авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172 УДК 517.946+517.98 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Необходимость следует из определения 1.1 сильного решения и лемм 2.3, 2.5. Достаточность следует из леммы 2.9 с помощью процедуры предельного перехода по последовательности началь ных данных, удовлетворяющих всем условиям леммы 2.9.

Тогда подпространство некорректности H1 представляется графиком сопряженного оператора L(L (R ), L (R )) как линейное многообразие L = {(K w(x) w(x)), w(x) D(K )}.

Ka 2 + 2 a a a 2.2. Обобщения на коэффициенты уравнения. Итак, пусть оператор L в гильбертовом про странстве H = L2 (R) задан дифференциальным выражением (1.3) на максимальной области опре деления, т. е. на линейном многообразии функций из H, для которых определены операции обоб щенного дифференцирования и умножения в выражении (1.3).

К вещественнозначным функциям g(x) и a(x) в дифференциальном выражении (1.3) предъяв ляются такие требования, что G1). g(x) 0, g(x) = 0, при всех x 0, и для любого 0 существует C() 0 такое, что g(x) C() при x ( ].

G2). a(x) = 0 при всех x 0;

a(x) = 0 при всех x (0, +);

a(x) — непрерывная на [0, +) функция.

G3). g(x) — кусочно непрерывная и ограниченная функция;

a(x) — кусочно непрерывно диффе ренцируемая функция, ограниченная на области определения вместе со своей производной;

точка x0 = 0 — единственная точка разрыва, допустимая для функций g(x), a(x), a (x).

G4). Если u(x), Lu(x) L2 (R), то тогда существуют конечные следы lim g(x)u (x), lim u(x) и x0 x lim a(x)u(x).

x+ Основания в пользу выбора именно таких коэффициентов модельной задачи мы приведем после формулировки теоремы о корректной разрешимости задачи (1.1), (1.2) и подчеркнем роль вырож дения и роль разрывов коэффициентов во влиянии на корректность задачи.

Чтобы сформулировать постановку задачи Коши (1.1), (1.2), зададим область определения опе ратора L. Максимальная область определения оператора L, порожденного дифференциальным выражением (1.3), есть линейное многообразие D(L) таких элементов u(x) L2 (R), что операции дифференцирования и умножения в дифференциальном выражении (1.3) определены для функ ции u(x) как элемент Lu пространства W2 (R) и обобщенная функция Lu регулярна и имеет плотность Lu(x) L2 (R):

D(L) = {u(x) L2 (R) : Lu(x) L2 (R)}.

Пусть функции a(x) g(x) измеримы и ограничены вместе со своими обобщенными производ ными, функция g(x) неотрицательна. Через W2,a (R) обозначим линейное пространство функций u(x) L2 (R), имеющих обобщенную производную u (x) из весового пространства L2,|a| (R), норма в котором определяется равенством 2 2 u =u +u L2,|a|.

1 L W2,a 2. ПОСТАНОВКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ОДНОМЕРНЫМ КООРДИНАТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Через W2,g (R) обозначим линейное пространство функций u L2 (R), имеющих обобщенную производную u (x) такую, что g(x)u (x) W2 (R), норма в котором определяется равенством 2 2 u =u + gu W2.

2 L W2,g Через W (R ) и W (R+ ) обозначим подпространства функций из пространства W2 (R), носители которых лежат на полуосях R и R+. Тогда поскольку сужение обобщенной функции Lu на W (R+ ) есть регулярная обобщенная функция с плотностью из L2 (R+ ), то u(x)|R+ W2,a (R+ ) 1 (при a(x) 0 считаем, что W2,a (R+ ) = L2 (R+ )). Аналогично, u(x)|R W2,g (R ).

Следовательно, область определения оператора L принадлежит линейному многообразию 2 M = u(x) L2 (R) : u(x)|R W2,g (R ), u(x)|R+ W2,a (R+ ), где u(x)|R± есть сужение функции u(x) на полуось R±.

Заметим, что в силу предположений G1)–G4) любая функция u(x) M имеет следы u(0), u(+0) и след производной lim g(x)u (x) = gu (0), которые никак не связаны между собой.

x 1 Очевидно, что поскольку a(x)u(x) W2 (R+ ) и g(x)u (x) W2 (R ), то функции a(x)u(x) и g(x)u (x) имеют следы при x ±0. C помощью теоремы о следах и формулы интегрирования по частям можно показать, что условие G4) выполняется, если функция g(x) удовлетворяет условию (g(x)|R )1 L1,loc (R ).

Действительно, поскольку g(x) 0 на любом отрезке [a, b] (, 0), то u(x)|[a,b] W2 ([a, b]) и функция u(x) имеет следы u(b) и u (b). Фиксируем некоторое b 0;

тогда для любого x (, 0) справедливы равенства:

x |u(x) u(b)| = g()u ()d = g() b x u = (g(s))1 ds g()u ()|x (g(s))1 ds g() d b b b b 1/ 2 1/2 x x ds d d g(s)) (g()ux ()) + ds g(x)u (x) W2 (R).

g(s) b b b b Полученная оценка гарантирует существование конечного предела u(0) при выполнении усло (g(s))1 ds (g(s))1 ds |x R, из которого следует, что и. Поэтому вия lim d b 0 b b b далее будем полагать, что (g(x))1 |R L1,loc (R ) и, следовательно, выполнено условие G4) на функцию g(x). Таким образом, стремление к нулю функции g(x) при x 0 не должно быть слишком быстрым, а функция g(x) должна удовлетворять условию гладкости по Гельдеру с пока зателем выше 1.

Аналогично, условие (a(x)|R+ )1 L1,loc (R+ ) является достаточным для существования пре дельного значения u(+0) у произвольной функции из области определения оператора L.

2.3. Область определения оператора L. Положим a = lim a(x). Рассмотрим сначала случай, x+ когда выполняется условие a = a(0) = 0.

В этом случае дифференциальное выражение (1.3) позволяет однозначно определить максималь ную область определения D(L) M порожденного им оператора L в пространстве L2 (R). Чтобы показать это, используем рассуждения, примененные для анализа области определения модельного оператора L из примера 1.1.

Рассмотрим порожденный дифференциальным выражением (1.3) на линейном многообразии M линейный оператор L, действующий из максимальной в M области определения D(L) в про странство обобщенных функций W2 (R) (см. [12]). Тогда оператор L, действующий из линейного 26 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ многообразия D(L) в пространство L2 (R), является сужением на D(L) линейного оператора L в том смысле, что D(L) D(L) M;

Lu(x) = Lu(x) u(x) D(L).

Последнее равенство означает, что для любого u(x) D(L) обобщенная функция Lu(x) регулярна и имеет плотность Lu(x) L2 (R).

Лемма 2.10. Для того, чтобы функция u(x) M принадлежала линейному многообра зию D(L), необходимо условие (2.2), т. е. D(L) = {u(x) M : u(0) = u(+0)}.

Доказательство. Действительно, для того, чтобы функция u(x) M принадлежала линей ному многообразию D(L), необходимо, чтобы функция Lu(x) являлась элементом простран ства W2 (R). Если u(x) M, но условие (2.2) нарушено, то обобщенная производная функ ции u(x) есть обобщенная функция с сингулярной составляющей (u(+0) u(0))(x). Поэтому произведения g(x)u (x) и a(x)u (x) не определены и не являются элементами пространства W2 (R) и, следовательно, u(x) D(L).

/ Если же u(x) M и выполнены условия (2.2), то функция u(x) имеет обобщенную производную u (x) из пространства W2,g (R) L2,a (R), и тогда произведения функций g(x)u (x), a(x)u(x) и a(x)u (x) определены как элементы пространства L2 (R), а значит, определены и их обобщенные производные как элементы пространства W2 (R).

Следовательно, при выполнении условия (2.2) определена обобщенная функция Lu(x) W2 (R).

Обобщенная функция Lu(x), u(x) {u(x) M : u(0) = u(+0)} регулярна (см. [30]) тогда и только тогда, когда a (2.9) gu (0) = i u(+0), a причем для любого u(x) D(L) такого, что gu (0) = i u(+0) регулярная обобщенная функ ция Lu(x) имеет плотность из пространства L2 (R). Поэтому a D(L) = u(x) M : u(0) = u(+0), gu (0) i u(+0).

Приведенные выше рассуждения проводятся в предположении, что параметр a = 0. При a = определим линейное подпространство D(L) = {u M : (2.10) gux (0) = 0} как область определения оператора L, формально положив a = 0 в условии (2.9). Изложенная выше мотивировка не имеет силы, однако, как будет показано ниже, последовательность решений регуляризованных задач сходится именно к решению задачи (1.1), (1.2) с оператором L с областью определения (2.10), что и является обоснованием такого выбора области определения.

2.4. Свойства оператора L. Область определения оператора D(L) плотна в пространстве L2 (R) и оператор L симметричен. Сопряженным к оператору L является оператор L с областью опреде ления a D(L ) = u : u|R W2,g (R ), u|R+ W2 (R+ ), igux (0) + u(0) = au(+0), a = 0 ;

2 D(L ) = {u : u|R W2,g (R ), u|R+ L2 (R+ ), gu (0) = 0, a = 0}, который действует на функцию u(x) D(L ) так, что L u(x) есть регулярная обобщенная функ ция, сужение которой на полуось R определяется по формуле L u(x)|R = g(x) u(x), x x R а сужение L u(x) на R+ есть a(x)u(x)|R+ 1 L u(x)|R+ = a(x) u(x) +.

2 x x R+ Тогда оператор L совпадает с оператором L и оператор L замкнут.

2. ПОСТАНОВКА КОШИ ШРЕДИНГЕРА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ОДНОМЕРНЫМ КООРДИНАТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Можно непосредственно проверить, что если a = 0, то в зависимости от знака a одно из двух подпространств Ker (L iaI) и Ker (L + iaI) тривиально, а другое есть нетривиальное одномерное линейное подпространство, и индексы дефекта оператора L различны. Следовательно, индексы дефекта n± = dim(Ker(L ± iaI)) оператора L принимают значения:

при (n, n+ ) = (1, 0) a 0;

при (n, n+ ) = (0, 0) a = 0;

при (n, n+ ) = (0, 1) a 0.

Спектр оператора лежит на вещественной прямой, если оба индекса дефекта равны нулю, является замкнутой верхней (нижней) полуплоскостью, если n n+ = 0 и n+ = 0 (n = 0), является комплексной плоскостью, если n n+ = 0.

Рассмотрим квадратичные формы K (u) = Re(L u, u), u D(L ).

K(u) = Re(Lu, u), u D(L);

С помощью интегрирования по частям нетрудно установить, что (Im g(x))|u (x)|2 dx = K(u) = R для любого u(x) D(L), и, так как область определения D(L) плотна в пространстве L2 (R) = H, то L — диссипативный оператор в пространстве H.

Области определения операторов L и L плотны в пространстве H, поэтому оба оператора замкнуты в пространстве H.

Для квадратичной формы сопряженного оператора равенство a a K (u) = (Im g(x))|u (x)|2 dx + |u(0) u(+0)|2 = |u(0) u(+0)| 2 R имеет место для любого u(x) D(L ). Поэтому если a 0, то K (u) 0 для любого u D(L).

