авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ОКЕАНОЛОГИИ им. П.П. ШИРШОВА РАН На правах рукописи Шамин Роман Вячеславович ...»

-- [ Страница 3 ] --

2 Число 1 Kw 10 определяло спектральную ширину,, внутренние параметры спектра, определенные так, чтобы внеш ние параметры средняя крутизна µ µ2 = x dx и дисперсия D Kw k 2 ek dk Kw D= Kw ek2 dk Kw принимали заданные значения. Далее, мы вычисляем точные значе ния полной энергии E и следили за тем, чтобы вклад в нее случайно го шума составлял не более трех процентов. В каждом эксперименте время менялось в интервале 0 t 200, что соответствовало при близительно 500 периодам волн. Если происходило обрушение волн, счет прекращался досрочно. В расчетах полное число гармоник бы ло Kmax = 2048 или Kmax = 4096 в зависимости от полной энергии, которая менялась в пределах 1.5 · 104 E 4 · 104.

Регистрация волн-убийц производилась с помощью амплитудного критерия Hmax 2.1, Hs где Hmax амплитуда самой высокой волны, а Hs существен ная высота волн, т.е. средняя амплитуда одной трети самых высоких волн.

В некоторых экспериментах использовался и другой критерий рассчитывалась величина max (x, t) = || Здесь максимум в числителе берется по координате и по времени за интервал 0 t T, T || = max |(x, t)|dt, T x(0,2) волна-убийца фиксировалась если параметр превышал критиче ское значение = 1.8. Данное определение количественно лишь не существенно отличается от стандартного определения через суще ственную высоту волн. Требовалось также, чтобы локальная кру тизна волны |x | превышала критическое значение max |x | 0.3.

0x Это требование вызвано очевидными физическими соображениями и является весьма существенным.

Глава IV Качественные и статистические исследования волн-убийц в океане 10. Вероятности возникновения волн-убийц В настоящем разделе мы приведем результаты наших вычислитель ных экспериментов, позволяющих вычислить вероятность возникно вения волн-убийц в зависимости от начальных данных.

Сначала рассмотрим серию экспериментов, в которых не было диссипации, т.е. = 0. Результаты этих экспериментов приведены в таблице 1. По горизонтали отложены значения дисперсии, по вер тикальной значения квадрат крутизны. Число активных мод начального условия для каждого эксперимента также показано. Из наших данных следует, что даже для волн довольно умеренной кру тизны (µ2 2.06 · 103, µ 0.045) образование экстремальной волны за столь короткий отрезок времени как 500 периодов (при периоде Таблица µ2 = µ2 = µ2 = µ2 = D 1.54 · 103 2.06 · 103 2.56 · 103 3.08 · D = 0. 0.141 0.638 0.828 0. Kw = D= 0.152 0.457 0.616 0. Kw = D= 0.011 0.231 0.346 0. Kw = D= 0.000 0.192 0.305 0. Kw = D= 0.011 0.154 0.280 0. Kw = D = 0.022 0.125 0.247 0. Kw = D = 0.010 0.173 0.256 0. Kw = D = 0.000 0.058 0.216 0. Kw = D = 0.000 0.136 0.208 0. Kw = D = 0.000 0.118 0.219 0. Kw = D = 0.034 0.127 0.206 0. Kw = секунд это меньше полутора часов) есть весьма вероятное событие даже, если спектральная ширина по волновым числам сравнима с несущим волновым числом. Собственно, этот эксперимент и подчер кивает обыденность экстремальных волн.

Интересно, что вероятность возникновения экстремальных волн, рассматриваемая как функция от средней крутизны при заданной дисперсии имеет максимум при весьма умеренных крутизнах (µ2 = 2.0 · 103 ) а затем убывает при увеличении крутизны. Этот факт объ ясняется увеличением силы конкурирующего эффекта обрушения волн. Использованная нами схема счета позволяет вести эксперимент только до первого обрушения. Мы полагаем, что при использовании более совершенных методик, зависимость вероятности возникнове ния экстремальных волн от крутизны остается монотонной.

µ2 = 1.54 · 0.9 µ2 = 2.06 · Частота возникновения волны-убийцы µ2 = 2.56 · 0. µ2 = 3.08 · 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Диссперсия Рис. IV.1. Частоты возникновения волн-убийц 11. Качественные характеристики волн-убийц Сначала проведем вычислительные эксперименты на основе уравне ний (III.23) с параметром = 0. Рассмотрим результаты типичного эксперимента. На рисунке IV.2 приведен профиль начальной волны со средней крутизной µ2 = 2.56 · 103 и дисперсией D = 4. На ри сунке IV.3 показан профиль волны-убийцы для этой волны. Время образование волны-убийцы t = 67.2, параметр = 2.13 максималь ная крутизна 0.558. На рисунке IV.4 приведена плотность импульса в момент образования этой волны-убийцы.

0. 0. 0. 0. Y 0. 0. 0 1 2 3 4 5 X Рис. IV.2. Профиль начальной волны. Средняя крутизна µ2 = 2.56· 103, дисперсия D = На рисунке VI.2 мы видим одиночную волну экстремальной ам плитуды. Качественно этот рисунок соответствует представлениям о 0. 0. 0. 0. Y 0. 0. 0 1 2 3 4 5 X Рис. IV.3. Профиль волны-убийцы. Время t = 67.2, параметр = 2. максимальная крутизна 0. волнах-убийцах.

