матика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 28. С. 3-144.

8. Шамин Р.В. Регуляризация метода прямых в условиях машин ной точности с примерами в гидродинамике со свободной по верхностью // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. N 5. С.

113-124.

9. Шамин Р.В. Моделирование поверхностных волн: статистиче ский метод анализа разрешимости // Вычислительные техно логии. 2008. Т. 13. Специальный выпуск 2. С. 87-93.

10. Шамин Р.В. Об оценке времени существования решений урав нения, описывающего поверхностные волны // Доклады Ака демии наук. 2008. Т. 418. N 5. С. 603-604.

11. Шамин Р.В. К вопросу об оценке времени существования реше ний системы Коши-Ковалевской с примерами в гидродинамике со свободной поверхностью // Современная математика. Фун даментальные направления. 2007. Т. 21. С. 133-148.

12. Шамин Р.В. Об одном численном методе в задаче о движении идеальной жидкости со свободной поверхностью // Сибирский журнал вычислительной математики. 2006. Т. 9. N 4. С. 379-389.

13. Шамин Р.В. О существовании гладких решений уравнений Дья ченко, описывающих неустановившиеся течения идеальной жид кости со свободной поверхностью // Доклады Академии наук.

2006. Т. 406. N 5. С. 112-113.

14. Шамин Р.В. О пространствах начальных данных для диффе ренциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Мате матический сборник. 2003. Т. 194. Вып. 9. С. 1411-1426.

15. Shamin R.V., Moiseeva S.N. Functional Dierential Equations and Freak Waves // Functional Dierential Equations. 2009. V. 16. N 4. P. 627-637.

16. Шамин Р.В. Модели ветрового волнения на основе функционально дифференциальных уравнений // Актуальные проблемы фун даментальной и прикладной математики: Сб. науч. тр. М.: МФ ТИ. 2009. С. 143-149.

17. Shamin R.V. About Analytic Solvability of Nonstationary Flow of Ideal Fluid with a Free Surface // IUTAM Symposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence. Springer Netherlands.

2008. P. 323-329.

18. Шамин Р.В., Геогджаев В.В. Статистическое исследование су ществования решений, описывающих поверхностные волны // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крей на. 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 309-313.

19. Шамин Р.В., Дружинин В.А.. О моделировании нелинейных эволюционных функционально-дифференциальных уравнений // Нелинейные граничные задачи. 2006. Вып. 16. С. 226-232.

20. Shamin R.V. Spaces of Initial Data for Dierential Equations in Hilbert Spaces and the Kato problem // Ulmer Seminare uber Funktionalanalysis und Dierentialgleichungen. 2002. V. 7. P. 375 388.

21. Шамин Р.В. Волны-убийцы в океане: доказательные вычисле ния и оценка вероятности возникновения // Тезисы докладов конференции Асимптотические методы и математическая фи зика, Москва, 2010. С. 56-57.

22. Шамин Р.В. О разрешимости нелинейных систем Коши-Кова левской на конечном временном интервале // Современные про блемы математики, механики и их приложений. Материалы меж дународной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего. - М.: Издательство Университет ская книга, 2009. С. 232-233.

23. Шамин Р.В. Волны на воде: моделирование и статистические характеристики // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 214-215.

24. Shamin R.V. Freak Waves Simulation and Conclusive Simulation // The Fifth International Workshop SOLITONS, COLLAPSES AND TURBULENCE: Achievements, Developments and Perspectives Chernogolovka, Moscow region, RUSSIA August 2-7, 2009. P. 41.

25. Шамин Р.В. Моделирование поверхностных волн экстремаль ной амплитуды - волн-убийц // Abstracts of International Conference Control and Optimization of Dynamical Systems CODS-2009, 28-30 september 2009, Tashkent, Uzbekistan. С. 113.

26. Шамин Р.В. Общие эволюционные функционально-дифферен циальные уравнения // Математика, информатика, их прило жения и роль в образовании. Тезисы докладов Российской Школы конференции с международным участием Математика, инфор матика их приложения и роль в образовании 14-18 декабря 2009 г. С. 123.

27. Шамин Р.В., Моисеева С.Н.. Статистические характеристики волн-убийц // Тезисы докладов Итоговой конференции по результатам реализации Программы фундаментальных иссле дований Президиума РАН Фундаментальные проблемы океа нологии: физика, геология, биология, экология Москва, Ин ститут океанологии им. П.П. Ширшова РАН, 27-28 ноября г. С. 177.

28. Шамин Р.В. Использование статистических методов при ис следовании разрешимости нелинейных уравнений // The Fifth International Conference on Dierential and Functional Dierential Equations. Abstracts. Moscow, Russia, August 17-24, 2008. P. 121.

29. Шамин Р.В. Об уравнениях гидродинамики со свободной по верхностью в конформных переменных // Задачи со свободны ми границами: теория, эксперимент и приложения. Тезисы до кладов 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых. 28 июня - 3 июля 2008 года, Бийск, 2008. С. 105-106.

30. Шамин Р.В. Разрешимость систем Коши-Ковалевской на ко нечно временном интервале // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100 летию со дня рождения Л.С. Понтрягина: тезисы докладов. М.: ВМиК МГУ, 2008. С. 208.

31. Шамин Р.В.. Идеальная жидкость со свободной поверхностью в условиях вибрации // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. 2008. Тезисы докладов. Воронеж, 2008. С.

147.

32. Шамин Р.В. Численное моделирование волн-убийц // Совре менные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф. Тезисы IX Всероссийской конферен ции, Барнаул, 2007. С. 114.

33. Shamin R.V. Estimation time of existence water waves // BOOK OF ABSTRACTS. International Conference Nonlinear partial dif ferential equations. Yalta, Crimea, Ukraine, 2007. P. 65.

34. Шамин Р.В. К вопросу об оценке времени существования ре шений уравнений, описывающих волны на воде // Междуна родная конференция Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Тезисы докладов, 2007. С. 648.

35. Шамин Р.В. Конструктивная оценка времени существования решений уравнений, описывающих поверхностные волны иде альной жидкости // Abstracts of International Conf. Dierential Equations and Related Topics dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow, MSU, 2007. P. 289-287.

36. Shamin R.V. About solvability and numerical simulation of nonsta tionary ow of ideal uid with a free boundary // Book of abstracts.

IUTAM Symposium Hamiltonian dynamics, Vortex structures, Turbulence (Moscow, 25-30 August 2006). P. 126-127.

37. Shamin R.V. About solvability and numerical methods of nonstationary ow of uid with a free surface // International Conference Tikhonov and contemporary mathematics Moscow, Russia, June 19-25, 2006.

Abstracts of session Computational mathematics and informatics.

P. 111-112.

38. Shamin R.V. About solvability and simulation equations describing motion of ideal liquid with free boundary // International Conference Mathematical Hydrodynamics Moscow, Russia, June 12-17, 2006.

Abstracts. P. 67-68.

