авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |

«Посвящается пионерам освоения космоса Предисловие Фактически в настоящее время закладываются основы решения фундамен- тальных проблем, связанных с ...»

-- [ Страница 5 ] --

Широко известны работы Е. С. Кузнецова, В. А. Амбарцумяна, В. В. Соболева, Ван де Хулста, Э. Г. Яновицкого, И. Н. Минина, Ку-Нан Лиоу. Все эти результаты относятся к скалярной теории переноса. Аналитическая связь стала чаще использоваться в задачах исследования радиационных полей атмосферы планет и океана, ограниченных диффузно отражающим дном, поскольку для решения таких задач достаточно знания радиационных характеристик только изолированной среды, а многообразие естественных природных поверхностей учитывается явно через спектральное альбедо. Полученное нами обобщение формулы В. В. Соболева на основе ПЧХ и ФВ для скалярного и векторного уравнений переноса является частным случаем, служащим тестом для проверки правильности учета нелинейных приближений по переотражениям от подложки методом ПЧХ и ФВ. Наиболее изящно формула В. В. Соболева выводится исходя из линейных свойств краевой задачи теории переноса и изотропии яркости ламбертовой поверхности.

Установим аналитическую зависимость от альбедо решения одномерной плоской краевой задачи теории переноса Kz = F(z, s), = f0, = fH (s) + tH q R I 0 H и получим выражение для вклада подсветки от ламбертовой подложки.

212 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Прежде всего представим суммарную яркость в виде суперпозиции (z, s) = 0 (z, s) + q (z, s), в которой разделены вклады дымки 0 (z, s) – решения задачи (3.70) для – изолированного слоя и подсветки q (z, s) – решения задачи, источником – излучения в которой является освещенность E0 RI0 = const:

Kz q = 0, q q = 0, = q[RIq + E0 ] tH.

0 H Выражения для функции q могут быть получены разными способами.

Нами предложена обобщенная формула В. В. Соболева, которая кроме своей физической наглядности более эффективна при численных реализациях.

Рассмотрим для начала скалярный вариант и воспользуемся линейными свойствами краевой задачи (3.83) при q = q. Поскольку в граничном условии стоит константа, решение можно факторизовать:

q (z, s) = q(Rq + E0 )W0 (z, s).

Применяя оператор R к этому выражению, находим Rq = q(Rq + E0 )RW0, откуда вычисляем qE0 RW Rq = 1 q RW и в итоге получаем qE c0 RW0. (3.91) q (z, s) = W0 (z, s), 1 qc Суммарная горизонтально-однородная освещенность подложки слоя равна qc0 E E = E0 + E0 =.

1 qc0 1 qc В векторном варианте q (z, s) = q(RIq + E0 )W0 (z, s).

Применяя оператор R, в этом случае получаем соотношение RIq = q(RIq + RW0 E0 ), из которого находим q RW RIq = E0, 1 q RW и окончательно устанавливаем:

qE q (z, s) = c0 RW0.

(3.92) W0 (z, s), 1 qc В частном случае, для однородного рэлеевского слоя подобная формула получена С. Чандрасекаром.

3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя Вернемся к рассмотрению задачи (3.41) при наличии ламбертовой под ложки:

Kk0 = 0, k0 = 0, k0 = [R Ik0 + q (r )R Ik1,0 + k1 qd] tH.

q H Из уравнений для ПЧХ L(pk )Wk0 = 0, = 0, Wk (3.93) Wk0 1 = (R Wk0 + R Wk1,0 + k1 d) tH q H и для ФВ K(rk )k0 = 0, k = 0, (3.94) k0 = [R 1 + (R k1,0 + k1 d)(rk )] tH q k H устанавливаем, что при однородном освещении ламбертового дна (E0 = RI00 + d = const) нелинейные k-приближения ВПЧХ Wk0 – решения ком – плексных задач (3.93) – факторизуются по параметрам pk,..., p1 и явным – образом выражаются через линейную ВПЧХ W(z, p, s):

E W10 (z, p, s) = E(z, p, s) = W(z, p, s), 1 q c(p) k E c(pl ) Wk0 (z, pk,..., p1 ) = W(z, pk, s).

1 q c(pk ) 1 q c(pl ) l= Факторизуются по аргументам rk,..., r1 и определяются через линейную ВФВ q k-приближения нелинейных ВФВ k0 – решения задач (3.94):

– 10 (z, r, s) = Eq (z, r, s), k k0 (z, rk,..., r1, s) = Eq (z, rk, s) R1 (H, rl, s).

q l= Остановимся кратко на обосновании этих результатов. Из уравнения для линейной ВПЧХ L(p1 )W10 = 0, = 0, W10 W10 = [R W10 + E0 ] tH, q 0 H где E0 RW00 + d = RI00 + d, находим W10 = E0. При k = 2 из задачи для ВПЧХ 1 L(p2 )W20 = 0, = 0, W20 W20 = [R W20 + R W10 ] tH q 0 H имеем факторизованное представление W20 (p2, p1 ) = RW10 (p1 )(p2 ) = E0 H(p1 )(p2 ).

214 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Далее по индукции следует, что k Wk0 (pk,..., p1 ) = E0 (pk ) H(pl ), l= и фурье-образы k-приближений представляются в виде функционалов с ядром – ВПЧХ (z, p, s):

– 10 (z, p1, s) = E0 q (p)(z, p1, s), k=1: (pk ) k0 (z, pk, s) = E0 q (pk pk1 )H(pk1 ) dpk1...

2:

k (2)2(k1) q (p3 p2 )H(p2 ) dp2 q (p2 p1 )q (p1 )H(p1 ) dp1.

... При q = q, q = 0 ядром является ВПЧХ W(z, p, s):

10 (z, p1, s) = E0 q (p)W(z, p1, s), k=1: W(pk ) k0 (z, pk, s) = E0 q (pk pk1 )c(pk1 ) dpk1...

2:

k (2)2(k1) q (p3 p2 )c(p2 ) dp2 q (p2 p1 )q (p1 )c(p1 ) dp1.

... Полагая q = q = const, q = 0, формулу учета подсветки от ламберто вой поверхности можно получить непосредственным суммированием ряда возмущений:

qk q (z, s) = k0 = E0 W(pk ) exp[i(pk, r )] dpk (2) k=1 k=1 (pk pk1 ) c(pk1 ) dpk1... (p3 p2 ) c(p2 ) dp qE (p2 p1 )(p1 )c(p1 ) dp1 = qE0 (qc0 )k W0 = W0 (z, s).

1 qc k= К такому же результату приходим, исходя из следующего выражения:

q (z, s) = k0 = · · · q (pk pk1 )... q (p2 p1 ) (2)2k k=1 k=1 q (p1 )Wk0 (pk,..., p1 ) exp[i(pk, r )] dpk... dp1 = 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя · · · (pk pk1 )... (p2 p1 )(p1 ) k = q k=1 Wk0 (pk,..., p1 ) exp[i(pk, r )] dpk... dp1 = q k W0 (z, s), k k= W0 Wk0 (z, 0,..., 0, s).

k При q = 0 из факторизованного представления Wk0 находим, что W0 = E0 ck1 W0, k0 и, следовательно, q определяется по формуле (3.92).

При ламбертовой подложке факторизованное представление ФВ k приближений через ФВ q получается из факторизованного выражения ПЧХ:

k E k0 (rk,..., r1 ) = · · · (pk ) H(pl ) (2)2k l= k exp i (pk ) exp[i(pk, rk )] dpk (pl, rl ) dpk... dp1 = E (2)2 l=1 H(pk1 ) exp[i(pk1, rk1 )] dpk (2)2 H(p1 ) exp[i(p1, r1 )] dp1 = (2)2 k1 k = E0 q (rk ) H(pl ) = E0 q (rk ) R1 (rl ).

q l=1 l= При q = k k0 (rk,..., r1 ) = E0 q (rk ) R1 (rl ).

l= Исходя из уравнений (3.94) для ФВ k0, устанавливаем, что при E0 R1 + d = RI00 + d, 10 = E0 q (z, r, s), а следующие приближения факторизуются в том виде, как приведено выше.

Действительно, при k = 2 имеем 20 (r2, r1 ) = q (r2 )R1 (r1 ), поскольку r1 является параметром задачи для 20. Аналогичные действия распространяются на все приближения порядка k 2.

216 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Найдем теперь q с помощью выражения через ВФВ:

q = k0 = k= · · · q (rk )... q (r1 )k0 (r rk,..., r2 r1 ) drk... dr1.

= k= При q = q = const, q = 0 и ламбертовом законе отражения q = E0 q (rk )(r rk ) drk q(rk1 )R1 (rk rk1 ) drk1...

k=1 q (r1 )R (r r1 ) dr1 = E0 (r rk ) drk...

1 k... q k= qE R1 (r2 r1 ) dr1 = E0 q k W0 ck1 = W,...

1 qc0 k= так как R1 (r ) dr = RW0 = c0.

В этом выводе наглядно выражена идея В. В. Соболева о переходе от -источников к плоскости, так как (z, r r, s) dr, W0 (z, s) = или по-другому:

q = · · · k0 (r rk,..., r2 r1 ) drk... dr1 = k q k=1 qE W k (qc0 )k = W0.

= q = E0 qW 1 qc k k=1 k= К такому же результату можно прийти другим способом, подставляя фурье-образ альбедо в выражение (3.43).

Формулы подсветки (3.91) и (3.92) имеют наглядную физическую интер претацию:

(H) E0 (H) RI00 + S 0 exp 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя – освещенность дна, создаваемая прямым и диффузно рассеянным солнечным – излучением при нулевом альбедо;

c0 RW – сферическое альбедо изолированной атмосферы, освещенной снизу диф – фузным единичным потоком;

E Eq 1 qc – освещенность дна с учетом вклада ламбертовой поверхности;

– qE qEq = 1 qc – яркость поверхности с учетом многократного рассеяния в атмосфере и – переотражения от поверхности солнечного излучения;

W0 (z, ) – функция – пропускания излучения поверхности с учетом эффектов многократного рас сеяния, симметричная по азимуту и не зависящая от характеристик отражения подложки. Функцию пропускания можно представить в виде интеграла W0 = W (z, s, s0 ) ds0, + в который входит функция W, являющаяся решением сопряженной задачи с инсоляцией снизу в виде мононаправленного потока = (s s0 )tH.

Kz W = 0, = 0, W W 0 H Сферическое альбедо c0 RW0 = 1 RW (z, s, s0 ) ds + определяется через величину c (s0 ) RW – плоское альбедо атмосферы, 1– освещенной снизу параллельным потоком в направлении s0.

Отметим, что формулы (3.91) и (3.92) описывают вклад подсветки не только при солнечном источнике, но и при других источниках, создающих горизонтально-однородное поле излучения.

3.3.3. Аналитический учет подсветки при горизонтально-неоднородном освещении ламбертового дна слоя. При наличии горизонтальных неодно родностей в коэффициентах или источниках задачи появляется горизонтальная неоднородность в освещенности границы слоя. Учет подсветки в этом случае базируется на решении следующих задач.

Задача B. Пусть имеется набор рекуррентных задач (3.71) с E0 (r ) R0 = const. Найти q (3.72).

218 Глава 3. Трехмерные плоские задачи В этой постановке решение получается в виде тех же функциональных соотношений (3.73)–(3.76). Различие возникает из-за зависимости освещен ности E0 (r ) от горизонтальной координаты r.

Полагаем E 0 (p) R 0 (p). В отличие от (3.79) F 0 (p) F[E0 ](p) = q (p p )E 0 (p ) dp q (2) и в линейном приближении (p) q (p p )E 0 (p ) dp = (p)F 0 (p).

1 (p) = (2) Используя определение оператора Q (3.80), по индукции легко получить представление k (p) = (p)Qk1 F 0, R k (p) = H(p)Qk1 F 0, и тогда сумма компонент равна W k (p) = (p)[E Q]1 F 0 = q (p) = T qvr [0 ].

t k= Если q = 0, то q (p) = W (p)[E Qv ]1 F 0 = W (p)Tv qvr [0 ].

Воспользовавшись определением ФВ как решения задачи (3.19) и выра жениями компонент k через ПЧХ, получаем представление вклада q через ФВ. Обозначим F0 (r ) q (r )E0 (r ) и тогда q (r r1 )(r1 )E0 (r1 ) dr1.

