авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«Российская академия наук ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ РЫНКА В. И. Соловьев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНСТРУМЕНТОВ УПРАВЛЕНИЯ ИННОВАЦИОННЫМИ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Многочисленные попытки детерминированного описания динамики стоимостей ценных бумаг успехом не увенчались.

Как писал М. Кендалл в статье [34] (1953 г.), поведение этих стоимостей наводит на мысли о «Демоне Случая, случайным образом извлекающем число и добавляющем его к текущему значению стоимости для определения стоимости в следующий момент». Первым, кто предпринял попытку с т о х а с т и ч е с к о г о описания эволюции стоимостей акций St, был Л. Башелье, который в 1900 г. в своей диссертации [2] предло жил рассматривать St как обобщенное броуновское движение (3.5.4):

St = S0 + µt + Wt. (4.1.1) Очевидный недостаток модели (4.1.1) заключается в том, что в ее рамках цена акции St может принимать отрицательные значения, что не соответствует реальности. Несмотря на это, нельзя не оценить вклада работы [2] в становление стохастиче ской математики. Именно в ней за пять лет до А. Эйнштейна [96] был впервые введен математический объект (3.1.3), позже по лучивший название броуновского движения, именно в ней была предпринята первая попытка стохастического описания рынка ценных бумаг.

Революционная работа Л. Башелье сильно опередила свое время. В начале XX в. она фактически была проигнорирована и забыта. Теория случайных процессов была позже переоткрыта А. Эйнштейном и начала развиваться, а ее применение в моде лировании стоимостей ценных бумаг остановилось до начала 50 х гг. XX в.

Следующий крупный шаг в применении стохастических ме тодов к анализу стоимостей акций сделал в 1965 г. П. Самуэльсон [62]. В развитие работы М. Осборна [55] (1959 г.), в которой отме чалось, что не стоимости ценных бумаг, как в модели (3.2.1), предложенной Л. Башелье, а логарифмы этих стоимостей в каж дый момент времени распределены по нормальному закону, П. Самуэльсон ввел в рассмотрение геометрическое (или, в его терминологии, экономическое) броуновское движение St :

ln St = ln S0 + (µ 0,52 )t + Wt или St = (µ 0,52 )t + Wt. (4.1.2) ln S Формула, выражающая зависимость St от времени, оче видно, имеет вид:

St = S0 e(µ /2)t eWt.

Как было показано в примере 3.5.4, стоимости St акций удовлетворяют при этом стохастическому дифференциальному уравнению dSt = St (µdt + dWt ).

На рис. 4.1.1 представлены три траектории броуновского движения Wt, выходящие из одной точки. На рис. 4.1.2 пред ставлены три траектории геометрического броуновского дви жения St. Их поведение действительно очень напоминает пове дение стоимостей реальных акций (рис. 4.1.3).

Рис. 1.1.1. Три траектории броуновского движения Т Е О Р Е М А 4.1.1 (Числовые оценки стоимости акций). Мате матическое ожидание и дисперсия стоимости акции, дина мика которой описывается законом (3.5.5), таковы:

MSt = S0 eµt, (4.1.1) DSt = (S0 )2 e2µt (e t 1).

(4.1.2) Доказательство. Так как Wt — стандартное броуновское движение, плотность его переходной вероятности определяется формулой w p(0,0;

t, w) = e 2t 2 t (см. § 3.1).

Рассмотрим математическое ожидание стоимости акции ( )=S e 2 2 2 + µ t +Wt µ t µ t e 2 2 M(e Wt ) = S0 e Wt MSt = M S0 e p(0,0;

t, w)dw = 2 + + w2 2 wt +( t )2 ( t ) w µ t µ t 1 Wt 2t 1 + dw = S0 e = S0 e dw = 1 2t 2t e e 2 t t 2 (( w t ) t) + + w t µ t + t y 1 2 e = S0 eµt e 2 dy = S0 eµt.

= S0 e d 2 t Справедливость формулы (4.1.2) доказывается аналогично.

Рис. 1.1.2. Три траектории геометрического броуновского движения Рис. 1.1.3. Три траектории стоимостей реальных акций Различные усовершенствования стандартной диффузи онной модели (1.1.5) были предложены Дж. Виггинсом, Б. Дюпири, Д. Нельсоном, Л. Скоттом, А. Уайтом, Дж. Халлом и другими специалистами. Подробнее эти усовершенствования обсуждаются в книге [93].

§ 4.2. ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ Теория Г. Марковица и Дж. Тобина предлагает подход к ре дуцированию инвестиционного риска путем диверсификации (инвестирования в различные активы пропорционально их доле на рынке). При этом составленный таким образом портфель ценных бумаг может оказаться менее рискованным, чем каж дый из входящих в него рисковых активов, однако, как правило, полностью избавиться от риска не удается.

В 60 е гг. XX в. мировые финансовые рынки отличались вы сокой стабильностью, процентные ставки были очень устойчи выми, а обменные курсы валют — вообще фиксированными, начиная с Бреттон Вудской конференции 1944 г. В 70 е гг. XX в.

произошли события, в результате которых ситуация на финан совых рынках кардинально изменилась: всемирный нефтяной кризис, вызванный политикой ОПЕК1 — законодателя цен на нефть, повлек за собой мировой валютно финансовый кризис, и в 1973 г. Бреттон Вудскую систему фиксированных обменных курсов сменили современные плавающие курсы. В 1971 г. Госу дарственное казначейство США окончательно отменило прак тику покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 дол ларов за унцию золота, в результате чего доллар сильно обес ценился — нынешняя цена золота составляет 300—400 долла ров за унцию. В этих условиях стандартные методы регресси онного анализа, которые применялись в то время к оценке ак тивов, перестали давать адекватные результаты. Торговля обычными финансовыми инструментами стала чрезвычайно рискованной. Естественно, все это привело инвесторов к необ ходимости использовать другие методы минимизации риска, обусловленного неопределенностью будущих значений цен.

Среди таких методов уменьшения риска особого внимания за служивает хеджирование, которое состоит в том, что на опре деленное время из некоторого актива и некоторого количества ОПЕК (OPEC) — Организация стран экспортеров нефти (Organi zation of the Petroleum Exporting Countries), созданная в 1960 г. для коор динации нефтяной политики членов этой организации. В настоящее вре мя в нее входят Алжир, Венесуэла, Индонезия, Ирак, Иран, Катар, Ку вейт, Ливия, Нигерия, Объединенные Арабские Эмираты, Саудовская Аравия.

производных финансовых инструментов составляется порт фель ценных бумаг, причем производный инструмент подбира ется таким образом, что одновременно с изменением стоимости базового актива в противоположную сторону меняется стои мость производного инструмента. Наиболее распространены два типа таких производных инструментов, используемых для хеджирования, — форварды и опционы. Форвард — это ценная бумага, представляющая собой соглашение о приобретении или продаже в определенный момент времени в будущем опреде ленной ценности по фиксированной цене, определяемой в мо мент заключения контракта. Опцион — это ценная бумага, представляющая собой соглашение, по которому одна из сторон продает опцион за определенную премию, а другая получает право в течение срока, оговоренного в условиях опциона, либо купить определенную ценность по фиксированной цене, опре деляемой в момент заключения контракта (такой опцион назы вается опционом покупателя), либо продать (такой опцион на зывается опционом продавца).

Фьючерсы и опционы используются в качестве финансовых инструментов очень давно, организованная же торговля опцио нами началась в 1973 г. на Чикагской опционной бирже. В день ее открытия 26 апреля 1973 г. было заключено 911 контрактов на опционы колл, через год в день продавалось более 20 контрактов, в 1987 г. дневной оборот составил около 700 000 оп ционных контрактов.

Широко распространены и другие производные финансо вые инструменты, в частности, инструменты, производные от производных, например, опцион на фьючерс.

Первая математическая модель опциона была предложена в 1900 г. Л. Башелье в его знаменитой диссертации [2], совре менная же математическая теория опционов, рассматриваемая в следующем параграфе, является наиболее продвинутой обла стью стохастической финансовой математики и получила нача ло в работах Ф. Блэка и М. Шоулза [5] и Р. Мертона [54] в том же 1973 г., что и организованная торговля этими финансовыми ин струментами.

§ 4.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЛЭКА — ШОУЛЗА — МЕРТОНА Предположим, что на (B, S) рынке обращается ценная бу мага (для определенности, акция) и производный от нее инст румент, стоимость акции изменяется со временем в соответст вии со стохастическим дифференциальным уравнением dSt = St (µdt + dWt ), (4.4.1) а банковский счет эволюционирует по закону dBt = Bt dt. (4.4.2) Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража без риска, иными словами, доходность безрискового финансово го инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счета.

В 1973 г. американские экономисты Ф. Блэк и М. Шоулз в работе [5] и Р. Мертон в работе [54] на основании модели (B, S) рынка (4.4.1)—(4.4.2) получили следующее фундаментальное уравнение для рациональной стоимости производных финансо вых инструментов.

Т Е О Р Е М А 4.4.1 (Фундаментальное уравнение Блэка — Шо улза — Мертона). Рациональная стоимость f(t, St ) производ ного инструмента на (B, S) рынке удовлетворяет фунда ментальному уравнению Блэка — Шоулза — Мертона f(t, St ) f(t, St ) 1 2 f(t, St ) 2 + St + St = f(t, St ). (4.4.3) t S 2 S Доказательство. Пусть f(t, St ) — стоимость производного инструмен та в момент времени t, когда стоимость акции составляет St. По формуле Ито (3.4.1), где Xt = St, a(S, t) = µS, c(S, t) = S, Арбитраж — одновременная покупка некоторого финансового ин струмента по низкой цене и его продажа в другом месте по более высокой цене (см. §1.1).

f(t, St ) f(t, St ) 1 2 f (t, St ) 2 2 f(t, St ) df = + µSt + St dt + St dWt. (4.4.4) t S 2 S S Рассмотрим портфель = (0,, 1), состоящий из акций в длинной позиции и одного производного инстру мента в короткой позиции. Капитал этого портфеля составит Xt = f (t, St ) + St. (4.4.5) Очевидно, dXt = df + dSt. Подставляя в это уравнение выражение dSt из (4.4.1) и выражение df из (4.4.4), получаем f(t, St ) f(t, St ) 1 2 f (t, St ) 2 2 f (t, St ) dX = + µSt + St dt St dWt + t S 2 S S t f (t, St ) 1 2 f (t, St ) 2 f (t, St ) + St (µdt + dWt )= + µSt St dt + t S 2 S f(t, St ) + St dWt.

