авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
-- [ Страница 1 ] --

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172

УДК 517.946+517.98

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ВЫРОЖДЕНИЕМ И УСРЕДНЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ЕЕ

РЕГУЛЯРИЗАЦИЙ

В. Ж. САКБАЕВ

c 2012 г.

АННОТАЦИЯ. В работе рассматривается задача Коши для уравнения Шредингера, производящий опе ратор L которого является симметрическим линейным дифференциальным оператором в гильбертовом пространстве H = L2 (Rd ), d N, испытывающим вырождение на некотором подмножестве коорди натного пространства. Для исследования задачи Коши в случае нарушения условий существования решения ставится цель расширить понятие решения и изменить постановку задачи с помощью та ких методов исследования некорректных задач, как метод эллиптической регуляризации (исчезающей вязкости) и метод квазирешений.

Исследуется вопрос о зависимости поведения последовательности регуляризованных полугрупп eiLn t, t 0 от выбора регуляризации {Ln } производящего оператора L.

В случае отсутствия сходящихся последовательностей регуляризованных решений изучается схо димость соответствующей последовательности регуляризованных операторов плотности.

СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Уравнение Шредингера..................................... 2. Постановка задачи Коши для уравнения Шредингера с одномерным координатным про странством............................................ 3. О граничных условиях в точках разрыва коэффициентов дифференциального выраже ния оператора L......................................... 4. Регуляризация вырожденного оператора Шредингера.................... 5. О задаче Коши для уравнения Фоккера—Планка, вырождающегося на полупрямой... 6. Примеры вырожденных операторов.............................. 7. Вырождение гамильтониана на двух полупрямых...................... 8. Аппроксимация некорректной задачи последовательностью корректных задач...... 9. Вариационный подход и квазирешения некорректных задач................

10. Основная теорема о квазирешениях.............................. 11. Доказательство теоремы о квазирешениях.......................... 12. Согласование вариационного и аппроксимационного подходов............... 13. О преобразовании пространства начальных данных задачи Коши, допускающей разру шение решения за конечное время............................... 14. Динамика операторов плотности, порожденная задачей Коши для уравнения Шредингера 15. О сходимости спектральных мер................................ 16. Многозначное отображение, определяемое регуляризацией................. 17. Пространства функций, интегрируемых по конечно-аддитивной мере........... 18. Непрерывные селекции многозначных отображений. Усреднение динамических полугрупп 19. Регуляризация как динамика в расширенном пространстве................. 20. Регуляризация как случайный процесс............................ 21. О структуре множества квантовых состояний........................ 22. Свойства усредненных динамических преобразований множества квантовых состояний Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00395.

c 2012 РУДН 4 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 23. Определение динамики математического ожидания по его значению в два момента вре мени посредством решения вариационных задач....................... Список литературы.......................................... ВВЕДЕНИЕ В настоящей работе изучается влияние вырождения производящего оператора в эволюционном уравнении (уравнении Шредингера, уравнении Фоккера—Планка) на корректную разрешимость задачи Коши и на свойства динамических преобразований пространства начальных данных.

В работе рассматривается задача Коши для уравнения Шредингера с производящим оператором L, вырожденным на некотором подмножестве координатного пространства Rd, d N:

d i u(t) = Lu(t), t (0, +) = R+, (1) dt u(+0) = u0 ;

u0 H, H = L2 (Rd ), d N. (2) Здесь u : R+ H — неизвестная функция, а L — линейный симметричный оператор в простран стве H, заданный дифференциальным выражением второго порядка:

i Lv(x) = div (g(x)grad v(x)) + [(a(x), grad v(x)) + div (a(x)v(x))] + c(x)v(x). (3) Коэффициенты gij (x), aj (c), c(x), x Rd, дифференциального выражения (3) являются веществен нозначными измеримыми функциями, матрица-функция g(x), x Rd, симметрична и неотрица тельно определена при каждом x Rd.

Особенностью рассматриваемой задачи является вырождение дифференциального оператора L на некотором множестве координатного пространства положительной меры. В этом случае размер ности дефектных подпространств оператора L могут быть нетривиальными и зависеть от поведения коэффициентов при младших производных. При этом квадратичная форма оператора L является неограниченной ни сверху, ни снизу. Указанные свойства оператора L являются препятствием для применения к исследованию задачи (1), (2) методов, связанных с изучением билинейной формы оператора, и вариационных методов, описанных в монографии [73] для уравнения в гильбертовом пространстве.

Будут получены условия на вырожденный оператор L, необходимые и достаточные для кор ректности задачи Коши. В случае нарушения условий корректности вместе с задачей Коши с вырожденным оператором рассматривается последовательность аппроксимирующих ее коррект ных задач Коши, задающих последовательность регуляризованных динамических полугрупп. Для предельных точек последовательности регуляризованных динамических полугрупп получено опи сание посредством дифференциальных уравнений в случае секвенциальной компактности после довательности;

в случае отсутствия секвенциальной компактности получено описание траекторий предельных динамических преобразований (уже не являющихся полугруппой) посредством вариа ционных задач.

При этом если последовательность регуляризованных полугрупп, возникающих при аппрокси мации некорректной задачи Коши, сходится к предельной полугруппе, то предельная полугруппа задает обобщенное аппроксимативное решение задачи Коши. Если же последовательность регуля ризованных полугрупп расходится, то регуляризация задачи Коши рассматривается как случайный процесс, математическим ожиданием которого является семейство предельных динамических пре образований (уже не обладающее полугрупповым свойством).

Начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка на области с гладкой границей с неотрицательной характеристической формой изучались М. В. Келдышем, О. А. Олейник, Г. Фикера, С. М. Никольским, П. И. Лизоркиным, Л. Д. Кудрявцевым, М. И. Виши ком, М. И. Фрейдлиным и впоследствии многими другими авторами (см. [28,29,34–37,85,111,118, 123]). В работах [84,85,118] исследовалось влияние вырождения дифференциального оператора на некотором подмножестве области на корректность начально-краевой задачи. В работах [85, 118] для линейных дифференциальных операторов переменного типа и с вырождением определяет ся разбиение границы области на части, на которых следует задать граничное условие и части, ВВЕДЕНИЕ свободные от граничных условий, продиктованное требованием корректности начально-краевой задачи.

В настоящее время интерес к вырождающимся дифференциальным уравнениям возникает в теоретических работах по корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, теории полугрупп и теории марковских процессов (см. [16, 45, 50, 53, 84]) и поддерживается необходимо стью описания течений жидкости в пористых средах, распространения колебаний в кристалличе ских твердых телах и движения носителей заряда в полупроводниках (см. [145]). Современный анализ указанного класса задач использует вариационные и спектральные методы исследования (см. [45, 78, 88–90]).

В работе [84] и, затем, в работах [3,34–37] посредством получения коэрцитивных оценок в весо вых пространствах (см. [62, 70, 135]) установлена разрешимость краевых задач с вырождающимся дифференциальным оператором или оператором в области с негладкой границей (см. [79, 135]).

В указанных работах для установления коэрцитивных оценок в весовых пространствах требуется гладкость вырождающихся коэффициентов дифференциального выражения. Указанный подход не охватывает вырождение дифференциального выражения с нелипшицевыми и разрывными коэффи циентами. Нашей целью является изучение вырожденных дифференциальных операторов в случае отсутствия гладкости коэффициентов и априорных оценок в весовых пространствах.

Значительный успех в исследовании вырождающегося уравнения Фоккера—Планка был до стигнут благодаря применению теоретико-вероятностных методов в работах Феллера, Вентцеля и Фрейдлина, Колокольцова. В работах [26, 121, 123] решения дифференциальных уравнений пред ставлены посредством математических ожиданий функционалов от диффузионных процессов. До казана корректность начально-краевых задач для вырожденного уравнения Фоккера—Планка и установлена сходимость последовательности решений задач с добавлением малого параметра к коэффициентам при старшей производной к решению вырожденной задачи.

В работе [70] исследованы функциональные пространства с весом, с помощью которых развит вариационный метод решения краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. В настоящей статье рассматривается случай вырождения на множестве поло жительной меры, и метод введения весовых функций трансформируется в метод эллиптической регуляризации.

В статье [45] вариационные методы распространены с помощью регуляризации на дифференци альные операторы второго порядка в дивергентной форме с матрицей коэффициентов при старших производных G(x) = (x)I, где I есть единичная матрица, а функции (x) и 1 (x) неотри цательны и локально интегрируемы. Рассматриваемый нами случай вырождения на множестве положительной меры выходит за рамки выполнения условия Макенхаупта (см. [1, 45]), и поэтому не может быть рассмотрен непосредственно методами указанных исследований. Наконец, следует заметить, что свойство обратимости уравнения Шредингера исключает возможность применения принципа максимума, на котором основаны исследования работ [34–37, 84, 85].

