авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |

«Посвящается пионерам освоения космоса Предисловие Фактически в настоящее время закладываются основы решения фундамен- тальных проблем, связанных с ...»

-- [ Страница 7 ] --

4.6.10. Алгоритм расчета интеграла столкновений. Расчет интеграла столкновений – самая трудоемкая процедура в алгоритме решения уравнения – переноса. Анализ свойств азимутальной симметрии или антисимметрии компонент ПЧХ на основе метода итераций, формул интегрирования по характеристикам, представлений интеграла столкновений с учетом азиму тальных свойств индикатрисы рассеяния позволяет существенно сократить объем вычислений.

Поскольку среда горизонтально-однородная, ФВ – решение задачи (4.79) – – – достаточно рассчитывать только для направлений источника sH = (H, H = 0), так как (H, H ;

z, r,, ) = (H, 0;

z, r,, + H ). (4.187) Отсюда следует, что для ПЧХ справедливо равенство (H, H ;

z, p,, ) = (H, 0;

z, p,, + H ), (4.188) а потому решать задачу (4.83) нужно только для H = 0.

Если азимут отсчитывать от азимутальной плоскости источника, т. е.

положить = H = 0, то для ФВ можно получить соотношение азимутальной симметрии (H, 0;

z, r,, ) = (H, 0;

z, r,, 2 ) (4.189) и, следовательно, для ПЧХ также имеет место симметрия относительно азимутальной плоскости = 0:

(H, 0;

z, p,, ) = (H, 0;

z, p,, 2 ). (4.190) Для сокращения объема вычислений разностную сеть по азимуту достаточно вводить для [0, ] и для расчета интегралов + + + (z,, ) B (z,, ) sc (z) ds = sc (z) d + 0 [(z,,, cos( )) + (z,,, cos( + ))];

(4.191) (z,, ) B (z,, ) sc (z) ds = sc (z) d [(z,,, cos( )) + (z,,, cos( + ))] (4.192) 4.6. Алгоритм расчета пространственно-частотной характеристики использовать квадратурные формулы J+ I + a+ Re+ [(zk, cos 1 ) + (zk, cos 2 )];

Re+ (4.193) Bkj i = sc, k bi j kji i=1 j= J I a Re [(zk, cos 1 ) + (zk, cos 2 )], Re (4.194) Bkj i = sc, k bi j kji i=1 j= где cos 1 + sin sin cos( ), cos 2 + sin sin cos( + );

a+ и a – веса квадратуры по на интервалах = + (0, 1] и = j– j [1, 0) соответственно;

bi – веса квадратуры по азимуту на интервале – [0, ]. Узлы разностной сети по и совпадают с узлами квадратур.

Обычно по используются квадратуры Гаусса, Лобатто или специальные квадратуры для быстроосциллирующих функций, а по азимуту – формула – трапеции или квадратура Гаусса. Аналогичные выражения можно записать Im+ Im для компонент Bkji, Bkji.

Для повышения экономичности процедуры расчета интегралов столкно вений вводятся специальные приемы, учитывающие свойства индикатрисы рассеяния. Для задания изменений угловой структуры (суммарной или аэрозольной) индикатрисы рассеяния по высоте слоя вводятся l-зоны. Если азимутальную разностную сеть определить специальным образом: ввести узлы m [0, /2], m = 1 M, 1 = 0, m m+1, M = /2, и положить i = m, i = 1 M, для i = m, /2;

i = m, i = 2M + 1 m, i = (M + 1) 2M, для /, то, так как индикатриса рассеяния зависит от азимута только через cos( ), нетрудно установить следующие соотношения симметрии:

( ) = ( );

1) ( + ) = (( + )) = (2 ( + )) = (( + ) 2);

2) ( ( + )) = (( + ) );

3) ( + ( )) = ( ( )) = (( ) ) = (( ) ).

4) С помощью формул привидения для косинуса находим, что этим соотношениям соответствуют всего четыре значения угла рассеяния, вычисляемые по формулам cos 1 = + sin sin cos( ), cos 2 = + sin sin cos( + ), cos 3 = sin sin cos( + ), cos 4 = sin sin cos( ).

Обозначим (cos ), = 1 4.

318 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Вычисление значений индикатрис рассеяния l (j, j, i, i ) является трудоемкой операцией в алгоритме расчета интегралов столкновений, поэтому самым внутренним является цикл по zk в пределах l-зоны, когда значения (cos ) вычисляются при фиксированных j, j, i, i один раз для всех таких zk, используя предварительно рассчитанные массивы cos+ cos(m + m ), cos cos(m m ), m, m = 1 M.

mm mm Другая модификация связана с введением равномерной сетки узлов m. Для ЭВМ с большой оперативной памятью эти модификации позволяют заранее рассчитать табличные значения индикатрис рассеяния и использовать их на каждой итерации.

Для разностной сетки по зенитному углу расчет интеграла столкновений производится по квадрантам (+, + ), (, + ), (, ), (+, ) в цикле по индикатрисным l-зонам для zk [zl, zl+1 ] с индексами k = Kl Kl+1.

Расщепление на квадранты является одним из способов распараллеливания расчета интегралов столкновений на многопроцессорной ЭВМ.

Если распараллеливать вычисления по значениям интегралов столкновений в точках разностной сети zk, j, i, то эффективной оказывается процедура, основанная на переходе к новым угловым переменным (g, ) путем замены поверхностного интеграла двойным интегралом:

1 (4.195) ds = (z, g) dg (z, (,, g), (,, g)) d.

1 Новая система получается из исходной с помощью двух поворотов: сначала исходная система координат XY Z поворачивается на угол относительно оси OZ, затем полученную систему координат X Y Z поворачиваем на угол относительно оси OY. В результате приходим к двойному интегралу, в котором индикатриса рассеяния является функцией аргумента g cos, где – угол рассеяния из направления s в направление s, а внутренний интеграл – берется по азимуту вокруг оси, совпадающей с направлением s. В алгоритме, основанном на формуле (4.195), требуется меньше оперативной памяти для хранения и расчета индикатрисы рассеяния.

§ 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник пространственно-частотной характеристики В теории оптического передаточного оператора при горизонтально-неод нородной границе плоскостратифицированного горизонтально-однородного слоя универсальными характеристиками системы переноса, инвариантными относительно вариаций параметров границы, являются функции влияния (ФВ) или их фурье-образы, называемые пространственно-частотными харак теристиками (ПЧХ). Трехмерная по пространству, пятимерная по фазовому 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник объему (x, y, z,, ) краевая задача для уравнения переноса, определяющая ФВ, с помощью интегрального преобразования Фурье по горизонтальным координатам редуцируется к параметрическому набору (параметр р – про- – странственная частота) одномерных по пространству, трехмерных по фазовому объему (z,, ) задач для комплексной функции – ПЧХ.

– В зависимости от угловых свойств коэффициента отражения подстилающей поверхности приходится иметь дело с двумя типами источников. При лам бертовой, изотропно отражающей границе ПЧХ является решением краевой задачи + [ (z) ib] (p, z,, ) = B(p, z,, ), t z (4.196) = 0, = 1, 0 H b (p, s ) = px sin cos + py sin sin, = cos, s +, s, z = 0, 0 = z, s : H = z, s : z = H, с интегралом столкновений 2 (z) B(p, z,, ) S = s (4.197) (p, z,, )(z, cos ) d d, 0 cos = + sin sin cos( );

нормировка индикатрисы рассеяния 2 1 1 (z, cos ) d d = 1 или (z, cos ) d cos = 1.

4 0 1 В случае анизотропно отражающей границы ПЧХ является функцией с параметром s и находится из краевой задачи + [ (z) ib] (s ;

p, z,, ) = B (s ;

p, z,, ), t z (4.198) = (s s ), = 0, 0 H решение которой представляется суперпозицией сингулярной,пр и регу лярной составляющих: =, пр +.

С помощью явного выражения компоненты s + ;

0,,пр(s ;

p, z,, ) = (z) (H) + i(H z)b (s s ) exp, s, || (4.199) 320 Глава 4. Комплексное уравнение переноса где оптическая толщина z (4.200) (z) = t (z ) dz, задача (4.198) сводится к задаче с параметром s и нулевыми граничными условиями:

+ [t (z) ib] (s ;

p, z,, ) = B(s ;

p, z,, ) + F (s ;

p, z,, ), z =0, =0, 0 H (4.201) где внутренние источники 2 (z) F (s ;

p, z,, ) S, пр = s (s s )(z, cos ) 0 (z) (H) + i(H z)(p, s ) d d = a(s ;

p, z)(z, cos ) ;

exp (4.202) | | (z) (H) + i(H z)(p, s ) s (z) a(s ;

p, z) (4.203) exp.

| | Отметим, что решения задач (4.196) и (4.198) связаны соотношением 2 (s ;

p, z,, ) d d.

(p, z,, ) = 0 Будем рассматривать краевую задачу + [ (z) ib] (p, z,, ) = B(p, z,, ) + F (p, z,, ), t z (4.204) = 0, = fH, 0 H из которой получается задача (4.196), если положить F 0, fH = 1, или задача (4.201), если F = 0 (4.202), fH = 0. Сформулируем модели азимутальных и сферических гармоник решения задачи (4.204) и, как частный случай, в приближении В. В. Соболева, которое совпадает с P1 -приближением.

Как и в случае одномерной плоской задачи, равномерное приближение непрерывного решения задачи (4.204), заданного на сфере в каждой про странственной точке, линейными комбинациями (4.205) (p, z,, ) = Yk (p, z,, ) k= 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник сферических функций k m (p, z)Ck (, ) + m (p, z)Sk (, ) m m (4.206) Yk (p, z,, ) = ck sk m= с коэффициентами 2k + 1 (k m)!

m (p, z) m (4.207) = (p, z,, )Ck (, ) sin d d ck 2m (k + m)!

для k = 0, 1, 2,... ;

m = 0, 1,..., k;

2k + 1 (k m)!

m (p, z) m (4.208) = (p, z,, )Sk (, ) sin d d sk 2m (k + m)!

для k = 0, 1, 2,... ;

m = 0, 1, 2,..., k;

0 при m = 0 для всех k = 0, 1, 2,... ;

m (p, z) sk m = (1 + m0 ) = {2, если m = 0 ;

1, если m 0}, приводит к разделению переменных z,,. Воспользовавшись тождеством:

k mm mm mm mm fck Ck (, ) + fsk Sk (, ) = fck Ck (, ) + fsk Sk (, ), m=0 k=m k=0 m= выделим в представлении (4.205) азимутальную зависимость:

m (p, z, ) cos m + m (p, z, ) sin m, (4.209) (p, z,, ) = c s m= где амплитуды азимутальных гармоник m (p, z, ) m (p, z)Pk (), m = c ck k=m (4.210) = (1 m0 ) m (p, z, ) m (p, z)Pk () m s sk k=m определяются по формулам m (p, z, ) (4.211) = (p, z,, ) cos m d, c m m (p, z, ) = (4.212) (p, z,, ) sin m d.

s m 322 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Если индикатриса рассеяния представлена разложением по полиномам Лежандра (4.213) (z, cos ) = k (z)Pk (cos ) k= с коэффициентами 2k + (4.214) k (z) = (z, cos )Pk (cos ) d cos, то с помощью теоремы сложения можно разделить угловые переменные и выделить азимутальные гармоники:

m (z,, ) cos m( ), (4.215) (z, cos ) = m= где m (z,, ) = m m m (4.216) k (z)Pk ()Pk ( ), k=m 2 (k m)! m (4.217) k (z) = k (z), k (z) = k (z).

m (k + m)!

Амплитуды азимутальных гармоник можно определить через интегралы:

2 (4.218) (z,, ) = (z, cos ) d = k (z)Pk ()Pk ( ) ;

k= (z, cos ) cos m( ) d( ).

m (4.219) (z,, ) = m Воспользуемся представлениями индикатрисы рассеяния для определения разложений источника (4.202) F (s ;

p, z,, ) = Fk (s ;

p, z,, ) (4.220) k= по сферическим функциям k Fck (s ;

p, z)Ck (, ) + Fsk (s ;

p, z)Sk (, ), (4.221) m m m m Fk (s ;

p, z,, ) = m= 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник где амплитуды сферических гармоник Fck (s ;

p, z) = a(s ;

p, z)k (z)Ck (, ) = m m m = a(s ;

p, z)k (z)Pk ( ) cos m ;

m m (4.222) Fsk (s ;

p, z) = a(s ;

p, z)k (z)Sk (, ) = m m m = a(s ;

p, z)k (z)Pk ( ) sin m ;

m m (4.223) Fsk (s ;

p, z) 0 при m = 0 для всех k = 0, 1, 2,...

m Ряд Фурье для источника (4.202) m (z,, ) cos m( ) = F (s ;

p, z,, ) = a(s ;

p, z) m= m Fs (s ;

p, z, ) sin m (4.224) m = Fc (s ;

p, z, ) cos m + m= содержит азимутальные гармоники с амплитудами Fcm (s ;

p, z, ) Fck (s ;

p, z)Pk () ;

m m m = a(s ;

p, z) (z,, ) cos m = k=m (4.225) Fs (s ;

p, z, ) = a(s ;

p, z) m (z,, ) sin m = Fsk (s ;

p, z)Pk ().

m m m k=m (4.226) Решение задачи (4.196) можно искать в виде суперпозиции = пр + d, где компонента s + ;

0, (z) (H) + i (H z) b (4.227) пр (p, z,, ) =, s, exp || отвечает прямому излучению от источника на границе, а компонента диф фузного излучения d удовлетворяет задаче (4.204) с fH 0 и источником 2 F (p, z,, ) Sпр = (4.228) (z, cos )fпр (p, z,, ) d d, 0 s (z) fпр(p, z,, ) (4.229) пр (p, z,, ).

