авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко

СОЧЛЕНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ

В ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Иркутск 2012

УДК 621.01

ББК 34.41

Е 51

Рекомендовано к изданию редакционным советом ИрГУПС

Рецензенты

П.А. Лонцих, зав. каф. управления качеством и механики НИ ИрГТУ, проф.,

д.т.н., директор Иркутского филиала Ассоциации по сертификации «Русский регистр»;

А.И. Федотов, зав. каф. «Автомобильный транспорт» НИ ИрГТУ, проф., д.т.н.

Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В.

Сочленения звеньев в динамике механических колебательных Е 51 систем : монография. – Иркутск : ИрГУПС, 2012. – 156 с.

Монография посвящена современным проблемам динамики машин и оборудования в задачах вибрационной защиты. Предлагается методологи ческая основа решения теоретических и прикладных вопросов на основе структурных методов анализа и динамического синтеза виброзащитных сис тем. Значительное внимание уделяется особенностям построения математи ческих моделей механических колебательных систем.

Показаны возможности метода построения математических моделей на основе введения сочленений твердых звеньев. Рассматриваются характерные для виброзащитной практики задачи динамического гашения колебаний. Ре жим динамического гашения трактуется с позиций теории обратных связей.

Приводится ряд технических приложений.

Монография представляет интерес для научных сотрудников, рабо тающих в области динамики машин, мехатроники и робототехники, а также может быть полезна студентам инженерно-механических специальностей.

УДК 621. ББК 34. © Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В, © Иркутский государственный университет путей сообщения, СОДЕРЖАНИЕ Предисловие................................................................................................. Глава 1. Методологические основы решения задач виброзащиты и виброизоляции машин и оборудования................................................. 1.1. Объекты защиты от вибраций. Типовые элементы...................... 1.2. Тенденции развития направлений исследований........................ 1.3. Связи в механических системах................................................... 1.4. Формы динамических взаимодействий ……………………......... 1.5. Структурные подходы в теории виброзащитных систем........... Библиография к 1-й главе………………………………………........... Глава 2. Изменение динамических свойств механических колебательных систем при введении сочленений звеньев................. 2.1. Общие положения. Постановка задач исследования ……........... 2.2. Построение математических моделей ……………………........... 2.3. Возможности моделирования в различных системах координат............................................................................................. 2.4. Введение двух сочленений ………………………………….....

.... Библиография ко 2-й главе ……………………………………............ Глава 3. Особенности наложения связей для механических систем с сочленениями.......................................................................................... 3.1. Общие положения …………………………………………............ 3.2. Некоторые обобщения теоремы о наложении связей ….............. 3.3. Возможности приложения теоремы ………………………........... Библиография к 3-й главе …………………………………….............. Глава 4. Взаимодействие твердых тел при сочленениях вращательного типа............................................................................................................................... 4.1. Постановка задачи исследования. Общие положения ……......... 4.2. Сочленения в балочной системе с двумя степенями свободы …………………………………………………………............ 4.3. Особенности выбора системы координат ………………............. 4.4. Сравнительный анализ ………………………………………........ 4.5. Особенности динамических свойств ………………………......... Библиография к 4-й главе …………………………………….............. Глава 5. Механические колебательные системы с поступательными движениями. Возможные формы сочленения звеньев........................ 5.1. Постановка задачи. Общие положения ……………………......... 5.2. Выбор координат относительного движения ……………........... 5.3. Особенности различных систем координат ……………….......... 5.4. Структурные интерпретации систем. Сложные режимы........... Библиография к 5-й главе …………………………………….............. Глава 6. Введение дополнительных связей в систему динамического гашения колебаний................................................................................... 6.1. Постановка задачи. Общие положения ……………………......... 6.2. Оценка динамических свойств. Введение дополнительных связей …………………………………………..................................... 6.3. Учет особенностей внешнего воздействия ……………............... Библиография к 6-й главе …………………………………….............. Глава 7. Рычажный гаситель колебаний в механической системе с объектом защиты от вибраций в виде твердого тела на упругих опорах..................................................................................... 7.1. Общие положения …………………………………………............ 7.2. Построение математических моделей ……………………......... 7.3. Свойства систем. Выбор координат движения …………........... 7.4. Передаточные функции систем. Динамические свойства......... 7.5. Оценка динамических свойств ……………………………......... Библиография к 7-й главе ……………………………………............ Глава 8. Межкоординатные связи в теории виброзащиты ……….... 8.1. Постановка задачи. Общие положения …………………........... 8.2. Оценка динамических свойств ……………………………......... 8.3. Выбор систем координат y1, y2 …………………………............ 8.4. Передаточные функции системы и ее особенности ……........... Библиография к 8-й главе ……………………………………............ Глава 9. Некоторые технические приложения структурной теории виброзащитных систем.......................................................................... 9.1. Динамический гаситель колебаний с Г-образными элементами …………………………………………………………... 9.2. Подвеска с возможностями динамического гашения колебаний …………………………………………………………..... 9.3. Способ регулирования жесткости виброзащитной системы и устройство для его осуществления ……………………………….. 9.4. Управляемое устройство для гашения колебаний …………...... Библиография к 9-й главе ………………………………………........ Заключение …………………………………………………………... ПРЕДИСЛОВИЕ Динамика современных машин в последние годы развивается, опи раясь на ряд новых научных направлений, связанных с робототехникой, мехатроникой, вибродиагностикой и новыми технологиями, требующими в своих реализациях нетрадиционных средств технической поддержки и обеспечения безопасности производственных процессов. В этом плане вопросы взаимодействия рабочих органов машин с внешней средой по прежнему остаются актуальными для теоретических исследований и прак тических приложений. Вибрации и ударные нагрузки характерны для ма шин и оборудования многих отраслей промышленности и транспорта в ча стности.

Развитие различных видов транспортных средств, повышение скоро стей движения, увеличение грузоподъемности, маневренности, надежности функционирования систем управления определяют высокий уровень тре бований к поискам и разработкам новых способов и средств управления динамическим состоянием технических объектов различного назначения.

Автоматизация управления состоянием технических объектов становится все более важным направлением исследований, в рамках которых нашли применение методы и аналитический аппарат теории систем, теории авто матического управления, теоретической механики и ее разнообразных приложений.

В предлагаемой работе нашли отражение результаты теоретических и прикладных исследований, проводившихся в Иркутском государствен ном университете путей сообщения по проблемам защиты машин и обору дования от вибрационных воздействий. Истоки начальных разработок свя заны с участием в реализации ряда научных программ, проводившихся в разное время в таких организациях, как Институт машиноведения РАН, Иркутский вычислительный центр СО РАН, и вузах Сибири (Иркутский государственный технический университет, Иркутский государственный университет путей сообщения, Братский и Забайкальский государственные университеты). Большой вклад в развитие мехатронных подходов в дина мике механических систем, теории и практики виброзащитных систем вне сли проф., д.т.н. А.П. Хоменко, проф., д.т.н. Ю.Н. Резник, проф., д.т.н.

С.В. Белокобыльский и др. В ряде научных технических разработок при няли участие кандидаты технических наук А.В. Димов, Н.В. Банина, Р.Ю. Упырь, А.С. Логунов, Д.Н. Насников. Приоритеты научного направ ления получили закрепление в профессиональной среде многочисленными публикациями в научной периодике, получено несколько десятков россий ских патентов.

Результаты научных разработок имеют методологическое значение не только для специалистов, работающих в области современной динамики машин и ее разнообразных направлений, связанных с задачами управления динамическим состоянием, но и для специалистов широкого круга, имею щих дело с поиском и разработкой новых технических средств, в частно сти, в задачах транспортной динамики.

Авторы благодарят к.т.н. И.В. Фомину за существенный вклад в на учные разработки.

Авторы:

С.В. Елисеев Ю.В. Ермошенко ГЛАВА 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВИБРОЗАЩИТЫ И ВИБРОИЗОЛЯЦИИ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ В теоретических работах по динамике машин, защите приборов и аппаратуры от вибраций механические колебательные системы чаще всего рассматриваются, как расчетные схемы технических объектов. Такие схемы состоят из определенного набора элементов, называемых типовыми звеньями. К их числу относятся упругие и диссипативные, массоинерци онные элементы и устройства. Конструктивно-технические формы упру гих и диссипативных элементов могут быть различными и часто представ ляют собой агрегаты, то есть достаточно сложные объединения элементов, образующих механические цепи и механизмы, в том числе. Для удобства аналитических расчетов упругие, диссипативные и инерционные свойства соотносят с элементами системы, имеющими абстрактный вид идеальных пружин, демпферов, материальных точек, невесомых или весомых стерж ней, абсолютно твердых тел конечных размеров (балок), систем сочленен ных твердых тел. В реальной практике элементы механических колеба тельных систем могут обладать более сложным набором свойств, входить в различные соединения между собой и обладать нелинейными свойства ми. Представления о существовании типовых элементарных звеньев и пра вилах их объединения упрощают процедуры составления дифференциаль ных уравнений, описывающих динамическое состояние виброзащитной системы.

1.1. Объекты защиты от вибраций. Типовые элементы I. Технические объекты, в отношении которых решаются задачи виб розащиты и виброизоляции, часто представляют собой сложные системы, особенно на транспорте. В качестве примера на рис. 1.1 приведены тележ ки электровозов, содержащих тяговые двигатели с передачами вращающих моментов на колесные пары. Динамические взаимодействия со стороны рельсового пути, внутренние динамические связи, а также взаимодействие с кузовом электровоза создают сложный комплекс элементов, совершаю щих разнообразные движения. Учитывая сложность исходных моделей и особенности задач исследования, широко используются упрощенные рас четные схемы, как показано на рис. 1.2. Важным обстоятельством при вы боре расчетной схемы становится выбор математической модели, которая была бы в достаточной степени адекватна объекту защиты.