1 (z, r, s) = q Далее можно показать по индукции, что q (r r1 )(r1 )G k1 E0 dr k (z, r, s) = q и сумма ряда q (r r1 )(r1 )[E G]1 E0 dr1 = Gvr [0 ].

q = k = q k=1 Если q = 0, то (r r1 )(r1 )[E Gv ]1 E0 dr1 = Gq [0 ].

q = q 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя Задача G. Пусть имеется набор рекуррентных задач (3.85) с E0 (r ) RI0 = const. Найти q (3.86).

Решение задачи G получается в виде тех же функциональных представ лений (3.87)–(3.90), что и решение задачи E.

Если выделить отдельно вклады q и q в виде суперпозиции q (z, r, s) = () (z, s) + (q) (z, r, s), q q то нетрудно найти следующие соотношения:

() W q () = Gc [0 ], Gc [ q (q Rf 1 ), q [ ], qcr [f]tH q Rf 1 (p), q f] = cr t (q ) q W (q) = Gvr [0 ]+ Gvr Gc [0 ], q = T qvr.

t t 3.3.4. Аналог формулы В. В. Соболева. С помощью линейных ПЧХ W и ФВ определяется аналитическая связь подсветки от однородной ламбер товой подложки со значением альбедо при неоднородном освещении.

Решение задачи с неоднородными по координате r источниками при наличии однородной (q = const) ламбертовой границы K = F(z, r, s), = f0 (r, s), = fH (r, s) + (q RI)tH, 0 H содержит две компоненты:

= 0 (z, r, s) + q (z, r, s), первая из которых отвечает излучению в изолированном слое:

0 K0 = F(z, r, s), = f0 (r, s), = fH (r, s), 0 H а вторая дает вклад подсветки:

q q Kq = 0, = 0, = q[RIq + E0 ]tH, 0 H освещенность E0 (r ) RI0 = const.

Переходя к фурье-образам в задаче для подсветки Lq = 0, q q = 0, = q[R I q + E 0 (p)]tH, 0 H видим, что имеет место факторизация:

q = q[R I q + E 0 (p)] W(p).

Подействуем оператором отражения:

R I q = q[R I q + E 0 (p)] RW 1 (p) 220 Глава 3. Трехмерные плоские задачи и найдем, что q E 0 (p)RW 1 (p) RI q =.

1 q RW 1 (p) Окончательно для фурье-образа подсветки получаем выражение q E 0 (p) q = c(p) RW 1 (p), (3.95) W(z, p, s), 1 qc(p) связывающее фурье-образы вектора Стокса и освещенности с помощью линейной ВПЧХ W(z, p, s).

При q = 0, q = q = const, E0 (r ) = const к аналогу формулы В. В. Со болева учета однородного альбедо в задачах с источниками, создающими горизонтально-неоднородное поле излучения в однородном по координате r плоском слое, можно прийти также на основании функциональных выражений (3.88)–(3.90).

Действительно, в этом случае t qvr [0 ] = H 2 q (p p )R I 0 (p ) dp = tH R I 0 (p) = tH E 0 (p), (2) q (p p )c(p )f (p ) dp = q f (p)c(p), Qv f = (2) q (p p )c(p )Qv f dp = q 2 c2 (p)f (p), Q2 f = Qk f = q k ck (p)f (p), v v (2) E0 (p) Qk E 0 q k ck (p)E 0 (p) = tv E 0 = = v 1 qc(p) k=0 k= и, следовательно, W(z, p, s) q (z, p, s) = W(z, p, s) tv qvr [0 ] = qcr [0 ].

t Используя определение ФВ q, вклад однородной поверхности можно сразу же записать в виде свертки (q = q ) с источником:

q (z, r, s) = q(q E0 ) = Gc [0 ].

Обратное фурье-преобразование дает тот же результат:

q F [q ] = E 0 (p)(p) exp[i(p, r )] dp = q(q E0 ).

(2) 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя Распишем функциональное выражение (3.90). Введем операцию при q = q = const:

Gc f q(R1 f ), Gc f = q k (R1 (R1 (...(R1 f )...))), Vc f Gc f.

k k k= Очевидно, что (q E0 ) = q ( Vc E0 ), Gc [f] = q ( Vc Rf 1 ).

3.3.5. Функциональные выражения для дымки в горизонтально-неод нородном слое. Абстрагируясь от характера взаимодействия излучения с подстилающей поверхностью, краевую задачу для горизонтально-неоднород ного слоя можно записать в общем виде Kr = F, (3.96) = F0, = FH.

0 H Оставляя в левой части интегродифференциальный оператор с горизон тально-однородными коэффициентами и вводя параметрический ряд = n n (z, r, s), (3.97) n= от задачи (3.96) переходим к рекуррентной системе (n 1) Kn = g(z) (r )(M E)n1, n n = 0, =0 (3.98) 0 H с начальным приближением 0 – решением задачи – 0 K0 = F, = F0, = FH.

0 H В зависимости от структуры источников F, F0, FH функция 0 может зависеть или не зависеть от координаты r.

Задача C. Пусть имеется система рекуррентных задач (3.98). Известно, что 0 (z, s) не зависит от r. Найти (3.97) при = 1.

n Вводится оператор n-го порядка c :

c [0 ](2)2 (p)0 (z, s), n=0:

c [0 ] 1 (z, p, s)s (p), 1 n=1: (3.99) · · · s (pn pn1 )... s (p1 ) n 2:

n c [0 ] (2)2(n1) n (z, pn,..., p1, s) dpn1... dp 222 Глава 3. Трехмерные плоские задачи с ядрами – ВПЧХ n – решениями рекуррентной системы комплексных – – уравнений переноса (n 1) L(pn )n = g(z)(M E)n1, n n = 0, =0 (3.100) 0 H с начальным приближением 0 = 0 (z, s). Для фурье-образа получаем операторное представление в виде ряда Неймана по кратности рассеяния на вариациях s (r ):

(z, p, s) = n c [0 ].

n= С помощью оператора n-го порядка n :

c 0 [0 ] 0 (z, s), n=0: c · · · s (rn )... s (r1 ) n [0 ] 1:

n c n (z, r rn,..., r2 r1, s) drn... dr (3.101) F 1 [n ] – решениями с ядрами – ВФВ n = – – системы рекуррентных задач (n 1) Kn = g(z)(M E)n1 (r ), n n = 0, =0 (3.102) 0 H с начальным приближением 0 = 0 (z, s) устанавливается аналитическая связь решения с вариациями s (r ) в виде ряда Неймана по кратности рассеяния: = n [0 ].

c n= Операторы c и n действуют на горизонтально-однородную функцию n c 0 (z, s).

Задача D. Пусть имеется набор рекуррентных задач (3.98). Известно, что 0 (z, r, s) является функцией координаты r. Найти (3.97) при = 1.

n Вводя оператор n-го порядка v [ f ], действующий на фурье-образ начального приближения 0 (z, p, s) = (z, p, s)f (p):

n = 0 : 0 [ f ] (z, p, s)f, v · · · s (pn pn1 )... s (p1 p0 )f (p0 ) (3.103) n 1:

n v [ f ] (2)2n n (z, pn,..., p0, s) dpn1... dp0, 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя с ядрами – ВПЧХ n – решениями рекуррентной системы комплексных – – краевых задач (3.100) с начальным приближением 0 = (p0 ), находим операторное выражение для фурье-образа:

(z, p, s) = n v [ f ].

n= С помощью оператора n-го порядка n ( f ), действующего на функцию v 0 (z, r, s) = ( f ), представленную в виде свертки с ФВ = F 1 [ ]:

n = 0 : 0 ( f ) ( f ), v f ) · · · s (rn )... s (r1 ) n ( 1:

n v n (z, r rn,..., r1 r0, s) drn... dr0, (3.104) с ядрами – ВФВ n = F 1 [n ] – решениями системы задач (3.102) с – – начальным приближением 0 = (z, r0, s) приходим к рядам Неймана по кратности рассеяния на вариациях s (r ):

(z, r, s) = n ( f ).

v n= Операторы v и n действуют на горизонтально-неоднородную функцию n v 0 (z, r, s).

3.3.6. Аналитический учет в горизонтально-неоднородном слое под светки от ламбертового дна. С помощью операторов, ядрами которых являются ПЧХ и ФВ, можно установить явную зависимость подсветки от вариаций параметров слоя и подложки. Такие операторы возникают в результате решения следующей задачи.

Задача F. Для краевой задачи Kr = 0, = 0, (3.105) = [( + )RI + F (r )]tH q 0 H найти решение через ВПЧХ и ВФВ.

В задаче (3.105) переходим к интегродифференциальному оператору K с горизонтально-однородными коэффициентами и вводим параметрический 224 Глава 3. Трехмерные плоские задачи ряд (3.97), члены которого удовлетворяют системе рекуррентных задач:

K0 = 0, = 0, n=0: (3.106) 0 = [( + )RI0 + F (r )]tH ;

q q H Kn = g(z)s (r )(M E)n1, n=1: (3.107) n n = 0, = [( + )RIn ]tH.

q q 0 H Компоненты n являются членами ряда Неймана, отвечающими n-й кратности рассеяния на вариациях s (r ) с одновременным учетом мно гократного рассеяния в горизонтально-однородной среде и переотражения от неоднородной подложки:

W 0 = (q VH F ) = F 1 (3.108) TF ;

t = (v + Gr v )n (q VH F ) ;

(3.109) n= n W W = (3.110) v + T q r v TF.

t t n= Операторы отражения имеют следующий вид:

Gr [f] Gcr [f] + Gvr [f], Gcr [f] q (q VH Rf 1 ), GH = (E GH )1, qr [ qcr [ + qvr [ VH GH f q (R1 f ), k f] f] f].

q k= Выражения (3.108)–(3.110) – результат последовательного применения – операторов, возникающих при решении вспомогательных задач, рассмотрен ных выше, к решению краевых задач (3.106), (3.107).

Без выделения q в альбедо (q = ) получаем q 0 = ( VvH F ) = F 1 [WTv F ], (3.111) = (v + Gq v )n ( VvH F ), (3.112) n= = (v + WTv qvr v )n (WTv F ), (3.113) n= 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя где GvH = (E GvH )1 = VH ( = 0), VvH GvH f q (R1 f ), k q k= т. е. оператор qr заменяется на qvr, а Gr – на Gq.

– При однородном альбедо (q = q = const, q = 0) решение задачи (3.105) определяется аналогично в виде рядов Неймана W 0 = (q F ) = F 1 (3.114) F ;

t = (v + Gc v )n ( F ) ;

(3.115) q n= n W W = (3.116) v + q F cr v t t n= с помощью операторов отражения qcr и Gc.

Представления (3.108)–(3.116) позволяют строить алгоритмы расчета вклада рассеяния и отражающей поверхности в любых приближениях по вариациям s (r ) и q (r ) с помощью стандартного набора ВПЧХ n – – решений системы задач (3.100) или ВФВ n – решений системы задач (3.102).

– Однако эффективнее рассчитывать n = F 1 [n ].

3.3.7. Зависимость ПЧХ и ФВ от однородного альбедо. Решение краевой задачи для горизонтально-неоднородного слоя, ограниченного однородной ламбертовой подложкой, Kr = 0, = 0, (3.117) = [RI + F (r )]tH q 0 H сводится к решению системы рекуррентных задач:

0 n = 0 : K0 = 0, = 0, = [RI0 + F (r )]tH ;

q 0 H Kn = g(z)s (r )(M E)n1, n n n=1: = 0, = [RIn ]tH.

q 0 H Задача (3.117) является частным случаем краевой задачи (3.105) при q = 0, и ее решение определяется функционалами (3.114)–(3.116). Представ ление зависимости решения от альбедо в виде соотношений (3.114)–(3.116) предпочтительнее, нежели когда осуществляется введение зависимости от q через ВПЧХ: (z, p, s) = n q [F ] n= 226 Глава 3. Трехмерные плоские задачи n с помощью оператора n-го порядка q :

n = 0 : q [F ] F = F 1 [0 ], q [F ] · · · s (pn pn1 )... s (p1 p0 )F (p0 ) n 1:

n (2)2n qn (z, pn,..., p0, s) dpn1... dp с ядрами – ВПЧХ qn – решениями системы комплексных задач (n – – 1) L(pn )qn = g(z)(M E)qn1, q n qn = (R1 n )tH = 0, q q 0 H с начальным приближением q0 = (p0 )/[1 q c(p0 )].

