авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |

«Посвящается пионерам освоения космоса Предисловие Фактически в настоящее время закладываются основы решения фундамен- тальных проблем, связанных с ...»

-- [ Страница 11 ] --

За основу принято численное решение краевой задачи для стационарного уравнения переноса монохроматического или квазимонохроматического излу чения в рассеивающей, поглощающей, излучающей сферической атмосфере (сферической оболочке) сложной пространственной структуры, ограниченной неоднородной отражающей подстилающей поверхностью, роль которой могут играть земная поверхность (суша, океан), верхняя граница облачности или гидрометеоров (осадки).

Разработаны специальные эффективные приемы решения задач с нераз решенными спектрами и учетом селективного и континуального поглощения атмосферными газами при расчете многократного рассеяния. Еще в 1967– годах был предложен и реализован метод подгрупп, когда функция пропуска ния аппроксимируется суммой экспонент с эффективными коэффициентами поглощения и весами подгрупп. Эффективность метода подгрупп была подтверждена прямыми сравнениями расчетов, проведенных методом подгрупп и методом Монте-Карло с учетом исходной функции пропускания. Позже и по настоящее время такой же прием широко используется за рубежом.

Итак, рассматривается процесс переноса излучения внутри сферической оболочки (область G). Пока ограничимся задачей без учета рефракции и поляризации, хотя эти эффекты нами уже изучались достаточно подробно.

Источники излучения могут быть внешние (падающий параллельный или диффузный поток) и внутренние (локальные, точечные или распределенные по объему). Проходя через среду, излучение многократно рассеивается и частично поглощается, если присутствует истинное поглощение, как в случае неконсервативной среды. Рассеянное излучение перераспределяется по различным направлениям (без изменения частоты) и может выходить за пределы ограниченной сверху границей Gb и снизу границей GH области G.

При наличии отражения от внешних границ среды (Gb и GH ) происходит частичный возврат излучения во внутрь области. В предположении стационар ного состояния среды и постоянства источников световое поле описывается интенсивностью излучения (r, s) – скалярной функцией точки пространства – с радиус-вектором r, направления распространения световых лучей s и длины волны. В связи с тем, что реальные интересующие нас среды (атмосфера планеты, облачность, гидрометеоры, океан) имеют сложную структуру со слу 492 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния чайными пространственно-временными флуктуациями, важную роль приоб ретают различные приближения, сводящие задачу к более простой и при этом позволяющие выяснить наиболее существенные качественные закономерности и получить достоверные количественные оценки радиационных характеристик.

Построение решения общей краевой задачи теории переноса (ОКЗ) основано на результатах анализа свойств функций (r, s) и В (r, s) (их непрерывности, дифференцируемости, локальных свойств). Эти результаты, а также доказательства существования и единственности решения в течение многих лет получались и улучшались рядом авторов, в том числе Е. Хопфом, Кузнецовым Е.С., Владимировым В.С., Чуяновым В.А., Гермогеновой Т.А., Агошковым В.И. и др. На сегодняшний день известны практически все основные свойства решения ОКЗ, необходимые для строгого построения численных алгоритмов.

Непрерывность и дифференцируемость функции источника B(r, s) по уг ловым переменным в значительной степени определяется свойствами индика трисы рассеяния. Из-за зависимости индикатрисы рассеяния от произведения s · s, а не от каждого направления отдельно, B(r, s) является локально по s гладкой функцией (при гладкости (r, s) в среднем, т. е. в интегральном смысле).

Степень гладкости B(r, s) по пространственным переменным та же, что и у функций sc (r), (r, s, s ), (r, s). Разрывы B(r, s) возможны лишь на тех поверхностях, на которых терпят разрыв функции tot (r) и sc (r). Вдоль траекторий характеристик (в результате интегрирования по пространственным переменным) функция D 1 B более гладкая, чем (r, s). Пространственные производные B(r, s) имеют логарифмические особенности в окрестностях точек r G на поверхностях разрыва коэффициентов tot (r) и sc (r) (см.

работы В. С. Владимирова, Т. А. Гермогеновой, В. И. Агошкова).

Обращение дифференциального оператора уравнения переноса посред ством интегрирования уравнения по характеристикам используется на каж дой итерации при расчете приближений любого порядка. Впервые метод характеристик был использован рядом авторов для решения нестационарных задач переноса излучения. Одним из первых такой алгоритм разработал В. Я. Гольдин. В работах Е. С. Кузнецова содержатся формулы интегрирования уравнения переноса в общем виде для одномерной сферы и бесконечного цилиндра. Введение разностной сети в метод характеристик впервые осуще ствил В. С. Владимиров для сферически-симметричной (одномерной) задачи.

Этот вариант метода характеристик (без интерполяции) накладывает жесткие требования на разностную сеть, что оказывается для некоторых задач либо неудобным, либо (например, для двумерной сферической задачи) неосуществи мым. Владимиров В.С. впервые получил оценки точности конечно-разностного аналога метода характеристик. Улучшение метода В. С. Владимирова описано Г. И. Марчуком.

7.2. Сферическая модель переноса излучения Принципиально важным для широкого распространения метода характе ристик является включение интерполяции, т. е. сеточно-характеристического подхода, и использование аддитивных свойств экспонент в схеме расщепления вычислений по отрезкам вдоль характеристик. Почти одновременно метод характеристик с интерполяцией был опробован на одномерных задачах рядом авторов (Т. А. Гермогенова, Л. П. Басс, Т. А. Гермогенова, Т. А. Сушкевич, Ш. С. Николайшвили, В. И. Лебедев и др.). Несмотря на различия в ал горитмах реализации метода, все эти исследования имели положительные результаты и послужили основой для внедрения метода характеристик в многомерные задачи со сложной геометрией и структурой среды. Т. А. Гер могеновой (см. работу совместно с Л. П. Бассом) были получены общие оценки точности конечно-разностного метода характеристик и показана устойчивость соответствующей конечно-разностной схемы.

§ 7.2. Сферическая модель переноса излучения. Криволинейная система координат. Характеристики оператора переноса В данном разделе описан алгоритм получения координатной записи диф ференциального оператора кинетического уравнения переноса излучения в ортогональной криволинейной системе координат. Представлены записи для одно-, двух- и трехмерных сферических моделей атмосферы Земли. Получены первые интегралы оператора переноса в частных производных в пятимерной фазовой области.

Рассматривается задача переноса излучения в сферической оболочке. В зависимости от постановки задачи и выбранного приближения приходится иметь дело с одномерными, двумерными, трехмерными по пространству и двумерными, трехмерными, четырехмерными, пятимерными по фазовому объему математическими моделями. Частные формулировки таких моделей содержатся в работах Т. А. Сушкевич и других авторов.

Изложим единый подход к выводу дифференциального оператора уравне ния переноса при четкой фиксации системы отсчета координат, позволяющий осуществлять переход от одной модели к другой и отслеживать связи между различными системами отсчета координат. За основу берется бескоординатная форма записи дифференциального оператора как производной по направлению s, которая, как известно, совпадает с проекцией градиента функции (r, s) на это направление = s = (s, grad ). (7.1) s Для производной (7.1) получена общая запись в сферических (криволи нейных) ортогональных координатах для пятимерного фазового объема, из которой легко находятся любые частные случаи. Эти исследования обуслов лены острой необходимостью детального знания, как соотносятся сферические системы координат и координатные записи выражения (7.1), чтобы корректно 494 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния использовать метод характеристик для интегрирования уравнения переноса.

Сферическая геометрия, в отличие от плоских и цилиндрических геометрий, существенно сложнее для реализации. Во-первых, при смещении вдоль характеристик изменяются сразу все координаты пространственной точки и направления распространения излучения. Во-вторых, пространственная разностная ячейка, образуемая двумя сферическими поверхностями, двумя боковыми поверхностями полуконусов и двумя полуплоскостями, настолько не поддается наглядному изображению, что прохождение характеристики через такую ячейку можно описывать только аналитически с помощью уравнений траекторий световых лучей.

Пользуясь возможностью, искренне благодарим профессора В. В. Смелова за полезное обсуждение проблемы и предоставленные личные результаты, способствующие выполнению настоящей работы.

7.2.1. Система координат. Рассмотрим скалярное поле функций (r, s) с векторными аргументами: r – радиус-вектор точки пространства M (r), s – – – направление распространения излучения в точке M (r). В прямоугольных декартовых координатах положение точки M (r) определяется тремя коорди натами x, y, z и (7.2) r = xi + yj + z k, где i, j, k – орты, т. е. взаимно перпендикулярные единичные векторы, на – правленные по трем осям прямолинейной прямоугольной системы координат OXY Z.

Сферические модели радиационного поля Земли естественно рассматри вать в сферической геометрии, когда для вектора r используется система Q криволинейных координат q1, q2, q3. Координатная система Q строится с учетом конкретной геометрии задачи, в том числе и ее размерности (одно-, двух- или трехмерная). Для вектора s используется обычно сферическая координатная система, как-то привязанная к текущей пространственной точке r.

Будем считать, что Q – криволинейная ортогональная система простран – ственных координат, и пусть q1, q2, q3 – криволинейные координаты, реги – стрирующие положение точки M (r) с радиус-вектором r в пространстве относительно неподвижной точки O, совпадающей с центром сферы (центр Земли). Система Q в каждой точке M (r) формирует локальную ортогональную систему координат, образованную векторами e1, e2, e3 (e1, e2, e3 – единичные – векторы, направленные по касательным к координатным линиям в точке M в сторону возрастания переменных q1, q2, q3 соответственно), так что (7.3) r = q1 e1 + q2 e2 + q3 e3 = qi ei.

i= 7.2. Сферическая модель переноса излучения В декартовой системе координат каждая из величин q1, q2, q3 является функцией от радиус-вектора r:

q1 (r) = q1 (x, y, z), q2 (r) = q2 (x, y, z), q3 (r) = q3 (x, y, z).

Обратно, радиус-вектор r любой точки пространства, определенный заданием тройки величин q1, q2, q3, является функцией от этих переменных, а, следо вательно, и компоненты этого вектора x, y, z будут функциями от q1, q2, q3 :

x = x(q1, q2, q3 ), y = y(q1, q2, q3 ), z = z(q1, q2, q3 ).

Через каждую точку M пространства проходит по одной координатной поверхности каждого семейства поверхностей, образованного поверхностями уровня одной из функций q1 (r) = const, q2 (r) = const, q3 (r) = const.