S Пусть f(t, St ) =, S тогда f(t, St ) 1 2 f(t, St ) 2 dX = + St dt. (4.4.6) t 2 S2 t Рациональность стоимости производной ценной бумаги означает, что доходность безрискового портфеля, составленного из акций и данных производных инструментов, должна совпадать с доходностью банковско го счета (чтобы исключить возможность арбитража без риска):

dXt = Xtdt. (4.4.7) Подставив в формулу (4.4.7) выражение для Xt из (4.4.5) и выраже ние для dXt из (4.4.6), получим f(t, St ) 1 2 f (t, St ) 2 2 f(t, St ) + St dt = f (t, St ) + St dt, t 2 S S откуда f(t, St ) 1 2 f (t, St ) 2 2 f(t, St ) + St = f(t, St ) + St t 2 S S или f (t, St ) f (t, St ) 1 2 f (t, St ) 2 + St + St = f(t, St ), t S 2 S что и требовалось доказать.

§ 4.4. ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ В МОДЕЛИ БЛЭКА — ШОУЛЗА — МЕРТОНА Для исследования фундаментального уравнения Блэка — Шоулза — Мертона (4.4.3) нам потребуется несколько лемм.

Любое уравнение в частных производных второго порядка мо жет быть сведено к стандартному уравнению одного из трех ти пов: гиперболического, параболического или эллиптическо го [80]. В частности, уравнение (4.4.3) сводится к уравнению теп лопроводности (параболического типа). Поскольку детермини рованные уравнения описывают не что иное, как поведение средних значений случайных процессов (т. е. их математиче ских ожиданий), их решения можно представить в вероят ностной форме. В лемме 4.4.1 исследуется вероятностное пред ставление решений задачи Коши для уравнения теплопровод ности. Первым на возможность представления решений детер минированных уравнений в виде математических ожиданий случайных величин обратил внимание М. Кац [33].

Л Е М М А 4.4.1. Решение задачи Коши для уравнения теп лопроводности V(, z) 1 2 V(, z) z R, 0, = 0, 2 z2 (4.4.8) V(0, z) = V0 (z), zR можно представить в виде V(, z) = MV0 ( + z), (4.4.9) где ~ N (0;

1) — случайная величина, распределенная по нор мальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением, равным единице, или в виде V(, z) = MV0 (W + z), (4.4.10) где W — стандартное броуновское движение.

Доказательство. Решение задачи Коши для уравнения тепло проводности (4.4.8), как известно [80], описывается интегралом Пуассона + ( u z) e 2 V(0, u)du.

V(, z) = Произведем замену переменных w(u) = (u z)/ (тогда u = w + z, du = dw ), при этом + w e 2 V0 ( w + z ) dw = V(, z) = + w e 2 V0 ( w + z ) dw = MV0 ( + z ), = где ~ N (0;

1).

С другой стороны, + w e 2 V0 ( w + z ) dw = MV0 ( + z ) = V(, z), MV0 (W + z) = что полностью доказывает лемму.

Докажем также следующее вспомогательное утверждение.

Л Е М М А 4.4.2. Пусть ~ (0;

1) — нормально распределен ная случайная величина с нулевым математическим ожида нием и средним квадратичным отклонением, равным едини це, тогда 1 a b 1 a b M ( a eb0,5 b K) + = a ln + K ln, (4.4.11) b K 2 b K где x z e 2 dz — (x) = интегральная функция Лапласа1.

Доказательство. Имеем:

M ( ae K) (a e K)e + b2 b2 y b by = dy = 2 2 2 b b 2 K ae b2 y2 y by 1 = ae dy K dy = 2 2 e e 2 b1a b1a y ln y ln 2bK 2bK b2 + + ( y2 2by + b2 ) b2 y + 1 = ae dy K dy = 2 2 2 e e 2 b1a b1a ln ln 2bK 2bK y b2 b2 + + ( y b ) 1 = ae d(y b) K dy = 2 2 2 e e e 2 b1a b1a ln ln 2bK 2bK z2 z + + 1 =a dz K dz = 2 e e 2 b 1 a b1a ln ln b 2 b K 2bK b 1 a b 1 a = a 1 ln + K 1 ln = b K 2 b K 1 a b 1 a b = a ln + K ln, b K 2 b K что и требовалось доказать.

Очевидно, рациональная стоимость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, исполнив опцион. Эта прибыль называется платежной функ цией опциона и обозначается fT. Пусть в момент исполнения T цена акции, на которую выписан европейский опцион покупа теля, составляет ST, а цена исполнения этого опциона равна X.

Тогда если ST окажется не больше X, исполнять опцион бес смысленно, т. е. его платежная функция равна нулю. Если же ST будет больше X, то выигрыш от исполнения такого опциона Здесь символом a + обозначено наибольшее из чисел: a и нуля:

a + max{0, a}.

составит ST X. Объединяя эти два случая, получаем формулу для платежной функции европейского опциона покупателя:

fT = max{0, ST X } = (ST X )+. (4.4.12) Используя свою модель (4.4.3), Ф. Блэк и М. Шоулз [5] и Р. Мертон [54] исследовали рациональную стоимость европей ского опциона покупателя на акцию и получили формулу для ее расчета.

Т Е О Р Е М А 4.4.2 (Формула Блэка — Шоулза для опционов колл). Рациональная стоимость T стандартного европей ского опциона поккупателя на (B, S) рынке определяется формулой = (4.4.13) T 1 S0 2 1 S0 T = S0 ln + T( + 0,5 ) X e ln + T( 0,5 ), T X T X где S0 — стоимость акции в данный момент, T — время, ос тавшееся до исполнения опциона, X — цена исполнения оп циона, — коэффициент изменчивости доходности акций, — безрисковая процентная ставка.

Доказательство. Согласно теореме 4.4.1, рациональная стоимость f (t, St ) производного инструмента на (B, S) рынке подчиняется фунда ментальному уравнению Блэка — Шоулза — Мертона (4.4.3).

Для того, чтобы найти решение этого уравнения, необходимо задать краевое условие. Пусть начальный (нулевой) момент времени соответст вует моменту, для которого ведется расчет рациональной стоимости оп циона, тогда, по определению платежной функции, f(T, ST ) = fT или f(T, ST ) = (ST X)+. (4.4.14) Уравнение (4.4.3) относится к стандартному типу у р а в н е н и й Ф е й н м а н а — К а ц а и решается стандартными методами.

Введем замену переменных (t) = 2 (T t), z(t, S) = ln S + ( 0,52 )(T t), тогда, S(, z) = e z (0,5 )/.

t() = T 2 Пусть V(, z) = e(T t ()) f (t(), S(, z)), тогда f(t, S) = e (T t ) V((t), z(t, S)). (4.4.15) Так как z 2 z =, = 0, =, =, t S t 2 S S легко можно найти производные:

f V = e (T t ) rV((t), z(t, S)) + = (4.4.16) t t V z V = e (T t ) V((t), z(t, S)) + + = z t t V V = e (T t ) V((t), z(t, S)) + (0,52 ) 2, z f V V z V (T t ) 1 V = e (T t ) = e (T t ) + =e, (4.4.17) S S z S S S z 2 f 1 V 1 V = e (T t ) 2 +. (4.4.18) S S z S2 z Подставив выражения (4.4.15)—(4.4.18) в уравнение (4.4.3), получим V V ( T t ) 1 V e (T t ) rV((t), z(t, S)) + (0,52 ) 2 + S e + z S z 1 V 1 V 2 + e (T t ) 2 + 2 2 S = e (T t ) V((t), z(t, S)).

S z S z Сократив обе части последнего уравнения на 2 e (T t ), получим по сле приведения подобных слагаемых классическое уравнение теплопро водности V 1 2 V = 0. (4.4.19) 2 z Краевое условие (4.4.14) при этом переходит к виду V(0, z) = (e z X)+. (4.4.20) Согласно лемме 4.4.1, решение задачи (4.4.19)—(4.4.20) описывается формулой V(, z) = MV0 ( + z ) = M ( e K).

+ + z Пусть a = e z +0,5, b =, тогда + z = e z +0,5 e 0,5( ) = a eb0,5b e и V(a, b) = M ( a eb0,5b X ).

+ По лемме 4.4. 1 a b 1 a b V(a, b) = M ( a eb0,5b X ) = a ln + + X ln, b X 2 b X где x z (x) = e 2 dz — интегральная функция Лапласа.

Вернемся теперь к переменным, z :

1 1 e z +0,5 e z +0, z +0, V(, z) = e + X = ln ln X X 2 1 1 1 ln X ln X = e z +0,5 z+ + X z+ = 2 2 2 z ln X + z ln X = e z +0,5 X.

Наконец, найдем выражение для f(t, S) = e (T t ) V((t), z(t, S)) :

f(t, S) = e (T t ) V((t), z(t, S)) = = e (T t ) eln S +(0,5 )(T t )+0,5 (T t ) (ln S + ( 0,52 )(T t) ln X + 2 (T t)) 2 T t e (T t ) X (ln S + ( 2 2)(T t) ln X ) = T t ln (S X ) + ( + 2 /2)(T t) ln(S X ) + ( 2 /2)(T t) X e (T t ) = S.

T t T t Очевидно, рациональная стоимость T европейского опциона колл в данный (начальный) момент времени равна ln(S0 X ) + T( + 0,52 ) ln(S0 X ) + T( 0,52 ) T = f(0, S0 ) = S0 X e, T T T что и требовалось доказать.

