авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

«Современная математика. Фундаментальные направления. Том 43 (2012). С. 3–172 УДК 517.946+517.98 ...»

-- [ Страница 3 ] --

u(t, x) = Lu(t, x), x Rd, d N, (6.6) i t 0, t с начальным условием u(+0, x) = u0 (x), x Rd. (6.7) Рассмотрим пример задачи Коши (6.6), (6.7) в следующей модельной ситуации. Коорди натное пространство R2 с декартовой системой координат (x, y) разделено на две области 1 = {(x, y) R2 : x 0} и 2 {(x, y) R2 : x 0} границей = {(x, y) R2 : x = 0}. В случае, когда оператор L вырождается в области 2 в направлении, нормальном к границе, его действие задается дифференциальным выражением вида 2u v i v (a(x)v) Lv = a R, (6.8) + g(x) + a(x) +, y 2 x x 2 x x где g(x) = 1 (1 )(x), a(x) = a(x), [0, 1), (x) — функция Хевисайда. Область опре деления D(L) оператора L включается в линейное пространство M функций, сужение которых 2 2 на полуплоскость 1 принадлежит пространству W2 (1 ) = W2 (R, W2 (R)), а сужение на 2 — 1,2 1 пространству W2 (2 ) = W2 (R+, W2 (R)). Тогда функции из области определения оператора L и 3/2 1/ их первые производные имеют (см. [14, 80, 110]) следы u(0, y) W2 (R), ux (0, y) W2 (R), u(+0, y) W2 (R) на границе областей 1 и 2. Так же, как и в разделе 1, можно показать, что максимальная область определения оператора L есть линейное многообразие a D(L) = u M : u(0, y) = u(+0, y), ux (0, y) = i (6.9) u(+0, y).

1/ Равенства (6.9) функций u(0, y), u(+0, y), ux (0, y) из пространства W2 (R) выполняются для почти всех y R. В случае a = 0 область определения оператора L есть D(L) = {u M : u(0, y) = u(+0, y), ux (0, y) = 0}. (6.10) В случае, когда оператор L вырождается в области 2 в направлении, касательном к границе, его действие задается дифференциальным выражением 2v v i v ((x)v) Lv = (1 (x)) a R. (6.11) + + a (x) +, x y y 2 y y 50 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Для любой функции u из области определения D(L) оператора L функция Lu является элемен том пространства L2 (R) и тем более является регулярной обобщенной функцией из простран ства W2 (R2 ). Поэтому D(L) включается в линейное пространство V функций, сужение которых 2, на 1 принадлежит пространству W2 (1 ), а сужение на 2 — пространству W2 (2 ). Тогда функ ции из области определения оператора L и их первые по x производные имеют следы на границе областей 1 и 2.

Чтобы функция Lu, u D(L) V, являлась регулярной обобщенной функцией из простран ства W2 (R2 ), необходимо и достаточно, чтобы для любой функции u D(L) выполнялись усло вия (см. [30, гл. 2]) 3/4 1/ u(0, y) = u(+0, y) W2 (R), ux (0, y) = ux (+0, y) W2 (R). (6.12) Положим D(L) = {u V : выполнены условия (6.12)}. Тогда оператор L с областью определения D(L) является самосопряженным оператором.

В работе [97] установлено, что спектральные свойства оператора L и свойства разрешимости задачи Коши для уравнения (6.6) существенно отличаются для указанных двух типов вырожде ния — по направлению нормали и по касательному направлению по отношению к границе области эллиптичности с областью вырождения.

7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ Чтобы выявить влияние геометрии области вырождения на корректность задачи Коши и на пове дение последовательности ее аппроксимаций, исследуем корректность задачи Коши для уравнения Шредингера с оператором, являющимся дифференциальным оператором переменного типа:

u(t, x) = Lu(t, x), x R. (7.1) i t 0, t Уравнение (7.1) дополнено начальным условием x R. (7.2) u(+0, x) = u0 (x), Ниже будет указано, в каком смысле выполнено условие (7.2).

Исследуем сначала уравнение (7.1) с производящим оператором, вырожденным на двух полу прямых. В разделе 8 изучаются обобщения полученных результатов на случай симметрического оператора второго порядка с неотрицательной характеристической формой.

Пусть координатное пространство R разделено на три области = {x R : x l}, + = {x R : x l} и 0 = {x R : x [l, l]} границами = {x R : x = l} и + = {x R : x = l}. Исследуем задачу (7.1), (7.2) с оператором L, вырождающимся в областях и +. Оператор L, действующий в гильбертовом пространстве H = L2 (R), задается следующим дифференциальным выражением:

v i v a(x)v Lv = g(x) + a(x) +, x x 2 x x где g(x) = [l,l] (x), a(x) = a1 (,l) (x) + a2 (l,+) (x), a1, a2 R, l 0;

здесь A (x) — характе ристическая функция множества A R.

Положим = (1, 2 ), = [0, 1] [0, 1]. Наряду с вырожденным оператором L, рассмот рим семейство регуляризованных операторов L, действие которых в пространстве H задается дифференциальным выражением v i v a(x)v L v = (7.3) g (x) + a(x) +, x x 2 x x где g (x) = [l,l] (x) + 1 (,l) (x) + 2 (l,+) (x). Оператор L0 L будем называть предельным, или вырожденным, оператором, а операторы L при int() будем называть регуляризованными.

Примером задачи (7.1), (7.2) является следующее семейство задач квантовой механики:

d = Hh, h (0, 1) ih dt 7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ с начальным условием (7.2). Здесь Hh есть гамильтониан квантовой системы, соответствующей частице с переменной массой mh (x) (квантовые системы с таким свойством изучались в рабо те [158]). Гамильтонианы семейства квантовых систем с векторным потенциалом магнитного поля a(x) a(x) и потенциалом скалярного поля имеют вид:

2m(x) h ih u a(x)u Hh u(x) = u a(x) +.

x 2m(x) (x) 2 x x Положим mh (x) = m1h (1 l (x)) + m2h l (x), x R, 1 h и a(x) = a(1 l (x)), a R. Тогда уравнение динамики частицы примет где m1h =, m2h = 2 вид уравнений (8.1) и (8.3) при = h.

Рассмотрим семейство задач Коши для указанного уравнения при h (0, 1). Вопрос о пре дельном поведении решений уравнений динамики квантовых систем при h +0 и о свойствах решений предельной задачи (7.1), (7.2) связан с изучением соответствия между описанием ди намики механических систем методами классической механики и методами квантовой механики.

В настоящей работе изучаются свойства решений предельной задачи и установлены условия на начальные данные, необходимые и достаточные для существования предела.

Задача, рассматриваемая в настоящей работе, отличается тем, что производящий оператор не является максимальным симметрическим оператором, а это влияет, в свою очередь, на сходимость семейства решений регуляризованных задач в сильной и слабой топологиях.

Результаты исследования корректности задач Коши для уравнения Шредингера с вырождением на полупрямой или на двух полупрямых и исследования их регуляризуемости позволяют сделать обобщения на случай задач Коши для уравнения Шредингера с вырождающимся симметрическим производящим оператором второго порядка общего вида и дать описание класса регуляризаций вырожденной задачи, для которого поведение последовательности решений регуляризованных за дач определяется индексами дефекта производящего оператора вырожденной задачи и структурой множества его максимальных диссипативных расширений. С этой целью в работе изучается зада ча Коши (7.1), (7.2) с симметрическим производящим оператором в гильбертовом пространстве H и рассмотрены различные примеры таких дифференциальных операторов второго порядка. Иссле дованы вопросы корректности задачи Коши. Проанализирована зависимость сходимости последо вательности решений регуляризованных задач и ее предела от выбора регуляризации исходной задачи. В связи с этим исследуется вопрос: что можно назвать регуляризацией исходной задачи?

Дано описание регуляризаций задачи Коши. Предлагается в качестве регуляризации рассмот реть множество зависящих от параметра регуляризации корректных задач. Множество парамет ров регуляризации является подмножеством некоторого линейного топологического пространства (например, как множество R2 для совокупности регуляризованных операторов (7.3)) и со держит точку 0 как предельную. Регуляризованные задачи аппроксимируют исходную задачу при стремлении параметра регуляризации к нулю. При изучении линейных некорректных задач Ко ши естественно исследовать множество линейных регуляризованных задач Коши. Будем полагать, что производящий оператор исходной задачи и производящие операторы регуляризованных задач имеют общую область определения, плотную в пространстве значений решения H, и что график оператора исходной задачи может быть в определенном смысле приближен графиками регуляри зованных операторов при стремлении к нулю параметра регуляризации.

Возникающая задача регуляризации является исследованием аппроксимации симметрического несамосопряженного оператора последовательностью самосопряженных операторов в топологии резольвентной сходимости и некоторых других топологиях.

Исследуется также корректная разрешимость и поведение последовательностей решений регу ляризованных задач на конечном временном промежутке и для начальных данных из некоторого подпространства пространства H.

Как известно (см. [65]), корректность задачи Коши равносильна максимальной диссипативности производящего оператора. Показано, что если задача Коши с вырожденным оператором коррект на, то любая последовательность правильно регуляризованных полугрупп сходится к полугруппе, 52 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ порожденной производящим оператором, в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке. Установлено, что если производящий оператор является максимальным симметричным, но не максимальным диссипативным, то любая последовательность регуляризованных полугрупп сходится в слабой операторной топологии равномерно на любом отрезке, однако не является сходя щейся в сильной операторной топологии. Если симметрический производящий оператор не являет ся максимальным, то, как показывают рассмотренные в работе примеры, сходимость произвольной последовательности регуляризованных полугрупп в сильной операторной топологии невозможна.

Установлено, что для сходимости некоторой ее подпоследовательности необходимо, чтобы про изводящий оператор исходной задачи Коши имел максимальные диссипативные расширения, со вокупность которых определяет множество возможных частичных пределов последовательности регуляризованных полугрупп.

7.1. Постановка задачи. Разрешимость. Зададим максимальную область определения опера тора L, состоящую из таких функций u, что Lu L2 (R). Область определения D(L) оператора L включается в линейное пространство M функций, сужение которых на множества = (, l) и + = (l, +) принадлежит пространству W2 (± ), а сужение на 0 = [l, l] принадлежит про странству W2 (0 ). Тогда (см. [80, гл. 3]) функции из области определения оператора L и их первые производные имеют следы u(l ± 0), u(l ± 0), u (l 0), u (l + 0) на границе = {l, l} областей ± и 0. Без ограничения общности можно считать, что l = 1.