2.5. Разрешимость задачи Коши. Замкнутый симметрический оператор L является макси мальным диссипативным оператором и, следовательно, генератором консервативной полугруппы UL (t), t 0, в пространстве H (см. [65]). Определенная на линейном многообразии D(L) полу группа UL (t), t 0, может быть продолжена по непрерывности на все пространство H. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть a 0. Тогда оператор iL генерирует изометрическую полугруппу UL (t), t 0, задача Коши (1.1), (1.2) имеет единственное обобщенное решение u(t) = UL (t)u при любом начальном условии u0 L2 (R). В случае, если начальная функция u0 удовлетво ряет условию u0 D(L), то обобщенное решение задачи Коши (1.1), (1.2) является сильным решением задачи (1.1), (1.2).

Замечание 2.1. Если u0 D(L), то решение u(t, x) задачи (1.1), (1.2) имеет предельные значе a ния u(t, 0), u(t, +0) и gux (t, 0), которые удовлетворяют соотношениям gux (t, 0) = i u(t, +0), u(t, 0) = u(t, +0).

Если a 0, то оператор iL генерирует изометрическую полугруппу UL (t), t 0. Положим Im(UL (t)). Согласно теореме 1.2, множество D(L) H0 плотно в гильбертовом про H0 = t странстве H0. Тогда из теоремы 1.2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.4. Пусть a 0. Тогда задача Коши (1.1), (1.2) имеет обобщенное решение тогда и только тогда, когда u0 H0. Если u0 H0, то обобщенное решение задачи Коши (1.1), (1.2) единственно и u(t) = UL (t) u0. В случае, если начальная функция u0 удовлетворяет условию u0 D(L)H0, то обобщенное решение задачи Коши (1.1), (1.2) является ее сильным решением задачи.

28 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 2.6. Коэффициенты уравнения Шредингера. Исследуем влияние разрывов коэффициентов уравнения (1.1) и его вырождения на свойства задачи (1.1), (1.2) и ее решений. Прежде всего заметим, что если функция g(x) равномерно отделена от нуля и измерима, то при любой функ ции a(x) L (R) дифференциальное выражение (1.3) определяет вещественнозначную полуогра ниченную квадратичную форму, и, следовательно, задача Коши (1.1), (1.2) корректна и задает унитарную группу в пространстве H. Таким образом, разрывы коэффициентов не нарушают кор ректность задачи без вырождения.

Как следует из теорем 1.1 и 1.2, если функция g(x) удовлетворяет условиям G1)– G4), а функ ция a(x) непрерывна на множестве вырождения R+ и на множестве граничных точек области вырождения, то задача Коши (1.1), (1.2) имеет единственное решение, к которому сходится после довательность решений регуляризованных задач и которое удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду, если только u0 (x) D(L). То есть вырождение без разрывов коэффициентов в области вырождения и на ее границе также не приводит к нарушению корректности. Заметим, что и раз рывы коэффициентов g(x) и a(x) в области эллиптичности оператора не нарушают корректности задачи.

Разрыв коэффициента a(x) в области вырождения приводит к возникновению дополнительных условий на функцию из области определения в точке x0 разрыва функции a(x):

u(x0 ) = 0.

Это может привести (см. пример 1.2 пункта 1.1) к увеличению индекса дефекта оператора L и нарушению корректности задачи: задача (1.1), (1.2) имеет сильное аппроксимативное решение если и только если начальное условие (1.2) удовлетворяет условиям согласования (условия такого же характера, как u0 H0 из теоремы 2.4 и из теоремы 2.2).

В настоящем разделе мы рассмотрели случай, когда граница области вырождения с областью эллиптичности состоит из одной точки. Увеличение множества точек разрыва коэффициента g(x) и нарушение связности множества вырождения приведут к усложнению топологии границы обла сти вырождения по сравнению с условием G3). В разделе 8 найдены спектральные характеристики вырожденного оператора, определяющие как свойства корректности задачи, так и свойства пове дения решений регуляризованных задач. В этой связи исследование операторов с более сложной границей области эллиптичности с областью вырождения переносится в раздел 8.

3. О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В ТОЧКАХ РАЗРЫВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО L ВЫРАЖЕНИЯ ОПЕРАТОРА С помощью исследованного выше модельного примера обсудим вопрос о целесообразности вы бора области определения оператора L в соответствии с выражением (2.3).

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор в гильбертовом пространстве H, заданный дифференциальным выражением (1.3) с коэффициентами из примера 1.1. В пункте 1.2 гранич ные условия для следов произвольной функции из области определения указанного оператора определены из условия Lu(x) H и предположения, что все операции в дифференциальном вы ражении (1.3) определены для любой функции из области определения как операции в простран 2 2 стве обобщенных функций W2 (R). Тогда включения u(x)|R W2 (R ) и u(x)|R+ W2 (R+ ) следуют из условий, что функция Lu(x)|R± есть элемент пространства L2 (R± );

условие непре рывности u(0) = u(+0) следует из принадлежности функционала Lu пространству W2 (R) (при u(0) = u(+0) произведение разрывной функции g(x) на сингулярную обобщенную функцию u(x) не определено как линейный функционал на пространстве W2 (R));

условие непрерывно x i сти потока J(x) = g(x) u(x) + a(x)u(x) следует из принадлежности функционала Lu простран x ству H.

Проведенные исследования показали, что выбранные граничные условия определяют коррект ную задачу Коши при условии a 0 и некорректную при условии a 0.

Остается возможность изменить граничные условия на границе области эллиптичности с обла стью вырождения либо за счет изменения оператора L в пространстве H, либо за счет изменения пространства функций, в котором действует оператор. Так, например, представляется возможность L 3. О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В ТОЧКАХ РАЗРЫВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ОПЕРАТОРА определить решение задачи сначала в области вырождения, а затем решить в области эллиптич ности первую краевую задачу с условием непрерывности на границе области эллиптичности с об ластью вырождения. Тем самым для каждому начальному условию u0 (x) из пространства W2 (R) 1 сопоставляется функция V (t, x) W2,loc (R+, W2 (R)), сужение которой на квадрант R+ R+ удо влетворяет уравнению (3.1) V +b V = t x и начальному условию (3.2) V (+0, x) = u0 (x), x 0, а ее сужение на квадрант R+ R есть решение третьей краевой задачи:

(3.3) i V (t, x) = V (t, x), t 0, x 0, x t V (t, 0) = V (t, +0) = u0 (at), t 0, (3.4) (3.5) V (+0, x) = u0 (x), x 0.

1 (R R), удовлетворяющую равен Решением задачи (3.1)–(3.5) назовем функцию u(t, x) W2,loc + ствам (3.1), (3.3) при почти всех (t, x), начальным условиям (3.5), (3.2) и граничному условию (3.4) в смысле следов. Тогда легко показать, что для любого начального условия u0 W2 задача (3.1)– (3.5) имеет единственное решение.

С точки зрения общей теории краевых задач для линейных дифференциальных уравнений вто рого порядка естественно изучить вопрос о существовании решения задачи Коши в пространстве 1 1 V L2,loc (R+, W2 (R)) W2,loc (R+, L2 (R)). Функцию u(t, x) V назовем W2 -обобщенным реше нием (см. [73, гл. 3.3]) уравнения Шредингера i x R, (3.6) i u(t, x) = 2 u(t, x) + 2 a(x) u(t, x) + (a(x)u(t, x)), t 0, t x x x с начальным условием (1.2), если для каждой финитной функции (t, x) W2 (R2 ) выполняется интегральное тождество + (u0 (x)(0, x))dx dt (iu(t, x) (t, x) + u(t, x) g(x) (t, x) + t x x i i W2,0 (R2 ). (3.7) + a(x)(t, x) a(x)u(t, x) (t, x))dx = 0, 2 2 x 1 В монографии [73] построена теория W2 - и W2 - решений краевых задач для линейных дифферен циальных уравнений второго порядка, в том числе, задач Коши вида (1.1), (1.2), с оператором L, удовлетворяющим условию равномерной эллиптичности. В основу построения указанной теории положено определение обобщенного решения с помощью интегрального тождества (3.7). Ключе вым моментом такого построения является получение энергетического неравенства на основании равномерной эллиптичности, точнее, полуограниченности квадратичной формы (u, Lu). Поэтому для рассматриваемого в настоящей работе оператора развитые в [73] методы неприменимы.

Любая функция u(t, x) из пространства V имеет след u(+0, x) из пространства L2 (R) на границе {0} R области R+ R. Через Vu0 обозначим класс функций из пространства V, след которых u(+0, x) совпадает с функцией u0 (x). Через W2,0 ([0, T ] R) обозначим банахово пространство 1 ([0, T ] R), след которых u(T, x) при t = T равен нулю.

функций u(t, x) W 1 Для каждой функции u(t, x) L2,loc (R+, W2 (R)) такой, что u(x)|R+ R L2,loc (R+, W2 (R )), a(x) положим Ju (t, x) = g(x) u(t, x) + i u(t, x).

x Определим дифференциальный оператор, являющийся производящим оператором задачи Ко ши для уравнения Шредингера (3.6), решения которого удовлетворяют интегральному тожде ству (3.7). Для этого мы рассмотрим такие обобщенные решения u(t, x) уравнения Шрединге ра (3.6) с начальным условием (1.2), которые обладают повышенной гладкостью — сужения функ 1 ции u(t, x) на квадранты R+ R± принадлежат пространствам W2,loc (W2 (R± )).

30 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Лемма 3.1. Если функция u(t, x) V, сужение которой на область R+ R принадлежит пространству L2,loc (R+, W2 (R )), удовлетворяет равенству (3.7) при любой финитной функ 1 (R2 ), то тогда ции (t, x) W2, 0 T ((u0 (x) u(+0, x))(0, x))dx + dt + i u(t, x) + g(x) u(t, x)+ t x x 0 + i i (Ju (t, 0) Ju (t, +0))(t, 0)dt = 0. (3.8) + a(x)u(t, x) + a(x) u(t, x) (t, x)dx + 2 2 x Доказательство. Если функция u(t, x) принадлежит пространству V, то она имеет следы u(t, 0), u(t, +0) L2,loc (R+ ), причем u(t, 0) = u(t, +0) для п. в. t 0. Если сужение функции u(t, x) на область R+ R принадлежит пространству L2 (R+, W2 (R )), то существуют следы g(±0) u(t, ±0) L2,loc (R+ ) функций g(x) u(t, x). Тогда, применяя к интегральному x x R+ R± тождеству (3.7) процедуру интегрирования по частям на квадрантах R+ R± и учитывая финит ность функции, получаем утверждение леммы 3.1.

1 Замечание 3.1. Пусть u(x) W2 (R) и u(x)|R W2 (R ). Тогда u(x) D(L), если и только если Ju (0) = Ju (+0).