Линии пересечения двух координатных поверхностей образуют координатные линии. При этом на координатной линии, например, q1 меняется только координата q1, координаты же q2 и q3 сохраняют неизменные значения.

Особенностью и сложностью применения криволинейной системы коор динат является то обстоятельство, что единичные векторы e1, e2, e3 имеют в криволинейных координатах различные направления в разных точках пространства, а, следовательно, при смещении по пространству в направлении s из точки M (q1, q2, q3 ) в точку M (q1 +dq1, q2 +dq2, q3 +dq3 ) единичные векторы в этих точках будут e1, e2, e3 и e1 + de1, e2 + de2, e3 + de3 соответственно.

Естественно, что при этом из системы координат (M ) переходим в новую локальную систему (M ) и изменяются сферические координаты луча s.

Очевидно, что e e e de1 = 1 dq1 + 2 dq2 + 3 dq q1 q2 q и т. д. аналогично для de2, de3. В книге Кочина изложен алгоритм получения выражений для частных производных единичных векторов ei по обобщенным криволинейным координатам qk через коэффициенты Ламэ. Воспользуемся этими рекомендациями.

r Рассмотрим радиус-вектор r(q1, q2, q3 ) и найдем, считая q2 и q q постоянными, когда годографом вектора r является координатная линия q1.

r В этом случае вектор имеет направление касательной к координатной q линии q1, т. е.

r = H1 e1, q r где H1 – длина вектора –. Так как e1 – единичный вектор, то – q r 2 x 2 y 2 z 2 или H1 = H1 =, + +, q1 q1 q1 q 496 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния так как r x y z i+ j+ k.

= q1 q1 q1 q Аналогично r r = H2 e2, = H3 e3, q2 q где коэффициенты определяются по обобщенной формуле r 2 x 2 y 2 z Hi2 = (7.4) = + +.

qi qi qi qi Величины H1, H2, H3 называются коэффициентами Ламэ.

Криволинейные ортогональные координаты – это когда координатные ли – нии в каждой точке взаимно перпендикулярны. Цилиндрическая и сфе рическая системы координат являются ортогональными. Необходимые и достаточные условия для ортогональности криволинейных координат:

r r x x y y z z = 0,, = + + i = k, qi qk qi qk qi qk qi qk или qi qk q q q q + i k + i k = 0, (grad qi, grad qk ) = i = k.

x x y y z z Если grad qi = hi e (для ортогональной системы e = ei, где e – единичный i– i i вектор нормали к координатной поверхности qi = const, направленный в сторону возрастания qi ), т. е. hi – длина вектора grad qi, то – 2 2 qi qi qi h2 = (grad qi )2 = i = 1, 2, 3.

+ +, i x y z Величины h1, h2, h3 называют дифференциальными параметрами первого порядка.

Для ортогональных криволинейных координат между Hi и hi существует простая связь:

ei r grad qi = hi ei, = Hi ei, grad qi =, hi =.

qi Hi Hi Пусть в разложении a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e величины a1, a2, a3 – криволинейные координаты вектора a. В частности, беря – за a вектор dr, получим r r r dr = dq = H1 dq1 e1 + H2 dq2 e2 + H3 dq3 e3, dq1 + dq2 + q3 q1 q так что составляющими вектора dr являются i = 1, 2, 3. (7.5) dsi = Hi dqi, 7.2. Сферическая модель переноса излучения Так как (dr)2 = (ds)2, (ei, ek ) = ik, то (dr)2 = (ds)2 = H1 ( dq1 )2 + H2 ( dq2 )2 + H3 ( dq3 )2.

2 2 В сферической координатной системе Q положение точки M (r) будем определять криволинейными координатами (7.6) q1 = r, q2 =, q3 =, где r – расстояние M от центра сферы O (длина направленного отрезка – OM );

– угол, который образует направленный отрезок OM с осью OZ;

– – угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки (для правой – системы координат или по часовой стрелке для левой системы координат, если смотреть на вращение OX со стороны положительного направления оси OZ) ось OX кратчайшим образом до совмещения с лучом ON – проекцией – луча OM на плоскость OXY. Координатная поверхность r = const (т. е.

поверхность, все точки которой одинаково удалены от центра O и имеют одну и ту же величину координаты r) является сферой.

Для взаимнооднозначного соответствия между точками пространства M (r) и тройками сферических координат (r,, ) считаем, что координаты изменяются в следующих границах:

0 0 2, r +,.

Оси декартовой прямоугольной системы координат OXY Z можно выбрать так, что декартовы координаты x, y, z точки M связаны с ее сферическими координатами r,, соотношениями (7.7) x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos.

Координаты и обычно называют широтой и долготой или меридиан и параллель. В зависимости от прикладных задач координату иногда называют зенитным углом или полярным углом, а координату – азимутом.

– Координатными поверхностями являются r = const – сферы с центром O;

– = const – полуконусы с осью OZ;

= const – полуплоскости, ограниченные – – осью OZ.

Координатные линии: радиусы – линии r;

меридианы, широты – линии ;

– – параллели, долготы – линии.

– Для сферических координат ребра криволинейного бесконечно малого параллелепипеда ds1 = dr, ds2 = r d, ds3 = r sin d.

498 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния С помощью (7.6) и (7.7) находим x y z = sin cos, = sin sin, = cos ;

q1 q1 q x y z = r sin ;

= r cos cos, = r cos sin, q2 q2 q x y z = r sin sin, = 0.

= r sin cos, q3 q3 q Далее легко вычислить выражения (7.4):

(H1 )2 = sin2 cos2 + sin2 sin2 + cos2 = 1, (H2 )2 = r 2 cos2 cos2 + cos2 sin2 + sin2 = r 2, (H3 )2 = r 2 sin2 sin2 + sin2 cos2 = r 2 sin и поэтому Hr = 1, (7.8) H = r, H = r sin.

Определим локальную систему координат в точке M (r) заданием орто нормированного базиса u1 (M ), u2 (M ), u3 (M ). В представлении k = 1, 2, 3, (7.9) uk = aik ei, i= коэффициенты aik = aik (q1, q2, q3 ) образуют ортогональную матрицу A = (aik ), т. е. AA = E, где A – транспонированная матрица A, E = (ik ) – единичная – – матрица, ik – символ Кронекера. Очевидно, – i = 1, 2, 3. (7.10) ei = aik uk, k= Рассмотрим векторное поле направлений s = s(M ). Для регистрации вектора s(M ) введем сферические координаты = cos,,, привязанные к базису {ui }3 : [0, ] – зенитный угол, отсчитываемый от орта u3 ;

– – – i= азимут, отсчитываемый от орта u1 ;

оставляем пока радиус = 1. В таком случае имеем разложения вектора s(M ) по базису {ui }3 :i= 1 2 cos u1 + 1 2 sin u2 + u3 (7.11) s(M ) = и по базису {ei }3 :

i= (7.12) s(M ) = vi ei.

i= Из соотношений (7.9), (7.11), (7.12) находим 1 2 cos ai1 + 1 2 sin ai2 + ai3. (7.13) vi = 7.2. Сферическая модель переноса излучения Действительно, подставляем (7.9) в (7.11):

3 3 1 2 cos 1 2 sin s(M ) = ai1 ei + ai2 ei + ai3 ei = i=1 i=1 i= 1 2 cos a11 + 1 2 sin a12 + a13 e1 + = 1 2 cos a21 + 1 2 sin a22 + a23 e2 + + + 1 2 cos a31 + 1 2 sin a32 + a33 e и явным образом устанавливаем справедливость выражения (7.13).

Введем алгебраические векторы в виде столбцов 1 2 cos v1 w v = v2, w = 1 2 sin = w2, (7.14) v3 w где w1 = 1 2 cos, 1 2 sin, w2 = w3 =, или строк v = (v1, v2, v3 ), 1 2 cos, 1 2 sin, w=, и тогда равенства (7.13) можно переписать в виде (7.15) v = Aw.

Векторы v и w зависят от базиса {ui }3.

i= 7.2.2. Частные производные вектора направления. Пусть в некоторой области G трехмерного пространства определена скалярная функция с векторными аргументами (r, s) = (M, s(M )) (q1, q2, q3 ;

,, ).

Градиент этой функции ek = grad = (7.16) + + +.

Hk qk qk qk qk k= Найдем частные производные компонент вектора направления k = 1, 2, 3.

,,, qk qk qk 500 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния Дифференцируя (7.12) по qk, k = 1, 2, 3, получаем 3 s(M ) vi ei k (7.17) ei + = vi.

qk qk qk i=1 i= Воспользуемся тождествами из книги Кочина 1 H1 1 H e = e e;

H2 q2 2 H3 q3 q 1 H2 1 H e1 e e2 ;

e = = H1 q1 q2 H1 q1 q и общей записью этих соотношений 1 H k H q ek, i = k;

ei i i (7.18) = 3 1 sk Hk e, qk i = k.

s Hs qs s= Выражения (7.18) зависят от базиса {ei }3. Подставляем тождества (7.18) i= в (7.17) 3 3 1 sk Hk 1 Hk vi k = vi (1 ik ) ek ik ei + es.

qk Hi qi Hs qs i=1 i=1 s= Умножаем полученное выражение скалярно на em, m = 1, 2, 3:

3 1 Hk vi vi (1 ik ) (ek, em ) (k, em ) = (ei, em ) + qk Hi qi i=1 i= 1 sk Hk ik (es, em ) Hs qs s= и с учетом ортонормированности базиса (ei, em ) = im находим 3 1 Hk vi vi (1 ik )km (k, em ) = im + qk Hi qi i=1 i= 1 sk Hk ik sm, Hs qs s= откуда следуют уравнения 1 km Hk 1 Hm vm = vi (1 im )km ik + (k, em ), (7.19) qk Hi qi Hm qm i= 7.2. Сферическая модель переноса излучения которые можно записать в матричной форме v = Hk v + fk, k = 1, 2, 3, (7.20) qk где алгебраический вектор (k, e1 ) fk (k, em ) = (k, e2 ). (7.21) (k, e3 ) С помощью (7.19) вычисляем конкретные выражения правой части (20) для набора индексов m = 1, 2, 3 и k = 1, 2, 3:

1 H1 1 H v = v2 v + f11, H3 q3 q1 H2 q 1 H1 1 H v2 v v1 + f12, v1 + f13.

= = q1 H2 q2 q1 H3 q Следовательно, при k = 1 имеем 1 H1 1 H H3 q H2 q 1 H1 H1 = ;

0 0 (7.22) H2 q2 1 H 0 H3 q 1 H2 1 H v1 v 1 = v + f2, = v + f2, H1 q1 2 H3 q3 q2 q 1 H2 1 H v = v1 v + f2 ;

H3 q3 q2 H1 q при k = 2 имеем 1 H 0 H1 q 1 H 1 H H2 = ;

0 (7.23) H1 q1 H3 q 1 H 0 H3 q 1 H3 1 H v1 v 1 = v + f3, = v + f3, H1 q1 3 H2 q2 q3 q 1 H3 1 H v = v1 v + f3 ;

H2 q2 q3 H1 q 502 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния при k = 3 имеем 1 H 0 H1 q 1 H 0 H3 =. (7.24) H2 q 1 H3 1 H H1 q1 H2 q Как видим, все матрицы Hk являются кососимметрическими.

