авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Федеральное агентство по образованию Российской Федерации АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет Серия «Системы компьютерной ...»

-- [ Страница 2 ] --

Теперь запустим итеративный процесс бисекций BISECT(f, x, 1, 3, 0.00001) ответ [2.085929870, 2.0859375].

x Упр 1. Методом бисекций найти корни уравнения 2e + x = 0.

Задача 2. Найти корни уравнения e x 10 x = 0 методом простых ите раций.

Метод простых итераций решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = (x) и построении последовательности xn + 1 = (xn ), сходящейся к точному решению.

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения xn – 1, вычисляем y = (xn – 1 ). Если y xn 1, полагают xn = y и выполняют очередную итерацию. В противном случае вычисления за канчивают и за приближенное значение корня принимают величину xn = y.

Погрешность полученного результата зависит от знака производной q ( x ). При ( x ) 0 корень найден с погрешностью, где 1 q q = sup ( x ) 1, если ( x ) 0, то погрешность не превышает. Поэтому [ a, b] при использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции (x ) в уравнении x = (x), эквивалентном исходному. Следует помнить, что скорость сходимости к корню тем выше, чем меньше число q.

Метод простых итераций реализуется с помощью функции FIXED_POINT. Синтаксис функции FIXED_POINT(u, x, x0, {n}).

Решение.

Корни уравнения легко отделяются графически f := #e^x - 10x — их два и они находятся в интервалах [0, 1] и [2, 4].

Для определения первого корня заменим исходное уравнение эквивален тным x = 0.1e x и возьмем в качестве начального приближения точку x0 = FIXED_POINT(0.1#e^x, x, 1) ответ [..., 0.1118325591].

Для определения второго корня представляем исходное уравнение в виде x = ln10 x. Если взять в качестве начального приближения точку x0 = получаем приближения:

FIXED_POINT(LN(10x), x, 2) ответ [..., 3.577152063].

Упр 2. Найти корни уравнения arccos x 2 x3 = 0 методом простых итераций.

Задача 3. Найти корни уравнения e x 10 x = 0 методом Ньютона.

Если известно хорошее начальное приближение x0 решения уравне ния f(x) = 0, удовлетворяющее условию f ( x0 ) f ( x0 ) 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона. Метод состоит в построении итерационной последовательности xn +1 = xn f ( xn ) f ( xn ), сходящейся к корню уравнения.

Метод Ньютона реализует функция NEWTONS. Синтаксис функции NEWTONS([u], [x], [x0], {n}).

Решение.

Ранее были найдены два отрезка, содержащие корни уравнения — [0, 1] и [2, 4]. В качестве начального приближения возьмем точку x0 = 0, поскольку f (0 ) f (0 ) 0 : NEWTONS([#e^x - 10x], [x], [0]) ответ [..., 0.1118325591].

Если возьмем в качестве начального приближения точку x0 = 3, полу чим приближения ко второму корню: NEWTONS([#e^x - 10x], [x], [0]) ответ [..., 3.577152063].

1+ x 1 x e = 0 методом Ньютона.

Упр 3. Найти корни уравнения 1 x x e y = Задача 4. Решить систему уравнений методом Ньютона.

x y e = Функция NEWTONS эффективно решает системы нелинейных урав нений.

Решение.

По графику уравнений cистемы определим начальное приближение решения [[exp(-y), y], [x, exp(x)]].

В качестве начального приближения возьмем точку [1, 2]:

NEWTONS([x - exp(-y), y - exp(x)], [x, y], [1, 2]) ответ [0.2698741375, 1.309799585].

sin( x + y ) 1.1x = 0. Упр 4. Решить систему уравнений 2 методом x + y = Ньютона.

Задача 5. Найти решение уравнения y = 2 x + cos ( y ), y (0 ) = 0 в виде отрезка ряда Тейлора.

Функция, решающая задачи такого рода (когда уравнение задано в виде y' = r(x, y), y = y0, x = x0) называется TAYLOR_ODE1. Синтаксис функции TAYLOR_ODE1(r, x, y, x0, y0, n), где n — порядок аппроксимации.

Решение.

TAYLOR_ODE1(2x + cos(y), x, y, 0, 0, 4) ^ ответ –x4/4 – x3/6 + x2 + x.

Упр 5. Найти решение уравнения y = 1 y + x, y (0 ) = 1 в виде отрезка ряда Тейлора.

Задача 6. Найти решение уравнения y = xy y 2, y (0 ) = 1, y (0 ) = в виде отрезка ряда Тейлора.

Для решения уравнения вторго порядка, требуется сначала преобра зовать его в систему уравнений первого порядка вида y' = r(x, y), y = y0, x = x0, а затем применить функцию TAYLOR_ODES. Синтаксис функции TAYLOR_ODES([r], x, [y], x0, [y0], n), где n — порядок аппроксимации. Либо сразу использовать функцию TAYLOR_ODE2(r, x, y, v, x0, y0, v0, n).

Решение.

Первый способ: TAYLOR_ODES([z, x*y - y^2], x, [y, z], 0, [1, 2], 4) ^ ответ –x4/12 – x3/2 – x2/2 + 2·x + 1.

Второй способ: TAYLOR_ODE2(x*y - y^2, x, y, v, 0, 1, 2, 4) ^.

y (0 ) = 0 на Задача 7. Найти решение уравнения y = 2 x + cos y, отрезке [0, 1] методом Эйлера.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y' = r(x, y), y = y0, x = x0. Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2,..., yn решения уравнеия y(x) в точках x1, x2,..., xn. Чаще всего xi = x0 + i h, i = 1, 2,..., n. Точки xi называются узлами сетки, а величина h — шагом. В методе Эйлера величи ны yi вычисляются по формуле yi + 1 = yi + h r(xi, yi), i = 0, 1,...

Решение уравнения y' = r(x, y), y = y0, x = x0 на отрезке возвращает функция EULER_ODE. Синтаксис функции EULER_ODE(r, x, y, x0, y0, h, n), где h — шаг сетки, n — количество шагов.

Решение.

EULER_ODE(2x + cos(y), x, y, 0, 0, 0.1, 10).

Задача 8. Найти решение уравнения y = xy y 2, y (0 ) = 1, y (0 ) = на отрезке [0, 1] методом Рунге-Кутта.

Функция RK возвращает приближенное решение системы дифферен циальных уравнений первого порядка, полученное методом Рунге-Кутта.

Синтаксис функции RK([r], [v], [v0], h, n), где h — шаг сетки, n — количе ство узлов сетки. Функцию RK можно применить для поиска решения урав нения второго порядка, предварительно преобразовав его в систему уравне ний первого порядка.

Решение.

Ans := RK([z, x*y - y^2], [x, y, z], [0, 1, 2], 0.1, 10).

Упр 6. Постройть графики найденных решений в задачах 5-8.

Указание, для построения графика в задаче 8, предварительно извле ките столбцы 1 и 2 из матрицы, возвращаемой функцией RK. Проще всего сделать это с помощью команды EXTRACT_2_COLUMNS(Ans, 1, 2).

Задачи для самостоятельной работы 1. Найти отличный от нуля корень уравнения f(x) = 0 а) методом деле ния пополам;

б) методом простых итераций;

в) методом Ньютона.

2. Решить задачу Коши а) в виде многочлена Тейлора;

б) методом Рун ге-Кутта;

в) построить графики полученных решений.

Варианты заданий к задаче 1 к задаче y = y2 y y1 (1) = x [1,3] 1. arccos x x 1 y2 (1) = y2 = y1 y y = e y1 x y1 (2) = 1 x [2, 4] 2. ln x 1 + x2 y2 (2) = y2 = e y2 x y = ( y + x) ( y2 + y2 ) y1 (2) = 1 1 1 x [2, 4] 3. ln ln x e x y2 = ( y2 x ) ( y1 + y2 ) y2 (2) = 2 y = e y1 y2 y (0) = 4. arctg (1 x ) x 2 x [0, 2 ] y2 (0) = y2 = e y1 y y = cos ( y y ) y (0) = x [0, 2] 12 5. x e x = sin ( y1 + y2 ) y2 (0) = y y = e ( y1 + y2 ) y (0) = 1 x [0,1] 6. x 4 13 x 2 + 36 = arctg y1 y2 (0) = x y y = x + y2 y1 (1) = x [1,1] 7. 2 x 2 x 4 1 ln x y2 (1) = y2 = ( y1 y2 ) y = sin ( xy ) y1 (0) = x [0, 2] 8. x (arctg x ) 1 y2 = x + cos ( xy1 ) y2 (0) = y = y + y y1 (0) = x [0, 4] 1 9. x3 3x 2e x = (1 + y12 + y2 ) y2 (0) = y y = sin ( y y ) y (0) = 10. x arctg (1 x ) x [0, 2 ] 12 y2 (0) = y2 = cos ( xy1 y2 ) ( ) y = y2 + y2 y1 (0) = ( x 1) x [0, 4 ] 2 1 11. x ln x 1 + +1 y2 (0) = = y1 y y y = arctg ( x 2 + y 2 ) y (0) = 0. 2 x [0, 2] 12. sin x 2 6 x + 1 y2 (0) = 1. y2 = sin ( x + y1 ) ( ) y = arctg 1 (1 + y 2 ) + y 2 y (1) = 2 x [1,1] 13. cos x 2 10 x y2 (1) = y2 = sin ( y1 y2 ) y = x2 + y 2 y1 (0) = 14. arccos (e x 3) x x [0,5] y2 (0) = y2 = xy1 y y = x2 y + y y1 (0) = 2x x [0, 4] 1 e x 15. arcsin 1+ x y2 = cos ( y1 + xy2 ) y2 (0) = Лабораторная работа № Статистические расчеты и обработка данных эксперимента Задания на лабораторную работу 1. Моделирование случайных величин 2. Оценивание параметров случайных величин 3. Проверка статистических гипотез 4. Аппроксимация экспериментальных данных 5. Сглаживание экспериментальных данных Примеры выполнения заданий Задача 1. Получить выборку объемом 20 чисел а) случайных целых чисел из отрезка [0, 10], б) случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [–1, 3], в) случайных чисел, нормально распределенных с пармет рами распределения a = 2, = 4.

Все модели случайных величин строятся на основе функции RANDOM.

Синтаксис функции RANDOM(1|n), если аргумент функции равен 1, функ ция возвращает случайное число, подчиненное равномерному распределе нию на отрезке [0, 1);

если же аргумент равен какому-либо натуральному n, функция возвращает случайное целое число из интервала [0, n).

Решение.

1. Решим задачу а), используя встроенную функцию RANDOM:

Zd:=VECTOR(RANDOM(10), k, 20) 2. Задача б) также решается с помощью встроенной функции RANDOM: Ud := VECTOR(4*RANDOM(1) - 1, k, 20) 3. При решения задачи в) находятся квантили нормального распреде ления, при этом функция нормального распределения задается с помощью функции NORMAL: Nd:=VECTOR(RHS(NSOLVE( NORMAL(x, 2, 4) = RANDOM(1), x, Real)), k, 20) Здесь функция RHS(u) выдает правую часть равенства, возвращаемо го функцией NSOLVE(), функция NSOLVE(f(x)=a, x) возвращает прибли женное решение уравнения в виде x = b, найденное численными методами.

