авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Российская академия наук

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ РЫНКА

В. И. Соловьев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ИНСТРУМЕНТОВ УПРАВЛЕНИЯ

ИННОВАЦИОННЫМИ

РИСКАМИ

В РЫНОЧНОЙ ИНФРАСТРУКТУРЕ

Москва

2006

ББК 22.171+65.9

УДК 519.21

С 60

Соловьев, В. И. Математическое моделирование ин

С 60 струментов управления инновационными рисками в ры

ночной инфраструктуре [Текст] / В. И. Соловьев. – М.:

ИПР РАН, 2006. – 110 с.

Монография посвящена современным стохастическим мето дам и их применению в управлении инновационными рисками.

Кратко излагается теория случайных процессов и теория ценооб разования финансовых инструментов в моделях Кокса — Росса — Рубинштейна и Блэка — Шоулза — Мертона. Далее исследуются вероятностные обобщения модели Солоу и модели Харрода — До мара. Затем рассматривается экономика, состоящая из традици онного технологического уклада и инновационного подразделения, которое описывается стохастическим аналогом модели Харрода — Домара и Солоу. Построены инструменты страхования инноваци онных рисков.

Для специалистов по теории инноваций и финансовой эконо мике. Может быть полезна студентам экономических и математи ческих специальностей, аспирантам, преподавателям, специали стам практикам.

В. И. Соловьев, ИПР РАН, ВВЕДЕНИЕ А к т у а л ь н о с т ь т е м ы и с с л е д о в а н и я, результаты которого представлены в данной монографии, определяется не обходимостью ускорения процесса создания условий для раз вития инноваций в экономике России.

В настоящее время решающим фактором социально экономического развития является внедрение инноваций и но вых технологий.

За период с 2000 по 2006 гг. российская экономика демонст рировала достаточно высокие темпы роста ВВП на фоне вос становления влияния государства на экономические взаимоот ношения хозяйствующих субъектов. Однако рост экономики был в значительной степени обусловлен не развитием иннова ций и новых технологий, а благоприятной конъюнктурой миро вых цен на ресурсы (прежде всего, высокими ценами на нефть и газ).

Следует отметить, что экономический рост в России проис ходит в условиях низкого качества национальной экономики: по данным очередного отчета о мировой конкурентоспособности, опубликованного 26 сентября 2006 г. Всемирным экономическим форумом, Россия занимает 75 место из 117 стран (в 2005 г. — е место).

Чтобы повысить свою конкурентоспособность, российская экономика должна развиваться не только за счет эксплуатации природных ресурсов, рост национальной экономики должен обеспечиваться использованием инновационного потенциала, созданием новых конкурентоспособных продуктов и услуг.

Источник: World Economic Forum. The Global Competitiveness Report 2006—2007. 26 September 2006. – http://www.weforum.org/ В своем Послании Федеральному Собранию Российской Федерации 10 мая 2006 года Президент Российской Федерации В. В. Путин уделил развитию инноваций в российской экономи ке существенное внимание: «Не нарушая достигнутую финан совую устойчивость, нам надо сделать серьезный шаг к стиму лированию роста инвестиций в производственную инфраструк туру и в развитие инноваций. Россия должна в полной мере реализовать себя в таких высокотехнологичных сферах как со временная энергетика, коммуникации, космос, авиастроение.

Должна стать крупным экспортером интеллектуальных услуг.

… Нам в целом нужна сегодня такая инновационная среда, которая поставит производство новых знаний “на поток”. Для этого нужно создать и необходимую инфраструктуру: технико внедренческие зоны, технопарки, венчурные фонды, инвести ционный фонд»1.

17 октября 2006 г. состоялось очередное заседание Совета при Президенте Российской Федерации по науке, технологиям и образованию. В своем выступлении на этом заседании В. В. Путин констатировал, что «уровень инновационной актив ности российских предприятий, к сожалению, все таки остав ляет желать лучшего. Так, на исследования и разработки они в среднем расходуют менее одного процента стоимости выпус каемой продукции. По прежнему на НИОКР и науку в целом главным образом идут бюджетные деньги, тогда как в большин стве государств ситуация прямо противоположная: там первую скрипку в финансировании исследований играет негосударст венный сектор. … Все еще не получили достаточного разви тия институты венчурного финансирования. И сейчас надо оп ределиться с критериями участия государства в финансирова нии рискованных и инновационных проектов. Однако в пер спективе венчурные фонды следует формировать преимущест венно на основе частных инвестиций». Другие участники засе дания также отметили необходимость совершенствования фи нансовой инфраструктуры поддержки развития инноваций: «У нас очень слабо развита финансовая инфраструктура, позво ляющая абсорбировать риски, связанные с инновациями» (ви Источник: Официальный сайт Президента Российской Федера ции. – http://www.kremlin.ru/.

це президент Российской академии наук, академик РАН А. Д. Некипелов);

«… Наконец, третья задача — это создание адекватных институтов финансовой поддержки и внедрения в производство перспективных разработок. На наш взгляд, суще ствует критический дефицит финансовых институтов, дейст вующих в формировании долгосрочных проектов в сфере инно вационной экономики. Венчурное финансирование не может решить все вопросы, банковские кредиты в этой сфере доступ ны немногим, финансирование начальных стадий осуществля ется в недостаточном объеме. Кроме того, как было сказано, есть потребность в косвенной финансовой поддержке» (министр образования и науки России А. А. Фурсенко);

«… И послед ний вопрос. Это, естественно, та кровеносная система, без кото рой не может быть, это финансовое обеспечение. Здесь очень много говорилось сейчас предыдущими докладчиками, какие финансовые рычаги мы можем использовать в этом вопросе.

Могу сказать только, что оптимальная схема сотрудничества государства и бизнеса в этом случае — это использование цело го ряда различных механизмов, они есть: и госзаказ, и заемное финансирование, и финансирование новейших технологиче ских линий под гарантии государства с последующим пере форматированием их отношений. И здесь бизнес, я считаю, го тов тоже на все: и закладывать свои пакеты акций, и допускать любое контролирование, и прочее. Потому что задача у нас одна — быстро преодолеть технологическое отставание, потому что если мы сегодня не станем сами глобальной компанией, значит, завтра мы станем частью какой то глобальной компании, но уже не нашей» (председатель совета директоров АФК «Систе ма» В. П. Евтушенков).

Поэтому представляется чрезвычайно актуальным выяв ление условий и разработка экономических и финансовых ме ханизмов, которые обеспечат переход к инновационным страте гиям развития национальной экономики. Среди таких механиз мов важное место должны занять инструменты хеджирования и страхования инновационных рисков.

Источник: Официальный сайт Президента Российской Федера ции. – http://www.kremlin.ru/.

Проблемы выявления условий и формирования механизмов перехода к инновационным экономическим стратегиям рас сматривались в работах А. И. Анчишкина, В. И. Аркина, К. А. Багриновского, В. Н. Борисова, А. Е. Варшавского, С. Л. Га врилова, А. Диксита, Е. Домара, А. А. Дынкина, И. В. Евстигне ева, Н. И. Ивановой, В. А. Колемаева, Н. И. Комкова, Г. К. Ку лакина, В. Л. Макарова, Р. Мертона, Л. Э. Миндели, Р. Пин дайка, Д. Ромера, Т. Сарджента, Ю. В. Сидельникова, А. Д. Сла стникова, А. Д. Смирнова, Л. В. Соколовой, Р. Солоу, С. Тур новского, И. Э. Фролова, Р. Харрода, Дж. Хикса, Й. Шумпетера и других авторов. Однако, многообразие и сложность возни кающих здесь проблем требует увеличения масштабов иссле дований направлений, условий и конкретных путей перехода к инновационной экономике.

Ц е л ь ю исследования является совершенствование спосо бов количественной оценки инновационных рисков и обоснова ния инновационных решений.

О с н о в н о й з а д а ч е й работы явилась разработка теоре тической основы организационно экономических механизмов поддержки инновационно технологической стратегии развития российской экономики.

О б ъ е к т а м и и с с л е д о в а н и я являются инновацион ные предприятия и национальная экономическая система, при этом п р е д м е т о м и с с л е д о в а н и я выступают инноваци онные процессы развития экономики.

В д е т е р м и н и р о в а н н о й м а т е м а т и к е рассматри ваются лишь такие модели, в которых состояние X (t) некоторой системы в момент времени t однозначно определяется ее со стоянием в любой предшествующий момент t0 : X (t) = f (t0, t), где f — некоторая (однозначная) функция. Этими моделями опи сываются процессы, рассматриваемые в классической механи ке (движение материальной точки), классической финансовой математике (ценность денег во времени), классической матема тической экономике (динамика выпуска, труда и капитала).

Однако при изучении различных объектов мы часто стал киваемся с процессами, течение которых однозначно предска зать невозможно. Например, колебания высоты полета самоле та около того значения, которое он должен выдерживать, коле бания обменных курсов валют, колебания валового внутреннего продукта.

Греческое слово (стохос) означает п р е д п о л о ж е н и е, д о г а д к а. Слово (стохастика) перево дится как и с к у с с т в о п р е д с к а з а н и я. В т е о р и и с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в (или с т о х а с т и ч е с к о й м а т е м а т и к е) рассматриваются именно такие модели, когда со стояние X (t) некоторой системы в момент времени t является с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й:

X (t) = f (t0, t, ), где f — некоторая с л у ч а й н а я ф у н к ц и я.

При этом для оценки о ж и д а е м о г о с о с т о я н и я сис темы используется м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е этой случайной функции, а в качестве м е р ы р и с к а как возмож ного разброса будущих значений вокруг ожидаемых прогнозов — с р е д н е е к в а д р а т и ч н о е о т к л о н е н и е.

Как отмечают А. А. Петров, И. Г. Поспелов и А. А. Шананин, «в любой экономической системе у людей достаточно свободы, чтобы действия их всех вместе выглядели хаотическими» [57, с. 34]. Экономика серьезно подвержена влиянию случайных факторов — многие события, влияющие на макроэкономиче скую динамику, являются случайными: экономическая конъ юнктура, производственная неопределенность, сбор большого или малого урожая, появление научных открытий и гениаль ных произведений искусства и др. Поэтому стохастические ма тематические модели являются наиболее адекватным отраже нием экономической реальности. Особенно подвержена влия нию случайных факторов финансово кредитная подсистема экономики.

Финансовые рынки представляют собой пример системы с высокой степенью неопределенности, на такие системы дейст вует множество случайных факторов, и для успешной работы на финансовых рынках необходимо эти случайности учитывать.