Изучение свойств вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка обусловле но проблемами теоретической и прикладной физики. В ряде задач нелинейной оптики, физики твердого тела и физики плазмы возникает необходимость в рассмотрении движения механических систем с переменной эффективной массой (см. [145, 155]). В некоторых задачах теоретической физики также возникает эффект зависимости массы лагранжевой системы — второй производной функции Лагранжа по скоростям (см. [32, 86, 158]) — от положения системы в координатном или в фазовом пространстве. В случае, когда эффективная масса физической системы обращается в нуль в некоторых точках координатного (или фазового) пространства, описание динамики меха нической системы уравнениями классической механики становится неоднозначным: задача Коши для классических уравнений движения системы (уравнений Лагранжа—Эйлера) может не иметь решения либо иметь бесконечно много решений (см. [32,43,158]). В настоящей работе исследовано описание движения таких систем с помощью уравнений квантовой механики. Одна из физических причин некорректности описания динамики лагранжевой системы с вырожденным лагранжианом состоит в том, что если масса системы зависит от положения в пространстве достаточно резко, то на некотором промежутке времени приращения функционала действия S лагранжевой си стемы на траекториях, проходящих по различным областям координатного пространства, имеют различные порядки малости по сравнению с постоянной Планка h. Поэтому для одних областей 6 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ пространства выполняется условие S h применимости уравнений классической механики, а для других — нет. Поэтому можно предположить, что для описания динамики вырожденных лагранжевых систем предпочтительнее использовать математический аппарат квантовой механи ки. Как мы увидим ниже, задача описания динамики вырожденной лагранжевой системы в рамках квантовой механики сохраняет свойство некорректности. Мы исследуем области корректности и некорректности в фазовом пространстве квантовой системы и применим к изучению некорректной задачи метод исчезающей вязкости и метод квазирешений.

Примером задачи (1), (2) является следующее семейство задач квантовой механики:

d = Hh, h (0, 1) (4) ih dt с начальным условием (2). Здесь Hh есть гамильтониан квантовой системы, соответствующей частице с переменной массой mh (x) (квантовые системы с таким свойством изучались в рабо те [158]). Гамильтонианы семейства квантовых систем с векторным потенциалом магнитного поля Ah (x) Ah (x) = a(x)mh (x) и потенциалом скалярного поля h (x) = имеют вид:

2mh (x) h ih u a(x)u Hh u(x) = u a(x) +.

x 2m(x) x 2 x x Выберем некоторое открытое множество R и положим mh (x) = m1h (1 (x)) + m2h (x), x R, h, m2h = и a(x) = a(1 (x)), a R. Тогда уравнение динамики частицы примет где m1h = 2 вид уравнений (1) и (3).

Рассмотрим семейство задач Коши для указанного уравнения при h (0, 1). В пределе при h +0 уравнение (4) переходит в уравнение (1) с оператором L в пространстве L2 (R1 ), вырож денным на множестве. Вопрос о предельном поведении решений уравнений динамики квантовых систем при h +0 и о свойствах решений предельной задачи (1), (2) связан с изучением соот ветствия между описанием динамики механических систем методами классической механики и методами квантовой механики. В настоящей работе изучаются свойства решений предельной за дачи и установлены условия на начальные данные, необходимые и достаточные для существования предела.

С целью сравнить влияние консервативности и диссипативности вырожденного производящего оператора на свойства задачи Коши рассматривается также задачи Коши для уравнения Фоккера— Планка d u(t) = Lu(t), t (0, +) = R+, (5) dt u0 X, X = Lp (Rd ), (6) u(+0) = u0 ;

p 1, с линейным оператором L, заданным в банаховом пространстве X дифференциальным выражением вида (3) на максимальной области определения.

Рассматриваемая в настоящей работе задача отличается неравномерностью вырождения и отсут ствием гладкости коэффициентов. Кроме того, консервативность оператора Шредингера в гильбер товом пространстве делает невозможным непосредственное применение принципа максимума, ко торый сыграл важную роль в работе [84] и последующих работах об уравнении теплопроводности с вырождением. Оператор L в уравнении Фоккера—Планка (5) задается дифференциальным вы ражением вида (3) с комплексными коэффициентами и отличается от уравнения Шредингера тем, что неположительная вещественная часть его квадратичной формы равномерно отделена от нуля.

Сравнительный анализ уравнений Шредингера и Фоккера—Планка показывает, что диссипация решений задачи Коши для уравнений Фоккера—Планка не изменяет качественные особенности задачи Коши для уравнений Шредингера, а структуры множества корректности и устойчивости по отношению к возмущениям коэффициентов и начальных данных этих задач весьма близки.

ВВЕДЕНИЕ Заметим, что в работах Фрейдлина (см. [26]) установлены существование, единственность реше ния уравнения Фоккера—Планка с вырождающимися коэффициентами, являющимися гельдеров скими функциями с показателем гладкости не меньше 1, и сходимость к нему последовательности решений регуляризованных задач.

Условия, налагаемые на коэффициенты оператора (3) в настоящей работе, оказываются до полнительными к условиям корректности стохастических дифференциальных уравнений из ра бот [121–123]: на границе области эллиптичности и области вырождения оператора (3) коэффи циенты уравнения либо испытывают разрыв первого рода, либо являются гельдеровскими функци ями с показателем гладкости из интервала (0, 1). Установлено, что при выполнении этих условий как корректность задачи (1), (2), так и сходимость аппроксимирующих решений определяются принадлежностью начальных данных некоторому подпространству и в общем случае не имеют места.

Таким образом, методы исследования вырождающегося дифференциального уравнения с по мощью стохастических дифференциальных уравнений (см. [26, 61]) и с помощью регуляризации (см. [102, 104]) являются дополнительными друг к другу.

Проводимые далее исследования имеют следующие цели.

1). Изучить влияние свойств вырождающихся коэффициентов при старшей производной и свойств коэффициентов при младших производных дифференциального выражения на кор ректность задачи Коши для эволюционных уравнений (уравнения Шредингера, уравнения Фоккера—Планка).

2). Задать в пространстве задач Коши такое семейство окрестностей исходной некорректной за дачи Коши, чтобы предельный переход для последовательности регуляризованных полугрупп преобразований фазового пространства начальных данных определил предельное семейство преобразований.

3). Исследовать расходящуюся последовательность регуляризованных полугрупп как случай ный процесс на пространстве с мерой и описать свойства семейства динамических преобра зований, полученных как математические ожидания последовательности регуляризованных полугрупп.

Исследование корректности задачи Коши в рамках теории полугрупп позволяет свести задачу исследования корректности к описанию таких свойств вырожденного оператора, как его индексы дефекта.

Для описания процедуры регуляризации в методе исчезающей вязкости используются и разви ваются методы теории возмущений полугрупп линейных преобразований банахова пространства.

Так, наряду с условием теоремы Троттера—Като для сходимости последовательности полугрупп в сильной операторной топологии, используется эквивалентное условие сходимости последова тельности графиков регуляризованных операторов в топологии сильной граф-сходимости;

а для сходимости последовательности полугрупп в слабой операторной топологии получено необходимое условие на предельное поведение последовательности графиков их генераторов.

Для исследования свойств слабо сходящихся последовательностей векторов гильбертова про странства используются многозначные отображения. Методы теории обобщенной сходимости по следовательностей в векторных пространствах и методы теории интеграла по конечно-аддитивной мере использованы для изучения расходящихся последовательностей регуляризованных операто ров плотности.

Исследования поставленных проблем будет производится в соответствии со следующим планом.

1. Сначала рассматривается задача с одномерным координатным пространством и кусочно постоянными коэффициентами с одной общей точкой разрыва. Затем для задачи с одномерным координатным пространством изучаются задачи с простой геометрией границы области эллип тичности с областью вырождения и преследуются цели определить, во-первых, влияние скорости стремления к нулю и гладкости вырождающих коэффициентов на свойства задачи и, во-вторых, влияние на свойства задачи свойств границы области эллиптичности с областью вырождения.

Установлено, что вырождение коэффициентов оператора и свойства границы области вырожде ния влияют как на свойства корректности задачи, так и на поведение последовательности решений регуляризованных задач через спектральные свойства вырожденного оператора.

8 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Предположим, что линейный дифференциальный оператор L в гильбертовом пространстве H является максимальным симметрическим, но не самосопряженным оператором H. Тогда индексы дефекта (n, n+ ) оператора L, определяемые как размерности ядер операторов L ± iI, есть либо (m, 0), либо (0, m+ ), где m± суть натуральное число или бесконечность.

Единственность решения задачи Коши обеспечивается симметричностью оператора L, а для существования решения задачи Коши при произвольном начальном условии (2) необходимо и достаточно условие n+ = 0. В случае n+ = 0 задача Коши некорректна. Для исследования устой чивости решения задачи Коши в случае n+ = 0, а также с целью доопределить решение задачи в случае n+ = 0 используется метод исчезающей вязкости, т. е. рассматривается последовательность регуляризованных задач, аппроксимирующая задачу Коши (1), (2).

2. Наряду с задачей Коши (1), (2) изучается последовательность регуляризованных задач Коши с начальным условием (2) для уравнений d u(t) = Ln u(t), n N. (7) i t 0, dt Некорректная задача Коши для уравнения Фоккера—Планка (5), (6) также исследована методом исчезающей вязкости: рассмотрена последовательность регуляризованных задач Коши с началь ным условием (6) для уравнений d u(t) = Ln u(t), n N. (8) t 0, dt При каждом n N оператор Ln является генератором сжимающей полугруппы ULn (t), t 0, а регуляризованная задача Коши (2), (7) (или (6), (8)) имеет единственное решение un (t) = ULn (t)u0. Исследуется сходимость последовательности регуляризованных решений {un (t)} и последовательности регуляризованных полугрупп {UL (t)} в различных топологиях. Изучается зависимость поведения последовательности регуляризованных решений от выбора регуляризации вырожденного оператора L последовательностью регуляризованных {Ln }. Определены условия на последовательность регуляризованных операторов, необходимые и достаточные для сходимо сти регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии, являющиеся эквивалентными условиям сходимости резольвент в сильной операторной топологии (см. [55]) или в топологии сходимости графиков (см. [21, теорема 3.28]). Определены условия сходимости графиков регу ляризованных генераторов, необходимые для сходимости регуляризованных полугрупп в слабой операторной топологии. В соответствии с полученными условиями, вырожденным дифференци альным операторам из рассматриваемого класса сопоставлен класс последовательностей регуля ризованных операторов такой, что свойство компактности последовательности регуляризованных полугрупп не зависит от выбора представителя. Множество частичных пределов последовательно сти регуляризованных полугрупп в сильной (слабой) операторной топологии пространства B(H) ограниченных операторов в H, соответствующее классу последовательностей регуляризованных операторов Шредингера L, параметризовано посредством максимальных симметрических (макси мальных диссипативных) расширений оператора L. Предъявлен ряд конкретных примеров регуля ризаций вырожденного оператора L из рассматриваемого класса.

