авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Федеральное агентство по образованию Российской Федерации АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет Серия «Системы компьютерной ...»

-- [ Страница 3 ] --

Транспонирование производится с помощью меню Symbolics — Matrix — Transpose.

1 0 1 1 2 2 1 2 0 1 0 1 1 1 2 Обратная матрица находится с помощью меню Symbolics — Matrix — Invert 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 2 1 1 0 Детерминант считается при помощи меню Symbolics — Matrix — Determinant.

cos ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( ) + sin ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) Лабораторная работа № Задачи математической статистики.

1. MathCad предоставляет возможности ввода и вывода данных в файл на диске, т.е. специальные функции доступа к файлам. Рассмотрим функ ции READPRN(file) — читать из файла и WRITEPRN(file) — писать в файл.

В текстовом файле "footwear.dat" содержатся размеры проданной в магази не мужской обуви. Используя функцию READPRN, считайте его в массив.

( ) v := READPRN "p:\DOCS\ComputerAlgebra\footwear.dat" T v = ( 36 37 38 39 40 41 42 43 ) 2. Другой способ ввода данных применяемый в последних версиях Mathcad, это через меню: щелкните мышкой по любому месту в рабочем документе — в поле появится крестик, обозначающий позицию, с которой начинается ввод, далее выберите пункты меню Insert — Component… v := P:\..\footwear.dat 3. Рассмотрите следующие функции выборочных характеристик.

— length(v) — количество элементов выборки;

— max(v) — максимальный элемент выборки;

— min(v) — минимальный элемент выборки;

— sort(v) — построение вариационного ряда — ранжированного в по рядке возрастания значений. Сохраните вариационный ряд на диске.

T x := sort ( v ) x = ( 36 37 38 39 40 41 42 43 ) WRITEPRN( "u:\result.txt" ) — median(v) — вычисляет медиану — величину, меньше или больше которой в выборке содержится одинаковое количество элементов;

Следующие 2 функции вычисляют числовые характеристики выбор ки, содержащиеся в массиве x размерностью m на n.

— mean(x) — вычисляет среднее выборочное значение;

— var(x) — вычисляет смещенную точечную оценку дисперсии, на зываемую выборочной дисперсией;

4. Постройте гистограмму распределения частот размеров обуви. Пе ред построением графика функции hist следует вычислить середины интер валов группировки и присвоить их значения элементам массива int max( v ) = 43 min( v ) = 36 j := 0.. max( v ) min( v ) + int j := min( v ) + j f := hist ( int, v ) int := int + 0. T f = ( 1 1 5 8 17 21 18 8 ) f 35 40 int 5. Нахождение доверительного интервала оценки среднего — диспер сия неизвестна. Используется встроенная функция qt при определении до верительного интервала для значения среднего нормально распределённой случайной величины.

Требуемый уровень значимости: := 0. Степень доверия: 1 – = 99% Оценка значения среднеквадратичного отклонения:

n n := length ( v ) s := var ( v ) s = 1. n Число степеней свободы: df := n 1 df = Определение доверительного интервала, критическое значение:

t 0 := qt 1, df t 0 = 2. s U := mean( v ) + t 0 U = 41. верхняя граница:

n s L := mean( v ) t 0 L = 40. нижняя граница:

n 6. Еще две функции предназначены для вычисления числовых харак теристик двумерного случайного вектора, выборочные значения двух ком понент расположены соответственно в массивах x и y размерности m на n.

— cvar(x, y) — вычисляет значения выборочной ковариации;

— corr(x, y) — определяет коэффициент корреляции;

Задание: Смоделируйте выборку двумерного случайного вектора при помощи нормального распределения (не менее 30 значений), (rnorm(a, b, c) — функция для моделирования выборки нормального распределения, где a — количество значений выборки, b — математическое ожидание, c — дис персия).

u := rnorm( 30, 2, 1) v := rnorm( 30, 1, 2) k := 0.5 x := u + k v y := u k v Вычислите все выборочные характеристики для различных значений параметра k, найдите линейные корреляционные уравнения соответственно y на x и x на y (использовать функции slope и intercept). Представьте выбор ку и линейные корреляционные уравнения графически.

0 Лабораторная работа № Интерполяция, аппроксимация и сглаживание функций.

1. Интерполяция.