Начало теории случайных процессов относят к работам Л. Башелье [2] (1900 г.) и А. Эйнштейна [96] (1905 г.). Л. Башелье предложил рассматривать эволюцию стоимостей акций на па рижском рынке как случайный процесс. А. Эйнштейн т о ч н о т а к и м ж е случайным процессом описал броуновское движе ние взвешенных частиц в жидкости. Систематическому обоб щению теория впервые подверглась в статье А. Н. Колмогорова [38] (1931 г.). Хотя истоки теории лежали в области экономики, после Л. Башелье очень долгое время большинство ее методов использовалось, в основном, при исследованиях в области тео ретической физики, главным образом, в молекулярной физике и радиофизике. Лишь в начале 50 х гг. XX в. стохастическая математика вновь стала применяться в финансовых вычисле ниях. За последние полвека в области применения стохастиче ских методов в финансовой инженерии были получены значи тельные результаты, высоко оцененные научным сообществом:

Нобелевской премии в области экономики за работы, связанные со стохастическим моделированием в финансах, были удостое ны П. Самуэльсон (1970 г.), Дж. Тобин (1981 г.), Г. Марковиц и У. Шарп (1990 г., совместно с М. Миллером), Р. Мертон и М. Шоулз (1997 г.).

Случайной функцией называется семейство случайных ве личин X (t, ), заданных на одном и том же вероятностном про странстве (, F, P), зависящих от параметра t, принимающего значения из некоторого множества T, называемого областью определения случайной функции X (t, ). Если область опреде ления представляет собой некоторое подмножество действи тельной прямой R, а параметр t считается неотрицательным числом [ t T = [0;

+) ] и интерпретируется как время, то слу чайная функция называется случайным процессом. Часто слу чайные процессы называют также стохастическими или ве роятностными.

Если область определения T случайного процесса X (t, ) представляет собой счетное или конечное множество, то такой процесс называется случайным процессом с дискретным вре менем, а если область определения T случайного процесса X (t, ) непрерывна, то он называется процессом с непрерывным временем.

Зафиксируем некоторый момент времени t = t T. Сечени ем случайного процесса X (t, ) в момент t называется случай ная величина X (t, ). Зафиксировав же некоторое элементар ное событие =, получим (уже неслучайную) функцию X (t, ), называемую траекторией случайного процесса X (t, ).

Математическим ожиданием случайного процесса X (t, ) называется функция a : T R, равная в каждый момент t ма тематическому ожиданию случайной величины из семейства { X (t, ), t T}, соответствующей этому моменту:

a(t) = MX (t, ).

Дисперсией случайного процесса X (t, ) называется функ ция 2 : T R, равная в каждый момент t дисперсии случайной величины из семейства { X (t, ), t T}, соответствующей этому моменту:

2 (t) = DX (t, ).

Два случайных процесса X (t, ) и Y(t, ) называются сто хастически неразличимыми, если для любого t { } P sup | X (s, ) Y(s, ) | = 0.

st Систематическое изучение случайных процессов началось с работ Е. Е. Слуцкого [64] (1928 г.) и А. Н. Колмогорова [38] (1931 г.). Важнейшее с точки зрения определения случайного процесса понятие стохастической эквивалентности было введе но Е. Е. Слуцким в статье [65] и развито позже Дж. Дубом [16].

Дж. Дуб также получил существенные результаты в области аксиоматического определения случайных процессов [16].

Наиболее простым стохастическим процессом является процесс с независимыми значениями, в котором значение X (t, ) в момент времени t не зависит от значений X (s, ) в дру гие (предыдущие либо последующие) моменты s. При этом (в предположении дискретности времени) n P{ X (t1, ) = x1, X (t2, ) = x2,..., X(tn, ) = xn } = P{ X (ti, ) = xi }.

i = Далее в ряду наиболее простых следуют м а р к о в с к и е п р о ц е с с ы, в которых для определения будущего достаточно знать настоящее. Это свойство зависимости будущего только от настоящего и независимости его от прошлого называется мар ковским свойством.

Впервые такие процессы рассмотрел А. А. Марков в статье [48] (1906 г.), впоследствии эти процессы были названы его име нем.

Всюду в дальнейшем будем опускать аргумент, подразу мевая его по умолчанию, а аргумент t будем писать не в скоб ках, а в виде индекса: вместо X (t, ) будем писать Xt X(t, ).

В п е р в о й (в в о д н о й) г л а в е проводится краткий обзор теории случайных процессов и основанных на ней стохастиче ских моделей финансовых инструментов. В этой главе будут рассматрены модели финансовой математики, основанные на марковских случайных процессах с дискретным временем, об ластью определения которых является множество целых неот рицательных моментов времени:

T = {0,1, 2, …}, а сами случайные процессы принимают числовые значения:

X (t, ) R.

В о в т о р о й г л а в е излагаются основные понятия со временной теории марковских случайных процессов с непре рывным временем.

В т р е т ь е й г л а в е вводятся необходимые сведения из стохастического анализа, которые используются в последую щем изложении. В качестве м е т о д о л о г и и ф и н а н с о в о г о обеспечения инновационной деятельности в данной работе предлагается использование реальных опционов.

Эта методология развивалась в трудах Л. Башелье, Ф. Блэка, А. В. Мельникова, Р. Мертона, П. Самуэльсона, А. Н. Ширяева, М. Шоулза и других экономистов и математиков в области оценки производных финансовых инструментов.

Ч е т в е р т а я г л а в а посвящена применению стохастиче ских методов в финансовой инженерии — наиболее традицион ном разделе стохастической финансовой математики, рассмат риваются также современные результаты в области математи ки страхования и стохастического моделирования макроэконо мических процессов: государственного долга и валютных кри зисов.

Результаты, полученные автором, представлены в пятой и шестой главах.

В п я т о й г л а в е рассматриваются недавние результаты, полученные автором в области моделирования национальной экономики с помощью стохастического обобщения модели Со лоу. В качестве б а з о в ы х м о д е л е й э к о н о м и ч е с к о г о р о с т а инновационных отраслей используются модели Р. Хааррода, Е. Домара и Р. Солоу.

В ш е с т о й г л а в е строятся реальные опционы, обеспе чивающие хеджирование инновационных отраслей, описывае мых стохастическими обобщениями моделей Харрода — Дома ра и Солоу, построенными в пятой главе.

ГЛАВА 1. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ § 1.1. СХЕМЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ Основным институтом, обслуживающим финансовые рын ки, являются б а н к и. Одними из основных банковских опера ций являются обслуживание депозитов и предоставление кре дитов.

Например, можно открыть депозитный счет, передав на хранение в банк определенную денежную сумму, и тогда банк обязуется в определенные моменты времени (указанные в соот ветствующем договоре) добавлять к денежной сумме, лежащей на депозитном счете, некоторый п р о ц е н т.

Банк может предоставить своему клиенту денежный кре дит — выдать на время определенную денежную сумму с ус ловием, что клиент не только возвратит полученную сумму в определенные в кредитном договоре сроки, но и уплатит банку определенный п р о ц е н т за пользование кредитом.

Проценты могут быть простыми или сложными и начис ляться n раз в год либо непрерывно.

Пусть в начальный момент времени на депозитном счете лежит сумма B0, и на эту сумму в конце каждого года начисля ется процент i (т. е. доля от п е р в о н а ч а л ь н о й суммы B0), то гда в конце первого года сумма на счете составит B1 = B0 + B0i = B0(1 + i), в конце второго года — B2 = B0(1 + i) + B0i = B0(1 + 2i), в конце t го года (t — целое) — Bk = B0(1 + ti).

Такая схема называется схемой простых процентов.

Исторически такая схема была самой первой, но она допус кает простую возможность для владельца депозитного счета заработать больше, чем предлагает банк: например, за два года B0(1 + 2i), можно увеличить сумму не до а до 2 B0(1 + i) = B0(1 + 2i + i ) B0(1 + 2i);

за t лет (t — целое) можно увеличить сумму не до B0(1 + ti), а до B0(1 + i)t B0(1 + ti), для этого нужно в конце каждого года снимать со счета всю сумму, включая только что начисленные проценты, и тут же откры вать новый счет и класть на него всю эту сумму!

Банки, конкурирующие между собой, естественно, предос тавили вкладчикам возможность проводить такую операцию «переоткрытия счета» автоматически;

такая схема называется схемой сложных процентов и предполагает начисление про цента не на первоначальную сумму B0, а на сумму, лежащую на счете после последнего начисления процентов, таким образом, через (целое число) t лет при использовании схемы сложных процентов на счете будет лежать сумма Bk = B0(1 + i)t. (1.1.1) В конкурентной борьбе за вкладчиков банки предлагали все новые и новые возможности, например, начисление процентов не один раз (в конце года), а m раз в год. При этом, прежде все го, необходимо как то сравнивать условия, предлагаемые раз личными банками, и для этого договорились всегда называть клиентам проценты годовых — процентную ставку i, выплачи ваемую за год. Если за год выплачивается процент i, то за m ю часть года в случае п р о с т ы х п р о ц е н т о в, очевидно, будет выплачиваться процент im = i/m, и через t лет (т. е. через [mt] начислений процентов) на счете будет лежать сумма i Bt = Bt 1 + [mt] (1.1.2) m (здесь число t может быть уже как целым, так и дробным;

квад ратными скобками [x] обозначена целая часть числа x — наи меньшее целое число, не превосходящее x).

Рассчитаем процентную ставку im, выплачиваемую за m ю часть года в случае сложных процентов. За год сумма B0 увели чивается до B0(1 + i);

с другой стороны, если m раз за этот год начислялся процент im по схеме сложных процентов, то к концу года сумма B0 должна превратиться в B0(1 + im)m. Таким образом, заключаем, что B0(1 + i) = B0(1 + im)m или 1 + i = (1 + im)m, (1.1.3) откуда im = (1 + i)1/m – 1. (1.1.4) Отсюда следует, что если за год выплачивается процент i, а в год осуществляется m процентных выплат, то в случае слож ных процентов через t лет (т. е. через m[t] + [m{t}] начислений процентов) на счете будет лежать сумма [ m {t }] = B0 ( (1 + i) ) [ t ]+ 1/ m m [t ]+[ m { t }] n [t ]+[ n { t }] Bt = B0 (1 + in ) = B0 (1 + i) m (здесь, как и ранее, число t может быть как целым, так и дроб ным;

квадратными скобками [x] обозначена целая часть числа x, а фигурными скобками {x} — дробная часть x: {x} = x – [x]).