С помощью разложения индикатрисы рассеяния по сферическим функциям:

k m m m m m k (z) [Ck (, )Ck (, ) + Sk (, )Sk (, )] (4.230) (z, cos ) = k=0 m= 324 Глава 4. Комплексное уравнение переноса выражение (4.228) приводится к виду k m m m m m F (p, z,, ) = k (z) [Ck (, )fck (p, z) + Sk (, )fsk (p, z)] k=0 m= с амплитудами сферических гармоник m m m m m m (4.231) Fck (p, z) = k (z)fck (p, z), Fsk (p, z) = k (z)fsk (p, z), 2 m m fck (p, z) Ck (, )fпp (p, z,, ) d d, 0 2 fsk (p, z) m m Sk (, )fпр (p, z,, ) d d.

0 Амплитуды азимутальных гармоник в представлении (4.224) источ ника (4.228):

2 Fcm (p, z, ) m (z,, )fпр (p, z,, ) cos m d d ;

(4.232) = 0 2 m m (z,, )fпр (p, z,, ) sin m d d. (4.233) Fs (p, z, ) = 0 Выражения (4.231), (4.232), (4.233) не вычисляются в явном виде, поэтому предпочтительнее решать задачу (4.196).

4.7.1. Уравнения для амплитуд азимутальных гармоник. С помощью разложений (4.209) для и (4.215) для находим представление интеграла столкновений (4.197) в виде ряда Фурье:

m m (4.234) B(p, z,, ) = Bc (p, z, ) cos m + Bs (p, z, ) sin m m= с амплитудами азимутальных гармоник (z) =s m m (p, z, ) m (z,, ) d = Bc (p, z, ) m c s (z) (k + m)! m (z)m (p, z)Pk () ;

m (4.235) = m 2k + 1 (k m)! k ck k=m 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник (z) = (1 m0 ) s m m (p, z, ) m (z,, ) d = Bs (p, z, ) m s s (z) (k + m)! m = (1 m0 ) (z)m (p, z)Pk ().

m (4.236) m 2k + 1 (k m)! k sk k=m Подставим разложения (4.209), B (4.234) и F (4.224) в уравнение (4.204), выделим нулевую азимутальную гармонику, воспользуемся тригонометриче скими равенствами и найдем эквивалентную запись:

0c + [t (z) i sin (px cos + py sin )] 0 + c z m m c s + t (z)m + t (z)m + cos m + sin m c s z z m=1 m= i sin {px [cos(m 1) + cos(m + 1)] + py [sin(m + 1) m= i sin sin(m {px [sin(m 1) + sin(m + 1)] + 1)]} m c m= + py [cos(m 1) cos(m + 1)]} m = s Bc cos m + Bs sin m + Fc0 + m m Fcm cos m + Fs sin m.

m = Bc + (4.237) m=1 m= Построение уравнений для амплитуд азимутальных гармоник можно осуществить одним из двух эквивалентных способов: либо проинтегрировать уравнение (4.237) по азимуту [0, 2] с весами cos m и sin m, используя условия ортогональности азимутальных гармоник, либо приравнять выраже ния при одинаковых тригонометрических функциях, содержащих азимут.

Приравняем выражения при одинаковых азимутальных функциях и по лучим искомые уравнения для азимутальных гармоник:

0 ip sin 1 ip sin + t (z)0 x c y c s = Bc + Fc0 ;

(4.238) c 2 z при cos 1 ip sin 2 ip sin + t (z)1 ipx sin 0 x c y c s = Bc + Fc1 ;

(4.239) c c 2 z при sin 1 ip sin 2 ip sin + t (z)1 ipy sin 0 x s + y s 1 c = Bs + Fs ;

(4.240) s c 2 z 326 Глава 4. Комплексное уравнение переноса при cos m, m 2:

m i sin c + t (z)m px (m+1 + m1 ) + py (m+1 m1 ) = c c c s s z = Bc + Fcm ;

m (4.241) при sin m, m 2:

m i sin s + t (z)m px (m1 + m+1 ) + py (m1 m+1 ) = s s s c c z m m (4.242) = Bs + Fs.

Систему уравнений (4.238)–(4.242) можно записать в обобщенной форме:

для m m i sin c + t (z)m px m+1 + (1 m0 )(1 + m1 )m1 + c c c z + py m+1 (1 m0 )(1 m1 )m1 = Bc + Fcm ;

m (4.243) s s для m m i sin s + t (z)m px m+1 + (1 m1 )m1 + s s s z + py (1 + m1 )m1 m+1 m m (4.244) = Bs + Fs.

c c Проинтегрируем уравнение (4.237) по азимуту [0, 2] с весом cos k, k 0, воспользовавшись условиями ортогональности азимутальных гармоник, и в результате получаем систему уравнений (k 0):

k ip sin + t (z)k x c (1 + k0 )k+1 + (1 + k0 ) c c z ip sin + (1 k0 )(1 + k1 )k1 y (1 + k0 )k+ c s (1 k0 )(1 k1 )k1 = (1 + k0 )Bc + (1 + k0 )Fck.

k (4.245) s Эти уравнения отличаются от уравнений (4.243) наличием множителя (1+k0 ), который можно опустить, поскольку при k = 0 на этот множитель можно сократить обе части уравнения (4.245).

4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник Проинтегрируем уравнение (4.237) по азимуту [0, 2] с весом sin k, 1, и учтем ортогональность азимутальных гармоник:

k ms + t (z)m ipy sin [k1 ] km s c z m= ipy sin ipx sin [k,m+1 k,m1 ] m [k,m1 + c 2 m=1 m= + k,m+1 ] m = m m km [Bs + Fs ].

s m= В результате для k 1 имеет место система уравнений k ip sin + t k x s k+1 + (1 k1 )k s s s z ip sin y (1 + k1 )k1 k+1 = Bs + Fs, k k (4.246) c c которая совпадает с системой уравнений (4.244).

Если уравнение (4.196) для ПЧХ берется в виде + [t (z) (ip) sin cos ] = B, (4.247) z то имеет место азимутальная симметрия (p, z,, ) = (p, z,, 2 ) и в разложениях (4.209), B (4.234) остаются только члены с cos m.

Система уравнений (4.238)–(4.242) упрощается:

0 ip sin c + t (z)0 c = Bc + Fc0 ;

(4.248) c z 1 ip sin c + t (z)1 20 + 2 = Bc + Fc1 ;

(4.249) c c c z m ip sin c + t (z)m (m+1 + m1 ) = Bc + Fcm.

m (4.250) c c c z В отличие от одномерной плоской задачи уравнения для амплитуд азиму тальных гармоник ПЧХ не расщепляются.

4.7.2. Уравнения для амплитуд сферических гармоник. Уравнения для амплитуд сферических гармоник можно получить двумя способами: исходя из уравнения (4.204) или из системы уравнений для азимутальных гармо ник (4.243)–(4.244).

328 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Воспользуемся разложениями по сферическим функциям k m (p, z)Ck (, ) + m (p, z,, ) = ck k=0 m= + (1 m0 )(1 k0 )m (p, z)Sk (, ) ;

m (4.251) sk k m m m (z, cos ) = k (z) [Ck (, )Ck (, ) + k=0 m= + (1 m0 )(1 k0 )Sk (, )Sk (, )] ;

m m (4.252) k F (s ;

p, z,, ) = Fck (s ;

p, z)Ck (, ) + m m k=0 m= + (1 m0 )(1 k0 )Fsk (s ;

p, z)Sk (, ) m m (4.253) и получим аналогичные представления для интеграла столкновений:

2 (z) B(p, z,, ) = s (p, z,, )(z, cos ) d d = 0 k 1 + m0 (k + m)! m s (z) (z) = 2k + 1 (k m)! k k=0 m= + (1 m0 )(1 k0 )m (p, z)Sk (, )]. (4.254) [m (p, z)Ck (, ) m m ck sk Подставим разложения (4.251), (4.252), F (4.253), B (4.254) в уравнение (4.204):

k dm m (z) 1 + m0 (k + m)! m Ck (, ) + t (z) s ck (z) 4 2k + 1 (k m)! k dz k=0 m= m (p, z)Ck (, ) ipx sin cos m (p, z)Ck (, ) m m ck ck k dm m sk ipy sin sin m (p, z)Ck (, ) + m Sk (, ) + ck dz k=1 m= s (z) 1 + m0 (k + m)! m + t (z) (z) m (p, z)Sk (, ) m 2k + 1 (k m)! k sk ipx sin cos m (p, z)Sk (, ) ipy sin sin m (p, z)Sk (, ) m m = sk sk k k Fck (s ;

p, z)Ck (, ) Fsk (s ;

p, z)Sk (, ). (4.255) m m m m = + k=1 m= k=0 m= 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник i Умножим равенство (4.255) на Cj (, ), 0 j, и проинтегрируем i на сфере с [0, ] и [0, 2]. Воспользуемся явными выражениями интегралов со сферическими функциями и в результате находим систему уравнений (0 i j):

i (j + i + 1)! dc,j+ 2(1 + i0 )(1 j 0 ) 2(1 + i0 ) + (2j + 1)(2j + 3) (j i)! dz di 1 (j + i)! c,j (1 ij ) + (2j 1)(2j + 1) (j i 1)! dz s (z) 1 + i0 (i + j)! i + t (z) 2(1 + i0 ) (z) 2 2j + 1 (j i)! j (2j + 1) (j + i)!

i ipx (1 i0 )(1 j 0 )(1 + i1 ) cj (j i)!

1 (j + i)! i1 (j + i)! i c,j1 + (2j 1)(2j + 1) (j i)! (2j + 1)(2j + 3) (j i)! c,j+ 1 (j + i + 2)! i+ c,j+1 (1 j 0 )(1 j1 ) + (1 + i0 ) (2j + 1)(2j + 3) (j i)!

1 (j + i)!

(1 i,j1 )(1 ij ) i+ (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! c,j 1 (j + i + 2)! i+ ipy (1 + i0 ) s,j+1 (1 j 0 )(1 j1 ) (2j + 1)(2j + 3) (j i)!

1 (j + i)!

(1 i,j1 )(1 ij ) i+ (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! s,j 1 (j + i)! i (1 i0 )(1 i1 )(1 j 0 )(1 j1 ) (2j 1)(2j + 1) (j i)! s,j 1 (j + i)! i1 (j + i)! i = 2(1 + i0 ) F. (4.256) 2j + 1 (j i)! cj (2j + 1)(2j + 3) (j i)! s,j+ i Умножим равенство (4.255) на Sj (, ), 1 i j, и проинтегрируем на сфере с [0, ] и [0, 2]. С помощью явных выражений интегралов в итоге получаем систему уравнений (1 i j):

i (j + i + 1)! ds,j+ + (1 j1 ) (2j + 1)(2j + 3) (j i)! dz i (j + i)! ds,j (1 ij ) + (2j 1)(2j + 1) (j i 1)! dz 1 s (z) (i + j)! i (j + i)! i + t (z) j (z) (2j + 1) (j i)! sj 2 2j + 1 (j i)!

330 Глава 4. Комплексное уравнение переноса 1 (j + i + 2)! i+ ipx s,j+1 (1 j1 )(1 i,j1 )(1 ij ) (2j + 1)(2j + 3) (j i)!

1 (j + i)!

i+1 + (1 i1 ) (1 j1 ) (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! s,j1 (2j 1)(2j + 1) (j + i)! i1 (j + i)! i s,j1 (j i)! (2j + 1)(2j + 3) (j i)! s,j+ ipy (j + i)! i (1 + i1 ) (2j 1)(2j + 1) (j i)! c,j 1 1 (j + i + 2)! i+ (j + i)! i c,j+ (2j + 1)(2j + 3) (j i)! c,j+1 (2j + 1)(2j + 3) (j i)!

1 (j + i)!

(1 j1 )(1 i,j1 )(1 ij ) i+1 = (2j 1)(2j + 1) (j i 2)! c,j 1 (j + i)! i (4.257) = F.