В работах отечественных и зарубежных ученых [1.11.5] представ лена многосторонняя информация, отражающая специфические свойства элементов виброзащитных систем, методические основы технологии по строения математических моделей. На рис. 1.3 (аг) представлены некото рые формы реализации упругих соединений тел. На рис. 1.3 (а) приведена принципиальная схема колебательной системы с упругим элементом жест костью k ;

на рис. 1.3 (бе) показаны некоторые примеры реализации уп ругих элементов, в частности элементов, реализуемых упругой балкой (рис. 1.3 в). Коэффициенты жесткости таких элементов определяются свойствами балок и условиями их закрепления. Как обобщенное представ ление об упругих свойствах систем может рассматриваться и более слож ное устройство в виде обобщенной пружины [1.6], для которой определя ется приведенная жесткость kпр (рис. 1.3 г, д, е), а сама пружина может иметь разные формы конструктивно-технической реализации.

k k knp д е г k k m knp k m k k k np k np k Рис. 1.3. Примеры представления упругих элементов в механических колебательных системах Упругие элементы в технических системах очень разнообразны по своим конструктивно-техническим формам, даже в своих простейших ва риантах. В теории колебаний [1.7] общепринятое условное обозначение отражает лишь одно свойство – зависимость смещения от приложенной силы – то есть главное внимание уделяется упругому взаимодействию.

Чаще всего упругое смещение соотносится со статической силой. Такая характеристика упругого элемента является основной в техническом пас порте пружины. Вместе с тем используется понятие о динамической жест кости пружин как зависимости, которая характеризуется связью смещения в точке контакта и параметрами гармонической прикладываемой силы.

Динамическая упругость, определяемая таким образом, может существен но отличаться от случая статического приложения силы. Конструктивное исполнение упругого элемента оказывает влияние на вид упругой характе ристики в статическом и динамическом аспектах.

II. При анализе динамических свойств сложных объектов вполне ес тественной является тенденция выбора расчетных схем в виде механиче ских колебательных систем с одной и двумя степенями свободы, посколь ку более сложные системы становятся малодоступными для аналитических оценок. В этом случае масса объекта защиты, упругие и диссипативные свойства элементов формируют приведенные свойства системы. При изу чении динамических свойств виброзащитных систем, связанных с учетом особенностей конструкций и систем взаимодействия их фрагментов, часто используются такие понятия, как приведенная масса объекта или его со ставной части, а также понятия приведенной жесткости, приведенного демпфирования и т. д. [1.8].

Таким образом, упругое устройство, с учетом его реального конст руктивно-технического оформления, можно рассматривать как фундамен тальное понятие, основанное на интегрированном представлении об уп ругой реакции, стремящейся вернуть систему в исходное положение. От метим, что такое действие можно связывать с наличием в упруго колебательной системе отрицательной обратной связи [1.2, 1.9]. Вместе с тем работа упругого элемента сопровождается преодолением сопротивле ния внешних и внутренних сил, что приводит к диссипации энергии за цикл, уменьшает амплитуду свободных колебаний и проявляется, специ фическим образом, в вынужденных колебаниях. В связи со спецификой за дач исследования, те или иные свойства пружин могут рассматриваться на соответствующем уровне детализации и представлять собой параллельное соединение нескольких элементов (упругого, диссипативного и массои нерционного). Каждый из элементов, с такой точки зрения, является неде лимым на более простые звенья представителем расширенного набора ти повых элементов виброзащитных систем (усилительного, дифференци рующих первого и второго порядка). При этом полагается, что типовой элемент на входе имеет смещение, а на выходе – силовой сигнал или силу.

В дальнейшем развитии таких подходов используются правила параллель ного сложения и последовательного соединения пружин (рис. 1.4 и 1.5).

В простейших формах эти связи имеют вид кинематических пар различно го вида, чаще всего V класса, хотя по мере усложнения конструктивного вида упругих элементов контакты между элементами системы могут опре деляться и сложными кинематическими парами.

III. Внутренняя логика развития подхода, основанного на возможно сти обобщенных представлений о свойствах пружин, предопределяет не только использование понятий о приведенной жесткости (или упругости), приведенном сопротивлении, приведенной массе, но и введение понятия об обобщенной пружине, что уже упоминалось [1.6], как некотором уст ройстве достаточно общего вида, исполняющем роль связующего звена между объектом и основанием, между фрагментами системы и т. д. Фор мализованное представление об обобщенной пружине может дать переда точная функция в виде дробно-рационального выражения a0 + a1 p +... + an p n Wоб.пр ( p ) =, (1.1) b0 + b1 p +... + bm p m где коэффициенты ai (i = 0, n) и b j ( j = 0, m) определяются конкретными параметрами конструктивно-технического оформления обобщенной пру жины. Удобство предлагаемого подхода заключается в возможности фор мализованной оценки всего многообразия пространства решений, связан ных с выбором передаточной функции обобщенной пружины, которая мо жет иметь форму комбинаций в соединении вышеупомянутых элементар ных звеньев, представлять собой различные механизмы или колебательные структуры (рис. 1.6). Подробности таких представлений излагаются, на пример, в работах [1.1, 1.2].

При упрощении расчетных схем, например, в работах [1.10, 1.11] по казана эффективность выбора для предварительного исследования базовых расчетных схем в виде систем с одной, двумя или тремя степенями свобо ды. При этом все изменения структуры и состава этих механических коле бательных систем связаны с идеями введения дополнительных связей раз личной природы, как показано на рис. 1.7.

Упругий элемент в базовой модели (рис. 1.7 б) играет роль «подстра ховочного» элемента, когда дополнительная связь (или обобщенная пру жина) Wдоп (p) имеет отрицательный знак и соответствует статической или динамической неустойчивости. Глубокая аналогия между механическими колебательными системами и эквивалентными в динамическом отношении системами автоматического управления проявляется в том, что элементар ные звенья механических колебательных систем могут иметь отрицатель ные значения передаточных функций (например, может быть построен уп ругий элемент с отрицательной жесткостью) [1.12]. Однако принципы по строения набора типовых звеньев в теории автоматического управления (ТАУ) и структурной теории ВЗС [1.2] не всегда одинаковы, хотя по ряду правил и связей имеются совпадения. В структурной теории ВЗС типовые элементы не являются составными, а более сложные формируются (это звенья второго уровня) из комбинаций последовательно и параллельно со единенных звеньев, тогда как в теории автоматического управления ряд типовых звеньев может быть разложен на простые.

m m y y k Wдоп k z z Рис. 1.7. Базовая модель виброзащитной системы:

а) система из упругого элемента и массы объекта m ;

б) система из упругого эле мента, массы m и дополнительной связи (обобщенной пружины), включенной параллельно звену с передаточной функцией (1.1) 1.2. Тенденции развития направлений исследований С учетом изложенных методологических позиций, рассмотрим осо бенности формирования направлений в разработке систем защиты обору дования, технологических и транспортных машин и их агрегатов, прибо ров и аппаратуры от действия вибраций. Задачи виброзащиты и виброизо ляции часто рассматриваются с выделением двух аспектов, в которых вни мание фиксируется на механической системе, состоящей из двух подсис тем, соединенных между собой связями. К одной подсистеме относят про цессы формирования колебаний и называют ее источником колебаний. В свою очередь, вторая подсистема становится объектом виброзащиты, ко лебания которого стремятся уменьшить. Силы связи, возникающие между источниками колебаний и объектом, называют динамическими воздейст виями [1.1]. Не вдаваясь в подробности о видах сил, отметим, что умень шение интенсивности колебаний объекта может быть достигнуто следую щими способами:

- уменьшением уровня динамических воздействий, возбуждаемых некоторыми источниками, что можно отнести к снижению вибро активности источника;

- изменением конструкции объекта, при котором заданные воздей ствия (в расширенном понимании их можно рассматривать как механические, полагая, что динамические представляют лишь оп ределенную часть механических) будут вызывать менее интен сивные колебания объекта или отдельных его частей;

- присоединением к объекту дополнительной механической систе мы, изменяющей характер его колебаний (метод динамического гашения колебаний, или введение динамических гасителей коле баний);

- установкой между объектами и источником воздействий допол нительных систем, называемых виброизоляторами.

По каждому из направлений имеется достаточно развитая научная база, в которой существенное значение приобретают конструктивные осо бенности технологических машин и оборудования. Для нас важным явля ется то обстоятельство, что динамическое состояние объекта, в том числе и уменьшение уровня его колебаний, связано с введением в механическую систему дополнительных связей в различных конструктивно-технических формах. Этим достигается снижение виброактивности механизмов и ма шин, а также изменение структуры объекта, что связано, в свою очередь, с изменениями упругих и демпфирующих свойств объекта. В этом смысле представительными формами, отражающими физический смысл введения дополнительных связей, являются динамические гасители колебаний.

В соответствии с традиционными представлениями виброизоляторы (в том числе и пружины), демпферы и динамические гасители колебаний образуют в совокупности виброзащитные устройства. Такие устройства могут быть пассивными и состоять из инерционных, упругих и диссипа тивных элементов. Но могут быть и исключения, если используются ак тивные устройства, которые более сложны и, как правило, обладают неза висимыми источниками энергии [1.3].

Отметим, что общим для перечисленных форм дополнительных уст ройств, вводимых в структуру механических систем (они называются виб розащитными), является то, что каждое из дополнительных устройств пас сивной или активной природы реализует в системе силовое воздействие, то есть, по существу, является специально вводимой силой. Дополнительная сила зависит от тех или иных параметров динамического состояния меха нической системы. Если такая система определяется нами как виброза щитная, то интерес представляет, в первую очередь, динамическое состоя ние объекта защиты. Параметрами динамического состояния могут быть не только кинематические, но и динамические параметры. В целях обеспе чения надежности работы виброзащитной системы в целом могут рассмат риваться и другие параметры состояния системы, необходимые для соот ветствующих инженерных расчетов. Такой подход к виброзащитным сис темам предопределяет развитие более общих представлений об объектах защиты, динамических воздействиях. Это связано, в частности, с понятия ми об управлении динамическим состоянием объекта защиты. Такое по нимание задач виброзащиты и виброизоляции развивается в структурной теории виброзащитных систем, в которой нашли отражение представления о мехатронной природе процессов движения механических колебательных систем [1.2].