С другой стороны, из (7.15) имеем матричное уравнение v A w (7.25) w+A =.

qk qk qk Из равенства правых частей (7.20) и (7.25) вытекает матричное уравнение A w Hk v + fk = (7.26) w+A.

qk qk Используем определение алгебраического вектора w (7.14) и представим его производную через искомые величины w w w w (7.27) = + +.

qk qk qk qk Введем алгебраические векторы, составленные из искомых величин, qk Xk (7.28) qk qk и матрицу w1 w1 w w w2 w C. (7.29) w3 w3 w 7.2. Сферическая модель переноса излучения С помощью (7.14) вычисляем коэффициенты w1 cos w2 sin = = a1 =, a2 =, 1 1 w3 w = 1 2 sin, a3 = =, b1 = w2 w = 1 2 cos, = 0, b2 = b3 = w1 w2 w 1 2 cos, = 1 2 sin, c1 = = c2 = c3 = = и находим явные выражения элементов матрицы (7.29):

cos 1 2 sin 1 2 cos 1 C=. (7.30) sin 1 2 cos 1 2 sin Используя определения (7.28) и (7.29), равенство (7.27) можно записать в матричном виде w (7.31) = CXk.

qk Подставим (7.31) в (7.26) и воспользуемся (7.15):

A Hk Aw + fk = (7.32) w + ACXk.

qk Разрешим (7.32) относительно вектора Xk. Умножим (7.32) слева сначала на A A A Hk Aw + A fk = A w + C Xk, qk а затем на C 1 и получим A Xk = C 1 A Hk Aw + C 1 A fk C 1 A w qk или Xk = C 1 Qk w + Fk, (7.33) где введены обозначения A Qk A Hk A A (7.34), qk Fk C 1 A fk. (7.35) 504 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния Для реализации расчета по формуле (7.33) требуется явное выражение матрицы C 1. Будем искать эту матрицу в виде [Cik ] C 1 = (7.36), det C где Cik – алгебраическое дополнение элемента cik, определяемое через минор – Mik по формуле Cik = (1)i+k Mik. (7.37) Определитель матрицы C можно найти путем прямой подстановки значений ее элементов в выражение det C = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 c1 b2 a3 b1 a2 c3 a1 c2 b3 = 2.

Вычислим элементы матрицы (7.36) по формулам (7.37):

sin 1 2 cos, C11 = C12 =, 1 C13 = 2 1 2 cos, 1 2 sin, C21 = cos C22 = C23 = 2 1 2 sin,, 1 C31 = (1 2 ), C33 = C32 = 0, и получим 1 2 cos 1 2 sin 1 C 1 =.

sin cos (7.38) 1 2 1 1 2 cos 1 2 sin (k) Если матрицы Qk = (qin ) кососимметрические, то для каждой матрицы с фиксированным индексом k = 1, 2, 3 достаточно определить по три элемента.

Обозначим наддиагональные элементы, например, так:

(k) (k) (k) (k) (k) (k) q12 = q1, q13 = q2, q23 = q3 ;

тогда поддиагональные элементы будут (k) (k) (k) (k) (k) (k) q21 = q1, q31 = q2, q32 = q3, (k) (k) (k) а диагональные элементы q11 = q22 = q33 = 0. Так что (k) (k) q1 q (k) (k) Qk = q 1 q3.

0 (7.39) (k) (k) q2 q 7.2. Сферическая модель переноса излучения Вычислим столбцы-векторы Zk C 1 Qk w с вектором w (7.14), матрицей Qk (7.39) и матрицей C 1 (7.38). Сначала найдем векторы (k) y q11 w1 + q12 w2 + q13 w (k) Yk Qk w = q21 w1 + q22 w2 + q23 w3 = y2, (7.40) (k) q31 w1 + q32 w2 + q33 w3 y где (k) (k) (k) = q1 1 2 sin q2 ;

y (k) (k) (k) 1 2 cos q3 ;

y2 = q (k) (k) (k) 1 2 cos + q3 1 2 sin.

y3 = q Далее ищем векторы-столбцы (k) z (k) Zk C 1 Yk = z2. (7.41) (k) z Обозначая элементы обратной матрицы C 1 = (c1 ), получаем явные выра in жения:

(k) (k) (k) (k) (k) (k) = c1 y1 + c1 y2 + c1 y3 1 2 cos + q3 1 2 sin ;

z1 = q 11 12 sin cos (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) = c1 y1 + c1 y2 + c1 y3 = q1 q z2 + q2 ;

21 22 1 1 (k) (k) (k) (k) = c1 y1 + c1 y2 + c1 y3 = 0.

z3 31 32 В результате приходим к следующему представлению алгебраических векторов (7.28):

(k) (k) (1) 1 2 (q2 cos + q3 sin ) + Fk (k) (2) (k) (k) (q2 sin q3 cos ) + Fk, Xk = q1 + (7.42) 1 (3) Fk (i) где Fk, i = 1, 2, 3, — компоненты векторов Fk (7.35). Так что (k) (k) (1) 1 2 (q2 cos + q3 sin ) + Fk ;

(7.43) = qk (k) (k) (k) (2) (q2 sin q3 cos ) + Fk ;

(7.44) = q1 + 1 qk (3) (7.45) = Fk.

qk 506 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния 7.2.3. Координатная запись дифференциальной части уравнения пере носа. С помощью представления s (7.12) и градиента (7.16) находим общую координатную запись для дифференциальной части уравнения переноса 3 3 vk vk vk (s, ) = + + + Hk qk Hk qk Hk qk k=1 k=1 k= vk (7.46) +.

Hk qk k= s(M ) – векторное поле единичных по модулю векторов, имеющих одну и ту – же ориентацию в пространстве, поэтому k = 0 и Fk = 0. Коэффициенты,, qk qk qk (1) (2) (3) задаются формулами (7.43)–(7.45) при Fk = Fk = 0 и, как следствие, = Fk получаем = qk – этот результат, в частности, вытекает из ограничения, что вектор s является – единичным, т. е. = 1. Так что вместо (7.46) имеем 3 3 vk vk vk (s, ) = (7.47) + +.

Hk qk Hk qk Hk qk k=1 k=1 k= 7.2.4. Сферическая модель с системой координат (7.6). Коэффициенты Ламэ определяются по формуле (7.8). По условию угол отсчитывается от орта u3. Принимаем e1 = u3. Отсчет угла можно выполнять от любого луча с ортом u1 в плоскости, ортогональной орту er = e1. Выберем для определенности в качестве этого луча орт e = e2. По условию угол отсчитывается от орта u1, так что e2 = u1. Чтобы система ортов {ui } i= имела правую ориентацию, полагаем e3 = u2. В итоге имеем (см. (7.10)):

a21 = 1, a22 = a23 = 0 ;

u1 = e2, a32 = 1, a31 = a33 = 0 ;

u2 = e3, a13 = 1, a11 = a12 = 0.

u3 = e1, Составим матрицу A, отвечающую представлению (7.9):

A= 1 0 0 (7.48) 7.2. Сферическая модель переноса излучения и вычислим коэффициенты разложения (7.12) по формуле (7.13) при = 1:

1 2 cos, 1 2 sin. (7.49) v1 =, v2 = v3 = Найдем матрицы H1, H2, H3, привлекая (7.6), (7.8) и учитывая, что H1 = Hr = 1, (7.50) H2 = H = r, H3 = H = r sin.

Легко вычисляются производные от коэффициентов Ламэ (7.50):

H = 0, k = 1, 2, 3 ;

qk H2 H2 H = 1, = 0;

= q1 q2 q H3 H3 H = 0.

= sin, = r cos, q1 q2 q Подставляя эти значения и представления (7.50) в (7.22), (7.23), (7.24), получаем следующие результаты:

H1 = 0 ;

(7.51) H2 = 1 0 0 ;

(7.52) 0 0 0 sin H3 = cos.

0 0 (7.53) sin cos Зная явный вид матриц A и Hk, k = 1, 2, 3, можем определить матрицы Qk (7.34). Так как A = 0, k = 1, 2, 3, qk выражение (7.34) упрощается:

Qk = A Hk A. (7.54) Очевидно, в силу (7.51), Q1 = 0. (7.55) Для k = 2 в результате умножения матриц (7.52) и (7.48) имеем H2 A = 0 0 1, 00 а далее получаем 0 0 010 Q2 = A H2 A = 0 0 1 0 0 1 = 0 0 0. (7.56) 100 00 0 508 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния Умножая матрицы (7.53) и (7.48) для k = 3 имеем 0 sin H3 A = 0 cos cos sin и, следовательно, 010 0 sin Q3 = A H3 A = 0 0 1 = 0 cos cos sin 100 0 cos = cos sin.

0 (7.57) 0 sin Сопоставляя (7.55), (7.56), (7.57) с (7.39), находим (1) (1) (1) q1 = q2 = q3 = 0 ;

(2) (2) (2) = q3 = 0, q2 = 1 ;

q (3) (3) (3) = cos, q2 = 0, q1 q3 = sin.

Подставляя эти значения в (7.43), (7.44), определяем частные производные:

=0 или = 0;

(7.58) = = q1 q1 r r 1 2 cos, (7.59) = = = = sin ;

1 q2 q2 1 2 sin sin, = = q3 sin = cos + (7.60) = cos.