Упр 1. Сгенерировть две выборки A и B объемом 30 случаев, из нор мального распределения с параметрами a = 7 и = 3.

Задача 2. Найти а) среднее, б) дисперсию и в) среднее геометричес кое трех выборок полученных в предыдущей задаче.

Решение.

1. Решим задачу а), используя функцию AVERAGE:

AVERAGE(Zd), AVERAGE(Ud), AVERAGE(Nd).

2. Решим задачу б), используя функцию VARIANCE:

VARIANCE(Zd), VARIANCE(Ud), VARIANCE(Nd).

3. Решим задачу в), используя функцию RMS:

RMS(Zd), RMS(Ud), RMS(Nd).

Задача 3. Оценить вероятность справедливости нулевой гипотезы о равенстве средних выборок A и B считать средние и дисперсии неизвестны ми;

б) вычислить выборочные характеристики по объединенной выборке.

Решение.

1. Решим задачу а), применив критерий Стьюдента:

Найдем разность средних D := AVERAGE(A) - AVERAGE(B) ;

за тем найдем объединенную оценку дисперсии Ssq := (29*VARIANCE(A) + 29*VARIANCE(B))/(2*30 - 2) ;

вычислим величину t := D/SQRT(Ssq).

Чтобы оценить вероятность справедливости нулевой гипотезы, используем функцию распределения Стьюдента STUDENT(), из утилиты PROBABIL.MTH: 1 - STUDENT(t, 2*30 - 2).

2. Решим задачу б), применив функцию APPEND:

AVERAGE(APPEND(A, B)), VARIANCE(APPEND(A, B)) Задача 4. В результате эксперимента получен набор пар чисел (X i, Y i), где Y i — экспериментальные значения некоторой функции, а X i — значения аргумента. Аппроксимировать результаты измере ний функцией вида а) ax + b, б) ax 2 + bx + c, в) a cos(x) + b sin(x) + c, г) a ch(x) + b sh(x) + c.

Данные к задаче 4: [[0.0, 1], [0.3, 1.6], [0.6, 1.9], [0.9, 2.2], [1.2, 2.2], [1.5, 2.1], [1.8, 1.7], [2.1, 1.2], [2.4, 0.6], [2.7, 0.0]] Решение.

Для решения задач аппроксимации методом наименьших квадратов используется функция FIT(v, W), вычисляемая в режиме Approximate.

1. Определим матрицу данных:

W := [[0.0, 1], [0.3, 1.6], [0.6, 1.9], [0.9, 2.2], [1.2, 2.2], [1.5, 2.1], [1.8, 1.7], [2.1, 1.2], [2.4, 0.6], [2.7, 0.0]].

2. Освободим переменные: a:= ;

b:= ;

c:= 3. Решим задачу а) командой FIT([x, ax + b], W) 4. Решим задачу б) командой FIT([x, ax^2 + bx + c], W) 5. Решим задачу в) командой FIT([x, a COS x + b SIN x+c], W) 6. Решим задачу г) командой FIT([x, a COSH x + b SINH x+c], W) Упр 2. Постройте графики исходных данных и полученных функций.

Вычислите дисперсию экспирементальных данных относительно каждой из полученных кривых. Определите наилучшую аппроксимацию, сравнив дисперсии.

Задача 5. Через линию связи отправлен сигнал SIN(x). Приемником был получен сигнал с аддитивной помехой, равномерно распределенной на интервале (–1/2, 1/2). Путем сглаживания полученного сигнала восстано вить исходный.

Решение.

1. Определим матрицу исходных данных и нарисуем график исходно го сигнала:

S := VECTOR([k*6pi/100, SIN(k*6pi/100)], k, 100).

2. Смоделируем искажения:

SE := VECTOR([S sub k sub 1, S sub k sub 2 + RANDOM(1) - 1/2], k, 100).

3. Сглаживание экспериментальных данных. С помощью функции SMOOTH_COLUMN(A, j) сгладим второй столбец матрицы трижды:

SSm := ITERATE(SMOOTH_COLUMN(T, 2), T, SE, 3).

Упр 3. Через линию связи отправлен сигнал COS(x) + 2. Приемником был получен сигнал с мультипликативной помехой, равномерно распреде ленной на интервале (1/2, 3/2). Восстановить исходный сигнал.

Задачи для самостоятельной работы 1. Найдите методом наименьших квадратов значения коэффициентов линейной зависимости y = a x + b по табличным данным. Найдите значение y в точке x = N + 0.55, где N — номер варианта Варианты заданий 1.

x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2, y 0,686 0,742 0,767 0,646 0,807 0,774 0,97 0,932 0,936 0,978 1, 2.

x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 y 2,312 2,251 2,418 2,752 2,459 2,7 3,022 3,079 2,42 2,669 3, 3.

x 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 y 4,615 4,591 5,13 5,481 5,492 5,553 5,471 5,727 5,798 6,11 6, 4.

x 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 y 8,472 8,805 9,096 8,993 9,312 9,465 9,771 9,61 9,722 11,419 10, 5.

x5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 y 12,36 13,63 13,30 13,14 13,48 14,24 14,51 14,88 15,24 15,36 15, 6.

x6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 y 17,63 19,74 19,783 18,806 19,88 21,11 20,20 19,48 20,15 20,50 21, 7.

x7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 y 25,24 25,13 25,66 26,62 26,75 27,23 26,49 26,87 27,22 28,06 27, 8.

x8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 y 30,52 34,22 34,23 34,11 33,59 34,05 34,49 35,82 35,67 37,44 35, 9.

x9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 y 41,74 42,24 43,88 42,16 43,69 45,04 42,46 45,72 44,05 45,86 44, 10.

x 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 y 49,75 51,92 50,08 52,37 53,41 54,96 52,77 54,11 55,47 55,68 56, 11.

x 11 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 y 59,76 61,82 60,18 62,27 63,51 64,86 62,87 64,01 65,37 65,78 66, 12.

x 12 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 y 19,87 21,71 20,27 22,18 23,50 24,37 22,94 24,03 25,25 25,69 26, 13.

x2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 y 9,78 11,17 10,32 12,81 13,05 14,74 12,48 14,33 15,52 15,95 16, 14.

x3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 y 11,93 12,61 12,38 12,28 12,55 12,41 12,97 12,57 12,68 12,51 13, 15.

x4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 y 8,13 8,61 8,28 8,11 8,55 8,64 8,97 8,57 8,68 8,79 9, Лабораторная работа № Комплексные числа и функции Задания на лабораторную работу 1. Действия над комплексными числами, вычисление значений комп лекснозначных функций 2. Нахождение корней 3. Построение образов множеств при конформных отображениях 4. Вычисление производных 5. Вычисление пределов 6. Вычисление интегралов 7. Нахождение вычетов Примеры выполнения заданий Задача 1. Найти модуль, аргумент, Re(z), Im(z), ln(z), z ( z + 1) чис ла z = (1 – i)6.

Решение.

1. Определим z: z := (1 - #i)^ 2. Вычислим модуль z: |z| ^ или ABS(z) ^ результат 3. Вычислим аргумент z: PHASE(z) ^ результат / 4. Остальное: RE(z) ^, IM(z) ^, LN(z) ^, z/(CONJ(z) + 1) ^ Задача 2. Найти значения корней 3 8.

Решение.

1. Определим функцию, которая возвращает значения всех корней:

SQRTZ(z, n) := VECTOR(ABS(z)^(1/n)*(COS((PHASE(z) + 2k pi)/n) + #i* SIN((PHASE(z) + 2k pi)/n)), k, 0, n - 1) 2. Определим z: z := - 3. Найдем корни: SQRTZ(z, 3) ^ 1 i.

Упр. 1. Найти значения корней Задача 3. Найти образ окружности 2 z + 1 = 1 при отображении w =1 z.

Решение.

1. Запишем уравнение окружности в комплексной форме z := 1/2(COS(t) + #i SIN(t)) - 1/ 2. Зададим отображение w := 1/z 3. Найдем уравнение окружности в параметрическом виде v := [RE(z), IM(z)] 4. Найдем уравнение образа в параметрическом виде u := [RE(w), IM(w)] 5. Построим график пробраза и образа [v, u] ^, Esc, ^2, F z Упр. 2. Найти образ прямой RE(z) = 2 при отображении w =.

z + Задача 4. Найти постоянные a, b, c, при которых функция w = x + a y + i (b x + c y) является аналитической.

Решение.

1. Определим функцию w := x + a y + #i(b x + c y) 2. Из условий Коши-Римана получим систему уравнений [DIF(RE(w), x) = DIF(IM(w), y), DIF(RE(w), y) = -DIF(IM(w), x)] ^, упрощение которой дает решение [1 = c, a = –b].

Упр. 3. Доказать, что функция w = x 2 y 2 + 2 xyi + 5 является анали тической на С и вычислить ее производную.

1 + z Задача 5. Найти lim.

z i 1 + z Решение.

LIM((1 + z^10)/(1 + z^14), z, #i) ^ ответ 5/ xdz Задача 6. Вычислить интеграл а) по радиус вектору точки z = 2 + i;

б) по полуокружности |z| = 1, 0 arg z, в) по окружности |z – a| = R.

Решение.

1. Определим интеграл от комплекснозначной функции w(z), где z = x + i y, вдоль кривой x = u(t), y = v(t), a t b.

COMPL_INT(w, x, y, u, v, t, a, b) := INT(LIM(RE(w), [x, y], [u, v])*DIF(u, t) - LIM(IM(w), [x, y], [u, v])*DIF(v, t), t, a, b) + #i*(INT(LIM(RE(w), [x, y], [u, v])*DIF(v, t) + LIM(IM(w), [x, y], [u, v])*DIF(u, t), t, a, b)) 2. Решим задачу а) командой COMPL_INT(x, x, y, t, t/2, t, 0, 2) ^ ответ 2 + i 3. Решим задачу б) командой COMPL_INT(x, x, y, COS(t), SIN(t), t, 0, pi) ^ ответ i/ 4. Решим задачу в) командой (cчитаем, что a = m + i n) COMPL_INT(x, x, y, R*COS(t) + m, R*SIN(t) + n, t, 0, 2pi) ^ dz Упр. 4. Вычислить интеграл.

z2 + z = ez cos z Задача 7. Вычислить а) res ;

б) res, в) res e z.

( z 1) 2 z =1 z = z z= Решение.

1. Определим функцию для отыскания некоторых вычетов.

RES(f, z, a, m) := IF(a=inf, -LIM(DIF(LIM(f, z, 1/t), t), t, 0), 1/(m -1)!

LIM(DIF((z - a)^m f, z, m - 1), z, a)) 2. Решим задачу а) командой RES(EXP(z)/(z - 1)^2, z, 1, 2) ^ ответ е 3. Решим задачу б) командой RES(COS(z)/(z - pi/4), z, pi/4, 1) ^ ответ 2/ 4. Решим задачу в) командой RES(EXP(1/z), z, inf, 0) ^ ответ – Упр. 4. Вычислить res.

z + z z = Задачи для самостоятельной работы 1. Найти образ множества Е при отображении w.

2. Вычислить интеграл.

