авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко СОЧЛЕНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ ...»

-- [ Страница 2 ] --

2 Координаты x i, в которых кинетическая и потенциальная энергии выражаются суммами квадратов, называются нормальными координатами, что позволяет придавать уравнениям движения простые формы [3.4].

Малые колебания системы с n степенями свободы около положения устойчивого равновесия, определяемые изменениями обобщенных коор динат, имеют вид:

q1 = l11 sin( p1t + e1 ) + l12 sin( p2t + e 2 ) +... + l1n sin( pnt + e n ),.

. (3.10).

qn = ln1 sin( p1t + e1 ) + ln 2 sin( p2t + e 2 ) +...lnn sin( p n t + e n ), и представляют собой линейные наложения n главных гармонических ко лебаний. Введем выражение, которое отражает ряд подстановок, в резуль тате которых частотное уравнение системы принимает вид a '11 p 2 - c '11 a '12 p 2 - c '12.... a '1n p 2 - c '1n a '21 p 2 - c '21 a '22 p 2 - c '22.... a '2 n p 2 - c '2 n = 0. (3.11) a 'n1 p 2 - c 'n1 a 'n2 p 2 - c ' n 2.... a 'nn p 2 - c 'nn Предположим теперь, что на систему накладывается связь (3.4), то есть формируется сочленение через процедуру устремления к нулю неко торой выбранной координаты относительного движения. В новых коорди натах ri такая связь имеет уравнение r 1= 0. (3.12) При этом, n–1 корней p 'k системы с сочленением располагаются между корнями pk частотного уравнения исходной системы p1 p '1 p2 p '2.... p 'n-1 pn. (3.13) Таким образом, если на систему с n степенями свободы наложена линейная связь, то частоты полученной системы с n–1 степенями свободы располагаются между частотами первоначальной системы. То есть нало жение связи не нарушает условий движения в смысле их осуществимости и устойчивости, но приводит к сдвигам в спектре частот собственных ко лебаний. Теорема может быть также расширена на случай нескольких со членений (или связей). Если на систему с n степенями свободы наложены n линейных связей As (q ) = As1q1 + As 2q2 +... + Asn qn = 0 (3.14) (s = 1, h), то частоты системы с сочленениями p1 h ) p2h )... pn-h ( ( удовлетворяют неравенствам pk phh) pk +h (k = 1, n - h), ( (3.15) где pk – частота заданной системы с n степенями свободы.

Связи (3.14) можно всегда представить уравнениями A11 q1 + A12q2 +... A1nqn = 0,. B22q2 +... + B2n qn = 0, (3.16). H hh qh +... + H hn qn.

и налагать их на заданную систему не сразу все, а последовательно – одну за другой. Переход к координатам, связанным с qi соотношением (3.5), не изменяет уравнений естественных связей [3.4]. Положив r1 = 0, получим (1) систему с n–1 степенями свободы, собственные частоты pk, которые удовлетворяют неравенству pk ph pk +1 (k = 1, n - h), (1) (3.17) что можно преобразовать относительно координат si, связанных с r (i = 2,3...n) уравнениями S 2 = B22r2 + B23r3 +...B2n rn, S3 = r3, (3.18).............................

S n = rn. Полагая S2 = 0, получим систему с n–2 степенями свободы, частоты (2) которой pk будут удовлетворять неравенствам pk pk pk +1 (k = 1, n - 2) (1) (2) или на основании неравенства (3.12):

pk pk pk +2 (k = 1, n - 2).

(2) (3.19) Продолжая процедуры и вводя последовательно сочленения (связи), можно получить неравенства (3.16), которые будут иметь место для частот системы после наложения на нее всех k связей (3.15).

Отметим, что предлагаемые приемы составления математических моделей позволяют детализировать представления о технологии формиро вания различных классов математических моделей и возможностях опера ции инверсии моделей, восстановления исходных моделей при «разборке»

сочленения.

3.3. Возможности приложения теоремы Разные формы сочленений предполагают наличие особенностей в приемах соединений с учетом сложности их конструктивного исполнения.

Чаще всего движение элементов системы происходит в одной плоскости;

обычно выделяют два класса звеньев: неподвижные и подвижные. В связи с этим, одним из наиболее распространенных сочленений является шар нирное соединение в виде кинематической вращательной пары. В про стейших вариантах звенья, соединяемые шарниром, допускают вращатель но-качательные движения относительно друг друга. При этом сочленение из общего числа степеней свободы производит «исключение» одной сте пени свободы в движениях. Увеличение количества сочленений, соответ ствующих числу шарниров, обеспечивает уменьшение общего числа сте пеней свободы (или числа независимых переменных).

Кроме соединения подвижных звеньев между собой часто встреча ются соединения твердых тел с неподвижными звеньями или с основанием (или условно неподвижной системой). Такое сочленение на рис. 3.2 пока зано подштриховкой.

y T.B j k y m Т.А y k k z Рис. 3.2. Расчетная схема ВЗС, имеющей сочленения: между подвижными звеньями, а также между подвижными и неподвижными звеньями (в точках А и В – сочленения в виде вращательных кинематических пар) Механические колебательные системы могут иметь сочленения раз личных типов, что обеспечивает особенности структуры системы и так на зываемой «метрики» [3.3]. Математическая модель системы может быть представлена в виде системы обыкновенных неоднородных дифференци альных уравнений второго порядка Ay = b, (3.20) где A – матрица операторных коэффициентов;

y – вектор-столбец перемен ных;

b – вектор-столбец внешних воздействий, y – переменная в области преобразований Лапласа.

В общем случае матрица A имеет порядок n n и является симмет ричной:

a11 a12... a1n a21 a22... a2 n A=. (3.21)....

an1 an 2... ann ( a = 1, n, b = 1, n ) Здесь содержат комплексные переменные aa,b p = jw ( j = -1).

При построении математических моделей систем с сочленениями могут использоваться различные системы обобщенных координат, глав ным образом такие, в которых координаты отражают относительное дви жение. Сочленение может быть реализовано по отношению к элементу, совершающему «абсолютное» движение, то есть в неподвижной системе координат. Естественно при этом, что системы координат допускают вза имные преобразования.

Введение сочленения означает исключение соответствующих столб цов и строк матрицы коэффициентов, включая и «исключения» соответст вующей правой части уравнения [3.6].

Физический смысл операции заключается в том, что сочленение, представленное разностью соответствующих координат, исключается в физическом смысле;

вместе с переменной исключаются одновременно и коэффициенты матрицы, определяющие связи между убираемой парци альной системой и остальными. Правая часть уравнения, определяемого строкой, также исключается, поскольку физически «исчезает» точка при ложения сил. Внешнее воздействие в этом случае перераспределяется со ответствующим образом при выборе систем обобщенных координат, где необходимо соблюдать условия равенства виртуальных работ обобщенных сил в различных системах обобщенных координат. В работах [3.13.3] рас сматривается ряд конкретных примеров использования процедур, построе ния математических моделей, а также примеры сочленений. Набор воз можных сочленений может обеспечивать и более сложные формы взаимо действий, в том числе и на основе кинематических пар IV и III классов.

Важно отметить, что возможности учета особенностей сочленения, в плане построения математических моделей, могут быть распространены и на другие системы с голономными связями.

Библиография к 3-й главе 3.1. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями.

Технология построения математических моделей // Современные тех нологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск, 2010. – Вып. 3 (27). – С. 8–18.

3.2. Елисеев С.В. Возможности сочленения твердых тел в цепных механи ческих системах / С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко, И.В. Фомина // Со временные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Ир кутск : ИрГУПС, 2010. – №3 (27). – С. 138–146.

3.3. Хоменко А.П. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы системы / А.П. Хоменко, С.В. Елисеев // Современные технологии. Системный анализ. Моде лирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – № 4(28). – С. 8–15.

3.4. Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М. : Наука, 1968. – 549 с.

3.5. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики : в 2 т. Т. 2. Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М. : Наука, 1980. – 640 с.

3.6. Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / С.В. Елисеев, И.В. Фомина, Ю.В. Ермошенко [и др.]. – Иркутск : Ир ГУПС, 2009. – 128 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №738-В 2009.

ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ СОЧЛЕНЕНИЯХ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ТИПА Сочленения, реализуемые кинематическими парами вращения V класса, обеспечивают возможности совершения твердыми телами (или звеньями) в структуре механической колебательной системы возвратно вращательных движений друг относительно друга или относительно не подвижного основания. Твердое тело, присоединенное к объекту защиты, может играть роль динамического гасителя колебаний. В теории и практи ке виброзащиты и виброизоляции известны маятниковые и рычажные уст ройства. Твердое тело может входить в систему одной или несколькими точками соединений [4.14.3].

Некоторые примеры возможных сочленений приведены на рис. 4. [4.4].

Рис. 4.1. Принципиальные схемы механических колебательных систем с сочленениями: а) система с тремя степенями свободы с одним сочленением;

б) Г-образный (маятниковый) гаситель колебаний (одно сочленение);

в) система с одной степенью свободы – одно сочленение с подвижным основанием;

г) многосвязная механическая цепь (два сочленения);

д) система с сочленениями в рычажный механизм Для исследования динамики систем с сочлененными твердыми тела ми используются различные способы. В частности, в месте предполагаемо го сочленения вращательного типа можно ввести обобщенную координату, характеризующую относительное смещение, а упругую (или другую) связь после построения математической модели сделать очень большой по вели чине (упругость, демпфирование, инерционное взаимодействие). Тогда две координаты, характеризующие относительное движение, могут в пределе «слиться» в одну, а система «потеряет» одну степень свободы движения.

Предпосылкой такого подхода можно было бы считать рассмотрение кас кадных виброзащитных систем, а также задач виброзащиты и виброизоля ции, в которых принимается во внимание локальная упругость места за крепления виброизолятора или амортизатора [4.5].

Поскольку унифицированная форма дифференциальных уравнений может использовать любые системы обобщенных координат, в том числе и координаты относительных смещений, то возникает вопрос о трансформа циях матриц на основе допустимых правил преобразования [4.6]. Вводя новые переменные, которые потенциально могут стать нулевыми, можно соответствующие столбец и матрицу исключить, что в физическом смысле означает введение сочленения. При этом число степеней свободы умень шается. Дальнейшее исследование системы проводится обычными спосо бами, но на упрощенной схеме. Физически это означает, что относитель ное движение между некоторыми точками ограничивается параметрами соединяющего звена, например, жесткость в соединении на несколько по рядков выше, чем в других соединениях. Тогда система начинает коле баться как система с меньшим числом степеней свободы, что достаточно известно в инженерной практике. Собственно на приведенных представле ниях и основаны подходы к выбору, обоснованию и упрощению расчетных схем систем вибрационной защиты объектов.

4.1. Постановка задачи исследования. Общие положения Рассмотрим механическую колебательную систему с четырьмя сте пенями свободы, представленную на рис. 4.2. Такая схема может отражать, например, взаимодействие перевозимого подпружиненного груза в кузове автомобиля и в целом имеет 4 степени свободы.

z k3 l j J2,M l B O2 y y A2 Ц.T y l k l J1, M j A O y1 y y0 k Ц.T l1 l k k z z z Рис. 4.2. Схема взаимодействия систем с 4 степенями свободы Интерес представляет создание технологии построения моделей, ко торые позволили бы учитывать влияние на динамические свойства особен ностей крепления упругих элементов с жесткостями k3 и k0 (точки A2 и A1, а также т. В).