Укажем такое линейное многообразие M M, что для любого u M выполняется включение Lu D (R), где D (R) есть пространство обобщенных функций на оси R. Для того, чтобы произве du(x) дение функции g(x) с разрывом на границе и функции являлось элементом пространства dx D (R), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

M = {u M : u(l 0) = u(l + 0), u(l 0) = u(l + 0)}. (7.4) Если u(x) M, то функция u имеет обобщенную производную u L2 (R). Тогда произведения функции u на ограниченные кусочно непрерывные функции g(x) и a(x) определены и являются элементами пространства L2 (R). Поэтому каждое из трех слагаемых в выражении Lu определено как элемент пространства D (R), более того, как элемент пространства W2 (R).

Рассмотрим оператор L как линейный оператор из линейного пространства M в линейное топологическое пространство D (R). Для того, чтобы действие оператора L на функцию u M являлось элементом Lu L2 (R), выделим такое линейное подпространство D(L) M, что для любого u D(L) обобщенная функция Lu = g D (R) регулярна и имеет плотность g(x) L2 (R).

С помощью интегрирования по частям нетрудно получить, что для этого необходимо и достаточно выполнение условия:

a a D(L) = u M : ux (l + 0) = i u(l 0), ux (l 0) = i u(l + 0). (7.5) 2 Тогда оператор L с областью определения D(L) плотно определен на L2 (R). С помощью ин тегрирования по частям нетрудно проверить, что условие (7.5) при выполнении условия (7.4) обеспечивает симметричность оператора L с областью определения D(L) на пространстве L2 (R).

Определим область определения сопряженного оператора L. С помощью интегрирования по частям выражения (L v, u), v D(L ), u D(L), равного выражению (v, Lu), для таких u D(L), что supp(u) i, i = ±, 0, заключаем, что D(L ) M (см. также [92, гл. 8, п. 2]). Тогда функции u(x) D(L ) имеют предельные значения u(l ± 0), ux (l 0), u(l ± 0), ux (l + 0) и нетрудно проверить, что область определения оператора L есть D(L ) = u : u|l W2 (l ), u|l W2 (l ), 2 a a ux (l 0) + i u(l 0) = iau(l + 0), ux (l + 0) + i u(l + 0) = iau(l 0), 2 и каждому элементу u D(L ) оператор L сопоставляет функцию L u H такую, что L u(x)± = ia u(x) и L u(x)0 = u(x).

x x ± 7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ (Поскольку для каждой функции u D(L) определена функция L u H, т. е. обобщенная функция L u регулярна, то оператор L действует вопреки правилам обобщенного дифференциро вания, поэтому оператор L, в отличие от оператора L, не является дифференциальным операто ром.) Пусть a1 = a2 = a R. Тогда можно непосредственно проверить, что если a = 0, то Ker (L iaI) и Ker (L + iaI) суть нетривиальные одномерные линейные подпространства: Ker (L + iaI) = Lin(+ (x)), Ker (L iaI) = Lin( (x)), где + (x)|(,l) = 0, + (x)|(l,) = ex+l, а + |l есть решение неоднородной третьей краевой задачи на отрезке l :

2 + x l, + i+ = 0, x a a + (l + 0) + i u(l + 0) = 0;

+ (l 0) + i u(l 0) = ia, 2 которая имеет единственное решение (см. [30], а также лемму 7.1 ниже). Ядро Ker (L iaI) устроено аналогично.

Пусть a1 0, a2 0. Тогда можно показать, что n = dim(Ker(L iI)) = 2 и n+ = dim(Ker(L + iI)) = 0. Если a1 0, a2 0, то dim(Ker(L iI)) = 0 и dim(Ker(L + iI)) = 2, а в случае a1 a2 0 справедливо равенство dim(Ker(L iI)) = dim(Ker(L + iI)) = 1.

В случае a1 a2 = 0 изложенные выше рассуждения о выборе максимальной области определения оператора L, соответствующей дифференциальному выражению (7.3), не могут быть применены непосредственно, так как нет необходимости в требовании u|(,l) W2 (, l). Однако мы зададим область определения оператора L условиями (7.4) и (7.5). Основанием в пользу такого выбора служит тот факт, что свойством устойчивости по отношению к малым изменениям ко эффициентов решения задачи (7.1), (7.2) обладают в том и только в том случае, когда область определения оператора L задана по указанному правилу.

При этом индексы дефекта оператора L равны dim(Ker(L iI) = 0 и dim(Ker(L + iI) = 0, если a1 = 0 и a2 = 0;

dim(Ker(L iI) = 0 и dim(Ker(L + iI) = 1, если a1 0 и a2 = 0, либо если a1 = 0 и a2 0;

dim(Ker(L iI) = 1 и dim(Ker(L + iI) = 0, если a1 0 и a2 = 0, либо если a1 = 0 и a2 0.

Как будет показано ниже, если оператор L является максимальным симметрическим операто ром, т. е. один из индексов симметрического оператора L равен нулю, то свойства корректности задачи Коши (7.1), (7.2) и ее регуляризуемости близки к соответствующим свойствам задачи Коши с вырождением на полупрямой (см. [96]), и их исследование проводится по такой же схеме, как и для оператора L вида (7.3) с вырождением на одной полупрямой. Поэтому сначала мы сосредото чим внимание на случае оператора L с ненулевыми и равными (1,1) индексами. Без ограничения общности можно считать, что a1 = a2 = a 0.

Заметим, что оператор L на линейном многообразии D(L) не является положительным, ибо (u, Lu) = 0 для всех гладких вещественнозначных функций с носителем на множестве l. Кроме того, оператор L не является самосопряженным, но обладает самосопряженными расширениями, так как имеет одинаковые индексы дефекта, равные единице.

Оператор L с максимальной областью D(L) является замкнутым оператором в пространстве H. Поэтому превратим его область определения D(L) в гильбертово пространство, наделенное нормой графика оператора L.

Определение 7.1. Решением задачи (7.1), (7.2) на отрезке [0, T ] назовем функцию u(t, x) C([0, T ], D(L)) C 1 ([0, T ], L2 (R)), которая удовлетворяет уравнению (7.1) почти всюду на множе стве [0, T ] R и условию (7.2) в том смысле, что u(t, x) u0 (x) L2 (R) 0 при t +0.

Замечание 7.1. Если u(t, x) является решением задачи (7.1), (7.2) то из условий (7.4) и (7.5) следует, что в области D0 = R+ 0 сужение w(t, x) неизвестной функции u(t, x) удовлетворяет уравнению 2w = 0, (t, x) D0, (7.6) iwt + x и условиям w(+0, x) = w0 (x) u0 (x)|0, x 0, (7.7) 54 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ a a wx (t, ±(l + 0)) = i w(t, ±(l + 0)), wx (t, ±(l 0)) = i w(t, ±(l 0)), t R+. (7.8) 2 Определение 7.2. Функцию w(t, x) C R+, C 2 ((l, l)) C 1 (R+, C([l, l])) назовем классическим решением задачи (7.6)–(7.8), если она удовлетворяет уравнению (7.6) при всех (t, x) D0, условию (7.7) в том смысле, что w(t, x) w0 (x) C([l,l]) 0 при t 0, и условию (7.8) тождественно при t 0.

Собственные функции up (x) и собственные значения p оператора K, задаваемого в простран стве L2 (l, l) дифференциальным выражением Ku(x) = u (x), x (l, l), с областью определения a a D(K) = W2 (l, l), u (l 0) = i u(l 0), u (l + 0) = i u(l + 0), 2 таковы:

2p p al p, 2p = u2p (x) = Ap cos x +i sin x, l 2p l l 2 (2p 1) (2p 1) (2p 1) ial, 2p1 =, (7.9) u2p1 (x) = Bp sin x+ cos x l (2p 1) 2l 2l где Ap, Bp — постоянные, нормирующие собственную функцию на единицу, p N.

Отметим, что системы собственных функций с четными и нечетными номерами ({u2p } и {u2q1 }) являются ортогональными, но ортогональности между различными представителями этих систем нет (т. е. (u2p, u2q1 ) = 0 для любых p, q N, но (u2p, u2q ) = 0 и (u2p+1, u2q1 ) = 0 при лю бых p, q N). Систему нормированных собственных функций {un } и собственных значений {n } оператора K можно сравнить с полной ортонормированной системой собственных функций {vn } и собственных значений {n } оператора K0 задачи Неймана для уравнения Лапласа на отрезке [l, l]. Мы видим, что n = n, n N, а un есть возмущения vn :

u2n v2n = (An 1)v2n + b2n h2n, u2n1 v2n1 = (Bn 1)v2n1 + b2n1 g2n1, 2n где h2n = sin(nx), g2n1 = cos x — ортогональная система функций, причем любые век торы h2k и v2n взаимно ортогональны, также как и g2k1 и v2k1. Согласно (7.9), bk = O, k 1. Следовательно, система векторов {un } является квадратично, Bn = 1 + O An = 1 + O 2 k k близкой к ортонормированному базису {vn }. Покажем, что при любых a R система векторов un является -линейно независимой (см. [40]).

|cn |2 и Пусть существует такая числовая последовательность {cn }, что n= (7.10) cn un = 0.

n= Поскольку собственные функции с четными и нечетными номерами образуют инвариантные соб ственные подпространства, то выполняются одновременно два равенства:

c2n u2n = 0, c2n1 u2n1 = 0.

n=1 n= В то же время для каждого из указанных рядов равняются нулю проекции его суммы на подпро странства четных и нечетных функций. Следовательно, p al p c2p Ap cos x = 0;

ic2p Ap sin x = 0;

l 2p l p=1 p= (2p 1) (2p 1) al c2p1 Bp sin x = 0;

i c2p1 Bp cos x = 0.

(2p 1) 2l 2l p=1 n= 7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ Из первого и третьего равенств и -линейной независимости тригонометрической системы следует, что cn = 0 для любого n N. Следовательно, равенство (7.10) возможно только при ck = 0, k N.

Таким образом, для любого a R система элементов {un } -линейно независима и квадратично близка к ортонормированному базису {vn }. Следовательно, согласно теореме Бари (см. [11], [40, гл. 6, теорема 2.3]), справедлива следующая лемма.

Лемма 7.1. Система собственных функций {un } задачи (7.6)–(7.8) есть базис Рисса в про странстве L2 (l, l).

Тогда для любого u L2 (l, l) существует единственная последовательность {ck } такая, что ck uk (x),причем существует такая постоянная d(a) 1, что u(x) = k= 1 |ck |2 d(a) u d(a) u k= (см. [40, гл. 6, теорема 2.1]).

Теорема 7.1. Для любого a R задача (7.6)–(7.8) имеет единственное решение при любом начальном условии w0 (x) L2 (l, l), причем существует такое число d(a) 0, что d(a)1 w0 (x) u(t, x) d(a) w0 (x) L2 (l,l).

L2 (l,l) C(R+,L2 (l,l)) Более того, если w0 (x) m N, то тогда для решения задачи (7.6)–(7.8) справедлива D(Km ), оценка d(a)1 w0 (x) u(t, x) d(a) w0 (x) D(Km ).