В систему MathCad встроены функции линейной и сплайн-интерполя ции, позволяющие приближать значения таблично заданной функции в про межуточных точках. Итак, пусть задана таблица чисел (xi, yi), i = 0, 1,…, N.

Требуется, с той или иной точностью, восстановить значения функции f(x) в промежуточных точках x так, чтобы yi = f(xi).

Пример 1. Линейная интерполяции.

При линейной интерполяции на каждом промежутке функция пред ставляется отрезком прямой. Это выполняется функцией linterp. На рис. 13. приведен фрагмент документа MathCad, содержащий пример линейной ин терполяции.

Пример 2. Сплайн – интерполяции.

MathCad позволяет строить кубические сплайны. При этом заданный набор точек (xi, f(xi )) соединяется кривой так, что первые и вторые произ Формирование исходных данных i := 0.. 10 vx := i vy := rnd ( 1) i i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 T vx = 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T vy = 0 0.193 0.585 0.35 0.823 0.174 0.71 0.304 0.091 0.147 0. Построение линейной интерполяции f ( x) := linterp( vx, vy, x) f ( 1.5) = 0.389 f ( 2.7) = 0.421 f ( 3.4) = 0.539 f ( 6.775) = 0. Построение кубического сплайна Вектор вторых производных vs := cspline ( vx, vy ) g ( x) := interp ( vs, vx, vy, x) g ( 1.5) = 0.473 g ( 2.7) = 0.36 g ( 3.14) = 0.403 g ( 6.775) = 0. x := 0, 0.1.. vy 0. f ( x) g( x) 0. 0 2 4 6 8 vx, x Рис. 13.1.

водные кривой непрерывны в каждой точке. Это достигается построением ряда кубических полиномов, проходящих через три смежных точки. Куби ческие полиномы затем состыковываются между собой так, чтобы обеспе чить указанную гладкость. Построение кубического сплайна начинается с построения вспомогательного массива vs, содержащего значения вторых производных в заданных узлах (xi, yi). На рис. 13.1 приведен фрагмент доку мента MathCad, содержащий пример кубической сплайн-интерполяции.

2. Линейное предсказание.

В MathCad имеется функция predict, которая позволяет оценить значе ния функции в точках, находящихся вне области расположения узлов xi.

Линейное предсказание можно рассматривать как разновидность экстрапо ляции. На рис. 13.2 приведен фрагмент документа MathCad, содержащий пример линейного предсказания.

Формирование исходных данных vy := exp sin i i i := 0.. i 100 используются последние m значений, f ( m, n ) := predict ( vy, m, n ) чтобы предсказать следующие n значений j := 1, 10.. 100 p := f ( 6, 100) vy i pj 0 50 100 150 i, j+ Рис.13.2.

3. Функции регрессии.

MathCad включает ряд функций для вычисления регрессии. Обычно эти функции создают кривую (или поверхность) определенного типа, кото рая минимизирует ошибку между собой и имеющимися данными. Если пред полагается, что исходные данные могли бы быть смоделированы в виде ли нейной комбинации произвольных функций:

исходные данные.1. x.4. x 1. vx := vy := F ( x) := ARB := linfit ( vx, vy, F ) 1.4. 1 1.8 1. x 2.2 2. ( 0.148 ) T = 0.571 9.784 10 1.593 g ( t ) := ARB F ( t ) ARB vy g( x) 0 vx, x исходные данные u 0+ u 1 z + u 2 z 2.3 9. e 11.2. eu 0+ u 1 z + u 2 z 1 vx := vy := F ( z, u ) := 1.4 z e u 0 + u 1 z + u 2 z 6 2 u 0+ u 1 z + u 2 z 2 z e первый элемент содержит 1 вектор 0 приближающую функцию, vg := начальных остальные содержат ее приближений 1 частные производные по искомым параметрам T p := genfit ( vx, vy, vg, F ) = ( 2.573 0. p 0.05 ) g ( r ) := F ( r, p ) i := 0.. 5 r :=.3,.31.. vy g( r ) 0 1 2 3 vx, r Рис.13.3.

y = a0 f 0 ( x) + a1 f1 ( x) + … + an f n ( x), следует использовать linfit, чтобы вычислить ai.

В более сложных случаях, когда исходные данные моделируются фун кцией, параметры которой входят нелинейным образом, следует использо вать genfit.