Возможные варианты преобразования колебательных систем в сис темы с сочленениями представлены на рис. 4.3, на котором показаны воз можные точки соединений, превращающихся в сочленения. Так, при k, точки B1 и B2 (рис. 4.3, а) могут формировать сочленение;

а также A1 и A2 при k'0, C1 и С2 при k2. В случае k'0, k0 и k можно получить схему известного динамического гасителя колебаний [4.7]. Вводя координаты относительного смещения для схемы на рис. 4.3, а, yA = yA1 – yA2, при yA, можно получить схему на рис. 4.3, б и т. д. То есть выбирая точки сочленения, можно получить достаточно большое чис ло вариантов схем, среди которых можно обнаружить расчетные схемы многих известных ВЗС.

y y y A1 k M C M A l A M l k B1 l2 m B1 y k1 y1 l1 B k1 l y k0 C1 m k A2 l2 m B2 k2 C2 B C z y2 z k0 C k2 C B z y y y A1 A C M k0 k C1 A1 k A M m A2 l1 l m k1 l1 B k1 y2 k1 y A2 B l B l2 m C y l1 k B2 k C2 B2 0 C2 k C z z z y y y A1 A M k0 k0 M l A M A A2 l1 C1 m m l1 B l2 y B1 y l2 k 0 l B C k 0C k 2 C B2 B2 k0 B2 C z z z Рис. 4.3. Принципиальные схемы механических колебательных систем, в которых при k'0, k0 и k2 могут возникнуть сочленения 4.2. Сочленения в балочной системе с двумя степенями свободы Рассмотрим балочную систему с двумя степенями свободы, обращая внимание на возможности введения сочленений в некоторых точках путем их «смещения». На расчетной схеме рис. 4.4 такая возможность представ ляется для случаев совпадения точек A1 и A2, B1 и B2, когда система теряет одну степень свободы, но сочленение в форме кинематической пары V класса или вращательного шарнира дает возможность твердому телу совершать воз вратно-колебательные движения, соответственно, вокруг точек A и B. В даль нейшем будут рассмотрены возможности сочленений не только в системе ко ординат y1 и y2, но и в других системах координат. Отметим, что кроме сочле нений в точках A и B возможно рассмотрение ограничений движения по ко ординатам т. A2 и т. B2 одновременно, что может быть определено условием y2 – y1 = 0. В этом случае система (рис. 4.4) превращается в систему с одной степенью свободы и совершает вертикальные поступательные движения на упругом элементе с жесткостью k1 + k2.

j l1 l y1 y O A2 y0 B M,J A1k1 k B z1 z Рис. 4.4. Расчетная схема системы, имеющей две упругие опоры и совершающей движение в системе координат y1, y Для схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения кинетиче ской и потенциальной энергий 1 T= My0 + Jj 2, & &2 (4.1) 2 П = k1 ( y1 - z1 ) + k2 ( y2 - z2 ), 1 1 (4.2) 2 где y1, y2 – координаты точек A1 и B2 в условно неподвижной (абсолютной) системе координат;

y0 – координата центра тяжести;

– угол поворота от носительно центра тяжести (точки О);

J – момент инерции относительно центра тяжести (точки О);

M – масса балки. Соответственно l1 = A2O, l2 = B2O.

Введем ряд вспомогательных обозначений и соотношений:

l l ;

y1 = y0 - l1j ;

y2 = y0 + l2j.

a= 2 ;

b= 1 ;

d = (4.3) l1 + l2 l1 + l2 l1 + l 4.3. Особенности выбора системы координат 1. Координаты y0,. Используя подходы, изложенные в [4.6], запи шем дифференциальные уравнения движения для системы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y0 и :

&&0 M + y0 k1 + k2 y0 - k1l1j + k 2l2j = k1 z1 + k2 z2, y (4.4) J j + k1l12j + k2l2 j - k1l1 y0 + k2l2 y0 = k2l2 z2 - k1l 1 z1.

&& (4.5) Выражение (4.4), (4.5) определяет матричную форму записи в k1 + k 2 k 2 l2 - k1l1 k1 z1 + k2 z M,B=,C= A=. (4.6) k 2 l2 - k1l1 k1l12 + k 2 l2 -k1l1 z1 + k2l2 z 0 J Построим структурную схему эквивалентной в динамическом отно шении системы автоматического управления (рис. 4.5).

k1l1 - k2l z1 k1l z k z2 k2l z k k1l1 - l2 k k1 + k2 k1l12 + l2 k Mp 2 Jp y0 j - - Рис. 4.5. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y0 и Эта система имеет кинематическое возмущение (z1 и z2), что может привести, в определенных ситуациях, к появлению режимов динамическо го гашения. Для системы характерны упругие перекрестные связи.

2. Координаты y1, y2. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.7, запишем уравнения движения в системе координат y1 и y2:

&&1 (Ma 2 + Jd 2 ) + &&2 ( Mab - Jd 2 ) + k1 y1 = k1 z1, (4.7) y y &&2 ( Mb 2 + Jd 2 ) + &&1 ( Mab - Jd 2 ) + k2 y2 = k2 z2. (4.8) y y При этом матричная структура (4.7), (4.8) имеет вид Ma 2 + Jd 2 Mab - Jd 2 k0 kz A=,B = 1,C = 1 1. (4.9) Mab - Jd 2 Mb 2 + Jd 2 0 k2 k2 z Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении сис темы автоматического управления для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y1 и y2 примет вид, как показано на рис. 4.6.

Mab - Jd z2 k z k Mab - Jd k1 (Ma2 + Jd 2 ) p2 k2 ( Mb + Jd 2 ) p y y - - Рис. 4.6. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y1 и y Для рассматриваемой системы изменяется характер перекрестных связей – они становятся инерционными. Вместе с этим изменяются и внешние воздействия, которые теперь действуют на парциальных системах адресно (рис. 4.6).

3. Координаты y1,. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y1 и :

&&1M + Ml2j + k1 y1 + k2 y1 + k 2 ( l1 + l2 )j = k1z1 + k2 z2, && (4.10) y &&1Ml2 + ( J + Ml2 )j + k2 (l1 + l2 ) y1 + k2 ( l1 + l2 ) j = k2 (l 1 +l2 ) z2.

&& y (4.11) Для выражений (4.10), (4.11) матричная структура имеет вид k2 ( l1 + l2 ) k1 + k2 k1 z1 + k2 z M Ml,C=, B= A=. (4.12) k2 ( l1 + l2 ) z k2 ( l1 + l2 ) k2 ( l1 + l2 ) J + Ml22 Ml Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления (САУ) для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y1 и примет вид, как показано на рис. 4.7. Особенность структурной схемы заключается в том, что пе рекрестные связи приобретают упруго-инерционный характер и могут «обнуляться» на определенных частотах, а внешнее возмущение дейст вует только на один вход.

Ml2 p 2 + k 2 (l1 + l 2 ) z k z k2 k 2 ( l1 + l 2 ) Ml2 p 2 +k 2 (l1 +l 2 ) z k1 + k2 k2 ( l1 + l2 ) Mp 2 + J ) p j ( Ml y - - Рис. 4.7. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y1 и 4. Координаты y2,. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y2 и :

&&2 M + Ml1j + k1 y2 + k2 y2 + k1 ( l1 + l2 ) j = k1 z1 + k2 z2, && (4.13) y &&2 Ml1 + ( J + Ml12 )j + k1 (l1 + l2 ) y2 + k2 ( l1 + l2 ) j = k1 (l 1 +l2 ) z2.

&& y (4.13') Для выражения (4.13) матричная структура имеет вид k1 ( l1 + l2 ) k1 + k2 k1 z1 + k2 z M Ml,C=, B= A=, k1 ( l1 + l2 ) z k1 ( l1 + l2 ) k1 ( l1 + l2 ) Ml1 J + Ml1 (4.14) [ A][ &&] + B [ y ] = C.

y Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y2 и примет вид, показанный на рис. 4.8.

Ml1 p 2 + k1 ( l1 + l2 ) z k z k2 k1 (l1 + l2 ) z Ml1p2 + k1 (l1 + l2 ) k1 + k2 k1 ( l1 + l2 ) Mp 2 + J ) p ( Ml j y - - Рис. 4.8. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y2 и Отметим, что изменение обобщенных координат приводит к измене нию в передаточных функциях перекрестных связей, что связано и с изме нением частот в режимах динамического гашения.

5. Координаты y0, y1. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y0 и y1:

( Ml + J ) &&0 - Jy1 + k2 ( l1 + l2 ) y0 - k 2l1 ( l1 + l2 ) y1 = k2l2 (l1 + l2 ) z2, && (4.15) y - Jy0 + Jy1 + ( k1l12 + k2l2 ) y1 - k2l1 ( l1 + l2 ) y0 = k1l2 z1 - k2l12 z2.

2 && && (4.16) В этом случае для выражений (4.15), (4.16) матричная структура имеет вид k ( l + l ) k2 l1 ( l1 + l2 ) k l (l + l ) z Ml 2 + J J A= 2, B= 2 1 2,C= 22 1 22 2. (4.17) k2l1 ( l1 + l2 ) k1l12 + k2l2 k1l2 z1 + k2l1 z 2 J J Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в координатах y0 и y1 при мет вид, как показано на рис. 4.9, что отражает изменения как в перекрест ных связях, так и в параметрах парциальных систем.

Jp2 + k2l1 (l1 + l2 ) k2l2 (l1 + l2 ) z2 k 1l z Jp + k2l1 (l1 + l2 ) 2 kl z k 2 (l1 + l2 ) ( Ml2 + J ) p k1l2 + k2l y0 Jp y - - Рис. 4.9. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, в системе координат y0 и y 6. Координаты y01, y2. Введем систему координат y01 и y2, для этого произ ведем следующие преобразования: y1 - z1 = y01, так как y1 = y0 - l1j, соответст венно y0 = ( z1 + y0 ) a + y2b;

y0 = az1 + y01a + y2b;

j = d ( y2 - y1 ) = dy2 - dz1 - dy01. Запи шем выражение (4.1) и (4.2) для кинетической и потенциальной энергий с учетом системы координат y01 и y T = T1 + T2, (4.18) 1 1 M ( az1 + y01a + y2b ) ;

T2 = J j 2 = Jd 2 ( y2 - z1 - y01 ) 2.

где T1 = & && & &&& 2 2 Преобразуем выражение (4.2) к виду:

П = k1 y012 + k 2 ( y2 - z2 ).

1 1 (4.19) 2 Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y01 и y2:

( Ma + Jd 2 ) &&01 + y01k1 + &&2 ( Mab - Jd 2 ) = &&1 ( -Ma 2 - Jd 2 ), (4.20) y y z ( Mb - Jd ) && + &&2 ( Mb + Jd 2 ) + y2k 2 = k2 z2 + &&1 ( - Mab + Jd 2 ).

(4.21) y y z В этом случае для выражений (4.20), (4.21) матричная структура имеет вид Ma 2 + Jd 2 Mab - Jd 2 ( - Ma 2 + Jd 2 ) z k1 A=,B =,C =. (4.22) Mb - Jd 2 Mb + Jd 2 ( - Mab - Jd 2 ) z1 + k2 z 0 k 7. Координаты y01, y1. Для расчетной схемы, приведенной на рис. 4.4, запишем уравнения движения в системе координат y01 и y1, используя вы шеприведенные действия:

( Mb + Jd 2 ) &&02 + y02 k2 + && ( Mab - Jd 2 ) = &&2 ( - Mb2 + Jd 2 ), (4.23) y y z ( Mab - Jd ) && + &&( Ma 2 + Jd 2 ) + yk2 = &&2 ( - Mba - Jd 2 ) + k1z1.

(4.24) y y z В этом случае для выражений (4.23), (4.24) матричная структура имеет вид ( - Mb 2 + Jd 2 ) z k2 Mb 2 + Jd 2 Mab - Jd,B=,C= A=. (4.25) k1 z1 + ( -Mab - Jd 2 ) z Mab - Jd 2 Ma 2 + Jd 2 0 k 4.4. Сравнительный анализ В табл. 4.1 приведены коэффициенты рассмотренных уравнений, приведенных к унифицированной форме в различных системах коорди нат.

Варианты введения сочленений, соответственно представленных в табл. 4.1, приведены на рис. 4.10.