При отсутствии диссипации в нашей системе (случай, когда = 0), как правило, после образования волны-убийцы происходило об рушение волны и расчет останавливался.

Во второй группе экспериментов мы добавляли диссипацию в на шу систему, т.е. решали уравнения (III.23) с параметром = 109.

В этом случае мы не наблюдали обрушения волн в ходе наших экс периментов. Приведем графики, типичных экспериментов, содержа щие волнограмму, распределение амплитуд поверхностной волны, а также график полной энергии в зависимости от времени.

0. 0. 0. 0. 0. P 0. 0. 0. 0 1 2 3 4 5 X Рис. IV.4. Плотность импульса в момент образования волны-убийцы, приведенной на рис. IV. E = 2.5 104, D = 0.07: волнограмма · 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, E = 2.5 104, D = 0.07: распределение высот 0. 0. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 · E = 2.5 104, D = 0.07: энергия · 2. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 73, E = 2.5 104, D = 12: волнограмма · 0. 0. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 73, E = 2.5 104, D = 12: распределение высот 0. 0. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1. · ID = 127, E = 3 104, D = 0.07: волнограмма · 0. 0. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 127, E = 3 104, D = 0.07: распределение высот 0. 0. 1.41.2 1 0.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1. · ID = 127, E = 3 104, D = 0.07: энергия · 2. 2. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 768, E = 3 104, D = 6: волнограмма · 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 211, E = 3 104, D = 14: распределение высот 0. 0. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1. · ID = 211, E = 3 104, D = 14: энергия · 2. 2. 2. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 203, E = 3 104, D = 20: волнограмма · 0. 0. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 203, E = 3 104, D = 20: распределение высот 0. 0. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1. · ID = 203, E = 3 104, D = 20: энергия · 2. 2. 2. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 260, E = 3.5 104, D = 0.07: волнограмма · 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 260, E = 3.5 104, D = 0.07: распределение высот 0. 0. 1.6 1.210.8 0. 1.4 0.6 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1. · ID = 260, E = 3.5 104, D = 0.07: энергия · 3. 3. 2. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 241, E = 3.5 104, D = 6: волнограмма · 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 241, E = 3.5 104, D = 6: распределение высот 0. 0. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1. · ID = 241, E = 3.5 104, D = 6: энергия · 3. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 821, E = 3.5 104, D = 20: волнограмма · 0. 0. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 821, E = 3.5 104, D = 20: распределение высот 0. 0. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1. · ID = 821, E = 3.5 104, D = 20: энергия · 3. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 404, E = 4 104, D = 0.07: волнограмма · 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 404, E = 4 104, D = 0.07: распределение высот 0. 0. 0. 1.6 1.210.8 0. 1.4 0.6 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1. · ID = 404, E = 4 104, D = 0.07: энергия · 3. 2. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 600, E = 4 104, D = 8: волнограмма · 0. 0. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 600, E = 4 104, D = 8: распределение высот 0. 0. 1.41.2 1 0.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1. · ID = 600, E = 4 104, D = 8: энергия · 3. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 733, E = 4 104, D = 20: волнограмма · 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, ID = 733, E = 4 104, D = 20: распределение высот 0. 0. 1.61.41.2 1 0.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1. · ID = 733, E = 4 104, D = 20: энергия · 3. 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2, Из анализа этих графиков видно, что образование волны экстре мальной амплитуды обычно сопровождается резким уменьшением энергии. Также мы видим, что в ходе одного эксперимента возможно образования нескольких волн-убийц.

Приведем также эмпирическую функцию вероятности времени возникновения волны-убийцы, построенную по результатам вычис лительных экспериментов.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Рис. IV.5. Эмпирическая функция вероятности времени возникнове ния волны-убийцы 12. Вычислительная устойчивость решений, описывающих волны-убийцы Как мы уже отмечали, волна-убийца представляет собой экстремаль ный эффект, поэтому возникает важный вопрос об устойчивости волн убийц. В вычислительных экспериментах мы наблюдаем возникно вение волн-убийц, как приближенные решения исходных эволюцион ных уравнений. Следовательно, нам необходимо убедиться в вычис лительно устойчивости решений, описывающих волны-убийцы. Мы рассмотрим вопрос устойчивости при внешних воздействиях. Мы бу дем исследовать на устойчивость решения системы (III.23).

Для исследования вычислительной устойчивости решений, опи сывающих волны-убийцы по начальным данным, мы будем прово дить следующие вычислительные эксперименты. Выберем эталонное множество начальных условий, для которых при решении системы (III.23) мы наблюдаем возникновение волн-убийц. После чего для каждых начальных условий из этого множество мы будем много кратно решать при наличии случайных внешних воздействий на сво бодную поверхность.

Рассмотрим эксперимент, в котором возмущение было случай ной внешней силой, действующей на поверхность волны. Плотность внешней силы была следующая:

Fx (t, x) = Ax (t) sin(K(t)x), Fy (t, x) = Ay (t) sin(K(t)x), где x (t), y (t) независимые случайные процессы равномерно рас пределенные на [0.5, 0.5], K(t) случайный процесс, принимающий значения {1, 2, 3, 4, 5} с одинаковой вероятностью, A = 106.