На рис. 13.3. приведены примеры построения линейной и обобщен ной регрессии.

4. Функции сглаживания.

В MathCad включено несколько функций, позволяющих сглаживать исходные данные, среди них medsmooth, ksmooth, supsmooth. Рассмотреть примеры, используя help.

Лабораторная работа № Решение экономических задач.

1. Определим равновесную цену, если известны функции спроса и предложения (P — цена, D(Q) — функция спроса, зависящая от цены, S(Q) — функция предложения, зависящая от цены, Q — количество товара, при обретенного потребителем по цене P). Точка пересечения кривых спроса и предложения называется точкой равновесия, а соответствующая цена — рав новесной ценой.

Q Q D( Q) := 5Q + 150 — функция спроса;

S( Q) := + + 70 — фун 4 кция предложения.

D( Q) S ( Q) 0 0 10 0 Q Найдем равновесную цену символьно:

Q Q + + 70 ( 5Q + 150) 0 Find( Q) ( 32 10 ) Given 4 2 равновесная цена.

P := D( 10) P = Для того, чтобы найти равновесную цену графически, щелкните по строке Trace пункта: X-Y Plot, Graph меню Format и установите стрелка ми или мышью маркер на пересечении линий в графике.

2. Функция спроса. Зависимость спроса от дохода. Функция спроса описывает зависимость спроса D на приобретенный продукт потребления от цены Р этого продукта и от дохода потребителя х, D = D(x, P). При фик сированной цене Р функция спроса зависит только от дохода: D = D(x).

Рассмотрим в качестве примера функцию спроса Торквиста D(x), ко торая описывает зависимость величины спроса на различные группы това ров в зависимости от их цены и роли в потребительской корзине: := 10, := 3, := 2 некоторые фиксированные параметры x (x + ) D0( x) := x + спрос на малоценные товары x D1( x) := спрос на D0 ( x) x+ товары первой необходимости D1 ( x) ( x ) D2 ( x) D2( x) := x+ D3 ( x) спрос на товары второй необ ходимости 0 x ( x ) 0 20 D3( x) := x+ 0 x спрос на товары роскоши Из приведенных графиков видно, что при = 10, = 3, = 2 спрос на малоценные товары растет при малых доходах, а затем с ростом доходов начинает падать и стремится к величине a сверху. Спрос на товары первой необходимости растет с ростом доходов и стремится к величине с низу.

Товары второй необходимости и предметы роскоши приобретают только люди с доходом, превышающим = 2. При этом спрос на товары второй необходимости отстает от спроса на товары первой необходимости и огра ничен сверху значением. И только спрос на предметы роскоши с ростом доходов постоянно растет.

3. Задание: постройте график заданной функции спроса. Исследуйте вид кривой при разных значениях параметров.

4. Максимальная прибыль.

В наиболее общем виде прибыль — разность между выручкой пред := 10 := 3 := x (x + ) D0( x) := Спрос на малоценные товары x + x D1( x) := Спрос на товары первой необходимости x+ ( x ) D2( x) := Спрос на товары второй необходимости x+ x ( x ) D3( x) := Спрос на товары роскоши x+ D0( x) D1( x) D2( x) D3( x) 0 20 x приятия от реализации продукции R и полными издержками (затратами) C:

= R – C.

Поскольку цена определяется не тем, сколько хочет получить произ водитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель, то полный доход, по лученный от реализации товаров в количестве Q по цене Р, вычисляется по формуле R = Q P(Q), где P = P(Q) — соответствующая функция спроса.

Cf := 20 постоянные издержки Cv := 0.7 переменные издержки R(Q) := –Q2 +10Q формула полного дохода C(Q) := Cf + Cv Q формула полных издержек pi(Q) := Q R(Q) – C(Q) максимальная прибыль Для того, чтобы найти геометрически выпуск продукции Q, при кото QR( Q) pi( Q) C( Q) 0 5 10 0 5 Q Q ром достигается максимум прибыли, изобразите на одном графике кривую полного дохода и линию издержек. Максимум прибыли достигается в точ ке, где расстояние между кривыми максимально. Пример графического на хождения решения был рассмотрен в предыдущем занятии. Ниже приведе но символьное вычисление точек, определяющих границы прибыльного объема производства, и точки максимальной прибыли.