Табл. 4. Коэффициенты уравнений движения в различных системах координат Система координат y0 и j Система координат y1 и y Коэффициенты уравнений Коэффициенты уравнений (4.7), bi bi (4.4), (4.5) (4.8) a11 a12 b1 a11 a12 b -k1l1 + k 2 l2 k1 z1 + k2 z 2 ( Ma 2 + Jd 2 ) p 2 + ( Mab - Jd 2 ) p Mp 2 + k1 + k2 k1 z + k a21 a22 b2 a21 a22 b -k1l1 + k 2 l2 - k1l1 z1 + k 2l2 z 2 (Mab - Jd ) p Jp + k l + ( Mb + Jd ) p + k 2 k2 z 2 2 2 2 2 +k l Система координат y1 и j Система координат y2 и j Коэффициенты уравнений Коэффициенты уравнений bi bi (4.10), (4.11) (4.13), (4.13') a11 a12 b1 a11 a12 b k1 z1 + k2 z 2 k1 z1 + k2 z Ml2 p 2 + Ml1 p 2 + Mp 2 + k1 + k2 Mp 2 + k1 + k + k 2 ( l1 + l2 ) + k1 ( l1 + l2 ) a21 a22 b2 a21 a22 b k1 ( l1 + l2 ) Ml2 p 2 + Ml1 p 2 + ( J + Ml12 ) p 2 + ( J + Ml2 ) p 2 + k2 ( l1 + l2 ) + k 2 ( l1 + l2 ) + k1 ( l1 + l2 ) + k1 ( l1 + l2 ) + k 2 ( l1 + l2 ) Окончание табл. 4. Система координат y01 и y2 ( y01 = y1 - z1 ) Система координат y0 и y Коэффициенты уравнения Коэффициенты уравнения bi bi (4.15), (4.16) (4.20), (4.21) a11 a12 b1 a11 a12 b k2 l2 ( l1 + l2 ) z - Jp 2 - (-Ma 2 - Jd 2 ) ( Mab - Jd 2 ) p ( Ma 2 + Jd 2 ) ( Ml2 + J ) p 2 + - k2 ( l1 + l2 ) l + k2 ( l1 + l2 ) p 2 z p 2 + k a21 a22 b2 a21 a22 b - Jp - k2 (l1 + ( - Mab + Jd 2 ) p Jp + k l + ( Mab - Jd ) p k l z +k l z ( Mb + Jd ) 2 2 2 2 2 11 121 21 z1 + k 2 z +k2l +l2 )l1 p 2 + k Система координат y01 и y1 ( y02 = y2 - z2 ) Коэффициенты уравнений (4.23), (4.24) bi a11 a12 b ( Mab - Jd 2 ) p ( Mb 2 + Jd 2 ) p 2 + k2 (- Mb 2 + Jd 2 ) z a21 a22 b ( Mab - Jd 2 ) p 2 ( - Mab - Jd 2 ) p 2 z2 + k1 z ( Ma 2 + Jd 2 ) p 2 + k б) в) a) J M O j0 J,M O y0 y k2 k k1 k1 k z1 z z2 z2 z y0 = 0,j0 0 y0 0,j0 = 0 y1 = 0, y2 = г) д) е) J,M O J,M y2 O O J,M y y k2 k z k1 z2 z z y01 = 0, y2 0 y02 = 0, y1 y1 0, y2 = ж) з) и) y2 y J,M y J,M J,M O y O y1 z k2 k y A k k2 z k k1 B z z z1 z2 z1 z z y '0 = ( y0 - z ) = 0, y1 0 y 'B = ( yB - z ) = 0, y1 0, y2 y ' A = ( y A - z ) = 0, y1 0, y2 Рис. 4.10. Варианты введения сочленения в системе с двумя степенями свободы (на рис. 4.4) (варианты поясняются по тексту) Расчетные схемы частного вида могут быть получены путем исклю чения столбца и строки в соответствующей матрице, связанной с системой координат: 1) y0,j – рис. 4.10 а, б;

2) y1, y2 – рис. 4.10 в, г;

3) y01 = 0, y2 0 ( y01 = y 1 - z1 ) – рис. 4.10 д;

4) y02 = 0, y1 0 ( y02 = y2 - z2 ) – рис. 4.10 е;

5) y '0= 0, y1 0, y2 0 ( y '0= y0 - z ) – рис. 4.10 ж;

6) yA = ( y A - z ) = 0, y1 0, y2 0 – рис. 4.10 з – точка А находится между цен тром тяжести и левой упругой опорой;

7) y 'B = ( y B - z ) = 0, y1 0, y2 0 рис. 4.10 и – точка В находится за пределами левой упругой опоры. В каж дом из рассмотренных случаев, то есть каждому варианту сочленения со ответствует своя математическая модель. Отметим, что в схемах, в кото рых одновременно y1 0, y2 0, необходимо принимать во внимание зави симость между координатами, определяемую рычажными связями. Осо бый случай представляет собой выбор в качестве сочленения точек А и В, которые либо находятся между точками закрепления упругих элементов, либо выходят за пределы этого пространства, что требует учета особенно стей координат в механической системе, которые можно было бы назвать точками наблюдения. В данной ситуации точка наблюдения рассматрива ется как точка возможного сочленения.

4.5. Особенности динамических свойств Используя матрицы коэффициентов для систем, представленных в таблице 4.2, можно методом исключения столбцов и строк получить мате матические модели для любого частного случая. Рассмотрим в качестве примера задачу составления математической модели для расчетной схемы на рис. 4.11, что соответствует работе системы на рис. 4.4 в координа тах y01 и y2. Отметим, что y01 = y1 - z1. Используем соотношения y0 = ay1 + by2 и j = d ( y2 - y1 ), тогда ] = az1 + y01a + y2b.

y0 = a ( y01 + z1 ) + by2 (4.26) y l l k M,J z z Рис. 4.11. Расчетная схема ВЗС в системе координат y01 и y Подставляя (4.26) в выражения (4.1) и (4.2), получим:

1 T = M ( az1 + y01a + y2b ) + Jd 2 ( y2 - y01 - z1 ), && & & & & (4.27) 2 П = k1 y012 + k 2 ( y2 - z2 ).

1 1 (4.28) 2 Система уравнений движения в рассматриваемом случае принимает вид ( Ma + Jd 2 ) &&01 + y01k01 + &&1 ( Mab - Jd 2 ) = &&2 ( - Ma 2 - Jd 2 ), (4.29) y y z ( Mab - Jd ) && + &&2 ( Mb 2 + Jd 2 ) + y2 k2 = &&2 ( -Mba - Jd 2 ) + k2 z2, (4.30) y y z что совпадает с уравнениями (4.20), (4.21).

В системе на рис. 4.11 частота собственных колебаний определяется по формуле k wсоб =. (4.31) Mb + Jd Если принять, что z1 = z2 = z, то в системе на рис. 4.11 возможен ре жим динамического гашения на частоте k wдин = 2. (4.32) Jd - Mab Передаточная функция системы имеет вид y2 ( p ) ( Jd - Mab ) p + k 2 W ( p) = =. (4.33) z ( p ) ( Mb 2 + Jd 2 ) p 2 + k На высоких частотах система запирается и Jd 2 - Mab W ( p) =. (4.34) ( Mb 2 + Jd 2 ) p ® Амплитудно-частотная характеристика системы представлена в соот ветствии с (4.34) и имеет вид как на рис. 4.12.

A (w ) Mab - Jd Mb2 + Jd wсоб wдин w Рис. 4.12. Амплитудно-частотная характеристика системы, расчетная схема которой приведена на рис. 4. По вариантам введения сочленений в табл. 4.2 приведена информа ция о возможных режимах работы (частотный аспект).

Табл. 4. Частотные свойства режимов для системы с различными системами координат ВЗС, получаемых через введение сочленения, представленной на схеме рис. 4. Система Частота Частота Запирание Примечания координат собственных динамического на высоких (вид сочленения) колебаний гашения частотах 1 2 3 4 y0 и j k l + k2l2 Сочленение 2 2 - wсоб = 1 Находится в точке J О (шарнир) Сочленение y1 и y2 k2 - wсоб = y1 = Mb 2 + Jd Сочленение k1 - wсоб = y1 = Ma + Jd y1 и j k (l + l ) Сочленение 2 - w = 2 1 22 y1 = соб J + Ml y2 и j k (l + l ) Сочленение 2 - w = 1 1 22 y1 = соб J + Ml k1l12 + k2l22 Сочленение y0 и y1 - w = y0 = соб Jd k 2 ( l1 + l2 ) Сочленение 2 - wсоб = y1 = Ml2 + Jd k1l12 + k2l22 Сочленение y0 и y2 - wсоб = y0 = Jd k (l + l ) Сочленение 2 - w = 1 21 2 2 y2 = соб Ml1 + Jd Jd 2 - Mab Сочленение y01 и y2 k k2 wдин = wсоб = y01 = Jd - Mab Mb + Jd Mb 2 + Jd z1 = z2 = z y01 = y1 - z Jd 2 - Mab Сочленение k1 wсоб = y0 = Ma + Jd 2 Mb 2 + Jd z1 = z2 = z Перечень вариантов введения сочленений может быть дополнен сис темами координат: y и y1, где ( y01 = y0 - z1 и y2 );

y и y2, где 01 ( y01 = y0 - z2 и y2 ) и др.

Введение сочленений в различных вариантах на основе упрощения исходной расчетной схемы (рис. 4.4) позволяет сформировать и системати зировать класс математических моделей, полученных по определенной ме тодике из систем балочного типа. Вместе с тем любая модель из этого класса может быть получена и автономно, однако методика составления дифференциальных уравнений в каждом таком случае будет требовать учета ряда специфических деталей. Связь координат y1 и y2 (и других) сама по себе отражает сочленения, создаваемые виртуальными массами, Ma2 + + Jd2, Mb2 + Jd2, которые появляются при преобразованиях и являются приведенными массоинерционными параметрами по отношению к твердо му телу в виде балки. Отметим также, что соединения виртуальных масс двух элементов в механической системе выявляет надобность в рычаге.

В свою очередь, место закрепления упругих элементов разнесено на балке, что также формирует рычажные связи.

Библиография к 4-й главе 4.1. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В. Обобщенные подходы к построе нию математических моделей механических систем с Г-образными динамическими гасителями колебаний // Системы. Методы. Техноло гии. – Братск : БрГУ, 2011. – Вып. № 1(9). – С. 9–24.

4.2. Елисеев С.В. Динамический гаситель колебаний как средство управ ления динамическим состоянием виброзащитной системы [Электрон ное издание] // Наука и образование : электронное научно-техническое издание. № Режим доступа:.

2011. 8.

http://technomag.edu.ru/doc/204765.html (дата обращения: 10.04.2012).

4.3. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических ко лебательных систем. Теоретические аспекты. / С.В. Елисеев [и др.]. – Иркутск. – ИрГУПС, 2009. – 159 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, № 737.

4.4. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями.

Технология построения математических моделей // Современные тех нологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – Вып. № 3(27). – С. 8–18.

4.5. Вибрация в технике : справочник в 6 т. Том 6. Защита от вибраций и ударов : под. ред. К.В. Фролова. – М. : Машиностроение, 1981. – 456 с.

4.6. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в зада чах динамики колебательных систем. – Новосибирск : Наука, 2011. – 394 с.

4.7. Трофимов А.Н. Об оценке свойств рычажных динамических гасителей колебаний // Системы. Методы. Технологии. – Братск : БрГУ, 2011. – Вып. № 3(11). – С. 45–60.

4.8. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Сочленения в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы движения // Совре менные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск :

ИрГУПС, 2010. – Вып. № 4(28). – С. 8–15.

ГЛАВА 5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТУПАТЕЛЬНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ.

ВОЗМОЖНЫЕ ФОРМЫ СОЧЛЕНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ В задачах виброзащиты и виброизоляции оборудования и машин, особенно на предварительной стадии оценки динамических свойств, воз никает необходимость упрощения исходной расчетной схемы [5.1, 5.2].