39. Шамин Р.В. О существовании решений нелинейной задачи дви жения идеальной жидкости со свободной поверхностью и чис ленном моделировании таких задач // Воронежская зимняя ма тематическая школа С.Г.Крейна - 2006. Тезисы докладов. Во ронеж, 2006. С. 108-109.

40. Shamin R.V. About solvability and numerical simulation of nonsta tionary ow of incompressible uid with a free surface // Book of Abstracts. International Conference Nonlinear partial dierential equations. Alushta, September 17-23, 2005. P. 89.

41. Шамин Р.В. О существовании гладких решений уравнений, опи сывающих течения идеальной жидкости со свободной поверх ностью // Abstracts of the Fourth International Conference on Dierential and Functional-Dierential Equations, Moscow, Russia, August 14-21, 2005. P. 13.

42. Шамин Р.В. О нестационарном течении идеальной жидкости со свободной поверхностью // Топологические и вариационные ме тоды нелинейного анализа и их приложения, Материалы меж дународной научной конференции ТВМНА-2005, Воронеж, изд во ВГУ, 2005. С. 109-110.

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность ру ководителю и вдохновителю работы академику Владимиру Евге ньевичу Захарову и своему первому учителю профессору Алек сандру Леонидовичу Скубачевскому. Автор также благодарит своих коллег сотрудников Лаборатории нелинейных волновых процес сов ИО РАН: С.И. Бадулина, В.В. Геогджаева, Н.Г. Кожелупову, Б.Н. Филюшкина, В.И. Шриру и преподавателей кафедры диффе ренциальных уравнений и математической физики РУДН: М.Е. Бо говского, Е.М. Варфоломеева, П.Л. Гуревича, Л.Е. Россовского, В.Ж. Сакбаева, М.Ф. Сухинина, а также А.И. Дьяченко, Г.А. Камен ского, А.С. Левина, И.А. Малиновскую, А.И. Смирнову, Д.В. Сош никова.

Глава I Аномально большие поверхностные волны в океане: натурные данные и численные расчеты 1. Описания волн-убийц Как известно, единого определения волн-убийцы, охватывающего все аспекты этого явления нет. Это связано как с многогранностью волн убийц, так и с тем, что волнами-убийцами часто называют совер шенно разные явления. Мы будем рассматривать волны-убийцы как поверхностные волны в океане, которые обладают следующими ос новными признаками:

1. одиночная волна или небольшая группа волн, состоящая из двух-трех волн, амплитуда которых превосходит амплитуду осталь ных волн в данной районе;

2. волна имеет большую крутизну;

3. волна возникает внезапно;

4. волна обладает достаточно большой энергией и импульсом.

Конечно, эти признаки не являются строгим определением. В по следующих главах, где мы будем изучать эти волны с помощью вы числительных экспериментов, мы будем использовать формальные определения волн-убийц, которые однако будут согласовываться с приведенными выше признаками.

Проблема волн-убийц очень часто рассматривается как сравни тельно недавно возникшая практическая и теоретическая пробле ма. Однако, известны многочисленные описания встреч с волнами убийцами. В очень древних источниках можно найти описания, пря мо или косвенно упоминающие о столкновениях мореходов с этим грозным природным явлением. Выдающийся французский морепла ватель Жюль Себастьян Сезар Дюмон-Дюрвиль (Julles Sebastien Cesar Dumont D’Urville, 1790-1842), по-видимому, первым дал количествен ную оценку встреченной им гигантской волны 80-100 футов. Дюмон Дюрвиль отметил одну характерную черту виденной им волны, окре стив её galejade, что можно перевести как грубая, неприличная шут ка, мистификация. Волна возникла совершенно неожиданно на фоне относительно слабого волнения, судно и команда совершенно не были готовы к встрече с ней. Эта особенность отражена и в других синони мах волн-убийц, встречающихся в разных языках. На том же фран цузском языке эти волны называют "les ondes scelerates т.е. подлые, злодейские волны. В английском языке доминируют два термина:

freak ненормальный, придурок и rogue непослушный, нестан дартный.

Многие морские трагедии произошли и продолжают происходить в результате недооценки опасности морского волнения и таких экс тремальных его проявлений как волны-убийцы. 7 сентября 1893 года погиб броненосец береговой обороны Русалка, совершавший при вычный переход между Ревелем (Таллин) и Гельсингфорсом (Хель синки) в штормовых условиях. Поиски судна в 1893-1894 годах не дали результатов. Судно было обнаружено только в 2003 году усили ями группы эстонских исследователей. Положение судна и известные обстоятельства гибели позволили высказать гипотезу о его встрече с волной-убийцей [50]. В момент трагедии судно совершало резкий ма нёвр, о чём свидетельствует крайнее положение лопасти руля. Был ли этот манёвр продиктован решением командира вернуться в Ре вель или же попыткой уйти от встречи с внезапно возникшей гигант ской волной-убийцей, уверенно ответить невозможно. Ясно только, что корабль неожиданно получил огромное количество воды через палубные люки и мгновенно получил большой дифферент на нос.

Корабль найден на глубине 74 метра в почти вертикальном положе нии, зарывшимся в илистый грунт на половину корпуса. Случай с Русалкой иллюстрирует две типичные особенности инцидентов с волнами-убийцами (если это, действительно, была волна-убийца): во первых, недооценку условий плавания, во-вторых, недостаточность и явную неполноту свидетельств о трагедии. Автор версии А.А. Нико нов связывает трагедию с волной-убийцей, подобной той, что была измерена в Чёрном море. Высота этой волны почти в 8 раз превы шала значимую высоту волнения. Исчезновение 7 декабря 1978 года супертанкера Мюнхен, считавшегося практически непотопляемым, документировано как следствие встречи с волной-убийцей аналогич но случаю с броненосцем Русалка. При этом единственное обна руженное доказательство катастрофы - искорёженная чудовищной силой спасательная шлюпка. Случаи благополучных (сравнительно благополучных) исходов встреч с волнами-убийцами довольно мно гочисленны и позволяют обнаружить характерные черты этого яв ления, оценить максимальные высоты этих волн и сделать полезные практические выводы.

Непредсказуемость появления волн-убийц, их слабая видимая связь с особенностями волнения и силой ветра замечательно иллюстриру ется снимками М.М. Соколовского, сделанными у побережья Кам чатки в июне 2006 года. Серия крутых уединённых волн высотой более 1 метра наблюдалась в течение нескольких десятков минут на фоне пологой океанской зыби (длина волн 200-300 метров, ампли туда около 1 метра) при практически безветренной погоде. Именно отсутствие видимых причин зарождения волн-убийц делает вопрос о возможности их образования в силу особенностей собственной суще ственно нелинейной динамике вопросом первостепенной важности.

2. Различные подходы к теоретическому изучению волн-убийц Для исследования волн-убийц применялись различные подходы.

