авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |

«Посвящается пионерам освоения космоса Предисловие Фактически в настоящее время закладываются основы решения фундамен- тальных проблем, связанных с ...»

-- [ Страница 4 ] --

2 0 0 3 1 3 c2 c0 c2 s + t s 1 0 + 0 (2.216) + + = Fc1.

c 5 z 3 5 x 5 y z Если в (2.205) подставить представления радиационных характеристик x, Gx, n, D, Dc2, Ds2 через сферические гармоники, то придем к уравнению 3 1 c + t (r) s (r)1 (r) 1 + c 5 z 0 1 0 6 2 6 c0 c2 c2 s (2.217) + + + = Fc1, 5 x 5 x 5 y x которое совпадает с уравнением метода сферических гармоник при m = 1, k = 1. Если в (2.213) подставить выражения радиационных характеристик y, Gy, n, D, Dc2, Ds2 через сферические гармоники, установим, что уравнение (2.213) эквивалентно уравнению метода сферических гармоник при 160 Глава 2. Метод сферических гармоник m = 1, k = 1:

3 1 s + t (r) s (r)1 (r) 1 + s 5 z 0 1 0 6 2 6 c0 c2 s2 c (2.218) + + = Fs1.

5 y 5 x 5 y y Система четырех уравнений (2.190), (2.195), (2.205), (2.213) с радиаци онными параметрами 2 0 2 1 c2 c D = 1 D = (2.219) D= +,, 15 0 15 3 c0 c 3 1 3 c2 s (2.220) x =, y =, 5 1 5 c1 s 4 2 4 c2 s (2.221) Dc2 =, Ds2 = 5 0 5 c0 c является точной моделью расчета плотности n и потоков J, Gx, Gy излучения в неоднородном трехмерном плоском слое.

Между сферическими (интегральными по всем углам) радиационными характеристиками имеют место точные связи:

(2.222) J = n, Gx = cx J = sx n, Gy = cy J = sy n, содержащие радиационные параметры:

1 0 1 c1 c1 s (2.223) =, cx =, cy = 3 0 0 c1 c c – «средние косинусы» по осям z, x, y соответственно, – 1 1 1 c1 s (2.224) sx =, sy = 3 0 3 c0 c – «средние синусы» по осям x, y.

– С помощью соотношений (2.222) в системе уравнений (2.190), (2.195), (2.205), (2.213) можно менять набор искомых функций и нелинейных параметров задачи, учитывая требования конкретных прикладных проблем.

Из уравнения (2.190) вытекает представление плотности излучения через потоки (a t s ) при наличии поглощения:

1 J Gx Gy n= 4Fc0, (2.225) + + a z x y с помощью которого уравнения (2.195), (2.205), (2.213) сводятся к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка со смешанными производными для определения потоков J, Gx, Gy :

D J D Gx D Gy [x Gx ] [y Gy ] + + z a z z a x z a y x y s 1 D t J = 4 Fc1 (2.226) F ;

z a c 3 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели 1 D + Dc2 J 1 D + Dc2 Gx + + 2 x 2 x a z a x 1 D + Dc2 Gy 1 Ds2 J 1 Ds2 Gx + + + + 2 x 2 y a z 2 y a x a y 1 Ds2 Gy [x Gx ] s t + Gx = 2 y a y z 11 1 D + Dc2 0 1 Ds2 = 4 F Fc0 (2.227) Fc0 ;

3 c1 2 x 2 y a a 1 Ds2 J 1 Ds2 Gx 1 Ds2 Gy + + + 2 x a z 2 x a x 2 x a y 1 D Dc2 J 1 D Dc2 Gx + ++ + 2 y 2 y a x a x 1 D Dc2 Gy [y Gy ] s t + Gy = 2 y a y z 1 D Dc2 11 1 Ds2 = 4 Fs1 Fc0 (2.228) Fc0.

3 2 x a 2 y a Система уравнений (2.226)–(2.228) – это точная нелинейная модель расчета – потоков излучения.

2.3.2. Приближенные модели расчета плотности и потоков излуче ния. В P1 -приближении метода сферических гармоник радиационные па раметры (2.219)–(2.221) принимают следующие значения:

1 x,p1 = 0, Dp1 =, D,p1 =, 3 y,p1 = 0, Dc2,p1 = 0, Ds2,p1 = 0, (2.229) а параметры (2.223)–(2.224) остаются без изменений.

Система точных уравнений (2.190), (2.195), (2.205), (2.213), описывающая пространственные распределения плотности n(r) и потоков J(r), Gx (r), Gy (r), в P1 -приближении сводится к приближенной линейной модели:

J Gx Gy + (t s 0 ) n + = 4Fc0 ;

(2.230) + z x y n + (3t s 1 ) J = 4Fc1 ;

(2.231) z n + (3t s 1 ) Gx = 4Fc1 ;

(2.232) x n + (3t s 1 ) Gy = 4Fs1.

(2.233) y 162 Глава 2. Метод сферических гармоник Если из этой системы исключать искомые функции с помощью соотно шений (2.222), то будут получаться приближенные модели с нелинейными коэффициентами из набора (2.223)–(2.224). Исключая из системы (2.230), (2.231), (2.232), (2.233) потоки 1 n J = 4Fc (2.234), 3t s 1 z 1 n Gx = 4Fc (2.235), 3t s 1 x 1 n Gy = 4Fs (2.236), 3t s 1 y можно придти к хорошо известному уравнению диффузии, описывающему распределение плотности излучения в P1 -приближении:

1 n 1 n 1 n (t s ) n = fn, (2.237) + + z z x x y y или Dn (r)n a (r)n(r) = fn (r), (2.238) где обозначено (r) 3t (r) s (r)1 (r), Dn (r) (2.239), (r) 0 1 Fc1 (r) Fc1 (r) Fs1 (r) fn (r) 4 Fc0 (r) = z (r) x (r) y (r) F 1 F 1 Fc + c1 + s1 + = 4 Fc0 (r) (r) z x y 1 0 1 (2.240) + Fc1 + Fc1 + Fs1.

2 (r) z x y Соотношения (2.234)–(2.236) связывают потоки с градиентом плотности излучения. Если определить коэффициент диффузии как Dn (r) (2.239), то из (2.234)–(2.236) вытекает, что вектор потока J(r) = Dn (r)n + 4Dn (r)F 1 (r) (2.241) – это основное соотношение диффузионного приближения, если положить – J = {J, Gx, Gy }, F 1 = Fc1, Fc1, Fs 0 1 (2.242).

При изотропных источниках или в других случаях, когда F 1 0, из (2.241) приходим к так называемому правилу Фика (из газовой диффузии):

J = Dn (r)n(r), (2.243) (2.244),,, x y z (2.245) + +.

x y z 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели В случае однородного слоя t (r) = t = const, s (r) = s = const, 0 (r) = 0 = const, 1 (r) = 1 = const, (r) = = const, Dn (r) = Dn = const и уравнение (2.238) принимает вид простого диффузионного уравнения n 2 n = fn0, (2.246) 2 2 = 2 = (2.247) + 2+ 2, x y z 2 (t s 0 ) (3t s 1 ), (2.248) 0 1 Fc1 Fc1 Fs fn0 4 Fc (2.249) + +.

z x y Можно исключить n (2.225) из уравнений (2.231), (2.232), (2.233) и тогда получится система трех уравнений второго порядка со смешанными производными для нахождения потоков J, Gx, Gy :

1 J 1 Gx 1 Gy (3t s 1 ) J = + + z a z z a x z a y Fc = 4 Fc1 (2.250) ;

z a 1 J 1 Gx 1 Gy (3t s 1 ) Gx = + + x a z x a x x a y Fc = 4 Fc (2.251) ;

x a 1 J 1 Gx 1 Gy (3t s 1 ) Gy = + + y a z y a x y a y Fc = 4 Fs (2.252).

y a Система уравнений (2.250)–(2.252) – это линейная модель расчета потоков – излучения в P1 -приближении. Она является частным видом уравнений (2.226)– (2.228), когда коэффициенты берутся в P1 -приближении (2.229).

При консервативном рассеянии (без поглощения) система уравнений (2.230), (2.231), (2.232), (2.233) принимает следующий вид:

J Gx Gy = 4Fc0 ;

(2.253) + + z x y n + s (3 1 )J = 4Fc1 ;

(2.254) z n + s (3 1 )Gx = 4Fc1 ;

(2.255) x n + s (3 1 )Gy = 4Fs1.

(2.256) y 164 Глава 2. Метод сферических гармоник Коэффициент 2 = 0 и вместо уравнения (2.246) получаем n = fn0. (2.257) Обратим особое внимание на этот случай: при чистом рассеянии a = и представление (2.225) не имеет места, поэтому, как следствие, нельзя пользоваться системами уравнений (2.226)–(2.228) и (2.250)–(2.252).

2.3.3. Точные модели расчета полусферических плотностей, вертикаль ных и горизонтальных потоков излучения. Построение моделей базиру ется на трех точных уравнениях (2.183), (2.196), (2.206) для азимутальных гармоник интенсивности излучения, где азимутальные гармоники интеграла столкновений (2.184), (2.197), (2.207) и источника (2.186) представлены в виде разложений по присоединенным функциям Лежандра. Обратим внимание на следующие обстоятельства.

Во-первых, система уравнений (2.183), (2.196), (2.206) не является замкну той, поскольку система уравнений для азимутальных гармоник интенсивности излучения (см. (2.30)–(2.31)) является бесконечной.

Во-вторых, разложения интегральных по углам полусферических радиа ционных характеристик n, n, J, J, G, G, G, G по присоединенным x x y y функциям Лежандра представляют собой суммы бесконечных рядов.

В-третьих, плотности n, n и вертикальные потоки J, J полностью определяются через нулевую азимутальную гармонику 0, горизонтальные c потоки вдоль оси x G, G – через первую азимутальную гармонику 1, x– x c а горизонтальные потоки вдоль оси y G, G – через азимутальную гармо y– y нику 1.

s В-четвертых, радиационные характеристики связаны рядом точных и приближенных соотношений, которые позволяют формулировать разные рас четные модели.

В-пятых, вопрос о замыкании системы точных уравнений для расчета перечисленных выше полусферических радиационных характеристик разреша ется неоднозначно: приходится вводить нелинейные параметры, зависящие от интенсивности излучения. Предпочтительнее, чтобы эти параметры описывали процесс переноса излучения в среде и имели наглядную интерпретацию.

Проинтегрируем уравнение (2.183) по на отрезках [0, 1] и [1, 0] с весом, равным 1:

1 1 0 (r, ) d 0 (r, ) d 1 (r, ) sin d + + t (r) + c c c 2 x z 0 0 1 1 1 (r, ) sin d + Fc0 (r, ) d ;

(2.258) + = Bc (r, ) d s 2 y 0 0 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели 0 0 0 (r, ) d 0 (r, ) d 1 (r, ) sin d + + t (r) + c c c 2 x z 1 1 0 0 1 (r, ) sin d Fc0 (r, ) d. (2.259) + = Bc (r, ) d + s 2 y 1 1 Найдем явные выражения интегралов через полусферические радиацион ные характеристики, используя представления n, n, J, J, G, G, G, G x x y y + через азимутальные гармоники интенсивности и определения параметров 0, 0, 0, 0,,, M, M :

1 J (r) n (r) 0 d = 0 d = (2.260) ;

;

c c 2 0 1 G (r) G (r) y x sin 1 d = sin 1 d = (2.261) ;

;

c s 0 n (r) s (r) (r) 1 + 1 (r) + M (r) Bc (r, ) d = + 2 4 n (r) s (r) (r) 1 + 1 (r) + M (r) (2.262) + ;

2 2 1 Q (r) R2m+1 Fc,2m+1 (r) ;

Fc0 (r, ) d = Fc0 (r) + Fc1 (r) + 0 0 (2.263) 0 m= 0 J (r) n (r) 0 d = 0 d = (2.264) ;

;

c c 2 1 0 G (r) G (r) y x sin 1 d = sin 1 d = (2.265) ;

;

c s 1 n (r) s (r) (r) 1 1 (r) M (r) Bc (r, ) d = + 2 4 n (r) s (r) (r) 1 1 (r) M (r) (2.266) + ;

2 2 0 Q (r) Fc0 (r, ) d = Fc0 (r) F (r) R2m+1 Fc,2m+1 (r).

