авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ОКЕАНОЛОГИИ им. П.П. ШИРШОВА РАН На правах рукописи Шамин Роман Вячеславович ...»

-- [ Страница 2 ] --

Тогда функция W (t) = Wa (t) + W0 будет (s, q2 )-аналитическим ре шением задачи (II.28), (II.29). Нужно еще показать, что функция W удовлетворяет условию (II.30). По условию теоремы начальное условие W0 удовлетворяет этому условию, с другой стороны, пусть A Eq, тогда для функции B = F (A) Eq имеет место s s B10 = 0, B20 = 0, B30 = 0, B40 = 0.

Следовательно, функция W удовлетворяет условию (II.30) при всех t T.

Замечание 5.1. Поскольку задача (II.28)–(II.30) эквивалентна зада че (II.18), от теорема 5.8 устанавливает разрешимость задачи (II.18).

Теорема 5.8 устанавливает разрешимость уравнений (II.18) в шка ле Eq, для любых s R, q 0. Однако не каждое решение из шка s лы пространств Eq будет соответствовать физической модели, опи s сывающей поверхностные волны идеальной жидкости со свободной поверхностью. Поэтому (s, q)-решения мы называем формальными решениями. Среди формальных решений можно выделить подмно жество решений, которые мы будем называть физическими решени ями.

Пусть R(u, t) = rk (t)eiku, где r0 = 1. Тогда последователь k= ность ck (t), k = 0, 1,... определим как решение системы:

c0 = 1, k ckj (t)rj (t) = 0, k = 1, 2,....

j= Эта система получается при формальном делении. Поскольку эта R система является диагональной, то ее решение может быть получено по рекуррентным формулам.

Определение 5.2. Формальное (s, q)-решение R, V называется фи зическим решением на [T1, T2 ], если выполнены следующие условия:

1. Функции R, V являются аналитичными в нижней полуплоско сти при всех t [T1, T2 ].

2. Функция, определенная по формуле ck (t)eiku, z(u, t) = u + ik k= является непрерывной по u функцией при всех t [T1, T2 ].

3. Кривая, заданная как геометрическое место точек (t) = {(x, y) : x = Re z(u, t), y = Im z(u, t), u [0, 2]}, является кривой Жордана, т.е. непрерывной и без точек само пересечения, причем Re z(0, t) = 0, Re z(2, t) = 2 и Im z(0, t) = Im(2, t) при всех t [T1, T2 ].

Функции R(u, t) и V (u, t) мы будем называть физическим реше нием, при t = t0, если эти функции являются физическим решением на [t0, t0 ].

Теорема 5.9. Пусть начальные функции R0 (u) и V0 (u) принадле жат пространству Eq, где s 0 и R0, V0 удовлетворяют условиям s (II.30). Предположим также, что R0 (u) и V0 (u) являются физиче ским решением при t = 0, тогда существует такое 0 T, что на [0, T 1 ] существует физическое решение при любом 1 T и при любом 2 0 не существует физического решения на [0, T + 2 ].

Доказательство. Выберем произвольное число s 0. Прежде всего q заметим, что R0 и V0 принадлежат пространству E при = 2.

s s Следовательно, существует формальное (s, 4 )-решение на некото ром [0, T ]. Определим число T по формуле:

T = sup{S 0 : R, V - физическое решение на [0, S]}.

Если T, то T T. Действительно, если бы R и V были бы физическими решениями на [0, T ], то формальное (s, q)-решение су ществовало бы на [0, T + ] для некоторого 0. Из определения числа T следует, что это число является тем числом, которое утвер ждается в теореме. Заметим, что это число не зависит от выбора s.

6. Конструктивное исследование уравнений, описывающих волны на воде 6.1. Эволюционное уравнение Основной результат об оценки времени существования решений урав нений, описывающих волны на воде мы получим как частный случай для абстрактного эволюционного функционально-дифференциального уравнения.

Для каждого T (0, T], T 0 будем рассматривать пару банахо вых пространства ET, ET. Также будем предполагать, что существу 0 ют следующие проекторы i i i PT1,T2 : ET1 ET2, 0 T2 T1 T, i = 0, 1;

удовлетворяющие условиям i i i PT1,T3 = PT2,T3 PT1,T2, i = 0, для любых 0 T3 T2 T1 T. Для краткости будем использовать следующее обозначение PT,T = PT.

i i В пространстве ET будем рассматривать компактное множество M ET. Через MT обозначим образ: PT,T M.

1 Введем семейство непрерывных, вообще говоря, нелинейных опе раторов T : M T E T, для всех T (0, T].

Мы будем рассматривать следующую задачу при фиксированном T T u = 0, T (0, T] (II.33) u MT, Рассмотрим функционал J : (0, T] M R, определенный по формуле J(T, u) = T PT u ET.

Теперь введем числовую функцию I(T ), определенную на (0, T] по следующей формуле I(T ) = inf J(T, u).

uM Поскольку при фиксированном T (0, T] функционал J(T, ·) яв ляется непрерывным на компактном множестве M, то справедлива следующая лемма.

Лемма 6.1. Пусть для некоторого 0 T T имеет место I(T ) = 0, тогда существует такой элемент u MT, что T u = 0.

Задачу (II.33) мы будем приближать эволюционными включени ями. Для любого неотрицательного числа 0 рассмотрим включе ние T u {f ET : f }, ET (II.34) u MT T (0, T] В случае, когда = 0 задача (II.34) совпадает с задачей (II.33).

Также как и для задачи (II.33) при решении задачи (II.34) необхо димо найти максимальное значение T (0, T] и элемент u MT, для которых верно (II.34). Введем обозначение B0 () = {f ET :

}, где при 0 множество B0 () есть шар радиуса.

f ET Приведем естественное условие, при котором задача (II.34) всегда имеет решение.

Условие 1. Существует такой элемент v M, что имеет место (II.35) lim T PT v = 0.

ET T Замечание 6.1. В случае пространств ET = Lp (0, T ;

X), где 1 p некоторое банахово пространство, условие 1 будет выпол, X ненным.

Лемма 6.2. Пусть выполнено условие 1, тогда для любого существует такое 0 и такое u M, что u B0 ().

Доказательство. Доказательство леммы непосредственно следу ет из (6.2).

Введем числовую функцию () при 0 по следующей формуле () = sup{T (0, T] : I(T ) }.

Согласно лемме 6.2 множество {T (0, T] : I(T ) } непусто, и поэтому функция () определена корректно. Функция имеет смыл максимального интервала существования решения задачи (II.34).

Введем величину для уравнения (II.33), которая будет определять максимальный интервал существования решения этого уравнения.

Определение 6.1. Величина LT, определенная по формуле sup{T (0, T] : I(T ) = 0}, {T (0, T] : I(T ) = 0} = LT = 0, {T (0, T] : I(T ) = 0} = называется интервалом существования решения задачи (II.33).

Покажем, что с помощью приближения уравнения (II.33) вклю чениями (II.34) величину LT можно оценить с помощью функции ().

Теорема 6.1. Пусть выполнено условие 1, тогда имеет место (II.36) lim () = LT.

Доказательство. По построению функции () имеет место нера венство (II.37) LT () T верное для любого 0.

Рассмотрим произвольную числовую последовательность n 0, сходящуюся к нулю. Тогда в силу (II.37) числовая последователь ность n = (n ) принадлежит ограниченному отрезку [LT, T]. Рас смотрим верхний предел последовательности n. Пусть nm, nm, m таковы, что T = lim n = lim nm.

n m Если T = LT, то и вся последовательность n сходится к LT, и теорема доказана. Предположим, что LT T, это означает, что су ществует такое 0, что для всех достаточно больших m выполнено неравенство LT + nm.

Из этой оценки в силу неубывания функции I(T ) следует оценка (II.38) I(LT + ) nm.

Переходя в неравенстве (II.38) к пределу при m мы получаем равенство I(LT + ) = 0, что согласно лемме 6.2 противоречит определению величины LT. По этому предположение, что T LT приводит к противоречию, и, сле довательно, возможен лишь случай T = LT. От куда, как мы уже отмечали, следует, что вся последовательность n сходится к LT. В силу произвольности последовательности n, мы получаем, что функ ция () непрерывна в нуле и имеет своим пределом величину LT.

6.2. Применение к уравнениям, описывающим поверхностные волны Сейчас рассмотрим применение теоремы (6.1) к уравнениям (II.55), которые описывают поверхностные волны на воде при наличии внеш них воздействий.

В качестве пространства ET определим пространство:

L2 (0, 2)) Eq, ET = L (0, T ;

n= а в качестве пространства ET возьмем пространство W (0, T ;

Eq ), где 1 q 0 некоторое фиксированное число, а пространства Eq определены s выше. Оператор T определим по следующей формуле:

T (R1, R2, V1, V2 ) = T (R1 U1 R2 U2 R1 + U1 R2 + U2 R1 F11 [R1, R2, V1, V2 ], T R2 U1 R1 U2 R2 + U1 R1 U2 R2 F12 [R1, R2, V1, V2 ], V1 B1 R2 B2 R1 + U1 V2 + U2 V1 g(R1 1) F21 [R1, R2, V1, V2 ], T V2 U1 V1 U2 V2 + B1 R1 B2 R2 gR2 F22 [R1, R2, V1, V2 ], T R1 |t=0, R2 |t=0, V1 |t=0, V2 |t=0 ), (II.39) где U1 = R1 V1 + R2 V2, U2 = H[R1 V1 + R2 V2 ], B1 = (V12 + V22 ), B2 = H[V12 + V22 ].

Рассмотрим операторы Fij, i, j = 1, 2. Эти операторы действуют в T следующих пространствах:

Fij : W (0, T ;

Eq ) L (0, T ;

L2 (0, 2)).

T Заметим, что значение функции f (t, u) = Fij [R1, R2, V1, V2 ] зависит от T всех значений функций R1 (t, u), R2 (t, u), V1 (t, u), V2 (t, u) при t [0, T ].

Поэтому уравнения (II.39) представляют собой систему эволюцион ных функционально-дифференциальных уравнений.

Для применения теоремы 6.1 необходимо выбрать компактное в пространстве ET множество M. При исследовании волн на воде в ка честве такого множества обычно выбирается следующее множество:

M = C ([0, T];

E(q1, C1 )), n= q где q1 q, а множество E(q1, C1 ) E0 состоит из всех функций q A E0, имеющих следующий вид:

ak eiku, A(u) = k= (II.40) |ak | C1 eq1 |k|.