Во-первых, экстремальные волны рассматривались на основе ли нейной теории. К таким методам можно отнести подходы, основан ные на интегральном представлении Маслова: Доброхотов С.Ю. (1983) [23], Brown M.G. (2000) [94]. На основе линейного приближения раз вивались методы, основанные на геометрической фокусировки: Brown M.G., Jensen A. (2001) [93], Johannessen T.B., Swan C. (2001) [109] и др.

В рамках линейной теории рассматривались волны аномальной амплитуды, возникающие при взаимодействии с течениями: Peregrine D.H. (1976) [121], White B.S., Fornberg B. (1998) [134] и др.

Во-вторых, волны-убийцы рассматриваются как нелинейные эф фекты. В рамках нелинейной динамики волны-убийцы рассматрива лись как результат модуляционной неустойчивости и дисперсионного сжатия: Пелиновский Е.Н., Хариф К. (2000) [61], Dysthe K.B., Trulsen K. (1999) [103], Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. (1999) [108], Zakharov V.E., Dyachenko A.I, Prokoev A.O. (2006) [140] и др.

Также в рамках нелинейной теории рассматривались приближе ния на мелкой воде: Pelinovsky E., Talipova T., Kharif C. (2000) [122] и др. Для изучения волн-убийц также применялись методы, осно ванные на уравнении Захарова и кинетических уравнений: Badulin S.I., Shrira V.I., Kharif C., Iualalen M. (1995) [91], Korotkevich A.O., Pushkarev A.N., Resio D., Zakharov V.E. (2008) [113] и др.

В последнее время увеличивается число работ, в которых волны убийцы исследуются на основе полных нелинейных уравнений гид родинамики: Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. (1999) [108], Baterman W.J.D., Swan C., Taylor P.H. (2001) [92], Chalikov D., Sheinin D. (2005) [96], Chalikov D. (2009) [95], Рубан В.П. (2010) [63], Dyachenko A.I., Zakharov V.E. (2008) [102] и др.

Моделирование волн-убийц на основе полных нелинейных урав нений позволяет наблюдать динамику эти волны в вычислительных экспериментах с большой точностью. Именно такой подход к изуче нию аномально больших волн используется в настоящей диссерта ции. Основной целью нашего исследования является получение оце нок вероятности возникновения волн-убийц в зависимости от пара метров начальных данных. Для этой цели мы проводим масштаб ные вычислительные эксперименты по моделированию волн на воде.

При таком подходе становится принципиальным вопрос о строгом обосновании математической модели. Для этого мы систематически изучаем нелинейные дифференциальные уравнения в частных про изводных, что позволяет проводить вычислительные эксперименты на основе полностью обоснованной математической модели. Более того, некоторые наши численные опыты можно трактовать как до казательные вычисления.

3. Сравнение натурных данных и численного моделирования В последующих главах диссертации мы будем систематически изу чать волны-убийцы с помощью вычислительных экспериментов. В настоящем параграфе мы проведем сравнение результатов наших численных экспериментов с известными натурными записями.

Одним из наиболее известных случаев инструментальной записи волны-убийцы является регистрация на Норвежской нефтяной плат форме 1 января 1995 года в Северном море (56.5 с.ш., 3.2 в.д.) ано мальной волны, получившей название Новогодней волны. Приведем из работы Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. (2009) график 1.4.(b), на котором изображена волнограмма этой волны.

А теперь приведем волнограмму из одного численного опыта мо делирования нелинейной динамики поверхностных волн в океане.

Этот опыт входил в серию вычислительных экспериментов, описан ную в четвертой главе диссертации.

В цитированной выше работе также приведен подробный график волнограммы этой волны.

Рис. I.1. Волнограмма Новогодней волны из работы [112].

evalution(m) 600 800 1,000 1,200 1,400 1, time(s) Рис. I.2. Волнограмма численного эксперимента Приведем такой же график из результатов численного экспери мента.

Теперь приведем другую волнограмму волны-убийцы, сделанную на платформе также в Северном море. Приведем из работы Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. (2009), график 1.4.(a).

Рис. I.3. Волнограмма новогодней волны из работы [112].

evalution(m) 780 790 800 810 820 830 time(s) Рис. I.4. Волнограмма численного эксперимента А теперь приведем волнограмму из численного опыта моделиро вания. Этот опыт также входил в серию вычислительных экспери ментов, описанную в четвертой главе диссертации.

В цитированной выше работе также приведен подробный график волнограммы этой волны.

Приведем такой же график из результатов численного экспери Рис. I.5. Волнограмма из работы [112].

evalution(m) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 time(s) Рис. I.6. Волнограмма численного эксперимента мента.

Также известным является запись с буя в Черном море, сделанная 22 ноября 2001 года. Приведем из работы [112].

А теперь приведем волнограмму из численного опыта моделиро вания.

В цитированной выше работе также приведен подробный график Рис. I.7. Волнограмма из работы [112].

evalution(m) 1,105 1,110 1,115 1,120 1,125 1,130 1, time(s) Рис. I.8. Волнограмма численного эксперимента волнограммы этой волны.

Приведем такой же график из результатов численного экспери мента.

Наконец, приведем еще два примера сравнения волнограмм ре альных записей и результатов численного моделирования. На следу ющем рисунке приведена волнограмма сделанная в Северном море.

Рис. I.9. Волнограмма из работы [112].

evalution(m) 0 200 400 600 800 1,000 1, time(s) Рис. I.10. Волнограмма численного эксперимента Эта запись представляет собой явление дырки в море, которое часто встречалось в описаниях моряков. Аналогичный эффект мож но наблюдать и в наших вычислительных экспериментах.

Закончим наш обзор сравнения реальных волнограмм с результа тами численного моделирования примером, где представлен эффект Рис. I.11. Волнограмма из работы [112].

evalution(m) 500 510 520 530 540 550 560 570 580 time(s) Рис. I.12. Волнограмма численного эксперимента три сестры.

На основании приведенных примеров можно сделать вывод о ка чественном совпадении известных инструментальных данных наблю дения волн-убийц с результатами наших вычислительных экспери ментов.

Рис. I.13. Волнограмма из работы [112].

evalution(m) 850 855 860 865 870 875 880 885 time(s) Рис. I.14. Волнограмма численного эксперимента Рис. I.15. Волнограмма из работы [112].

evalution(m) 8,450 8,460 8,470 8,480 8,490 8,500 8,510 8,520 8,530 8, time(s) Рис. I.16. Волнограмма численного эксперимента Глава II Исследование нелинейных уравнений, описывающих волны на воде 4. Основные уравнения 4.1. функциональные пространства Введем некоторые определения функциональных пространств, в ко торых будем рассматривать уравнения. Пусть X произвольное бана хово пространство. Для любого 0 T мы введем банахово про странство непрерывных на [0, T ] функций со значениями в простран стве X. Это пространство мы будем обозначать C([0, T ];

X). норма в этом пространстве вводится по формуле u = max u(t) X.

