авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |

«Посвящается пионерам освоения космоса Предисловие Фактически в настоящее время закладываются основы решения фундамен- тальных проблем, связанных с ...»

-- [ Страница 3 ] --

– NS 1 2 3 4 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos ik lj cos 6 7 8 NS sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 ik lj Строки управляющей таблицы упорядочены сначала в порядке возрастания номеров r-компонент матрицы, затем индексов i-компонент вектора A и, наконец, индексов j-компонент вектора. Приведем упорядоченную базовую информационную таблицу, первый столбец которой содержит номер строки N, а второй – индексы k, l элемента матрицы рассеяния kl.

– Для конкретных матриц рассеяния и вектора таблица приводится к рабочему виду путем вычеркивания строк, отвечающих нулевым элементам 1.2. Поляризационные задачи Базовая информационная таблица N kl a1 a2 a3 a4 a5 a6 N kl a1 a2 a3 a4 a5 a +1 1 11 9 1 1 1 0 19 31 3 9 2 1 +1 + 2 12 2 2 1 2 0 20 31 1 9 3 1 1 3 12 4 2 1 3 0 21 32 8 10 2 2 +1 + 4 13 4 3 1 2 0 22 32 6 10 2 3 +1 + 5 13 2 3 1 3 0 23 32 5 10 3 2 +1 6 14 9 4 1 4 0 24 32 7 10 3 3 +1 7 21 1 5 2 1 0 25 33 6 11 2 2 +1 8 21 3 5 3 1 0 26 33 8 11 2 3 +1 + 9 22 5 6 2 2 0 27 33 7 11 3 21 1 + 10 22 7 6 2 3 0 28 33 5 11 3 3 +1 11 22 8 6 3 2 0 29 34 3 12 2 4 1 + 12 22 6 6 3 3 0 30 34 1 12 3 4 +1 + 13 23 7 7 2 2 0 31 41 9 13 4 1 +1 + 14 23 5 7 2 3 0 32 42 2 14 4 2 +1 15 23 6 7 3 2 0 33 42 4 14 4 3 +1 + 16 23 8 7 3 3 0 34 43 4 15 4 2 +1 + 17 24 1 8 2 4 0 35 43 2 15 4 3 +1 + 18 24 3 8 3 4 0 36 44 9 16 4 4 и компонентам, коррекции строк с совпадающими или отличающимися знаками элементами r и последующего упорядочения последовательности строк. Таблица просматривается снизу вверх и в строках, заканчивающих расчет какой-либо из компонент вектора A, в a6 запоминается номер этой компоненты. Процедура генерации управляющих таблиц применяется итеративно до тех пор, пока количество компонент вектора решения не стаби лизируется. Если требуется «заморозить» или включить в расчет компоненту вектора или элемент матрицы, то управляющая таблица корректируется.

Рабочая «правильно упорядоченная» таблица используется для генерации информационных таблиц, управляющих конкретными этапами расчета.

Перечислим причины появления ряда известных заранее вычислительных погрешностей, связанных с переходом от исходной задачи с непрерывными функциями к конечно-разностным аналогам дискретных (сеточных) функций.

1. Применение квадратурных формул по и для вычисления интегралов столкновений.

2. Введение интерполяции на интервале zk разностной сети zk функции источника B(z,, ) в процедуре обращения дифференциального оператора Dz интегрированием по характеристике.

3. Аппроксимация в виде кусочно-постоянной функции в случае непре рывного изменения коэффициентов s (z), t (z) по высоте. Такую погрешность можно уменьшить, если задавать высотное распределение подробнее (чаще), чем разностная сеть по высоте, и предварительно рассчитать k.

4. Использование для вычисления значений «индикатрисы» в случае табличного задания элементов матрицы рассеяния линейной интерполяции 102 Глава 1. Одномерные плоские задачи между значениями в заданных узлах. Интерполяция может нарушить условия физичности матрицы рассеяния. Особенно подробная разностная сеть необ ходима в направлении вытянутости «индикатрис», обычно в области малых углов рассеяния s.

5. За счет погрешностей квадратурных формул и приближенного вычис ления значений элементов матрицы рассеяния (обычно с завышением) может нарушиться условие сходимости итераций, особенно в консервативном случае, когда отсутствует поглощение. Необходимо, чтобы 2 11 (cos s ) d = 1, 1.

d S Для предупреждения нарушения этих условий принимаются специальные меры:

а) автоматически производится согласованная перенормировка всех «ин дикатрис» так, чтобы 11 (cos s ) d cos s = ;

б) предварительно рассчитывается интеграл с 11 на разностной сети {j, i } по квадратурным формулам и оцениваются уклонения от единицы;

если уклонение большое, то подбирается более подробная разностная сеть, обеспечивающая приемлемую точность.

На ЭВМ с векторными или матричными процессорами естественным образом проводится распараллеливание вычислений: интегрирование по харак теристикам и расчет интегралов столкновений могут проводиться параллельно +() +() = {j, i }. На ЭВМ с малой оперативной для всех направлений sji памятью и большим быстродействием алгоритм позволяет расщепить расчеты для полусфер + и, т. е. уменьшить вдвое требования к ресурсам оперативной памяти. На ЭВМ с большой оперативной или внешней памятью с быстрым доступом для сокращения объема вычислений на итерациях предварительно рассчитываются и запоминаются значения элементов фазовой матрицы на разностной сети.

На современных и перспективных многопроцессорных суперкомпьютерах для решения векторной задачи теории переноса высоко эффективно исполь зуются параллельные вычисления.

1.2.7. Метод характеристик. Перейдем к описанию конечно-разностных схем. Рассмотрим расчет вектор-функции однократного рассеяния. Формулы интегрирования векторного уравнения (1.163) по характеристикам (1.165)– (1.168) с учетом структуры фазовой матрицы (1.176) для каждой r-компоненты вектора Стокса 1 могут быть записаны в виде сумм:

1.2. Поляризационные задачи для s +, z (0, H] 1+ (z, +, ) = A+ (z, +, ) F0p, r rp p=1 rk (+, 0, 0 )lp (+, 0, 0 ) a+, A+ = rp kl k, l=1 z (z) (t) (t) a+ (z, cos 0 ) = + s (t) exp kl (t, cos 0 ) dt;

+ s s kl для s, z (0, H] (H) (z) 1 (z,, ) = A F0p + (RH 01 )r exp, | | r rp k,l=1 rk (, 0, 0 ) lp (, 0, 0 ) a, A = rp kl k,l=1 H (t) (z) (t) a (z, cos 0 ) s (t) exp kl (t, cos 0 ) dt.

= | | s s | | kl z Один член суммы с фиксированными индексами r, p, k, l соответствует решению «скалярного» уравнения переноса в приближении однократного рассеяния с индикатрисой Prpkl rk lp kl :

d + (z) 1 = (z) exp (z) P(z,,, ) F, t s 0 0 dz 0 (1.177) fH (RH 01 )rpkl.

= 0, = fH (, );

0 H Полная r-компонента вектора Стокса 1 = 1.

r rpkl p=1 4 k, l=1 Точнее и экономичнее рассчитывать 1 = 1, r rp p=1 где каждое слагаемое при фиксированных значениях индексов r и p является решением задачи (1.177) с fH (, ) = (RH 01 )rp и P(z,, 0, 0 ) Prp rk lp kl.

k, l=1 Таким образом, расчет вектор-функции первого рассеяния 1± сводится kji к решению набора скалярных задач (1.177) для функций (1± )rp при kji 104 Глава 1. Одномерные плоские задачи фиксированных значениях индексов r, p. Обращение дифференциального оператора (1.177) осуществляется интегрированием по характеристике.

Выражения (1.165)–(1.168) позволяют рассчитывать независимо «интен сивности» в любом направлении s = {, } путем интегрирования вдоль луча от точки наблюдения z до точки пересечения границы (z = 0 для + и z = H для ). Для расчета сеточных значений функции 1± во всех узлах kji разностной сети zk, k = 1 K, экономичнее рекуррентные формулы, в которых значения на уровне zk вычисляются через значения функции на уровне zk1 для s + или zk+1 для s.

1.2.8. Расчет вектор-функции многократного рассеяния. Выражение для r-компоненты интеграла столкновений B можно представить в виде суммы Br (z,, ) = s (z) Brpkl (z,, ), p=1 4 k, l=1 2 rk (,, ) lp (,, ) Brpkl (z,, ) = d kl (,, ) [N it1 + 1 ] d.

p p Аналогично можно представить r-компоненту вектора Стокса r = 1 4, N it (z,, ) = N it (z,, ), r rpkl p=1 4 k, l=1 где каждое слагаемое является решением скалярной задачи N it dr + (z) N it = B (z,, ), t r r dz (1.178) N it r N it = 0, = BHr (, ).

r 0 H Прямо использовать такой алгоритм расчета N it± нецелесообразно из-за kji чрезмерного увеличения объема вычислений и, как следствие, возможного ухудшения точности расчета. Более экономичным, оптимальным является алгоритм, когда сначала рассчитывается правая часть и для расчета компонент ± (N it± )r, r = 1 4, берутся полные компоненты (Bkji )r и (BHji )r, отвечающие kji правым частям задачи (1.177). Обозначим B BN it1 + B1, BH BN it1 + BH1.

H Обращая дифференциальный оператор уравнения (1.177) интегрированием по характеристикам вдоль лучей s± = {±, i }, получаем формулу метода ji j характеристик в общем виде. Переходя к разностной сети задачи по z и учитывая аддитивность экспонент, приходим к рекуррентному виду, не внося никаких дополнительных предположений или условий.

1.2. Поляризационные задачи Поскольку функция источника B± на каждой итерации является сеточной, ± для вычисления интегралов на отрезке [zk, zk+1 ] для Bji (z) вводится аппрок симация. Устойчивая разностная схема получается при двух простейших способах аппроксимации.

1. Кусочно-постоянная аппроксимация B± + B± B± (z) = kji k+1,ji z [zk, zk+1 ],, ji приводит к двухточечной разностной схеме N it+ = Dkj N it+ + A+ B+ + Ckj B+ + + k = 1 (K 1) ;

(1.179) k+1,ji, k+1,ji kji kj kji коэффициенты схемы положительно-определенные:

+ 1 Dkj k + A+ = Ckj = + Dkj = exp (1.180), ;

+ kj 2tk j для k = (K 1) 1 разностная схема N it = Dkj N it + Ckj B + A B (1.181) kji k+1,ji kji kj k+1,ji имеет положительные коэффициенты 1 Dkj A = exp k (1.182) Dkj, = Ckj =.

kj |j | 2 tk 2. Линейная аппроксимация по z [zk, zk+1 ] zk+1 zk ± z zk ± B± (z) = Bkji + Bk+1,ji ji zk zk приводит к тем же схемам (1.179), (1.181). Совпадают c (1.180) и (1.182) коэффициенты Dkj, а коэффициенты Ckj, A± вычисляются по другим ± ± kj формулам:

± |± | |± | 1 Dkj A± = ± ± A±.

j j Dkj 1+, Ckj = kj kj tk k k tk Поскольку на разных итерациях вектор-функция B для интеграла столк новений имеет одинаковое выражение, рассмотрим алгоритм ее вычисления без конкретизации подынтегральных функций:

2 B(z,, ) S = s (z) P (z,,, ) d. (1.183) d В роли вектора могут быть параметры Стокса 1, N it с соответствующими интегралами B1 S1, B2 SN it. Фазовая матрица может меняться от 106 Глава 1. Одномерные плоские задачи итерации к итерации, но алгоритм расчета при этом сохраняется. Обозначим через A P подынтегральный вектор с компонентами r = 1 4.

Ar = rk lp kl p, p=1 4 k, l=1 Для r-компонент вектора B (1.183) получаем представление в виде суммы Br (z,, ) = Brpkl (z,, ) p=1 4 k, l=1 со слагаемыми 2 Brpkl s (z) Prpkl p d, (1.184) d Prpkl (z,,, ) rk lp kl (z, cos s ). (1.185) При фиксированных индексах r, p, k, l интеграл (1.184) аналогичен ин тегралу столкновений «скалярного» уравнения переноса с «индикатрисой»

рассеяния P(z,,, ) (1.185). Вычисление сеточных значений «скаляр ных» интегралов B ± (zk, ±, i ) проводим с помощью квадратур на единичной j сфере:

J+ I ± + a+ bi Pkjij i + i + Bkji = sk j kj j =1 i = J I a bi Pkjij i i, (1.186) +sk j kj j =1 i = Pkjij i P(zk, ±, ±, i i ), j j где a± и ± – веса и узлы квадратурной формулы по [1, 1], bi и i – j– – j веса и узлы квадратуры по азимуту [0, 2].