D(Km ) C m (R+,L2 (l,l))C(R+,D(Km )) Для каждого числа a R определим семейство операторов Va (t), t R, в простран стве L2 (l, l), ставящих в соответствие произвольному элементу w0 (x) L2 (R) решение Va (t)w0 (x) = u(t, x) задачи (7.6)–(7.8).

Пусть w0 (x) D(K). Тогда Va (t)w0 (±(l 0)) = u(t, ±(l 0)) C(R+ ) — предельные значения решения задачи (7.6)–(7.8) на границах ± = {±l} R+ области эллиптичности с областями вырождения оператора L.

Пусть a 0. Тогда в областях D± = R+ ± характеристики дифференциального уравне ния (7.1) направлены слева направо.

Пусть u(t, x) — сильное решение задачи (7.1), (7.2). Тогда сужение u(t, x)|D0 есть решение зада чи (7.6)–(7.8) и имеет вид Vg,a (t)u00 (x), где u00 (x) = u0 (x)|0 ;

сужения u(t, x)|D± удовлетворяют u(t, x) = a u(t, x) почти всюду на D±, а в точках x = ±l выполняются условия уравнениям t x непрерывности.

Поэтому, в соответствии с условием (7.2), сужение решения на область D+ определяется ха рактеристиками задачи, граничным значением u(t, l + 0) и начальным условием u0 (x)|+ :

xl,l 0, u+ (t, x) = u0+ (x + at), x + at l;

u+ (t, x) = u t + at + x l.

a Сужение решения на область D удовлетворяет уравнению u(t, x) = a u(t, x) t x и условиям l;

u(t, x)|x=l0 = u(t, l + 0), u(t, x)|t=0 = u0 (x), x t 0.

Следовательно, если решение указанной задачи на отрезке [0, T ] существует, то выполняется условие u(t, l 0) = u(t, l + 0), которое является условием согласования начальных данных данных u0 (x)|0 и u0 (x)| :

Va (t)u00 (x)|x=l+0 = u0 (l + at), t [0, T ]. (7.11) Необходимость условия (7.11) для существования решения задачи (7.1), (7.2) доказана.

56 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Определим оператор ±, действующий из пространства L2 ([l, l]) в пространство L2 ([±l, ±(l T 1 aT )]) с областью определения D() = W2 ([l, l]), сопоставляющий функции u00 (x) W2 ([l, l]) lx функцию ± u00 (x) = Va u00 (±(l 0)), x [l, l aT ].

T a обозначается линейное многообразие финитных бесконечно дифференцируемых Далее через C функций, носитель которых не содержит точек x± = ±l. Заметим, что C00 плотно в пространстве H. Обозначим через H (T ) замыкание по норме пространства H линейного многообразия функций u0 (x) C00, удовлетворяющих условию (7.11). Аналогично, обозначим через H+ (T ) замыкание по норме пространства H линейного многообразия функций u0 (x) C00, удовлетворяющих условию Va (t)u00 (x)|x=l0 = u(t, l + 0) = u0 (l + at), t [T, 0].

Лемма 7.2. Если u0 (x) H (T ) D(L), то задача Коши (7.1), (7.2) имеет единственное решение на отрезке [0, T ].

Доказательство. Пусть функция u0 (x) удовлетворяет условию согласования на отрезке времени [0, T ], т. е. u0 (x) H(T ) и u0 (x)|[l+aT,l] = u00 (x). Тогда задача Коши (7.1), (7.2) имеет T сильное решение. Единственность сильного решения задачи (7.1), (7.2) следует из равенства d u(t) H = 0, dt справедливого для любого сильного решения в силу граничных условий (7.5) и (7.4).

Следствие 7.1. При любом T 0 решение задачи (7.1), (7.2) удовлетворяет условию u(t, l) = u(T, l + a(T t)).

Таким образом, если u0 D(L), то для существования решения задачи Коши (7.1), (7.2) на отрезке [0, T ] необходимо и достаточно условие u0 H (T ). Тогда из плотности линейного мно гообразия H (T ) D(L) в пространстве H (T ) следует следующее утверждение.

Теорема 7.2. Задача Коши (7.1), (7.2) имеет единственное обобщенное решение на отрез ке [0, T ] тогда и только тогда, когда u0 (x) H (T ).

+ Заметим, что для любого u0 HT HT задача Коши (7.1), (7.2) имеет единственное решение на отрезке [T, T ].

7.2. О регуляризации вырожденной задачи. Наряду с задачей (7.1), (7.2) с вырожден ным оператором рассмотрим семейство регуляризованных задач Коши, аппроксимирующих за дачу (7.1), (7.2):

u = L u, (7.12) i t u i u L u(t, x) = g (x) (t, x) (7.13) a(x) (t, x) + (a(x)u(t, x)), x x 2 x x u(+0, x) = u0 (x), x R, (7.14) где g (x) = 1 (,l) + [l,l] + 2 (l,+). Далее через будем обозначать упорядоченную пару чисел (1, 2 ) (0, 1) (0, 1).

Исследуем, сходится ли семейство решений задач (7.12)–(7.14) при ( 1, 2 ) (0, 0) и является ли решение задачи (7.1), (7.2) пределом решений семейства задач (7.12)–(7.14).

Область определения оператора L содержится во множестве M2 функций, сужения которых на промежутки Ii принадлежат пространствам W2 (Ii ) соответственно. Всякая функция u(x) M имеет следы u(l ± 0), u(l, ±0) и ux (l ± 0), ux (l ± 0), которые между собой никак не связаны.

Для того, чтобы действие оператора L на функцию u M2 являлось элементом простран ства D (R), необходимо и достаточно выполнения условия непрерывности: u(l 0) = u(l + 0) и u(l 0) = u(l + 0).

Каждому элементу u линейного многообразия M2 = {u M2 : u(0) = u(+0)} оператор L сопоставляет элемент L u пространства обобщенных функций D (R). Обозначим через D(L ) 7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ совокупность таких элементов u M, u(0) = u(+0), что обобщенная функция L u регулярна и обладает плотностью gu (x) L2 (R). Тогда D(L ) = u M : u(±(l 0)) = u(±(l + 0)), a a u (l 0) u (l + 0) (l 0) = i u(l 0). (7.15) 2u (l + 0) = i u(l + 0), 1u 2 Линейное пространство D(L ) выберем в качестве области определения оператора L.

Фиксируем некоторую пару положительных чисел и рассмотрим задачу (7.12)–(7.14). Пусть u0 C0,0 (R), тогда u0 D(L ) при любом.

Определение 7.3. Решением задачи (7.12)–(7.14) назовем функцию u(t, x) C(R+, D(L )) C 1 (R+, L2 (R)), которая удовлетворяет уравнению (7.12) почти всюду в R+ R и условию (7.14) в том смысле, что u(t, x) u0 (x) L2 (R) 0 при t +0.

Дифференциальный оператор, задаваемый на области определения D(L ) соотношением (7.13), является самосопряженным оператором в пространстве L2 (R). Поэтому, согласно спектральной теореме, справедливо (см. [13, доп. 1], [92, гл. 8]) следующее утверждение.

Лемма 7.3. Для любого u0 (x) D(L ) существует единственное решение u (t, x) задачи (7.12)–(7.14).

Исследуем поведение последовательности решений регуляризованных задач на сходимость и на компактность в различных топологиях.

Определение 7.4. Сильным аппроксимативным решением задачи (7.1), (7.2) назовем такую функцию u(t) C(R+, H), что найдется бесконечно малая последовательность параметров регу ляризации {n } такая, что для любого T 0 выполняется условие:

un (t) u(t) lim sup = 0.

H n t[0,T ] Определение 7.5. Слабым аппроксимативным решением задачи (7.1), (7.2) назовем такую слабо непрерывную функцию u(t) : R+ H, что найдется бесконечно малая последовательность параметров регуляризации {n } такая, что для любого T 0 и любого H выполняется условие:

lim sup (, un (t) u(t))H = 0.

n t[0,T ] Каждый самосопряженный регуляризованный оператор L генерирует в гильбертовом простран стве H унитарную группу UL (t), t R. Исследуем сходимость в различных топологиях последо вательности регуляризованных полугрупп UL (t), t 0.

Будем утверждать, что последовательность полугрупп UL (t), t 0, сходится в сильной опера торной топологии равномерно на любом отрезке [0, T ] к оператор-функции U(t), если выполняется условие: для любого T 0 и любого u H справедливо равенство (UL (t) U(t))u lim sup = 0.

H (0,0) t[0,T ] Последовательность полугрупп UL (t), t 0, будем называть сходящейся в слабой оператор ной топологии равномерно на любом отрезке [0, T ] к оператор-функции U(t), если выполняется условие: для любого T 0 и любых u, v H справедливо равенство sup |((UL (t) U(t))u, v)H | = 0.

lim (0,0) t[0,T ] 58 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 7.3. Достаточные условия сходимости последовательности решений регуляризованных за дач.

Теорема 7.3. Пусть u0 (x) C0,0 HT. Тогда справедливо соотношение u (t) u(t) = O() C([0,T ],R+ ) при 0.

Доказательство. Рассмотрим функцию v (, x) = u (, x) u(, x). Согласно (7.1) и (7.12), v (t) = L u (t) Lu(t), t (0, T ), t причем для любого (0, t) справедливы включения u(t) D(L) и u (t) D(L ), а согласно (7.2) и (7.14), v (+0) = 0.

Функция u (, x) принадлежит C([0, t], D(L )) как решение задачи (7.12)–(7.14) и поэтому удо влетворяет условиям (7.15) на границах ±. Функция же u(, x) принадлежит C([0, t], D(L)), по этому она удовлетворяет на границах ± не условиям (7.15), а условиям (7.5) при [0, t].

По функции u(t, x) определим функцию 1 ux (t, 1 0)x(x + 1) + u (t, 1 + 0)x(x 1), p (t, x) = 1 2 x 1 где (x) — финитная бесконечно дифференцируемая функция с носителем 1/2, 1/2 — «шапоч ка» Урысона высоты 1 с полушириной 1/2. Тогда функция u(t, x) + p (t, x) также удовлетворяет условиям (7.15) на границах ± при [0, t].

Положим w (t, x) = v (t, x) p (t, x). Тогда для любого (0, 1) справедливо включение w (, x) C((0, t), DL ) C 1 ((0, t), L2 (R)).

Заметим, что поскольку u0 C00, то p (t, x) C 1 ([0, T ], W2 (R)) и p (t, x) C 1 ([0,T ],W2 (R)) при 0.