3. Далее проводится сравнение двух методов исследования некорректных задач — описанного выше метода эллиптической регуляризации и метода квазирешений. Квазирешением задачи Коши, представляемой уравнением Au = f (9) в некотором банаховом пространстве, называют точку минимума функционала невязки J, измеря ющего отклонение от равенства в уравнении (9), например, J(u) = Au f. В предположении, что оператор L является максимальным симметрическим, мы определим функционал указанного вида и докажем корректность вариационной задачи минимизации — существование и единствен ность точки минимума и сходимость произвольной минимизирующей последовательности. При тех же предположениях проводится согласование выбора функционала невязки с определением регуляризации — указаны функционалы, точки минимума которых совпадают с пределом после довательности решений регуляризованных задач. Кроме того, вместо задачи минимизации одного функционала рассматривается задача минимизации семейства функционалов невязки. При этом ВВЕДЕНИЕ точка минимума семейства функционалов удовлетворяет системе интегральных тождеств и явля ется пределом последовательности решений регуляризованных задач.

4. Установлено, что в случае слабой сходимости последовательности регуляризованных реше ний {u } и ее расходимости в топологии нормы пространства H имеет место явление режима с обострением для градиентов решения, подобное такому же явлению для нелинейного уравне ния Шредингера или уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом, исследуемому в ра ботах [139, 146, 147, 150, 163]. А именно, решение исходной задачи прекращает существование по прошествии некоторого конечного времени T 0, а последовательность регуляризованных решений имеет неограниченный рост производных к моменту времени T в том смысле, что lim u (t) W2 = + при t T. Таким образом, вырождение и разрыв коэффициента при старшей производной в уравнении Шредингера приводят к таким же эффектам, как и наличие сингуляр ного потенциала (см. [139]). Кроме того, так же, как и в работах [146, 147], допустима поста новка вопроса о том, что происходит с квантовой системой после прохождения через градиентное обострение, ибо хотя норма в W2 регуляризованных решений устремляется к бесконечности при, но все значения последовательности регуляризованных решений сосредоточены на всех t T единичной сфере пространства H. В указанных работах получена информация о том, что последо вательность регуляризованных решений расходится на некоторой области пространства-времени, но сходится на ее дополнении и, тем самым, найдено поведение решения предельной задачи вне множества, на котором решение или его производные обращаются в бесконечность.

Будет установлено, что в случае отсутствия сходящихся подпоследовательностей последователь ности регуляризованных решений каждому начальному условию u0 соответствует неотрицатель ный момент времени T0 такой, что сходимость последовательности регуляризованных решений имеет место на промежутке [0, T0 ) и предельная функция является решением предельной задачи на промежутке [0, T0 ). На большем промежутке времени решения задачи Коши не существует и имеет место явление режима с обострением градиента решения в том смысле, что L2 -норма градиентов аппроксимирующих решений u (t) стремится к бесконечности при 0, если только t T0.

Дальнейшей нашей целью будет изучение предельных свойств последовательности регуляризо ванных решений на интервалах, содержащих момент разрушения решения предельной задачи, в топологиях, задаваемых функционалами на пространстве решений.

5. В случае лишь слабой сходимости последовательности регуляризованных решений уравнения Шредингера становится актуальной задача исследования сходимости последовательности регуля ризованных операторов плотности {n } в слабых топологиях, порождаемых функционалами из пространства B(H) (см. [112, 149, 162]). Это исследование позволит получить информацию о по ведении последовательности норм проекций (un (t), PQ un (t))1/2 векторов un (t) на подпространства Q H для различных классов подпространств {Q : Q H}.

Установлен факт отсутствия частичного предела последовательности регуляризованных опе раторов плотности {n } в *-слабой операторной топологии пространства B (H), т. е. в слабой топологии B (H), порожденной всеми линейными непрерывными функционалами из B(H). Полу чен критерий сходимости последовательности регуляризованных операторов плотности в слабой топологии B (H), порожденной всеми линейными операторами из пространства B(H), коммути рующими с некоторым ортогональным разложением единичного оператора в пространстве H. Для изучения свойств множества частичных пределов совокупности ограниченных числовых последо вательностей {(un (t), Aun (t))}, t 0, u0 H, A B(H), вводится многозначное отображение F (t, u0, A) = Ls (un (t), Aun (t)) (10) n (см. [71]) и установлена его непрерывность по Хаусдорфу и некоторые свойства множества его значений. Возникает вопрос о существовании линейных непрерывных однозначных ветвей много значного отображения и топологической структуре его графика.

6. В случае отсутствия частичного предела у последовательности {n } регуляризованных опе раторов плотности, являющегося следствием нерефлексивности и несепарабельности пространства B(H) (см. [41]), анализ предельных свойств последовательности {n } осуществляется с помо щью введения меры на алгебре 2N всех подмножеств натуральных чисел, сосредоточенной 10 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ в окрестности бесконечности в том смысле, что мера любого конечного множества равна ну лю (см. [10, 24, 151]). Тогда не имеющая частичных пределов последовательность {n } является случайным процессом со значениями в пространстве B (H), заданным на пространстве с мерой (N, 2N, ). Тогда каждой последовательности {n } сопоставляется элемент (t) — математическое ожидание случайного процесса, для определения которого в работе исследуется интеграл Петтиса (см. [132]) от B (H)-значной функции {n } по конечно-аддитивной мере. Для описания много значного отображения (10) и последовательности регуляризованных решений с помощью унитар ных преобразований расширенного гильбертова пространства в смысле А. М. Наймарка (см. [6]) в работе создана конструкция банахова пространства вектор-функций, интегрируемых (интегри руемых с квадратом) по конечно-аддитивной мере, на котором определен интеграл Петтиса. В отличие от классического определения пространства L1 (N, 2N, H, ) как пополнение пространства простых функций, введенное банахово пространство L1 (N, 2N, H, ) интегрируемых функций опре деляется как пополнение пространства ограниченных функций, поэтому оно шире пространства L1 (N, 2N, H, ) и включает в себя любую ограниченную функцию из пространства B(N, H).

Заметим, что хотя процедуры Гельфанда и Петтиса слабого интегрирования ограниченных век торнозначных функций введены и используются достаточно давно, но банаховы пространства функций типа Lp изучаются, главным образом, с помощью интеграла Бохнера по конечно- или счетно-аддитивным мерам (см.

[22, 41, 144]). В монографии [114] построены банаховы простран ства функций со значениями в банаховом пространстве X, интегрируемых в смысле Петтиса по счетно-аддитивной мере и получаемых как пополнение пространства равномерно непрерывных в слабой топологии функций по норме, задаваемой интегралом от нормы значений. В случае сепа рабельного пространства значений X введенные в указанной монографии пространства совпадают с пространствами интегрируемых по Бохнеру функций L1 (E, 2E, X, ). В диссертации определены пространства функций со значениями в банаховом пространстве, интегрируемые в смысле Петтиса по конечно-аддитивной мере и полученные как пополнение пространства ограниченных функций по той же норме, что и в [114]. Установлено, что для введенных функциональных пространств типичны свойства несепарабельности и непредставимости в виде тензорного произведения.

С помощью введенных функциональных пространств в рамках теоремы Наймарка после довательность регуляризованных решений {un (t)} представлена как унитарное преобразование пространства L2 (N, 2N, H, ), математическое ожидание (t) представлено частичным следом (см. [17]) оператора плотности в гильбертовом пространстве L2 (N, 2N, H, ), получено парамет рическое описание множества непрерывных однозначных ветвей многозначного отображения (10) и получено описание структуры его графика.

Следует подчеркнуть, что интерес к стохастическим характеристикам множества решений некорректных краевых задач возник при изучении системы уравнений Навье—Стокса и систе мы уравнений Власова—Пуассона в работах [5, 27, 90, 152, 153]. В случае, когда единственность решения задачи Коши не установлена или не имеет места, предложено описание эволюции меры на фазовом пространстве в предположении, что известно распределение вероятности по множе ству решений (см. [5, 27, 152, 153]). Задание распределения вероятности по множеству решений некорректной задачи является процедурой, нуждающейся в определении.

В работе [90] исследовано кинетическое уравнение, описывающее динамику семейства мер Янга на пространстве значений последовательности регуляризованных решений, индуцированное выде лением *-слабо сходящейся последовательности регуляризованных плотностей распределения в координатном пространстве.

Предлагается имеющийся в работах [5,27,90,152,153] произвол, связанный с выделением подпо следовательности или с заданием распределения вероятности по множеству решений некорректной задачи, классифицировать в терминах мер, заданных на множестве параметров регуляризации, что позволяет указать единый подход к изучению стохастических решений (см. [5]) и кинетических уравнений (см. [90]). Выбор меры на множестве параметров регуляризации однозначно определяет распределение вероятностей на множестве предельных точек последовательности регуляризован ных решений, выбор *-слабо сходящейся последовательности и задает семейство мер Янга на пространстве значений последовательности регуляризованных решений.

