авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-педагогическая ...»

-- [ Страница 2 ] --

Основным содержанием учебно-исследовательской деятельности являются как теоретические знания, так и приемы, способы деятельности и соответствующие им умения и навыки: наблюдение, анализ, сравнение, аналогия, обобщение, классификация и др. При этом эмпирическим знаниям в процессе исследования соответствуют эмпирические (формальные) действия, теоретическим знаниям – теоретические (или содержательные) действия.

Потребностью в учебно-исследовательской деятельности является стремление учащихся к исследованию неопределенностей, проблем, задач, требующих знания, неизвестные им.

Специфика учебного исследования состоит в том, что при его осуществлении учащийся открывает новые знания и овладевает ими и новыми способами действий. Предназначение учебно-исследовательской деятельности учащихся состоит в том, что, будучи формой активности индивида, она является условием и средством его психического развития. Психическое же развитие обеспечивает школьнику усвоение теоретических знаний и способствует формированию у него специфических способностей и личностно-значимых качеств.

Практика показывает, что основным средством для организации учебных исследований учащихся служат задачи и это потому, что ни с чем в своей деятельности человек не сталкивается так часто и ни в чем так сильно не нуждается, как в способности ставить и решать задачи самых разнообразных типов и различной степени сложности.

Для организации учебно-исследовательской работы учащихся целесообразно использовать поисково-исследовательские задачи. Характеризуя такие задачи, известный американский математик Д. Пойа пишет: «Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательным и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы» [4, с. 34].

Что же касается поисково-исследовательских задач, то анализ учебников и задачников показывает, что такие задачи предлагаются очень редко. Анализ посещенных занятий учителей школ показывает, что обычно методика обучения учащихся алгебре и геометрии строится на основе использования традиционных методов и очень редко используется исследовательский метод в решении поисково-исследовательских задач.

Для воспитания у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности (математического характера) необходима постановка учебных математических задач проблемного (поискового) характера. Задачи указанной целевой направленности могут быть весьма разнообразными (по форме, в которой они поставлены;

по той дидактической цели, которой они служат;

по месту в процессе обучения).

Поисково-исследовательская задача – это любая нестандартная задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Учащиеся в ходе решения таких (поисковых) задач должны провести поиск плана решения задачи, установить, какой теоретический материал дает ключ к тому или иному решению.

Как показал теоретический анализ и эксперимент, при решении поисково исследовательской задачи наиболее приемлемыми являются следующие этапы исследования: мотивационная деятельность;

постановка проблемы;

сбор фактического материала;

анализ полученных материалов (результатов);

выдвижение гипотез;

проверка гипотез;

доказательство истинности гипотезы;

вывод.

При отборе и составлении поисково-исследовательских задач необходимо принимать во внимание следующие требования:

при отборе и составлении поисково-исследовательских задач • учитывать, что в процессе их решения будут использоваться все возможные обобщения;

решение поисково-исследовательских задач будет направлено на • нахождение определенных зависимостей между величинами, вывод определенных формул, которые можно использовать в дальнейшем;

в процессе решения «частных» задач возможность нахождения • рационального способа решения;

в процессе решения поисково-исследовательских задач можно • создать условия для формирования способностей (компонентов) творческого мышления.

Более подробно теоретические и практические аспекты организации учебно-исследовательской деятельности учащихся при обучении математики отражены в наших публикациях [1,2,3].

Библиографический список 1. Далингер В.А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике: Учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2005. – 456 с.

2. Далингер В.А. Учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения математики // Исследовательская работа школьников: Научно-методический журнал. – №2 (28). – 2009. – С. 24-32.

3. Далингер В.А. Учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения дробей и действий над ними: Учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2007. – 191 с.

4. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: Изд-во Квантор, 1983. – 215 с.

И.В. Землякова Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина ПРОБЛЕМА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ВУЗА В настоящее время в связи с реализацией Россией новых образовательных стандартов возрос интерес к содержанию дисциплин, преподаваемых в вузах, и, в частности, к курсу математики.

Вследствие того, что в последнее время все чаще поднимается вопрос о повышении качества среднего образования, необходимо, прежде всего, признать, что качество образования в школе зависит от подготовки учителя в вузе. Вопрос о том, чему и как учить в курсе математики, остро обсуждается и в связи с необходимостью повышения роли математических методов в решении конкретных практически важных задач и в связи с теоретическими исследованиями проблем образования.

Для повышения качества обучения студентов педагогических вузов нужен общий взгляд на математику и методику ее преподавания в школе и педагогическом вузе. Это необходимо, поскольку налицо малая преемственность между курсами математики в школе и в высшем учебном заведении, что приводит к низкому уровню усвоения программ вузовского курса математики.

Одной из самых актуальных проблем методики обучения математике в вузе до сих пор остается проблема обучения доказательству. В частности, не исследована проблема обучения будущих учителей доказательству в специальных математических курсах, в то время как успешная реализация указанной задачи значима не только в плане профессиональной подготовки учителя, но и в усвоении вузовского курса. И совсем неразработанными можно назвать вопросы обучения доказательству в курсе математического анализа педагогического вуза, который предоставляет немалые возможности как в усвоении значения и сущности доказательства, так и обучении различным методам доказательства.

Обучение доказательству является достаточно сложной проблемой не только для школьных учителей математики, но и для преподавателей высшей школы. Известно, что на физико-математических факультетах педагогических вузов курс математического анализа длится пять лет и включает в себя огромное количество теорем, свойств, лемм и их доказательств, и при этом часть доказательств приходится на самостоятельное изучение. Естественно, такое многообразие материала, требующего логического обоснования, порождает достаточно много методических трудностей.

При этом доказательства теорем нередко предлагаются студентам в готовом виде, что приводит к определенным трудностям в их понимании, и студенты, чтобы как-то выйти из подобного тупика, стараются заучивать доказательства наизусть, а за самостоятельное доказательство не берутся вовсе.

Данная практика характерна практически для всех вузов, поскольку студенты часто не видят смысла доказательства, им сложно запомнить его структуру, а вследствие этого они не умеют применять полученные знания на практике, т. е. при решении задач. В результате мы вряд ли получим полноценное усвоение материала и тем более развитие математического мышления, математической культуры.

Именно в связи с этим и возникает необходимость обучения студентов основным логическим приемам и методам доказательства теорем. Часто программа курса математического анализа настолько плотная, что у преподавателей не хватает времени на поиск, разбор, анализ каждой теоремы, поэтому есть необходимость обучения доказательству первокурсников во вводном курсе математики или спецкурсе по математике. Поступив в университет, студенты сталкиваются с большим объемом информации и с высокими требованиями, предъявляемыми к ним, отличными от требований в школе, а также с неумением усваивать материал на должном уровне. Поэтому возникает необходимость во введении курса, который поможет студентам разобраться со структурой теорем и основными способами их доказательства.

Для этого необходимо изучение основных способов доказательства теорем, логической структуры доказательства и систематическое обучение методам доказательства в вводном курсе математики или на специальном семинаре, которые одновременно позволят повысить эффективность обучения математическому анализу и, тем самым, качество подготовки будущих учителей математики.

В достижении должного уровня усвоения доказательств в вузовском курсе (и это не подлежит сомнению) важное значение имеет уровень овладения методами доказательств в школьном курсе математики.

Однако, несмотря на большое внимание специалистов в области методики преподавания математики к проблеме обучения школьников доказательству, этот уровень до сих пор, как отмечается в многочисленных публикациях, недостаточно высок.

В.А. Злыгостева Тобольская государственная социально-педагогическая академия имени Д.И.Менделеева АКТИВИЗАЦИЯ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Каждый учитель хочет, чтобы его ученики хорошо учились, с интересом и желанием занимались в школе. В этом заинтересованы и родители учащихся.

Но подчас и учителям, и родителям приходится с сожалением констатировать:

«не хочет учиться», «мог бы прекрасно заниматься, а желания нет». В этих случаях мы встречаемся с тем, что у ученика не сформировались потребности в знаниях, нет интереса к учению.

В чем сущность потребности в знаниях? Как она возникает? Как она развивается? Какие педагогические средства можно использовать для формирования у учащихся интереса к знаниям? Эти вопросы волнуют многих педагогов и родителей. Учителя знают, что школьника нельзя успешно учить, если он относится к учению и знаниям равнодушно, без интереса. Поэтому интересы учащихся надо формировать и развивать, начиная с подростковых лет.

Активизация познавательной деятельности учащихся – одна из актуальных проблем на современном этапе развития педагогической теории и практики. Развитие активности, самостоятельности, инициативности, творческого подхода к делу – это требования самой жизни, определяющие во многом то направление, в котором следует совершенствовать учебно воспитательный процесс. Поиски путей развития активизации познавательной деятельности у подростков, развитие их познавательных способностей и самостоятельности – задача, которую призваны решать многие педагоги, психологи, методисты и учителя.