2j + 1 (j i)! sj Подставим разложения по присоединенным функциям Лежандра азиму тальных гармоник m, m (4.210), Bc (4.235), Bs (4.236), m (4.216), m m c s m (4.225), F m (4.226) в уравнения (4.243) и (4.244):

Fc s для m dm i sin ck + t m Pk m+1 Pk m+ m (1+m0 ) px (1 + m0 ) + ck ck dz k=m k=m+ + (1 m0 )(1 + m1 ) m1 Pk m m+1 Pk m+ + py (1 + m0 ) ck sk k=m1 k=m+ s (1 + m0 ) (k + m)! m (1 m0 )(1 m1 ) m1 Pk m = 2k + 1 (k m)! k sk k=m1 k=m m Pk + (1 + m0 ) m mm (4.258) Fck Pk ;

ck k=m для m dm i sin sk + t m Pk m+1 Pk m+ m px + sk sk dz k=m k=m+ + (1 m1 ) m1 Pk m m1 Pk m + py (1 + m1 ) sk ck k=m1 k=m s (k + m)! m m m m+1 Pk m+1 mm = P + Fsk Pk.

2k + 1 (k m)! k sk k ck k=m+1 k=m k=m (4.259) 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник С помощью рекуррентных соотношений для присоединенных функций Лежандра в уравнениях (4.258), (4.259) освобождаемся от множителей и sin, одновременно приводим все присоединенные функции Лежандра к одному верхнему индексу, равному m:

для m dm km+1 m k+m m ck (1+m0 ) Pk+1 +(1k0 )(1km ) P + 2k+1 k 2k+ dz k=m s (1+m0 ) (k+m)! m t m Pk m +(1+m0 ) 2(2k+1) (km)! k ck k=m ip (k+m)(k+m+1) m (km)(km+1) m x Pk1 Pk+1 m+1 + (1+m0 ) ck 2 2k+1 2k+ k=m+ +(1m0 )(1+m1 ) 1 Pk+1 (1k0 )(1k1 )(1km ) P m m m 2k+1 k1 ck 2k+ k=m ipy (k+m)(k+m+1) m (km)(km+1) m Pk1 Pk+1 m+ (1+m0 ) sk 2 2k+1 2k+ k=m+ (1m0 )(1m1 ) P m (1k0 )(1k1 )(1km ) 2k+1 k+ k=m P m m1 =(1+m0 ) mm (4.260) Fck Pk ;

2k+1 k1 sk k=m для m dm km+1 m k+m m sk Pk+1 + (1 km ) t P + 2k + 1 k 2k + dz k=m k=m (k + m)(k + m + 1) m s (k + m)! m ip m Pk x Pk m 2(2k + 1) (k m)! k sk 2 2k + k=m+ (k m)(k m + 1) m Pk+1 m+1 + (1 m1 ) Pm 2k + 1 k+ sk 2k + k=m 1 ipy (1 k1 )(1 km ) (1 + m1 ) P m m 2k + 1 k1 sk 1 P m (1 k0 )(1 k1 )(1 km ) P m m 2k + 1 k+1 2k + 1 k1 ck k=m (k m)(k m + 1) m (k + m)(k + m + 1) m Pk1 Pk+1 m+1 mm = Fsk Pk.

ck 2k + 1 2k + k=m+1 k=m (4.261) 332 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Проинтегрируем уравнения (4.260) и (4.261) по [1, 1] с весом Pjm () и воспользуемся свойствами ортогональности присоединенных функций Лежандра:

для 0 m j 2 (k + m + 1)!

(1 j 0 )k,j (1 + m0 ) + (2k + 1)(2k + 3) (k m)!

k=m dm 2 (k + m)! ck + (1 k0 )(1 km )k,j+1 + (2k 1)(2k + 1) (k m 1)! dz 2 1 + m0 (k + m)! m (k + m)!

t s m + (1 + m0 ) kj 2 2k + 1 (k m)! k ck 2k + 1 (k m)!

k=m 2 (k + m + 1)!

ipx (1 + m0 ) k,j+ (2k 1)(2k + 1) (k m 1)!

k=m+ 2 (k + m + 1)!

(1 j 0 )k,j1 m+1 + (2k + 1)(2k + 3) (k m 1)! ck 2 (k + m + 1)!

+ (1 m0 )(1 + m1 ) (1 j 0 )k,j1 (2k + 1)(2k + 3) (k m 1)!

k=m (k + m 1)!

(1 k0 )(1 k1 )(1 km )k,j+1 m (2k 1)(2k + 1) (k m 1)! ck 2 (k + m + 1)!

ipy (1 + m0 ) k,j+ (2k 1)(2k + 1) (k m 1)!

k=m+ 2 (k + m + 1)!

(1 j 0 )k,j1 m+ (2k + 1)(2k + 3) (k m 1)! sk 2 (k + m + 1)!

(1 m0 )(1 m1 ) (1 j 0 )k,j1 (2k + 1)(2k + 3) (k m + 1)!

k=m (k + m 1)!

(1 k0 )(1 k1 )(1 km )k,j+1 m1 = (2k 1)(2k + 1) (k m 1)! sk 2 (k + m)! m (4.262) = (1 + m0 ) kj F;

2k + 1 (k m)! ck k=m для 1 m j 2 (k + m + 1)!

(1 j1 )k,j1 + (1 km )k,j+ (2k + 1)(2k + 3) (k m)!

k=m dm 2 2 (k + m)!

(k + m)! sk t + kj (2k 1)(2k + 1) (k m 1)! 2k + 1 (k m)!

dz k=m 4.7. Математические модели азимутальных и сферических гармоник 2 (k + m + 1)!

s (k + m)! m ip (z) m x k,j+ 2(2k + 1) (k m)! k sk (2k 1)(2k + 1) (k m 1)!

k=m+ 2 (k + m + 1)!

(1 j1 )k,j1 m+1 + (2k + 1)(2k + 3) (k m 1)! sk 2 (k + m + 1)!

+ (1 m1 ) (1 j1 )k,j1 (1 k1 ) (2k + 1)(2k + 3) (k m + 1)!

k=m (k + m 1)!

(1 km )k,j+1 m (2k 1)(2k + 1) (k m 1)! sk 2 (k + m + 1)!

ip y (1 k0 )(1 k1 ) (1 + m1 ) k,j (2k+1)(2k+3) (k m + 1)!

k=m 2 (k+m1)!

(1 km )k,j+1 m1 k,j+ ck (2k1)(2k+1) (km1)!

k=m+ 2 (k + m + 1)! (1 j1 )k,j1 (2k 1)(2k + 1) (k m 1)! (2k + 1)(2k + 3) (k + m + 1)! 2 (k + m)! m m+1 (4.263) = kj F.

2k + 1 (k m)! sk (k m 1)! ck k=m Учтем диапазоны изменения индексов, сократим на общий множитель {[(j + m)!/(j m)!] /(2j + 1)} уравнения (4.262), (4.263) и в результате получим искомую систему уравнений для амплитуд сферических гармоник ПЧХ. Введем коэффициенты jm j+m+1 am = bm = ;

;

gj = ;

j j 2j 1 2j 2j + (j m 1)(j m) (j + m + 1)(j + m + 2) cm = dm = ;

j j 2j 2j + и тогда систему уравнений можно записать в следующем виде:

для 0 m j dm dm c,j1 c,j+ (1 + m0 ) (1 j 0 )(1 jm )am + [t (z) + bm j j dz dz ipx s (z)hm j m (1 + m0 ) cm m+1 (1 j 0 )(1 j1 ) m j cj j c,j+ (1 jm )(1 j,m+1 ) d m m+1 + (1 m0 )(1 j 0 )(1 + m1 ) j c,j ipy gj1 m1 gj+1 m1 (1 + m0 ) cm m+ j c,j1 c,j+1 s,j+ (1 j 0 )(1 j1 )(1 jm )(1 j,m+1 )dm m+ j s,j 334 Глава 4. Комплексное уравнение переноса (1 m0 )(1 m1 )(1 j 0 )(1 j1 ) gj1 m1 gj+1 m1 = s,j1 s,j+ m (4.264) = (1 + m0 )Fcj ;

для 1 m j dm dm s,j1 s,j+ (1 j1 )(1 jm )am + t (z) s (z)hm j m + bm m j j j sj dz dz ipx cm m+1 (1 j1 )(1 jm )(1 j,m+1 ) d m m+1 + j j s,j+1 s,j + (1 m1 ) (1 j1 )gj1 m1 gj+1 m1 s,j1 s,j+ ipy (1 + m1 ) gj1 m1 gj+1 m1 cm m+1 + j c,j1 c,j+1 c,j+ + (1 j1 )(1 jm )(1 j,m+1 ) d m m+1 = Fsj.

m (4.265) j c,j Система уравнений (4.264)–(4.265) является системой уравнений для амплитуд сферических гармоник наиболее общего вида. Из нее можно получать различные приближения, учитывающие азимутальную симметрию, наличие одного или двух параметров px, py, а также любые приближения низких порядков (например, P1 - или P2 -приближения).

§ 4.8. Приближенные математические модели расчета пространственно-частотных характеристик Будем рассматривать краевую задачу + [ (z) ib] (p, z,, ) = B(p, z,, ) + F (p, z,, ), t z (4.266) = 0, = fH, 0 H из которой получается задача (4.196), если положить F 0, fH = 1, или задача (4.199), если F = 0 (4.200), fH = 0.

4.8.1. Pn -приближение метода сферических гармоник. Общий случай.

Если ограничиться приближением = 0 + 1 cos, c c то остаются только уравнения 0 sin c + t (z)0 ip c = Bc + Fc0, c z 1 c + t (z)1 ip sin 0 = Bc + Fc1.

c c z 4.8. Приближенные математические модели расчета Как и в случае одномерной плоской задачи, равномерное приближение непрерывного решения задачи (4.266), заданного на сфере в каждой про странственной точке, линейными комбинациями сферических функций k m (p, z)Ck (, )+ m (p, z,, ) = ck k=0 m= + (1 m0 )(1 k0 )m (p, z)Sk (, ), m (4.267) sk где m m m m Ck (, ) = Pk () cos m, Sk (, ) = Pk () sin m, приводит к разделению переменных z,,. Воспользуемся сформулирован ной выше системой обыкновенных дифференциальных уравнений наиболее общего вида (4.264)–(4.265) для нахождения амплитуд сферических гармоник разложения (4.267). Эта система уравнений в Pn -приближении, когда в разложении (4.267) берется n k (p, z,, ) (n) (p, z,, ) = m (p, z)Pk () cos m + m ck k=0 m= n k m (p, z)Pk () sin m, m (4.268) + sk k=1 m= содержит (n + 1)2 уравнений с (n + 1)2 искомыми сферическими гармониками с амплитудами m, m, 0 и 1 (4.269) m k n, m k n.

ck sk При этом отбрасываются уравнения с k n. Некоторые гармоники из набора (4.269) будут входить в отброшенные уравнения: число уравнений системы (4.264)–(4.265), содержащих (n + 1)2 сферических гармоник (4.269), вообще говоря, больше числа искомых величин, т. е. полная система урав нений с гармониками (4.269) является переопределенной. Для корректности формулировки Pn -приближения (4.268) выбор уравнений системы однозначно определяется диапазоном изменения индексов, указанным в (4.269). Более подробно рассмотрим P2 - и P1 -приближения.

4.8.2. P2 - и P1 -приближения. Общий случай. Если ограничиться набором индексов m = {0, 1, 2}, k = {0, 1, 2}, m k, то в системе (4.264)–(4.265) останутся только следующие уравнения:

m = 0, k = 0:

1 d0 ip ip + t s 0 0 x 1 y 1 = Fc0 ;

c1 0 (4.270) c1 s c 3 dz 3 336 Глава 4. Комплексное уравнение переноса m = 0, k = 1:

2 d0 d0 1 3 c2 c + t s 1 0 ipx 1 ipy 1 = Fc1 ;

0 (4.271) + c1 c2 5 s 5 dz 3 dz m = 0, k = 2:

23 3 d0 2 d0 1 c c + t s 2 0 ipx c3 + 3 c c 7 dz 3 dz 5 23 1 ipy s3 1 = Fc2 ;

(4.272) 3 s m = 1, k = 1:

23 3 d1 1 c + t s 1 1 ipx c2 + 0 c1 c0 5 c 5 dz 3 23 ipy (4.273) s2 = Fc1 ;

m = 1, k = 1:

23 3 d1 s + t s 1 1 ipx s s 5 dz 3 23 ipy 0 0 (4.274) c2 = Fs1 ;

c0 c 5 m = 1, k = 2:

25 4 d1 1 d1 3 10 c c + t s 2 1 ipx 0 + c + 3 c c2 7 c 7 dz 3 dz 5 25 ipy (4.275) s3 = Fc2 ;

m = 1, k = 2:

25 4 d1 1 d1 s3 s + t s 2 1 ipx s + s 7 dz 3 dz 5 25 10 ipy 0 (4.276) c3 = Fs2 ;

3 c1 7 c3 m = 2, k = 2:

34 56 5 d2 ip 1 1 s 2 2 x c + t c1 1 + c c2 c 7 dz 5 23 7 ip 5 6 3 1 y s3 1 + 1 = Fc2 ;

(4.277) 3 s1 7 s 2 m = 2, k = 2:

34 56 5 d2 ip 1 1 s 2 2 x s + t 1 + s 2 3 s1 7 s s 7 dz 5 56 ip 1 1 y c1 1 (4.278) c3 = Fs2.

c 23 7 4.8. Приближенные математические модели расчета В систему из 9 уравнений (4.270)–(4.278) входит набор из 16 сферических гармоник с амплитудами:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, c c1 c2 c3 c2 c c0 c2 c3 c 1, 1, 1, 2, 2, 3, (4.279) s1 s2 s3 s2 s3 s через которые определяется разложение 3 3 3 (3) m Pk m m Pk, m (4.280) = cos m + sin m ck sk k=m m=1 k=m m= совпадающее с P3 -приближением. Чтобы найти все 16 сферических гармоник в разложении (4.280), к системе уравнений (4.270)–(4.280) нужно дополнить еще 7 уравнений, выбор которых не однозначен.