Итак, в случае с л о ж н ы х п р о ц е н т о в, начисляемых m раз в год, [ m { t }] [ t ]+ Bt = B0 (1 + i) m. (1.1.5) Дальнейшая конкуренция банков за вклады привела к схе ме непрерывных процентов. Пусть сложные проценты начис ляются m раз в год, а t = k/m — рациональное число (k — це лое, m — натуральное), тогда Bt = B0 (1 + im )k = B0 ( (1 + i)1/ m ) = B0 (1 + i)k / m = B0 (1 + i)t.

k Поскольку любое вещественное число t может быть сколь угодно точно приближено рациональным числом k/m, и пред полагая зависимость Bt от i и t непрерывной, получим формулу начисления н е п р е р ы в н ы х п р о ц е н т о в:

Bt = B0(1 + i)t, (1.1.6) совпадающую с (1.1.1), но теперь уже не только для целых t, но для для любых t 0.

При этом интенсивностью процентов называется мгно венная относительная скорость накопления средств на депо зитном счете при непрерывном начислении процентов:

B0 (1 + i)t +t B0 (1 + i)t (1 + i)t Bt +t Bt = lim = lim = lim ;

Bt t B0 (1 + i)t t t t0 t0 t вспомнив в т о р о й з а м е ч а т е л ь н ы й п р е д е л ax = ln a, lim x0 x заключаем, что = ln (1 + i). (1.1.7) Из формул (1.1.6)—( 1.1.7) следует, что Bt = B0e t. (1.1.8) Рис. 1.1.1, на котором представлены графики функций = = (1 + ti) и yt(непр.) = (1 + i)t, дает возможность убедиться (прост.) yt в том, что при t 1 простые проценты растут быстрее, чем сложные и непрерывные, а при t 1 — медленнее.

При расчетах за неполное число лет иногда применяется комбинированная схема сложных и простых процентов, когда за целое число лет начисляются сложные проценты, а за остаток го да — простые:

Bt = B0 (1 + i)[t ] (1 + {t}i). (1.1.9) vt 1+i t 0 Рис. 1.1.1. Сравнение силы роста простых процентов (тонкая линия) и непрерывных процентов (жирная линия) Иногда один и тот же счет может быть и депозитным, и кре дитным: в те периоды времени, когда сумма Bt на таком счете положительна (при этом говорят, что клиент находится в д л и н н о й позиции — он может оставаться в ней в т е ч е н и е с к о л ь у г о д н о д л и т е л ь н о г о в р е м е н и), банк выпла чивает процент клиенту, а в те периоды, когда Bt 0 (при этом говорят, что на счете образовалась к о р о т к а я позиция — клиент должен погасить задолженность в т е ч е н и е о п р е д е л е н н о г о с р о к а), клиент платит процент банку.

При этом на практике обычно процентная ставка, взимае мая за пользование кредитом, выше, чем ставка, выплачивае мая за размещение депозита.

§ 1.2. ЦЕННОСТЬ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ Предположим, что мы должны выплатить в момент t 0 в будущем некоторую сумму Bt, и у нас есть возможность вос пользоваться банковским счетом, по которому начисляется i процентов годовых. Какую сумму B0 можно положить на счет сегодня (в нулевой момент времени), чтобы к моменту t иметь на счете в точности требуемую сумму?

Очевидно, суммы B0 и Bt связаны равенством (1.1.2) в случае простых процентов, равенством (1.1.5) — в случае сложных процентов и равенствами (1.1.6), (1.1.8) — в случае непрерывных процентов. Для этих трех случаев получаем:

Bt, простые проценты, (1.2.1) i 1 + [mt] m B0 = [ m { t }] B (1 + i) [t ]+ m, сложные проценты, (1.2.2) t Bt (1 + i) t = Bt e t, непрерывные проценты.

(1.2.3) Таким образом, ценность денег постоянно меняется во вре мени;

один миллион рублей, выплаченный (не важно, нам или нами) сегодня — это совсем не то же самое, что тот же миллион рублей, выплаченный через десять лет. Сегодня этой суммой можно воспользоваться (хотя бы для получения процентного до хода от вложения на банковский счет), а десятилетний срок ожидания довольно таки долог. Если мы отложим использование данной суммы на десять лет, и на этот срок положим ее в банк (который для определенности, платит 10% годовых), то через де сять лет у нас будет не 1 000 000 руб., а 1 000 000(1 + 0,10)10 = = 2 593 742 руб. 46 коп. — более чем в 2,5 раза больше!

Поэтому сравнивать, складывать и производить любые другие операции над денежными суммами можно только в том случае, когда эти суммы рассматриваются в о д и н и т о т ж е м о м е н т в р е м е н и.

Как правило, суммы п р и в о д я т к настоящему моменту времени, и нужные операции производят не с рассматриваемыми денежными суммами, а с и х с о в р е м е н н ы м и э к в и в а л е н т а м и.

В реальных условиях обычно используются схемы слож ных или непрерывных процентов;

при этом сумма Bt в момент времени t 0 имеет в момент времени t0 = 0 ценность B0, опре деляемую соответствующей из формул (1.2.2)—(1.2.3). Если t 0, то формулы (1.2.2)—(1.2.3) приведут просто к сумме B0, н а к о п л е н н о й за срок | t | = –t. Итак, вне зависимости от зна ка t ценность в настоящий момент времени суммы Bt, выплачи ваемой в момент времени t, определяется формулами (1.2.2)— (1.2.3). Эта ценность B0 денежной суммы Bt в настоящий момент времени называется современной ценностью суммы Bt. Совре менная ценность е д и н и ч н о й суммы обозначается vt;

в слу чае сложных процентов [ n { t }] [ t ] + vt = (1 + i) n, (1.2.4) а в случае непрерывных процентов vt = (1 + i)–t = e–t. (1.2.5) Величина v = (1 + i)–1 (1.2.6) называется коэффициентом дисконтирования, при этом в слу чае непрерывного начисления процентов из формулы (1.2.3) сле дует, что B0 = Btvt.

Поскольку начальный момент времени может быть выбран произвольно, ценность суммы Bt1 в момент времени t2 определя ется формулой Bt2 = Bt1 vt1 t2, откуда Bt1 vt1 = Bt2 vt2 ;

(1.2.7) формула (1.2.7) выражает одинаковую ценность обеих сумм в момент времени t0 = 0.

При этом величина Bt2 называется приведенной к моменту t2 ценностью суммы Bt1, выплачиваемой в момент t1.

§ 1.3. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ Потоком платежей называется последовательность (t0 ;

Bt0 ),(t1 ;

Bt1 ), (t2 ;

Bt2 ), …, (tn ;

Btn ), …, (1.3.1) где tk — моменты времени, Btk — платежи, происходящие в со ответствующие моменты tk (k =0, 1, 2, …, m, …);

поток плате жей может быть к о н е ч н ы м (если последовательность (1.3.1) состоит из конечного числа m платежей) или б е с к о н е ч н ы м (в противном случае).

Потоки платежей удобно изображать графически, при этом положительные величины платежей, соответствующие денеж ным п о с т у п л е н и я м, изображаются стрелками, направлен ными в в е р х, а отрицательные величины платежей, соответ ствующие денежным в ы п л а т а м, — стрелками, направлен ными в н и з (рис. 1.3.1).

Bt Btn Bt t t0 t1 t2 t3 tn ··· ··· Bt0 Bt Bt Рис. 1.3.1. Поток платежей Для того чтобы оценить современную ценность потока пла тежей, необходимо все эти платежи привести по формуле (1.2.3) к начальному моменту времени, после чего сложить полученные приведенные ценности платежей. Можно обобщить этот резуль тат и рассматривать ценность потока платежей не только в на стоящий момент времени, но и в любой другой момент T: стои мостью потока платежей (1.3.1) в момент времени T называет ся сумма платежей, приведенных к этому моменту:

B(T) = Btk (1 + i)T tk, (1.3.2) k при этом величина NPV = B(0) = Btk (1 + i) tk (1.3.3) k называется современной ценностью (Net Present Value) пото ка платежей (1.3.1), а величина n NFV = B(tn ) = Btk (1 + i)tn tk (1.3.4) k = называется накопленной к моменту tm ценностью (Net Future Value) потока платежей (1.3.1);

обычно рассматривают ценность потока платежей, накопленную к моменту п о с л е д н е г о пла тежа.

§ 1.4. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКЦИИ Если небольшой бизнес можно организовать за счет личных накоплений, то для организации и развития крупного бизнеса собственных средств оказывается недостаточно.

Можно (теоретически) получить кредит на развитие бизне са, однако это не очень эффективный способ финансирования, поскольку, во первых, заранее очень сложно предсказать эф фективность инвестиционного проекта, связанного с организа цией бизнеса и сравнить его с процентной ставкой по кредиту, а во вторых, банки крайне неохотно выдают такие кредиты в связи с очень большим риском банкротства вновь организован ной фирмы.

Более эффективным способом привлечения денежных средств является выпуск ц е н н ы х б у м а г — прежде всего, облигаций и акций. В общем ценная бумага понимается как за конодательно признанное свидетельство права на имущество, в том числе на получение ожидаемых в будущем доходов от использования этого имущества.

Ценные бумаги являются одним из видов ф и н а н с о в ы х инструментов.

Акция — это д о л е в о е обязательство: ее обладатель по лучает право долевого участия в управлении акционерной ком панией, выпустившей эти акции (каждой акции соответствует определенное число голосов на ежегодном общем собрании ак ционеров — высшем органе управления компанией), в активах и прибылях (дивидендах) этой компании.

Спекулятивные операции с акциями, как правило, обеспе чивают существенно большую эффективность, чем банковские процентные ставки или купонные выплаты по облигациям. Так, в России за 1996 г. цены на акции выросли в среднем более чем в четыре раза, т. е. средняя доходность по операциям с акциями была выше 300% годовых, что было намного выше доходности по вложениям в банки или облигации (инфляция за этот год со ставила около 20%, и примерно такой процент (20% годовых) начисляли надежные банки по депозитным счетам). Доходность с учетом инфляции составила, таким образом, 280% годовых, эффективная доходность — также 280% годовых.

Отметим, что средний рост стоимостей акций в четыре раза не означает, конечно, что в с е акции подорожали в четыре раза: цены некоторых акций росли очень быстро, другие акции дорожали менее заметно, а какие то акции даже упали в цене.