0 (2.267) 2 c m= 166 Глава 2. Метод сферических гармоник Подставим (2.260)–(2.263) в равенство (2.258), а (2.264)–(2.267) – в равен – ство (2.259) и получим первую пару точных уравнений:

J 1 s + M n + M n + + t s 1+ 1+ 2 2 2 z G G = 2Q (r) ;

y x (2.268) + + x y J 1 s M n M n + + t s 1 2 2 2 z G G = 2Q (r).

y x (2.269) + + x y Проинтегрируем уравнение (2.183) по на отрезках [0, 1] и [1, 0] с весом :

1 1 0 (r, ) d 0 (r, ) d 1 (r, ) sin d + + t (r) + c c c 2 x z 0 0 1 1 1 (r, ) sin d = Bc (r, ) d + Fc0 (r, ) d ;

(2.270) + s 2 y 0 0 0 0 2 0 (r, ) d + t (r) 0 (r, ) d + 1 (r, ) sin d + c c c 2 x z 1 1 0 0 1 (r, ) sin d = Fc0 (r, ) d. (2.271) + Bc (r, ) d + s 2 y 1 1 Представим интегралы через радиационные характеристики и параметры, D,,,,,,, +,,,, N, N :

D x x y y 1 1 1 n (r) 2 0 d = D (r) (2.272) ;

c 1 G (r) G (r) sin 1 d = (r) sin 1 d = (r) y x (2.273) ;

;

c x s y 0 n s n 1 1 1 s + +N + +N (2.274) Bc (r, ) d = + ;

2 2 3 2 2 2 3 1 10 Q (r) P2m Fc,2m (r) ;

Fc0 (r, ) d = (2.275) Fc0 (r) + Fc1 (r) + 1 2 m= 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели n (r) 2 0 d = D (r) (2.276) ;

c 0 G (r) G (r) sin 1 d = (r) sin 1 d = (r) y x (2.277) ;

;

c x s y 1 n s n 1 1 1 s +N +N Bc (r, ) d = (2.278) ;

2 2 3 2 2 2 3 0 10 Q (r) Fc0 (r) + Fc1 (r) P2m Fc,2m (r).

Fc0 (r, ) d = (2.279) 1 2 m= Подставим (2.260), (2.261), (2.272)–(2.275) в равенство (2.270), а (2.264), (2.265), (2.276)–(2.279) – в (2.271) и найдем вторую пару точных уравнений:

– [D n ] 1 s + t J s + 1 + N n + 1 + N n + 2 2 3 2 2 z G G = 2Q (r) ;

yy xx (2.280) + + x y [D n ] 1 s + t J + s 1 + N n + 1 + N n + 2 2 3 2 2 z G G = 2Q (r).

yy xx (2.281) + + x y Проинтегрируем уравнение (2.196) по на отрезках [0, 1] и [1, 0] с весом sin : 1 1 sin 1 d + t sin 1 d + sin2 0 d + c c c z x 0 0 1 1 1 1 2 d 2 d + sin Fc1 d ;

+ sin + sin = sin Bc d c s 2 x 2 y (2.282) 0 0 0 0 0 sin 1 d + t sin 1 d + sin2 0 d + c c c z x 1 1 0 0 0 1 2 d 2 d sin Fc1 d.

+ sin + sin = sin Bc d + c s 2 x 2 y 1 1 1 (2.283) Найдем явные выражения интегралов через радиационные характеристики и параметры,, D, D, используя для замыкания уравнений новые x x 168 Глава 2. Метод сферических гармоник параметры Dc2, Ds2, L, L, Dc2, Ds2 :

c c G (r) sin 1 d = (r) x (2.284) ;

c x n (r) n (r) sin2 0 d = 1 D (r) (2.285) = D (r) ;

c 2 n (r) n (r) sin2 2 d = Dc0 (r) Dc2 (r) (2.286) = Dc2 (r) ;

c 2 n (r) n (r) sin2 2 d = Ds0 (r) Ds2 (r) (2.287) = Ds2 (r) ;

s 2 G (r) s G (r) 2 s 1 + L 1 + L x x (2.288) sin Bc (r, ) d = + ;

c c 2 3 2 1 Q (r) sin Fc1 (r, ) d = (2.289) F (r) + Fc,2m (r)R2m ;

3 c 2c m= G (r) sin 1 d = (r) x (2.290) ;

c x n (r) n (r) sin2 0 d = 1 D (r) (2.291) = D (r) ;

c 2 n (r) n (r) sin2 2 d = Dc0 (r) Dc2 (r) (2.292) = Dc2 (r) ;

c 2 n (r) n (r) sin2 2 d = Ds0 (r) Ds2 (r) (2.293) = Ds2 (r) ;

s 2 G (r) s G (r) 2 s 1 L 1 L x x (2.294) sin Bc (r, ) d = + ;

c c 2 3 2 0 Q (r) F (r) sin Fc1 (r, ) d = (2.295) Fc,2m (r)R2m.

3 c 2c m= 2.3. Точные и приближенные линейные и нелинейные модели Подставим значения интегралов (2.284), (2.261), (2.285), 2.286), (2.287), (2.288), (2.289) в равенство (2.282), а также выражения (2.290), (2.261), (2.291), (2.292), (2.293), (2.294), (2.295) в равенство (2.283) и получим третью пару точных уравнений:

G s 1 s + s L G + s L G + xx + t 2c x 2c x 3 z 2D + Dc2 n 1 1 Ds2 n = Q (r) ;

(2.296) + + 2c 4 x y G s 1 s s L G s L G + xx + t 2c x 2c x 3 z 2D + Dc2 n 1 1 Ds2 n = Q (r). (2.297) + + 2c 4 x y Проинтегрируем уравнение (2.206) по на отрезках [0, 1] и [1, 0] с весом sin : 1 1 sin 1 d + t sin 1 d + sin2 0 d + s s c z y 0 0 1 1 1 1 2 d 2 2 d = 1 sin Fs d ;

(2.298) + sin sin sin Bs d + s c 2 x 2 y 0 0 0 0 0 sin 1 d + t sin 1 d + sin2 0 d + s s c z y 1 1 0 0 0 1 2 d 2 d 1 + sin sin = sin Bs d + sin Fs d.

s c 2 x 2 y 1 1 1 (2.299) Воспользуемся определениями радиационных характеристик и параметров,, D, D, Dc2, Ds2, Dc2, Ds2, дополним новые параметры L, L y y s s и найдем явные представления для интегралов:

G (r) sin 1 d = (r) y (2.300) ;

s y G (r) G (r) s 2 1 (r) + L 1 (r) + L +s y y sin Bs (r, ) d = ;

s s 23 (2.301) 1 Q (r) Fs,2m (r)R1 ;

(2.302) sin Fs (r, ) d = F (r) + 3 s1 2m 2s m= 170 Глава 2. Метод сферических гармоник G (r) sin 1 d = (r) y (2.303) ;

s y G (r) G (r) s 2 1 (r) L 1 (r) L y +s y sin Bs (r, ) d = ;

s s 23 1 (2.304) 0 Q (r) F (r) Fs,2m (r)R1.

(2.305) sin Fs (r, ) d = 3 s1 2m 2s m= Подставим представления интегралов (2.300), (2.261), (2.285), (2.287), (2.286), (2.301), (2.302) в равенство (2.298), а также выражения (2.303), (2.261), (2.291), (2.293), (2.292), (2.304), (2.305) в равенство (2.299) и получим четвертую пару точных уравнений:

G s 1 s + s L G + s L G + yy + t 2s y 2s y 3 z 2D Dc2 n 1 Ds2 n = Q (r) ;

(2.306) + + 2s 4 x y G s 1 s s L G s L G + yy + t 2s y 2s y 3 z 2D Dc2 n 1 Ds2 n = Q (r). (2.307) + + 2s 4 x y Система уравнений (2.268)–(2.269), (2.280)–(2.281), (2.296)–(2.297), (2.306)–(2.307) – это точная математическая модель расчета полусферических – плотностей n, n, вертикальных J, J и горизонтальных G, G, G, G x x y y потоков нисходящего () и восходящего () излучения в трехмерном плоском слое.

§ 2.4. Приложение В процедурах построения моделей радиационных характеристик и параметров излучения введены следующие обозначения (1)n (2n 1)!!

R2n+1 0, (1)!! = 1. (2.308) P2n+1 () d =, n 2n+1 (n + 1)!

1 (2n 3)!!

P2n P2n () d = P1 ()P2n () d = (1)n+1 1.

, n 2n+1 (n + 1)!

(2.309) 0 2.4. Приложение 1 Pk Pk () 1 2 d = Pk ()P11 () d = 1 /2 при k = 0 ;

=0 при k = 2n + 1, 0;

n P2n = 0 при k = 2n, 1.

n 1 1 P2n P2n () 1 2 d = P2n ()P11 () d = 2 P2n () 1 2 d.

1 1 (2.310) 1 Rk Pk () 1 Pk ()P11 () d.

2 d (2.311) = 0 1 R1 P2n () sin d = P2n ()P11 () d = 1 2n 0 n+ (1) (2n + 1)!!

1. (2.312) =, n 2n (2n 1)(n + 1)(n 1)!

(1)n+1 (2n 3)!!

T2n+1 2 P2n+1 () d = (2.313), 2n+1 (n + 2)!

где для m 2 1 0 (1)... (2m + 3) T2m+1 2 P2m+1 () d = (2.314), (2m + 4)(2m + 2)... 0... (2m + 4) для m (m 1)m(m + 1)... (2m 3) T2m+1 = (1)m1 (2.315).

22m1 (m + 2)!

ГЛАВА Трехмерные плоские задачи.

Метод функций влияния и пространственно-частотных характеристик К настоящему времени достаточно полно разработаны и исследованы числен ные, аналитические и асимптотические методы решения детерминированных краевых задач теории переноса излучения, описывающих радиационный ре жим в горизонтально-однородном слое, ограниченном однородной ламбертовой или френелевской поверхностью. Однако для реальных ситуаций, когда физические среды (атмосфера, облака, океан) являются флуктуирующими в произвольных направлениях, а отражающая поверхность неоднородная, необходимо работать с математическими моделями, существенно отличаю щимися от пространственно-одномерных. Эффективные высокоточные методы расчета пространственной структуры полей излучения в таких средах до сих пор развиты недостаточно, в первую очередь в связи со значительными вычислительными трудностями, возникающими при решении многомерных задач для неоднородных сред.

Среди методов численного решения уравнения переноса излучения в трехмерном плоском слое с неоднородной границей наибольшее распро странение получил метод Монте-Карло. Метод теории возмущений с ис пользованием разложения пространственных вариаций коэффициентов и решения в тригонометрические ряды развит Л. М. Романовой для решения задач распространения излучения в горизонтально-неоднородных облаках и в однородных слоях, освещенных неоднородным внешним потоком. Еще ранее этот подход встречался в работах М. С. Малкевича. Л. М. Романовой разработан метод поперечных пространственных моментов для решения задачи о структуре узкого пучка света при распространении в атмосфере и океане. Для задач с локализованными источниками при разном уровне общности моделей используется метод функции Грина (обычно для пространственно-однородных неограниченных сред) и применяется интегральное преобразование Фурье.

Глава 3. Трехмерные плоские задачи Анализ задач с сосредоточенными источниками для скалярного стационарного уравнения переноса проведен Т. А. Гермогеновой.