Варианты заданий к задаче 1 к задаче dz 1 + z ( D : z 1 1) 1. E: z = 1, 0 arg z ;

w = z 4 D sin zdz ( z + 1) ( D : x + y 2 3 22 3 ) {z 2, 0 arg z };

w = z 3 2. E: D dz ( D : z 1 i 2) 3. E: {Re z = 1};

w = z 2 ( z 1) ( z + 1) 2 D ze 3 z dz (D : z 4) 4. E: {Im z = 1};

w = z D z + 1 1 dz {z = 2};

w = z + (D : 2 z 4) (z 5. E:

1)( z 3 ) 2 z D 1 1 dz (D : z 2) z (z 6. E: z = ;

w = z + 2) 2 2 z 3 D z 2 sin dz 1 7. E: { z 1, Im z 0};

w = z + (D : z 3) z z1z D ( )( ) 2 z 1 1 z 3 dz (D : z 2) 8. E: z ;

w = z + z 2 2 z D z 3 e z dz 1 ( D : z 2) D z + 9. E: arg z = ;

w = z+ 4 2 z 3 1 1 dz (D : z 1) ctg z 10. E: arg z ;

w = z + 4 4 2 z z D z z sin z + 1 dz ( D : z 3) 11. E: {Re z = 1};

w = 1+ z D i+z z + {z = 1};

w = z sin z 1 dz ( D : z 2) 12. E:

iz D z {z = 2};

w = sin z 1 dz ( D : z 1 1) 13. E:

z +1 D z 1 z z cos z + 1 dz ( D : z 2) 14. E: {Im z = 1};

w = z +1 D 1 1 dz { z + 1 = 1};

( D : z 2 + z + 2 6) exp 1 z w= 15. E:

z z D Лабораторная работа № Программирование для Derive.

Задания на лабораторную работу 1. Построение составных функций 2. Вычисление выражений при определении функций 3. Декомпозиция выражений 4. Построение функций с переменным числом аргументов 5. Построение функций с необязательными аргументами 6. Рекурсии и взаимные рекурсии 7. Процедурное программирование 8. Использование декрементных операторов Примеры выполнения заданий x2, x Задача 1. Определить составную функцию а) f ( x ) =, 1, x x2, x б) g ( x ) = 1 x, 1 x 2, в) ступенчатую на отрезке [0, 5] функцию x 3 2, 2 x G ( k ), ( k 1) x k SG ( x ) = по заданной функции G(x)=x2 и постро 0, x [0, 5], k = 1, 2,…, ить их графики.

Основой для построения составных функций служит функция IF(test, then, else, unknown), где test — проверяемое условие, записанное в виде булевого выражения (причем, если выражение не является логи ческим соотношением или комбинацией соотношений считается, что про веряемым условием является test = 0), then — выражение возвращаемое при выполнении условия test = ИСТИНА, else — выражение возвращае мое при выполнении условия test = ЛОЖЬ, unknown — выражение воз вращаемое в случае, когда определить значение условия test не удается.

Когда требуется вычислить значение выражения внутри определения функции, или передать функцию в качестве аргумента другой функции, ис пользуется функция LIM(Expr(x), x, a).

Решение.

1. f(x) := IF(x 1, 1, x^2) 2. g(x):=IF(x=1, x^2, IF(x1 AND x2, 1/x, x - 3/2)) 3. S(x, G):= SUM(LIM(G, x, k)*CHI(k - 1, x, k), k, 1, 5) 4. Для построения графиков упростить и нарисовать выражение [[f(x)], [g(x)], [S(x, x^2)]] ^ Упр. 1. Определить оператор stupen(g, x, a, b, n), который сопостав лял бы данной функции g(x) новую функцию f(x), ступенчатую на отрезке [a, b] и равную g(x) вне этого отрезка. Отрезок [a, b] разбивается на n равных отрезков длины (b – a)/n, функции f(x) и g(x) совпадают в правых (либо в левых, либо в центре) концах этих отрезков. Построить график ступенчатой функции ex на отрезке [0, 1], n = 4.

Задача 2. Найти а) числитель и знаменатель дроби a/b + c/d, б) разде лить многочлен x4 + 3·x3 + 5·x + 6 на x2 – 5 с остатком, в) выделить слогае мые многочлена (x + y + z)2, г) выделить сомножители числа 10!, д) выде лить переменные из выражения a/b + a/d, е) выделить правые и левые части уравнений [2·x + y = 5, x y – 3, NOT p AND q, a UNION b].

Решение.

а) NUMERATOR(FACTOR(a/b + c/d, Trivial, a)) ^, DENOMINATOR(FACTOR(a/b + c/d, Trivial, a)) ^.

б) Целая часть от деления: QUOTIENT(x^4 + 3x^3 + 5x + 6, x^2 - 5) ^, остаток от деления: REMAINDER(x^4 + 3x^3 + 5x + 6, x^2 - 5) ^.

в) TERMS((x + y + z)^2, Trivial, x, y, z) ^ г) FACTORS(10!) ^ возвращает сомножители и их степени д) VARIABLES(a/b + a/d) ^ е) Левые части: LHS([2x + y = 5, x y - 3, NOT p AND q, a UNION b])^, правые части: RHS([2x + y = 5, x y - 3, NOT p AND q, a UNION b])^ Задача 3. Составить функцию, вычисляющую сумму своих аргументов.

Если в определении функции, аргумент не заключен в скобки, счита ется, что аргументы функции передаются в ее определение в виде вектора.

Решение.

FOO v := SUM(v).

Упр. 2. Вычислить FOO(2, 3, 5) и FOO(2, 3, 5, 7, 11).

Задача 4. Составить функцию, вычисляющую сумму квадратов трех аргументов, причем, если значение аргумента не указано, оно полагается равным нулю.

Решение.

SUMSQ(x :=0, y := 0, z := 0) := x^2 + y^2 + z^2.

Упр. 3. Вычислить [SUMSQ(5), SUMSQ(5, 3), SUMSQ(5, 3, 2)].

Пример 1. Вычисление чисел Фибоначчи.

Используем рекурсию (функция используюет саму себя в своем опре делении). В приведенном ниже примере функция FIB(n) возвращает n-ое число Фибоначчи.

FIB(n) :=IF(n 7, FIB(n + 2) - FIB(n + 1), IF(n=7, 13, IF(n=8, 21, FIB(n - 1) + FIB(n - 2)))) Следует заметить, что данный способ определения позволяет вычис лять числа Фибоначчи для отрицательных n.

VECTOR(FIB(n), n, -10, 10, 1) ^ Использование рекурсий является крайне неэффективным способом вычислений чисел Фибоначчи, так как требуется хранение множества про межуточных копий рекурсивной функции в памяти. Расчет числа FIB(40) требует нескольких минут вычислений. Вариант с функцией ITERATE ра ботает гораздо быстрее.

FIB_FAST(n) := ITERATE([y SUB 2, SUM(y)], y, [0, 1], n - 1) SUB или эвивалентная запись без использования оператора SUB:

FIB_FAST(n) := ITERATE([k, j + k], [j, k], [0, 1], n - 1) SUB Вычисление FIB_FAST(100) ^ производится за доли секунды.

Но не следует полагать, что использование рекурсий всегда неэффек тивно. Система Derive почти целиком основана на взаимно рекурсивных функциях.

Пример 2. Числа Аккермана.

Еще один пример рекурсии — числа Аккермана:

AKK(m, n) := IF(m = 0, n + 1, IF(n = 0, AKK(m - 1, 1), AKK(m - 1, AKK(m, n - 1)))) Построим таблицу первых чисел Аккермана:

VECTOR(VECTOR(AKK(m, n), n, 0, 5), m, 0, 3) ^ Иногда функции определяются рекурсивно через одну или несколько промежуточных функций. Рекурсия правильно определена, если хотя бы в одной из них есть выражение, которое завершает рекурсию. Последователь ности F и G, взятые из небесной механики являются хорошим примером.

Эти последовательности используются для предсказания траектории коме ты по заданной в определенный момент координате и скорости. Определе ние последовательностей:

F(0) = 1;

G(0) = dF ( n 1) dF ( n 1) dF ( n 1) F (n ) = m µ G ( n 1) +s +e dµ d d dG ( n 1) dG ( n 1) dG ( n 1) G (n) = m + F ( n 1) +s +e dµ d d для n 0, где m := -3mu*sigma, s := epsilon - 2sigma^2, e := -sigma(mu + 2epsilon).

Чтобы определить взаимно рекурсивные функции F и G требуется предварительно объявить G функцией, выполнив команду G(n):=.

Затем определим F(n) := IF(n=0, 1, m DIF(F(n - 1), mu) + s DIF(F(n - 1), sigma) + e DIF(F(n - 1), epsilon) - mu G(n-1)) и G(n) := IF(n=0, 0, m DIF(F(n - 1), mu) + s DIF(F(n - 1), sigma) + e DIF(F(n - 1), epsilon) + F(n-1)) Вычисление [F(4), G(4)] ^ дает [µ(3 + µ 152), 6µ].

Возможность использования блоков и циклов в функциях позволяет осуществлять программирование алгоритмов в системе Derive более про стыми и понятными способами, чем при использовании функций ITERATE и ITERATES. Конструкция PROG позволяет комбинировать команды, вы полняемые последовательно, в блоки. Конструкция LOOP циклически пос ледовательно вычисляет блоки до тех пор, пока не будет выполнена коман да EXIT или RETURN.

Пример 3. Программа для вычисления чисел Фибоначчи.

1. FIB_PROG(n) := PROG(a := 0, b := 1, i := 1, LOOP(IF(i = n, RETURN b), t := b, b := a + b, a := t, i :+ 1)).

2. FIB_PROG(100) ^ результат 354224848179261915075.

Здесь применен инкрементный оператор :. Действие оператора i:+ эквивалентно выполнению команды i := i + 1. Существуют и другие инкре ментные операторы, например i:-1 (i := i - 1), i:*2 (i := 2i) и т. д.

Задачи для самостоятельной работы 1. Построить функцию для решения задачи.

Варианты заданий 1. Составить составить таблицу значений функции y(x), заданной не явно уравнением F(x, y) = 0. Уравнение F(x, y) = 0 при фиксированном x решать методом Ньютона.

2. Для заданной матрицы A(n, n) найти обратную A–1 используя ите рационную формулу: Ak1 = Ak1 ( 2 E AAk1 ), где E — единичная матрица, 1 A0–1 = E. Итерационный процесс заканчивается при DET ( AAk1 ) 1.

3. Найти минимум заданной функции y = f(x), двигаясь от заданной f ( xi + h ) f ( xi h ) h точки x0 по методу парабол xi +1 = xi.

2 f ( xi + h ) 2 f ( xi ) + f ( xi h ) 4. Найти минимум заданной функции y = f(x) на заданном отрезке [a, b] методом золотого сечения. Для этого на отрезке [a, b] рассматрива ются две точки x1 = a + (1 – )(b – a) и x2 = a + (b – a), где = (1 – 5)/2. Если f(x1 ) f(x2 ), отбрасывается интервал [a, x1], иначе [x2, b];

процесс продолжа ется до достижения заданной точности.

5. Найти решение уравнения f(x) = 0 на заданном отрезке [a, b] мето дом хорд, в котором очередное приближение находится по формуле xi xi f ( xi ).

xi +1 = xi f ( xi ) f ( xi 1 ) 6. Найти решение уравнения x = f(x) методом Эйткена-Стеффенсона, в котором от заданного начального приближения x0 очередное приближение xi xi + 2 xi2+ находится по формулам xi +1 = f ( xi ), xi + 2 = f ( xi +1 ), xi + 3 =.

xi 2 xi +1 + xi + 7. Для заданного n получить все возможные перестановки чи сел 1, 2,..., n.