C([0,T ];

X) t[0,T ] Через C k ([0, T ];

X), k 0 мы будем обозначать банахово простран ство непрерывно дифференцируемых вплоть до k-го порядка функ ций, заданных на [0, T ], со значениями в пространстве X. Норма в этих пространствах вводится по формуле + max u(k) (t) u = max u(t) X.

X C k ([0,T ];

X) t[0,T ] t[0,T ] Условимся обозначать C 0 ([0, T ];

X) = C([0, T ];

X).

Для 1 p введем банаховы пространства Lp (0, T ;

X) как пространства измеримых на (0, T ) функций со значениями в про странстве X и интегрируемых на [0, T ] в степени p. Норма в этих пространствах вводится по стандартной формуле T 1/p = u(t) p dt u.

Lp (0,T ;

X) Также будем использовать пространство L (0, T ;

X), состоящее из измеримых на (0, T ) функций со значениями в пространстве X таких, что конечна норма u = vraisup u(t) X, L (0,T ;

X) t[0,T ] то есть равная нижней грани всех констант C, для которых множе ство {t [0, T ] : u(t) C} имеет лебегову меру нуль.

X Пусть теперь H гильбертово пространство. Будем рассматри вать пространство L2 (0, T ;

H) как гильбертово со скалярным произ ведением T (u, v)L2 (0,T ;

H) = (u(t), v(t))H dt.

Будем также рассматривать пространство W (0, T ;

X) абсолютно непрерывных функций со значениями в X, имеющих первую произ водную из L (0, T ;

X) с нормой + vraisup u (t) u = max u(t) X.

1 X W (0,T ;

X) t[0,T ] t[0,T ] Пусть Q Rn ограниченная область с границей Q, удовле творяющей условию Липшица. Мы будем обозначать через Wp (Q), k 1 p пространство Соболева комплекснозначных функций из L2 (Q), имеющих все обобщенные производные вплоть до k-го поряд ка из L2 (Q), с нормой 1/p |D u(x)|p dx u =.


k Wp (Q) ||k Q k Через W2 (Q) обозначим замыкание множества финитных бесконеч k но дифференцируемых функций C (Q) в W2 (Q), а через W2 (Q) k k обозначим пространство, сопряженное к W2 (Q).

4.2. Уравнения гидродинамики Начнем с ряда упрощающих предположений, которые позволят нам построить математическую модель движения жидкости. Во-первых, мы будем считать жидкость сплошной и однородной средой. При этом мы будем описывать состояние жидкости, занимающей объем Q R3, с помощью поля скоростей:

(x) = (v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x)), v x = (x1, x2, x3 ) Q. Переменные (x) называются переменными Эй v лера. Поскольку мы рассматриваем нестационарное течение жидко сти, поле скоростей будет зависеть от времени: = (x, t). Область, v v занимаемая жидкостью, также может зависеть от времени (в частно сти, в задачах со свободной поверхностью): Q = Q(t). Во-вторых, мы будем считать жидкость несжимаемой. В терминах поля скоростей этот факт выражается формулой div (x, t) = vx1 + vx2 + vx3 = 0, 1 2 (II.1) v x Q(t).

Заметим, что условие (II.1) доставляет значительные трудности при теоретическом изучении уравнений, а также при проведении числен ных расчетов. В-третьих, мы будем рассматривать жидкости при от сутствии вязкости. Известно, что такая обычная жидкость, как вода имеет очень небольшой коэффициент вязкости1 : = 1, 005·103 Па·с, для сравнения глицерин имеет коэффициент вязкости = 4, 22 Па·с, см. [45]. Исключение из рассмотрения вязкости жидкости (принятие коэффициента вязкости равного нулю) означает не только измене ние коэффициента в уравнениях, но и изменение самих уравнений и граничных условий.

Так как мы будем изучать поверхностные волны, то будем рас сматривать тяжелую жидкость, находящуюся с однородном поле си лы тяжести. Наша жидкость будет обладать однородной плотностью.

В некоторых параграфах, посвященных неустойчивости Релея Тейлора, мы будем рассматривать движение жидкости в отрицательном поле В Международной системе (СИ) единицей вязкости является паскаль секунда: 1Па · с = 1кг/(м · с) тяжести.

Перейдем к основным уравнениям, описывающим динамику иде альной несжимаемой жидкости. Для описания течения жидкости мы выбрали эйлеровы координаты. В этих координатах динамика иде альной жидкости описывается системой уравнений Эйлера:

vt + v 1 vx1 + v 2 vx2 + v 3 vx3 + px1 = F 1 (x, t), 1 1 1 v + v 1 v 2 + v 2 v 2 + v 3 v 2 + px = F 2 (x, t), t x1 x2 x3 (x, t) Q(t), vt + v 1 vx + v 2 vx + v 3 vx + px3 = F 3 (x, t), 3 3 1 2 v + v 2 + v 3 = 0, x1 x2 x (II.2) где F (x, t) = (F 1, F 2, F 3 ) есть внешняя сила, действующая на жид кость, скалярная функция p(x, t) называется давлением. Неизвест ными в этой системе уравнений является поле скоростей (x, t) и v давление p(x, t).

Система уравнений Эйлера (II.2) должна быть дополнена гранич ными и начальными условиями. Предположим, что объем жидко сти остается неизменным во времени и ограничен границей, сквозь которую жидкость не может протекать. Эту границу обозначим.

Мы будем считать, что поверхность не имеет самопересечений. За исключением специально оговоренных случаев, мы будем предпола гать, что поверхность является кусочно-гладкой, и при почти всех x определен вектор внешней нормали (x). Условие непроте n кания через границу означает, что нормальная скорость на границе равна нулю ( (x), (x, t))R3 = 0, (II.3) n v x.

Граничные условия на свободной границе существенно отличаются от условий непротекания. Эти условия мы подробно обсудим чуть позже. Заметим, что при рассмотрении задач гидродинамики, воз никающих в океанологии, области, занимаемые жидкостью, часто имеют огромные размеры, поэтому при удобно использовать пери одические граничные условия.

Несмотря на то, что в систему (II.2) не входит производная по времени от давления, уравнения Эйлера являются эволюционной си стемой с выделенной переменной t, означающей время. При изуче нии динамики эволюционных систем необходимо задавать начальные условия (x, 0) = (x), v v (II.4) (x Q) p(x, 0) = p0 (x).

Поскольку давление p(x, t0 ) может быть определено по полю ско ростей (x, t0 ) при фиксированном t0, то начальные условия (II.4) v должны удовлетворять соответствующим условиям согласования.

Система уравнений Эйлера представляет собой очень сложную математическую задачу как в плане доказательства теорем о суще ствовании и единственности решений этой системы, так и с вычисли тельной точки зрения. В двумерном случае результаты о разреши мости уравнений Эйлера получены в работах [87, 111]. В трехмерном случае до настоящего момента результатов о глобальной (по времени) разрешимости уравнения Эйлера неизвестно. Существование реше ний на достаточно малом временном интервале в трехмерном случае рассматривалось в работах [18, 117].