В P2 -приближении имеем (2) = 0 + 0 P1 + 0 P2 + 1 P11 + 1 P2 cos + c c1 c c0 c + 2 P2 cos 2 + 1 P11 + 1 P2 sin + 2 P2 sin 2, (4.281) 2 1 s c2 s2 s т. е. необходимо найти набор из 9 сферических гармоник с амплитудами 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2. (4.282) c1 s c1 c2 c2 s2 s c0 c Для этого достаточно разрешить уравнения (4.270)–(4.278), опустив члены с амплитудами гармоник 0, 1, 2, 3, 1, 2, 3.

c3 c3 s3 s c3 c3 s В результате система уравнений для амплитуд сферических гармо ник (4.270)–(4.278) в P2 -приближении принимает следующий вид:

m = 0, k = 0:

1 d0 ip ip + t s 0 0 x 1 y 1 = Fc0 ;

c1 0 (4.283) c1 s c 3 dz 3 m = 0, k = 1:

2 d0 d0 1 3 c2 c + t s 1 0 ipx 1 ipy 1 = Fc1 ;

0 (4.284) + c1 c2 5 s 5 dz 3 dz m = 0, k = 2:

2 d0 1 ip ip + t s 2 0 + x 1 + y 1 = Fc2 ;

c1 0 (4.285) c1 s c 3 dz 5 3 m = 1, k = 1:

23 3 d1 1 c + t s 1 1 ipx c2 + 0 c1 c0 5 c 5 dz 3 23 ipy (4.286) s2 = Fc1 ;

338 Глава 4. Комплексное уравнение переноса m = 1, k = 1:

23 3 d1 s + t s 1 1 ipx s s 5 dz 3 23 ipy 0 c2 (4.287) c2 = Fs1 ;

c0 5 m = 1, k = 2:

1 d1 3 ip + t s 2 1 x 0 = Fc2 ;

c1 1 (4.288) c c 3 dz 5 m = 1, k = 2:

1 d1 3 ip + t s 2 1 y 0 = Fs2 ;

s1 1 (4.289) c s 3 dz 5 m = 2, k = 2:

34 ipx ipy t s 2 1 + 1 = Fc2 ;

(4.290) c 2 3 s c m = 2, k = 2:

34 ipx ipy t s 2 2 1 = Fs2.

(4.291) 2 3 s1 2 3 c s В P1 -приближении (1) = 0 + 0 P1 + 1 P11 cos + 1 P11 sin, (4.292) c1 c1 s c т. е. нужно найти набор из 4-х сферических гармоник с амплитудами 0, 0, 1, 1. (4.293) c1 s c c Если в системе уравнений (4.283)–(4.291) опустить члены с индексами, больше 1, то получим m = 0, k = 0:

d0c + 3 t s 0 0 ipx 1 ipy 1 = 3 Fc0 ;

0 (4.294) c1 s c dz m = 0, k = 1:

d0 c + t s 1 0 = Fc1 ;

0 (4.295) c dz m = 0, k = 2:

d0c + ipx 1 + ipy 1 = 3 Fc2 ;

2 (4.296) c1 s dz m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipx 0 = Fc1 ;

1 (4.297) c1 c m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipy 0 = Fs1 ;

1 (4.298) s1 c m = 1, k = 2:

d1c ipx 0 = 3 Fc2 ;

(4.299) c dz 4.8. Приближенные математические модели расчета m = 1, k = 2:

d1s ipy 0 = 3 Fs2 ;

(4.300) c dz m = 2, k = 2:

ipx 1 + ipy 1 = 6 Fc2 ;

(4.301) c1 s m = 2, k = 2:

ipx 1 ipy 1 = 6 Fs2.

(4.302) s1 c Заметим, что если правая часть уравнений (4.294)–(4.302) берется тоже в P1 -приближении, то надо положить 0 1 1 2 Fc2 = Fc2 = Fs2 = Fc2 = Fs2 = 0, (4.303) и тогда обнуляется правая часть при k = 2:

m = 0, k = 2:

d0c + ipx 1 + ipy 1 = 0 ;

2 (4.304) c1 s dz m = 1, k = 2:

d1c ipx 1 = 0 ;

(4.305) c dz m = 1, k = 2:

d1s ipy 0 = 0 ;

(4.306) c dz m = 2, k = 2:

px 1 py 1 = 0 ;

(4.307) c1 s m = 2, k = 2:

px 1 + py 1 = 0. (4.308) s1 c В систему (4.294)–(4.302) включены все уравнения из системы (4.264)– (4.265), содержащие сферические гармоники из набора (4.293) для P1 приближения. Система (4.294)–(4.302) переопределена: 9 уравнений содержат 4 неизвестные величины. Корректно P1 -приближение описывается системой из 4-х уравнений:

m = 0, k = 0:

d0c + 3 t s 0 0 ipx 1 ipy 1 = 3 Fc0 ;

0 (4.309) c1 s c dz m = 0, k = 1:

d0 c + t s 1 0 = Fc1 ;

0 (4.310) c dz m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipx 0 = Fc1 ;

1 (4.311) c1 c m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipy 0 = Fs1.

1 (4.312) s1 c 340 Глава 4. Комплексное уравнение переноса 4.8.3. P2 - и P1 -приближения при параметре py = 0. Можно показать, что с помощью соответствующих преобразований достаточно рассчитывать ПЧХ с одним параметром px = 0, полагая в расчетах py = 0. Необходимые распределения по паре пространственных частот px = 0, py = 0 можно получить через однопараметрические результаты.

Если полагается py = 0, то система уравнений (4.270)–(4.278) преобра зуется к виду m = 0, k = 0:

1 d0 ip + t s 0 0 x 1 = Fc0 ;

c1 0 (4.313) c c 3 dz m = 0, k = 1:

2 d0 d0 1 c2 c + t s 1 0 ipx 1 = Fc1 ;

0 (4.314) + c 5 c 5 dz dz m = 0, k = 2:

23 3 d0 2 d0 1 c c + t s 2 0 ipx c3 1 = Fc2 ;

0 (4.315) + 3 c c 7 dz 3 dz 5 m = 1, k = 1:

23 3 d1 1 c + t s 1 1 ipx 0 0 + 1 (4.316) c2 = Fc1 ;

c1 c0 5 c 5 dz 3 m = 1, k = 1:

23 3 d1 s + t s 1 1 ipx 1 (4.317) s2 = Fs1 ;

s 5 dz 3 m = 1, k = 2:

25 4 d1 1 d1 3 10 c c + t s 2 1 ipx 0 + 1 + c3 = Fc2 ;

3 c1 7 c c 7 dz 3 dz 5 (4.318) m = 1, k = 2:

25 4 d1 1 d1 s s + t s 2 1 ipx 1 (4.319) + s3 = Fs2 ;

s 7 dz 3 dz 5 m = 2, k = 2:

34 56 5 d2 11 ip s 2 2 x c + t c1 1 + 2 c3 = Fc2 ;

c2 c 7 dz 5 2 3 7 (4.320) m = 2, k = 2:

34 56 5 d2 11 ip s 2 2 x s + t s1 1 + 2 s3 = Fs2.

s2 s 7 dz 5 2 3 7 (4.321) 4.8. Приближенные математические модели расчета В систему из 9 уравнений (4.313)–(4.321) входят те же 16 сферических гармоник (4.279), что и в систему (4.270)–(4.278) с py = 0. P2 -приближение определяется из системы, в которой опущены члены с индексами, больше 2:

m = 0, k = 0:

1 d0 ip + t s 0 0 x 1 = Fc0 ;

c1 0 (4.322) c c 3 dz m = 0, k = 1:

2 d0 d0 1 c2 c + t s 1 0 ipx 1 = Fc1 ;

0 (4.323) + c 5 c 5 dz dz m = 0, k = 2:

2 d0 1 ip + t s 2 0 + x 1 = Fc2 ;

c1 0 (4.324) c c 3 dz 5 m = 1, k = 1:

23 3 d1 1 c + t s 1 1 ipx 0 0 + 1 (4.325) c2 = Fc1 ;

c1 c0 c 5 dz 3 5 m = 1, k = 1:

23 3 d1 s + t s 1 1 ipx 1 (4.326) s2 = Fs1 ;

s 5 dz 3 m = 1, k = 2:

1 d1 3 ip + t s 2 1 x 0 = Fc2 ;

c1 1 (4.327) c c 3 dz 5 m = 1, k = 2:

1 d1 s + t s 2 1 = Fs2 ;

1 (4.328) s 3 dz m = 2, k = 2:

34 ipx t s 2 1 = Fc2 ;

(4.329) 2 3 c c m = 2, k = 2:

34 ipx t s 2 1 = Fs2.

(4.330) 2 3 s s Если опустить члены с индексами, больше 1, при py = 0 система(4.322)– (4.330) приводится к виду m = 0, k = 0:

d0c + 3 t s 0 0 ipx 1 = 3 Fc0 ;

0 (4.331) c c dz m = 0, k = 1:

d0 c + t s 1 0 = Fc1 ;

0 (4.332) c dz m = 0, k = 2:

d0c + ipx 1 = 3 Fc2 ;

2 (4.333) c dz m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipx 0 = Fc1 ;

1 (4.334) c1 c m = 1, k = 1:

t s 1 1 = Fs1 ;

1 (4.335) s 342 Глава 4. Комплексное уравнение переноса m = 1, k = 2:

d1c ipx 0 = 3 Fc2 ;

(4.336) c dz m = 1, k = 2:

d1s1 = 3 Fs2 ;

(4.337) dz m = 2, k = 2:

ipx 1 = 6 Fc2 ;

(4.338) c m = 2, k = 2:

ipx 1 = 6 Fs2.

(4.339) s Остается 9 уравнений с 4 неизвестными. При условии (4.303) уравнения для k = 2 принимают следующий вид:

m = 0, k = 2:

d0c + ipx 1 = 0 ;

2 (4.340) c dz m = 1, k = 2:

d1c ipx 0 = 0 ;

(4.341) c dz m = 1, k = 2:

d1s = 0;

(4.342) dz m = 2, k = 2:

px 1 = 0 ;

(4.343) c m = 2, k = 2:

px 1 = 0. (4.344) s Система уравнений (4.331)–(4.339), так же как и система уравне ний (4.294)–(4.302), переопределена. Корректно P1 -приближение определяется как решение системы из 4 уравнений m = 0, k = 0:

d0 c + 3 t s 0 0 ipx 1 = 3 Fc0 ;

0 (4.345) c c dz m = 0, k = 1:

d0 c + t s 1 0 = Fc1 ;

0 (4.346) c dz m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipx 0 = Fc1 ;

1 (4.347) c1 c m = 1, k = 1:

t s 1 1 = Fs1.

1 (4.348) s 0 1 1 2 При этом сферические гармоники источника Fc2, Fc2, Fs2, Fc2, Fs2 автома тически не учитываются.

4.8.4. P2 - и P1 -приближения при азимутальной симметрии. В случае краевой задачи (4.196) имеет место азимутальная симметрия (p, z,, ) = (p, z,, 2 ) (4.349) 4.8. Приближенные математические модели расчета и в разложении (4.267) достаточно оставить только конусоидальные сфери ческие функции. Тогда Pn -приближение определяется суммой n k (p, z,, ) (n) (p, z,, ) = m (p, z)Pk () cos m, m (4.350) ck k=0 m= коэффициенты которой определяются системой [(n + 1)(n + 2)/2] уравнений.