Поскольку q1 q, множество E(q1, C1 ) будет компактным в про n= странстве Eq, а по обобщенной теореме Арцела множество M будем компактным в пространстве C 1 ([0, T];

Eq ) и, следовательно, в про странстве ET.

В практических вычислениях условие (II.40) означает экспонен циальное убывание по модулю коэффициентов ak, что является необ ходимым условием для эффективного проведения расчетов. Теорема 6.1 позволяет оценить время существования решений задачи (II.39).

6.3. Метод оценочных функционалов Опишем еще один метод, с помощью которого мы будем оценивать время существования решения эволюционного уравнения. Пусть H гильбертово пространство. Будем предполагать, что пространство H является сепарабельным и бесконечномерным. Через ek обозначим ортонормированный базис в H. Введем непрерывный, вообще говоря, нелинейный оператор A : D H, где D гильбертово пространство, плотно и непрерывно вложенное в H такое, что {ek } D. Будем рассматривать задачу Коши u (t) = Au(t), (II.41) t (0, T ) (II.42) u(0) =, H.

Определение 6.2. Решением задачи (II.41), (II.42) на (0, T ) будем называть функцию u L2 (0, T ;

D), u L2 (0, T ;

H), удовлетворяю щую (II.41), (II.42).

Замечание 6.2. В силу замечания 2.2 [71] функция u L2 (0, T ;

D) такая, что u L2 (0, T ;

H), имеет след u(0) H.

Для построения шкалы гильбертовых пространств рассмотрим систему функций {k (s)}, определенную для k = 1, 2,... и s 0, такую, что для каждого фиксированного k имеет место: k (s) 0;

k (0) = 1;

k (s) непрерывны и строго убывают по s. Пространства N Hs, s 0 введем как замыкание всех линейных оболочек uk ek по k= норме |uk |2 k (s), u = Hs k= где uk = (u, ek )H.

Введем конечномерный проектор PN в пространстве H по фор муле N PN uk e k = uk e k.

k=1 k= Задачу (II.41), (II.42) будем аппроксимировать конечномерными за дачами:

(uN ) (t) = PN AuN (t), (II.43) t (0, T ) uN (0) = PN, (II.44) H.

Предположение 1. Существуют такие числа sl 0 и tl 0, l = 0, 1,..., что при всех N задача (II.43), (II.44) имеет единственное решение uN (t) Hsl при t (0, tN ), а задача (II.41), (II.42) имеет единственное решение u на (0, t0 ), и при почти всех t (0, t0 ) это решение принадлежит Hs0. При этом для некоторого T 0 имеет место uN u lim = 0.

L2 (0,T ;

Hs0 ) N Для любого элемента u Hs, s 0 введем функцию (u) = lim = k (uk ), k где функция k (uk ) такая, что k (k (uk )) = |uk |, для 1 |uk | 0, для uk 1 полагаем (uk ) = 0, для uk = 0 имеем (0) =.

Теорема 6.2. Пусть u Hs, тогда (u) s.

Доказательство. Имеем представление |uk | = k k (s), где k l2. Без ограничения общности будем считать, что k 1.

Поскольку функция k (a) не возрастает, то имеем k (|uk |) = k (k k (s)) k (k (s)) = s.

k (s2 ) Теорема 6.3. Предположим, что ряд сходится для k (s1 ) k= s1 s2, тогда для u H0 такого, что (u) = s, 0 s имеет место u Hs для любого (0, s).

Доказательство. Пусть фиксировано (0, s). Обозначим k = k (uk ) s.

Поскольку lim k (uk ) = (u) = s, k то существует такое K 0, что k при k K. В этом случае имеем |uk | = k (s + k ), k K.

В силу условия на k (s) получаем K1 k (s2 ) |uk |2 k (s u = ) +.

Hs k (s1 ) k=1 k=K Для нас наиболее важным будет случай, когда k (s) = eks. При меним наши результаты к системе уравнений, описывающих поверх ностные волны на воде.

Наряду с вычислением функций RN, V N, будем еще вычислять числовую функцию k (t), определенную следующим образом:

N | ln |Rk (t)|| | ln |VkN (t)|| N N k (t) = min,, k N, k k предполагая, без ограничения общности, что Rk (t) = 0, VkN (t) = 0.

N Функция k аппроксимирует функцию (t), построенную по точ N ным решениям системы (II.18) функциям R(t) и V (t):

| ln |Rk || | ln |Vk || (t) = min lim sup, lim sup.

k k k k Функция имеет естественную интерпретацию. Функции R, V явля ются аналитическими в нижней комплексной полуплоскости и име ющими особенности в верхней полуплоскости. Значение функции определяет расстояние особенностей до вещественной оси. До тех пор пока s0, s1 s0 0, система (II.18) имеет s0 -решение. Функцию k (t) будем называть оценочным функционалом.

N 6.4. Методы построения точных решений эволюционных уравнений Сейчас мы рассмотрим методы, позволяющие строить точные реше ния эволюционных уравнений с помощью аппроксимаций функцио нально-дифференциальных включений. Введем два сепарабельных пространства: E0, E1, которые удовлетворят следующему условию:

вложение плотное и непрерывное.

E1 E Введем непрерывный оператор A : E1 E0.

Будем рассматривать следующее эволюционное уравнение в банахо вом пространстве E0.

u (t) = Au(t) + f (t), (II.45) t [0, T] с начальным условием (II.46) u(0) =, где f L ([0, T];

E0 ), E1.

Мы будем рассматривать решения согласно следующему опреде лению.

Определение 6.3. Функция u W ([0, T];

E1 ) называется реше нием задачи (II.45)–(II.46), если функция u удовлетворяет (II.45)– (II.46).

Мы будем изучать задачу (II.45)–(II.46) с точки зрения конструк тивного построения решений. Для этого мы будем предполагать, что пространство E1 содержит счетное множество элементов, которые являются достаточно богатыми для описания решений задачи (II.45)– (II.46). Будем предполагать выполненным следующее условие.

Условие 2. Существует счетное множество ek E1, i = 0, 1, 2,..., такое, что для любой конечной линейной комбинации N v= k ek, k= элемент w = Av представим в виде конечной линейной комбинации:

N (v) w= k (v)ek.

k= Пусть функция из правой части уравнения (II.45) равна нулю, а начальная функция из условия (II.46) представима в виде конечной линейной комбинации:

N = k e k.

k= В этих условиях мы можем построить приближенное решение зада чи (II.45)–(II.46) с помощью одношаговых численных методов таких, как метод Эйлера или явные методы Рунге-Кутта. Мы опишем сей час схему метода Эйлера, как наиболее простую.

Пусть выбрано целое число M 0. По рекуррентным формулам:

uM =, uM = uM + hAuM, n = 1, 2,..., M, n n1 n где h =. В силу условия 2 каждый элемент uM представим в виде T n M конечной линейной комбинации элементов ek, поэтому можно ввести конечную величину по следующей формуле:

D = max{k : (uM )k = 0, n = 1, 2,..., M } n где (uM )k координаты элемента uM :

n n N uM (uM )k ek.

= n n k= Величина D имеет смысл размерности нашего приближенного реше ния. Благодаря условию 2 мы имеем дело с конечномерной задачей при использовании одношаговых явных методов.

Поскольку все элементы uM принадлежат пространству E1, то с n помощью подходящей интерполяции (например линейной):

tn t M tn t M uM (t) = un1 + (1 )un, t [tn1, tn ], n = 1, 2,..., M, h h где tn = n = 0, 1,..., M, мы получаем функцию uM (t), принад T n, M лежащую пространству W ([0, T];

E1 ). Подставим функцию uM (t) в уравнение (II.45):

d A uM (t) = (uM + uM ) n1 n dt h tn t M tn t M = F M (t), A un1 + (1 )un h h t [tn1, tn ], n = 1, 2,..., M.

В силу условия 2 функция F M (t) принадлежит пространству L ([0, T];

E1 ). По построению функция uM (t) удовлетворяет условию (II.46), поэтому функция uM (t) является решением задачи (II.45)– (II.46) с функций F M (t) в качестве правой части.

Во многих прикладных задачах функция правой части уравнения (II.45) имеет смысл определенной физической величины. Как прави ло физические величины всегда известны лишь некоторой погреш ностью. Поэтому умение находить функции, которые удовлетворяют исходному уравнению с заданной погрешностью, часто является до статочным. Следующая теорема устанавливает, что при условии задача может быть решена с заданной погрешностью в конечном ви де, что открывает возможности для проведения доказательных вы числений.

Теорема 6.4. Пусть выполнено условие 2. Для любых M 0 и существует такое T (0, T], что на [0, T ] функция uM является решением задачи (II.45)–(II.46) с правой частью F M L ([0, T ];

E0 ) такой, что FM.

L ([0,T ];

E0 ) Доказательство. С помощью описанного выше метода Эйлера мы имеем функцию uM W ([0, T];

E1 ) и, соответственно, функцию F M (t):

d F M (t) = A uM (t).

dt Функция F M L ([0, T];

E0 ), поэтому введем числовую функцию J(T ) = F M L ([0,T ];

E0 ).

По построению функция J : (0, T] (0, F M является L ([0,T];

E0 ) ] неубывающей. Покажем, что функция J(T ) стремится к нулю при T 0. Когда T h функция uM (T ) имеет вид:

uM (T ) = + T A.

Соответственно, функция F M (T ) имеет вид:

F M (T ) = A A[ + T A].

Функция J(T ) вычисляется по формуле:

J(T ) = vraisup A A[ + T A] E0.

t[0,T ] Поскольку оператор A непрерывный как отображение A : E1 E0, то имеем A[ T A] A, T 0.

Следовательно, функция J(T ) является непрерывной при 0 T h и стремиться к нулю при T 0:

lim J(T ) = 0.

T Таким образом, для любого 0 существует такое T 0, что имеет место:

FM.

L ([0,T ];

E0 ) Теорема 6.4 ориентирована на конкретный метод Эйлера, одна ко идея этого метода может быть обобщена. Сейчас мы рассмотрим абстрактный метод дискретизации исходной задачи. Для каждого M 0 введем конечное множество V M W ([0, T];

E1 ).

Будем предполагать, что множества V M удовлетворяют следую щему условию.

1. Каждый элемент u V M удовлетворяет началь Условие 3.

ному условию (II.46):

u(0) =.

2. Каждое множество V M содержит, как минимум один такой элемент U V M, что для достаточно малого t функция U (t) непрерывно дифференцируема по t со значениями в E1, а так же:

U (0) = A.