С этого момента мы будем рассматривать двумерное течение иде альной жидкости со свободной границей и бесконечно глубоким дном.

Конкретнее, пусть идеальная несжимаемая жидкость занимает об ласть в плоскости (x, y), ограниченную свободной поверхностью y (x, t), x, t 0.

Будем считать, что движение жидкости является потенциальным, т. е. существует функция (x, y, t) такая, что поле скоростей за v дается по формуле (x, y, t) = (x, y, t).

v Из условия несжимаемости жидкости div = 0 следует, что потен v циал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа (II.5) (x, y, t) = 0.

Уравнение (II.5) является простейшим линейным уравнением в частных производных, однако особая сложность в изучении поверх ностных волн заключается в нелинейных граничных условиях. Тем более, что неизвестной (и искомой) функцией является не только потенциал скоростей, но профиль и волны свободная поверхность, которая задается функций (x, t).

Будем рассматривать движение жидкости в однородном поле тя жести с ускорением свободного падения g.

Рассмотрим граничные условия. Во-первых, это так называемое кинематическое условие:

(II.6) (t + x x y )|y=(x,t) = 0.

Во-вторых, динамическое условие:

t + ||2 + gy |y=(x,t) = 0. (II.7) Это условие означает, что давление на свободной поверхности долж но быть равно нулю. Напомним, что сейчас мы рассматриваем исклю чительно гравитационные поверхностные волны, исключая из нашей модели внешнее воздействие. В-третьих, на дне должно быть выпол нено условие непротекания, т. е. вертикальная компонента скорости v 2 должна быть равна нулю при y :

(II.8) y |y= = 0.

По переменной x мы будем рассматривать периодические краевые условия. Поскольку мы рассматриваем нестационарную задачу, необ ходимо задать начальные условия для и :

(II.9) |t=0 = 0 (x, y).

(II.10) |t=0 = 0 (x).

Задача (II.5)–(II.10) представляет собой замкнутую систему уравне ний. В различных функциональных классах эта задача изучалась во многих работах. Рассматривались также обобщения этой задачи на трехмерный случай. Не претендуя на полноту библиографических ссылок, приведем лишь некоторые работы: [51–53, 98, 136]. В приве денных работах доказана корректность задачи (II.5)–(II.10), в част ности, было доказано существования решений этой задачи на доста точно малом временном интервале. Натурные и численные экспери менты убедительно показывают, что явление обрушения волн и/или образования особенностей за конечное время возникает для большин ства волн. Поэтому принципиально важной является проблема оцен ки времени существования решений, описывающих поверхностные волны идеальной жидкости.

Система (II.5)–(II.10) является консервативной, т.е. сохраняющей полную механическую энергию. Полная энергия состоит из суммы кинетической T и потенциальной U энергий. Приведем формулы для вычисления энергии:

(x,t) ||2 dy, T= dx 0 g 2 (x, t)dx.

U= Удобно ввести величину (x, t) = (x, (x, t), t), которая явля ется значением потенциала на свободной поверхности (см. [24]). В работе [28] было установлено, что переменные и являются кано нически сопряженными величинами, т. е.

H =, t H =, t где гамильтониан H совпадает с полной энергией жидкости H = T + U.

В работе [68] система уравнений (II.5)–(II.10), включая граничные условия, получена из вариационных принципов.

Задача (II.5)–(II.10) является достаточно сложной для непосред ственного изучения. Следуя работе [24], перепишем задачу (II.5)– (II.10) в других обозначениях. Как мы уже отмечали, мы рассматри ваем 2-периодические граничные условия по переменной x. Урав нения, рассматриваемые в настоящей главе, могут быть записаны и для случая граничных условий на бесконечности. Заметим, что для рассмотрения мелкомасштабных явлений в океане переход к перио дическому случаю является общепринятым.

Сделаем несколько предположений относительно области, зани маемой жидкостью в начальный момент времени (t = 0). В преды дущем параграфе мы предполагали, что свободная поверхность иде альной жидкости ограничена однозначной непрерывной функцией (x, t). Если условие непрерывности является физически необходи мым, то требование однозначности этой функции возникло из урав нений (II.5)–(II.10). В то же время волновое движение жидкости мо жет иметь свободную поверхность, не имеющую однозначной проек ции на ось x. Одним из важных особенностей подхода к теории волн идеальной жидкости с помощью конформных переменных является то, что уравнения в конформных переменных допускают парамет рическое задание свободной поверхности. Итак, предположим, что наша жидкость ограничена свободной поверхностью, заданной гео метрическим местом точек:


{(x(u, t), y(u, t)) : u [0, 2], t 0}, где x(u, t), y(u, t) суть непрерывные функции. Мы считаем, что сво бодная поверхность является 2-периодичной вдоль оси x. В связи с этим считаем, что x(0, t) = 0, x(2, t) = 2, y(0, t) = y(2, t).

Помимо непрерывности функций x, y мы будем предполагать, что свободная поверхность не имеет точек самопересечений. В дальней шем мы уточним гладкость функций x, y, а сейчас заметим, что в си лу теоремы Римана мы можем совершить конформное отображение области, занимаемой жидкостью в плоскости (x, y) в полуплоскость в переменных (u, v) :

0 u 2, v 0.

После преобразования поверхность (x, t) может быть представ лена в параметрическом виде:

y = y(u, t), x = u + x(u, t), где x(u, t) и y(u, t) связаны оператором Гильберта y = H[], x (II.11) x = H[y].

Оператор Гильберта представляет собой сингулярный интеграль ный оператор, определенный (для периодических функций) по фор муле u u 1 du.

H[f ](u) = v. p. f (u ) ctg 2 В образах коэффициентов Фурье оператор Гильберта имеет очень простой вид:

iku i sign(k)ak eiku.

H ak e = k= k= Мы в дальнейшем рассмотрим вопрос эффективного способа прибли женного вычисления оператора Гильберта на равномерных и нерав номерных сетках. Подробнее о свойствах оператора Гильберта см.

[66].

Как показано в работе [24], переменные y(u, t) и (u, t), где (u, ·) является значением потенциала скоростей на свободной поверхности, полностью описывают движение жидкости и подчиняются следую щей системе интегродифференциальных уравнений:

H[u ] H[u ] (II.12) yt = yu H xu, J J 2 + (H[u ])2 H[u ] H[u ] t = u (II.13) +H u + H[u ] gy, 2J J J где J = x2 + yu якобиан отображения. С уравнениями связываются u 2-периодические граничные условия по переменной u и начальные условия (II.14) y(u, 0) = y0 (u), (II.15) (u, 0) = 0 (u).