В последние годы появился ряд работ, посвященных вопросам упрощения механических систем на основе правил преобразования структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления на основе понятий об обобщенных пружинах (или квазипру жинах), например [5.3, 5.4]. Определенными возможностями в этом на правлении обладают и методы формирования сочленений [5.5, 5.6]. Воз можности использования сочленений, твердых тел в механических колеба тельных системах, если сочленение имеет вид вращательных шарниров, приведены в работах [5.7, 5.8]. Вместе с тем определенный интерес пред ставляют системы с элементами, совершающими поступательные верти кальные движения. Исследования показывают, что в таких системах также могут быть реализованы сочленения;

чаще всего в таких ситуациях взаи модействующие между собой элементы при очень жесткой упругой связи объединяются в один блок. Такой подход не только упрощает исходную систему, но и уменьшает число степеней свободы движений, оставляя при этом возможности оценки легитимности упрощений.

5.1. Постановка задачи. Общие положения В предлагаемом разделе рассматриваются возможности выбора схем упрощения механической системы с тремя степенями свободы (рис. 5.1).

Выражения для кинетической и потенциальной энергии движения можно представить в виде:

1 1 T= m1 y 2 1 + m 2 y 2 2 + m3 y 2 3, & & & (5.1) 2 2 1 1 1 П = k1 ( y1 - z1) 2 + k2 ( y2 - y1 )2 + k3 ( y3 - y 2 ) 2 + k4 ( y3 - z2 ) 2 + 2 2 2 (5.2) 1 + k5 ( y3 - y1 ) + ( y2 - z2 ) 2, 2 где k1, k2, k3, k4, k5, k6 – соответствующие коэффициенты жесткости пру жин, соединяющих массы m1 m3, каждая из которых может представлять собой объект защиты. В рассматриваемой системе (рис. 5.1) имеются ки нематические возмущения z1 и z2. При заданной схеме расположения уп ругих элементов система не может быть отнесена к непланарным системам [5.9]. Используя обычные приемы [5.1], полу чим систему дифференциальных уравнений z движения в системе координат y1, y2, y3.

k В этом случае уравнения движения системы y (рис. 5.1) примут вид m k k k m1 &&1 + y1 ( k1 + k2 + k3 ) - k 2 y2 - k3 y3 = k1 z1, y y m2 &&2 + y2 ( k2 + k3 + k6 ) - k2 y1 - k3 y3 = k6 z 2, (5.3) m2 y k m3 &&3 + y3 ( k3 + k4 + k5 ) - k3 y2 - k3 y1 = k 4 z 2.

y y Обозначим правые части уравнений (5.3) соот m ветственно k b1 = k1 z1, b2 = k6 z2, b3 = k4 z2.

z1 (5.4) Рис. 5.1. Расчетная схема 5.2. Выбор координат относительного виброзащитной системы движения с тремя степенями свободы Полагая, что свойства сочленения масс m1 и m2 будут связаны с дру гой системой координат, введем соотношение y0 = y 2 - y1 (5.5) и перейдем к системе y0, y1, y3. В этом случае выражения (5.1) и (5.2) преобразуются к виду 1 1 T = m1 y 2 1 + m 2 ( y 0 + y1 ) 2 + m3 y 2 3, & & & & (5.6) 2 2 1 1 1 П= k 1 ( y1 - z1 ) 2 + k 2 ( y 0 + y1 - y1 ) 2 + k 3 ( y 3 - y 0 - y1 ) 2 + k 4 ( y 3 - z 2 ) 2 + 2 2 2 2 (5.7) 1 k 5 ( y 3 - y1 ) + k 6 ( y 0 + y1 - z 2 ).

2 2 Используя (5.4) и (5.5), можно преобразовать систему уравнений движения к координатам y0, y1, y3, что позволяет получить (m1 + m2 ) &&1 + y1 ( k1 + k3 + k5 + k6 ) + m2 &&0 + (k3 + k6 ) y 0 + y3 ( - k3 - k5 ) = k1 z1 + k6 z2 ;

y y m2 &&2 + y1 ( k3 + k6 ) + m2 y0 + y0 (k2 + k3 + k6 ) + y3 (- k3 ) = k6 z2 ;

(5.8) y m3 &&3 + y3 ( k3 + k4 + k5 ) + y1 (- k3 - k5 ) + y0 (- k3 ) = k4 z 2.

y В табл. 5.1 приведены коэффициенты уравнений (5.8) в унифициро ванной форме.

Табл. 5. Значения коэффициентов системы уравнений (5.8) в координатах y 0, y1, y a a11 a -k 3 -k (m1 + m 2 ) p 2 + k 1 + k 3 + k 5 + k 6 m 2 p 2 +k 3+ k a a 21 a -k m2 p +k 3+k 6 m 2 p + k 2 + k 3 +k 2 a 31 a 32 a -k 3 -k 5 -k 3 m3 p 2 + k 3 +k 4 + k Для системы координат y0, y1, y3 обобщенные силы имеют вид b1 = k1 z1 + k6 z 2, b2 = k6 z 2, b3 = k 4 z 2. (5.9) При переходе от одной системы координат к другой обобщенные си лы обычно определяются через соответствующее равенство работ на вир туальных перемещениях в двух сопоставимых системах координат. В дан ном случае, когда возмущение носит кинематический характер, обобщен ные силы получаются одновременно в процессе вывода уравнений.

При сопоставлении математических моделей, отражаемых уравне ниями (5.3) и (5.8), можно отметить, что диагональный член a11 содержит сумму масс m1 + m2. Изменились и перекрестные связи a12 и a21 (табл.

5.1), которые, в отличие от уравнений (5.3), приобретают не упругий, а инерционно-упругий характер. В частности, при частоте внешнего воздей ствия k +k w12 = 3 6 (5.10) m возможна развязка движений между парциальными системами a11 и a (табл. 5.1).

5.3. Особенности различных систем координат Для введения системы координат вида y1, y2, y00 принимается, что y00 = y3 - y 2. (5.11) В этих координатах выражения для кинетической и потенциальной энергий системы (5.1) и (5.2) можно записать в виде 1 1 T = m1 y 2 1 + m 2 && 2 2 + m3 ( y 00 + y 2 ) 2, & & & y (5.12) 2 2 1 1 1 П = k1( y1 - z1 ) 2 + k2 ( y2 - y1 )2 + k3 ( y 00 ) 2 + k4 ( y00 + y2 - z2 ) 2 + 2 2 2 2 (5.13) 1 + k5 ( y00 + y2 - y1 )2 + k6 ( y2 - z2 ), 2 откуда могут быть получены уравнения движения системы (рис. 5.1) в сис теме координат y1, y2, y00. Соответствующие значения коэффициентов унифицированной системы уравнений приведены в табл. 5.2.

Табл. 5. Значения коэффициентов системы уравнений в координатах y1, y2, y a a11 a -k 2 +k 5 - k m1 p + k 1 + k 2 + k a a 21 a -k 2 +k 5 (m 2 + m 3 ) p + k 2 + k 4 +k 5 +k 6 k 4 +k 5 + m3 p a 31 a 32 a - k5 m3 p 2 + k 3 +k 4 + k m3 p 2 + k 4 +k Обобщенные силы системы с координатами y1, y2, y 00 имеют вид b1 = k1 z1, b2 = k 6 z 2 + k 4 z 2, b3 = k4 z2. (5.14) По сравнению с традиционной системой координат y1, y2, y3 из табл.

5.2 можно установить, что парциальная система в матрице a22 имеет сум му масс m2 + m3. В свою очередь изменяются и формы связей a23 и a32, k +k приобретая инерционно-упругий характер. При частоте w2 = 4 5 в дан m ной системе происходит развязка движений между парциальными систе мами a22 и a 23.

Для рассмотрения случая сочленения трех тел введем в рассмотрение систему обобщенных координат y1, y2, y000, где y000 = y3 - y1 (5.15) В этом случае выражения для кинетической и потенциальной энер гий (5.1) и (5.2) преобразуются к виду 1 1 T= m1 y 2 1 + m2 && 2 2 + m3 ( y1 + y 000 ) 2, & & & y (5.16) 2 2 1 1 П = k1 ( y1 - z1 ) 2 + k2 ( y2 - y1 ) 2 + k3 ( y1 + y 000 - y 2 ) 2 + 2 2 2 (5.17) 1 1 + k4 ( y1 + y000 - z2 ) 2 + k5 ( y000 ) 2 + k6 ( y2 - z2 ).

2 2 В табл. 5.3 приведены значения коэффициентов унифицированной системы уравнений, которые могут быть получены способами, аналогич ными вышеприведенным.

Табл. 5. Значения коэффициентов уравнений движения в координатах y1, y2, y a a11 a m3 p 2 + k 3 +k (m1 + m3 ) p 2 + k1 + k 2 + k 3 +k 4 -k 2 -k a a 21 a m2 p + k 2 +k 3 +k -k 2 -k 3 k a 31 a 32 a - k m3 p + k3 + k 4 m3 p + k 3 +k 4 + k 2 Обобщенные силы для системы с координатами y1, y2, y000 имеют вид b1 = k1 z1 + k4 z2, b2 = k 6 z 2, b3 = k4 z2. (5.18) Введение относительных координат y1, y2, y000 позволяет получить соответствующие частные виды расчетных схем по отношению к исходной системе, приведенной на рис. 5.1.

На рис. 5.2 (а, б, в) приведены соответствующие расчетные схемы.

При этом при «обнулении» y0, y00, y000 соответствующим образом «обну ляются» столбцы и строки матрицы коэффициентов, что упрощает по строение.

z2 z z k4 k k4 k k k3 = y y3 m1 + m m3 y00 k5 = k m2 + m k6 k k5 k5 m k k k2 = y0 y y0 m1 + m m1 + m m k k1 k z1 z1 z Рис. 5.2. Расчетные схемы для ВЗС с сочленениями:

y2 - y1 = 0 ( y0 = 0 );

б) y2 - y3 = 0 ( y00 = 0 );

в) y1 - y3 = 0 ( y000 = 0 ) а) 5.4. Структурные интерпретации систем. Сложные режимы Структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении САУ приведены на рис. 5.3 (а, б, в, г). Исходные данные для построения соответствующих структурных схем могут быть взяты из табл. 5.15.3.

Структурная схема на рис. 5.3 а отражает свойства исходной механической системы (рис. 5.1);

в этой системе динамическое состояние описывается тремя координатами y1, y2, y3. Если предполагается возможность сочлене ния m1 и m2, то структурная схема имеет вид, как показано на рис. 5.3 б:

в свою очередь, при сочленении m2 и m3 имеем структурную схему на рис. 5.3 в;

при сочленении m1 и m3 - соответственно структурную схему на рис. 5.3 г. Отметим, что сочленения изменяют структуру системы;

при этом каждое сочленение устраняет одну степень свободы. Остающиеся ди намические связи определяются матрицей коэффициентов после исключе ния соответствующих строки и столбца в таблицах 5.15.3. Рассматривая «обнуление» движения ( y i = 0( i = 1,3 ) ) как сочленение, можно упростить расчетные схемы, представленные на рис. 5.3 (а, б, в, г), до системы с од ной степенью свободы.

При развитии предлагаемого способа упрощения (или синтеза) сис тем, представляет интерес рассмотрение движения в системе координат y1, y0, y00 ( y0 = y 2 - y1, y00 = y2 - y3 ). В этом случае выражения для кинети ческой и потенциальной энергий (5.1) и (5.2) преобразуются к виду 1 1 T = m1 y 2 1 + m2 ( y 0 + y1 ) 2 + + m3 ( y 00 + y 0 + y1 ) 2, & & & & & & (5.19) 2 2 1 1 1 П = k1 ( y1 - z1)2 + k2 ( y2 - y1)2 + k3 ( y3 - y 2 )2 + k4 ( y3 - z2 )2 + 2 2 2 2 (5.20) 1 k5 ( y3 - y1 ) + ( y2 - z2 )2.