8. Для выборки случайных чисел, содержащихся в векторе v постро ить гистограмму распределения, содержащую m интервалов.

9. Найти все числа Армстронга для двух, трех и четырех цифр. Число Армстронга — такое число из k цифр, для которого сумма k-ых степеней его цифр равна самому числу, например, 153 = 13 + 53 + 33.

10. Найти все числа от 1 до 1000, которые совпадают с последними разрядами своих квадратов, например, 252 = 625.

11. Для заданной квадратной матрицы A(n, n) найти ее норму n A = max aik.

i k = 12. В векторе v каждый элемент заменить суммой всех предыдущих элементов.

13. Для заданного x 1 вычислить y = x по итерационной формуле 1 x yi = yi 1 +.

2 yi p 14. Для заданных a и p вычислить y = a по итерационной формуле 1 a ( p 1) yi 1 + p 1.

Ньютона yi = p yi p 15. Для заданных a и p вычислить y = a, используя рекуррентную a ( p + 1) ( p 1) yip yi 2 ( p 1) + формулу yi +1 =.

p2 2 yip 2a Лабораторная работа № Симплекс метод.

Задания на лабораторную работу 1. Решение задач оптимизации симплекс методом 2. Получение симплекс таблиц Папка \Users содержит различные утилиты бесплатно предоставлен ные пользователями системы Derive. Утилита Simplex.mth содержит функ ции, которые выполняют минимизацию и максимизацию линейных функ ций, с линейными ограничениями.

Примеры выполнения заданий Задача 1. Найти max функции 2x + y +3z при ограничениях: 2x + 3y + +3z 120;

3x + 4y + 2z 150.

Решение.

После загрузки утилиты Simplex.mth становится доступными функ ции MINIMIZE и MAXIMIZE.

MAXIMIZE(2x + y + 3z, [2x + 3y + 3z=120, 3x + 4y + 2z=150]) ^ результат [120, x = 42 AND y = 0 AND z = 12, [0, 0, 0, 0]] следует трактовать так: максимум функции равен 120, достигается при x = 42, y = 0, z = 12.

Остаточные переменные равны 0.

Упр. 1. Найти max функции 3x + 2y + 4z при ограничениях 2x + 3y + +4z 120;

3x + y + 2z 160.

Задача 2. Найти max функции 2x + y +3z при ограничениях: x + 2y + z 100;

3x + 5y + 2z 150 и построить симплекс таблицы.

Решение.

При выполнении функций MINIMIZE и MAXIMIZE могут быть вы числены промежуточные симплекс таблицы. Для их вычисления предвари тельно нужно сделать присвоение simplextables:=[].

1. simplextables:=[] 2. MAXIMIZE(2x + y + 3z, [x + 2y + z=100, 3x + 5y + 2z=150]) ^ результат [-inf, false, []] трактуется как отсутствие max.

3. Посмотр промежуточных симплекс таблиц делается с помощью ко манды: simplextables ^ каждой таблице предшествует номер строки и стол бца для базовой ячейки.

Пример 1. MINIMIZE(40x + 60y + 50z, [4x + y + z 30, 2x + y + 5z 20, 6x - y = 10]) ^ результат min = 700/3, x = 5/3, y = 0, z = 10/ Пример 2. MAXIMIZE(x + y, [x - 2y 2, x + y 3]) ^ результат [inf, false, []] — функция не ограничена.

Пример 3. MINIMIZE(x + y^2, [x + y 1, y - x 5]) ^ результат "Nonlinear function or constraint" — функция не является линейной.

Пример 4. Чтобы разрешить нумерацию переменных в виде x1, x2 и т.д. выполним команду InputMode:=Word. MAXIMIZE(100x1 + 200x2 + 70x3 + 150x4 + 250x5, [x1 100, x2 100, x3 100, x4 + x5 200, 0.6x1 + 0.5x2 + 0.3x3 + 0.4x4 + 0.4x5 170, 0.1x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.2x4 + 0.2x 85, 0.2x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.3x4 + 0.1x5 85, 0.2x5 20]) ^ результат max = 203500/3: x1 = 75/2, x2 = 100, x3 = 175/3, x4 = 100, x5 = 100.

Лабораторная работа № Финансово-экономические расчеты.

Задания на лабораторную работу 1. Расчет величины суммы периодического платежа 2. Вычисление начисленных процентных сумм 3. Расчет накопленных сумм 4. Расчет времени накоплений Примеры выполнения заданий Задача 1. Определить сумму ежемесечного платежа для кредита в 10000 руб. с процентной ставкой 23.4%, взятого на 10 месяцев и опреде лить сумму выплаченных процентов.

Решение.

Сумму платежа определяет функция PMT. Синтаксис функции PMT(i, n, {v|0}, {f|0}, {t|0}), где i — процентная ставка, n — количество платежей, v — текущая выплаченная (занятая) сумма, f — накопленная сумма (ко нечный остаток), t — время платежа (1 — в начале периода, 0 — в конце периода).

Ежемесячный платеж составит P:=PMT(23.4%/12, 10, 10000, 0, 0) результат 1110.35 руб. За 10 месяцев заемщик выплатит 11103.5 руб. Про центы за время выплат составят сумму ABS(P)*10 - 10000 результат 1103.54 руб. или в процентах (ABS(P)*10 - 10000)/10000% результат 11%.

Задача 2. Определить какую сумму накопит вкладчик в банке, если он на протяжении 5 лет выплачивает по 500 руб. при 5% годовых и началь ном взносе 5000 руб.

Решение.

Накопленные суммы вычисляет функция FVAL. Синтаксис функции FVAL(i, n, p, {v|0}, {t|0}), где i — процентная ставка, n — количество плате жей, p — сумма периодического платежа, v — текущая выплаченная (заня тая) сумма, t — время платежа (1 — в начале периода, 0 — в конце периода).

Накопленная сумма составит S:=FVAL(5%/12, 5*12, -500, -5000) результат 40419.83 руб.

Задача 3. Сколько времени вкладчику понадобится для того чтобы накопить в банке 100000 руб., если он выплачивает каждый месяц по руб. при первоначальном взносе 10000 руб., и если банковская ставка со ставляет 8%.

Решение.

Количество платежей определяет функция NPER. Синтаксис функ ции NPER(i, p, {v|0}, {f|0}, {t|0}), где i — процентная ставка, p — сумма периодического платежа, v — текущая выплаченная (занятая) сумма, f — накопленная сумма (конечный остаток), t — время платежа (1 — в начале периода, 0 — в конце периода).

Время накопления N:=NPER(8%/12, -1000, -10000, 100000)/12 ре зультат 5.6 лет.

Задача 4. Какую сумму надо вложить, чтобы при ежегодных вкла дах в 5000 руб. при 10% годовых накопить через 5 лет сумму в 500000 руб?

Решение.

Сумму первоначального взноса определяет функция PVAL. Синтак сис функции PVAL(i, n, p, {f|0}, {t|0}).

Первоначальный взнос составляет V := PVAL(10%/12, 12*5, -5000, 500000) результат 68567.30 руб.

MathCad Лабораторная работа № Начальные сведения.

Запустите Mathcad с рабочего стола либо из главного меню. На экране появится окно, которое в терминологии Windows называется окном прило жения, а для нас это окно Mathcad (рис. 1.1) — пространство, где размеще ны все требуемые инструменты и рабочий документ.

Рис 1.1.Окно Mathcad.

Верхняя строка окна — стандартная строка windows-приложения.

В ней приведено имя приложения — Mathcad, затем имя файла, в ко тором сохраняются результаты работы.

Все, что расположено ниже относится к среде пакета.

Главное меню. Работа с документами Mathcad обычно не требует обя зательного использования возможностей главного меню, так как основные из них дублируются кнопками быстрого управления. Панели (строки) с ними находятся под строкой главного меню. Их можно выводить на экран или уби рать с него с помощью соответствующих опций позиции View (Вид) главного меню Windows. Меню имеет набор стандартных для Windows-приложений пунктов: File (Файл), Edit (Редактирование), View (Вид), Format (Формат), Window (Окно), Help (Помощь) и специальные для Mathcad пункты: Insert (Вставка), Math (Математика), Symbolics (Символьные операции) (Рис. 1.2).

Рис 1.2. Строка меню Mathcad.

Третью строку окна системы занимает панель инструментов (Toolbox).

Она содержит несколько групп кнопок управления с пиктограммами, каж дая из которых дублирует одну из важнейших операций главного меню. Если остановить курсор мыши на любой кнопке, то появится текст, описываю щий ее действие.

Под панелью инструментов располагается панель форматирования, а также полоса кнопок, которая открывает палитру символов (Рис. 1.3). Лю бая из этих компонент может быть перемещена в произвольное место окна, выведена на экран либо скрыта.

Рис 1.3. Панель с кнопками управления файлами и форматирования текста.

Внизу экрана, кроме полосы горизонтальной прокрутки, расположена еще одна строка — строка состояния. В ней выводится служебная информа ция, краткие комментарии, номер страницы документа и др. Эта информация полезна для оперативной оценки состояния системы в ходе работы с нею.

Чтобы вывести панель математических инструментов (палитра сим волов), нужно в пункте меню View выбрать Math Pallete (Рис. 1.4).

Рис 1.4. Панель математических инструментов.

Математические операции в Mathcad разделены на группы, и каждая кнопка открывает доступ к определенной группе операций — щелчок по кнопке этой панели открывает другую, дополнительную панель (дополни тельную панель можно выбрать также зайдя в меню View в подменю Toolbars).

Меню Format предназначено для определения стиля и формы отобра жения выражений, данных, результатов вычисления и графиков в рабочем режиме — определение цветов фона и надписей, размера и типа шрифта, выравнивания текста в рабочем документе, разделение рабочего документа на области и др.

Для изменения масштаба изображения документа служит опция Zoom (Увеличение) и меню View. Она выводит окно со списком возможных масш табов.

Работа с областями: выделение (два способа), копирование, переме щение, выравнивание, удаление, отделение перекрывающихся областей (Separate Regions).

Работа с окнами: перемещение, изменение размеров, одновременное открытие до 8 окон (пункт меню Windows работает так же, как и в стандар тном Windows-приложении). Окно предварительного просмотра перед пе чатью: меню File — Print Preview или панель с кнопками управления фай лами и форматирования текста, кнопка.

Лабораторная работа № Основные понятия.

1. Примеры простых вычислений.

12 Вычислим арифметические выражения: 25 + и 25 +.

3 Щелкните мышью по любому месту в рабочем документе — в поле появится крестик, обозначающий позицию, с которой начинается ввод.

Введите с клавиатуры символы в следующей последовательности 25+12/3пробел= 25+12/4пробел=.