Заметим, что в силу соотношений (II.11), функция x, для вычисления J, однозначно восстанавливается по функции y. Несмотря на некото рую громоздкость уравнений (II.12)–(II.13), эти уравнения разреше ны относительно производных по времени. Следовательно, мы име ем эволюционную задачу, которую можно пытаться численно решать методом Фурье. Однако, как показали вычислительные опыты, при менение стандартных численных схем к этим уравнениям натыкается на серьезные трудности, связанные с численной неустойчивостью вы числительного процесса. Как мы увидим в дальнейшем, эти трудно сти во многом связаны главным образом с погрешностями машинных вычислений, и мы рассмотрим способы регуляризации вычислитель ного процесса в условиях машинной точности.

Сейчас мы рассмотрим уравнения, которые являются следстви ем уравнений (II.12)–(II.13). При этом новые уравнения будут иметь значительно более простой вид и будут значительно более подходить для теоретического и численного анализа.

Как оказалось (см. [139]), уравнения (II.12)–(II.13) можно пере писать в более удобной форме.

Образуем пару комплексных функций z(w, t) = x(w, t) + iy(w, t) и (u, t) = (u, t) + iH[(u, t)], где w = u + iv. Введем новые переменные R(w, t) и V (w, t) по следу ющим формулам:

R(w, t) = zw и w V (w, t) = i.

zw Функции R и V аналитичны в нижней полуплоскости и удовлетво ряют следующим условиям:

R(w, t) 1, |w|, Im w 0, V (w, t) 0, |w|, Im w 0.

Как показано в работе [139], функции R и V удовлетворяют сле дующей системе интегродифференциальных уравнений:

(II.16) Rt = i(U Rw Uw R), (II.17) Vt = i(U Vw Bw R) + g(R 1), где U = P(V R + V R), B = P(V V ), P= (I + iH).

Уравнения (II.16)–(II.17) справедливы в нижней полуплоскости комплексной области, однако нас будут интересовать решения лишь на вещественной оси при v = 0. Приведем окончательную постановку задачи:

Rt (u, t) = i(U (u, t)Ru (u, t) Uu (u, t)R(u, t)), Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1), (II.18) 0 u 2, 0 t T, R(0, t) = R(2, t), V (0, t) = V (2, t), 0 t T, R(u, 0) = R0 (u), V (u, 0) = V0 (u), 0 u 2.

Решая систему (II.18), мы получаем функции R(u, t) и V (u, t).

Покажем как с помощью этих функций восстановить свободную по верхность и значение потенциала на свободной поверхности. Восполь зуемся следующим представлением для функций R, V :

rk (t)eiku, R(u, t) = 1 + k= vk (t)eiku.

V (u, t) = k= Тогда для функции имеет место представление R ck (t)eiku.

=1+ R k= Значения коэффициентов ck несложно получить рекуррентно из со отношения iku rk (t)eiku 1+ ck (t)e 1+ = 1.

k=1 k= Умножением рядов можно получить разложение V (u, t) dk (t)eiku.

i = R k= Теперь восстановим функцию z(u, t) следующим образом:

ck (t)eiku, z(u, t) = u + ik k= а функцию (u, t) по формуле dk (t)eiku.

(u, t) = ik k= Свободную поверхность мы получим как геометрическое место точек по следующему правилу:

(t) = {(Re z(u, t), Im z(u, t)) : u (0, 2)}.

Значение потенциала на свободной поверхности находится по фор муле (u, t) = Re (u, t).

Уравнения (II.18) являются очень удобными для теоретического и численного анализа. Заметим, что вид этих уравнений получен в предположении бесконечно глубокой воды. Форму этих уравнений можно распространить на случай конечной глубины, однако полу чаемые при этом уравнения теряют многие хорошие качества, в частности устойчивости вычислительного процесса при численном решении этих уравнений. Заметим также, что функции R и V хотя и полностью описывают динамику жидкости со свободной поверхно стью, но не имеют прямого физического смысла, и, как следствие, законы сохранения (например, энергии) напрямую не могут быть за писаны в переменных R, V, хотя через переменные и z, которые также являются конформными, можно выписать законы сохранения энергии.

Перейдем к рассмотрению нестационарного течения идеальной жидкости со свободной поверхностью и конечной глубиной.

Пусть идеальная несжимаемая жидкость занимает область в плос кости (x, y), ограниченную свободной поверхностью h y (x, t), x, t 0.

Считая движение жидкости потенциальным, мы имеем:

v(x, y, t) = (x, y, t), где v(x, y, t) двумерное поле скоростей, (x, y, t) потенциал. Из условия несжимаемости жидкости divv = 0 следует, что потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа (x, y, t) = 0.

С этим уравнением связываются следующие граничные и начальные условия, которые совпадают с соответствующим условием для бес конечно глубокой воды, кроме условия на дне (t + x x y )|y=(x,t) = 0, t + ||2 + gy |y=(x,t) = 0, y |y=h = 0, |t=0 = 0 (x), |t=0 = 0 (x, y).

Здесь g ускорение свободного падения.

Также мы вводим величину (x, t) = (x, (x, t), t), которая яв ляется значением потенциала на свободной поверхности (см. [24]).

Аналогично бесконечно глубокой воде переменные и являются канонически сопряженными величинами, т. е.

H =, t H =, t где гамильтониан H совпадает с полной энергией жидкости H = T + U, (x,t) ||2 dy, T= dx h g 2 (x, t)dx.

U= Следуя работе [24], совершим конформное отображение области, занимаемой жидкостью в плоскости (x, y) в полупространство в пе ременных (u, v) u, h v 0.

После преобразования поверхность (x, t) может быть представлена в параметрическом виде y = y(u, t), x = u + x(u, t).

Переменные x(u, t) и y(u, t) связаны соотношением y = R[], x где R интегральный оператор вида f (u ) du.

R[f ](u) = v. p. u)) 2h sinh(/2h(u Обратный к R оператор T имеет вид f (u ) du.

T [f ](u) = v. p.

e/(h(uu )) h Как показано в работе [24], переменные y(u, t) и (u, t) полно стью описывают движение жидкости и подчиняются следующей си стеме интегродифференциальных уравнений, разрешенных относи тельно производных по времени:

R[u ] R[u ] (II.19) yt = yu T + xu, J J 2 (R[u ])2 R[u ] t = u (II.20) T u gy, 2J J где J = x2 + yu якобиан отображения.

u Уравнения (II.19)–(II.20) мы будем рассматривать с периодиче скими граничными условиями. Пусть u (0, 2), а функции y, представлены в виде:

yk (t)eiku, y(u, t) = k= k (t)eiku.

(u, t) = k= Операторы R и T в фурье-представлении имеют простой вид:

yk = Rk xk, Rk = i th kh, xk = T k yk, Tk = i cth kh.

Операция дифференцирования по переменной u в Фурье-представлении имеет обычный вид:

Dk = ik.

Среди поверхностных волн наиболее исследованными являются стационарные волны. Стационарные волны изучались во многих ра ботах, среди которых отметим основополагающие в теории стацио нарных волн: [55, 56, 115, 130]. Приведем уравнения в конформных переменных, рассмотренных выше, для определения профиля стаци онарных волн.