Таким образом, мы рассматриваем следующую систему уравне ний Rt (u, t) = i(U (u, t)Ru (u, t) Uu (u, t)R(u, t)) Ruuuu (u, t), Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1) (IV.1) Vuuuu (u, t) + F (t, u), 0 u 2, 0 t T, R(0, t) = R(2, t), V (0, t) = V (2, t), 0 t T, R(u, 0) = R0 (u), V (u, 0) = V0 (u), 0 u 2.

Здесь F (t, u) = Fx (t, u)iFy (t, u) плотность возмущающей внешней силы.

Из результатов главы II мы имеет следующий теоретический ре зультат. Пусть при A = 0, когда внешнее возмущение отсутствует, задача (IV.1) имеет решение при t [0, T ]. Обозначим это решение через R и V. Через RA и V A обозначим решение системы (IV.1) для A 0. Решение (RA, V A ) существует, вообще говоря, на отрезке [0, TA ], где TA 0. Из теоремы 6.1 можно получить, что:

1. TA T, 2. RA R, V A V, при A 0. Этот результат означает, задача (III.23) является устой чивой относительно внешних возмущений правой части.

При проведении вычислительных экспериментов необходимо убе диться не только в теоретической устойчивости системы уравнений относительно малых внешних возмущений, но и в вычислительной устойчивости расчетной схемы. Такая практическая устойчивость была установлена в результате большой серии вычислительных экс периментов. На следующем рисунке мы приведем результат одного из таких численных опытов.

Y (m) 0 1 2 3 4 5 X (km) Рис. IV.6. Возмущение волны-убийцы Здесь сплошной линией изображена волна без возмущений, а то чечной линей волна с возмущением.

Хотя возмущенное решение заметно отличается от исходного ре шения, но профили максимальной волны весьма похожи, и время образование волны-убийцы совпадает. Отсюда можно сделать вывод об устойчивости такого явления природы как волны-убийцы относи тельно внешних сил.

Можно рассматривать в каком-то смысле и обратную задачу задачу об разрушении волны-убийцы в момент ее формирования с помощью внешнего воздействия. Это воздействие уже не должно быть малым. Основная идея состоит в том, чтобы моделировать им пульсный удар по поверхности воды в момент возникновения волны убийцы. Схема разрушения возникающей волны-убийцы показана на следующем рисунке.

0. 0. blow up!

0. 0. Y 0. 0. 0 1 2 3 4 5 X Рис. IV.7. Гипотетический удар по волне-убийце Заметим, что первые результаты вычислительных опытов показа ли, что проблема разрушения волны-убийцы является весьма слож ной.

13. Эвристические методы исследования волн-убийц 13.1. Методы оперативного прогнозирования возникновения волн-убийц Рассмотрим метод краткосрочного оперативного прогноза возникно вения волны убийцы. Метод основан на анализе изменения величин Hmax (t) H(t) =, Hs (t) µmax (t), где Hmax (t) максимальная амплитуда в момент времени t, а Hs (t) существенная высота волн, µmax (t) максимальная крутизна свобод ной поверхности в момент t. Прогноз возникновения волны-убийцы регистрируется если выполнены условия:

H(t+)H(t), µmax (t+)µmax (t), где 0, 0, 0 параметры метода. На основе анализа дан ных вычислительных экспериментов наилучший выбор параметров метода прогноза возникновения волн-убийц показал точность про гноза в 68.94%. На рис. 6 приведен рабочий экран программы для предсказания возникновения волны-убийцы, в которой реализован данный алгоритм.

Здесь зеленым цветом показана величина H(t), а красным µmax (t).

Горизонтальные линии показывают критические значения и. Се рая вертикальная полоса является индикатором того, что алгоритм выдал предсказание возникновения волны-убийцы.

Рис. IV.8. Рабочий экран программы для предсказания возникнове ния волны-убийцы 13.2. Теоретико-игровая трактовка возникновения волн-убийц Как мы уже отмечали, волны-убийцы представляют собой своеоб разное явление, которое заключается в том, что из цуга волн в ходе нелинейной динамики образуется одна волна аномально большой ам плитуды. Физические механизмы образования волн-убийц в полной мере до сих пор нераскрыты. Однако можно предложить оригиналь ный подход к трактовки факта возникновения таких волн. Рас смотрим теоретико-игровой подход к трактовке возникновения оди ночных волн большой амплитуды. Теория игр рассматривает кон фликтные ситуации различных игроков. При этом каждый игрок стремиться максимизировать свой выигрыш, который определяется сложившейся ситуацией в игре. Точные формулировки определений теории игры будут приведены ниже.

В качестве формальных игроков, мы будем рассматривать отдель ные волны в цуге волн, а под выигрышем мы будем понимать ампли туду волны в конечный момент времени. Конечно, волны не могут об ладать какими либо целями, тем более, что их динамика однозначно определяется начальным условием. Поэтому мы предлагаем модель формальной игры, в которой мы вводим понятие справедливости. В таком случае факт возникновения волны убийцы мы трактуем как несправедливую игру.

Пусть в начальный момент времени каждая волна из цуга имеет примерно одинаковые параметры. Это означает, что отношение Hmax (t) f w, Hs (t) где f w значение при котором мы регистрируем волну-убийцу. Если в ходе дальнейшей динамики рассматриваемого цуга волн возникает волна-убийца, то выполняется соотношение Hmax (t) f w.

Hs (t) Введем обозначение Hmax (t) (t) =.