5. Задание: найдите графически и численно максимальную прибыль и границы прибыльного производства для произвольной функции полного дохода и функции издержек 6. Эластичность экономических функций.

Эластичность — это безмерная величина, которая показывает спо собность функции реагировать на изменение аргумента. Эластичность фун кции в точке называется предел отношения процентного изменения функ ции к вызвавшему это изменение процентному изменению аргумента, т. е.

f x E f = lim 100% : 100%.

x 0 f x Эластичность можно определить через средние и предельные величины:

f f (x + x ) f (x ) x f (x ) x f = f (x ) E f = lim = lim = f (x ) f (x ) f cp (x ) x 0 x x x x Эластичность спроса по цене определяется равенствами:

dD dD P dQ P ED = D = =, где D = D(P) — функция спроса.

dP dP D dP Q P Напомним, что функция спроса D = D(P) — убывающая, следователь но, эластичность ED не положительна, и анализу подвергается величина |ED|.

В зависимости от значений |ED| различают товары эластичного и не эластичного спроса. Если |ED| 1, т. е. относительное повышение на 1% при водит к относительному падению спроса более чем на 1%, и наоборот, па дение цены на 1% приводит к увеличению спроса более чем на 1%, то гово рят о товаре эластичного спроса. В противном случае товар называют това ром неэластичного спроса.

Как уже отмечалось выше, суммарный доход R(Q) вычисляется по формуле R(Q) = Q P(Q), где P(Q) — функция спроса. Тогда предельный доход R'(Q) можно выразить через ED:

d (QP(Q )) = P + Q dP = P1 + Q dP = P1 1.

R(Q ) = P dQ ED dQ dQ Данное равенство справедливо для любой функции спроса. Эластич ность предложения по цене определяется равенствами:

Q 3 P( Q) := + Q+ 10 5 1 Q2 + 3 Q + 10 ED( Q) P( Q) 1 ED( Q) := Q Q d 5 Q + P( Q) dQ R ( Q) Q 3 R( Q) := Q P( Q) Q + Q+ 10 1 + Q 3 d Rp( Q) := Rp( Q) Q + Q+ Q+ R ( Q) 10 5 10 dQ 4 ED( Q) R( Q) Rp ( Q ) 4 0 5 Q Q Q := 1 ED( Q) Q := Find( Q) Q = 4.517 P( Q) = 1. Given dS dS P dQ P ES = S = =, где S = S(P) — функция предложения.

dP dP S dP Q P Она возрастающая, эластичность ES неотрицательная, и анализу под вергается величина ES.

Выше приведены вычисления предельного дохода и эластичности спро са по цене, графики эластичности, предельного дохода и график дохода, и затем показаны вычисление значения Р, при котором спрос на исследуемый товар теряет эластичность.

7. Задание: Найдите для функции спроса P = P(Q) = –0.7 Q2 + 0.3 Q – – 1.2 эластичность ED спроса по цене и соответствующий предельный до ход. Постройте графики эластичности и предельного дохода. Найдите зна чение Q и соответствующую цену, при которой |ED| = 1. Сформулируйте выводы.

Лабораторная работа № Создание анимации.

В системе Mathcad имеются средство для создания анимаций.

Пример. Анимировать графики функций sin(x) и cos(x).

Проделайте следующее:

X( t ) := sin ( t + ) Y( t ) := cos ( t + ) := 2 := t – изменяющийся параметр для создания анимации.

Принцип анимации достаточно прост. В системе имеется встроенная переменная FRAME, принимающая целочисленные значения, по умолча нию — от 0 до 9 с шагом 1. Любая функция, график которой планируется наблюдать в развитии, должна быть функцией этой переменной, являющей ся по существу просто номером текущего кадра. Диапазон изменения пере менной FRAME задается в диалоговом окне команды Animation (см. ниже).

t := FRAME Для создания анимации выполните следующее:

s := 0,.. t s — угол который изменяется от 0 до t с шагом /120.

Подготовка для создании анимации закончена.

В меню View выберите пункт Animate... Появится окно, позволяющее настроить параметры анимации:

From, To — с какого (0) и по какой (введите 100) фрейм генерировать анимацию. At — сколько фреймов в секунду будет показано (введите 10).