Вводя оператор n-го порядка c[W] n (z, pn,..., p0, s) nq через ВПЧХ n – решения системы задач (3.100) с начальным приближением – 0 (p0 ) = W(p0 ), получаем выражение для ВПЧХ, в котором явно выделяется зависимость от q:

n W qn (z, pn,..., p0, s) = c + q q q [W(p0 )].

cr c t Если ввести оператор n-го порядка n :

q 0 (q F ) (q F ) = 0, n=0: q · · · s (rn )... s (r1 )F (r0 ) n (q ) 1:

n q qn (z, r rn,..., r1 r0, s) drn... dr с ядрами – ВФВ qn = F 1 [qn ] – решениями системы задач – – Kqn = g(z)(M E)q,n1 (r ), qn qn = (R1 n )tH = 0, q q 0 H с начальным приближением q0 = q (r0 ), то получим представление = n ( F ).

q q n= Но при этом не выделяется явно зависимость qn от q :

qn = (c + Gc c)n [q (r0 )], q q где оператор nq [q ] n (z, rn,..., r0, s) c 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя определяется через ВФВ n = F 1 [n ] – решения системы (3.102) с началь – 1.

ным приближением 0 = F q Алгоритм построения аналитической зависимости ПЧХ от однородного альбедо проиллюстрируем на задаче для ВПЧХ (z, p, pl,..., p1, s), которую в любом приближении можно записать в виде L(p) = F(z, pl,..., p1, s), = 0, (3.118) = [R1 + f (pl,..., p1, s)]tH, q H где, F, fH – комплексные функции. Фиксируем значения всех параметров – p, pl,..., p1. Представляем решение в виде ряда по кратности отражения = k.

k= При k = 0 имеем задачу с нулевым альбедо 0 = 0, L0 = F, = f H tH.

0 H При k 1 – рекуррентные задачи – k k = q R1.

Lk = 0, = 0, k 0 H Очевидно, что при ламбертовой поверхности 1 = WR1.

q По индукции устанавливаем, что k = Wk R1 [c(p)]k1, c(p) RW 1 (p).

q Просуммируем ряд q R q (z, p, s) = k = W(z, p, s) 1 q c(p) k= и получим формулу аналитической зависимости ПЧХ от постоянного альбедо ламбертовой поверхности q R (z, p, s) = 0 (z, p, s) + (3.119) W(z, p, s).

1 q c(p) Эту формулу можно вывести также, исходя из линейных свойств за дачи (3.118). Представим решение в виде суперпозиции = 0 + q, q = k.

где k= Компонента q, учитывающая вклад отражающей поверхности, удовле творяет задаче q q = q (R1 + R1 )tH.

Lq = 0, = 0, q 0 H 228 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Поскольку при ламбертовом отражении выражение в граничном условии является функцией только параметра p, то очевидно, что можно произвести факторизацию, при которой q = q (R1 + R1 ) W.

q Из граничного условия R1 = q (R1 + R1 )RW q q вычисляем q R1 RW 1 q R1 c(p) R1 = 0 = q 1 q c(p) 1 q RW 1 и вновь приходим к выражению (3.119).

При неортотропном отражении k (z, pk,..., p1, s) = q k k (z, pk,..., p1, s), причем ПЧХ k находятся из рекуррентных задач, зависящих от операто ра RH :

Lk = 0, k k = RH k1.

= 0, 0 H Таким образом, полная ПЧХ = 0 + q k k k= определяется через набор ПЧХ k, отвечающих заданному оператору отра жения RH.

3.3.8. Полуаналитический метод выделения подсветки на основе ПЧХ.

Метод ПЧХ и ФВ позволяет исследовать и решать краевые задачи теории переноса излучения в плоских слоях с горизонтальными неоднородностями коэффициентов, граничных условий, источников. Наиболее сложными явля ются задачи с возмущенными коэффициентами. Изложенные выше результаты для набора вспомогательных задач A, B, C, D, E, F, G являются базовыми при решении разнообразных конкретных задач. Коротко остановимся на общей процедуре решения.

Решение пространственно-трехмерной задачи Kr I = F, I = f0, I = fH + q RI 0 H представляем в виде суперпозиции решений I = (0) +q для изолированного слоя:

Kr (0) = F, (0) (0) = f0, = fH 0 H 3.3. Задачи с ламбертовым законом отражения на границе слоя и для вклада отражающей поверхности:

E R(0).

Kr q = 0, = 0, q q = q Rq + qE, 0 H Если разложить решение в ряд регулярных возмущений k k q = k= по параметру 0 1 (q = q, обычно полагаем = 1), то компоненты кратного переотражения будут связаны рекуррентными задачами (k 1) Kr k = 0, = 0, k k = q Rk1.

0 H На каждом k-приближении эту задачу можно решать как краевую задачу (3.96) с источником FH = q Rk1, используя результаты задач C и D. Однако этот путь не является эффективным, за исключением случая, когда требуются оценки влияния неоднородности слоя на каждой кратности пе реотражения. Предпочтительнее следующая процедура выделения подсветки от подложки.

Рассмотрим задачу для подсветки с вариациями коэффициентов s (r ) и q (r ) при любых источниках. Выделим интегродифференциальный оператор K, коэффициенты которого не зависят от координаты r :

Kq = g(z)s (r )(M E)q, = 0, q q = q R q + qE.

0 H Построим ряд регулярных возмущений по параметру 0 1, отвеча ющему вариациям коэффициента рассеяния s (r ):

n n. (3.120) q = n= При n = 0 получаем задачу с неоднородным источником на границе K0 = 0, = 0, 0 0 = q R0 + qE(r ), 0 H решение которой при ламбертовой границе выписывается с помощью решения задачи F:

(0) 0 = ( VvH F0 ) = F 1 [W Tv F 0 ], F0 q R(0), F 0 = (q E) = qvr [ ].

При n 1 в решениях рекуррентных задач Kn = g(z)s (r )(M E)n1, = 0, n n = q Rn 0 H (0) (q) выделяем две компоненты: n = n +n. Первая из них – решение задачи – без учета отражающей поверхности (0) (0) (0) (0) Kn = g(z)s (r )(M E)n1, = 0, = 0, n n 0 H 230 Глава 3. Трехмерные плоские задачи а вторая определяет вклад отражающей поверхности в n-приближении:

K(q) = 0, (q) (q) = q(R(q) + Rn ).

(0) = 0, n n n n 0 H Полагаем (0) (0) En (r ) Rn, E n (p) R n.

Для n = 1 фурье-образ F[ 0 ](p1 ) = s (p1 p0 ) 0 (p0 ) dp0 = (2) (0) s (p1 p0 )W (p0 )[Tv qvr ( )](p0 ) dp = (2) и нетрудно показать, что (0) (0) s (p1 p0 ) 1 (p1, p0 )[Tv qvr ( )](p0 ) dp0, 1 1 (p1 ) = v [0 ] = (2) (q) (0) 1 (p1 ) = W (p1 )[Tv qvr ( 1 )](p1 ) = W (p1 )[Tv qvr v (0 )](p1 ), 1 1 (3.121) 1 (p1 ) = [v + W Tv qvr v ](0 ).

В приближении n = 2 в правую часть уравнения будут входить два слагаемых, отвечающих двум компонентам 1, поэтому решение при нулевых граничных условиях имеет следующий вид:

(0) 1 s (p2 p1 ) dp1 s (p1 p0 )2 (p2, p1, p0 ) 2 (p2 ) = (2)2 (2) (0) s (p2 p1 )1 (p2, p1 ) Tv qvr [ ] (p0 ) dp0 + (2) (0) Tv qvr ] (p0 ) dp0 = s (p1 p0 )R1 (p1, p0 ) Tv qvr [ (2) = v [v + W Tv qvr v ](0 ).

Вклад отражающей поверхности (q) (0) 2 (p2 ) = W Tv qvr [2 ] = W Tv qvr v [v + W Tv qvr v ]( 0 ).

Полное приближение n = 2 выражается с помощью следующего функционала:

2 (p2 ) = [v + W Tv qvr v ] [v + W Tv qvr v ](0 ) = [v + W Tv qvr v ]2 (0 ).

3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей Далее по индукции можно показать, что n (pn ) = [v + W Tv qvr v ](n1 ) = [v + W Tv qvr v ]n (0 ). (3.122) В итоге получаем (0) q = F 1 (v + W Tv qvr v )n (W Tv qvr [ ]).

n= Этот функционал, по существу, представляет собой ряд Неймана по кратности рассеяния на вариациях s (r ), причем на каждой n-й итера ции полностью учитывается переотражение от неоднородной подложки и многократное рассеяние в слое с регулярными параметрами.

При неоднородном освещении (E R(0) = const) вклад перерассеяния на неоднородностях слоя излучения, отраженного от неоднородной поверх ности, определяется ПЧХ (pn,..., p0 ) – решениями системы рекуррентных – задач L1 (p1, p0 ) = g(z)(M E)W (z, p0, s), = 0, = 0, (3.123) 1 0 H Ln (pn,..., p0 ) = g(z)(M E)n1 (pn1,..., p0 ), = 0, = 0.

n n 0 H (3.124) Если освещенность E R(0) = const, то p0 = 0 и имеем систему L1 (p1 ) = g(z)(M E)W0 (z, s), = 0, = 0, (3.125) 1 0 H Ln (pn,..., p1 ) = g(z)(M E)n1 (pn1,..., p1 ), = 0, = 0.

n n 0 H (3.126) § 3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей На основе результатов предыдущего раздела сформулируем функциональные соотношения для решений краевых задач (3.8)–(3.11) в виде суперпозиции решений задач (3.12) и (3.13) при наличии ламбертовой подложки.

3.4.1. Функциональное представление решения задачи с солнечным по током. Вернемся к рассмотрению краевой задачи (3.25), являющейся частным случаем задачи (3.8) с источником излучения – внешним мононаправленным – солнечным потоком.

Представляя решение задачи (3.25) в виде суперпозиции = (0) + q, переходим к задачам (3.12) и (3.13), решение которых получается в виде рядов Неймана с ВПЧХ и ВФВ. Поскольку приближение нерассеянного 232 Глава 3. Трехмерные плоские задачи излучения 0, а следовательно, и источник S0 содержат нелинейные члены по вариациям s (r ), то постараемся согласовать порядок этих приближений во всех компонентах.

Переходя в задаче (3.13) для вектора Стокса многократно рассеянного излучения (0), распространяющегося в изолированном слое с абсолютно черными границами, к однородному по горизонтальным координатам оператору K и вводя параметрический ряд (0) = (0) n n, n= приходим к рекуррентной системе уравнений переноса (n 1) (0) (0) Kn = g(z)s (r ) [(M E)n1 + 0 c(z)t] + 0 s (z)(z)t, n1 n c (0) (0) n n = 0, = 0 H (0) с начальным приближением 0 – решением одномерной плоской задачи – (0) (0) (0) Kz 0 = s (z)(z)t, 0 = 0, = 0.

c 0 H С помощью операторов рассеяния n-го порядка в изолированном слое n :

(0) (0) 0 [0 ] (2)2 (p0 )0 (z, s), n=0: (0) (0) 1 [0 ] s (p)1 (z, p, s), n=1: (0) · · · s (pn pn1 )... s (p1 ) n 2:

n [0 ] (2)2(n1) (0) n (z, pn,..., p1, s) dpn1... (3.127) dp1, (0) ядра которых – ВПЧХ n – удовлетворяют комплексным уравнениям пере – – носа (n 1) (0) (0) Ln = g(z)[(M E)n1 + Vn1 c(z)t] + Vn s (z)(z)t, c (3.128) (0) (0) n n = 0, = 0 H (0) (0) с начальным приближением 0 = 0 (z, s), и операторов рассеяния n :

(0) (0) 0 [0 ] 0, n=0:

(0) · · · s (rn )... s (r1 ) n 1:

n [0 ] (0) n (z, r rn, rn rn1,..., r2 r1, s) drn... dr1 (3.129) 3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей (0) с ядрами – ВФВ n, удовлетворяющими краевым задачам (n 1) – (0) (0) Kn = g(z)[(M E)n1 + 0 c(z)t](r ) + 0 s (z)(z)t, n1 n c (3.130) (0) (0) n n = 0, = 0 H (0) (0) с начальным приближением 0 = 0 (z, s), решение задачи (3.13) пред ставляется в виде суммы рядов Неймана:

(0) (0) (0) (0) (z, r, s) = n [0 ], n [0 ]. (3.131) (z, p, s) = n=0 n= Выражения (3.131) в качестве ядер содержат ВПЧХ и ВФВ – решения – краевых задач (3.128) и (3.130), в которых согласован порядок приближения по вариациям s (r ) в компонентах 0 и (0). Можно было воспользоваться решениями задач C, D, но при этом источник S0 рассматривался бы как суммарный по всем порядкам приближений в компоненте 0.