Пусть E = (0, 1) — множество параметров регуляризации, 2E — -алгебра всех его подмножеств и W (E) — множество неотрицательных нормированных конечно-аддитивных мер на измеримом ВВЕДЕНИЕ пространстве (E, 2E ), удовлетворяющих условию: мера каждого множества A E, не содер жащего предельной точки 0, равна нулю. Множество W (E) нетривиально, выпукло и замкнуто (см. [151]), процедура слабого интегрирования в смысле Петтиса по мере W (E) ограниченных отображений множества E в банахово пространство X описана в монографии [22] и исследована в разделе 17.

7. Изучаются динамические свойства семейства усредненных преобразований. Выберем некото рую меру W (E) и рассмотрим математическое ожидание (t, 0 ) процесса (t, 0 ), E, на пространстве с мерой (E, 2E, ), а также связанное с ним однопараметрическое семейство линей ных преобразований T, t 0, t действующих в пространстве B (H) по правилу T 0 = (t, 0 ).

t Поставим следующие вопросы:

1). Является ли множество квантовых состояний (H) инвариантным относительно преобразо вания T при каждом t 0?

t 2). Является ли отображение T инъективным преобразованием множества (H)?

t 3). Как определить состояние 0 по известным значениям функционала (t, 0 ) на пространстве B(H)?

Установлено существование класса мер на множестве параметров регуляризации таких, что отображение T обладает следующими свойствами:

t 1). Отображение T определено на пространстве B (H), линейно и непрерывно, причем мно t жество квантовых состояний (H) отображается им в себя.

2). Образом выпуклого множества (H) пространства B (H) при преобразовании T является t выпуклое множество T ((H)).

t Исследовано множество образов крайних точек множества квантовых состояний и получены условия его совпадения с множеством крайних точек образа совокупности квантовых состояний T ((H)). Исследованы свойства обратимости, инъективности и сюръективности усредненного t преобразования T, а также полугрупповое свойство семейства усредненных преобразований T, t t t 0.

Установлено, что ни при каком выборе меры математическое ожидание T (t) случайного процесса T (t) как функции переменной t 0 не является однопараметрической полугруппой преобразований банахова пространства B (H), ибо T (t + t)0 = T (t)(T (t)0 ).

Несмотря на это, удается получить следующие результаты об определении случайных процессов (t, 0 ) с чистым начальным состоянием 0 = u0 по наблюдениям за их средними значениями по мере, и исследованы следующие динамические свойства математического ожидания (t, u0 ) случайного процесса (t, u0 ):

1). Установлены условия на начальное состояние процесса и момент времени t1 0, при ко торых по математическому ожиданию (t1, u0 ) можно определить начальное состояние процесса u0 и, следовательно, весь процесс.

2). В случае произвольного чистого начального состояния процесса для его определения недо статочно информации об усредненном состоянии (t, u0 ) в некоторый момент времени t1 0 при всех W (E). Но для специального класса мер по состоянию (t1, u0 ) можно определить такое зависящее от состояния (t1, u0 ) число t2 = t1, что информация об усредненном состоянии (t, u0 ) в моменты времени t = t2, t = t1 позволяет определить начальное состояние процесса u0 и, следовательно, весь процесс.

Несколько слов о логической структуре и о плане проводимого исследования.

В разделах 1-2 определена зависимость спектральных свойств производящего оператора от по ведения вырождающихся коэффициентов, в терминах которых даны необходимые и достаточные условия корректной разрешимости задачи Коши. Определены области корректности и некоррект ности в пространстве начальных данных. В разделе 3 проводится анализ постановки задачи и определения ее решения.

В разделах 4–8 проведено исследование некорректной задачи Коши методом исчезающей вязко сти. Проблема выбора регуляризации некорректной задачи (см. [45,78,89]), связанная с проблемой 12 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ аппроксимации вырожденной задачи в некотором банаховом пространстве задач, исследована в терминах спектральных и геометрических свойств вырожденного оператора во второй части.

В разделах 9–12 некорректная задача Коши исследуется методами теории квазирешений. Прове дено сравнение и согласование результатов метода регуляризации с результатами метода квазире шений. При условии, что вырожденный дифференциальный оператор является максимальным сим метрическим оператором, определены функционалы невязки и семейства функционалов невязки, точки минимума которых совпадают с пределами последовательности решений регуляризованных задач.

В разделе 13 задача Коши изучается в случае отсутствия ее решений. Проводится анализ свойств последовательности решений регуляризованных задач при условии отсутствия компакт ности множества ее значений. При условии, что оператор L является максимальным симметриче ским, для каждого начального условия u0 H определено время существования решения. Для последовательности решений регуляризованных задач установлено явление градиентной катастро фы в том смысле, что последовательность L2 -норм градиентов un (t) регуляризованных решений стремится к бесконечности для всех t, превосходящих время существования решения.

Для анализа свойств слабо сходящихся последовательностей решений уравнения Шредингера в разделах 14-15 изучаются свойства сходимости и компактности соответствующей последователь ности операторов плотности (см. [21, 138]) в пространстве квантовых состояний (сопряженном к B(H)). Рассмотрение операторов плотности является естественным методом в применении к задачам квантовой механики. Их применение в задачах диффузии и теплопроводности дает та кую же математическую информацию о слабо сходящихся последовательностях, как и в задачах квантовой механики, и несет физическую информацию о поведении квадратичных функционалов от решений задачи Коши. Тем самым, преобразования гильбертова пространства H, связанные с задачей Коши (1), (2), трансформируются в преобразования пространства квантовых состояний.

В разделе 21 дано описание структуры фазового пространства квантовых динамических систем — множества квантовых состояний.

Свойство некорректности задачи рассматривается как источник стохастических свойств динами ки системы в разделах 16–21. Раздел 17 содержит анализ свойств пространства функций, интегри руемых в смысле Петтиса по конечно-аддитивной мере. Вырожденной задаче Коши для уравнения Шредингера сопоставляется многозначное динамическое преобразование фазового пространства квантовой системы с законом распределения вероятности на множестве значений многозначно го динамического отображения. Регуляризация некорректной задачи рассмотрена как случайный процесс, математическое ожидание которого задает некоторую однозначную ветвь многозначного отображения. При этом весь график многозначного отображения представляет собой объединение графиков математических ожиданий указанных случайных процессов, параметризованных выбо ром меры усреднения на множестве параметров регуляризации.

В разделах 22-23 проведено исследование наблюдаемости и распознавание сопоставленного ре гуляризации вырожденного оператора случайного процесса по его математическим ожиданиям в различные моменты времени. Получены условия на начальное состояние процесса, момент вре мени и меру на измеримом пространстве параметров регуляризации, при которых информация о математическом ожидании процесса в один момент времени позволяет определить его начальное состояние и, следовательно, весь процесс. Установлено, что процесс может быть определен по информации о значениях его математического ожидания в два различных момента времени.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения (см. [41]):

C m ((a, b), X) — пространство m раз непрерывно дифференцируемых (по норме простран ства X) отображений x(t) интервала (a, b) в линейное нормированное пространство X с нормой x(t) C m ((a,b),X) = max { sup x(j) (t) X }.

j=0,1,...,m t(a,b) C(X, Y ) — банахово пространство непрерывных отображений линейного нормированного про странства X в линейное нормированное пространство Y.

2E — -алгебра всех подмножеств множества E.

(E, F) — измеримое пространство с алгеброй подмножеств F множества E.

B(E, X) — банахово пространство ограниченных отображений из множества E в линейное нор мированное пространство X.

1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА B(E, F, X) — банахово пространство ограниченных отображений из множества E в линейное нормированное пространство X, измеримых относительно алгебры F.

ba(E, F) — банахово пространство конечно-аддитивных мер на измеримом пространстве (E, F).

ca(E, F) — банахово пространство счетно-аддитивных мер на измеримом пространстве (E, F).

Lp (E, F,, X) — банахово пространство интегрируемых по Бохнеру векторнозначных функций со значениями в банаховом пространстве X на измеримом пространстве (E, F) с мерой.

eAt, t 0 — C0 -полугруппа в некотором банаховом пространстве с генератором A.

UL (t) = eiLt, t 0 — полугруппа Шредингера в некотором гильбертовом пространстве, порож денная гамильтонианом L.

u(t, u0 ) = UL (t)u0, t 0 — решение задачи Коши для уравнения Шредингера с начальным условием u0.

1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 1.1. Постановка задачи Коши. В работе рассматривается задача Коши для уравнения Шредин гера на прямой R с производящим оператором, вырожденным на некотором подмножестве прямой:

d u(t) = Lu(t), t (0, +) = R+, (1.1) i dt u0 H, (1.2) u(+0) = u0 ;

H = L2 (R), где u : R+ H — неизвестная функция, а L — линейный симметричный оператор в простран стве H.

Пусть оператор L задан дифференциальным выражением i Lv(x) = (1.3) g(x) v(x) + a(x) v(x) + (a(x)v(x)).

x x 2 x x Заметим, что оператор, заданный дифференциальным выражением (1.3), есть гамильтониан заря женной частицы с массой, зависящей от положения в пространстве, находящейся в электромаг нитном поле. Интерес к подобным квантовым системам обострился за последнее время в связи с целями дать квантовое описание движения носителей заряда в полупроводниках (см. [145]). В указанной работе исследуется гамильтониан вида (1.3) с равномерно отделенной от нуля функци ей g(x), нас же интересует случай обращения функции g(x) в нуль на множестве положительной меры.

При исследовании задачи Коши (1.1)–(1.3) с одномерным координатным пространством R будем предполагать, что коэффициенты g(x), a(x) суть кусочно гладкие вещественнозначные функции, g(x) неотрицательна, граница множества вырождения = {x R : g(x) = 0} и множество точек разрыва функций g(x) и a(x) не имеют конечных предельных точек. Будем предполагать, что коэффициенты дифференциального выражения удовлетворяют условиям g(x), a(x) W (R\) 1 L и (g(x)|R\ ) 1,loc (R\).