ПЧХ можно находить как решение уравнения с одним параметром (полагаем p = px ):

+ [t (z) (ip) sin cos ] = B. (4.351) z В таком случае система (4.270)–(4.278) преобразуется к системе из уравнений:

m = 0, k = 0:

1 d0 ip + t s 0 0 x 1 = Fc0 ;

c1 0 (4.352) c c 3 dz m = 0, k = 1:

2 d0 d0 1 c2 c + t s 1 0 ipx 1 = Fc1 ;

0 (4.353) + c1 5 c 5 dz dz m = 0, k = 2:

23 3 d0 2 d0 1 c c + t s 2 0 ipx c3 1 = Fc2 ;

(4.354) 0 + 3 c c 7 dz 3 dz 5 m = 1, k = 1:

23 3 d1 1 c + t s 1 1 ipx 0 0 + 1 (4.355) c2 = Fc1 ;

c1 c0 5 c 5 dz 3 m = 1, k = 2:

25 4 d1 1 d1 3 10 c3 c + t s 2 1 ipx c1 0 + 1 + c3 = Fc2 ;

c2 c 7 dz 3 dz 5 3 7 (4.356) m = 2, k = 2:

34 56 5 d2 ip 1 1 s 2 2 x c + t 1 + 2 c3 = Fc2 (4.357) 2 3 c1 7 c c 7 dz 5 и содержит набор из 10 сферических гармоник с амплитудами 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3. (4.358) c c1 c2 c3 c2 c c0 c2 c3 c В P2 -приближении (2) = 0 + 0 P1 + 0 P2 + 1 P11 + 1 P2 cos + 2 P2 cos 1 c c1 c2 c c0 c и в наборе (4.358) останутся 6 сферических гармоник с амплитудами 0, 0, 0, 1, 1, 2, (4.359) c c1 c2 c c0 c которые можно найти из системы как решение системы из 6 уравнений:

344 Глава 4. Комплексное уравнение переноса m = 0, k = 0:

d0c + 3 t s 0 0 ipx 1 = 3 Fc0 ;

0 (4.360) c c dz m = 0, k = 1:

2 d0 d0 1 c2 c + t s 1 0 ipx 1 = Fc1 ;

0 (4.361) + c1 5 c 5 dz dz m = 0, k = 2:

d0 c + 3 t s 2 0 + ipx 1 = 3 Fc2 ;

0 2 (4.362) c c dz m = 1, k = 1:

23 3 d1 1 c + t s 1 1 ipx 0 0 + 1 (4.363) c2 = Fc1 ;

c1 c0 5 c 5 dz 3 m = 1, k = 2:

d1 c + 3 t s 2 1 ipx 0 = 3 Fc2 ;

1 (4.364) c c dz m = 2, k = 2:

6 t s 2 2 ipx 1 = 6 Fc2.

2 (4.365) c c Если опустить сферические гармоники с индексами, больше 1, то си стема (4.360)–(4.365) приведется к виду:

m = 0, k = 0:

d0c + 3 t s 0 0 ipx 1 = 3 Fc0 ;

0 (4.366) c c dz m = 0, k = 1:

d0 c + t s 1 0 = Fc1 ;

0 (4.367) c dz m = 0, k = 2:

d0c + ipx 1 = 3 Fc2 ;

2 (4.368) c dz m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipx 0 = Fc1 ;

1 (4.369) c1 c m = 1, k = 2:

d1c ipx 0 = 3 Fc2 ;

(4.370) c dz m = 2, k = 2:

ipx 1 = 6 Fc2.

(4.371) c Если представление источника ограничить гармониками с индексами, не больше 1, то следует взять уравнения при k = 2 с нулевыми правыми частями:

m = 0, k = 2:

d0c + ipx 1 = 0 ;

2 (4.372) c dz 4.8. Приближенные математические модели расчета m = 1, k = 2:

d1c ipx 0 = 0 ;

(4.373) c dz m = 2, k = 2:

px 1 = 0. (4.374) c Система уравнений (4.331)–(??) из 6 уравнений с 3 неизвестными в P1 -приближении, когда (1) = 0 + 0 P1 + 1 P11 cos = 0 + 0 + 1 sin cos, c1 c c1 c c0 c (4.375) переопределена. Корректно P1 -приближение описывается системой из 3-х уравнений:

m = 0, k = 0:

d c + 3 t s 0 0 ipx 1 = 3 Fc0 ;

0 (4.376) c c dz m = 0, k = 1:

d0 c + t s 1 0 = Fc1 ;

0 (4.377) c dz m = 1, k = 1:

t s 1 1 ipx 0 = Fc1.

1 (4.378) c1 c Автоматически учитываются только сферические гармоники источника в правой части с индексами, не превышающими 1, т. е. в P1 -приближении.

Для общности модели оставляем в правых частях сферические гармоники источника. В случае задачи (4.198) можно положить азимут источника на границе = 0 и перейти к задаче с одним параметром (4.351), когда можно ограничиться Pn -приближением в виде (4.350).

4.8.5. Диффузное приближение для расчета ПЧХ. Система уравне ний (4.376), (4.377), (4.378) – P1 -приближение метода сферических гармо – ник – является системой дифференциально-алгебраического типа. Если с – помощью уравнения (4.378) использовать представление 1 = ipx 0 + Fc (4.379) c1 c 3t s и исключить эту гармонику из уравнения (4.376), то вместо системы парамет рических уравнений (4.376), (4.377), (4.378) с комплексными коэффициентами получим два уравнения с действительными коэффициентами и параметром px :

1 d0 p c1 x t s 0 + 0 = Fc0, (4.380) + c 3t s 3 dz d0 c + t s 1 0 = Fc1, 0 (4.381) c dz ipx Fc0 Fc0 + 0 F1. (4.382) 1 c 3t s 346 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Исключая из системы уравнений (4.380)–(4.381) гармонику с амплитудой d 3 c 0 = F0, (4.383) + c1 0 c 3t s 1 3t s 0 dz получаем параметрическое уравнение типа диффузии для вычисления ампли туды гармоники 0 (px, z) в P1 -приближении c d0 p d x c t s 0 + 0 = c 3t s dz 3t s 1 0 dz d = Fc F0 (4.384).

dz 3t s 1 c Если исключить с помощью уравнения (4.380) гармонику с амплитудой 3t s 1 d c 0 = Fc0, (4.385) c (t s 0 ) (3t s 1 ) + p 0 1 3 dz x то придем к параметрическому диффузионному уравнению для вычисления амплитуды гармоники 0 (px, z) в P1 -приближении:

c 3t s d d c 3t s 1 0 = c dz (t s 0 ) (3t s 1 ) + p2 dz 0 x 3t s d = 3 Fc F0 (4.386).

dz (t s 0 ) (3t s 1 ) + p2 c 0 x В случае краевой задачи (4.196) для ПЧХ слоя с ламбертовой отражающей границей, когда в уравнениях (4.376), (4.377), (4.378) правые части нулевые:

0 0 Fc0 = Fc1 = Fc1 = 0, вместо (4.379) имеем соотношение 3 ipx 1 = 0 (4.387) c 3t s 1 c и после исключения этой гармоники из уравнения (4.376) приходим к системе двух параметрических дифференциальных уравнений с действительными коэффициентами:

1 d0 p c1 x t s 0 + 0 = 0, (4.388) + c 3t s 3 dz d0 c + t s 1 0 = 0.

(4.389) c dz Исключая гармонику с амплитудой d 3 c 0 (px, z) = (4.390), c 3t s 1 dz вместо (4.384) получаем параметрическое уравнение типа диффузии в P1 приближении d0 p d x c t s 0 + 0 = 0. (4.391) c 3t s dz 3t s 1 dz 4.8. Приближенные математические модели расчета Если исключить гармонику с амплитудой 3t s d 1 c 0 (px, z) = (4.392), c0 3 (t s 0 ) (3t s 1 ) + px dz 0 1 то придем к параметрическому диффузионному уравнению в P1 -приближении:

3t s d d c 3t s 1 0 = 0.

(4.393) c dz (t s 0 ) (3t s 1 ) + p2 dz 0 x Уравнения (4.391) и (4.393) – параметрические уравнения типа диффузии с – действительными коэффициентами. Если при этом граничные условия не содержат комплекснозначных величин, то амплитуды гармоник 0 (px, z) c и 0 (px, z) принимают только действительные значения, а гармоника с c амплитудой 1 (px, z) – комплексная.

– c В консервативном слое, когда t (z) = s (z), уравнения (4.380)–(4.381) приводятся к следующему виду:

1 d0 p c1 x 0 = Fc0, (4.394) + t (3 1 ) c 3 dz d0 c + t 1 1 0 = Fc1.

(4.395) c dz Путем исключения амплитуды гармоники 0 (px, z) (4.383) приходим к c параметрическому диффузионному уравнению d0 p 1 d d x c 0 = Fc F0 (4.396), dz t (3 1 ) c t (3 1 ) c dz t (3 1 ) dz 0 которое является частным случаем уравнения (4.384). Как видим, при чистом рассеянии в уравнении (4.384) не возникает особенностей и его можно использовать как при наличии, так и при отсутствии поглощения. Когда параметр px = 0, в правой части (4.396) остается только одно первое слагаемое.

Если исключить амплитуду гармоники (при px = 0) t (3 1 ) 1 d c 0 = Fc0, (4.397) c0 2 3 dz px то амплитуду гармоники 0 можно рассчитывать с помощью уравнения типа c диффузии:

d t (3 1 ) d0 d t (3 1 ) 1 c t 3 1 0 = 3 Fc 0 (4.398) Fc0.

c 2 dz dz dz px px При px = 0 система (4.394)–(4.395) принимает такую форму:

1 d c1 (4.399) = Fc0, 3 dz d0 c + t 1 1 0 = Fc1, (4.400) c dz 348 Глава 4. Комплексное уравнение переноса когда нельзя использовать представление (4.397) для исключения амплитуды гармоники 0. В этом случае сначала определяется амплитуда гармоники c 0 из уравнения (4.399), а затем находится гармоника 0 либо из c1 c уравнения (4.400) либо из уравнения (4.396).

Необходимо отметить, что, поскольку параметр px, следует особо рассматривать три диапазона значений модуля px : (a) px = 0 ;

(b) малые 1;

(c) большие значения |px | 1. На диапазоне (b) значения 0 px предпочтительнее использовать диффузионное уравнение (4.396) для расчета амплитуды гармоники 0, а далее с помощью (4.383) вычислять амплитуду c 0. На диапазоне (c) можно определять амплитуду 0 из уравнения c1 c диффузии (4.398), а потом амплитуду 0 по формуле (4.397). Эти же c диапазоны нужно выделять и в общем случае при наличии поглощения.

4.8.6. Неполное P2 -приближение при азимутальной симметрии. Наи более часто используемой математической моделью расчета ПЧХ является краевая задача + [ (z) ip sin cos ] = B, t z (4.401) = 0, = 0 H с азимутальной симметрией (4.349) и одним параметром p = px. Как и в методе В. В. Соболева, можно искать приближенное решение задачи (4.401) через две азимутальные гармоники:

0 + 1 cos, (4.402) c c которые при 1 = 2 = 2 = Fc0 = Fc1 = 0 удовлетворяют уравнениям:

s c s 0 ip sin + t (z) 0 x c (4.403) c = Bc ;

c z 1 c + t (z) 1 ipx sin 0 = Bc.

(4.404) c c z При этом для каждой из азимутальных гармоник берется два члена в разложениях по сферическим гармоникам 0 0 Pk = 0 + 0 P1 = 0 + 0 ;

(4.405) c c1 c ck c0 c k= 1 1 = 1 P11 + 1 P2 = 1 sin + 1 [3 sin ].

(4.406) Pk c ck c1 c c2 c k= В таком случае решение задачи (4.401) определяется через набор из 4-х сферических гармоник с амплитудами 0, 0, 1, 1, (4.407) c c1 c c (1 ), который больше на одну гармонику чем в P1 -приближении (4.375), c но меньше на две гармоники (0, 2 ), чем в P2 -приближении (4.359).

c c 4.8. Приближенные математические модели расчета Представление (4.405)–(4.406) является неполным P2 -приближением метода сферических гармоник и отличается от приближения В. В. Соболева, которое совпадает с P1 -приближением (4.375) и описывается системой уравнений (4.376), (4.377), (4.378), наличием дополнительной гармоники 1. c Если в индикатрисе рассеяния (4.215) также учесть две азимутальные гармоники:

(z, cos ) = 0 (z,, ) + 1 (z,, ) cos( ), (4.408) каждая из которых представлена разложениями (4.216) 0 (z,, ) = (4.409) k (z)Pk () Pk ( ), k= 1 (z,, ) = 1 1 (4.410) k (z)Pk () Pk ( ), k= то можно воспользоваться системой уравнений (4.360)–(4.365). Полагая 0 = c 2 = 0 и обнуляя правые части всех уравнений, из этой системы оставляем c 4 уравнения:

m = 0, k = 0: d0c + 3 t s 0 0 ipx 1 = 0 ;

(4.411) c c dz m = 0, k = 1: d0 c + t s 1 0 ipx 1 = 0 ;

(4.412) c1 c dz m = 1, k = 1: 3 dc2 + t s 1 1 ipx 0 = 0 ;

(4.413) c1 c 5 dz m = 1, k = 2: dc1 + 3 t s 2 1 ipx 0 = 0.