Лемма 3.2. Пусть функция u(t, x) V, сужение которой на область R+ R принадле жит пространству L2,loc (R+, W2 (R )), удовлетворяет равенству (3.7) при любой финитной функции (t, x) W2,0 (R2 ). Тогда:

1). Сужения u± (t, x) функции u(t, x) на квадранты R+ R± удовлетворяют уравнениям i i (t, x) R+ R±. (3.9) i u± (t, x) = g(x) u± (t, x) + a(x)u(t, x) + a(x) u(t, x), t x x 2 2 x 2). Функция u(t, x) удовлетворяет условиям Ju (t, 0) = Ju (t, +0), (3.10) (3.11) u(+0, x) = u0 (x).

Доказательство. Согласно лемме 3.1, для любой финитной функции (t, x) W2 (R2 ) выполнено равенство (3.8). Так как равенство (3.8) выполнено для любой финитной функции (t, x) W2 (R2 ) с носителем в квадранте R+ R±, то функции u± удовлетворяют равенствам (3.9).

Так как равенство (3.8) выполнено для любой финитной функции (t, x) W2 (R2 ) с носителем в полуплоскости R+ R и функции u± удовлетворяют равенствам (3.9), то выполняется равен ство (3.10). Поскольку равенство (3.8) выполнено для любой финитной функции (t, x) W2 (R2 ) и выполнены равенства (3.9), (3.10), то справедливо равенство (3.11).

Теорема 3.1. Пусть функция u(t, x) V такова, что ее сужение u (t, x) на квадрант R+ R принадлежит пространству L2,loc (R+, W2 (R )). Тогда функция u(t, x) удовлетворяет интегральному тождеству (3.7) для любой финитной функции W2 (R2 ), если и только если u(t, x) есть сильное решение задачи (1.1), (1.2).

Доказательство. Пусть функция u(t, x) удовлетворяет интегральному тождеству (3.7) для любой финитной функции W2 (R2 ). Так как выполняются условия теоремы, то по лемме 3.2 выполне но равенство (3.10), значит u(t, x) D(L) при всех t 0. В сочетании с (3.9), (3.11) это означает, что u(t, x) есть сильное решение задачи Коши.

Наоборот, если u0 (x) D(L) и существует сильное решение u(t, x) задачи Коши (1.1), (1.2), то оно, очевидно, удовлетворяет интегральному тождеству (3.7) при произвольной пробной функции (t, x) W2,0 (R2 ).

С каждым числом T 0 свяжем линейный оператор AT из банахова простран 1 ства V T = L2 ((0, T ), W2 (R)) W2 ((0, T ), L2 (R)) в банахово пространство обобщенных функций W2 ((0, T ) R), которое каждой функции u(t, x) V T сопоставляет линейный непрерывный L 3. О ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В ТОЧКАХ РАЗРЫВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ОПЕРАТОРА функционал на банаховом пространстве W2,0 ([0, T ] R), действие которого на произвольный эле мент W2,0 ([0, T ] R) определяется равенством T (u(+0, x)(0, x))dx (AT u, ) = dt iu(t, x) (t, x) t i i u(t, x) g(x) (t, x) a(x)(t, x) a(x)u(t, x) (t, x) dx.

x x 2 2 x Тогда a(x) i AT u(t, x) = i u(t, x) u(t, x) a(x) u(t, x), g(x) u(t, x) + i t x x 2 2 x причем каждое слагаемое в правой части является элементом банахова пространства 1 W2,0 ([0, T ] R) линейных непрерывных функционалов на пространстве W2,0 ([0, T ] R).

Определим V -обобщенное решение задачи Коши как функцию u(t, x) Vu0 такую, что при каждом T 0 ее сужение uT (t, x) на полосу [0, T ] R удовлетворяет уравнению AT u = 0. (3.12) Теорема 3.2. Если u(t, x) — V -обобщенное решение задачи Коши (1.1), (1.2), то выполняют 2 ся включения u(t, x)|R+ R L2,loc (R+, W2 (R )), J(t, x) L2,loc (R+, W2 (R)) и равенство (3.10).

Действительно, если u(t, x) — V -обобщенное решение задачи Коши, то a(x) g(x) u(t, x) + i u(t, x) = h(t, x), x x i u(t, x) (a(x)u(t, x)) L2,loc (R+, L2 (R)). Поэтому где h(t, x) = i t 2 x a(x) u(t, x) L2,loc (R+, W2 (R)) J(t, x) = g(x) u(t, x) + i x и выполняется включение a(x) u(t, x) |R+ R L2,loc (R+, W2 (R )), g(x) u(t, x) + i u(t, x) R+ R = x 2 x L2,loc (R+, W2 (R )).

т. е. u(t, x) R+ R Следствие 3.1. Функция u(t, x) является V -обобщенным решением задачи Коши (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда она является сильным решением.

Замечание 3.2. Поиск V -решения задачи Коши (1.1), (1.2) сводится к решению операторного уравнения (3.12) в классе Vu0 элементов пространства V T, следы которых на границе t = 0 удо T влетворяют равенству u(+0) = u0. Оператор AT является линейным ограниченным оператором из банахова пространства VT в банахово пространство W2,0 ([0, T ] R). Совокупность двух условий — условия (3.10) вместе с условием u(t, x)|R+ R L2 (R+, W2 (R )) — необходима и достаточна для включения AT u L2 ((0, T ), L2 (R)) при произвольном T 0. Поэтому функция u(t, x) Vu0, не T удовлетворяющая условию (3.10), является решением неоднородного уравнения AT u = f, (3.13) с правой частью f L2 ((0, T ), W2 (R)). Замена исходного однородного уравнения (3.12) на неод нородное уравнение (3.13) лежит в основе метода квазирешений некорректных задач. Правая часть в уравнении (3.13) называется невязкой, а квазирешением уравнения (3.12) называется элемент из области определения оператора AT, который минимизирует невязку. В разделах 9, 10 (см. также статью [103]) изучается уравнение (3.13) с регулярной невязкой f L2 ((0, T ), L2 (R)), в отли чие от возникающей в результате отказа от условий (3.10) невязки из пространства обобщенных функций.

32 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Замечание 3.3. Решение задачи (3.1)–(3.5) существует при любом начальном условии 1 u0 W2 (R) и, если u0 W2 (R), то его сужения на квадранты R+ R± принадлежат простран 1 (R, W 2 (R )). Тогда решение задачи (3.1)–(3.5) удовлетворяет интегральному тожде ствам W2,loc + 2 ± 1, ству (3.7) при произвольной финитной функции W2 (R2 ) в том и только том случае, если оно является и сильным решением задачи Коши (1.1), (1.2). Поэтому если задача Коши (1.1), (1.2) не имеет решения, то решение задачи (3.1)–(3.5) не удовлетворяет равенству (3.10). При этом невязка в уравнении (3.13), соответствующая решению (3.1)–(3.5), сингулярна и не принадлежит пространству L2 ((0, T ), L2 (R)).

4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ШРЕДИНГЕРА ВЫРОЖДЕННОГО ОПЕРАТОРА 4.1. Аппроксимации задачи Коши с вырожденным оператором последовательностью задач Коши с равномерно эллиптическими операторами. Наряду с задачей (1.1), (1.2), в которой оператор L является вырождающимся на полуоси оператором переменного типа, рассмотрим се мейство регуляризованных задач Коши с начальным условием (1.2) для семейства уравнений du(t, x) = L u(t, x), t 0, x R, (0, 1), (4.1) i dt с операторами L, зависящими от параметра (0, 1) E, равномерно эллиптическими при каждом E.

Оператор L задается дифференциальным выражением v i v a(x)v L v = (4.2) g (x) + a(x) +, x x 2 x x в котором функция a(x) определена выше, а функция g (x) зависит от вещественного параметра (0, 1): g (x) = (x) + g(x).

Покажем, что решение задачи Коши (1.1), (1.2) является пределом решений последовательности задач Коши (4.1), (1.2) при 0.

Сначала мы исследуем указанное выше семейство линейных регуляризованных операторов вто рого порядка с кусочно постоянными коэффициентами и изучим поведение последовательности решений регуляризованных задач. Зависимость сходимости последовательности регуляризован ных решений и предельной функции от выбора последовательности регуляризованных задач Коши для уравнения Шредингера исследуется в разделе 8.

Область определения D(L ) оператора L определим с помощью рассуждений, аналогичных приведенным для анализа множества D(L):

a D(L ) = u M : u(0) = u(+0), ((1 + )u (0) u (+0)) = u(+0), (4.3) где множество M есть линейное многообразие функций, сужения которых на полуоси R± при надлежат пространствам W2 (R± ) соответственно. Дифференциальный оператор, задаваемый на области определения D(L ) соотношением (4.2), является самосопряженным оператором в про странстве L2 (R) и генератором сильно непрерывной полугруппы унитарных операторов UL (t) = exp(itL ), t 0.

Области определения D(L ), 0, превратим в гильбертовы пространства с нормой графика оператора.

Фиксируем некоторое 0 и рассмотрим задачу (4.1), (1.2). Пусть u0 C0,0 = {u(x) C0 (R) : {0} supp u}, / тогда u0 D(L ) для любого 0, причем множество C0,0 плотно в пространстве L2 (R).

Сильное и обобщенное решения задачи Коши (4.1), (1.2) будем понимать в смысле определе ний 1.1 и 1.2 пункта 2.2.

Лемма 4.1. При любом E для любого u0 (x) D(L ) существует единственное решение задачи (4.1), (1.2) u (t, x) = UL (t)u0 (x).

Лемма 4.2. Пусть u0 (x) C0,0 и a 0. Тогда для любого T 0 справедливо соотношение u (t) u(t) C([0,T ],R+ ) = O() при 0.

4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ШРЕДИНГЕРА ВЫРОЖДЕННОГО ОПЕРАТОРА Доказательство. Утверждение леммы 4.1 следует из самосопряженности оператора L (см. [65]).

0 и u0 C0,0, то задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение u(t, x), причем Так как a поскольку u0 (x) D(L3 ), то согласно следствию 1.2 к теореме 1.2, u(t, x) C(R+, D(L3 )) C 2 (R+, D(L)) и для любого t 0 справедливо неравенство u(t, x) C(R+,D(L3 ))C 2 (R+,D(L)) u0 (x) D(L3 ). Из по лученной оценки следует, что тогда существуют следы решения и его односторонних производных слева и справа от нуля: u(t, ±0), ux (t, ±0) C 1 (R+ ).

Кроме того, из включения u0 C0,0 и леммы 4.1, следует, что задача (4.1), (1.2) при любом имеет единственное решение u (t, x)) C(R+, D(L ) C 1 (R+, L2(R) ).

Рассмотрим функцию v (t, x) = u (t, x) u(t, x). Согласно (1.1) и (4.1), dv (t) = L u (t) Lu(t), i dt причем u(t) D(L) и u (t) D(L ) при всех t R+, а согласно (1.2), v (+0) = 0.

Функции u(t, x) и u (t, x) удовлетворяют различным условиям на границе = R+. Положим u(t, x) = p (t, x) + U (t, x), где U D(L ), а функция p (t, x) компенсирует различие условий на границе.