Под стационарными или бегущими волнами мы будем понимать такие решения уравнений, описывающих поверхностные волны иде альной жидкости, которые могут быть записаны в форме f (u, t) = F (u ct), где c скорость бегущей волны.

Параметрами для симметрических стационарных волн является период, который мы будем считать равным, где k целое число, k и постоянная скорость стационарной волны, которую обозначим c.

Профиль стационарной волны будем искать в виде y = a0 + an cos nku.

n= Введем обозначение Sn =.

kn Как показано в работе [24], коэффициенты an удовлетворяют следу ющей системе нелинейных уравнений с параметром g S1 (Sm + Sm+1 ) (II.21) ( gS1 )a1 = 1+ am am+1, 2 m=1 Sm Sm+ g Sn (Sm + Sm+n ) (II.22) ( gSn )an = 1+ am am+n + 2 m=1 Sm Sm+n n g Sn (Sm + Snm ) + 1+ am anm, n = 2, 3,...

4 m=1 Sm Snm Коэффициент a0 вычисляется по формуле:

a 1 n (II.23) a0 =.

2 Sn n= Параметр связан со скоростью стационарной волны c следующим образом 2 = c2, (II.24) 12 |zu | где угловые скобки означают усреднение по периоду.

После решения системы уравнений (II.21)–(II.23) мы находим y и z = uH[y]+y. Зная z и параметр, мы можем из соотношения (II.24) найти скорость c.

После того как мы нашли профиль стационарной волны, мы мо жем найти и значение потенциала на границе из формулы (см. [24]) (II.25) cyu = Hu.

Как известно, решение системы (II.21)–(II.22) существует не для всех значений параметра. Еще в работе Стокса [130] был получен ре зультат о предельной волне. Им было показано, что при увеличении скорости стационарных гравитационных волн происходит заострение гребней и образуется угол, равный 120.

Уравнения (II.21)–(II.23) представляют собой бесконечную систе му нелинейных уравнений. Решения этих уравнений являются ко эффициентами Фурье. В случае докритического значения скорости профиль поверхностной волны является аналитической функцией, а коэффициенты ряда Фурье стремятся к нулю с экспоненциальной скоростью.

4.3. Уравнения с учетом внешних воздействий Уравнения (II.18) описывают динамику идеальной жидкости при от сутствии каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного поля. Однако во многих задачах теоретической физики и океано логии возникает необходимость учитывать внешние воздействия на жидкость. Самый очевидный пример внешних воздействий на по верхностные волны это ветровое воздействие.

Другая причина внешних воздействий состоит в том, чтобы рас сматривать малые внешние флуктуации, которые могут иметь раз личную физическую природу. С математической точки зрения малые флуктуации можно рассматривать как случайную функцию в правой части, малую в определенном смысле.

Рассмотрим уравнения (II.18) с правой частью.

Rt (u, t) = i(U (u, t)Ru (u, t) Uu (u, t)R(u, t))+ F1 [R, V, t](u, t), Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1)+ F2 [R, V, t](u, t), (II.26) 0 u 2, 0 t T, R(0, t) = R(2, t), V (0, t) = V (2, t), 0 t T, R(u, 0) = R0 (u), V (u, 0) = V0 (u), 0 u 2.

где F1 и F2 являются функционалами, зависящими от неизвестных функций R и V, а также от временной переменной. Таким образом система (II.26) является системой функционально-дифференциаль ных уравнений.

Укажем физический смысл функций Fi (t), i = 1, 2. Функция R имеет смысл якобиана конформного преобразования области, зани маемой свободной поверхностью в нижнюю комплексную полуплос кость. Следовательно, физический смысл функции F1 состоит в мгно венных флуктуациях свободной поверхности. Далее, поскольку функ ция V имеет физический смысл комплексной скорости, то функция F2 (t) имеет физический смысл плотности силы, действующей на сво бодную поверхность.

5. Корректность математической модели 5.1. Шкала гильбертовых пространств Пусть s R и q 0 произвольные числа. Рассмотрим подмноже ство комплексной плоскости:

q = {w = u + iv : |v s| q, 0 u 2}.

s Введем шкалу функциональных пространств Es, s R, q 0 как q пополнение функций вида:

N ak eikw, A(w) = k=N где w q по норме:

s 1/ |ak |2 (1 + k 2 )e2(sk+q|k|) A =.

q Es k= Мы будем рассматривать гильбертово пространство l2 числовых последовательностей {ck } k= таких, что |ck |2, k= со скалярным произведением 1 c1 c2.

(c, c )l2 = kk k= q аналитическая в q Теорема 5.1. Пусть A Es, тогда A(w) s функция.

Доказательство. Пусть v0 [s q, s + q], тогда имеем ak ev0 k eiku.

A(u + iv0 ) = k= Оценим |A(u + iv0 )| v0 k bk (1 + k 2 )1/2 e(sk+q|k|) ev0 k, |A(u + iv0 )| |ak |e k= k= где bk = |ak |(1 + k 2 )1/2 e(sk+q|k|). В силу принадлежности A простран ству Es последовательность {bk } принадлежит пространству l2. Име q ет место sk q|k| + v0 k 0.

Поскольку последовательность {(1 + k 2 )1/2 } тоже принадлежит пространству l2, то в силу неравенства Коши-Буняковского получа ем:

bk (1 + k 2 )1/2 bk (1 + k 2 )1/ |A(u + iv0 )|.

l2 l k= Следовательно ряд, представляющий функцию A(w):

ak eikw, A(w) = k= сходиться равномерно в замыкании области q. Поскольку функции s eikw аналитичны в области q при всех k, то по теореме Вейерштрас s са следует, что и функция A(w) аналитична в области t.

s q Теорема 5.2. Пусть A(w) Es, тогда для любого фиксированного v [s q, s + q] функция A(u + iv) (как функция от переменной u) принадлежит пространству Соболева H 1 (0, 2).

Доказательство. Пусть v0 [s q, s + q] тогда имеем |ak |2 ev0 k A A(u + iv0 ) = Es.

q L2 (0,2) k Следовательно, A(u + iv0 ) L2 (0, 2). Аналогично имеем Au (u |k|2 |ak |2 ev0 k A + iv0 ) = Es.

q L2 (0,2) k Таким образом, функция A(u + iv0 ) принадлежит пространству Со болева H 1 (0, 2).

Теорема 5.3. Пусть функция A(w) аналитичная в области q, 2 s периодичная по переменной u такая, что A(u + iv) H 1 (0, 2) при q всех v [s q, s + q], тогда A Es, и A = max A(u + iv) H 1 (0,2).

q Es |vs|q Доказательство. Разложим функцию A(u + is) в ряд Фурье по пе ременной u ak (s)eiku.

A(u + is) = k= Поскольку функция A аналитичная в области q, по она может быть s продолжена по переменной u в область q. Имеем:

s ak (s)esk evk eiku, A(w) = A(u + is is + iv) = k= следовательно, ak (s) = ak esk. Таким образом ak eikw.