Психологические особенности детей этого возраста, их природная любознательность, отзывчивость, особая расположенность к усвоению нового, готовность воспринимать всё, что даёт учитель, создают благоприятные условия для развития познавательной деятельности.

Создание средств обучения находится в тесной связи с развитием техники, науки, уровнем педагогической и психологической мысли, передовым педагогическим опытом. Данный аспект является главным в развитии личности ученика, так как достаточная подготовленность к познавательной деятельности снимает психологические нагрузки в учении, предупреждает неуспеваемость, сохраняет здоровье.

Важным фактором в развитии познавательной деятельности на уроках математики является создание действенных и эффективных условий для развития познавательных способностей детей, их интеллекта и творческого начала, расширения кругозора. Необходимо правильно, с учётом индивидуальных особенностей, выбрать методы и приёмы активизации познавательной деятельности, с помощью которых будет, достигнут результат.

Все способности человека развиваются в процессе деятельности. Это утверждение - ведущий принцип российской психологии. Нет другого пути развития познавательных способностей учащихся, кроме организации их активной познавательной деятельности. Умелое применение приемов и методов, обеспечивающих высокую активность в учебном познании, является средством развития познавательных способностей обучаемых.

Развитие познавательных творческих способностей учащихся - цель деятельности учителя, а применение различных приемов активизации является средством достижения цели. Понимание этого важно для работы учителя.

Заботясь о развитии учащихся, необходимо чаще использовать активные методы обучения. Но одновременно необходимо отдавать себе отчет в том, что являются ли используемые приемы и методы оптимальными, отвечающими имеющемуся развитию учащихся и задаче дальнейшего совершенствования их познавательных умений.

Применяя те или иные методы и приемы активизации, необходимо всегда учитывать имеющийся уровень развития познавательных способностей учащихся. Сложные познавательные задачи можно предъявлять лишь ученикам, обладающим высоким уровнем развития познавательных способностей. Задачи, не соотнесенные с уровнем развития познавательных сил учащегося, превышающие возможности ученика, предъявляющие к нему требования, значительно опережающие уровень имеющегося у него развития, не могут сыграть положительную роль в обучении. Они подрывают у ученика веру в свои силы и способности.

Любая деятельность человека (не только познавательная) складывается из отдельных действий, а сами действия можно разложить на отдельные операции.

Учащийся в процессе познавательной деятельности совершает отдельные действия: слушает объяснение учителя, читает учебник и дополнительную литературу, решает задачи, выполняет экспериментальные задания и т.д.

Каждое из указанных действий можно разложить на отдельные психические процессы: ощущение, восприятие, представление, мышление, память, воображение и т.д. [1].

Среди всех познавательных психических процессов ведущим является мышление, Действительно, мышление сопутствует всем другим познавательным процессам и часто определяет их характер и качество.

Очевидна, например, связь между мышлением и памятью. Память тем полнее и лучше удерживает существенные свойства предметов и связь между ними, чем глубже они осмыслены в процессе изучения. Но мышление влияет и на все другие познавательные процессы.

Следовательно, активизировать познавательную деятельность учащихся это значит, прежде всего, активизировать их мышление.

Кроме того, развивать познавательные способности учащихся - это, значит, формировать у них мотивов учения. Учащиеся должны не только научиться решать познавательные задачи, у них нужно развить желание решать эти задачи. Воспитание у учащихся мотивов учения в настоящее время является одной из главных задач школы [2].

Задача формирования у учащихся мотивов учения неразрывно связана с задачей развития мышления и является предпосылкой ее решения.

Действительно, как и всякая другая деятельность, мышление вызывается потребностями. Поэтому, не воспитывая, не пробуждая познавательных потребностей у учащихся, невозможно развить и их мышление.

Тип познавательной деятельности (ТПД) - это уровень самостоятельности познавательной деятельности, которого достигают учащиеся, работая по предложенной учителем схеме обучения. Эта характеристика тесно сопряжена с уровнями мыслительной активности учащихся. В данной классификации выделяются следующие методы:

объяснительно-иллюстративный (информационно-рецептивный);

репродуктивный;

проблемное изложение;

частично-поисковый (эвристический);

исследовательский.

Метод проблемного изложения является переходным от исполнительской к творческой деятельности. На определенном этапе обучения учащиеся еще не в силах самостоятельно решать проблемные задачи, а потому учитель показывает путь исследования проблемы, излагая ее решение от начала до кон ца. И хотя учащиеся при таком методе обучения не участники, а всего лишь наблюдатели хода размышлений, они получают хороший урок разрешения познавательных затруднений.

Сущность частично-поискового (эвристического) метода обучения выражается в следующих его характерных признаках:

1) знания учащимся не предлагаются в «готовом» виде, их нужно добывать самостоятельно;

2) учитель организует не сообщение или изложение знаний, а поиск новых знаний с помощью разнообразных средств;

3) учащиеся под руководством учителя самостоятельно рассуждают, решают возникающие познавательные задачи, создают и разрешают проблемные ситуации, анализируют, сравнивают, обобщают, делают выводы и т. д., в результате чего у них формируются осознанные прочные знания.

В деятельности учащихся преобладает применение полученных знаний к решению практических задач. На первый план выдвигается умение использовать теорию на практике. Данный метод выполняет функцию углубления знаний, умений, а также способствует решению задач контроля и коррекции, стимулированию познавательной деятельности.

Выделяют пять этапов, через которые обычно проходит познавательная деятельность учащихся на практических занятиях:

1. Объяснение учителя. Этап теоретического осмысления работы.

2. Показ. Этап инструктажа.

3. Проба. Этап, на котором два-три ученика выполняют работу, а остальные школьники наблюдают и под руководством учителя делают замечания, если в процессе работы допускается ошибка.

4. Выполнение работы. Этап, на котором каждый самостоятельно выполняет задание. Учитель на этом этапе особенное внимание уделяет тем ученикам, которые плохо справляются с заданием.

5. Контроль. На этом этапе работы учеников принимаются и оцениваются.

Практический метод лучше других способствует приучению учащихся к добросовестному выполнению задания, способствует формированию таких качеств, как хозяйственность, экономность и т. д. У учащихся формируется привычка тщательной организации трудового процесса (осознание целей предстоящей работы, анализ задачи и условий ее решения, составление плана и графика выполнения работы, подготовка материалов и инструментов, тщательный контроль качества работы, анализ, выводов).

Например, при изучении темы: «Длина окружности и площадь круга» в классе.

Обычная форма: сообщить учащимся, что есть некоторое постоянное число, назвав формулы учащимся.

Занимательная форма (практический метод): раздаю учащимся цилиндрические предметы быта, нитку, ставлю задачу: найти отношение длины окружности к длине диаметра. Сравнить полученные результаты, сделать вывод.

Этот метод позволяет наиболее эффективно реализовывать компетентностный подход к обучению.

Библиографический список 1. Выготский Л.С. Психология / Л.С Выготский. - М.: 2001. – 391 с.

2. Маркова А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте: Пособие для учителя. / А.К. Маркова - М.: Просвещение, 1983. – 96 с.

И.В. Игнатушина Оренбургский государственный педагогический университет ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В КУРСЕ ЛЕКЦИЙ А. Н. КОРКИНА Александр Николаевич Коркин (1837–1908), выпускник Петербургского университета 1858г., больше всего известен своими работами по теории интегрирования уравнений с частными производными и теории чисел [1].

Однако, в лекциях по дифференциальному исчислению [2], которые Коркин читал в Петербургском университете и Академическом корпусе Морских наук, достаточно подробно освещались различные вопросы дифференциальной геометрии. Этот курс заслуживает особого внимания, поскольку он является одним из первых в России учебных руководств по дифференциальной геометрии, но до сих пор остается малоизвестным.

Изложение вопросов дифференциальной геометрии Коркин начинает с введения понятий касательной к кривой в точке (,, ) и дифференциала дуги кривой, а также вывода соответствующих формул:

dx dy dz = = ;

ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2.

x y z Далее отмечается, что значения dx, dy и dz пропорциональны косинусам углов, и, составляемых касательной с осями координат, т. е. cos = kdx ;

cos = kdy ;

cos = kdz. Возведя обе части каждого из последних равенств в квадрат и сложив их почленно, имеем: 1 = k 2 ds 2. Отсюда и, k=± ds dx dy dz следовательно: cos = ± ;

cos = ± ;

cos = ±.

ds ds ds Затем вводится понятие нормальной плоскости в точке (,, ), как плоскости перпендикулярной к касательной, и выводится ее уравнение:

( x )dx + ( y )dy + ( z )dz = 0.

В следующем пункте Коркин определяет кривизну кривой как предел отношения угла между двумя касательными, проведенными к кривой в двух бесконечно близких точках, к длине дуги кривой между этими точками (рис. 1). Отсюда кривизна d. Поскольку tg = y ', то = arctgy ', кривой равна ds dy ' y" dx d = следовательно, Тогда для =.