В многомерных задачах радиационной коррекции, в обработке оптической информации, в теориях видения и передачи изображения в мутных сре дах, в теоретических основах оптико-электронных приборов используются приближенные и эмпирические модели оптической передаточной функции (ОПФ) и функции размытия точки (ФРТ). Приближенность состоит либо в учете однократного, малоуглового, диффузионного приближений, либо в упрощении оптической модели среды (обычно однородная), либо в получении выражений для расчета ОПФ и ФРТ на физическом уровне строгости, без учета фазовых искажений, когда вместо ПЧХ как амплитудно-фазовой характеристики рассматривается только нормированная амплитудно-частотная характеристика, называемая частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ) и функцией передачи модуляции (ФПМ). Часто ЧКХ и ФРТ моделиру ются с помощью метода Монте-Карло. Первые работы по учету влияния неоднородности подстилающей поверхности выполнены М. С. Малкевичем, В. И. Дробышевичем, О. А. Авасте, Ю. Р. Мулламаа, К. С. Шифриным.

М. С. Малкевичем введена линейная частотная характеристика переда точной функции атмосферы, ограниченной поверхностью со случайным по x альбедо, для установления связи между спектральной плотностью альбедо и отраженным излучением. Спектральная плотность определена как Фурье образ корреляционной функции. Такой же подход использован нами для построения первой математической модели ПЧХ как амплитудно- и фазо-ча стотной характеристики (АЧХ и ФЧХ) линейной системы переноса излучения при вариациях альбедо. Линейная АЧХ для однородного слоя рассчитывалась методом В. В. Соболева с двухчленной индикатрисой рассеяния И. В. Миши ным. В этих работах не учитывается ФЧХ, вертикальная неоднородность слоя, анизотропия рассеяния и поглощение излучения, которые принципиально важны для условий земной атмосферы. Методом Монте-Карло линейная ОПФ моделировалась А. Л. Усачевым для облачных слоев, Б. А. Каргиным и Е. О. Джетыбаевым для системы атмосфера–океан. Т. З. Мулдашевым решена задача расчета ОПФ для однородного слоя с рэлеевским рассеянием методом сферических гармоник. Задача с горизонтальной неоднородностью внешнего падающего потока исследуется в работе C. E. Siewert, W. L. Dunn 1985 г.

Сложность проблемы распространения излучения в трехмерных неодно родных средах, приближенных к реальным условиям, возрастает, поскольку не выполняется ряд теоретических принципов, заложенных в теорию линейных систем, в частности, таких, как инвариантность, теорема оптической взаим ности, изопланатичность и т. д. Разработка нелинейных приближений метода ПЧХ и ФВ имеет принципиальное значение. Во-первых, формулируются полуаналитические решения задачи, из которых находятся два частных точных решения: при наличии возмущения типа константы и локального точечного возмущения, которому отвечает фундаментальное решение исход 174 Глава 3. Трехмерные плоские задачи ного трехмерного уравнения. Во-вторых, полученные неравенства позволяют оценить вклад нелинейных приближений в конкретных задачах через про стые (скалярные и векторные) решения. Предлагаемый подход на основе рядов теории возмущений для решения задач распространения излучения в рассеивающих и поглощающих средах с отражающим дном базируется на физических характеристиках системы переноса и учитывает тот факт, что по физике рассматриваемого явления коэффициент экстинкции t и альбедо q, а также их вариации не превосходят 1, и потому построенные ряды могут быстро сходиться. Аналитическое выделение средней составляющей позволяет снизить значение вариаций коэффициента рассеяния s и альбедо q и тем самым уменьшить нелинейный вклад. Основными являются приближения низкого порядка. Для решения большинства прикладных задач достаточно учитывать линейные приближения. В задаче с вариациями альбедо лам бертовой поверхности полное решение получается в виде функционалов с линейными ПЧХ и ФВ.

§ 3.1. Математические модели пространственно-частотных характеристик и функций влияния Конструктивный подход к построению математических моделей ПЧХ и ФВ достаточно подробно изложим на примере задачи с вариациями коэффициента рассеяния среды и альбедо подложки при освещении широким пучком солнечного излучения. Это наиболее распространенная задача в проблемах дистанционного зондирования земной поверхности, аэрозольных загрязнений, облачности в атмосфере в «окнах прозрачности» оптического диапазона спек тра. Метод ПЧХ и ФВ развит на задачи с вариациями источников, граничных условий и других коэффициентов скалярной и векторной краевых задач теории переноса излучения в различных диапазонах длин волн и средах, в том числе в системах атмосфера–океан, атмосфера–облачность. Предлагаемый подход к решению многомерных уравнений переноса можно рекомендовать для качественного исследования и математического моделирования процессов распространения излучения разной природы в пространственно-неоднородных средах, ограниченных горизонтально-неоднородной отражающей поверхно стью. При этом отражающими могут быть любая из границ слоя (верхняя или нижняя) или обе границы одновременно.

Полуаналитические решения краевой задачи теории переноса излучения с «возмущенными» коэффициентами, источниками и граничными условиями строим методом ПЧХ и ФВ. Под «возмущениями» понимаем наличие горизонтальных неоднородностей, которые малы по абсолютной величине, но это не означает близости входных данных и решений к горизонтально однородным. Методы теории возмущений с прямым асимптотическим разложе нием, приводящим к последовательности рекуррентных задач для нелинейных систем, применяют для анализа свойств задач. Мы используем методы теории 3.1. Модели пространственно-частотных характеристик регулярных возмущений для конструктивного построения полуаналитического решения исходной задачи с линейной и нелинейной зависимостями от входных данных. Математические модели ПЧХ и ФВ системы переноса излучения получаем феноменологически и строго из краевой задачи теории переноса с учетом физической малости «возмущений».

Идея подхода заключается в следующем. Пусть возмущены коэффициенты рассеяния и альбедо поверхности. Исходное трехмерное по пространству уравнение переноса заменяется системой рекуррентных уравнений для (n, k)-приближений ряда возмущений по параметрам 0, 1, которые отвечают горизонтальным вариациям рассеяния и отражения. В линейный интегродифференциальный оператор (n, k)-приближения входят коэффици енты, не зависящие от горизонтальных координат x, y, но являющиеся функциями высоты z [0, H] и направления луча s = {, }. Неоднородными по x, y в краевых задачах для (n, k)-приближений могут быть источники внутри слоя и на его границе. Методом преобразования Фурье по x и y строим фундаментальные решения задач для (n, k)-приближений. В результате осуществляется редукция краевой задачи в пятимерном фазовом пространстве R2 [0, H] = {x, y, z,, } со сложными зависимостями коэффициентов и граничных условий от пространственных координат x, y, z (в том числе разрыв ных по x, y, что приводит к решениям с особенностями и разрывами первого рода) к параметрическому набору одномерных по пространству краевых задач с тремя переменными z,, и регулярными коэффициентами. Выделяются универсальные функции (n, k)-приближений, инвариантные относительно горизонтальных вариаций коэффициентов, источников и граничных условий исходной задачи. Имея параметрический набор таких инвариантных функций, называемых ПЧХ, с помощью функционалов можно получать решения задач с различными конкретными пространственными структурами коэффициентов.

Обратное преобразование Фурье от ПЧХ дает фундаментальное решение в (n, k)-приближении.

В частности, установлено, что вероятности переходов из одного состояния в другое в пределах рассматриваемого фазового объема, которые используются в статистическом моделировании и некоторых модификациях метода Монте Карло, являются фундаментальными решениями соответствующих пятимер ных уравнений переноса и совпадают с функциями влияния. Вопрос о фун даментальных решениях уравнения переноса рассматривался В. С. Владими ровым, Т. А. Гермогеновой, У. М. Султангазиным, К. Кейзом, П. Цвайфелем, В. И. Агошковым и другими. Фундаментальные решения (ФР), или ФВ, в теории видения, в фурье-оптике иногда называют функцией рассеяния (ФР). Фурье-образ ФРТ, или ФВ, в линейном приближении есть ОПФ, которая широко используется в фурье-анализе оптических, радиофизических, телевизионных, фотографических, голографических, автоматических и других динамических линейных систем.

176 Глава 3. Трехмерные плоские задачи В абсолютном большинстве работ исследования проводятся на уровне линейных приближений, описывающих, как принято называть, линейные системы. Теория линейных систем и теория переноса излучения состав ляют фундамент теории переноса изображения в рассеивающих средах.

При этом рассеивающая среда выступает в роли автономного элемента единой системы передачи изображения, которая описывается единообразными передаточными характеристиками. Такими характеристиками являются ПЧХ, которые называют также ОПФ, и ФВ, или ФРТ. Область применимости этих характеристик достаточно широка, что нашло свое отражение во многих монографиях.

3.1.1. Скалярные и векторные задачи теории переноса с горизонталь ными неоднородностями. Рассмотрим плоский слой, неограниченный в ) и конечный по высоте горизонтальном направлении ( x, y H), который освещается сверху или снизу потоком излучения с (0 z произвольным состоянием поляризации или естественным, неполяризованным светом. Источник может располагаться внутри слоя. Среда и границы могут испускать собственное излучение. Снизу к слою примыкает отражающая и излучающая подложка. Система слой–подстилающая поверхность считается немультиплицирующей (без размножения). Направление распространения излучения s = {, } ( = cos ), описываем сферическими координатами:

= arccos, [0, ] – зенитный угол, отсчитываемый от направления – внутренней нормали к верхней границе слоя z = 0, которая совпадает с осью z, и [0, 2] – азимут, отсчитываемый от положительного направ – ления оси x. Множество всех направлений s образует единичную сферу [1, 1] [0, 2] с [ 1, 1] и [0, 2];

+ [0, 1] [0, 2] и [1, 0] [0, 2] – полусферы для направлений распространения нис – ходящего, пропущенного излучения и восходящего, отраженного излучения соответственно.

Распространение излучения в рассеивающем, поглощающем и излучающем плоском слое, ограниченном отражающей (q = 0) или неотражающей (q = 0) поверхностью, с учетом поляризации описывается векторной краевой задачей теории переноса Dr t = Sr t + F(r, s), (3.1) t t = FH (r, s) + q RH t = F0 (r, s), 0 H с линейными операторами: оператор переноса Dr (s, grad) + t (r) = + sin cos + sin sin + t (r), z x y 3.1. Модели пространственно-частотных характеристик интеграл столкновений Sr t s (r) Mr t, Mr t P (r, s, s ) t (r, s ) ds, интегродифференциальный оператор Kr Dr Sr.

Отражение от границы, расположенной на уровне z = H, задается законом, допускающим факторизацию, при которой оператор RH действует только на угловые переменные:

RH t PH (s, s ) t (H, r, s ) ds.

+ В SP -представлении действительная функция t (r, s) = {It, Qt, Ut, Vt } – – полный вектор Стокса квазимонохроматического излучения в точке про странства r = {x, y, z} в направлении s = {, s }. Первая компонента вектора Стокса It (r, s) – интенсивность (энергетическая яркость) монохроматического – излучения. Векторы r = {x, y}, s = {sin cos, sin sin }, s0 = {sin 0 cos 0, sin 0 sin 0 } – проекции векторов r, s, s0 на горизонтальную – плоскость.

В случае неполяризованного излучения имеем дело со скалярной задачей теории переноса (3.2) Dr It = Sr It + F (r, s), It = f0 (r, s), It = fH (r, s) + q RH It, 0 H в которой фазовая матрица P (r, s, s ) содержит только один ненулевой элемент – индикатрису рассеяния (r, s, s ):

– Mr It (r, s, s ) It (r, s ) ds.

Оператор отражения для неполяризованного излучения RH It It (H, r, s ) (,, ) ds 2|| + определяется через функцию (,, ) так, что (,, ) ds /2 – – вероятность того, что фотон, падающий под углом arccos к нормали при азимуте, отражается от поверхности под углом arccos к нормали при азимуте внутри телесного угла ds = d d, а интенсивность диффузно отраженного излучения в направлении s есть It (H, r,, ) = (,, )It (H, r,, )/(2||), где It (H, r,, ) – интенсивность падающего излучения в направлении s = – {, }.

178 Глава 3. Трехмерные плоские задачи В случае ламбертовой поверхности, которая отражает изотропно, q(r ) –– альбедо, функция (,, ) = 2||, отраженный свет – неполяризованный – и операторы упрощаются:

RH t tH RIt, RIt tH {1, 0, 0, 0}, It (H, r, s ) ds, + PH (s, s ) = PH (,, ) = 2 0.