Тогда при всех t 0 выполняются следующие равенства:

u(t, 0) p (t, 0) = u(t, +0) p (t, +0), (4.4) a ux (t, 0) p (t, 0) = ux (t, +0) p (t, +0) + i (u(t, +0) p (t, +0)). (4.5) Предположим, что a 0. В этом случае функция u(t, x) при всех t 0 удовлетворяет условиям:

a u(t, 0) = u(t, +0), ux (t, 0) = i u(t, +0).

Положим ux (t, +0)xex /2.

p (t, x) = (4.6) Тогда равенства (4.4), (4.5) и, следовательно, включение U (t, x) D(L ) выполнены при всех t 0.

Если же a = 0, то тогда при всех t 0, поскольку u0 (x) C0,0, функция u(t, x) удовлетворяет условиям ux (t, 0) = 0, u(t, +0) = 0, ux (t, +0) = 0.

Следовательно, равенства (4.4), (4.5) равносильны соотношениям:

p (t, +0) p (t, 0) = u(t, 0), p (t, 0) = p (t, +0), t 0.

В этом случае положим 2 /(2) p (t, x) = u(t, 0)ex (t, x) R+ R ;

(t, x) R+ R+. (4.7) p (t, x) = 0,, Тогда равенства (4.4), (4.5) и, следовательно, включение U (t, x) D(L ) выполнены при всех t 0.

Заметим, что как при a 0, так и при a = 0 выполняются включение p (t, x)|R+ R± C 1 (R+, W2 (R± )).

Тогда если a = 0, то p (t, x)|R+ R± C 1 (R+,W2 (R± )) 0 при 0. А если a = 0, то p (t, x)|R+ R± C 1 (R+,L2 (R± )) 0 и p (t, x)|R+ R± C 1 (R+,W2 (R± )) 0 при 0. Кроме того, заметим, что p(+0, x) = 0.

Действительно, достаточно показать, что lim u(t, +0) = 0.

t Так как функция Lj u(t, x), j = 0, 2, есть решение задачи (1.1), (1.2) с начальным условием j u (x) D(L3j ), j = 0, 2, то, согласно следствию 1.2, справедливо неравенство L L2 u0 (x) Lu(t, x) Lu0 (x) D(L) t.

D(L) 34 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Следовательно, [ux (t, x) (u0 (x))x ]|R+ 0 при t 0, и поэтому W2 (R+ ) lim[ sup |ux (t, x) (u0 (x))x |] = 0, t0 xR+ т. е. семейство функций ux (t, x)|D+, t 0, сходится равномерно на R+ при t +0 к функции u0 (x). Поэтому lim ux (t, +0) = lim u0 (x) = 0, ибо u0 C0,0.

t+0 x+ Пусть w (t) = u (t) U (t) = v (t) p (t), тогда w (t) D(L ) для любого t R+, и функция w (t, x) является решением следующей начально-краевой задачи:

w (+0, x) = p (+0, x) = 0, x R, (4.8) w (t)) = L w + f (t), i t p (t) где f (t) = i + L U Lu.

t Согласно предположению u0 (x) C00 и свойству симметричности операторов L и L, функция f (t) C(R+, L2 (R)), представима в виде p f (t, x) = i + L (u(t, x) p (t, x)) Lu(t, x) t в том смысле, что ее сужения на области D± = R+ R± суть 2 u(t, x) 2 p (t, x) p i p (t, x) a(x)p (t, x) f (t, x)|D+ = i + a(x), 2 t x x 2 x x p p (t, x) f (t, x)|D = i g(x).

t x x Заметим, что если a = 0, то в силу неравенства L2 u(t, x) L2 (R) справедлива оцен 2 u(t, x) 2 u(t, x) ;

а если a = 0, то, так как ка x2 x R+ L2 (R+ ) R+ L2 (R+ ) u(t, x)|R+ = u0 (x)|R+. Поэтому |ux (t, +0)| k u0 D(L3 ) и, согласно (4.6), справедливо утверждение f (t) C(R+,L2 (R)) 0 при 0.

Решение указанной начально-краевой задачи, с учетом условия (4.8), задается формулой (см. [65, гл. 1, п. 6.1]) t w (t) = i UL (t )f ( )d, следовательно, t UL (t ) w (t) f ( ) C([0,t],L2 (R)).

Тогда sup w(t, x) T sup f (t, x) L2 (R) L2 (R) t[0,T ] t[0,T ] 0.

при Поскольку линейное многообразие C00 плотно в пространстве L2 (R), то справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть a 0 и u0 L2 (R). Тогда для любого T 0 справедливо равенство u (t, x) u(t, x) lim = 0.

C([0,T ],L2 (R)) + 4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ШРЕДИНГЕРА ВЫРОЖДЕННОГО ОПЕРАТОРА Доказательство. Пусть u0 L2 (R). Тогда для любого 0 существует такое u1 C0,0, что u0 u1 L2 (R).

Согласно лемме 4.2, для любого T 0 существует такое 0 0, что для любого (0, 0 ) справедливо неравенство:

u1, (t) u1 (t) C([0,T ],L2 (R)), где u1 (t) — обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) с начальным условием u1, а u1, (t) — решение задачи (4.1), (1.2) с начальным условием u1.

Тогда для любого (0, 0 ) имеем:

u(t) u (t) u(t) u1 (t) + u1 (t) u1, (t) + u1, (t) u (t) = L2 (R) L2 (R) L2 (R) L2 (R) = 2 u0 u1 + u1 (t) u1, (t).

L2 (R) L2 (R) Замечание. Лемма 4.2 дает обоснование для выбора области определения вырожденного опе ратора L при a = 0. Поскольку последовательность решений регуляризованных задач сходится к решению задачи с оператором L, то любая другая постановка задачи Коши не является предельной для последовательности регуляризованных задач. Тем самым выявлено свойство устойчивости ре шений задачи Коши (1.1), (1.2) по отношению к снятию вырождения по регуляризации (4.1), (4.2).

4.2. О последовательности решений регуляризованных задач при положительных значе ниях a. Каждый самосопряженный регуляризованный оператор L генерирует в гильбертовом пространстве H унитарную группу UL (t), t R. Исследуем сходимость в различных топологиях последовательности регуляризованных полугрупп UL (t), t 0.

Будем утверждать, что последовательность полугрупп UL (t), t 0, сходится в силь ной операторной топологии равномерно на любом отрезке [0, T ] к оператор-функции U(t), если выполняется условие: для любого T 0 и любого u H справедливо равенство:

lim sup (UL (t) U(t))u H = 0.

(0,0) t[0,T ] Будем утверждать, что последовательность полугрупп UL (t), t 0, сходится в слабой операторной топологии равномерно на любом отрезке [0, T ] к оператор-функции U(t), ес ли выполняется условие: для любого T 0 и любых u, v H справедливо равенство:

lim sup |((UL (t) U(t))u, v)H | = 0.

(0,0) t[0,T ] Исследуем последовательность решений регуляризованных задач на сходимость и на компакт ность в различных топологиях.

Определение 4.1. Сильным аппроксимативным решением задачи (1), (2) назовем такую функцию u(t) C(R+, H), что найдется бесконечно малая последовательность параметров регу ляризации {n } такая, что для любого T 0 выполняется условие:

un (t) u(t) lim sup = 0.

H n t[0,T ] Определение 4.2. Слабым аппроксимативным решением задачи (1), (2) назовем такую слабо непрерывную функцию u(t) : R+ H, что найдется бесконечно малая последовательность параметров регуляризации {n } такая, что для любого T 0 и любого H выполняется условие:

lim sup (, un (t) u(t))H = 0.

n t[0,T ] Тогда нетрудно показать, что если u(t, x) есть обобщенное, сильное или слабое аппроксиматив ное решение задачи (1), (2), то оно удовлетворяет семейству интегральных тождеств T v(t) + L v(t), u(t) dt = (v(0), u(0)) T 0 (4.9) i i t 36 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ при любом выборе v(t, x) C 0 ([0, T ], D) C 1 ([0, T ], L2 (R)). Здесь C 0 ([0, T ], X) есть простран ство функций со значениями в банаховом пространстве X, носитель которых лежит в промежут ке [0, T ).

Заметим, что семейство тождеств (4.9) не определяет однозначно решения в смысле инте грального тождества, поскольку существует нетривиальная функция u(t, x) C([0, T ], D(L )) C 1 ([0, T ], H), удовлетворяющая однородному интегральному тождеству (4.9) (т. е. при u0 = 0) и условию u(t, +0) = (t), где (t) C0 (0, T ). Действительно, для указанной функции (t) суже ние функции u(t, x) на полуплоскость x 0 определяется как решение задачи для уравнения u u + a, x 0, t (0, T ), с условиями u|t=0 = 0 и u|x=+0 = (t), а сужение функции u(t, x) t x 2u u, t (0, T ), на полуплоскость x 0 определяется как решение задачи для уравнения i = x t a x 0, с условиями u|t=0 = 0 и ux (t, x) + i u(t, x) = (t), которая имеет (см. [13, 81, 95]) 2 x= единственное решение.

Поскольку при a 0 для операторов L, 0, выполняются условия теоремы 4.1, то в случае a 0 справедливо следующее утверждение.

Лемма 4.3. Для любого T 0 и любого a 0 семейство унитарных операторов {eit(L ) }, 0, сходится при 0 в сильной операторной топологии равномерно на отрезке [0, T ] к оператор-функции UL (t). Для любого a 0 и любого T 0 семейство унитарных операторов {e(itL ) }, 0, t 0, сходится в слабой операторной топологии при 0 к семейству операторов UL (t), t 0, равномерно на [0, T ].

Фиксируем некоторое a 0. Тогда для оператора L выполнены условия теоремы 1.1 и, следо вательно, корректно определена полугруппа UL (t), t 0.

Согласно теореме 1.2, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть a 0 и H0,H1 — подпространства пространства H = L2 (R), реализу ющие разложение Вольда изометрической полугруппы UL (t). Тогда:

1). Для любого u0 (x) H0 существует единственное сильное аппроксимативное решение u(t, x) задачи Коши (1.1), (1.2), причем для любого t 0 выполнены условия u(t, x) H и u(t, x) L2 (R) = u0 (x) L2 (R).

2). Для любого u0 (x) H1 существует единственное слабое аппроксимативное решение u (t, x) задачи Коши (1.1), (1.2), причем для любого t 0 выполнены условия u (t, x) H и lim u (t, x) L2 (R) = 0.

t+ 3). Для того, чтобы задача Коши (1.1), (1.2) имела сильное аппроксимативное решение, необходимо и достаточно, чтобы u0 (x) H0.

Доказательство. Пусть H0 и H1 — подпространства из утверждения теоремы 1.2. Если u0 H0, то тогда un (t) L2 (R) = u (t) L2 (R) = u0 L2 (R) при всех n N и t 0. Тогда для любого t справедлива оценка:

un (t) u (t) 2 u (t) + [(u (t), u (t)) = [ un (t) L2 (R) ] L2 (R) L2 (R) (u (t), un (t))] + [(u (t), u (t)) (un (t), u (t))] 2|(u (t), u (t) un (t))|.