Для фиксированных M 0 и 0 T T будем рассматривать функцию uM которая удовлетворяет следующему условию:

T (uM ) AuM = vraisup u Au (II.47) L ([0,T ];

E0 ), L ([0,T ];

E0 ) T T M uVT где через VTM обозначено сужение множества функций V M на [0, T ].

Значение этого минимума обозначим через:

M = (uM ) AuM L ([0,T ];

E0 ).

T T T Заметим, что функций, на которых реализуется минимум в (II.47) может быть более одного, но поскольку множество V M конечно, то мы будем считать, что фиксировано правило, согласно которому осу ществляется отбор функций uM.

T Теорема 6.5. Пусть выполнено условие 3. Для любого 0 и M 0 существует такое T (0, T], что на [0, T ] функция uM является T решением задачи (II.45)–(II.46) с правой частью F M L ([0, T ];

E0 ) такой, что FM.

L ([0,T ];

E0 ) Доказательство. Введем числовую функцию:

g(T ) = M, T заданную на [0, T] при фиксированном M. Для доказательства теоре мы достаточно показать, что функция g(T ) стремиться к нулю при T стремящемся к нулю. Пусть U V M функция из условия 3.

Очевидно, что имеет место g(T ) U AU L ([0,T ];

E0 ).

Пусть T достаточно мало, что согласно условию 3, функция U (t) непрерывно дифференцируема по t со значениями в E1, а также:

U (0) = A.

Тогда имеем g(T ) max U (t) AU (t) (II.48) E0.

t[0,T ] В силу условия 3 и непрерывности оператора A мы имеем U (t) A, t и AU (t) A, t 0.

Поэтому из (II.48) следует, что g(T ) 0, t 0.

Полученные приближенные решения можно объявить точными решениями возмущенных уравнений, а теоремы 6.4 и 6.5 гаранти руют, что для достаточно малых значений переменной t мы всегда можем построить точное решение уравнения с возмущениями мень шими заранее заданной величиной. Теоремы 6.4 и 6.5 могут быть применены при фиксированном значении параметра дискретизации M, что, как правило, и имеет место в практике компьютерных вы числений.

Приведем пример наиболее часто встречающихся пространств V M.

Пусть Q R подмножество вещественных чисел, которые могут быть представлены на используемом компьютере. Пусть N есть по ложительное целое число. Обозначим через Qe множество элементов пространства E1 представимых в виде:

N v= k ek, k= где k Q. Рассмотрим разбиение отрезка [0, T]:

T tn = hn, h=, n = 0, 1,..., M.

M Множество функций V M состоит из функций, заданных на отрезке [0, T] построенных с помощью линейной интерполяцией:

tn t M tn t M uM (t) = un1 + (1 )un, t [tn1, tn ], n = 1, 2,..., M, h h где узловые значения этих функций принадлежат множеству Qe :

uM Q e, n = 0, 1,..., M, M = 1, 2,....

n Чтобы удовлетворить условию 3 необходимо рассматривать множе ство начальных данных задачи (II.45)–(II.46) таких, что:

Qe и A Qe.

Заметим, что на практике часто нет нет необходимости находить решения согласно соотношению (II.47). Мы будем аппроксимировать уравнение (II.45) методом прямых N -мерными обыкновенными диф ференциальными уравнениями. Полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем решать стандартным ме тодом Рунге-Кутта 4-го порядка. После получения приближенного решения, мы вычисляем полученную невязку. Если величина этой невязки оказывается удовлетворительной, то мы получили точное ре шение возмущенного уравнения. В противном случае, следует умень шить временной интервал, на котором ищется приближенное реше ние. Теорема 6.5 гарантирует, что при достаточно малом временном интервале величина невязки будет меньше любого наперед заданной величины.

Мы рассмотрели методы нахождения точных решений эволюци онных уравнений с помощью возмущения исходного уравнения. При этом решающим фактором было то, что физическая постановка за дачи допускала определенные возмущения правых частей. В самом деле, многие физические величины всегда известны с некоторой до лей погрешности. Поэтому во многих случаях имеет смысл рассмат ривать дифференциальные включения вместо дифференциальных уравнений. Мы будем использовать дифференциальные включения для аппроксимации исходного эволюционного уравнения.

6.5. Аппроксимация дифференциальными включениями Введем функциональные пространства, в которых мы будем будем рассматривать эволюционные функционально-дифференциальные вклю чения. Мы будем рассматривать конечный временной интервал [0, T], пару банаховых пространств E0 и E1, при этом пространство E1 плот но и непрерывно вложено в пространство E0. Теперь рассмотрим од нопараметрические семейства функциональных пространств:

H T = L (0, T ;

E0 ), T (0, T], V T = L (0, T ;

E1 ), T (0, T] и W T = W (0, T ;

E1 ), T (0, T].

В связи с этими пространствами введем операторы сужения функций из пространства H T на отрезок [0, T ] PT : H T H T.

А также введем оператор продолжения функций из пространства V T на отрезок [0, T] IT : V T V T, определенный по формуле v(t), t [0, T ] w(t) = (IT v)(t) = v(T ), t [0, T].

Через I0 мы будем обозначать оператор, который элементу из E1 со поставляет функцию-константу из пространства V T, принимающую заданное значение.

Введем еще обозначение для замкнутого шара в пространстве H T для любого v0 H T :

B (v0 ) = {v H T : v v T }, HT для 0.

Будем рассматривать непрерывный оператор A : V T H T.

Введем еще оператор AT = PT AIT : V T H T.

Мы будем изучать эволюционное функционально-дифференциаль ное уравнение с параметром T (0, T]:

u (t) = AT u(t), (II.49) t [0, T ] С этим уравнением будем также рассматривать начальное условие:

(II.50) u(0) = E1.

Определение 6.4. Решением задачи (II.49)–(II.50) при фиксирован ном T (0, T] называется функция u из пространства V T, удовле творяющая (II.49)–(II.50).

При столь общих условиях на оператор A, конечно, нельзя на деяться на существование решения задачи (II.49)–(II.50). Однако мы будем приближать уравнение (II.49) функционально-дифференциаль ным включением. Для заданного числа 0 рассмотрим функцио нально-дифференциальное включение u (t) B (AT u(t)), T (II.51) t [0, T ].

Это включение мы будем рассматривать вместе начальным условием (II.52) u(0) = E0.

Определение 6.5. Для заданных T (0, T] и 0 функция u V T называется решением эволюционного функционально-дифферен циального включения (II.51)–(II.52), если u удовлетворяет (II.51)– (II.52).

В случае, когда = 0 задача (II.51)–(II.52) совпадает с задачей (II.49)–(II.50).

Докажем теорему о локальной разрешимости задачи (II.51)–(II.52).

Теорема 6.6. Пусть начальное условие удовлетворяет следую щим условиям:

E и AT I0 V T.

Тогда для любого 0 существует такое T 0, что при этих и T существует решение задачи (II.51)–(II.52).

Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказа тельству теоремы 6.4. Возьмем число (0, T] и построим функцию из пространства V по следующей формуле:

u (t) = P I0 + tA I0.

В силу условий на мы имеем, что u V. Поэтому мы можем построить следующую функцию d F (t) = u (t).

A dt Функция F (t) принадлежит пространству H. Более того, она имеет следующий вид F (t) = P AI0 P AI [P I0 + P tAI0 ].

Покажем, что для любого заданного положительного числа суще ствует такое, что норма функции F в пространстве H меньше.

Введем обозначение v = P I0 + P tAI0.

Функция I v (t) имеет вид + t(A)(t), t [0, ] I v (t) = + (A)( ), i [, T].

Покажем, что I v имеет пределом I0 в пространстве V T при 0.

Действительно, имеем I v I0 vraisup t(A)(t) + vraisup (A)( ) E1 E VT t[0, ] t[,T] vraisup (A)(t) + (A)( ) 2 AI0 VT.

E1 E t[0, ] Отсюда имеем I v I0 (II.53) 0, 0.

VT Теперь мы можем оценить норму F следующим образом HT F = P AI0 P AI [P I0 + P tAI0 ] H H = AI0 AI v AI0 AI [P I0 + P tAI0 ] HT.

HT В силу (II.53) существует такая величина ( ) V T, ( ) 0, 0, что имеет место AI0 AI v = AI0 A(I0 + ( )) HT.

HT Откуда в силу непрерывности оператора A : V T H T следует, что существует такая величина ( ) H T, ( ) 0, 0, что имеет место AI0 A(I0 + ( )) = AI0 AI0 + ( ) = ( ) HT.

HT HT Таким образом, нами установлено, что F (II.54) 0, 0.

H Пусть теперь 0 таково, что F, где 0 задан H ная величина. Тогда функция u (t) = P I0 + tA I является решением задачи (II.51)–(II.52) при T =.

Заметим, что хотя в доказательстве теоремы 6.6 предъявлена в явном виде функция, являющаяся решением задачи (II.51)–(II.52), но полученная оценка времени существования решения задачи (II.51)– (II.52) является очень пессимистичным. По сути мы оцениваем лишь первый шаг простейшего метода Эйлера. В реальных доказательных экспериментах, разумеется, должны быть использованы более мощ ные численные методы, позволяющие оценивать время существова ния задачи (II.51)–(II.52) более точно. Смысл же теоремы 6.6 состоит в том, что она гарантирует, что всегда существует такой временной интервал, что задача (II.51)–(II.52) имеет решение.

6.6. Построение точных решений уравнений, описывающих волны на воде Теперь применим полученные результаты для уравнений, описываю щих динамику поверхностных волн на воде. Введем функциональные пространства в которых мы будем рассматривать наши вычисления.

В качестве пространств E0 и E1 выберем пространства E0 и Eq, со ответственно, где q 0. Оператор A мы определим следующим об разом:

R1 U1 R2 + U2 R1 U1 R2 U2 R R U1 R1 + U2 R2 U1 R1 + U2 R A 2 =, V1 B1 R2 + B2 R1 U1 V2 U2 V1 + g(R1 1) U1 V1 + U2 V2 B1 R1 + B2 R2 + gR V где U1 = R1 V1 + R2 V2, U2 = H[R1 V1 + R2 V2 ], B1 = (V12 + V22 ), B2 = H[V12 + V22 ].