Hs (t) Если f w, то мы будем говорить, что амплитуды распределены справедливо, в противном случае мы будем говорить, что амплиту ды в цуге волн распределены несправедливо. Трактовать понятия справедливости мы будем с помощью теории игр.

Напомним основные понятия теории игр, касающиеся определе ния игры. Обозначим через I множество всех игроков. Мы будем рассматривать конечное число игроков. Игроки будут различаться по номерам:

I = {1, 2,..., N }.

Предположим, что каждый игрок i I имеет в своем распоряжении определенное множество стратегий, которое мы обозначим через Si.

Процедура игры происходит следующим образом: каждый игрок выбирает одну стратегию из своего множества стратегий si Si.

Вектор выбранных стратегий всех игроков обозначим через s = (s1, s2,..., sN ).

Вектор s называется ситуацией в игре. Множество всех возможных ситуаций можно ввести по формуле S= Si.

iI В каждой сложившейся ситуации игроки получают определенные выигрыши. Договоримся считать, что выигрыш может быть и отри цательным, что означает проигрыш. Выигрыш игрока i в ситуации s обозначим через Hi (s). Функция Hi, определенная на множестве всех ситуаций Hi : S R называется функцией выигрыша i-го игрока. Мы будем измерять вы игрыши действительными числами, хотя не всегда выигрыш может быть измерен числом.

Бескоалиционной игрой называется система = I, {S}iI, {Hi }iI, где I, Si являются множествами, а Hi функции на множестве S, принимающие вещественные значения.

Когда сумма выигрышей всех игроков во всех ситуациях является постоянной, тогда игра называется игрой с постоянной суммой. Это означает, что Hi (s) = const iI при всех ситуациях s S. В противном случае игра называется игрой с ненулевой суммой.

Введем определение формальной игры в нашем случае. Пусть мы рассматриваем динамику цунга волн при t [0, T ]. Для простоты рассуждений мы будем считать, что на этом временном отрезке ко личество отдельных волн конечно и постоянно. Путь у нас есть N волн. Соответственно, будем рассматривать игру N игроков, где под каждым игроком мы будем понимать отдельную волну. В началь ный момент времени каждая волна имеет заданное значение энергии Ei (0) = Ei и амплитуды Ai (0) = Ai, где Ei (t) и Ai (t) суть энергия и амплитуда i-ой волны в момент времени t. Допустимыми стратеги ей игрока является конкретный вид начального профиля и началь ной скорости волны, с учетом ограничений на энергию и амплитуду.

В вычислительных экспериментах по этим параметрам случайным образом выбирается профиль волны, что соответствует некоторым смешанным стратегиям игроков. Функция выигрыша i-ой волны в рассматриваемой игре определяется как амплитуда волны Ai (T ) в конечный момент t = T.

Введем понятие справедливости игры. Игра называется спра ведливой, если выполнено хотя бы одно из условий:

(0) f w, (T ) f w ;

или (0) f w.

В случае, когда выполнено условие (0) f w, (T ) f w мы будем говорить, что игра несправедливая.

Тогда факт возникновения волн-убийцы можно трактовать как результат несправедливой игры.

Теперь рассмотрим вариант коалиционной игры, что соответству ет нашим вычислительным экспериментам, описанным в параграфе 9. В играх с кооперацией игроки могут вступать в коалиции (объ единения), а после реализации игры производить дележ. Дадим соответствующие определения. Пусть мы рассматриваем игру с N игроками. Любое непустое подмножество I, включая само I и все его одноэлементные подмножества, называется коалицией. Рассмотрим какую-либо коалицию K I, состоящую из n N игроков. Допу стим, что рассматриваемая игра разыграна, при этом коалиция K получила выигрыш v(K), тогда дележем мы назовем такой вектор x = (x1, · · ·, xn ), что имеет место равенство xi = v(K).

iK Разумеется в различных коалициях могут существовать различные дележи. О том, какой дележ реализуется, зависит от правил образо вания коалиции.

Мы рассмотрим случай, динамики цуга, состоящего из N волн, где каждая волна будет выступать в качестве игрока. Предположим, что все волны образуют единую коалицию, т.е. договариваются выби рать согласованные стратегии. В частности, будем предполагать, что начальное распределение волн задается согласно формулам из пара графа 9, где мы описывали начальные условия для наших экспери ментов. А дележем в этом случае будет выступать амлитуда каждой волны общий выигрыш есть сумма всех амплитуд. В этой игре, как мы видели также присутствует несправедливость, поскольку в тех вариантах, когда образовывалась волна-убийца, имеет место (0) f w, (T ) f w, а такие игры мы условились называть несправедливыми.

Заключение В заключении сформулируем основные результаты, представленные в диссератации:

1. Установлена корректность точной математической модели по верхностных волн на воде вплоть до момента обрушения.

2. Предложен новый метод построения точных решений уравне ний, описывающих поверхностные волны на основе дифферен циальных включений.

3. Доказана сходимость численных методов расчета волн на во де на основании динамических уравнений в конформных пе ременных. Предложен метод регуляризации этих вычислитель ных процедур в условиях машинной точности.

4. На основе проведенных масштабных вычислительных экспе риментов получены оценки вероятности возникновения волн убийц в зависимости от параметров начальных данных и функ ция распределения вероятности возникновения волн-убийц от времени.