(4.414) c c dz В разложениях азимутальных гармоник индикатрисы рассеяния (4.409)– (4.410) учитываются два слагаемых:

0 (z,, ) 0 0 k (z)Pk ()Pk ( ) = 0 (z) + 1 (z)P1 ()P1 ( ) = k= 0 (4.415) = 0 (z) + 1 (z) ;

1 (z,, ) k (z)Pk ()Pk ( ) = 1 (z)P11 ()P11 ( )+ 1 1 1 k= 1 1 1 1 (4.416) +2 (z)P2 ()P2 ( ) = 1 (z) sin sin + 2 (z)[9 sin sin ], 0 0 1 0 (z) = 1, (4.417) 1 (z) = 1 (z), 1 (z) = 1 (z), 2 (z) = (z).

Таким образом в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра (4.213) используются только три члена:

(z, cos ) (4.418) k (z)Pk (), k= но такое приближение позволяет полностью учесть рэлеевское рассеяние.

350 Глава 4. Комплексное уравнение переноса В системе (4.411)–(4.414) все уравнения одного типа – это дифферен – циальные уравнения первого порядка, в которых все неизвестные функции представлены одинаково: по одной производной и по одному линейному члену с действительным и комплексным коэффициентами. Так что все гармоники из набора (4.407) являются комплекснозначными и их можно представить в комплексной форме с выделением действительных и мнимых частей:

0 = A1 + iA2, 0 = A3 + iA4, 1 = A5 + iA6, 1 = A7 + iA8, (4.419) c c1 c c где A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 принимают только действительные значения.

Введем обозначения:

b1 (z) = 3 t s 0 = 3 [t (z) s (z)], 1 b2 (z) = t 0 = t (z) s (z)1 (z), 3 s1 1 b3 (z) = t s 1 = t (z) s (z)1 (z), 3 3 b4 (z) = 3 t s 2 = 3 t (z) s (z)2 (z), (4.420) 5 подставим (4.419) в уравнения (4.411)–(4.414) и разделим действительные и мнимые части. В результате система 4-х уравнений (4.411)–(4.414) с комплекснозначными решениями сводится к системе 8 дифференциальных уравнений с действительными решениями:

dA + b2 A3 + px A8 = 0 ;

(4.421) dz dA + b1 A1 + px A6 = 0 ;

(4.422) dz dA + b4 A8 px A3 = 0 ;

(4.423) dz 3 dA + b3 A6 px A1 = 0 ;


(4.424) 5 dz dA + b2 A4 px A7 = 0 ;

(4.425) dz dA + b1 A2 px A5 = 0 ;

(4.426) dz dA + b4 A7 + px A4 = 0 ;

(4.427) dz 3 dA + b3 A5 + px A2 = 0. (4.428) 5 dz Система из 8 уравнений (4.421)–(4.428) естественным образом рас щепляется на две системы по 4 уравнения: первая система – это уравне – ния (4.421)–(4.424) с неизвестными A1, A3, A6, A8, вторая система – это – уравнения (4.425)–(4.428) с неизвестными A2, A4, A5, A7.

Для однородного слоя каждая из систем (4.421)–(4.424) и (4.425)–(4.428) методом Эйлера разрешима в аналитическом виде. При неоднородном слое 4.8. Приближенные математические модели расчета с кусочно-постоянной аппроксимацией вертикальных профилей оптических параметров среды сшивка явных решений для однородных подслоев осуществ ляется при условии непрерывности на их границах, как это делается для решения одномерного уравнения переноса методом В. В. Соболева. Численное решение систем (4.421)–(4.424), (4.425)–(4.428) можно получать разными методами, учитывая диапазоны изменения параметра px.

4.8.7. Граничные условия. Подставим в граничные условия (4.204) ряд Фурье (4.272):

m cos m + (1 m0 )m sin m = 0;

(4.429) c s m= m cos m + (1 m0 )m sin m (4.430) = fH.

c s H m= Проинтегрируем равенства (4.429), (4.430) по азимуту [0, 2] с весами cos k и sin k, k 0:

m km (1 m km = 0;

= 0;

+ k0 ) c s 0 m= m= m km (1 + k0 ) m km = k0 2 fH ;

= c s H H m= m= и получим граничные условия для азимутальных гармоник:

m = 0, m = 0, m = fH m0, m = 0, m 0. (4.431) c s c s 0 0 H H Сформулируем граничные условия Маршака, когда предполагается, что для n = 0, 1,...

на 0 :

1 m (p, 0, )P2n+1 () d m m (p, 0, )P2n+1 () d = 0 ;

m = 0, c s 0 на H :

0 m (p, H, )P2n+1 () d m m (p, H, )P2n+1 () d = 0.

m = fH m0, c s 1 352 Глава 4. Комплексное уравнение переноса Подставим разложения азимутальных гармоник по системе присоединен ных функций Лежандра в условия (4.431):

m (0)Pk m = 0;

(4.432) ck k=m m (0)Pk m = 0;

(4.433) sk k=m m (H)Pk m (4.434) = fH m0 ;

ck H k=m m (H)Pk m = 0. (4.435) sk H k=m Проинтегрируем равенства (4.432), (4.433) по [0, 1] с весом P2n+1 (), m n = 0, 1,..., и воспользуемся явным выражением интеграла от произведения двух присоединенных функций Лежандра:

m (0) m m m (0) k,2n+1 am Pk ()P2n+1 () d = 2n+1,2n+1 + ck ck k=m k=m k,2r am am m am m + = 2n+1,2n+1 c,2n+1 (0) + 2r,2n+1 c,2r (0) 2r,2n+ r=[ m+1 ] и, следовательно, для 0 2n + m am m am m 2r,2n+1 c,2r (0) = 0. (4.436) 2n+1,2n+1 c,2n+1 (0) + m+ r=[ ] Аналогично получаем для 1 2n + m am m am m 2r,2n+1 s,2r (0) = 0 ;

(4.437) 2n+1,2n+1 s,2n+1 (0) + r=[ m+1 ] m + 1, если m – нечетное ;

– m+1 = m, 2 если m – четное.

– 4.8. Приближенные математические модели расчета Равенства (4.434), (4.435) интегрируем по [1, 0] с весом P2n+1 (), m n = 0, 1,...:

m (H)(1)2n+k+12m m (H) m m Pk ()P2n+1 () d = ck ck k=m k=m 1 Pk ()P2n+1 () d = m (H) (1)2n+k+12m k,2n+1 am m m 2n+1,2n+1 + ck k=m 2r,2n+1 = a2n+1,2n+1 c,2n+1 (H) + k,2r am m m am m 2r,2n+1 c,2r (H) r=[ m+1 ] и для 0 2n + 1 получаем m 2n+1,2n+1 c,2n+1 (H) 2r,2n+1 c,2r (H) = fH a0,2n+1 m0, am m am m (4.438) m+ r=[ ] так как 0 P2n+1 () d = a 2n+ P2n+1 () d = (1) 0,2n+1.

1 Аналогично для 1 2n + 1 находим m am m am m 2r,2n+1 s,2r (H) = 0. (4.439) 2n+1,2n+1 s,2n+1 (H) m+ r=[ ] При m = 0, n = 0 из (4.436) получаем граничное условие на 0 :

a0 0 (0) + a0 0 (0) + a0 0 (0) = 0, (4.440) 11 c1 01 c0 2r,1 c,2r r= из (4.438) находим граничное условие на H :

a0 0 (H) a0 0 (H) a0 0 (H) = a0 fH. (4.441) 11 c1 01 c0 2r,1 c,2r r= При m = 1, n = 0 из (4.436)–(4.439) определяем граничные условия на 0 :

a1 1 (0) a1 1 (0) a1 1 (0) = 0 ;

(4.442) + + 11 c1 21 c2 2r,1 c,2r r= a1 1 (0) + a1 1 (0) + a1 1 (0) = 0 ;

(4.443) 11 s1 21 s2 2r,1 s,2r r= 354 Глава 4. Комплексное уравнение переноса на H : a1 1 (H) a1 1 (H) a1 1 (H) = 0 ;

(4.444) 11 c1 21 c2 2r,1 c,2r r= a1 1 (H) a1 1 (H) a1 1 (H) = 0. (4.445) 11 s1 21 s2 2r,1 s,2r r= Коэффициенты вычисляются в явном виде:

1 1 2 a0 = a0 = a1 = a1 =,,,.

11 01 2 3 3 В P1 -приближении (4.292) граничные условия принимают следующий вид:

на 0 :

10 c0 (0) + 0 (0) = 0, 3 c 2 (4.446) 1 (0) = 0 ;

c1 (0) = 0, s на H :

10 1 (H) 0 (H) = fH, 3 c 2 c0 2 (4.447) 1 (H) = 0, 1 (H) = 0.

c1 s Для неполного P2 -приближения (4.405)–(4.406) имеем:

на 0 :

10 c0 (0) + 0 (0) = 0, (4.448) c 2 21 (0) + c2 (0) = 0 ;

(4.449) 3 c1 на H :

10 1 (H) 0 (H) = fH, (4.450) 3 c 2 c0 21 c1 (H) 1 (H) = 0. (4.451) 4 c С помощью комплексного представления сферических гармоник (4.419) и разделения действительных и мнимых частей из (4.448)–(4.449) получаем систему условий на 0 :

1 1 1 A (0) = 0, A4 (0) = 0, A1 (0) + A (0) + 33 2 2 3 2 A7 (0) = 0, A (0) = 0, A (0) + A (0) + 35 36 а из (4.450)–(4.451) – систему условий на H :

– 1 1 1 1 A1 (H) A4 (H) = 0, A (H) =, A (H) + 33 2 2 2 3 2 A (H) A (H) A7 (H) = 0, A (H) = 0.

35 36 4.8. Приближенные математические модели расчета Система уравнений (4.421)–(4.424) дополняется двумя граничными усло виями на 0 и H с компонентами A1, A3, A6, A8, а (4.425)–(4.428) – с – компонентами A2, A4, A5, A7.

ГЛАВА Оптический передаточный оператор Решение задачи о распространении излучения в плоском слое, ограничен ном неоднородной отражающей поверхностью, или о переносе оптического изображения подложки через рассеивающий и поглощающий слой пред ставляет большие вычислительные трудности, поскольку приходится решать задачу, пятимерную по фазовому пространству. Учет неоднородностей альбедо в виде «ступеньки» и тригонометрической суммы для простых моделей атмосферы (однородная или экспоненциальная по высоте с изотропным рассеянием) впервые осуществил М. С. Малкевич и получил качественные оценки влияния горизонтального переноса на размытие контрастов. Связь между спектральными плотностями альбедо подстилающей поверхности и интенсивности коротковолновой радиации для однородной рассеивающей атмосферы со сферической индикатрисой рассеяния на основе численного моделирования изучалась В. И. Дробышевичем. М. С. Малкевич ввел опти ческую передаточную функцию атмосферы, определяемую через отношение яркости отраженного излучения на каком-то уровне над землей к яркости подстилающей поверхности. Однако это определение не вполне корректно, так как ОПФ не должна зависеть от характера поверхности (на это обратил внимание сам автор ОПФ). Тем не менее на этом понятии, опирающемся на формулу В. В. Соболева базируются многочисленные работы. На основе вероятностных рассуждений на уровне физической строгости получено урав нение «космической фотографии», которое предлагается решать методом Монте-Карло. Такой методический подход с более детальной физической и математической интерпретацией был введен А. С. Мониным. Методом Монте Карло рассчитываются функции передачи контраста для простых структур неоднородностей поверхности. Развиваются разнообразные приближенные подходы.

В нашем подходе расчет ОПО основан на использовании ПЧХ и ФВ.

§ 5.1. Математическая модель ОПО системы слой-подложка Математическая постановка прямой задачи – расчета вариаций яркости си – стемы атмосфера–неоднородная поверхность, освещенной солнечным пото ком, – сводится к решению краевой задачи теории переноса с возмущенными – 5.1. Математическая модель ОПО системы слой-подложка граничными условиями = S (s s0 )t, K = 0, = q RI tH 0 H в виде суперпозиции (z, x, y,, ) = = 0 (z,,, 0, 0 ) + (0) (z,, ) + () (z, ) + (q) (z, x, y,, ).

q q (5.1) Нерассеянная компонента излучения вычисляется из задачи Коши 0 = S (s s0 )t, + t (z)0 = 0, = z 0 H аналитически:

(z) s +, S exp (s s0 )t, 0 (z,,, 0, 0 ) = s.