Мышью выделите область для создании анимации, в данном случае это бу дет график. После того, как всё это проделано, нажмите кнопку Animate.

Создание началось. Меняя значения From, To, At, и проследите за изме нением анимации.

После того, как анимационный клип создан, можно сохранить его в виде файла формата avi. Сделав это, Вы впоследствии сможете проиграть его в любом приложении, которое совместимо с форматом avi или воспро извести его снова в Mathcad, не создавая анимацию заново. Для того, чтобы сделать это:

Убедитесь, что диалоговое окно Создать анимацию открыто, и что первый кадр анимации, которую Вы хотите сохранить, отображен в окне.

Нажмите кнопку Save As.

Воспроизведение анимации осуществляется опцией Playback меню Viev.

Индивидуальные задания Задание № 1. Аналитическая геометрия.

x2 y + =1.

1.1. Из точки С(10, –8) проведены касательные к эллипсу 25 Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

x2 y = 1.

1.2. Из точки С(1, –10) проведены касательные к гиперболе 8 Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

1.3. Найти центр и радиус круга, вписанного в треугольник ABC:

A(9, 2), B(0, 20), C(–15, –10).

1.4. Из точки A(5, 9) проведены касательные к параболе y 2 = 5 x. Со ставить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

1.5. Внутри треугольника, высекаемого на плоскости Oxy плоскостя ми x + 4y + 8z + 8 = 0, x – 2y + 2z + 2 = 0, 3x + 4y + 12 = 0, найти точку, равноудаленную от этих плоскостей.

1.6. Фокус линии второго порядка находится в точке F(2, 0);

директри сой, соответствующей этому фокусу, является прямая x = 5. Написать урав нение линии, зная, что она проходит через точку A(10, 6).

1.7. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плоскости x + y 2 z 5 = 0, описан около сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1. Составить уравне ние этого цилиндра.

1.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1, 2,1) перпендикулярно прямой x = 7t, y = 3t, z = t.

1.9. На сфере ( x 1) + ( y + 2 ) + ( z 3) = 25 найти точку M1, ближай 2 2 шую к плоскости 3x 4 z + 19 = 0, и вычислить расстояние d от точки M1 до этой плоскости.

1.10. Составить уравнения прямолинейных образующих гиперболи ческого параболоида 4x 2 z 2 = y, проходящих через точку M (1, 3, –1).

Задание № 2. Алгебра.

2.1. Линейное преобразование A векторного пространства V над R в ба зисе a1, a2, a3, a4 имеет матрицу A. Найти базис, состоящий из собственных векторов преобразования A, и матрицу преобразования в этом базисе, где 1 2 3 0 2 3 A= 0 0 2 1.

0 0 0 2.2. Преобразовать к каноническому виду ортогональным преобразо ванием следующую квадратичную форму и найти это преобразование:

6 x12 + 5 x2 2 + 7 x3 2 4 x1 x2 + 4 x1 x3.

2.3. Линейное преобразование A евклидова пространства R3 в базисе e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) имеет матрицу A. Построить ортонор мированный базис пространства R3 из собственных векторов и найти мат рицу преобразования A в этом базисе, где 1 2 A = 2 1.

2 2 2.4. Линейное преобразование A векторного пространства V над R в ба зисе a1, a2, a3, a4 имеет матрицу A. Найти базис, состоящий из собственных векторов преобразования A, и матрицу преобразования в этом базисе, где 1 0 0 3 1 0 A= 4 0 3 0.

0 5 1 2.5. Линейное преобразование A унитарного пространства С3 в базисе 5 9 e1, e2, e3 имеет матрицу преобразования A = 6 11 5.

7 13 Найти систему координат, в которой матрица этого преобразования имеет жорданову форму, и найти эту жорданову форму.

2.6. Линейное преобразование A унитарного пространства С3 в базисе 0 3 1 8 6.

e1, e2, e3 имеет матрицу преобразования A = 2 14 Найти систему координат, в которой матрица этого преобразования имеет жорданову форму, и найти эту жорданову форму.

2.7. Линейное преобразование A евклидова пространства R3 в базисе e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) имеет матрицу A. Построить ортонор мированный базис пространства R3 из собственных векторов и найти мат 1 2 рицу преобразования A в этом базисе, где A = 2 1 2.