В качестве элементов ek из условия 2 мы выберем следующие функ ции:

eiku eilu = imu, eklmn k, l, m, n = 0, ±1, ±2,..., u (0, 2).

e einu Условие 2 будет выполнено, поскольку для операции умножения двух функций, очевидно, имеем ek1 l1 m1 n1 ek2 l2 m2 n2 = e(k1 +k2 )(l1 +l2 )(m1 +m2 )(n1 +n2 ), k, l, m, n = 0, ±1, ±2,..., далее для оператора дифференцирования и оператора Гильберта H имеем kieiku lieilu = Deklmn mieimu, k, l, m, n = 0, ±1, ±2,...

nieinu и sign(k)ieiku sign(l)ieilu = Heklmn sign(m)ieimu, k, l, m, n = 0, ±1, ±2,....

sign(n)ieinu В наших экспериментах мы будем рассматривать начальные условия, которые представимы в виде конечной комбинации элементов eklmn.

Обоснование для использования аппроксимации задачи (II.26) диф ференциальными включениями состоит в том, что, как мы уже отме чали, в приложениях нам, как правило, не известны точные значения функций F1 и F2, поэтому вместо уравнения (II.26) следует рассмат ривать функционально-дифференциальные включения. Рассмотрим систему уравнений:

Rt (u, t) = i(U (u, t)Ru (u, t) Uu (u, t)R(u, t))+ F1 [R, V, t](u, t) + 1 (u, t), Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1)+ F2 [R, V ](u, t) + 2 (u, t), (II.55) 0 u 2, 0 t T, R(0, t) = R(2, t), V (0, t) = V (2, t), 0 t T, R(u, 0) = R0 (u), V (u, 0) = V0 (u), 0 u 2.

Здесь i, i = 1, 2 малые (в определенном смысле) функции, имеющие физический смысл случайных флуктуаций.

Мы будем рассматривать задачу нахождения следующих неиз вестных:

1. T времени существования решений системы (II.55), 2. R и V решений системы системы (II.55), 3. 1, 2 малых внешних воздействий.

В случае нахождения этих величин мы сможем утверждать, что на найденном временном интервале [0, T ] существуют такие малые внеш ние воздействия (1 и 2 ), что имеют место найденные решения (R и V ) системы (II.55).

Глава III Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн 7. Численные методы 7.1. Общие численные методы Введем функциональное пространство. Через Wp (Q), 1 p, k = k 1, 2,..., обозначим пополнение по норме 1/p p s s f = Du1 Dt 2 f k Lp (Q) Wp (Q) |s1 +s2 |k N всех функций вида f (u, t) = cm (t)eimu, где функции cm (t) имеют m=N непрерывные производные вплоть до k-го порядка на отрезке [0, T ].

Пространства Wp (Q) k подпространства пространств Соболева, удо влетворяющее условиям периодичности по переменной u. Простран ства Соболева были введены в [64], пространства Соболева с перио дическими условиями рассматривались, например, в [10].

В дальнейшем будем предполагать, что R0, V0 L1 (0, 2).

Введем функционал невязки для задачи (II.18) J(R, V ) = Rt i(U Ru Uu R) L1 (Q) + Vt i(U Vu Bu R)g(R1) L1 (Q) + R|t=0 R0 + V|t=0 V0 L1 (0,2), L1 (0,2) где функции U и B определены выше.

1 Лемма 7.1. Функционал J непрерывен на W4 (Q) W4 (Q).

Доказательство. Пусть Rk, V k W4 (Q), Rk R W4 (Q), k VkV W4 (Q), k В силу непрерывности оператора дифференцирования Dt : W4 (Q) L1 (Q) имеем k lim Rt Rt = 0, L1 (Q) k lim Vtk Vt = 0.

L1 (Q) k Пусть k k W k = R V k + V Rk и W = RV + V R.

Эти функции принадлежат гильбертову пространству W2 (Q). В силу непрерывности операторов дифференцирования Dt : W2 (Q) L2 (Q) и Du : W2 (Q) L2 (Q), теоремы Лебега о предельном переходе и неравенства Гельдера имеем lim W k W = W2 (Q) k |W k W |2 + |Dt W k Dt W |2 + |Du W k Du W |2 du dt = 0.

= lim k Q Представим функцию W k в виде k ck (t)eimu, W= m m= где ряд сходится в пространстве W2 (Q). Применяя к W k оператор P, мы видим, что U = ck (t) + k ck (t)eimu.

0 m 2 m= Линейный оператор P непрерывен в пространстве W2 (Q), поэтому U k U в W2 (Q) при k.

Поскольку U k Ru k Uk k Ru L2 (Q), L1 (Q) L2 (Q) Uu R k k k Rk Uu L2 (Q), L1 (Q) L2 (Q) то U k Ru U Ru, k Uu Rk Uu R k в L1 (Q) при k.

Аналогично доказывается, что U k Vuk U Vu, Bu R k Bu R k в L1 (Q) при k.

Определение 7.1. Пару функций R, V W4 (Q) назовем решени ем задачи (II.18), если J(R, V ) = 0.

Доказательство сходимости приближенной схемы будем прово дить методом минимизации невязки. При этом будут использоваться результаты теории регуляризации некорректных задач. В дальней шем будем предполагать существование и единственность гладкого решения задачи (II.18).

Предположение 2. Пусть R0, V0 таковы, что существует един ственное решение задачи (II.18), обозначаемое R, V, где R и V принадлежат W2 (Q).

Введем функционал 2 (R, V ) = R +V, 2 W2 (Q) W2 (Q) определенный на всем W2 (Q).

Лемма 7.2. Функционал является стабилизатором для задачи (II.18), т. е. выполнены следующие условия:

1) (R, V ) 0;

2) множество M = {(R, V ) : R, V W2 (Q), (R, V ) M } 1 является предкомпактным в W4 (Q) W4 (Q), т. е. из любой по следовательности из M можно извлечь подпоследовательность, 1 сходящуюся в W4 (Q) W4 (Q);

3) R, V принадлежат области определения.

Доказательство. Пункт 1) следует из определения, пункт 2) сле дует из теоремы Реллиха Кондрашова о компактности вложения пространств Соболева [64], пункт 3) следует из предположения 2.

Приведем абстрактную приближенную схему, а потом рассмот рим способы ее конструктивной реализации.

Обозначим = (R, V ). Введем две числовые последователь ности k 0, k 0, k 0, k 0. Введем множество k = {(R, V ) : R, V W2 (Q), (R, V ) + k }.

Последовательность {Rk, Vk } будем определять из условий (III.1) J(Rk, Vk ) Jk + k, k = 1, 2,..., где Jk = inf J(R, V ).

k Теорема 7.1. Пусть выполнено предположение 2, тогда lim J(Rk, Vk ) = k и lim Rk R = 0, W4 (Q) k lim Vk V = 0.

W4 (Q) k Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы 1, § 7, гл. 2 [11].

Схема (III.1) является не вполне конструктивной, поскольку неиз вестно значение. Тем не менее существуют конструктивные мето ды реализации этой схемы (см. п. 3, § 7, гл. 2 [11]). Для удобства читателя приведем такую схему, следуя изложению [11], для зада чи (III.1).

Будем предполагать, что известно такое число M, что (R, V ) M.

В качестве начального приближения произвольно зададим число 0 и функции R0, V0 W2 (Q). Пусть уже сделано n1 шагов и найдены n1 и Rn1, Vn1 W2 (Q). Положим n = 21 n1, а Rn, Vn найдем как решение следующей экстремальной задачи J = inf J(R, V ) J(Rn, Vn ) J + n, M где (Rn, Vn ) M, M = {(R, V ) : R, V W2 (Q), (R, V ) M }.

Далее проверяем неравенство (III.2) J(Rn, Vn ) n.

Если неравенство (III.2) не выполнено, то повторяем процесс. Как по казано в [11], неравенство (III.2) выполнится обязательно, если толь ко = 0. Случай = 0 соответсвует тривиальному решению, ко торое невозможно в задаче (II.18).

Итак, пусть при n = N0 выполнено неравенство (III.2). Дальней шие приближения будем искать с помощью другого итерационного процесса. Положим 0,n = 2n M, 0,n = 2(n+1) N0, n = 0, 1,..., 0,n = {(R, V ) : R, V W2 (Q), (R, V ) o,n }.

Найдем R0,n, V0,n и R0,n, V0,n как решения задач:

J0,n = inf J(R, V ) J(R0,n, V0,n ) J0,n + 0,n, 0,n JM = inf J(R, V ) J(R0,n, V0,n ) JM + 0,n, M и при каждом n = 0, 1,... будем проверять неравенство J(R0,n, V0,n ) J(R0,n, V0,n ) 0,n.

Известно (см. [11]), что найдется такой номер nk (k = 0), что это неравенство выполнится.

Положим k = k,nk, k = k,nk, Rk = Rk,nk, Vk = Vk,nk. Следующие шаги повторяются со значениями k+1 и k+1,n :

k+1,n = k + (M k )2n, = k 2(n+1), (III.3) k+1,n n = 0, 1, 2,...

Положим k,n = {(R, V ) : R, V W2 (Q), (R, V ) k,n };

при фиксированном k найдем Rk,n, Vk,n Rk,n, Vk,n, такие, что Jk,n = inf J(R, V ) J(Rk,n, Vk,n ) Jk,n + k,n, k,n (III.4) JM = inf J(R, V ) J(Rk,n, Vk,n ) JM + k,n, M и при каждом n = 0, 1,... будем проверять неравенство J(Rk,n, Vk,n ) J(Rk,n, Vk,n ) k,n.

После того как будет найден nk, пересчитываем по схеме (III.3)– (III.4). Последовательность Rk, Vk сходится к решению в смысле тео ремы 7.1.

Нами была описана схема для вычисления приближенного реше ния. Однако эта схема требует находить условный экстремум функ ционала, что является технически сложной задачей. Сейчас мы опи шем эффективную реализацию решения задачи (III.4). Для этого бу дем использовать аппроксимацию решения гладкими сплайнами.

Пусть в области Q задан конечный набор несовпадающих точек x1, x2,..., xN, и в каждой точке xi задано число yi. Поставим задачу отыскания интерполяционных сплайн-функций W2 (Q) из усло вия (|uu |2 + 2|ut |2 + |tt |2 )du dt. (III.5) min (xi )=yi Q Задача (III.5) имеет единственное решение, более того, существует очень эффективные методы построения сплайна по набору точек {(xi, yi )} (см. [10]– [1]).