1 + y' 1 + y' d y" dx y" dx y" кривизны кривой справедливо: = = = ( ).

( ) ( ) 1 + y ' ds 1 + y ' 2 dx 2 + dy 2 ds 1 + y' 2 Радиус кривизны кривой определяется как обратная дробь, т.е.

(1 + y' ) (dx ) 3 + dy 22 2 = =.

dxd y dyd 2 x y" В этом курсе лекций после каждого раздела приведены задачи, которые позволяют на практике применить и закрепить пройденный теоретический материал. Возможно, что часть этих задач Коркин использовал для самостоятельной работы студентов. Так, в рассматриваемом разделе предложены следующие задачи: 1. Доказать, что радиус кривизны циклоиды равен соответствующей удвоенной нормали. 2. Получить выражение радиуса кривизны в полярных координатах. 3. Доказать, что радиус кривизны для логарифмической спирали r = ae n равен = r 1 + n 2, т.е. что он пропорционален радиусу вектору r.

Следующий раздел посвящен асимптотам. Асимптоту кривой Коркин определяет как такую прямую, точки которой при бесконечном удалении от начала координат в одном или в обоих направлениях находятся на бесконечно малых расстояниях от данной кривой. Здесь же выводится уравнение касательной к плоской кривой f (x, y ) = 0 :

и B = lim( y Ax ).

y y = Ax + B, где A = lim x x x В разделе о соприкасании плоских кривых устанавливается условие соприкасания n -го порядка двух кривых y = f (x ) и y = f (x ), которое выражается следующей системой уравнений:

f ( x ) = F ( x ), f ' ( x ) = F ' ( x ), f " ( x ) = F " ( x ),...

f (n ) ( x ) = F (n ) ( x ).

Затем доказывается, что если порядок касания двух кривых нечетный, то около точки касания, одна из кривых оставляет другую по одну свою сторону (рис.2);

напротив, если этот порядок есть число четное, то первая кривая переходит через точку касания с одной стороны второй кривой на другую ее сторону (рис.3).

Опираясь на то, что окружность кривизны с кривой имеет касание 2-го порядка, Коркин предлагает другой способ для выведения формулы для радиуса кривизны кривой.

Пусть окружность кривизны задается уравнением: (x )2 + ( y )2 = 2.

Продифференцировав его последовательно два раза, получим:

x + ( y ) y '= 0, 1 + y ' 2 + ( y ) y" = 0, 1 + y' 2 1 + y' y = x = y' отсюда: и, (2) y" y" 2 1 + y' 2 1 + y' y" + y" =, тогда y' 2 (1 + y' ) = следовательно,.

y" В этом же разделе вводится понятие эволюты, как множества центров кривизны данной кривой. Для того чтобы найти ее уравнение, нужно из уравнений (2) исключить x и установить зависимость между и. Это предложение иллюстрируется на примерах нахождения эволюты параболы, циклоиды и логарифмической спирали. Самостоятельно предлагается вывести уравнение эволюты эллипса и гиперболы.

Далее доказываются два основных свойства эволюты: 1. Касательная к эволюте в точке (, ) есть нормаль к данной кривой в точке (x, y ). 2. Длина дуги эволюты равна разности радиусов кривизны, соответствующих ее концам.

В разделе об особых точках рассматриваются кратные точки, точки возврата первого и второго рода, точки прекращения, изолированные точки.

Следующий раздел посвящен пространственным кривым. Здесь вводится понятие соприкасающейся плоскости данной кривой, как плоскости, проходящей через три бесконечно близкие точки на кривой (x, y, z ), (x + 2dx + d ) (x + dx, y + dy, z + dz ), кривой. Опираясь на x, y + 2dy + d 2 y, z + 2dz + d 2 z это определение, выводится уравнение соприкасающейся плоскости пространственной кривой:

( x )(dy d 2 z dz d 2 y ) + ( y )(dz d 2 x dx d 2 z ) + ( z )(dx d 2 y dy d 2 x ) = 0.

Далее отмечается, что соприкасающуюся плоскость можно задать как плоскость, проходящую через касательную в точке M (t ) кривой и бесконечно близкую к ней точку M ' (t + t ) кривой.

Затем определяются косинусы углов,,, которые составляет соприкасающаяся плоскость с плоскостями координат:

X Y Z cos = ± ;

cos = ± ;

cos = ±, X +Y + Z X +Y + Z X +Y2 + Z 2 2 2 2 2 2 где X = dyd 2 z dzd 2 y, Y = dzd 2 x dxd 2 z, Z = dxd 2 y dyd 2 x.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, Коркин назвал главной. Другими словами, главная нормаль является пересечением нормальной и соприкасающейся плоскостей, проведенных в одной и той же точке кривой.

Косинусы углов, составляемых главной нормалью с осями координат, связаны со значением радиуса кривизны кривой следующими соотношениями:

dx dy dz d d d cos = R, cos µ = R, cos = R.

ds ds ds ds ds ds В этом же разделе вводится понятие кручения кривой, как предела отношения угла между двумя соприкасающимися плоскостями, проведенными в бесконечно близких точках M (t ) и M ' (t + t ) кривой, к длине дуги MM '.

Следующий раздел посвящен поверхностям. Здесь вводится понятие касательной плоскости к поверхности, как общее место всех касательных прямых, проведенных через точку поверхности, к различным кривым, проходящим по поверхности через указанную точку. Уравнение касательной плоскости к поверхности F (x, y, z ) = 0 Коркин записывает в следующем виде:

F ( x ) + F ( y ) + F ( z ) = 0.

x y z Перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный в месте касания с поверхностью, Коркин называет нормалью к поверхности и определяет ее x y z уравнение: = =.

F F F x y z Далее вводится понятие нормального сечения, как сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль, и доказываются две теоремы.

Первая из них, теорема Менье, гласит: радиус кривизны какой угодно кривой s, проходящей через точку M (рис. 4), есть проекция на главную нормаль MY кривой s радиуса кривизны R нормального сечения, имеющего с s общую касательную в точке M, т.е.

= R cos.

Вторая, теорема Эйлера, утверждает:

кривизна какого угодно нормального сечения в данной точке выражается линейно через кривизны главных нормальных сечений, т.е.

1 1 cos 2 + sin 2. Главными называются = R R1 R нормальные сечения, в которых кривизна принимает экстремальные значения.

Для всякой точки поверхности существуют два таких сечения, и они взаимно перпендикулярны. Здесь же Коркин отмечает, что поскольку доказательство теоремы Эйлера основано на возможности разложения в ряд Маклорена функции z = f (x, y ), которой определена поверхность, и что не все функции обладают этим свойством, то, следовательно, для некоторых точек поверхности теорема Эйлера не выполняется. Например, для поверхности z = x x + y y начало координат представляет такую особую точку.

Из теоремы Эйлера Коркин выводит следующее утверждение: сумма кривизн двух произвольных взаимно перпендикулярных нормальных сечений есть величина постоянная для данной точки поверхности и равная сумме кривизн главных сечений.

В заключение отмечается, что если все кривизны нормальных сечений будут одного знака, то поверхность около такой точки будет иметь вид как на рис. 5. Если же хотя бы две из них – будут разных знаков, то поверхность около такой точки примет вид как на рис. 6. Случай, когда кривизны некоторых нормальных обращаются в ноль, Коркин упустил из рассмотрения.

Как видно из изложенного, рассмотренный курс давал полное представление об основных понятиях и теоремах классической дифференциальной геометрии, но, к сожалению, он не отражал известных к тому времени результатов К.Ф. Гаусса.

Библиографический список 1. Коркин А.Н. Дифференциальное исчисление. Лекции, читанные в Академическом корпусе Морских наук профессором А.Н. Коркиным. – СПб., 1878.

2. Ожигова Е. П. Александр Николаевич Коркин. – Л., 1968.

С.Н. Кангина Москва, МОУ СОШ № 33 им. К Маркса с углубленным изучением математики ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ Цель статьи состоит в том, чтобы показать возможности использования цифровых образовательных ресурсов (ЦОР) для решения исследовательских задач из учебника Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон «Математика. 5-6 класс».

§1. Влияние образовательной парадигмы на дидактический материал и методы преподавания в школе При анализе федерального государственного образовательного стандарта второго поколения становится очевидным, что в нём внимание акцентируется на обеспечении условий для развития личности обучаемых, формирование метапредметных умений. Один из видов деятельности, позволяющий разносторонне развивать ребенка, является учебно-исследовательская деятельность учащегося. Это особый вид учебной деятельности, подобный научной деятельности ученого, когда ребенок приобретает знания в соответствии с общей схемой пути познания: от накопления фактов к выдвижению гипотез, проверке их истинности доказательством, построению теории и выходе в практику. Эти умения необходимы ребенку для успешного обучения по различным предметам. Поскольку основной задачей учителя математики является выявление и развитие математических способностей учащегося, педагог заинтересован в том, чтобы его ученики как можно раньше приобщились к исследовательской деятельности. Использование же средств ИКТ для организации исследовательской деятельности способствует формированию информационных и коммуникационных компетенций, развития мотивации к изучению математики.