Прямолинейный подход к реализации расчета интегралов столкновений по формуле (1.186) не приводит к разумным результатам, и, как следствие, метод характеристик с квадратурами не находил широкого применения в практике численного моделирования. Однако внимательный учет свойств симметрии вектор-функции и угловой матрицы P позволяет существенно сократить объем вычислений при незначительном усложнении алгоритма расчета. Остановимся кратко на изложении алгоритма, подробное описание которого содержится в наших работах.

Элемент угловой матрицы (1.158) при фиксированных индексах r, p, k, l зависит от азимута через «индикатрису» (z, cos s ) = kl как от cos( ), входящего в cos s, а также через множители – элементы матриц поворота – (,, ) и (,, ), в которые азимут входит не только через cos( ) в выражении для cos s, но и через функцию s = sign(sin( 1.2. Поляризационные задачи )). Запишем условно при фиксированных значениях и с целью учета азимутальной зависимости P (,, ) = P (cos s, sin( )).

Каждый из «скалярных» интегралов столкновений можно разбить на сумму интегралов по интервалам изменения азимута [0, / 2], [ / 2, ], [, 3 / 2], [3 / 2, 2] и путем замены переменных:

= на [0, / 2], на [/2, ], = = на [, 3 / 2], на [3 / 2, 2] =+ свести интеграл по на [0, 2] к интегралу по на [0, / 2]. Для [0, / 2] /2 d ( ) ( ) ( ) (z,, ) + B(z,, ) = s (z) d + ( ( + )) ( ( + ) ( ( +, )) (z,, ) + +( + ( )) ( + ( )) ( + ( )) (z,, + ) + +(2 ( + )) (2 ( + )) (2 ( + )) (z,, 2 ).

Аналогичные выражения выписываются для трех остальных интервалов [ / 2, ], [, 3 / 2], [3 / 2, 2].

В эти выражения входят 12 комбинаций аргументов элементов угловой матрицы, зависящих от азимута. Из свойств симметрии матрицы рассеяния вы текает, что этим элементам соответствуют всего четыре угла рассеяния (1.20).

Что касается элементов, содержащих sin 2 и cos 2, то, кроме как через cos( ), они зависят от азимута еще через величину s = sign(sin( )).

С помощью формул приведения можно показать, что достаточно вычислить только две величины:

s sign(sin(m m )), s+ sign(sin(m + m )).

Случаи неопределенности s и s+, когда m = ±m, относятся к предельным и рассматриваются особо.

Интегралы по азимуту на интервале [0, 2] сводятся к интегралам на [0, / 2], а всевозможные зависимости элементов угловой матрицы от азимута представляются в следующем виде:

P(±, ±, ±, ±) P(±s±, ± cos(m ± m )) = ( ) ( ) ( ).

Обозначим P1 P(+,, +, ), P2 P(, +, +, +), P3 P(+, +,, +), P4 P(,,, ), P5 = ± P3, P6 = ± P4, P7 = ± P1, P8 = ± P2.

108 Глава 1. Одномерные плоские задачи При этом в выражениях P5, P6, P7, P8 знак берется, если они содержат сомножитель sin 2 или sin 2 ;

в остальных случаях берется знак +, в том числе и тогда, когда одновременно входят sin 2 и sin 2.

При фиксированных значениях = ± и z = zk азимутальные квадратуры j для «скалярных» интегралов столкновений можно записать так (bm – веса – квадратуры на [0, / 2], отвечающие узлам m ):

1) для 0 /2, i = m, i = m = 1 M, M bm {(m ) P1 + ( m ) P3 + m = + ( + m ) P4 + (2 m ) P2 } ;

, i = m, m = 1 M, i = (M + 1) 2M, 2) для /2 M bm {(m ) P5 + ( m ) P7 + m = + ( + m ) P8 + (2 m ) P8 } ;

3/2, i = + m, m = 1 M, i = (2M + 1) 3M, 3) для M bm {(m ) P4 + ( m ) P2 + m = + ( + m ) P1 + (2 m ) P3 } ;

2, i = 2 + m, m = 1 M, i = (3M + 1) 4M, 4) для 3/2 M bm {(m ) P8 + ( m ) P6 + m = + ( + m ) P5 + (2 m ) P7 }.

1.2.9. Модификации и сходимость последовательных приближений. Ре шение краевой задачи (1.159) на каждой итерации сводится к определению вектор-функции N it при известных правой части B и граничном условии BH, сосчитанных по результату предыдущего приближения N it1. Обычно сходимость итераций определяем в метрике пространства C (4) (1.170). Если для r-компоненты выполнен критерий сходимости (КС), то эта r-компонента считается определенной.

Оценка реально достигаемой точности расчетов проводилась путем срав нения решения, полученного для однородного рэлеевского слоя с таблич ными значениями, рассчитанными на ЭВМ по аналитическим формулам с использованием метода X, Y -функций. Эти формулы были применены 1.2. Поляризационные задачи Т. А. Гермогеновой для оценки влияния поляризации излучения на его интенсивность. Наше сопоставление проведено для параметров I, Q, U (при рэлеевском рассеянии V 0) и степени поляризации P для набора оптических толщин, зенитных углов Солнца и альбедо. На разностных сетках 11 zk (20 + +20 )25 i и 11 zk (15 + +15 )31 i при относительной j j j j точности расчета = 0, 001 получено совпадение двух-трех значащих цифр.

Такую же точность получили (кроме значений при вблизи 0) в расчетах на значительно менее подробной разностной сети 6 zk (7 + + 7 ) 7 i с j j применением к рассчитанным значениям сплайн-интерполяции для пересчета на более подробную разностную сеть.

Компоненты решения I, Q, U, V сходятся за различное число итераций.

Обычно первой сходится первая компонента – интенсивность, затем третья, – четвертая и последней, как правило, сходится вторая компонента. Это обстоятельство позволяет сократить время расчета, уменьшив количество «скалярных» интегралов при расчете функции источника на последующих итерациях. Для этой цели используются два основных приема, различающихся по трудности алгоритмов реализации:

1) частичное «замораживание» KC-компоненты, когда из итерационного процесса исключается решение уравнения для этой компоненты;

2) полное «замораживание» KC-компоненты, когда исключается не только решение уравнения для этой компоненты, но и вычисление интегралов, входящих в уравнение для других компонент и содержащих KC-компоненту.

На модельной задаче ( = 0, 25, 0 = 0, 8, q = 0, рэлеевская матрица рассеяния, разностная сеть 6 zk (7 + + 7 ) 7 i ) были опробованы j j несколько вариантов модификаций организации итераций. Простые итерации без «замораживания» сошлись на 15-й итерации, при этом компоненты I и U сошлись уже на 8-й итерации. Значения интенсивности I после 8 и итераций различаются на 1–2 единицы в третьем знаке – это обстоятельство – подтверждает состоятельность идеи «замораживания» KC-компонент.

Для оценки эффекта «замораживания» определяем следующие величины:

IП – полное количество интегралов, IЧЗ – количество интегралов при ча – – стичном «замораживании», IПЗ – количество интегралов при полном «замо – раживании», N M – максимальное число итераций в расчете. Эти величины – вычисляются, начиная с третьей итерации, так как две первые итерации во всех способах выполняются в полном объеме и одинаково. В случае простых итераций получили IП= 169, N M = 15, а для итераций с «замораживанием»

КС-компонент IЧЗ= 108, IПЗ= 93, N M = 14.

Опробованы и другие модификации, сопоставленные с простыми итераци ями и связанные с изменениями матриц рассеяния в итерационном процессе.

Наиболее экономичен алгоритм с отключением всех компонент, кроме первой, начиная с третьей итерации, и их подключением после сходимости первой компоненты.

110 Глава 1. Одномерные плоские задачи Установление решения векторного уравнения переноса по итерациям происходит для отдельных компонент вектора Стокса как снизу, так и частично сверху. Этот факт обнаружен эмпирически посредством контроля за решением по итерациям. Уже после 5-й итерации наблюдается практически монотонная сходимость всех компонент. Это обстоятельство позволяет использовать верхнюю релаксацию для ускорения сходимости итераций:

N it = N it1 + (N it N it1 ), параметр релаксации 1 2. Так же как и при вычислении критерия сходимости, можно применять релаксацию не непосредственно к компонентам вектора Стокса полного решения, а отдельно к интенсивности неполяризован ной составляющей и подправлять полностью поляризованную составляющую на сфере Пуанкаре.

При проведении высокоточных расчетов на подробной разностной сети оказывается целесообразным предварительное моделирование расчета на маленькой разностной сети по фазовому пространству {z,, } с целью определения характера сходимости компонент по итерациям. Такой подход позволяет вовремя выявить погрешности задания матрицы рассеяния с про веркой критериев ее физичности и определить момент включения релаксации для каждой компоненты. В реальных расчетах обычно используется полное «замораживание» KC-компонент и включение релаксации с коэффициентом = 1, 2 1, 8 не ранее 5-й итерации одновременно для всех компонент решения. При решении задачи для аэрозольного слоя с = 1, 0 = 0, 8, q = 0, 8 без релаксации получили IП= 364, IЧЗ= 303, IПЗ= 279, N M = 30, с релаксацией – IП= 260, IЧЗ= 213, IПЗ= 196, N M = 22. Уже при частичном – «замораживании» экономия составляет 60 «скалярных» интегралов. Только релаксация с = 1, 5 дала экономию около 100 интегралов, а релаксация с частичным «замораживанием» экономит почти 150 интегралов.

1.2.10. Численное моделирование поляризационных характеристик.

Развитый математический и программный аппарат позволяет рассчитывать полный вектор Стокса и изучать следующие закономерности поляризованного излучения: влияние поляризации на интенсивность излучения;

положение нейтральных точек степени поляризации;

зависимость поляризационных характеристик от анизотропии матрицы рассеяния, характеристик отра жения подстилающей поверхности, условий освещения слоя, оптической толщины слоя в консервативной (чистое рассеяние) и неконсервативной (с поглощением) среде;

поляризационные характеристики однородного (с одной матрицей рассеяния) и неоднородного (с несколькими матрицами рассеяния) по высоте слоя;

вклад кратного рассеяния в интенсивность излучения и его влияние на поляризационные характеристики;

характер поляризации 1.2. Поляризационные задачи излучения;

угловые и пространственные распределения поляризационных характеристик.

Исследованию поляризации света как индикатора оптических свойств атмосферы, в частности, ее рассеивающих и поглощающих характеристик в зависимости от метеорологического состояния и аэрозольного загрязнения уделяется большое внимание. Как правило, все изменения поляризационных свойств прослеживаются относительно незагрязненной, молекулярной атмо сферы с рэлеевской матрицей рассеяния. С помощью расчетов характеристик поляризации делаются попытки объяснить эмпирические закономерности, устанавливаемые при наблюдении на Земле и из космоса. Изучается влияние модели распределения частиц по размерам и значения комплексного индекса рефракции, влажности, наличия озона в атмосфере и анизотропии частиц на поляризационные характеристики аэрозоля и состояние поляризации солнечного и собственного излучения земной атмосферы. Начиная с осно вополагающих работ Г. Стокса и О. Д. Хвольсона (в 1990 году исполнилось 100 лет «уравнению Хвольсона» – уравнению переноса), Г. В. Розенберга – и В. Г. Фесенкова, в отечественных исследованиях постоянно уделяется внимание изучению поляризации излучения атмосферы.

На основе численного эксперимента для задач с внешним мононаправ ленным солнечным потоком рассматривались четыре характерные модели:

рэлеевская, чисто газовая атмосфера (модель R), сильно замутненная аэро зольная модель (модель M ), континентальная слабо замутненная атмосфера (модель K), приближенная к реальной, и многослойная модель (модель RM ) с чередованием рэлеевских и аэрозольных слоев. В расчетах варьируются зенитный угол Солнца 0, альбедо подстилающей поверхности q и полная оптическая толщина слоя = (H). Матрица модели M была определена Д. Дейрмеджаном и содержит индикатрисы Хеньи-Гринстейна fHG (1.4):

a1 (s ) = 0, 9724 fHG (g1 ) + 0, 0276 fHG (g2 ), g1 = 0, 824, a2 = a1, g2 = 0, 55, a2 b2, b = 0, 006 sin(2s ).

c = 0, a3 = a4 = Модель К построена по данным, основанным на расчетах по теории Ми с эмпирическими распределениями частиц по размерам, полученными с помощью лидарного зондирования. Матрицы, содержащие вычислительные или случайные ошибки, были скорректированы для удовлетворения условий физичности с помощью алгоритма Н. В. Коновалова. Вопрос о том, являются ли физически корректными колебания в элементах матриц рассеяния при углах рассеяния, больших 100, остается открытым. Подобные колебания имеются в результатах и других авторов, использующих эмпирические распределения.

При модельных распределениях частиц по размерам корректно рассчитанные по теории Ми матрицы рассеяния обычно содержат мало колебаний и удовлетворяют критериям физичности. Степень поляризации излучения в 112 Глава 1. Одномерные плоские задачи одном акте рассеяния определяется по формуле P1 P P2 P1 + P P=, P1 =, P2 =.