12 25 + = 29 25 + = 3 2. Определение переменной и ее значения, вычисление значений вы ражения содержащих эти значения.

at Вычислим следующие значения выражения при t = 5, a = 9. Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры a := 9.8, аналогично введите t := 5. Для ввода знака присвоения := нужно ввести лишь : (двоеточие). Далее введите a*t^2пробел/2=, щелкните по свободному месту вне поля ввода:

a t a := 9.8 t := 5 = 122. 3. Способ определения функции и вычисление ее значения в разных точках. Наберите с клавиатуры f(x):=x+1пробел/x^2пробел+1, это оп ределение функции. Для вычисления значения функции в точке, наберите с клавиатуры f(1.2)=, сразу после ввода знака равенства немедленно выво дится вычисленное значение функции при x = 1.2.

x+ f ( x) := f ( 1.2) = 0. x + Определим дискретное значение ар- x := 0, 1.. 10 f ( x) = гумента x [0,10] с шагом 1, щелкнув по свободному месту, введите с клавиатуры x := 0, 1..10, при этом для указания пос леднего значения диапазона (..10) следу- 0. ет ввести ;

10 (точку с запятой). Наберите 0. с клавиатуры f(x)=, в результате под име 0. нем функции появится таблица значений 0. функции.

4. Выбрав меню Insert пункт Text 0. Region '' можно написать пояснения или 0. комментарии к расчетам.

0. 5. Для вывода диалогового окна, в 0. котором помещены сведения о формате числовых данных системы, нужно выб- 0. рать меню Format пункт Number... (Фор мат числа). (Рис. 2.1) Это окно содержит три выделенные части. В первой — Radix — уста навливается тип основания чисел: Decimal (десятичное), Hex (шестнадца теричное) или Octal (восьмеричное). Шестнадцатеричные числа отмечают ся в конце символом «h», a восьмеричные — символом «о». Эти числа нахо дят применение в основном для описания адресной системы компьютеров.

Во второй части — Precision (точность) — задается погрешность вы числений в виде показателя степени n для числа 10 в этой степени. Задают ся: число отображаемых знаков Displayed (точность вывода), границы пред ставления чисел в экспоненциальной форме Exponential Threshold (диапа зон показателя), допустимая граница для комплексных чисел Complex Tolerance (комплексная точность) и допустимая граница для действитель ных чисел Zero Tolerance (точность нуля).

В третьей части — Imaginary (мнимая единица) — задается знак мни мой единицы для комплексных чисел i или j.

Рис 2.1.Окно Number Format.

Вывод массива чисел задается в виде матрицы, если поставить «га лочку» в прямоугольнике включения опции Display as Matrix (отображе ние в виде матрицы).

6. Построение двумерного графика для заданной функции.

Задайте функцию, набрав с клавиатуры g(z):=exp(–z^2), и щелкните мышью вне поля ввода. Щелкните по свободному месту в рабочем доку менте, затем по кнопке в панели математических инструментов и в открывшейся панели щелкните по кнопке.

Курсор установлен в помеченной позиции возле оси абсцисс. Введите с клавиатуры имя аргумента z. Затем щелкните по помеченной позиции возле оси ординат, введите с клавиатуры g(z) и щелкните вне прямоугольной рамки:

График получился невыразительным. Нужно определить промежуток ( 2) g ( z) := exp z 4.10 g( z ) 2.10 10 g( z ) 0. 0 10 0 10 2 0 z z изменения аргумента равным [–2, 2]. Для этого щелкните по полю графика, затем — по числу задающему наименьшее значение аргумента (число в ле вом нижнем углу ограниченного рамкой поля графика), нажмите на клави шу Backspace и введите с клавиатуры –2. Аналогично измените вторую границу — вместо числа в правом нижнем углу поля графика введите 2.

Щелкните мышью вне поля графика.

Позиция Graph подменю Format задает форматы графиков.

Рассмотрим операции X-Y Plot... (Формат декартовых графиков). Она выводит в центр текущего окна окно с опциями формата графиков 2D-типа (Рис. 2.3). Для изменения формата уже построенного графика необходимо выделить его. Выделенный график обводится сплошной линией с маркера ми его растяжения.

Диалоговое окно формата имеет панельный переключатель на четыре позиции:

X-Y Axes (X-Y Оси) — управление опциями осей;

Traces (Графики) — управление линиями графика;

Labels (Надписи) — управление метками (надписями) у осей;

Defaults (По умолчанию) — задание опций по умолчанию Рис.2.3 Окно Setting Default Formats for X-Y Plots.

В панели X-Y Axes содержатся следующие основные опции, относя щиеся к осям Х и Y (Axis X и Axis Y):

Log Scale (Лог. масштаб) — установка логарифмического масштаба;

Grid Lines (Линии сетки) — установка линий масштабной сетки;

Numbered (Пронумеровать) — установка цифровых данных по осям;

Autoscale (Авто масштаб) — автоматическое масштабирование графика;

Show Markers (Нанести риски) — установка делений по осям;

Auto Grid (Автосетка) — автоматическая установка масштабных линий;

Number of Grids (Число интервалов) — установка заданного числа масштабных линий.

Возможна также установка следующих опций координатных осей (Axes Style):

Boxed (Рамка) — оси в виде прямоугольника;

Crossed (Репер) — оси в виде креста;

None (Ничего) — отсутствие осей;

Equal Scales (Равные деления) — установка равенства масштабов по осям графика.

С помощью опций панели Traces (Графики) можно управлять следу ющими параметрами линий графика:

Legend Label (Имя кривой) — указание типа линий у оси ординат;

Symbol (Маркер) — выбор символа, который помещается на линию;

Line (Линия) — установка типа линий (сплошная, пунктирная и др.);

Color (Цвет) — цвет линий;

Type (Тип) — тип графиков;

Weight (Толщина) — толщина линий.

Еще две опции связаны с возможностью удаления с графика вспомо гательных надписей:

Hide Argument — прячет обозначения математических (Скрыть пе ременные) выражений по осям графика;

Hide Legend (Скрыть имена) — прячет обозначения имен кривых графика.

Панель меток Labels (Надписи) позволяет вводить в рисунок дополни тельные надписи. Эта панель появляется, если уже создан текущий график.

Панель Defaults (По умолчанию) служит для установки опций графи ков Change to Defaults (Вернуть значения по умолчанию) и Use for Defaults (Использовать для значений по умолчанию). Установленные и зафиксиро ванные опции используются в дальнейшем при построении графиков функ ций одной переменной.

Лабораторная работа № Настольный справочник. Редактирование формул.

1. Выделение выражений: стрелки;

пробел;

мышь. Понятие наивыс шего оператора.

2. Средства редактирования: крестообразный курсор (определяет об ласть, где будет происходить ввод выражения);

маркер ввода (определяет позицию редактирования выражения).

3. Замена выражения — меню Edit — Replace (или клавиши Shift+F5). Вставка выражения: запомните выделенное выражение — меню Edit — Copy (или клавиши Ctrl+C), затем выберите место вставки и скопируйте выражение — меню Edit — Paste (или клавиши Ctrl+V).

Вставка в выражение: клавиша Insert определяет куда, в начало или в ко нец выражения, будет происходить вставка;

удаление оператора — меню Edit — Delete (или клавиши Ctrl+D). Вставка и удаление скобок: вы делите в формуле выражение, которое нужно заключить в скобки и нажми те ', для удаления скобок достаточно удалить одну из них. Все эти дей ствия продемонстрируйте на примерах.

4. Освойте перемещение частей выражения;

использование клавиату ры;

меню;

технику перетащить и отпустить (щелкните мышью на выраже ние, которое хотите перенести, поместите курсор на край появившейся рам ки, появится рука, зацепите мышью, перенесите в нужное место и отпусти те). Отключение выражений: щелкните мышью по нужной формуле, зайди те в меню Format — Properties — Calculation и поставьте галочку напро тив Disable Evaluation.

5. Откройте пункт Resource Center из меню Help.

Освойте кнопки панели управления (они как в стандартном windows приложении). Например: кнопка возвращает на главную страницу, кноп ка выводит окно Search Book, которое осуществляет поиск по надписи, которую вы введете в строке Search for и т. д.

Выберите Reference Table (Настольный справочник). Найдите раз дел Geometry Formulas, и выберите Areas and Perimeters.

Освоим технику переноса информации из справочника в рабочий документ.

Для этого выделите нужную часть в справочнике мышью и запомните его Ctrl+Insert, затем войдите в рабочий документ, щелкните мышью в то место, куда вы хотите вставить фрагмент и нажмите Shift+Insert.

Например, перенесите в рабочий документ Example 2 из раздела Triangle (треугольник), попробуйте изменить параметры (измените длины сторон треугольника, единицы измерения (вместо in — cm) и пересчитайте резуль таты расчета формул).

Example 2: Find the area and perimeter of a triangle given the lengths of the sides, a, b, and c.

a 25 m b 40 m c 30 m Semiperimeter s := ( a + b + c) Heron's formula:

Area := s ( s a) ( s b) ( s c) Find the perimeter.

Perimeter := a + b + c Perimeter = 95 m 7. Выполните задание: посчитайте радиусы, площади вписанной и описанной окружностей в треугольник со сторонами a, b, c, где a = 4 м., b = 4,67 м., c = 3,95 м. Также посчитайте площадь треугольника. (Под сказка: в меню Help пункте Resource Center выберите Reference Table, найдите раздел Geometry Formulas, и выберите Areas and Perimeters).

Все вычисления должны быть оформлены пояснениями.

8. Задание: постройте график функции f(x) = 2sin(3x) и, изменяя пара метры, проследите изменения на графике.

Лабораторная работа № Форматирование результатов. Уравнения и вычисления.

1. Вычислите [(2^5-23)/7]*1000. Откройте меню Format — Number...

(или клавиши Alt+O+N, или двойной щелчок мыши по полученно му значению). Освойте: изменение основания счисления (десятичное, дво ичное, восьмеричное, шестнадцатеричное) (Radix);

выбор символа для отображения мни- мой единицы (i или j) (Imaginary);

нули в кон- 2 23 1000 = 1.286 це (Zero Tolerance);

выводимая точность (Displayed Precision);

экспоненциальное пред ставление числа (Exponential Threshold);

локальный и глобальный формат (Set as worksheet default).

2. Подсветка выражений: меню Format — Properties — Display и по ставить галочку напротив Highlight Region, затем выбрать цвет Choose Color.

3. Определение и вставка функций.

Научитесь задавать функции простым набором с клавиатуры (с помо щью клавиши Shift+ :) и, используя меню Insert — Function... (или клавиши Ctrl+F).

2 Задайте функцию dist(x,y):=\(x^2+y^2): dist ( x, y ) := x + y Вычислите dist(3,4).

4. Освойте локальные (с помощью клавиши Shift+ :) и глобаль ные (с помощью клавиши Shift+ ~) определения переменных:

R := 0.3 S 3. 5. Преобразование математических выражений.

2 9 x 9 x Упростите выражение 1 + 1 +1.

3x 1 3x + В меню Symbolics выберите Evalution Style и укажите вывод резуль татов по горизонтали (Horizontally). Введите выражение, зайдите в меню Symbolics и щелкните Simplify (упростить).

1 + 2 1 9x 9x + 1 3 x 3x 1 3x + 6. Раскройте скобки и приведите подобные в выражении x ( z + 1) 2 z ( x + z ).

Используйте меню Symbolics — Expand (развернуть).

2 2 x ( z + 1) 2z ( x + z) x z + x 2 z 7. Разложите на множители выражение a 2b + ab 2 + 2abc + b 2 c + a 2 c + ac 2 + bc 2.

Используйте меню Symbolics — Factor (разложить на множители).

2 2 2 2 2 a b + a b + 2 a b c + b c + a c + a c + b c ( b + c ) ( c + a) ( a + b ) 8. Разложите на простейшие дроби рациональную дробь x 2 3x + (x + x + 1).