Отметим еще один важный факт при использовании исследовательских методов обучения при изучении математики. Любой человек, в том числе и ученик, занимающийся интересным, увлекательным делом, получает такой положительный эмоциональный заряд, который позволяет не только сохранить, но и улучшить здоровье. Работа в роли ученых, занимающихся исследованием сложных вопросов, повышает самооценку ребенка. Использование на уроке исследовательских методов позволяет ребенку совершить субъективное открытие нового знания. В момент «открытия» происходит эмоциональный всплеск положительных эмоций. В результате учащиеся усваивают новый материал за меньший промежуток времени, поэтому увеличивается интенсивность прохождения материала на уроке, объем домашних заданий уменьшается и его подготовка упрощается. Разные формы деятельности во время урока позволяет ребенку регулярно менять направление зрения (от тетради, на доску), положение тела, следовательно, меньше ухудшаются зрение и осанка.

Переосмысление основных целей образования начинается в семидесятых годах XX в. В общественном сознании формируется понимание образования как ценностно-ориентированного процесса освоения знаний, способов деятельности, опыта творчества для личностного, профессионального и культурного самоопределения человека. Происходит постепенный переход от знаниевой парадигмы к деятельностной, который необходим для достижения главной цели образования – раскрытие и развитие каждого ученика.

Смена взглядов на образовательный процесс находит свое отражение в новых контрольных измерительных материалах. В 2011 – 2012 учебном году в тестовых работах для учащихся 1 класса Городским центром развития образования г. Ярославля среди стандартного набора задач были предложены задачи, которые вызывают интерес с точки зрения оценивания результатов.

Задание 1. Реши примеры: Задание 2. Дан рисунок ниточки.

4+1= 4+3–5= 8–5= 9–1–2= 3+6= 2+3+4= 5+3= 9–2+0= Расположи бусинки так, чтобы 6–2= 8–5+1= получилась закономерность.

В первом задании проверялись умения складывать и вычитать числа в пределах 9 на уровне автоматизированного навыка. Результаты выполнения оценивались по следующей шкале: 1 балл – задание решено правильно, баллов – не приступал к выполнению задания или выполнил неверно.

Предполагается, что выполняя пятнадцать арифметических действий с числами, ребенок не может допустить ни одной ошибки. Это означает, что вычислительный навык должен быть на очень высоком уровне, однако он не является основным и единственным показателем знаний и умений ребенка по математике.

Оценка результатов деятельности учащихся второго задания заслуживает особого внимания. Критерии оценивания: 2 балла – правильно составил сложную закономерность, 1 балл – правильно составлена простая закономерность, 0 баллов – не приступал к выполнению задания или выполнил неверно. Задача не вызвала у детей затруднения: справились 100 % учащихся.

Однако построили сложную закономерность лишь 30% учащихся (под сложной закономерностью понималось изменение у бусинок не менее двух признаков – цвета, формы или размера). В задании оцениваются не столько знания и умения учащихся по построению закономерностей, сколько творческий подход к решению задачи, т.е. творческие способности учащегося. Таким образом, в измерительные материалы внесены задачи, которые проверяют не только знания – умения – навыки, но и уровень развития мышления.

Учащихся необходимо готовить к заданиям нового типа, с помощью которых будет отслеживаться уровень развития ребенка. Для этого надо обновлять дидактический материал.

§2. О развивающем характере учебника Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон «Математика. 5-6 класс»

Одной из дидактических единиц, необходимых для организации деятельности учащихся, является качественный учебник. В классической модели обучения учебник понимается и как носитель содержания образования, и как основа для организации процесса усвоения этого содержания. При использовании исследовательских методов обучения учебник является средством передачи знаний и служит для организации деятельности учащихся.

Сравним изучение темы “Наибольший общий делитель” в 5-6 классах по учебнику Н. Я. Виленкина «Математика 6 класс», который используется в массовой практике и является типичным представителем классического обучения, и по учебнику Л. Г. Петерсон.

Учителем изучение темы по учебнику Н. Я. Виленкина строится по классической схеме: излагаются методы и правила нахождения НОД, осуществляется отработка умений и навыков нахождения НОД. При такой организации деятельности учащихся, они приобретают прочные и глубокие знания. Однако этого не достаточно, необходимо, чтобы изучаемый на уроках материал влиял не только на ум, но и обеспечивал разностороннее развитие его личности. Умения наблюдать, анализировать обобщать, выявлять разносторонние зависимости и закономерности, устанавливать соответствие между моделями, оказываются не менее значимы для современного человека.

Именно эти умения способствуют развитию познавательной активности ребенка, его творческого потенциала. В учебнике Л. Г. Петерсон уделяется большое внимание по формированию метапредметных умений учащихся.

Систематическому изучению материала по учебнику Л. Г. Петерсон предшествует большая подготовительная работа. Анализируя разложение составных чисел на простые множители, учащиеся приходят к выводу: число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью содержится в разложении данного числа. При нахождении НОД для составных чисел (частные случаи учащиеся выделяют самостоятельно), ученики, сопоставляя определение делителя с последним утверждением, приходят к выводу: НОД должен содержаться в разложении каждого из чисел, причем надо выделить наибольшее возможное число одинаковых множителей. Формулируют алгоритм нахождения НОД.

Проводится отработка приобретенных знаний на разнообразном задачном материале.

Учебник Л. Г. Петерсон ориентирован на развивающее обучение.

Задачный материал в учебнике подобран таким образом, что для каждого ребенка в зависимости от его уровня развития можно предложить задачи для напряженной умственной работы. Например, в теме «Основное свойство дроби.

Преобразование дробей» учащимся можно предложить задания трех уровней сложности:

125 «№ 69 Сократи дроби, используя признаки делимости: и др.;

;

75 9 5 15 xy № 70 Сократи дроби: и др.;

;

5 21 20 x 2 yz 18 № 72 Объясни, почему несократимы дроби: и др.»

;

193 В учебниках отсутствует нагромождение однообразного тренировочного материала, требующего исполнительской работы (однотипных заданий), которая приводит к умственной лености и препятствует развитию ребенка.

Целый ряд задач имеет нестандартные формулировки: приведи доказательства или опровержение утверждений, определи истинность высказываний, реши “Блиц-турнир” и т.п.

В других задачах учебный материал организован таким образом, что он подводит учащихся к самостоятельному добыванию информации и обобщенному выводу. Среди них есть ряд задач, которые содержат прямые указания на необходимость выполнения исследовательских действий.

Примерами таких задач могут служить следующие.

Задача № 739 [1]. «Математическое исследование. Упрости выражения:

2 2, 7 2 7 6, 9 3 9 3. Что общего у всех этих выражений? Как короче записать 3 произведения: a 3 a 2, a 5 a 4, a 1 a 6, a m a n ? Сформулируй правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и запиши его в виде буквенной формулы?»

Задача № 532 [2]. «Прочитай определение и назови определяемое понятие: прямоугольным треугольником называется треугольник, один угол которого прямой. Начерти прямоугольный треугольник. Измерь его непрямые углы и найди их сумму. Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь?

Можно ли полученное утверждение считать верным для любого прямоугольного треугольника? Попробуй его доказать.»

Задачи исследовательского характера разнообразны и встречаются на протяжении всего курса изучения математики в 5 классе. При этом “деятельность учащихся организуется не столько по образцу, сколько как самостоятельная исследовательская деятельность”. [7, с.4] §3. Учебно-исследовательская деятельность школьника Приобщение детей к активному приобретению знаний Л. Г. Петерсон осуществляет еще в начальной школе. Однако в этом возрасте, впрочем как в 5 6 классах, образное мышление у многих учащихся развито слабо. Поэтому проводить мыслительные операции, связанные с обобщением результата, его анализом и синтезом им сложно. Один из видов деятельности, способствующий развитию мышления, является учебно-исследовательская деятельность учащегося.

Под учебно-исследовательской деятельностью школьников будем понимать особый вид учебной деятельности по приобретению методологических знаний учащимися в соответствии с общей схемой пути познания: от накопления фактов к выдвижению гипотез, проверке их истинности доказательством, построению теории и выходе в практику.

Определение было введено Н. А. Меньшиковой и конкретизировано для учебно-исследовательской математической деятельности в средней школе как особый вид учебной деятельности по приобретению индивидуального опыта творческой математической деятельности в процессе решения учебно исследовательских математических задач, подобный научной деятельности ученого-математика. Следовательно, использовать на уроке исследовательские методы, значит, создать такую ситуацию, когда ребенок ощущает себя в роли ученого, а результаты своих исследований – значительными. При этом, чтобы совершить субъективное открытие, ребенку надо пройти за малый промежуток времени весь путь, который привел ученого к новому понятию. Работа в роли ученых, занимающихся исследованием проблемы, поиск ответов на сложные вопросы путем анализа, синтеза, сравнения, сопоставления побуждают учеников размышлять и задавать вопросы, развивая у них критическое и конструктивное мышление.