Кроме того, заметим, что p(+0, x) = 0. Действительно, поскольку функция ux (t, x) непрерывна в [0, T ] R, то следующие повторные пределы равны: lim ux (t, +0) = lim ux (+0, x), а посколь t+0 x+ L3 u0 L2 (R), то можно поменять местами операции предельного ку ux (t, x)|D+ C 1 ([0,T ],W2 (R+ ) перехода при t +0 и дифференцирования по x. Следовательно, выполнено равенство (7.16) lim lim ux (t, x) = lim lim u(t, x) = u0 (+0) = 0, x+0 t+0 x+0 t+0 x так как u0 C00.

Тогда функция w (, x) является решением следующей начально-краевой задачи:

x R, (7.17) w (+0, x) = 0, w (t) p (t) = L u (t) Lu(t) i = L w + f (t), t (0, T ), i t t p (t) где f (t) = i + L (u(t) + p (t)) Lu(t).

t Согласно определению операторов L и L, функция f (t) C([0, T ], L2 (R)) представима в виде p + L (u(t, x) + p (t, x)) Lu = f (t, x) = i t 2 u(x, t) 2 p(x, t) 2 p (x, t) p p (t, x) ia =i + + (x) g + 0 (x), x2 x2 x t x 0 при 0.

и, в силу свойства (7.16), f (t) C([0,T ],L2 (R)) 7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ Решение указанной начально-краевой задачи, с учетом условия (7.17), задается формулой (см. [13, доп. 1], [92, гл. 8, п. 3, 4]) t t i ei(t ) dE ()f ( ) d, ei(t )L f ( )d = w (t) = i 0 0 R где L = dE () есть спектральное представление самосопряженного оператора L.

R Тогда (sup |ei(t ) |) sup sup w(x, t) T sup f (x, t) = T sup f (t, x) L2 (R) L2 (R) L2 (R) t[0,T ] t[0,T ], [0,t] R t[0,T ] t[0,T ] 0.

при Поскольку линейное многообразие C00 плотно в пространстве L2 (R), то C00 Ha (T ) плотно в подпространстве Ha (T ) и справедлива следующая теорема.

Теорема 7.4. Пусть u0 Ha (T ). Тогда справедливо равенство u (t, x) u(t, x) lim = 0.

C([0,T ],L2 (R)) + Доказательство. Пусть u0 L2 (R). Тогда для любого 0 существует такое u1 C00, что u0 u1 L2 (R).

Согласно теореме 7.3, существует такое 0 0, что для любого (0, 0 ) справедливо неравен ство:

u1, (t) u1 (t) C([0,T ],L2 (R)), где u1 (t) — обобщенное решение задачи (7.1), (7.2) с начальным условием u1, а u1, (t) — решение задачи (7.12)–(7.14) с начальным условием u1.

Тогда u(t) u (t) u(t) u1 (t) + u1 (t) u1, (t) + u1, (t) u (t) = L2 (R) L2 (R) L2 (R) L2 (R) = 2 u0 u1 + u1 (t) u1, (t).

L2 (R) L2 (R) 7.4. Необходимые условия сходимости последовательности решений регуляризованных за дач. Для изучения необходимых условий сходимости последовательности решений регуляризо ванных задач сделаем следующее предположение.

Предположение P1. Для некоторого u0 H существует предел lim u (t) = u(t).

Исследуем существование повторных пределов lim lim U (t)u0 и lim lim U (t)u0.

1 0 2 0 2 0 1 При фиксированном 1 0 положим = 2 и g (x) = g(1,) (x). Тогда функция g (x) удовлетво ряет всем условиям теоремы 2 работы [98], и поэтому справедливо следующее утверждение.

Лемма 7.4. Для любого u0 (x) L2 (R) и любого T 0 существует единственная функция u1,0 (t, x) C(R+, L2 ) такая, что справедливо равенство lim UL1, (t)u0 u1,0 (t, x) = 0.

C([0,T ],L2 (R)) При этом функция u1,0 (t, x) = UL1,0 (t)u0 (x) является сильным аппроксимативным решением задачи (7.1), (7.2) с оператором L1,0, вырождающимся на полуоси.

Операторы UL1,0 (t), t 0, образуют полугруппу изометрий. Пусть u0 C00, тогда для любого m N и любого 1 0 выполнено включение u0 D(Lm,0 ). Дословно повторяя рассуждения работы [95], нетрудно показать, что если 1 0 и u0 (x) D(Lm,0 ), то u1,0 (t, x) C m (R+, L2 ) C(R+, D(Lm,0 )) и Lm,0 u1,0 (t, x) L2 = Lm,0 u0 (x) L2.

1 1 60 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Тогда согласно результатам работы [95] (см. также [98]), при любом 1 0 и любом t справедливы равенства a u1,0 (t, l 0) = u1,0 (t, l + 0), u1,0 (t, l 0) = i u1,0 (t, l 0). (7.18) x Замечание 7.2. Если u0 (x) C00, то тогда для любого 1 0 и любого m N вы полняется включение u0 (x) D(Lm,0 ). Поэтому для любого 1 0 и m N имеем 2m u(t, x)|D0 C m (R+, W2 (l, l)), u(t, x)|D+ C m (R+, W2 (l, +)), причем m u(t, x) u00 (x) D(Lm,0 ), u(t, x) u00 (x) D(Lm,0 ).

2m C m (R+,W2 (l,+)) m C m (R+,W2 (l,l)) 1 2m Поэтому для любого T 0 семейства функций u(t, x)|[0,T ][l,l] C m (R+, W2 ([l, l])) и 2m u(t, x)|[0,T ][l,laT ] C m (R, W m ([l, l aT ])) компактны в пространствах C m (R+, W2 ([l, l])) и + C m (R+, W2 ([l, l aT ])) соответственно, следовательно, имеют частичные пределы при 1 0, m принадлежащие указанным пространствам.

Согласно предположению P 1, существует u(t, x) C(R+, L2 ) такое, что u (t, x) u(t, x) lim = 0.

C(R+,L2 ) (0,0) Тогда в силу теоремы о повторном пределе lim u1,0 (t, x) = lim u (t, x) = u(t, x), 1 0 (0,0) т. е. все частичные пределы при 1 0 компактных семейств u(t, x)|[0,T ][l,l] и u(t, x)|[0,T ][l,laT ] в силу единственности предела совпадают с сужениями предельных функций u(t, x)|[0,T ](l,l) и u(t, x)|[0,T ](l,laT ). Следовательно, для любого m N справедливы включения 2(m1) u(t, x)|[0,T ](l,l) C m1 ([0, T ], W2 (7.19) (l, l)), (m1) u(t, x)|[0,T ](l,laT ) C m1 ([0, T ], W2 (7.20) (l, l)).

Тогда по теореме о следах (см. [80, гл. 3], [76, гл. 1]) для любого T 0 и любого m N u (t, l 0) u(t, l 0) u (t, l 0) u(t, l 0) lim = 0, lim = 0.

C m1 ([0,T ]) x x (0,0) (0,0) C m1 ([0,T ]) Следовательно, в пространстве C m2 (R+ ) существуют u(t, l0), u(t, l+0) и u (t, l0). Поскольку для любого 1 0 справедливы равенства (7.18), то и для предельных функций выполняются соотношения:

a u(t, l 0) = u(t, l + 0), ux (t, l 0) = i u(t, l 0), t R+.

Рассмотрим значение uT (x) функции u(t, x) при некотором T 0. Согласно предположению P о сходимости, выполнено uT (x) L2 (R), а в силу свойств (7.19) и (7.20) справедливы включения uT (x)|(l,l) W2 (l, l) и uT (x)|(l,laT ) W2 (l, l aT ). Причем uT (x) H + (T ), т. е.

uT (l at) = u(T t, l).

Тогда функция u(T ) удовлетворяет всем условиям леммы 7.2 и всем условиям теоремы 7.4 для решения задачи Коши на интервале (0, T ) с финальным условием uT = u(T ) при t = T (задача с финальным условием uT для функции u(t, x) сводится к задаче с начальным условием v0 = uT для функции v(t, x) заменой v(t, x) = u(T t, x)). Поэтому справедливо утверждение Лемма 7.5. Пусть u0 (x) C0,0 и T 0. Тогда если существует такое u(t, x) C([0, T ], L2 ), что lim u (t, x) u(t, x) C([0,T ],L2 ) = 0, то u(t) C([0, T ], D(L)) и выполняется равенство (0,0) UL ( )uT (x) u(T, x) lim = 0, C([0,T ],L2 ) (0,0) где uT (x) = u(T, x). Причем согласно следствию 7.1 для функции u(t, x) выполнено условие u(t, l + 0) = u(t, l 0) = u(0, l + at).

7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ Таким образом, из лемм 7.4 и 7.5 следует, что если u0 (x) C00 и u(t, x) = lim u (t, x), то тогда сужение u(t, x)|D0 является решением задачи (7.6)–(7.8), имеет предельные значения u(t, ±(l 0)) C 1 (R+ ), и для любого t [0, T ] справедливы равенства u(t, l + 0) = u(t, l 0) = u(0, l + at) u(T t, l 0) = u(T t, l + 0) = u(T, l at), и из которых следует, что Va (t)u00 |x=l+0 = u0 (l + at) и Va (t)u00 |x=l0 = u(T, l at).

Следовательно, доказано следующее утверждение.

Предложение 7.1. Пусть u0 (x) C00. Тогда если u(t, x) = lim u (t, x) в пространстве + C([0, T ], L2 (R)), то u0 (x) Ha (T ) и для любого t 0 u(t, x) Ha (T t) Ha (t).

Таким образом, если u0 (x) C00 и для любой бесконечно малой последовательности n имеет место сходимость последовательности ULn (t)u0 (x) в пространстве C([0, T ], L2 ), то тогда u0 (x) H (T ). Напротив, если u0 (x) H (T ), то, согласно теореме 7.4, для любой бесконечно малой последовательности n имеет место сходимость последовательности ULn (t)u0 (x) в про странстве C([0, T ], L2 ).

Следовательно, если u0 (x) H (T ) C00, то существует бесконечно малая последовательность / n такая, что последовательность ULn (t)u0 (x) расходится в пространстве C([0, T ], L2 (R)).

Сформулируем полученные результаты в терминах сходимости регуляризованных полугрупп UL (t) := eitL, t 0. Пусть P — линейное подпространство пространства H, а P есть ортого нальный проектор на подпространство P в пространстве H.

Теорема 7.5. Для любого T 0 семейство полугрупп UL (t), t 0, расходится при (0, 0) в сильной операторной топологии на отрезке [0, T ]. Для сходимости оператор функций UL (t)P, t 0, при (0, 0) в сильной операторной топологии на отрезке [0, T ] (на отрезке [T, T ]), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение P H (T ), (P H (T ) H + (T ) соответственно).

7.5. О существовании сходящихся подпоследовательностей решений регуляризованных за дач.