0, Многократно рассеянное излучение (0) (z, s) в атмосфере с абсолютно черными границами находится численно итерационным методом характери стик из краевой задачи Kz (0) = S0, (0) (0) = 0, =0 (5.2) 0 H с источником (z) S0 = S s (z) exp P t.

Вклад подсветки, обусловленной однородной составляющей альбедо, – – решение задачи Kz () = 0, () () = q RI () + E (0) tH q q q q = 0, (5.3) 0 H – рассчитывается по формуле – q E (0) (0 ) () (z, ) = q (5.4) W0 (z, ) 1 q c через освещенность (H) E (0) RI (0) + RI 0, RI 0 = S 0 exp, функцию пропускания W0 (z, ), удовлетворяющую азимутально симметрич ной задаче W0 + (z)W = (z) P (z,, )W (z, ) d, t s 0 0 z 1 (5.5) W = 0, W0 = tH, 0 H (z) (H) W0 = tH 1 + Wg, 1 = exp, || 358 Глава 5. Оптический передаточный оператор и сферическое альбедо c0 = 2 W0 (H, ) d.

В задачах (5.2), (5.3), (5.5) можно перейти от высоты z к оптической толщине (z).

Горизонтальные вариации интенсивности определяются как решение кра евой задачи K(q) = 0, q (q) q (q) q = ( + q)RI (q) + qE tH, q = 0, q 0 H E (0) /(1c0 ) где E = = const – освещенность поверхности прямым солнечным – q потоком и «дымкой» с учетом однородной подсветки от подложки, в виде следующих функционалов:

(q ) q (z, p,, )Z(p) exp {i(p, r )} dp = (z, r,, ) = (2) W(p)Z(p) exp {i(p, r )} dp + = (2) W(p)c(p)Z(p) exp {i(p, r )} dp q + = 1 q c(p) (2)2 E W(p)q (p) exp {i(p, r )} dp + = (2) W(p)c(p)q (p) exp {i(p, r )} dp Eq + + 1 q c(p) (2)2 W(p)Z s (p) exp {i(p, r )} dp + + (2) W(p)c(p)Z s (p) exp {i(p, r )} dp q + = 1 q c(p) (2)2 q (z, r r,, )Z(r ) dr (5.6) = через линейную ПЧХ W(z, p,, ) – решение комплексного уравнения пере – носа W0 (z, ) W(z, p = 0,, = 0).

LW = 0, = 0, W W = tH, 0 H 5.1. Математическая модель ОПО системы слой-подложка При наличии составляющей альбедо q = 0 ПЧХ (z, p,, ) = W(z, p,, ), 1 q c(p) линейная ФВ q (z, r,, ) = (z, p,, ) exp {i(p, r )} dp = (2) W(p)c(p) exp {i(p, r )} dp q = (z, r,, ) +, 1 q c(p) (2)2 где ФВ изолированного слоя (z, r,, ) = W(z, p,, ) exp {i(p, r )} dp.

(2) «Сценарий» (распределение вариаций яркости поверхности) Z(r ) = Z1 + Zs = E q (r )V (1), V (1) vk (r ) = E G v0 = 1, (1), vk = Gvk1, k= Gf R1 (r r ) q (r )f (r ) dr.


q Фурье-образ «сценария»

Z(p) = Z 1 + Z s = E T q, Tq wk (p) = E Q (q ), wk = Qwk1, w0 = q (p), k= Qf q (p p )H(p )f (p ) dp.

(2) В линейном приближении по вариациям альбедо «сценарий» описывается функциями Z1 (r ) = E q (r ), Z 1 (p) = E q (p).

Нелинейные искажения «сценария» за счет многократного переотражения от поверхности рассчитываются по формулам Zs (r ) = E q (r )G E G (1) = E q (r )GV (1), Z s (p) = E Q E Q q = E QT q.

360 Глава 5. Оптический передаточный оператор Выражения, устанавливающие аналитическую связь вектора Стокса (r, s) или яркости I(r, s) с оптическими параметрами системы переноса излучения, называем оптическим передаточным оператором. Отметим, что в задачах с учетом поляризации при ламбертовой подложке «сценарий» является скалярной функцией.

Имеют место следующие представления «сценария»:

а) если E = const, q = const, то Z(r ) = Eq Vv (1), Z(p) = E Tv q ;

б) если E = const, q = const, то Z(r ) = q Vv E, Z(p) = Tv q E ;

в) если E = R1, q = const, то Z(r ) = q Vv R1, Z(p) = Tv q RW 1 ;

г) если E = R1, q = q = const, то q RW Z(r ) = q R1, q Z(p) = ;

1 q RW д) если E = const, q = q = const, то qE Z(r ) = q E + q 2 R1 E, Z(p) =.

q 1 q RW При ламбертовом законе отражения полная яркость поверхности («при земная фотография») Y(r ) удовлетворяет уравнению Фредгольма II рода с ядром разностного типа Y = q R1 Y + qE (0), (5.7) которое получается из граничного условия = q RIq + qE (0) Y(r ) = Iq (5.8) H с учетом представления суммарного вклада подсветки через ФВ:

q = () + (q) = ( Y).

q q При E (0) = const выражение для определения альбедо q(r ) из «приземной фотографии» Y(r ) совпадает с результатом Д. Усикова:

Y(r ) q(r ) =.

E (0) + R1 Y Из сопоставления рядов Неймана следует равенство 1 E GH () = q E Gv или q (1) q Vv (1) = VH ().

q Из условия на границе z = H при E (0) = const имеет место соотношение q E (0) E Gv (1) = q E (0) + R1 Y.

Выражение для фурье-образа вклада подсветки (0) q (p) = W(p) q RI q + q E 5.1. Математическая модель ОПО системы слой-подложка содержит неизвестную функцию (p) R I (H, p, s), которая удовлетворяет уравнению (0) (p) = c(p)( ) + f, f (p) = c(p)( E ).

q q Из граничного условия (5.8) вытекает уравнение для фурье-образов (0) Y (p) = E q (p p )c(p )Y (p ) dp, q (p) + (2) которое не является уравнением типа свертки.

Если ввести эффективное альбедо Y(r ) qe (r ) =, E (0) то из (5.7) получаем уравнение qe (r ) = q(r ) R1 qe + q(r ).

Выражение через ФВ q = q RIq + ( qE) содержит неизвестную функцию (r ) RIq (H, r, s), которая при E = const, q = q = const может быть с помощью резольвенты определена из уравнения типа свертки K(x y)(y) dy + f (x), (5.9) (x) = где источник f (r ) = q E R1, ядро K(r r1 ) = q R1 (r r1 ).

Уравнение (5.9) решаем фурье-методом:

f (p) (p) = K(p)(p) + f (p), (p) =.

1 K(p) Но f (p) = q E(p)c(p), K(p) = q c(p), поэтому q c(p) (p) = E(p), 1 q c(p) и тогда q Y(p) = q (p) + E(p) = E(p).

1 q c(p) 362 Глава 5. Оптический передаточный оператор В результате получаем обобщение формулы В. В. Соболева на задачу с неоднородным освещением:

q E(p) q (p) = W(p) = W(p)Y (p), 1 q RW 1 (p) которое выше было получено суммированием ряда Неймана.

Из тождества f (p)K(p) (p) f (p) = 1 K(p) приходим к выражению (r ) = f (r ) + F 1 f R = f (r ) + (f R), куда входит фурье-образ резольвенты K(p) q c(p) R(r ) = =.

1 q c(p) 1 K(p) В частном случае, Y(r ) = R(r ), когда E = (r ).

При неортотропной подложке вклад подсветки q (z, r r0, s, s0 )Y(r0, s0 ) ds q (z, r, s) = dr определяется через ФВ q – решение задачи – = (r r0 )(s s0 ).

Kr q = 0, = 0, q q 0 H Относительно величины Rq получаем уравнение Фредгольма II рода:

Rq (H, r r0, s, s0 )Rq (H, r0, s0 ) ds0 + Rq = q(r0 ) dr Rq (H, r r0, s, s0 )E(r0, s0 ) ds0.

+ q(r0 ) dr Суммарная яркость поверхности («приземная фотография») также удовле творяет уравнению Фредгольма II рода:

Y = q(r ) Rq (H, r r0, s, s0 )Y(r0, s0 ) ds0 + q(r )E.

dr Выражения (r, s) = D(z, s) + F 1 Y = D(z, s) + (q Y) (5.10) или в линейном приближении Eq (r, s) D(z, s) + F 1 W = D(z, s) + (q Eq ) (5.11) t 5.2. Общий случай численной реализации расчета ОПО содержат по два представления прямого ОПО, связывающего угловые и пространственные распределения вектора Стокса поля излучения системы с альбедо подстилающей поверхности посредством набора радиационных характеристик, не зависящих от состояния поверхности и описывающих передаточные свойства самой среды.

Для практического использования ОПО достаточно иметь набор базисных функций: пропускание 1, «дымку» (0) (z, s) и линейную ПЧХ W(z, p, s), которая совпадает с ОПФ в линейной теории переноса оптического изображе ния. Освещенность вычисляется через «дымку» и пропускание, а сферическое альбедо – через ПЧХ. ОПФ связывает фурье-образы яркости поверхности – (оптического изображения подстилающей поверхности на уровне планеты или подложки) и яркости отраженного излучения (оптического изображения поверхности на каком-то уровне по высоте) и инвариантна относительно горизонтальных возмущений параметров системы переноса излучения. В случае ламбертовой поверхности ОПФ не зависит ни от пространственной структуры и альбедо поверхности, ни от условий освещения.

§ 5.2. Общий случай численной реализации расчета ОПО Приемы корректного расчета ОПО в линейном приближении распро страняются и на ОПО, учитывающий нелинейный вклад, обусловленный многократным переотражением от неоднородной подложки и многократным рассеянием в среде.

Наибольший вклад в формирование пространственно-неоднородного поля излучения атмосферы для видимого диапазона спектра вносит линейный относительно возмущений альбедо член E 10 (z, r, s) = q (p)(z, p, s) exp {i(p, r )} dp = (2) q (r )q (z, r r, s) dr. (5.12) =E Нелинейная компонента ограничена сверху:

E cT q k0 = F s = q W = q E q qV (1) R q 1 qc t k= q c0 E W (1 q c0 ) [1 (+ q ) c0 ] q и составляет единицы процентов от значений величины (q). Входные данные q об оптических параметрах атмосферы при обработке измерений, проводимых в натурных условиях, имеют погрешность значительно выше. Вблизи надира Is c0 q.

1 q c I1 + Is На примере скалярных выражений (5.12) проиллюстрируем общий подход к построению вычислительных алгоритмов с помощью передаточного оператора.

364 Глава 5. Оптический передаточный оператор Вводим представление ПЧХ через диффузные АЧХ и ФЧХ с выделе нием фазового множителя, описывающего геометрический сдвиг, и явной зависимости от среднего альбедо q :

(H) (z) (z, p, s) = exp {i(p, r )} 1 + q, 1 exp, || H z q = Aq exp {iq }, (p, r ) = (px sin cos + py sin sin ).

|| Легко установить связь с АЧХ и ФЧХ изолированного слоя:

= q=0 = A exp {i}, 1/2 1/ 2 1 q c(p) + Re + (Im) A cos + 1 q c(p) + A2 sin Aq = =, 1 q c(p) 1 qc(p) Im tg (p) (5.13) q = arctg = arctg.

1 + q c(p) 1 q c(p) + Re A(p) sin (p) Вводя диффузную ФВ q (r ) = 1 (r ) + g (r ), g (r ) = F 1 [q ], q q получаем выражение для вариаций яркости 10 (r ) = q (r r ) + q (p)Aq (p) exp [i (q (p, r r ))] dp = =E (2) q(r )g (r r r ) dr q (r r ) + =E.

q Первые слагаемые могут содержать разрывы функции 10 (r ), обу словленные разрывами в альбедо q (r ). Вторые слагаемые – непрерывные – функции, поскольку функция g – регулярная (типа функции «шапочка»), – q не содержащая сингулярную -составляющую (это легко увидеть, выписав краевую задачу для g ), а АЧХ Aq (z, p, s) диффузной компоненты является q непрерывной, монотонно убывающей функцией с нулевым пределом при p ±.

Из анализа выражений ОПО вытекает важный для практики вывод: раз рывы альбедо передаются только через нерассеянную компоненту излучения, т. е. разрывы у функции 10 (r ) формируются при «пропускании» разрывов альбедо;

рассеяние в среде приводит к размытию контраста и фазовому сдвигу (при наклонных трассах наблюдения) рассеянной компоненты (определяются вторыми слагаемыми). Для функций, описывающих вариации альбедо q (x, y) и не содержащих сингулярностей, расчет вариаций интенсивности сводится к вычислению квадратур с гладкими функциями – диффузными составляющими – ПЧХ или ФВ.