Формуле Блэка — Шоулза можно придать более компакт ный вид:

= S0 (y+ ) X e T (y ), (4.4.21) T где ln(S0 X ) + T( ± 0,52 ) y± =. (4.4.22) T Обсудим содержательный смысл формулы Блэка — Шоул за (4.4.21). Первое слагаемое S0 (y+ ) есть не что иное, как теку щая стоимость ожидаемого дохода от исполнения опциона. Вто рое слагаемое X e T (y ) представляет собой произведение цены исполнения опциона на вероятность того, что он окажется выигрышным, дисконтированное по безрисковому проценту к текущему моменту, т. е. не что иное, как текущую стоимость ожидаемых расходов при исполнении опциона. Таким образом, рациональная стоимость опциона есть разница между текущим ожидаемым доходом от исполнения опциона и текущими ожи даемыми расходами.

Важно отметить, что в формулу для оценки опционов не входит µ — ожидаемая доходность акций, рациональная стои мость опциона зависит лишь от стоимости акции в данный мо мент, времени, оставшегося до исполнения опциона, цены ис полнения опциона, изменчивости доходности акций и безриско вой процентной ставки.

Следующая теорема помогает, зная стоимость европейского опциона покупателя на акцию, найти с помощью формулы Блэ ка — Шоулза стоимость соответствующего опциона продавца.

Т Е О Р Е М А 4.4.3 (Теорема о паритете опционов колл и пут).

Если одновременно заключаются два опционных контракта (опцион покупателя и пицион продавца) с одной и той же це ной исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, текущая стоимость которой равна S0, безрисковая процентная ставка составляет, то для рацио нальной стоимости T опциона покупателя и рациональной стоимости PT опциона продавца справедливо равенство PT CT + S0 = X e T. (4.4.23) Доказательство. Рациональность стоимости означает, что из инстру ментов с такой стоимостью невозможно создать безрисковый портфель, доходность которого превысит безрисковую доходность. Если PT CT + S0 X e T, то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: одновременно продать акцию, продать опцион про давца на нее и купить опцион покупателя. Тогда в начальный момент вре мени будет получена сумма PT CT + S0, а в момент исполнения опционов необходимо будет выплатить сумму X, текущая стоимость которой составляет X e T.

Таким образом, будет получен выигрыш по сравнению с безриско выми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению рациональности стоимости опционов. Аналогично, если PT CT + S0 X e T, то для получения безрисковой прибыли можно использовать следующую торговую стратегию: купить акцию, купить опцион продавца на нее и продать опцион покупателя. Тогда в начальный момент времени будет выплачена сумма PT CT + S0, а в момент исполнения опционов — получена сумма K, текущая стои мость которой составляет X e T, т. е. данная стратегия принесет выигрыш по сравнению с безрисковыми вложениями в банковский счет, что противоречит предположению о ра циональной стоимости опционов. Полученные противоречия доказывают утверждение теоремы.

Отметим, что данное соотношение паритета справедливо только для европейских опционов.

Теперь несложно найти аналог формулы Блэка — Шоулза для европейских опционов продавца. Он формулируется в сле дующей теореме.

Т Е О Р Е М А 4.4.4 (Формула Блэка — Шоулза для опционов продавца). Рациональная стоимость PT стандартного евро пейского опциона пут на (B, S) рынке определяется форму лой PT = X e T ( y ) S0 ( y+ ), (4.4.24) где y+ и y определяются соотношением (4.4.22).

Доказательство. Согласно теореме 4.4.3, S0 + X e T = S0(y+ ) X e T (y ) S0 + X e T = PT = T = S0 ((y+ ) 1) X e T ((y ) 1) = S0( y+ ) + X e T ( y ).

Таким образом, теорема 4.4.4 доказана.

ПРИМЕР 4.4.1. Найти с помощью формулы Блэка — Шоулза рациональную стоимость опционов покупателя и продавца из примеров 1.5.1—1.5.2, считая, что изменчивость доходности данной акции равна = n / T ln u.

Имеем:

n S0 = 35, X = 40, T = 1, = ln u = 4 ln1,105 = 0,200, T = ln(1 + i) = ln(1 + 0,1) = 0,095, 1 S0 1 35 0, y± = ln + T ± = ln + 0,095 ± = 0,195 ± 0,1, 2 0,20 40 T X y+ = 0,195 + 0,1 = 0,095, y = 0,195 0,1 = 0,295, (y+ ) = (0,095) = 0,462, (y ) = (0,295) = 0,384, = S0(y+ ) X(y )e T = 35 0,462 40 0,384e 0,095 = 2,20, T (y+ ) = (0,095) = 0,538, (y ) = (0,295) = 0,616, P T = X( y )e T S0( y+ ) = 40 0,616e 0,095 35 0,538 3,58.

Различие с результатами расчетов по четырехпериодной биноми ( ) (бином.) (бином.) 2,24, P T 3,61 замечаем в сотых долях.

альной модели CT Теория оценки производных инструментов имеет широкие приложения, выходящие далеко за пределы рынка ценных бу маг. Банки и инвестиционные компании, разрабатывающие но вые производные инструменты, в том числе по заказу клиентов, используют методику Блэка — Шоулза — Мертона для оценки рациональной стоимости этих инструментов. Аналогичные ме тоды могут быть использованы для оценки страховых контрак тов и гарантий, так как они являются своего рода производны ми инструментами, предоставляя своим держателям право, но не обязательство их использования.

В шестой главе методику Блэка — Шоулза — Мертона бу дет применена при построении инструментов финансовго обес печения развития инновационных отраслей.

Метод, предложенный Ф. Блэком, М. Шоулзом и С. Мертоном, причисляют к самым крупным достижениям эко номической теории за последние 30 лет. Его авторы М. Шоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии в области эко номики за 1997 г. (Ф. Блэк умер в 1995 г.).

В конце параграфа приведем высказывание Ф. Блэка об описанной модели: «Люди принимают … простую модель, поскольку они могут легко понять заложенные в ней предполо жения. Эта модель хороша как первое приближение, и если Вы видите “дыры” в сделанных допущениях, то Вы можете эту мо дель усовершенствовать, заменяя ее более изощренной» [4].

Подробнее всего теория рациональной стоимости производ ных финансовых инструментов излагается в книге [93].

§ 4.5. ДИНАМИКА ГОСУДАРСТВЕННОГО ДОЛГА Как отмечено в конце § 4.4, приложения теории оценки про изводных инструментов выходят далеко за пределы рынка ценных бумаг. Так, например, в работах Т. Сарджента [63] (1989 г.), А. Диксита и Р. Пиндайка [14] (1994 г.) полагается, что правительство всегда имеет возможность (или опцион) прово дить макроэкономическую политику стабилизации государст венного долга. Такой опцион рассматривается по аналогии с ев ропейским опционом колл в модели Блэка — Шоулза — Мер тона. Иными словами, макроэкономическая политика стабили зации государственного долга предстает как опцион, предла гаемый к продаже частным инвесторам на рынке государствен ных ценных бумаг по цене, соответствующей уровню допусти мых издержек.

Объем государственного долга Bt рассматривается как об лигации, гарантирующие получение безрискового дохода в те чение бесконечного периода времени.

Пусть M — величина денежного спроса, X — валовуй внутренний продукт, P — дефлятор валовуго внутреннего про дукта, — безрисковая процентная ставка, c — норма купон ной доходности.

В каждый момент времени государство финансирует свои фактические расходы G за счет налогов T и обслуживает на копленные к этому моменту долги. Тогда стоимость денег соста вит m = M / P, стоимость государственных облигаций будет равна b = B / P, а фактическая инфляция составит 1 dP p=.

P dt Основным источником погашения государственного долга является сеньораж 1 dM S= — P dt эмиссия денег в реальном выражении.

Уравнение финансирования бюджетного дефицита можно записать в виде db = b S + (G T). (4.6.1) dt Если предположить, что динамика сеньоража St описыва ется (уже знакомым) стохастическим дифференциальным уравнением dSt = St (µdt + dWt ), то соотношение (4.6.1) примет вид, аналогичный уравнению Блэка — Шоулза — Мертона (4.4.3).

Т Е О Р Е М А 4.6.1. Государственный долг b(t, St ) как функция сеньоража St подчиняется фундаментальному уравнению 1 2b(t, St ) 2 2 b(t, St ) St + ( c)St b(t, St ) + St = 0.

2 S2 S На основе этого уравнения исследуются различные вариан ты фискальной и монетарной политики государства, пути со гласования интересов государства и частных инвесторов и т. п.

Подробнее моделирование динамики сеньоража и государ ственного долга рассматривается, например, в книге [66].

ГЛАВА 5. СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ § 5.1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Производственная функция выражает зависимость р е з у л ь т а т а п р о и з в о д с т в а (объема выпускаемой продук ции) от ф а к т о р о в п р о и з в о д с т в а (затраченных ресур сов). При описании экономической системы с помощью произ водственной функции эта система рассматривается как «чер ный ящик», на вход которого поступают ресурсы, а на выходе получается произведенный за некоторый период времени про дукт. Если в качестве ресурсов рассматривать прошлый (нако пленный) труд K в форме п р о и з в о д с т в е н н ы х ф о н д о в (или к а п и т а л а) и настоящий (живой) труд L, описываемый к о л и ч е с т в о м з а н я т ы х, а в качестве результата — в а л о в ы й в н у т р е н н и й п р о д у к т X, то экономика замеща ется своей моделью в форме наиболее распространенной двухфакторной производственной функции X = F(K, L). (5.1.1) Производственная функция (5.1.1) называется неоклассиче ской, если она определена при всех неотрицательных значени ях аргументов K и L, является непрерывной и дважды диффе ренцируемой по обоим аргументам при всех K 0, L 0 и обла дает следующими свойствами, имеющими естественную эконо мическую интерпретацию.