Матрица изотропного отражения 0 = (i 1)(j 1), i, j = 1, 2, 3, 4.

При квазизеркальном, френелевском отражении (,, ) = 2( + )( )Z( ), RH t = Z(||)t (H, r,, ).

Решение задач (3.1) и (3.2) ищем при следующих предположениях.

1. Индикатриса (r, s, s ) и матрица рассеяния (r, s, s ) не зависят от координат x, y, т. е. (r, s, s ) (z, s, s ), (r, s, s ) (z, s, s );

условия нормировки (z, s, s ) ds = (z, cos ) ds = 1, где угол рассеяния из направления s в направление s определяется соотношением cos = + sin sin cos( ).

2. Коэффициент рассеяния представляется в виде 0 1;

(3.3) s (r) = s (z) + g(z)s (r ), вертикальная стратификация коэффициента s (z) = a,s (z) + R (z) содержит аэрозольную a,s (z) и рэлеевскую R (z) составляющие;

для вариаций вводим значения s = sup |s (r )|, g = sup |g(z)|.

3. Полный коэффициент поглощения 0 1, (3.4) a (r) = a (z) + t(z)a (r ), включает аэрозольную и молекулярную составляющие: a (z) = a,a (z) + m,a (z), а вариации ограничены сверху значениями a = sup |a (r )|, t = sup |t(z)|.

4. Коэффициент экстинкции (3.5) t (r) = t (z) + g(z)s (r ) + t(z)a (r ), где t (z) = s (z) + a (z), а t (z), s (z), a (z) – средние (стандартные или – регулярные) профили по высоте объемных коэффициентов ослабления, рас 3.1. Модели пространственно-частотных характеристик сеяния (суммарного аэрозольного и молекулярного) и поглощения (суммарного аэрозольного и молекулярного). Функция g(z) учитывает высотный ход горизонтальных вариаций рассеяния s (r ), а t(z) – вариаций поглощения – a (r ).

5. В граничное условие входит функция (называем ее альбедо) || 1, 0 1, 0 1, 1, (3.6) q(r ) = q + (r ) q q q где q – некоторая (например, средняя) постоянная составляющая, q (r ) – – – горизонтальные неоднородности. Обозначим q = sup |q(r )| 1.

6. Четырехкомпонентные вектор-функции F(r, s), f0 (r, s), fH (r, s), описывающие поверхностные и объемные источники излучения с учетом состояния их поляризации, представляем в виде F(r, s) = F1 (z, s) + 1 F2 (z, s)T (r ), f0 (r, s) = f01 (s) + 1 f02 (s)T0 (r ), (3.7) fH (r, s) = fH1 (s) + 1 fH2 (s)TH (r ).

Первые слагаемые отвечают источникам, создающим горизонтально однородное распределение излучения в плоскостратифицированном слое, а слагаемые с параметрами 0 1, 1, 1 1 обусловливают неоднородность поля излучения в горизонтальных плоскостях. Условие факторизации по коорди натам (z, s) и r является обязательным. Посредством представлений (3.7) можно учесть разнообразные типы источников излучения (например, точечный источник или узкий пучок внутри слоя, вне слоя и на границе). Источником поля излучения может быть внешний широкий пучок (солнечный поток) или собственное излучение слоя и его границ. Угловое распределение излучения источников может быть изотропным, мононаправленным или симметричным по азимуту и т. д.

Опираясь на линейные свойства краевой задачи теории переноса, с помощью параметрического ряда t (r, s) = 1 1 n lmn (r, s) lm l, m, n= приходим к разделению исходной краевой задачи (3.1) по источникам на четыре независимые задачи.

Задача с источниками, однородными в горизонтальных плоскостях:

Kr 000 = F1 (z, s), 000 000 = fH1 (s) + q RH 000 ;

(3.8) = f01 (s), 0 H задача с горизонтально-неоднородными источниками внутри слоя:

Kr 100 = F2 (z, s)T (r ), 100 100 = q RH 100 ;

= 0, (3.9) 0 H 180 Глава 3. Трехмерные плоские задачи задачи с неоднородными источниками на границах:

Kr 010 = 0, 010 010 = q RH 010 ;

(3.10) = f02 (s)T0 (r ), 0 H Kr 001 = 0, 001 001 = fH2 (s)TH (r ) + q RH 001.

= 0, (3.11) 0 H В силу линейности краевой задачи теории переноса каждый из векторов Стокса 000, 100, 010, 001 можно вычислять в виде суперпозиции t = 0 +, = (0) + q, содержащей решение задачи для изолированного слоя 0 + (0), т. е. при q = 0, и вклад подсветки q, возникающей при наличии отражающей подложки, – решение краевой задачи с источником на – границе = q RH q + q RH (0 + (0) ).

Kr q = 0, q q = 0, (3.12) 0 H Компонента 0 – прямое излучение от источника – решение задачи с – – опущенными интегралом столкновений и оператором отражения, а для вектора (0), описывающего рассеянную, диффузную составляющую излучения в слое, получаем краевую задачу, одинаковую при разных источниках:

Kr (0) = S(0), (0) (0) = 0, = 0. (3.13) 0 H Вводим операторы D (s, grad) + t (z), S s (z)M, M P (z, s, s )(r, s ) ds, K D S – линейный интегродифференциальный оператор с постоянными – по r коэффициентами.

В горизонтально-однородной, одномерной плоской задаче оператор пере носа Dz Kz Dz S.

+ t (z), z z Оптическая толщина «невозмущенного» слоя (z) 0 t (z ) dz.

Непосредственное численное решение многомерных задач (3.8)–(3.13) трудно реализуемо на ЭВМ. Поэтому весьма актуально стоит вопрос о деком позиции исходных задач на ряд более простых (с точки зрения численного решения) задач. Один из эффективных подходов к разрешению проблемы основан на методе ПЧХ и ФВ, который позволяет также устанавливать аналитическую связь решения с набором коэффициентов исходной краевой задачи. Последнее обстоятельство оказывается важным при постановке обрат ных задач атмосферной оптики по дистанционному зондированию параметров среды и подстилающей поверхности.

3.1. Модели пространственно-частотных характеристик 3.1.2. Фурье-преобразование. Для операции фурье-преобразования функ ций по координате r используем обозначения (p) F[](p) = (r ) exp[i(p, r )] dr = (x, y) exp[i(px x + py y)] dx dy, F(pn,..., p1 ) F[F](pn,..., p1 ) = n = · · · F(rn,..., r1 ) exp i (pl, rl ) drn... dr1, l= где (p, r ) = (px x + py y) – скалярное произведение.

– Обратные операции:

(r ) F [ ](r ) = (p) exp[i(p, r )] dp = (2) (px, py ) exp[i(px x + py y)] dpx dpy, = (2) F(rn,..., r1 ) F 1 [ F](rn,..., r1 ) = n · · · F(pn,..., p1 ) exp i = (pl, rl ) dpn... dp1.

(2)2n l= Для операций свертки вводим следующие записи:

1 g (f g ) f (p p )(p ) dp = f (p )(p p ) dp, g (2)2 (2) (f g) f (r r )g(r ) dr = f (r )g(r r ) dr.

Пространственная частота p = {px, py } принимает только действительные значения: px, py. «Галочка» сверху – метка фурье-образа. Функции – f и F могут иметь и другие аргументы, отличные от r и p.

Будем считать функции s (r ), a (r ), q (r ), T (r ), T0 (r ), TH (r ) финитными, либо периодическими, либо кусочно-постоянными и будем искать локальные решения задач (3.1), (3.2), не интересуясь поведением решения на бесконечности. Это условие физически корректно: поведение решения на бесконечности, вообще говоря, не влияет на решение в рассматриваемой конечной области.

182 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Поскольку решение краевой задачи (3.1) ищем в классе функций, допуска ющих существование интегрального преобразования Фурье и, как следствие, представимых в виде интегральной свертки, то по существу при выполнении фурье-преобразования по координатам x, y уравнения переноса опускаются слагаемые со значениями на бесконечности при r = ± :

exp[i(p, r )] dr = i(p, s )F[](p).

s, r Действительно, используя интегрирование по частям, имеем x= dy exp[i(px x + py y)] exp[i(px x + py y)] dx dy = x x= ipx exp[i(px x + py y)] dx = ipx (px, py ).

Обратная операция:

1 [i(p, s )]F[](p) exp[i(p, r )] dp = s,.

(2)2 r Обозначим b (p, s ) = px sin cos + py sin sin. Преобразование Фурье по координате r выражения K D s (z)M приводит к линейному оператору L(p) Lz (p) S, где Lz (p) Dz i(p, s ), а для K0 (s0, grad ) фурье-образ есть L0 (p) 0 i(p, s0 ).

z 3.1.3. Функционалы с инвариантными радиационными характеристи ками. Рассмотрим простейшую задачу линейной теории переноса изобра жения и теории видения в рассеивающем и поглощающем слое. Пусть на горизонтально-однородной ламбертовой подложке расположен источник поляризованного излучения, изотропного по направлениям и имеющего про странственное распределение f (r ). Поле излучения в слое можно вычислить 3.1. Модели пространственно-частотных характеристик с помощью функций, инвариантных относительно f (r ) и называемых ОПФ (ФПМ, ПЧХ) или ФРТ (ФВ, ФР).

Решение задачи с нулевым альбедо K = 0, = 0, (3.14) = f (r )tH 0 H с помощью фурье-преобразования по координате r представляется либо через векторную ПЧХ (ВПЧХ) W(z, p, s) = {W m }, m = 1 4:

(z, p, s) = W(z, p, s)f (p), являющуюся решением комплексного уравнения переноса L(p)W = 0, = 0, (3.15) W W = tH, 0 H либо через векторную функцию влияния (ВФВ) (z, r, s) = F 1 [W], = {m }, m = 1 4:

(z, r, s) = ( f ) = (z, r r, s)f (r ) dr, удовлетворяющую задаче с -источником:

K = 0, = 0, (3.16) = (r )tH.

0 H При наличии однородной отражающей ламбертовой границы решение задачи K = 0, = 0, (3.17) = [RI + f (r )]tH q 0 H можно получить либо с помощью ВПЧХ (z, p, s) = {m }, m = 1 4:

(z, p, s) = (z, p, s)f (p), являющейся решением комплексной краевой задачи = (R1 + 1)tH, L(p) = 0, = 0, (3.18) q 0 H либо через ВФВ q (z, r, s) = F 1 [], q = {m }, m = 1 4:

q (z, r, s) = (q f ), удовлетворяющую задаче с -источником q q = [R1 + (r )]tH.

Kq = 0, = 0, (3.19) q q 0 H Легко показать, что решения задач (3.15) и (3.18) связаны соотношением W = c(p) RW 1,, 1 q c(p) 184 Глава 3. Трехмерные плоские задачи из которого вытекает интегральное уравнение для ВФВ q :

q = + q (r r )R1 (r ) dr. (3.20) ВФВ q выражается через ВФВ :

q (r ) = (r ) + R(r r )(r ) dr (3.21) с помощью резольвенты q c(p) R(r ) = F 1.

1 q c(p) Вводим обозначения:

c(p) c H(p) R1 = H0 H(p = 0) =,, 1 q c(p) 1 q c 0 (z, s) (z, p = 0, s), W0 (z, s) W(z, p = 0, s), c0 RW0.

Действительные вектор-функции 0 (z, s) и W0 (z, s) являются решениями одномерных плоских задач с единичным изотропным источником на границе z = H:

Kz W0 = 0, = 0, (3.22) W0 W0 = tH ;

0 H Kz 0 = 0, 0 0 = (R1 + 1)tH.

= 0, (3.23) q 0 H Так как (z, r, s) dr, 0 (z, s) = q (z, r, s) dr, W0 (z, s) = то ВФВ q (z, r, s) и (z, r, s) являются интегрируемыми по r функциями и q (z, r, s) dr = (z, r, s) dr.

1 q c По физическому смыслу вектор-функции W0 и 0 являются функциями пропускания слоя с абсолютно черным дном и при наличии однородной отражающей ламбертовой границы соответственно, отягощенными вкладом многократного рассеяния в среде. Влияние отражающей границы учитывается множителем 1/(1 q c0 ).