При этом заранее невозможно точное детерминированное пред сказание будущей доходности. Поэтому акции являются наибо лее рискованными ценными бумагами (вложения на банковский счет и в облигации — менее рискованные операции: банковский счет предполагает начисление заранее оговоренных процентов в заранее оговоренные сроки и возврат вложенной суммы и на копленных процентов в заранее оговоренный срок, облигация предполагает погашение по заранее оговоренной номинальной стоимости в заранее оговоренный срок, а также выплату купон ного дохода в заранее оговоренные моменты времени, поэтому в финансовой математике банковский счет и облигацию считают б е з р и с к о в ы м и финансовыми инструментами, хотя, конеч но, и здесь присутствует риск, что мы все наблюдали на приме ре кризиса 1998 г.).

Предположим для простоты, что на рынке обращается одна акция, и ее стоимость в конце периода времени t составляет St.

Предположим также, что инвестор имеет возможность:

• размещать средства на банковском счете и брать с него в долг;

• покупать и продавать акции.

Тогда для этого инвестора на рынке существует б е з р и с к о в ы й а к т и в B (банковский счет) и р и с к о в ы й а к т и в S (акция).

Будем считать, что проценты на банковский счет начисля ются по схеме сложных процентов с постоянной ставкой i(t) = i = const, так что в конце каждого периода сумма на счете увеличивается в (1 + i) раз:

Bt = Bt–1(1+i).

Будем также предполагать, что о п е р а ц и о н н ы е и з д е р ж к и, связанные с переводом средств между активами, от сутствуют, а также что активы являются безгранично делимы ми, т. е. можно купить и продать любую часть акции, положить на счет и снять с него любую его часть.

Функционирующий по таким правилам рынок называется (B, S) рынком.

Рассмотрим поведение стоимости акции St на (B, S) рынке в течение года, т. е. в течение промежутка времени [0;

1].

Предположим, что в течение данного периода времени стоимость акций может увеличиться в u раз или увеличиться в d раз (уменьшиться в 1/d раз), причем d 1 1 + i u (рис. 1.4.1).

St S0u S S0d t 0 Рис. 1.4.1. Изменение цены акции за один период времени На идеальном рынке отсутствуют арбитражные возможно сти, т. е. невозможно извлечь безрисковый доход, больший чем процент, начисляемый на банковский счет.

Предположение о том, что на рынке отсутствуют арбит ражные возможности, означает, что математическое ожидание цены акции на таком рынке к концу года MS1 должно совпадать с суммой, которая оказалась бы на банковском счете к концу го да, если бы сумма S0 была в начале года положена на счет, т. е. с суммой S0(1 + i):

MS1 = S0(1 + i).

Истинные вероятности того, что в течение данного периода акция подорожает или подешевеет, нам неизвестны, но в пред положении отсутствия арбитражных возможностей можно с помощью только что полученного условия вычислить так назы ваемые вероятности, нейтральные к риску: пусть p — веро ятность того, что в начале следующего периода цена акции окажется равной S0u, тогда вероятность того, что цена акции будет равна S0d, составит (1 – p);

при этом MS1 = S0up + S0d(1 – p).

Отсюда S0up + S0d(1 – p) = S0(1 + i).

Разделим обе части этого равенства на S0:

up + d(1 – p) = 1 + i (u – d)p + d = 1 + i, или поэтому 1+ i d p=. (1.4.5) ud Предположим теперь, что рассматриваемый промежуток времени [0;

T] разбит на n периодов, в каждом из которых стои мость акции может увеличиться в u или в d раз. Вероятность того, что стоимость акции увеличится в u или в d раз, неизвест на, однако можно вновь воспользоваться принципом вероятно сти, нейтральной к риску. Основное отличие состоит в том, что в соответствии с формулой (1.1.4) корректируются процентные ставки, т. е. в числителе формулы (1.4.5) вместо (1 + i) будет (1 + i)T/n:

(1 + i)T / n d = p(n) (1.4.6) ud (индекс (n) здесь означает, что проведена коррекция годовой ставки с учетом того, что рассматриваемый отрезок времени [0;

T] разбивается на n периодов).

Процесс изменения цены акции в течение n периодов (для случая n = 4) проиллюстрирован рис. 1.4.2.

При этом процесс изменения цены акции в течение n пе риодов можно представить как последовательность n незави симых испытаний, в которых успехом считается повышение цены акции в u раз, а неудачей — ее понижение в 1/d раз. Если в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опуска лась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода составит Sn = S0ukdn – k. Вероятность наступления k повышений и (n – k) понижений цены акции составит по ф о р м у л е Б е р н у л л и Pn (k) = Ck pk (1 p)nk.

n St S0u S0u S0u S0u S S0d S0d t 0 1 2 3 Рис. 1.4.2. Изменение цены акции в течение четырех периодов Вероятность успеха p здесь имеет смысл оценить с помо щью нейтральной к риску вероятности p(n), определяемой фор мулой (1.4.6). Таким образом, цена акции к концу n го периода (т. е. в момент времени T) может принимать значения Sn = S0ukd n – k с вероятностями P{ST = S0 uk d n k } = Ck p(kn) (1 p(n) )n k, k = 0,1, 2,..., n. (1.4.7) n ПРИМЕР 1.4.1. Составим ряд распределения цены акции к концу года, разбив этот год на четыре периода, если текущая цена акции составляет S0 = 35 руб., годовая безрисковая про центная ставка равна i = 10% и известно, что в каждом периоде акция может возрасти в цене или упасть в цене в u = 1,105 раз.

Вероятность, нейтральная к риску, (1 + i)1/4 d 1,024 0, p(4) = = 0,595, ud 1,105 0, (здесь d = 1/ u = 1/1,105 0,905 ), 1 – p(4) = 0,405. Теперь мы можем составить ряд распределения цены акции к концу четвертого периода: цена принимает значения S0ukd 4 – k (k = 0, 1, 2, 3, 4) со ответственно с вероятностями P4 (k) = Ck p(4) (1 p(4) )4k. Оконча k тельно имеем:

S(4) 23,478 28,667 35,002 42,737 52,.

p 0,027 0,158 0,348 0,341 0, Данная модель (1.4.7), называемая биномиальной моделью ценообразования акции, была предложена в 1979 г. Дж. Коксом, Р. Россом и М. Рубинштейном.

Отметим, что данная модель описывает поведение цены ак ции н а и д е а л ь н о м р ы н к е, а на реальном рынке сущест вуют арбитражные возможности, связанные, прежде всего, с различным профессионализмом участников рынка, и их разной степенью информированности. Поэтому на реальных рынках происходит постепенный переток капитала к более профессио нальным участников рынка (которые быстрее получают ин формацию и быстрее успевают ее обработать и учесть) от менее профессиональных.

§ 1.5. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ Банковский счет, акции и облигации называются основными финансовыми инструментами. На их базе могут быть построе ны более сложные финансовые инструменты — производные.

Наиболее распространенные типы производных финансо вых инструментов — форварды и опционы.

Форвард — это ценная бумага, представляющая собой дого вор о покупке или продаже в определенный момент времени в будущем определенного актива по фиксированной цене, опре деляемой в момент заключения договора.

Опцион — это ценная бумага, представляющая собой дого вор, по которому одна из сторон (продавец) продает опцион за определенную премию, а другая сторона (держатель или вла делец) при этом п о л у ч а е т п р а в о (но не обязанность) в те чение срока, оговоренного в условиях опциона, либо к у п и т ь определенный актив по фиксированной цене, определяемой в момент заключения договора и называемой терминальной стоимостью опциона (такой опцион называется опционом по купателя), либо п р о д а т ь актив по терминальной стоимости (такой опцион называется опционом продавца). По срокам ис полнения опционы делятся на европейские и американские.

Американский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое время до истечения срока опциона, европейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.

Основным отличием форвардов и опционов является то, что первый представляет собой о б я з а т е л ь с т в о покупки или продажи актива по фиксированной цене, а второй — п р а в о.

Широко распространены и другие производные финансо вые инструменты, в частности, инструменты, производные от производных, например, опцион на форвард.

Важно уметь рассчитывать стоимости производных финансо вых инструментов, для чего создаются их математические модели.

Несмотря на то, что опционы как финансовые инструменты известны достаточно давно, организованная торговля ими на чалась только в 1973 г., когда в работах Ф. Блэка, М. Шоулза и Р. Мертона была впервые построена работоспособная матема тическая теория ценообразования опционов.

Рассмотрим ценообразование опционов в рамках биноми альной модели Кокса — Росса — Рубинштейна.

Рациональной считается такая стоимость финансового ин струмента, которая исключает возможность арбитража без риска;

иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна сов падать с доходностью банковского счета.

Найдем рациональную стоимость T стандартного евро пейского опциона покупателя. Очевидно, рациональная стои мость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, исполнив опцион. Данный опцион имеет смысл и с п о л н я т ь, т. е. пользоваться заложенным в нем правом покупки акции по цене X, лишь в том случае, когда рыночная цена Sn этой акции к моменту окончания срока дейст вия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X.

Если рыночная цена акции Sn окажется больше X, держатель опциона, исполнив его, получит доход (Sn – X). Если же рыноч ная цена акции Sn окажется меньше X, держатель опциона про сто не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким об разом, если цена акции в момент исполнения опциона известна и равна Sn, то доход от исполнения такого опциона составит C(n) = max{Sn – X;

0}. Поскольку цена акции Sn является случай ной величиной, определяемой рядом распределения (1.1.7), до ход от исполнения опциона покупателя также является слу чайной величиной, которая принимает значения ck = max{S0ukdn – k – X;

0} (k = 0, 1, 2, …, n) с вероятностями Pn (k) = Ck p(kn) (1 p(n) )n k.

n Оценка опциона происходит перед началом первого перио да, поэтому для получения его рациональной стоимости T достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполнения опциона на срок его действия:

n max{S u d n k X;

0}Ck p(kn) (1 p(n) )nk k n M = = k = (n ). (1.5.8) T (1 + i) (1 + i)T T Таким образом, рациональная стоимость T европейского опциона покупателя со сроком погашения T (в годах) и ценой исполнения X, выписанного на акцию с текущей ценой S0, опи сывается формулой (1.5.1), в которой i — банковская (годовая) процентная ставка, срок действия опциона делится на n перио дов (в каждый из периодов цена акции, на которую выписан оп цион, может повыситься в u или в d раз), p(n) — вероятность, нейтральная к риску, определяемая формулой (1.1.6).

ПРИМЕР 1.5.1. Найти рациональную стоимость опциона по купателя с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком ис полнения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 1.1.2.