1 q3 Теперь, когда известны явные выражения всех коэффициентов vk (7.49), Hk (7.50), и (7.58)–(7.60), из общей записи дифференциального qk qk оператора уравнения переноса (7.47) получаем его запись для сферической системы координат в пятимерном фазовом объеме (r,,,, ):

1 2 cos 1 2 sin (s, ) = + + + r r r sin (1 2 )cos2 (1 2 )sin + + + r r 1 2 sin cos sin sin cos + cos + r r sin (1 2 ) 7.2. Сферическая модель переноса излучения или, после упрощения, окончательно имеем 1 sin (s, ) = + cos + + r r sin 1 2 1 2 sin ctg (7.61) +.

r r 7.2.5. Сферическая модель с цилиндрической (осевой) симметрией, когда r = (r, ), s = (, ), (r, s) = (r,,, ), = 0. (7.62) Опуская в (7.61) слагаемое с нулевой производной (7.62), приходим к записи дифференциального оператора уравнения переноса в четырехмерном фазовом объеме (r,,, ):

1 2 cos 1 2 1 2 sin ctg (s, ) = (7.63) + +, r r r r которое, после перехода от к, принимает форму sin cos sin sin sin ctg (s, ) = cos + + = r r r r sin sin ctg (7.64) = cos + cos, r r совпадающую с результатом, полученным ранее Т. А. Сушкевич другим способом. Отсюда следует, что в указанных работах использовалась та же система координат, которая введена в настоящем разделе.

7.2.6. Сферическая модель с центральной симметрией и азимутальной зависимостью, когда r = (r), s = (, ), (r, s) = (r,, ). Опуская в (7.61) слагаемое с нулевыми производными, приходим к записи дифференциального оператора уравнения переноса в трехмерном фазовом объеме (r,, ):

1 (s, ) = +.

r r 7.2.7. Сферическая модель с центральной симметрией – сферически– – симметричная: r = (r), s = (), (r, s) = (r, ). Так как в этом случае = 0, = 0, = 0, то из (7.61) вытекает широко распространенная запись дифференциального оператора переноса в двумерном фазовом пространстве (r, ):

1 (s, ) = +.

r r 510 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния § 7.3. Первые интегралы оператора переноса Запишем дифференциальный оператор переноса (7.61), переходя от = cos к переменной :

sin cos sin (s, ) = cos + + r r r sin sin sin sin ctg (7.65) +.

r sin r Первые интегралы определяются из системы уравнений dr r d r d r sin d r d = = = =.

cos sin cos sin sin, sin sin sin ctg 1) Из уравнения dr r d =, cos sin которое можно записать в эквивалентной форме как sin dr + r cos d = 0 или d(r sin ) = 0, находим первую константу r sin = c1 = const.

2) Далее из уравнения r d r d =, sin cos sin sin ctg эквивалентного уравнению sin cos d = cos sin d или d(sin sin ) = 0, получаем вторую константу (7.66) sin sin = c2 = const.

3) С помощью (7.66) разрешим уравнение r d r d d = = d, или (7.67) sin cos sin cos 1 cos2 c cos = ± 1 sin2 = ±, sin sin d d cos ± = d, = d, 1 cos2 c2 1 cos2 c 2 2 d cos ± (7.68) = d.

(1 c2 ) cos 1 7.3. Первые интегралы оператора переноса i) Если cos 0, то из (7.68) через табличные значения имеем cos = |2, arcsin 1 c cos 2 cos 1 = c+ = const.

2 = arcsin (7.69) arcsin 1 c2 c 2 ii) Eсли cos 0, то cos = |2, arcsin 1 c cos 2 cos + 1 = c = const. (7.70) arcsin + 2 = arcsin 1 c2 c 2 Тождества (7.69) и (7.70) можно записать иначе:

cos = c+ +, i) arcsin 1 sin sin 2 cos = sin( + c+ ) ;

1 sin2 sin cos = c, ii) arcsin 1 sin sin 2 cos = sin( + c ).

1 sin sin 2 При этом, если sin2 = 1 и sin2 = 1 одновременно, то 1 c2 = 1 sin2 sin2 = cos2 + sin2 cos2 0.

Следовательно, cos 1 c2 | cos | или 1.

1 c 4) Уравнение r sin d r d d = = d или (7.71) sin sin sin sin ctg cos совпадает с (7.67) с точностью до замены на, на, на, поэтому (7.69) можно разрешить подобно (7.68):

2 d cos ± = d ;

(1 c2 ) cos 1 512 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния i) если cos 0, то аналогично (7.69) имеем cos 2 cos 1 = c+ = const ;

2 = arcsin (7.72) arcsin 1 c2 c 2 ii) если cos 0, то аналогично (7.70) получаем cos 2 cos + 1 = c = const. (7.73) arcsin + 2 = arcsin 1 c2 c 2 Следовательно, cos = c+ +, i) arcsin 1 sin sin 2 cos = sin( + c+ ) ;

1 sin2 sin cos = c, ii) arcsin 1 sin sin 2 cos = sin( + c ).

1 sin sin 2 Пусть 1 c c4 = и введем cos cos y =, c так что cos 0 y = arccos c или + arccos cos y = y (7.74) y = arcsin cos y =.

2 2 2 С помощью (7.74) легко определить область значений первых интегралов c+ и c при 0 :

c+ 0, то y y;

i) если cos 2 c y y.

ii) если cos 0, то 2 7.4. Интегрирование по характеристике сферической задачи Покажем, что полученная система интегралов дифференциального опе ратора (7.65):

c1 = r sin, c2 = sin sin, cos при 0, c3 = arcsin cos 1 sin2 sin cos при cos 0, c3 = arcsin + 1 sin sin 2 cos при 0, c4 = arcsin cos 1 sin2 sin cos при cos c4 = arcsin + 1 sin2 sin является фундаментальной. Система интегралов {cn } n=1 фундаментальна, если функциональная матрица (c1, c2, c3, c4 ) (r,,,, ) имеет ранг 4, т. е. когда по крайней мере один определитель 4-порядка хотя бы в одной точке отличен от нуля. Нетрудно показать, что определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием последнего столбца, содержащего производные по, суть cos = sin sin arcsin ±1.

1 sin2 sin Как видим, не равен нулю тождественно. Следовательно, по критерию Якоби c1, c2, c3, c4 функционально независимы и образуют фундаментальную систему.

Первые интегралы определяют траектории характеристик оператора пе реноса в фазовом пространстве. По методу характеристик и по методам построения криволинейных сеток, которые используются нами в разработке теоретических основ решения уравнения переноса излучения в сферической оболочке, существует много литературы.

§ 7.4. Интегрирование по характеристике сферической задачи Рассмотрим задачу переноса излучения в земной атмосфере в приближении сферической оболочки, на которую падает внешний параллельный поток.

Выберем направление оси OZ, проходящей через центр Земли, противо положным внешнему потоку. Система «атмосфера–Земля» рассматривается 514 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния как двумерная: радиус-вектор r любой точки A(r) определяется расстоянием r = |r| от центра Земли и полярным углом, отсчитываемым от оси симметрии системы OZ;

y = cos. Направление распространения светового луча s в точке A(r) описываем локальной сферической системой координат: зенитным углом, отсчитываемым от r, и азимутом в касательной плоскости, проведенной в точке A(r) к сфере радиуса r.

Совокупность всех точек A(r) сферической оболочки образует открытую область G с нижней GH и верхней Gb границами – сферическими поверхно – стями с радиусами RH и Rb. Векторное поле всех направлений световых лучей s(A) в каждой точке A(r) образует множество = + – единичную – сферу, где + и – полусферы направлений s с + [0, 1] и [1, 0];

– = cos. Вводим множества b GH +, t Gb.

Задача состоит в определении интенсивности ослабленного прямого излучения источников и стационарного поля интенсивности однократно и многократно рассеянного излучения в рассеивающей, поглощающей и излучающей сферической оболочке G с границами GH и Gb или за пределами G. Полную интенсивность излучения (r, s) в точке A(r) в направлении s находим как решение общей краевой задачи теории переноса (ОКЗ) K = F in, = F t, = R + F b (7.75) t b в фазовой области G + Gb + GH + с линейными операторами:

оператор переноса (7.76) + tot (r), D= s sin ctg sin = cos + cos ;

s r r r интеграл столкновений – функция источника – B(r, s) S = sc (r) (r, s, s )(r, s ) d s, (7.77) ds = d d ;

интегродифференциальный оператор K D S;

оператор отражения q(rH, s, s )(rH, s ) d s, s + ;

[R](rH, s) = tot (r) и sc (r) – пространственные распределения полного сечения взаи – модействия излучения с веществом и сечения рассеяния. Функция F in – – плотность источников излучения, расположенных внутри области G;

F b и F t – источники излучения на границах сферической оболочки, определенные – для лучей s, направленных внутрь области G;

параметр 0 1 фиксирует акт взаимодействия с границей.

7.4. Интегрирование по характеристике сферической задачи Краевая задача (7.75) рассматривается при естественных, вытекающих из физики исследуемого процесса, ограничениях на коэффициенты, источники и граничные условия:

а) tot (r) и sc (r) – ограниченные, кусочно-непрерывные и кусочно-диф – ференцируемые функции;

б) (r, s, s ) – непрерывная функция угла рассеяния = arccos(s · s ), – имеющая кусочно-непрерывные производные по каждой переменной;

в) операторы S и R – равномерно ограниченные: 0 S(1), R(1) 1;

– г) среды внутри G, на GH и Gb – немультиплицирующие (без размноже – ния);

д) F in (r, s), F b (rb, s ), F H (rH, s+ ) – ограниченные, кусочно-непрерывные – или финитные функции.

Отметим, что все изложение ведется для области G – сферической – оболочки. Задача для полной сферы (например, в случае сферического облака) сводится к задаче со сферическим слоем путем постановки граничных условий с отражением на границе GH, имеющей сколь угодно малый радиус RH. Эти условия описывают прохождение излучения через внутреннюю сферу, огра ниченную GH. Если внутри полость, то на GH ставится условие «прострела».

Если внутренняя сфера является рассеивающей или поглощающей средой, то на GH вводится «условие отражения», учитывающее ослабление излучения внутри малой сферы. Такие средства расширяют прикладные возможности рассматриваемой модели переноса радиации, в частности, они позволяют включить ряд задач астрофизики и физики планет.

Построение решения ОКЗ (7.75) основано на результатах анализа свойств функций и B (их непрерывности, дифференцируемости, локальных свойств).