Задачи (3.14) и (3.17) отвечают простейшим линейным системам переноса излучения, параметры которых не зависят от горизонтальных координат и 3.2. Задача с широким пучком передаточные свойства которых полностью описываются линейными ВПЧХ W(z, p, s) или ВФВ (z, r, s).

Другой пример – это задача теории видения – = 0, = K = F(z, s)T (r ), 0 H с источником излучения внутри слоя. По аналогии с теорией дифференци альных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами посредством фурье-преобразования определяем фундаментальное решение задачи (z, r, s) в классе S (R2 ) обобщенных функций медленного роста как решение уравнения K = F(z, s)(r ).

Фурье-образ фундаментального решения W(z, p, s) удовлетворяет уравне нию LW = F(z, s) и принадлежит тому же пространству, в силу того что преобразование Фурье задает автоморфизм в S (Rn ). Решение уравнения с правой частью, факторизующейся по переменным r и (z, s), K = T (r )F(z, s) представляется в виде свертки с ФВ:

= ( T ), а решение уравнения L = T (p)F(z, s) определяется с помощью обратного фурье-преобразования = F 1 [T W].

Но если коэффициенты краевой задачи теории переноса зависят от координаты r, то возникают нелинейные искажения поля излучения, которые в общем случае описываются нелинейными ПЧХ и ФВ. Нелинейные ПЧХ и ФВ определяем в пространстве S (R2m ) по координате r при фиксированных значениях s и z, где m – порядок нелинейного приближения решения, – представляющегося в виде сверток 2m-го порядка. Однако в отдельных случаях для описания такой системы достаточно знать только линейные ПЧХ и ФВ, но при этом будет нарушено условие изопланатичности, т. е.

конечное выражение не будет линейной сверткой.

§ 3.2. Задача с широким пучком Рассматривается задача о прохождении солнечного излучения через рассеива ющую и поглощающую плоскую атмосферу с отражающим дном. На верхнюю границу z = 0 в направлении s0 = {0, 0 } падает внешний параллельный по ток (широкий пучок) излучения мощностью S t с произвольным состоянием 186 Глава 3. Трехмерные плоские задачи поляризации. Для естественного света t = tH. Горизонтально-неоднородное дно отражает по закону, описываемому операторами RH или R. Световой ре жим в планетной атмосфере описывается краевой задачей (3.8) с источниками F1 (z, s) 0, fH1 (s) 0, f01 (s) = S (s s0 )t:

Dr 000 = 0, 000 = S (s s0 )t, 000 = q RH 000. (3.24) 0 H Вектор Стокса ищется в виде суперпозиции 000 = 0 + решения задачи Коши для нерассеянной компоненты Dr 0 = 0, 0 = S (s s0 )t, 0 = 0 H и вектора Стокса многократно рассеянного излучения с учетом переотражения от дна – решения краевой задачи – Kr = Sr 0, = q(RH + RH 0 ).

= 0, (3.25) 0 H 3.2.1. Аналитическое решение задачи Коши для нерассеянного излуче ния. Очевидно, что 0 = 0 t, где функция 0 удовлетворяет скалярной задаче Коши = S (s s0 ), Dr 0 = 0, 0 0 = 0, (3.26) 0 H решение которой определяется в виде параметрического ряда 0 (z, r, s) = 0 (z, r, s0 )(s s0 ) = (z) = S exp (s s0 ) n 0 (z, r, s0 ). (3.27) n n= Подставляя ряд (3.27) в задачу (3.26), приходим к краевой задаче n+1 0 = 0, n K0 n + g(z)s (r ) n n=0 n= n 0 n = 1, = 0.

n n 0 H n=0 n= Компоненты ряда 0 в любом приближении порядка n 1 по параметру n определяются из системы рекуррентных задач Коши K0 0 = g(z)s (r )0, 0 = 0, =0 (3.28) n n n n 0 H с начальным приближением 0 1.

Для горизонтально-однородного слоя 0 (z, s) = S exp[ (z)/0 ](s s0 ), 0 = n0, n 3.2. Задача с широким пучком где kn – символ Кронекера: kn = 1 при k = n и kn = 0 при k = n.

– Функциональные представления для ряда 0 (z, r, s0 ) = F 1 n n (1) 0 (1) = n n=0 n=0 n= содержат операторы n-го порядка, действующие на функции f (r ) C по правилам:

n = 0 : 0 (f ) C(2)2 (p), n = 1 : 0 (f ) CV1 (z, p, s0 )s (p), 1 C · · · s (p pn1 )... s (p1 ) n 2:

n 0 (f ) (2)2(n1) Vn (z, pn,..., p1, s0 ) dpn1... dp1. (3.29) Ядра операторов Vn (z, pn,..., p1, s0 ) – ПЧХ, являющиеся решениями ком – плексных задач Коши с начальным приближением V0 1:

L0 (pn )Vn = g(z)Vn1, = 0, = 0. (3.30) Vn Vn 0 H Операторы n – многомерные свертки:

0– n = 0 : 0 (f ) = C, C · · · s (rn )... s (r1 ) n (f ) 1:

n 0 (z, r rn, rn rn1,..., r2 r1, s0 ) drn... dr1. (3.31) n Ядра операторов – ФВ 0 = F 1 [Vn ] – решения задач Коши с начальным – – n приближением 0 1:

K0 (rn )0 = g(z)0 (rn ), 0 = 0, = 0. (3.32) n n n n 0 H Из задачи (3.30) следует рекуррентное соотношение Vn (z, pn,..., p1, s0 ) = z i(pn, s0 )(z z ) = dz, (3.33) g(z )Vn1 (z, pn1,..., p1, s0 ) exp 0 188 Глава 3. Трехмерные плоские задачи на основе которого находятся аналитические выражения для ПЧХ Vn (zn, pn,..., p1, s0 ) = zn n i(pn, s0 )(zn zn1 ) = dzn1...

g(zn1 ) exp 0 z2 z i(p2, s0 )(z2 z1 ) i(p1, s0 )(z1 z)... dz. (3.34) g(z1 ) exp dz g(z) exp 0 0 С помощью (3.34) получена оценка сверху для амплитуды решения задачи (3.26):

(z) + g s z S exp 0 (z, r, s0 ).

Мажорирующая функция является амплитудой решения краевой задачи (0 = (s s0 )):

= S (s s0 ), Dz 0 + g s 0 = 0, 0 0 = 0.

0 H Функции влияния также связаны рекуррентно:

z = g(z )[rn s0 (z z )/0 ] 0 (z, rn,..., r1, s0 ) n 0 (z, rn1,..., r1, s0 ) dz = n g() z 0 (, rn1,..., r1, s0 ), если rn коллинеарен s0 и n1 z = 0 rn s0 z/0, 0 в остальных случаях;

при этом z определяется из условия s0 z sz = 0 rn, 0 z H.

0 Нетрудно получить представление через линейную ФВ:

0 (z, rn,..., r1, s0 ) = n n n n g(zl ) s0 zl /0 = s0 z/ 0 (zl, rl, s0 ), = rm, l=1 0 l=1 m=l n = l = 1 n, если 0 rl s0 z/0, rm s0 z/0, m=l 0 вне указанной области.

(3.35) 3.2. Задача с широким пучком В частном случае, когда вариации s (r ) одинаковы по всей толщине слоя, т. е. g(z) = g = const, выражение для ФВ упрощается:

g, если r1 коллинеарен s0 и 0 r1 s0 z/0, 1 (z, r1, s0 ) = 0 в остальных случаях;

n g, если r1,..., rn коллинеарны s0 и n 0 (z, rn,..., r1, s0 ) = 0 r1 s0 z/0, 0 rl s0 z/0, n l= 0 вне указанной области.

Для такого слоя можно вычислить аналитически ПЧХ:

V1 (z, p1, s0 ) = ig{exp[i(p1, s0 )z/0 ] 1}/(p1, s0 );

V2 (z, p2, p1, s0 ) = g2 {{1 exp[i(p2, s0 )z/0 ]}/[(p1, s0 )(p2, s0 )] + + {exp[i(2p2 p1, s0 )z/0 ] exp[i(p2, s0 )z/0 ]}/[(p1, s0 )(p2 p1, s0 )]}.

Обратим внимание на то, что ПЧХ V2 нельзя представить в виде произведения линейных ПЧХ V1 и выражение не факторизуется по параметрам p1 и p2. Не происходит факторизации по координатам rn,..., r1 ФВ 0 (z, rn,..., r1, s0 ), хотя ФВ n-го порядка можно записать через ФВ первого n порядка с разными аргументами (см. (3.35)).

Функции влияния 0 – финитные, интегрируемые по r1,..., rn :

n– Vn (z,s0 ) Vn (z,0,...,0,s0 ) = ··· 0 (z,rn,...,r1,s0 ) drn... dr1, n n 1 g z |Vn (z,s0 )|.

n! Если g(z) = const, s (r ) = const, т. е. коэффициент рассеяния слоя увеличен на gs = const, то n 1 gz Vn (z, s0 ) = 0 (z, s0 ) = s Vn (z, s0 ), n 0, n n! 0 (z, s) = S exp{[ (z) + gs z]/0 }(s s0 ).

Из рекуррентной связи компонент ряда (3.27) z g(z )s (rs0 (zz )/0 )0 (z, rs0 (zz )/0, s0 ) dz 0 (z, r, s0 )= n n 190 Глава 3. Трехмерные плоские задачи вытекают следующие оценки:

r, |0 | |0 | |0 |,, n n1 n n 1 n=r n= где z (z) = sup |n1 |.

g g (z) g(z ) dz,, n 3.2.2. О разрешимости краевой задачи теории переноса с горизонталь ными неоднородностями через ПЧХ и ФВ. На примере задачи (3.25) для плоского слоя с горизонтальной неоднородностью коэффициентов рассеяния s (r) (3.3), ограниченного отражающей поверхностью с неоднородным коэф фициентом отражения q(r ) (3.6) и освещенного внешним мононаправленным потоком с произвольным состоянием поляризации, дадим формулировку математических моделей ВПЧХ и ВФВ. В случае скалярной задачи для неполяризованного излучения вместо векторов Стокса, которые берутся в SP -представлении, фигурируют только их первые компоненты.

Решение краевой задачи (3.25) с источниками Sr 0 = [s (z) + g(z)s (r )] n 0 (z, r, s0 )(z)t, (3.36) c n n= c(z) c(z, s, s0 ) = S exp[ (z)/0 ]P (z, s, s0 );

q RH 0 = [ + (r )] n 0 (H, r, s0 )dt, (3.37) q q n n= S d exp[ (H)/0 ]PH (, 0, 0 ), ищем в виде ряда по параметрам и :


(z, r, s) = k n kn (z, r, s). (3.38) k,n= Для неполяризованного излучения в случае френелевской поверхности матрица d заменяется на скалярную величину d = d(0 ) S Z(0 ) exp[ (H)/0 ](s s0 ).

При ламбертовом дне dt = dtH, d = d(0 ) = S 0 exp[ (H)/0 ].

Подставляя (3.36)–(3.38) в (3.25) и приравнивая выражения при одина ковых степенях и, получаем систему рекуррентных краевых задач:

3.2. Задача с широким пучком k = 0, n = 0 – горизонтально-однородная, одномерная задача:

– Dz 00 = s (z)M 00 + s (z)(z)t, c (3.39) 00 00 = q (RH 00 + dt) ;

= 0, 0 H k = 0, n 1 – задача с однородной отражающей границей и простран – ственно-неоднородным коэффициентом рассеяния:

K0n = g(z)s (r )[(M E)0,n1 + 0 c(z)t] + s (z)0 c(z)t, n1 n (3.40) 0n 0n = q (RH 0n + 0 dt) ;

= 0, n 0 H n = 0, k 1 – задача с однородным коэффициентом ослабления и – неоднородной отражающей поверхностью:

Kk0 = 0, k0 = 0, (3.41) k0 = q RH k0 + q (r )RH k1,0 + k1 q (r )dt;

H n 1, k 1, m = k + n 2 – задача для пространственно-неоднородного – слоя, ограниченного неоднородной поверхностью:

Kkn = g(z)s (r )(M E)k,n1, kn = 0, (3.42) kn = q RH kn + q (r )RH k1,n + k1 q(r )0 dt.

n H Решение задачи (3.39) дает горизонтально-однородную составляющую век тора Стокса 00 (z, s), через которую определяется однородная составляющая вектора «освещенности» дна:

E(s, s0 ) RH 00 + dt.