2 2 2.8. Преобразовать к каноническому виду ортогональным преобразо ванием следующую квадратичную форму и найти это преобразование:

11x12 + 5 x2 2 + 2 x3 2 + 16 x1 x2 + 4 x1 x3 20 x2 x.

2.9. Линейное преобразование A унитарного пространства C3 в базисе e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) имеет матрицу A. Построить ортонор мированный базис пространства C3 из собственных векторов и найти мат 0 4 рицу преобразования A в этом базисе, где A = 4 0 4.

2 4 2.10. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратич ную форму x12 + 2 x2 2 + 3 x3 2 4 x1 x2 4 x3 x2 к главным осям.

Задание № 3. Математический анализ. Экстремумы.

3.1. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса, чтобы из остав шейся части можно было вырезать воронку наибольшей вместимости.

3.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x 3y 3z + + = 1;

a, b, c 0, x 0, y 0, z 0.


a b c 3.3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью 2 2 x y z + 3 + 3 = 1;

a, b, c a b c 3.4. Два корабля плывут с постоянными скоростями u и v по прямым линиям, составляющим угол между собой, оба в сторону точки пересече ния прямых. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент расстояния их от точки пересечения путей были соот ветственно равны a и b.

3.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции u = x + 2 y + 3z если 9 x 2 + 4 y 2 + z 2 1.

3.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции u = x + y + z, если x 2 + y 2 z 1.

3.7. Из круглого бревна данного диаметра требуется вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы она, находясь в горизонтальном поло жении, оказала наибольшее сопротивление на изгиб (сопротивление изгибу прямо пропорционально произведению ширины сечения на квадрат высо ты сечения).

3.8. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно впи сать в шар радиуса R.

3.9. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема (плос кости оснований цилиндра и конуса должны совпадать).

3.10. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершен ный сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен V.

Задание № 4. Математический анализ. Ряды.

a Исследуйте на сходимость ряд. Изобразите графики членов ряда n n = и последовательности частичных сумм. Если удается, вычислите сумму ряда.

2n n! n! n 4.1. 4.2. 4.3.

((n 1)!) n 2 +1 4n ( n + 1) 3n n! n + n!

4.4. 4.5. 4.6.

(( n + 2 )!) 4n + nn ( n + 12 ) 3n ! ! n + 4.7. 4.8.

2n + 3 n+ + n ! n3 + n + 4.9. 4.10.

( n 1) 4 n + 2 ( n 1)!

n Задание № 5. Дифференциальные уравнения.

5.1. Найти общее решение дифференциального уравнения x 3 y '''+ 5 x 2 y ''+ 13xy ' = 0.

5.2. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

x = y + tg 2 (t ) y = x + tg(t ) 5.3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

8 y + 2 y2 + 3y ' = x x 5.4. Найти решение задачи Коши:

y '' 5 y + 6 y = (12 x 7)e x, y (0) = 0, y '(0) = 0.

5.5. Найти общее решение дифференциального уравнения:

y ''' 7 y ''+ 6 y = x 2 + 2e x 5.6. Найти общее решение дифференциального уравнения:

y ''' 4 y ''+ 4 y ' = x + 3e 2 x 5.7. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

x = 2x + y y = 2 x + sin(t ) 5.8. Найти решение задачи Коши:

y '' 3 y '+ 2 y = 3e 2 x + 2 x 2, y (0) = 0, y '(0) = 0.

5.9. Найти решение уравнения y 2 = x 2 y y.

dx dy = y + 3 e 2t, = 4x + t 2 + 1.

5.10. Найти решение dt dt Задание № 6. Теория функций комплексного переменного.

Нарисовать образы следующих линий при отображении w = f(z).

6.1. Прямые x = C, y = C;

w = ez.

6.2. Прямые y = k x + y;

w = ez.

6.3. Прямые y = x, y = x + 2;

w = ez.

6.4. Прямые y = 0, y = ;

w = cos(z).

6.5. Прямые x = 0, x = ;

w = ch(z).

6.6. Прямые x = 0, x = ;

w = tg(z).

6.7. Прямые x = – / 2, x = / 2, y 0;

w = cos(z).