Непрерывность и дифференцируемость функции источника B по угловым переменным в значительной степени определяется свойствами индикатрисы рассеяния. Из-за зависимости индикатрисы рассеяния от скалярного произ ведения s · s, а не от каждого направления отдельно, B является локально по s гладкой функцией (при гладкости в среднем). Степень гладкости B по пространственным переменным та же, что и у функций sc,,. Разрывы B возможны лишь на тех поверхностях, на которых терпят разрыв функции tot (r) и sc (r). Вдоль траекторий характеристик функция D1 B более гладкая, чем. Пространственные производные B имеют логарифмические особенности в окрестностях точек r G на поверхностях разрыва коэффициентов tot (r) и sc (r).

7.4.1. Метод характеристик. Решение краевой задачи для стационарного уравнения переноса осуществляется методом последовательных приближе ний – простыми итерациями по столкновениям разной кратности или моди – фицированными итерациями с включением ускоряющих процедур.

Обращение дифференциального оператора уравнения переноса (7.76) осуществляем интегрированием по характеристикам на каждой итерации при 516 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния расчете приближений любого порядка. Принципиально важным для широкого распространения метода характеристик является включение интерполяции и использование аддитивных свойств экспонент в схеме расщепления вы числений по отрезкам вдоль характеристик. Фиксируем направление s.

Проведем через точку A(r(0)) в этом направлении прямую так, что уравнение прямой можно записать в виде r() = r(0) s,, (7.78) где D (r()) – текущая точка на прямой, A(r(0)) – фиксированная точка на – – прямой, от которой отсчитывается сдвиг = |AD| вдоль прямой. С помощью таких прямых можно взаимно однозначно преобразовать точки области G в точки (A, ). Это преобразование переводит функции, измеримые в G, в функции, измеримые на вдоль прямых с направлениями s. Прямые линии (7.78) – пути, по которым движутся фотоны, – являются характеристиками – – линейного дифференциального оператора (7.76). Уравнение переноса (7.76), записанное в адекватной форме, + tot (r s)(r s, s) = E(r s, s), (7.79) при известной правой части разрешается явно интегрированием по характе ристике:

(r, s) = (r s, s) exp tot (r s) d + + E(r s, s) exp tot (r s) d d. (7.80) 0 Если задача (7.79) с ненулевыми граничными источниками f, то ее можно свести к задаче с нулевыми граничными условиями путем преобразования вида (r, s) = f (r s) exp tot (r s) d (7.81) и представления решения в виде суммы = 0 + d. Функция 0 отвечает прямому излучению от источника и будет иметь те же свойства, что и f, но несколько сглаженные благодаря экспоненциальному множителю в (7.81).

Для функции d, соответствующей многократно рассеянной, диффузной ком поненте, получается задача со свободным членом в уравнении F1 = F in + S0.

Выделим рассеяние первой кратности 1 = D1 F1, т. е. представим суммарное поле в виде суперпозиции d = 1 + d1. В уравнении для d1 свободный член будет иметь вид Fd1 = S D1 F1 и в результате интегрирования вдоль луча s (действие оператора D 1 ) и по всем направлениям единичной сферы 7.4. Интегрирование по характеристике сферической задачи (действие оператора S) оказывается сглаженным (по сравнению с F in ) и по пространственным и по угловым переменным. Разрывы в функции F по угловым переменным приводят к разрывам Fd1 по r. Но с увеличением номера кратности рассеяния эти разрывы сглаживаются. Однако, разрывы по r в коэффициентах tot, sc, проявляются в и B на всех итерациях. При разработке численного алгоритма уделяется специальное внимание локальным свойствам решения, что позволяет повысить точность решения и описания поведения решения в окрестностях особых точек.

Из формулы (7.80) интегрирования по характеристике следует, что дифференциальные свойства определяются соответствующими свойствами функций B, tot, F в пределах G и гладкостью границ, которая характеризуется дифференциальными свойствами (r, s). Пространственные и угловые произ водные функции существуют и ограничены. В окрестности касательных направлений s (к линиям или поверхностям разрыва коэффициентов tot и sc ) производные имеют особенности вида 1,.

r s r | |s s | |r Функция является абсолютно непрерывной вдоль лучей s и на множестве точек r, s, отличных от r, s, удовлетворяет условиям непрерывности по Гёльдеру:

|(r + r, s + s) (r, s)| A| r|1/2 | s|1/2.

Свойства гладкости учитываются при интерполяции в алгоритме интегриро вания по характеристикам.

7.4.2. Интегрирование по характеристике без интерполяции. Интегри рование уравнения переноса по характеристике без интерполяции проводится по всей длине траектории луча s от расчетной точки A(r) до точки входа луча s в область G через верхнюю Gb или нижнюю GH границы по формуле (7.80), где (r s, s) = f (r s, s) и E – источники на границе и внутри – слоя. Реализация расчета по формуле (7.80) при известных функциях E и f осуществляется по следующему алгоритму.

1. Определение границы (GH или Gb ), которую пересекает луч s, входя в слой G, и расстояния от точки A(r) до точки Q(r s) пересечения траекторией луча s этой границы.

2. Нахождение координат точки Q с радиус-вектором r() = r s = (r, ) и углов (, ), описывающих направление луча s в местной системе координат точки Q;

вычисление f (r s, s) = f (r,,, ) из соответствующих граничных условий.

3. Определение координат точки D с радиус-вектором r( ) = r s = (r, ) на расстоянии от точки A и углов,, описывающих направление s в местной системе координат точки D.

518 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния 4. Нахождение значений коэффициентов tot (r s) в точке D(r, ) и расчет интенсивности источников E(r s, s) = E(r,,, ) в точке D(r, ) в направлении s = (, ) с координатами (, ) направления s в местной системе координат с центром в точке D.

5. Вычисление интегралов по квадратурным формулам с адаптивным выбором шага интегрирования, учитывающим структуру коэффициентов tot (r), источника E(r, s), положение расчетной точки A(r), направление луча s, масштаб длины отрезка траектории луча s.

6. Расчет (r, s) по формуле (7.80).

Такой алгоритм позволяет выбирать направления траекторий лучей s независимо друг от друга, а пространственную разностную сеть произвольно.

Приближение однократного рассеяния для сферических моделей является основополагающим, поскольку, помимо составляющей поля яркости, в которой отражаются все особенности задачи, именно это приближение используется в решении обратных задач. Расчет приближения однократного рассеяния осуществляем методом характеристик без интерполяции. С одной стороны, такой подход требует увеличенных затрат времени вычислений. С другой стороны, возможность включения в алгоритм любых источников и сколь угодно сложных сред несомненно является его важным достоинством.

А указанный недостаток в алгоритме с распараллеливанием вычислений существенно компенсируется.

7.4.3. Интегрирование по характеристике c интерполяцией. Интегриро вание уравнения переноса по характеристике с интерполяцией используется для расчета полного набора значений сеточных функций (rm, sn ) при известных сеточных функциях E(rm, sn ). В этом случае в областях G и по всем переменным вводится разностная сеть. Радиусы rk и полярные углы l образуют пространственную разностную сеть: rm = (rk, l ). Совокупность расчетных направлений луча sn в каждой точке слоя rm определяется парой углов: sn = (i, j ). Определение интенсивности излучения (rm, sn ) в точке A(rm ) в направлении sn проводится интегрированием уравнения + tot (rm )(rm, sn ) = E(rm, sn ) sn по характеристике – лучу sn :

– (rm, sn ) = (r, sn ) exp tot (rm sn ) d + + E(rm sn, sn ) exp tot (rm sn ) d d.

0 7.5. О модели учета отражающей границы Сдвиг = |rm r | вдоль луча sn берется в пределах границ расчетной пространственной ячейки, представляющей собой кольцо, ограниченное двумя коническими (y1, y2 ) и двумя сферическими (r1, r2 ) поверхностями. Луч может войти в ячейку либо через границы r2 или r1, либо через границы y2 или y1. Обозначим в этой точке координаты через (r, ), а направление s – – через (, ). Для вычисления интеграла на участке характеристики [0, ] для функции E(r, s) вводится интерполяция по между значениями в узлах E(r1, 1, 1, 1 ) и E(r,,, ). Значения (r,,, ) и E(r,,, ) при аргументах r,,,, отличных от узлов разностной сети, вычисляются с помощью интерполяции между соседними узлами разностной сети.

Реализация алгоритма интегрирования по характеристикам требует деталь ной проработки уравнений характеристик с тем, чтобы осуществлялась такая последовательность перебора аргументов rk, l, i, j, которая обеспечивает неперемешивание итераций при получении значений (rk, l, i, j ). Кроме того, необходимо уметь определять значения всех четырех переменных r,,, в любой точке траектории луча s по заданным значениям r1, 1, 1, 1. С помощью геометрических построений это сделать невозможно.

Универсальным оказывается подход, основанный на анализе аналитического уравнения траектории луча в пространстве переменных r и y с учетом первых интегралов дифференциального оператора переноса в частных производных.

Расчет одного луча sn = (i, j ) в точке rm = (rk, l ) сводится к следующему алгоритму.

1. Определение точки входа луча sn в расчетную ячейку по заданным значениям rk, l, i, j и ее координат r,,,.

2. Вычисление (r,,, ) и E(r,,, ) по формулам интерполяции между значениями в узлах разностной сети.

3. Расчет интегралов методом квадратур с адаптивным шагом, учи тывающим, в частности, структуры задания коэффициентов tot (r, ).

Ухудшение точности квадратурных формул для расчета сеточных значений функции источника B(rm, sn ) наблюдается при сильной анизотропии рассея ния. Такой эффект может привести к расходимости итераций из-за превышения единичной нормы оператора S (7.77). В таких ситуациях используется прием с выделением сильно вытянутой части индикатрисы в виде -функции и предлагается последовательность вычислений, отличная от простых итераций.

Для учета селективного поглощения в расчете многократного рассеяния разработан метод подгрупп с экспоненциальной аппроксимацией функции пропускания.

§ 7.5. О модели учета отражающей границы в задачах переноса излучения в сферической оболочке Исследуется перенос излучения в атмосфере Земли в масштабах всей планеты.

Для математического моделирования радиационного поля Земли предложен 520 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния метод численного решения общей краевой задачи теории переноса излучения в сферическом слое с отражающей подстилающей поверхностью. Построен оптический передаточный оператор сферической системы атмосфера–Земля.

Сформулированы модели функций влияния для краевой задачи теории переноса со сферической геометрией.