5. Установлена устойчивость (теоретическая и вычислительная) волн-убийц относительно возмущений начальных данных и внеш них воздействий в ходе вычислительных экспериментов.

6. Предложены теоретико-игровые трактовки возникновения волн убийц в ходе нелинейной динамики. Построена формальная иг ра, где в качестве игроков выступают отдельные волны. В вы числительных экспериментах случайным образом выбирается профиль волны, что соответствует смешанным стратегиям. Для рассматриваемой игры вводится понятие справедливости игры.

Факт возникновения аномально большой волны трактуется как несправедливая игра.

Список используемых источников [1] Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее при ложения. М.: Мир. 1972.

[2] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычис ления. М.: Мир, 1987.

[3] Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

[4] Бабенко К. И. О доказательных вычислениях и математиче ском эксперименте на ЭВМ // УМН. 1985. Т. 40. № 4(244). С. 137 138.

[5] Бабенко К. И., Васильев М. М. О доказательных вычислениях в задаче об устойчивости течения Пуазейля // ДАН СССР.

1983. Т. 273. №6. С. 1289 1294.

[6] Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. Вычислитель ный эксперимент в теории поверхностных волн конечной ам плитуды// Докл. АН. 1988. 302, №4. С. 781–785.

[7] Бабенко К. И., Петрович В. Ю., Рахманов А. И. О доказатель ном эксперименте в теории поверхностных волн конечной ам плитуды// Докл. АН. 1988. 303, №5. С. 1033–1037.

[8] Белоцерковский О. М., Опарин А. М. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу. М.: Наука, 2001.

[9] Борисович Ю.Г., Гельман В.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В.

Введение в теорию многозначных отображений и дифферен циаотных включений. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2011.

[10] Василенко В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, про граммы. Новосибирск: Наука, 1983.

[11] Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.:

Наука, 1981.

[12] Власов В.В. О разрешимости и свойствах решений функ ционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом про странстве // Матем. сборник, 1995, т. 186, вып. 8, с. 67–92.

[13] Воинов В. В., Воинов О. В. Численный метод расчета нестацио нарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свобод ными поверхностями// Докл. АН. 1975. 221, № 3. С. 559– 562.

[14] Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексных об ластях. М.: Мир, 1986.

[15] Гарипов Р. М. Неустановившиеся волны над подводным хреб том// Докл. АН. 1965. 161, № 3. С. 547–550.

[16] Голицын Г.С. Энергетический цикл волн на поверхности океана // Изв. АН. ФАО. 2010. Т. 46. N 1. С. 10–18.

[17] Гуревич П. Л., Егер В., Скубачевский А. Л. О существовании периодических решений некоторых нелинейных задач термо контроля // Докл. РАН. 2008. 418, №2. С. 151–154.

[18] Гюнтер Н. М. Об основной задаче гидродинамики// Изве стия Физико-математического института им. В. А. Стеклова.

1927. C. 1–168.

2.

[19] Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волне ние в Мировом океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1985.

[20] Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волне ние как вероятностный гидродинамический процесс – Л:, Гид рометеоиздат, 1978.

[21] Дивинский Б.В., Косьян Р.Д., Подымов И.С., Пушкарев О.В.

Экстремальное волнение в северо-восточной части Черного мо ря в феврале 2003 г. // Океанология. 2003. Т. 43. №6. С. 948–950.

[22] Дивинский Б.В., Левин Б.В., Лопатухин Л.И., Пелиновский Е.Н., Слюняев А.В. Аномально высокая волна в Черном мо ре: наблюдения и моделирование // ДАН, 2004, т. 395, № 5, с.

690-695.

[23] Доброхотов С.Ю. Методы Маслова в линейной теории гравита ционных волн на поверхности жидкости // ДАН СССР. 1983.

Т. 28. С. 229–231.

[24] Дьяченко А. И., Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Нелинейная ди намика свободной поверхности идеальной жидкости// Физика плазмы. 1999. 22, № 10. С. 916–928.

[25] Захаров В.Е., Заславский М.М. Кинетическое уравнение и кол могоровские спектры в слаботурбулентной теории ветровых волн // Изв. АН ФАО. 1982. Т. 18. №9. С. 970–979.

[26] Захаров В.Е., Шамин Р.В. О вероятности возникновения волн убийц // Письма в ЖЭТФ, т. 91, вып. 2, с. 68–71.

[27] Захаров В.Е., Филоненко Н.Н. Спектр энергии стохастических гравитационных волн // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170. №6. С.

1292–1295.

[28] Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной ам плитуды на поверхности глубокой жидкости// Прикладная ме ханика и теоретическая физика. 1968. № 2. C. 86–94.

[29] Инногамов Н. А. Турбулентная стадия тейлоровской неустой чивости// Письма ЖТФ. 1978. 4, № 12. C. 743–747.

[30] Калиниченко В.А. О разрушении волн Фарадея и формирова нии струйного всплеска // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 4. С. 113 123.

[31] Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев З. Х. Методы ин тервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

[32] Китайгородский С.А. Физика взаимодействия атмосферы и океана. Л. Гидрометеоиздат, 1970.

[33] Коддингтон Э. А., Левинсон Н.. Теория обыкновенных диффе ренциальных уравнений. М.: Издательство ЛКИ, 2007.

[34] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: Физматлит, 2004.


[35] Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984.

[36] Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

[37] Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Собо левский П.Е. Интегральные операторы в пространствах сумми руемых функций. М., Наука, 1966.