Для каждого N 0 зафиксируем определенную систему точек SN = {x1,..., xN } Q таким образом, чтобы SN образовывала N -сеть, N 0 при N. Через N обозначим множество всех сплайн-функций, построенных на сетке SN. По определению N W2 (Q). Введем отображение QN : W2 (Q) N по следующему правилу: функция из W2 (Q) сужается на сетку SN, что возможно в силу теоремы вложения Соболева, а затем строится сплайн по правилу (III.5). Для любой функции f W2 (Q) имеет место (см. § 4.3 [10]) (III.6) lim f QN f = 0.

W2 (Q) N Функциональное пространство N является конечномерным, а следовательно, пригодным для проведения вычислений. Покажем, что с помощью аппарата сплайнов можно осуществить аппроксима цию полученных экстремальных задач.

Рассмотрим задачу поиска минимизирующей последовательности для задачи (III.7) inf J(R, V ) = 0.

W2 (Q) Введем последовательность конечномерных задач (III.8) IN = inf J(R, V ), N = 1, 2,...

N Теорема 7.2. Последовательность задач (III.8) аппроксимирует за дачу (III.7) по функции, т. е. lim IN = 0.

N Доказательство. Пусть R, V W2 (Q), тогда в силу леммы 7.1 и (III.6) имеет место lim (J(QN (R), QN (V )) J(R, V )) = 0.

N Из этого равенства по теореме 1.1, гл. 3 [11] следует, что lim IN = 0.

N Решение задачи (III.8) при фиксированном N может быть эф фективно найдено следующим образом. Сначала находим с помощью разностных методов решение задачи (II.18) (см. [24]), а затем по зна чениям в узлах сетки строим сплайн. Нужной точности решения за дачи (III.8) всегда можно добиться выбором соответствующей сетки.

Итак, пусть найдено приближенное решение RN, VN задачи (III.7).

Представим это приближенное решение в виде рядов rk (t)eiuk, RN = k= v k (t)eiuk.

VN = k= Нам нужно решать задачи типа (III.7) с ограничениями (III.9) (RN, VN ) M.

Если неравенство (III.9) не выполнено для решения задачи (III.7), тогда получим решение задачи (III.7), (III.9) с помощью операторов TM : W2 (Q) W2 (Q) по формуле 2 iku k fk eiku, TM fk e = k= k= где коэффициенты k равны единице при малых |k| и быстро убыва ют при больших |k|. В силу гладкости решений коэффициенты rk, v k убывают по соответствующим нормам достаточно быстро с ростом |k|. Следовательно, оператор TM можно выбрать таким образом, что бы удовлетворить условию (III.9).

7.2. Регуляризация ошибок машинной арифметики Погрешности округлений при вычислениях являются принципиаль ной проблемой вычислительной математики. Одним из возможных способов преодоления трудностей проведения вычислений в услови ях машинной точности является применение методов интервального анализа (см., например, [2,31,86]). Однако использование интерваль ного исчисления требует специального программирования числен ных методов, снижает скорость вычислений и требует увеличения объема оперативной памяти. В настоящей работе предложен один простой и эффективный способ борьбы с особенностями машин ной точности. Этот способ является одним из вариантов спектраль ного фильтра. В тоже время предлагаемый метод можно трактовать, как регуляризацию некорректных задач по методу квазирешений. По сравнению с другими спектральными фильтрами этот метод явля ется более эффективным в рассматриваемых задачах. Разумеется, предложенный подход может быть эффективным лишь в некоторых вычислительных задачах. В настоящей работе рассматривается при менение численных методов для получения приближенных решений систем уравнений, описывающих нестационарное течение идеальной жидкости со свободной поверхностью, где с помощью нашего под хода удалось получить важные результаты в задачах океанологии и математической гидродинамики.

Мы используем методы прямых для сведения уравнений в част ных производных к системам обыкновенных дифференциальных урав нений. Полученная после дискретизации по пространственным пе ременным система обыкновенных уравнений решается стандартным методом Рунге Кутта 4-го порядка. При вычислении правых частей этих уравнений возникают основные погрешности вычислений. В на стоящем параграфе мы рассматриваем модификацию метода пря мых, позволяющую в ряде случаев избежать вычислительной неустой чивости.

Необходимо отметить, что предлагаемый метод не в полной ме ре подавляет численную неустойчивость в задачах гидродинамики со свободной поверхностью, а лишь продлевает жизнь численной схеме.

Пусть H сепарабельное гильбертово пространство. Рассмотрим в H, вообще говоря, нелинейный оператор A, определенный на под пространстве D H. Предположим, что в H можно выбрать орто нормированный в H базис {k } D.

Будем рассматривать абстрактную задачу Коши u (t) = A[u(t)], t [0, T ], (III.10) u(0) =, H.

Определение 7.2. Функция u C 1 ([0, T ];

H), удовлетворяющая (III.10) и такая, что u(t) D при t [0;

T ], называется решением задачи (III.10).

Рассмотрим проекционный метод сведения к системе обыкновен ных дифференциальных уравнений для задачи (III.10). Для конеч ного N введем проектор PN : H H по формуле N PN k k = k k.

k=1 k= При фиксированном N будем рассматривать функцию N N N u (t) = k (t)k, k= при k C 1 [0, T ], являющуюся решением задачи Коши N (uN ) (t) = PN (A[u(t)]), t [0, T ], (III.11) N u (0) = PN.

Функция uN полностью определяется вектор-функцией T N (t) = 1 (t),..., N (t) N N.

Перепишем задачу (III.11) в виде системы N -го порядка обыкновен ных дифференциальных уравнений относительно N. Обозначим T F (N ) = F1 (N ),..., FN (N ), где N N N Fk (t) = A[ i (t)i ], k.

i=1 H Будем рассматривать следующую систему уравнений, эквивалент ную (III.11):

(N ) (t) = F (N (t)), t [0, T ], (III.12) N N (0) =, где N = (1,..., N )T, k = (, k )H.

Правую часть в уравнении (III.12) можно трактовать как функ цию F : RN RN.

Приведем схему Рунге Кутта 4-го порядка для системы (III.12).

Через обозначим шаг по переменной t. Соответственно, tm = m, m = 0,..., M. Будем предполагать, что на рассматриваемом интер вале существует единственное решение задачи (III.12). Численные решения будем получать по следующей формуле:

N (tm ) = N (tm1 ) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ), k1 = F (N (tm1 )), k2 = F (N (tm1 ) + k1 ), (III.13) k3 = F (N (tm1 ) + k2 ), k4 = F (N (tm1 ) + k3 ), m = 1,..., M.

В реальности при вычислениях на ЭВМ по схеме (III.13), как прави ло, возникают ошибки в силу ограниченной машинной точности. Ос новной источник ошибок вычисление функции F. Элементы векто ра N трактуются как коэффициенты ряда Фурье, поэтому погреш ности в вычислении этой функции могут повлечь катастрофические последствия для проведения расчетов. Типичной является ситуация, когда по модулю эти коэффициенты быстро стремятся к нулю. При этом приходится проводить вычисления с числами по модулю зна чительно меньшими гарантированных значащих цифр. Вычисляя по схеме (III.13), мы наблюдаем значения N, которые связаны с точ ными значениями следующим соотношением:

|N (tm ) N (tm )| = m, N m = 1,..., M.

Конкретные значения N (tm ) зависят от реализации счета по схе ме (III.13). Мы будем говорить, что последовательность N (tm ) яв ляется вычислительно неустойчивой, если числовая последователь ность m не стремится к нулю при N. В этом случае относитель N ная погрешность вычисления N быстро стремится к бесконечности при N.

В ситуации вычислительной неустойчивости мы не можем произ вольно увеличивать число N, а должны согласовывать его с уровнем ошибок вычислений. Это стандартная ситуация в теории некоррект ных задач. Выбор размерности аппроксимирующей системы (числа N ) оптимальным образом представляет собой трудную задачу. Пред ложим простой алгоритм, который позволит нам обеспечивать выбор N близким к оптимальному.

Пусть выбрано число q 0. Введем функцию Rq : RN RN по формуле Rq (x1, x2,..., xN ) = (rq (x1 ), rq (x2 ),..., rq (xN )), где x, |x| q rq (x) =.

0, |x| q Величины N будем рассчитывать по формуле N (tm ) = Rq (N (tm1 ) + /6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )). (III.14) Величины k1, k2, k3, k4 вычисляются согласно схеме (III.13). Выбор параметра q 0 осуществляется из эмпирических соображений. Име ет смысл выбирать q на порядок больше чем максимальное из зна чений m.

Использование формулы (III.14) не вызывает сложности при про граммировании предлагаемой процедуры.

Покажем, что алгоритм, задаваемый формулой (III.14), является одной из реализаций метода квазирешений в теории регуляризации некорректных задач. Сделаем следующие предложения о разреши мости задач (III.10), (III.12).

Условие 4. Пусть существует T 0 такое, что:

1. при t [0, T ] существует единственное решение задачи (III.10).

2. решение задачи (III.10) принадлежит пространству C 2 ([0, T ];

D1 ), где множество D1 компактно в D.

3. для достаточно больших N при t [0, T ] существует един ственное решение задачи (III.11) и это решение принадлежит пространству C 2 ([0, T ];

D1 ).

Методы, позволяющие проверить выполнение условий 4, получе ны в работах [73, 74].

Введем функционал невязки для задачи (III.10) по формуле J(u) = u A[u] 2 + u(0) H.

C([0,T ];

H) Легко можно убедиться, что функционал J : C 1 ([0, T ];

D) R является непрерывным. Функция u C 1 ([0, T ];

D) является решени ем задачи (III.10) тогда и только тогда, когда J(u) = 0.

В условии 4 задача нахождения приближенных решений зада чи (III.10) может быть сведена к задаче нахождения последователь ности ul, минимизирующей функционал J на множестве C 2 ([0, T ];

D1 ).

Строить минимизирующую последовательность можно с помощью решений задачи (III.11).

Теорема 7.3. Пусть выполнено условие 4. Тогда имеем lim J(uN ) = 0, N где uN суть решения задачи (III.11). Более того, u N u C 1 ([0,T ];

D) при N, где u решение задачи (III.10).

Доказательство. Подставим приближенные решения uN в функци онал невязки J(uN ) = (uN ) A[uN ] + uN (0) = C([0,T ];

H) H = (uN ) PN A[uN ] (I PN )A[uN ]) |k |2 = + C([0,T ];

H) k=N + = (I PN )A[uN ]) |k |2.

+ C([0,T ];

H) k=N + Второе слагаемое в последней сумме стремится к нулю при N.