Отметим, что основные понятия динамики механических колеба тельных систем связаны с реализациями в различных конструктивно технических формах, что предполагает возможности интеграции свойств различных элементов в формах одной конструкции: упругость – демпфи рование и упругость – инерционность, преобразование видов движения – наличие режимов динамического уравновешивания или динамического суммирования инерционных сил встречных направлений, зависимость уп руго-инерционных, а следовательно и диссипативных свойств, от геомет рических свойств систем или их структуры.

Отмеченное предопределяет возможность расширения представле ний об элементной базе механических колебательных систем за счет вве дения новых элементов, отражающих специфические свойства в динами ческих взаимодействиях. В этом случае расширение набора элементной базы влияет на возможности создания структуры системы, что проявляется в новых конструктивно-технических решениях. Можно отметить и то об стоятельство, что в составе виброзащитных систем начинают рассматри ваться не только отдельные элементы и их комбинации, но и механизмы, в числе которых, в первую очередь, можно было бы отметить рычажные, а также многие другие виды механических цепей.

1.3. Связи в механических системах Вопрос о связях в механических системах относится к нескольким научным направлениям, в том числе к аналитической механике [1.13], теории механизмов и машин [1.14], теории колебаний [1.7] и др. Напри мер, в работе [1.13] отмечено: «Приспособления, осуществляющие зави симости между величинами, определяющими положение и скорости точек системы, называются связями». То есть связи в физическом смысле вы ступают в виде некоторых реальных ограничений;

в первую очередь тако выми являются элементы механических колебательных систем. Простей ший и наиболее важный класс представляют позиционные связи: они осуществляют зависимости между координатами точек системы и анали тически выражаются соотношениями fi ( y1, y2, y3,... y3N ;

t ) = 0, (i = 1, r );

(1.2) называемыми уравнениями связи ( r - означает число уравнений связи).

При этом r 3N, а знаку равенства соответствует отношение систе мы по заранее предопределенному закону движения. В этом смысле полу ченные уравнения движения механических колебательных систем в форме преобразований Лапласа являются уравнениями связи.

Если рассматривать соотношения между материальными точками и абсолютно твердыми телами (в дальнейшем просто твердыми телами), то целесообразно выделить двухсторонние (уравновешивающие) или одно сторонние связи;

двухсторонние связи задаются равенствами.

В дальнейшем для механических колебательных систем принимают ся во внимание системы с голономными стационарными связями. Предпо лагается, что уравнения (1.2) позиционных связей независимы, то есть f1,i... fr не ограничены соотношениями вида Ф( f1, f 2...... f r ) = 0, (1.3) что налагает определенные требования к матрицам системы (ранг матри цы, дефект матрицы, свойства якобиевой матрицы и др.) [1.13].

В этом случае система уравнений (1.2) будет неразрешима относи тельно y1, y2,... yr, и координаты могут быть выражены через остальные 3N - r координат yr +1... y3 N и время t. Получим соотношения вида:

yk = yk ( yr +1... y3 N ;

t ) (k = 1, r ), (1.4) в которых yr +1, y3 N независимы друг от друга. Их число n = 3N - r (если рассматривается голономная система) называется числом степеней свобо ды системы. Соотношения (1.4) определяют остающиеся координаты y1... yr через независимые. Такой подход позволяет отходить от использо вания независимых декартовых координат yr +1.... y3 N и вместо них вво дить величины q1...qn = q3 N -r, определяющие конфигурацию системы.

В частности, это могут быть расстояния, углы, точки на поверхности, пло щади и т. д. Важным является соблюдение соотношений yr + k = yr + k (q1...qn ;

t ) (k = 1, n), (1.5) определяющих независимые декартовы координаты. Такие соотношения должны удовлетворять условию необращения в нуль якобиана, что выра жает независимость величин yr +k и разрешимость уравнений (1.5) относи тельно q1...qn. В результате декартовы координаты всех точек системы окажутся выраженными через величины q1...qn, называемые обобщенны ми координатами, и через время t. Если связи стационарны, то можно так построить набор обобщенных координат (т. е. соотношение (1.5)), чтобы время t не входило в первоначальные уравнения (исключить t )).

Отметим, что «Объектом рассмотрения в аналитической механике являются материальная точка, система конечного числа свободных (в не бесной механике) или подчиненных связям материальных точек, одно или несколько связанных друг с другом тел» – именно в такой форме в [1.13] вводится понятие о сочленениях твердых тел.

В некоторых задачах динамики сочлененных тел или механических систем с сочленениями элементов целесообразно задавать конфигурацию или структуру системы параметрами q1...qn...qn+ m. Их называют избыточ ными обобщенными координатами. Между n + m параметрами q1...qn+m существует m соотношений, которые могут содержать и время:

Fk (q1...qn+ m ;

t ) = 0 (k = 1, m). (1.6) Эти соотношения, представляющие обобщенные уравнения связей, долж ны быть разрешимы относительно m из n + m величин qs, при этом де фект якобиевой матрицы должен быть равен нулю.

В общем случае конфигурация системы задается n независимыми параметрами q1...qn ;

однако при определении скоростей ее точек можно пользоваться не непосредственно обобщенными скоростями q1...qn, а не которыми их линейными формами с координатами, зависящими от обоб щенных координат.

ws = as1q1 +.... + asn qn = 0 ( s = 1, n).

& & (1.7) Если число соотношений n n, то за формы wn+1 можно принимать qn+1....qn. Величины ws называются квазискоростями [1.13].

& & Понятие «связи», рассмотренное выше, связано с представлениями о взаимодействиях между элементами механических систем. В физиче ском смысле связи в системах, если рассматриваются механизмы и уст ройства, в которых конструктивно-техническая реализация имеет осо бенности, определяются как кинематические пары различных классов.

Такие подходы развиты в теории механизмов и машин [1.14, 1.15].

В развитой форме аналитический аппарат для описания кинематических соотношений параметров сочлененных твердых тел нашел отражение в работах [1.16, 1.17]. В робототехнике, в частности в [1.18], «сочленение»

используется как некоторое обобщенное понятие, позволяющее объеди нить различные формы взаимодействия между элементами контакти рующих твердых тел. В этом отношении можно было бы отметить воз можности «виртуальных» сочленений, под которыми можно понимать некоторые формы самоорганизации движения в колебательных систе мах, когда тела движутся в фазе или в системе наблюдается режим ди намического гашения колебаний. То есть использование понятия «со членение» не противоречит понятиям «связь» или «кинематическая па ра» того или иного вида. Можно полагать, что при наличии большего числа контактов между телами понятие «сочленение» становится более адекватным в представлениях о возможных конструктивно-технических связях. Такая ситуация возможна, например, в виброзащитных системах с рычажными связями [1.19].

Ряд вопросов теоретического плана рассмотрен в [1.20], посвящен ной технологиям построения математических моделей с сочленениями звеньев.

1.4. Формы динамических взаимодействий Обобщая представления об основных свойствах динамических сис тем, отметим, что введение дополнительных связей реализуется через при соединение одних элементов к другим. При этом важен учет особенностей и конструктивных форм соединений, поскольку они часто определяют ди намические возможности систем. К примеру, можно отметить, что введе ние динамического гасителя как дополнительного устройства соответству ет введению в механическую колебательную систему так называемых до полнительных связей [1.1]. Конструктивные особенности дополнительных связей можно увидеть в том, что дополнительные связи должны иметь точки крепления, то есть принимать форму дуальных элементов, и обеспе чивать возможность создания из них, в динамическом смысле, некоторых структур или блоков, что определяется сочленениями. В простейших фор мах сочленение интерпретируется как кинематическая пара. Последнее по зволяет в механических колебательных системах рассматривать в случае необходимости сочленения элементов систем или сочленения звеньев, а также сочленения твердых тел, часто принимающих форму сочленения стержней между собой или стержней и твердых тел. Учет сочленений не обходим для динамических расчетов, поскольку их наличие определенным образом меняет динамику системы. В реальных конструкциях сочленение может обладать упругими и диссипативными свойствами, что может вы ражаться через дополнительные степени свободы взаимного движения.

Однако, делая жесткость упругих соединений высокой, мы можем перехо дить к введению или формированию сочленения как элемента, ограничи вающего свободу движений.

Учет сочленений часто связан с рассмотрением в механических сис темах рычажных соединений, рычажных механизмов, рычажных связей, что привносит определенную специфику в оценку спектра динамических возможностей механических колебательных систем и, в частности, вибро защитных.

Рассмотрение конструктивно-технических форм реализации в техни ческих системах функций упругих, диссипативных и упруго-диссипатив ных звеньев показывает, что так называемые элементарные звенья доста точно сложны по своему устройству, содержат соединения твердых тел между собой и могут называться шарнирами. В свою очередь шарниры яв ляются кинематическими парами, которые в теории механизм и машин представлены в нескольких классификациях [1.14]. Наибольшее распро странение получили кинематические пары V класса (вращательные шар ниры, поступательные пары), IV класса (зубчатые передачи, кулачковые механизмы) и пары III класса (сферические шарниры).