Фиксируем некоторые положительные числа T и. Поскольку функция u (t) непрерывна на отрезке [0, T ], то множество ее значений компактно в пространстве L2 (R). Следователь но, существует конечный набор чисел t1,..., tN таких, что для любого t [0, T ] справедлива оценка min u(t) u(tj ) L2. В силу теоремы о слабой сходимости существует такое j=1,...,N n0 N, что для всех n n0, всех t [0, T ] и всех j = 1,..., N справедливо неравенство:

(t ), u (t) u (t))| |(u j. Поэтому для любого t [0, T ] и любого n n0 справедлива оценка:

n un (t) u (t) 2.

Следовательно, u (t) является сильным аппроксимативным решением, поскольку последователь ность элементов {un } гильбертова пространства H сходится к некоторому элементу u H тогда и только тогда, когда {un } сходится к элементу u H слабо в H и un H u H при n.

5. О КОШИ ФОККЕРА—ПЛАНКА, ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ПОЛУПРЯМОЙ u (t, x) Пусть PH1 u0 = 0, тогда lim L2 (R) = PH0 u0 L2 (R) u0 L2 (R). В частности, суще t+ t выполнено неравенство u (t, x) ствует такое 0, что для любого t t1 L2 (R) u0 (x) L2 (R).

Из этого утверждения вытекает, что если PH1 u0 = 0, то ни для какой последовательности n +0, n, соответствующая последовательность решений un (t, x) не является сходя щейся в пространстве L2 ([0, T ], L2 (R)) ни при каком T t. Поэтому если PH1 u0 = 0, то lim U (t)u0 = PH0 u0 u0 и по тем же причинам задача (1.1), (1.2) не имеет силь L t+ ного аппроксимативного решения.

Согласно теореме 1.2, линейное многообразие D0 = D(L) H0 плотно в пространстве H0 и служит областью определения генератора унитарной полугруппы UL (t)|H0 в гильбертовом про странстве H0.

Следствие 4.1. Подпространство D0 определяется как линейное многообразие функций u0 D(L), удовлетворяющих условию UL (t)u0 D(L) t 0, т. е. равенству UL (t)u0 (x)|x=0 = UL (t)u0 (x)|x=+0 = u0 (at) на полупрямой t 0.

5. О КОШИ ФОККЕРА—ПЛАНКА, ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ПОЛУПРЯМОЙ 5.1. Предположения о коэффициентах уравнения. Цель исследований настоящего раздела — обобщить разработанный метод исследования вырождающихся операторов Шредингера на случай диссипативных операторов второго порядка и исследовать влияние на разрешимость задачи и свойства решений гладкости коэффициентов и скорости стремления к нулю коэффициента при старшей производной при стремлении к границе области вырождения.

В настоящем разделе изучается корректность задачи Коши (5), (6) для эволюционного уравне ния с одномерным координатным пространством и производящим оператором L вида (3), являю щимся дифференциальным оператором переменного типа, вырождающимся на полупрямой R+ :

du(t, x) = Lu(t, x), t 0, x R, (5.1) dt (5.2) u(+0, x) = u0 (x).

Оператор L, действующий в пространстве H = L2 (R), задается дифференциальным выражением:

v 1 v b(x)v Lv = (5.3) g(x) + a(x) + + c(x)v, x x 2 x x где функции g(x) и c(x) — комплекснозначные и Re g(x) 0, а a(x), b(x) — вещественнозначные функции. Предполагается, что |g(x)| 0 при x (, 0) = R и g(x) = 0 при x (0, +) = R+.

Таким образом, вырождающийся оператор L является оператором второго порядка на множестве эллиптичности {x R : |g(x)| 0} = R и оператором первого порядка на множестве вырождения {x R : g(x) = 0} = R+. Уравнение (5) с дифференциальным оператором (3) с гладкими веще ственными коэффициентами является уравнением Фоккера—Планка, записанным в симметричной форме. Мы сохраним это название для рассматриваемого в работе вырождающегося уравнения (5) с разрывными комплекснозначными коэффициентами.

Цель этого раздела — исследовать возможность применения метода регуляризации вырождаю щегося уравнения, разработанного в разделе 2 для изучения уравнения Шредингера, к изучению вырождающегося уравнения теплопроводности. Для этой цели будет рассмотрен модельный опе ратор L, коэффициенты a(x) и b(x) которого имеют вид a(x) = b(x) = a(x), где (x) — функция Хевисайда, a R — параметр задачи, а c(x) 0. В заключении главы будет указан некоторый класс операторов вида (5.3), для которого применим излагаемый в данной работе метод регуляризации.

К функции g(x) предъявляются следующие требования:

H1). Существует такое 0,, что |Im g(x)| tg()Re g(x) при всех x R.

38 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ H2). Функция g(x) обращается в нуль на полуоси R+ и удовлетворяет условию Re g(x) при x 0, причем для любого 0 существует C() 0 такое, что |g(x)| C() при x ( ].

H3). Функция g(x)|R имеет обобщенную первую производную и ограничена существенно вместе со своей первой производной.

H4). Если u(x), Lu(x) L2 (R), то тогда существуют конечные следы lim g(x)u (x) и lim u(x).

x0 x Условием на функцию g(x), обеспечивающим выполнение требования H4) к оператору L, явля ется включение (g(x))1 |R L2,loc (R ). (5.4) Действительно, поскольку |g(x)| 0 на любом отрезке [a, b] (, 0), то u(x)|[a,b] W2 ([a, b]) и функция u(x) имеет следы u(b) и u (b). Поэтому среди представителей класса W2 (R ) найдется x такая функция u(x), что для любого x (, 0) справедливо равенство |u(x) u(b)| = u ()d.

b Тогда с помощью оценки Lu H и формулы интегрирования по частям можно показать, что из (5.4) следует H4). Далее будем предполагать выполнение условия (5.4).

5.2. Постановка задачи Коши для уравнения Фоккера—Планка и ее корректность. Что бы сформулировать постановку задачи Коши (5.1), (5.2), зададим область определения оператора L. Максимальная область определения оператора L, задаваемого дифференциальным выражени ем (5.3), определяется условием D(L) = {u(x) L2 (R) : Lu(x) L2 (R)} однозначно таким же образом, как и в случае уравнения Шредингера, и представляет собой линейное многообразие a D(L) = u(x) M : u(0) = u(+0), gu (0) = u(+0).

Здесь 2 M = u(x) L2 (R) : u(x)|R W2,g (R ), u(x)|R+ W2 (R+ ).

В случае a = 0 полагаем D(L) = {u M : gux (0) = 0}.

Заметим, что область определения оператора D(L) плотна в пространстве L2 (R) и оператор L замкнут. Тогда сопряженный оператор L имеет область определения D(L ) = u : u|R W2,(R ), 2 u|R+ W2 (R+ ), g a g ux (0) u(0) = au(+0) при a = 0;

g u (0) = 0 при a = 0, и действует по формуле:

v 1 v a(x)v L v = g (x) a(x) +.

x x 2 x x Рассмотрим квадратичные формы K (u) = Re (L u, u), u D(L ).

u D(L);

K(u) = Re (Lu, u), Согласно формуле интегрирования по частям, (Re g(x))|u (x)|2 dx K(u) = R для любого u D(L).

Так как область определения D(L) плотна в пространстве L2 (R) = H, то L — диссипативный оператор в пространстве H.

Области определения операторов L и L плотны в пространстве H, поэтому оба оператора замыкаемы в H. Их замыкания вновь обозначим через L и L.

5. О КОШИ ФОККЕРА—ПЛАНКА, ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ПОЛУПРЯМОЙ С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что для любого u(x) D(L ) для квадратичной формы сопряженного оператора имеет место равенство a K (u) = (Re g (x)) |u (x)|2 dx + |u(+0) u(0)|2.

R 0, то K (u) 0 для любого u D(L ).

0 для любого u D(L) и, если a Поэтому K(u) Тогда замкнутый оператор L является максимальным диссипативным оператором и, следовательно, генератором сжимающей полугруппы UL (t), t 0, в пространстве H (см. [55]). Если же a 0, то оператор L не является максимальным диссипативным оператором.

Превратим область определения D(L) в гильбертово пространство, снабдив его нормой графика оператора L.

Теорема 5.1. Пусть a 0. Тогда задача Коши (5.1), (5.2) имеет единственное обобщенное решение на промежутке R+ при любом начальном условии u0 L2 (R), причем его L2 -норма не возрастает. Если начальная функция u0 удовлетворяет условию u0 D(L), то обобщенное решение задачи Коши (5.1), (5.2) является сильным решением задачи (5.1), (5.2) на промежут ке R+.

Теорема (5.1) вытекает из максимальной диссипативности оператора L (см. [65]).

Заметим, что если u(t, x) есть сильное решение задачи (5.1), (5.2), то при любом t 0 функ ция u(t, x) удовлетворяет условию u(t, x) C(R+, D(L)), поэтому при каждом t 0 справедливы равенства a u(t, 0) = u(t, +0), gux (t, 0) = u(t, 0), (5.5) если a = 0, а, в случае a = 0 — равенство gux (t, 0) = 0. (5.6) Следовательно, при любом a R выполняется условие равенства потоков вероятности через гра ницу :

g(x)ux (t, x)(t, x) + g (x)x (t, x)u(t, x) u u = a(x)(t, x)u(t, x)|x=+0, u t 0.

x= 5.3. Задачи, порожденные оператором L на полупрямых. Пусть u0 (x) D(L), I — промежу ток числовой прямой. Обозначим через D± области I R± и через D± — области R+ R±.

I Замечание 5.1. Если u(t, x) является решением задачи (5.1), (5.2), то из условия u(t, x) C(R+, D(L)) следует, что в области D = R+ R сужение u (t, x) неизвестной функции u(t, x) удовлетворяет уравнению u (t, x) D, (5.7) (u )t + g(x) = 0, x x и условиям u (+0, x) = u01 (x) u0 (x)|R, x R, (5.8) a g(0)(u )x (t, 0) = u (t, 0), t R+. (5.9) a Линейное многообразие W (a) = u W2,g (R ) : ux (0) = u(0) является замкнутым ли нейным подпространством пространства W2,g (R ). В пространстве L2 (R ) рассмотрим оператор A с областью определения W (a), действующий по правилу u Au(x) = g(x).

x x Определение 5.1. Функцию u (t, x) C(I, W (a)) C 1 (I, L2 (R )) назовем сильным решением задачи (5.7)–(5.9) на промежутке I R+, если она удовле творяет уравнению (5.7) при почти всех (t, x) D, условию (5.8) в том смысле, что I u (t, x) u01 (x) L2 (R ) 0 при t 0, и условию (5.9) тождественно при t I.

40 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Теорема 5.2. Пусть функция g(x) удовлетворяет условиям H1)–H4). Тогда для любого a R и любого u01 C0 (R ) задача (5.7)–(5.9) имеет единственное классическое решение u (t, x) на промежутке R+.

Доказательство. На пространстве W (a) рассмотрим ассоциированные с оператором A+sI, s R, квадратичные формы a Bs (u) = Re (Bs (u)) = (u, u)W2,g + |u(0)|2 + s(u, u), s 0.