7.5.1. Математическая постановка задачи. Рассмотрим задачу переноса оптического (солнечного и собственного) излучения в системе атмосфера– Земля (САЗ) в приближении сферически-симметричной оболочки, на которую падает внешний параллельный поток. Для учета вклада пространственно неоднородной подстилающей поверхности (земной поверхности, верхней гра ницы облачности или гидрометеоров) в излучение сферической САЗ построим оптический передаточный оператор (ОПО) в рамках линейно-системного подхода, разработанного для плоской модели САЗ. Универсальной, инва риантной относительно конкретных структур неоднородностей отражающей и излучающей границы считается функция влияния (ФВ) общей краевой задачи (ОКЗ) теории переноса излучения, которая является ядром ОПО.

Выберем направление оси OZ, проходящей через центр Земли, проти воположным внешнему параллельному потоку радиации. При этом Земля и атмосфера будут облучаться Солнцем симметрично относительно оси OZ. В целом САЗ рассматривается в сферической системе координат как трехмерная:

радиус-вектор r любой точки A(r) атмосферы и подстилающей поверхности полностью определяется расстоянием r = |r| от центра Земли, полярным углом и азимутом, т. е. каждому r ставится в соответствие тройка (r,, ) –– радиус, широта 0, долгота 0 2.

Направление распространения светового луча s (считаем, что s – еди – ничный вектор) в точке A(r), описываем локальной сферической системой координат с центром в точке A(r): зенитным углом = arccos (r · s) / |r|, отсчитываемым от r, и азимутом в касательной плоскости, проведенной в точке A(r) к сфере радиуса r, т. е. каждому s соответствует пара (, ). За начало отсчета = 0 принимаем азимут прямого внешнего потока. Обозначим = cos. Опишем вокруг оси OZ конус с вершиной в центре Земли и углом раствора, равным 2. В точке A(r), лежащей на боковой поверхности конуса, направлениям s, выходящим из этого конуса, присвоим значения азимута 0 /2, а входящим в конус – /2. Лучи s с азимутом = / – будут лежать в плоскостях, касательных к боковым поверхностям таких конусов, а азимутам = 0 и = будет соответствовать одна координатная плоскость, проходящая через ось OZ и радиус-вектор r.


Изучаемый сферический слой ограничивается сферическими поверхно стями с радиусами Rb снизу и Rt сверху. Совокупность всех точек A(r) сферической оболочки образует открытую область G с нижней Gb и верхней Gt границами – сферическими поверхностями, имеющими радиусы Rb и Rt – 7.5. О модели учета отражающей границы соответственно. Векторное поле всех направлений световых лучей s(A) в каждой точке A(r) образует (единичную сферу) множество = +, где + и – множества (полусферы) направлений s с [0, 1] и [1, 0], – отвечающих восходящему и нисходящему потокам излучения соответственно.

Фазовый объем задачи суть tot [G Gb Gt ] = {(r, s) : r [G Gb Gt ], s }.

Для удобства записи граничных условий вводим множества – фазовые – области b Gb + = {(r, s) : r = rb Gb, s + }, t Gt = {(r, s) : r = rt Gt, s }, метки которых выбраны для наглядности совпадающими с первыми буквами слов bottom (дно) и top (верх).

Задача состоит в определении интенсивности ослабленного прямого излучения от источников и стационарного поля интенсивности однократно и многократно рассеянного излучения в рассеивающей, поглощающей и излучающей сферической оболочке G с границами Gt и Gb или за преде лами G. Приближение стационарного поля физически корректно, поскольку исследуется процесс распространения световых лучей.

Полную интенсивность монохроматического (при фиксированном ) или квазимонохроматического (при фиксированных и ) стационарного из лучения (r, s), где индекс —длина волны (ниже везде опускается), в точке A(r) с радиус-вектором r в направлении s находим как решение общей краевой задачи теории переноса K = F in, = F t, = R + F b (7.82) t b в фазовой области с линейными операторами: оператор переноса D (s, grad) + tot (r), (7.83) для трехмерной сферической геометрии задачи (s, ) = sin cos sin sin sin sin sin ctg = cos + + ;

r r r r sin r (7.84) интеграл столкновений – функция источника – B(r, s) S = sc (r) (r, s, s )(r, s ) d s, (7.85) ds = sin d d ;

522 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния интегродифференциальный оператор K D S;

оператор отражения – – интеграл q(rb, s, s )(rb, s ) d s, s +. (7.86) [R](rb, s) = Суммарная аэрозольно-молекулярная индикатриса рассеяния нормирована по условию 1 (r, cos ) d cos = 1;

(r, s, s ) d s = 4 tot (r) и sc (r) – пространственные распределения полного сечения взаимодей – ствия (ослабления, экстинкции) нейтрального (незаряженного) оптического излучения с веществом, заполняющим область G, и суммарного аэрозольно молекулярного коэффициента рассеяния;

угол рассеяния определяется из соотношения cos = cos(s · s ) = cos cos + sin sin cos( ), если s = (, ), s = (, );

функция F in (r, s) – плотность источников – излучения, расположенных внутри области G;

F b (rb, s+ ) и F t (rt, s ) – – источники излучения на границах сферической оболочки, определенные для лучей s, направленных внутрь области G. Для изотропной среды функцию источника (7.85) можно записать в виде 2 B(r,, ) S = sc (r) (7.87) (r, cos )(r,, ) d.

d Оператор R описывает закон отражения излучения от подстилающей поверхности, расположенной на уровне нижней границы Gb ;

параметр 1 фиксирует акт взаимодействия излучения с подложкой. При R (или = 0) имеем дело с первой краевой задачей (ПКЗ) теории переноса Ka = F in, a = F t, = Fb (7.88) a t b для сферического слоя с прозрачными, неотражающими, абсолютно «черными»

границами или с «вакуумными» граничными условиями.

Скалярная функция с векторными аргументами (r, s) = (A, s(A)) = (r,,,, ) определяется как решение ОКЗ (7.82) или ПКЗ (7.88) в фазовой области G + Gt + + Gb, tot = t b, и образует скалярное поле. Изменение функции (r, s) в окрестности некоторой точки A(r) характеризуется вектором grad. Дифференцирование 7.5. О модели учета отражающей границы скалярного поля функции (r, s) от векторных аргументов равносильно определению производной (r, s) по направлению s в точке A(r). Производная по любому направлению s равна проекции grad на это направление, следовательно, = (s, grad ) = (s, ).

s Краевая задача (7.82) рассматривается при естественных, вытекающих из физики исследуемого процесса, ограничениях на коэффициенты, источники и граничные условия:

а) tot (r) и sc (r) – ограниченные, кусочно-непрерывные и кусочно-диф – ференцируемые функции в области G;

б) (r, s, s ) – непрерывная функция угла рассеяния = arccos(s · s ), – имеющая кусочно-непрерывные производные по каждой переменной;

в) оператор отражения R (7.86) – равномерно ограниченный, т. е.

– q(rb, s, s ) d s 0 1;

г) рассеивающая, поглощающая и излучающая среда внутри области G, а также среды на нижней Gb и верхней Gt границах области G – – немультиплицирующие (без размножения);

д) источники F in (r, s), F b (rb, s+ ), F t (rt, s ) – ограниченные, кусочно – непрерывные или финитные функции (например, внешний мононаправленный солнечный поток описывается -функцией).

7.5.2. Методическая концепция. Можно выделить три типа радиационных задач, требующих учета земной поверхности. Первый тип – это задачи – энергетики и радиационного баланса Земли, когда источником служит радиация Солнца. Такие задачи решаются преимущественно в приближении плоской модели земной оболочки с неявным учетом вклада однородной ламбертовой или неортотропной подстилающей поверхности. Второй тип – это – задачи дистанционного зондирования атмосферы и облачности, когда земная поверхность является помехой. Третий тип – это задачи дистанционного – зондирования земной поверхности, когда необходимо устранить (провести атмосферную коррекцию) или достоверно учесть влияние атмосферы.

В любой активной или пассивной системе дистанционного зондирова ния земной поверхности всегда присутствуют четыре главные компоненты:

«сценарий», «сцена», т. е. распределение яркости наблюдаемых объектов или ландшафта;

атмосферный канал передачи изображения;

прибор регистрации электромагнитных волн;

комплекс обработки и распознавания изображения.

В трех компонентах (кроме прибора) обязательным элементом является влияние атмосферы: атмосферно-оптические механизмы воздействуют на формирование «сценария», на перенос его изображения через среду и 524 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния учитываются в радиационной коррекции при анализе «сцен». Вследствие бесконечного многообразия возможных объектов наблюдения не имеет смысла исследовать отдельно перенос каждого конкретного изображения. Целесооб разно использовать универсальный подход, который позволяет описывать весь канал наблюдения через объективные характеристики, инвариантные относи тельно конкретных структур зондируемых объектов, условий освещенности и визирования. Такой подход широко применяется в классической оптике, в теории видения, в теории электрических цепей, в теории оптико-электронных систем, в теории фотографии, в теории обработки изображений и известен как линейно-системный подход.

Под системой следует понимать все то, что осуществляет преобразование ряда входных функций или воздействий в ряд выходных функций или реакций (откликов). Реакции систем на входные воздействия вследствие их аналогии можно описать некоторыми обобщенными характеристиками, определение которых не зависит от конкретного вида системы (электрической, оптической, радиофизической и т. д.). Общность состоит в том, что функциональное соотношение, связывающее входной и выходной сигналы системы, имеет фундаментальный характер и известно как интеграл суперпозиции, означа ющий, что линейная система полностью характеризуется суммой ее откликов на входные воздействия.

Будем рассматривать атмосферный канал как элемент оптической системы переноса излучения и сформулируем оптический передаточный оператор, используя математический аппарат линейно-системного подхода.

Связи между радиационными характеристиками и параметрами атмосферы и земной поверхности описываются решениями общей краевой задачи тео рии переноса излучения в САЗ (7.82), когда важно использовать теорию многократного рассеяния в приближении краевой задачи для кинетического уравнения. Учет вклада земной поверхности при численном решении ОКЗ осуществляется либо неявно без использования, либо явно с использованием аналитической или функциональной связи решения ОКЗ с характеристиками законов отражения. В обобщенной (операторной) форме неявная схема изложена в работе Т. А. Гермогеновой. Все известные явные схемы сводятся к двум типам – это метод сопряженных операторов и метод функций влияния.

– При наличии нелинейных эффектов в них используется асимптотический подход, основанный на теории регулярных возмущений.