I. Сочленение твердых тел характерно для машин, поскольку по следние состоят из механизмов, а те, в свою очередь, представляют собой механические цепи, состоящие из твердых тел, соединенных кинематиче скими парами. В теоретической механике развит аналитический аппарат, позволяющий решать задачи статики, кинематики и динамики сочленений, например, при рассмотрении движения физических маятников с одной и двумя степенями свободы, бифилярных подвесов, горизонтальных маятни ков сейсмических приборов и др. [1.21]. Вместе с тем в строении механи ческих колебательных систем имеется определенная специфика, так как такие системы состоят из твердых тел или материальных точек, соединяе мых пружинами и демпферами, при этом на физических формах самого соединения внимание к его деталям, как правило, не фиксируется. Однако вид самого соединения, как такового, имеет значение. Надежная работа машин и механизмов в большинстве случаев обеспечивается удерживаю щими голономными связями. Если связи носят неудерживающий характер, то динамика взаимодействия соединимых тел будет иметь специфический характер.

Сочленение локализует место динамического взаимодействия, что требует разработки детализированной методики построения математиче ских моделей, позволяющих определять те или иные параметры механиче ских систем. В идеализированном виде сочленение привносит в систему определенные кинематические ограничения. Так, например, сочленение обеспечивает одинаковые скорости двум точкам, которые принадлежат разным телам. В этой точке возникают динамические реакции. Место рас положения сочленения изменяет приведенные значения массоинерцион ных, упругих и других характеристик системы. В реальных условиях в со членениях возникают силы трения. Если сочленения обладают упругими свойствами, то учет таких особенностей деталей связан с повышением сложности математических моделей, с увеличением числа рассматривае мых независимых степеней свободы движения. Переход к идеализирован ной системе может быть осуществлен увеличением жесткости сочленения, что в предельном переходе приводит к упрощению математической моде ли [1.22].

Определение динамических реакций в сочленениях, учет особенно стей возникающих в сочленениях сил, условия самоторможения, влияние люфтов, автоколебания и др. рассматриваются в специальных разделах теории механизмов и машин. На рис. 1.8 приведены расчетные схемы, от ражающие различные виды сочленений в колебательных движениях.

j j j j j Рис. 1.8. Расчетные схемы механических колебательных систем с сочленениями:

а – стержень с массой;

б – двойной маятник;

в – система с устройством для преобразования движения;

г – Г-образный динамический гаситель колебаний;

д – схема подвески Приведенные расчетные схемы дают представление о физических особенностях движения, взаимном расположении сочлененных тел. Иссле дование динамических свойств систем с сочленениями естественным обра зом связано с изучением влияния мест расположения точек сочленения.

Если такие точки расположены вблизи центра тяжести и массы присоеди няемых тел различаются достаточно сильно, то можно полагать относи тельно малые смещения центра. Однако ситуация меняется, если смещения существенно изменяют инерционно-массовые характеристики.

II. Одной из первых работ, посвященных динамике колебательных движений в механизмах, стала работа [1.15], в которой учтена специфика движения механизмов с учетом различных кинематических пар или вида сочленения твердых тел. Ряд вопросов конкретной направленности решен применительно к зубчатым механизмам, используемым в силовых переда чах и приводах [1.23], винтовым несамотормозящим механизмам [1.1, 1.2], шарнирно-рычажным [1.24]. Большую роль сочленения играют в различ ных технических системах с квазинулевой жесткостью [1.25, 1.26], по скольку последние состоят из механизмов, а те, в свою очередь, представ ляют собой механические цепи из твердых тел, соединенных кинематиче скими парами [1.14]. В теории механизмов и машин имеется аналитиче ский аппарат, позволяющий решать задачи статики, кинематики и динами ки сочленений путем определения реакций в шарнирах. Вместе с тем вид самого соединения как такового имеет значение. Надежная работа машин и механизмов в большинстве случаев обеспечивается удерживающими го лономными связями. Если связи носят неудерживающий характер, то ди намика взаимодействия соединимых тел будет иметь специфический ха рактер.

В рамках структурной теории механических колебательных сис тем, в частности виброзащитных систем, элементарное звено представ ляет собой некоторое устройство, имеющее две точки, которыми оно за крепляется в структуре системы. Именно с таких позиций рассматрива ются последовательные и параллельные соединения звеньев расширен ного набора типовых элементов в работах [1.1, 1.2, 1.27]. В системах с несколькими степенями свободы твердые тела могут быть связаны меж ду собой кинематическими парами определенного вида: чаще всего ис пользуются вращательные и поступательные пары V класса, сфериче ские шарниры.

Наличие сочленений элементов открывает возможности для обобще ния представлений о возможных формах связей в виброзащитных систе мах, что позволяет перейти к представлениям об обобщенных динамиче ских связях, принимающих в реальных конструктивных вариантах различ ные формы:

- элементарные звенья и их соединения между собой на уровне блоков;

- элементарные звенья расширенного набора типовых элементов механических колебательных систем и их соединения между со бой в структуры на основе правил последовательного и парал лельного соединения дуальных элементов;

- механические колебательные цепи;

- механизмы различных видов (рычажные, винтовые, зубчатые и др.);

- активные системы формирования управляемых сил на основе сер воприводов.

В целом акцентирование внимания на сочленениях, так или иначе, тесно связано с рычажными взаимодействиями, что особенно характерно для динамики транспортных систем.

1.5. Структурные подходы в теории виброзащитных систем Развитие структурных подходов связано с работами [1.1, 1.2] и опи рается на результаты исследований в области теории электронных, элек трических и радиоцепей. Методы электромеханических аналогий позво ляют сопоставить механические колебательные системы и, в частности, механические цепи и эквивалентные в динамическом отношении электри ческие цепи [1.2, 1.27], состоящие из типовых элементов электротехники (сопротивлений, емкостей, индуктивностей). Развитые системы моделиро вания позволяют отображать такие свойства механических систем, как ры чажные взаимодействия, распределенность массоинерционных и упругих параметров, наличие нелинейностей. Принимая во внимание сложности учета нелинейных эффектов в вибрационных взаимодействиях, моделиро вание на электрических цепях может оказаться перспективным для многих задач исследования.

В работах [1.1, 1.2] показано, что структурные подходы, основанные на использовании механических цепей и правил преобразования дуальных элементов, приводят к таким же результатам, как и использование в каче стве аналога структурных схем систем автоматического управления, экви валентных в динамическом отношении исходным расчетным схемам. На рис. 1.9 (а) представлена расчетная схема объекта защиты в виде механи ческой колебательной системы с двумя степенями свободы. На рис. 1.9 (б) и 1.9 (в) приведены, соответственно, структурная (детализированная и обобщенная) схема эквивалентной САУ, а также схема механической цепи (рис. 1.9 г) в виде, предполагающем возможность перехода к электриче скому аналогу.

В [1.1, 1.2] отмечено, в частности, что для структурных преобразова ний механических цепей, если рассматриваются дополнительные связи, достаточно правил параллельного и последовательного соединения пру жин. При этом понятие передаточной функции не используется, хотя вво дятся понятия комплексного сопротивления и комплексной подвижности или податливости [1.5]. Основная идея работы состоит в том, что механи ческая цепь легко интерпретируется в электрическую цепь, для чего ис пользуются два варианта электромеханических аналогий [1.27];

вводится ряд новых элементов для колебательных систем, например, используется понятие о рычаге, как отдельном элементе колебательных структур, кото рое представляет интерес в задачах динамического синтеза на основе тео рии построения фильтров.

Подходы, изложенные в работах [1.1, 1.2], были развиты в пред положении, что набор традиционных элементов механических колеба тельных систем может быть расширен за счет введения дифференци рующих звеньев второго порядка и др. В конечном итоге, это позволи ло предложить несколько научных идей, оказавшихся перспективными для динамического синтеза виброзащитных систем с позиций мехатро ники.

Рис. 1.9. Расчетная (а), детализированная (б), обобщенная (в) схемы, а также схема-аналог (г) для построения электрической схемы Введение понятия обобщенного элемента системы, как устройства, входом которого является смещение, а выходом – сила, связано с исполь зованием передаточной функции, которая может рассматриваться, с одной стороны, как объединение простейших типовых элементов (неделимых, в некотором смысле), с другой стороны, обобщенное звено может быть по строено по определенным правилам как некоторая структура той или иной степени сложности.

Для получения передаточных функций дополнительных связей ме ханических колебательных систем можно использовать лишь два правила структурных преобразований (параллельное и последовательное соедине ние пружин). Последнее вполне физически объяснимо, так как все элемен ты механической колебательной системы, по существу, являются пружи нами того или иного типа (по определению). По сравнению с теорией ав томатического управления с ее структурными схемами, передаточные функции которых строятся на системе правил умножения, суммирования и обратных связей, в структурном изображении механических колебатель ных систем, как дополнительных обратных связей, существуют свои осо бенности, хотя конечные результаты совпадают. Структурные подходы в представлениях механических колебательных систем привели к развитию способов описания свойств систем с использованием понятий «приведен ная масса», «приведенная жесткость упругих элементов» и т. д.

В оценке динамических свойств механических колебательных сис тем играют роль отношения жесткостей, отношения длин плеч для тел, со вершающих плоское движение, что привело к введению понятий рычаж ных связей, рычажных звеньев и, в целом, к понятию определенного гео метрического пространства, в котором совершается колебательное движе ние механической системы.

Структурные методы, опирающиеся на аппарат теории автоматиче ского управления, основаны на представлениях о типовых звеньях систем автоматического управления и на правилах их соединения. Такие подходы достаточно развиты, но не являются единственными. Определенными пер спективами обладают методы построения структурных интерпретаций систем автоматического регулирования и управления, развитые в [1.2]. Что касается механических колебательных систем, то их состав определяется своим набором звеньев, которые принадлежат к одному виду или семейст ву элементов (на входе – смещение, на выходе – сила), поэтому правила их соединения также носят специфичный характер.

На основе проведенного сравнительного обзора работ в области дина мики машин, связанных с задачами виброзащиты и виброизоляции, можно сделать ряд выводов.