6.8. Полярная сетка |z| = R, arg(z) = a;

w = ln(z).

z 3+i 6.9. Прямые y = 0, y = 1;

w =.

z +1+ i 6.10. Окружности |z| = 1, |z| = 2;

w =.

z Задание № 7. Изобразите на плоскости кривую, заданную параметрически, касательную и нормаль к ней в указанной точке.

x(t) y(t) (x0, y0) 7.1 (1, 1) t2 t 7.2 (1, –1) t2 t 4 t2 t, 7. 1+ t3 9 1+ t 1 t2 t, 7. 1+ t3 2 1+ t 4 t2 t, 7. 1+ t3 9 1+ t 4 t2 t, 7. 1+ t3 9 1+ t 1+ 2 1+ cos 2 t + cos t cos t sin t + sin t 7.7 2, ( ) t t 4 cos 3 4sin 3 2, 7. 4 1 t2 t, 7. 2 1+ t2 1+ t (1, 2 ) 7.10 t2 2t Задание № 8. Уравнения математической физики.

8.1. Привести к каноническому виду: u xx + 2u xy + 5u yy 32u = 0.

8.2. Привести к каноническому виду:

uxx + 2sin( x)uxy cos2 ( x)u yy cos( x)u y = 0.

8.3. В области Q = {x 0, t 0} решить задачу Гурса:

u t = 0 = x3, ut t = 0 = x3, x utt = 4uxx, u x =0 = 2t, t 8.4. Найти решение: u (r, ) = 0, 0 r 2, 0 / 2, u = 0 = u = / 2 = 0, u r = 2 = 3.

(0 x ) 8.5. Решить начально-краевую задачу: utt + 2ut = u xx u, u x =0 = ux = 0, u t = 0 = 0, ut =x.


x = t = 8.6. Привести к каноническому виду: utt + 4u xy + 5u yy + 2u y + u x = 8.7. Решить начально-краевую задачу:

ut = 9uxx, u x =0 = u x =3 = 0, u t =0 = x( x 3).

8.8. Решить задачу Коши:

utt = 4u, u t =0 = (2 x y) 2, = ( x + 2 y)2.

ut t = 8.9. Привести к каноническому виду:

xy 2 u xx 2 x 2 yu xy + x 3u yy y 2 u x = 0.

8.10. В кольце (0 a r b) решить краевую задачу:

uxx + u yy = 12( x 2 y 2 );

u r = a = ur = 0.

r =b Задание № 9. Найдите методом наименьших квадратов значения коэффициентов линейной зависимости y = ax + b по табличным данным.

Найдите значение y в точке x = N + 0.55, где N — номер варианта 9.1.

x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 y 0,686 0,742 0,767 0,646 0,807 0,774 0,97 0,932 0,936 0,978 1. 9.2.

x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 y 2,312 2,251 2,418 2,752 2,459 2,7 3,022 3,079 2,42 2,669 3, 9.3.

x 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 y 4,615 4,591 5,13 5,481 5,492 5,553 5,471 5,727 5,798 6,11 6, 9.4.

x 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 y 8,472 8,805 9,096 8,993 9,312 9,465 9,771 9,61 9,722 11,419 10, 9.5.

x5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 y 12,36 13,63 13,304 13,148 13,482 14,24 14,516 14,882 15,24 15,369 15, 9.6.

x6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 y 17,63 19,74 19,783 18,806 19,886 21,11 20,208 19,481 20,15 20,505 21, 9.7.

x7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 y 25,24 25,13 25,669 26,627 26,753 27,23 26,491 26,876 27,22 28,065 27, 9.8.

x8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 y 30,52 34,22 34,233 34,114 33,595 34,05 34,498 35,822 35,67 37,442 35, 9.9.

x9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 y 41,74 42,24 43,884 42,167 43,696 45,04 42,461 45,727 44,05 45,863 44, 9.10.

x 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 y 49,75 51,92 50,083 52,376 53,413 54,96 52,771 54,115 55,47 55,68 56, Задание № 10. Доказать тождества.

sin(2 x + y ) sin y 2 cos( x + y ) = 10.1..

sin x sin x cos x + sin x = tg( + x).

10.2.

cos x sin x 2 2 sin 2 x 10.3. sin ( + x) sin ( x) =.

8 8 2 cos 2 x = 1.

10.4.

2 tg( x) sin 2 ( + 1) 4 1 sin 2 x 10.5. tg 2 ( x ) =.

1 + sin 2 x cos 2 x = sin 2 2 x.