Замечание 7.3. Пусть a1 = 0 и a2 = 0. Рассмотрим взаимно однозначную замену простран ственной переменной x = s(x) : s(x) = x при x [l, l], s(x) = (x + l) l при |a1 | x l, s(x) = (x l) + l при x l;

и взаимно однозначную замену неизвестной функции |a2 | u(t, x) v(t, x) такую, что u(t, x) = v(t, s(x)). Тогда непосредственной подстановкой можно про верить, что функция u(t, x) удовлетворяет уравнению (7.1) с исходным оператором La1,a2 тогда и только тогда, когда новая функция v(t, x) удовлетворяет уравнению (7.1) с преобразованным оператором La1,2, отличающимся от исходного оператора лишь значениями коэффициентов в об a ластях x l и x l: a1 = sign (a1 ), a2 = sign (a2 ).

Кроме того, функция u(t, x) удовлетворяет регуляризованному уравнению (7.12) с оператором Lg,1,2,a1,a2 тогда и только тогда, когда новая функция v(t, x) удовлетворяет регуляризованному уравнению (7.12) с оператором Lg,1 /a2,2 /a2,sign (a1 ),sign (a2 ).

1 Таким образом, рассмотрение задачи (7.1), (7.2) с коэффициентами a1, a2 такими, что a1 a2 = 0, сводится к рассмотрению четырех задач с a1 = ±1, a2 = ±1, и рассматриваемый нами случай a1 0, a2 0 сводится к случаю a1 = a2 = 1. А исследование поведения последовательно сти решений регуляризованных задач {U1,2,a1,a2 } при (1, 2 ) (0, 0) сводится к исследова нию поведения последовательности решений регуляризованных задач {U1,2,sign (a1 ),sign (a2 ) } при (1, 2 ) (0, 0).

Фиксируем некоторое a {1, 1}. Предположим, что выполняется следующее условие.

Условие A. существует такая бесконечно малая последовательность n R+ R+, что для любого u0 H и любого T 0 последовательность {un (t) := ULn (t)u0 } сходится в пространстве C([0, T ], H).

Условие B. для любого u0 H существует такая бесконечно малая последовательность {n }, n R2, что для любого T 0 последовательность ULn (t)u0 сходится в C([0, T ], H).

+ 62 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Предложение 7.2. Из условия B следует условие A.

Действительно, выберем в пространстве H ортонормированный базис {fj }. Согласно предполо жению, для k = 1 существует такая бесконечно малая последовательность 1, что UL1 f1 сходится n n в C([0, T ], H). Тогда из последовательности 1 можно извлечь подпоследовательность 2 такую, n n что UL2 fi сходится в C([0, T ], H) при i = 1, 2. тогда по принципу математической индукции n для любого m N существует такая последовательность m — подпоследовательность последова n тельности m1, что ULm fi сходится в C([0, T ], H) при i = 1, 2,..., m. Выберем диагональную n n последовательность параметров m. Тогда для любого k N ULm fk сходится в C([0, T ], H).

m m |xk |2 ULm x сходится в C([0, T ], H).

Следовательно, для любого x H x = x k fk, x = m k=1 k= Предложение 7.2 доказано.

Очевидно, условие B следует из условия A. Следовательно, условия A и B равносильны.

Для последовательности решений регуляризованных задач выполняется одна из двух следую щих возможностей.

Условие A0. для каждого a {1, 1} существует такая бесконечно малая последовательность {k }, k R2, что для любого u0 H и любого T 0 последовательность ULn (t)u0 сходится в C([0, T ], H).

Условие A0. существует a {1, 1} такое, что для любой бесконечно малой последователь ности {k }, k R2, существуют такие u0 H и T 0, что последовательность ULn (t)u + расходится в C([0, T ], H).

В случае A0 отсутствия сходящейся в сильной операторной топологии подпоследовательности регуляризованных полугрупп для анализа свойств расходящихся подпоследовательностей приме ним предложенный в работе [100] метод исследования множества частичных пределов с конечно аддитивной мерой, индуцированной регуляризацией. В настоящей работе исследуется случай реа лизации условия A0.

Пусть a = 1 и {k } есть такая бесконечно малая последовательность из условия A0, что для любого u0 H последовательность ULk u0 сходится в C([0, T ], H).

Согласно условию A0 для каждого u0 (x) H и для любого T 0 на промежутке [0, T ] опре делена функция u(t, x) = lim un (t, x), которая непрерывна на промежутке [0, T ] как предел n равномерно сходящейся последовательности функций. Поскольку un (t) H = u0 и последова тельность норм un (t) H сходится равномерно на любом промежутке [0, T ], справедливо равенство u(t) = u0 для любого t 0.

Кроме того, если v0 (x) = u(T, x) для некоторого T 0, и ULn,g,a (t)v0 v(t, x) Ug,a (t)v0 при n равномерно на любом отрезке [0, T ], то для любого s 0 выполнено равенство v(s) = u(T + s).

Действительно, v(s) = lim ULn,g,1 (s)u(T ) = lim ULn,g,1 (s) lim ULk,g,1 (T )u0. Указанный n n k повторный предел существует в силу предположения A0. Поскольку u(T + s) = lim ULn,g,1 (T + s)u0 = lim ULn,g,1 (s)ULn,g,1 (T )u0, k k то v(s) u(T + s) = lim ULn,g,1 (s)( lim ULk,g,1 (T )u0 ULn,g,1 (T )u0 ) = n k = lim ULn,g,1 (s)(u(T ) ULn,g,1 (T )u0 ).

n Поскольку u(T ) ULn,g,1 (T )u0 H 0 при n, а преобразования ULn,g,1 (s) являются унитарными, то v(s) u(T + s) H = 0.

Тогда преобразование U(t), t [0, +), есть полугруппа изометрий в H. То есть, для любого u0 (x) L2 (R) существует u(t, x) C([0, +), L2 (R)) такое, что ULn,g,a (t)u0 u(t, x) Ug,a (t)u при n равномерно на любом отрезке [0, T ].

Тогда согласно [55, гл. 3], у полугруппы U(t) существует единственный генератор A с областью определения D(A) — плотно определенный максимальный диссипативный оператор в гильбертовом пространстве H.

Лемма 7.6. Если u0 (x) C00 (R), то Au0 = Lu0.

7. ВЫРОЖДЕНИЕ ГАМИЛЬТОНИАНА НА ДВУХ ПОЛУПРЯМЫХ Доказательство. Если u0 (x) C00 (R), то для любого n N i un (t) = Ln un (t).

t В частности, Ln u0 = i un (t).

t t= (R), то последовательность функций U Поскольку u0 (x) C00 Ln,g,a (t)Lu0 сходится в простран стве C([0, T ], H) к ULg,a (t)Lu0, lim Lu0 Ln u0 H = 0, то в силу унитарности групп ULn,g,a (t) n тогда и последовательность функций ULn,g,a (t)Ln,g,a u0 = i un (t) сходится в пространстве t C([0, T ], H) к функции ULg,a (t)Lu0. Следовательно, lim i un (t) = Lu0.

n t t= С другой стороны, если производная i существует как элемент пространства lim u (t) t n n t= H, то u0 D(A) и i lim u (t)|t=0 = Au0 для любого u0 D(A) по определению генератора t n n группы.

, поскольку для всякого u0 C0,0 функцио Наконец, i lim un (t) = lim i un (t) t n t n t=0 t= нальные последовательности un (t) и un (t) сходятся в пространстве C([0, T ], H) равномерно на t любом отрезке. Следовательно, C0,0 D(A) и Au = Lu для любого u C0,0.

Определим оператор как замыкание сужения оператора L на линейное многообразие C00, ко торое существует, ибо оператор L|C00 имеет плотно определенный сопряженный оператор. Таким образом, оператор A является одним из максимальных диссипативных консервативных расшире ний оператора.

Лемма 7.7. Индексы дефекта оператора суть (3, 3).

Оператор имеет область определения D( ) = M, т. е. шесть предельных значений функций из D(L ) и ее производных на границе области эллиптичности оператора L принимают незави симо произвольные значения. Тогда утверждение леммы 7.7 устанавливается непосредственным описанием пространства решений однородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следствие 7.2. Если оператор A есть максимальное диссипативное консервативное рас ширение оператора L0, то оператор A самосопряжен.

Действительно, оператор A симметричен в силу консервативности. Согласно [6], индексы де фекта оператора A равны между собой и равны нулю, поскольку оператор максимальный дисси пативный.

Следовательно, оператор A самосопряжен, а преобразование UA (t), t R, является унитар ной группой. Таким образом, генератор A предельной группы унитарных преобразований есть самосопряженное расширение оператора.

В работе [2] дано полное описание множества L, [0, 2], самосопряженных расширений оператора L. Установлено, что для каждого [0, 2] оператор L = L |D(L ) с областью опреде ления D(L = u D(L ) : (u(l + 0) u(l 0)) = ei (u(l + 0) u(l 0)) является самосопряженным расширением оператора L и что всякое его самосопряженное расши рение имеет вид оператора L.

Теорема 7.6. Генератор A является самосопряженным расширением не только оператора, но и оператора L.

Доказательство. Оператор имеет область определения 2 D() = {u H : u|(l,l) W2 (l, l);

u|R\(l,l) W2 (R\(l, l));

u(±(l 0)) = u(±(l + 0)) = 0;

u (±(l 0)) = 0}, 64 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ а его сопряженный — область определения D( ) = {u H : u|(l,l) W2 (l, l);

u|R\(l,l) W2 (R\(l, l))}.

2 Тогда дифференциальное выражение оператора A совпадает с дифференциальным выражением оператора L, а область определения самосопряженного расширения L оператора составляют та кие функции из D( ), для которых шесть предельных значений u (±(l0)), u(±(l0)), u(±(l+0)) связаны тремя независимыми линейными соотношениями таким образом, что выполнено условие самосопряженности оператора: D(L) = D(L ). Указанные соотношения имеют вид j j j j j j 1 u (l + 0) + 2 u(l + 0) + 3 u(l) + 4 u (l 0) + 5 u(l 0) + 6 u(l) = 0, j = 1, 2, 3, (7.21) где u(x) = u(x + 0) u(x 0).

Заметим, что если функция из плотного в H линейного многообразия D(L) принадлежит под пространству H (T ), то решение u(t), t [0, T ], задачи (7.1), (7.2) на отрезке [0, T ] существует, единственно и, согласно теореме 7.4, является пределом последовательности un (t)|[0,T ], причем d u(t) C 1 ([0, T ], H) C([0, T ], D(L)) и = Lu0. Поскольку полугруппа U(t) определена u(t) dt t= на всем пространстве H, то тогда ее генератор определен на элементах линейного многообразия H (T ) D(L). Поэтому H (T ) D(L) D(A) и A|H (T ) = L|H (T ). Следовательно, предельные значения любой функции из H (T ) D(L) удовлетворяют трем линейно независимым соотноше ниям (7.21). Шесть предельных значений функции из D(L) H (T ) удовлетворяют равенствам a a u(l) = 0 = u(l), u (l 0) = i u(l 0), u (l + 0) = i u(l + 0). При этом два предельных 2 значения u(l + 0), u(l 0) могут принимать независимо произвольные значения.