1. Расчетные схемы в задачах транспортной механики представляют со бой механические колебательные системы, типовыми элементами которых яв ляются массоинерционные звенья и устройства, реализующие силовые связи между ними. Последние представляют собой упругие элементы в виде различ ных пружин (винтовых, листовых и др.), а также элементов для рассеивания энергии (пневматические и гидравлические демпфера, фрикционные гасители и т. д.). И те и другие в диапазонах малых смещений могут рассматриваться как линейные устройства.

2. Массоинерционные элементы в механических колебательных систе мах могут принимать различные формы:

· в простейших случаях – материальные точки;

· в случаях плоского движения – твердые тела, обладающие массой и моментом инерции относительно центра тяжести;

· при пространственных движениях объекта защиты – твердое тело, обладающее массой и моментами инерции относительно трех осей в выбранной системе координат для описания движения объекта защи ты;

· в сложных случаях движения возможны связи твердых тел, реали зуемые через кинематические пары V, IV и III классов, а объект защи ты или фрагменты виброзащитной системы принимают форму меха низма.

3. Упругие и диссипативные элементы могут объединяться между собой по правилам последовательного и параллельного соединения, что находит на практике различные формы конструктивно-технической реализации (аморти заторы, гасители колебаний и т. д.).

4. В конкретных задачах транспортной динамики связи образуют вместе с массоинерционными элементами механические колебательные системы: при этом линии действия сил могут не совпадать, образуя определенную «метри ку» механической колебательной системы. В качестве соединяющего элемен та, если иметь в виду его физический образ, выступают устройства, которые представляют собой рычаги. Другими словами, в механических колебатель ных системах могут присутствовать или проявляться рычажные взаимодейст вия, хотя при построении расчетных схем и соответствующих математических моделей упомянутые обстоятельства не детализируются и отдельно не рас сматриваются.

5. Сочленения играют существенную роль в динамике систем, обеспечи вая реализацию рычажных связей, образуя шарниры, а также создавая взаимо действия звеньев системы, если последние имеют вид твердых тел. Сочлене ния могут принимать и более сложные виды, если взаимодействия двух звень ев формируются участием упругого или другого элемента, параметры которо го принимают предельные значения и имеют также характер связей, которые могут быть удерживающими к неудерживающим.

6. Массоинерционные элементы, пружины и устройства для диссипации энергии относительного движения образуют традиционный набор элементов, возможные схемы, соединения которых определяют структуру и динамиче ские свойства предлагаемых конструктивно-технических решений. Последнее предполагает и возможные формы дальнейшего развития, которые могут быть связаны и с расширением типового набора элементарных звеньев и видов со единений, разработкой технологии построения структуры механических коле бательных систем с учетом особенностей введения дополнительных связей.

7. Структурные представления механических колебательных систем, в частности виброзащитных систем, обладают, с учетом вышеприведенных со ображений, достаточно ощутимыми преимуществами. Последнее связано с тем, что структурные интерпретации, сохраняя возможности математических моделей, выстраиваемых на формализованной основе, обладают потенциалом оценки возможностей преобразования, характерных для теории графов, теории систем и теории автоматического управления.

Библиография к 1-й главе Елисеев С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброза 1.1.

щиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засядко. – Иркутск : Изд-во Иркут.

гос. ун-та, 2008. – 523 с.

Елисеев С.В. Мехатронные подходы в динамике механических коле 1.2.

бательных систем / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко. – Но восибирск : Наука, 2011. – 394 с.

Фролов К.В. Прикладная теория виброзащитных систем / К.В. Фро 1.3.

лов, Ф.А. Фурман. – М. : Машиностроение, 1985. – 286 с.

1.4. Harris’ Shock and vibration handbook. Fifth edition. Cyril M. Harris.

Allan G. Piersol. McGraw-Hill, Handbooks, USA, 2006. – 970 pp.

Вибрации в технике : справочник в 6 т. Т. 6. Защита от вибраций и 1.5.

ударов / под ред. К.В. Фролова. – М. : Машиностроение. – 1981. – 456 с.

Елисеев С.В. Обобщенная пружина в задачах машин и оборудования 1.6.

/ С.В. Елисеев, С.В. Белокобыльский, Р.Ю. Упырь // Збiрник науко вих праць (галузеве машинобудування, будiвництво): Полтавський нацiональний технiчний унiверситет iменi Юрiя Кондратюка. Т. 1. – Полтава : ПолтНТУ, 2009. – Вып. 3(25). – С. 79–89.

Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М. : Наука, 1975. – 1.7.

638 с.

Белокобыльский С.В., Ситов И.С. Приведенные жесткости двумер 1.8.


ных систем // Современные технологии. Системный анализ. Модели рование. – Иркутск : ИрГУПС, 2007. – Вып. 4(16). – С. 46–54.

Елисеев С.В. Новые подходы в теории колебаний. Задачи управления 1.9.

динамическим состоянием колебательных систем на основе введения дополнительных связей // Винеровские чтения : материалы IV Все российской науч.-практ. конф. – Иркутск : ИрГТУ, 2009. – С. 46–60.

1.10. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Транспортные подвески. Математические модели. Выбор систем координат // Современные технологии. Сис темный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2011. – Вып.

2(30). – С. 8–18.

1.11. Ермошенко Ю.В., Трофимов А.Н., Насников Д.Н., Паршута Е.А. Воз можности упрощения механических колебательных систем // Вест ник Иркутского регионального отделения Академии наук Высшей школы. – Иркутск, 2010. – Вып. 2(17). – С. 147–154.

1.12. Елисеев С.В. Упругие элементы с отрицательной жесткостью в виб розащитных системах. Возможности физической реализации / С.В.

Елисеев, Р.Ю. Упырь // Современные технологии. Системный ана лиз. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – Вып. 1(25). – С. 23–28.

1.13. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. – М. : Госфизмат ;

Л., 1961. – 824 с.

1.14. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин / И.И. Артоболев ский. – М. : Наука, 1975. – 638 с.

1.15. Левитский Н.И. Колебания в механизмах / Н.И. Левитский. – М. :

Наука, 1988. – 356 с.

1.16. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й. Виттенбург. – М. :

Мир, 1980. – 295 с.

1.17. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных твердых тел. – М. :

Наука, 1993. – 273 с.

1.18. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Лукьянов А.В. Упругие колебания робо тов. – Новосибирск : Наука, 1992. – 286 с.

1.19. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических ко лебательных систем. Теоретические аспекты / С.В. Елисеев [и др.]. – Иркутск : ИрГУПС, 2009. – 159 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №737 В 2009.

1.20. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленения ми. Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : Ир ГУПС, 2010. – Вып. 3(27). – С. 8–18.

1.21. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики : в 2 т. Т. 2. Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М. : Наука, 1980. – 640 с.

1.22. Хоменко А.П. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы системы / // А.П. Хоменко, С.В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моде лирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – № 4(28). – С. 8–15.

1.23. Вейц В.Л. Колебательные системы машинных агрегатов / В.Л. Вейц, Е.А. Кочура, А.К. Федотов. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1979. – 256 с.

1.24. Ермошенко Ю.В., Ситов И.С. Шарнирно-рычажные механизмы в пе редачах вращательного типа // Вестник Ижевского гос. технического университета. – Ижевск : ИжГТУ, 2010. – Вып. 4(48). – С. 39–43.

1.25. Говердовский В.Н. Развитие теории и методов проектирования ма шин с системами инфранизкочастотной виброзащиты : автореф. дис.

… д-ра. техн. наук / В.Н. Говердовский. – Новосибирск, 2006. – 42 с.

1.26. Алабужев П.М. Виброзащитные системы с квазинулевой жесткостью / П.М. Алабужев, А.А. Гритчин, Л.И. Ким ;

под ред. К.М. Рагулькиса. – Л. : Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986. – 96 с.

1.27. Дружинский И.А. Механические цепи. – М. : Машиностроение, 1977. – 240 с.

ГЛАВА 2. ИЗМЕНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ ВВЕДЕНИИ СОЧЛЕНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ Сочленения играют большую роль в динамике механических систем.

Их разнообразие предопределяет интерес к связям, возникающим между элементами механизмов, кинематическим парам и соединениям [2.1]. По нятие «сочленение» несколько отличается от понятий «соединение», «ки нематическая пара», «связь», поскольку несет в себе, в определенном смысле, «предысторию» своего формирования.

В простейших вариантах звенья, соединяемые шарниром, допускают вращательно-качательные движения относительно друг друга. При этом сочленение из общего числа степеней свободы производит «исключение»

одной степени свободы в движениях. В практике виброзащиты могут встречаться звенья, замыкающие на себе через сочленения несколько эле ментов. Кроме соединения подвижных звеньев между собой часто встре чаются соединения твердых тел с неподвижными звеньями или с основа нием (или условно неподвижной системой) [2.2]. Вращательные сочлене ния твердых тел привносят в системы рычажные связи. Поскольку сочле нения уменьшают число степеней свободы системы в целом, то достаточно рациональным подходом представляется первоначальное составление об щей модели без ограничений движения. В этом случае математическая мо дель системы может быть представлена в преобразованиях Лапласа в виде уравнения Ay = b, (2.1) где A – матрица операторных коэффициентов;

y – вектор-столбец пере менных;

b – вектор столбец внешних воздействий (преобразования Лапла са).

Обычно матрица A имеет порядок nn и является симметричной.

При построении математических моделей систем с сочленениями могут использоваться различные системы обобщенных координат, главным об разом такие, в которых координаты отражают относительное движение.

Сочленение может быть реализовано по отношению к элементу, совер шающему «абсолютное» движение. Естественно при этом, что системы координат допускают соответствующие взаимные преобразования.