( x 1) 2 Выделите переменную x и щелкните Symbolics — Variable — Convert to Partial Fraction.

x 3x + 7 1 ( 11 + 8 x) 5 + ( ) ( ) 3 ( x 1) 2 2 ( x 1) x + x + 1 3 ( x 1) x + x+ 9. Копирование чисел из таблицы вывода.

Задайте дискретные переменные i и j следующим образом (с помо щью клавиши :):


i := 0.. 9 j := 0.. 9 := ( i + j) x i, j Выведите таблицу x. Скопируйте часть ее: для этого щелкните один раз мышью по получившейся таблице и, держа клавишу мыши нажатой, выдели те нужную часть, сохраните ее и вставьте в свободном месте страницы.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 1 1 4 9 16 25 36 49 64 81 2 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 9 16 25 36 49 64 81 100 121 x= 4 16 25 36 49 64 81 100 121 144 5 25 36 49 64 81 100 121 144 169 1 4 6 36 49 64 81 100 121 144 169 196 c := 4 9 7 49 64 81 100 121 144 169 196 225 8 64 81 100 121 144 169 196 225 256 9 16 9 81 100 121 144 169 196 225 256 289 Возведите полученную таблицу в квадрат (возведение в степень: ^).

98 184 c = 184 353 298 580 10. Изучите автоматический и ручной режимы вычислений (меню Math). Рассмотрите отключение выражений (поставьте галочку в меню Format — Properties — Disable Evaluation):

25 R := S := R=5 S = 3. 5 11. Переменные и константы, ограничения на имена переменных (что бы они не совпали с именами функций), ввод греческих букв: с помощью панели инструментов — кнопка, и с клавиатуры — поставьте курсор после набранного символа, который хотите сделать греческим, и нажмите Ctrl+G Рассмотрите предопределенные переменные:, e и другие:

= 3.142 e = 2.718 = 1 10 i=i j=i % = 0. TOL = 1 10 ORIGIN = 0 PRNPRECISION= 4 PRNCOLWIDTH = Лабораторная работа № Векторы и матрицы.

1. Векторы и матрицы. Создайте вектор А, состоящий из трех элемен тов, и матрицу В размером 3x3 (с помощью 1 1 3 2 панели инструментов, меню Insert — A := 2 B := 3 2 1 Matrix..., или клавиатуры 1 0 3 — клавиша Ctrl+M):

3 2 1 3 Изменение размеров мат B := 3 0 2 рицы. Вставьте в матрицу 2 0 1 В еще один столбец, между первым и вторым столбцами, не создавая новой матрицы:

1 0 2 Удалите из получившейся матрицы третий столбец и вто B := рую строчку одновременно:

2 0 3 2. Освойте нижние (клавиша [) и верхние (клави ша Ctrl+6) индексы.

При использовании нижних индексов можно определить отдельные элементы массива.

A0 = B0, 0 = B0, 2 = Чтобы обратится ко всему столбцу массива, используется верхний индекс.

1 0 B =3 B = 2 3. В системе Mathcad существуют буквенные индексы. Если помес тить точку в имени переменной, то всё следующее за ней отобразится как буквенный индекс. Можно использовать эти буквенные нижние индексы для создания переменных с именами подобными:

BOXdlina := 2 BOXshirina := 3 BOXvisota := Буквенные нижние индексы и нижние индексы массива различны.

Буквенный нижний индекс, созданный печатанием точки, является только частью имени переменной, когда нижний индекс массива осуществляет ссыл ку на элемент массива.

4. Векторные и матричные операторы. Арифметические операции.

— Детерминант (определитель) считается при помощи панели мате матических инструментов кнопки |X|, или Symbolics — Matrix — Determinant;

— Транспонирование — при помощи кнопки MT, или Symbolics — Matrix — Transpose;

— Cтепень — стандартным средством Mathcad (Shift+6);

— Обращение (обратная матрица) — при помощи Symbolics — Matrix — Invert;

— matrix(m, n, f) — создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой расположенный в i-ой строке, j-м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x,y):

ORIGIN:= 1 0 1 2 A = 1 2 3 f ( x, y ) := x + y A := matrix 3, 4, f ) ( 2 3 4 — identity(n) — создает единичную матрицу порядка n;

— diag(v) — создает диагональную матрицу, элементы главной диаго нали которой хранятся в векторе v;

1 1 0 0 1 0 0 2 0 2 0 E := identity ( 3) E = 0 1 0 v := diag ( v ) = 3 0 0 3 0 0 1 4 0 0 0 — last(v) — вычисление номера последней компоненты вектора v;

— length(v) — вычисление количества компонент вектора v;

— rows(A) — вычисление числа строк в матрице А;

— cols(A) — вычисление числа столбцов в матрице А;

— max(A) — вычисление максимального элемента матрицы А;

— min(A) — вычисление минимального элемента матрицы А;

— tr(A) — вычисление следа квадратной матрицы А;

— rank(A) — вычисление ранга матрицы А;

n — norm1(A) — норма A 1 = max aij квадратной матрицы A;

j i = — norm2(A) — норма A 2 = max ( AAT ) квадратной матрицы А где max ( AA ) — максимальное собственное значение матрицы AAT;

T n — normi(A) — норма A i = max aij квадратной матрицы А;

i j = n n a — norme(A) — норма A e = квадратной матрицы А.

ij i =1 j = — eigenvals(A) — вычисление собственных значений квадратной мат рицы А;

min( A ) = 0 max( A ) = 5 last ( v) = 4 length ( v) = 4 rows( A ) = 3 cols ( A) = tr( B) = 11 rank( B) = 4 norm1( B) = 21 norm2( B) = 18.502 normi( B) = — eigenvecs(A) — вычисление собственных векторов квадратной мат рицы А, значением функции является матрица, столбцы которой есть соб ственные векторы матрицы А, причем порядок следования векторов отвеча ет порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);

— eigenvec(A, l) — вычисление собственного вектора матрицы А, от вечающего собственному значению l;

1 2 3 0.625 0.76 0.415 5. 0 1 2 eigenvecs ( C) = 0.321 0.611 0.432 eigenvals ( C) = 0. C := 3 4 1 0.711 0.222 0.801 2. Задание: посчитайте определитель, обратную матрицу, собственные значения, собственный вектор для любого собственного значения и осталь ные функции, описанные в этом задании для матрицы М и вектора m.

1 0.5 1.5 3 0.3333 1 0. M := m := 1.5 0.3333 0.5 1.2 3 Все вычисления оформлять описаниями и пояснениями.

6. Решение линейной системы уравнений. Решим систему алгебраи ческих уравнений (1) по формуле Крамера:

x + 2x + 3x + 4x x x +x 30 1 2 3 4 2 3 ( 1) x + 2 x 3 x + 4 x x +x +x +x 10 1 2 3 4 1 2 3 Эту систему можно записать в матричной форме Ax = b, где А — мат рица системы, b — столбец правых частей системы, x — вектор-столбец неизвестных.

Справедливо следующее утверждение. Если определитель = detA матрицы системы Ax = b отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера xi = i /, где i — определи тель матрицы, полученный из матрицы системы заменой i-го столбца стол бцом правых частей.

1 2 3 4 1 2 3 4 A := b := := A = 0 1 1 1 1 1 1 1 ORIGIN:= T := A A := b 1 := A 1 = A := T A := b 2 := A 2 = A := T A := b 3 := A 3 = A := T A := b 4 := A 4 = 1 x1 := x1 = 1 x2 := x2 = 3 x3 := x3 = 3 x4 := x4 = 7. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формуле Кра мера решение системы Ax = b, где:

0.005 0.004 0.15 0 0. 0.09 0.033 0.0067 0.098 0. A := b := 0.15 0.033 0.05 0 0. 0. 0. 2.857 0.1 0. 8. Если матрица системы невырожденная, то у нее существует обратная матрица, и тогда решение системы Ax = b можно получить в виде: x = A–1b.

Решим систему (2) (2) y 1 + 2y 2 + 3y 3 y 1 3y 2 + 2y 3 y1 + y2 + y3 Проделайте следующее:

1 2 3 7 A := 1 3 2 b := 5 y = y := A b 1 1 1 3 Проверка: A y b = 0 т. е. система решена правильно.

Найдем решение при помощи функции lsolve и сравним результаты вычислений:

lsolve ( A, b ) = Лабораторная работа № Векторы и матрицы (продолжение).

1. Матричные операторы:

— augment(A, B) — формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, в последних — матрица В (матрица А и матрица В должны иметь одинаковое число строк);

— stack(A, B) — формирует матрицу, в первых строках которой со держится матрица А, в последних — матрица В 0123 1 2 3 4 A := B := 2 3 4 5 5 6 7 1233 4890 stack ( A, B) = 01231233 augment ( A, B) = 2 3 4 5 5 6 7 8 12334890 (матрица А и матрица В должны иметь одинаковое число столбцов);

Оператор векторизации (устанавливается с помощью клавиш Ctrl+–).

Введите матрицу В такой же размерности как и матрица А, перемножьте их обыкновенным способом и применяя оператор векторизации.

1 0 0 1 2 3 1 4 9 B := 0 2 0 A := 1 3 2 A B = 1 6 6 0 6 ( A B) = 0 0 3 1 1 1 1 2 3 0 0 Исследуйте использование скалярных операторов (+, –, *, и т. д.) и функций (sin, cos, и т.д.) с массивами:

0.841 0 0 0.909 0 1 1 sin ( B) = ( A + B) = 0 0.141 1 1 Пример: Вычислим (используя клавиши Crtl+–) корень из мат рицы А.

1 1.414 1. 1 1.732i 1. A= 1 1 Задание: Вычислите для матрицы М — sin(M), cos(M), tg(M), ctg(M), (используйте Ctrl+–).

0.091 0.059 0.182 0. 0.409 0.441 0.318 0. M := 0.273 0. 0.169 0. 0.333 0.367 0.227 0. 3. Составные массивы.

В MathCad имеется возможность создавать массивы, элементами кото рых являются также массивы. Эти массивы ведут себя во многом схоже с массивами, чьи элементы — скаляры. Однако имеются некоторые различия:

а). Нельзя использовать команду меню Matrix, чтобы вставить массив в поле, которое уже находится внутри массива.

b). Нельзя отобразить весь составной массив. Определённая ячейка массива укажет какой массив в ней находится.

с). Большинство математических операторов и функций не имеет смыс ла по отношению к составным массивам.

Задайте составной массив используя дискретный аргумент (первый m := 0.. 3 n := 0.. способ):

M m, n := identity ( m + 1) При отображении составного массива не показываются элементы в каждом вложенном массиве, т.к. это было бы очень громоздко. MathСad ука зывает число строк и столбцов вложенного массива. Это удобно для хране ния и доступа к данным.