[38] Крейг В., Вейн К.Е. Математические аспекты поверхностных волн на воде, УМН, 62:3(375) (2007), 95– [39] Куркин А. А., Пелиновский Е. Н. Волны-убийцы: факты, тео рия и моделирование. Нижний Новгород: Нижегородский гос. тех. университет, 2004.

[40] Лавренов И.В. Встреча с волной-убийцей // Морской флот.

1985. №12. С. 28–30.

[41] Лавренов И.В. Математическое моделирование ветрового вол нения в пространственно-неоднородном океане. - СПБ.: Гидро метеоиздат.– 1998.

[42] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и и хаотическая динамика, 2003, 416 с.

[43] Ладыженская О.А. О нестационарных операторных уравнени ях и их приложениях к линейным задачам математической фи зики // Математический сборник, т. 45, N 2, 1958, с. 123–158.

[44] Ладыженская О.А. О решении нестационарных операторных уравнений // Математический сборник, т. 39, N 4, 1956, с. 491– 524.

[45] Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.

[46] Лонге-Хиггинс М.С. Статистический анализ случайной движу щийся поверхности. - В кн.: Ветровые волны. М.: ИЛ, 1962, с.

125-218.

[47] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

[48] Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродина мики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.

[49] Монин А.С., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана.

– Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

[50] Никонов А.А. Русалка найдена! // Природа. 2004. №10. С.

93-96.

[51] Налимов В. И. Априорные оценки решений эллиптических уравнений в классе аналитических функций и их приложения к задаче Коши Пуассона// Докл. АН. 1969. 189, № 1.

С. 45–49.

[52] Налимов В. И. Задача Коши Пуассона// Динамика сплошной среды. 1974. С. 104–210.

18.

[53] Налимов В. И. Нестационарные вихревые волны// Сиб. мат. журн. 1996. 37, № 6. С. 1356–1366.

[54] Налимов В. И., Пухначев В. В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей, НГУ, Новоси бирск, 1975.

[55] Некрасов А. И. О волнах установившегося вида// Известия Иваново-Вознесенского политехнического института. 1921.

С. 52–65.

3.

[56] Некрасов А. И. Точная теория волн установившигося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Издательство АН СССР, 1951.

[57] Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному ана лизу. М.: Мир, 1977.

[58] Овсянников Л. В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств// Докл. АН. 1971. 200, № 4. С. 789–792.

[59] Овсянииков Л. В. К обоснованию теории мелкой воды // Дина мика сплошной среды: сб. науч. тр. / Акад. наук СССР, Сиб.

отд-ние, Ин-т гидродинамики. - Новосибирск, 1973. - Вып.15. С.104-125.

[60] Океанология. Физика океана. Том 2. Гидродинамика океана (ред. В.М. Каменкович, А.С. Монин) М.: Наука, 1978.

[61] Пелиновский Е.Н., Хариф К. Дисперсионное сжатие волновых пакетов как механизм возникновения аномально высоких волн на поверхности океана // Изв. ФИН РФ. 2000. Т. 1. С. 50–61.

[62] Протопопов Б. Е. Численное моделирование поверхностных волн в канале переменной глубины// Вычислительные методы прикладной гидродинамики. 1988. С. 91–105.

84.

[63] Рубан В.П. Гигантские волны в слабо-скрещенных состояниях морской поверхности // ЖЭТФ. 2010. Т. 137(3). С. 599–607.

[64] Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анали за в математической физике. М.: Наука, 1988.

[65] Солонников В. А. Разрешимость задачи об эволюции вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхно стью, на конечном интервале времени// Алгебра и анализ.

1991. С. 222–257.

1.

[66] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свой ства функций. М.: Мир, 1973.

[67] Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986.

[68] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

[69] Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. – Л.:Гидрометеоиздат, 1980.

[70] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

М.: Мир, 1970.

[71] Шамин Р. В. О пространствах начальных данных для диффе ренциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Мат.

сб. 2003. 194, № 9. C. 1411–1426.

[72] Шамин Р. В. Об одном численном методе в задаче о дви жении идеальной жидкости со свободной поверхностью// Сиб. журн. выч. мат. 2006. 9, № 4. С. 325–340.

[73] Шамин Р. В. О существовании гладких решений уравнений Дьяченко, описывающих неустановившиеся течения идеальной жидкости со свободной поверхностью// Докл. АН. 2006.

406, № 5. С. 112–113.

[74] Шамин Р. В. К вопросу об оценке времени существования ре шений системы Коши Ковалевской с примерами в гидроди намике со свободной поверхностью// Современная математи ка. Фундаментальные направления. 2007. С. 133–148.

21.

[75] Шамин Р. В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане. М.: Наука, 2008.


[76] Шамин Р. В. Об оценке времени существования решений урав нения, описывающего поверхностные волны// Докл. АН.

2008. 418, № 5. С. 112–113.

[77] Шамин Р. В. Динамика идеальной жидкости со свободной по верхностью в конформных переменных // Современная ма тематика. Фундаментальные направления. М.: РУДН, т. 28, 2008, с. 3–144.

[78] Шамин Р.В. Поверхностные волны на воде минимальной глад кости // Современная математика. Фундаментальные направ ления. Том 35 (2010). С. 126- [79] Шамин Р.В. Разрешимость уравнений, описывающих волны минимальной гладкости // Доклады Академии наук, 2010, т.