Выбирая системы координат соответствующим для поставленной за дачи образом, отметим, что рассматриваемые пары или блоки сочленения будут находиться на диагонали матрицы. Введение сочленения означает исключение соответствующих столбцов и строк матрицы операторных ко эффициентов, включая и «исключения» соответствующей правой части уравнения (2.1). Внешнее воздействие в этом случае перераспределяется соответствующим образом при выборе систем обобщенных координат, где необходимо соблюдать условия равенства виртуальных работ обобщенных сил в различных системах обобщенных координат [2.3].

2.1. Общие положения. Постановка задач исследования Рассмотрим ряд конкретных примеров использования процедур по строения математических моделей, а также примеры сочленений. Набор возможных сочленений может обеспечивать сложные формы взаимодейст вий, в том числе и на основе кинематических пар IV, III и II классов [2.4].

На рис. 2.1 представлена расчетная схема виброзащитной системы (ВЗС), в которой имеется два блока, наличие которых отражается контурами I и II.

В основе блоков – твердое тело, обладающее массой и моментом инерции;

в составе ВЗС задействованы упругие элементы, предполагается, что сме щение центра тяжести блока I не оказывает существенного влияния на ди намику системы в целом, а силы сопротивления достаточно малы.

y y m A k j A k y0 l 8 E y1 y m J0 B k k1 k B z z z z Рис. 2.1. Расчетная схема ВЗС, имеющей два контура взаимодействия Расчетная схема в виде колебательной системы с тремя степенями свободы ( y y 2 ) может рассматриваться как фрагмент ВЗС, в которой со вместно работают блок I (контур I рис. 2.1) и блок II (контур II рис. 2.1), состоящий из твердого тела, опирающегося на упругие опоры. Контуры I и II находятся во взаимодействии через упругий связующий элемент k01. В свою очередь, твердое тело не только опирается на упругие опоры k и k2, но имеет упругую связь k0, линия действия которой проходит через центр тяжести балки в точке О. Примем, что A1 O = l1, B 2 O = l2, а присоеди ненная масса m не вызывает значительных изменений массоинерционных параметров системы. Силы сопротивления также считаются малыми. По лагая жесткости k01 и k0 достаточно большими, можно преобразовать рас четную схему к виду, показанному на рис. 2.2.

y y m m y A j y y k l1 m l2 B k1 k B z z z1 z Рис. 2.2. Преобразованная расчетная схема, содержащая сочленения Для рассматриваемой расчетной схемы могут быть получены мате матические модели, свойства которых зависят от выбора системы обоб щенных координат. При этом представляет интерес формализм построения уравнений движения, на основе которых могут быть построены структур ные схемы и определены передаточные функции системы. Последние дают возможность появления различных режимов движения и оценить роль и влияние введения сочленений.

2.2. Построение математических моделей Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий для расчетной схемы ВЗС, приведенной на рис. 2.2.

1 ( m + m1 ) y 2 + m2 y22, T= & & (2.2) 2 П = k ( y - z ) + k 2 ( y - z1 ) + k 2 ( y 2 - z 3 ), 1 1 2 2 (2.3) 2 2 где y 2 – скорость элемента массой m2 в абсолютном движении, которая & определяется из соотношения y & y2 = - l2 + z 2.

& (2.4) l Знак минуc отражает изменение движения, вызванное рычагами вто рого рода, таким образом найдем, что T = (m + m1 ) y 2 + m 2 [- yi + z 2 (1 + i ) ], 1 1 & && (2.5) 2 l где i = – передаточное отношение рычага.

l Потенциальная энергия определяется выражением П = k ( y - z ) + k1 ( y1 - z1 ) + k 2 ( y2 аб - z3 ) = 1 1 2 2 2 2 (2.6) = k ( y - z ) + k1 ( y1 - z1 ) + k 2 [- yi + z2 (1 + i ) - z3 ].

1 1 2 2 2 Получим дифференциальное уравнение движения для системы на рис. 2.2:

( )( ) && m1 + m2 + m2i 2 + y k + k1 + k 2i 2 = y (2.7) = m2 (1 + i ) &&2 + z2 k 2 (1 + i ) + k1 z1 + kz - k 2iz3.

z Для упрощения расчетов примем, что z1 = z2 = z3;

k1 = 0 и k2 = 0, то гда передаточная функция системы примет вид m2 (1 + i )ip 2 + k y( p ) W ( p) = = z ( p ) (m1 + m + m2 i 2 )p 2 + k, (2.8) где p = jw – комплексная переменная ( j = - 1 ).

В качестве примера на рис. 2.3 показано семейство амплитудно частотных характеристик, построенных на основе (2.8) при изменении па раметра передаточного отношения рычага i в пределах 03 с шагом 0,5.

В качестве исходных приняты следующие параметры системы: m = 100 кг;


m1 = m2 = 20 кг;

k = 10000 Н/м.

На рис. 2.3 через w1 w6 обозначены частоты динамического га шения колебаний. Соответствующие значения частот собственных ко лебаний в сопоставлении с частотами динамического гашения приведе ны в табл. 2.1.

Рис. 2.3. Семейство амплитудно-частотных характеристик системы с передаточной функцией (2.8) Табл. 2. Значения частот собственных колебаний в сопоставлении с частотами динамического гашения w1 w6 для системы на рис. 2. 0,5 1 1,5 2 2,5 i w1 w2 w3 w3 w5 w Значения частот ди- 25,81 15,81 11,54 9,12 7,55 6, намическо го гашения wсоб1 w соб 2 wсоб 3 w соб 4 wсоб 5 wсоб Значения частот соб 8,94 8,45 7,78 7,07 6,38 5, ственных колебаний Из сравнения амплитудно-частотных характеристик следует, что при увеличении i происходит смещение частот динамического гашения влево, то есть разность частот w соб - w дин уменьшается. При этом частота собст венных колебаний также уменьшается, но гораздо медленнее. На высоких частотах коэффициент передачи амплитуды колебаний после режима ди намического гашения стремится к предельному значе m2 i + m2 i нию W ( p ) p® = 1 ;

чем больше i, тем больше будет значение m1 + m + m2 i m i + m2i W ( p) p®. При i ® получим, что W ( p) p® = 2 = 1.

m1 + m + m2i Более детализированная информация о свойствах динамического га сителя колебаний представлена в работе [2.5].

2.3. Возможности моделирования в различных системах координат Произведем ряд выкладок в развитие метода получения математиче ских моделей систем с сочленениями, основанного на упрощениях некото рых более общих систем. При этом используются особенности, возникаю щие при наложении связей. Вернемся к исходной схеме, приведенной на рис. 2.1. Тогда выражения (2.5) и (2.6) для кинетической и потенциальной энергий можно преобразовать к виду 1 1 T = m 0 y 02 + J 0j 2 + m y 2, & & & (2.9) 2 2 1 1 П = k ( y - z ) + k1 ( y1 - z1 ) + k0 ( y0 - z 2 ) + 2 2 2 2 2 (2.10) 1 + k 2 ( y2 - z3 ) + k 01 ( y - y1 ), 2 2 где приняты (рис. 2.1) следующие обозначения: J 0 – момент инерции, m0 – масса промежуточного тела (может превращаться в m1 и m2, соединенные рычагом);

m – масса объекта;

k, k1, k0, k2 – упругие элементы, промежу точного тела, опирающегося на основание;

z z3 – кинематические возму щения. Координаты точек A1 и A2 определяются следующим образом:

yA1 = y1 и y A 2 = y. (2.11) Для получения сочленений между элементами необходимо выполне ние условий y1 - y = 0, y10 = 0, (2.12) где исходные значения y10 = y0 - z2.

Определим для исследований координаты y 0, j и запишем ряд соот ношений l y0 = ay1 + by2 ;

j = c( y2 - y1 ), a = l,b = 1,c =. (2.13) l1 +l2 l1 + l2 l1 + l При движении объекта защиты в системе координат y 0, y2 и y1 вы ражение для кинетической энергии можно привести к виду:

m 0 (ay1 + by 2 ) + J 0 c ( y 2 - y 1 ) + m y 2.

1 1 T= & & & & & (2.14) 2 2 Соответственно потенциальная энергия в данном случае определится 1 1 k ( y - z ) + k1 ( y1 - z1 ) + k 0 ( ay1 + by 2 - z 2 ) + 2 2 П= 2 2 2 (2.15) 1 + k 2 ( y2 - z3 ) + k 01 ( y - z1 ).

2 2 В табл. 2.2 приведены значения коэффициентов уравнений в коорди натах, y1, y2 и y, полученных обычным образом [2.2].

Табл. 2. Значения коэффициентов уравнений движения системы (рис. 2.1) в координатах y1, y2 и y a a11 a (m ab - J c )p (m ) a 2 + J 0 c 2 p 2 + k1 + k 0 a 2 + k 0 ab 2 0 0 a a 21 a (m b + J 0 c )p + k 0 b + k (m 0 ab - J 0 c 2 ) p 2 + k 0 ab 2 2 2 a 31 a 32 a mp 2 + k + k 0 Обобщенные силы по координатам y 0, y2 и y1 имеют вид Qy = k1 z1 +k 0 az2 ;

Qy = k 0bz2 +k 2z3 ;

Qy = k z +k 01z1. (2.16) 1 Полученные уравнения описывают движение в системе координат, отражающих вертикальные перемещения массоинерционных элементов ВЗС. Такую математическую модель можно назвать базовой. Особенность матрицы заключается в том, что a 13 = a 31 = 0, a 23 = a 32 = 0;

это зависит от ха рактера динамических взаимодействий, определяемых структурой ВЗС (рис. 2.1) и выбором системы обобщенных координат.

Перейдем к системе координат x = y - y1, y 0 и j ;

запишем ряд соот ношений y = x + y1 = x + y0 - l1j и получим выражение для кинетической и потенциальной энергий T = m0 ( y0 )2 + J 0j 2 + m( x + y 0 -l1j ), 1 1 1 & & & && (2.17) 2 2 1 1 k ( x + y 0 - l1j - z ) + k1 ( y 0 - l1j - z1 ) + k 0 ( y 0 - z 2 ) + 2 2 П= 2 2 2 (2.18) 1 + k 2 ( y 0 + l 2j - z 3 ) + k 01 ( x ).