При ламбертовой поверхности средняя освещенность не зависит от направления s:

E(0 ) = I00 (H,, ) d d + S 0 exp[ (H)/0 ].

+ Имеют место следующие утверждения.

I. Если функции W0n (z, pn,..., p1, s) при фиксированных значениях пространственных частот p1,..., pn удовлетворяют системе рекуррентных одномерных по пространству параметрических краевых задач (n 1) L(pn )W0n = g(z)[(M E)W0,n1 + Vn1 c(z)t] + (z)Vn c(z)t, W0n = 0, W0n = q (RH W0n + Vn dt) 0 H 192 Глава 3. Трехмерные плоские задачи с начальным приближением W00 = 00 (z, s), то фурье-образы векторов Стокса 0n (z, r, s), являющихся решениями краевых задач (3.40), однозначно определяются через вектор-функции W0n :

n=1: = W01 (z, p1, s)s (p1 ), 01 (z, p1, s) · · · s (pn pn1 )... s (p1 ) 2:

n 0n (z, pn, s) = (2)2(n1) W0n (z, pn,..., p1, s) dpn1... dp1.

II. Если функции 0n (z, rn,..., r1, s) = F 1 [W0n ] при фиксированных значениях аргументов rn,..., r1 удовлетворяют рекуррентной системе кра евых задач (n 1) K(rn )0n = g(z)[(M E)0,n1 + 0 c(z)t](rn ) + s (z)0 c(z)t, n1 n 0n 0n = q (RH 0n + 0 dt) = 0, n 0 H с начальным приближением 00 = 00 (z, s), то векторы Стокса 0n (z, r, s), являющиеся решениями краевых задач (3.40), однозначно определяются через вектор-функции 0n с помощью многомерных сверток:

0n (z, r, s) = = · · · s (rn )... s (r1 )0n (z, r rn,..., r2 r1, s) drn... dr1.

III. Если функции Wk0 (z, pk,..., p1, s) при фиксированных значениях пространственных частот pk,..., p1 удовлетворяют системе рекуррентных одномерных по пространству параметрических краевых задач (k 1) L(pk )Wk0 = 0, = 0, Wk0 Wk0 = qRH Wk0 + RH Wk1,0 + k1 dt 0 H с начальным приближением W00 = 00 (z, s), то фурье-образы векторов Стокса k0 (z, r, s), являющихся решениями краевых задач (3.41), однозначно определяются через вектор-функции Wk0 :

k=1: = W10 (z, p1, s)q (p1 ), 10 (z, p1, s) · · · q (pk pk1 )... q (p1 ) 2:

k k0 (z, pk, s) = (2)2(k1) Wk0 (z, pk,..., p1, s) dpk1... dp1.

IV. Если функции k0 (z, rk,..., r1, s) = F 1 [Wk0 ] при фиксирован ных значениях аргументов rk,..., r1 удовлетворяют рекуррентной системе 3.2. Задача с широким пучком краевых задач (k 1) K(rk )k0 = 0, k0 = 0, k0 = q RH k0 + (RH k1,0 + k1 dt)(rk ) H с начальным приближением 00 = 00 (z, s), то векторы Стокса k0 (z, r, s), являющиеся решениями краевых задач (3.41), однозначно определяются через вектор-функции k0 с помощью многомерных сверток:

k0 (z, r, s) = = · · · q (rk )... q (r1 )k0 (z, r rk,..., r2 r1, s) drk... dr1.

V. Если функции Wkn (z, pm,..., p1, s) при фиксированных значениях пространственных частот p1,..., pm удовлетворяют системе рекуррентных одномерных по пространству параметрических краевых задач (k 1, n 1, m = k + n 2) L(pm )Wkn = g(z)(M E)Wk,n1 (z, pm1,..., p1, s), = 0, Wkn = q RH Wkn + RH Wk1,n (H, pm p1,..., p2 p1, s) + Wkn H + k1 Vn (H, pn+1 p1,..., p2 p1, s0 )dt, то фурье-образы векторов Стокса kn (z, r, s), являющихся решениями задач (3.42), однозначно определяются через вектор-функции Wkn :

kn (z, pm, s) = · · · q (p1 )... q (pk pk1 ) (2)2(m1) s (pk+1 pk )... s (pm pm1 )Wkn (z, pm,..., p1, s) dpm1... dp1.

VI. Если функции kn (z, rm,..., r1, s) = F 1 [Wkn ] при фиксированных значениях аргументов rm,..., r1 удовлетворяют рекуррентной системе краевых задач (k 1, n 1, m = k + n 2) K(rm )kn = g(z)(M E)k,n1 (z, rm1,..., r1, s)(rm ), kn = 0, kn = qRH kn + RH k1,n (H, rm,..., r2, s) rl + H l= n+ + k1 0 (H, rn+1,..., r2, s0 ) rl dt, n l= то векторы Стокса kn (z, r, s), являющиеся решениями краевых задач (3.42), однозначно определяются через вектор-функции kn с помощью многомерных 194 Глава 3. Трехмерные плоские задачи сверток:

kn (z, r, s) = · · · q (r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) kn (z, r rm,..., r2 r1, s) drm... dr1.

Решения краевых задач для ПЧХ Wkn и ФВ kn определяются только регулярными параметрами модели s (z), g(z), q, c(z), d и моментами источника 0, имеющими аналитические представления (3.34), (3.35) излучения Vn, n и зависящими только от g(z) и 0. Следовательно, функции Wkn и kn являются универсальными характеристиками системы переноса излучения с регулярными параметрами и не зависят от вариаций s (r ), q (r ), т. е.

инвариантны относительно горизонтальных неоднородностей коэффициентов рассеяния и отражения.

Инвариантные относительно горизонтальных возмущений коэффициентов рассеяния s (r ) и отражения q (r ) функции Wkn (z, pm,..., p1, s) = {Wkn }, l l = 1 4, называем векторными пространственно-частотными характеристи ками (k, n)-приближений kn ряда возмущений (3.38) по параметрам,.

Векторная функция влияния kn = {l }, l = 1 4, (k, n)-приближения kn kn ряда возмущений (3.38) по параметрам, вводится как обратное преобразование Фурье от ВПЧХ (k, n)-приближения:

kn (z, rm,..., r1, s) = F 1 [Wkn ] = m · · · Wkn (z, pm,..., p1, s) exp i = (p1, r1 ) dpm... dp1.

(2)2m l= В свою очередь Wkn = F[kn ].

В итоге для решения краевой задачи (3.25) получены два эквивалентных представления в виде функционалов с ядрами ВПЧХ и ВФВ:

(z, r, s) = 00 (z, s) + (1 m0 ) · · · q (r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) kn + k,n=0 kn (z, r rm,..., r2 r1, s) drm... dr1 = = 00 (z, s) + (1 m0 ) · · · q (p1 )... q (pk pk1 ) kn (2)2m k,n=0 s (pk+1 pk )... s (pm pm1 )Wkn (z, pm,..., p1, s) exp[i(pm, r )] dpm... dp1.

(3.43) 3.2. Задача с широким пучком Функционалы вида (3.43), устанавливающие связь решения краевой задачи теории переноса с ее коэффициентами, называем прямым оптическим переда точным оператором (ОПО) системы слой-подложка. Ядрами этого оператора являются инвариантные функции – ВФВ или ВПЧХ. Выбор представления – решения через ВПЧХ или ВФВ определяется в каждой конкретной физической задаче из соображений удобства и согласования способа расчета и технологии экспериментальных измерений. Так, для исследования локальной структуры поля излучения предпочтительнее пользоваться ВФВ, которые определяют масштаб размытия изображения вследствие многократного рассеяния и, как правило, существенно отличны от нуля лишь в малой окрестности точки возмущения. Однако при анализе пространственного распределе ния излучения с помощью фурье-спектров естественнее воспользоваться ВПЧХ.

3.2.3. Алгоритм построения уравнений для ПЧХ и ФВ. Доказательство утверждений из предыдущего раздела проиллюстрируем на примере скалярной задачи (3.42) для приближений порядка m = k + n 2, k 1, n 1:

Kkn = g(z)s (r )(M E)k,n1, = 0, kn (3.44) kn = qRH kn + q (r )RH k1,n + k1 q (r )0 d.

n H Проведем преобразование Фурье по координате r :

L(pm )kn = g(z){M F[s k,n1 ](pm ) F[s k,n1](pm )}, = 0, kn kn = q RH kn + RH F[k1,n](pm ) + k1 dF[0 ](pn+1 ).

q qn H (3.45) Предположим, что для функций Wk,n1 и Wk1,n утверждение справед ливо, т. е. выполнены соотношения · · · q (p1 )... q (pk pk1 ) (3.46) k,n1 (z, pm1, s) = (2)2(m2) s (pk+1 pk )... s (pm1 pm2 )Wk,n1 (z, pm1,..., p1, s) dpm2... dp1, · · · q (p1 )... q (pk1 pk2 ) (3.47) k1,n (z, pm1, s) = (2)2(m2) s (pk pk1 )... s (pm1 pm2 )Wk1,n (z, pm1,..., p1, s) dpm2... dp1.

196 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Тогда правые части представимы в следующем виде:

F[s k,n1 ](pm ) = · · · q (p1 )... q (pk pk1 ) (2)2(m1) s (pk+1 pk )... s (pm pm1 )Wk,n1 (z, pm1,..., p1, s) dpm1... dp1, (3.48) F[k1,n ](pm ) = · · · q (p1 )... q (pk1 pk2 ) q (2)2(m1) s (pk pk1 )... s (pm1 pm2 )q (pm pm1 ) Wk1,n (H, pm1,..., p1, s) dpm1... dp1.

Проведем замену переменных:

p1 = p2 p1, dp1 = dp2 ;

... ;

pm1 = pm p1, dpm1 = dp1 ;

pm = pm, dpm = dpm, при которой p1 = p2 p1, p2 p1 = p3 p2,..., pm1 pm2 = pm pm1, pm pm1 = p1. (3.49) Теперь F[k1,n](pm ) = · · · q (p1 )... q (pk pk1 ) q (2)2(m1) s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) Wk1,n (H, pm p1,..., p2 p1, s) dpm1... dp1. (3.50) С помощью замены переменных (3.49) получаем также F[0 ](pn+1 ) · · · q (p1 )s (pn+1 pn )... s (p2 p1 ) qn = (2)2n Vn (H, p p1,..., p2 p1, s0 ) dpn... dp1.

n+ (3.51) Подставив (3.48), (3.50) и (3.51) в задачу (3.49), сгруппировав подынтегральные выражения и переобозначив переменные интегрирования 3.2. Задача с широким пучком p1,..., pm1 через p1,..., pm1, приходим к следующему представлению:

L(pm )kn = ··· q (p1 )... q (pk pk1 )s (pk+1 pk )...


(2)2(m1)... s (pm pm1 )g(z)[M Wk,n1 Wk,n1(z,pm1,...,p1,s) dpm1... dp1, kn = 0, 0 (3.52) kn ··· q (p1 )... q (pk pk1 ) = qRH kn + (2)2(m1) H s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) RH Wk1,n(H,pm p1,...,p2 p1,s) + + k1 dVn (H,pn+1 p1,...,p2 p1,s0 ) dpm1... dp1.

Пусть функции Wkn (z, pm,..., p1, s) при фиксированных значениях пара метров pm,..., p1 удовлетворяют краевым задачам L(pm )Wkn = g(z)(M E)Wk,n1 (z, pm1,..., p1, s), = 0, Wkn = q RH Wkn + RH Wk1,n (H, pm p1,..., p2 p1, s) + Wkn (3.53) H + k1 dVn (H, pn+1 p1,..., p2 p1, s0 ).