Рассмотрим величину N |(A[uN ], k )H |2. (III.15) (I PN )A[u ]) = max C([0,T ];

H) t[0,T ] k=N + Так как при всех t [0, T ] имеем uN (t) D1, то в силу компактности D1 в D и непрерывности оператора A : D H получаем, что множе ство A[uN (t)] ограничено в H равномерно по N и t [0, T ]. Поэтому величина (III.15) также стремится к нулю при N.

В силу компактности вложения пространства C 2 ([0, T ];

D1 ) в C 1 ([0, T ];

D) из последовательности uN можно извлечь подпоследовательность uNp, сходящуюся в C 1 ([0, T ];

D). Легко видеть, что ее пределом является единственное решение задачи (III.10) функция u. Действительно, из непрерывности функционала J следует, что lim uNl = lim J uNl = 0.

J Nl Nl В самом деле, покажем, что сама последовательность решений uN сходится к u. Пусть lim sup uN u uNq u = lim C 1 ([0,T ];

D).

C 1 ([0,T ];

D) Nq N В силу компактности в C 1 ([0, T ];

D) подпоследовательности uNq мож но считать, что эта подпоследовательность имеет пределом v. Но то гда v тоже будет решением задачи (III.10), а значит, имеем v = u.

В итоге получаем, что lim sup uN u = 0.

C 1 ([0,T ];

D) N Следовательно, имеем uN u lim = 0.

C 1 ([0,T ];

D) N Теорема 7.3 является обоснованием известного в теории регуля ризации некорректных задач метода квазирешений. В этой теореме рассматривается последовательность решений задач (III.11), однако вместо функций uN, которые на практике недостижимы, можно рас сматривать различные приближения в пространстве C 2 ([0, T ];

D1 ).

Эти приближения можно получать с помощью метода Рунге Кутта (III.13) и подходящего метода интерполяции по переменной t.

Пусть фиксировано достаточно большое N. Через uN M обозна чим последовательность полученную по схеме (III.13) по M точкам и последующим интерполированием с использованием стандартных кубических сплайнов по узлам {tm }. Соответственно, через uN M, q q 0, обозначим аналогичную последовательность, полученную по схе ме (III.14).


Теорема 7.4. Допустим, что имеет место условие 4. Предполо жим также, что uN M, uN M C 2 ([0, T ];

D1 ) и q uN M uN lim = C 2 ([0,T ];

D1 ) M при фиксированном N. Тогда для любого 0 существуют N, M такие, что J(uN M ), также существуют (возможно, другие) N, M и q 0 такие, что J(uN M ).

q Доказательство. По утверждению теоремы 7.3 существует такой но мер N0, что J(uN ) /2 для всех N N0. Введем обозначение N M = uN M uN.

Из предположений теоремы следует, что N M C 2 ([0, T ];

D1 ).

Заметим, что по построению uN M (0) = uN. Имеем J(uN0 M ) = J(uN0 + N0 M ) = (uN0 ) A uN0 + N0 M + (N0 M ) + uN0 (0) C([0,T ];

H) H (uN0 ) A[uN0 + N0 M ] (N0 M ) uN0 (0) C([0,T ];

H) + C([0,T ];

H) + H.

Поскольку N0 M lim = C 2 ([0,T ];

D1 ) M и в силу непрерывности оператора A : D H существует такое M0, что при всех M M0 справедливо неравенство (N0 M ) /4, C([0,T ];

H) |J(uN0 ) (uN0 ) A[uN0 + N0 M ] C([0,T ];

H) | /4.

Следовательно, для всех N N0 и M M0 имеем J(uN M ).

Пусть теперь N1 и M1 таковы, что J(uN1 M1 ) /2. Обозначим N M = uN M uN M.

q q По построению функций uN M и в силу свойств кубических сплайнов q имеем lim N M = 0.

C 2 ([0,T ];

D1 ) q q Оценим значение функционала J(uN1 M1 ). Можно видеть, что в силу q непрерывности функционала J : C 1 ([0, T ];

D) R существует такое q0 0, что для всех q q0 имеем |J(uN1 M1 ) J(uN1 M1 )| = |J(uN1 M1 ) J(uN1 M1 + N1 M1 )| /2.

q q Следовательно, при всех N N1, M M1, q q0 выполнено нера венство J(uN M ).

q Теорема 7.4 дает возможность строить минимизирующую после довательность для функционала J с помощью приближений uN M, q которые можно строить конструктивно. А теорема 7.3 гарантирует, что минимизирующая последовательность сходится к решению зада чи (III.10). В конкретных приложениях условия теорем 7.3, 7.4 часто могут быть легко проверены. В частности, в задачах гидродинамики со свободной поверхностью, которые мы рассматриваем, эти условия выполнены.

Для демонстрации эффективности предлагаемого метода приве дем результаты двух вычислительных экспериментов.

Численный эксперимент 1. Рассмотрим стоячие волны идеальной жидкости с конечной глубиной. Выберем следующие параметры: глу бина h = 6, 0, ускорение свободного падения g = 1, 0, шаг по времени = 0, 001. В качестве начальных условий возьмем следующие функ ции:

y(0, u) = 0, 01 cos u, (0, u) = 0.

Аппроксимируем ряды (4.2) конечными суммами с N = 512 слага емыми и будем применять численные схемы, описанные выше. Мы будем рассматривать спектры решений в логарифмическом масшта бе: по оси абсцисс будем откладывать номер гармоники k, а по оси ординат lg |yk | и lg |k |. В этом эксперименте расчет проводился по схеме (III.13) на рис. III.1 показан спектр решения при t = 20, 0.

Гармоники с номерами от 0 до 25 характеризуют собственно решение, 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. III.1. Счет по схеме (III.13), t = 20, горизонтальная часть спектра с гармониками от 26 до 360 обуслов лена конечностью машинной точности при вычислениях. Растущая часть спектра с гармониками от 360 до 511 результат вычислитель ной неустойчивости схемы (III.13) в условиях машинной точности.

В этом численном эксперименте применялась модифицированная схема метода прямых (III.14), с выбранным q = 1012, с теми же начальными условиями. На рис. III.2 показан спектр решения при t = 100, 0. В отличии от случая на рис. III.1, здесь мы не наблюдаем вычислительной неустойчивости.

Численный эксперимент 2. Для проведения численных расчетов будем использовать метод прямых, принимая N = 512. Выберем сле дующие параметры: ускорение свободного падения g = 10, 0, шаг 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. III.2. Счет по схеме (III.14), t = 100, по времени = 0, 0001. В качестве начальных условий возьмем сле дующие функции:

R(0, w) = 1 + 0, 01 exp(iw), V (0, w) = 0.

Проведем результаты численного эксперимента, где расчет проводил ся по схеме (III.13). На рис. III.3 показан спектр решения при t = 0, 3.

Первые гармоники от 0 до 10 характеризуют решение, а возрас тающие по модулю гармоники (от 10) выражают факт неустойчи вости. В данном примере мы сталкиваемся с неустойчивостью самих уравнений. Возникающие погрешности вычислений быстро разруша ют численный счет.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. III.3. Счет по схеме (III.13), t = 0, 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. III.4. Счет по схеме (III.14), t = 1, В этом численном эксперименте проверим нашу модифицирован ную схему (III.14) в этом случае с параметром q = 1012. На рис. III. показан спектр решения при t = 1, 55.

Здесь мы не наблюдаем какой-либо вычислительной неустойчиво сти. Разумеется, дальнейший счет по схеме (III.14) требует увеличе ния размерности N и приводит к разрушению гладкого решения, но это следствие неустойчивости течения Релея Тейлора. На рис. III. показан профиль свободной поверхности течения при t = 1, 55.

1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.5. Профиль свободной поверхности при t = 1, 7.3. Конструктивное определение времени существования решений При изучении вопросов разрешимости задачи (II.18) мы игнорирова ли проблемы связанные с тем, что решения задачи (II.18) представ ляют свободную поверхность в параметрическом виде. При изучении этих уравнений возникает теоретическая проблема, состоящая в том, что уравнения могут допускать гладкие решения имеющие самопе ресекающийся профиль свободной поверхности. Весьма часто задачу (II.18) аппроксимируют задачей для обыкновенных дифференциаль ных уравнений. В этом случае мы покажем, что можно конструктив но оценивать время на котором наше решение остается физическим, т.е. свободная поверхность не имеет самопересечений.

Пусть Q Rn выпуклая область (ограниченная или нет) с ку сочно-гладкой границей. Пусть I = [0, T] ограниченный отрезок на котором будем рассматривать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

z (t) = f (z(t), t), t (0, T], (III.16) z(0) = z0, z0 Q, где f : Q [0, T] Rn заданная функция. Относительно функции f будем предполагать, что она непрерывна и удовлетворяет условию:

(III.17) |f (z, t)| M (|z| + 1), z Q, t [0, T], где M 0 не зависит от z и t. Будем также предполагать, что по переменной z в Q функция f удовлетворяет условию Липшица:

(III.18) |f (z1, t) f (z2, t)| L|z1 z2 |, z1, z2 Q.

Через L(0, T;

Rn ) обозначим множество непрерывных кусочно-ли нейных функций, заданных на [0, T] со значениями в Rn. Очевидно, что L(0, T;

Rn ) W (0, T;

Rn ).

Совместно с задачей (III.16) будем рассматривать функционал P, принимающий лишь три значения {0, 1, 2}:

n W (0, T;

Rn ) [0, T] {0, 1, 2}.

P:

k= На функционал P мы наложим следующие условия:

Условие 5. Для любой вектор-функции z(t) P [z, 0] = 0 и P [z, t ] = 2 только при условии, что t = T или z(t ) Q. Также будем предполагать, что при фиксированном z функционал монотонный по t.

Условие 6. Функционал P не зависит от будущего, т.е. для любого t [0, T] значение P [z, t ] не зависит от значений функции z(t) при t t.

Мы будем говорить, что в момент t1 [0, T] произошло переклю чение на функции z, если t1 = inf{t (0, T] : P [z, t] 0}, также мы будем говорить, что для z до момента t [0, T] не было переключе ния, если P [z, t ] = 0.

Условие 7. Для любой последовательности z N сходящейся к реше нию z задачи (III.16) в W (0, T;

Rn ) моменты переключения tN для функций z N сходятся к моменту переключения t1 для функции z.

Из известных теорем о разрешимости задачи Коши получаем, что задача (III.16) имеет единственное в Q решение на [0, T ], T T. Ос новная задача, рассматриваемая в статье состоит в вычислении мо мента переключения для заданного начального условия, при условии, что на (0, T] происходит переключение.