R R Лемма 5.1. Для любого 0 существует C() 0 такое, что для любого u W (a) справедливо неравенство:

|u(0)| u + C() u L2 (R ).

W2,g (R ) R Доказательство. Пусть x0 (, 0). Тогда |u(0)| |u(x0 )| + u (s)ds, следовательно, x 1/ |u(x0 )| + ds |u(0)| u.

W2,g gR (s) R x Тогда существует такое x0 (, 0), что 0 1/ 1 ds ;

gR (s) x 1 а поскольку нормы и W2 ((, x0 ]) эквивалентны, то для любого 0 суще W2,gR ((, x0 ]) ствует такое C(), что |u(x0 )| u + C() u L2 ((,x0 ]).

W2,g ((,x0 ]) R Значит, справедливо утверждение леммы 5.1.


Следствие 5.1. Для любой функции g(x), удовлетворяющей условиям H1)–H4), и числа a R существует такое число s0 0, что Bs0 (u) (u, u) для любого u W (a).

R Лемма 5.2. Оператор A с областью определения W (a) плотно определен, замкнут и его c резольвента удовлетворяет соотношению (A + I)1 v v для любых v H и s0.

+ Доказательство. Первое утверждение очевидно, второе справедливо, поскольку оператор A сов падает со своим вторым сопряженным. Докажем третье утверждение.

В силу леммы 5.1 при : Re s0 справедливы следующие утверждения об операторах A и A :

Ker(A) = {0};

Ker(A ) = {0}.

Следовательно, оператор (A + I)1 определен на плотном множестве при Re s0. Поскольку ((A + I)u, u) (1 + ( s0 ))(u, u) для любого u D(A), то 1 s0 + (A + I)1 v v v s0 + 1 + для любых v H и s0.

Следствие 5.2. Оператор A является генератором полугруппы Tt, t 0, такой, что Tt es0 t. Задача (5.7)–(5.9) имеет единственное решение u(t, x) = Tt u0 (x), t 0, такое, что u(t, x) L2 (R ) es0 t u01 L2 (R ) и если u01 D(Am1 ), то для любого T 0 выполняется неравенство u(t, x) C([0,T ],D(Am )C m ([0,T ],H) es0 T u0 D(Am ).

Из следствия 5.2 вытекает утверждение теоремы 5.2. Существование и единственность решения задачи (5.7)–(5.9) доказаны.

5. О КОШИ ФОККЕРА—ПЛАНКА, ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ПОЛУПРЯМОЙ Для каждого a R определим на линейном многообразии C0 (R ) оператор-функцию Vg,a (t), (R ) положим V (t)u (x) = u(t, x), где u(t, x) есть решение зада t 0: для каждого u0 C0 g,a чи (5.7)–(5.9) с начальным условием u0 (x).

Как нетрудно установить с помощью интегрирования по частям, имеет место неравенство d u (t, x) 2 2 (R ) a|u(t, 0)|2. (5.10) L dt 0, то каждый оператор из семейства Vg,a (t), t 0, согласно (5.10), является Поэтому если a сжимающим и может быть доопределен по непрерывности до оператора Vg,a (t) на всем простран стве L2 (R ), причем при любом a 0 семейство операторов Vg,a (t), t 0, является сжимающей полугруппой в пространстве L2 (R ).

Из доказанного следует, что для любого u01 (x) C0 (R ) существует предельное значение решения h(t) = u (t, 0). Однако из леммы следует лишь экспоненциальная оценка на рост функции h(t) и нельзя сделать вывод об ограниченности функции h(t).

Следствие 5.3. Согласно теореме 5.2, решение u (t, x) задачи (5.7)–(5.9) имеет предельное значение h(t) = u (t, 0) C(R+ ), причем соответствие a : u01 (x) u (t, 0) = h(t) = a u является линейным оператором из гильбертова пространства L2 (R ) в банахово простран ство C(R+ ).

Для любого a R\{0} и любого T 0 ведем оператор T,a, заданный на плотном в L2 (R ) линейном многообразии D(T,a ) = C0 (R ) и принимающий значение в пространстве L2 ([0, T ]), действующий по правилу T,a u01 (t) = Vg,a (t)u01 (0), t [0, T ]. Оператор T,a корректно опреде лен в силу следствия 5.3.

Если a 0, то согласно равенству 5.10, оператор a ограничен как оператор из L2 (R ) в L2 (R+ ) и может быть доопределен по непрерывности на всем пространстве L2 (R ). Далее в случае a через a будем обозначать оператор, определенный на L2 (R ), действующий из L2 (R ) в L2 (R+ ).

Если же a 0, то при каждом T 0 оператор T,a быть может не ограничен как линейный оператор из L2 (R ) в L2 ([0, T ]), но плотно определен.

Лемма 5.3. Оператор g,a замыкаем.

Доказательство. Пусть D(S) — область определения оператора g,a, тогда D(S) D(A). Пусть uk — последовательность элементов D(S), сходящаяся к функции u0 = 0 пространства L2 (R ), такая, что соответствующая последовательность y k = Suk сходится к элементу y в простран стве L2 (R+ ). Поскольку eAt — полугруппа типа s0 в пространстве L2 (R ), то справедливо утвер ждение (U): для любого t 0 последовательность uk (t) = eAt uk (x) сходится к нулю в про странстве L2 (R ).

Первая краевая задача для дифференциального уравнения (5.7) с начальным условием u01 L2 (R ) и граничным условием y(t) L2 (R+ ) имеет единственное решение u(t|u0, y), причем соответствие T : (u0, y) u(t|u0, y) является линейным ограниченным оператором из L2 (R )L2 (R+ ) в L2 (R+, L2 (R )). Существование решения первой краевой задачи можно устано вить методом отражения, а единственность ее решения следует из невозрастания нормы решения, которое следует из предположений H1)–H4).

Следовательно, если последовательность (uk, y k ) сходится к (0, y) в пространстве L2 (R ) L2 (R+ ), то последовательность uk (t) T (uk, y k ) сходится к решению первой краевой задачи u(t) = T (0, y) в пространстве L2 (R+, L2 (R )). Но тогда согласно утверждению (U) справедливо равенство u(t) = 0, которое невозможно, если y = 0. Следовательно, из сходимости последовательности uk к нулю в пространстве L2 (R ) и сходимости последовательности y k = Suk к y в L2 (R+ ) вытекает, что y = 0.

Следствие 5.4. Замыкание графика оператора g,a в пространстве L2 (R+ ) L2 (R ) яв ляется линейным подпространством в пространстве L2 (R+ ) L2 (R ). Отождествим про странство L2 (R+ ) L2 (R ) с пространством L2 (R) по правилу u(x) (u (x), u+ (x)) = (u(x)|R, u(x)|R+ ).

42 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Тогда замыкание графика является линейным подпространством пространства H.

5.4. Пример операторов для оператора теплопроводности с постоянными на полупрямых коэффициентами. Пусть g(x)|R = 1, т. е. задача (5.7)–(5.9) является третьей краевой задачей для уравнения теплопроводности. Тогда ее решение может быть получено с помощью метода отражения как сужение на область D решения задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой с начальным условием U0 (x), полученным из u01 (x) «отражением» на ось R по правилу (см. [81]) x U0 (x) = u01 (x) u01 (|x|) + a ea(xs)/2 u01 (s)ds.

(2t)1/2 e(xy) /(2t) U Тогда Vg,a (t)u01 (x) = и поэтому 0 (y)dy R 2 /(2t) g,a u01 (t) = (2t)1/2 ey U0 (y)dy.

R Полученная формула иллюстрирует факт неограниченности оператора g,a в случае a 0 и его ограниченность при a 0. В этом состоит определенная разница между вырожденными задачами Коши для уравнения Шредингера и уравнения Фоккера—Планка.

В области D+ = R+ R+ рассмотрим следующее дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

u(t, x) a u(t, x) = 0. (5.11) t x Тогда его решение u(t, x) является постоянным вдоль характеристик уравнения (5.11) — прямых x + at = const.

0. Согласно теореме (5.1), если u0 (x) D(L), то решение u(t, x) задачи Ко Пусть a(x) ши (5.1), (5.2) принадлежит пространству C(R+, D(L)), поэтому функция u(t, x) имеет пределы u(t, 0), u(t, +0), g(x)ux (t, x)|x=0 C(R+ ), которые при каждом t 0 удовлетворяют соотноше нию (5.9). Поэтому если u0 (x) D(L) (заметим, что поскольку a 0, то тогда и u01 D(a )), u u то сужение решения u(t, x) на область D+ = R+ R+ удовлетворяет уравнению и = a(x) t x условиям (5.2) и (5.8), и поэтому определяется равенствами:

x u(t, x) = a u01 t +, 0 x at.

u(t, x) = u0 (x + at), x + at 0, a В случае, если a 0, справедливо следующее утверждение/ Лемма 5.4. Если a 0, u0 D(L) и u01 C0 (R ), а функция u02 (x) при некотором T удовлетворяет условию согласования u02 (at)|[0,T ] = T,a u01 (t), t [0, T ], (5.12) то задача (5.1), (5.2) имеет на промежутке [0, T ] решение u(t, x) такое, что u(t, x)|D[0,T ] [0,T ] есть решение задачи (5.7)–(5.9) на [0, T ], а сужение решения на область D+ удовлетворяет равенству:

[0,T ] (t, x) D+ (5.13) u(t, x)|D[0,T ] = u02 (x + at)),.

+ Причем если u01 D() и u02 = u01, то задача (5.1), (5.2) имеет решение на полупрямой R+ и условие (5.13) выполнено во всей области D+.

Следствие 5.5. Пусть a 0 и u0 D(L). Задача Коши (5.1), (5.2) имеет сильное решение тогда и только тогда, когда u0 |R D(g,a ) u0 (at) = g,a (u0 |R )(t).

Достаточность следует из предельного перехода по последовательности начальных данных, удо влетворяющих условиям леммы 5.4. Необходимость следует из определения сильного решения и аналогов лемм 2.3–2.5 для сильного решения уравнения Фоккера—Планка.

5. О КОШИ ФОККЕРА—ПЛАНКА, ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ПОЛУПРЯМОЙ 5.5. Регуляризация уравнения Фоккера—Планка. Наряду с задачей (5.1), (5.2), в которой оператор L является вырождающимся на полуоси оператором переменного типа, рассмотрим се мейство регуляризованных задач Коши с начальным условием (5.2) для семейства уравнений du(t, x) = L u(t, x), t 0, x R, (5.14) dt с операторами L, зависящими от параметра (0, 1), равномерно эллиптическими при каждом (0, 1). Оператор L задается формулой v 1 v a(x)v L v = (5.15) g (x) + a(x) +, x x 2 x x в которой функция a(x) определена выше, а функция g (x) зависит от вещественного параметра (0, 1): g (x) = i(x) + g(x).

Зависимость сходимости последовательности регуляризованных решений и предельной функции от выбора последовательности регуляризованных задач Коши для уравнения Шредингера иссле дована в разделе 8.