Поэтому три линейных соотношения (7.21) при выполнении равенств u(l) = 0 = u(l), a a u (l 0) = i u(l 0), u (l + 0) = i u(l + 0) справедливы при любом выборе значений u(l + 0), 2 u(l 0). Следовательно, aj aj j j i 1 + 2 u(l + 0) + i 4 + 5 u(l 0) = 0, j = 1, 2, 3, 2 aj j aj j для любых u(l + 0), u(l 0) C, и поэтому 2 = i 1, 4 = i 5 для всех j = 1, 2, 3. Тогда 2 система (7.21) принимает вид a j j u(l) + 3 u (l 0) i u(l 0) + 4 u(l) = 0, j = 1, 2, 3. (7.22) Заметим, что уравнения Шредингера (7.1) и (7.12) инвариантны относительно преобразования x x, t t и замене всех коэффициентов на комплексно сопряженные. Дифференциальное выражение оператора L не изменяется при замене его коэффициентов на комплексно сопряжен ные и замене x x, а в область определения оператора L входят такие функции u(x), что u(x) D(L ), т. е. четыре линейных соотношения для восьми предельных значений функции u(x) D(L ) и ее первых производных в точках x = l и x = l инвариантны относительно комплексного сопряжения коэффициентов и замены x x.

Для всякой функции u0 D обозначим через ur (x) функцию Ru0 u0 (x), тогда ur (x) D 0 r (t) = R(u (t)). Поскольку u (t) u(t) в C([0, T ], H) и для любого выполняется равенство u n при любом T 0 и urn (t) ur (t) в C([0, T ], H) при любом T 0, то ur (t) = R(u(t)).

Поэтому область определения оператора L также инвариантна относительно указанных преоб разований в том смысле, что три линейно независимых линейных соотношения (7.22) для пре дельных значений инвариантны относительно комплексного сопряжения коэффициентов и замены x x.

Тогда ранг матрицы jj (7.23) Q = 1 3, j = 1, 2, 3, не может быть равен нулю в силу независимости условий (7.22).

Если ранг равен единице, то система (7.22) эквивалентна системе a a 1 1 1 1 u (l + 0) i u(l + 0) + 2 u(l) + 3 u (l 0) i u(l 0) + 4 u(l) = 0, 2 2 2 u(l) + 4 u(l) = 0, 8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ 3 2 u(l) + 4 u(l) = 0, причем последние два условия являются линейно независимыми, в силу чего u(l) = u(l) = 0.

Тогда система (7.22) при условии, что ранг матрицы (7.23) равен единице, равносильна системе a a 1 1 u (l + 0) i u(l + 0) + 3 u (l 0) i u(l 0) = 0, 2 u(l) = 0, u(l) = 0.

1 |2 = | 1 |2 можно положить 1 = 1;


1 = ei.

В силу условия инвариантности |1 3 1 Однако полученная система условий не удовлетворяет требованию самосопряженности операто a ра, ибо (u, Lu) (Lu, u) = 2Re u (l 0) i u(l 0) ((l) ei u(l), а значения u(l) и u(l) u являются независимыми. Следовательно, среди систем вида (7.22) с рангом матрицы Q, равным единице, нет систем, определяющих самосопряженные расширения оператора L0.

Если же ранг матрицы Q равен двум, то тогда три линейных соотношения (7.22) имеют вид a ux (l + 0) i u(l + 0) = 1 u(l) + 2 u(l);

(7.24) a ux (l 0) i u(l 0) = 3 u(l) + 4 u(l);

(7.25) (7.26) 5 u(l) = 6 u(l).

5 = | |2, т. е. в уравнении Для уравнения (7.26) условие инвариантности означает, что |1 | (7.26) можно положить 5 = 1, 6 = ei при некотором [0, 2]. Поэтому уравнениям (7.24), (7.25) можно придать вид a ux (l + 0) i u(l + 0) = 1 u(l);

a ux (l 0) i u(l 0) = 2 u(l).

Согласно условию инвариантности относительно комплексного сопряжения коэффициентов и заме ны x x, справедливо равенство 1 = 2, а согласно условию самосопряженности — равенство a 2 = i.

Следовательно, существует такое [0, 2], что A = L.

Тогда множество всех частичных пределов последовательности правильно регуляризованных eitL u0.

решений задачи Коши (7.1), (7.2) является подмножеством множества S(t, u0 ) = [0,2] 8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ В этом разделе исследуется задача Коши (1), (2) для уравнения Шредингера с симметрическим производящим оператором в гильбертовом пространстве H и задача Коши (5), (6) для уравне ния Фоккера—Планка в банаховом пространстве X, производящий оператор которых является дифференциальным оператором второго порядка с неотрицательной характеристической формой.

Задача Коши (1), (2) соответствует задаче Коши (5), (6) в гильбертовом пространстве X = H с производящим оператором L, удовлетворяющим условию: оператор iL является симметрическим оператором в пространстве H. Отражена спектральная сущность метода регуляризации, применен ного выше к задаче Коши (1), (2) с производящим оператором второго порядка, вырождающимся на полупрямой. Спектральный подход к определению регуляризации позволяет применить метод к дифференциальным операторам второго порядка с вырождением на произвольной совокупности промежутков одномерной прямой и в некоторой области с кусочно гладкой границей конечномер ного пространства.

В настоящем разделе исследуется зависимость корректности задачи Коши для уравнения Шре дингера с гамильтонианом, являющимся дифференциальным оператором второго порядка с неот рицательной характеристической формой. Задача Коши (7.1), (7.2) корректна тогда и только тогда, когда оператор L порождает сжимающую полугруппу (см. [65]). В противном случае, т. е. когда dim(Ker (L iI)) = 0, задача некорректна и для ее исследования мы рассмотрим аппроксимацию 66 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ некорректной задачи (7.1), (7.2) последовательностью корректных задач, которую будем называть регуляризацией некорректной задачи. Исследуем регуляризацию задачи (7.1), (7.2) в случае нару шения ее корректности и, тем самым, исследуем устойчивость корректности задачи (7.1), (7.2) по отношению к малым изменениям коэффициентов задачи.

Рассматриваемая задача о выборе класса регуляризаций и исследовании поведения последова тельности регуляризованных задач является обобщением и развитием метода исчезающей вязкости (эллиптической регуляризации) для исследования вырождающихся параболических и ультрапара болических уравнений (см. [66, 67, 69, 78, 90]).

При выборе последовательности регуляризованных задач, аппроксимирующих исходную, будем руководствоваться следующими условиями:

1). Любая регуляризованная задачи имеет единственное решение при любом начальном усло вии. Регуляризованные задачи будут рассмотрены в классе задач Коши для абстрактного линейного дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с самосопряженным производящим оператором.

2). Производящие операторы регуляризованных задач аппроксимируют в определенном смысле производящий оператор исходной задачи.

3). Если исходная задача имеет единственное решение, то последовательность решений регуля ризованных задач сходится к решению исходной.

Понятие регуляризации некорректной задачи введено в монографии [115] для исследования некорректного линейного уравнения x X, f Y, (8.1) Ax = f, в паре банаховых пространств X, Y. Теория регуляризации некорректных задач развивалась в ра ботах Тихонова и в работах [49, 115], а также излагается, например, в монографиях [7, 25, 48, 49].

Задача Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве может быть сведена к задаче вида (8.1). Однако для решения и регуляризации задач Коши эффективны специальные методы, использующие дифференциальную специфику задачи, развитые в работах [49]. Значи тельная часть результатов указанных исследований посвящена исследованию некорректной зада чи (7.1), (7.2) или задачи (8.1) в предположении, что при некоторых данных задачи (u0 или f соответственно) ее решение существует, но оператор A1 не является непрерывным и начальные данные заданы с погрешностью. Исследования настоящей работы и работ [97, 100, 115] посвя щены изучению случая отсутствия решения задачи (8.1) или задачи (7.1), (7.2) соответственно, при этом метод работы [97] и настоящей работы является альтернативой методу квазирешений (см. [48, 115]).

В предыдущем разделе была отчасти исследована зависимость индексов дефекта (n, n+ ) = (Dim(Ker(L iI)), Dim(Ker(L +iI))) симметрического оператора второго порядка с неотрицатель но определенной характеристической формой L в гильбертовом пространстве H и вырождением на некотором множестве координатного пространства от скорости стремления к нулю вырождаю щихся коэффициентов. Как показывают приведенные выше и ниже примеры, эти индексы могут быть нетривиальны.

В настоящей работе изучается класс некорректных задач Коши du(t,x) = Lu(t, x), t 0, x Rd, (8.2) dt (8.3) u(+0, x) = u0 (x).

В качестве L будет выступать дифференциальный оператор второго порядка, у которого веще ственная часть характеристической формы неположительна, действующий в банаховом простран стве функций X = Lp (Rd ) при некотором p 1. Особенностью рассматриваемой задачи является вырождение дифференциального оператора L на некотором множестве координатного простран ства положительной меры. В этом случае размерности дефектных подпространств оператора L могут быть нетривиальными и зависеть от поведения коэффициентов при младших производных.

Указанные свойства оператора L являются препятствием для применения к исследованию зада чи (8.2), (8.3) методов, связанных с изучением билинейной формы оператора и вариационных методов, описанных в монографии [73] для уравнения в гильбертовом пространстве. В статье [45] 8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ вариационные методы распространены с помощью регуляризации на дифференциальные операто ры второго порядка в дивергентной форме с матрицей коэффициентов при старших производных G(x) = (x)I, где I есть единичная матрица, а функции (x) и 1 (x) неотрицательны и локально интегрируемы.

8.1. О понятии регуляризации. Сначала опишем естественные требования к определению по нятия регуляризации на примере задачи Коши в гильбертовом пространстве.

Определение 8.1. Пусть E Rd — некоторое множество, содержащее точку 0 Rd как пре дельную. Будем называть семейство операторов L, E, самосопряженной регуляризацией вырождающегося оператора L, если выполнены условия:

1R). для любого E оператор L есть самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H = L2 (R).

2R). линейное многообразие D = D(L) ( D(L )) плотно в пространстве H.

E 3R). для любого u D выполнено условие lim (L L)u = 0.