2 Делая ряд преобразований, аналогичных вышеприведенным, полу чим систему дифференциальных уравнений движения (m1 + m 2 + m3 ) &&1 + y1 (k1 + k 4 + k 6 ) + (m2 + m3 ) &&0 + (- k 4 ) y 0 + y y + &&00 m3 + y 00 (k 6 + k 4 ) = k1 z1 + + k 4 z 2 + k 6 z 2 ;

y (m2 + m3 ) &&0 + y 0 (k 2 + k 5 ) + m3 &&00 + y 00 (k 4 + k 5 ) + y y (5.21) + &&1 (m 2 + m3 ) + y1 (- k 4 ) = k 4 z 2 ;

y m3 &&00 + y 00 (k 3 + k 4 + k 5 + k 6 ) + &&0 (m3 ) + y 0 (k 4 + k 5 ) + y y + m3 &&1 + (k 4 + k 6 ) y1 = k 4 z 2 + k 6 z 2 ;

y Значения коэффициентов уравнений (5.21), приведенных к унифици рованной форме, представлены в табл. 5.4.

k3 + k k k k3 + k m3 p 2 + k 3 + k 4 + k (m1 + m2 ) p + k1 + k3 + k5 + k y 1 1 k k2 m2 p 2 + k 2 + k 3 + k m1 p + k1 + k2 + k3 + k3 + k4 + k 2 m3p y y y1 k k1 z k6 k z z2 z k z k k z k б) а) k2 + k k 2 + k 1 k2 + k (m +m )p +k1 +k2 +k3 +k 1 m2 p + k2 + k3 + k 1 k 2 + k5 y 1 (m2 +m3) p +k4 +k5 +k m1 p + k1 + k5 + k y3 y y1 k k1 z z k k1 z z k в) z Рис. 5.3. Структурные схема ВЗС для различных случаев сочленения при системе координат: а) y1, y2, y3 (сочленений нет);

б) y0, y1, y3 ( y0 = y2 - y1 = 0 );

в) y1, y2, y00 ( y00 = y2 - y3 = 0 );

г) y1, y2, y000 ( y000 = y1 - y3 = 0 ) Табл. 5. Значения коэффициентов уравнений движения в координатах y1, y0, y a a11 a (m1 + m2 + m3 ) p 2 + k1 + k 4 + k 6 - ( m2 + m3 ) p 2 -k 4 m3 p 2 + k 6 + k a a 21 a (m2 + m3 ) p + k 2 + k 5 m 3 p + k 4 +k 5 + k (m2 + m3 ) p - k 2 2 a 31 a 32 a m3 p 2 - k 4 + k 6 m3 p 2 + k 3 + k 4 + k 5 + k m3 p 2 + k 4 + k 5 + k Обобщенные силы системы с координатами y1, y0, y 00 имеют вид b1 = k1 z1 + k 4 z 2 + k 6 z 2, b2 = k4 z2, b3 = k 4 z 2 + k 6 z 2. (5.22) Если полагать, что y 0 = 0 и y00 = 0, то есть y1 = y 2 = y3, то система примет вид, как показано на рис. 5.4 а, б.

z2 z k k k z k k1 z m1+m2 + m k1 + k 4 + k (m1 + m2 + m3 ) p y y k - z Рис. 5.4. Расчетная схема исходной системы (рис. 5.1) для случая сочленения трех тел (а);

структурная схема, соответствующая схеме с тремя сочленениями (б) При двух сочленениях исходная система превращается в систему с одной степенью свободы, частота собственных колебаний которой опреде ляется выражением k + k 4 + k w соб = (5.23) m1 + m2 + m Для оценки возможностей использования сочленений, как способа изменения структуры и ее последующего упрощения, рассмотрим струк турную схему эквивалентной в динамическом отношении САУ (рис. 5.5) в системе координат y1, y0, y00, что соответствует математической модели в виде системы уравнений (5.21). Для сравнения на рис. 5.6 (а, б, в) приве дены структурные схемы эквивалентных САУ для виброзащитных систем в координатах y1, y0, y3 (рис. 5.6 а), координатах y1, y2, y00 (рис. 5.6 б), координатах y1, y2, y000 (рис. 5.6 в).

Отметим, что выбор системы обобщенных координат изменяет не только вид парциальных систем, но и перекрестные связи. В системе коор динат y1, y0, y3 (рис. 5.6 а) между движениями по y1, y0 возникает инер ционно-упругая связь, что предполагает возможность возникновения ре жимов динамического гашения: это зависит от того, каковой, в конечном итоге, будет выбранная система внешних кинематических воздействий z 1, z0. Между координатами y0, y3 существует упругая связь, которая оп ределена упругим звеном k3. В системе координат y1, y 2, y00 (рис. 5.6 б) при тех же внешних кинематических воздействиях между координатами y 1, y0 существует упругая связь, а между y2, y00 – инерционно-упругая связь, которая при определенной частоте «обнуляется», что исключает прямую связь движений между парциальными системами. Между коорди натами y1, y00, y000 (рис. 5.6 в) возникает система упругих перекрестных связей, что исключает появление режимов развязки колебаний между пар циальными системами.

-m p2 -k4 -k5 -k - (m2 + m3) p2 - k1 + k -(m2 + m3) p -k4 -k6 -m p -k4 -k5 -k (m1 +m2 +m3) p2 +k1 +k4 +k 2 (m2 + m3) p2 +k2 + k5 m2 p2 + k3 + k y0 y y k1 z k k6 z z - m3 p2 - k4 - k k4 z z k z k -m3p2 -k4 -k Рис. 5.5. Структурная схема эквивалентной САУ в системе координат y1, y0, y k - m2 p 2 - k 3 - k z k - m3 p2 - k4 - k k k2 + k z 1 - m2 p 2 - k3 - k (m1 +m2) p2 +k1 +k3 +k5 +k6 k m2 p2 + k2 + k3 + k6 m3 p2 + k3 + k4 + k y y y 1 k6 k2 + k5 -m3p2 -k4 -k (m2 + m3 ) p2 + k2 + k4 + k5 + k6 m3 p2 + k3 + k4 + k m 1 p 2 + k1 + k 3 + k 5 y z2 y k3 + k y k4 k z2 z z k k3 + k -k k1 z k z k k k2 - k k z k2 + k (m1 + m3 )p2 + k1 + k2 + k3 + k4 k3 m3 p2 + k3 + k4 + k m2 p2 + k2 + k3 + k y y y k z2 k z k z - m3 p 2 - k3 - k z k - m3 p 2 - k3 - k Рис. 5.6. Структурные схемы для ВЗС (рис. 5.4) в системах координат:

а) y1, y0, y3 ( y 0 0 );

б) y1, y2, y 00 ( y00 0 );

y1, y2, y 000 ( y000 0 ) Приведенное выше представляет собой, по существу, доказательство возможности формирования сочленения путем соответствующего выбора системы координат. Последующие процедуры проводятся в формализо ванном порядке и обеспечивают получение соответствующей модели. До казательная основа подхода связана с переходом системы с большим чис лом степеней свободы к системе с меньшим числом степеней, что не затра гивает условия разрешимости уравнений. Получение математических мо делей систем с сочленениями возможно, и физически это объяснимо, если параметры элементов, соединяющих определенные точки системы (упру гие элементы и любые другие из расширенного набора типовых ВЗС), бу дут принимать предельные значения (или очень большие по сравнению с другими).

Библиография к 5-й главе 5.1. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции техниче ских объектов. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2008. – 523 с.

5.2. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Сочленения звеньев в виброзащитных сис темах как процесс уменьшения числа степеней свободы движения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Ир кутск : ИрГУПС, 2010. – Вып. 4(28). – С. 8–15.

5.3. Елисеев С.В. Обобщенная пружина в задачах динамики машин и обо рудования / С.В. Елисеев, С.В. Белокобыльский, Р.Ю. Упырь // Збiрник наукових праць (галузеве машинобудування, будiвництво):

Полтавський нацiональний технiчний унiверситет iменi Юрiя Кондра тюка. Т. 1. – Полтава : ПолтНТУ, 2009. – Вып. 3(25). – С. 79–89.

5.4. Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / С.В. Елисеев, И.В. Фомина [и др.]. – Иркутск : ИрГУПС, 2009. – 128 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, № 738-В 2009.

5.5. Фомина И.В. Развитие подходов к упрощению расчетных схем меха нических колебательных систем / Д.Н. Насников, И.В. Фомина, Н.П. Сигачев // Информационные и математические технологии в науке и управлении: труды XVI Байкальской Всероссийской конфе ренции с международным участием. – Иркутск, 2010. – Т. 2. – С. 23–31.

5.6. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Транспортные подвески. Математические модели. Выбор систем координат // Современные технологии. Сис темный анализ. Моделирование. – Иркутск : ИрГУПС, 2011. – Вып.

2(30). – С. 8–18.

5.7. Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Расширение теоремы о наложении свя зей для систем с сочленениями // Вестник Белорусского гос. универ ситета. Наука и транспорт. № 1/2011. – С. 89–93.

5.8. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями звеньев. Метод построения математических моделей // Межвузовский сборник научных трудов // Повышение динамического качества под вижного состава и поезда. – Омск : Омский гос. ун-т путей сообщения, 2011. – С. 6–26.

5.9. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Непланарность в структурных аналогах механических систем с межкоординатными связями // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. – Иркутск : Ир ГУПС, 2011. – Вып. 4(32). – С. 8–17.

ГЛАВА 6. ВВЕДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ В СИСТЕМУ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Динамическое гашение колебаний в последние годы стало одним из актуальных направлений в практике вибрационной защиты машин и обо рудования от действия динамических нагрузок [6.1]. Известны многочис ленные конструктивно-технические формы построения динамических га сителей, способы самонастройки параметров и автоматического управле ния динамическим состоянием виброзащитных систем [6.2]. В меньшей степени изучены возможности использования в структуре систем дополни тельных связей различной природы, в частности с сочленениями рычаж ных связей. Такие связи могут быть реализованы на основе рычажных ме ханизмов первого или второго родов, а также и в других конструктивных формах, например с использованием Г-образных рычажных механизмов, вводимых сочленениями. Рассматривается динамический гаситель колеба ний (рис. 6.1) в составе виброзащитной системы, обеспечивающей защиту объекта от вибраций со стороны основания и сочленение в т. А. Объект защиты представляет собой твердое тело массой m, совершающее верти кальные движения y1. Точка A определяет геометрию динамического га сителя, имеющего рычаги l 1 и l2. Отметим, что в силу принятых условий положение точки A не имеет практического значения, но позволяет сде лать более простой физическую схему динамических взаимодействий.


На рис. 6.1 приняты следующие обозначения: P (t ) – внешнее сило вое возмущение;

z (t ) – внешнее кинематическое возмущение;

m1 – масса объекта защиты;

m2 и m3 – массы y 2 m2 m3 y настраиваемых элементов;

k1, k2, P (t ) k3 – коэффициенты жесткости l l k2 k упругих элементов;

j – угол по j т.A ворота рычага относительно объ екта защиты;

l1, l2 – длины плеч y рычага;

y1, y2, y3 – координаты массоинерционных элементов в абсолютном движении.

m Предполагается, что колеба k тельные движения в системе от носительно положения равнове сия достаточно малы, что позво z( t) ляет использовать упрощенные линейные представления;

полага Рис. 6.1. Расчетная схема динамического ется также, что силы трения малы.

гасителя колебаний рычажного типа 6.1. Постановка задачи. Общие положения Целью исследования является оценка возможностей создавать в сис теме режимы динамического гашения, которые определяются настроеч ными параметрами. Таковыми могли бы быть длины плеч рычага и вели чины масс элементов m1 и m2. Конструктивные варианты построения сис тем изменения названных параметров представляются вполне реализуе мыми, так же как и схемы сбора и обработки информации о динамическом состоянии системы. Запишем выражения для кинетической и потенциаль ной энергий:

1 1 T = m1 y12 + m2 y2 + m3 y3, & &2 &2 (6.1) 2 2 1 1 П = k1 ( y1 - z ) + k2 ( y2 - y1 ) + k3 ( y3 - y1 ).