2 2 Значения коэффициентов уравнений в координатах j, y 0 и x соот ветственно представлены в табл. 2.3.

Табл.2. Значения коэффициентов уравнений в координатах j, y 0 и x a a11 a (ml + J 0 ) p 2 + kl12 + k1l12 + k 2l22 ( - ml1 ) p 2 - kl1 + k1l1 + k 2l2 ( - ml1 ) p 2 - kl a a 21 a ( - ml1 ) p 2 - kl1 + k1l1 + k2 l2 ( m0 + m ) p 2 + k + k1 + k0 + k 2 ( m ) p 2 + k a 31 a 32 a ( - ml1 ) p 2 - k1l1 (m ) p2 + k ( m ) p 2 + k + k Обобщенные силы по координатам j, y 0 и x имеют вид Qj = -kl1z + k 1l1z1 + k2l2 z3 ;

Qy0 = kz + k 1 z1 + k0 z2 - k2 z3 ;

Q x = kz. (2.19) Математическая модель в системе координат j, y 0 и x отличается от предыдущей модели (координаты y1, y2 и y ) тем, что «нулевые» клет ки в матрице коэффициентов отсутствуют. Что касается координаты x = y - y1, то она может быть «обнулена» предположением, что k01 ® и образуется сочленение, которое можно рассматривать как кинематиче скую пару. Физически это означает, что масса m присоединяется к эле менту ВЗС в т. А с массоинерционными параметрами m0, J 0 и изменяет их (и общую массу, и момент инерции). Движение системы будет описывать ся в этом случае координатами y 0 и j. Необходимые данные для получе ния передаточных функций можно получить, исключая столбец и строку, содержащие x (фактически переменная устраняется, а порядок матрицы уменьшается на единицу).

Для дальнейших расчетов введем систему координат y 0, y1 и x. То гда выражения для кинетической и потенциальной энергий в координатах y 0, y1 и x преобразуются к виду:

T = m0 ( y0 )2 + J 0 a 0 ( y 0 - y1 ) + m ( y 1 + x ) 1 1 2 2 & && && 2 2 или () 1 1 T = m0 y0 2 + J 0 (j ) + m ( y ), &2 & & (2.20) 2 2 где y = y1 + x ;

x = y - y1, тогда y0 - ay j = c ( y2 - y1 ) ;

y0 = ay1 + by 2 ;

y2 =. (2.21) b c ( y0 - ay1) cy - cay1 - bcy1 c Запишем j = cy2 - cy 1= - cy1 = 0 = ( y0 - y1 ) и найдем b b b y0 - ay1 1 a c j = a0 ( y0 - y1 ), где a0 = ;

y 0 = ay1 + by 2 ;

y2 = = y0 - y1 = b 2 b b = a10 y0 - a01 y1. В этом случае выражение для потенциальной энергии в раз вернутой форме в координатах y 0, y1 и x определится 1 1 П = k ( y1 + x - z ) + k1 ( y1 - z1 ) + k0 ( y0 - z2 ) + 2 2 2 2 (2.22) 1 + k2 ( a10 y0 - a01 y1 - z3 ) + k 01 ( x ), 2 2 1 a где a 10 = и a 01 =.

b b В табл. 2.4 представлены значения коэффициентов уравнений систе мы (рис. 2.1) в координатах y1, y0 и x.

Табл. 2. Значения коэффициентов уравнений в координатах y1, y0 и x a a11 a (m + J a ) p ( -J a ) p (-m ) p 2 + k + k + k1 + k2la01 - k2a01a 2 2 2 2 00 a a 21 a (-J a ) p (m + J a ) p + k + k2a - k2a01a10 2 2 2 a 31 a 32 a (-m ) p 2 + k ( m ) p 2 + k + k Обобщенные силы по координатам x, y 0 и y1 имеют вид Qx = - kz ;

Qy = k 0 z 2 + k 2 a01 z3 ;

Qy = kz - k 2 a01 z3 + k1 z1. (2.23) 0 В этой системе координат y1, y0 и x возможно также введение со членения и по координате x. Для получения передаточной функции сис темы, которая имеет две степени свободы y 0 и y1, необходимо исключить соответствующие столбцы и строку. Отметим, что если x = 0, то y1 = y и движение системы при одном шарнире в точке А будет описываться коор динатами y 0 и y1. В данном случае рычаг имеет упругое опирание для своего центра вращения. Наибольший интерес представляет все же случай с двумя сочленениями.

2.4. Введение двух сочленений Рассмотрим систему координат y10, y и x. Вводя ряд соотношений ( y10 = y - z2 ), запишем выражение для кинетической энергии системы:

( ) 1 1 + J 0 a0 2 ( y 10 + z2 - y + x ) + m ( y ), 2 T= m0 y10 + z 2 & & && & & & (2.24) 2 2 c где a 0 =, а также запишем выражение для потенциальной энергии систе b мы П = П1 + П 2 + П 3 + П 4 + П5, (2.25) где П1 = k ( y - z ) = k ( y 2 - 2 yz + z 2 ), П 2 = k1 ( y - x - z1 ) = k1 ( y 2 - 2 yx + x 2 - 2 z1 y + 2 z1 x + z 2 ), 1 1 1 2 2 2 2 П3 = k 0 ( y10 ), П 4 = k 2 ( a10 y10 - a01 y + a01 x + z0 ) = k2 ( a 210 y10 - 2 a10 a01 y10 y + 1 1 2 2 2 2 + a01 y 2 + 2a01 x + 2a01 xz0 + z0 + 2a01a10 xy10 - 2a01 xy + 2a10 z0 y10 - 2a01 z0 y ), П5 = k01 x 2.

2 2 2 где z 0 = a10 z 2 - z 3.

В табл. 2.5 приведены коэффициенты уравнений в координатах y10, y и x.

Табл. 2. Значения коэффициентов уравнений в координатах y10, y и x a a11 a (- J a )p (m ) (J a )p + k 2 a10 a + J 0 a0 p + k 0 + k 2 a - k 2 a10 a 2 2 2 2 0 10 0 a a 21 a (- J a )p (- J a )p (m + J a ) p - k 2 a10 a 01 - k1 - k 2 a 2 + k + k2 a 201 + k 2 2 2 0 0 0 a 31 a 32 a (- J a )p (J a )p (J a )p + k1 + k 2 a 2 01 + k - k1 - k 2 a 2 + k 2 a10 a 2 0 0 0 0 Обобщенные силы по координатами y10, y и x имеют вид ( ) ( ) Qy = J 0 a0 &&2 + kz + k1 z1 + k2 a01 z0 ;

Q y = - m0 + J 0 a 0 &&2 - k 2 a10 z 0 ;

z z ( ) (2.26) Qx = - J 0 a 0 &&2 - k1 z1 - k 2 a 01 z 0.

z При z 0 = a10 z 2 - z 3 получим следующие выражении для обобщенных сил:

( ) Qy10 = - m0 + J 0 a0 &&2 - k2 a10 z0 = -(m0 + J 0 a0 ) p 2 - k2 a10 z2 - k2 a10 z3 ;

2 2 z (2.27) Qy = - ( J0a02 ) &&2 + kz + k1z1 + k2a01z0 = z (2.28) = J0a0 p2 + kz + k1z1 + k2a10a01z2 - k 2 a01z3, ( ) Qx = - J 0 a0 &&2 - k1 z1 - k 2 a10 z 0 = - J 0 a02 p 2 - k 1z1 - k 2 a10 a01 z 2 + k 2 a10 z3. (2.29) z В данной системе координат имеется возможность выхода на два сочле нения: по координате y10 и по координате x. Используя матрицу (табл. 2.5) и исключая соответствующие строки и столбцы, получим уравнение дви жения для системы с двумя сочленениями ( m0 + J 0 a02 ) p 2 + k + k 2 a01 + k1 = J 0 a 2 0 &&2 + kz + k1 z1 + k2 a01 z0.

(2.30) z Для упрощения принимаем, что k 2 = 0, k1 = 0, z1 = 0, z3 = 0 ;

при этом z = z2, тогда уравнение (2.30) преобразуется к виду y ( m0 + J 0 a02 ) p 2 + k = ( J 0 a 2 0 p 2 + k ) z, (2.31) откуда передаточная функция системы принимает вид J 0 a02 + k y W ( p) = =. (2.32) z2 m + J 0 a02 + k Сравнение (2.32) и (2.8) показывает, что структура передаточных функций является общей и предлагаемый подход позволяет построить не обходимые математические модели.

Для получения полного совпадения результатов необходимо представить расчетную схему более детализированной. Для вывода (2.8) использовалась схема, показанная на рис. 2.2. Особенность этой расчетной схемы заключается в учете массоинерционных свойств ры чажных связей. Рассмотрим в таком случае расчетную схему системы на рис. 2.4, которая отражает массоинерционные свойства системы. На расчетной схеме (рис. 2.4) показаны массы m1 и m 2 ;

учет особенностей их движения является существенным фактором для совпадения выра жений (2.8) и (2.32).

y m k k m m l l y1 y y B k k1 k z z z z Рис. 2.4. Расчетная схема ВЗС на рис. 2.1, но с разнесенными массами m1 и m Выберем для дальнейших расчетов систему координат y, y10 и x, полагая при этом, что y10 = y0 + z, x = y - y1, где y0 = ay1 + by2. Запишем вы ражения для кинетической и потенциальной энергий системы 1 1 T= my 2 + m1 y12 + m 2 y 22, & & & (2.33) 2 2 1 1 П = k ( y - z ) 2 + k1 ( y1 - z1 ) 2 + k2 ( y2 - z 3 ) 2 + 2 2 (2.34) 1 + k01 ( y - y1 ) 2 + k0 ( y0 - z 2 ).