2 P Элементы матриц P1 и P2 очень близки по значениям, в результате значения элемента P2, по существу, определяются на уровне погрешностей, поэтому появляются колебания при больших углах рассеяния.

Наши результаты расчетов с моделью M ( = 1, 0 = 0, 5, q = 0) сопо ставлялись с аналогичными результатами, полученными методом удвоения и азимутальных гармоник. Максимальное различие степени поляризации не превышает 1%. Относительная точность азимутальной зависимости достигает 15% из-за малости абсолютных значений степени поляризации (P 30%).

В аэрозольном слое максимальное значение степени поляризации более чем в два раза меньше, чем в рэлеевском слое.

При интерпретации измерений света необходимо оценивать возможные ошибки, возникающие за счет пренебрежения поляризацией при расчетах по скалярной теории. Для рэлеевской атмосферы Т. А. Гермогеновой показано, что ошибка может доходить до 10%. Решая «скалярные» и «векторные» задачи, мы оцениваем вклад поляризации в интенсивность:

Iп ICK 100%, DP I = ICK где Iп и ICK – интенсивность с учетом и без учета поляризации соответ – ственно. Для моделей R и K значения DP I достигают 12–14%, а для моделей M – не превышают 5%. При этом в отдельных направлениях за счет – поляризации интенсивность увеличивается, а в других – уменьшается.

– В угловом распределении интенсивности пропущенного света в рэлеевском слое отсутствует ярко выраженный солнечный ореол, в то время как в модели M ореол проявляется отчетливо. Это следствие сильной анизотропии элемента матрицы рассеяния a1 (s ). Вблизи ореола вклад однократного рассеяния максимальный: для модели R он составляет 40%, для модели M – 70%.– Для локализации нейтральных точек степени поляризации P иногда не хватает точности разностной сети. В этом случае используем сплайн интерполяцию. Угловые распределения параметра Q наиболее чувствительны к появлению нейтральных точек. Там, где формируется нейтральная точка, обычно происходит смена знака параметра Q и наблюдается резкий скачок во вкладе однократного рассеяния Q1 / Qtot и U1 / Utot.

В результате многократного рассеяния в рэлеевском слое максимум степени поляризации излучения снижается до 59%, в окрестности направления на Солнце появляется отрицательная линейная поляризация, нейтральные точки смещаются.

1.2. Поляризационные задачи В модельном аэрозольном слое M в меридиональной плоскости обнару живается низкий уровень поляризации P 9%, а в большей части P 1, 5%.

В области плоскости = 0 образуется полоса слабо поляризованного излучения. Такое распределение степени поляризации есть следствие влияния матрицы рассеяния в модели M.

Образование областей с сильной и слабой поляризацией происходит уже в приближении однократного рассеяния, когда степень поляризации оказы вается пропорциональна отношению элементов b(s ) / a1 (s ). Для рэлеевской матрицы sin2 s b =.

1 + cos2 s a Отсюда вытекает, что максимум P = 100% достигается при s = 90, а минимум – при s = 0 и 180. Для модели M – b sin s cos s.

= a1 fHG (g1 ) + fHG (g2 ) Степень поляризации может принимать нулевые значения при s = 0, 90 и 180. Значения s = 90 достигаются при широком наборе углов и, поэтому для восходящего излучения наблюдается полоса максимумов P в рэлеевском слое и полоса минимумов P в слое модели M в направлениях с s около 90. Нейтральные точки Бабине, Брюстера и Араго устойчивы к вариациям альбедо. Проявляющаяся аналогия в угловых распределениях I, Q, U и P для пропущенного и отраженного излучения есть следствие симметрии рэлеевской матрицы рассеяния.

Для модели K ( = 0, 2 и 0, 3) распределение степени поляризации отраженного излучения по своему характеру напоминает рэлеевскую атмо сферу. В случае = 0, 3, 0 = 0, 5 образуются полосы максимумов степени поляризации Р 30–31% и P 28–31% пропущенного и отраженного = = излучения соответственно. Пропущенное излучение содержит две области с низкой поляризацией, обрамляющие две нейтральные точки с координатами = 0, 65 и = 180, 85. Поведение степени поляризации = = отраженного излучения вблизи плоскости = 180 достаточно сложное:

имеется несколько локальных максимумов и минимумов, что объясняется колебаниями в элементах матрицы рассеяния при больших углах рассеяния.

В целом, если не считать низких уровней поляризации, картина изолиний для слоя К занимает промежуточное положение между моделями R и M и напоминает деформированное распределение излучения рэлеевского слоя. Это следовало ожидать, так как микрофизические параметры модели K получены в условиях невысокой мутности атмосферы. Разрыв в угловом ходе положения плоскости поляризации для модели K связан со сменой знака параметра Q.

В результате численного моделирования получены количественные оценки ряда поляризационных эффектов.

114 Глава 1. Одномерные плоские задачи 1) Проявляется сильная зависимость угловых распределений параметров Стокса и степени поляризации отраженного и пропущенного излучения от угловой структуры матрицы рассеяния. Наибольшая анизотропия рассеяния имеет место при сильном загрязнении аэрозольными примесями.

2) Наличие аэрозоля существенно снижает уровень степени поляризации излучения.

3) Многократное рассеяние приводит к снижению уровня степени поля ризации излучения, смещению и возникновению новых нейтральных точек.

4) Присутствие отражающей ламбертовой поверхности заметно деформи рует угловые распределения, особенно отраженного излучения, и снижает уровень степени поляризации.

1.2.11. Деполяризация излучения при наличии сплошной облачности и аэрозольных примесей. Решение задачи для слоя с ламбертовым дном можно проводить двумя способами: либо решать краевую задачу с ненулевым граничным условием, либо две задачи с нулевыми условиями. Во втором спосо бе полное решение находится в виде суперпозиции вкладов изолированного слоя и отражающего дна:

= 0 + r W0, где E r q Eq, Eq E0 R I0, c0 RW1,, 1 q c функция пропускания атмосферы с учетом многократного рассеяния и поляризации W0 = {WI, WQ, WU, Wv },. Для степени поляризации получена аналитическая зависимость от значения альбедо отражающего дна:

(Q2 + U 2 + V 2 )1/ P= = I / Q2 + U0 + V02 + 2r(Q0 WQ + U0 WU + V0 WV ) + r2 (WQ + WU + WV ) 2 2 =0.

I0 + rWI При блочно-диагональных матрицах Ми: WU = WV 0, т. е. имеет место только линейная поляризация подсветки, и последняя формула упрощается:

1/ Q2 + U0 + V02 + 2rQ0 WQ + r2 WQ 2 P= 0.

I0 + rWI При рассеянии по законам, описываемым матрицами Ми, подсветка изме няет интенсивность параллельной и перпендикулярной составляющих I, Q.

Следовательно, могут изменяться степень эллиптичности = arcsin(V / I) / и направление вращения вектора электрического поля световой волны, а также 1.2. Поляризационные задачи P, % 4 1q 1q 0 0.5 0. a b Рис. 1.11. Зависимость степени поляризации P от альбедо q для = 0 (кривые 1, 3) и = 90 (кривые 2, 4) a – модель R ( = 0, 3, 0 = 0, 5): 1, 2 – = 0, 5, 3, 4 – = 0, 97;

– – – b – модель К ( = 0, 3, 0 = 0, 5): 1, 2 – = 0, 53, 3, 4 – = 0, – – – угол наклона = arctg(U / Q)/2 большой полуоси эллипса поляризации. В плоскости солнечного вертикала [Q + rWQ ]1/ Q = U0 = V0 = 0, P=.

I I0 + rWI Даже в задаче с однородной ламбертовой подложкой получается нелинейная зависимость степени поляризации от альбедо.

Максимальное значение степени поляризации излучения для модели K достигается при абсолютно черном дне и составляет 31%. По мере увеличе = ния альбедо оно падает до 11% в отраженном излучении. Общее снижение = уровня поляризации отраженного излучения приводит к образованию большой области со степенью поляризации меньше 1%. Такие же явления были отмечены К. Коулсоном и Г. В. Розенбергом. С ростом альбедо от 0 до максимум P уменьшается почти в три раза. Конечно, эффект очень сильный для использования в автоматических приборах.

Из выводов, сделанных на основе экспериментальных данных и по лученных нами при численном моделировании, вытекает, что присутствие облачности существенно деполяризует отраженное атмосферой излучение.

Характерные зависимости степени поляризации излучения от величины альбедо приведены на рис. 1.11.

В условиях горизонтально-однородной атмосферы при фиксированной оптической толщине падение значения степени поляризации в 2–3 раза свидетельствует об увеличении альбедо подстилающей поверхности. В случае 116 Глава 1. Одномерные плоские задачи измерений над океаном или над другой слабо отражающей поверхностью это свидетельствует о наличии сплошной облачности. В результате численных экспериментов установлено, что степень поляризации в чистой атмосфере с q = 1 соизмерима со степенью поляризации в аэрозольной атмосфере с q = 0.

При альбедо q = 0, 8 для рэлеевской атмосферы степень поляризации отраженного излучения находится на уровне 10%, а для модели К – – всего 3% (см. рис. 1.11). В модельной K-атмосфере степень поляризации 10% соответствует q = 0. Падение степени поляризации обусловливается = появлением сильного аэрозольного загрязнения атмосферы, приводящего к росту общей оптической толщины и анизотропии матриц рассеяния.

В видимом и ближнем ИК-диапазонах спектра аэрозольная составляю щая оптической толщины значительно больше рэлеевской, а следовательно, больше влияние аэрозольного рассеяния (в суммарной матрице рассеяния вес аэрозольной матрицы будет больше), и снижение уровня поляризации вблизи надира в несколько раз даже при общей невысокой степени поляризации (в аэрозольных атмосферах P 30%) является индикатором наличия сплошной облачности.

ГЛАВА Метод сферических гармоник.

Интегральные характеристики излучения § 2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник решения краевых задач теории переноса для трехмерных плоских слоев Рассмотрим рассеивающий и поглощающий неограниченный в горизонтальном направлении ( x, y ) и конечный по высоте (0 z H) плоский слой, освещаемый сверху или снизу потоком излучения и ограниченный сверху или снизу отражающей границей. Направление распространения излучения определяется вектором s = (, ), = cos ;

пространственные координаты в плоском слое описываются радиус-вектором r = (x, y, z);

в горизонтальной плоскости r = (x, y). Сформулируем модели азимутальных и сферических гармоник решения краевой задачи (s, grad)(r,, ) + t (r)(r,, ) = B(r,, ) + F (r,, ), (2.1) = f0 (r,, ) + R0, = fH (r,, ) + RH, 0 H (s, grad) + sin cos + sin sin, z x y s +, s, z = 0, 0 = (r, s) : H = (r, s) : z = H, с интегралом столкновений 2 (r) B(r,, ) S = s (2.2) (r,, )(r, cos ) d d, 0 cos = + sin sin cos( ), источниками излучения F (r,, ) = F1 (z, s) + F2 (r, s), f0 (r,, ) = f01 (s) + f02 (r, s), fH (r,, ) = fH1 (s) + fH2 (r, s), 118 Глава 2. Метод сферических гармоник и операторами R0, RH, описывающими взаимодействие излучения с границами;

нормировка индикатрисы рассеяния 2 1 1 (r, cos ) d d = 1 или (r, cos ) d cos = 1.

4 0 1 Равномерное приближение непрерывного решения задачи (2.1), заданного на сфере в каждой пространственной точке, линейными комбинациями (2.3) (r,, ) = Yk (r,, ) k= сферических функций k m (r)Ck (, ) + m (r)Sk (, ) m m (2.4) Yk (r,, ) = ck sk m= с коэффициентами: для k = 0, 1, 2,...;

m = 0, 1,..., k 2 2k + 1 (k m)!

m (r) m (2.5) = (r,, )Ck (, ) d d ;

ck 2m (k + m)!

0 для k = 0, 1, 2,... ;

m = 1, 2,..., k 2 2k + 1 (k m)!

m m (2.6) = (r,, )Sk (, ) d d ;

sk 2m (k + m)!