Умножим левые и правые части (3.53) на произведение q (p1 )... q (pk pk1 )s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) 2(m1) (2) и проинтегрируем по p1,..., pm1 в пределах от до +. В результате придем к равенствам:

· · · q (p1 )... q (pk pk1 )s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) (2)2(m1) L(pm )Wk,n (z, pm,..., p1, s) dpm1... dp1 = · · · q (p1 )... q (pk pk1 )s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) = (2)2(m1) g(z)[M Wk,n1 Wk,n1(z, pm1,..., p1, s)] dpm1... dp1, 198 Глава 3. Трехмерные плоские задачи · · · q (p1 )... q (pk pk1 )s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) (2)2(m1) Wk,n (z, pm,..., p1, s) dpm1... dp1 = 0, · · · q (p1 )... q (pk pk1 )s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) (2)2(m1) Wk,n (z, pm,..., p1, s) dpm1... dp1 = H · · · q (p1 )... q (pk pk1 )s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) = (2)2(m1) [RH Wk,n (H, pm,..., p1, s) + RH Wk1,n (H, pm p1,..., p2 p1, s) + q + k1 dVn (H, pn+1 p1,..., p2 p1, s0 )] dpm1... dp1. (3.54) Сопоставляя (3.52) и (3.54) и учитывая, что операторы L(p) и RH можно выносить за знаки интегралов по параметрам, находим представление фурье образов kn через функции Wkn :

· · · q (p1 )... q (pk pk1 ) (3.55) kn (z, pm, s) = (2)2(m1) s (pk+1 pk )... s (pm pm1 )Wkn (z, pm,..., p1, s) dpm1... dp1.

Таким образом, если функции Wkn удовлетворяют задачам (3.53), то фурье-образы kn можно вычислить по формуле (3.55). Для приближений 10 и 01 утверждение очевидно.

Предположим теперь, что для всех n = 1 n и k = 1 k имеет место соотношение (3.55). Тогда, подставляя в (3.45) вместо фурье-образа kn выражение (3.55), а также (3.48), (3.50) и (3.51), приходим к эквивалентной задаче (3.54), из которой при фиксированных значениях параметров p1,..., pm получаем параметрический набор краевых задач (3.53) для функций Wkn, т. е. если имеет место представление (3.55), то функции Wkn удовлетворяют краевым задачам (3.53). Утверждение доказано.

Вывод уравнений для фундаментальных решений продемонстрируем на примере задачи (3.44). Представим правые части задачи в виде интегральных сверток, получаемых путем тождественных преобразований из представлений через соответствующие ПЧХ. Для упрощения изложения положим q = 0. 3.2. Задача с широким пучком Распишем через ФВ источник в уравнении:

g(z)s (r )(M E)k,n1 = g(z) s (rm )(r rm ) dr · · · q (r1 )... q(rk )s (rk+1 )... s (rm1 ) (M E)k,n1 (z, rm rm1,..., r2 r1, s) drm1... dr и источник на границе:

q(rm )(r rm ) dr q (r )RH k1,n (H, r, s) = · · · q (r1 )... q(rk1 )s (rk )... s (rm1 ) RH k,n1(H, rm rm1,..., r2 r1, s) drm1... dr1 = = · · · q (r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm )(r r1 ) RH k1,n (H, r1 rm, rm rm1,..., r3 r2, s) drm... r1. (3.56) Здесь проведена замена переменных, в результате которой множитель q (rm ) занял место q (r1 ):

r2 r1 = r3 r2, r1 = rm, r2 = r1,..., rm = rm1 ;

rm1 rm2 = rm rm1, rm rm1 = r1 rm.

Аналогично преобразуется второй член в граничном условии:

q (rn+1 )(r rn+1 ) drn+ k1 q (r )0 d = k1 d n ··· s (r1 )... s (rn )0 (H,rn+1 rn,...,r2 r1,s0 ) drn... dr1 = n = k1 d ··· q (r1 )s (r2 )... s (rn+1 )(r r1 ) n (H,r1 rn+1,rn+1 rn,...,r3 r2,s0 ) drn+1... dr1.

(3.57) 200 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Здесь также произведена замена переменных:

r1 = rn+1, r2 = r1,..., rn+1 = rn.

Левую часть уравнения можно записать так:

K(r )kn = · · · q (r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) K(r )kn (z, r rm,..., r2 r1, s) drm... dr1.

Перепишем задачу (3.44) в представлении через свертки, опустив штрих в обозначениях координат в выражениях (3.56) и (3.57):

· · · q (r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) drm... dr [K(r )kn (z, r rm,..., r2 r1, s) g(z)(M E)k,n1 (z, rm rm1,..., r2 r1, s)(r rm )] = 0, · · · q(r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) drm... dr kn (z, r rm,..., r2 r1, s) = 0, · · · q(r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) drm... dr [kn (H, r rm,..., r2 r1, s) H RH k1,n(H, r1 rm, rm rm1,..., r3 r2, s)(r r1 ) k1 d0 (H, r1 rn+1, rn+1 rn,..., r3 r2, s0 )(r r1 )] = 0.

n Отсюда приходим к краевой задаче для ФВ K(r )kn (z,r rm,...,r2 r1,s) = = g(z)(M E)k,n1 (z,rm rm1,...,r2 r1,s)(r rm ), kn = 0, kn = RH k1,n(H,r1 rm,rm rm1,...,r3 r2,s)(r r1 ) + H + k1 d0 (H,r1 rn+1,rn+1 rn,...,r3 r2,s0 )(r r1 ).

n (3.58) 3.2. Задача с широким пучком После замены переменных rm = r rm, rm1 = rm rm1,..., r1 = r2 r1 ;

m r r1 = r l= краевая задача (3.58) преобразуется к виду K(rm )kn = g(z)(M E)k,n1 (z, rm1,..., r1, s)(rm ), kn = 0, (3.59) m kn = RH k1,n (H, rm,..., r2, s) r1 + H l= n+ k1 d0 (H, rn+1,..., r2, s0 ) + r1.

n l= Для иллюстрации покажем переход от представления члена ряда kn через ПЧХ к представлению с помощью ФВ:

kn (z, r, s)= · · · q (p1 )... q (pk pk1)s (pk+1 pk )... s (pm pm1 ) = (2)2m Wkn (z, pm,..., p1, s) exp[i(pm, r )] dpm... dp1 = · · · dpm... dp1 q (r1 ) exp[i(p1, r1 )] dr = (2)2m q (r2 ) exp[i(p2 p1, r2 )] dr2... q (rk ) exp[i(pk pk1, rk )] drk s (rk+1 ) exp[i(pk+1 pk, rk+1 )] drk+1...

s (rm ) exp[i(pm pm1, rm )] drm... m · · · kn (rm,..., r1 ) exp[i(pm, r )] exp i (pl, rl ) drm... dr1 = l= 202 Глава 3. Трехмерные плоские задачи s (rm ) drm = q (r1 ) dr1...

q (rk ) drk s (rk+1 ) drk+1...

· · · kn (rm,..., r1 ) drm... dr1 exp[i(pm, rm +rm r )] dpm (2) exp[i(pm1, rm1 rm +rm1 )] dpm1...

(2) exp[i(p1, r1 r2 +r1 )] dp1 =...

(2) = q (r1 ) dr1...

q(rk ) drk s (rk+1 ) drk+1...

s (rm ) drm · · · kn (rm,..., r1 ) drm... dr... (rm +rm r )(rm1 rm +rm1 )... (r1 r2 +r1 )= = · · · q (r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) kn (r rm,..., r2 r1 ) drm... dr1.

Штрихи в обозначениях опущены.

Уравнения (3.59) для ФВ kn также можно построить с помощью обратного преобразования Фурье в задаче (3.53) для ПЧХ Wkn. Умножим (3.53) на m (pl, rl )] и проинтегрируем по всем pm,..., p1 от до. В правой exp[i l= части уравнения m · · · Wk,n1 (z, pm1,..., p1 ) exp i (pl, rl ) dpm... dp1 = (2)2m l= = k,n1(rm1,..., r1 )(rm ).

3.2. Задача с широким пучком В граничном условии с помощью замены переменных p1 = p2 p1, p2 = p3 p1,..., pm1 = pm p1 получаем m · · · Wk1,n (z, pm p1,..., p2 p1 ) exp i (pl, rl ) dpm... dp1 = (2)2m l= m = k1,n(rm,..., r2 ) rl.

l= Аналогичные преобразования проводим со вторым членом:

n+ · · · Vn (z, pn+1 p1,..., p2 p1 ) exp i (pl, rl ) dpn+1... dp1 = (2)2(n1) l= n+ = 0 (rn+1,..., r2 ) rl.

n l= Левая часть уравнения представима в виде m · · · L(pm )Wk,n (z, pm,..., p1 ) exp i (pl, rl ) dpm... dp1 = (2)2(n1) l= = K(rm )kn (rm,..., r1 ).

Резюмируя изложенное, приходим к задаче (3.59) для ФВ kn.

3.2.4. Фундаментальные решения краевой задачи теории переноса с го ризонтальными неоднородностями. Если положить s (r ) = (r ), q (r ) = (r ), то s (p) = 1, q (p) = 1 и из представления kn (z, r, s) = · · · q (r1 )... q (rk )s (rk+1 )... s (rm ) kn (z, r rm,..., r2 r1, s) drm... dr следует, что в этом случае kn (z, r, s) = kn (z, r, 0,..., 0, s), т. е. kn – – фундаментальные решения (ФР) краевых задач (3.42) при локальных возму щениях коэффициентов задачи. Аналогично устанавливается, что 0n – ФР – задач (3.40), а k0 – ФР задач (3.41).

– 204 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Краевая задача для фундаментального решения kn (z,r,0,...,0,s):

K(r )kn = g(z)(M E)0 kn = 0, k,n1 (z,s)(r ), kn H = qRH kn + [RH k1,n (H,r,0,...,0,s) + + k1 0 (H,r,0,...,0,s0 ) dt](r ).

n Значение ФВ при нулевых аргументах определяется через ПЧХ:

0 kn (z,0,...,0,s) = ··· Wk,n (z,pm,...,p1,s) dpm... dp kn (2)2m и удовлетворяет одномерной краевой задаче Kz 0 (z, s) = g(z)(M E)0 0 = 0, k,n1 (z, s), kn kn (3.60) 0 = qRH 0 + RH k1,n + k1 n dt.

kn kn H В результате выражение (z,r,s)= 00 (r,s)+ (1m0 )k n kn (z,r,0,...,0,s)= k,n= = 00 (z,s)+ kn Wkn (z,pm,0,...,0,s)exp[i(pm,r )] dpm (1m0 ) (2) k,n=0 определяет фундаментальное решение краевой задачи (3.25) при локальных возмущениях коэффициентов:

(s, grad ) + [t (z) + g(z)(r )] = S + S0, (3.61) = [ + (r )](RH + RH 0 ).

= 0, q 0 H Функции Wkn (z, pm, 0,..., 0, s) – решения следующих задач:

– k = 0, n 1:

L(pn )W0n = g(z)[(M E)W0 0,n1 + Vn1 c(z)t] + s (z)Vn c(z)t, (3.62) W0n = 0, W0n = q(RH W0n + Vn dt) ;

0 H 1, n = 0:

k = q RH Wk0 + RH W L(pk )Wk0 = 0, = 0, k1,0 ;

(3.63) Wk0 Wk0 0 H 3.2. Задача с широким пучком m = k + n 2, k 1, n 1:

L(pm )Wkn = g(z)(M E)W0 = 0, Wkn k,n1, (3.64) Wkn = q RH Wkn + RH W k1,n + k1 Vn (pn+1 )dt.

H Функции Vn (z, pn, 0,..., 0, s0 ) определяются из задач Коши L0 (pn )Vn = g(z)Vn1, = 0, = 0, (3.65) Vn Vn 0 H где Vn (z, 0,..., 0, s0 ) = · · · 0 (z, rn,..., r1, s0 ) drn... dr1.