Работа над исследовательской задачей на уроке организуется таким образом, что школьники учились понимать, насколько важны данные, а также видели разницу между спонтанной догадкой и обоснованным прогнозом или гипотезой. Обычно выдвигается несколько гипотез, каждая из которых фиксируется и обсуждается. Наиболее вероятные подвергаются проверке в ходе эксперимента.

В древней Греции считали: любое исследование должно быть основано на удивлении. “Чрезвычайно важно, чтобы еще до начала размышления, прежде чем вообще дать ход нашему мышлению, мы пережили состояние удивления. А мышление, которое приходит в движение, минуя состояние удивления – это, в сущности, говоря просто, игра ума”. Следовательно, первоосновой мышления должно быть удивление.

В настоящее время некоторые ученые стали разделять эту точку зрения.

Возникла необходимость найти такой задачный материал, работа над которым увлекала бы ребенка и стимулировала его активную познавательную деятельность. Выход был найден в привлечении детей к исследовательской деятельности в рамках школьного урока. В результате плодотворной деятельности ученых появляется новый дидактический материал, способствующий не только приобретению знаний, но развитию воображения и творческих способностей ребенка – учебно-исследовательские задачи. В 5- классах эти исследовательские задачи ориентированы на пропедевтику основного курса математики.

Рассмотрим на примере учебника Л. Г. Петерсон по математике для 5- классов, какие исследовательские задачи и в каком объеме предлагаются авторами данного учебного пособия. Одна часть исследовательских задач способствует формированию первичных знаний по алгебре.

Задача № 35 [5]. Прочитай выражения: (a + b )2, a 2 + b 2, a 2 + 2ab + b 2. Найди значения этих выражений, если:

а) a = 3, b = 5 ;

б) a = 1, b = 4 ;

в) a = 2, b = 3. Что ты замечаешь? Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b. Попробуй обосновать ее, используя графическую модель.

Задача № 593 [5]. Построй на координатной плоскости несколько точек M ( x;

y ), у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5 ( x Q, y Q ). Выскажи гипотезу о том, где расположены все такие точки. Где расположено множество точек, сумма абсциссы и ординаты которых больше 5, меньше 5? Является ли проведенное исследование доказательством высказанных утверждений?

В учебниках немного исследовательских задач по алгебре. Однако, этот список можно расширить, вводя новые понятия и суждения о них, ставя перед учащимися задачи исследовательского характера. Например, к понятию простого и составного числа приводит решение следующей задачи.

Задача. Выпиши все натуральные числа от 1 до 12. Найди делители каждого числа. На какие группы можно разбить множество чисел от 1 до 12?

Есть ли числа, у которых больше 6 делителей? Что ты замечаешь?

Сформулируй гипотезу, попробуй дать названия числам в полученных группах.

При решении этой исследовательской задачи, которая опирается на понятия натурального числа и делителя, учащиеся разбивают множество чисел от 1 до 12 на группы по количеству делителей: I группа – 1 (один делитель), II группа – 2, 3, 5, 7, 11 (два делителя), III группа – 4, 9 (три делителя), IV группа – 6, 8, 10 (четыре делителя), V группа – не встретились числа, VI группа – (шесть делителей). Понимая, что групп может быть много, учащиеся приходят к необходимости объединения некоторых групп, выделяя более общие признаки. Остаются три группы чисел: единица (имеет один делитель), простые числа (просто и быстро можно выписать оба их делителя) и составные.

Исследовательских задач, связанных с изучением геометрического материала, в учебниках Л. Г. Петерсон несколько больше.

Современные информационные технологии позволяют проводить увлекательные эксперименты. Эта психолого-педагогическая составляющая дидактического материала направлена на привлечение внимания учащегося, поддержание познавательного интереса, активизацию его мышления, на формирование оценок описываемого, создает побудительные мотивы к углубленному изучению того или иного вопроса.

§4. Компьютерная поддержка учебника Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон «Математика. 5-6 класс»

Сузим поставленную задачу и рассмотрим только геометрический компонент учебника Г.В.Дорофеев, Л.Г.Петерсон «Математика. 5 класс».

Особенность изучения геометрического материала по учебнику Г.В.

Дорофеева, Л.Г. Петерсон состоит в том, что “геометрическая линия в этом курсе тесно переплетается с одной из нетрадиционных тем для курса математики в 5-6 классах – темой «Язык и логика», что делает возможным изучать геометрический материал на другом, качественно более высоком уровне”. Следовательно, перед детьми можно ставить новую, значительно более глубокую и увлекательную цель: исследование и открытие свойств геометрических фигур.

Отметим, что к 5 классу у детей, обучающихся по программе Л.Г.Петерсон, накоплен достаточно богатый запас геометрических понятий, хотя и рассмотренных на ознакомительном уровне: линия, прямая и ее части, смежные углы, биссектриса угла, прямоугольник, симметрия фигур относительно оси и пр. Различные геометрические закономерности учащиеся получают в результате выполнения простейших построений и измерений.

Поэтому на начальном этапе геометрические знания формируются на наглядно интуитивном уровне в результате практической деятельности.

Целый ряд геометрических исследовательских задач в учебнике направлен на проведение эксперимента. Поэтому, для организации исследовательской деятельности учащегося можно использовать различные ЦОР: «1С:Математический конструктор», «Живая математика», «GEONExT», «Интерактивные плакаты», Лого-среда, и пр.

Покажем, как с помощью ЦОР «1С: Математический конструктор»

можно проводить эксперимент при решении геометрических исследовательских задач.

Задача № 331 [1] “Начерти два смежных угла. Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь величину угла, образованного биссектрисами. Повтори эксперимент еще 2 раза. Что ты замечаешь?” Таблица № Действия Инструменты и команды, п/п используемые в ЦОР Чертеж «1С: Математический конструктор»

Построить прямая смежные углы и их луч биссектрисы биссектриса угла Запрограммированное построение биссектрисы выбранного угла дает возможность точного выполнения действия, что теряется при выполнении задания с помощью транспортира.

Измерить Величина угла угол, образованный биссектрисами Измерить Величина угла один из смежных углов Построенная система углов и лучей является интерактивной, что дает возможность, изменяя величину одного из смежных углов, одновременно отслеживать величину угла между биссектрисами.

Изменить Выбрать/ величину перемещать одного из смежных углов Гипотеза: величина угла между биссектрисами смежных углов равна 90о.

Задача № 223 [4]. 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие: медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 2) Найди на рисунке отрезки, являющиеся медианами треугольников:

3) Сколько медиан в треугольнике? 4) Начерти произвольный треугольник и проведите все его медианы. Что ты замечаешь. Проведи эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать построенную гипотезу доказанной на основании выполненных построений?

Эксперимент начинается с построения в тетради точки пересечения медиан треугольника с помощью линейки с делениями и карандаша. У одних учащихся медианы пересекаются в одной точки, у других – нет. Осознание того факта, что построения были неточные, приводит учащихся к необходимости привлечения к эксперименту современных технических средств. Используя инструментарий ресурса «1С: Математический конструктор» (деление отрезка пополам, построение отрезка), учащиеся получают достоверный результат и формулируют гипотезу о точке пересечения медиан треугольника.

Отметим, что в 5-6 классах построения с помощью циркуля и линейки, например, середины отрезка, сложны и на данном этапе неактуальны. Поэтому ресурс «1С:Математический конструктор» позволяет на стадии эксперимента уйти от рутинных построений, акцентируя внимание учащихся на получении нового знания. Для демонстрации этого положения рассмотрим еще одну задачу.

Задача № 232 [4]. Построй треугольник АВС и проведи в нем медианы АК и BМ. Пусть Е – точка пересечения медиан. Найди отношение отрезков АЕ:ЕК и ВЕ:ЕМ, выполнив необходимые измерения. Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать данное утверждение доказанным?

При проведении исследования с помощью программы «1С:

Математический конструктор» оказывается достаточно построить только один треугольник с заданными элементами. Затем изменяя параметры треугольника, учащиеся отмечают, что отношение отрезков медиан не изменяется.

В заключении хотелось бы отметить, во-первых, что исследовательские задачи способствуют не только развитию мышления и творческих способностей учащихся, но и его эмоциональной сферы. Субъективные открытия, совершенные в состоянии удивления, надолго остаются в памяти ребенка и постепенно приводят его к необходимости изучить вопрос на формально-логическом уровне. Понимая значимость исследовательских задач в развитии ребенка, отмечаем, что в учебниках Л. Г. Петерсон их не очень много, поэтому объем исследовательских задач следует наращивать. Во-вторых, что приведены примеры иллюстрируют лишь небольшую часть возможностей ЦОР «1С: Математический конструктор» при организации уроков геометрии.