A(w) = k= В силу того, что A(u + iv) H 1 (0, 2) имеем:

|ak |2 (1 + k 2 )e2vk.

A(u + iv) = H 1 (0,2) k= Последнее неравенство выполнено для всех v [s q, s + q]. С одной стороны имеем |ak |2 (1 + k 2 )e2(sk+qk) A(u + i(s + q)), H 1 (0,2) k= а с другой стороны |ak |2 (1 + k 2 )e2(skqk) A(u + i(s q)).

H 1 (0,2) k= Объединяя оба этих неравенства получаем:

|ak |2 (1 + k 2 )e2(sk+q|k|) max A = A(u + iv).

q H 1 (0,2) Es |vs|q k= Оценим теперь max через норму A Es. Дей A(u + iv) q H 1 (0,2) |vs|q ствительно, |ak |2 (1 + k 2 )e2vk max A(u + iv) = max H 1 (0,2) |vs|q |vs|q k= 2 2 2vk |ak |2 (1 + k 2 )e2vk = max |ak | (1 + k )e + max |vs|q |vs|q k=0 k= 2 2 2(s+q)k |ak |2 (1 + k 2 )e2(sq)k = |ak | (1 + k )e + k=0 k= |ak |2 (1 + k 2 )e2(sk+q|k|) = A Es.

q k= q Теорема 5.4. Пусть A, B две функции из пространства Es, то гда функция C(w) = A(w)B(w) также принадлежит пространству q Es и имеет место оценка C c A B Es.

q q q Es Es Доказательство. Произведение аналитических функций 2-перио дических есть аналитическая 2-периодическая функция. Оценим норму AB q Es 2 AB max AB max ( AB q H 1 (0,2) L2 (0,2) Es |vs|q |vs|q + A B + AB L2 (0,2) ).

L2 (0,2) Оценим отдельные слагаемые с помощью теоремы вложения Соболе ва 2 2 2 2 max AB c1 max A B c2 A B Es.

q q L2 (0,2) L2 (0,2) C[0,2] Es |vs|q |vs|q Остальные слагаемые оцениваются аналогично:

A B A 2 2 2 max c3 max B c4 A B Es, q q L2 (0,2) L2 (0,2) C[0,2] Es |vs|q |vs|q AB 2 B 2 2 max c5 max A c6 A B Es.

q q L2 (0,2) C[0,2] L2 (0,2) Es |vs|q |vs|q Теорема 5.5. Пусть A1, A2, B1, B2 принадлежат шару радиуса M q 0 в пространстве Es. Тогда имеет место неравенство A1 B1 A2 B2 c(M )( A1 A2 + B1 B2 Es ).

q q q Es Es Доказательство. В силу теоремы 5.4 имеем A1 B1 A2 B2 = A1 B1 A1 B2 + A1 B2 A2 B q q Es Es A1 (B1 B2 ) + (A1 A2 )B2 q q Es Es c(M )( A1 A2 + B1 B2 Es ).

q q Es Введем линейный оператор Гильберта H : Es Es по формуле q q ikw (i sign k)ak eikw.

H: ak e = k= k= q q Теорема 5.6. Оператор H : Es Es является ограниченным опе ратором, причем H 1.

Доказательство. Для любой функции A Es имеем q 1 2 2 2 2(sk+q|k|) |ak |2 (1 + k 2 )e2(sk+q|k|) H(A) = |ak | (1 + k )e + q Es k= k= |ak |2 (1 + k 2 )e2(sk+q|k|) = A Es.

q k= Теорема 5.7. Для любых s R, q q 0 и любой функции A Es q производная Aw принадлежит пространству Es и имеет место q оценка e A A Es.

q q q q Es Доказательство. Если аналитическая функция A(w) представляет ся рядом ak eikw, A(w) = k= тогда производная A (w) представима рядом ak (ik)eikw A (w) = k= в области q. Последовательность s bk = |ak |(1 + k 2 )1/2 esk+q|k| принадлежит пространству l2. Тогда имеем оценку нормы A сле q Es дующим образом:

2(sk+q |k|) A 2 q 22 |bk |2 k 2 e2(q q)|k|) = |ak | k (1 + k )e = Es k= k= e2 e 2 |bk | = A Es.

q (q q )2 (q q ) k= В этой оценке использовано элементарное неравенство e 2 2(qq )|k| ke, (q q ) верное для всех k 5.2. Разрешимость уравнений Распишем уравнения (II.18) следующим образом. Пусть R = R1 +iR2, V = V1 + iV2, тогда имеем систему уравнений R1 = U1 R2 + U2 R1 U1 R2 U2 R1, R2 = U1 R1 + U2 R2 U1 R1 + U2 R2, (II.27) U1 V2 U2 V V1 = B 1 R2 + B 2 R1 + g(R1 1), V2 = U1 V1 + U2 V2 B1 R1 + B2 R2 + gR2, где U1 = R1 V1 + R2 V2, U2 = H[R1 V1 + R2 V2 ], B1 = (V12 + V22 ), B2 = H[V12 + V22 ].

Запишем уравнения (II.27) в векторной форме. Через Eq обозна s чим пространство Es, где q означает прямое произведение про l= странств. Введем отображение F : Eq Eq, порожденное правой s s частью уравнений (II.27). Введем обозначение W = [R1, R2, V1, V2 ]T.

Тогда имеем следующую запись уравнений (II.28) W = F (W ).

Уравнение (II.28) будем рассматривать с начальным условием (II.29) W (0) = W0, и краевыми условиями R10 = 1, R10 = 0, (II.30) V10 = 0, V20 = 0, где R10, R20, V10, V20 суть коэффициенты Фурье функций R1, R2, V1, V соответствующие k = 0.

Определение 5.1. Функция W (t) = [R1 (t), R2 (t), V1 (t), V2 (t)]T, ана литичная на (0, T ) со значениями в Eq при некоторых s R, q 0, s называется аналитичным (s, q)-решением задачи (II.28)–(II.30), если W удовлетворяет (II.28)–(II.30).

Теорема 5.8. Для фиксированных s R и q1 0 пусть W0 Eq s и W0 удовлетворяет условиям (II.30), тогда для любого q2 (0, q1 ) существует T = T (W0, q2 ) такое, что при t (0, T ) существует единственное (s, q2 )-аналитическое решение задачи (II.28)–(II.30).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу относитель но Wa в Eq s (II.31) Wa = F (Wa + W0 ), (II.32) Wa (0) = 0.

В силу теорем 5.1–5.7 к задаче (II.31), (II.32) применима теорема Ни ренберга-Нисиды (теорема, с. 220, [57] и теорема, с. 629, [118]). По этой теореме существует T = T (q2 ) 0 такое что при t (0, T ) суще ствует единственное аналитическое решение задачи (II.31), (II.32).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.