Покажем, что решение задачи (5.1), (5.2) является пределом решений следующего семейства задач при 0:

du = L u, (5.16) dt u 1 u L u(t, x) = (5.17) g (x) (t, x) + a(x) (t, x) + (a(x)u(t, x)), x x 2 x x u(+0, x) = u0 (x), x R. (5.18) где a R, а функция g (x) = g(x) + i(x) зависит от вещественного параметра (0, 1).

Область определения D(L ) оператора L, задаваемого дифференциальным выражением (5.15), определим с помощью рассуждений, аналогичных приведенным для анализа множества D(L):

a D(L ) = u M : u(0) = u(+0), (1 + i)u (0) i u (+0) = u(+0), (5.19) где множество M есть линейное многообразие функций, сужения которых на полуоси R± принад лежат пространствам W2 (R± ) соответственно. Дифференциальный оператор, задаваемый на обла сти определения D(L ) соотношением (5.17), является максимальным диссипативным оператором в пространстве L2 (R) и генератором сильно непрерывной полугруппы операторов UL (t) = etL, t 0.

Области определения D(L ), 0, превратим в гильбертовы пространства с нормой графика оператора.


Фиксируем некоторое 0 и рассмотрим задачу (5.16)–(5.18). Пусть u0 C0,0 = u(x) C0 (R) : {0} supp u, / тогда при любом 0 u0 D(L ), причем множество C0,0 плотно в пространстве L2 (R).

Определение 5.2. Решением задачи (5.16)–(5.18) назовем функцию u(t, x) C(R+, D(L )) C 1 (R+, L2 (R)), которая удовлетворяет уравнению (5.16) почти всюду в R+ R и условию (5.18) в том смысле, что u(t, x) u0 (x) L2 (R) 0 при t +0.

Лемма 5.5. Для любого u0 (x) D(L ) существует единственное решение задачи (5.16)– (5.18) u (t, x) = UL (t)u0 (x).

Утверждение леммы 5.5 следует из максимальной диссипативности оператора L (см. [65]).

Лемма 5.6. Пусть u0 (x) C0,0 и a 0. Тогда для любого T 0 справедливо соотношение u (t) u(t) C([0,T ],R+ ) = O() при 0.

Поскольку линейное многообразие C00 плотно в пространстве L2 (R), то справедлива следующая теорема.

44 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Теорема 5.3. Пусть a 0 и u0 L2 (R). Тогда для любого T 0 справедливо равенство u (t, x) u(t, x) lim = 0.

C([0,T ],L2 (R)) + Доказательства леммы 5.6 и теоремы 5.3 дословно повторяют доказательства леммы 2.10 и теоремы 2.2.

Случай a 0.

Введем обозначения: L,g,a, L,g,a суть операторы задачи (5.16)–(5.18) с параметрами 0, a, g(x) и 0, a, g (x) соответственно, где g (x) есть комплексно сопряженная к g(x) функция.

Тогда (L,g,a ) = L,g,a. Согласно лемме 5.5, для любого 0, любого a R и функции g(x) такой, что Re g(x) 0, на пространстве L2 (R) задана полугруппа сжимающих преобразований UL,g,a (t) : u0 (x) u (t, x) = [UL,g,a ] u0.

Очевидно, что если последовательность сжимающих операторов {Un }, n N, сходится в силь ной операторной топологии к оператору U, то последовательность сопряженных операторов {U } n сходится в слабой операторной топологии к оператору U. Поскольку при a 0 для операто ров L,g,a, 0, выполняются условия теоремы 5.1, то, согласно теореме 5.1, в случае a справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.4. Для любого T 0 и любого a 0 семейство сжимающих оператор-функций eit(L ), 0, сходится при 0 в сильной операторной топологии равномерно на отрезке [0, T ] к оператор-функции ULg,a (t), а семейство сжимающих оператор-функций {UL,g,a }, 0, сходится в слабой операторной топологии при 0 к оператор-функции ULg,a (t), t 0, равномерно на [0, T ].

Во второй главе исследовано множество элементов u0 H, для которых установленная тео ремой 5.4 слабая сходимость последовательности решений регуляризованных задач является и сходимостью по норме.

5.6. Обобщения на поведение коэффициентов уравнения Фоккера—Планка. Обобщение на коэффициент c(x). Без ограничения общности можно предполагать, что c(x) — кусочно непре рывная ограниченная комплекснозначная функция на прямой R. Действительно, с помощью за мены u(t, x) = v(t, x)eM t, где M = sup c(x), уравнение (5.3) может быть сведено к уравнению xR такого же вида, в котором коэффициент c(x) удовлетворяет неравенству Re c(x) 0. Поэтому будем полагать, что в дифференциальном выражении (5.3) функция Re c(x) неположительна. Все изложенные в статье рассуждения не претерпевают существенных изменений в случае замены тривиальной функции c(x) на неположительную.

Коэффициент a(x) в области R. В настоящей работе предполагается, что a(x) = 0 при x 0.

Предположим, что это не так и что a(x)|R, b(x)|R C(R ). Если g(x)|R = 1, то перейдем от функции u(x) к функции v(x) такой, что u(x) = v(x)e(x). Тогда u (x) = [(x)v(x) + v (x)]e(x) ;

(b(x)u(x)) = [(x)b(x)v(x) + (b(x)v(x)) ]e(x) ;

Lu(x)|R = e(x) v (x) + (x)v (x) + ((x)v(x)) + v(x)((x))2 + i i i i + a(x)v (x) + a(x)(x)v(x) + (b(x)v(x)) + b(x)(x)v(x).

2 2 2 Пусть a(x) = b(x). Тогда преобразование u(x) v(x) = eia(x)/2 u(x) является унитарным в про странстве H, которое преобразует исходный оператор L в оператор L такого же вида, для которого коэффициент a(x) обращается в нуль на полуоси R.

В случае, если g(x) удовлетворяет условию H1), то унитарное преобразование u(x) v(x) = ei(x)/2 u(x) также позволяет превратить исходное уравнение в уравнение с коэффициентом a(x), обращающимся в нуль на полуоси R. Для этого достаточно положить (x) решением уравнения a(x) (x) = с начальным условием (0) = 0.

g(x) 6. ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ Таким образом, предположение, что a(x) 0 в области эллиптичности оператора L не умень шает общности исследования.

Коэффициент a(x) в области R+. Если функция a(x) удовлетворяет условию G2), то на прямой R существует взаимно однозначная замена переменной x (x) такое, что (x) = x при dx при x 0. С помощью замены переменной x (x) и перехода от 0 и d(x) = x a(x) функции u(t, x) к функции v(t, ) такой, что v(t, (x)) = u(t, x), уравнение (5.1) можно свести к уравнению такого же вида, в котором функция a(x) постоянна на полупрямой R+. Поэтому в исходном уравнении (5.3) функцию a(x) будем предполагать постоянной на R+.

Об обращении коэффициента a(x) в нуль.

Укажем следующие условия на функцию a(x), из которых следует условие существование следа функции u(+0).

0 при любых x1, x2 (0, +);

a(+0) = R;

H5). a(x) = 0 при x 0;

a(x1 )a(x2 ) ds при некотором 0.

0 a(s) Как и в пункте 5.1 (см. (5.4)), можно показать, что если (a(x))1 L1 (0, ) при некотором 0, то для каждой функции u(x) W2,a (R+ ) существуют предельное значение u(+0) такое, что |u(+0)| C u(x) W2,a (R+ ).

Кроме того, условие (a(x))1 L1 (0, ) имеет физический смысл: при движении в поле скоро стей a(x), x 0, частица достигает границы x0 = +0 или покидает границу за конечное время, что обеспечивает возможность контакта области эллиптичности с областью вырождения оператора L за конечное время.

Заметим, что если = 0 и a(x) не удовлетворяет условию сходимости интеграла ds 0 a(s) при некотором 0, то предел u(+0) может не существовать, что затрудняет задание обла сти определения оператора. В этом случае движение в поле скоростей a(x) не может достигнуть границы за конечное время, следовательно, физически, динамика системы в области вырождения проходит независимо от динамики системы в области эллиптичности. Поэтому в этом случае зада дим область определения оператора как линейное многообразие функций (5.4), удовлетворяющих условию (5.6). Естественно поставить то же условие (5.6) в точке x0 слева, если функции a(x) обращаются в нуль в некоторой правой полуокрестности точки x0.

Таким образом, как в случае полного вырождения оператора в некоторой правой полуокрест ности точки x0, так и в случае быстрого стремления к нулю коэффициентов при младших чле нах, задача (1.1), (1.2) (или (5.1), (5.2)) расщепляется на две независимые задачи в областях D = R+ R и D+ = R+ R+. Задаче в области D+ могут быть присущи все особенности, связанные с негладкостью коэффициентов уравнения с частными производными первого порядка, которые изучались в различных работах (см. [66, 67, 69, 88]), и лежат за рамками излагаемого исследования.

6. ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ Исследованию зависимости индексов дефекта дифференциального оператора второго порядка от поведения коэффициентов дифференциального выражения посвящена работа [87]. Ниже мы приведем примеры реализаций вырождающегося оператора Шредингера с различными индексами дефекта, иллюстрирующие зависимость индексов от поведения коэффициентов в области вырож дения. Выше подробное внимание уделялось оператору на прямой, где граница области эллиптич ности с областью вырождения состоит из одной точки. Приводимые ниже примеры выявляют роль геометрии указанной границы — индексы дефекта вырожденного дифференциального оператора второго порядка связаны с размерностью пространства следов линейного многообразия функции D(L) на границе области непрерывности коэффициентов при первых производных, лежащей на замыкании области вырождения. Рассмотрены примеры операторов в одномерном пространстве с конечными индексами и примеры операторов в многомерном пространстве с бесконечными индек сами.

46 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 6.1. Операторы в одномерном пространстве.

Пример 6.1. Симметрический оператор с различными индексами (оператор с вырождением на одной полупрямой).

Рассмотрим задачу Коши (1.1), (1.2) с производящим оператором вида (1.3), для которого функ ция g(x) принимает значения 1 на промежутках I1,..., Ik числовой прямой R и значения 0 на промежутках J1,..., Jk, причем I1 = (, a1 ), Jk = (bk, +), Jp = [ap, bp ] при p = 1,..., k 1, Iq = (bq1, aq ) при q = 2,..., k, где aj bj, ai aj и bi bj при i j, и a(x) = aJ (x), где a k иJ= Ji.

i= В этом случае максимальная область определения оператора L, соответствующая дифференци альному выражению (1.3), задается условиями вида (2.2) и (2.4) в точках ai и bi. Тогда индексы дефекта оператора L равны (n, n+ ) = (k, k 1). Минимальный оператор является замыка нием оператора, заданного дифференциальным выражением (1.3) на линейном многообразии C финитных бесконечно дифференцируемых функций, носитель которых не содержит точки ai и bi.

Тогда индексы дефекта оператора равны (n, n+ ) = (3k 1, 3k 2).

Рассматриваемый оператор L обладает самосопряженной регуляризацией вида (4.2) с функцией k i Ji (x), где = (1,..., k ) (0, 1)k.

g (x) = g(x) + i= Если же a 0, то индексы дефекта операторов L и равны (k 1, k) и (3k 2, 3k 1) соот ветственно. Поэтому при a 0 рассмотренный оператор не имеет максимальных диссипативных расширений.