H Рассмотренная в предыдущем разделе 7 двупараметрическая регуляризация L1,2 удовлетво ряет требованиям 1R)–3R). Однако требований из приведенного определения недостаточно для обеспечения сходимости последовательности регуляризованных решений даже в том случае, когда решение вырожденной задачи существует и единственно.

Покажем, что если семейство регуляризованных задач определяется только условиями 1R)– 3R), то сходимость и предел последовательности регуляризованных решений зависят от выбора регуляризующей последовательности. Для этой цели рассмотрим более простой пример задачи Коши (7.1), (7.2) для уравнения Шредингера с производящим оператором вида (7.3), вырождаю щимся на одной полупрямой. В этом случае g(x) = (x) и a(x) = a(x), где a R.

Действительно, кроме «правильной» регуляризации, заданной формулой g (x) = g(x) + (x), (0, 1) (см. [95]), существует также -регуляризация, операторы которой задаются дифферен циальным выражением v i v a(x)v L ()v = g (x) + a(x) +, x x 2 x x где a(x) = a(x), a R, и функции g (x) = g(x) + зависят от вещественного параметра (0, 1).

Область определения оператора L () есть линейное многообразие, зависящее от вещественного параметра (0, 1) и комплексного параметра = 0:

a u(x) H : u(x)|R± W2 (R± ), u(0) = u(+0), u (0) = D () = [u (+0) + i u(+0)].

|| Легко проверить, что -регуляризация удовлетворяет условиям 1R)-3R) при каждом C\{0}.

Тогда при каждом (0, 1), C\{0} оператор L () генерирует унитарную груп пу UL () (t) = eitL (), t R, и задает семейство регуляризованных решений {u (, t, x) = UL () (t)u0 (x)}. Предельный оператор L() обладает такими же спектральными свойствами, как и оператор L = L(1). Можно показать, что если a 0, то задача Коши (7.1), (7.2) с оператором L() при любом начальном условии u0 D имеет единственное решение u(, t, x), причем для любого m N u(, t, x) C(R+, Lm ()) C m (R+, H). Тогда, повторяя рассуждения теоремы 7.3, можно показать, что для любого C\{0}, любого u0 (x) H и любого T 0 выполнено равенство lim u (, t, x) u(, t, x) = 0.


C([0,T ],H) Таким образом, если a 0 и = 0, 1, то для любой бесконечно малой последовательности пара метров регуляризации {n } и любого u0 H последовательность унитарных операторов ULn () (t) сходится в сильной операторной топологии равномерно на каждом отрезке к предельной изомет рической полугруппе UL() (t), которая отличается от полугруппы UL(t) при = 1.

Поскольку при различных R пределы последовательности регуляризованных решений раз личны, существует регуляризация задачи (7.1), (7.2) и начальное условие u0 H, для которых решение предельной задачи (7.1), (7.2) существует и единственно, а последовательность решений 68 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ регуляризованных задач расходится. Поэтому при выборе правильной регуляризации вырождаю щегося оператора L требований 1R)–3R) недостаточно. Ужесточим условия на аппроксимацию оператора L направленным множеством неограниченных операторов L с целью устранить указан ный недостаток.

Различные определения регуляризации некорректных краевых задач изучались в работах [45, 78, 90]. Следуя подходу указанных работ, последовательность Ln, n N, линейных операторов в пространстве X мы будем называть регуляризацией оператора задачи Коши (8.2), (8.3) в случае, если выполняются следующие условия:

1). при каждом n N задача Коши для уравнения d u(t) = Ln u(t), t 0, (8.4) dt с начальным условием (8.3) является корректной;

2). производящие операторы регуляризованных задач аппроксимируют в определенном смысле производящий оператор исходной задачи;

3). последовательность решений регуляризованных задач сходится к решению исходной задачи при условии, что исходная задача имеет единственное решение.

В случае, если исходная задача не имеет решения, то частичный предел в некоторой топологии последовательности решений регуляризованных задач (8.3), (8.4) претендует на роль аппроксима тивного в указанной топологии решения задачи (8.2), (8.3).

В настоящей главе получены необходимые условия сходимости последовательности регуляризо ванных полугрупп задач Коши (8.3), (8.4) в банаховом пространстве X: сходимость графиков опе раторов регуляризованных задач к графику оператора предельной задачи. Установлено близкое к необходимому достаточное условие сходимости последовательности регуляризованных полугрупп к полугруппе, порожденной предельной задачей Коши (8.2), (8.3).

Для задачи Коши в гильбертовом пространстве H с симметрическим вырожденным операто ром L исследовано поведение последовательности решений регуляризованных задач. В терминах индексов дефекта вырожденного оператора установлены достаточные и необходимые условия схо димости в слабой и в сильной операторных топологиях произвольной последовательности регу ляризованных полугрупп;

в терминах его максимальных диссипативных расширений получены оценки множества частичных пределов последовательности регуляризованных полугрупп в силь ной операторной топологии и в слабой операторной топологии.

Замечание 8.1. Прежде, чем перейти к реализации программы регуляризации некорректных задач Коши, укажем направленность предлагаемой конструкции в теории полугрупп. Исследо вание регуляризаций некорректной задачи Коши является идейно близким к исследованию воз мущений полугрупп и их генераторов. Теория возмущений полугрупп представляет условия на сходимость последовательности генераторов полугрупп, являющихся возмущениями некоторого генератора полугруппы, в терминах их резольвент и в терминах их графиков. Данные условия являются необходимыми и достаточными для сходимости задаваемых генераторами полугрупп в сильной операторной топологии. Сходимость полугрупп в слабой операторной топологии исследо вана в меньшей мере (см. [21]). Развиваемая в настоящей работе теория регуляризации некор ректных задач определяет систему окрестностей на множестве задач Коши (или на множестве производящих операторов задач Коши), по которой каждой некорректной задаче Коши сопоставля ется семейство аппроксимирующих ее корректных задач Коши. Поэтому основное отличие теории регуляризаций от теории возмущений состоит в том, что последовательности генераторов полу групп аппроксимируют в той или иной топологии некоторый замкнутый оператор, не обязательно являющийся генератором полугруппы. Процедура предельного перехода в том или ином смысле позволяет расширять понятие решения задачи Коши в случае его отсутствия в классическом пони мании (см. [68,84]) и понятие связанного с задачей Коши динамического преобразования (которое полугруппой может уже и не быть (см. [90, 106, 162])).

8.2. О регуляризации задачи Коши в банаховом пространстве. Пусть L — линейный опера тор в банаховом пространстве X, не являющийся генератором полугруппы класса C0 и называе мый далее вырожденным оператором (см. [51]). Обозначим через B(X, X) банахово пространство ограниченных линейных операторов в пространстве X, наделенное операторной нормой.

8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ Зададим на области определения D(L) X функционал u D(L) = max{ u X, Lu X }. Оче видно, функционал однороден, удовлетворяет неравенству треугольника и условию положительной определенности. Если оператор L замкнут, то указанный функционал является нормой, в которой линейное многообразие D(L) является полным пространством. всех t 0 и n N.

Определение 8.2. Пусть L — линейный оператор в банаховом пространстве X. Будем называть последовательность линейных операторов Ln, n N, действующих в банаховом пространстве X, регуляризацией по существенной области оператора L, если выполнены следующие условия:

1S). Для любого n N оператор Ln есть генератор полугруппы ULn (t), t 0, класса C в банаховом пространстве X. Существуют такие постоянные M 0 и R, что ULn (t) B(X,X) M et для всех t 0 и n N.

2S). Существует банахово пространство S, вложенное в пространство X, которое является плот ным в пространстве X линейным многообразием и удовлетворяет включениям S D(L) и S L(S) S1, линейное многообразие S D(Ln ) = S0 плотно в X.

nN 3S). Для любого n N существует линейный оператор Qn в банаховом пространстве X с обла стью определения D(Qn ) = S1 = L(S) — в силу условия 2S) множество S1 есть линейное многообразие в пространстве X, — который отображает линейное многообразие S D(Qn ) в банахово пространство D(Ln ), при этом последовательность операторов {Qn } удовлетворя ет условию: существует такая бесконечно малая последовательность положительных чисел bn, что для любого u S выполняется неравенство Qn u u + Ln Qn u Qn Lu (8.5) bn u S.

X X Примеры регуляризаций по существенной области вырожденного дифференциального оператора в гильбертовом пространстве приведены в предыдущей главе и в работах [66, 67, 69, 85, 97, 121]. В работе [102] показано, что попытки ослабить требования, налагаемые на регуляризацию определе нием 8.2, могут привести к тому, что последовательность регуляризованных решений разойдется даже в случае, когда исходная задача Коши корректна.

8.3. Достаточные условия сходимости регуляризованных полугрупп в сильной оператор ной топологии. Напомним, что сильным решением задачи (8.2), (8.3) называется функция u(t) C(R+, D(L)) C 1 (R+, X), удовлетворяющая уравнению (2.1.1) при всех t 0 и усло вию (8.3) в смысле сходимости u(t) к u0 по норме пространства X при t +0.

Теорема 8.1. Пусть линейный оператор L имеет регуляризацию по существенной обла сти {Ln, n N} и задача Коши (8.2), (8.3) при некотором u0 S0 имеет сильное решение u(t) C(R+, S). Тогда последовательность {ULn (t)u0 }, n N сходится к сильному реше нию u(t) в пространстве X при n равномерно на любом отрезке [0, T ].

Доказательство. Для каждого n N определим un (t) = ULn (t)u0 и положим vn (t) = Qn (u(t)), pn (t) = u(t) vn (t) и wn (t) = un (t) vn (t). Тогда un (t) C(R+, D(Ln )) C 1 (R+, H) и справедливо равенство d d (wn (t)) = (un (t) Qn (u(t))) = Ln un (t) Qn (Lu(t)) = dt dt = Ln (wn (t)) + Ln vn (t) Qn (Lu(t)) = Ln (wn (t)) + [Ln Qn Qn L]u(t).

Выберем некоторое T 0. Тогда, согласно условию 3S), [Ln Qn Qn L]u(t) bn u(t) C([0,T ],H) C([0,T ],S) при n. Поэтому d (wn (t)) = Ln (wn (t)) + fn (t), dt где fn (t) = [Ln Qn Qn L]u(t) и fn (t) C([0,T ],H) 0 при n.

70 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Согласно определению, функция wn (t) удовлетворяет условию wn (0) = 0. Тогда, поскольку оператор Ln генерирует полугруппу ULn (t) класса C0, то (см. [65]) t ULn (t s)fn (s)ds.

wn (t) = Поэтому, в силу условия 1S) равномерной ограниченности регуляризованных полугрупп на каждом отрезке, для любого T 0 справедливы равенства lim wn (t) C([0,T ],H) = 0 и n lim un (t) vn (t) (8.6) = 0.