0 0 при m = 0 для всех k = 0, 1, 2,... ;

m (r) sk Sk (, ) = (1 m0 )Pk () sin m, m m m m Ck (, ) = Pk () cos m, m где m = (1 + m0 ), Pk () – присоединенные функции Лежандра, приводит – к разделению переменных r,,. Воспользовавшись тождеством:

k mm mm mm mm fck Ck (, ) + fsk Sk (, ) = fck Ck (, ) + fsk Sk (, ), m=0 k=m k=0 m= выделим в представлении (2.3) азимутальную зависимость:

k m (r)Pk () cos m + m (r)Pk () sin m = m m (r,, ) = ck sk k=0 m= m (r, ) cos m + m (r, ) sin m, (2.7) = c s m= 2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник где амплитуды азимутальных гармоник m (r, ) = (1 m0 ) m (r, ) = m (r)Pk (), m m (r)Pk () m (2.8) c ck s sk k=m k=m определяются по формулам m (r, ) (2.9) = (r,, ) cos m d, c m m (r, ) = (2.10) (r,, ) cos m d.

s m Если индикатриса рассеяния представлена разложением по полиномам Лежандра (2.11) (r, cos ) = k (r)Pk (cos ) k= с коэффициентами 2k + (2.12) k (r) = (r, cos )Pk (cos ) d cos, то с помощью теоремы сложения можно разделить угловые переменные и выделить азимутальные гармоники:

m (r,, ) cos m( ) (2.13) (r, cos ) = m= с амплитудами m (r,, ) = m m m (2.14) k (r)Pk ()Pk ( ), k=m 2 (k m)! m (2.15) k (r) = k (r), k (r) = k (r).

m (k + m)!

Амплитуды азимутальных гармоник можно определить через интегралы:

2 (2.16) (r,, ) = (r, cos ) d = k (r)Pk ()Pk ( ) ;

k= (r, cos ) cos m( ) d( ).

m (2.17) (r,, ) = m 120 Глава 2. Метод сферических гармоник Будем считать, что имеют место разложения k m m m m F (r,, ) = Fck (r)Ck (, ) + Fsk (r)Sk (, ) = k=0 m= Fcm (r, ) cos m + Fs (r, ) sin m ;

m (2.18) = m= Fck (r)Pk (), Fs (r, ) = (1 m0 ) Fcm (r, ) = m m m m m (2.19) Fsk (r)Pk ().

k=m k=m Метод сферических гармоник в общем виде достаточно широко представ лен в литературе. В настоящем разделе излагаются алгоритмы построения систем уравнений для амплитуд азимутальных и сферических гармоник решения трехмерного уравнения переноса в замкнутом виде, т. е. одновременно приводятся используемые рекуррентные соотношения, явные выражения интегралов, содержащих присоединенные функции Лежандра, и т. д. При этом избегаем комплексных представлений сферических функций и отрица тельных значений индексов, что часто используется в общетеоретических исследованиях, но не вполне удобно для практических реализаций.

2.1.1. Уравнения для амплитуд азимутальных гармоник. С помощью разложений (2.7) для и (2.13) для находим представление интеграла столкновений (2.2) в виде ряда Фурье:

1 2 (r) B(r,, ) = s m (r, ) cos m + m (r, ) sin m d c s m= 1 m (r,, ) [cos m cos m + sin m sin m ] d = m = m m (2.20) = Bc (r, ) cos m + Bs (r, ) sin m, m= где амплитуды азимутальных гармоник с учетом разложений (2.8), (2.14):

s (r) m m (r, ) m (r,, ) d = Bc (r, ) = m c 1 (k + m)! m s (r) (r)m (r)Pk () ;

m (2.21) = m 2k + 1 (k m)! k ck k=m 2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник s (r) Bs (r, ) = (1 m0 )m m m (r, ) m (r,, ) d = s 1 (k + m)! m s (r) = (1 m0 ) (r)m (r)Pk ().

m (2.22) m 2k + 1 (k m)! k sk k=m При выводе (2.20) использованы явные выражения – условия ортогональности.

– Подставим разложения (2.7), B (2.20) и F (2.18) в уравнение (2.1) и выделим нулевую азимутальную гармонику:

0 0 c + sin cos c + sin c + t (r)0 + c z x y m m c c + t (r)m + cos m + sin cos cos m + c z x m=1 m= m m c s + t (r)m + sin cos m + sin m + s y z m= m m s + sin sin m s + sin cos sin m = x y m= 0 m m = Bc (r, ) + Bc (r, ) cos m + Bs (r, ) sin m + m= + Fc0 (r, ) + Fcm (r, ) cos m + Fs (r, ) sin m.

m (2.23) m= С помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму запишем (2.23) в эквивалентном виде:

0 0 c + sin cos c + sin c + t (r)0 + c z x y m m c + t (r)m s + t (r)m + cos m + sin m + c s z z m=1 m= m m sin c c [cos(m 1) + cos(m + 1)] + [sin(m + 1) + 2 x y m= m sin s sin(m 1)] [sin(m 1) + sin(m + 1)] + + 2 x m= m s [cos(m 1) cos(m + 1)] 0 m m + = Bc + Bc cos m + Bs sin m + y m= + Fc0 + Fcm cos m + Fs sin m.

m (2.24) m= 122 Глава 2. Метод сферических гармоник Построение уравнений для амплитуд азимутальных гармоник можно осуществить одним из двух эквивалентных способов: либо проинтегрировать уравнение (2.24) по азимуту [0, 2] с весами cos m и sin m, исполь зуя условия ортогональности, либо приравнять выражения при одинаковых тригонометрических функциях, содержащих азимут.

Приравняем выражения при одинаковых азимутальных функциях и по лучим искомые уравнения для амплитуд азимутальных гармоник:

0 1 sin c c s + t (r)0 + = Bc + Fc0 ;

(2.25) + c z x y при cos 1 0 2 c c c s + t (r)1 + sin = Bc + Fc1 ;

(2.26) + + c z x x y при sin 1 0 2 s c s c + t (r)1 + sin 1 (2.27) + = Bs + Fs ;

s z y x y при cos m, m 2:

m m+1 m1 m+1 m sin c c c s s + t m + = Bc + Fcm ;

m + + c z x x y y (2.28) при sin m, m 2:

m m1 m+1 m1 m+ sin s s s c c + t m + m m + + = Bs + Fs.

s z x x y y (2.29) Систему уравнений (2.25)–(2.29) можно записать в обобщенной форме:

m m+1 m sin c c + (1 m0 )(1 + m1 ) c + t (r)m + + c z x x m+1 m s (1 m0 )(1 m1 ) s = Bc + Fcm, m 0 ;

(2.30) + m y y m m+1 m sin s s + (1 m1 ) s + t (r)m + s z x x m+1 m c + (1 + m1 ) c m m 1. (2.31) = Bs + Fs, m y y 2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник Проинтегрируем уравнение (2.24) по азимуту [0, 2] с весом cos k, k 0, воспользуемся условиями ортогональности и получаем систему уравнений:

k k+ sin c (1 + k0 ) c + + t (r)k + (1 + k0 ) c z x k1 k+ c + (1 + k0 ) s +(1 k0 )(1 + k1 ) x y k s (1 k0 )(1 k1 ) = (1 + k0 ) Bc + Fck, k 0. (2.32) k y При k = 0 обе части уравнения (2.32) можно сократить на множитель (1+k0 ), и тогда система (2.32) совпадает с системой (2.30).

Проинтегрируем уравнение (2.24) по азимуту [0, 2] с весом sin k, k 1, с учетом условий ортогональности и получим систему уравнений:

k sin k+1 k s s + (1 k1 ) s + + t (r)k + s z x x k1 k+ c c k k 1, (2.33) + (1 + k1 ) = Bs + Fs, k y y которая совпадает с системой уравнений (2.31). Обращаем внимание: в отличие от одномерной плоской задачи система уравнений для амплитуд азимутальных гармоник решения трехмерной задачи (2.1) не расщепляется.

2.1.2. Уравнения для амплитуд сферических гармоник. Уравнения для амплитуд сферических гармоник можно получить двумя способами: исходя из уравнения (2.1) или из системы уравнений для азимутальных гармоник (2.30)– (2.31).

Воспользуемся разложениями по сферическим функциям k m (r)Ck (, ) + m (r)Sk (, ) ;

m m (2.34) (r,, ) = ck sk k=0 m= k m m m m m (r, cos ) = k (r) [Ck (, ) Ck (, ) + Sk (, ) Sk (, )] ;

k=0 m= (2.35) k m m m m (2.36) F (r,, ) = Fck (r)Ck (, ) + Fsk (r)Sk (, ) k=0 m= 124 Глава 2. Метод сферических гармоник и получим аналогичные представления для интеграла столкновений:

2 (r) B(r,, ) = s (r,, )(r, cos ) d d = 0 k 1 + m0 (k + m)! m (r) =s (r) 2k + 1 (k m)! k k=0 m= [m (r)Ck (, ) + (1 m0 )(1 k0 )m (r)Sk (, )].

m m (2.37) ck sk Подставим разложения (2.34), (2.35), F (2.36), B (2.37) в урав i нение (2.1), умножим полученное равенство на Cj (, ), 0 j, и i проинтегрируем на сфере с [1, 1] и [0, 2]:

k 2 m ck m i Ck (, )Cj (, ) d d + z k=0 m=0 0 2 m + (1 m0 )(1 k0 ) sk m i Sk (, )Cj (, ) d d + z 0 2 (r) m (k + m)! m + t (r) s (r) m m i Ck (, )Cj (, ) d d + 2 2k + 1 (k m)! k ck 0 s (r) m (k + m)! m + (1 m0 )(1 k0 ) t (r) (r) m 2 2k + 1 (k m)! k sk 2 1 2 m ck Ck (, )Cj (, ) m i m i Sk (, )Cj (, ) d d + x 0 1 0 2 m ck 1 2 cos d d + 1 2 sin d d + m i Ck (, )Cj (, ) y 0 2 m sk + (1 m0 )(1 k0 ) 1 2 cos d d + m i Sk (, )Cj (, ) x 0 2 m sk + (1 m0 )(1 k0 ) 1 2 sin d d = m i Sk (, )Cj (, ) y 0 2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник 2 k Fck (r) m m i = Ck (, )Cj (, ) d d + k=0 m=0 0 Sk (, )Cj (, ) d d.

+ (1 m0 )(1 k0 )Fsk (r) m m i (2.38) Используя явные выражения интегралов со сферическими функциями, по лучим:

k m 1 (k + m)!

ck 2mi (1 + m0 ) k,j+1 + (2k 1)(2k + 1) (k m 1)!

z k=0 m= 1 (k + m + 1)!

+ (1 j0 )(1 jm ) k,j1 + (2k + 1)(2k + 3) (k m)!

s (r) 1 + m0 (k + m)! m m (k + m)! m + t (r) (r) 2mi kj + 2k + 1 (k m)! k (2k + 1) (k m)! ck m 1 (k + m + 2)!

ck m,i1 (1 i0 )(1 j0 )m k,j + (2k + 1)(2k + 3) (k m)!

x 1 (k + m)!

k,j+1 + m,i+1 (1 m0 )(1 k0 )(1 + m1 ) (2k 1)(2k + 1) (k m 2) 1 (k + m)! k,j+1 (1 j0 )(1 j1 )(1 jm ) k,j + (2k + 1) (k m)! (2k 1) (2k + 3) m 1 (k + m)!

sk (1 m0 )(1 k0 ) + m,i+1 (1 + m1 ) 2k + 1 (k m)!

y k,j+1 (1 j0 )(1 j1 )(1 jm ) k,j1 + (2k 1) (2k + 3) 1 k,j+1 (k + m)!

+ m,i1 (1 i0 )(1 j0 )(1 j1 ) (2k 1) (k m 2) (2k + 1) k,j1 (k + m + 2)! 1 (k + m)!

2mi m m kj Fck = 0. (2.39) (2k + 3) (k m)! (2k + 1) (k m)!

В результате находим систему уравнений (0 i j) i 1 (j + i + 1)! c,j+ + 2(1 + i0 )(1 j0 ) 2(1 + i0 ) (2j + 1)(2j + 3) (j i)! z i 1 (j + i)! c,j (1 ij ) + (2j 1)(2j + 1) (j i 1)! z 126 Глава 2. Метод сферических гармоник s (r) 1 + i0 (j + i)! i 1 (j + i)!

+ t (r) i + 2(1 + i0 ) (r) 2 2j + 1 (j i)! j cj (2j + 1) (j i)!

+ (1 i0 )(1 j0 )(1 + i1 ) i1 i (j + i)! c,j1 (j + i)! c,j+ 1 + (2j 1)(2j + 1) (j i)! x (2j + 1)(2j + 3) (j i)! x i+ (j + i + 2)! c,j+ (1 j0 )(1 j1 ) + (1 + i0 ) (2j + 1)(2j + 3) (j i)! x i+ (j + i)! c,j (1 i,j1 )(1 ij ) + (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! x i+ (j + i + 2)! s,j+ (1 j0 )(1 j1 ) + (1 + i0 ) (2j + 1)(2j + 3) (j i)! y i+ (j + i)! s,j (1 i,j1 )(1 ij ) (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! y i (j + i)! s,j (1 i0 )(1 i1 )(1 j0 )(1 j1 ) (2j 1)(2j + 1) (j i)! y i (j + i)! s,j+ 1 1 (j + i)! i = 2(1 + i0 ) (2.40) F.