2 (6.2) 2 2 Введем ряд соотношений между координатами y2 = y1 + jl1, y3 = y1 - jl2, (6.3) где учтены особенности рычага второго рода в отношении изменения входно го сигнала и по величине, и по направлению. Будем полагать, что элементы m2 и m3 имеют вертикальное движение, а изгиб рычага не принимается во внимание (хотя это не так и конфигурация расположения l1 и l2 имеет значе ние). С учетом (6.3) выражения (6.1) и (6.2) можно записать в виде 1 1 T = m1 y12 + m2 ( y1 + j l1 ) + m3 ( y1 - jl2 ), 2 & && & & (6.4) 2 2 1 1 П = k1 ( y1 - z ) + k2 ( -j l1 ) + k3 (j l2 ).

2 2 (6.5) 2 2 Используя известные приемы [6.3], получим уравнения движения системы &&1 (m1 + m2 + m3 ) + j (m2l1 - m3l2 ) + k1 y1 = k1z + P, && y (6.6) j ( m2l12 + m3l22 ) + &&1 (m2l1 - m3l2 ) + j (k2l12 + k3l22 ) = 0.

&& y Структурная схема эквивалентной системы автоматического управ ления (САУ) показана на рис. 6.2;

из ее анализа следует, что между парци альными системами существует упругая связь, которая при выполнении условий симметрии может «обнуляться» и делать движения парциальных систем независимыми (имеется в виду соотношение m2l1 - m1l2 ).

Найдем передаточную функцию системы при кинематическом воз мущении ( m2l12 + m3l2 ) p 2 + k2l12 + k3l22 k y1. (6.7) W1 ( p) = = z ( m1 + m2 + m3 ) p + k1 ( m2l1 + m3l2 ) p + k2l1 + k3l22 - ( m2l1 - m3l2 )2 p 2 2 2 2 (m2l 1 - ml3 2)p P (m2l 1 - ml3 2)p - - z kl + kl ( ml2 12 +ml 3 22)p 2 k (m1 + m2 + m3 ) p 21 j y -1 - Рис. 6.2. Структурная схема, соответствующая системе на рис. 6. Из выражения (6.7) можно найти частоту динамического гашения при внешнем кинематическом возмущении z :

k2l12 + k3l2 k2 + k3i w = =, (6.8) дин m2l12 + m3l2 m2 + m3i где i = l2 l1 – передаточное отношение рычага второго рода (знак отноше ния учтен при составлении выражения для потенциальной энергии). Час тоты собственных колебаний системы могут быть найдены из частотного уравнения ( m1 + m2 + m3 ) p 2 + k1 ( m2l12 + m3l22 ) p 2 + k2l12 + k3l22 - ( m2l1 - m3l2 ) p 4 = 0. (6.9) 6.2. Оценка динамических свойств. Введение дополнительных связей С целью расширения возможностей изменения динамического состоя ния в систему можно ввести дополнительные связи в виде элементарных звеньев двойного дифференциро y2 m2 m3 y3 вания, как показано на рис. 6. P (t ) [6.4], где L1, L2, L3 – моменты инер l l1 ции устройств для преобразования L3 p k2 L2 p движения.

k j В этом случае выражение для т.A кинетической энергии примет вид y1 1 T = m1 y12 + L1 ( y1 - z ) 2 + & && 2 1 + m2 y2 + L2 ( y2 - y1 ) 2 + (6.10) &2 & & m 2 k L1 p 2 1 + m3 y3 + L3 ( y3 - y1 ) 2, &2 && 2 z (t ) а потенциальная энергия опреде лится из выражения (6.2).

Учитывая соотношения (6.3), Рис. 6.3. Расчетная схема системы запишем выражение для кинети с дополнительными связями ческой энергии системы в виде:

1 1 1 T = m1 y12 + L1 ( y1 - z ) 2 + m2 ( y1 + j l1 ) + L2 ( -j l1 ) 2 + & & & && & 2 2 2 2 (6.11) 1 + m3 ( y1 - j l2 ) + L3 (j l2 ) 2.

&& & 2 Тогда система дифференциальных уравнений движения запишется:

&&1 ( m1 + L1 + m2 + m3 ) + j (m2l1 - m3l2 ) + k1 y1 = && 1 + k1 z;

&& y zL (6.12) j (m2l12 + L2l12 + m3l22 + L1l22 ) + &&1 (m2l1 - m3l2 ) + j (k2l12 + k3l22 ) = 0.

&& y Структурная схема эквивалентной САУ приведена на рис. 6.4.

(ml 1 -ml 3 )p 2 (ml 1 -ml 3 )p 2 - kl + kl 2 k ( m2 + L 2)l 21 +( m +L )l 3 p 2 (m1 + L + m + m) p 2 21 1 2 j k1 + L p y z -1 - Рис. 6.4. Структурная схема эквивалентной САУ, соответствующей рис. 6. Из структурной схемы следует, что введение устройств с преобразо ванием движения L1, L2, L3 изменяет свойства системы: L1 влияет на ха рактер внешнего воздействия, а система приобретает дополнительный ди намический резонанс и «запирание» на высоких частотах;

L2 и L3 снижают частоты собственных колебаний парциальных систем.

Передаточная функция системы при кинематическом возмущении системы в этом случае принимает вид:

){ ( m }...

y ( k1 + L1 p + L2 ) l12 + ( m3 + L3 ) l22 p 2 + k2l12 + k3l W1 ( p) = 1 = ( m1 + L1 ) + m2 + m3 p 2 + k z (6.13),.

{ }...

( m2 + L2 ) l12 + ( m3 + L3 ) l22 p 2 + k2l12 + k3l22 - ( m2l1 - m3l2 ) p Для исследования преобразуем (6.13):

{ } y1 ( k1 + L1 p ) m2 + L2 + ( m3 + L3 ) i p + k 2 + k3i 2 2 2 W1 ( p) = =...

( m1 + L1 ) + m2 + m3 p 2 + k z (6.14)..., { } m2 + L2 + ( m3 + L3 ) i 2 p 2 + k2 + k3i 2 - ( m2 - m3i 2 ) p где i = l2 l1 – отношение плеч рычага второго рода.

r1 m2 + L2 + (m3 + L3 )i 2, = Введем ряд обозначений: пусть r2 = m1 + m2 + m3 + L1 ), r3 = m2 - m3i 2, тогда A1 = ( k1 + L1 p 2 )( r2 p 2 + k 2 + k3i 2 ).

Исследуем характеристическое уравнение передаточной функции (6.14) A2 = ( r1 p 2 + k1 )( r2 p 2 + k 2 + k3i 2 ) - r32 p 4 = (r1r2 - r32 ) p 4 + (6.14') +[r2 k1 + r1 ( k2 + k 3i 2 )] p 2 + k1 (k 2 + k3i 2 ) = 0, откуда найдем частоты собственных колебаний r2 k1 + r1 ( k2 + k3i 2 ) [r2 k1 + r1 (k2 + k3i 2 )] - 4(r1r2 - r32 )[k1 (k2 + k3i 2 ) w= ±. (6.15) 2(r1r2 - r32 ) 4(r1r2 - r32 ) 1, Если r1r2 - r32 = [ m2 + L2 + ( m3 + L3 )i 2 ]( m1 + m2 + m3 + L1 ) - ( m2 - m3i ) 2, w1 w то разность частот и будет иметь вид D = m2 + 2 m2 m3i - m3 i + m2 + m3 i + R, где R – положительный остаток, то - 2 22 2 есть всегда выполняется D 0. Если подкоренное выражение (6.15) будет равно нулю, то частоты собственных колебаний совпадают и амплитудно частотная характеристика (АЧХ) будет иметь вид, характерный для систе мы с одной степенью свободы.

Из выражения (6.14) следует, что возможен режим, когда wдин1 = wдин 2, 2 k2 + k3i k = что выполняется при условии. Тогда условие сов L1 m2 + L2 + (m3 + L3 )i падения частот динамического гашения имеет вид L1 (k2 + k3i 2 ) k1 =, (6.16) m2 + L2 + (m3 + L3 )i или k1[m2 + L2 + (m3 + L3 )i 2 ] L1 =. (6.17) k2 + k3i При выполнении i ® получим предельные соотношения;

при этом kL k1 = 3 1, (6.18) m3 + L k (m + L3 ) L1 = 1 3. (6.19) k В свою очередь, при i ® 0 получим kL k1 = 2 1, (6.20) m2 + L k ( m + L2 ) L1 = 1 2. (6.21) k Если выполняются условия (6.16) и (6.17), то система с двумя степе нями свободы будет иметь вид АЧХ, как показано на рис. 6.5, то есть будет вести себя как система с одной степенью свободы. Расчетным путем могут быть найдены значения L1 (6.17), соответствующие графикам на рис. 6.5 а, б, в при m1 = 100кг, m2 = m 3 = 10кг, i = 2, 4,6, L2 = 10кг / м 2, L3 = 10кг / м 2, k2 = 600 H / м, k3 = 700 H / м, k1 = 1000 H / м.

В табл. 6.1 представлены соответствующие значения частот собст венных колебаний и динамического гашения.

а) б) 1/сек 1/сек в) Рис. 6.5. Амплитудно-частотные характеристики при условии равенства выражений (6.16) и (6.17) при соответствующих значениях L1, в качестве изменяемого параметра выбрана величина i : а) i = 2;

б) i = 4;

в) i = 1/сек Табл. 6. Значения частот собственных колебаний и динамического гашения, представленных на рис. 6.5, при соответствующих значениях L Частоты динамического Частота собственных колебаний Значение гашения L wсоб wдин L1 = 29,412;

i = 2 2,585 5, 5,855 5, L1 = 28,682;

i = 6 2,586 5, 5,989 5, L1 = 28,814;

i = 4 2,587 5, 5,957 5, 1/сек Рис. 6.6. Диаграмма поведения частот динамического гашения и собственных колебаний при изменении параметра L На рис. 6.6 построена диаграмма поведения частот динамического гашения и собственных колебаний. В общем случае, учитывая одинаковый порядок частотных уравнений числителя и знаменателя (6.14), можно по лагать в зависимости от значений параметров, в частности L1, что соотно шения между частотами, а также формы АЧХ системы, будут изменяться существенным образом. На рис. 6.7 показано, что при изменении L1 воз можны характеристики с двумя режимами динамического гашения и двумя резонансами. Однако в системе возможны случаи совпадения частот дина мического гашения между собой, а также совпадение с частотами собст венных колебаний. Для расчетов использовались средства программного пакета Mathcad 11. В области высоких частот происходит «запирание»


системы. Значение коэффициента передачи амплитуды колебаний при уве личении частоты определяется из выражения (6.14) при условии, что p ®. Если обозначить эту величину через a (бесконечность), то значе ния этого параметра будут зависеть от L1. На рис. 6.7 приведена соответ ствующая информация на вариантах а, б, в, г, д, е, ж. Особенностью ам плитудно-частотных характеристик на рис. 6.7 в их различных вариантах является то обстоятельство, что система с двумя степенями свободы прак тически ведет себя как система с одной степенью свободы, что обеспечи вается определенными значениями приведенной массо-инерционной ха рактеристики L1, находимой из выражения (6.17).

Близость резонансных частот создает зону неустойчивых движе ний повышенного уровня, за пределами которой система имеет вид АЧХ с одной степенью свободы. В качестве изменяемого параметра было, в частности, выбрано передаточное отношение плеч рычажной связи i.