1. При отсутствии хотя бы одного фактора производст во невозможно:

F(K,0) = 0 для всех K 0, F(0, L) = 0 для всех L 0. (5.1.2) 2. При увеличении затрат ресурсов выпуск продукции воз растает:

F(K, L) F(K, L) 0, 0 для всех K 0, L 0. (5.1.3) K L 3. При увеличении количества одного из используемых ре сурсов при постоянном количестве другого ресурса скорость роста выпуска продукции замедляется:

2F(K, L) 2F(K, L) 0, 0 для всех K 0, L 0. (5.1.4) K 2 L 4. При неограниченном увеличении количества хотя бы одного из используемых ресурсов выпуск продукции неограни ченно возрастает:

F(K, +) = + для всех K 0, F(+, L) = + для всех L 0. (5.1.5) Одной из наиболее распространенных в макроэкономике неоклассических производственных функций является п р о изводственная функция Кобба — Дугласа X = AK L1, (5.1.6) предложенная в 1899 г. Ф. Уикстидом и впервые использован ная в 1929 г. Ч. Коббом и П. Дугласом [35] для моделирования реальной экономики (США).

В функции Кобба — Дугласа параметр A называется ко эффициентом нейтрального технического прогресса (при не изменном и неизменных ресурсах K и L выпуск тем больше, чем больше A ), а параметр [0;

1] — коэффициентом эла стичности по фондам (если считать эластичностями логариф мические производные факторов, то э л а с т и ч н о с т ь п о ф о н д а м ln X / ln K =, а э л а с т и ч н о с т ь п о т р у д у ln X / ln L = 1 ).

линейно Производственная функция называется однородной, если F(K, L) = F(K, L) для всех K 0, L 0. (5.1.7) Легко проверить, что функция Кобба — Дугласа (5.1.6) удовлетворяет всем свойствам производственной функции (5.1.2)—(5.1.5) и является линейно однородной. Предлагаем чи тателю самостоятельно провести необходимые выкладки.

§ 5.2. МОДЕЛЬ СОЛОУ Опишем модель национальной экономики, предложенную в работе [76] (1956 г.) Р. Солоу, Нобелевским лауреатом 1987 г.

В замкнутой односекторной экономической системе произ водится один универсальный продукт, который может как по требляться, так и инвестироваться. О с н о в н ы е п р е д п о л о ж е н и я м о д е л и С о л о у состоят в постоянстве темпа прироста числа занятых, износа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутствии лага (т. е. запаздыва ния) капиталовложений.

Состояние экономики в момент времени t определяется следующими показателями:

• валовым внутренним продуктом X t, • основными производственными фондами K t, • числом занятых в производственной сфере Lt, • инвестициями It и • фондом непроизводственного потребления Ct.

Пусть годовой темп прироста числа занятых составляет, тогда для Lt можно записать дифференциальное уравнение dLt = Lt, (5.1.8) dt решением которого является функция Lt = L0 et, где L0 — число занятых в начальный момент времени.

Пусть за год выбывает (изнашивается и приходит в негод ность) доля µ основных производственных фондов, норма нако пления составляет, а годовой валовуй внутренний продукт определяется линейно однородной неоклассической производ ственной функцией X = F(K, L).

Тогда износ и инвестиции в расчете на год равны µKt It = Xt = F(Kt, Lt ) и соответственно, лаг капиталовложений отсутствует, значит, прирост фондов составляет dKt = µKt dt + It dt или dKt = [µKt + F(Kt, Lt )]dt. (5.1.9) Перепишем уравнение (5.1.9) в виде dKt L = µ + F 1, t dt, (5.1.10) Kt Kt где мы учли, что L F(Kt, Lt ) = Kt F 1, t, Kt поскольку производственная функция F(Kt, Lt ) является ли нейно однородной (5.1.7).

При переходе в (5.1.10) к относительным показателям (фон довооруженности kt = Kt / Lt, средней производительности тру да xt = Xt / Lt, удельным инвестициям на одного занятого it = It / Lt и среднедушевому потреблению ct = Ct / Lt ) можно за писать следующее дифференциальное уравнение для фондово оруженности:

dkt = (µ + )kt + kt F 1, dt.

k t Так как производственная функция F(Kt, Lt ) является ли нейно однородной, а значит, по формуле (5.1.7) 1 = F(kt,1), kt F 1, kt дифференциальное уравнение для фондовооруженности можно переписать так:

dkt = [(µ + )kt + F(kt,1)]dt.

Рассмотрим в качестве производственной функции функ цию Кобба — Дугласа (5.1.6), при этом F(kt,1) = Akt.

Введя обозначения = µ +, f (kt ) = F(kt,1) = Akt, получаем окончательно детерминированную модель Солоу в относи тельных показателях:

dkt = [kt + f (kt )]dt, K k0 =, = µ +, (5.1.11) L xt = f (kt ), it = f(kt ), ct = (1 ) f(kt ).

§ 5.3. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ СОЛОУ Рассмотрим следующее стохастическое обобщение модели Солоу (5.1.11), предложенное в работах [67—74] (2000—2001 гг.).

Так же, как и в модели Солоу, рассматривается замкнутая односекторная экономическая система, в которой производится один универсальный продукт, который может как потреблять ся, так и инвестироваться. Считаются выполненными основные предположения модели Солоу (постоянство темпа прироста числа занятых, износа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутствие лага капиталовложений).

Состояние экономики в момент времени t определяется ва ловым внутренним продуктом Xt, основными производствен ными фондами Kt, числом занятых в производственной сфере Lt, инвестициями It и фондом непроизводственного потребле ния Ct.

Как и при построении модели Солоу, динамику Lt будем описывать дифференциальным уравнением (5.1.8).

Несмотря на очевидный недостаток этой модели, состоящий в том, что на бесконечных временах число занятых неограни ченно возрастает по экспоненциальному закону, на небольших промежутках времени (до 2030—2040 гг.) она адекватно отра жает динамику роста численности занятых. Если же требуется прогноз на большие сроки, то уравнение (5.1.8) можно заменить более подходящей моделью (например, из работы [30]).

Как отмечают исследователи в области математической демографии и математической экологии (см., например, [61]), при большой численности населения случайные факторы прак тически не влияют на ее динамику, поэтому и мы не будем их учитывать.

Пусть за год выбывает доля µ основных производственных фондов, норма накопления составляет, а годовой валовуй внутренний продукт определяется линейно однородной не оклассической производственной функцией X = F(K, L). Тогда, как было показано в § 5.2 при выводе модели Солоу, прирост фондов при отсутствии влияния случайных факторов описыва ется уравнением (5.1.10).

В отличие от динамики числа занятых, динамика фондов может существенно зависеть от случайных факторов, которые мы учтем, добавив в уравнение (5.1.10) стохастическое слагае мое dWt :

dKt L = µ + F 1, t dt + dWt. (5.3.2) Kt Kt Здесь Wt — стандартное броуновское движение (см. § 3.1), а представляет собой коэффициент изменчивости прирос та фондов.

Стохастическое слагаемое dWt в уравнении (5.3.2) харак теризует влияние экзогенных случайных факторов (экономиче ской конъюнктуры, производственной неопределенности, науч ных открытий и др.) на макроэкономическую динамику.

При переходе в (5.3.2) к относительным показателям:

Kt фондовооруженности kt = • ;

Lt Xt средней производительности труда xt = • ;

Lt It удельным инвестициям на одного занятого it = • ;

Lt Ct среднедушевому потреблению ct = • Lt можно записать, пользуясь формулой Ито (3.4.1), стохастиче ское дифференциальное уравнение для фондовооруженности dkt = (µ + )kt + kt F 1, dt + kt dWt kt или, поскольку производственная функция F(Kt, Lt ) является линейно однородной, а значит, 1 = F(kt,1), kt F 1, kt поэтому dkt = [(µ + )kt + F(kt,1)]dt + kt dWt.

Введя обозначения =µ+, f(kt ) = F(kt,1), получаем окончательно односекторную стохастическую дина мическую модель экономики:

dkt = [kt + f (kt )]dt + kt dWt, k = K0, = µ +, 0 (5.3.1) L xt = f (kt ), it = f(kt ), ct = (1 ) f(kt ).

Модель Солоу (5.1.11) описывает изменение тех же самых экономических показателей, но в случае отсутствия влияния случайных факторов (или без их учета).

§ 5.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ Исследуем случай, когда в качестве производственной функции выступает ф у н к ц и я К о б б а — Д у г л а с а (5.1.6). При этом f (k) = Ak, и модель (5.3.1) принимает вид dkt = (kt + Akt )dt + kt dWt, K k0 =, = µ +, (5.4.1) L x = Ak, i = Ak, c = (1 )Ak.

t t t t t t Введем вспомогательный случайный процесс ut, опреде ляемый формулой ut = kt1. (5.4.2) Л Е М М А 5.4.1. Случайный процесс ut, определяемый фор мулой (5.4.2), подчиняется стохастическому дифференциаль ному уравнению dut = (1 )[A ( + 0,52 )ut ]dt + (1 )ut dWt. (5.4.3) Доказательство. По формуле Ито (3.4.1) ( 1) 1 2 dut = (1 )kt (kt + Akt ) + kt kt dt + kt (1 )kt dWt = = ( 1)kt1 + (1 )A + ( 1)2kt1 dt + (1 )kt1 dWt = = (1 )[A ( + 0,52 )ut ]dt + (1 )ut dWt, что и требовалось доказать.

Уравнения вида (5.4.3) рассматривались в задачах скорей шего обнаружения изменений в локальном сносе броуновского движения [94]. Следуя [94], получим решение (5.4.3).

Пусть St = S0 e (1 )(+0,5+0,5 )t (1 )Wt — (5.4.4) геометрическое броуновское д в и ж е н и е (см.

§§ 3.5, 4.1), являющееся (согласно примеру 3.5.4) решением сто хастического дифференциального уравнения dSt = St [(1 )( + 0,52 )dt + (1 )dWt ].

Л Е М М А 5.4.2. Решением стохастического дифференци ального уравнения (5.4.3) является функция d t ut = St u0 + (1 )A, (5.4.5) S где St определяется формулой (5.4.4).

Доказательство проводится непосредственным применением форму лы Ито (3.4.1) к случайному процессу (5.4.5).

Решение системы (5.4.1) предлагается в следующей теореме [67], [70].