Исполнять опцион покупателя выгодно, если цена акции на рынке окажется не меньше терминальной стоимости X, поэтому ряд распределения дохода от исполнения опциона при расчетах по четырехпериодной биномиальной модели 0 2,737 12, (4) 0,027 + 0,158 + 0,348 = 0,533 0,341 0, p легко получить, зная ряд распределения цены акции к концу четвертого периода (полученный в примере 1.1.2).

Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, рав ный математическому ожиданию случайной величины C(4), со ставляет = max{S0 uk d 4k X;

0}Ck p(4) (1 p(4) )4k = k M (4) k = = 0 0,027 + 0 0,158 + 0 0,348 + 2,737 0,341 + 12,182 0,126 = 2,468.

Окончательно получаем M 2, = = 2,24 руб., (4) 1+ i 1 + 0, T т. е рациональная стоимость такого опциона равна 2 руб. 24 коп.

(что существенно меньше текущей цены акции и цены исполне ния опциона!).

На реальном рынке продавцу опциона выгодны цены, не меньшие рациональной стоимости опциона, а покупателю — не большие.

Пусть одновременно заключаются два опционных контрак та (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же це ной исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на од ну и ту же акцию, стоимость которой в начальный момент равна S0, банковская (годовая) процентная ставка равна i и пусть CT и PT — рациональные стоимости этих опционов.

Рациональность стоимости означает, что из инструментов с такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель, доходность которого превысит безрисковую доходность. Если X PT CT + S0, (1 + i)T то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: одновременно продать акцию, продать опцион продавца на нее и купить опцион покупателя.

Тогда в начальный момент времени будет получена сумма PT – CT + S0, а в момент исполнения опционов необходимо будет вы платить сумму X, современная ценность которой составляет X/(1 + i)T. Таким образом, будет получен выигрыш по сравне нию с безрисковыми вложениями в банковский счет, что проти воречит предположению о рациональности стоимости опционов.

Аналогично, если PT – CT + S0 будет меньше, чем X/(1 + i)T, то для получения безрисковой прибыли можно использовать сле дующую торговую стратегию: купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион покупателя. Тогда в началь PT – CT + S0, а в ный момент времени будет выплачена сумма момент исполнения опционов — получена сумма X, современ ная ценность которой составляет X/(1 + i)T, т. е. данная страте гия принесет выигрыш по сравнению с безрисковыми вложе ниями в банковский счет, что противоречит предположению о рациональной стоимости опционов. Полученные противоречия показывают, что для рациональной стоимости T опциона по купателя и рациональной стоимости PT опциона продавца справедлива теорема о паритете:

X PT CT + S0 =.

(1 + i)T Отметим, что данное соотношение паритета справедливо т о л ь к о д л я е в р о п е й с к и х о п ц и о н о в.

Теперь легко найти оценку опциона продавца: рациональная стоимость P T европейского опциона продавца определяется фор мулой n X + max{S0 uk d n k X;

0}Ck p(kn) (1 p(n) )n k n PT = S0.

k = (1 + i)T ПРИМЕР 1.5.2. Чему равна рациональная стоимость опциона продавца с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком ис полнения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 1.1.2.

Исполнять опцион продавца выгодно, если цена акции на рынке окажется не больше терминальной стоимости X, поэтому ряд распределения дохода от исполнения опциона при расчетах по четырехпериодной биномиальной модели P(4) 16,252 11,333 4,998 0,027 0,158 0,348 0,341 + 0,126 = 0, p легко получить, зная ряд распределения цены акции к концу четвертого периода (полученный в примере 1.1.2).

Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, рав ный математическому ожиданию случайной величины P(4), со ставляет MP(4) = max{ X S0 uk d 4k;

0}Ck p(4) (1 p(4) )4k = k k = = 16,252 0,027 + 11,333 0,158 + 4,998 0,348 + +0 0,341 + 0 0,126 = 3,969.

Окончательно получаем MP(4) 3, PT = = 3,61 руб., 1+ i 1 + 0, т. е рациональная стоимость такого опциона равна 3 руб. 61 коп.

Теорема о паритете дает, естественно, тот же результат:

X P T = CT S0 + = 2,24 35 + 3,61 руб.

(1 + i) 1 + 0, T ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ § 2.1. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ.

УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА — ЧЕПМЕНА В марковском процессе для определения будущего доста точно знать настоящее. Это свойство зависимости будущего только от настоящего и независимости его от прошлого называ ется марковским свойством.

Упорядочим моменты времени t1, t2,..., tn, tn +1 по возрастанию:

t1 t2 tn tn+ и рассмотрим некоторые события A1, A2,..., An, An +1 F.

Тогда марковское свойство запишется следующим обра зом:

P{ Xtn +1 An +1 | X t1 A1, X t2 A2,..., Xtn 1 An 1, Xtn = xn } = (2.1.1) = P{ Xtn +1 An +1 | Xtn = xn }.

Случайный процесс, обладающий марковским свойством (2.1.1), называется марковским процессом. Данное определение впервые было дано А. Н. Колмогоровым в его статье [38] (1931 г.).

Позже определение марковского процесса анализировалось Дж. Дубом [16] и Е. Б. Дынкиным [17].

Пусть 0 s t, x R, A F. Переходной вероятностью мар ковского процесса называется условная вероятность P{s,x;

t, A} = P{ Xt A | Xs = x}. (2.1.2) Самым фундаментальным уравнением теории марковских процессов, лежащим в основе всех последующих построений, является уравнение Колмогорова — Чепмена, выражающее марковское свойство в интегральной форме. Впервые на него указал С. Чепмен в работе [90] (1928 г.), а строго обосновал и по ставил его в основу теории марковских процессов А. Н. Колмогоров [38] (1931 г.).

Т Е О Р Е М А 2.1.1 (Уравнение Колмогорова — Чепмена). Для Xt (при любого марковского процесса справедливо 0 s u t, x R, A F ) уравнение Колмогорова — Чепмена + P{s,x;

u,dy}P{u,y;

t, A}.

P{s,x;

t, A} = (2.1.3) Доказательство. Пусть 0 s u t, xR, AF. Разобьем всю числовую прямую R на n + 1 числовой промежуток A0 = (;

x1 ), A1 = [ x1;

x2 ), A2 = [x2 ;

x3 ),..., An 1 = [xn 1;

xn ), An = [xn ;

+).

Тогда события { Xt A0 | Xs = x}, { Xt A1 | Xs = x}, { Xt A2 | Xs = x},…, { Xt An 1 | Xs = x}, { Xt An | Xs = x}, очевидно, образуют полную группу, поэтому для расчета переходной ве роятности (2.1.2) можно применить формулу полной вероятности:

P{s, x;

t, A} = P{ Xt A | Xs = x} = (2.1.4) n = P{ Xt A | X u Ai, Xs = x}P{ X u Ai | Xs = x}.

i = Учитывая, что рассматриваемый случайный процесс обладает мар ковским свойством (2.1.1), опустим в условных вероятностях P{ Xt A | X u Ai, Xs = x}, i = 1;

n зависимость от { Xs = x} :

P{ Xt A | X u Ai, Xs = x} = P{ Xt A | X u Ai }, i = 1;

n.

Тогда формула (2.1.4) примет вид n P{s, x;

t, A} = P{ Xt A | X u Ai }P{ X u Ai | Xs = x} i = или n P{s, x;

t, A} = P{ X u Ai | Xs = x}P{ Xt A | X u Ai } = i = n = P{s, x;

u, Ai }P{ Xt A | X u Ai }.

i = Переходя к пределу при n, получаем окончательно уравнение (2.1.3).

Если существует такая неотрицательная функция p : R 4 [0;

+), что для всех s, t, x, A : 0 s t, x R, A F P{s, x;

t, A} = p(s, x;

t, y)dy, (2.1.5) A то она называется плотностью переходной вероятности мар ковского процесса Xt с переходной вероятностью P{s,x;


t, A}.

В частности, если у переходной вероятности P{s,x;

t, A} мар ковского процесса Xt существует производная P{s, x;

t,(, y)} f (s, x;

t, y) =, y то именно она и является плотностью его переходной вероятно сти.

Для плотности переходной вероятности марковского про цесса справедлив аналог уравнения Колмогорова — Чепмена, формулирующийся в следующей теореме.

Т Е О Р Е М А 2.1.2 (Дифференциальный аналог уравнения Кол могорова — Чепмена). Если у марковского процесса Xt суще ствует плотность p(s, x;

t, y) переходной вероятности, то для нее справедлив (при 0 s u t, x R, A F ) аналог уравне ния Колмогорова — Чепмена:

+ p(s, x;

u, y)p(u, y;

t, z)dy.

p(s, x;

t, z) = (2.1.6) Доказательство. Запишем уравнение Колмогорова — Чепмена (2.1.3) в терминах плотности переходной вероятности:

+ p(s, x;

t, z)dz = p(s, x;

u, v)dv p(u, y;

t, z)dz. (2.1.7) A dy A Преобразуем правую часть формулы (2.1.7), изменив порядок интег рирования:

+ + p(s, x;

u, v)dv p(u, y;

t, z)dz = p(s, x;

u, v)dv p(u, y;

t, z) dz. (2.1.8) dy A dy A По теореме о среднем значении p(s, x;

u, v)dv = p(s, x;

u, v )dy, dy где v dy = [y;

y + dy], поэтому, учитывая бесконечную малость проме p(s, x;

u, v)dv = p(s, x;

u, y)dy.

жутка dy, можно записать, что Подставляя dy в (2.1.7)—(2.1.8), получаем:

+ p(s, x;

t, z)dz = p(s, x;

u, y)p(u, y;

t, z)dy dz A A или + p(s, x;

t, z) p(s, x;

u, y)p(u, y;

t, z)dy dz = A для любого события A F, откуда и следует уравнение (2.1.6).

§ 2.2. УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА На основе уравнения Колмогорова — Чепмена (2.1.3) А. Н. Колмогоров вывел дифференциальные уравнения для ис следования вероятностных свойств марковских процессов с не прерывным временем [38].