10.6.

ctg 2 x tg 2 x sin x + cos(2 y x) = ctg( y ).

10.7.

cos x sin(2 y x ) x tg( ) (1 + sin x) 42 = ctg x.

10.8.

sin x x 1 sin x 10.9. tg( + ) =1.

42 cos x sin x + cos(2 y x) 1 + sin 2 y = 10.10..

cos x sin(2 y x) cos 2 y Литература 1. Дэвенпорт Дж., Сиро И., Турьнье Э. Компьютерной алгебра, М.:

Мир, 1991.

2. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями, М.:

Мир, 1994.

3. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. –М.: Мир, 1977.

4. Серпинский В. О простых числах, М.: Мир, 1961.

5. Iyad A. Ajwa, Zhuojun Liu, Paul S.Wang. Grobner Bases Algorithm. \\ http://www.can.nl/Education/Material 6. Teo Mora. An introduction to commutative and noncommutative Grobner Bases \\ http://www.can.nl/Education/Material 7. Laureano Gonzalez-Vega and Guadalupe Trujillo. Symbolic Recipes for Polynomial System Solving: Real Solution \\ http://www.can.nl/Education/Material 8. Манин Ю.И. Классическое вычисление, квантовое вычисление и алгоритм Шора. \\ Квантовый компьютер & вычисления.

9. Дьяконов В.П. Справочник по системе символьной математики DERIVE. М.: СК Пресс,. 1998.

10. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. М.: СК Пресс,. 1997.

11. Лобанова. О.В. Практикум по решению задач в математической системе DERIVE. М.: Финансы и статистика, 1999.

12. Лозинский Л.Д., А.Ю. Рутковская. Работа с пакетом Derive. М.:

Академия нефти и газа им. И.М. Губкина. 1992.

13. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расче ты в среде Window 95./Перевод с англ. –М.:Информационно – издательский дом «Филинь», 1996.

14. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практимум для экономистов и инженеров: Учеб. Пособие. –М., Финансы и статистика, 1999.

– 656 с.: ил.

15. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. М.: Компь ютерПресс, 1998.

Содержание Предисловие......................................................................................... Введение................................................................................................ Обзор систем компьютерной математики................................................. Некоторые базовые алгоритмы компьютерной алгебры....................... Упрощение полиномиальных уравнений.................................................. Редукция полиномов.................................................................................... Некоторые приложения базиса Гребнера................................................ Точная целочисленная арифметика......................................................... Списочное представление целых чисел................................................... Список условных обозначений и специальных клавиш Derive.......... Основные встроенные функции Derive.................................................... Derive................................................................................ Простейшие вычисления и задачи линейной алгебры......................... Операции математического анализа........................................................ Приложения дифференциального исчисления....................................... Приложения интегрального исчисления................................................. Решение дифференциальных уравнений первого порядка................. Решение дифференциальных уравнений высших порядков............... Численные методы решения уравнений.................................................. Статистические расчеты и обработка данных эксперимента............. Комплексные числа и функции................................................................. Программирование для Derive.................................................................. Симплекс метод............................................................................................. Финансово-экономические расчеты......................................................... MathCad........................................................................... Начальные сведения.................................................................................... Основные понятия....................................................................................... Настольный справочник. Редактирование формул.............................. Форматирование результатов. Уравнения и вычисления.................... Векторы и матрицы..................................................................................... Векторы и матрицы (продолжение).......................................................... Итерационные и рекурсивные вычисления........................................... Суммирование и произведение. Производные и интегралы............... Решение уравнений...................................................................................... Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)........ Символьные вычисления......................................................................... Задачи математической статистики....................................................... Интерполяция, аппроксимация и сглаживание функций.................. Решение экономических задач................................................................. Создание анимации.................................................................................... Индивидуальные задания......................................................................... Литература................................................................................................... Учебное издание Семенов Сергей Петрович Славский Виктор Владимирович Татаринцев Павел Борисович Системы компьютерной математики Учебное пособие н/к Лицензия ЛР № 020261 от 14.01. Оригинал-макет выполнен в авторской редакции Подписано в печать 1.09.00. Формат А Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 6,4. Тираж 100. Заказ Типография издательства Алтайского госуниверситета:

656099, г. Барнаул, ул. Димитрова, 66.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.