В модельном примере L1 = 29,412 соответствует i = 2, L1 = 28,814 соот ветствует i = 4, L1 = 28,682 соответствует i = 6 (рис. 6.7). Для АЧХ харак терны два участка, на которых коэффициент передачи амплитуды коле баний равен 1 в диапазоне частот 0 w1соб 1 / c. В диапазоне частот w1соб - коэффициент передачи амплитуды колебаний меньше единицы, что определяет возможное направление использования системы в зада чах виброзащиты.

1/сек a = 0, в) 1/сек 1/сек a = 0, а) a = 0, д) 1/сек 1/сек 1/сек a = 0, г) a = 0, е) a = 0, б) Рис. 6.7. АЧХ для выражения 13 при различных значениях L1 : а) при L1 = 10 ;

б) при L1 = 13,5 ;

в) при L1 = 25 ;

г) при L1 = 28,8 – критическое значение ( wдин1 = wдин2 );

д) при L1 = 50 ;

е) при L1 = 200 ;

ж) при L1 ® 1/сек a = 0, ж) 6.3. Учет особенностей внешнего воздействия Характер внешнего воздействия на объект защиты имеет важное значение, поскольку изменяется система динамических связей. Рассмотрим систему, состоящую из двух массоинерционных элементов m1 и m2, разне сенных с помощью Г-образного рычага с плечами l1 и l2, как показано на рис. 6.8. Такая расчетная схема может быть отнесена к одному из двух массоинерционных элементов m1 и m2, разнесенных с помощью Г образного рычага с плечами l1 и l2, как показано на рис. 6.8. Такая расчет ная схема может быть отнесена к одному из вариантов вышерассмотренно го динамического гасителя при условии, что такой гаситель может либо прикрепляться, либо сниматься с объекта защиты.

m1 m y1 y l l j k1 z3 k z1 z Рис. 6.8. Расчетная схема системы с разнесенными массами при комбинированном кинематическом возмущении Конструктивное использование такого присоединения может быть построено на использовании магнитной подставки. Кинетическая и потен циальная энергия системы (рис. 6.3) может быть записана в виде 1 1 1 m1 ( y1 - z3 ) 2 + m2 ( y2 - z3 ) 2, П = k1 ( y1 - z1 ) + k2 ( y2 - z 2 ). (6.22) T= 2 && & & 2 2 2 Используя соотношение y2 = -iy, где i = l2 l1 и представляет собой отношение плеч рычага при малых углах j и без учета наклона стержней, запишем дифференциальное уравнение движения системы &&1 ( m1 + i 2 m2 ) + y1 ( k1 + i 2 k2 ) = &&3 ( m1 - m2i ) + k1 z1 - k 2iz2. (6.23) y z Структурная схема системы приведена на рис. 6.9, откуда может быть найдена частота собственных колебаний k1 + k2i wсоб =. (6.24) m1 + m2i z - k 2i z (m - m i ) p 2 z1 1 k 1 y k1 + k 2i m1 + m2 i - Рис. 6.9. Структурная схема механической системы с разнесенными массами Из структурной схемы на рис. 6.9 можно заметить, что внешние воз действия образуют систему, в которой внешние воздействия в силу конст руктивных особенностей могут действовать в противофазе и создавать ну левое воздействие на любой частоте при k1 - k2i = 0 при z1 = z2. Кроме то го, при m1 - m2i 2 = 0 для внешнего воздействия z3 создается условие «бло кирования». Что касается режимов динамического гашения и собственных частот, то необходимо принять во внимание соотношения параметров внешнего кинематического возмущения. Так, например, если z3= z1 z2= z, то частота динамического гашения определится по формуле = k -k i wдин = 1 2.

(6.25) m1 - m3i Полагая, что режимы динамического гашения связаны с оценкой числителя передаточной функции, получаемой из структурной схемы на рис. 6.8, представим возможные варианты в табл. 6.2.

Табл. 6. Виды передаточных функций при различных видах внешних возмущениях Сочетание № параметра Вид передаточной функции Примечание п/п внешнего возмущения 1 2 3 z3 = z2 = z1 = z k1 - k 2i (m - m i ) p + k - k i 1 y wдин = W ( p) = = 1 1 2 1 m1 - m2i (m1 + m2i ) p + k1 + k2i 2 2 z z3 = 0, z1 = z2 = z k1 - k 2i спец. режим 2 y W ( p) = = k1 = k2i z ( m1 + m2i 2 ) p 2 + k1 + k 2i z1 = 0, z 2 = 0, z3 0 спец.

(m1 - m2i ) p 3 y W ( p) = = режим m1 = m2i z (m1 + m2i 2 ) p 2 + k1 + k2i Окончание табл. 6. 1 2 3 z1 = 0, z3 = z3 0 (m1 - m2i ) p - k 2i 4 k 2i y wдин = W ( p) = = m1 - m2i z (m1 + m2i 2 ) p 2 + k1 + k2i z2 = 0, z1 = z3 0 (m1 - m2i ) p 2 + k 5 k y wдин = W ( p) = = z (m1 + m2i 2 ) p 2 + k1 + k 2i 2 m1 - m2i z3 = 0, z1 = 0, z 2 0 - k 2i Режима 6 y W ( p) = = динамического z (m1 + m2i ) p 2 + k1 + k 2i гашения нет z3 = 0, z2 = 0, z1 0 Режима 7 y1 k W ( p) = = динамического z ( m1 + m2i ) p 2 + k1 + k2i гашения нет Анализ данных, приведенных в табл. 6.2, позволяет сделать заклю чение о том, что режимы динамического гашения встречаются достаточно часто, однако их появление зависит от особенности конструктивного оформления виброзащитной системы и особенностей системы внешних воздействий.

Если в виброзащитную систему (рис. 6.3) ввести дополнительные связи L1 p 2 и L2 p 2, то есть элементарные звенья с передаточными функ циями дифференцирования второго рода, то дифференциальное уравнение движения примет вид &&1 ( m1 + i 2 m2 + L1 + L2i 2 ) p 2 + k1 + i 2k2 = y (6.26) = z3 ( m1 - m2i ) p 2 + ( k1 + L1 p 2 ) z1 - ( L2 p 2 + k2 ) z2.

Возможный спектр ситуаций, в которых так или иначе отражаются свойства режимов динамического гашения, можно оценить, используя уравнение (6.26). Так, например, при z3 = z1 = z2 = z получим, что k1 - k2i wдин =. (6.27) ( m1 - m2i ) + ( L1 - iL2 ) Отличие выражения (6.26) от (6.27) заключается в том, что режим динамического гашения определяется параметрами L1 и L2 устройств для преобразования движения, что расширяет возможности соответствующей настройки виброзащитных систем.

Библиография к 6-й главе 6.1. Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / С.В. Елисеев, И.В. Фомина [и др.]. – Иркутск : ИрГУПС, 2009. – 128 с. – Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, № 738-В 2009.

6.2. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции техни ческих объектов. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2008. – 523 с.

6.3. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В. Обобщенные подходы к построе нию математических моделей механических систем с Г-образными динамическими гасителями колебаний // Системы. Методы. Техноло гии. – Братск : БрГУ, 2011. – Вып. 1(19). – С. 9–24.

6.4. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в за дачах динамики механических колебательных систем. – Новосибирск, 2011. – 394 с.

ГЛАВА 7. РЫЧАЖНЫЙ ГАСИТЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ В МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С ОБЪЕКТОМ ЗАЩИТЫ ОТ ВИБРАЦИЙ В ВИДЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА УПРУГИХ ОПОРАХ Использование динамических гасителей (ДГ) колебаний в различных механических системах имеет давние традиции и нашло отражение в ряде работ [7.17.3]. При всей развитости представлений о свойствах ДГ, осо бенностях их расчета и выбора параметров для различных случаев нагру жения, многие вопросы не получили еще в исследованиях должного вни мания. К малоизученным вопросам можно отнести особенности динамиче ских взаимодействий ДГ с твердым телом на упругих упорах, влияние мес та расположения гасителя в структуре колебательной системы, выбор на строечных параметров и др.

7.1. Общие положения Рассматриваются особенности динамического состояния, привноси мые динамическим Г-образным гасителем с учетом координат его закреп ления на объекте защиты. Расчетная схема системы представляет собой (рис. 7.1) объект в виде балки или твердого тела, установленного на упру гих опорах k1 и k2. На рис. 7.1 принят ряд обозначений: z1 и z2 – колеба ния основания;

M, I, m1 и m2 – массоинерционные параметры;

y1, y2, y3, y4,j,j1 - обобщенные координаты системы;

l1 - l7 - расстояния между характерными точками;

т. C – точка крепления гасителя (ДГ);

т. B1, m m y y3 D1 D l l6 l3 l T.B T.B1 T.C y1 y l T.A k1 k z z Рис. 7.1. Расчетная схема двумерного объекта с Г-образным динамическим гасителем B2 - места закрепления упругих элементов k3, k4 динамического гасителя.

Центр тяжести расположен в т. А.

Для дальнейших расчетов запишем выражения для кинетической энергии 1 1 1 T = My 2 + Ij 2 + m1 y3 + m2 y4.

&2 & & & (7.1) 2 2 2 Введем ряд соотношений, отражающих связи между обобщенными координатами:

y = ay1 + by2, j = c ( y2 - y1 ), y3 = y + a1j, (7.2) l l a= 2, b= 1,c=.

l1 + l2 l1 + l2 l1 + l Элементы динамического гасителя m1 и m2 участвуют в двух движе ниях: поступательное движение со скоростью точки C - Vc и вращательное – вокруг точки С с угловой скоростью j1. В этом случае, скорости m1 и & m2 должны определяться векторными суммами:

y3 = Vc + l6j1, y4 = Vc + l7j1, && & & (7.3) где l6 и l7 зависят от геометрических особенностей Г-образного элемента;

при этом выполняется соотношение yc = y - l3j, (7.4) а l3 = AC определяется расстоянием между центром тяжести балки и точ кой присоединения гасителя, j1 = j10 + Dj1. В рассмотрение также необхо димо ввести и угол j 20, который определяет наклон рычага длиной l7.

Кинематическая схема для определения параметров движения элементов m1 и m2 представлена на рис. 7.2.

l6 Dj m1 m l7 Dj & Dj1 l 6 l Vc j j Т.C Рис. 7.2. Кинематическая схема для учета геометрических параметров Г-образного гасителя при сложном движении: поступательное ( Vc ) и вращательное ( Dj1 ) & Значения абсолютных скоростей m1 и m2, y3 и y4 могут быть полу & & чены из выражений (7.3). Для упрощения выкладок можно принять, что j10 = 0, j20 = 0, тогда значения скоростей могут быть найдены:

y3 = Vc + l6 Dj1, y4 = Vc + l7Dj1.

& & & & (7.5) С учетом упрощений выражение для кинетической энергии можно представить в виде:

1 1 1 T = My 2 + Ij 2 + m1(Vc + l6Dj1)2 + m2 (VC - l7 Dj1 ) & & & & (7.6) 2 2 2 или 1 1 1 T = M j 2 + I j 2 + m1 ( y - l3j + l6j1 ) + m2 ( y - l3j - l7j1 ), & & & & (7.7) 2 2 2 где Dj1 заменено для удобства на j1.