Освещенность подстилающей поверхности, создаваемая излучением изо лированного слоя, содержит две компоненты: E0 = RI 0 + RI (0), каждая из которых является суммой соответствующих рядов:

(0) E0n (r ) d n (1) + n (RI0 ), E0 (r ) = E0n (r ), n= (0) E 0n (p) d 0 (1) + n (RI0 ).

n E 0 (p) = E 0n (p), n= Задача для вклада подсветки от ламбертового дна (3.12) совпадает с задачей F, если положить F (r ) = q(r )E0. Если не выделять составляющую q, то решение записывается в виде следующих рядов Неймана:

q = (v + WTv qvr v )n (WTv F m ), (3.132) n=0 m= q = (v + Gq v )n ( VvH qE0m ), (3.133) n=0 m= где q = q, q = 0 и F n F[qE0n ].

При альбедо q = q + без выделения вклада однородной подложки q n W W q = (3.134) v + T q r v TFm, t t n=0 m= q = (v + Gr v )n (q VH ( + )E0m ), (3.135) q q n=0 m= где F n F[( + )E0n ].

q q 234 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Выражения (3.132)–(3.135) полностью описывают вклад подсветки с учетом многократного рассеяния с поляризацией и многократного переотражения с деполяризацией в неоднородной системе слой–подложка, устанавливая явную связь с коэффициентами s (r ), q (r ) или q, s (r ), q (r ) краевой задачи (3.12).

Ряды Неймана с выделением вклада альбедо q получаются, если решение задачи (3.25) искать в виде суперпозиции векторов Стокса = 1 + 2 + 3, описывающих вклады многократно рассеянных и переотраженных компонент, отвечающих соответственно источнику S0 :

Kr 1 = S0, 1 1 = (q RI 1 ) tH, = 0, 0 H источнику (RI 0 )tH :

q Kr 2 = 0, 2 2 = (q RI 2 + q RI 0 ) tH, = 0, 0 H источнику (RI 0 )tH :

q Kr 3 = 0, 3 3 = (q RI 3 + q RI 0 ) tH.

= 0, 0 H Все компоненты ищутся в виде параметрических рядов типа (3.97), n-приближения в которых определяют вклад рассеяния n-й кратности на ва риациях s (r ). С помощью аналитических решений задач типа F приходим к представлениям вектора Стокса и его фурье-образа через инвариантные ВПЧХ и ВФВ, устанавливающие аналитическую связь с набором коэффициентов краевой задачи (3.25) s (r ), q(r ), q:

(0) q E n 1(0) q (z, p, s) = T T1n (W0 )+ (3.136) 1 (0 ) + 1 q c n=0 n= (0) m E0 W Wm W (1) T1q q n + T q + d q (1) + d T, 1 q c0 t t t t m=1 m= n= (0) q E n 1(0) q (z, r, s) = P1 (0 ) + P1 (W0 )+ n (3.137) 1 q c n=0 n= (0) E P1q (q V q ) + d P1q n n [Gq + Gvr + Gvr Gq ]m (1) +0, 1 q c m= n=0 n= 3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей (0) 1(0) где E0 RI0 + d. Для краткости записи использованы следующие обозначения:

n W W + T1n c + qcr c + T q r c, t t n W W + T1q n v + q+ T q r v, cr v t t P1 (c + Gq c + Gvr c + Gvr Gq c )n, n P1q (v + Gq v + Gvr v + Gvr Gq v )n, n W Rf + f] qr [ qvr + qvr [ = tH q f] q.

cr t t Функциональные представления (3.136), (3.137) являются наиболее пол ными, так как в них выделены вклады рассеяния и переотражения в горизонтально-однородной системе слой–подложка, а также вклады рассеяния на вариациях s (r ) и переотражения на границе с разделением вкладов постоянной и флуктуирующей составляющих альбедо.

3.4.2. Линейное приближение по вариациям коэффициента рассеяния.

Построение функциональных выражений, устанавливающих аналитическую зависимость от коэффициентов уравнения переноса с помощью аппарата ПЧХ и ФВ, продемонстрируем на примере краевой задачи для компоненты многократно рассеянного излучения Kr = S0, = q( RI + RI 0 ) tH = 0, 0 H в линейном приближении учета вариаций коэффициента рассеяния s (r ) и при разных порядках учета альбедо подложки q = q + (r ). Будем искать q детальное представление двух первых членов параметрического ряда (3.97).

В невозмущенном слое (n = 0) поле излучения описывается краевой задачей 0 0 = 0, = q( RI0 + RI0 ) tH, K0 = s (z)(z)t, c 0 H решение которой можно разложить на три компоненты:

(0) () (q) q q 0 = 0 + 0 + 0.

Первая компонента – решение одномерной плоской задачи с нулевым – альбедо (n = 0, q = 0) (0) (0) (0) Kz 0 = s (z)(z)t, 0 = 0, = 0;

c 0 H (0) (0) (0) 0 = 0 [0 ] = (2)2 (p)0 (z, s).

236 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Вторая компонента – горизонтально-однородная составляющая подсветки – от ламбертовой границы – решение одномерной краевой задачи (n = 0, q = 0) – () () () () (0) q q q q Kz 0 = 0, 0 = 0, = q (RI0 + E0 )tH, 0 H в которой источником излучения является освещенность (0) (0) E0 RI0 + d = const, d RI0.

Решение этой задачи определяется по обобщенной формуле В. В. Соболева (0) (0) q E E () () () q q q 0 = W0 = q E0 W0, E0 =.

1 q c0 1 q c Суммарная горизонтально-однородная освещенность равна () () (0) (0) q q t0 1 q c0.

E0 = RI0 + E0 = E0 /t0 = const, Третья компонента – вклад подсветки, обусловленный неоднородной под – ложкой, – удовлетворяет краевой задаче (n = 0, q, q = 0) – (q ) q (q ) q (q ) q (q ) q () q 0 = 0, = 0, K0 = [( + q )RI q + q E0 ]tH 0 H и может быть записана с помощью операторов (3.87) и (3.89) как решение вспомогательной задачи Е:

() q (q ) q E0 T q 0 (p) = W(p), t(p) (q ) q () () q q 0 (r ) = (q q V E0 ) = E0 (q q V (1)).

В итоге для невозмущенного слоя получаем следующее решение:

(0) (0) q (RI0 + d) RI0 + d W (0) W0 + F 0 = 0 (z, s) + T qv = 1 q c0 t t (0) (0) q (RI0 + d) RI0 + d (0) 0 (z, s) W0 + (q q V (1)) = +.

1 q c t В линейном приближении (n = 1) по вариациям s (r ) решение краевой задачи K1 = g(z)s (r ) [(M E)0 + c(z)t] + 0 s (z)(z)t, 1 c 1 1 = ( + q)(RI1 + d0 )tH, = 0, q 0 H где 1 (p) = V1 (p)s (p)t, 0 (r ) = (0 s )t, 1 также ищем в виде суперпозиции:

(0) () (q ) q q 1 = 1 + 1 + 1.

3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей Первую компоненту как решение задачи (n = 1, q = 0) (0) K1 = g(z)s (r ) [(M E)0 + c(z)t] + 0 s (z)(z)t, 1 c (0) (0) = 0, = 0 H определяем через решения задач для трех составляющих:

(0) (a) (b) (c) 1 = 1 + 1 + 1.

(a) Компонента 1 описывает поле излучения в возмущенном изолированном слое:

(a) (0) K1 = g(z)s (r ) [(M E)0 + c(z)t] + 0 s (z)(z)t, 1 c (a) (a) = 0, = 0 H и не зависит от альбедо:

(a) (0) (0) = F 1 [ 1 [0 ]] = 1 [0 ], 1 где (0) (0) (0) (0) 1 [0 ] = (s 1 ).

1 [0 ] = (p)1 (p), (0) Ядром оператора 1 является ПЧХ 1 – решение комплексного уравне – ния переноса (0) (0) L1 = g(z) [(M E)0 + c(z)t] + V10 s (z)(z)t, c (0) (0) = 0, = 0, 0 H (0) (0) а функция влияния 1 = F 1 [1 ] – решение краевой задачи:

– (0) (0) L1 = g(z) [(M E)0 + c(z)t](r ) + 0 (z, r, s0 )s (z)(z)t, c (0) (0) = 0, = 0 H является ядром оператора 1.

(b) Компонента 1 удовлетворяет задаче (b) () (b) (b) q K1 = g(z)s (r ) (M E)0, 1 = 0, = 0 H и определяется через ПЧХ 1 или ФВ 1 :

(b) () () 1 = q E0 F 1 [s 1 (p, p0 = 0)] = q E0 (s 1 ), q q которые, в свою очередь, удовлетворяют краевым задачам L1 (p, p0 = 0) = g(z) (M E)W0, 1 = 0, = 0;

0 H K1 = g(z) (M E)W0 (r ), 1 = 0, = 0.

0 H 238 Глава 3. Трехмерные плоские задачи (c) Компонента 1 – решение задачи – (c) (q ) q (c) (c) K1 = g(z)s (r ) (M E)0 1 = 0, =, 0 H связана с коэффициентами задачи функционалом () q (c) E0 T [q ](p0 ) 1 s (p p0 )1 (p, p0 ) = dp0, 2 (2) t(p0 ) ядром которого является ПЧХ 1 (p, p0 ), удовлетворяющая комплексному уравнению L(p)1 (p, p0 ) = g(z) (M E)W(p0 ), 1 = 0, = 0.

0 H (c) (q ) q Подставив в правую часть уравнения для 1 функцию 0 в явном виде (c) () q E) q (r r1 )(r1 )V (1) dr K1 = E0 g(z)s (r )(M q и преобразовав ее к виду свертки () q E) s (r2 )(r r2 ) dr2 q (r2 r1 )(r1 )V (1) dr1, E0 g(z)(M q получим решение задачи через ФВ:

(c) () q 1 s (r2 ) [V (1)](r1 ) 1 (r r2, r2 r1 ) dr2 dr1 = = E0 q () q = E0 (V (1) (s 1 (r, r0 ))), q которая определяется из уравнения переноса K1 (r r2, r2 r1 ) = g(z) (M E)q (r2 r1 ) (r r2 ), 1 = 0, = 0.

0 H Окончательно находим (0) (0) () = F q 1 s (p)1 (p) + qE0 s (p)1 (p, p0 = 0) + T [q ](p0 ) () q s (p p0 ) 1 (p, p0 ) + E0 = t(p0 ) (0) () () q q = (s 1 ) + q E0 (s 1 (r, 0)) + E0 (V (1) (s 1 (r, r0 ))).

q 3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей Влияние постоянной составляющей альбедо описывается краевой задачей () () () () (0) q q q q 1 K1 = 0, = 0, = q(RI + E1 )tH 0 H и определяется по формулам (0) () qE () (0) q q 1 = W 1 = (q qE1 ).

, t В источник излучения входит освещенность (0) (0) (0)1 () = F q d0 + RI1 s (p) [R1 (p) + qE0 R1 + dV1 ] + E1 T [q ](p0 ) () q +E0 ( s R1 (p, p0 ) = 1 (p0 ) t (0)1 () () q q = (s (R1 + q E0 R1 + d0 )) + E0 ( q V (1) R1 ).

1 Вклад подсветки от неоднородной поверхности находим как решение краевой задачи типа вспомогательной задачи Е:

(q ) q (q) q (q ) q (q ) q () q 1 = 0, = 0, K1 = [( + q)RI q + q E1 ]tH 0 H с источником на границе, содержащим освещенность () (0) () (0) () q q q d0 + RI E1 + RI1 = E1 + RI1.