432, N 4, с. 458- [80] Шамин Р.В. Аппроксимация эволюционных дифференциаль ных уравнений в шкалах гильбертовых пространств. Матема тические заметки. Том 85. 2009. N 2. С. 318- [81] Шамин Р.В. Регуляризация метода прямых в условиях машин ной точности с примерами в гидродинамике со свободной по верхностью. Вычислительные технологии. Том 13. 2008. N 5. С.

113- [82] Шамин Р.В. Пространства начальных данных для параболиче ских функционально-дифференциальных уравнений. Матема тические заметки, 2002, т. 71, вып. 4, с. 636- [83] Шамин Р.В. Модели ветрового волнения на основе функционально-дифференциальных уравнений // Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики: сб.

науч. тр. М.: МФТИ. 2009. - С. 143- [84] Шамин Р.В., Геогджаев В.В. Статистическое исследование су ществования решений, описывающих поверхностные волны // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крей на - 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008, с. 309- [85] Шамин Р.В., Дружинин В.А. О моделировании нелинейных эволюционных функционально-дифференциальных уравнений.

Нелинейные граничные задачи, вып. 16, 2006, с. 226- [86] Шокин Ю. И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

[87] Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжима емой жидкости// Журнал выч. мат. и мат. физ. 1963. 3, № 6. C. 1032–1066.

[88] Ashyralyev A., Sobolevskii P.E. Well-posedness of parabolic dierence equations. Basel–Boston–Berlin, Birkhauser, 1994.

[89] Badulin S. I., Pushkarev A. N., Resio D., Zakharov V.E. Self similarity of wind-driven seas // Nonl. Proc. Geophys. 2005. Vol.

12. P. 891–946.

[90] Badulin S.I., Babanin A.V., Resio D., Zakharov V. Weakly turbulent laws of wind-wave growth // J. Fluid Mech. 2007. V.

591. P. 339–378.

[91] Badulin S.I., Shrira V.I., Kharif C., Iualalen M. On two approaches to the problem of instability of short-crested water waves // J.

Fluid Mech. 1995. V. 303. P. 297–325.

[92] Baterman W.J.D., Swan C., Taylor P.H. On the ecient numerical simulation of directionally spread surface water waves // J. comput.

Physics, 2001, v. 174, pp. 277–305.

[93] Brown M.G., Jensen A. Experiments on focusing unidirectional water waves // J. Geophys. Research. 2001. V. 106. №C6. P. 16917– 16928.

[94] Brown M.G. The Maslov integral representation of slowly varying dispersive wavetrains in inhomogeneous moving media // Wave Motion. 2000. V. 32. P. 247–266.

[95] Chalikov D. Freak waves: Their occurrence and probability // Phys.

Fluids, 2009, v. 21, issue 7.

[96] Chalikov D., Sheinin D. Modeling of Extreme Waves Based on Equations of Potential Flow with a Free Surface // Journ. Comp.

Phys. 2005. 210. Р.247-273.

[97] Chalikov D., Rainchik S. Coupled numerical modelling of wind and waves and the theory of the wave boundary layer // Boundary-layer meteorology. 2010. Vol. 138. №1. P. 1–41.

[98] Craig W., Sulem C. Numerical simulation of gravity waves// J. Comput. Phys. 1993. С. 73–83.

108.

[99] Craig W., Wayne C. E. Mathematical aspects of surface water waves// Round Table Open Problems Int. Workshop Math.

Hydrod., Moscow, June 12–17. 2006.

[100] Deimling K. Multivalued dierential equations. Berlin – New York, Walther de Gruyter, 1992.

[101] Dyachenko A. I., Kuznetsov E. A., Spector M. D., Zakharov V. E.

Analytical description of the free surface dynamics of an ideal uid (canonical formalism and conformal mapping)// Phys. Lett. A.

1996. С. 73–79.

221.

[102] Dyachenko A.I., Zakharov V.E., On the Formation of Freak Waves on the Surface of Deep Water // Письма в ЖЭТФ, 2008, т. 88, №5, с. 356–359.

[103] Dysthe K.B., Trulsen K. Note on breather type solutions of the NLS as a model for freak-waves // Physica Scripta. 1999. V. 82. P.

48–52.

[104] Faraday M. On the forms and states assumed by uids in contact with vibrating elastic surfaces // Philos.Trans. R. Soc. London.

1831. V. 121. P 319- [105] Gulev S.K., Grigorieva V. Last century changes in ocean wind wave height from global visual wave data // Geophys. Res. Lett. 2004, v. 31. L24302.

[106] Gurevich P. L., Jaeger W., Skubachevskii A. L. On periodicity of solutions for thermocontrol problems with hysteresis-type switches // SIAM J. Math. Anal. 2009. 41, № 2. C. 733–752.

[107] Hasselmann K. On the nonlinear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part 1. General theory // J. Fluid Mech. 1962. Vol. 12.

Pp. 481–500.

[108] Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. Unstready water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrodinger equation // Wave Motion, 1999, v. 29, pp.

341–361.

[109] Johannessen T.B., Swan C. A laboratory study of the focusing of transient and directionally spread surface water waves // Proc.

Royal Soc. London. 2001. V. A457. P. 971–1006.