{1,1} {1,1} {1,1} {1,1} {2,2} {2,2} {2,2} {2,2} M= {3,3} {3,3} {3,3} {3,3} {4,4} {4,4} {4,4} {4,4} Для отображения элементов составного массива введите:

1 0 M2, 2 = 0 1 M0, 0 = ( 1 ) 0 0 Введите составной массив через команду Matrix (второй способ):

1 u u := V := v := ( 2 4 ) 2 v {2,1} Отобразите массив V: V = {1,2} и его элементы: V0 = V1 = ( 2 4 ) Задайте составной массив поэлементно (третий способ):

B0 := 1 B1 := identity ( 2) B2 := ( B0 2 w ) w := ( 3 5 ) Массив B содержит элемент B2, который является сам составным мас сивом. Отобразите массив и его элементы:

B = {2,2} {1,3} 1 ( B2)0, 2 = ( B0 = 1 B1 = B2 = ( 1 2 {1,2} ) 5) 0 Как видно, каждый элемент массива отображается либо как:

a) Число, когда элемент массива — просто число b) Упорядоченная пара (m, n), где m и n — число строк и столбцов в массиве, являющимся данным элементом.


Задание: примените функции augment(A, B) и stack(A, B) для состав ных массивов, а так же выполните транспонирование и примените верхний индекс.

Лабораторная работа № Итерационные и рекурсивные вычисления.

1. Использование дискретных аргументов для выполнения многократ ных вычислений.

Простейший вид многократных вычислений в Mathcad — простое обобщение скалярных вычислений. Вычисление выполняется над диа-па зоном значений.

Постройте список значений x и y для точек кривой r = 2 + q (спираль Архимеда) для q от 0 до 2, разбивая интервал на N частей (N = 20).

Способ 1.

2i N := 20 i := 0.. N q i := ri := 2 + q i N xi := ri cos ( q i) y i := ri sin ( q i) Полярная система Декартова система 120 150 4 r y 180 0 210 240 10 5 0 5 q x Вычислите q, r, x, y для каждого значения дискретного аргумента i.

Способ 2. Использование функций позволяет избежать применение индекса.

Определите функции:

r( q ) := 2 + q x( q ) := r( q ) cos ( q ) y ( q ) := r( q ) sin ( q ), Для вычисления r, x, y необходимо определить аргумент q, например:

q := 0,.. 2. Выведите значения функций.

N Способ 3. Использование оператора векторизации (самый быстрый способ):

Используя векторную запись, так же удаётся избежать применение нижнего индекса. Оператор векторизации предписывает применять опера торы и функции в их скалярном значении к каждому элементу массива.

2 i N := 20 i := 0.. N q i := r := ( 2 + q ) N x := ( r cos ( q ) ) y := ( r sin ( q ) ) Вычислите q, r, x, y Задание: рассмотрите все три способа для создания кардиоиды r = cos(q) + 1.

2. Рекурсивные вычисления.

Рекурсивные вычисления применяются, например, для решения ко нечно-разностных уравнений. В рекурсивных вычислениях определяется первый элемент массива, а затем по рекурсивным формулам вычисляются последующие элементы через предыдущие.

Пример рекурсивного вычисления. Нахождение кубического корня из числа а.

Предварительно определите дискретный аргумент i, и начальное при ближение x0:

i := 0.. 20 a := 695 x0 := a Вычислите новое приближение через предыдущее по формуле:

1 a xi + xi+ 1 := x20 = 8.858 a = 8. 3 xi Процесс продолжайте, пока не получите значение 8.858.

Выведите последовательные приближения, с точностью до 4-го знака.

p Задание: Для заданных a и p вычислить x = a по рекурсивному со 1 a ( p 1)xn + p 1 ;

x0 = a.

отношению Ньютона: xn +1 = p xn Лабораторная работа № Суммирование и произведение. Производные и интегралы.

1. Способы суммирования и умножения в MathCad.

Знак суммы можно поставить с помощью панели инструментов — Calculus, или клавишами Ctrl+Shift+4. Знак произведения так же можно поставить с панели инструментов, или клавишами Ctrl+Shift+3.

Пример: просуммируйте 1) n от 0 до 20;

2) nm для n от 0 до 10 и m от до 20;

3) перемножьте (n + 1) для n от 1 до 20 10 20 (n + 1) = 5.109 m 20 n = 210 = 1.262 n =0 =0 =0 = n n m n 2. Задание: задайте n := 0..10, xn := sin(0.1 n ) и просуммируйте по n от 0 до 10.

3. Исследуйте обобщение оператора суммирования с помощью кла виш Shift+ 2 = 14 i = i := 1.. 2 2 + i i 4. Суммирование элементов вектора производится с помощью клавиш:

Ctrl+ v := v = 5. Производные.

Для того, чтобы вычислить производную функции y(z) := z3, нажмите Shift+/, введите имя функции и переменной в помеченных позициях, выделите выражение и нажмите Ctrl+.

d y ( z) 3 z dz Производные высших порядков считают с помощью клавиш Ctrl+Shift+/. Введите имя функции, переменной и степень в поме ченных позициях, выделите выражение и нажмите Ctrl+.

d y ( z) 6 z dz 7. Интегралы.

Для вычисления интеграла используйте панель инструментов — Calculus, или клавиши Shift+7. Для вычисления определенного интег рала от sin2(z) на отрезке [0, /4], нажмите Shift+7, заполните помечен ные позиции, далее выделите выражение и нажмите =, затем попробуйте вместо = нажать Ctrl+..

f ( x) d x 2 + 1 ln( 2 2) + 1 ln( 2) f ( x) := cos ( x) ( 1 + cos ( x) ) 0 8. Двойные интегралы (два раза нажмите комбинацию клавиш Shift+7):

5 sin ( z) cos ( q ) d q d z 1 cos ( 1) 3 1 3 5 1 1 0 2 8 9. Задание: найдите центр масс треугольника –1 x 0;

0 y –x, если плотность = x 2 + y 2.

Лабораторная работа № Решение уравнений.

1. Решение уравнений.

2. Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численны ми методами с заданной погрешностью (не более значения, заданного сис темной переменной TOL). Для простейших уравнений вида F(x) = 0 реше ние находится с помощью функции rооt(F(x), x).

Эта функция возвращает значение переменной с указанным уровнем, при котором выражение дает 0. Функция реализует вычисления итерацион ным методом, причем можно задать начальное значение переменной. Это особенно полезно, если возможны несколько решений. Тогда выбор реше ния определяется выбором начального значения. Приведём пример: вычис ления корней кубического полинома с применением функции root.

Коэффициенты полинома:

a3 := 1 a2 := 6 a1 := 21 a0 := Задание полинома:

3 F( x) := a3 x + a2 x + a1 x + a Вычисление действительного корня:

x := 0 root ( F( x), x) = Вычисление двух других (комплексных) корней:

x := 2i root ( F( x), x) = 1 + 3.464i x := 2i root ( F( x), x) = 1 3.464i Заметим, что для поиска корней полинома р(х) степени n MathCad имеет функцию: polyroots(V). Она возвращает вектор корней многочлена (поли нома) степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющего длину n + 1. Однако не рекомендуется пользоваться этой функцией, если степень полинома выше пятой-шестой, так как тогда трудно получить ма лую погрешность вычисления корней. Приведём пример вычисления кор ней кубического полинома с применением функции polyroots.

Пример: k3 – 10k + 2 = 0.

3. s := polyroots 0.201 s= k := s 0 k 10k + 2 = 5.358 3. Имеется возможность просмотреть с увеличением отдельные фраг менты графика (инструмент лупа). Она реализуется с помощью кнопки на панели математических инструментов, — X-Y Zoom, которая вы водит информационное окно, показанное на рис. 9.1.

Рис 9.1.Окно X-Y Zoom.

Перемещением мыши с нажатой левой клавишей можно выделить определенную часть графика. При этом минимальная и максимальная коор динаты по осям Х и Y отображаются в данном окне (рис. 9.1). После этого можно реализовать три варианта просмотра:

Zoom (Увеличение) — просмотр вырезанного участка;

Unzoom (Отмена увеличения) — отмена просмотра вырезанного участка;

Full View (Полный обзор) — полный просмотр.

4. Еще одной возможностью при работе с 2D графиками является при менение специального графического маркера в виде двух перекрещиваю щихся пунктирных линий (кросс координаты). Они появляются при помо щи — X-Y Trace. При этом появляется окно, показанное на рис 9.2.

Рис 9.2.Окно X-Y Trace.

При выключенной опции Track Data Points (перемещение по точкам данных) маркер свободно перемещается по графику. При этом его координа ты отображаются в окне этой опции. Поместив маркер на какую-либо интере сующую точку графика, можно примерно определить ее координаты.

Предусмотрен режим слежения за кривой графика. Он реализуется включением опции Track Data Points. При этом перемещение маркера про исходит по кривой графика, и можно легко установить его точно на любую точку этой кривой.

5. Решение системы уравнений и неравенств.

При решении систем нелинейных уравнений используется специаль ный вычислительный блок.

В блоке используется следующая функция:

find(v1, v2,..., vn ) — возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения;

Функция find может использоваться для решения одного или ряда урав нений. Пример ниже, показывает решение уравнения x2 = 3 при достаточно грубом начальном приближении.

x := 10 Given Find( x) = 1. x Решим другую задачу — поиск точек пересечения параболы y = x2 c отрезком прямой y = 8 + 3x. В этом случае с помощью функции find решает ся система из двух уравнений с дополнительными условиями, задающими область поиска корня (x 0 для отрицательного корня и х 0 для положи тельного):

Найдём первое решение:

График показывает, что парабола y = x2 c прямой y = 8 + 3x пересека ются в двух точках при x около –1.7 и 4.8.

Ищем первое решение при начальных приближениях x = 0, x y = 0 и ограничении x 0, соот 8+ 3x ветственно второе решение при 5 0 начальных приближениях x = 3, y = 0 и ограничении x 0.

10 6 x 1. x2 Find( x, y ) = x := 0 y := 0 Given 8 + 3x x y y 2. 4. x2 Find( x, y ) = x := 3 8 + 3x x Given y y 22. Лабораторная работа № Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Рассмотрим возможности Mathcad, предназначенные для численного решения:

— задачи Коши для систем ОДУ первого порядка;

— задачи Коши для ОДУ высших порядков;

— исследование поведения фазовых траекторий вблизи особых точек;

— краевых задач для ОДУ высших порядков.

1. Решение задачи Коши для нормальной системы дифференциаль ных уравнений первого порядка.

Задача Коши в векторной форме записывается в следующем виде:

(1) Y = D(x,Y), Y(x1 ) = Y0, где Y(x) = (y1(x),y 2(x),,y n(x)) — искомая 00 вектор-функция, Y0 = (y1,y 2,, y n ) — вектор начальных условий, D(x,Y) = (f1(x,y1, y n ),f 2(x,y1, y n ),,f n(x,y1, y n )) — заданный вектор правых частей, x — независимая переменная.

Задача Коши (1) может быть решена в Mathcad численно с помощью функции rkfixed(Y0, x1, x2, npoints, D), методом Рунге-Кутта с постоянным шагом. Смысл параметров данной функции следующий: Y0 — вектор на чальных условий из (1);

x1, x2 — начальная и конечная точки интегрирова ния;

npoints — число узлов на отрезке, с концами x1 и x2;

D — имя вектор функции правых частей. Функция rkfixed возвращает матрицу, количество строк которой равно npoints + 1, первый столбец содержит координаты уз лов сетки x1, …, xnpoints + 1, остальные столбцы — вычисленные приближен ные решения y1, …, yn.

Пример 1. Найти на отрезке [0, ] приближенное решение уравнения y = cos(5x y), удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0.5 и построить график найденного решения (использовать rkfixed(...)).