Легко получить соотношение для фурье-образов:

(0) () E q E1 =.

1 q c(p) В итоге находим W () 0 + q E0 W0 + F (0) () (0) () q q q T q E0 + s (p)1 (p) + q E0 s (p)1 (p) + = t (0) (0) W W T [q ](p0 ) E () q s (p p0 ) 1 (p, p0 ) q + E0 + qE 1 + T = t(p0 ) t t t (0) () () (0) () q q q = 0 + qE0 W0 + E0 (q q V (1)) + (s 1 ) + q E0 (s 1 ) + () (0) () q q + E0 (V (1) (s 1 (r, r0 ))) + q (q E1 ) + (q q V E1 ). (3.138) q 240 Глава 3. Трехмерные плоские задачи В линейном приближении по вариациям параметров s (r ) и q (r ) отличия будут в выражениях для следующих величин:

() q (q ) q E0 q (p) (q ) q () q 0 0 = E0 (q q ), W, = t(p) () q (c) E0 q (p0 ) 1 s (p p0 )1 (p, p0 ) = dp0, 2 (2) t(p0 ) (c) () q 1 = E0 ( (s 1 (r, r0 ))), q (0) R1 (p, p0 )q (p0 ) (0)1 () E 1 (p) = s (p)[R1 + q E0 R1 + dV1 ] + E () s q q, 1 t(p0 ) (0) (0)1 () () q q = (s (R1 + q E0 R1 + d0 )) + E0 ( R1 ), E1 q 1 так как в этом случае T q заменяется на q, а V (1) – на 1. В результате – получаем следующие представления:

()q q E 0 + q E0 W0 + F (0) () (0) q W + s (p)1 (p) + = t (0) q (p0 ) q E () () q q + qE0 s (p)1 (p, p0 = 0) + E0 (s (p p0 ) 1 (p, p0 ) W= + t(p0 ) t (0) () () (0) () q q q = 0 + qE0 W0 + E0 (q q ) + (s 1 ) + q E0 (s 1 ) + () (0) q + E0 ( (s 1 (r, r0 ))) + q (q E1 ). (3.139) q 3.4.3. Оценки решений. Фундаментальное решение задачи для под светки. Рассмотрим скалярный вариант задачи с солнечным потоком (3.41), описывающий вклад подсветки от подстилающей поверхности. Исходя из представления k0 (z, r, s) = · · · q (rk )... q(r1 )k0 (z, r rk,... r2 r1, s) drk... dr1, в силу неотрицательности ФВ k0 получаем оценку |k0 (z, r, s)| k · · · k0 (z, r rk,... r2 r1, s) drk... dr1 = k q k k = q Wk0 (z, 0,... 0, s) = q Wk0 (z, s).

3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей Следовательно, |l0 | l q Wl0 (z, s).

l=k l=k При ламбертовой поверхности Wk0 (z, s) Wk0 (z, 0,... 0, s) = E0 H0, 0 k 0 (z, s) (z, p = 0, s), H0 H(p = 0) и поэтому k k EW0 q ck k E0 q H |l0 | = 1 q H0 (1 q c0 )[1 ( + q )c0 ] q l=k (q H0 1, так как норма оператора отражения не превышает 1).

Если q = 0, то Eq ck k |l0 | W0.

1 q c l=k При условии неотрицательности вариаций ((r ) 0, (r ) 0) с q помощью функционала kn (z, r, s) = · · · q (r rm )... q (rn+1 rn )s (rn rn1 )...

... s (r2 r1 )kn (z, rm,... r1, s) drm... dr получается оценка сверху решения задачи (3.25):

(1 m0 )k n q Wkn (z, s), kn (z, r, s) 00 (z, s) + k,n= где Wkn (z, s) Wkn (z, pm = 0,... p1 = 0, s).

Пометим штрихом функции, отвечающие представлению вектора Стокса в виде k = {Ik + Qk, Ik Qk, 0, 0} с неотрицательными первыми двумя компонентами, соответствующими ин тенсивностям в перпендикулярных поляризациях. При неотрицательных значениях вариаций альбедо (что достигается выделением соответствующей постоянной составляющей) из функционала k (z, r, s) = E · · · q(r rk )... q (r2 r1 )k (z, rk,... r1, s) drk... dr 242 Глава 3. Трехмерные плоские задачи вытекает неравенство |km (z, r, s)| · · · km (z, rk,... r1, s) drk... dr1 = k Eq c c = Eq km (z, 0,... 0, s) = Eq 0 (z, s)ck1, k km m = 1, 2,, 1 q c 1 с помощью которого находится оценка сверху вклада подсветки от неодно родной поверхности:

Eq Eq q (z, r, s) 0 = W0.

1 q c1 1 ( + q )c q Фундаментальное решение краевой задачи для подсветки q q Kq = 0, = 0, = q(r )( RIq + E) tH, 0 H где E RI0 = const, q(r ) = q + (r ), определяется при q (r ) = const из q краевой задачи K = 0, = 0, = [ + q (r )]( RI + E) tH.

q 0 H С помощью ряда регулярных возмущений q = k k k= краевая задача для подсветки сводится к рекуррентной системе:

Kz 0 = 0, 0 k=0: = 0, = q (RI0 + E)tH, 0 H 1 k=1: K1 = 0, = 0, = [RI1 + q (r )E]tH, q 0 H k k 2: Kk = 0, = 0, k = [RIk + q (r )RIk1 ]tH.

q 0 H Используя решения вспомогательных задач, выписываем функционалы для членов ряда:

qE 0 = k=0: W0, 1 q c q 1 = EF 1 W = E(q q ), k=1: t E k = · · · q (pk pk1 )... q (p1 ) 2:

k (2)2k k (z, pk,..., p1, s) exp[i(pk, r )] dpk... dp1 = = E · · · q (rk )... q (r1 )k (z, r rk,... r2 r1, s) drk... dr1.

3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей Для ламбертовой поверхности k k (pk,... p1 ) = (pk ) H(p) R1 (p), H(pl ), l= k k (rk,... r1 ) = q (rk ) R1 (rl ), q l= 1 1 c(p) cq c0 = cq ( = 0).

H(p) dp = dp, q 1 q c(p) (2)2 (2)2 При q (r ) = q (r ) Eq k = E q k ck1 q (r ), (z, r, s) = 0 (z, s) + q (z, r, s).

q 1 q cq Из функционалов с ядрами – ФВ вытекает представление – k k (z, r, s) = q k Eq (z, r, s) R1 (r = 0).

q l= Так как R1 (r ) R1 (p) exp[i(p, r )] dp, = q (2) то R1 (r = 0) = H(p) dp = cq q (2) и, просуммировав явно ряд k = 0 (z, s) + E1 (z, r, s) q k ck1, q q k=1 l= приходим к тому же результату.

При q = 0 и q = E = 0 (z, s) + (z, r, s).

1 c 3.4.4. Задачи с горизонтально-однородными источниками. Решение кра евой задачи (3.8) с источниками F1 (z, s), f01 (s), fH1 (s), создающими горизон тально-однородное распределение излучения в плоско-стратифицированной среде, ищется в виде суперпозиции 000 = (0) + q решений задач для изолированного слоя с абсолютно черными границами Kr (0) = F1 (z, s), (0) (0) (3.140) = f01 (s), = fH1 (s) 0 H 244 Глава 3. Трехмерные плоские задачи и для вклада отражающей поверхности – решения задачи (3.12) с освещен – (0) = const.

ностью E(r ) RI Вводя горизонтально-однородный оператор K и параметрический ряд типа (3.97), переходим от задачи (3.140) к рекуррентной системе (3.98) с начальным приближением 0 = (0) (z, s) – решением одномерной плоской – задачи (0) (0) (0) Kz 0 = F1 (z, s), 0 = f01 (s), = fH1 (s).

0 H Тем самым задача (3.140) сводится к задаче типа C и ее решение записывается с помощью операторов рассеяния c (3.99) и n (3.101):

n c (0) (0) (0) (0) n n [0 ].

= c [0 ], = c n=0 n= Решение задачи (3.12) для подсветки q эквивалентно решению задачи F (3.105) с источником на границе F (r ) = qE(r ), где E(r ) RI (0) = const.

В горизонтально-однородном слое с неоднородной границей решение задачи (3.12) полностью определяется линейными ВПЧХ и ВФВ:

(0) 000 = 0 (z, s) + () (z, s) + (q) (z, r, s), q q (0) q RI () (z, s) = q W0 (z, s), 1 q c (0) (0) RI0 RI W (q) (z, r, s) = q F 1 (q V q ).

Tq = 1 q c0 1 q c t 3.4.5. Задачи с финитными источниками. Решения краевых задач (3.9)– (3.11) с финитными источниками строятся в виде суперпозиции вкладов изолированного слоя и подсветки от подложки:

(0) lmn = lmn + lmn,q.

При этом возможно разделение вкладов постоянной и переменной состав ляющих альбедо:

lmn,q = q + qq.

lmn lmn Введением параметрических рядов типа (3.97) по n-кратности рассеяния на вариациях s (r ) задачи для изолированного слоя сводятся к рекуррент ной системе (3.98) с начальным приближением, зависящим от источника излучения.

(0) Для задачи (3.9) 0 = 100,0 (z, r, s) – решение задачи – (0) (0) (0) 100,0 100, = 0, = 0;

(3.141) K100,0 = F2 (z, s)T (r ), 0 H 3.4. Полуаналитические решения задач с ламбертовой границей (0) для задачи (3.10) 0 = 010,0 (z, r, s) – решение задачи – (0) (0) (0) 010,0 010, K010,0 = 0, = 0;

(3.142) = f02 (s)T0 (r ), 0 H (0) для задачи (3.11) 0 = 001,0 (z, r, s) – решение задачи – (0) (0) (0) 001,0 001, K001,0 = 0, = 0, (3.143) = fH2 (s)TH (r ).

0 H Решения задач (3.141)–(3.143) определяются либо через линейные ВПЧХ 100, 010, 001 – решения комплексных задач – 100 = 0, = 0;

(3.144) L100 = F2 (z, s), 0 H 010 L010 = 0, = 0;

(3.145) = f02 (s), 0 H 001 L001 = 0, = 0, (3.146) = fH2 (s), 0 H либо через линейные ВФВ 100 = F 1 [100 ], 010 = F 1 [010 ], 001 = F 1 [001 ] – решения краевых задач – 100 = 0, = 0;

K100 = F2 (z, s)(r ), 0 H 010 K010 = 0, = 0;

= f02 (s)(r ), 0 H 001 K001 = 0, = 0, = fH2 (s)(r ).

0 H Так что имеют место следующие представления:

(0) 100,0 (z, r, s) = (100 T ) = F 1 [100 T ], (0) 010,0 (z, r, s) = (010 T0 ) = F 1 [010 T 0 ], (0) 001,0 (z, r, s) = (001 TH ) = F 1 [001 T H ].

Решения соответствующих систем рекуррентных задач (3.98) записыва n ются как решения задач типа D с помощью операторов рассеяния v (3.103) n (3.104) в виде рядов Неймана либо с ПЧХ = { 100, 010, 001 } и v и источниками f = {T, T 0, T H }, либо с ФВ = {100, 010, 001 } и источниками f = {T, T0, TH }.

Задачи для вкладов подсветки (3.12), создаваемой ламбертовой поверх ностью, решаются как задача F (3.105) с источником F (r ) = qE(r ), где E(r ) RIlmn.

246 Глава 3. Трехмерные плоские задачи В плоскостратифицированном слое, ограниченном неоднородной ламбер товой поверхностью, решение задач (3.9)–(3.11) полностью определяется линейными ВПЧХ:

T R1 W T R 100 = F 1 100 T + q W q + T, t t t T 0 R1 W T R 010 = F 1 010 T 0 + q W q 0 + T, t t t T H R1 W T R 001 = F 1 001 T H + q W q H + T, t t t или линейными ВФВ:

100 = (100 T ) + q (q (R1 T )) + + (q q V [(R1 T ) + q (R1 (R1 T ))]), q 100 010 = (010 T0 ) + q (q (R1 T0 )) + + (q q V [(R1 T0 ) + q (R1 (R1 T0 ))]), q 010 001 = (001 TH ) + q (q (R1 TH )) + + (q q V [(R1 TH ) + q (R1 (R1 TH ))]).

q 001 В горизонтально-однородной системе слой–подложка ( = 0, = 0) решения с финитными источниками полностью описываются линейными приближениями:

T R 100 = F 1 100 T + qW = (100 T ) + q (q (R1 T )), t T 0 R 010 = F 1 010 T 0 + q W = (010 T0 ) + q (q (R1 T0 )), t T H R 001 = F 1 001 T H + q W = (001 TH ) + q (q (R1 TH )).

t В частном случае, когда fH2 (s) = fH2 = tH, 001 = F 1 [WT H / t ] = (q TH ).