& & Предлагаемая схема кинематических соотношений отражает малые перемещения системы и, по существу, только вертикальные составляющие параметров движения, что упрощает рассмотрение процессов движения, но формирует лишь предварительный этап исследования и необходимость последующих уточнений. Выражение для потенциальной энергии системы может быть записано в виде 1 1 1 П = k1 ( y1 - z1 ) 2 + k2 ( y2 - z2 ) 2 + k3 ( y3 - y B1 ) 2 + k 4 ( y 4 - y B2 ) 2. (7.8) 2 2 2 В выражении (7.8) принят ряд соотношений yB1 = y - l4j, yB2 = y + l5j, (7.9) откуда следует, что y3 - yB1 = yC + l6j1 - y + l4j ;

y4 - yB2 = yC - l7j1 - y + l5j. (7.10) Так как yC определяется выражением (7.4), то y3 - yB1 = -l3j + l6j1 + l4j = j (l4 - l3 ) + l6j1 ;

(7.11) y4 - yB2 = -l3j - l7j1 - l5j = -j (l3 + l5 ) - l7j1. (7.12) В окончательном виде выражение (7.8) можно записать:

1 1 П = k1 ( y1 - z1 ) 2 + k2 ( y2 - z2 ) + k3 [j (l4 - l3 ) + l6j1 ] + 2 2 2 (7.13) + k4 [ -j (l3 + l5 ) - l7j1 ], или, принимая a1 = l4 - l3, b1 = l3 + l5, получим 1 1 П = k1( y1 - z1)2 + k2 ( y2 - z2 )2 + k3 ( a1j + l6j1 ) + k4 (jb1 + l7j1 ).

2 (7.14) 2 2 Выражение (7.8) можно преобразовать, используя свертку k3 a1 j 2 + 2 k3a1j l6j1 + k3l6 j 21 + k 4j 2b12 + 2k 4j b1l7j1 + k 4l7 j12 = 2 2 (7.15) = j ( k3 a1 + k 4b1 ) + jj1 2(k3a1l5 + k 4b1l7 ) + j1 ( k3l6 + k 4l7 ), 2 2 2 2 2 откуда a2 = k3a1 + k4b12, b2 = 2(k3a1l6 + k4b1l7 );

a3 = k3l6 + k4l7.

2 2 (7.16) Тогда в окончательном виде (7.14) определится 1 1 1 П = k1 ( y1 - z1 ) 2 + k2 ( y2 - z2 ) + a2j 2 + jj1b2 + j12a3. (7.17) 2 2 Учтем, что j = c ( y2 - y1 ), поэтому (7.17) примет вид j 2 = c 2a2 ( y2 - 2 y2 y1 + y1 );

jj1 = j1c( y2 - y1 ).

2 Окончательно, выражение для потенциальной энергии запишется:

( ) 1 1 П = k1( y1 - z1)2 + k2 ( y2 - z2 ) + a2c2 y2 - 2 y2 y1 + y1 + b2j1c( y2 - y1) + j12a3. (7.18) 2 2 2 Выражение для кинетической энергии, в свою очередь, примет вид:

1 1 1 T = M ( y1a + by2 )2 + Ic2 ( y2 - y1)2 + + m1( y - l3j + l6j1)2 + m2 ( y - l3j - l7j1)2. (7.19) & & & & & & && & & 2 2 2 После преобразований:

y - l3j + l6j1 = y1 (a + l3c) + y2 (b - l3c ) + l6j1, & & & y - l3j - l7j1 = ay1 + by2 - l3cy2 + l3cy1 - l7j1 = y1 (a + l3c ) + y2 (b - l3c ) - l7j & & & & & и введения вспомогательных обозначений:

a + l3c = a4, b - l3c = a5, (7.20) выражение (7.19) может быть записано в форме 1 T= M ( ay1 + by2 )2 + Ic 2 ( y2 - y1 ) 2 + & & & & 2 2 (7.21) 1 + m1 [ y1a4 + y2 a5 + l6j1 ] + m2 y1a4 + y2a5 - l7j1.

& 2 7.2. Построение математических моделей Используя формализм Лагранжа, получим систему дифференциаль ных уравнений движений &&1 ( Ma 2 + Ic 2 ) + m1a4 + m2 a4 + &&2 ( Mab - Ic 2 ) + m1a4 a5 + m2 a4a5 + 2 y y (7.22) +j1 (m1l6 a4 - m2l7 a4 ) + k1 y1 + y1a2c - a2c y2 - b2 cj1 = k1z1;

2 && &&1 ( Mab - Ic 2 ) + m1a4a5 + m2a4a5 + &&2 ( Mb 2 + Ic 2 ) + m2 a5 + m1a5 + 2 y y (7.23) +j1 [ m1l6 a5 - m2l7 a5 ] + k2 y2 + a2c y2 - a2c y1 + b2cj1 = k2 z2 ;

2 && &&1 (m1l6a4 - m2lz a4 ) + &&2 (m1l6a5 - m2l7 a5 ) + j1 (m1l6 + m2l7 ) + 2 && y y (7.24) +b2cy2 - b2cy1 + a3j1 = 0.

В табл. 7.1 представлены коэффициенты уравнений (7.22)(7.24), приведенных к унифицированному виду в соответствии с работой [7.4].

В системе координат y1, y2 и j1 структура системы обеспечивает возможности «зануления» инерционно-упругих связей между координата ми y1 и y2, а также y2 и j1 (табл. 7.1). При условиях одновременного «за нуления» обеих связей на одной и той же частоте, возможно такое состоя ние системы, при котором каждая из парциальных систем будет двигаться самостоятельно. При этом предполагается, что силы трения будут исче зающе малыми. На основе предварительного анализа полученных выраже ний можно сделать некоторые выводы.

1. Если a1 = 0, то центр тяжести совпадает с центром вращения для динамического гашения колебаний.

2. Введение ДГ может рассматриваться как введение дополнитель ной обратной связи, влияющей через перекрестные взаимодействия на движение по координатам y1 и y2. При этом изменяются параметры пар циальных систем;

что касается характера перекрестных связей, то они но сят инерционно-упругий характер.

Табл. 7. Коэффициенты системы дифференциальных уравнений в координатах y1, y2 и j a11 a12 a Ma 2 + Ic 2 + a4 ( m1 + m2 ) p 2 + ( Mab - Ic 2 ) + p - a2c ( m1l6 a4 - m2l7 a4 ) p 2 - b2c + a4 a5 (m1 + m2 ) + ( k1 + a2c ) a21 a22 a 2 Mb + Ic ) + a5 ( m1 + m2 ) p + (m l a - m l a ) p 2 + b c ( Mab - Ic 2 ) + 2 p - a2 c + a4 a5 (m1 + m2 ) 16 5 27 5 + k2 + a2 c a31 a32 a (m1l6 a4 - m2l7 a 4 ) p 2 - b2 c (m1l6 a5 - m2l7 a5 ) p 2 + b2 c ( m1l 2 6 - m2 l 2 7 ) p 2 + a l2 l Примечание: a =,b= 1,c=, a1 = l4 - l3, b1 = l3 + l5, a2 = k3a1 + k4b12, l1 + l2 l1 + l2 l1 + l b2 = 2(k3 a1l6 + k4b1l7 ), a3 = k3l6 + k4l7, a4 = a + l3c, a5 = b - l3c;

при этом l4 = l6, l5 = l7 с 2 учетом выбора конфигурации рычага: для координаты y1 - b1 = k1 z1 ;

для координаты y2 - b2 = k2 z2 ;

для координаты j1 - b3 = 0.

3. При выполнении условий симметрии характер связей меняется: из инерционно-упругих они превращаются в упругие связи a4m1l6 - m2l7 a5 = 0. (7.25) 4. На определенных частотах Г-образный гаситель может обеспе чить режим «зануления», то есть представить динамическое влияние по схеме «ДГ – координата y2 »: в частности, такая частота определяется:

b2c w2 =. (7.26) m1l6a4 - m2l7a Однако при реализации такого же режима по координате y1 через «зануление» он возможен только при условии b2c w2 =. (7.27) m2l7 a5 - m1l6 a 7.3. Свойства систем. Выбор координат движения Как развитие исследования по детализации представлений о динами ческих свойствах, рассмотрим движение в системе координат y,j и j1.

Выражение для кинетической энергии в этом случае имеет вид, опреде ляемый (7.6);

при введении соотношения (7.5) получим 1 1 Т = My 2 + Ij 2 + m1 ( y - l3j + l6j1) 2 + m2 ( y - l3j - l7j1 )2. (7.28) & & & & & & & & 2 2 Потенциальная энергия системы определяется (7.8), тогда при соот ношениях y1 = y - l1j, y2 = y + l2j найдем, что ( ) 1 1 П = k1 ( y - l1j - z1 )2 + k2 ( y + l2j - z2 )2 + a2j 2 + jj1b2 + j12a3. (7.29) 2 2 Запишем систему дифференциальных уравнений движения в коор динатах y,j,j1, используя приемы, приведенные выше:

&&( M + m1 + m2 ) + j (-m1l3 - m2l3 ) + j1 (m1l6 - m2l7 ) + && && y (7.30) + k1 y + k 2 y + j (k2l2 - k1l1 ) = k1z1 + k 2 z2 ;

&&( - m1l3 - m2l3 ) + j ( I + m1l3 + m2l3 ) + 2 && y (7.31) +j1 ( - m1l6 l3 + m2l3l7 ) + y ( k2l2 - k1l1 ) + j ( k1l12 + k2l2 ) + j1 (b2j1 - k 2l2 - k1l1 );

&& &&(m1l6 - m2l7 ) + j (m2l7l3 - m1l6l3 ) + j1 (m1l6 + m2l7 ) + jb2 + a3j1 = 0. (7.32) 2 && && y В табл. 7.2 представлены коэффициенты унифицированной системы уравнений (7.30)(7.32).

В обобщенных координатах y, j и j1 система перекрестных связей носит различный характер. Между координатами y и j имеется инерци онно-упругая связь, которая на определенной частоте может «обнуляться»

и обеспечивать независимое движение y по отношению к координате j.

В свою очередь, инерционно-упругая связь между j и j1 также обеспечи вает возможность на определенной частоте сделать движения между j и j1 независимыми. Однако между y и j1 существует инерционная связь, которая на всех частотах будет проявлять свое действие. Возможность со вместных эффектов в связках координат y - j и j - j1 зависит от парамет ров системы. В целом, при определенных условиях k 2l2 - k1l1 внешние воз действия при z1 = z2 могут быть также уравновешены.

Табл. 7. Коэффициенты системы дифференциальных уравнений в координатах y1, j и j a11 a12 a ( M + m1 + m2 ) p 2 + k1 + k 2 ( - m1l3 - m2l3 ) p 2 + k 2l2 - k1l1 ( m1l6 - m2l7 ) p a21 a22 a ( - m1l3 - m2l3 ) p 2 + k 2l2 - k1l1 (- m1l3l6 + m2l3l7 ) p 2 + b ( I + m1l 32 + m2l 32 ) p 2 + k1l12 + k2l a31 a32 a ( m1l6 - m2l7 ) p 2 ( m2 l3l7 - m1l6l3 ) p 2 + b2 (m1l62 + m2l72 ) + a Примечание: 1) Возмущение по координате y ® (k1 + k2 ), z1 = b1;

2) по координате j ® k 2l2 z2 - k1l1z1 = b2 ;

3) по координате j1 ® O = b3.

Таким образом, в системе координат y, j, j1 система обладает осо бенностями в спектре динамических свойств. В частности, перекрестная связь ( a13 ) носит инерционный характер, а связь ( a 21 ) – инерционно упру гий. Режимы развязки колебаний также изменяются;

в данном случае «за нуление» связи происходит при передаче движения между парциальными системами y и j при частоте kl -k l w2 = 1 1 2 2. (7.33) l3 (m1 + m2 ) 7.4. Передаточные функции систем. Динамические свойства Для получения передаточных функций в системе координат y, y 2, j воспользуемся табл. 7.1, полагая, что z1 = z2 = z, тогда y1 k1(a22a33 - a23 ) + k2 (a13a32 - a12a33 ) W1 ( p) = =, (7.34) z A y2 k1 (a23a31 - a21a23 ) + k2 (a11a33 - a13 ) W2 ( p ) = =, (7.35) z A k1 (a21a32 - a22a31 ) + k 2 (a12a31 - a11 a32 ) j W3 ( p ) = =, (7.36) z A где A = a11a22a33 - a11a23 + a12a23a31 - a33a12 + a13a21a32 - a22a31;

2 2 (7.37) при этом ai, j (i = 1,3, j = 1,3) берутся из табл. 7.2.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.