Акцент был сделан на исследовательские геометрические задачи, поскольку они связаны с проведением эксперимента и многократным повторением алгоритма, заложенного в задаче. Однако это не означает, что «1С:Математический конструктор» нельзя использовать и на других уроках геометрии. Инструментарий и функции «1С: Математического конструктора»

позволяют сконцентрироваться на решении поставленной задачи, уходя от громоздких рутинных построений и вычислений.

Библиографический список 1. Дорофеев, Г. В., Петерсон, Л. Г. Математика. 5 класс: часть 1. – М.: Ювента, 2010.

2. Дорофеев, Г. В., Петерсон, Л. Г. Математика. 5 класс: часть 2. – М.: Ювента, 2010.

3. Дорофеев, Г. В., Петерсон, Л. Г. Математика. 6 класс: часть 1. – М.: Ювента, 2010.

4. Дорофеев, Г. В., Петерсон, Л. Г. Математика. 6 класс: часть 2. – М.: Ювента, 2010.

5. Дорофеев, Г. В., Петерсон, Л. Г. Математика. 6 класс: часть 3. – М.: Ювента, 2010.

6. Виленкин, Н. Я., Жохов, В. И., Чесноков, А. С., Шварцбурд, С. И. Математика. класс. – М.: Русское слово, 2010.

7. Математический конструктор. Версия 4.0 [Электронный ресурс]. – ООО «1 С Паблишинг», 2008. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM).

8. Меньшикова Н.А. Учебно-исследовательская математическая деятельность в средней школе как фактор приобщения к будущей научной работе: дис. … канд. пед. наук / ЯГПУ им. К.Д. Ушинского/ Ярославль, 2003. - 176 с.

9. Петерсон Л.Г. Деятельностный метод обучения: Образовательная система «Школа 2000…»: Построение непрерывной сферы образования. М.: Ювента, 2007. - 448 с.

Н.А. Корощенко Тобольск, филиал Тюменского государственного университета РЕГИОНАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ СОДЕРЖАНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН КАК ФАКТОР ФОРМИРОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛИЗМА БУДУЩИХ СПЕЦИАЛИСТОВ Региональный компонент является существенным фактором изменения содержания образования на этапе реформирования высшей школы.

Регионализация образования и введение элементов регионоведения в учебный процесс высшей школы является средством возрождения и развития образования. Региональный компонент помогает формировать личность и создавать условия для ее самоопределения и самореализации. Учебный процесс должен направляться на развитие гражданственности личности, на создание у студентов реалистичных взглядов на современную экономическую ситуацию, на повышение уровня общей и профессиональной культуры студента. Цель введения регионального компонента государственного образовательного стандарта понимают сегодня как право студента на собственную образовательную траекторию, на развитие всего его интеллектуального и творческого потенциала.

Существенную роль в формировании профессионализма будущих специалистов может сыграть соответствующим образом построенное преподавание математических дисциплин в высшей школе. Использование статистических данных по региону во время учебных занятий, ресурсных информационных базы Интернета, электронных СМИ способствует развитию экономического мышления и критического отношения к информации.

Наиболее эффективными условиями для использования регионального компонента в процессе преподавания математических дисциплин можно рассматривать интеграционные связи математики с другими дисциплинами.

Математика предоставляет широкие возможности для введения и обсуждения тем региональной направленности.

Процесс использования региональной статистической, цифровой информации можно условно разбить на несколько направлений, которые в единстве с изучаемой дисциплиной способствуют воспитанию творческого восприятия теории и закладывают основы для формирования творческих активных, неравнодушных специалистов.

1. Знакомство с информационными статистическими базами вуза (библиотеки), Интернета, СМИ.

2. Использование в содержании обучения информационных данных по региону.

3. Проведение лекций, семинаров, практикумов с использованием информационных статистических данных по региону.

4. Включение студентов в исследовательскую работу с использованием математических методов по решению вопросов и проблем региона.

5. Включение студентов в исследовательскую работу с использованием математических методов по решению вопросов экономики.

Наиболее активно студенты занимаются исследовательской работой с использованием информационных статистических данных. Ниже приведены примеры исследования студентов.

Пример 1. Развитие туристической индустрии как латентный показатель развития сельского хозяйства в Тюменском регионе.

Информация. В Тюменской области имеющиеся туристские ресурсы и инфраструктура по основным индикаторам заметно выше средних российских показателей. Прогнозируемый темп роста туристской индустрии России до 2010 года – 10-12% в год, среднегодовой прирост оборота – 2,4 – 2,5 млрд.

долларов. Кроме того, Тюменская область имеет ряд дополнительных преимуществ: сложившиеся темпы экономического роста (11-12%) заметно выше среднероссийских (6-7%);

средняя зарплата (10 тыс. рублей) и темп роста платежеспособного спроса на услуги (15-17%), в том числе туристские, также выше более чем в 1,5 раза;

бюджетная обеспеченность также значительно выше среднероссийской;

выделяются значительные средства на развитие туризма;

ощущается значительная административная и другая поддержка развития туризма со стороны властей юга области и автономных округов. Тюменская область имеет объективные предпосылки (потенциальную возможность) развития индустрии туризма темпами – 13-15%, более высокими, чем прогнозируемые до 2010 г. среднероссийские (10-12%). Однако пока индустрия туризма в Тюменской области развивается темпами - (8%), которые заметно ниже среднероссийских.В тоже время, из Проекта стратегии инвестиционного развития сельского хозяйства и рыболовства в Тюменской области до года, агропромышленный комплекс юга Тюменской области является одним из крупнейших производителей сельскохозяйственной продукции на территории Уральского федерального округа. По темпам роста производства продукции сельского хозяйства юг Тюменской области в 2005 г. занимал третье место после Свердловской и Челябинской областей, а по объёму производства на душу населения - второе место в УрФО.

Мы провели исследование на выявление скрытой связи между развитием отраслей туристическая индустрия и сельское хозяйство с помощью математического метода парная регрессия. В исследовании использованы данные по Тюменской области Для отрасли сельское хозяйство и предоставление услуг в этой области выясним, насколько скоррелированы расходы и доходы в этой отрасли.

Таблица Сравнительная таблица параметров видов регрессий Уравнения Коэффициент корреляции Детерминация Линейная 0,998811 0, Полулогарифмическая 0,862096 0, Степенная 0,914713 0, Из сводной таблицы сравнения моделей парных регрессий по вычисленным параметрам следует, что затраты на развитие туристической индустрии в области оправданы.

Данное исследование дает право предполагать, что развитие туризма является скрытым показателем влияния на развитие сельского хозяйства в нашем регионе. Используемая литература: Охрана окружающей среды в Тюменской области (2001-2005 г.). Статистический сборник 23043, Тюмень, - 2006, - 206 с.

Пример 2. Проблемы чистой воды и научный метод аппроксимации.

Научный метод аппроксимации позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых и более удобных объектов, характеристики которых легко вычисляются или уже известны. Применим данный метод для изучения одной из составляющих решения проблемы загрязнения и очистки воды в северном регионе Тюменской области.

Информация. Под загрязнением водных ресурсов понимают любые изменения физических, химических и биологических свойств воды в водоемах в связи со сбрасыванием в них жидких, твердых и газообразных веществ, которые причиняют или могут создать неудобства, делая воду данных водоемов опасной для использования, нанося ущерб народному хозяйству, здоровью и безопасности населения. Производственные сточные воды загрязнены в основном отходами и выбросами производства. Количественный и качественный состав их разнообразен и зависит от отрасли промышленности, ее технологических процессов;

их делят на две основные группы: содержащие неорганические примеси, в т.ч. и токсические, и содержащие яды. Нефть и нефтепродукты на современном этапе являются основными загрязнителями внутренних водоемов, вод и морей, Мирового океана. 12 г нефти делают непригодной для употребления тонну воды;

атомные электростанции радиоактивными отходами загрязняют реки;

увеличение поступления бытовых стоков во внутренние водоемы становится источником загрязнения рек и озер болезнетворными бактериями и гельминтами. Правительство Тюменской области уделяет пристальное внимание проблемам воды. Во многих населенных пунктах уже введены в строй новые очистные сооружения, установлены локальные системы очистки. В Тюменской области делается все возможное, чтобы вода, которую мы пьем, стала по-настоящему питьевой. По программе «Чистая вода» сделано очень многое, в Тюменской области уровень обеспеченности населения водой питьевого качества достиг 80,2 %, доля сельского населения обеспеченного питьевой водой достигла 52 %. Объем средств из областного бюджета на водоснабжение и водоотведение составляет 497 млн. рублей. В бюджетах муниципальных образований предусмотрено млн. рублей (данные 2010 г.).