001 = W, 001 =, По аналогии с теорией видения введенные ВПЧХ 100, 010, 001, W, являются векторными ОПФ, а ВФВ 100, 010, 001,, q – – векторными ФРТ, описывающими качество видимости светящихся объектов в линейных оптических системах. ВФВ 100, 010, 001 – фундаментальные – решения задач (3.141)–(3.143) с -источниками внутри или на границах слоя.

3.5. Задачи для атмосферы со слоистой облачностью и примесями Очевидно, что 0 (z, s) 100 (z, p = 0, s) = 100 (r, z, s) dr, 0 (z, s) 010 (z, p = 0, s) = 010 (r, z, s) dr, 0 (z, s) 001 (z, p = 0, s) = 001 (r, z, s) dr.


0, 0, Вектор-функции – это действительные, ограниченные – 100 010 решения краевых задач (3.144)–(3.146) при значении параметра p = 0.

Следовательно, интегралы в правых частях равенств существуют и ВФВ 100, 010, 001 – интегрируемые функции.

– § 3.5. Задачи для атмосферы со слоистой облачностью и примесями Метод ПЧХ и ФВ распространяется на задачи переноса излучения в плос костратифицированной среде с возмущенными в горизонтальных плоскостях коэффициентами рассеяния, поглощения и индикатрисами рассеяния. Обычно решаются отдельно задачи для безоблачной атмосферы и изолированного облака. Принимая облачные или аэрозольные слои («примеси») за возмуще ния, наложенные на «стандартную» молекулярно-аэрозольную атмосферу, с помощью рядов теории возмущений строим математическую модель, позволя ющую разделить компоненты радиационного поля, обусловленные безоблачной атмосферой и наличием облачности или аэрозольного загрязнения. При этом разделяются отдельные вклады за счет возмущения коэффициентов рассеяния, поглощения, индикатрис рассеяния, а также их взаимного влияния и устанавливается явная связь между решениями уравнения переноса и горизонтальными вариациями его коэффициентов. Если облако – стохастиче – ская среда, то вариации коэффициентов ослабления можно аппроксимировать тригонометрическими суммами или описать корреляционными характеристи ками, и тогда представляется возможность исследования энергетических и статистических характеристик излучения в такой среде.

Условия для коэффициентов рассеяния (3.3), поглощения (3.4), экстинк ции (3.5) дополняются представлением для индикатрисы рассеяния (3.147) tot (z, s, s ) = (z, ) + w(z) c (z, ), в котором параметр вводится так, что tot (z, ) = [1 w(z)] a+R + w(z) o, 248 Глава 3. Трехмерные плоские задачи функция w(z) = {0 вне слоя;

= 0 в слое}. Суммарная индикатриса аэрозольного a и рэлеевского R рассеяния вычисляется по формуле a,s a + R R a+R, c o a+R, a+R =, a,s + R o – индикатриса облака. Все индикатрисы имеют одинаковую нормировку – dcos = 1, при которой неоднородности концентрации рассеивающего вещества учи тываются через коэффициенты рассеяния. Обычно суммарная индикатриса рассеяния определяется из соотношения a,s a + R R + o,s o.

tot (r, ) = s s Однако при таком представлении возникает сложная зависимость от параметра и не выделяется зависимость от «примесной» индикатрисы o. Мы же коэффициент рассеяния «примеси» – облачного или аэрозольного слоев – – – записываем в виде o,s (r) = g(z)s (r ). Местоположение слоев фиксируется функцией g(z) = {0, вне слоя;

= 0 в слое};

o,a (r) = t(z) a (r ) – коэф – фициент поглощения «примесного» слоя, t(z) = {0 вне слоя;

= 0 в слое}.

3.5.1. Горизонтально-неоднородные слои. С помощью рядов теории возму щений и интегрального фурье-преобразования по координате r для решения скалярной задачи Kr t = 0, (3.148) t = f01 (s), t = qRt 0 H с источником f01 (s) = S (s s0 ) формулируются математические модели ПЧХ и ФВ, инвариантных относительно горизонтальных вариаций параметров «примесного» слоя.

Компонента нерассеянного излучения ищется в виде параметрического ряда (I00 = 1) 0 (r, s) = S (s s0 ) exp[ (z)/0 ] n k Ink (3.149) n=0 k= как решение скалярной задачи Коши Dr 0 = 0, 0 0 = 0. (3.150) = f01 (s), 0 H Интенсивность многократно рассеянного в слое излучения находится как решение краевой задачи Kr = S0, = q R + q R = 0, (3.151) 0 H 3.5. Задачи для атмосферы со слоистой облачностью и примесями в виде ряда n k l nkl (r, s) = n=0 k=0 l= с нулевым приближением – решением «невозмущенной» задачи – = 0, Kz 000 = s (z)(z), c 000 000 = q (R000 + d) 0 H и интегралом столкновений S s (r) tot ds = s (z)M + + w(z)s (z)Mc + g(z)s (r )M + g(z)w(z)s (r )Mc, где введены обозначения:

M Mc ds, c ds.

Источники излучения определяются в виде регулярных рядов возмущений S n k Ink [s c + s cc + g(z)s + g(z)cc s ], c n=0 k= где cc (z) = S exp[ (z)/0 ] w(z) c (z, 0 ), c(z) = S exp[ (z)/0 ] (z, 0 ), R 0 = d n k Ink (H, r, s0 ).

n=0 k= Задача для компоненты нерассеянного излучения сводится к задаче Коши с горизонтально-однородным оператором:

D0 = [ g(z)s (r ) + t(z)a (r )] 0, (3.152) 0 = S (s s0 ), 0 = 0.

0 H Подставляя ряд (3.149) в задачу (3.152) и приравнивая выражения при одинаковых степенях параметров,, для направлений s0 = {0, 0 } получим рекуррентный набор краевых задач для любого порядка приближения по вариациям s (r ), a (r ).

При n = 0, k = 0 задача I = 0, = 0, = 0 I00 I z 0 H имеет решение I00 1 для s0 + и I00 0 для s0.

250 Глава 3. Трехмерные плоские задачи При n 1, k = 0 – задача с возмущениями в коэффициенте рассеяния:

– K0 In0 = g(z)s (r )In1,0, = 0, = 0;

In0 Ino 0 H при n = 0, k 1 – задача с возмущениями в коэффициенте поглощения:

– K0 I0k = t(z)a (r )I0,k1, = 0, = 0;

I0k I0k 0 H при n 1, k 1, m = n + k 2 – задача с возмущениями в рассеянии и – поглощении одновременно K0 Ink = g(z)s (r )In1,k t(z)a (r ) In,k1, Ink = 0, = 0.

Ink 0 H Очевидно, что компоненты In0 совпадают с функциями 0 (3.28) и их n можно определить с помощью операторов n-го порядка 0 (3.29) и n (3.31) n с ядрами – ПЧХ Vn и ФВ 0 соответственно.

– n В этом разделе будем обозначать операторы 0 (3.29) через s0, n (3.31) – n n – n, ПЧХ V – V, ФВ 0 –.

– n0 – n s0 n n Аналогичные операторы, действующие на функцию f (r ) = C, вводим для учета возмущений в поглощении:

a0 (f ) C(2)2 (p), k=0:

a0 (f ) CV01 (z, p, s0 )a (p), 1 k=1: C · · · a (pk pk1 )... a (p1 ) k 2:

k a0 (f ) (2)2(k1) V0k (z, pk,... p1, s0 ) dpk1... dp1.

где ПЧХ V0k – решения задач Коши – L0 V0k = t(z)V0,k1, = 0, = 0, V0k V0k 0 H или k = 0 : 0 (f ) = C, a C · · · a (rk )... a (r1 ) k (f ) 1:

k a 0 (z, r rk, rk rk1,... r2 r1, s0 ) drk... dr1.

0k Ядра операторов – ВФ 0 – решения задач Коши – 0k – K0 0 = t(z)0 0 = 0, = 0.

0,k1 (r ), 0k 0k 0k 0 H 3.5. Задачи для атмосферы со слоистой облачностью и примесями Для учета взаимного влияния возмущений рассеяния и поглощения m вводится оператор sa0 (m = n + k 2, n 1, k 1):

C · · · s (pm pm1 )... s (pk+1 pk ) m sa0 (f ) (2)2(m a (pk pk1 )... a (p1 ) Vnk (z, pm,... p1, s0 ) dpm1... dp с ядрами – ПЧХ Vnk – решениями задач Коши – – L0 Vnk = g(z)Vn1,k t(z)Vn,k1, = 0, = Vnk Vnk 0 H и оператор C · · · s (rm )... s (rk+1 )a (rk )... a (r1 ) m (f ) sa nk (z, r rm, rm rm1,... r2 r1, s0 ) drm... dr ядрами – ФВ 0 – решениями задач Коши с – nk – n1,k t(z)n,k1 ](r ), K0 0 = [g(z)0 0 = 0, = 0.

nk nk nk 0 H Окончательно получаем Ink = 1 + F n k m s0 (1) + a0 (1) + sa0 (1) = n=1 k= n=0 k=0 m= n (1) + k (1) + m (1).

=1+ s0 a0 sa n=1 k=1 m= Для сокращения записей вводим операции с фурье-образами Q [0 ](pn ) · · · v(pn pn1 )... v(p1 )n (pn,... p1 ) dpn1... dp1, n (2)2(n1) если под интегралами один параметр v(p), и [00 ](pm ) · · · v(pm pm1 )... v(pk+1 pk ) n+k Q (2)2(m1) u(pk pk1 )... u(p1 )nk (pm,... p1 ) dpm1... dp1, если подынтегральное выражение содержит два параметра: v(p), u(p).

Если nk (rm,... r1 ) = F 1 [nk ], a(r ) = F 1 [v], b(r ) = F 1 [u], 252 Глава 3. Трехмерные плоские задачи то для интегральных сверток определяем операции G [0 ](r ) · · · a(rn )... a(r1 )n (r rn,... r2 r1 ) drn... dr n с одним параметром a(r ) и G [00 ](r ) · · · a(rm )... a(rk+1 )b(rk )... b(r1 ) n+k nk (r rm,... r2 r1 ) drm... dr с двумя параметрами a(r ), b(r ) в подынтегральных выражениях.

Многократно рассеянную составляющую интенсивности излучения нахо дим, рассматривая последовательно набор рекуррентных задач, отвечающих возмущениям разных параметров задачи.

При n 1, k = 0, l = 0 – возмущение в коэффициентах рассеяния – – – задача совпадает с рассматриваемой ранее:

Kn00 = g(z)s (r )(M E)n1,00 + s cIn0 + g(z)s (r )In1,0, c n00 = 0, n00 = q (Rn00 + dIn0 ).

0 H Решение определяется либо через ПЧХ n00 – решения задач – Ln00 = g(z)(M E)n1,00 + s cVn0 + g(z)Vn1,0, c n00 = 0, n00 = q (Rn00 + dVno ), 0 H либо через ФВ n00 – решения задач – Kn00 = g(z)(r )[(M E)n1,00 + c n1,0 ] + s c 0, n, n00 = q (Rn00 + d0 ) = 0, n00 n 0 H с помощью операторов n00 = F 1 [Qn (000 )] = G n [000 ], a = s.

При n = 0, k 1, l = 0 – возмущение в поглощении – – – K0k0 = t(z)a (r )0,k1,0 + s cI0k, 0k0 = 0, 0k0 = q (R0k0 + dI0k ).

0 H 3.5. Задачи для атмосферы со слоистой облачностью и примесями Компоненты выражаются либо через ПЧХ 0k0 : 0k0 = F 1 [Qk (000 )], являющиеся решениями системы рекуррентных задач L0k0 = t(z)0,k1,0 + s cV0k, 0k0 = 0, 0k0 = q (R0k0 + dV0k ), 0 H либо через ФВ 0k0 : 0k0 = G k [000 ], a = a, – решения краевых задач – K0k0 = t(z)(r )0,k1,0 + s c 0, 0k 0k0 = q (R0k0 + d0 ).