Т Е О Р Е М А 5.4.1. Единственным (с точностью до стохас тической неразличимости) решением задачи (5.4.1) является набор функций:

1 d t kt = St k0 + (1 )A, (5.4.6) S 1 d t xt = A St k0 + (1 )A, (5.4.7) S 1 d t it = A St k0 + (1 )A, (5.4.8) S 1 d t ct = (1 )A St k0 + (1 )A. (5.4.9) S Доказательство. Последовательно применяя к случайному процессу ut (5.4.2) леммы 5.4.1 и 5.4.2 и учитывая, что kt = u1/(1), заключаем, что t фондовооруженность kt при учете случайных факторов описывается формулой (5.4.6), в которой St подчиняется формуле (5.4.4) с неизвестным (пока) коэффициентом S0. Единственность (с точностью до стохастиче ской неразличимости) решения следует из выполнения для коэффициен тов уравнения dkt = (kt + Akt )dt + kt dWt условий теоремы 3.3.1 о существовании и единственности сильного реше ния стохастического дифференциального уравнения: условия Липшица (3.3.5) R(n) = ( + )n + An : x, y {u :| u | n} n | x + Ax + y Ay | + | x y | R(n) | x y | и условия линейного роста (3.3.6) x | x + Ax | + | x | R(1) | x | (последнего в силу того, что [0;

1] ).

При отсутствии влияния случайных факторов (т. е. при = 0 ) фор мула (5.4.6) принимает следующий вид:

1 t k0 + (1 )A e (1 ) t (1 ) kt = S0 e d = (5.4.11) A (1 )t = S0 e (1)t k0 + 1) = (e A 1 A (1 )t A A (1 )t = S0k0 e (1 )t + S0 S0 = S0 + k0.

e e С другой стороны, при отсутствии влияния случайных факторов фондовооруженность kt описывается моделью Солоу (5.1.11), решением которой является, как известно (см., например, [22, 36]), функция A 1 A (1)t kt = + k0 e. (5.4.12) Так как при отсутствии случайных факторов задача (5.4.1) перехо дит в задачу (5.1.11), их решения (5.4.11) и (5.4.12) должны совпадать.

Сравнивая их, замечаем, что S0 = 1, что полностью доказывает формулу (5.4.6). Справедливость формул (5.4.7)—(5.4.9) при этом непосредственно следует из определений xt = Akt, it = Akt и ct = (1 )Akt. Таким обра зом, теорема доказана.

§ 5.5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ СТАЦИОНАРНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ЭКОНОМИКИ Будем говорить, что экономика находится на логарифмиче ски стационарной траектории, если математические ожида ния логарифмов фондовооруженности, народнохозяйственной производительности труда, удельных инвестиций и среднеду шевого потребления не изменяются во времени.

При отсутствии влияния случайных факторов в экономике, описываемой детерминированной моделью Солоу (5.1.11), на стационарной траектории, где значение фондовооруженности не изменяется со временем и составляет k0, dkt = 0, dt kt =k поэтому k0 = A(k0 ).

Это уравнение имеет единственное решение A k0 =. (5.5.1) Найдем значение k0 фондовооруженности в экономике, на ходящейся на логарифмически стационарной траектории [70].

Т Е О Р Е М А 5.5.1. В экономике, описываемой моделью (5.3.1), на логарифмически стационарной траектории фондовоору женность, народнохозяйственная производительность тру да, удельные инвестиции и среднедушевое потребление подчи няются формулам (5.5.2)—(5.5.5).

Доказательство. В модели (5.3.1) перейдем к новой переменной yt = ln kt, для которой с помощью формулы Ито (3.4.1) запишем уравнение dyt = [Ae (1) yt ( + 0,52 )]dt + dWt.

На логарифмически стационарной траектории единственной причи ной изменения значения yt, может быть случайность, т. е.

A e (1 ) y = + 0,52, где y0 = ln k0.

Из последнего уравнения легко выразить A y = ln, + 2 / а значит, и A k0 = ey =. (5.5.2) + 2 / При этом A x0 = A(k0 ) = A, (5.5.3) + 2 / A i = A(k ) = A, (5.5.4) + / A c = (1 )A(k ) = (1 )A. (5.5.5) + / Теорема доказана.

§ 5.6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗВИТИЯ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ В СТОХАСТИЧЕСКОМ ОБОБЩЕНИИ МОДЕЛИ СОЛОУ В практических целях важнейшими характеристиками по казателей развития национальной экономики, описываемой мо делью (5.3.1), являются их математические ожидания, харак теризующие ожидаемые значения, и дисперсии, характери зующие меру разброса реальных значений вокруг математиче ских ожиданий (т. е. риски).

Л Е М М А 5.6.1. Математическое ожидание случайного процесса ut, определяемого формулой (5.4.2), подчиняется за даче Коши dMut = (1 )[( + 0,52 )Mut A], dt (5.6.1) Mu0 = k0.

Доказательство. Задача (5.6.1) непосредственно следует из уравне ния (5.4.3) (лемма 5.4.1) при применении к этому уравнению оператора ма тематического ожидания.

Л Е М М А 5.6.2. Математическое ожидание случайного процесса ut, определяемого формулой (5.4.2), вычисляется как A A + k0 e (1 )(+0,52 )t.

Mut = (5.6.2) + 0,52 + 0, Доказательство. По лемме 5.6.1 Mut подчиняется задаче Коши (5.6.1), решение которой (5.6.2) можно найти методом разделения переменных.

Предлагаем читателю самостоятельно воспроизвести выкладки.

Теоремы 5.6.1 и 5.6.2 [67], [71] (2000 г.) дают оценки соответ ственно математических ожиданий и дисперсий показателей развития национальной экономики, описываемой моделью (5.3.1).

Т Е О Р Е М А 5.6.1. При любой эластичности выпуска по фондам [0;

1] справедливо неравенство A A (1 )(+0,52 )t 1 + k Mkt e (5.6.3) + 0, + 0,52 для математического ожидания фондовооруженности.

При любой эластичности выпуска по фондам [0;

0,5] справедливы неравенства A A (1 )(+0,5 )t 1 + k Mxt A, (5.6.4) e 2 + 0,5 + 0, A A (1 )(+0,52 )t 1 + k A Mit e,(5.6.5) + 0,52 + 0, A A (1)(+0,5 )t 1 + k (1 )A e Mct (5.6.6) + 0,5 + 0, для математических ожиданий народнохозяйственной про изводительности труда, удельных инвестиций и среднеду шевого потребления, а при любом значении [0,5;

1] знаки в неравенствах (5.6.4)—(5.6.6) изменяются на противополож ные.

Доказательство. Пусть случайный процесс ut определяется форму лой (5.4.2). Тогда по лемме 5.6.2 Mut определяется формулой (5.6.2).

Функция g(x) = x1/(1 ) является выпуклой вниз при x 0, поскольку эластичность выпуска по фондам (0;

1), и, следовательно, d2g(x) 1 + = 0 ).

x (1 ) dx Так как функция g(x) = x1/(1 ) является выпуклой вниз при x 0, а случайный процесс ut принимает только неотрицательные значения, можно воспользоваться неравенством Йенсена Mg(ut ) g(Mut ) (см., на пример, [92]):

Mkt =Mu =Mg(ut ) g(Mut ) = t A A (1 )(+0,52 )t + k = e.

+ 0, + 0, Таким образом, доказана справедливость неравенства (5.6.3).

Аналогичные рассуждения позволяют получить оценки (5.6.4)— (5.6.6) для математических ожиданий народнохозяйственной производи тельности труда, удельных инвестиций и среднедушевого потребления, так как функция x /(1) выпукла вверх при [0;

0,5] и выпукла вниз при [0,5;

1].

Т Е О Р Е М А 5.6.2. При любых допустимых значениях пара метров модели (5.3.1) дисперсии фондовооруженности, народ нохозяйственной производительности труда, удельных ин вестиций и среднедушевого потребления остаются положи тельными при t.

Доказательство. Пусть случайный процесс ut определяется форму лой (5.4.2). Рассмотрим случайный процесс yt, определяемый формулой yt = ut Mut.

Очевидно, Dut = M(ut Mut )2 = Myt2.

Вычитая из уравнения (5.4.3) первое уравнение системы (5.6.1), ум ноженное на dt, получим d(ut Mut ) = (1 )( + 0,52 )(ut Mut )dt + (1 )ut dWt или dyt = (1 )( + 0,52 )yt dt + (1 )ut dWt.

Запишем с помощью формулы Ито (3.4.1) уравнение для yt2 :

d(yt2 ) = [2(1 )( + 0,52 )yt2 + (1 )2 2 ut2 ]dt + 2(1 )ut yt dWt и применим к обеим частям этого уравнения оператор математического ожидания:

dMyt = (1 )(2 + 2 )Myt2 + (1 )2 2Mut2.

dt Учитывая, что Dut = Myt2, а Mut2 = Dut + (Mut )2, запишем:

dDut = 2(1 )( + 0,52 )Dut + (1 )2 2 [Dut + (Mut )2 ] dt или dDut = (1 )[2 + (2 1)2 ]Dut + (1 )2 2 (Mut )2. (5.6.7) dt Пусть A A, = k =, = (1 )( + 0,52 ), + 0,5 + 0, 2 тогда по лемме 5.6. (Mut )2 = [ + e t ]2 = 2 + 2e 2t + 2e t, и уравнение (5.6.7) можно переписать в виде dDut = (1 )[2 + (2 1)2 ]Dut + (1 )2 22 + dt +(1 )2 2 2e 2t + 2(1 )2 2e t.

Обозначим = (1 )[2 + (2 1)2 ], = (1 )2 22, = (1 )2 2 2, = 2(1 )2 2, тогда последнее дифференциальное уравнение примет следующий вид:

dDut = Dut + + e 2t + e t. (5.6.8) dt Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение перво го порядка, поэтому его решение будем искать в виде Dut = X (t)e t. (5.6.9) Подставляя (5.6.9) в (5.6.8), находим, что t ()t e(2)t + X (t) = e+ +C, e 2 откуда получаем общее решение уравнения (5.6.8):

t e 2t + e + C e t +.