Продолжим функцию f (z, t) в Rn [0, 2T] с сохранением непре рывности и условий (III.17) и (III.18), возможно с другими констан тами M1 и L1. Это продолжение обозначим через F, и будем рассмат ривать задачу Коши:

z (t) = F (z(t), t), t (0, 2T], (III.19) z(0) = z0, z0 Q.

Если исходная задача (III.16) имеет решение в Q на [0, T ], то на этом отрезке решение задач (III.16) и (III.19) совпадают. Поэтому для ре шения задачи (III.19) мы сохраняем обозначение z(t).

T Для N 1 определим точки tN = khN, hN =, tN [0, T], k = k Nk 0,..., N. При фиксированных f и z0 определим последовательность в Rn по схеме Эйлера N z0 = z0, (III.20) N N N f (zk1, tN ), N zk = zk1 +h k = 1,..., NT, k где NT такое, что zj Q, j = 1,..., NT и либо NT = N, либо zj+1 Q.

N N / Обозначим через z N (t) кусочно-линейную функцию, построенную по точкам (zk, tN ), k = 1,..., NT с помощью линейной интерполяции.

N k Определим числовую последовательность TN = max{tN : P [z N, tN ] = 0, k = 0,..., NT }. (III.21) k k Теорема 7.5. Пусть выполнены условия 5–7. Для любого 0 T существует такой N = N ( ), что на [0, TN ] не происходит пере ключения на решении z, и P [z, min{TN +, T}] 0.

Доказательство. Для любого 0 непрерывная на [0, T] функция g(t) называется -решением задачи (III.19), если:

1. g имеет непрерывную производную в [0, T] за исключением ко нечного числа точек S;

2. при t [0, T] \ S имеет место |g (t) F (g(t), t)|.

Для задачи III.19 можно определить процесс Эйлера (III.20) для k = 0,..., 2N. По теореме 1.1, гл. 1 [33] для любого 0 существует такое значение N, что z N (t) будет -решением задачи (III.19). А в силу теоремы 2.1, гл. 1 [33] для этого -решения имеет место оценка:

L1 t |z(t) z N (t)| (III.22) (e 1).

L Последовательность z N сходится к z в пространстве W (0, 2T;


Rn ), действительно, |(z N )(t) z (t)| = |F (z N (t), t) + N (t) F (z(t), t)| L1 |z N (t) z(t)| + |N (t)|, где N (t) невязка для -решения, по определению -решения имеем |N (t)|. Поэтому от сюда и из оценки (III.22) получаем zN z C, W (0,T;

Rn ) где C 0 не зависит от N.

Пусть tN момент переключения tN для функции z N. В силу 1 условия 5 имеем оценку tN TN hN. Поскольку hN =, то для до T 1 N статочно большого N для любого 0 будет выполнено hN.

В качестве первого примера рассмотрим задачу определения вре мя выхода решения на границу. Согласно известным теоремам о про должении решения на максимальный интервал (теорема 3.1, гл. 2 [70]) для задачи (III.16) существует такое число T 0, что (z(T ), T ) Q (0, T]. В прикладных задачах важно уметь вычислять это чис ло для заданного начального условия. Покажем, что это число можно конструктивно вычислить с любой точностью по формулам (III.21).

Для задачи (III.16) определим функционал P1 [z, t] следующим об разом: P1 [z, t ] = 0, если z(t) Q при всех t [0, t ), и P1 [z, t ] = 2, если либо t = T, либо z(t ) Q.

Условие 8. Для функции f существует такое 0, что функция f равна нулю не более чем в конечном числе точек в -окрестности Q.

Теорема 7.6. Пусть выполнено условие 8. Тогда для задачи (III.16) с функционалом переключения P1 выполнены условия 5–7 и, соот ветственно, верна теорема 7.5.

Доказательство. Условия 5 и 6 выполнены по определению функци онала P1. Покажем, что выполнено и условие 7. Согласно условию решение задачи (III.19) пересекает множество K = {Q (0, T]} {(z, T) : z Q} лишь в одной точке (z, t ), в которой происходит переключение.

Пусть z N последовательность сходящееся к решению z задачи (III.19) в W (0, 2T;

Rn ). Момент переключения для функции z N сов падает с величиной tN такой, что z(tN ) K. В силу кусочной гладко сти границы Q существует такое 0, что пересечение множества Z = {(, t) : | z(t)|, t (0, T]} z z с множеством K содержится в шаре {(, t) : |(z(t ), t ) (, t)| }.

z z Поскольку z N равномерно сходится к z, то для любого 0 суще ствует такое N = N (), что {(z N (t), t) : t (0T]} Z. Устремляя к нулю, мы получаем, что tN t при N.

Уравнения (II.18) представляют собой уравнения в частных про изводных, однако эти уравнения могут быть приближены системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения явля ются системой обыкновенных дифференциальных уравнений отно сительно функций:

r1 (t), r2 (t),..., rN (t);

v1 (t), v2 (t),..., vN (t).

Покажем, каким образом можно приближенно восстановить профиль поверхностной волны, зная значения функций rk (t). Определим ком плексные числа ck (t), k = 0, 1,..., N 1 как решение системы:

c0 = 1, k ckj (t)rj (t) = 0, k = 1, 2,..., N 1.

j= Зная значения ck (t) при фиксированном t, построим две веществен ные функции:

N ck (t)eiku x(u, t) = u + Re, ik k= N ck (t)eiku y(u, t) = Im.

ik k= Тогда профиль поверхностной волны определяется кривой:

(t) = {(x(u, t), y(u, t)) : u [0, 2]}.

Введем функционал : R C 1 [0, 2] C 1 [0, 2] следующим образом:

(, x(u, ·), y(u, ·)) = (x(u1 ) x(u2 ))2 + (y(u1 ) y(u2 )) inf, u 0 u1 u2 2, x2 (u) + yu (u)du u u2 u1 u где 0. Определим этот функционал на таких функциях, что x2 (u) + yu (u) a 0. На этом множестве функционал будет непре u рывным.

Очевидно, что этот функционал не превосходит 1. Будем исполь зовать следующее обозначение (, (·)) = (, x(u, ·), y(u, ·)). Функ ционал будем использовать в качестве индикатора отсутствия са мопересечения кривой (t). Если при t имеет место (, (t )) это означает, что в точке t кривая не имеет самопересечения, если же значение функционала будет равно нулю, то в этом случае мы будем прекращать вычисления, считая, что произошло самопересе чение.

Таким образом, мы будем рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений в области Q, которую зададим следу ющим образом:

Q = {|rk | esk, |vk | M esk ;

k = 1, 2,..., N }, где M 0 и s 0 фиксированные числа. Введем обозначение z(t) = (r1 (t), r2 (t),..., rN (t), v1 (t), v2 (t),..., vN (t))T.

Вместе с функционалом переключения Pe [t, z], который мы опре делим следующим образом: пусть фиксированы такие положитель ные числа, a, что (, (0)) 0, соответственно, в начальный момент времени значение функционала Pe [0, z] равно нулю, значение 1 функционал Pe [t, z] принимает для тех t, для которых существует t t такое, что (, (t ) = 0. Наконец, в случае достижения решением границы Q, функционал принимает значение 2.

Условия 5 и 6 выполнены по построению функционала Pe, а усло вие 7 будет выполнено вследствие непрерывности функционала.

Таким образом для нашей задачи с функционалом переключения Pe верна теорема 7.5.

Теорема 7.5 показывает, что в нашу задачу с функционалом пере ключения можно исследовать стандартными численными методами.

8. Исследование различных режимов динамики поверхностных волн на воде 8.1. Стационарные волны Прогрессивные волны (или стационарные волны, или бегущие волны) представляют собой классический пример режима динамики поверх ностных волн на воде. Поскольку с этими волнами можно связать равномерно движущуюся систему отсчета, в которой прогрессивные волны не меняют формы, то этот режим является первой проверкой для вычислительных экспериментов.

Еще в середине 19-го века Стоксом были исследованы стационар ные волны. В случае этих волн существует система координат, дви жущаяся с постоянной скоростью, в которой поверхностные волны неподвижны. Стационарные волны прекрасно подходят для провер ки программы для численного решения.

Мы воспользуемся начальным условием, соответствующим стаци онарной волне, сообщенным нам в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Опишем параметры нашего вычислительного эксперимента:

1. количество гармоник, участвующих в расчете: N = 1024;

2. шаг по времени: = 0, 004;

3. ускорение свободного падения: g = 1, 0;

4. начальное условие стационарное решение.

Приведем профиль начальной волны и спектр решения при t = на рис. III.6, III.7. Поскольку наша цель состоит в проверке нашей программы, мы проведем расчеты на большом временном интерва ле. На рис. III.8 и III.9 приведем профиль волны и спектр решения при t = 7000. Это соответствует примерно тысяче периодов. Мы ви дим, что старшие гармоники спектра несколько возрастают вслед ствие погрешностей вычислений. Однако это возрастание не носит катастрофического характера, и счет может быть продолжен. Еще одним контролем корректности наших расчетов является контроль энергии. На рис. III.10 приводим график полной, кинетической и по тенциальной энергий. Мы видим, что уровень энергии и полной, и кинетической, и потенциальной остается одинаковым со временем.

Это согласуется с динамикой стационарных волн.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.6. Профиль начальной волны при t = 8.2. Пример, обрушивающейся волны В предыдущем вычислительных экспериментах мы рассматривали поверхностные волны, которые существуют при всех t 0. Как пра вило, поверхностные волны идеальной жидкости имеют обыкновение обрушиваться, либо у этих волн возникают особенности за конечное 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. III.7. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.8. Профиль волны при t = 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. III.9. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = x 0 20 40 60 80 100 120 140 Рис. III.10. Уровень энергии время. В настоящем эксперименте мы проведем моделирование обру шивающейся волны. Так как время существования решений, описы вающих эти волны, конечно, то мы применим методы оценки времени существования решений.

Мы рассмотрим пример обрушивающейся волны из работы [139] и сравним качественные и количественные результаты.

В этом вычислительном эксперименте мы будем использовать про грамму расчета поверхностных волн с использованием быстрого пре образование Фурье.

Опишем параметры нашего вычислительного эксперимента:

1. количество гармоник, участвующих в расчете: N = 4096;

2. шаг по времени: = 0, 0001;

3. ускорение свободного падения: g = 10, 0;

4. начальное условие: R(u, 0) = 1+0, 28eiu, V (u, 0) = 0, 28 geiu.