5.2. Общий случай численной реализации расчета ОПО Наиболее характерные и распространенные пространственные структуры альбедо имеют особенности. В общем случае q (r ) – ограниченная функция, – имеющая разрывы первого рода, и прямой расчет по формуле (5.12) с помощью дискретного преобразования Фурье может привести к значительным ошибкам вследствие эффекта Гиббса. Для регуляризации численного алгоритма ва риации альбедо представляются в виде суммы функции «скачков» F (r ) (кусочно-постоянной составляющей) и почти непрерывной составляющей q (r ), которая аппроксимируется конечным рядом Фурье, а АЧХ аппрокси мируется суммой экспонент и на основании асимптотики АЧХ ограничивается область интегрирования.

Если в вариациях альбедо q (r ) = q0 + qv (r ) выделяется слагаемое q0, не зависящее от r, то ему отвечает компонента 0 (z, s) = q0 E 1 + A0, (5.14) W A0 A(p = 0), + A0 = 0 =, 1 q c т. е. функция A0 (z, s) играет роль функции пропускания, обусловленной многократным рассеянием в слое излучения поверхности.

Величина 0 (z, s) определяет ту составляющую яркости, которая форми руется с учетом многократного рассеяния за счет дополнительной однородной добавки q0 в альбедо поверхности. Этот результат позволяет несколько модифицировать последовательность расчетов вариаций яркости через ПЧХ с помощью ОПО. Рассчитав параметрический набор АЧХ и ФЧХ при нулевом альбедо, можно далее аналитически учесть вклад постоянной составляющей q и вариаций альбедо q (r ).

При необходимости полученные результаты с помощью соотношения (5.14) можно пересчитать на любое другое постоянное альбедо, учитывая, что величина q0 может быть и положительной и отрицательной. В задаче рас чета пространственного распределения яркости атмосферы над неоднородной поверхностью предпочтительнее выделить q так, чтобы величина q принимала наименьшие значения. Тогда меньше будет вклад нелинейных приближений.

Вводя ФВ как фурье-образ от диффузной составляющей ПЧХ:

g (z, r, s) = F 1 [], полную ФВ с учетом прямой и диффузной составляющих ПЧХ, а также свойств симметрии можно записать в следующем виде:

1 + A exp {i} exp [i (p, r r )] dp = (z, r r, s) = (2) = 1 (r r ) + A(p) {cos [px (x x) + py (y y ) + (px, py )] + (2) + cos [px (x x) + py (y y) + (px, py )]} dpx dpy.

366 Глава 5. Оптический передаточный оператор В одномерном случае (z, x x, s) = (x x) + A(p) cos [p (x x) (p)] dp.

Рассмотрим способы расчета вариаций интенсивности по формуле (5.12) в одномерном случае. В двумерном случае обычно обработка проводится по одному измерению при фиксированном втором.

Будем считать, что q (x) на интересующем нас интервале имеет конечное число разрывов первого рода в точках xk, k = 1 K. Введем функцию «скачка» K (x xk )k, F (x) = q k= где (x) = {1, если x 0;

0, если x 0} – функция Хевисайда, – k = q (xk + 0) q (xk 0) – «скачки» альбедо в точках xk. Функция – q F (x) имеет те же разрывы, что и q (x), и описывает кусочно-постоянное распределение. Функция q (x) = q (x) F (x) – непрерывна. С помощью – функционала Сохоцкого записываем фурье-образ K K i (x xk ) exp (ipx) dx = F (p) = k q k exp (ipxk ) q p + i k=1 k= и с учетом свойств обобщенной функции выражение для расчета вариаций интенсивности преобразуем к виду K A(z, 0, s) q(x x) + 10 (z, x, s) = E k + q k= K {A(z, p, s) sin [p(x x xk ) (p)] /p} dp + + k q k=1 A(z, p, s) exp {i [(p) (p, x x)]} q (p) dp.

+ Первое слагаемое описывает перенос изображения за счет нерассеянного излучения. Второе слагаемое дает постоянную, а третье – непрерывную – составляющие, обусловленные разрывной компонентой альбедо F (x). Функция F (x) = E(s0 )1 F (x x) описывает «скачки» функции 10 (x), которые располагаются в тех же точках xk, где претерпевают разрывы вариации альбедо. Значения «скачков» интенсивности за счет «скачков» альбедо равны k (xk ) = E(s0 )1 k.

q «Скачки» альбедо передаются за счет бугеровского ослабления 1 прямого излучения от поверхности, формируя «скачки» яркости, а также дают вклад в 5.2. Общий случай численной реализации расчета ОПО непрерывную составляющую яркости вследствие эффектов кратного рассеяния и горизонтального переноса.

В частном случае, когда q (x) – кусочно-постоянная функция, – K q (x) = q(x) F (x) = q () = const, q (+) = q() + k, q k= K k q 1 q(x x) + A(z, 0, s) 10 (z, x, s) = E + q () + k= K sin [p(x x xk ) (p)] 1 + k q A(z, p, s) dp.

p k=1 Нетрудно показать, что sin [p(x x xk ) (p)] lim = (p), p x± sin [p(x x xk ) (p)] 1 dp = A(z, p = 0, s) = A0 (z, s), lim A(p) x± p и, следовательно, lim 10 (z, x, s) = E 1 + A0 (z, s) q (±).

x± Это асимптотическое соотношение можно использовать в качестве ана литического теста.

Предположим, что вне интересующего нас промежутка [X1, X2 ] функция q (x) продолжается периодически (это возможно, так как отдаленные участки не оказывают влияния на локальное поведение решения). Аппроксимируем q (x) конечным рядом Фурье L qlR cos(wl x) + qlI sin(wl x), q (x) = l= коэффициенты которого X2 X 1 qlR = q (x) cos(wl x) dx, qlI = (5.15) q (x) sin(wl x) dx X2 X1 X2 X X1 X обеспечивают лучшее приближение функции q (x) с помощью L-членного ряда Фурье в смысле среднего квадратичного. Если необходимо минимизировать максимальное значение ошибки, то коэффициенты следует брать в виде l l lR = qlR 1 lI = qlI,.

L L 368 Глава 5. Оптический передаточный оператор При этом можно использовать быстрое преобразование Фурье (БПФ) для вычисления коэффициентов. В этом случае wl = 2l/L, где L – число точек – на отрезке [X1, X2 ].

Полное решение получаем в виде L 10 (z, x, s) = E 1 q (x x) + A(z, wl, s) qlR cos wl (x x) (wl ) + l= K A(z, 0, s) sin wl (x x) (wl ) qlI + + k + q k= K sin [p(x x xk ) (p)] 1 (5.16) + k A(z, p, s) q dp.

p k=1 Это основная расчетная формула – развернутая запись ОПО, учитывающая – свойства входящих в него функций.

Наблюдения за характером зависимости АЧХ от пространственной частоты p наводят на мысль, что АЧХ можно интерпретировать как «функцию пропускания» различных частот и по аналогии со спектральными коэф фициентами пропускания ее можно аппроксимировать суммой экспонент (с учетом симметрии АЧХ по p) N A(p) an exp [bn |p|]. (5.17) = n= Тогда ФВ N (x) exp {i [(p) px] bn |p|} dp.

g an = n=1 С учетом симметрии АЧХ N (x) exp (bn p) cos [(p) px] dp g an = n=1 и интегралы можно вычислять с помощью квадратур (например, Гаусса), так как подынтегральные функции интегрируемые. Без учета ФЧХ (например, при наблюдении в надир) N 1 an b n g (x).

= a2+ b n=1 n n 5.2. Общий случай численной реализации расчета ОПО С введением аппроксимации (5.17) выражение (5.16) для вариаций ин тенсивности можно переписать в виде N L 10 (z, x, s) E 1 q(x x) + qlR cos [wl (x x)] + an = n=1 l= K A(z, 0, s) sin [wl (x x)] exp (wl bn ) + qlI + k + q k= K N x xk x 1 (5.18) + k q an arctg.

bn k=1 n= Следует отметить, что введенная аппроксимация (5.17) не изменяет асимпто тического поведения решения. Кроме того, учитывая быстрое убывание АЧХ и тот факт, что ФЧХ вблизи нуля ведет себя как прямая, sin [p (x x xk ) (p)] dp A(z, p, s) = p sin p x x xk p p= A(z, p, s) dp, = p т. е. влияние ФЧХ проявляется в сдвиге рассеянной составляющей решения на величину /p. Это подтверждается расчетами и данными экспери p= ментальных исследований. Величину сдвига можно определить также через среднее значение функции влияния xg (x) dx xg (x) dx.

dx = = p p=0 A g (x) В итоге в задаче с кусочно-постоянной функцией q (x) нет необходимости в вычислении ФЧХ на довольно большом интервале p, а достаточно найти наклон ФЧХ близи p = 0.

При решении двумерной задачи, т. е. когда альбедо представляет собой двумерную функцию q (x, y), используются формулы (5.16) или (5.18), однако в некоторых частных случаях решение выписывается явно. Когда q (x, y) – – набор бесконечных полос с постоянным альбедо, задача сводится к одномерной с кусочно-постоянной функцией F (x).

Остановимся кратко на способах выделения разрывов. Критерии разрывов можно предложить самые различные в зависимости от того, какой гладкости мы хотим получить функцию q (x). Однако любой критерий приведет к сглаживанию исходной функции q (x). Считаем, что исходная функция задана 370 Глава 5. Оптический передаточный оператор в N точках xi, i = 1 N. Самый простой способ выделения разрывов состоит в задании пороговой величины d: если i = |(xi+1 ) q (xi )| q q d, то считается, что между точками xi и xi+1 существует разрыв величины i.

q Другой способ состоит в определении среднего скачка N |i+1 qi |, cp = q q N n= тогда значение d можно задавать в виде sср, варьируя значение s [0, N ].

q Еще один критерий разрывов. Рассматриваются последовательно отноше ния max (i, i+1 ) q q.

min (i, i+1 ) q q Если это отношение превышает допустимое, то, значит, имеет место разрыв.

Существует много способов выделения разрывов. При этом саму точку разрыва можно считать совпадающей с одним из узлов или расположить между узлами, определив значение функции справа и слева с помощью интерполяции.

Второй способ точнее, но и первый не приведет к серьезным ошибкам, если узлы задания исходной функции позволяют достаточно подробно описать ее.

§ 5.3. Оптический передаточный оператор тест-объектов Для набора достаточно распространенных на практике структур альбедо с особенностями получены аналитические выражения ОПО, учитывающие свойства входных данных с привлечением аппарата интегральных преоб разований обобщенных функций. Когда особенности решения выделяются аналитически, эффективность численного моделирования повышается. Среди таких структур учтены следующие тест-объекты: полоса, прямоугольная мира, прямоугольники, точечное возмущение, тригонометрическая сумма, круг.

«Полоса». В проблеме изучения природных ресурсов из космоса такой тест-объект является наиболее распространенным:

если x x1 ;

0, q(x) = q + q (x), q (x) = q, если x1 x x1 ;

0, если x x1, или q (x) = q {sign(x1 x) + sign(x1 + x)}, q() = 0, 1 = 2 = q.

q q Если воспользоваться аналитическим результатом R sin (R) exp (ix) dx = 2, R 5.3. Оптический передаточный оператор тест-объектов то фурье-образ от вариаций альбедо x sin(px1 ) exp [ipx] dx = 2q q (p) = q.

p x Выражение для нерассеянной составляющей вариации яркости E1 q sin(px1 ) exp [i(p, x x)] dp 0 = p сводится к аналитическому с помощью известного интеграла |x| a, 1, sin(at) exp(ixt) dt = 0, |x| a.

t Однако можно получить представление, более удобное для проведения расчетов. С учетом симметрии синуса и тригонометрических соотношений E1 q sin(px1 ) cos [p ( x)] dp = 10 = x p sin [p (x1 + x x)] sin [p (x1 x + x)] E q = dp + dp = 2 p p sign (x1 + x x) + sign (x1 x + x) = E1 q, так как sin(p) sin(p) dp = 2 dp = sign.

p p Диффузная компонента Eq sin(px1 ) g exp {i [p( x) + (p)]} dp = = A(p) x 10 p cos [p( x) + (p)] sin(px1 ) 2Eq x (5.19) = A(p) dp, p поскольку подынтегральная функция f (p) = A(p) sin(px1 )/p является симмет ричной по p. Асимптотическое значение 10 при x = 0 и x1 позволяет оценить эффект влияния окружающего пространства на наблюдаемую яркость 372 Глава 5. Оптический передаточный оператор «полосы»:

lim 10 (x ± 0) = E1 q (p) exp [ip( x)] dp = E1 q, x x lim g (x ± 0) = Eq A(p)(p) exp [ip ( + x)] dp = EqA0, x x т. е. результат совпадает со случаем рассмотрения кусочно-постоянного альбедо:

lim 10 (x ± 0) = Eq 1 + A0.

x Через интегральную свертку вычисление сводится к расчету интеграла на конечном интервале x g g (x x x, z, s) dx.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.