(2j + 1) (j i)! cj (2j + 1)(2j + 3) (j i)! y Подставим разложения (2.34), (2.35), F (2.36), B (2.37) в урав i нение (2.1), умножим полученное равенство на Sj (, ), 1 j, и i проинтегрируем на сфере с [1, 1] и [0, 2]. С помощью явных выражений интегралов находим k 1 (k+m)!

2(1m0 )(1k0 )mi (1i0 )(1j0 ) (2k1)(2k+1) (km1)!

k=0 m= m 1 (k + m + 1)! sk k,j+1 + (1 j1 )(1 jm ) k,j1 + (2k + 1)(2k + 3) (k m)! z s (r) 1 (k + m)! m + t (r) 2mi (1 m0 )(1 k0 ) (r) 2 2k + 1 (k m)! k (2k + 1) (k + m)!

kj m + (1 m0 )(1 k0 ) (1 m1 )i,m sk (k m)!

(k + m)! 1 1 k,j+1 (1 j1 )(1 jm ) k,j1 + (k m)! 2k + 1 (2k 1) (2k + 3) 2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник 1 (k + m + 2)!

+ (1 i1 )i,m+1 k,j (2k + 1)(2k + 3) (k m)!

m 1 (k + m)! sk i,m+1 (1 + i1 ) k,j+1 + (2k 1)(2k + 1) (k m 2)! x 1 (k+m+2)! (k+m)!

k,j1 k,j+ (2k+1)(2k+3) (k m)! (2k1)(2k+1) (km2)!

1 (k + m)! i,m1 (1 m0 )(1 k0 )(1 m1 ) k,j+ 2k + 1 (k m)! 2k m 1 ck (1 j1 )(1 jm ) 2(1 m0 )(1 k0 )mi k,j (2k + 3) y 1 (k + m)!

m kj Fsk = 0. (2.41) 2k + 1 (k m)!

В итоге получаем систему уравнений (1 i j) i (j + i + 1)! s,j+ + (2j + 1)(2j + 3) (j i)! z i (j + i)! s,j + (1 j1 )(1 ij ) + (2j 1)(2j + 1) (j i 1)! z 1 s (r) (j + i)! i (j + i)! i + t (r) j (r) + (2j + 1) (j i)! sj 2 (2j + 1) (j i)!

i+ (j + i + 2)! s,j+ 1 (1 j1 )(1 i,j1 )(1 ij ) + (2j + 1)(2j + 3) (j i)!

2 x i+ (j + i)! s,j 1 + (1 i1 ) (1 j1 ) (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! x (2j 1)(2j + 1) i1 i (j + i)! s,j1 (j + i)! s,j+ + (j i)! x (2j + 1)(2j + 3) (j i)! x i (j + i)! c,j 1 + (1 + i1 ) (2j 1)(2j + 1) (j i)! y i1 i+ (j + i)! c,j+1 (j + i + 2)! c,j+ 1 (2j + 1)(2j + 3) (j i)! y (2j + 1)(2j + 3) (j i)! y 128 Глава 2. Метод сферических гармоник i+ (j + i)! c,j (1 j1 )(1 i,j1 )(1 ij ) = (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! y 1 (j + i)! i (2.42) = F.

(2j + 1) (j i)! sj Подставим разложения по присоединенным функциям Лежандра азиму тальных гармоник m, m (2.8), Bc (2.21), Bs (2.22), m (2.14), Fcm, Fs (2.19) m m m c s в уравнения (2.30) и (2.31):

для m m ck + t m Pk + m m ck z k=m m+1 m+1 m1 m sin ck ck + m Pk + (1m0 )(1+m1 ) Pk + 2 x x k=m+1 k=m m+1 m+1 m1 m sk sk Pk (1 m0 )(1 m1 ) + m Pk = y y k=m+1 k=m s m (k + m)! m m m mm (2.43) = P + (1 + m0 ) Fck Pk, (2k + 1) (k m)! k ck k k=m k=m для m m sk + t m Pk + m sk z k=m m+1 m+1 m1 m sin ck sk + (1 m1 ) + Pk Pk + 2 x x k=m+1 k=m m1 m1 m+1 m+ ck ck + (1 + m1 ) Pk Pk = y y k=m1 k=m+ s (k + m)! m m m mm (2.44) = P + Fsk Pk.

(2k + 1) (k m)! k sk k k=m k=m С помощью рекуррентных соотношений в уравнениях (2.43), (2.44) освобождаемся от множителей и sin, одновременно приводим все присо единенные функции Лежандра к одному верхнему индексу, равному m:

2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник для m k + m m m km+1 m ck Pk+1 + (1 k0 )(1 km ) m P + 2k + 1 k1 z 2k + k=m s m (k + m)! m t m Pk + m + m 2(2k + 1) (k m)! k ck k=m (k m)(k m + 1) m m+ 1 (k+m)(k+m+1) m ck Pk + m Pk+1 + 2 2k+1 2k+1 x k=m+ + (1 m0 )(1 + m1 ) P m (1 k0 )(1 k1 ) (2k + 1) k+ k=m m1 1 (k + m)(k + m + 1) m ck (1 km )Pk1 Pk m + m 2 2k + x k=m+ (km)(km+1) m m+1 sk (1m0 )(1m1 ) Pk+ m Pk+ 2k+1 (2k + 1) y k=m m sk (1 k0 )(1 k1 )(1 km )Pk m mm (2.45) = m Fck Pk ;

y k=m для m k + m m m km+1 m sk Pk+1 + (1 km ) P + 2k + 1 k1 z 2k + k=m s (k + m)! m t m Pk + m + 2(2k + 1) (k m)! k sk k=m (k m)(k m + 1) m m+ 1 (k + m)(k + m + 1) m sk Pk + Pk+1 + 2 2k + 1 2k + 1 x k=m+ m 1 sk + (1 m1 ) Pk+1 (1 k1 )(1 km )Pk m m + (2k + 1) x k=m m 1 1 ck Pk+1 (1k0 )(1k1 )(1km )Pk1 m m + (1+m1 ) 2 2k+1 y k=m (k m)(k m + 1) m m+ (k + m)(k + m + 1) m ck Pk1 mm Pk+1 = Fsk Pk.

2k + 1 2k + 1 y k=m+1 k=m (2.46) 130 Глава 2. Метод сферических гармоник Проинтегрируем уравнения (2.45) и (2.46) по [1, 1] с весом Pjm () и воспользуемся свойствами ортогональности присоединенных функций Лежандра:

2 (k + m + 1)!

(1 j0 ) k,j m + (2k + 3) (k m)!

2k + k=m m k,j+1 (k + m)! ck + (1 k0 )(1 km ) + (2k 1) (k m 1)! z 2 (k + m)! (k + m)! m t s m m + + m kj 2 2k + 1 (k m)! k ck 2k + 1 (k m)!

k=m 1 2 k,j+1 (k+m+1)! (k+m+1)!

(1j0 ) k,j1 + m 2 2k+1 (2k1) (km1)! (2k+3) (km1)!

k=m+ m+1 1 (k+m+1)!

(1j0 ) k,j ck + (1m0 )(1+m1 ) x (2k+1) (2k+3) (km1)!

k=m k,j+1 (k + m 1)! m ck (1 k0 )(1 k1 )(1 km ) + (2k 1) (k m 1)! x 1 2 (k + m + 1)!

k,j+1 (k+m+1)! (1j0 ) k,j1 + m (2k 1) (km1)!

2 2k+1 (2k+3) (km1)!

k=m+ m+1 1 (k+m+1)!

(1j0 ) k,j sk (1 m0 )(1 m1 ) 2k+ y (2k+3) (km+1)!

k=m k,j+1 (k + m 1)! m sk (1 k0 )(1 k1 )(1 km ) = (2k 1) (k m 1)! y 2 (k + m)! m 0 (2.47) = m kj F, m j;

2k + 1 (k m)! ck k=m 2 (k + m + 1)!

(1 j1 ) k,j1 + (2k + 3) (k m)!

2k + k=m m k,j+1 (k + m)! sk + (1 km ) + (2k 1) (k m 1)! z 2kj (k + m)! 1 (k + m)! m t s (r) m + + 2 2k + 1 (k m)! k sk 2k + 1 (k m)!

k=m 2.1. Математические модели азимутальных и сферических гармоник m+ 1 2 k,j+1 (k + m + 1)! (k + m + 1)!

(1 j1 ) k,j1 sk + + (2k 1) (k m 1)! (2k + 3) (k m 1)!

2 2k + 1 x k=m+ 1 (k+m+1)!

(1j1 ) k,j + (1 m1 ) (1k1 )(1km ) (2k + 3) (km+1)!

(2k+1) k=m (k+m1)! m1 1 k,j1 (k+m+1)!

k,j+1 sk + (1+m1 ) 2 2k + (2k1) (km1)! x (2k+3) (km+1)!

k=m m k,j+1 (k+m1)! ck (1k0 )(1k1 )(1km ) (2k1) (km1)! y (k+m+1)! m+ 1 k,j+1 (k + m + 1)! (1j1 ) k,j1 ck = 2k + 1 (2k + 3) (km1)!


(2k1) (km1)! y k=m+ 2 (k + m)! m 0 (2.48) = kj F, m j.

2k + 1 (k m)! sk k=m Учтем диапазоны изменения индексов, сократим на общий множитель {[(j + m)!/(j m)!] /(2j + 1)} уравнения (2.47), (2.48) и в результате получим искомую систему уравнений для определения амплитуд сферических гармоник:

m m j m c,j1 j + m + 1 c,j+ m (1 j0 ) + + 2j 1 z 2j + 3 z s m (j + m)! m + t m + 2(2j + 1) (j m)! j cj m+ (j + m + 1)(j + m + 2) c,j+ (1 j0 )(1 j1 ) + m 2 2j + 3 x m+1 m (jm1)(jm) c,j1 1 c,j + (1m0 )(1+m1 )(1j0 ) 2j1 2j1 x x m1 m+ 1 c,j+1 (j+m+1)(j+m+2) s,j+ (1j0 )(1j1 ) + m 2j + 3 x 2 2j+3 y m+ (j m 1)(j m) s,j (1 m0 )(1 m1 )(1 j0 )(1 j1 ) 2j 1 y m1 m 1 s,j1 1 s,j+ m 0 (2.49) = m Fcj, m j;

2j 1 y 2j + 3 y 132 Глава 2. Метод сферических гармоник m m j m s,j1 j + m + 1 s,j+ (1 j1 ) + + 2j 1 2j + z z s (j + m)! m + t m + 2(2j + 1) (j m)! j sj m+1 m+ (j m 1)(j m) s,j (j + m + 1)(j + m + 2) s,j+ (1 j1 ) + + 2j 2 2j + 3 x x m1 m 1 s,j1 1 s,j+ + (1 m1 ) (1 j1 ) + 2j 1 x 2j + 3 x m1 m 1 c,j+1 1 c,j+ + (1 + m1 ) 2j 1 y 2 2j + 3 y m+1 m+ (j m 1)(j m) c,j (j + m + 1)(j + m + 2) c,j+ + (1 j1 ) = 2j 2j + 3 y y m 1 (2.50) = Fsj, m j.

Введем коэффициенты jm j+m+1 1 m (j + m)!

am = bm = hm = ;

;

gj = ;

;

j j j 2j 1 2(2j + 1) (j m)!

2j + 3 (2j + 1) (j m 1)(j m) (j + m + 1)(j + m + 2) cm = dm = ;

j j 2j 2j + и тогда систему уравнений (2.49)–(2.50) можно записать в следующем виде:

m m c,j1 c,j+ m (1j0 )(1jm )am + bm + t (r)s (r)hm j (r) m + m j j j cj z z m+1 m+ 1 c,j+1 c,j (1 j0 )(1 j1 )(1 jm )(1 j,m+1 ) d m m cm + + j j 2 x x m1 m c,j1 c,j+ + (1 m0 )(1 j0 )(1 + m1 ) gj1 gj+1 + x x m+1 m+ 1 s,j+1 s,j (1 j0 )(1 j1 )(1 jm )(1 j,m+1 ) d m m cm + j j 2 y y m1 m s,j1 s,j+ (1 m0 )(1 m1 )(1 j0 )(1 j1 ) gj1 gj+1 = y y m 0 (2.51) = m Fcj, m j;

2.2. Представления радиационных характеристик излучения m m s,j1 s,j+ (1 j1 )(1 jm )am + t (r) s (r)hm j (r) m + + bm m j j j sj z z m+1 m+ 1 s,j+1 s,j (1 j1 )(1 jm )(1 j,m+1 ) d m cm + + j j 2 x x m1 m s,j1 s,j+ + (1 m1 ) (1 j1 )gj1 gj+1 + x x m1 m1 m+ 1 c,j1 c,j+1 c,j+ gj+1 cm + (1 + m1 ) gj1 + j 2 y y y m+ c,j + (1 j1 )(1 jm )(1 j,m+1 ) d m m 1 j. (2.52) = Fsj, m j y Система уравнений (2.51)–(2.52) является системой уравнений для ам плитуд сферических гармоник наиболее общего вида. Из нее можно получать различные приближения, учитывающие азимутальную симметрию, неодно родность по одной или обеим осям X, Y, а также любые приближения низких порядков (например, P1 - или P2 -приближения).