Dut = (5.6.10) 2 Так как значение фондовооруженности в начальный момент извест но точно, дисперсия u0 равна нулю, поэтому можно найти значение по стоянной C в формуле (5.6.10):

C = Du0 =.

2 2 Таким образом, t e 2t + + e t.

Du = e + + (5.6.11) t 2 2 Два первых слагаемых в формуле (5.6.11), очевидно, стремятся к ну лю при t +, так как = (1 )( + 0,52 ) 0 при всех допустимых зна чениях, и. Третье слагаемое (1 )2 A = (2 + (2 1)2 )( + 0,52 ) при любом разумном выборе нормы накопления остается ненулевым числом.

Последнее слагаемое при t + стремится к нулю, если 0, и не ограниченно возрастает, если 0 (при = 0 не существует при всех значениях t ).

Исследуем возможные знаки коэффициента = (1 )[2 + (2 1)2 ].

При любом (0;

1) первый множитель (1 ) строго положителен, по этому 1, + / 2 0,5, sign = sign[2 + (2 1)2 ] = 0, + / 2 = 0,5, 1, + / 2 0,5.


Из этого следует, что при t + дисперсия случайного процесса ut остается конечным числом (1 )2 A Du = lim Du = (2 + (2 1)2 )( + 0,52 ) t при + / 2 0,5 и неограниченно возрастает во всех остальных случаях.

Поэтому дисперсии фондовооруженности, народнохозяйственной производительности труда, удельных инвестиций и среднедушевого по требления также остаются положительными при t +. Действительно, если бы дисперсия любого из этих показателей стремилась к нулю, то сам этот показатель стремился бы к неслучайной (детерминированной) функ ции, а поскольку каждый из них связан с ut взаимно однозначным ото бражением, то и случайный процесс ut стремился бы к детермини рованной функции, следовательно, его дисперсия стремилась бы к нулю, а это, как мы только что показали, не так.

§ 5.7. МОДЕЛЬ ХАРРОДА — ДОМАРА Опишем более простую модель национальной экономики, предложенную в 1940 г. Р. Харродом и Е. Домаром В замкнутой односекторной экономической системе произ водится один универсальный продукт, который может как по требляться, так и инвестироваться. О с н о в н ы е п р е д п о л о ж е н и я м о д е л и Х а р р о д а — Д о м а р а состоят в по стоянстве фондоотдачи и износа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутствии лага (т. е. запаздыва ния) капиталовложений.

Состояние экономики в момент времени t определяется следующими показателями:

• валовым внутренним продуктом Xt, • основными производственными фондами K t, • инвестициями It и • фондом непроизводственного потребления Ct.

Поскольку фондоотдача предполагается постоянной, вы пуск определяется линейной производственной функцией:

Xt = Kt.

Если норма накопления равна, то валовые инвестиции со ставят It = Xt, а валовое потребление — Ct = (1 )Xt.

Пусть за год выбывает доля µ основных производственных фондов, тогда износ в расчете на год равен µKt, значит, прирост фондов равен dKt = µKt dt + It dt или dKt = ( µ)Kt dt. (5.7.1) Устойчивое решение задачи (5.7.1) с начальным значением капитала, равным K0, таково:

Kt = K0 e(µ)t, Xt = K0 e(µ)t, It = K0 e(µ)t, Ct = (1 )K0 e(µ)t.

§ 5.8. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ МОДЕЛИ ХАРРОДА — ДОМАРА Учтем случайные факторы, добавив в уравнение (5.7.1) сто хастическое слагаемое (считая, что случайно изменение темпа приромста капитала):

dKt = ( µ ) dt + dWt. (5.8.1) Kt Здесь Wt — с т а н д а р т н о е б р о у н о в с к о е д в и ж е н и е (см. § 3.1), а представляет собой коэффициент изменчи вости прироста фондов.

Поскольку уравнение (5.8.1) имеет вид (3.5.5), то решение задачи (5.8.1), согласно результатам примера 3.5.4, описывается формулой (3.5.6) Kt = K0 e(µ /2)t +Wt.

При этом по теореме 4.1. MKt = K0 e(µ)t, DKt = (K0 )2 e2(µ)t (e t 1).

Значит, при µ lim DKt = lim ( (K0 )2 e2(µ)t (e t 1) ) = +, t t при µ = 0 и lim DKt = lim ( (K0 )2 e2(µ)t (e t 1) ) = +, t t а при µ lim DKt = lim ( (K0 )2 e2(µ)t (e t 1) ) = t t +, если 2 2(µ ), = (K0 )2 lim ( e2(µ+ /2)t ) = (K0 )2 если 2 = 2(µ ), t 0, если 2 2(µ ).

Итак, в экономике, описываемой моделью модели Харрода — Домара с учетом случайных изменений темпа прироста ка питала, не только экономический рост [когда µ 0 ] сопро вождается бесконечным ростом дисперсии, но и экономический спад.

ГЛАВА 6. ХЕДЖИРОВАНИЕ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ РЕАЛЬНЫХ ОПЦИОНОВ § 6.1. РЕАЛЬНЫЕ ОПЦИОНЫ В СТОХАСТИЧЕСКОМ ВАРИАНТЕ МОДЕЛИ ХАРРОДА — ДОМАРА Рассмотрим экономику, в которой присутствует стабиль ный традиционный технологический уклад и инновационная (венчурная) отрасль.

Традиционный уклад обеспечивает возможность безриско вых банковский вложений и заимствований под непрерывный процент с постоянной процентной ставкой i(t) = i = const :

dBt = (t)Bt dt, где (t) = ln(1 + i) = const — интенсивность процентов.

Пусть инновационная отрасль описывается моделью Хар рода — Домара с учетом случайных факторов (5.8.1).

Возможна как ситуация успешного развития инновацион ной отрасли, так и ситуация, состоящая в том, что инновацион ное производство так и не разовьется, и за время T капитал ин новационной отрасли окажется меньше порогового значения X.

Рассмотрим инструмент страхования инновационной от расли, который позволяет в момент времени T отказаться от дальнейшего развития данной инновации, свернуть инноваци онное производство и получить гарантированное возмещение в размере X.

Оценим рациональную премию за такой страховой кон тракт.

Назовем производным инструментом некоторый актив, це на которого f(t, Kt ) зависит от времени t и от уровня развития инновационной отрасли (который измеряется капиталом Kt).

Т Е О Р Е М А 6.1.1. Рациональная стоимость f(t, Kt ) произ водного инструмента удовлетворяет фундаментальному уравнению Блэка — Шоулза — Мертона f(t, Kt ) f(t, Kt ) 1 2 f(t,K t ) 2 + Kt + Kt = f(t, Kt ). (6.1.1) t K 2 K Доказательство. Пусть f(t, Kt ) — стоимость производного инстру мента в момент времени t, когда капитал инновационной отрасли состав ляет Kt. По формуле Ито (3.4.1), где Xt = Kt, a(K, t) = ( µ)K, c(K, t) = K, f(t, Kt ) f(t, Kt ) 1 2 f(t,Kt ) 2 2 f (t, Kt ) df = + ( µ)Kt + Kt dt + Kt dWt. (6.1.2) t K 2 K K Рассмотрим портфель = (0,, 1) (первая компонента портфеля соответствует вложениям в традиционный уклад, вторая — в инновационный уклад, третья — в производный инст румент). Капитал этого портфеля составит Xt = f (t, Kt ) + Kt. (6.1.3) Очевидно, dXt = df + dKt. Подставляя в это уравнение выражение dKt из (5.8.1) и выражение df из (6.1.2), получаем f(t, Kt ) f(t, Kt ) 1 2 f (t,Kt ) 2 2 f(t, Kt ) dXt = + ( µ)Kt + Kt dt Kt dWt + t K 2 K K + Kt [( µ)dt + dWt )= f(t, Kt ) 1 2 f(t,Kt ) 2 f(t, Kt ) = + ( µ)Kt Kt dt + t K 2 K f(t, Kt ) + Kt dWt.

K Пусть f(t, Kt ) =, K тогда f(t, Kt ) 1 2 f (t,Kt ) 2 dXt = Kt dt. (6.1.4) t 2 K Рациональность стоимости производного инструмента означает, что доходность портфеля должна совпадать с доходностью традиционного технологического уклада:

dXt = Xtdt. (6.1.5) Подставив в формулу (6.1.5) выражение для Xt из (6.1.3) и выраже ние для dXt из (6.1.4), получим f(t, Kt ) 1 2 f(t,K t ) 2 2 f (t, Kt ) + Kt dt = f(t, Kt ) + Kt dt, t 2 K K откуда f(t, Kt ) 1 2 f(t,K t ) 2 2 f(t, Kt ) + Kt = f (t, Kt ) + Kt t 2 K 2 K или f (t, Kt ) f (t, Kt ) 1 2 f (t,K t ) 2 + kt + Kt = f(t, Kt ), t K 2 K что и требовалось доказать.

Поскольку платежная функция рассматриваемого произ водного инструмента fT = max{0, KT X} = (KT X)+, для премии за рассматриваемый страховой контракт справед лива формула Блэка — Шоулза.

Т Е О Р Е М А 4.4.2. Рациональная стоимость страхования инновационной отрасли, которпая описывается стохастиче ским аналогом модели Харрода — Домара, определяется фор мулой Блэка — Шоулза:

= (6.1.6) T 1 K0 1 K0 + T( + 0,52 ) X eT = K0 + T( 0,52 ), ln ln T X T X где K0 — капитал инновационной отрасли в момент заключе ния договора страхования, T — срок договора, X — размер страхового возмещения, — коэффициент изменчивости ка питала, — безрисковая процентная ставка традиционного технологическолго уклада.

§ 6.2. РЕАЛЬНЫЕ ОПЦИОНЫ В СТОХАСТИЧЕСКОМ ВАРИАНТЕ МОДЕЛИ СОЛОУ Пусть теперь инновационная отрасль описывается моделью Солоу с учетом случайных факторов (5.3.1).