= 0, 0k0 0k 0 H При n 1, k 1, l = 0 – возмущение в коэффициентах рассеяния и – поглощения одновременно –– Knk0 = g(z)s (r )(M E)n1,k0 t(z)a (r )n,k1,0 + +s cInk + g(z)s (r )In1,k, c nk0 = 0, nk0 = q(Rnk0 + dInk ).

0 H Имеем функционалы либо с ядрами – ПЧХ nk0 : nk0 = F 1 [Qn+k (000 )], – a = s, b = a, являющимися решениями системы Lnk0 = g(z)(M E)n1,k0 t(z)n,k1,0 + s cVnk + g(z)Vn1,k, c nk0 = 0, nk0 = q (Rnk0 + dVnk ), 0 H либо с ядрами – ФВ nk0 : nk0 = G n+k [000 ], удовлетворяющими краевым – задачам Knk0 =[g(z)(M E)n1,k,0 t(z)n,k1,0 +g(z) c n1,k ](r )+ s c 0, nk nk0 = q (Rnk0 + d0 ).

=0, nk0 nk 0 H При n 1, k = 0, l 1 – возмущение в коэффициенте и индикатрисе – рассеяния – – Kn0l = s wMc n0,l1 + s wg(z)Mc n1,0,l1 + + g(z)s (r )(M E)n1,0l + s cc In0 l1 + g(z)s cc In1,0 l1, n0l = 0, n0l = q Rn0l.

0 H 254 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Компоненты вычисляются либо через ПЧХ n0l : n0l = F 1 [Qn (00l )] – – решения комплексных уравнений Ln0l = s wMc n0,l1 + wg(z)Mc n1,0,l1 + g(z)(M E)n1,0l + + s cc Vn0 l1 + g(z)cc Vn1,0 l1, n0l = 0, n0l = q Rn0l, 0 H либо через ФВ n0l = F 1 [n0l ] : n0l = G n [00l ], a = s.


При n 1, k 1, l 1 – возмущение в характеристиках рассеяния и – поглощения одновременно – – Knkl = s wMc nk,l1 + s wg(z)Mc n1,k,l1 + g(z)s (r )(M E)n1,kl t(z)a n,k1,l + s cc Ink l1 + g(z)s cc In1,k l1, nkl = 0, nkl = q Rnkl.

0 H nkl = F 1 [Qn+k (00l )], Решение определяется либо через ПЧХ nkl :

удовлетворяющие задачам Lnkl = s wMc nk,l1 + wg(z)Mc n1,k,l1 + g(z)(M E)n1,kl t(z)n,k1,l + s cc Vnk l1 + g(z)cc Vn1,k l1, nkl = 0, nkl = q Rnkl, 0 H либо через ФВ nkl = F 1 [nkl ] : nkl = G n+k [00l ], a = s, b = a.

При n = 0, k = 0, l 1 – задача с «возмущенной» индикатрисой рассеяния – = 0, Kz 00l = s wMc 00,l1 + s cc l1, 00l 00l = q R00l.

0 H Это одномерная плоская задача теории переноса.

Метод ПЧХ и ФВ – один из подходов к решению задачи о влиянии – оптически тонкого слоя облачности или примеси, расположенного на некоторой высоте в атмосфере, на условия передачи изображения поверхности или наблюдаемые контрасты.

3.5.2. Горизонтально-однородные слои. Особо выделяется задача со слои стыми облаками или загрязнениями, которая позволяет также оценить влияние возмущений в оптических параметрах одномерной плоской задачи = S (s s0 ), Kz I = 0, I I = q RI 0 H с параметрами s (z) (3.3), a (z) (3.4), t (z) (3.5), tot (3.147) при условии, что s = const, a = const. При этом разделяются компоненты радиационного 3.5. Задачи для атмосферы со слоистой облачностью и примесями поля, обусловленные регулярными параметрами t (z), s (z), a (z),, а также «возмущениями» c, s, a и альбедо q. Тем самым разделяются вклады «стандартной» молекулярно-аэрозольной атмосферы, облачных или аэрозольных слоев и отражающей поверхности.

Путем замены nkl = s a 1 (z, s) приходим к уравнениям для опреде n k nkl ления функции 1 (z, s), не зависящим от вариаций s, a и совпадающим nkl с уравнениями для ПЧХ 0 (z, s) nkl (z, 0,... 0, s).

nkl Действительно, разделяя компоненты нерассеянного и многократно рас сеянного излучения: I = I 0 + и вводя параметрические ряды (3.149) и разложение в ряд регулярных возмущений n k l nkl (z, s), (z, s) = l=0 n=0 k= приходим к тем же рекуррентным системам краевых задач для Ink и nkl, что и в предыдущем разделе, с той лишь разницей, что в правых частях везде будет стоять оператор Kz, а в левых частях коэффициенты s, a являются константами. В этом случае все функционалы с ПЧХ вычисляются и сводятся к простым выражениям.

Если s = const, a = const, то n00 = s 0, n 0 0k0 = a 0, k n n00 k 0k In0 = s Vn0 ;

I0k = a V0k ;

nk0 = s a 0, n k 0 n0l = s 0, nkl = s a 0, n k nk0 n n0l n k nkl Ink = s a Vnk ;

где 0 (z, s) = nkl (z, pm = 0,... p1 = 0, s), nkl Vnk (z, s0 ) = Vnk (z, pm = 0,... p1 = 0, s0 ).

Задача с «возмущенной» индикатрисой остается в том же виде.

3.5.3. Алгоритм решения краевой задачи для ПЧХ. Краевые задачи для ПЧХ разных порядков отличаются только правой частью, т. е. функцией источника, поэтому рекомендуется однотипный алгоритм решения таких задач.

В расчете всех ПЧХ выделяются три этапа:

а) установление аналитической зависимости от среднего альбедо q ;

б) аналитическое решение задачи Коши для нерассеянной компоненты ПЧХ интегрированием по характеристике;

в) расчет диффузной компоненты итерационным методом характеристик.

Прежде всего выделяем аналитическую зависимость от альбедо q, пред ставив ПЧХ nkl в виде суммы решений двух задач с источником излучения внутри слоя и на его подложке: nkl = 1 + 2.

Обозначим через F (z, pm1,... p1, s) правую часть уравнений для ПЧХ.

Тогда L1 = F, 1 1 = q R1.

= 0, 0 H 256 Глава 3. Трехмерные плоские задачи Вклад альбедо в эту компоненту определяется по формуле q R1(0) 1 = 1(0) + W, 1 q RW где 1(0) – решение задачи с нулевыми граничными условиями – L1(0) = F, 1(0) 1(0) = 0, = 0.

0 H Разделим нерассеянную и диффузную компоненты: 1(0) = 0 + g. При этом обычно задача Lz 0 = F, 0 = 0, = 0 H решается аналитически путем интегрирования по характеристике, а задача, описывающая многократное рассеяние:

Lg = s M 0, g g = 0, = 0, 0 H решается численно ИМХ.

Решение задачи с источником на подложке L2 = 0, 2 2 = q (R2 + dVnk l0 ) = 0, 0 H представляем в виде q R2(0) 2 = q 2(0) + W, 1 q RW при этом решение задачи L2(0) = 0, 2(0) 2(0) = 0, = dVnk l 0 H известно:

2(0) = dVnk l0 W (p).

Так что q dVnk 2 = W l0.

1 q c(p) ГЛАВА Комплексное уравнение переноса В центре внимания настоящей и следующей глав находятся вопросы раз работки методов, алгоритмов и реализации численного расчета прямого и обратного оптического передаточного оператора (ОПО) и численного решения комплексного уравнения переноса, на которых базируется решение краевой задачи теории переноса излучения в плоской горизонтально-неоднородной системе слой–подложка, освещенной мононаправленным солнечным потоком.

При сочетании методов Монте-Карло и фурье-анализа часто для рас чета ОПФ сначала вычисляют ФРТ, а затем с помощью преобразования Фурье по пространственной координате получают ОПФ. Такая процедура осуществляется только для линейного приближения. При этом методом Монте Карло решается задача с пятью переменными для ФРТ либо непосредственно решается пятимерная задача для каждой конкретной модели. Более эффек тивным и экономичным, на наш взгляд, является подход, основанный на решении параметрических комплексных уравнений для ПЧХ, через которые определяются ФРТ и ФВ, а также ОПО.

§ 4.1. Уравнения для векторных и скалярных ПЧХ Наиболее важными с точки зрения передачи горизонтальных возмущений являются линейные ПЧХ (ОПФ) и ФВ (ФРТ), которые в задаче передачи изображения ламбертовой поверхности определяют также и нелинейные приближения.

Вклад ламбертовой поверхности вычисляется с помощью ВПЧХ W(z, p, s) и набора ВПЧХ n (z, pn,... p1, s) горизонтально-неоднородного слоя, определя емых рекуррентной системой комплексных уравнений с разными начальными приближениями.

Вклад неортотропного отражения описывается набором ВПЧХ k (z, pk,... p1, s) – решениями задач (k 1) – k k 0 = E.

Lk = 0, = 0, (4.1) = Rk1, 0 H 258 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Функции влияния слоя с неортотропными границами находятся как решения задач с мононаправленными источниками:

L+ = 0, + = (s s+ ), + = 0, (4.2) 0 H L = 0, = (s s ), = 0, (4.3) 0 H Аналогичные задачи описывают функции влияния слоя с внутренней границей раздела.

Пространственные вариации поля излучения, обусловленные горизон тальными неоднородностями параметров слоя, определяются через ВПЧХ n (z, pn,... p1, s) – решения комплексных уравнений с нулевыми граничными – условиями (n 1) n n = 0, = 0. (4.4) Ln = F (n1 ), 0 H В зависимости от структуры источника излучения формулируются задачи для соответствующих ВПЧХ.

Практически перечисленные задачи охватывают многие из тех задач для скалярных и векторных ПЧХ, которые возникают в математических моделях, описывающих горизонтально-неоднородный перенос излучения.

С ростом абсолютных значений параметров p – пространственных частот – – – вклад многократного рассеяния убывает и для решения рекуррентных задач достаточно приближения однократного рассеяния. Приближения малых крат ностей рассеяния наиболее точно рассчитываются итерационным методом характеристик. В этом плане развитие ИМХ для решения комплексных уравнений переноса дает хорошие результаты: простые алгоритмы, доста точно высокая точность счета. При этом естественным путем получаются асимптотические оценки и анализ симметрии по азимуту и параметру p, учет которых существенно сокращает объем вычислений.

С помощью набора инвариантных характеристик на основе ОПО можно вычислять решения разных задач с конкретными структурами пространствен ных распределений.

Векторные ПЧХ описываются вектором Стокса в SP -представлении. При переходе к скалярным задачам ненулевой остается только первая компонента вектора Стокса.

Комплексное уравнение переноса можно заменить системой двух обычных уравнений переноса для вектора {Re, Im }:

Re = (p, s )Im + F Re, Re = 0, Re = q RRe + fH, L 0 H (4.5) Im = (p, s )Re + F Im, Im = 0, Im = q RIm.

L 0 H Алгоритм решения комплексного уравнения на основе решения методом итераций системы уравнений (4.5) – это простейший векторный алгоритм, – 4.2. Существование, асимптотические и дифференциальные свойства... но он имеет ограниченную область применимости: радиус сходимости ряда Неймана |p| 1. Каждую из задач системы (4.5) можно решать ИМХ, но при этом нельзя получить конечно-разностный аналог без перемешивания итераций, так как при вычислении Re(Im) на некотором уровне zk требуется значение Im(Re) на этом же уровне, которое еще не определено. Алгоритм, базирующийся на ИМХ для комплекснозначных функций, может быть реализован на ЭВМ с комплексной арифметикой.