Результаты пунктов 2.2 и 2.6 раздела 2 обобщают исследования уравнения Шредингера на слу чай достаточно общего диссипативного оператора второго порядка с вырождением на полуоси.

Консервативность оператора Шредингера и уменьшение нормы слабого предела последовательно сти решений регуляризованных задач сыграли важную роль в доказательстве отсутствия сильной сходимости в исследованиях первого раздела. В настоящей работе предложен метод исследования сходимости последовательности регуляризованных решений, не связанный со свойством консер вативности регуляризующих операторов и на вопрос «сможет ли диссипация сгладить элементы последовательности регуляризованных решений задачи (1.1), (1.2) и обеспечить ее сходимость по норме?» дан отрицательный ответ. Интерес к обобщениям такого вида вызван также возможностью применения вероятностных методов исследования краевых задач для вырождающихся уравнений (см. [26, 123]).

Одной из целей проводимого в разделах 1 и 2 исследования является установление зависимости свойств корректности задачи (1.1), (1.2) и свойств ее решений от скорости обращения в нуль коэффициента g(x). Подобный вопрос изучался М. И. Фрейдлиным в работах [121, 123] с помо щью марковских диффузионных процессов. В указанных работах изучается корректность задачи 14 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ вида (1.1), (1.2) с вырождающимся оператором вида (1.3) уравнения Фоккера—Планка и устанав ливается не только существование и единственность ее решения, но и доказывается возможность аппроксимации решения с помощью решений стохастических дифференциальных уравнений с ма лым параметром. Указанные результаты получены в предположении, что функции g(x), a(x), b(x) являются липшицевыми. Условие гладкости коэффициентов дифференциального выражения (1.3) обусловлено требованием корректности соответствующих ему стохастических дифференциальных уравнений.

Краевые задачи с негладкими коэффициентами для дифференциальных уравнений второго по рядка являются классическим объектом исследования (см. [46, 85]). В настоящее время построена теория равномерно эллиптических операторов Шредингера, сингулярные потенциалы и магнит ные поля которых являются мерами (см. [61, 93]). C другой стороны, развита теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами и полу чены результаты о сходимости последовательности решений задач с малым параметром при его равномерном стремлении к нулю (см. [38]). Изучаемая в настоящей работе задача сочетает в себе явление неравномерного вырождения дифференциального оператора с отсутствием гладкости его коэффициентов. Отмеченные свойства оператора задачи приводят к особенностям как в свойствах корректности задач указанного типа, так и в поведении последовательностей решений регуляри зованных задач (см. [46, 102]).

Исследуется также корректная разрешимость и поведение последовательностей решений регу ляризованных задач на конечном временном промежутке и для начальных данных из некоторого подпространства пространства H.

Снятие вырождения оператора L приводит к рассмотрению последовательности регуляризо ванных задач с равномерно эллиптическими операторами. Установлена корректность любой из указанных регуляризованных задач и проведено исследование сильной и слабой сходимости по следовательности их решений при стремлении к нулю параметра регуляризации.

1.2. Примеры вырожденных операторов.

Пример 1.1. В соотношении (1.3) полагаем g(x) = (,0) (x) и a(x) = (0,+) (x), где — ве щественный параметр задачи, а B (x) — характеристическая функция множества B R. Область определения оператора L составляет плотное в пространстве H максимальное линейное многооб разие функций, для которых операции в выражении (1.3) определены и их результат есть элемент пространства H. Этими требованиями область определения определяется однозначно (см. ниже) и ею является следующее линейное многообразие 2 D(L) = u(x) H : u|R W2 (R ), u|R+ W2 (R+ ), u(0) = u(+0), u (0) = i u(0), на котором оператор L симметричен и замкнут, ибо L = L.

Так как оператор L замкнут в пространстве H, то наделенное нормой графика оператора ли нейное многообразие D(L) является гильбертовым пространством, которое также обозначим через D(L).

Оператор L имеет более широкую область определения D(L ) = u(x) H : u|R W2 (R ), 2 u|R+ W2 (R+ ), u (0) + i u(0) = iu(+0) и не является симметрическим. Индексы дефекта оператора L суть (1, 0) при 0 и (0, 1) при 0;

таким образом, оператор L является максимальным симметрическим, но не самосопряжен ным оператором в пространстве H.

Пример 1.2. Рассмотрим гильбертово пространство H = L2 (R+ ) комплекснозначных функций, квадратично интегрируемых на полуоси x R+ и определим на пространстве H симметрический линейный дифференциальный оператор L, заданный дифференциальным выражением Lu = ib u, x где b {1, 1}, на области определения D(L) = W2,0 (R+ ) — пополнении линейного многообразия финитных бесконечно дифференцируемых функций на полуоси R+ по норме W2 (R+ ). Заметим, 1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА что принадлежность функции из D(L) классу W2 (R+ ) необходима для дифференциального вы ражения, a условие обращения в нуль следа функции из D(L) в точке x0 = 0 следует из сим метричности оператора L. Мы рассматриваем лишь два значения параметра b, поскольку любое его ненулевое значение может быть сведено к одному из двух указанных с помощью масштабного преобразования.

Сопряженный оператор L задан дифференциальным выражением L u = ib на более широкой x области определения D(L ) = W2 (R+ ) и не является симметрическим. Индексы дефекта оператора L суть (1, 0) при b 0 и (0, 1) при b 0;

таким образом, оператор L является максимальным симметрическим, но не самосопряженным оператором в пространстве H.

Другим примером дифференциального выражения рассматриваемого класса является такое, в котором функция g(x) есть характеристическая функция конечного или счетного числа промежут ков, функция a(x) ступенчатая, и обе они имеют конечное множество точек разрыва на любом отрезке прямой R.

1.3. Определения сильного и обобщенного решений задачи Коши. Мы будем использовать принятые в монографии [65] определения сильного и обобщенного решений линейного дифферен циального уравнения в банаховом пространстве. В этом пункте проводится сравнение принятых нами определений решения с определением решения, основанным на применении интегрального тождества (см. [68, 73]).


Предположим, что A — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X. Превратим область определения D(A) в банахово пространство, снабдив ее нормой графика оператора A, что можно сделать в силу замкнутости оператора A. Рассмотрим следующую задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с производящим оператором A и начальным вектором u0 X:

d u(t) = Au(t), t 0, (1.4) dt u0 X. (1.5) u(+0) = u0, Определение 1.1. Сильным решением (или просто решением) задачи Коши (1.4), (1.5) на зовем функцию u(t) C([0, +), D(A)) C 1 ((0, +), X), удовлетворяющую уравнению (1.4) и условию (1.5);

функцию u(t) C((0, +), X) назовем ее обобщенным решением, если существует последовательность {u0k } такая, что при каждом k уравнение (1.4) имеет единственное решение uk (t) с начальным условием u0k, lim u0k u0 X = 0 и uk (t) u(t) C(R+,X) 0 при k.

k Определение 1.2. Сильным решением задачи (1.4), (1.5) на промежутке I = [0, T ), T R+, назовем функцию u(t) C(I, D(A)) C 1 ((0, T ), X), которая удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5) в том смысле, что u(t) u0 X 0 при t +0;

функцию u(t) C((0, T ), X) назовем обобщенным решением задачи (1.4), (1.5) на промежутке I, если существует после довательность начальных условий {u0,n }, lim u0,n u0 X = 0 такая, что при каждом n N n существует решение un (t) задачи (1.4), (1.5) с начальными данными u0,n и выполняется условие lim un (t) u(t) C(I,X) = 0.

n Заметим, что если u(t) есть обобщенное решение задачи (1.4), (1.5), то тогда lim u(t) u0 H = 0. Действительно, u(t) u0 (x) = (u(t) un (t)) + (un (t) u0,n ) + (u0,n u0 ), t+ откуда следует требуемое утверждение.

Далее мы используем определения 1.1 и 1.2 для исследования задач Коши для уравнения Шре дингера в гильбертовом пространстве H вида (1), (2) и задач Коши вида (5), (6) для урав нения Фоккера—Планка в банаховом пространстве, поскольку каждая из них сводится к зада че (1.4), (1.5) с оператором A = iL и A = L соответственно.

Предположим, что банахово пространство X есть гильбертово пространство H. Из определе ния 1.2 следует, что если u(t, x) есть сильное решение задачи (1.4), (1.5), то оно удовлетворяет 16 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ интегральному тождеству T v(t) iL v(t)), u(t) dt = (v(T ), u(T )) (v(0), u(0)) T I (1.6) ( t при любом выборе v(t, x) C(I, D(L )) C 1 (I, H), где через v(t) и u(T ) обозначены функции v(t, x) и u(T, x) как элементы пространства H, а через (u(T ), v(T )) — их скалярное произведение в указанном пространстве.

Пусть u — обобщенное решение задачи Коши (1.4), (1.5). Совершая предельный переход для по следовательности сильных решений, аппроксимирующих обобщенное решение, в тождестве (1.6), заключаем, что обобщенное решение задачи Коши также удовлетворяет интегральному тожде ству (1.6) при любом выборе v(t, x) C(I, D(L )) C 1 (I, H).

1.4. Разрешимость задачи Коши в спектральных терминах. Если оператор L есть симметри ческий оператор второго порядка в гильбертовом пространстве H с неотрицательно определенной характеристической формой и вырождением на некотором множестве координатного пространства, то индексы дефекта (n, n+ ) = (Dim(Ker (L iI)), Dim(Ker (L +iI))) такого оператора зависят от скорости стремления к нулю вырождающихся коэффициентов и от поведения коэффициентов при младших членах и могут быть нетривиальны, что показывают приведенные выше и ниже примеры.