Рассмотрим на примере северных городов данные по затратам на очистку сточных вод на 2001 и 2005 год в ХМАО, скоррелируем данные и спрогнозируем планируемые расходы на будущее. Составим три модели связи между затратами на очистку вод и определим наиболее близкую к реальной ситуации.


Таблица Расходы северных городов на очистку воды Города ХМАО 2001 год (Млн. руб.)- Х 2005 год (Млн. руб.)- У Белоярский 0 12600, Нефтеюганск 215,2 5122, Нижневартовск 2366,7 1988, Пыть-Ях 5,6 4557, Сургут 54130,4 114551, Югорск 2486,0 208, Таблица Составляющие параметры формул корреляции и линейной регрессии № X(2001 Y(2005 X*Y Ai Y год) год) 1 0 12600.0 0 0 158760000 -6220.54 18820.54 1. 2 215.2 5122.3 1102318.96 46311.04 26237957 -2601.69 7723.992 1. 3 2366.7 1988.1 4705236.27 5601269 3952542 33578.39 -31590.3 15. 4 5.6 4557.0 25519.2 31.36 20766249 -6126.37 10683.37 2. 5 54130.4 114551.3 620112007 29304900 131222000332 84812.3 29738.95 0. 6 2486.0 208.0 517088 6180196 43264 35584.56 -35376.6 170. Су 10486,9 139026,7 626462169,9 41132707 13331760344 139026.7 0 191. мм Ср 1747,817 23171,12 104410361,6 6855451 2221960057 -35376.6 0 31. ед Оценим тесноту связи между X и Y с помощью коэффициента корреляции r = b*, r = 0. и составим уравнение линейной регрессии.

b=, a =, b=16.81621, a=-6220.54, =-6220.54+ 16.81621*X.

Между признаками X и Y наблюдается тесная корреляционная связь.

Коэффициент детерминации d = = 0.6377 или 63, 77 %, что объясняет 63% данной модели.

Модель полулогарифмической парной регрессии имеет вид y = a+b*lnX.

Линеаризируя его, получим следующее уравнение y = -2216.9172 + 4870.03777*Z. (Расчетная таблица аналогичная, не прилагается).

Составим третью модель степенной парной регрессии взаимосвязи данных. Y=a*x^b. Выполним процедуру линеаризации данного уравнения и прологарифмируем обе части уравнения lnY=ln(ax^b);

lnY=lnA+lnX^b;

lnY=lnA+blnX. Введем новые переменные: Y=A+bX.

Используя метод наименьших квадратов, рассчитаем параметры уравнения: b= ;

a = ;

b =0.0323;

a =8.31729.

Уравнение степенной парной регрессии =8.31729-0.0323*X, коэффициент корреляции вычислим по формуле Rxy=, r = 0,99812.

Связь тесная.

Выполненные расчеты по составлению трех моделей связи представлены в таблице, из которой следует, что более близкая к реальной ситуации денежных затрат на очистку воду модель степенной функции, следовательно последующие денежные вливания в решение проблем очистки воды будут увеличивать по ее законам.

Таблица Сравнительная таблица параметров моделей взаимосвязи переменных Х и У Уравнения Коэф.корреляции Коэф.детерминации Коэф.эластичности Линейная 0,798631 0,6377 1, Полулогарифмическая 0 0 1, Степенная 0,99812 0,99624 0, Библиографический список 1. Охрана окружающей среды в Тюменской области (2001-2005г.): статистический сборник 23043. – Тюмень. - 2006. - стр. 59.

В.П. Кочнев Екатеринбург, Уральский Федеральный Университет ТВОРЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ КАК ОДНО ИЗ УСЛОВИЙ РАЗВИТИЯ ТВОРЧЕСКИХСПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ПРОФИЛЯ Известно, что всякий педагогический процесс является весьма сложным и многогранным явлением, включающем в себя, в частности, очень важный вопрос воспитания и мышления личности, ибо рано или поздно, на том или ином уровне каждому человеку приходится сталкиваться с задачами проблемного и творческого характера. Когда говорят о преподавании какого либо предмета, то нередко приходится слышать, что для успеха дела нужны качества такие как: хорошие знания предмета, хорошее знание языка преподавания и наличие творческого мышления обучаемых.

Обучение должно быть построено таким образом, чтобы в процессе его учащийся получая знания, удивлялся и восхищался мудростью тех, кто принес людям эти знания и умения, с которыми его знакомят учителя. Одним из необходимых условий осуществления этого является наличие достаточного времени для того, чтобы учащиеся имели возможность усвоить и обдумать полученную учебную информацию[2].

Проводившийся долгое время в жизнь тезис о единой общеобразовательной школе с одинаковыми для всех учащихся программами, учебниками, методами обучения, требованиями к знаниям учащихся без учета их способностей и реальных возможностей школы не соответствовал объективным потребностям общества подготовить большое число специалистов с углубленной математической подготовкой, способных к самостоятельному и творческому решению научных и технических проблем [3].

Творческое мышление удачно сочетается с дифференцированным обучением, когда этот вид обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и по отношению лишь к старшему звену школы. Организовать обычным образом учебный процесс, не учитывая особенности учащихся, находящихся на разных полюсах, очень сложно. Ориентация на личность ученика требует того, чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников. Это означает, что в ходе обучения математике не следует предъявлять более высоких требований тем учащимся, которые не достигли уровня обязательной подготовки. Необходимо, чтобы в учебной работе были для таких учащихся задания посильными, соответствующими индивидуальному темпу овладения учебным материалом на каждом этапе обучения. В то же время если для одних учащихся имеет смысл этап отработки основных опорных знаний и умений, то других не следует необоснованно задерживать на этом этапе.

Одним из условий, реализация которого существенно усиливает эффективность дифференцированного обучения- это добровольность учащегося в выборе уровня усвоения материала и последующей отчетности. В соответствии с этим каждый ученик имеет право добровольно и сознательно решать для себя, на каком уровне ему усваивать материал. Именно такой подход позволяет формировать у школьников познавательную потребность изучаемого материала, вырабатывать навыки самооценки, планирования, регулирования своей учебной деятельности, проявляя самостоятельную активность, развивая творческое мышление.

Ориентация на обязательные результаты обучения постоянно поддерживает подготовку школьника на опорном уровне. Это позволяет каждому школьнику при возможности и возникшем интересе перейти на более высокие уровни на любом этапе обучения.

Необходимо обратить внимание на дифференциацию обучения по содержанию, которая предполагает обучение разных групп школьников по программ-мам, отличающимся глубиной изложения математического материала, объемом сведений из приложений и даже номенклатурой включенных специальных вопросов - этот вид дифференциации обучения называют профильной. Оба вида дифференциации - уровневая и профильная сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования.

Нами рассматривается дифференциация обучения на естественнонаучный профиль, в котором математика рассматривается как основа, с которой связаны дисциплины естественнонаучного цикла (физика, химия, биология, экология), разрабатывается система подготовки проведения индивидуальных консультаций с последующим обсуждением результатов. В основу создания такой системы положен опыт организации дифференцированной дозы помощи накопляемости поиска решения проблемных математических задач естественнонаучного содержания, когда одним ученикам представляют полную самостоятельность, а другим учитель объясняет алгоритм решения, третьим предлагают сверять своё решение с ключевыми моментами решения, помещенными на интерактивной доске или на экране компьютера.

Кроме того, во время фронтальной работы дифференцировать дозу помощи могут ученики-консультанты-отличники, успешно обучающиеся по математике.

Одним из составляющих образовательного процесса является система оценивания и регистрации достижений учащихся. Место системы оценивания в развитии образовательной системы уникально, так как именно она является наиболее очевидным интегрирующим фактором школьного образовательного пространства, основным средством диагностики проблем обучения и осуществления обратной связи, а также наиболее ясно воплощает в себе принципы, которые положены в основу образовательного процесса в целом [1].

Как успех учебного процесса в целом, успех дифференцированного подхода и творческого мышления учащихся в обучении существенно зависит от сознательной активности учащихся от того, насколько они смогут осознанно участвовать в учебном процессе, осмыслить свои собственные действия, проанализировать свой успех и причины неудач. Поэтому перед учителем ставится не просто задача изучения индивидуальных качеств учащихся, а создание условий для каждого при тщательном изучении, постановки и решении проблемных математических задач естественнонаучного содержания, вовремя сориентировать учащегося на выполнение более серьёзного задания, тем самым, обеспечив возможность развития творческих способностей.

Библиографический список 1. Кильметова Е.М. Дифференцированное обучение на уроках математики.

Инновационные процессы в образовании. Часть3.– Екатеринбург, 2007.

2. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и её изучении. – М., Физматлит, 1977.

3. Шабунин М.И. Научно-методические основы углублённой математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов. Автореф. дисс.докт. пед.наук. М., 1994.