§ 4.2. Существование, асимптотические и дифференциальные свойства комплексного уравнения переноса 4.2.1. Теорема существования. Основанием для использования итераци онного метода характеристик при решении комплексного уравнения переноса может служить следующая Теорема. Если коэффициенты краевой задачи LW = 0, = 0, =1 (4.6) W W 0 H удовлетворяют условиям sup t (z) = ;

1. s (z) 0, t (z) s (z), (4.7) 2. s (z) (z, s, s ) exp [ (H)/| |] ds 0 k 1, kt (z), то ряд Неймана по кратности рассеяния сходится к решению краевой задачи (4.6) и для решения справедливы асимптотические оценки:

W (z, p, s) = 1, s +, O |px | py – фиксировано, – O |py |1, s +, px – фиксировано, – = exp {[ (z) (H)] /||} + O |px |1, s, py – фиксировано, – exp {[ (z) (H)] /||} + O |py |1, s, px – фиксировано.

– (4.8) Доказательство. Введем обозначения для бугеровского ослабления (z) (H) 1 exp || и комплексного коэффициента экстинкции (z, p) t (z) ib, b (p, s ).

Представим решение задачи (4.6) в виде суперпозиции W (z, p, s) = W1 (z, p, s) + W2 (z, p, s).

260 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Составляющая W1 удовлетворяет задаче Коши Lz W 1 = 0, = 0, = 1, W1 W 0 H которая решается аналитически:

s +, 0, W1 (z, p, s) = exp {[ (z) (H) + i(H z)b] /||}, s.

Компоненту W2, отвечающую диффузному рассеянию, находим как ре шение комплексного уравнения с нулевыми граничными условиями = 0, = 0. (4.9) L(p)W2 = SW1, W2 W 0 H Интегрированием по характеристике дифференциального оператора Lz (p) задача (4.9) сводится к интегральному уравнению (4.10) W2 (z, p, s) = K [W2 ] + F (z, p, s), где z s +, SW2 exp {[ (t) (z) + i(z t)b] /} dt, K[W2 ] = H s, SW2 exp {[ (z) (t) + i(t z)b] /||} dt, || z F (z, p, s) K[W1 ]. Для оператора K имеет место следующая оценка:

для s + z s (t) exp {[ (t) (z)] /} dt = K[1] (z) [s ( )/t ( )] exp {[ (z)] /} d {1 exp [ (H)] /}, = для s {1 exp [ (H)/||]}, sup [s (z)/t (z)] 1.

K[1] С учетом условия 2. получаем неравенство K [exp { (H)/}] (/) K[1].

Отсюда K[1] K [exp { (H)/}], K 2 [1] K 2 [1] или K[1], где = ( ) 1,. По индукции устанавливаем K n [1] n1 K[1] n1.

4.2. Существование, асимптотические и дифференциальные свойства... Из условия 0 1 и ограниченности F (z, p, s) следует, что ряд Неймана уравнения (4.10) сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем и для решения справедлива оценка K[1] 1+ 1+ (4.11) W2 (z, p, s) F (z, p, s) F (z, p, s).

1 1+ Оценим величину |F | при s и py = 0:

H exp {[ (z) (t) + ipx (t z)b1 ] /||} dt F (z, p, s) = || z s (t) exp {[ (t) (H) + ipx (H t)b1 ] /| |} (t, s, s ) ds H exp {[ (t) (H)] /| |} exp {[ (z) (t)] /||} ds || z s (t)(t, s, s ) exp {ipx [(H t)b2 + (t z)b2 ]} dt, где b1 = sin cos, b1 = sin cos, b2 = b1 /||, b2 = b1 /| |.

Если функция (t) (H) (z) (t) f (t) exp s (t)(t, s, s ) C 2 [z, H] exp | | || при фиксированных,,,, то из теоремы об асимптотическом поведении интеграла b f (x) exp [is(x)] dx a при следует, что F (z, p, s) = O(|px |1 ) при px ±.

В противном случае будем предполагать, что отрезок [z, H] можно разбить на конечное число интервалов, на которых выполняется такое свойство f (x).

Это возможно при кусочной монотонности индикатрисы рассеяния (z, s, s ).

Отсюда вытекают оценки (4.8). Теорема доказана.

Подобная асимптотика получена А. С. Долиным в малоугловом приближе нии. Доказательство теоремы аналогично исследованиям Т. А. Гермогеновой, проведенным для скалярной одномерной краевой задачи. Основные отличия связаны с наличием экспоненциального множителя с комплексным показа телем.

262 Глава 4. Комплексное уравнение переноса 4.2.2. Дифференциальные свойства ПЧХ. Рассмотрим возможность ана литического продолжения W (p) на комплексную плоскость естественным образом, т. е. при px = pRe + ipIm, py = pRe + ipIm.

x x y y Задача (4.6) запишется в следующем виде W + t (z) + pIm sin cos + pIm sin sin z x y i pRe sin cos + pRe sin sin W = SW, x y W = 0, = 1.

W 0 H Если к условиям (4.7) существования решения краевой задачи (4.6) добавить условие inf [t (z) s (z)] = a 0, (4.12) z свидетельствующее о наличии поглощения в среде, то задача (4.6) останется разрешимой при ограничениях a a |pIm | |pIm |,, x y 2 при которых выполняется условие 1. теоремы:

t t + pIm sin cos + pIm sin sin s.

x y Доказательство утверждения об аналитичности данного продолжения заключается в проверке условий Коши-Римана для функции W (p).

Не снижая общности, положим py = 0. Представляя ПЧХ в виде W = W Re + iW Im и обозначая p = pRe, q = pIm, = sin cos, задачу (4.6) сводим x x к системе Re W + [t (z) + q] W Re = SW Re pW Im, z Re W W Re = 0, = 1;

0 H Im W + [t (z) + q] W Im = SW Im + pW Re, z Im W W Im = 0, = 0.

0 H Если уравнения продифференцировать по параметрам p, q и ввести оператор M + t (z) + q S, z то придем к системе уравнений с нулевыми граничными условиями для частных производных функции W (p):

M Wp = W Im pWp, M Wp = W Re + pWp, Re Im Im Re M Wq = W Re pWq, M Wq = W Im + pWq, Re Im Im Re 4.2. Существование, асимптотические и дифференциальные свойства... из которой следует: Wp = Wq, Wq = Wp при любых p и q из области Re Im Re Im определения. Выполняются условия Коши-Римана, и, поскольку функции W Re и W Im непрерывны по параметру px, функция W (px ) является дифференци руемой и аналитична по px. Аналогично доказываются дифференцируемость и аналитичность по py при px = 0, а также по обоим параметрам px, py.

Отсюда следует, что W (px, py ) аналитична в полосе. Следовательно, она однозначно определяется своими значениями на прямых pRe и pRe, а также x y в точке сгущения p = 0.

Остановимся на одномерном случае p = px, py = 0. Так как W аналитична, то ряд Маклорена сходится к этой функции:

pn (n) (4.13) W (p) = Wp (0).

n!

n= Уравнения для производных по параметру p строятся исходя из уравнения для ПЧХ L + t S.

LW = ipW, z Нетрудно показать, что производные n-го порядка удовлетворяют уравнениям (n) (n) (n1) LWp ipWp = iW, LWp ipWp = inWp n = 2, 3,... (4.14), При p = 0 уравнения (4.14) разрешимы рекуррентно:

(n) (n1) = n!(i)n T n W0, Wp (0) = niT Wp где обозначено T W L1 W. Подставляя полученные значения производных в (4.13), просуммируем ряд:

(ip)n T n W0 = E ipT W (p) = (W0 ).

n= Распространяя оценку (4.11) на уравнения для производных (4.14), при ходим к неравенствам (n) |Wp | |W |, |Wp | n n!|W |, n = 2, 3,..., где (1+)/(1+), с помощью которых определяется радиус сходимости ряда (4.13):

(p)n |W0 |, |p| 1, W (p) n= или 1+ |p| 1.

1+ Если ПЧХ определить через амплитудно- и фазо-частотную характери стики W (p) = A(p) exp [i(p)], то производную по параметру p получим в виде Wp = A exp [i] + iA exp [i].

264 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Разделяя действительную и мнимую части производной Wp в уравнении (4.14), приходим к системе L(Wp ) = p(Wp ) W Im, Re Im L(Wp ) = p(Wp ) + W Re, Im Re Re Im из которой вытекает, что при p = 0: (Wp ) = 0, (Wp ) = 0, так как Im (0) = 0, W Re (0) = A = 0.

W Поскольку (0) = 0, A = W Re (Wp ) + W Im (Wp ) /A, то при p = Re Im Im A (0) = 0, W (0) = i(Wp ), p= Im (Wp ) W (0) A (0) p= = 0.

(0) = = iA0 A Вторая производная удовлетворяет системе L(Wp ) = p(Wp ) 2(Wp ), Re Im Im Im Re Re L(Wp ) = p(Wp ) + 2(Wp ), из которой при p = 0 находим Re Im = 0, = 0.

(Wp ) (Wp ) p=0 p= Из представления W через АЧХ и ФЧХ:

W = exp(i) A + i2A + iA A( ) при p = 0 получаем W (0) = A (0) A0 ( (0))2 + iА0 (0). А так как = A (0) A0 ( (0))2 = 0, Re Im = A0 (0) = 0, (Wp ) (Wp ) p=0 p= то A (0) = 0, (0) = 0. Это означает, что ФЧХ вблизи p = 0 является линейной функцией параметра:

(p) p.

p p= 4.2.3. О свойствах ПЧХ горизонтально-неоднородного слоя. Задача для линейной ПЧХ W01 (z, p, s) неоднородного слоя отличается от задачи (4.6) для линейной ПЧХ W (z, p, s) горизонтально-однородного слоя видом источника.

(0) Обозначим W01 = W01 при q = 0.

Теорема. Если коэффициенты краевой задачи (0) LW01 = (z)c(z)V1 + g(z) (M E)00 + c(z), (4.15) W (0) (0) = 0, = W 01 0 H 4.2. Существование, асимптотические и дифференциальные свойства... удовлетворяют условиям (4.7), то ряд Неймана по кратности рассеяния сходится к решению краевой задачи (4.15) и для решения справедливы асимптотические оценки:

O |px |1, s, py – фиксировано, – (0) W01 (z, p, s) = 1, s, O |py | px – фиксировано.

– Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Решение краевой задачи для ПЧХ W01 с ненулевым альбедо поверхно сти полностью определяется через решение краевых задач (4.6) и (4.15).

Действительно, введем суперпозицию компонент (0) W01 = W01 + WH + Wq + WHq, являющихся решениями задач LWH = 0, = 0, WH WH = q dV1 (H), 0 H (0) LWq = 0, = 0, Wq Wq = q RWq + q RW01, 0 H LWHq = 0, = 0, WHq WHq = q RWHq + q RWH, 0 H которые разрешимы явно через линейную ПЧХ W (z, p, s):

WH (z, p, s) = q dV1 (H)W (z, p, s), (0) q RW (0) Wq (z, p, s) = q RW01 (z, p, s) = W (z, p, s), 1 q c(p) q RWH WHq (z, p, s) = q RWH (z, p, s) = W (z, p, s).

1 q c(p) В результате суммарная ПЧХ (0) q RW01 + dV1 (H) (0) W01 (z, p, s) = W01 (z, p, s) + W (z, p, s).

1 q c(p) При p = 0 задача (4.15) превращается в классическую задачу теории переноса в горизонтально-однородном плоском слое, существование и оценки решения которой исследованы Т. А. Гермогеновой. В общем случае p = ПЧХ W (z, p, s) – комплексная функция. Так как преобразование Фурье – проводится поочередно по каждой из компонент действительного параметра p = {px, py }, то достаточно рассмотреть асимптотику по одному параметру при фиксированном другом.

Эти теоремы дают основания для использования метода последовательных приближений по кратности рассеяния для численного решения краевых задач для ПЧХ (4.6), (4.15) и им подобных. Эффективные итерационные численные алгоритмы расчета ПЧХ, основанные на результатах теорем, построены на базе ИМХ.

266 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Нелинейные ПЧХ Wkn (z, pm,... p1, s) имеют аналогичные асимптотиче ские оценки по каждому параметру при фиксированных остальных. Исходя из факторизованного представления для нелинейных ПЧХ задачи с неоднородной поверхностью, получаем асимптотические оценки Wk0 (z, pk,... p1, s) = O |plx |1 + 1 kl, l = 1k, plx ±, ply – фиксировано ;

– Wk0 (z, pk,... p1, s) = O |ply |1 + 1 kl, l = 1k, ply ±, plx – фиксировано.

– ПЧХ Wkn непрерывны и бесконечно дифференцируемы по всем параметрам p, т. е. Wkn C (R2m ).



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.