Возможна как ситуация успешного развития инновацион ной отрасли, так и ситуация, состоящая в том, что инновацион ное производство так и не разовьется, и за время T ф о н д о в о о р у ж е н н о с т ь инновационной отрасли окажется меньше порогового значения X.

Рассмотрим инструмент страхования инновационной от расли, который позволяет в момент времени T отказаться от дальнейшего развития данной инновации, свернуть инноваци онное производство и получить гарантированное возмещение в размере X.

Оценим рациональную премию за такой страховой кон тракт.

Назовем производным инструментом некоторый актив, це на которого f(t, Kt ) зависит от времени t и от уровня развития инновационной отрасли (который измеряется фондовооружен ностью kt).

Т Е О Р Е М А 6.2.1. Рациональная стоимость f(t,kt ) произ водного инструмента удовлетворяет фундаментальному уравнению Блэка — Шоулза — Мертона f(t,kt ) f(t,kt ) 1 2 f(t,k t ) 2 + kt + kt = f(t,kt ). (6.2.1) t k 2 k Доказательство. Пусть f(t, kt ) — стоимость производного инструмен та в момент времени t, когда капитал инновационной отрасли составляет Kt. По формуле Ито (3.4.1), где Xt = kt, a(k, t) = Ak k, c(k, t) = k, f(t, kt ) f (t, kt ) 1 2 f(t,kt ) 2 2 f(t, kt ) df = + (Akt kt ) + kt dt + kt dWt. (6.2.2) t k 2 k k Рассмотрим портфель = (0,, 1) (первая компонента портфеля соответствует вложениям в традиционный уклад, вторая — в инновационный уклад, третья — в производный инст румент). Капитал этого портфеля составит Xt = f(t, kt ) + kt. (6.2.3) Очевидно, dXt = df + dkt. Подставляя в это уравнение выражение dkt из (5.3.1) и выражение df из (6.2.2), получаем f(t, kt ) f(t, kt ) 1 2 f (t,kt ) 2 2 f (t, kt ) dX = + (Akt kt ) + kt dt kt dWt + t k 2 k k t +[(Akt kt )dt + kt dWt ]= f (t, kt ) 1 2 f(t,kt ) 2 f(t, kt ) = + (Akt kt ) kt dt + t k 2 k f(t, kt ) + kt dWt.

k Пусть f(t, Kt ) =, k тогда f(t, kt ) 1 2 f (t,kt ) 2 dX = kt dt. (6.2.4) t 2 k t Рациональность стоимости производного инструмента означает, что доходность портфеля должна совпадать с доходностью традиционного технологического уклада:


dXt = Xtdt. (6.2.5) Подставив в формулу (6.2.5) выражение для Xt из (6.2.3) и выраже ние для dXt из (6.2.4), получим f(t, kt ) 1 2 f(t,kt ) 2 2 f (t, kt ) + kt dt = f(t, kt ) + kt dt, t 2 k k откуда f(t, kt ) 1 2 f(t,kt ) 2 2 f (t, kt ) + kt = f(t, kt ) + kt t 2 k k или f (t, kt ) f(t, kt ) 1 2 f (t,k t ) 2 + kt + kt = f(t, kt ), t k 2 k что и требовалось доказать.

Поскольку платежная функция рассматриваемого произ водного инструмента fT = max{0,kT X} = (kT X)+, для премии за рассматриваемый страховой контракт справед лива формула Блэка — Шоулза.

Т Е О Р Е М А 4.4.2. Рациональная стоимость страхования инновационной отрасли, которпая описывается стохастиче ским аналогом модели Харрода — Домара, определяется фор мулой Блэка — Шоулза:

= (6.2.6) T 1 k0 2 1 k0 T = k0 ln + T( + 0,5 ) X e ln + T( 0,5 ), T X T X где k0 — фондовооруженность инновационной отрасли в мо мент заключения договора страхования, T — срок договора, X — размер страхового возмещения, — коэффициент из менчивости капитала, — безрисковая процентная ставка традиционного технологическолго уклада.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и осно 1.

вы эконометрики. — М.: ЮНИТИ, 1998.

Башелье Л. (Bachelier L.) Thйorie de la spйculation // Annales de 2.

l'Ecole Normale Supйrieure. — 1900. — V. III. — № 17. — P. 21—86. (Англ.

пер. в сб. The random character of stock market prices / Ed. P. H. Cootner. — Cambridge, USA: MIT Press, 1964. — P. 17—78).

Бернштейн С. Н. (Bernstein S. N.) Principes de la thйorie des 3.

йquations diffйrentielles stochastiques // Труды Математического инсти тута АН СССР. — 1934. — Т. 5. — С. 95—124.

Блэк Ф. (Black F.) The holes in Black Scholes // RISK Magazin.

4.

— 1988. — March.

Блэк Ф., Шоулз М. (Black F., Scholes M.) The pricing of options 5.

and corporate liabilities // Journal of Political Economy. — 1973. — V. 81. — № 3. — P. 637—659.

Винер Н. (Wiener N.) Differential space // Journal of Mathemati 6.

cal Physics, Massachusetts Institute of Technology. — 1923. — V. 3. — P. 131—174.

Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической фи 7.

зике. — М.: Наука, 1979.

Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы.

8.

— М.: Издательство МГТУ, 1999.

Гардинер К. В. (Gardiner C. W.) The stochastic handbook for 9.

physics, chemistry and natural sciences. — Berlin, Germany: Springer Verlag, 1983. (Рус. пер. Гардинер К. В. Стохастические методы в естест венных науках. — М.: Мир, 1986).

10. Гихман И. И. К теории дифференциальных уравнений случай ных процессов // Украинский математический журнал. — 1950. — Т. 2. — № 4. — С. 37 63;

Т. 3. — № 3. — С. 317—339.

11. Гихман И. И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями // Украинский математический журнал. — 1950. — Т. 2. — № 3. — С. 45—69.

12. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М: Наука, 1977.

13. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциаль ные уравнения. — Киев: Наукова думка, 1968.

14. Диксит А., Пиндайк Р. (Dixit A., Pindyck R.) Investment under uncertainty. — Princeton, USA: Princeton University Press, 1994.

15. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Мир, 1979.

16. Дуб Дж. Вероятностные процессы. — М.: Издательство ино странной литературы, 1956.

17. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. — М.: Физматгиз, 1963.

18. Дэвис Е. (Davis E. P.) Debt, financial fragility and systemic risk. — Oxford, UK: The Clarendon Press, 1992.

19. Закс Дж., Торнелл А., Веласко А. (Sachs J., Tornell A., Velasco A.) Financial crises in emerging markets: the lessons from 1995 // Economic Ac tivity. — 1996. — V. 1. — P. 147.

20. Замков О. О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. — М.: ГУ ВШЭ, 2001.

21. Занг В. Б. (Zhang W. B.) Synergetic economics. Time and change in nonlinear economics. — Berlin, Germany: Springer Verlag. — 1991. (Рус.

пер. Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нели нейной экономической теории. — М.: Мир, 1999).

22. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975.

23. Ито К. (Itф K.) On a formula concerning stochastic differentials // Nagoya Mathematical Journal. — 1951. — № 3. — P. 55—65.

24. Ито К. Вероятностные процессы. Вып. 1, 3. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960;

М.: Мир, 1963.

25. Ито К. (Itф K.) Selected papers. — Berlin: Springer Verlag, 1986.

26. Ито К. (Itф K.) Multiple Wiener integral // Journal of Mathe matical Society, Japan. — 1951. — V. 3. — P. 157—169.

27. Ито К. (Itф K.) On a stochastic integral equation // Proceedings of Japan Academy. — 1946. — V. 22. — P. 32—35.

28. Ито К. (Itф K.) Stochastic integral // Proceedings of Imperial Academy, Tokyo. — 1944. — V. 20. — P. 519—524.

29. Капитоненко В. В. Защитные портфели и опционное хеджиро вание / ГУУ. — М., 2001.

30. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. — М.: Наука, 1997.

31. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная ма тематика. — М.: Финстатинформ, 2001.

32. Касимов Ю. А. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. — М.: Филинъ, 1998.

33. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математи ки. — М.: Наука, 1967.

34. Кендалл М. (Kendall M.) The analysis of economic time series.

Part 1. Prices // Journal of Royal Statistical Society. — 1953. — V. 96. — P. 11—25.

35. Кобб Ч. В., Дуглас П. Х. (Cobb Ch. W., Douglas P. H.) A theory of production // American Economic Review. — 1928. — V. 18. — № 1 (Supplement). — P. 139—165.

36. Колемаев В. А. Математическая экономика. — М.: ЮНИТИ, 1998.

37. Колемаев В. А., Калинина В. Н., Соловьев В. И. Математическая статистика в примерах и задачах / ГУУ. — М., 2001.

38. Колмогоров А. Н. (Kolmogorov A. N.) Ьber die analytischen Meth oden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen. — 1931. — Bd. 104. — S. 415 458. (Рус. пер. в сб. Колмогоров А. Н. Теория ве роятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 1986. — С. 60— 105).

39. Крамер Г. (Cramer H.) On the theory of stationary random proc esses // Annals of Mathematics. — 1940. — V. 41. — P. 215—230.

40. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических диф ференциальных уравнений и стохастических интегралов. — СПб.: На ука, 1999.

41. Ланжевен П. (Langevin P.) Sur la thйorie du mouvement brownien // Comptes Rendus de l’ Academie des Sciences. — 1908. — V. 146. — P. 530—533.

42. Лебедев В. В. Математическое моделирование социально экономических процессов. — М.: Изограф, 1997.

43. Ли Т. Й., Йорке Й. (Li T. Y., Yorke Y.) Period three implies chaos // American Mathematical Monthly. — 1975. — V. 82. — P. 985—992.

44. Лоренц Е. Н. (Lorenz E. N.) Deterministic nonperiodic flow // Journal of Atmosphere Science. — 1963. — V. 20. — P. 130—141.

45. Ма Ш. К. (Ma Sh. K.) Calculation of entropy from data of motion // Journal of Statistical Physics. — 1981. — V. 26. — № 3. — P. 221—240.