В работе [139] утверждается, что у волны, описываемой этим началь ным условием, образуется особенность за время порядка t = 2, 0.

Проверим это утверждение с помощью оценочных функционалов.

Первым делом приведем профиль начальной волны на рис. III.11.

Начнем расчеты по указанной схеме и приведем спектр решений и профили поверхностных волн на графиках III.12–III.19. Для кон троля вычислений приведем график энергий: кинетической, потен циальной и полной на на рис III.20.

Из рассмотрения поведения спектра решения можно сделать эм пирический вывод, что у решения возникает особенность при t = 2, 0.

Используя оценочные функционалы мы можем подтвердить этот вы вод доказательно. Приведем графики функции k от решений R и N V при различных значениях t, см. рис. III.20–III.24. Мы видим, что при значениях t = 0, 5, t = 1, 0, t = 1, 5 значения оценочных функци оналов отделены от нуля. А при t = 2, 0 мы наблюдаем стремление оценочного функционала к нулю, что говорит об образовании особен ности у решений при t = 2, 0. Дальнейшие вычисления этого решения проводить уже нельзя.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.11. Профиль начальной волны 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Рис. III.12. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис.

III.13. Профиль волны при t = 0, 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Рис. III.14. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.15. Профиль волны при t = 1, 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Рис. III.16. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.17. Профиль волны при t = 1, 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Рис. III.18. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 2, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.19. Профиль волны при t = 2, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Рис. III.20. Изменение энергии при моделировании обрушивающейся вол ны 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 10 20 30 40 50 Рис. III.21. Значения оценочного функционала при t = 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Рис. III.22. Значения оценочного функционала при t = 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 100 200 300 400 500 Рис. III.23. Значения оценочного функционала при t = 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Рис. III.24. Значения оценочного функционала при t = 2, 8.3. Случай неустойчивости Релея-Тейлора Под неустойчивостью Релея-Тейлора мы понимаем течение жидкости (в нашем случае идеальной) со свободной поверхностью, когда уско рение свободного падения имеет отрицательное значение. Физически это эквивалентно рассмотрению интерфейса тяжелая жидкость- ва куум, когда жидкость находится сверху. Модель релей-тейлоровской неустойчивости не имеет непосредственного отношения к задачам океанологии, но имеет большое значение в теории гидродинамики со свободной поверхностью. Мы используем эту модель для апробации наших методов оценки времени существования решений, посколь ку решения, соответствующие релей-тейлоровской неустойчивости, быстро разрушаются.

Как следует из самого названия, течение Релея-Тейлора является неустойчивым по физике дела. Впервые это течение было рассмотре но в работе [131]. Другие работы по исследованию релей-тейлоровской неустойчивости можно найти в [8,29,116] и приведенной там библио графии.

Опишем параметры нашего вычислительного эксперимента:

1. количество гармоник, участвующих в расчете: N = 1024;

2. шаг по времени: = 0, 001;

3. ускорение свободного падения: g = 10, 0;

4. начальное условие: R(u, 0) = 1 + 0, 01eiu, V (u, 0) = 0.

Профиль начальной волны не сильно отличается от предыдущих на чальных условий. Приводим его на рис. III.25. При t = 1, 0 мы видим увеличение амплитуды профиля поверхностной волны на рис. III.26.

При этом спектр решения в логарифмическом масштабе ведет себя как линейная функция, что означает, что на этом этапе решение еще представлено аналитическими функциями, см. рис. III.27. Продол жим счет. Рассмотрим профиль и логарифмический спектр решения при t = 1, 5, см. рис. III.28, III.29. Амплитуда профиля поверхностной волны продолжает расти, при этом мы наблюдаем характерное для неустойчивости Релея Тейлора вытягивание горбов. Спектр реше ния в логарифмическом масштабе до сих пор демонстрирует линей ную форму. Однако дальнейший счет приводит к быстрому разруше нию решения. Действительно, рассмотрим профиль поверхностной волны и спектр уже при t = 1, 6 на рис. III.30, III.31. Дальнейший счет становится практически невозможным из-за катастрофическо го развала решения. Понять, что мы подошли к краю решения, можно из графиков оценочных функционалов на рис. III.32, III.33, III.34.

0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.25. Начальное условие 8.4. Волны Фарадея В предыдущем пункте мы рассматривали численные эксперименты по развитию неустойчивости Релея Тейлора. Было показано, что ре 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.26. Профиль поверхностной волны при t = 1, 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Рис. III.27. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.28. Профиль поверхностной волны при t = 1, 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Рис. III.29. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 1, 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.30. Профиль поверхностной волны при t = 1, 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Рис. III.31. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 1, 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Рис. III.32. Значение оценочного функционала при t = 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 100 200 300 400 500 600 Рис. III.33. Значение оценочного функционала при t = 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Рис. III.34. Значение оценочного функционала при t = 1, шения, соответствующие этим моделям, быстро разрушаются. В на стоящем пункте мы рассмотрим динамику идеальной жидкости со свободной поверхностью в условиях вибрации. Если в эксперимен тах по неустойчивости Релея Тейлора значение ускорения свобод ного падения было отрицательным, то в настоящих экспериментах это значение будет меняться периодически по гармоническому зако ну.

В рассматриваемых экспериментах с переменным ускорением си лы тяжести величина g принимает как положительные, так и от рицательные значения, поэтому в этом случае также наблюдается неустойчивость Релея Тейлора и решения разрушаются.

Опишем параметры нашего первого вычислительного экспери мента:

1. количество гармоник, участвующих в расчете: N = 256;

2. шаг по времени: = 0, 001;

3. начальное условие: R(u, 0) = 1 + 0, 01eiu, V (u, 0) = 0;

4. закон изменения ускорения силы тяжести:

g(t) = 10.0 + 20, 0 sin(5t).

Профиль начальной волны выбран таким же, как и в экспериментах, где рассматривалась неустойчивость Релея-Тейлора.

На рис. III.35 приведен профиль поверхности при t = 3, 6. Спектр решения при t = 3, 6 приведен на рис. III.36. На рис. III.37 приведены значения оценочных функционалов.

Приведем параметры нашего второго вычислительного экспери мента:

1. количество гармоник, участвующих в расчете: N = 1024;

2. шаг по времени: = 0, 001;

3. начальное условие: R(u, 0) = 1 + 0, 01eiu, V (u, 0) = 0;

4. закон изменения ускорения силы тяжести:

g(t) = 10, 0 + 20, 0 sin(25t).

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.35. Профиль поверхностной волны при t = 3, 0 50 100 150 200 Рис. III.36. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 3, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 50 100 150 200 Рис. III.37. Значения оценочных функционалов при t = 3, В этом эксперименте частота изменения величины g увеличена в 5 раз. Вычисления также проводим программой, не использующей быстрое преобразование Фурье. Профиль начальной волны выбран таким же как и в предыдущем эксперименте.

На рис. III.38 приведен профиль поверхности при t = 11.5. Спектр решения при t = 11.5 приведен на рис. III.39. На графике III.40 при ведены значения оценочных функционалов.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 Рис. III.38. Профиль поверхностной волны при t = 11, 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Рис. III.39. Спектр решения в логарифмическом масштабе при t = 11, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Рис. III.40. Значения оценочных функционалов при t = 11,.

9. Исследование волн-убийц с помощью вычислительных экспериментов Вычислительные эксперименты с целью изучения поверхностных волн экстремальной амплитуды, так называемых волн-убийц, основыва лись на численном решении уравнений:

Rt (u, t) = i(U (u, t)Ru (u, t) Uu (u, t)R(u, t)) Ruuuu (u, t), Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1) (III.23) Vuuuu (u, t), 0 u 2, 0 t T, R(0, t) = R(2, t), V (0, t) = V (2, t), 0 t T, R(u, 0) = R0 (u), V (u, 0) = V0 (u), 0 u 2.

Здесь 0 выражает диссипацию. Мы рассматривали эксперимен ты, когда = 0, что соответствовало системе уравнений (II.18), так и эксперименты, в которых было положительным.

В наших экспериментах начальные условия определялись как ан самбль бегущих в одну сторону волн со средним значением волнового числа K0 = 25. Мы предполагали, что начальное возмущение поверх ности задается суммой гармоник со случайными фазами K 2 max (III.24) 0 (x) = (k k0 ) cos(kx k ) 1 Kmax Здесь Kmax полное число спектральных мод, k случайная вели чина, равномерно распределенная на интервале 1 Kmax k Kmax.

2 Начальные значения поля скоростей предполагались связанными с (III.24) формулами линейной теории. Конформное преобразование осуществлялось при помощи следующего итерационного алгоритма.

Рассмотрим две комплексные координаты: z = x + iy и w = u + iv.

Исходная область задана в переменных x и y следующим образом:

Z = {z : 0 x 2, y (x)}, где (x) есть заданная 2-периодическая функция, задающая свобод ную поверхность. Нам необходимо отобразить эту область в область переменных u и v:

W = {w : 0 u 2, v 0}, причем это конформное отображение z = z(w) должно удовлетво рять следующим условиям:

z (iv) = z (2 + iv) и lim z (u + iv) = 1.

v Следовательно, это отображение должно иметь вид z(w) = w + x(w) + H[x(w)], где функция x(w) имеет вид:

ak eiwk, z(w) = k= аH интегральный оператор Гильберта.

Введем обозначение y = x. Тогда функцию z можно записать в виде z(w) = w + x(w) + iy(w). Очевидно, что для задания функции z достаточно задать либо функцию x, либо y. Так как по построению функции z(w) имеет место соотношение {(x, (x)) : x (0, 2)} = {(u + x, y(u)) : 0 u 2}, то (III.25) y(u) = (u + x(u)).

Учитывая, что x = H[y], из соотношения (III.25) можно получить нелинейное интегральное уравнение (III.26) y(u) = (u H[y](u)) относительно функции y.

Для приближенного решения уравнения (III.26) можно приме нять итерационную процедуру. Пусть уже найдена функция yn. То гда следующее приближение yn+1 будем находить по следующей фор муле:

(III.27) yn+1 (u) = (u H[yn ](u)).

Сходимость процедуры (III.27) зависит от свойств функции.

При построении поля начальных данных функция (k) определя лась по формуле k, |k| Kw ;

(III.28) (k) = exp (k ) + k, |k| Kw.

Здесь k независимые случайные параметры равномерно распре деленные на интервале 1 Kmax k Kmax.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.