§ 2.2. Представления радиационных характеристик и параметров излучения через азимутальные и сферические гармоники Для математического моделирования спектро-энергетических характеристик излучения в природных средах (атмосфера, океан, облака, гидрометеоры) предлагаются обобщенные модели расчета сферических и полусферических плотностей и потоков, полученные строго методом сферических гармоник.

Такие модели сформулированы для одномерных и трехмерных рассеивающих и поглощающих плоских слоев. Коэффициенты уравнений содержат параметры излучения, которые определяются через его интенсивность. Для «замыкания»

модели могут вводиться разные радиационные параметры в зависимости от конкретной прикладной задачи. Все характеристики и параметры излучения представляем через азимутальные и сферические гармоники. Установлен ряд соотношений между сферическими и полусферическими плотностями и потоками, которые позволяют модифицировать модели и адаптировать их с учетом набора необходимых рассчитываемых радиационных характеристик и данных о параметрах излучения. Из полученных представлений легко получаются P1 - и P2 -приближения характеристик и параметров излучения.

Для непрерывного решения краевой задачи (2.1), заданного на сфере в каждой пространственной точке, – интенсивности излучения (r,, ) – – – предполагаем существование равномерного приближения линейными комби нациями (2.3) сферических функций. Индикатрисы рассеяния представляем разложениями по полиномам Лежандра (2.11).

134 Глава 2. Метод сферических гармоник 2.2.1. Радиационные характеристики. Представим выражения для инте гральных (по углам) радиационных характеристик (сферические и полусфери ческие плотности, вертикальные и горизонтальные потоки излучения) через азимутальные и сферические гармоники. Все радиационные характеристики полностью определяются через нулевую и первые азимутальные гармоники.

Плотность излучения (актинометрический поток) 2 1 0 (r, ) d = 40 (r) = (r,, ) d d = 2 (2.53) n(r) = c c 0 1 2 1 2 k k m (r) m m (r) m = Ck (, ) d d + Sk (, ) d d;

ck sk k=1 m= k=0 m=0 0 1 0 плотность нисходящего излучения (полусферическая, 0) 2 1 k m0 m (r) m (r,, ) d d = n (r) = Pk () d = ck k=0 m= 00 R2n+1 0 (r) + = 2 (2.54) (r) + c,2n+1 (r) ;

2 c c n= плотность восходящего излучения (полусферическая, 0) 2 0 k m0 m (r) m (r,, ) d d = n (r) = Pk () d = ck k=0 m= 0 1 0 (r) (r) R2n+1 = 2 (2.55) c,2n+1 (r).

2 c c n= Вертикальный поток излучения 2 1 4 0 d = (r,, ) d d = 2 (2.56) J(r) = (r) ;

c 3 c 0 1 нисходящий вертикальный поток излучения (полусферический с 0) 2 1 (r,, ) d d = 2 0 d = J (r) = c 00 20 P2n 0 (r) 0 (r) + (r) + 0 (r) + 2 (2.57) = ;

3 c c0 4 c2 c,2n n= 2.2. Представления радиационных характеристик излучения восходящий вертикальный поток излучения (полусферический с 0) 2 0 0 d = (r,, ) d d = J (r) = c 0 1 20 = 0 (r) P2n 0 (r) c1 (r) + 0 (r) + 2 (2.58).

c0 4 c2 c,2n n= Очевидно, что суммарный вертикальный поток излучения J(r) = J (r) + J (r), J (r) J (r) 0, 0. (2.59) Горизонтальный поток излучения 2 1 0 sin d = (r,, ) sin d d = G(r) = c 0 1 0 0 + P2n = 2 (2.60) c,2n ;

2 c0 16 c n= нисходящий горизонтальный поток излучения (полусферический, 0) 2 1 (r,, ) sin d d = 2 0 sin d = G (r) = c 00 0 + 0 Rk = 2 (2.61) + ;

3 c1 32 c2 ck 4 c k= восходящий горизонтальный поток излучения полусферический ( 0) 2 0 0 sin d = (r,, ) sin d d = G (r) = c 0 1 0 c0 0 (1)k Rk = 2 (2.62) +.

c1 ck 32 c 4 k= Горизонтальный поток излучения вдоль оси x 2 1 4 (r,, ) sin cos d d = 1 sin d = (2.63) Gx (r) = (r) ;

c 3 c 0 1 136 Глава 2. Метод сферических гармоник нисходящий горизонтальный поток излучения по оси x (полусферический, 0) 2 1 G (r) (r,, ) sin cos d d = 1 sin d = = x c 00 21 R1 + 1 + (2.64) = ;

3 c1 4 c2 2n c,2n n= восходящий горизонтальный поток излучения по оси x (полусферический, 0) 2 0 G (r) 1 sin d = = (r,, ) sin cos d d = x c 0 1 21 1 R1 1 (2.65) =.

3 c1 4 c2 2n c,2n n= Очевидно, что 4 Gx = G + G = (r).

x x 3 c Горизонтальный поток излучения вдоль оси y 2 1 4 (r,, ) sin sin d d = 1 sin d = (2.66) Gy (r) = (r) ;

s 3 s 0 1 нисходящий горизонтальный поток излучения по оси y (полусферический, 0) 2 1 G (r) (r,, ) sin sin d d = 1 sin d = = y s 00 21 R1 + 1 + (2.67) = ;

3 s1 4 s2 2n s,2n n= восходящий горизонтальный поток излучения по оси y (полусферический, 0) 2 0 G (r) 1 sin d = = (r,, ) sin sin d d = y s 0 1 21 1 R1 1 (2.68) =.

3 s1 2n s,2n 4 s n= 2.2. Представления радиационных характеристик излучения Очевидно, что 4 Gy = G + G = (r).

y y 3 s Горизонтальный поток излучения в азимутальной плоскости = 2 (r,, ) sin cos( ) d d = G (r) = 0 1 1 sin d + sin 1 sin d = = cos c s 1 1 (r) cos + 1 (r) sin = Gx (r) cos + Gy (r) sin ;

(2.69) = c1 s нисходящий горизонтальный поток излучения в азимутальной плоскости = (полусферический, 0) 2 G (r) (r,, ) sin cos( ) d d = = G (r) cos + G (r) sin ;

(2.70) = x y восходящий горизонтальный поток излучения в азимутальной плоскости = (полусферический, 0) 2 G (r) (r,, ) sin cos( ) d d = = 0 G (r) cos + G (r) sin. (2.71) = x y 2.2.2. Параметры излучения. Коэффициенты уравнений, описывающих ма тематические модели расчета плотностей и потоков, – параметры излучения – – – представим через азимутальные и сферические гармоники интенсивности.

К-интеграл:

2 K(r) (r,, )2 d d = 0 4 0 18 0 (r, )2 d = = 2 (2.72) + ;

c 3 c0 15 c 138 Глава 2. Метод сферических гармоник полусферические К-интегралы для нисходящего и восходящего излучения:

2 1 K (r) (r,, ) d d = 2 0 2 d = c 00 10 1 T2n+1 + 0 + 0 + = 2 (2.73) ;

3 c0 4 c1 15 c2 c,2n+ n= 2 0 K (r) (r,, )2 d d = 2 0 2 d = c 0 1 10 1 0 + 0 T2n+1 = 2 (2.74).

4 c1 15 c 3 c0 c,2n+ n= Коэффициент диффузии в вертикальном направлении 2 1 2 (r,, ) d d 2 0 (r, ) d c 20 (r) K(r) 0 1 1 c D(r) (2.75) = = =+ ;

3 150 (r) 2 1 n(r) c 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 полусферические вертикальные коэффициенты диффузии:

10 1 T2n+1 c0 + 0 + + c 15 c2 c,2n+ K (r) 3 D (r) = n= (2.76) = ;

n (r) R2n+1 0 + 0 + 2 c c0 c,2n+ n= 10 1 0 + T2n+1 3 c0 4 c1 15 c2 c,2n+ K (r) D (r) = n= (2.77) = ;

n (r) 0 R2n+1 2 c c0 c,2n+ n= в P1 - и P2 -приближениях:

(2.78) Dp1 = ;

Dp2 = D(r) ;

1 0 + c 5 c 1 1 c Dp2 = 1 + ;

1+ (2.79) Dp1 = ;

2 20 + 0 20 + 3 c1 c c0 c 10 c1 5 c 1 1 c 1 Dp2 = 1. (2.80) Dp1 = ;

2 2c0 0 2c0 0 3 c1 c 2.2. Представления радиационных характеристик излучения Коэффициент диффузии в горизонтальной плоскости 2 1 sin2 (r,, ) d d sin2 0 (r, ) d c 0 1 D (r) = = 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 0 (r) 2 1 c = 1 D(r) = 1 (2.81) ;

0 (r) 3 5 c коэффициент диффузии в горизонтальной плоскости для нисходящего излу чения (полусферический, 0) 2 sin2 (r,, ) d d D (r) = 2 (r,, ) d d 2 0 (r, ) d c K (r) = 1 D (r), =1 = (2.82) n (r) 0 (r, ) d c а для восходящего излучения (полусферический, 0) 2 sin2 (r,, ) d d 0 D (r) = 2 (r,, ) d d 0 2 0 (r, ) d c K (r) = 1 D (r).

=1 =1 (2.83) n (r) 0 (r, ) d c Значения параметров и D в P1 - и P2 -приближениях получаются путем D подстановки в (2.82) и (2.83) выражений (2.79) и (2.80) соответственно.

Очевидно, что (2.84) Dp1 (r) = ;

Dp2 (r) = D (r).

«Средний косинус» – характеристика анизотропии поля излучения – пол – – ностью определяется P1 -приближением:

2 1 0 (r, ) d (r,, ) d d c J(r) 1 0 (r) 0 1 1 c (2.85) (r) = = = = ;

n(r) 3 0 (r) 2 c 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 140 Глава 2. Метод сферических гармоник полусферические «средние косинусы»:


2 1 0 (r, ) d (r,, ) d d c J (r) (r) = 00 = = = n (r) 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c 20 P2n 0 + + 0 + 3 c1 4 c c0 c,2n n= 0;

(2.86) = R2n+1 20 0 + + c c0 c,2n+ n= 2 0 0 (r, ) d (r,, ) d d c J (r) 0 1 (r) = = = = n (r) 2 0 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 1 20 0 P2n + 0 + 3 c1 4 c c0 c,2n n= 0;

(2.87) = 2 R2n+1 20 c c0 c,2n+ n= в P1 - и P2 -приближениях 10 c0 (r) + 0 (r) c1 c1 (r) 2 (r) = 1 = 1 + = p1 2 10 c0 (r) + c1 (r) c0 (r) + c1 (r) 2 7n n 4J (2.88) = = ;

12n 7J J 10 c0 (r) + 0 (r) 3 c1 1 1 c1 (r) (r) = = 1 = p1 10 2 c0 (r) c1 (r) c0 (r) 0 (r) 2 c n 7n 4J (2.89) = = ;

J 7J 12n 20 1 0 + c1 + 0 0 + c c0 c2 c 3 4 = 1 = 1 + ;

(2.90) p2 2 3 20 + 0 2c0 + c1 c c 20 1 0 c1 + 0 0 c0 4 c2 c1 c 3 = 1 = 1. (2.91) p2 2 3 20 20 0c1 c c0 c 2.2. Представления радиационных характеристик излучения Найдем выражения моментов поля излучения через сферические гармоники:

2 c (r) 1 (r) ;

(2.92) (r,, ) sin cos d d = c 0 2 1 4 s (r) 1 (r)k2 = 1 (r) (r,, ) sin sin d d == sk s 5 k= 0 (2.93) или через азимутальные гармоники:

1 2 sin 1 (r, ) d ;

(2.94) sin (r,, ) cos d d = c (r) = c 1 1 2 sin 1 (r, ) d ;

(2.95) sin (r,, ) sin d d = s (r) = s 1 для нисходящего излучения (полусферические, 0) 2 1 (r) (r,, ) sin cos d d = sin 1 (r, ) d = c c 00 11 2 k+ k 1 R c1 + 1 + = k+1,2n + ;

2k + 1 k1,2n 4 ck 2n 5 c2 2k + k= (2.96) 2 1 (r) (r,, ) sin sin d d = sin 1 (r, ) d = s s 00 1 21 k+ k 1 R 1 + = + + ;