Указание. Присвойте переменной ORIGIN значение 1, чтобы нумера ция компонент вектора начиналась с единицы. При решении задачи Коши для уравнения первого порядка вектор решения Y имеет единственную ком поненту y1. Вектор правых частей также содержит одну компоненту. Перед обращением к функции rkfixed присвойте переменной у01 (1 – это индекс, ставится при помощи клавиши [) начальное значение 0.5, а переменной D(x,y) — выражение для правой части уравнения — cos(5x y). Выполните присвоение:

Y := rkfixed(y0, 0,, 20, D), где y0 — вектор начальных условий;

x1 = 0, x2 = — начальная и конечная точка интегрирования системы;

npoints = — число узлов на отрезке [0, ];

D — имя вектор-функции D(x, y). Построй те график решения, для этого выберете панель Graph, щелкните на кнопке и введите в качестве переменной на оси абсцисс Y1 (столбец коорди нат узлов сетки), а на оси ординат Y2 (столбец значений решений в узлах сетки). Чтобы ввести номер столбца, используйте клавиши Ctrl + ^. Ниже на рис. 10.1 приведен фрагмент рабочего документа MathCad, содержащий ре шения задачи.

Y := rkfixed( y0, 0,, 60, D) D( x, y ) := cos ( 5x y 1) ORIGIN:= 1 y01 := 0. 2 0. Y 0 1 2 3 Y Рис. 10. Задание 1. Найти на отрезке [0, 3] численное решение задачи Коши на сетке из 50 узлов методом Рунге-Кутта. Построить графики найденных ре шений.

y1 = y2 + sin( x y3 ) y1 (0) = y2 = y1 y 2 ( 0) =, y = y y y (0) = 3 3 2. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения n- го по рядка.

Задача Коши состоит в отыскании функции y(x), удовлетворяющей уравнению и начальным условиям следующего вида:

, y ( n 1) ) y ( n ) = f ( x, y, y, (2) y ( n 1) ( x1 ) = y 0 n y( x1 ) = y 02, y ( x1 ) = y 01,, Задача Коши (2) для дифференциального уравнения n-го порядка стан дартным образом сводится к задаче Коши вида (1) для эквивалентной нор мальной системы ОДУ первого порядка. Действительно, обозначив yk ( x) = y ( k 1) ( x), yn ( x) = y ( n 1) ( x), y2 ( x) = y( x), (3) y1 ( x) = y ( x),,, получим задачу Коши для системы ОДУ, решение которой описано выше y1 = y 2, y1 ( x1 ) = y 01, y 2 = y3, y 2 ( x1 ) = y 0 2, y = y, n 1 y n ( x1 ) = y 0 n.

n y n = f ( x, y1, y 2,, y n 1) ) Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравненения второго порядка. Найти на отрезке [0, 3] приближенное решение уравнения y'' = exp(–0.1 x y), удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y '(0) = 1, и построить график найденного решения.

Сведем решение задачи для уравнения второго порядка к задаче для эквивалентной нормальной системы второго порядка. Обозначим y1(x) = y(x) и y2(x) = y '(x), получим систему:

y = y2, y1 (0) = 1, y2 = exp( 0.1 x y1 ) y2 (0) = Ниже на рис. 10.2 приведен фрагмент рабочего документа MathCad, содержащий решения данной задачи на сетке из 20 равностоящих узлов:

1 D( x, y ) := y Y0 := ORIGIN:= 1 Y := rkfixed Y0, 0, 3, 20, D) ( exp( x y 1 0.1) 1 2 Y 0 1 2 Y Рис. 10. Задание 2. Найти на отрезке [0, 5] приближенное решение уравнения y'''' – 2 k y'' + k2 y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y'(0) = 1, y''(0) = 2, y'''(0) = 3, и построить график найденного решения.

3. Особые точки дифференциальных уравнений.

Особой точкой системы y1 = P ( y1, y2 ) y = Q( y1, y2 ) называется такая точка, в которой P(y1, y2 ) = 0, Q(y1, y2 ) = 0.

Пример 3. Определить тип особой точки и изобразить несколько фа зовых траекторий системы ОДУ:

y '1 = 2y1 + y2, y '2 = y1 – 3y2.

Ниже на рис. 10.3 приведен фрагмент рабочего документа MathCad, содержащий решения данной задачи.

Задание 3. Определить тип особой точки и изобразить несколько фа зовых траекторий системы ОДУ: y '1 = –4y1 – 4y2, y '2 = 1.5y1 + y2.

4. Краевые задачи.

Возможности MathCad для решений краевых задач рассмотрим на сле дующем примере:

На отрезке [x1, x2] требуется найти решение дифференциального урав нения y = f ( x, y, y), x1 x x2, (4) 2 1 eigenvals ( A ) = 2. A := ORIGIN:= 1 3 3. Собственные значения действительные и разных знаков, следовательно, особая точка неустойчивое седло. Найдем решения при различных начальных условиях и построим соответствующие фазовые траектории.

2 y 1 + y D( x, y ) := x1 := 0 x2 := 10 h := 0. y1 3 y 0. Y1 := rkfixed Y0, x, x, 200, D Y0 := 0. ( 12 ) ( ) Y0 := Y5 := rkfixed Y0, x1, x2, 200, D 1.6 2. 0. 0.35 Y2 := rkfixed Y0, x1, x2, 200, D) Y0 := ( ( ) Y0 := Y6 := rkfixed Y0, x1, x2, 200, D 2 2. 0. 0.35 Y7 := rkfixed Y0, x, x, 200, D Y3 := rkfixed Y0, x1, x2, 200, D) Y0 := ( ( 12 ) Y0 := 2.5 1. 0. 0. Y4 := rkfixed Y0, x1, x2, 200, D) Y0 := ( Y8 := rkfixed Y0, x1, x2, 200, D) ( Y0 := 2 1. Y 3 Y Y Y 3 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 Y Y Y7 Y 2 2 2 2 2 2 2, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6, Y7, Y Y Рис.10. удовлетворяющее следующим краевым условиям:

y ( x1 ) = y0, y ( x2 ) = y1. (5) MathCad дает возможность решения краевой задачи (4), (5) методом стрельбы, сущность которого состоит в сведении краевой задачи к реше нию задачи Коши: из граничной точки x1 выпускаются всевозможные тра ектории решений и из них выбирается та, которая принимает заданное зна чение в граничной точке x2.

Для нахождения недостающего начального условия в точке x1 следует использовать функцию Sbval (v, x1, x2, D, load, score). Далее задачу Коши нужно решать способом, описанном в п.2.

Sbval (v, x1, x2, D, load, score) — возвращает вектор, содержащий недо стающие начальные значения в точке x1.

v — вектор предположений для начальных приближений для иско-мых недостающих значений в точке x1.

x1, x2 — граничные точки интервала, на котором ищется решение диф ференциального уравнения.

ORIGIN:= Преобразование краевой задачи.

d y d2 3 y y ( 1) 1 y ( 2) 0. d x2 2 y dx x1 := 1 x2 := 2 Граничные точки.

v 0 := 0.5 Начальное приближение для y' (1).

1 Известное значение y(1) ( ) load x1, v := Неизвестное значение y' (1), которое будет найдено.

v0 y1 D( x, y ) := 3 ( y 1) 2 Вектор правых частей исходного уравнения 2 y ( ) score x2, y := y 0 Разность между вычисленным и заданным значениями ( ) S := sbval v, x1, x2, D, load, score Вычисление недостающего значения Решение задачи Коши с полным набором начальных условий ( ) Y0 := Y := rkfixed Y0, x1, x2, 20, D S График точного и 1 приближенного решения уравнения Y 0. x 1 1.5,x Y Рис.10. D(x, y) — вектор-функция из n элементов, содержащая первые произ водные неизвестных функций.

load(x1, v) — вектор-функция, состоящая из начальных условий в точ ке x1. Некоторые значения будут константы, соответствующие заданным на чальным условиям. Другие будут неизвестны в начале, но будут найдены sbval.

score(x2, y) — вектор-функция, каждый элемент которой есть разность между граничным условием в точке x2 и значением искомого решения. Век тор score показывает, насколько значения найденного решения в точке x близко к граничному условию в точке x2.

3 y Пример 4. На отрезке [1, 2] найти решение уравнения: y =, 2 y удовлетворяющее краевым условиям: y(1) = 1, y(2) = 0.25.

Выше на рис. 10.4 приведен фрагмент рабочего документа MathCad, содержащий решения данной задачи.

Задание 4. На отрезке [0, /3] найти решение уравнения:

3 y y = + 2 y, удовлетворяющее краевым условиям: y(0) = 1, y(/3) = 0.25.

2 y Лабораторная работа № Символьные вычисления.

1. Ключевое слово assume предписывает рассматривать переменную как неопределенную, даже если ей присвоено выше некоторое значение.

2. Упрощение выражений. Используйте меню Symbolic — Simplify.

Пример. Упростить выражение:

— (x2 – 3x – 4)/(x – 4) + 2x – 6;

— exp(2 ln(a));

— 3i3 + (1 + i)2 (для ввода мнимой единицы следует ввести 1i);

— 30!

x 3x 4 2 + 2x 6 exp( 2 ln( a) ) 3 i + ( 1 + i) x 3 x 5 3 + 2 i a 30! 3. Разложение выражения по степеням. Используйте меню Symbolic — Expand.

Пример. Разложить: (x + y)4;

cos(5x).

4 4 3 2 2 3 (x + y) x + 4 x y + 6 x y + 4 x y + y 5 16 cos ( x) 20 cos ( x) + 5 cos ( x) cos ( 5x) 4. Разложение на множители. Используйте меню Symbolic — Factor.

Пример. Разложить –5 x y z + 2 x z2 – x2 y – 2 x2 z + 3 y2 z + 6 y z2 – 3 x y2.

( ) 3 x y 2 2 2 2 5 x y z + 2 x z x y 2 x z + 3 y z + 6 y z ( y + 2 z) ( z + x) ( x + 3 y ) 5. Разложение на элементарные дроби.

Предварительно следует выделить переменную в знаменателе выра жения, далее используйте меню Symbolic — Variable — Convert to Partial Fraction.

Пример. Разложить: (2 x2 – 3 x + 1)/(x3 + 2 x2 – 9 x – 18);

2x 3x + 1 1 14 + [ 3 ( x 3) ] [ 3 ( x + 3) ] ( x + 2) 3 x + 2x 9x 6. Разложение выражений в ряд. Используйте Symbolic — Variable — Expand to Series.

Пример. Разложить sin(ln(1 + x)).

( 6) 1 1 2 3 sin ( ln( 1 + x) ) 1 x x + x x +Ox 2 6 7. Производные.

Следует выделить переменную и далее использовать меню Symbolic — Variable — Differentiate.

Пример. Продифференцировать 2 x2 + y по разным переменным.

8. Интегралы.

С помощью клавиш Ctrl+I задайте интеграл от функции x2, и на жмите Shift+F9, для определенного интеграла используйте клавиши Shift+7, введите пределы интегрирования от 1 до 3 и проинтегрируйте.

2 1 x dx x x dx 3 9. Пределы.

С помощью клавиш Ctrl+L введите выражение для вычисления x2 + предела функции при x стремящимся к бесконечности. Вычисле 3x + ние производится с помощью Shift+F9.

x +2 lim 3x + 6 x 10. Символьные действия с матрицами.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.