Т Е О Р Е М А 2.3.1 (Уравнения Колмогорова). Плотность p(s, x;

t, y) переходной вероятности марковского процесса Xt, удовлетворяющая следующим условиям:

для любых 0 имеет 1) место равномерная по x, z : | x z | и t сходимость 1 lim p(t, z;

t + t, x) = W(x | t, z), (2.2.1) t 0 t причем предельная функция W(x | t,z) не зависит от ;

имеет место равномерная по z, и t сходимость 2) lim t (x z)p(t, z;

t + t, x)dx = a(t, z) + O() ;

(2.2.2) t |x z| имеет место равномерная по z, и t сходимость 3) 1 (x z)2 p(t, z;

t + t, x)dx = b(t, z) + O(), lim (2.2.3) t 0 t |xz| подчиняется при 0 s t, y,z R прямому дифференциаль ному уравнению Колмогорова 1 [p(s, y;

t, z)] = [a(t, z)p(s, y;

t, z)] + [b(t, z)p(s, y;

t, z)] + (2.2.4) t z 2 z + + v.p. W(z | t, x)p(s, y;

t, x) W(x | t, z)p(s, y;

t, z) dx и при 0 s t, x, y R обратному дифференциальному уравне нию Колмогорова [ p(s, y;

t, x)] = a(s, y) [p(s, y;

t, x)] + (2.2.5) s y + + b(s, y) 2 [ p(s, y;

t, x)] v.p. W(z | s, y)[ p(s, y;

t, x) p(s, z;

t, x)] dz.

y 2 Здесь использовано определение главного значения интеграла:

+ v.p. F(x, z)dx lim F(x, z)dx.

| x z| Доказательство. Докажем справедливость прямого уравнения Кол могорова (2.2.4).

Рассмотрим эволюцию во времени математического ожидания неко торой функции f : R R, дважды непрерывно дифференцируемой в R ( f C2 [R] ):

+ [Mf(x)] = f(x)p(s, y;

t, x)dx = (2.2.6) t t 1 + f(x)(p(s, y;

t + t, x) p(s, y;

t, x))dx.

= lim t 0 t Подставляя в (2.2.6) вместо плотности p(s, y;

t + t, x) переходной ве роятности ее выражение + p(s, y;

t, z)p(t, z;

t + t, x)dz p(s, y;

t + t, x) = из аналога уравнения Колмогорова — Чепмена (2.1.6), получим:

+ f(x)p(s, y;

t, x)dx = (2.2.7) t 1 + + t 0 t f(x) p(s, y;

t, z)p(t, z;

t + t, x)dz f(x)p(s, y;

t, x) dx = = lim 1 + + + = lim f(x)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx f (x)p(s, y;

t, x)dz.

t 0 t Разобьем интегрирование по x на две области:

|xz| |xz|.

и Так как функция f C2 [R], можно записать ее разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z:

f (z) 1 2 f (z) f(x) = f(z) + (x z) + (x z)2 + (x z)2 R(x, z), (2.2.8) z 2 z где lim R(x, z) = 0.

x z Подставляя разложение (2.2.8) в выражение (2.2.7), получаем:

+ f(x)p(s, y;

t, x)dx = (2.2.9) t 1 f (z) 1 2 f (z) = lim (x z) + (x z)2 p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx + t 0 t z 2 z |x z| + f(x)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx + f(z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx | x z| | x z| + + f(z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx f(z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx.

| x z| Здесь в последнем интеграле мы воспользовались определением (2.1.5) плотности переходной вероятности:

+ + f(z)p(s, y;

t, z)dz = ( f(z)p(s, y;

t, z) 1) dz = + + + + f(z)p(s, y;

t, z) p(t, z;

t + t, x)dx dz = f(z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx.

= Пусть f(z) 1 2 f (z) (x z)2 p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z) ) dzdx, z U1 (s, y, t, t) = (x z) + 2 z | x z| U2 (s, y, t, t) = (x z)2 R(x, z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx, | x z| U3 (s, y, t, t) = f (x)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx + | x z| + + f(z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx.

+ f(z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dzdx | x z| Тогда + f(x)p(s, y;

t, x)dx = (2.2.10) t U (s, y, t, t) U (s, y, t, t) U (s, y, t, t) = lim 1 +lim 2 +lim 3.

t t t t 0 t 0 t Рассмотрим подробнее каждый из этих пределов.

В силу второго и третьего условий теоремы (2.2.2)—(2.2.3) в выраже нии U1(s, y, t, t) lim t t можно перейти к пределу под знаком интеграла:

+ 2 f (z) U1(s, y, t, t) f (z) = a(t, z) + b(t, z) p(s, y;

t, z)dz + O(). (2.2.11) lim t z z t 0 Так как z| (x z) R(x, z)p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dx t |x z| (x z) p(t, z;

t + t, x)p(s, y;

t, z)dx max R(x, z) t t |x | x z| b(t, z) + O() max R(x, z) 0, t 0 | x z| можно утверждать, что U2 (s, y, t, t) = O(). (2.2.12) lim t t И, наконец, в силу первого условия теоремы (2.2.1) можно записать, переходя к пределу под знаком интеграла:

U3 (s, y, t, t) = f (z) W(z | t, x)p(s, y;

t, x) W(x | t, z)p(s, y;

t, z) dzdx. (2.2.13) lim t t | x z| Подставляем выражения (2.2.11)—(2.2.13) в (2.2.10):

+ + 2 f (z) f(z) f(x)p(s, y;

t, x)dx = a(t, z) + b(t, z) p(s, y;

t, z)dz + t z z + f(z) W(z | t, x)p(s, y;

t, x) W(x | t, z)p(s, y;

t, z) dzdx + O().

| x z| Поскольку левая часть последней формулы не зависит от, перей дем в ней к пределу при 0 :

+ + f(z)p(s, y;

t, z)dz = lim t f(z)p(s, y;

t, z)dz = t + 2 f(z) f (z) = + b(t, z) p(s, y;

t, z)dz + a(t, z) z z + + + f (z) v.p. W(z | t, x)p(s, y;

t, x) W(x | t, z)p(s, y;

t, z) dx dz.

Теперь интегрируем по частям:

+ p(s, y;

t, z) f(z) dz = (2.2.14) t + 1 = f(z) [ a(t, z)p(s, y;

t, z)] + 2[ b(t, z)p(s, y;

t, z)] + z 2 z + + v.p. W(z | t, x)p(s, y;

t, x) W(x | t, z)p(s, y;

t, z) dx dz.

Так как формула (2.2.14) справедлива для любой функции f C2 [R], из нее непосредственно следует прямое уравнение Колмогорова (2.2.4).

Доказательство справедливости обратного уравнения Колмогорова (2.2.5) проводится аналогично.

Впервые уравнения (2.2.4) и (2.2.5) исследовались в 1900 г.

Л. Башелье [2], который рассмотрел случай, когда коэффициен ты a(t) и b(t) зависят лишь от времени. Затем уравнение (2.2.5) исследовалось в 1914 г. А. Фоккером и в 1917 г. М. Планком в их статьях по теории диффузии [86], [58], поэтому в физических работах это уравнение называют уравнением Колмогорова — Фоккера — Планка. Универсальность этого уравнения, его гло бальность, применимость не только к диффузионным, но и к любым другим процессам, обладающим марковским свойством, была осознана лишь в 1931 г. А. Н. Колмогоровым в работе [38].

Впоследствии исследованием уравнений (2.2.4) и (2.2.5) занима лись В. Феллер [84], [85], Е. Б. Дынкин [17] и др.

§ 2.3. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА Очевидно, уравнения (2.2.4) и (2.2.5) эквивалентны, так как они описывают поведение одних и тех же величин. Основное различие между ними состоит в том, что в уравнении (2.2.4) фиксируются значения переменных s и y, и решение сущест вует при t s, а в уравнении (2.2.5) фиксируются значения t и x, и ищется решение при s t. Именно поэтому уравнение (2.2.4) носит название прямого, а уравнение (2.2.5) — обратного.

Прямое уравнение используется обычно для предсказания значений измеряемых величин по известным прошедшим зна чениям, а обратное уравнение — для поиска среднего времени выхода за какие либо границы [8], [9].

Можно показать [13], что если задать определенные на чальные и граничные условия, то в случае неотрицательности функций b(t,z) и W(x | t,z) существуют и единственны решения прямого (2.2.4) и обратного (2.2.5) уравнений Колмогорова, при чем эти решения удовлетворяют всем аксиомам теории вероят ностей и, естественно, совпадают друг с другом почти всюду1.

Неотрицательность функции b(t,z) следует из ее определения (2.2.3).

В 1926 г. П. Дирак при помощи формального соотношения + (x a) f(x)dx = f(a), (2.3.1) которое должно выполняться для любых непрерывных функ ций f (x) C[R] и для всех чисел a R, ввел самую употреби тельную на сегодняшний день обобщенную функцию — дель та функцию (x) [15]. Всюду, кроме точки x = 0, функция (x) обращается в нуль, между тем, + (x)dx =1, поэтому можно определить дельта функцию конструктивно как предел функциональной последовательности n, x [1/ n, 1/ n], n (x) = 0, x [1/ n, 1/ n] при n. Нестрогим образом дельта функции является функция, которая в точке x = 0 «обращается в бесконечность», во всех же остальных точках равна нулю.


Подробнее с теорией обобщенных функций и ее примене нием для решения дифференциальных уравнений в частных производных можно познакомиться по книге [7], нам же дельта функция (2.3.1) будет полезна для задания начальных условий p(t0, y0 ;

t0,z) = (y0 z), z R (2.3.2) То есть, возможно, за исключением конечного либо счетного числа точек.

для прямого уравнения Колмогорова (2.2.4) и «конечных» усло вий p(t1, y;

t1,x1 ) = (y x1 ), y R (2.3.3) для обратного уравнения Колмогорова (2.2.5) в случае, когда из вестно состояние процесса в соответствующий (начальный или конечный) момент времени: Xt0 = y0 или Xt1 = x1.

Очевидность этих условий следует из того, что если в дан ный момент t некоторая точка занимает положение y, то веро ятность обнаружить ее в каком либо другом месте z y, равна нулю, между тем, + P{t, y;

t, R} = p(t, y;

t,z)dz = 1, поэтому p(t, y;

t,z) = (y z) для всех t T, y, z R.

Если же положение точки в начальный (конечный) момент времени неизвестно, то оно должно рассматриваться как слу чайная величина с некоторой плотностью распределения f (z), и тогда начальное и «конечное» условия для уравнений Колмого рова примут, соответственно, вид p(t0, y0 ;

t0,z) = f (z), z R и p(t1, y;

t1,x1 ) = f (y), y R.

Граничные условия для уравнений Колмогорова исследо ваны еще не полностью, на практике используют, в основном, условие отражающей границы, условие поглощающей грани цы, а также их комбинации. Формулировки этих граничных ус ловий приведены в табл. 2.3.1.

Т а б л и ц а 2.3. Граничные условия для уравнений Колмогорова Тип уравнения Прямое уравнение Обратное уравнение Тип границы p(s,y;

t,z) p(s,y;

t,x) = 0, z = 0, y Отражающая граница y y p(s, y;

t,z) = 0, z p(s, y;

t,x) = 0, y Поглощающая граница Подробнее о граничных условиях для уравнений Колмого рова можно узнать в книге [9].