2k + 1 k+1,2n 2k + 1 k1,2n 4 s1 sk 2n 5 s k= (2.97) 142 Глава 2. Метод сферических гармоник для восходящего излучения (полусферические, 0) 2 (r) c (r,, ) sin cos d d = 0 11 2 k+ k = 1 + 1 R1 ;

(2.98) + 2k + 1 k+1,2n 2k + 1 k1,2n 4 c1 5 c2 ck 2n k= 2 0 (r) sin 1 (r, ) d = s (r,, ) sin sin d d = s 0 1 11 2 k+ k = 1 + 1 R1. (2.99) + 2k + 1 k+1,2n 2k + 1 k1,2n 4 s1 5 s2 sk 2n k= Введем «средние косинусы», определяемые через горизонтальные потоки излучения вдоль осей x и y:

2 1 sin 1 (r, ) d (r,, ) sin cos d d c 0 1 x (r) = = 2 1 (r, ) sin d (r,, ) sin cos d d c 0 3 c (r) c (2.100) = = ;

5 Gx (r) c 2 1 sin 1 (r, ) d (r,, ) sin sin d d s 0 1 y (r) = = 2 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s 0 s (r) s (2.101) = = ;

Gy (r) s для нисходящего излучения (полусферические, 0) 2 1 sin 1 (r, ) d (r,, ) sin cos d d c c (r) 00 (2.102) = = ;

G x 2 x 1 (r, ) sin d (r,, ) sin cos d d c 2 1 sin 1 (r, ) d (r,, ) sin sin d d s s (r) 00 (2.103) = = ;

G y 2 y 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s 2.2. Представления радиационных характеристик излучения для восходящего излучения (полусферические, 0) 2 0 sin 1 (r, ) d (r,, ) sin cos d d c c 0 1 (r) (2.104) = = ;

G x 2 0 x 1 (r, ) sin d (r,, ) sin cos d d c 0 1 2 0 sin 1 (r, ) d (r,, ) sin sin d d s s 0 1 (r) (2.105) = = ;

G y 2 0 y 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s 0 1 в P1 -приближении:

xp1 (r) = yp1 (r) = 0 ;

(2.106) (r) = (r) = (2.107) ;

xp1 yp1 (r) = (r) =.

(2.108) xp1 yp1 Введем «средние синусы» по осям x, y:

2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) cos sin d d c 0 1 sx (r) = = = 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 1 1 (r) 4 Gx (r) c1 c (2.109) = = = ;

3 4 0 0 (r) n(r) c0 c 2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s 0 1 sy (r) = = = 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 1 1 (r) 4 Gy (r) s1 s (2.110) = = =, 3 4 0 0 (r) n(r) c0 c а также полусферические для нисходящего излучения (с 0) 2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) cos sin d d c s (r) = 00 = = x 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c R1 + 3 c1 2n c,2n G (r) n= x (2.111) = = ;

n (r) R2n+1 20 + 0 + c c0 c,2n+ n= 144 Глава 2. Метод сферических гармоник 2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s s (r) = 00 = = y 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c R1 + 3 s1 2n s,2n G (r) y n= (2.112) = = n (r) R2n+1 20 0 + + c c0 c,2n+ n= и восходящего излучения (с 0) 2 0 1 (r, ) sin d (r,, ) cos sin d d c 0 1 s (r) = = = x 2 0 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 1 R1 3 c1 2n c,2n G (r) n= x (2.113) = = ;

n (r) 2 R2n+1 20 c c0 c,2n+ n= 2 0 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s 0 1 s (r) = = = y 2 0 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 1 R1 3 s1 2n s,2n G (r) y n= (2.114) = =.

n (r) 20 0 2 R2n+1 c c0 c,2n+ n= Введем коэффициенты, определяющие соотношения между вертикальными и горизонтальными потоками:

2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) cos sin d d c 0 1 cx (r) = = = 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 3 4 1 1 (r) Gx (r) c1 c (2.115) = = = ;

4 3 0 0 (r) J(r) c1 c 2.2. Представления радиационных характеристик излучения 2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s 0 1 cy (r) = = = 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 4 3 1 1 (r) Gy (r) s1 s (2.116) = = = ;

3 4 0 0 (r) J(r) c1 c 2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) cos sin d d c c (r) = 00 = = x 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c R1 + 3 c1 2n c,2n G (r) n= x (2.117) = = ;

J (r) P2n 0 + 0 + 3 c c0 c,2n n= 2 0 1 (r, ) sin d (r,, ) cos sin d d c 0 1 c (r) = = = x 2 0 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 1 R1 3 c1 2n c,2n G (r) n= x (2.118) = = ;

J (r) 0 + 2 P2n 3 c c0 c,2n n= 2 1 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s c (r) = 00 = = y 2 0 (r, ) d (r,, ) d d c R1 + 3 s1 2n s,2n G (r) y n= (2.119) = = ;

J (r) P2n 0 + 0 + 3 c c0 c,2n n= 2 0 1 (r, ) sin d (r,, ) sin sin d d s 0 1 c (r) = = = y 2 0 0 (r, ) d (r,, ) d d c 0 1 146 Глава 2. Метод сферических гармоник R1 3 s1 2n s,2n G (r) y n= (2.120) = =.

J (r) 0 0 + 2 P2n 3 c c0 c,2n n= 2.2.3. Характеристики обратного рассеяния. Воспользуемся условием нормировки индикатрисы рассеяния 2 1 1 0 (r,, ) d = 1, (2.121) d (r, cos ) d = 4 1 из которого вытекают равенства + 0 (r, ) = 0 (r, ) + 0 (r, ) = 2, (2.122) 0 (r, ) 0 (r,, ) d = 2 ;

(2.123) 1 + 0 (r,, ) d. (2.124) 0 (r, ) (r,, ) d, 0 (r, ) Если нулевая азимутальная гармоника индикатрисы рассеяния 0 (r,, ) = (2.125) k (r)Pk ()Pk ( ), k= то + 0 (r, ) = 1 + (2.126) 1 (r) + 2m+1 (r)P2m+1 ()R2m+1, m= 0 (r, ) = 1 1 (r) (2.127) 2m+1 (r)P2m+1 ()R2m+1.

m= Введем характеристики обратного рассеяния:

1 0 0 (r, ) d 0 (r,, ) d 0 (r, )0 (r, ) d c c 0 (r) (2.128) = ;

1 0 (r, ) d 0 (r, ) d c c 0 0 1 + 0 (r, ) d 0 (r,, ) d 0 (r, )0 (r, ) d c c 1 (2.129) 0 (r) =.

0 0 (r, ) d 0 (r, ) d c c 1 2.2. Представления радиационных характеристик излучения Если нулевая азимутальная гармоника индикатрисы рассеяния разложена по полиномам Лежандра (2.125), то 1 1 (r) 1 0 (r, ) d 0 (r, )0 (r, ) d 0 (r, ) d = c c c 0 0 2m+1 (r)R2m+1 0 (r, )P2m+1 () d ;

(2.130) c m=1 0 0 (r) + + 0 (r, )0 (r, ) d 0 (r, ) d 0 (r, ) d + = c c c 1 1 0 (r, )P2m+1 () d. (2.131) + 2m+1 (r)R2m+1 c m=1 Введем радиационные параметры:

0 (r, )P2m+1 () d c M (r) (2.132) 2m+1 (r)R2m+1 ;

0 (r, ) d m=1 c 0 (r, )P2m+1 () d c M (r) (2.133) 2m+1 (r)R2m+1 0 (r, ) d m= c и тогда, используя также определения средних косинусов (2.86), (2.87), получим представления 1 (r) (r) M (r), 0 (r) = 1 (2.134) 1 (r) (r) + M (r).

0 (r) = 1 + (2.135) В P1 -приближении M = M = 0 ;

0 (r,, ) = 1 + 1 ;

(2.136) 1 (r) 1 (r) 0,p1 (r) = 1 0,p1 (r) = 1 + (2.137) (r) ;

(r).

2 148 Глава 2. Метод сферических гармоник Введем характеристики индикатрисы рассеяния, связанные соотношением + (2.138) 1 (r, ) = 1 (r, ) + 1 (r, ), 2 1 (r, ) 0 (r,, ) d = 1 (r)P1 () = 1 (r) ;

(2.139) 3 1 1 (r) + 1 (r, ) (r,, ) d = + 1 + (2.140) 2m (r)P2m ()P2m ;

2 m= 0 1 1 (r) 1 (r, ) 0 (r,, ) d = + (2.141) 2m (r)P2m ()P2m.

2 m= Введем характеристики обратного рассеяния:

1 0 0 (r, ) d 0 (r,, ) d 1 (r, )0 (r, ) d c c 1 (r) (2.142) = ;

1 0 (r, ) d 0 (r, ) d c c 0 0 1 + 0 (r, ) d 0 (r,, ) d 1 (r, )0 (r, ) d c c 1 1 (r) (2.143) =.

0 0 (r, ) d 0 (r, ) d c c 1 С помощью разложений (2.140), (2.141) получаем представления:

1 1 1 (r) 1 (r, )0 (r, ) d = 0 (r, ) d 0 (r, ) d + c c c 2 0 0 2m (r)P2m 0 (r, )P2m () d ;

(2.144) c m=1 0 0 1 (r) + + 1 (r, )0 (r, ) d 0 (r, ) d 0 (r, ) d + = c c c 2 1 1 0 (r, )P2m () d. (2.145) + 2m (r)P2m c m=1 2.2. Представления радиационных характеристик излучения Введем радиационные параметры:

0 (r, )P2m () d c N (r) (2.146) 2m (r)P2m ;

0 (r, ) d m=1 c 0 (r, )P2m () d c N (r) (2.147) 2m (r)P2m 0 (r, ) d m= c и в результате найдем следующие выражения:

1 (r) + 1 (r) N (r) ;

1 (r) = (2.148) 2 1 (r) + 1 (r) + N (r). (2.149) 1 (r) = 2 Выделим P2 -приближение (m = 1) в параметрах N (r), N (r). Так как P2 = P1 ()P2 () = ;

1 1 3 0 (r, )P2 () d 0 (r, ) d 0 (r, ) d ;

= c c c 2 0 0 0 0 3 0 (r, )P2 () d 0 (r, ) d 0 (r, ) d, = c c c 2 1 1 то можно записать 2 (r) N (r) = 3D (r) 1 + N2 (r), (2.150) 2 (r) N (r) = 3D (r) 1 + N2 (r), (2.151) где обозначено 0 (r, )P2m () d c N2 (r) (2.152) 2m (r)P2m ;

0 (r, ) d m=2 c 0 (r, )P2m () d c N2 (r) (2.153) 2m (r)P2m.

0 (r, ) d m=2 c 150 Глава 2. Метод сферических гармоник В таком случае вместо (2.148), (2.149) имеем 1 (r) (r) + 1 (r) 2 3D (r) 1 N2 (r) ;

(2.154) 1 (r) = 2 3 1 (r) (r) + 1 (r) + 2 3D (r) 1 + N2 (r). (2.155) 1 (r) = 2 3 Выделение P2 -приближения необходимо для случая рэлеевского рассеяния.

Введем характеристики индикатрисы рассеяния:

+ (2.156) 2 (r, ) = 2 (r, ) + 2 (r, ), 41 2 (r, ) sin 1 (r,, ) d = 1 (r)P11 () = 1 (r) sin ;

(2.157) 3 + sin 1 (r,, ) d = 2 (r, ) (2m 1)!

(r)R1 P2m () ;

= 1 (r) sin + 2 (2.158) (2m + 1)! 2m 2m m= sin 1 (r,, ) d = 2 (r, ) (2m 1)!

= 1 (r) sin 2 (r)R1 P2m ().

(2.159) (2m + 1)! 2m 2m m= Определим радиационные характеристики обратного рассеяния, связанные с первыми азимутальными гармониками:

1 0 1 (r, ) d sin 1 (r,, ) d 2 (r, )1 (r, ) d c c 2c (r) 0 (2.160) = ;

1 1 (r, ) sin d 1 (r, ) sin d c c 0 0 1 + 1 (r, ) d sin 1 (r,, ) d 2 (r, )1 (r, ) d c c 1 2c (r) (2.161) = ;

0 1 (r, ) sin d 1 (r, ) sin d c c 1 2.2. Представления радиационных характеристик излучения 1 0 1 (r, ) d sin 1 (r,, ) d 2 (r, )1 (r, ) d s s 2s (r) 0 (2.162) = ;

1 1 (r, ) sin d 1 (r, ) sin d s s 0 0 1 + 1 (r, ) d sin 1 (r,, ) d 2 (r, )1 (r, ) d s s 1 2s (r) (2.163) =.

0 1 (r, ) sin d 1 (r, ) sin d s s 1 Распишем интегралы с гармониками индикатрисы рассеяния, используя + 2 (2.158), 2 (2.159):

1 = 1 (r) 1 (r, ) sin d 2 (r, )1 (r, ) d c c 0 (2m 1)!