Метод сопряженных операторов. Впервые сопряженные уравнения (в смысле тождества Лагранжа) и термин функция ценности (ценность информа ции) в неспектральных задачах теории переноса были введены Г. И. Марчуком и В. В. Орловым в 1961 году в нейтронной физике. В 1964 году Г. И. Марчук обобщил этот подход, включая методы теории регулярных возмущений, на широкий класс задач спутниковой метеорологии. Далее Г. А. Михайлов впер вые сформулировал аппарат использования решений сопряженных задач для улучшения и оптимизации алгоритмов метода Монте-Карло, который впослед 7.5. О модели учета отражающей границы ствии назвали «методом сопряженных блужданий». Этот аппарат эффективно применялся для оценки функции передачи контраста. В настоящее время теория сопряженных уравнений опубликована в нескольких монографиях и широко распространена в задачах дистанционного зондирования, оптимизации измерительных систем, анализе сложных, в том числе нелинейных, систем и т. п.


Модели учета земной поверхности методом ФВ. Влияние атмосферы проявляется не только в фоновом излучении и передаточных функциях САЗ, но и непосредственно в формировании «сценария» яркости объектов и ландшафта.

При всем многообразии явных способов учета характеристик отражения следует отметить их общность. Во-первых, в суммарном излучении САЗ всегда разделяются две компоненты: фон Фa, создаваемый изолированной атмосферой, и вклад Фq, обусловленный отражающей границей. Во-вторых, вклад Фq, как правило, описывается с помощью функций влияния, не зависящих (инвариантных) от конкретных значений и структур освещенности границы и характеристик отражения. В итоге суммарное поле излучения САЗ («космическая фотография») представляется в виде линейного функционала (7.89) = a + q, в котором вклад Фq определяется как интеграл суперпозиции (7.90) q = (, Y ), где Y – «сценарий» или «приземная фотография».

– Оптический передаточный оператор (7.89)–(7.90) – это адекватная модель – переноса излучения, дающая решение, асимптотически точно совпадающее с решением ОКЗ (7.82). В трехмерном случае ограничение горизонтальных размеров осуществляется с помощью финитных ФВ. С другой стороны, представление решения ОКЗ в форме ОПО – линейного функционала, описы – вающего передачу «сценария» яркости земной поверхности через атмосферу с помощью объективных инвариантных характеристик линейных систем, позволяет учитывать земную поверхность с позиции единства (общности) математического аппарата с широким классом приложений (теория видения, теория передачи и обработки изображения, дистанционное зондирование с активными и пассивными источниками, теория локации и пеленгации и т. п.).

Все типы поверхностей, объектов, источников описываются с помощью набора базисных моделей из четырех ФВ. Практически все прямые и обратные задачи в этих приложениях, как в рамках детерминированного, так и статистического подхода, решаются в приближении линейных систем. Нелинейные эффекты оцениваются и учитываются как шумы или помехи. В частности, в линейном приближении берется «сценарий» Y = E, где E(rb, s+ ) Ra.

Общая краевая задача (7.82) линейная (по источникам) и ее решение можно искать в виде суперпозиции (7.89). Фоновое излучение a определяется как решение ПКЗ (7.88) и может содержать до трех фоновых компонент: a = t +a 526 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния b +in, каждую из которых можно рассчитывать раздельно как решение ПКЗ a a с источниками F t, F b, F in соответственно. Задача для определения подсветки q, обусловленной влиянием отражающей подстилающей поверхности, – это – ОКЗ Kq = 0, q = 0, (7.91) q = Rq + E, t b где источником инсоляции является освещенность (яркость, облученность) подложки, создаваемая фоновым излучением.

ОКЗ (7.82) – это математическая идеализация переноса излучения в – рассеивающих, поглощающих, излучающих средах, достаточно адекватно описывающая реальные радиационные процессы в САЗ. Все многообразие подстилающих поверхностей (без учета возвышений и орографии), опи сываемое оператором (7.86), и граничных источников можно объединить в четыре основных типа: горизонтально-однородные изотропные;

горизон тально-однородные анизотропные;

горизонтально-неоднородные изотропные;

горизонтально-неоднородные анизотропные. Если хотя бы одна из функций F 0, F h, q зависит от,, то решения ОКЗ (7.82) и ОКЗ (7.91) определяются в пятимерном фазовом объеме (r,,,, ).

Теоретические построения и алгоритмы расчета ОПО основываются на тео рии обобщенных решений, теории интегральных преобразований обобщенных функций и рядов общей теории регулярных возмущений (асимптотический метод). Подход, разработанный на базе строгих математических основ, назы ваем методом функций влияния. В теории обобщенных решений ФВ является фундаментальным решением ПКЗ и ОКЗ – универсальной характеристикой – системы переноса излучения, инвариантной относительно конкретных значе ний и структур источников излучения и параметров отражения границы. Этот термин включает все многообразие известных частных терминов: функция рассеяния (ФР), функция размытия точки (ФРТ), оптическая передаточная функция (ОПФ), функция Грина и др. и методически объединяет одно-, дву и трехмерные краевые задачи. Заметим, что ФВ могут зависеть от некоторых переменных, как от параметров.

7.5.3. Функции влияния сферической краевой задачи теории переноса.

Рассмотрим ОКЗ (7.91) для сферически-симметричного слоя, когда коэффи циенты уравнения переноса зависят от радиуса r. По аналогии с плоской САЗ введем «горизонтальные» координаты r = (, ) ;

dr = sin d d.

Рассмотрим ПКЗ = f (sh ;

r, s).

K = 0, = 0, (7.92) t b Параметр sh + может отсутствовать. Задача (7.92) отвечает линейной САЗ и ее обобщенное решение представляется в виде линейного функционала – – 7.5. О модели учета отражающей границы интеграла суперпозиции (sh ;

r, r, s) = F(f ) (, f ) 1 ds+ (s+ ;

r, r r, s)f (sh ;

r, s+ ) sin d d, (7.93) h h h 2 + ядром которого является ФВ (s+ ;

r, r, s) – решение ПКЗ – h K = 0, = 0, (7.94) = f t b с параметром s+ + и источником f (s+ ;

r, s) = (r )(s s+ ). ФВ h h h фактически описывает поле излучения в оболочке с неотражающими грани цами, создаваемое за счет процессов многократного рассеяния стационарного луча с направлением s+, источник которого расположен на нижней границе h оболочки Gb в точке с = 0.

Для сферической модели с цилиндрической (осевой) симметрией, когда r = (r, ), s = (, ), (r, s) = (r,,, ), / = 0, Kc Dc Sc, опуская в (7.84) слагаемое с нулевой производной, приходим к записи дифференциального оператора (7.83) уравнения переноса в четырехмерном фазовом объеме (r,,, ):

sin Dc cos sin ctg + cos + tot (r, ).

r r Функцию источника (7.85) с учетом азимутальной симметрии решения ОКЗ (7.92) (r,,, ) = (r,,, 2 ), исходя из (7.87), можно представить как B(r,,, ) Sc = (r,, cos + ) + (r,, cos ) (r,,, ) d, = sc (r, ) d где введены обозначения (при этом [0, ]) cos + = + sin sin cos( + ), cos = + sin sin cos( ).

В этом случае ФВ определяются решением ПКЗ (7.94) с источником в форме поверхности конуса с вершиной в точке = 0 и углом раствора, равным 2+.

h Если источник f (r ) – изотропный и горизонтально-неоднородный, то – решение ПКЗ (7.92) находится через линейный функционал – интеграл – свертки (r, r, s) = Fc (f ) (c, f ) c (r, r r, s)f (r ) sin d d (7.95) 528 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния с ядром (s+ ;

r, r, s) d s+. (7.96) c (r, r, s) = h h + ФВ c совпадает с функцией размытия точки и удовлетворяет ПКЗ с осевой симметрией Kc c = 0, c = 0, (7.97) c = (r ).

t b В случае анизотропного и горизонтально-однородного источника f (sh ;

s) решение ПКЗ (7.92) определяется через линейный функционал r (s+ ;

r, s)f (sh ;

s+ ) d s+ (sh ;

r, s) = Fr (f ) (r, f ) (7.98) h h h + с ядром r (s+ ;

r, s) = (s+ ;

r, r, s) sin d d. (7.99) h h ФВ r – решение одномерной сферической ПКЗ с азимутальной зависи – мостью = (s s+ ), Kr r = 0, = 0, (7.100) r r h t b когда Kr Dr Sc ;

= 0, = 0, ctg = 0 ;

1 Dr + + tot (r) ;

r r функция источника (r, cos + ) + (r, cos ) (r,, ) d.

B(r,, ) Sc = sc(r) d При изотропном горизонтально-однородном источнике решение ПКЗ (7.92) определяется для сферической модели с центральной симметрией, т. е. для сферически-симметричной задачи в двумерном фазовом пространстве (r, ), когда (r, s) = (r, ) ;

/ = 0, а функция источника B(r, ) S0 = sc (r) 0 (r,, )(r, ) d, (r,,, ) d.

0 (r,, ) = 7.5. О модели учета отражающей границы В этом случае решение ПКЗ (7.101) (r, s) = f W (r, s), f = const, рассчитывается через ФВ 1 d s+ (s+ ;

r, r, s) sin d d = W (r, s) = h h 2 + 1 r (s+ ;

r, s) d s+, (7.102) c (r, r, s) sin d d = = h h 4 + которую называют также функцией пропускания, отягощенной вкладом многократного рассеяния, и определяют как решение одномерной сферической ПКЗ с оператором K0 Dr S0 :

K0 W = 0, = 0, = 1. (7.103) W W t b Соотношения (7.96), (7.99), (7.102) можно использовать в качестве критериев точности вычислений ФВ, c, r через решения более простых ПКЗ (7.97), (7.100), (7.103). Функционалы (7.95), (7.98), (7.101) являются частными случаями функционала (7.93). Функции влияния, c, r, W – – решения ПКЗ (7.94), (7.97), (7.100), (7.103) соответственно – составляют – полный набор базовых моделей функций влияния первых и общих краевых задач теории переноса излучения в сферической оболочке и инвариантных характеристик линейной САЗ.

7.5.4. Передаточный оператор. На основе общей теории регулярных воз мущений с помощью ряда q (sh ;

r, s) = k k k= ОКЗ (7.91) сводится к системе рекуррентных ПКЗ типа (7.92) Kk = 0, k = 0, (7.104) k = Ek t b с источниками Ek = Rk1 для k 2, E1 = E. Вводится операция, описывающая один акт взаимодействия излучения с границей через ФВ :

q(rb, s, s )(, f ) d s.