Пример 6.2. Симметрический оператор с равными индексами (оператор с вырождением на двух полупрямых и оператор, невырожденный на полупрямых).

Исследуем задачу Коши (1.1), (1.2) с производящим оператором вида (1.3), для которого функ ция g(x) принимает значения 1 на промежутках I1,..., Ik+1 числовой прямой R и значения 0 на промежутках J1,..., Jk, причем I1 = (, a1 ), Ik+1 = (bk+1, +), Jp = [ap, bp ] при p = 1,..., k, Iq = (bq1, aq ) при q = 2,..., k, где aj bj, ai aj и bi bj при i j, и a(x) = aJ (x), где a k иJ= Ji.

i= Максимальная область определения оператора L, соответствующая дифференциальному вы ражению (1.3), задается условиями вида (2.2) и (2.4) в точках ai и bi. Тогда индексы дефек та оператора L равны (n, n+ ) = (k, k). Индексы дефекта минимального оператора равны (n, n+ ) = (3k, 3k).

Рассматриваемый оператор L обладает самосопряженной регуляризацией вида (4.2) с функцией k i Ji (x), где = (1,..., k ) (0, 1)k.

g (x) = g(x) + i= Аналогично, пусть производящий оператор задачи Коши (1.1), (1.2) вида (1.3), для которого функция g(x) принимает значения 0 на промежутках I1,..., Ik+1 числовой прямой R и значения на промежутках J1,..., Jk, причем I1 = (, a1 ), Ik+1 = (bk+1, +), Jp = [ap, bp ] при p = 1,..., k, Iq = (bq1, aq ) при q = 2,..., k, где aj bj, ai aj и bi bj при i j, и a(x) = k Ii. Тогда индексы дефекта оператора L с максимальной областью aI (x), где a 0 и I = i= определения, соответствующей его дифференциальному выражению, суть (k, k), а индексы дефекта минимального оператора равны (3k, 3k).

Пример 6.3. Максимальный симметрический оператор с индексами (0, ) и и (, 0) (оператор с вырождением вне шара).

В пространстве H = L2 (R3 ) рассмотрим дифференциальный оператор L, задаваемый дифферен циальным выражением i Lu(x) = div (g(x)grad u) + a(x) u + (a(x)u), 2 r r 6. ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ где g(x) = B1 (0) (x), a(x) = a(1 B1 (0) (x)). Здесь B1 (0) — трехмерный единичный шар с цен тром в начале координат, B (x) — характеристическая функция множества B, a R — число вой параметр. Указанный дифференциальный оператор с максимальной областью определения a D(L) = u(x) W2 (R3 ) : u(x)|B1 (0) W2 (B1 (0)), 1 2 i u = 0 является сим u r |x|=10 2 |x|=1+ метрическим оператором в H.

Тогда если a 0, то индексы дефекта оператора L равны (0, ) и поэтому оператор iL является генератором изометрической полугруппы. Если же a 0, то индексы дефекта оператора L равны (, 0).

Рассматриваемый оператор обладает самосопряженной регуляризацией i Lu(x) = div (g (x)grad u) + a(x) u + (a(x)u), 2 r r где g(x) = B1 (0) (x) + (1 B1 (0) (x));

(0, 1), 0. Область определения операторов L есть D(L) = u(x) W2 (R3 ) : u(x)|B1 (0) W2 (B1 (0)), u(x)|R3 \B1 (0) W2 (R3 \ B1 (0)), 1 2 a u i u = 0. Произвольная последовательность решений регуля u r |x|=10 r |x|=1+0 2 |x|=1+ ризованных задач Коши сходится сильно, если a 0, и сходится слабо, если a 0.

6.2. О влиянии геометрии множества вырождения оператора с одномерным координатным пространством на его индексы. Зависимость индексов дефекта дифференциального оператора второго порядка от поведения коэффициентов дифференциального выражения исследуется в ра боте [87]. Настоящая работа не ставит целью детальное изучение указанной проблемы. Тем не менее, мы хотели бы указать достаточно широкий класс вырожденных дифференциальных опера торов второго порядка с переменными коэффициентами на прямой, для которого известны такие спектральные свойства оператора, как его индексы дефекта.

Пусть d = 1, — область вырождения оператора L, коэффициенты которого удовлетворяют условиям G1)–G4), — множество точек разрыва функции a(x), лежащих на замкнутой области.

Согласно предположениям G1)–G4), множество не имеет конечных предельных точек. Каждой точке x0 B = сопоставим единичный вектор (x0 ) нормали к границе, внешний относительно области вырождения, а каждой точке x0 I = \ — векторы (x0 ) и + (x0 ), направленные из точки x0 по убыванию и по возрастанию переменной x соответственно. Для каждой точки x0 B обозначим через ae (x0 ) предел функции a(x) при x x0 по множеству, а для каждой x0 I обозначим через a± (x0 ) пределы слева и справа функции a(x) в точке x0.

Тогда положительный индекс оператора L (конечный или бесконечный) равен n+ = + +, xB : ((x0 ),ae (x0 ))0 xI : ( (x0 ),a (x0 ))0 xI : (+ (x0 ),a+ (x0 )) а отрицательный — n = + +.

xB : ((x0 ),ae (x0 ))0 xI : ( (x0 ),a (x0 ))0 xI : (+ (x0 ),a+ (x0 )) Сформулированное утверждение проверяется непосредственно определением размерности про странства решений уравнений L u + iu = 0, L u iu = так же, как это было сделано в примерах пункта 1.2 раздела 1 в случае кусочно постоянных коэффициентов.

6.3. Пример задачи Коши с вырожденным в области многомерного пространства операто ром. Объектами приложения проводимых исследований являются задачи Коши с вырожденными производящими операторами переменного типа для уравнения Шредингера (1) в гильбертовом пространстве X = L2 (Rd ) и для уравнения диффузии (5) в банаховом пространстве X = L1 (R) 48 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ (см. [63]). В настоящей работе рассматривается модельный пример уравнения (5) с неравномер но вырожденным оператором L в пространстве X = L2 (Rd ), который задается симметричным дифференциальным выражением второго порядка:

d d v v Lv(x) = (6.1) gkj (x) + ak (x)v + ak (x), xk xj xk k,j=1 k= где функции ak (x), x Rd, k 1, d, вещественнозначны и измеримы, а функции gkj (x), x Rd, k, j 1, d, комплекснозначны, измеримы и удовлетворяют условию: для любого Rd и любо d го x Rd выполнено неравенство Re gkj (x)k j 0.

k,j= Оператор, заданный в гильбертовом пространстве H = L2 (Rd ) дифференциальным выражени ем (6.1), будем называть оператором Шредингера, если матрица-функция iG(x) при всех x имеет вещественные коэффициенты и симметрична.

Пусть — выпуклая ограниченная область в Rd с гладкой границей класса C 2. Последнее означает, что поверхность может быть покрыта конечным атласом карт, каждая из которых представляет график дважды непрерывно дифференцируемой функции, определенной на (d 1) мерном круге. Через обозначим векторное поле единичных векторов нормалей к поверхности, внешних по отношению к области, а через (+ ) — внутреннюю (внешнюю) по отношению к области сторону поверхности. Через f± или f± (x), x, будем обозначать предельные значения в смысле следов функции f на внутренней или внешней стороне поверхности ±.

Мы рассмотрим модельный пример уравнения Шредингера d u(t) = Lu(t) (6.2) dt с оператором Шредингера (6.1), в котором матрица-функция G(x) = i gkj (x) обращается в нулевую матрицу на дополнении области, а на области удовлетворяет условию равномерной эллиптичности. Векторное поле a(x) с координатами ak (x), k 1, d, ограничено на Rd. Пред положим также, что координатные функции gij (x) и aj (x) на областях и = Rd \ имеют измеримые и почти всюду ограниченные обобщенные частные производные первого порядка. Сле довательно, функции ai |, gij | принадлежат пространству W (), а функции ai |, gij | — про странству W (). В следствие этого каждая из функций ai и gij имеет след на внутренней и на внешней стороне поверхности из пространства C(S) (см. [14, теорема 10.4, стр. 129]).

Будем предполагать, что существует постоянная 0 такая, что для всех точек поверхности + выполнено неравенство |(, a+ )|. (6.3) Область определения D(L) оператора L составляют функции, для которых определены операции дифференцирования и умножения в дифференциальном выражении (6.1) и выполнено условие Lu(x) H.

Тогда область определения оператора L вложена в линейное многообразие W функций про странства H, удовлетворяющих условиям:

1). u| W2 ();

2). функция u(x)|Rd \ имеет обобщенную производную вдоль векторного поля a такую, что u (x) d L2 (Rd \ ) (согласно [110, теоремы 4-I, 4-II] функция u(x) имеет на поверхно a R \ сти + след из пространства L2 ()).

При этом предельные значения функций u, u и u+ на поверхности суть независимые функции. Для того, чтобы дифференциальное выражение (6.1) с функцией u W было опреде лено, и его результат являлся элементом пространства H, необходимо и достаточно потребовать выполнения двух граничных условий на следы u и u+ функции u на поверхностях и + и след u ее градиента на :

(6.4) u = u+, (, G u + a u a+ u+ ) = 0 (6.5) 6. ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ (равенства (6.4) и (6.5) суть равенства элементов пространства L2 ()).

Следовательно, область определения оператора L есть линейное многообразие функций из W, удовлетворяющих условиям (6.4) и (6.5). Тогда оператор iL плотно определен, симметричен и замкнут в пространстве H. Область определения D(iL ) сопряженного оператора iL шире области определения исходного оператора и состоит из функций линейного многообразия W, удовлетворяющих одному граничному условию (, G u a u a+ u + 2a+ u+ ) = 0.

(Заметим, что G = G, поскольку оператор (6.1) является оператором Шредингера).

Квадратичные формы операторов L на D(L) и L на D(L ) определяются как K(u) = Re (Lu, u) = 0, u D(L), K (u) = Re (L u, u) = (a+ (x), (x))|[u(x)]|2 dS, u D(L ), где [u] = u|+ u|.

Поэтому оператор L консервативен (см. [65]) при любом векторном поле a и является макси мальным диссипативным при условии, что (a+, ) 0 на поверхности +. (Заметим, что в силу непрерывности векторных полей и a на и условия (6.3), если неравенство (a, ) вы полнено в одной точке поверхности, то оно справедливо на всей поверхности.) В этом случае оператор L является генератором изометрической полугруппы UL (t) = eLt, t 0, в простран 0 на поверхности максимальным стве H (см. [65, теорема 4.5]). В случае же (a, ) диссипативным оператором является оператор L.

6.4. Операторы Шредингера, вырожденные на полупространстве. Укажем другой класс вы рожденных операторов Шредингера в многомерном пространстве. Исследуем корректность поста новки задачи Коши для уравнения Шредингера с гамильтонианом, являющимся дифференциаль ным оператором переменного типа в пространстве Rd, d 2:



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.