Согласно [65, теорема 4.10], для того, чтобы оператор iL являлся генератором сжимающей полугруппы в пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы он являлся максимальным дисси пативным оператором, т. е. чтобы вещественные части квадратичных форм операторов iL и iL принимали на областях определения соответствующих операторов неположительные значения. В работе [102] исследованы условия максимальной диссипативности оператора iL, в соответствии с которыми установлена следующая теорема Теорема 1.1. Пусть L — симметрический оператор в пространстве H с индексами дефекта ind (L) = (n, n+ ). Тогда если n+ = 0, то оператор iL является генератором изометрической полугруппы UL (t) = eitL, t 0, в пространстве H, а если n = 0, то оператор iL является генератором изометрической полугруппы UL (t) = eitL, t 0.

Для доказательства утверждений теоремы 1.1 достаточно проверить, что из предположений теоремы вытекает справедливость условий теоремы Хилле—Иосиды (см. [141, гл. 17.4, теорема 5]).

Доказательство. Пусть симметрический оператор L является максимальным симметрическим, т. е. n+ n = 0.

Если индексы дефекта такого оператора имеют вид (m, 0), m = 0, 1, 2,..., +, то оператор iL является максимальным диссипативным и генерирует изометрическую полугруппу UL (t) = eiLt, t 0. Действительно, непрерывный спектр максимального симметричного оператора iL содер жит мнимую прямую, а остаточный — полуплоскость Re () 0, а полуплоскость Re () принадлежит его резольвентному множеству. Следовательно, для любого 0 справедлива оцен ка (iL I)1 1 и образ Im (iL I) плотен в пространстве H. Тогда согласно теореме Хилле—Иосиды, оператор iL генерирует сильно непрерывную сжимающую полугруппу UL (t), t 0, в пространстве H. Согласно [65, теорема 4.5], оператор iL является максимальным дис сипативным и выполняется неравенство Re (u, (iL) u) 0 для любого u D(L ). В силу сим метричности оператора L для любого u D(L) справедливо равенство Re (u, iLu) = 0, поэтому оператор iL является консервативным, а порожденная им полугруппа является изометрической.

Согласно теореме о сопряженной полугруппе (см. [8]), при тех же условиях оператор (iL) = iL является генератором сильно непрерывной сжимающей полугруппы (UL (t)), t 0, в пространстве H.

В случае, если оператор L симметричен и имеет индексы дефекта (0, m), m = 0, 1, 2,..., то, как установлено выше, оператор iL является максимальным диссипативным оператором и генератором изометрической полугруппы UL (t), t 0, в пространстве H. Тогда Re (u, iLu) = 0 u D(L);

Re (u, iL u) 0 u D(L ). Оператор A = iL при этом не является максимальным диссипа тивным, так как хотя оператор L и симметричен, но Re (u, A u) = Re (u, iL u) 0 u D(L ), 1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА причем существует такое u D(L ), что Re (u, iL u) 0. А оператор B = iL является макси мальным диссипативным, но не консервативным оператором и служит генератором сопряженной полугруппе (UL (t)) = UL (t), t 0.

Если симметрический оператор L не является максимальным симметрическим оператором и имеет индексы (m, n), mn 0, то (см. [6]) он обладает семейством максимальных расширений L,, каждое из которых имеет индексы (m n, 0), если m n, (и в этом случае каждое макси мальное расширение L порождает изометрическую полугруппу);

либо имеет индексы (0, n m) (и в этом случае каждый оператор L порождает сжимающую полугруппу), если m n.

Задача Коши (1.1), (1.2) корректна тогда и только тогда, когда оператор L порождает сжимаю щую полугруппу (см. [65]). В противном случае, т. е. когда dim(Ker (L iI)) = 0, задача некор ректна и для ее исследования мы рассмотрим аппроксимацию некорректной задачи (1.1), (1.2) последовательностью корректных задач, которую будем называть регуляризацией некорректной задачи. Во втором разделе мы исследуем регуляризацию задачи (1.1), (1.2) в случае нарушения ее корректности и, тем самым, исследуем устойчивость корректности задачи (1.1), (1.2) по отноше нию к малым изменениям коэффициентов задачи.

1.5. Разбиение пространства начальных данных на области корректности и некорректно сти. Согласно результатам монографии [109], для любого изометрического оператора U в гильбер товом пространстве L2 (R) = H существуют такие ортогональные подпространства H0 (U), H1 (U), что L2 (R) = H0 (U) H1 (U), подпространства H0 (U) и H1 (U) приводят оператор U, сужение U на H0 (U) есть унитарное преобразование, а сужение U на H1 (U) есть односторонний сдвиг (см. [109]), в частности, для любого v H1 (U) выполняется условие lim (U )n v L2 (R) = 0.

n (U)n Q, где Q = Ker U H1 (U) — Подпространство H1 (U) допускает представление H1 (U) = n= блуждающее подпространство преобразования U. Представление H = H0 H1 называется разло жением Вольда изометрического оператора U.

Каждая изометрическая полугруппа U(t), t 0, в пространстве H определяет разложение пространства в ортогональную сумму унитарного и сдвигового подпространств H0 = Im (U(t)) t Ker (U(t) ), которые инвариантны относительно полугруппы и таковы, что сужение и H1 = t U(t)|H0, t 0, является унитарным преобразованием пространства H0, а сужение U(t)|H1, t 0, действует в пространстве H1 как односторонний сдвиг (см. [109, теорема 1.1]). Из указанной теоремы, теоремы 1.1 и теоремы о связи существования сжимающей полугруппы с корректностью задачи Коши (см. [65]) следует теорема 1.2.

Теорема 1.2. Предположим, что оператор L — симметрический оператор в простран стве H с индексами дефекта ind (L) = (n, n+ ). Если n+ = 0, то задача Коши (1), (2) при любом u0 H имеет единственное обобщенное решение u(t) = UL (t)u0.

Ker ((UL (t)) ). Тогда H = H0 H1 ;

Если n = 0, то положим H0 = Im (UL (t)), H1 = t0 t задача (1), (2) имеет обобщенное решение u(t), если и только если u0 H0. В этом случае обобщенное решение единственно и u(t) = (UL (t)) u0.

Доказательство. Первое утверждение теоремы 1.2 следует из теоремы 1.1. Так как линейное многообразие D(L) инвариантно относительно полугруппы UL (t) = eitL, t 0, то для любого u0 D(L) функция UL (t)u0 является сильным решением задачи Коши (1), (2). В силу плотности D(L) в пространстве H и изометричности полугруппы UL (t) при любом u0 H функция UL (t)u является обобщенным решением задачи Коши (1), (2). Единственность сильного решения следует из невозрастания его нормы в силу консервативности оператора L. Норма обобщенного решения как норма предела последовательности сильных решений также не возрастает.


Пусть n = 0. Тогда согласно теореме 1.1 UL (t), t 0, — изометрическая полугруппа, а со пряженная к ней полугруппа UL (t), t 0, есть полугруппа сжатий с производящим оператором iL, т. е. UL (t) = UL (t).

18 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ В силу приведенной выше теоремы о разложении Вольда сужение полугруппы UL (t) на под пространство H0 есть унитарная группа в пространстве H0. Поэтому если ее генератором в про странстве H0 является некоторый самосопряженный в пространстве H0 оператор A, то он совпа дает с сужением L|H0, область определения которого D(L) H0 плотна в пространстве H0.

Действительно, если u0 D(A), то u0 H0, выполнены включения UL (t)u0 H0 D(A) d и равенство i UL (t)u0 = AUL (t)u0 выполнено при всех t R. Следовательно, u0 D(L).

dt d Таким образом, для всех u0 H0, для которых существует производная UL (t)u0, выполняется dt включение u0 D(L). Наоборот, если u0 H0 D(L), то UL (t)u0 H0 D(L) и существует d производная UL (t)u0 для всех t R. Поэтому u0 D(A) и, следовательно, D(A) = D(L)H0.

dt Кроме того, Au0 = Lu0 при всех u0 D(A).

Таким образом, если u0 H0 D(L), то задача Коши (1), (2) имеет единственное решение UL (t) u0 = UL (t)u0, t 0. В силу плотности линейного многообразия H0 D(L) в пространстве H0 при любом u0 H0 задача Коши (1), (2) имеет единственное решение.

Наоборот, если при некотором u0 D(L) задача Коши имеет сильное решение u(t), t 0, то для любого T 0 выполнены включение u(T ) D(L) и равенство u0 = UL (T )u(T ). Таким образом, если при некотором u0 D(L) задача Коши имеет сильное решение, то u0 H0 и если u0 H0, то задача Коши (1), (2) не имеет сильного решения. Следовательно, если u0 H0, / / то не существует и обобщенного решения задачи Коши. Действительно, если u(t) — обобщенное решение такой задачи, то оно является пределом в пространстве C(R+, H) последовательности сильных решений {uk (t)} уравнения (1) с начальными условиями u0k = uk (+0), которые лежат в подпространстве H0 и сходятся в пространстве H к элементу u0 H0, что невозможно.

/ Следствие 1.1. Подпространство H0 есть замыкание по норме пространства H линейно го многообразия D0 = D(L) H0. Линейное многообразие D0 составляют те и только те элементы u0 D(L), которые удовлетворяют соотношению UL (t)u0 D(L), t 0.

В силу теоремы 1.2 из общей теории полугрупп (см. [55,65]) вытекает следующее утверждение.

Следствие 1.2. Пусть n+ = 0 и k N. Тогда если u0 D(Lk ), то задача Ко ши (1), (2) имеет сильное решение u(t), которое единственно и удовлетворяет условию u(t) C(R+, D(Lk )) C k (R+, H) и оценке u(t) C(R+,D(Lk )) = u(t) C k (R+,H) = u0 D(Lk ).

2. ПОСТАНОВКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ОДНОМЕРНЫМ КООРДИНАТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ 2.1. Модельная задача Коши. В настоящем разделе работы исследуется задача Коши (1), (2) для вырождающегося уравнения Шредингера, описанная во введении. Сначала рассматривается модельная задача (1.1), (1.2) с одномерным координатным пространством R и вырождением на полупрямой. На примере модельной задачи устанавливаются связи между особенностями диффе ренциального выражения, спектральными свойствами оператора и свойствами корректности задачи Коши (1), (2) и поведением последовательности регуляризованных решений. Затем установленные взаимосвязи формулируются и доказываются для класса задач (1), (2) в многомерном координат ном пространстве и с более сложной структурой области вырождения.

Рассмотрим модельный оператор (1.3), коэффициенты g(x) и a(x) которого являются кусочно постоянными:

(2.1) g(x) = R (x), a(x) = aR+ (x), где B (x) — характеристическая функция множества B R, а a R — числовой параметр задачи.

Тогда L — оператор переменного типа с вырождением на полупрямой R+. Всюду на протяжении пункта 2.1 предполагаем выполнение условия (2.1).

Чтобы сформулировать постановку задачи Коши (1.1), (1.2), найдем максимальную область определения оператора L, заданного дифференциальным выражением (1.3) с коэффициента ми (2.1). Максимальная область определения оператора L, порожденного дифференциальным вы ражением (1.3), есть линейное многообразие D(L) таких элементов u(x) L2 (R), что операции 2. ПОСТАНОВКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ОДНОМЕРНЫМ КООРДИНАТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ дифференцирования и умножения в дифференциальном выражении (1.3) определены для функ ции u(x) как элемент Lu пространства W2 (R) и обобщенная функция Lu регулярна и имеет плотность Lu(x) L2 (R):

D(L) = {u(x) L2 (R) : Lu(x) L2 (R)}.

Этим условием максимальная область определения оператора L задается однозначно при лю бом a = 0.

Итак, предположим, что a = 0. Через W (R ) и W (R+ ) обозначим подпространства функций из пространства W2 (R), носители которых лежат на полуосях R и R+. Поскольку сужение обоб щенной функции Lu на W (R+ ) есть регулярная обобщенная функция с плотностью из L2 (R+ ), то 1 u(x)|R+ W2 (R+ ). Аналогично, u(x)|R W2 (R ).

Следовательно, область определения оператора L принадлежит линейному многообразию 2 M = {u(x) L2 (R) : u(x)|R W2 (R ), u(x)|R+ W2 (R+ )}, где u(x)|R± есть сужение функции u(x) на полуось R±. Заметим, что любая функция u(x) M имеет следы u(0), u(+0) и след производной lim u (x) = u (0), которые никак не связаны x между собой.

Рассмотрим порожденный дифференциальным выражением (1.3) на линейном многообразии M линейный оператор L, действующий из максимальной в M области определения D(L) в про странство обобщенных функций W2 (R) (см. [30]). Тогда оператор L, действующий из линейного многообразия D(L) в пространство L2 (R), является сужением на D(L) линейного оператора L в том смысле, что D(L) D(L) M ;

Lu(x) = Lu(x) u(x) D(L).

Последнее равенство означает, что для любого u(x) D(L) обобщенная функция Lu(x) регулярна и имеет плотность Lu(x) L2 (R).

Лемма 2.1. Для того, чтобы функция u(x) M принадлежала линейному многообразию D(L), необходимо условие (2.2) u(0) = u(+0), т. е. D(L) {u(x) M : u(0) = u(+0)}.

Доказательство. Действительно, если u(x) M, но условие (2.2) нарушено, то обоб щенная производная функции u(x) есть обобщенная функция с сингулярной составляющей (u(+0) u(0))(x). Покажем, что тогда функционал Lu не является линейным непрерывным 1 функционалом на пространстве W2 (R). Через W (R) обозначим линейное подпространство про 1 (R) функций v(x), след которых в точке x = 0 равен нулю. Тогда для любой функ странства W2 d d ции v(x) W (R) выполнены включения a(x)v(x) W2 (R) и g(x) v(x), a(x) v(x) L2 (R).

dx dx id i d Поэтому функционалы (a(x)u(x)) и a(x) u(x) определены на подпространстве W (R), по 2 dx 2 dx d d 1 скольку a(x)v(x) L2 (R) и (a(x)u(x)) W2 (R), а u(x) W2 (R). При этом для любой dx dx функции v W (R) справедливы равенства id i d i d (a(x)u(x)), v(x) = a(x)u(x), v(x) = u(x), a(x) v(x) 2 dx 2 dx 2 dx и i d id id i d (u(x)), a(x)v(x) = u(x), a(x) v(x).

a(x) (u(x)), v(x) = (u(x)), a(x)v(x) = 2 dx 2 dx 2 dx 2 dx d d Но функционал g(x) u(x) не определен на таких элементах v(x) пространства W (R), dx dx производная v (x) которых принадлежит пространству W2 (R) и имеет в точке x0 = 0 ненуле d вой след v (0) = 0, ибо не определено действие сингулярной обобщенной функции u(x) на dx 20 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ d v(x). Следовательно, функционал Lu не определен на про разрывную в точке x0 функцию g(x) dx странстве W2 (R).

Таким образом, если u(x) D(L), то u(x) M и выполнены условия (2.2). Следовательно, функция u(x) имеет обобщенную производную u (x) из пространства L2 (R), и тогда произведения функций g(x)u (x), a(x)u(x) и a(x)u (x) определены как элементы пространства L2 (R), а значит определены и их обобщенные производные как элементы пространства W2 (R). Следовательно, при выполнении условия (2.2) определена обобщенная функция Lu(x) W2 (R).

Теорема 2.1. Максимальная область определения оператора L в пространстве L2 (R), со ответствующая дифференциальному выражению (1.3), есть линейное многообразие a D(L) = u(x) M : u(0) = u(+0), u (0) i u(+0). (2.3) Доказательство. Обобщенная функция Lu(x), u(x) {u(x) M : u(0) = u(+0)} принадлежит, согласно лемме, пространству W2 и имеет сингулярную составляющую a i u(+0) u (0) (x). Следовательно, обобщенная функция Lu(x) регулярна тогда и только тогда, когда a (2.4) u (0) = i u(+0).

a Причем для любого u(x) D(L) такого, что u (0) = i u(+0), регулярная обобщенная функция Lu(x) имеет плотность из пространства L2 (R).

Приведенные выше рассуждения проводятся в предположении, что параметр a = 0. При a = определим линейное подпространство D(L) = {u M : ux (0) = 0} (2.5) как область определения оператора L, формально положив a = 0 в условии (2.4). Изложенная выше мотивировка не имеет силы, однако, как будет показано ниже, последовательность решений регуляризованных задач сходится именно к решению задачи (1.1), (1.2) с оператором L с областью определения (2.5), что и является обоснованием такого выбора области определения.

Таким образом, при любом a R область определения оператора D(L) плотна в простран стве L2 (R) и оператор L симметричен. Сопряженным к оператору L является оператор L с областью определения a D(L ) = {u : u|R W2 (R ), u|R+ W2 (R+ ), ux (0) + i u(0) = iau(+0), a = 0}, 2 D(L ) = {u : u|R W2 (R ), u|R+ L2 (R+ ), u (0) = 0, a = 0}, который действует на функцию u(x) D(L ) так, что L u(x) есть регулярная обобщенная функ ция, сужение которой на полуось R определяется по формуле L u(x)|R = g(x) u(x)|R, x x а сужение L u(x) на R+ есть a(x)u(x)|R+ 1 L u(x)|R+ = a(x) u(x)|R+ +.

2 x x Тогда оператор L совпадает с оператором L и оператор L замкнут.

Можно непосредственно проверить, что если a = 0, то в зависимости от знака a одно из двух подпространств Ker (L iaI) и Ker (L +iaI) тривиально, а другое есть нетривиальное одномерное линейное подпространство, и индексы дефекта оператора L различны. Если же a = 0, то оператор L самосопряжен. Следовательно, индексы дефекта n± = dim(Ker(L ±iaI)) оператора L принимают значения:

(n, n+ ) = (1, 0) при a 0;

(n, n+ ) = (0, 0) при a = 0;

(n, n+ ) = (0, 1) при a 0.

2. ПОСТАНОВКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ОДНОМЕРНЫМ КООРДИНАТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Спектр оператора лежит на вещественной прямой, если оба индекса дефекта равны нулю, яв ляется замкнутой верхней (нижней) полуплоскостью, если n n+ = 0 и n+ = 0 (n = 0), является комплексной плоскостью, если n n+ = 0.

Рассмотрим квадратичные формы K (u) = Re(iL u, u), u D(L ).

K(u) = Re(iLu, u), u D(L);

С помощью интегрирования по частям нетрудно установить, что (Im g(x))|u (x)|2 dx = K(u) = R для любого u(x) D(L), и, так как область определения D(L) плотна в пространстве H, то L — диссипативный оператор в пространстве H.

Области определения операторов L и L плотны в пространстве H, поэтому оба оператора замкнуты в пространстве H.

Для квадратичной формы сопряженного оператора равенство a a K (u) = (Im g(x))|u (x)|2 dx + |u(0) u(+0)|2 = |u(0) u(+0)| 2 R имеет место для любого u(x) D(L ). Поэтому если a 0, то K (u) 0 для любого u D(L).

Тогда замкнутый оператор iL является максимальным диссипативным оператором и, в соот ветствии с теоремой 1.1, генератором консервативной полугруппы UL (t), t 0, в пространстве H (см. [65]). Если же a 0, то генератором консервативной полугруппы является оператор iL. Из теоремы 1.2 вытекает следующее утверждение.