[Gf ](sh ;

rb, s) R(, f ) = Решения системы ПКЗ (7.104)) находятся как линейные функционалы (7.93):

k = (, Rk1 ) = (, Gk1 E).

1 = (, E), 530 Глава 7. Сферические задачи. Метод функций влияния Асимптотически точное решение ОКЗ (7.91) получается в форме линей ного функционала (7.93) – оптического передаточного оператора (7.90), где – «сценарий» оптического изображения или яркость подстилающей поверхности Y k (7.105) G E= Rk k=0 k= есть сумма ряда Неймана по кратности отражения излучения от подложки с учетом многократного рассеяния в среде. Имеет место мажорантная оценка:

||E|| q ||0 || ||Y || ||Rk || ||E|| (q c )k =, 1 q c 1 q c k=0 k= ||k || = vrai sup |k | q ck ||E||, k rb,s |q(rb, s+, s )|ds = q ||R(1)|| 1, vrai sup rb,s+ F(1) = W (r, s), ||F(1)|| 1.

sup W = c r,s «Сценарий» удовлетворяет уравнению Фредгольма II-рода Y = R(, Y ) + E, которое называют уравнением «приземной фотографии». В общем случае R(, Y ) = (R, Y ). Суммарное излучение САЗ и «космическая фотография»

описываются функционалом (7.106) = a + (, Y ).

ФВ (s+ ;

r, r, s) используется для решения ОКЗ (7.91) со следующим h набором пар функции источника и характеристики отражения:

E(rb, s), q(rb, s, s );

E(rb, s), q(s, s );

E(s), q(rb, s, s );

E(rb ), q(rb, s, s );

E(rb ), q(s, s );

E, q(rb, s, s ).

ФВ c (r, r, s) является ядром функционалов, когда источник и параметр отражения составляют следующие пары:

E(rb, s), q(rb, s );

E(rb, s), q(s );

E(s), q(rb, s );

E(rb ), q(rb, s );

E(rb ), q(s );

E, q(rb, s ).

С помощью ФВ r (s+ ;

r, s) определяются функционалы в случае следу h ющих источников и параметров отражения: E(s), q(s, s );

E, q(s, s ). Через ФВ W (r, s) находится решение для пары E, q(s ).

Функционал (7.106) – это математическая модель переноса излучения в – САЗ, адекватная исходной ОКЗ (7.82) при разных структурах источника E и типах подстилающей поверхности не зависимо от размерности САЗ (одно-, дву- или трехмерной). Вместо расчета ряда по кратности отражения в 7.5. О модели учета отражающей границы полном фазовом объеме решения ОКЗ (7.82), достаточно рассчитать конечный ряд Неймана только для «сценария» на нижней границе (7.105). Угловые и пространственные распределения вклада подсветки – решения ОКЗ (7.91) – можно искать с помощью линейного функционала (7.90). При наличии горизонтальных неоднородностей на земной поверхности можно использовать ОПО в виде функционала (7.93) с ядром – ФВ решением ПКЗ (7.94). Разные – схемы реализации ОПО и структурирования суммарного поля радиации САЗ (7.106) отличаются либо способами представления «сценария» (24), либо методами решения уравнения (7.94).

В итоге исходная ОКЗ (7.87) сведена к линейному функционалу (7.101) и сформулирован линейно-системный подход к решению проблем дистанцион ного зондирования и учета вклада отражающей и излучающей сферической земной поверхности. При этом четко определено проявление нелинейных эффектов из-за многократного переотражения излучения от поверхности в формировании «сценария», которые описываются через линейные передаточ ные характеристики изолированного слоя атмосферы. Отметим, что расчеты ФВ эффективно реализуются методом Монте-Карло.

Как показал анализ состояния проблемы учета и дистанционного зон дирования земной поверхности все многообразие подходов сводится к трем основным. Первым появился неявный способ учета отражающей поверхности.

Второй – это функционалы и сопряженные уравнения. Третий – это явный – – способ методом ФВ. Термин ФВ объединяет все типы сингулярности и диффузности источника и все четыре типа поверхностей.

ГЛАВА Сферические задачи с осевой симметрией. Итерационный метод характеристик В теории переноса излучения в неплоских средах конечного объема, значи тельное место занимают задачи для систем с осевой симметрией. Эти задачи, решение которых при достигнутом уровне развития ЭВМ вполне реально, представляют собой модели, достаточно хорошо отражающие основные черты или механизмы физического процесса в ряде проблем.

Исследования разных авторов, в том числе и наши, по обобщенным и классическим решениям краевых задач для уравнения переноса создали обоснованную базу для разработки алгоритмов численного решения линеа ризованного кинетического уравнения с аккуратным учетом многократного рассеяния в задачах с двумерной пространственной сферической геометрией в средах конечного объема. Введение осевой симметрии является некоторым модельным элементом, который, с одной стороны, мало искажает физический процесс, с другой стороны, – ограничение техническое (из-за большой раз – мерности задачи), а не принципиальное (для сокращения объема вычислений).

Сложность геометрии задачи в значительной степени обусловлена на личием обширной области тени, создаваемой непрозрачным диском Земли, т. е. приходится иметь дело со сферической оболочкой, в которой имеется область с отражающей вогнутой верхней и «вакуумной» выпуклой нижней поверхностями, а также прозрачной боковой цилиндрической поверхностью.

Модельные, но близкие к реальным, натурным условиям задачи позволяют исследовать наиболее существенные качественные закономерности и получить необходимые для прикладных целей количественные оценки.

Наше приближение (на настоящем этапе) состоит в том, что мы ограни чиваемся рассмотрением сферических задач с осевой симметрией (двумерная пространственная геометрия). Разрабатываемый метод несложно перенести на трехмерные среды, но решение задачи становится чрезвычайно громоздким, а результат (поле интенсивности как функция от шести переменных) трудно обозримым.

8.1. Математическая постановка задачи. Метод решения Для двумерной сферической системы с осевой симметрией впервые алгоритмы метода характеристик (без интерполяции и с интерполяцией) разработаны Сушкевич Т. А. Частные случаи (при значительных ограничениях на структуру рассеивающей и поглощающей среды, а также условий освещения и наблюдения) интегрирования уравнения переноса в приближении однократ ного рассеяния содержатся в работах Авасте О. А., Смоктия О. И. Позже и в настоящее время практически во всех реализациях решения сфери ческой задачи методом Монте-Карло приближение однократного рассеяния рассчитывается интегрированием по характеристикам. Частный алгоритм интегрирования по характеристикам с интерполяцией для сферических систем малого радиуса разработан Бассом Л. П..

Сферические модели исследовались В. В. Соболевым и И. Н. Мининым, О. А. Авасте, О. И. Смоктием, А. К. Колесовым, Л. Г. Титарчуком и Ю. Л. Би рюковым, Н. Ф. Еланским. Г. И. Марчук, Г. А. Михайлов, М. А. Назаралиев, Р. А. Дарбинян, Б.А. Каргин, В. С. Антюфеев заложили основы метода Монте-Карло для решения сферических задач. Попытки решения сферической задачи за рубежом (США) были предприняты Секерой и Ленобль, которые предложили использовать метод последовательных приближений, соответ ствующих разложению решения по малому параметру, взяв в качестве первого приближения решение плоской задачи, а в качестве малого параметра – – отношение эффективной высоты однородной атмосферы к радиусу Земли.

Большинство работ за рубежом выполняется методом Монте-Карло или приближенными методами.

Особенностью наших новых алгоритмов является распараллеливание вычислений.

§ 8.1. Математическая постановка задачи.

Метод решения Рассматривается задача переноса оптического (солнечного и собственного) излучения в земной атмосфере в приближении сферической оболочки, на которую падает внешний параллельный поток интенсивности S. Здесь – длина волны. В дальнейшем изложении этот индекс опускаем, так как – решение задачи осуществляется в квазимонохроматическом приближении, т. е. для каждого значения или отвечающего ему диапазона длин волн.

Выберем направление оси OZ, проходящей через центр Земли (т. O), противоположным внешнему параллельному потоку радиации. При этом Земля и атмосфера будут облучаться Солнцем симметрично относительно оси OZ.

Полагаем, что атмосфера с ее верхней и нижней границами имеет структуру с осевой симметрией. Тогда вся система «атмосфера–Земля» (САЗ) в целом может рассматриваться в сферической системе координат как двумерная:

радиус-вектор r любой точки A(r) атмосферы и подстилающей поверхности 534 Глава 8. Сферические задачи с осевой симметрией (земной поверхности, верхняя граница облачности или гидрометеоров) пол ностью определяется расстоянием r = |r| от центра Земли (т. O) и полярным углом, отсчитываемым от фиксированного (положительного) направления оси симметрии системы OZ, т. е. каждому r ставится в соответствие пара (r, ).

Направление распространения светового луча s (считаем, что s – единич – ный вектор) в точке A(r), r = (r, ), будем описывать локальной сферической системой координат с центром в начале координат A(r): зенитным углом = arccos (r · s) / |r|, отсчитываемым от r, и азимутом в касательной плоскости, проведенной в точке A(r) к сфере радиуса r, т. е. каждому s соответствует пара (, ). Значениям = 0, и 2 соответствует плоскость, содержащая ось OZ и r;

за начало отсчета = 0 принимаем азимут прямого внешнего потока.

Вследствие осевой симметрии рассматриваемого класса задач достаточно ограничиться следующей областью угловых переменных:

0 0,,.

Для удобства введем обозначения = cos, t = cos, y = cos.

Эти переменные принимают значения в следующих диапазонах:

1 1 t 1, 1 y 1.

1, Опишем вокруг оси OZ конус с вершиной в т. O и углом раствора, равным 2. В точке A(r), лежащей на боковой поверхности конуса, направлениям s, выходящим из этого конуса, присвоим значения азимута 0 /2, а лучам s, входящим в конус, соответствуют /2. Лучи s с азимутом = /2 будут лежать в плоскостях, касательных к боковым поверхностям таких конусов, а азимутам = 0 и = будет соответствовать одна координатная плоскость, проходящая через ось OZ и радиус-вектор r.

При нашем выборе системы координат для угла между OZ и лучом s выполняется соотношение cos = cos cos sin sin cos.

Изучаемый сферический слой ограничивается сферическими поверхно стями с радиусами Rb снизу и Rt сверху, т. е. область изменения значений радиуса есть r [Rb, Rt ].



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.