C([0,T ],H) n Поскольку un (t) u(t) wn (t) + pn (t) и pn (t) = Qn u(t) u(t), то в силу условия теоремы u(t) C(R+, S) и согласно (8.5) справедливо утверждение теоремы 8.1.

Следствие 8.1. Пусть оператор L является генератором полугруппы UL (t), t 0, класса C0 и имеет регуляризацию по существенной области {Ln, n N}, банахово пространство S которой инвариантно относительно полугруппы UL (t), t 0. Тогда последовательность регуляризованных полугрупп сходится в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке [0, T ] к полугруппе UL (t).

Доказательство. Поскольку оператор L является генератором полугруппы класса C0 в простран стве X, то задача Коши (8.2), (8.3) имеет единственное решение при любом u0 X (см. [65]).

В силу предположения следствия из условия u0 S0 следует, что решение u(t) = UL (t)u0 зада чи (8.2), (8.3) принадлежит пространству C(R+, S).

Поэтому в силу теоремы (8.1) для любого u0 S0 последовательность решений регуляризо ванных задач un (t) = ULn (t)u0, n N, сходится к сильному решению u(t) = UL (t)u0 зада чи (8.2), (8.3) равномерно на любом отрезке [0, T ]. Поскольку множество S0 плотно в X и преоб разования ULn равномерно ограничены в операторной норме на любом отрезке [0, T ], то тогда для любого u0 X и любого T 0 справедливо равенство lim ULn (t)u0 UL (t)u0 C([0,T ],X) = 0.

n Замечание 8.2. Если линейное многообразие S плотно в пространстве X и инвариантно от носительно полугруппы UL (t), t 0, то оно является существенной областью определения полу группы и оператора L в том смысле, что замыкание сужения полугруппы (оператора) на линейное многообразие S совпадает с полугруппой (оператором). Этим обусловлено название регуляризации.

Однако линейное многообразие S0 может не быть инвариантным относительно полугруппы UL (t).

Например, в случае регуляризации модельной задачи из пункта 1.2 такая инвариантность требует, чтобы для решения были выполнены граничные условия в точке x0 для всех операторов L, E, и для оператора L, что означает равенство нулю значения функции и ее первой производной в точке x0 = 0. А инвариантное относительно полугруппы UL (t) линейное многообразие функций, удовлетворяющих условиям равенства нулю вместе с первой производной в точке x0, состоит из нулевого элемента.

Условие инвариантности многообразия S относительно полугруппы UL (t), t 0, налагаемое условиями теоремы 8.1 или следствия 8.1, является трудно проверяемым. Поэтому несколько усилим требования, предъявляемые к регуляризации, и выразим линейное многообразие S непо средственно через оператор L и его степени.

Определение 8.3. Будем называть последовательность линейных операторов Ln, n N, дей ствующих в банаховом пространстве X, степенной регуляризацией порядка q N вырождающе гося оператора L, если выполнены условия 1R) и 2’R). линейное многообразие Dq = D(Lq ) ( D(Ln )) плотно в пространстве X;

nN 3’R). для любого n N существует линейный оператор Qn в банаховом пространстве X с областью определения D(Qn ) = D(Lq1 ), который отображает линейное многообразие D(Lq ) D(Qn ) в банахово пространство D(Ln ), при этом последовательность операто ров {Qn } удовлетворяет условию: существует такая бесконечно малая последовательность положительных чисел bn, что для любого u D(Lq ) выполняется неравенство Qn u u + Ln Qn u Qn Lu (8.7) bn u D(Lq ).

X X 8. АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ КОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ Замечание 8.3. Степенная регуляризация порядка q является частным случаем регуляризации по существенной области при S = D(Lq ), S1 = D(Lq1 ) и S0 = Dq.

Из замечания 8.3 и теоремы 8.1 вытекает следующее утверждение.

Следствие 8.2. Пусть линейный оператор L имеет степенную регуляризацию {Ln, n N} порядка q N и задача Коши (1), (2) при некотором u0 D(Lq ) имеет сильное решение u(t) C(R+, D(Lq )). Тогда последовательность {ULn (t)u0 }, n N, сходится к сильному реше нию u(t) в пространстве X при n равномерно на любом отрезке [0, T ].

Следствие 8.3. Если задача (1), (2) имеет степенную регуляризацию порядка q и опера тор L является генератором полугруппы UL (t), t 0, класса C0, то последовательность регуляризованных полугрупп сходится в сильной операторной топологии равномерно на лю бом отрезке [0, T ] к полугруппе UL (t).

Доказательство. Преимущество степенной регуляризации перед регуляризацией по существен ной области проявляется в том, что линейное многообразие D(Lq ) = S инвариантно относительно полугруппы UL (t). Поэтому из следствия 8.1 вытекает утверждение следствия 8.3.

Следствие 8.4. Если задача (8.2), (8.3) с начальным условием u0 Dq имеет степен ную регуляризацию порядка q, то ее сильное решение u(t), удовлетворяющее условию u(t) C(R+, D(Lq )), единственно.

В рассмотренном в первой главе модельном примере оператор L некорректной задачи Коши име ет степенную регуляризацию Ln, n N, порядка q = 3 при условии a = 0 и имеет регуляризацию по существенной области при любом a R.

В некоторых конкретных задачах вырожденный оператор L не имеет степенной регуляризации, но обладает регуляризацией по существенной области на пространстве S X. Так, в случае a = оператор L в модельном примере 1.1 не имеет степенной регуляризации, поскольку для любого q N норма функции u(x) D(Lq ) D(L ) в пространствах D(L ) не допускает оценки сверху через ее норму в пространстве D(Lq ). Указанный оператор имеет регуляризацию по существенной 2 области на пространстве S = {u H : u|R W2 (R ), u|R+ W2,0 (R+ ), ux (0) = 0} с оператором регуляризации Q : Q u = u + p, где функция p определяется по функции u формулой (4.7).

Другой класс задач, операторы которых имеют регуляризацию по существенной области, но не обладают степенной, предоставляют вырожденные операторы Фоккера—Планка вида (5.3) с глад кими коэффициентами в пространстве H = L2 (R). Здесь также принадлежность функции высокой степени оператора L с гладкими коэффициентами, вырожденными в точке x0 = 0, не обеспечива ет принадлежности функции области определения равномерно эллиптического регуляризованного оператора второго порядка, поэтому не существует степенной регуляризации вырожденного опера тора. Но оператор имеет регуляризацию по существенной области {L = L+, (0, 1), +0} на банаховом пространстве S = C 2 (R)W2 (R) с тождественным оператором регуляризации Q = I на линейном многообразии S1 = L(S). Действительно, согласно результатам работ [84,85,121,123], если коэффициенты оператора Фоккера—Планка L (см. (5.3)) принадлежат пространству C 2 (R), то для любого u0 S существует единственное решение задачи Коши (5.1), (5.2) u(t) C(R+, S), его L2 -норма не возрастает в силу диссипативности оператора L (см. теорему (5.1), выражение для KL (u)), а его C 2 -норма допускает оценку сверху типа принципа максимума (см. [85, теоре мы 1.5.1, 1.6.3]).

Поэтому вырожденная задача Коши (5.1), (5.2) для уравнения Фоккера—Планка определяет 0 -полугруппу линейных преобразований линейного многообразия S, продолжаемую по непре C рывности до изометрической полугруппы преобразований пространства H. Заданный на линейном многообразии S1 оператор Q отображает линейное многообразие S в область определения D(L ) и удовлетворяет всем условиям определения регуляризации по существенной области.

Поэтому установленная в работах [85, 123] сходимость последовательности решений регуляри зованных задач к решению вырожденной задачи вытекает также из следствия 8.1. Эти результаты показывают, что вырожденные операторы с гладкими коэффициентами (показатель гельдеровской непрерывности которых не ниже единицы) порождают корректные задачи Коши и являются гене раторами C0 -полугрупп, являющихся пределами в сильной операторной топологии последователь ности регуляризованных полугрупп при простейшей самосопряженной регуляризации оператором 72 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ Лапласа с малым параметром. Аналогичным образом проявляются корректность и поведение по следовательности решений регуляризованных задач в случае задачи Коши (1), (2) с вырожденным оператором с гладкими коэффициентами. Поэтому основное внимание диссертационной работы ориентировано на рассмотренные в первой главе операторы с негладкими коэффициентами.

Задача Коши для уравнения Фоккера—Планка с гладкими вырождающимися коэффициентами, рассматриваемая в банаховом пространстве L1 (R), допускает регуляризацию по существенной области с последовательностью регуляризованных операторов L = L +, (0, 1), +0, заданных при каждом 0 в пространстве W1 (R). Линейные многообразия S и S0 в этом 2 (R) W 2 (R), а операторы Q суть тождественные операторы при всех (0, 1). В случае суть C 1 этом случае также получаются результаты работ [85, 122, 123] о сходимости последовательности регуляризованных решений к решению вырожденной задачи.

Пример задачи Коши для уравнения Фоккера—Планка с вырожденным оператором L в бана ховом пространстве L1 (R) с разрывными коэффициентами рассмотрен в работе [63], в которой установлены условия корректной разрешимости задачи Коши, определена регуляризация по суще ственной области вырожденного оператора и доказана сходимость последовательности решений регуляризованных задач к решению вырожденной задачи при условии существования последнего.

8.4. Необходимые условия сходимости последовательности решений регуляризованных за дач. Теоремой Троттера—Неве—Като установлено, что сходимость последовательности линейных сжимающих C0 -полугрупп в банаховом пространстве в сильной операторной топологии, равномер ная на каждом отрезке, эквивалентна сильной резольвентной сходимости их генераторов (см. [55, теорема 3.4]). Исследования настоящей работы касаются связи сильной сходимости последова тельностей полугрупп и сильной граф-сходимости (см. [92]) последовательности их генераторов.

Полученный результат позволяет классифицировать характер поведения регуляризованных полу групп в терминах спектральных свойств вырожденного оператора.

Из теоремы Троттера—Като—Неве следует, что если последовательность операторов {Ln } яв ляется последовательностью генераторов сжимающих полугрупп {ULn (t)}, которая сходится в сильной операторной топологии равномерно на каждом отрезке, то последовательность операторов {Ln } сходится к оператору A в топологии сильной резольвентной сходимости в полуплоскости Re 0.

Теорема 8.2. Пусть {Ln } — последовательность замкнутых операторов в банаховом про странстве X, являющихся генераторами сжимающих полугрупп ULn (t), и пусть последо вательность ULn (t) сходится в сильной операторной топологии к оператор-функции U(t) равномерно на каждом отрезке [0, T ]. Тогда:

A). оператор-функция U(t) является сильно непрерывной полугруппой сжатий в простран стве X;

B). сильный граф-предел последовательности операторов {Ln } есть график генератора A полугруппы U(t).



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.