2 (r)R1 1 (r, )P2m () d ;

(2.164) (2m + 1)! 2m c 2m m=1 0 + 2 (r, )1 (r, ) d 1 (r, ) sin d + = 1 (r) c c 1 (2m 1)!

(r)R1 1 (r, )P2m () d ;

+2 (2.165) (2m + 1)! 2m c 2m m=1 1 2 (r, )1 (r, ) d = 1 (r) 1 (r, ) sin d s s 0 (2m 1)!

2 (r)R1 1 (r, )P2m () d ;

(2.166) (2m + 1)! 2m s 2m m=1 0 + 2 (r, )1 (r, ) d 1 (r, ) sin d + = 1 (r) s s 1 (2m 1)!

(r)R1 1 (r, )P2m () d +2 (2.167) (2m + 1)! 2m s 2m m=1 152 Глава 2. Метод сферических гармоник и введем радиационные параметры:

1 (r, )P2m () d c (2m 1)!

L (r) 2 (r)R1 (2.168) ;

(2m + 1)! 2m c 2m 1 (r, ) sin d m=1 c 1 (r, )P2m () d c (2m 1)! L (r) 2 (r)R1 (2.169) ;

(2m + 1)! 2m c 2m 1 (r, ) sin d m= c 1 (r, )P2m () d s (2m 1)!

L (r) 2 (r)R1 (2.170) ;

(2m + 1)! 2m s 2m 1 (r, ) sin d m=1 s 1 (r, )P2m () d s (2m 1)! L (r) 2 (r)R1 (2.171).

(2m + 1)! 2m s 2m 1 (r, ) sin d m= s Используя определения L (2.168), L (2.169), L (2.170), L (2.171) и c c s s выражения интегралов (2.164)–(2.167), находим следующие представления для характеристик (2.160)–(2.163):

2 1 (r) L (r) ;

1 (r) + L (r) ;

(2.172) 2c (r) = 2c (r) = c c 3 2 2s (r) = 1 (r) L (r) ;

2s (r) = 1 (r) + L (r). (2.173) s s 3 2.2.4. Азимутальные гармоники параметров излучения. Для замыкания математических моделей расчета плотностей и потоков вводятся азимутальные гармоники коэффициентов диффузии в горизонтальной плоскости – пара-– метры излучения:

2 sin2 (r,, ) cos 2 d d Kc (r) 0 Dc2 (r) = = 2 1 n(r) (r,, ) d d 0 sin2 2 (r, ) d c 4 2 (r) 1 c (2.174) = = ;

40 (r) 5 0 (r) c0 c 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели 2 sin2 (r,, ) sin 2 d d Ks (r) 0 Ds2 (r) = = 2 1 n(r) (r,, ) d d 0 sin2 2 (r, ) d s 4 2 (r) 1 s (2.175) = = ;

40 (r) 5 0 (r) c0 c 0 2 2 d 2 d c c 1 Dc2 (r) 0 Dc0 (r) 0 (2.176), ;

0 d 0 d c c 1 1 1 2 d 2 2 d sin2 2 d c c c Dc2 (r) = Dc0 (r) Dc2 (r) ;

0 0 (2.177) = 1 0 d 0 d c c 0 0 0 2 d sin2 2 d 2 2 d c c c 1 1 Dc2 (r) = Dc0 (r) Dc2 (r) ;

(2.178) = 0 0 d 0 d c c 1 1 1 2 d 2 2 d sin2 2 d s s s Ds2 (r) = Ds0 (r) Ds2 (r).

0 0 (2.179) = 1 0 d 0 d c c 0 Подобные параметры определяются аналогично.

§ 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели расчета плотности и потоков излучения в трехмерном плоском слое Для математического моделирования спектрально-энергетических характери стик радиационного поля Земли с учетом многократного рассеяния сформули руем точные и приближенные модели расчета сферических и полусферических плотностей и потоков излучения в неоднородном трехмерном плоском слое, неограниченном в горизонтальном направлении и конечном по высоте с гори зонтально-неоднородными и однородными источниками излучения и отражаю щими границами. Точные модели описываются системами дифференциальных уравнений первого порядка и содержат нелинейные параметры, зависящие от моментов интенсивности излучения. Приближенные модели формулируются как с нелинейными параметрами, так и без них. Установлен ряд точных 154 Глава 2. Метод сферических гармоник соотношений между радиационными характеристиками, с помощью которых можно модифицировать уравнения, изменяя набор искомых функций.

Следует отметить, что вопрос о замыкании систем уравнений неоднозначен.

Один из подходов – введение нелинейных радиационных параметров, другой – подход – приближенное решение задач, например, в P1 -приближении метода – сферических гармоник. Вследствие многомерности задачи радиационные параметры можно определять разными способами. Важно вводить такие радиационные характеристики и параметры и использовать такие приемы построения моделей, когда получаются модели с наименьшим числом и наглядными, физически значимыми параметрами.

Используем описанные выше представления радиационных характеристик и параметров излучения через азимутальные и сферические гармоники решения уравнения переноса, а также системы уравнений для определения азимутальных и сферических гармоник.

2.3.1. Точные модели расчета плотности и потоков излучения. Сформу лируем математические модели, описывающие пространственные распределе ния плотности n(r) и потоков J(r), Gx (r), Gy (r) излучения в трехмерных плоских рассеивающих и поглощающих слоях, исходя из общей краевой задачи для уравнения переноса:

(s, grad)(r,, ) + t (r)(r,, ) = B(r,, ) + F (r,, ), (2.180) = f0 (r,, ) + R0, = fH (r,, ) + RH, 0 H (s, grad) + sin cos + sin sin, z x y с интегралом столкновений B(r,, ) (2.2). Вид выражений для источников F (r,, ), f0 (r,, ), fH (r,, ) и операторов R0, RH, определяющих взаимодействие излучения с границами слоя, зависит от конкретной задачи.

Используем точные уравнения (2.30)–(2.31) для азимутальных гармоник интенсивности излучения – решения задачи (2.180) – 2 m (r, ) m (r)Pk (), m (2.181) = (r,, ) cos m d = c ck m k=m 2 (r,, ) sin m d = (1 m0 ) m (r, ) m (r)Pk (). (2.182) m = s sk m k=m Плотность и потоки излучения в трехмерном плоском слое полностью определяются через нулевую 0 (r, ) и первые 1 (r, ), 1 (r, ) азимуталь c c s ные гармоники. Будем строить модели, исходя из точных уравнений для азимутальных гармоник (2.25)–(2.27).

2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели Проинтегрируем уравнение (2.25) 0 sin 1 c c s + t (r)0 + = Bc + Fc0, (2.183) + c z x y где (r) =s 0 (r, ) 0 (r,, ) d = Bc (r, ) c k (r)0 (r)Pk () ;

(2.184) = s (r) ck 2k + k= 2 (2.185) (r,, ) = (r, cos ) d = k (r)Pk ()Pk ( ) ;

k= Fcm (r, ) m m (2.186) = Fck (r)Pk (), k=m по на интервале [1, 1] с весом, равным 1:

1 1 0 (r, ) d 0 (r, ) d 1 (r, ) sin d + + t (r) + 2 x c c c z 1 1 1 1 1 (r, ) sin d Fc0 (r, ) d. (2.187) + = Bc (r, ) d + s y 1 1 Вычислим в явном виде интегралы:

Bc (r, ) d = 2s (r)0 (r)0 (r) = (2.188) s (r)0 (r)n(r) ;

c0 Fc0 (r, ) d = 2Fc0 (r), (2.189) воспользуемся определениями радиационных характеристик через сфериче ские гармоники и получим первое точное уравнение J Gx Gy + [t (r) s (r)0 (r)] n(r) + = 4Fc0 (r). (2.190) + z x y 156 Глава 2. Метод сферических гармоник Проинтегрируем уравнение (2.183) по на интервале [1, 1] с весом, равным :

1 1 20 1 (r, ) sin d + c (r, ) d + t (r) c (r, ) d + 2 x c z 1 1 1 1 1 (r, ) sin d Fc0 (r, ) d. (2.191) + = Bc (r, ) d + s y 1 1 С помощью явных выражений для интегралов:

2 J(r) s (r)1 (r) s (r)1 (r)0 (r) = (2.192) Bc (r, ) d = ;

c 9 2 Fc0 (r, ) d = (2.193) F (r) ;

3 c K(r) 2 0 (r, ) d = (2.194), c а также определений радиационных параметров D(r), x (r), y (r) получаем второе точное уравнение 4 [Dn] (r)1 (r) [x Gx ] [y Gy ] + t (r) s F (r). (2.195) J(r) + + = 3 c z x y Уравнение для азимутальных гармоник (2.26) 1 0 2 c c c s + t (r)1 + sin = Bc + Fc1, (2.196) + + c z x x y где (см. (2.21), (2.14), (2.15)) (r) Bc (r, ) = s 1 (r, ) 1 (r,, ) d = c k (r)1 (r)Pk (), (2.197) = s (r) ck 2k + k= 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели проинтегрируем по на отрезке [1, 1] с весом sin :

1 sin 1 (r, ) d + t (r) sin 1 (r, ) d + c c z 1 1 sin2 0 (r, ) d + sin2 2 (r, ) d + + c c 2 x x 1 1 1 + 2 (r, ) d = 2 sin Fc1 (r, ) d. (2.198) sin sin Bc (r, ) d + s 1 1 С помощью определений радиационных параметров x, y, D, D, Dc2, Ds2 найдем явные выражения интегралов в равенстве (2.198):

1 sin 1 (r, ) d = x (r)Gx (r) = 1 ;

(2.199) c 5 c 1 sin 1 (r, ) d = Gx (r) = 1 (r) ;

(2.200) c 3 c 4 n(r) n(r) = [1 D(r)] = 0 (r) 0 (r) ;

sin2 0 (r, ) d = D (r) c 3 c0 15 c 2 1 (2.201) 16 n(r) sin2 2 (r, ) d = Dc2 (r) (2.202) = (r) ;

c 5 c 16 n(r) sin2 2 (r, ) d = Ds2 (r) (2.203) = (r), s 5 s 4 s (r)1 (r)1 (r) = (2.204) sin Bc (r, ) d = s (r)1 (r)Gx (r).

c 33 С помощью явных выражений интегралов из равенства (2.198) получим третье точное уравнение [x Gx ] + t (r) s (r)1 (r) Gx (r) + z 1 4 [(D + Dc2 ) n] [Ds2 n] (2.205) + + = F (r).

3 c 2 x y 158 Глава 2. Метод сферических гармоник Аналогичные действия предпримем с уравнением для азимутальных гармоник (2.27) 1 0 1 2 s c s c + t (r)1 + sin 1 (2.206) + = Bs + Fs, s 2 x z y y где (см. (2.22), (2.14), (2.15)) (r) =s 1 (r, ) 1 (r,, ) d = Bs (r, ) s 1 (k + 1)! s (r) (r) 1 (r)Pk () = = 2k + 1 (k 1)! k sk k= k (r)1 (r)Pk ().

(2.207) = s (r) sk 2k + k= Проинтегрируем уравнение (2.206) по на отрезке [1, 1] с весом sin :

1 sin 1 (r, ) d sin 1 (r, ) d + + t (r) s s z 1 1 sin2 0 (r, ) d + sin2 2 (r, ) d + c s 2 x y 1 1 1 2 (r, ) d 2 1 sin = sin Bs (r, ) d + sin Fs (r, ) d.

c 2 y 1 1 1 (2.208) Используем определения радиационных параметров x, y, D, D, Dc2, Ds2 для нахождения явных выражений интегралов в равенстве (2.208):

1 sin 1 (r, ) d = y (r)Gy (r) = 1 ;

(2.209) s 5 s 1 sin 1 (r, ) d = Gy (r) = 1 (r) ;

(2.210) s 3 s 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели (2.211) sin Bs (r, ) d = s (r)1 (r)Gy (r) ;

(2.212) sin Fs (r, ) d = F (r).

3 s С помощью явных представлений интегралов (2.208)–(2.212) и (2.200)– (2.203) из равенства (2.208) получаем четвертое точное уравнение [y Gy ] + t (r) s (r)1 (r) Gy (r) + z [(D Dc2 ) n] 1 4 [Ds2 n] (2.213) + + = F (r).

3 s 2 x y Если в уравнение (2.190) подставить выражения радиационных характе ристик через сферические гармоники:

4 0 4 1 4 n = 40, (2.214) J=, Gx =, Gy =, 3 c1 3 s 3 c c то придем к точному уравнению метода сферических гармоник с индексами m = 0, k = 0:

1 0 1 1 1 c1 c1 s + t s 0 0 + = Fc0. (2.215) + c 3 z 3 x 3 y Уравнение (2.195) с учетом представления коэффициента вертикальной диффузии D через сферические гармоники эквивалентно точному уравнению метода сферических гармоник с индексами m = 0, k = 1:



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.