§ 2.4. СКАЧКООБРАЗНЫЕ, ДИФФУЗИОННЫЕ И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ Марковский процесс Xt называется непрерывным, если для любых 0 имеет место предел 1 p(t, x;

t + t,y)dy = lim (2.4.1) t 0 t |xz| равномерно по x и t. Тогда можно доказать [12], что траектория Xt этого процесса является непрерывной функцией времени почти наверное.

Условие (2.4.1) называется условием Линдеберга.

Рассмотрим случай, когда в условиях (2.2.2)—(2.2.3) a(t, z) 0, b(t, z) 0.

Тогда прямое уравнение Колмогорова принимает вид [ p(s, y;

t,z)] = (2.4.2) t + = v.p. W(z | t,x)p(s,y;

t,x) W(x | t,z)p(s,y;

t,z) dx.

Типичная траектория случайного процесса Xt, подчиняю щегося уравнению (2.4.2), представляет собой отрезки прямых Xt = const, чередующиеся с разрывными скачками [9], поэтому такие процессы, для которых в условиях (2.2.2)—(2.2.3) a(t, z) 0, b(t, z) 0, называются скачкообразными, а уравнение (2.4.2) на зывается управляющим уравнением скачкообразного процесса или уравнением Колмогорова —Феллера. Траектории скачко образных процессов терпят разрывы в дискретном множестве точек.

Если в условии (2.2.1) W(x | t,z) 0, то обратное уравнение Колмогорова принимает вид [ p(s, y;

t,x)] = a(s,y) [ p(s, y;

t,x)] + b(s, y) 2 [ p(s, y;

t,x)]. (2.4.3) s y y Процессы, описываемые уравнениями вида (2.4.3) носят на звание диффузионных, а само уравнение (2.4.3) часто называют уравнением Колмогорова — Фоккера — Планка. Функция a(t,z) называется коэффициентом сноса, а функция b(t, z) — коэф фициентом диффузии. Ясно, что когда W(x | t,z) 0, условие непрерывности (2.4.1) выполняется, поэтому диффузионные процессы непрерывны, хотя, как мы увидим в §3.1, могут не быть дифференцируемыми ни в одной точке.

Если же в условиях (2.2.1)—(2.2.3) b(t, z) 0, W(x | t,z) 0, то прямое уравнение Колмогорова принимает вид уравнения Лиувилля [p(s, y;

t,z)] = [ a(t,z) p(s, y;

t,z)], (2.4.4) t zi которое в случае известного начального значения описывает полностью детерминированные процессы.

Действительно, если x(t) является решением обыкновенного дифференциального уравнения dx = a(t, x(t)) dt с начальным условием x(0) = x0, то решением уравнения (2.4.4) с начальным условием p(t0,y0 ;

t0,z) = (y0 z) будет функция p(t0,y0 ;

t,z) = (z x(t)), откуда следует, что Zt совпадает с x(t) почти всюду.

Это — тривиальный тип марковских процессов: в каждый момент времени известны с вероятностью единица все будущие состояния. Именно такие процессы рассматриваются в класси ческой (детерминированной) математике.

В общем случае ни один из коэффициентов a(t,z), b(t,z), W(x | t,z) не обязан обращаться в нуль. Траектория типичного процесса, в котором присутствуют и диффузия, и снос, и скач ки, представлена на рис. 2.4.1.

Рис. 2.4.1. Траектория процесса общего вида Предметом нашего дальнейшего рассмотрения являются диффузионные процессы и их применение в экономико математическом и финансово математическом моделировании.

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 3.1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Рассмотрим одномерный диффузионный процесс Wt, под чиняющийся уравнению Колмогорова, в котором коэффициент сноса равен нулю, а коэффициент диффузии — единице:

1 [p(t0, w0 ;

t, w)] = [p(t0, w0 ;

t, w)]. (3.1.1) t 2 w Начальное условие (2.3.2) примет вид p(t0, w0 ;

t0, w) = (w w0 ). (3.1.2) Система (3.1.1)—(3.1.2) представляет собой задачу Коши для уравнения теплопроводности, решением которой, согласно [80], является функция ( w w0 ) 1 1 2(t t0 ) p(t0, w0 ;

t,w) =, (3.1.3) e 2 t t представляющая собой плотность нормального распределения ( a, ) с математическим ожиданием a = w0 и средним квадра тичным отклонением = t t0. Первоначально острый пик расплывается со временем, как изображено на рис. 3.1.1.

Случайный процесс Wt, плотность переходной вероятности которого подчиняется формуле (3.1.3), называется броуновским движением.

Отметим некоторые свойства броуновского движения. Во первых, хотя математическое ожидание броуновского движе ния конечно, его среднее квадратичное отклонение стремится к бесконечности при t. Это говорит о н е р е г у л я р н о с т и, п е р е м е н ч и в о с т и т р а е к т о р и й.

Рис. 3.1.1. Расплывание начального распределения Во вторых, траектории броуновского движения непре рывны, так как оно представляет собой диффузионный процесс.

Между тем, они не являются дифференцируемыми ни в одной точке. Рассмотрим вероятность + + Wt +t Wt w 1 2t k = 2 p(t, Wt ;

t + t,w)dw = 2 kt t e dw = P t kt w Wt + + (( w Wt )/ t )2 y k t y 2 1 t e 2 e = =2 e 2 dy dy = d 2 2 k t 0 k t y =1 e dy.

В пределе при t 0 эта вероятность обращается в едини цу при любом конечном значении k. Таким образом, сколь большое число k мы не выберем, модуль производной траекто рии броуновского движения будет наверняка больше этого чис ла, т. е. бесконечен. Из этого следует, что броуновское движение не является дифференцируемым ни в одной точке почти навер ное.

Броуновское движение как объект было введено в 1900 г. Л. Башелье [2], затем в 1905 г. исследовалось А. Эйн штейном [96]. Строгая математическая теория броуновского движения была построена в 1923 г. Н. Винером [6], в честь кото рого этот процесс называется также винеровским процессом.

Броуновское движение, выходящее в нулевой момент вре мени из точки W0 = 0, называется стандартным броуновским движением1. Очевидно (по свойствам нормально распределен ных случайных величин), математическое ожидание стандарт ного броуновского движения тождественно равно нулю, а его дисперсия равна DWt = t.

§ 3.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть Wt — стандартное броуновское движение. Рассмот рим конструкцию [0;

t ) f (s,)dWs, называемую стохастическим интегралом от случайной функции f (s, ) по промежутку [0;

t).

Разобьем промежуток [0;

t) на n частей:

0 = s0 sn = t.

s1 s Если существует такое число It ( f), что n It ( f) = l.i.m. f(si 1, ) ( Wsi Wsi 1 ) (3.2.1) i =1 n независимо от разбиения промежутка [0;

t) на части, то оно на зывается стохастическим интегралом Ито f (s, )dWs It ( f) [0;

t ) от случайной функции f (s, ) по промежутку [0;

t) 2.

Приведем без доказательства теорему существования и единственности стохастического интеграла Ито3.

С этим случайным процессом мы уже сталкивались в §1.1.

Здесь под l.i.m. понимается предел в среднем квадратичном:

n l.i.m. Xn = X, если lim M( Xn X)2 = 0.

n n Доказательство теоремы 3.2.1 и всех теорем §3.3 приводятся в кни гах [8], [60].

Т Е О Р Е М А 3.2.1 (Существование и единственность стохасти ческого интеграла Ито). Если функция f является неупреж дающей (т. е. f (s, ) статистически независима от ( Wt Ws ) для всех t s ) и непрерывной, то стохастический интеграл Ито f(s, )dWs [0;

t ) от случайной функции f (s, ) по промежутку [0;

t) существу ет и определяется однозначно.

Первым, кто ввел понятие стохастического интеграла, был Н. Винер, который в 1923 г., воспользовавшись идеей интегри рования по частям, определил в работе [6] понятие стохасти ческого интеграла от неслучайной функции (см. пример 3.5.2).

Затем Г. Крамер в 1940 г. в работе [39] предложил первую об щую теорию стохастических интегралов. Впоследствии теорией стохастического интегрирования занимались К. Ито [28], [26] (1944 г., 1951 г.), Р. Л. Стратонович [77] (1961 г.), С. Ватанабэ, К. Долеан Дейд, Дж. Дуб, Ф. Курреж, Х. Куните, П. A. Мейер и др. Наиболее распространенным способом определения стохас тического интеграла является способ К. Ито, рассмотренный в данном параграфе.

§ 3.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Используя введенное понятие стохастического интеграла Ито, можно дать определение стохастического дифференци ального уравнения.

Пусть a(t, x) и c(t, x) — неупреждающие функции, тогда случайный процесс Xt называется решением стохастического дифференциального уравнения Ито dXt = a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt, (3.3.1) если для всех t 0 выполняются равенства { } t P | a(t, X ) | dt = 1, (3.3.2) t { } t P (c(t, X ))2 dt = 1, (3.3.3) t t P Xt = X0 + a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt = 1. (3.3.4) [0;

t ) Сформулируем условия существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения.

Говорят, что коэффициенты a(t, x) и c(t, x) удовлетворяют локальному условию Липшица по переменной x, если для лю бого n найдется такая константа K (n), что для всех t 0 и | x | n, | y | n выполняется неравенство | a(t, x) a(t, y) | + | c(t, x) c(t, y) | K(n) | x y |. (3.3.5) Т Е О Р Е М А 3.3.1 (Существование и единственность решения стохастического дифференциального уравнения Ито). Если ко эффициенты a(t, x) и c(t, x) стохастического дифференциаль ного уравнения Ито (3.3.1) удовлетворяют локальному усло вию Липшица по переменной x (3.3.5) и условию линейного роста | a(t, x) | + | c(t, x) | K (1) | x |, (3.3.6) то стохастическое дифференциальное уравнение (3.3.1) име ет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости (3.3.3)), непрерывное решение Xt, являющееся марковским процессом.

Т Е О Р Е М А 3.3.2 (Связь уравнений Колмогорова и стохасти ческих дифференциальных уравнений). Плотность p(s, x;

t, y) переходной вероятности диффузионного случайного процесса Xt, удовлетворяющая условиям (3.3.2)—(3.3.3), описывается уравнениями Колмогорова 1 [ p(s,y;

t,z)] = [ a(t,z)p(s,y;

t,z)] + 2 [ b(t,z)p(s,y;

t,z)] t z 2 z и [p(s, y;

t,x)] = a(s, y) [p(s, y;

t,x)] + b(s, y) 2 [p(s, y;

t,x)] s y y тогда и только тогда, когда случайный процесс Xt является решением стохастического дифференциального уравнения (2.2.1), в котором (c(t, x))2 b(t, x) 1.