46. Малыхин В. И. Математическое моделирование экономики. — М.: Издательство УРАО, 1998.

47. Малыхин В. И. Социально экономическая структура общества.

— М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

48. Марков А. А. Распространение закона больших чисел на вели чины, зависящие друг от друга // Известия физико математического общества при Казанском университете. — 1906. — Т. 15. — № 3. — С. 135—156.

49. Марковиц Г. (Markovitz H.) Portfolio selection // Journal of Fi nance. — 1952. — V. 1. — P. 77—91.

50. Марковиц Г. (Markovitz H.) Portfolio selection: efficient diversifi cation of investments. — New York, USA: Wiley, 1959.

51. Мельников А. В. Риск менеджмент: Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования. — М.: Анкил, 2001.

52. Мельников А. В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. — М.: ТВП, 1997.

53. Мельников А. В. Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финан совых обязатьельств. — М.: ГУ ВШЭ, 2001.

54. Мертон Р. (Merton R. C.) Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. — 1973. — № 4 (Spring). — P. 141—183.

55. Осборн М. (Osborne M.) Brownian motion in the stock mar ket // Operations Research. — 1959. — V. 7. — P. 145—173.

56. Петерс Э. (Peters E.) Chaos and order in the capital markets. A new view of cycles, prices and market volatility. — New York, USA: Wiley.

— 1996. (Рус. пер. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. — М.: Мир, 2000).

57. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математиче ского моделирования экономики. — М.: Энергоатомиздат, 1996.

58. Планк М. (Plank M.) Ьber einen Satz der statistischen Dynamic und seine Erweiterung in der Quantentheorie // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. — 1917. — P. 324—341.

59. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциаль ные системы. — М.: Наука, 2000.

60. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, математическая статисти ка и случайные процессы. — М.: Наука, 1989.

61. Рубин А. Б. Лекции по биофизике. — М.: Издательство Москов ского университета, 1994.

62. Самуэльсон П. (Samuelson P.) Rational theory of warrant pric ing // Industrial Management Review. — 1965. — V. 6. — P. 41—49.

63. Сарджент Т. (Sargent T.) Macroeconomic theory. — New York, USA: Academic Press, 1989.

64. Слуцкий Е. Е. (Slutsky E. E.) Sur les fonctiones йventuelles con tinues, integrables et derivables dans le sens stochastique // Comptes Ren dus de l’Academie des Sciences. — 1928. — V. 187. — P. 370—372.

65. Слуцкий Е. Е. Несколько предложений к теории случайных функций // Труды Средне Азиатского университета, серия математиче ская. — 1949. — Т. 31. — № 5. — С. 3—15.

66. Смирнов А. Д. Лекции по макроэкономическому моделирова нию. — М.: ГУ ВШЭ, 2000.

67. Соловьев В. И. Стохастические методы в экономике и финансах / ГУУ. — М., 2000.

68. Соловьев В. И. Стохастические модели математической эконо мики и финансовой математики / ГУУ. — М., 2001.

69. Соловьев В. И. Математические методы управления рисками / ГУУ. — М., 2003.

70. Соловьев В. И. Односекторная стохастическая динамическая модель экономики // Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур: Сборник научных трудов Вып. 3. — М.: Из дательство МГОПУ, 2000. — С. 101—112.

71. Соловьев В. И. Неопределенность состояния экономики страны при управлении ею как одним сектором // Вестник университета, серия «Информационные системы управления» / ГУУ. — 2000. — № 1. — С.

98—104.

72. Соловьев В. И. Стохастическая модель национальной экономи ки // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2000. — Т.

7. — № 3. — С. 529—530.

(Soloviev V. I.) 73. Соловьев В. И. Macroeconomic Dynamics:

Stochastic Approach // Обозрение прикладной и промышленной матема тики. — 2001. — Т. 8. — № 1. — С. 386—387.

74. Соловьев В. И. О неопределенности динамики макроэкономиче ских показателей // Математическое и компьютерное моделирование со циально экономических процессов: Материалы Российского научного симпозиума. Нарофоминск, 11 16 декабря 2000 г. / ГУУ. — М., 2000. — С. 210—211.

75. Соловьев В. И. Современные подходы к учету случайности, не определенности и риска при анализе макроэкономических процессов // Вестник университета, серия «Информационные системы управ ления» / ГУУ. — 2000. — № 3. — С. 226—244.

76. Солоу Р. (Solow R. M.) Contribution to the theory of economic growth // Quarterly Journal of Economics. — 1956. — V. 70. — P. 65—94.

77. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. — М.: Советское радио, 1961.

78. Струченевский А. А. Эмпирический анализ финансовых кри зисов в России // Экономический журнал ВШЭ. — 1998. — Т. 3. — № 3. — С. 197—209.

79. Теория вероятностей в примерах и задачах / В. А. Колемаев, В. Н. Калинина, В. И. Соловьев и др. / ГУУ. — М., 2001.

80. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи зики. — М.: Наука, 1972.

81. Тобин Дж. (Tobin J.) Liquidity preference as behavior towards risk // Review of Economic Studies. — 1958. — V. 1. — P. 65 86.

82. Тобин Дж. (Tobin J.) The theory of portfolio selection // The the ory of interest rates. —London, UK: Macmillan, 1965. — P. 3 51.

83. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. (Watsham T. J., Parramore K.) Qua ntitative methods in finance. — London, UK: International Thomson Busi ness Press, 1996. (Рус. пер. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. — М.: ЮНИТИ, 1999).

84. Феллер В. (Feller W.) On integro differential equations for purely discontinuous Markov processes // Transitions of American Mathematical Society. — 1940. — V. 46. — P. 488 515.

85. Феллер В. (Feller W.) Zur Theorie der stochastischen Pro zesse // Mathematishe Annalen. — 1936, Bd. 113. — S. 113 160.

86. Фоккер А. Д. (Fokker A. D.) Die mittlere Energie rotierender Di pole im Strahlungsfeld // Annals of Physics. — 1914. — V. 43. — P. 810 820.

87. Хаавельмо Т. (Haavelmo T.) A study in the theory of economic evolution. — Amsterdam, Holland: North Holland, 1954.

88. Хакен Г. (Hacken H.) Advanced synergetics. Instability hierar chies of self organizing systems and devices. — Berlin, Germany: Springer Verlag, 1983. (Рус. пер. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоогранизующихся системах и устройствах. — М.: Мир, 1985).

89. Хинчин А. Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // Ус пехи математических наук. — 1953. — Т. 8. — № 3(55). — С. 3—20.

90. Чепмен С. (Chapman S.) On the Brownian displacements and thermal diffusion of grains suspended in a non uniform fluid // Proc. Roy.

Soc., Ser. A, 1928, V. 119, P. 34—54.

91. Шеннон К. (Shannon C. E.) Mathematical theory of communica tion // Bell System Technical Journal. — 1948. — V. 27. — № 3. — P. 379— 423;

№ 4. — P. 623—656.

92. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989.

93. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.

Т. 1. Факты. Модели. — М.: ФАЗИС, 1998.

94. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. — М.: Наука, 1976.

95. Штутцер М. (Stutzer M.) Chaotic dynamics and bifurcation in a macro model // Journal of Economic Dynamics and Control. — 1980. — V. 3.

— P. 253—276.

96. Эйнштейн А. (Einstein A.) On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular kinetic theory of heat // Annals of Physics. — 1905. — V. 17. — P. 549—560.

Оглавление Ввдение....................................................................................................................... ГЛАВА 1. Дискретные модели стохастической финансовой математики § 1.1. Схемы начисления процентов................................................. § 1.2. Ценность денег во времени................................................... § 1.3. Потоки платежей................................................................ § 1.4. Биномиальная модель ценообразования акции........................... § 1.5. Биномиальная модель ценообразования опционов...................... ГЛАВА 2. Случайные процессы с непрерывным временем....................... § 2.1. Марковские процессы. Уравнение Колмогорова — Чепмена........ § 2.2. Уравнения Колмогорова....................................................... § 2.3. Применение уравнений Колмогорова....................................... § 2.4. Скачкообразные, диффузионные и детерминированные процессы. ГЛАВА 3. Элементы стохастического анализа............................................... § 3.1. Броуновское движение......................................................... § 3.2. Стохастические интегралы..................................................... § 3.3. Стохастические дифференциальные уравнения.......................... § 3.4. Методы решения стохастических дифференциальных уравнений.... § 3.5. Примеры случайных процессов.............................................. ГЛАВА 4. Стохастическое моделирование ценообразования финансовых инструментов............................. § 4.1. Стохастические модели эволюции стоимости акций..................... § 4.2. Производные финансовые инструменты................................... § 4.3. Фундаментальное уравнение Блэка — Шоулза — Мертона.......... § 4.4. Ценообразование финансовых инструментов в модели Блэка — Шоулза — Мертона..................................... § 4.5. Динамика государственного долга.......................................... ГЛАВА 5. Стохастическое моделирование национальной экономики..... § 5.1. Производственные функции................................................... § 5.2. Модель Солоу.................................................................... § 5.3. Стохастическое обобщение модели Солоу............................... § 5.4. Исследование односекторной стохастической динамической модели экономики............................................ § 5.5. Логарифмически стационарные траектории экономики................ § 5.6. Числовые характеристики показателей развития односекторной экономики в стохастическом обобщении модели Солоу............... § 5.7. Модель Харрода — Домара.................................................. § 5.8. Стохастическое обобщение модели Харрода — Домара.............. ГЛАВА 6. Хеджирование инновационных проектов с помощью реальных опционов..................................................... § 6.1. Реальные опционы в стохастическом варианте модели Харрода — Домара................................................... § 6.2. Реальные опционы в стохастическом варианте модели Солоу......... Список литературы............................................................................................... Владимир Игоревич Соловьев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНСТРУМЕНТОВ УПРАВЛЕНИЯ ИННОВАЦИОННЫМИ РИСКАМИ В РЫНОЧНОЙ ИНФРАСТРУКТУРЕ Научное издание

Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.