[110] Kano T., Nishida T. Sur les ondes de surface de l’eau avec une justication mathematique des ґequations des ondes en eau peu profonde, J. Math. Kyoto Univ., 19:2 (1979), 335–370.

[111] Kato T. On classical solutions of the two-dimensional non stationary Euler equation// ARMA. 1967. С. 188–200.

25.

[112] Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. Rogue Waves in the Ocean.

Springer, 2009.

[113] Korotkevich A.O., Pushkarev A.N., Resio D., Zakharov V.E.

Numerical verication of the weak turbulent model for swell evolution, Eur. J. Mech. B - Fluids, 27(4), 361-387 (2008).

[114] Lannes D. Well-posedness of the water-waves equations, J. Amer.

Math. Soc., 18:3 (2005), 605–654.

[115] Levi-Civita T. Determination rigoreuse des ondes permanentes d’ampleur nie// Math. Ann. 1925. С. 264–314.

93.

[116] Lewis D. J. The instability of liguid surface when accelerated in direction perpendicular to their planes. II// Proc. Roy. Soc. Sect.

A. 1950. 202, № 1068. С. 81–96.

[117] Lichtenstein L. Grundlagen der Hydromechanik. Berlin, 1929.

[118] Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg// J. Dierential Geom. 1977. С. 629 633.

12.

[119] Olagnon M., Athanassoulis G.A. Rogue Waves 2000. (Brest, France, 2000). Ifremer, 2001.

[120] Ovsiannikov L.V. Non local Cauchy problems in uid dynamics, Actes du congr‘es international des mathematiciens, vol. 3 (Nice, 1970), Gauthier-Villars, Paris, 1971, 137–142.

[121] Peregrine D.H. Interaction of water waves and currents // Advanced Applied Mech. 1976. V. 16. P. 9–17.

[122] Pelinovsky E., Talipova T., Kharif C. Nonlinear dispersive mechanism of the freak wave formation in shallow water // Physica D. 2000. V. 147. №1–2. P. 83–94.

[123] Plotnikov P. I. A Proof of the Stokes Conjecture in the Theory of Surface Waves // Studies in Applied Mathematics, v. 108, 2002, pp. 217–244.

[124] Plotnikov P.I., Toland J. F. Convexity of Stokes waves of extreme form // Arch. Rat. Mech. Anal. v. 171, 2004, pp. 349–416.

[125] Reeder J., Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity. II. The simplest 3-dimensional case, Indiana Univ.

Math. J., 25:11 (1976), 1049–1071.

[126] Reeder J., Shinbrot M. he initial value problem for surface waves under gravity. III. Uniformly analytic initial domains, J. Math.

Anal. Appl., 67:2 (1979), 340–391.

[127] Shamin R.V. About Analytic Solvability of Nonstationary Flow of Ideal Fluid with a Free Surface // Alexey V. Borisov, Valery V. Kozlov, Ivan S. Mamaev and Mikhail A. Sokolovskiy.

IUTAM Symposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence. Springer Netherlands, 2008. P. 323- [128] Shamin R.V., Moiseeva S.N. Functional Dierential Equations and Freak Waves. Functional Dierential Equations, v. 16, 2009, No 4, pp. 627-637.

[129] Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity. I. The simplest case, Indiana Univ. Math. J., 25:3 (1976), 281–300.

[130] Stokes G. G. Mathematical and physical papers. Cambridge University Press. 1880.

1.

[131] Taylor G. The instability of liguid surface when accelerated in direction perpendicular to their planes. I// Proc. Roy. Soc. Sect.

A. 1950. 201, № 1065. С. 192–196.

[132] Treves F. Ovsyannicov theorem and hyperdierential operatore.

Rio de Janeiro, Instituto de Mathematica Pure e Aplicada, 1968.

[133] Tsai W., Yue D. Computations of nonlinear free-surface ows// Annu. Rev. Fluid Mech. 1996. С. 249–278.

28.

[134] White B.S., Fornberg B. On the change of freak waves at the sea // J. Fluid Mech. 1998. V. 225. P. 113–138.

[135] Wu S. Well-posedness in Sobolev spaces of the full water wave problem in 2-D, Invent. Math., 130:1 (1997), 39–72.

[136] Wu S. Well-posedness in Sobolev spaces of the full water wave problem in 3-D// J. Amer. Math. Soc. 1999. 12, № 2. С. 445– 495.

[137] Yosihara H. Gravity waves on the free surface of an incompressible perfect uid of nite depth, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 18:1 (1982), 49–96.

[138] Yudovich V.I., Zenkovskaya S.M., Novossiadliy V.A., Shleykel A.L..

Parametric excitation of waves on a free boundary of a horizontal uid layer // Comptes Rendus Mecanique. V. 332. 2004. P. 257-262.

[139] Zakharov V. E., Dyachenko A. I., Vasilyev O. A. New method for numerical simulation of a nonstationary potential ow of incompressible uid with a free surface// Eur. J. Mech. B Fluids.

2002. С. 283 – 291.

21.

[140] Zakharov V.E., Dyachenko A.I, Prokoev A.O. Freak waves as nonlinear stage of Stokes wave modulation instability// Eur. J.

Mech. B Fluids. 2006. 25. P. 677–692.

[141] Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Shamin R.V. How probability for freak wave formation can be found // THE EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL - SPECIAL TOPICS Volume 185, Number 1, 113-124, DOI: 10.1140/epjst/e2010-01242-y

Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.