Лемма 2.2. Пусть a 0. Тогда задача Коши (1.1), (1.2) имеет единственное обобщенное решение при любом начальном условии u0 L2 (R), причем его L2 -норма не возрастает. В случае, если начальная функция u0 удовлетворяет условию u0 D(L), то обобщенное решение задачи Коши (1.1), (1.2) является решением задачи (1.1), (1.2).

Пусть a 0. Тогда L2 (R) = H0 H1, где H0 = Im(UL (t)) и H1 = Im(UL (t)). Задача t0 t Коши (1.1), (1.2) имеет решение тогда и только тогда, когда u0 H0, причем в указанном случае решение единственно и определяется равенством u(t) = UL (t)u0.

В рассматриваемом случае модельной задачи мы можем предъявить явные выражения для под пространств H0, H1, решения задачи Коши и указать геометрическую причину отсутствия реше ния задачи Коши при условии u0 H0.

/ Лемма 2.3. Пусть a = 0. Тогда если функция u(t, x) является сильным решением задачи Коши (1.1), (1.2), то ее сужение u (t, x) на квадрант R+ R является решением третьей краевой задачи для уравнения Шредингера:

(t, x) R+ R, i u = u, x t u(t, +0) = u0 (x), x 0, a ux (t, 0) = i u(t, 0), t 0, а ее сужение на квадрант R+ R+ удовлетворяет уравнению u(t, x) = a u(t, x), (t, x) R+ R+, t x и двум граничным условиям u(+0, x) = u0 (x), x 0, u(t, +0) = u(t, 0), t 0.

22 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Лемма 2.4. Пусть a = 0. Тогда если функция u(t, x) является сильным решением задачи Коши (1.1), (1.2), то ее сужение u (t, x) на квадрант R+ R является решением второй краевой задачи для уравнения Шредингера:

(t, x) R+ R, i u = u, x t u(t, +0) = u0 (x), x 0, ux (t, 0) = 0, t 0, а ее сужение на квадрант R+ R+ удовлетворяет уравнению u(t, x) = a u(t, x), (t, x) R+ R+, t x и одному граничному условию u(+0, x) = u0 (x), x 0.

Лемма 2.5. Пусть a R. Тогда если функция u(t, x) является сильным решением задачи Коши (1.1), (1.2), то ее сужение u+ (t, x) на квадрант R+ R+ удовлетворяет в области R+ R+ дифференциальному уравнению u+ (t, x) = a u+ (t, x), t x начальному условию u+ (+0, x) = u0 (x), x 0, и, если a = 0, то и краевому условию u+ (t, +0) = u (t, 0).

Утверждения лемм 2.3–2.5 следуют из определения 1.1 и формулы (2.3).

2 Обозначим через W2 (R, 0) линейное многообразие функций v(x) W2 (R ) таких, что v (0) = 0.

2 Для каждого a R обозначим через W2 (R, a) линейное многообразие функций v(x) W2 (R ) a eiax/2 v(x)dx = 0.

таких, что v (0) = i u(0) и 2 Лемма 2.6. При каждом a = 0 линейное многообразие W2 (R, a) плотно в простран стве L2 (R ).

Доказательство. Если некоторая функция f (x) L2 (R ) ортогональна в пространстве L2 (R ) всем функциям линейного многообразия W2 (R, a), то ее сужение на произвольный отрезок ви да [T, 0] кратно сужению функции eiax/2 на указанный отрезок. Следовательно, функция f (x) кратна функции eiax/2 и поэтому равна нулю.

Лемма 2.7. Пусть a R. Тогда для любого u0 D(L) как вторая краевая задача при a = 0, так и третья краевая задача при a = 0 имеют единственное сильное решение, а для любого u0 L2 (R ) — единственное обобщенное решение.

Схема доказательства. Существование сильного решения может быть доказано методом отра жения (см. [81]) с помощью соответствующего краевому условию продолжения начального условия u0 (x), x 0, на всю ось x R.

Для доказательства существования сильного решения второй краевой задачи рассмотрим задачу Коши для уравнения Шредингера (t, x) R+ R, (2.6) i u = u, x t с начальным условием u(+0, x) = u0 (|x|), 2. ПОСТАНОВКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ОДНОМЕРНЫМ КООРДИНАТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ полученным четным продолжением с отрицательной полуоси на всю ось R. Для доказательства существования сильного решения третьей краевой задачи рассмотрим задачу Коши для уравнения Шредингера (2.6) с начальным условием u(+0, x) = u0 (x), где x u0 (x) = R (x)u0 (x) + R+ (x) u01 (x) + ia eia(xs)/2 u01 (s) ds.

Тогда для любого u0 (x) D(L) такого, что u0 (x)|R W2 (R ) и u0 (0) = 0 сужение реше ния указанной задачи Коши на квадрант R+ R является сильным решением второй (третьей) краевой задачи. Единственность сильного решения следует из невозрастания его L2 -нормы.

Таким образом, если a R, то для любого u0 (x)|R из линейного многообразия W2 (R, a) вто рая (третья) краевая задача имеет единственное решение u (t, x). Соответствие Va (t), сопостав ляющее каждому u0 (x)|R W2 (R, 0) функцию u (t, x), является линейным преобразованием линейного многообразия W2 (R, a) в себя, сохраняющим L2 -норму. В силу доказанной единствен ности решения второй (третьей) краевой задачи семейство преобразований Va (t), t 0, образует полугруппу преобразований линейного многообразия W2 (R, a). По непрерывности полугруппа может быть продолжена на гильбертово пространство L2 (R ), что и доказывает утверждение предложения. Подробное доказательство леммы 2.7 опубликовано в работе [97].

Таким образом, решение модельной задачи Коши может быть разделено на решение двух крае вых задач в квадрантах R+ R+ и R+ R.

Лемма 2.8. Пусть a = 0 и u0 |R W2 (R, a). Тогда решение u (t, x) третьей краевой зада чи имеет след u (t, 0), лежащий в пространстве C(R+ ), который удовлетворяет уравнению d u (t, x) L2 (R ) = a|u (t, 0)|2, t 0. (2.7) dt Первое утверждение леммы следует из теоремы о следах функций из пространства W2 (R ) (см. [76, гл. 1.3]). В силу леммы 2.7 третья краевая задача имеет сильное решение. Тогда второе утверждение вытекает из определения сильного решения и леммы 2.3.

2 (a)1/2 u0 |R Следствие 2.1. Если a 0, u0 |R W2 (R, a), то u (t, ) L2 (R+ ) L2 (R ).

Если a 0, u0 W2 (R, a), то u (t, ) L2 (R+ ) = (a)1/2 a (u0 |R ) L2 (R+ ).

Утверждение следствия следует из равенства (2.7).

0, u0 D(L) и u0 |R W2 (R, a), то решение u(t, x) = UL (t)u0 (x) имеет Тогда если a следующую структуру. Его сужение на квадрант R+ R есть решение второй (третьей) краевой задачи u (t, x) = Va (t)(u0 |R (x)), которое имеет след u (t, 0), t 0. А сужение решения u(t, x) x на квадрант R+ R+ равно u0 (x + at) при условии x + at 0 и равно u t +, 0 при условии a x t + 0.

a Если же a 0 и задача Коши (1.1), (1.2) имеет сильное решение, то, как следует из лемм 2.3, 2. и 2.8, выполняется равенство Va (t)u0 |R (x)|x=0 = u0 (at), t 0. (2.8) Таким образом, равенство (2.8) является необходимым условием существования сильного решения задачи Коши (1.1), (1.2).

Лемма 2.9. Если a 0, u0 D(L) и u0 |R W2 (R, a), то задача Коши (1.1), (1.2) имеет решение u(t, x), сужение которого на квадрант R+ R+ определяет ся формулой u(t, x)|R+ R = Va (t)u0 |R (x), а сужение на квадрант R+ R+ — формулой u(t, x)|R+ R+ = u0 (x + at).

Утверждение леммы 2.9 легко проверяется непосредственно.

Итак, в случае a 0, т. е. в случае (n, n+ ) = (0, 1), необходимым и достаточным услови ем существования сильного решения является условие (2.8) согласования следа решения третьей краевой задачи и следа решения граничной задачи из предложения 2.5 на границе области эллип тичности оператора L с областью его вырождения.

24 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Условие (2.8) определяет в пространстве L2 (R) линейное многообразие La = {u(x) = (v(x) Ka v(x)), x v(x) W2 (R, a)}, где Kv(x) = Va v()|=0.

a Докажем, что оператор Ka замыкаем. Пусть последовательность u0k D(Ka ) сходится в пространстве L2 (R ) к нулю, а последовательность следов решения третьей краевой задачи t yk (t) = Ka (u0k ) сходится в пространстве L2 (R+ ) к вектору y(t) L2 (R+ ). Тогда при каж a дом k N решение Va (t)u0k (x) третьей краевой задачи также является решением первой краевой задачи с начальным условием u0k и граничным условием yk.

Оператор Ka плотно определен в пространстве L2 (R ), поэтому имеет сопряженный опера тор, про который можно доказать (см. [101]), что он плотно определен в пространстве L2 (R+ ).

Следовательно, оператор Ka замыкаем.

Замыканием линейного многообразия La в пространстве H является подпространство коррект ности H0, представляющее собой график замыкания Ka оператора Ka.

Теорема 2.2. Пусть a 0 и u0 D(L). Задача Коши (1.1), (1.2) имеет сильное решение тогда и только тогда, когда u0 |R D(Ka ) и Ka (u0 |R ) = u0 |R+.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.