Л.П. Латышева Пермский государственный педагогический университет О СПЕЦИАЛЬНЫХ КОМПЕТЕНЦИЯХ БУДУЩЕГО БАКАЛАВРА ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СВЕТЕ ТРЕБОВАНИЙ СТАНДАРТА К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Особенность современной стандартизации высшего образования, связанная с реализацией компетентностного подхода, потребовала от преподавательского корпуса усилий по разработке содержания блоков формируемых в рамках той или иной учебной дисциплины специальных компетенций. Причем особую значимость предстояло придать компетенциям, составляющим базу для конкретной специализации в будущей профессии.

Применительно к подготовке будущего учителя математики такими компетенциями явились те, что служат конечной целью освоения цикла фундаментальных математических дисциплин. Начальным этапом представления приемлемой структуры компетенций послужило обозначение главного смысла в их названии. Следующие этапы заключались в конкретизации содержания и разработке критериев сформированности блока специальных компетенций у будущего выпускника вуза.

Приведем отвечающее требованиям стандарта профессиональной подготовки бакалавра педагогического образования описание специальных компетенций, формируемых в ходе освоения в педвузе дисциплины «Математический анализ».

Освоивший данную дисциплину обязан обладать следующими специальными компетенциями.

1. Предметно-когнитивной компетенцией (СК-1) – предполагающей овладение содержанием математического анализа (основными понятиями:

множество действительных чисел, функция, предел, непрерывность, производная, интеграл, ряд, метрическое пространство, спрямляемая кривая, квадрируемая фигура, кубируемое тело;

идеями предельного перехода, дифференциального и интегрального исчисления, линеаризации, аппроксимации, приложений анализа в математике, физике, технике, развития классического математического анализа в функциональном анализе;

принципами локального и глобального представления о понятиях, методами построения интегральных сумм, дифференциалов, « -близости», приближенных вычислений с помощью понятий математического анализа, интегрирования, дихотомии, геометрической и физической интерпретации, графическим методом, методом прикладного использования понятия интеграла Римана, аксиоматическим методом).

В результате формирования названной компетенции студент – понимает, корректно излагает смысл перечисленных основных понятий, идей, принципов и методов математического анализа;

– верно формулирует определения изученных базовых понятий математического анализа: множество действительных чисел, функция, предел, непрерывность, производная, интеграл, ряд, метрическое пространство, спрямляемая кривая, квадрируемая фигура, кубируемое тело;

– понимает, корректно излагает смысл основных теорем классических разделов математического анализа, их доказательств: об основных свойствах множества действительных чисел, о пределах функции одной и нескольких переменных в точке, о пределе последовательности, о свойствах непрерывных функций одной и нескольких переменных в точке и на множестве, о свойствах и правилах вычисления производной и дифференциала одной и нескольких переменных, о дифференцируемых функциях (Ферма, Роля, Лагранжа, Коши, Лопиталя-Бернулли), о свойствах интегрируемых функций и методах вычисления неопределенных, определенных, криволинейных, двойных и тройных интегралов, о свойствах числовых и функциональных рядов, степенных и тригонометрических рядов, о приложениях производной, интеграла и теории рядов;

– демонстрирует доказательства перечисленных фундаментальных теорем классических разделов математического анализа;

– применяет основные общематематические методы и методы классических разделов математического анализа к решению типовых задач:

метод математической индукции, метод полной индукции, метод рассуждений «от противного», методы рассуждений с использованием языка « - », методы нахождения пределов и производных, вычисления интегралов, разложения функций в степенные и тригонометрические ряды, построения интегральных сумм, дифференциалов, приближенных вычислений с помощью понятий математического анализа, интегрирования, графический метод, метод прикладного использования понятия интеграла Римана.

2. Прикладной компетенцией (СК-2) – предполагающей овладение методом математического моделирования строить (способность математические модели, выбирать и применять соответствующий модели метод математического анализа решения задачи и интерпретировать результаты).

Итогом достижения данной компетенции является то, что студент – способен применять основные общематематические методы и методы классических разделов математического анализа к решению содержательных задач, связанных с приложениями понятий «производная», «интеграл», «ряд»;

– способен проводить измерения и вычисления с использованием названных выше методов математического анализа при решении практических задач;

– способен переводить на язык математического анализа, связанный с содержанием и свойствами понятий «функция», «предел», «производная», «интеграл», «ряд», проблемы, поставленные в терминах других предметных областей;

- способен строить математические модели с использованием понятий математического анализа (функция, предел, непрерывность, производная, интеграл, ряд) для описания и дальнейшего изучения нематематических процессов.

3. Методологической компетенцией (СК-3) – отражающей готовность к пониманию методологической и историко-культурной функций математического анализа (владение основами логической, алгоритмической, пространственной, комбинаторной культуры мышления;

представление о структуре и взаимосвязях понятий, конструкций и методов математического анализа;

способность пользоваться логикой и языком математического анализа;

понимание функций и истории изучаемых в этой дисциплине математических объектов и теорий).

В результате формирования названной компетенции студент в сфере относящихся к математическому анализу проблем – может проводить доказательства математических утверждений, не аналогичных ранее известным;

– готов понимать, выявлять сущность ирешать задачи из различных областей математического анализа, которые требуют некоторой оригинальности мышления;

– способен переносить результаты математического анализав нематематические контексты.

В частности, студент, овладевший данной компетенцией, демонстрирует знание общей структуры математического анализа как научной дисциплины, иерархии и генетической преемственности его частных и общих понятий;

использует язык « - » как основу базовых конструкций математического анализа;

готов устанавливать свойства и проводить исследования объектов, относящихся к понятиям математического анализа;

реализует в теоретических построениях математического анализа и в решении прикладных задач анализ, синтез, индукцию, дедукцию, конкретизацию и обобщение;

владеет общими математическими схемами (методами полной и математической индукции, «от противного», приведения контрпримеров и др.), используя их в теоретических и практических содержательных рассуждениях по курсу математического анализа.

Отвечающие всем трем компетенциям критерии их сформированности на пороговом (обязательном) и повышенном (связанном с готовностью к самостоятельной профессиональной деятельности) уровнях даны в таблице.

Обозна Уровень Содержательное Критерии оценки чение сформирова описание уровня компет нности енции Знает Умеет Владеет способен корректно основные понятия: корректно истолковать смысл основными СК-1 Пороговый излагать смысл основных множество действительных основных понятий и ведущих общематематически понятий математического чисел, функция, предел, идей математического ми методами и анализа;

непрерывность, анализа;

методами готов формулировать производная, интеграл, ряд, - правильно формулировать классических основные теоремы и метрическое пространство, определения базовых понятий разделов свойства объектов курса спрямляемая кривая, математического анализа: математического математического анализа;

квадрируемая фигура, множество действительных анализа для способен приводить кубируемое тело;

чисел, функция, предел, решения типовых доказательства основных идеи предельного перехода, непрерывность, производная, задач: методом теорем математического дифференциального и интеграл, ряд, метрическое математической анализа;

интегрального исчисления, пространство, спрямляемая индукции, методом способен применять приложений анализа в кривая, квадрируемая фигура, полной индукции, основные методы математике, физике, кубируемое тело;

методом математического анализа технике, методы построения - приводить формулировки и рассуждений «от к решению типовых задач интегральных сумм, представлять смысл противного», дифференциалов, доказательств основных методами приближенных вычислений теорем: об основных рассуждений с с помощью понятий свойствах множества использованием математического анализа, действительных чисел, о языка « - », интегрирования, пределах функции одной и методами геометрической и нескольких переменных в нахождения физической интерпретации, точке, о пределе пределов и графический метод, метод последовательности, о производных, прикладного использования свойствах непрерывных вычисления понятия интеграла Римана) функций одной и нескольких интегралов, переменных в точке и на разложения множестве, о свойствах и функций в правилах вычисления степенные и производной и тригонометрические дифференциала одной и ряды, построения нескольких переменных, о интегральных сумм, дифференцируемых дифференциалов, функциях (Ферма, Роля, приближенных Лагранжа, Коши, Лопиталя - вычислений с Бернулли), о свойствах помощью понятий интегрируемых функций и математического методах вычисления анализа, методами неопределенного и интегрирования, определенного, графическим криволинейного, двойных и методом, методом тройных интегралов, о прикладного свойствах числовых и использования функциональных рядов, понятия интеграла степенных рядов и Римана тригонометрических рядов, о приложениях производной, интеграла и теории рядов готов формулировать обобщения основных демонстрировать полные основными Повышен точные определения понятий математического доказательства общематематически ный понятий математического анализа, идеи линеаризации, фундаментальных теорем ми методами и анализа;

аппроксимации, развития классических разделов методами готов давать строгие классического математического анализа и классических формулировки свойств и математического анализа в приводить примеры и разделов закономерных функциональном анализе, контрпримеры математического взаимосвязей понятий и принципы локального и анализа для конструкций глобального представления решения нетиповых, математического анализа;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.