2 Произведем ряд преобразований:

al y2 = y0 - ay1 = a0 y0 - iy1, i = = 2 ;

a 0 = ;

b l1 b y2 = a0 y10 + a0 z2 - iy + ix. y0 = y10 + x, (2.35) тогда получим (2.33), (2.34) в виде 1 1 T= m y 2 + m1 ( y - x ) 2 + m 2 ( a 0 y10 + a 0 z 2 - iy + ix ) 2, & && & && & (2.36) 2 2 1 1 1 1 k ( y - z ) 2 + k1 ( y - x - z1 ) 2 + k2 (a0 y10 - iy + ix + z 0 ) 2 + k 01 ( x ) 2 + k0 ( y10 ), (2.37) П= 2 2 2 2 где z0 = a0 z 2 - z3. Сделав ряд вспомогательных выкладок, аналогичных вы шеприведенным при выводе уравнений движения, получим уравнения движения в виде &&(m1 + m2i 2 + m) + y(k + k1 + k 2i 2 ) + x(- m1 - m2 i 2 ) + x(-k1 - k2 i 2 ) + && y (2.38) + &&10 (- m2 ia0 ) + y10 (- k 2 a0i ) = m2 a0iz2 + kz + k1 z1 + k 2 z0i;

y &&(-m1 - m2 i 2 ) + y(-k1 - k2 i 2 ) + x(m1 + m2i 2 ) + x(k1 + k01 + k2i 2 ) + && y (2.39) + &&10 (m2 ia0 ) + y10 (k2 a0i ) = -m2 a0i&&2 - k1 z1 - k 2 z0 i;

y z &&(-m2ia0 ) + y(-k2i2a0 ) + &&( m2ia0 ) + x(k2ia0 ) + y x ( ) ( ) (2.40) + &&10 m2a0 + y10 k2a0 + k0 = -m2a0 &&2 - k2a0 z0.

2 2 y z В табл. 2.6 приведены коэффициенты уравнений (2.38) (2.40).

Табл. 2. Значения коэффициентов уравнений в координатах y, x и y a a11 a (m1 + m + m2i 2 ) p 2 + k + k1 + k2i 2 (-m1 - m2i 2 ) p 2 - k 1 -k2i 2 - m 2 ia 0 p 2 - k 2 a 9 i a a 21 a (- m1 - m2i 2 ) p 2 - k1 - k2i 2 ( m1 + m2i 2 ) p 2 + k 1 + k01 + k2i 2 m 2 ia 0 p 2 + k 2 a 0 i a 31 a 32 a - m 2 ia 0 p 2 - k 2 a 0 i m 2 ia 0 p 2 + k 2 a 0 i m2 a 0 p 2 + k 2 a 0 + k 2 Обобщенные силы в данном случае имеют вид Q y = m2 a0iz2 + kz + k1 z1 + k 2 z0i, && Qx = - a0im2 &&2 - k1 z1 - k 2iz0, (2.41) z Q y10 = - m2 a0 &&2 - k 2a0 z0.

z Исключая из матрицы столбцы и строки по координатам x и y10, по лучим уравнение движения для системы с координатой y &&(m1 + m + m2 i 2 ) + y (k + k1 + k 2 i 2 ) = m 2 a 0 i&&2 + kz + k1 z1 + k 2 z 0 i. (2.42) y z Для построения передаточной функции «смещение y по входу z2 »

примем, что z = z2, z1 = 0, z 3 = z 2, k1 = 0, k 2 = 0. В этом случае при k 01 ®, k0 ® m2a0ip2 + k y W ( p) = = z2 ( m + m1 + m 2 i 2 ) p2 + k. (2.43) 1 l1 + l = = 1 + i ;

в этом случае Отметим, что b l m2i ( i + 1) p + k y W ( p) = = z2 ( m + m1 + m 2 i 2 ) p2 + k. (2.44) Выражения (2.8) и (2.44) полностью совпадают, что собственно и требовалось доказать.

Выбирая систему обобщенных координат соответствующим обра зом, можно построить математическую модель механической системы с сочленениями. В этом случае система с сочленениями обладает меньшим числом степеней свободы, чем у исходной системы. Сочленение возможно между двумя телами при соединении двух тел в кинематическую пару вращательного вида (V класса). Однако возможны и соединения твердого тела с другим телом с потерей возможности относительного движения.

Предлагаемый метод получения математических моделей обладает возможностями реализации пусковых технологий в разработке новых спо собов и средств защиты объектов от вибрационных воздействий.

Особенности метода таковы, что выбор систем координат исходной системы и числа сочленений, их форм и мест расположения позволяет по лучать семейства технических решений, из которых могут быть выделены схемы, представляющие интерес для решения конкретных задач динамики машин.

Библиография ко 2-й главе 2.1. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в за дачах динамики колебательных систем. – Новосибирск : Наука, 2011. – 394 с.

2.2. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы движения // Современ ные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : Ир ГУПС, 2010. – Вып. № 4(28). – С. 8–15.

2.3. Лурье А.И. Аналитическая механика. – Москва : Наука, 1986. – 560 с.

2.4. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М. : Наука, 1968. – 630 с.

2.5. Трофимов А.Н. Об оценке свойств рычажных динамических гасителей колебаний // Системы. Методы. Технологии. – Братск : БрГУ, 2011. – Вып. № 3(11). – С. 45–60.

ГЛАВА 3. ОСОБЕННОСТИ НАЛОЖЕНИЯ СВЯЗЕЙ ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СОЧЛЕНЕНИЯМИ В работах [3.13.3], посвященных изучению особенностей динами ческого состояния механических колебательных систем с сочленениями звеньев, рассмотрены возможности использования различных приемов для построения математических моделей. По существу, сопоставляются два подхода.

Первый заключается в том, чтобы получить математическую модель в специально выбранной системе обобщенных координат. Такая система содержит координаты относительного движения, которое, в случае форми рования сочленения, «удаляется», а соответствующая координата относи тельного движения принимается равной нулю. В формализованном виде математическая модель системы с сочленениями может быть получена из матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений исходной системы путем исключения соответствующих строки и столбца, для которых коор дината принимается равной нулю;

исключается при этом и соответствую щая обобщенная сила. Перегруппировка обобщенных сил на соответствие обобщенным координатам происходит в процессе вывода уравнений и как отдельная операция может не вводиться.

Второй подход заключается в том, что расчетная (или исходная) схема сразу приводится к конечному виду, содержащему все необходимые сочленения с последующим выводом дифференциальных уравнений дви жений. Как показывает сравнение, оба подхода дают совпадающие резуль таты. Истоки подходов связаны с понятиями «наложения связей», которые нашли отражение в ряде работ, в частности в [3.4, 3.5], в которых одновре менно рассматривалось влияние процессов наложения или устранения свя зей, в том числе на частоты собственных колебаний системы.

3.1. Общие положения Сочленения, которые реализуются через соединения между собой различных звеньев (в частности, звеньев в виде твердых тел, в том числе и с неподвижным звеном), можно рассматривать как наложение связей. Так, например, связь y2 - y1 ® 0 (где, в свою очередь, y2 = y2 + z2, а ' y1 = y1 + z1 ) можно записать как линейное однородное уравнение ' относительно координат системы. Если y2 - y1 = 0 и задача заключается в выполнении этого условия при движении системы, то уравнение может принять вид f ( y1, y2 ) = 0. (3.1) Такая задача может рассматриваться при z движении цепной механической цепи при увели k4 чении жесткости k2 до между элементами с массами m1 и m2 (рис. 3.1) [3.2].

y В общем случае можно полагать, что связь задана m уравнением k k k5 f(q1, q2, …, qn) = 0, (3.2) y2 где q1, q2…qn – обобщенные координаты системы.

m2 Предполагается, что налагаемая связь не должна приводить к смещению положения рав k новесия, в котором по предложению все qi = 0, то есть y m f (0,0...0) = 0, (3.3) k что характерно для многих случаев виброзащит z ной практики [3.6].

Рис. 3.1. Расчетная схема виброзащитной системы 3.2. Некоторые обобщения теоремы цепного типа о наложении связей с возможностями сочленения звеньев с массами m1 и m2 Разложим (3.3) по степеням координат yi, начиная с членов первого порядка. Если ограничиться только этими чле нами разложения, то уравнение связи можно представить в виде A11q1 + A12 q2 +... A1n q n = 0, (3.4) где A11, A12…A1n – постоянные числа.

Произведем в (3.4) подстановку до наложения связей, тогда получим r1 = A11q1 + A12q2 +... + A1n qn, r2 = q2, (3.5)..........................................

rn = qn. От такой подстановки собственные частоты не изменятся (по суще ству одна система обобщенных координат заменяется на другую). Кинети ческая и потенциальная энергии в новых координатах r1 (i = 1, n) примут вид 1n 1n T = aik ri rk, П = cik ri rk.

& && (3.6) 2 i,k =1 2 i,k = Отметим, что две квадратичные формы, из которых одна определен но положительна, одним линейным преобразованием могут быть приведе ны к каноническому виду. В частности, построив соответствующим обра зом линейные преобразования, можно получить q1 = b11x1 + b12x 2 +... + b1nx n, q2 = b21x 2 + b22x 2 +... + b2 nx n, (3.7).............................................

qn = bn1x1 + bn 2x 2 +... + bnnx n. В конечном итоге, для системы в целом можно записать 1n 1n T = aik qi qk, П = aik qi qk, && (3.8) 2 i,k =1 2 i,k = где одно выражение – кинетическая энергия – определенно положительно и имеет вид T = (x 2 +x 2 +... + x n ), 2 (3.9) а второе – П = (l1x 2 +l2x 2 +... + lnx n ).



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.