Vn (z, s0 ) n Из равенства Wkn (z, 0,..., 0, s) = · · · kn (z, rm,..., r1, s) drm... dr W0 (z, s) kn в силу ограниченности функций W0 следует интегрируемость функций kn kn (z, rm,..., r1, s) по координатам rm,..., r1.

Действительные функции W0 (z, s) удовлетворяют одномерным краевым kn задачам:

k = 0, n 1:

Kz W0 = g(z)[(M E)W0 0 0,n1 + Vn1 c(z)t] + s (z)Vn c(z)t, 0n (3.66) W0 W0 = q (RH W0 + Vn dt) ;

= 0, 0n 0n 0n 0 H 1, n = 0:

k Kz W0 = 0, W0 W0 = q RH W0 + RH W = 0, (3.67) k1,0 ;

k0 k0 k0 k 0 H m = k + n 2, k 1, n 1:

Kz W0 = g(z)(M E)W0 W0 = 0, k,n1, kn kn (3.68) W0 = qRH W0 + RH W k1,n + k1 Vn dt, kn kn H а функции Vn находятся из задач Коши Vn = g(z)Vn1, 0 0 = 0, = 0. (3.69) 0 Vn Vn 0 H z Таким образом, с помощью решения элементарных одномерных за дач (3.66)–(3.69) и задач с комплексной функцией (3.62)–(3.65) можно вычислить фундаментальное решение трехмерного уравнения переноса (3.61) с возмущенными коэффициентами.

206 Глава 3. Трехмерные плоские задачи § 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя Решения задач с разнообразными источниками излучения при наличии лам бертовой подложки строятся на базе решений некоторого набора характерных задач в виде функционалов. В случае плоскостратифицированного слоя вклад подсветки, создаваемой диффузно отражающей границей, полностью определяется линейными ПЧХ и ФВ. Этот вывод сделан на основании решения вспомогательных задач, различающихся пространственным распределением освещенности подложки и учетом или неучетом поляризационных свойств среды. При наличии горизонтальной неоднородности в параметрах слоя влияние отражающего дна учитывается с помощью нелинейных ПЧХ и ФВ.

3.3.1. Аналитический учет подсветки от однородно освещенного ламбер тового дна слоя. Однородную освещенность поверхности E0 RI0 = const дает, например, рассеянное излучение в горизонтально-однородном слое при распределенных источниках F(z, s), широких пучках или диффузном освещении на границах f0 (s), fH (s), которое описывается задачей для слоя с абсолютно черным дном Kz 0 = F(z, s), 0 0 (3.70) = f0 (s), = fH (s).

0 H Вклад подсветки и аналитическая зависимость от альбедо устанавливаются путем решения двух вспомогательных задач: скалярной задачи A и векторной задачи E.

Задача A. Пусть имеется набор рекуррентных задач (k 1) с E0 R0 = const:

Kk = 0, = 0, (3.71) k k = q Rk + q (r )Rk1.

0 H Найти k k (z, r, s) при = 1. (3.72) q (z, r, s) = k= С помощью ряда (3.72) к набору рекуррентно разрешимых задач (3.71) может быть сведена краевая задача Kq = 0, = 0, q q = ( + )Rq + E0.

q q q 0 H Компоненты ряда (3.72) отвечают k-й кратности отражения от неод нородной границы с последующим многократным рассеянием в слое, т. е.

имеем дело с рядом Неймана, последовательные приближения в котором строятся по порядку отражения от неоднородностей границы при полном учете влияния однородной составляющей альбедо и многократного перерассеяния 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя в слое. Вклад подсветки полностью определяется с помощью линейной ПЧХ W (z, p, s):

при q = 0 ;

(3.73) q (z, p, s) = W (z, p, s)T qvr [0 ]/t(p) при q = 0, (3.74) q (z, p, s) = W (z, p, s)Tv qvr [0 ] где Qk = [E Q]1, T t(p) 1 q c(p), k= Qf (q (f c/t)), c(p) RW (p), Qk = [E Qv ]1 = T ( = 0), Tv q v k= qvr [ tH (q Rf 1 ), q Qv f (q f c) = Qf ( = 0), f] и линейных ФВ (z, r, s), q (z, r, s):

Gvr [f] (q q V Rf 1 ) при q = 0 ;

(3.75) q (z, r, s) = Gvr [0 ], Gq [f] ( q Vv Rf 1 ) = Gvr [f]( = 0) при q = 0, q (z, r, s) = Gq [0 ], q (3.76) G k = [E G]1, V Gf (R1 q f ), q k= Gv = [E Gv ]1 = V ( = 0), Vv Gv f (R1 q f ) = Gf ( = 0).

k q q k= Кратко остановимся на алгоритме решения задачи A. Проведем преобра зование Фурье по координате r в задачах (3.71):

= q R k + F[(r )Rk1 ](p).

L(p)k = 0, = 0, (3.77) k k q 0 H На основе линейных свойств уравнения переноса и свойств оператора R решения задач (3.77) факторизуем:

k (z, p, s) = (z, p, s)F[Rk1 ](p) q и приходим к рекуррентной связи фурье-образов двух последовательных приближений: (p) q (p p ) R k1 (p ) dp.

(3.78) k (p) = (2) Если обозначить F 0 (p) F[E0 ] = q (p)E0, (3.79) q то в линейном приближении получим 1 (p) = (p)F 0 (p), R 1 (p) = H(p)F 0 (p) ;

208 Глава 3. Трехмерные плоские задачи F 0 (p) – фурье-образ яркости подложки, создаваемой изолированным слоем и – линейной по альбедо.

Введем операцию на границе z = H:

q (p p ) H(p )f (p ) dp = (q (f c/t)).

(3.80) Qf = (2) Пусть k (p) = (p)Qk1 F 0, R k (p) = H(p)Qk1 F 0.

Используя рекуррентную связь (3.78), имеем (p) q (p p ) H(p )Qk1 F 0 dp = (p)Qk F 0, k+1 (p) = (2) т. е. для любого приближения порядка k 2 по индукции получаем (p) q (p pk1 ) H(pk1 ) dpk1...

k k (p) = (p)Q F0 = (2) q (p2 p1 ) H(p1 )F 0 (p1 ) dp1.

... (2) Фурье-образы k для разных порядков приближений по вариациям альбедо образуют ряд Неймана. Просуммируем этот ряд:

Qk F 0 = (p)[E Q]1 F 0 = E0 (p)T q.

q (p) = k (p) = (p) k=1 k= Если q = 0, то q (p) = W (p)E0 [E Qv ]1 q = E0 W (p)Tv q.

Для представлений компонент ряда через ФВ имеет место рекуррентная связь q (r r1 )(r1 )Rk1 (r1 ) dr1, k (z, r, s) = q которая выводится либо с помощью соотношения (3.78) путем обратного фурье-преобразования, либо с использованием решения задачи (3.17) в виде свертки с ФВ q. В линейном приближении q (r r1 )(r1 ) dr1.

1 (z, r, s) = E0 q 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя Введем операцию на границе z = H:

Gf Rq (r r1 )(r1 )f (r1 ) dr1 = (Rq q f ).

(3.81) q Если предположить, что q (r r1 )(r1 )G k1 [1] dr1, (3.82) k = E0 q то из рекуррентной связи устанавливаем:

q (r r1 )(r1 )G k [1] dr1 = E0 q (r rk+1 )(rk+1 ) drk+ k+1 = E0 q q Rq (rk+1 rk )(rk ) drk... Rq (r2 r1 )(r1 ) dr1.

q q По индукции получаем, что для любого k 2 имеет место представление компонент k в виде (3.82). Просуммируем ряд q (r r1 )(r1 )(E G)1 [1] dr1 = E0 (q q V (1)).

q = k = E0 q k=1 Приближения k-х порядков образуют ряд Неймана по кратности переот ражения от вариаций q (r ). Если q = 0, то (r r1 )(r1 )(E Gv )1 [1] dr1 = E0 ( q Vv (1)).

q = E0 q Решение краевой задачи K = F (z, s), = f0 (s), = fH (s) + ( + )R q q 0 H ищем в виде суперпозиции = 0 (z, s) + q (z, r, s), в которой дымка атмосферы 0 (z, s) – решение скалярной задачи (3.70), а – подсветка от ламбертового дна q (z, r, s) находится из задачи с источником E0 R0 = const:

Kq = 0, = 0, q q = ( + )Rq + ( + )E0.

q q q q 0 H В свою очередь можно выделить две компоненты в подсветке:

q (z, r, s) = () (z, s) + (q) (z, r, s), q q первая из которых является горизонтально-однородной и удовлетворяет задаче Kz () = 0, () () = q (R() + E0 ), q q q q = 0, (3.83) 0 H 210 Глава 3. Трехмерные плоские задачи а вторая описывает влияние неоднородной поверхности:

K(q) = 0, q (q) q (q) q = ( + )R(q) + E, q = 0, (3.84) q q q 0 H где E R0 + R() = const. Решение задачи (3.83) рассматривается ниже.

q Вводя параметрический ряд (q ) q k k (z, r, s), (z, r, s) = k= от задачи (3.84) можно перейти к системе рекуррентных задач (3.71) с начальным приближением E R0 = const. В итоге решение записывается в виде (q ) q W 0 (z, p, s) = T qvr = ET q, t t (q) (z, r, s) = Gvr q = E(q q V (1)), t где t0 1 q c0, c0 c(p = 0) = RW0 (p = 0).

К набору задач A приходим, когда источники излучения создают горизонтально-однородное поле яркости 0 (z, s), а альбедо отражающей подложки неоднородно по координате r. В этом случае функция q описывает вклад в поле излучения за счет возврата фотонов в среду после их переотражения от подложки. Этот вклад зависит от координаты r.

Рекуррентные связи в виде задач A отвечают кратности отражения излучения от границы, и решение q является суммой ряда Неймана по кратности переотражения. При этом на каждой кратности отраженная компонента испытывает многократное рассеяние в среде. Приближения по кратности отражения будут давать разный вклад в суммарное поле, пропорциональный степени альбедо, совпадающей с порядком приближения. Поскольку альбедо всегда меньше 1, то такой процесс сходится как геометрическая прогрессия.

Задача E. Пусть имеется набор рекуррентных задач (k 1) с E0 RI0 = const:

Kk = 0, k = 0, k = [R Ik + q (r )R Ik1 ] tH. (3.85) q 0 H Найти q (z, r, s) = k k (z, r, s) при = 1. (3.86) k= К системе (3.85) приводится краевая задача q q Kq = 0, = 0, = [( + )R Iq + E0 ] tH q q q 0 H при разложении вектора Стокса q в параметрический ряд (3.86). Решение этой задачи полностью определяется либо через линейные ВПЧХ W(z, p, s):

q (z, p, s) = W(z, p, s)T qvr [0 ]/t(p) при q = 0 ;

(3.87) q (z, p, s) = W(z, p, s)Tv qvr [0 ] при q = 0, (3.88) 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя либо через линейные ВФВ (z, r, s), q (z, r, s):

q (z, r, s) = Gvr [0 ] = (q q V E0 ) при q = 0 ;

(3.89) q (z, r, s) = Gq [0 ] = ( q Vv E0 ) при q = 0. (3.90) При разделении вкладов q и q подсветка представляется в виде суперпо зиции q (z, r, s) = () (z, s) + (q) (z, r, s), q q где горизонтально-однородная компонента () (z, s) определяется как решение q задачи (3.83) в векторном варианте (см. ниже), а неоднородная составляющая равна (q) = Gvr [0 /t0 ].

q Ее фурье-образ (q ) q = WT qvr [0 /t0 ]/t(p).

3.3.2. Формула учета подсветки от поверхности с однородным альбедо.

Аналитическая связь интенсивности излучения, отраженного вертикально неоднородным рассеивающим и поглощающим слоем, с альбедо дна (в литературе называемая формулой В. В. Соболева) часто применяется для при ближенного определения спектральных передаточных функций и контрастов при спектрофотометрировании Земли из космоса, а также в задачах радиа ционного баланса и расчета сферического альбедо Земли как планеты. Эта проблема привлекла внимание многих исследователей и решалась разными, сложными способами для приближенных моделей системы слой-подложка.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.