Теорема 3.3.2 доказывает эквивалентность двух методов ис следования случайных процессов — уравнений Колмогорова и стохастических дифференциальных уравнений. Иногда к же лаемым результатам проще прийти с помощью уравнений Колмогорова, иногда — используя стохастические дифферен циальные уравнения.

В дальнейших приложениях будет полезна также Т Е О Р Е М А 3.3.3.

(dWt )2 = dt, (3.3.7) где Wt — броуновское движение.

Впервые стохастические дифференциальные уравнения были предложены в 1908 г. П. Ланжевеном [41] для описания броуновского движения, однако до введения Г. Крамером в 1940 г. [39] и К. Ито в 1942 г. [28] понятия стохастического инте грала строгие методы исследования этих уравнений отсут ствовали. Теория стохастических дифференциальных уравне ний развивалась в работах С. Н. Бернштейна [3] (1934 г.), К. Ито [24—26] (1942—1951 гг.), И. И. Гихмана [10—13] (1950 г.), Р. Л. Стратоновича [77] (1961 г.), С. Варадана, С. Ватанабэ, Л. И. Гальчука, К. Долеан Дейд, Ж. Жакода, А. К. Звонкина, М. Каца, Е. Конвея, Т. Комацу, Н. В. Крылова, В. А. Лебедева, Р. Ш. Липцера, Г. Маруямы, А. В. Мельникова, Ж. Мемена, М. Нисио, А. В. Скорохода, Д. Струка, А. Н. Ширяева, Т. Ямады и др.

Неотрицательность коэффициента диффузии b(t, x) следует из его определения (2.2.3).

§ 3.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Стохастическое дифференциальное и интегральное исчис ление имеет некоторые отличия от классического, в частности, в приложениях весьма важно отличие дифференцирования сложной функции.

Т Е О Р Е М А 3.4.1 (Формула Ито). Если непрерывная функция F F 2F F(t, x) имеет непрерывные производные, а слу,, t x x чайный процесс Xt является решением стохастического диф ференциального уравнения (3.3.1), то случайный процесс t = F(t, Xt ) является решением стохастического дифферен циального уравнения F(t, Xt ) 2F(t, Xt ) F(t, Xt ) 1 d t = + a(t, Xt ) + c (t, Xt ) dt + (3.4.1) t x x F(t, Xt ) + c(t, Xt ) dWt.

x Доказательство. Выпишем разложение функции F(t, x) в ряд Тейло ра:

dF(t, x) = (3.4.2) 1 F(t, x) F(t, x) F(t, x) F(t, x) F(t, x) 2 2 = dx + dt + (dx)2 + dxdt + (dt)2.

x t 2 x xt t 2 Подставляя теперь в выражение (3.4.2) Xt вместо x, получим F(t, Xt ) F(t, Xt ) d t = dF(t, Xt ) = dXt + dt + x t 1 2F(t, Xt ) 2F(t, Xt ) 2F(t, Xt ) + (dXt )2 + dXt dt + (dt)2.

2 x xt t 2 Учтем, что процесс Xt подчиняется стохастическому дифференци альному уравнению (3.3.1):

F(t, Xt ) F(t, Xt ) d t = (a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt ) + dt + x t 1 2F(t, Xt ) + (a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt )2 + 2 x 2F(t, Xt ) 2F(t, Xt ) + (a(t, Xt )dt + c(t, Xt )dWt )dt + (dt)2 = xt t 2 F(t, Xt ) F(t, Xt ) F(t, Xt ) = + a(t, Xt ) dt + c(t, Xt ) dWt + t x x 2F(t, X ) 2F(t, X ) 2F(t, X ) 1 t+ t+ t (dt)2 + + a(t, X ) a(t, X ) x xt t t t 2 2F(t, X ) 2F(t, X ) t + c(t, X ) t dW dt + + a(t, X )c(t, X ) x xt t t t t 2F(t, X ) 12 t (dW )2.

+ c (t, X ) x t t Теперь воспользуемся теоремой 3.3.3 и подставим в последнее выра жение dt вместо (dWt )2 и (dt)3/2 вместо dWt dt :

F(t, Xt ) 2F(t, Xt ) F(t, Xt ) 1 d t = + a(t, Xt ) + c (t, Xt ) dt + t x x 2F(t, Xt ) F(t, Xt ) 2F(t, Xt ) + c(t, Xt ) dWt + a(t, Xt )c(t, Xt ) + c(t, Xt ) (dt) + 3/ x x xt F(t, Xt ) F(t, Xt ) F(t, Xt ) 2 2 + a(t, Xt ) a(t, Xt ) + + (dt).

x xt t 2 Отбрасывая все члены, содержащие dt в более высокой степени, чем первая, получаем формулу Ито (3.4.1).

Впервые теорема 3.4.1 была сформулирована и доказана К. Ито в 1951 г. в работе [23]. С тех пор с помощью формулы Ито получены многие ставшие уже классическими результаты сто хастической финансовой математики, включая знаменитую формулу Блэка — Шоулза для оценки рациональной стоимости опционов, рассматриваемую в §4.4.

Для решения линейных стохастических дифференциаль ных уравнений вида dXt = ( a0 + a(t) ) dt + c(t)dWt, как и для их детерминированных аналогов вида dXt = ( a0 + a(t) Xt ) dt, существуют явные формулы (подробнее см.

[59, с. 637]), однако реальные стохастические дифференциаль ные уравнения, возникающие в практике экономико математического моделирования, как мы увидим ниже, явля ются принципиально нелинейными, поэтому их решение прово дится либо подбором при помощи формулы Ито (3.4.1), либо пу тем применения численных методов (см. [40, 59, с. 565—581]).

§ 3.5. ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Рассмотрим несколько примеров случайных процессов, описываемых стохастическими дифференциальными уравне ниями.

П Р И М Е Р 3.5.1 (Стохастическая экспонента). Рассмотрим стохастический дифференциал процесса E (W)t, определяемого формулой Wt t E (W)t = e. (3.5.1) Согласно формуле Ито (3.4.1), где x t Xt = Wt, F(t, x) = e, a(x, t) 0, c(x, t) 1, можно записать:

Wt 1t 1 Wt t Wt t e 2 1 e 2 dt + e dE (W)t = + dWt = t 2 x 2 x 1 Wt 1t 1 Wt 1t 1 Wt t Wt t = e +e dt + e dWt = e 2 dWt = E (W)t dWt.

2 2 2 Таким образом, dE (W)t = E (W)t dWt. (3.5.2) Случайный процесс E (W)t называют стохастической экс понентой по аналогии с обычной экспонентой et, являющейся решением обыкновенного дифференциального уравнения d(et ) = et, dt которое можно переписать в виде d(et ) = et dt.

Соотношение (3.5.2) можно рассматривать как стохастиче ское дифференциальное уравнение, а функцию E (W)t, задавае мую формулой (3.5.1) — как решение этого уравнения.

П Р И М Е Р 3.5.2 (Стохастическое интегрирование по частям).

Пусть в формуле Ито (3.4.1) Xt = Wt, F(t, x) = f(t)x, тогда a(x, t) 0, c(x, t) 1, и формула принимает вид d( f(t)Wt ) = f (t)Wt dt + f(t)dWt или, в интегральной форме, t f(t)Wt = f (s)Ws ds + [0;

t ) f (s)dWs.

Последнюю формулу можно переписать в виде t f (s)dWs = f(t)Wt f (s)Ws ds [0;

t ) Именно так Н. Винер в 1923 г. предложил вычислять сто хастические интегралы от неслучайных функций [6].

П Р И М Е Р 3.5.3 (Обобщенное броуновское движение). Рас смотрим случайный процесс, подчиняющийся стохастическому дифференциальному уравнению dBt = µdt + dWt. (3.5.3) С помощью непосредственной подстановки значений Xt = Wt, F(t, x) = B0 + µt + x, a(x, t) 0, c(x, t) в формулу Ито (3.4.1) легко проверить, что решение уравнения (3.5.3) описывается формулой Bt = B0 + µt + Wt. (3.5.4) Этот процесс называется обобщенным броуновским движе нием.

П Р И М Е Р 3.5.4 (Геометрическое броуновское движение).

Рассмотрим случайный процесс, подчиняющийся стохастиче скому дифференциальному уравнению dSt = St (µdt + dWt ). (3.5.5) Легко проверить, что его решение описывается формулой St = S0 e(µ /2)t +Wt.

(3.5.6) Действительно, согласно формуле Ито (3.4.1), где Xt = Wt, F(t, x) = S0 e(µ /2)t +x, a(x, t) 0, c(x, t) 1, имеем:

dSt = ( µ 2/2) S0 e(µ /2)t ex + 2S0 e(µ /2)t ex dt + 2 +S0 e(µ /2)t ex dWt = µSt dt + St dWt = St (µdt + dWt ).

Этот процесс называется геометрическим или экономичес ким броуновским движением.

Внешний вид траекторий геометрического броуновского движения действительно, очень напоминает процесс изменения многих финансовых и экономических показателей, поэтому гео метрическое броуновское движение легло в основу ряда финан сово математических и экономико математических моделей. В следующих главах мы увидим, какие результаты получаются при исследовании этих моделей.

ГЛАВА 4. СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ § 4.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ СТОИМОСТИ АКЦИЙ Если предположить, что процентная ставка может менять ся со временем, то модель (1.1.2) преобразуется в самую распро страненную модель банковского счета. Как правило, ее запи сывают в виде dBt = (t)Bt dt.

Интенсивность непрерывных процентов (t) = ln(1 + i), где i — б е з р и с к о в а я п р о ц е н т н г а я с т а в к а, может описываться при этом либо детерминированной функцией вре мени, либо случайным процессом. Стохастические модели эво люции процентных ставок, предложенные Ф. Блэком, О. Ва сичеком, Е. Дерманом, Л. Дотханом, К. Зандманом, Д. Зондер маном, Дж. Ингерсоллом, П. Карасинским, Дж. Коксом, С. Ли, Р. Мертоном, С. Россом, У. Тоем, А. Уайтом, Дж. Халлом, Т. Хо, Л. Ченом, А. Н. Ширяевым, У. Шмидтом, подробно рассматри ваются в книге [93].



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.